CAP 17 - Teoria-de-Decisiones.pdf - Free Download PDF Ebook

capítulo17 TEORÍA DE DECISIONES Objetivos • Aprender métodos de toma de valores de probabilidad decisiones bajo incertidumbre necesarios, aun cuando no comprendan la teoría de • Usar el valor esperado y la probabilidad utilidad como criterios de decisión • Aprender a usar árboles de decisión para estructurar y • Comprender por qué la analizar problemas complejos información adicional es útil de toma de decisiones y calcular su valor • Ayudar a los tomadores de decisiones a proporcionar Contenido del capítulo 17.1 El entorno de la decisión 756 17.6 Análisis de árboles de 17.2 Ganancia esperada en decisiones 780 condiciones de incertidumbre: • Estadística en el trabajo 790 asignación de valores de • Del libro de texto al mundo probabilidad 757 real 791 17.3 Uso de distribuciones • Términos introducidos en el continuas: análisis marginal capítulo 17 793 765 • Ecuaciones introducidas en 17.4 Utilidad como criterio de el capítulo 17 793 decisión 773 • Ejercicios de repaso 794 17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas 776 755 L a Acme Fruit and Produce Wholesalers compra jitomates para venderlos a minoristas. Actualmente, Acme paga 20 dólares por caja; las cajas vendidas el mismo día cuestan 32 dólares cada una. Por ser en extremo perecederos, los jitomates que no se venden el primer día, valen sólo 2 dólares la caja. Acme ha calculado que la media de las ventas diarias históricas es 60 cajas y que la desviación estándar de las ventas diarias es 10 cajas. Usando las técnicas introducidas en este capítulo, podremos indicar a Acme cuántas cajas ordenar diariamente para maximizar las ganancias. ■ En la sección 5-3, introdujimos la idea de usar el valor esperado en la toma de decisiones. Trabajamos con un problema sencillo que involucraba la compra de fresas para su reventa. Esa clase de problemas forma parte de un conjunto de problemas que puede resolverse mediante las técnicas desarrolladas en ese capítulo. ¿Qué es la teoría En los últimos 35 años, los administradores han utilizado técnicas estadísticas de reciente desarro- de decisiones? llo para solucionar problemas con información incompleta, incierta o, en algunos casos, casi inexis- tente. Esta nueva área de la estadística tiene varios nombres: teoría estadística de decisiones, teoría de decisiones bayesiana (en honor al reverendo Thomas Bayes, quien se mencionó en el capítulo 4), o simplemente teoría de decisiones. Estos nombres se usan indistintamente. Cuando hicimos la prueba de hipótesis, tuvimos que decidir si aceptar o rechazar la hipótesis formu- lada. En la teoría de decisiones, debemos decidir entre varias opciones tomando en cuenta las reper- cusiones monetarias de nuestras acciones. Un administrador que ha de seleccionar de entre varias inversiones disponibles debe considerar la ganancia o pérdida que pudiera resultar de cada opción. La aplicación de la teoría de decisiones implica seleccionar una alternativa y tener una idea razona- ble de las consecuencias económicas de elegir esa acción. 17.1 El entorno de la decisión La teoría de decisiones puede aplicarse a problemas que abarcan un periodo de cinco años o un día, ya sea que involucre administración financiera o una línea de ensamble en una planta, o que se rela- cione con el sector público o el privado. Independientemente del entorno, la mayor parte de estos problemas tiene características comunes. Por ello, quienes toman decisiones enfocan sus soluciones de manera bastante consistente. Los elementos comunes a la mayoría de los problemas de la teoría de decisiones son los siguientes: Elementos comunes 1. Objetivo que el tomador de decisiones trata de lograr. Si el objetivo es minimizar el tiem- a los problemas de po de fallas de maquinaria costosa, el administrador puede tratar de encontrar el número ópti- teoría de decisiones mo de motores de repuesto que debe tener reparaciones rápidas. El éxito de encontrar ese número puede medirse contando las fallas mensuales. 2. Varios cursos de acción. La decisión debe involucrar una elección entre alternativas (llama- das actos). En el ejemplo de motores de repuesto, los diversos actos posibles para el tomador de decisiones incluyen almacenar cero, uno, dos, tres, cuatro o cinco motores de repuesto. 3. Medida calculable del beneficio o valor de las diversas alternativas. En general, estos costos pueden ser negativos o positivos, y se denominan pagos. Los contadores deben determinar el costo del tiempo perdido de producción, resultante de la descompostura de un motor, cuando se tiene a mano un repuesto y cuando no. Pero algunas veces, los pagos implican consecuencias que no sólo son financieras. Imagínese intentando decidir el número óptimo de 756 Capítulo 17 Teoría de decisiones generadores de repuesto que un hospital requeriría en caso de presentarse una falla de energía eléctrica. No tener suficientes podría costar vidas, además de dinero. 4. Eventos que están fuera del control del tomador de decisiones. Este tipo de hechos incon- trolables a menudo se denominan resultados o estados de la naturaleza, y su existencia crea dificultades así como interés en la toma de decisiones bajo incertidumbre. Dichos eventos po- drían ser el número de motores de nuestra costosa maquinaria de producción que fallarán en un mes dado. El mantenimiento preventivo reducirá estas fallas, pero seguirán ocurriendo. 5. Incertidumbre respecto a qué resultado o estado de la naturaleza ocurrirá realmente. En nuestro ejemplo, no estamos seguros respecto a cuántos motores se quemaron. Esta incertidumbre suele manejarse con probabilidades asignadas a los diversos eventos que pudieran tener lugar; digamos, una probabilidad de 0.1 de que fallen cinco motores al mes. Ejercicios 17.1 Aplicaciones ■ 17-1 La empresa Wholesale Lamps ha estado en contacto con Leerie’s, una tienda local minorista de lámparas, para surtirle una lámpara especial de pie cromado, que la tienda desea usar como atracción en sus ventas próximas. Wholesale Lamps debe ordenar la fabricación de las lámparas 2 días antes para entregarlas en la fecha de venta. El costo de las lámparas para Wholesale es $49 y las vende a Leerie’s en $54. Whole- sale no está seguro de la cantidad que Leerie’s desea, pero supone que serán entre 15 y 20. Uno de los administradores ha asignado probabilidades a los distintos números de lámparas que Leerie’s podría ordenar. El gerente de Wholesale Lamps pronostica que no tendrá mercado para las lámparas que no venda a Leerie’s. Se espera que Leerie’s presente la orden mañana. ¿Debe el gerente de Wholesale Lamps usar la teoría de decisiones para ordenar las lámparas que le pedirá Leerie’s? ■ 17-2 Adventures, Inc., es una fuente de capital para empresarios que inician compañías en el campo de la in- geniería genética. Lisa Levin, socia de Adventures, ha estado estudiando varias propuestas de negocios recientes. Cada propuesta describe una nueva empresa, delinea su mercado potencial y solicita la inver- sión de Adventures. Lisa acaba de terminar de leer el capítulo de teoría de decisiones en el libro de esta- dística de su padre. Piensa que esta técnica proporciona una metodología que puede ayudarle a decidir qué empresas respaldar y a qué nivel. ¿Está Lisa en lo correcto? Si es así, ¿qué información requiere para aplicar la teoría de decisiones a su problema? Si no es así, ¿por qué? ■ 17-3 La 8th Avenue Book Store depende de Grambler News Service para el suministro de varias revistas co- nocidas. Cada semana, Grambler entrega un número predeterminado de Today’s Romances, entre otras, y recoge los ejemplares no vendidos durante la semana anterior. No se sabe con seguridad el número de ejemplares que venderá la librería, pero el gerente cuenta con datos históricos de las ventas. Grambler cobra $1.60 a la librería por ejemplar que se vende en $2.95. El gerente de la librería desea obtener una má- xima rentabilidad de la venta de revistas y quiere determinar el número óptimo de Today’s Romances a ordenar. ¿Debe usar la teoría de decisiones para decidir el número de revistas que debe tener? 17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad Decisión de compra Comprar y vender fresas, como en el ejemplo del capítulo 5, es sólo un caso en que las decisiones bajo incertidumbre deben tomarse bajo incertidumbre. Otro de ellos sería el del comerciante de periódicos que compra cada ejemplar a $0.30 cada uno y lo vende a $0.50. Los periódicos no vendidos al final del día carecen completamente de valor. El problema del comerciante es determinar el número óptimo a ordenar diariamente. En los días en los que tiene más periódicos de los que vende, sus ganancias se re- 17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad 757 ducen por el costo de los periódicos no vendidos. En los días en que los compradores piden más ejemplares de los que tiene, pierde ventas y tiene menores ganancias de las que podría haber tenido. El comerciante ha mantenido un registro de sus ventas en los 100 días anteriores (tabla 17-l). Esta información es una distribución de las ventas pasadas del comerciante. Como el volumen de ventas puede tomar sólo un número limitado de valores, la distribución es discreta. Supondremos en este análisis, que el comerciante sólo venderá las cantidades enumeradas; no 412,525 ni 637. Más aún, no tiene una razón para pensar que el volumen de ventas tomará cualquier otro valor en el futuro. Cálculo de las Esta información dice algo sobre el patrón histórico de ventas del comerciante. Aunque no da la probabilidades para cantidad que los compradores pedirán mañana, sí dice que existen 45 oportunidades en 100 de que los niveles de ventas la cantidad sea 500 periódicos. Por consiguiente, se asigna una probabilidad de 0.45 a la cifra de ventas de 500 periódicos. La columna de probabilidades de la tabla 17-1 muestra la relación entre las observaciones totales de ventas (100 días) y el número de veces que apareció cada valor posible de ventas diarias en las 100 observaciones. Así, la probabilidad de cada nivel de ventas se obtiene dividiendo el número total de veces que aparece cada valor en las 100 observaciones entre el número total de ellas, esto es, 15/100, 20/100, 45/100, 15/100 y 5/100. Maximizar ganancias en vez de minimizar pérdidas En la sección 5-3, cuando presentamos por primera vez el valor esperado en la toma de decisiones, usamos un enfoque que minimizaba pérdidas y nos conducía a un patrón de inventario óptimo para nuestro comerciante de fresas. Es igual de fácil encontrar el patrón de inventario óptimo al maximizar ganancias, y eso es justo lo que haremos aquí. Un problema del Recuerde que el comerciante de frutas y verduras del capítulo 5 compraba fresas a $20 la caja y capítulo 5 trabajado las vendía a $50. Supusimos que el producto no tenía valor si no se vendía el primer día (una restric- de otra manera ción que pronto quitaremos). Si mañana los compradores piden más cajas de las que el comerciante tiene, las ganancias potenciales disminuyen $30 (el precio de venta menos el costo) por cada caja que no pueda vender. Por otra parte, también se tienen costos de almacenar demasiadas unidades en un día dado. Si el comerciante tiene 13 cajas pero sólo vende 10, obtiene una ganancia de $300, o $30 por caja en 10 casos. Pero esta ganancia debe reducirse $60, el costo de las tres cajas no vendidas y carentes de valor. Una observación de 100 días de ventas históricas proporciona la información de la tabla 17-2. Los valores de probabilidad se obtienen igual que en la tabla 5-6. Observe que sólo hay cuatro valores discretos para el volumen de ventas, y hasta donde sabemos, no existe un patrón discernible en la secuencia en que ocurren estos cuatro valores. Suponemos que el comerciante no tiene razones para creer que el volumen de ventas se comportará de manera dis- tinta en el futuro. Cálculo de las ganancias condicionales Para ilustrar este problema, podemos construir una tabla que muestre los resultados en dólares de todas las combinaciones posibles de compras y ventas. Los únicos valores de compras y ventas que tienen significado para nosotros son 10, 11, 12 y 13 cajas, porque el comerciante no tiene razones para considerar la compra de menos de 10 o más de 13 cajas. Tabla 17-1 Número de días Probabilidad de cada Ventas diarias que se venden número que se vende Distribución de la venta de periódicos 300 15 0.15 400 20 0.20 500 45 0.45 600 15 0.15 700 5 0.05 0 1 0 .0 1 0 758 Capítulo 17 Teoría de decisiones Tabla de ganancias La tabla 17-3, denominada tabla de ganancias condicionales, muestra la ganancia resultante de cual- condicionales quier combinación posible de oferta y demanda. Las ganancias podrían ser positivas o negativas (aunque todas son positivas en este ejemplo) y son condicionales en cuanto a que una ganancia dada es el resultado de tomar una acción específica de inventario (ordenar 10, 11, 12 o 13 cajas) y vender un número específico de cajas (10, 11, 12 o 13 cajas). La tabla 17-3 refleja las pérdidas ocurridas cuando quedan existencias sin vender al final de un día. Observe, asimismo, que el comerciante no aprovecha las ganancias potenciales adicionales cuando los clientes demandan más cajas de las que tiene. Explicación de los Observe que el inventario diario de 10 cajas siempre dará una ganancia de $300. Incluso en los elementos de la días en los que los compradores quieren 13 cajas, el comerciante sólo puede vender 10. Cuando al- tabla de ganancias macena 11 cajas, su ganancia será $330 en los días en que los compradores solicitan 11, 12 o 13 condicionales cajas. Pero en los días que tiene 11 cajas y los compradores compran sólo 10, la ganancia baja a $280. La ganancia de $300 por las 10 cajas vendidas se reduce $20, el costo de la caja no vendida. Un inventario de 12 cajas incrementa las ganancias diarias a $360, pero sólo en los días en que los compradores deseen 12 o 13 cajas. Si los compradores sólo quieren 10 cajas, la ganancia se reduce a $260; la ganancia de $300 sobre la venta de 10 cajas se reduce $40, el costo de las dos cajas no vendidas. Almacenar 13 cajas producirá una ganancia de $390 ($30 por cada caja vendida cuando se venden todas) si existe mercado para las 13 cajas. Cuando los compradores adquieren menos de 13 cajas, esa acción de inventarios da ganancias menores que $390. Por ejemplo, con 13 cajas y una venta de sólo 11 cajas, la ganancia es $290; la ganancia de 11 cajas, $330, se reduce por el costo de dos cajas no vendidas ($40). Función de la tabla La tabla de ganancias condicionales no muestra al comerciante cuántas cajas debe tener cada día de ganancias para maximizar sus ganancias. Sólo revela el resultado de tener en inventario un número específico de condicionales cajas cuando se vende un número específico de ellas. En condiciones de incertidumbre, el comerciante no sabe de antemano el tamaño del mercado de cada día. Sin embargo, debe decidir qué número de cajas tener en existencia continua para maximizar las ganancias durante un periodo largo. Cálculo de las ganancias esperadas El siguiente paso para determinar el mejor número de cajas que debe tener es asignar probabilidades a los resultados o ganancias posibles. En la tabla 17-2 vimos que las probabilidades de los valores posibles para las ventas del comerciante son las siguientes: Cajas 10 11 12 13 Probabilidad 0.15 0.20 0.40 0.25 Tabla 17-2 Número de días Probabilidad de cada Ventas diarias que se venden número que se vende Cajas vendidas en 100 días 10 15 0.15 11 20 0.20 12 40 0.40 13 25 0.25 0 1 0 .0 1 0 Tabla 17-3 Posible acción de inventario Tabla de ganancias Demanda posible condicionales (ventas) en cajas 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas 10 $300 $280 $260 $240 11 $300 $330 $310 $290 12 $300 $330 $360 $340 13 $300 $330 $360 $390 17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad 759 Usando estas probabilidades y la información contenida en la tabla 17-3, podemos calcular la ganancia esperada de cada posible acción de inventario. Cálculo de la En el capítulo 5 establecimos que podemos calcular el valor esperado de una variable aleato- ganancia esperada ria ponderando cada valor posible de la variable con la probabilidad de que tome ese valor. Usando este procedimiento, podemos calcular la ganancia diaria esperada de tener en existencia 10 cajas al día. Vea la tabla 17-4. Las cifras de la columna 4 de esa tabla se obtienen multiplicando la ganancia condicional de cada volumen de ventas posible (columna 2) por la probabilidad de que ocu- Para 10 unidades rra esa ganancia condicional (columna 3). La suma de la última columna es la ganancia esperada diaria al tener en inventario 10 cajas al día. No es sorprendente que esta ganancia esperada sea $300, puesto que vimos en la tabla 17-3 que almacenar 10 cajas al día siempre dará una ganancia de $300 por día, sin importar si los compradores quisieran 10, 11, 12 o 13 cajas. Para 11 unidades Se puede hacer el mismo cálculo para un inventario de 11 unidades, como se ve en la tabla 17-5. Esto nos dice que si el comerciante tiene en existencia 11 cajas cada día, su ganancia diaria esperada con el tiempo será $322.50. El 85% del tiempo, la ganancia diaria será $330; en estos días, los compradores piden 11, 12 o 13 cajas. Sin embargo, la columna 3 nos dice que el 15% del tiempo el mercado tomará sólo 10 cajas, produciendo una ganancia de sólo $280. Esto reduce la ganancia diaria esperada a $322.50. Para 12 y 13 Para 12 y 13 unidades, la ganancia diaria esperada se calcula según se muestra en las tablas 17-6 unidades y 17-7, respectivamente. Calculamos la ganancia esperada para cada una de las acciones de inventario abiertas al comerciante. Estas ganancias esperadas son: • Si se almacenan 10 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $300.00. • Si se almacenan 11 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $322.50. • Si se almacenan 12 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $335.00. • Si se almacenan 13 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $327.50. Solución optima La acción de inventario óptima es la que proporciona la mayor ganancia esperada, es decir, las mayores ganancias promedio diarias y, por tanto, las ganancias totales máximas en un periodo dado. En esta ilustración, el número adecuado en inventario es 12 cajas, porque esta cantidad rendirá las ganancias diarias promedio más altas posibles. Significado de No disminuimos la incertidumbre en el problema que enfrenta el comerciante. Más bien, usamos la solución su experiencia pasada para determinar su mejor acción de inventario. Continúa ignorando cuántas cajas le pedirán en un día determinado. No hay garantía de que mañana obtendrá una ganancia de Tabla 17-4 Tamaño del Ganancia Probabilidad del Ganancia mercado en cajas condicional tamaño de mercado esperada Ganancia esperada (1) (2) (3) (4) al tener 10 cajas en inventario 10 $300 0.15 = $ 45.00 11 300 0.20 = 60.00 12 300 0.40 = 120.00 13 300 0.25 = 75.00 .0 1 0 3 $00 .0 0 Tabla 17-5 Tamaño del Ganancia Probabilidad del Ganancia mercado en cajas condicional tamaño de mercado esperada Ganancia esperada al tener 11 cajas 10 $280 0.15 = $ 42.00 en inventario 11 330 0.20 = 66.00 12 330 0.40 = 132.00 13 330 0.25 = 82.50 .0 1 0 3 $22 .5 0 760 Capítulo 17 Teoría de decisiones Tabla 17-6 Tamaño del Ganancia Probabilidad del Ganancia mercado en cajas condicional tamaño de mercado esperada Ganancia esperada al tener 12 cajas 10 $260 0.15 = $ 39.00 en inventario 11 310 0.20 = 62.00 12 360 0.40 = 144.00 13 360 0.25 = 90.00 Acción de .0 1 0 3 $35 .5 0 , ← inventario óptima Tabla 17-7 Tamaño del Ganancia Probabilidad del Ganancia mercado en cajas condicional tamaño de mercado esperada Ganancia esperada al tener 13 cajas 10 $240 0.15 = $ 36.00 en inventario 11 290 0.20 = 58.00 12 340 0.40 = 136.00 13 390 0.25 = 97.50 .0 1 0 3 $27 .5 0 $335.00. Sin embargo, si almacena 12 cajas cada día bajo las condiciones dadas, tendrá ganancias promedio de $335.00 diarios. Esto es lo mejor que puede hacer, porque la opción de cualquiera de las otras tres acciones posibles de existencias ocasionará una ganancia diaria esperada menor. Ganancia esperada con información perfecta Definición de Ahora, supongamos que el comerciante de nuestro ejemplo pudiera eliminar toda la incertidumbre información de su problema al obtener información completa y precisa respecto al futuro, denominada infor- perfecta mación perfecta. Esto no significa que las ventas variarían de 10 a 13 cajas diarias. Las ventas seguirían siendo 10 cajas diarias el 15% del tiempo, 11 el 20%, 12 el 40% y 13 cajas el 25%. Sin embargo, con información perfecta, el comerciante sabría de antemano cuántas cajas le pedirían cada día. Uso de la En estas circunstancias, el comerciante tendría en existencia hoy el número exacto de cajas que información los compradores desearían mañana. Para ventas de 10 cajas, el comerciante tendría 10 cajas y obten- perfecta dría una ganancia de $300. Cuando las ventas fueran de 11 cajas, almacenaría exactamente 11 cajas, obteniendo una ganancia de $330.00. La tabla 17-8 muestra los valores de la ganancia condicional aplicables al problema del comerciante si tiene una información perfecta. Conociendo el tamaño del mercado con antelación para un día particular, el comerciante elije la acción de inventario que maximizará sus ganancias. Esto significa que puede comprar y tener en inventario cantidades que evitan todas las pérdidas por existencias obsoletas, así como todas las pérdidas por demanda de fresas no satisfecha. Ganancia esperada Ahora podemos calcular la ganancia esperada con información perfecta. Esto se muestra en la ta- con información bla 17-9. El procedimiento es el mismo que usamos, pero observe que las cifras de ganancia condi- perfecta cional de la columna 2 de la tabla 17-9 son las ganancias máximas posibles para cada volumen de ventas. Cuando los compradores adquieren 12 cajas, por ejemplo, el comerciante siempre obtendrá una ganancia de $360 con información perfecta, porque habrá almacenado exactamente 12 cajas. Tabla 17-8 Acción de inventario posible Tabla de ganancias Venta posibles condicionales con en cajas 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas información perfecta 10 $300 — — — 11 — $330 — — 12 — — $360 — 13 — — — $390 17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad 761 Tabla 17-9 Ganancia condicional Probabilidad Ganancia esperada Tamaño del con información de tamaño de con información Ganancia esperada mercado en cajas perfecta mercado perfecta con información perfecta 10 $300 0.15 = $ 45.00 11 330 0.20 = 66.00 12 360 0.40 = 144.00 13 390 0.25 = 97.50 1.00 $352.50 Con información perfecta, entonces, el comerciante podría confiar en tener una ganancia promedio de $352.50 diariamente. Ésta es una cifra significativa porque es la máxima ganancia esperada posible. Valor esperado de la información perfecta Valor de la infor- Suponiendo que un comerciante pudiera obtener un pronosticador perfecto del futuro, ¿cuál sería su mación perfecta valor para él? Debe comparar el costo de esa información con la ganancia adicional que obtendría como resultado de tener la información. ¿Por qué se El comerciante de nuestro ejemplo puede obtener ganancias diarias promedio de $352.50 si tie- necesita el valor ne información perfecta acerca del futuro (vea la tabla 17-9). Su mejor ganancia diaria esperada sin de la información el pronosticador es sólo $335.00 (vea las tablas 17-4 a 17-7). La diferencia de $17.50 es la cantidad perfecta? máxima que el comerciante estaría dispuesto a pagar, por día, por un pronosticador perfecto, porque ésa es la cantidad máxima en que puede incrementar su ganancia diaria esperada. La diferencia es el valor esperado de información perfecta y se conoce como VEIP. No tiene sentido pagar más de $17.50 por el pronosticador; hacerlo costaría más que lo que vale el conocimiento. El cálculo del valor de la información adicional en el proceso de toma de decisiones es un problema serio para los administradores. En el ejemplo que estamos trabajando, encontramos que nuestro comerciante pagaría $17.50 al día por un pronosticador perfecto. Sin embargo, rara vez podemos asegurar un pronosticador perfecto. En la mayoría de los casos de toma de decisiones, los administradores en realidad intentan evaluar el valor de la información que les permitirá tomar mejores decisiones, aunque no perfectas. SUGERENCIAS Advertencia: todos los ejemplos usados $10, unida a 50% de posibilidad de no tener ganancias da Y en esta sección involucraron distribucio- una ganancia esperada de $5. Pero con una distribución dis- SUPOSICIONES nes discretas; es decir, se permitió que creta el resultado será ¡ya sea $10 o cero! Algunas situacio- las variables aleatorias tomaran sólo unos nes del mundo real también se comportan de esta manera. cuantos valores. Esto no refleja la mayoría de las situacio- Una parcela de tierra no desarrollada puede valer ya sea $5 nes del mundo real, pero facilita los cálculos necesarios pa- millones o $250,000, dependiendo de dónde van a construir ra presentar esta idea. Con eventos discretos, la ganancia un nuevo aeropuerto. La tierra puede también venderse por esperada no necesariamente es uno de los eventos. Suge- $500,000 a un especulador que espera obtener el precio de rencia: 50% de posibilidad de una ganancia esperada de venta final de $5 millones. Ejercicios 17.2 Ejercicios de autoevaluación EA 17-1 La Writer’s Workbench opera una cadena de franquicias de procesamiento de palabras en ciudades uni- versitarias. Por una tarifa de $8.00 por hora, Writer’s Workbench proporciona acceso a una computadora personal, software de procesamiento de palabras y una impresora a los estudiantes que necesitan elaborar 762 Capítulo 17 Teoría de decisiones trabajos escritos para sus clases. El papel se proporciona sin costo adicional. La compañía estima que el costo variable por hora por máquina (principalmente por el papel, las cintas, electricidad y desgaste de las computadoras e impresoras) es alrededor de $0.85. Deborah Rubin está considerando abrir una franquicia de Wri- ter’s Workbench en Ames, Iowa. Una investigación de mercado preliminar arrojó la siguiente distribución de probabilidad del número de máquinas requeridas por hora durante las horas que planea operar: Número de máquinas 22 23 24 25 26 27 Probabilidad 0.12 0.16 0.22 0.27 0.18 0.05 Si desea maximizar sus beneficios, ¿cuántas máquinas debe Deborah planear tener?, ¿cuál es el valor esperado de la información perfecta en esta situación? Aunque Deborah pudiera obtener un pronóstico pre- ciso de la demanda para cada hora, ¿por qué no estaría dispuesta a pagar el VEIP por esa información en esta situación? Aplicaciones ■ 17-4 La Center City Motor Sales se acaba de constituir en sociedad. Su principal activo es una franquicia para vender automóviles de un importante fabricante estadounidense. El gerente general de la Center City está planeando cuánto personal ocupará en las instalaciones del taller del negocio. A partir de información pro- porcionada por el fabricante y por otros negocios cercanos, ha estimado el número de horas de mecánica anuales que es probable que requiera el taller. Horas 10,000 12,000 14,000 16,000 Probabilidad 0.2 0.3 0.4 0.1 El gerente planea pagar a cada mecánico $9.00 por hora y cobrar a su cliente $16.00. Los mecánicos tra- bajan una semana de 40 horas y tienen 2 semanas de vacaciones anuales. a) Determine cuántos mecánicos debe contratar Center City. b) ¿Cuánto debe pagar Center City por la información perfecta del número de mecánicos que necesita? ■ 17-5 Airport Rent-A-Car es un negocio local que compite con varias compañías importantes. La administra- ción de Airport Rent-A-Car planea un nuevo trato para los clientes que desean rentar un automóvil por un solo día y regresarlo al aeropuerto. Por $24.95, la compañía rentará un automóvil económico pequeño a un cliente cuyo único otro gasto será ponerle gasolina al final del día. La empresa planea comprar al fabricante varios automóviles pequeños al reducido precio de $6,750. La gran pregunta es cuántos comprar. Los ejecutivos de la compañía han decidido aplicar la siguiente distribución de probabilidad estimada del número de automóviles rentados por día: Número de automóviles rentados 10 11 12 13 14 15 Probabilidad 0.18 0.19 0.21 0.15 0.14 0.13 La compañía pretende ofrecer el plan 6 días a la semana (312 días al año) y anticipa que su costo variable por automóvil por día será $2.25. Después de usar los automóviles durante un año, la Airport Rent-A- Car espera venderlos y recuperar 45% del costo original. Ignorando el valor del dinero en el tiempo y cualesquiera otros gastos no monetarios, determine el número óptimo de automóviles que la Airpor Rent- A-Car debe comprar. ■ 17-6 Durante varios años, la tienda departamental Madison Rhodes ha ofrecido lápices personalizados como artículo especial de Navidad. Madison Rhodes compraba los lápices a su proveedor, quien proporcionaba la máquina de grabado en relieve. La personalización se hacía en los departamentos de la tienda. A pesar del éxito en la venta de los lápices, Madison Rhodes recibió comentarios respecto a que la mina de los lápices era de mala calidad, y la tienda encontró un proveedor diferente. El nuevo proveedor, sin embargo, no puede comenzar a surtir a la tienda antes del primero de enero. Madison Rhodes se vio forzada a comprar sus lápices una última vez con su proveedor original para satisfacer la demanda navideña. Era importante, por un lado, que no hubiera exceso de lápices y, por otro, que hubiera suficientes para no perder clientes por faltantes. Los lápices vienen empacados en estuches de 15 unidades, en cajas de 72 estuches. Madison Rhodes pagó $60 por caja y vendió los lápices a $1.50 el estuche. Los costos de mano de obra son de 37.5 centavos por estuche vendido. Basándose en las ventas del año anterior, la gerencia cons- truyó la siguiente tabla: Ventas esperadas (cajas) 15 16 17 18 19 20 Probabilidad 0.05 0.20 0.30 0.25 0.10 0.10 17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad 763 a) ¿Cuántas cajas debe ordenar Madison Rhodes? b) ¿Cuál es la ganancia esperada? ■ 17-7 Emily Scott, jefa de una pequeña compañía consultora de negocios, debe decidir cuántos egresados de la maestría en administración (MBA) contratar como asesores de tiempo completo el año siguiente. (Emily ha decidido que no contratará empleados de tiempo parcial.) Emily sabe por experiencia que la distribu- ción de probabilidad del número de trabajos de consultoría que su compañía obtiene cada año es la siguiente: Trabajos de consultoría 24 27 30 33 Probabilidad 0.3 0.2 0.4 0.1 Emily también sabe que cada MBA contratado podrá manejar exactamente tres trabajos de consultoría al año. El salario de cada uno es $60,000. Cada trabajo de consultoría que gana la compañía pero que no puede concluir le cuesta $10,000 por la pérdida de negocios futuros. a) ¿Cuántos MBA debe contratar Emily? b) ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta para Emily? ■ 17.8 Algunos estudiantes de la sociedad de alumnos, como organización que colecta fondos, han decidido vender pizzas individuales en la entrada de sus instalaciones los viernes. Cada pizza cuesta $0.77 y se puede vender a $1.75. Las ventas históricas indican que se venderán entre 66 y 60 docenas de pizzas con la siguiente distribución de probabilidad: Docenas 55 56 57 58 59 60 Probabilidad 0.15 0.20 0.10 0.35 0.15 0.05 Para maximizar la contribución a la ganancia, ¿cuántas pizzas deben ordenar? Suponga que las pizzas deben ordenarse por docena. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta en este problema? ¿Cuál es la cantidad máxima que la organización estaría dispuesta a pagar por la información perfecta? ■ 17-9 Manfred Baum, gerente de comercialización de la Grant Shoe Company, está planeando las decisiones de producción para la línea de zapatos de verano del año entrante. Su principal preocupación es estimar las ventas de un nuevo diseño de sandalias de moda. Estas sandalias han planteado problemas en el pasado por dos razones: 1) la temporada de ventas limitada no proporciona tiempo suficiente para que la compa- ñía produzca una segunda corrida del popular artículo y 2) los estilos cambian drásticamente de un año para otro, y las sandalias no vendidas pierden todo valor. Manfred discutió el nuevo diseño con la gente de ventas y formuló las siguientes estimaciones sobre las ventas del artículo: Pares (miles) 45 50 55 60 65 Probabilidad 0.25 0.30 0.20 0.15 0.10 La información del departamento de producción revela que la fabricación de las sandalias costará $15.25 el par, y los estudios de mercado informan a Manfred que el precio total por par será $31.35. Usando el criterio de decisión del valor esperado, calcule el número de pares que Manfred debe recomendar que produzca la compañía. Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 17-1 La siguiente tabla de pagos da las ganancias tanto esperadas como condicionales: Máquinas necesarias 22 23 24 25 26 27 Ganancia Probabilidad 0.12 0.16 0.22 0.27 0.18 0.05 esperada 22 157.30 157.30 157.30 157.30 157.30 157.30 157.30 23 156.45 164.45 164.45 164.45 164.45 164.45 163.49 Máquinas 24 155.60 163.60 171.60 171.60 171.60 171.60 168.40 provistas 25 154.75 162.75 170.75 178.75 178.75 178.75 171.55 26 153.90 161.90 169.90 177.90 185.90 185.90 172.54 ← 27 153.05 161.05 169.05 177.05 185.05 193.25 172.09 Debe tener 26 máquinas. VEIP 157.30(0.12) 164.45(0.16) 171.60(0.22) 178.75(0.27) 185.90(0.18) 193.25(0.05) 172.54 $1.787 764 Capítulo 17 Teoría de decisiones Como el número de máquinas que tendrá disponibles no puede ajustar cada hora, un pronóstico de la demanda cada hora será de poco valor en esta situación. 17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal Limitaciones del En muchos problemas de inventarios, el número de cálculos requeridos dificulta el uso de las tablas enfoque tabular de ganancias condicionales y ganancias esperadas. El ejemplo anterior contenía sólo cuatro acciones de existencias posibles y cuatro niveles de ventas posibles, que daban como resultado una tabla de ganancias condicionales con 16 posibilidades. Si tuviéramos 300 valores posibles para el volumen de ventas y un número igual de cálculos para determinar la ganancia condicional y esperada, tendríamos que hacer muchísimos cálculos. El enfoque marginal evita este problema. El análisis marginal se basa en el hecho de que cuando se compra una unidad adicional de un ar- tículo, pueden ocurrir dos cosas: la unidad se vende o no se vende. La suma de las probabilidades de estos dos eventos debe ser 1. (Por ejemplo, si la probabilidad de vender la unidad adicional es 0.6, entonces la probabilidad de no venderla debe ser 0.4.) Obtención de la Si hacemos que p represente la probabilidad de vender una unidad adicional, entonces 1 p debe ganancia marginal ser la probabilidad de no venderla. Si se vende la unidad adicional, lograremos un incremento de nuestras ganancias condicionales como resultado de la ganancia de la unidad adicional. Nos referi- mos a esto como ganancia marginal, o GM. En el ejemplo anterior sobre el comerciante, la ganancia marginal resultante de la venta de una unidad adicional es $30, el precio de venta ($50) menos el costo ($20). La tabla 17-10 ilustra esto. Si tenemos 10 unidades cada día y la demanda diaria es 10 o más unidades, nuestra ganancia condicional es $300 diarios. Ahora decidimos tener 11 unidades cada día. Si la onceava unidad se vende (y éste es el caso cuando la demanda es 11, 12 o 13 unidades), nuestra ganancia condicional se incrementa a $330 diarios. Observe que el incremento en la ganancia condicional no es consecuencia simplemente de tener en existencia la onceava unidad. En las condiciones supuestas en el problema, este incremento en la ganancia se obtiene sólo cuando la demanda es 11 unidades o más. Esto ocurrirá 85% del tiempo. Pérdida marginal También debemos considerar que afectará las ganancias tener almacenada una unidad adicional que no se vende. Esto reduce nuestra ganancia condicional. La cantidad de la reducción se conoce como la pérdida marginal (PM) que resulta de tener en existencia un elemento que no se vende. En el ejemplo anterior, la pérdida marginal era $20 por unidad, el costo del artículo. La tabla 17-10 también ilustra la pérdida marginal. Una vez más decidimos tener en inventario 11 unidades. Si la onceava unidad (la unidad marginal) no se vende, la ganancia condicional es $280. La ganancia condicional de $300, con un inventario de 10 unidades y una venta de 10, se reduce en $20, el costo de la unidad no vendida. Derivación de la regla Las unidades adicionales deben almacenarse mientras la ganancia marginal esperada de tener ca- de inventario da una de ellas sea mayor que la pérdida marginal esperada de almacenarlas. El tamaño de la orden de cada día debe incrementarse hasta el punto en que la ganancia marginal esperada de almacenar una unidad más si ésta se vende sea justo igual a la pérdida marginal esperada de almacenar esa unidad si no se vende. Tabla 17-10 Demanda Probabilidad posible del tamaño Posible acción de inventario Tabla de ganancias (ventas) del condicionales en cajas mercado 10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas 10 0.15 $300 $280 $260 $240 11 0.20 $300 $330 $310 $290 12 0.40 $300 $330 $360 $340 13 0.25 $300 $330 $360 $390 17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal 765 En nuestro ejemplo, la distribución de probabilidad de la demanda es: Tamaño Prob. del tamaño del mercado del mercado 10 0.15 11 0.20 12 0.40 13 0.25 .0 1 0 Esta distribución nos dice que al aumentar el inventario, la probabilidad de vender una unidad adicional ( p) disminuye. Si incrementamos el inventario de 10 a 11 unidades, la probabilidad de vender las 11 es 0.85. Ésta es la probabilidad de que la demanda sea 11 unidades o más. Los cálculos son los siguientes: Probabilidad de que la demanda sea 11 0.20 Probabilidad de que la demanda sea 12 0.40 Probabilidad de que la demanda sea 13 0.25 Prob. de que la demanda sea 11 o más unidades 0.8 5 Si añadimos una doceava unidad, la probabilidad de vender las 12 unidades se reduce a 0.65 (la suma de las probabilidades de demanda de 12 o 13 unidades). Por último, la adición de una treceava unidad lleva consigo sólo una probabilidad de 0.25 de vender las 13 unidades, porque la demanda será 13 unidades sólo 25% del tiempo. Derivación de la ecuación de probabilidad mínima Definición de La ganancia marginal esperada de almacenar y vender una unidad adicional es la ganancia margi- ganancia y pérdida nal de la unidad multiplicada por la probabilidad de que se venda dicha unidad; esto es p(GM). La marginal esperada pérdida marginal esperada de almacenar y no vender una unidad adicional es la pérdida marginal en que se incurre si no se vende la unidad multiplicada por la probabilidad de que no se venda; es decir (1 p)(PM). Podemos generalizar que el comerciante en esta situación mantendría existencias hasta el punto en que: p(GM) (1 – p)(PM) [17-1] Esta ecuación describe el punto hasta el cual la ganancia marginal esperada de almacenar y vender una unidad adicional, p(GM), es igual a la pérdida marginal esperada de almacenar y no vender la unidad (1 p)(PM). Mientras p(GM) sea mayor que (1 p)(PM), se deben almacenar unidades adicionales, porque la ganancia esperada de esa decisión es mayor que la pérdida esperada. Acción de inventario En cualquier problema de inventario, habrá un solo valor de p para el que la ecuación de maxi- óptima mización es cierta. Debemos determinar ese valor para conocer la acción de inventario óptima. Po- demos hacer esto tomando nuestra ecuación de maximización y despejando p de la siguiente manera: p(GM) (1 – p)(PM) [17-1] Multiplicando los dos términos del lado derecho de la ecuación, obtenemos p(GM) PM – p(PM) Reuniendo los términos que contienen a p, tenemos p(GM) p(PM) PM o p(GM PM) PM Dividiendo ambos lados de la ecuación entre GM PM obtenemos 766 Capítulo 17 Teoría de decisiones Probabilidad mínima requerida para almacenar otra unidad Ecuación de probabilidad mínima PM p* [17-2] GM PM El símbolo p* representa la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad adicional para justificar la existencia de esa unidad adicional. El comerciante debe tener unidades adicionales siempre y cuando la probabilidad de vender al menos una unidad adicional sea mayor que p*. Ahora podemos calcular p* para nuestro ejemplo. La ganancia marginal por unidad es $30 (el precio de venta menos el costo); la pérdida marginal por unidad es $20 (el costo de cada unidad); por tanto, PM $20 $20 p* 0.40 [17-2] GM PM $30 $20 $50 Este valor de 0.40 para p* significa que para justificar el almacenamiento de una unidad adicional, debemos tener al menos 0.40 de probabilidad acumulada de vender esa unidad o más. Con el fin de determinar la probabilidad de vender cada unidad adicional que pensamos almacenar, debemos calcular una serie de probabilidades acumuladas, como se ve en la tabla 17-11. Cálculo de las Las probabilidades acumuladas de la columna derecha de la tabla 17-11 representan las probabi- probabilidades lidades de que las ventas alcancen o excedan cada uno de los cuatro niveles de ventas. Por ejemplo, acumuladas el 1.00 que aparece junto al nivel de ventas de 10 unidades significa que estamos 100% seguros de vender 10 o más unidades. Esto debe ser cierto porque nuestro problema supone que siempre ocu- rrirá uno de los cuatro niveles de ventas. El valor de probabilidad de 0.85 junto a la cifra de ventas de 11 unidades significa que sólo estamos 85% seguros de vender 11 o más unidades. Esto puede calcularse de dos maneras. Primero, podemos sumar las posibilidades de vender 11, 12 o 13 unidades: 11 unidades 0.20 12 unidades 0.40 13 unidades 0.25 probabilidad de vender 11 o más 13 unidades 0.85 O podemos razonar que las ventas de 11 o más unidades incluyen todos los resultados posibles, excepto la venta de 10 unidades, que tiene una probabilidad de 0.15. Todos los resultados posibles 1.00 Probabilidad de vender 10 0.15 probabilidad de vender 11 o más Todos los resultados posibles 0.85 El valor de la probabilidad acumulada de 0.65 asignado a ventas de 12 unidades o más puede estable- cerse de una manera similar. La venta de 12 o más significa ventas de 12 o 13 unidades; de esta forma Probabilidad de vender 12 0.40 Probabilidad de vender 13 0.25 0.65 probabilidad de vender 12 o más Tabla 17-11 Probabilidad Probabilidad acumulada Unidades de este nivel de que las ventas estén Probabilidades de ventas de ventas en este nivel o en uno mayor acumuladas de ventas 10 0.15 1.00 11 0.20 0.85 12 0.40 0.65 13 0.25 0.25 17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal 767 Por supuesto la probabilidad acumulada de vender 13 unidades sigue siendo 0.25, ya que las ventas nunca excederán 13. Como mencionamos, el valor de p disminuye al aumentar el nivel de inventario. Esto ocasiona que la ganancia marginal esperada disminuya y la pérdida marginal esperada aumente hasta que, en algún punto, almacenar una unidad adicional no sea rentable. Regla de inventario Hemos afirmado que las unidades adicionales deben almacenarse mientras la probabilidad de vender al menos una unidad adicional sea mayor que p*. Ahora podemos aplicar esta regla a nuestra distribución de probabilidad de ventas y determinar cuántas unidades deben almacenarse. En este caso, la probabilidad de vender 11 o más unidades es 0.85, cifra claramente mayor que nuestro p* de 0.40; por consiguiente, debemos tener en existencia una onceava unidad. La ganancia marginal esperada de tener esta unidad es mayor que la pérdida marginal esperada. Podemos verifi- car esto de la siguiente manera: p(GM) 0.85($30) $25.50 de ganancia marginal esperada (1 p)(PM) 0.15($20) $3.00 de pérdida marginal esperada Debe almacenarse una doceava unidad porque la probabilidad de vender 12 o más unidades (0.65) es mayor que la p* requerida de 0.40. Tal acción ocasionará la siguiente ganancia marginal esperada y pérdida marginal esperada: p(GM) 0.65($30) $19.50 de ganancia marginal esperada (1 p)(PM) 0.35($20) $7.00 de pérdida marginal esperada Nivel de existencias Doce es el número óptimo de unidades que debe haber en inventario, porque agregar una trecea- óptimo para este va unidad tiene una probabilidad de sólo 0.25 de venderse, y eso es menos que la p* requerida de problema 0.40. Las siguientes cifras revelan por qué la treceava unidad no debe tenerse en existencia: p(GM) 0.25($30) $7.50 de ganancia marginal esperada (1 p)(PM) 0.75($20) $15.00 de pérdida marginal esperada Si almacenamos una treceava unidad, añadimos más a la pérdida esperada que a la ganancia esperada. Observe que el uso del análisis marginal nos conduce a la misma conclusión que obtuvimos con las tablas de ganancia condicional y ganancia esperada. Ambos métodos de análisis sugieren que el comerciante debe tener en inventario 12 unidades cada periodo. Ajuste del nivel de Nuestra estrategia, tener 12 cajas cada día, supone que las ventas diarias es una variable aleato- inventario óptimo ria. Sin embargo, en la práctica las ventas diarias a menudo siguen patrones detectables, dependiendo del día de la semana. En las ventas al menudeo, se sabe en general que el sábado es un día con un volumen más alto que, digamos, el martes. De manera similar, las ventas al menudeo del lunes son por lo general menores que las del viernes. En situaciones con patrones reconocibles de ventas diarias, podemos aplicar estas técnicas calculando un nivel de inventario óptimo para cada día de la semana. Para el sábado, usaríamos como datos de entrada la experiencia de ventas anteriores de los sába- dos únicamente. Cada uno de los otros seis días podría tratarse de la misma manera. Básicamente, este enfoque no representa más que el reconocimiento, y la reacción, a patrones discernibles en lo que a primera vista podría parecer un entorno completamente aleatorio. Uso de la distribución de probabilidad normal estándar Vimos el concepto de distribución de probabilidad normal estándar en el capítulo 5. Ahora podemos usar esa idea como ayuda para resolver un problema de teoría de decisiones empleando una distri- bución continua. Solución de un Suponga que un gerente ofrece un artículo que tiene ventas con distribución normal con media de problema usando 50 unidades diarias y desviación estándar en las ventas diarias de 15 unidades. El gerente compra es- análisis marginal te artículo en $4 por unidad y lo vende en $9. Si el artículo no se vende el día que sale a la venta, 768 Capítulo 17 Teoría de decisiones pierde su valor. Usando el método marginal de calcular niveles de compra de inventario óptimos, podemos calcular nuestra p* requerida: PM p* [17-2] GM PM $4 0.44 $5 $4 Esto significa que el gerente debe estar 0.44 seguro de vender al menos una unidad adicional antes de almacenar esa unidad. Reproducimos aquí la curva de las ventas históricas para determinar có- mo incorporar el método marginal con distribuciones continuas de ventas diarias históricas. Uso de la distribución Ahora consulte la figura 17-1. Si trazamos una línea vertical b en 50 unidades, el área bajo la cur- de probabilidad va a la derecha de esta línea es la mitad del área total. Esto nos dice que la probabilidad de vender normal estándar 50 o más unidades es 0.5. El área a la derecha de cualquier línea vertical de este tipo representa la en el análisis marginal probabilidad de vender esa cantidad o más. Al disminuir el área a la derecha de cualquier línea vertical, también disminuye la probabilidad de que vendamos esa cantidad o más. Supongamos que el gerente desea almacenar 25 unidades, la línea a. La mayor parte del área completa bajo la curva está a la derecha de la línea vertical trazada en 25; por tanto, la probabilidad de que el gerente venda 25 unidades o más es alta. Si piensa almacenar 50 unidades (la media), la mitad del área total bajo la curva está a la derecha de la línea vertical b; por consiguiente, está 0.5 seguro de vender las 50 unidades o más. Ahora, digamos que considera almacenar 65 unidades. Sólo una pequeña porción de toda el área bajo la curva cae a la derecha de la línea c; en consecuencia, la probabilidad de vender 65 o más unidades es bastante pequeña. La figura 17-2 ilustra la probabilidad de 0.44 que debe existir antes de que convenga a nuestro gerente almacenar otra unidad. Mantendrá en inventario unidades adicionales hasta que llegue al punto Q. Si almacena una cantidad mayor, el área sombreada bajo la curva es menor que 0.44 y la probabilidad de vender otra unidad o más será menor que el 0.44 requerido. ¿Cómo podemos localizar el punto Q? Como vimos en el capítulo 5, podemos usar la tabla 1 del apéndice para determinar cuántas desviaciones estándar se necesitan para incluir cualquier porción del área bajo la curva, mi- diendo desde la media hasta cualquier punto como Q. En este caso particular, como sabemos que el área sombreada debe ser 0.44 del área total, entonces el área desde la media hasta el punto Q debe ser 0.06 (el área desde la media hasta la cola derecha es 0.50). Al consultar el contenido de la tabla, encontramos que 0.06 del área bajo la curva se localiza entre la media y un punto a 0.15 de la des- viación estándar a la derecha de la media. Por tanto, sabemos que el punto Q está a 0.15 de la desvia- ción estándar a la derecha de la media (50). Solución óptima Tenemos la información de que 1 desviación estándar para esta distribución es 15 unidades; así, para este problema esto por 0.15 serían 2.25 unidades. Como el punto Q está 2.25 unidades a la derecha de la media (50), b c a FIGURA 17-1 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 Distribución normal de ventas Media de 50 diarias históricas 17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal 769 0.44 del área FIGURA 17-2 Distribución de probabilidad normal, con 0.44 del área bajo la 0 50 100 curva sombreada Punto Q debe estar aproximadamente en 52 unidades. Ésta es la cantidad a ordenar óptima para el gerente: 52 unidades cada día. Problema de inicio Una vez terminado un problema usando una distribución de probabilidad continua, podemos tra- del capítulo bajar en nuestro problema de inicio del capítulo con los datos siguientes de las ventas diarias que siguen una distribucióln normal: Media de ventas diarias históricas 60 cajas Desviación estándar de distribución de ventas diarias históricas 10 cajas Costo por caja $20 Precio de venta por caja $32 Valor si no se vende el primer día $2 Igual que en el problema anterior, primero calculamos la p* que se requiere para justificar el inventario de una caja adicional. En este caso: PM p* [17-2] GM PM Probabilidad mínima Observe que el valor de recupera- requerida $20 $2 ción de $2 se deduce del costo de $20 para obtener la PM $12 ($20 – $2) $18 $12 $18 $18 0.60 $30 Ahora podemos ilustrar la probabilidad sobre una curva normal marcando 0.60 del área bajo la curva, comenzando desde la cola derecha de la curva, como se muestra en la figura 17-3. El administrador desea incrementar su tamaño de orden hasta el punto Q. Ahora bien, el punto Q está a la izquierda de la media, mientras que en el problema anterior estaba a la derecha. ¿Cómo 0.60 del área FIGURA 17-3 Distribución de 0.25 de la desviación probabilidad estándar normal, con 0.60 del área bajo la 0 60 120 curva sombreada Punto Q 770 Capítulo 17 Teoría de decisiones podemos localizar el punto Q? Como se tiene 0.50 del área bajo la curva entre la media y la cola derecha, debemos tener 0.10 del área sombreada a la izquierda de la media (0.60 0.50 0.10). En la tabla 1 del apéndice, el valor más cercano a 0.10 es 0.0987, de manera que, deseamos encontrar un punto Q con 0.0987 del área bajo la curva contenida entre la media y el punto Q. La tabla indica que el punto Q está a 0.25 de desviación estándar de la media. Ahora obtenemos el valor del punto Q de la siguiente manera: Solución óptima para 0.25 desviación estándar 0.25 10 cajas 2.5 cajas el problema de inicio del capítulo Punto Q media menos 2.5 cajas 60 2.5 cajas 57.5, o 57 cajas SUGERENCIAS Advertencia: usar la ganancia esperada ésta es la manera en que los buenos administradores toman Y máxima calculada de una sola distribu- decisiones. En lugar de aceptar que todos los días de la se- SUPOSICIONES ción de ventas como regla de decisión mana tienen características de mercado idénticas, se sabe supone que la distribución de ventas que desde hace mucho que existen diferencias fuertes y discer- se maneja representa toda la información que tiene acerca nibles. Estas diferencias entre los días son en sí distintas en de la demanda. Si sabe, por ejemplo, que las ventas el sá- ciertos países. Sugerencia: mientras que el sábado es el día bado se representan mejor con otra distribución, entonces más importante para las compras en Estados Unidos, las debe manejar el sábado como una decisión separada y calcu- ventas del sábado serían nulas en Israel, debido a sus creen- lar un nivel de inventario para los sábados, que tal vez di- cias religiosas. fiera del de los otros seis días. Sugerencia: de todos modos, Ejercicios 17.3 Ejercicios de autoevaluación EA 17-2 Floyd Guild atiende un puesto de periódicos cerca de la estación de la línea suburbana de la calle 53. El City Herald es el más popular de los periódicos que tiene Floyd. Durante muchos años, ha observado que la demanda diaria del Herald queda bien descrita por una distribución normal con media 165 y des- viación estándar 40. Él vende los ejemplares del Herald a 30 centavos, y los compra a la casa editora a 20 centavos cada ejemplar. Si quedan algunos Herald al final de las horas de trasbordo de la tarde, Floyd los vende al mercado de pescado de Jesselman de la misma calle a 10 centavos cada uno. Si Floyd desea maximizar su ganancia diaria esperada, ¿cuántos ejemplares del Herald debe ordenar? Aplicaciones ■ 17-10 La construcción de carreteras en Dakota del Norte se concentra en los meses de mayo a septiembre. Para proporcionar protección a las cuadrillas de trabajo en las carreteras, el Departamento de Transporte (DT) requiere que se coloquen grandes letreros anaranjados de HOMBRES TRABAJANDO antes de cualquier construcción. Debido al vandalismo, el desgaste y el robo, el DT compra nuevos letreros cada año. Aun- que los letreros se hacen con el apoyo del Departamento de Correccionales, el DT paga un precio equiva- lente al que pagaría por los letreros a una fuente externa. El cargo interdepartamental por los letreros es $21 si se ordenan más de 35 del mismo tipo; de otra forma, el costo por letrero es $29. Debido a las pre- siones de presupuesto, el DT intenta minimizar sus costos no comprando demasiados letreros, a la vez que intenta comprar una cantidad suficiente para obtener el precio de $21. En los últimos años, el departamen- to ha promediado compras de 78 letreros al año, con una desviación estándar de 15. Determine el núme- ro de letreros que el DT debe comprar. ■ 17-11 La ciudad de Green Lake, Wisconsin, se está preparando para la celebración del “79° Día Anual de Pro- ductos Lácteos”. Para recolectar fondos, el ayuntamiento nuevamente planea vender camisetas de recuer- do. Las camisetas, impresas en seis colores, tendrán la imagen de una vaca y las palabras “79° Día Anual de Productos Lácteos” al frente. El ayuntamiento compra parches de aplicación térmica a un proveedor 17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal 771 en $0.75 y camisetas blancas de algodón a $1.50. Un comerciante local provee el dispositivo para aplicar calor y también compra todas las camisetas blancas que no se venden. El ayuntamiento planea establecer un puesto en la avenida principal y vender las camisetas a $3.25. La impresión de la camiseta se realiza- rá en el momento de la venta. El año anterior, las ventas de camisetas similares promediaron 200 con una desviación estándar de 34. El ayuntamiento sabe que no habrá mercado para los parches después de la ce- lebración. ¿Cuántos parches debe comprar? ■ 17-12 Jack compra salchichas todas las mañanas para su puesto de hot-dogs en la ciudad. Se enorgullece de vender sólo salchichas frescas, rostizadas lentamente y, por ello, puede vender sólo las que compra en la ma- ñana. El precio de cada hot-dog es $1.50; su costo es $0.67. Suponga que Jack puede comprar cualquier cantidad de salchichas. Como mañana es viernes, sabe que la demanda tendrá una distribución normal con media de 375 hot-dogs y varianza de 400. Si Jack se queda con alguna salchicha, deberá comérsela él mismo o regalarla a los pobres, sin ingresos por ella. Para maximizar sus ganancias, ¿cuántas salchichas de- berá comprar Jack? ¿Cuántas compraría si cada salchicha sobrante pudiera venderse a $0.50 cada una? ■ 17-13 Bike Wholesale Parts se estableció a principios de la década de 1990 como respuesta a la demanda de varias tiendas de bicicletas pequeñas recién establecidas que requerían acceso a una amplia variedad de partes, pero que no podían financiarse a sí mismas. La compañía tiene en existencia una gran diversidad de partes y accesorios pero no bicicletas completas. La gerencia está preparando un pedido de rines de 27″ 11/4″ que comprará a la Flexspin Company, anticipándose a una mejora comercial esperada en alrededor de dos meses. Flexspin fabrica un producto superior, pero el tiempo de entrega requerido obliga a que los mayoristas hagan un solo pedido, que les debe durar los meses críticos del verano. En el pasado, Bike Wholesale Parts ha vendido un promedio de 120 rines en verano, con una desviación estándar de 28. La compañía espera que su inventario se agote para el momento en que llegue el nuevo pedido. Bike Wholesale Parts ha tenido bastante éxito y planea trasladar sus operaciones a una planta mayor durante el invierno. La gerencia calcula que el costo combinado de trasladar algunos productos, como los rines, y el costo existente de financiarlos es al menos igual al costo de compra de la compañía de $7.30. Aceptando la hipótesis de la gerencia de que los rines no vendidos al final del verano ya no se venden, determine el número de rines que la compañía debe ordenar si el precio de venta es de $8.10. ■ 17-14 La cafetería B&G ofrece pollo a la parrilla todos los jueves y Priscilla Alden, la gerente, desea asegurar que la cafetería obtendrá ganancias por este platillo. Incluyendo los costos de mano de obra y prepara- ción, cada porción de pollo cuesta $1.35. El precio de venta de $2.15 por porción es una ganga, por lo que el especial de pollo a la parrilla se ha vuelto un plato muy popular. Los datos tomados del último año indican que la demanda del plato especial sigue una distribución normal con media 190 porciones y desviación estándar 32 porciones. Si la cafetería B&G prepara dos porciones del pollo a la parrilla por cada pollo entero que cocina, ¿cuántos pollos debe ordenar Priscilla cada jueves? ■ 17-15 Paige’s Tire Service almacena dos tipos de llantas radiales: con banda de poliéster y con banda de acero. Las llantas de banda de poliéster cuestan a la compañía $30 cada una y las vende en $35. Las de banda de acero le cuestan $45 cada una y las vende en $60. Por varias razones, Paige’s Tire Service no podrá volver a ordenar neumáticos a la fábrica este año, así que debe ordenar sólo una vez para satisfacer la demanda de los clientes todo el año. Al final de éste, debido a los nuevos modelos de llantas, Paige’s tendrá que vender todo su inventario como caucho de desecho a $5 cada pieza. Las ventas anuales de ambos tipos de llantas radiales tienen distribución normal con las siguientes medias y desviaciones estándar: Tipo de llanta radial Ventas medias anuales Desviación estándar Banda de poliéster 300 50 Banda de acero 200 20 a) ¿Cuántas llantas de banda de poliéster debe ordenar? b) ¿Cuántas llantas de banda de acero debe ordenar? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 17-2 GM 50 20 30 PM 20 10 10 PM 10 p* 0.25, que corresponde a 0.67, de manera que debe ordenar 0.67 GM PM 40 165 0.67(40) 191.8 o 192 ejemplares. 772 Capítulo 17 Teoría de decisiones 17.4 Utilidad como criterio de decisión Diferentes criterios En lo que va de este capítulo, utilizamos el valor esperado (ganancia esperada, por ejemplo) como de decisión nuestro criterio de decisión. Supusimos que si la ganancia esperada de la alternativa A es mejor que la de la opción B, entonces el tomador de decisiones sin duda elegirá la alternativa A. De manera in- versa, si la pérdida esperada de la opción C es mayor que la pérdida esperada de la opción D, entonces el tomador de decisiones seguramente elegirá D como el mejor curso de acción. Inconvenientes del valor esperado como un criterio de decisión El valor esperado Existen situaciones, en las que el uso del valor esperado como criterio de decisión causaría proble- algunas veces es mas serios a un administrador. Suponga que un empresario posee una nueva fábrica con un valor de inadecuado $2 millones. Suponga también que existe sólo una posibilidad en 1,000 (0.001) de que se incendie este año. A partir de estas cifras, podemos calcular la pérdida esperada: 0.001 $2,000,000 $2,000 pérdida esperada por incendio Un agente de seguros le ofrece asegurar el edificio por $2,250 este año. Si el empresario aplica la idea de minimizar pérdidas esperadas, se negará a asegurar el inmueble. La pérdida esperada de asegurar ($2,250) es mayor que la pérdida esperada por incendio. No obstante, si el empresario piensa que una pérdida no asegurada de $2 millones lo arruinaría, probablemente descarte el valor esperado como su criterio de decisión y compre el seguro al costo adicional de $250 por año de la póliza ($2,250 $2,000). Elegiría no minimizar la pérdida esperada en este caso. Un ejemplo personal Tome un ejemplo quizá más cercano a la vida estudiantil. Usted es un estudiante con el dinero justo para acabar el semestre. Un amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $10 por $1. Es probable que usted analice el problema en términos de valores esperados y razone de la siguiente manera: “¿Es 0.9 $10 mayor que $1?” Como $9 (el valor esperado de la apuesta) es nueve veces mayor que el costo de la apuesta ($1), puede sentirse inclinado a aceptar la oferta de su amigo. Aun si pierde, la pérdida de $1 no afectará su situación monetaria. Ahora su amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $1,000 por $100. Ahora se plantearía la pregunta: “¿Es 0.9 $1,000 mayor que $100?” Claro está que $900 (el valor esperado de la apuesta) sigue siendo nueve veces el costo de la apuesta ($100), pero es más que seguro que lo piense dos veces antes de dar su dinero. ¿Por qué? Porque aunque el placer de ganar $1,000 sería alto, el dolor de perder sus $100 ganados con esfuerzo podría ser mayor que el que desearía experimentar. Digamos, por último, que, su amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $10,000 por todos sus bienes, que resultan ser $1,000. Si utiliza el valor esperado como su criterio de decisión, se pre- guntaría: “¿Es 0.9 $10,000 mayor que $1,000?” Obtendría la misma respuesta que antes: sí. El valor esperado de la apuesta ($9,000) sigue siendo nueve veces mayor que el costo de la apuesta • Utilidad positiva 1,000 1,000 5,000 9,000 FIGURA 17-4 Pérdida monetaria Ganancia monetaria Utilidad negativa en dólares en dólares Utilidad de diferentes ganancias • y pérdidas 17.4 Utilidad como criterio de decisión 773 ($1,000), pero ahora probablemente se negará a apostar, no porque el valor esperado de la apuesta no sea atractivo, sino porque la idea de perder todo es un resultado completamente inaceptable. Función de utilidad En este ejemplo, cambió el criterio de decisión del valor esperado cuando la idea de perder $1,000 era demasiada dolorosa, a pesar del placer que podría constituir ganar $10,000. En este punto, ya no consideró el valor esperado; sólo pensó en la utilidad. En este sentido, la utilidad es el placer o disgusto que se derivaría de ciertos resultados. Su curva de utilidad, en la figura 17-4, es lineal alrededor del origen (en esta región $1 de ganancia es tan deseable como $1 de pérdida es doloroso), pero disminuye rápidamente cuando la pérdida potencial aumenta a niveles cercanos a $1,000. En particular, esta curva de utilidad muestra que desde su punto de vista, el disgusto de perder $1,000 es casi igual al placer de ganar nueve veces esa cantidad. La forma de la curva de utilidad personal es producto de la constitución sicológica, las expectativas personales respecto al futuro y la decisión o acto particular que se esté evaluando. Una persona puede tener una curva de utilidad para una situación y otra bastante diferente para la siguiente. Diferentes utilidades Actitudes hacia el Las curvas de utilidad para la decisión de tres administradores se muestran en la gráfica de la figura riesgo 17-5. Damos los nombres arbitrarios de David, Ann y Jim a estos administradores. Sus actitudes son evidentes a partir del análisis de sus curvas de utilidad. David es un hombre de negocios cauto y conservador. Un movimiento a la derecha del punto de ganancias cero incrementa sólo un poco su utilidad, mientras que un movimiento a la izquierda de ese punto disminuye su utilidad rápidamente. En términos de valores numéricos, la curva de utilidad de David indica que ir de una ganancia de $0 a $100,000 incrementa su utilidad en un valor de 1 en la escala vertical, mientras que moverse al intervalo de pérdida de sólo $40,000 disminuye su utilidad en el mismo valor de 1 en la escala vertical. David evitará situaciones en que puedan ocurrir grandes pérdidas; se dice que tiene aversión al riesgo. Ann es otra historia. Vemos en su curva de utilidad que una ganancia incrementa su utilidad mucho más de lo que la disminuye una pérdida de la misma cantidad. Específicamente, aumentar sus ganancias en $20,000 (de $80,000 a $100,000) aumenta su utilidad de 0 a 5 en la escala vertical, pero disminuirlas $20,000 (de $0 a $20,000) disminuye su utilidad en sólo 0.33, de 4 a 4.33. Ann es una apostadora arriesgada; está convencida de que una gran pérdida no empeoraría demasiado las cosas, pero que una gran ganancia sería bastante remuneradora. Se arriesgará para tener ganancias aún mayores. +5 +4 Dav id • +3 • • +2 +1 Jim Utilidad 0 • –1 n An –2 –3 • –4 • FIGURA 17-5 • –5 Tres curvas –80,000 –40,000 0 40,000 80,000 de utilidad Ganancia o pérdida monetaria 774 Capítulo 17 Teoría de decisiones ¿Quién usaría el Jim, una persona con buenas finanzas, es la clase de hombre de negocios que no sufriría mucho valor esperado? por una pérdida de $60,000 y que tampoco incrementaría significativamente su riqueza con una ganancia de $60,000. El placer de obtener $60,000 adicionales o de perderlos tendría casi la misma intensidad. Como su curva de utilidad es lineal, puede usar efectivamente el valor esperado como su criterio de decisión, mientras que David y Ann deben usar su utilidad. Jim actuará cuando el valor esperado sea positivo, David pedirá un valor esperado alto en su resultado y Ann quizá actúe cuando el valor esperado sea negativo. SUGERENCIAS Un requisito importante para entender el lujo de perder. Por otro lado, las personas con fortunas mo- Y comportamiento de los inversionistas es deradas y fuertes obligaciones familiares tienden a sentir SUPOSICIONES advertir que sus curvas de utilidad no son aversión al riesgo e invierten sólo cuando el resultado espe- iguales. En especial, los “grandes apos- rado es positivo. Una pregunta interesante para analizar con tadores” se sienten atraídos por inversiones de alto riesgo sus compañeros es por qué las personas de edad avanzada que pueden dar como resultado la pérdida de la inversión son víctimas de los esquemas de inversión para “hacerse ri- completa o la ganancia de una fortuna. Es de suponerse que cos rápido”, muy por arriba de la proporción que corres- esas personas con fortunas significativas pueden darse el ponde a su número en la población. Ejercicios 17.4 Aplicaciones ■ 17-16 El ingreso de Bill Johnson lo sitúa en la categoría del 50% en términos de impuestos federales por ingresos. Johnson a menudo proporciona capital de riesgo a pequeñas compañías que inician, a cambio de algún tipo de participación en la compañía. Recientemente, Bill fue contactado por Circutronics, una pequeña compañía que intenta ingresar a la industria de microcircuitos. Circutronics le solicitó $1.6 millones de respaldo. Debido a su posición fiscal, Bill invierte en valores municipales exentos de impuestos cuando no encuentra empresas atractivas que respaldar. Actualmente, tiene una cantidad grande colocada en bonos de la Agencia Energía Municipal del Este de Carolina del Norte, cuyo rendimiento es 9.43%. Bill considera que este rendimiento después de impuestos es su punto de equilibrio de utilidad. Arriba de este punto, su utilidad aumenta con rapidez; abajo, disminuye un poco, ya que bien puede permitirse perder el dinero. a) ¿Qué rendimiento en dólares debe prometer Circutronics antes de que Bill considere financiarlo? b) Grafique la curva de utilidad de Bill. ■ 17-17 La Enduro Manufacturing Company es una sociedad que produce componentes de acero estructural para la construcción. El gerente financiero y socio William Flaherty está examinando proyectos potenciales que la compañía podría emprender en el siguiente año fiscal. La compañía tiene una tasa de rendimiento meta del 10% sobre su inversión, pero como no existe financiamiento ni interferencia externa, los socios han aceptado proyectos con tasas de rendimiento entre 0 y 100%. Arriba del 10%, la utilidad de los socios se incrementa muy rápido; entre 0 y 10%, se incrementa sólo un poco arriba de 0; abajo de 0, cae muy rápido. Flaherty está considerando varios proyectos que implican que Enduro invierta $250,000. Gra- fique la curva de utilidad de la compañía. ■ 17-18 Una inversionista está convencida de que el precio de unas acciones de movimiento rápido (PDQ) se in- crementará en el futuro cercano. Las acciones PDQ se venden actualmente a $57 la acción. Después de inspeccionar las últimas cotizaciones del mercado, la inversionista se da cuenta que puede comprar una opción a un costo de $5 por acción, que le permite comprar acciones PDQ a $55 por acción en los siguientes dos meses. También puede adquirir una opción de compra de acciones en un periodo de 4 meses; esta opción, con costo de $10 por acción, también tiene un precio de uso de $55 por acción. Ella ha estimado las siguientes distribuciones de probabilidad para el precio de las acciones en los días en que expiran las opciones: Precio 50 55 60 65 70 75 Probabilidad en 2 meses 0.05 0.15 0.15 0.25 0.35 0.05 Probabilidad en 4 meses 0 0.05 0.05 0.20 0.30 0.40 17.4 Utilidad como criterio de decisión 775 La inversionista planea ejercer su opción justo antes de la expiración si las acciones PDQ se venden en más de $55 y venderlas de inmediato al precio de mercado. Claro está que si las acciones se venden en $55 o menos, cuando la opción expire, perderá todo el costo de compra de la opción. La inversionista es rela- tivamente conservadora, con los siguientes valores de utilidad para cambios en sus bienes en dólares: Cambio 1,500 1,000 500 0 500 1,000 Utilidad 1.0 0.9 0.8 0.7 0.1 0.0 Ella está considerando una de tres opciones: 1) Comprar una opción a 2 meses sobre 100 acciones. 2) Comprar una opción a 4 meses sobre 100 acciones. 3) No comprar en absoluto. ¿Cuál de estas alternativas maximizará su utilidad esperada? 17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas Información faltante Los dos problemas que trabajamos usando la distribución de probabilidad normal requerían que co- nociéramos la media () y la desviación estándar (). Pero, ¿cómo podemos usar una distribución de probabilidad cuando los datos históricos faltan o están incompletos? Al trabajar un problema, ve- remos cómo muchas veces podemos generar los valores requeridos utilizando un enfoque intuitivo. Un enfoque intuitivo para estimar la media y la desviación estándar Suponga que está pensando en comprar una máquina que reemplace la mano de obra de una opera- ción. La operación de la máquina costará $10,000 al año y ahorrará $8 por cada hora que opere. Entonces, para quedar a mano, deberá operar al menos $10,000/$8 1,250 horas al año. Si está interesado en la probabilidad de que trabaje más de 1,250 horas, debe saber algo acerca de la distri- bución de los tiempos de operación, en especial, la media y la desviación estándar de esta distribu- ción. Pero como no tiene un registro de la operación de la máquina, ¿dónde encontraría esas cifras? Estimación de Podríamos pedir al supervisor, quien ha estado estrechamente involucrado en el proceso, que la media calcule el tiempo de operación promedio de la máquina. Digamos que su mejor estimación es 1,400 horas. ¿Pero cómo reaccionaría él si usted le pidiera la desviación estándar de esta distribución? Es- te término podría no tener significado para él, y sin embargo, quizá tenga alguna noción intuitiva de la dispersión de la distribución de los tiempos de operación. La mayoría de las personas entienden las posibilidades de una apuesta, así que lo abordamos con esa idea. Estimación de la Comenzamos por descontar una distancia igual a cada lado de su media, digamos, 200 horas. Es- desviación estándar to produce un intervalo de 1,200 a 1,600 horas. Entonces podemos preguntarle al supervisor, ¿cuál es la posibilidad de que el número de horas caiga entre 1,200 y 1,600 horas? Si él ha apostado alguna vez, debe poder contestar. Supongamos que dice, “creo que la posibilidad de que opere entre 1,200 y 1,600 horas es de 4 a 3”. Mostramos su respuesta en una distribución de probabilidad en la figura 17-6. La figura 17-6 ilustra la respuesta del supervisor de que las posibilidades son de 4 a 3 de que la máquina corra entre 1,200 y 1,600 horas, y no fuera de esos límites. ¿Cuál es el siguiente paso? Pri- mero, etiquetamos el punto de 1,600 horas en la distribución de la figura 17-6 como el punto Q. Después vemos que el área bajo la curva entre la media y el punto Q, de acuerdo con las estimaciones del supervisor, es 4/7 de la mitad del área bajo la curva, o 4/14 (0.2857) del área total bajo la curva. 776 Capítulo 17 Teoría de decisiones FIGURA 17-6 Intervalos de posibilidades del supervisor para tiempos de 3 4 4 3 operación de las máquinas 1,200 1,400 1,600 propuestas Media Q 0.79 de desviación estándar FIGURA 17-7 Determinación de la desviación estándar a partir • • • de las posibilida- 1,200 1,400 Q = 1,600 des del encargado Horas Observe la figura 17-7. Si consultamos el valor 0.2857 en la tabla 1 del apéndice, encontramos que el punto Q está a 0.79 de desviación estándar a la derecha de la media. Como sabemos que la distancia desde la media hasta Q es de 200 horas, vemos que 0.79 de desviación estándar 200 horas y, por tanto, 1 desviación estándar 200/0.79 253 horas Cálculo de la Ahora que conocemos la media y la desviación estándar de la distribución del tiempo de opera- probabilidad de ción, podemos calcular que la probabilidad de que la máquina opere menos horas que su punto de quedar a mano equilibrio de 1,250 horas: 1,250 1,400 150 253 253 0.59 de desviación estándar La figura 17-8 ilustra esta situación. En la tabla 1 del apéndice, encontramos que el área entre la media de la distribución y un punto a 0.59 de desviación estándar abajo de la media (1,250 horas) es 0.2224 del área total bajo la curva. A 0.2224 sumamos 0.5, el área de la media a la cola derecha. Es- to nos da 0.7224. Como 0.7224 es la probabilidad de que la máquina opere más de 1,250 horas, la posibilidad de que opere menos de 1,250 horas (su punto de equilibrio) es 1 0.7224 o 0.2776. Apa- rentemente, ésta no es una situación demasiado riesgosa. Obtención de Este problema ilustra cómo podemos usar el conocimiento de otras personas respecto a una situa- información para ción sin requerir que comprendan lo intrincado de las diversas técnicas estadísticas. Si hubiéramos los modelos esperado que el supervisor comprendiera la teoría en que se basan los cálculos, o si hubiéramos in- tentado explicarle esa teoría, tal vez nunca hubiéramos aprovechado su conocimiento práctico de la situación. Al usar un lenguaje y términos comprensibles para él, pudimos hacer que nos diera esti- 17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas 777 0.59 de desviación estándar Horas FIGURA 17-8 de operación para quedar Probabilidad de a mano que la máquina opere entre 1,250 y 1,400 • 1,250 1,400 • horas Horas maciones manejables de la media y la desviación estándar de la distribución de los tiempos de ope- ración para la máquina que pensábamos comprar. En este ejemplo (y para el caso, también en muchos otros), es mejor ajustar las ideas y el conocimiento de otras personas dentro de sus modelos que buscar hasta encontrar una situación que se ajuste a un modelo que ya está desarrollado. SUGERENCIAS Si se usan sólo los métodos descritos en las personas con las ideas intuitivas más firmes acerca de Y este capítulo para tomar decisiones, no cómo funcionan las cosas y qué es posible y más probable SUPOSICIONES hay muchas posibilidades de éxito; si lo que ocurra no son “deportistas numéricos” sino personas único que emplea para tomar decisiones normales que tienen mucha experiencia y quizá poco cono- es la intuición, habrá muchas situaciones en que pierda cimiento de los modelos de valor esperado. El reto real es oportunidades. Pero al combinar una gran inteligencia, una captar la sabiduría industrial de estos veteranos y enfocar- fuerte intuición y los modelos cualitativos sólidos, la opor- la en una toma de decisiones más sensata cuando se desco- tunidad de ganar aumenta de manera drástica. Sugerencia: noce el futuro. Ejercicios 17.5 Ejercicio de autoevaluación EA 17-3 John Stein es el director de programación de SATPlus Services, una empresa que garantiza que su curso de preparación para el examen de admisión a la universidad elevará la calificación combinada de las partes oral y cuantitativa de esos exámenes por lo menos 120 puntos. El precio del curso es $275 para cada estudiante y el costo del mismo para SATPlus es alrededor de $3,300 en salarios, suministros y renta de instalaciones. John no programará el curso en lugares donde no tenga una certeza de por lo menos el 90% de que SATPlus obtendrá una ganancia mayor o igual que $2,200. De acuerdo con un estudio de mercado que acaba de recibir de Charlottesville, Virginia, ha decidido que si ofrece el curso ahí, puede esperar que se inscriban alrededor de 30 estudiantes. También piensa que tiene posibilidades de 8 a 5 de que el número real de inscritos esté entre 25 y 35 estudiantes, y que es apropiado usar la distribución normal para describir la inscripción. ¿Debe John programar el curso en Charlottesville? Aplicaciones ■ 17-19 La Northwestern Industrial Pipe Company está considerando la compra de un nuevo soldador de arco eléctrico a $2,100. Se espera que el soldador ahorre a la compañía $5 por hora cuando pueda usarse en lugar del actual, un soldador menos eficiente. Antes de tomar la decisión, el gerente de producción de North- western observó que sólo había cerca de 185 horas al año de soldaduras en las que el nuevo soldador de arco podía sustituir al actual. Calculó una posibilidad de 7 a 3 de que el resultado real estaría dentro de las 25 horas de su estimación. Además, se sentía seguro al suponer que el número de horas estaba bien des- crito por una distribución normal. ¿Puede Northwestern estar 98% segura de que se recuperará lo gasta- do en el nuevo soldador de arco eléctrico en un periodo de tres años? ■ 17-20 La Relman Electric Battery Company ha sentido los efectos de una economía en recuperación al aumentar la demanda de sus productos en los meses recientes. La compañía está considerando contratar seis per- 778 Capítulo 17 Teoría de decisiones sonas más para su operación de ensamble. El gerente de producción de la planta, Mike Casey, cuyo de- sempeño se valora en parte por la eficiencia en costos, no desea contratar empleados adicionales a menos que se espere que tendrán trabajo durante al menos seis meses. Si se corre a los empleados involuntaria- mente antes de ese tiempo, la compañía está forzada por las reglas del sindicato a pagar un bono sustancial de despido. Además, si se despide a los empleados antes de 6 meses de haberlos contratado, la tasa de seguro de desempleo de la compañía se eleva. El economista corporativo de Relman espera que el al- za en la economía dure al menos ocho meses y da posibilidades de 7 a 2 de que la duración de la mejora esté en un intervalo de un mes de esa cifra. Casey desea estar 95% seguro de que no tendrá que despedir a ningún empleado recién contratado. ¿Debe contratar a seis personas en este momento? ■ 17-21 El servicio de mensajería Speedy Rabbit opera una flota de 30 vehículos que cubren muchas millas por día. En la actualidad los vehículos usan gasolina normal a un costo de $1.059 por galón, y la eficiencia de la gasolina en la flota es alrededor de 36 millas por galón (mpg). Un informe reciente indica que si cambian a gasolina premium, a un costo de $1.229 por galón, cada vehículo tendrá un incremento de 6.4 mpg. La compañía cambiará de gasolina siempre que puedan tener una certidumbre del 95% de que ahorrarán dinero, lo que ocurrirá si la eficiencia en gasolina para la flota es mayor que 40 mpg. Creen que las posibilidades son de 6 a 4 de que la eficiencia actual esté entre 33 y 39 mpg y que es adecuado usar una dis- tribución normal para describir la eficiencia de la gasolina. ¿Deben cambiar de combustible? ■ 17-22 Natalie Larsen, representante de ventas de viajes Nova Products, está considerando comprar un nuevo au- tomóvil para usarlo en el trabajo. El automóvil que quiere tiene un precio de $13,497, pero piensa que puede negociarlo con el vendedor y bajarlo a $12,250. Como su auto se usa sólo para propósitos comerciales, Natalie puede deducir $0.31 por milla por gastos de operación. Comprará el auto sólo si el ahorro en impuestos resultante compensa el costo durante su vida útil. Natalie ha estado en una categoría combinada de 34% de impuestos federales y estatales durante algunos años y parece que seguirá allí en el futuro previsible. Una afamada revista de automotores afirma que la vida promedio del automóvil que está pensando comprar es de 120,000 millas. El artículo además establece que las posibilidades son de 4 a 3 de que la vida real del automóvil esté dentro de 12,000 millas arriba o abajo de 120,000. ¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil dure lo suficiente para que Natalie no pierda dinero en su inversión? ■ 17-23 El Departamento de Policía de Newton Pines está considerando comprar una unidad de radar VASCAR para instalarla en la única vía rápida de la ciudad. El ayuntamiento se ha opuesto a la idea porque no es- tá seguro de que la unidad valga su precio de $2,000. El jefe de policía, Buren Hubbs, afirma que con seguridad la unidad se pagará con el mayor número de multas de $20 que levantarán él y su adjunto. Se oyó a Buren decir que calcula posibilidades de 9 a 1 de que el incremento en multas el primer año será entre 95 y 135 si se compra la unidad. Espera levantar 115 multas más si la vía se equipa con el VASCAR. ¿Pue- de el ayuntamiento estar 99% seguro de que la unidad se pagará con el aumento en los ingresos por multas durante el primer año? ■ 17-24 Usted planea invertir $15,000 en acciones comunes de Infometrics si puede estar razonablemente seguro de que su precio subirá hasta $60 por acción en seis meses. Pregunta a dos corredores expertos lo siguiente: a) ¿Cuál es su mejor estimación del precio más alto al que se venderá Infometrics en los próximos 6 meses? b) ¿Qué posibilidades da a que su estimación falle en no más de $5? Las respuestas son las siguientes: Corredor Mejor estimación Posibilidades A 68 2a1 B 65 5a1 Si ha decidido que comprará las acciones sólo si cada corredor está al menos 80% seguro que se vende- rán en al menos $60 en algún momento dentro de los seis meses siguientes, ¿qué debe hacer? Solución al ejercicio de autoevaluación EA 17-3 8/26 0.0377, correspondiente a 0.87, de manera que 5/0.87 5.75 estudiantes. Para tener 3,330 2,200 ganancias de $2,200 tendrán que inscribir al menos 20 estudiantes, corresondientes a 275 20 30 z 1.74. 5.75 P(z 1.74) 0.9591. Como esto excede el 0.90 necesario, debe programar el curso en Charlottesville. 17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas 779 17.6 Análisis de árboles de decisiones Fundamentos del Un árbol de decisiones es un modelo gráfico de un proceso de decisión. Con él podemos introducir árbol de decisiones probabilidades al análisis de decisiones complejas que involucran muchas opciones y condiciones futuras que no se conocen, pero que pueden especificarse en términos de un conjunto de probabilidades discretas o de una distribución de probabilidad continua. El análisis de árboles de decisiones es una herramienta útil en la toma de decisiones referentes a inversiones, adquisición o disposición de propiedades físicas, administración de proyectos, personal y estrategias de nuevos productos. El término árbol de decisiones se deriva de la apariencia física de la representación gráfica usual de esta técnica. Un árbol de decisiones se parece a los árboles de probabilidades presentados en el capítulo 4; pero un árbol de decisiones no sólo contiene las probabilidades de los resultados, sino también los valores monetarios (o de utilidad) condicionales vinculados con esos resultados. Por es- to, podemos usar estos árboles para indicar los valores esperados de las diferentes acciones que podamos tomar. Los árboles de decisión tienen símbolos estándar: • Los cuadrados simbolizan puntos de decisión, donde el tomador de decisiones debe elegir entre varias acciones posibles. De estos nodos de decisión, sale una rama para cada acción posible. • Los círculos representan eventos aleatorios, donde ocurre algún estado de la naturaleza. Estos eventos aleatorios no están bajo el control del tomador de decisiones. De estos nodos aleatorios sale una rama para cada resultado posible. Ejemplo de árbol Utilicemos un árbol de decisiones para ayudar a Christie Stem, la propietaria y gerente general de decisiones: del centro de esquí Snow Fun, a decidir cómo debe administrar el hotel la próxima temporada. Las funcionamiento ganancias de Christie de la temporada de esquí de este año dependerán de cuántas nevadas haya du- de un centro de esquí rante el invierno. Con base en la experiencia, cree que la distribución de probabilidad de las nevadas y la ganancia resultante puede resumirse en la tabla 17-12. Hace poco, Christie recibió una oferta de una cadena de hoteles para operar el centro durante el invierno, garantizándole una ganancia de $45,000; por otro lado, ha estado considerando la renta de equipo de fabricación de nieve para la temporada. Si renta el equipo, la estación podría operar tiempo completo, sin importar la cantidad de nieve natural que caiga. Si decide usar nieve fabricada para complementar las nevadas naturales, su ganancia de la temporada será $120,000, menos el costo de rentar y operar el equipo de fabricación de nieve. El costo de renta será cerca de $12,000 por la temporada, independientemente de cuánto se use. El costo de operación será $10,000 si cae más de 40 pulgadas de nieve natural, $50,000 si cae entre 20 y 40 pulgadas y $90,000 si cae menos de 20 pulgadas. El árbol de decisio- La figura 17-9 ilustra el problema de Christie como un árbol de decisiones. Las tres ramas que nes de Christie salen del nodo de decisión representan las tres formas posibles de operar el centro este invierno: contratar la cadena de hoteles, administrarlo sin equipo de fabricación de nieve y administrarlo con equipo de fabricación de nieve. Cada una de las dos últimas ramas termina en un nodo aleatorio que representa la cantidad de nieve que caerá durante la temporada. Cada uno de estos nodos tiene tres ramas que salen, una para cada cantidad de nieve posible, y las probabilidades de esa cantidad de nieve se indican en cada rama. Observe que el tiempo fluye de izquierda a derecha del árbol, es- to es, los nodos de la izquierda representan acciones o eventos aleatorios que ocurren antes que en los nodos que están más a la derecha. Es muy importante mantener el orden de tiempo adecuado al construir los árboles de decisiones. Tabla 17-12 Cantidad de nieve Ganancia Probabilidad de ocurrencia Distribución de nevadas Más de 40 pulgadas $120,000 0.4 y ganancias para el De 20 a 40 pulgadas 40,000 0.2 centro de esquí Snow Menos de 20 pulgadas 40,000 0.4 Fun 780 Capítulo 17 Teoría de decisiones Dejar que la cadena hotelera opere el centro $45,000 0.4 > 40" de nieve $120,000 Operar ella 0.2 20"-40" de nieve $40,000 sin fabricación de nieve 0.4 < 20" de nieve –$40,000 0.4 > 40" de nieve $98,000 FIGURA 17-9 Operar ella 0.2 20"-40" de nieve Árbol de $58,000 con fabricación de nieve decisiones 0.4 < 20" de nieve de Christie $18,000 Al final de cada rama a la derecha está la ganancia neta que Christie obtendrá si se sigue un ca- mino desde la raíz del árbol (en el nodo de decisión) hasta la copa del árbol. Por ejemplo, si ella opera el centro con la fabricación de nieve y las nevadas están entre 20 y 40 pulgadas, su ganancia será $58,000 ($120,000 menos $12,000 de renta del equipo para hacer nieve y $50,000 de operarlo). Las otras ganancias netas se calculan de manera similar. Reglas para Ahora podemos iniciar el análisis del árbol de decisiones de Christie. (El proceso inicia a la de- analizar un árbol recha —en la copa del árbol— y regresa a la izquierda —a la raíz del árbol—. En este proce- de decisiones so hacia atrás, al trabajar de derecha a izquierda, tomamos las decisiones futuras primero y luego retrocedemos para que formen parte de decisiones anteriores.) Tenemos dos reglas que di- rigen este proceso: 1. Si estamos analizando un nodo aleatorio (círculo), calculamos el valor esperado en ese nodo multiplicando la probabilidad en cada rama que sale por la ganancia al final de esa rama y luego sumando los productos de todas las ramas que salen del nodo. 2. Si estamos analizando un nodo de decisión (cuadrado), el valor esperado de ese nodo será el máximo de los valores esperados de todas las ramas que salen del nodo. De esta forma, elegi- mos la acción con el mayor valor esperado y podamos las ramas que corresponden a las acciones menos rentables. Marcamos esas ramas con una doble diagonal para indicar que se podaron. La decisión óptima Para la decisión de Christie que se ilustra en la figura 17-10, el valor esperado de contratar a la de Christie cadena de hoteles para que administre el centro es $45,000. Si opera la estación ella y no usa equipo de fabricación de nieve, su ganancia esperada es $40,000 $120,000(0.4) $40,000(0.2) $40,000(0.4) Si utiliza la fabricación de nieve, su ganancia esperada es $58,000 $98,000(0.4) $58,000(0.2) $18,000(0.4) Por tanto, su decisión óptima es operar Snow Fun con equipo de fabricación de nieve. Dejar que la cadena hotelera opere el centro $45,000 0.4 > 40" de nieve $120,000 $40,000 Operar ella 0.2 20"-40" de nieve $58,000 $40,000 sin fabricación de nieve 0.4 < 20" de nieve –$40,000 FIGURA 17-10 0.4 > 40" de nieve $98,000 $58,000 Árbol de 0.2 Operar ella 20"-40" de nieve decisiones de $58,000 Christie Stem con fabricación de nieve 0.4 < 20" de nieve analizado $18,000 17.6 Análisis de árboles de decisiones 781 Árboles de decisión e información nueva: aplicación del teorema de Bayes para revisar las probabilidades Costo y valor de in- Precisamente cuando Christie se está preparando para decidir si dejar que la cadena de hoteles ope- formación nueva re Snow Fun u operarlo ella, recibe una llamada de la Asociación Meteorológica ofreciendo vender- le un pronóstico de las nevadas de la siguiente temporada. El precio del pronóstico será $2,000, e indicará ya sea que las nevadas estarán por encima o bien que estarán por debajo de lo normal. Des- pués de hacer un poco de investigación, Christie se entera de que la Asociación Meteorológica es una compañía reconocida cuyos pronósticos han sido bastante buenos en el pasado, aunque, por supues- to, no han sido perfectamente confiables. La compañía ha pronosticado nevadas arriba de lo normal el 90% de todos los años en que la cantidad de nieve ha sido más de 40 pulgadas; 60% en que ha estado entre 20 y 40 pulgadas, y 30% de los años en que ha estado por debajo de 20 pulgadas. Incorporación de Para incorporar esta nueva información y decidir si debe comprar el pronóstico de nevadas, nueva información Christie tiene que usar el teorema de Bayes (que analizamos en el capítulo 4) para ver cómo los resultados del pronóstico harán que revise las probabilidades de nevadas que está usando para tomar su decisión. El pronóstico tendrá algún valor para ella si con él cambia su decisión y evita tomar una decisión no óptima. Sin embargo, antes de hacer los cálculos necesarios para aplicar el teorema de Bayes, decide ver cuánto valdría un pronóstico perfectamente confiable de las nevadas. El cálculo de este VEIP puede hacerse con el árbol dado en la figura 17-11. En esta figura, invertimos el orden del tiempo de la decisión de Christie y cuándo conoce la cantidad de nieve de la temporada. En la figura 17-9, tuvo que decidir cómo operar el centro, y después supo la cantidad de nieve que hubo en realidad. Si dispusiera de un pronóstico perfectamente confiable, sabría cuánta nieve caería antes de tener que decidir cómo operar el centro. Valor esperado de la Examinemos con cuidado la figura 17-11. Aunque Christie trata de determinar el valor de un pro- información perfecta nóstico perfectamente confiable, no puede saber de antemano el resultado del pronóstico. Cerca del 40% del tiempo habrá más de 40 pulgadas de nieve en una temporada de esquí. Entonces, la probabilidad de que el pronóstico sea de más de 40 pulgadas de nieve es 0.4. Cuando las nevadas están en ese nivel, el mejor curso de acción de Christie es operar el centro sin usar equipo de fabricación de nieve, y su ganancia será $120,000. Otro 20% de todas las temporadas, cuando las nevadas están entre 20 y 40 pulgadas, Christie ganará $58,000 operando el centro y usando fabricación de nieve para complementar las exiguas nevadas naturales. Finalmente, en los años con menos de 20 pulgadas de nevadas naturales (lo que sucede 40% del tiempo), debe tomar los $45,000 de ganancias por dejar que la cadena hotelera opere Snow Fun. Con un pronóstico perfectamente confiable, vemos que la ganancia esperada de Christie sería: $77,600 $120,000(0.4) $58,000(0.2) $45,000(0.4) Dejar que la cadena $45,000 hotelera opere el centro 0.4 > 40" de nieve Operar ella $120,000 sin fabricación de nieve $120,000 Operar ella $98,000 con fabricación de nieve Dejar que la cadena $45,000 hotelera opere el centro 0.2 20"-40" de nieve Operar ella $40,000 sin fabricación de nieve $58,000 Operar ella $77,600 $58,000 con fabricación de nieve Dejar que la cadena FIGURA 17-11 $45,000 hotelera opere el centro Árbol de Christie 0.4 < 20" de nieve Operar ella –$40,000 con un pronóstico sin fabricación de nieve perfectamente $45,000 Operar ella $18,000 confiable con fabricación de nieve 782 Capítulo 17 Teoría de decisiones Tabla 17-13 Evento P(pronóstico P(pronóstico P(evento Pronóstico (nevada) P(evento) evento) y evento) pronóstico) Probabilidades posteriores Arriba de Más de 40” 0.4 0.9 0.4. 0.9 0.36 0.36/0.60 0.6 de Christie lo normal 20”-40” 0.2 0.6 0.2 0.6 0.12 0.12/0.60 0.2 Menos de 20” 0.4 0.3 0.4 0.3 0.12 0.12/0.60 0.2 P(arriba de lo normal) 0.60 Abajo de Más de 40” 0.4 0.1 0.4 0.1 0.04 0.04/0.40 0.1 lo normal 20”-40” 0.2 0.4 0.2 0.4 0.08 0.08/0.40 0.2 Menos de 20” 0.4 0.7 0.4 0.7 0.28 0.28/0.40 0.7 P(abajo de lo normal) 0.40 Actualización de Como su mejor curso de acción sin el pronóstico (operar Snow Fun con el equipo de fabricación de probabilidades nieve) tiene una ganancia esperada de sólo $58,000, su VEIP es de $19,600 ($77, 600 $58,000). con el teorema Como el pronóstico de la Asociación Meteorológica no es perfectamente confiable, valdrá menos de Bayes de $19,600. Sin embargo, Christie se da cuenta que la información adicional respecto a la cantidad de nieve puede ser bastante valiosa. ¿Valdrá el pronóstico de la Asociación Meteorológica su costo CENTRO DE ESQUÍ SNOW FUN RESULTADO ¿COMPRAR DEL PAGO PRONÓSTICO? PAGO PRONÓSTICO PROB. PAGO PAGO DE DECISIÓN DE OPERAR NEVADAS PROB PAGO ––––– ––––––– ––––– ––––– ––––––– ––––– ––––––– –––– ––––– ––––––– –––– ––––– –––––––––––––– –––––––––––––– –––– –––– –––––– –––– –––––– –––– –––– –––– –––––––––––––––––––––––– QUE LA CADENA OPERE –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– $45,000 >40" 40% $120,000 OPERAR SIN –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– NO –––––––––––––––––––––––––– $58,000 [3] FÁBRICA DE NIEVE $40,000 (6) 20–40" 20% $40,000 <20" 40% ($40,000) >40" 40% $98,000 OPERAR CON FÁBRICA DE NIEVE $58,000 (7) 20–40" 20% $58,000 <20" 40% $18,000 –––––––––––––––––––––––– QUE LA CADENA OPERE –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– $43,000 $60,400–[1] >40" 60% $118,000 OPERAR SIN >NORMAL 60% $72,000 [4] FÁBRICA DE NIEVE $70,000 (8) –––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––– 20–40" 20% $38,000 <20" 20% ($42,000) >40" 60% $96,000 OPERAR CON FÁBRICA DE NIEVE $72,000 (9) 20–40" 20% $56,000 SÍ $60,400–(2) <20" 20% $16,000 –––––––––––––––––––––––– QUE LA CADENA OPERE –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– $43,000 >40" 10% $118,000 OPERAR SIN < NORMAL 40% $43,000 [5] FÁBRICA DE NIEVE $(10,000) (10) –––––––––– 20–40" 20% $38,000 <20" 70% ($42,000) FIGURA 17-12 >40" 10% $96,000 OPERAR CON Árbol de FÁBRICA DE NIEVE $32,000 (11) 20–40" 20% $56,000 decisiones completo de <20" 70% $16,000 Christie Stem 17.6 Análisis de árboles de decisiones 783 de $2,000? La respuesta a esta pregunta puede hallarse en la tabla 17-13 y en la figura 17-12. La tabla 17-13 utiliza el mismo formato que usamos en el capítulo 4 para hacer los cálculos con el fin de usar el teorema de Bayes para actualizar las probabilidades de nevadas, dados los resultados del pronóstico. Observe cómo cambian las probabilidades. Si el pronóstico es para más nieve de lo normal, la probabilidad de Christie de que habrá más de 40 pulgadas de nieve sube a 0.6 de su valor inicial de 0.4. Con un pronóstico de menos nieve de lo normal, su probabilidad revisada baja a 0.1. Análisis de todo La figura 17-12 ilustra todo el árbol, incluyendo la opción de comprar el pronóstico de la Asocia- el árbol ción Meteorológica. Revisemos el procedimiento hacia atrás de este árbol. La copa del árbol (del nodo 3 en adelante) es la misma que en la figura 17-10. La base del árbol (del nodo 2 en adelante) analiza las opciones de Christie si compra el pronóstico. En los nodos aleatorios 8, 9, 10 y 11, calcu- ló los valores esperados usando la regla 1. Con la regla 2, decide en el nodo 4 que operará el centro (pero se protege usando el equipo de fabricación de nieve) si el pronóstico es de más nieve que lo normal. Por otra parte, en el nodo 5 decide que aceptará la oferta de la cadena hotelera de operar Snow Fun si el pronóstico es de menos nieve que lo normal. Continuando el análisis del árbol hacia atrás, en el nodo 2 encuentra que el valor esperado de comprar el pronóstico es $60,400. Finalmente, en el nodo 1, Christie decide que debe pagar a la Asocia- ción Meteorológica los $2,000 que cobra por su pronóstico, puesto que la ganancia esperada resultante de $60,400 es mayor que los $58,000 que espera ganar sin comprar el pronóstico. La decisión En resumen, vemos que la decisión óptima de Christie es comprar el pronóstico. Después, si el óptima de Christie pronóstico es más nieve que lo normal, debe operar el centro ella misma, pero protegerse usando el equipo de fabricación de nieve. Sin embargo, si el pronóstico es menos nieve que lo normal, debe aceptar la oferta de la cadena de hoteles de operar Snow Fun. Si sigue este curso de acción, espera que su ganancia para la temporada sea de $60,400. Aun después de pagar $2,000 por el pronóstico, gana $2,400 más de lo que hubiera ganado si no lo hubiera usado. ¿Cuál es la cantidad máxima que estaría dispuesta a pagar por el pronóstico? Pagaría hasta $2,400 adicionales por él y todavía espe- raría ganar al menos tanto como ganaría sin comprarlo. Así, el valor esperado del pronóstico (algunas veces llamado el valor esperado de la información de la muestra, o VEIM) es $4,400, y ésta es la cantidad máxima que Christie estaría dispuesta a pagar por él. Árboles de decisiones Quizá haya observado que la figura 17-12 (árbol de decisiones completo de Christie) era el resul- en la computadora tado de un paquete de software. De hecho, construimos el árbol e hicimos los cálculos del teorema personal de Bayes y el procedimiento hacia atrás con un paquete de hoja de cálculo en una computadora personal. (La figura 17-13 proporciona los datos de entrada y los cálculos del teorema de Bayes de nuestra hoja de cálculo.) Puede realizarse un análisis similar con muchas otras hojas de cálculo. Un estudio de cómo hacer este tipo de análisis fue publicado por J. Morgan Jones en “Decision Analysis Using Spreadsheets”, The European Journal of Operations Research 26(3) (1986): 385-400. También existe software diseñado específicamente para analizar árboles de decisión. Vea el artículo de investiga- ción de Dennis Buede, “Aiding Insight, 11”, OR/MS Today 21(3) (junio de 2004): 62-68. Modificación de Christie está satisfecha con los resultados de este análisis, pero todavía no está segura de que debe algunos datos implantar la política óptima. Su incertidumbre proviene del hecho de que no está segura que rentar de entrada equipo de fabricación de nieve costará $12,000 para la temporada. Ésa era la cantidad que su amiga, Deborah Rubin, pagó el año pasado por la fabricación de nieve en su negocio, la Posada Quaking DATOS DE ENTRADA Y REVISIÓN DE BAYES PARA CHRISTIE STEM Y EL CENTRO DE ESQUÍ SNOW FUN ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-------– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––------- GANANCIA COSTO DE GANANCIA CON PROB. DE RESULTADO PROB. PROB. ESTADO DE PROB. SIN FÁBRICA OPERACIÓN DE FÁBRICA DE PRONÓSTICO CONJUNTAS REVISADAS NEVADAS ANT. DE NIEVE FÁBRICA DE NIEVE DE NIEVE >NORMAL <NORMAL >NORMAL <NORMAL >NORMAL <NORMAL ––-–––– –-––––– –––– –––– –––––––––– –––––––––– ––---–––––––– –---––––––––– ––-–––––– –––-––––– –––––––––––– –––––––––––– –––––––––––– –––––––––––– –––––––––––– –––––––––––– FIGURA 17-13 >40" 40% $120,000 $10,000 $98,000 90% 10% 36% 4% 60% 10% 20–40" 20% $40,000 $50,000 $58,000 60% 40% 12% 8% 20% 20% Hoja de cálculo <20" 40% ($40,000) $90,000 $18,000 30% 70% 12% 28% 20% 70% con los datos ––––––––––– ––––––––––– de Christie y los GANANCIA DE=> $45,000 $120,000 <=INGR. CON FÁBRICA DE NIEVE 60% 40% <=PROB. DE RESULTADOS cálculos del RENTA AL HOTEL $ 12,000 <=COSTO DE RENTA DE FÁBRICA DE NIEVE DE PRONÓSTICOS teorema de Bayes $2,000 <=COSTO DEL PRONÓSTICO 784 Capítulo 17 Teoría de decisiones Aspen. Pero existen muchas diferencias, entre ellas que las pendientes de Snow Fun son más largas que las de Quaking Aspen y que hay muchas más compañías que rentan tales equipos este año. Christie está razonablemente segura de que el costo de rentar el equipo estará entre $5,000 y $20,000. Estrategias Ella está consciente de que sólo existen tres cursos de acción razonables (estrategias) que seguir: razonables 1. No comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente usando fabricación de nieve. 2. Comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente sin usar fabricación de nieve si se pronostica más nieve que lo normal, pero aceptar la oferta de la cadena hotelera si predicen nevadas menores que lo normal. 3. Comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente usando fabricación de nieve si se pronostica más nieve que lo normal, pero aceptar la oferta de la cadena hotelera si predicen nevadas menores que lo normal. Análisis de Con su “estimación adivinada” original de $12,000 del costo de renta, la decisión óptima de sensibilidad Christie es seguir la tercera estrategia. Se pregunta si otros posibles costos de renta entre $5,000 y $20,000 afectarán o no su estrategia óptima y ganancia esperada. Aunque es tedioso hacer a mano un análisis de sensibilidad, es bastante fácil hacerlo con ayuda de una hoja de cálculo; la figura 17-14 muestra a Christie qué hacer si el costo de renta de equipo varía de $5,000 a $20,000. Si el costo está entre $5,000 y $6,000, debe adoptar la primera estrategia. (Exactamente en $6,000, le da lo mismo la primera o tercera estrategia.) Para costos entre $6,000 y $14,000, la estrategia 3 es óptima. (Exac- tamente en $14,000, le da lo mismo la segunda o la tercera estrategia.) Por último, si el costo es mayor que $14,000, debe adoptar la estrategia 2. La última columna de la figura 17-14 da la cantidad máxima que Christie estaría dispuesta a pagar por el pronóstico de nevadas. Incluye este cálculo en su análisis porque ha oído el rumor de que la Asociación Meteorológica tiene tanto trabajo que está considerando incrementar sus honorarios. Estas cifras le serán útiles si tiene que negociar la tarifa por el pronóstico. Otras sensibilidades Acabamos de ver un análisis de sensibilidad respecto a un costo. De manera similar, es posible ver cómo cambian las decisiones óptimas y las ganancias cuando varían los pagos o las probabilidades. Esta capacidad es especialmente importante al usar estimaciones subjetivas de probabilidad en la toma de decisiones, y puede hacerse de una manera bastante directa en una computadora personal. La capacidad de realizar estos análisis de sensibilidad mejora en gran medida el valor de los árboles de decisiones como ayuda para tomar decisiones importantes. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL COSTO DE RENTA DEL EQUIPO PARA HACER NIEVE ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ESTRATEGIA 1: OPERAR CON EQUIPO DE NIEVE ESTRATEGIA 2: COMPRAR PRONÓSTICO Y OPERAR C/S EQUIPO DE NIEVE SI >NORMAL DEJAR QUE LA CADENA DE HOTELES OPERE SI <NORMAL ESTRATEGIA 3: COMPRAR PRONÓSTICO Y OPERAR CON EQUIPO DE NIEVE SI >NORMAL DEJAR QUE LA CADENA DE HOTELES OPERE SI <NORMAL COSTO DE ESTRATEGIA / GANANCIA ESPERADA MÁXIMO A HACER –––––––––––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––––– ESTRATEGIA VALOR PAGAR POR NIEVE 1 2 3 ÓPTIMA ESPERADO PRONÓSTICO ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– $5,000 $65,000 $59,200 $64,600 1 $65,000 $1,600 $6,000 $64,000 $59,200 $64,000 1 O 3 $64,000 $2,000 $7,000 $63,000 $59,200 $63,400 3 $63,400 $2,400 $8,000 $62,000 $59,200 $62,800 3 $62,800 $2,800 $9,000 $61,000 $59,200 $62,200 3 $62,200 $3,200 $10,000 $60,000 $59,200 $61,600 3 $61,600 $3,600 $11,000 $59,000 $59,200 $61,000 3 $61,000 $4,000 $12,000 $58,000 $59,200 $60,400 3 $60,400 $4,400 $13,000 $57,000 $59,200 $59,800 3 $59,800 $4,800 $14,000 $56,000 $59,200 $59,200 2 O 3 $59,200 $5,200 FIGURA 17-14 $15,000 $55,000 $59,200 $58,600 2 $59,200 $6,200 $16,000 $54,000 $59,200 $58,000 2 $59,200 $7,200 Análisis de sensibi- $17,000 $53,000 $59,200 $57,400 2 $59,200 $8,200 lidad del costo de $18,000 $52,000 $59,200 $56,800 2 $59,200 $9,200 $19,000 $51,000 $59,200 $56,200 2 $59,200 $10,200 rentar el equipo $20,000 $50,000 $59,200 $55,600 2 $59,200 $11,200 para hacer nieve 17.6 Análisis de árboles de decisiones 785 Uso del análisis de árbol de decisiones La resolución del problema de Christie Stem fue fácil, porque el árbol tenía sólo 11 nodos. Pero los problemas de análisis de decisiones del mundo real pueden ser mucho más complejos. Puede haber muchas más alternativas que considerar en cada nodo de decisión y muchos más resultados posibles en cada nodo aleatorio. Además, los problemas más realistas a menudo involucran secuencias más largas de decisiones y eventos aleatorios. (¡Los árboles son más altos y frondosos!) Al resolver un problema con un árbol de decisiones, recuerde detenerse en un nivel de complejidad que le permita considerar las consecuencias importantes de las alternativas futuras sin empantanarse en demasiados detalles. En general, los análisis de árboles de decisiones requieren que los tomadores de decisiones pro- cedan a través de los siguientes seis pasos: Pasos de los árboles 1. Defina el problema en términos estructurados Primero, determine qué factores son rele- de decisiones vantes para la solución. Después, estime las distribuciones de probabilidad apropiadas para describir conductas futuras de esos factores. Recabe datos financieros referentes a los resultados condicionales. 2. Modele el proceso de decisión esto es, construya un árbol de decisiones que ilustre todas las opciones involucradas en el problema. Este paso estructura el problema presentando todo el proceso de decisión de manera esquemática y organizada, paso por paso. Durante este paso, el tomador de decisiones elige el número de periodos en que se divide el futuro. 3. Aplique los valores de probabilidad y datos financieros apropiados a cada una de las ramas y subramas del árbol de decisiones. Esto le permitirá distinguir el valor de probabilidad y el valor monetario condicional asociados con cada resultado. 4. “Resuelva” el árbol de decisiones Usando la metodología ilustrada, proceda a localizar la rama particular del árbol que tiene el valor esperado más alto o que maximiza el criterio de decisión, cualquiera que éste sea. 5. Realice análisis de sensibilidad esto es, determine cómo reacciona la solución a cambios en los datos de entrada. Cambiar los valores de probabilidad y los valores financieros condicionales permite al tomador de decisiones probar tanto la magnitud como la dirección de la reac- ción. Este paso permite experimentar sin compromisos o errores reales, y sin interrumpir las operaciones. 6. Enumere las suposiciones subyacentes Explique las técnicas de estimación usadas para llegar a las distribuciones de probabilidad. ¿Qué clase de suposiciones de contabilidad y costos fundamentan los valores financieros condicionales usados para llegar a una solución? ¿Por qué se dicidió el futuro en ese número de periodos? Hacer explícitas estas suposiciones, permite a otros conocer los riesgos que toman cuando usan los resultados del análisis de su árbol de decisiones. Use este paso para especificar los límites dentro de los cuales serán válidos los resultados obtenidos, y en especial las condiciones en las que las decisiones no serán válidas. Ventajas del El análisis de árbol de decisiones es una técnica que los administradores usan para estructurar y enfoque del árbol mostrar opciones y procesos de decisión. Es popular porque: de decisiones • Estructura el proceso de decisión, y sirve de guía a los administradores para abordar la toma de decisiones de una manera ordenada y secuencial. • Requiere que el tomador de decisiones examine todos los resultados posibles, deseables e in- deseables. • Comunica el proceso de toma de decisiones a otros, ilustrando cada suposición acerca del futuro. • Permite que un grupo discuta las alternativas enfocándose en cada cifra financiera, valor de probabilidad y suposición subyacente, una a la vez; por tanto, un grupo puede moverse en pasos ordenados hacia una decisión de consenso, en lugar de debatir una decisión en su totalidad. • Puede usarse con una computadora, de manera que pueden simularse muchos conjuntos distintos de suposiciones y observar sus efectos sobre el resultado final. 786 Capítulo 17 Teoría de decisiones SUGERENCIAS Advertencia: no olvide que las probabilidades subjetivas razonables a los resultados, de una ma- Y lidades de cada nodo de un árbol de de- nera consistente, es la razón por la cual se les paga mejor a SUPOSICIONES cisiones deben sumar 1.0, y tampoco que los administradores exitosos que a los contadores exitosos, la parte importante del análisis de árbo- aunque ambos realicen un trabajo útil para la organización. les de decisiones es proporcionar las probabilidades. Es Por último, no es de sorprender que las compañías, de he- mucho más difícil determinarlas que los valores financie- cho, usen árboles de decisiones como parte de sus sistemas ros. Conforme nos familiaricemos con la contabilidad y las expertos (sistemas escritos en lenguaje de computadora finanzas, nos sentiremos más seguros al estimar los resul- avanzado que pueden manejar símbolos lo mismo que va- tados financieros. Pero aun cuando se convierta en un ma- lores numéricos), que en efecto toman decisiones simulan- go de las finanzas, todavía es posible que se sienta incapaz do el comportamiento de un tomador de decisiones mien- de “detectar sus instintos” y obtener probabilidades razona- tras resuelven el problema. bles para los resultados. La habilidad para asignar probabi- Ejercicios 17.6 Ejercicio de autoevaluación EA 17-4 Evelyn Parkhill está considerando tres formas posibles de invertir los $200,000 que acaba de heredar. 1) Algunos de sus amigos están considerando financiar una combinación de lavandería, galería de videojuegos y pizzería, donde los jóvenes del área se puedan encontrar y jugar mientras lavan su ropa. Esta inversión tiene un riesgo alto y podría resultar tanto en una pérdida importante como en una ganancia sustancial en el transcurso de un año. Evelyn estima que con una probabilidad de 0.6, perderá todo su dinero. Sin embargo, con probabilidad de 0.4, tendrá una ganancia de $200,000. 2) Puede invertir en unos departamentos nuevos que se están construyendo en la ciudad. En un año, este proyecto bastante conservador producirá una ganancia de al menos $10,000, pero puede producir $15,000, $20,000, $25,000 o incluso $30,000. Evelyn estima las probabilidades de estos cinco rendi- mientos en 0.20, 0.30, 0.25, 0,20 y 0.05, respectivamente. 3) Puede invertir en algunos bonos del gobierno que tienen un rendimiento actual del 8.25%. a) Construya un árbol de decisiones para ayudar a Evelyn a decidir cómo invertir su dinero. b) ¿Qué inversión maximizará su ganancia esperada en un año? c) ¿Cuánto deben producir los bonos del gobierno para que decida invertir en ellos? d) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar por la información perfecta sobre el éxito de la lavandería? e) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar por la información perfecta sobre el éxito de los departamentos? Aplicaciones ■ 17-25 La Motor City Auto Company planea producir un nuevo automóvil que ofrezca un sistema de control de contaminación radicalmente nuevo. Tiene dos opciones. La primera es construir una nueva planta, antici- pando una producción completa en tres años. La segunda opción es reconstruir una pequeña planta pilo- to existente para una producción limitada el siguiente año del modelo. Si los resultados de la producción limitada son prometedores al final del primer año, la producción a escala total en una planta recién cons- truida seguiría siendo posible dentro de tres años. Si decide proceder con la planta piloto, y un análisis posterior muestra que no resulta atractivo llegar a la producción total, la planta piloto puede seguir operando por sí misma con una pequeña ganancia. Las ganancias anuales esperadas para las diversas alternativas son las siguientes: Instalación Aceptación de Ganancia anual de producción los consumidores (millones de dls.) Planta nueva Alta 14 Planta nueva Baja 6 Planta piloto Alta 2 Planta piloto Baja 1 17.6 Análisis de árboles de decisiones 787 La división de marketing de Motor City ha estimado que hay 50% de probabilidades de que la aceptación de los consumidores sea alta y otro 50% de que sea baja. Si se pone en producción la planta piloto, junto con un programa de publicidad moderado, los investigadores sienten que las probabilidades son 45% de alta aceptación de los consumidores y 55% de baja aceptación. Más aún, han estimado que si se construye la planta piloto y se encuentra que la aceptación de los consumidores es alta, existe 90% de probabilidades de aceptación alta con producción total. Sin embargo, si se encuentra que la aceptación de los consumidores con los modelos piloto es baja, sólo hay 10% de probabilidad de una eventual aceptación alta con producción total. ¿Qué planta se debe construir? ■ 17-26 Vea el problema de Christie Stem, figura 17-9. a) Suponga que el costo de operación del equipo de fabricación de nieve resulta ser 30% mayor de lo estimado por Christie, esto es, $13,000 si las nevadas son grandes, $65,000 si son moderadas y $117,000 si son ligeras. ¿Cómo afectará esto a la decisión óptima y a la ganancia esperada de Christie? b) Responda las mismas preguntas del inciso a) si el costo de operación real es 20% más alto que la es- timación original de Christie. c) ¿A qué porcentaje de aumento del costo de operación le dará lo mismo a Christie entre las decisiones óptimas de los incisos a) y b)? En este punto, ¿cuál será su ganancia esperada? ■ 17-27 La International Pictures está tratando de decidir cómo distribuir su nueva película Garras. La película narra la historia de un experimento de cría de ganado en la Universidad Estatal de Carolina del Norte que se sale de control, con resultados cómico-trágicos. El intento de criar pavos con más carne produce de alguna manera un pavo inteligente de 1,000 libras que escapa del laboratorio y aterroriza el campus. En un sorprendente final, el pavo se hace amigo del entrenador Morey Robbins, quien le enseña a jugar básquet- bol y llega a ganar el campeonato NCAA. Debido a la controvertida naturaleza de la película, tiene el potencial de ser todo un éxito, un éxito modesto o un fracaso total. International quiere decidir si estrena la película con una distribución general desde el principio o si comienza con un “estreno limitado” en unos cuantos cines seleccionados, seguido de una distribución general tres meses después. La compañía ha estimado las siguientes probabilidades y ganancias condicionales de Garras: Ganancias (millones de dls.) Nivel Estreno Distribución de éxito Probabilidad limitado general Gran éxito 0.3 22 12 Modesto 0.4 19 18 Fracaso 0.3 10 2 a) Construya un árbol de decisiones para que International decida cómo estrenar Garras. b) ¿Qué decisión maximizará la ganancia esperada? c) ¿Cuánto pagaría International por un pronóstico absolutamente confiable del nivel de éxito de la pe- lícula? d) International puede hacer varios preestrenos de Garras para tener una mejor idea del nivel de éxito de la película. El público de los preestrenos clasifica las películas como buena o excelente, pero sus opi- niones no son completamente confiables. Con base en otras experiencias con preestrenos, Internatio- nal ha encontrado que 90% de sus grandes éxitos se clasificaron como excelentes (con 10% de ellos clasificados como buenos), 65% de todos los éxitos modestos fueron clasificados como excelentes (con 35% clasificados como buenos) y 40% de todos los fracasos fueron clasificados como excelentes (con 60% clasificados como buenos). Si el costo de los preestrenos fuera alrededor de $750,000, ¿deben relizarse los preestrenos de Garras? ¿Cómo debe responder International a los resultados? ¿Cuál es la cantidad máxima que International debería estar dispuesta a pagar por los preestrenos? ■ 17-28 Sam Crawford, estudiante del penúltimo año de administración, vive fuera del campus y acaba de perder el autobús que lo habría llevado para su examen de las 9:00 AM Ahora son las 8:45 AM y Sam tiene varias opciones disponibles para llegar al campus: esperar el siguiente autobús, caminar, ir en bicicleta o manejar su auto. El autobús está programado para llegar en 10 minutos, y le tomará exactamente 20 minutos para llegar a su examen a partir del momento en que se suba al autobús. Sin embargo, existe la probabilidad de 0.2 de que el autobús llegue 5 minutos antes, y una probabilidad de 0.3 de que el autobús llegue 5 minutos después. Si Sam camina, hay una probabilidad de 0.8 de que llegue al examen en 30 minutos, y una probabilidad de 0.2 de que lo haga en 35 minutos. Si Sam va en bicicleta, llegará al examen en 25 mi- 788 Capítulo 17 Teoría de decisiones nutos con una probabilidad de 0.5, 30 minutos con una probabilidad de 0.4 y existe una probabilidad de 0.1 de que se le ponche una llanta y llegue en 45 minutos. Si Sam maneja su coche al campus, le tomará 15 minutos llegar a la ciudad universitaria, pero el tiempo requerido para estacionar el auto y llegar al examen está dado por la siguiente tabla: Tiempo para estacionarse y llegar (minutos) 10 15 20 25 Probabilidad 0.30 0.45 0.15 0.10 a) Suponiendo que Sam desea minimizar su tiempo de retraso esperado para llegar al examen, dibuje el árbol de decisiones y determine su mejor opción. b) Suponga en vez de esto que Sam desea maximizar su utilidad esperada medida por la proyección de la calificación. Use el mismo árbol de decisiones para determinar su decisión ahora. Hora de llegada 9:10 9:15 9:20 9:25 9:30 Calif. de examen proyectada 95 85 70 60 45 ■ 17-29 La Autoridad de Aeropuertos de Carolina del Norte intenta resolver un difícil problema del saturado aeropuerto Raleigh-Durham. Tiene tres opciones que considerar: 1) Se puede rediseñar y reconstruir el aeropuerto por completo a un costo de $8.2 millones. La pregunta es cuál es el valor presente de los ingresos aumentados de un nuevo aeropuerto. Hay 70% de probabilidades de que su valor presenta sea $11 millones, 20% de probabilidades de que sea $5 millones y 10% de probabilidades de que sea $1.0 millón, según si el nuevo aeropuerto es todo un éxito, tiene un éxito moderado o fracasa. 2) Se puede remodelar el aeropuerto con una nueva pista de aterrizaje a un costo de $4.7 millones. El valor presente de los ingresos incrementados sería $6 millones (con probabilidad de 0.8) o $3 millones (con probabilidad de 0.2). 3) Podrían elegir no hacer nada y sufrir una pérdida de ingresos de $1 millón (con probabilidad de 0.65) o $4 millones (con probabilidad de 0.35). a) Construya un árbol de decisión para ayudar a la Autoridad de Aeropuertos. b) ¿Qué opción maximizará el valor presente de ganancia? c) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por la información perfecta acerca del éxito del nuevo aeropuerto? d) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por la información perfecta acerca del éxito de un aeropuerto re- modelado? Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 17-4 a) GANANCIA INVERSIÓN GANANCIA PROB PAGO ––––– ––––– ––––––– ––––––– ––––– ––––– –––– ––––– –––– ––––– -200.0 +–– 60% – ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––– LAVANDERÍA -40.00 ––– ( ) –– 200.0 +–– 40% 10.0 +–– 20% ––––– ––––– ––––– ––––– 15.0 +–– 30% 20.0 18.00 –[ ] DEPARTAMENTOS 18.00 ––– ( )–– 25% 25.0 +–– 20% 30.0 +–– 5% BONOS GOB. 16.5 17.6 Análisis de árboles de decisiones 789 b) Debe invertir en los departamentos. c) Para que los bonos tengan un rendimiento mayor que $18,000, tendrían que pagar una tasa de interés mayor al 9%. d) Con información perfecta acerca de la lavandería, invertiría en ella si supiera que tendrá éxito, de otra manera invertiría en los departamentos. Entonces su rendimiento esperado con información perfecta es 0.6(18) 0.4(200) 90.8 y así, VEIP 90.8 18 72.8, es decir, $72,800 e) Con información perfecta acerca de los departamentos, invertiría en ellos si su rendimiento fuera mayor que $16,500, de otra manera compraría bonos del gobierno. Así su rendimiento esperado con in- formación perfecta es 0.5(16.5) 0.25(20) 0.20(25) 0.05(30) 19.75, y entonces VEIP 19.75 18 1.75, es decir, $1,750 Estadística en el trabajo “Pero por otro lado”, advirtió Gracia, “tal vez nos convenga más quedarnos como estamos. Claro, esto significa que tendremos que limitar nuestro crecimiento, digamos, tal vez Loveland Computers a 25% anual”. Caso 17: Teoría de decisiones Una curiosa calma inundó “En contraste con un crecimiento de 50 o 100% anual en Loveland Computers y Lee Azko comenzó a pensar en pro- ventas si tuviéramos suficiente capital que nos respaldara”, gramar un bien merecido día en las colinas. Tanto Walter Az- dijo Walter. ko como Gracia Delaguardia habían estado fuera de la ofici- “Bueno, tío, esto no es para romperse la cabeza”, Lee na durante dos días, y se rumoraba que estaban en Nueva seguía soñando con grandes bonificaciones. “Vayan por el York, entrevistándose con los banqueros inversionistas. oro. Tomen el dinero, crezcan todo lo que quieran: nuevos Lee encontró un mensaje en la contestadora telefónica de almacenes y más teléfonos de atención, y logren mayores su casa: “Lee, soy tu tío. Puedes olvidarte de ir a esquiar es- ganancias.” te fin de semana. Y no vayas a la oficina. Gracia y yo debe- “No es tan simple”, Gracia continuaba dudosa. “La eco- mos tomar una decisión importante. Ven a mi casa mañana nomía se mantiene fija en el mejor de los casos. Si hay un re- temprano. Vamos a desayunar y nos podrás ayudar a Gracia punte económico, la expansión será rentable. Pero si el país y a mí a resolver esto.” continúa otro año con crecimiento muy lento, entonces la “Sírvete”, le dijo Walter la mañana siguiente, señalándole única forma en que podríamos expandir nuestra participa- una gran pila de hotcakes. “Probablemente puedes adivinar ción de mercado sería bajando seriamente los precios. Así dónde estuvimos esta semana.” El gesto de Walter indicaba que mantendríamos activas las nuevas instalaciones, pero a que se refería a él y su socia. “Sé que puede parecer extraño final de cuentas ganaríamos mucho menos dinero.” para una compañía tan grande como ésta que siga siendo una “¿Quieres decir que podrías vender más y ganar menos?”, sociedad. Pero en muchas formas es simplemente un nego- Lee se mostraba incrédulo. cio ‘familiar’...” “Absolutamente. Sucede más seguido de lo que crees. De “... con algunos números bastante grandes”, añadió Gra- hecho, no puedo estar seguro de la estructura de precios de cia. toda la industria”, dijo Walter, volviendo a intervenir en la “Bueno, existen todo tipo de compañías que crecieron conversación y estirándose para alcanzar el jarabe de maple. bastante mientras seguían sin participar en la Bolsa”, conclu- “Muchos expertos industriales esperan que algunos de los yó Walter. grandes nombres, como IBM y Compaq, renuncien a su es- “La mayor parte de las compañías de software, y algunos trategia de precios altos. Si aceptan un margen mucho menor de tus competidores directos”, comentó Lee. en sus máquinas, podrían incrementar mucho el número de “Pues ahora estamos en un punto decisivo”, continuó el computadoras vendidas. Y ambas tienen capacidad de fabri- director ejecutivo de Loveland Computers. “Estos tipos de cación aquí en Estados Unidos, así que podrían incrementar Nueva York están listos para hacer una inversión realmente la producción mucho más rápido que nosotros.” sustancial en Loveland. Pero, como uno esperaría, quieren “Dame esa servilleta y una pluma”, dijo Lee poniéndose que formemos una corporación, y que les demos una partici- serio. “Déjenme ver si puedo esbozar sus opciones.” pación del 60%. Supongo que eso es bastante normal. En al- gún momento, tal vez en 2 o 5 años, la compañía entrará a la Preguntas de estudio: ¿Qué está dibujando Lee en la ser- Bolsa.” villeta? ¿Cuál es la acción que los socios tomarán o no des- “Tú y Gracia, con 20% cada uno, tendrán una fortuna”, pués de esta discusión? ¿Cuáles son las incertidumbres que dijo Lee alegremente, preguntándose si sería demasiado enfrentan? ¿Qué tan bien estimarán estas tres personas las pronto para solicitar una bonificación. probabilidades de los distintos resultados? 790 Capítulo 17 Teoría de decisiones Del libro de texto cuencia y no son perecederos. Por el contrario, los productos al mundo real no almacenables pueden ser perecederos, venderse sólo en grandes envases, o usarse con poca frecuencia. El estudio usó una estructura de decisión bayesiana por las dos razones si- Al borde de una guerra de precios guientes: En marzo de 1983, una pequeña cadena de tiendas de abarro- 1. Podía seleccionarse la estrategia de precios que producía tes canadiense usó los resultados de un estudio sobre estrate- la mayor rentabilidad y estimarse el riesgo en dólares aso- gias de precios para competir con éxito durante una guerra de ciado con esta estrategia. Esto indicaría la estrategia ópti- precios. El estudio indicaba que la sensibilidad de los precios ma a usar durante una guerra de precios. de bienes comestibles almacenables es diferente de la de 2. Este diseño indica cuándo detener el experimento, lo que bienes no almacenables. Se utilizó un esquema de decisión es muy importante debido al gasto involucrado en la ex- bayesiano para determinar la estrategia óptima de tratamien- perimentación de precios. to de precios, así como el riesgo en dólares asociado con ella. También se proporcionó una regla de detención óptima para El modelo representa las ventas de cada producto como una el experimento. En lugar de responder a la competencia con función del tipo de producto (almacenable o no) y del nivel cortes de precios drásticos, la cadena implantó una estrategia de precios (precio normal y 20% arriba o abajo del precio precisa de preservación de ganancias. Como resultado, la ca- normal). Podían evaluarse seis posibles tratamientos de pre- dena incrementó sustancialmente su participación de merca- cios: elevar los precios de bienes almacenables o no almace- do durante la guerra de precios, al costo de sólo 1.2% de su nables, disminuir los precios de bienes almacenables o no, o margen total. La competencia sufrió una disminución apro- mantener los precios normales de cualquier tipo de bienes. ximada del 5% en su margen. Era importante medir los cambios en las ventas, pero la utilidad percibida, asociada con cada tratamiento también era El mercado de abarrotes de Quebec Hasta 1980, la indus- necesaria. Después de cada semana, se obtenía un valor de la tria de venta al menudeo de abarrotes en Quebec estuvo do- pérdida esperada de la decisión inmediata. La continuación minada por Steinberg, Inc. Steinberg utilizó una estrategia de del experimento sólo se justificaba si la nueva información presión sobre los costos y reducción de precios que mantuvo reducía esta pérdida esperada de la decisión inmediata en una a la competencia en un mínimo, por lo cual quedó convertida cantidad mayor qué el costo de la nueva información. en la número 24 de las compañías más grandes (en términos de ventas). La industria de ventas al menudeo de abarrotes Resultados Después de dos semanas, era evidente que los comenzó a consolidarse para competir mejor con Steinberg. consumidores eran altamente sensibles a los cambios de pre- Hacia 1982, la industria era un oligopolio dominado por Pro- cios en los productos almacenables, pero no podían aprove- vigo, Metro-Richelieu, Steinberg, y Hudon y Deaudelin char las fluctuaciones en el precio de bienes no almacenables (IGA), con participaciones de mercado de 31, 25, 20 y 8.5%, guardándolos (vea la tabla MR17-l). Los resultados sugieren respectivamente. Steinberg, que ocasionó la consolidación, que las rebajas drásticas pueden dañar los ingresos innecesa- irónicamente se convirtió en la más vulnerable a ésta. Tenía riamente. Si se requieren las rebajas, Hudon y Deaudelin costos de mano de obra mayores y estaba sujeto a reglamen- (IGA) deben bajar los precios sólo en productos almacena- tos que limitaban sus horas de operación y restringían la ven- bles, mientras que los precios de productos no almacenables ta de cerveza y vinos. pueden elevarse o mantenerse constantes. A principios de marzo de 1983, Steinberg anunció su nueva promoción, “le El experimento de precios Como la cuarta compañía más regresamos el 5% de su cuenta”. En cuestión de horas, Me- grande del oligopolio, Hudon y Deaudelin tendría que res- tro-Richelieu y Provigo siguieron su ejemplo. IGA llevó a ponder a movimientos competitivos de las otras empresas cabo reducciones de precios en cientos de productos almace- importantes y, sin embargo, la gerencia sabía que las rebajas nables, pero no redujo los precios drásticamente. Como drásticas de precios ocasionarían grandes pérdidas. Para pre- resultado, experimentó la menor disminución en su margen parar a la compañía para una inminente guerra de precios, el total. La guerra de precios duró sólo 14 semanas y ocasionó presidente de Hudon y Deaudelin contrató asesores para rea- pérdidas en el margen total y en la participación de mercado lizar un experimento. El estudio indicaba que ocurría una di- tanto a Steinberg como a Metro-Richelieu. Al planear con ferencia muy pequeña en el nivel de ventas cuando se cam- antelación y usar métodos estadísticos, IGA no sólo se aho- biaba el precio de la fruta fresca, mientras que ocurría un rró millones de dólares al preservar su margen, sino que real- cambio mayor cuando se alteraba el precio de los vegetales mente incrementó su participación de mercado del 8.5 al enlatados. El experimento investigaba esta diferencia en la 9.5%. sensibilidad de los precios de bienes almacenables y no almacenables. Los productos almacenables son aquellos que Fuente: Roger J. Calantone, Cornelia Droge, David S. Litvack y C. Anthony Di pueden comprarse en grandes cantidades, se usan con fre- Benedetto. “Flanking in a Price War”, Interfaces 19(2)(2009): 1-12. Del libro de texto al mundo real 791 Acababa de recibir presupuestos de otros 403 OCR y estaba Tabla MR17-1 Manipulación de precios planeando solicitarlos para 452 CCB adicionales. Tipo de Rebajado Sin Elevado producto 20% cambios 20% Marco de decisiones Antes de proceder con el plan de au- tomatización, se pidió a la OAT que investigara la convenien- Almacenable 54.95 1.75 24.10 cia de la estrategia en el terreno técnico y el económico. Su No almacenable 10.55 6.95 27.60 estudio juzgó que la estrategia era técnicamente factible, pe- Cambio porcentual en ventas unitarias estandarizadas después de manipular ro varias opciones de implantación requerían mayor análisis precios. Las ventas de bienes almacenables se incrementan fuertemente en respuesta a una reducción de precios y disminuyen fuertemente en respues- para determinar la viabilidad económica. El SPEU compró, ta a un incremento de precios. Los cambios en las ventas de productos no al- originalmente, OCR de una línea que leían la última línea de macenables son mucho menos drásticos. cada dirección. También había OCR multilínea con capacidad de leer hasta cuatro líneas de una dirección. Los OCR Automatización postal en Estados Unidos multinlínea tenían un desempeño similar al leer códigos En 1984, el Servicio Postal de Estados Unidos decidió con- ZIP 4, pero eran mejores al leer códigos postales de cinco tinuar usando el código postal de nueve dígitos (ZIP 4) pa- dígitos que los OCR de una línea. Se identificaron varios pro- ra remitentes comerciales de primera clase y comprar equipo veedores de estos OCR. La perspectiva se complicó porque básico adicional como parte de su movimiento continuo ha- los grandes ahorros eran fortuitos en la clasificación reduci- cia la automatización. Antes de esta decisión, se pidió a la da, que, al menos con los OCR de una línea, requería que Oficina de Asesoramiento Tecnológico (OAT) y a sus contra- grandes volúmenes de remitentes de primera clase usaran tistas que efectuaran análisis técnicos y económicos para nueve dígitos. Para estudiar esta compleja e incierta situa- evaluar las opciones disponibles para el Congreso de Estados ción, se contrató a Decision Science Consortium, Inc., en fe- Unidos y el Servicio Postal. Las opciones de automatización brero de 1984, con el fin de realizar un análisis de decisión implicaban inversiones de capital de más de $350 millones y de las alternativas de automatización postal. El modelo bási- mantenimiento anual y otros costos que podían ascender a co incluía seis pasos: 1) identificar opciones de decisión, más de $300 millones al año, pero que permitían ahorros 2) desarrollar un modelo probabilístico de flujo de efectivo anuales potenciales de aproximadamente $1.5 miles de mi- para cada operación, 3) analizar los resultados, 4) discutir el llones en requerimientos menores de mano de obra. Ante la modelo en un taller público, 5) refinar el modelo basándose incertidumbre respecto a los ahorros posibles, la OAT usó en la información intercambiada en el taller y 6) presentar los teoría de decisiones para determinar la mejor opción para el análisis y evaluaciones al Congreso. Servicio Postal de Estados Unidos (SPEU). El modelo de análisis de decisión: estructura, opciones y La automatización postal: costos y beneficios Desde octu- evaluación Se identificaron seis opciones: A) OCR de una bre de 1983, el SPEU ha animado a los remitentes comercia- línea, B) OCR multilínea con códigos postales de 9 dígitos les a usar el código postal de nueve dígitos, ofreciendo una (ZIP 4), C) multilínea sin ZIP 4, D) convertir a multilí- tasa de descuento por grandes volúmenes de correo de prime- nea después, E) restringir (convertir sólo si el uso de ZIP ra clase que empleen el ZIP 4. Al mismo tiempo, el SPEU 4 fuera bajo) y F) cancelar la Fase II y ZIP 4. Cada opción comenzó la Fase I de su programa de automatización. Hacia se evaluó con base en la tasa interna de retorno y el valor pre- 1984, había comprado 252 lectores ópticos de caracteres sente neto de flujos de efectivo. Se usó una tasa de descuen- (OCR, Optical Character Readers) y 248 clasificadores de to del 15% y el horizonte de tiempo fue de 1985 a 1998. El código de barras (CCB) a un costo aproximado de $234 mi- flujo de efectivo neto anual se calculó como ahorros menos llones. Se pidió a OAT que revisara el sistema antes que co- inversión, mantenimiento y reducción de tasas. Se modela- menzara la Fase II de la operación. La reducción del número ron tres incertidumbres importantes que afectaban los aho- de empleados postales involucrados en el direccionamiento rros de la automatización postal: el uso de ZIP 4, el por- intermedio proporcionaría la mayor cantidad de ahorros porcentaje de ahorros y los ahorros de uso. Históricamente, el que la mano de obra representa cerca del 85% de los costos SPEU tendía a sobrestimar tanto el uso de nuevos programas postales totales. Se obtendrían grandes ganancias de la auto- por los remitentes como el ahorro potencial de equipo nue- matización conjunta con el uso del código ZIP 4 que per- vo. En condiciones de un alto uso de ZIP 4 y grandes aho- mitía clasificar en un nivel más avanzado que los códigos rros, la opción D (convertir) tenía una tasa interna de retorno postales de cinco dígitos. Los OCR leen el código ZIP 4, del 111% y un valor presente neto (VPN) de $2,700 millo- lo traducen a código de barras y lo imprimen en el sobre. nes, haciéndola una opción muy atractiva. De los árboles, se Luego los CCB clasifican la carta automáticamente al nivel claculó el VPN esperado de la siguiente manera: de rutas de mensajeros, eliminando toda la clasificación in- Opción A: $1,300 millones Opción B: $1,200 millones termedia. El SPEU asignó $450 millones para la Fase II. Opción C: $900 millones Opción D: $1,500 millones Opción E: $1,400 millones 792 Capítulo 17 Teoría de decisiones Así, según el valor esperado, se prefirió la opción D (conver- reflejaban incertidumbres. También ayudó a la OAT a pensar tir), y cualquier Fase II era mejor que cancelar. creativamente acerca del problema y a generar alternativas. Más aún, facilitó el uso de análisis múltiples o plurales para Conclusiones El análisis de árbol de decisiones se usó como llegar a una evaluación global. base para el informe de OAT al Congreso en junio de 1984. Proporcionaba evaluaciones detalladas y cuantitativas de las Fuente: Jacob W. Ulivila, “Postal Automation”, Interfaces 17(2) (marzo-abril de implicaciones económicas de las opciones de estrategias que 1987): 1-12. Repaso del capítulo ● Términos introducidos en el capítulo 17 Árbol de decisiones Representación gráfica del entorno de Pago Beneficio reunido de una combinación dada de una al- decisiones, indica las alternativas de decisión, los estados ternativa de decisión y un estado de la naturaleza. de la naturaleza, las probabilidades relacionadas con esos es- Pérdida por obsolescencia Pérdida ocasionada por alma- tados de la naturaleza y beneficios y pérdidas condicionales. cenar demasiadas unidades y tener que desechar unidades no Certidumbre Entorno de decisión en el que sólo existe un vendidas. estado de la naturaleza. Pérdida de oportunidad Ganancia que se pudo obtener si Criterio del valor esperado Criterio que requiere que el to- se hubieran tenido almacenadas suficientes unidades para mador de decisiones calcule el valor esperado para cada al- surtir una unidad solicitada. ternativa de decisión (la suma de los pagos ponderados para Pérdida marginal Pérdida incurrida por tener almacenada esa alternativa en la que los pesos son los valores de proba- una unidad que no se vende. bilidad asignados por el tomador de decisiones a los estados de la naturaleza que pueden ocurrir). Pérdida marginal esperada Pérdida marginal multiplicada por la probabilidad de no vender esa unidad. Estado de la naturaleza Evento futuro que no está bajo el control del tomador de decisiones. Probabilidad mínima Probabilidad de vender al menos una unidad adicional que debe existir para justificar tenerla Ganancia condicional Ganancia que resultaría de una com- almacenada. binación dada de alternativas de decisión y un estado de la naturaleza. Punto de decisión Punto de ramificación que requiere una decisión. Ganancia esperada Suma de las ganancias condicionales para una alternativa de decisión dada, cada una ponderada Procedimiento hacia atrás También llamado retroceso; por la probabilidad de que ocurra. método para usar árboles de decisión para encontrar alternativas óptimas. Implica trabajar de derecha a izquierda en el Ganancia esperada con información perfecta Valor espe- árbol. rado de la ganancia con certidumbre perfecta respecto a los estados de la naturaleza que ocurrirán. Utilidad Valor de un cierto resultado o pago para alguien; el placer o disgusto que alguien deriva de un resultado. Ganancia marginal Ganancia obtenida de vender una unidad adicional. Valor de recuperación Valor de un producto después del periodo inicial de venta. Ganancia marginal esperada Ganancia marginal multiplicada por la probabilidad de vender esa unidad. Valor esperado de información perfecta Diferencia entre la ganancia esperada (en condiciones de riesgo) y la ganan- Nodo Punto en el que tiene lugar un evento aleatorio o una cia esperada con información perfecta. decisión en un árbol de decisiones. ● Ecuaciones introducidas en el capítulo 17 ■ 17-1 p(GM) (1 p)(PM) Esta ecuación describe el punto en el que la ganancia marginal esperada de guardar y vender una unidad adicional, p(GM), es igual a la pérdida marginal esperada de tener y no vender la unidad (1 p)(PM). Mientras p(GM) sea mayor que (1 p)(PM), se deben almacenar unidades adicionales, porque la ganancia marginal esperada de esa decisión es mayor que la pérdida marginal esperada. PM ■ 17-2 p* GM PM Repaso del capítulo 793 Ésta es la ecuación de probabilidad mínima. El símbolo p* representa la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad adicional para justificar el inventario de esa unidad adicional. Mientras la probabilidad de vender una unidad adicional sea mayor que p*, el comerciante debe almacenar esa unidad. Esta ecuación es la ecuación 17-1 despejando p*. ● Ejercicios de repaso (para más ejercicios, consulte el CD que acompaña esta obra) ■ 17-30 La Mountain Manufacturing Company planea producir impresoras de matriz de puntos. Un problema que enfrenta es la decisión de fabricar o comprar las cabezas de impresión. Puede comprar estas unidades a un fabricante japonés a $35 cada una, o puede producirlas en su propia planta con costos variables de $24 la unidad. Si escoge producir las cabezas de impresión, incurrirá en costos fijos de $28,000 al año. Debi- do a las unidades defectuosas, cada impresora requiere 1.15 cabezas. La compañía prevé que la demanda anual de sus impresoras tendrá una distribución normal con media 3,000 unidades y desviación es- tándar 700 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que el uso requerido de cabezas de impresión sea suficientemente grande para justificar producirlas en vez de comprarlas? Si es política de la compañía fabricar componentes sólo cuando hay más del 60% de probabilidad de que el uso esté 1.5 de desviación estándar arriba del punto de equilibrio de hacer o comprar, ¿cuál debería ser la decisión en esta cuestión? ■ 17-31 Sarah Peterson va a abrir una tienda de comida saludable, la Boysenberry Farms Organic Food Empo- rium. Al planear su inventario inicial, Sarah está tratando de decidir cuántos tarros de jalea de grosella comprar a la señora Miles. Ella prepara su jalea de grosella sólo una vez cada dos meses, así que es necesario que Sarah planee con anticipación cuánta necesitará (no hay posibilidad de volver a ordenar en el ínterin). Sarah debe decidir entre satisfacer a sus clientes y amigos y perder dinero si la jalea se echa a perder, ya que tiene un periodo de vida en anaquel de dos meses. Sarah está segura de que venderá al menos 10 tarros durante el periodo, y 18 amigos le han prometido que comprarán la jalea cuando la tenga en existencia. Sarah sabe que la probabilidad de vender más de 18 tarros es prácticamente nula y piensa que las ventas caerán en algún punto entre 10 y 18 tarros, a pesar de lo que le han prometido los amigos. Sa- rah tiene todos los datos de costo y planea vender 50% arriba del costo. Como está planteado el problema, ¿puede Sarah obtener una solución a su problema usando teoría de decisiones? ■ 17-32 Por un precio de $26.95, La Langouste ofrece un plato principal que consiste en dos colas de langosta marina asadas con salsa de ajo en mantequilla. Debido al reglamento federal de salud, las langostas, que son importadas de la Península de Yucatán, no pueden entrar vivas a Estados Unidos. Sólo se pueden importar colas refrigeradas o congeladas. El chef de La Langouste, que se niega a usar colas de langosta congeladas y para mantener la reputación de su establecimiento de servir sólo haute cuisine emplea un agente para traer colas de langosta recién refrigeradas por avión diariamente desde la península. Toda cola que no se sirve el día de su envío debe desecharse. El chef desea saber cuántas colas debe embarcar el agente cada día. Desea poder satisfacer a sus clientes, pero se da cuenta que si siempre ordena lo suficiente para satisfacer la demanda potencial, esto podría implicar un gasto sustancial en los días de baja demanda. Ha calculado el costo de una sola cola de langosta en $7.35, incluyendo los cargos de transporte. Los regis- tros anteriores muestran la siguiente distribución de la demanda diaria del platillo de cola de langosta: Número 18 19 20 21 22 23 24 25 Probabilidad 0.07 0.09 0.11 0.16 0.20 0.15 0.14 0.08 a) Si desea maximizar sus ganancias esperadas diarias sobre las colas de langosta, ¿cuántas colas debe- ría ordenar el chef? b) Si La Langouste adoptara una política que requiriera que los clientes ordenaran la langosta marina un día antes, ¿cuánto incremento en la ganancia se podría esperar? ■ 17-33 La compañía para el cuidado de prados y jardines Bay Lalkes proporciona servicios a propietarios de casas y pequeños negocios. La compañía está considerando la compra de un nuevo aspersor de fertilizantes a un costo de $43.50. Se estima que el aspersor ahorrará 8 minutos de trabajo por cada hora que esté en uso. El jefe especialista en cuidado de céspedes Ralph Medlin estima que la vida esperada del aspersor es sólo de 48 horas debido a la corrosión y las probabilidades son de 7 a 5 de que su vida esté entre 42 y 54 horas. Si la compañía paga su servicio de jardinería a $12.50 la hora, ¿cuál es la probabilidad de que el gasto del aspersor se recupere antes de que se estropee? ■ 17-34 El departamento de equipaje de la tienda departamental Madison Rhodes realiza una venta especial de equipaje un día después de Navidad de la mercancía navideña no vendida. La marca de equipaje en bara- ta será Imagemaker. El gerente del departamento planea su pedido. Como la tienda no vende Imagema- ker durante el año, el gerente desea evitar la sobreexistencia; sin embargo, debido al precio especial que 794 Capítulo 17 Teoría de decisiones el fabricante ofrece en la línea, también desea minimizar los faltantes. Intenta decidir el número de bolsas de viaje de mujer que debe comprar. Su estimación de las ventas probables basándose en parte en su experiencia es: Bolsas 32 33 34 35 36 37 38 Probabilidad 0.10 0.14 0.15 0.20 0.17 0.13 0.11 La tienda planea vender estas bolsas en $42.75. El costo al mayoreo es $26.00. ¿Cuántas bolsas deben pe- dirse para su venta? ■ 17-35 Archdale, una cadena de tiendas de moda masculina, está considerando comprar un lote de 5,700 corbatas de Beau Charin Company. El lote de corbatas costará $16,500 y cada corbata se venderá en $3.50. El vicepresidente de ventas de Archdale ha afirmado que piensa que la cadena podría vender 5,000 corbatas, y las posibilidades son de 2 a 3 de que las ventas reales estén dentro de 200 arriba o abajo de su estima- ción. Las corbatas no vendidas carecen de valor. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Archdale al menos quede a mano en la venta de corbatas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Archdale pueda ganar 10% o más de su inversión en inventario? ■ 17-36 Barry Roberts, abogado corporativo en jefe de Triangle Electronics, acaba de enterarse que un competidor ha entablado dos demandas relacionadas de violación de patentes contra Triangle. La primera se dictará en la Suprema Corte en tres meses, y la segunda está programada 6 meses después. Barry estima que el primer juicio no tomará más de cuatro meses en concluir. Las opciones disponibles para Triangle en cada caso son llegar a un arreglo amistoso o dejar que se lleve a cabo el juicio. La preparación de cualquiera de los juicios costará $7,500, pero parte de la preparación legal del primero ayudará en el segundo, así que el costo de prepararse para ambos juicios será de sólo $12,000. Barry estima que le costará a Triangle $75,000 llegar a un arreglo en la primera demanda y $45,000 en la segunda. Claro que si llega a un acuerdo, Triangle evita los costos de preparación del juicio. Si las demandas van a juicio y Triangle gana, no habrá más costos. Sin embargo, Barry estima que perder el primero ocasionaría costos adicionales de $150,000, y perder el segundo costaría aproximadamente $90,000. Piensa que Triangle tiene 60% de posibilidades de ganar el primer juicio. La posibilidad de ganar el segundo depende de la resolución del primero: 40% si se llega a un acuerdo fuera de la corte, 80% si llega a juicio y gana, y 10% si llega a juicio y pierde. a) Construya el árbol de decisiones de Barry para decidir cómo proceder. b) ¿Qué debe hacer Barry para minimizar el costo esperado de Triangle? c) Barry podría simular un juicio para tener una mejor idea de la probabilidad de ganar la primera demanda. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar Triangle si Barry puede simular un juicio absolutamente confiable? d) ¿Cómo cambiaría la decisión de Barry en el inciso b) si el costo de un arreglo la segunda demanda fuera sólo $20,000? ¿Qué sucedería si el costo fuera $90,000? ■ 17-37 Optometrics Village es una cadena regional de tiendas para el cuidado de los ojos y sus administradores estudian la posibilidad de agregar visores para el agua con graduación para los clientes que deseen bucear. Una empresa de marketing estima que la demanda anual sería 4,000 visores con desviación estándar de 450, si el precio es $130 por unidad; si el precio es $140 por unidad, la demanda anual estimada es 3,200 con desviación estándar de 300 unidades. La inversión requerida para el equipo de tallado de las lentes es $500,000 con costos fijos de $125,000 anuales. El costo variable para cada visor es $80. La junta directi- va de Optometrics estableció una tasa de retorno anual “barrera” del 13% y el director desea al menos 60% de posibilidades de cumplir esa meta. ¿Deben proceder con este proyecto? Si es así, ¿qué precio es más probable que logre la barrera en la tasas de retorno sobre la inversión? ■ 17-38 En Campus Set, una tienda de ropa para jóvenes modernos elegantes, la gerente Judy Sommers está ha- ciendo el pedido de trajes de baño de la temporada a Jamaican Swimwear. Como en años anteriores, está ordenando sobre todo trajes de dos piezas, pero planea pedir algunos trajes de una sola pieza. Por experiencia, ella estima la demanda de estos últimos como sigue: Unidades pedidas 19 20 21 22 23 24 25 Probabilidad 0.05 0.18 0.21 0.22 0.16 0.10 0.08 Los trajes de una pieza se venderán en $43.95; el costo de Judy es de $21.50. Cualquier traje que no se venda para finales de la temporada se venderá en oferta a $19.95 y es seguro que se vendan a ese precio. Use el análisis marginal para determinar el número de trajes de una pieza que Judy debe ordenar. ■ 17-39 La tienda de aparatos eléctricos Flint City está planeando la Venta de Fin de Semana del Día del Funda- dor. Como oferta especial, está vendiendo una combinación de lavadora y secadora Royalty por sólo $600. Repaso del capítulo 795 Royalty ha informado recientemente a sus distribuidores que un producto innovador hará obsoletas las combinaciones de lavadora y secadora existentes, y por tanto ofrece a las tiendas su actual combinación de lavadora y secadora de primera línea por sólo $325. Aunque el gerente de Flint City no cree todo lo que dice Royalty sobre la obsolescencia, sí sabe que cualquier mecanismo que Royalty instale en sus nuevas máquinas, dificultará la venta de las antiguas. Por consiguiente, desea ser muy cuidadoso respecto al número de máquinas que ordene para la Venta del Día del Fundador. Su estimación de la demanda de las combinaciones de lavadora y secadora durante la venta es: Demanda de unidades 6 7 8 9 10 11 Probabilidad 0.04 0.12 0.30 0.24 0.18 0.12 Use análisis marginal para determinar cuántas combinaciones de lavadora y secadora debe ordenar para la venta si Flint City ya tiene dos en inventario. ■ 17-40 Steel-Fab Manufacturing es un competidor de Enduro Company (ejercicio 17-17) en el mercado de componentes de acero estructural. A diferencia de Enduro, Steel-Fab tiene accionistas en la Bolsa y también está financiado en parte por una emisión de bonos. En consecuencia, la compañía ha adoptado una tasa de retorno de corte del 9%. Abajo del 9%, la curva de utilidad de la compañía tiene mayor pendiente al alejarse el rendimiento. Arriba del 9%, la utilidad de la compañía crece a una tasa más lenta por el riesgo asociado con tasas de rendimiento más altas. La utilidad del 15% es sólo un poco mayor que para 14%. Steel-Fab está considerando un proyecto de $300,000. Grafique la curva de utilidad de la compañía. ■ 17-41 Una fábrica de textiles debe decidir si amplía un crédito de $150,000 a un nuevo cliente que fabrica vestidos. La experiencia anterior de la textilera con varios fabricantes de vestidos la ha llevado a clasificar esos clientes de la siguiente manera: 25% son riesgos malos; 45% son riesgos promedio, y 30% son riesgos buenos. Las ganancias esperadas en este orden (si se amplía el crédito al fabricante de vestidos) son: $20,000 si resulta ser riesgo malo; $18,000 si resulta ser riesgo promedio, y $25,000 si resulta ser riesgo bueno. Dibuje un árbol de decisiones para determinar si la fábrica debe ampliar el crédito este fabricante. ■ 17-42 Por $750, la fábrica de textiles del ejercicio 17-41 puede comprar un análisis exhaustivo de crédito y cla- sificación del fabricante. La clasificación, en orden creciente de merecimiento de crédito será C, B o A. La confiabilidad de la agencia de crédito se resume en la tabla siguiente cuyos elementos son las probabilidades (basadas en la experiencia) de la clasificación del fabricante de vestidos, dada la verdadera cate- goría de crédito a la que pertenece. Categoría verdadera Clasificación dada por la agencia Malo Promedio Bueno A 0.1 0.1 0.6 B 0.2 0.8 0.3 C 0.7 0.1 0.1 a) Use el teorema de Bayes y un árbol de decisiones para determinar si la fábrica debe comprar la clasi- ficación de crédito. b) Si sí compra la clasificación, ¿cómo afectará esto a la decisión de otorgar el crédito al fabricante de vestidos? c) ¿Cuál es la cantidad máxima que la fábrica estaría dispuesta a pagar por el informe de crédito? d) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar la fábrica por una clasificación de crédito del fabricante absolutamente confiable? ■ 17-43 John Silver puede usar su bote, el Jolly Roger, tanto para pesca comercial de atún como para pesca depor- tiva. En el último caso, lo renta a un precio diario de $500. En una temporada de pesca con buen tiempo, promedia 150 días de renta. Sin embargo, si el tiempo es malo, promedia sólo 105 días de renta. Por cada día que se renta el bote, John estima que incurre en costos variables aproximados de $135. Cuando el tiempo es bueno, los ingresos de pesca de atún exceden los costos variables de esa operación en $50,000, mientras que en temporadas de mal tiempo, la contribución a las ganancias de la pesca de atún es sólo $43,000. A principios de la temporada de 1997, John piensa que las posibilidades son alrededor de 7 a 3 a favor de que haya buen tiempo en la temporada. a) Use un árbol de decisiones para ayudar a John a decidir cómo usar el Jolly Roger durante la temporada de pesca de 1997. b) ¿Cuánto pagaría John por un pronóstico a largo plazo perfectamente confiable para la temporada? 796 Capítulo 17 Teoría de decisiones Jim Hawkins, buen amigo de John, está a cargo de un servicio privado de predicción de tiempo que ha sido 90% exacto en el pasado. En 90% de todas las temporadas que tuvieron buen tiempo, Jim había pronosticado buen tiempo, y de igual forma en 90% de las temporadas en las que el tiempo fue malo, el pronóstico de Jim había sido de mal tiempo. Jim suele vender su pronóstico en $1,000, pero como John es un buen amigo, está dispuesto a vendérselo en sólo $400. c) Amplíe su árbol de decisiones para ayudar a John a decidir si debe comprar el pronóstico de Jim. ¿Cómo afectará el pronóstico su uso del bote durante la temporada de 1997? d) ¿Compraría John el pronóstico de Jim si no fueran amigos? Explique. ¿Cuál es la cantidad máxima que John estaría dispuesto a pagar por el pronóstico? ■ 17-44 Robert Ingersoll de Tungsten Products ha abordado tanto a Enduro Manufacturing Company como a Steel-Fab Manufacturing respecto a la posibilidad de un proyecto conjunto con alguno de ellos. En este proyecto, se usa una aleación de tungsteno en lugar de ciertas aleaciones de acero. Tungsten Products tiene la pericia tecnológica pero no la capacidad de producción. El proyecto conjunto sería una división 50- 50 y costaría a cada compañía $500,000 en inversión de capital. a) Si la ganancia esperada el primer año del proyecto fuera $80,000, ¿aceptaría alguna de las compañías, o las dos, la oferta? b) Superponga las gráficas de los ejercicios 17-17 y 17-40, ajuste las coordenadas y muestre el área en la que Enduro aceptaría un proyecto y Steel-Fab no. c) Si la ganancia esperada del primer año en el proyecto fuera $110,000, ¿lo aceptaría alguna de las com- pañías? ¿Cuánto ofrecería Steel-Fab por una participación del 50% de los $110,000? ■ 17-45 Marty Tait es un contratista que piensa construir una casa espec, llamada así porque no lo contrata un cliente sino que va a especular con su venta. El lote tiene vista al puente Golden Gate, por lo que es costoso. La localización en una colina significa que necesitará cimientos profundos. Pero la vista es espec- tacular y el precio de venta de la casa será alto. Si la casa se vende rápido al terminarla, Marty obtiene una buena ganancia arriba de lo que cobra como contratista en sus proyectos; pero si lleva demasiado tiempo venderla una vez terminada, su ganancia se va en el interés del préstamo para la construcción y la reduc- ción en el precio para poder venderla. Marty trabaja con un agente de bienes raíces, quien ha estimado la posibilidad de vender la casa 30, 60 o 90 días después de terminarla. Los pagos y las probabilidades se dan en la siguiente tabla. ¿Debe Marty construir la casa? Pagos (pérdida) Días para vender Probabilidad Construir No construir 30 0.20 $71,000 $0 60 0.30 $26,000 $0 90 0.50 ($42,000) $0 ■ 17-46 Stanley Glass, propietario de una cadena de centros de diversión familiar en Ohio, planea abrir otro centro en Cincinnati. Desea decidir si debe tener 20, 25 o 35 videojuegos. Espera que la demanda sea alta, mediana o baja, y ha determinado las probabilidades asociadas con cada nivel. Las probabilidades y pagos son los siguientes: Evento Probabilidad 20 juegos 25 juegos 35 juegos Demanda alta 0.55 $12,600 $18,000 $23,000 Demanda media 0.30 $11,000 $16,200 $15,000 Demanda baja 0.15 $10,600 $ 8,500 $$7,100 a) Sin más información sobre la demanda, ¿qué debe hacer el señor Glass? b) ¿Cuál es la cantidad máxima que estaría dispuesto a pagar por información perfectamente confiable? ■ 17-47 La nueva escuela de ingeniería de una pequeña universidad sureña está decidiendo qué libros de texto utilizará en sus cursos de licenciatura. Los directivos del departamento desean saber si usar los libros de texto escritos por profesores de la universidad (“libros de texto universitarios”) o aquellos escritos por profesores de otras instituciones (“libros de texto externos”). Ha habido rumores de que los administradores de la escuela están presionando para obtener más apoyo para la universidad y que podrían requerir que los departamentos usen los libros de texto universitarios siempre que sea posible. Si se aprueba este requerimiento y si el departamento ha decidido comprar libros de texto externos, el cambio a los textos universitarios resultará muy costoso. A continuación se muestra la tabla de pagos preliminar de la universidad (los pagos se dan en miles de dólares). Repaso del capítulo 797 Uso de libros Uso de libros Evento Probabilidad universitarios externos Requerimiento aprobado 0.70 $8 $13 Requerimiento no aprobado 0.30 16 13 a) Calcule el pago esperado para cada una de las dos decisiones. b) ¿Qué decisiones debe elegir la escuela de ingeniería? ■ 17-48 Allyson Smith, subgerente de Records and Tapes Unlimited, planea vender una revista semanal de músi- ca. Sabe que si la revista no se vende en una semana de publicada, se le considera sin valor en las tiendas. Allyson especula, con base en datos de ventas anteriores, qué tan bien se vendería la revista; sus ventas semanales y estimaciones de probabilidad son las siguientes: Número de revistas 500 600 700 800 900 Probabilidad 0.10 0.12 0.15 0.33 0.30 La revista tiene un costo de producción de $0.70 cada una, pero Records and Tapes Unlimited planea venderla en $1.50. Determine el número óptimo de revistas que la tienda debe ordenar, usando el criterio de decisión del valor esperado. ■ 17-49 Las afiliadas de la fraternidad Alpha Zeta de una pequeña universidad del Medio Oeste de Estados Uni- dos se están preparando para participar en la celebración anual de tres días de primavera de la escuela. Como en años anteriores, el club estará a cargo de un puesto de refrescos, vendiendo bebidas a $0.75 el vaso. Deduciendo el pago del establecimiento y los costos materiales, el club incurre en un costo de $0.35 por cada vaso (8 onzas) de refresco. Los datos recolectados de la celebración del año anterior indican que las ventas totales de refrescos tienen distribución normal con media de 960 y desviación estándar de 140. Determine la cantidad de refresco (en onzas) que las socias deberían comprar. ■ 17-50 El administrador en jefe de una cadena de casas de convalecencia desea abrir una nueva instalación en el sur de California. Su decisión de construir una instalación de 50, 75 o 150 camas se basará en si la demanda esperada es baja, media o alta. Según su experiencia, construye la siguiente tabla de ganancias a corto plazo: Evento Probabilidad 50 camas 75 camas 150 camas Demanda baja 0.2 $41,000 $12,000 $53,000 Demanda media 0.3 52,000 68,000 24,000 Demanda alta 0.5 65,000 80,000 117,000 a) ¿Qué tamaño de instalación debería construir el administrador? b) Calcule la ganancia esperada con información perfecta. c) Use su respuesta en el inciso b) para calcular el valor esperado de información perfecta para el administrador. ■ 17-51 La University Gear Sweatshop es una tienda de ropa que surte a los estudiantes de una universidad cono- cida por su fantástico récord de fútbol. Janet Sawyer, la gerente de la tienda, quiere decidir si ordenar más sudaderas impresas con el nombre y mascota del equipo. Si el equipo pierde el campeonato este año, las sudaderas adicionales no se venderán muy bien, pero si el equipo gana, espera poder tener una alta ganancia con ellas. El periódico local predice 65% de probabilidad de que el equipo gane el campeonato. Sawyer ha construido la siguiente tabla de pagos (para las sudaderas adicionales): Almacenar No almacenar Evento sudaderas adicionales sudaderas El equipo gana $6,110 $0 El equipo pierde $1,500 $0 ¿Qué curso de acción debe tomar la señora Sawyer? ■ 17-52 Un distribuidor local de teléfonos, Phones and More, planea hacer una oferta especial esta semana en su máquina contestadora de activación remota. La tienda necesita decidir cuántas máquinas contestadoras “estándar” y “remotas” solicitar al fabricante. Basándose en experiencias anteriores, la gerencia estima las ventas de la máquina remota según se muestra en la siguiente tabla. Ventas 15 16 17 18 19 20 21 Probabilidad 0.12 0.17 0.26 0.23 0.15 0.05 0.02 798 Capítulo 17 Teoría de decisiones El precio al menudeo de la máquina remota es $89.95, pero el costo de Phones y More será $75.50. Use el análisis marginal para determinar el número de máquinas remotas que debe ordenar el distribuidor. ■ 17-53 Los tratados comerciales se han suspendido y existe una fuerte posibilidad de que los autos de lujo importados tengan que pagar aranceles que están en proceso de evaluación. El dueño de Motors piensa duplicar la orden de importación mensual normal. Si se aprueban los aranceles, la empresa obtendrá una ganancia alta en los autos que ya están en el país. Pero si no se aprueban los impuestos, los costos de inventario (principalmente el interés sobre la línea de crédito de la compañía) reducirá la ganancia. La siguiente tabla proporciona la mejor estimación del dueño de las probabilidades y pagos. Decisión de ordenar Evento Probabilidad Duplicar No duplicar Aranceles aprobados 0.15 $240,000 $100,000 Sin aranceles 0.85 $220,000 $280,000 ¿Qué debe hacer el dueño? ■ 17-54 Las acciones tecnológicas muestran una gran volatilidad en el precio, según si el análisis en Wall Street percibe que el siguiente producto de la compañía tendrá éxito. Al final del primer trimestre de 2004, un grupo de inversionistas estudió la posición de las acciones de Digital Equipment Corporation (DEC) que se vendían a $31.50, casi 50% abajo del costo base para el grupo. El grupo tenía un horizonte de inversión a enero de 2005 y discutía si debían vender las acciones. El consenso de opinión de los expertos era que el precio más probable (esperado) en enero de 1995 de las acciones de DEC sería $35 por acción, pero podría bajar (digamos a $25). Había cierta esperanza de que se vendieran hasta en $50, según la fuerza del nuevo chip Alpha, un diseño propio rápido sobre el que DEC planea lanzar una nueva línea de computadoras. El grupo de inversionistas tiene reservas sustanciales de efectivo sobre las que esperan ganar 8% en los 9 meses que faltan para enero de 2005. Además de mantener las acciones hasta enero de 2005 o venderlas ahora y colocar el ingreso junto con su reserva de efectivo, los inversionistas pueden reinvertir los ingresos en LEAPs (opciones a largo plazo) sobre las acciones de DEC. Un LEAP es el derecho a comprar una acción en el futuro a un precio fijo. En marzo de 1994, el costo de un LEAP por el derecho a comprar una acción de DEC a $30 es $6. Este LEAP expira en enero de 1995. Si el precio de la acción de DEC en ese momento es más alto que $30, los inversionistas ejercen el LEAP y luego venden la acción de DEC. Si el precio de la acción de DEC es menor que $30, entonces el LEAP expira y no tiene valor. En lo siguiente, ignore las consecuencias de impuestos y suponga que las tarifas por transacción son despreciables debido al gran número de acciones involucradas. Los inversionistas tienen 100 acciones de DEC, de manera que si venden ahora a $31.50 por acción, pueden usar el ingreso de $3,150 para comprar LEAPs sobre 525 ( 3,150/6) acciones de DEC. a) ¿Cuánto dinero tendrán los inversionistas en enero de 1995 si venden sus acciones ahora y colocan los ingresos con sus reservas de efectivo? b) Suponga que estiman probabilidades de 0.25, 0.50 y 0.25 de que las acciones de DEC se vendan en $25, $35 y $50 en enero de 1995. Calcule cuánto esperarían recibir si i. conservan las acciones hasta enero de 1995 antes de venderlas, ii. venden las acciones ahora, pero compran LEAPs, y los liquidan (los ejercen o dejan que expiren) en enero de 1995. c) ¿Qué estrategia recomendaría? ¿Por qué? Repaso del capítulo 799

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