4 METODO SPHIl modello SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) è un metodo particellare meshfree basato sulla formulazione lagrangiana. Il suo utilizzo spazia diversi campi, dalle applicazioni astrofisiche ai problemi idrodinamici. Nell’ingegneria costiera i problemi analizzati riguardano la propagazione di onde in avvicinamento alla linea di costa. I principali vantaggi dell’SPH sono legati alla sua formulazione di tipo lagrangiano, grazie alla quale non abbiamo imposizioni restrittive sulla geometria del sistema, né su quanto ci possiamo allontanare dalle condizioni iniziali, essendo un metodo meshfree abbiamo la possibilità di studiare grandi deformazioni e di utilizzale materiali con legami costitutivi complessi. (Crespo, 2008). 4.1 Numerical Simulation. Formulazione essenziale dell’SPH L’idea di base sta nel trasportare gli aspetti di un problema fisico in un modello numerico, evitando di dover simulare l’esperienza reale con esperimenti complicati e costosi Il metodo SPH fu sviluppato per problemi idrodinamici nella forma di equazioni differenziali parziali (PDE) delle variabili di campo densità, velocità, energia, ecc. Ottenere soluzioni analitiche delle PDE è difficile, eccetto che per casi semplici. Si ha la necessità quindi di discretizzare prima il dominio del problema in cui sono definite le PDE. In seguito, è necessario un metodo per fornire un’approssimazione per i valori delle funzioni di campo e loro derivate, in qualsiasi punto. Alle PDE è quindi applicata una funzione di approssimazione per produrre un insieme di equazioni differenziali ordinarie (ODE) in forma discretizzata. Questo insieme di ODE discretizzate può essere risolto utilizzando una delle routine di integrazione standard del metodo convenzionale delle differenze finite. Nel metodo SPH, per raggiungere l’obiettivo di cui sopra, sono utilizzate le seguenti idee chiave: 1) Il dominio del problema viene rappresentato da un set di particelle arbitrariamente distribuite, se il dominio non è già in forma particellare. Non si necessita di nessuna connessione tra le particelle (meshfree); 2) Il metodo di rappresentazione integrale è usato per l’approssimazione delle funzioni di campo. Nell’SPH questo metodo prende il termine di approssimazione kernel (funzione di rappresentazione integrale); 3) L’approssimazione kernel è poi ulteriormente approssimata usando le particelle. In SPH è detta approssimazione particellare. Si opera sostituendo l’integrazione nella rappresentazione integrale della funzione di campo e sue derivate con sommatorie su tutti i valori corrispondenti alle particelle confinanti in un dominio locale chiamato dominio d’interazione. 4) L’approssimazione particellare è effettuata ad ogni istante, e quindi l’uso delle particelle dipende dalla sua distribuzione locale corrente (adattabilità); Dal momento che ogni nodo della griglia segue il percorso del materiale. offrendo spunti per problemi fisici complessi. I metodi numerici grid-based. Le equazioni governative. contorni deformabili. Essa svolge un ruolo fondamentale. Infatti la mesh è fissa o assegnata al materiale per tutto il processo di calcolo. compressione e deformazione di una cella. non c’è flusso di massa da una cella all’altra ovvero attraverso i confini della mesh. Un sistema a griglia che consiste il nodi. come il metodo alle differenze finite (FDM). Una caratteristica del metodo grid-based è quella di dividere il dominio continuo in piccoli subdomini discreti. Ogni nodo o punto della griglia è collegato agli altri in una maniera predefinita da una mappa topologica. sono stati ampiamente usati in varie aree di fluidodinamica computazionale (CFD) e di meccanica dei solidi computazionale (CSM). Nonostante il grande successo. interfacce mobili e grandi deformazioni. Le maggiori difficoltà derivano dall’utilizzo delle mesh. grazie ad un processo denominato discretizzazione (meshing). fornendo test ed esami necessari alla teoria. Le caratteristiche di tale rappresentazione sono le seguenti: .5) L’approssimazione particellare viene eseguita per tutti i termini relativi alle funzioni di campo nelle PDE per produrre un insieme di equazioni differenziali in forma discretizzata rispetto al solo tempo (Lagrangiana). per risolvere equazioni differenziali ed equazioni differenziali parziali (PDEs).2 I Metodi Grid-Based tradizionale La simulazione attraverso i computer è diventata sempre più uno strumento importante per la risoluzione di problemi di ingegneria. La descrizione lagrangiana. 6) Le ODE sono risolte utilizzando un algoritmo di integrazione esplicito in modo da avere una storia temporale di tutte le variabili di campo delle particelle (Dinamico). è tipicamente rappresentata dal metodo agli elementi finiti (FEM) ed è detta di tipo materiale. alla quale il nostro metodo fa riferimento. celle o elementi. momento ed energia sono trasportati con il moto delle celle della maglia. che dovrebbero sempre assicurare che le condizioni di compatibilità numerica rispecchino quelle di compatibilità fisica per in continuo. assistendo l’interpretazione e spesso la scoperta di nuovi fenomeni. deve essere definito in modo da fornire una relazione tra i nodi prima del processo di approssiamzione per le equazioni differenziali. il metodo ai volumi finiti (FVM) ed il metodo agli elementi finiti (FEM). il moto relativo dei nodi di collegamento può causare espansione. Massa. possono essere convertite in una serie di equazioni algebriche con incognite nodali per le variabili di campo. 2003) 4. questi metodi presentano dei problemi in molti aspetti che si ripercuotono nel poco efficace utilizzo per problemi complessi. basate opportunamente su una mesh predefinita. (GR Liu. L’utilizzo della griglia può portare ad avere difficoltà quando si affrontano problemi con superfici libere. Poiché all’interno di ogni cella la massa resta invariata. mentre in figura 2 sono rappresentate due griglie. i confini in movimento e le interfacce dei materiali sono imposte automaticamente. controllato dalla grandezza degli elementi più piccoli. una Lagrangiana. turbolenze nel fluidi. Oltretutto con la rizonazione si perde anche la storia del materiale. La rizonazione della mesh produce un sovrastato di una nuova. non distorta mesh sulla vecchia. 2003) La descrizione Euleriana è tipicamente rappresentata dal metodo ai volumi finiti (FVM) dove la mesh è fissa nello spazio ed il materiale può muoversi attraverso la griglia Una comparazione tra i due metodi è illustrata in tabella 2 (GR Liu. Inoltre. 2003). Le proprietà fisiche nelle nuove celle della mesh sono approssimate dalle celle della vecchia mesh attraverso il calcolo della massa. (GR Liu. Pertanto. momento e trasporto di energia in una descrizione Euleriana. distorta mesh. impatti. così che il calcolo successivo possa avvenire sulla nuova mesh invece che su quella vecchia (distorta). penetrazioni. Le condizioni al contorno e sulle superfici libere. Le rizonazioni sono spesso utilizzate per simulare esplosioni. grazie al semplice movimento dei nodi della griglia Geometrie irregolari o complesse possono essere trattate convenientemente usando una maglia irregolare Il passo temporale. anche se ci sono alcuni vantaggi molto buoni nei metodi griglia-basati Lagrangiani. il codice è concettualmente semplice e dovrebbe essere più veloce data la mancanza degli oneri computazionali a risolvere i questi termini Essendo la griglia fissata sul materiale in movimento. gli svantaggi possono provocare difficoltà numeriche durante la simulazione di eventi caratterizzati da grandi deformazioni. può diventare troppo basso per essere efficiente e può anche portare al collasso del calcolo Una possibile opzione per migliorare il calcolo Lagrangiano è ri-zonare la mesh o rimeshare il dominio di calcolo. l’intera storia temporale di tutte le variabili di campo in un punto materiale può essere facilmente tracciata Nel calcolo lagrangiano alcuni nodi della maglia possono essere posti lungo i confini e le interfacce dei materiali. La rizonazione nei metodi Lagrangiani comporta una grande spesa di tempo. i codici Lagrangiani sotto frequente ri-mesh assomigliano ad un codice Euleriano in senso generale. Il termine convettivo nelle relative equazioni differenziali parziali non è presente. l’altra Euleriana . i principali metodi meshfree . In tabella 2 sono elencati. 2 Mesh Lagrangiana Fig. Una delle più grandi limitazioni è la generazione della griglia. 2 Mesh Euleriana 4. materiali avanzati. che limitano l’applicazione di questi metodi in un gran numero di problemi complessi. comportamento non lineare dei materiali .3 Metodo Meshfree I metodi numerici grid-based presentano difficoltà in molti aspetti. discontinuità e singolarità. in ordine cronologico. che non è sempre un processo semplice e può portare ad un lavoro oneroso sia in termini di tempo sia in termini di complessità matematica.Tabella 2 Fig. I metodi meshfree agevolano la simulazione di problemi che richiedono la capacità di lavorare con grandi deformazioni. geometrie complesse. 4 in (GR Liu. 2003)). la posizione. Alcuni esempi di questi metodi sono illustrati in tabella 3 (Tabella 2. l’energia. Per i problemi di Fluido Dinamica Computazionale (CFD) le variabili quali la massa.Tabella 2 4. . la quantità di moto. che rappresentano un oggetto fisico o una porzione di un dominio.2 Smoothed Particles Hydrodynamics I metodi particellari meshfree (MPM) trattano i sistemi come gli insiemi di particelle. sono calcolato per ogni particella.3. etc. l’SPH conserva esattamente il valore della massa. poiché il movimento collettivo delle particelle si avvicina molto al movimento di un liquido o di un gas e può essere modellato dalle equazioni dell’idrodinamica Newtoniana. penetrazioni. impatti ad alta velocità. l’accelerazione delle particelle è quindi ricavata dal gradiente della pressione e dalla densità. Questo consente un trattamento corretto delle grandi deformazioni.B. (M.4 Smoothed Particle Hydrodinamics L’SPH è un autentico metodo particellare meshfree originariamente utilizzato per applicazioni nel continuo e può essere considerato come il più vecchio tra i moderni metodi meshfree. le quali possiedono le proprietà dei materiali ed interagiscono tra loro in un campo controllato da una funzione peso (Smoothing Function). la superficie libera. È possibile ottenete la storia temporale delle particelle materiali. Allo stesso modo di un metodo particellare Lagrangiano. la pressione del fluido è calcolata dalla densità utilizzando un equazione di stato . Grazie alla corretta disposizione particellare in una specifica posizione ad un istanti iniziale prima dell’analisi. esplosioni sottomarine. Fu inventato inizialmente per risolvere problemi astrofisici nello spazio tridimensionale. 2009) Nell’SPH lo stato del sistema è presentato da un set di particelle. L’SPH è un metodo che non utilizza una mesh/griglia. . l’avvezione ed il trasporto del sistema può essere quindi calcolato. Liu. utilizza un algoritmo definito : Galilean Invariant.Tabella 3 4. Per questi motivi l’SPH viene utilizzato nei casi di fenomeni ad alta energia quali esplosioni. dal momento che la connettività è generata come parte del calcolo e può cambiare nel tempo. Per fluidi viscosi può essere incluso l’effetto della viscosità fisica nel calcolo dell’accelerazione delle particelle. le interfacce dei materiali ed i contorni mobili possono essere tracciate nel processo di simulazione indipendentemente dal movimento delle particelle. Vediamo quali sono i principali vantaggi di questo metodo rispetto un metodo numerico tradizionale grid-based SPH è un metodo particellare Lagrangiano. Swegle identificò il problema della istabilità di tensione (Swegle JW. Nel metodo SPH . 1982) (Monaghan J. sulla stabilità. J. Chen et al. W è la funzione peso o kernel. 1999) (Chen JK B. Randles e Libersky derivarono un formulazione normalizzata per il calcolo della densità approssimata ed una normalizzazione per la divergenza dei tensori degli sforzi (Randles PW. Why particle methods work. 2006). 1982). 1992). 1996. Per esempio Gingold e Monaghan introdussero un algoritmo capace di conservare sia la quantità di moto sia il momento della quantità di moto (Gingold RA. 1994). (M. che utilizza una particella per rappresentare un piccolo gruppo di molecole. cosi come molte incongruenze sono state identificate. 1996). e di ingegneria astrofisica alla scala astronomica. Monaghan J. (Hu XY. 1995). (Chen JK.. L’SPH è adatto in quei casi dove l’oggetto in considerazione non è un continuo.B. una particella rappresenta un volume finito alla scala del continuo. L’SPH è più semplice per l’implementazione numerica ed è più naturale per lo sviluppo di modelli numerici tridimensionali dei metodi Grib-based Il primo algoritmo SPH era derivato dalla teoria della probabilità. la convergenza e l’efficienza.1 dove r è il vettore posizione. . h è chiamata “smoothing length” e controlla il dominio di influenza Ω (figura 2) . Hu e Adams presentarono anch’essi un algoritmo con le stesse capacità conservative per i flussi viscosi incompressibili. Liu. ed al metodo della dinamica delle particelle dissipative.5 Interpolazione Integrale L’SPH è basato sull’interpolazione integrale. questo algoritmo non conservava la quantità di moto ed il momento della quantità di moto. . siamo abbastanza vicini al classico metodo della dinamica molecolare che utilizza una particella per rappresentare un atomo o una molecola. Morris notò il problema dell’inconsistenza delle particelle che era condotto con poca accuratezza nella soluzione dell’SPH (JP. Molti ricercatori hanno condotto studi su questo metodo riguardo l’accuratezza degli aspetti numerici. Il principio fondamentale è quello di approssimare ogni funzione A(r) come (kernel appoximation): 4. Smooth particle hydrodynamics. per questo sono state proposte varianti o modifiche. Monaghan propose una simmetrizzazione della formulazione che ha mostrato ottimi risultati (Monaghan. Questo è vero specialmente nei casi di bio e nano ingegneria alla scala micro e nano. Proposero un metodo SPH corretto (CSPM) che sviluppava una accuratezza sia nei problemi del dominio sia intorno alle aree di confine. 2009) 4. 2000). Con lo sviluppo del metodo e la sua grande applicazione molte caratteristiche interessanti sono state messe in luce. ℎ) è la funzione peso o kernel.2 dove la sommatoria è su tutte le particelle nella regione del supporto compatto della funzione kernel. 4. = W( − . La massa e la densità sono denominate rispettivamente e . L’approssimazione (4.3 . in forma discreta. ci conduce all’approssimazione particellare: 4.Figura 2 Solitamente il valore di h deve essere più grande della distanza che separa inizialmente le particelle. Le derivate in questo metodo possono essere ottenute grazie ad una derivazione ordinaria e non è necessario né un metodo di differenze finite né una mesh. Uno dei vantaggi di questo approccio è che la derivata di una funzione viene calcolata analiticamente diversamente da come succede. ad esempio.1). nel metodo alle differenze finite. 4. (Crespo. 2008) 4. essendo r la distanza tra le particelle a e b.4 Supporto Compatto: fuori dal dominio Ω 4.6 Il Kernel “Smoothing” La prestazione di un modello SPH dipende dalla scelta della funzione peso.5 Normalizzazione: 4. supporto compatto e normalizzazione.6 Comportamento funzione delta: 4.7 Comportamento monotono decrescente di 4. il parametro h controlla la grandezza dell’area intorno alla particella a all’interno della quale il contributo delle altre particelle non può essere trascurato.8 Il kernel dipende dalla lunghezza h e dalla distanza adimensionalizzata tra le particelle q=r/h. Queste dovrebbero soddisfare condizioni restrittive quali positività. in più deve essere monotona decrescente con l’aumento della distanza tra le particelle a e deve comportarsi come una funzione delta quando la lunghezza h tende a zero: Positività: nel dominio Ω 4.7 Equazioni Governanti Le equazioni che stanno alla base della fluido dinamica si seguono se seguenti tre leggi di conservazione: Conservazione della massa Conservazione della quantità di moto Conservazione dell’energia Le equazioni del moto in SPH sono derivate da queste equazioni nella forma Lagrangiana . 7. Essendoci diverse formulazioni riguardo i termini diffusivi. 1992) è stata molto spesso utilizzata a causa della sua semplicità. per ognuna di esse può esserci un approccio diverso nel descrivere le equazioni di conservazione della quantità di moto.9 Dove v è la velocità.9) può essere scritta come: 4. Nelle notazioni SPH la (2.0. g= (0.82) ms² è l’accelerazione gravitazionale.21 Πab indica la viscosità 4.20 Il gradiente della pressione in forma simmetrica è espresso in notazione SPH come: 4.4.1 Conservazione della Quantità di Moto L’equazione di conservazione della quantità di moto in un campo continuo è: 2. Θ fa riferimento ai termini diffusivi. . Abbiamo tre possibili opzioni: Artificial viscosity Laminar viscosity Turbulence modeling (laminar viscosity + Sub Particle Scale (SPS) Turbolence) Viscosità artificiale La viscosità artificiale proposta da (Monaghan J.22 con . P e ρ sono la pressione e la densità. Smooth particle hydrodynamics.-9. L’equazione di conservazione della quantità di moto è: 4. η²= 0.26 dove il termine laminare può essere trattato seguendo l’equazione (2. α è un parametro libero che può cambiare per ogni problema. Viscosità laminare L’equazione di conservazione della quantità di moto con viscosità laminare è data da: 4.25 Viscosità laminare e SPS (Sub-Particle Scale) Per rappresentare adeguatamente la viscosità di un fluido ed un moto turbolento viene utilizzato il Large Eddy Simulation (LES).893*20 m²) Quindi in notazione SPH la (2.24) e ̅ il tensore degli sforzi. una modello matematico usato nella fluidodinamica computazionale (CFD) per lo studio di fenomeni turbolenti. .dove = ( + ).23 dove il termine dello sforzo laminare si semplifica: 2.24 Il termine v0 è la viscosità cinetica di un flusso laminare (0. = ( + ).02h².23) può essere riscritta come: 4. 29 invece di utilizzare una sommatoria pesata dei termini di massa (Monaghan.0066. . nota come equazione di stato Tait: . il che permette di utilizzare le equazioni di stato per determinare la pressione del fluido piuttosto che risolvere altre equazioni differenziali.22) CI =0.28 4.7. |S|= (2SijSij)^2/2. A. In ogni modo la comprimibilità è regolata per rallentare la velocità del suono affinché il tempo di calcolo sia ragionabile. 1974) la relazione tra pressione e densità è data dalla seguente espressione. 4.Δl)*|S| (turbolence eddy viscosity).2992). = [min(Cs.7. Le variazioni di densità sono calcolate a partire dalla: 4. Δl la distanza particella-particella. 2006) l’equazione (2. k la SPS energia cinetica della turbolenza.26) può essere riscritta nella forma: 4.Le assunzioni di questa teoria (sotto le ipotesi di Boussinesq) sono spesso utilizzate per modellare il tensore degli sforzi SPS utilizzando una media alla Favre (per un fluido comprimibile): 4. 1994) e (Batchelor.27 dove è il tensore degli sforzi.2 Equazione di Continuità Il fluido nella trattazione SOH standard è trattato come comprimibile.3 Equazioni di Stato Basandoci su quanto scritto da (Monaghan J. poiché è nota per provocare un decremento della densità artificiale vicino alle interfacce fluide. Cs la costante di Smagorinsky (0. Quindi seguendo (Dalrymple R. 30 si vede come una piccola oscillazione della densità produce una grande variazione della pressione.32 dove c0 è la velocità del suono ad una densità di riferimento (sulla superficie libera). 1994) suggerì che il minimo valore della velocità del suono dovesse essere circa dieci volte più grande che la massima velocità del fluido attesa.4.33 Dove ε è una costante che varia tra 0 e 2. Simulating free surface flows with SPH.4 Movimento delle Particelle Le particelle sono mosse utilizzando la variante XSPH (Monaghan. Monaghan mostrò che la velocità del suono deve essere rallentata artificialmente. c. On the Problem of Penetration in Particle Methods. la costante B=c0²ρ0²/γ pone un limite alla variazione della densità la scelta di B gioca un ruolo fondamentale dal momento che essa determina la velocità del suono.31 4.7. che si basa sulla Courant-Fredrich-Levy condition. solitamente viene utilizzato ε=0. . Usando un valore corrispondente al valore reale della velocità del suono in acqua. che è data dalla: 4. 1989) 4. 4. tuttavia (Monaghan. deve essere stabilito un passo in termini di tempo molto piccolo. Questo fluido comprimibile ha un valore della velocità del suono.5. 24). 1992) 4.5% in 400 step. potenziale e termica. In questa simulazione l’energia cresce . 1992).34 L’energia totale del sistema è calcolata come la somma dell’energia cinetica. in accordo con (Monaghan.7. Nell’ultima figura viene rappresentata l’energia totale del sistema. potenziale e termica. A titolo di esempio riportiamo in figura 3 le energie calcolate nel caso di collasso di una colonna d’acqua Figura 3 Analizzando la figura.5 Conservazione ell’Energia Durante la simulazione viene calcolata l’energia cinetica. L’energia termica associata ad ogni particella usando la viscosità artificiale è calcolata attraverso l’espressione data da (Monaghan. L’energia potenziale iniziale è zero.4. L’energia termica è calcolata basandosi sulla (2. l’energia è conservata con un limite dello 0. si osserva come l’energia cinematica per contorni stazionari sia uguale a zero. Smooth particle hydrodynamics. Smooth particle hydrodynamics. Nel nostro caso (DualSPHysics) è possibile scegliere tra i seguenti kernel: Gaussian Quadratic Cubic spline Quintic Gaussiano 4. 2008) 4. 1992).. 2003) e (Monaghan. Smoothed Particle Hydrodynamics. Smooth particle hydrodynamics. r è la distanza tra le particelle a e b e = 2/(πh²) in 2D e 2/( Figura 4 La figura 4 mostra il valore del kernel Gaussiano e le sue derivate. quindi la variazione di energia è dentro i limiti proposti da Monaghan. ℎ ) in 3D .dello 0.3% in 500 step.8 Scelta del Kernel Le approssimazioni kernel sono descritte ampiamente in (Monaghan. (Crespo. 2005). (GR Liu.35 dove q=r/h. 36 dove = 2/(πh²) in 2D e 5/(4 ℎ ) in 3D Figura 5 (GR Johnson. Cubic Spline 4.37 dove = 20/(7πh²) in 2D e 2/( ℎ ) in 3D .Qudratic 4. 1996) ha utilizzato questo kernel per simulare i problemi di impatti ad alta velocità. Questa funzione impedisce il raggruppamento delle particelle nei problemi di compressione. 1995) 4.Figura 6 Questa funzione è stata la più usata in letteratura data la somiglianza con la funzione Gaussiana pur avendo un supporto compatto stretto. Quintic (Wendland. Uno dei vantaggi nell’utilizzo di questo kernel al posto di quello Gaussiano è che questo ha un supporto compatto e l’onere computazionale numerico è ridotto.38 dove = 7/(4πh²) in 2D e 7/(8 ℎ ) in 3D . 9 Consistenza e Stabilità In molti modelli numerici esiste un dilemma: consistenza o stabilità? Per settare un modello numerico come il metodo particellare. che riguardano l’ingegneria. che consente a questo metodo di lavorare bene con un gran numero di problemi complicati.Figura 7 I risultati mostrano come il miglior compromesso tra l’accuratezza e onere computazionale del tempo è raggiunto dal kernel Wenland. 4. a condizione però che la stabilità e l’efficienza non siano troppo compromesse. I tentativi di migliorare l’accuratezza possono essere di aiuto. Il recente metodo proposto GSM è un tipico esempio in questa direzione (GR Liu Z. Questa sembra essere una scelta pratica per i problemi. ed in un certo senso lavora come un FVM. 2008) (XG Xu. a patto di cambiare il settaggio ed essere disposti a pagarne il prezzo. dobbiamo sceglierne una rispetto all’altra. Il GSM richiede precise stime degli integrali per scegliete attentamente il tipo di dominio “smoothing” da utilizzare. 2009). Tuttavia questo metodo non è più un metodo particellare. La risposta è si. Questa scelta dovrebbe essere considerata un vantaggio del metodo SPH. senza però considerare troppo l’accuratezza. L’SPH originale ha chiaramente preferito la stabilità (ed anche la flessibilità) sulla consistenza. J. La questione è se si possano avere contemporaneamente accuratezza e stabilità.. . pratici appunto.