Cap 1, Finanzas Para Emprendedores, F Roca

CAPÍTULO 6 – BALANCEAR RIESGO Y RETORNOESPERADO “A lot of people approach risk as if it's the enemy when it's really fortune's accomplice” -Sting (1951-), English rock singer LA TEORÍA DE MARKOWITZ ¿Ha considerado usted invertir en la bolsa? Con una conexión a internet, hoy puede hacerlo sin moverse de su casa. Distintos sitios web ofrecen alternativas de inversión incluso para inversores pequeños, que con no mucho más que 5,000 dólares ya pueden abrir una cuenta y operar. Si lo entusiasmó la idea, permítame poner a prueba su criterio para elegir inversiones. Le haré 3 preguntas. 118 FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    1. En qué empresa invertiría: ¿Coca‐Cola o Fulanita? (Figura 63) Figura 63 ‐ ¿Coca‐Cola o Fulanita? 119 2. En qué empresa invertiría: ¿Coca‐Cola o Menganita? (Figura 64) Figura 64 ‐ ¿Coca‐Cola o Menganita? 120 FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    3. En qué empresa invertiría: ¿Coca‐Cola o Apple? (Figura 65) Figura 65 ‐ ¿Coca‐Cola o Apple? La pregunta 1 se refiere a dos empresas que tienen el mismo nivel de riesgo, pero distinta rentabilidad. Probablemente usted eligió Coca‐Cola, que es la que ofrece mayor rentabilidad (si eligió Fulanita, por favor escríbame y cuénteme por qué). La pregunta 2 se refiere a dos empresas que ofrecen la misma rentabilidad, pero tienen distinto riesgo. Probablemente usted eligió Coca‐ Cola, que es la que tiene menor riesgo. La pregunta 3 es más difícil: las dos empresas son distintas tanto en la rentabilidad como también en el riesgo. Podríamos decir que, en este caso, para ganar más hay que arriesgar más. ¿Puede usted asegurar que alguna de las dos es mejor? A principios de los años ’50, Harry Markowitz revolucionó las finanzas con una teoría de inversiones que ofrece algunas respuestas a las preguntas anteriores. Si usted contestó 1) Coca‐ Cola, 2) Coca‐Cola y 3) No sé, Markowitz le diría que tiene una mala estrategia en las tres situaciones. 121 Asumiendo a los retornos como variables aleatorias y con distribución normal, Markowitz (1952, p. 80) calculó dos de sus parámetros: la media (el retorno esperado) y la desviación estándar (el riesgo). Encontró que al combinar distintos activos financieros, el retorno de la cartera resultante es el promedio de los retornos (ponderado por las cantidades invertidas en cada activo), pero el riesgo no lo es. El riesgo de una cartera, de acuerdo con su teoría, depende de las covarianzas entre los activos. En otras palabras, ¿quiere usted formar un equipo con Messi, Tevez, Forlán, Neymar, Higuaín, Di María, Rooney, Van Nistelrooy, Chicharito Hernández, el niño Torres y Cristiano Ronaldo? Son todos muy buenos jugadores, es cierto, pero ¡son todos delanteros! ¿No sería mejor quitar algún delantero, y en su lugar poner un portero? ¿No sería mejor sacar seis o siete delanteros más, y reemplazarlos por defensores y mediocampistas? (por ejemplo, si usted quiere jugar 4‐3‐1‐2). Para Markowitz, en términos de riesgo, no son tan importantes las características individuales, sino el juego en equipo, por eso busca covarianzas: quiere saber cómo los pares de activos se mueven juntos. Por ejemplo, dos delanteros se mueven en el mismo sentido, ambos tratan de hacer goles (sería el equivalente a una correlación +1). Un delantero y un portero, en cambio, se mueven en sentidos opuestos (correlación ‐1). Un delantero y un mediocampista, se mueven en sentidos distintos (correlación 0, 0.5, ‐0.3, etcétera). Observe ahora en una gráfica la covarianza entre Coca‐Cola y Fulanita (Figura 66). Es negativa: en general, los retornos buenos de Fulanita ocurren cuando Coca‐Cola tiene sus retornos malos. Uno de los activos financieros tiene la capacidad de actuar como una especie de “seguro” del otro. Es decir que son buenas inversiones para combinar juntas en un portafolio. 122 31%) y la otra mitad en Coca‐Cola. en lugar de aumentar. 123 . En otras palabras. puede distribuir su cartera en partes iguales.31%. no siempre para ganar más hay que arriesgar más. agregando a su portafolio acciones de Coca‐Cola. medido como desviación estándar). en tanto que su riesgo.49%. su rentabilidad aumenta un 126% (de 0.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Figura 66 ‐ Covarianza entre Coca‐Cola y Fulanita La covarianza tiene efectos interesantes. podría mejorar tanto su rentabilidad como también su riesgo. por ejemplo.11%). Por efecto de la covarianza negativa.90%). asumiendo un riesgo de 4.49% a 1. dejando la mitad en Fulanita (por la cual esperaba una rentabilidad de 0. para Markowitz. la combinación de dos inversiones que tienen el mismo riesgo (4. Por ejemplo. ¡disminuye! (Figura 67). Si usted tuviera. todo su dinero invertido en Fulanita. resulta en una cartera con menos de la mitad de riesgo que cualquiera de las dos (1. El resultado es que en la nueva cartera. ¡Nada de eso! Markowitz le diría que por favor sí considere a Menganita. Efectivamente. y así obtener el coeficiente de correlación. De tal forma que si usted tiene todo su dinero invertido en Coca‐Cola. obtiene una cartera con 124 . No parece tener mucho sentido considerar una inversión como Menganita. dividiéndola por el producto de las desviaciones estándar de las dos inversiones. si usted mantiene en su cartera un 54% de Coca‐Cola. Los retornos de Coca‐Cola y Menganita se mueven de modo independiente.31%. que ofrece la misma rentabilidad (1. los activos no se mueven exactamente en el mismo sentido. En este caso. la correlación es cercana a cero. usted puede lograr eso agregando a su portafolio una inversión que es individualmente más riesgosa que Coca‐Cola. que es una covarianza que como máximo va a tomar un valor +1. Mientras el coeficiente de correlación sea inferior a 1. la covarianza entre ambas inversiones es positiva. pero no sabemos qué tan alta es.Figura 67 ‐ Portafolio Coca‐Cola + Fulanita Considere ahora que usted tiene todo su dinero invertido en Coca‐Cola. mezclándola con un 46% de Menganita. Es cierto. Podemos estandarizarla. Por ejemplo. la covarianza es positiva. y como mínimo ‐1. pero que combinadas. Además. según Markowitz.73%. con un riesgo de 4. y por lo tanto alguna diversificación de riesgos es posible.66%).73%) pero con un riesgo mayor (4. funcionan bien. Está contento obteniendo un retorno de 1. puede mantener la misma rentabilidad que tenía pero reducir el riesgo. según Markowitz. Así es: el agregado de una inversión más riesgosa que lo que teníamos no implica. ¿Qué inversión eligió usted originalmente? Es difícil encontrar un criterio. En tanto tengan una correlación baja con el resto de los activos de la economía. como por ejemplo bonos de países emergentes –que individualmente serían percibidos como muy riesgosos‐ a veces son muy buscados por los inversores. pero con menor desviación estándar (3. Ya es posible adivinar qué diría Markowitz: no se decida por ninguna de las dos.63%. que el riesgo total aumentará. puesto que las dos tienen distintos niveles de rentabilidad esperada y también de riesgo. según su teoría.99%.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    la misma rentabilidad que Coca‐Cola (1. y menos riesgo que ambas (4. son interesantes para incluir en una cartera.73%). el retorno esperado sube a 3. Comprando un 100% de Coca‐Cola. el retorno esperado es 1. La mejor alternativa.26%). necesariamente. obteniendo una cartera que ofrece más retorno que Coca‐Cola (2. Figura 68 ‐ Portafolio Coca‐Cola + Menganita Finalmente: Coca‐Cola y Apple. Esto explica por qué algunas inversiones. Comprando un 100% de Apple. Lo mejor es combinarlas.73% y el riesgo 4. es la que 125 . La mejor cartera. sería comprar un 81% de Coca‐Cola y un 19% de Apple. punto violeta).16%). La línea naranja de la Figura 69 muestra portafolios con distintas cantidades de las dos inversiones.14%).31% (punto azul). pero a costa de un mayor riesgo (6. 16% y reducir el riesgo a un nivel inferior al que tendrían individualmente cualquiera de las dos acciones (4. Figura 69 ‐ Combinaciones de Coca‐Cola y Apple En este punto. punto verde). pero en la sección que sigue se lo contamos con más detalle.14%. La Figura 70 muestra el soporte de cálculos para este caso.minimiza el riesgo: comprar un 81% de Coca‐Cola y un 19% de Apple tiene el efecto de llevar la rentabilidad esperada a 2. desarrollando paso a paso la teoría de Markowitz. usted puede preguntarse cómo llegamos a obtener las cantidades óptimas de Coca‐ Cola y Apple. 126 . Si hubiera un único resultado posible (y por lo tanto tuviera un 100% de probabilidad de ocurrir) entonces no habría riesgo sino 127 . el retorno esperado puede ser distinto del real. Markowitz (1952) introdujo una de las primeras.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Figura 70 ‐ Portafolio Coca‐Cola y Apple ¿QUÉ ES EL RIESGO? En su noción más simple. sino es su correlación con otros activos de la economía. Aun cuando las finanzas modernas descansan en el supuesto de que los inversores son racionales (en cuanto a que eligen siempre mayor retorno y menor riesgo). al medir el riesgo de un activo individual con la varianza y desviación estándar de sus retornos. ello no significa que rechazan el riesgo sino que buscan un retorno esperado suficiente para compensarlo. Abarca dos conceptos: el daño y la chance de que éste ocurra. La teoría de Finanzas incluye distintas definiciones de riesgo. Posteriormente. Cuando existe riesgo. el riesgo es entendido como la probabilidad de tener una pérdida. Sharpe (1964) consideró el “beta” como medida de riesgo relevante: la importancia de las covarianzas resaltada por Markowitz hizo que la forma de estimar el riesgo no estuviera centrada en el riesgo individual de una inversión u otra. and Profit”. no podríamos hacer ningún cálculo. Esta definición está en línea con Markowitz: cada vez que estimamos el riesgo empleando su teoría. 1921. el riesgo es susceptible de medición. siguen un trabajo clásico de Frank Knight llamado “Risk. El problema está en confiar. son más prudentes en el tratamiento de las predicciones. cuando en realidad hay una eternidad de factores 128 . Saben que ninguna teoría rigurosa puede adjudicarse la capacidad de predecir el futuro. cuando hay una serie de posibles resultados (y cada uno de ellos tiene una determinada probabilidad de ocurrir) existe riesgo o incertidumbre: más cosas pueden suceder de las que van a suceder. mensuales o diarios? ¿desde qué fecha?) o de estimar las probabilidades (¿por qué asumimos que todos los retornos tienen la misma probabilidad de ocurrir?). Para cualquier modelo financiero. I. Los economistas austríacos. y finalmente evaluando qué tanto se aleja cada posible resultado de dicho valor esperado. en que los modelos de estimación de riesgo darán resultados exactos. recuerda que el riesgo es la “palabra mágica” en Finanzas. estamos asumiendo que conocemos los posibles resultados futuros. Uncertainty. lo único que debe hacer es lucir confiado y decir “debe ser el riesgo”. Por el contrario. Simon Benninga (2006. De otro modo. Eso es lo que hacen exactamente una varianza. de Wharton Business School. con cierta ingenuidad. El concepto práctico del riesgo es algo más complejo. Recomienda un modo de parecer inteligente en una presentación financiera: simplemente lucir escéptico y preguntar “¿Ha considerado usted los riesgos?”. 312). Dentro de las finanzas neoclásicas. Jorion (2007. en términos de Knight.I. define al riesgo como la volatilidad de resultados no esperados (“the volatility of unexpected outcomes”). en cambio. Por lo general. y por ello observan rápidamente que la aparente objetividad de estos cálculos desaparece en el momento de elegir los datos (¿hay que usar retornos anuales. “asumimos” que en el mundo real hay riesgo. Las personas en el fondo “saben” que no conocen todos los posibles resultados (mucho menos sus probabilidades). Para Knight. que pueden representar el valor de distintos activos financieros. p. en tanto que la incertidumbre no lo es (Knight. o una desviación estándar. p. 3). p. 26). Por ello distinguen entre “riesgo” e “incertidumbre”. Cada vez que una persona no puede explicar algo. estamos calculando un resultado “esperado” en base a ellos.certeza o certidumbre. alertando sobre aquello que siempre escapa a lo que podemos anticipar. evidentemente. y 2) que los mismos se distribuyen normalmente. RIESGO Y RETORNO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL Retorno de un Activo Individual El retorno de una inversión es la ganancia o pérdida que ella experimenta durante un período determinado. Puede calcularse como la variación en el precio del activo financiero (ganancia o pérdida de capital) más los flujos de caja producidos (dividendos. en relación al capital invertido. Tanto en presencia de riesgo como de incertidumbre. Sin embargo el concepto de riesgo implica asumir que se conocen los posibles resultados (y como consiguiente su probabilidad de ocurrencia). expresados como un porcentaje en relación al capital invertido al inicio del período 129 . podemos ver que él está usando dos medidas que son parámetros de una distribución normal: la media y la varianza (o desviación estándar).FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    que les escapan. los resultados esperados pueden ser distintos a los reales. intereses). De tal forma que como mínimo está haciendo dos supuestos muy importantes: 1) que se conocen los posibles retornos y sus probabilidades de ocurrencia. Figura 71 ‐ Riesgo e Incertidumbre Poniendo atención a la teoría de Markowitz. en cambio en incertidumbre ni los posibles resultados ni sus probabilidades son conocidas (Figura 71). o para cualquier activo financiero. si ganamos $20 con una inversión de $100. El retorno de una acción es el porcentaje que surge de comparar –por un determinado período‐ la variación de su precio (ganancia o pérdida de capital) más los dividendos con el precio al inicio del período (Ecuación 36). bonos. Ecuación 36 ‐ Retorno de una acción donde: Ri= Retorno de la acción i PT= Precio de la acción en el momento T PT‐1= Precio de la acción en el momento T‐1 DT= Dividendos durante el período desde T‐1 hasta T 130 . hemos tenido un retorno del 20% ($20/$100). Podemos calcular retornos para acciones. una medida de retorno relaciona una ganancia con una inversión. Por ejemplo.para generarlos. En otras palabras. Por ejemplo.31.71%).FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Figura 72 ‐ Retorno trimestral de acciones de GE Por lo tanto no es posible estimar cuál fue el retorno de una acción simplemente observando su gráfica de precios. pero el mismo no es suficiente para compensar la pérdida de capital por haber vendido a $9. El retorno de un accionista tiene dos componentes. Durante dicho período la empresa pagó un dividendo de $0. el retorno para acciones de General Electric en un período de 3 meses entre diciembre de 2008 y marzo de 2009 fue negativo (‐38. el cual comparado con el precio pagado por la acción resultó en un rendimiento parcial (“dividend yield”) de 1. La comparación entre rendimientos de distintas acciones debe considerar siempre ambos componentes: por ejemplo si se compara GE con otra 131 .54 una acción que se había comprado tres meses antes a $16. que son sumas de dinero que el accionista recibe y que forman parte de su rentabilidad.07 (Figura 72).9%. Hay que considerar también los dividendos. que se evidencian en el ejemplo: 1) la ganancia o pérdida de capital y 2) el dividend yield. Al tratarse de una medida de rendimiento histórica. sin embargo el precio de las acciones de la otra empresa podría haber subido. En la valuación de activos financieros los retornos ex‐post sólo son relevantes si se espera que la historia se repita: la valuación se construye sobre retornos esperados (ex‐ante). superando el retorno total de GE. En esos casos. 132 . Este tipo de retorno no asume nada acerca de la distribución de posibles resultados ni sus probabilidades.empresa que no paga dividendos se llegará erróneamente a la conclusión que el retorno de GE es más alto. Cada posible retorno (Rj) es multiplicado por su probabilidad de ocurrencia (Pj). Evidentemente. que sumándolos todos y dividiendo por el número de retornos (por eso se hace posible usar la función “PROMEDIO” de Excel). el retorno anterior es un retorno ex‐post. Figura 73 ‐ Retornos ex ante y ex post La fórmula que presenta Markowitz para calcular retornos (Ecuación 37) no es un promedio simple. Por ello se hacen supuestos sobre los retornos tales como probabilidades o distribución (Figura 73). las dos metodologías coinciden cuando la probabilidad de ocurrencia de todos los retornos es la misma (equiprobabilidad). es posible llegar al mismo resultado multiplicando cada posible retorno por su probabilidad. sino un promedio calculado a partir de las probabilidades. 3%). el retorno será 6%. el retorno será 12%. En este ejemplo. La suma de todas las probabilidades es. Multiplicar cada posible retorno por su probabilidad de ocurrencia y luego sumar (ésta es la elegida por Markowitz) 2. La probabilidad de cada uno es 1/3 (o 33. hay dos formas para calcular el retorno esperado: 1. puesto que las probabilidades son todas iguales. Los 3 escenarios se asumen igualmente probables. No hay otras posibilidades: los tres escenarios agotan todo lo que puede ocurrir en la realidad. y la dispersión de los posibles retornos con respecto al promedio constituye una medida de su riesgo. Por ejemplo para una inversión se vislumbran 3 posibles retornos: si el mercado está en alza. Sumar todos los posibles retornos y dividir por 3 133 . si el mercado se mantiene normal el retorno será 9% y si el mercado cae. evidentemente.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Ecuación 37 ‐ Retorno esperado de 1 activo donde: Rj = Posibles retornos de cada período (desde 1 hasta n) Pj = Probabilidad de cada posible retorno Riesgo y retorno esperado pueden representarse graficando los posibles retornos y sus probabilidades de ocurrencia. El promedio de los posibles retornos (ponderado por probabilidad) es una medida del retorno esperado de la inversión. 100% (Figura 74). Riesgo de un Activo Individual Dos negocios pueden tener el mismo retorno esperado y sin embargo ser distintos en términos de riesgo. Por ejemplo.Figura 74 ‐ Retorno esperado y probabilidades La fórmula de Markowitz requiere multiplicar cada posible retorno por su probabilidad. por lo tanto si las probabilidades asignadas a cada posible escenario difieren no podrá usarse esta función sino que deberá emplearse la fórmula general (Ecuación 37). considere dos negocios para los cuales se espera una rentabilidad del 9% 134 . el mismo resultado se obtiene sumando todo y dividiendo por 3: La función “PROMEDIO” o “AVERAGE” de Excel permite calcular el retorno esperado pero asume que todas las probabilidades de ocurrencia son iguales. sin embargo en este ejemplo como todas las probabilidades son iguales (equiprobabilidad). y también la de perder más dinero: la dispersión con respecto al retorno esperado es mayor. Gráficamente. Finalmente promediándolas con su probabilidad se llega a una medida de riesgo de los retornos. en tanto que en el negocio rojo sólo puede alejarse un 3% (6%‐9%). en el negocio verde existe la posibilidad de ganar más dinero que en el rojo. estas diferencias pueden verse en la longitud de los segmentos verde y rojo (Figura 76). elevando al cuadrado cada una de estas diferencias se evita que diferencias positivas y negativas se cancelen mutuamente. Si bien el retorno esperado es el mismo.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    (Figura 75). la varianza. Dado que el cuadrado de cualquier número es siempre un número positivo. Figura 75 ‐ Igual retorno esperado pero distinto riesgo La comparación entre cada posible retorno y el esperado ofrece una idea del riesgo: en el negocio verde la rentabilidad podría ser 5% inferior a la esperada (4%‐9%). 135 . la varianza de los retornos de un activo financiero es un valor esperado. una medida de riesgo que no difiere conceptualmente de la varianza. pero que es su raíz cuadrada ‐y por lo tanto está expresada en la misma unidad de medida que los retornos. Por eso en Finanzas se utiliza generalmente la desviación estándar. Ecuación 38 ‐ Varianza de 1 activo i donde: 136 . que pondera las diferencias de cada posible retorno con respecto al retorno esperado. previamente elevadas al cuadrado (Ecuación 38). Está expresada en una unidad diferente a los retornos: por ejemplo si los retornos están en dólares. En resumen.Figura 76 ‐ Igual retorno esperado pero distinto riesgo La varianza de los retornos es siempre un número positivo. la varianza estará expresada en dólares al cuadrado. para que se transformen en números positivos y no se compensen entre ellas 3.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Para calcular la varianza de un activo financiero podemos armar una planilla de cálculo simple en 3 pasos: 1. Calcular las diferencias de cada posible retorno con respecto al retorno esperado 2.17% respectivamente (Figura 77). 137 . llegamos a que las varianzas son 0. Promediar multiplicando cada cuadrado por su probabilidad de ocurrencia y sumar Aplicando estos tres pasos para los negocios rojo y verde. Elevar las diferencias al cuadrado.06% y 0. con lo cual no admiten distintas probabilidades de ocurrencia. “VAR”. sin embargo asume equiprobabilidad. 13 Existe en Excel una función parecida. Las fórmulas que utiliza Excel en cada caso son las siguientes: 138 . Ambas dividen directamente por el número de observaciones.Figura 77 ‐ Varianza de activos individuales en Excel La función “VARP”13 de Excel permite calcular la varianza de los retornos de un activo. La diferencia entre las funciones “VAR” y “VARP” es que “VARP” se aplica al trabajar con toda la población. en tanto que “VAR” asume que se está trabajando solamente con una muestra y hace por lo tanto un ajuste para la población. por lo cual no es aplicable cuando los retornos tienen distinta probabilidad de ocurrencia. ya que se aplica directamente sobre los retornos. y por ello indirectamente asumimos que trabajamos con la población completa. (“DESVEST”. encontró que al combinarlas. que conforman una cartera o portafolio. Para el retorno esperado necesita simplemente la fórmula de un promedio ponderado. Comenzaremos con el primero de ellos: el retorno esperado de un portafolio p. pero no sirven para quienes tienen un grupo de activos. es el promedio de los retornos esperados de A y de B. en inglés) evita calcular previamente la varianza. Las funciones para muestra no terminan en los mismos resultados que las fórmulas de Markowitz. la desviación estándar surge simplemente de computar su raíz cuadrada (Ecuación 39). puesto que la suma de las probabilidades siempre debe ser igual a 1. estamos asumiendo que conocemos “todos” los posibles eventos futuros. a partir de la varianza En caso que usted quiera usar Excel. ponderado por la proporción en la que cada uno integra el portafolio (Ecuación 40).FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Pasemos ahora a la desviación estándar. 139 . o “STDEV”). Recuerde que también asume equiprobabilidad. Ecuación 39 – Desviación estándar de un activo i. compuesto por 2 activos A y B. Puesto que Markowitz definió a los retornos como variables aleatorias. RIESGO Y RETORNO DE UN PORTAFOLIO Retorno de un portafolio Las medidas de riesgo y rentabilidad esperada presentadas en la sección anterior son apropiadas para aquellos inversores que tienen todo su dinero concentrado en un único activo financiero. asume que usted está trabajando con una muestra. que al no tener la “P” final. y por lo tanto hace un ajuste para inferir a toda la población. Hay otra función similar en Excel. en tanto que para la varianza debe emplear una matriz de covarianzas. Una vez calculada la varianza. la media del portafolio era un promedio ponderado de las medias de los activos. pero no la varianza. En este caso. la función “DESVESTP” (o “STDEVP”. por ejemplo wA=40% y wB=60%. y el 30% restante en un plazo fijo.5% ( Figura 78). 140 . indicando que se trata de una venta corta (“short sale”14). por el cual espera un rendimiento del 5% anual. Por ejemplo. entonces el rendimiento esperado total de su cartera será 8. 14 Una venta corta o “short sale” es la venta de un activo que no se posee.Ecuación 40 ‐ Retorno esperado de un portafolio donde: y wA + wB = 1 La suma de las proporciones invertidas en cada activo debe ser siempre 100%. por las cuales espera una rentabilidad del 10% anual. si usted tiene 100. Una de las proporciones podría ser negativa.000 dólares y piensa invertir el 70% en acciones de Wal‐Mart. por ejemplo wA= ‐30% y wB=130%. Vea por favor nuestra sección al respecto. Cuando un inversor tiene todo su dinero concentrado en un único activo. aunque individualmente el segundo activo tuviera una mayor varianza que el que originalmente tenía. por otra parte. Tampoco de las desviaciones estándar (Figura 79). el hecho de agregar a su cartera un segundo tipo de activo generalmente reducirá el riesgo total de la cartera. no solamente las varianzas individuales de cada activo sino la covarianza entre ellos. al momento de calcular el riesgo de un portafolio. La posibilidad de diversificar riesgos hace necesario evaluar. 141 . no es el promedio de las varianzas.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Figura 78 ‐ El Retorno de un portafolio es el promedio de los retornos Riesgo de un portafolio El riesgo del portafolio. queda: Teniendo en cuenta que el cuadrado de una suma es igual a: La ecuación de la varianza del portafolio se transforma en: 142 . la varianza de un portafolio P de 2 activos es el valor esperado de las diferencias con respecto a la media del portafolio. puesto que los retornos están definidos como variables aleatorias. elevados al cuadrado: Sustituyendo con la Ecuación 40 ‐ Retorno esperado de un portafolio.Figura 79 – El riesgo de un portafolio no es el promedio de las desviaciones estándar Nuevamente. VARPB) y de la Covarianza entre ambos activos (COVARA. La varianza del portafolio de 2 activos queda entonces como muestra la Ecuación 42: Ecuación 42 ‐ Varianza de un portafolio de dos activos A y B donde: 143 .B). se obtiene que la varianza de un portafolio de 2 activos depende de las proporciones (WA. WB). de las varianzas individuales (VARPA. puede expresarse como: Dentro del segundo término hay un retorno esperado que es en realidad la covarianza entre los retornos de los dos activos (Ecuación 41): Ecuación 41 ‐ Covarianza entre 2 activos Sustituyendo en la fórmula de la varianza del portafolio.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Gracias a las propiedades que tienen los valores esperados. hemos calculado ‐en primer lugar ‐medidas de retorno esperado y riesgo para activos individuales. invirtiendo en cantidades al azar de distintos activos. Nos queda entonces una ecuación para obtener la cantidad óptima del activo A (Ecuación 44): Ecuación 44 ‐ Cartera de Mínima Varianza 144 . y en ellos el retorno esperado puede calcularse como el promedio ponderado de los retornos. Dado que la suma WA+WB tiene que ser igual a 1. sino cómo se mueven en conjunto sus retornos. lo importante para saber cuánto riesgo tiene una cartera no es qué tan riesgosas sean individualmente las inversiones que la componen. LA CARTERA DE MÍNIMA VARIANZA La pregunta inevitable. para los cuales ponderamos posibles retornos con sus respectivas probabilidades de ocurrencia. una vez calculado el riesgo del portafolio. es posible despejar una de las proporciones y luego calcular la otra por diferencia. puede obtenerse armando un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas. es cómo hacemos para bajarlo. pero ellos no nos asegurarán un buen desempeño. ¿Qué portafolio deberíamos armar para aprovechar al máximo los beneficios de la diversificación? En un portafolio de 2 activos la respuesta es sencilla. Podemos armar portafolios aleatoriamente.La desviación estándar del portafolio es simplemente la raíz cuadrada de su varianza (Ecuación 43). Luego hemos combinado activos individuales para formar portafolios. Ecuación 43 – Desviación estándar de un portafolio En resumen. Por ello. pero el riesgo depende de la covarianza. por lo cual puede no estar instalada dentro de las funciones básicas. es un coeficiente que relaciona la prima de riesgo esperada para un portafolio con la desviación estándar de sus retornos (Ecuación 45). El Sharpe Ratio El Sharpe Ratio. comparándolo con el retorno esperado. en la sección “Options”. Es una forma de evaluar qué tan adecuado es el retorno esperado de un portafolio. en comparación con una inversión sin riesgo. El denominador es el riesgo asociado con la obtención de tal retorno. que toma su nombre de su creador William Sharpe (1994). en relación a su riesgo. es decir la media de los posibles retornos (Ecuación 46). el Sharpe Ratio es una medida del retorno adicional del portafolio. 145 . podemos construir distintos indicadores de desempeño de la cartera. Ecuación 46 ‐ Coeficiente de Variación Coeficiente de Variación  Desviación estándar de los retornos del portafolio Retorno esperado del portafolio 3. Los más tradicionales son: 1. con relación a la variabilidad de sus retornos. o bien en la sección “Herramientas de Análisis”.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Para más de dos activos. En otras palabras. Ecuación 45 – Sharpe Ratio Sharpe ratio  Retorno esperado del portafolio . LA CARTERA DE MÁXIMO DESEMPEÑO Comparando la rentabilidad y el riesgo estimados en los apartados anteriores. El Índice de Desempeño 15 La función “SOLVER” es un complemento de Excel. 2.Tasa libre de riesgo Desviación estándar de los retornos El numerador del ratio es el retorno en exceso que podría obtenerse invirtiendo en el portafolio. El Coeficiente de Variación A la inversa del Sharpe Ratio. las proporciones que minimizan el riesgo pueden obtenerse utilizando la función “SOLVER” de Excel15. el Coeficiente de Variación (CV) ubica el riesgo en el numerador. Es posible instalarla dentro del menú principal de Excel. Invirtiendo el Coeficiente de Variación es posible obtener un coeficiente que relaciona el riesgo y el retorno esperado de la cartera. El Índice de Desempeño es la comparación entre la rentabilidad que esperamos por una cartera y el riesgo asociado con ella. Sabemos que un análisis real comprende típicamente más de 5 años de datos. adicionando al final el ratio de Sharpe. También está Pfizer. Analizaremos los retornos mensuales de 3 compañías: Pfizer Inc. por lo cual nos pregunta si no debiera vender sus acciones de Microsoft y comprar Pulte en su lugar. pero que a diferencia del Sharpe Ratio no utiliza la prima de riesgo (el retorno en exceso por encima de la tasa libre de riesgo). Aplicaremos a nuestro ejemplo todas las fórmulas mencionadas en el capítulo: 146 . lo cual hace dudar aún más a nuestro inversor. Ecuación 47 ‐ Índice de Desempeño Índice de Desempeño  Retorno esperado del portafolio Desviación estándar de los retornos del portafolio EJEMPLO: PORTAFOLIO DE INVERSIÓN. que ofrece más rentabilidad que Microsoft (aunque menos que Pulte) y con un bajo nivel de riesgo. Queremos asesorar a un cliente que nos ha pedido que lo ayudemos a invertir. Microsoft (MSFT) y Pulte Group (PHM). pero en esta oportunidad lo hemos simplificado con el objetivo de presentar las herramientas de forma didáctica y entrenar a nuestros lectores en la construcción de un portafolio. sino directamente el retorno esperado. es una medida del trade‐off entre riesgo y retorno esperado de la cartera (Ecuación 47). Actualmente tiene acciones de Microsoft. PASO A PASO Cómo organizar el trabajo En esta sección presentaremos un ejemplo completo del análisis de portafolios de inversión. aplicaremos el análisis clásico de portafolios de Markowitz. hemos seleccionado un período corto (septiembre 2011 a septiembre 2013). Al igual que los dos coeficientes anteriores. ¿Qué recomendación de inversión podemos darle? En base a una serie de datos históricos (y por lo tanto indirectamente asumiendo que de algún modo la historia se repite). pero ha observado que Pulte ofrece una rentabilidad mucho mayor. (PFE). El procedimiento y las conclusiones serán igualmente válidos para un período mayor. Para presentar con claridad nuestros resultados. con el gran tema del riesgo y la incertidumbre. Suponga que usted tiene que adivinar cuál será el retorno de Microsoft en el próximo año. Nos encontramos entonces. el punto de partida será –como ya hemos visto‐ proyectar los retornos “posibles”. Riesgos y Retornos Esperados de portafolios de 2 activos (PFE. Riesgos y Retornos Individuales a. Portafolio de mínima varianza c. Portafolio de mínima varianza c. Ahora. Coeficientes de correlación 3. Él separó claramente 2 etapas: la que consiste en estimar los posibles retornos y la que se refiere a analizarlos. Portafolio de partes iguales b. Riesgos y Retornos Esperados de portafolios de 3 o más activos (PFE. entonces para proyectar 5% o 7% usted tendrá 147 . Portafolio de partes iguales b. MSFT) a. una vez más. Varianzas c. Retornos esperados b. MSFT. Relación entre los dos activos a. no puede saberlo. puede emplear sus fórmulas para analizarlos. Desviaciones estándar 2. ¿Son entonces esos datos completamente inútiles? ¿Sería mejor no hacer ningún cálculo?. si leemos los datos y vemos que en los últimos 2 años el rendimiento promedio fue inferior al 2%. ¿Cómo puede estar seguro el inversor que los datos históricos que eligió serán los que se repitan en el futuro? A menos que tenga una bola de cristal.. ¿5% mensual? ¿7% mensual? Es difícil saber. PHM) a. Covarianzas b. Portafolio de máximo desempeño 4. La primera etapa es responsabilidad de cada inversor – dice Markowitz‐ que una vez que cuenta con los retornos que cree que son relevantes. Portafolio de máximo desempeño Primer paso: calcular los retornos y riesgos individuales Para estimar el retorno que en promedio esperaremos por una inversión. El alcance del trabajo de Markowitz dejó fuera esta parte del análisis..FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    1. en condiciones normales. 148 . Los retornos históricos. Es momento entonces de atacar la primera pregunta que nos hacemos naturalmente sobre cualquier inversión: ¿qué retorno tendrá? Puesto que los retornos tienen dos componentes (la parte proveniente de los dividendos y la ganancia de capital). incorporando no solamente la variación del precio sino también los dividendos recibidos (y los stock splits. nos ayudan a reducir la probabilidad de error. en tanto que la columna “Adjusted Close” tiene los precios ajustados por splits y dividendos.que justificarlo con algún hecho muy especial. sino que necesitamos precios ajustados. no podemos usar el precio de cierre de las acciones. que reducen artificialmente el precio de las acciones). La última columna es por lo tanto la que utilizaremos. Figura 80 ‐ Precios históricos La columna “Close” presenta el precio de cierre de las acciones. puesto que muestra en un único número tanto la ganancia de capital como también el dividend yield. siendo la probabilidad de cada uno de ellos 1/23). Multiplicando cada posible retorno por la probabilidad de ocurrencia y luego sumándolos (en el ejemplo hay 23 retornos. Esta forma de cálculo admite asignar diferentes probabilidades a cada posible retorno (cuya suma total debe por supuesto ser igual a 1). Cada retorno se calcula comparando la variación de un precio determinado (P1‐P0) con el precio anterior (P0). En Excel. Por ejemplo entre julio y agosto de 2013. y comparando esa variación con el precio base (P1‐P0)/P0 b) dividiendo el precio más reciente por el precio anterior. Por ejemplo. habrá un retorno negativo.58/15.39)‐1= ‐7. Si el precio subió entre un período y otro. En este caso nos quedaremos con la forma más simple (P1/P0‐1). la función para multiplicar y sumar ambas matrices es “SUMAPRODUCTO” (“SUMPRODUCT”. En cambio. 149 . ponderado por su probabilidad de ocurrencia (Figura 81).FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Los retornos de cada período  El cálculo de cada posible retorno vendrá de la comparación entre dos precios. Hay distintas fórmulas para llegar a este resultado: a) restando el precio más reciente menos el precio anterior. El retorno promedio  El retorno esperado es simplemente el promedio de los retornos.64. las acciones de Pulte cayeron de $16. en inglés). lo cual es conveniente por algunas propiedades de los logaritmos (Benninga. es decir tuvieron un retorno negativo igual a: (16. las acciones habían subido de $11. Si el precio bajó. p.58 a $15. 2.39.2%. Utilizando en Excel la función “PROMEDIO” (o “AVERAGE”. 2006. Podemos calcularlo de dos formas: 1. si las acciones subieron de $100 a $110 en un mes. y restándole 1: (P1/P0)‐1 c) calculando retornos compuestos continuamente. 331). con la fórmula en Excel =LN(P1/P0). Esta forma de cálculo solamente es válida cuando asumimos que la probabilidad de todos los retornos es la misma (en el ejemplo. es decir un retorno positivo del 21% en un mes. el retorno fue 10% mensual. 1/23).27 a $13. en inglés). en los mismos meses del año anterior. habrá un retorno positivo. 2.7% mensual).7%.6%). efectivamente. Sin embargo no podemos asegurarle a nuestro cliente que obtendrá un 2.4% de rentabilidad si vende sus acciones de Microsoft y se pasa a Pfizer.4% fue el promedio. De hecho. podemos encontrar para cada empresa: a) cuál fue el máximo retorno que obtuvo la empresa en 1 mes (función “MAX”). Empleando Excel. mes en el que hubo una caída del 5. Microsoft fue la empresa con menor retorno (en promedio.4% y en Pulte 6. 1. en tanto que las inversiones en Pfizer rindieron 2. pero en algunos meses los inversionistas de Pfizer ganaron mucho más que eso (por ejemplo en marzo de 2012 ganaron más de un 9% en un mes). y en otros casos perdieron dinero (la máxima pérdida fue en abril de 2013. 150 .Figura 81 ‐ Retornos esperados Este análisis nos permite ver que. 8% en diciembre de 2011. c) cómo se distribuyeron los retornos (función “FREQUENCY”). Sin embargo ninguna de estas dos empresas logró los rendimientos máximos de Pulte. también es interesante ver con qué frecuencia ocurrieron los rendimientos altos y los rendimientos bajos de cada empresa.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    b) cuál fue el mínimo retorno (ganancia o pérdida) que obtuvo la empresa en 1 mes (función “MIN”). Para ello podemos construir con Excel una tabla y una gráfica de distribución de frecuencias. cuyos accionistas llegaron a ganar más de un 30% sobre su capital en solamente un mes.7% como máximo en un mes. 15. Figura 82 – Distribución de frecuencias de los retornos Observando los retornos con más detalle. en tanto que los de Microsoft obtuvieron rentabilidades superiores a ese número en más de una oportunidad (13. En ellas es claro que los retornos de Pulte muestran una mayor dispersión con respecto al promedio (la 151 . Más allá de los máximos y mínimos. podemos ver que la rentabilidad máxima que hubiera podido obtener nuestro cliente en Pfizer no supera a la de Microsoft: los accionistas de Pfizer llegaron a ganar 9.7% en marzo de 2013). alguna medida de qué tan dispersos están los otros posibles retornos. Microsoft y Pfizer. de la siguiente forma: a) establecer los intervalos para los cuales queremos que Excel agrupe los retornos. en inglés). d) no hacer clic en “enter”. en cambio. podemos usar la función de Excel “FRECUENCIA” (“FREQUENCY”.forma de la campana es más aplanada). 152 . b) seleccionar el área dentro de la cual se agruparán los datos para cada empresa (por ejemplo. además del retorno promedio. debemos seleccionar las celdas P4:P14). Ellos se llaman “bins” (columna O). c) usar la función “FREQUENCY”. para Pfizer. Lo que estamos haciendo es evaluar. sino presionar al mismo tiempo “control” + “shift” + “enter”. concentran más sus retornos alrededor del retorno central (Figura 82). Para construir la tabla de frecuencias y su correspondiente gráfico. ingresando dos grupos de datos: los bins (columna O) y los retornos (columna I). ambas apuntan a medir el riesgo individual. Para calcularlas. por lo tanto. por primera vez. como la covarianza y la correlación. Comenzaremos calculando la varianza y luego la desviación estándar será simplemente su raíz cuadrada. riesgo. solamente vamos a necesitar los retornos de cada una de las empresas (a diferencia de las medidas estadísticas que comienzan con “co”. Para calcular la varianza y la desviación estándar tenemos dos alternativas: 153 . Para ello usó dos medidas estadísticas que ya eran comunes en otras disciplinas: la varianza y la desviación estándar. y que como su nombre lo indica comparan los retornos de dos activos). en finanzas. Tanto la varianza como la desviación estándar son medidas de riesgo individual.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Figura 83 – Función “FREQUENCY” La dispersión con respecto a la medida de retorno central es. solamente están expresadas en una unidad diferente (como cuando usamos grados Centígrados en lugar de Farenheit para medir la temperatura). La teoría de Markowitz representó un punto de inflexión en las teorías de la época al incorporar. Conceptualmente son idénticas. mediciones concretas de riesgo en el análisis de inversiones. hemos visto que no es una buena medida: solamente es relevante para aquellos inversores que tienen todo su dinero concentrado en un único activo (lo cual no es una buena idea). El riesgo individual. Ellas nos permiten llegar a la varianza y desviación estándar ingresando directamente los datos de los retornos. 2. Para ello hemos construido una planilla de cálculo de 3 columnas: en la primera comparamos cada posible retorno con el retorno esperado. 154 . Emplear la fórmula de Markowitz. en inglés). por lo cual es evidente que asume equiprobabilidad. En el ejemplo. Le siguen Microsoft y Pfizer (Figura 84). y su raíz cuadrada es la desviación estándar. La suma de esta última columna es la varianza. en la segunda calculamos el cuadrado de estas diferencias (con lo cual todas van a quedar con signo positivo) y finalmente en la tercera ponderamos cada posible retorno multiplicándolo por la probabilidad de ocurrencia. que admite poner distintas probabilidades para cada uno de los retornos. Es posible reducirlo combinando activos en un portafolio. la inversión con mayor desviación estándar es Pulte. sin embargo. Usar las funciones de Excel “VARP” (idéntica en español y en inglés) y “DESVESTP” (o bien “STDEVP”. Excel no nos pide las probabilidades (solamente los retornos).1. que en las próximas secciones mostraremos cómo armar. calculando: 155 . La covarianza compara los posibles retornos de cada activo con respecto a su promedio. de modo de obtener un número con signo positivo si ambos suben o bajan al mismo tiempo. Si ambos suben. Necesitamos la covarianza. si se mueven en forma opuesta. si se mueven en forma independiente. Podemos usar la función de Excel “COVAR”.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Figura 84 ‐ Varianza y Desviación estándar de PFE y MSFT usando Excel Segundo paso: analizar la relación entre los activos Ya hemos resaltado que. es necesario no solamente contar con las proporciones y los riesgos individuales de los dos activos. si ambos bajan. sino también con una medida de cómo los retornos de los dos activos varían juntos. o bien armar una planilla paso a paso. en la determinación del riesgo de la cartera. Tenemos dos alternativas para calcular la covarianza. o bien un número con signo negativo si uno sube cuando el otro baja (o viceversa). y luego multiplica estas diferencias entre sí. La covarianza nos muestra como “co‐varían” los retornos de los dos activos. La multiplicación entre cada par de diferencias. Las diferencias de los retornos de cada activo con respecto a su promedio ‐en la figura. Figura 85 ‐ Covarianza PFE‐MSFT 156 . (A) * (B). La ponderación por probabilidades –sumaproducto entre la columna (C) y la columna de probabilidades.1. En la celda inferior derecha podemos ver también que se obtiene idéntico resultado empleando la función “COVAR”. columna (A) para Pfizer y (B) para Microsoft. la cual requiere como datos únicamente los retornos de los dos activos (Columnas PFE y MSFT). asumiendo que la probabilidad de cada uno de ellos es la misma (Figura 85). 3. 2. Para calcular el coeficiente de correlación tenemos 2 alternativas (Figura 86): 1. Ambas tienen el potencial de reducir el riesgo total de la cartera. es posible saber si la correlación es “alta” (cercana a +1. si son mezcladas en proporciones adecuadas. que conceptualmente es lo mismo que la covarianza (muestra cómo se mueven los retornos de dos activos al mismo tiempo).CORREL” (o simplemente “CORREL”. Se trata de una buena noticia: el signo de la covarianza nos indica que estamos frente a dos inversiones que puede ser interesante combinar en un portafolio. Lo que no podemos saber de la covarianza es qué tan alta o qué tan baja es (solamente interpretamos su signo). Usar la función de Excel “COEF.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    En este caso la covarianza entre Pfizer y Microsoft es negativa (‐0. Dividir la covarianza por el producto de las desviaciones estándar de los dos activos 2. para Excel en inglés) Figura 86 – Fórmulas de Covarianzas y Correlaciones 157 . mala combinación para diversificar) o es “baja” (cercana a ‐1.03%). De esta forma. pero que está estandarizado para tener un máximo valor de +1 y un mínimo valor de ‐1. buena combinación para diversificar). Por ello. es conveniente calcular el coeficiente de correlación.DE. Excel nos arroja una tabla con los pares de covarianzas o correlaciones (Figura 87). podemos emplear las funciones de Análisis de Excel llamadas “COVARIANCE” y “CORRELATION”. en tanto que la correlación entre Pfizer y Pulte es positiva. Seleccionando directamente la matriz con todos los retornos. Puesto que tanto la covarianza como la correlación se calculan para pares de activos. cuáles son mejores pares.26) es mejor que la de Pulte y Microsoft (0. Pfizer y Microsoft tienen sus retornos correlacionados negativamente (el signo de la correlación es siempre el mismo que el de la covarianza). que no están en el menú general de funciones sino dentro del menú de datos. al igual que la correlación entre Pulte y Microsoft. para un gran grupo de activos. hay que ir agrupándolos a todos ellos de a dos en dos. Figura 87 – Función de Análisis de Datos para Covarianzas y Correlaciones 158 .39). Si queremos detectar. pero con la correlación sabemos que la correlación entre Pfizer y Pulte (0. Con la covarianza podíamos ver únicamente el signo.En nuestro ejemplo. Inicialmente trabajaremos con un portafolio compuesto con partes iguales de Microsoft y Pfizer. al ser un promedio.7%). Evidentemente. pero más alto que el de Microsoft (Figura 88). el retorno esperado del portafolio es más bajo que el de Pfizer. 159 . de modo que para calcularlo sólo hacen falta: 1. El retorno del portafolio será el promedio ponderado: 50% * 2.1%. y a continuación analizaremos cuáles serían las cantidades de cada uno que sería conveniente comprar. Para eso necesitamos determinar las cantidades que se invertirán en cada activo.7%= 2.5% + 50% * 1.5%) y MSFT (1. 2. Los retornos esperados de PFE (2. Portafolio de partes iguales  Llegó el momento de combinar las dos inversiones para evaluar cómo quedarían distintas carteras. Las proporciones invertidas en PFE (50%) y en MSFT (50%). El retorno esperado del portafolio es el promedio de los retornos esperados.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Tercer paso: armar portafolios de 2 activos a. 2.00% PFE. la varianza del portafolio nos queda en 0.12%. en este caso.13). Con estos datos y la aplicación de la Ecuación 42 ‐ Varianza de un portafolio de dos activos A y B.16% PFE. 3.03% o coeficiente de correlación ‐0. el riesgo del portafolio no puede calcularse promediando las varianzas ni las desviaciones estándar.37% MSFT) o como desviación estándar (4. 160 . Las proporciones invertidas en cada empresa (50% en PFE y 50% en MSFT). Es interesante notar que. puesto que depende de la relación que los activos tienen entre ellos. y la desviación estándar en 3. que pueden estar expresados como varianza (0. Los riesgos individuales. Es el efecto de la diversificación.08% MSFT). 0. De modo que para calcular el riesgo de la cartera necesitamos 3 grupos de datos: 1.Figura 88 ‐ Riesgo y retorno de un portafolio 50% PFE y 50% MSFT A diferencia del retorno esperado. La relación entre los retornos de ambas compañías (covarianza ‐0. 6. combinando ambos activos obtuvimos un riesgo inferior al que tendría cada uno de ellos por separado.41% (celda H74). Para calcular la cartera de mínimo riesgo (mínima varianza y desviación estándar) tenemos dos alternativas: 1. la cartera con menor varianza y desviación estándar es la que está compuesta por un 67.61.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Podemos calcular el índice de desempeño para la cartera (Ecuación 47). podemos luego por diferencia calcular la proporción a invertir en el otro (wB). sin embargo es posible encontrar otras con riesgo inferior. 2.7% de PFE y un 32. minimizando la fórmula de la varianza o desviación estándar de la cartera. dividiendo el retorno esperado por la desviación estándar: 2. empleando la fórmula de la varianza (o desviación estándar) de la cartera y la fórmula que indica que la suma de las proporciones invertidas en cada activo debe ser igual a 1.3% de MSFT (Figura 89). Figura 89 ‐ Portafolio de mínima varianza 161 .1% / 3. Despejando la proporción que deberíamos invertir en uno de los activos (wA). Portafolio de mínima varianza  El portafolio de partes iguales logró mejorar las características de riesgo que tendría cualquier cartera integrada en un 100% por PFE o por MSFT. Armar un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.41% = 0. b. En este ejemplo. Usar el Solver de Excel. 13% de desviación estándar. necesitamos las fórmulas de riesgo y retorno de la cartera.61). El índice de desempeño del portafolio anterior es 0.c. sin embargo no necesariamente es el que tiene una mejor relación entre riesgo y rentabilidad esperada. Puesto que la suma de las proporciones invertidas en cada activo siempre debe ser igual a 1. Para calcular qué cantidades de cada uno de los activos tendríamos que comprar para maximizar el desempeño. Portafolio de máximo desempeño  El portafolio calculado en el apartado anterior es el que ofrece la menor volatilidad.22% por cada 3. pero todavía es posible mejorar un poco más esta relación.71: ofrece una rentabilidad esperada de 2. Es superior al índice que ofrecía el portafolio de partes iguales (0. que ya habíamos empleado antes. podemos dejar como incógnita la cantidad de uno de ellos (wA). Empleando el “Solver” de Excel. y calcular por diferencia la cantidad del otro (wB). podemos averiguar rápidamente cuál es la cantidad wA que hace que el índice de desempeño sea máximo (Figura 90). Figura 90 ‐ Portafolio de máximo desempeño 162 . si en una celda estamos combinando los activos A y B. sino que es necesario construir una matriz de covarianzas. Microsoft y Pulte. Portafolio de partes iguales  Generalizando para 3 activos (o más). por la covarianza entre ambos.3% * Retorno MSFT +33. para calcular la varianza de la cartera tenemos que sumar todas las celdas.21% (Figura 91). En las celdas de la diagonal. el número de celdas sería 16. Para la cartera compuesta con partes iguales de Pfizer.27%. Finalmente. Para el riesgo del portafolio ya no sirve la fórmula de la varianza para 2 activos. Si tuviera 4 activos. el retorno esperado es: 33. el retorno esperado del portafolio sigue siendo un promedio ponderado de los retornos esperados de los activos que lo integran (Ecuación 48): Ecuación 48 ‐ Retorno esperado de un portafolio de 3 activos R p  w A R A  wB RB  wC RC Para el portafolio compuesto por partes iguales de PFE. Puesto que hay 3 activos. en las cuales se combina cada activo con sí mismo (por ejemplo A con A). y la desviación estándar 5.62%. entonces la fórmula para esa celda será: wA * wB * COVARIANZA AB. y así sucesivamente. 163 . MSFT y PHM. En cada celda la fórmula es la misma: multiplicamos la cantidad invertida en el activo que tenemos en el eje horizontal por la cantidad invertida en el activo del eje vertical. y para la desviación estándar debemos además calcular la raíz cuadrada.3% * Retorno PFE + 33. la varianza resultante es 0. la matriz tendrá 9 celdas.3% * Retorno PHM = 3. Por ejemplo. la fórmula nos quedará: wA * wA * COVARIANZA AA.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    Cuarto paso: portafolios de 3 o más activos a. 07%). partes iguales El resultado es interesante. y el índice de desempeño es 3.21%= 0. Portafolio de mínima varianza  Al igual que para las carteras de 2 activos. la celda en la cual está esta suma será una restricción. encontrar el portafolio de mínima varianza significa hallar las cantidades de cada activo en las cuales tenemos que invertir para que el riesgo sea mínimo. Sumar las cantidades invertidas en cada activo: wA + wB + wC. Al usar el Solver.62% / 5. Armar la matriz de covarianzas y calcular la desviación estándar de la cartera sumando todas las celdas y computando su raíz cuadrada (podemos hacerlo para cualquier valor de wA. wB y wC que minimizan la desviación estándar de la cartera. Para resolver ahora las cantidades wA. 2. puesto que ella provenía de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. necesitamos: 1.Figura 91 ‐ Portafolio de 3 activos. wB y wC). puesto que el riesgo obtenido (5. Para ello calcularemos a continuación la cartera de mínima varianza y la cartera de máximo desempeño. 164 .69.21%) es inferior a los riesgos que tendríamos invirtiendo todo en Microsoft (6. La pregunta es si estos resultados pueden mejorarse. b.08%) o en Pulte (11. Al trabajar con 3 o más activos ya no podemos usar la fórmula para despejar wA. que fijaremos igual a 1. con la mejor 165 . solicitándole que minimice la celda en la cual tenemos la desviación estándar de la cartera (proveniente de la matriz de covarianzas). A continuación analizaremos si es posible mejorar dicho desempeño. podemos hallar las cantidades que hay que comprar de cada activo para encontrar la cartera con el más alto índice de desempeño (es decir. wB y wC.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    3. mínima varianza El resultado que obtuvimos es que la cartera de mínima varianza entre Pfizer. Figura 92 ‐ Portafolio de 3 activos. iterando las celdas que contienen las cantidades wA. Así conformada. c.13% y un índice de desempeño de 0. la cartera tiene una desviación estándar de 3. Emplear la función “Solver” de Excel. con la restricción de que la suma sea igual a 1 (Figura 92). Microsoft y Pulte se logra comprando un 67. un 32.7% de PFE.3% de MSFT y 0% de PHM. Portafolio de máximo desempeño  Empleando nuevamente Solver.71. Figura 93 ‐ Portafolio de 3 activos. máximo desempeño LA MATRIZ DE COVARIANZAS Hemos visto que un modo muy conveniente de calcular la varianza de un portafolio es utilizando la matriz de covarianzas (Figura 94). wB y wC.relación entre riesgo y retorno esperado). encontramos la cartera con mejor desempeño (0.0% de PHM (Figura 93).79). La restricción que indicamos a Solver es que la suma de estas tres celdas tiene que ser igual a 1. que usted podrá usar para armar portafolios de cuantos activos desee. Resolviendo. un 16.5% de acciones de PFE.6% de MSFT y un 17. la matriz contiene la misma fórmula que la varianza del portafolio y llega al mismo 166 . Le pedimos a Solver que maximice la celda en la cual tenemos la fórmula del índice de desempeño (celda H192 en el ejemplo). modificando las celdas F178. Para dos activos. debemos comprar un 66. que son aquellas en las cuales tenemos las cantidades wA. F179 y F180. Para invertir en ella. A continuación explicitaremos la fórmula general de la matriz de covarianzas. PFE. y las dos celdas de la diagonal que falta componen el tercer término. PHM La matriz de covarianzas anterior responde exactamente a la fórmula del riesgo de la cartera para dos activos. pero al organizar el cálculo en casillas permite incorporar un mayor número de activos y reduce errores de cálculo.FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    resultado. todas las celdas deben ser sumadas al final. Si consideramos una matriz 2x2. la celda inferior derecha es el segundo término. 3. que nos permitirá ampliar la matriz de covarianzas a “n” activos. Microsoft y Pulte. Para el ejemplo de Pfizer. Figura 94 ‐ Matriz de Covarianzas. Dentro de cada celda sólo hay potencias y multiplicaciones. La matriz de covarianzas tendrá la forma de la Ecuación 49: 167 . calculando así el riesgo de cualquier cartera. la matriz de covarianzas permite llegar al riesgo de la cartera (que es la suma de sus nueve casillas). la celda superior izquierda es el primer término de la fórmula. MSFT.87%. Ahora podemos plantear una forma general para resolver todas las casillas. y para hallar la varianza. lo cual antes hacíamos elevando w al cuadrado. 168 .Ecuación 49 ‐ Matriz de covarianzas Es decir que para cada celda utilizaremos una ecuación idéntica: la multiplicación de las cantidades de dos activos. que es su varianza. por la covarianza entre ellos (Ecuación 50): Ecuación 50 ‐ Celda de la matriz de covarianzas En algunas celdas tendremos que multiplicar la cantidad invertida en uno de los activos por sí misma. En esas celdas también tendremos que calcular la covarianza de los retornos de un activo con sí mismos. De modo que con eso podemos ver que en realidad estamos haciendo matemáticamente lo mismo que antes. pero con una fórmula más general. FINANZAS PARA EMPRENDEDORES – ©2011 FLORENCIA ROCA    MATERIAL COMPLEMENTARIO 169 .