Cálculo vectorial Serie Schaum

SchaumMurray R. Spiegel Incluye 329 problemas resueltos, totalmente explicados. Contiene capítulos relativos a las coordenadas curvilíneas y análisis tensorial. Contiene 410 problemas suplementarios con solución. 2 ANÁLISIS VECTORIAL y una introducción al ANÁLISIS TENSORIAL MURRAY R. SPIEGEL, PH. D. Professor of Mathematics Rensselaer Polytechnic Institute  TRADUCCIÓN Y ADAPTACIÓN LUIS GUTIÉRREZ DÍEZ Ingeniero de Armamento ÁNGEL GUTIÉRREZ VÁZQUEZ Ingeniero de Armamento Licenciado en Ciencias Físicas Diplomado en Ingeniería Nuclear McGRAW-HILL MÉXICO  BUENOS AIRES  CARACAS  GUATEMALA  LISBOA  MADRID  NUEVA YORK PANAMÁ  SAN JUAN  SANTAFÉ DE BOGOTÁ  SANTIAGO  SAO PAULO AUCKLAND  HAMBURGO  MILÁN  MONTREAL  NUEVA DELHI  PARÍS SAN FRANCISCO  SINGAPUR  ST. LOUIS  SIDNEY  TOKIO  TORONTO Gerente de Producto: Carlos Granados Islas Supervisora de edición: Leticia Medina Vigil Supervisor de producción: Zeferino García García ANÁLISIS VECTORIAL Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 1998, 1991, 1988 respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Una División de The McGraw-Hill Companies Inc. Cedro Num 512, Col. Atlampa Delegación Cuauhtémoc 06450 México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 970-10-2096-0 Traducido de la primera edición en inglés de SCHAUM’S OUTLINE OF VECTOR ANALYSIS Copyright © MCMLXVII, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A. ISBN 0-07-060228-X 1602345789 G. A. 91 Impreso en México 09876543201 Printed in Mexico Esta obra se terminó de imprimir en Junio del 2001 en Diagráficos Unión, S.A. de C.V. Calle Azucena Núm. 29 Col. Hacienda de la Luz Atizapán de Zaragoza C.P. 54500 Edo. De México Se tiraron 2500 ejemplares Prólogo El análisis vectorial, que se inició a mediados del siglo pasado, constituye hoy en día una parte esencial de las matemáticas necesaria para matemáticos, físicos, ingenieros y demás científicos y técnicos. Esta necesidad no es casual; el análisis vectorial no sólo constituye una notación concisa y clara para presentar las ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas y problemas geométricos, sino que, además, proporciona una ayuda inestimable en la formación de las imágenes mentales de los conceptos físicos y geométricos. En resumen, el análisis vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el más rico lenguaje y forma del pensamiento de las ciencias físicas. Por la forma y manera de exposición, este libro se puede utilizar como texto en un curso de análisis vectorial o como un magnífico libro complementario de cualquier otro texto. Asimismo, puede ser de gran valor para todos los alumnos de las asignaturas de física, mecánica, electromagnetismo, aerodinámica e infinidad de otras correspondientes a los distintos campos de la ciencia y de la técnica en que se emplean los métodos vectoriales. Cada capítulo comienza exponiendo claramente las definiciones, principios y teoremas pertinentes, con ejemplos ilustrativos y descriptivos. A continuación se presenta una colección de problemas totalmente resueltos y otros suplementarios con respuesta pero sin resolver, todos ellos de progresiva dificultad. Los problemas resueltos aclaran y amplían la teoría, evidencian los puntos esenciales sin los que el estudiante se sentiría continuamente poco seguro y proporcionan la repetición de los principios fundamentales tan necesarios para conocer la materia a fondo. Asimismo, en los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y deducciones de fórmulas. Los numerosos problemas suplementarios sirven de completo repaso del tema de cada capítulo, Los temas tratados son, a grandes rasgos, el álgebra y el cálculo diferencial e integral de vectores, teoremas de la divergencia, del rotacional y demás teoremas integrales, haciendo muchísimas aplicaciones a campos muy diversos. Atención especial merecen los capítulos relativos a las coordenadas curvilíneas y al análisis tensorial, que tan evidentes ventajas proporcionan en el estudio de ingeniería, física y matemáticas superiores. El libro contiene mucho más material de lo usual en la mayoría de los primeros cursos de ciencia e ingeniería. Con ello la obra se ha hecho más completa, constituyendo un libro de consulta muy útil y, a la vez, catalizador del interés por temas más elevados. El autor agradece la colaboración del señor Henry Hayden en la preparación tipográfica y dibujo de las figuras. El realismo de las figuras realza el valor de la obra en la que la exposición visual juega un papel tan importante. M. R. SPIEGEL Teorema de la divergencia de Gauss.. Vectores unitarios trirrectangulares.. 35 4. Fórmulas en las que interviene el operador nabla... Mecánica... Coordenadas cilíndricas.... Curvas en el espacio.................... DIVERGENCIA Y ROTACIONAL ......... covariantes y mixtos..................................... Coordenadas cilíndricas elípticas...... Matrices.... Símbolos y tensores alternantes........................................ El elemento de línea y el tensor métrico.......... Vectores contravariantes y covariantes.... Gradiente............................. Campo vectorial... Convenio de sumación de los índices repetidos....... Elementos de línea y de volumen.......... 218 ........... Delta de Kronecker.......... Coordenadas bipolares...... Ángulo entre dos vectores..................... Símbolos de Chrisoffel. Componentes físicas de un vector................. Vector unitario. Transformación de coordenadas............. Teorema de Green en el plano.......... Tensores asociados.................................................... 135 8. ANÁLISIS TENSORIAL .. Álgebra vectorial. Tensor recíproco............. Geometría diferencial..................................... 6.................... Coordenadas esféricas. VECTORES Y ESCALARES .... Teorema del rotacional de Stokes........ Continuidad y derivabilidad..... Rotacional....... Otros teoremas integrales..... OPERACIONES DIFERENCIALES: GRADIENTE.... Escalar........... TEOREMA DEL ROTACIONAL Y OTROS TEOREMAS INTEGRALES. Operador diferencial vectorial nabla. Leyes del Álgebra vectorial........ Derivada de un vector........ Integral curvilínea.... Operaciones fundamentales con tensores. Derivadas parciales de un vector............... Divergencia...................... 57 82 106 7.................. DIFERENCIACIÓN VECTORIAL........ Coordenadas esferoidales achatadas...... Líneas geodésicas...... Leyes de transformación de los símbolos de Christoffel.. Tensores relativo y absoluto.......... divergencia.. Vectores componentes...... Coordenadas paraboidales..................... Coordenadas cilíndricas parabólicas.. Álgebra matricial........Índice de materias CAPÍTULO 1... INTEGRACIÓN VECTORIAL ............. Producto escalar o interno.......................... 16 3.... divergencia y rotacional. Tensores de orden superior... Vector. 166 ÍNDICE ... Integral de superficie.. Forma tensorial del gradiente.............. Producto vectorial o externo........ Campo escalar.... Integral de volumen... Integral de un vector.... Coordenadas elipsoidales. Forma integral del operador nabla....... COORDENADAS CURVILÍNEAS .................. 5.............. Tensores contravariantes................................. Coordenadas curvilíneas ortogonales........... Casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales............ Coordenadas esferoidales alargadas.......... Campos tensoriales................... Escalares o invariantes.. PÁGINA 1 2.... PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL ........................... rotacional y laplaciana... Sistemas de vectores recíprocos........ Módulo de un vector..... Tensores simétricos y hemisimétricos...... Espacios de N dimensiones....... Invarianza...... Transformación de coordenadas........................... Derivada absoluta o intrínseca.......................... Fórmulas de derivación..... Diferencial de un vector.... Productos triples.. Leyes físicas.......... OPERACIONES INTEGRALES: TEOREMAS DE LA DIVERGENCIA. Vectores unitarios en sistemas de coordenadas curvilíneas........ Gradiente............................................... Derivada covariante de un tensor... . . Las operaciones de adición o suma. y cualquier número real. –A es el que tiene el mismo módulo y dirección pero sentido contrario (Fig. Fig. una dirección y un sentido. la temperatura. ÁLGEBRA VECTORIAL. la masa. son iguales. por  ejemplo A. Veamos las definiciones fundamentales. Analíticamente. Otros autores prefieren emplear una letra negrilla. la fuerza. 1 Es una magnitud cuya determinación sólo requiere el conocimiento de un número. el ímpetu. el módulo se escribe A o bien A.. la dirección del segmento es la correspondiente del vector y la flecha indica el sentido del vector. Es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un módulo. Geométricamente se reconoce que dos vectores son equipolentes si el polígono que resulta al unir sus orígenes por una parte. Dos vectores A y B son equipolentes si tienen el mismo módulo. 3 1 . o bien. Tanto la equipolencia como la igualdad entre los vectores dados la representaremos por A  B (Fig. El punto O se llama origen o punto de aplicación y P el extremo del vector. o bien. la energía. 1. el vector opuesto. 1). En este libro emplea- remos esta última notación. un vector se representa por una letra con una   flecha encima. Ejemplos de magnitudes vectoriales son el desplazamiento. un vector se representa por un segmento orientado OP (Fig. por ejemplo A en la Fig. 1. OP . multiplicación o producto del álgebra elemental entre números reales o escalares. etc. la aceleración. 2. y sus extremos por otra es un paralelogramo. Las operaciones con escalares obedecen a las mismas reglas del álgebra elemental. en este caso su módulo es OP. OP . Gráficamente. ESCALAR. OP. se pueden generalizar.Capítulo 1 Vectores y escalares VECTOR. 2). Fig. 2 Fig. 3). La recta en que se apoya el segmento se llama directriz del vector. diferencia o resta. la misma dirección e idéntico sentido. El vector OP también se puede escribir   OP . su cantidad respecto de cierta unidad de medida de su misma especie. etc. introduciendo determinadas definiciones. Ejemplos típicos de escalares son la longitud. la velocidad. Si además tienen el mismo origen o punto de aplicación. el trabajo. al álgebra entre vectores. la longitud del segmento es el módulo del vector. Los escalares se indican por una letra de tipo ordinario. el tiempo. con lo que A o A indica su módulo. Dado un vector A. A  C  B . En el Cap. Suma o resultante de dos vectores A y B es otro vector C obtenido trasladando el origen de B al extremo de A y uniendo el origen de A con el extremo B (Fig. de la misma dirección que A pero con un módulo m veces el de A y un sentido igual u opuesto al de A según que el escalar m sea positivo o negativo. x. Por ejemplo. A  Aa . Analíticamente se expresa A + B = C. 5. Si m  0 . 4). es otro vector C. que es un escalar. Estas leyes permiten considerar y tratar las ecuaciones vectoriales de la misma forma que si fueran escalares (ecuaciones algebraicas). LEYES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL. 5). se escribe. Obsérvese que trasladando los dos vectores a un origen común. A   B  C    A + B  + C 3. Por ello. La diferencia de los vectores A y B. trasponiendo términos. si A  B  C . y C tres vectores y m y n dos escalares.  m  n  A = mA  An Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto m  A  B  = mA  mB de la suma de escalares Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de vectores 6. Es todo vector de módulo unidad. el vector A A es un vector unitario de la misma dirección y sentido que A. Si A es un vector de módulo distinto de cero. para restar dos vectores se suma al vector minuendo el opuesto al vector sustraendo. tal que sumado a B produce el vector A. mA es el vector nulo. mA. se dice que la suma de vectores obedece a la ley del paralelogramo (véase Prob.2 VECTORES Y ESCALARES 3. En estas condiciones se verifica: Propiedad conmutativa de la suma 1. con sentidos los positivos de estos ejes y que se llaman vectores unitarios i. La diferencia de vectores es un caso particular de la suma. 4 4. Un sistema muy importante de vectores unitarios son los que tienen por direcciones las correspondientes a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio. Todo vector A se puede representar por el producto de un vector unitario a de la dirección y sentido que aquel multiplicado por el módulo de A. j. que se representa analíticamente por A  B . mA = Am m  nA  =  mn  A Propiedad conmutativa del producto por un escalar Propiedad asociativa del producto por un escalar 5. z. el vector suma corresponde a la diagonal del paralelogramo con el origen en el origen común. A  0 . es decir. C  A  B  A   B  . supondremos que el sistema de coordenadas trirrectangulares es «dextrorsum» j i Fig. k (Fig. Dicho de otra manera. El producto de un escalar m por un vector A es otro vector. A  B  B  A Propiedad asociativa de la suma 2. Obsérvese que no aparecen más las propiedades del producto de un escalar por un vector. k VECTORES UNITARIOS TRIRRECTANGULARES i. y. Mientras no se diga lo contrario. Sean A. Analíticamente. 3). 2 definiremos los productos entre vectores. 5 . pues. La generalización a la suma de varios vectores es inmediato sin más que ir sumando de dos en dos sucesivamente (véase Prob. j. B. 4). Fig. 4. k . VECTOR UNITARIO. . del punto y. A2 y A3 se llaman componentes rectangulares o simplemente componentes del vector A según las direcciones x. el vector de posición o radio vector r cuyo origen es el punto O y cuyo extremo es el punto  x.VECTORES Y ESCALARES 3 o a derechas. z   x3 y  z 2 define un campo escalar. función de punto escalar. A2 j y A3k es el vector A. hemos definido un campo vectorial V en R. respectivamente. y. como se muestra en la Fig. Ejemplos. A3  las coordenadas cartesianas del punto extremo del vector A cuyo origen es O. A2 . 6 La suma o resultante de los tres vectores A1i. pues. A  A1i  A2 j + A3k El módulo de A es Fig. y z. respectivamente. CAMPO VECTORIAL. Los vectores A1i. hemos definido un campo escalar  en R. Esta denominación deriva del hecho que un tornillo con rosca a derechas girando 90º desde Ox a Oy avanza en el sentido positivo de Oz. B. se escribe en la forma r  xi  yj  zk que tiene de módulo r  r  CAMPO ESCALAR. Si un campo escalar es independiente del tiempo. Si un campo vectorial es independiente del tiempo se llama permanente o estacionario. Fig. En general. z  . definen un campo escalar. y. y C con el mismo origen y no coplanarios. y. La función  depende. se llama permanente o estacionario. 5. Si en cada punto  x. z  de una región R del espacio se le puede asociar un escalar   x. se llama función escalar de posición. tres vectores A. y. 7 A A  A A A 2 1 2 2 2 3 En particular. del punto y. A2 j y A3k se llaman vectores componentes rectangulares o simplemente vectores componentes de A según las direcciones x. La función V depende. y . y. Los escalares A1. z   xy 2 i  2 yz 3 j  x 2 zk define un campo vectorial. z  . x2  y 2  z 2 . o bien. por ello. y. y y z. y. (1) Las temperaturas en cada punto interior o sobre la superficie de la tierra. por ello. forman un sistema «dextrorsum» o a derechas si un tornillo de rosca a derechas girando de A a B por el menor ángulo avanza en la dirección y sentido de C. (1) Las velocidades en cada punto  x. se llama función vectorial de posición. función de punto vectorial. z  . 6. Ejemplos. (2)   x. o bien. 7). pues. Sean  A1. z  en el interior de un fluido en movimiento. Todo vector A en el espacio (3 dimensiones) se puede representar con su origen en el correspondiente O de un sistema de coordenadas trirrectangulares (Fig. (2) V  x. en un cierto instante. VECTORES COMPONENTES. definen un campo vectorial. Si en cada punto  x. y. en un cierto instante. z  de una región R del espacio se le puede asociar un vector V  x. esto es. como se representa en la Fig. y dirección y sentido Este 61. . de su composición. el vector OQ tiene de módulo 7. el teorema del coseno permite escribir: C 2  A 2  B 2  2 AB cos OPQ  32  5 2  2  3  5  cos135º  34  15 2  55. es decir. En el triángulo OPQ. llamado A. Con la unidad de módulos indicada. es decir. C.4 km. El vector OQ o C representa el desplazamiento resultante o suma de los vectores A y B.4 km aproximadamente. Puede observarse la ley del triángulo de la suma de vectores. Por lo tanto. 21 de donde C  7. respectivamente. El vector resultante OQ también se puede obtener trazando la diagonal del paralelogramo OPQR construido con los vectores OP  A y OR (igual al vector PQ o R ).43 (aproximadamente). C  A  B . Mediante un transportador o semicírculo graduado se mide el ángulo EOQ  61. Un automóvil recorre 3 kilómetros hacia el Norte y luego 5 kilómetros hacia el Nordeste. (a) Determinación gráfica de la resultante. Esta es la ley del paralelogramo de la suma de los vectores.4 VECTORES Y ESCALARES Problemas resueltos 1. B. De las magnitudes dadas a continuación indicar las de carácter escalar y las de carácter vectorial. 3. Así se deduce el valor de 7. (b) analíticamente.5º . (b) Determinación analítica de la resultante. (b) una fuerza de 15 newtons en la dirección Norte 30º Este. Se mide la longitud de la diagonal con la misma unidad de longitud de 1 km adoptada para los otros vectores. (a) vectorial (b) escalar (c) escalar (d) vectorial (e) escalar (g) escalar (f ) escalar (h) escalar (i) escalar (j) vectorial 2. El vector OP o A representa el desplazamiento de 3 km hacia el Norte. El vector PQ o B representa el desplazamiento de 5 km hacia el Nordeste.5º Norte. los vectores pedidos aparecen representados en las figuras. C a los módulos de los vectores A. B. Represente gráficamente: (a) una fuerza de 10 newtons en la dirección Este 30º Norte. (a) peso (c) calor específico (e) densidad (g) volumen (i) potencia (b) calor (d) ímpetu (f ) energía (h) distancia (j) intensidad del campo magnético Sol. Representar estos desplazamientos y hallar el desplazamiento resultante: (a) gráficamente. VECTORES Y ESCALARES 5 Aplicando ahora el teorema de los senos se deduce la dirección y el sentido: A C  sen OQP sen OPQ Por lo tanto. de donde. (b) 5. esto es. . es decir. a. A  B  B  A. 5 m y una dirección y sentido definido por Este 60° Sur. OP + PQ = OQ. y PQ + QR = PR   B + C  . 6. 10 metros hacia el Noroeste. OP + PR = OR  D. sen OQP  A sen OPQ 3  0. A  B  B  A (Fig. Demostrar que la suma de vectores goza de la propiedad asociativa: A   B  C    A  B   C OP + PQ = OQ   A + B  . B. es decir D  A  B  C.43 km y una dirección que forma un ángulo con la dirección Este de (45° + 16°35') = 61°35'. Demostrar que la suma de vectores goza de la propiedad conmutativa. 43 El vector OQ. o bien. 2855. C 7.707    0. B + A = C. (Fig.) En el extremo de A se sitúa el origen de B.1 unidades  20. y OR + RQ = OQ. A +  B + C =  A + B  + C OQ + QR = OR  D. C.  A + B   C = D. es decir. Siguiendo el método gráfico se deduce que el vector D tiene de módulo 4. su dirección y sentido quedan definidos por Este 61°35' Norte. 4. Este 30° Norte. 35 metros hacia el Sur. A + B = C. Fig. tiene de módulo 7. Por lo tanto. La resultante D se obtiene uniendo el origen O del vector A con el extremo de C. 20 metros. en consecuencia. Entonces. (a) Fig. En el extremo de B se sitúa el origen de C. OQP  1635. o bien. A +  B  C   D. Hallar la suma o resultante de los siguientes desplazamientos: A. Generalizando los resultados de los problemas 5 y 6 se demuestra que en la suma de cualquier número de vectores la resultante es independiente del orden en que se tomen. (b)). F2 . A F1 le sumamos F2 . el vector opuesto a la fuerza resultante. Dados los vectores A... esto es. con lo que se obtiene el polígono de vectores. (b) 3C  1 2  2A  B  (a) (b) . y así sucesivamente. 8. Como el orden de los vectores sumandos no altera el valor de la suma o resultante. La fuerza que se debe aplicar al sólido puntual para mantenerlo en reposo es  R . que aparece en la figura.6 VECTORES Y ESCALARES 7. podremos comenzar con cualquier vector. Sobre un sólido puntual P actúan las fuerzas F1 . F6 . B y C (Fig. es decir.. razón por la cual se llama la fuerza equilibrante. al resultado le añadimos F3 . por ejemplo.. 1a). Hallar la fuerza que es necesario aplicar en P para que el sólido permanezca en reposo. construir los vectores (a) A  B  2C. con F1 . La resultante es el vector cuyo origen es el correspondiente a F1 y cuyo extremo es el de F6 . R  F1  F2  F3  F4  F5  F6 . en este caso de fuerzas. Por el extremo R de r tracemos planos paralelos.5 unidades que equivalen a 325 km/h. Un avión se mueve en la dirección y sentido del Noroeste a una velocidad. De la construcción geométrica se desprende que x. De la construcción geométrica se desprende que x e y son únicos para a. y. Midiendo la longitud del vector Vb se obtiene 6. hallar la expresión de cualquier vector r del plano determinado por aquellos. b y c. y a y c formándose el paralelepípedo PQRSTUV. según la ley de composición del paralelogramo. según los sentidos de los vectores. Por lo tanto. la dirección y sentido vienen dados por Oeste 33° Norte. de r. a los que determinan a y b. de donde Vb  Va  W  Va    W  . y z son únicos para a. b y r de manera que tengan el origen común O. o vectores componentes. OV  x  OA   x a) OP  y  OB   y b) en donde x. dirección y sentido del vector velocidad que llevaría el avión si no hubiese viento. en donde x e y son escalares. b. según las direcciones de a y b respectivamente. De la figura se deduce: OD  x  OA   x a. z son escalares OT  z  OC   z c) Ahora bien OR  OV  VQ  QR  OV  OP  OT. Por el extremo R de r tracemos paralelas a las direcciones de a y b. De la figura se deduce. b y c. Sean W  velocidad del viento Va  velocidad del avión con viento Vb  velocidad del avión sin viento En estas condiciones. respectivamente. . Va  Vb  W. c y r dados. y. Sea r cualquier vector de dicho plano y traslademos los vectores a. respectivamente. Los vectores dados no tienen la misma directriz. determinan un plano. hallar la expresión de cualquier vector r en el espacio tridimensional. Hallar la velocidad. Dados tres vectores no coplanarios ni paralelos a. 10. b y r dados. formando el paralelogramo ODRC.VECTORES Y ESCALARES 7 9. o bien. Dados dos vectores a y b de distinta dirección. OC  y  OB   y b. Sea r un vector cualquiera del espacio de origen O al que trasladamos los tres vectores dados a. OR  OD  OC. 11. de 250 km/h debido a la existencia de un viento hacia el Oeste con una velocidad de 50 km/h. relativa a la Tierra también. o bien. Los vectores x a  y b son los componentes vectoriales. a y c. r  x a  y b que es la expresión pedida. Los vectores a y b son los vectores en la base del sistema de coordenadas definido por sus direcciones en el plano que determinan. Los escalares x e y pueden ser positivos o negativos. relativa a la Tierra. Ahora bien. r  x a  y b  z c. Por lo tanto. . es decir a    y x b . cualquier vector r se puede expresar. b y c son los vectores unitarios i. Así mismo. la igualdad vectorial x a  y b  z c  0 implica que x  y  z  0. a). z1  z2 . a  y  a  b   x  b  a    x  y  a   x  y  b. La ecuación dada se puede escribir en la forma  x1  x2  a   y1  y2  b   z1  z2  c  0. Por consiguiente. si a. Q. Por lo tanto. Supongamos que x  0. respectivamente. AP  y  a  b  . y1  y2 . Como BD  a  b . Por lo tanto. lo cual es contrario a la hipótesis. con lo que queda demostrado lo pedido. Ahora bien. es decir. según el problema 12. b y c son tres vectores no coplanarios ni paralelos. Como los lados opuestos del polígono formado son iguales y paralelos. con lo que. Ahora bien. 16. x  0.  y1  y2   0. a pertenece al plano de b y c. esto es. de forma única. la igualdad vectorial x a  y b  0 implica que x  y  0. P es el punto medio de las dos diagonales 17. o bien. b y c. de x a  y b  0 se deduce que x a   y b. Demostrar que si a. 12. Como AC  a  b. RS  1 2  c  d  . R y S los puntos medios de sus lados (Fig. SP  1 2  d  a  . y1  y2 . 15. de x a  y b  z c  0 se deduce que x a   y b  z c. el vector r pertenecerá al plano formado por a y b. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. x1  x2 . Por lo tanto. obteniéndose el resultado del problema 10. BD  b  a . Ahora bien. o bien  x1  x2  a   y1  y2  b  0. en función de los vectores unitarios según los ejes por r  x i  y j  z k.8 VECTORES Y ESCALARES Los vectores x a. Como caso particular. suponiendo y  0 y luego z  0 se llega a sendas contradicciones. z1  z2 . x1  x2 . y b y z c son las componentes vectoriales. Entonces. x  y  1 2 . Entonces. si c  0. x1 a  y1b  x2 a  y2 b x 1a  y1 b   x2 a  y2 b   0.  x1  x2   0. mutuamente perpendiculares. o bien. Demostrar que si a y b son dos vectores cuyas direcciones se cortan. b y c no son coplanarios. AB  AP  PB  AP  BP. de r según las direcciones de a. QR  1 2  b  c  . 13. es decir. PQ  1 2  a  b    1 2  c  d   SR y QR  1 2  c  d    1 2  d  a   PS. Los vectores a. Demostrar que si a.  x1  x2   0. b y c. x  0 . según el problema 13.   y x  b   z x  c es un vector del plano que forman b y c (problema 10). Entonces. Entonces BP  x  b  a  . Demostrar que el polígono que resulta al unir los puntos medios de los lados de un cuadrilátero es un paralelogramo. Esto quiere decir que a y b tienen la misma dirección. lo cual es contrario a la hipótesis de que a. a    y x  b   z x  c. a  b  c  d  0. o vectores compuestos. y  z1  z2   0. b y c no son coplanarios ni paralelos. Como las direcciones de a y b se cortan. Demostrar que si los vectores a y b no tienen la misma dirección. Entonces. según el problema 14. x  y  1 e y  x  0. dicho polígono es un paralelogramo. 14. y de yb  0 se desprende que y  0 . Sea ABCD el paralelogramo dado cuyas diagonales se cortan en el punto P. la igualdad vectorial x1a  y1 b  x 2a  y2 b implica que x1  x2 e y1  y2 . j y k. la igualdad vectorial x1a  y1b  z1c = x2 a  y2 b  z2c implica x1  x2 . Sea ABCD el cuadrilátero dado y P. respectivamente.  y1  y2   0. son los vectores en la base del sistema de coordenadas definido por sus direcciones en el espacio. y1  y2 . PQ  1 2  a  b  . Supongamos que x  0. Razonando de análoga manera. o bien. la suma de coeficientes de a. OA  AP  OP. (b) se deduce que r1  v  r1. Como AP y PB son colineales. Sean P1. a1  a2  a3  0. (a) Fig. a  AB  b. o bien. Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos A y B cuyos vectores de posición respecto al origen O son a y b. r  1  t  a  t b. a  AP  r. r  a  t  b  a  . o bien. r3  v  r3 . la ecuación pedida es r  a  t  b  a  . como AP y AB son colineales. Por consiguiente. r3 sus respectivos vectores de posición. Veamos en qué condiciones se verifica la ecuación a1r1  a2r2  a3r3  0 en la nueva referencia. Sean r1. Otro método. de donde AB  b  a. con lo que la ecuación a1r1  a2r2  a 3r3  0 se transforma en a1r1  a2r2  a3r3  a1  v  r1 a2  v  r2   a3  v  r3    a1  a2  a3  v  a1r1  a2r2  a3r3  0 La condición necesaria y suficiente para que a1r1  a2r2  a 3r3  0 es  a1  a2  a3  v  0. y solo sí se verifica a1  a2  a3  0. r2 . Fig. r3 los vectores de posición de P1. mn . Si esta ecuación se escribe en la forma 1  t  a  t b  r  0. o bien. Demostrar que si la ecuación vectorial es válida a1r1  a2r2  a3r3  0 es válida respecto de O también lo es respecto de otro origen O’ sí. P3 tres puntos fijos respecto de un origen O y r1. Por lo tanto. (b) 19. Ahora bien. m  r  a   n  b  r  . Este resultado puede generalizarse sin dificultad.VECTORES Y ESCALARES 9 18. r2  v  r2 . según el problema 18. independientemente de la elección del origen O. que se llama forma simétrica. Sea r el vector de posición de un punto genérico P de la recta AB. AP  t AB. siendo m y n dos escalares se verifica: m AP  n PB. De la Fig. de donde se deduce r  ma  nb . r2 . o bien. De la figura adjunta se deduce. el punto P pertenece a la recta que une A y B. de donde AP  r  a y OA  AB  OB. es decir. P2 y P3 respecto de O' y v el vector de posición de O' respecto de O. b y r es 1  t  t  1  0. respectivamente. P2 . b y c de manera que r4  ar1  br2  cr3. en caso contrario son linealmente independientes.  0. a. de manera que aA  bB  c C  . (c) 2r1  3r2  5r3. A  2 o A12  A22  A32 . 2  en un sistema de coordenadas trirrectangular en función de los vectores unitarios i . son linealmente dependientes si existe un conjunto de escalares. a  2b  3c  5. en otras palabras.48. es decir. y r4  3i  2 j  5k. con lo que r4  2r1  r2  3r3. (a) r1  OP  OC  CB  BP  2i  4 j  3k r2  OQ  OD  DE  EQ  i  5j  2k (b) Gráficamente.. r1  r2  r3  4i  4 j  0k  4 2   4    0   32  4 2  5. OP   OQ   QP  2 2 2 en donde OP es el módulo del vector OP..    OR    RQ  . r2  2i  4 j  3k. En general. (b) Determinar gráfica y analíticamente la suma o resultante de dichos vectores. . r2  i  3j  2k.. la resultante de r1 y r2 se obtiene por la diagonal OR del paralelogramo OPRQ. no todos nulos. c.  a  3b  c  2. . 2 2 23. r3  2i  j  3k. etc. Analíticamente viene dada por r1  r2   2i  4 j  3k    i  5j  2k   3i  j  5k 21. 3 y Q 1. b  1. Ahora bien. hallar los valores de los escalares a.…. C. hallar los módulos de: (a) r3. Resolviendo este sistema de ecuaciones. (a) r3   i  2 j  2k   1   2    2   3 2 2 2 (b) r1  r2  r3   3i  2 j  k    2i  4 j  3k    i  2 j  2k   4i  4 j  0k  4i  4 j Por lo tanto. según el problema 15. OP    OR    RQ    QP  Análogamente. r2 . (a) Hallar los vectores de posición r1 y r2 de los puntos P  2. 22. 3i  2 j  5k  a  2i  1j  k   b  i  3j  2k   c  2i  j  3k    2a  b  2c  i   a  3b  c  j   a  2b  3c  k. r3 y r4 forman un sistema de vectores linealmente dependiente. b. Dados los vectores r1  3i  2 j  k. k. 4. c  3. los vectores A. 2r1  3r2  5r3  5i  2 j  k   5 2   2   1  30  5. Demostrar que el módulo A del vector A viene dado por A1i  A2 j  A3k es A  A12  A22  A32 . 2a  b  2c  3. El vector r4 depende linealmente de los vectores r1. j . r2 y r3. Sin embargo. 5. (b) r1  r2  r3. Por lo tanto. B. j.. a  2.66 2 2 (c) 2r1  3r2  5r3  2  3i  2 j  k   3  2i  4 j  3k   5  i  2 j  2k   6i  4 j  4k  6i  12 j  9k  5i  10 j  10k  5i  2 j  k. Por el teorema de Pitágoras. OQ 2 2 2 2 2 2 A2  A12  A22  A32 . r1.10 VECTORES Y ESCALARES 20. Dados los vectores r1  2i  j  k. r3  i  2 j  2k. Por lo tanto. k no son ni coplanarios ni paralelos. los vectores i. tres (o menos) de esos cuatro vectores son linealmente independientes. Determinar un conjunto de ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P  x1. Módulo de PQ  PQ  x  x1    y2  y1    z2  z1  . z1  y extremo Q  x2 . y1. R  R  3i  6 j  2k   3 2   6 2   2 2  7. y2 . 7 7 7 7 R   76     72   1. Análogamente. Módulo de la resultante   A1  B1  C1  2   A2  B2  C2    A3  B3  C3  .  y  pedidos. 2 2 25. El vector de posición de P es r1  x1i  y1 j  z1k . determinando luego su módulo. cos   . Hallar un vector de origen P  x1. x y z .  y  que el vector r  xi  yj  zk forma con los sentidos positivos de los ejes de coordenadas. por lo x tanto cos   . Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores r1  2i  4 j  5k. r  r  y r y cos   z . Fuerza resultante R  A  B  C   A1  B1  C1  i   A2  B2  C2  j   A3  B3  C3  k. z1  y Q  x2 . 2 2 Este resultado se puede generalizar fácilmente al caso de varias fuerzas. cos   28. Por lo tanto.VECTORES Y ESCALARES 11 24. cos  . vienen dadas por las ecuaciones vectoriales A  A1i  A2 j  A3k. De estas expresiones se obtiene x2  y2  z2 cos2   cos2   cos2    1. Determinar los ángulos . El triángulo OAP de la figura es rectángulo en A. r x2  y2  z2 . y2 . El vector de posición de Q es r2  x2 i  y2 j  z2 k . 27. cos  se llaman los cosenos directores del vector OP. Por lo tanto. un vector unitario en la dirección y sentido de R es Comprobación: 3 6 2 i  j k  7 7 7  73  2 R 3i  6 j  2k 3 6 2   i  j  k. z2  . Resultante R  r1  r   2i  4 j  5k    i  2 j  3k   3i  6 j  2k. 26. r1  PQ  r2 o PQ  r2  r1   x2 i  y2 j  z2 k    x1i  y1 j  z1k    x2  x1  i   y2  y1  j   z2  z1  k. Hallar el módulo de la fuerza resultante. r r r de donde se deducen los valores de los ángulos . Sobre un sólido actúan tres fuerzas A. de los triángulos rectánr gulos OBP y OCP se deducen cos   respectivamente. y1. r2  i  2 j  3k. r2 Los números cos  . 2 2 2 2 Obsérvese que este módulo no es otra cosa que la distancia entre los puntos P y Q. B y C que en función de sus componentes. Asimismo. z2  . C  C1i  C2 j  C3k. y demostrar que cos2   cos2   cos2   1. cos   . B  B1i  B2 j  B3k. . según el problema 15. cuya dirección pasa por el origen y sentido alejándose de él.12 VECTORES Y ESCALARES Sean r1 y r2 los vectores de posición de P y Q. como r  xi  yj  zk.  z  z1   t  z2  z1  que se llaman las ecuaciones paramétricas de la recta. excepto en el punto  0. Eliminando t se obtiene. y  . observemos que todos los vectores asociados a los puntos de las circunstancias x 2  y 2  a 2 . 0. 0. Para simplificar los métodos gráficos. 2. con a  0. (a) aparece representado el campo vectorial en cuestión a una determinada escala. k no son coplanarios ni paralelos (son linealmente independientes).  x  x1   t  x2  x1  . 0  . y r el correspondiente aun punto genérico R de la recta PQ. Por lo tanto. 2  . o bien.0   3  0   0    0  0   5  0  0  5  5 2 3 (b)  1. y. tienen módulo a. Dado el campo escalar definido por   x. Fig. o bien. 0  . 3 . 3  3  1  3   1 2   5  9  8  5  12 30. (a)   0. siendo t un escalar. (c)  1. respectivamente. PR  t PQ. x  x1 y  y1 z  z1 . PQ  r2  r1 Ahora bien. y   xi  yj. 2. En la Fig. (b) . (b) V  x.  xi  yj  zk    x1i  y1 j  z1k   t  x2i  y2 j  z2k    x1i  y1 j  z1k  o bien  x  x1  i   y  y1  j   z  z1  k  t  x2  x1  i   y2  y1  j   z2  z1  k  Como i. r  r1  t  r2  r1  que es la ecuación vectorial de la recta.2   3 1  2   1 2   5  6  8  5  19 2 3 (c)   1. del plano xy está definido un vector único xi  yj de módulo x 2  y 2 .   x2  x1 y2  y1 z2  z1 29.0. PR  r  r1 r1  PQ  r2 . hallar el valor de  en los puntos (a)  0. 2. 2 3 (a) En cada punto  x. j . (c) V  x. y . (b) 1. z   xi  yj  zk.  y  y1   t  y2  y1  . Representar gráficamente los siguientes campos vectoriales: (a) V  x. (a) Fig. En coordenadas rectangulares. y    xi  yj. siendo t el parámetro. r1  PR  r. 2. z   3x 2 z  xy 3  5. 9 km. 34. (e) vectorial. (g) potencial gravitatorio. (j) frecuencia. B. dirección y sentido Oeste 25° 17´ Norte. precisamente. (b) se representa el campo vectorial en cuestión. tienen el mismo vector de posición cuyo módulo es. por lo que se llama de tipo sumidero puntual. Por consiguiente. 20 km Este 30° Sur. (j) escalar. construir el vector (a) 3A  2B   C  D  (b) 1 2 C   A  B  2D  . En la Fig. Sol. 36. a.VECTORES Y ESCALARES 13 (b) En este caso. con a  0. (a) el campo tiene el aspecto de un fluido que emerge de una fuente puntual O. (g) escalar. (a) Fig. (h) carga eléctrica. 33. cada vector es igual y opuesto al correspondiente de (a). (d) escalar. Módulo 20. (c) Como el módulo de cada vector es x 2  y 2  z 2 . 30 km Oeste 60° Sur. 35. Por esta razón el campo se llama de fuente puntual. todos los puntos de la superficie esférica x 2  y 2  z 2  a 2 . Entre las magnitudes que se citan decir cuáles son escalares y cuáles vectoriales. B. (c) escalar. D. (f ) temperatura. 2 3 A N 200 P 150 N B C D 100 N Fig.1 km. el campo vectorial presenta el aspecto de un fluido que emerge de una fuente puntual en O según todas las direcciones. (i) esfuerzo cortante. Dados los vectores A. Problemas propuestos 31. C.(b) intensidad del campo eléctrico. Hallar el desplazamiento resultante de los siguientes: A. Sobre un sólido puntual en P actúan las tres fuerzas coplanarias que muestra la Fig. (a). Sol. (e) fuerza centrífuga. (c) entropía. Demostrar gráficamente que   A  B    A  B. En la Fig. Es un campo de tipo fuente puntual en tres dimensiones. El campo vectorial se llama bidimensional porque es independiente de z. Un avión recorre 200 km hacia el Oeste y luego 150 km Oeste 60° Norte. dirección y sentido Oeste 21° 39´ Sur. (b). (b) analíticamente. (b) el campo parece fluir hacia O. Hallar el desplazamiento resultante (a) gráficamente. En la Fig. 32. (a) escalar. 323 N directamente opuesta a la de 150 N. 40 km hacia el Noreste. (b) . (a)Energía eléctrica. 50 km hacia el Oeste. Sol. siguiendo las direcciones y sentidos que aparecen. (b) vectorial. Módulo 304. (d) trabajo. (f) escalar. (i) vectorial. Hallar la fuerza que es necesario aplicar en P para mantener en reposo al sólido dado. En el espacio de tres dimensiones la interpretación corresponde a un fluido que emerge (o desagua) Radialmente de una fuente (o sumidero) lineal. C y D representados en la Fig. (h) escalar. Sol. CA. Sol. 2a1  5a2  3a3. b. b 2 . 52. Aumenta su velocidad a 25 km/h y le parece que el viento sopla del Suroeste. 42. ¿Qué dirección debe tomar y cuánto tiempo emplea en conseguir su propósito? Sol. 49. Si la embarcación que utiliza tiene una velocidad máxima de 10 km/h y desea llegar a C en el menor tiempo posible. AD. a1. 50. Sol. 46. a3 y b1. Sol. c tres vectores no coplanarios ni paralelos. Sí. que se llama incentro y corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Determinar la velocidad del viento así como su dirección y sentido. son linealmente independientes. y r3  4a  5 b  c son linealmente independientes. Demostrar que AP y AQ dividen a la diagonal BD en tres partes iguales mediante los puntos E y F. AC. El viento viene en la dirección Oeste 56° 18´ Norte a 18 km/h. Sol. Hallar los valores de x y de y de manera que 3A  2B. respectivamente. demostrar que existe otro triángulo cuyos lados son iguales y paralelos a las medianas de aquel. Q. hallar la resultante de las fuerzas representadas por los vectores AB. siendo la velocidad del agua de 4 km/h. b3 existen las relaciones a1  2 b1  3b 2  b 3. 43.14 VECTORES Y ESCALARES 37. Construir el paralelogramo dados sus vectores diagonales A y B. Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad (paralela media). Dado un triángulo cualquiera. 40. 38. y  1. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto. 39. 45. Un hombre que se dirige hacia el Sur a 15 km/h observa que el viento sopla del Oeste. r2  3a  5 b  2c. a2 . Simplificar la expresión  2A  3B  C. Siendo A y B dos vectores demostrar las desigualdades (a) A  B  A  B . respectivamente. ¿Es cierta la igualdad si O es un punto exterior al triángulo dado? Demostrarlo. 1 h 25 min. En la figura adjunta. BC. que se llama baricentro. Sean a. Demostrar que las medianas de un triángulo se cortan en un punto. x  2. (b) A  B  A  B . siendo O un punto cualquiera interior al triángulo ABC y P. 2 A  B  3C  A  2B  2 5A  3B  C. Hallar la tensión T en la cuerda. 3 AD. 44. a3  2 b1  b 2  2b3 Sol. Dos ciudades A y B están situadas una frente a la otra en las dos orillas de un río de 8 km de ancho. Sol. Sean a y b dos vectores de distinta dirección y A   x  4 y  a   2 x  y  1 b y B   y  2 x  2  a   2 x  3 y  1 b. 51. ABCD es un paralelogramo y P y Q los puntos medios de los lados BC y CD. Un hombre en A quiere ir a la ciudad C que se encuentra a 6 km aguas arriba de B y en su misma ribera. Sean ABCDEF los vértices de un exágono regular. a2 . Expresar el vector F  3 b1  b2  2b3 en función de a1. Como se verifica la relación r3  5r1  2r2 . 41. Entre los vectores de las bases de dos sistemas de coordenadas. a 1/3 del lado y 2/3 del vértice opuesto según cualquiera de ellas. (a) (b ) Demostrar la igualdad vectorial OA  OB  OC  OP  OQ  OR. determinar si los vectores r1  2a  3b  c. Debe seguir una trayectoria rectilínea formando un ángulo de 34° 28´ con la dirección de la corriente. Un sólido de 100 N de peso pende del centro de una cuerda como se observa en la figura. . 47. Sol. Sol. a3. 53. 48.  a2  b1  2b 2  2b3. 100 N. R los puntos medios de los lados AB. Demostrar la desigualdad A  B  C  A  B  C. AE y AF. y   yi  xj. En cada uno de los casos siguientes. 2. (c) 3A  2B  4C . y .. rn los vectores de posición. (b) A  i  3j  2k. 2  . Demostrar que cada cuatro vectores en tres dimensiones deben ser linealmente dependientes. C 1.45. Demostrar que el vector de posición de mp  nq R viene dado por r  independientemente del origen elegido. En los vértices de un cuadrilátero. hallar (a) 2 A  B  3C. 1. C  i  2 j  k. z   4 yz 3  3 xyz  z 2  2. Hallar las coordenadas del centro de masas de dicho sistema. respectivamente. mn .12. F3  i  2 j  4k . de vectores de posición respectivos a. Determinar el vector PQ en función de i. Siendo A  3i  j  4k. 65. Representar gráficamente los campos vectoriales definidos por (a) V  x. (a) linealmente dependientes. Sean r1. C1 C2 C3 64. Sol. Sol. B  i  3j  4k. mn 55. (b)   0. p escalares cualesquiera. hallar (a)  1. determinar si los vectores dados son o no linealmente independientes (a) A  2i  j  3k. Hallar (a) la fuerza resultante.64 (c) 3A  2B  4C . 1 .34. 19.. (a) 36. (a) 2i  j. (c) V  x. y   xi  yj. n. r2 . j.  mn rn r  11 m1  m2  . Sobre un sólido puntual en P actúan las fuerzas F1  2i  3j  5k . respectivamente. B  i  4k. Sean p y q los vectores de posición. F2  5i  j  3k . respecto de un origen O. 3. 58. 2. (b) Hallar las longitudes de las medianas de dicho triángulo. sean linealmente independientes es que el determinante B1 B2 B3 sea distinto de cero. C  4i  2 j  6k pueden ser los lados de un triángulo. 66. 62. z   xi  yj  zk x2  y2  z2 . y r2  4i  3j  2k. Dado el campo escalar   x. 2  .1. se colocan masas de 1. Comprobar que dicha ecuación es independiente del origen elegido. (b) el módulo de dicha resultante. respectivamente. (b) 2.b. 3 y 4 unidades. viene dada por m a  nb  pc r mn p siendo m. C  3i  2 j  k. no alineados. B  2i  4 j  3k. k y hallar su módulo. . B  3. c respecto de un origen O. Sol. 56. Sol. (a) Demostrar que los vectores A  3i  j  2k. (b) A  B  C . F4  4i  3j  2k . Sol. 2. A  1. 61. B. Demostrar que la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados A. 4  .  mn independientemente del origen elegido. 63. (b) linealmente independientes. de las masas puntuales m1 . (b) -11. (b) V  x. 24 N. C  4i  3j  k. D  3. respecto de un origen O. medidas en newtons (N). . Por otra parte. 2.. 6.1 . 5. 2  . B  2i  4 j  k. (a) 11i  8k (b) 93  9. r1  2i  3j  k.VECTORES Y ESCALARES 15 54. m2 .. A1 A2 A3 C  C1i  C2 j  C3k. C.. de los puntos P y Q. (d) un vector unitario con la dirección y sentido del 3A  2B  4C. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores A  A1i  A2 j  A3k. respectivamente. 2. B  B1i  B2 j  B3k. Los vectores de posición de los puntos P y Q son. y.95 (d) 60. Demostrar que el vector de posición del centro de masas viene dado por m r  m2r2  . 59.. sea R un punto que divide al segmento PQ en la relación m : n . 57. 95 398  19.. se verifica. PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. se verifica. jk  i ki  j y B = B1i  B2 j  B3k . A  B . Dados dos vectores A y B. Por lo tanto 0  A  B  A B cos  . Si A  B  0 y ninguno de los vectores es nulo. 0  siendo u un vector unitario que indica la dirección y sentido del producto A  B . su producto escalar o interno. o bien si A tiene la misma dirección que B. 4. A   B  C  A  B  A  C 3. Dados dos vectores A y B. El módulo de A  B es el producto de sus módulos por el seno del ángulo  que forman. Dados A = A1i  A2 j  A3k y B = B1i  B2 j  B3k . A  B  B A (No goza de la propiedad conmutativa) 2. Por lo tanto A  B  A B sen  u. se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo  que forman. m  A  B  =  mA   B  A   mB    A  B  m. Propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma siendo m un escalar i  i = j  j  k  k  1. ambos son perpendiculares. siendo m un escalar 5. 16 . A   B  C  A  B  A  C 4. un número y no un vector. A  B  B  A Propiedad conmutativa 2. Las propiedades del producto vectorial son: 1. con lo que A  B  0 . Si A  B .Capítulo 2 Productos escalar y vectorial PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. A  B  A1B1  A2 B2  A3 B3 A  A  A2  A1 A1  A2 A2  A3 A3 B  B  B 2  B1B1  B2 B2  B3 B3 6. su producto vectorial o externo es otro vector C  A  B . B. Dados A = A1i  A2 j  A3k i  j = k. i  j = j  k  k  i  0 5. Las propiedades del producto escalar son: 1. m  A  B  =  mA   B  A   mB    A  B  m. Obsérvese que A  B es un escalar. y su sentido es tal que A. sen   0 . La dirección de C  A  B es la perpendicular al plano que forman A y B. i  i = j j  k k  0 Propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma 3. y C forman un triedro a derechas. si Dos sistemas de vectores a. A   B  C  y A   B  C  . (problemas 53 y 54).PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL i j k A  B  A1 B1 A2 B2 A3 B3 17 6. sean recíprocos es que a  bc . SISTEMAS DE VECTORES RECÍPROCOS. B y C con signo positivo o negativo según que A . B = B1i  B2 j  B3k y C = C1i  C2 j  C3k. B y C formen un triedro a derechas o a izquierdas. c y a . c y a. Por medio de productos escalares y vectoriales de tres vectores A. El módulo de A  B representa el área del paralelogramo de lado A y B. A   B  C   A  C B   A  B  C A3 B3 C3 (El producto vectorial no goza de la propiedad asociativa)  A  B   C   A  C B  B  C A El producto A   B  C  se llama triple producto escalar y se representa por  ABC. B y C. se pueden formar productos de la forma  A  B  C. ambos tienen la misma dirección.  A  B C  A  B  C A   B  C  B  C  A   C   A  B   volumen de un paralelepípedo de aristas A . Si A = A1i  A2 j  A3k. Se verifican las propiedades siguientes: 1. abc siendo a  b  c  0. abc c  ab abc . b. En el producto A   B  C  se pueden omitir los paréntesis y escribir A  B  C (Problema 41). b  ca . A1 A2 A   B  C   B1 B2 C1 C2 3. c. 7. esto no se puede hacer en el producto A   B  C  (véanse los Problemas 29 y 47). 2. b. llaman recíprocos. A   B  C   A  B   C 4. b. c se a  a  b  b   c  c   1 a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b  0 La condición necesaria y suficiente para que los sistemas de vectores a. PRODUCTOS TRIPLES. El producto A   B  C  recibe el nombre de triple producto vectorial. b . A  B  0 y ninguno de los vectores es nulo. Sin embargo. Demostrar que A  B es igual a la proyección de A sobre B. Luego el producto escalar goza de las propiedades del álgebra ordinaria. los planos perpendiculares a B trazados por el origen y el extremo de A cortan a aquél en los puntos G y H. respectivamente. 5. A  B =  A1i  A2 j  A3k    B1i  B2 j  B3k   A1i   B1i  B2 j  B3k   A2 j   B1i  B2 j  B3k   A3k   B1i  B2 j  B3k   A1 B1i  i  A1 B2 i  j  A1 B3k  k  A2 B1 j  i  A2 B2 j  j  A2 B3 j  k  A3 B1k  i  A3 B2 k  j  A3 B3k  k .18 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL Problemas resueltos 1. Demostrar que A  B  B  A. Como indica la figura. Demostrar que A   B  C   A  B  A  C. A  B  A B cos   B A cos   B  A Por consiguiente. y B = B1i  B2 j  B3k. Proyección de  B  C  sobre A  proyección de B sobre A + proyección de C sobre A B  C  a  B  a  C  a Multiplicado por A.  A  B    C  D   A   C  D   B   C  D   A  C  A  D  B  C  B  D . Del problema 3. A   B  C  A  B  A  C luego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma. Si A = A1i  A2 j  A3k. Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A. el producto escalar goza de la propiedad conmutativa. Demostrar que  A  B    C  D   A  C  A  D  B  C  B  D. Proyección de A sobre B  GH  EF  A cos   A  b 3. Hallar los productos escalares siguientes: (a) i  i = i i cos0  111  1 (b) i  k = i k cos90  11 0   0 (c) k  j = k j cos90  11 0   0 (d) j   2i  3j  k   2 j  i  3j  j  j  k  0  3  0  3 (e)  2i  j   3i  k   2i   3i  k   j   3i  k   6i  i  2i  k  3j  i  j  k  6  0  0  0  6 6. entonces. 4. demostrar que A  B = A1 B1  A2 B2  A3 B3. siendo b el vector unitario en la dirección y sentido de B. y  B  C   Aa  B  Aa  C  Aa B  C  A  B  A  A  C Teniendo en cuenta la propiedad conmutativa del producto escalar. por lo tanto. 2. (b) La resultante de los vectores (1) + (2) + (3) es el vector nulo. tomando B  A. Recíprocamente. a  3. que los vectores forman triángulo. C  2i  j  4k forman un triángulo Demostraremos. . Del problema 9. o sea. si   90. A  A  A . Por lo tanto. AB  3 7  21 9. Luego. Siendo A = A1i  A2 j  A3k. En nuestro caso es trivial que A  B  C y. puede ocurrir que dos vectores tengan el extremo común. A  A  A  A12  A22  A32 es el módulo de A. A  A   A A cos0  A2 . Algunas veces A  A se representa por A 2 . También. entonces cos  0. en primer lugar. 7. A  B  0. A B =  2   4    a   2   1  2   8  2a  2  0. y B  C = 1  2    3 1   5   4   21.1905.  2    2    1  3. aproximadamente. demostrar que A es perpendicular a B. de donde   79. 11. 8. (a ) (b) De las figuras se deduce que ello ocurre si (a) uno de los vectores. o bien. ya que i  i = j  j  k  k  1 y todos los demás productos escalares son nulos. 10. de donde. Demostrar que los vectores A = 3i  2 j  k. es la resultante de los otros dos (1) y (2). demostrar que A  A  A  A12  A22  A32 . Como indican las figuras. por lo tanto. se deduce que A y C son perpendiculares y que el triángulo es rectángulo. A  A =  A1i  A2 j  A3k    A1i  A2 j  A3k    A1   A1    A2   A2    A3   A3   A12  A22  A32 del problema 6. por ejemplo (3). B  i  3j  5k. A y B son perpendiculares si A  B = 0. Hallar el ángulo formado por los vectores A= 2i  2 j  k y B= 6i  3j  2k. Por lo tanto. A  B =  2   6    2   3   1  2   12  6  2  4 A  B = AB cos  . Si A  B = 0 y A y B son distintos de cero. los vectores forman triángulo. Por lo tanto. Como A  B =  3  1    2    3   1  5   14. que ninguno de los extremos coincidan. Si A  B = AB cos   0. rectángulo.PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 19 = A1 B1  A2 B2  A3 B3. Hallar el valor de a de forma que A= 2i  aj  k y B= 4i  2 j  2k sean perpendiculares. A  C =  3   2     2  1  1   4   0. cos  = A 2 2 2 B  6 2   3   2   7 2 2 AB 4 4    0.   90. Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado por A  2i  6 j  3k y B  4i  3j  k. B  RP  A.   149. 13. Hallar los ángulos que forma el vector A = 3i  6 j  2k con los ejes coordenados. (1) 2c1  6c2  3c3 C  B  4c1  3c2  c3  0. Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares. Capítulo 1). Luego C  C   A  B    A  B   A  A  B  B  2A  B C 2  A2  B 2  2 AB cos  .  . aproximadamente. de donde. o bien. o bien. de donde   64. 9 9 9 7  4 4 Proyección de A sobre el vector B  A  b   i  2 j  k    i  j  k  9  9 9 4  4  7  19  1     2      1     2. El vector unitario en la dirección y sentido de B es b = B  B 4i  4 j  7k 4 2   4    7  2 2 4 4 7  i  j  k. (a) inferior. respectivamente. cos   2 7. (Fig. C  A  2c1  6c2  3c3  0.  los ángulos que forman A con los semiejes positivos x. o sea. y . 16. C  A  B. cos   3 7  0. ( 2) 4c1  3c2  c3 . Luego.) OQ  OP  PQ  A  B OR  RP  OP. En la Fig.20 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 12. ya que A  B.11 9  9 9 9 14. o sea.   73. Demostrar el teorema del coseno de un triángulo cualquier. El vector C es perpendicular a A y a B. Los cosenos de  . Análogamente. (b). B  C  A. OQ es perpendicular a RP.4. A  i = A 1 cos    3 2   6    2   7cos  2 2 A  i =  3i  6j  2k   i  3i  i  6 j  i  2k  i  3 Por lo tanto. Sea C  c1i  c2 j  c3k un vector perpendicular al plano formado por A y B. de donde. cos   6 7. Hallar la proyección del vector A = i  2 j  k según la dirección de B = 4i  4 j  7k. o sea.  . RP  A  B Luego OQ  RP   A  B    A  B   A2  B 2  0. y  se llaman cosenos directores de A (problema 27.4286. (b) 15.6. (a) Fig. Sean  . z. Por consiguiente. Fig. La distancia del origen al plano es igual a la proyección de B sobre A. A  j = A2 y A  k  A3.) Sea r el vector de posición del punto P.) Trabajo realizado  (módulo de la fuerza en la dirección y sentido del movimiento) (desplazamiento)   F cos   r   F  r   2i  j  k    3i  2 j  5k   6  2  5  9. la proyección de B sobre A  B  a   i  5j  3k    2 7 i  3 7 j  6 7 k   1  2 7   5  3 7   6  3 7   5. A  i = A1i  i  A2 j  j  A3k  k  A1 Análogamente. (a). C  c 3  i  j  k  . Como PQ  B  r es perpendicular a A. Siendo A un vector cualquiera. Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector A  2i  3j  6k y que pasa por el extremo del vector B  i  5j  3k. (b). y Q el extremo de B. En el problema 18. demostrar que A =  A  i  i   A  j j   A  k  k. (Fig. 2 3 2 3  Luego el vector unitario en la dirección y sentido de C es 1 1  c3  i  j  k  6  C 3 2 2 3      i  j  k . hallar la distancia del origen al plano. A = A1i  A2 j  A3k   A  i  i   A  j j   A  k  k. r  A  B  A es la ecuación vectorial del plano buscado. (a) Fig. 7  C 7 7  1 2  1 2 2 c 32        1   2   3   17. o sea.  xi  yj  zk    2i  3j  6k    i  5j  3k    2i  3j  6k  2 x  3 y  6 z  1 2    5 3   3 6   35 19.PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 21 1 1 1 1  Resolviendo el sistema forma por (1) y (2): c1  c3 . 20. o bien. Luego. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F  2i  j  k al desplazar un sólido puntual a lo largo del vector r  3i  2 j  5k. A 2 i  3 j  6k 2 3 6 El vector unitario en la dirección y sentido de A es a    i  j  k. 2 2 2 A 7 7 7  2    3   6  Luego. Como A = A1i  A2 j  A3k. c2   c3 . (Fig.  B  r   A  0. (b) 18. En coordenadas rectangulares. . Fig. (a)). Demostrar que A   B  C   A  B  A  C en el caso en que A es perpendicular a B y también cuando lo sea a C. 23. sen   0 y   0 ó 180°. A  B   B  A . Fig. Hallar los productos vectoriales siguientes: (f ) j  j  0 (a) i  j  k (g) i  k   k  i   j (b) j  k  i (c) k  i  j (h)  2 j    3k   6 j  k  6 i (d) k  j   j  k   i (e) i  i  0 (i)  3i     2 k    6 i  k  6 j (j) 2 j  i  3k   2 k  3k   5k 25. B y C forman un triedro a derechas (Fig. es decir. (a) Fig. el módulo de AB. A  B es un vector perpendicular al plano formado por A y B y cuyo módulo es AB sen 90  AB. Demostrar que A  B   B  A. Si A  B  AB sen  u  0. B y D forman un triedro a izquierdas (Fig. El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa.22 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL PRODUCTO VECTORIAL 21. 2 2 24. demostrar que A es paralelo a B. Demostrar que A  B  A  B  A B . El módulo de B  A  D es BA sen  y su dirección y sentido son tales que A. . C   D . 2 A  B  A  B  AB sen  u 2 2 2 2 AB cos  2  A 2 B 2 sen 2   A 2 B 2 cos 2   A2 B 2  A B . (b) El módulo de A  B  C es AB sen  y su dirección y sentido son tales que A. o sea. o sea. Como A es perpendicular a B. A  C es el vector que se obtiene multiplicando C por A y girar el vector resultante un ángulo de 90° hasta la posición indicada en la figura. Siendo A  B  0 y A y B no nulos. Análogamente. 22. Por lo tanto D tiene el mismo módulo y dirección que C pero es de sentido contrario. Esto equivale a multiplicar el vector B por A y girar el vector resultante un ángulo de 90° hasta la posición que se indica en la figura. (b)). perpendicular a A. como B  C  B   B  C  C   B  C    B   C  se deduce. Por consiguiente. Obsérvese que en el producto vectorial hay que tener en cuenta el orden de los factores. y B = B1i  B2 j  B3k. y B = i  4 j  2k. A   B  C   A  B  A  C. A   B  C  es el vector que se obtiene al multiplicar B  C por A y girar el vector resultante un ángulo de 90° hasta la posición indicada en la figura. i (a) A  B   2 i  3 j  k    i  4 j  2 k   2 1 i 3 4 2 1 j 1 2 2 1 k 1 2 j 3 4 k 1 2 3  10 i  3 j  11k 4 Otro método. Las propiedades usuales del álgebra se pueden aplicar únicamente si se toman los vectores en el orden establecido. También. igual que el de A  B. Llamando  al ángulo formado por A y B. que expresa que el producto vectorial goza de la propiedad distributiva respecto de la suma. (c)  A  B    A  B  . Multiplicando por 1. demostrar que A  B  A1 A 2 A3 B1 B 2 B 3 A  B   A1i  A2 j  A3k    B1i  B2 j  B3k   A1i   B1i  B2 j  B3k   A2 j   B1i  B2 j  B3k   A3k   B1i  B2 j  B3k   A1 B1i  i  A1 B2 i  j  A1 B3k  k  A2 B1 j  i  A2 B2 j  j  A2 B3 j  k  A3 B1k  i  A3 B2 k  j  A3 B3k  k i   A2 B3  A3 B2  i   A3 B1  A1 B3  j   A1 B2  A2 B1   A1 B1 j A2 B2 k A3 . B  B   B  . A  B  C   A  B  A  C A  B  C   A  B  A  C Por lo tanto. La dirección y sentido de A  B  son también las mismas que las de A  B. Siendo A = A1i  A2 j  A3k. A  B   A  B. respectivamente. (b) B  A. según el problema 25. A  B   C    A  B  C . Ahora bien. B y C no sean coplanarios ni paralelos. Análogamente. A  C   A  C.  B  C   A  B  A  C  A . B   B sen  . hallar (a) A  B . es decir. Descomponiendo B en sus componentes. B . a A.  2 i  3j  k    i  4 j  2 k   2 i   i  4 j  2 k   3j   i  4 j  2 k   k   i  4 j  2k   2i  i  8i  j  4k  k  3j  i  12 j  j  6 j  k  k  i  4k  j  2k  k  0  8k  4 j  3k  0  6i  j  4i  0  10i  3j  11k . B  . el módulo de A  B  es AB sen  . y teniendo en cuenta el problema 21. Demostrar que A   B  C   A  B  A  C en el caso general en que A. si se descompone C en los vectores C y C paralelo y perpendicular.PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 23 De la misma forma. Como A   B  C  es la diagonal del paralelogramo cuyos lados son A  B y A  C . i j k 27. B  y C son perpendiculares a A y. se obtiene. B3 28. Por lo tanto. y paralelo a A. 26. se tiene. Dados A = 2i  3j  k. se deduce. 1. 3. 1 2 2 i j k Luego A   B  C    3i  j  2k    5j  5k   3 1 2  15i  15 j  15k. Q  2. 29. A  B   B  A . Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P 1. Demostrar que el área del paralelogramo de lados A y B es A  B . A  B   2i  3j  k    i  4 j  2k   3i  j  3k (c) A  B   2i  3j  k    i  4 j  2k   i  7j  k i j k 1 3 Luego  A  B    A  B    3i  j  3k    i  7j  k   3 1 7 1 1 3 3 3 3 1 j k  20i  6 j  22k. 2. R 1. 0 5 5 Así pues. Si A = 3i  j  2k.24 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL i (b ) j k B  A   i  4 j  2 k    2 i  3 j  k   1 4 2 2 3 1 i 4 2 1 2 1 4 j k  10i  3j  11k. y C = i  2 j  2k. hallar (a)  A  B   C . (b) A   B  C  . i j aplicando (a ). PQ   2  1 i   1  3 j  1  2  k  i  4 j  k PR   1  1 i   2  3 j   3  2  k  2i  j  k .  A  B   C  A   B  C  . Área del paralelogramo  h B  A sen  B  AB . 1 . k (a) A  B  3 1 2  i  7 j  5k. 2 1 1 i j k Luego  A  B   C   i  7 j  5k    i  2 j  2k   1 7 5  24i  7 j  5k. B = 2i  j  k. demuestra la necesidad de utilizar paréntesis en A  B  C para evitar ambigüedades. 30. 1 2 2 i j k (a) B  C  2 1 1  0i  5j  5k  5j  5k. el determinante cambia de signo. 3 . A  B  A  B  A  A  B  B  A  B  A  A  A  B  B  A  B  B  0  A  B  A  B  0  2 A  B  2 10i  3j  11k   20i  6 j  22k . 31. Obsérvese que esto equivale al teorema siguiente: Si en un determinante se permutan entre sí dos líneas (filas o columnas). 2  . Obsérvese que el área del triángulo que tiene por lados A y B es igual a 1 2 A  B . 1 1 1 1 7 7 i Otro método. 3 1 2 1 2 3 Comparando con (a). y sean V1 . a b c 34. V2  12 B  C. en caso límite. Considerando un tetraedro de caras F1 .   o bien. cuyas direcciones son perpendiculares a dichas caras y de sentido hacia el exterior del tetraedro. F3 . V2 . V3  12 C  A. V4 los vectores cuyos módulos son. El módulo del momento M de una fuerza F respecto de un punto P es igual al módulo de la fuerza F. Multiplicando por a  .PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 25 Del problema 30. Demostrar que V1  V2  V3  V4  0. Sean a. F4 . Comparar con el resultado del problema 16. c  . resulta conveniente asignar dirección y sentido a un área. Algunas veces. en estas condiciones a  b  c  0. las áreas de F1 . respectivamente. F2 . 33. 2 2 2 AB 15   10    30  7 7 7 El vector unitario de la misma dirección y sentido contrario es  3i  2 j  6k  7 . F2 . área del triángulo   1 2 PQ  PR  1 2 i 1 2 j 4 1 1 2  i  4 j  k    2 i  j  k  k 1  1 1 2  5i  j  9 k  1 2  5  2  1    9   2 2 1 2 107. F3 . Deducir el teorema de los senos en triángulo plano. Según el problema 30. 35. Los vectores asociados con cada una de las caras del tetraedro son C  A   B  A  V1  V2  V3  V4  12  A  B  B  C  C  A   C  A    B  A   12  A  B  B  C  C  A  C  B  C  A  A  B  A  A   0. 32. se obtiene a  b  b c  c  a es decir. a una superficie cerrada cualquiera. en estas condiciones del vector área o vector superficie. . V3 . como hemos visto en este caso. V4  Luego 1 2 Este resultado se puede generalizar a un poliedro cerrado y. A  B es un vector unitario perpendicular al plano formado por A y B. sucesivamente. i j k A  B  2 6 3  15i  10 j  30k 4 3 1 El vector unitario en la dirección y sentido de A  B es AB 15i  10 j  30k 3 2 6   i  j  k. b  . ab sen C  bc sen A  ca sen B sen A sen B sen C . F4 . Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por A = 2i  6 j  3k y B = 4i  3j  k. b y c los lados del triángulo ABC que se representa en la figura. V1  12 A  B. considerar con carácter vectorial a una superficie. el área de un triángulo de lados R y S es 1 2 R  S . es decir. Se puede hablar. Hallar el momento de una fuerza F respecto de un punto P. Volumen del paralelepípedo   altura h  (área del paralelogramo I ) = A  n  B  C   A   B  C n  A   B  C  Si A. C = C1i  C2 j  C3k demostrar que A1 A2 A3 A   B  C   B1 B2 C1 C2 i j A   B  C   A  B1 B2 C1 C2 B3 C3 k B3 C3   A1i  A2 j  A3k    B2C3  B3C2  i   B3C1  B1C3  j   B1C2  B2C1  k  A1 A2  A1  B2C3  B3C2   A2  B3C1  B1C3   A3  B1C2  B2C1   B1 B2 C1 C2 A3 B3 C3 . Como el punto P describe una circunferencia de radio r sen  . y h la distancia del extremo de A al paralelogramo I. B y C no forman un triedro a derechas. 38. B = B1i  B2 j  B3k. Demostrar que la velocidad lineal v de un punto P del sólido cuyo vector de posición es r viene dada por v  ω  r. 37. por M  r  F. M  F  r sen    rF sen   r  F El sentido de r  F corresponde al avance de un sacacorchos en P con el sentido de rotación tal que lleve a coincidir el primer vector con el segundo por el menor de los ángulos que forman (regla del triedro a derechas que hemos visto anteriormente). llamando r al vector que une P con el origen Q de F. 36. v es perpendicular a  y a r de forma que r.26 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL multiplicando por la distancia del punto P a la directriz de F. resulta. v  ω  r. B y C. El vector  se llama velocidad angular instantánea. Por lo tanto. el módulo de la velocidad lineal v es   r sen    ω  r . siendo  un vector de módulo  y cuya dirección y sentido son las del avance de un sacacorchos que gira en el sentido del movimiento. El momento de un vector se representa. PRODUCTOS TRIPLES. entonces. Un sólido rígido gira alrededor de un eje que pasa por O con una velocidad angular . es decir. Luego v tiene el mismo módulo. Demostrar que el valor absoluto de A   B  C  es igual al volumen de un paralelepípedo de aristas A. Por consiguiente. Si A = A1i  A2 j  A3k. Sea n el vector unitario perpendicular al paralelogramo I con la misma dirección y sentido que B  C . dirección y sentido que ω  r.  y v formen un triedro a derechas. A  n  0 y el volumen  A   B  C  . PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 39. A  B  C  C   A  B    A  B   C En el producto A   B  C  se puede suprimir el paréntesis y escribir A  B  C. La igualdad A   B  C   A  B  C se puede expresar diciendo que los productos escalar y vectorial. Haciendo operaciones. los vectores son coplanarios. 3 0 1 Otro método. y. Recíprocamente. ya que en este caso no existe ambigüedad. B y C son coplanarios.  2i  3j  i   3i  k   j   3i  k   k   3i  k    2i  3j  3i  i  i  k  3j  i  j  k  3k  i  k  k    2i  3j   0  j  3k  i  3j  0    2i  3j   i  2 j  3k    2  1   3 2    0  3  4. si A  B  C  0. r2  x 2 i  y 2 j  z 2 k . pero esta última carece de sentido ya que no está definido el producto vectorial de un escalar por un vector. se obtiene 2 3 0 1 1 1  4. Demostrar que A   B  C    A  B   C. 44. Luego. en estas condiciones. Teniendo en cuenta que en cambia de signo. A1 A2 A   B  C   B1 B2 C1 C2 Del problema 38. el volumen del paralelepípedo formado por ellos es igual a cero. 43. Sean r1  x1i  y1 j  z1 k . A  B  C  0. en efecto. las únicas interpretaciones posibles son de A   B  C  y  A  B   C. r3  x 3 i  y 3 j  z 3 k los vectores de posición de los . Del problema 38. B y C sean coplanarios es que A  B  C  0. el volumen del paralelepípedo formado por los vectores A. por tanto. 42. Demostrar que A   B  C   B   C  A   C   A  B  . Del problema 41. Demostrar que A   A  C   0. B y C es cero. 40. A1 A2 B1 B2 C1 C2 A1 B1 A2 B2 C1 C2 A3 B3 C3 un determinante si se permutan entre sí dos líneas (filas o columnas) su valor A3 B1 B2 B3   A1 A2 C3 C1 C2 B3 B1 B2 A3  C1 C2 C3 A1 A2 B3 C3  B   C  A  A3 A3 C1 C2 B3   B1 B2 C3 C1 C2 B3  A1 A2 C3 A3  B   C  A  C3 A3 B3 A1 A2 B1 B2 41. Obsérvese que A  B  C no puede significar otra cosa que A   B  C  . Si A. Hallar 27  2i  3j   i  j  k    3i  k  . según el problema 37. son permutables. A   A  C    A  A   C  0. Del problema 40. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores A. 1.  x  2  i   y  1   z  1 k   i  3j  2k    3i  4 j  k   0   x  2  i   y  1   z  1 k   11i  5j  13k   0 11 x  2   5  y  1  13  z  1  0 o bien. 3. Los vectores r  a. Demostrar que: (a) A   B  C   B   A  C   C  A  B  . respectivamente. Sean a. b y c los vectores de posición de los puntos P. Hallar el plano formado por los puntos P1  2. P1P3  r3  r1 . B = B1i  B2 j  B3k. Q y R no alineados. r2  3i  2 j  k. z2  . Del problema 43. y P1P  r  r1 . 11x  5 y  13z  30.   x  x1  i   y  y1    z  z1  k    x2  x1  i   y2  y1  j   z2  z1  k     x3  x1  i   y3  y1  j   z3  z1  k   0 o bien según el problema 38. 2  . Los vectores de posición de P1 . Los vectores P1P  r  r1 .  r  a    a  b  b  c  c  a   0.1 . 1 . (b)  A  B   C  B   A  C  A C  B . y1. x. que son coplanarios. y . Llamemos r al vector de un punto genérico del plano formado por P. y c  a son coplanarios y. P2 . 2. y r  xi  yj  zk. z1  . y2 . P3  1. P2 P1  r2  r1 . P3 y de un punto cualquiera P r1  2i  j  k. 47. Sea r  x i  y j  z k el vector de posición de un punto genérico del plano. P2 y P3 no están alineados. 46. Considerando los vectores P1P2  r2  r1 . P1P  P1P2  P1P3  0 ó  r  r1    r2  r1    r3  r1   0 En coordenadas rectangulares. z  son. Q y R. P3  x3. P2 y P3. z3  .28 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL puntos P1  x1. (a) Sean A = A1i  A2 j  A3k. r3  i  3j  2k. Supongamos que P1. x  x1 x2  x1 x3  x1 y  y1 y2  y1 y3  y1 z  z1 z2  z1  0. y3. que determinan un plano. Hallar la ecuación del plano que pasa por P1. C = C1i  C2 j  C3k i j Se tiene A   B  C    A1i  A2 j  A3k   B1 B2 C1 C2 k B3 C3   A1i  A2 j  A3k    B2C3  B3C2  i   B3C1  B1C3  j   B1C2  B2C1  k  . P3P1  r3  r1 están situados en el plano pedido. P2  x2 . z3  z1 45. Luego a  b  b  c  c  a es perpendicular a r  a y también al plano formado por P. según el problema 43:  r  a    b  a    c  a   0 o bien. es decir. luego  r  r1    r2  r1    r3  r1   0 es decir. P2  3. Q y R. b  a. B  C  A   C B  A   A B  C C   A  B   A C  B   B C  A  Sumando miembro a miembro se obtiene el resultado pedido. Q y R. X   C  D   C  X  D   D  X  C  . 50. B y C los vectores unitarios trazados desde el centro O de la esfera a los puntos P. Demostrar que  A  B    C  D    A  C  B  D    A  D  B  C  . entonces. A  B  C  B A  C  C A  B Del problema 47(a). Demostrar que:  A  B    C  D   B  A  C  D   A  B  C  D   C  A  B  D   D  A  B  C  . es decir. 51. Del problema 47(a). el producto vectorial no goza de la propiedad asociativa para todos los vectores A. Demostrar que A   B  C   B   C  A   C   A  B   0.  A  B   C  D   B  A  C  D   A B  C  D  entonces. Demostrar que sen P sen Q sen R   sen p sen q sen r Supongamos que la esfera es de radio unidad. Del problema 41. según el problema 47(b ). Del problema 50. Sea PQR un triángulo esférico cuyos lados son p. y sean A. r son arcos de círculo máximo. Sea Y   C  D  . Del problema 47(a). 48. B. X   C  D    X  C   D.  A  B   C  D   C  A  B  D   D  A  B  C   C A  B  D  D A  B  C  A  B   Y  B  A  Y   A  B  Y  . 49. B y C de (a) por C. C. (1 ) A  B   A  C   A  B  C  A . Sea X   A  B  . q. A y B respectivamente. Obsérvese que A   B  C    A  B   C. Sea X   A  B  .PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL  i j k A1 B2C3  B3C2 A2 B3C1  B1C3 A3 B1C2  B2C1 29   A2 B1C2  A2 B2C1  A3 B3C1  A3 B1C3  i   A3 B2C3  A3 B3C2  A1 B1C2  A1 B2C1  j   A1 B3C1  A1 B1C3  A2 B2C3  A2 B3C2  k También. luego  A  B    C  D    A  B   C D  B  A  C   A  B  C  D  B  A  C   A  B  C  . respectivamente. B   A  C   C  A  B    B1i  B2 j  B3k  A1C1  A2C2  A3C3    C1i  C2 j  C3k  A1 B1  A2 B2  A3 B3    A2 B1C2  A3 B1C3  A2C1 B2  A3C1 B3  i   B2 A1C1  B2 A3C3  C2 A1 B1  C2 A3 B3  j   B3 A1C1  B3 A2C2  C3 A1 B1  C3 A2 B2  k (b)  A  B   C   C   A  B    A  C  B   B  C  A   B  A  C   A  B  C  habiendo sustituido A. a. 2 Del problema 47(a). B  C  C  A   C B  C  A   A B  C  C  C A  B  C  A B  C  C  C A  B  C  A  B   B  C   C  A    A  B   C  A  B  C  2   A  B  C  A  B  C    A  B  C  . q. a  b  a  c  0. demostrar que si a  b  c  0. que a tiene la misma dirección y sentido que b  c y que. Dados los vectores (a) (b ) (c) (d ) X   C  A   C  X  A   A  X  C  . Demostrar que:  A  B    B  C    C  A    A  B  C  . (Problemas propuestos 104 y 106. Por lo tanto. Sea X   B  C  . b y c no son coplanarios si a.) . 52. (4) y (5) son iguales (problema 40). por lo tanto. entonces a  b  c  1 V . (4 ) (5) sen r sen q sen P  sen p sen r sen Q  sen q sen p sen R sen P sen Q sen R   sen p sen q sen r de donde se deduce. c y a . r. . por lo que de (1) se obtiene sen r sen q sen P A   A  B  C  A o (2) (3 ) sen r sen q sen P  A  B  C Por permutación cíclica de p. debe ser perpendicular a b y a c. a  53. c  son recíprocos. con lo cual. Q. R. También se pueden hallar observando.30 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL El vector unitario perpendicular a A  B y A  C es A. Este es el teorema de los senos de la trigonometría esférica. por ejemplo. De (a) y (b) se infiere que los sistemas de vectores a . bc ca ab b  . abc abc abc a   a  b   b  c   c  1. P. b y c no lo son. a   b  0 y a   c  0. b . c   a  c   b  0. a  b  c  V . entonces. y A. C se obtiene sen p sen r sen Q  B  C  A sen q sen p sen R  C  A  B Como segundos miembros de (3). b   a  b  c  0. b . bc ab c  1 ab c ab c ca b c  a ab c b  b  b  b  b    1 ab c ab c ab c ab c a  b ab  c c  c  c  c  c    1 ab c ab c ab c (a ) a   a  a  a   a  (b ) a   b  b  a   b  bc bb c b b c   0 abc abc abc Los otros resultados se deducen de forma análoga. y c  . B. 3 7. Sol.  1. C  c y D  r. 14 (c) 6 (d) 150 (e) 14 57. (a) 0 (b) 6 (c) 1 56.1  con los ejes coordenados. Demostrar que dicho paralelogramo es un rombo y hallar sus ángulos y la longitud de sus lados. Las diagonales de un paralelogramo son A  3i  4 j  k y B  2i  3j  6k. arc cos 5 3 2. 4°33. B A  C  D   A B  C  D   C A  B  D   D A  B  C  Del problema 5 D entonces. 10752 . 36°4. arc cos 7 75 .PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 31 bc ca ab . 2  . 3 7. Sol. 72°8. a  2. B  b. arc cos 23 75. ¿Para qué valores de a son A  ai  2 j  k y B  2ai  aj  4k perpendiculares? Sol. Si A  i  3j  2k y B  4i  2 j  4k . Sol. si a. A B  C  D B  A  C  D C A  B  D   ABC ABC ABC Sea A  a. r b c r c  a r a  b r a b c ab c ab c ab c  bc   ca   ab   r  a  r  b  r  c  ab c   ab c   ab c   r  a a  r  b  b  r  c c Problemas propuestos 55. c  V V V b  c   c  a   a  b   a  b   b  c   c  a  a  b   c   V3 V3 a  (c) Luego a  b  c   2 V2 1  según el problema 52.  3. Sol. (b) A. 53°56. 48°12. En estas condiciones. (c)  2i  j  3k    3i  2 j  3k  . 2 7. Luego de (c) se deduce que a   b   c   0 con lo cual a . arc cos 26 75 . o bien. b  . hallar: (a) A  B . Dos lados de un triángulo son los vectores A  3i  6 j  2 k y B  4 i  j  3k. (b) C  4i  2 j  4k y D  3i  6 j  2k. Hallar: (a) k   i  j . Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos  3.  5. arc cos 2 3. Demostrar que todo vector r se puede expresar en función de los vectores recíprocos del problema 53 en la forma r  r  a   a  r  b   b   r  c   c. (a) 10 (c) B. arc cos 2 3. V3 V3 V (d) Del problema 43. 7032 60. Sol. Hallar los ángulos agudos formados por la recta que une los puntos 1. 2  y  3. 180  arc cos 23 75.  4  y 1. (a) 90 (b) arccos 8 21  6736 58. Hallar los ángulos del triángulo. 2.  54. b y c no son coplanarios a  b  c  0. Sol. 90 62. (b)  i  2k    j  3k  . Sol. 90 ó bien. Hallar el ángulo formado por (a) A  3i  2 j  6k y B  4i  3j  k . 1 59. (b) (d) 3A  2 B . arc cos 1 3 ó 48°12. (e)  2 A  B    A  2 B  . 6 7 ó 2 7. 6 7 61. b  y c  no son coplanarios. (a) 5 26. (d) i  10 j  3k .  1  y  2. (c)  2i  4k    i  2 j . 2 2 2 2 2 2 72. Efectuar los productos indicados: (a) 2 j   3i  4k  . Siendo a el vector de posición de un punto dado  x1 . Demostrar que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. (c) Esfera de centro en  x1 2 . (f ) 35i  35j  35k 81. (b) 25i  35j  55k . Demostrar que si se verifican simultáneamente las condiciones: (a) A  B  A  C y (b) A  B  A  C .   i  2 j  2k  3. 64. Hallar la proyección del vector 4i  3j  k sobre la recta que pasa por los puntos  2. hallar el lugar geométrico de r si (a) r  a  3. z  . 74. y r el vector de posición de un punto cualquiera  x. 3. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son A  3i  j  2 k y B  i  3 j  4 k . 15 en el campo de fuerzas dado por F  4i  3j  2k. (b) ¿Cuál es la distancia del punto   1.  4. (e) 40i  20 j  20k . entonces B  C necesariamente. Sol. (b)  A  2B    2A  B  . Demostrar que A   2i  2 j  k  3. r2  cos  i  sen  j.  1  y   2. arc cos 1 3. Hallar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de la recta que pasa por  3. siendo n  A A. (a)  r  A    A  B   0. Siendo ABCD un cuadrilátero cualquiera y P y Q los puntos medios de sus diagonales. 71. Sea F un campo de fuerzas constante. (c)  r  a   r  0. Sol. 1 65. (c) A  B   A  B  .1  al plano? Sol. cos      cos  cos   sen  sen  76. (b) A1 x  A2 y  A3 z  Ap 75. y1 . 8 3 63. (b) A partir de r1  r2 . Sol. (a) Hallar la ecuación vectorial del plano perpendicular a un vector dado A y que dista p unidades del origen. (c) A   B  C  . (b)  r  a   a  0. o sea. o bien. se tiene que B  C.  1. (d)  A  B   C. z1  . (e)  A  B    B  C  (f )  A  B  B  C  Sol. (c) 20. y1 . (d) 20. una esfera de diámetro (a). Sean r1 y r2 vectores unitarios del plano xy que forman los ángulos  y  con el semieje x positivo. (a) r  n  p. Si A  i  2 j  3k . y . Sol.32 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL Sol. (b) Expresar la ecuación de (a) en coordenadas rectangulares. (b) 2i  j. (a) 195.1. Sol. Sol. 5 3 . (a) Esfera. 67. 2 x  3 y  6 z  28. 77. Hallar el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector 4i  3j  k. Demostrar que el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de un polígono cerrado en este campo es cero. demostrar que 2 2 2 2 2 2 2 AB  BC  CD  DA  AC  BD  4 PQ Esto es una generalización del problema anterior. (b)  i  2 j  k. (e)  2i  j  k    3i  2 j  4k  Sol. (c) 2 195 80. Sol. (d)  4i  j  2k    3i  k  . Sea ABCD un paralelogramo. hallar: (a ) (b ) A  B   C . (b) 3 10. (a) 8i  6k . Sol. z1 2  y radio 1 2 x12  y12  z12 . Demostrar que AB  BC  CD  DA  AC  BD .   3i  4 j 5 68. hallar: (a) A  B . (c) 8i  4 j  4k . 82. 69. 2. (b) Plano perpendicular a a que pasa por su extremo. deducir las fórmulas trigonométricas cos      cos  cos   sen  sen  . (b) 5 78. 3  . Hallar la proyección del vector 2i  3j  6k sobre el vector i  2 j  2k. Si A  3i  j  2k y B  2i  3j  k . siendo A  0. z1  y radio 3. 70°32 66. Hallar el ángulo formado por dos diagonales de un cubo. (e) 2i  11j  7k 79. y C   2 i  j  2 k  3 son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. Si A  4i  j  3k y B  2i  j  2k . hallar el vector perpendicular a A y B. pero que si solo se cumple una de ellas. 73. 70. (a) Demostrar que r1  cos i  sen  j. y1 2 . B  2 i  j  k y C  i  3 j  2 k . A  B  C  . Siendo A  3i  j  2 k y B  i  2 j  4 k los vectores de posición de los puntos P y Q respectivamente: (a) Hallar la ecuación del plano que pasa por Q y es perpendicular a la recta PQ. centro en  x1 . o bien. 4  Sol. B   i  2 j  2k  3. Sol. o (a) A. B  x 2 a  y 2 b  z 2 c y C  x 3a  y 3 b  z 3c . Sol. B  i  2 j  k . Si A  2 i  j  3k y B  i  2 j  k . 92. 2  y S 1. 1. Discutir los casos en los que A  B  0.2  . Hallar la constante a de forma que los vectores 2 i  j  k .4  . 3 2 98. 2A  B  C A a A b A c 89. q. respectivamente.2  y  3. R  1. 4.1. o (c) los tres vectores A. Simplificar  A  B    B  C   C  A  .1 . sen      sen  cos   cos  sen  86. 1 2 165 83. Q y R son r1  3 i  2 j  k . La velocidad angular de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo viene dada por ω  4i  j  2k.0  .3 . 84. Sea PQR un triángulo esférico cuyos lados p. 3 y  4. 1. 1. 3 96. Los vectores de posición. Demostrar que las alturas de un triángulo se cortan en un punto (ortocentro). 100. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que A   B  C    A  B   C es  A  C   B  0. Hallar la velocidad lineal de un punto P del sólido cuyo vector de posición respecto de un punto del eje es 2i  3 j  k. deducir las fórmulas sen      sen  cos   cos  sen  . B  C  0. Deducir el teorema del coseno de los triángulos esféricos. B y C son colineales.PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 33 Sol. Hallar el momento de F respecto del punto  2. Teniendo en cuenta el problema 75. hallar la mínima distancia entre las rectas PQ y RS. Sol.4  a la recta que pasa por  2. Q 1. 2. ] . cos p  cos q cos r  sen q sen r cos P Por permutación cíclica de las letras. 3 97.3 . Hallar la distancia desde el punto  6. Se aplica la fuerza F  3i  2 j  4k en el punto 1. de los puntos P. Sol. 88. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos  3. i  2 j  3 k y 3 i  a j  5 k sean coplanarios. demostrar que. Sol. 7 91. 99. 4. r2  i  3j  4k y r3  2 i  j  2 k . Hallar la distancia de P al plano OQR. Siendo A  x1a  y1b  z1c . Dados los puntos P  2. 1. 3. r son arcos de círculo máximo. con respecto al origen. o (b) dos de los vectores A. C  3i  j  2 k . 101. Sol. Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son A  2 i  3 j  4 k . 5i  8 j  14k. 1. Demostrar que  A  B  C  a  b  c   B  a C a B b Cb B c C c 90. Demostrar que las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto (circuncentro). Demostrar que  A  B    C  D    B  C   A  D    C  A    B  D   0. se deducen fórmulas análogas para cos q y cos r. demostrar que x1 y1 A  B  C  x2 x3 y2 y3 z1 z2  a  b  c  z3 94. o bien. a  4 93. [Ind: Interpretar los dos miembros de la identidad  A  B    A  C    B  C  A  A    A  C  B  A  . 95. Sol.2  .  5 3 i  j  k  3 85. 1. B y C son coplanarios no siendo colineales dos de ellos.1. B y C son colineales. hallar un vector de módulo 5 perpendicular a los vectores A y B. Sol. Siendo A  B  C  0 . 2i  7 j  2 k 87.2. Sol.1 .  i  2 j  2 k . abc b  ca . b. Demostrar que el único sistema de vectores que es recíproco de sí mismo es el formado por los vectores unitarios i. Hallar un sistema de vectores recíprocos al formado por 2 i  3 j  k . demostrar que abc abc b  c  c  a a  b a b c . . Sol. c. Si a  bc . y a. j. abc c  ab . b.34 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 102. i  j  2 k . a  b  c a  b  c a  b  c 104. c. . Siendo a.  i  j  k. 2 1 8 7 7 5 i  k. abc b  ca ab . k. abc 105. y c  . Demostrar que solo existe un sistema de vectores recíproco de uno dado de vectores no coplanarios ni paralelos a. 106.  i  j  k 3 3 3 3 3 3 103. b. c. tales que a  a  b  b  c  c  1 a  b  a   c  b   a  b   c  c   a  c   b  0 demostrar que se verifica a  bc .