Campos Escalares

Campos EscalaresDefinición-Ejemplos-Curvas de Nivel 1 CAMPOS ESCALARES En el campo de la química y la física (como así también en otras disciplinas) existen muchas aplicaciones en las cuales interactúan varias variables. Por ejemplo:  el volumen ocupado por un gas confinado es directamente proporcional a su temperatura e inversamente proporcional a su presión: V= KT/P. Podemos decir entonces que: El volumen del gas depende de 2 variables: T y P, por lo tanto V=f(T,P) Campos Escalares 2  La cantidad de energía calorífica (Q) que produce una corriente eléctrica de intensidad I que circula durante un tiempo T a través de una resistencia R viene dada a través de la Ley de Joule: Q=cI2RT, (c es un constante) Luego: La cantidad de calor depende de 3 variables: I, R y T. O sea: Q=f(I,R,T) En las funciones de los ejemplos anteriores, el valor de una variable depende del valor de varias variables independientes. Campos Escalares 3 Campo escalar: función que transforma un vector en un número real: f: B  R n  R / f(x1,…,xn)=z Ej: 1. f(x1,x2)=x1+x2 R2->R 2. f(x1,x2, x3)= lnx1+sen(x2x3) B  R3  R Para simplificar trabajaremos con funciones con dominio en R2 pero los resultados se extienden a funciones de más variables. Campos Escalares 4 y)  R2 /  un único z tq z=f(x. su dominio será el plano o un subconjunto de él.y)=x+y el dominio es todo el plano pues para cualquier par (x. entonces Dom(f)={(x.y)} Ejemplos: 1.Por lo tanto. Si f: B  R2  R / f(x. f(x.y)=z.y) existe x+y Campos Escalares 5 . usaremos la siguiente notación: f: B  R2  R / f(x.y)=z Como estas funciones se aplican a vectores de dos coordenadas. Luego: Dom(f)={(x.y)= y/x En este caso el valor de y/x no puede calcularse si x=0.y) R2 / x≠0} y x Campos Escalares 6 .• f(x. En este caso el valor de f se podrá calcular cuando y-x2 >0. f(x.y)= ln(y-x2) . Luego: Dom(f)={(x.4.y)R2 / y>x2 } 15 10 5 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -10 Series1 Campos Escalares 7 .y)R2 / y-x2 >0}={(x. y. por lo tanto necesitaremos 3 ejes: dos para el dominio y uno para la imagen.¿Qué tipo de gráfico tendrán las funciones escalares? Debemos graficar las ternas (x. pero obtenerlos no es sencillo. Campos Escalares 8 .z) donde z=f(x.y). Mostraremos ejemplos de gráficos de campos en R2. Evidentemente no podríamos graficar una función de más de dos variables. 9 Campos Escalares . y en general toda función de la forma z=a(x-x0)+b(y-y0)+z0 representa a un plano.z=1-x-y z z 1 1 x 1 y El gráfico de esta función es un plano. z=x2+y2+1 El gráfico de esta función es un paraboloide Campos Escalares 10 . z=ln(x2+y2) z x y Campos Escalares 11 . z=x2-y2 z x y Campos Escalares 12 . z=cos(xy) z x y Campos Escalares 13 . El gráfico de un campo escalar es una superficie Campos Escalares 14 . Consiste en graficar las proyecciones de la superficie sobre distintos planos horizontales.Vemos que los gráficos pueden muy complejos de obtener.y)=k)} Campos Escalares 15 .y.k)  graf(f)} ={(x. Un gráfico útil en ciertas aplicaciones y menos complicado es el de las Curvas de Nivel. Definición: Dada z=f(x.y) a Ck(f) ={(x.y)  R2 / f(x.y) R2 / (x.y) se llama Curva de nivel k para f(x. y)=x2+y2 1=x2+y2 y 1 1 Campos Escalares x 16 . hallemos C1(f) para:  f(x.Por ejemplo.y)=x+y+1 y   1=x+y+1 -> y=-x   x               f(x. y)=x+y+1 y C2 C1 C0 C-2 Campos Escalares C-1 17 . que muestra las curvas resultantes de intersecar la superficie con planos horizontales a distintos niveles Para f(x.Considerando diferentes valores para k se obtiene un gráfico. a veces llamado mapa de contornos. Para z=x2+y2 y    x             Campos Escalares 18 . Veamos la gráfica de z=x2+y2 junto con las curvas intersección con los planos horizontales x y Campos Escalares 19 . Campos Escalares 20 .y). entonces las curvas de nivel k van mostrando las curvas sobre la placa en que la temperatura es constante e igual a k.Una aplicación de las curvas de nivel: Isotermas: supongamos que se tiene una placa metálica plana y que la temperatura en cada punto está dada por una función T=f(x. Definición .Campos Escalares Derivada Direccional y parcial. “incrementar el punto” significa mirar hacia la derecha o la izquierda del mismo: x0+h* x0 x0+h El concepto de derivada es el mismo para cualquier tipo de función pero ¿Qué significa un incremento de un punto del dominio en R2? Campos Escalares 22 .DERIVADA DE UN CAMPO ESCALAR Para las funciones cuyo dominio pertenece a R. Para incrementar el punto en R2 tenemos infinitas direcciones en las cuales podemos movernos: por todas las rectas que pasan por dicho punto. y0 x0 P0 Grafiquemos en R2 y veamos cómo podemos escribir entonces al “punto incrementado” Campos Escalares 23 . Consideremos un vector de módulo 1 (versor) que sea paralelo a la recta en la cual estaría contenido el punto incrementado.y0). y0 y0  U y0 x0 x0 x0 P0 Analicemos el conjunto de puntos incluidos en el siguiente conjunto: L={(x.y)=k U+(x0. k  R } Campos Escalares 24 .y)  R2 / (x. y P0 un punto de su dominio. y 0 )  lim t t   0 Campos Escalares 25 . Se define la derivada direccional de f según la dirección del versor U=u1I+u2J. un campo escalar en R2. y 0  t u2 )  f(x 0 .Definición: Dada f. como:  f(P0  t U)  f(P0 )  DUf(P0 )  lim  t t   0 f(x 0  t u1. y)=5x2+y en el punto (1. sino debe elegirse el versor correspondiente Campos Escalares Clase 1 26 .2) según la dirección del versor 4 3 I J 5 5 Siempre se debe verificar que el vector dado sea un versor.Ejemplo: Hallar la derivada direccional de f(x. o sea que tenga módulo 1. y0  t u2 )  f(x0 . y0 ) t   0 t 4 3 f(1  t .f(x0  t u1.2  t )  f(1 . 2) 5 5  lim  t   0 t 4 3 5(1  t )2  ( 2  t )  7 5 5  lim t   0 t 8 16 2 3 5(1  t  t )  2  t  7 5 25 5  lim t   0 t  43 16  43 16 2  t t  t  t 5 5  5  lim 5  lim  t   0 t   0 t t 43 16 43  lim  t  t   0 5 5 5 DU f(P0 )  lim Campos Escalares 27 . z0). en el punto (x0.Interpretación geométrica de la Derivada Direccional  Sea S la gráfica de la función y U el versor en la dirección en que se busca la derivada.y0. Este plano corta a la superficie S en una curva C.y) C P0 Campos Escalares 28 . La derivada direccional representa la pendiente de la recta tangente a dicha curva C. z=f(x. Levantemos un  plano vertical que contenga a la recta en dirección U que pasa por P0. y 0 )  lim t t   0 D U f (P0 )  lim Campos Escalares 29 . y 0 )  lim t t   0 DU f(P0 )  lim Según el versor J: f (P0   t J)  f (P0 ) f (x 0   t 0. y 0  t 0)  f(x 0 . y 0   t 1)  f (x 0 . y 0   t )  f (x 0 . y 0 )  lim t t t   0 t   0 f(x 0  t . y 0 )  f(x 0 .Calculemos la derivada en la dirección de los versores fundamentales: Según el versor I: f(P0  t I)  f(P0 ) f(x 0  t1. y 0 )  lim t t t   0 t   0 f (x 0 . que consideran la función incrementando sólo una de las variables se las llama derivadas parciales de la función en el punto P0. Estas derivadas.Observemos que al escribir la expresión de la derivada en la dirección de I. Dxf(P0) =  f (P0 ) =f’x(P0) x f(P0 ) Dyf(P0) = =f’y(P0) y Campos Escalares 30 . mientras que al utilizar el vector J sólo resulta incrementada la variable y. en el cociente incremental sólo queda incrementada la variable x. y0.0). Análogamente.Gráficamente la derivada respecto de x representa la pendiente de la recta tangente en (x0.z0) a la curva intersección de la superficie con el plano vertical paralelo al plano x0z y que pasa por el punto (x0. para la derivada respecto de y Campos Escalares 31 .y0. f(x.2)  f(1.2) (1.Ejemplos 1. y)  x2  8y en el punto (1.2)  lim x t t 0  f 1  t 2  16  17 (1.2)  lim x t t 0  f 1  2t  t2   1  lim x t 0 t f 2t  t2 t2  t   lim  lim 2 x t 0 t t t 0 Campos Escalares 32 .2) f f(1  t. 2)  lim y t 0 t f 1  82  t   17  lim  y t 0 t 1  16  8t  17 8t  lim  lim 8 t t 0 t 0 t Campos Escalares 33 .2  t)  f(1.f f(1. y)  lim x t t 0 f 2xt  t2 (x. y)  lim x t t 0 f x2  2xt  t2  8y  x2  8y (x.Hallar por definición las parciales respecto a x e y: funciones derivadas f f(x  t. y)  lim x t t 0  f x  t 2  8y  x2  8y  (x. y)  lim  lim 2x  t  2x x t t 0 t 0 Campos Escalares 34 . y) (x. y)  f(x. y) y Ejemplos de derivada parcial utilizando las reglas: f  2x x f(x. y)  x2  8seny f  8 cos y y Campos Escalares 35 . y)  8 (x.Ejercicio:demostrar a partir de la definición de derivada parcial que f (x. y)  x2seny f  x2 cos y y f  cosxy2  y2 x f(x.f  2x seny x f(x. y)  sen(xy2 ) f  cosxy2 2xy y Campos Escalares 36 . y)  7tg (x y) x3 ln( x5  y 4 )  y cos2(x3y) 1 7 3  tg (x y) 4y3 x5  y 4 Campos Escalares 37 .f(x. y)  7tg (x y) 3x2y ln( x5  y 4 )  x cos2(x3y)  tg7(x3y) 1 x5  y 4 5x 4 f 1 6 3 (x. y)  tg7(x3y) ln(x5  y4 ) f 1 6 3 (x. Campos Escalares 38 . también para un campo escalar podemos derivar a las derivadas parciales de orden 1 y obtener derivadas de orden superior.Derivadas de orden superior de un campo escalar Así como para una función escalar podíamos derivar a la derivada primera y obtener la derivada segunda y así sucesivamente para las derivadas de orden 3. sólo que la cantidad de derivadas de cada orden va a ir aumentando ya que a cada derivada la podemos derivar respecto a x y respecto a y. 4 etc…. .y) f '''yxx . . . . f(x. . . . f ''yy f '''yyy . . . . . . f 'x f '''xyx . . . . . f ''yx f '''yxy . . . . f ''xy f '''xyy . . . . . . . . . . f 'y f '''yyx . . . . . . . . . . . Campos Escalares 39 . .Derivadas de 1º orden Derivadas de 2º orden Derivadas de 3º orden f '''xxx . . f ''xx f '''xxy . y)= sen(xy)+e(x-y) f  cos(xy)y  e(x  y) x  2f x2  sen(xy)y2  e(x  y) f  cos(xy)x  e(x  y)(1) y 2f y2 Campos Escalares  sen(xy)x2  e(x  y) 40 .Notación: f ' 'xx   2f x2  2f f ' 'xy  yx  2f f ' 'yx  xy f ' 'yy   2f y2 Ejemplo: f(x. 2f  sen(xy)yx  cos(xy)1  e(x  y)(1) xy  2f  sen(xy)yx  cos(xy)1  e(x  y)(1) yx Observemos que para esta función 2f 2f  yx xy ¿¿Será casualidad?? Campos Escalares 41 . y)  (x. entonces 2f 2f (x.Teorema de Schwartz Si f: A  R2  R es un campo escalar tal que sus derivadas segundas existen y son continuas en un U  A . y) yx xy (x. y)  U (Sin demostración) Campos Escalares 42 . Campos Escalares Regla de la Cadena-Fórmula de cálculo Derivada Direccional . y)=(x3+y2)2 ln(x+3y) Campos Escalares Clase 3 44 .y) y v=h(x.v) es una función diferenciable y que a su vez. u y v también son campos escalares continuos.REGLA DE LA CADENA Supongamos que f(u. v=ln(x+3y) f(x.y). f depende de x e y a través de la expresión: f(g(x. llamémoslos: u=g(x. siendo u=x3+y2. Ejemplo: f(u.h(x.v)=u2v .y)).y). Queremos hallar una fórmula general para dichas derivadas y dicho diferencial: Aceptaremos sin demostrar que: f f u f v   x u x v x . f f u f v   y u y v y Campos Escalares Clase 3 45 .Podríamos entonces hallar las derivadas parciales de f respecto de x e y y el diferencial de f dependiendo de x e y (“diferencial total de f”). Verificarla.Para el ejemplo dado: f(u. siendo u=x3+y2. v=ln(x+3y) f 1 1  2uv3x2  u2 1  6(x3  y2 ) ln( x  3y) x2  (x3  y2 )2 x x  3y x  3y Verifiquemos que en efecto las derivadas coinciden si derivamos la composición: [(x3+y2)2 ln(x+3y)]’x=2(x3+y2)3x2 ln(x+3y)+ (x3+y2)2 1/(x+3y) Ejercicio: hallar la derivada respecto de y. Campos Escalares Clase 3 46 .v)=u2v . v)=v2lnu . v=sent Campos Escalares Clase 3 47 . u=t3+4 .v) y u=u(t). f=f(t) y por lo tanto buscamos f’(t)=df/dt.Caso particular: u y v son funciones de una sola variable. podemos escribir: df f f  u' (t)  v' (t) dt u v Ejemplo: f(u. v=v(t) Luego. f=f(u. Como caso particular de la regla de la cadena. y) y v=h(x.v) con u=g(x.y):  f u f v   f u f v  df      dy  dx    u x v x   u y v y  Para el caso f=f(u.v) y u=u(t). v=v(t): f  f  df   u' (t)  v' (t) dt v  u  Es común en las aplicaciones físicas utilizar la siguiente notación: Campos Escalares Clase 3 48 .Utilizando la regla de la cadena podemos escribir el diferencial de f en función de los diferenciales de las variables independientes de la siguiente forma: Para el caso f(u.  f   u   f   u   f   v    f   v   df            dx            dy  u v  x y  v u  x y   u v  y x  v u  y x  Esquema “de árbol” para aplicar la regla de la cadena: x u f v y x y Para hallar una derivada parcial basta con considerar las ramas que terminan en la variable y luego sumar los productos que se obtienen de ir derivando dentro de cada rama. Campos Escalares Clase 3 49 . t) x t u t x t  f   f   u   f   v   u               x  t  u  v  x  t  v u  u  t  x  t  f   f   u   f   v   u   f   v                   t  x  u  v  t  x  v u  u  t  t  x  v u  t u Campos Escalares Clase 3 50 .un caso más complejo: f=f(u. v=v(u.t) u f v .v) . u=u(x. y) J x y Campos Escalares Clase 3 51 . y)  f (x.FÓRMULA DE CÁLCULO PARA LA DERIVADA DIRECCIONAL Definición: Gradiente de un campo escalar: Dada f: A  R2  R llamamos gradiente de f y lo anotamos grad(f) o bienf . al campo vectorial que en cada componente contiene las derivadas parciales de f. y) I  f (x. o sea: grad(f)(x.y)= f(x. y0). y U=(u1. Entonces la derivada de f en P0 según la dirección de U puede calcularse como:  f f  D f ( P0 )  f x0 . y0 )u2 U x y   Dem: Por definición de derivada direccional sabemos que: DU f(P0 ) f(x0  t u1. y0 )  lim t t  0 Campos Escalares Clase 3 52 . y0 )u1  ( x0 .Sea f diferenciable en P0=(x0.u2) un versor. y0  U  ( x0 . y0  t u2 )  f(x0 . Definimos la función g(t)= f(x. y= y0+t u2 Entonces. y0 ) g(t )  g(0)  lim  DU f(P0 ) t t t  0 t  0 g' (0)  lim Pero por regla de la cadena: (1) f f g' (t)  (x0  tu1. y0  tu2 )y' (t)  x y  f x0  tu1. y0+t u2) y g(0)=f(x0. g(t)=f(x0+t u1 . y0  tu2 u1  f x0  tu1.y0) Luego. y0  tu2 ) x' (t)  (x0  tu1. por definición de derivada para una función de una variable: f(x0  t u1. y0  t u2 )  f(x0 . y) donde x=x0+t u1 . y0  tu2 u2 x y Campos Escalares Clase 3 53 . 2) según la dirección del versor 3 1 I J 2 2 Campos Escalares Clase 3 54 . y0 u1  x0.f f x0. y0 ) u2  f x0 . y0 ) u1  (x0 . y0   U x y Ejemplo: hallar utilizando la fórmula de cálculo la derivada direccional de f(x.y)=5x2+y en el punto (1. y0 u2 g' (0)  x y (2) De (1) y (2) resulta   f  f DU f(P0 )  (x0 . Como U es un versor. su módulo vale 1 y por lo tanto: DU f(P0 )  f x0 .Derivada direccional máxima y mínima Como la fórmula de cálculo que se derivó para la derivada direccional involucra un producto escalar. y0   cos  Campos Escalares Clase 3 55 . y0   U cos  siendo  el ángulo que forman el gradiente y el versor. podemos escribir otra expresión para ella:  DU f(P0 )  f x0 . yo ) .Si consideramos todas las direcciones en que podemos incrementar el punto P0. aquella en la cual D  f(P0 ) será máxima es aquella para la cual U cos   1 Luego: La derivada direccional en un punto P0 es máxima cuando el versor tiene la misma dirección y sentido que f(x0. por lo tanto  f(x0 . y0 ) U f(x0 . y0 ) y el valor de esa derivada máxima resulta ser f(x0 . yo ) Campos Escalares Clase 3 56 . yo ) Campos Escalares Clase 3 57 . Luego: La derivada direccional en un punto P0 es mínima cuando el versor tiene dirección pero sentido opuesto que la misma f(x0. y0 ) U f(x0 . y0 ) y el valor de esa derivada mìnima resulta ser  f(x0.La dirección en la cual DU f(P0 ) será mínima es aquella para la cual cos   1 . por lo tanto  f(x0 . yo ) . y.Suponga que la temperatura en un punto (x.y.z) en el espacio T(x.y.z está dada por 80 1  x 2  2y 2  3z2 está medida en grados centígrados y están en metros. ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al punto(1. 1. z)  donde T x. -2)? ¿Cuál es la máxima tasa de incremento? Campos Escalares Clase 3 58 . La temperatura en un punto de la placa está dada por T(x.Considere la placa rectángular que se muestra en la figura siguiente. y)  5  2x2  y2 Determine debe la dirección en la que se mover un insecto que está en el punto (4. para que se enfríe lo más rápido posible. Campos Escalares Clase 3 59 .2) . Campos Escalares Diferencial y Plano Tangente . De una función de dos variables diremos que es diferenciable si su imagen está dada por una superficie “suave”. que admita plano tangente en cada punto.Función diferenciable-Plano tangente Para una función escalar se definió como derivable a aquella que tiene recta tangente no vertical en todos sus puntos. Función diferenciable Función no diferenciable en los puntos del “doblez” 61 . z0).un punto de S. Sea P0=(x0.Plano tangente a un campo escalar en un punto 2 A  R R Sea f: un campo con derivadas parciales primeras continuas y cuya gráfica viene dada por la superficie S.y0. 62 . Llamemos C1 a la curva intersección de S con el plano vertical. paralelo al plano x0z que pasa por y0. paralelo al plano y0z que pasa por x0y C2 a la curva intersección de S con el plano vertical. El plano tangente a la superficie S en P0 es aquél que contiene a las rectas tangentes a ambas curvas en el P0. z z x x y y 63 . y0 )(x. y0 ) y Por lo tanto: z-z0= f f (x0.x0)+  (y-y0) Considerando que las derivadas parciales son las pendientes de las rectas tangentes a las curvas intersección con el plano. se puede demostrar que f  (x0.La ecuación de un plano viene dada por: z-z0=  (x. y0 ) x y f  (x0.x0)+ (x0. y0 )(y-y0) x y 64 . y0 ) (x.como el punto P0 pertenece a la superficie. y0 ) (y-y0) x y 65 . el plano tangente se obtiene como: z.y0). z0=f(x0.y0)= f (x0.f(x0.x0)+ f (x0. 2)  4 y y f(1.2)  2 Ecuación del plano: z+2= 6 (x. y)  2Y  (1. y)  6x  (1.2)  6 x x f f (x.2.y)=2x3-y2 en el punto P(1.Ejemplo: Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie imagen de f(x. f f 2 (x.1)-4 (y-2) z=6x-6-4y+8-2 z=6x-4y 66 .-2). y0). teniendo en cuenta que incrementar un punto significa incrementar dos variables. se llama incremento de f en el punto (x0.∆x. Definición 1: Sea f una función de dos variables x e y. y0+∆y)-f(x0.∆y)=f(x0+∆x.y0) a: ∆f(x0.Campo escalar diferenciable Extenderemos a campos escalares los conceptos de incremento de función y diferencial. 67 .y0. y0 . y0 ) x y y si el incremento de f puede escribirse como: f(x0 . y  (0. y0 ) y (x0. y0 ) f(x0 . y0 ) x  y  1x  2y x y (1) donde 1 y 2 son funciones de x y y que tienden a 0 cuando x.0) 68 . y)  f(x0 . x.y0)  A si existen f f (x0.Definición 2: f: A  R2  R se dice diferenciable en (x0. y  y0  y resulta y  y  y0 x  x  x0 . y0 ) f(x0 . y0 ) f(x.De la igualdad (1) de la definición 2 : f(x0 . y0 )  x  y  1x  2y x y Si llamamos: x  x0  x. y0 ) f(x0  x. y0 )  (x  x0 )  (y  y0 )  1(x  x0 )  2 (y  y0 ) x y 69 . y0 ) f(x0 . y podemos reescribir a (1) como: f(x0 . y)  f(x0 . y0  y)  f(x0 . 70 . y  (0.0) equivale a x.Como: x. y0 ) entonces. que 1 y 2 tiendan a 0 equivale a que el valor de la función en el punto incrementado es próximo al valor del plano tangente en el punto. y  (x0. dy) 71 .y0.y)”cercano” a (x0.dx.y0) podemos aproximar el incremento de f como: ∆f(x0. para (x.y0.dx.dx. y0 )  dx  dy x y Como ∆x=dx y ∆y=dy .dy)= df(x0. ∆f(x0. por (1) podemos decir que.dy)+ 1 dx+ 2 dy y por lo tanto.Llamamos diferencial de f en (x0.y0. y0 ) f(x0 .y0) a: f(x0 .y0. y0 ) df(x0 .dy)≈ df(x0.dx. dx.y0)+ df(x0.dy) f(x0+∆x.y0.y0)+ df(x0.y)≈f(x0.∆y) 72 .O bien: f(x.∆x.y0+∆y)≈f(x0.y0. ∆x. ∆y=0.1 como f(x0+∆x. Consideramos entonces: f(x. utilizando diferenciales.y0+∆y) para alguna f y algún x0.2+e0.2+e0. una valor aproximado para ln1.2 . y0=0.∆y) 73 . ∆x=0.y)=lnx+ey x0=1.y0.∆x.Ejemplo: Hallar.1 Luego: f(x0+∆x.y0)+df(x0.1 Debemos pensar a ln1.∆y adecuado.y0+∆y)≈f(x0.y0. 2 + 1.1) -> ln1.2+e0. sin utilizar la definición: 74 . 0.3 El siguiente teorema nos provee de una condición suficiente que nos permite asegurar la diferenciabilidad de una amplia variedad de funciones. 0.f(x0.y0)= ln1+e0 =1 f’x=1/x -> f’x(1.1 ≈ 1 + (1.0)=1 f’y=ey -> f’y(1.1 ≈ 1.2+e0.0)=1 Luego: ln1. y0) entonces f es diferenciable en P0. 75 .y0) entonces f es continua en P0.Teorema: Si f: A  R2  R tiene sus derivadas parciales continuas en los puntos cercanos a P0(x0. (sin demostrar) Otro teorema importante: Teorema: Si f: A  R2  R es diferenciable en P0(x0. y0 )  Luego: 2) 3) 4) 5) f(x0 . y0 ) f(x0 . y0 ) (*) Debido a que.y0 ) f(x. y0  y)  f(x0 . y0 ) x  y  1x  2y x y lim (x. x. y  (0. cuando x. y)  f(x0 . y0 ) Si f es diferenciable en (x0. y0 . y0  y)  f(x0 .y0) entonces f(x0 .y)(x0 .0) f(x0  x. y0 ) f(x0 . y0 ) f(x0 . y)(0. y)  x  y  1x  2y x y equivalentemente : f(x0  x.Dem: Debemos demostrar que lim (x.0) : 76 . y  (x0. los términos 3) y 4) tienden a 0 Si llamamos x=x0+∆x e y= y0+∆y : x. Luego. 1 y 2 tienden a 0 cuando x y y tienden a 0. Luego en (*) : lim (x. y0 ) 77 . y)  f(x0 .y)(x 0 . y0 ) y x y son constantes porque no dependen de x ni y. y  (0.  Por definición de función diferenciable.0) es equivalente a : x. f(x0 . y0 ) f(x0 . y0 ) . Al estar multiplicados por dichos incrementos que tienden a 0. tienden a 0 los términos 2) y 3).y 0 ) f(x. Este teorema nos indica que la característica de ser diferenciable es “más fuerte” que la de continuidad en el sentido que si una función es diferenciable entonces es continua. mientras que el recíproco no es cierto (o sea que una función puede ser continua pero no diferenciable) 78 . y=ln(x+3).FUNCIÓN IMPLÍCITA Todas las funciones en las que se expresa el valor de y a partir de una expresión de x tales como: y=2x+3 .sen(x) Se dicen que están en forma implícita dado que se está indicando explícitamente el valor de y a partir del valor de la variable x. 79 . y=x3 . y-x3 + sen(x)=0 El nombre proviene del hecho de que existe una función de y dependiente de x pero no se está mostrando explícitamente como en la forma anterior. 80 .Sin embargo. y-ln(x+3)=0. y en ese caso la función se dice en forma implícita: y-2x-3=0 . en las mismas expresiones podemos reunir en un mismo miembro ambas variables. x2y+y3-1=0 ¿Cómo se puede obtener la derivada de y(x) cuando viene dada en forma implícita? 81 .En muchos casos las funciones vienen dada en forma implícita y no es posible pasar a la forma explícita: ey-ex+xy=0 . Podemos hacerlo de dos formas: 1. Podemos aplicar las reglas de cálculo de derivadas, recordando que y no es una variable independiente sino una función de x ey y’-ex+y+xy’=0’ y’ (ey+x)-ex+y=0 y’= (ex-y)/(ey+x) 2xy+x2y’+3y2y’=0 2xy+y’(x2+3y2)=0 y’=-2xy/(x2+3y2) 82 2. Podemos aplicar el TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA Sea y=y(x) una función continua definida implícitamente por la ecuación F(x,y)=0. Si en el punto (x0,y0) F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de (x0,y0) y se verifica que F’y(x0,y0)≠0 , entonces: F x(x ,y ) y(x)    0 0 F y(x ,y ) 0 0 83 Volviendo a los dos ejemplos anteriores, podemos calcular la derivada usando el teorema: Si llamamos F(x,y)=ey -ex+xy Entonces F(x,y)=0 define implícitamente a y=y(x) Luego, según el teorema: Fx ( x, y)  ex  y ex  y y( x )    y  y Fy ( x, y) e x e x Que coincide con la hallada con el primer método 84 Para el segundo ejemplo: F(x,y)=x2y+y3-1 Fx ( x, y) 2xy y( x )    2 Fy ( x, y) x  3y 2 Que también coincide con la hallada anteriormente 85 y) cercanos a un punto (x0.y) se aproxima a (x0. También lo llamaremos Polinomio de Taylor y se verificará que: f(x. se puede definir un polinomio de orden n para un campo escalar que aproxime los valores de dicho campo para valores de (x. 86 .y0) o cuando n tiene a infinito.y)≈ Pn(x.y)+Tn+1 siendo Tn+1 el término complementario o error. que tiende a 0 cuando (x.y0).POLINOMIO DE TAYLOR PARA UN CAMPO ESCALAR De manera análoga que para funciones escalares. y0 ) (y  y0 ) fyy  Ejemplo: Aproximar el valor de 2. y0 )  fx  (x0. y0) (x  x0)  fy  (x0.1) utilizando un polinomio de Taylor de orden 2. y0 )  fx  1  (x0.1sen(0. y0 ) (x  x0 )2  2fxy  (x0. y0) (y  y0)  P2(x. y0) (x  x0)  fy  (x0. 87 . y0 ) (x  x0 )(y  y0 )  fxx 2 2  (x0.Veremos la fórmula del polinomio de orden 1 y el de orden 2. y)  f(x0 . y)  f(x0 . y0) (y  y0) P1(x.  (x0.