APOSTILACálculo Diferencial e Integral II Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR - Professores: Lauro César Galvão Luiz Fernando Nunes Cálculo II – (Lauro / Nunes) ii Índice 1 Integrais Impróprias ............................................................................ 1-1 1.1 Limites infinitos de integração ............................................................ 1-3 1.1.1 Testes de Comparação .......................................................................... 1-6 1.2 Integrandos com descontinuidades infinitas ......................................... 1-8 1.3 Algumas aplicações das integrais impróprias ..................................... 1-14 1.3.1 Cálculo do comprimento de uma circunferência ................................. 1-14 1.3.2 Aplicações em estatística .................................................................... 1-15 1.3.3 Aplicações em transformadas integrais ............................................... 1-15 1.3.4 Função Gama e Função Fatorial ......................................................... 1-16 1.3.5 Integrais Impróprias no Campo da Economia ..................................... 1-16 1.4 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software MAPLE ...... 1-17 1.5 Exercícios Propostos ......................................................................... 1-17 2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais ........................................ 2-1 2.1 Como as abelhas se comunicam? ......................................................... 2-1 2.2 Coordenadas Polares ........................................................................... 2-3 2.2.1 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares ............................... 2-4 2.2.2 Caso Geral da Espiral de Arquimedes................................................... 2-5 2.2.3 Constante ............................................................................................. 2-5 2.2.4 Caso Geral da Cardióide ....................................................................... 2-6 2.2.5 Caso Geral do Caracol .......................................................................... 2-6 2.2.6 Caso Geral da Rosácea ......................................................................... 2-7 2.3 Gráficos diversos em coordenadas polares ........................................... 2-9 2.3.1 Equação do pólo (origem) .................................................................... 2-9 2.3.2 Equação que passa pela origem ............................................................ 2-9 2.3.3 Retas paralelas e perpendiculares ao eixo polar .................................. 2-10 2.3.4 Algumas circunferências .................................................................... 2-10 2.3.5 Limaçons ........................................................................................... 2-11 2.3.6 Cardióides .......................................................................................... 2-12 2.3.7 Lemniscata de Bernoulli ..................................................................... 2-12 2.3.8 Espiral de Arquimedes ....................................................................... 2-12 2.3.9 Rosáceas ............................................................................................ 2-13 2.4 Áreas em Coordenadas Polares .......................................................... 2-14 2.4.1 Área de um Setor Circular .................................................................. 2-14 2.4.2 Áreas em Coordenadas Polares (dedução) .......................................... 2-14 2.5 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto ................... 2-20 2.5.1 Volume em Coordenadas Polares ....................................................... 2-20 2.5.2 Fórmula do Volume Simplificada ....................................................... 2-22 2.6 Diferencial do Comprimento de Arco ................................................ 2-22 2.6.1 Comprimento de Arco ........................................................................ 2-23 2.7 Área da Superfície de Sólidos de Revolução ...................................... 2-24 2.7.1 Dedução da Fórmula Cartesiana ......................................................... 2-24 2.7.2 Área da Superfície de Sólidos de Revolução na Forma Polar .............. 2-26 2.8 Exercícios ......................................................................................... 2-28 3 Integrais Eulerianas ............................................................................. 3-1 3.1 Leonhard Euler.................................................................................... 3-1 3.2 Função Gama () ................................................................................ 3-2 3.2.1 Fórmula de Recorrência ....................................................................... 3-2 3.2.2 Função Gama para 1 0 < < n ............................................................... 3-3 3.2.3 Função Gama para 0 < n ..................................................................... 3-3 3.2.4 Gráfico da Função Gama ...................................................................... 3-4 Cálculo II – (Lauro / Nunes) iii 3.3 Função Beta ()................................................................................... 3-5 3.3.1 Definições Decorrentes ........................................................................ 3-6 3.4 Exercícios ........................................................................................... 3-7 4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais ................... 4-1 4.1 O Espaço Vetorial 9 n ......................................................................... 4-1 4.2 Produto Interno em 9 n ........................................................................ 4-2 4.3 Norma de x e9 n ou Comprimento do Vetor x e9 n ........................... 4-2 4.3.1 Propriedades da Norma Euclideana ( ) x x x , | | = ........................... 4-2 4.4 Distância em 9 n ................................................................................. 4-3 4.4.1 Propriedades das Distâncias em 9 n ...................................................... 4-3 4.5 Bolas e Conjuntos Limitados ............................................................... 4-4 4.5.1 Definição: Segmento de Reta ............................................................... 4-5 4.5.2 Definição: Conjunto Convexo .............................................................. 4-5 4.5.3 Definição: Ponto de Acumulação ......................................................... 4-5 4.5.4 Definição: Conjunto Limitado .............................................................. 4-5 4.5.5 Definição: Ponto Interior ...................................................................... 4-5 4.5.6 Definição: Ponto Exterior ..................................................................... 4-5 4.5.7 Definição: Ponto Fronteira ................................................................... 4-5 4.5.8 Definição: Conjunto Aberto ................................................................. 4-6 4.5.9 Definição: Conjunto Fechado ............................................................... 4-6 4.5.10 Definição: Conjunto Conexo ................................................................ 4-6 4.5.11 Definição: Região Aberta ..................................................................... 4-7 4.5.12 Definição: Região Fechada ................................................................... 4-7 4.6 Exercícios ........................................................................................... 4-8 5 Funções em Espaços n-Dimensionais .................................................. 5-1 5.1 Introdução ........................................................................................... 5-1 5.2 Limites e Continuidade de Funções de n-Variáveis Reais .................... 5-7 5.2.1 Limites de Funções em 9 n ................................................................... 5-7 5.2.2 Continuidade de Funções em 9 n .......................................................... 5-9 6 Derivadas ............................................................................................ 6-1 6.1 Derivadas Parciais ............................................................................... 6-1 6.1.1 Incremento parcial e incremento total ................................................... 6-1 6.1.2 Regras de derivação ............................................................................. 6-4 6.1.3 Derivadas Parciais Sucessivas .............................................................. 6-8 6.1.4 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais ................................ 6-10 6.1.5 Equações das Retas Tangentes ........................................................... 6-11 6.1.6 Diferenciabilidade .............................................................................. 6-14 6.2 Gradiente .......................................................................................... 6-20 6.3 Diferenciais ....................................................................................... 6-22 6.3.1 Generalizando as diferenciais ............................................................. 6-23 6.4 Derivadas de Funções Compostas...................................................... 6-26 6.4.1 Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis Intermediárias ....... 6-26 6.4.2 Regra da Cadeia para Funções de Três Variáveis Intermediárias......... 6-27 6.4.3 Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes e Três Variáveis Intermediárias ................................................................................... 6-28 6.4.4 Regra da Cadeia Generalizada ............................................................ 6-29 6.4.5 Derivadas de Funções Implícitas ........................................................ 6-31 6.5 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis ........................ 6-34 6.5.1 Teorema de Weierstrass ..................................................................... 6-37 6.5.2 Aplicações: Exercícios ....................................................................... 6-38 7 Integrais Duplas e Triplas .................................................................... 7-1 Cálculo II – (Lauro / Nunes) iv 7.1 Introdução ........................................................................................... 7-1 7.2 Integrais Duplas .................................................................................. 7-3 7.2.1 Interpretação Geométrica ..................................................................... 7-4 7.2.2 Área da Região D ................................................................................. 7-4 7.2.3 Propriedades das Integrais Duplas ........................................................ 7-4 7.3 Cálculo de Integrais Duplas ................................................................. 7-5 7.3.1 Teorema para o Cálculo de Integrais Duplas ......................................... 7-5 7.3.2 Definição: Integrais Iteradas ................................................................. 7-6 7.4 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas ......................................... 7-9 7.5 Coordenadas Polares ......................................................................... 7-10 7.5.1 Obtenção da fórmula .......................................................................... 7-10 7.5.2 Área AA’ do retângulo em D’ ............................................................. 7-10 7.5.3 Área AA do retângulo polar em D ...................................................... 7-11 7.5.4 Integral dupla em D’ .......................................................................... 7-11 7.6 Cálculo de Volumes (Aplicações)...................................................... 7-13 7.7 Cálculo de Áreas de Regiões Planas .................................................. 7-15 7.8 Integrais Triplas ................................................................................ 7-16 7.9 Cálculo de Integrais Triplas ............................................................... 7-17 7.10 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas ....................................... 7-19 7.11 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas .................................... 7-20 7.12 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas ...................................... 7-21 7.13 Aplicações Físicas da Integral Dupla ................................................. 7-23 7.14 Aplicações Físicas da Integral Tripla ................................................. 7-25 7.15 Exercícios ......................................................................................... 7-28 8 Formulário e Referências .................................................................... 8-1 8.1 Formulário de Derivadas e Integrais .................................................... 8-1 8.2 Referências Bibliográficas ................................................................... 8-2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-1 1 Integrais Impróprias Na definição das integrais definidas í b a dx x f ) ( , foi assumido que o intervalo de integração de a até b era finito. Além disso, era necessário que a imagem do integrando fosse finita neste domínio. Em outras palavras, a função f era definida em todos os pontos do intervalo limitado | | b a, e f não tinha descontinuidades infinitas neste intervalo. Agora estenderemos o conceito de integral definida para os casos onde o intervalo de integração é infinito e também para os casos onde a função f tem descontinuidades infinitas em | | b a, . Primeiramente, para motivar uma definição razoável para integrais com limites infinitos de integração, considere o problema de calcular a área da superfície situada abaixo da curva que representa o gráfico da função de regra 2 1 x y = , acima do eixo das abscissas e à direita da reta x = 1 (perceba que esta região se estende infinitamente à medida que os valores de x crescem). Normalmente a intuição nos leva a imaginar erroneamente que a referida área é infinita, pois estamos acostumados a raciocinar sobre dimensões finitas. Desta forma, vamos num primeiro momento, calcular a área hachurada na primeira das figuras abaixo, isto é, a área dada pela integral í 2 1 2 x dx = 2 1 1 1 2 1 1 2 1 = | . | \ | ÷ ÷ ÷ = ÷ x . Analogamente, se quisermos calcular a área até a reta 3 = x , obtemos í 3 1 2 x dx = 3 2 1 1 3 1 1 3 1 = | . | \ | ÷ ÷ ÷ = ÷ x . Da mesma forma, se a região cuja área que está sendo calculada estiver limitada à esquerda pela reta 1 = x e à direita pela reta 4 = x , podemos obter: í 4 1 2 x dx = 4 3 1 1 4 1 1 4 1 = | . | \ | ÷ ÷ ÷ = ÷ x . Prosseguindo desta forma, percebemos que se limitarmos a referida área pela reta t x = , e aumentarmos cada vez mais o valor de t, isto é, fazendo · ÷ t , a área da região em questão se aproxima cada vez mais de 1. No entanto, dependendo da função que limita superiormente a área que estamos calculando o resultado poderá ser diferente. Por exemplo, Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-2 se neste mesmo caso substituirmos a função de regra 2 1 x y = pela regra x y 1 = , a referida área seria infinita. Usando esta discussão como guia, será possível definirmos precisamente o significado de integral imprópria onde o limite de integração é infinito. Mas antes disto, vamos apresentar uma outra questão para motivar ainda mais os estudos das integrais impróprias: Pergunta: É possível de se pintar um muro de área infinita com o conteúdo de uma lata de tinta de volume finito? Antes de responder a esta pergunta, considere o seguinte problema: Calcular a área da superfície situada abaixo da curva que representa o gráfico da função de regra ( ) x x f y 1 = = , acima do eixo das abscissas e à direita da reta x = 1, isto é, calcule a área da região hachurada da figura que segue (perceba que esta região se estende infinitamente à medida que os valores de x crescem). Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-3 Será mostrado, neste capítulo, que a referida área será dada por uma integral chamada de integral imprópria e será representada por í · + 1 x dx = · + . Assim, a referida área é infinita. Agora imagine que a região hachurada do problema anterior gira em torno do eixo das abscissas. Neste caso, será gerado o sólido de revolução apresentado na figura seguinte. Este sólido recebe o nome de “Corneta de Gabriel”. Qual seria então o volume deste sólido? Depois de apresentadas as definições de integrais impróprias, será visto que o volume deste sólido pode ser dado também por uma integral imprópria representada por = · í · + 1 2 x dx . Isto significa que o volume solicitado é igual a unidades de volume. Desta forma, o volume de um sólido de revolução, gerado por uma superfície de área infinita pode ter um volume finito. Retornando para a questão inicial, foi sugerido que se alguém pudesse saturar o interior deste sólido com tinta e permitir que esta fosse filtrada para a superfície, então poderia pintar uma superfície infinita com uma quantidade de tinta finita! O que você acha? 1.1 Limites infinitos de integração Seja f uma função definida e contínua para todo x tal que a s x s b. Então í · + a dx x f ) ( = í +· ÷ b a b dx x f ) ( lim (01) Se este limite existe (como um número real). Pode-se dizer ainda que, caso exista o limite, a integral imprópria converge e, caso não exista, a integral imprópria diverge. y x b í + b x dx 0 2 1 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-4 y x í · + 0 2 1 x dx De forma análoga são definidas as outras integrais impróprias com limites infinitos: í · ÷ b dx x f ) ( = í ÷· ÷ b a a dx x f ) ( lim (02) Se este limite existe (como um número real). Novamente, dizemos que, caso exista este limite, a integral imprópria converge e, caso não exista, a integral imprópria diverge. Finalmente, se os dois limites de integração são infinitos temos: í · + · ÷ dx x f ) ( = í · ÷ c dx x f ) ( + í · + c dx x f ) ( = í ÷· ÷ c a a dx x f ) ( lim + í +· ÷ b c b dx x f ) ( lim (03) Se estes limites existirem (como números reais). Neste caso, dizemos que integral imprópria converge se ambos os limites existirem e que, a integral imprópria diverge, se qualquer um dos limites não existir. Em todos estes casos, quando dizemos que um limite existe, estamos assumindo que o mesmo tem como resultado um número real. Exemplos 1. Calcular í · + + 0 2 1 x dx . Resolução: Resposta: 2 t Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-5 2. Calcular í · + · ÷ + 2 1 x dx . Resolução: Resposta: t 3. Calcule a integral e o limite dos itens seguintes: a) í · + · ÷ dx x e b) í ÷ +· ÷ r r r dx x lim a) Resolução: Resposta: diverge Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-6 b) Resolução: Resposta: 0 Desta forma, este exemplo ilustra o porquê de não podemos utilizar o limite em (b) para definir a integral imprópria em (a). 4. Discutir os valores de o para os quais a integral í · + 1 x dx converge ou diverge. Resolução: Resposta: DIVERGE 5. Verifique os resultados das seguintes integrais do exemplo citado no começo deste capítulo, onde se propõe que um muro de área infinita seja pintado com o conteúdo de uma lata de tinta de volume finito, isto é: í · + 1 x dx = · + e que = · í · + 1 2 x dx . Resolução: Resposta: +· e t, respectivamente. 1.1.1 Testes de Comparação Muitas vezes não podemos resolver uma integral imprópria diretamente, então tentamos primeiramente determinar se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, podemos utilizar métodos numéricos para resolvê-la de forma aproximada. Para auxiliar nesta tarefa de decidir se a integral converge ou diverge alguns teoremas podem ser utilizados: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-7 Teorema Se, ¬ x >a , 0s ) (x f s ) (x g e se í · + a dx x g ) ( converge, então í · + a dx x f ) ( também converge e í · + a dx x f ) ( s í · + a dx x g ) ( . A prova deste teorema está sendo omitida, no entanto, a figura que segue o faz parecer plausível. Exemplo 6. Estudar a convergência da integral í · + + 1 2 1 ) ( x e x dx . Resolução: Resposta: CONVERGE Teorema Se, ¬ x >a , 0s ) (x m s ) (x f e se í · + a dx x) ( diverge, então í · + a dx x f ) ( também diverge. Exemplo 7. Estudar a convergência da integral í · + + 1 3 1 dx x x ) ( . Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-8 Resposta: DIVERGE Teorema Se í · + a dx x f ) ( converge, então í · + a dx x f ) ( também CONVERGE. Observação Diz-se que a última integral é absolutamente convergente. Exemplo 8. Estudar a convergência da integral í · + 1 3 sin dx x x . Resolução: Resposta: CONVERGE 1.2 Integrandos com descontinuidades infinitas Definição Se a função f é contínua no intervalo ] , ] b a , então í b a dx x f ) ( = í c + ÷ c + b a dx x f ) ( lim 0 (04) se este limite existir (como um número real). Definição Se a função f é contínua no intervalo [ , [ b a , então í b a dx x f ) ( = í c ÷ ÷ c + b a dx x f ) ( lim 0 (05) se este limite existir (como um número real). Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-9 Definição Se a função f é contínua no intervalo ] , [ b a exceto em c tal que b c a < < , então í b a dx x f ) ( = í c ÷ ÷ c + c a dx x f ) ( lim 0 + í o + ÷ o + b c dx x f ) ( lim 0 (06) se os limites existirem (como números reais). Exemplos 9. Calcular í 2 0 3 x dx . Resolução: Resposta: DIVERGE 10. í ÷ 1 0 2 1 x xdx . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-10 Resolução: Resposta: 1 11. Calcular í ÷ 2 0 2 1) (x dx . Resolução: Resposta: DIVERGE ATENÇÃO: Muitas vezes pode parecer “tentador” aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo diretamente a uma integral imprópria, sem utilizar os limites apropriados. Para ilustrar o que pode acontecer, vamos ignorar que a integral deste exemplo é imprópria: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-11 í ÷ 2 0 2 1) (x dx = 2 1 1 1 1 2 0 ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ ) ( x o que é errado, pois como o integrando nunca é negativo, o valor desta integral também não poderia ser. Outros Exemplos de Integrais Impróprias Calcular as seguintes integrais impróprias: 12. í · + ÷ 0 dx e x . Resolução: Resposta: 1 13. í · + + 0 2 2 x a dx . Resolução: Resposta: a 2 t 14. í · + 0 sin xdx x . Resolução: Resposta: DIVERGE Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-12 15. í · + 1 x dx . Resolução: Resposta: DIVERGE 16. í · + · ÷ + + 2 2 2 x x dx . Resolução: Resposta: t 17. í 1 0 3 x dx . Resolução: Resposta: 2 3 18. í ÷ 1 1 4 x dx . Resolução: Resposta: DIVERGE Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-13 19. ( ) í · + ÷ 0 sin dx bx e ax . Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-14 Resposta: 2 2 b a b + 1.3 Algumas aplicações das integrais impróprias 1.3.1 Cálculo do comprimento de uma circunferência Deduzir a fórmula r C · · = 2 para o cálculo do comprimento da circunferência de um círculo de raio r. Para simplificar os cálculos vamos admitir que o círculo tem o centro na origem e raio r, assim, sua equação será 2 2 2 r y x = + . Iremos considerar o comprimento do arco que está no primeiro quadrante e depois multiplicar o resultado por 4, obtendo o comprimento total da circunferência. Como o semicírculo superior é dado por 2 2 x r y ÷ = , temos que o comprimento de curva procurado será dado por: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-15 dx dx dy C r í | . | \ | + · = 0 2 1 4 = dx x r x r í | | . | \ | ÷ ÷ + · 0 2 2 2 1 4 = í ÷ · · r x r dx r 0 2 2 4 Esta última integral é imprópria, pois existe uma descontinuidade infinita em x = r, assim: í ÷ · · = ÷ ÷ b r b x r dx r C 0 2 2 lim 4 = b r b r x r 0 arcsin lim 4 | . | \ | · · ÷ ÷ = ( ) ÷ | . | \ | · · ÷ ÷ 0 arcsin arcsin lim 4 r b r r b C = ( ) ( ) | | 0 arcsin 1 arcsin lim 4 ÷ · · ÷ ÷r b r = r r · · = | . | \ | ÷ · · 2 0 2 4 . 1.3.2 Aplicações em estatística As integrais impróprias são amplamente utilizadas na teoria das probabilidades. Por exemplo, a função cuja regra é 2 2 1 2 1 | . | \ | ÷ ÷ = x e x f ) ( é chamada de função da densidade de probabilidade normal, com média e desvio padrão . O número indica onde a distribuição de probabilidades está centralizada, enquanto que o parâmetro indica a dispersão em torno da média. Esta função possui, entre outras, as seguintes características: a) a distribuição é simétrica em relação a x = , pois f é uma função par; b) a função f tem um ponto de máximo para x = ; c) a função f é duplamente assintótica ao eixo das abscissas, ou seja, 0 ) ( lim = ÷· ÷ x f x e 0 ) ( lim = +· ÷ x f x ; d) a função admite dois pontos de inflexão para ± = x . e) A área sob a curva normal entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre estes pontos. Da teoria das probabilidades é mostrado que í · + · ÷ = . ) ( 1 dx x f 1.3.3 Aplicações em transformadas integrais Sejam ( ) t f e ( ) t p g , , funções de variáveis t e p, a integral imprópria ( ) ( ) ) ( , p F dt t p g t f = · í · + 0 produz uma nova função da variável p, indicada por ( ) p F e chamada de Transformada Integral de ( ) t f . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-16 Há vários tipos de transformadas integrais, por exemplo as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier, que são muito utilizadas para encontrar soluções de equações diferenciais. A função ( ) t p g , é chamada de núcleo da transformação. Por exemplo: Se ( ) pt e t p g ÷ = , , então a transformada de ( ) t f é chamada de Transformada de Laplace. Se ( ) iwt e t w g ± = , , a transformada de ( ) t f é chamada de Transformada de Fourier de ( ) t f . A transformada de Laplace transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica, facilitando a sua resolução. Estudos mais aprofundados das transformadas integrais, bem como das equações diferenciais serão efetuados em outras disciplinas mais específicas. 1.3.4 Função Gama e Função Fatorial Definida pelo matemático Leonard Euler, a função Gama é definida através da seguinte integral imprópria: I( n ) = í · ÷ ÷ 0 1 dx e x x n I é uma função convergente quando n >0. Por exemplo: Para n =1: I(1) = í · ÷ ÷ 0 1 1 dx e x x = í · ÷ 0 dx e x = í ÷ · ÷ b x b dx e 0 lim = b x b e 0 1 lim ÷ · ÷ = | . | \ | ÷ · ÷ b b e 1 1 lim = 1. Este assunto será estudado de forma mais detalhada em um capítulo posterior, onde será mostrado, entre outras coisas, que I | . | \ | 2 1 = t e apresentada uma fórmula conhecida por “Fórmula de Recorrência”, que é: I( n +1) =n I( n ) =n ! ( n =1, 2, 3, .). Desta forma, a função gama generaliza a função fatorial, sendo possível estender as definições destes para todo número real pertencente ao conjunto 9 ÷ {0, ÷1, ÷2, .}. Além de aplicações na estatística, a função Gama também possibilita o cálculo de diversas integrais que seriam complicadas de serem resolvidas por métodos convencionais, como por exemplo: í · ÷ 0 2 dx e x 2 t , ¬ í · ÷ ÷ 0 1 dx e x x n = I( n ) u = 2 x ¬du =2 x dx ¬dx = 1 2 1 ÷ x du x = 2 1 u ¬dx = 2 1 2 1 ÷ u du . í · ÷ 0 2 dx e x = í · ÷ ÷ · 0 2 1 2 1 du u e u = í · ÷ ÷ 0 1 2 1 2 1 du e u u = 2 1 I( 2 1 ) = 2 1 t . 1.3.5 Integrais Impróprias no Campo da Economia São muitas as aplicações das integrais impróprias na economia. Por exemplo, suponha que exista um fluxo contínuo de receita para o qual o juro é acumulado continuamente à taxa de 100 i por cento e ( ) t f reais é a receita por ano, em qualquer tempo de t anos. Se a receita continuar indefinidamente, o valor atual, V reais, de toda receita futura é dado pela seguinte integral imprópria: ( ) dt e t f V it ÷ · + í = 0 . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-17 1.4 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software MAPLE Na seqüência apresentamos um exemplo do uso do MAPLE para resolver integrais impróprias: Calcule a integral ( ) ( ) dx x x x í · + + · ÷ + 2 2 1 1 3 Inserimos os dados da seguinte forma: >f : = (x+3) / ( (x-1)*(x^2+1) ); Na sequência utilize o comando de integração >int(f, x=2..infinity); O Software MAPLE fornece a resposta: ( ) ( ) 2 arctan 5 ln 2 1 + + t ÷ . Para se obter o valor numérico desta expressão, podemos utilizar o comando de cálculo evalf, especificando o número de dígitos, da seguinte forma: >evalf(“,6); O símbolo (“) indica ao computador para calcular o valor da última expressão da tela, neste caso ( ) ( ) 2 arctan 5 ln 2 1 + + t ÷ . Assim, o valor fornecido será 1,14579. 1.5 Exercícios Propostos Resolva os seguintes exercícios sobre integrais impróprias: 20. Calcular í · ÷ 0 dx e x Resolução: Resposta: 1 21. Calcular í · ÷ 0 dx xe x Resolução: Resposta: 1 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-18 22. Calcular í ÷ · ÷ 1 2 x dx Resolução: Resposta: 1 23. Calcular í · + · ÷ + 2 4 1 x dx Resolução: Resposta: 2t 24. Calcular í t 2 0 sin cos dx x x Resolução: Resposta: 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-19 25. Calcular í ÷ 2 0 2 4 x dx Resolução: Resposta: 2 t 26. Calcular í ÷ 2 0 2 x dx Resolução: Resposta: DIVERGE 27. Calcular í ÷ 1 1 4 x dx Resolução: Resposta: DIVERGE 28. Calcular í · + · ÷ + + 9 4 2 x x dx Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-20 Resposta: 5 t 29. Determine k para que se tenha í · + · ÷ dx e x k = 2 1 . y x Gráfico da função 1 para <0 k í +· · ÷ dx e x k Obs: í · + · ÷ dx e x k = 2 1 ¬ k < 0 Resolução: Resposta: 4 ÷ = k Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-21 30. Utilize o teste da comparação para concluir se as integrais seguintes convergem ou divergem: a) dx x x í · + 1 2 2 sin Resolução: Resposta: CONVERGE b) dx x í · + ÷ 1 2 1 0 1 , Resolução: Resposta: DIVERGE Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-1 2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 2.1 Como as abelhas se comunicam? Lionel S. Gonçalves-FFCLRP-USP-Ribeirão Preto-SP As abelhas são insetos que pertencem à ordem dos Himenóptera, tendo surgido na face da terra há mais de 50 milhões de anos (Figura a seguir) e sempre presentes em civilizações antigas como dos gregos e egipcios, há mais de cinco séculos (Figura seguinte). Existem abelhas solitárias, semi-sociais e sociais, sendo a comunicação o principal fator que as distingue quanto a sua sociabilidade. A comunicação entre elas é tanto mais elaborada e complexa quanto mais evoluído e social for seu grupo. As abelhas sem ferrão (Meliponas) e as abelhas do mel, ou Apis mellifera são as mais evoluidas. A comunicação é a troca ou transferência de mensagens ou informações entre dois ou mais seres vivos. Para que isso ocorra há a necessidade de um código prévio de sinais ou informações que constituirão a base da linguagem a ser usada na comunicação. Esses sinais podem ser físicos, químicos, biológicos ou uma combinação deles apresentados na forma de reações do organismo, movimentos, produção de substâncias (feromônios) etc. A comunicação pode apresentar tal complexidade que o próprio ser humano muitas vezes é incapaz de interpretar o significado de certos sinais usados na linguagem dos animais. Entre os diversos aspectos da vida dos animais talvez a comunicação seja o que mais fascina os cientistas. Neste aspecto destacamos o pesquisador austríaco Karl von Frisch, que após 50 anos de estudos sobre comunicação das abelhas, recebeu o Prêmio Nobel de Medicina e Fisiologia em 1973, pelas suas descobertas. A comunicação entre as abelhas pode ser através de sinais químicos ou cheiros, sons ou ruídos e danças ou movimentos rítmicos os quais são usados para comunicarem a localização de alimentos, água, locais de nidificação, presença de inimigos, atração sexual, agregação, abandono do ninho etc. Portanto, as abelhas apresentam linguagem que lhes permitem não apenas se comunicarem entre si como também lhes garantem a sobrevivência da espécie. As Apis mellifera ou abelhas de mel ou abelhas Europa são dotadas de um sistema de comunicação dos mais complexos e precisos entre os animais. Em 1788 o reverendo Ernst Spitzner já havia relatado a existência de movimentos especiais (danças) de algumas abelhas no favo, porém desconhecia o significado dessas danças. A explicação do significado da dança das abelhas deu-se somente a partir de 1920, em Luz am See, na Austria, por Karl von Frisch, que demonstrou, experimentalmente, que as abelhas campeiras, após localizarem uma fonte de alimento, retornam para casa (colmeia) e informam às companheiras, com grande precisão, onde se encontra a fonte de alimento. Estas informações são transmitidas por intermédio de danças especiais (Figura a seguir) que indicam a direção e a distância onde se encontra a fonte de alimento (von Frisch, 1953). Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-2 Sol Colméia Árvores Flôres 60 o 60 o Dança do requebrado Existem três tipos de danças: “dança em círculo”, “dança em foice” e “dança do requebrado” (Figura seguinte) (von Frisch & Lindauer, 1956). Segundo esses mesmos autores existem inclusive dialetos na comunicação das abelhas. Quando a fonte de alimento se encontra a pequenas distâncias da colméia é executada a dança em círculo. Quando a fonte se encontra a grandes distâncias é executada a dança do requebrado, e a distâncias intermediárias é executada a dança em foice. A abelha utiliza o sol como sua bússola, sendo extremamente importante sua localização para que seja informado o local da fonte de alimento (árvore com flores). As abelhas enxergam o sol mesmo através das nuvens (raios ultravioletas). No entanto, não necessitam ver o sol enquanto dançam, podendo executar as danças mesmo no escuro, no interior da colméia. Por outro lado, as abelhas são capazes de se orientar mesmo após o por do sol. Na “dança do requebrado” a abelha, após chegar da fonte de alimento, procura se comunicar com as companheiras no favo, inicialmente oferecendo alimento (trofalaxis) e a seguir executa movimentos rítmicos do abdômen. A direção em que a dança é feita no favo, em relação ao fio de prumo, fornece um ângulo que corresponde exatamente ao ângulo formado entre a fonte de alimento (árvore com flor), posição do sol e colméia. À medida que o sol se movimenta a abelha corrige o ângulo correspondente. As abelhas operárias que assistem a dança, ao saírem da colméia, localizam a fonte de alimento, tomando por base o ângulo informado na dança. Se o ângulo é de 45 graus a direita do fio de prumo, se orientam com ângulo de 45 graus à direita do sol para localizar o alimento. A distância é informada pelo som produzido pelas vibrações do abdômen. Ao se aproximarem da flor elas usam as células sensoriais (sensillas) localizadas nas suas antenas que captam os sinais químicos ou cheiros. Os olhos compostos (omatídeos) e olhos simples (ocelos) auxiliam na localização exata da fonte de alimento. Foice Requebrado Círculo Gonçalves (1969) comprovou experimentalmente que as abelhas Apis mellifera usam tanto o cheiro (67%) como a dança (33%) para se comunicar. As abelhas sem ferrão não realizam danças, comunicando-se por sinais sonoros e sinais químicos (trilhas de cheiros) (Kerr, 1960; Kerr & Esch, 1965 e Lindauer & Kerr, 1960). As mamangavas (Bombus) não produzem sons nem danças, sendo as abelhas mais primitivas quanto a comunicação. Portanto, graças ao complexo sistema de órgãos sensoriais (antenas, olhos) e das danças, as abelhas Apis mellifera apresentam um dos mais perfeitos sistemas de comunicação entre os animais. A vida das abelhas é tão fascinante que desde o início da civilização elas estavam presentes entre os povos de cultura, sendo consideradas pelos gregos e egípcios, há mais de 500 anos antes de Cristo, como o “Símbolo do bem estar”. Mesmo hoje em qualquer parte do Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-3 mundo, são encontrados estudiosos que procuram entender cada vez mais o maravilhoso mundo organizado desses importantes insetos que tantos benefícios trazem ao homem. 2.2 Coordenadas Polares O sistema de coordenadas mais utilizado é o cartesiano. Porém, existem outros sistemas de coordenadas que podem ser usados. Um deles que pode ser comparado em importância ao sistema de coordenadas cartesianas é o sistema de coordenadas polares. No sistema de coordenadas polares no plano, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a um raio fixo (semi-eixo). O ponto fixo é chamado pólo (origem) representado pela letra “O”. O raio fixo é chamado de eixo polar (reta polar) representado por “Ox”. A cada ponto P do plano, são associadas suas coordenadas polares (p,u) que consistem em: p = Distância do pólo O ao ponto P. u = Ângulo entre o eixo polar e a reta OP. u p x P O Exemplos 1. Represente no plano os pontos ) , ( u p onde: ) , ( 0 1 A , ) , ( 0 1 ÷ B , | . | \ | t 4 2, C , | . | \ | t ÷ 4 , 1 D , | . | \ | t 3 2, E , | . | \ | t 6 5 , 3 F e | . | \ | t ÷ 3 8 , 3 G . Resolução: 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-4 2. Represente no plano os pontos ) , ( u p onde: ) 2 , 1 ( t ÷ ÷ A , ) 3 , 3 ( t B , | . | \ | t 4 7 , 2 C , | . | \ | t ÷ ÷ 4 3 , 2 3 D , | . | \ | t ÷ 6 , 2 E , | . | \ | t ÷ 6 31 , 3 F e | . | \ | t ÷ 4 5 , 2 G . Resolução: 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: 2.2.1 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares Para a representação do mesmo ponto em coordenadas cartesianas e coordenadas polares vamos tomar o ponto O como origem dos dois sistemas. Tome também o eixo polar coincidindo com o eixo “Ox”. Se P não coincidir com o pólo (origem), temos: u p x P O y ¹ ´ ¦ u p = u p = sin cos y x · ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ | . | \ | = u ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ + = u + = u + = p x y y x y y x x y x arctan sin cos 2 2 2 2 2 2 ) , ( u p é o ponto em coordenadas polares. ) , ( y x é o ponto em coordenadas cartesianas. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-5 Definição Uma função em coordenadas polares é uma relação que associa a cada ângulo u (medido em radianos) um único real p (que pode ser negativo). Representa-se por: p = ) (u f Existem alguns casos especiais de funções em coordenadas polares que serão tratados a seguir. 2.2.2 Caso Geral da Espiral de Arquimedes p =a u ( ¬ a =0; a e9) 3. Construir o gráfico da função: p = u, para 0 s u s 2t. u 0 4 t 2 t 3 2t t 4 5t 2 3t 4 7t 2t p 0 4 t 2 t 3 2t t 4 5t 2 3t 4 7t 2t p ~ 0 0,8 1,6 2,1 3,1 3,9 4,7 5,5 6,3 Resolução: 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: 2.2.3 Constante p = R (constante) é um círculo de raio R . R Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-6 2.2.4 Caso Geral da Cardióide O gráfico de qualquer uma das equações polares seguintes, com a =0, é uma CARDIÓIDE: p =a (1+ u cos ) p =a (1÷ u cos ) p =a (1+ u sin ) p =a (1÷ u sin ) 4. Construir o gráfico da função: p = 2 + 2 u cos (cardióide). Resolução: u 0 6 t 4 t 3 t 2 t 3 2t 4 3t 6 5t t p p ~ 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: 2.2.5 Caso Geral do Caracol Se a e b não são nulos, então os gráficos das equações polares seguintes são CARACÓIS. p =a + u cos b , p =a + u sin b . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-7 5. Construir o gráfico da função: p = 2 + 4 u cos (caracol). Resolução: u 0 6 t 4 t 3 t 2 t 3 2t 4 3t 6 5t t p p ~ 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: 2.2.6 Caso Geral da Rosácea Qualquer uma das equações abaixo representa uma rosácea, considerando as condições seguintes: ¬ a =0; a e9 e ¬ n >1; n eN p = u n asin p = u n acos O gráfico consiste em um certo número de laços pela origem. - Se n é par, há 2 n laços; - Se n é ímpar, há n laços. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-8 6. Construir os gráficos das rosáceas nos itens a) e b). Rosáceas de quatro pétalas (folhas): a) p = 3 u 2 sin Resolução: u 0 6 t 4 t 3 t 2 t 3 2t 4 3t 6 5t t p ~ 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: b) p = 3 u 2 cos Resolução: u 0 6 t 4 t 3 t 2 t 3 2t 4 3t 6 5t t p ~ 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-9 7. Se considerarmos o quadrado do primeiro termo na rosácea seguinte, temos: p 2 = 4 u 2 cos (Lemniscata de Bernoulli). Dicas para fazer o gráfico: p = 2 u 2 cos 0 s u 2 cos s 1 Tome Dp como o domínio de p tal que: Dp = {ueR; ÷ 2 t + 2nt s 2u s 2 t + 2nt, com neZ} Dp = {ueR; ÷ 4 t + nt s u s 4 t + nt, com neZ} Resolução: u 0 6 t 4 t 3 t 2 t 3 2t 4 3t 6 5t t p ~ 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: 2.3 Gráficos diversos em coordenadas polares 2.3.1 Equação do pólo (origem) 2.3.2 Equação que passa pela origem p = 0 u = r (r constante) u = 6 t ou u = 6 7t 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-10 2.3.3 Retas paralelas e perpendiculares ao eixo polar a) p·senu = b p·sinu = 3 ou p = u sin 3 p·sinu = ÷3 ou p = ÷ u sin 3 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 b) p·cosu = a p·cosu = 3 ou p = u cos 3 p·cosu = ÷3 ou p = ÷ u cos 3 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2.3.4 Algumas circunferências a) p = r (constante) p = 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 b) p = 2a·cosu p = 4cosu ¬ (a > 0) p = ÷4cosu ¬ (a < 0) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-11 c) p = 2b·sinu p = 4sinu ¬ (b > 0) p = ÷4sinu ¬ (b < 0) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2.3.5 Limaçons p = a ± b·cosu ou p = a ± b·sinu, onde a, b e R. a) Se b > a ¬ a curva tem um laço p = 1 + 2cosu p = 1 ÷ 2cosu 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 p = 1 + 2sinu p = 1 ÷ 2sinu 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 b) Se b < a ¬ a curva não tem laço p = 3 + 2cosu p = 3 ÷ 2cosu 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-12 p = 3 + 2sinu p = 3 ÷ 2sinu 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2.3.6 Cardióides São limaçons onde a = b. p = a·( 1 ± cosu) ou p = a·( 1 ± sinu), onde a e R. p = 2(1 + cosu) p = 2(1 ÷ cosu) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 p = 2(1 + sinu) p = 2(1 ÷ sinu) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2.3.7 Lemniscata de Bernoulli 2.3.8 Espiral de Arquimedes p 2 = a 2 ·cos(2u), onde a e R. p = a·u, onde a > 0. p 2 = 4·cos(2u) p = u (Obs: 0 s u s 4t) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-13 2.3.9 Rosáceas p = a·cos(n·u) ou p = a·sin(n·u), onde a e R e n e N. p = 3·cos(2u) p = 3·sin(2u) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 p = 4·cos(3u) p = 4·sin(3u) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 p = 4·cos(4u) p = 4·sin(4u) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 p = 4·cos(5u) p = 4·sin(5u) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 p = 4·cos(6u) p = 4·sin(6u) 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-14 2.4 Áreas em Coordenadas Polares Vamos iniciar determinando a área em um setor circular e depois, desenvolver para coordenadas polares. 2.4.1 Área de um Setor Circular Área de um setor circular de raio r e abertura Au que será calculada através de uma regra de três simples: Au Setor p Área Total (At) = tp 2 Área Setor (As)= ? At – 2t tp 2 – 2t As – Au As – Au As = t u A · tp 2 2 = 2 2 u A · p As = 2 1 p 2 Au 2.4.2 Áreas em Coordenadas Polares (dedução) Seja f uma função contínua e não-negativa no intervalo fechado [o , |]. Seja R uma região limitada pela curva cuja equação é p = f(u) e pelas retas u = o e u = |. Então, a região R é a que está mostrada na figura seguinte. u f | o p | = u=o = R ( ) u O Considere uma partição A de [o , |] definida por: o = u 0 < u 1 < u 2 < . < u i÷1 < u i < u i+1 < . < u n÷1 < u n = |. Desta forma, definimos n subintervalos do tipo [u i÷1 , u i ], onde i = 1, 2, ., n. u f p | = u=o = ( ) u O A i u= u i u i ÷ ÷1 u i u i÷1 ( ) A medida em radianos do ângulo entre as retas u = u i÷1 e u = u i é denotada por A i u. Tome c i como sendo um valor de u no i-ésimo subintervalo e considere f(c i ) o raio do setor circular neste subintervalo, como mostra a figura seguinte. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-15 u f p | = u=o = ( ) u O A i u c i u i÷1 f ( ) Raio do setor c i Como foi visto anteriormente, a área do setor é dada por: | | u A c i i f 2 ) ( 2 1 Existe um setor circular para cada um dos n subintervalos. A soma das medidas das áreas é: | | u A c 1 2 1 ) ( 2 1 f + | | u A c 2 2 2 ) ( 2 1 f +.+ | | u A c i i f 2 ) ( 2 1 +.+ | | u A c n n f 2 ) ( 2 1 Que pode ser escrita através da somatória: | | ¯ = u A c n i i i f 1 2 ) ( 2 1 Tome A como a área da região R e seja A a norma da partição A, isto é, A é o maior valor de A i u. Então a área é definida como: A = | | ¯ = ÷ A u A c n i i i f 1 2 0 ) ( 2 1 lim Este limite é a seguinte integral definida: A= | | í | o u u d f 2 2 1 ) ( Teorema Se f é contínua e f (u) > 0 em [o, |], onde 0 s o < | s 2t, então a área A da região delimitada pelos gráficos de p = f (u), u = o e u = | é dada por: A= | | í | o u u d f 2 2 1 ) ( = í | o u p d 2 2 1 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-16 Exemplos 8. Calcule a área da região delimitada pela lemniscata de Bernoulli, de equação p 2 =4 u 2 cos . Resolução: 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: A = 4 u.a. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-17 9. Calcular a área da região interna à rosácea p = u 2 sin a . Resolução: 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resposta: A= 2 2 a t u.a. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-18 10. Calcular a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas p=3 u cos e p=1+ u cos . Resolução: Tipo de curva u 0 6 t 4 t 3 t 2 t 3 2t 4 3t 6 5t t Circunferência 3 u cos p ~ Cardióide 1+ u cos p ~ 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-19 Resposta: A= 4 5t u.a. 11. Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares por p = u tg , com 0 s u < 2 t , pela reta x = 1 (coordenadas cartesianas) e pelo eixo polar. Dica para a resolução: Considere 1 A (u) como sendo a área da região composta pelo triângulo OMP, dado na figura abaixo. tg p= u O 2 t 3 t 4 t t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 1 x x=1 Reta: t 6 x = u tg p= u 3 t O 1 M 3 P 3 cos u p sen u p 4 t x = u tg p= u O 1 M 2 P 2 sen u p cosu p t 6 x = u tg p= u O 1 M 1 P 1 cosu p sen u p Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-20 Resposta: 4 t u.a. 2.5 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto Em coordenadas cartesianas já foi estudado o volume a seguir: V = | | í t b a dx x f 2 ) ( a x f x ( ) y b Vamos tomá-lo como base e fazer o equivalente para coordenadas polares. 2.5.1 Volume em Coordenadas Polares O volume do sólido formado pela rotação da curva p = ) (u f , definida no intervalo [o,|], pode ser dado através das funções paramétricas: ¹ ´ ¦ u p = u p = sin cos y x , com o s u s |. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-21 V = í t b a dx y 2 = í | o u p t dx 2 2 sin mas, dx = (p’ u cos ÷p u sin ) u d então: V = í | o u p t 2 2 sin (p’ u cos ÷p u sin ) u d . Exemplo 12. Calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo polar, da cardióide de equação p = 2·(1 + u cos ). Resolução: Resposta: V = 3 64t u.v. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-22 2.5.2 Fórmula do Volume Simplificada Rotação em torno da reta cuja direção é dada por: - u = 0 (eixo Ox ): V = í | o u u p t d sin 3 2 3 . - u = 2 t : V = í | o u u p t d cos 3 2 3 . 13. Refazer o exemplo anterior, p = 2·(1 + u cos ). Resolução: Resposta: V = 3 64t u.v. 2.6 Diferencial do Comprimento de Arco Como foi feito para o volume, tomaremos como base as coordenadas cartesianas para desenvolver o diferencial do comprimento de arco em coordenadas polares. x O y Ay As dy dx ds 2 ) (ds = 2 ) (dx + 2 ) (dy ¬ ds = 2 2 ) ( ) ( dy dx + Em relação a y = f(x): ¬ ds = dx dx dy dx dx 2 2 | . | \ | + | . | \ | ¬ ds = dx dx dy 2 1 | . | \ | + Em relação a x = g(y): ¬ ds = dy dy dy dy dx 2 2 | | . | \ | + | | . | \ | ¬ ds = dy dy dx 2 1 | | . | \ | + Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-23 Mas o que queremos desenvolver é para coordenadas polares: Em relação a p = f(u): ¬ ds = u | . | \ | u + | . | \ | u d d dy d dx 2 2 Mas ¹ ´ ¦ u p = u p = sin cos y x , então: u d dx = u p d d u cos ÷p u sin e u d dy = u p d d u sin +p u cos I ¬ 2 | . | \ | u d dx = 2 | . | \ | u p d d u 2 cos ÷2 u p d d u cos ·p u sin +p 2 u 2 sin II ¬ 2 | . | \ | u d dy = 2 | . | \ | u p d d u 2 sin +2 u p d d u sin ·p u cos +p 2 u 2 cos Somando I com II: I+II ¬ 2 | . | \ | u d dx + 2 | . | \ | u d dy = 2 | . | \ | u p d d + p 2 já que u 2 sin + u 2 cos =1. Logo: ds = u | . | \ | u p + p d d d 2 2 ou ds = u p + p d 2 2 ) ' ( Com este desenvolvimento, podemos calcular o comprimento de um arco e também a área da superfície de sólidos de revolução, tomando como base os estudos em coordenadas cartesianas, adaptando para coordenadas polares. 2.6.1 Comprimento de Arco Se u p d d for contínua em [o,|], então o comprimento da curva p = ) (u f , com o s u s |, é dado por: L = í | o ds = í | o u p + p d 2 2 ) ' ( Como uma variação do comprimento de arco, vamos definir também a função comprimento de arco em coordenadas polares. Definição Tome a função p = ) (u f , com o s u s | e seja ) (u s a distância ao longo da curva ) (u f do ponto inicial P 0 (o , f(o)) ao ponto P(u , ) (u f ). Então s é uma função, chamada função comprimento de arco e é dada por: ) (u s = í u o + p dt t f 2 2 )] ( ' [ A mudança da variável de integração para t tem como objetivo não dar dois significados para a variável u. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-24 2.7 Área da Superfície de Sólidos de Revolução Uma superfície de revolução é formada quando uma curva é girada ao redor de uma reta. Tal superfície é a fronteira lateral de um sólido de revolução. Queremos definir a área da superfície de revolução de tal maneira que ela corresponda a nossa intuição. Podemos pensar em descascar uma camada externa muito fina do sólido de revolução e torna-la plana de modo que possamos medir sua área. Ou, se a área da superfície for A, podemos pensar que para pintar a superfície seria necessário a mesma quantidade de tinta que para pintar uma região plana com área A. 2.7.1 Dedução da Fórmula Cartesiana Vamos tomar como superfície aproximadora do sólido de revolução, faixas. Cada qual formada pela rotação de um segmento de reta ao redor de um eixo. Para encontrar a área da superfície cada uma dessas faixas pode ser considerada como uma porção de um cone circular (tronco de cone regular), como mostra a figura seguinte, com geratriz g e raios superior e inferior r 1 e r 2 respectivamente, é calculada pela subtração das áreas laterais dos dois cones: V o | 1 h 2 h O r O r 1 2 g h t C 2 r g superfície lateral base r r 1 2 2 t C 2 r 1 B base b 2 1 A área lateral do tronco de cone ( l A ) é igual à área do trapézio de altura g, base menor 1 C =2t 1 r e base maior 2 C =2t 2 r . l A = 2 g ( 1 C + 2 C ) ¬ l A = 2 g (2t 1 r +2t 2 r ) ¬ l A =tg( 1 r + 2 r ) Sendo r o raio médio da faixa (tronco de cone), temos: r = 2 2 1 r r + ¬ 2r = 1 r + 2 r l A =tg·( 1 r + 2 r ) ¬ l A =tg·(2r) Logo: l A =2trg Estendendo o conceito de área para superfície obtida pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de uma função f, com derivada contínua e f(x) > 0 em [a , b]. Vamos considerar uma partição A de [a , b] definida por: a = x 0 < x 1 < x 2 < . < x i÷1 < x i < x i+1 < . < x n÷1 < x n = b. Desta forma, definimos n subintervalos do tipo [x i÷1 , x i ], onde i = 1, 2, ., n com larguras Ax i . Tome c i como sendo o valor médio de x no i-ésimo subintervalo, ou seja, 2 1 i i i x x + = c ÷ . O segmento de reta i i P P 1 ÷ é tangente ao gráfico de f no ponto ( ) ) ( , i i f c c , sendo ( ) i i f o = c tan ' . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-25 Ao girar i i P P 1 ÷ ao redor do eixo x, o resultado é uma faixa (um tronco de cone) com geratriz g = i i P P 1 ÷ e raio médio ( ) i f c . Desta forma, a área da superfície é dada por: l A =2trg ¬ ) ( i l A c =2t ( ) i f c i i P P 1 ÷ sendo ) ( i l A c a área lateral do tronco de cone, raio médio ( ) i f c no subintervalo i x A . x = O P 1 i ÷ P i x 1 i ÷ x i c i o i y f ( ) x Então i i P P 1 ÷ = i i x o A cos = i o sec i x A = ( ) | | i i x f A c + 2 ' 1 Substituindo i i P P 1 ÷ na área do tronco de cone, temos: ) ( i l A c =2t ( ) i f c ( ) | | i i x f A c + 2 ' 1 Se i x A for suficientemente pequeno, esta área será uma boa aproximação para a área da superfície gerada pela rotação da parte da função limitada entre as retas 1 ÷ = i x x e i x x = . Desta forma podemos tomar como aproximação completa da área da superfície de revolução o somatório seguinte: ¯ = c n i i l A 1 ) ( Reconhecendo que a somatória anterior é uma soma de Riemann para a função ) ( i l A c , contínua em [a , b], tome i x x A = A max e teremos: ¯ = ÷ A c n i i l x A 1 0 ) ( lim = ( ) ( ) | | ¯ = ÷ A A c + c t n i i i i x x f f 1 2 0 ' 1 2 lim = ( ) ( ) | | í + t b a dx x f x f 2 ' 1 2 Assim, definimos a área S da superfície obtida pela rotação do gráfico de f em torno do eixo x por: S = í | . | \ | + t b a dx dx dy y 2 1 2 Se a curva é descrita como ) ( y g x = , com y e [c , d], temos a fórmula equivalente: S = í | | . | \ | + t b a dy dy dx x 2 1 2 Considerando o diferencial do comprimento de arco ( ds ), dado anteriormente, temos: ds = dx dx dy 2 1 | . | \ | + ou ds = dy dy dx 2 1 | | . | \ | + Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-26 Daí, temos a rotação em torno dos eixos: - Eixo x: S = í t b a yds 2 - Eixo y: S = í t b a xds 2 2.7.2 Área da Superfície de Sólidos de Revolução na Forma Polar Tome a função p = ) (u f , em coordenadas polares, com o s u s |, de tal forma que u p d d seja contínua em [o,|]. Para as coordenadas polares, faremos as adaptações feitas anteriormente. Temos que: ¹ ´ ¦ u p = u p = sin cos y x e ds = u | . | \ | u p + p d d d 2 2 ou ds = u p + p d 2 2 ) ' ( . Então: Rotação em torno da reta cuja direção é dada por: - u = 0 (eixo polar) S = 2t í | o yds = 2t í | o u p + p u p d 2 2 ) ' ( sin - u = 2 t S = 2t í | o xds = 2t í | o u p + p u p d 2 2 ) ' ( cos Exemplos 14. Achar o comprimento total da cardióide de equação p = 1÷ u cos . 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-27 Resposta: L = 8 u.c. 15. Considerando a mesma equação p = 1÷ u cos , calcular a área da superfície formada pela rotação em torno do eixo polar. Resolução: Resposta: S = 5 32t u.a. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-28 2.8 Exercícios 16. Encontre a área da região no plano limitada pela cardióide ) cos 1 ( 2 u + = r . 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resolução: Resposta: t = 6 A u.a. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-29 17. Encontre a área dentro do laço menor do caracol 1 cos 2 + u = r . 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resolução: Resposta: ( ) 2 3 3 ÷ t = A u.a. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-30 18. Encontre a área da região que está dentro do círculo 1 = r e fora da cardióide u ÷ = cos 1 r . 2 t 3 t 4 t t 6 t 3 t 2 4 t 3 6 t 5 6 t 7 4 t 5 3 t 4 3 t 5 4 t 7 6 t 11 2 t 3 t 0 2 Resolução: Resposta: . . 4 2 a u A | . | \ | t ÷ = Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-1 3 Integrais Eulerianas 3.1 Leonhard Euler Matemático suíço, que viveu entre 1707 e 1783. Euler apresentou uma valiosa contribuição para o uso da geometria das coordenadas no espaço tridimensional. Este apresentou equações gerais para três classes de superfícies (cilindros, cones, superfícies de revolução). Euler escreveu duas notas sobre o sistema de coordenadas polares tão perfeitas e sistemáticas que por vezes dá-se o nome de “sistema Euler”. Ao nos referirmos a Leonhard Euler estamos falando do escritor de matemática mais produtivo de todos os tempos. Com 886 trabalhos publicados, a maioria deles no final de sua vida, quando já estava completamente cego, Euler foi tão importante não apenas para a matemática, mas também a física, engenharia e astronomia. Para se ter uma idéia, a Academia de Ciências de São Petersburgo continuou a publicar trabalhos novos de Euler por mais de 30 anos depois da sua morte. Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão: a introdução da função gama, a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante. Euler foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele as notações f(x) para uma função, e para a base do logaritmo natural, i para a raiz quadrada de ÷1, ¯ para a somatória, y d n para derivadas de graus elevados, entre muitas outras. Um acontecimento interessante: Euler foi um cristão por toda a sua vida e frequentemente lia a Bíblia a sua família. Uma história sobre sua religião durante sua estada na Rússia envolve o dito filósofo ateu Diderot. Diderot foi convidado à corte por Catarina, mas tornou-se inconveniente ao tentar converter todos ao ateísmo. Catarina pediu a Euler que ajudasse, e Euler disse a Diderot, que era ignorante em matemática, que lhe daria uma prova matemática da existência de Deus, se ele quisesse ouvir. Diderot disse que sim, e, conforme conta De Morgan, Euler se aproximou de Diderot e disse, sério, em um tom de perfeita convicção: “ x n bn a = + , portanto, Deus existe”. Diderot ficou sem resposta, e a corte caiu na gargalhada. Diderot voltou imediatamente à França. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-2 3.2 Função Gama () Definida pelo matemático Leonard Euler, a função gama representada por I(n), é definida por: I(n) = í · ÷ ÷ 0 1 dx e x x n I(n) é uma função convergente quando n > 0. Demonstração: Coleção Schaum (18: pág. 354) Para n =1: I(1) = í · ÷ ÷ 0 1 1 dx e x x = í · ÷ 0 dx e x = í ÷ · ÷ b x b dx e 0 lim = b x b e 0 1 lim ÷ · ÷ = | . | \ | ÷ · ÷ b b e 1 1 lim = 1 3.2.1 Fórmula de Recorrência I(n +1) = n I(n) Esta expressão pode determinar I(n) para todo n > 0. Em particular, se n é um número inteiro positivo, então: I(n +1) = nI(n) = n! (n =1, 2, 3, .). A função gama generaliza a função fatorial. Desenvolvimento I(n +1) = í · ÷ ÷ + 0 1 1 dx e x x n = í · ÷ 0 dx e x x n Integração por partes: í í ÷ = vdu uv udv . u = x n ¬ du= dx nx n 1 ÷ dv = dx e x ÷ ¬ v = x e ÷ ÷ . I(n +1) = í · ÷ 0 dx e x x n = í ÷ · ÷ b x n b dx e x 0 lim = í · ÷ b b udv 0 lim = | | b b uv 0 lim · ÷ ÷ í · ÷ b b vdu 0 lim I(n +1) = . 0 0 lim ÷ · ÷ ÷ b x n b e x + í ÷ ÷ · ÷ b x n b dx e x n 0 1 lim I(n +1) = í · ÷ ÷ 0 1 dx e x n x n = nI(n) Então, por recorrência: I(2) =1·I(1) =1·1 = 1! I(3) =2·I(2) =2·1 = 2! I(4) =3·I(3) =3·2·1 = 3! . I(n +1) = nI(n) = n·(n ÷1)·.·3·2·1 = n! Logo: I(n +1) = nI(n) = n! Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-3 3.2.2 Função Gama para 1 0 < < n Para 0 < n < 1, obtém-se a relação dos complementos dada por: I(n)·I(1÷ n) = t t n sin n = 2 1 I | . | \ | 2 1 ·I | . | \ | 2 1 = 2 sin t t = t 2 2 1 | . | \ | I = t ¬ I | . | \ | 2 1 = t . Então: I | . | \ | 2 1 = t I | . | \ | 2 3 = | . | \ | ÷1 2 3 I | . | \ | 2 1 = 2 1 · t = 2 t Exercício 1. Com base no que já foi dado, determine os valores de: I | . | \ | 2 5 , I | . | \ | 2 7 e I | . | \ | 2 13 . Resolução: Resposta: 4 3 t , 8 15 t e 64 10395 t 3.2.3 Função Gama para 0 < n Da relação de recorrência I(n +1) = nI(n), que toma I(n) como definição para n > 0, podemos generalizar a função gama para n < 0, isolando I(n): I(n) = n n ) 1 ( + I Então: I | . | \ | ÷ 2 1 = ( ) 2 1 2 1 1 ÷ + ÷ I = ( ) 2 1 2 1 ÷ I = ) ( 2 1 ÷ t = ÷2 t Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-4 Exercício 2. Determine os valores de: I | . | \ | ÷ 2 3 , I | . | \ | ÷ 2 5 e I | . | \ | ÷ 2 13 . Resolução: Resposta: 3 4 t , ÷ 15 8 t e ÷ 135135 128 t 3.2.4 Gráfico da Função Gama f (n) = I(n) D( f ) = 9 ÷ {0, ÷1, ÷2, .} 1 2 3 4 0 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 n Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-5 Observação A função ) (n I 1 está definida para todo ne9 e se anula nos pontos 0, ÷1, ÷2, ., pois I(n) é infinita. Em outras palavras, a singularidade que a função teria nos pontos pode ser removida pondo o valor da função como sendo 0. f (n) = ) (n I 1 . 1 2 3 4 0 -1 -2 -3 -4 -1 -2 1 2 3 4 n 3.3 Função Beta (|) Gabriele Veneziano (Florença, 7 de Setembro de 1942) é um físico teórico italiano. Era pesquisador do CERN no ano de 1968, onde estudava certas propriedades da força nuclear forte. Até então viera trabalhando nesse problema quando descobriu que a função beta de Euler servia para descrever muitas propriedades das partículas sob a influência da força nuclear forte. Entretanto, a explicação por que a função beta servia tão bem só foi descoberta dois anos depois, em 1970, pelos trabalhos de Leonard Susskind, da Universidade de Stanford, de Holger Nielsen, do Instituto Niels Bohr, e de Yochiro Nambu, da Universidade de Chicago, dando uma explicação em função da hipótese que veio a ser a origem da teoria das cordas. Definição |(m, n) = í ÷ ÷ ÷ 1 0 1 1 ) 1 ( dx x x n m |(m, n) é uma função convergente quando m > 0 e n > 0. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-6 3. Determine os valores da função Beta para m e n dados a seguir: a) m = 1 e n = 1; b) m = 2 e n = 1; c) m = 1 e n = 2. Resolução: Resposta: a) 1; b) 2 1 ; c) 2 1 . 3.3.1 Definições Decorrentes - Propriedade Comutativa |(m, n) = |(n, m) - Cálculo Direto |(m, n) = I ÷ = + ÷ 1 0 ) ( )! 1 ( n i i m n - Função Beta em relação à função Gama |(m, n) = ) ( ) ( ) ( n m n m + I I I - Relação dos Complementos: se m + n = 1, com 0 < n < 1 ¬ m = 1 ÷ n, então |(m, n) = |(1 ÷ n, n) = ) 1 ( ) ( ) 1 ( n n n n + ÷ I I ÷ I = I(1 ÷ n)I(n) = t t n sin Exemplos Resolva as seguintes funções Beta: 4. |(3,5) Resolução: Resposta: 105 1 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-7 5. |(3,5) Resolução: Resposta: 105 1 6. |(6,3) Resolução: Resposta: 168 1 7. |(6,3) Resolução: Resposta: 168 1 3.4 Exercícios Utilizando função Gama e função Beta, resolva as seguintes integrais: 8. í · ÷ 0 2 dx e x Resolução: Resposta: 2 1 t 9. í · ÷ 0 2 6 dx e x x Resolução: Resposta: 8 45 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-8 10. í 1 0 2 ln xdx x Resolução: Resposta: ÷ 9 1 11. í 1 0 ln xdx x Resolução: Resposta: ÷ 4 1 12. í ÷ 1 0 3 4 ) 1 ( dx x x Resolução: Resposta: 280 1 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-9 13. Prove que í t ÷ ÷ 2 0 1 2 1 2 ) (cos ) (sin dx x x n m = 2 1 |(m, n) Resolução: Resposta: 14. í t 2 0 3 5 cos sin xdx x Resolução: Resposta: 24 1 15. í t 2 0 6 sin xdx Resolução: Resposta: 32 5t Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-10 16. Prove que ( ) í · + 0 1 dx x x n p m = p 1 | \ | + p m 1 , n ÷ | | . | + p m 1 Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-11 17. Prove que í ÷ a n m dx x a x 0 ) ( = 1 + +n m a |(m + 1, n + 1) Resolução: Resposta: 18. Prove que í ÷ ÷ b a n m dx x b a x ) ( ) ( = 1 + + ÷ n m a b ) ( |( m +1, n +1) Resolução: Resposta: 19. Prove que ( ) í ÷ 1 0 1 dx x x n p m = p 1 | | | . | \ | + + 1 , 1 n p m Resolução: Resposta: 20. Prove que í 1 0 ) (ln dx x x n m = 1 ) 1 ( ) 1 ( + + ÷ n n m ·I(n + 1) Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-12 21. Prove que í · ÷ 0 ) ( dx e x n ax m = 1 1 + m na ·I | . | \ | + n m 1 Resolução: Resposta: 22. í · 0 3 dx e x x Resolução: Resposta: 9 6t 23. í · ÷ · 0 4 dx e x x Resolução: Resposta: 2 3 t 24. ( ) í · + 0 4 4 3 1 dx x x Resolução: Resposta: 8 5t Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-13 25. í t 2 0 4 4 cos sin xdx x Resolução: Resposta: 256 3t 26. í ÷ ÷ 3 1 ) 3 )( 1 ( x x dx Resolução: Resposta: t Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-1 4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n- Dimensionais 4.1 O Espaço Vetorial n Seja n um número natural. O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a 9: 9 n =9×9×9×.×9. Os pontos de 9 n são todas as n-listas X = ( 1 x , 2 x , 3 x ,., n x ) cujas coordenadas 1 x , 2 x , 3 x ,., n x são números reais. Exemplos 1. 9 0 ={0}, espaço de dimensão zero, formado pelo único ponto 0. 2. 9 1 = 9 (reta). 1 2 3 4 0 -1 -2 -3 -4 x P= ( ) x 3. 9 2 =9×9 (plano). 1 2 3 4 0 -1 -2 -3 -4 -1 -2 1 2 x P= ( , ) x y y 4. 9 3 =9×9×9 (espaço tridimensional). 1 2 3 0 2 x P= ( , , ) x y z z 1 1 2 y Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-2 Definição Dados X = ( 1 x , 2 x , 3 x ,., n x ) e Y = ( 1 y , 2 y , 3 y ,., n y ) em 9 n e um número real o, define-se a soma X + Y e o produto o·X por: X + Y = ( 1 x + 1 y , 2 x + 2 y , 3 x + 3 y ,., n x + n y ) o·X = (o· 1 x ,o· 2 x ,o· 3 x ,.,o· n x ) 4.2 Produto Interno em n É uma regra que faz corresponder a cada par de vetores x, y e 9 n um número real, indicado por x , y , tal que, x ¬ , ' x , y e 9 n e oe9, se tenham: - PI.1 x , y = y , x ; - PI.2 x + ' x , y = x , y + ' x , y ; - PI.3 x o , y = o· x , y = x ,o· y ; - PI.4 x =0 ¬ x , x > 0. Então, tendo x = ( 1 x , 2 x , 3 x ,., n x ) e y = ( 1 y , 2 y , 3 y ,., n y ), x , y = 1 x 1 y + 2 x 2 y + 3 x 3 y +.+ n x n y . 4.3 Norma de x n ou Comprimento do Vetor x n | x | = x x, ou | x | = 2 2 3 2 2 2 1 n x x x x + + + + | x | é a representação de norma de x e9 n . Exemplo 5. Em 9 3 , x = ( 1 x , 2 x , 3 x ) e | x | = 2 3 2 2 2 1 x x x + + . = ( ) x ,x ,x x 1 x 2 x 3 1 2 3 x x 4.3.1 Propriedades da Norma Euclideana ( ) x x x , | | = Tome x , y e9 n , oe9 e |o| como valor absoluto de o. - N1 | x + y | s | x | + | y |; - N2 |o·x | = |o|·| x |; - N3 x = 0 ¬ | x | > 0. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-3 Existem várias normas que se podem considerar no espaço euclidiano 9 n . Para xe9 n , tem-se: | x | = x x, (Norma Euclidiana) | x | M = Máx{| 1 x |, | 2 x |, | 3 x |, ., | n x |} (Norma do Máximo) | x | S = | 1 x | + | 2 x | + | 3 x | + . + | n x | (Norma da Soma) As propriedades N1, N2 e N3 também são válidas para | x | M e | x | S . Para todo x e9 n , vale a desigualdade: | x | M s | x | s | x | S s n ·| x | M 4.4 Distância em n A norma em 9 n da origem à noção de distância em 9 n . Dados x, y e9 n , a distância de x a y é definida por: d(x, y) = |x ÷ y| Assim: Distância Euclidiana d(x, y) = | x ÷ y | = 2 2 2 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( n n y x y x y x ÷ + + ÷ + ÷ Distância do Máximo d M (x, y) = | x ÷ y | M = Máx{| 1 x ÷ 1 y |, | 2 x ÷ 2 y |, ., | n x ÷ n y |} Distância da Soma d S (x, y) = | x ÷ y | S = | 1 x ÷ 1 y | + | 2 x ÷ 2 y | + . + | n x ÷ n y | 4.4.1 Propriedades das Distâncias em n Para d, d M e d S tome x, y, z e9 n : - d1 d(x, z) s d(x, y) + d(y, z); - d2 d(x, y) = d(y, x); - d3 x = y ¬ d(x, y) > 0. Exemplos Tome n = 2 e considere d: 9 2 ×9 2 ÷9. Dado x, y e9 2 , sendo x = (9,4) e y = (3,12), calcule: 6. d(x, y) Resolução: Resposta: 10 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-4 7. d M (x, y) Resolução: Resposta: 8 8. d S (x, y) Resolução: Resposta: 14 9. Verifique as desigualdades entre as 3 distâncias. Resolução: Resposta: 4.5 Bolas e Conjuntos Limitados A BOLA ABERTA de centro num ponto a e9 n e raio r > 0 é o conjunto dos pontos xe9 n cuja distância ao ponto a é menor do que r. Notação B(a; r). B(a; r) = {x e9 n ; |x ÷ a| < r} Analogamente define-se a BOLA FECHADA B[a; r] e a ESFERA S[a; r], ambas com centro a e raio r: B[a; r] = {x e9 n ; |x ÷ a| s r}, S[a; r] = {x e9 n ; |x ÷ a| = r}. Exemplo 10. Para n = 2, as bolas no plano para as três distâncias podem ser representadas por: Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-5 4.5.1 Definição: Segmento de Reta O segmento de reta de extremos x, y é o conjunto: [x, y] = {(1÷t)x +ty; 0 s t s 1} 4.5.2 Definição: Conjunto Convexo Um subconjunto X c 9 n diz-se convexo quando contém qualquer segmento de reta cujos extremos pertençam a X, ou seja: x, y eX ¬ [x, y] c X 4.5.3 Definição: Ponto de Acumulação Seja X c 9 n . Um ponto ae9 n chama-se ponto de acumulação do conjunto X quando toda bola aberta de centro a contém algum ponto de X, diferente do ponto a, ou seja: ¬c > 0, -x eX; 0 < |x ÷ a| < c O conjunto dos pontos de acumulação de X é representado pela notação X’, chamado de CONJUNTO DERIVADO de X. 4.5.4 Definição: Conjunto Limitado Um conjunto X c 9 n diz-se limitado quando: - Existe um número real c > 0 tal que | x | < c, ¬x e X; ou - Se, e somente se, está contido em alguma bola. 4.5.5 Definição: Ponto Interior a e9 n é ponto interior de X c 9 n · -r > 0; B(a; r) c X. O conjunto dos pontos interiores de X é representado por intX. 4.5.6 Definição: Ponto Exterior a e9 n é ponto exterior de X c 9 n · -r > 0; B(a; r) · X = C. O conjunto dos pontos exteriores de X é representado por extX. 4.5.7 Definição: Ponto Fronteira a e9 n é ponto fronteira de X c 9 n · ¬r > 0; B(a; r) · X = C e B(a; r) · CX = C. CX é o complementar de X. O conjunto dos pontos fronteira de X é representado por fronX ou IX ou cX. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-6 Exemplos 11. Dado X = {(x, y, z)e9 3 ; 2 x + 2 y + 2 z < 9}, determine os conjuntos intX, extX e fronX. Resolução: Resposta: 12. O mesmo para X = {(x, y, z)e9 3 ; 2 x + 2 y + 2 z = 9}. Resolução: Resposta: Conclusão ¬X c 9 n ; intX extX fronX = 9 n . 4.5.8 Definição: Conjunto Aberto X c 9 n é conjunto aberto ¬ X = intX. 4.5.9 Definição: Conjunto Fechado X c 9 n é conjunto fechado ¬ X = X’. 4.5.10 Definição: Conjunto Conexo Diz-se que X c 9 n é um conjunto conexo se ¬x, y eX, - linha poligonal unindo x e y, totalmente contida em X. Exercícios Tome um conjunto X c 9 n . 13. Se X é convexo, X é conexo? Justifique. Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-7 14. Se X é conexo, X é convexo? Justifique. Resolução: Resposta: 15. Dê um exemplo de X desconexo. Resolução: Resposta: 4.5.11 Definição: Região Aberta Uma região aberta em 9 n é um conjunto conexo ilimitado. 4.5.12 Definição: Região Fechada Uma região fechada em 9 n é um conjunto conexo e limitado. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-8 4.6 Exercícios Dado X c 9 2 nos exercícios seguintes, analise X quanto aos itens a) e b) abaixo: a) Região aberta ou fechada; b) Conjunto aberto ou fechado. 16. X = {(x, y)e9 2 ; x ÷ y > 1} Resolução: Resposta: 17. X = {(x, y)e9 2 ; x ÷ y > 1} Resolução: Resposta: 18. X = {(x, y)e9 2 ; 2 x + 2 y < 1} Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-9 19. X = {(x, y)e9 2 ; 2 x + 2 y s 1} Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-1 5 Funções em Espaços n-Dimensionais 5.1 Introdução Considere os seguintes exemplos: 1. O volume “V” de um cilindro circular é calculado pela expressão: h r V · · t = 2 , sendo que r é o raio da base e h a altura. h r 2. A equação de estado de um gás ideal é dada pela seguinte equação: V T R n P · · = Onde: P= pressão; V= volume; n = massa gasosa em moles; R= constante molar do gás; e T = temperatura. 3. O circuito elétrico da figura que segue tem cinco resistores. A corrente deste circuito depende das resistências 5 , , 1 , = i R i , onde E é a tensão da fonte. Todos estes exemplos representam funções de várias variáveis. Assim, no primeiro exemplo, temos que o volume do cone pode ser indicado por uma função de duas variáveis independentes r e h, indicada por ( ) h r V V , = , e cuja regra é ( ) h r h r V · · t = 2 , . No segundo exemplo, temos que a pressão de um gás ideal pode ser representada pela função de três variáveis independentes V, T e n. Desta forma, a regra da referida função é ( ) V T R n n T V P · · = , , . Finalmente, no último caso, a corrente do circuito pode ser dada por uma função de cinco variáveis independentes 5 4 3 2 1 , , , R e R R R R , isto é: ( ) 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , R R R R R E R R R R R I + + + + = Conforme será visto, o estudo de funções com três ou mais variáveis não difere muito do estudo das funções de duas variáveis. Desta forma, neste estudo trabalharemos mais com Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-2 as funções de duas variáveis independentes, salientando as diferenças fundamentais entre estas funções e as funções de uma única variável independente, além de reforçar as principais analogias existentes entre elas. Definição Seja A um conjunto do espaço n-dimensional n A 9 _ , isto é, os elementos de A são n- uplas ordenadas ( 1 x , 2 x , 3 x ,., n x ) de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associarmos um único elemento 9 e w , temos uma função 9 ÷ 9 _ n A f : . Essa função é chamada de função de n variáveis reais. Simbolicamente: f : n A 9 _ ÷ 9 x ÷ ( ) x f w = ou w= f ( x )= f ( 1 x , 2 x , 3 x ,., n x ). Definição: Domínio de Função Domínio da função f é o conjunto A da definição anterior, isto é, Df = { n A x 9 _ e ; w= f ( x )}. Como para as funções de uma variável, em geral, uma função de várias variáveis também é especificada apenas pela regra que a define. Nesse caso, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos de n x 9 e , para os quais a função está definida. Definição: Imagem de Função Imagem da função f é o conjunto dos números we9 , tais que w= f ( x ). f Im = { we9; w= f ( x )}. Exemplo 4. Determine o domínio e a imagem da função z = f ( x )= 2 2 2 1 9 x x ÷ ÷ definida de 9 2 em 9. Resolução: Resolução: 5. Represente graficamente o domínio da função ( ) ( ) y x y x f ÷ = ln , . Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-3 Resposta: 6. Represente graficamente o domínio da função ( ) 2 2 , y x xy y x f ÷ = . Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-4 Definição: Curva de Nível (Cn) Considere f : 9 2 ÷ 9. O conjunto de pontos x e9 2 onde uma função f ( x ) tem um valor constante f ( x )= f ( 1 x , 2 x )=c é chamado de curva de nível de f . Representação: Cnc. Definição: Gráfico de uma função O conjunto de todos os pontos ( 1 x , 2 x , ) (x f ) no espaço, para x e9 2 no domínio de f , é chamado de GRÁFICO de f . O gráfico de f também é chamado de SUPERFÍCIE w= ) (x f = f ( 1 x , 2 x ). Definição: Curva de Contorno (Cc) A curva no espaço na qual o plano w= c intercepta uma superfície w= f ( x , y ) é chamada de curva de contorno f ( x , y ) =c . Representação: Ccc. Definição: Conjunto de Nível Se f é uma função de n variáveis, ( ) n x x x f f , ... , , 2 1 = e k é um número real, um conjunto de nível de f, é o conjunto de todos os pontos ( ) Df x x x n e , ... , , 2 1 para os quais ( ) k x x x f n = , ... , , 2 1 . Em particular, quando f é uma função de três variáveis independentes, temos as superfícies de nível. Nesse caso, o conhecimento das superfícies de nível, que podem ser visualizadas no espaço tridimensional, ajuda muito a entender o comportamento da função. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-5 Exemplo 7. No exemplo que segue, podemos observar algumas curvas de nível da função ( ) 2 2 100 , y x y x f z ÷ ÷ = = . 8. No exemplo que segue, podemos observar uma curva de nível e uma curva de contorno da função ( ) 2 2 100 , y x y x f z ÷ ÷ = = . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-6 Exemplo 9. Represente graficamente f ( x , y )= 2 2 9 y x ÷ ÷ e trace as curvas de níveis f ( x , y )=0, f ( x , y )= 5 e f ( x , y )= 8 no domínio de f no plano. Resolução: = x y w = w w Cc Cc Cn Cn Cn0 8 5 8 5 5 8 Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-7 5.2 Limites e Continuidade de Funções de n-Variáveis Reais 5.2.1 Limites de Funções em n Definição Seja w= f ( x )= f ( 1 x , 2 x , 3 x ,., n x ) uma função de n variáveis. O LIMITE da função f ( x ), quando x tende a 0 x , é o número real L se, para todo numero real c>0, existe o>0, tal que se x eB( 0 x ;o) então sua imagem f ( x )eB( L;c). Simbolicamente 0 lim x x÷ f ( x )= L · ¬c>0, -o>0; 0<| x ÷ 0 x |<o ¬ | f ( x )÷ L |<c. Caso particular: Limites de Funções de duas variáveis independentes Sejam 9 ÷ 9 c 2 : A f e ( ) 0 0 , y x um ponto de acumulação de A. Dizemos que o limite de ( ) y x f , , quando ( ) y x, se aproxima de ( ) 0 0 , y x é um número real L se, para todo c>0, existir um o>0 tal que | ( ) y x f , ÷ L |<c, sempre que ( ) A y x e , e ( ) ( ) o < ÷ < 0 0 , , 0 y x y x Notação: ( ) ( ) 0 0 , , lim y x y x ÷ ( ) L y x f = , ou 0 0 lim y y x x ÷ ÷ ( ) L y x f = , Propriedades Tome L, M , K e9, 0 lim x x÷ f ( x )= L e 0 lim x x÷ g ( x )= M . - 0 lim x x÷ [ f ( x )± g ( x )]= 0 lim x x÷ f ( x )± 0 lim x x÷ g ( x )= L ± M . - 0 lim x x÷ [ f ( x )· g ( x )]= 0 lim x x÷ f ( x )· 0 lim x x÷ g ( x )= L · M . - 0 lim x x÷ ) ( ) ( x g x f = ) ( lim ) ( lim 0 0 x g x f x x x x ÷ ÷ = M L se M =0. - 0 lim x x÷ K f ( x )= K 0 lim x x÷ ) (x f = K L . - Se p e q forem inteiros, então 0 lim x x÷ | | q p x f / ) ( = q p L / , desde que q p L / e9. Exemplos Calcule os limites: 10. ) 4 , 3 ( ) , ( lim ÷ ÷ y x 2 2 y x + Resolução: Resposta: 5 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-8 11. ) 1 , 0 ( ) , ( lim ÷ y x 3 2 5 3 y xy y x xy x ÷ + + ÷ Resolução: Resposta: ÷3 12. ) 0 , 0 ( ) , ( lim ÷ y x y x xy x ÷ ÷ 2 Resolução: Resposta: 0 13. ) 1 , 1 ( ) , ( lim ÷ y x y x y x ÷ ÷ 2 2 Resolução: Resposta: 2 Proposição Se w= f ( x )= f ( 1 x , 2 x , 3 x ,., n x ) tem limites diferentes ao longo de caminhos diferentes quando x se aproxima de 0 x , então 0 lim x x÷ f ( x ) não existe. Exemplo 14. Aplicando limites por caminhos, mostre que f ( x , y )= 2 4 2 2 y x y x + não tem limite quando ( x , y ) se aproxima de (0,0). Resolução: Resposta: Logo, -/ ) 0 , 0 ( ) , ( lim ÷ y x f ( x , y ). Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-9 Exercícios 15. f ( x , y ) = 2 4 2 4 y x y x + ÷ (Caminhos y = k 2 x ); Resolução: Resposta: Logo, -/ ) 0 , 0 ( ) , ( lim ÷ y x f ( x , y ). 16. f ( x , y ) = y x y x + ÷ (Caminhos y = k x , k =÷1); Resolução: Resposta: Logo, -/ ) 0 , 0 ( ) , ( lim ÷ y x f ( x , y ). 17. f ( x , y ) = y y x 2 2 + (Caminhos y = k 2 x , k =0); Resolução: Resposta: Logo, -/ ) 0 , 0 ( ) , ( lim ÷ y x f ( x , y ). 5.2.2 Continuidade de Funções em n Definições: 1 a ) Uma função w= f ( x )= f ( 1 x , 2 x , 3 x ,., n x ) é CONTÍNUA NO PONTO 0 x e9 n se: - - f ( x ); - - 0 lim x x÷ f ( x ); - 0 lim x x÷ f ( x )= ) ( 0 x f . 2 a ) Uma função é CONTÍNUA quando é contínua em todos os pontos de seu domínio. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-10 Proposição: Sejam f e g funções de duas variáveis contínuas no ponto ( ) 0 0 , y x , então: - g f + é contínua em ( ) 0 0 , y x ; - g f ÷ é contínua em ( ) 0 0 , y x ; - g f · é contínua em ( ) 0 0 , y x ; - g f / é contínua em ( ) 0 0 , y x , desde que ( ) 0 , 0 0 = y x g Proposição: Sejam ( ) u f w = e ( ) y x g z , = . Se g é contínua em ( ) 0 0 , y x e f é contínua em ( ) 0 0 , y x g , então a função composta g f · é contínua em ( ) 0 0 , y x . Observação: A partir das proposições anteriores podemos afirmar que: - Uma função polinomial de duas variáveis é contínua em 2 9 ; - Uma função racional de duas variáveis é contínua em todos os pontos do seu domínio. Exemplos: Discutir a continuidade das seguintes funções: 18. ( ) 2 5 2 , 2 2 ÷ + = xy y x y x f Resolução: Resposta: 19. ( ) 2 2 3 3 1 , 2 2 + + ÷ ÷ + ÷ + = y x xy x y x y x y x g Resolução: Resposta: 20. ( ) ( ) 4 ln , 2 2 + = y x y x h Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-1 6 Derivadas 6.1 Derivadas Parciais 6.1.1 Incremento parcial e incremento total Seja ( ) y x f z , = uma função de duas variáveis independentes. Quando damos à variável independente x um acréscimo x A , enquanto y permanece constante, então o incremento correspondente de z receberá o nome de incremento parcial de z, em relação à x e é denotado por: ( ) ( ) y x f y x x f z x , , ÷ A + = A Da mesma maneira, se x permanecer constante e a variável y receber um acréscimo y A , o incremento parcial de z, em relação à y é: ( ) ( ) y x f y y x f z y , , ÷ A + = A Se agora dermos, simultaneamente um acréscimo x A para x e y A para y, obtemos o incremento total de z, que é denotado por: ( ) ( ) y x f y y x x f z , , ÷ A + A + = A Exemplo 1. Se ( ) y x y x f z · = = , , então: ( ) ( ) y x f y x x f z x , , ÷ A + = A =( ) y x y x x · ÷ A + = x y y x y x y x A · = · ÷ · A + · ( ) ( ) y x f y y x f z y , , ÷ A + = A = ( ) y x y y x · ÷ A + = y x y x x x y x A · = · ÷ A · + · = ( ) ( ) y x f y y x x f z , , ÷ A + A + = A =( ) ( ) y x y y x x · ÷ A + · A + = y x y x x y y x y x · ÷ A · A + A + A + · = y x x y y x A · A + A + A Definições: Chama-se derivada parcial de ( ) y x f z , = , em relação à x, no ponto ( ) 0 0 , y x , ao limite: ( ) x y x f c c 0 0 , = 0 lim ÷ Ax x y x f y x x f A ÷ A + ) , ( ) , ( 0 0 0 0 ; Analogamente, definimos derivada parcial de ( ) y x f z , = , em relação à y, no ponto ( ) 0 0 , y x , ao limite: ( ) y y x f c c 0 0 , = 0 lim ÷ Ay y y x f y y x f A ÷ A + ) , ( ) , ( 0 0 0 0 ; Fazendo x x x A = ÷ 0 e y y y A = ÷ 0 , podemos escrever: ( ) x y x f c c 0 0 , = 0 lim x x÷ 0 0 0 0 ) , ( ) , ( x x y x f y x f ÷ ÷ e ( ) y y x f c c 0 0 , = 0 lim y y÷ 0 0 0 0 ) , ( ) , ( y y y x f y x f ÷ ÷ ; Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-2 Definições: Sejam 9 ÷ 9 c 2 : A f , sendo ( ) ( ) y x f z y x , , = ÷ , e A B c o conjunto dos pontos ( ) y x, tais que ( ) x y x f c c , existe. Chamamos de função derivada parcial de f em relação à x, à função que a cada ( ) B y x e , associa o número ( ) x y x f c c , = 0 lim ÷ Ax x y x f y x x f A ÷ A + ) , ( ) , ( . Analogamente, chamamos de função derivada parcial de f em relação à y, à função que a cada ( ) B y x e , associa o número ( ) y y x f c c , = 0 lim ÷ Ay y y x f y y x f A ÷ A + ) , ( ) , ( . Observação: As derivadas parciais podem também ser denotadas por: ( ) x y x f c c , = ( ) ( ) y x f y x f D x x , , = ( ) y y x f c c , = ( ) ( ) y x f y x f D y y , , = Observação: As definições anteriores podem ser estendidas para funções 9 ÷ 9 c n A f : . Desta forma temos, por exemplo: 1 o Seja f: A derivada da função f ( x ) é: f ’( x ) = dx dy = 0 lim ÷ h h x f h x f ) ( ) ( ÷ + 2 o Seja f: 2 As derivadas parciais de f ( x , y ) em relação a x e y são as funções x f e y f . x f ( x , y ) = ( ) x y x f c c , = 0 lim ÷ h h y x f y h x f ) , ( ) , ( ÷ + ; y f ( x , y ) = ( ) y y x f c c , = 0 lim ÷ h h y x f h y x f ) , ( ) , ( ÷ + . 3 o Seja f: 3 As derivadas parciais de f ( x , y , z ) são as funções x f , y f e z f . x f ( x , y , z ) = ( ) x z y x f c c , , = 0 lim ÷ h h z y x f z y h x f ) , , ( ) , , ( ÷ + ; y f ( x , y , z ) = ( ) y z y x f c c , , = 0 lim ÷ h h z y x f z h y x f ) , , ( ) , , ( ÷ + ; z f ( x , y , z ) = ( ) z z y x f c c , , = 0 lim ÷ h h z y x f h z y x f ) , , ( ) , , ( ÷ + ; para w= f ( x , y , z ). Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-3 4 o Seja f: n As derivadas parciais de f ( x ) para x e9 n : 1 x f ( x ) = 1 2 1 ) , , , ( x x x x f n c c = 0 lim ÷ h h x x x f x x h x f n n ) , , , ( ) , , , ( 2 1 2 1 ÷ + ; 2 x f ( x ) = 2 2 1 ) , , , ( x x x x f n c c = 0 lim ÷ h h x x x f x h x x f n n ) , , , ( ) , , , ( 2 1 2 1 ÷ + ; . n x f ( x ) = n n x x x x f c c ) , , , ( 2 1 = 0 lim ÷ h h x x x f h x x x f n n ) , , , ( ) , , , ( 2 1 2 1 ÷ + ; 2. Usando a definição, encontre a derivada parcial de ( ) 2 2 16 , y x y x f z ÷ ÷ = = em relação à x no ponto ( ) 2 , 1 . Resolução: Resposta: 2 ÷ 3. Usando a definição, encontre as derivadas parciais x f c c ( x , y ) e y f c c ( x , y ), sendo f ( x , y ) = 3 2 x ÷2 x y + 2 y . Resolução: x f c c ( x , y ) = y f c c ( x , y ) = Resposta: x f c c ( x , y ) = 6 x ÷2 y e y f c c ( x , y ) =÷2 x +2 y Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-4 Observação: Na prática, podemos obter as derivadas parciais mais facilmente, usando as regras de derivação das funções de uma variável. Nesse caso, para calcular ( ) x y x f c c , , mantemos y constante e para calcular ( ) y y x f c c , , x é mantido constante. 6.1.2 Regras de derivação Para as derivadas parciais, valem regras de derivação análogas às das funções de uma variável. Sejam u = f ( x ) = f ( 1 x , 2 x ,., n x ) e v = g ( x ) = g ( 1 x , 2 x ,., n x ). i x f = i x f c c = i x c c u = i x u e i x g = i x g c c = i x c c v = i x v . Produto u v ¬ i x c c ( u v ) = ( u v ) i x = i x u v +u i x v . Quociente v u ¬ i x c c | . | \ | v u = i x v u | . | \ | = 2 v uv v u i i x x ÷ . Potência n u ¬ i x c c ( n u ) = ( n u ) i x =n 1 ÷ n u · i x u . Exercícios Considerando a função f ( x , y )= 3 x 2 y ÷2 2 x y +3 x calcule o que se pede: 4. x f ( x , y ) Resolução: Resposta: 3 2 x 2 y ÷4 x y +3 5. y f ( x , y ) Resolução: Resposta: 2 3 x y ÷2 2 x 6. x f (2,÷1) Resolução: Resposta: 23 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-5 7. y f (2,÷1) Resolução: Resposta: ÷24 Exercícios 8. Encontre y f c c se f ( x , y ) = y ) sin( xy . Resolução: Resposta: y c c ( u v ) = ) sin(xy + y x ) cos(xy . 9. Encontre x f e y f se f ( x , y ) = x y y cos + 2 . Resolução: Resposta: 2 ) cos ( sin 2 x y x y f x + = e 2 ) cos ( cos 2 x y x f y + = Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-6 10. Encontre x f e y f se f ( x , y ) = y x tan =w. Resolução: Resposta: x f = y y x y x 1 2 ) (tan sec ÷ e y f = ÷ 2 ) ln(tan tan y x x y · 11. Usando as regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções: (a) f ( x , y ) = 2 2 1 y x Resolução: Resposta: x f c c ( x , y ) = 2 2 1 y x x e y f c c ( x , y ) = 2 2 1 y x y (b) f ( x , y ) = 2 2 y x y x Resolução: Resposta: x f c c ( x , y ) = 2 2 2 2 2 2 ) ( y x x xy y e y f c c ( x , y ) = 2 2 2 2 2 2 ) ( y x y xy x Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-7 (c) f ( x , y ) = y x e / Resolução: Resposta: x f c c ( x , y ) = y e y x / e y f c c ( x , y ) = 2 y xe y x / (d) f ( x , y ) = tan ( 2 x ÷ 2 y ) Resolução: Resposta: x f c c ( x , y ) = [ 2 sec ( 2 x ÷ 2 y )]·(2 x ) e y f c c ( x , y ) = [ 2 sec ( 2 x ÷ 2 y )]·(÷2 y ). (e) f ( x , y , z ) = 2 x · 2 sin ( y z ) Resolução: Resposta: x f c c ( x , y , z )=2 x 2 sin ( y z ), y f c c ( x , y , z )= 2 x z sin (2 y z ) e z f c c ( x , y , z )= 2 x y sin (2 y z ). Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-8 6.1.3 Derivadas Parciais Sucessivas Se w= f ( x ) é uma função de n variáveis e admite derivadas parciais em relação a todos os 1 x , 2 x ,., n x e estas funções derivadas parciais admitem derivadas parciais, então suas derivadas são DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM de w= f ( x ). Se as derivadas de segunda ordem são parcialmente deriváveis, suas derivadas são chamadas de DERIVADAS PARCIAIS DE TERCEIRA ORDEM de w= f ( x ). Assim, segue para derivadas de ordem superior. w= f ( x , y ) ¬ x f c c = x f ¬ y c c | . | \ | c c x f = x y f c c c 2 = xy f ¬. | | | ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ c c = c c c = ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ c c c c = c c c c = ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ c c c c = c c c c = ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ c c c = c c = ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ c c = c c c = ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ c c c = c c = ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ c c = c c = = ordem 3ra. ordem 2da. ordem 1ra. 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 y w f y x w f y x y w f y x x w f x y y w f x y x w f x y w f x w f y w f y x w f x y w f x w f y w f x w f y x f w yyy yyx yxy yxx xyy xyx xxy xxx yy yx xy xx y x ) , ( Teorema Seja f uma função de duas variáveis x e y . Se f , x f , y f , xy f e yx f são contínuas em uma região aberta R, então xy f = yx f em toda R. Este teorema também é válido para derivadas de ordens superiores. Por exemplo: xyx f = yxx f = xxy f . Exercícios 12. Seja f ( x , y ) = 3 x 2 y ÷2 2 x y +3 x . Prove que xy f = yx f . Resolução: Resposta: xy f = x y f c c c 2 = y x f c c c 2 = yx f Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-9 13. Prove que xyx f = yxx f = xxy f para f ( x , y ) = 3 x 2 y ÷2 2 x y +3 x . Resolução: Resposta: xxy f = xyx f = yxx f =12 x y ÷4 14. Dada a função f ( x , y ) = y x e 3 2 , calcule: (a) 3 3 x f c c ( x , y ) Resolução: Resposta: 3 3 x f c c ( x , y ) =8 y x e 3 2 (b) 3 3 y f c c ( x , y ) Resolução: Resposta: 3 3 y f c c ( x , y ) =27 y x e 3 2 (c) Verifique a igualdade seguinte: x y f c c c 2 3 = 2 3 y x f c c c . Resolução: Resposta: x y f c c c 2 3 = 2 3 y x f c c c =18 y x e 3 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-10 6.1.4 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Vamos supor que 9 ÷ 9 c 2 : A f , ( ) ( ) y x f z y x , , = ÷ admite derivadas parciais em um ponto ( ) A y x e 0 0 , . Para 0 y y = , temos que ( ) 0 , y x f é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C, resultante da intersecção da superfície ( ) y x f z , = com o plano 0 y y = . A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva C no ponto ( ) 0 0 , y x é dado por: ( ) x y x f c c = o 0 0 , tan De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva C, resultante da intersecção da superfície ( ) y x f z , = com o plano 0 x x = , é: ( ) y y x f c c = | 0 0 , tan Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-11 15. Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície w= 2 2 2 24 y x com o plano y = 2, no ponto (2,2, 3 2 ). Resolução: Resposta: x w c c (2,2) =÷ 3 1 6.1.5 Equações das Retas Tangentes Dada a função w= f ( x , y ), as retas tangentes ao gráfico de w no ponto P( 0 x , 0 y , 0 w ), nos planos verticais y = 0 y e x = 0 x , são dadas da seguinte forma. Retas Tangentes: Forma Simétrica y = 0 y ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ = ÷ 0 0 0 0 0 1 y y y x f w w x x x ) , ( x = 0 x ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ = ÷ 0 0 0 0 0 1 x x y x f w w y y y ) , ( Retas Tangentes: Forma Paramétrica y = 0 y ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ì + = = ì + = ) , ( 0 0 0 0 0 y x f w w y y x x x x = 0 x ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ì + = = ì + = ) , ( 0 0 0 0 0 y x f w w x x y y y Exemplo Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de w= f ( x , y ) com w=7÷ 2 x ÷ 2 y +2 x +2 y . 16. No ponto (2,3,4). Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-12 17. No ponto (1,1,9). Resolução: Resposta: Exercícios de derivadas como taxas de variação: 18. Se a temperatura T depende do tempo t e da altitude h, de acordo com a regra: ( ) 10 100 3 10 36 5 , 2 + ÷ + ÷ = h t t h t T , então calcule: (a) Como varia a temperatura em relação ao tempo, no instante 12 0 = t horas, num ponto de altitude = 0 h 100 metros? Resolução: Resposta: 0 (b) Como varia a temperatura em relação à altitude, no instante 12 0 = t horas, num ponto de altitude = 0 h 100 metros? Resolução: Resposta: 100 1 ÷ Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-13 19. De acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado, se P Newton por unidade quadrada é a pressão, V unidades cúbicas é o volume, e T graus a temperatura, temos a fórmula: P V =k T [equação (1)] onde k é uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 3 cm e a temperatura seja 90 0 e k =8. (a) Encontre a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação em T , se V permanecer fixo em 100. Resolução: Resposta: Logo, quando T =90 e V =100, T P c c =0,08 é a resposta desejada. (b) Use o resultado de (a) para aproximar a variação de pressão se a temperatura aumentar para 92 0 C. Resolução: Resposta: 0,16 N / 2 m (c) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T permanecer fixo em 90 0 . Resolução: Resposta: P V c c = ÷ 9 125 (d) Suponha que a temperatura permaneça constante. Use o resultado de (c) para encontrar a variação aproximada no volume para produzir a mesma variação na pressão, obtida em (b). Resolução: Resposta: ÷ 9 20 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-14 20. O volume V de um cone circular é dado por V = 24 t 2 y 2 2 4 y s , onde s é o comprimento da geratriz e y o diâmetro da base. (a) Encontre a taxa de variação instantânea do volume em relação à geratriz se o valor y =16, enquanto a geratriz s varia. Calcule essa taxa de variação no instante em que s =10cm. Resolução: Resposta: s V c c = 9 320t 3 cm / cm (b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de s =10cm. Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do volume em relação ao diâmetro quando y =16cm. Resolução: Resposta: y V c c = 9 16t 3 cm / cm 6.1.6 Diferenciabilidade Diferenciabilidade para funções de uma variável Seja 9 ÷ 9 : f . Se f é derivável no ponto 0 x , então, por definição, 0 lim x x÷ 0 0 ) ( ) ( x x x f x f ÷ ÷ = ( ) 0 ´ x f . Assim: 0 lim x x÷ 0 0 ) ( ) ( x x x f x f ÷ ÷ = ( ) 0 ´ x f ¬ 0 lim x x÷ ( ) 0 ´ ) ( ) ( 0 0 0 = ÷ ÷ ÷ x f x x x f x f ou Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-15 0 lim x x÷ ( ) ( ) | | 0 ´ ) ( ) ( 0 0 0 0 = ÷ ÷ · + ÷ x x x x x f x f x f Esta expressão nos diz que a função ( ) ( ) 0 0 0 ´ ) ( ) ( x x x f x f x h ÷ · + = , que é a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( ) 0 0 , y x é uma “boa aproximação” de f perto de 0 x . Em outras palavras, quando x se aproxima de 0 x , a diferença entre f e h se aproxima de zero de uma forma mais rápida. Plano Tangente Foi visto que a derivada parcial ( ) x y x f c c 0 0 , é o coeficiente angular da reta tangente à curva de intersecção do plano 0 y y = com a superfície ( ) y x f z , = , no ponto ( ) 0 0 , y x . Da mesma maneira, a derivada parcial ( ) y y x f c c 0 0 , é o coeficiente angular da reta tangente à curva de intersecção do plano 0 x x = com a superfície ( ) y x f z , = , no ponto ( ) 0 0 , y x . Intuitivamente percebemos que se existir um plano tangente à superfície ( ) y x f z , = , no ponto ( ) 0 0 , y x , então as retas que tem ( ) x y x f c c 0 0 , e ( ) y y x f c c 0 0 , como coeficientes angulares estão contidas neste plano. x y w x y 0 0 ( ) x ,y 0 0 P( ) x ,y ,w 0 0 A curva ( ) x ,y 0 f w = reta tangente reta tangente A curva ( ) x ,y 0 f w = 0 Assim, se existe o plano tangente a ( ) y x f z , = , passando pelo ponto P( 0 x , 0 y , 0 z ), sua equação é: - (1) h ( x , y ) =a x +b y +c . As inclinações nas direções dos eixos x e y são dadas pelas equações (2) e (3), respectivamente: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-16 - (2) a = x f c c ( 0 x , 0 y ). - (3) b = y f c c ( 0 x , 0 y ). O ponto P( 0 x , 0 y , 0 w ) satisfaz a equação (1), logo, obtém-se a equação (4): - (4) h ( 0 x , 0 y ) = f ( 0 x , 0 y ) = 0 w . Substituindo (2) e (3) em (1), chega-se a equação (5): - (5) h ( x , y ) = x f c c ( 0 x , 0 y ) x + y f c c ( 0 x , 0 y ) y +c . Substituindo (4) em (5), chega-se a equação (6): - f ( 0 x , 0 y ) = x f c c ( 0 x , 0 y ) 0 x + y f c c ( 0 x , 0 y ) 0 y +c , ou - (6) c = 0 w ÷ x f ( 0 x , 0 y ) 0 x ÷ y f ( 0 x , 0 y ) 0 y . Assim, substituindo (6) em (5), obtém-se o plano tangente ao gráfico de w= f ( x , y ) no ponto P( 0 x , 0 y , 0 w ) pela equação (7): - (7) h ( x , y ) = f ( 0 x , 0 y ) + x f ( 0 x , 0 y )·( x ÷ 0 x ) + y f ( 0 x , 0 y )·( y ÷ 0 y ). Diferenciabilidade para funções de duas variáveis Diz-se que a função f ( x , y ) é diferenciável no ponto ( 0 x , 0 y ) se as derivadas parciais x f c c ( 0 x , 0 y ) e y f c c ( 0 x , 0 y ) existem e se - (8) ) , ( ) , ( 0 0 lim y x y x ÷ ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 y x y x y x h y x f ÷ ÷ = 0. Na equação (8), se tem: - h ( x , y ) = f ( 0 x , 0 y ) + x f ( 0 x , 0 y )·( x ÷ 0 x ) + y f ( 0 x , 0 y )·( y ÷ 0 y ); - | ( x , y ) ÷ ( 0 x , 0 y ) | = 2 0 2 0 ) ( ) ( y y x x ÷ + ÷ . Observação De uma maneira informal, dizemos que f ( x , y ) é diferenciável em ( 0 x , 0 y ) se o plano dado pela equação (7) nos fornece uma “boa aproximação” para f ( x , y ) no ponto ( 0 x , 0 y ). Proposição Se f ( x , y ) é diferenciável no ponto ( 0 x , 0 y ), então f é contínua nesse ponto. Exemplos 21. Pela definição acima, provar que a função f ( x , y ) = 2 x + 2 y é diferenciável em 9 2 . Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-17 Resposta: Logo, f é diferenciável em 9 2 . Nos exercícios a seguir, verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem, isto é, ( 0 x , 0 y ) = (0,0). 22. f ( x , y ) = 2 2 y x + . Resolução: Resposta: Logo, f não é diferenciável na origem. 23. f ( x , y ) = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = + ) , ( ) , ( , ) , ( ) , ( , 0 0 se 0 0 0 se 2 2 2 3 y x y x y x y . Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-18 Resposta: Logo, f não é diferenciável na origem. Plano Tangente Seja f : 9 2 ÷9 diferenciável no ponto ( 0 x , 0 y ). Chama-se de plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0 x , 0 y , f ( 0 x , 0 y )) ao plano dado pela equação a seguir. w÷ f ( 0 x , 0 y ) = x f ( 0 x , 0 y )·( x ÷ 0 x ) + y f ( 0 x , 0 y )·( y ÷ 0 y ). Exemplos Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos indicados. 24. w= 2 x + 2 y nos pontos: a) P 1 (0,0,0); b) P 2 (1,1,2). Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-19 25. w= 2 2 2 y x + nos pontos: a) P 1 (0,0,0); b) P 2 (1,1, 3 ). Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-20 6.2 Gradiente Seja w= f ( x , y ) que admite derivadas parciais de 1 a ordem em ( 0 x , 0 y ). O gradiente de f no ponto ( 0 x , 0 y ) é um vetor com as derivadas x f e y f tal que: grad f ( 0 x , 0 y ) = \ | c c ) , ( 0 0 y x x f , | | . | c c ) , ( 0 0 y x y f ou V f ( 0 x , 0 y ) = ( x f ( 0 x , 0 y ), y f ( 0 x , 0 y )). Generalizando este conceito, temos: w= f ( x , y ), w= f ( x , y , z ), ., w= f ( 1 x , 2 x ,., n x ); V f = \ | c c x f , | | . | c c y f , V f = \ | c c x f , y f c c , | . | c c z f , ., V f = \ | c c 1 x f , 2 x f c c ,., | | . | c c n x f . Proposição Seja f ( x , y ) uma função tal que, através do ponto P 0 ( 0 x , 0 y ), passa uma curva de nível k c de f . Se grad f ( 0 x , 0 y ) não for nulo, então ele é perpendicular à curva de nível k c em ( 0 x , 0 y ), isto é, ele é perpendicular à reta tangente à curva k c no ponto P 0 . Exemplo 26. Seja w= f ( x , y ) = 2 x + 2 y . Graficamente, o grad f ( 0 x , 0 y ) é dado por: Resolução: x y w x y 0 0 P 0 grad f ( ) x ,y 0 0 x y P 0 c k y 0 ( ) x , y f : = k x 0 V ( ) 0 0 , y x f = ( ) \ | c c x y x f 0 0 , , ( ) | | . | c c y y x f 0 0 , =( ) 0 0 2 , 2 y x Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-21 27. Seja w= f ( x , y ) = 2 x ÷ y . Graficamente, o grad f (2,4) é dado por: Resolução: grad f (2 4) , x y P 0 c 0 4 ( ) x , y f : = 0 2 Resposta: Observação: O gradiente é um vetor que indica o sentido de mais rápido crescimento de uma função em um ponto. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-22 6.3 Diferenciais Seja w= f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 0 x , 0 y ). A diferencial de f em ( 0 x , 0 y ) é definida pela função ou transformação linear: T: 9 2 ÷9 T( x ÷ 0 x , y ÷ 0 y ) = x f c c ( 0 x , 0 y )( x ÷ 0 x ) + y f c c ( 0 x , 0 y )( y ÷ 0 y ), ou, para h = x ÷ 0 x e k = y ÷ 0 y : T( h , k ) = x f c c ( 0 x , 0 y ) h + y f c c ( 0 x , 0 y ) k (01) T dá uma aproximação do acréscimo Aw em ( 0 x , 0 y ): Aw= f ( x , y ) ÷ f ( 0 x , 0 y ). Em relação a x e y , os acréscimos são: A x = x ÷ 0 x e A y = y ÷ 0 y . Define-se a diferencial das variáveis independentes x e y como os acréscimos A x e A y : dx = A x e dy = A y . A diferencial de f em ( x , y ) relativa aos acréscimos A x e A y é indicada por dw ou df : dw= x f c c ( x , y ) dx + y f c c ( x , y ) dy (02) dw é a DIFERENCIAL TOTAL de w= f ( x , y ). Exemplos 28. Calcule a diferencial de f ( x , y ) = x + xy no ponto (1,1). Resolução: Resposta: df (1,1) = 2 3 dx + 2 1 dy . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-23 29. Dada a função w= 2 x + 2 y ÷ xy . - a) Determine uma aproximação para o acréscimo da variável dependente quando ( x , y ) passa de (1,1) para (1,001;1,02). Resolução: Resposta: A w~ 0,021. - b) Calcular Aw quando as variáveis independentes sofrem a variação em a). Resolução: Resposta: A w=0,021381 - c) Calcular o erro obtido da aproximação de dw como Aw. Resolução: Resposta: 0,000381 6.3.1 Generalizando as diferenciais Tome w= f ( x , y , z ) em ( 0 x , 0 y , 0 z ), sua diferencial é: dw= x f c c ( x , y , z ) dx + y f c c ( x , y , z ) dy + z f c c ( x , y , z ) dz . Tome w= f ( 1 x , 2 x ,., n x ) em ( 0 1 x , 0 2 x ,., 0 n x ), sua diferencial é: dw= 1 x f c c ( 1 x , 2 x ,., n x ) 1 dx + 2 x f c c ( 1 x , 2 x ,., n x ) 2 dx +.+ n x f c c ( 1 x , 2 x ,., n x ) n dx . Exercícios 30. Calcule a diferencial total da função: w= 2 x + 2 y + xyz e . Resolução: Resposta: dw= (2 x + yz xyz e ) dx+(2 y + xz xyz e ) dy + xy xyz e dz 31. Calcule a diferencial total da função: w= 1 x 2 x ÷ 2 x 3 x + 3 x 4 x . Resolução: Resposta: dw= 2 x 1 dx +( 1 x ÷ 3 x ) 2 dx +( 4 x ÷ 2 x ) 3 dx + 3 x 4 dx . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-24 32. Nos itens a) e b), calcule o valor aproximado para a variação da área na figura quando os lados são modificados de: - a) 4cm e 2cm para 4,01cm e 2,001cm, num retângulo; Resolução: 2 4 Resposta: 0,024cm 2 . - b) 2cm e 1cm para 2,01cm e 0,5cm, num triângulo retângulo. Resolução: 1 2 Resposta: ÷0,495cm 2 . 33. Calcular o valor aproximado de (1,001) 3,02 . Resolução: Resposta: (1,001) 3,02 ~ 1,003. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-25 34. O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem, com um erro provável de 0,2 pol em cada medida, respectivamente, 12 pol e 8 pol . Qual é, aproximadamente, o máximo erro possível no cálculo do volume? H D Resolução: Resposta: dV ~16,8t 3 pol 35. Dada a superfície z = y x y x , se no ponto x =4, y =2, x e y são acrescidos de 10 1 , qual é a variação aproximada de z ? Resolução: Resposta: A z =÷0,01075 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-26 36. As dimensões de uma caixa são 10cm, 12cm e 15cm. Essas medidas têm um possível erro de 0,02cm. Encontre, aproximadamente, o máximo erro no cálculo do volume. x y z Resolução: Resposta: Logo: AV ~ 9 3 cm . 6.4 Derivadas de Funções Compostas 6.4.1 Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis Intermediárias Se w= f ( x , y ) for diferenciável e x e y forem funções diferenciáveis de t , então w será uma função diferenciável de t e: dt dw = x w c c dt dx + y w c c dt dy (DIAGRAMA) w t x y w x w d d d d x y t t y c c c c Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-27 Exemplo 37. Use a regra da Cadeia para encontrar a derivada de w= y x · em relação a t ao longo do caminho x = t cos , y = t sin . Qual é o valor da derivada em t = 2 t ? Resolução: Resposta: ÷1 6.4.2 Regra da Cadeia para Funções de Três Variáveis Intermediárias Se w= f ( x , y , z ) for diferenciável e x , y e z forem funções diferenciáveis de t , então w será uma função diferenciável de t e: dt dw = x w c c dt dx + y w c c dt dy + z w c c dt dz (DIAGRAMA) w t x z w x w d d d d x z t t z y w y d d y t c c c c c c Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-28 Exemplo 38. Encontre dt dw sendo que w= x y + z , x = t cos , y = t sin e z =t . Determine o valor da derivada em t =0. Resolução: Resposta: 2 6.4.3 Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes e Três Variáveis Intermediárias Sejam w= f ( x , y , z ), x = g ( r , s ), y =h ( r , s ) e z =k ( r , s ). Se todas as quatro funções forem diferenciáveis, então w terá derivadas parciais em relação a r e s , dadas pelas fórmulas a seguir. r w c c = x w c c r x c c + y w c c r y c c + z w c c r z c c s w c c = x w c c s x c c + y w c c s y c c + z w c c s z c c (DIAGRAMA) w x z w x w x z r z y w y y c c c c c c r r r c c c c c c c c w x z w x w x z s z y w y y c c c c c c s s s c c c c c c Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-29 Exemplo 39. Expresse r w c c e s w c c em termos de r e s se: w= x +2 y + 2 z , x = s r , y = 2 r + s ln , z =2 r . Resolução: Resposta: r w c c = s 1 +12 r e s w c c = s 2 ÷ 2 s r 6.4.4 Regra da Cadeia Generalizada Suponha que w= f ( 1 x , 2 x ,., n x ), 1 x = 1 g ( 1 y , 2 y ,., m y ), 2 x = 2 g ( 1 y , 2 y ,., m y ), ., n x = n g ( 1 y , 2 y ,., m y ) sejam todas funções diferenciáveis, então w terá derivadas parciais em relação a 1 y , 2 y ,., m y , dadas pelas fórmulas: ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ c c c c + + c c c c + c c c c = c c c c c c + + c c c c + c c c c = c c c c c c + + c c c c + c c c c = c c m n n m m m n n n n y x x f y x x f y x x f y w y x x f y x x f y x x f y w y x x f y x x f y x x f y w . 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ou y w c c = x w c c - y x c c obs.: x w c c = x f c c . REPRESENTAÇÃO EM FORMA MATRICIAL: y w c c = c c 1 y w 2 y w c c . c c m y w , x w c c = c c 1 x w 2 x w c c . c c n x w , y x c c = c c c c c c c c c c c c c c c c c c m n n n m m y x y x y x y x y x y x y x y x y x . . . 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-30 Exemplo 40. Dada a função w= 2 x + 2 y + 2 z e sabendo que x =r u cos ¸ sin , y =r u sin ¸ sin e z =r ¸ cos , calcular as derivadas da função w em relação a r , u e ¸. Resolução: Resposta: r w c c = 2 r , u c cw = 0 e ¸ c cw = 0 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-31 Exercícios: 41. A altura de um cone circular é de h =100 pol e decresce a razão de 10 pol / seg . O raio da base é de r =50 pol e cresce a razão de 5 pol / seg . Com que velocidade está variando o volume, quando h =100 pol e r =50 pol ? h r Resolução: Resposta: Portanto, o volume cresce à taxa de 26180 3 pol / seg no dado instante 42. Use a lei do gás ideal com k =10 para encontrar a taxa de variação da temperatura no instante em que o volume do gás é 120 3 cm e o gás está sob uma pressão de 8 din/ 2 cm , se o volume cresce à taxa de 2 3 cm / seg e a pressão decresce à taxa de 0,1din / 2 cm ( din , unidade de força) por segundo. Resolução: Resposta: A temperatura cresce à taxa de 0,4 graus por segundo no dado instante. 6.4.5 Derivadas de Funções Implícitas 1 o Caso: F(x,y) 0 com y f(x) Tendo y F c c = 0 no ponto ( x , ) (x f ), pode-se obter x y c c aplicando-se a regra da cadeia para F ( x , y ). Então: x F c c 1 = c c x x + y F c c x y c c = 0 ¬ y F c c x y c c = ÷ x F c c ¬ x y c c = y F x F c c c c ÷ . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-32 Exemplo: 43. Encontre x y c c para 2 y ÷ 2 x ÷ xy sin = 0. Resolução: Resposta: x y c c = xy x y xy y x cos 2 cos 2 ÷ + 44. Dada a equação 2 x + 2 y = 1, encontre x y c c usando derivação por duas formas: a) Derivando implicitamente; b) Derivando através de função de uma variável. - a) F ( x , y ) = 2 x + 2 y ÷ 1 Resolução: Resposta: x y c c = ÷ y x - b) y = 2 1 x Resolução: Resposta: x y c c = ÷ y x 2 o Caso: F(x,y,z) 0 com z f(x,y) Tendo z F c c = 0 no ponto ( x , y , ) , ( y x f ), podem-se obter x z c c e y z c c aplicando-se a regra da cadeia para F ( x , y , z ). - Em relação a x : x F c c 1 = c c x x + y F c c 0 = c c x y + z F c c x z c c = 0 ¬ x z c c = z F x F c c c c ÷ . - Em relação a y : x F c c 0 = c c y x + y F c c 1 = c c y y + z F c c y z c c = 0 ¬ y z c c = z F y F c c c c ÷ . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-33 Exemplo 45. Sabendo que z = f ( x , y ) é definida por 4 x y + 3 y + 3 z + z = 5, determine x z c c e y z c c . Resolução: Resposta: x z c c = 1 3 4 2 3 z y x e y z c c = 1 3 3 2 2 4 z y x ) ( Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-34 6.5 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis Seja w= f ( P ) uma função de n variáveis e seja 0 P eD( f ). Definição 1: Máximo Local (ou Máximo relativo) f ( 0 P ) é um valor máximo local de f se f ( 0 P )> f ( P ) para todo ponto P pertencente a uma vizinhança de 0 P . Definição 2: Mínimo Local (ou Mínimo relativo) f ( 0 P ) é um valor mínimo local de f se f ( 0 P )s f ( P ) para todo ponto P pertencente a uma vizinhança de 0 P . Observação 0 P é ponto de máximo ou mínimo de f . Definição 3: Ponto Crítico 0 P é um ponto crítico de w= f ( P ) se, todas as derivadas parciais de f se anulam ou não existem em 0 P . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-35 Teorema 1 Se w= f ( P ) tiver um valor de máximo ou mínimo local em 0 P , então, 0 P é um ponto crítico de f . (A recíproca não é verdadeira). Teorema 2 Tome Pe 2 9 ou P=( x , y ). Seja 0 P =( 0 x , 0 y ) um ponto crítico de w= f ( P ), diferenciável até a segunda ordem e H ( P) o seu Hessiano definido por: H ( P ) = H ( x , y ) = 2 2 2 2 2 2 y f y x f x y f x f c c c c c c c c c c = yy yx xy xx f f f f . (Determinante) Então: - (i) Se H ( 0 P ) > 0, w= f ( P) admite extremos em 0 P e: (a) Tem um valor máximo se 2 0 2 ) ( x P f c c < 0; (b) Tem um valor mínimo se 2 0 2 ) ( x P f c c > 0. - (ii) Se H ( 0 P ) = 0, nada se pode afirmar. - (iii) Se H ( 0 P ) < 0, w= f ( P) não admite extremos em 0 P , 0 P tem um ponto de sela. Exercícios 46. Classificar os pontos críticos da função f ( x , y ) = 3 x 2 y + 3 x ÷3 x . Pontos críticos: Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-36 Resposta: A(0,1) é PONTO DE SELA; B (0,÷1) é PONTO DE SELA; C(1,0) é MÍNIMO LOCAL de f e D(÷1,0) é MÁXIMO LOCAL de f . 47. Considerando f ( x , y )= 2 x + x y + 2 y + x 3 + y 3 +5, verifique se o ponto (1,1) é ponto crítico, classificando-o. Resolução: Resposta: (1,1) é MÍNIMO LOCAL de f . 48. Seja f ( x , y )=2 3 x +2 3 y ÷6 x ÷6 y . Analisar os pontos de máximo e mínimo de f no conjunto aberto A da figura a seguir. Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-37 Resposta: f possui um ponto de mínimo e um de máximo local. São eles: (1,1) e (÷1,÷1). 6.5.1 Teorema de Weierstrass Seja f : Ac9 2 ÷9 com w= f ( x , y ) uma função contínua no conjunto fechado e limitado A. Então existem 1 P e 2 P e A tais que f ( 1 P) s f ( P) s f ( 2 P ) qualquer que seja P e A. Observação Esse teorema garante a existência do ponto de máximo e do ponto de mínimo de uma função contínua com domínio fechado e limitado. Exercício 49. Tome f ( x , y )=2 3 x +2 3 y ÷6 x ÷6 y do exercício anterior. Determinar o valor máximo e o valor mínimo de f no conjunto B delimitado pelo triângulo MNP da figura a seguir. Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-38 Resposta: O valor de mínimo de f é f (1,1) = ÷8. e o valor de máximo de f é f (0,3) = f (3,0) = 36. 6.5.2 Aplicações: Exercícios 50. Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 3 m e com a menor área de superfície possível? x y z Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-39 Resposta: ( x , y , z ) = (2,2,1). Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-1 7 Integrais Duplas e Triplas 7.1 Introdução Alguns personagens importantes que contribuíram para o cálculo diferencial e integral: SEM FOTO Arquimedes de Siracusa (287 - 212 a.C.) Johann Kepler (1571 - 1630) Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1647) Pierre de Fermat (1601-1665) Isaac Barrow (1630 - 1677) Isaac Newton, Sir (1642-1727) Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) Jacques Bernoulli (1654 - 1705) Johann Bernoulli (1667 - 1748) Carl Fridrich Gauss (1777 - 1855) Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral. Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas 1 , regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente, foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão. Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Esse cálculo pode ser encontrado no livro do Simmons, volume 2. 1 Quando duas circunferências se interceptam como na figura a região em forma de lua crescente limitada pelos arcos ADB e AEB, é denominada lúnula. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-2 Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido. Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número t. Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume e a área da superfície esférica, o volume e a área da superfície do cone, a área da região limitada por uma elipse, o volume de qualquer secção de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla “reductio ad absurdum” para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual. A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou “De quadratura parabolae” onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo. Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos tridimensionais formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado. Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, “Geometria indivisibilibus continuorum nova”, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos: í + = + a n n n a dx x 0 1 1 . Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho “Arithmetica infinitorum”, Wallis desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gama. Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas, "parábolas maiores": curvas do tipo y=kx n , onde k > 0 é constante e n = 2, 3, 4, etc. Empregou então uma serie geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo y=kx n , onde k > 0 e n = ÷2, ÷3, ÷4, etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros. O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, levava à distância. A partir desse problema envolvendo movimento, a idéia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a idéia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha anunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção ao seu resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direção, formulou o teorema. Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions (derivação) e fluents (integração) e utilizou-os na construção da Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-3 mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade. Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y. Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo í (um 's' longo) para representar soma. Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico. Principalmente como conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas idéias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais. Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise. Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo. 7.2 Integrais Duplas Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros. Definição Considere uma função z = f (x, y) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy. A x y z x k Ay k D z = f x,y ( ) Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenos retângulos. A x y x k Ay k D AA k Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-4 Considere somente os retângulos R k que estão totalmente contidos em D, numerando- os de 1 a n. Em cada retângulo R k , tome o ponto P k = (x k , y k ) e forme a soma SOMA DE RIEMANN: ¯ = n k f 1 (x k , y k )AA k , onde AA k = A x k ·Ay k é a área do retângulo R k . Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez menores. Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos R k tende a zero quando n tende ao infinito. Então, se · ÷ n lim ¯ = n k f 1 (x k , y k )AA k existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA DE f (x k , y k )AA k sobre a região D. Denota-se por: íí D f (x, y)dA ou íí D f (x, y)dxdy. 7.2.1 Interpretação Geométrica Se f (x, y) > 0, f (x k , y k )AA k representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo R k e cuja altura é f (x k , y k ). A soma de Riemann ¯ = n k f 1 (x k , y k )AA k é a aproximação do volume limitado abaixo da região z e acima de D. Assim, se z = f (x, y) > 0, íí D f (x, y)dxdy é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D. 7.2.2 Área da Região D Se f (x, y) = 1 ¬P(x, y)eD, então, V = 1·áreaD. Logo: íí D 1dA = Área da Região D. 7.2.3 Propriedades das Integrais Duplas - 1. Múltiplo constante íí D k f (x, y)dA = k íí D f (x, y)dA (para todo número k) - 2. Soma e Diferença íí D [ f (x, y) ± g(x, y)]dA = íí D f (x, y)dA ± íí D g (x, y)dA Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-5 - 3. Dominação - (a) íí D f (x, y)dA > 0 se f (x, y) > 0 em D - (b) íí D f (x, y)dA > íí D g (x, y)dA se f (x, y) > g(x, y) em D - 4. Aditividade íí D f (x, y)dA = íí 1 D f (x, y)dA + íí 2 D f (x, y)dA se D for a união de duas sub-regiões não sobrepostas D1 e D2. x y D1 D2 7.3 Cálculo de Integrais Duplas 7.3.1 Teorema para o Cálculo de Integrais Duplas (i) Região D x : (ii) Região D y : x y 1 2 D y= g ( ) x y= g ( ) x b a x y 1 2 D x = h ( ) y x = h ( ) y d c - (i) Seja D a região D x da figura anterior. Se f é contínua em D, então: D = A( ) g 2 g 1 ( ) x ( ) x f x ( , ) y dy x íí D f (x, y)dA = í í b a x g x g f ) ( ) ( 2 1 (x, y)dydx (Teorema 1) Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-6 - (ii) Seja D a região D y da figura anterior. Se f é contínua em D, então: íí D f (x, y)dA = í í d c y h y h f ) ( ) ( 2 1 (x, y)dxdy (Teorema 2) 7.3.2 Definição: Integrais Iteradas - (i) í í b a x g x g f ) ( ) ( 2 1 (x, y)dydx = í b a í dy y x f x g x g ) , ( ) ( ) ( 2 1 dx - (ii) í í d c y h y h f ) ( ) ( 2 1 (x, y)dxdy = í d c í dx y x f y h y h ) , ( ) ( ) ( 2 1 dy Exercícios 1. Seja D a região do plano xy delimitada pelos gráficos de y = x 2 e y = 2x. Calcule íí D ( x 3 + 4y)dA aplicando: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2. - (a) Teorema 1 x y D = (2,4) y 2x = y x 2 Resolução: Resposta: 3 32 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-7 - (b) Teorema 2 x y D = (2,4) y 2 x = y x Resolução: Resposta: 3 32 2. Seja D a região delimitada pelos gráficos das equações y = x , y = 18 3 ÷ x e y = 0. Se f é uma função contínua arbitrária em D, expresse a integral dupla íí D f (x, y)dA em termos de integrais iteradas utilizando apenas: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2. - (a) Teorema 1 x y 2 D = (9,3) y x 1 D = y 3 18 x÷ (6,0) D Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-8 - (b) Teorema 2 x y 2 = (9,3) y x = 3 (6,0) D 1 2 y x 6 + Resolução: Resposta: 3. Dada í í 4 0 2 y y 5 cos x dxdy, inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante. x y = x (2,0) D (2,4) = y x 2 x y (2,0) D (2,4) = y x 2 dxdy dydx Resolução: Resposta: 0,055 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-9 4. Calcular I = íí D y sinxy dxdy, onde D é o retângulo de vértices | . | \ | t 2 , 0 , | . | \ | t 2 , 1 , ( ) t , 1 e ( ) t , 0 . x D 1 t ( , ) 1 t ( , ) 2 0 t ( , ) 0 t ( , ) 2 t t 2 1 t ( , ) 2 1 t ( , ) x y D 1 0 Resolução: Resposta: 1+ 2 t 7.4 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) (1) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D’ do plano uv. U V = x ( , ) u v X Y u v y x D D’ x = y ( , ) u v y A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa u = u(x, y) e v = v(x, y). (2) Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D’ e D, respectivamente, temos Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-10 íí D f (x, y)dxdy = íí ' D f (x(u, v), y(u, v)) ) , ( ) , ( v u y x c c dudv (3) onde ) , ( ) , ( v u y x c c é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por ) , ( ) , ( v u y x c c = v y u y v x u x c c c c c c c c . A fórmula (3) é válida se: - (i) f é contínua; - (ii) as regiões D e D’ são formadas por um número finito de sub-regiões do tipo D x ou D y ; - (iii) o jacobiano ) , ( ) , ( v u y x c c = 0 em D’ ou se anula num número finito de pontos de D’. 7.5 Coordenadas Polares A transformação que leva pontos (r, u) do plano ru a pontos (x, y) do plano xy é dada por x = x(r, u) = rcosu e y = y(r, u) = rsinu (4) e seu jacobiano é dado por ) , ( ) , ( u c c r y x = u u u ÷ u cos sin sin cos r r = r. Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por: íí D f (x, y)dxdy = íí ' D f (rcosu, rsinu)rdrdu. (5) 7.5.1 Obtenção da fórmula Para que (4) seja bijetora, considera-se ru para os quais r e u satisfazem: r > 0 e 0 s u < 2t ou r > 0 e ÷t < u s t. Para os cálculos, pode-se considerar s como sendo <. r u = x x y D D’ rcos = y u r u A + u A + r r r A + r r rsen u u u u A + u Retângulos Existe uma correspondência entre AA’ e AA, que veremos a seguir: 7.5.2 Área A’ do retângulo em D’ AA’ = Ar·Au Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-11 7.5.3 Área A do retângulo polar em D x y D r A + r r u u A + u AA u A Ar A + r r r R R A + r r = Área de um setor circular: A = u 2 2 1 r AA é a diferença entre dois setores circulares de mesmo ângulo Au e raios R e r. AA = u A · 2 2 1 R ÷ u A · 2 2 1 r AA = ( ) u A · ÷ 2 2 2 1 r R ¬ R = r + Ar AA = ( ) u A · ÷ A + 2 2 ) ( 2 1 r r r = ( ) u A · ÷ A + A + 2 2 2 2 2 1 r r r r r = ( ) u A · A + A 2 2 2 1 r r r AA = ( ) u A A · A + r r r 2 2 1 = ( ) u A A · A + + r r r r 2 = u A A · + r R r 2 ¬ 2 R r r k + = AA = u A A · r r k = ' A r k A · Setor maior ( ) R Setor menor ( ) r AA = ' A r k A 7.5.4 Integral dupla em D’ Assim, obtemos o jacobiano r k da fórmula (5). Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário (x k , y k ) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por (r k cosu k , r k sinu k ) que tem representação (r k , u k ) referente à região correspondente em D’. Assim, a soma de Riemann ¯ = n k f 1 (x k , y k )AA k é equivalente a ¯ = n k f 1 (r k cosu k , r k sinu k )r k k A' A onde k A' A = Ar k ·Au k é a área do k-ésimo retângulo em D’. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-12 Assim, se tomarmos limite com n ÷ · com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos · ÷ n lim ¯ = n k f 1 (r k cosu k , r k sinu k )r k k A' A que equivale a integral íí ' D f (rcosu, rsinu)rdrdu dada pela fórmula (5). Exercícios 5. Calcular I = íí D 2 2 y x + dxdy, sendo D o círculo de centro na origem e raio 2. Identificar D’ em ru, com correspondência ao D em xy. Contorno da região D: x 2 + y 2 = 4. D’: ¹ ´ ¦ s s t s u s 2 0 2 0 r 2 2 r D 2 2 x y t u D’ u r =r x cos =r y senu u Resolução: Resposta: 3 16t Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-13 6. Calcular I = íí D 2 2 y x e + dxdy, onde D é a região do plano xy delimitada entre x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9. Região D: x 2 + y 2 > 4 · x 2 + y 2 s 9 Região D’: ¹ ´ ¦ s s t s u s 3 2 2 0 r x y D u 2 r 3 D’ r 2 2t u 3 Resolução: Resposta: ( ) t ÷ 4 9 e e 7.6 Cálculo de Volumes (Aplicações) Para f (x, y) > 0, a integral V = íí D f (x, y)dA (6) nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D. Exercícios 7. Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = 4 ÷ 2x 2 ÷ 2y 2 . Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-14 Resposta: 4t u.v. 8. Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 ÷ x ÷ y, inferiormente pela região delimitada por x = 2, x = 0, y = 0 e y = 4 1 x + 2 1 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D. 1 x z y 2 4 (2,0,2) (2,1,1) (0, , ) 1 2 7 2 1 2 Resolução: Resposta: V = 4 15 unidades de volume. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-15 7.7 Cálculo de Áreas de Regiões Planas Fazendo f (x, y) = 1, a área da região de integração D é dada por: A = íí D dA (7) Exercício 9. Calcular a área da região D delimitada por x = y 2 + 1 e x + y = 3. Calcular pelas duas formas: a) D x (Teorema 1) b) D y (Teorema 2) Por (7), A = íí D dA x y 2 5 3 1 ÷1 ÷2 3 2 4 1 Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-16 Resposta: 2 9 u.a. (unidades de área) 7.8 Integrais Triplas Definição Seja w = f (x, y, z) uma função definida e contínua numa região fechada e limitada T do espaço. Subdividimos T em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos coordenados. x z y ( , , ) x y z k k k T Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos T k , escolhemos um ponto arbitrário (x k , y k , z k ). Formamos a soma ¯ = n k f 1 (x k , y k , z k )AV k , onde AV k é o volume do paralelepípedo T k . Faz-se isso de maneira arbitraria, mas de tal forma que a maior aresta dos paralelepípedos T k tende a zero quando n ÷ ·. Se existir · ÷ n lim ¯ = n k f 1 (x k , y k , z k )AV k , ele é chamado: INTEGRAL TRIPLA da função f (x, y, z) sobre a região T e representamos por ííí T f (x, y, z)dV ou ííí T f (x, y, z)dxdydz Propriedades De forma análoga a integrais duplas, temos: - 1. ííí T kf dV = k ííí T f dV; Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-17 - 2. ííí T ( f 1 ± f 2 )dV = ííí T f 1 dV ± ííí T f 2 dV; - 3. ííí T f dV = ííí 1 T f dV + ííí 2 T f dV, onde T = T 1 T 2 , como mostra a figura a seguir. T T2 T1 7.9 Cálculo de Integrais Triplas Através das três situações seguintes, o cálculo da integral tripla será reduzido, inicialmente, a resolução de uma integral dupla. Serão apresentados três casos: (i), (ii) e (iii). - (i) Domínio D: x z y ( , ) x y 1 z= h ( , ) x y 2 z= h T D - (ii) Domínio D’: x z y ( , ) x z 1 =p ( , ) x z 2 = p T D y y - (iii) Domínio D”: x z y ( , ) y z 2 x =q T D ( , ) y z 1 x=q - (i) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico z = h 1 (x, y) e superiormente pelo gráfico z = h 2 (x, y), onde h 1 e h 2 são funções contínuas sobre a região D do plano xy. ííí T f (x, y, z)dV = íí D í ) , ( ) , ( 2 1 ) , , ( y x h y x h dz z y x f dxdy (8) Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-18 Logo, se, por exemplo, a região D for do tipo D x : D: ¹ ´ ¦ s s s s b x a x g y x g ) ( ) ( 2 1 a integral tripla será dada pela seguinte integral iterada tripla: ííí T f (x, y, z)dV = í í í b a x g x g y x h y x h f ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 (x, y, z)dzdydx. - (ii) A região T é delimitada à esquerda por y = p 1 (x, z) e a direita por y = p 2 (x, z), onde p 1 e p 2 são funções contínuas sobre a região D’ do plano xz. ííí T f (x, y, z)dV = íí ' D í ) , ( ) , ( 2 1 ) , , ( z x p z x p dy z y x f dxdz (9) - (ii) A região T é delimitada na parte de traz por x = q 1 (y, z) e na frente por x = q 2 (y, z), onde q 1 e q 2 são funções contínuas sobre a região D” do plano yz. ííí T f (x, y, z)dV = íí " D í ) , ( ) , ( 2 1 ) , , ( z y q z y q dx z y x f dydz (10) Exercícios 10. Calcular I = ííí T x dV, onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 25, pelo x + y + z = 8 e pelo plano xy. x z y z =8÷ ÷ x y T D 5 z =0 D 5 y x Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-19 Resposta: I = ÷ 4 625 t 11. Calcular I = ííí T y dV, onde T é a região delimitada pelos planos coordenados e pelo plano 3 x + 2 y + z = 1. T é o tetraedro representado a seguir: x z y z=1 T D 2 z= 0 D y x 3 1 x 3 y 2 ÷ ÷ 2 3 Neste caso, T se enquadra em qualquer um dos casos: (i), (ii) ou (iii). No desenho, é sugerida a utilização de (i). Resolução: Resposta: I = 2 1 7.10 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Seja I dada por (10): I = ííí T f (x, y, z)dxdydz (10) Induzindo novas variáveis de integração u, v, w com x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w), a integral (10) fica: I = ííí ' T f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) ) , , ( ) , , ( w v u z y x c c dudvdw (11) Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-20 onde T’ é a correspondente região no espaço u, v, w e ) , , ( ) , , ( w v u z y x c c é o determinante jacobiano de x, y e z em relação a u, v e w. 7.11 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas A relação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é dada pelas equações: x = rcosu y = rsinu z = z x z y P r u ( , , ) x y z O jacobiano de x, y, z em relação às novas variáveis r, u e z é: ) , , ( ) , , ( z r z y x u c c = 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos u u u ÷ u r r = r Assim, usando (11), vem: ííí T f (x, y, z)dV = ííí ' T f ( rcosu, rsinu, z)rdrdudz (12) onde T’ é a região T descrita em coordenadas cilíndricas. Exercício 12. Calcular I = ííí T (x 2 + y 2 )dV, onde T é a região delimitada pelo plano xy, pelo parabolóide z = x 2 + y 2 e pelo cilindro x 2 + y 2 = a 2 . a a 2 a a 2 D T z z =0 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-21 A região T é limitada inferiormente por z = 0 e superiormente por z = x 2 + y 2 que, em coordenadas cilíndricas, tem equação z = r 2 . Observação: Levando-se em conta que a região T se enquadra no caso (i), pode-se escrever a equação (12) representada pela (13). íí ' D í u u ) , ( ) , ( 2 1 r h r h f ( rcosu, rsinu, z)dz rdrdu (13) - Onde h 1 e h 2 delimitam T inferior e superiormente. - D’ é a projeção de T sobre o plano xy descrita em coordenadas polares. Resolução: Resposta: I = 3 6 t a 7.12 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas A relação entre as coordenadas esféricas e cartesianas é desenvolvida da seguinte forma, conforme figura a seguir: x y r r z u o = r senu y o u o p p P( , , ) p o u p o p r z x= r cosu = cos = r sen p o o z p x = psenocosu y = psenosenu z = pcoso O jacobiano de x, y, z em relação às novas variáveis r, u e o é: ) , , ( ) , , ( o u p c c z y x = o p ÷ o u o p u o p u o u o p u o p ÷ u o sin 0 cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin = p 2 sino Assim, usando (11), vem: ííí T f (x, y, z)dV = ííí ' T f (psenocosu, psenosenu, pcoso)p 2 sinodpdudo onde T’ é a região de integração T descrita em coordenadas esféricas. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-22 Exercício 13. Calcular I = ííí T zdV, onde T é a região limitada superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 =16 e inferiormente pelo cone 2 2 y x z + = . p Esféra = 4 Cone = 4 o t T D Resolução: Resposta: I = 32t Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-23 7.13 Aplicações Físicas da Integral Dupla Usando as integrais duplas, podemos encontrar a massa, o centro de massa e o momento de inércia de uma lâmina plana não homogênea, com a forma de uma região R e com densidade de área em um ponto (x, y) de R dada pela função contínua p = p(x, y). A massa total da lâmina é definida por: M = íí p R dA y x ) , ( Além disso, o momento de massa em relação ao eixo x é dado por: M x = íí p R dA y x y ) , ( Analogamente, o momento de massa em relação ao eixo y é dado por: M y = íí p R dA y x x ) , ( O centro de massa, denotado por ) , ( y x é definido por: M M x y = e M M y x = O momento de inércia em relação ao eixo x é: I x = íí p R dA y x y ) , ( 2 O momento de inércia em relação ao eixo y é: I y = íí p R dA y x x ) , ( 2 O momento de inércia polar é: I 0 = íí p + R dA y x y x ) , ( ) ( 2 2 Observação Os valores y 2 , x 2 e (x 2 + y 2 ) que aparecem nestas expressões são as “distâncias ao quadrado”, como mostra a figura a seguir: y x y x k k P k No retângulo genérico R k , temos o ponto (x k , y k ) e R k , e: 2 k x é o quadrado da distância de P k ao eixo y. 2 k y é o quadrado da distância de P k ao eixo x. 2 2 k k y x + é o quadrado da distância de P k a origem. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-24 Exercícios 14. Determinar o centro de massa da chapa homogênea da figura abaixo. y x a R a ÷ 2 a a 3a Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-25 Resposta: ) , ( y x = | . | \ | 15 19 , 0 a 15. Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos y da chapa da figura a seguir, sabendo que a densidade de massa é igual a xy Kg/m 2 . y x 2 4 y R = x Resolução: Resposta: 102,4 Kg/m 2 7.14 Aplicações Físicas da Integral Tripla De maneira análoga ao que foi feito com as integrais duplas, vamos analisar o uso das integrais triplas para calcular a massa de um corpo, as coordenadas do seu centro de massa e o momento de inércia em relação a um eixo L. Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. Suponhamos que a densidade de massa por unidade de volume, em relação a um ponto (x, y, z), é dado pela função o = o(x, y, z), contínua em T. A massa total do corpo é dada por: M = ííí o T dV z y x ) , , ( O momento de massa em relação ao plano xy do sólido T é dado por: M xy = ííí o T dV z y x z ) , , ( Analogamente, o momento de massa em relação aos planos xz e yz são dados por: M xz = ííí o T dV z y x y ) , , ( e M yz = ííí o T dV z y x x ) , , ( Obtemos assim o centro de massa do sólido T, denotado por ) , , ( z y x definido por: M M x yz = , M M y xz = e M M z xy = Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-26 Outro conceito importante é o de momento de inércia em relação a um eixo L. No caso de sólidos, temos que a distância de uma partícula, com massa concentrada em (x k , y k , z k ), até os eixos coordenados é dada por: - Eixo z: 2 2 k k xy y x d + = ; - Eixo y: 2 2 k k xz z x d + = ; - Eixo x: 2 2 k k yz z y d + = . O momento de inércia em relação ao eixo z é: I z = ííí o + T dV z y x y x ) , , ( ) ( 2 2 O momento de inércia em relação ao eixo x é: I x = ííí o + T dV z y x z y ) , , ( ) ( 2 2 O momento de inércia em relação ao eixo x é: I y = ííí o + T dV z y x z x ) , , ( ) ( 2 2 Exercícios 16. Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por 2x + y + z = 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P(x, y, z) é proporcional a distância até o plano xy. 1 1 2 x z P y 1 y x z T Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-27 Resposta: M = 48 k unidades de massa. Centro de massa: | . | \ | 15 6 , 5 1 , 10 1 17. Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 e pelos planos z = 2 e z = 4, sabendo que a densidade de massa é igual a (x 2 + y 2 ) kg/m 3 . x z y T 4 2 3 Resolução: Resposta: 486t kg·m 2 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-28 7.15 Exercícios 18. Calcular a integral I = í í ÷ 1 0 4 4 2 x y dydx e . Resolução: Resposta: I = ( ) 16 1 8 1 ÷ ÷e 19. Calcular I = ( ) íí D dA y x y sin onde D é a região delimitada por x = 0, y = 2 t e x = y . y x D 2 t 2 t Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-29 Resposta: I = 2 2 ÷ t 20. Calcular I = íí D dA xy onde D é o triângulo OAB da figura a seguir. 1 2 0 1 2 x y A B D Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-30 Resposta: I = 8 13 21. Usando coordenadas polares, escrever na forma de uma integral iterada, a integral I = íí D dxdy y x f ) , ( onde D é a região delimitada por x 2 + y 2 ÷ ay = 0, a > 0. Resolução: Resposta: I = í í t u u u u 0 sin 0 ) sin , cos ( a drd r r r f 22. Calcular I = íí D dxdy y , sendo D a região delimitada por x 2 + y 2 ÷ ax = 0, a > 0. Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-31 Resposta: I = 0 23. Calcular I = íí + D dxdy y x 2 2 , sendo D a região limitada pelas curvas: x y x 2 2 2 = + , x y x 4 2 2 = + , x y = e x y 3 3 = . 1 2 x y D 3 4 6 t 4 t Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-32 Resposta: ( ) 11 2 10 9 7 ÷ = I 24. Calcular íí ÷ = D dxdy y x I ) ( , sendo D o paralelogramo limitado pelas retas: x ÷ y = 0, x ÷ y = 1, y = 2x e y = 2x ÷ 4. y x 4 2 4 ÷1 ÷2 D 2 3 y = 2x y = 2x÷ 4 y= 0 x ÷ y= 1 x ÷ Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-33 Resposta: I = 2 25. Calcular ( ) íí ÷ + ÷ = D dxdy y x I 2 2 ) 2 ( ) 2 ( , onde D é a região delimitada pela circunferência (x ÷ 2) 2 + (y ÷ 2) 2 = 4. Obs.: Aconselha-se o uso de duas transformações: 1 a : u = x ÷ 2 e v = y ÷ 2; 2 a : coordenadas polares. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-34 Resolução: Resposta: I = 8t Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-35 26. Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por y + z = 2 e pelo cilindro que contorna a região delimitada por y = x 2 e x = y 2 . x 1 1 y z x 2 1 1 1 y x y = x y = 2 Região D Sólido Resolução: Resposta: V = 60 31 unidades de volume 27. Calcular o volume do sólido abaixo do plano xy delimitado por z = x 2 + y 2 ÷ 9. y x 4 z ÷9 3 Resolução: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-36 Resposta: V = 2 81 t 28. Calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros x 2 + y 2 = 16 e x 2 + z 2 = 16. y x z 4 4 4 Resolução: Resposta: V = 3 128 unidades de volume Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-37 29. Calcular o volume do tetraedro dado na figura abaixo. y x z 3 1 2 Resolução: Resposta: V = 1 unidade de volume Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-38 30. Calcule a área da região delimitada por y = x 3 , y = ÷x e 3 20 3 2 + = x y . 4 2 x y D 8 -4 y = ÷x y = x 2 3 + 20 3 y = x 3 Resolução: Resposta: A = 24 unidades de área Cálculo II – (Lauro / Nunes) 8-1 8 Formulário e Referências 8.1 Formulário de Derivadas e Integrais DERIVADAS: Tome u e v como funções em x. Sejam x D u = u’ e c uma constante. 1) x D c = 0 2) x D (u + v) = u’ + v’ 3) x D (uv) = u’v + uv’ 4) x D | . | \ | v u = 2 ' ' v uv v u ÷ 5) x D [f (u)] = x D f (u) · u’ 6) x D n u = n· 1 ÷ n u · u’ 7) x D e u = e u · u’ 8) x D a u = a u · lna · u’ 9) x D ln|u| = u 1 · u’ 10) x D log a |u| = a uln 1 · u’ 11) x D senu = cosu · u’ 12) x D cosu = ÷senu · u’ 13) x D tgu = sec 2 u · u’ 14) x D cotu = ÷csc 2 u · u’ 15) x D secu = secu · tgu · u’ 16) x D cscu = ÷cscu · cotu · u’ 17) x D arcsenu = 2 1 ' u u ÷ 18) x D arccosu = 2 1 ' u u ÷ ÷ 19) x D arctgu = 2 1 ' u u + 20) x D arcsecu = 1 ' 2 ÷ u u u INTEGRAIS: 1) í udv = uv ÷ í vdu 2) í du u n = 1 1 + + n u n + c, (n = ÷1) 3) í du u 1 = ln|u| + c 4) í du e u = e u + c 5) í du a u = a a u ln + c 6) í udu sen = ÷cosu + c 7) í udu cos = senu + c 8) í udu 2 sec = tgu + c 9) í udu 2 csc = ÷cotu + c 10) í · du u u ) tg (sec = secu + c 11) í · du u u ) cot (csc = ÷cscu + c 12) í udu tg = ÷ln|cosu| + c 13) í udu cot = ln|senu| + c 14) í udu sec = ln|secu + tgu| + c 15) í udu csc = ln|cscu ÷ cotu| + c 16) í ÷ 2 2 u a du = arcsen a u + c 17) í + 2 2 u a du = a 1 arctg a u + c 18) í ÷ 2 2 a u u du = a 1 arcsec a u + c 19) í ÷ 2 2 u a du = a 2 1 ln a u a u ÷ + + c 20) í ÷ 2 2 a u du = ln 2 2 a u u ÷ + + c Cálculo II – (Lauro / Nunes) 8-2 8.2 Referências Bibliográficas 1. ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. Vol. 1 e 2. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. 2. FINNEY, R.L., et al. Cálculo – George B. Thomas. Vol. 1 e 2. 10.ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. 3. GONÇALCES, M.B., et al. Cálculo B. São Paulo: MAKRON Books do Brasil Editora Ltda, 1999. 4. GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. Vol.1 e 2. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 5. LEITHOLD, L. O Cálculo – com geometria analítica. Vol. 1 e 2. 2.ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981. 6. MUNEM, M. e FOULIS, D. Cálculo. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1998. 7. MURRAY R. SPIEGEL. Cálculo Avançado. Coleção Schaum. Ed. McGraw-Hill do Brasil, Ltda. Rio de Janeiro – Brasil, 1971. 8. PISKOWNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Vol.1 e 2. Porto: Lopes da Silva, 1992. 9. SHENK, A. Cálculo e Geometria Analítica. Vol.1 e 2. Rio de Janeiro: Campus, 1997. 10. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Editora Mc-Graw Hill do Brasil, 1983. 11. STEWART, J. Cálculo. Vol. I. 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Cálculo II – (Lauro / Nunes) ii Índice 1 1.1 1.1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.4 1.5 2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.6 2.6.1 2.7 2.7.1 2.7.2 2.8 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 Integrais Impróprias ............................................................................ 1-1 Limites infinitos de integração ............................................................ 1-3 Testes de Comparação .......................................................................... 1-6 Integrandos com descontinuidades infinitas ......................................... 1-8 Algumas aplicações das integrais impróprias ..................................... 1-14 Cálculo do comprimento de uma circunferência ................................. 1-14 Aplicações em estatística .................................................................... 1-15 Aplicações em transformadas integrais ............................................... 1-15 Função Gama e Função Fatorial ......................................................... 1-16 Integrais Impróprias no Campo da Economia ..................................... 1-16 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software MAPLE ...... 1-17 Exercícios Propostos ......................................................................... 1-17 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais ........................................ 2-1 Como as abelhas se comunicam?......................................................... 2-1 Coordenadas Polares ........................................................................... 2-3 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares ............................... 2-4 Caso Geral da Espiral de Arquimedes................................................... 2-5 Constante ............................................................................................. 2-5 Caso Geral da Cardióide....................................................................... 2-6 Caso Geral do Caracol.......................................................................... 2-6 Caso Geral da Rosácea ......................................................................... 2-7 Gráficos diversos em coordenadas polares........................................... 2-9 Equação do pólo (origem) .................................................................... 2-9 Equação que passa pela origem ............................................................ 2-9 Retas paralelas e perpendiculares ao eixo polar .................................. 2-10 Algumas circunferências .................................................................... 2-10 Limaçons ........................................................................................... 2-11 Cardióides .......................................................................................... 2-12 Lemniscata de Bernoulli ..................................................................... 2-12 Espiral de Arquimedes ....................................................................... 2-12 Rosáceas ............................................................................................ 2-13 Áreas em Coordenadas Polares.......................................................... 2-14 Área de um Setor Circular .................................................................. 2-14 Áreas em Coordenadas Polares (dedução) .......................................... 2-14 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto ................... 2-20 Volume em Coordenadas Polares ....................................................... 2-20 Fórmula do Volume Simplificada ....................................................... 2-22 Diferencial do Comprimento de Arco ................................................ 2-22 Comprimento de Arco ........................................................................ 2-23 Área da Superfície de Sólidos de Revolução...................................... 2-24 Dedução da Fórmula Cartesiana ......................................................... 2-24 Área da Superfície de Sólidos de Revolução na Forma Polar .............. 2-26 Exercícios ......................................................................................... 2-28 Integrais Eulerianas ............................................................................. 3-1 Leonhard Euler.................................................................................... 3-1 Função Gama () ................................................................................ 3-2 Fórmula de Recorrência ....................................................................... 3-2 Função Gama para 0 n 1 ............................................................... 3-3 Função Gama para n 0 ..................................................................... 3-3 Gráfico da Função Gama...................................................................... 3-4 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3.3 3.3.1 3.4 4 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.4 4.4.1 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.5.7 4.5.8 4.5.9 4.5.10 4.5.11 4.5.12 4.6 5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.2 6.3 6.3.1 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.5 6.5.1 6.5.2 7 iii Função Beta ()................................................................................... 3-5 Definições Decorrentes ........................................................................ 3-6 Exercícios ........................................................................................... 3-7 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais ................... 4-1 O Espaço Vetorial n ......................................................................... 4-1 Produto Interno em n ........................................................................ 4-2 Norma de x n ou Comprimento do Vetor x n ........................... 4-2 Propriedades da Norma Euclideana | x | x, x ........................... 4-2 Distância em n ................................................................................. 4-3 Propriedades das Distâncias em n ...................................................... 4-3 Bolas e Conjuntos Limitados ............................................................... 4-4 Definição: Segmento de Reta ............................................................... 4-5 Definição: Conjunto Convexo .............................................................. 4-5 Definição: Ponto de Acumulação ......................................................... 4-5 Definição: Conjunto Limitado .............................................................. 4-5 Definição: Ponto Interior ...................................................................... 4-5 Definição: Ponto Exterior ..................................................................... 4-5 Definição: Ponto Fronteira ................................................................... 4-5 Definição: Conjunto Aberto ................................................................. 4-6 Definição: Conjunto Fechado ............................................................... 4-6 Definição: Conjunto Conexo ................................................................ 4-6 Definição: Região Aberta ..................................................................... 4-7 Definição: Região Fechada ................................................................... 4-7 Exercícios ........................................................................................... 4-8 Funções em Espaços n-Dimensionais .................................................. 5-1 Introdução ........................................................................................... 5-1 Limites e Continuidade de Funções de n-Variáveis Reais .................... 5-7 Limites de Funções em n ................................................................... 5-7 Continuidade de Funções em n .......................................................... 5-9 Derivadas ............................................................................................ 6-1 Derivadas Parciais ............................................................................... 6-1 Incremento parcial e incremento total ................................................... 6-1 Regras de derivação ............................................................................. 6-4 Derivadas Parciais Sucessivas .............................................................. 6-8 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais................................ 6-10 Equações das Retas Tangentes ........................................................... 6-11 Diferenciabilidade .............................................................................. 6-14 Gradiente .......................................................................................... 6-20 Diferenciais ....................................................................................... 6-22 Generalizando as diferenciais ............................................................. 6-23 Derivadas de Funções Compostas...................................................... 6-26 Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis Intermediárias ....... 6-26 Regra da Cadeia para Funções de Três Variáveis Intermediárias......... 6-27 Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes e Três Variáveis Intermediárias ................................................................................... 6-28 Regra da Cadeia Generalizada ............................................................ 6-29 Derivadas de Funções Implícitas ........................................................ 6-31 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis ........................ 6-34 Teorema de Weierstrass ..................................................................... 6-37 Aplicações: Exercícios ....................................................................... 6-38 Integrais Duplas e Triplas .................................................................... 7-1 .................. 8-1 Referências Bibliográficas ........ 7-25 Exercícios ......................................5............................... 7-4 Área da Região D ........................................... 7-20 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas .....................2...................................................................3 7....................................................4 7..... 7-10 Área A’ do retângulo em D’ ..................................................................... 7-9 Coordenadas Polares ............. 7-4 Propriedades das Integrais Duplas ..................................................................4 7....10 7............................................................................................9 7... 7-23 Aplicações Físicas da Integral Tripla .. 7-15 Integrais Triplas ................. 7-5 Definição: Integrais Iteradas .......................................................... 7-6 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas ..................................3 7.......................5............................................................................3........... 8-1 Formulário de Derivadas e Integrais ...........1 8......... 7-19 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas ........2...................1 7............................................2 7....................5....................... 7-10 Obtenção da fórmula ..........2 iv Introdução .........6 7....................................................... 7-28 Formulário e Referências .............................2...................................................................5.......................................................... 7-17 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas ..........1 7..........13 7...............14 7.................... 7-1 Integrais Duplas ........5 7.............................................1 7..............15 8 8......11 7............ 7-11 Cálculo de Volumes (Aplicações)............... 8-2 ................................... 7-11 Integral dupla em D’ ....................3............2 7.... 7-13 Cálculo de Áreas de Regiões Planas ...............................................2 7.............. 7-5 Teorema para o Cálculo de Integrais Duplas ..........................2 7...........8 7.....7 7........................ 7-10 Área A do retângulo polar em D ............... 7-3 Interpretação Geométrica ................................................12 7..................................... 7-21 Aplicações Físicas da Integral Dupla ................................................... 7-16 Cálculo de Integrais Triplas ................1 7..........3 7.................. 7-4 Cálculo de Integrais Duplas .......Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7............................. considere o problema de calcular a área da superfície situada abaixo 1 da curva que representa o gráfico da função de regra y 2 . b foi assumido que o intervalo de integração de a até b era finito. fazendo t . podemos obter: 1 1 3 1 1 x 2 = x 1 4 1 4 . acima do eixo das abscissas e à x direita da reta x = 1 (perceba que esta região se estende infinitamente à medida que os valores de x crescem). Prosseguindo desta forma. percebemos que se limitarmos a referida área pela reta x t . No entanto. Primeiramente. a função f era definida em todos os pontos do intervalo limitado a. Agora estenderemos o conceito de integral definida para os casos onde o intervalo de integração é infinito e também para os casos onde a função f tem descontinuidades infinitas em a. 2 x x 1 2 1 2 2 Analogamente. pois estamos acostumados a raciocinar sobre dimensões finitas. 4 3 dx 1 3 1 1 2 dx 4 . vamos num primeiro momento. b e f não tinha descontinuidades infinitas neste intervalo. Em outras palavras. calcular a área hachurada na primeira das figuras abaixo. a área dada pela integral 1 2 dx 1 1 1 1 = . a área da região em questão se aproxima cada vez mais de 1. b . Da mesma forma. era necessário que a imagem do integrando fosse finita neste domínio. Desta forma. e aumentarmos cada vez mais o valor de t. Além disso. obtemos 1 x 2 = x 1 3 1 3 . se a região cuja área que está sendo calculada estiver limitada à esquerda pela reta x 1 e à direita pela reta x 4 . para motivar uma definição razoável para integrais com limites infinitos de integração. Por exemplo. dependendo da função que limita superiormente a área que estamos calculando o resultado poderá ser diferente. isto é. isto é. se quisermos calcular a área até a reta x 3 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-1 1 Integrais Impróprias Na definição das integrais definidas a f ( x)dx . Normalmente a intuição nos leva a imaginar erroneamente que a referida área é infinita. será possível definirmos precisamente o significado de integral imprópria onde o limite de integração é infinito. Mas antes disto. 1 x 2 1-2 pela regra y 1 . x acima do eixo das abscissas e à direita da reta x = 1. vamos apresentar uma outra questão para motivar ainda mais os estudos das integrais impróprias: Pergunta: É possível de se pintar um muro de área infinita com o conteúdo de uma lata de tinta de volume finito? Antes de responder a esta pergunta. considere o seguinte problema: Calcular a área da 1 superfície situada abaixo da curva que representa o gráfico da função de regra y f x . a referida área x Usando esta discussão como guia. calcule a área da região hachurada da figura que segue (perceba que esta região se estende infinitamente à medida que os valores de x crescem). isto é. .Cálculo II – (Lauro / Nunes) se neste mesmo caso substituirmos a função de regra y seria infinita. o volume de um sólido de revolução. a integral imprópria converge e. Assim. Desta forma.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-3 Será mostrado. será visto que o volume deste sólido pode ser dado também por uma integral imprópria representada por dx 1 x 2 . foi sugerido que se alguém pudesse saturar o interior deste sólido com tinta e permitir que esta fosse filtrada para a superfície. a integral imprópria diverge.1 Limites infinitos de integração Seja f uma função definida e contínua para todo x tal que a x b. Este sólido recebe o nome de “Corneta de Gabriel”. 1 x Agora imagine que a região hachurada do problema anterior gira em torno do eixo das abscissas. será gerado o sólido de revolução apresentado na figura seguinte. Retornando para a questão inicial. que a referida área será dada por uma integral chamada dx de integral imprópria e será representada por = . Pode-se dizer ainda que. y b dx 0 1 x 2 b x . Qual seria então o volume deste sólido? Depois de apresentadas as definições de integrais impróprias. caso não exista. Neste caso. a referida área é infinita. Então a f ( x)dx = lim f ( x)dx b a b (01) Se este limite existe (como um número real). gerado por uma superfície de área infinita pode ter um volume finito. Isto significa que o volume solicitado é igual a unidades de volume. então poderia pintar uma superfície infinita com uma quantidade de tinta finita! O que você acha? 1. neste capítulo. caso exista o limite. Finalmente. Neste caso. Exemplos 1. se qualquer um dos limites não existir. Novamente. estamos assumindo que o mesmo tem como resultado um número real. Em todos estes casos. a integral imprópria diverge. a integral imprópria diverge. 1 x2 Resolução: Resposta: 2 . dizemos que integral imprópria converge se ambos os limites existirem e que.Cálculo II – (Lauro / Nunes) y 1-4 0 1 x 2 dx x De forma análoga são definidas as outras integrais impróprias com limites infinitos: f ( x)dx alim a f ( x)dx b b (02) Se este limite existe (como um número real). quando dizemos que um limite existe. caso exista este limite. Calcular 0 dx . caso não exista. dizemos que. a integral imprópria converge e. se os dois limites de integração são infinitos temos: f ( x)dx f ( x)dx c c f ( x)dx = lim f ( x)dx + lim f ( x)dx a a b c c b (03) Se estes limites existirem (como números reais). Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2. Calcular 1-5 1 x 2 . dx Resolução: Resposta: 3. Calcule a integral e o limite dos itens seguintes: a) x dx e b) rlim r x dx r a) Resolução: Resposta: diverge Cálculo II – (Lauro / Nunes) b) Resolução: 1-6 Resposta: 0 Desta forma, este exemplo ilustra o porquê de não podemos utilizar o limite em (b) para definir a integral imprópria em (a). 4. Discutir os valores de para os quais a integral Resolução: 1 dx x converge ou diverge. Resposta: DIVERGE 5. Verifique os resultados das seguintes integrais do exemplo citado no começo deste capítulo, onde se propõe que um muro de área infinita seja pintado com o conteúdo de dx dx uma lata de tinta de volume finito, isto é: = e que 2 . 1 1 x x Resolução: Resposta: e , respectivamente. 1.1.1 Testes de Comparação Muitas vezes não podemos resolver uma integral imprópria diretamente, então tentamos primeiramente determinar se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, podemos utilizar métodos numéricos para resolvê-la de forma aproximada. Para auxiliar nesta tarefa de decidir se a integral converge ou diverge alguns teoremas podem ser utilizados: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-7 Teorema Se, x a , 0 f (x) g (x) e se converge e a g ( x )dx converge, então a f ( x )dx também a f ( x )dx a g ( x )dx . A prova deste teorema está sendo omitida, no entanto, a figura que segue o faz parecer plausível. Exemplo 6. Estudar a convergência da integral Resolução: 1 2 dx x (1 e x ) . Resposta: CONVERGE Teorema Se, x a , 0 (x) f (x) e se diverge. a ( x)dx diverge, então a f ( x)dx também Exemplo 7. Estudar a convergência da integral Resolução: 1 ( x 1) x3 dx . b ] . Exemplo 8.2 Integrandos com descontinuidades infinitas Definição Se a função f é contínua no intervalo ]a . Resposta: CONVERGE 1. Observação Diz-se que a última integral é absolutamente convergente. então a f ( x)dx lim a f ( x)dx 0 b b (04) se este limite existir (como um número real). Estudar a convergência da integral Resolução: 1 sin x x 3 dx . Definição Se a função f é contínua no intervalo [ a . então a f ( x)dx lim a 0 b b f ( x) dx (05) se este limite existir (como um número real). b[ .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-8 Resposta: DIVERGE Teorema Se a f ( x ) dx converge. então a f ( x)dx também CONVERGE. . 2 dx Resolução: Resposta: 10. Calcular b lim 0 c a f ( x) dx lim 0 b c f ( x) dx (06) se os limites existirem (como números reais).Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-9 Definição Se a função f é contínua no intervalo [ a . 0 x3 . DIVERGE 0 1 xdx 1 x 2 . então a f ( x )dx Exemplos 9. b ] exceto em c tal que a c b . . sem utilizar os limites apropriados. 2 dx Resolução: Resposta: DIVERGE ATENÇÃO: Muitas vezes pode parecer “tentador” aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo diretamente a uma integral imprópria. vamos ignorar que a integral deste exemplo é imprópria: . Para ilustrar o que pode acontecer. Calcular 1 0 (x 1) 2 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-10 Resolução: Resposta: 11. 2 dx 2 Outros Exemplos de Integrais Impróprias Calcular as seguintes integrais impróprias: 12. pois como o integrando nunca é negativo. o valor desta integral também não poderia ser. 1 a x2 Resolução: 0 2 dx .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-11 1 0 (x 1)2 = x 1 0 1 (1) 2 o que é errado. Resolução: Resposta: 13. x 0 e dx . 0 x sin xdx . Resposta: 2a 14. Resolução: Resposta: DIVERGE . x Resolução: 1 dx . dx Resolução: Resposta: DIVERGE . DIVERGE x 2 2 x 2 . Resposta: 16. 03 x . 1 x 4 . dx Resolução: Resposta: 17. 1 dx Resolução: Resposta: 1 3 2 18.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-12 15. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-13 19. 0 ax e sin bx dx . Resolução: . 3.3 Algumas aplicações das integrais impróprias 1. Para simplificar os cálculos vamos admitir que o círculo tem o centro na origem e raio r. sua equação será x 2 y 2 r 2 . Iremos considerar o comprimento do arco que está no primeiro quadrante e depois multiplicar o resultado por 4. temos que o comprimento de curva procurado será dado por: .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-14 Resposta: b a b2 2 1. obtendo o comprimento total da circunferência. assim.1 Cálculo do comprimento de uma circunferência Deduzir a fórmula C 2 r para o cálculo do comprimento da circunferência de um círculo de raio r. Como o semicírculo superior é dado por y r 2 x 2 . as seguintes características: a) a distribuição é simétrica em relação a x = . pois f é uma função par.3 Aplicações em transformadas integrais Sejam f t e g p. e) A área sob a curva normal entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre estes pontos. assim: r 2 x b = 4 r lim arcsin = 4 r lim arcsin arcsin 0 br 0 r 2 x 2 br br r 0 r C = 4 r lim arcsin 1 arcsin 0 = 4 r 0 2 r .3. indicada por F p e 0 f t g p. t dt F ( p ) chamada de Transformada Integral de f t . com média e desvio padrão . Da teoria das probabilidades é mostrado que f ( x)dx 1. t . x d) a função admite dois pontos de inflexão para x . enquanto que o parâmetro indica a dispersão em torno da média.3. ou seja. lim f ( x) 0 e x lim f ( x) 0 .2 Aplicações em estatística As integrais impróprias são amplamente utilizadas na teoria das probabilidades. . entre outras. funções de variáveis t e p. pois existe uma descontinuidade infinita em x = r. b) a função f tem um ponto de máximo para x = . br 2 C 4 r lim b dx b 1. c) a função f é duplamente assintótica ao eixo das abscissas. 1 Por exemplo. O número indica onde a distribuição de probabilidades está centralizada. a função cuja regra é f ( x ) e 2 é chamada de função da 2 densidade de probabilidade normal. a integral imprópria produz uma nova função da variável p. 1.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-15 2 r r x dx dy dx = 4 r C 4 1 dx = 4 1 0 r 2 x2 0 0 2 2 dx r x Esta última integral é imprópria. 1 x 2 Esta função possui. 1.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-16 Há vários tipos de transformadas integrais. Se a receita continuar indefinidamente. A função g p. Se g w. a função Gama é definida através da seguinte integral imprópria: ( n ) x n1e x dx 0 é uma função convergente quando n 0. onde 1 será mostrado. que são muito utilizadas para encontrar soluções de equações diferenciais. 2. Por exemplo. A transformada de Laplace transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica. 1. suponha que exista um fluxo contínuo de receita para o qual o juro é acumulado continuamente à taxa de 100 i por cento e f t reais é a receita por ano.4 Função Gama e Função Fatorial Definida pelo matemático Leonard Euler. t é chamada de núcleo da transformação. em qualquer tempo de t anos.5 Integrais Impróprias no Campo da Economia São muitas as aplicações das integrais impróprias na economia. 3. de toda receita futura é dado pela seguinte integral imprópria: V 0 f t e it dt . sendo possível estender as definições destes para todo número real pertencente ao conjunto {0. entre outras coisas. 0 e x2 dx e u 1 u du 1 u 2 2 0 0 1 2 1 1 2 e u du 1 ( 1 ) 2 2 1 2 . como por exemplo: 0 e x2 dx . Por exemplo: Para n 1: 1 1 (1) lim x lim 1 b 1. t e iwt . }. 2 u x 2 du 2 x dx dx 1 x 1 du 2 x u 2 dx 1 u 2 1 x n 1e x dx ( n ) 0 1 2 du . a transformada de f t é chamada de Transformada de Fourier de f t . 1. a função Gama também possibilita o cálculo de diversas integrais que seriam complicadas de serem resolvidas por métodos convencionais. Além de aplicações na estatística. Estudos mais aprofundados das transformadas integrais. que e apresentada uma fórmula conhecida por 2 “Fórmula de Recorrência”. por exemplo as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier. o valor atual. 2. então a transformada de f t é chamada de Transformada de Laplace. b e b e 0 Este assunto será estudado de forma mais detalhada em um capítulo posterior. a função gama generaliza a função fatorial.3. t e pt . Desta forma. Por exemplo: Se g p . bem como das equações diferenciais serão efetuados em outras disciplinas mais específicas. V reais. que é: 11 x x e dx 0 x e dx 0 b lim e x dx b 0 b ( n 1) n ( n ) n ! ( n 1. ). .3. facilitando a sua resolução. infinity).5 Exercícios Propostos Resolva os seguintes exercícios sobre integrais impróprias: 20. especificando o número de dígitos. Na sequência utilize o comando de integração >int(f.14579. 1 neste caso ln 5 arctan2 . 2 Para se obter o valor numérico desta expressão. podemos utilizar o comando de cálculo evalf. 2 1.. da seguinte forma: >evalf(“. Assim.4 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software MAPLE Na seqüência apresentamos um exemplo do uso do MAPLE para resolver integrais impróprias: x3 Calcule a integral dx 2 x 1 x 2 1 Inserimos os dados da seguinte forma: >f : = (x+3) / ( (x-1)*(x^2+1) ). O Software MAPLE fornece a resposta: 1 ln 5 arctan2 . Calcular Resolução: 1 0 xe x dx Resposta: 1 .6). O símbolo (“) indica ao computador para calcular o valor da última expressão da tela. o valor fornecido será 1. Calcular Resolução: x 0 e dx Resposta: 21.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-17 1. x=2. Calcular Resolução: 1 1 x 2 4 dx Resposta: 24. Calcular Resolução: x 2 1 dx Resposta: 23.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-18 22. Calcular Resolução: 2 0 2 cos x sin x dx Resposta: 2 . Calcular Resolução: DIVERGE 1 x 4 1 dx Resposta: 28. Calcular Resolução: 0 x 2 dx Resposta: 27. Calcular Resolução: 0 2 dx 4 x2 Resposta: 2 2 26. Calcular Resolução: DIVERGE x 2 4 x 9 dx .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-19 25. Determine k para que se tenha e dx 1 . 2 e kx dx y 1 Gráfico da função para k <0 x Obs: Resolução: k x e dx 1 2 k0 Resposta: k 4 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-20 Resposta: k x 5 29. 1 Resolução: 1 1 dx Resposta: DIVERGE .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-21 30. Utilize o teste da comparação para concluir se as integrais seguintes convergem ou divergem: a) x Resolução: 1 sin 2 2 x dx Resposta: b) CONVERGE x 2 0. Em 1788 o reverendo Ernst Spitzner já havia relatado a existência de movimentos especiais (danças) de algumas abelhas no favo. A comunicação pode apresentar tal complexidade que o próprio ser humano muitas vezes é incapaz de interpretar o significado de certos sinais usados na linguagem dos animais. onde se encontra a fonte de alimento. com grande precisão. retornam para casa (colmeia) e informam às companheiras. semi-sociais e sociais.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-1 2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 2. experimentalmente. A comunicação entre elas é tanto mais elaborada e complexa quanto mais evoluído e social for seu grupo. Neste aspecto destacamos o pesquisador austríaco Karl von Frisch. que demonstrou. que as abelhas campeiras. na Austria. sons ou ruídos e danças ou movimentos rítmicos os quais são usados para comunicarem a localização de alimentos. A comunicação entre as abelhas pode ser através de sinais químicos ou cheiros. tendo surgido na face da terra há mais de 50 milhões de anos (Figura a seguir) e sempre presentes em civilizações antigas como dos gregos e egipcios. presença de inimigos. movimentos. pelas suas descobertas. químicos. A comunicação é a troca ou transferência de mensagens ou informações entre dois ou mais seres vivos. produção de substâncias (feromônios) etc. Existem abelhas solitárias. agregação. As abelhas sem ferrão (Meliponas) e as abelhas do mel. . água. porém desconhecia o significado dessas danças. 1953). abandono do ninho etc. há mais de cinco séculos (Figura seguinte). Gonçalves-FFCLRP-USP-Ribeirão Preto-SP As abelhas são insetos que pertencem à ordem dos Himenóptera. Para que isso ocorra há a necessidade de um código prévio de sinais ou informações que constituirão a base da linguagem a ser usada na comunicação.1 Como as abelhas se comunicam? Lionel S. atração sexual. sendo a comunicação o principal fator que as distingue quanto a sua sociabilidade. recebeu o Prêmio Nobel de Medicina e Fisiologia em 1973. por Karl von Frisch. biológicos ou uma combinação deles apresentados na forma de reações do organismo. após localizarem uma fonte de alimento. Esses sinais podem ser físicos. Estas informações são transmitidas por intermédio de danças especiais (Figura a seguir) que indicam a direção e a distância onde se encontra a fonte de alimento (von Frisch. locais de nidificação. A explicação do significado da dança das abelhas deu-se somente a partir de 1920. que após 50 anos de estudos sobre comunicação das abelhas. em Luz am See. Entre os diversos aspectos da vida dos animais talvez a comunicação seja o que mais fascina os cientistas. Portanto. ou Apis mellifera são as mais evoluidas. As Apis mellifera ou abelhas de mel ou abelhas Europa são dotadas de um sistema de comunicação dos mais complexos e precisos entre os animais. as abelhas apresentam linguagem que lhes permitem não apenas se comunicarem entre si como também lhes garantem a sobrevivência da espécie. À medida que o sol se movimenta a abelha corrige o ângulo correspondente. há mais de 500 anos antes de Cristo. as abelhas são capazes de se orientar mesmo após o por do sol. como o “Símbolo do bem estar”. Segundo esses mesmos autores existem inclusive dialetos na comunicação das abelhas. ao saírem da colméia. Os olhos compostos (omatídeos) e olhos simples (ocelos) auxiliam na localização exata da fonte de alimento. Por outro lado. As abelhas sem ferrão não realizam danças. não necessitam ver o sol enquanto dançam. 1965 e Lindauer & Kerr. tomando por base o ângulo informado na dança. Portanto. 1960). se orientam com ângulo de 45 graus à direita do sol para localizar o alimento. 1956). inicialmente oferecendo alimento (trofalaxis) e a seguir executa movimentos rítmicos do abdômen. “dança em foice” e “dança do requebrado” (Figura seguinte) (von Frisch & Lindauer. fornece um ângulo que corresponde exatamente ao ângulo formado entre a fonte de alimento (árvore com flor). Se o ângulo é de 45 graus a direita do fio de prumo. Ao se aproximarem da flor elas usam as células sensoriais (sensillas) localizadas nas suas antenas que captam os sinais químicos ou cheiros. Mesmo hoje em qualquer parte do . As abelhas operárias que assistem a dança. após chegar da fonte de alimento. 1960. A abelha utiliza o sol como sua bússola. e a distâncias intermediárias é executada a dança em foice. procura se comunicar com as companheiras no favo. comunicando-se por sinais sonoros e sinais químicos (trilhas de cheiros) (Kerr. sendo consideradas pelos gregos e egípcios. Na “dança do requebrado” a abelha. as abelhas Apis mellifera apresentam um dos mais perfeitos sistemas de comunicação entre os animais. sendo as abelhas mais primitivas quanto a comunicação. graças ao complexo sistema de órgãos sensoriais (antenas. Kerr & Esch.Cálculo II – (Lauro / Nunes) Sol 60o Colméia 60o Árvores Flôres 2-2 Dança do requebrado Existem três tipos de danças: “dança em círculo”. sendo extremamente importante sua localização para que seja informado o local da fonte de alimento (árvore com flores). A distância é informada pelo som produzido pelas vibrações do abdômen. localizam a fonte de alimento. no interior da colméia. em relação ao fio de prumo. podendo executar as danças mesmo no escuro. A vida das abelhas é tão fascinante que desde o início da civilização elas estavam presentes entre os povos de cultura. posição do sol e colméia. olhos) e das danças. As abelhas enxergam o sol mesmo através das nuvens (raios ultravioletas). Círculo Foice Requebrado Gonçalves (1969) comprovou experimentalmente que as abelhas Apis mellifera usam tanto o cheiro (67%) como a dança (33%) para se comunicar. Quando a fonte de alimento se encontra a pequenas distâncias da colméia é executada a dança em círculo. A direção em que a dança é feita no favo. As mamangavas (Bombus) não produzem sons nem danças. No entanto. Quando a fonte se encontra a grandes distâncias é executada a dança do requebrado. No sistema de coordenadas polares no plano. existem outros sistemas de coordenadas que podem ser usados. . B(1. P O x Exemplos 1. 4 3 3 6 4 Resolução: 3 4 2 3 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: . Represente no plano os pontos (. ) onde: 8 5 A(1. . Porém. O raio fixo é chamado de eixo polar (reta polar) representado por “Ox”.0) . E 2. .2 Coordenadas Polares O sistema de coordenadas mais utilizado é o cartesiano. F 3. as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a um raio fixo (semi-eixo). . são encontrados estudiosos que procuram entender cada vez mais o maravilhoso mundo organizado desses importantes insetos que tantos benefícios trazem ao homem. A cada ponto P do plano. são associadas suas coordenadas polares (. D 1. Ângulo entre o eixo polar e a reta OP . e G 3.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-3 mundo. Um deles que pode ser comparado em importância ao sistema de coordenadas cartesianas é o sistema de coordenadas polares.0) . 2. C 2. O ponto fixo é chamado pólo (origem) representado pela letra “O”.) que consistem em: Distância do pólo O ao ponto P. E 2. 2 6 6 4 4 2 4 Resolução: 3 4 2 3 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: 2. Tome também o eixo polar coincidindo com o eixo “Ox”.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2. ) é o ponto em coordenadas polares. temos: y O x P x 2 y 2 x x cos cos 2 2 x y y y sin arctan y x sin x2 y 2 (. . .1 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares Para a representação do mesmo ponto em coordenadas cartesianas e coordenadas polares vamos tomar o ponto O como origem dos dois sistemas. ) onde: 2-4 31 5 7 3 3 A( 1. . Represente no plano os pontos (. e G 2. F 3. D . ) . . B(3. C 2.3) . ( x. Se P não coincidir com o pólo (origem). .2. y ) é o ponto em coordenadas cartesianas. 3 2 3 2 5 6 3 4 3 4 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: 2.1 3. Representa-se por: f () Existem alguns casos especiais de funções em coordenadas polares que serão tratados a seguir.8 1. Construir o gráfico da função: .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-5 Definição Uma função em coordenadas polares é uma relação que associa a cada ângulo (medido em radianos) um único real (que pode ser negativo).1 3. R .2.7 5. 2.2 Caso Geral da Espiral de Arquimedes a ( a 0. para 0 2.5 6.3 Constante R (constante) é um círculo de raio R . a ) 3.2. 0 0 0 4 4 2 2 2 3 2 3 5 4 5 4 3 2 3 2 7 4 7 4 2 2 ~ Resolução: 0.9 4.6 2. é uma CARDIÓIDE: a (1 cos ) a (1 cos ) a (1 sin ) a (1 sin ) 4.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-6 2. . a b cos .5 Caso Geral do Caracol Se a e b não são nulos.4 Caso Geral da Cardióide O gráfico de qualquer uma das equações polares seguintes.2. Construir o gráfico da função: 2 2 cos (cardióide). Resolução: 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 ~ 3 4 2 3 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: 2. então os gráficos das equações polares seguintes são CARACÓIS. a b sin .2. com a 0. 6 Caso Geral da Rosácea Qualquer uma das equações abaixo representa uma rosácea. Construir o gráfico da função: 2 4 cos (caracol). Se n é par. n N a sin n a cos n O gráfico consiste em um certo número de laços pela origem.2. há 2 n laços. .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5. considerando as condições seguintes: a 0. há n laços. Resolução: 0 6 2-7 4 3 2 2 3 3 4 5 6 ~ 3 4 2 3 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: 2. a e n 1. Se n é ímpar. Construir os gráficos das rosáceas nos itens a) e b). Rosáceas de quatro pétalas (folhas): a) 3 sin 2 Resolução: 2 0 6 4 3 3 2 ~ 3 4 2 3 2-8 3 4 5 6 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: b) 3 cos 2 Resolução: 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 ~ 3 4 2 3 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6. Se considerarmos o quadrado do primeiro termo na rosácea seguinte. n n. com nZ} 2 2 D {R. temos: 2 4 cos 2 (Lemniscata de Bernoulli).3 Gráficos diversos em coordenadas polares 2. com nZ} 4 4 Resolução: 2 3 5 0 6 4 2 3 3 4 6 ~ 3 4 2 3 2-9 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: 2.1 Equação do pólo (origem) 0 2 3 3 5 4 6 2.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7. 2n 2 2n.3.3.2 Equação que passa pela origem r (r constante) 7 ou 6 6 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 7 5 4 3 3 2 7 5 4 3 . Dicas para fazer o gráfico: 2 cos 2 0 cos 2 1 Tome D como o domínio de tal que: D {R. 3 Retas paralelas e perpendiculares ao eixo polar a) sen b sin 3 ou 2 3 3 5 4 6 2 3 sin sin 3 ou 2 3 3 5 4 6 3 4 6 0 2 11 6 2 3 sin 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 3 2 5 3 7 4 b) cos a cos 3 ou 2 3 3 5 4 6 2 3 cos cos 3 ou 2 3 3 5 4 6 3 4 6 0 2 11 6 2 3 cos 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 7 5 4 3 3 2 7 5 4 3 2.4 Algumas circunferências a) r (constante) 2 3 3 5 4 6 2 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 b) 2acos 4cos (a 0) 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 4cos (a 0) 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 3 2 5 3 7 4 .3.3.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-10 2. 5 Limaçons a bcos ou a bsin. a) Se b a a curva tem um laço 1 2cos 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 1 2cos 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 7 5 4 3 3 2 5 3 7 4 2 3 3 5 4 6 1 2sin 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 1 2sin 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 3 2 5 3 7 4 b) Se b a a curva não tem laço 3 2cos 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 3 2cos 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 7 5 4 3 3 2 5 3 7 4 . b R. onde a.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-11 c) 2bsin 4sin (b 0) 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 4sin (b 0) 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 7 5 4 3 3 2 7 5 4 3 2.3. (Obs: 0 4) 2 3 4 6 0 2 11 6 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 3 2 5 3 7 4 .3. 2 4cos(2) 2 2 2 a. onde a 0.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-12 2 3 3 5 4 6 3 2sin 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 3 2sin 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 3 2 5 3 7 4 2. a( 1 cos) ou a( 1 sin).3.6 Cardióides São limaçons onde a b. onde a R. 2(1 cos) 2 3 4 3 5 6 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 4 3 5 6 2(1 cos) 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 3 2 5 3 7 4 2 3 3 5 4 6 2(1 sin) 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 2(1 sin) 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 7 5 4 3 3 2 7 5 4 3 2.3. onde a R.8 Espiral de Arquimedes 2 3 3 4 5 6 a cos(2).7 Lemniscata de Bernoulli 2 3 3 4 5 6 2. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-13 2.3. onde a R e n N. 3cos(2) 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 2 3 3 5 4 6 3sin(2) 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 2 3 3 5 4 6 7 6 5 4 4 3 2 3 3 5 4 6 3 2 5 3 7 4 3 2 5 3 7 4 4cos(3) 2 4sin(3) 2 3 4 6 0 2 11 6 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 2 3 3 5 4 6 7 6 5 4 4 3 2 3 3 5 4 6 3 2 5 3 7 4 3 2 5 3 7 4 4cos(4) 2 4sin(4) 2 3 4 6 0 2 11 6 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 2 3 3 5 4 6 7 6 5 4 4 3 2 3 3 5 4 6 3 2 7 5 4 3 3 2 5 3 7 4 4cos(5) 2 4sin(5) 2 3 4 6 0 2 11 6 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 2 3 3 5 4 6 7 6 5 4 4 3 2 3 3 5 4 6 3 2 7 5 4 3 3 2 5 3 7 4 4cos(6) 2 4sin(6) 2 3 4 6 0 2 11 6 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 7 6 5 4 4 3 3 2 7 5 4 3 3 2 7 5 4 3 .9 Rosáceas acos(n) ou asin(n). ] definida por: 0 1 2 i1 i i1 n1 n . n.2 Áreas em Coordenadas Polares (dedução) Seja f uma função contínua e não-negativa no intervalo fechado [ . Seja R uma região limitada pela curva cuja equação é f() e pelas retas e . f ( ) R O Considere uma partição de [ . Então. desenvolver para coordenadas polares. ]. como mostra a figura seguinte. 2.4. i].4 Áreas em Coordenadas Polares Vamos iniciar determinando a área em um setor circular e depois. definimos n subintervalos do tipo [i1 .4. f ( ) O i ) i (i i1 i1 A medida em radianos do ângulo entre as retas i1 e i é denotada por i. a região R é a que está mostrada na figura seguinte. onde i 1.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-14 2. Tome i como sendo um valor de no i-ésimo subintervalo e considere f(i) o raio do setor circular neste subintervalo. . Desta forma.1 Área de um Setor Circular Área de um setor circular de raio r e abertura que será calculada através de uma regra de três simples: Setor Área Total (At) 2 Área Setor (As) ? At – 2 As – 2 – 2 As – 2 2 As 2 2 As 1 2 2 2. 2. . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-15 f () O Raio do setor i i i1 f ( i) Como foi visto anteriormente. a área do setor é dada por: 1 f ( i )2 i 2 Existe um setor circular para cada um dos n subintervalos. isto é. ]. Então a área é definida como: A lim 0 2 f ( ) 2 i i i 1 1 2 n 1 Este limite é a seguinte integral definida: A f ()2 d Teorema Se f é contínua e f () 0 em [. e é dada por: A 1 f () d 1 2 d 2 2 2 . é o maior valor de i. A soma das medidas das áreas é: 1 f (1 )2 1 1 f ( 2 )2 2 1 f ( i )2 i 1 f ( n )2 n 2 2 2 2 Que pode ser escrita através da somatória: 2 f ( ) 2 i i i 1 n 1 Tome A como a área da região R e seja a norma da partição . onde 0 2. então a área A da região delimitada pelos gráficos de f (). .a.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-16 Exemplos 8. Resolução: 3 4 2 3 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: A = 4 u. de equação 24 cos 2 . Calcule a área da região delimitada pela lemniscata de Bernoulli. Resolução: 3 4 2 3 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 Resposta: A a 2 u. Calcular a área da região interna à rosácea a sin 2 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-17 9.a. 2 . Resolução: 2 3 5 Tipo de curva 0 6 4 3 3 2 4 6 ~ Circunferência 3 cos Cardióide 1+ cos ~ 3 4 2 3 2 3 4 5 6 6 0 2 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-18 10. Calcular a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas 3 cos e 1+ cos . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-19 Resposta: A 5 u. pela reta x 1 (coordenadas cartesianas) e pelo eixo polar. dado na figura abaixo. 4 11.a. Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares por tg . com 0 . 2 Dica para a resolução: Considere A 1 () como sendo a área da região composta pelo triângulo OMP. 3 4 5 6 2 3 2 tg Reta: x 1 3 P3 3 tg sen tg 4 4 P2 sen 6 O 1 0 2 x O cos M3 1 x O cos M2 1 x 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 6 P1 tg sen O M1 1 cos x Resolução: . y sin . pode ser dado através das funções paramétricas: x cos .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-20 Resposta: u. com .5 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto Em coordenadas cartesianas já foi estudado o volume a seguir: V f ( x) dx 2 a b y f (x ) x a b Vamos tomá-lo como base e fazer o equivalente para coordenadas polares. 2.1 Volume em Coordenadas Polares O volume do sólido formado pela rotação da curva f () . 4 2.a. definida no intervalo [.].5. da cardióide de equação 2(1 cos ). dx (’ cos sin ) d então: V 2 sin 2 (’ cos sin ) d . Calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo polar. 3 .v. Resolução: Resposta: V 64 u. Exemplo 12.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-21 V y 2 dx 2 sin 2 dx a b mas. tomaremos como base as coordenadas cartesianas para desenvolver o diferencial do comprimento de arco em coordenadas polares.v.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-22 2.6 Diferencial do Comprimento de Arco Como foi feito para o volume.2 Fórmula do Volume Simplificada Rotação em torno da reta cuja direção é dada por: 0 (eixo Ox ): V : 2 2 3 sin d . Refazer o exemplo anterior. 3 2. y ds dy s dx O y x (ds )2 (dx )2 (dy )2 ds (dx)2 ( dy )2 dx dy Em relação a y f(x): ds dx dx dx dx dy Em relação a x g(y): ds dy dy dy 2 2 2 2 dy ds 1 dx dx dx ds 1 dy dy 2 2 . 3 13.5. Resolução: Resposta: V 64 u. 3 V 2 3 cos d . 2(1 cos ). Definição Tome a função f () . f () ). .6.]. 2. tomando como base os estudos em coordenadas cartesianas. d ds 2 d ou ds 2 (' )2 d d Com este desenvolvimento. então o comprimento da curva f () .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-23 Mas o que queremos desenvolver é para coordenadas polares: 2 2 dx dy Em relação a f(): ds d d d x cos Mas . d é dado por: Se L ds 2 (' ) 2 d Como uma variação do comprimento de arco. adaptando para coordenadas polares. chamada função comprimento de arco e é dada por: s () 2 [ f ' (t )]2 dt A mudança da variável de integração para t tem como objetivo não dar dois significados para a variável . vamos definir também a função comprimento de arco em coordenadas polares. então: y sin dx d dy d cos sin e sin cos d d d d d dx d I cos 2 2 cos sin 2 sin 2 d d d d d dy II sin 2 2 sin cos 2 cos 2 d d d Somando I com II: 2 2 2 2 dx dy d III 2 d d d Logo: 2 2 2 2 já que sin 2 cos 2 1. Então s é uma função.1 Comprimento de Arco d for contínua em [. f()) ao ponto P( . com . com e seja s () a distância ao longo da curva f () do ponto inicial P0( . podemos calcular o comprimento de um arco e também a área da superfície de sólidos de revolução. base menor C1 2 r1 e base maior C2 2 r2 . faixas. x x i i 1 i . com geratriz g e raios superior e inferior r1 e r2 respectivamente. em torno do eixo x. Queremos definir a área da superfície de revolução de tal maneira que ela corresponda a nossa intuição. n com larguras xi. ou seja. temos: r A l g( r1 r2 ) A l g(2r) Logo: A l 2rg Estendendo o conceito de área para superfície obtida pela rotação. Podemos pensar em descascar uma camada externa muito fina do sólido de revolução e torna-la plana de modo que possamos medir sua área. f (i ) . Tal superfície é a fronteira lateral de um sólido de revolução. podemos pensar que para pintar a superfície seria necessário a mesma quantidade de tinta que para pintar uma região plana com área A. Tome i como sendo o valor médio de x no i-ésimo subintervalo. b]. sendo 2 f ' i tan i . g g A l ( C1 C2 ) A l (2 r1 2 r2 ) A l g( r1 r2 ) 2 2 Sendo r o raio médio da faixa (tronco de cone).7 Área da Superfície de Sólidos de Revolução Uma superfície de revolução é formada quando uma curva é girada ao redor de uma reta. r1 r2 2r r1 r2 2 . é calculada pela subtração das áreas laterais dos dois cones: base b g r1 V h1 O r1 C1 2 r1 superfície lateral C2 2 r2 h2 h g r 2 base B O r 2 A área lateral do tronco de cone ( A l ) é igual à área do trapézio de altura g. onde i 1. do gráfico de uma função f. xi].Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-24 2. Cada qual formada pela rotação de um segmento de reta ao redor de um eixo. Ou.7. se a área da superfície for A. com derivada contínua e f(x) 0 em [a . como mostra a figura seguinte. 2. Desta forma. b] definida por: a x0 x1 x2 xi1 xi xi1 xn1 xn b. 2. . O segmento de reta Pi 1 Pi é tangente ao gráfico de f no ponto i . Vamos considerar uma partição de [a . definimos n subintervalos do tipo [xi1 . Para encontrar a área da superfície cada uma dessas faixas pode ser considerada como uma porção de um cone circular (tronco de cone regular).1 Dedução da Fórmula Cartesiana Vamos tomar como superfície aproximadora do sólido de revolução. b]. Desta forma podemos tomar como aproximação completa da área da superfície de revolução o somatório seguinte: n A ( ) l i i 1 Reconhecendo que a somatória anterior é uma soma de Riemann para a função A l (i ) . a área da superfície é dada por: A l 2rg A l (i ) 2 f i Pi 1Pi sendo A l (i ) a área lateral do tronco de cone. esta área será uma boa aproximação para a área da superfície gerada pela rotação da parte da função limitada entre as retas x xi 1 e x xi . d]. P i y f ( x) P1 i i O xi 1 i xi x Então Pi 1 Pi xi 2 sec i xi 1 f ' i xi cos i 2 Substituindo Pi 1 Pi na área do tronco de cone. o resultado é uma faixa (um tronco de cone) com geratriz g Pi 1Pi e raio médio f i . dado anteriormente. temos: A l (i ) 2 f i 1 f ' i xi Se xi for suficientemente pequeno. temos: 2 2 dx dy ds 1 dx ou ds 1 dy dy dx 2 2 . contínua em [a . com y [c . Desta forma. raio médio f i no subintervalo xi . tome x max xi e teremos: x 0 lim A l (i ) lim 2f i 1 f ' i xi 2 i 1 x 0 i 1 n n b a 2f x 1 f ' x dx 2 Assim. temos a fórmula equivalente: b b dx S 2 x 1 dy dy a Considerando o diferencial do comprimento de arco ( ds ).Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-25 Ao girar Pi 1 Pi ao redor do eixo x. definimos a área S da superfície obtida pela rotação do gráfico de f em torno do eixo x por: dy S 2 y 1 dx a dx Se a curva é descrita como x g ( y ) . ]. x cos d Temos que: e ds 2 d ou ds 2 (' )2 d .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-26 Daí. temos a rotação em torno dos eixos: Eixo x: S 2 yds a b Eixo y: S 2 xds a b 2. com .7. em coordenadas polares. de tal forma que d seja contínua em [. 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 Resolução: . d Para as coordenadas polares. Achar o comprimento total da cardióide de equação 1 cos .2 Área da Superfície de Sólidos de Revolução na Forma Polar Tome a função f () . d y sin Então: Rotação em torno da reta cuja direção é dada por: 0 (eixo polar) 2 S 2 yds 2 sin 2 (' )2 d 2 S 2 xds 2 cos 2 (' )2 d Exemplos 14. faremos as adaptações feitas anteriormente. Resolução: Resposta: S 32 u. calcular a área da superfície formada pela rotação em torno do eixo polar. Considerando a mesma equação 1 cos . 15.a.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-27 Resposta: L 8 u.c. 5 . 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 Resolução: Resposta: A 6 u.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-28 2.8 Exercícios 16. . Encontre a área da região no plano limitada pela cardióide r 2(1 cos ) .a. Encontre a área dentro do laço menor do caracol r 2 cos 1 . . 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 Resolução: Resposta: A 3 2 3 u.a.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-29 17. a.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-30 18. 2 3 3 5 4 6 2 3 4 6 0 2 11 6 7 6 5 4 4 3 3 2 7 5 4 3 Resolução: Resposta: A 2 u. 4 . Encontre a área da região que está dentro do círculo r 1 e fora da cardióide r 1 cos . em um tom de perfeita a bn convicção: “ x . mas tornou-se inconveniente ao tentar converter todos ao ateísmo. e. Este apresentou equações gerais para três classes de superfícies (cilindros. Diderot ficou sem resposta. Diderot voltou imediatamente à França. e Euler disse a Diderot. Euler foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções. engenharia e astronomia. que era ignorante em matemática. sério. Com 886 trabalhos publicados. para a somatória. portanto. mas também a física. a Academia de Ciências de São Petersburgo continuou a publicar trabalhos novos de Euler por mais de 30 anos depois da sua morte. Euler apresentou uma valiosa contribuição para o uso da geometria das coordenadas no espaço tridimensional. e para a base do logaritmo natural. Ao nos referirmos a Leonhard Euler estamos falando do escritor de matemática mais produtivo de todos os tempos. conforme conta De Morgan. i para a raiz quadrada de 1. entre muitas outras.1 Leonhard Euler Matemático suíço. quando já estava completamente cego. se ele quisesse ouvir.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-1 3 Integrais Eulerianas 3. d n y para derivadas de graus elevados. Catarina pediu a Euler que ajudasse. e a corte caiu na n gargalhada. a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante. Diderot foi convidado à corte por Catarina. a maioria deles no final de sua vida. Diderot disse que sim. Devemos a ele as notações f(x) para uma função. Um acontecimento interessante: Euler foi um cristão por toda a sua vida e frequentemente lia a Bíblia a sua família. Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão: a introdução da função gama. superfícies de revolução). Para se ter uma idéia. que lhe daria uma prova matemática da existência de Deus. que viveu entre 1707 e 1783. Deus existe”. Euler escreveu duas notas sobre o sistema de coordenadas polares tão perfeitas e sistemáticas que por vezes dá-se o nome de “sistema Euler”. cones. Euler foi tão importante não apenas para a matemática. . Uma história sobre sua religião durante sua estada na Rússia envolve o dito filósofo ateu Diderot. Euler se aproximou de Diderot e disse. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-2 3. (n 1) x n e x dx lim x n e x dx lim udv lim uv lim vdu 0 b 0 b 0 b 0 b b b b b 0 b xn (n 1) lim x lim n x n 1e x dx b e 0 b 0 b 0 (n 1) n x n 1e x dx n(n) 0 Então. então: (n 1) n(n) n! A função gama generaliza a função fatorial. 3. Desenvolvimento (n 1) x n 11e x dx x n e x dx 0 0 Integração por partes: udv uv vdu . por recorrência: (2) 1(1) 11 1! (3) 2(2) 21 2! (4) 3(3) 321 3! (n 1) n(n) n(n 1)321 n! Logo: (n 1) n(n) n! . u xn du nx n 1dx dv e x dx v e x . ). Demonstração: Coleção Schaum (18: pág.2 Função Gama () Definida pelo matemático Leonard Euler. (n 1. Em particular. 2.2. a função gama representada por (n). é definida por: (n) x n1e x dx 0 (n) é uma função convergente quando n 0.1 Fórmula de Recorrência (n 1) n (n) Esta expressão pode determinar (n) para todo n 0. 354) Para n 1: (1) x e dx 0 11 x 0 1 1 e dx lim e dx lim x lim 1 b 1 b 0 b e b e 0 x b x b 3. se n é um número inteiro positivo. e 4 8 64 3.2 Função Gama para 0 n 1 Para 0 n 1. Com base no que já foi dado. e . isolando (n): (n) ( n 1) n Então: 1 1 1 1 2 2 2 1 1 ( 1 ) 2 2 2 2 . obtém-se a relação dos complementos dada por: (n)(1 n) sin n 1 1 1 n 2 2 2 sin 2 1 1 2 2 . que toma (n) como definição para n 0. 2 2 2 Resolução: Resposta: 3 15 10395 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-3 3.2.3 Função Gama para n 0 Da relação de recorrência (n 1) n(n).2. Então: 1 2 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Exercício 5 7 13 1. determine os valores de: . podemos generalizar a função gama para n 0. 2 2 2 Resolução: Resposta: 4 8 128 .2.4 Gráfico da Função Gama f (n) (n) D( f ) {0.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-4 Exercício 3 5 13 2. e 3 15 135135 3. 1. e . Determine os valores de: . 2. } 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 n . (n ) A função 4 3 2 1 -2 -4 -3 -1 -1 -2 0 1 2 3 4 n 3. Era pesquisador do CERN no ano de 1968. pelos trabalhos de Leonard Susskind. n) é uma função convergente quando m 0 e n 0.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-5 Observação 1 está definida para todo n e se anula nos pontos 0. e de Yochiro Nambu. a explicação por que a função beta servia tão bem só foi descoberta dois anos depois. Definição (m. da Universidade de Chicago. f (n) . onde estudava certas propriedades da força nuclear forte. n) x m1 (1 x) n 1 dx 0 1 (m. da Universidade de Stanford. 2. . . pois (n ) (n) é infinita. em 1970. 7 de Setembro de 1942) é um físico teórico italiano. do Instituto Niels Bohr. 1. Até então viera trabalhando nesse problema quando descobriu que a função beta de Euler servia para descrever muitas propriedades das partículas sob a influência da força nuclear forte. Em outras palavras. dando uma explicação em função da hipótese que veio a ser a origem da teoria das cordas. a singularidade que a função teria nos pontos pode ser 1 removida pondo o valor da função como sendo 0. de Holger Nielsen.3 Função Beta () Gabriele Veneziano (Florença. Entretanto. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3. Determine os valores da função Beta para m e n dados a seguir: a) m 1 e n 1; b) m 2 e n 1; c) m 1 e n 2. Resolução: 3-6 Resposta: a) 1; b) 1 1 ; c) . 2 2 3.3.1 Definições Decorrentes Propriedade Comutativa (m, n) (n, m) Cálculo Direto (m, n) (n 1)! n 1 (m i ) i 0 Função Beta em relação à função Gama (m, n) ( m)( n ) ( m n ) Relação dos Complementos: se m n 1, com 0 n 1 m 1 n, então (m, n) (1 n, n) (1 n)(n) (1 n)(n) (1 n n) sin n Exemplos Resolva as seguintes funções Beta: 4. (3,5) Resolução: Resposta: 1 105 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5. (3,5) Resolução: 3-7 Resposta: 6. (6,3) Resolução: 1 105 Resposta: 7. (6,3) Resolução: 1 168 Resposta: 1 168 3.4 Exercícios Utilizando função Gama e função Beta, resolva as seguintes integrais: 8. 0 e x dx 2 Resolução: Resposta: 9. 0 1 2 x 6e 2 x dx Resolução: Resposta: 45 8 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 10. 3-8 1 0 x 2 ln xdx Resolução: Resposta: 1 0 1 9 11. x ln xdx Resolução: Resposta: 12. 1 0 1 4 x 4 (1 x )3 dx Resolução: Resposta: 1 280 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 13. 2 0 sin 5 x cos3 xdx Resolução: Resposta: 2 1 24 15. 0 sin 6 xdx Resolução: Resposta: 5 32 . Prove que Resolução: 3-9 2 0 (sin x) 2 m 1 (cos x)2 n 1 dx 1 (m. n) 2 Resposta: 14. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-10 16. Prove que Resolução: 1 x 0 xm p n dx 1 m 1 m 1 p .n p p Resposta: . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-11 17. Prove que Resolução: a ( x a ) b m (b x )n dx (b a ) m n 1 ( m 1. Prove que Resolução: 1 0 x m (ln x)n dx (1)n (n 1) (m 1)n 1 Resposta: . n 1) Resposta: 18. Prove que Resolução: a 0 x m (a x) n dx a m n 1 (m 1. n 1) Resposta: 19. Prove que Resolução: 1 0 x m 1 x p dx n 1 m 1 p . n 1 p Resposta: 20. Prove que Resolução: 0 x m e ( ax ) dx n 1 m 1 m 1 na n Resposta: x dx e3 x Resolução: 22. 1 0 x3 x 4 dx Resolução: Resposta: 5 8 . 0 Resposta: 23. 0 4 6 9 x e x dx Resolução: Resposta: 4 3 2 24.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-12 21. dx ( x 1)(3 x) Resolução: Resposta: . 2 0 sin 4 x cos4 xdx Resolução: Resposta: 3 1 3 256 26.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3-13 25. y 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 x P = (x. formado pelo único ponto 0. 2.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-1 4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais nDimensionais 4. espaço de dimensão zero. Exemplos 1. z 2 1 P = (x. 1 (reta). x2 .y. O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a : n . P = (x) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 3. x2 . x3 . x3 .. xn ) cujas coordenadas x1 .. xn são números reais. 3 (espaço tridimensional).1 O Espaço Vetorial n Seja n um número natural. 2 (plano). 0 {0}. y) 4.z) 0 1 2 x 1 2 3 y . Os pontos de n são todas as n-listas X ( x1 . .y y. N3 x 0 | x | 0. define-se a soma X Y e o produto X por: X Y ( x1 y1 .1 PI. x ( x1 . x2 .4 x. x3 x = (x1 . Então. x2 . x 0. tal que. e || como valor absoluto de . yn ) em n e um número real . x3 ) e | x | 2 2 x12 x2 x3 . x3 . xn ) e Y ( y1 . tendo x ( x1 . y2 . xn ) 4. y . x Tome x . x2 . x3 . y n um número real. x ou | x | 2 2 2 x12 x2 x3 xn | x | é a representação de norma de x n . x .x3) x x2 x1 4. x . y x . xn yn ) X ( x1 .. x2 ..3.x . N2 |x | ||| x |.1 Propriedades da Norma Euclideana | x | x.2 Produto Interno em n É uma regra que faz corresponder a cada par de vetores x.. y x' . 4.3 Norma de x n ou Comprimento do Vetor x n |x| x. y x . Exemplo 5. se tenham: PI. y n e . x x' .x 2 .3 PI. y n . y . Em 3 . xn ) e y ( y1 .. indicado por x .. yn ). x3 . x 0 x . y . N1 | x y | | x | | y |. x ..2 PI. y x . x3 y3 . y x1 y1 x2 y2 x3 y3 xn yn . x2 y2 . x' . y2 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-2 Definição Dados X ( x1 . y3 . y3 . . Para x . y) d(y. | xn |} | x | S | x1 | | x2 | | x3 | | xn | Para todo x n . y) |x y| Assim: Distância Euclidiana d(x. d(x. y) | x y | M Máx{| x1 y1 |. x (Norma Euclidiana) (Norma do Máximo) (Norma da Soma) | x | M Máx{| x1 |. | xn yn |} Distância da Soma d S (x.4 Distância em n A norma em n da origem à noção de distância em n .1 Propriedades das Distâncias em n Para d. y) Resolução: Resposta: 10 . Dados x. d M e d S tome x. y) | x y | S | x1 y1 | | x2 y2 | | xn yn | 4. | x2 y2 |. z) d(x. Dado x. d(x. z n : d1 d2 d3 d(x. Exemplos Tome n 2 e considere d: 2 2 . a distância de x a y é definida por: d(x. N2 e N3 também são válidas para | x | M e | x | S . sendo x (9. calcule: 6. tem-se: |x| x. | x2 |. | x3 |. y n . z). y) 0. x). 4.4. .4) e y (3. y) | x y | ( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2 Distância do Máximo d M (x.12).Cálculo II – (Lauro / Nunes) n 4-3 Existem várias normas que se podem considerar no espaço euclidiano n . x y d(x. y. y) d(y. vale a desigualdade: | x | M | x | | x | S n | x | M As propriedades N1. y 2 . B(a. Notação B(a. r] {x n . r]. Resolução: 14 Resposta: 4.5 Bolas e Conjuntos Limitados A BOLA ABERTA de centro num ponto a n e raio r 0 é o conjunto dos pontos x n cuja distância ao ponto a é menor do que r. Para n 2. y) Resolução: 8 Resposta: 9. Exemplo 10. d M (x. ambas com centro a e raio r: B[a. |x a| r} Analogamente define-se a BOLA FECHADA B[a. d S (x. r). r) {x n .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7. Verifique as desigualdades entre as 3 distâncias. r] {x n . |x a| r}. y) Resolução: 4-4 Resposta: 8. |x a| r}. S[a. r] e a ESFERA S[a. as bolas no plano para as três distâncias podem ser representadas por: Resolução: Resposta: . x X.4 Definição: Conjunto Limitado Um conjunto X n diz-se limitado quando: Existe um número real c 0 tal que | x | c. y é o conjunto: [x.5. x X. B(a. ou seja: x.7 Definição: Ponto Fronteira a n é ponto fronteira de X n r 0. y] {(1t)x ty. r) CX .5 Definição: Ponto Interior a n é ponto interior de X n r 0. B(a. r) X e B(a. 0 |x a| O conjunto dos pontos de acumulação de X é representado pela notação X’. r) X .1 Definição: Segmento de Reta O segmento de reta de extremos x. está contido em alguma bola. 4.5.5. B(a. r) X.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-5 4.2 Definição: Conjunto Convexo Um subconjunto X n diz-se convexo quando contém qualquer segmento de reta cujos extremos pertençam a X. chamado de CONJUNTO DERIVADO de X. diferente do ponto a. 4. 4. y] X 4.5. O conjunto dos pontos exteriores de X é representado por extX. ou Se.5. . O conjunto dos pontos fronteira de X é representado por fronX ou X ou X.5.6 Definição: Ponto Exterior a n é ponto exterior de X n r 0. 4. e somente se. Um ponto a n chama-se ponto de acumulação do conjunto X quando toda bola aberta de centro a contém algum ponto de X. O conjunto dos pontos interiores de X é representado por intX.3 Definição: Ponto de Acumulação Seja X n . CX é o complementar de X. ou seja: 0. 0 t 1} 4. y X [x.5. 9 Definição: Conjunto Fechado X n é conjunto fechado X X’. extX e fronX.5.5. totalmente contida em X. 4. linha poligonal unindo x e y. intX extX fronX n . 13.8 Definição: Conjunto Aberto X n é conjunto aberto X intX. y. y. Dado X {(x. Se X é convexo.5. X é conexo? Justifique. x 2 y 2 z 2 9}. Resolução: Resposta: Conclusão X n . y X. z) 3 . Resolução: Resposta: 12.10 Definição: Conjunto Conexo Diz-se que X n é um conjunto conexo se x. 4. z) 3 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-6 Exemplos 11. 4. O mesmo para X {(x. determine os conjuntos intX. Exercícios Tome um conjunto X n . x 2 y 2 z 2 9}. Resolução: Resposta: . 5. Dê um exemplo de X desconexo. Resolução: Resposta: 4. Se X é conexo.11 Definição: Região Aberta Uma região aberta em n é um conjunto conexo ilimitado.5. 4. X é convexo? Justifique.12 Definição: Região Fechada Uma região fechada em n é um conjunto conexo e limitado. .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 14. Resolução: 4-7 Resposta: 15. y) 2 .6 Exercícios Dado X 2 nos exercícios seguintes.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4-8 4. y) 2 . b) Conjunto aberto ou fechado. x y 1} Resolução: Resposta: 17. y) 2 . x 2 y 2 1} Resolução: Resposta: . analise X quanto aos itens a) e b) abaixo: a) Região aberta ou fechada. X {(x. X {(x. x y 1} Resolução: Resposta: 18. 16. X {(x. y) 2 . X {(x. x 2 y 2 1} Resolução: 4-9 Resposta: .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 19. R5 R1 R2 R3 R4 R5 Conforme será visto. A corrente deste circuito depende das resistências Ri . indicada por V V r . e cuja regra é V r . temos que a pressão de um gás ideal pode ser representada pela função de três variáveis independentes V. R4 . a regra da referida função é n R T PV . Desta forma. o estudo de funções com três ou mais variáveis não difere muito do estudo das funções de duas variáveis. h . sendo que r é o raio da base e h a altura. Todos estes exemplos representam funções de várias variáveis. temos que o volume do cone pode ser indicado por uma função de duas variáveis independentes r e h. no primeiro exemplo.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-1 5 Funções em Espaços n-Dimensionais 5. i 1. R4 e R5 . T e n. R3 . isto é: E I R1 . R= constante molar do gás.1 Introdução Considere os seguintes exemplos: 1. n = massa gasosa em moles. . h r 2. Desta forma. e T = temperatura. a corrente do circuito pode ser dada por uma função de cinco variáveis independentes R1 . A equação de estado de um gás ideal é dada pela seguinte equação: n R T P V Onde: P= pressão. Assim. onde E é a tensão da fonte. h r 2 h . No segundo exemplo. V= volume. V Finalmente. R3 .5 . no último caso. T . n . O circuito elétrico da figura que segue tem cinco resistores. 3. R2 . O volume “V” de um cilindro circular é calculado pela expressão: V r 2 h . R2 . neste estudo trabalharemos mais com . Nesse caso. Df { x A n . Definição: Imagem de Função Imagem da função f é o conjunto dos números w . y ln x y . isto é.. w f ( x )}. Definição Seja A um conjunto do espaço n-dimensional A n . Exemplo 2 4. Im f { w . os elementos de A são nuplas ordenadas ( x1 . em geral. salientando as diferenças fundamentais entre estas funções e as funções de uma única variável independente. temos uma função f : A n . Como para as funções de uma variável. uma função de várias variáveis também é especificada apenas pela regra que a define. Represente graficamente o domínio da função f x. tais que w f ( x ). Se a cada ponto P do conjunto A associarmos um único elemento w . Resolução: . f: Definição: Domínio de Função Domínio da função f é o conjunto A da definição anterior. isto é. x3 . w f ( x )}. xn ). Determine o domínio e a imagem da função z f ( x ) 9 x12 x2 definida de 2 em .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-2 as funções de duas variáveis independentes. para os quais a função está definida. além de reforçar as principais analogias existentes entre elas. Essa função é chamada de função de n variáveis reais. xn ) de números reais.. o domínio da função é o conjunto de todos os pontos de x n . x2 . x2 . x3 . Resolução: Resolução: 5. Simbolicamente: A n x w f x ou w f ( x ) f ( x1 . Resposta: . Represente graficamente o domínio da função f x. y Resolução: xy x y2 2 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-3 Resposta: 6. o conhecimento das superfícies de nível. xn e k é um número real. ajuda muito a entender o comportamento da função. xn Df para os quais f x1 . y ) c . Definição: Curva de Contorno (Cc) A curva no espaço na qual o plano w c intercepta uma superfície w f ( x . . . um conjunto de nível de f. é chamado de GRÁFICO de f . f (x ) ) no espaço.. temos as superfícies de nível. . Definição: Gráfico de uma função O conjunto de todos os pontos ( x1 . xn k . f f x1 . Em particular. x2 . . . y ) é chamada de curva de contorno f ( x . x2 . O gráfico de f também é chamado de SUPERFÍCIE w f (x ) f ( x1 .. x2 . Representação: Cnc. . . x2 ). Nesse caso. Representação: Ccc. para x 2 no domínio de f . O conjunto de pontos x 2 onde uma função f ( x ) tem um valor constante f ( x ) f ( x1 .. que podem ser visualizadas no espaço tridimensional. x2 ) c é chamado de curva de nível de f ...Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-4 Definição: Curva de Nível (Cn) Considere f : 2 .. x2 . quando f é uma função de três variáveis independentes. é o conjunto de todos os pontos x1 . Definição: Conjunto de Nível Se f é uma função de n variáveis. 8. y 100 x 2 y 2 . y 100 x 2 y 2 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-5 Exemplo 7. . podemos observar uma curva de nível e uma curva de contorno da função z f x. podemos observar algumas curvas de nível da função z f x. No exemplo que segue. No exemplo que segue. Represente graficamente f ( x . f ( x . y ) 9 x 2 y 2 e trace as curvas de níveis f ( x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-6 Exemplo 9. Resolução: w w= 8 Cc 8 Cc 5 w= 5 Cn 5 Cn0 y x Cn 8 Resposta: . y )0. y ) 5 e f ( x . y ) 8 no domínio de f no plano. K . x2 . y L x x0 y y0 Propriedades Tome L . x x0 x x0 x x0 lim f ( x ) xx0 L se M 0. y0 é um número real L se. desde que L p / q . y0 um ponto de acumulação de A.). y se aproxima de x0 .2 Limites e Continuidade de Funções de n-Variáveis Reais 5.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-7 5. y0 Notação: x .) então sua imagem f ( x )B( L . quando x tende a x0 . tal que se x B( x0 . Caso particular: Limites de Funções de duas variáveis independentes Sejam f : A 2 e x0 . é o número real L se. g ( x) lim g ( x) M x x0 x x0 lim f ( x) x x0 lim K f ( x ) K lim f (x ) K L . y x0 . para todo 0. y ) ( 3. quando x. Dizemos que o limite de f x. O LIMITE da função f ( x ). 4 ) x2 y 2 Resolução: Resposta: 5 . y . Exemplos Calcule os limites: 10. y x0 . para todo numero real 0.1 Limites de Funções em n Definição Seja w f ( x ) f ( x1 . sempre que x. y L ou lim f x. lim f ( x ) L e lim g ( x ) M . x x0 Se p e q forem inteiros. Simbolicamente x x0 lim f ( x ) L 0. x x0 x x0 lim [ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) L M . existir um 0 tal que | f x. então lim f ( x ) p / q L p / q . lim ( x . y A e 0 x. xn ) uma função de n variáveis. existe 0. x x0 x x0 x x0 x x0 lim [ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) L M .2. y0 lim f x. y L |. 0. M . 0<| x x0 | | f ( x ) L |.. x3 . 1) x2 y2 x y Resolução: Resposta: 2 Proposição Se w f ( x ) f ( x1 . y )(1.. y )( 0. .0). y )( 0. ( x . Resolução: 2x2 y não tem limite quando x4 y 2 Resposta: Logo. y ) se aproxima de (0. y )(0. x3 . ( x . lim 3 ( x . mostre que f ( x . Aplicando limites por caminhos.1) 5-8 lim x xy 3 x y 5 xy y 3 2 Resolução: Resposta: 12. y ) ( x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 11. lim 0 ( x . y ). 0 ) x 2 xy x y Resolução: Resposta: 13. x2 . então lim f ( x ) não existe. x x0 Exemplo 14. xn ) tem limites diferentes ao longo de caminhos diferentes quando x se aproxima de x0 . 0 ) lim f ( x . 0 ) lim f ( x . x3 . y ). y ) Resolução: Resposta: x2 y2 (Caminhos y k x 2 . k 0). ( x . 0 ) lim f ( x . y )( 0.. y Logo. y )( 0.2 Continuidade de Funções em n Definições: 1a) Uma função w f ( x ) f ( x1 . ( x . f ( x . x y Logo. f ( x . ( x . f ( x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-9 Exercícios 15. lim f ( x ). y ) Resolução: Resposta: Logo. y ). . y ) Resolução: x4 y 2 (Caminhos y k x 2 ). y ). 4 2 x y Resposta: x y (Caminhos y k x . 16. x2 . 0) lim f ( x . y )( 0. 17. x x0 x x0 lim f ( x ) f ( x0 ) . 2a) Uma função é CONTÍNUA quando é contínua em todos os pontos de seu domínio. k 1). xn ) é CONTÍNUA NO PONTO x0 n se: f ( x ). 5.2. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5-10 Proposição: Sejam f e g funções de duas variáveis contínuas no ponto x0 . y0 . y Resolução: x y 1 x y x 3 xy 3x 2 y 2 2 2 Resposta: 20. Exemplos: Discutir a continuidade das seguintes funções: 18. y . f g é contínua em x0 . y0 . Uma função racional de duas variáveis é contínua em todos os pontos do seu domínio. então a função composta f g é contínua em x0 . Observação: A partir das proposições anteriores podemos afirmar que: Uma função polinomial de duas variáveis é contínua em 2 . h x. Se g é contínua em x0 . y0 . então: f g é contínua em x0 . y0 e f é contínua em g x0 . desde que g x0 . f x. f g é contínua em x0 . y0 0 Proposição: Sejam w f u e z g x. y0 . y0 . y ln x 2 y 2 4 Resolução: Resposta: . f / g é contínua em x0 . y0 . y 2 x 2 y 2 5 xy 2 Resolução: Resposta: 19. y0 . g x. y Da mesma maneira. podemos escrever: f x0 . y 0 ) lim . y 0 y y Fazendo x x0 x e y y0 y . y0 ) f ( x0 .1 Derivadas Parciais 6. y Exemplo 1. y0 f ( x 0 . definimos derivada parcial de z f x. y0 f ( x0 . y Se agora dermos.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-1 6 Derivadas 6. no ponto x0 . ao limite: f x0 . enquanto y permanece constante. então o incremento correspondente de z receberá o nome de incremento parcial de z. obtemos o incremento total de z. y x y . y 0 y ) f ( x 0 . y = x x y x y = x y x y x y y x y z f x .1 Incremento parcial e incremento total Seja z f x. y y f x. y uma função de duas variáveis independentes. que é denotado por: z f x x. em relação à y é: y z f x . no ponto x0 . y0 . y0 f ( x. então: x z f x x. y . ao limite: f x0 . Quando damos à variável independente x um acréscimo x . y 0 ) lim e x x0 x x x0 f x0 . o incremento parcial de z. y .1. y0 ) lim . y = x x y y x y = x y xy yx x y x y = xy yx x y Definições: Chama-se derivada parcial de z f x. y = x y y x y = x y x x x y x y = z f x x. y y f x . y0 . Se z f x. x0 x x Analogamente. y0 f ( x0 x. se x permanecer constante e a variável y receber um acréscimo y . y f x. y ) f ( x0 . y f x. y y f x. y y0 y y y0 . y0 ) lim . em relação à y. y y f x . em relação à x. em relação à x e é denotado por: x z f x x. y 0 ) f ( x0 . simultaneamente um acréscimo x para x e y para y. y f ( x. z f ( x h . y . y f ( x x. y h ) f ( x. y f y x. z ) lim . y tais que f x. y existe. x0 x x Analogamente. y. y ) função que a cada x. f y e f z . por exemplo: 1o Seja f: A derivada da função f ( x ) é: dy f ( x h ) f ( x) f ’( x ) lim dx h0 h 2o Seja f: 2 As derivadas parciais de f ( x . y ) f ( x . y f x x. z ) f ( x. h0 y h fx ( x . y y Observação: As definições anteriores podem ser estendidas para funções f : A n . y = D y f x. sendo x. fx ( x . y ) lim . y . f x. à função f x. y x f x. z ) lim . h0 h x f x. y z f x. e B A o conjunto dos pontos x. h 0 x h f x. y ) em relação a x e y são as funções f x e f y . z ) . y . y . y f ( x. y. y .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-2 Definições: Sejam f : A 2 . Chamamos de função derivada parcial de f em relação à x. y f ( x h. y ) que a cada x. z ) f x. y . z ) f ( x . z h ) f ( x. y . z ) são as funções f x . y h. z ) h 0 y h f ( x. y . z f ( x . y . y ) 3o Seja f: 3 As derivadas parciais de f ( x . y B associa o número = lim . à x f x. y = D x f x. y B associa o número = lim . f x. Desta forma temos. y . y ) f ( x. z ). y. y ) lim . fy ( x . y y ) f ( x. chamamos de função derivada parcial de f em relação à y. z fz ( x . y 0 y y Observação: As derivadas parciais podem também ser denotadas por: f x. y ) fy ( x . y . h 0 z h para w f ( x . z ) lim . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-3 4o Seja f: n As derivadas parciais de f f ( x1 . xn ) . sendo f ( x . encontre as derivadas parciais 3 x 2 2 x y y 2 . h 2. xn ) f ( x1 . y ) 6 x 2 y e ( x . Resolução: f (x. h 0 h f ( x1 . x2 . x2 .. h 0 h lim h 0 f ( x1 . encontre a derivada parcial de z f x. y ) 2 x 2 y x y . Usando a definição. y ) x y f (x. x2 ... xn ) f x2 ( x ) x2 f ( x1 .. x2 . x2 . xn ) f x1 ( x ) x1 f ( x1 . x2 .2 . y ).. xn ) lim . xn h) f ( x1 . x2 . y ) y Resposta: f f ( x . Resolução: Resposta: 3.. xn ) f xn ( x ) xn ( x ) para x n : f ( x1 h. Usando a definição. y ) e ( x . x2 h.. y 16 x 2 y 2 em relação à x no ponto 1. x2 ... xn ) lim . xn ) f ( x1 . y ) x 2 f f ( x. y 6. fx ( x . Sejam u f ( x ) f ( x1 . f x (2. v v xi Potência un ( u n ) ( u n ) xi n u n 1 u xi .. podemos obter as derivadas parciais mais facilmente.. valem regras de derivação análogas às das funções de uma variável. x2 . y ) Resolução: Resposta: 5. para calcular .1. x2 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-4 Observação: Na prática. f g f xi u u xi e g xi v v xi . Nesse caso.1) 2 x3 y 2 x 2 Resolução: Resposta: 23 . usando as regras de f x. y derivação das funções de uma variável. xi Exercícios Considerando a função f ( x . xn ) e v g ( x ) g ( x1 . y constante e para calcular . x é mantido constante. mantemos y x f x. y ) 3 x 2 y 2 4 x y 3 Resolução: Resposta: 6. y ) x 3 y 2 2 x 2 y 3 x calcule o que se pede: 4. xi xi xi xi Produto uv ( u v ) ( u v ) xi u xi v u v xi .2 Regras de derivação Para as derivadas parciais. xn ). xi Quociente u v u xi v ux v uvx u i 2 i . fy ( x . Encontre Resolução: f se f ( x . y Resposta: ( u v ) sin(xy) y x cos(xy ) . y ) Resolução: 2y . 6-5 f y (2. y ) y sin( xy) .1) Resolução: Resposta: 24 Exercícios 8. y cos x Resposta: fx 2 y sin x ( y cos x) 2 e fy 2 cos x ( y cos x) 2 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7. y 9. Encontre f x e f y se f ( x . Resolução: y 6-6 Resposta: fx sec 2 x y (tan x) y y 1 y e fy tan x ln(tan x) y2 11.y) y x ( x 2 y 2 )2 ( x 2 y 2 )2 . y ) x y x2 y 2 Resolução: Resposta: y 2 2 xy x 2 f x 2 2 xy y 2 f (x. y ) 1 x2 y2 Resolução: Resposta: (b) f (x. y ) e (x.y) y y 1 x2 y2 f (x. Encontre f x e f y se f ( x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 10. encontre as derivadas parciais das seguintes funções: (a) f ( x . Usando as regras de derivação. y ) tan x w . y ) x x 1 x y 2 2 e f (x. y) y y x y2 Resposta: f f ( x . z ) x 2 y sin (2 y z ). y . z )2 x sin 2 ( y z ). y . y ) [ sec 2 ( x 2 y 2 )](2 x ) e ( x . y ) [ sec 2 ( x 2 y 2 )](2 y ). y ) tan ( x 2 y 2 ) Resolução: ex / y f xe x / y f (x. z ) x 2 z sin (2 y z ) e x y f ( x . y . y x (e) f ( x . ( x . y .y) e (x.Cálculo II – (Lauro / Nunes) (c) f ( x . y ) ex / y Resolução: 6-7 Resposta: (d) f ( x . z . z ) x 2 sin 2 ( y z ) Resolução: Resposta: f f ( x . Seja f ( x . então suas derivadas são DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM de w f ( x ). y ) y x yx x 2w f xx 2 x 2w f xy yx 3w f xxx 3 x 3 f w xxy yx 2 3w f xyx xyx 3 f w xyy yyx 3w f yxx xxy 3 f w yxy yxy 3w f yyx xy 2 3 f w yyy y 3 3ra. Este teorema também é válido para derivadas de ordens superiores. f y . f xy e f yx são contínuas em uma região aberta R. Por exemplo: f xyx f yxx f xxy . Resolução: Resposta: f xy 2 f 2 f f yx yx xy . Se f .. y ) w fy y 2w f yx xy 2w f yy 2 y 2da. ordem Teorema Seja f uma função de duas variáveis x e y . Exercícios 12. y ) x 3 y 2 2 x 2 y 3 x . então f xy f yx em toda R. Prove que f xy f yx . suas derivadas são chamadas de DERIVADAS PARCIAIS DE TERCEIRA ORDEM de w f ( x ). f x .3 Derivadas Parciais Sucessivas Se w f ( x ) é uma função de n variáveis e admite derivadas parciais em relação a todos os x1 . ordem w f x x w f ( x. segue para derivadas de ordem superior. ordem 1ra. x2 .1.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-8 6. Se as derivadas de segunda ordem são parcialmente deriváveis. xn e estas funções derivadas parciais admitem derivadas parciais. f 2 f f fx f xy w f ( x. Assim. y ) x 3 Resolução: f xxy = f xyx = f yxx 12 x y 4 (a) Resposta: 3 f ( x. y ) e 2 x 3 y . Dada a função f ( x . calcule: 3 f ( x. y ) y 3 Resolução: 3 f ( x . y 2 x xy 2 3 f ( x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 13. y ) 27 e 2 x 3 y 3 y Resolução: Resposta: 3 f 3 f =18 e 2 x 3 y 2 2 y x xy . Resolução: 6-9 Resposta: 14. y ) x3 y 2 2 x 2 y 3 x . Prove que f xyx f yxx f xxy para f ( x . y ) 8 e 2 x 3 y 3 x (b) Resposta: (c) Verifique a igualdade seguinte: 3 f 3 f . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-10 6.1.4 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Vamos supor que f : A 2 , x, y z f x, y admite derivadas parciais em um ponto x0 , y0 A . Para y y 0 , temos que f x, y 0 é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C, resultante da intersecção da superfície z f x, y com o plano y y 0 . A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva C no ponto x0 , y0 é dado por: f x0 , y0 tan x De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva C, resultante da intersecção da superfície z f x, y com o plano x x0 , é: f x0 , y0 tan y Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-11 15. Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície w 24 x 2 2 y 2 com o plano y 2, no ponto (2,2, 2 3 ). Resolução: Resposta: 1 w (2,2) x 3 6.1.5 Equações das Retas Tangentes Dada a função w f ( x , y ), as retas tangentes ao gráfico de w no ponto P( x0 , y0 , w0 ), nos planos verticais y y0 e x x0 , são dadas da seguinte forma. Retas Tangentes: Forma Simétrica w w0 x x0 1 f x ( x0 , y0 ) y y0 y y 0 w w0 y y0 1 f (x , y ) x x0 y 0 0 x x 0 Retas Tangentes: Forma Paramétrica x x0 y y 0 y y0 w w f ( x , y ) 0 x 0 0 y y0 x x0 x x0 w w f ( x , y ) 0 y 0 0 Exemplo Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de w f ( x , y ) com w 7 x 2 y 2 2 x 2 y . 16. No ponto (2,3,4). Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-12 17. No ponto (1,1,9). Resolução: Resposta: Exercícios de derivadas como taxas de variação: 18. Se a temperatura T depende do tempo t e da altitude h, de acordo com a regra: 5t 2 10t h 10 , então calcule: 36 3 100 (a) Como varia a temperatura em relação ao tempo, no instante t0 12 horas, num ponto de altitude h0 100 metros? Resolução: T t , h Resposta: 0 (b) Como varia a temperatura em relação à altitude, no instante t0 12 horas, num ponto de altitude h0 100 metros? Resolução: Resposta: 1 100 Resolução: Resposta: Resposta: 20 9 . Resolução: 125 V = 9 P (d) Suponha que a temperatura permaneça constante. obtida em (b). Use o resultado de (c) para encontrar a variação aproximada no volume para produzir a mesma variação na pressão. Resposta: 0. T (b) Use o resultado de (a) para aproximar a variação de pressão se a temperatura aumentar para 920 C. V unidades cúbicas é o volume. De acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado. (a) Encontre a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação em T . Resolução: P 0. Suponha que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 cm 3 e a temperatura seja 900 e k 8. se V permanecer fixo em 100.16 N / m 2 (c) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T permanecer fixo em 900. quando T 90 e V 100. se P Newton por unidade quadrada é a pressão. temos a fórmula: P V k T [equação (1)] onde k é uma constante de proporcionalidade.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-13 19. Resolução: Resposta: Logo. e T graus a temperatura.08 é a resposta desejada. Resolução: Resposta: Resposta: V 16 cm 3 / cm 9 y 6. encontre a taxa de variação do volume em relação ao diâmetro quando y 16 cm . Resolução: 2 y 4 s 2 y 2 . Calcule essa taxa de variação no instante em que s 10 cm .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-14 20. Considerando que o valor do diâmetro varia. onde s é o 24 V 320 cm3 / cm 9 s (b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de s 10 cm .1. então. por definição.6 Diferenciabilidade Diferenciabilidade para funções de uma variável Seja f : . lim x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) = f ´x0 lim f ´ x0 0 ou x x0 x x0 x x0 . O volume V de um cone circular é dado por V comprimento da geratriz e y o diâmetro da base. (a) Encontre a taxa de variação instantânea do volume em relação à geratriz se o valor y 16. enquanto a geratriz s varia. Se f é derivável no ponto f ( x) f ( x0 ) = f ´x0 . Assim: lim x x0 x x0 x0 . y0 . y0 . y0 . y . sua equação é: (1) h ( x . Em outras palavras. no ponto x0 .y0 ) . y0 mesma maneira. quando x se aproxima de x0 . y0 . Da f x0 .w0 ) A curva w = f (x0 . y0 é o coeficiente angular da reta tangente à x curva de intersecção do plano y y 0 com a superfície z f x. y . se existe o plano tangente a z f x. respectivamente: A curva w = f (x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-15 f ( x) f ( x0 ) f ´ x0 x x0 lim 0 x x0 x x0 Esta expressão nos diz que a função h( x) f ( x0 ) f ´ x0 x x0 . y0 no ponto x0 .y ) Foi visto que a derivada parcial x0 x reta tangente y0 reta tangente y (x0 . z 0 ). y0 é uma “boa aproximação” de f perto de x0 . a diferença entre f e h se aproxima de zero de uma forma mais rápida. a derivada parcial é o coeficiente angular da reta tangente à curva y de intersecção do plano x x0 com a superfície z f x. f x0 . Plano Tangente f x0 . y ) a x b y c . Intuitivamente percebemos que se existir um plano tangente à superfície z f x. w P(x0 . y0 f x0 .y0 . então as retas que tem e como coeficientes y x angulares estão contidas neste plano. passando pelo ponto P( x0 . As inclinações nas direções dos eixos x e y são dadas pelas equações (2) e (3). que é a reta tangente ao gráfico de f no ponto x0 . no ponto x0 .y0 ) Assim. y . y . y0 )( x x0 ) f y ( x0 . y0 ) Na equação (8). então f é contínua nesse ponto. Exemplos 21. y0 ) ( x0 . y0 ) y c . y0 ). y ) ( x0 . dizemos que f ( x . w0 ) satisfaz a equação (1). Resolução: . y ) ( x0 . y ) é diferenciável no ponto ( x0 . se tem: h ( x . y0 )( y y0 ). chega-se a equação (5): f f (5) h ( x . y ) f ( x0 . Diferenciabilidade para funções de duas variáveis Diz-se que a função f ( x . y ) h( x. obtém-se a equação (4): (4) h ( x0 . y0 ) x0 f y ( x0 . y0 ) f x ( x0 . y ) no ponto ( x0 . y0 ) e ( x0 . y ) no ponto P( x0 . y0 )( x x0 ) f y ( x0 . y0 ) w0 . y0 ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 . substituindo (6) em (5). y ) ( x0 . y0 ) x ( x0 . provar que a função f ( x . y0 ) y0 . chega-se a equação (6): f f f ( x0 . y0 ) f ( x0 . Proposição Se f ( x . y ) (8) lim 0. ( x . Substituindo (2) e (3) em (1). y0 ) se as derivadas f f parciais ( x0 . Pela definição acima. y0 ) ( x . y ) é diferenciável em ( x0 . y0 ) y0 c . | ( x . y O ponto P( x0 . ou x y (6) c w0 f x ( x0 . obtém-se o plano tangente ao gráfico de w f ( x . y ) x 2 y 2 é diferenciável em 2 . y0 ).Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-16 (2) a f ( x0 . y0 ) f x ( x0 . y0 ) existem e se x y f ( x. y0 ) x0 ( x0 . y ) f ( x0 . y0 . logo. y0 )( y y0 ). y ) é diferenciável no ponto ( x0 . y0 ) se o plano dado pela equação (7) nos fornece uma “boa aproximação” para f ( x . x y Substituindo (4) em (5). Observação De uma maneira informal. y0 ). w0 ) pela equação (7): (7) h ( x . y0 . x f (3) b ( x0 . y0 ). Assim. y ) ( x0 . 0) Resolução: . f não é diferenciável na origem. y ) (0. f é diferenciável em 2 . verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem. Nos exercícios a seguir. 2 y3 . y0 ) (0.0 ) 23. f ( x . isto é. y ) x 2 y 2 . y ) (0. 22. Resolução: Resposta: Logo. 0. se ( x. y ) x 2 y 2 .0). ( x0 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-17 Resposta: Logo. se ( x. f ( x . y0 )( x x0 ) f y ( x0 . w f ( x0 . f ( x0 . o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos indicados. y0 ) f x ( x0 . Chama-se de plano tangente ao gráfico de f no ponto ( x0 . Exemplos Determine.2). Resolução: Resposta: .0.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-18 Resposta: Logo. y0 ). Plano Tangente Seja f : 2 diferenciável no ponto ( x0 . 24.1. f não é diferenciável na origem. w x 2 + y 2 nos pontos: a) P1(0.0). y0 . b) P2(1. y0 )( y y0 ). se existir. y0 )) ao plano dado pela equação a seguir. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-19 25. w 2 x 2 y 2 nos pontos: a) P1(0,0,0); b) P2(1,1, 3 ). Resolução: Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-20 6.2 Gradiente Seja w f ( x , y ) que admite derivadas parciais de 1 a ordem em ( x0 , y0 ). O gradiente de f no ponto ( x0 , y0 ) é um vetor com as derivadas f x e f y tal que: f f grad f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) , ( x0 , y0 ) ou f ( x0 , y0 ) ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )). y x Generalizando este conceito, temos: w f ( x , y ), w f ( x , y , z ), , f f f , , x y f f f f , , , , x y z w f ( x1 , x2 ,, xn ); f f f f x , x ,, x . 2 n 1 Proposição Seja f ( x , y ) uma função tal que, através do ponto P0( x0 , y0 ), passa uma curva de nível ck de f . Se grad f ( x0 , y0 ) não for nulo, então ele é perpendicular à curva de nível ck em ( x0 , y0 ), isto é, ele é perpendicular à reta tangente à curva ck no ponto P0. Exemplo 26. Seja w f ( x , y ) x 2 y 2 . Graficamente, o grad f ( x0 , y0 ) é dado por: Resolução: w x0 x P0 y y0 y grad f (x0 ,y0 ) y0 x0 P0 x c k : f (x , y) = k f x0 , y0 f x0 , y0 = 2 x0 ,2 y0 f x0 , y 0 , x y Resposta: Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-21 27. Seja w f ( x , y ) x 2 y . Graficamente, o grad f (2,4) é dado por: Resolução: y 4 P0 grad f (2 ,4) x 2 c 0 : f (x , y) = 0 Resposta: Observação: O gradiente é um vetor que indica o sentido de mais rápido crescimento de uma função em um ponto. y0 )( y y0 ).1) 3 1 dx + dy . y0 )( x x0 ) + ( x0 . y0 ) k y x (01) T dá uma aproximação do acréscimo w em ( x0 . A diferencial de f em ( x . y0 ): w f ( x . y0 ). para h x x0 e k y y0 : T( x x0 . os acréscimos são: x x x0 e y y y0 . y ) f ( x0 . k ) f f ( x0 . y ) uma função diferenciável no ponto ( x0 . y ) dx ( x . A diferencial de f em ( x0 .1). y ) relativa aos acréscimos x e y é indicada por dw ou df : dw f f ( x . Define-se a diferencial das variáveis independentes x e y como os acréscimos x e y: dx x e dy y . Exemplos 28. y0 ) é definida pela função ou transformação linear: T: 2 f f ( x0 . y ). y ) x xy no ponto (1. Em relação a x e y . y y0 ) T( h . x y ou.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-22 6. y0 ). y0 ) h + ( x0 . y ) dy y x (02) dw é a DIFERENCIAL TOTAL de w f ( x . 2 2 . Resolução: Resposta: df (1.3 Diferenciais Seja w f ( x . Calcule a diferencial de f ( x . y . Calcule a diferencial total da função: w x1 x2 x2 x3 x3 x4 ..001. y0 . z0 ). b) Calcular w quando as variáveis independentes sofrem a variação em a). z ) dy ( x . Resolução: Resposta: dw (2 x yz e xyz ) dx (2 y xz e xyz ) dy xy e xyz dz 31. x1 x2 xn Exercícios 30.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-23 29. . a) Determine uma aproximação para o acréscimo da variável dependente quando ( x . z ) em ( x0 . Resolução: Resposta: c) Calcular o erro obtido da aproximação de dw como w . x2 . xn ) dxn . x2 . Resolução: Resposta: dw x2 dx1 ( x1 x3 ) dx2 ( x4 x2 ) dx3 x3 dx4 .02). Calcule a diferencial total da função: w x 2 y 2 e xyz .1. Resolução: Resposta: w 0.021. x2 ..000381 6.021381 Resposta: 0. Resolução: w 0. z ) dx ( x .1) para (1..3. y . xn ) em ( x1 . y ) passa de (1. sua diferencial é: dw f f f ( x1 . y .. xn ) dx1 ( x1 .. xn ). x y z 0 0 0 Tome w f ( x1 . x2 .1 Generalizando as diferenciais Tome w f ( x . z ) dz . sua diferencial é: dw f f f ( x . x2 . y . xn ) dx2 ( x1 . Dada a função w x 2 + y 2 xy . 024cm2. Resolução: 1 2 0. num retângulo.495cm2. . Resolução: 0.01cm e 2. num triângulo retângulo. Calcular o valor aproximado de (1.5cm.001cm.02 1. Nos itens a) e b).001)3.001)3. Resposta: (1. Resolução: 4 2 Resposta: b) 2cm e 1cm para 2.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-24 32. Resposta: 33.02.003.01cm e 0. calcule o valor aproximado para a variação da área na figura quando os lados são modificados de: a) 4cm e 2cm para 4. respectivamente.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-25 34. aproximadamente. Dada a superfície z dV 16.01075 .2 pol em cada medida. y 2. o máximo erro possível no cálculo do volume? H D Resolução: Resposta: 35.8 pol 3 x y 1 . O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem. Qual é. se no ponto x 4. 12 pol e 8 pol . x e y são acrescidos de . qual é x y 10 a variação aproximada de z ? Resolução: Resposta: z 0. com um erro provável de 0. 4 Derivadas de Funções Compostas 6. y x z Resolução: Resposta: Logo: V 9 cm3 .1 Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis Intermediárias Se w f ( x . y ) for diferenciável e x e y forem funções diferenciáveis de t .02 cm . As dimensões de uma caixa são 10 cm . Essas medidas têm um possível erro de 0.4. 12 cm e 15 cm . aproximadamente. então w será uma função diferenciável de t e: dw w dx w dy dt x dt y dt (DIAGRAMA) w w x x dx dt t dy dt w y y . Encontre. o máximo erro no cálculo do volume. 6.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-26 36. 2 Regra da Cadeia para Funções de Três Variáveis Intermediárias Se w f ( x .4. y e z forem funções diferenciáveis de t . Use a regra da Cadeia para encontrar a derivada de w x y em relação a t ao longo do caminho x cos t . Qual é o valor da derivada em t ? 2 Resolução: Resposta: 1 6. z ) for diferenciável e x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-27 Exemplo 37. y . então w será uma função diferenciável de t e: dw w dx w dy w dz dt x dt y dt z dt (DIAGRAMA) w w x w y x dy dx dt dt t y dz dt w z z . y sin t . z ). Encontre Resposta: 2 6. x g ( r . w w x w y w z r x r y r z r w w x w y w z s x s y s z s (DIAGRAMA) w w x w y x y x r r r y z r w z z x y x s s s w x w y y z s w w z z . y . s ). y sin t e z t . s ). y h ( r .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-28 Exemplo dw sendo que w x y z .3 Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes e Três Variáveis Intermediárias Sejam w f ( x . x cos t . dadas pelas fórmulas a seguir.4. então w terá derivadas parciais em relação a r e s . Se todas as quatro funções forem diferenciáveis. Determine o valor da dt derivada em t 0. Resolução: 38. s ) e z k ( r . y y1 y2 ym xn x1 x2 x1 ym x2 ym . x ... xn g n ( y1 . dadas pelas fórmulas: w y 1 w y2 w ym ou f x1 x1 y1 f x1 x1 y2 f x1 x1 ym f x2 f x2 x2 y1 x2 y2 f xn f xn xn y1 xn y2 f x2 x2 ym f xn xn ym obs.: w w x y x y REPRESENTAÇÃO EM FORMA MATRICIAL: x1 y 1 x x 2 y y 1 xn y1 x1 y2 x2 y2 xn y2 w f . ym ). x . y r 2 ln s .. . x2 g 2 ( y1 . xn ym .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-29 Exemplo 39. x2 . y2 .4. ym .4 Regra da Cadeia Generalizada Suponha que w f ( x1 .. y2 . z 2 r . Expresse Resolução: w w r e em termos de r e s se: w x 2 y z 2 . x1 g1 ( y1 . xn ). r s s Resposta: w 1 w 2 r 12 r e r s s s s 2 6.. x x w w w w w w w w . ym ). então w terá derivadas parciais em relação a y1 . y2 . y2 . ym ) sejam todas funções diferenciáveis. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-30 Exemplo 40. 0e 0 r . e . Resolução: Resposta: w w w 2r . y r sin sin e z r cos . Dada a função w x 2 y 2 z 2 e sabendo que x = r cos sin . calcular as derivadas da função w em relação a r . F x y x x y x x x 1 y Tendo . A altura de um cone circular é de h 100 pol e decresce a razão de 10 pol / seg . o volume cresce à taxa de 26180 pol 3 / seg no dado instante 42. quando h 100 pol e r 50 pol ? h r Resolução: Resposta: Portanto.5 Derivadas de Funções Implícitas 1o Caso: F(x.4 graus por segundo no dado instante. O raio da base é de r 50 pol e cresce a razão de 5 pol / seg . Use a lei do gás ideal com k 10 para encontrar a taxa de variação da temperatura no instante em que o volume do gás é 120 cm3 e o gás está sob uma pressão de 8 din / cm 2 . Com que velocidade está variando o volume.1 din / cm 2 ( din . Resolução: Resposta: A temperatura cresce à taxa de 0. f (x ) ).y) 0 com y f(x) F y 0 no ponto ( x . unidade de força) por segundo. se o volume cresce à taxa de 2 cm 3 / seg e a pressão decresce à taxa de 0. y ). pode-se obter aplicando-se a regra da cadeia y x F F y F y F x F y para F ( x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-31 Exercícios: 41. Então: 0 x . 6.4. Dada a equação x 2 y 2 1.z) 0 com z f(x. F x y z x x x x 1 0 z F z F x F y F z y Em relação a y : 0 . b) Derivando através de função de uma variável. y . podem-se obter e aplicando-se a z y x regra da cadeia para F ( x . Encontre Resolução: y para y 2 x 2 sin xy 0. y ) ). y .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-32 Exemplo: 43. z ). f ( x. x Resposta: y 2 x y cos xy x 2 y x cos xy 44. encontre y usando derivação por duas formas: x a) Derivando implicitamente. y ) x 2 y 2 1 Resolução: Resposta: b) y 1 x 2 Resolução: x y y x Resposta: x y y x 2o Caso: F(x.y) z F z 0 no ponto ( x .y. F x y z y y y y 0 1 z Tendo . F F x F y F z z Em relação a x : 0 x . a) F ( x . y ) é definida por x 4 y y 3 z 3 z 5.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-33 Exemplo 45. x y Resposta: z 4 x 3 y z ( x 4 3 y 2 ) e x 3 z 2 1 y 3z 2 1 . determine Resolução: z z e . Sabendo que z f ( x . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-34 6.5 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis Seja w f ( P ) uma função de n variáveis e seja P0 D ( f ). Definição 2: Mínimo Local (ou Mínimo relativo) f ( P0 ) é um valor mínimo local de f se f ( P0 ) f ( P ) para todo ponto P pertencente a uma vizinhança de P0 . Observação P0 é ponto de máximo ou mínimo de f . Definição 1: Máximo Local (ou Máximo relativo) f ( P0 ) é um valor máximo local de f se f ( P0 ) f ( P ) para todo ponto P pertencente a uma vizinhança de P0 . . todas as derivadas parciais de f se anulam ou não existem em P0 . Definição 3: Ponto Crítico P0 é um ponto crítico de w f ( P ) se. w f ( P ) admite extremos em P0 e: (a) Tem um valor máximo se (b) Tem um valor mínimo se 2 f ( P0 ) x 2 2 f ( P0 ) x 2 0. y ) x . Seja P0 ( x0 . P0 é um ponto crítico de f . nada se pode afirmar. Exercícios 46. Teorema 2 Tome P 2 ou P ( x . (iii) Se H ( P0 ) 0. 0. então. P0 tem um ponto de sela. Classificar os pontos críticos da função f ( x . (Determinante) f yx f yy 2 f 2 f xy y 2 Então: (i) Se H ( P0 ) 0.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-35 Teorema 1 Se w f ( P ) tiver um valor de máximo ou mínimo local em P0 . (A recíproca não é verdadeira). y ). y0 ) um ponto crítico de w f ( P ). Pontos críticos: Resolução: . (ii) Se H ( P0 ) 0. y ) 3 x y 2 x 3 3 x . w f ( P ) não admite extremos em P0 . diferenciável até a segunda ordem e H ( P ) o seu Hessiano definido por: 2 f 2 f 2 yx f xx f xy H ( P ) H ( x . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-36 Resposta: A (0. B (0.1) é MÍNIMO LOCAL de f .0) é MÁXIMO LOCAL de f . Analisar os pontos de máximo e mínimo de f no conjunto aberto A da figura a seguir. Considerando f ( x .1) é PONTO DE SELA. 3 3 5. Seja f ( x . C (1. Resolução: Resposta: (1.1) é ponto x y 47.0) é MÍNIMO LOCAL de f e D (1. classificando-o.1) é PONTO DE SELA. verifique se o ponto (1. y ) x 2 x y y 2 crítico. 48. Resolução: . y )2 x 3 2 y 3 6 x 6 y . 1 Teorema de Weierstrass Seja f : A 2 com w f ( x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-37 Resposta: f possui um ponto de mínimo e um de máximo local. Então existem P e P2 A tais que 1 f ( P ) f ( P ) f ( P2 ) 1 qualquer que seja P A . Determinar o valor máximo e o valor mínimo de f no conjunto B delimitado pelo triângulo MNP da figura a seguir. y )2 x3 2 y 3 6 x 6 y do exercício anterior. y ) uma função contínua no conjunto fechado e limitado A .1).5. São eles: (1.1) e (1. Tome f ( x . Observação Esse teorema garante a existência do ponto de máximo e do ponto de mínimo de uma função contínua com domínio fechado e limitado. 6. Exercício 49. Resolução: . 0) 36.2 Aplicações: Exercícios 50.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-38 Resposta: O valor de mínimo de f é f (1.3) f (3.1) 8. e o valor de máximo de f é f (0. 6.5. Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 m 3 e com a menor área de superfície possível? z x Resolução: y . .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6-39 Resposta: ( x . y .2. z ) (2.1). Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas. Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. que realizou as primeiras quadraturas da História. 1 Quando duas circunferências se interceptam como na figura limitada pelos arcos ADB e AEB.1705) Johann Bernoulli (1667 . por volta de 430 a. e assim por diante. como o círculo. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer.C.C.) Johann Kepler (1571 . ou Cálculo Integral.. uma das questões mais importantes. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.C. e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. ou figuras limitadas por arcos de outras curvas.1630) Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 . um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-1 7 7. Havia. em seguida um hexadecágono. Antifon..1855) Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 . Assim. Apesar disso.212 a. regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente.1748) Carl Fridrich Gauss (1777 .1 Integrais Duplas e Triplas Introdução Alguns personagens importantes que contribuíram para o cálculo diferencial e integral: SEM FOTO Arquimedes de Siracusa (287 . 440 a.1647) Pierre de Fermat (1601-1665) Isaac Barrow (1630 . buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. entretanto. surgiu por volta do ano 225 a. Esse cálculo pode ser encontrado no livro do Simmons. As lúnulas1. foram estudadas por Hipócrates de Chios.1677) Isaac Newton. a região em forma de lua crescente .C. depois um octógono. eles as relacionavam com a área do quadrado. procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado. Nesse contexto. essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão. volume 2. é denominada lúnula. por ser essa a figura plana mais simples. Sir (1642-1727) Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) Jacques Bernoulli (1654 .1866) O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas. 0 n 1 Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. onde k 0 é constante e n2. Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume e a área da superfície esférica. Basicamente. continuando na mesma direção. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa. onde k 0 e n2. etc. Descartes. Em sua obra mais conhecida. Torricelli e outros. 4. Aparentemente. "parábolas maiores": curvas do tipo ykxn. Luca Valerio publicou “De quadratura parabolae” onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas . teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. se não podia ser nem maior. nem menor. Para o cálculo de cada um desses volumes. Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". o volume de qualquer secção de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. tinha que ser igual. Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. entre eles. em Roma. com o método da exaustão. mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado. Em seus cálculos. etc.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-2 Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos. o que hoje a n a n1 em dia escrevemos: x dx . usando os seus métodos. o volume e a área da superfície do cone. quem. 4. a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. formulou o teorema. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido. Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. Em 1606. e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado. a área da região limitada por uma elipse. levava à distância. Empregou então uma serie geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo ykxn. apresentava muita imprecisão. Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo. O argumento utilizado era a dupla “reductio ad absurdum” para "escapar" da situação incômoda. Em 1655. estava trabalhando em direção ao seu resultado. Kepler. em seu trabalho sobre o movimento dos planetas. então chamadas. em seu trabalho “Arithmetica infinitorum”. foi Newton. Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. 3. Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. entretanto.método este que. Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das. Wallis desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes. Blaise Pascal. Ele mostrou. O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. a idéia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a idéia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. A partir desse problema envolvendo movimento. Analogamente. “Geometria indivisibilibus continuorum nova”. Por volta de 1640. a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gama. pensava na soma de fatias planas. para calcular volumes de sólidos. evitando. Desse modo. chamadas infinitésimos. a fórmula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat. calculou os volumes de muitos sólidos tridimensionais formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. obtendo uma das primeiras aproximações para o número . partindo da velocidade. Ele desenvolveu os métodos das fluxions (derivação) e fluents (integração) e utilizou-os na construção da . Embora Barrow nunca tenha anunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo. Kepler subdividia o sólido em várias fatias. na prática. 3. Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton. quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise. y D yk Ak x xk . determinação de grandezas físicas e outros. Daí vem o símbolo (um 's' longo) para representar soma. era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade. a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando. a integração como inversa da derivação.y) yk y xk x D Traçando retas paralelas aos eixos x e y. as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Economia. desta maneira. de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Química. Após o estabelecimento do Cálculo.juntamente com Cauchy. Medicina. Definição Considere uma função z f (x. Engenharia. Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais. por exemplo. que é chamado método das frações parciais. z z f ( x. recobrimos a região D por pequenos retângulos. Euler daria continuidade ao estudo de funções ainda prematuro na época . Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática. Com efeito. 7. Astronomia. Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão. Principalmente como conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton. usava a integração como uma soma. Foi Euler. por exemplo. diferentemente de Newton. Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente. Leibniz. y) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy.2 Integrais Duplas Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes. entretanto Newton via o Cálculo como geométrico. por exemplo. mas de Física.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-3 mecânica clássica. Newton sabia que a derivada da velocidade. enquanto Leibniz o via mais como analítico. Essas idéias foram resumidas por Leonard Euler. Gauss e Riemann. a integral de y era representada por `y. entretanto. na sua obra sobre integrais. Para Newton. y). os retângulos ficam cada vez menores. Soma e Diferença [ f (x.1 Interpretação Geométrica Se f (x. k 1 onde Ak xkyk é a área do retângulo Rk. Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito. f (xk . D D 7. y)dA k f (x. Assim. yk)Ak. Denota-se por: f (x. então. y)]dA D f (x. y) 0. y) 0. y) g(x.3 1. cuja base é o n retângulo Rk e cuja altura é f (xk . yk). Então. y)dxdy. y)dA D D (para todo número k) 2.2. f (xk . se z f (x. Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y. D 7. y)dxdy D é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z f (x. yk)Ak k 1 existe. yk)Ak representa o volume de um prisma reto. Propriedades das Integrais Duplas Múltiplo constante k f (x. V 1áreaD. numerandoos de 1 a n. yk)Ak sobre a região D. inferiormente pela região D. tome o ponto Pk (xk . yk) e forme a soma n SOMA DE RIEMANN: f (xk .2 Área da Região D Se f (x. yk)Ak é a aproximação k 1 f (x. y)dA g (x. y) 1 P(x. Logo: 1 dA Área da Região D. 7. y)dA D D . y)D. Em cada retângulo Rk. ele é chamado INTEGRAL DUPLA DE f (xk .2. y)dA ou f (x. se n lim n f (xk .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-4 Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em D.2. A soma de Riemann do volume limitado abaixo da região z e acima de D. y D1 D2 x 7. Se f é contínua em D. Dominação (a) f (x.3 7. y)dA D D1 D2 se D for a união de duas sub-regiões não sobrepostas D1 e D2. y)dydx (Teorema 1) . y)dA se f (x. y)dA g (x. y)dA 0 se f (x. y) g(x.3. y) dy D f (x.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3. y)dA a g ( x) D 1 b g2 (x) f (x.1 Cálculo de Integrais Duplas Teorema para o Cálculo de Integrais Duplas (ii) Região Dy: y g2 (x) D y g1 (x) a b x c y d (i) Região Dx: y D x h1 (y ) x h 2(y ) x (i) Seja D a região Dx da figura anterior. y)dA f (x. y) 0 em D D 7-5 (b) f (x. y) em D D D Aditividade f (x. então: A( x ) g 2 ( x) g 1( x) f ( x . 4. y)dA f (x. 3.4) Resolução: Resposta: 32 3 . (b) Teorema 2.Cálculo II – (Lauro / Nunes) (ii) Seja D a região Dy da figura anterior. então: 7-6 f (x. y)dxdy (Teorema 2) 7. y)dxdy a g ( x) 1 b g 2 ( x) f ( x. y) dy dx c h ( y) 1 d h2 ( y ) c d h2 ( y ) f ( x. y) dx dy h1 ( y ) Exercícios 1. y)dydx f (x. (a) Teorema 1 y D y 2x y x2 x (2. Calcule 3 ( x D + 4y)dA aplicando: (a) Teorema 1. Seja D a região do plano xy delimitada pelos gráficos de y x2 e y 2x.2 (i) (ii) b Definição: Integrais Iteradas a g ( x) 1 g 2 ( x) f (x. Se f é contínua em D. y)dA c h ( y ) D 1 d h2 ( y ) f (x. y)dA em termos de D integrais iteradas utilizando apenas: (a) Teorema 1. Seja D a região delimitada pelos gráficos das equações y x .Cálculo II – (Lauro / Nunes) (b) Teorema 2 y D y x 2 x y x (2. y 3x 18 e y 0. expresse a integral dupla f (x.0) (9. (b) Teorema 2.3) D D2 y 3x 18 x Resolução: Resposta: . (a) Teorema 1 y y x D1 (6.4) 7-7 Resolução: Resposta: 32 3 2. Se f é uma função contínua arbitrária em D. 4) Resolução: Resposta: 0.0) (9. inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante. y x y x 2 D (2.0) dydx x (2.4) y y x 2 (2. Dada 0 4 2 y y cos x5 dxdy.Cálculo II – (Lauro / Nunes) (b) Teorema 2 y x y2 D (6.055 .3) 7-8 x 1 y2 6 3 x Resolução: Resposta: 3.0) dxdy x D (2. e 0. v) e y y(u. onde D é o retângulo de vértices 0. V D’ v x x (u .4 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Através de uma mudança de variáveis x x(u. v) u U y Y D x X A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA. com derivadas parciais contínuas em D’ e D. ) 2 x 0 1 x Resolução: Resposta: 1 2 7. v) y y (u. . 1. Calcular I 7-9 D y sinxy dxdy. 1. y) e v v(x. y). e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa u u(x. respectivamente. 2) D (1. . 2) (1 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4. v) (1) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D’ do plano uv. . ) D (0. temos . (2) Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas. 2 2 (0. ) y (1 . 2) (1 . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-10 f (x. v) x x u v ( x. v) D D' ( x. y) do plano xy é dada x x(r. que veremos a seguir: 7. ) rsin (4) e seu jacobiano é dado por ( x.2 Área A’ do retângulo em D’ A’ r . (r . pode-se considerar como sendo . D D' (5) 7. (u. y ) (iii) o jacobiano 0 em D’ ou se anula num número finito de pontos de D’. (u .5. rsin)rdrd. v) y y u v A fórmula (3) é válida se: (i) f é contínua. ) rcos e y y(r. y ) dudv (3) ( x. ) sin r cos Portanto. ( x. a fórmula (3) pode ser expressa por: f (x.5 por Coordenadas Polares A transformação que leva pontos (r. y(u. D’ Retângulos y D x rcos y rsen r r r r r r r x Existe uma correspondência entre A’ e A.5. y ) . ) do plano r a pontos (x. v) onde 7.1 Obtenção da fórmula Para que (4) seja bijetora. v). y)dxdy f (x(u. v)) (u. dado por (u . y ) cos r sin r. considera-se r para os quais r e satisfazem: r 0 e 0 2 ou r 0 e . Para os cálculos. y)dxdy f (rcos. (ii) as regiões D e D’ são formadas por um número finito de sub-regiões do tipo Dx ou Dy. y ) é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-11 7.4 Integral dupla em D’ Assim. rk sink)rk A'k k 1 onde A'k rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’. tome um ponto arbitrário (xk .5. yk)Ak k 1 é equivalente a n f (rk cosk . Enumerando os retângulos polares e 1 a n. . Assim.5. a soma de Riemann n f (xk . Este ponto pode ser representado por (rk cosk . yk) no k-ésimo retângulo. rk sink) que tem representação (rk .3 Área A do retângulo polar em D A r r r r R R r r r r r y D x 1 2 r 2 A é a diferença entre dois setores circulares de mesmo ângulo e raios R e r. k) referente à região correspondente em D’. 1 1 A R 2 r 2 2 2 1 A R 2 r 2 R r r 2 1 1 1 A ( r r ) 2 r 2 r 2 2 rr r 2 r 2 2rr r 2 2 2 2 rR 1 r r r rR A 2 r r r rk r r 2 2 2 2 A rk r rk A' Área de um setor circular: A Setor menor ( r) Setor maior (R) A rk A' 7. obtemos o jacobiano rk da fórmula (5). Contorno da região D: x2 y2 4. sendo D o círculo de centro na origem e raio 2.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-12 Assim. 0 2 D’: 0 r 2 y 2 x rcos y rsen r 2 2 D x D’ 2 r Resolução: Resposta: 16 3 . se tomarmos limite com n com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero. rk sink)rk A'k n lim k 1 que equivale a integral f (rcos. Exercícios 5. com correspondência ao D em xy. Identificar D’ em r. rsin)rdrd D' dada pela fórmula (5). Calcular I D x 2 y 2 dxdy. temos n f (rk cosk . y)dA D (6) nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z f (x.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-13 6. Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z 4 2x2 2y2. Resolução: . onde D é a região do plano xy delimitada entre x2 y2 4 e x2 y2 9. y). Calcular I e x D 2 y2 dxdy. a integral V f (x. y) 0.6 Cálculo de Volumes (Aplicações) Para f (x. Exercícios 7. Região D: x2 y2 4 x2 y2 9 y D 0 2 Região D’: 2 r 3 2 D’ r 2 3 x 2 3 r Resolução: Resposta: e 9 e4 7. inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D. 4 .2) 1 2 1 y (2. 8.1) x 2 Resolução: Resposta: V 15 unidades de volume.v.1 2. z 4 (0. x 0.1. y 0 e y x e lateralmente 4 2 pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D. 7 2 ) (2.0. 1 1 inferiormente pela região delimitada por x 2. Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z 4 x y.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-14 Resposta: 4 u. Calcular a área da região D delimitada por x y2 1 e x y 3. a área da região de integração D é dada por: A dA D (7) Exercício 9.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-15 7. y) 1.7 Cálculo de Áreas de Regiões Planas Fazendo f (x. Calcular pelas duas formas: a) Dx (Teorema 1) b) Dy (Teorema 2) Por (7). A dA D y 3 2 1 1 2 3 4 5 x 1 2 Resolução: . yk. yk . n Formamos a soma f (xk. n Se existir lim n f (xk. onde Vk é o volume do paralelepípedo Tk. Subdividimos T em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos coordenados. z T ( xk . y. ele é chamado: k 1 INTEGRAL TRIPLA da função f (x. z)dV ou f (x. z) uma função definida e contínua numa região fechada e limitada T do espaço. k 1 Faz-se isso de maneira arbitraria.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-16 Resposta: 9 u.8 Integrais Triplas Definição Seja w f (x. z)dxdydz T T Propriedades 1. yk. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk. z k) y x Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. zk). y. y. (unidades de área) 2 7. yk. zk)Vk. De forma análoga a integrais duplas. y. escolhemos um ponto arbitrário (xk. temos: kf dV k f dV. mas de tal forma que a maior aresta dos paralelepípedos Tk tende a zero quando n .a. z) sobre a região T e representamos por f (x. zk)Vk. T T . (i) Domínio D: z z h2 (x . y ) T z h1 (x . y) e superiormente pelo gráfico z h2(x. onde T T1 T2. z) T y p2( x. z ) y x q 1(y. y. z) (i) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico z h 1(x. como mostra a figura a seguir. z) y x (iii)Domínio D”: z D T x x q 2(y .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-17 2. y ) f ( x. z)dV h ( x. y ) T D 1 h2 ( x . T1 T2 T 7. y). a resolução de uma integral dupla. f (x. ( f1 f2)dV f1 dV f 2 dV. inicialmente. y ) y D x (ii) Domínio D’: z D y p 1( x. onde h1 e h2 são funções contínuas sobre a região D do plano xy. T T T T f dV f dV T1 T2 f dV. Serão apresentados três casos: (i). y. z ) dz dxdy (8) . (ii) e (iii). 3. o cálculo da integral tripla será reduzido.9 Cálculo de Integrais Triplas Através das três situações seguintes. z ) T D" 1 q2 ( y . z). onde p 1 e p 2 são funções contínuas sobre a região D’ do plano xz. z)dV b a g ( x ) h ( x. por exemplo. se. Calcular I x dV. (ii) A região T é delimitada à esquerda por y p1(x. y. z)dV q ( y .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-18 Logo. f (x. y ) f (x. z) e na frente por x q2(y. y. y ) 1 1 g2 (x) h2 ( x . z) e a direita por y p2(x. z)dV p ( x. onde q1 e q2 são funções contínuas sobre a região D” do plano yz. z )dy dxdz (9) (ii) A região T é delimitada na parte de traz por x q 1(y. pelo x y z 8 e pelo plano xy. z z 8 x y y T D x D 5 y 5 x z 0 Resolução: . z). z)dzdydx. z ) T D' 1 p2 ( x . a região D for do tipo Dx: g ( x) y g 2 ( x) D: 1 a x b a integral tripla será dada pela seguinte integral iterada tripla: T f (x. y. y. y. y. z ) f ( x. z ) f ( x. onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x T 2 y2 25. f (x. z )dx dydz (10) Exercícios 10. y. w com x x(u. No desenho. w)) T' ( x. (ii) ou (iii). v. Calcular I I 625 4 y dV. z ) dudvdw (u . T se enquadra em qualquer um dos casos: (i). w) (11) . a integral (10) fica: I f ( x(u. w) e z z(u. w). y(u.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-19 Resposta: 11. v. v. 3 2 T é o tetraedro representado a seguir: z 1 z 1 x y 3 2 2 y y 2 T D x 3 z 0 D 3 x Neste caso. w). Resolução: Resposta: I 1 2 7. y. v. y y(u. w). w). onde T é a região delimitada pelos planos coordenados e pelo plano T x y z 1. z)dxdydz T (10) Induzindo novas variáveis de integração u. v. v. é sugerida a utilização de (i). z(u. v.10 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Seja I dada por (10): I f (x. v. z ) sin r cos 0 r (r . z a2 T D a z 0 a2 a . y.11 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas A relação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é dada pelas equações: x rcos y rsin zz z P (x. pelo parabolóide T z x2 y2 e pelo cilindro x2 y2 a 2. w e de x.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-20 onde T’ é a correspondente região no espaço u. y. Calcular I (x2 y2)dV. z em relação às novas variáveis r. . rsin. y. z) y x r O jacobiano de x. y . vem: f (x. ( x. z)rdrddz T T' (12) onde T’ é a região T descrita em coordenadas cilíndricas. e z é: cos r sin 0 ( x. y. Exercício 12. onde T é a região delimitada pelo plano xy. y e z em relação a u. v e w. z)dV f ( rcos. usando (11). v. v. z ) 0 0 1 Assim. w) 7. z ) é o determinante jacobiano (u. sensen. z ) sin sin sin cos cos sin 2sin (. ) 1 h2 ( r . . D’ é a projeção de T sobre o plano xy descrita em coordenadas polares. pode-se escrever a equação (12) representada pela (13). usando (11). vem: f (x. D' h ( r . Resolução: Resposta: I a 6 3 7. Observação: Levando-se em conta que a região T se enquadra no caso (i). z em relação às novas variáveis r. e é: sin cos sin sin cos cos ( x. conforme figura a seguir: r sen z cos r z P( .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-21 A região T é limitada inferiormente por z 0 e superiormente por z x2 y2 que. em coordenadas cilíndricas. tem equação z r2.12 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas A relação entre as coordenadas esféricas e cartesianas é desenvolvida da seguinte forma.) f ( rcos. ) x r cos y r sen x y r z r x sencos y sensen z cos O jacobiano de x. . rsin. cos) sinddd T T' 2 onde T’ é a região de integração T descrita em coordenadas esféricas. y. ) cos 0 sin Assim. z)dV f (sencos. y. . z)dz rdrd (13) Onde h1 e h2 delimitam T inferior e superiormente. y . Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-22 Exercício 13. T Esféra 4 Cone 4 D Resolução: Resposta: I 32 . onde T é a região limitada superiormente pela esfera x2 y2 z2 16 T e inferiormente pelo cone z x 2 y 2 . Calcular I zdV. y)dA R Além disso. como mostra a figura a seguir: y yk P k xk x No retângulo genérico Rk. y)dA R Analogamente. A massa total da lâmina é definida por: M ( x. o centro de massa e o momento de inércia de uma lâmina plana não homogênea. 2 yk é o quadrado da distância de Pk ao eixo x. o momento de massa em relação ao eixo y é dado por: My x( x. . o momento de massa em relação ao eixo x é dado por: Mx y( x. denotado por ( x . temos o ponto (xk. y). y)dA R 2 O momento de inércia em relação ao eixo y é: Iy O momento de inércia polar é: I0 x ( x. y) de R dada pela função contínua (x. com a forma de uma região R e com densidade de área em um ponto (x. x2 e (x2 y2) que aparecem nestas expressões são as “distâncias ao quadrado”. y ) é definido por: Mx M M O momento de inércia em relação ao eixo x é: x My e y Ix y ( x. y )dA Observação Os valores y2. yk) Rk. y)dA R 2 2 ( x R y 2 )( x. y)dA R O centro de massa.13 Aplicações Físicas da Integral Dupla Usando as integrais duplas. podemos encontrar a massa. 2 2 xk yk é o quadrado da distância de Pk a origem.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-23 7. e: 2 xk é o quadrado da distância de Pk ao eixo y. Determinar o centro de massa da chapa homogênea da figura abaixo. y 3a 2a R a a a x Resolução: .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-24 Exercícios 14. y xz e z xy x M M M . em relação a um ponto (x. vamos analisar o uso das integrais triplas para calcular a massa de um corpo. denotado por ( x . Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos y da chapa da figura a seguir. z ) definido por: M yz M M . y. y 2 y x R 4 x Resolução: Resposta: 102. é dado pela função (x. z ) dV T O momento de massa em relação ao plano xy do sólido T é dado por: Mxy z( x. 15 15. y.14 Aplicações Físicas da Integral Tripla De maneira análoga ao que foi feito com as integrais duplas. z). z )dV T Analogamente. as coordenadas do seu centro de massa e o momento de inércia em relação a um eixo L. Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. contínua em T. z ) dV T T Obtemos assim o centro de massa do sólido T. o momento de massa em relação aos planos xz e yz são dados por: Mxz y( x. y ) 0. y. y. y. y.4 Kg/m2 7. z). sabendo que a densidade de massa é igual a xy Kg/m2. Suponhamos que a densidade de massa por unidade de volume.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-25 Resposta: 19a ( x . A massa total do corpo é dada por: M ( x. y . z ) dV e Myz x( x. zk). temos que a distância de uma partícula. z 1 z P x x 12 T y 1 y Resolução: . sabendo que a densidade de massa em P(x. O momento de inércia em relação ao eixo z é: Iz ( x 2 y 2 )( x. No caso de sólidos.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-26 Outro conceito importante é o de momento de inércia em relação a um eixo L. y. z )dV T O momento de inércia em relação ao eixo x é: Ix ( y 2 z 2 )( x. com massa concentrada em (xk. 2 2 d xz xk zk . y. até os eixos coordenados é dada por: Eixo z: Eixo y: Eixo x: 2 2 d xy xk yk . z ) dV T O momento de inércia em relação ao eixo x é: Iy ( x 2 z 2 )( x. z ) dV T Exercícios 16. 2 2 d yz yk z k . z) é proporcional a distância até o plano xy. yk. y. delimitado por 2x y z 1 e os planos coordenados. Calcular a massa e o centro de massa do sólido T. y. Centro de massa: . sabendo que a densidade de massa é igual a (x2 y2) kg/m3. 48 10 5 15 17. Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x2 y2 9 e pelos planos z 2 e z 4. z 4 2 3 T y x Resolução: Resposta: 486 kgm2 . .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-27 Resposta: M k 1 1 6 unidades de massa. y D y 2 D ex y.15 Exercícios 18.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-28 7. 2 Resposta: 1 I 1 e 16 8 19. Calcular a integral I Resolução: 1 0 4x 4 e y dydx . 2 2 x Resolução: . Calcular I y sin x y dA onde D é a região delimitada por x 0. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-29 Resposta: 20. D I 2 2 y 2 1 0 B D A 2 x 1 Resolução: . Calcular I xy dA onde D é o triângulo OAB da figura a seguir. D Resolução: Resposta: I 0 0 a sin f ( r cos . Usando coordenadas polares. Calcular I y dxdy . a 0. I 13 8 a integral I f ( x. escrever na forma de uma integral iterada. y) dxdy onde D é a região delimitada por x2 y2 ay 0. sendo D a região delimitada por x2 y2 ax 0. r sin ) r drd 22. D Resolução: .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-30 Resposta: 21. a 0. Calcular I x 2 y 2 dxdy . y x e y y 3 x.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-31 Resposta: 23. x2 y2 4x . 3 D 4 6 1 2 3 4 x Resolução: . sendo D a região limitada pelas curvas: D I0 x2 y2 2x . sendo D o paralelogramo limitado pelas retas: D x y 0. Calcular I ( x y) dxdy . y 2x e y 2x 4.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-32 Resposta: I 7 10 2 11 9 24. y 4 2 1 D x 2 3 4 2 x y 0 x y 1 y 2x y 2 x 4 Resolução: . x y 1. onde D é a região delimitada pela circunferência D (x 2)2 (y 2)2 4. .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-33 Resposta: I2 25. Calcular I ( x 2) 2 ( y 2) 2 dxdy . 2 a: coordenadas polares. Obs.: Aconselha-se o uso de duas transformações: 1 a: u x 2 e v y 2. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-34 Resolução: Resposta: I 8 . Calcular o volume do sólido abaixo do plano xy delimitado por z x2 y2 9. Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por y z 2 e pelo cilindro que contorna a região delimitada por y x2 e x y2. z 4 x 3 y 9 Resolução: .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-35 26. z 2 1 1 Sólido 1 Região D y x y2 x y 1 x 1 y x Resolução: Resposta: V 31 unidades de volume 60 27. z 4 x 4 4 y Resolução: Resposta: V 128 unidades de volume 3 .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-36 Resposta: V 81 2 28. delimitado pelos cilindros x2 y2 16 e x2 z2 16. Calcular o volume do sólido no primeiro octante. Calcular o volume do tetraedro dado na figura abaixo. z 3 1 2 y x Resolução: Resposta: V 1 unidade de volume .Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-37 29. Cálculo II – (Lauro / Nunes) 7-38 30. y x e y y 8 y 2 x 20 3 3 2 20 . x 3 3 y x D 4 y x3 -4 2 x Resolução: Resposta: A 24 unidades de área . Calcule a área da região delimitada por y x3. Sejam Dx u u’ e c uma constante.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 8-1 8 Formulário e Referências 8.1 Formulário de Derivadas e Integrais DERIVADAS: Tome u e v como funções em x. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) INTEGRAIS: udv uv vdu n u du Dx c 0 Dx (u v) u’ v’ u n 1 c. (n 1) n 1 Dx (uv) u’v uv’ u u ' v uv' Dx v2 v Dx [f (u)] Dx f (u) u’ u du u e du 1 ln|u| c eu c Dx u n n u n 1 u’ Dx eu eu u’ Dx a u au lna u’ au c ln a senudu cosu c u a du 1 u’ u 1 Dx loga |u| u’ u ln a Dx senu cosu u’ Dx ln|u| Dx cosu senu u’ Dx tgu sec2u u’ Dx cotu csc2u u’ Dx secu secu tgu u’ Dx cscu cscu cotu u’ cos udu senu c sec udu tgu c csc udu cotu c (sec u tgu )du secu c (csc u cot u)du cscu c tgudu ln|cosu| c cot udu ln|senu| c sec udu ln|secu tgu| c csc udu ln|cscu cotu| c 2 2 du 2 2 arcsen Dx arcsenu Dx arccosu u' 1 u2 u' 17) 18) 18) 19) 20) 1 u2 u' Dx arctgu 1 u2 u' Dx arcsecu u u2 1 a u du 1 u a 2 u 2 a arctg a c du 1 u u u 2 a 2 a arcsec a c u c a 19) 20) a 2 du 1 ua ln c 2 2a u a u du ln u u 2 a 2 c 2 2 u a . 1999. Vol. 1971. 8.. N. 1983. 6. MUNEM. Vol. H.. 6. São Paulo: MAKRON Books do Brasil Editora Ltda. M. 9. J. Thomas. 1 e 2. ANTON. 5. 2002.2 Referências Bibliográficas 1. I. Vol. et al. São Paulo: Pioneira Thomson Learning.1 e 2. Cálculo – um novo horizonte. Cálculo Diferencial e Integral.ed. 2002.ed. PISKOWNOV. Vol. 1981. 2. Ed. 4.B. D.ed. et al. Porto: Lopes da Silva. Cálculo – George B. E. 2003. e FOULIS. Cálculo Avançado. 1 e 2. 1998. FINNEY. 11. Cálculo B. MURRAY R. GUIDORIZZI. L.ed. Rio de Janeiro: Campus.1 e 2. Cálculo.L. Cálculo e Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC.ed. Porto Alegre: Bookman. Vol. McGraw-Hill do Brasil. W. Coleção Schaum. 5. Um Curso de Cálculo. GONÇALCES. A. 1997. STEWART.L. R. 4. Vol.Cálculo II – (Lauro / Nunes) 8-2 8. Rio de Janeiro: Guanabara Dois. Vol. Vol. São Paulo: Addison Wesley. O Cálculo – com geometria analítica. Ltda. 7. 10. SPIEGEL. Cálculo com Geometria Analítica. SHENK. São Paulo: Editora Mc-Graw Hill do Brasil. 1 e 2. LEITHOLD. São Paulo: Harper & Row do Brasil. Rio de Janeiro – Brasil. 2000. 10.1 e 2. . H. M. 1 e 2. Cálculo. 1992. 2. 3. SWOKOWSKI.