Cálculo tensorial(Redirigido desde «Tensor») Un tensor de segundo orden, en tres dimensiones. En matemáticas y en física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquiersistema de coordenadas elegido. En adelante utilizaremos el convenio de sumación de Einstein. Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en una base vendrán dadas por una multimatriz. El orden de un tensor será el número de índices necesario para especificar sin ambigüedad una componente de un tensor: un escalar será considerado como un tensor de orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz. Índice [ocultar] 1 Historia 2 Características y uso o 2.1 Uso de tensores o 2.2 Conceptos básicos o 2.3 Tratamiento clásico de los tensores o 2.4 Enfoque moderno 3 Definición de tensor o 3.1 Definición clásica o 3.2 Como aplicación multilineal o 3.3 Usando producto tensorial de espacios vectoriales 4 Ejemplos de tensores de distinto orden o 4.1 Tensores de orden cero: escalares o 4.2 Tensores de orden uno: vectores y covectores o 4.3 Tensores de orden dos: matrices y formas cuadráticas o 4.4 Tensores de orden m generalizados 5 Notación y nomenclatura o 5.1 Covarianza y contravarianza o 5.2 Convenio de sumación de Einstein o 5.3 Notación en cálculo en variedades 6 Álgebra de tensores 7 Operaciones con tensores o 7.1 Producto tensorial y producto exterior o 7.2 Subir y bajar índices o 7.3 Contracción o 7.4 Producto Interno o 7.5 Dual de Hodge 8 Cálculo tensorial en variedades o 8.1 Pushforward y Pullback o 8.2 Tensor métrico o 8.3 Derivada covariante o 8.4 Derivada de Lie o 8.5 Derivación exterior 9 Véase también 10 Referencias o 10.1 Bibliografía 11 Enlaces externos Historia[editar] La palabra "tensor" se utiliza a menudo como abreviatura de campo tensorial, que es un valor tensorial definido en cada punto en una variedad. El primero en utilizar esta palabra fue William Rowan Hamilton en 1846, empleándola para lo que actualmente se conoce como módulo y fue Woldemar Voigt en 1899 quien la empleó en su acepción actual. La palabra tensor proviene del latín tensus, participio pasado de tendere 'estirar, extender'. El nombre se extendió porque lateoría de la elasticidad fue una de las primeras aplicaciones físicas donde se usaron tensores. Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desarrolló la notación actual con el nombre de geometría diferencial absoluta, y se popularizó con la publicación de Cálculo Diferencial Absoluto de Tullio Levi-Civita en 1900. Con la introducción de la teoría de la relatividad general por parte de Albert Einstein alrededor de 1915 se encontró su aplicación más pragmática. La Relatividad General es netamente tensorial. Einstein había aprendido del mismo Levi-Civita el uso de tensores con gran dificultad. Características y uso[editar] Las cantidades geométricas y físicas pueden ser categorizadas considerando los grados de libertad inherentes a su descripción. Las cantidades escalares son las que se pueden representar por un solo número, por ejemplo masa y temperatura. Hay también cantidades tipo vector, por ejemplo fuerza, que requieren una lista de números para su descripción. Finalmente, las cantidades tales como formas cuadráticas requieren naturalmente una matriz con índices múltiples para su representación. Estas últimas cantidades se pueden concebir solamente como tensores. Realmente, la noción tensorial es absolutamente general. Los escalares y los vectores son casos particulares de tensores. La propiedad que distingue un escalar de un vector, y distingue ambos de una cantidad tensorial más general es el número de índices en la matriz de la representación. Este número se llama rango de un tensor. Así, los escalares son los tensores de rango cero (sin índices), y los vectores son los tensores de rango uno. Uso de tensores[editar] No todas las relaciones en la naturaleza son lineales, pero la mayoría es diferenciable y así se pueden aproximar localmente con sumas de funcionesmultilineales. Así la mayoría de las magnitudes en física se pueden expresar como tensores. Un ejemplo simple es la descripción de una fuerza aplicada al movimiento de una nave en el agua. La fuerza es un vector, y la nave responderá con una aceleración, que es también un vector. La aceleración en general no estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la forma particular del cuerpo de la nave. Sin embargo, resulta que la relación entre la fuerza y la aceleración es lineal. Tal relación es descrita por un tensor del tipo (1, 1), es decir, que transforma un vector en otro vector. El tensor se puede representar como una matriz que cuando es multiplicada por un vector, dé lugar a otro vector. Así como los números que representan un vector cambiarán si uno cambia el conjunto de coordenadas, los números en la matriz que representa el tensor también cambiarán cuando se cambie el conjunto de coordenadas. En la ingeniería, las tensiones en el interior de un sólido rígido o líquido también son descritas por un tensor. Si un elemento superficial particular dentro del material se selecciona, el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general, esta fuerza no será ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de una manera lineal. Esto es descrito por un tensor del tipo (2, 0), o más exactamente por un campo tensorial del tipo (2, 0) puesto que las tensiones pueden cambiar punto a punto. Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría son las formas cuadráticas, y el tensor de curvatura. Algunos ejemplos de tensores físicos son eltensor de energía- momento, el tensor de polarización y el tensor dieléctrico.