Calculo Integral ProceCC

1Cu a d e r n i llo d e p r oc e d im ie n t os p a r a el a p r e n d iza j e CO N LA COLABO RACIÓN D E Ví c t o r Ma n u e l Mor a Go n zá l e z (Ver s ión p a r a fa s e in ic ia l) CÁLCULO INTEGRAL 2 C ÁLC ULO INTEG RAL Cuadernillo de procedimientos para el Aprendizaje 2000. Secretaría de Educación Pública/ Dirección General del Bachillerato COSTO DE RECUPERACIÓN $ 12.00 3 ÍNDICE Presentación........................................................................................................................................................... 5 UNIDAD I. La integral como área bajo una curva................................................................................... 7 1.1. Integral.............................................................................................................................................................. 8 1.1.1. Áreas por aproximación de límites de sumas......................................................................................... 8 1.1.2. Suma de Riemann......................................................................................................................................... 11 1.1.3. Integral definida........................................................................................................................................... 11 1.1.4. Teorema fundamental del cálculo............................................................................................................. 14 1.1.5. Antiderivadas................................................................................................................................................. 16 1.1.6. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas............................................................ 16 ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 19 Quiero saber más...................................................................................................................................................... 22 UNIDAD II. La integral indefinida................................................................................................................ 23 2.1. Integral indefinida........................................................................................................................................... 24 2.1.1. Antiderivada................................................................................................................................................... 24 2.1.2. Reglas básicas de integración................................................................................................................... 25 ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 28 Quiero saber más...................................................................................................................................................... 29 UNIDAD III. Métodos de integración.......................................................................................................... 30 3.1. Métodos de integración................................................................................................................................. 31 3.1.1. Método de Integración por sustitución................................................................................................. 31 3.1.2. Método de integración por partes........................................................................................................... 32 3.1.3. Aplicación de los métodos de integración por sustitución y de integración por partes en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas................................................... 34 ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 38 Quiero saber más...................................................................................................................................................... 40 UNIDAD IV. Aplicaciones de la integral..................................................................................................... 41 4.1. Cálculo de volúmenes...................................................................................................................................... 42 4.2. Aplicaciones del Cálculo Integral en la Geometría................................................................................. 48 4.3. Aplicación del Cálculo Integral en la Física.............................................................................................. 50 4.4. Determinación del trabajo físico realizado por una fuerz...................................................................... 55 ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 56 Quiero saber más...................................................................................................................................................... 57 4 5 PRESENTACIÓN C Á L C U L O I N T E G R A L La presente guía de aprendizaje de Cálculo Integral tiene como propósito ayudar al estudiante inscrito en la modalidad de educación media superior a distancia para que, mediante el estudio independiente y a través de las actividades que se plantean, vaya adquiriendo paulatinamente el conocimiento suficiente del cálculo integral y logre, entonces, aplicarlo como una herramienta sumamente útil y poderosa en el análisis de diversos fenómenos y en la resolución de problemas sencillos. El programa de la Asignatura comprende cuatro unidades. En la unidad I, se sientan las bases del cálculo integral relacionándolo de manera esencial con el cálculo diferencial a través del teorema fundamental del cálculo. Estudiaremos a la Integral como suma y a la vez, como la determinación del área que, en un intervalo específico, se desarrolla bajo la curva representativa de una función. La suma de Riemann se convertirá en un auxiliar muy valioso para poder llegar a la determinación del área bajo la curva. La unidad concluye con una aplicación de lo aprendido en la determinación del área entre dos curvas. La integral indefinida se estudia en la Unidad II, entendiendo y aplicando previamente las antiderivadas y la llamada constante de integración. Aprenderemos algunas de las reglas básicas de la integración para poder resolver algunos problemas elementales. Los métodos de integración por partes y el de sustitución se estudian en la tercera Unidad. El dominio de los mencionados métodos se aplicará en la integración de funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas. Por ultimo, en la Unidad IV se estudiarán algunas de las aplicaciones de la integral, en primer lugar calculando volúmenes de figuras regulares o irregulares y después en situaciones tan variadas como la determinación del centro de masa de un objeto, la velocidad del flujo sanguíneo, la presión hidrostática sobre la cortina de una presa, el cálculo del trabajo efectuado en un sistema físico, etcétera. Como siempre, para poder abordar con éxito y provecho todos los contenidos del curso es necesario que el estudiante posea una excelente disposición al trabajo, puesto que en este caso, como en otras áreas de la vida, es la única manera de triunfar. Por otro lado es fundamental que se lean detenidamente los textos marcados en las actividades y que se tenga siempre a la mano un cuaderno para tomar las notas pertinentes así como una calculadora científica para efectuar los cálculos necesarios. Sugerimos ir realizando, simultáneamente a la lectura, los ejercicios marcados en el texto y repetirlos una y otra vez hasta que se logre un dominio suficiente del tema, puesto que en el cálculo, más importante que el memorizar los procesos o las fórmulas es el entender qué es lo que se está haciendo y hacia dónde se pretende llegar. En caso de que haya dudas habrá que volver sobre el texto y solicitar la ayuda del Asesor. Por último, puesto que siempre son bienvenidas y provechosas las observaciones que respecto al presente trabajo pudieran tenerse, les suplicamos hacerlas llegar a la Coordinación de Educación Media Superior a Distancia. De antemano, gracias. 6 Ubicación de la asignatura La asignatura de Cálculo Integral se imparte en el VI bloque y forma parte tanto del campo de conocimiento de las matemáticas como del área propedéutica, razón por la cual no solamente complementa la formación del estudiante de la modalidad sino que también le prepara para abordar estudios superiores en diversas ramas del conocimiento. Por otro lado cabe señalar que con Cálculo Integral se cierra el campo de conocimiento matemático que comprende desde Matemáticas I, II, III y IV hasta Cálculo Diferencial incluyendo asimismo, la presente asignatura. Objetivo de la asignatura Aplicar el Cálculo Integral a través del análisis del comportamiento gráfico de una función y determinar el área baja de una curva utilizando los distintos métodos de integración, para la resolución de problemas. 7 UNIDAD I UNIDAD I UNIDAD I UNIDAD I UNIDAD I LA INTEGRAL COMO ÁREA BAJO UNA CURVA Objetivo de la Unidad: Aplicar la integral definida, a través de la aproximación sucesiva de las áreas de regiones en el plano y la antiderivada de funciones polinomiales, para resolver problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento. ¿QUÉ VOY A APRENDER? Al inicio del curso de Cálculo Diferencial se introdujo el concepto de la derivada con el auxilio de su representación geométrica como la pendiente a una curva. En la presente unidad comenzaremos también, de una manera intuitiva, a comprender qué es la integral al interpretarla como el área bajo la curva representativa de una función. De manera previa se estudiará la notación sigma o sumatoria para aplicarlo a la medición de áreas por aproximación de límites de sumas. Una manera muy apropiada de lograrlo se conoce como suma de Riemann. Una vez entendido lo anterior se podrá entender y aplicar la integral definida además de evaluar las llamadas antiderivadas que son precisamente las operaciones inversas a la diferenciación. Al terminar el estudio de la presente unidad, deberás estar capacitado para poder calcular áreas de regiones comprendidas entre dos curvas de tal suerte que enfrentes con éxito la resolución de algunos problemas sencillos. El estudio de esta unidad requiere, por tu parte, que estés muy atento a las explicaciones que proporciona el autor del texto que estaremos usando y, por otra parte, que hagas el esfuerzo de resolver por cuenta propia, si es necesario con la ayuda del asesor, los problemas que te sugeriremos y para los cuales hemos presentado, en algunos casos, no solo las soluciones, sino también los desarrollos con las anotaciones que consideramos pertinentes para tu mejor comprensión del proceso. Las actividades para la sección ¿cómo aprendo? están referidas siempre, salvo que se indique lo contrario, al siguiente texto: Stewart, James.Cálculo, trascendentes tempranas. México, International Thomson Editores, 1998. 8 1.1. INTEGRAL Objetivo: Determinar la antiderivada de funciones polinomiales, a través del análisis de la relación entre la antiderivada y el área bajo la curva, para la solución de problemas sencillos. 1.1.1. Áreas por aproximación de límites de sumas Después de efectuar una lectura atenta y cuidadosa de las páginas 322 a la 326 del libro de Stewart, James.Cálculo, trascendentes tempranas. México, International Thomson Editores, 1998. realiza las siguientes actividades: 1. Copia en tu cuaderno el esquema de la notación de sumatoria y escribe cómo se denota el inicio y el término de la suma y cuál es el signo empleado para la sumatoria, (¿de qué idioma proviene?). 2. Al revisar los ejemplos de la pagina 323 del libro citado, toma nota de la forma en que se van sustituyendo los términos dentro de la función indicada al realizar la suma. Intenta expresar por escrito, con tus propias palabras, el proceso empleado. 3. Anota en el siguiente cuadro los teoremas correspondientes a la sumatoria junto con un ejemplo ilustrativo. ¿CÓMO APRENDO? TEOREMAS DE LA SUMATORIA Teorema Ejemplo 9 4. Observa el desarrollo de los siguientes ejercicios tomados del texto de Stewart sección 5.1 y después intenta resolver los que se encuentran bajo el mismo nombre en la sección ¿Qué he aprendido? En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma de sumatoria, los siguientes ejemplos intentan aclarar cómo se procede: Por ejemplo, en la siguiente suma: 7 6 5 4 3 + + + + puedes darte cuenta de que el término inicial es 3, por tanto i = 3 y el término final es 7. Por otro lado la función en la cual se insertarán los términos es la raíz cuadrada, por ello la suma puede expresarse como sigue: ∑ · 7 1 i i Ahora consideremos la siguiente suma: 1 2 2 3 3 4 4 5 19 20 + + + + + ... el término inicial es i = 1 y el término final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es mayor por una unidad que el numerador, por ello, una posible representación de la sumatoria es: i i i + · ∑ 1 1 19 Ejemplos de aproximación por límites de sumas Primer ejemplo: Empleando la aproximación por límite de sumas, determina el valor del área bajo la curva de la siguiente función: 2 x 16 f(x) − · 1. [ ] 0.4 intervalo puntos de partición 0 1 , , , , 2 3 4 ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ; ¹ ¹ ¹ punto x i * dentro del i-ésimo intervalo: extremo izquierdo Ejemplos de como desarrollar una sumatoria 1 1 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 6 i i + = + + + + + = å = 1 1 + 1 + 1 2+1 + 1 3+1 + 1 4+1 + 1 5 + 1 + 1 6+1 1 2 i 3 i = å = + + 4 6 3 3 3 4 5 6 x x x x x k k = å = + + + 5 8 5 6 7 8 Observa que el término inicial es i=1 y el término final es i = 6, por lo que al sustituir en la expresión tenemos la solución como se muestra. 10 En primer lugar hacemos: 4 = x 3 x 2 x 1 x x 4 = 3 = 0 = 0 2 1 · y calculamos ∆ de la siguiente manera: 1 = 3 - 4 x 1 = 2 - 3 x 1 = 1 - 2 x 1 = 0 - 1 x 4 3 2 1 · ∆ · ∆ · ∆ · ∆ Por consiguiente, la norma de la partición se determina como sigue: P = max , , , 1 1 1 1 1 ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ; ¹ ¹ ¹ · Sustituyendo y procediendo a calcular la suma, tenemos: f x i i f x f x f x f x i o · ∑ · + + + 4 1 2 3 4 0 1 2 3 ( * ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = 16 (1) + 15 (1) + 12 (1) + 7 (1) = 50 Ahora, verifica tu aprendizaje resolviendo los ejercicios que encontrarás en la sección ¿Qué he aprendido? Compara tus resultados con las soluciones. Si no coinciden vuelve a repasar e insiste hasta llegar a la solución correcta. 11 1.1.2. Suma de Riemann Lee de la pagina 328 a la 335 del libro Stewart, James. Op. cit. A partir de la lectura te proponemos las siguientes actividades: 1. Asigna valores entre 0 y 1 para la función y = x 2 , elabora la tabla correspondiente y en papel cuadriculado traza la curva que representa a la función (te sugerimos que para la escala de cada eje, le asignes a cada cuadrito el valor de 0.05 unidades). Ahora intenta una aproximación a la medida del área bajo la curva dentro del intervalo marcado, contando los cuadritos que quedan dentro de dicho espacio (si seguiste la sugerencia, cada cuadrito tendrá como superficie 0.0025 unidades). Compara tu estimación con los resultados de la suma de Riemann que aparece como solución del ejemplo 1 (p. 328) y responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué tanto te pudiste aproximar? b) ¿Qué dificultades tuviste para lograr que tu estimación fuese lo más exacta posible? c) ¿Qué tanto se acercó al resultado de la suma de Riemann? 2. Anota en tu cuaderno los conceptos de partición de un intervalo, norma de la partición y el significado de x i * . Explica, con tus palabras, cuál es la repercusión en la medición del área bajo la curva al considerar a x i * en el extremo derecho, en el extremo izquierdo o en el punto medio del subintervalo Dx i .:, después responde: a) ¿El área estimada será más grande que el área real?, ¿o más pequeña?, Justifica tus respuestas. 3. Escribe en tu cuaderno tu apreciación en torno a que es lo que sucederá con el ancho de los rectángulos de aproximación cuando la norma de la partición (|| P ||) tiende a cero. 1.1.3. Integral definida Lee de la página 336 a la 344 del libro de Stewart, James. Op. cit., y partiendo de la información que proporciona, realiza las siguientes actividades: 1. Anota en tu cuaderno la definición de una integral definida y explica la relación entre ella y la Suma de Riemann. 2. Completa el siguiente cuadro: ELEMENTOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA Elemento Símbolo representativo Integral Integrando Límite superior Límite inferior 12 3. Responde en tu cuaderno: ¿La integral siempre representa a un área? Justifica tu respuesta. 4. Escribe los criterios para considerar a una función “integrable”. 5. Explica las ventajas de seguir la regla del punto medio para la medición del área bajo la curva. 6. Copia en tu cuaderno y también en una ficha de trabajo las propiedades de la integral. 7. Revisa los siguientes ejemplos para la evaluación de integrales definidas poniendo especial atención en los procedimientos: Ejemplo 1. Evalúa la integral dentro de los límites que se establecen: 2 1 2 1 1 2+ - 2 2 1 x 1 - 1 1 - x 1 + 2 - x = dx x ú û ù = - ò - 2 1 2 2 2 1 - = 1 1 - 2 1 - = + ÷ ø ö ç è æ - = Ejemplo 2. ò = + ò - ò ò ò ò = + - ò 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 5 2 1 2 dx xdx 4 dx x 5 = dx 3 + 4xdx - x 5 3)dx 4x (5x 3 ] ú û ù ê ë é + ú û ù ê ë é + = = 3(1) 2(1) - 3 5(1) - 3(2) 2(2) - 3 5(2) 3x + 2x - 3 5x 2 3 2 3 2 1 2 3 ú û ù ê ë é + - - ú û ù ê ë é + - = 3 9 3 6 3 5 3 18 3 24 3 40 3 26 = 3 8 - 3 34 ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ = En primer lugar evaluamos la integral y marcamos los límites dentro de los cuales s está calculando su valor. Sustituimos los valores en la expresión encontrada. Y este es el resultado final. 13 Ejemplo 3. 1 0 ú û ù + - = + - ò 2 3y 6 2y 10 y dy 3y) 2y (y 2 6 10 5 9 1 0 15 4 1 15 19 30 38 30 45 30 10 30 3 0 2 3 3 1 10 1 2 3y 3 y 10 y 1 0 2 6 10 = = = ú û ù ê ë é + - = - ú û ù ê ë é + - = ú ú û ù + - = 14 1.1.4. Teorema fundamental del cálculo Lee de la página 347 a la 355 del libro de Stewart, James. Op. cit., y trabaja en las siguientes actividades: 1. Anota en tu cuaderno las definiciones de la primera y segunda parte del teorema fundamental del Cálculo junto con un ejemplo ilustrativo y tus notas personales sobre el significado y la aplicación de cada parte del teorema mencionado. 2. Responde en tu cuaderno: a) ¿Por qué razón se le da a este teorema el nombre de “Teorema Fundamental del Cálculo”? b) ¿De qué manera se relaciona a la derivación y a la integración? 3. Observa los siguientes ejemplos correspondientes a la primera parte del teorema fundamental del cálculo: Ejemplo 1. Aplicando la primera parte del teorema fundamental del Cálculo, determina la derivada de las siguientes funciones: a) g(x) = 1 x ∫ (t 2 -1) 20 dt b) g(x) = t x 2 1 1 + − ∫ dt como f(t) = (t 2 -1) 20 es continua, tenemos puesto que f(t) = t 2 1 + es continua g´(x) = (x 2 - 1) 20 que es la solución. la solución es g´(x) = x 2 1 + Ejemplo 2. Usa la segunda parte del teorema fundamental del Cálculo y evalúa la integral o define si no existe. a) − ∫ 2 4 (3x - 5) dx Aplicando las fórmulas para integración inmediata y evaluando tenemos: − ∫ 2 4 (3x - 5) dx = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 2 5 3 4 2 5 4 3 2 2 5 2 24 20 6 10 4 16 12 2 4 2 2 4 2 2 x dx x x − · ∫ − · − − − − − · − − + · − ·− − − 1 ] 1 1 1 1 1 ¸ 1 ] 1 1 1 1 ¸ 1 ] 1 1 1 1 15 b) x dx x dx · ∫ ∫ 1 2 0 4 0 4 x x x 1 2 2 2 1 2 2 2 0 4 3 2 3 2 0 4 2 3 3 2 0 4 + + · · 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 evaluando = 2 3 (4) 3/2 - 2 3 (0) 3/2 = 2 3 (8) = 16 3 = 16 3 c) sent dt 3 π π 4 ∫ = − 1 ] 1 1 cost π π 4 3 = (- cos π 3 ) - (- cos π 4 ) = (-0.5) - (-0.7071) = -0.5+0.7071 = 0.2021 Ejemplo 3 La función de velocidad de un punto material que se mueve a lo largo de una recta está dada por la expresión: v(t) = 3t - 5 Calcula: a) el desplazamiento b) la distancia recorrida en el intervalo o ≤ t ≤ 3 Solución: Para determinar el desplazamiento del punto material integraremos la función de velocidad dentro del intervalo marcado: ( ) 3 5 3 2 5 2 0 3 0 3 t dt t t − · − 1 ] 1 1 1 1 ∫ 16 Evaluamos dentro de los límites marcados: · − − − · − ·− ¸ 1 ] 1 1 1 1 ¸ 1 ] 1 1 1 1 3 3 2 5 3 3 0 2 5 0 27 2 30 2 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m 4. Después de observar lo anterior, anota por lo menos 2 ejemplos de situaciones en los que se aplica el teorema fundamental del cálculo. Ahora intenta la resolución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor. 1.1.5 Antiderivadas Seguramente, después del estudio de las secciones anteriores, habrás podido darte cuenta de que la integración también puede recibir el nombre de antiderivación puesto que es la operación inversa a la diferenciación. Para poder entender mejor el concepto y las operaciones para llevar a cabo las antiderivadas, lee de la página 307 a la 313 del libro de Stewart, James. Op. cit. y además realiza las siguientes actividades: 1. Escribe en tu cuaderno la definición de antiderivada. 2. Copia tanto en tu cuaderno como en una ficha de trabajo la tabla de fórmulas de antidiferenciación. 3. Explica por qué razón se agrega una constante al calcular la antiderivada. 4. Explica cuál es el significado geométrico de asignar valores diferentes a la constante que resulta al antiderivar. 1.1.6. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas Una aplicación muy importante del cálculo integral es la determinación del área comprendida entre dos curvas. Este proceso, resuelto en forma aritmética resulta difícil y en ocasiones imposible, es entonces cuando la integración se convierte en herramienta inapreciable para lograr la solución. Para abordar este tema tan importante, realiza la lectura de las páginas 380 a la 385 del libro de Stewart, James. Op. cit. y con base en la información proporcionada, realiza las siguientes actividades: 1. Revisa atentamente cada ejercicio propuesto en el texto y elabora, por tu cuenta, la tabla correspondiente asignándole valores, dentro del intervalo propuesto, a la variable x. Acto seguido, traza la gráfica correspondiente en papel cuadriculado y evalúa la integral definida dentro de los límites marcados. 17 2. Anota en tu cuaderno tu explicación de lo que cambia en el procedimiento cuando: a) g(x) ≥ f(x) b) f(x) es a veces mayor y a veces menor que g(x) c) resulta mejor cambiar el intervalo del eje XX´ al eje YY´. 3. Observa la resolución de los siguientes ejemplos y lee las notas explicativas para intentar posteriormente la solución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? Ejemplo 1. Calcula el área de la región sombreada Área de la región sombreada = ∫(x 2 + 3)dx - ∫xdx en el intervalo de -1 a 1 Integrando resulta: A = x x x 3 2 1 1 3 3 2 + − − Sustituimos y calculamos con los valores indicados de -1 y 1, de lo cual tenemos: A = ( ) ( ) 1 3 31 1 2 3 3 1 2 3 2 1 3 1 2 + − − + − − ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , − − ( ) ( ) = 21 3 El área buscada es igual a 21 3 Para poder integrar, debemos tomar como variable independiente a y, por lo tanto, las funciones se escriben de la forma siguiente: y = x + 5 ∴ x = y - 5 , x = y 2 y = x 2 + 3 1 -1 x y La curva que representa a la función y = x 2 + 3 está en una posición más alta que la recta que representa a la función y = x. Por otro lado, el área sombreada se encuentra en el intervalo de -1 a 1, por lo que ya se puede intuir que el cálculo del área sombreada se podrá hacer de la siguiente manera: 18 Escribimos las integrales correspondientes: A = y dy y dy − ¸ ¸ _ , − − − ∫ ∫ 5 2 1 2 1 2 Realizando la integración se tiene: A = y y y 2 3 1 2 2 5 3 − − − ¸ − · ¸ 1 ] 1 − − − − − 1 ] 1 − − · 6 101 3 ) 1 ( ) 1 ( 5 2 ) 1 ( 3 2 ) 2 ( 5 2 2 A 3 3 3 2 Ahora intenta la resolución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor 19 ¿QUÉ HE APRENDIDO? El libro de Stewart, James. Cálculo, trascendentes tempranas. México, International Thomson Editores, 1998, tiene al final de cada capítulo una serie de problemas para aplicar lo aprendido. Para aprovecharlos, resolvimos algunos en la sección ¿cómo aprendo? y te proponemos que ahora intentes resolver los que te marcamos en esta sección (como ayuda te presentamos las soluciones), esto te permitirá medir tu avance y, al mismo tiempo, detectar tus deficiencias en aquellos contenidos en los cuales no has logrado un dominio suficiente. Te recomendamos que si tienes dudas vuelvas sobre el texto y consultes a tu asesor. Áreas por aproximación de límites de sumas a) Desarrolla las siguientes sumas: j n n n n j n n 2 2 3 2 2 2 1 2 3 · + + + + + + · + ∑ ( ) ( ) ( ) f x x f x x f x x f x x f x x i n i i n n n n ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) · − − ∑ · + + + + 1 1 1 2 2 1 1 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ i i· ∑ 3 7 = 1 2 3 4 5 6 7 + + + + + + b) Expresa las siguientes sumas en notación de sumatoria: 2+ 4 +6. . . 2(n-1) + 2n Solución: ( i) i n 2 1 · ∑ 1 1 4 1 9 1 16 1 25 1 36 + + + + + Solución: 1 2 1 6 i i· ∑ 1 1 2 3 4 + − + + + − ¸ ¸ _ , ∩ ∩ x x x x ... Solución: (-1) x i i i n · ∑ 0 Suma de Riemann Los ejercicios para este tema se encuentran en la sección 5.2 , página 335 del libro citado. Compara tus respuestas y si no coinciden revisa el procedimiento de los ejemplos. Ejercicio A Datos: sea la función f(x) = 2x + 1, los puntos de partición: {0,0.5,1,2,4} el intervalo: [0,4] x* i = extremo izquierdo Encontrar: la norma de la partición ¦¦P¦¦, la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación y trazar la gráfica correspondiente Solución: Solución: Solución: 20 Ejemplo 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 4 cos x Solución: ¦¦P¦¦= 2 A = 14.5 Ejercicio B Datos: sea la función f(x) = 4 cos x los puntos de partición: {0,π/6, π/4, π/3, π/2} el intervalo: [0, π/2] x* i = extremo izquierdo Encontrar: la norma de la partición ¦¦P¦¦, la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación y trazar la gráfica correspondiente. SOLUCIÓN: ¦¦P¦¦= π/6 EJERCICIO 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 . 4 0 . 8 1 . 2 1 . 6 2 2 . 4 2 . 8 3 . 2 3 . 6 4 y 21 Integral definida Evalúa las siguientes integrales: Ejercicio 1 t t t 6 2 4 1 2 − ∫ dt = Solución: = 11 6 Ejercicio 2 x x dx 2 1 1 2 + · ∫ Solución: = 6 5 3 2 2 ( ) − Ejercicio 3 u u u du 0 1 3 ∫ + · ¸ ¸ _ , Solución: = 29 35 Determinación del área entre dos curvas Ejercicio 1: Determina el área de la región limitada por la curva y= x 3 - 2x 2 -5x+6 el eje x y las rectas x= -1 y x= 2 Solución: = 157 12 Ejercicio 2: Determina el área de la región limitada por la curva y = cos 2x y las rectas y = 0, x= − π 4 Solución: = 1 Ejercicio 3: Determina el área de la región limitada por las curvas y = x, y= x 3 y las rectas x= -1, x= 1 Solución: · 1 4 22 QUIERO SABER MÁS A lo largo de este capítulo hemos trabajado basándonos principalmente en las aportaciones de un gran matemático alemán llamado Georg Friedrich Bernhard Riemann, autor, entre otras cosas, de la llamada Suma de Riemann. Sin embargo, vale la pena conocer un poco más de su vida y de sus aportaciones. He aquí, resumida, su vida. Bernhard Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Brezelenz, Hannover (hoy Alemania) y fue el segundo de seis hermanos. Fue educado por su padre hasta que alcanzó la edad de 10 años. A partir de entonces un profesor de la escuela local ayudó en su educación. En 1840 Bernhard ingresó directamente en el tercer grado en el Liceo de Hannover. Mostró un particular interés en el estudio de las matemáticas y el director del Liceo lo alentó para dedicarse al estudio de las matemáticas prestándole textos de su biblioteca particular. Se cuenta que en una ocasión le prestó a Bernhard el libro de Legendre sobre la teoría de los números y leyó las 900 paginas en tan sólo seis días. En la primavera de 1846, Riemann ingresó a la Universidad de Gotinga. Su padre, un ministro luterano, lo había encaminado a estudiar teología, de tal suerte que se matriculó en la facultad de teología. A raíz de haber participado en algunas lecciones de matemáticas le interesó tanto estudiarlas que le pidió a su padre permiso para poder cambiar de carrera. Obtuvo el permiso y se inscribió en la facultad de filosofía que, a la sazón, era donde se estudiaba matemáticas bajo la cátedra de Moritz Stern y Gauss Posteriormente Riemann se cambió a la Universidad de Berlín en la primavera de 1847 para estudiar bajo la dirección de Steiner, Jacobi, Dirichlet y Eisenstein. Fue una época importante para Riemann pues aprendió mucho de Eisenstein sobre el uso de las variables complejas en la función elíptica. La persona que más influyó durante esta etapa de la vida de Riemann fue Dirichlet puesto que no solo le enseñó con profundidad sobre una gran cantidad de materias, sino que más aún, Riemann adoptó para sus estudios matemáticos el sistema de Dirichlet. Por otra parte, Riemann trabajó sobre la teoría general de las variables complejas que formarían las bases de su trabajo más importante. En 1849 Riemann regresó a Gotinga y su trabajo doctoral fue dirigido por Gauss, quien al dar su reporte sobre la tesis describió a Riemann como poseedor de una “fértil y gloriosa originalidad”.Por recomendación de Gauss. Riemann obtuvo un puesto en la Universidad de Gotinga. Durante ese tiempo elaboró trabajos que más tarde sirvieron a Einstein para dar forma a la teoría relativista de la gravitación. A la muerte de Dirichlet, Riemann ocupó la cátedra de Gauss. Enfermó de tuberculosis y pasó los últimos años de su vida tratando de recuperar la salud. Por ello se trasladó a Selasca, Italia donde murió en 1866. Las ideas de Riemann concernientes a la geometría del espacio tuvieron un profundo efecto en el desarrollo de la física teórica moderna y proveyó de métodos y conceptos usados más tarde en la teoría de la relatividad. Fue un pensador original desarrollando métodos, teoremas y conceptos que trascendieron su existencia. Aclaró la noción de integral al definir lo que conocemos como integral de Riemann y también es famoso por la hipótesis que lleva su nombre y que no ha sido aún resuelta. 23 UNIDAD II UNIDAD II UNIDAD II UNIDAD II UNIDAD II LA INTEGRAL INDEFINIDA Objetivo de la Unidad: Aplicar el concepto de integral, a través del empleo de las antiderivadas y su interpretación para la resolución de problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento. ¿QUÉ VOY A APRENDER? En el capítulo anterior se estudiaron los fundamentos del cálculo integral y a la integral definida, ahora dedicaremos nuestra atención de forma especial a la integral indefinida. Seguramente habrás entendido que existe una notable diferencia entre ambas integrales, puesto que por un lado, la integral definida es en realidad un número, mientras que la integral indefinida es una función. Un problema matemático frecuente es el encontrar, a partir de la derivada, la función original correspondiente. Las antiderivadas nos permiten lograrlo mediante una serie de procedimientos algebraicos y fórmulas establecidas que simplifican el proceso, razón por la cual se estudian en primer lugar. La notación de integral maneja una serie de elementos que es necesario conocer con detenimiento y el conocer las reglas básicas de integración nos prepara para aplicarlas en la resolución de algunos problemas sencillos. Los ejercicios que se resuelven dentro de la guía te ayudarán, así lo esperamos, para que comprendas tanto el procedimiento como el sentido matemático y geométrico de la integral definida. Procura seguirlos con atención e irlos resolviendo simultáneamente en tu cuaderno de notas. 24 ¿CÓMO APRENDO? 2.1 INTEGRAL INDEFINIDA Objetivo: Determinar la antiderivada de funciones sencillas mediante el análisis de la relación entre la antiderivada y la integral definida, para la resolución de problemas. 2.1.1 Antiderivada Estudia las páginas 307 a 313 del libro de Stewart, James. Cálculo, trascendentes tempranas. México, International Thomson Editores, 1998 y partiendo de la información que presenta, realiza las siguientes actividades: 1. Copia en tu cuaderno la definición de antiderivada e intenta explicar de forma breve y con tus propias palabras, cuál es el significado de la antiderivada para una integral indefinida. 2. Explica cuál es la razón por la cual se agrega una constante arbitraria cuando se determina una antiderivada general. 3. Anota en tu cuaderno la tabla de fórmulas de antidiferenciación y agrega un ejemplo de cada una de ellas. Agrega las notas que te parezcan pertinentes. 4. Observa la resolución de los ejemplos siguientes y resuelve a continuación los que se proponen en la sección ¿Qué he aprendido? Determina la antiderivada más general de la función: a) f(x) = 12x 2 + 6x - 5 Empleando las fórmulas de la tabla, tenemos que: f(x) =12( x 3 3 ) + 6( x 2 2 ) - 5x + C = 4x 3 + 3x 2 - 5x + C Se comprueba que la antiderivada es correcta puesto que al derivar F(x) obtenemos f(x) b) f(x) = x 99 - 2x 49 - 1 f(x) = x x x 100 50 100 2 50 − − +C = x x x 100 50 100 25 − − + C 25 2.1.2. Reglas básicas de integración Para poder abordar este tema, realiza las siguientes actividades: 1. Copia de la página 352 del texto de Stewart, James. Op. cit., la tabla de fórmulas de la integral indefinida y completa el siguiente cuadro: 2. Revisa con atención los ejercicios que desarrollamos a continuación y que te presentamos para que observes la aplicación de la tabla de integrales indefinidas. Consulta a tu asesor en caso de tener dudas sobre los procedimientos y trata de resolver los ejercicios que se encuentran en la sección ¿Qué he aprendido? a) Integra: ∫4xdx ∫4xdx = 4∫x dx = 4( x 2 2 ) + C = 2x 2 + C TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS Integral Ejemplo 26 b) Integra: ∫(3x 2 - 2x)dx ∫(3x 2 - 2x)dx = ∫3x 2 dx - ∫2x dx = 3∫x 2 dx - 2∫x dx = 3( x 3 3 ) - 2( x 2 2 ) + C = x 3 - x 2 + C c) Integra: ∫x -2 dx ∫x -2 dx = x C x C x C − + − − + + · − + ·− + 2 1 1 2 1 1 1 d) Integra: ∫ x dx ∫ x dx = ∫x 1/2 dx = x C x C x C 1 2 2 2 3 2 3 2 1 2 2 2 3 2 2 3 + + + · + · + e) Integra: ∫3x 1/3 dx ∫3x 1/3 dx = 3∫x 1/3 dx = 3( x 1 3 3 3 1 3 3 3 + + ) + C = 3( x 4 3 4 3 ) + C = 3( 3 4 4 3 x ) + C = 9 4 4 3 x + C f) Integra: dx x dx x du u u C C + + · · + + ∫ ∫ ∫ ¸ ¸ _ , 1 1 ln = ln x+1 ( ) ∫ + 2 1 x dx g) Integra: ( ) ∫ ∫ + · · + 1 x u : donde u du 1 x dx 2 2 ∫ + − + -1 -1 = 1 + 2 - 2 - C u C + 1 2 u = du u = C 1 X 1 C u 1 + + − · + − · 27 h) Integra: sen x dx ∫ sen x dx = -cos x + c ∫ i) Integra: cos 4 x dx ∫ Para integrar u= 4x y du = 4 dx Despejamos a dx y tenemos: dx= du 4 Sustituimos: cos cos cos sen 4x dx = u du 4 = 1 4 u du = 1 4 sen 4x + c = 1 4 4 ∫ ∫ ∫ ¸ ¸ _ , + x c j) ( ) ∫ ∫ , _ dx 1 + x sec 2 - x 2 sec = dx 1 - x sec 2 ( ) c + x x tan + x sec ln 2 - x tan = dx 1 + dx x sec 2 - dx x sec = 2 + ∫ ∫ ∫ 28 ¿QUÉ HE APRENDIDO? Aplica lo que aprendiste al estudiar este capítulo resolviendo los ejercicios que te proponemos. Compara tu respuesta con la solución y si tienes dudas consulta nuevamente el texto y a tu asesor. Integrales indefinidas. Evalúa las siguientes integrales: a) ò (2x 3 - x 2 - 3x + 4) dx Solución: x x x c 4 3 2 2 3 3 2 - - + b) ò ( x 4 2 + 3x 3 + 2 - x 2 3 ) dx Solución: x x x x c 5 4 3 10 3 4 2 9 + + - + c) ò ( x +3x - 2) dx Solución: 2 3 3 2 2 3 2 2 x x x c / + - + d) ò (4x 2 - 2 x ) dx Solución: 4 3 3 3 2 x x c - + æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ / e) 4 3 4 x x dx æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ò Solución: ln x c 4 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ + f) ò + x dx x 2 3 2 Solución: 1 3 2 3 ln + + æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ x c g) ò sen 2a xdx Solución: - cos 2ax + C h) ò (sec x -1) 2 dx Solución: tan x + 6 ln (sec x + tan x) + 9x + C i) òsec 2 5x dx Solución: 1/5 tan (sec 2 5x) + C j) ò sec x( sec x + tan x) dx Solución: tan x + sec x + C k) ò (3 cos x - 4 sen x + 1 2 x ) dx Solución: 3 sen x + 4 cos x - 1 x + C l) ò e x dx Solución: e x + C 29 QUIERO SABER MÁS Fermat, Roberval y Cavalieri fueron 3 matemáticos que, curiosamente, nacieron con diferencia de tres años uno después del otro. Asimismo, los tres hicieron contribuciones muy importantes al Cálculo. Cavalieri inventó su “método de indivisibles” basándose en los intentos hechos por Kepler para lograr medir una región del plano. Tal parece que Cavalieri intentó determinar el área bajo la curva considerándola como una serie infinita de componentes(de líneas) que, al ser sumadas como un número infinito de “indivisibles” proporcionaban el resultado. Usando estos métodos encontró que la integral de x n es x n+1 /n+1, una fórmula de integración inmediata que es ampliamente conocida y que ya has usado al desarrollar los ejercicios contemplados en el curso. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso en sus métodos que Cavalieri. Roberval consideró el área bajo la curva como un número infinito no de líneas, sino de tiras rectangulares angostas; al realizar la suma determinó con mayor precisión la medida de la región del plano buscada. Fermat, investigó los máximos y mínimos de una función al considerarlos como la recta paralela al eje de las x y tangente a la curva en cuestión. Escribió a Descartes proporcionándole el método usado hasta el día de hoy para el cálculo mencionado. Por esta razón, Lagrange, célebre matemático francés, llegó a considerar a Fermat como el inventor del Cálculo. A lo largo del desarrollo del curso hemos estado utilizando las aportaciones hechas por estos tres grandes matemáticos, lo mismo que otras personas que, basándose en ellas, han impulsado el desarrollo de las matemáticas para comprender mejor el maravilloso mundo en el que vivimos. 30 UNIDAD III UNIDAD III UNIDAD III UNIDAD III UNIDAD III MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Objetivo de la Unidad: Aplicar el concepto de integración de funciones algebraicas y trigonométricas, a través del empleo de los métodos por partes y sustitución para la resolución de problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento. ¿QUÉ VOY A APRENDER? Es un hecho que, a diferencia de otras operaciones matemáticas, la integración no se puede reducir a la mera aplicación de una serie de fórmulas. Más aún, se podría afirmar que cada integral tiene su propio procedimiento para ser resuelta. Sin embargo, los métodos de integración que estudiaremos en esta unidad nos proveerán de elementos suficientes para poder resolver un gran número de casos en los que con toda probabilidad tendríamos grandes dificultades. Los mencionados métodos de integración se aplicarán en la última parte de la unidad, para resolver problemas sencillos en diversas áreas. Un ejemplo tomado de la medicina podría ser el cálculo del volumen de aire respirado por una persona durante un ciclo respiratorio completo desde la inhalación hasta la exhalación. El débito del flujo del aire hacia los pulmones puede ser representado por una función de la forma f(t) = ½ sen(2π/5), esto quiere decir que al realizar la integración seríamos capaces de saber si la capacidad pulmonar de una persona en particular, corresponde al volumen de aire inhalado por la misma y de esta forma determinar el estado de salud que presenta. Otra situación en la que se aplica la integración es en el cálculo de la producción de un determinado artículo. Es interesante saber que el proceso puede ser representado por una función y la integración de ella nos permitirá saber con precisión cuándo se ha llegado al punto óptimo y cuál debiera ser el total de artículos producidos en una línea de producción. La integración se aplica, aunque parezca poco creíble, a fenómenos estudiados por la ornitología (la ciencia que estudia a las aves, especialmente a los pájaros). Se afirma que algunas especies de aves migratorias tienden a evitar volar sobre grandes extensiones de agua durante el día. La razón parece ser que el vuelo en tal situación requiere un mayor gasto de energía debido a que durante el día el aire sube de la tierra y desciende sobre el agua. Ahora bien, de una manera instintiva las aves tienden a economizar su energía para poder volar mayores distancias y esto, también puede ser representado por una función que, una vez integrada, nos permitirá conocer la distancia máxima que un ave puede recorrer en un determinado tiempo, el trabajo realizado al volar sobre tierra o sobre el agua, etcétera. Estos comentarios pretenden que percibas al cálculo integral y a los métodos que se van a estudiar, como herramientas que se pueden utilizar no sólo como materia de examen sino también en el análisis de muchos fenómenos de tu propia vida y de diversas áreas del conocimiento. Así pues, te invitamos a seguir esforzándote en el estudio del cálculo integral. 31 ¿CÓMO APRENDO? 3.1 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Objetivo: Calcular integrales no inmediatas o por transformaciones algebraicas sencillas, aplicando los métodos más usuales de integración por partes y sustitución trigonométrica, para la resolución de problemas teórico-prácticos. 3.1.1. Método de Integración por sustitución Realiza la lectura de las páginas 359 a la 364 del libro de Stewart, James. Cálculo, trascendentes tempranas, México, International Thomson Editores, 1998 y efectúa las siguientes actividades: 1. Anota en tu cuaderno la regla de sustitución y expresa con tus palabras cuál es su significado. 2. Copia también la regla de sustitución para integrales definidas y expresa por escrito la relación que tiene con las integrales de funciones simétricas que se mencionan dentro del mismo texto. 3. Con respecto a las integrales de funciones simétricas es muy importante que se distinga cuando una función es par o impar para poder aplicar la regla. ¿Cuál es el criterio? Justifica tu respuesta. 4. Además de observar atentamente la solución de los ejemplos que proporciona el autor, te sugerimos que revises los siguientes desarrollos y leas las notas que lo acompañan, después intenta resolver los ejercicios correspondientes que encontrarás en la sección ¿Qué he aprendido? Si tienes dudas vuelve sobre el texto y consulta a tu asesor. Ejemplo 1. Evalúa la siguiente integral efectuando la sustitución prescrita. ∫x(x 2 -1) 99 dx u = x 2 - 1 Si u = x 2 - 1 entonces du = 2x dx y x dx = du/2 Por tanto la integral puede escribirse como sigue: ∫x(x 2 -1) 99 dx = ½∫(u) 99 du Al aplicar las reglas de integración resulta: ½∫(u) 99 du = 1 2 100 1 200 100 100 ( ) u C u + · + C Sustituyendo la función original tenemos: ∫x(x 2 -1) 99 dx = 1 200 (x 2 - 1) 100 + C 32 Ejemplo 2. Evalúa la siguiente integral efectuando la sustitución indicada x x 2 3 2+ ∫ dx u = 2 + x 3 Si u = 2 + x 3 entonces du = 3x 2 dx y x 2 dx = du/3 Al sustituir, la integral original se transforma de la siguiente manera: x x 2 3 2+ ò dx = ò u du 3 1 Y aplicando las reglas de integración tenemos: ( ) C 3 u 2 C u 3 2 C u 2 3 1 C 2 1 u 3 1 C 2 2 2 1 u 3 1 du u 3 1 u du 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 + · + · + · + , _ ¸ ¸ · + , _ ¸ ¸ + − · · + − − ∫ ∫ Insertamos en lugar de u a la función original y la solución es: x x 2 3 2+ ò dx = C x C u + + = + 3 2 2 3 2 3 Intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido?, comparando tus resultados con las soluciones que se proporcionan 33 3.1.2. Método de integración por partes Realiza la lectura de las páginas 416 a 421 del libro de Stewart, James. Op. cit, y a partir de la información que proporciona, efectúa las siguientes actividades: 1. Anota en tu cuaderno la fórmula de integración por partes acompañándola de notas elaboradas por ti sobre su significado y las condiciones básicas necesarias para poderla utilizar. 2. Copia en una tarjeta la plantilla que aparece en la pág. 418 del texto para poderla utilizar en la resolución de los ejercicios. 3. Mientras realizas la lectura, ve resolviendo en tu cuaderno los ejemplos planteados por el autor y haciendo las anotaciones que consideres pertinentes. 4. Revisa atentamente las integrales de la primera columna y completa lo que falta en el siguiente cuadro: 5. Una vez que hayas completado el cuadro, sustituye los elementos en la fórmula de integración para cada caso, por ejemplo: xe dx x ∫ 2 = xe 2x - ∫e 2x dx x xdx ∫ ln = ∫ ¸ ¸ _ , lnx dx 2 = x xdx ∫ 3 3 cos = Integral u du v dv xe dx x ò 2 x e 2x e 2x dx x xdx ò ln dx dx x ò æ è ç ö ø ÷ lnx dx 2 ln x x xdx ò 3 3 cos 3x 2 dx cos 3xdx 34 Función trigonométrica Identidad cos 2 x ½(1 + cos 2x) sen 2 x sen x cos x sec 2 x sec 2 x - 1 sen A cos B sen A sen B cos A cos B 6. Después de sustituir en la fórmula de integración por partes, terminemos la solución para cada caso, por ejemplo: x xdx ∫ ln = x 2 2 lnx - ∫ x 2 2 dx x = x 2 2 lnx - ½∫xdx = x 2 2 lnx - x 2 4 + C xe dx x ∫ 2 = ∫ ¸ ¸ _ , lnx dx 2 = x xdx ∫ 3 3 cos = Para comprobar tu aprendizaje, intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido?, comparando tus resultados con las soluciones que se proporcionan. 3.1.3. Aplicación de los métodos de integración por sustitución y de integración por partes en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas Los métodos de integración por partes y de sustitución muestran su eficacia cuando se intenta aplicarlos a la resolución de expresiones más complejas. En tales casos no basta tan solo aplicar las fórmulas de integración directa sino tener la suficiente habilidad para lograr la integración a través de los referidos métodos. En esta sección tendremos la oportunidad de tener un acercamiento a su aplicación en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas. Para comenzar a entender lo referente a las funciones trigonométricas, lee de la página 423 a 427 y de la 429 a la 434 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. Busca las identidades trigonométricas correspondientes y completa el siguiente cuadro: 35 2. A continuación anota los procedimientos y las identidades trigonométricas para evaluar las integrales en los siguientes casos: Integración por sustitución trigonométrica Lee de la pág. 429 a la 434 del libro de Stewart, James. Op. cit. y partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. Copia la tabla de sustituciones trigonométricas: 2. Tomando en cuenta que estas sustituciones trigonométricas se basan en el teorema de Pitágoras coloca las letras x y a donde correspondan: caso 1 caso 2 caso 3 Caso Procedimiento Identidad trigonométrica a utilizar Cuando la potencia del coseno es impar. Cuando la potencia del seno es impar. Si las potencias de seno y coseno son pares. Si la potencia de la secante es par. Si la potencia de la tangente es impar. Expresión Sustitución Identidad q q x a 2 2 - q a x 2 2 - a x 2 2 - 36 3. Responde: a) Si en el caso 1 relacionamos x y a ¿A qué funciones trigonométricas se refieren? ¿Cómo se puede expresar x en función de a y de θ ? a x · ________ θ x a · __________ θ x = ________ x = __________ b) De acuerdo al caso 2, relacionando x y a tenemos que las funciones trigonométricas son: a x · _________ θ x a · __________ θ Expresando a x en función de a y de θ : x=___________ x=__________ c) Para el caso 3, las funciones trigonométricas son: a x · __________ θ x a · _________ θ Y tenemos que x expresado en función de a y θ queda así: x=__________ x=___________- 4. Revisa el ejemplo 1 que se encuentra en la página 430 del libro citado y responde lo siguiente: a)¿Porqué utiliza el autor como sustitución x = 3 sen θ ? ¿De dónde obtiene el 3? b) ¿Cuál es el rango en el que la sustitución se está aplicando? c) El autor poner como equivalente 9 9 2 − · sen θ θ 9 cos 2 ¿Por qué? ¿Cuál es la identidad trigonométrica que está usando? d) Una vez realizada la integración ¿Cuál es el procedimiento que utiliza el autor para regresar a la función original? 37 5. Partiendo del ejemplo 2 (pp. 450-451 Op. cit.) responde lo siguiente: a) El autor usa dos identidades trigonométricas ¿Cuáles son? a a a a 2 2 2 2 2 2 − sen cos Θ Θ Θ = cos 2 identidad: cos cos 2 1 2 1 2 Θ Θ do· + ¸ ¸ _ , identidad: b) ¿Qué procedimiento empleó el autor para no tener que regresar a la variable original? Ahora intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido? Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales Lee de la página 435 a la 442 del libro de Stewart, James. Op. cit. y realiza las actividades siguientes: 1. A manera de resumen completa el siguiente cuadro sobre las funciones racionales: 2. Responde las siguientes preguntas: a) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio? b) ¿En qué caso se le llama «propia» a una función racional? c) Si la función racional es impropia, ¿cuáles son los tres pasos para la integración? 3. Explica cuál es la razón principal para descomponer una función racional en fracciones parciales al realizar la integración. Aplica lo aprendido resolviendo los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido? Caso Enunciado Ejemplo I II III IV 38 ¿QUÉ HE APRENDIDO? En este capítulo revisamos los métodos de integración, ahora aplica lo aprendido en la resolución de los siguientes ejercicios. Compara tu solución con las respuestas. Si tienes dudas te recomendamos volver sobre el texto y consultar a tu asesor. Integración por sustitución a) Evalúa las siguientes integrales aplicando la sustitución descrita: x x dx C ∫ − − + ¸ ¸ _ , 2 99 1 1 u= x Sol. u 200 2 100 x x dx x C 2 3 3 2 2 + + + ∫ u= 2+x Sol. 2 3 3 sen4x dx C ∫ + u= 4x Sol. - cos4x 4 2 dx x C 2 1 2 + + ¸ ¸ _ , ∫ u= 2x+1 Sol. - 1 4x+2 x x x dx x C + + + + ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , ∫ 3 6 6 2 2 u= x +6x Sol. - 1 2 x 2 2 Integración por partes b) Aplicando la fórmula para la integración por partes, realiza las siguientes integrales: ln Sol. x lnx -x +C x dx ∫ x sen x dx Sol. -xcos + sen x + C ∫ x dx e Sol. xe -e +C x x x ∫ ( C + x) cos senx + x 2 1 Sol. dx x cos 2 ∫ x x dx x C 1 4 15 1 3 2 5 2 + − + + ∫ ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , Sol. 2 3 x 1+x / / Integración por sustitución trigonométrica c) Calcula las siguientes integrales: x x dx 2 2 1− ∫ Sol. 1 2 arc sen x -1 1 2 x 1-x +C 2 39 dx x C 16 2 − + ∫ Sol. 1 2 arc sen x 4 x x dx C 2 1 1 2 + + + ∫ ¸ ¸ _ , Sol. x arc tan x- x 2 2 dx x x x x C 2 2 1 + + + + + ∫ ¸ ¸ _ , Sol. ln 2 x 2 dx x x C 2 25 − + ∫ Sol. 1 5 arc sec x 5 dx x C 16 2 − + ∫ Sol. 1 2 arc sen x 4 Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales d) Calcula las siguientes integrales: 5 3 2 2 2 3 2 x x x x x dx + − − − ∫ Sol. ln x + 2 ln(x+1) + 2 ln(x+2) + C x x x dx − + ∫ 3 2 3 Sol. 3 1 x x x C + + + ln( ) 2 1 1 2 2 2 x x x x x dx + + + + ∫ ( ) ( ) Sol. ln ( ) x x x x C 2 2 1 1 1 1 + + + − + + ¸ ¸ _ , dx x x ( )( ) + + ∫ 1 2 Sol. ln x x C + + + ¸ ¸ _ , 1 2 40 QUIERO SABER MÁS A lo largo de esta unidad estudiamos el método de integración por partes, por lo cual resulta interesante conocer al inventor de dicho método, al matemático Brook Taylor. Brook Taylor (1685-1731) nació en Inglaterra y a los 23 años produjo una solución al problema del centro de oscilación, el cual, debido a que se publicó hasta 1714, produjo una disputa sobre su paternidad con Johann Bernoulli, uno de los más famosos y belicosos matemáticos que hayan existido. Taylor publicó en 1715 su libro “Methodus incrementorum directa e inversa” ( Método de los incrementos directos e inversos) que representó un notable avance para lo que ahora se conoce en matemáticas como el “cálculo de las diferencias finitas” y además inventó el método de integración por partes. La misma obra contiene la celebrada fórmula conocida como serie de Taylor, cuya importancia permanece todavía sin reconocerse hasta 1772 cuando Lagrange lo coloca como principio básico del Cálculo Diferencial. Además de lo anterior, Taylor desarrolló los principios básicos de la perspectiva, que ahora tanto utilizan los arquitectos y los artistas. Diseñó experimentos para descubrir la ley de la atracción gravitacional además de inventar métodos para calcular, o más bien dicho, para “aproximarse” a las raíces (soluciones) de una ecuación por medio de logaritmos. En 1712, Taylor fue electo como miembro de la Real Sociedad y participó en el comité que se formó para dirimir la cuestión de la invención del Cálculo entre Newton y Leibniz. Debido a las importantes aportaciones que realizó este matemático se le ha dado su nombre a uno de los cráteres lunares con el propósito de perpetuar su recuerdo. 41 UNIDAD IV UNIDAD IV UNIDAD IV UNIDAD IV UNIDAD IV APLICACIONES DE LA INTEGRAL Objetivo de la Unidad: Aplicar el concepto de integral, a través del uso del Teorema Fundamental del Cálculo, para la solución de problemas geométricos, físicos, biológicos, en la economía y la probabilidad. ¿QUÉ VOY A APRENDER? Preguntas que frecuentemente se hacen los estudiantes de bachillerato al abordar el Cálculo son: ¿y para qué me va a servir estudiar esto?, ¿en qué lo voy a aplicar? Aparentemente el Cálculo no es más que una asignatura que se tiene que cursar porque está en el Plan de Estudios y por la que quiérase que no habrán de transitar con mayor o menor éxito. Sorprendentemente, sin embargo, el Cálculo se aplica en el análisis de un sinnúmero de fenómenos. El estudio de la presente Unidad nos hará aplicar lo que ya aprendimos en el curso, a situaciones tales como la determinación de volúmenes de sólidos de revolución, es decir, de aquellos sólidos que son generados al hacer girar una curva o intersección de curvas en torno a un eje determinado. Aprenderemos también a calcular la superficie, la “cáscara” de un sólido. En el campo de la Física aplicaremos nuestros conocimientos del Cálculo para ubicar el llamado “centroide” o centro de masa de un cuerpo, es decir, el punto en el cual se considera concentrada la masa de un cuerpo y a partir del cual se puede equilibrar el cuerpo mencionado. Procederemos a calcular el trabajo desarrollado al estirar un resorte, o al vaciar un tanque. En el campo de la medicina aplicaremos el Cálculo para determinar el flujo sanguíneo y en el campo de la economía tendremos oportunidad de conocer, a través del Cálculo, el valor presente de una corriente de ingresos. Lo anterior no es más que una pequeña muestra de los campos en los que se aplica nuestra asignatura. Es probable que según avances en tus estudios y en tu vida particular encuentres oportunidades para aplicar el Cálculo Integral de manera que puedas comprender más profundamente lo que sucede en nuestro mundo. 42 ¿CÓMO APRENDO? 4.1. CÁLCULO DE VOLÚMENES Objetivo: Determinar área y volumen a través de la aplicación de la integral definida para la resolución de problemas geométricos, biológicos, físicos, en la economía y probabilidad. Lee de la página 387 a la 395 del libro Stewart, James. Cálculo, trascendentes tempranas, México, International Thomson Editores, 1998 y partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. Anota en tu cuaderno la fórmula para el cálculo de volúmenes e intenta relacionarla con las fórmulas que se utilizan en geometría para el cálculo de volúmenes de sólidos regulares (de forma particular con los cilindros). ¿En qué se parecen? 2. Describe con tus palabras por qué razón se le puede llamar a este sistema el “método del disco” y explica en qué aspectos se parece a la determinación del área bajo la curva por medio de la suma de Riemann. 3. Explica en qué consiste el método de la arandela y cuál es la diferencia con respecto al método del disco. 4. Revisa los siguientes ejemplos resueltos y anota tus observaciones para comentarlas con tu asesor. Te sugerimos que por tu cuenta, asignando los valores adecuados a la función, elabores una tabla y dibujes la gráfica correspondiente en papel cuadriculado, una vez hecho esto, ilumina con un lápiz de color o plumón el área bajo la curva y recorta por la línea exterior. Pega la figura resultante a un palillo o a un pedazo recto de alambre y hazlo girar con tus dedos. ¿Percibes la forma del sólido de revolución que se genera? Ejemplo 1. Determina el volumen generado por la curva y = x 2 , dentro de los límites x=1, y = 0 al girar alrededor del eje x. En primer lugar calculamos el área del “disco” i-ésimo tomando a x 2 como radio y aplicando la fórmula: A = π(x 2 ) 2 = πx 4 43 Para ayudarnos a visualizar la figura, elaboremos la gráfica y un diagrama del sólido de revolución que se genera al girar en torno al eje x: Y después determinamos el volumen aplicando la fórmula: V= V · π 5 unidades cúbicas (por tratarse de un volumen) Ejemplo 2. Determina el volumen del sólido de revolución generado por la función y 2 = x 3 , acotada por las rectas x=4, y = 0 al girar alrededor del eje x. y = x 3 2 x = 4 y = 0 y = x x 3 3/2 · Calculamos el área en primer lugar y posteriormente aplicamos la fórmula para determinar el volumen: ( ) 3 3 x x A π π · · π π π π π π 64 4 256 4 0 4 4 4 4 4 4 0 4 4 0 3 4 0 3 · , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ − · · · · ∫ ∫ V x x x V V = 64π unidades cúbicas x2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 y x 1 0 5 5 4 1 0 1 0 4 1 1 ] 1 · · ∫ ∫ x dx x dx xx π π π 44 Ejemplo 3. Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la curva de la función y = x alrededor del eje x, en el área acotada por y = 0, x = 1. La fórmula para calcular el volumen es: ( ) ( [ ] dx x f V 2 b a ∫ π · Aplicando la fórmula, tenemos: ( ) 2 1 0 2 x = xdx = dx x V 2 1 0 1 0 2 π · 1 ] 1 π π π · ∫ ∫ El volumen es igual a 2 p unidades cúbicas Ejemplo 4. Determina el volumen del sólido generado al girar la curva y = x 3 , acotada por las rectas y= 8, y = 0 en torno al eje y. ( ) 8 0 2 5y = dy y = dy y V 5/2 8 0 3/2 8 0 2 3 1 ] 1 , _ ¸ ¸ π π π · ∫ ∫ 5 96 5 ) 32 ( 3 5 ) 8 ( 3 V 3 5 π · π · π · Ejemplo 5. Determina el volumen del sólido generado por la curva y 2 = x 3 , alrededor del eje x y acotado por las rectas x = 4, y = 0. Puesto que las condiciones del problema indican que gira en torno al eje x expresamos y 2 = x 3 de la siguiente manera: y x x · · 3 3 2 / 45 Ahora dibujemos un diagrama que nos ayude a mostrar cómo se comporta la función en el primer cuadrante. Las condiciones del problema marcan los límites para integrar la función y calcular el volumen (x=4, y=0). Al girarlo en torno al eje x resultaría una figura de la siguiente forma: Ahora bien, aplicando la fórmula para calcular el volumen tenemos: ( ) π · , _ ¸ ¸ π · 1 ] 1 ¸ − π · 1 ] 1 π · π · π · ∫ ∫ 64 4 256 4 0 4 4 4 0 4 x dx x dx x V 4 4 4 4 0 3 4 0 2 3 A continuación veamos un ejemplo de un sólido de revolución que se genera al rotar la curva de la función y x · 2 y=4, x = 0, x=2, alrededor del eje y comencemos la solución del problema entendiendo las condiciones: la función y= x 2 debe expresarse como : x= y = y 1/2 debido a que rota en torno al eje y la función se encuentra acotada por x= 0, x= 2, y =4 lo que nos indica lo siguiente: Al girarla en torno al eje y, tenemos: 3 x y · 3 x y · y=0 x= 4 x y 4 x · x y 4 x · y x · x=2 y=4 x=0 x y y x · y x 46 x y 1 1 2 3 4 5 4 7 10 13 16 19 21 23 Aplicamos ahora la fórmula del volumen: ( ) π · π · π − π · 1 1 ] 1 π π π · ∫ ∫ 8 2 16 2 ) 0 ( 2 ) 4 ( 4 0 2 2 y = dy y = dy y V 2 2 4 0 4 0 2 El volumen buscado es: 8π Un caso diferente es el que presentamos a continuación: nos dan las ecuaciones de las curvas, pero no se indican los puntos de intersección. ¿Cómo se resuelve? Realmente es sencillo si se considera a las funciones como un sistema de ecuaciones. Las soluciones a dicho sistema nos darán los puntos de intersección y podremos entonces calcular el volumen buscado. Ejemplo: Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la región comprendida entre las curvas y 2 = x, x = 2y. Igualamos las ecuaciones y resolvemos por fórmula general: y 2 = 2y 2a ac 4 b b - y 2 − t · y 2 - 2y = 0 2 2 2 2 0 4 2 y t · − t · y 1 = 2 y 2 = 0 Una intersección se da en (4, 2) y la otra en el origen (0, 0) Con estos datos y tabulando trazamos la gráfica correspondiente: 47 Como la figura rota sobre el eje y tenemos una figura similar a la siguiente: Procedemos a calcular el volumen aplicando la fórmula: ( ) ( ) [ ] ( ) ò ò - p - p = 2 0 2 0 4 2 2 2 2 dy y y 4 = dy y 2y V ( ) ( ) 2 0 5 5 2 3 3 2) 4 2 0 5 y 3 4y 5 3 ú ú û ù ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - p = ú û ù ÷ ÷ ø ö - ç ç è æ p = p = ÷ ø ö ç è æ - p = ÷ ø ö ç è æ - p = 15 64 15 96 160 5 32 3 4(8) y x Ahora resuelve los ejercicios que te presentamos en la sección ¿Qué he aprendido? Confronta tus resultados con las soluciones. En caso de duda, repasa el texto, los ejercicios y consulta a tu asesor. 48 4.2. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA GEOMETRÍA Área de una superficie de revolución Lee de la página 500 a la 504 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la información que proporciona realiza las siguientes actividades: 1. Anota en el siguiente cuadro las fórmulas correspondientes para ubicar las coordenadas del centro de masa de un sistema. 2. Observa el desarrollo de los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Calcula el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva 9 x 4 , x y ≤ ≤ · en torno al eje x. Hacemos x 2 1 = x 2 1 dx dy x y 1/2 − · · Aplicamos la fórmula: dx x 2 1 + 1 x 2 = dx dx dy + 1 y 2 S 2 9 4 9 4 2 , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ · ∫ ∫ dx 4x 1 1 x 2 9 4 + · ∫ π Observa que: x 2 1 4x 4x 1 4x 4x 1 4x 4x 1 1 + · + · + · + Sustituyendo queda: ∫ ∫ ∫ ∫ + π · + , _ ¸ ¸ π + π · π · 9 4 9 4 9 4 9 4 dx 1 x 4 dx 1 x 4 2 1 2 = dx 2 1 x 4 2 dx x 2 +1 4x x 2 Fórmula Descripción 49 u 3/2 = u 2/2 u 1/2 = u u Ahora hacemos: u= (4x+1) du= 4 dx dx = 4 du Realizamos la sustitución cambiando los límites, para ello aplicamos los límites iniciales en: u = 4x+1. nuevo límite superior: 4 (9) + 1 = 37 nuevo límite inferior: 4 (4) + 1 = 17 La integral se escribe ahora: ∫ ∫ π · π 37 17 2 / 1 37 17 du u 4 du u 4 Y al realizar la integración se tiene: Porque: ] 37 17 u U 6 37 17 u (3) 4 2 37 17 u 3 2 4 3/2 3/2 π π π · 1 ] 1 · 1 ] 1 , _ ¸ ¸ · Al calcular con los límites tenemos la solución: ( ) 17 17 37 37 6 S − · π Ejemplo 2. Calcula el área de la superficie obtenida al hacer girar sobre el eje y la curva y = x 3 en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2 Puesto que: y = x 3 dx 3x = dy 3x dx dy 2 2 · Aplicando la fórmula: ( ) dx 3x + 1 x 2 dx dx dy 1 y 2 s 2 2 2 0 3 2 0 2 ∫ ∫ π · , _ ¸ ¸ + π · dx x 9 + 1 x 2 dx x 9 1 x 2 4 2 0 3 2 0 4 3 ∫ ∫ π · + π · hagamos: u = 1 + 9x 4 du= 36 x 3 dx y x 3 dx = 36 du 50 Calculamos los nuevos límites y sustituimos: du u 18 du u 36 2 145 1 145 1 2 / 1 ∫ ∫ π · π · Integramos: ] ( ) 1 145 145 27 = 145 1 u u 27 145 1 U 3 2 18 2 / 3 − π π · 1 ] 1 , _ ¸ ¸ π · La solución, por tanto es: ( ) 1 145 145 27 = S − π 4.3. APLICACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL A LA FÍSICA Determinación del momento y centro de masa de un cuerpo Realiza la lectura de las páginas 505 a la 510 del libro de Stewart, James. Op. cit. y efectúa las siguientes actividades: 1. Contesta en tu cuaderno: ¿A qué se le llama “centro de masa” de un cuerpo? ¿Qué son los “momentos” de la masa de un cuerpo? Escribe la ecuación para determinar el centro de masa y su explicación. Para un sistema de varias dimensiones ¿cómo se define el “centro de masa”? ¿Qué es un “centroide”? Escribe las ecuaciones para determinar las coordenadas del centroide de un cuerpo. Si el cuerpo es simétrico, de acuerdo al principio de simetría, ¿dónde se ubica el centroide ? Después de revisar con atención los ejemplos resueltos anota en forma de lista los pasos para ubicar las coordenadas del centroide. 2. Observa la solución de los siguientes ejemplos y luego intenta resolver los correspondientes a la sección ¿Qué he aprendido? Ejemplo 1. Calcula los momentos M x y M y y encuentra el centro de masa del sistema. m 1 =4 m 2 = 8 P 1 (-1,2) P 2 (2,4) 51 Elaboremos un diagrama que nos ayude a entender mejor el problema: Aplicando las fórmulas: 40 32 8 ) 4 ( 8 ) 2 ( 4 M 12 16 4 ) 2 ( 8 ) 1 ( 4 M : Tenemos n y m M n 1 i x m M x y i x i y · + · + · · + − · + − · ∑ · ∑ · · Dado que la masa total del sistema (m) es: m 1 +m 2 = 4 +8 = 12 tenemos que las coordenadas del centro de masa son: 3 10 6 20 12 40 m Mx y 1 12 12 m My x · · · · · · · Ejemplo 2. Calcula los momentos Mx y My y encuentra el lugar del centro de masa del sistema: m 1 =3 p 1 (0,0) m 2 =3 P 2 (1,8) m 3 =8 p 3 (3,-4) m 4 =6 p 4 (-6, -5) 0 (-1,3) m 1 (2,4) m 2 Centro de masa (1, ) 10 3 X Y 52 y=0 y=x 2 x=4 x y En primer lugar ubiquemos los puntos: Calculamos los momentos: Mx = 3(0) + 3(8) + 8 (-4) + 6 (-5) = 24-32-30= -38 My = 3(0) +3 (1) + 8 (3) + 6 (-6) = 3+24-36 = -9 La masa total (m) = 3+3+8+6= 20 Por lo que las coordenadas del centro de masa son: 10 19 20 28 m Mx y 20 9 m My x − · − · · − · · Ejemplo 3. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas: y =x 2 , y =0 x=2 Es recomendable trazar la gráfica para entender mejor el problema. Después de tabular, tenemos: El área de la región es: 3 8 2 0 3 x = dx x A 3 2 0 2 · 1 ] 1 · ∫ (1,8) m 2 X Y (0,0) m 1 m (3,-4) 3 m (-6,-5) 4 53 Aplicamos las fórmulas: ( ) ( )dx x x 8 1 dx fx x A 1 x 2 2 0 2 0 ∫ ∫ · · 2 0 32 4 3x 2 0 4 4 x 8 3 dx 2 0 3 x 8 3 1 1 1 ] 1 · 1 1 ] 1 , _ ¸ ¸ · ∫ 2 3 32 48 · · [ ] dx x 2 1 8 3 dx ) (x 2 1 3 8 1 = dx f(x) 2 1 A 1 y 2 0 4 2 0 2 2 2 0 2 ∫ ∫ ∫ , _ ¸ ¸ · · ∫ , _ ¸ ¸ 1 1 ] 1 · · 2 0 2 4 80 96 = 5 32 16 3 = 2 0 ) 5 5 x ( 16 3 dx x 16 3 5 6 10 12 20 24 40 48 · · · · Las coordenadas del centroide son, por tanto , _ ¸ ¸ 5 6 , 2 3 o también (1.5, 1.2). Ejemplo 4. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas: y = cos 2x y = 0 4 = x 4 x π π − · Tracemos la gráfica correspondiente: Calculamos el área: ∫ − · · 4 4 cos2xdx A π π 4 π − 4 π y x 0 y=co s 2x 4 − 4 54 Para integrar hacemos: u = 2x du = 2dx 2 du dx · ∴ 4 4 sen2x 2 1 4 4 u sen 2 1 = cosudu 2 1 A 4 4 π π π π π π − 1 ] 1 · − 1 ] 1 · ∫ − [ ] 1 1 1 2 1 4 2 sen 4 2 sen 2 1 · + · − − · 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ π π A= 1 Aplicamos las fórmulas para determinar las coordenadas del centroide: x = 0 Porque de acuerdo al principio de simetría y puesto que es una figura simétrica, el centroide se ubica en el eje de simetría, que en este caso corresponde a x=0. [ ] 2xdx cos 2 1 1 1 dx 2x cos 2 1 A 1 y 4 4 2 4 4 2 ∫ ∫ − − · π π π π = Sustituyendo ∫ ∫ − − , _ ¸ ¸ + + · 4 4 4 4 dx 2 cos4x = dx 2 cos2(2x) 1 2 1 π π π π 2 1 2 1 2 cos2x 1 x cos 2 + · ∫ ∫ ∫ − − − 1 ] 1 , _ ¸ ¸ · 4 4 4 4 4 4 4 4 4xdxs cos 4 1 + 2 x 2 1 = dx 2 4x cos 2 1 + dx 2 1 2 1 π π π π π π π π Observa que para integrar cos 4xdx hacemos: u= 4x du= 4 dx ∴ dx= 4 du De manera que: ( )] 4 4 4 4 4 4 sen4x 16 1 = 4xdx cos 4 1 4 1 cos4xdx 4 1 π π π π π π ∫ ∫ − − , _ ¸ ¸ · Sustituyendo queda: 8 16 2 0 16 16 = 16 4x sen + 4 x = 4 4 4 4 π π π π π π π π · · + 1 ] 1 ¸ + 1 ] 1 1 ] 1 − − = 55 Por tanto, las coordenadas del centroide son , _ ¸ ¸ 4 0, π Ahora intenta resolver los ejercicios que te presentamos en la sección ¿Qué he aprendido? y compara tu respuesta con las soluciones. 4.4. DETERMINACIÓN DEL TRABAJO FÍSICO REALIZADO POR UNA FUERZA Lee de la página 403 a la 406 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. Contesta las siguientes preguntas: a) En el ámbito de la Física, ¿cómo se define al trabajo? b) ¿Cuál es la fórmula para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es constante? c) ¿Por qué razón se expresa la aceleración como 2 2 dt s d ? ¿De qué manera se relaciona el desplazamiento (s) con la aceleración a través de esta expresión matemática? d) ¿Cuál fórmula se emplea para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es variable? e) En la fórmula anterior, ¿cómo se expresa la distancia?, ¿a qué equivale dentro de la integral? 2. Siguiendo con atención cada ejemplo desarrollado por el autor en el texto base, resuelve los ejercicios que te proponemos en la sección ¿Qué he aprendido? 56 Intenta resolver los siguientes ejercicios para comprobar tu grado de dominio sobre los contenidos que se manejan en la presente Unidad. Recuerda que en caso de tener dudas o muchas dificultades, conviene regresar sobre el texto y consultar a tu Asesor. a) Determina el volumen del sólido generado, haciendo girar sobre el eje de las x la superficie limitada por los siguientes lugares geométricos: y = x 3 y = 0, x = 2 Solución: V = 128p/7 y= sen x x = 0, x = p/2 Solución: V = ½ p 2 x 2 + 16y 2 = 144 Solución: V = 48p b) Determina las coordenadas del centro de masa para cada uno de los siguientes casos: El sistema formado por los puntos A(-1,3), B(2,1) y C(3, -1) con masa de 1, 2 y 3 kg respectivamente Solución: (2, 1/3) La parábola y = 4 – x 2 y el eje x Solución: (0, 8/5) Las curvas y = x3 y y= 4x en el primer cuadrante Solución: ( 21 64 , 15 16 ) c) Trabajo Una fuerza de 8 N estira un resorte de su longitud natural de 4 m a una longitud adicional de 50 cm. Determina el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural hasta una longitud de 5 m. Solución: 8 Joules ¿QUÉ HE APRENDIDO? 57 En muchos campos del conocimiento se emplean modelos matemáticos que implican ecuaciones diferenciales que contienen potencias de e. Esto sucede, por ejemplo, en la Física, Química, Biología,P sicología, Administración, Economía y Sociología. En los campos mencionados, se estudian con frecuencia fenómenos que implican crecimiento y decrecimiento, es decir, son fenómenos en los cuales la tasa de variación de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad presente en un instante dado. Un ejemplo se da en la biología cuando, bajo ciertas circunstancias, la tasa de crecimiento de un cultivo de bacterias es proporcional a la cantidad de bacterias existente en cualquier momento específico. En una reacción química, la tasa de la velocidad de reacción con frecuencia es proporcional a la cantidad de reactivos presente en un instante dado. Esto se aplica, por ejemplo cuando se estudia a un elemento radioactivo como el radio. Los químicos saben bien que la tasa de desintegración del mencionado elemento depende de la cantidad presente en un momento determinado. En el tiempo presente, cuando el aumento de la población preocupa alarmantemente a los sociólogos y a los organismos que estudian este fenómeno, podemos preveer que de acuerdo a lo anterior, la tasa de crecimiento de una comunidad dependerá, de acuerdo a las circunstancias, de la cantidad de población existente en una época determinada. El cálculo integral nos ayuda a determinar de manera particularmente precisa, el desarrollo de los fenómenos citados y de muchos otros que presentan tanto el crecimiento o el decrecimiento exponencial. Tal es el caso de algunas decisiones financieras que toman los economistas cuando se trata de colocar una cierta cantidad de dinero para poder obtener un capital futuro. También se aplica el cálculo en el campo de la Física cuando se emplea la ley del enfriamiento de Newton, la cual establece que la tasa a la cual un cuerpo cambia de temperatura es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. En la Psicología industrial el cálculo se aplica al estudiar la aptitud con la que una persona realiza una tarea. Conforme la experiencia de la persona aumenta, la aptitud se incrementa rápidamente al principio y después disminuye, debido a que la experiencia adicional tiene poco efecto sobre la habilidad con la cual se efectúa la tarea. Concretamente, tal situación se describe por medio de una curva de aprendizaje que al ser evaluada a través de la integración, proporciona el análisis requerido y ayuda a la toma de decisiones al respecto, sobre el entrenamiento del personal. QUIERO SABER MÁS CÁLCULO INTEGRAL Cuadernillo de procedimientos para el Aprendizaje 2000. Secretaría de Educación Pública/ Dirección General del Bachillerato COSTO DE RECUPERACIÓN $ 12.00 2 ÍNDICE Presentación........................................................................................................................................................... UNIDAD I. La integral como área bajo una curva................................................................................... 1.1. Integral.............................................................................................................................................................. 1.1.1. Áreas por aproximación de límites de sumas......................................................................................... 1.1.2. Suma de Riemann......................................................................................................................................... 1.1.3. Integral definida........................................................................................................................................... 1.1.4. Teorema fundamental del cálculo............................................................................................................. 1.1.5. Antiderivadas................................................................................................................................................. 1.1.6. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas............................................................ ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. Quiero saber más...................................................................................................................................................... UNIDAD II. La integral indefinida................................................................................................................ 2.1. Integral indefinida........................................................................................................................................... 2.1.1. Antiderivada................................................................................................................................................... 2.1.2. Reglas básicas de integración................................................................................................................... ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. Quiero saber más...................................................................................................................................................... UNIDAD III. Métodos de integración.......................................................................................................... 3.1. Métodos de integración................................................................................................................................. 3.1.1. Método de Integración por sustitución................................................................................................. 3.1.2. Método de integración por partes........................................................................................................... 3.1.3. Aplicación de los métodos de integración por sustitución y de integración por partes en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas................................................... ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. Quiero saber más...................................................................................................................................................... UNIDAD IV. Aplicaciones de la integral..................................................................................................... 4.1. Cálculo de volúmenes...................................................................................................................................... 4.2. Aplicaciones del Cálculo Integral en la Geometría................................................................................. 4.3. Aplicación del Cálculo Integral en la Física.............................................................................................. 4.4. Determinación del trabajo físico realizado por una fuerz...................................................................... ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. Quiero saber más...................................................................................................................................................... 5 7 8 8 11 11 14 16 16 19 22 23 24 24 25 28 29 30 31 31 32 34 38 40 41 42 48 50 55 56 57 3 4 PRESENTACIÓN CÁLCULO INTEGRAL a presente guía de aprendizaje de Cálculo Integral tiene como propósito ayudar al estudiante inscrito en la modalidad de educación media superior a distancia para que, mediante el estudio independiente y a través de las actividades que se plantean, vaya adquiriendo paulatinamente el conocimiento suficiente del cálculo integral y logre, entonces, aplicarlo como una herramienta sumamente útil y poderosa en el análisis de diversos fenómenos y en la resolución de problemas sencillos. El programa de la Asignatura comprende cuatro unidades. En la unidad I, se sientan las bases del cálculo integral relacionándolo de manera esencial con el cálculo diferencial a través del teorema fundamental del cálculo. Estudiaremos a la Integral como suma y a la vez, como la determinación del área que, en un intervalo específico, se desarrolla bajo la curva representativa de una función. La suma de Riemann se convertirá en un auxiliar muy valioso para poder llegar a la determinación del área bajo la curva. La unidad concluye con una aplicación de lo aprendido en la determinación del área entre dos curvas. La integral indefinida se estudia en la Unidad II, entendiendo y aplicando previamente las antiderivadas y la llamada constante de integ ración. Aprenderemos algunas de las reglas básicas de la integración para poder resolver algunos problemas elementales. Los métodos de integración por partes y el de sustitución se estudian en la tercera Unidad. El dominio de los mencionados métodos se aplicará en la integración de funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas. Por ultimo, en la Unidad IV se estudiarán algunas de las aplicaciones de la integral, en primer lugar calculando volúmenes de figuras regulares o irregulares y después en situaciones tan variadas como la determinación del centro de masa de un objeto, la velocidad del flujo sanguíneo, la presión hidrostática sobre la cortina de una presa, el cálculo del trabajo efectuado en un sistema físico, etcétera. Como siempre, para poder abordar con éxito y provecho todos los contenidos del curso es necesario que el estudiante posea una excelente disposición al trabajo, puesto que en este caso, como en otras áreas de la vida, es la única manera de triunfar. Por otro lado es fundamental que se lean detenidamente los textos marcados en las actividades y que se tenga siempre a la mano un cuaderno para tomar las notas pertinentes así como una calculadora científica para efectuar los cálculos necesarios. Sugerimos ir realizando, simultáneamente a la lectura, los ejercicios marcados en el texto y repetirlos una y otra vez hasta que se logre un dominio suficiente del tema, puesto que en el cálculo, más importante que el memorizar los procesos o las fórmulas es el entender qué es lo que se está haciendo y hacia dónde se pretende llegar. En caso de que haya dudas habrá que volver sobre el texto y solicitar la ayuda del Asesor. Por último, puesto que siempre son bienvenidas y provechosas las observaciones que respecto al presente trabajo pudieran tenerse, les suplicamos hacerlas llegar a la Coordinación de Educación Media Superior a Distancia. De antemano, gracias. 5 L razón por la cual no solamente complementa la formación del estudiante de la modalidad sino que también le prepara para abordar estudios superiores en diversas ramas del conocimiento. 6 .Ubicación de la asignatura La asignatura de Cálculo Integral se imparte en el VI bloque y forma parte tanto del campo de conocimiento de las matemáticas como del área propedéutica. la presente asignatura. II. Objetivo de la asignatura Aplicar el Cálculo Integral a través del análisis del comportamiento gráfico de una función y determinar el área baja de una curva utilizando los distintos métodos de integración. Por otro lado cabe señalar que con Cálculo Integral se cierra el campo de conocimiento matemático que comprende desde Matemáticas I. para la resolución de problemas. III y IV hasta Cálculo Diferencial incluyendo asimismo. 7 . al siguiente texto: Stewart. James. si es necesario con la ayuda del asesor. Una vez entendido lo anterior se podrá entender y aplicar la integral definida además de evaluar las llamadas antiderivadas que son precisamente las operaciones inversas a la diferenciación. deberás estar capacitado para poder calcular áreas de regiones comprendidas entre dos curvas de tal suerte que enfrentes con éxito la resolución de algunos problemas sencillos. a comprender qué es la integral al interpretarla como el área bajo la curva representativa de una función. Al terminar el estudio de la presente unidad. por tu parte. El estudio de esta unidad requiere. salvo que se indique lo contrario. por otra parte. México. no solo las soluciones. que estés muy atento a las explicaciones que proporciona el autor del texto que estaremos usando y. International Thomson Editores. En la presente unidad comenzaremos también. De manera previa se estudiará la notación sigma o sumatoria para aplicarlo a la medición de áreas por aproximación de límites de sumas. Una manera muy apropiada de lograrlo se conoce como suma de Riemann. para resolver problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento. en algunos casos.¿QUÉ VOY A APRENDER? LA INTEGRAL COMO ÁREA BAJO UNA CURVA Objetivo de la Unidad: Aplicar la integral definida. que hagas el esfuerzo de resolver por cuenta propia. 1998. a través de la aproximación sucesiva de las áreas de regiones en el plano y la antiderivada de funciones polinomiales. Las actividades para la sección ¿cómo aprendo? están referidas siempre.Cálculo. sino también los desarrollos con las anotaciones que consideramos pertinentes para tu mejor comprensión del proceso. los problemas que te sugeriremos y para los cuales hemos presentado. trascendentes tempranas. UNIDAD I Al inicio del curso de Cálculo Diferencial se introdujo el concepto de la derivada con el auxilio de su representación geométrica como la pendiente a una curva. de una manera intuitiva. toma nota de la forma en que se van sustituyendo los términos dentro de la función indicada al realizar la suma.Cálculo. trascendentes tempranas. 3. Al revisar los ejemplos de la pagina 323 del libro citado.1. Copia en tu cuaderno el esquema de la notación de sumatoria y escribe cómo se denota el inicio y el término de la suma y cuál es el signo empleado para la sumatoria. T eorema T EO RE MA S D E LA SUMA T OR IA Ejem plo 8 . el proceso empleado. James.1. México. Intenta expresar por escrito. Anota en el siguiente cuadro los teoremas correspondientes a la sumatoria junto con un ejemplo ilustrativo. 1. International Thomson Editores. Áreas por aproximación de límites de sumas Después de efectuar una lectura atenta y cuidadosa de las páginas 322 a la 326 del libro de Stewart. con tus propias palabras. (¿de qué idioma proviene?). 1998.¿CÓMO APRENDO? 1. 2.1. para la solución de problemas sencillos. INTEGRAL Objetivo: Determinar la antiderivada de funciones polinomiales. realiza las siguientes actividades: 1. a través del análisis de la relación entre la antiderivada y el área bajo la curva. 4. por lo que al sustituir en la expresión tenemos la solución como se muestra. por tanto i = 3 y el término final es 7. i =4 8 åx k =5 k = x5 + x6 + x7 + x8 En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma de sumatoria. la variación que se presenta es que el denominador es mayor por una unidad que el numerador.1 y después intenta resolver los que se encuentran bajo el mismo nombre en la sección ¿Qué he aprendido? Ejemplos de como desarrollar una sumatoria 1 1 å i +1 = 1 + 1 + i =1 6 3 3 3 å i = 4 +5 + 6 3 6 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1+ 1 + 1+ 1 + 1 2+1 3+1 4+1 5 + 1 6+1 2 3 4 5 6 7 Observa que el término inicial es i=1 y el término final es i = 6. en la siguiente suma: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 puedes darte cuenta de que el término inicial es 3.4] puntos de partición 0.+ 19 el término inicial es i = 1 y el 3 4 5 20 término final es i = 19. 1. Observa el desarrollo de los siguientes ejercicios tomados del texto de Stewart sección 5. 4           punto x * dentro del i-ésimo intervalo: extremo izquierdo i 9 . determina el valor del área bajo la curva de la siguiente función: f(x) = 16 − x 2 1. 2.. por ello. por ello la suma puede expresarse como sigue: ∑ i =1 7 i 1 Ahora consideremos la siguiente suma: 2 + 2 + 3 + 4 +. intervalo [0. 3.. una posible representación de la sumatoria es: i ∑ i +1 i =1 19 Ejemplos de aproximación por límites de sumas Primer ejemplo: Empleando la aproximación por límite de sumas. Por otro lado la función en la cual se insertarán los términos es la raíz cuadrada. los siguientes ejemplos intentan aclarar cómo se procede: Por ejemplo. 1. 1.0 = 1 ∆x 2 = 2 .1 = 1 ∆x 3 = 3 . 10 . Si no coinciden vuelve a repasar e insiste hasta llegar a la solución correcta. verifica tu aprendizaje resolviendo los ejercicios que encontrarás en la sección ¿Qué he aprendido? Compara tus resultados con las soluciones.2 = 1 ∆x 4 = 4 .3 = 1 Por consiguiente. 1 = 1       Sustituyendo y procediendo a calcular la suma. la norma de la partición se determina como sigue:   P = max 1.En primer lugar hacemos: y calculamos ∆ de la siguiente manera: x 0 = 0 x1 = 1 x 2 = 2 x3 = 3 x4 = 4 ∆x1 = 1 . tenemos: ∑ f (xi*) ∆xi = f (0)∆x + f (1)∆x + f (2)∆x + f (3)∆x 1 2 3 i=o 4 4 = 16 (1) + 15 (1) + 12 (1) + 7 (1) = 50 Ahora. le asignes a cada cuadrito el valor de 0. Suma de Riemann Lee de la pagina 328 a la 335 del libro Stewart.1. James. 328) y responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué tanto te pudiste aproximar? b) ¿Qué dificultades tuviste para lograr que tu estimación fuese lo más exacta posible? c) ¿Qué tanto se acercó al resultado de la suma de Riemann? 2.0025 unidades). Escribe en tu cuaderno tu apreciación en torno a que es lo que sucederá con el ancho de los rectángulos de aproximación cuando la norma de la partición (|| P ||) tiende a cero. Integral definida Lee de la página 336 a la 344 del libro de Stewart. Ahora intenta una aproximación a la medida del área bajo la curva dentro del intervalo marcado. elabora la tabla correspondiente y en papel cuadriculado traza la curva que representa a la función (te sugerimos que para la escala de cada eje.3. y partiendo de la información que proporciona. cit.05 unidades). Compara tu estimación con los resultados de la suma de Riemann que aparece como solución del ejemplo 1 (p. cuál es la repercusión en la medición del área bajo la curva al considerar a xi* en el extremo derecho.1. Explica.:. contando los cuadritos que quedan dentro de dicho espacio (si seguiste la sugerencia. Anota en tu cuaderno los conceptos de partición de un intervalo. cada cuadrito tendrá como superficie 0. 2. con tus palabras. Op. Justifica tus respuestas.2. 1. Completa el siguiente cuadro: ELEMENTOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA Elemento Símbolo representativo Integral Integrando Límite superior Límite inferior 11 . A partir de la lectura te proponemos las siguientes actividades: 1.1. Anota en tu cuaderno la definición de una integral definida y explica la relación entre ella y la Suma de Riemann.. ¿o más pequeña?. realiza las siguientes actividades: 1. 3. después responde: a) ¿El área estimada será más grande que el área real?. James. Op. cit. norma de la partición y el significado de xi* . en el extremo izquierdo o en el punto medio del subintervalo Dxi. Asigna valores entre 0 y 1 para la función y = x2 . + 2 è 1ø 2 2 1 = 2 Sustituimos los valores en la expresión encontrada. 1 æ 1ö 1 2 . 2 2 2 dx ò1 (5x .2(2) 2 + 3(2)ú .4 ò1 xdx + 3ò1 dx = 2 2 2 5x 3 2 .3. 7.ç.ò1 4xdx + ò1 3 2 2 2 = 5 ò1 x 2 dx . Explica las ventajas de seguir la regla del punto medio para la medición del área bajo la curva. Escribe los criterios para considerar a una función “integrable”. Copia en tu cuaderno y también en una ficha de trabajo las propiedades de la integral.4x + 3)dx = ò5 5x . Evalúa la integral dentro de los límites que se establecen: -2 ò1 x dx = 2 x x . Y este es el resultado final.2x 2 + 3x]1 3 é 5(2) 3 ù é 5(1) 3 ù =ê .1 =- . 5.ú xû1 1 2 En primer lugar evaluamos la integral y marcamos los límites dentro de los cuales s está calculando su valor. 6.2+1 -1 2 1ù =. Responde en tu cuaderno: ¿La integral siempre representa a un área? Justifica tu respuesta. 4. Revisa los siguientes ejemplos para la evaluación de integrales definidas poniendo especial atención en los procedimientos: Ejemplo 1.2 +1 .2(1) 2 + 3(1)ú .+ ú 3 û ë3 3 3û 3 ë3 æ 34 ö æ 8 ö 26 = ç ÷-ç ÷= è 3 ø è 3ø 3 12 . Ejemplo 2.ê ë 3 û ë 3 û = é 40 24 18 ù é 5 6 9 ù =ê + ú-ê .÷=. + ú-0 ë10 3 2 û é 3 10 45 ù =ê + ë 30 30 30 ú û 4 38 19 = = =1 15 30 15 1 13 . 1 0 9 5 y 10 2y 6 3y 2 ù (y .Ejemplo 3.2y + 3y) dy = + ò ú 10 6 2 û0 1 y 10 y 6 3y 2 ù = + ú 10 3 2 ú0 û é 1 1 3ù =ê . puesto que f(t) = t 2 +1 es continua x2 + 1 la solución es g´(x) = Ejemplo 2.4.5) dx Aplicando las fórmulas para integración inmediata y evaluando tenemos: −2 ∫ 4 (3x . Responde en tu cuaderno: a) ¿Por qué razón se le da a este teorema el nombre de “Teorema Fundamental del Cálculo”? b) ¿De qué manera se relaciona a la derivación y a la integración? 3. determina la derivada de las siguientes funciones: a) g(x) = ∫ 1 x (t2-1)20 dt b) g(x) = −1 ∫ t +1 dt 2 x como f(t) = (t2-1)20 es continua.5) dx = 2 4   3x ∫ (3x −5)dx = 2 −5x  −2       4    2 2 = 3(4) −5(4) −  3(−2) − 5(− 2) 2 2       = (24 − 20) − (6+10) = 4 −16 = −12  −2 14 . Observa los siguientes ejemplos correspondientes a la primera parte del teorema fundamental del cálculo: Ejemplo 1. cit. y trabaja en las siguientes actividades: 1. Op. tenemos g´(x) = (x2 . James. a) −2 ∫ 4 (3x .1. Usa la segunda parte del teorema fundamental del Cálculo y evalúa la integral o define si no existe.1.1)20 que es la solución. Teorema fundamental del cálculo Lee de la página 347 a la 355 del libro de Stewart.. Anota en tu cuaderno las definiciones de la primera y segunda parte del teorema fundamental del Cálculo junto con un ejemplo ilustrativo y tus notas personales sobre el significado y la aplicación de cada parte del teorema mencionado. Aplicando la primera parte del teorema fundamental del Cálculo. 2. 5+0.5) .(.cos π ) .7071 = 0.2 (0)3/2 3 3 = 2 (8) = 16 3 3 = 16 3 π  3 ∫ sent dt = −cost π 3 c) π π  4 4 = (.5 Calcula: a) el desplazamiento b) la distancia recorrida en el intervalo o ≤ t ≤ 3 Solución: Para determinar el desplazamiento del punto material integraremos la función de velocidad dentro del intervalo marcado:  t ∫ (3t −5)dt = 32 −5t 0 3 2 3 0 15 .7071) = -0.cos π ) 3 4 = (-0.(-0.2021 Ejemplo 3 La función de velocidad de un punto material que se mueve a lo largo de una recta está dada por la expresión: v(t) = 3t .b) 4 0 ∫ x dx = ∫ x 2 dx 1 4 0 4 4 4 1 + 2  3  3  x 2 2  = x 2  = 2 x 2  1+ 2  3  3   2 2 0 2 0 0 evaluando = 2 (4)3/2 . Revisa atentamente cada ejercicio propuesto en el texto y elabora. 16 . habrás podido darte cuenta de que la integración también puede recibir el nombre de antiderivación puesto que es la operación inversa a la diferenciación. Op. a la variable x. Escribe en tu cuaderno la definición de antiderivada. y con base en la información proporcionada. Para poder entender mejor el concepto y las operaciones para llevar a cabo las antiderivadas. Explica por qué razón se agrega una constante al calcular la antiderivada.Evaluamos dentro de los límites marcados: =  3(3) − 5(3) −  3(0) −5(0) 2 2         2 2     = 27 30 3 − =− m 2 2 2 4. Acto seguido. traza la gráfica correspondiente en papel cuadriculado y evalúa la integral definida dentro de los límites marcados. Op. 4. Ahora intenta la resolución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor. Para abordar este tema tan importante. Explica cuál es el significado geométrico de asignar valores diferentes a la constante que resulta al antiderivar. anota por lo menos 2 ejemplos de situaciones en los que se aplica el teorema fundamental del cálculo.1. James. 1. 3.1. cit. 2. 1. después del estudio de las secciones anteriores. James. Copia tanto en tu cuaderno como en una ficha de trabajo la tabla de fórmulas de antidiferenciación. por tu cuenta.5 Antiderivadas Seguramente. y además realiza las siguientes actividades: 1. la tabla correspondiente asignándole valores. Después de observar lo anterior. lee de la página 307 a la 313 del libro de Stewart. es entonces cuando la integración se convierte en herramienta inapreciable para lograr la solución. realiza las siguientes actividades: 1. Este proceso. resuelto en forma aritmética resulta difícil y en ocasiones imposible.6. dentro del intervalo propuesto. cit. realiza la lectura de las páginas 380 a la 385 del libro de Stewart. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas Una aplicación muy importante del cálculo integral es la determinación del área comprendida entre dos curvas. Calcula el área de la región sombreada y y = x2 + 3 La curva que representa a la función y = x2 + 3 está en una posición más alta que la recta que representa a la función y = x. 3. el área sombreada se encuentra en el intervalo de -1 a 1. debemos tomar como variable independiente a y. de lo cual tenemos: (−1)2  13 12   (−1)3 A = 3 + 3(1) − 2  −  3 + 3(−1) − 2  = 21 3        El área buscada es igual a 21 3 Para poder integrar.∫xdx en el intervalo de -1 a 1 Integrando resulta: 3 2 A = x + 3x − x 3 2 −1 1 Sustituimos y calculamos con los valores indicados de -1 y 1. Anota en tu cuaderno tu explicación de lo que cambia en el procedimiento cuando: a) g(x) ≥ f(x) b) f(x) es a veces mayor y a veces menor que g(x) c) resulta mejor cambiar el intervalo del eje XX´ al eje YY´. x = y2 17 . Observa la resolución de los siguientes ejemplos y lee las notas explicativas para intentar posteriormente la solución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? Ejemplo 1.2. por lo que ya se puede intuir que el cálculo del área sombreada se podrá hacer de la siguiente manera: -1 1 x Área de la región sombreada = ∫(x2 + 3)dx . las funciones se escriben de la forma siguiente: y=x+5 ∴ x=y-5 . Por otro lado. por lo tanto. Escribimos las integrales correspondientes: A= Realizando la integración se tiene: y2 −5y − y3 2 A= 2 3 −1   2 (−1)3  2 23   (−1) 101 A =  − 5(2) −  −  − 5(−1)3 =− 6 2 3  2 3    −1 ∫ 2     y − 5dy − y2dy  −1 ∫ 2 Ahora intenta la resolución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor 18 . detectar tus deficiencias en aquellos contenidos en los cuales no has logrado un dominio suficiente. al mismo tiempo.4] x*i = extremo izquierdo Encontrar: la norma de la partición ||P||. los puntos de partición: {0. trascendentes tempranas.0. México. esto te permitirá medir tu avance y... la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación y trazar la gráfica correspondiente Ejercicio A 19 . 1998. .2.+ f ( xn−1)∆xn −1 + f ( xn)∆xn Solución: 1 + 2 + 3 + 4+ 5 + 6 + 7 ∑ i = b) Expresa las siguientes sumas en notación de sumatoria: 2+ 4 +6. Compara tus respuestas y si no coinciden revisa el procedimiento de los ejemplos. Cálculo.5. Áreas por aproximación de límites de sumas a) Desarrolla las siguientes sumas: ∑j = 2 j=n n n +3 Solución: n2 + (n +1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2 ∑ f (x )∆x = i i i =1 7 i= 3 Solución: f ( x1)∆x1 + f ( x2) ∆x2+. 2(n-1) + 2n 1 1 1 1 1 1+ + + + + 4 9 16 25 36 1+ x2 − x3 + x4 +.1.¿QUÉ HE APRENDIDO? El libro de Stewart. James. International Thomson Editores.+ −1 ∩x∩   Solución: Solución: Solución: i =1 ∑ ( 2i) ∑ n 6 n i=1 1 i2 i=0 i i ∑ (-1) x Suma de Riemann Los ejercicios para este tema se encuentran en la sección 5. página 335 del libro citado. Para aprovecharlos.4} el intervalo: [0. tiene al final de cada capítulo una serie de problemas para aplicar lo aprendido.. resolvimos algunos en la sección ¿cómo aprendo? y te proponemos que ahora intentes resolver los que te marcamos en esta sección (como ayuda te presentamos las soluciones).2 .. Te recomendamos que si tienes dudas vuelvas sobre el texto y consultes a tu asesor. . Datos: sea la función f(x) = 2x + 1. Solución: ||P||= 2 EJERCICIO 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0. π/2} el intervalo: [0. π/4. la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación y trazar la gráfica correspondiente.4 2.2 1.5 3 2. π/3.4 0.2 3.8 3. SOLUCIÓN: ||P||= π/6 Ejemplo 2 4 3.5 2 1.6 0 2 4 y A = 14.8 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 4 cos x 20 .5 Ejercicio B Datos: sea la función f(x) = 4 cos x los puntos de partición: {0.6 2. π/2] x*i = extremo izquierdo Encontrar: la norma de la partición ||P||.π/6. Integral definida Evalúa las siguientes integrales: Ejercicio 1 ∫ ∫ 2 6 1 t − t2 dt = t4 Solución: = 11 6 2 Ejercicio 2 1 x2 +1 dx = x Solución: = (3 2 − 2) 29 35 6 5 Ejercicio 3   ∫ u  u +3 u  du = 1     0 Solución: = Determinación del área entre dos curvas Ejercicio 1: Determina el área de la región limitada por la curva y= x3 . x= 1 Solución: = 1 4 21 . x= − π 4 Solución: = 1 Ejercicio 3: Determina el área de la región limitada por las curvas y = x.2x2 -5x+6 el eje x y las rectas x= -1 y x= 2 Solución: = 157 12 Ejercicio 2: Determina el área de la región limitada por la curva y = cos 2x y las rectas y = 0. y= x3 y las rectas x= -1. Dirichlet y Eisenstein. era donde se estudiaba matemáticas bajo la cátedra de Moritz Stern y Gauss Posteriormente Riemann se cambió a la Universidad de Berlín en la primavera de 1847 para estudiar bajo la dirección de Steiner. A partir de entonces un profesor de la escuela local ayudó en su educación. Por otra parte. Sin embargo. La persona que más influyó durante esta etapa de la vida de Riemann fue Dirichlet puesto que no solo le enseñó con profundidad sobre una gran cantidad de materias. Las ideas de Riemann concernientes a la geometría del espacio tuvieron un profundo efecto en el desarrollo de la física teórica moderna y proveyó de métodos y conceptos usados más tarde en la teoría de la relatividad. Riemann trabajó sobre la teoría general de las variables complejas que formarían las bases de su trabajo más importante. un ministro luterano. Fue una época importante para Riemann pues aprendió mucho de Eisenstein sobre el uso de las variables complejas en la función elíptica. A la muerte de Dirichlet. quien al dar su reporte sobre la tesis describió a Riemann como poseedor de una “fértil y gloriosa originalidad”. 22 . sino que más aún. teoremas y conceptos que trascendieron su existencia. Riemann ocupó la cátedra de Gauss. Mostró un particular interés en el estudio de las matemáticas y el director del Liceo lo alentó para dedicarse al estudio de las matemáticas prestándole textos de su biblioteca particular. Enfermó de tuberculosis y pasó los últimos años de su vida tratando de recuperar la salud. Riemann ingresó a la Universidad de Gotinga. Su padre.Por recomendación de Gauss. Durante ese tiempo elaboró trabajos que más tarde sirvieron a Einstein para dar forma a la teoría relativista de la gravitación. Hannover (hoy Alemania) y fue el segundo de seis hermanos. A raíz de haber participado en algunas lecciones de matemáticas le interesó tanto estudiarlas que le pidió a su padre permiso para poder cambiar de carrera. entre otras cosas. de la llamada Suma de Riemann. de tal suerte que se matriculó en la facultad de teología. Por ello se trasladó a Selasca. Riemann obtuvo un puesto en la Universidad de Gotinga. su vida. En 1849 Riemann regresó a Gotinga y su trabajo doctoral fue dirigido por Gauss.QUIERO SABER MÁS A lo largo de este capítulo hemos trabajado basándonos principalmente en las aportaciones de un gran matemático alemán llamado Georg Friedrich Bernhard Riemann. En 1840 Bernhard ingresó directamente en el tercer grado en el Liceo de Hannover. autor. En la primavera de 1846. Fue un pensador original desarrollando métodos. Fue educado por su padre hasta que alcanzó la edad de 10 años. He aquí. lo había encaminado a estudiar teología. a la sazón. vale la pena conocer un poco más de su vida y de sus aportaciones. Se cuenta que en una ocasión le prestó a Bernhard el libro de Legendre sobre la teoría de los números y leyó las 900 paginas en tan sólo seis días. Italia donde murió en 1866. Bernhard Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Brezelenz. Riemann adoptó para sus estudios matemáticos el sistema de Dirichlet. Jacobi. Obtuvo el permiso y se inscribió en la facultad de filosofía que. resumida. Aclaró la noción de integral al definir lo que conocemos como integral de Riemann y también es famoso por la hipótesis que lleva su nombre y que no ha sido aún resuelta. la función original correspondiente.¿QUÉ VOY A APRENDER? UNIDAD II Objetivo de la Unidad: LA INTEGRAL INDEFINIDA Aplicar el concepto de integral. razón por la cual se estudian en primer lugar. En el capítulo anterior se estudiaron los fundamentos del cálculo integral y a la integral definida. así lo esperamos. mientras que la integral indefinida es una función. Procura seguirlos con atención e irlos resolviendo simultáneamente en tu cuaderno de notas. a partir de la derivada. ahora dedicaremos nuestra atención de forma especial a la integral indefinida. la integral definida es en realidad un número. Seguramente habrás entendido que existe una notable diferencia entre ambas integrales. para que comprendas tanto el procedimiento como el sentido matemático y geométrico de la integral definida. puesto que por un lado. La notación de integral maneja una serie de elementos que es necesario conocer con detenimiento y el conocer las reglas básicas de integración nos prepara para aplicarlas en la resolución de algunos problemas sencillos. Los ejercicios que se resuelven dentro de la guía te ayudarán. a través del empleo de las antiderivadas y su interpretación para la resolución de problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento. Las antiderivadas nos permiten lograrlo mediante una serie de procedimientos algebraicos y fórmulas establecidas que simplifican el proceso. 23 . Un problema matemático frecuente es el encontrar. ¿CÓMO APRENDO? 2. México. Observa la resolución de los ejemplos siguientes y resuelve a continuación los que se proponen en la sección ¿Qué he aprendido? Determina la antiderivada más general de la función: a) f(x) = 12x2 + 6x . Agrega las notas que te parezcan pertinentes. 2.1 Antiderivada Estudia las páginas 307 a 313 del libro de Stewart.5 Empleando las fórmulas de la tabla.5x + C Se comprueba que la antiderivada es correcta puesto que al derivar F(x) obtenemos f(x) b) f(x) = x99 . 1998 y partiendo de la información que presenta. cuál es el significado de la antiderivada para una integral indefinida. trascendentes tempranas.2x49 . realiza las siguientes actividades: 1.1 x100 x50 f(x) = 100 − 250 − x +C x = 100 − x − x + C 25 100 50 3 24 . Cálculo. 3. International Thomson Editores. tenemos que: f(x) =12( x ) + 6( x2 ) . James. 4. Copia en tu cuaderno la definición de antiderivada e intenta explicar de forma breve y con tus propias palabras. Anota en tu cuaderno la tabla de fórmulas de antidiferenciación y agrega un ejemplo de cada una de ellas.1.1 INTEGRAL INDEFINIDA Objetivo: Determinar la antiderivada de funciones sencillas mediante el análisis de la relación entre la antiderivada y la integral definida. 2. Explica cuál es la razón por la cual se agrega una constante arbitraria cuando se determina una antiderivada general.5x + C 3 2 = 4x3 + 3x2 . para la resolución de problemas. Revisa con atención los ejercicios que desarrollamos a continuación y que te presentamos para que observes la aplicación de la tabla de integrales indefinidas. Reglas básicas de integración Para poder abordar este tema. Copia de la página 352 del texto de Stewart. la tabla de fórmulas de la integral indefinida y completa el siguiente cuadro: TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS Integral Ejemplo 2.2.. James. cit. Consulta a tu asesor en caso de tener dudas sobre los procedimientos y trata de resolver los ejercicios que se encuentran en la sección ¿Qué he aprendido? a) Integra: ∫4xdx ∫4xdx = 4∫x dx = 4( x ) + C = 2x2 + C 2 2 25 . Op. realiza las siguientes actividades: 1.2.1. ∫2x dx = 3 ∫x2 dx .2( x ) + C 2 3 3 2 = x3 .x2 + C c) Integra: ∫x-2 dx ∫x-2 −1 x−2 +1 dx = − + + C = x + C =− 1 + C x −1 2 1 d) Integra: ∫ x dx x 2 + 2 + C = x 2 + C = 2x 2 + C 1/2 ∫ x dx = ∫x dx = 1 + 2 3 3 2 2 2 1 2 3 3 e) Integra: ∫3x1/3 dx 1 3 x3+ 3 1/3 1/3 ∫3x dx = 3∫x dx = 3( 1 + 3 ) + C 3 3 4 4 x3 = 3( 4 ) + C = 3( 3x 3 ) + C 4 3 = 9x + C 4 4 3 f) Integra: ∫ x +1 dx dx ∫ x +1 = ∫ u = lnu + C = ln du     x+1 + C ∫ (x + 1) g) Integra: dx 2 ∫ (x + 1) = ∫ u 2 dx du 2 donde : u = x + 1 -1 u .2x)dx ∫(3x2 - 2x)dx = ∫3x2 dx .du = 2 1 1 = − +C = − +C u X +1 26 .b) Integra: ∫(3x2 .2+1 + C = u-1 + C − 2 +1 =∫ u .2 ∫x dx = 3( x ) . 1) 2 dx = ∫ sec2 x .2 ∫ sec x dx + 1 ∫ dx = tan x .2 ln (sec x + tan x ) + x + c 27 .h) Integra: ∫ sen x dx ∫ sen x i) Integra: ∫ cos 4 x dx Para integrar u= 4x y du = 4 dx Despejamos a dx y tenemos: dx= du 4 Sustituimos: dx = -cos x + c ∫ cos 4x dx = ∫ cos u du 1 = cos u du 4 4∫ 1 = sen 4x + c 4 1 = sen 4 x + c 4 j) ∫ (sec x .2 sec x +1  dx   = ∫ sec2 x dx . 1 + C x Solución: ex + C l) ò exdx 28 .x2 . Integrales indefinidas.cos 2ax + C Solución: tan x + 6 ln (sec x + tan x) + 9x + C Solución: 1/5 tan (sec2 5x) + C Solución: tan x + sec x + C Solución: 3 sen x + 4 cos x . Compara tu respuesta con la solución y si tienes dudas consulta nuevamente el texto y a tu asesor.4 sen x + x2 ) dx Solución: .2) dx d) ò (4x2 .+ c 10 4 9 c) ò ( x +3x .3x2 + c 2 3 2 Solución: x5 3x 4 x3 + +2x .x3 . Evalúa las siguientes integrales: a) ò (2x3 .¿QUÉ HE APRENDIDO? Aplica lo que aprendiste al estudiar este capítulo resolviendo los ejercicios que te proponemos.3x + 4) dx b) ò ( x4 + 3x3 + 2 .x 3/ 2 + c 3 ö ÷ ÷ ÷ ø ò 4x æ ç ç ç è x3 ö÷÷ dx 4 ÷ ø Solución: ln x4 + c æ ç ç è ö ÷ ÷ ø ò 2+ x x2dx 3 Solución: 1 ln 2 + x 3 + c 3 æ ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ø g) ò sen 2a xdx h) ò (sec x -1)2 dx i) òsec2 5x dx j) ò sec x( sec x + tan x) dx 1 k) ò (3 cos x .2 x ) dx e) f) Solución: 2x 3/ 2 3x 2 + -2x + c 3 æ ç ç ç è 2 Solución: 4 x 3 .x2 ) dx 2 3 Solución: x4 . basándose en ellas. Roberval consideró el área bajo la curva como un número infinito no de líneas. A lo largo del desarrollo del curso hemos estado utilizando las aportaciones hechas por estos tres grandes matemáticos. Fermat. Tal parece que Cavalieri intentó determinar el área bajo la curva considerándola como una serie infinita de componentes(de líneas) que. Roberval y Cavalieri fueron 3 matemáticos que. curiosamente. llegó a considerar a Fermat como el inventor del Cálculo. 29 . una fórmula de integración inmediata que es ampliamente conocida y que ya has usado al desarrollar los ejercicios contemplados en el curso. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso en sus métodos que Cavalieri. investigó los máximos y mínimos de una función al considerarlos como la recta paralela al eje de las x y tangente a la curva en cuestión. Lagrange. al ser sumadas como un número infinito de “indivisibles” proporcionaban el resultado. lo mismo que otras personas que. Por esta razón. los tres hicieron contribuciones muy importantes al Cálculo. célebre matemático francés.QUIERO SABER MÁS Fermat. al realizar la suma determinó con mayor precisión la medida de la región del plano buscada. han impulsado el desarrollo de las matemáticas para comprender mejor el maravilloso mundo en el que vivimos. Usando estos métodos encontró que la integral de xn es xn+1/n+1. Escribió a Descartes proporcionándole el método usado hasta el día de hoy para el cálculo mencionado. Cavalieri inventó su “método de indivisibles” basándose en los intentos hechos por Kepler para lograr medir una región del plano. Asimismo. sino de tiras rectangulares angostas. nacieron con diferencia de tres años uno después del otro. una vez integrada. el trabajo realizado al volar sobre tierra o sobre el agua. la integración no se puede reducir a la mera aplicación de una serie de fórmulas. La integración se aplica. 30 . etcétera. los métodos de integración que estudiaremos en esta unidad nos proveerán de elementos suficientes para poder resolver un gran número de casos en los que con toda probabilidad tendríamos grandes dificultades. UNIDAD III Es un hecho que. Otra situación en la que se aplica la integración es en el cálculo de la producción de un determinado artículo. Se afirma que algunas especies de aves migratorias tienden a evitar volar sobre grandes extensiones de agua durante el día. aunque parezca poco creíble. se podría afirmar que cada integral tiene su propio procedimiento para ser resuelta. La razón parece ser que el vuelo en tal situación requiere un mayor gasto de energía debido a que durante el día el aire sube de la tierra y desciende sobre el agua. a través del empleo de los métodos por partes y sustitución para la resolución de problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento. para resolver problemas sencillos en diversas áreas. Estos comentarios pretenden que percibas al cálculo integral y a los métodos que se van a estudiar. Los mencionados métodos de integración se aplicarán en la última parte de la unidad. te invitamos a seguir esforzándote en el estudio del cálculo integral. a fenómenos estudiados por la ornitología (la ciencia que estudia a las aves. esto quiere decir que al realizar la integración seríamos capaces de saber si la capacidad pulmonar de una persona en particular. El débito del flujo del aire hacia los pulmones puede ser representado por una función de la forma f(t) = ½ sen(2π/5). como herramientas que se pueden utilizar no sólo como materia de examen sino también en el análisis de muchos fenómenos de tu propia vida y de diversas áreas del conocimiento.¿QUÉ VOY A APRENDER? MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Objetivo de la Unidad: Aplicar el concepto de integración de funciones algebraicas y trigonométricas. a diferencia de otras operaciones matemáticas. Es interesante saber que el proceso puede ser representado por una función y la integración de ella nos permitirá saber con precisión cuándo se ha llegado al punto óptimo y cuál debiera ser el total de artículos producidos en una línea de producción. también puede ser representado por una función que. Más aún. Sin embargo. nos permitirá conocer la distancia máxima que un ave puede recorrer en un determinado tiempo. Así pues. especialmente a los pájaros). corresponde al volumen de aire inhalado por la misma y de esta forma determinar el estado de salud que presenta. Ahora bien. de una manera instintiva las aves tienden a economizar su energía para poder volar mayores distancias y esto. Un ejemplo tomado de la medicina podría ser el cálculo del volumen de aire respirado por una persona durante un ciclo respiratorio completo desde la inhalación hasta la exhalación. ∫x(x2-1)99dx u = x2 . México. aplicando los métodos más usuales de integración por partes y sustitución trigonométrica. Método de Integración por sustitución Realiza la lectura de las páginas 359 a la 364 del libro de Stewart. Anota en tu cuaderno la regla de sustitución y expresa con tus palabras cuál es su significado. después intenta resolver los ejercicios correspondientes que encontrarás en la sección ¿Qué he aprendido? Si tienes dudas vuelve sobre el texto y consulta a tu asesor.1)100 + C 31 . James. 1998 y efectúa las siguientes actividades: 1. Evalúa la siguiente integral efectuando la sustitución prescrita. Además de observar atentamente la solución de los ejemplos que proporciona el autor. Ejemplo 1. 4. 2. International Thomson Editores.1. trascendentes tempranas. 3.1 entonces du = 2x dx y x dx = du/2 Por tanto la integral puede escribirse como sigue: ∫x(x2-1)99dx = ½∫(u)99 du Al aplicar las reglas de integración resulta: u100 + C ½∫(u)99du = 2 (100) + C = 200 1 u100 1 Sustituyendo la función original tenemos: ∫x(x2-1)99 dx 1 = 200 (x2 . Cálculo. para la resolución de problemas teórico-prácticos. 3.1.1 Si u = x2 . Con respecto a las integrales de funciones simétricas es muy importante que se distinga cuando una función es par o impar para poder aplicar la regla. te sugerimos que revises los siguientes desarrollos y leas las notas que lo acompañan.1 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Objetivo: Calcular integrales no inmediatas o por transformaciones algebraicas sencillas.¿CÓMO APRENDO? 3. Copia también la regla de sustitución para integrales definidas y expresa por escrito la relación que tiene con las integrales de funciones simétricas que se mencionan dentro del mismo texto. ¿Cuál es el criterio? Justifica tu respuesta. la integral original se transforma de la siguiente manera: ò x2 dx = 1 ò du u 3 2 + x3 Y aplicando las reglas de integración tenemos:     1 du 1 − 1 1  u − 12 + 2  1 u 1  1 2 2 1 2 ∫ u = 3 ∫ u du = 3  1 2  + C = 3  1  + C = 3 (2u 2 ) + C 3 − +         2 2  2  2 2 u = u2 + C = +C 3 3 1 Insertamos en lugar de u a la función original y la solución es: ò 3 x2 dx = 2 u + C = 2 2 + x + C 3 3 2 + x3 Intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido?. Evalúa la siguiente integral efectuando la sustitución indicada ∫ Si u = 2 + x 3 entonces x2 dx 2 + x3 u = 2 + x3 y x2 dx = du/3 du = 3x2 dx Al sustituir. comparando tus resultados con las soluciones que se proporcionan 32 .Ejemplo 2. por ejemplo: ∫ xe ∫ x lnxdx = ∫    2 x dx = xe2x . ve resolviendo en tu cuaderno los ejemplos planteados por el autor y haciendo las anotaciones que consideres pertinentes.3. sustituye los elementos en la fórmula de integración para cada caso. Copia en una tarjeta la plantilla que aparece en la pág. Op. cit. efectúa las siguientes actividades: 1.1. Una vez que hayas completado el cuadro. 418 del texto para poderla utilizar en la resolución de los ejercicios. Revisa atentamente las integrales de la primera columna y completa lo que falta en el siguiente cuadro: Integral ò xe dx ò x lnxdx ò ln x dx ò x cos3xdx 2x æ ç è ö2 ÷ ø u x du dx v e2x dx x e2xdx dv ln x 3x2dx cos 3xdx 3 5. Mientras realizas la lectura. 3. 2.∫e2xdx lnx dx = 2 ∫ x cos3xdx = 3 33 .2. James. Anota en tu cuaderno la fórmula de integración por partes acompañándola de notas elaboradas por ti sobre su significado y las condiciones básicas necesarias para poderla utilizar. y a partir de la información que proporciona. Método de integración por partes Realiza la lectura de las páginas 416 a 421 del libro de Stewart. 4. ½∫xdx x2 4 +C ∫ xe ∫    2 x dx = lnx dx = 2 ∫ x cos3xdx = Para comprobar tu aprendizaje.1 . En tales casos no basta tan solo aplicar las fórmulas de integración directa sino tener la suficiente habilidad para lograr la integración a través de los referidos métodos. intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido?. Op. por ejemplo: ∫ x lnxdx = = = x2 2 lnx x2 2 lnx x2 2 lnx x -∫2 2 dx x . potencias y funciones trigonométricas. lee de la página 423 a 427 y de la 429 a la 434 del libro de Stewart. Después de sustituir en la fórmula de integración por partes. Partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. terminemos la solución para cada caso.1. Para comenzar a entender lo referente a las funciones trigonométricas. Aplicación de los métodos de integración por sustitución y de integración por partes en funciones algebraicas. comparando tus resultados con las soluciones que se proporcionan.3. Busca las identidades trigonométricas correspondientes y completa el siguiente cuadro: Función trigonométrica cos2 x x sen x cos x sec2 x sen A cos B sen A sen B cos A cos B 34 3 Identidad ½(1 + cos 2x) sen2 sec2 x . potencias y funciones trigonométricas Los métodos de integración por partes y de sustitución muestran su eficacia cuando se intenta aplicarlos a la resolución de expresiones más complejas. 3. cit. En esta sección tendremos la oportunidad de tener un acercamiento a su aplicación en funciones algebraicas. James.6. Copia la tabla de sustituciones trigonométricas: Expresión Sustitución Identidad Procedimiento Identidad trigonométrica a utilizar 2. James. cit. Si las potencias de seno y coseno son pares. 429 a la 434 del libro de Stewart.x2 x 2 . Tomando en cuenta que estas sustituciones trigonométricas se basan en el teorema de Pitágoras coloca las letras x y a donde correspondan: caso 1 caso 2 caso 3 a2 . Si la potencia de la tangente es impar.2. y partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. Cuando la potencia del seno es impar.a2 q q q a2 . A continuación anota los procedimientos y las identidades trigonométricas para evaluar las integrales en los siguientes casos: Caso Cuando la potencia del coseno es impar. Integración por sustitución trigonométrica Lee de la pág. Op. Si la potencia de la secante es par.x2 35 . Revisa el ejemplo 1 que se encuentra en la página 430 del libro citado y responde lo siguiente: a)¿Porqué utiliza el autor como sustitución x = 3 sen θ ? ¿De dónde obtiene el 3? b) ¿Cuál es el rango en el que la sustitución se está aplicando? c) El autor poner como equivalente ¿Por qué? ¿Cuál es la identidad trigonométrica que está usando? d) Una vez realizada la integración ¿Cuál es el procedimiento que utiliza el autor para regresar a la función original? 9 − 9 sen2θ = 9 cos2θ 36 . relacionando x y a tenemos que las funciones trigonométricas son: a = _________ θ x x = __________ θ a Expresando a x en función de a y de θ : x=___________ x=__________ c) Para el caso 3.3. las funciones trigonométricas son: a = __________ θ x x = _________ θ a Y tenemos que x expresado en función de a y θ queda así: x=__________ x=___________- 4. Responde: a) Si en el caso 1 relacionamos x y a ¿A qué funciones trigonométricas se refieren? ¿Cómo se puede expresar x en función de a y de θ ? a = ________ θ x x = __________ θ a x = ________ x = __________ b) De acuerdo al caso 2. A manera de resumen completa el siguiente cuadro sobre las funciones racionales: Caso I II III IV 2. Op. 450-451 Op. James.5. Responde las siguientes preguntas: a) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio? b) ¿En qué caso se le llama «propia» a una función racional? c) Si la función racional es impropia. ¿cuáles son los tres pasos para la integración? 3. Aplica lo aprendido resolviendo los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido? Enunciado Ejemplo 37 . Explica cuál es la razón principal para descomponer una función racional en fracciones parciales al realizar la integración.) responde lo siguiente: a) El autor usa dos identidades trigonométricas ¿Cuáles son? a 2 − a 2 sen2 Θ = a 2 cos2 Θ a2 cos2Θ identidad: identidad: 1 cos2 Θdo= 1+ cos2Θ 2 b) ¿Qué procedimiento empleó el autor para no tener que regresar a la variable original? Ahora intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido? Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales Lee de la página 435 a la 442 del libro de Stewart. y realiza las actividades siguientes: 1. cit. Partiendo del ejemplo 2 (pp. cit. 1 (x + senx cos x) + C 2 dx x dx ∫ cos 2 ∫x 1+ x dx 3/2 5/ 2 2  4 x 1+x − 1+ x + C 3 15 Integración por sustitución trigonométrica c) Calcula las siguientes integrales: ∫ x2 1− x 2 dx Sol. Si tienes dudas te recomendamos volver sobre el texto y consultar a tu asesor. Integración por sustitución a) Evalúa las siguientes integrales aplicando la sustitución descrita:   ∫ x x2 −1 dx 99 u= x2 −1 Sol. 1 1 2 arc sen x -1 x 1-x +C 2 2 38 . 2 2 + x 3 + C 3 Sol. xex -ex +C Sol. cos4x 2 +C 4 1 +C 4x+2 1 2 x + 6x 2        ∫ sen4x dx ∫ 2x +1     u= 4x u= 2x+1 dx 2    ∫x      x +3 2 + 6x      2 dx u= x2 +6x Sol. x lnx -x +C Sol. u +C 200 100 ∫ x2 2+ x 3 dx u= 2+x3 Sol. - +C Integración por partes b) Aplicando la fórmula para la integración por partes. Sol. -xcos + sen x + C Sol.¿QUÉ HE APRENDIDO? En este capítulo revisamos los métodos de integración. Sol. realiza las siguientes integrales: ∫ ln x dx ∫ x sen x dx ∫x e x Sol. ahora aplica lo aprendido en la resolución de los siguientes ejercicios. Compara tu solución con las respuestas. 1 x arc sec + C 5 5 1 x arc sen + C 2 4 Sol. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales d) Calcula las siguientes integrales: ∫ x − x −2x dx 3 2 5x2 + 3x − 2 x− 3 3 Sol. ln x + 2 ln(x+1) + 2 ln(x+2) + C Sol. ln 2 x + x + 2 x +1 + C 2 dx x x 2 − 25 dx 16− x 2 Sol.∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx 16− x 2 x 2 +1 dx x dx x +x 2 Sol.  arc tan x 2 2                  Sol. 3 + ln( x x 1) + C x +   ∫ x + x2 dx  x 2 + x +1 1 2 x2 + x ∫ (x +1)2(x2 + x +1) dx Sol. ln (x +1)2  − x +1+C dx ∫ (x +1)(x +2) x +1 Sol. ln x + 2 + C             39 . 1 x arc sen + C 2 4          2 x +1  x +C Sol. Taylor fue electo como miembro de la Real Sociedad y participó en el comité que se formó para dirimir la cuestión de la invención del Cálculo entre Newton y Leibniz. Además de lo anterior. Debido a las importantes aportaciones que realizó este matemático se le ha dado su nombre a uno de los cráteres lunares con el propósito de perpetuar su recuerdo. uno de los más famosos y belicosos matemáticos que hayan existido. cuya importancia permanece todavía sin reconocerse hasta 1772 cuando Lagrange lo coloca como principio básico del Cálculo Diferencial. En 1712. para “aproximarse” a las raíces (soluciones) de una ecuación por medio de logaritmos. Taylor publicó en 1715 su libro “Methodus incrementorum directa e inversa” ( Método de los incrementos directos e inversos) que representó un notable avance para lo que ahora se conoce en matemáticas como el “cálculo de las diferencias finitas” y además inventó el método de integración por partes. el cual. que ahora tanto utilizan los arquitectos y los artistas. Diseñó experimentos para descubrir la ley de la atracción gravitacional además de inventar métodos para calcular. 40 . al matemático Brook Taylor. produjo una disputa sobre su paternidad con Johann Bernoulli.QUIERO SABER MÁS A lo largo de esta unidad estudiamos el método de integración por partes. o más bien dicho. Brook Taylor (1685-1731) nació en Inglaterra y a los 23 años produjo una solución al problema del centro de oscilación. Taylor desarrolló los principios básicos de la perspectiva. La misma obra contiene la celebrada fórmula conocida como serie de Taylor. por lo cual resulta interesante conocer al inventor de dicho método. debido a que se publicó hasta 1714. Es probable que según avances en tus estudios y en tu vida particular encuentres oportunidades para aplicar el Cálculo Integral de manera que puedas comprender más profundamente lo que sucede en nuestro mundo. Procederemos a calcular el trabajo desarrollado al estirar un resorte. 41 . Sorprendentemente. a través del uso del Teorema Fundamental del Cálculo. físicos. el Cálculo se aplica en el análisis de un sinnúmero de fenómenos. es decir.¿QUÉ VOY A APRENDER? APLICACIONES DE LA INTEGRAL Objetivo de la Unidad: Aplicar el concepto de integral. biológicos. ¿en qué lo voy a aplicar? Aparentemente el Cálculo no es más que una asignatura que se tiene que cursar porque está en el Plan de Estudios y por la que quiérase que no habrán de transitar con mayor o menor éxito. para la solución de problemas geométricos. o al vaciar un tanque. En el campo de la medicina aplicaremos el Cálculo para determinar el flujo sanguíneo y en el campo de la economía tendremos oportunidad de conocer. es decir. el valor presente de una corriente de ingresos. UNIDAD IV Preguntas que frecuentemente se hacen los estudiantes de bachillerato al abordar el Cálculo son: ¿y para qué me va a servir estudiar esto?. En el campo de la Física aplicaremos nuestros conocimientos del Cálculo para ubicar el llamado “centroide” o centro de masa de un cuerpo. sin embargo. a situaciones tales como la determinación de volúmenes de sólidos de revolución. Aprenderemos también a calcular la superficie. a través del Cálculo. de aquellos sólidos que son generados al hacer girar una curva o intersección de curvas en torno a un eje determinado. El estudio de la presente Unidad nos hará aplicar lo que ya aprendimos en el curso. Lo anterior no es más que una pequeña muestra de los campos en los que se aplica nuestra asignatura. la “cáscara” de un sólido. el punto en el cual se considera concentrada la masa de un cuerpo y a partir del cual se puede equilibrar el cuerpo mencionado. en la economía y la probabilidad. ¿En qué se parecen? 2. ¿Percibes la forma del sólido de revolución que se genera? Ejemplo 1.1. una vez hecho esto. Determina el volumen generado por la curva y = x2. En primer lugar calculamos el área del “disco” i-ésimo tomando a x2 como radio y aplicando la fórmula: A = π(x2)2= πx4 42 . 1998 y partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1.¿CÓMO APRENDO? 4. International Thomson Editores. Lee de la página 387 a la 395 del libro Stewart. Explica en qué consiste el método de la arandela y cuál es la diferencia con respecto al método del disco. en la economía y probabilidad. Te sugerimos que por tu cuenta. Pega la figura resultante a un palillo o a un pedazo recto de alambre y hazlo girar con tus dedos. 4. dentro de los límites x=1. Revisa los siguientes ejemplos resueltos y anota tus observaciones para comentarlas con tu asesor. y = 0 al girar alrededor del eje x. biológicos. ilumina con un lápiz de color o plumón el área bajo la curva y recorta por la línea exterior. Anota en tu cuaderno la fórmula para el cálculo de volúmenes e intenta relacionarla con las fórmulas que se utilizan en geometría para el cálculo de volúmenes de sólidos regulares (de forma particular con los cilindros). James. Describe con tus palabras por qué razón se le puede llamar a este sistema el “método del disco” y explica en qué aspectos se parece a la determinación del área bajo la curva por medio de la suma de Riemann. trascendentes tempranas. asignando los valores adecuados a la función. Cálculo. físicos. México. 3. elabores una tabla y dibujes la gráfica correspondiente en papel cuadriculado. CÁLCULO DE VOLÚMENES Objetivo: Determinar área y volumen a través de la aplicación de la integral definida para la resolución de problemas geométricos. 8 0.6 0.8 0 1 x Y después determinamos el volumen aplicando la fórmula: V= V = π unidades cúbicas (por tratarse de un volumen) 5 1 πx5  ∫0 πxx dx = π ∫0x dx = 5   0 1 4 1 4 Ejemplo 2.4 0.2 0.6 0. acotada por las rectas x=4. Determina el volumen del sólido de revolución generado por la función y2 = x3 . y2 = x3 x = 4y = 0 y= x 3 = x 3/2 Calculamos el área en primer lugar y posteriormente aplicamos la fórmula para determinar el volumen: A =π 4 3 ( x ) = πx 3 4 3 3 x4 V = ∫π x = π ∫ x = π 4 0 0 4 0 V =π −  4 4  4 4 4 0  256   = π  = 64π    4   V = 64π unidades cúbicas 43 .2 0 0. y = 0 al girar alrededor del eje x.4 0. elaboremos la gráfica y un diagrama del sólido de revolución que se genera al girar en torno al eje x: y x2 1 0.Para ayudarnos a visualizar la figura. V=π∫ 8 0 ( y) 3 5 3 2 8 8  5y 5/2    dy = π ∫ y 3/2 dy = π   2  0  0 V=π 3(8) 3(32) 96π =π = 5 5 5 Ejemplo 5. y = 0 en torno al eje y. x = 1. y = 0. acotada por las rectas y= 8. Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la curva de la función y = x alrededor del eje x. tenemos: V=∫ π 0 1 ( ) 1 π x2  π x dx = ∫ π xdx =  =2 0 2 0 2 1 El volumen es igual a p unidades cúbicas 2 Ejemplo 4. Determina el volumen del sólido generado al girar la curva y = x3. Determina el volumen del sólido generado por la curva y2 = x3. Puesto que las condiciones del problema indican que gira en torno al eje x expresamos y2 = x3 de la siguiente manera: y = x 3 = x3 / 2 44 . en el área acotada por y = 0. alrededor del eje x y acotado por las rectas x = 4.Ejemplo 3. La fórmula para calcular el volumen es: V = ∫a π [(f (x)] dx 2 b Aplicando la fórmula. x = 0. y =4 lo que nos indica lo siguiente: y=4 Al girarla en torno al eje y. tenemos: y x=0 x=2 x x= y x 45 .Ahora dibujemos un diagrama que nos ayude a mostrar cómo se comporta la función en el primer cuadrante. x=2. y 3 y = x x= 4 y=0 x Al girarlo en torno al eje x resultaría una figura de la siguiente forma: y x x= 4 Ahora bien. aplicando la fórmula para calcular el volumen tenemos: V=∫ 4 0 π ( x ) dx = π ∫ 3 2 4 0 4  44 04  π x4   256  x dx =  = π  4 − 4  = π  4  = 64 π 4 0     3 A continuación veamos un ejemplo de un sólido de revolución que se genera al rotar la curva de la función y = x2 y=4. Las condiciones del problema marcan los límites para integrar la función y calcular el volumen (x=4. y x= 2. y=0). alrededor del eje y comencemos la solución del problema entendiendo las condiciones: la función y= x2 debe expresarse como : x= y = y1/2 debido a que rota en torno al eje y la función se encuentra acotada por x= 0. 0) Con estos datos y tabulando trazamos la gráfica correspondiente: y 5 4 3 2 1 1 4 7 10 13 16 19 21 23 x 46 .Aplicamos ahora la fórmula del volumen: V=∫ π 0 4 ( ) 4 π y2  π (4)2 π (0)2 π16 y dy = ∫ π ydy =  = − = = 8π 0 2  2 2 2 0 2 4 El volumen buscado es: 8 π Un caso diferente es el que presentamos a continuación: nos dan las ecuaciones de las curvas. ¿Cómo se resuelve? Realmente es sencillo si se considera a las funciones como un sistema de ecuaciones.2y = 0 y= y= . Ejemplo: Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la región comprendida entre las curvas y2 = x. pero no se indican los puntos de intersección. Las soluciones a dicho sistema nos darán los puntos de intersección y podremos entonces calcular el volumen buscado.b ± b 2 − 4ac 2a 2± 4 − 0 2± 2 = 2 2 y1= 2 y2 = 0 Una intersección se da en (4. 2) y la otra en el origen (0. x = 2y. Igualamos las ecuaciones y resolvemos por fórmula general: y2 = 2y y2 . los ejercicios y consulta a tu asesor.y 4 )dy Ahora resuelve los ejercicios que te presentamos en la sección ¿Qué he aprendido? Confronta tus resultados con las soluciones.96 ö 64 æ 4(8) 32 ö =p ç .Como la figura rota sobre el eje y tenemos una figura similar a la siguiente: y x Procedemos a calcular el volumen aplicando la fórmula: V = p ò (2y ) .(y 2 ) dy = p 2 2 2 0 [ ] 2 2 æ 4(2))3 (2 )5 öù æ 4y3 y 5 ö ù ÷ ç =p ç ÷ ç 3 .5 ÷ ú = p ç 3 . 47 . repasa el texto.5 ÷ú øû0 è øú 0 è û æ 160 . En caso de duda.÷ = pç p ÷= 5 ø è 3 è 15 ø 15 ò (4y 2 0 2 . James. Partiendo de la información que proporciona realiza las siguientes actividades: 1. Calcula el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva y = x .4. 4 ≤ x ≤ 9 en torno al eje x.2. Fórmula Descripción 2. Op. dy 1 −1/2 1 = = x dx 2 2 x Hacemos y = x Aplicamos la fórmula: 9  dy  S = ∫ 2 y 1 +   dx = 2 4  dx  2 ∫ 9 4  1  x 1+   dx 2 x  2 = 2π ∫ 9 4 x 1+ 1 dx 4x Observa que: 1+ 1 4x + 1 4x + 1 4x + 1 = = = 4x 4x 4x 2 x Sustituyendo queda: = 2π ∫ 9 4 x 9 4x + 1 4x +1 1 9 dx = 2π∫4 dx = 2π  ∫4 4x + 1dx = π 2 x 2 2 ∫ 9 4 4x + 1dx 48 . Observa el desarrollo de los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. cit. Anota en el siguiente cuadro las fórmulas correspondientes para ubicar las coordenadas del centro de masa de un sistema. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA GEOMETRÍA Área de una superficie de revolución Lee de la página 500 a la 504 del libro de Stewart. Ahora hacemos: u= (4x+1) du= 4 dx dx = du 4 Realizamos la sustitución cambiando los límites. nuevo límite superior: 4 (9) + 1 = 37 nuevo límite inferior: 4 (4) + 1 = 17 La integral se escribe ahora: π 37 π 37 1/ 2 ∫17 u du = 4 ∫17 u du 4 Y al realizar la integración se tiene: 37 2π 3/2  37 π π  2 3/2   37 =  u  = u  = U u] 17 4 3 17 6  17 4 (3) Porque: u3/2 = u2/2u1/2 =u u Al calcular con los límites tenemos la solución: S= π (37 37 − 17 17 ) 6 Ejemplo 2. para ello aplicamos los límites iniciales en: u = 4x+1. Calcula el área de la superficie obtenida al hacer girar sobre el eje y la curva y = x3 en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2 Puesto que: Aplicando la fórmula: s = ∫ 2π y 0 2 2 2 dy 1 +   dx = ∫ 2π x3 1 + (3x 2 ) dx   0  dx  2 y = x3 dy = 3x 2 dx dy = 3x 2 dx = ∫ 2 π x3 0 2 1 + 9x 4 dx = 2π ∫ x3 1 + 9 x4 dx 0 2 hagamos: u = 1 + 9x4 du= 36 x3 dx y x3 dx = du 36 49 . Contesta en tu cuaderno: ¿A qué se le llama “centro de masa” de un cuerpo? ¿Qué son los “momentos” de la masa de un cuerpo? Escribe la ecuación para determinar el centro de masa y su explicación. por tanto es: S= π (145 145 − 1) 27 4. y efectúa las siguientes actividades: 1. Para un sistema de varias dimensiones ¿cómo se define el “centro de masa”? ¿Qué es un “centroide”? Escribe las ecuaciones para determinar las coordenadas del centroide de un cuerpo. m1 =4 m2= 8 P1 (-1. de acuerdo al principio de simetría.4) . Calcula los momentos Mx y My y encuentra el centro de masa del sistema.2) 50 P2 (2. Si el cuerpo es simétrico. Op.3. 2.Calculamos los nuevos límites y sustituimos: = π 145 2π 145 u du = ∫ u1/ 2 du 36 ∫1 18 1 Integramos: = 145 π  2 3/ 2   π 145 π = 145 145 − 1 u u1 =  U  27 18  3 27  1 ] ( ) La solución. cit. ¿dónde se ubica el centroide ? Después de revisar con atención los ejemplos resueltos anota en forma de lista los pasos para ubicar las coordenadas del centroide. James. Observa la solución de los siguientes ejemplos y luego intenta resolver los correspondientes a la sección ¿Qué he aprendido? Ejemplo 1. APLICACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL A LA FÍSICA Determinación del momento y centro de masa de un cuerpo Realiza la lectura de las páginas 505 a la 510 del libro de Stewart. 4) m2 Centro de masa (1.0) P2 (1. 10) 3 (-1.-4) p4 (-6.Elaboremos un diagrama que nos ayude a entender mejor el problema: Y (2. -5) 51 .3) m1 0 X Aplicando las fórmulas: n M y = ∑ mix i =1 n Mx = ∑ m iy Tenemos : My = 4(−1) + 8(2) = −4 + 16 = 12 Mx = 4(2) + 8(4) = 8 + 32 = 40 Dado que la masa total del sistema (m) es: m1 +m2 = 4 +8 = 12 tenemos que las coordenadas del centro de masa son: My 12 = =1 m 12 Mx 40 20 10 y= = = = m 12 6 3 x= Ejemplo 2. Calcula los momentos Mx y My y encuentra el lugar del centro de masa del sistema: m1=3 m2=3 m3=8 m4=6 p1 (0.8) p3 (3. y =0 x=2 Es recomendable trazar la gráfica para entender mejor el problema. Después de tabular.8) m2 (0.-5) Calculamos los momentos: Mx = 3(0) + 3(8) + 8 (-4) + 6 (-5) = 24-32-30= -38 My = 3(0) +3 (1) + 8 (3) + 6 (-6) = 3+24-36 = -9 La masa total (m) = 3+3+8+6= 20 Por lo que las coordenadas del centro de masa son: My − 9 = m 20 Mx − 28 19 y= = =− m 20 10 x= Ejemplo 3.En primer lugar ubiquemos los puntos: Y (1. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas: y =x 2 .0) m1 X m3 (3.-4) m4 (-6. tenemos: El área de la región es: A= y ∫x 0 2 2 dx = x 3 3  8 0 = 3  2 y=x 2 x=4 y= 0 x 52 .   Ejemplo 4. 5  o también (1. por tanto  2 .5. 1.Aplicamos las fórmulas: x= 1 2 1 2 2 ∫0x(fx) dx = 8 ∫0x(x )dx A 2 4 2  x4   3 2 3 3  3x  ∫0 x dx =    = 8 32  8 4   0  0 = y= 1 A 2 2 48 3 = 32 2 1 2 2 3 1 2 (x ) dx =   ∫ x 4 dx   0 2 8  2 0 2 2 1 1 ∫ 2 [f(x)] dx = 8 ∫ 0 3 2 3 2 4 3 x5  3 32 96 = ∫ x dx = ( ) =   =   0 16 16 5  16  5  80 0 = 48 24 12 6 = = = 40 20 10 5 3 6 Las coordenadas del centroide son.2). Localiza el centroide de la región limitada por las curvas: y = cos 2x y = 0 x = − π 4 x= π 4 Tracemos la gráfica correspondiente: y y= co s 2x − π 4 0 π 4 x Calculamos el área: A= ∫ π 4 π − 4 cos2xdx = 53 . que en este caso corresponde a x=0.Para integrar hacemos: u = 2x du = 2dx ∴ dx = du 2 π π π 1 4 1  4 = 1 sen2x 4 A = ∫ π cosudu = sen u  π 2 −4 2  −π 2 − 4 4  π π   = 1 sen 24 −sen  − 24  = 1 [1+1] = 1   2 2    A= 1 Aplicamos las fórmulas para determinar las coordenadas del centroide: x=0 Porque de acuerdo al principio de simetría y puesto que es una figura simétrica. el centroide se ubica en el eje de simetría. Sustituyendo cos2 x = π y= = π 1 π 1 4 [cos 2x]2 dx = 1 ∫−4π 1 cos2 2xdx π A ∫− 4 2 1 4 2 π 1 π  1 cos4x  1 4 1 + cos2(2x) dx = ∫ 4π  +  dx π 2 −4  2 2 ∫− 4 2 2  π π 4 π − 4 1 + cos2x 2 1 1 1 = ∫ 4π dx + 2 −4 2 2 ∫ cos 4x 1  x  4 1 dx =    + ∫ 4π cos 4xdxs 2 2  2  π 4 − 4 4 π Observa que para integrar cos 4xdx hacemos: u= 4x du= 4 dx ∴ dx= De manera que: 1 4 11 ∫− π4 cos4xdx = 4  4  4   π du 4 ∫ π 4 π − 4 π 4 1 (sen4x)] cos 4xdx = π 16 4 Sustituyendo queda: x 4 sen 4x  4 =  + =  π 4 − 16  − π  4 4 π π 2π π π π = + +0= = 16 16  16 8   54 . ¿cómo se define al trabajo? b) ¿Cuál es la fórmula para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es constante? c) ¿Por qué razón se expresa la aceleración como d s dt 2 2 ? ¿De qué manera se relaciona el desplazamiento (s) con la aceleración a través de esta expresión matemática? d) ¿Cuál fórmula se emplea para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es variable? e) En la fórmula anterior. DETERMINACIÓN DEL TRABAJO FÍSICO REALIZADO POR UNA FUERZA Lee de la página 403 a la 406 del libro de Stewart. ¿a qué equivale dentro de la integral? 2. cit. James. Contesta las siguientes preguntas: a) En el ámbito de la Física. resuelve los ejercicios que te proponemos en la sección ¿Qué he aprendido? 55 . ¿cómo se expresa la distancia?.4.  Por tanto.π   4   Ahora intenta resolver los ejercicios que te presentamos en la sección ¿Qué he aprendido? y compara tu respuesta con las soluciones. Op. las coordenadas del centroide son  0. Partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. Siguiendo con atención cada ejemplo desarrollado por el autor en el texto base. 4. Determina el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural hasta una longitud de 5 m. haciendo girar sobre el eje de las x la superficie limitada por los siguientes lugares geométricos: y = x3 y = 0.3). B(2. ) 15 21 56 . 8/5) Solución: ( 16 64 . x = p/2 x2 + 16y2 = 144 b) Determina las coordenadas del centro de masa para cada uno de los siguientes casos: El sistema formado por los puntos A(-1.¿QUÉ HE APRENDIDO? Intenta resolver los siguientes ejercicios para comprobar tu grado de dominio sobre los contenidos que se manejan en la presente Unidad. Solución: 8 Joules Solución: (0. -1) con masa de 1. 1/3) La parábola y = 4 – x 2 y el eje x Las curvas y = x3 y y= 4x en el primer cuadrante c) Trabajo Una fuerza de 8 N estira un resorte de su longitud natural de 4 m a una longitud adicional de 50 cm. x = 2 Solución: V = 128p/7 Solución: V = ½ p2 Solución: V = 48p y= sen x x = 0. Recuerda que en caso de tener dudas o muchas dificultades. conviene regresar sobre el texto y consultar a tu Asesor. a) Determina el volumen del sólido generado. 2 y 3 kg respectivamente Solución: (2.1) y C(3. la tasa de la velocidad de reacción con frecuencia es proporcional a la cantidad de reactivos presente en un instante dado. podemos preveer que de acuerdo a lo anterior. Tal es el caso de algunas decisiones financieras que toman los economistas cuando se trata de colocar una cierta cantidad de dinero para poder obtener un capital futuro.P sicología. de la cantidad de población existente en una época determinada. la aptitud se incrementa rápidamente al principio y después disminuye. se estudian con frecuencia fenómenos que implican crecimiento y decrecimiento. sobre el entrenamiento del personal. bajo ciertas circunstancias. Concretamente. son fenómenos en los cuales la tasa de variación de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad presente en un instante dado. por ejemplo cuando se estudia a un elemento radioactivo como el radio. En el tiempo presente. Un ejemplo se da en la biología cuando. También se aplica el cálculo en el campo de la Física cuando se emplea la ley del enfriamiento de Newton. Esto sucede. el desarrollo de los fenómenos citados y de muchos otros que presentan tanto el crecimiento o el decrecimiento exponencial. debido a que la experiencia adicional tiene poco efecto sobre la habilidad con la cual se efectúa la tarea. la tasa de crecimiento de una comunidad dependerá. tal situación se describe por medio de una curva de aprendizaje que al ser evaluada a través de la integración. Economía y Sociología. El cálculo integral nos ayuda a determinar de manera particularmente precisa. de acuerdo a las circunstancias. la cual establece que la tasa a la cual un cuerpo cambia de temperatura es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente.QUIERO SABER MÁS En muchos campos del conocimiento se emplean modelos matemáticos que implican ecuaciones diferenciales que contienen potencias de e. En una reacción química. En la Psicología industrial el cálculo se aplica al estudiar la aptitud con la que una persona realiza una tarea. cuando el aumento de la población preocupa alarmantemente a los sociólogos y a los organismos que estudian este fenómeno. Los químicos saben bien que la tasa de desintegración del mencionado elemento depende de la cantidad presente en un momento determinado. es decir. por ejemplo. Biología. la tasa de crecimiento de un cultivo de bacterias es proporcional a la cantidad de bacterias existente en cualquier momento específico. 57 . Química. proporciona el análisis requerido y ayuda a la toma de decisiones al respecto. en la Física. Esto se aplica. Conforme la experiencia de la persona aumenta. En los campos mencionados. Administración. 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