Cálculo Numérico_aprendizagem_com_apoio_de_ software.pdf

Cálculo NuméricoSobre os autores Outras Obras Selma Helena de Vasconcelos Arenales Álgebra Linear Professora do Departamento de Mate- David Poole mática da Universidade Federal de São Car- los-UFSCar. Graduada em Matemática pela Análise Numérica Universidade Estadual Júlio Mesquita Filho (Unesp) e mestre em Matemática Aplicada Richard L. Burden e Cálculo J. Douglas Faires pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Possui experiência na área de Matemática, com ênfase em matemática Selma Arenales aplicada, atuando em projetos de pesquisa e orientação de alunos nas áreas de Otimiza- ção e Análise Numérica, com enfoques na Numérico Artur Darezzo Cálculo – Volumes I e II – 5ª edição James Stewart Aprendizagem com apoio de software modelagem de problemas e métodos numé- Aprendizagem com apoio de software ricos de resolução. Tem publicado trabalhos em congressos em ensino de Matemática, Pré-Cálculo principalmente no ensino de Cálculo Numé- Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudan- rico com ferramentas computacionais. tes de ciências exatas um material didático, simples e de fácil entendimento Valéria Zuma Medeiros (Coord.) dos tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Vetores e Matrizes: Uma Cálculo Artur Darezzo Filho Os métodos numéricos são desenvolvidos para resolução de sistemas introdução à álgebra linear – lineares e não-lineares, equações, interpolação polinomial, ajuste de fun- 4ª edição revista e ampliada Licenciado em Matemática pela Facul- dade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio ções, integração numérica e equações diferenciais ordinárias, acompanha- Nathan Moreira dos Santos, Claro – SP (1971), mestre em Ciências da dos de exemplos resolvidos em detalhes. Exercícios são propostos no final de Doherty Andrade e Computação e Estatística – opção computa- cada capítulo com diversos graus de dificuldade para fixação do conteúdo. Nelson Martins Garcia Numérico ção – pela Universidade de São Paulo – USP, O livro é acompanhado de um CD com o Software Numérico, desen- São Carlos (1978), doutor em Engenharia Civil pela Universidade de São Paulo – USP, volvido pelos autores, que serve de apoio ao ensino/aprendizagem de tópi- São Carlos (1996). Desde 1972 é professor cos básicos de Cálculo Numérico, no qual conceitos e resultados dados em vinculado ao Departamento de Matemática sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios compu- Artur Darezzo Selma Arenales da Universidade Federal de São Carlos, onde exerceu as funções de docente, pesquisador tacionais. na área de Modelagem Matemática e Méto- dos Numéricos e coordenador do curso de Aplicações Matemática. A partir do ano de 2001, como professor aposentado, passou a ser professor Livro-texto para as disciplinas de cálculo numérico nos cursos de gra- Aprendizagem com apoio de software convidado voluntário no mesmo Departa- duação das áreas de ciências exatas e tecnológicas. mento de Matemática até a presente data. Foi também professor e coordenador do curso de Matemática Aplicada e Computa- cional do Centro Universitário Central Pau- lista – Unicep – São Carlos (SP). Atualmente exerce as funções de Diretor Acadêmico da Escola Superior de Tecnologia e Educação de Rio Claro, Rio Claro – SP. Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br Cálculo Numérico Aprendizagem com Apoio de Software Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro. de 2008. exercícios etc. Artur. Cálculo numérico : Estudo e ensino 515.4092 . Cálculo numérico – Problemas. ISBN  1. Brasil) Arenales. Título. SP. da 1ª ed. 1ª reimpr. Cálculo numérico 2. I. 07-6796 CDD-515. II. 2010. Darezzo. -- São Paulo: Cengage Learning. Bibliografia.07 Índices para catálogo sistemático: 1. Selma Cálculo numérico : aprendizagem com apoio de software / Selma Arenales. Artur Darezzo. Cálculo Numérico Aprendizagem com Apoio de Software Selma Arenales Artur Darezzo Austrália • Brasil • Japão • Coréia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos . 106 e 107 da Lei no 9. sejam quais forem os meios empregados.com. envie Produtora Editorial: Renata Siqueira Campos seu pedido para direitosautorais@cengage. de 19 de fevereiro de 1998. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102.610.cengage.br Impresso no Brasil. visite www. da Editora. por escrito. Todos os direitos reservados.com Supervisora de Produção Gráfica: Fabiana Alencar Albuquerque © 2008 Cengage Learning. entre em Supervisor de Produção Editorial: Fábio Gonçalves contato pelo telefone 0800 11 19 39 Para permissão de uso de material desta obra. Copidesque: Sueli Bossi da Silva ISBN-13:  Revisão: Gisele Múfalo Diagramação: Segmento & Co.Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio © 2008 Cengage Learning Edições Ltda. Condomínio E-Business Park Rua Werner Siemens. 111 – Prédio 20 – Espaço 04 Capa: Eduardo Bertolini Lapa de Baixo – CEP 05069-900 – São Paulo – SP Tel. 1 2 3 4 5 6 7 11 10 09 08 . Nenhuma parte deste livro po- Selma Arenales derá ser reproduzida. Produções Gráficas Cengage Learning Ltda.: (11) 3665-9900 – Fax: (11) 3665-9901 SAC: 0800 11 19 39 Para suas soluções de curso e aprendizado. Artur Darezzo sem a permissão. 104. Gerente Editorial: Patricia La Rosa Editora de Desenvolvimento: Ligia Cosmo Cantarelli Para informações sobre nossos produtos. de software Todos os direitos reservados. Printed in Brazil. meu esposo. Com carinho para minha esposa Regina. . Ao Marcos Arenales. companheira de todas as jornadas e aos meus filhos Helga. Fabiana e João Paulo. aos meus pais Maria e Sebastião Vasconcelos e à minha família de amigos. . 2 Localização das raízes: métodos gráficos 74 3.3 Erros na fase de resolução 2 1.6 Métodos iterativos 49 2.7 Erro relativo 11 1.5 Sistemas de equações não lineares 106 3.3 Métodos diretos 21 2.8 Erro de truncamento 12 1.2 Sistemas de equações lineares 19 2.6 Erro absoluto 10 1.1 Introdução 19 2.1 Introdução 73 3. Sumário Prefácio IX Agradecimentos X Capítulo 1 Erros em processos numéricos 1 1.1 Introdução 1 1.4 Matrizes inversas 46 2.3 Métodos numéricos para resolução de equações 76 3.6 Trabalhando com o Software Numérico 121 Exercícios 124 vii .5 Erro de arredondamento 10 1.2 Erros na fase da modelagem 2 1.9 Propagação dos erros 14 Exercícios 16 Capítulo 2 Solução numérica de sistemas de equações lineares e matrizes inversas 19 2.4 Erros de representação 5 1.4 Equações polinomiais 96 3.7 Trabalhando com o Software Numérico 65 Exercícios 68 Capítulo 3 Solução numérica de equações 73 3.5 Condicionamento de sistemas lineares 49 2. 6 Interpolação inversa 148 4.2 Interpolação polinomial 127 4.4 Abertura do Software Numérico 287 7.7 Fórmula interpolatória de Newton-Gregory 153 4.4 Métodos baseados em série de Taylor 242 6.1 Introdução 233 6.5 Fórmula interpolatória de Newton 141 4.5 Regra 1/3 de Simpson 200 5.8 Integração dupla 223 5.3 Software Numérico – Módulos desenvolvidos 286 7.3 Discretização 241 6.5 Descrição dos módulos do Software Numérico 288 Referências bibliográficas 361 Índice remissivo 363 .8 Aproximação de funções – o método dos mínimos quadrados 157 4.4 Regra dos trapézios 193 5.viii Cálculo Numérico Capítulo 4 Aproximação de funções 127 4.2 Objetivos 286 7.7 Fórmula de quadratura de Gauss 216 5.4 Interpolação linear 138 4.6 Regra 3/8 de Simpson 208 5.3 Fórmula interpolatória de Lagrange 132 4.6 Métodos previsor-corretor 269 6.2 Problema de valor inicial (PVI) 236 6.5 Métodos de Runge-Kutta 251 6.2 Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes 191 5.1 Introdução 189 5.9 Trabalhando com o Software Numérico 227 Exercícios 229 Capítulo 6 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias 233 6.9 Trabalhando com o Software Numérico 182 Exercícios 185 Capítulo 5 Integração numérica 189 5.1 Introdução 286 7.7 Trabalhando com o Software Numérico 278 Exercícios 282 Capítulo 7 Manual do Software Numérico 285 7.1 Introdução 127 4.3 Erro cometido na integração numérica 192 5. H. com exemplos e listas de exercícios para fixação do conteúdo. F. V. Interpolação e Aproxi­mação de Funções. (1992). em seguida foi aperfeiçoado e tem sido utilizado como ferramenta metodológica. Arenales. Prefácio Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento dos tópi­ cos de um curso básico de Cálculo Numérico. Este software foi desenvolvido inicialmente durante o Projeto de Rees­ truturação do Ensino de Engenharia – Projeto Reenge (1996). A. da Álgebra Linear e da Geometria Analítica foram utilizados no decorrer dos capítulos. Juntamente com este livro desenvolvemos o Software Numérico de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico. esta obra reflete a experiência de muitos anos dos autores. em aulas ix . et al. no ensino da disciplina Cálculo Numérico para diferentes cursos do Centro de Ciências Exatas e de Tecno­logia da Universidade Federal de São Carlos – UFSCar. Integração Numérica e Equações Diferenciais Ordinárias. apre­ sentando os métodos numéricos com desenvolvimento teórico e os respectivos algoritmos descritos de forma simples. no qual con­ ceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios computacionais. Originado a partir de uma apostila. O livro é composto de sete capítulos contendo os principais tópicos abor­ dados numa disciplina básica de Cálculo Numérico nas universidades. S. Raízes de Funções. escrita pe­ los autores e pelos professores que ministravam a disciplina de Cálculo Nu­ mérico e publicada pelo Departamento de Matemática. Notas de Cálculo Numérico. conforme Darezzo. de um semestre. considerando que os alunos tenham estes conhecimentos. O Software Numérico relaciona cinco módulos: Sistemas Lineares. Alguns resultados do Cálculo Diferencial Integral. nas instituições de ensino superior.. . ao Professor Dr. S.x Cálculo Numérico de exercícios. além de infor- mações sobre o uso. (2003).thomsonlearning. benefícios e dificuldades. Aos colegas do Departamento de Matemática da UFSCar que de alguma forma acompanharam este trabalho e acreditaram no seu desenvolvimento. Selma Arenales Artur Darezzo . et al. Acreditamos. V. reforça e melhora a aprendizagem desses assuntos. para todas as turmas de Cálculo Numérico no Laboratório de Ensino do Departamento de Matemática da UFSCar. O Manual do Software Numérico. que este material possa ser aplicado em cursos na modalidade Ensino a Distância. de forma simples e clara. Com esta metodologia de ensino/aprendizagem foi possível observar efeitos. J. influências. analisá-lo e realizar comentários sobre tentativas. tanto nas atividades em sala de aula como em aulas de laboratório. pela leitura e pelas sugestões pertinentes nos diversos capítulos deste livro. O usuário pode instalar o software de maneira simples utilizando a senha 6028. numa experiência de ensino na dis- ciplina de Cálculo Numérico. sintaxe. o qual o professor. A. pelo retorno positivo nas versões preliminares que nos incentivou a publi- car este livro. H. integrado com o uso de Mapas Conceituais.br).com. Agradecimentos Aos estudantes da UFSCar e do Centro Universitário Central Paulista – Unicep. através do incentivo diário e de sugestões para que os objetivos propostos fossem alcançados. o professor pode acessá-lo. docente do Depar- tamento de Matemática Aplicada e Estatística – ICMC-USP-São Carlos. com listas de exercícios bem elaboradas. um resumo sobre os métodos numéricos desenvolvidos nos capítulos anteriores deste livro com exemplos ilustrativos. Este software também foi usado. Arenales. entrada de dados e todos os esclarecimentos à disposição no Help On Line pode ser encontrado no CD que acompanha este livro. erros e acertos dos alunos estabelecendo uma interação pro- fessor/aluno a distância. Em especial. Marcos Nereu Arenales. conforme publicação Salvador. Posteriormente. também. que pode ser encontrado para download no site da Editora Thomson (www. no qual o usuário possui. com a aplicação do Software Numérico. o qual armazena todas as etapas de execução dos exercícios feitos pelos alunos. que contém um Arquivo de Correção. bus- camos. um método numérico aproximado. podemos cometer erros. além dos erros no processamento anteriormente mencionados. multiplicação. Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na fase da resolução de um problema. Podemos entender as duas fases descritas anteriormente através do es- quema representado na Figura 1. quando necessárias. buscamos. Capítulo 1 Erros em Processos Numéricos 1. o problema que desejamos tratar. Com o problema representado através de um modelo matemático. pela resolução através de um método numérico. quando não. Os erros cometidos devido à mudança 1 . a construção de um modelo matemático que represente. para a sua resolução. através de simplificações. usando conhecimentos já estabelecidos. Esta etapa é caracterizada como fase da modelagem do modelo matemático. com a maior fidelidade possível. ou.1. para a resolução do modelo mate- mático. a resolução de um problema de qualquer área do conhe- cimento científico passa inicialmente por uma fase de observação e entendimento do fenômeno físico envolvido na qual. isto é. subtração e divisão) e. Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um mé- todo exato. quando optamos.1 Introdução De uma maneira geral. Esta etapa é caracterizada como fase de resolução do modelo matemático. em razão da complexidade do modelo matemático. podemos também cometer erros provenientes do fato de utilizarmos. um algoritmo aproximado. pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elemen- tares (adição. Por outro lado. sendo estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados. um método exato quando possível. um método que apresenta a solução exata para o modelo. por exem- plo. e erros absolutos e relativos.1 da base de processamento. 1. um computador. para que o fenômeno da natureza que estivermos observando possa ser repre- sentado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis. os erros de arredondamento e truncamento. Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na mudança de base e erros de representação. estes são transformados em uma outra base de representação. quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos são lidos.3 Erros na fase de resolução São erros provenientes da utilização de algum equipamento. os erros de representação. Assim. para processarmos os cálculos necessários à obtenção de uma solução para o modelo matemático. como. subtração e divisão. Tais erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os dígitos significativos de valores numéricos utilizados nas operações elementares de adição.2 Erros na fase da modelagem São os erros decorrentes de simplificações. 1. apresentados a seguir: Erros na mudança da base A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numé- ricos no sistema binário. devido ao sistema uti- lizado pelos computadores para armazenar dados numéricos. . muitas vezes necessárias. multiplicação.2 Cálculo Numérico Figura 1. 1 a) (1011)2 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 Neste caso. isto é.. a0 = 1. o binário tem parte inteira e parte fracionária. 1. . em razão da limitação da representação do equipamento computacio- nal que estamos utilizando para o processamento dos dados numéricos.. a ∈{0. N. com n e m inteiros..( b − 1)}. o número na base decimal é inteiro. a1 = 1. e portanto: a −2 = 1. a3 = 1 b) (111. Dado um número real. 1. a1 = 1. isto é. n = –2 e m = 2. muitas vezes. a ∈{0. 1. 9}.01)2 = 1 × 2−2 + 0 × 2−1 + 1 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 Neste caso. podemos escrevê-lo em uma outra base b’. a0 = 1. . n = –2 e m = 2. a2 = 2 Assim. 1. é sempre possível representá-lo em qualquer base b. 3 .35)10 = 5 × 10−2 + 3 × 10−1 + 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102 Neste caso. e temos: a0 = 1. 2. i=n i i i Exemplo 1....2 a) ( 231)10 = 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102 Neste caso. a2 = 0. i = 0. com n e m inteiros.1} i=n i i i Exemplo 1. Erros em Processos Numéricos 3 Acontece.. . a −1 = 0. 2. e temos: a −2 = 5. i = 0. (b – 1) e de uma potência adequada na nova base b’. a2 = 1 Base decimal m N10 = ∑ a ×10 . a2 = 2 b) (231. 1. Base binária m N2 = ∑ a ×2 .. a1 = 3. 3. 2 e temos: a0 = 1. que esta transformação pode ser acometida de erros.. da seguinte forma: m Nb = ∑ a ×b i=n i i onde ai ∈ {0 . dado um número real qualquer numa base b. 3.. a partir de adequação conveniente de seus coeficien- tes ai = 0. 2. o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária. a1 = 3. o binário só tem a parte inteira. a −1 = 3. a parte fracionária é novamente multiplicada por 2.5 (0. temos: N10 = (1 rn – 1 rn – 2 rn – 3 . o algarismo do resto (r). Exemplo 1. O procedimento é constituído dos seguintes passos: a) Multiplicamos o número fracionário por 2. d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula. isto é: (0. b) (11)10 = (1011)2 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte fracionária) Procedimento: multiplicações sucessivas.0011)2 = 0 × 2−1 + 0 × 2−2 + 1 × 2−3 + 1 × 2−4 = ( 3 16)10 .011)2 = 1 × 2−3 + 1 × 2−2 + 0 × 2−1 + 1 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 = (7.1875)10 = ( 0.0 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0 .375)(2) = 0.5 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0. Exemplo 1. até que o quociente da divisão seja igual a 1. O binário é constituído pelo quociente 1 e pelos coeficientes do resto da divisão.3 a) (1101)2 = 1 × 20 + 0 × 21 + 1 × 22 + 1 × 23 = (13 )10 b) (111..75)(2) = 1.4 Cálculo Numérico Mudança da base binária para a base decimal Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de 2.5 a) ( 0. a parte inteira é o primeiro dígito binário. O procedimento consiste na divisão do número na base decimal sucessi- vamente por 2. Desta forma.75 (0. c) Do resultado do passo b). armazenando. isto é: 25 ÷ 2 = 12 e resto = 1. 12 ÷ 2 = 6 e resto = 0.. a cada passo. 6 ÷ 2 = 3 e resto = 0 3 ÷ 2 = 1 e resto = 1. b) Do resultado do passo a).375)10 Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte inteira) Procedimento: divisões sucessivas. r3 r2 r1)2 Exemplo 1.5)(2) = 1. a partir do resto mais significativo (rn – 1) para o menos significativo (r1).1875)(2) = 0.75 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.4 a) ( 25)10 = (11001)2 = 1 × 20 + 0 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24 .375 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.375 (0. 01)2 = (1101. na memória de um equipamento. constitui o sistema de ponto flutuante normalizado.. De maneira geral. .25)10 = (1101)2 + (0.)2 Observe que (0.2)10 não tem uma representação binária exata. portanto. A união de todos os números em ponto flutuante. que indicamos por SPF (b.. Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto flutuante se for possível escrevê-lo da seguinte maneira: nr = m × bexp onde m é a mantissa do número. apresenta erro. uma questão importante a ser considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para represen- tar os dados numéricos. com o primeiro dígito satisfazendo a condição 1 ≤ d1 ≤ (b − 1) e os demais dígitos satisfazendo 0 ≤ di ≤ (b − 1) . um número de dígitos significativos n e um expoente exp. juntamente com a re- presentação do zero.01)2 c) ( 0. isto é.2)10 é uma dízima periódica de período (0.. a representação é aproximada e. destacamos o seguinte sistema de armazenamento de valores numéricos: Sistema de ponto flutuante normalizado Um número no sistema de ponto flutuante é caracterizado por uma base b.4 Erros de representação Na construção de um equipamento computacional. dnMn ∈ N sendo n o número máximo de dígitos na mantissa..001100110011.. . cada número é armazenado em uma posição que consiste de um sinal que identifica se o número é positivo ou negativo e um número fixo e limitado de dígitos significativos. d1. expmáx). 3.. 1. O expoente exp varia da seguinte maneira: expm í n ≤ exp ≤ expm áx sendo expm í n ≤ 0 e expm áx ≥ 1 com expmín e expmáx inteiros. Basicamente.. d2. d1 d2 . n. Assim. dn. n... o decimal (0.25)10 = (13)10 + (0.. dígitos sig- nificativos da mantissa. b ≥ 2 é a base e exp é o expoente da base. i = 2. as seguintes condições devem ser verificadas: m = ± 0. . expmín.0011). Neste sistema de ponto flutuante. Erros em Processos Numéricos 5 b) (13. do sistema de representação.2)10 = ( 0. . [b ⫺ 1]) bexpmáx 冦 n vezes c) O número máximo de mantissas positivas possíveis é dado por: mantissas + = ( b − 1 ) b n − 1 d) O número máximo de expoentes possíveis é dado por: exppossíveis = expm áx − expm í n + 1 e) O número de elementos positivos representáveis é dado pelo produto en- tre o número máximo de mantissas pelo máximo de expoentes.. 2.. expmáx) = SPF (3. temos: a) O menor positivo exatamente representável..6 Considere o sistema de ponto flutuante SPF (b.0) bexpmín 冦 (n–1) vezes b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior mantissa multiplicada pela base elevada ao maior expoente. –1. o zero é representado da seguinte maneira: zero :0. n.. menor expoente igual a –1 e maior expoente 2. expmín. não nulo. de base 3..... isto é..0000. isto é: menor = (0.6 Cálculo Numérico Neste sistema.10 × 3− 1 = (1 × 3− 1 + 0 × 3− 2 ) × 3 − 1 = 9 . expmín. podemos concluir que o número total de elementos exatamente representáveis NRt é dado por: NR t = 2 × NR + + 1 Exemplo 1.. Para este sistema temos: a) O menor exatamente representável: 1 0. isto é: maior = (0 . isto é: NR + = mantissas+ × exppossíveis Se considerarmos que dado um número real nr ∈ SPF temos que − nr ∈ SPF e a representação do zero... expmáx). 2). é o real formado pela menor mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoen- te. [b ⫺ 1][b ⫺ 1] .0 bexpmín 冦 n vezes Considerando o sistema de ponto flutuante normalizado dado na forma genérica por SPF (b. 2 dígitos na mantissa. n..1000. 11 × 3−1 = 4/27 exp = 0 : 0.22 × 31 = 8/3 exp = 2: 0.22 × 3−1 = 8/27 exp = 0 : 0.12 × 32 = 5 exp = 2: 0. 2.11 × 32 = 4 exp = − 1: 0. 0. como no sistema de ponto flutuante normalizado o zero é uma representação.10 × 3−1 = 1/9 exp = − 1: 0. e todas as pos- sibilidades de expoentes.11 × 31 = 4/3 exp = 2: 0.22 × 32 = (2 × 3− 1 + 2 × 3− 2 ) × 32 = 8 c) A quantidade de reais positivos exatamente representáveis: Temos que a quantidade de reais positivos exatamente representáveis é dada pelo produto entre todas as mantissas possíveis de dois dígitos. 0.10 × 31 = 1 exp = 1: 0.12 × 3−1 = 5/27 exp = − 1: 0. os 24 positivos exatamente representáveis estão listados a seguir: exp = − 1: 0. 0.20 × 3−1 = 2/9 exp = 0 : 0. te- mos que os representáveis de SPF pertencem ao conjunto: 冦 R = x. 1. x ∈ ⎡ . Erros em Processos Numéricos 7 b) O maior exatamente representável: 0. que no caso são –1.11 × 30 = 4/9 exp = 1: 0. 0. 0.22 × 30 = 8/9 exp = 1: 0.12 × 30 = 5/9 exp = 0 : 0.21 × 31 = 7/3 exp = 1: 0. 0.10 × 30 = 1/3 exp = 0 : 0.21. 8⎤ ∪ ⎡− 8. formadas com os dígitos da base 3.22. Por outro lado. Desta forma.20.10 × 32 = 3 exp = 2: 0.12 × 31 = 5/3 exp = 1: 0. isto é. − ⎤ ∪ {0} 1 ⎣⎢9 ⎦⎥ ⎢⎣ 1 9⎦⎥ 冧 .10.20 × 30 = 2/3 exp = 1: 0.12. sabemos que se um real x ∈ SPF então –x ∈SPF e.20 × 32 = 6 exp = − 1: 0.21 × 30 = 7/9 exp = 0 : 0.22 × 32 = 8 1 Observe que o menor real positivo representável é e o maior positivo 9 representável é o real 8.11.21 × 32 = 7 exp = 2: 0.20 × 31 = 2 exp = 2: 0.21 × 3−1 = 7/27 exp = − 1: 0. 0. 10 × 31.10 × 30 . 0. 0.12 × 31. isto é.22 × 30 1 são igualmente espaçados por h2 = . 0. 0. Assim. menor expoente igual a –1 e maior expoente 2.11 × 31.12 × 3− 1.11 × 30. De modo geral. 0. verifica- remos. 0. 0. de base 2. num primeiro momento. 0. os reais 0. 0. é possível observar que os representáveis definidos através do produto de cada uma das mantissas multiplicada pela base elevada ao mesmo expoente são igualmente espaçados na representação sobre a reta. 2.22 × 3− 1 1 são igualmente espaçados por h3 = .20 × 32 . 3 E os reais representados por 0. 0.20 × 3− 1.21 × 3− 1 . isto é. se a tentativa de representação satisfizer: Se marcarmos os reais exatamente representáveis na reta real. 3 dígitos na mantissa.12 × 30 . aparentemente.11 × 3− 1. 3.8 Cálculo Numérico Todos os reais que não pertencem à união dos intervalos anteriores não são representáveis e qualquer tentativa de representação fora dos intervalos an- teriores constitui-se em uma mensagem de erro. 9 Enquanto os reais 0.10 × 32 . 0. 0. 0.21 × 30 .22 × 32 são igualmente espaçados por h0 = 1. não existe uma uniformidade na sua distribuição.10 × 3− 1. 0. . 0.22 × 31 1 são espaçados por h1 = . 1. uma maior concentração de representáveis nas proximidades do zero e uma menor concentração à medida que nos afastamos da origem e que. 27 Os reais 0.11 × 32 . 3 3 Exemplo 1. 0. 0.21 × 32 . 0. Erro de Underflow. 2). 0.20 × 31.21 × 31. i = 0. se a tentativa de representação satisfizer: Erro de Overflow.12 × 32 . No entanto.20 × 30 . –1. 0. podemos representar o espaçamento entre os representá- veis exatamente da seguinte maneira: 1 hi = i .7 Considere o sistema de ponto flutuante SPF (2. Erros em Processos Numéricos 9 Para este sistema temos 16 reais positivos exatamente representáveis além do zero. no sistema de ponto flutuante normalizado. Observação Pode ocorrer de outras propriedades consagradas no conjunto dos números reais não serem verdadeiras.9 Dados x .10 )3 × 3− 1 e y = 5 = ( 0. de base 3. menor expoente igual a –1 e maior expoente 2. 2) pode ser visualizada através da Figura 1.2 Observe que o menor positivo exatamente representável é 1/4 e o maior é 7/2.1201)3 × 32 não é exatamente representável em SPF. 2).22)3 × 3 0 3 27 9 temos: x + (y + z) = 0.12)3 × × 32 = (0.2: Figura 1. temos que: 1 x= = ( 0. z ∈ℜ e o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3. y = = (0. A representação na reta real de alguns dos reais positivos do sistema SPF (2. Exemplo 1. e as propriedades comutativa e distributiva na multiplicação.(x + y ) = (0. 2).00010)3 × 32 + (0. y .12)3 × 31 . 2 dígitos na mantissa. uma vez que no sistema de ponto flutuante considerado a mantissa é de 2 dígitos.21)3 × 3−1 e z = = (0. como as propriedades comuta- tiva e associativa na adição.12)3 × 32 9 são exatamente representáveis. no sentido da exatidão da representação.21 × 31 .22 × 31 e (x + y) + z = 0.8 Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3. no entanto. –1. Exemplo 1. 3. –1. 2. temos: 5 7 8 Se x = = (0. Para este sistema. 2. –1. expmín.6 Erro absoluto Definimos erro absoluto como Eabs = aex − aaprox onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproxi- mado da mesma grandeza. 1. Assim. para que sua representação seja possível no SPF. c) O arredondamento por corte considera que. então o número nr é representado com k dígitos e.5324 × 103 e b = 0.2242 × 101.5448 × 103. . que é arredondado e armazenado como (a x b)a = 0. expmáx) = SPF (10. a) Se a = 0.22424688 × 101. b) Se a = 0. que é arredondado e armazenado como (a + b)a = 0.10 Consideremos um equipamento com o sistema de ponto flutuante normali- zado SPF (b.4212 × 10− 2. Exemplo 1. n. simplesmente trunca-se na posição k. o número nr é repre- sentado com os k dígitos iniciais. –5. 5). dizemos que um número na base decimal nr foi arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério: a) O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o de ordem (k + 1) for maior que a metade da base.1237 × 102. Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do real nr. então a × b = 0.5324 × 103 e b = 0.5 Erro de arredondamento Quando estamos utilizando um equipamento computacional para proces- sar uma determinada operação aritmética. Caso contrário. b) Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da base e o de ordem k é par. então o de ordem k é acrescido de uma unidade.10 Cálculo Numérico Podemos observar que: x +(y + z) ≠ (x + y) + z 1. se o número obtido não pertencer às regiões de Underflow ou de Overflow e este não é representável exata- mente no sistema de ponto flutuante SPF o mesmo será representado de forma aproximada por nra.54477 × 103. então a + b = 0. 4. para obter um número com k dígitos. se o dígito de ordem k é ímpar. 7 Erro relativo Definimos erro relativo como: E aex − aaprox Erel = = aex aex onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproxi- mado da mesma grandeza. Erros em Processos Numéricos 11 Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível.11 a) Consideremos o valor exato aex = 2345. é um limitante conhecido. Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível. a definição anterior fica sem sentido. 1.00030396 .713 e o valor aproximado aaprox = 2345. A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte maneira: –ε ≤ 冢aex – aaprox冣 ≤ ε ou ainda aaprox − ε ≤ aex ≤ aaprox + ε isto é. isto é. é necessário trabalharmos com um limi- tante superior para o erro.000 Então. Eabs = 0. escrevê-lo na forma: aex − aaprox ≤ ε onde ε é um limitante conhecido.713 Erel = 0. isto é. é preciso trabalharmos com um limi- tante superior para o erro relativo. Assim. Podemos observar que o erro relativo nos fornece mais informações sobre a qualidade do erro que estamos cometendo num determinado cálculo. Dessa forma. a definição anterior fica sem sentido. Exemplo 1. uma vez que no erro absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do valor calculado. aaprox é o valor aproximado da grandeza aex com erro absoluto não superior a ε. enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada. escrevê-lo na forma: ε δ≤ aaprox onde δ. dado o valor x0. No primeiro teste..000 Então. nos procedimentos numéricos geramos uma seqüência de soluções aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do problema.12 Cálculo Numérico b) Consideremos o valor exato aex = 1. Observação Em geral. x2. devemos calcular outro elemento da seqüência. considerar- mos apenas um número finito de termos. embora o erro cometido pela aproximação seja muito mais significativo no exemplo b).416229 Observe que nos exemplos a) e b) o erro absoluto é o mesmo. Eabs = 0. é da ordem de 41. o erro relativo é preferível. No exemplo a). Podemos de forma alternativa realizar o seguinte teste: xn + 1 − xn Se ≤ ε for verdadeiro. 1.713 Erel = 0. de forma absolu- ta. e no exemplo b). Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nestas seqüências de aproximações. com a > 0. 2⎝ xn ⎠ Assim. podemos utilizar o seguinte processo iterativo: 1⎛ a⎞ x n + 1 = ⎜ xn + ⎟ n = 0.03%.6%.713 e o valor aproximado aaprox = 1.. caso contrário. . 1. podemos. usamos Eabs e no segundo Erel. dizemos que estamos cometendo um erro de truncamento. concluímos que xn+1 é a raiz da equação xn + 1 com a tolerância ε e. Exemplo 1. . devido às observações nos exemplos anteriores. realizando o seguinte teste: Se xn + 1 − xn ≤ ε for verdadeiro. dizemos que xn+1 é a raiz da equação f(x) = 0 com tolerância ε. em caso contrário.8 Erro de truncamento Quando representamos uma função através de uma série infinita e. devemos proceder ao cálculo de outro termo da seqüência. se a seqüência de aproximações atingiu a precisão anterior ε. o erro relativo é da ordem de 0. através da expressão anterior. 2.12 Para resolver a equação f(x) = x2 − a = 0. por limi- tações do sistema de armazenamento de dados do equipamento. Dado que a propriedade de convergência da seqüência de aproxi- mações esteja estabelecida e uma tolerância pré-fixada ε foi definida para o cálculo de uma raiz da equação f(x) = 0.. gerar a seqüência de soluções aproximadas x1. Em geral. .. podemos verificar. isto é: x2 x3 xn ex = 1 + x + + + . isto é: x2 x3 ex ≅ 1 + x + + 2! 3! Neste caso. Erros em Processos Numéricos 13 Exemplo 1.. de forma compacta: ∞ xn ex = ∑ n=0 n! Suponha que o equipamento utilizado para trabalhar numericamente com a série seja capaz de armazenar somente dados referentes aos 4 primeiros termos. isto é.. + + . Destacando os quatro primeiros termos da série. 1! 2! n! onde f(n) (x) é o valor da n-ésima derivada da função f(x) no ponto x. como segue: (x − x ) ( x − x )2 f(x) ≅ f(x) + f(1) (x) + f(2) (x) 1! 2! b) Consideremos o desenvolvimento de f(x) = ex em Série de Taylor. isto é. a série truncada. nas vizinhanças do ponto x: (x − x ) ( x − x )2 ( x − x )n f(x) = f(x) + f(1) (x) + f(2) (x) + . temos e2 = 6. + f(n) (x) + .. temos um erro cometido nesta aproximação. Neste caso. que é um valor com erro absoluto bem significativo quando comparado com o valor e2 = 7... Quando truncamos a série no 3o termo.. podemos escrevê-la da seguinte maneira: ∞ ex = ( 1 3 6 x + 3 x2 + 6 x + 6) + xn n! ∑ n=4 Vamos supor que desejamos calcular o valor de ex para x = 2 usando apenas os quatro primeiros termos da série... 2! 3! n! ou. considerando apenas os termos até a derivada de ordem 2. isto é. .33333. na expressão anterior.38906 obtido numa calcu- ladora científica que armazena uma quantidade maior de termos da série. desprezamos todos os termos de potência maiores que 4. truncamos a série no termo de potência de ordem 3.13 a) Consideramos a representação de uma função f(x) utilizando a Série de Taylor. o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema que estamos tratando. Neste caso. mas sim. por outro lado. é fundamental termos o conhecimento da forma com que estes erros estão se propagando.4034 × 101 Calculando o erro absoluto. a seqüência de operações é considerada estável.169 × 10−2 . Se. dizemos que o erro é limitado e.3 Exemplo 1. Assim.5678 Para i = 1. portanto. temos: Eabs1 = 4. na maioria das vezes. dizemos que o erro é ilimitado.03569 − 4.9 Propagação dos erros Quando desenvolvemos ou utilizamos um processo numérico para buscar a so- lução de um determinado problema. na aritmética definida. calcule o valor da seguinte soma: 4 S= ∑ (x i=1 i + yi ). isto é.46709 e yi = 3. os erros estão se acumulando a uma taxa decres- cente. normalmente o processamento envolve um número muito grande de operações elementares. é necessário analisar como os erros se propagam quando tratamos com muitas operações no processamento.14 Cálculo Numérico 1. sendo xi = 0. caso estejam se acumulando a uma taxa crescente. e a seqüência de operações é considerada instável.14 Usando aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos.00169 = 0. realizamos inicialmente a operação que resulta no seguinte valor aproximado: S1 = (x1 + y1 ) = 0. através da Figura 1. base decimal e arredon- damento por corte. Podemos visualizar.3. as situações de erros ilimi- tado e limitado: a) b) Figura 1.034 = 0. 707 × 10−2 Para i = 4.07138 − 8. 2. realizamos a operação que resulta no seguinte valor aproximado: S2 = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) = 0. cujo erro absoluto é dado por: Eabs 2 = 8. 2 ⎜⎝ x n ⎟⎠ n Neste procedimento. conforme gráfico na Figura 1.12767 × 10−1 Como podemos observar. Se este procedimento convergir para a solução x da equação. obtemos o seguinte valor para a soma: S4 = 0. temos que a seqüência de operações se torna estável. na medida em que aumentamos o número de parcelas na operação de adição.1210 × 102 cujo erro absoluto é dado por: Eabs 3 = 12.3 b). 1.3 a).14276 − 16. que são repetidas até que se calcule o valor aproximado xn para solução da equação com uma precisão ε desejada.01276 = 0. se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de erro. com a > 0. considerando a aritmética definida anterior- mente. multiplicação e divisão.068 = 0. repetindo o mesmo procedimento. . conforme gráfico da Figura 1.10707 − 12.338 × 10−2 Observe que. Desta forma. Exemplo 1. .. podemos utilizar o seguinte processo iterativo: 1⎛ a ⎞ x n +1 = x + . Desta forma. Erros em Processos Numéricos 15 Para i = 2.00338 = 0. realizamos a operação que resulta no seguinte: S3 = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + (x3 + y3 ) = 0. ao realizarmos a mesma operação de adição por duas vezes.13 = 0.10 = 0. a cada iteração realizada este erro pode se propagar ao longo do pro- cesso. que apresenta o seguinte erro absoluto: Eabs 3 = 16..1613 × 10 2.15 Para resolver a equação f ( x ) = x 2 − a = 0 .8068 × 101. cometemos um erro absoluto significativamente maior. a seqüência de operações pode tornar-se instável. aumentamos também o erro absoluto cometido na soma final. apesar dos erros cometidos. para n = 0. em cada iteração estão envolvidas as operações de adição.00707 = 0. Para i = 3. –1.E. 3.111 × 2 0 × 0.110 × 2 − 1 .101 × 2 0 + 0. –1.6 d) 0.75)10 c) (437)8 6. 8. No sistema de ponto flutuante normalizado SPF (2. 7. 7. 4. Representar os seguintes números na forma normalizada a) (100)10 b) (0. 2) de base 2.9)16 na base decimal c) (32. 9. F.46875 2. 4. Represente o número decimal (0. Representar na base binária os seguintes números decimais: a) 13 b) 29. f) Defina as regiões de overflow e de underflow. –1. 2. 4 dígitos na mantissa.101 × 2 0 + 0.0158)10 c) (101)2 5. Para este sistema: a) Qual é o menor positivo exatamente representável? b) Qual é o maior positivo exatamente representável? c) Quantos são os exatamente representáveis positivos? d) Qual é o número total de reais exatamente representáveis? e) Represente na reta todos os positivos exatamente representáveis. E. 6. 3. Representar os seguintes números na base binária na forma normalizada a) (0. C. 2. menor expoente –1 e maior expoente 2. Considerando que a base 16 é representada através dos dígitos 0. em cada caso. o valor arredondado e o arredondado por corte (truncado) das seguintes operações: a) 0. A.111 × 21 c) 0. 1. Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF = SPF (2. B.2) na base binária com 4.16 Cálculo Numérico Exercícios 1. 3.110 × 2 − 1 b) 0.32)16 na base decimal 4. Represente na reta os positivos exatamente representáveis do sistema de ponto flutuante normalizado SPF(3. represente: a) (27D)16 na base decimal b) (27D. D. 8.1875)10 b) (25. 8.75 c) 17. 12 e 16 dígitos. 5. 2). represente. 2). Verifique se x + y é 9 exatamente representável em SPF. de base 2. Considere um equipamento cujo sistema de ponto flutuante normali- zado é SPF (2. menor expoente igual a –1 e maior expoen- te 2. temos que: 1 a) x = e y = 5 são exatamente representáveis. Para este sistema. 2 dígitos na mantissa. Erros em Processos Numéricos 17 9. 2). Verifique se x + y é 3 também exatamente representável em SPF. 10 dígitos na mantissa. 15). e) Qual o maior positivo exatamente representável? f) Quantos são os exatamente representáveis positivos? . depois do menor positivo representável? c) Transforme o menor positivo e o próximo para a base decimal. Comente. 10. Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3. 10. Para este sistema: a) Qual o menor positivo exatamente representável? b) Qual é o próximo positivo. d) Verifique se existem reais entre o menor e o próximo positivo. 2. de base 3. –1. –15. 4 b) x = e y = 1 são exatamente representáveis. menor ex- poente –15 e maior expoente 15. desen- São Carlos (1978). Graduada em Matemática pela Análise Numérica Universidade Estadual Júlio Mesquita Filho (Unesp) e mestre em Matemática Aplicada Richard L. na área de Modelagem Matemática e Méto- dos Numéricos e coordenador do curso de Aplicações Matemática. Foi também professor e coordenador do curso de Matemática Aplicada e Computa- cional do Centro Universitário Central Pau- lista – Unicep – São Carlos (SP). como professor aposentado. nas instituições de ensino superior.cengage. Pré-Cálculo principalmente no ensino de Cálculo Numé. Claro – SP (1971). pesquisador tacionais. passou a ser professor Livro-texto para as disciplinas de cálculo numérico nos cursos de gra- Aprendizagem com apoio de software convidado voluntário no mesmo Departa. Tem publicado trabalhos em congressos em ensino de Matemática. Desde 1972 é professor cos básicos de Cálculo Numérico. doutor em Engenharia Civil pela Universidade de São Paulo – USP. Aprendizagem com apoio de software ricos de resolução. mento de Matemática até a presente data. David Poole mática da Universidade Federal de São Car- los-UFSCar. duação das áreas de ciências exatas e tecnológicas. volvido pelos autores. Nathan Moreira dos Santos. Cálculo Numérico Sobre os autores Outras Obras Selma Helena de Vasconcelos Arenales Álgebra Linear Professora do Departamento de Mate. Rio Claro – SP. Ciências e Letras de Rio ções. 4ª edição revista e ampliada Licenciado em Matemática pela Facul- dade de Filosofia.) dos tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico. que serve de apoio ao ensino/aprendizagem de tópi- São Carlos (1996). Burden e Cálculo J. equações. A partir do ano de 2001. Exercícios são propostos no final de Doherty Andrade e Computação e Estatística – opção computa. interpolação polinomial. atuando em projetos de pesquisa e orientação de alunos nas áreas de Otimiza- ção e Análise Numérica. onde exerceu as funções de docente.br . mestre em Ciências da dos de exemplos resolvidos em detalhes. integração numérica e equações diferenciais ordinárias. Vetores e Matrizes: Uma Cálculo Artur Darezzo Filho Os métodos numéricos são desenvolvidos para resolução de sistemas introdução à álgebra linear – lineares e não-lineares. Para suas soluções de curso e aprendizado. visite www. acompanha. cada capítulo com diversos graus de dificuldade para fixação do conteúdo. O livro é acompanhado de um CD com o Software Numérico. Douglas Faires pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). ajuste de fun. Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudan- rico com ferramentas computacionais. de um semestre. Nelson Martins Garcia Numérico ção – pela Universidade de São Paulo – USP. simples e de fácil entendimento Valéria Zuma Medeiros (Coord. tes de ciências exatas um material didático.com. Atualmente exerce as funções de Diretor Acadêmico da Escola Superior de Tecnologia e Educação de Rio Claro. Possui experiência na área de Matemática. com enfoques na Numérico Artur Darezzo Cálculo – Volumes I e II – 5ª edição James Stewart Aprendizagem com apoio de software modelagem de problemas e métodos numé. no qual conceitos e resultados dados em vinculado ao Departamento de Matemática sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios compu- Artur Darezzo Selma Arenales da Universidade Federal de São Carlos. com ênfase em matemática Selma Arenales aplicada.