Cálculo NuméricoJoão Carlos dos Santos Gabriela Faria Barcelos Gibim © 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A. Presidente: Rodrigo Galindo Vice-Presidente Acadêmico de Graduação: Rui Fava Gerente Sênior de Editoração e Disponibilização de Material Didático: Emanuel Santana Gerente de Revisão: Cristiane Lisandra Danna Coordenação de Produção: André Augusto de Andrade Ramos Coordenação de Disponibilização: Daniel Roggeri Rosa Editoração e Diagramação: eGTB Editora Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Santos, João Carlos dos S237c Cálculo numérico / João Carlos dos Santos, Gabriela Faria Barcelos Gibim. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2015. 232 p. ISBN 978-85-8482-228-7 1. Cálculos numéricos. I. Gibim, Gabriela Faria Barcelos. II. Título. CDD 518 2015 Editora e Distribuidora Educacional S.A Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza CEP: 86041-100 — Londrina — PR e-mail:
[email protected] Homepage: http://www.kroton.com.br/ Sumário Unidade 1 | Erros 7 Seção 1.1 - Conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários 9 Seção 1.2 - Aritmética de ponto flutuante 23 Seção 1.3 - Análise de erros - Parte I 35 Seção 1.4 - Análise de erros - Parte II 47 Unidade 2 | Raízes 61 Seção 2.1 - Método da bissecção 63 Seção 2.2 - Método da falsa posição 79 Seção 2.3 - Método iterativo linear 91 Seção 2.4 - Método de Newton-Raphson 103 Unidade 3 | Interpolação 119 Seção 3.1 - Polinômio interpolador 121 Seção 3.2 - Forma de Lagrange para o polinômio interpolador 135 Seção 3.3 - Forma de Newton para o polinômio interpolador 147 Seção 3.4 - Estudo do erro na interpolação pelo método de Newton 159 Unidade 4 | Integração Numérica 173 Seção 4.1 - Fórmula de Newton-Cotes 175 Seção 4.2 - Regra dos Trapézios 189 Seção 4.3 - Regra de Simpson 201 Seção 4.4 - Estudo dos erros na integração numérica 213 mantenha uma rotina de estudos que possibilite dedicação aos processos de leitura. Newton e estudo de erro na interpolação • Integração: fórmulas de Newton-Cotes. O seu material é composto pelo livro didático. Participe ativamente das atividades. Além desse. A estrutura de seu livro didático contempla quatro(quatro) unidades de ensino. • Raízes: método da bisseção. interpolação e integração. explicação e interação que ocorrem no decorrer das aulas. você será apresentado aos principais tópicos de cálculo numérico. bem-vindo. que apresenta os principais temas que deverão ser estudados. São elas: • Erros: apresenta conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários. . ainda. tais como: os conceitos de erros. Isso tem extrema importância para que você obtenha sucesso tanto em construção e desenvolvimento de aprendizagem. Desde já desejo a você bons estudos. regra dos trapézios. você também pode contar com a orientação das atividades apresentadas nas webaulas e. raízes. Nesta unidade curricular. participação e realização das atividades propostas. Palavras do autor Olá. regra de Simpson. aluno. Prezado estudante. mediação. estudo dos erros na integração numérica. • Interpolação: interpolação polinomial. quanto em sua aplicação. os momentos de orientação. falsa posição. aritmética de ponto flutuante e análise de erros. interativo linear e Newton- Raphson. forma de Lagrange. . Desse modo. análise de erros nas operações aritméticas e análise de erros de ponto flutuante. Com base nesse estudo. nesta unidade de ensino. interpolação e integração. Então são usados recursos como o arredondamento e o truncamento. Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos objetivos do tema em questão (cálculo numérico). você irá conhecer o cálculo numérico. Os objetivos desse estudo são: proporcionar- lhe uma formação básica nas técnicas elementares de cálculo numérico e fornecer condições para que você possa conhecer. Aproveite a oportunidade e tenha bons estudos. utilizar e aplicar métodos numéricos na solução de problemas. no computador. a seguir é apresentada uma situação hipotética que visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática. Existem números que são representados por infinitos dígitos e. Contudo. Unidade 1 ERROS Convite ao Estudo Por que estudar cálculo numérico? O estudo do cálculo numérico é fundamental para resolver adequadamente problemas que exigem cálculos matemáticos e que são realizados no computador. . é preciso cuidado para que essas estratégias não produzam erros que comprometerão o resultado final dos cálculos efetuados. enfatizaremos o estudo de erros. aritmética de ponto flutuante. apresentaremos a conversão de números inteiros e fracionários decimais em binários. calcular. além de interpretar erros e conhecer as formas para calcular zeros de funções. não podem ser registrados pois a máquina é limitada. os técnicos do laboratório. capaz de armazenar 4 dígitos na mantissa (parte decimal de um número) utilizando arredondamento. U1 "Carlos é coordenador de Engenharia de uma empresa de médio porte em São Paulo. em cuja solução Carlos deve auxiliar. mecânicos. aparecem várias situações relacionadas ao cálculo numérico. Em seu dia a dia profissional. Então. Sua função é coordenar a equipe de técnicos (eletricistas. 8 Erros ." Imagine que você esteja no lugar de Carlos e que o laboratório de engenharia compra uma máquina de calcular. produção e civil) da empresa. em cuja solução Carlos deve auxiliar em algumas dúvidas relacionadas à nova máquina que chegou e na resolução de algumas situações ligadas a ela. pdf>. 2015. Acesso em: 9 jul. unesp. Assim. Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte: Uma máquina foi adquirida para executar o acionamento das lâmpadas do laboratório de engenharia. Lembre-se Você sabia que nem todas as propriedades básicas da aritmética valem quando executadas no computador? Na matemática.br/professor/luiza/CNC/apostila.sorocaba. os técnicos foram instruídos a acioná-las inserindo na máquina um Erros 9 . U1 Seção 1. pois a memória é finita.1 Conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários Diálogo aberto Para que converter números decimais em binários e vice-versa? Veja a importância de compreender os fundamentos do estudo de conversão de números binários que iniciará nesta seção. os números são representados por infinitos algarismos. Temos como exemplo e . posicionadas em acordo com a disposição binária. Dica Você pode encontrar mais sobre o estudo de conversão de números inteiros e fracionários para binários no link: <http://www2. Aproveite a oportunidade e faça bons estudos. já no computador isso não ocorre. U1 algarismo decimal, que será convertido por ela em um código binário, fazendo assim o correspondente acionamento. Os técnicos ainda tinham dúvidas sobre qual número deveriam inserir para acionar determinada lâmpada e solicitaram a ajuda de Carlos. Considerando a disposição fixa das lâmpadas, conforme figura abaixo, qual código decimal Carlos (você) terá que inserir para que apenas a lâmpada "4" acenda? Considere a lâmpada "0" representando o algarismo menos significativo do número binário, a lâmpada "1", o segundo menos significativo, e assim sucessivamente. Reflita O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? Você deve saber realizar a mudança de base de binário para decimal. Não pode faltar Se calcularmos a área de uma circunferência de raio 100 m, obteremos os resultados: I) A= 31400 m2 II) A= 31416 m2 III) A= 31415,92654 m2 Como podemos justificar os diferentes resultados? O erro ocorrido no problema acima depende de como a máquina utilizada representa os números, assim como da quantidade de algarismos utilizados. Lembre-se A área da circunferência é calculada por A= .r2. Assim, dependendo do valor utilizado para aproximar , podemos ter valores diferentes para a área. 10 Erros U1 O número foi representado de formas diferentes, percebemos assim que isso levou a resultados de áreas diferentes. Desse modo, o erro depende da aproximação escolhida para o número que possui uma representação infinita. Pelo fato de ser um número irracional, a área da circunferência não será exata quando calculada em uma máquina. Assimile Você sabia que um número pode ser representado de forma finita em uma base e de forma não finita em outras bases? Na Antiguidade, foram utilizadas outras bases, como a base 12 e a base 60. Já o computador opera com a base binária, que utiliza apenas 2 dígitos, ou com a hexadecimal, que utiliza 16 dígitos. Para que o computador execute as funções esperadas, é necessário que as instruções estejam organizadas de forma sistemática de acordo com a estrutura do sistema computacional. Isso significa que as instruções passadas ao computador o orientam a realizar algum tipo de operação sobre os valores que podem ser numéricos, alfabéticos ou lógicos. Reflita Como ocorre a análise dos dados informados pelo usuário no computador? O usuário envia os dados na base 10 para o computador que converte essas informações para o sistema binário, assim como suas operações. Depois, esses números são convertidos novamente para o sistema decimal e transmitidos aos usuários. Desse modo, toda linguagem de programação usada para escrever um programa computacional precisará ser convertida num outro programa equivalente à linguagem da máquina. Sistema de Numeração Um sistema de numeração é uma forma lógica adotada para representar simbolicamente quantidades numéricas. De forma geral, um número pode ser Erros 11 U1 escrito numa base qualquer “b” como exemplificado a seguir: an . bn + a(n-1).b(n- 1) +...+a1.b1+a0 . b0 Sendo: • a= algarismo • (n+1)= posição que o algarismo ocupa, n= 0,1,2,.....; • b=base do sistema de notação Utilizando essa representação, pode-se realizar a conversão de qualquer número para o sistema decimal. Sistema de numeração decimal Nesse sistema, usamos dez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sendo 9 o maior deles. Em um sistema numérico com base b, existem b dígitos, e o maior é b-1. Sistema de numeração binário Neste sistema, existem 2 dígitos apenas: o zero (0), que se convencionou como "desligado" e o um (1) que se convencionou como "ligado". Cada dígito representado nesse sistema é denominado bit (contração de Binary digiT). Conversão do sistema binário para decimal Ao escrever o número na base 2 (sistema binário), os dígitos representam os coeficientes de potências de 2. A representação do número (aj aj-1.......a2a1a0)2 na base 10, denotada por b0, é obtida através do processo: bj = aj bj-1= a j-1+ 2bj . . . . . . b1 = a1+ 2b2 b0 = a0 +2b1 Exemplificando Por exemplo, o número decimal 11 é escrito em representação binária como 1011, pois para (1011)2, a sequência obtida será: b3 = a3 = 1 12 Erros U1 b2 = a2 + 2b3 = 0 + 2 × 1 = 2 b1 = a1 + 2b2 = 1 + 2 × 2 = 5 b0 = a0 + 2b1 = 1 + 2 × 5 = 11 Esse exemplo mostra que 10112 é o mesmo que 1110. Exemplificando Agora observe como funciona o processo inverso, ou seja, como encontrar o equivalente binário de 1110. 11 : 2 = 5 resto = 1 5 : 2 = 2 resto = 1 2 : 2 = 1 resto = 0 1: 2 = 0 resto = 1 O número binário é composto pelos restos das divisões, sendo que o primeiro dígito binário é o último resto encontrado e o último dígito binário é o primeiro resto da divisão, conforme indica o sentido da seta maior à direita. Logo 1110 = 10112. Conversão de números binários fracionários em decimais A conversão de binário para decimal é realizada da seguinte forma: 1 1 0 , 1 1 0 0 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 1×4 1×2 0×1 1×0,5 1×0,25 0×0,125 0×0,0625 1×0,03125 4+ 2+ 0+ 0,5 + 0,25 + 0 + 0 + 0,03125 Logo: 110,110012 = 6,7812510 Devemos multiplicar cada algarismo do número na base 2, após o ponto, por potências decrescentes de 2, da esquerda para a direita, e somar as parcelas. Erros 13 0.25 × 2 = 0. esse número é subtraído do número decimal fracionário para que seja novamente multiplicado por 2. Já foi mostrado como encontrar o binário de um número decimal inteiro. 0. Conversão da parte fracionária do número decimal: 0.5 “0” à direita na parte fracionária do binário 14 Erros .78125 × 2 = 1. será necessário decompor o número na parte inteira e fracionária: 6 + 0. eles são colocados à direita da fração binária. considerando o resto como número binário.78125.25 “0” à direita na parte fracionária do binário Mantém o número.5625 × 2 = 1. 6 + 0. Quando for “1”.78125 Conversão da parte inteira do número decimal: 6 : 2 = 3 resto = 0 3 : 2 = 1 resto = 1 1 : 2 = 0 resto = 1 Logo 610 = 1102.7812510. Esse processo se repete até finalizar com zero. A parte fracionária do número decimal será transformada em binário pela multiplicação sucessiva por 2.110012 = 6.7812510. U1 Exemplificando Conversão de números decimais fracionários em binários Volte ao exemplo anterior e veja que 110. por meio de divisões sucessivas por 2. como encontrar o equivalente binário de 6. Para isso.125 × 2 = 0. ou seja. Quando o resultado dessa multiplicação fornecer na parte inteira do número “0” ou “1”.5625 “1” à direita na parte fracionária do binário Subtrai a unidade usada. Agora observe como funciona o processo inverso.125 “1” à direita na parte fracionária do binário 0. o número (3.8)10 = (11. deve-se multiplicar a parcela decimal por 2. Para passar o número 3.2 0.110012. 0.)2.6 × 2 = 1.010 + 0.4 0.0 “1” à direita na parte fracionária do binário Subtrai a unidade usada. Podemos ver essa situação no exemplo a seguir.2 × 2 = 0.50 × 2 = 1. Logo.8 × 2 = 1.. . U1 Mantém o número.00 0.8 0. Portanto.50 0. não é usado mais dígito algum.6 0. O número na base 2 será então obtido tomando-se a parte inteira do resultado de cada multiplicação.00 Logo: (0.8)10 não terá Erros 15 .00 × 2 = 0.8 da base 10 para a base 2 devemos transformar a parte inteira 310= 112..110012 6. sendo o número final a soma das parcelas inteiras e fracionárias. conforme indica a seta mais à direita. 0. 0.11)2. Exemplificando Assim. 0.5 × 2 = 1. deve-se usar o primeiro dígito como primeiro dígito fracionário binário.7812510 = 110. Logo: (3. 0.11001100 .7812510 = 1102 + 0.110012 Assim. Seguindo a ordem das multiplicações sucessivas. 6.7812510 = 0. .8 × 2 = . Continue multiplicando a parte decimal do resultado obtido por 2.0 Fim do processo. e a parte decimal.75 × 2 = 1. Nesse ponto.75)10 = (0.4 × 2 = 0. acrescidos por letras até completar os 16 algarismos necessários. O computador irá registrar uma aproximação porque opera no sistema binário. C. são usados: 0. acarretando assim erros nos cálculos realizados nesse sistema. Dígito de 256 (162) Dígito de 16 (161) Dígito de 1 (160) A07 = A × (162) + 0 × (161) + 7 × (160) = 10 × 256 + 0 × 16 + 7 × 1 = 2567 A0716 = 256710 Exemplificando Conversão de número decimal para hexadecimal. 5. 8. 2. Os algarismos que compõem esse sistema são todos os números da base decimal. A.8)10 serão realizadas por aproximação. Conversão de número hexadecimal para decimal Outro sistema numérico importante para o estudo computacional é o hexadecimal. D. 7. E = 14. Na próxima seção. 1. F = 15. F. D = 13. 256710 para base 16 2567 : 16 = 160 resto = 7 160 : 16 = 10 resto = 0 10 : 16 = 0 resto = 10 ou A Logo 256710 = A0716. E. base de 16 algarismos. 3. considerando que os correspondentes das letras em decimal são A = 10. B. estudaremos melhor o porquê de alguns resultados imprecisos nas operações. Logo. As operações com o número (3. B = 11. 6. 9. 4. Alguns números não terão representação finita no sistema binário. U1 representação binária finita. ou seja. C = 12. 16 Erros . Disponível em: <http://www.br/forum/ topic/984-app-conversor-de-base-numerica/>. U1 Pesquise mais Existem muitas calculadoras que fazem a conversão entre bases numéricas. a lâmpada "1". fazendo assim o correspondente acionamento.com. pois 1610= 100002. conforme figura a seguir. 2015. temos o número binário 10000. Assim. os técnicos foram instruídos a acioná-las inserindo na máquina um algarismo decimal. Erros 17 . e assim sucessivamente. Solução Carlos deverá inserir o número decimal 16. vamos resolver a primeira situação-problema apresentada a Carlos? Uma máquina foi adquirida para executar o acionamento das lâmpadas do laboratório de engenharia.androidz. o segundo menos significativo. Faça você mesmo Dado o número 110111 que está na base 10. escreva-o na base 2. Acesso em: 22 jun. as quais foram posicionadas em acordo com a disposição binária. para o sistema Android que realiza essa função. Considerando a disposição fixa das lâmpadas. Sendo a lâmpada 4 o algarismo mais significativo. Sem Medo de Errar Após o estudo de conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários. que será convertido pela máquina em um código binário. qual código decimal Carlos (você) terá que inserir para que apenas a lâmpada 4 acenda? Considere a lâmpada "0" representando o algarismo menos significativo do número binário. Neste link. há um app. Os técnicos ainda tinham dúvidas sobre qual número deveriam inserir para acionar determinada lâmpada e solicitaram a ajuda de Carlos. unesp. acarretando assim erros nos cálculos realizados nos sistemas binários. O computador irá registrar uma aproximação porque opera no sistema binário. Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas.pdf>. Atenção! Nem todos os números reais têm representação no sistema binário. Veja mais em: <http://www2. Acesso em: 13 jul. U1 Convertendo esse número para decimal: 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20 = 16. Carlos deverá inserir na máquina o decimal 16. sendo necessário arredondar ou truncar para o número mais próximo da máquina. Assim. 10 000= 24 × 1 + 23 × 0 + 22 × 0 + 21 × 0 + 20 × 0 = 16. Lembre-se Alguns números não terão representação finita no sistema binário. 16:2= 8 resto =0 8:2= 4 resto= 0 4:2=2 resto=0 2:2=1 resto=0 1:2=0 resto=1 Logo 1610= 100002. 2015.br/professor/ luiza/CNC/apostila. fazendo o processo inverso de decimal para binário. Avançando na Prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho. 18 Erros .sorocaba. o primeiro que mostra números em formato decimal. a) 1010010012. o binário mostrará: a) 11111010 b) 11111110 c) 11110101 d) 10101111 e) 10111110 Resposta correta: A. Assinale a alternativa que apresenta a conversão correta de decimal para binário do número 21510. Nesse contexto. Resolução da SP 31: 2 =15 resto = 1 15: 2 = 7 resto = 1 7: 2 = 3 resto = 1 3: 2 = 1 resto = 1 1:2 = 0 resto = 1 Faça valer a pena 1. relacionados Se o sistema decimal é utilizado pelos seres humanos. U1 Conversão de números 1. Objetivos de Fornecer condições para conhecer e realizar cálculos de aprendizagem conversão de números decimais em binários. o sistema binário constitui a base para a representação da informação nos computadores. o segundo em binário. Erros 19 . é só dividir o número 250 por 2 até encontrar 0 no quociente. havendo uma correspondência entre as representações. Para encontrar o número na forma binária. 250 : 2 = 125 resto = 0 125 : 2 = 62 resto = 1 62 : 2 = 31 resto = 0 5. Se 4. um equipamento dispõe de dois displays. Competência de Conhecer o cálculo numérico fundamentos de área 2. 3. Descrição da SP o display decimal mostra o número 250. Conteúdos Conversão de número decimal para binário. F. V. F. a) F. 1. V. 8. IV) O fato de um número ter representação decimal finita não implica uma representação binária também infinita. II) Sistema binário é um sistema numérico com base 2 que contém os algarismos 0. V. encontramos que: 0. b) V. 4. F. V. É o sistema utilizado pelos computadores. V. V. V) Ao converter o número decimal 0. e) F. podemos afirmar que: a) A maioria dos computadores trabalha na base β. F. V. b) Um mesmo número não pode ser representado em mais de uma base. F. e) 110101112. Sobre mudança de base. I) Sistema decimal é um sistema numérico com base 10 que contém os algarismos 0.U1 b) 100111002. 9. É o sistema menos utilizado. V. em que β é um número inteiro ≤ 2. d) V. de base 16. 2. V.7812510 = 0. V.7812510 em binário. 3. F. Isso porque também é de potência de 2 (assim como o octal que é de base 8). Avalie como verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmativas seguintes. c) Para converter um número decimal para um número binário. 7. Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta de valores lógicos V e F das afirmativas anteriores. c) V. F. c) 1110110012. V. ou seja. d) 10001012. 6. III) Um sistema numérico importante para o estudo computacional é o hexadecimal. 1. devemos aplicar um método para a parte inteira (divisões sucessivas) e um método 20 Erros . 5. V. F. 3. 2.110012. d) 0. b) 0.16. 5.1875 que está na base 10. Como justificar as diferenças entre os resultados? É possível obter exatamente essa área? 7. b) 31416 cm2. Dado o número 0.0011.110 que está na base 2. 6. b) 0. Erros 21 .1000. Foram apresentados os seguintes resultados para a área de uma circunferência de raio 100cm: a) 31400 cm2. 4. quando representado na base 10. c) 0. Faça a conversão dos seguintes números binários em decimais: 11000112. se houver (multiplicação sucessivas). 11011102. e) 0.075. d) 0. Dado o número 0.92654 cm2. a sua representação na base 10 é: a) 75. e) 16. c) 0. a sua representação na base 2 é: a) 0.0111. d) O número 1101 da base 2.75.0001. e) O número 13 que está na base 10 pode ser representado na base 2 como 1101. U1 para a parte fracionária.1101. c) 31415. é igual a 11. 1011012. U1 22 Erros . foi atribuído à má manipulação de erros de arredondamento. U1 Seção 1. motivo da utilização do truncamento ou arredondamento dos dados. mas concentramos nossos estudos nos números dos sistemas decimal e binário. Acesso em: 13 jul.br/bcc760/material_de_apoio/livros/livro_ port.pdf>.ufop. Esse incidente. em Dharan. como o fracasso do míssil Patriot. vimos que há um método padrão para gerar um número numa base “b” qualquer.2 Aritmética de ponto flutuante Diálogo aberto Na seção anterior. Iremos estudar sobre a representação dos números num sistema computacional e como esta é limitada pela capacidade da máquina. 2015. logo após a decolagem em sua viagem inaugural a partir da Guiana Francesa. que resultou em 28 mortes. Acesso em: 13 jul. Esse desastre acabou por ser a consequência de um estouro de memória (overflow). em 4 de junho de 1996.umn.edu/~arnold/ disasters>.ima. Dica Veja o livro de cálculo numérico em português disponibilizado em <http://www. Arábia Saudita. Os textos completos sobre os casos podem ser lidos em <http://www.decom. Lembre-se Alguns desastres que ocorreram são atribuídos a uma equivocada computação numérica. Erros 23 . Outro caso foi a explosão do foguete Ariane 5. Nesta seção. em 25 de fevereiro de 1991. 2015. você irá aprender sobre aritmética de ponto flutuante. U1 Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao Estudo? Uma das situações-problema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte: A nova máquina adquirida possui um sistema de representação de números definido por base decimal. quando há a 24 Erros . 4 dígitos na mantissa (parte decimal do número) e expoentes no intervalo [5. células e registradores de tamanho finito. É por problemas como esse que existem o overflow e o underflow. são limitados. Os computadores. quanto para obter o resultado de operações aritméticas. Não pode faltar Sistemas de números no computador A quantidade de números reais existentes é infinita. isto é. elementos finitos. por sua vez. O fato de os computadores só representarem números de tamanho finito acarreta um problema de precisão. suponha que um processador tenha capacidade para representar valores binários de 32 bits e que efetue uma multiplicação cujo resultado retorne um número que ocupe mais espaço que o disponível. Overflow: é o estouro da representação. Os técnicos precisam saber quais são o menor e o maior números. e entre qualquer faixa de números temos outros infinitos números – podemos representar números infinitamente pequenos. Para melhor compreensão. só podem representar números de tamanho finito. e podem ocorrer erros tanto para indicar números. representados nesta máquina. ou seja. Essa ocorrência é conhecida como estouro da representação ou overflow.-5]. em módulo. Como eles podem resolver esse problema? Reflita O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? Conhecer e aplicar conhecimentos sobre aritmética de ponto flutuante. Vocabulário Underflow: quando ocorre um resultado com valor abaixo do menor valor representável por uma específica quantidade de bits disponível numa dada máquina. Todo computador trabalha com uma base fixa b. Dado um número inteiro n ≠ 0.. Começaremos pela representação de um número inteiro...53×1015 ou por 5.0000005 é muito pequeno.. por 5E-7. U1 necessidade de armazenar uma quantidade maior de bits do que o espaço representável disponibilizado pelo sistema de computação. os valores reais são armazenados em notação científica. é representado por 5×10-7 e. em que os ni. Agora note que o número 5531222341112123 pode ser representado por 5.... e é escolhido como potência de 2. “Binary digit” em inglês) é a menor unidade de informação que pode ser armazenada ou transmitida e que pode assumir somente dois valores: 0 ou 1. Representação de um número inteiro Não há dificuldade em representar um número inteiro no computador. Erros 25 . sendo que E é o indicador de que há o expoente -7. Num sistema computacional.53E15 em ponto flutuante... Exemplificando Como o número 1885 é representado na base b=10 e armazenado? 1885= 5×100+ 8×101+ 8×102+ 1×103 E é armazenado como n-3n-2n-1n0. Vamos aprender agora como os números são representados num computador. como é conhecida em matemática. verdadeiro ou falso e assim por diante. -k são inteiros satisfazendo 0≤ ni < b e n-k ≠ 0. Em notação científica. ele possui a seguinte representação: n = ±(n-kn-k+1. que é aquela que permite escrever com menos algarismos números muito pequenos (com muitos zeros depois da vírgula) ou números muito grandes. Observe que essa notação permite que o número seja “representado” corretamente com uma quantidade menor de algarismos (dígitos)... . A notação científica.. em computação. Considere os exemplos a seguir.-1. mas possui muitos dígitos. i=0.n-1n0) = ±(n0b0+n-1b1+. O número 0. Bit: (simplificação para dígito binário. é chamada em computação de representação em ponto flutuante.+n-kbk).. onde b é um inteiro ≥ 2. 01 Assim é armazenado como x-3x-2x-1x0. U1 Representação de um número real Você sabia que a representação de um número real no computador pode ser feita de duas maneiras? I. Se d1≠ 0. . ele será representado em ponto fixo por: x=± xi b-i. diz-se que o sistema é normalizado (SPERANDIO. de vírgula flutuante. em que: b= a base em que o computador opera..16 é representado na base b=10 por: 2886. pode ser representado em ponto flutuante por: x =±(0. j=1. dado um número real.Uma delas é a representação em ponto fixo: esse sistema foi usado no passado em muitos computadores. x≠0. Um número real. Assim.. II..x1x2 A representação em ponto flutuante (poderia ser chamada. t= o número de dígitos na mantissa. usualmente. x≠0.dt) × bE. em que k e n são inteiros satisfazendo k<n e. E= o expoente no intervalo [m.. pois usamos a vírgula para separar a parte inteira da fracionária) é universalmente utilizada nos dias atuais. t. no Brasil.d1d2. 2003). portanto é mais utilizada nos dias de hoje. 0≤ dj ≤ (b-1).. 26 Erros . Exemplificando O número 2886. M].15 = x i b-i = 2 × 103 + 8 × 102+ 8 × 101 + 6 × 100 + 1 × 10-1 + 5 × 10-2 = 2 × 1000 + 8 × 100 + 8 × 10 + 6 × 1 + 1 × 0. SILVA.1 + 5 × 0.Representação em ponto flutuante Essa é a representação mais flexível. MENDES. k≤0 e n>0 e os xi são inteiros satisfazendo 0 ≤ xi <b. Exemplificando Segue a representação de alguns números na base b = 10.. Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética de ponto flutuante se o expoente E estiver fora dos limites .65 × 100 ii) -4.m e M.0004 =(4 × 10-1) × 10-3= 0..-2. O número máximo de dígitos t é determinado pelo comprimento da palavra do computador. em que d1 ≠ 0 e m ≤ E ≤ M Exemplificando Represente no sistema F(10. na base b. pois a máquina acusará erro de underflow. U1 Em qualquer computador.65 = (6 × 10-1 + 5 × 10-2) × 100 = 0.m. m.0145 = (1 × 10-1 + 4 × 10-2 + 5 × 10-3) × 10-1 = 0. usa-se a notação: F (b. se resultar E <.65 × 100 Erros 27 . apenas um subconjunto dos números reais é representado exatamente.6 = (4 × 10-1+ 3 × 10-2+ 2 × 10-3 + 1 × 10-4 + 6 × 10-5) × 104= 0.765 = . em um ponto flutuante na forma normalizada.43216 × 104 v) 0. e de overflow. Assim: 0. com t dígitos significativos e com limites dos expoentes m e M. Um “bit” é um dígito da mantissa quando a base é 2.dt × bE. a representação de um número real será realizada através de truncamento ou de arredondamento. Para representarmos um sistema de números em ponto flutuante normalizado. t. M) será representado por: ±0. M). m. Assim.145 × 10-1 iv) 4321. t. M). Nesse sistema.d1d2d3 × 10E.65 = 0.4765 × 101 iii) 0.2) os números do exemplo anterior. t.(4 × 10-1 + 7 × 10-2 + 6 × 10-3 + 5 × 10-4) × 101= -0.4 × 10-3 Representação de números no sistema F (b. em que -2 ≤ E ≤ 2.3. Um número em F (b. i) 0. se E > M.d1d2. o número será representado por: ±0. m. 6.77).-98.0.-98.100). 28 Erros .0000 × 104 e y= 0. Isso porque a representação do zero por uma mantissa nula e um expoente qualquer para a base b pode acarretar perda de dígitos significativos no resultado da adição deste zero a outro número. Burroughs B 6700.100). IBM 360/370.1 × bm é o menor número não nulo. 21x10-2. LOPES. Reflita Vejamos os sistemas de ponto flutuante de algumas máquinas antigas: HP 25. assim são perdidos dois dígitos do valor exato y. Considerando o número 4321.0004 =0.4765 x 101 0.12. sendo o expoente maior que 2. sendo o expoente menor que – 2. U1 -4.13.100). Assimile “O zero em ponto flutuante é. em geral. Comparando com sua calculadora ou seu microcomputador. Mas veremos esse assunto nas seções seguintes. F(10. Um computador que opera na base 10 com 4 dígitos na mantissa. F(8.p = 0.0145 = 0.145 x 10-1 Observe que os números 4321. essas máquinas podem ser ditas obsoletas no ponto de vista do sistema de ponto flutuante? Propriedades dos números do sistema de ponto flutuante i. Isso ocorre pela forma como é efetuada a adição do ponto flutuante.” (RUGGIERO. Texas SR 52. representado com o menor expoente possível na máquina. O número 0. representa uma situação em que o computador acusa a ocorrência de underflow.6 e 0.9.63).43216 × 104. p. para x= 0. F(10. 1996. em F.6 = 0.10. o resultado de x + y seria 0. F(10. o computador acusa ocorrência de overflow.-64.765 = .-98.0004 não podem ser representados no sistema. Texas SR 50 e HP 41C.4 x 10-3. em módulo. F(16. 38).2125 × 10-2.-51. Se x ∈ F. Exemplo: Considere a representação binária 0.1 e 2. 1] v. 8 negativos e o zero). iii.10 x 2E ou ±.0. 1.(b-1) × bM é o maior número do sistema de ponto flutuante F. d1≠ 0. U1 ii. os únicos números positivos representáveis nesse computador são: Mantissa: ½ × 2E e ¾ × 2E para e=-1.6 e 0.-1.2). 3/2 e 3. Erros 29 . Também os números correspondentes negativos e o número zero. ou seja.1.(b-1)(b-1).s = 0. sendo -1≤ E ≤ 2 Convertendo para decimal. então –x ∈ F.. Atenção! O conjunto dos números de ponto flutuante é discreto e não contínuo como os números reais. 2.11 x 2E.7.11= ¾ Com isso. com sistema normalizado.a cardinalidade (número de elementos) de F é: Número de elementos = 2 · (b-1)bt-1(Emax – Emin +1) + 1 iv. ±. Não temos mais o conceito que entre dois números sempre existe outro. ¾. 3/8. temos: 0. Quantos e quais os números são representados por esse computador? Cardinalidade (número de elementos): 2·(b-1)bt-1(Emax – Emin +1) + 1= 17 elementos (8 números positivos.a mantissa está contida no intervalo [0. Exemplificando Considere F(2.10 = ½ e 0. ½. 2. Os números que podem ser representados na reta numérica são: ¼.. 2015. Sem Medo de Errar Após o estudo do conteúdo de aritmética de ponto flutuante. vamos resolver a situação-problema apresentada a Carlos? A nova máquina adquirida possui um sistema de representação de números definido por base decimal. em módulo. 4 dígitos na mantissa (t=4).5 nesse sistema. Os técnicos precisam saber quais são o menor e o maior números.5 no sistema decimal.10 x 20.1011001100110 Se representarmos esses números no sistema de aritmética flutuante F (2. pode-se concluir que nem todos os números reais têm representação no sistema binário. e expoentes no intervalo [-5.6= 0. Vamos estudar mais sobre esse assunto na próxima seção.-1. representados nessa máquina.unesp. Acesso em: 13 jul.5].7= 0. Veja que esse número equivale ao número 0.br/professor/luiza/ CNC/apostila.2.pdf>.1 × bm logo: sendo b=10 e m= -5 teremos: 30 Erros .7= 0. ou seja. teremos: 0.sorocaba.6= 0. sendo necessário arredondar ou truncar para o número mais próximo da máquina. Dessa forma. Como eles podem resolver esse problema? Solução O menor número não nulo. o número 0. de F é dado por: p= 0. Faça você mesmo Represente o número 1997.7 serão considerados 0. em módulo.2). Pesquise mais Você pode encontrar mais sobre o estudo aritmético do ponto flutuante no link: <http://www2.100110011001 e 0. U1 0.16 em ponto fixo.6 e 0. temos: s = 0. possa conhecer e aprendizagem aplicar a aritmética de ponto flutuante em situações-problemas. um algarismo binário é denominado bit. Computadores modernos têm palavras de 64 bits ou mais. Erros 31 . Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho.. os microcomputadores padrão PC têm tamanho de palavra de 16 a 32 bits. U1 p=0. Um grupo de 8 bits corresponde a 1 byte.(b-1) × bM.. fundamentos de área 2.(10-1)(10-1)(10-1)(10-1) × 105 s= 0. Quanto maior é o tamanho da palavra do computador. Assim.9999 × 105 = 99990 Atenção! Nas máquinas digitais. percebemos que a representação dos números binários num computador é feita com um número finito de bits. Em geral.1000 × 10-5 = 10-6 Para representar o maior número do sistema flutuante F. Objetivos de Fornecer condições para que você. aluno. logo: s= 0. Competência de Conhecer sistema de ponto flutuante.(b-1)(b-1). Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas. Lembre-se O tamanho da palavra de computador depende de características internas à arquitetura dele. 1. mais veloz e mais preciso será o computador. A esse tamanho finito de bits é dado o nome de palavra de computador. 13.3 = 0. Lembre-se Você pode rever os conceitos de representação de números no sistema de ponto flutuante no livro de cálculo numérico em português disponibilizado em: <http://www. 77). -3.517 × 101 0.172 = −0. IBM 360/370. Não pode ser representado por essa máquina.ufop.35. 32 Erros . 0. −64. Acesso em: 13 jul. Descrição da SP e 2. x4 = 0. 3. para essa máquina t = 3.0003= 0. − 2 ≤ E ≤ 2. −51. Erro de overflow.123 × 10-1 5. 2015. U1 3.pdf>. F(10. Resolução da SP 5391.0123=0. F(16. como seriam representados nessa máquina os números reais x1 = 0.53913 × 104.172. Conteúdos relacionados Aritmética de ponto flutuante Considerando agora que estamos diante de uma máquina que utilize apenas três dígitos significativos e que tenha como limite inferior e superior para o expoente.decom. x2 = −5. m = −2 e M = 2. -2 4.0003. Marque a alternativa cujo número não pode ser representado nesse sistema por overflow. Dessa forma.0123. 13. Sendo assim. a) -279.br/bcc760/material_de_ apoio/livros/livro_port. 100). e x5 = 5391. −98. 3). F(8.5. 9. Considere o sistema F (10. x3 = 0.350 × 100 . Faça valer a pena 1. temos 0. respectivamente. 63) e B6700. então.3 em que estão todos na base β = 10 em notação de um sistema de aritmética de ponto flutuante? Temos.3 × 10-3. Erro de underflow. Atenção! Alguns exemplos de sistemas de ponto flutuante: HP25. 6.35 = 0. Não pode ser representado por essa máquina. 5.45.38.3.3. Considerando o sistema de ponto flutuante do enunciado. Quais números podemos representar nesse sistema? 5. quantos números são representados por esse computador? a) 33.25. b) 10. c) 0.15 podem ser representados na base 10? a) Todos. quais dos seguintes números 0. e) 19. d) 21. Encontre a cardinalidade. e) 41. 3 dígitos na mantissa (t=3).000056. d) 1234. Quais são o maior e o menor elementos positivos desse sistema? 4.2] (FRANCO. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por base 2.15 e 5. b) Apenas o 0. e expoentes no intervalo [-1. As questões de 2 a 5 referem-se ao seguinte enunciado.38.38 e 5.23456. c) 23. e) Apenas o número 0. 3. 2. ou seja. U1 b) 1. 2006). d) Os números 0.15. c) Os números 0. Erros 33 .3 e 0. br/spilling/CN/CN_Capt1.111111)10.0001110000101000111101011100001010 0011110. c) (0. c) Sempre que uma operação aritmética produz um número com expoente superior ao expoente máximo...100111)10.d1d2d3d4d5d6 × 10E? (Disponível em: <http://www1..109375)10. 2015). que seja capaz de armazenar números no formato m= ±0. e) (0.100000)10.11)10= (0. e não contínuo como os números reais.111193)10. b) O conjunto de números em um sistema de ponto flutuante é infinito como nos números reais. univap. Marque a alternativa correta. e) O uso do truncamento. razão pela qual o arredondamento é mais utilizado. b) (0. acarreta um tempo maior de execução. d) (0.. Acesso em: 13 jul... 34 Erros .pdf>. d) Overflow ocorre quando um resultado com valor menor que o menor valor representável por uma específica quantidade de bits está disponível numa máquina dada. Como o número (0. 7. ou seja. U1 6.. a) O conjunto de números em um sistema de ponto flutuante é discreto.)2 será armazenado em uma máquina que opera com apenas 6 dígitos na mantissa. a) (0. temos um underflow. embora apresente menores erros. U1 Seção 1.3 Análise de Erros - Parte I Diálogo aberto Na seção anterior, você aprendeu sobre aritmética de ponto flutuante e sobre a representação dos números num sistema computacional, sendo esta última limitada pela capacidade da máquina. Nesta seção, vamos estudar sobre análise de erros, pois a noção de erros está presente em todos os campos do cálculo numérico. Sabemos que os dados nem sempre são exatos e que as operações realizadas sobre esses valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Assim, os métodos numéricos, métodos esses aproximados, buscam minimizar esses erros, procurando resultados que se aproximem dos valores exatos. Nesta seção, analisaremos os erros que ocorrem durante as fases de modelagem e resolução e também sobre erros de arredondamento e erros de truncamento. Dica O livro-texto da disciplina apresenta um bom conteúdo sobre o assunto, sendo importante referência para o estudo e concretização do aprendizado. Avalie seu aprendizado e faça as atividades propostas. Reflita O cálculo numérico faz parte da análise numérica, no sentido amplo, que comumente está preocupada com a quantificação dos erros cometidos nas diversas etapas de aproximação, tais como arredondamento e truncamento, e também com questões mais refinadas no escopo dos processos de aproximação. Erros 35 U1 Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao Estudo? Uma das situações-problema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte: Os técnicos do laboratório de engenharia precisavam representar o número 73,758 e descobrir o resultado das somas S1 = 42450 + e S2= + 42450 na máquina nova adquirida. Então pediram ajuda a Carlos para realizar essa tarefa. Os técnicos sabiam que a máquina nova possuía um sistema de representação de números definidos por base decimal, 4 algarismos na mantissa e expoentes com intervalos de [-5,5]. Como Carlos (você) pode ajudar os técnicos a solucionarem o problema? Reflita O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? Conhecer e aplicar conhecimentos de análise de erros, em particular erros absolutos, relativos, arredondamento e truncamento. Não pode faltar Erros na fase de modelagem Por que não temos uma descrição correta ao tentar representar um fenômeno físico por um método matemático? Isso ocorre porque são necessárias várias simplificações do mundo físico para encontrar um modelo. Exemplificando Suponha estar diante do seguinte problema: você está em cima de um edifício cuja altura não tem conhecimento, mas precisa determiná- la. Tudo que tem em mãos é uma bola de metal e um cronômetro. O que fazer? A bolinha foi solta do topo do edifício e marcou-se no cronômetro que ela levou 2 segundos para atingir o solo. Com isso, podemos concluir a partir da equação s= s0 +v0t+ que a altura do edifício é de 19,6 metros. Essa resposta é confiável? Onde estão os erros? 36 Erros U1 Erros de modelagem: − resistência do ar, − velocidade do vento, − forma do objeto, etc. Esses erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático. Erros de resolução: − precisão dos dados de entrada (ex.: precisão na leitura do cronômetro. p/ t = 2,3 segundos, h = 25,92 metros, gravidade); − forma como os dados são armazenados; − operações numéricas efetuadas; − erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita). Há fatores que não estão sendo considerados, como a resistência do ar, as velocidades do vento, etc. Se o tempo fosse 2,5 e a distância 54,015, teríamos uma variação no cronômetro e consequentemente na altura. Erros devido ao Armazenamento - Erros de Arredondamento e Truncamento Assimile Os erros de arredondamento podem surgir de duas fontes distintas: no processo de conversão de base e na representação finita de dígitos que as máquinas utilizam (SPERANDIO; MENDES; SILVA, 2003, p. 7). Reflita Vimos, na seção anterior, que o número decimal 0,6 é representado em binário por 0,10011001... e isso mostra que o valor em decimal é armazenado de forma aproximada, ou seja, não tem representação exata na base binária. Dessa forma, pode-se concluir que nem todos os números reais têm representação no sistema binário, sendo necessário arredondar ou truncar para o número mais próximo da máquina. Erro de arredondamento: para fazer o registro de um valor aproximado, utilizamos a seguinte regra: 1) Somamos meia unidade a última casa decimal a conservar. 2) Desprezamos as demais casas. Erros 37 U1 Segundo Franco (2006, p. 43), arredondar um número x por outro, com um número menor de dígitos significativos, consiste em encontrar um número x’, pertencente ao sistema de numeração, tal que |x’- x| seja o menor possível. Reflita A melhor aproximação para x1 = 2,142857 seria 2,142 ou 2,143? Efetuamos os cálculos |2,142 – x1| = 0,000857 e |2,143 – x1| = 0,000143. Logo, 2,143 representa a melhor aproximação para x1 = 2,142857 usando 4 dígitos significativos. Erros de truncamento: são utilizados em processos muitos grandes para o cálculo de um valor, razão pela qual são truncados. Esses processos infinitos são utilizados, por exemplo, em exponencial, logaritmos, funções trigonométricas. No truncamento, os dígitos que excedem o limite da mantissa são desprezados. Por exemplo, seja x = 234,57 representado com t = 4, logo x = 0,2345 x 103, sendo que 0,07 foi desprezado no truncamento. Segundo Ruggiero e Lopes (1996, p. 15), o uso de arredondamento, embora apresente menores erros, acarreta um tempo maior de execução, razão pela qual o truncamento é mais utilizado. Exemplificando Dar a representação dos números a seguir num sistema de aritmética de ponto flutuante de três dígitos para β = 10, m = -4 e M = 4. Representação obtida por Representação obtida por X arredondamento truncamento 1.25 0,125 x 10 0,125 x 10 10.053 0,101 x 102 0,100 x 102 -238.15 -0,238 x 103 -0,238 x 103 2.71828... 0,272 x 10 0,271 x 10 0.000007 (expoente menor que -4) = 718235.82 (expoente maior que 4) = Fonte: Ruggiero e Lopes (1996, p. 15). 38 Erros 05 e (3.3/5. 46). + .18/5.4)/5.4 + 3.18 + 5. 19) indicam que a análise completa da propagação de erros se faz considerando o erro nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operação efetuada.4 + 3. Exemplificando Considerar base 10 e 3 dígitos significativos para efetuar as operações indicadas.4) e 3.18) + 5. p.4)/5. fazendo o arredondamento após cada uma das operações efetuadas.05) = 11.630.05) ii) (3.18 · (5.4 + 8. Exemplo: Cálculo da função ln(x+1)? ln (x+1)= x. Ruggiero e Lopes (1996.4 = 0.11. i) (11.19 e no outro cálculo: (3. + . Fazendo o truncamento.18 .+ (-1) n .4 + (3.7 ao passo que no outro cálculo: 11.05 = 19. já que é preciso compreender como o erro em uma operação se propaga em operações subsequentes.18 ..6 + 5.05 e 11.05 = 7. segue que: i) (11. U1 Erros relacionados às aproximações dos cálculos (números de iterações) Erros relacionados à aproximação de cálculos (números de iterações) são erros causados quando utilizamos num processo algorítmico infinito apenas uma parte finita do processo.23 = 19.18 · 11.05) · 11. 11.4 = 7.18 · 5. temos ln (x+1)= x. p.18.4 iii) 3.05 = 36. ii) (3.18/5.18) + 5.6.18 + 5..4 + (3. Erros nas operações aritméticas Um dos aspectos importantes do cálculo numérico é manter o “controle” dos erros de arredondamento e truncamento.05 + 11. +. +. 11.05 = 14. Erros 39 ..4 Para cada item.. Observe os exemplos apresentados por Franco (2006.05 + 3. A solução é interromper os cálculos quando uma determinada precisão é atingida.05) · 11. o que fazemos é escolher um limitante superior ou fazer uma estimativa para o módulo do erro absoluto. | Apenas é conhecido.14.4 = 16.1.5 = 52.18 . Assim.18 . p.15). 1242) 3) Se = 1.3 ao passo que no outro cálculo: 3. 2) Se considerarmos o número = 1241.4) = 3.1 + 36.U1 iii) 3.3 = 52. devemos ser capazes de conseguir desenvolver um algoritmo tal que os efeitos da aritmética discreta do computador permaneçam inofensivos quando um grande número de operações são executadas. tomaremos para π um valor dentro desse intervalo e teremos.4). mesmo não conhecendo o erro. podemos obter resultados diferentes mesmo utilizando métodos numéricos matematicamente equivalentes.05 + 11. . temos x ϵ (1241. então.2. Isso permitirá que. Isso se deve ao fato de que existem limitações da máquina e também que os erros de arredondamento são introduzidos a cada operação efetuada. 3. EAx= | x . Exemplificando 1) Sabendo-se que π ∊ (3.05 + 3.1 podemos dizer que y ϵ (1. Erros absoluto e relativo Erro absoluto: diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado obtido a partir de um procedimento numérico. saibamos que ele está entre dois valores conhecidos. 47) faz uma importante observação a respeito dos erros ocorridos: [.. 40 Erros .4.3 de forma que < 0. Em consequência. Franco (2006.9 de forma que < 0..18 · 16. 5. 11.] erros consideráveis podem ocorrer durante a execução de um algoritmo.8.18 · (5. 1. O erro relativo. Para isso. o erro absoluto será: ∆α = | α − α’ | = 0. basta multiplicar o erro relativo por 100: erro percentual = erro relativo × 100.373 Obviamente. Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor aproximado.373 Disponível em: <http://www. Por isso.373/ 3876 ≅ 0. entretanto.373.373. Frequentemente.br/aurora/disciplinas/numerico/ apostila. vamos perceber que um resultado é mais preciso que o outro. pois depende da ordem de grandeza dos números trabalhados. EAR= = Exemplificando Se α = 3876.ufpr.373 e só desejamos a parte inteira α’. Erros 41 .373/ 1 = 0.000096 δβ = 0. Podemos afirmar que os valores de x e y foram representados com a mesma precisão? O erro absoluto. não é suficiente para descrever a precisão de um cálculo. teremos: ∆β = | β − β’ | = 0.inf. 2015. Acesso em: 13 jul. chamado taxa de erro. o efeito de aproximação de β é muito maior do que em α. é importante compararmos a ordem de grandeza dos números x e y. pode traduzir perfeitamente esse fato. o erro relativo é expresso também como erro percentual. mas o erro absoluto é o mesmo nos dois casos. Se fizermos o mesmo com o número β = 1. isso porque a ordem de grandeza de x é maior que a ordem de grandeza de y. portanto. Assim. o conceito de erro relativo é mais utilizado. Assim.pdf>. pois: δα = 0. U1 Os limitantes superiores para os erros absolutos nos exemplos do número 1 e 2 são os mesmos. 2015. Efetue as operações indicadas: (1.386 – (0.5).758 e descobrir o resultado das somas S1 = 42450 + e S2= + 42450 na máquina nova adquirida. Faça Você Mesmo Considere o sistema F(10.pdf>.7375×102 (truncamento) e 0.3.6485).unesp. 4 algarismos na mantissa e expoentes com intervalos de [-5. Assim temos: 42 Erros . Como Carlos (você) pode ajudar os técnicos a solucionarem o problema? Solução 1) 0.5. Sem medo de errar Após o estudo de conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários. contudo as operações devem ser realizadas na ordem em que aparecem as parcelas.987) + 7.6485 e 1.386-0.7376×102 (arredondamento) 2) O resultado deveria ser o mesmo.987 -7. vamos resolver a primeira situação-problema apresentada a Carlos? Os técnicos do laboratório de engenharia precisavam representar o número 73. Acesso em: 13 jul.U1 Erro percentual= ⋅ 100 Pesquise mais Você pode encontrar mais sobre o estudo de análise de erro em <http://www2. Os técnicos sabiam que a máquina nova possuía um sistema de representação de números definidos por base decimal. o que conduzirá a resultados distintos. Então pediram ajuda a Carlos para realizar essa tarefa.sorocaba.5].br/professor/luiza/CNC/apostila. 00003×105 = 0.4245×105 + 0. Erros 43 .0003×105 S2=0.9000×101 + 0.1200×102 = 0.42453×105 .1500×102 até terminar o último 3 que resultará no número 0.4245×105 S2 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 42450 = 0. Depois é feita a soma com o número 42450.3000×102 → 0.00003×105 = 0.6000×101 + 0. mas o que pode ser feito é minimizar os efeitos da propagação desses erros.0003×105 + 0.3000×101 =1.até terminar a última soma individual: S1 = 0.4245×105 + 0.00003×105 = 0. U1 S1= 42450 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 0.3000×101 =0.4248×105 Atenção! Eliminar os erros na resolução de problemas por meio de métodos numéricos é praticamente impossível. e no final teremos: 0.3000×101 + 0.2000×101 = 0.4245×105 + 0.42453×105 → 0..9000×101 = 0.3000×101 = 0.6000×101 = 0..1200×102 + 0.3000×102.4245×105 = 0.03000×102 = 0.42453×105 (idem) Em seguida teremos: 0.4245×105 (representado na mantissa com 4 dígitos) Depois teremos: 0. Conteúdos Análise de erros.U1 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho. Objetivos de Conhecer e aplicar análise de erros em situações-problemas aprendizagem 3. 44 Erros .decom. O erro de arredondamento é o erro causado pela representação de um número real em um sistema de ponto flutuante. Descrição da SP mantissa e expoentes no intervalo [-5. expansão truncada de uma série.pdf>. 2015.br/bcc760/material_de_ apoio/livros/livro_port.00003= 0. a = 0. vamos deixar os números com a mesma base considerando t=4. Fundamentos de Conhecer análise de erros.5]. Atenção! Você pode rever os conceitos de representação de números no sistema de ponto flutuante no livro de cálculo numérico em português disponibilizado em <http://www. Representação de um número 1.42453×105 Mas o resultado será armazenado com 4 algarismos na mantissa. portanto a + b= 0. Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas.4245×105. 4 algarismos na 4. relacionados Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por base decimal.ufop. competências de área 2.00003×105 5. Acesso em: 30 jun.4245×105 e b = 0. Lembre-se O erro de truncamento é o erro que ocorre em razão do método numérico aplicado (por exemplo. Calcule o valor de a + b. Resolução da SP a + b= 0. Primeiro. em que a= 42450 e b=3. linearização de uma função).4245×105 + 0. 4.5). e) Todas as alternativas estão corretas.5. Imagine uma máquina cuja representação de números é definida por F(10. = 100. b) O erro relativo encontrado é 0.7376 . U1 Faça valer a pena O seguinte enunciado associa-se às questões 1.234 e o resultado esperado era de 0. c) O erro absoluto é 0. o erro absoluto nesse caso é 1. 2.102 é a representação do número 73. o erro absoluto é 0. Qual a alternativa correta ao considerar o truncamento? a) O número = 0.0002. d) O erro absoluto e relativo são iguais. c) Se o resultado de uma operação é 0.33333333. podemos afirmar que a aproximação de y é pior que a de x.0006 e = 0. 1. b) Como EAy é muito menor que EAx. b) Se o resultado de uma operação é 2123542 e o valor esperado era 2123544. 3.1. Marque a alternativa correta. portanto podemos considerar o resultado preciso. porém o resultado é impreciso. a) Erro absoluto= valor real – valor aproximado. 2 e 3.106.0004 e marque a alternativa correta. A diferença é bem pequena. a) EAx= 0. c) ERx ≠ 0. d) Erro relativo= erro absoluto/valor real.8.1 e EAy= 0. Considere os dados x=100.007. e) A representação do número 73.-5.128. y=0.758.7375 x102.002%.58 por arredondamento correta é = 0. Considere um sistema de ponto flutuante com b = 10 e n = 3 e uma representação por arredondamento. Erros 45 . 5.9 · (4.1.00776.97.02).99 + 0.U1 d) ERy = 0.123 / 7. podemos afirmar que: a) A operação da adição é associativa.99 + 0. Sobre as operações no sistema de ponto flutuante. e) Pelo fato de o arredondamento ser feito após cada operação. ex = 1+ x+ + + 7. c) Os erros introduzidos a cada operação pouco influem na solução obtida pelo método numérico aplicado.9) / 7. empregando a série truncada de 4ª ordem. o valor exato de P(x) para x= 5. b) A operação da adição é distributiva. b) 0.99) – 0.97) · 84. Verifique se: a) 15.02) ≠ (15.9 · 0. Considere um sistema de ponto flutuante com b = 10 e n = 3 e uma representação por arredondamento.010. 4.00.123 · 84. e) 0.02).0776.999999. Calcule o valor numérico de e (número de Euler). c) (4210 – 4.99) + (15.005. d) 0. b) (0. e) ERx > ERy. 6.9 · 4. Se P(x)= x3 -6x2+ 4x – 0. 46 Erros . d) Os métodos numéricos matematicamente equivalentes podem fornecer resultados diferentes. c) -0.24 será: a) -0.02 ≠ 4210.9 ≠ (0. essas são associativas e distributivas.(4. Mesmo com o avanço na tecnologia de construção de computadores e máquinas digitais.4 Análise de Erros . recomenda-se realizar uma busca na internet por falhas e acidentes causados por erros numéricos. são usados o truncamento ou o arredondamento dos dados. erros nas operações aritméticas. Tendo em vista os resultados obtidos. por isso. Vamos relembrar a situação hipotética apresentada no Convite ao Estudo? Uma das situações-problema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte: Os técnicos da engenharia foram solicitados a calcular o perímetro e a área do laboratório da empresa. é possível verificar que os resultados finais podem sempre ser influenciados por erros como os de arredondamento e restrições do armazenamento de números. formado por um retângulo com sua cota x = 17534mm e a cota y =21178mm. Dica Como leitura adicional. Você aprendeu que a representação dos números num sistema computacional é limitada pela capacidade da máquina e que. U1 Seção 1. portanto. mas agora trabalharemos com a propagação de erros e cancelamento. os profissionais foram Erros 47 . importante manter o controle desses erros. erros absolutos e relativos. Outro aspecto importante estudado é que os erros de arredondamento intermediários podem comprometer o resultado final de um algoritmo.3 e 1. O objetivo das seções 1. Nesta seção vamos continuar nossos estudos sobre análise de erros. você aprendeu sobre análise de erros: erros de arredondamento e truncamento.4 é o de apresentar alguns aspectos sobre erros numéricos. Sugestão de pesquisa: disasters caused by numerical errors.Parte II Diálogo aberto Na seção anterior. sendo. Temos: Normalizando o resultado. além dos erros causados pelas operações aritméticas.U1 questionados sobre qual resultado apresentava o maior erro relativo. 48 Erros . existem certos efeitos numéricos que contribuem para que o resultado obtido não tenha crédito. os quatro zeros no final do número não têm significado e. em particular.10. O erro de cancelamento pode ser contornado utilizando manipulações algébricas de forma a evitar a subtração desses números. Não sabendo como proceder.10). Não pode faltar Segundo Franco (2006). E agora. Exemplificando Veja o exemplo da subtração dos números em um sistema F(10. Vamos estudar alguns deles: cancelamento e propagação do erro. propagação de erros absolutos e relativos e cancelamento. temos que: Reflita Na prática. pediram ajuda a Carlos. das fontes de erros citados na seção anterior.-10. perdem-se quatro dígitos de precisão na mantissa. como Carlos (você) pode resolver esse problema? Reflita O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? Conhecer e aplicar conhecimentos de análise de erros. Cancelamento O efeito da perda de dígitos significativos na subtração de números muito próximos é chamado cancelamento. 10.10). basta lembrarmos que o produto das raízes é igual ao termo independente do polinômio.1633998776 .10. Utilizando a fórmula de Bhaskara. Seja uma aproximação para x. x = = Para evitar o erro de cancelamento no cálculo da diferença. 1223991125. x= EAx + e y= EAy + Lembre-se EAx= erro absoluto de x ERx= erro relativo de x Erros 49 . considere o sistema F(10. temos: Para a equação. a diferença torna-se: que tem todos os dígitos da mantissa preenchidos. A segunda raiz será calculada por x2 = x1=0.103 e x2 = 0. x1 ∗ x2 = 2. ou seja. ou seja. iremos definir fórmulas para o cálculo dos erros absolutos e relativos nas operações com erro nas parcelas. Neste caso. A seguir.10-2 Propagação de erros O erro total que ocorre em uma operação é constituído pelo erro das parcelas mais o erro no resultado. e uma aproximação para y. Exemplificando Para resolver a equação . U1 Podemos reescrever a diferença desta forma: . U1 Assim. teremos + . temos EA (x-y)= • Multiplicação: xy xy= ( + EAx) ( +EAy) = + EAy + EAx + (EAx) (EAy) Considerando que (EAx) (EAy) é um número pequeno. logo teremos: EA (xy)= • Divisão: x/y Representando o fator sob a forma de uma série infinita. temos: • Soma: x+ y x+y= ( + EAx) + ( +EAy)= ( + ) + (EAx + EAy) Então. e desprezando os termos com potências maiores que 1.. denotado por EA (x+y) é a soma dos erros absolutos das parcelas: EA (x+y)= • Subtração: x-y Analogamente. o erro absoluto na soma.. podemos desprezar esse termo. teremos 50 Erros . sendo adicionado ao erro em razão do tipo de armazenamento numérico ( ).ERy O erro relativo das operações é obtido a partir da combinação dos erros relativos de cada operação.ERy • Multiplicação ERxy= = ERx + ERy • Divisão ERx/y= = ERx. U1 Então: Desse modo: EA (x/y)= Propagação de erros relativos • Soma ERx+y= = ERx + ERy • Subtração ERx-y= = ERx . Assim teremos: Soma e subtração Erros 51 . associado ao erro devido ao fato de o computador trabalhar com números truncados ou arredondados. é dado por: = 10-t+1 (no caso de truncamento) = ½ 10-t+1 (no caso de arredondamento) Em que t= número de dígitos da mantissa.2353x103. então < . y e z=x – y. =0.2357 x103 e = 0. então = . então temos: ERz= se x e y forem números positivos arredondados. Exemplificando Dados x. Qual o erro relativo em z? Solução: 52 Erros .10-t+1 e < . Se =0.10-t+1.0004x103. U1 ERx±y= Multiplicação ERxy= Divisão ERx/y= Atenção! O fator . U1 O erro relativo em z é limitado por: < em que t=4 < 0. vamos resolver a primeira situação-problema apresentada a Carlos? Os técnicos da engenharia foram solicitados a calcular o perímetro e a área do laboratório da empresa.(35068) e 2.ufrgs. se =0. Acesso em: 13 jul.br/~esequia.5888≈ 59% Pesquise mais Você pode encontrar mais sobre o estudo de análise de erro no link <https://chasqueweb. Tendo em vista os resultados obtidos. EA2x = = |35068-35070|= 2 EA2y= = |42356-42360|= 4 ER2x= = 2/35070 = 5.pdf>.(42356). pediram ajuda a Carlos. Sem Medo de Errar Após o estudo de conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários.443. Não sabendo como proceder. 2015. Como Carlos (você) pode resolver esse problema? Solução: Cálculo dos erros absoluto e relativo das variáveis 2. Faça você mesmo Considerando o exemplo citado acima.sauter/numerico/Notas.4537.10-5 Erros 53 . os profissionais foram questionados sobre qual resultado apresenta o maior erro relativo. formado por um retângulo com sua cota x = 17534 mm e a cota y =21178 mm.10-5 ER2y= = 4/42360 = 9. encontre o erro relativo de w. sendo que w=zt.703.103. 443.1660-5 + 5.U1 Cálculo do erro relativo das operações (2x+ 2y) (perímetro do retângulo) e x. Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas.10-5 + (42360/ 77430) 9. a operação x.10-4 Logo.y apresentará o maior erro relativo final.10-t+1 (arredondamento) = (35070/ 77430) 5. Perímetro (2.10-4 Área (x.442.y (área do retângulo).10-5 + ½ .10-4 + 9. 10-t+1 (arredondamento) = 2. Erro Relativo 1.703. onde δ = ½. 3.5830.281-4 e t=4.7749. ou seja.10-4+1 =2.10-4 = 5.y): ER2x= + .281.10-4 = 8. Conteúdos relacionados Análise de erros. Como podemos calcular o erro relativo na operação x4 4. Competência de Interpretar os erros numéricos.y): ERxy = ERx + ERy + δ. em que = ½ . fundamentos de área 2.10-5 + 5.2242.x+ 2. 4 algarismos na mantissa? 54 Erros . Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho. Descrição da SP considerando ERx= 2. Objetivos de Conhecer e aplicar os erros numéricos em situações- aprendizagem problemas.10-5 + 5. se < x. U1 ERxx= ERx = ERx+ ERx+ δ.02 o sistema permanece quase igual. obtemos y=2. onde δ= ½ 10-t+1 2 ERxx = ERx = ERx + ERx + δ= 3 ERx + 2 δ 2 3 2 5. Lembre-se Dizemos que é um número aproximado por falta do valor exato x.01 a) A solução desse sistema pode ser facilmente obtida por substituição. podemos afirmar que: x+y=2 x + 1.01y = 2. Se > x.281-4 + 3 · 5-4= 2. ERx =4·2. d) Alterando os dados para: x+y=2 x + 1. Dado o sistema abaixo.4124-3 4 Atenção! Você pode rever os conceitos de representação de números no sistema de ponto flutuante no livro de cálculo numérico em português disponibilizado em <http://www. Resolução da SP ERxx = ERx = ERx + ERx + δ= 4 ERx + 3 δ 3 4 3 Logo. temos uma aproximação por excesso.ufop. Erros 55 . obtemos: x = 0.01y = 2.decom.pdf>. c) Ao resolver o sistema.br/bcc760/material_de_ apoio/livros/livro_port. Faça valer a pena 1. mas a solução agora é obtida por x=1 e y=2. b) Ao resolver o sistema. -6. b) Os resultados finais podem sempre ser influenciados por erros como os de arredondamento. mas não pelas restrições do armazenamento de números. y = 21178 e z = 75904. b) 0. 4. e) 0. O efeito da perda de dígitos significativos na subtração de números quase iguais é chamado cancelamento subtrativo. O enunciado seguinte é destinado às questões de 4 a 7. d) 1. que devem ser armazenados em um sistema com as seguintes características F(10. 2. O erro absoluto das variáveis x e z é: 56 Erros . c) O resultado de uma operação não tem valor se tivermos conhecimento sobre os possíveis erros envolvidos no processo.0074. 4. U1 e) Uma pequena mudança nos dados de uma operação não produz uma grande mudança no resultado.0047. na base 10 e mantissa 6 é: a) 0. é correto afirmar que: a) O erro total de uma operação é composto pelo erro das parcelas ou fatores e pelo erro no resultado da operação. c) 0. e) O efeito da perda de dígitos significativos na subtração de números diferentes é chamado cancelamento. Sobre análise de erros. Considere os números x = 17534. o valor de . Assim. d) O erro relativo das operações é obtido a partir da combinação dos erros relativos da operação subtraído ao erro devido a tipo de armazenamento numérico ( ).2313.7456. 6). 3.8765. 9447.10-6.2000.34256. c) 0.2000.5270.101.10-4 e 0.2000.101 e 0.2000.101.101 e 0.101.2282. e) 0.101.10-3 e 0.1000.10-4 e 0. 6. c) 0. O erro relativo das variáveis x e y são respectivamente: a) 0. b) 0.2000.10-3 e 0.10-3 e 0.10-4.9447. 5.10-4.4000.9447.5270. d) 0. Qual o valor da expressão ? 7.101.4000. U1 a) 0.9447.2282.4000.101 e 0.10-4.2282. e) 0. Qual o erro relativo final da operação apresentada no exercício 6? Erros 57 . b) 0.101 e 0.10-4. d) 0.4000.101 e 0. U1 58 Erros . ed. GAVALA. Luiz Henry Monken e. R. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo: Pearson. FRANCO. 2008. Márcia A. Erros 59 . São Paulo: Pearson Prentice Hall.pdf>.unesp. S. Thompson Learning. BURDEN. L. MENDES. LOPES. A. São Paulo: Makron Books. São Paulo: Pioneira Thompson Learning. Acesso em: 30 jun. Acesso em: 30 jun. SPERANDIO. 1996. U1 Referências ARENALES. S. L. J. P.ufop. Cálculo numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos.. João Teixeira. Vera Lucia da Rocha.br/bcc760/material_de_ apoio/livros/livro_port.pdf>.. 2003. Disponível em: <http://www.sorocaba. 2. Cálculo numérico e computacional. 2003. RUGGIERO. 2015. CANTÃO. Disponível em: <http:// www2. Análise numérica. Francisco Javier Cobos. 2015. DAREZZO. SILVA. D. Cálculo numérico.br/professor/luiza/CNC/apostila. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais.decom. Neide Bertoldi. Gomes. Cálculo numérico: apuntes para el curso de 2001-2002. 2006. FAIRES. Décio. . m.00 em 48 parcelas mensais e iguais de R$ 4754. as quais não conseguimos determinar por métodos analíticos. Para que você tenha um conhecimento prático e atenda ao citado no parágrafo anterior. no 1–(1+taxa de juros) taxa de juros mercado para financiamento de veículos. a saída é obtê-las por métodos numéricos como: bissecção. respectivamente. Conhecendo a taxa de juros. a seguir é apresentada uma situação problema real em que terá condições de aplicar os conhecimentos teóricos. Física. iremos estudar a determinação de raízes de funções. Pedro que fez uso do Método da Falsa Posição. Unidade 2 RAÍZES Convite ao estudo Nesta unidade. os Métodos Iterativo Linear e de Newton . ela solicitou a ajuda de quatro amigos: Carlos que resolveu pelo Método da Bissecção. ela poderá orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo. Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por: Valor de financiamento Valor da parcela = – núm. Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento. Os métodos aqui apresentados são amplamente aplicados em estudos de Engenharia.28. podendo haver uma diferença de cerca de R$ 0. mas as proximidades de suas respostas são satisfatórias. falsa posição. José e Samuel que aplicaram. Assim: Suellen financiou um veículo de R$ 50000. entre outras. Esses métodos não nos informarão os valores exatos das raízes.10 nessa estimativa para o valor da parcela. método iterativo linear e Newton-Raphson.. varia entre 9% e 10% a. Economia. sendo assim. Química. e a taxa de juros. de parcelas . você poderá responder a dúvida dela.U2 Raphson. você será convidado a se colocar no lugar de cada um dos amigos de Suellen e. Em cada uma das seções seguintes. 62 Raízes . além de identificar as características de cada método e compreender as facilidades e dificuldades de utilização de cada um. ao final desta unidade. a função de taxa de juros e conhecer as técnicas de iterações necessárias para desenvolver o método. Raízes 63 . Carlos pretende fazer uso do Método da Bissecção. o cálculo dos zeros de uma função é muito usual na área de Engenharia. com a inclusão. Civil) entre outras. o método da bissecção? Ao final desta seção. mais especificamente. estaremos tratando da determinação do Zero da Função pelo Método da Bissecção e. para a determinação de pontos críticos de produção (Eng. Nesta seção. esperamos que você conclua que para resolver o problema. para isso. por exemplo. Suellen financiou um veículo e agora deseja saber a taxa de juros desse financiamento. estaremos desenvolvendo a resolução do problema de Suellen que foi apresentado no início dessa unidade. U2 Seção 2. e também em nosso dia a dia. teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados ao método da bissecção. Para dar a resposta que Suellen deseja. em cada iteração1. para isso solicitou a ajuda de Carlos. umidade ótima para compactação de solo em várias obras (Eng. Não pode faltar! Métodos iterativos e critérios de parada Na resolução de problemas com o auxílio do cálculo numérico é muito comum a repetição de procedimentos semelhantes. como o critério de parada. Coloque-se no lugar de Carlos: o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e. Produção). como determinar a taxa de juros do financiamento de um veículo.1 Método da Bissecção Diálogo aberto Caro aluno. de pequenos ajustes que têm o objetivo de melhorar o resultado obtido até que estejamos 1 Iteração: o mesmo que repetição. Assimile Um valor x0 é um zero (ou raiz) de uma função f (x) quando f (x0) = 0.. x2. onde f é a função a qual estamos determinando os zeros e ε1 e ε2 são os erros (ou imprecisões) que estamos dispostos a cometer. Assimile Na aplicação de um método iterativo. resulta no fim da busca por melhores soluções. essa é a descrição do que denominamos método iterativo. alguns dos critérios de parada mais utilizados são: • ou • . Método da Bissecção O método da bissecção é um dos mais simples para a determinação de zeros de funções.. b]. um critério de parada é uma condição estabelecida a priori que deve ser verificada a cada iteração e que. O método que estamos estudando não nos fornecerá uma resposta de x onde f (x) será exatamente zero. Supondo que em um método iterativo obtenhamos uma sequência de resultados x1.U2 satisfeitos com a resposta ou até que uma quantidade de passos pré-estabelecida seja atingida. mas um valor próximo. Ele faz uso da média aritmética dos extremos de cada intervalo da sua iteração. Simplificadamente. .. quando o critério de parada for satisfeito.. a média aritmética dos extremos do último intervalo determinado será escolhida como aproximação do zero da função. Para determinar o Zero da Função f (x) num intervalo I = [a. . em que xn é a média aritmética dos extremos 64 Raízes . adotaremos o critério de parada .. xn . e a cada uma das iterações o intervalo diminui. Ao final.. quando satisfeita. Os procedimentos repetitivos aplicados na resolução de um problema são efetuados até que o critério de parada seja satisfeito. 2.edu.br/~cnum/modulos/Modulo4/CN_Parte1_Intro. o valor que fará ela. Pesquise mais Para que você tenha maior conhecimento sobre esse assunto. Efetuamos . ou ainda. 4. retornamos ao passo 2. 3. Se f (xm) < 0 e f (b) < 0 então xm deverá substituir b. Se f (xm) > 0 e f (a) > 0 então xm deverá substituir a. Plotando o gráfico de . e fim de cálculo. igual a zero. Após a determinação do novo intervalo. ou as raízes. ppt>. Se f (xm) > 0 e f (b) > 0 então xm deverá substituir b. O procedimento estabelecido pelo método da bissecção segue os seguintes passos: Assimile 1. U2 do último intervalo determinado.ufcg. Acesso em: 22 jul. então xm não é o Zero da Função. 2015. então xm é o Zero da Função. e deveremos prosseguir os cálculos da seguinte forma: Se f (xm) < 0 e f (a) < 0 então xm deverá substituir a. . garante a existência do Zero da Função.dsc. para ε = 0. . acesse <www. . Vejamos agora um exemplo de aplicação do método da bissecção: Exemplificando Dada a função . tem-se: Raízes 65 .001. determine o zero dessa função. a função f (x). Esses passos são repetidos até que o critério de parada seja satisfeito. Gráfico de e o zero da função Fonte: Os autores (2015). 66 Raízes . ou valor de x que faz com que f (x) seja igual a zero.50 3. portanto o zero da função está entre esses valores. ou seja.U2 x 1.00 –3.00 4.00 2.33 Gráfico de Fonte: Os autores (2015). É possível notar que a curva corta o eixo x entre os pontos x = 1 e x = 3.00 –0. de acordo com o Teorema do Valor Intermediário. . U2 Para obtermos o zero da função.im. Se b = 3 então . Esse resultado indica a existência de um zero da função no intervalo de – 3 a 4. 2ª Iteração: Para x = 2.3333. Seguindo o indicado: . devemos determinar um novo valor de x para candidato a zero da função. No Método da Bissecção ele é calculado da seguinte forma: . pois f (a) também é negativo. Assim . x = 2 deverá substituir x = a. 1ª Iteração: Como x = 1 e x = 3 não são zeros da função.html>.ufrj. precisamos fazer algumas considerações teóricas e para isso denotaremos x = 1 por “a” e x = 3 por “b”. 15. porque . (negativo). Temos: • Se a = 1 então . substituindo-o em . Isso pode ser justificado por meio do cálculo. Essa Raízes 67 . verificar se xm = 2 é um zero da função. Acesso em: 31 jul. Vamos. Nesse caso.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/ conteudo/capitulos/cap114. Então x = 2 não é um zero da função. Saiba mais sobre o Teorema do Valor Intermediário: <http://www. agora. b=3e .U2 substituição sempre ocorre em função do sinal de f (x). x = 2. temos: a=2 e .5 também não é o zero da função.5 deverá substituir x = b. porque 68 Raízes . então .5. porque .25 não é um zero da função. x = 2. Refazendo os cálculos com base nessas alterações. . b = 2. 3ª Iteração: Para x = 2. Nesse caso. então . (positivo). pois f (b) também é positivo. Definimos novamente “a” e “b” para obter xm : a=2e . x = 2. . Mais uma vez.5 e . pois . Portanto x = 2. 4ª Iteração: Como fizemos anteriormente. para x = 2. então .1289 e . (positivo). Raízes 69 . U2 . . Nesse caso.125 é um zero da função.5 e . b = 2. Definimos novamente “a” e “b” para obter xm: a=2e .5.125 e . ou o valor de x que fará com que f (x) seja igual a zero. então .5 deverá substituir x = b. b = 2. x = 2. pois f (b) também é positivo. ⋮ (Não foram apresentadas as iterações intermadiárias) Continuando os cálculos: Definimos novamente “a” e “b” para obter xm: a = 2. 12709 e . Nesse caso.1279 não é um zero da função. . pois f (a) também é negativo.1270 não é um zero da função.1279 deverá substituir x = a. Mais uma vez. Nesse caso. então . x = 2.1270.1270 deverá substituir x = a. para x = 2. Definimos novamente “a” e “b” para obter xm: a = 2. x = 2. x = 2. (negativo). para x = 2.1289 e . pois f (a) também é negativo.1279. 10ª Iteração: Como fizemos anteriormente.U2 . Definimos novamente “a” e “b” para obter xm: a = 2.1270 e . 11ª Iteração: Como fizemos anteriormente. 70 Raízes . b = 2. porque . porque . x = 2. Mais uma vez. (negativo). 33 2 -0. então . Aqui novamente xm resultou em f (xm) ≠ 0.65 2. Dessa vez. f (xm) anterior é positivo.5 1.1 | Passos para a determinação de um zero de f (x) – método da bissecção Comentários a b f (a) f (b) xm f (xm) Os valores a e b são determinados por visualização gráfica. Tabela 2.5 e f(b) diferentes de zero.65 o valor de xm porque f(a) anterior é negativo. Vamos resolver o mesmo problema usando a Tabela 2.5 4.5 –0. f(a) 1 3 –3 4.1289 e . Porém foram necessárias 11 iterações para obter a resposta do zero da função x = 2. Como f(xm) do passo anterior é negativo.1284.1. Aqui o novo xm resultou em f (xm) ≠ 0.25 0. U2 b = 2. calculamos xm e verificamos que f (xm) ≠ 0 e negativo. ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Raízes 71 . então a assume 2 3 –0. x = 2. Nesse caso. .51 valor de xm porque f (b) anterior é positivo. porque .1284 é um zero da função. então b assume o 2 2.50 1.33 2. 1279 2.1270 2.1289 -0.000004 zero da função. para poder orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo. vamos resolver o problema da Suellen.00 em 48 parcelas mensais e iguais de R$ 4754.1270 -0.. porque |f(2. no mercado para financiamento de veículos.001.1289 -0.0020 2.1284 -0.0020 0.1284)|= 0. determine o Zero da Função para o intervalo I = [1.125 2. Suellen financiou um veículo de R$ 50000. Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por: .0059 > ε = 0. U2 Mais uma vez. x = 2.1284 é um 2.m.79] para ε = 0. Resposta: x = 1.1270 não 2. podendo haver uma diferença menor ou igual a R$ 0. Dessa vez.0138 0.10 no valor da parcela. 1.28. ela solicitou a ajuda de Carlos que determinou a taxa de juros pelo Método da Bissecção.000004 > ε = 0.0059 0.0020 2. e a taxa de juros. porque |f(2.001. varia entre 9% e 10% a. Faça você mesmo Dada a função f(x) = x3 – x – 3. porque |f(2.1270)|= 0. x = 2.05. Mais uma vez. Vamos aplicar a resolução utilizada por Carlos: 72 Raízes .0020 2.0020 é um zero da função.0020 > ε = 0.1289 -0.1279 não 2. Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento.1279 -0. x = 2.0059 é um zero da função.1279)|= 0.67 Sem medo de errar! Com o conhecimento do Método da Bissecção.001.57. 24 0.38% a. solucionamos o problema.87 0.10 1981. Veja que determinar um zero de f (x) significa encontrar o valor da taxa de juros que soluciona a equação anterior.28 – 596.0925 661. vamos adotar . = 9.095 1981.0938 a.m.0925 0.596.87 |f (xm)| > ε 0. então a função passa a ser escrita: a b f (a) f (b) xm f (xm) ε = R$ 0.28 – 2947.095 .095 661.m.09 0. vamos transformar a equação dada em função de taxa de juros: Para maior compreensão.10 0.90 |f (xm)| > ε 0. Raízes 73 . U2 Substituindo os valores na equação temos: Solução: Como desejamos descobrir a taxa de juros.09 0.0938 0. Resolvendo a equação.87 0.90 – 596.02 |f (xm)| < ε Portanto a taxa de juros aplicada no financiamento de Suellen foi de 0. fundamentos de área 2. relacionados 74 Raízes . com/watch?v=vmhifjYi7mc>. 2015. Isso garante a existência de um zero entre a e b. ou • Se f(b) > 0 então f(a) < 0. Objetivos de Calcular os zeros de uma função. aprendizagem 3. Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas. a condição implica em: • Se f(a) > 0 então f(b) < 0. Acesso em: 28 jul. Lembre-se No início da aplicação do método da bisseção. Método da Bissecção 1. Competência de Conhecer formas para calcular zeros de funções. Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho.youtube. Conteúdos Zeros de funções. U2 Atenção! Faça uma revisão desse assunto acessando: <https://www. 3] e ε = 0. aqui no Brasil.34% a. leia: <http://www.57 5.005| < ε Portanto a taxa de juros aplicada é de 6. têm sido muito rigorosos.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/ conteudo/capitulos/cap114s1. Descrição da SP de ar-condicionado de 18000 Btus.0662 23. Faça você mesmo Dada a função . e 7.m.06.86% a.92 0. com taxa de juros variando entre 6. 2015.01.60 –2.0683 2.92 0. cujo valor à vista é R$ 2100.57 –2.0686 –0. os verões.92 0.0689 9.0662 0. determine o Zero da Função para o intervalo I = [2.0689 –2. gerando a função de taxa de juros f (x): ..0689 2.ufrj. com temperaturas muito acima do normal. assim a aquisição desses aparelhos em sua grande maioria é realizada por financiamento.92 –2. Para informar-se mais sobre o assunto. Determine a taxa de juros aplicada na situação apresentada com ε = R$ 0. e por consequência os seus preços atingem altas significativas.60 –54.42 0.77 0.92 0.html>. Lembre-se O Método da Bisseção é utilizado para obter zeros de funções as quais não conseguimos obter por métodos analíticos.005 |-0. fazendo com que a aquisição de aparelhos de ar-condicionado seja muito grande.10. a b f (a) f (b) xm f (xm) 0. U2 Nos últimos anos. Raízes 75 . e f (x) sempre terá valores muito próximos de zero.77 –2.0689 23.0683 0. Resolução da SP 0.im.m. Um aparelho 4.m.92 0.0743 51.0689 51.0634 0.43% a.0676 0.92 0.0676 9.0634 0. Acesso em: 29 jul.00. é financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 297. Determine o zero da função existente entre os valores 2 e 3 de t. 4. b) x = 4. com ε = 0. a) x = 4.05 e assinale a alternativa correta. com ε = 0.59.47. 2.59. a) x = 4.05.05 e assinale a alternativa correta. e) x = 4.45.95. com ε = 0. e) x = 5. 76 Raízes . d) x = 9. Determine o zero da função existente entre os valores de 4. Determine o zero da função existente entre os valores 4 e 5 de x.03.65. com ε = 0.99. b) x = 4. 3.96.5 e 6 de x. c) x = 4. b) x = 7.05 e assinale a alternativa correta.94. c) x = 5.97.75. Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 5 e 8 de x.86. d) x = 4. e) x = 7. U2 Faça valer a pena! 1.69. a) x = 6.96. c) x = 5. d) x = 5. com ε = 0. e) k = –3. Considerando a função .05. d) t = 2. c) k = –3. com ε = 0.89.67.84. e) t = 2. Raízes 77 .52. d) k = 3.51 e 0 de x.25.5. b) t = 2. e o outro existente entre os valores –1. 7. 6. um existente entre os valores 0 e 1. 5.58.01.532. b) k = –3.10. Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores –4 e –3 de k. com ε = 0. U2 a) t = 2. a) k = 3.15. Determine o zero da função existente entre os valores 0 e 1 de x. determine dois de seus zeros.16. c) t = 2.25. U2 78 Raízes . ela poderá orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo.m.e a taxa de juros. Pedro. Coloque-se agora no lugar de Pedro: o que você precisa fazer para resolver o problema utilizando método da falsa posição? Esperamos que ao final desta seção. no mercado para financiamento de veículos. mas usando a média ponderada.10 no valor da parcela.28. estudamos o método da Bissecção em que tivemos a oportunidade de ver que ele nos leva a uma resposta aproximada do zero de uma função. Relembre o problema: Suellen financiou um veículo de R$ 50000.2 Método da falsa posição Diálogo aberto Na seção anterior. Ao determinar a taxa de juros. podendo haver uma diferença menor ou igual a R$ 0. a mudança que ocorrerá é forma de calcular xm.00 em 48 parcelas mensais e iguais de R$ 4754. varia entre 9% e 10% a. Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por: . por meio da média aritmética dos extremos dos intervalos das iterações. Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento. mas que será resolvido pelo seu amigo Pedro que empregará o método da Falsa Posição. continuamos estudando a obtenção do zero de uma função. amigo de Suellen. A nossa situação problema continua sendo o problema da Suellen. U2 Seção 2. Nesta seção. você perceba que a técnica aplicada nesse método é a mesma da seção anterior. Raízes 79 . ajudará na obtenção da taxa de juros utilizando o Método da Falsa Posição. porém fazendo uso do Método da Falsa Posição que aplica a mesma técnica do método anterior. O zero da função. que é o valor de x. será a média ponderada dos extremos do último intervalo determinado. Se |f(xm)| > 0 e f(a) > 0 então xm deverá substituir a. então xm não é o Zero da Função. . (Aqui está a diferença entre os Métodos da Bisseção e Falsa Posição) 3. tal que f(x) = 0. e a cada uma das iterações o intervalo diminui. Se |f(xm)| > 0 e f(b) > 0 então xm deverá substituir b. utilizando o critério de parada |f(xn)| ≤ ε. Após a determinação do novo intervalo.U2 Não pode faltar! Método da Falsa Posição Você verá que os conceitos iniciais são idênticos aos explorados na seção anterior. b]. Determinando o Zero da Função f (x) num intervalo I = [a. 4. 80 Raízes . então xm é o Zero da Função. mas próximo de zero. e fim de cálculo |f(xm)| > ε. retornamos ao passo 2. Esses passos são repetidos até que o critério de parada seja satisfeito. garante a existência do Zero da Função entre a e b. 2. O método de estudo novamente não nos fornecerá uma resposta x onde f (x) será exatamente zero. |f(xm)| ≤ ε. Se |f(xm)| < 0 e f(b) < 0 então xm deverá substituir b. o método da falsa posição estabelece os seguintes passos: Assimile 1. Nesse método. e deveremos prosseguir os cálculos da seguinte forma: Se |f(xm)| < 0 e f(a) < 0 então xm deverá substituir a. faremos uso da média ponderada dos extremos de cada intervalo das iterações. quando |f(xm)| ≤ ε. ou a raiz. determine o zero dessa função. 2015.8182 deverá substituir a.1442 < 0 então xm = 1.001 Como |f (xm)| = –1. Raízes 81 . Acesso em: 24 jul. acesse: <https://www.com/ watch?v=QPdPv0Is-j4>. Vamos resolver: 1ª Iteração: a = x = 1 e b = x = 3 então: a = 1.1442 > ε = 0. ou ainda.001. |f (xm)| = 1. no intervalo de x de 1 a 3. U2 Pesquise mais Para ampliar seu conhecimento. porque f(a) = –3 < 0. a função f (x). para ε = 0. veja um exemplo de aplicação do método da falsa posição: Exemplificando Dada a função . seja igual a zero. Agora.youtube. b = 3. o valor que fará que ela. 1442 e f(b) = 4. f(a) = –0.001 4ª Iteração: Novamente teremos de reiniciar os cálculos. O valor xm = 2. com a = 2.001 5ª.0487 e f(b) = 4.1261. f(a) = –0. teremos que recomeçar os cálculos.0092 > ε = 0.0487 > ε = 0. f(a) = –0.1442 < 0.2513 > ε = 0. a = 2. com a = 2.0092 e f(b) = 4.3333 |f (xm)| = 0.0651 e b = 3.0651 substituirá o extremo a porque f (xm) = –0.001 3ª Iteração: Mais uma vez. Iteração: Novamente teremos de reiniciar os cálculos.3333 |f (xm)| = 0.8182 e b = 3.3333.3333 82 Raízes .U2 2ª Iteração: Recomeçaremos os cálculos com a = 1.1163.2513 e f(b) = 4. então f(a) = –1. b = 3. b = 3. |f (xm)| = 0.2513 < 0 e f(a) = –1. 0017 e f(b) = 4.8182 deverá substituir a. b = 3. estudado na seção anterior. Resolvendo com auxílio de tabela: Tabela 2. Raízes 83 .001 Portanto é o zero da função. foram necessários onze iterações. com a = 2. e a velocidade de convergência está correlacionada ao número de iterações necessárias para atingir o zero da função. enquanto que no método da Bisseção.3333 1.1442 xm = 1.0003 < ε = 0.2| Passos para a determinação de um zero de f (x) – método da falsa posição a b f (a) f (b) xm f (xm) Comentários |f(xm)| = 1.1280. O termo convergência. f(a) = –0.001 Como f(xm) = –1.1442 > ε = 0. podemos dizer que o método da Falsa Posição apresenta uma convergência mais rápida. no estudo zeros de uma função.0017 > ε = 0.001 6ª Iteração: Novamente teremos de reiniciar os cálculos. quanto maior o número de iterações menor a velocidade de convergência. porque f(a) = –3 < 0.1442 < 0 então 1 3 -3 4. nesse método foram necessárias seis iterações para se obter a resposta. quanto menor o número de iterações.8182 -1. significa que a cada iteração f (x) se aproxima de zero.3333 |f (xm)| = 0. U2 |f (xm)| = 0. Maior a velocidade de convergência. 1283 é o zero da função.3333 2.2513 4.0651 substituirá o extremo a porque f(xm) = –0. Novamente teremos de reiniciar 2.0092 e f(b) = 4. utilizando o Método da Falsa Posição. 2.0017 e f(b) = 4. determine o Zero da Função para o intervalo I = [1. com a = 2.0651 -0. |f(xm)| = 0.001.0651 3 -0. Suellen financiou um veículo de R$ 50000.1283 -0.1163.001. f(a) = –0.3333 |f(xm)| = 0.1280.0487 > ε = 0.00 em 48 parcelas mensais e iguais de R$ 4754. b = 3.1280 3 -0. então veja como Pedro deve resolver o problema da Suellen.3333 2.1261 -0.0092 os cálculos. 1.1261 3 -0. Novamente teremos de reiniciar 2.0092 > ε = 0.3333 |f(xm)| = 0.28.3333 2. f(a) = –0.1163 3 -0.0003 Portanto x = 2. com a = 2.1442 < 0.2513 = 2.0020 4. Sem medo de errar Como aprendemos o Método da Falsa Posição. b = 3.0003 > ε = 0. f(a) = –0. O valor xm 1. Novamente teremos de reiniciar 2.1442 4. b = 3. 84 Raízes .001.57.1261.001.3333 2.2513 > ε = 0.8182 3 -1.00923 4.0487 os cálculos.79] e ε = 0.U2 |f(xm)| = 0.1280 -0. Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento. com a = 2.0017 os cálculos.3333 2.1163 -0.04874 4.2513 < 0 e f(a) = –1. Faça você mesmo Dada a função f(x) = x3 – x – 3.001. Mais uma vez teremos que recomeçar os cálculos.05.0017 > ε = 0.0487 e f(b) = 4.3333 |f(xm)| = 0. 0938004 1981. amigo de Suellen ajudou na obtenção da taxa de juros utilizando o Método da Falsa Posição. Lembre-se No Método da Falsa Posição: Raízes 85 . fazendo uso de métodos diferentes. e a taxa de juros. ele convergiu com uma iteração a mais. O Método da Falsa Posição.18348 0. Conhecendo a taxa de juros. varia entre 9% e 10% a.09402003 –110.5513 0. ela poderá orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo.0938004 –0.39 0.00648 |f (xm)| = 0.24 0. com relação ao Método da Bissecção.17695 0.01159 0.10 no valor da parcela.09 0.09381 1981.38% a. = 9. Método da Bissecção e Método da Falsa Posição.006 < ε = R$ 0.279 -0. no mercado para financiamento de veículos.m. Carlos e Pedro chegaram a mesma conclusão.09 0.279 –2947.1 1981.m. na maioria dos casos.09 0. U2 podendo haver uma diferença menor ou igual a R$ 0. no caso em que estamos estudando. A função da taxa de juros é mesma desenvolvida na seção anterior: a b f (a) f (b) xm f (xm) 0.09 0.. Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por: .m. mas foi mais preciso.279 –100.10 Portanto.0938000 -0.0938071 –3.279 –5. converge mais rápido.094 1981. Pedro. a taxa de juros aplicada no financiamento de Suellen foi de 0.0938 a.423 0. U2 Pesquise mais Quanto mais você pesquisar e ler sobre o assunto. aqui no Brasil. fazendo com que a aquisição de aparelhos de ar-condicionado seja muito grande. gerando a função de taxa de juros f (x): . Um aparelho 4. aprendizagem 3. Por isso. e por consequência os seus preços atingem altas significativas. Acesso em: 29 jul. Descrição da SP de ar-condicionado de 18000 Btus.06. cujo valor à vista é R$ 2100. acesse: <http://www. Conteúdos Zeros de funções. Competência de Conhecer formas para calcular zeros de funções. 2015.43% a. têm sido muito rigorosos. com taxa de juros variando entre 6.di. Objetivos de Calcular os zeros de uma função.pt/~cbarrico/ Disciplinas/ComputacaoCientifica/Downloads/Capitulo%202%20-%20 Metodos%20Numericos. 86 Raízes . é financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 297.ubi. e 7. assim a aquisição desses aparelhos em sua grande maioria é realizada por financiamento. os verões. com temperaturas muito acima do normal. Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas.pdf>. maior será sua compreensão.m.00.m. Determine a taxa de juros aplicada na situação apresentada com ε = R$ 0.. relacionados Nos últimos anos. Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho.10. fundamentos de área 2.34% a. “Método da Falsa Posição” 1. m.br/pdf/ciedu/ v10n3/16.98 0. na Bissecção é efetuada a média aritmética e na Falsa Posição calcula-se a média ponderada. então xm não é o Zero da Função. Após a determinação do novo intervalo. e deveremos prosseguir os cálculos da seguinte forma: Se f(xm) < 0 e f(a) < 0 então xm deverá substituir a.0634 0.0687 51.59545 -0. Raízes 87 . Resolução da SP Se f(xm) < 0 e f(b) < 0 então xm deverá substituir b. é o Zero da Função.scielo.pdf>.0686 -0. e fim de cálculo |f(xm)| > ε. |f(xm)| ≤ ε. a taxa de juros. 5.0734 51. leia: <http://www. Acesso em: 29 jul. garante a existência do Zero da Função entre a e b. Se f(xm) > 0 e f(b) > 0 então xm deverá substituir b.0634 0.005 A taxa de juros aplicada na situação apresentada é de 6.86% a. (Aqui está a diferença entre os Métodos da Bisseção e Falsa Posição) 3. . Lembre-se O Método da Falsa Posição é muito parecido com Método da Bissecção. então aplicaremos as teorias apresentadas nesta seção: 1.9791 0. U2 Nesse caso.9753 0. Esses passos são repetidos até que o critério de parada seja satisfeito. 4. retornamos ao passo 2. eles se diferem pela forma de calcular xm. a b f (a) f (b) xm f (xm) 0. Para aprofundar-se no assunto. 2.0687 -0. então xm é o Zero da Função. 2015. que desejamos determinar. Se f(xm) > 0 e f(a) > 0 então xm deverá substituir a.59545 -45. 97.99. determine o Zero da Função para o intervalo I = [2. e) x = 7.05.47. a) x = 6. c) x = 5. Faça valer a pena Resolva exercícios a seguir aplicando o Método da Falsa Posição. e) x = 5. b) x = 7. b) x = 4. Determine o zero da função existente entre os valores de 4. c) x = 5. d) x = 9.45.59.59.96. a) x = 4. d) x = 5.97.95. Determine o zero da função existente entre os valores 4 e 5 de x. 1. com ε = 0. com ε = 0.01. com ε = 0.05 e assinale a alternativa correta. 2. 3.U2 Faça você mesmo Dada a função . 5 e 6 de x. 88 Raízes .3] e ε = 0. Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 5 e 8 de x.86.05 e assinale a alternativa correta. 65. com ε = 0. U2 a) x = 4. 5. a) t = 2.532. 6. Raízes 89 .10. e) k = –3.05 e assinale a alternativa correta.67.51 e 0 de x. um existente entre os valores 0 e 1.75. Determine o zero da função existente entre os valores 2 e 3 de t. e) t = 2.16.01. d) k = 3. d) t = 2.25. com ε = 0.96.84. c) k = –3. 4. e) x = 4.03. d) x = 4. a) k = 3. com ε = 0.25. determine dois de seus zeros. b) x = 4.5. b) t = 2. e o outro existente entre os valores –1.89.70.58.15. Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores –4 e –3 de k.52. Considerando a função . c) x = 4. b) k = –3. c) t = 2. 90 Raízes . com ε = 0.U2 7. Determine o zero da função existente entre os valores 0 e 1 de x.05. prezado aluno. em alguns casos. o quão rápido nos aproximamos do zero da função. também conhecido como Método do Ponto Fixo (MPF).3 Método iterativo linear Diálogo aberto Nesta seção. a velocidade de convergência. José. ajudará a determinar essa taxa fazendo o uso do Método Iterativo Linear (MIL). b]. também como os métodos estudados nas seções anteriores. Raízes 91 . sendo assim: o que será necessário para que tenha condições de resolver o problema proposto utilizando o Método Iterativo Linear (MIL)? Acreditamos que ao término desta seção você perceba que uma das diferenças desse método é a necessidade da função iterativa. Não pode faltar Método Iterativo Linear (MIL) Seja uma função f (x) da qual desejamos conhecer x para o qual f (x) = 0. esse método tem como vantagem. O Método Iterativo Linear. desejamos conhecer o zero dessa função num intervalo I = [a. em relação aos métodos anteriores (Bissecção e Falsa Posição). Você deverá colocar-se no lugar de José. fornece-nos um f (x) muito próximo de zero. porém aprenderemos determiná-lo pelo Método Iterativo Linear (MIL). ou seja. novamente iremos tratar sobre Zero da Função. O problema de estudo ainda será o problema da Suellen que deseja saber a taxa de juros imposta no financiamento da compra de seu veículo e outro amigo. ele converge mais rápido. logarítmicas e trigonométricas. U2 Seção 2. Vale ressaltar que o uso desse método deve ser evitado em funções exponenciais. mas não exatamente zero. ou seja. ou f (a) > 0 e f (b) < 0. E nesse intervalo I existe o zero da função porque f (a) < 0 e f (b) > 0. que não houve nos anteriores e que. Se |f (x1)| > ε então x1 não é o zero da função e. que é um “chute” direcionado para ser o mais próximo quanto possível do zero.U2 Para determinar o Zero da Função f (x) num intervalo I = [a. Se f (x) = 0 então. desse modo. 8. continuaremos os cálculos fazendo uso de x2. x2 é obtido utilizando a equação xn+1 = g(xn). podemos dizer que 0 = g(x) – x e assim x = g(x). pelo MIL devemos: Assimile 1. onde x0 é um valor atribuído pelo pesquisador. calculamos f (x2). substituindo f (x) por zero em f (x) = g(x) – x. Se |f (x1)| ≤ ε então x1 é o zero da função. ficando dessa forma x2 = g(x1). Se |f (x2)| ≤ ε então x2 é o zero da função. Tendo x1. Se |f (x0)| ≤ ε então x0 é o zero da função. 7. continuaremos os cálculos fazendo uso de x1. sendo a = xo . x1 é obtido utilizando a equação xn+1 = g(xn). 92 Raízes . Vamos iniciar os cálculo por a. calculamos f (x1). 13. 9. 3. onde. f (x) tem que ser transformado em f (x) = g(x) – x. 11. b]. Se |f (x0)| > ε então x0 não é o zero da função. Tendo x2. 10. Com isso determinamos: xn+1 = g(xn) Função Iterativa. 5. mais uma vez. 4. onde. ficando dessa forma x1 = g(x0). onde g(x) é chamada função iterativa. 2. 12. Então calculamos f (x0). para |f (xn)| ≤ ε. 6. para ε = 0. determine o zero dessa função. Vamos realizar os procedimentos passo a passo para compreender a aplicação da teoria: • f (x) tem que ser transformada em f (x) = g(x) – x: Se e nossa intenção é f (x) = 0 então. 1ª Iteração: Vamos iniciar os cálculos com xo = 2. igual a zero. 15. Assim. Essa sequência deve ser repetida até que |f (xn)| ≤ ε. Enquanto |f (xn)| > ε retornamos ao passo 7. univap. o valor médio dos Raízes 93 . Agora veja um exemplo de aplicação do Método Iterativo Linear: Exemplificando Dada .001. • Com isso determinamos: xn+1 = g(xn) Função Iterativa. a função f (x). ou ainda o valor que fará ela. atende à condição x = g(x). no intervalo de 1 a 3 de x. leia: <http://www1.br/spilling/CN/apostila2. . U2 14. Acesso em: 29 jul. continuaremos os cálculos fazendo uso de x3. 2015. Se |f (x2)| > ε então x2 não é o zero da função e. . ou as raízes.pdf>. Pesquise mais Para que você possa ter maior compreensão. mais uma vez. |f (x0)| = –0. 3ª Iteração: x2 é obtido utilizando a equação xn+1 = g(xn).001 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x2.U2 extremos do intervalo dado. sendo xo = 2.1213) = –0.001. Calculamos f (x2). ficando dessa forma x1 = g(x0): . temos: . onde. . |f (x1)| = –0. Se |f (x1)| > ε então x0 não é o zero da função e continuaremos os cálculos fazendo uso de x2. f (x0) = f (2) = –0. Se |f (x0)| > ε então x0 não é o zero da função e continuaremos os cálculos fazendo uso de x1. e então calculamos f (x0).0286 > ε = 0.0286. 2ª.5 > ε = 0. então continuaremos os cálculos fazendo uso de x1. ficando dessa forma x2 = g(x1): . . onde. 94 Raízes .5. Iteração: x1 é obtido utilizando a equação xn+1 = g(xn). . Calculamos f (x1). f (x1) = f (2. 0015 < ε = 0. .0015 .1 e 2.001 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x3. para esse tipo de problemas. Se |f (xn)| ≤ ε então xn é o zero da função: |f (x3)| = 0.1284) = –0. Raízes 95 .0001. Observando o número de iterações realizadas nos métodos das seções anteriores. f (x3) = f (2.001. Se |f (x2)| > ε então x2 não é o zero da função e continuaremos os cálculos fazendo uso de x3. Calculamos f (x3). o MIL apresenta uma velocidade de convergência maior. Agora resolveremos o mesmo problema fazendo uso de uma tabela.1281) = –0. 2. . ficando dessa forma x3 = g(x2): .3. pois apresentou quatro iterações. U2 .1284 é o zero da função. |f (x2)| = 0.2. Portanto x3 = 2. a Tabela 2.0001 < ε = 0. onde. 4ª Iteração: x3 é obtido utilizando a equação xn+1 = g(xn). f (x2) = f (2. 28..0001 > ε = 0.001 então continuaremos x0 2 -0.001 e fim dos cálculos.0286 2.1281 x2 os cálculos fazendo uso de x2 |f (x2)| = 0.001 então continuaremos x1 2.1213 x1 os cálculos fazendo uso de x1 |f (x1)| = 0. ela solicitou a ajuda de José que utilizou o Método Iterativo Linear para determinar a resposta solicitada. Sem medo de errar Tendo o conhecimento do Método Iterativo Linear.1284 x3 os cálculos fazendo uso de x3 |f (x3)| = 0. Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por: .0015 2.5000 2. varia entre 9% e 10% a.m.0015 > ε = 0.1284 -0. 1.10 no valor da parcela. no intervalo I = [1.05.79] para ε = 0.1281 -0.00 em 48 parcelas mensais e iguais de R$ 4754.001 então continuaremos x2 2. Faça você mesmo Determine o Zero da Função pelo Método Iterativo Linear para f(x) = x3 – x – 3.1213 -0. x3 2.3 | Passos para a determinação de um zero de f (x) – Método Iterativo Linear xn Comentários f (xn) xn+1 |f (x0)| = 0. então veja como José deve resolver o problema da Suellen.0286 > ε = 0.5 > ε = 0. e a taxa de juros.13 é o zero da função. no mercado para financiamento de veículos.0001 Portanto x3 = 2.U2 Tabela 2. Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento.57. para poder orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo. Suellen financiou um veículo de R$ 50000. 96 Raízes . podendo haver uma diferença menor ou igual a R$ 0. Inicialmente faremos x0 = a = 0. Então: .80 > ε = 0. . .0938 x2 fazendo uso de x2 Raízes 97 .09 1981.0936 x1 cálculos fazendo uso de x1 |f (x1)| = 100. .80 continuaremos os cálculos 0. U2 Sendo a função da taxa de juros a mesma vista nas seções anteriores: Vamos determinar a função iterativa g(x) = x: f (x) = 0.10 x0 0.10 então x1 0.09 xn Comentários f (xn) xn+1 |f (x0)| = 1981.28 > ε = 0. .0936 100.28 então continuaremos os 0. m.38% a.10 x0 0. convergiu mais rápido que os Métodos da Bissecção (quatro iterações) e o da Falsa Posição (cinco iterações).br/spilling/ CN/apostila2.10 x2 0.0941 –150. Lembre-se 1.83% a.45 então continuaremos os 0. José também chegou a mesma de taxa de juros que Carlos e Pedro.38% a. 2. é o zero da função. 2015. Agora faremos com x0 = b = 0. leia: <http://www1. 98 Raízes .U2 |f (x2)| = 0.0938 0.pdf>.24 > ε = 0. é o zero da função.m.02 > ε = 0. Acesso em: 29 jul. xn Comentários f (xn) xn+1 |f (x0)| = 2947.0941 x1 cálculos fazendo uso de x1 |f (x1)| = 150.02 Portanto x2 = 9. com três iterações. Atenção! Para o seu melhor entendimento. e cada um deles aplicou um método diferente. com o intuito de demonstrar que se pode iniciar por a ou por b.45 > ε = 0.10 –2947. no valor de 9.24 então continuaremos os 0.02 < ε x2 0.0938 0. Foi possível observar que o Método Iterativo Linear. Se f (x) = 0.02 Portanto x2 = 9.univap.10 x1 0.0938 x2 cálculos fazendo uso de x2 |f (x2)| = 0.10. onde g(x) é chamada função iterativa.m. f (x) tem que ser transforma em f (x) = g(x) – x. Determine a taxa de juros aplicada na situação apresentada com ε = R$ 0. 3. Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas. Conteúdos Zeros de funções. gerando a função de taxa de juros f (x): .m. Competência de Conhecer formas para calcular zeros de funções. os verões. aplicando o Método Iterativo Linear. e por consequência os seus preços atingem altas significativas. Com isso determinamos: xn+1 = g(xn) Função Iterativa.43% a. fazendo com que a aquisição de aparelhos de ar-condicionado seja muito grande. Vamos iniciar os cálculos por xo. substituindo f (x) por zero em f (x) = g(x) – x. com temperaturas muito acima do normal. aqui no Brasil. relacionados Nos últimos anos. e 7..00. podemos dizer que 0 = g(x) – x e assim x = g(x). Raízes 99 . Objetivos de Calcular os zeros de uma função. aprendizagem 3. com taxa de juros variando entre 6.34% a. e então calculamos f (x0).06. assim a aquisição desses aparelhos em sua grande maioria é realizada por financiamento. cujo valor à vista é R$ 2100. Um aparelho de ar- 4. é financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 297.10. Os cálculos prosseguem até que o critério de parada seja satisfeito. U2 então. têm sido muito rigorosos. Descrição da SP condicionado de 18000 Btus. Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Determinando o zero pelo método iterativo linear 1. fundamentos de área 2.m. 0679 6.0672 x3 x3 0.77 0.0686 x11 x11 0. a taxa de juros aplicada é de 6.0676 x4 5.60 0. Resolução da SP x4 0. b) x = 4.0684 x8 x8 0.0683 2.0683 x7 x7 0.0685 0.83 0. a taxa de juros que desejamos determinar é o Zero da Função.m. então aplicaremos as teorias apresentadas nessa seção: xn f (xn) xn+1 x0 0.0686 0.06853 0.3]. para ε = 0.53 0.06853 x10 x10 0.0656 29. Determine o zero da função existente entre os valores de 4.87 0.0643 42.005 |f (x11)| < ε Portanto.0665 x2 x2 0.97.0685 x9 x9 0.94 0.86% a.0679 x5 x5 0. 1. 5 e 6 de x. Faça valer a pena Resolva as atividades a seguir aplicando o Método Iterativo Linear. Faça você mesmo Determine o zero da função .96. 100 Raízes .0681 x6 x6 0.68 0.70 0.0665 20.97 0.86.0676 9.0681 4.U2 Neste caso.0684 1.0672 13.05 e assinale a alternativa correta.53 0. a) x = 4.0656 x1 x1 0. pelo MIL no intervalo I = [2. c) x = 5. com ε = 0.01.91 0. 59. 2.45. Determine o zero da função g(x) = –x3 + 2x + 9 existente entre os valores 2 e 3 de x. com ε = 0. a) x = 2. b) x = 7.587. com ε = 0. Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 5 e 8 de x. e) t = –3. b) t = –3. Raízes 101 . com ε = 0.95.75. d) x = 5. 3. a) t = –3.05 e assinale a alternativa correta.284. c) t = –3. a) x = 6.01 e assinale a alternativa correta. d) t = –3.875.03.97. c) x = 2. 4.65.94. e) x = 5.05. U2 d) x = 9. c) x = 5.670. e) x = 7. b) x = 2.99. Determine o zero da função existente entre os valores –4 e –3 de t. e) x = 2.890. d) x = 2.47.69.40. determine o zero da função existente entre os valores 0 e 1 de x. com ε = 0. a) k = 1.768. com ε = 0. d) k = 1.876.01. e) k = 1. b) k = 1.U2 5.01.687.1 e 1 de x. Determine o zero da função f(x)= x – 2x –2/3 + 5 existente entre os valores 0. c) k = 1. Considerando a função f(x)= 3x4 + 2x + 3.01. com ε = 0.786. Assinale a alternativa que indica o zero da função z(k)= k5 + k – 15 existente entre os valores 1 e 2 de k. 102 Raízes .678. 6. 7. 28. no mercado para financiamento de veículos. nesta seção. resolveremos. Nesta seção. o pai do Cálculo Diferencial e Integral. e a taxa de juros. Colocando-se agora no lugar de Samuel: o que você precisa fazer para resolver o problema fazendo uso do método de Newton-Raphson? Esperamos que ao final desta seção você perceba que a técnica aplicada neste método é a que apresenta maior velocidade de convergência e maior precisão. fechamos o assunto Zero de Função em que estudaremos o Método de Newton-Raphson. O método que estaremos estudando é extremamente eficiente e de convergência rápida.10 no valor da parcela. auxiliou na obtenção da taxa de juros utilizando o Método de Newton-Raphson. Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento. o problema da Suellen que foi auxiliada por Samuel fazendo uso do Método de Newton-Raphson. Ao determinar a taxa de juros. Raízes 103 . novamente. a determinação o Zero da Função torna-se muito simples. com essa habilidade. e aperfeiçoado pelo pesquisador Joseph Raphson (1648 – 1715). Relembrando o problema: Suellen financiou um veículo de R$ 50000.00 em 48 parcelas mensais e iguais a R$ 4754. porém deveremos ter como pré-requisito o conhecimento de derivadas. Samuel. podendo haver uma diferença menor ou igual a R$ 0.4 Método de Newton-Raphson Diálogo aberto Prezado aluno.m. varia entre 9% e 10% a. U2 Seção 2. assim denominado por ter sido desenvolvido por Isaac Newton (1643 – 1727). ela poderá orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo. Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por: . Para determinar x1 devemos usar a função iterativa: . Portanto devemos determinar x1. encerramos os cálculos. Portanto devemos determinar xn+1. Se |f (x0)| > ε então x0 não é o Zero da Função. Se |f (x1)| ≤ ε então x1 é o Zero da Função. Se |f (xn+1)| > ε então xn+1 não é o Zero da Função. Se |f (xn)| ≤ ε então xn é o Zero da Função. Ficando dessa forma: . Se |f (xn)| > ε então xn não é o Zero da Função. O método de Newton-Raphson. 2. segue os seguintes passos: Assimile 1. 3. 3. Caso contrário. 4. 104 Raízes . Detalhando a teoria: 1. Para determinar xn+1 devemos usar a função iterativa: .U2 Não pode faltar Método de Newton-Raphson Seja f (x) uma função que desejamos determinar o Zero e x = x0 um valor de que está próximo do Zero da Função. Portanto devemos retornar ao passo 3. 2. 4. Se |f (x0)| ≤ ε então x0 é o Zero da Função. que chamamos de valor inicial. Exemplificando Dada .sorocaba. 6. a função f (x). leia: <http://www2. Lembrando que x0 é um valor atribuído pelo pesquisador. que é um “chute” direcionado para ser o mais próximo quanto possível do zero. Raízes 105 . 2015. Acesso em: 05 ago. igual a zero. para facilitar a derivação. Se |f (x2)| > ε então x2 não é o Zero da Função e determinamos x3 para iterar novamente. assim: .br/ professor/amartins/aulas/numerico/nr. Se |f (x1)| > ε então x1 não é o Zero da Função.001. para ε = 0. determine o zero dessa função. no intervalo de 1 a 3 de x. ou seja x0 = 2 Para obter a função iterativa: precisamos de . U2 5.unesp. 7. Se |f (x2)| ≤ ε então x2 é o Zero da Função. Portanto devemos determinar x2. Devemos continuar as iterações até |f (xn)| ≤ ε e xn é o Zero da Função. Então. vamos adotar como x0 o valor médio dos extremos do intervalo.pdf>. ou ainda o valor que fará ela. Pesquise mais Em busca do conhecimento. ou as raízes. escrevemos . sendo: . . 2ª Iteração: x1 = 2.1284. |f (x0)| = 0. x1 = 2.1333.001 portanto deveremos calcular x1 usando a função iterativa: .0199 > ε = 0. |f (x1)| = 0. . .5 > ε = 0.1284: . 106 Raízes .1333: . . x2 = 2.001 portanto deveremos calcular x2 usando a função iterativa: . . .U2 A função iterativa fica definida dessa forma: Iniciando os cálculos: 1ª Iteração: x0 = 2: . 3ª Iteração: x2 = 2. com os números de iterações necessárias em cada método para se obter a solução.001 x0 2 -0.1.3. 2. Lembrando que quanto menor o número de iterações maior é a velocidade de convergência.00003 portanto x3 = 2. Portanto x = 2.2. resolvido pelos métodos da Bissecção. Quadro com número de iterações necessárias para solucionar o problema acima em cada método estudados nas seções 2.50 portanto deveremos calcular 3. No mesmo problema apresentado nas seções 2.0199 > ε = 0.50 > ε = 0. 2. Como fizemos nas seções anteriores. foi resolvido nessa seção 2. a Tabela 2. Veja o quadro a seguir.0199 portanto deveremos calcular 4.1333 x1 usando a função iterativa |f (x1)| = 0. 2. Falsa Posição e MIL. resolveremos o mesmo problema fazendo uso de uma tabela.001.00003 > ε = 0.1284 0.2 e 2.00003 < ε = 0.75 2.001 x2 2.3 e 2.1333 0.4 pelo método de Newton-Raphson que para esse tipo de problema apresentou a maior velocidade de convergência. respectivamente.1.1284 é o zero da função. |f (x2)| = 0.1284 é o Zero da Função. U2 .0469 2.4 Raízes 107 .1284 x2 usando a função iterativa |f (x2)| = 0.4. Tabela 2.4 | Passos para a determinação de um zero de f (x) pelo Método de Newton- Raphson xn Comentários f (xn) xn+1 |f (x0)| = 0.001 x1 2. podemos reescrever a função assim: 108 Raízes . Sem medo de errar Com o conhecimento que adquirimos sobre o Método de Newton-Raphson resolveremos o problema da Suellen com o auxílio de Samuel. varia entre 9% e 10% a.28. Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento. Sendo a função da taxa de juros a mesma vista nas seções anteriores: .00 em 48 parcelas mensais e iguais de R$ 4754. ela solicitou a ajuda de Samuel que resolveu o problema pelo Método de Newton-Raphson.m. Suellen financiou um veículo de R$ 50000. Para facilitar a derivação. no mercado para financiamento de veículos. 1.U2 Métodos Número de Convergências Bissecção 11 Falsa Posição 6 Iterativo Linear 4 Newton-Raphson 3 Faça você mesmo Determine o Zero da Função.10 no valor da parcela. podendo haver uma diferença menor ou igual a R$ 0.57. para f(x) = x3 – x – 3. pelo Método de Newton-Raphson..79] para ε = 0.05. e a taxa de juros. Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por: . para poder orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo. no intervalo I = [1. U2 Desenvolvendo a derivação: Sendo então Com . temos: Raízes 109 . Nos Métodos da Bissecção.0937 –503915.0938 mos calcular x2 usando a função iterativa |f (x2)| = 0.0938 calcular x2 usando a função iterativa |f (x2)| = 0. obtivemos a mesma resposta.10 portanto devere- x1 0. que Suellen deseja saber.018 < ε = 0.09 –540400. U2 xn f (xn) Comentários xn+1 1981.10 portanto deveremos x0 0.28 > ε = 0.10 –2947.96 –506747. 2.018 0.77 0.0937 remos calcular x1 usando a função iterativa 50.10 portanto deve- x0 0. Se |f (xn)| > ε então xn não é o Zero da Função.96 0. 110 Raízes .0938 0.018 é o Zero da Função Notamos que.10 portanto x2 = x2 0.0938 0.41 0. Portanto o Zero da Função é a taxa de juros de 9.10 portanto x2 = 0.10. temos: xn f (xn) Comentários xn+1 f (x0)| = 2947.09 0.0938 x2 0.0938 é o Zero da Função.10 portanto deveremos x1 0.28 |f (x0)| = 1981. adotando qualquer um dos valores extremos do intervalo dado. Portanto devemos determinar xn+1. Se |f (xn)| ≤ ε então xn é o Zero da Função.0934 201. e também que a convergência foi rápida.25 > ε = 0.0934 calcular x1 usando a função iterativa |f (x1)| = 201.38% a. Adotando x0 = 0.018 < ε = 0.25 –449143.36 > ε = 0. Atenção! Segue abaixo os procedimentos básicos desse método: 1.96 > ε = 0.m. Iterativo Linear e de Newton-Raphson foram necessárias três iterações para se obter a resposta e no Método da Falsa Posição foram necessárias quatro iterações.36 |f (x1)| = 50. é financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 297. Se |f (xn+1)| > ε então xn+1 não é o Zero da Função. Para isso.06. aqui no Brasil.m. U2 3. Competência de Conhecer formas para calcular zeros de funções. assim a aquisição desses aparelhos em sua grande maioria é realizada por financiamento. e 7. Descrição da SP 2100.00.pdf>. os verões.m. Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Determine a taxa de juros aplicada na situação apresentada com ε = R$ 0. 4. têm sido muito rigorosos. com taxa de juros variando entre 6. 3.unesp.br/~arbalbo/ arquivos/derivadas. gerando a função de taxa de juros f (x): .34% a. Lembre-se O Método de Newton-Raphson requer que você revise as técnicas sobre derivadas. leia: <http://wwwp. Conteúdos relacionados Zeros de funções. Objetivos de aprendizagem Calcular os zeros de uma função. Método de Newton-Raphson 1. e por consequência os seus preços atingem altas significativas. Acesso em: 2 ago.fc. 2015..10. fazendo com que a aquisição de aparelhos de ar-condicionado seja muito grande. Caso contrário. Portanto devemos retornar ao passo 3.43% a. Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas. Para determinar xn+1 devemos usar a função iterativa: . Raízes 111 . Nos últimos anos. cujo valor à vista é R$ 4. encerramos os cálculos. com temperaturas muito acima do normal. Um aparelho de ar-condicionado de 18000 Btus. fundamentos de área 2. 4. Se |f (xn+1)| > ε então xn+1 não é o Zero da Função. que desejamos determinar. 2. U2 Novamente a taxa de juros. Resolução da SP Desenvolvendo a derivação: Sendo 112 Raízes . Portanto devemos determinar xn+1. encerramos os cálculos. Portanto devemos retornar ao passo 3. podemos reescrever: 5. 3. é o Zero da Função. Para determinar xn+1 devemos usar a função iterativa: . Caso contrário. Para facilitar a derivação. Se |f (xn)| > ε então xn não é o Zero da Função. então aplicaremos as teorias apresentadas nessa seção: 1. Se |f (xn)| ≤ ε então xn é o Zero da Função. 0685 0.526944 –10043.71 0.0685 0. Faça você mesmo Dada a função . temos: xn+1 xn f (xn) 0. U2 então Com . c) x = 5. fazendo uso do Método Newton-Raphson. a) x = 4.0643 42.86. 5 e 6 de x. Raízes 113 .0686 –0. Faça valer a pena! Resolva exercícios a seguir aplicando o Método de Newton-Raphson.0053791 A taxa de juros aplicada na situação apresentada é de 6.96. Determine o zero da função existente entre os valores de 4.3] e ε = 0. determine o Zero para o intervalo I = [2. com ε = 0.97. 1.61 0. b) x = 4.01.9690356 –9747.0686 0.m.86% a.05 e assinale a alternativa correta. d) t = 2. Determine o zero da função existente entre os valores 2 e 3 de t.05 e assinale a alternativa correta.039.94. U2 d) x = 9. c) x = 5. 3. com ε = 0. c) t = 2.05. a) t = 2.697.84. 114 Raízes .45. e) x = 7. a) x = 4. d) x = 5. c) x = 4.58. b) x = 4. b) t = 2. com ε = 0. 2.59.968. e) x = 4.757.95.05 e assinale a alternativa correta. Determine o zero da função existente entre os valores 4 e 5 de x.16. 4.99. e) x = 5. Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 5 e 8 de x.59.47. a) x = 6. e) t = 2.653. b) x = 7.67.89. com ε = 0. d) x = 4. com ε = 0. Raízes 115 .05.25x4 + 2x3 – 7.5x2 + 3. Assinale a alternativa que indica o zero da função z(k)= (k2 + 0. e) k = –3.10. Determine o zero da função f(x)= x – 2x –2/3 + 5 existente entre os valores 0 e 1 de x.01.25.21. U2 5.5.7k – 8)( k2 + 2k – 35)–1 existente entre os valores –4 e –3 de k.51 e –0. determine dois de seus zeros. e o outro existente entre os valores –1.1 de x. um existente entre os valores 0 e 1.15. 7. com ε = 0. 6. Considerando a função f(x)= 0. com ε = 0. c) k = –3.53. d) k = –3. b) k = –3. a) k = –3.52. U2 116 Raízes . Disponível em: <http://www2. Décio. Acesso em: 30 jun. Cálculo numérico: apuntes para el curso de 2001-2002. B.UTFPR. F. GAVALA. Gomes. ed.. São Paulo: Thompson Learning. A. FAIRES. João Teixeira. 2008. U2 Referências ARENALES. 2. E. L. J.pdf>. SILVA. Raízes 117 . Acesso em: 20 jul.ppt>. C. NUNES.unesp. Márcia A. São Paulo: Pearson. Disponível em: <http://www. M. Disponível em: <http://www1.pdf>.dsc. C. LOPES. MENDES. DAREZZO. 2015.ufop. N. CANTÃO. R. RUGGIERO. Análise numérica. D. BURDEN.pdf>. BARROS. Cálculo numérico e computacional. 2006.. 2015.univap. Acesso em: 22 jul. Cálculo numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Pioneira Thompson Learning.. 2003. GALVÃO. 2015. Cálculo numérico.ufcg. S. L. Cálculo numérico. FRANCO. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais.br/professor/luiza/CNC/apostila. A. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2003. Neide Bertoldi.decom. Francisco Javier Cobos.edu. SPERANDIO. sorocaba. R.br/spilling/CN/apostila2. São Paulo: Makron Books.br/~cnum/modulos/Modulo4/CN_Parte1_Intro.br/bcc760/material_de_ apoio/livros/livro_port. S. 2015. Vera Lucia da Rocha. L. P. Acesso em: 30 jun. Luiz Henry Monken e. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. Disponível em: <www.. J. QUEIROZ. Apostila 2 de cálculo numérico . 1996. L. QUEIROZ. . � f ( x ) ) e desconhecemos a função que explica a sua distribuição gráfica. estudaremos o erro na interpolação. Tecnológicas. Aplicando uma das formas da interpolação. Essa é uma técnica numérica que tem por objetivo obter uma função polinomial. A seguir. usamos a interpolação que nos fornecerá um polinômio interpolador que explica a distribuição gráfica dos pares ordenados e nos dá condições de predizer valores desconhecidos. em cálculo numérico a situação é inversa: temos os valores dos pares ordenados ( x. Quando não temos o conhecimento dessa função e queremos calcular um valor desconhecido. No entanto. Nessas áreas. Para isso. aplicamos a interpolação. obtemos o valor desejado aproximado. a variável dependente. Conhecendo essas funções. Aprenderemos interpolar usando o polinômio interpolar. ou. o polinômio na forma de Lagrange e também na forma de Newton. cujo gráfico passe por pontos pré-determinados. também. será apresentada uma situação hipotética que nos ajudará a desenvolver os conceitos e as técnicas da interpolação com uma visão prática. Econômicas e Financeiras. A interpolação é uma técnica muito utilizada nas áreas de Ciências Exatas. nesta unidade estudaremos interpolação. podemos esboçar seus gráficos definindo os valores para a sua variável independente x e obtendo os valores de f ( x ) . Para finalizar. denominada de variável de predição. Unidade 3 INTERPOLAÇÃO Convite ao estudo Caro aluno. Assim: . também é comum surgirem problemas que apresentam funções polinomiais como ( ) f x = x 2 + 6 x + 8 . 1: Tabela 3.1. ao final desta unidade. o segundo. além de identificar as características de cada método e compreender as facilidades e dificuldades de utilização de cada um. o primeiro vendedor. Uma fundição solicita um orçamento para a compra de 7. aplicou a forma de Newton. U3 Uma empresa de sucata de ferro. Bruno.1 | Preço de sucata de ferro x Toneladas de Ferro 3 5 9 f ( x) Preço de Venda [Mil Reais] 120 195 225 Fonte: Elaborada pelo autor. você será convidado a se colocar no lugar de cada um dos vendedores e. O quarto vendedor. você poderá atender à solicitação do cliente. tem seus valores de comercialização representados na Tabela 3. interpolando os valores da Tabela 3. Arnaldo. Dagoberto. material muito utilizado nas fundições. são chamados quatro vendedores: três desses vendedores apresentaram o orçamento.45 toneladas de sucata de ferro. verificou o erro na interpolação pela forma de Newton. Carlos. fez uso da forma de Lagrange. e o terceiro. usou a técnica do polinômio interpolador. Em cada uma das seções seguintes. 120 Interpolação . Para atender à solicitação do cliente. Para isso.1 Polinômio interpolador Diálogo aberto Aluno.� f ( xn ) . Não pode faltar ( ) ( ) (( )) Suponha que tenhamos n + 1 pares ordenados distintos. o polinômio interpolador? Ao final desta seção. trataremos da interpolação fazendo uso do polinômio interpolador. usamos os métodos de interpolação para que isso aconteça. Tecnológicas. Coloque-se no lugar desse vendedor: o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e.� f ( x00n ) . Arnaldo. vamos retomar o problema proposto anteriormente: uma fundição solicita um orçamento para a compra de 7. x0n0.. ( ) .�. e também determina pares ordenados não existentes nesse conjunto.1. denominados pontos de interpolação. desenvolveremos a resolução do problema do orçamento de venda de sucata de ferro apresentado anteriormente. Econômicas e Financeiras. teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados ao método polinômio interpolador. ou muito complexa. U3 Seção 3. para resolver o problema. Para compreender melhor. ff ((xx1n1)) . que se aproxima da função original.45 toneladas de sucata de ferro e o primeiro vendedor.. apresenta o orçamento calculando o preço por meio do polinômio interpolador. xx1n1. Interpolação 121 . mais especificamente. esperamos que você conclua que. conforme Gráfico 3. você determina uma função mais simples.. a interpolação é uma técnica muito utilizada nas áreas de Ciências Exatas. Nesta seção. xn .. Mas o que é interpolação? Tendo um conjunto de pares ordenados cuja função é desconhecida. blogspot..com. html. a0 + a1 x0 + a2 x0 2 + + an x0 n = f ( x0 ) a0 + a1 x1 + a2 x1 + + an x1 = f ( x1 ) 2 n . que é obtido 2 n através da resolução do seguinte sistema linear. A interpolação aqui apresentada é realizada através da determinação de um ″ n obtido pelo conhecimento dos pontos de interpolação. a segunda a das incógnitas e a terceira a dos termos independentes.. representamos o mesmo na forma matricial.. an .br/2011/03/interpolacao-polinomial-parte-1. sendo a primeira matriz a dos coeficientes. polinômio de grau ≤ O polinômio interpolador é p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x . 2015. U3 Gráfico 3. a2 .1 | Pares ordenados distintos Fonte: http://obaricentrodamente. Para a resolução do sistema. onde p ( x ) é uma aproximação para f ( x ) . que é a função desconhecida ou de maior complexidade. Acesso em: 24 ago. a1 . . a0 + a1 xn + a2 xn 2 + + an xn n = f ( xn ) Atenção! Sempre temos n +1 equações e n +1 incógnitas: a10 . Então: 122 Interpolação . Pesquise mais Veja mais detalhes sobre a interpretação geométrica e sobre a montagem do sistema linear que fornece os coeficientes do polinômio interpolador no material disponibilizado no link a seguir: <http://wwwp. Interpolação 123 .unesp. temos: Essa última matriz.pdf>. veja um exemplo prático para maior compreensão. Acesso em: 14 ago. denominada matriz ampliada. a matriz ampliada. Assimile O polinômio interpolador será obtido pela resolução de sistema linear. 2015. U3 Unindo os coeficientes e os termos independentes numa única matriz.fc. Atenção! Todos os cálculos efetuados nessa seção serão arredondados com duas casas decimais.br/~arbalbo/Iniciacao_Cientifica/interpolacao/ teoria/1_Interpol_polinomial_Met_Lagrange_Newton. exceto quando for descrito o critério de arredondamento. é a que escalonamos para obter a solução. Agora que você se inteirou um pouco sobre o método de interpolação. x1 = 6 e x2 = 12 . O maior valor de n para esse exemplo é 2 ( n = grau do polinômio).2 | Pares ordenados de f ( x ) x 4 6 12 f ( x) 5 1 0 Fonte: Elaborada pelo autor. Pelo apresentado. note que podemos denotar x0 = 4 .2. Resolução: Ao observar a Tabela 3. ou seja. f ( x ) ) representados na Tabela 3. de 2º grau.2. Tabela 3. a matriz ampliada para a resolução do sistema por escalonamento fica: 124 Interpolação . 39 ) por meio de interpolação polinomial. U3 Exemplificando Considerando os pares ordenados ( x. 2 0 4 5 a + a x + a x 2 = f ( x ) 1 6 1 0 1 2 2 2 2 2 12 0 a0 + 4a1 + 42 a2 = 5 a0 + 4a1 + 16a2 = 5 a0 + 6a1 + 6 a2 x1 = 1 ⇒ a0 + 6a1 + 36a2 x1 = 1 2 2 2 a + 12a + 122 a = 0 a + 12a + 144a = 0 0 1 2 0 1 2 ou 1 4 16 a0 5 1 6 36 a1 = 1 1 12 144 a 0 2 Assim. portanto o polinômio interpolador será de ordem 2. o polinômio interpolador é obtido resolvendo um sistema linear a seguir: a0 + a1 x0 + a2 x0 2 = f ( x0 ) n xn f ( xn ) a0 + a1 x1 + a2 x1 = f ( x1 ) . determine o valor de f ( 4. 23 x 2 Calculando p ( 4. 29 x + 0. 39 ) ≅ p ( 4. 39 ) = 4. 29 a 0. temos: f ( 4. 39 ) . 50 a1 = −4. 23 2 Como o polinômio interpolador é p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + + an x n. U3 1 4 16 5 1 6 36 1 1 12 144 0 Resolvendo o sistema: ( Li ) = Linha i a0 18.10 Interpolação 125 . 50 − 4. então: p ( x ) = 18. 3. 45 ) . Determinar o preço para 7. a partir da Tabela 3. f ( x ) . f ( x ) ) como base para a interpolação: (5. 225). Solução: Lembre-se de que. determine o valor de f ( 4. representa a quantidade de toneladas de ferro e o segundo. vamos calcular o valor do orçamento da venda de sucata de ferro solicitada pela empresa de fundição. 45 ) por meio de p ( 7. representa o preço de venda. Coloque-se no lugar do vendedor Arnaldo e tome as rédeas do problema. Sem medo de errar Agora que você já conheceu uma das técnicas de interpolação polinomial.1. (9. Assim: n xn f ( xn ) a0 + a1 x0 + a2 x0 2 = f ( x0 ) 0 5 195 a0 + a1 x1 + a2 x1 = f ( x1 ) 2 1 9 225 a + a x + a x 2 = f ( x ) 2 12 240 0 1 2 2 2 2 126 Interpolação . (12.45 toneladas é mesmo que estimar f ( 7. U3 Faça você mesmo Dada a Tabela 3. em milhares.3 | Pares ordenados de f ( x ) x 1 4 6 f ( x) 12 5 1 Fonte: Elaborada pelo autor. 39 ) por meio de interpolação polinomial. x . temos os seguintes pares ordenados ( x. 240) O primeiro valor. 195). Tabela 3. 43 + 12. U3 a0 + 5a1 + 52 a2 = 195 a0 + 5a1 + 25a2 = 195 a0 + 9a1 + 9 a2 = 225 ⇒ a0 + 9a1 + 81a2 = 225 2 a + 12a + 122 a = 240 a + 12a + 144a = 240 0 1 2 0 1 2 1 5 25 195 1 9 81 225 1 12 144 240 Escalonando a matriz. então: Portanto. 36 x 2 . 50 x − 0. a empresa de fundição terá de pagar 214. 43 + 12. 50 x − 0. univap.45 toneladas de sucata de ferro. 2015.57 mil reais por 7. Atenção! Para que você tenha um embasamento maior.pdf>. Lembre-se O polinômio interpolador é p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + + an x n e será Interpolação 127 .br/spilling/CN/CN_Capt4. Acesso em: 14 ago. obtemos: p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 ⇒ p ( x ) = 141. acesse: <http://www1. 36 x 2 Considerando f ( x ) ≅ p ( x ) = 141. tem seus preços apresentados na Tabela 3. Interpolação polinomial 1. 3. material muito utilizado na fabricação de vidros. Suponha que você seja o vendedor e que necessite determinar o valor da venda utilizando o método da interpolação polinomial.4 | Preço da sílica x Toneladas de Ferro 3 5 9 f ( x) Preço de Venda [Mil Reais] 120 195 225 4. Uma empresa de distribuição de sílica. U3 obtido resolvendo-se o sistema linear a seguir: a0 + a1 x0 + a2 x0 2 + + an x0 n = f ( x0 ) a0 + a1 x1 + a2 x1 + + an x1 = f ( x1 ) 2 n a0 + a1 xn + a2 xn + + an xn n = f ( xn ) 2 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu.45 toneladas de sílica. Conteúdos relacionados Interpolação. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas. Descrição da situação Fonte: Elaborada pelo autor.4: Tabela 3. Objetivos de aprendizagem correspondente a um x não tabelado. 128 Interpolação . Competência de Conhecer o cálculo numérico. Para isso. Determine o polinômio interpolador e o valor da venda. transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. -problema Uma indústria de vidros solicita um orçamento para a compra de 7. fundamentos de área Obter o polinômio interpolador e calcular o valor y 2. utilize um arredondamento de 4 casas decimais. veja o desenvolvimento da resolução. U3 Para o problema apresentado. n xn f ( xn ) 0 3 120 1 5 195 2 9 225 3 12 240 a0 + a1 x0 + a2 x0 2 + a3 x03 = f ( x0 ) a0 + a1 x1 + a2 x1 + a3 x1 = 2 3 f ( x1 ) 5. Resolução da situação a0 + a1 x2 + a2 x2 + a3 x2 = 2 3 f ( x2 ) -problema a0 + a1 x3 + a2 x32 + a3 x33 = f ( x3 ) a0 + 3a1 + 32 a2 + 33 a3 = 120 a0 + 5a1 + 5 a2 + 5 a3 = 195 2 3 a0 + 9a1 + 9 a2 + 9 a3 = 225 2 3 a0 + 12a1 + 122 a2 + 123 a3 = 240 a0 + 3a1 + 9a2 + 27 a3 = 120 a + 5a + 25a + 125a = 195 0 1 2 3 a0 + 9a1 + 81a2 + 729a3 = 225 a0 + 12a1 + 144a2 + 1728a3 = 240 Interpolação 129 . 7698 x 2 + 0. 3810 x − 13.1420 + 122. 3810 a2 −13. 7698 a 0. 5159 3 Polinômio interpolador: p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 p ( x ) = −137. 5159 x3 130 Interpolação .1420 a1 = 122. U3 1 2 9 27 a0 120 1 5 25 125 a1 = 195 1 9 81 729 a2 225 1 12 144 1728 a3 240 a0 −137. Pesquise mais Reforce o seu conhecimento acessando o link a seguir: <http://www.39 s por meio de interpolação polinomial. após a entrada de uma massa de ar quente.br/silvia/numerico/IV1. Interpolação 131 . 45 ) = 223.ufpr.6448 mil reais.142 + 122. Determine a temperatura no instante 4.45 toneladas de sílica é 223. 7698 x 2 + 0.pdf>. Faça você mesmo A Tabela 3.5 indica a queda de temperatura f ( x) de um freezer em função do tempo x . 381x − 13. Acesso em: 14 ago.5 | Pares ordenados de f ( x ) Instante – x �[ s ] 1 4 6 12 Temperatura . Tabela 3. 5159 x3 e o valor da venda de 7. 6448 mil reais Resposta: o polinômio interpolador é: p ( x ) = −137.45 toneladas de sucata de ferro p ( 7. U3 Valor da venda de 7. inf.f ( x ) [ C ] o 12 5 1 0 Fonte: Elaborada pelo autor. 2015. 9 . f ( x) 0 1 5 d) f ( 5 ) = 1.6. 73 . x 1 4 6 c) f ( 5 ) = 2. 0 . determine o valor aproximado de f ( 5 ) =por 4. b) f ( 5 ) = 4. 4 . 2 . 80 . Dada a Tabela 3. 0meio de interpolação polinomial. b) f ( 5 ) = 4. 4 . 3. Fonte: Elaborada pelo autor.8 – Pares ordenados de f ( x ) x 1 4 6 12 c) f ( 5 ) = 5. 2. U3 Faça valer a pena Lembre-se Para resolver os exercícios a seguir. 9 . 132 Interpolação .1 . Tabela 3.1 . 6 . Fonte: Elaborada pelo autor. a) f ( 5 ) = 5. 0meio de interpolação polinomial. f ( x) 0 1 5 12 d) f ( 5 ) = 1. 1. determine o valor aproximado de f ( 5 ) =por 4. 02 . 2 . Tabela 3. e) f ( 5 ) = 1.7. 61. Tabela 3. f ( x) 1 5 12 d) f ( 5 ) = 2. determine o valor aproximado de f ( 5 ) =por 4. 0meio de interpolação polinomial. Dada a Tabela 3. e) f ( 5 ) = 0.7 – Pares ordenados de f ( x ) x 4 6 12 c) f ( 5 ) = 1. utilize o arredondamento de duas casas decimais para cada cálculo. e) f ( 5 ) = 3.6 – Pares ordenados de f ( x ) b) f ( 5 ) = 3.8. Fonte: Elaborada pelo autor. a) f ( 5 ) = 2. a) f ( 5 ) = 4. 75 . Dada a Tabela 3. 10 0. Interpolação 133 . U3 4. Fonte: Elaborada pelo autor.12 – Pares ordenados de f ( x ) x -3 -2 -1 1 3 f ( x) 0. determine o valor aproximado de f ( 9 ) por meio de interpolação polinomial.17 Fonte: Elaborada pelo autor. Tabela 3.11 – Pares ordenados de f ( x ) x 8 12 15 f ( x) 10 12 9 Fonte: Elaborada pelo autor.10 – Pares ordenados de f ( x ) x 6 8 12 c) f ( 5 ) = 7. f ( x) 2 10 12 d) f ( 5) = 15. Fonte: Elaborada pelo autor. 94 . Dada a Tabela 3. determine o valor aproximado de f ( x−)0. Dada a Tabela 3. 42 . b) f ( 9 ) = 7. 6. Dada a Tabela 3. Tabela 3. Tabela 3.10. 00 . 5.44 40. 20 . f ( x) 2 10 12 9 d) f ( 9 ) = 12. 38 . Tabela 3. Dada a Tabela 3.28 0.11.9 – Pares ordenados de f ( x ) x 6 8 12 15 c) f ( 9 ) = 9. 24 . a) f ( 9 ) = 6.74 5. 75 . a) f ( 5 ) = 9. b) f ( 5) = 12. 55 . determine o valor aproximado de f (11) por meio de interpolação polinomial. 7. 67 .12. determine o valor aproximado de f ( 9 ) por meio de interpolação polinomial. 61 . e) f ( 5) = 14.9. e) f ( 9 ) = 14. 5 ) por meio de interpolação polinomial. U3 134 Interpolação . ( xn0 . Uma fundição solicita um orçamento para a compra de 7.�. xn1 .1.� f ( x1n ) . para resolver o problema. Não pode faltar Atenção! Todos os cálculos efetuados nessa seção serão arredondados com duas casas decimais. A interpolação aqui apresentada é realizada através da determinação de um polinômio de grau ≤ ″ n obtido pelo conhecimento dos pontos de interpolação. o polinômio interpolador de Lagrange? Ao final desta seção. teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados ao método polinômio interpolador de Lagrange. e novamente estaremos desenvolvendo a resolução do problema do orçamento de venda de sucata de ferro. xn . f ( x0n ) ). apresentado no início desta unidade.. U3 Seção 3. Interpolação 135 . trataremos da interpolação. Nesta seção. Coloque-se agora no lugar de Bruno: o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e. Como apresentado na seção 3. esperamos que você conclua que. e o vendedor Bruno apresenta o orçamento calculando o preço por meio do polinômio interpolador de Lagrange. mais especificamente.45 toneladas de sucata de ferro. suponha novamente que tenhamos n + 1 ( ) ( ) ( ) pontos de interpolação distintos. …. fazendo uso do polinômio interpolador de Lagrange.2 Forma de Lagrange para o polinômio interpolador Diálogo aberto Caro aluno.� f ( xn ) . exceto quando for descrito o critério de arredondamento. fazendo a interpolação na forma de Lagrange: x 3 7 10 f ( x) 5 9 11 136 Interpolação . o polinômio obtido pelo método da interpolação polinomial será igual ao obtido na interpolação pela forma de Lagrange. 2015. Atenção! O polinômio interpolador é único. Acesso em: 20 ago. Tendo conhecido os polinômios de Lagrange e o modo como eles são utilizados para compor o polinômio interpolador. ou seja.com/watch?v=qGZWSLvMa_c>. Pesquise mais Para aprofundar seu conhecimento. acesse: <www.youtube. determine o valor de f (8). onde: k =0 Lk ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xk −1 ) ( x − xk +1 ) ( x − xn ) ( xk − x0 ) ( xk − x1 ) ( xk − xk −1 ) ( xk − xk +1 ) ( xk − xn ) p ( x ) = f ( x0 ) L0 ( x ) + f ( x1 ) L1 ( x ) + + f ( xn ) Ln ( x ) os polinômios Lk ( x ) são denominados polinômios de Lagrange. veja um exemplo para reforçar seu aprendizado: Exemplificando Dada a Tabela 3. U3 n O polinômio interpolador é p ( x ) = ∑ f ( xk ) Lk ( x ) .13. 04 x + 12.18 x 2 − 3. 5 L1 ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x2 ) = ( x − 3) ( x − 10 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 ) ( 7 − 3) ( 7 − 10 ) x 2 − 13 x + 30 L1 ( x ) = − 12 x 2 − 13 x + 30 f ( x1 ) L1 ( x ) = −9 12 f ( x1 ) L1 ( x ) = −0. U3 Resolução: k 0 1 2 x 3 7 10 f ( x) 5 9 11 Lk ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xk −1 ) ( x − xk +1 ) ( x − xn ) ( xk − x0 ) ( xk − x1 ) ( xk − xk −1 ) ( xk − xk +1 ) ( xk − xn ) L0 ( x ) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) = ( x − 7 ) ( x − 10 ) ( x0 − x1 ) ( x0 − x2 ) ( 3 − 7 ) ( 3 − 10 ) x 2 − 17 x + 70 L0 ( x ) = 28 x 2 − 17 x + 70 f ( x0 ) L0 ( x ) = 5 28 f ( x0 ) L0 ( x ) = 0. 75 x 2 + 9. 5 L2 ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x1 ) = ( x − 3) ( x − 7 ) ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 ) (10 − 3) (10 − 7 ) x 2 − 10 x + 21 L2 ( x ) = 21 Interpolação 137 . 75 x − 22. 5 + 0.5.5 f ( x2 ) L2 ( x ) + 0.75 . f ( 8 ) = p ( 8 ) = 9. f ( xn ) Ln ( x ) x2 x c f ( x0 ) L0 ( x ) + 0. lançando os coeficientes e o termo constante de cada f ( xn ) Ln ( x ) e realizando a somatória.05 + 1.0. 52 x 2 − 5. U3 x 2 − 10 x + 21 f ( x2 ) L2 ( x ) = 11 21 f ( x2 ) L2 ( x ) = 0. 05 x 2 + 1. 04 x + 12. 24 x + 11 p ( x ) = −0. 24 x + 11 p ( x ) = f ( x0 ) L0 ( x ) + f ( x1 ) L1 ( x ) + + f ( xn ) Ln ( x ) p ( x ) = f ( x0 ) L0 ( x ) + f ( x1 ) L1 ( x ) + f ( x2 ) L2 ( x ) p ( x ) = 0.3. 47 x + 1 138 Interpolação .22.52 . 75 x − 22.5 f ( x1 ) L1 ( x ) . 52 x 2 − 5. 5 − 0. 56 Você pode facilitar a visualização do cálculo que define o polinômio interpolador usando o quadro a seguir.24 +11 ∑ f ( xn ) Ln ( x ) + 0. 75 x 2 + 9.04 + 12. 05 x 2 + 1.47 +1 p ( x ) = −0.75 + 9.18 .18 x 2 − 3. 47 x + 1 ⇒ Polinômio Interpolador de Lagrange Portanto. usando a interpolação de Lagrange. U3 Com a teoria exemplificada. Solução: Lembre-se que determinar o preço de 7. 32 ) . x 8 13 17 f ( x) 20 12 6 Sem medo de errar Com o conhecimento que você adquiriu sobre a Interpolação na forma de Lagrange. determine o valor de f (12. Assim: k xn f ( xn ) 0 5 195 1 9 225 2 12 240 L0 ( x ) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) = ( x − 9 ) ( x − 12 ) ( x0 − x1 ) ( x0 − x2 ) ( 5 − 9 ) ( 5 − 12 ) f ( x0 ) L0 ( x ) = 195 . 45 ) . Coloque-se no lugar do vendedor Bruno e apresente o valor da venda. ( x − 9 ) ( x − 12 ) ( 5 − 9 ) ( 5 − 12 ) Interpolação 139 . vamos calcular o valor do orçamento da venda de sucata de ferro solicitada pela empresa de fundição.45 toneladas de sucata de ferro é mesmo que calcular f ( 7. este é o momento de você testar seu aprendizado. Faça você mesmo Dados os pares ordenados a seguir. 43 . 43 x 2 − 160 x + 514. 57 mil reais 140 Interpolação .14 L1 ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x2 ) = ( x − 5) ( x − 12 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 ) ( 9 − 5) ( 9 − 12 ) f ( x1 ) L1 ( x ) = 225 ( x − 5) ( x − 12 ) ( 9 − 5) ( 9 − 12 ) f ( x1 ) L1 ( x ) = −18. 75 x − 1125 L2 ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x1 ) = ( x − 5) ( x − 9 ) ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 ) (12 − 5) (12 − 9 ) f ( x2 ) L2 ( x ) = 240 ( x − 5) ( x − 9 ) (12 − 5) (12 − 9 ) f ( x2 ) L2 ( x ) = 11.146. f ( 7.75 . 50 x + 141.18.29 ∑ f ( xn ) Ln ( x ) .50 + 141. 36 x 2 + 12.1125.75 + 318. 96 x 2 − 146.96 . 29 f ( xn ) Ln ( x ) x2 x c f ( x0 ) L0 ( x ) + 6. 25 x + 752.0.25 + 752. 45 ) = p ( 7.14 f ( x1 ) L1 ( x ) . 45 ) = 214. 75 x 2 + 318.00 f ( x2 ) L2 ( x ) + 11.160 + 514. U3 f ( x0 ) L0 ( x ) = 6.36 + 12.43 p ( x ) = −0. 43 ⇒ Polinômio Interpolador de Lagrange Portanto. fundamentos de área Obter o polinômio interpolador e calcular o valor y 2. Note que a conclusão anterior é a mesma da seção 3.ufrj. transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. a empresa de fundição terá de pagar 214.57 mil reais por 7.html>. Objetivos de aprendizagem correspondente a um x não tabelado. Acesso em: 20 ago. Atenção! Para que você tenha um embasamento maior. Conteúdos relacionados Interpolação na forma de Lagrange Interpolação 141 . 2015.im.1.45 toneladas de sucata de ferro. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas. Competência de Conhecer o cálculo numérico. U3 Desse modo. Lembre-se A interpolação na forma de Lagrange é definida pelas equações a seguir: Lk ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xk −1 ) ( x − xk +1 ) ( x − xn ) ( xk − x0 ) ( xk − x1 ) ( xk − xk −1 ) ( xk − xk +1 ) ( xk − xn ) p ( x ) = f ( x0 ) L0 ( x ) + f ( x1 ) L1 ( x ) + + f ( xn ) Ln ( x ) Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu. veja o seguinte link: <http://www. 3. Forma de Lagrange para o polinômio interpolador 1.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/ conteudo/capitulos/cap115s1. Resolução da situação -problema (1 − 4 ) (1 − 10 ) f ( x0 ) L0 ( x ) = 5.14 | Preço da sílica 4. determine o preço de venda. U3 Uma distribuidora de sílica.5 toneladas de sílica. como segue: k xn f ( xn ) 0 5 195 1 9 225 2 12 240 L0 ( x ) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) = ( x − 4 ) ( x − 10 ) ( x0 − x1 ) ( x0 − x2 ) (1 − 4 ) (1 − 10 ) f ( x0 ) L0 ( x ) = 150. Como solicitado. Uma indústria de vidros solicita um orçamento para a compra de 8. Usando a interpolação na forma de Lagrange. 78 x + 222. 44 142 Interpolação . 88 x − 194. aplicaremos a Interpolação na forma de Lagrange na resolução. apresenta seu quadro de preços de venda a seguir: Tabela 3. Descrição da situação x Toneladas de Ferro 1 4 10 -problema f ( x) Preço de Venda [Mil Reais] 150 350 450 Fonte: Elaborada pelo autor. 44 x 2 + 213. 22 L1 ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x2 ) = ( x − 1) ( x − 10 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 ) ( 4 − 1) ( 4 − 10 ) f ( x1 ) L1 ( x ) = 350 ( x − 1) ( x − 10 ) ( 4 − 1) ( 4 − 10 ) f ( x1 ) L1 ( x ) = −19. 56 x 2 − 77. material muito utilizado na fabricação de vidro. ( x − 4 ) ( x − 10 ) 5. pdf>. Acesso em: 20 ago. a indústria de vidros terá de pagar 462.88 .44 f ( x2 ) L2 ( x ) + 8.br/~andretta/ensino/aulas/sme0500-1-12/ iplagrange.11 ⇒ Polinômio Interpolador de Lagrange Portanto. 33 f ( xn ) Ln ( x ) x2 x c f ( x0 ) L0 ( x ) + 5.5 toneladas de sílica.11 p ( x ) = −5. 78 mil reais Portanto. 55 x 2 + 94.19.78 mil reais por 8. Interpolação 143 . 33 x 2 − 41.194.5. f ( 8.55 + 94.usp. 5 ) = 462.41. U3 L2 ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x1 ) = ( x − 1) ( x − 4 ) ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 ) (10 − 1) (10 − 4 ) f ( x2 ) L2 ( x ) = 450 ( x − 1) ( x − 4 ) (10 − 1) (10 − 4 ) f ( x2 ) L2 ( x ) = 8.78 + 222.43 + 61. 2015. Lembre-se Reforce o seu conhecimento por meio do seguinte link: <http://www.56 .33 . 43 x + 61.icmc.67 + 33.77.44 + 213.22 f ( x1 ) L1 ( x ) .33 ∑ f ( xn ) Ln ( x ) . 67 x + 33. 5 ) = p ( 8. x 1 3 6 8 f ( x) 2 7 10 11 Faça valer a pena 1. calcule f ( −0. fazendo uso do polinômio interpolador de Lagrange. e) f ( −1. 82 ) utilizando a interpolação na forma de Lagrange. 00 . d) f ( −0. calcule f ( −1. Dado o quadro abaixo.10 -5 -1 c) f ( −0. 82 ) = 8. 31 . 7 ) = −6. 82 ) = 10. 2. 41 . 7 ) = −10. Dado o quadro abaixo. f ( x) 3 5 11 d) f ( −1. 7 ) utilizando a interpolação na forma de Lagrange. b) f ( −1. 92 . 82 ) = 10. 144 Interpolação . 7 ) = −9. 7 ) = −9. 52 . a) f ( −1. 82 ) = 5. 31 . 82 ) = 5. e) f ( −0. 5 ) . x -1 0 3 b) f ( −0. 32 . a) f ( −0. 92 . 99 . 31 . U3 Faça você mesmo Dado o quadro de pares ordenados abaixo. determine f ( 4. 7 ) = −8. f ( x) . x -6 -2 -1 c) f ( −1. 81) = −14. b) f ( 5. Utilizando a interpolação na forma de Lagrange. 81) = −12. 35 . para o quadro abaixo.17 ) = 5. 5 ) = 3. a) f ( 2.17 ) utilizando a interpolação na forma de Lagrange. 5 ) = 3. x 1 2 5 9 f ( x) 1 7 97 609 Interpolação 145 .17 ) = 6. 78 . 63 . f ( x) 5 3 -4 d) f ( 7. f ( x) -15 -12 -3 d) f ( 2. 5 ) = 4. 31 . e) f ( 2. e) f ( 5. Dado o quadro abaixo. d) f ( 5.17 ) = 4. determine o valor de f ( 5. a) f ( 5. 00 . 5. determine o valor de f ( 3. Utilizando a interpolação na forma de Lagrange. 22 . 80 . U3 3. 35 . 4. Determine o valor de f ( 2. 81) = −10. 32 .17 . 81) = −10. x 3 8 10 c) f ( 7. para o quadro abaixo. 02 . x 2 5 8 c) f ( 2. 5 ) . 02 . b) f ( 7. x 2 4 8 f ( x) -3 4 7 c) f ( 5.17 . 81) utilizando a interpolação na forma de Lagrange para o quadro a seguir.17 ) = 5. 5 ) = 4.17 ) = 4. 5 ) . e) f ( 7. determine o valor de f ( 7. 6. a) f ( 7. b) f ( 2. 22 . 5 ) = 3. 81) = −12. 96 . x 2 3 5 9 f ( x) 8 15 36 112 146 Interpolação . 39 ) . determine o valor de f ( 6. para o quadro abaixo. Utilizando a interpolação na forma de Lagrange. U3 7. exceto quando for descrito o critério de arredondamento. Uma fundição solicita um orçamento para a compra de 7. Nesta seção. é dado por: Interpolação 147 . sendo n +1 pontos distintos. novamente trataremos da interpolação. x1 . Coloque-se agora no lugar do Carlos: o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico com o polinômio interpolador de Newton? Ao final desta seção. Não pode faltar Atenção! Todos os cálculos efetuados nesta seção serão arredondados com duas casas decimais. Além disso. O polinômio interpolador de Newton p ( x ) para f ( x ) em x0 . para resolver o problema. esperamos que você conclua que. teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados ao método polinômio interpolador de Newton.3 Forma de Newton para o polinômio interpolador Diálogo aberto Caro aluno. mais uma vez desenvolveremos a resolução do problema do orçamento de venda de sucata ferro.45 toneladas de sucata de ferro. e o vendedor Carlos apresenta o orçamento calculando o preço através do polinômio interpolador de Newton. mas fazendo uso do polinômio interpolador de Newton. xn . apresentado no início desta unidade. U3 Seção 3. ⋯. x1 . O operador das diferenças divididas é definido: x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem n f ( x0 ) = x0 d0 f [ x0 . x3 ] − f [ x1 . x2 . x2 ] = x1 f ( x1 ) f [ x1 . x2 . x2 ] − f [ x0 . xn − 2 . x1 ] = f ( x1 ) − f ( x0 ) = x1 − x0 d1 f [ x0 . xn ] = x2 f ( x2 ) dn f [ x2 . x2 . x3 ] = f [ x0 . x1 ] = x2 − x0 d2 f [ x0 . x2 ] f ( x2 ) − f ( x1 ) x3 − x0 x2 − x1 d3 f [ x1 . U3 p ( x ) = d 0 + d1 ( x − x0 ) + d1 ( x − x0 ) ( x − x1 ) + + d n ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn −1 ) Onde p ( x ) é definido por uma série de diferenças divididas de ordem k e os d k são os coeficientes. xn −1 . x1 . x3 ] = f [ xn −3 . xn ] f ( x3 ) − f ( x2 ) x3 − x2 148 Interpolação . . x1 . x1 . x2 . x3 . x2 ] x3 − x1 f [ x2 . x3 ] − f [ x0 . x2 ] = f [ x1 . x3 ] = f [ x1 . x2 . …. Acesso em: 25 ago. x3 . U3 x3 f ( x3 ) f [ xn − 2 . x2 . xn ] f [ xn −1 . xn ] xn f ( xn ) A diferença dividida de ordem n . veja o seguinte link: <www. d n . é dada por: f [ x1 . . xn − x0 Assimile O polinômio interpolador de Newton é dado por: p ( x ) = d 0 + d1 ( x − x0 ) + d 2 ( x − x0 ) ( x − x1 ) + + d n ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn −1 ) Pesquise mais Para facilitar sua compreensão. ou seja. xn −1 ] f [ x0 . ….youtube. x1 . xn ] − f [ x0 . xn −1 . 2015. xn ] = = dn. x3 . Para contribuir com uma compreensão mais tranquila. n x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 0 x0 f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) x1 − x0 f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) − 1 x1 f ( x1 ) x2 − x1 x1 − x0 x 2 − x0 Interpolação 149 . vamos desenvolver algebricamente as diferenças divididas de até ordem 3.com/watch?v=fr1oGgA7QxU>. x2 . x1 . x2 ] − f [ x0 . x2 ] = = = −0. x1 ] 1 − 2. 67 1 4 10 f [ x0 . veja um exemplo. determine f ( 4. usando o polinômio interpolador de Newton. 67 x1 − x0 4 −1 d1 f [ x1 . 5 ) . 33 x2 − x0 6 −1 d2 150 Interpolação . determinamos as diferenças divididas até ordem 2. x 1 4 6 f ( x) 2 10 12 Resolução: Primeiramente. Exemplificando Dado o quadro abaixo com os pares ordenados de f ( x) . U3 f ( x3 ) − f ( x2 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) − − f ( x2 ) − f ( x1 ) x3 − x 2 x2 − x1 x2 − x1 x1 − x0 − x2 − x1 x3 − x1 x 2 − x0 x3 − x0 f ( x3 ) − f ( x2 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) − 2 x2 f ( x2 ) x3 − x2 x2 − x1 x3 − x1 f ( x3 ) − f ( x2 ) x3 − x2 3 x3 f ( x3 ) Agora que você conheceu o operador diferenças divididas e o polinômio interpolador de Newton. x1 ] = = = 2. x1 . como apresentado no quadro abaixo: n x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 2 0 1 d0 f ( x1 ) − f ( x0 ) 10 − 2 f [ x0 . pois isso o ajudará a sanar suas dúvidas. 77 Com a teoria exemplificada. U3 f ( x2 ) − f ( x1 ) 12 − 10 f [ x1 . 32 x − 1. x 5 9 12 f ( x) -4 -2 12 Interpolação 151 . 67 ( x − 1) − 0. 99 Conhecendo o polinômio p ( x ) . x2 ] = = =1 x2 − x1 6−4 2 6 12 Conhecendo as diferenças divididas. 33 x 2 + 4. 33 ( x − 1) ( x − 4 ) p ( x ) = −0. 5 ) ≅ p ( 4. como segue: f ( 4. 5 ) . determine f (10 ) usando o polinômio interpolador de Newton. 5 ) = 10. escrevemos o polinômio interpolador. Faça você mesmo Dado o quadro abaixo. conforme apresentado a seguir: p ( x ) = d 0 + d1 ( x − x0 ) + d 2 ( x − x0 ) ( x − x1 ) p ( x ) = 2 + 2. este é o momento de você testar seu aprendizado. podemos agora estimar f ( 4. com os pares ordenados de f ( x) . 5 ( x − 5 ) − 0. x1 ] = = 7. 45 ) . vamos calcular o valor do orçamento da venda de sucata de ferro solicitada pela empresa de fundição. 36 ( x − 5 ) ( x − 9 ) p ( x ) = −0. x1 ] 1 9 225 f [ x0 . x2 ] − f [ x0 . 74 152 Interpolação . 36 x2 − x0 d2 f ( x2 ) − f ( x1 ) f [ x1 . 5 x1 − x0 d1 f [ x1 . 45 ) = 214. 45 ) ≅ p ( 7. Assim: n xn f ( xn ) 0 5 195 1 9 225 2 12 240 n x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 195 0 5 d0 f ( x1 ) − f ( x0 ) f [ x0 . 54 x − 141. x2 ] = =5 x2 − x1 1 2 240 2 p ( x ) = d 0 + d1 ( x − x0 ) + d 2 ( x − x0 ) ( x − x1 ) p ( x ) = 195 + 7. x2 ] = = −0. x1 . 36 x 2 + 12.45 toneladas de sucata de ferro é o mesmo que calcular f ( 7. Solução: Determinar o preço de 7. U3 Sem medo de errar Conhecendo a interpolação na forma de Newton. Coloque-se no lugar do vendedor Carlos e apresente o valor da venda. 3 f ( 7. fundamentos de área Obter o polinômio interpolador e calcular o valor y 2. Lembre-se A interpolação na forma de Newton é definida por: p ( x ) = d 0 + d1 ( x − x0 ) + d1 ( x − x0 ) ( x − x1 ) + + d n ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn −1 ) em que os di são obtidos por meio do cálculo de diferenças divididas.fc. 3. veja o seguinte link: <http://wwwp.unesp. U3 Portanto.74 mil reais por 7. a empresa de fundição terá de pagar 214. Conteúdos relacionados Interpolação da forma de Newton. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas. Pesquise mais Para ampliar seus conhecimentos. Competência de Conhecer o cálculo numérico. Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu. transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho.pdf>.br/~arbalbo/Iniciacao_Cientifica/interpolacao/ teoria/1_Interpol_polinomial_Met_Lagrange_Newton. Forma de Newton para o polinômio interpolador 1. Acesso em: 25 ago. Objetivos de aprendizagem correspondente a um x não tabelado. 2015. Interpolação 153 .45 toneladas de sucata de ferro. 88 x + 22. 33 ( x − 1) − 1. Descrição da situação x Toneladas de Ferro 1 4 10 -problema f ( x) Preço de Venda [Mil Reais] 50 120 200 Fonte: Elaborada pelo autor.5 toneladas de sílica. x1 . 33 5. Resolução da situação x1 − x0 -problema d1 f [ x0 .14 | Preço da sílica 4.11x 2 + 28. aplicaremos a interpolação na forma de Newton. Uma indústria de vidros solicita um orçamento para a compra de 8. U3 Uma distribuidora de sílica.11( x − 1) ( x − 4 ) p ( x ) = −1. apresenta seu quadro de preços de venda a seguir: Tabela 3. Na resolução como solicitado. x1 ] = f ( x1 ) − f ( x0 ) = 23. x1 ] = −1. material muito utilizado na fabricação de vidro. 23 154 Interpolação .11 x2 − x0 d2 f [ x1 . x2 ] = 1 4 120 f [ x1 . x2 ] − f [ x0 . determine o preço de venda. como apresentada abaixo: k xn f ( xn ) 0 1 50 1 4 120 2 10 200 n x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 50 0 1 d0 f [ x0 . Usando a interpolação na forma de Newton. 33 x2 − x1 2 10 200 p ( x ) = d 0 + d1 ( x − x0 ) + d 2 ( x − x0 ) ( x − x1 ) p ( x ) = 50 + 23. x2 ] = f ( x2 ) − f ( x1 ) = 13. Interpolação 155 .ufmg. 2015. 5 ) ≅ p ( 8.51 mil reais por 8.html>. aplicando a interpolação de Newton.br/~nivio/cursos/pa02/seminarios/ seminario6/seminario6. em metros.dcc. Faça você mesmo Uma partícula tem seu descolamento f ( x) . no instante x = 4. 22 m m.5 toneladas de sílica. há mais um link para que você aprimore seu conhecimento: <http://homepages. 51 Resposta: a indústria de vidros terá de pagar 187. 5 ) = 187. Determine sua posição f ( x) no instante x = 4. em função do tempo x . xn [ s ] f ( xn ) [ m ] 1 1 4 2 7 4 10 8 Portanto. 5 s. em segundos. U3 f ( 8. Acesso em: 25 ago. 5 ss a partícula ocupa a posição ( ) f x = 2. Pesquise mais A seguir. conforme quadro abaixo. 3. 52 . e) f ( 5 ) = −10. 3) = −10. 37 . 00 . d) f ( −0. 22 ) = 10. calcule f ( −0. b) f ( −0.10 -5 1 a) f ( −0. Dado o quadro abaixo. b) f ( −1. d) f ( −1. e) f ( −0. 45 . Determine o valor de f ( 5 ) utilizando = 4. 28 . 3) = −8. calcule f ( −1. 3) utilizando a interpolação na forma de Newton x -1 1 3 f ( x) . 22 ) = 7. x -6 -2 -1 f ( x) 3 8 11 a) f ( −1. 0 a interpolação na forma de Newton para o quadro a seguir. 22 ) = 8. 3) = −7. c) f ( −1. 31 . 31 . x 2 7 8 f ( x) -15 -8 -3 156 Interpolação . Dado o quadro abaixo. c) f ( −0. 92 . U3 Faça valer a pena 1. 22 ) utilizando a interpolação na forma de Newton. 22 ) = 10. 3) = −7. 25 . 3) = −9. 2. 31 . b) f ( 2. 94 . c) f ( 5 ) = −11. 21 . 50 . determine o valor de f ( 2. 65 .17 . Utilizando a interpolação na forma de Newton.17 . 00 . x 1 8 10 f ( x) 4 3 -2 a) f ( 2. c) f ( 2. 22. calcule f ( 7 ) utilizando a interpolação na forma de Newton. e) f ( 5 ) = −12. e) f ( 7 ) = 6. d) f ( 2. para o quadro abaixo. 25 . 4. Interpolação 157 . Dado o quadro abaixo. x 2 6 9 f ( x) -5 3 7 a) f ( 7 ) = 6. c) f ( 7 ) = 5. 85 . 5 ) = −1. 40 . 5 ) = −1. 32 . 21 . e) f ( 2. 89 . d) f ( 5 ) = −14. b) f ( 5 ) = −11. 5 ) . U3 a) f ( 5 ) = −10. b) f ( 7 ) = 4. 5 ) = 3. 98 . 5. 5 ) = −1. d) f ( 7 ) = 3. 5 ) = 5. Utilizando a interpolação na forma de Newton. para o quadro abaixo. U3 6. 8 ) . para o quadro abaixo. x 1 2 5 10 f ( x) 1 7 100 600 7. Utilizando a interpolação na forma de Newton. x -3 -1 5 10 f ( x) 10 50 100 600 158 Interpolação . determine o valor de f ( 6. determine o valor de f ( 4. 39 ) . lembre -se de que os vendedores Arnaldo. esperamos que você compreenda os aspectos teóricos que embasam a estimação do erro e que isso colabore para que você resolva o problema de Dagoberto. ou simplificada. Para isso. Para complementar o trabalho realizado por esses vendedores. Interpolação 159 . Observe o Gráfico 3. o quarto vendedor. Para compreendermos o contexto em que o estudo do erro se aplica. deve verificar o erro cometido ao determinar o orçamento da venda de sucata. Dagoberto.2. Bruno e Carlos apresentaram o orçamento para 7.45 toneladas de sucata de ferro. Não pode faltar O erro na interpolação ocorre porque o polinômio interpolador é uma função aproximada.4 Estudo do erro na interpolação pelo método de Newton Diálogo aberto Caro aluno. da função original. decidiu utilizar o orçamento apresentado por Carlos e o método de Newton. Estudaremos o erro proveniente do uso da interpolação na determinação de uma estimativa. da função original. Isso ocorre porque o polinômio interpolador é uma função aproximada. U3 Seção 3. ou simplificada. Coloque-se no lugar de Dagoberto e imagine: o que é necessário compreender para estimar o erro? Ao final desta seção. que exemplifica graficamente o erro na interpolação. 2 | Erro em função de uma interpolação Fonte: Elaborada pelo autor.2 e descrito anteriormente. o erro é a diferença entre o valor real f ( x ) e o valor interpolado pn ( x ) . não temos o conhecimento da função f ( x ) e isso não nos impede de estimar o erro causado por uma interpolação. sendo que isso quando conhecemos a função original f ( x ) . O nosso estudo se baseia nessa situação. comumente. En ( x ) = Erro proveniente da interpolação para x .2. na qual temos só o conhecimento ( ) dos n pares ordenados x. No Gráfico 3.� f ( x ) e obtemos a interpolação para f ( x ) com a 160 Interpolação . Mas. temos: f ( x ) = Resultado obtido a partir de x pela função original f . O sub-índice n em En ( x ) indica a ordem do polinômio interpolador. Como apresentado no Gráfico 3. Assimile O erro é a diferença entre o valor real f ( x ) e o valor interpolado pn ( x ) : En ( x ) = f ( x ) − pn ( x ) . U3 Gráfico 3. pn ( x ) = Resultado obtido a partir de x pelo polinômio interpolador pn . buscando um polinômio de menor grau que atenda à necessidade. ordemnn++1| onde máx |diferenças divididas de ordem n + 1| é o máximo valor absoluto das diferenças divididas de ordem n +1 . sendo a estimativa para En ( x ) expressa por: ∙ ((máx En ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn ) máx|diferenças diferençasdivididas divididasde deordem 1 )). na interpolação não utilizamos todos os pontos. Conhecendo a expressão que estima o erro na interpolação de Newton. Assimile O erro estimado é utilizado quando não conhecemos a função f ( x ). U3 estimativa do respectivo erro. Conhecendo apenas os n pontos de interpolação. 2015.pdf>.fc..br/~arbalbo/Iniciacao_Cientifica/interpolacao/ teoria/2_Forma_de_NewtonGregory. Acesso em: 26 ago. + 11|) Pesquise mais Leia um pouco mais sobre a estimativa do erro na interpolação pelo método de Newton em: <http://wwwp. e será dado por: ( máx |diferenças En ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn ) ∙ (máx diferenças divididas divididasde deordem ordem n + ).� f ( x ) tabelados é muito grande e. estudadas na seção 3. A estimativa do erro tem grande aplicabilidade em situações em que a ( ) quantidade de pares ordenados x. por isso.unesp. veja um exemplo que poderá esclarecer suas dúvidas: Interpolação 161 .3. o erro poderá ser estimado fazendo uso das diferenças divididas. U3 Exemplificando Dado o quadro de pares ordenados ( x,� f ( x ) ) a seguir, determine o valor de f ( 7, 32 ) pela interpolação de ordem 2 na forma de Newton e estime o erro. Para a construção do polinômio interpolador, utilize apenas os valores 4, 7 e 9 para x . x 2 4 7 9 13 16 f ( x) 1 2 3 6 10 15 Resolução: Agora, vamos estimar o erro para a aproximação f ( 7, 32 ) ≅ p2 ( 7, 32 ), conforme segue: ( máx |diferenças En ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn ) ∙ (máx diferenças divididas divididasde deordem ordem n + ), + 11|) Como o polinômio interpolador p2 ( x ) aplicado foi de ordem 2, n = 2, então faremos as diferenças divididas de ordem 3, n + 1 ⇒ 2 + 1 = 3 . O cálculo das diferenças divididas foi apresentado na seção 3.3. x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 2 1 0,50 4 2 -0,03 0,33 0,04 7 3 0,23 1,50 -0,04 9 6 -0,08 1,00 0,02 13 10 0,10 1,67 16 15 Note que, para a estimação do erro, utilizamos todos os pares ( ) ordenados x, f ( x ) tabelados e não somente os utilizados para a determinação de p2 ( x ) . 162 Interpolação U3 máx máx diferenças diferençasdivididas diferenças divididas divididasde de deordem ordem ordem = = = = 333| 00,,04 04 00,,04 04 Lembre-se de que o polinômio interpolador p2 ( x ) foi obtido considerando x0 = 4 , x1 = 7 e x2 = 9 , valores que também são utilizados para estimar a magnitude do erro E2 ( x ) para f ( 7, 32 ) ≅ p2 ( 7, 32 ) . ( máx |diferenças En ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn ) ∙ (máx divididas de diferenças divididas deordem 1 )1|) ordemnn++ ( máx |diferenças E2 ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − x2 ) ∙ (máx diferenças divididas divididasdede ordem 3 )3|) ordem E2 ( x ) ≅ 0, 04 x 3 − 0, 8 x 2 + 5, 08 x − 10, 08 E2 ( 7, 32 ) ≅ −0, 07 E2 ( 7, 32 ) ≅ 0, 07 Portanto, ao aproximar f ( 7, 32 ) por p2 ( 7, 32 ) utilizando x0 = 4 , x1 = 7 e x2 = 9 para realizar a interpolação, a estimativa de erro é E2 ( 7, 32 ) ≅ 0, 07 . Você acompanhou o exemplo. Agora, procure fazer a atividade a seguir para se certificar que não restaram dúvidas. Faça você mesmo Dado o quadro de pares ordenados ( x,� f ( x ) ) a seguir, estime o erro da interpolação para f ( 9 ) na forma de Newton, sendo que ela será de ordem 2 com x = 8 , 10 e 13 . Interpolação 163 U3 x 1 4 8 10 13 16 f ( x) 1 2 5 8 14 20 Sem medo de errar Conhecendo o cálculo da estimativa do erro na interpolação na forma de Newton, vamos estimar o valor do erro no orçamento da venda de sucata de ferro apresentado por Carlos. Coloque-se no lugar do vendedor Dagoberto e apresente o erro estimado do valor da venda, sabendo que o vendedor tem acesso a um quadro com um número maior de preços de venda, como apresentado abaixo: x Toneladas de Ferro 1 5 9 12 15 f ( x) Preço de Venda [Mil Reais] 193 195 225 240 270 Lembre-se de que o polinômio interpolador p2 ( x ) = −0, 36 x + 12, 54 x − 141, 3 2 obtido por Carlos foi de ordem 2, isto é, n = 2 . Desse modo, as diferenças divididas que serão utilizadas na estimação do erro são de ordem 3, pois n + 1 = 2 + 1 = 3 . O cálculo das diferenças divididas foi apresentado na seção 3.3. x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 1 193 0,50 5 195 0,88 7,50 -0,11 9 225 -0,36 5,00 0,12 12 240 0,83 10,00 15 270 164 Interpolação U3 máxmáx |diferenças divididas diferenças divididasdedeordem ordem = 3 0= 3| ,12 0,12 Recorde-se de que o polinômio interpolador p2 ( x ) foi obtido considerando x0 = 5 , x1 = 9 e x2 = 12 . Esses mesmos valores serão utilizados novamente para definir o polinômio de estimativa do erro E2 ( x ) para f ( 7, 45 ) ≅ p2 ( 7, 45 ) . En ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn ) ( máx|diferenças ∙ (máx diferenças divididas divididas de ordem de ordem n +1 ) n + 1|) ( máx|diferenças E2 ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − x2 ) ∙ (máx diferenças divididas divididas 3|) 3 ) de ordem de ordem . 0,12 E2 ( x ) ≅ ( x − 5 ) ( x − 9 ) ( x − 12 ) E2 ( x ) ≅ 0,12 x 3 − 3,12 x 2 + 25, 56 x − 64, 8 . 7, 453 − 3,12. 7, 452 + 25, 56. 7, 45 − 64, 8 E2 ( 7, 45 ) ≅ 0,12 E2 ( 7, 45 ) ≅ 2, 07 E2 ( 7, 45 ) ≅ 2, 07 Atenção! Reforce seu conhecimento por meio do seguinte link: <http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/julia/materiais/ main_CAN_interpolacao_e_ajuste.pdf>. Acesso em: 27 ago. 2015. Lembre-se O erro de interpolação na Forma de Newton é dado por: En ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn ) ( máx|diferenças ∙ (máx diferençasdivididas divididasde de ordem ordem +1 ) n +n1|) Interpolação 165 Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas.17 18 28 máx máxdiferenças |diferençasdivididas deordem divididas de ordemnn++1| 1 = −0. estudadas na seção 3. f ( 6 ) . Descrição da situação x 1 2 5 7 12 18 -problema f ( x) 10 11 15 22 27 28 Determine o erro de interpolação para a estimativa de temperatura do sexto dia do mês. x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 1 10 1 2 11 0. Estudo do erro na interpolação 1. 08 = 0. fundamentos de área 2.08 7 22 -0.02 12 27 -0.06 5 15 0.3.33 0.08 0. Conteúdos relacionados Estudo do erro resultante de uma interpolação. O dia do mês é representado por x e a temperatura por f ( x ) .08 5. U3 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu. 4. sabendo que interpolação será de ordem 2. 3. Competência de Conhecer o cálculo numérico. Veja abaixo o quadro de temperaturas para alguns dias de julho de 2015.5 -0. usando x = 5 . transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Objetivos de aprendizagem Estimar o erro por realizar uma interpolação. ou seja. numa determinada região. em graus Celsius.43 -problema 3. Vamos iniciar a resolução calculando as diferenças divididas. 08 166 Interpolação . Resolução da situação 1. 7 e 12 .36 1 0. 08 E2 ( 6 ) ≅ 0.br/~arbalbo/Iniciacao_Cientifica/interpolacao/ teoria/2_Forma_de_NewtonGregory.pdf>. 2015. 32 x − 33. xx11 =77 e x2 = 12. 6 . 48 E2 ( 6 ) ≅ 0. que manteremos para definir o polinômio de estimativa do erro E2 ( x ) para f ( 6 ) ≅ p2 ( 6 ) . En ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xn ) (máx |diferenças divididas de ordem n + 1|) E2 ( x ) ≅ ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − x2 ) (máx |diferenças divididas de ordem 3|) . Lembre-se Complemente seus estudos sobre o erro de interpolação a partir do link a seguir: <http://wwwp. 32. U3 O polinômio interpolador p2 ( x ) será obtido considerando x0 5= = . 0. 6 − 33. 92 x 2 + 14. Acesso em: 31 ago. 92.unesp.fc. 62 + 14. 48o C . 08 x3 − 1. 6 E2 ( 6 ) ≅ 0. 63 − 1. Interpolação 167 . 48 Resposta: o valor interpolado f ( 6 ) ≅ p2 ( 6 ) apresentará uma estimativa de erro E2 ( 6 ) ≅ 0. 08 E2 ( x ) ≅ ( x − 5 ) ( x − 7 ) ( x − 12 ) E2 ( x ) ≅ 0. aquece a água [o C ] em função [] tempox s . [] Faça valer a pena Atenção! Todos os cálculos deverão ser realizados com 4 casas decimais e a resposta aproximada com uma casa decimal. c) E2 ( −0. 7 e 10 x s. U3 Faça você mesmo Uma caldeira. 168 Interpolação . 2 . b) E2 ( −0. 3) = 3. x1 = 1 e x2 = 3 . conforme o quadro abaixo: x [s] 1 3 7 10 13 17 f ( x ) [o C ] 1 2 6 12 20 35 Estime o erro cometido ao determinar a temperatura da água em para o tempo 8. 5 ) . quando acionada.5 s. 3) para a interpolação na forma de Newton. x -3 -1 1 3 7 f ( x) . calcule E2 ( −0. ou seja.10 -5 1 9 a) E2 ( −0. f ( 8. 3) = 2. 0 .12 . Dado o quadro abaixo. 1. d) E2 ( −0.1 . 3) = 2. onde x0 = −1 . 3) = 0. 0 . utilizando a interpolação de Newton para x = 3 . 4 . x . e) E2 ( −1. x1 = −2 e x2 = −1 . 8 . 22 ) para a interpolação na forma de Newton. 22 ) = 0. 22 ) = 1. d) E2 ( 5 ) = 4. 2 . 2. c) E2 ( −1. d) E2 ( −1. U3 e) E2 ( −0. onde x0 = 2 . onde x0 = −6 . 3) = 4. calcule E2 ( 7 ) para a interpolação na forma de Newton. calcule E2 ( −1. Dado o quadro abaixo. calcule E2 ( 5 ) para a interpolação na forma de Newton. 7 . 8 .1 . onde x0 = 2 . b) E2 ( 5 ) = 7. x1 = 6 e x2 = 9 .10 -6 -2 -1 2 f ( x) -6 3 8 11 12 a) E2 ( −1. x -10 2 6 9 20 f ( x) -7 -5 3 7 12 Interpolação 169 . 8 . e) E2 ( 5 ) = 9. 3. b) E2 ( −1. x -6 2 7 8 22 f ( x) -25 -15 -8 -3 0 a) E2 ( 5 ) = 0. Dado o quadro abaixo. c) E2 ( 5 ) = 3. 4. x1 = 7 e x2 = 8 .1 . 5 . 22 ) = 10. Dado o quadro abaixo. 0 . 22 ) = 2. 22 ) = 8. 0 . calcule E3 ( 6. c) E2 ( 2. U3 a) E2 ( 7 ) = 9. b) E2 ( 7 ) = 7. onde x0 = −3 . 8 . onde x0 = 1 . Dado o quadro abaixo. calcule E2 ( 2. x2 = 5 e x3 = 10 . 6. 8 . e) E2 ( 7 ) = 0. c) E2 ( 7 ) = 2. 5 ) = 9. x 0 1 8 10 20 f ( x) 1 4 3 -2 12 a) E2 ( 2. 5. d) E2 ( 7 ) = 1. 5 ) = 6. 8 . 9 . 5 ) para a interpolação na forma de Newton. b) E2 ( 2. x1 = 2 . x 0 1 2 5 10 f ( x) 0 1 7 100 600 7. d) E2 ( 2. 5 ) = 1. 39 ) para a interpolação na forma de Newton. Dado o quadro abaixo. x1 = −1 . calcule 3 ( ) para a interpolação na forma de E 4. e) E2 ( 2. 2 . 3 . 3 . Dado o quadro abaixo. onde x0 = 1 . 5 ) = 4. 5 ) = 5. 2 . 8 Newton. x -10 -3 -1 5 10 20 30 f ( x) 5 10 50 100 600 700 900 170 Interpolação . x1 = 8 e x2 = 10 .1 . x2 = 5 e x3 = 10 . 0 . 1981. W. 1996. Acesso em: 20 ago. Gomes. ARENALES. MCCRACKEN. 2015. São Paulo: Makron Books. LOPES. 2. RUGGIERO.icmc. Neide Bertoldi. Cálculo numérico.. S.pdf>. Interpolação 171 . Cálculo numérico com estudos de casos de Fortran IV. DAREZZO. 2015.univap. D. Disponível em <http://www. U3 Referências ANDRETTA. S. Vera Lucia da Rocha. Márcia A. ed. FRANCO. São Paulo: Thompson Learning.br/~andretta/ensino/aulas/sme0500-1-12/iplagrange. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. Cálculo numérico. D. Acesso em: 14 ago.pdf>. DORN. 2008.. PILLING. M.br/spilling/ CN/CN_Capt4. Rio de Janeiro: Campus.usp. Disponível em: <http://www1. S. São Paulo: Pearson. 2006. S. Interpolação polinomial: polinômio de Lagrange. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. . S & S Supermercados. nessa Unidade estudaremos Integração Numérica. Tecnológicas. ou seja. Geralmente usamos essa técnica quando a integração da função f ( x ) .5 anos. Financeiras e de Ciências Exatas. também estudaremos o Erro na Integração Numérica. Saúde. como a integração numérica nos fornece um valor aproximado. por Cálculo Diferencial e Integral.6 x Três grandes lojistas. Estudaremos a Integração Numérica pela Fórmula de Newton-Cotes. Regra do Trapézio e Regra de Simpson. A seguir veremos uma situação hipotética que nos ajudará a desenvolver os conceitos e as técnicas com uma visão prática: Uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional ff ( xx) [ mil mil habitantes ano] em função do tempo x �[ ano ] : habitantes // ano ha f ( x ) = 200 + e0. que é uma técnica que nos permite obter o valor aproximado da integral de uma função f ( x ) num intervalo [ a. pelo método analítico.� b ] . A integração numérica tem grande aplicação nas áreas Sociais. Magazine Sul e KLM Veículos têm a intenção de implantarem filiais nessa cidade e. Econômicas. a Magazine Sul aplicou a Regra do Trapézio e a KLM Veículos usou a . para isso. não conseguimos expressar a função primitiva por meio de funções elementares. precisam conhecer qual será o crescimento populacional entre 3 e 4. Para isso a S & S Supermercados fez uso da integração pela fórmula de Newton- Cote. Unidade 4 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Convite ao estudo Caro aluno. 174 Integração Numérica . U4 Regra de Simpson. você poderá responder a variação populacional buscada por eles. Em cada uma das seções seguintes você será convidado a se colocar no lugar de cada um dos lojistas e. além de identificar as características de cada método e compreender as facilidades e dificuldades de utilização de cada um. A prefeitura local por sua vez apresentou o Estudo de Erro em função da Integração Numérica aplicada. ao final dessa unidade. A Integração Numérica é uma técnica que permite obter o valor aproximado b da integral de uma função f ( x ) . Essa técnica se aplica quando a f ( x) é uma função muito complexa e se torna muito trabalhosa a integração pelas técnicas do Cálculo Diferencial e Integral. Tecnológicas. da Integração pela Fórmula de Newton-Cotes? Ao final dessa seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados à Integração pela Fórmula de Newton-Cotes. Integração Numérica 175 . a Integração Numérica é uma técnica muito utilizada nas áreas de Ciências Exatas. Para isso a S & S Supermercados fez uso da integração pela fórmula de Newton-Cotes. precisa conhecer qual será o crescimento populacional entre 3 e 4. Nessa seção trataremos da Integração Numérica fazendo uso da fórmula de Newton-Cotes e para isso desenvolveremos a resolução do problema do crescimento populacional apresentado anteriormente. A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica aqui comentada. Coloque-se no lugar da S & S Supermercados: o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e. ∫ f ( x ) dx . vamos retomar o problema proposto no início dessa unidade: uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional f ( x ) [ mil habitantes / an habitantes / ano ] em função do tempo x �[ ano ] : f ( x ) [ mil ha f ( x ) = 200 + e0. Econômicas e Financeiras. mais especificamente. Para compreender melhor.5 anos. U4 Seção 4.1 Fórmula de Newton-Cotes Diálogo aberto Aluno. para isso.6 x O lojista S & S Supermercados tem a intenção de implantar filiais nessa cidade e. � b ] .ufpel.br/~rudi/grad/ModComp/ MetNum/html/Apostilach3. 176 Integração Numérica . 2015. Então: Assimile b b I NC ( f ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ pn ( x ) dx a a Pesquise mais Para se aprofundar nos conceitos relacionados à fórmula de Newton- Cotes. onde n será o n número de subintervalos que dividimos [ a. Acesso em: 12 set.html>. leia: <http://minerva. U4 Não pode faltar A integração pela fórmula de Newton-Cotes é baseada no polinômio interpolador de Lagrange pn ( x ) . como vemos a seguir: b b I NC ( f ) = ∫ f ( x ) dx ≅ ∫ pn ( x ) dx a a Como visto na seção 3.2: n pn ( x ) = ∑ f ( xi ) Li ( x ) i =0 Assim: n b I NC ( f ) = ∑ f ( xi ) ∫Li ( x ) dx i =0 a b−a onde xi é definido em função da variação dada por h = .edu. x1 = x0 + 1 = 2 e x= 2 x= n b=3 3 100 100 Se desejamos ∫x dx . pois isso nos ajudará a compreender melhor a técnica em estudo: Exemplificando 3 100 Calcule ∫x 1 2 +5 dx fazendo uso da integração pela fórmula de Newton- Cotes para n = 2 .67 1 2 11. calculando xi : x0= a= 1 . temos: n b − a 3 −1 h= = =1 n 2 Assim. Resolução: b−a Definindo h = . U4 Vamos exemplificar a teoria.14 Integração Numérica 177 .11 2 3 7. i xi f ( xi ) 0 1 16. calculamos f ( xi ) em função de xi . então f ( x ) = 2 . 1 2 +5 x +5 Conhecendo f ( x ) . U4 Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange.44 -33.71 +7. ( x − 2 ) ( x − 3) (1 − 2 ) (1 − 3) f ( x1 ) L1 ( x ) = f ( x1 ) ( x − x0 ) ( x − x2 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 ) f ( x1 ) L1 ( x ) = 11.14 ∑ f ( xn ) Ln ( x ) +0.97 +23.11 +44.04 f ( x1 ) L1 ( x ) -11.34 -41.80 -7. 3 3 100 ∫1 x 2 + 5 dx ≅ ∫1 p ( x ) dx 178 Integração Numérica . 97 x + 23. estudado na seção 3.70 +50. 86 ⇒ Polinômio Interpolador de Lagrange.86 p ( x ) = 0. 80 x 2 − 7. 67.11 ( x − 1) ( x − 3) ( 2 − 1) ( 2 − 3) f ( x2 ) L2 ( x ) = f ( x2 ) ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 ) f ( x2 ) L2 ( x ) = 7. Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p ( x ) podemos realizar a integração.57 -10.2.33 f ( x2 ) L2 ( x ) +3. f ( x0 ) L0 ( x ) = f ( x0 ) ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x0 − x1 ) ( x0 − x2 ) f ( x0 ) L0 ( x ) = 16.14 ( x − 1) ( x − 2 ) ( 3 − 1) ( 3 − 2 ) f ( xn ) Ln ( x ) x2 x c f ( x0 ) L0 ( x ) +8. 86 x 1 3 100 ∴∫ dx ≅ 22. 82 1 x2 + 5 Lembre-se Do cálculo diferencial e integral. onde F ( x ) é uma primitiva de f ( x ) . onde c ∈ . onde c ∈ . Caro aluno. 86 dx = 2 ) 3 x 2+1 x1+1 0. 80 x − 7. 99 x 2 + 23. n n x n +1 ∫ kx dx = k ∫ x dx = k + c . 97 + 23. sendo k . convidamos você a resolver a atividade a seguir utilizando a mesma técnica. 27 x ) 3 3 − 3. 80 − 7 . Integração Numérica 179 . Faça você mesmo 2 xe x 3 Calcule ∫ ln ( 3x ) dx 2 fazendo uso da integração pela fórmula de Newton- Cotes para n = 2 . U4 3 3 100 ( ∫1 x 2 + 5 dx ≅ ∫1 0. F ′ ( x ) = f ( x ) . a e b constantes. ou seja. 86 x 2 +1 1+1 1 ( 0. veja se entendeu o que lhe foi apresentado. n +1 b b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a a = F ( b ) − F ( a ) . 97 x + 23. temos: ∫ kdx = k ∫ dx = kx + c . Resolução: O valor h = 0.5 anos.5 208.U4 2 xe x 3 Resposta: ∫2 ln ( 3 x ) dx ≅ 32. h = 0.5 em 0. Para isso a empresa S & S Supermercados fez uso da integração pela fórmula de Newton-Cotes. ou seja.02 3 4. 5 já foi definido no problema.5 ano. 5 . 5 = 4 e x= 3 x= n b = 4. 0 .6 x 3 3 Conhecendo f ( x ) .5 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 200 + e ) dx . onde tempo x varia de 0. 5 ( ) Como f x = 200 + e 0 .6 x O lojista S & S Supermercados tem a intenção de implantar filiais nessa cidade e. precisa conhecer qual será o crescimento populacional entre 3 e 4. calculamos f ( xi ) : i xi f ( xi ) 0 3 206.6 x é uma função de taxa de crescimento populacional e desejamos conhecer o crescimento populacional.17 2 4 211.5 4 .05 1 3. assim xi : x0= a= 3 . então devemos calcular 4 . 03 Sem medo de errar Vamos relembrar do problema proposto inicialmente: uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional f ( x ) [ mil habitantes ha / ano ] em função do tempo x �[ ano ] : f ( x ) = 200 + e0. 5 = 3. 5 ano.5 214.88 180 Integração Numérica . para isso. x1 = x0 + 0. x2 = x1 + 0. 43 p ( x ) = −0. 02 ( x − 3) ( x − 3.5 4 .72 f ( x2 ) L2 ( x ) -844. 5) ( 4.68 -9575. 5) ( 3.42 ∑ f ( xn ) Ln ( x ) -0.5 4 .08 +9284. 5 − 4 ) ( 3.78 f ( x3 ) L3 ( x ) +286.33 +3303.66 -19. 5 − 4.96 -13147. 43 ⇒ Polinômio Interpolador de Lagrange.2. 5) ( x − 4 ) ( x − 4. 66 x 2 − 19. 99 x + 230.82 +36221. 5 − 4 ) f ( xn ) Ln ( x ) x3 x2 x c f ( x0 ) L0 ( x ) -275.6 x 3 3 4 . 22 x ) 0 . 05 ( x − 3. 22 x 3 + 4.17 ( x − 3) ( x − 4 ) ( x − 4. 88 ( x − 3) ( x − 3.5 ∫ ( 200 + e ) dx ≅ ∫ p ( x ) dx 0 . 5) ( x − 4 ) ( 4. U4 Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange.18 +39882.22 +4. 5) f ( x3 ) L3 ( x ) = 214.62 -12033. 5) ( 4 − 3) ( 4 − 3. 66 x 2 − 19.51 -3008. 5 − 3) ( 3. f ( x0 ) L0 ( x ) = 206. 5) ( 3 − 4 ) ( 3 − 4.99 +230. 5 − 3. 5) f ( x2 ) L2 ( x ) = 211.36 +10457. 5) f ( x1 ) L1 ( x ) = 208.01 +17345. 99 x + 230. 5) ( 3 − 3.79 f ( x1 ) L1 ( x ) +832. 43 dx = 3 3 Integração Numérica 181 .88 -33552.58 -44964. 5) ( x − 4.6 x 3 + 4. Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p ( x ) podemos realizar a integração. estudado na seção 3.5 ∫ ( 200 + e ) dx ≅ ∫ ( −0. 5 − 3) ( 4. 4 . 5) ( 4 − 4. 06 x ) 4 . Conteúdos relacionados Integração Numérica 182 Integração Numérica . 2015. Objetivos de Resolver problemas de integração fazendo uso de aprendizagem técnicas numéricas 3. será de aproximadamente 312. 80 mil habitantes habitantes 3 Conclui-se que a variação populacional.5 4 + 1. 43 x = 951. 08 − 638. Competência de Conhecer o Cálculo Numérico fundamentos de área 2.5 anos. 55 x3 − 10 x 2 + 230. Avançando na prática Pratique mais! Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho.br/~marialuisa/cursos201002/integracao_numerica. 28 = 312. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas. icmc.6 x dx ≅ 312.U4 ( −0. entre 3 e 4. Atenção! Para que você tenha um embasamento maior acesse: <ttp://www. 80 3 4 .pdf>. Acesso em: 12 set.5 ( ) ∴ ∫ 200 + e 0.80 mil habitantes.usp. Fórmula de Newton-Cotes 1. x1 = x0 + 1 = 4 e x= 2 x= n b=5 x2 + 3 Como f ( x ) = 0. assim xi : x0= a= 3 .1 x−2 + 5 x é uma função de taxa e de crescimento de empregos e desejamos conhecer o número de empregos criados entre 3 e 5 anos.1 x − 2 + 5 x 4. U4 Uma cidade apresenta uma taxa de crescimento de empregos f f( x( x [[ ) )mil milempregos empregos/ ano empregos / ano ]] em função do [ tempo x � ano : ] x2 + 3 f ( x ) = 0. Veja que já foi definido h = 1 . h = 1� ano .1 e x−2 + 5 x dx Conhecendo f ( x ) . Resolução da SP i xi f ( xi ) 0 3 1. Descrição da SP e Calcule o número de empregos criados entre 3 e 5 anos.64 Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange. 94 ( x − 4 ) ( x − 5) ( 3 − 4 ) ( 3 − 5) f ( x1 ) L1 ( x ) = 2.94 1 4 2. f ( x0 ) L0 ( x ) = 1. ou seja.26 2 5 2. onde o tempo x varia de 1 em 1 ano.2. calculamos f ( xi ) : 5. então 5 5 x2 + 3 devemos calcular ∫3 f ( x ) dx = ∫3 0. para isso faça uso da integração pela fórmula de Newton- Cotes. 26 ( x − 3) ( x − 5 ) ( 4 − 3) ( 4 − 5 ) Integração Numérica 183 . estudado na seção 3. 5 x2 + 3 5 ∫3 0.11x + 1.pdf>. 01x ) 5 3 + 0. 03 x 2 + 0.unl. 34 dx = ) 3 ( 0.1 e x−2 + 5 x dx ≅ ∫3 p ( x ) dx 5 x2 + 3 5 ∫3 e x−2 0. entre 3 e 5 anos serão criados 4. 62 3 5 x2 + 3 ∴ ∫ 0. podemos realizar a integração.32 -9. Lembre-se Reforce o seu conhecimento acessando o link a seguir: <http://ssdi. 62 mil milempregos empregos 3 e Portanto. 184 Integração Numérica .24 +15. 34 ⇒ Polinômio Interpolador de Lagrange.97 -8.08 -33. Obtido o polinômio interpolador de Lagrange p ( x ) . 83 = 4. 45 − 4. 2015.11x + 1. 64 ( x − 3) ( x − 4 ) ( 5 − 3) ( 5 − 4 ) f ( xn ) Ln ( x ) x2 x c f ( x0 ) L0 ( x ) +0. Acesso em: 12 set.fct.1 x − 2 + 5 x dx ≅ 4.U4 f ( x2 ) L2 ( x ) = 2. 03 x 2 + 0.40 f ( x1 ) L1 ( x ) -2. 06 x 2 + 1.26 +18.62 mil empregos.34 p ( x ) = 0.03 +0.pt/comp/1112/aulas/teoricas/aulaT11.di.84 ∑ f ( xn ) Ln ( x ) +0. 1 + 5 x dx ≅ ∫ ( 0.73 +19. 34 x = 9.90 f ( x2 ) L2 ( x ) +1.11 +1. 1. U4 Faça você mesmo 1 x 2 + 3x Calcule∫0 x + 1 dx fazendo uso da integração pela fórmula de Newton-Cotes para h = 0. d) 1. Calcule o valor aproximado da pela fórmula de Newton-Cotes com n = 3 : a) 4.2. e) 0.7.8. 4 x 2 dx fazendo uso da integração pela fórmula de Newton-Cotes com n = 2 : a) 3. c) 4. e) 5. Calcule o valor aproximado da ∫ 1.2.8 x + 4x 2. Faça valer a pena x 2 + 3x 1.0.1.1. 1. d) 3. b) 6. c) 0. b) 1.8.2. Integração Numérica 185 .75 ∫1 x 2 + 1 dx fazendo uso da integração 1. 5 . e) 4. 5 : a) .15.0.25. c) 84.5 2 − 0. ex 5 .8.9. d) .2.5. Calcule o valor aproximado da pela fórmula de Newton-Cotes com h = 0.3 6. b) . 5 7 5.1. e) + 8. b) 180. e) .8 x + ln ( 4 x ) 3.U4 2 . Calcule o valor aproximado da ∫ 2. Calcule o valor aproximado da 6 ∫ x − 2 x dx fazendo uso da integração 2 pela fórmula de Newton-Cotes com h = 0.12. d) 0.7. c) . d) + 9.2. 5 : a) 48.7.0. b) 2.2.5 ∫4 ln (10 x ) dx fazendo uso da integração 4.48.5.5. c) 3. Calcule o valor aproximado da ∫ x 0 .7.2 x dx fazendo uso da integração pela fórmula de Newton-Cotes com n = 2 : a) 1.15. 10 x 1.2. 5e x dx fazendo uso da 186 Integração Numérica . Calcule o valor aproximado da ∫5 x + 4 dx fazendo uso da integração pela fórmula de Newton-Cotes com n = 2 : Integração Numérica 187 . U4 integração pela fórmula de Newton-Cotes com h = 0. 4 : −1 7 x 2 + 3x − 5 7. U4 188 Integração Numérica U4 Seção 4.2 Regra dos Trapézios Diálogo aberto Caro aluno, nessa seção trataremos da Integração Numérica fazendo uso da Regra dos Trapézios e para isso desenvolveremos a resolução do problema do crescimento populacional. A Regra dos Trapézios é uma técnica de Integração Numérica que permite b obter o valor aproximado da integral de uma função f ( x ) , ∫ f ( x ) dx , como visto a na seção 4.1, também se aplica quando f ( x ) é uma função muito complexa e se torna muito trabalhosa a integração pelas técnicas do Cálculo Diferencial e Integral. Para compreender melhor, vamos retomar o problema proposto no início dessa unidade: uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional f ( x ) [ mil habitantes / an habitantes / ano ] em função do tempo x �[ ano ] : f ( x ) [ mil ha f ( x ) = 200 + e0,6 x A empresa Magazine Sul tem a intenção de implantar filiais nessa cidade e necessita conhecer qual será o crescimento populacional entre 3 e 4,5 anos. Para isso ela fez uso da integração pela Regra dos Trapézios. Coloque-se no lugar do lojista Magazine Sul: o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e, mais especificamente, da Integração pela Regra dos Trapézios? Ao final dessa seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados à Integração pela Regra dos Trapézios. A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica comentada. Integração Numérica 189 U4 Não pode faltar A integração pela Regra dos Trapézios consiste em subdividir a área de integração, b ∫ f ( x ) dx , em alguns trapézios, conforme Figura 4.1, e calcular a somatória dessas a b áreas. Esse processo permite obter o valor aproximado da ∫ f ( x ) dx . a Figura 4.1 | Interpretação gráfica da Regra dos Trapézios Fonte: O autor (2015). Utilizando essa estratégia, o cálculo da integral fica definido como a seguir: n = número de trapézios que serão utilizados no cálculo de integração h = altura de cada trapézio xn − x0 b − a h= = n n Onde: x0 = a ; x1 = x0 + h ; x2 = x1 + h ; ; xn = xn −1 + h = b b ∫ f ( x ) dx ≅ 0, 5h { f ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ) + f ( x )} a 0 1 2 3 n −1 n 190 Integração Numérica U4 b ∫ f ( x ) dx ≅ {0, 5 f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )} h a 0 n 1 2 3 n −1 Se classificarmos: Externos: f ( x0 ) e f ( xn ) Internos: f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) , , f ( xn−1 ) Podemos escrever a integral como a seguir: b ∫ f ( x ) dx ≅ ( 0, 5 ∑ Externos + ∑ Internos ) h a Assimile Pela Regra dos Trapézios, temos: b ∫ f ( x ) dx ≅ {0, 5 f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )} h a 0 n 1 2 3 n −1 Pesquise mais Complemente o estudo teórico da Regra dos Trapézios com a leitura do material disponível no link a seguir: <www.inf.ufpr.br/silvia/numerico/VI1.pdf>. Acesso em: 17 set. 2015. Tendo visto os aspectos teóricos da Regra dos Trapézios, acompanhe o exemplo a seguir para fixar melhor os conceitos. Integração Numérica 191 4 14.37 1. 2 + 0. 4 = 2. 6 + 0. Resolução: b−a Definindo h = n b − a 3 −1 h= = = 0. 8 + 0.2 10. então f ( x ) = 2 1 2 +5 x +5 Conhecendo f ( x ) .5 3 7. 4 x2 = x1 + h = 1. 6 xxn = x5 = x5−1 + h = 2. 8 x3 = x2 + h = 1.14 2. 4 = 1.6 8. 4 = 2. 2 x4 = x3 + h = 2. 4 + 0. 4 n 5 Assim: x0= a= 1. 4 = 1. x1 = x0 + h = 1 + 0. calculamos f ( xi ) : xi f ( xi ) 1 16. 4 = 3 = b 3 100 ∫x 100 Se desejamos dx .8 12.14 192 Integração Numérica . U4 Exemplificando 3 100 Calcule ∫x 1 2 +5 dx fazendo uso da integração pela Regra dos Trapézios para n = 5.67 1.16 2. 14 ∑ 23. agora o convidamos a resolver a atividade a seguir.14 7.37 Interno 1.4 14.17 ∑ • Externos ∑• Internos b ∫ f ( x ) dx ≅ ( 0. 5 f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )} h a 0 n 1 2 3 n −1 Realizaremos a integração: 3 100 ∫x dx ≅ 0.6 8.16 10.2 10.16 + 8. 67 + 7. 4 1 2 +5 3 100 ∴∫ dx ≅ 22.14 12. 5 (16.37 14.81 45.5 Externo 3 7. 83 1 x2 + 5 Veja uma forma mais prática de efetuar os cálculos: xi f ( xi ) Externos Internos Externo 1 16. 5 0. 5 ∑ Externos + ∑ Internos ) h a 3 100 ∴∫ dx ≅ 22. 37 + 12.14 ) + 14.5 8.14 Interno 2.16 Interno 2. 83 1 x2 + 5 Caro aluno. veja se entendeu o que lhe foi apresentado.14 + 10.67 16. U4 Seguindo a formulação: b ∫ f ( x ) dx ≅ {0.8 12.67 Interno 1. Integração Numérica 193 . x1 = x0 + 0.5 ano. 5 = 3. necessita conhecer qual será o crescimento populacional entre 3 e 4. 5 ano (já foi definido no problema) Assim.6 x A empresa Magazine Sul.5 anos. Sem medo de errar Vamos relembrar o problema proposto no início dessa seção: uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional f ( x ) [ mil habitantes ha / ano ] em função do tempo x �[ ano ] : f ( x ) = 200 + e0. . Resolução: h = 0. onde tempo x varia de 0. Para isso o lojista Magazine Sul fez uso da integração pela Regra dos Trapézios. então devemos 4 .5 4 . calculamos os xi : x0= a= 3 . com a intenção de implantar filiais nessa cidade. 0 .6 x é uma função de taxa de crescimento populacional e desejamos conhecer a variação do crescimento populacional. 5 ( ) Como f x = 200 + e 0 . 5 . 5 = 4 e x= 3 x= n b = 4.5 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 200 + e ) dx.6 x calcular 3 3 194 Integração Numérica . x2 = x1 + 0. ou seja. U4 Faça você mesmo 2 xe x 3 Calcule ∫2 ln ( 3x ) dx fazendo uso da integração pela Regra dos Trapézios para n = 4 .5 em 0. temos: xi f ( xi ) Externos Internos Externo 3 206.5 anos.19 ∑ • Externos ∑• Internos b ∫ f ( x ) dx ≅ ( 0.88 Resolvendo pela forma mais prática.05 1 3.5 ( ) ∴ ∫ 200 + e0.5 208.88 214.93 419.5 208.5 214.88 ∑ 420.02 Externo 4. Integração Numérica 195 . U4 Conhecendo f ( x ) . 83 mil habitantes mil habitantes 3 Concluímos. que a variação populacional.02 3 4.05 206.17 2 4 211. será de aproximadamente 314.5 214.02 211.05 Interno 3. 5 ∑ Externos + ∑ Internos ) h a 4 . deste modo. calculamos f ( xi ) : i xi f ( xi ) 0 3 206.17 208.83 mil habitantes.17 Interno 4 211.6 x dx ≅ 314. entre 3 e 4. 2015.dsc.br/~cnum/modulos/Modulo7/integracao. Objetivos de Resolver problemas de integração fazendo uso da Regra dos aprendizagem Trapézios 3. Lembre-se Pela Regra dos Trapézios. Conteúdos Integração Numérica relacionados 196 Integração Numérica .edu. Acesso em: 17 set. Competência de Conhecer o Cálculo Numérico fundamentos de área 2. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas. Regra dos Trapézios 1.ppt>.ufcg. acesse: <www. 5 f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )} h a 0 n 1 2 3 n −1 b ∫ f ( x ) dx ≅ ( 0. temos: b ∫ f ( x ) dx ≅ {0. U4 Atenção! Para que você tenha um maior embasamento. 5 ∑ Externos + ∑ Internos ) h a Avançando na prática Pratique mais! Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. x1 = x0 + 1 = 4 e x= 2 x= n b=5 x2 + 3 Como f ( x ) = 0. para isso.26 ∑ • Externos ∑• Internos Integração Numérica 197 .26 2. 2 5 2. Resolução da situação- problema i xi f ( xi ) 0 3 1. 1 4 2. 0 3 1. faça uso da integração pela Regra dos Trapézios.94 1 4 2.64 2.94 1.1 e x−2 + 5 x dx .26 Ext. temos: i xi f ( xi ) Externos Internos Ext.64 ∑ 4. então devemos calcular 5 5 x2 + 3 ∫3 f ( x ) dx = ∫3 0.58 2. Conhecendo f ( x ) .64 Resolvendo pela forma mais prática. Veja que já foi definido h = 1 .26 2 5 2.1 x − 2 + 5 x problema e Calcule o número de empregos criados entre 3 e 5 anos e. Descrição da situação. calculamos f ( xi ) : 5.94 Int. ou seja. assim calculamos os xi : x0= a= 3 . onde o tempo x varia de 1 em 1 ano. h = 1� ano .1 x−2 + 5 x é uma função de taxa de e crescimento de empregos e desejamos conhecer o número de empregos criados entre 3 e 5 anos. U4 Uma cidade apresenta uma taxa de crescimento de empregos ff ((xx))[[mil milempregos ano]]em função do tempo x �[ ano ] : empregos/ /ano empregos x2 + 3 4. f ( x ) = 0. 26 )1 x2 + 3 5 ∴ ∫ 0. serão criados 4. 5. U4 b ∫ f ( x ) dx ≅ ( 0.com/watch?v=TXdTEo8ogyE> Acesso em: 17 set. 5 ∑ Externos + ∑ Internos ) h a 5 x2 + 3 ∫3 e x−2 0. 25. Faça você mesmo 1 x 2 + 3x Calcule ∫0 x + 1 dx fazendo uso da integração pela Regra dos Trapézios para h = 0. Lembre-se Reforce o seu conhecimento acessando o link a seguir: <https://www. entre 3 e 5 anos.1 x − 2 + 5 x dx ≅ 4. 198 Integração Numérica . 4.youtube.55 mil empregos. 1 + 5 x dx ≅ ( 0. 55 mil milempregos empregos 3 e Portanto. 2015. 58 + 2. 8. Calcule o valor aproximado da ∫ 1. c) 2.3.1. d) 1.8 x + 4x 2.75 1. 1.8.5. 2 . d) 0. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 4. c) 3.6.2 x dx fazendo uso da integração pela Regra dos Trapézios com n = 6 . Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 3.8. c) 0. b) 3. U4 Faça valer a pena x 2 + 3x 1.2.2.9. Integração Numérica 199 . b) 1.0. e) 0. e) 5.9. b) 2. d) 1. 4 x 2 dx fazendo uso da integração pela Regra dos Trapézios com n = 5 . Calcule o valor aproximado da ∫ 2. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 5.8 x + ln ( 4 x ) 3.1. Calcule o valor aproximado da ∫ 2 dx fazendo uso da integração 1 x +1 pela Regra dos Trapézios com n = 5 .2. 2.9. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) . e) 19. 5 7 5. Calcule o valor aproximado da ∫ x 0 .7.5 2 − 0. d) + 1. b) 18. 10 x 1.3 6.2.15. 3 . Calcule o valor aproximado da pela Regra dos Trapézios com h = 0. c) 49. 5e x dx fazendo uso da integração pela Regra dos Trapézios com h = 0. Calcule o valor aproximado da ∫5 x + 4 dx fazendo uso da integração pela Regra dos Trapézios com n = 5 : 200 Integração Numérica .2. b) + 29. d) 40. e) . 2.2.U4 e) 4. c) + 12.9.12. ex 5 . 2 : −1 x 2 + 3x − 5 7 7.5.2. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 11. Calcule o valor aproximado da ∫ x 6 2 − 2 x dx fazendo uso da integração pela Regra dos Trapézios com h = 0.9.1.5 ∫4 ln (10 x ) dx fazendo uso da integração 4. 2.5 anos. a Regra de Integração de Simpson? Ao final dessa seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados à Integração pela Regra de Simpson. ∫ f ( x ) dx . Assim como os métodos apresentados nas seções 3. Integração Numérica 201 . vamos retomar o problema proposto no início dessa unidade: uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional f ( x ) [ mil habitantes / an habitantes / ano ] em função do tempo x �[ ano ] : f ( x ) [ mil ha f ( x ) = 200 + e0. U4 Seção 4.3 Regra de Simpson Diálogo aberto Caro aluno.6 x A empresa KLM Veículos tem a intenção de implantar filiais nessa cidade e necessita conhecer qual será o crescimento populacional entre 3 e 4. Coloque-se no lugar da KLM Veículos: o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e. nessa seção trataremos da Integração Numérica fazendo uso da Regra de Simpson e para isso desenvolveremos a resolução do problema do crescimento populacional. A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica comentada.1 e 3. geralmente aplicada quando a f ( x) é uma função muito complexa e se torna muito trabalhosa a integração utilizando os métodos de Cálculo Diferencial e Integral. mais especificamente. Para isso essa empresa fez uso da integração pela Regra de Simpson. ou a função é desconhecida. a Regra de Simpson é uma técnica de Integração Numérica que permite obter o valor aproximado da b integral de uma função f ( x) . Para compreender melhor. Figura 4.2 | Integração pela Regra de Simpson Fonte: O autor (2015)..U4 Não pode faltar Você poderá encontrar em outras bibliografias a Regra de Integração de Simpson com as seguintes nomenclaturas: Regra de 1/3 de Simpson. onde: xn − x0 b − a h= = n n Logo: x0 = a . xn = xn −1 + h = b b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 { f ( x ) + f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )} a 0 n 1 3 n −1 2 4 n−2 202 Integração Numérica . b O cálculo da integral ∫ f ( x ) dx a é definido como a seguir: h = distância entre xi−1 e xi . Essa regra utiliza integração por aproximações de pequenos trechos de curvas por meio de pequenas parábolas conforme Figura 4. Regra de 1/3 de Simpson Repetida. x2 = x1 + h .. para i = 1 .2. 2. n . .. x1 = x0 + h . . univasf.cavalcanti/8CN_integracao. Resolução: b−a Definindo h = . temos: b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 ( ∑ f ( xExtremos ) + 4 ∑ f xi = Ímpar + 2 ∑ f ( xi = Par ) ) a Assimile Pela Regra de Simpson. temos: b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 { f ( x ) + f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )} a 0 n 1 3 n −1 2 4 n−2 Pesquise mais Complemente seus estudos acessando o link a seguir: <http://www.br/~jorge. temos: n b − a 3 −1 h= = = 0. 4 n 5 Integração Numérica 203 . Exemplificando 3 100 Calcule ∫x 1 2 +5 dx fazendo uso da integração pela Regra de Integração de Simpson para n = 5. 2015.edu. Acesso em: 17 set. U4 Simplificando a escrita.pdf>. 37 Par 2 1. 5 ) 1 2 +5 3 3 100 ∫x 1 2 +5 dx ≅ 21. 4 = 2. 4 = 1.4 14.14 + 8. 76 Veja uma forma mais prática de efetuar os cálculos: 204 Integração Numérica . xn = x5 = x5−1 + h = 2. 4 = 2. 4 ∫x dx ≅ 16. 6 + 0. 8 + 0. x4 = x3 + h = 2.8 12.U4 Assim: x0= a= 1. 2.14 + 4 (14. x3 = x2 + h = 1.16 Par 4 2.14 Ímpar 3 2. 4 + 0. x2 = x1 + h = 1. 6.2 10. 4 = 3 = b. 67 + 7. calculamos f ( xi ) : i xi f ( xi ) Extremo 0 1 16. 8.16 ) + 2 (12. 2 + 0.14 Seguindo a formulação: b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 { f ( x ) + f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )} a 0 n 1 3 n −1 2 4 n−2 3 100 0. então f ( x ) = 2 1 2 +5 x +5 Conhecendo f ( x ) . 4. 3 100 100 Se desejamos ∫x dx .5 Extremo 5 3 7. x1 = x0 + h = 1 + 0. 37 + 10.6 8.67 Ímpar 1 1. 4 = 1. 16 10. 76 Você está sendo convidado a resolver a atividade a seguir.14 7.5 Extremo 5 3 7.67 16. Faça você mesmo 2 xe x 3 Calcule ∫2 ln ( 3x ) dx utilizando a Regra de Simpson para n = 4 .16 Par 4 2.81 24.8 12.64 ∑ f ( xExtremos ) ( ∑ f xi = Ímpar ) ∑ f ( xi = Par ) b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 ∑ f ( x Extremos ) + 4 ∑ f ( xi = Ímpar ) + 2 ∑ f ( xi = Par ) a 3 100 ∫x 1 2 +5 dx ≅ 21.6 8.14 Ímpar 3 2. U4 i xi f ( xi ) f ( xExtremos ) ( f xi = Ímpar ) f ( xi = Par ) Extremo 0 1 16.67 Ímpar 1 1.37 Par 2 1.2 10.5 8.4 14. veja se entendeu o que lhe foi apresentado.53 20.14 12.14 ∑ 23. Integração Numérica 205 .37 14. 5 anos. ou seja. calculamos f ( xi ) : i xi f ( xi ) f ( xExtremos ) ( f xi = Ímpar ) f ( xi = Par ) Extremo 0 3 206.5 214.5 208. 5 ano (já foi definido no problema) Assim.5 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 200 + e ) dx . Para isso o lojista KLM Veículos fez uso da integração pela Regra de Integração de Simpson.17 Par 2 4 211. 5 = 3.6 x calcular 3 3 Conhecendo f ( x ) . Resolução: h = 0.02 Extremo 3 4.5 ano. 5 ( ) Como f x = 200 + e 0 . x2 = x1 + 0.6 x A empresa KLM Veículos.02 ∑ f ( xExtremos ) ( ∑ f xi = Ímpar ) ∑ f ( xi = Par ) 206 Integração Numérica . U4 Sem medo de errar Uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional f ( x ) [ mil habitantes ha / ano ] f ( x ) [ mil habitantes / ano ] em função do tempo x �[ ano ] : f ( x ) = 200 + e0.05 206. x1 = x0 + 0. 5 .93 208. então devemos 4 .6 x é uma função de taxa de crescimento populacional e desejamos conhecer a variação do crescimento populacional.05 Ímpar 1 3.88 ∑ 420. onde tempo x varia de 0.5 em 0.88 214. 5 = 4 e x= 3 x= n b = 4. calculamos os xi : x0= a= 3 . .5 4 . necessita conhecer qual será o crescimento populacional entre 3 e 4.17 208.17 211. com a intenção de implantar filiais nessa cidade.02 211. 0 . entre 3 e 4. Atenção! Para que você tenha um maior embasamento. 28 mil 0 .5 ∫ ( 200 + e ) dx ≅ 279. U4 Resolvendo pela forma mais prática: b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 ∑ f ( x Extremos ) + 4 ∑ f ( xi = Ímpar ) + 2 ∑ f ( xi = Par ) a 4 .facom. temos: b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 { f ( x ) + f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )} a 0 n 1 3 n −1 2 4 n−2 b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 ∑ f ( x Extremos ) + 4 ∑ f ( xi = Ímpar ) + 2 ∑ f ( xi = Par ) a Integração Numérica 207 .6 x mil habitantes habitantes 3 Concluímos que a variação populacional. 2015. acesse: <http://www.pdf>.28 mil habitantes. Lembre-se Pela Regra de Integração de Simpson.5 anos.br/~montera/integracao_parte2. Acesso em: 18 set. será de aproximadamente 279.ufms. calculamos f ( xi ) : i xi f ( xi ) 0 3 1. Competência de Conhecer o Cálculo Numérico fundamentos de área 2. h = 1 ano.64 Resolvendo pela forma mais prática.U4 Avançando na prática Pratique mais! Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho.26 2 5 2.1 x − 2 + 5 x é uma função de taxa de e crescimento de empregos e desejamos conhecer o número de empregos criados entre 3 e 5 anos. para isso. f ( x ) = 0.94 1 4 2.1 e x−2 + 5 x dx . Descrição da situação. Veja que já foi definido h = 1 . Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas.1 x − 2 + 5 x e problema Calcule número de empregos criados entre 3 e 5 anos e. então devemos calcular 5 5 x2 + 3 5. x1 = x0 + 1 = 4 e x= 2 x= n b=5 x2 + 3 Como f ( x ) = 0. temos: 208 Integração Numérica . Regra de Simpson 1. Resolução da situação- problema ∫ f ( x ) dx = ∫ 0. faça uso da integração pela Regra de Integração de Simpson. assim calculamos os xi : x0= a= 3 . onde tempo x varia de 1 em 1 ano. Objetivos de Resolver problemas de integração fazendo uso da Regra de aprendizagem Integração de Simpson 3. 3 3 Conhecendo f ( x ) . ou seja. Conteúdos relacionados Integração Numérica Uma cidade apresenta uma taxa de crescimento de empregos ff ((xx))[[mil milempregos ano]] em função do tempo x �[ ano ]: empregos//ano empregos x2 + 3 4. 54 mil empregos mil empregos 3 e Portanto.54 mil empregos.inf. 2 5 2.1 x − 2 + 5 x dx ≅ 4. entre 3 e 5 anos.94 1. Faça você mesmo 1 x 2 + 3x Calcule ∫0 x + 1 dx fazendo uso da integração pela Regra de Simpson para h = 0.64 ∑ 4.26 Ext.br/silvia/numerico/VI2.pdf>.94 Ímpar 1 4 2.26 ∑ f ( xExtremos ) ( ∑ f xi = Ímpar ) b h ∫ f ( x ) dx ≅ 3 ∑ f ( x Extremos ) + 4 ∑ f ( xi = Ímpar ) + 2 ∑ f ( xi = Par ) a 5 x2 + 3 ∴ ∫ 0.ufpr. Acesso em: 18 set.26 2. 25 . Integração Numérica 209 . 2015. U4 i xi f ( xi ) f ( xExtremos ) ( f xi = Ímpar ) Ext. 0 3 1. Lembre-se Reforce o seu conhecimento acessando o link a seguir: <http://www.58 2.64 2. serão criados 4. c) 3. x + 4x 1. d) 0. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 1.0.75 ∫1 x 2 + 1 dx fazendo uso da integração 1.2. d) 0.2.8. c) 3. 2 .1. e) 1.2.2. 210 Integração Numérica .1. c) 0.2 x dx fazendo uso da integração pela Regra de Simpson com n = 6 .4.8.2.1. e) 4.1. b) 2. Calcule o valor aproximado da pela Regra de Simpson com n = 5 . b) 3. d) 4.U4 Faça valer a pena x 2 + 3x 1. Calcule o valor aproximado da 1. e) 0. Calcule o valor aproximado da ∫ 2. 4 ∫ x 2 dx fazendo uso da integração pela Regra de Simpson com n = 5 .9. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 3.8 2. b) 6.9.8 x + ln ( 4 x ) 3. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 7. 12. e) . b) + 92. 10 x 1. b) 28.5.5 ∫4 ln (10 x ) dx fazendo uso da integração 4.3 6.5 2 − 0.2. U4 ex 5 . 5e x dx fazendo uso da integração pela Regra de Simpson com h = 0.21. Calcule o valor aproximado da ∫ x 0 . Calcule o valor aproximado da pela Regra de Simpson com h = 0. 5 7 5.9.1. Calcule o valor aproximado da ∫5 x + 4 dx fazendo uso da integração pela Regra de Simpson com n = 5 : Integração Numérica 211 .9. c) 39. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) . 3 .9.7. c) + 12. 2 .51. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 21. d) 10. d) . e) 43.6. Calcule o valor aproximado da ∫ x 6 2 − 2 x dx fazendo uso da integração pela Regra de Simpson com h = 0. 2 : −1 x 2 + 3x − 5 7 7.6.7. U4 212 Integração Numérica . para isso. 4.6 x As empresas Magazine Sul e KLM Veículos. Integração Numérica 213 . sendo que a primeira utilizou integração numérica pela Regra dos Trapézios e a segunda integração numérica pela Regra de Simpson. Coloque-se no lugar do funcionário da prefeitura designado para realizar esse estudo: o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e.4 Estudo dos erros na integração numérica Diálogo aberto Caro aluno. vamos retomar o problema proposto no início dessa unidade: uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional f ( x ) [ mil habitantes / an habitantes / ano ] em função do tempo x �[ ano ] : f ( x ) [ mil ha f ( x ) = 200 + e0. Para compreender melhor. por sua vez. faz-se necessário esse estudo dos erros. do Estudo do Erro na Integração Numérica pela Regra dos Trapézios e pela Regra de Simpson? Ao final dessa seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados ao Estudo do Erro e aqueles relativos à Integração Numérica pela Regra dos Trapézios e pela Regra de Simpson. nessa seção trataremos do Estudo dos Erros na Integração Numérica pela Regra dos Trapézios e pela Regra de Simpson e. Pelo fato de obtermos uma aproximação. cuja obtenção demandaria técnicas do Cálculo Diferencial e Integral.1. Vimos nas seções 4. A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica comentada. U4 Seção 4.3 que a Integração Numérica nos fornece um valor aproximado do valor real.2 e 4. A prefeitura local. mais especificamente. desenvolveremos a resolução do problema do crescimento populacional. estimaram a partir das informações anteriores a variação de habitantes entre 3 e 4. com o objetivo de instalarem filiais na cidade. irá apresentar o Estudo do Erro nas estimativas feitas por essas duas empresas.5 anos. 3 | Aproximação para ∫ f ( x ) dx pela Regra dos Trapézios a Fonte: O autor (2015). onde a x0 = a e x4 = b . Veja também que o erro ET cometido ao utilizar essa técnica está representado pela área hachurada e.3 é apresentada uma função f ( x ) particular e uma aproximação b para ∫ f ( x ) dx utilizando a Regra dos Trapézios com n = 4 e h = ( b − a ) / n . U4 Não pode faltar Na área de cálculo numérico. b Figura 4. Observe que a aproximação para a integral é AT . o definimos como a seguir: b ET = ∫ f ( x ) dx − AT a 214 Integração Numérica . ou seja. Estudo do Erro na Integração pela Regra dos Trapézios Na Figura 4. valor correspondente à área cinza indicada na figura. também definimos o erro na integração numérica. o erro cometido ao aplicar determinada técnica pode ser definido simplificadamente como a diferença entre o valor exato e o valor aproximado. Veja a seguir como realizar uma estimativa do erro cometido ao aproximar a integral de uma função em certo intervalo utilizando a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. a diferença entre o valor exato da integral e o valor obtido por aproximação. Desse mesmo modo. além disso. ≤x≤0 = ⋅a(⋅ (. valor correspondente à área cinza indicada na figura. As observações acerca da Figura 4. Veja também que o erro ES cometido ao utilizar essa técnica está representado pela área hachurada e. x ≤ xn f "(SPERANDIO. onde a x0 = a e x4 = b .4 são muito semelhantes às feitas a respeito do erro da integração realizada pela Regra dos Trapézios.4 é apresentada uma função f ( x ) particular e uma aproximação b para ∫ f ( x ) dx utilizando a Regra de Simpson com n = 4 e h = ( b − a ) / n .−. xx0 0)≤⋅≤máx xx≤≤xxn nf "é(oxmáximo ) . x0 ≤ x ≤ xn } hh2 2 h2 Onde h = ( b − a ) E /EnT T. o definimos como a seguir: Integração Numérica 215 .4 | Aproximação para ∫ f ( x ) dx pela Regra de Simpson a Fonte: O autor (2015). b Figura 4.− x0 )≤⋅ máx {} ( x ) . x)n .xxnxnn−−=xx0b0) )⋅e⋅máx 12 12 Emáx T ≤{{12 { }} f f"⋅"((xxx)n). 12 ) ⋅ máx ET ≤ f ou 12 { "⋅((xseja. Estudo do Erro na Integração pela Regra de Simpson Na Figura 4. b ] é dividido. para n subintervalos. x0 ≤ xMENDES. além disso. 2003). a interpretação geométrica do erro é a mesma. xx0 0)≤⋅≤máx xx≤≤xxn nf " ( x ) . ≤ xn } SILVA. pode ser demonstrado que uma estimativa para o erro ilustrado anteriormente é dada pela expressão a seguir: hh2 2 h2 EET T ≤≤ ⋅ (⋅ (xxn n−−xx0 0) )⋅ ⋅máx 1212 Emáx {{ T ≤ f f"⋅" 12 { }} ((xxx)n). Deste modo. U4 Para qualquer quantidade n de subintervalos em que [ a. x0 ≤ x ≤ xn } valor absoluto da segunda derivada de f ( x ) calculada para os valores de x envolvidos h2 h2 ET ≤ ⋅ ( xn −nax0integração.−. utilizando técnicas do cálculo diferencial e integral. mas vale a pena reafirmarmos: a aproximação para a integral é AS . . { x)n .nn.… }} Assimile • Estimativa do Erro na Integração pela Regra dos Trapézios: 216 Integração Numérica ..nn}.nnn − xe0 ) máx ET ≤ f fIV"⋅((xx)n.… 12 … } ⋅ (.… 1… . . U4 b ES = ∫ f ( x ) dx − AS a Para qualquer quantidade n de subintervalos em que [ a...EiTi ==≤00. Deste modo.− xx00 ≤ ⋅ máx 12 )≤⋅ xmáx x ≤≤ xxnn f "é( x )estimado . demandam o conhecimento do máximo valor absoluto de uma derivada de f no intervalo de integração. utilizando técnicas do cálculo diferencial e integral. para n subintervalos.11. temos: h2 ET ≅ ⋅ ( xn − x0 ) ⋅máx 12 { máx{{ fff"""(((xxxii)i))..11. xx0 0)≤⋅≤máx } xx≤≤xxn nf " ( x ) é.… máx }} …. ≤ xn SILVA. 2003).… … ..11. ⋅x⋅((nxxn=n −− Onde h = ( b − a ) / n ... x0 ≤ x ≤por xn {{ máx ff IV" ((xxi i)) .1… .. a interpretação geométrica do erro é a mesma. ii ==00. xx00 )≤≤⋅ máx ET ≤ ff IV"⋅((xx))n . xx00 )≤≤⋅ máx {} xx ≤≤ xxnn f " ( x ) . } Simplificações Observe que as expressões descritas para a estimativa do erro. Calculadas essas estimativas. sendo que no caso da Regra dos Trapézios é a segunda derivada e no caso da Regra de Simpson é a quarta derivada.nn .. x0 ≤ x ≤ xn } hh4 2 h2 x0T≤=≤a . x0 ≤ xMENDES.−.ESE 12 180 b xx00e))⋅⋅máx {{ .11. x0 ≤estimado x ≤ xn por h h {{ {} } 2 2 máx {{ máx ff ""((xxii)) .ii =i==00. .. Emáx T{{ ≤ 12 { }} f f"⋅"((xxx)n). hh2 2 h2 ENa 12 12 ⋅ (⋅ (xxn n−−xx0 0) )⋅ ⋅máx ET T ≤≤ prática.}n } h4 ES ≅ 180 máx { ff IVIV ⋅ ( xn − x0 ) ⋅ máx { " (((xxixi)i)). x0 ≤ x ≤ xn } máximo valor absoluto da quarta derivada de f ( x ) calculada para os valores de x h2 h2 ≤ ⋅ ( xn −nax0integração. {} ( x ) . n . ET envolvidos 12 ) T f ou ⋅ E máx≤ 12 "⋅((xseja. b ] é dividido.− máx 12 . tanto para a Regra dos Trapézios quanto para a Regra de Simpson.− máx 12 {} xx ≤≤ xxnn f "é( xo) ..− x0 )≤⋅ máx x ≤ xn f "(SPERANDIO. ii i===00..x.0.0 . pode ser demonstrado que uma estimativa para o erro ilustrado anteriormente é dada pela expressão a seguir: hh4 2 h 2IV ESET≤ ≤ ⋅⋅((xxnn −−xx00))⋅⋅máx 12 180 {{ ET ≤ ff "⋅((xx))n . veja um exemplo para fixar melhor os conceitos. Tendo visto alguns aspectos teóricos acerca da estimativa dos erros na integração pela Regra dos Trapézios e pela Regra de Simpson.0. Acesso em: 20 set.11. como visto nas seções 4.… }} .. Exemplificando Dada .. temos: n b−a 4−2 h= = =1 n 2 Integração Numérica 217 . ambas com n = 2 . calcule o erro se a integração for realizada pela Regra dos Trapézios e pela Regra de Simpson. 4.11. n Pesquise mais Complemente seus estudos teóricos acerca dos erros na integração numérica acessando o link a seguir: <http://www. .0 .}n • Estimativa do Erro na Integração pela Regra de Simpson: h4 ES ≅ 180 máx { ff IVIV ⋅ ( xn − x0 ) ⋅ máx { " (((xxixi)i)).… 1… .nn}.ii =i==00.cin..1.. Resolução: b−a Definindo h = .nn. ii i===00.… … } .2 e 4.br/~if215/slides/2014-1/Aula_22-1_-_Calculo_ Numerico_-_Cap_6_-_Integracao_Numerica_-_Erros. U4 h2 ET ≅ 12 ⋅ ( xn − x0 ) ⋅máx { máx{{ fff"""(((xxxii)i)).1… .pdf>.ufpe..3. 2015. .. 035 .35 -0.i ii===00.. xn = x2 = x2−1 + h = x1 + h = 3 + 1 = 4 = b.1…..…{ . 0583 12 Erro na integração pela Regra de Simpson Como então f ( x ) = 5 3 x = 5 x1/ 3 55 3 10 10 50 50 ff ' (' (xx))== xx−−22/ 3/ 3 ff "("(x(xx)))===5−− x =xx−5−5x5/ 3/13/ 3 ff (''''''x(()xx= ))=5=3 x x=x−5−88/x3/31/3 33 99 27 27 400 −11/ 3 f IV ( x ) = − x 81 218 Integração Numérica .18 -0.0.}n } 12 ET ≅ ⋅ ( 4 − 2 ) ⋅ 0. ii==00. x1 = x0 + h = 2 + 1 = 3. .11.. 35 }} h2 máx { ff ""(( xi ) .… . n. 35 = 0. nn.}n ==0.1… ET ≅ ⋅ ( xn − x0 ) ⋅ máx 12 .1.11 máx máx {{ máx {f f"f (""x(ix)i )... x0 x1 x2 x 2 3 4 Erro na integração pela Regra dos Trapézios Como então f ( x ) = 5 3 x = 5 x1/ 3 2 f " ( x ) f=f ("−(xx))==x5−−5/ 93x x= 5 x10 5 f −'( x23) =− 25 x − 3 10 310 −5/ 3 1/ 3 f '( x ) = 5 '( x ) f =3 x x 3 ( ) f 9" x = − x −5/ 3 3 x0 x1 x2 9 x 2 3 4 f "( x ) -0. U4 Assim: x0= a= 2. … …. 39 h4 ES ≅ 180 ⋅ ( xn − x0 ) ⋅máx {{ máx ff "IV((xxi i)). =i 0=0. com o objetivo de instalarem filiais na cidade. Coloque-se no lugar do funcionário da prefeitura designado para a tarefa e faça a estimativa dos erros. A prefeitura local. Integração Numérica 219 . estimaram a partir das informações anteriores a variação de habitantes entre 3 e 4.. Sem medo de errar Vamos relembrar o problema proposto no início da seção: uma cidade apresenta uma taxa de crescimento populacional f ( x ) [ mil habitantes ha / ano ] em função do tempo x �[ ano ] : f ( x ) = 200 + e0. . n.) ii.5 anos.101. 39 = 0. sendo que a primeira utilizou integração numérica pela Regra dos Trapézios e a segunda integração numérica pela Regra de Simpson.…1….1.n}n=} 0=. ambas com h = 0.i.39 -0.. por sua vez. calcule o erro se a integração for realizada pela 3 Regra dos Trapézios e pela Regra de Simpson. ii == 0. irá apresentar o Estudo do Erro nas estimativas feitas por essas duas empresas.nn }} 14 ES ≅ ⋅ ( 4 − 2 ) ⋅ 0...09 -0..6 x As empresas Magazine Sul e KLM Veículos. 5 . U4 x0 x1 x2 x 2 3 4 f IV ( x ) -0. 039.03 máx máx máx { } {f{f "IVf( IV(xxi (i))x.…. 0043 180 Faça você mesmo 5 Dada ∫ln (1 + 2 x ) dx . x36 =e5 x 0.=6x0e).5 4 ..0=.6 x .1296e0... como a seguir: • Erro na integração pela Regra dos Trapézios Como f ( x ) = 200 + e0. x1 = x0 + 0.536 x0=).. 0 .nnn == 55. 5 .6 x" (fx(")x(=fx) )0"=(.6 x 0 .ex=36 x e f ''' (f x''')(=fx(''')0x(.6ex0.=5216 x 0 .5 f "( x ) 2.=363 0 .) 6=e00. ii == 00.61x/ 3 f = 0. x2 = x1 + 0. 6e f " ( x ) ==5 0e0..6 x do crescimento populacional estimando o valor da 3 3 Logo.=)216 0 . 36 = 0. nn } 0. 5 (já foi definido no problema) Assim.5 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 200 + e ) dx.36 máx máx {{ máx ff ""((xxii )) . 52 ET ≅ ⋅ ( 4.6 x =0e. a função em questão é f ( x ) = 200 + e 0 . 5 Lembre-se que os lojistas Magazine Sul e KLM Veículos estimaram a variação 4 ..94 3. 5 = 3.61x/ 30 . estimamos os erros em cada caso.. ii == 00.606x . calculamos os xi : x0= a= 3 . temos: f ''(( xx)) =f '(0x.1.U4 Resolução: h = 0. 5 = 4 e x= 3 x= n b = 4.6 x 0 .17 mil milhabitantes habitantes 12 • Erro na integração pela Regra de Simpson Como f ( x ) = 200 + e0.18 2...36 36 }} h2 ET ≅ 12 ⋅ ( xn − x0 )máx {{ ⋅ máx f f""( (xxi i)). ….6 x . Com base nisso.6 x f " ( xf) "(=x( x)0).66xe0f.5 4 4.6 x 01.11.6 x .… …./63x e300. 5 − 3) ⋅ 5.=536 x03).x6216 e= 5ex f IV ( x ) = 0.6 x 220 Integração Numérica .66 xe00.97 5. temos: f ' ( fx )' (=xf )0' (.. 36 e x0 x1 x2 x3 x 3 3.6 x . 93 ES ≅ h4 180 ⋅ ( xn − x0 )máx {{ ⋅ máx ff "IV( x( ix)i ).93 máx máx { máx{f{f"fIV(IVx(i(x)ix)i.. 001 mil milhabitantes habitantes 180 Atenção! Para que você tenha um maior embasamento.. U4 x0 x1 x2 x3 x 3 3.43 1. acesse: <http://www. 2015.. n }} 0. Lembre-se Para revisar as regras de derivação acesse: <https://www.06 1. n.youtube. Acesso em: 20 set. Avançando na prática Pratique mais! Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare-as com a de seus colegas.HTM>. ii = 0.5 4 4. i=i==00.com/watch?v=zpI_Tc6fmCY>.5 f IV ( x) 0. Competência de Conhecer o Cálculo Numérico fundamentos de área Integração Numérica 221 . 93 = 0.nn}}==1.78 1.math. 54 ES ≅ ⋅ ( 4.. Estudo dos Erros na Integração Numérica 1.utl.n.11.… ….01..1… … } . 2015. i. ). Acesso em: 20 set. 5 − 3) ⋅1. ….ist.pt/~calves/cursos/RTrap.193 . 6 x − 0 ( ) " x = 0. 36e2 6−xx0.x375 x x−0−. assim xi : x0= a= 2 . Conteúdos relacionados Estudo dos Erros na Integração Numérica Uma metrópole apresenta uma taxa de crescimento de profissionais com escolaridade equivalente ao nível superior completo dada por f ( x ) [[mil mil profissionais //ano ] em função ano] do tempo x �[ ano ] : 4. Objetivos de Resolver problemas de integração fazendo uso de técnicas aprendizagem numéricas 3.x6= f " ( x ) = 0. x2 = x1 + 1 = 4 e x= 3 x= n b=5 Como ( f ( x ) = 0. Veja que já foi definido h = 1 . Resolução da situação- ( ) 5 5 problema ∫2 f ( x ) dx = ∫2 0. onde o tempo x varia de 1 em 1 ano.x03). Calculemos então o erro: 3 5 Erro na integração pela Regra dos Trapézios 0.15 1.26 x x 2 f '"( x() x= f)"0=(.16 222 Integração Numérica .67 1. ou seja.65 2.U4 2.375 2 f = 0. 5 3 0. quando utilizada a integração pela Regra dos Trapézios e pela Regra de Simpson.1 x3 − x 5 ) é uma função de taxa de crescimento de profissionais com escolaridade equivalente ao nível superior completo e desejamos conhecer o número de profissionais com escolaridade equivalente ao nível superior completo entre 2 e 5 anos.1 x3 − x 5 ) problema Calcule o erro na estimativa do número de profissionais com escolaridade equivalente ao nível superior completo entre 2 e 5 anos. 600x. h = 1� ano . 62 e 2 f x0 x1 x2 x3 x 2 3 4 5 f "( x ) 0.1 x − x dx . . 5 03. x1 = x0 + 1 = 3 .−3 x 2 − x0 . ( f ( x ) = 0.)3=x02 . 5 32 1/ 2 1/ 2 f '( x ) = f '('(0xx). então devemos calcular 5. Descrição da situação. 436 2 e 4 1.. 36 x0 x1 x2 x3 x 2 3 4 5 f IV ( x) 0. …. n ⋅ ( xn − x0 ) ⋅máx 12 12 ET ≅ ⋅ ( 5 − 2 ) ⋅ 2.02 0.15. 3 x 2x−3/ 2 0 .6 x f " ( x ) = 016 IV IV IV 6 − x0−. 0005 mil profissionais profissionais 180 Portanto.16 = 0. 6 f = 02 . . 03 = 0. Integração Numérica 223 . 5 f '( x ) = 0f. 25 . U4 máx máx {{ máx f f""((xxi i)i ). .03 03 } ES ≅ h4 180 ⋅ ( xn − x0 )máx {{ ⋅ máx ff "IV( (xxi i)) ..54 mil profissionais.11..16 }} h {{ } 2 ET ≅ máx ff ""((xxii)) .… …..0005 mil profissionais. o erro devido à integração pela Regra de Simpson será 0.. ii == 0.06.1."03(. i = 00.x61/−x21/ 2 −3/−23/ 2 f = 0. 5 0.. iii===000. 54 mil profissionais profissionais 12 Portanto. 5 1..nn == 00.55 31..01 máx { máx ff IV"IV(((xxxi ii))). 68e8 16 e .6 xx3/ 2 f "'( x()x=) =f0.6 xx1/ 2 f " ( x ) = 0. o erro devido a integração pela Regra dos Trapézios será 0. ou seja.03 0. aproximadamente 1 profissional. 5 10. calcule o erro se a integração for realizada pela 3 Regra dos Trapézios e pela Regra de Simpson. 540 profissionais. ou seja.. iii==00.. ambas com h = 0..1.'('3( xxx))2=−0. 6 xx1−/ 220 . 5 f '''f( x''''()(xx=)) =0.… ….. Faça você mesmo 6 Dada ∫ 5 x + ln ( x ) dx . − ff f ( x()x=) = x x 0 . 6x x2) =− 0.. 6e 2 ( ) f " x = 0. ….nn }} 14 ES ≅ ⋅ ( 5 − 2 ) ⋅ 0..nn ==22.… .. Erro na integração pela Regra de Simpson 0.11.11.15.16 .01 0. b) 12.7.9. c) 3.43.01. d) 4.1. 3.4. e) 0. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 4.0. calcule o erro se a integração for realizada pela Regra de Simpson com n = 5.2. d) 3. c) 12. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 3. Dada calcule o erro aproximado se a integração for realizada pela Regra de Simpson com n = 5. Dada .92. Dada . e) 2.4. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 0.0. d) 5. c) 7. 224 Integração Numérica . calcule o erro aproximado se a integração for realizada pela Regra dos Trapézios com n = 4. b) 7.U4 Faça valer a pena 1.3.32. e) 0. 2.47. b) 5. 4. e) 28 . 75 6 6. calcule o erro aproximado se a integração for 6 . sendo que os limites de integração e as alternativas também estão escritas dessa forma) 7 a) 10 . 8 b) 5 2 . d) 0. 3 5 c) 6 .25: ∫ (e ) dx .1. 16 7 d) 4 8 . e) 4. calcule o erro aproximado se a integração for realizada 1 pela Regra de Simpson com h = 1.8. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: (Nesta atividade estamos trabalhando com fração mista.1 −0 .7. Dada ∫ ( lnx ) dx . Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: a) 6. b) 1.6.1 x 2 7. 5. c) 2. Dada 1 realizada pela Regra dos Trapézios com n = 3: Integração Numérica 225 . Dada calcule o erro se a integração for realizada pela Regra dos Trapézios com h = 0.1.8. Dada . calcule o erro aproximado se a integração for realizada pela Regra dos Trapézios com h = 0. U4 4. U4 226 Integração Numérica . João Teixeira. Gomes. 2008.edu. CAVALCANTI. São Paulo: Pearson. SILVA. São Paulo: Pearson Prentice Hall. Cálculo numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. MENDES. Décio. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. Cálculo numérico: integração numérica. 2003. 1996.cavalcanti/8CN_integracao.br/~jorge.univasf. Vera Lucia da Rocha. U4 Referências ARENALES. RUGGIERO. SPERANDIO. Neide Bertoldi. 2015. Disponível em: <http://www. 2006. São Paulo: Makron Books. ed. Luiz Henry Monken e. São Paulo: Thompson Learning. Jorge. Márcia A. Acesso em: 6 out. FRANCO. Cálculo numérico. 2. Integração Numérica 227 . Artur. Selma. LOPES.pdf>. DAREZZO.