Cálculo tensorial

DEDICATORIAQuiero dedicarles este trabajo A mis Padres por estar ahí cuando más los necesito; en especial a mi madre por su ayuda incondicional y constante cooperación A la memoria de mi abuelo quien es mi motivación para salir adelante y cada di ser mejor persona (“Solo existen dos días en el año en los que no se puede hacer nada. Uno se llama ayer y otro mañana. Por lo tanto hoy es el día ideal para amar, creer, hacer y principalmente vivir”) Dalai Lama II CALCULO III – TENSORES AGRADECIMIENTO Quiero agradecer a todos mis maestros ya que ellos me enseñaron valorar los estudios y a superarme cada día, también agradezco a mis padres porque ellos están en los días más difíciles de mi vida como estudiante. Y agradezco a Dios por darme la salud que tengo, por tener una cabeza con la que puedo pensar muy bien y además un cuerpo sano y una mente de bien Estoy segura que mis metas planteadas darán fruto en el futuro y por ende me debo esforzar cada día para ser mejor en la universidad y en todo lugar sin olvidar el respeto que engrandece a la persona. (El éxito no es la clave de la felicidad. La felicidad es la clave del éxito. Si amas lo que haces, tendrás éxito) Albert Schwei 3 CALCULO III – TENSORES INDICE Pag. CARATULA DEDICATORIA AGRECECIMIENTO ...................................................................................................... II INDICE .............................................................................................................................. 3 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................4 CAPITULO I TENSORES EN LA HISTORIA 1.1 HISTORIA .................................................................................................................5 1.2 TRATAMIENTO CLÁSICO DE LOS TENSORES .................................................5 CAPITULO II ¿QUE SON LOS TENSORES? 2.1 TENSOR .....................................................................................................................6 2.2 DEFINICIÓN DE TENSOR ......................................................................................6 CAPITULO III CARACTERISTICAS DE LOS TENSORES 3.1 CARACTERÍSTICAS ................................................................................................ 7 CAPITULO IV TESORES Y SUS NOTACIONES 4.1 NOTACIÓN EN CÁLCULO EN VARIEDADES ....................................................9 4.2 TENSORES DE ORDEN M GENERALIZADOS ..................................................10 CAPITULO V ALGREBRA Y OPERACIONES CON TENSORES 5.1 ALGEBRA DE TENSORES ..................................................................................... 11 5.2 OPERACIONES CON TENSORES .........................................................................12 CONCLUSIONES ..........................................................................................................18 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................19 ANEXOS ........................................................................................................................ 20 4 CALCULO III – TENSORES INTRODUCCIÓN Muchos fenómenos físico se representan matemáticamente mediante Tensores, los cuales, por necesidad son representados en un sistema de referencia, de este modo surge el concepto de componentes del tensor. Si bien los tensores son independientes del sistema de referencia, las componentes serán dependientes y variarán con éste. Los tensores pueden clasificarse según su orden como: • Escalar (Tensor de orden 0). Cantidad que tiene magnitud pero no dirección (ejemplo: densidad, temperatura, presión). Los escalares pueden ser funciones del espacio y del tiempo y no necesariamente han de ser constantes. • Vector (Tensor de orden 1). Cantidad que tiene magnitud y dirección (ejemplo: velocidad, aceleración, fuerza). Será simbolizado por una letra en negrita en minúscula. • Tensor de segundo orden (Tensor de orden 2). Cantidad que tiene magnitud y dos direcciones (ejemplo: tensión, deformación). Será simbolizado por una letra negrita en mayúscula, también para los tensores de orden superior. Este trabajo trata del estudio detallado de los tensores y lo dividiremos en 5 capítulos en el primero encontraremos algunos datos históricos y su concepción en la época clásica, seguimos con el segundo ahí trataremos sobre algunas definiciones en distintos campos, en el tercero trataremos las características que tiene los tensores, para el cuarto capítulo abarcaremos la parte de las notaciones de los tensores, y para el último capitulo tendremos las operaciones y algebra con los tensores también, para finalizar con el trabajo monográfico adjuntaremos algunas conclusiones y anexos. LA AUTORA 5 CALCULO III – TENSORES CAPITULO I TENSORES EN LA HISTORIA 1.1 HISTORIA: La palabra "tensor" se utiliza a menudo como abreviatura de campo tensorial, que es un valor tensorial definido en cada punto en una variedad. El primero en utilizar esta palabra fue William Rowan Hamilton en 1846, empleándola para lo que actualmente se conoce como módulo y fue Woldemar Voigt en 1899 quien la empleó en su acepción actual. La palabra tensor proviene del latín tensus, participio pasado de tendere 'estirar, extender'. El nombre se extendió porque la teoría de la elasticidad fue una de las primeras aplicaciones físicas donde se usaron tensores. Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desarrolló la notación actual con el nombre de geometría diferencial absoluta, y se popularizó con la publicación de Cálculo Diferencial Absoluto de Tullio Levi-Civita en 1900. Con la introducción de la teoría de la relatividad general por parte de Albert Einstein alrededor de 1915 se encontró su aplicación más pragmática. La Relatividad General es netamente tensorial. Einstein había aprendido del mismo Levi-Civita el uso de tensores con gran dificultad. 1.2 TRATAMIENTO CLÁSICO DE LOS TENSORES : El enfoque clásico visualiza los tensores como "matrices" de orden superior que son generalizaciones n-dimensionales de los escalares, vectores de 1 dimensión ymatrices de 2 dimensiones. En este enfoque los números reales que aparecen en dichas "matrices" son las componentes del tensor en una base concreta. Si bien para los casos prácticos este modo de representación puede ser muy intuitivo dificulta la manipulación formal para otros fines menos prácticos. Las "componentes" tensoriales son los índices del arreglo. Esta idea puede ser generalizada aún más a los campos tensoriales, donde los elementos del tensor sonfunciones, o incluso diferenciales. La teoría del campo tensorial se puede ver, grosso modo, en este enfoque, como otra extensión de la idea del jacobiano. 6 CALCULO III – TENSORES CAPITULO II ¿QUE SON LOS TENSORES? 2.1 TENSOR : En matemáticas y en física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. En adelante utilizaremos el convenio de sumación de Einstein. Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en una base vendrán dadas por una multimatriz. El orden de un tensor será el número de índices necesario para especificar sin ambigüedad una componente de un tensor: un escalar será considerado como un tensor de orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz. 2.2 DEFINICIÓN DE TENSOR: Hay varias maneras de definir un tensor, que resultan en enfoques equivalentes:  la manera clásica, forma usual en física de definir los tensores, en términos de objetos cuyos componentes se transforman bajo cambios de coordenadas según ciertas reglas, introduciendo la idea de transformaciones covariantes o contravariantes.  la manera usual de la matemática, que implica definir ciertos espacios vectoriales definidos a partir de un espacio vectorial dado, sin fijar cualesquiera conjuntos de coordenadas hasta que las bases se introduzcan por necesidad. Existen dos definiciones de este tipo:  La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual de un espacio vectorial.  La que usa una operación definida axiomáticamente llamada producto tensorial de espacios vectoriales. 7 CALCULO III – TENSORES CAPITULO III CARACTERISTICAS Y TIPOS DE TENSORES 3.1 CARACTERISTICAS: Las cantidades geométricas y físicas pueden ser categorizadas considerando los grados de libertad inherentes a su descripción. Las cantidades escalares son las que se pueden representar por un solo número, por ejemplo masa y temperatura. Hay también cantidades tipo vector, por ejemplo fuerza, que requieren una lista de números para su descripción. Finalmente, las cantidades tales como formas cuadráticas requieren naturalmente una matriz con índices múltiples para su representación. Estas últimas cantidades se pueden concebir solamente como tensores. Realmente, la noción tensorial es absolutamente general. Los escalares y los vectores son casos particulares de tensores. La propiedad que distingue un escalar de un vector, y distingue ambos de una cantidad tensorial más general es el número de índices en la matriz de la representación. Este número se llama rango de un tensor. Así, los escalares son los tensores de rango cero (sin índices), y los vectores son los tensores de rango uno. 3.2 TIPOS DE TENSORES: A los tensores se los puede clasificar por su orden, es decir el número de arreglos que requiere para ser descrito. En general, si n es la dimensión del tensor (dimensión del espacio vectorial sobre el que se construye) y r+s el orden, un tensor requiere de componentes para ser descrito. A) Tensores de orden cero: escalares Como se dijo anteriormente, un escalar es una cantidad que requiere solo un número real en cualquier sistema de coordenadas para ser descrito. Es decir es invariante ante cualquier cambio de coordenadas en cualquier sistema. De esta manera si es un escalar en un sistema de coordenadas y es el mismo escalar en otro sistema de coordenadas entonces Un escalar es un tensor de orden cero porque requiere un solo número para ser descrito: . 8 CALCULO III – TENSORES B) Tensores de orden uno: vectores y covectores En general, un vector requiere n componentes para ser descrito. En un espacio tridimensional, un vector se define mediante tres componentes. La transformación de coordenadas de un vector de un espacio a otro se realiza mediante una transformación lineal. De esta manera, un vector es un tensor de orden uno porque requieren números para definirlo. Si tenemos un vector expresado por sus componentes en un sistema y en otro sistema, la transformación de coordenadas para que el vector se mantenga invariante se puede expresar: donde es el coseno del ángulo entre el i-ésimo eje de coordenadas y el k-ésimo. C) Tensores de orden dos: matrices y formas cuadráticas Siguiendo la misma lógica, el siguiente elemento es el que requiere x componentes para ser descrito. Se denomina tensor de orden dos al objeto, normalmente representado por una matriz nxn, que representado en un sistema de coordenadas como su transformación invariante en otro sistema con componentes es: donde es el coseno del ángulo entre el i-ésimo eje de un sistema con el l-ésimo eje del otro sistema 9 CALCULO III – TENSORES CAPITULO IV TESORES Y SUS NOTACIONES 4.1 NOTACIÓN EN CÁLCULO EN VARIEDADES : Otra notación ampliamente usada en el cálculo tensorial es la forma usada para los vectores de la base. Cuando se hace cálculo tensorial en una variedad diferencial o superficie curva, el espacio básico que sirve para definir las magnitudes es el espacio tangente a dicha variedad en cada punto. Cuando se emplean coordenadas curvilíneas , dada la relación isomórfica que existe entre derivaciones sobre la variedad y el conjunto de elementos del espacio tangente, se puede construir una base del espacio vectorial tangente formada por las derivadas direccionales según las direcciones dadas por las coordenadas; así una base vectorial del espacio tangente en cada punto p viene dada por: Por otra parte la base del espacio cotangente, que es el espacio dual del espacio tangente, se puede expresar mediante la diferencial exterior de las coordenadas consideradas como funciones reales sobre la variedad: 10 CALCULO III – TENSORES 4.2 TENSORES DE ORDEN M GENERALIZADOS : Representación del Tensor de Levi-Civita, tensor de orden tres Finalmente, la generalización de los tipos anteriores viene dada por un elemento que necesita coordenadas para ser especificado. Como generalización de las transformaciones anteriores tenemos: donde son las componentes del tensor en un sistema de coordenadas, son las componentes del mismo tensor en otros coordenadas y los son los cosenos de los ángulos entre los -ésimos ejes del un sistema y los -ésimos en el otro sistema. 11 CALCULO III – TENSORES CAPITULO V ALGREBRA Y OPERACIONES CON TENSORES 5.1 ALGEBRA DE TENSORES: Debido a que las operaciones de los tensores de orden cero (escalares), uno (vectores) y dos (matrices) son conocidas, para los tensores se espera que solo se generalicen algunas operaciones. El conjunto de todos los tensores p-veces covariantes y q-veces contravariantes definidos sobre el espacio vectorial V se denota como (algunos autores usan la notación inversa ) forman un espacio vectorial con la suma y la resta definidas como, ya que la suma está bien definida para tensores de los mismos órdenes y ; así su suma y resta estaría dada por: Este espacio vectorial es de dimensión donde es la dimensión del espacio vectorial V. Otro conjunto de operaciones importantes tienen que ver con el cambio de orden de los índices de un tensor. Si son las componentes de un tensor, de la misma manera el conjunto formado por el intercambio de dos índices, es decir , también lo es. En términos de esos intercambios de índices pueden identificarse subespacios vectoriales:  Se dice que el tensor es simétrico si el intercambio de cualquier par de índices no altera el tensor: el conjunto de todos los tensores simétricos del espacio forma un subespacio del mismo denotado como 12 CALCULO III – TENSORES  Se dice que el tensor es antisimétrico si el intercambio de cualquier par de índices altera el signo del tensor: el conjunto de todos los tensores antisimétricos de orden k de un espacio tensorial también forma un subespacio denotado como es de dimensión Por otra parte, un tensor arbitrario no es simétrico ni antisimétrico. Un tensor de orden 2 siempre puede expresarse como la suma de un tensor simétrico ( ) y uno antisimétrico ( ): . Esto no es posible para tensores de orden superior a 2. 5.2 OPERACIONES CON TENSORES: A) Producto tensorial y producto exterior Dados dos tensores se puede definir entre ellos el llamado producto tensorial cuyo resultado es un tensor de tipo más complejo cuyas componentes pueden obtenerse a partir de los tensores originales. El producto de dos tensores es un tensor cuyo rango es la suma de los rangos dados por los dos tensores. Este producto implica la multiplicación ordinaria de los componentes de un tensor y es llamado producto exterior. Por ejemplo: B) Subir y bajar índices En una variedad riemanniana existe la posibilidad de definir una operación sobre tensores, que en general no puede realizarse en una variedad cualquiera. Esa operación permite sustituir en los cálculos un tensor de tipo por otro de tipo con tal que . Esta operación se denomina usualmente ley de subir o bajar índices. Esa operación se basa en la existencia de un isomorfismo entre espacios de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre unavariedad riemanniana o pseudoriemanniana . Por tanto para emplear la subida y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico (y su inverso , llamado co-tensor métrico). Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representada por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado físico, según las necesidades del problema planteado. Así para cualquier magnitud física representada por un tensor de 13 CALCULO III – TENSORES tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables gracias a la operación de "subir y bajar índices": C) Contracción La contracción de tensores es una operación que reduce el orden total de un tensor. Esta operación reduce un tensor tipo a otro tipo . En términos de componentes, esta operación se logra sumando el índice de un tensor contravariante y un covariante. Por ejemplo, un tensor (1,1) puede ser contraído a un escalar a través de ; donde el convenio de sumación de Einstein es empleado. Cuando el tensor (1,1) se interpreta como un mapeo lineal, esta operación es conocida como la traza. La contracción se utiliza usualmente con el producto tensorial para contraer el índice de cada tensor. La contracción puede también entenderse en términos de la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de copias del espacio con el espacio , descomponiendo primero el tensor en una combinación lineal de tensores más simples, y posteriormente aplicando un factor de a un factor de . Por ejemplo puede ser escrito como la combinación lineal de La contracción de en el primero y último espacio es entonces el vector D) Producto Interno El producto interno de dos tensores se produce al contraer el producto exterior de los tensores. Por ejemplo, dados dos tensores y su producto externo es . Igualando índices, , se obtiene el producto interno: . 5.3 EJEMPLO: A) PREIMER EJEMPLO: La formulación básica de la Teoría General de la Relatividad es una formulación matemática en notación tensorial, usando tensores, y es por ello que se vuelve necesario dar una idea de lo que son estos objetos matemáticos que llamamos tensores. En vez de empezar con una definición axiomática (formal) de lo que es un tensor, pospondremos dicha definición para después, empezando en cambio con una definición intuitiva. Aunque sin algo que le corresponda en el mundo físico real, podemos definir matemáticamente en un plano de dos dimensiones un “campo de números” como el siguiente: 14 CALCULO III – TENSORES φ = 0.2x + 0.1y De este modo, al par (x,y) = (1,1) le corresponde el número φ = 0.3, y así sucesivamente. Tabulando algunos números y poniéndolos en el plano tendríamos una distribución de números como la que se muestra a continuación en los eje de coordenadas X y Y: A cada punto en el plano x-y le corresponde un número. Así, podemos “sembrar” un campo de números, de escalares, con lo que tenemos un campo de escalares. Una cantidad escalar Q, la cual no tiene dirección ni sentido y se representa con un simple número (como la masa m de un cuerpo o su temperatura T) es un tensor de orden cero. Esta cantidad, por ser un simple número, permanece igual ya sea que se le considere en un espacio de dos dimensiones, de tres dimensiones, o inclusive en un espacio que posea cualquier número de dimensiones ( un n dimensiones o cualesquiera se puede utilizar). Una cantidad vectorial V, (como la velocidad que lleva un avión moviéndose horizontalmente hacia la derecha a una velocidad de 30 metros por segundo y hacia arriba a 40 metros por segundo) y se representa como una n-pla de números (un par de números ordenados cuando se trata de un vector en dos dimensiones, un triplete de números ordenados cuando se trata del mismo vector trazado en tres dimensiones, un cuádruple ordenado de números cuando se trata de un vector trazado en un espacio cuatri- dimensional, etc.) es un tensor de orden uno en un espacio n-dimensional. Una cantidad tensorial Trs en donde empleamos dos sub-índices es una extensión de los conceptos anteriores, también a un espacio n-dimensional, denotado como tensor de orden dos. Los componentes Tij de un tensor de orden dos se pueden representar mediante ese arreglo rectangular de números conocido como matriz de n x n en el siguiente: 15 CALCULO III – TENSORES En todo lo que hemos señalado anteriormente, hemos supuesto que al hablar de un tensor de orden cero (una cantidad escalar), un tensor de orden uno (una cantidad vectorial) o un tensor de orden dos, estamos haciendo referencia a algo que es representado en el espacio n-dimensional como un punto, como en el caso de la masa que se representada simbólicamente con su centro de masa especificado en cierta posición, o como el vector velocidad de un avión que en un instante dado se especifica sobre cierto punto de origen (no necesariamente el punto de origen del sistema de coordenadas utilizado para representar el vector con la flechita usual) el cual va cambiando de lugar conforme el avión se va trasladando de un punto a otro. Pero hay muchas situaciones físicas en las cuales se vuelve necesario extender las definiciones anteriores. 16 CALCULO III – TENSORES B) SEGUNDO EJEMPLO: ROBLEMA: Escribir explícitamente, sin ninguna abreviatura matemática, las relaciones de transformación para un tensor covariante T de orden dos en un espacio de dos dimensiones. En un espacio de dos dimensiones, un tensor covariante de orden dos estará especificado por cuatro componentes, a saber: T11, T12, T21 y T22; los cuales al ser transformados de acuerdo a la definición del tensor producirán cuatro componentes denotados como T11, T12, T21 y T22. Las cuatro relaciones de transformación son las siguientes, empezando por la primera: seguida por la segunda: 17 CALCULO III – TENSORES seguida por la tercera: y por último, la cuarta: 18 CALCULO III – TENSORES CONCLUSIONES El álgebra de tensores proporciona la herramienta más elegante que conozco hasta el momento para trabajar con espacios vectoriales, y en base a los principios ya vistos en las dos últimas entradas (varianza y tensor métrico) intentaremos analizar sus propiedades más importantes en esta entrada (sin entrar en muchos tecnicismos, pues por algo no soy matemático). Para comprender qué es un tensor para la geometría y la física, hay que saber que las cantidades tienen diferentes categorías de acuerdo al grado de libertad (es decir, al número más pequeño de números reales que se necesitan para la determinación completa del estado). Podemos diferenciar entre cantidades escalares (cuya representación puede realizarse con un único número), las cantidades tipo vector (hacen falta varios números) y las cantidades de forma cuadrática (necesitan una matriz con diversos índices). 19 CALCULO III – TENSORES REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS PRIMERA MANO Mecánica del medio continuo, tercera edición, Análisis matemático iii, Eduardo Espinoza TERCERA MANO file:///c:/users/usuario/downloads/tensores%20formulas.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/c%c3%a1lculo_tensorial#ejemplos_de_tensores_de _distinto_orden http://www.ual.es/~apuertas/docencia/tensores.pdf http://mathworld.wolfram.com/tensor.html 20 CALCULO III – TENSORES ANEXOS Representación del tensor en tres dimensiones Representación de los tensores en n dimensiones