CAP - 1 e 2

,.CAPITULO 1 ELEMENTOS DE MECÂNICA NEWTONIANA 1.1 MECÂNICA, UMA CI~NCIA EXATA Quando se afirma que a Física é uma ciência exata, o que se quer dizer é que suas leis, uma vez expressas em forma de equações matemáticas, descrevem e predizem os resultados de medidas quantitativas precisas. A vantagem de uma teoria física quantitativa não é apenas ser prática, mas dar aos cientistas o poder de prever com precisão· e de controlar o fenômeno natural. Comparando-se os resultados de uma medida precisa com as previsões numéricas da teoria, pode-se confiar em sua correção, podendo-se também determinar os aspectos que precisam ser modificados. É, muitas vezes, possível explicar, grosseiramente, um dado fenômeno de várias maneiras qualitativas e, uma vez satisfeitos, pode ser impossível decidir sobre a teoria correta, mas, quando a teoria dada pode prever com certeza o resultado de medidas com até quatro ou cinco (ou mesmo dois ou três) algarismos significativos, imagina-se logo que não deverá estar muito errada. Concordância grosseira pode significar coincidência, mas muito próxima certamente não. Existiram, no entanto, muitos casos na história da Ciência que uma pequena, porém significante, discrepância entre teoria e medida exata levou ao desenvolvimento de novas e mais completas teorias. Estas pequenas discrepâncias não teriam nem mesmo sido detectadas se o pesquisador estivesse satisfeito com uma simples explicação qualitativa do fenômeno. Os símbolos que aparecem nas equações que expressam as leis de uma ciência devem representar quantidades que podem ser expressas em termos numéricos. Logo, os conceitos em termos dos quais se desenvolve uma ciência devem ter um significado numérico preciso. Quando se dá uma definição (massa, por exemplo), deve-se fazê-Io de tal modo que ela especifique com exatidão como o valor da quantidade deve ser determinado em caqa caso. Um comentário qualitativo sobre o significado pode ser útil, mas não é suficiente como definição. Na realidade, muitas vezes não se pode fornecer uma definição ideal e precisa de cada um dos conceitos relacionados a uma teoria de Física. No entanto, quando se escreve uma equação matemática, presume-se que os símbolos usados na equação tenham significados exatos, e, sendo assim, é preciso tomar as idéias tão claras e rigorosas quanto possível e reconhecer em que pontos há falta de precisão e clareza. Algumas vezes, um conceito novo pode ser definido em termos de outros conceitos cujos significados são conhecidos, mas nestes C'''~os não há problema. Por exemplo, momento linear = massa x velocidade 19 I I I ~ r fornece uma definição perfeitamente precisa de "momento linear", caso sejam conhecidas as definiçôes exatas de "massa" e "velocidade". Entretanto, este tipo de definição não funcionará para todos os termos da teoria~será necessário, então, partir de algum ponto, usando a definição de um conjunto de conceitos básicos ou de termos "primitivos", cujo significado se suponha ser conhecido. O primeiro conceito a ser introduzido numa teoria não pode ser definido como no exemplo acima, desde que não se tenha nada para colocar no lado direito da equação. O significado desses termos básicos deve ser esclarecido por meios que não envoivam a teoria que está sendo formulada. Pode-se, por exemplo, usar simplesmente os termos até que o seu significado se torne claro. Esta é a maneira como as crianças aprendem uma linguagem e, provayelmente, dentro de seus limites, os estudantes de Física aprendem da mesma maneira. ~ preciso definir toda a teminologia básica, estabelecendo o seu significado em termos de observações e experiências. Em particular, nomes designativos de quantidades mensuráveis, como força, massa etc., podem ser definidos especificando-se o processo operacional para medi-Ios. Uma corrente de pensamento sugere que todos os termos usados em Física devem ser definidos desta maneira, mas pode-se simplesmente estabelecer o significado desses termos básicos, por meio de indicação simples, deixando para mais tarde ser determinado precisamente pelas leis e postulados estabelecidos e pelas regras fornecidas para que o aluno possa interpretar os resultados teóricos em situações experimentais. Esta é a maneira mais conveniente e flexível e é por meio dela que as teorias da Física são usualmente estabeleci das. Ela tem a desvantagem de nunca permitir a certeza de que se atribuiu o significado preciso aos conceitos, mas a experiência decidirá não somente se as leis estão corretas, como também se os conceitos usados têm um significado exato. As teorias modernas sobre Relatividade e Quântíca nasceram mais da dificuldade encontrada nos conceitos clássicos para explicar alguns fenômenos do que da falta de precisão nas leis clássicas. Historicamente, a Mecânica foi o primeiro ramo da Física a ser desenvolvido como uma ciência exata. As leis das alavancas e dos fluidos em equilíbrio estático eram conhecidas pelos cientistas gregos já no século III a.C. O grande desenvolvimento da Física, nos últimos três séculos, começou quando Galileu e Newton descobriram as leis da Mecânica. Estas leis, segundo formulação de Isaac Newton, em meados do século XVII, e as leis da eletricidade e magnetismo, segundo James Clerk Maxwell, aproximadamente duzentos anos depois, são as duas teorias básicas da Física Clássica. A Física Relativística, que foi iniciada com o trabalho de Einstein, em 1905, e a Física Quântica, como fundamentada nos trabalhos de Heisenberg e Schroedinger, em 19251926, contribuíram para modificar e reformular a Mecânica e a Eletrodinâmica em termos de novos conceitos. Não obstante, a Física Moderna foi construída sobre os fundamentos estabelecidos pela Clássica, sendo preciso conhecer profundamente os princípios da Mecânica e da Eletrodinâmica Clássicas para estudar as Físicas Relativística e Quântica. Além do mais, na maioria das aplicações práticas da Mecânica, em vários ramos da Engenharia e da Astronomia, as leis da Mecânica Clássica são ainda válidas. Excetuando-se os casos em que os corpos viajam com velocidades próximas ã da luz, ou quando há envolvimento de massas e distâncias muito grandes, a Mecânica Relativística fornece os mesmos resultados que a Clássica; dever-se-ia esperá-Io, porquanto 20 sabe·se por experiência que a Mecânica Clássica fornece o resultado correto nas aplicações ordinárias. Similarmente, a Mecânica Quântica deve e realmente concorda com a Clássica, exceto quando é aplicada a sistemas de tamanho molecular ou menores. Na realidade, um dos principais princípios usados como guia na formulação de novas teorias da Física é a imposição de que elas devam concordar com as teorias antigas quando aplicadas aos fenômenos para os quais as mais antigas fornecem o resultado correto. A Mecânica é o estudo dos movimentos de corpos materiais. Pode ser dividida Cinemática, Dinâmica e Estática. Cinemática é o estudo e a em três subdisciplinas: descrição dos possíveis movimentos de corpos materiais. Dinâmica é o estudo das leis que determinam, entre todos os possíveis movimentos, aquele que ocorrerá realmente em cada caso específico. Em Dinâmica, introduz-se o conceito de força. O problema central ocorrerão forças, da Dinâmica é determinar, para qualquer Estática sistema físico, os movimentos de forças e sistemas que de sob a ação de uma dada força. é o estudo com referência particular aos que atuam sobre corpos em equilíbrio. O estudo da Mecânica pode também ser subdividido de acordo com a espécie de sistema a ser estudado. Esta é, de modo geral, a base deste livro. O sistema físico mais simples, o que será estudado primeiro, é a partícula, passando-se depois para o movi· como um de meios nas leis os dos de formento de um sistema de partículas. Corpos rígidos podem ser considerados tipo especial de sistema de partículas. Finalmente, estudar-se-á o movimento contínuos, substâncias plásticas e elásticas, sólidos, líquidos e gases. Grande número de aplicações da Mecânica Clássica baseia-se diretamente do movimento, de Newton. Todos os problemas estudados neste livro, exceto Caps. 9 a 14, são tratados desta maneira. Entretanto, existem outras maneiras mular os princípios da Mecânica Clássica, por exemplo, as equações de Lagrange e de Hamilton. Elas não são teorias novas, pois derivam-se das leis de Newton, mas são formas diferentes de expressar a mesma teoria, por meio de conceitos matemáticos mais avançados. Em muitos aspectos, são mais elegantes do que a formulação newtoniana, e, em alguns casos, mais poderosas, porque permitem uma solução de alguns problemas que, se baseada diretamente nas leis de Newton, seria muito difícil. Quanto maior o número de maneiras conhecidas para formular uma teoria de Física, fenômenos melhores serão as oportunidades de aprender a modificá-Ias, a fim de explicar novos, ã me- dida que são descobertos. Esta é uma das principais razões para justificar a importância de formulações mais avançadas em Mecânica: elas são os pontos de partida para se che· gar às teorias mais recentes da Relatividade e da Quântica. 1.2 CINEMÁTlCA, Mecânica A DESCRIÇÃO que estuda DO MOVIMENTO o movimento de corpos físicos. Inicialmente de- é a ciência movimentos, ve-se descrever e o mais fácil para isso é o de uma partz'cllla, isto é, um ob- jeto cujo tamanho e estrutura interna sejam desprezíveis para o problema em que se está interessado. A Terra, por exemplo, pode ser olhada como uma partícula, na maioria dos problemas sobre movimento planetário, mas certamente não poderá sê-Io no caso de problemas terrestes. Pode-se descrever a posição de uma partícula especificando um ponto no espaço, desde que se conheçam três coordenadas (usualmente utili- 21 capazes de especificar a posição de objetos em função do tempo.1) y(t). que se faz em Mecânica Clássica. A derivada será representada em relação ao tempo por d/dt ou por um ponto. Ambas as nota· ções são dadas na Eq.'. especükando a posi~o de uma partículaP relativa à origem O. O significado da função x (t) está contido nas regras que ensinam a medir a coordenada x de uma partícula no tempo t. /-- I . três dimensões: x(t). Admitindo-se como conhecido o significado de x (t). zam-se retangulares). pelo menos. 2) apenas uma coordenada é necessária. (1. O problema básico de Mecânica Clássica é encontrar maneiras para determinar funções como estas. (1.2). vx' no tempo t comol dx v.2) e. para qualquer situação mecânica.• = x = dt' ( 1. especificam-se as coordenadas como função do tempo: uma dimensão: x (t). ou.1 Coordenadas retangulares. pode-se definir o componente-x da velocidade. 22 . Para descrever o movimento de uma partícula. mas no caso de partículas que se movem ao longo de uma linha reta (Cap. 1.r eixo z l' iT eixo x () :'t/~-~-y --/ -"'"_L . similarmente dI" v" = y = ~Íi' . z(t). não é correta de acordo com a Mecânica Quântica). que ela tenha um (esta suposição.x JI Z eixo Y três dimensóes o I l' • f------x-I uma dimensão Fig. - v •• = c11. especificam-se as coordenadas de cada uma delas em qualquer sistema de coordenadas conveniente. Nos problemas em que se usam três dimensões. deve-se procurar obter as fórmulas apropriadas para os componentes da velocidade e da aceleração. z) se move no instante t.. velocidades e acelerações. indicadoras da orientação no espaço. Para descrever o movimento de matéria contínua.•di - d2z Jtf" Para muitos propósitos. brincando de cabo. Artifícios apropriados para descrever o movimento de um sistema físico são introduzidos de acordo com a necessidade.3) a-v. são suficientes para especificar sua posição. Coordenadas polares. um fluido. y. cilíndricas e polares planas são discutidas no Capo 3. Imaginem-se dois corpos interagindo entre si e isolados da vizinhança. o conceito de vetor é muito útil para a representação de posições. esféricas. como. como.1. imagine duas crianças. . 1. z. r) em qualquer ponto (x. Se estas formarem um corpo rígido.- dvy til -.de-guerra com uma vara rígida sobre gelo liso. em qualquer instante t no tempo. z. Observando-se o comportamento de projetis e de objetos que deslizam sobre uma superfície lisa e bem lubrificada. e o vetor velocidade 11 (x.l' -. MASSA E FORÇA A experiência leva à crença de que os movimentos de corpos físicos são controlados pelas interações existentes entre eles e suas vizinhanças. alguns outros sistemas de coordenadas podem ser mais convenientes para se especificar a posição de uma partícula. não necessariamente do mesmo tamanho. Quando se usam outros sistemas de coordenadas. t) com a qual a matéria no ponto (x. na formulação das leis da Dinâmica. ou introduzem-se outros tipos de coordenadas.-c1r1' ( 1. y. O desenvolvimento sistemático de Álgebra Vetarial é dado na Seç. az como as derivadas dos componentes da velocidade em relação ao tempo (listam-se várias notações equivalentes que podem ser usadas): a y - v y . as do centro de massa.3 DINÂMICA. por exemplo. 3. Como analogia grosseira desta situação. Para descrever um sistema de partículas. deve-se focalizar a atenção nas acelerações. as três coordenadas do seu centro de massa e três coordenadas angulares. especifica-se a densidade p (x. A velocidade de um corpo isolado de qualquer interação é constante. logo. tem-se a idéia de que as variações de velocidade do corpo são produzidas por sua interação com a vizinhança. y.~. y. 23 . z) no espaço. ou a distância entre duas partículas. z - z - dvz .1 Para definir os componentes da aceleração ax' ay. por exemplo. é proporcional à razão do peso do corpo 2 pelo peso do corpo 1. menur será a sua aceleração.5) como sendo a medida daquilo que se chama vagamente de quantidade de matéria em um corpo. então a massa do corpo deve ser a soma das massas de suas partes. Experiências cuidadosas realizadas com corpos reais levam a conclusões idênticas às que seriam obtidas caso se pudesse conseguir o isolamento ideal dos dois corpos. O sinal negativo expressa o fato de que as acelerações são em sentidos opostos. a razão kl2 das acelerações dos dois corpos deve satisfazer algumas condições. Mais tarde.4) onde kn é uma constante positiva característica dos dois corpos em questão. a razão kl1. e massa é um bom exemplo.6) 24 . esta é a situação mais simples para se pensar a respeito e capaz de se descrever por meio de leis matemáticas mais simples. não importando a força com que eles possam puxar ou empurrar um ao outro. a massa de qualquer outro corpo é definida como a razão entre a aceleração da unidade de massa e a aceleraçao do outro corpo. e que a razão de suas acelerações é constante para qualquer par particular de corpos. que os conceitos da Física.4) de três corpos quaisquer: ( 1. A aceleração de dois corpos que interagem é inversamente proporcional a seus pesos. ao longo da linha de suas acelerações. Este resultado. (1. Medindo-se as coordenadas XI e x. Um requisito certamente essencial é que o conceito de massa seja independente do corpo particular que foi escolhido como tendo massa unitária. Escolhendo-se um corpo-padrão como unidade de massa. para terem utilidade em teorias científicas. Deve-se observar que dois corpos estão sempre acelerados em direçõe. correspondam aproximadamente a qualquer idéia preestabdecida. (J. quanto maior ou mais pesado ou mais massivo for o corpo.~ opostas. não importando a unidade de massa escolhida. e este é o caso dentro de um elevado grau de precisão. (1.r Embora nenhum dos dois corpos possa ser realmente isolado completamente das interações com os outros corpos. portanto. quando se estudar a Teoria da Relatividade.5) se torne uma definição útil. Na realidade. a da massa do corpo. obtém-se o seguinte resultado ( 1. para os quais são apresentadas definições precisas. em geral. Será verdade por causa da seguinte relação. Nao é essencial. a maioria desses conceitos originou-se mais ou menos de idéias comuns. obtida experimentalmente. Para que a Eq. Em adição ao que foi dito. e que não é exatamente verdade que a massa de um corpo seja a soma das massas de suas pa:tes. entre a razão de acelerações mútuas definidas pela Eq. o que significa que a razão de duas massas será a mesma. Considerando-se a massa definida pela Eq. quando os dois estão interagindo: (U) onde mj é a massa do corpo i e o corpo 1 é o padrão de unidade de massa. ver-se-á que o conceito de massa será um pouco modificado. sugere a possibilidade de uma definição da Dinâmica. em termos de suas acelerações mútuas. Entretanto. dos dois corpos. 6) e (1. = mio ( 1. 1934. por Cajori (p. que foi considerado ser a massa unitária padrão. ( 1.5): x2/R3 = -1<23 -1/(k12k31l -k13/k12 (17) o resultado final não contém referência explícita ao corpo I. caso cada origem seja considerada separadamente. Pela Eq. forças devido a várias origens agem sobre um dado corpo.9) é um vetor soma das que podem estar presentes. e dependem do comportamento de outros corpos. para dois corpos que interagem. usando as Eqs. Então. enunciando-as como segue.4 AS LEIS DO MOVIMENTO. A aceleração de um corpo no espaçu tem três componentes. O problema fundamental da Mecâ· nica é determinar o movimento de qualquer sistema mecânico.2 2 lsaac Newton. Berkeley: University of California Press. com o problema da determinação de forças gravitacionais exercidas pelas massas uma sobre as outras. 25 . DE NEWTON Isaac Newton foi o primeiro a formular de maneira complet~ as três leis da Mecânica. A teoria do Eletromagnetismo preocupa-se com o problema de determinação de forças elétricas e magnéticas exercidas por cargas e correntes elétricas uma sobre as outras. se os corpos 2 e 3 interagirem. Esta grandeza é chamada a força atuante sobre um corpo. a razão das massas de dois corpos quaisquer é o inverso negativo da razão de suas acelerações mútuas. magnética. trad. (1. os três componentes da força atuante sobre o corpo são F. caso se conheçam as forças que atuam sobre os corpos que constituem o sistema. sendo possível mostrar que a força total dada pelas Eqs. 1.. gravitacional etc. (1.9) Estas forças são de várias espécies: elétrica. tem-se. Mathematical principies of natural philosophy and his system of the world. 13).8) Este resultado sugere que a grandeza (massa x aceleração) será importante. A teoria da gravitação. (1. (1.4). Logo. encontrar-se-á. independente da unidade de massa escolhida. 7).Suponha que o corpo 1 seja a massa unitária. Em geral. Nesse caso. é freqüentemen. Neste caso. porque para as estruturas em repouso as acelerações são iguais a zero. 2.4) e das Eqs. é uma verdadeira lei da Física. Eqs. a lei (2) e as Eqs. (1. A terceira lei estabelece que quando há interação entre dois corpos. (1. definidos ao longo dos eixos x.1 O) à força aplicada. Todo corpo permanece em estado de repouso ou de movimento uniforme. a da gravitação. no entanto. e a lei (2) torna-se a formulação . Na segunda lei. Neste caso. e na direção As duas primeiras leis. a força exercida sobre o corpo 1 pelo corpo 2 é igual e em direção oposta ã força exercida sobre o corpo 2 pelo corpo 1. (1. (1. que as expressam em forma matemática. Newton descobriu que as leis da Física podem ser expressas mais facilmente em termos do conceito de força definido desta maneira. quando freqüentemente é preci. mas meras definições de um novo conceito a ser introduzi· do na teoria. Para cada ação existe sempre uma reação igual e oposta. De acordo com a Teoria da Relatividade. te assunto de discussão. (1.4) em termos do conceito de força. o eletromagnetismo etc. Estas leis expressam o fato experimental dado pela Eq. As leis da Física são.9) não são equivalentes. 26 L .9). para o qual usaremos o símbolo p. a definição simples de massa (1.9) como a definição de força em termos da massa e da aceleração. (1.9). 0. em linha reta.correta. por isso. (1. (1. (1. momento linear é definido como o produto da massa pela velocidade da partícula.5) e (1.1. em qualquer situação particular. 3. A ciência da Estática. (1. A posição das duas primeiras leis fie Newton.9) só definem a ação da força total sobre um corpo. Sua desvantagem principal é que as Eqs. pois isto é apenas uma definição de "força". então. (1. tem três componentes.9).4). a massa de um corpo não é constante. ou das Eqs. adotado freqüentemente. dependendo da sua velocidade. tornar·se·ia inintelígível caso se tomassem as Eqs. sendo. A descoberta de Newton não se refere ao fato de a força ser igual ã massa vezes a aceleração. por lidar com forças que atuam sobre estruturas em repouso. a força deve ser igualada à taxa de variação do momento linear. Este ponto de vista sobre as duas primeiras leis newtonianas é conveniente para muitos propósi. Momento linear. y e z pelas seguintes equações: (1.4)3 são equivalentes às Eqs. 3 Pela Teoria da Relatividade. A taxa de variação de momento linear é proporcional em que a força age. podendo-se considerar as Eqs. 10). e podem ser derivadas facilmente da Eq. a não ser que as partículas que estão sendo aceleradas movam·se em baixa velocidade.. a menos que seja obrigado a mudá-Ia por forças aplicadas sobre ele. as duas primeiras leis de Newton não são como tal consideradas. A terceira lei de Newton. as que nos dizem quais são as forças.9) como definição de força. tos. juntamente com a definição de momento linear. e o fato de que a massa permanece constante pela Eq. so falar da força total como um (vetar) soma de forças componentes de várias espécies e devido a várias origens.5) não é correta. pois expressa os resultados experimentais dados pela Eq. que será demonstrado na Seç. a força nuclear).que falham em casos extremos. Talvez a melhor maneira de formular estas leis seja dizendo que existe um sistema de coordenadas em relação ao qual elas são válidas. pelo menos em princípio. quando se deseja medir grandezas muito pequenas. em relação ao qual as acelerações mencionadas nas duas primeiras leis devam ser medidas. Um exemplo marcante é o fato de não se fazer especificação alguma sobre o sistema de coordenadas. e a de que é possível. juntamente com a regra do paralelogramo para a adição de vetores. Este é o chamado Princípio da Relatividade Newtoniana. O próprio Newton reconheceu esta dificuldade. mas não encontrou nenhuma maneira satisfatória de especificar corretamente o sistema de coordenadas a ser usado. pelo menos o mais flexível. mostra·se que elas são válidas em qualquer outro sistema de coordenadas com movimento retilíneo uniforme em relação ao primeiro. Não somente as leis como também os conceitos da 27 • . Sendo possível demonstrar a validade destas leis num sistema de coordenadas. Na realidade. Há duas suposições levantadas na Física Clássica . ou quando se operam alterações no eletromagnetismo ou na gravitação. A terceira lei nem sempre é verdadeira. Es· te procedimento tem uma desvantagem: é que a definição de força muda quando se descobre uma nova espécie (por exemplo. podem ser consideradas. 7. da gravitação etc. no caso de vários fenômenos. ela será explicitamente identificada e os resultados obtidos serão válidos apenas em relação à validade da terceira lei. apresenta falhas no caso de qualquer força de interação que se propague de um corpo para outro com velocidade finita. e sempre que for preciso usar a terceira lei.As leis do eletromagnetismo. deixando para os experimentadores a determinação do sistema de coordenadas correto. nesse caso.9) tornam-se as leis associadas a grandezas já definidas. ob· ter instrumentos capazes de medir qualquer grandeza com uma aproximação tão pequena quanto se queira . como Newton a formulou. As leis de Newton são leis. constituindo o ponto de partida para as teorias modernas. da mesma maneira que o são as leis das teorias de forças especiais. A primeira. as Eqs. é considerar a força como um conceito básico da teoria. desde que eles não sejam acelerados rapidamente. No entanto. (1. existem outras dificuldades na Mecânica. a Mecânica Newtoniana é correta com um alto grau de precisão. como definição de "for· ça" e. embora o leitor não deva encontrar dificuldades em demonstrá·lo por si próprio. como na realidade nenhum conceito pode ser em relação a qualquer teoria. Outra dificuldade é que os conceitos da Me~ãnica Newtoniana não são perfeitamente claros e precisos. Ela falha quando se refere a forças eletromagnéticas. ou quando fala da imeração de corpos muito separados ou rapidamente acelerados. talvez defini-Ia operacionalmente em relação a medidas com uma balança de molas. quando se refere a velocidades muito grandes. Os defeitos destas suposições formam a base da Teoria da Relatividade e da Teoria da Mecânica Quântica.1. e a segunda. Afortunadamente. Provavelmente o melhor plano.a de que o comportamento dos instrumentos de medidas não é afetado pelo estado de movimento. tais como gravitação e eletromagnetismo. Fora da questão da definição de força. por exemplo. embora se tenha de desenvolver a teoria como se eles o fossem. respectivamente. a maior parte do desenvolvimento deste livro baseia· se nas duas primeiras leis. quando.2 cm-s -2 . podendo-se demonstrar imediatamente a partir das Eqs. certamente.14) sendo M a massa da Terra e R o seu raio. 9. Em casos de corpos de pequenas dimensões e massa m.2) que a força pode ser calculada como se toda a massa do corpo estivesse concentrada no centro. por métodos que serão considerados posteriormente. m2 são as massas dos dois corpos envolvidos. Isto não quer dizer que Newton (ou mesmo o leitor. Evidenciam-se estas dificuldades aqui para que o leitor possa estar preparado para aceitar as modificações que. Que suposições devam ser alteradas.12) Para um corpo esfericamente simétrico. ( 1. o primeiro a formular uma teoria matemática deste fenômeno foi Isaac Newton. provavelmente nunca teria desenvolvido uma teoria. será mostrado posteriormente (Seç. que o movimento dos planetas poderia ser explicado pela suposiçãO de que a cada par de corpos associa-se uma força de atração proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância existente entre eles. ou de que maneira só podem ser determinadas posteriormente pelos sucessos e fracassos obtidos na previsão de resultados experimentais. a força de gravitação é então F = mg. é4 (1.. 1954. pois se agisse assim. Ele mostrou.5. R2 (1. pe. serão introduzidas na teoria. A quantidade g tem as dimensões de uma aceleração. o entendimento dos conceitos modernos será facilitado caso se compreenda com clareza os conceitos clássicos.13) onde g= ~'01 = 980. Ia qual eles se atraem mutuamente.9) e (1.~n Física Clássica devem ser modificados de acordo com as teorias modernas. 6. neste estágio) deva ter-se preocupado com este assunto antes de enunciar as leis do movimento. 1.11 ) onde m J . na superfície da Terra. r é a distância entre eles e G é uma constante universal. de acordo com a experiência. É necessário fazer qualquer suposição que pareça razoável para iniciar uma teoria. Simbolicamente. Entretanto. (1. ed.GRAVITAÇÃO Embora haja sugestões anteriores a respeito de o movimento dos planetas e cor· pos em queda livre sobre a Terra se deverem a uma propriedade dos corpos físicos. cujo valor.13) que 4 Smithsonian physical tables. (1. 28 . o metro-quilograma-segundo ou sistema internacional ou sr5 e o pé-libra-segundo ou sistema inglês. como. (1. comprimento e tempo). A Eq. na superfície da Terra. Logo. padrões unitários para um determinado conjunto de grandezas físicas fundamentais (ex. o centímetro-grama-segundo ou sistema CGS. utilizando uma balança de mola. As unidades elétricas do sistema inglês não têm utilização prática. sua carga elétrica). Existem três sistemas de unidades usados comumente. o comprimento e o tempo. Definem-se. O fato de a força gravitacional que age sobre o corpo ser proporcional à sua massa. ou mesmo maior ou menor número de grandezas fundamentais. por exemplo. m/s e pé/s.É possível medir a massa de um corpo usando-se a força gravitacional que atua sobre ele. existe uma quarta unidade fundamental.qualquer corpo em queda livre. que entra na definição das unidades elétricas. As unidades elétricas no sistema CGS são todas definidas em termos de centímetro. em relação às unidades fundamentais (ex. massa. para carga elétrica. com o auxJ1io de uma balança de pratos ou de braços. substituindo as unidades para as grandezas fundamentais que aparecem. outras unidades derivadas. em termos do qual se exprimem as medidas usadas na Física.. grama e segundo. nos sistemas mencionados acima.13) fornece uma maneira mais prática e conveniente de medir massa do que a sugerida na definição original (L5). ou comparando a força gravitacional sobre o corpo com a força sobre uma massa-padrão. Unidades para outras espécies de grandezas físicas são obtidas das suas equações de definição. é acelerado para baixo. pesando o corpo. respectivamente. é mais ou menos acidental. sofrendo uma aceleração g. dada pela Eq. Este fato é fundamental na Teoria da Relatividade Geral. embora não exista nada sagrado nesta seleção. então. ao invés de qualquer outra contitante característica do corpo (ex. escolhem-se como unidades fun· damentais a massa.2). 5 No sistema internacional. dx V'x dI' é definida como a distância dividida pelo tempo. 1. o coulomb. em outras palavras. em Mecânica. a unidade de velocidade é uma unidade de comprimento dividida por uma unidade de tempo). Poder-se-ia escolher igualmente outras três grandezas. Usualmente. (1. A proporcionalídade entre força gravitacional e massa é provavelmente a razão da Teoria da Gravitação ser comumente considerada como um ramo da Mecânica.6 UNIDADES E DIMENSÕES Ao estahelecer um sistema dr nidades.. a velocidade. como. primeira e arbitrariamente. escolhem-se. 29 . por exemplo.. do ponto de vista da teoria newtoniana. por exemplo. como. enquanto as teorias que envolvem outras forças não o são. as unidades de velocidade são cm/s. na Eq. podendo-se verificar as dimensões sem qualquer referência às unidades. (1. A unidade de força é. quando reduzidos às unidades fundamentais. As unidades gravitacionais de força algumas vezes são definidas em substituição às Eqs.11). as unidades absolutas. Ib-ft-s-2. Como exemplo. (1. o que não quer dizer que. Se. a equação esteja correta.15) onde g = ~80.802m-ç2 = 32.2cm-s-2 = 9. o leitor pode mostrar que as unidades de força.12): (I.9). contanto que se usem unidades absolutas de força. pode-se verificar se as di· mensões da constante gravitacional. estão corretas no valor apresentado na Eq.9) pelas equações Fx = m. Estas unidades têm os seguintes nomes especiais: dina. nos três sistemas. para cada grandeza. Entretanto. e não as unidades gravitacionais. porém. então. t para comprimento. (1. a lei fundamental da Mecânica é apresentada na forma das Eqs. Neste livro. respectivamente. Em qualquer equação da Física. massa e tempo: ( 1. ( 1. O Autor admite que o leitor esteja suficientemente familiarizado com as unidades das medidas e a sua manipulação para ser capaz de resolver os exemplos numéricos em qualquer sistema de unidades em que o problema for apresentado. é sempre poso sível escolher as dimensões de modo que haja concordância entre ambos os membros.Similarmente. usando-se. porque quase todos os exemplos serão resolvidos em forma algébrica.J I) Substituindo. a partir das Eqs. as dimensões ou unidades de quaisquer termos que estejam sendo somados em ambos os membros de uma equação devem concordar. são grama-peso. newton e poundal. (1. quilograma-peso e librapeso. a verifi· 30 . kg-m-s-2. m. não houver concordância.l6ft-s-2 é a aceleração da gravidade padrão na superfície terrestre. (1.x/g. as unidades em que elas são expressadas: (1.15). O problema das unidades aparecerá raramente. (1. nos três siStemas. são g-cm-s-2. para força. Fy = my)g. ao invés da Eq.16) A verificação não depende do sistema de unidades escolhido. é porque a equação está errada. então.17) Quando se introduzem fatores constantes como G em qualquer equação. se as unidades concordarem.9). Os nomes dados às unidades gravitacionai~ de forças. definida como a força exercida pelo campo gravitacional padrão sobre a unidade de massa. por meio de símbolos I. respectivamente. 1. Se a massa do corpo for m e a força F. Quando se introduzem constantes no problema.li x.21 ) o 1/1 F 1'-1'0=-1. a aceleraçao será constante: (/ = = F (1. 11I 1.19) por dt. O leitor deve. adquirir o hábito de verificar mentalmente as dimensões de suas fórmulas a cada passo da derivação.7 ALGUNS PROBLEMAS ELEMENTARES DE MECÂNICA Antes de começar a desenvolver a Mecânica de modo sistemático. e usadas para verificar os passos subseqüentes. ( 1. é preciso rever alguns problemas de Mecânica Elementar com o objetivo de fixar claramente estas leis. sendo submetido à ação de uma força constante. de acordo com a segunda lei de Newton. I. .cação das dimensões do resultado revelará a maioria dos erros algébricos. F = dr di lIIa. (1. tem-se. vê·se que a variação total da velocidade durante o intervalo de tempo t é: (li.19) 111 Multiplicando-se a Eq. com base nas leis introduzi das neste capítulo.25) 31 . portanto. medida ao longo da linha em que ele se desloca.20) Integrando esta equação. então c/x F ( 1.24) ( 1. fI' "0 = f' F ~c/I. 11I (1.' o (110+CI)dl. Um dos problemas mais simples é o que se refere ao movimento de um corpo que se move em linha reta.22) onde Vo é a velocidade em t = O. 11I (1. tem-se: Multiplicando-se outra vez por dt e integrando para determinar t " IX X(J c/x=f. obtém-se uma expressão para a variação de velocidade dv durante o período curto de tempo dt: c/r = F c/I. Logo. Se x for a distância do corpo a uma origem fixa. as dimensões devem ser as da primeira equação em que elas aparecem.23) 111 l' = ~~ = 1'0+ -. é a origem de muitas dificuldades.13). Substituindo O sinal negativo aparece porque a força é dirigida para baixo e a direção positiva de x nas Eqs.Onde Xo representa a posição do corpo em t = 0. em que corpo deve ser aplicada. a descrição completa do movimento. Um cavalo puxa a carroça. sendo x a altura do corpo em relação a um ponto de referência. X (1. conseguem mover-se? O leitor.25) e (1. Um corpo em queda livre próximo à superfície terrestre sofre a ação de uma força constante dada pela Eq. (1. Neste caso. Então. obtêm-se as seguintes equações familiares: a = -g. V=Vo-gl.gl . 1. como ambos. em primeiro lugar. 32 . no final deste capítulo.2 MáqUina de Atwood. não terá dificuldades para responder a esta questão. e por nenhuma outra força. pode-se calcular a velocidade do corpo em qualquer tempo t.25). aparentemente óbvio. obtendo-se. 6. (1. tem-se F = -my. assim como a distância em que ele se deslocou.2S) ].26) é para cima. ( 1. o cavalo e a carroça.18). (1. = -'o + 1'01I 2 ( 1. mas de acordo com a terceira lei de Newton a carroça puxa o cavalo com uma força igual e de sentido contrário. e pode ser ilustrado pelo dilema do cavalo e da carroça. que deve ser capaz de resolver o Probl. (1. considerando-se que a resistência do ar é desprezível.19).29) Ao se aplicar as leis do movimento de Newton. (1.22). Fig. Das Eqs.22) e (1.27) ( I. assim. introduzir a massa m do corpo e a força total F que age sobre ele. é essencial decidir. Eq. A falta de atenção a este aspecto. 39) u == g.Considere o movimento do sistema ilustrado na Fig.34). então » e interessante notar ( 1. para baixo.33) ( 1. é possível eliminar T e determinar a aceleração: ( 1.2.35) A aceleração é constante e a velocidade v e a posição x podem ser determinadas para qualquer tempo t. ainda que se m2 ml . estão penduradas nas extremidades de uma corda que passa por uma roldana. (1. (1.36) Como verificação. (1. supondo-se que m2 seja maior do que ml' Tome-se x como a distância da massa mz até a roldana. então a 2m1m2 ( 1.31) onde T é a tensão na corda. a coordenada x fixa a posição de ambas as massas ml e m2' Ambas se movem com a mesma velocidade dx ( l.34) onde a é a aceleração dv/dt.34) e determinar a tensão: T = --~g. Como o comprimento da corda é constante. Duas massas.31 ) ( 1. as forças atuantes sobre ml e m2 são (1. 1. Somando as Eqs. Pode-se substituir a da Eq.33) ou (1.35) na Eq. Note que os termos relativos a T nestas equações satisfazem a terceira lei de Newton. Desprezando-se o atrito e a resistência do ar. as massas estão em equihbrio estático.33) e (1. e é a mesma para as duas massas. como no exemplo anterior.3ü) l' = dI' sendo a velocidade positiva quando ml se move para cima e mz. ml +m2 = m2. observe-se que se ml = Oe (1. 33 L .38) ( 1. As forças são consideradas positivas quando sua tenJéllcia é produzir a velocidade dx/dt positiva.37) Como se deveria esperar. As equações do movimento das duas massas são ( 1. ml e m2. IIIU / / I / . I / . necessário conhecer a regra do paralelogramo para soma de vetores para entender a presente discussão.3. 1. (1.4 Decomposição das forças em componentes paralelos e perpendiculares ao plano inclinado. Estas componentes podem ser tratadas como forças separadas em ação sobre o corpo. Para determinar R. Fig. 1. qualquer força pode ser decomposta de maneira conveniente em componentes vetoriais. é evidente que se o bloco descer o plano inclinado sem pular para fora ou penetrar no plano inclinado. Quando várias forças agem sobre um corpo. / / / Fig. neste caso. a força resultante R deverá estar dirigida ao longo do plano inclinado.o leitor deve convencer-se que estes dois resultados deveriam ser esperados. I I IIJU . As duas forças que agem sobre o bloco são o peso mg e a força fi' com a qual o plano age sobre o bloco.3 Forças em ação sobre um bloco que desliza para baixo num plano inclinado. a partir da Ãlgebra Vetorial. considere-se um bloco de massa m deslizando para baixo num plano inclinado. será apresentado no Capo3. sua aceleração é determinada pelo vetor soma dessas forças componentes. I 6 34 I I i ~~~~~ J . decompõese cada uma das forças nos componentes paralelos e perpendiculares ao plano inclina- f Um desenvolvimento sistemático. como o mostrado na Fig. Reciprocamente.6 Como exemplo. cujo vetor soma é a força considerada. Estas forças devem ser somadas de acordo com a regra do paralelogramo para se obter a resultante R que age sobre o bloco: R = ma. 1.40) Como o bloco é acelerado na direção da força resultante. 42) Se a força de atrito [for proporcional à força normal N.r = J. o que geralmente é aproximadamente verdade.[. como na Fig. (1. como no primeiro exemplo.46) [= mg senO ~Jls mgcosO . o ângulo () de inclinação não pode ser maior do que um valor limite 8 c' o ângulo crítico: tgl1 ~ tgl1. Usando as Eqs.41) ( 1. Quando ele desliza no sentido de subida.1N = Jl1/lg COS 0. a força [opõese ao movimento. sua aceleração aponta para o centro da circunferência. I = mgsen8 . no caso de superfícies de deslizamento secas. 1.48) l I 35 . Isto só acontece se a velocidade inicial do bloco for no sentido de subida.45) onde Jls' o coeficiente de atrito estático. como será demonstrado no Capo 3.46). = Jls' (1.43) onde é o coeficiente de atrito.44) é positivo. é geralmente maior do que é igual a zero. Quando um corpo se move em velocidade constante v sobre uma circunferência de raio r.47) Se for maior que 11 c' o bloco não permanecerá em repouso. ( 1. (1. ( 1. (1.40). calcula-se a aceleração: J. então . (1. Neste caso R ( 1.1 a = g (sen 8 - Jl cos 8). A Eq. Somando os componentes paralelos. IA.1 do. oriunda do atrito entre o bloco e o plano. e Jl. A força F exerci da pelo plano sobre o bloco é mostrada na Fig. obtêm-se R e 0= N -//llj COS O. e o segundo termo na Eq.44) é válida somente no caso de o bloco deslizar para baixo no plano inclinado. • De acordo com a Eq.44) A velocidade e a posição podem agora ser determinadas como funções do tempo t. (1.4. ( 1.41) e (1. no plano inclinado.43). decomposta em dois componentes: a força N normal ao plano e que impede o bloco de penetrar nele e a força [ paralela ao plano e oposta ao movimento do bloco. Se o bloco estiver em repouso. (1. a força de atrito [terá qualquer valor até o máximo de JlsN. e seu valor é 11 a = -r v2 ( 1. 407. (1. e a Eq.52) na Eq. a força que atua sobre a Lua será F da cirda ciré aproentão.Tais corpos devem estar sob a ação de forças constantes que apontam para o centro. (1. p. (1.51) e (1. 4. e porque a Terra não permanece em repouso no centro da órbita da Lua. op.53) não está muito errada. mas oscila levemente devido à atração exercida por seu satélite.52) onde T é o período de revolução. (1. Expressa-se esta força em termos do raio R da Terra e da aceleração da gravidade g na superfície terrestre substituindo GM na Eq.51 ) A velocidade v da Lua é 2nr v= y-' (1.14): F = mg ~ R2 (1. (1.49). como o faz a força centrípeta F. esta força atrativa é também dada pela Eq. Como exemplo. mas é o produto da massa pela aceleração e aponta para o centro cunferência. confor· lsaac Newton. (1.7 Ela não é muito precisa.53) Esta equação foi determinada pela primeira vez por Isaac Newton. Esta força centrípeta é dada por F = ma = mv2 r (1. O tratamento exato deste problema é dado na Seç. cit. 36 L .:r' GMm (1. sua aceleração é muito menor.11). pois a órbita lunar não é perfeitamente circular. Outro erro pequeno refere-se ao fato de o valor de g.. (1. Como a Terra é muito mais pesada do que a Lua. que verificou sua validade para a gravitação da Lei do Inverso do Quadrado da Distância. Pela terceira lei de Newton. pela Eq. supondo-se que a Terra esteja em repouso no seu centro.7.50) onde M é a massa da Terra e m é a massa da Lua.49) Note que mv2 Ir não é uma "força centrífuga" apontando para fora do centro cunferência. Substituindo determina-se r: as Eqs.51). = ---. a órbita da Lua ximadamente circular. PROBLEMAS 1.p seja proporcional a I e depende. do raio a do tubo e da viscosidade 1/. Uma diferença de pressão t. Se introduzirmos os valores medidos. de acordo com medidas modernas.2cm-s-2 1 R = 6368km T obteremos. 2. que se manifesta numa área A num fluido em movimento. g = 980.53) r = 27 - 3 dias. Determine os três fatores de conversão para transformar o coeficiente de viscosidade de um destes sistemas para outro.p deve ser também proporcional a TI e a <I> e inversamente proporcional a a4 • 37 L . Compare com a força de atração eletrostática. cuja distância de separação seja a mesma. Suponha que t. Determine as unidades nas quais a viscosidade TI deve ser expressada nos sistemas pé-libra-segundo. me determinado experimentalmente. sendo ds medido perpendicúlarmente a A. e dv é a diferença na velocidade paralela a A. 2. 3..p (força por unidade de área) produz um fluxo <1>(volumepor segundo) para escoar através do tubo. por outro lado. incluir um efeito pequeno devido à rotação terrestre (ver Seç. somente de <1>. da Eq. entre duas camadas de fluido separadas por uma distância ds.5A (1 A = 10-8 cm). já definido no Probl. (1. de comprimento I e raio a. O coeficiente de viscosidade 1/ é definido pela equação F A dr =llds' onde F é a força de atrito. CGS e SI. Um fluido escoa por um tubo cilíndrico. usando Análise Dimensional. é r = 385 OOOkm. não permitiriam obter esta boa aproximação. que t. conhecidos de Newton. Mostre. Calcule a força de atração gravitacional entre um elétron e um pr6ton separados por uma distância de O. Os valores de r e R. 7. = 383 OOOkm A distância média da Lua à Terra.3). a) Desenhe um diagrama mostrando todas as forças que agem sobre o menino e sobre o trenó. Um motorista aproxima-se de um sinal de trânsito. uma terceira unidade fundamental de força. Se Vo = :3 Vomáx. existirá um intervalo de distâncias antes do cruzamento. O coeficiente de atrito entre o trenó e a neve é /1. d) Faça uma estimativa razoável de 2 T. quando o sinal se torna amarelo. 5. b) Determine os componentes horizontais e verticais de cada uma das forças no momento em que o menino e o trenó têm uma aceleração a. a) Se a reação do motorista ocorrer no tempo T. supondo-se que a tração é o fator que limita a aceleração? . O coei1ciente de atrito com o solo é /1. além de pé e segundo. e se a desaceleração máxima dos freios for a. com velocidade vo. antes do cruzamento. c) Se o coeficiente de atrito estático entre os pés do garoto e o solo for /-ls' qual é a aceleração máxima que ele pode fornecer a ele próprio e ao trenó.poderá ser iniciado quando c) Mostre que sendo e menor do que o ângulo crítico [conforme definido pela Eq. qual a distância mínima Smín antes de atingir o cruzamento. 7. então. que ele pode fazer com que o carro pare sem cruzá-Ia? b) Se o sinal amarelo permanecer aceso durante um tempo t antes de tornar-se vermelho. Ib. que faz um ângulo e com a vertical. b) Para e e J. (1. Um escovão de massa m é empurrado com uma força F dirigida ao longo do cabo. o movimento do escovão sobre o solo não . A unidade de massa é. baseada na Eq. Um sistema de unidades freqüentemente usado por engenheiros mecânicos escolhe. Expresse o slug nas unidades fundamentais (pé.l dados. chamada slug. calcule Smín e Smáx' 6. de modo que o motorista não pare a tempo nem consiga cruzá-Io sem que o sinal vermelho acenda. Um menino de massa m puxa (horizontalmente) um trenó de massa M. determine a força F necessária para que o escovão deslize com velocidade uniforme sobre o assoalho. que está verde. a libra-peso (usualmente chamada somente libra). a) Desenhe um diagrama mostrando todas as forças que agem sobre o escovão. é empurrado pelo cabo. Despreze a massa do cabo do escovão. s) e em libra no sistema pé-libra-segundo.r).9). t e a e calcule vomáx em quilômetros por ho- ra. 38 . de modo que ele possa atravessar o cruzamento com velocidade Vo sem que o sinal vermelho acenda? c) Mostre que no caso de a velocidade inicial ser maior do que rUm" = 2(/(( . (1. Determine a constante gravitaciona] G no sistema pé-libra-peso-segundo. no momento em que a luz se torna amarela. qual a distância máxima Smáx. uma unidade derivada. no instante em que a luz amarela acende.47) l. durante o qual ele decide parar e aplicar o pé no freio.4. ·O ângulo 8 é maior do que o ângulo crítico. Existe uma suposição de que os pulsares. cujo raio de curvatura é r. determine a massa do Sol em toneladas.. com uma densidade comparável à de um núcleo atômico (aproximadamente 1012g/cm3).J. aproximadamente em um mês. em torno de um centro de gravidade comum ao sistema Terra-Lua. 10. se você comparar o período de revolução do Sol em torno do centro da galáxia com o período de revolução da Terra em torno do Sol. 1. no sentido de subida de um plano inclinado. Determine a massa aproximada da galáxia. Ao bloco mostrado nas Figs. 12_ 13. supondo que a força gravitacional exercida sobre o Sol possa ser calculada considerando-se que toda a massa galáctica esteja concentrada em seu centro. considerando que a primeira faz com que a órbita terrestre em torno do Sol seja de um ano. em uma auto-estrada. a Lua e a Terra e calcule a força de atração entre a Terra e o Sol e entre a Terra e a Lua. Determine a distância em que o bloco se moverá. Uma estrela de nêutrons é uma coleção dessas partículas ligadas por sua atração gravitacional mútua. é inclinada num ângulo 8 com relação à horizontal. Determine a aceleração do sistema e a tensão na corda. é f= (pG/37T)1/2. a) Calcule a massa da Terra usando o valor de seu raio e os valores de 9 e G.I. Compare os resultados obtidos. onde p é a densidade.4 é dada uma velocidade inicialllo. Suponha que a estrela de nêutrons seja uma esfera e mostre que a freqüência máxima com a qual ela pode girar. sem que a massa se desprenda do equador. qual a velocidade máxima de um carro para percorrê-Ia sem derrapar? 11.3 e 1. e o tempo necessário para que ele deslize para baixo de volta à sua posiçao original. O Sol encontra-se aproximadamente a uma distância de 25 000 anos·luz do centro da galáxia e desloca-se em uma circunferência à velocidade de 300km/s. são estrelas de nêutrons. b) Procure as massas e as distâncias existentes entre o Sol. 14. 39 L ~ I I . pendurado ao lado da mesa. fazendo uma estimativa grosseira da razão entre essas duas forças. Supondo-se que a Terra se mova formando circunferência cujo raio seja igual a 150000 OOOkm no período de revolução de um ano. Calcule f para uma densidade de 1012g/m3. 8: Uma caixa de massa m desliza sobre uma mesa horizontal com coeficiente de atrito A caixa está conectada por uma corda que passa por uma roldana a um corpo de massa M. Se o coeficiente de atrito for Ils. 9. ao subir o plano inclinado. Não é necessário conhecer a constante G ou a massa do Sol para resolver este problema. Exprima o resultado como a razão entre a massa da galáxia e a massa solar. Uma curva. enquanto a segunda a faz girar numa pequena circunferência. que emitem uma certa quantidade de radiação com intervalos regulares e com uma taxa de repetição de até 30/s. provando-se alguns teoremas e simples sobre o movimento unidimensional.9). sob a ação de uma força F dirigida também ao longo do eixo dos x. usando-se a Eq. estudar-se-á o movimento de uma partícula de massa m ao longo de uma linha reta.1). ~ .I . O movimento da partícula é governado. de acordo Eq. Multiplicando-se a Eq. é definido como p = nw = /1/-. a outros casos em que o movimento de um sistema mecânico depende apenas de uma coordenada. (2. obtém-se mento Linear: do momento linear com o tempo é segunda lei de Newton.1 TEOREMA DO MOMENTO E DA ENERGIA Neste capítulo. O momento linear p. obtém-se o seguinte resultado: dp dr = F. é melhor definir alguns ccnceitos de utilidade na discussão de problemas da Mecânica. A discussão aplica-se. (1. pela equação (2.1 O). (1.1) Antes grande gerais com a de se considerar a solução da Eq. podem ser eliminadas. (2.2) Da Eq.1). c/r dx (2. de acordo com as Eqs.3) Esta equação estabelece que a taxa de variação igual à força aplicada. Este teorema (diferencial). ~ CAPITULO 2 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL ~ DE UMA PARTICULA 2. a forma integral do Teorema de Mo- (2.2) e o fato de m ser constante.4) 41 . como se verá adiante. o que. (2.3) por dt e integrando-se de t 1 a r 2. ou quando todas as coordenadas. evidentemente. com exceção de uma. é a pode ser chamado Teorema de Momento Linear (2. considerada o eixo dos x.. (2. A Eq. (2.4) fornece a variação do momento linear devido ã ação da força F entre os tempos ti e t2· A integral da direita é chamada impulso, que é fornecido pela força F durante este tempo; F deve ser conhecida como função de t somente para que se possa calcular a integral. Se F for dada como F(x, v, t), então o impulso pode ser calculado para qualquer movimento x (t), v (t) particular. Outra grandeza de considerável importância é a energia ciné tica , definida (em Mecânica Clássica) pela equação (2.5) 21 Multiplicando-se a Eq. (2.1) por v, obtém-se do mv dt ou então: = Fv, (2.6) A Eq. (2.6) fornece a taxa de variação da energia cinética, podendo ser chamada Teorema da Energia (diferencial). Multiplicando-se-por dt e integrando de ti a t2, obtémse a forma integral do Teorema da Energia. T2-TI = fl2 Fvdt. ti (2.7) A Eq. (2.7) fornece a variação de energia devido ã ação da força F entre os tempos t I e t 2. A integral à direita denomina-se trabalho, que é executado pela força durante este intervalo de tempo. O integrando Fv à direita é a taxa de execução de trabalho com o tempo, chamada potência, e é fornecida pela força F. Em geral, quando F é conhecida como F(x. v, t), o trabalho pode ser calculado somente para um movimento particular x (t), v (t) especificado. Como v = dxjdt, pode-se reescrever a integral do trabalho de forma conveniente, quando F é conhecida em função de x: T 2 - TI = IXl _ F dx. XI (2.8) 2.2 DISCUSSÃO DO PROBLEMA GERAL DO MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL Quando se conhece a força F, a equação de movimento (2.1) toma-se uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem, para a função desconhecida x (t). A força F pode ser conhecida como função de qualquer uma ou de todas as variáveis t, x e v. 42 Em relação a um dado movimento de um sistema dinâmico, todas as variáveis dinâmicas (x, v, F, p, T etc.) associadas ao sistema são, evidentemente, funções de (, isto é, cada uma tem um valor definido para cada tempo em particular. Em muitos casos, entretanto, uma variável dinâmica, tal como a força, pode guardar uma certa relação funcional com x, com v, ou com qualquer combinação de x, v e (. Como exemplo, a força gravitacional que age sobre um corpo em queda livre, de uma grande altura acima da Terra, é conhecida como função da altura acima da Terra. A força de atrito de arrastamento que atua sobre um corpo depende de sua velocidade e da densidade do ar, bem como da altura em que se encontra acima da Terra; se as condições atmosféricas mudarem, ela poderá depender ainda de t. Sendo F conhecida como F(x, v, t), então, quando x{t) e v(t) também são conhecidas, estas funções podem ser substituí- , das para que F seja função apenas de (, embora, em geral, isto não possa ser realizado até que se resolva a Eq. (2.1). Mesmo assim, a função F(t) pode ser diferente para diferentes movimentos possíveis da partícula. Em geral, quando F é dada como F(x, v, t) (onde F pode depender de qualquer ou de todas essas variáveis), a Eq. (2.1) torna-se uma equação diferencial definida, que deve ser resolvida: d2x -d t 2 1 = m f(x, X, t). (2.9) Esta é a forma mais geral de equação diferencial ordinária de segunda ordem, e este capítulo refere-se ao estudo de suas soluções e aplicações em problemas. de Mecânica. A Eq. (2.9) é aplicável a todos os problemas de uma partícula submetida à ação de uma força conhecida. Em geral, existem muitos movimentos possíveis, pois a Eq. (2.9) fornece somente a aceleração da partícula, em cada instante, em termos de sua posição e de sua velocidade naquele instante. Conhecida a posição e a velocidade de uma partícula em certo tempo, pode.se determinar sua posíção após (ou anterior. mente a) um pequeno intervalo de tempo. Conhecida a aceleração, pode-se determinar sua velocidade após um pequeno intervalo de tempo. A Eq. (2.9), então, fornece a aceleração após esse pequeno intervalo. Desta maneira, é possível seguir as posições e velocidades anteriores como as subseqüentes de uma partícula, caso sua posição Xo e velocid<lde Vo sejam conhecidas em qualquer instante (o. (o denomina-se instante inicial, embora possa ser qualquer instante da história da partícula; os valores Xo e Vo em to· denominam-se condições iniciais. Ao invés de especificar os valores iniciais de x e v, especifica-se o valor de quaisquer outras duas grandezas a partir das quais x e v podem ser obtidas; por exemplo, é possível especificar Xo e o momento linear inicialpo = mvo. Estas condições iniciais, juntamente com a Eq. (2.9), representam um problema perfeitamente definido, cuja solução deve ser uma única função x (t) representando o movimento de uma partícula sobre condições especificadas. A teoria matemática das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem leva a resultados concordes com o que se espera da natureza do problema de Física que deu origem à equação. A teoria assegura que, ordinariamente, a solução de uma equação da forma (2.9) é contínua e única, x(t), que assume os valores Xo e Vo de x ex, em qualquer valor escolhido to de t. "Ordinariamente", aqui, quer dizer até que ponto aqueles que começam a estudar Mecânica devem preocupar-se, "em todos os casos de 43 ~c 1 interesse".l As propriedades das equações diferenciais, como a (2.9), podem dadas na maioria dos tratados sobre o assunto. Sabe-se que qualquer problema ca deve ter sempre ça deverá satisfazer ser estude Físi- uma solução única e, portanto, qualquer força F(x, X, t) que apareà condição imposta para aqueles valores de x, x e necessariamente físico. Logo, em geral não é preciso saber se a solução existe ou t que tenham interesse não. No entanto, a maioria dos problemas de Mecânica envolve algumas simplificações da situação real, o que leva o aluno a simplificar demais ou mesmo a distorcer o problema físico de tal maneira que impede o problema matemático resultante de ter apenas uma solução. Em geral, os físicos, ao tratarem de Mecânica ou de outros ramos, tendem a ignorar as questões de rigor matemático. Naqueles casos, raros afortunadamente, em que encontram dificuldades, eles usam a intuição ou verificam a falta de rigor, até descobrirem a solução. Tal procedimento é capaz de causar tremores nos matemáticos, à solução de problemas é a maneira mais conveniente e rápida de aplicar a Matemática mas de Física. Os físicos, embora procedendo de maneira não rigorosa, devem estar a par do rigor com O teorema única para todos pode ser obtida dos neste livro problemas realidade, uma que os matemáticos aplicam esses métodos. que gerou a Eq. (2.9) garante que existe uma solução matemática os casos que aparecerão na prática. Em alguns deles, a solução exata através de métodos elementares. A maioria dos problemas consideraé desta natureza. Afortunadamente, muitos dos mais importantes podem ser resolvidos sem dificuldade, por meios físicos. Na é das razões por que certos problemas são considerados importantes de Mecânica sua fácil resolução. Os físicos estão preocupados em descobrir e verificar as leis da Física. Ao verificá-Ias experimentalmente, eles podem, muitas vezes, escolher os casos em que a elaboração da análise matemática não é muito difícil. Já os engenheiros não são tão afortunados, porque os problemas com que deparam não são selecionados vido à facilidade, mas porque têm importància prática. Em Engenharia e também qüentemente em Física, aparecem muitos casos em que a solução defre- da Eq. (2.9) é de ob- tenção difícil ou impossível. Em tais casos, existe um número variado de métodos para se obter pelo menos a resposta aproximada. Recomenda-se ao leitor recorrer a cursos ou livros que tratem de equações diferenciais para poder conhecer tais métodos.2 Do ponto de vista da Mecânica Teórica, o importante é que a solução exista sempre e que possa ser obtida de modo tão preciso quanto se queira. Aqui, dar-se-á atenção a exemplos que possam ser resolvidos por métodos simples. 2.3 FORÇA Se uma APLICADA força DEPENDENTE como DO TEMPO função do tempo, (TI I.c então . é possível por resolver a F for dada equação de movimento (2.9) da seguinte maneira: multiplicando-a dt e integranC:o Para que a demonslração das condições para existência de uma solução da Eq. (2.9) seja rigorosa, consulte um livro sobre equações diferenciais, como, por exemplo: An introduction to the theory of differentia/ equations, de W. Leighton. New York, McGraw-Hill, 1952. (Apêndice 1.) 2 W. E. Milne, Numeriea/ ea/eu/us. Princeton University Press, 1949 (Cap. 5). H. Levy e E. A. Baggott, Numeriea/ so/utions of differenlia/ equations. New York, Dover Publications, 1950., 44 1 (lI a integral será então à direita pode ser resolvida. as integrais lução final de forma que possa ser utilizada. r I" F(t)c/t. Pode- v Multiplicando = dx -/ (t = 1'0 + 111"'0 -I r' FU) (2. ) agora por dt e integrando novamente de to a t: (212) Para evitar e como confusão.to)+ 111 dt" 10 F(r') dt'o fI"10 (2.13). na discussão de problema solvido quando a solução como o anterior. Por esta razão.13) lf' Esta é a solução procurada x (t).13).11 c/r. devem ser calculadas de t aparecem objetivando-se -a Em problemas de cunho prático. considere-se o movimento de um elétron de carga à ação de um campo elétrico que oscila ao longo do eixo dos x: -e quando 3 Vo submetido O leitor que já estudou equações diferenciais deve estar preocupado com as três constante. na segunda: escreve-se a variável de integração como t' na primeira integral t" X = Xo + vou . sose nos quais F é dada como função usualmente quando o comportamento de um sistema mecânico sob a ação de uma inComo exemplo. calcula-se a integral por métodos numéricos. então. e uma constante que aparece multiplicando ( e que contém o termo Vo mais um termo oriundo do limite inferior da primeira integral.desde um instante inicial to até um instante caso. pelo menos em princípio. (2. uma co'nstante contendo os termos Xo . Uma integral de duas integrais. . obten- do-se a Eq. enquanto a solução geral de uma equação diferendallk segunda ordem deveria conter somente duas constantes arbitrárias. obtendo-se resultados tão precisos quanto se queira. para o presente /IIP-I/ll'() Como F(t) é uma função conhecida de = t. f o' e xo' que aparecem na solução (2. 45 . não sendo possível encontrar um resultado analítico explícito. existem somente duas constantes independentes na Eq.3 Problemas deseja determinar fluência externa. Matematicamente.Vo (o mais um termo resultando do limite inferior da última integral. (2.4) que. é t qualquer posterior (ou anterior). pode-se considerar qualquer instante toe. em termos das quando se conhece F(t). que podem ser calculadefinida pode ser sempre calculada. considera-se comumente que ele esteja refoi expressada em termos de uma ou mais integrais definidas. (2. e o segundo membro se escrever para v a seguinte solução: uma função de t(e de to). somente os dois parâmetros Xo c Vo são necessários para especificar um dos movimentos de todos os movimentos possíveis para o corpo sujeito à força dada. Em Física. Multiplicando-se por dt. Como o elétron tem carga negativa. as cargas são deslocadas na direção da força elétrica que atua sobre eles.14) (2. de II1W mw dx eEo sen (] eEo (2. integrando e fazendo to = 0. embora possam afetar a frente que chegar primeiro. (2. (Em um dielétri-co comum e em baixas freqüências.-/lI/I) t eEo +--0 11111)- + O). (2. quando a onda chega.Ex A força sobre o elétron é F = Eo I cos (wt+8).) Como a velocidade da luz e t. em relação 46 . Esta oscilação coerente dos elétrons livres modifica a propagação das ondas. porque eles não oscilam com a freqüência dela.18) depende das condições iniciais e.19) A explicação dada pela Física sobre a origem do termo constante e do termo linear em à fase do campo elétrico no instante inicial é deixada ao leitor. (2. (2. do movimento detalhado de cada elétron. e a constante dielétrica é maior que um. Por que o termo oscilante está fora de fase com a força aplicada? O problema considerado aqui é de interesse no estudo da propagação das ondas de rádio através da ionosfera. Eo e w? Explique em termos da Física.19) dependem de e. Como resultado. (2. (2. dado pela Eq. (2.19). O termo oscilante na Eq. tem-se: U = -= vo+------sen(we+O).18) Se o elétron estiver inicialmente em repouso em = O. oriúnda do campo elétrico. A equação de movimento é dv mdt = -eEo cos (wr+O). então cos (we x = - eEo cos O eEo sen li o n1W- + -----. a polarização elétrica resultante está 1800 fora de fase com o campo elétrico. obtém-se x = Xo - 2 + mw eEo cos li ( vo+----nuo eEo sen O) Xo t+--2 IIUO eEo cos (wt+ O). a constante dielétrica da ionosfera é menor do que um. Verifica-se que a parte oscilatória do deslocamento x encontra-se 1800 fora de fase com a força aplicada. Estes termos não podem contribuir para a propagação característica da onda.14). na Eq.15) (2. m. O termo não oscilatório na Eq.17) Integrando novamente. conseqüentemente. A uma onda de rádio de freqüência w está associado um campo elétrico.18) tem a mesma freqüência w e é independente das condições iniciais. Como os termos da Eq. (2.16) I = -eEx = -eEo cos (wt+O). cuja densidade de elétrons é elevada. 24) •. para freqüências suficientemente elevadas.I.4 FORÇA DE AMORTECIMENTO DEPENDENTE DA VELOCIDADE Outro tipo de força que permite uma solução fácil da Eq.9. Este efeito parece ser inversamente proporcional a w2. (2.I. = 1:0 1--------" ( l1lur NC2) E. de forma que. (2. Logo.21 ) considerando-se somente o termo oscilante. mo)" (2.1---.2 l1lur (2. mas passam através da íonosfera. Um pouco de conhecimento da teoria eletromagnética é suficiente para levar adiante matematicamente esta discussão.22) = l:oEx + P.Ex. as ondas não retomam. por exemplo. N(2)-I.23) Como a permissividade elétrica é definida por D. University physics. é Ne" Px O deslocamento elétrico é Dx ------.4 O momento de dípolo do elétron deslocado de sua posição de equihôrío é -I. as ondas que entram inclinadas na ionosfera são refletidas de volta para a Terra. 3. W.: Addison-Wesley.. -- (2.7. [' c ( 1--.27. = conclui-se que I:E" (2. F.o são respectivamente as constantes dielétricas e magnéticas relativas. a velocidade (de fase) v das ondas de rádio na ionosfera é maior do que a velocidade c das ondas eletromagnéticas no vácuo. Reading.25) = /Jo . 1964.:'2 Eo cos (Wl + I!) = L~.20) onde c = 3 x l08m/s e €/Eo e J. e como aqui /J = /Jo.() lII(1r e como /J Ne2 (2. Existindo N elétrons por cm3.:'X = --" I1lW- 1. o momento de dipolo total. W.l.7 e 27. Mass. ed.27) 4 Veja. por unidade de volume. Zemansky. (Seçs. . (unidades MKS).-.26) ~ 2. Sears eM.9) é o caso em que F é somente função de v: dI' 111 - dr = F(l'). 26./J.) 47 I ~ .~ - ~ 12. I:. portanto. o resultado será uma equação dà forma v = Jt dx = lfJ 1'0 (t- ~ .29) o resultado para x será. havendo uma força normal conhecida entre elas. a força de atrito é proporcional a algumas potências fixas da "velocidade: F = (+)hv". então.30) x = Xo + fr'o lfJ ( 1'0 . A força de atrito entre superfícies lubrificadas ou entre um corpo sólido e um meio líquido ou gasoso depende. Resolvendo-se esta equação para determinar v (supõe-se nas discussões gerais que isso é sempre possíveI). (2. da velocidade. Como exemplo. o sinal negativo deve ser escolhido na equação acima. o sinal deve ser escolhido de maneira que a velocidade v tenha sempre o sinal oposto. as únicas espécies importantes de força que dependem da velocidade são as forças de atrito. de maneira complicada. (2. estes casos não ocorrem freqüentemente.31) com n = 1.. supõe-se que a força de atrito seja a dada pela Eq.ou rolamento entre superfícies sólidas e secas são aproximadamente constantes para um dado par de superfícies. pelo menos em princípio. e depende da velocidade somente quanto ao fato de ser sempre oposta à velocidade. A força de atrito é sempre oposta à velocidade.28) F( A integral à esquerda pode ser calculada.-- 1 m . (0) (2. a função F(v) só pode ser conhecida em forma de tabela de dados experimentais.31 ) Sendo n um número inteiro e ímpar. realiza trabalho negativo.Para resolvê-Ia. -to) No caso do movimento unidimensional. quando está na posição Xo = O. Em certos casos e em certos intervalos de velocidade. multiplica-se a equação anterior por [mF( v) rI dt e integra-se de toa t: (2. absorve energia do corpo em movimento. dI. isto é. A força dependente da velocidade e na mesma direção representaria uma fonte de energia. As forças de atrito de deslizamento . (2. 48 . quando v) é conhecida. em caso contrário. considere o problema de um barco cuja velocidade inicial é Vo. tendo-se como resultado uma equação que contém a incógnita v. Desligados os motores no instante to = O. desde que seja muito menor que Uo.33). da Eq. Freqüentemente é instrutivo ex- 49 .:. (2. O resultado para x é - . h l'. (2. como deveria.'!/In ~o . Define-se. (2. a velocidade torna-se tão pequena que o barco estará praticamente parado.i'i'j dI' /li u.32) A Eq. x se aproxima do valor limite x'=b' IIH'O (2. o tempo ts não dependerá muito do tis escolhido.32) é resolvida seguindo os passos delineados acima.33 ) Verifica-se que se t -+ "". III Uo v - ['oe .30): v f" ~ "o v h ln= --t. (2. a velocidade nunca se torne exatamente igual a zero.--(I-e mvo h -brim)._ c/r = - hl'. (2. mas que o barco nunca atingirá o repouso completo em tempo finito.brim (2. o tempo rs para o barco parar como t. então. de acordo com o resultado acima. quando t é suficientemente grande. - . (2. quando u < us' considera-se o barco parado (digamos. Eq. é possível especificar uma distância definida em que o barco corre até parar. a velocidade randômica média adquirida por um barco ancorado como conseqüência das ondas que passam por ele).34) Quando t -+ "". Embora. por exemplo.27) até a (2. Escolhendo-se um valor pequeno da velocidade Us de modo que.361 Como o logaritmo é uma função de· variação lenta. ti -+ O.35) Logo. 31).+·". particularmente quando este é muito pequeno para ser levado em conta aproximadamente. o que nos leva à solução (2.34).32). o leitor que ainda não o fez deve memorizar a série de Taylor para algumas funções simples. corno. o corpo não só requer um tempo infinito. mas tornar-se pequeno no caso de velocidades baixas. Em geral.. por exemplo: x2 x3 x~ e = I+x+-+-+--. um valor muito grande desse expoente resultará em rápido decréscimo inicial da velocidade. As expansões em série são meios muito úteis de obter fórmulas simples. (2. aproximadas. O expoente n = 1 é freqüentemente usado em problemas envolvendo atrito. Expandindo-se os segundos membros das Eqs.r~-~~~~~ pandir a solução em série de Taylor em potencias de t. Este fato está em desacordo com a experiência comum. como se pode verificar fazendo gráficos dava· riação de F com v para vários valores de n. obtém-se5 hl'o V = vo-----t+···. A razão para se escolher n = 1 é que este valor resulta numa equação de fácil solução. como viaja uma distância infinita antes de parar. que são válidas quando o intervalo de tempo é pequeno.34) em uma série de potências em t. como a dada pela Eq. Isto era de esperar e nos permite fazer uma boa verificação na Álgebra. x 2 n(n-l) +x)"= 1 +nx+-2 n(n-l) (n-2) +---------x 2') 3 + . Para grandes valores de n. a velocidade atingirá o valor zero em tempo finito. úteis na obtenção de aproximações de fórmulas complicadas e 50 . depende do expoente n. a qual é o valor inicial da força de atrito da Eq. mas de· morará a atingir o repouso.versa. 2 2·3 2·3·4 x2 x3 x4 In (I (1 +x) = x-2+3-4+'''.. o que é uma indicação de que o expoente n deve ser grande para velocidades elevadas.33) e (2. (2. (2. sendo freqüentemente uma boa aproximação quando a força de atrito é pequena e quando b é escolhido apropriadamente. Para valores suficientemente pequenos de n.38) Note que os dois primeiros termos nas séries para v e x são exatamente as fórmulas para uma partícula sujeita a uma força constante -b 1'0. e vice. Estas três séries são extremamente são válidas quando x é pequeno.37) (2. /li (2.. As características do movimento de um corpo sob a ação de uma força de atrito. Ela é denominada energia total E. Em termos de V (x). quando a força s6 depende da posição: imv2+ V(x) = T+ V = E. válida.•.. então.8). a Eq. pode-se escrever a integral na Eq.40).39) Pelo teorema da energia (2. ENERGIA POTENCIAL Um dos mais importantes ção da coordenada x:. (2. Define-se. (2. (2. sendo.40) torna-se tlllv2 + V(x) =!IIIV~ + V(xo)' (2.41 ) o motivo para se chamar esta grandeza de energia potencial aparecerá em seguida.42). portanto. como pode ser verificado.5 FORÇA CONSERVA TIV A DEPENDENTE DE POSIÇÃO. x s: V(x) = S·\· x F(x) dx fà = . a energia potencial V(x) como o trabalho realizado pela força quando a partícula desloca-se de x a um ponto de referência escolhido. 's F(x) dx. (2. A função x(t) é obtida resolvendo a equação para x Jm2 [Ef'" xu V(X)]-1/2dx = C-to' (2..44) Resolvendo para v.. obtém-se v - dt = dx J~ [E11I (2. constante durante o movimento. Obtém-se assim a lei de conservação de energia cinética mais energia potencial. } dv 11I-- de = F(x) .. A integral à direita é o trabalho realizado pela força quando a partícula caminha de Xo para x. tlllv2 -1m1'6 = r • \"0 F(x) dx .46) 51 . (2.42) Com o auxl1io da Eq.45) V(X)]1/2.43) A grandeza no membro à direita depende somente das condições iniciais.T ~" 2. como se segue: r Xo F(x) dx = - V(x)+ V(xo)· (1. (2. tipos de movimento ocorre quando a força F só é fun\ . 46) e resolver a raiz quadrada indicada no integrando.49) A Eq. certamente. pode ser necessário resolver a integral da Eq.~ Neste caso.45). (2. (2.51 ) (2. considerar o problema de uma partícula submetida à força restauradora linear.46) separadamente para cada parte do movimento. pode-se exprimir a força em termos da energia potencial: F= dV i/x' (2. dependendo se a velocidade v. (A mesma constante deve. a escolha do ponto de referência Xs não tem importância.48) = O.47) Esta equação pode ser tomada como expressão do significado físico da energia potencial. O resultado de mudar-se a coordenada do ponto de referência Xs é adicionar uma constante a V(x). (2. neste caso. Como é a derivada de V que entra como força nas equações dinâmicas. que é uma função cuja derivada negativa é igual à força. Ao aplicar a Eq. (2. deve-se tomar cuidado para usar o sinal apropriado. a energia potencial é V(x) = -( (-kx)i/x = 1kx2. como uma massa ligada a uma mola: F Tomando-se Xs = -kx. pois uma constante pode ser sempre somada ao potencial V (x) sem afetar o resultado físico. (2. Da definição (2. as condições iniciais são expressadas em termos das constantes E e Xo. com to= 0.50) Fazendo as substituições abaixo (2. ser adicionada a E. (2. dada pela Eq.) Como exemplo.51) de tal forma que 52 . Nos casos em que v é positiva durante algumas partes do movimento e negativa durante outras partes. (2.46) toma-se.41). é positiva ou negativa. 44). Em geral. para fornecer uma solução para x (t). podese descrever qualitativamente as espécies possíveis de movimentos.55) (2. dá informações úteis sobre a solução.e. pela Eq. sua velocidade decresce quando se aproxima de XI ou X2 e quando atinge esses dois pontos pára e seu movimento re(o". Eq. qualquer problema de Mecânica pode ser resolvido caso se encontre um número suficiente de primeiras integrais. Uma função dependente de uma variável e de sua derivada primeira. pela escolha de e no quadrante apropriado. (2. (2.51): x onde = J~~ k senO = (2.46) ou em que não se possa resolver a equação resultante. com amplitude A e freqüência w / 2 rr. (2. a partícula pode mover-se entre XI e X2.1. uma grandeza que pode assuEq. ou constantes do movimento. A sen 00' (2.45) que a partícula está confinada àquelas regiões no eixo dos x onde V(x) <'E. 53 . Para a função energia potencial mostrada na Fig. k . a integral de energia. que é constante para todas as soluções de uma equação diferencial de segunda ordem.54) Logo. Uma integral da equação de movimento de um sistema mecânico denomina-se constante do movimento. Mesmo em casos em que não é fácil o cálculo da integral da Eq. verifica-se que a menor energia possível é E o.53) A sen (WI+Oo). denomina-se I integral primeira da equação. 2. Logo.50).56) Note que neste exemplo é difícil escolher o sinal quando se extrai a raiz quadrada na por (COSO)-I. (2. (2. fazendo-se um gráfico de V(x) em função dex. a partícula só pode permanecer em repouso em Xo. (2. A=J~~ (2. a coordenada x oscila harmonicamente no tempo. Com a energia El um pouco maior. conforme o problema requerer. A função . Nesta energia. Pode-se obter x da Eq. a velocidade é proporcional à raiz quadrada da diferença entreEe V(x).mx2 2 + V(x) denomina-se illlegral da energia da Eq. Além disso. relacionadas a E e x o por E Xo = = FA2.39). substituindo (l-sen20fll2 mir valores positivos ou negativos. verifica-se na Eq. Para uma dada energia E. (2. As condições iniciais são determinadas aqui pelas constan tes A e x o.50). variando sua velocidade de acordo com a profundidade do potencial em cada ponto. Com a energia E4' existe somente um ponto de retorno. Com a energia E2 . c/x (c/2~) Xo ~ (2. se a partícula inicialmente deslocar-se para a esquerda. em torno deste ponto: (2. ou permanecer em repouso em xs. 54 .1 Função energia potencial para movimento unidimensional.li (. No caso de energias acima de E 5 .r) I I I . Quando a partícula oscila próximo a um ponto de equilíbrio estável.58) O. Os pontos x I e X2 denominam-se pontos de retorno do movimento. Como Xo é um c/x (tiV) XO = O. haverá quatro pontos de retorno e a partícula poderá oscilar em qualquer um dos dois vales do potencial. . Considere que V(x) tenha um mínimo em x = Xo. pode-se achar uma solução aproximada para o seu movimento. 2. expandindo-se a função V(x) numa série de Taylor. pode ser desprezada sem afetar o resultado físico. verte. a partícula pode oscilar entre os pontos X3 e X4. Com a energia E3.+--r-------t---I I I I I I Fig. ele inverterá seu movimento em X6 e retomará para a direita acelerando nas descidas dos vales entre Xo e x 5 e desacelerando nas subidas desses vales. não haverá pontos de retorno e a partícula só se moverá em uma direção.57) A constante V(xo) ponto de mínimo. 60) = !kX'2 . tem-se. (2.47). com freqüência dada pelas Eqs. Na teoria. baseada na integral da energia. 55 .63) A taxa de variação da energia cinética mais potencial é igual à potência fornecida pela força adicional F'. Se for deslocada numa distância pequena. imediatamente. e a Eq.se k =F O. no caso de qualquer curva de energia potencial. uma partícula em repouso neste ponto pode permanecer em repouso.61) Para valores de x' suficientemente pequenos. considerando. e multiplicando-se por dxjdt.Escolhendo as seguintes abreviações (1.59) x'=x-xo. (2.. (2. (1.59).62) na Eq. Um ponto onde V (x) tem um mínimo denomina-se ponto de equi/ibrio estável. a energia (T + V) não é mais constante. Esta espécie de discussão qualitativa. A região onde V(x) é constante denomina-se região de equihbrio indiferente. Uma partícula em repouso num destes pontos permanecerá em repouso. o movimento é o de um oscilador harmônico. com exceção no caso excepcional quando k = O. porém se for ligeiramente deslocada desta posição.61) torna-se idêntica à Eq. Substituindo-se F dada pela Eq. é simples e muito útil. (2. Pode acontecer que somente parte da força agindo sobre a partícula derive de uma funçãO potencial V(x). pode-se escrever a função potencial na seguinte forma: V(x') (2. para pequenas oscilações em torno de um ponto de mínimo do potencial. (1. os possíveis tipos de movimento.52) e (2.1). (2. podem·se desprezar os termos representados por pontos. Estude este exemplo até entendê-Ia suficientemente bem para tornar-se capaz de ver. desde que a força aplicada seja igual a zero.62) Neste caso. Considere que F' seja o restante da força: F = --+F'. a partícula experimentará uma força restauradora tendendo a retomar ao ponto de equilíbrio e oscilará em torno deste ponto.. Um ponto onde V(x) tem um máximo chama-s~ equilz'brio instável. Logo. d dt (T+ V) = F'l'. após arrumar os termos. dx dV (2. porque a partícula pode sofrer pequeno afastamento sem que força restauradora ou repulsiva atue sobre ela. a força que atua sobre ela a empurrará para mais longe da posição de equil1brio. 28) e (1.6 CORPOS EM QUEDA LIVRE Um dos mais simples e dos mais comuns tipos de movimento unidimensional conhecido é o de corpos em queda livre. (2. Considere-se agora este movimento como exemplo dos princípios discutidos na seção anterior. suponha-se que a força de atrito seja proporcional a v.28)]: ht (2. para um intervalo pequeno de tempo.66) A constante b dependerá do tamanho e da forma do corpo em queda livre. (2. v ou x. A equação do movimento é (2. verifica-se da Eq.3. (2. vi =- v (2.5. expandindo a função exponencial em uma série de potências: [' = 1 hy . de forma que a força total será F = -my-/m (2. Ao leitor: será instrutivo resolver o problema pelos três métodos.65) A solução pode ser obtida por qualquer um dos três métodos discutidos nas Seçs. Após um intervalo de tempo longo. Para incluir os efeitos da resistência do ar.. 2.69) que 56 . procede-se como na Seç. O problema deve ser tratado como um caso de F(v): dv m -Considerando que Vo dt = -mg-hv. 2..70) Logo. e o efeito da resistência do ar pode ser desprezado.gt +"2 -m 2 r + .4 e 2.. 2.69) Pode-se obter uma fórmula útil para intervalos pequenos do tempo de queda. m/b).gt. acha-se submetido à ação de uma força constante F = -mg. (1.29)]. (2. Um corpo em queda livre próximo à superfície terrestre. desde que uma força constante possa ser considerada como função de qualquer t. como também da viscosidade do ar. v = .68) fI' o v+(mg/h) = dv mg (l_e:bl/~).64) onde se considera positiva a direção para cima. (t 4f.2.4 [Eq. (2. m Integrando e explicitando v: v = -t. desprezada a resistência do ar. aproximadamente. A solução foi apresentada no Capo 1 [Eqs.67) = O em t = O. hij 1/1 . considerando Xo = O: x = h.(I _~r _ e-hl!"'). Este método de aproximações sucessivas muitas vezes é útil na resolução de equações que contêm um termo tão pequeno que na aproximação de ordem zero possa ser desprezado.67) e integrando-se. como na Eq.70). (2.69). (2. o resultado (considerando Xo = Vo = O em to = O) é 57 . obtém-se x 1 = -~~. Para corpos pequenos e pesados. (2. obtém-se uma aproximação melhor V (2) . O corpo atingirá l/e de sua velocidade terminal em intervalo de tempo t = m/b. usa-se a velocidade terminal obtida experimentalmente. Um método similar é às vezes usado quando se resolve por aproximações sucessivas uma equação algébrica que contenha um ou mais termos pequenos. Por que aparece uma constante positiva no resultado acima? Vale a pena notar que é possível obter a solução em forma de série (2. Este resultado pode ser interpretado facilmente em termos da velocidade terminal. (I . boa até a ordem de b2 e assim sucessivamente.72) Se t ~ m/b.r-+k .73). integrase a Eq. (2.v= - se r» /li h ' h' - A velocidade mg/b denomina-se velocidade terminal do corpo em queda livre. Primeiramente. Fazendo-se = v(l). x = - "2 gt2.71 ) Pela expansão em série de potências da função exponencial.29). Agora. despreza-se totalmente o termo que envolve b.67) sem resolvê-Ia exatamente. Para determinar a constante b. i 1 hy /li r 2 Este resultado concorda com os dois primeiros termos da Eq. uma aproximação melhor pode ser v O leitor deve ser capaz de mostrar que com a força de atri to dada pela Eq. de forma que a solução é 1'(0) = -lJf. cuja velocidade terminal seja grande. no último termo na Eq. Substituindo este resultado no último termo da Eq. r3+ (2. ~:fl /li (2.67) e integrando novamente: V(l) = -ljr+ . (2.70) diretamente da equação diferencial (2. Quando t ~ m/b. ao movimento cendente. No caso de corpos cuja queda é de grandes altitudes. a massa do corpo em queda livre. se M for a massa da Terra e m.se ~[-gt. ' se m mg ( h -igt2. b -ln2-J-r t» J~.78) o sinal mais refere-se ao movimento ascendente e o sinal menos. e mede·se x a partir do centro da Terra.76) = - f: (2. . deve-se levar em conta a variação da força gravitacional com a altura. (2. Neste caso.45) V=-= dt c/x ± E+-m· ( x J2 mMG)1/2 (2. despreza-se a resistência do ar (com o objetivo de usar o método de energia). Então.75) Neste exemplo.):9. (2.77) F dx = X onde se considera torna-se Xs = 00 para eliminar um termo constante em V(x). novamente a velocidade terminal é dada por (mg/b )112. A velocidade terminal pode ser obtida sempre como a velocidade em que a força de atrito se iguala à força gravitacional. A Eq. F e mMG V(x) = ---2X mMG (2. des- 58 .74) se t« J~. se {m t» -J hy' (2. e existirá quando a força de atrito tornar-se suficientemente grande em altas velocidades. dependendo de E ser positivo ou negativo.81) Esta é denominada velocidade de escape para corpos situados a uma distância x do centro da Terra. O ponto de retorno encontra·se. então.79) Quando E é negativo.= J~§. mMG ---=-E. porque o corpo que se move para cima a uma altura x e velocidade ve terá suficiente energia para se mover para cima indefinidamente (se não houver resistência do ar). existirá um ponto de retorno à altura XT = (2. I I i Fig. aproximando-se da velocidade vI = O. e cairá de volta à Terra. 2. Um gráfico da função V (x) é mostrado na Fig. Sendo E= O. e se o corpo se mover para cima. Quando E é positivo.I (. continuará nesta direção para sempre. Para determinar x (t).r) ~ I I J. Verifica-se que existem dois tipos de movimento.2 Gráfico de V(x} =- (mMG/x). a velocidade será ve = J2MG -x-o (2.. O caso entre estes dois tipos de movimento ocorre quando a posição e a velocidade iniciais são tais que E = O. 2. calcula-se a integral (2. no infinito e o corpo se moverá sempre para cima. com velocidade decrescente.80) Se o corpo se mover inicialmente para cima.2. en· tão a qualquer altura x. não existem pontos de retorno. que se aproxima da velocidade limite l'. ele parará em xr.82) 59 . (2. 84) (Escolhe-se o sinal positivo para o integrando de forma que 8 aumente quando t aumenta. O exemplo mais simples é o de uma massa m presa a uma mola cuja constante elástica é k (Fig. com certeza.76) leva à suposição de que toda a massa da Terra concentra-se em x = O (sem mencionar o fato de terem sido omitidas nas equações do movimento não só a resistência do ar mas também as forças que poderiam agir sobre corpo quando ele colide com a Terra). a partir da posição da mola em repouso. considerar Xo como sendo o ponto de retorno xT. 2. A parte do movimento para o qual x é menor do que o raio da Terra não será. e -"-.sen 20 = XT J2MG 3.t. passe por xT se nenhuma força além da gravidade agir sobre ele. então a mola exerce uma força restauradora F = -kx. sem perda de generalidade. É possível obter uma solução numérica.87) . A solução pode ser encontrada de maneira similar para os casos em que E é positivo ou igual a zero. corretamente obtido. ou O+-!. porque a Eq.3).83) --)-3/-2 (-mMG E fO 90 2 COS 2 O dO = m t. desde que o corpo. (2.onde x o é a altura em t = O. Para resolver o caso quando E é negativo. admitindose que E < O. (2.) Pode-se. (2.7 OSCILADOR HARMONICO SIMPLES o problema mais importante no movimento unidimensional e felizmente um dos mais fáceis de resolver é o do oscilado r harmônico ou linear. (2. em algum instante passado ou futuro do seu movimento. )2 (2. Logo 8 o = O.85) e (2.85) e (2. quando se escolhe uma seqüência de valores de 8 e determina-se o valor correspondente de x e t das Eqs. 60 (2.86) Este par de equações não pode ser resolvido explicitamente quando se quer encontrar x (t).86). substitui-se cos A Eq. Medindose x.(- E)3/2 mMG (O+sen O cos O) = m )2 - t.82) torna-se então O = J-EX mMe' (2. 2. (2.90) dr 2 Esta equação descreve o oscilador harmônico amortecido. cuja solução já foi obtida na Seç. pode-se supor que a força de atri- to é proporcional qual o problema à velocidade. Se F(t) for uma força de variação senoidal. c/r dx (2. (2.89) a (2. em que a funçãó potencial V(x) tem um ou mais pontos de mínimo. Usan. u2" c/r +h dx n_ + c/r h= F(r). 111 . como foi mostrado na Seç. (2.31) com n= Comu esta é quase que a única força de atrito para a facilmente. é melhor restringir a atenção a este caso. como será visto mais tarde. consiste numa oscilação senoidal cuja amplitude decresce gradualmente. A importância do problema do oscilador harmônico está no fato de que as equaem grande variedade de probleções similares às Eqs.+ kx = O. A energia potencial associada a esta força é V(x) A equação do movimento. admitindo-se = tkx2• que nenhuma outra força age sobre o corpo. O seu movimento.Yl) uma força adicional F(t). 2. é A Eq. 1 para a força de atrito. pelo menos no caso de amortecimentos pequenos.5. a equação do movimento toma-se d2x 111 .3 Modelo de um oscilador harmônico simples. existe uma força de atrito agindo sobre o corpo. embora ela seja freqüentemente muito pequena.91) leva ao fenômeno da ressonância.j2. 2.89) descreve o osiclador harmônico livre. u + h -.91) são encontradas mas de Física. Em quase todos os casos do movimento unidimensional. (2. Se o oscilador seu movimento será descrito pela seguinte estiver sujeito a equação: (2. o movimento da partícula para pequenas oscilações em torno desses pontos de mínimo segue a Eq. (2. O movimento Em todos os casos ffsicos. sem amortecimento. particularmente quando a força de atrito é pequena. é uma oscilação senoidal simples em t~rno do ponto de equilfbrio.89). na maioria dos casos. a Eq. é resolvido do·se a Eq. 2. 61 . Como boa aproximação. onde a amplitude se torna muito grande quando a freqüência da força aplicada se iguala à freqüência natural do oscilador livre.5.- -~--- Fig. 8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS As equações (2. praticamente qualquer problema que envolva vibrações mecânicas reduzse a um oscilador harmônico. da velocidade de deformação e. Se a deformação se fizer além de um ponto determinado. Um circuito elétrico contendo indutância L. A teoria de oscilações elétricas numa linha de transmissão ou numa cavidade é matematicamente similar ao problema da corda vibrante ou da cavidade de ar ressonante. A quê?) Equação diferencial LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES a (2. Assim. bem como o de vibrações sonoras num gás contido em recipiente fechado ou num sólido. denominado limite elástico. a situação. Os primeiros trabalhos sobre circuitos elétricos foram realizados levando-se em conta a sua analogia com o problema mecânico correspondente. (2.57) são desprezíveis até as proximidades do limite elástico. E a chamada Lei de Hooke. cada um deles se comportando. o sólido permanecerá indefinidamente deformado. Na maiofia dos casos em que os termos de ordem mais alta na série (2. de sua história anterior. nas coordenadas que descrevem a deformação. que é obtida considerando-se que o sólido não deformado tem um mínimo de energia potencial. e sujeito a uma força eletromotiva aplicada E (t) satisfaz a equação d2q de] L-+R-+dt2 de q C = E(t). O movimento de estiramento de molas e membranas. isto é. de tal modo que as forças não poderão mais ser especificadas em termos da função energia potencial. Esta equação é idêntica em forma à Eq. Quando o limite elástico é superado.92) onde q é a carga no condensador e dqjdt é a corrente. da forma do material. os engenheiros mecânicos e acústicos empregam métodos simples e efetivos desenvolvidos por engenheiros elétricos para resolver problemas de vibrações. resultam em alguns dos denominados modos normais de vibração. isto é. ainda. muitas vezes. admitindo-se que ela não seja muito grande.Ao sofrer deformação. idêntica à teoria de um sistema 2. sua estrutura será alterada de maneira que a forma inicial da energia potencial se modifica. as forças dependerão. A teoria da Mecânica Quântica relacionada ao átomo pode ser colocada de forma matematicamente de oscila dores harmônicos. isto é. de muitas maneiras. um sólido resiste com uma força proporcional à deformação. apresenta-se invertida. quando não é ultrapassado o limite elástico d() material. resistência R e capacitância C em série. Hoje em dia. e que esta energia potencial pode ser expandida.89) segunda ordem. desde que as amplitudes de vibração pequenas também estejam envolvidas. de maneira complicada. (Por linear é aquela em que não existem termos maiores do que 62 .91). a Lei de Hooke permanece válida' até o limite elástico. iniciando-se o fluxo plástico. em série de Taylor. A ordem dem que aparece nela.91) são exemplos de equações diferenciais lineares de de uma equação diferencial é a da derivada de mais alta ormaioria das equações da Mecânica é de segunda ordem. semelhante a um oscilador harmônico independente. (2. 93) Sendo b (t) = O. As equações lineares são importantes. no que se refere à equação do oscilador harmônico amortecido (2. 2. (2. +adt)-+ao(t)x dt c/x = b(t). A sen (wot + O). o que significa que se pode escrever a solução na forma: x=x(t. praticamente todas as soluções da equação acham·se incluídas na função x (t. CI . 2. como acontece nas Eqs. Cz) para valores determinados de Cj e Cz.11.90) e. 2. an são constantes. e possível mostrar que a solução geral de qualquer equação dife· rencial de segunda ordem depende de duas constantes arbitrárias. para cada valor de CI e Cz. 2.6 Sendo possível encontrar uma solução que tenha duas constantes arbitrárias satisfazendo uma equação diferencial de segunda ordem. Os métodos de resolução das equações diferenciais já estudadas em seções anteriores conduziam diretamente à solução correspondente às condições iniciais do problema de Física.91) com qualquer forçaF(t) aplicada. o tipo mais geral de equação diferencial linear de ordem n seria dnx an(t)-+a dtn n -I(t)--l dtn- dn- IX + . além do mais. a solução (2. (2. . . (2. o fato de que a solurão com duas constantes arbitrárias seja a solução geral garante que sempre é possível satisfazer as condições iniciais. 2. Na Seç. não importando os valores que lhe são atribuídos. que podem ocorrer em regiões onde as condições matemáticas para existência de uma solução única (Seç.. na Seç.CI. (2. Cz) de modo que.89) a (2.se estar certo de que praticamente todas as soluções estarão incluídas.. a equação denomina-se homogênea. Elas não são arbitrárias no caso de problema de Física e dependem das condições iniciais. C1. estudar-se-á o comportamento de um oscilado r harmônico sob ação de forças que oscilam senoidalmente. também pode ser apresentada na seguinte forma: x =.10.. (2.94) dependendo de duas constantes "arbitrárias" A e e.95) x (t. será resolvido o problema do oscilador harmônico livre [Eq.94) satisfará a Eq. Logo.o primeiro grau da variável dependente (neste caso x) e suas derivadas. pode.9.C2). será estudado um teorema básico. desde que se escolha apropriadamente estas constantes.89). (2.91). Este método será aplicado na Seç. os métodos apresentados serão os que conduzem a uma solução geral com duas constantes arbitrárias. obtida na Seç. porque existem métodos gerais para resolvê-Ias. quando se trata de resolver a Eq. em caso contrário.89).5. Nesta seção e nas subseqüentes deste capítulo. ao mesmo tempo em que se desenvolve o método geral para resolução de equações diferenciais homogêneas e lineares com coeficientes constantes. Na presente seção.. particularmente quando os coeficiente ao. Elas são chamadas arbitrárias porque. ou para cada valor num intervalo definido.2) não são satisfcítas.89»). (2. A estas constantes devem ser atribuídos valores adequados às condições iniciais do problema físico. bem como os métodos que levam à solurã0' A solução da Eq. satisfaz a equação e. 6 As únicas exceções são algumas soluções "singulares". 63 . será nãohomogênea. ai. (2. Sendo x := x I( t) solução de uma equação diferencial linear e homogênea e C uma constante qualquer. Como esta tem duas constantes arbitrárias. Suponha que x = XI (t) satisfaça a Eq. deve ser a solução geral. então. Para demonstrá-Ia. Se XI (t) fosse um múltiplo constante de X'l (t). porque os teoremas 1 e 2 garantem que (2. Então. (2.97) denomina-se combinação linear de XI e X2. Sendo x = XI (t) e x = X'l( t} soluções de uma equação diferencial. em que os coeficientes são constantes.96). Aqui. então x = Cx I( t) também será uma solução. O problema de encontrar a solução geral da Eq.96).96) reduz-se. à busca de duas soluções "particulares" e independentes quaisquer.~k~ Agora. estes teoremas são demonstrados ordem: somente no caso de equação de segunda (2. (2. serão enunciados dois teoremas sobre equações diferenciais homogêneas e lineares. A condição imposta de que XI (t) e X2(t) sejam independentes significa neste caso que uma não seja o múltiplo da outra.96).97) também é uma solução. (2. satisfazem a Logo.90).89) e a (2.96). suponha que ao. (2. Logo x = CXI (t) também satisfaz a Eq. No caso de equações como a (2. (2. Eq.96) mas a demonstração pode ser facilmente generalizada para equações de ordens mais elevadas. Se ambos. (/2(t) d2(Cxl) dt 2 +al(t)-d-+ao(t)(Cxd t d(Cxl) = C [d2XI a2(t)-d . TeOl'ema 2. na Eq. homogênea e linear. ai e a2. existe sempre uma solução da forma x = ept. t 2 +al(t)-d dXIt +ao(t)xl XI (t) J = O. X = X I (t) + X2 (t) também satisfaz a Eq. então e X'l(t).96). x I (t) e X2 (t). (2. então a Eq. (2. (2. Substituindo 64 . Teorema 1. são constantes. então x = x I (t) + X2( t) também é uma solução. O segundo membro da Eq.97) teria na realidade somente uma constante arbitrária. 103) . a-ib. Se C:::::. 2ib. haverá duas fllilções independentes e pt que satisfazem a Eq. :::::.. A equação homogênea e linear de n -ésima ordem com coeficientes constantes também pode ser resolvida por este método. ±iwo ' wo:::::. No caso de as duas raízes de p serem iguais. (2.99) Cancelando o termo e pt. (2. cos O + i sen a. em gera]. A solução do problema físico tem de ser real. então as constantes arbitrárias C1 e C2 devepl ser complexas para que a Eq. Aplica-se este método à Eq.107) C-C* 65 . então. (2. di :::::.dx x:::::. (2.104) .98) nesta equação. peP'. mas. (2. Ao se permitir que as soluções x da equação diferencial sejam números complexos. logo deve-se escolher C1 e Cz. tem-se mp2+k cuja solução é :::::. eP'. como solução geral. O. de tal forma que x seja real. a função tePI x :::::.102) Este resultado dá. fazendo a substituição de (2.103) Para se interpretar este resultado. Se as raízes forem diferentes.100) também satisfaz a equação diferencial. haveria somente uma solução. (2.89).u+ib.98) tem-se (2. (2.106) = 2a. (2. tem·se uma equação algébrica de segundo grau em p. (2.seja a solução geral. JI . (2. como se mostrará na próxima seção.10]) p:::::. m ±J-~:::::. equação que.105) e C* :::::. (2. tem duas raízes. então C+C* (2. A soma de dois números complexos é real se um deles for o complexo conjugado do outro.. é preciso lembrar que eiB :::::.96) e o problema estará resolvido.. . 118) (2. Usando-se a representação polar de C.Como eiw•t é o complexo conjugado de e. Fazendo B 1 = A cos 8. b = r sen 8. B 2 = . (2. (2. (2.110) = a-ib = re-i8.116) Vo = -woA sen e = WOB2' As soluções são obtidas facilmente: (2.113) Esta é a solução real e geral da Eq.94) por um deslocamento de 1T /2 na constante de fase (3.104). 8. (2.A sen (3. (2.111) a = r éos 8.109) (2.120) é6 .117) tg e ou = (2.iwot. escolhendo-se C1 tão x será real: = C.108) torna-se (fazendo-se r o = t A) =A cos (wot + 8).112) leitor deve verificar que estas questões resultam algebricamente da Eq. e r e (3.119) (2.115) (2. (2.105) e (2. Vo As constantes A. C2 = C*. (2.108) Pode-se calcular x usando as Eqs.1 04). suas coordenadas polares. pode-se escrever a solução de outra forma: x = B1 = cos wot+B2 sen wot.114) xo. fazendo-se Xo A cos O = B 1.106). en- (2. mas a Álgebra se tornará mais simples usando-se a representação polar de um número complexo: c = a+ib C* onde = reiO. (2. (2. Representando-se C como um ponto no plano complexo. (2. ou B 1.89). a Eq. então a e b serão suas coordenadas retangulares. (2. que só difere da solução (2. B2 devem ser obtidas em termos de valores iniciais em t = 0. sen (J ei9 _ = parte "imaginária de e'O = ----- 2i (2.1 (4) são úteis quando se trata de relações trigonométricas. (2. (2.9 OSCILADOR HARMONICO AMORTECIDO A equação de movimento para partículas submetidas a uma força linear restauradora e a uma força de atrito proporcional à sua velocidade é [Eq. se a solução é (fazendo r = A) = A cos (woc + O) + iA sen (wot + O). (A prova desta afirmativa é obtida quando se substitui x = u + iw e se usa um pouco de Álgebra. (2. Aplicando-se o método desenvolvido na Seç.124) onde pontos representam derivadas em relação ao tempo. Este procedimento é útil quando se trata de problemas envolvendo oscilações harmônicas (Seç.98). A regra trigonométrica para sen (A + B) e cos (A + B) podem ser facilmente obtidas pela regra algébrica para a soma de expoentes. soluções: assim. Muitos outros exemplos poderiam ser citados.90)] m. (2. entendendo que a cada passo deve-se ter a preocupação de ver o que é a parte real e a parte imaginária.Outra maneira de tratar a Eq. (2. 2.10). obtém-se mp2+bp+k = O. A série de potências para as funções seno e co-seno são facilmente obtidas expandindo-se eilJ em urna série de potências e separando a parte real e a imaginária.113) ou a (2. 2. Podem-se resolver equações Iinea· res corno estas e realizar operações algébricas em suas soluções em formas complexas.125) 67 .123) As funções exponenciais são mais fáceis de manipular algebricamente do que senos e co-senos.122) ei8 . a satisfizerem separadamente. bas as partes.103) seria considerar que.122).) Logo. (2. (2.89) contém somente coeficientes reais.123) e (2. real e imaginária.i+bi+kx = O. 2. urna função complexa só poderá satisfazê-Ia se am. Muitas vezes é muito conveniente representar urna função senoidal como exponencial complexa: cos (J = parte real de ei9 = ei9 + e2 i9 (2.94).8 e fazendo a substituição (2. desta solução devem ser. real e imaginária. conforme se desejar (contanto que não se multipliquem dois números complexos). obtém-se a solução (2. O leitor verificará que as relações (2. separadamente.121 ) então ambas as partes. corno a Eq. o atrito portante de pequeno amortecimento. As constantes A e e dependem das condições iniciais.4).x+wÕx = O.136) que não é mais constante. (2.128) (2. (2. A solução (2.' b (2. A freqüência de oscilação é menor do que a freqüência sem amortecimento. decrescendo exponencialmente com o tempo (Fig. m _~±[(~)2 (2. No caso im"'t.124) torna-se x+2y.A solução será p = 2m 2m _~JI/2. fazem-se as seguintes substituições: < (b/2m)2 e (c)klm= Wo = Jk. 2. então. (b) "1m = (b/2m)2.133) pode ser escrita também como (2.63).132) obtém-se (2. No caso (a).. (2.129) w1 "'t sendo denominado coeficiente de amortecimento e (wo/2rr) a freqüência natural do oscilador sem amortecimento.134) Em termos das constantes Wo e "'t.126) Pode-se distinguir três casos: (a) klm > (b/2m)2.131) Fazendo-se (2.130) A solução da equação diferencial é.133) solução que corresponde a uma oscilação de freqüência (Wl /27T) com amplituJeAe-'Yt.135) forma freqüentemente usada na discussão de oscilações mecânicas. Wo e desprezar"'t em 68 . (2. (2.127) y = 2m' = (W~_y2)1/2. -bi toma o lugar de F' na Eq.( wo. a Eq. EXistem duas soluções para p: p = -y±iw1• (2. A energia total (cinética mais potencial) do oscilador é (2. pode-se fazer Wl . há somente uma solução para p: p= (2.138) = - ')'I < r). e desenhar as curvasx(t) para os dois casos. O leitor deve determiná-Ias para dois casos importantes: Xo =1= O. a energia correspondente por ã solução (2.. soluções para p são (2.2 I . Curva espessa: x = Ae-1t cos wt. comparação com wo..2.140) A solução geral é Estes dois termos decrescem exponencialmente com o tempo.1 Fig. As constantes C1 e C2 podem ser escolhidas para satisfazer as condições iniciais.137) Logo. A taxa fracional de decréscimo ou derivada logarírmica de E é --=--= E dt c/t Considere agora o caso (b).(.. Vo =1= O.4 Movimento do oscilador harmônico amortecido. No caso (c). a energia decresce exponencialmente numa taxa igual a duas vezes a taxa de decaimento da amplitude. Neste caso.133) pode ser aproximada (2.139) = -)12 = -)1+ )I -(1)0 ( 2 2)1/2 • (2.r .[ o -. I .. 'Y= w/8. (wo = r). as duas = .(1)2)1/2 o . (wo P P 1 dE d ln E -2}'. Curva fina:x = ±Ae-'Yf. Vo = O exo'= O. (2. um com taxa de decrescimento maior do que a do outro.141) 69 . no final deste capítulo. quando deslocado.145) = r. (2. calcula-se (2. mas se Wo <r. o Probl. (a) Subamortecido.140). ponteiros de medidores.143) Fig. Na maioria dos casos.146) = (CI +C2t)e-yr• )lI Mantendo-se Wo ou r fixos e deixando r que o outro varie. para (2.5 Retorno de um oscilador . 70 . • Para provar iSto. 2. Os casos (a). o sistema chama-se superamortecido.146) cai a zero mais rapidamente do que a solução (2.F r __ A solução correspondente para x é (2. Para um dado coeficiente de amortecimento ou para um dado wo. vê-se pela Eq. (b) Superamortecido. (2.140). Se r r r. pàra este x. r 7 Observe. Logo. se Wo = [caso (C)]. ou Wo fixo. por exemplo. Logo.para o equilíbrio. (b) e (c) são importantes em problemas sobre mecanismos que se aproximam da posição de equilíbrio sob a ação de uma força de atrito de amortecimento. entretanto. com exceção do caso em que C2 = O na Eq.140). o mecanismo retOme à posição de equihbrio rapida porém maciamente.146) decresce exponencia1mente com uma taxa intermediária entre as dos dois termos exponenciais na Eq. (c) Criticamente amortecido. x+2yx+w6x Esta equação é igual a zero se Wo = (w6-y2)te-Y1• Wo (2. A solução (2. a outra solução é x = te-cyr. a solução geral no caso que x =r é (2.5) é. isto é conseguido no tempo mais curto sem bater. como no caso de amortecimento crítico.7 Este caso é denominado amortecimento crz"tico. (2.144) o primeiro membro da Eq.142) Neste caso. (2. (2. seu comportamento é lento e não retoma tão rapidamente a x = O. molas pneumáticas ou hidráulicas de portas etc.139) que > Yc > "12 ' (2. deseja-se que. 41.13.147) 'onde c é o valor quando = Wo. a solução após um intervalo de tempo suficientemente longo. A aplicação algébrica é simpliflcada.90)]. xi' da equação não-homogênea (2. Eq. considerando-se a força como parte real de uma função complexa:8 (2. o sistema é chamado subamortecido. cos (wt + O. então x ( t) =x t) + x h ( t) também é solução da equação não-homogênea. Para simpÍificar a resolução desta equação. portanto. (2. em seguida. (2. a equação do movimento será dada por d2x dx dt md(f+b +kx = Fo cos (wr+Oo). =1= 2. (2. (2.). O leitor deve desenhar curvas similares para o caso em que é dado um golpe instantâneo no sistema em que t = O (isto é. x o = O.91).14M) onde O o é uma constante que especifica a fase da força aplicada. espera-se que uma das soluções seja a da coordenada x com a mesma freqüência que a da força aplicada: x = A. Faz-se a demonstração por simples substituiçãO. Vo = O). Através de considerações de ordem física.148). Sendo xJ t) a solução de uma equação linear não-homogênea [por exemplo. somar xi e xh para obter-se uma solução da Eq. e xh(t) a solução da equação homogênea associada [por exemplo.10 OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO O oscilador harmônico submetido à ação de uma força externa é governado pela Eq. Se a força aplicada oscilar com freqüência angular W e amplitude F o. considerando-se que o sistema foi deslocado da posição de equihbrio e largado (xo O. O caso mais importante é o de uma força aplicada que varia senoidalmente com o tempo.151 ) 8 Observe que foram usadas letras em negrito do tipo (F. é mostrado na Fig. Como conseqüência do Teorema 3: conhecida a solução geral xh da equação homogênea (2.149) A amplitude As e a fase Os das oscilações de x terá que ser detenninada pela substituição da Eq. Este procedimento é direto e conduz à solução correta.90) (obtida na Seç. nos três casos. no caso de amortecimento crítico. O comportamento do oscilador.150) (2. Vo =1=O). (2. de tal forma que o período de oscilação torna-se infinito. 2.91) e. (2. 71 . a solução geral. (2. x) pau distinguir as grandezas complexas da correspondente grandeza real (F.91)]. Observe que.Wo > 'Y.91) contendo duas constantes arbitrárias e que será. então só é preciso encontrar uma solução particular. Wl = O.9). a coordenada x ultrapassa o valor x = O e oscila. Existem certamente muitas soluções para a Eq. há o seguinte teorema: Teorema 3. e é deixada ao leitor. (2. (2. 2.149) na Eq.148). i( Aplica-se este teorema todas as vezes que os coeficientes da equação são constantes ou funções de t. x). das quais é preciso encontrar somente uma.5. . (2.Logo.160) 9 A afirmação "pode-se mostrar que .156) É conveniente introduzir o ângulo R I) = 11: _I --2yw --agi 2 w6-W2 Wo -(O 2 tgl-I wo-w2 2yw 2 ' (2. dado neste livro. 2. então.6). ao tratamento usual da Eq. fazendo x := = x + iy o resultado aparecerá. (2. Usando-se as Eqs. (2. mostrar9 parte real de x(t) satisfaz a Eq.152) será.109)]: em co- w6-w2 + 2iyw ~ [(w6 - (2)2 + 4y2w2J1 12 exp (i 2 tg .156) e (2.159) COS f3 [(W6-W2)2+4y2w2J1/Z' Esta definição é puramente uma questão de escolha. quando w -+ ± 00 (veja a Fig.148). ou alternativamente. I F oelW . obtém-se x o como: Fo/m xo=-----(2. (2. então. (2. " durante todo este livro significa que o leitor que seguiu a discussão até aquele ponto deve ser capaz de obter a prova sozinho. (2.153) Substituindo-se na Eq.92) em Engenharia Elétrica.154) w6-W2+2iyw' A solução da Eq.. o leitor será advertido da dificuldade.? = ~4y2w2]1/2' 2yw (2.155) A maneira mais simples de escrever a Eq.) As demonstrações longas e truncadas ou são dadas no texto ou haverá uma referência.157) : sen f3 = r.152). 72 I u •• J . Suponha uma solução da forma que a de tal forma que (2. (2.158) (2. pode·se. (2. (Fo/m)eiW1 x = xOéW1 = W6 _w2 +2iyw (2.157) e o fato de que (2. pode-se determinar uma solução x (t) da equação d2x m -j (f 2 + b -d t + kx = dx . (2. que deve ser feita de tal forma que {j = O.152) separando-se a equação nas partes real e imaginária.1 2 wo2yww2 ). quando w = Wo e {j -+ ± {j/2. Esta defini· ção mantém o tratamento paralelo.155) é expressando o denominador ordenadas polares [Eq. (Neste caso. Pelo Teorema 3 e Eq.COS(Wt+Oo+fi)· (2.155) na seguinte forma: x = Fo im[(w~ . o o+p) u (2.162) m[(w~ _(2)2 +4y2W2]1/2 A posição e velocidade reais serão então x Re(x) Fo m -[ e I (wo-w) 2 22 (2. w j.". (2. (2. = Re(x) Fo m r (wo 2 -w 22W ) +4y 2W .Fig. a solução geral (para um oscilador subamortecido) é 73 .148) sem constantes arbitrárias. 2.(2)2 + 4y2w2] wF o ei(w/+90+/i1 1/2 (2. (2.163) +4y 22]1/2Sen(WC+Oo+m.. pode-se reescrever a Eq.161) A velocidade complexa será X = iwx = = el(w/+ .6 A potência e a fase de oscilações harmônicas forçadas.164) Esta é uma solução particular da Eq.133). 'Y= 0.169) m - ~ fácil mostrar que. No caso elétrico. (2. e oscila com amplitude constante. o termo transiente não é muito significativo. mas ainda é possível defini-Io como a parte da solução que tem freqüência 'natural Wl = Wo. e. Na Fig. reescrever-se·á a Eq. A. O segundo termo é chamado estado estacionário. O primeiro termo decresce exponencialmente com o tempo e é chamado transiente. (2.. O transiente depende das condições iniciais.6. A fórmula (2.167): FÕ Péd-------m (w2 -wÕ)2'+4l'2W2' l'W2 i i.168) onde m é o valor máximo de Uma relação similar pode ser obtida para a potência gerada por um circuito elétrico. ~ é o ângulo de fase entre a corrente e a fem aplicada. a taxa com que o trabalho é realizado sobre o oscilador pela força aplicada é . é independente das condições iniciais. como era de esperar. Deduzir-se-á agora uma fórmula válida quando w == Wo.) No estado estacionário. as curvas mais finas. a amortecimento maior. neste caso. Usando-se a fórmula (2. enquanto o valor médio de cos2 (wt + 80) no ciclo completo é igual a força aplicada é t. a potência P méd (em unidades arbitrárias) e a fase ~ do estado estacionário das oscilações forçadas são mostradas como função de w para dois valores de 'Y. As curvas mais espessas referem-se a pequenos amortecimentos.(xF(t)méd ou - _ FÕ - cos f3 ~. Neste caso.' w "".167) (2.. xF(t) =~ F2 m [(w2 _ w6}~ w + 4y2w2Jl/2 cos (wt + 80) cos (wt + 80 + [3) (2. O estado estacionário. média gerada pela pméd _. 2.Esta solução contém duas constantes arbitrárias. . A potência P méd tem um máximo para w = Wo. cujos valores são determinados pelos valores iniciais Xo e Vo em r = O. para o oscilador. P med só é grande quando próxima à freqüência de ressonância Wo. J .169) pode ser mais simplificada no caso em que 'Y~ Wo. O fator cos~ denomina-se fator de potência. Logo.. a potência ". o "transiente" não desaparecerá. (Quando não existe amortecimento. (2. Definindo 74 .166) O último termo à direita tem valor médio igual a zero. que permanece depois que o transiente desaparece.162) para cos~. a potência é suprida no estado estacionário numa taxa média igual à que está sendo dissipada pelo atrito. que é independente das condições iniciais e oscila com a freqüência do campo elétrico. A fórmula correspondente para ~ é (2.15) e (2. k F(r) (2. o movimento será dado por (2.176) o movimento agora depende somente da massa da partícula e da freqüência da força aplicada. ~ == Ti /2 e a equação (2.w ~ wo.173) . supondo 6.178) F = -eEo cos wt.174) Quando w ~ wo.164) torna-se x ~ --2-COS(wt+Oo) wm Fo = --T--' wm F(r) (2. Este resultado é. Esta fórmula simples fornece uma boa aproximação para P méd próxima à ressonância.w)2 + y2 (2.177) (2.179) o termo em que estamos interessados agora é o segundo. (2. idêntico ao obtido na Seç. sendo independente do atrito e da força restauradora. (2. F6 Y 4/11 (6.164) torna-se x ~ -2Wonl Fo cos (wt+Oo) =-.171) (2.175) Este resultado é facilmente interpretado em relação à Física. no caso de elétrons presos à posição de equilíbrio x = O por uma força elástica restauradora e submetido à ação de um campo elétrico oscilante: Ex = Eo COS wt.3 [veja as Eqs. obtém-se 75 . quando a força variá lentamente. p ---méd - . (2. 2. (2. Pode-se aplicar o resultado (2. a partícula move-se de tal macieira que a força aplicada é balanceada pela força restauradora. de fato. í3== rr/2 e a Eq.170) e.ev. tem-se (w2 - (6) = (w + wo) 6.172) Logo.w == 2evo 6. Expandindo-se o segundo termo.165). Quando w ~ Wo.19)] para uma partícula submetida à ação de uma força oscilante.(2. o meio dielétrico absorverá energia e será opaco à radiação eletromagnética. por unidade de volume: o (2.7 Constante dielétrica e absorçãode energiapara um meio que contém osciladoresharmônicoS.26)]. conseqüentemente. e os elétrons se comportam como se estivessem livres. enquanto o segundo termo representará uma absorção de energia do campo elétrico. (2. (2. 76 I I . portanto. (2. No caso de freqüências muito altas. a constante dielétrica e o índice de refração serão maiores que um. da mesma maneira que para um elétron livre [veja Eqs. o primeiro termo da Eq. O segundo termo contém um fator 'Y. a polarização elétrica estará em fase com o campo elétrico e.x = --e Eo ------sen fi -eEo cos wt eEo cos --------_ fi sen wt m [(W2-W6)2+4/W2]1/2 m [(W2-w6)2+4y2w2]1/2 cos wt W6-W2 [(w2 . se 'Y~ wo. sendo.. o deslocamento dos elétrons está fora de fase com a força elétrica aplicada. Próxima à freqüência de ressonância.181 ) WII Fig. para N elétrons. (2.(6)2 ---/11-eEo sen wt + 4y2W2] +4{'2w2} (2.~-·-I-Il-- primeiro termo representa uma oscilação de x. e 1800 fora de fase em freqüências altas.J . Calculando-se a constante dielétrica a partir do primeiro termo da Eq. Imaginando-se um meio dielétrico constituído de elétrons ligados por forças elásticas a posições de equilíbrio. Acima da freqüência de ressonância. Logo.180) representará uma polarização proporcional ao campo elétrico oscilante aplicado.180) 2yw [(w2 -(6)2 . (2. achamos. O segundo termo representa uma oscilação de x que está 900 fora de fase com a força aplicada.18). pequeno. então o primeiro termo na Eq.180).20) a (2.180) tende a se igualar ao último termo da Eq. em fase com a força aplicada em freqüências baixas. 2. A constante dielétrica e o índice de refração serão menores do que um. Abaixo da freqüência de ressonância. quando a velocidade x correspondente a este termo estiver em fase com a força aplicada. exceto próximo à ressonância. o segundo termo corresponde à absorção de energia da força aplicada. Jo) é n (2. obtém-se. Logo. O índice de refração apresenta comportamento similar. = J. por exemplo. a partir das fórmulas (2. Pode-se obter um modelo mais realista de um meio transmissor supondo-se que várias freqüências ressonantes diferentes correspondem a elétrons ligados com vários valores de constantes elásticas de molas k. no caso da interação da radiação com a 77 . as propriedades ápticas e eletromagnéticas da matéria até o advento da Mecânica Quântica. resultados que con· cordam quantitativamente com os experimentais. Este é o comportamento apresentado por todas as formas de matéria. Da mesma maneira. O sucesso desta teoria foi uma das razões de se ter adotado até o ano 1913 o "modelo do pudim" para o átomo. cresce quando se aproxima da freqüência de ressonância. a forma das linhas de absorção nos espectros de gases satisfazem a fórmula (2. torna-se possível explicar a maioria das características das curvas experimentais da variação de E ou n em função da freqüência.o índice de refração para as ondas eletromagnéticas V = (~)1/2 Poto = :. Vidro. crescendo e aproximando-se de um quando a freqüência é alta.182) Para freqüências muito altas ou muito baixas. o índice de refração cresce com ela. (y. 2. no caso de freqüências baixas. Considerava-se. O resultado do tra· t·amento usando-se Mecânica Quântica é que. (2. então.7. decresce para valores menores do que um na região de "dispersão anômala".169): dE_Ne2EÕ )'W2 de - -m-(w2-wÕ)2+4y2w2' (2. onde existe forte absorção de radiação eletromagnética. Além de concordância nos aspectos qualitativos. na região de freqüências da luz visível. (2. caso as constantes N. Com este modelo. WO e 'Y sejam escolhidas apropriadamente para cada material. Os raios X são transmitiJos com um índice de refração pouco menor do que um.18 I) a (2. (2.185).184) • A taxa média de absorção de energia por unidade de volume é dada pela Eq.185) A constante dielétrica e a absorção de energia como função da freqüência são mostradas na Fig. nem mesmo qualitativamente. tornando-se opaco em uma certa banda na região do uItravioleta. a constante dielétrica é constante e maior do que um. forçou os físicos a adotarem o modelo "planetário" para o átomo. a Eq.173). que os elétrons estavam embebidos em um pudim carrega' do positivamente e que oscilavam como osciladores harmônicos. modelo que não explicava. tem uma constante dielétrica constante em baixas freqüências. em 1913. A experiência de Ru· therford.181) torna-se t - co c == 1 +--2' mwo I1lW2 ' Ne2 w« (J) wo' (2.183) Né 1--- » (J)o. 186) onde Vo é a velocidade imediatamente após o impulso. e corresponde a um empurrão instantâneo. De acordo com a Eq. e a integração é realizada no intervalo o t durante o qual a força atua. tal que x = O em t = to. Quantum t/teary af matter... Nas soluções acima. então escolhe-se e = -(11/2) . sendo independente da forma particular da função F(t). 10 Considere-se. x = J!2mWI ll (2. Verifica-se que o resultado obtido para uma força do tipo impulso depende somente do impulso total Po. Algumas das formas de F (t) possíveis e que possuem esta propriedade estão listadas a seguir: Veja lohn C. 10 p.•. . New York. caso o amortecimento seja menor do que o amortecimento crítico..133). Tal força é denominada impulso. o t.190) e-y(t-to) sen [wI (t . (2. 1951. onde to é o instante em que ocorre o impulso: (2. a força aplicada é igual a zero. e o oscilador deve mover-se de acordo com a Eq.. admitindo-se que F(t) só não é desprezível durante um intervalo de tempo muito curto.__ ..378. uma força aplicada F(t). . (2.que ôt seja tão pequeno que o oscilador não se move apreciavelmente durante este tempo. (2. (2.188) Então. McGraw-Hill Book Co. o modelo simples de osciladores fornece essencialmente o mesmo resultado correto.189) Quando um impulso Po é aplicado em t seguinte: = to a um oscilado r em repouso. agora. a solução é a í O.matéfia. Suponha que o oscilador esteja inicialmente em repouso em x = O. sendo igual a zero ou desprezível em qualquer outro tempo.to)].. Supondo-se. durante o tempo em que a força atua..Wl to. t> to. Após o impulso. que só é grande durante um período curto de tempo o t. e que o intervalo de tempo o t seja tão curto que a massa x se desloca numa distância desprezível. o intervalo de tempo curto ô t é desprezado enquanto a força atua.187) A velocidade em t = to é (2. 78 .. quando as constantes são escolhidas apropriadamente.4). Slater.-1 . o momento linear imediatamente após a aplicação da força será igual ao impulso gerado pela força: mvo = Po = J F dt. . Este princípio se aplica a pequenas vibrações mecânicas. F2 (t). que ele teria se cada uma das forças Fn( t) agisse separadamente. OSCILADO R HARMONICO COM FORÇA APLICADA ARBITRARIAMENTE Uma das propriedades importantes do oscilado r harmônico é que o seu deslocamento x(t). a não ser num intervalo da ordem de fi t em torno de to. seja solução das equações mXn+bxn+kxn ele funções Xn ( t).196) no primeiro membro da Eq. . .191) = Po/Dt. xn(t) = F(t). existem certas restrições matemáticas das quais não é preciso se tratar aqui. 2. (2. {O. é a soma dos deslocamentos x I (t).195) Para demonstrar este teorema.192) (2. . . quando sujeito a uma força aplicada F(t).11 PRINCIPIO DE SUPERPOSIÇÃO. (2. n = 1. -oo<t<oc. .. Considere que o conjunto (finito ou infinito)ll 3. t> to+&.193) o leitor poderá verificar que cada uma dessas funções são desprezíveis.194) = Fn(t).197): 11 Quando o conjunto de funções é infinito. 2. e que o impulso total que cada uma delas gera é Po. X2 (t). e F(c) = x(t) = mx+bx+kx L L Fn(t). dada por qualquer uma das expressões acima.91) com F(t). 79 . tem que se reduzir à Eq. (2. substitui-se a Eq. 55). t $.190) quando [)t -+ O (veja Probl. (2. -oo<c<x.. O. ondas sonoras. que pode ser considerada como a soma de duas ou mais forças FI (t). O princípio é expressado no teorema que segue..t F(t) < to. (2.197\ (2.. Teorema 4. (2. to $. A solução exata da Eq. (2. ondas eletromagnéticas e a todos os fenômenos físicos governados por equações diferenciais lineares. . vibrações elétricas. (2..196) (2.. to+6t. 163). isto é. (2.197). (2.203) desta espécie é de uma força periódica F(t).202) e x-'\' . uma 80 .198) uma solução particular da Eq.199) de forma diferente: (2. considerando-se será o Teorema 4 e a Eq.mx+bx+kx = m 2>n+b n 2>n+k n 2>n = F(t). Podem-se escrever as Eqs.197) sempre que a força F(t) puder ser escrita como uma soma de forças Fn(t) para as quais seja possível obterem-se as soluções dasEqs.-w6)2+4'y2w. Este teorema permite a determinação da solução da Eq.JI/2 O (2.199) A solução geral será então (2. (2.194) correspondentes. como se faz usualmente.200) onde A e () devem. (2.~ Um caso importante força tal que _A_"_s_en_(_w_n_t _+_/3_")_-_B_n _c_o_s _(w_n_t_+_/3_n) m[(w. ser escolhidas para que a solução (2.20 I) Então. Em particular. (2.200) satisfaça as condições iniciais.198) e (2. (2. (2. sempre que F(t) puder ser escrita como a soma de termos que oscilam senoidalmente: (2. 199). basta dizer que os métodos relativos a séries de Fourier e de integrais de Fouríer têm importante valor prático na solução de problemas sobre vibraçãO. pelo menos em princípio. e. (2. 81 . como uma superposição de forças que oscilam harmonicamente.204) onde T é o período. 12 Para demonstração dos enunciados acima e de discussão mais completa das séries de Fourier. Logo. resolver o problema de um oscilado r forçado. aplicável a forças não periódicas. pode-se resolver a Eq. é possível mostrar que F(t) pode ser sempre escrita como a soma de funções senoidais: F(l) = ~Ao+ JI Ancos y+Bnsen 2nnt 00 ( 11 T' 2nnt) l (2. uma força que não oscile senoidalmente. 2. 12 O cálculo real para solucionar por este método é em geral muito trabalhoso. A soma na Eq. particularmente a determinação das constantes A. Co.3. = O.205) ou (2. tal solução existir. Para qualquer função contínua F(t) que satisfaça a Eq. com freqüência igual à metade da freqüência wo.F(t + T) = F(t).. o fato de se saber que a solução existe é geralmente útil por si só. decerto.. após um período longo de tempo. na realidade.197) pata quase todas as forças F(t) fisicamente razoáveis. 1.206). Mui- . Note que a parte transiente da solução. baseia-se no fato de. sujeita a certas limitações. Este assunto não continuará a ser discutido. . Por meio das séries e integrais de Fourier. Quando qualquer uma das freqüências 2rrn/T coincide com a freqÜência natural Wo do oscilado r. Fourier series and orthogona/ po/ynomials.205) é denominada série de Fourier.206) Bn -y 11= 1. (2. então o termo correspondente nas séries das Eqs. restará somente a solução estacionária (2. Eqs. é O teorema da integral de Fourier.203) será relativamente maior do que os termos restantes. (2. 1941 (Cap. mesmo para funções somente seccionalmente contínuas). e esta gIllIlde importância em Física. A generalização do teorema das séries de Fourier. Menasha. (2. 1).. em princípio. Wisconsin.2. George Banta Pub. .. em relação a qualquer força que vaire periodicamente. 2nnr =T 2 fT o F(l) sen 2nl1e de.. consulte Dunham 'lackson. Entretanto. que de· pende das condições iniciais. (2.204) (e. O da Eq. (2. (2. • Este resultado permite. pode fazer com que o oscilado r execute uma oscilação aproximadamente senoidal com a sua freqüência natural Wo .199) ou (2.. que permite representar qualquer função contínua (ou seccionahnente contínua) F(t).205) onde An =T 2 fT o F(t) cos yde. (2. para terminar.200) que satisfazem as condições iniciais. eventualmente decrescerá até zero se o oscilador for amortecido. 209) onde tn o ~ t < tn +1' o Deixando-se ôt -+ O e fazendo tn x(t) = t'. / se S 82 . (2. (2. t. (2. a solução da Eq. (2. mWI -y(t-") t' t' > t.) De acordo com o Teorema 4 e a Eq.208) Quando at -+ O. t>tn+!· t < tn t :::.197) para uma força dada pela Eq. (Veja Fig. C' (2. cada uma agindo durante um intervàlo curto de tempo at e gerando um impulso F(t)8t: F(t) n=-oo ='= se onde setn. n bt. então.209) torna-se dt'. Curva fina: Um método de solução conhecido como método de Green baseia-se na solução (2.207) é (2.8.8 Representação r:nFnCt). a soma de todas as f~rças de impulso Fn(t) convirgirá para F(t). F n(t). Pode-se pensar em qualquer força F(t) como a soma de uma série de impulsos.tos resultados importantes podem. Curva espessa: F (t). mW1 F(t') sen [wdt-t/)] A função se G(t. de uma força como a soma de impulsos. 2. a Eq. ser deduzidos sem que realmente se precise calcular as séries ou as integrais. F(I) Fig. (2.190).t')= e (0. t n + se 1" tn:::. = L co (2.207) 0. 2.190) para forças do tipo impulso. .210) = I' - 00 e-Y(I-r) . (2.211 ) sen[wI(t-t)J. 7) e (2. Uma partícula de massa m está sujeita à ação de uma força F. Uma partícula de massa m está sujeita à ação de uma força dada pela Eq.é denominada função de Green para a Eq. então a sol ução (2. quando submetidos à ação de um número variado de tipos de forças.192). 2.) Determine o impulso total gerado pela força durante o tempo . velocidade e carga elétrica e desloca-se a velocidade constante Vo sobre uma linha reta próxima a um elétron de massa m e carga -e. Em t = O. Use o Teorema do Momento Linear para determinar a velocidade em qualquer tempo r posterior. O valor da solução (2. (2. PROBLEMAS 1. ao alcançar sua taxa máxima de consumo de combustível. 00 x(t) = L 00 G(t. Sabendo-se que ele opera com imo pulsão máxima durante o levantamento de vôo. um transiente dado pela Eq. 50 m/s e 150 m/s (1 cavalo-vapor = 746 watts). ôr é um intervalo de tempo pequeno e fixo. sua velocidade é igual a zero. usando as Eqs. t')F(t') dt'.8) e verifique se os resultados concordam. 50 m/s e 150 m/s. a) Suponha que o próton passe pelo elétron tão rapidamente que este não tenha tempo suficiente para deslocar-se a uma distância apreciável até que o pr6ton esteja muito longe. (L212) Se a força F( t) é igual a zero para t < to. inicialmente em repouso. Mostre que a componente de força em direção perpendicular à linha sobre a qual o próton se desloca é ela F = 41rEo (a2 + V&(2)312' (unidades MKS) 83 . Um próton de alta. (2.492 x 104 N.133). quando a velocidade é igual a 10 m/s. 3. (Nessa equação. com os valores apropriados de A e e.197). sistemas mecânicos ou elétricos.210) será x( t) = O para t < ro. b) Um motor de pistões. Esta sol ução já estava ajustada às condições iniciais: o oscilador em repouso antes da aplicação da força. qual a velocidade final (em t ~ oo)? Use o Teorema do Momento linear. deve ser somado à solução anterior.00 < t < 00. desenvolve uma potência constante de 500 HP. 4.210) é grande no estudo do comportamento transiente de . calcule a potência (em cavalos-vapor) gerada pelo motor do avião quando a velocidade do avião é 10 m/s. (2. O elétron encontra-se à distância a da trajetória do próton. Em termos da função de Green. a) A taxa máxima de consumo de combustível de um motor a jato ao desenvolver uma impulsão (força) é de 1. Se sua velocidade inicial (em r ~ -00) for vo. Para qualquer outra condição inicial. Calcule a força que ele aplica sobre o avião durante o levantamento de vôo. Calcule a energia da partícula em qualquer tempo posterior. (2. 6. o movimento se aproxima de um movimento a velocidade constante que muda abruptamente sua velocidade em t = to de uma quantidade Palm. = Fo 5. Uma partícula. b) Ache uma função simples P(t) que tenha esta forma.onde r = O. b) Determine v (t) e x (r) e compare com o seu esboço anterior. quando or -+ 0. Um microfone. está suspenso de forma a poder mover-se livremente em direção perpendicular ao diafragma. a) Determine v (t) e x (t). 2. a) Faça um esboço mostrando P( t) e a força esperada de v (t) e x (t). 2. e determine x (t) e v(t).9. como a mostrada na Fig. 7. b) Mostre que. c) Usando estes resultados. (2. 6. e) Mostre que a condição para que a suposição original no item (a) seja válida é (e2141T€o) ~ ~mv~.) 8. cuja velocidade original seja vo. constituído de um diafragma de massa m e área A. quando o próton alcança a distância de maior aproximação do elétron. a) Esboce a forma que se deve esperar para v (t) e x( t). F(c) r Fo o o ti ~ Fig. Uma on84 .191). b) Calcule o impulso gerado por esta força. Uma partícula de massa m em repouso em r = O está submetida à força F(t) = sen2 wr. calcule (aproximadamente) o momento linear final e a energia cinética final do elétron. Uma partícula de massa m e velocidade inicial Vo está sujeita a uma força F(t) que começa em t = O. está sujeita ã força dada pela Eq.9 Força apresentada no Probl. para vários períodos de oscilação da força. (ot é um intervalo de tempo fixo. Num microfone real existe uma força restauradora que age sobre o diafragma que o impede de se deslocar para muito longe. a) Determine o seu movimento. Determine a força F( l')' 85 .] 11. com exceção daquela devido à diferença de pressão através do diafragma. onde C é uma constante e r I é o tempo que ele leva para parar. sem parar. nada o impedirá de deslocar-se. Um barco cuja velocidade inicial é Vo é desacelerado por uma força de atrito F = -he'V. Sua velocidade decresce de acordo com a fórmula I' = C(t-IY. Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita. começando em t força F = O. a força com que cada um puxa o cabo decresce dt acordo com a relação F=(I00N)e-1/T. Como se desprezou esta força aqui. Se a voltagem de saída lia microfone for proporcional à pressão do som p' e independente de w. como deverá depender da amplitude e da freqüência do movimento do diafragma? 9. Desprezando todas as outras forças. Suponha que nenhum dos homens solte o cabo (g = = 9. Determine o movimento.yl COS ((LlI + Oj.8 m/s-2). mas quando os homens cansam. 12. onde o tempo médio para atingir o cansaço é de 10 s para um grupo e 20 s para o outro. b) Como a velocidade final depende de 8 e de w? [Sugestao. a uma = F oe . Qual a velocidade final dos dois times? Qual das suposições é responsável por este resultado não razoável? 10. Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se cos( wr + 8) em termos de funções exponenciais complexas. a velocidade constante. Evite esta dificuldade escolhendo a velocidade ini(ial de tal forma que o movimento seja puramente oscilatório. determine o seu movimento. cada um.da sonora Causa um impacto sobre o diafragma fazendo com que a pressão em sua face frontal seja p = po+p'serl'wl. Um cabo-de-guerra é seguro por dois grupos de cinco homens. Cada homem pesa 70kg e pode puxar o cabo iniciamente com uma força de 100N. a) Determine o seu movimento. Inicialmente os dois grupos estão compensados. Um barco é desacelerado por uma força F(v). Suponha que a pressão na face posterior permaneça constante e igual à pressão atmosférica Po. b) Determine o tempo e a distância necessária para parar o barco. Desprezando o atrito. O coeficiente de atrito estático é Ils e o coeficiente de atrito de deslizamento.13.4. quando ele é acelerado ao longo da pista.46) pode ser resolvida por méto- dos elementares. sendo usado para impulsionar um avião cuja força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade. Em que aspectos as suposições usadas neste problema não são realistas em relação à Física? Em que aspectos as respostas mudariam se fossem adota das suposições mais realistas? 15. F (v). Determine x (t) para este caso. determine a sua velocidade v (r). usando o teorema da energia.1. a) Determine V(x) e discuta os possíveis tipos de movimento que possam ocorrer. a partir do repouso. partindo do repouso em t = O. 18. Escreva e resolva a equação do movimen- . Determine v (t) e x (t) para uma partícula de massa m que inicia o seu movimento em Xo = O a velocidade Vo e submetido à ação de uma força dada pela Eq. 2. ache é acelerado. em velocidades apreciáveis. e reduz-se ao valor estático em velocidades muito baixas. a) Um corpo de massa m desliza sobre uma superfície horizontal áspera. A sua solução comporta-se massa m fornece uma potência constante P o atrito seja proporcional à velocidade. (2. Suponha que o motor de um avião de massa m impulsionado a hélice fornece uma potência constante P à sua aceleração máxima. que tenha o valor constante apropriado. Supondo que uma expressão para v (r). Se o avião iniciar seu movimento em t = O a velocidade desprezível e acelerar com a impulsão máxima. use o método discutido na S~ç. a integral na Eq. verificando os comentários apresentados no último parágrafo da Seç. j9'. Determine uma função analítica. Verifique os resultados obtidos para a velocidade. quando o carro tência máxima. a distância percorrida até parar. b) Ache o movimento sob a ação da força que você determinou. no caso de o cor- / 17. 14. Il. Determine a força F(v). Um motor a jato desenvolve uma impulsão constante máxima Fo. 2. escolhendo Xo e t o de maneira conveniente. O motor de um carro de corrida de em sua aceleração máxima. b) Mostre que se E = ~ ka2. com a pocorretamente quando t ~ oo? 16.4 para determinar a velocidade e a posiçao do avião. Uma partícula de massa m está sujeita F à ação de uma força = -kx+kx3/(/2 onde k e a são constantes. (2. Mostre que os seus resultados concordam com a discussão qualitativa do item (a) para esta energia. po partir com velocidade Vo.31) com n =t. para representar a força de atrito. Determine o tempo necessário para a partícula parar. Uma partícula de massa m é repelida da origem por uma força inversamente pro· porcional ao cubo de sua distância 86 à origem. de tal forma que é impossível comprimi-Ia até um tamanho menor do que a metade do seu comprimento. determinando a força correspondente. a força cresce rapidamente. e a força restauradora torna-se igual a zero quandb esticada em comprimentos muito grandes. ela começa a enfraquecer. Mostre que.nfinada à região próxima da origem. (Uma mola real deforma-se. Quando a mola é esticada num tamanho maior do que duas vezes o seu comprimento. mas você deve supor que F depende somente de x. que a partícula está inicialmente em repouso a uma distância x Q da 20.10.to. Uma massa m está conectada à origem por meio de uma mola de constante k. 21. Determine vC' I 22. quando em repouso. se Ivol <vc' onde Vc é uma certa velocidade crítica. Entretanto. b)A partícula parte da origem x ='0 com velocidade VQ. se esticada demais.) b) Determine V(x) e descreva os movimentos que podem ocorrer. a) Determine uma função força F(x) que represente este comportamento. quando relaxada. considerando origem.2. 2. a) Descreva os possíveis tipos de movimento. A força restauradora é aproximadamente proporcional à distância em que a mola foi esticada ou comprimida. admitindo-se que não seja esticada ou comprimida demais. b) Escreva uma função V (x) que tenha esta forma geral e tenha os valores . de tal maneira que F se torna função da sua história anterior. a partícula permanecerá co. quando a mola é comprimida demais. Uma partícula alfa de um núcleo acha-se presa por um potencial cuja forma é mostrada na Fig. é igual a 1. quando relaxada.Vo e VI emx = O e x = ±XI. Fig.IO 87 . Uma partícula de massa m acha-se sob a ação de uma força cuja energia potencial é a) Determine a força. cujo comprimento. uo. (B e a são positivos. x a) Determine o poten<. 27. descreva a natureza das soluções e determine a soluçãox(t).J> ka? 24. Ache a solução para o rr:ovimento de um corpo sujeito à ação de uma força linear repulsiva F = kx. Qual o menor valor de Uo para o qual a partícula eventualmente pode escapar para uma distância muito grande? Descreva o movimento neste caso.23. 26. numa molécula diatômica. descreva os movimeritos possíveis.) b) Descreva os tipos de movimento que podem ocorrer. c) Determine a distância de equihbrio e o período para pequenas oscilações. Localize todas as posições de equilíbrio e determine a freqüência para pequenas oscilações. Uma partícula de massa m move-se num poço de potencial dado por 88 ~ l . A energia potencial para a força existente entre dois átomos. Uma partícula está sujeita à ação da força LI F = -kx+J.tema seguinte forma aproximada: V(x) = - "+12' '( x (l h onde x é a distância entre os átomos e a e b são constantes positivas. se a massa do átomo mais leve for m. em torno de qualquer um dos pontos de equilíbrio estável. onde Uo é positivo. Qual é a velocidade máxima que a partícula terá? Qual a sua velocidade em um ponto muito afastado do ponto de partida? 25. Uma partícula de massa m está sujeita à ação de uma força dada por 'I A partícula desloca-se somente ao longo do eixo dos x positivos. b) Supondo-se que um dos átomos seja muito pesado e permaneça em repouso en· quanto o outro se move ao longo de uma linha reta. Mostre que este tipo de movimento é o esperado em torno de um ponto de equihbrio instável. c) Uma partícula inicia seu movimento em x = 3a/2 com uma velocidade u = . b) Você pode dar uma interpretação simples do movimento quando E2 . a) Determine e esboce a energia potencial. a) Determine a força. em torno da posição de equillbrio.ial V(x). 74) e (2. c) Uma partícula inicia o seu movimento a uma grande distância do poço de potencial com velocidade vo. na vertical.] 33. em série de potências de t. obtenha as fórmulas para sen20 e cos20 em 35. 34. Despreze a resistência do ar. Resolva a Eq. Localize todos os pontos de equilíbrio e determine a freqüência para pequenas oscilações em torno de qualquer um dos pontos de equihbrio estável. = o.3. Um corpo de massa m sai do repouso impulsionada por um meio que exerce sobre ele um atrito de arrastamento (força) beo<lvl. mantendo termos até t2 . Um projetil é disparado verticalmente para cima com velocidade vo.122) e derive a seguinte relação cos30 '" * cos 30 + cos o. à ação de 30. Escreva cosO de acordo com a fórmula (2.85) e (2. 32.86) para o movimento de um corpo cuja velocidade é maior do que a de escape. X i i 1 i / 36. (2. 29. 2.4 e 2.65) usando cada um dos três métodos discutidos nas Seçs. Quando passa pelo ponto x = a. 28. a velocidade igual à velocidade de escape.5. em direção ao poço. durante a qual ela perde uma fração Q de sua energia cinética.a) Esquematize V(x) e F(x). mesmo no caso de pequenos intervalos de tempo t? 31. 89 I 1 i j b) m. 2. d)Por que a solução não concorda com a Eq. admitindo a existência de um atrito de arrastamento proporcional ao quadrado da velocidade (g constante). b) Discuta os movimentos que podem ocorrer. Derive equações análogas às Eqs.75) para um corpo em queda livre sujeito uma força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade.28). e2iO = (eiO)2. Determine as soluções gerais das equações a) /11 + h.'(-b. Derive as soluções (2. Determine seu movimento.~+kx . (1.x- kx = O. [Sugestão. (2. b) Qual a velocidade terminal? c) Expanda o resultado obtido. Determine o movimento de um corpo projetado da Terra. a) Determine sua velocidade v (t). Qual deve ser o valor de o: para que a partícula permaneça presa no poço após a colisão? Qual o valor de o: para que a partícula seja aprisionada num dos lados do poço de potencial? Determine os pontos de retorno do novo movimento se Q = 1. sofre uma colisão com outra partícula. Faça senh ~ = (ExjmMG)!/2 . A partir da igualdade termos de senO e cosO. se b.r2 é muito pequeno. a massa ultrapassará a posiÇãO de equilíbrio. Resolva o Probl. nos casos de amortecimento crítico e superamortecimento. Esboce o deslocamento x (t) e determine a distância máxima em que a mola é comprimida (para b = bc)' Mostre que. Deseja-se desenhar uma mola e um amortecedor sobre os quais a platafor- 41. o vagão parará. determine a constante k da mola que deve ser usada e a constante de amortecimento b. Esboce o movimento para os três casos. enquanto a plataforma voltar para a posição de repouso? 43.:' bc. Deseja-se construir uma balança de banheiro cuja deflexão da plataforma tem 2.5 em quando pesa um homem 91 kg.146). No final. C2 e A.. 39 para o caso em que a massa parte de sua posição de equihôrio / a velocidade Vo. Considerando que a força de atrito seja proporcional à velocidade. existe um batente que consiste numa mola com k = = 1. ele se move de acordo com a equação de um oscilador harmônico. a solução subamortecida (2. Qual a relação entre as constantes Cj. Se um homem de 91 kg subir na balança. (Note que o vagão não se encontra preso à mola. amortecimento crítico e superamortecimento. Se o movimento for criticamente amortecido. 42. 2. Resolva o Probl. qual a força máxima para cima que a plataforma da balança exercerá sobre os pés dele. mas se b ~ b c' o vagão será lançado de volta e se deslocará em sentido contrário sobre os trilhos. Mostre que se Ivo I > Ir I x o I. O vagão comprime a mola. determine a constante de amortecimento b c para o amortecimento crítico. 40.6 x 104 kg/s2. para um pequeno intervalo de tempo. Mostre que quando w~ . de modo que os comentários feitos no final da Seç. Mostre que o movimento será superamortecido para uma pessoa mais leve. Um vagão de carga pesando 39. supondo que elas sejam as equações de movimento de urna partícula. ele se moverá sobre os trilhos em sentido contrário ao inicial. 104 kg rola livremente e chega ao final de sua linha à velocidade de 2 m/s. 39 para o caso em que a massa sofre um deslocamento 90 .133) é igual à solução criticamente amortecida (2.143) no caso crítico. Determine os movimentos para os casos de ·subamortecimento. inicial Xo e uma velocidade inicial Vo orientada na direção do ponto de equihôrio. sendo largada com velocidade inicial igual a zero. 37. Uma massa submetida a uma força restauradora linear -kx e a um amortecimento -bx desloca-se a uma distância Xo da posição de equihôrio. mas. &? Este resultado sugere como alguém pode descobrir as soluções adicionais (2.) 38. Durante o tempo em que ele está em contato com a mola. Uma massa de I 000 kg cai de uma altura de 10 m sobre uma plataforma de massa desprezível. após perder o contato. Esboce os movimentos para este caso.Interprete fisicamente estas equações e suas soluções.9 não se aplicam a este caso. e escolhendo a constante a de forma a permitir a redução da equação em x' à equação homogênea (2.a. 47. "adivinhando" uma solução estacionária d3-equação não-homogênea (2. Certifique-se que a solução x (t) encontrada satisfaz as condições iniciais corretas e que não ultrapasse a posição de equilIbrio. até dois algarismos significativos. Se em t = O. sujeito à força constante Fo. começando em t = O. em seguida. Determine o deslocamento x (t). qual é x (t)? 91 . Mostre que se w = wo. Um oscilador harmônico amortecido de massa m e constante de mola k é submetIdo à ação de uma força Fo coswt. não existirá solução estacionária. e tomando o limite E ~ O. 45. à ação de uma força aplicada = Foe-a. X = Xo e v = vo. Um oscilador harmônico subamortecido F é submetido cos (wt+/J). [Sugestão. que o efeito da aplicação de uma força constante é meramente deslocar a posição de equihbrio sem afetar a natureza das oscilações. Determine uma solução particular expressando F como parte real de uma função exponencial complexa e procurando uma solução para x que tenha a mesma dependência exponencial do tempo. de tal forma que ela possa atingir uma nova posição de equilíbrio 0. a) Determine o movimento de um oscilador harmônico amortecido. Tente começar com uma solução que satisfaça a condição inicial Xo = O. 46. Um oscila dor harmônico sem amortecimento (b = O) é submetido à ação de uma força Fo coswt. porém sem ultrapassá-Ia. 44.90).ma será montada. admitindo inicialmente uma solução para w = Wo + e. Um oscilador harmônico sem amortecimento (b = O). 48. a uma força Fo senwt. b) Resolva o mesmo problema fazendo a substituição x' = x . ela divergirá. o tempo necessário para que a plataforma chegue a 1 mm de sua posição final. Se o leitor iniciar com a solução do estado estacionário e fizer E ~ 0. de forma que ela não divirja em r= O. Determine uma solução particular da equação do movimento. Uma força Foe-ar age sobre um oscilador harmônico de massa m.91) e acrescentando uma solução da equação homogênea. Determine uma solução particular. partindo da suposição de que existe uma solução com a mesma dependência do tempo que a força aplicada. depois de sofrer o impacto.2 m abaixo da posição original tão depressa quanto possível. a constante da mola k e a constante de amortecimento b.] 49. inicialmente em repouso. a) Determine a constante k da mola e a constante de amortecimento b do amortecedor. b) Determine. Mostre. é submetido. sem amortecimento. de forma que a força de amortecimento seja -b/x . 54. A força Fo cos(wt + 80) age sobre um oscilador a partir de t = O. sendo o atrito dado pela Eq.2. (Despreze a massa das rodas e das molas. como é mostrado na Fig. supondo que ele se mova verticalmente como um oscilador harmônico simples sem amortecimento (sem amortecedores). uma força F = B cos(wt + 8) é aplicada. b) Se. O. freqÜência natural wo. freqüência w. Determine o seu deslocamento. 52. Escreva a equação do movimento e mostre que é equivalente à Eq. de modo que não exista transiente.) Se fossem instalados amortecedores.31). o Fig. Determine a amplitude de oscilações do automóvel. A extremidade esquerda da mola· não é fixa e oscila com amplitude a. Uma massa m é atada a uma mola com constante de força k e comprimento relaxado /. ao contrário. se o atrito é originado por um amortecedor ligado entre as extremidades da mola. a) Quais os valores iniciais de x e v. Xo = Vo = O. está inicialmente em repouso e é submetido em t = O a uma impulsão de forma a partir A partir de Xo = O com velocidade inicial Vo e a oscilar livremente até t = 3rT /2wo. deste tempo. mas excluindo rodas e tudo mais abaixo das molas) desce uma polegada para cada 100 kg adicionais de passageiros. de massa m. Mostre que. então a equação do movimento terá uma força aplicada adicional wba cos wt.X). [Sugestão. 51. Um automóvel pesando uma tonelada (incluindo passageiros.11 51. (2. 2. J . Mostre que as oscilações são isócronas (período independente da amplitude) com a amplitude de oscilação decrescendo de 2Jlg/w~ " durante cada meio ciclo até que a massa atinja o repouso. Um oscilador harmônico.) 53. Ele se desloca a 36 km/h sobre uma estrada com ondulações senoidais. Determine o deslocamento de uma massa submetida à ação de uma força restauradora -kx e a uma força de amortecimento (±)Jlmg devido ao atrito de deslizamento existente entre superfícies secas. de forma que X = a senwt. 8 o . o carro oscilaria mais ou menos? (Use os resultados do Pro~1.144) com uma força aplicada ka senwt. que apresenta uma distância de 30 cm entre duas elevações e uma amplitude de 5 cm (altura das elevações e dos vales em relação ao nível médio da estrada). Use o 92 . determine a amplitude A e a fase 8 dOJransiente em termos de F o. (2.50.11. onde X é medido a partir de um ponto de referência fixo. Quando a força tem uma forma algébrica diferente. em tem· pos diferentes. submetido a um impulso Po. Wo é a freqüência natural do oscilador. 13 Usa-se um asterisco.190) para um oscilador criticamente amortecido. A massa é m. Determine. a sua solução se aproxima da fornecida pela Eq. a constante da mola é k = 4ma2 e b = ma. para cada intervalo de tempo. onde n é um inteiro e T = 6rrlwo. Fo. Determine o movimento. A força Fo(1 . se 'Y~ Wo. durante o qual se deve usar uma expressão particular para força. o movimento de um oscilador inicialmente em repouso e submetido.13 60. 93 . onde Wo é a freqüência de ressonância do oscilador. (2. cia 3wo tenham a mesma amplitude que as oscilações cuja freqüênciaé wo? onde 58. inicialmente em repouso. *59. a solução estacionária para um oscilador harmônico sujeito à força F(t) = {D. Encontre uma soluçãO análoga à Eq. pelo método da série de Fourier.e-ar) age sobre um oscilador harmônico que está em repouso em t = O. a posição e a velocidade finais do intervalo de tempo anterior. 45. se nT < ( ~ (n+!)T. 57~ a) Determine. Esbocex(t). b) No caso de um Po fixo. após t = O. durante o movimento. (lI+i)T«~(II+I)T. b) Qual deve ser a razão entre B e A para que as oscilações forçadas com freqüên. (2. como neste caso. é necessário resolver a equação de movimento separadamente. 58 para o caso em que k = ma2 eb = 2ma. escolhendo as condições iniciais para cada intervalo de tempo. Mostre que. a) DeterITÚne x (t).190).] 55. à subamortecido h' = (l/3)wo] ação da força F=A senwot +B sen3wot. aplicado em t = to.191). para que valor de ót a amplitude de oscilação final é máxima? c) Mostre que quando ót --l- O. usando o princípio de superposição. corno foi explicado no Prefácio. é submetido à ação de uma força dada pela Eq. Resolva o Probl.resultado do Probl. Um oscilador harmônico sem amortecimento ('Y = O). para indicar problemas particularmente difíceis. (2. onde o sinal da força de amortecimento tem de ser escolhido de forma a que a força seja sempre oposta ã velocidade. o movimento é aproximadamente senoidal com período T13. 56. onde Wo é a freqüência natural do oscilador.~ .210).191).. 94 . recebe. 64. o movimento de um oscilado r criticamente amortecido. Determine o seu movimento. Um oscilador subamortecido.~ . 56. pelo método de Green. 62. usando a série de Fourier. determine. usando o método de Green (2. o estado estacionário de um oscilador harmônieo sem amortecimento.• i' <f 61. 63. Determine. inicialmente em repouso. a ação da força dada pela Eq... em t = 0.210). sujeito à ação de uma força que tem a forma de uma onda senoidal retificada: F(c) = F o Isenwocl. Resolva o Probl. (2. Usando o resultado do Probl. inicialmente em repouso e submetido à ação de uma força F (t). 58 usando o método de Green (2. Documents Similar To CAP - 1 e 2Skip carouselcarousel previouscarousel nextModelo SatVantagem MecânicaEstatica de Ponto Material Panosso 10Simtec 2010 - Bosch EMB Oficialop-em-fs-29Lista 2Relatório 1 - Tempo de Descarga FinalRelatório Exp1Revisão - ITA (3)Parte de Gabrielfluidostatica_2Isard2 Lista de Exercicios Do 4 Bim Do 1 Ano Do EM Energ Meco Cabelo Realmente CrespoLeis de NewtonModelo de Água RasaDOMUS_Apostila 04 - FÍSICA I - Módulo 25Maquina de atwoodPlano de Aula 2016 1 AnoRelatorio Pronto Brunae Let Ro Magnetism oanalise de fluxo de ração avicolaAplicação 01 Com GabaritoLeis Fundamentais Da DinamicaExercicios Para Alunos (1)Centro de MassaNBR 12051-1991 - Determinacao Do Indice de Vazios Minimo de Solos Nao-coesivo (Compacidade Relativa)_Relatório TorquenExercícios Recuperação EEHG - FísicaMov&Mec Cap3More From Mário Edson SousaSkip carouselcarousel previouscarousel nextModelagem Do Transporte Eletronico Em Mol ˆ EculasTermodinamica aplicada cap 2.Apontamentos de Física EstatísticaNotasDeAula1Química Computacional - Livro completo.pdfBiologia Celular e MolecularF. Reifp54Nanotubes Complexed With DNA AndFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaSign up to vote on this titleUsefulNot usefulYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK