Cálculo integral para ingeniería Cálculo integral para ingeniería Rubén Darío Santiago Acosta Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Carlos Daniel Prado Pérez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México José Luis Gómez Muñoz Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Ma. de Lourdes Quezada Batalla Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Leopoldo Zúñiga Silva Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus San Luis Potosí Javier Pulido Cejudo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Santa Fe Lázaro Barajas de la Torre Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Vicerrectoría de la Zona Centro Omar Olmos López Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Revisión técnica Fernando Vallejo Aguirre Instituto Politécnico Nacional Unidad Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Manuel González Sarabia Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Datos de catalogación bibliográfica SANTIAGO, PRADO, GÓMEZ, QUEZADA, ZÚÑIGA, PULIDO, BARAJAS, OLMOS Cálculo integral para ingeniería PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-0990-2 Área: Universitarios Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 544 Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de producción: Rubén Fuerte Rivera e-mail:
[email protected] Felipe Hernández Carrasco Gustavo Rivas Romero PRIMERA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-0990-9 ISBN 13: 978-970-26-0990-2 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08 Contenido Unidad 1 Diferencial e integral definida 1.1 El concepto de diferencial Sección 1.1.1 La diferencial de una función Sección 1.1.2 Modelos basados en la diferencial y análisis de errores 1.2 La integral definida Sección 1.2.1 La notación suma Sección 1.2.2 El promedio de una función Sección 1.2.3 Áreas bajo curvas Sección 1.2.4 La integral definida y sus propiedades 1.3 El teorema fundamental del cálculo Sección 1.3.1 El teorema del valor medio para integrales Sección 1.3.2 La búsqueda del teorema fundamental del cálculo Sección 1.3.3 Teorema fundamental del cálculo (segunda parte) Unidad 2 Métodos de integración 2.1 Método de sustitución y ecuaciones diferenciales Sección 2.1.1 Método de sustitución Sección 2.1.2 Ecuaciones diferenciales 2.2 Integración por partes Sección 2.2.1 Integración por partes 1 1 4 10 23 25 28 32 37 52 54 57 62 73 73 75 84 97 98 vi Contenido 2.3 Integrales de potencias trigonométricas Sección 2.3.1 Integrales que incluyen potencias de seno y coseno Sección 2.3.2 Integrales que incluyen potencias de tangente y secante Sección 2.3.3 Integrales de productos de senos y cosenos con diferente argumento Sección 2.3.4 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas 2.4 Método de sustitución trigonométrica Sección 2.4.1 Sustitución trigonométrica 2.5 Integración por fracciones parciales Sección 2.5.1 El método de fracciones parciales Sección 2.5.2 Ecuación logística Sección 2.5.3 Métodos de Hermite y Heaviside 2.6 Sustituciones diversas Sección 2.6.1 Método de sustitución del ángulo medio Sección 2.6.2 Racionalización de funciones irracionales Sección 2.6.3 Integrales binomias Sección 2.6.4 Sustitución de Euler Sección 2.6.5 Método alemán de reducción 2.7 Integración numérica Sección 2.7.1 Método del trapecio Sección 2.7.2 Método de Simpson Sección 2.7.3 Método de cuadraturas de Gauss Unidad 3 Aplicaciones de la integral 3.1 Área entre curvas Sección 3.1.1 Áreas entre curvas 3.2 Volúmenes Sección 3.2.1 Sección 3.2.2 Sección 3.2.3 Sección 3.2.4 117 118 124 129 131 142 143 159 160 171 175 193 195 200 202 205 207 222 223 228 234 249 249 250 266 268 280 283 286 300 301 306 310 313 322 325 Sólidos de revolución Método de cáscaras cilíndricas Elección entre arandelas y cáscaras cilíndricas Volúmenes de sólidos con área transversal conocida 3.3 Aplicaciones de la integral Sección 3.3.1 Longitud de arco Sección 3.3.2 Área superficial de sólidos de revolución Sección 3.3.3 Densidad de masa Sección 3.3.4 Centro de masa y momentos de inercia Sección 3.3.5 Trabajo Sección 3.3.6 Fuerza y presión Contenido vii Unidad 4 Formas indeterminadas e integral impropia 4.1 Formas indeterminadas Sección 4.1.1 Formas indeterminadas y la regla de L’Ho ˆ pital Sección 4.1.2 La regla de L’Ho ˆ pital 4.2 Integrales impropias Sección 4.2.1 Integrales impropias Unidad 5 Sucesiones y series 5.1 Sucesiones Sección 5.1.1 El concepto de sucesión Sección 5.1.2 Convergencia y divergencia de sucesiones 5.2 Primeras series Sección 5.2.1 El concepto de serie 5.3 Criterios de convergencia Sección 5.3.1 Series de términos positivos Sección 5.3.2 Series de términos positivos y negativos Sección 5.3.3 Aceleración de la convergencia Unidad 6 Series de potencias 6.1 Polinomios y series de Taylor Sección 6.1.1 Polinomios de Taylor Sección 6.1.2 Serie de Taylor 6.2 Series de potencias Sección 6.2.1 Series de potencias Sección 6.2.2 Operaciones con series de potencias Sección 6.2.3 Derivación e integración de series de potencias 343 343 346 348 365 366 389 389 391 394 414 416 444 445 450 455 479 479 481 486 501 502 505 511 permitiéndote ser aún más ágil en la resolución de problemas prácticos. el cálculo y sus aplicaciones. El libro cuenta además. El uso de actividades que fomentan el aprendizaje colaborativo. con un CD basado en prácticas de exploración computacional de conceptos matemáticos. numérico. Pedro Luis Grasa Soler Director General Tecnológico de Monterrey. de investigación y de herramientas útiles para el aprendizaje de nuestros estudiantes. y refleja los años de experiencia del cuerpo docente que le ha dado vida.Presentación Para el Tecnológico de Monterrey es un orgullo contar con equipos docentes capacitados en el desarrollo y la creación de conocimiento. la aplicación de problemas al contexto de nuestra cotidianeidad. y el trabajo invertido por parte de sus autores. la vocación a la enseñanza y el impulso al desarrollo educativo de nuestra comunidad. Por ello. “Cálculo integral para ingeniería”. la utilización de un gran número de ejercicios con su respectiva solución y la base de un modelo educativo capaz de explotar el aprendizaje simbólico. Campus Estado de México . al ser una publicación funcional que te guiará a través de la aprehensión. te invito a que disfrutes de esta publicación y aproveches al máximo la investigación. que te servirá de apoyo al agudizar tu capacidad de análisis mediante ejercicios interactivos. gráfico y verbal. teniendo como principal incentivo. Dr. es un ejemplo de ello. en esta herramienta que resultará funcional para ti. a comprender de manera práctica y didáctica. Además de complementar tu aprendizaje a través del semestre. “Cálculo integral para ingeniería” te servirá de consulta aún después de haber adquirido los conocimientos que alberga. en la medida en que te tomes el tiempo y la paciencia necesarias para cultivar tu aprendizaje. “Cálculo integral para ingeniería” está elaborado con estricto apego al programa vigente de la materia impartida en nuestro sistema. hacen de este libro un excelente refuerzo para tu incursión al mundo del cálculo. . la integral de una función.). Este método consiste en inscribir y/o circunscribir figuras poligonales. El tema primordial que desarrollaremos.Prólogo Los científicos necesitamos especialmente la imaginación. El primer matemático en estudiarla fue el griego Arquímedes de Siracusa (287-212 a. En este segundo tomo presentamos las ideas básicas del cálculo integral y la teoría de aproximación basada en el concepto de serie de potencias.C. En el primer libro presentamos las ideas básicas del cálculo diferencial y discutimos diversas aplicaciones en todas las áreas del conocimiento. con área simple de calcular. Necesitamos algo de estética y poesía. de tal forma que . quien inventó el método de exhaución para encontrar el área de figuras planas. tiene una historia que empezó en la antigua Grecia. en una región plana compleja.) Riemann (1826-1866) Cauchy (1789-1857) Lagrange (1736-1813) El texto que tienes en tus manos es el segundo tomo de una obra dedicada al estudio de los conceptos fundamentales del cálculo de una variable real. María Casares Arquímedes (287-212 a.C. No bastan las matemáticas ni la lógica. pero lograron concluir que los procesos de derivación e integración son. el concepto de integral y determinó las condiciones en las cuales las sumas de Riemann tienden hacia un límite finito: hecho decisivo que llevó al cálculo integral a la cúspide del saber matemático de la época. y las dos últimas. Fue necesario esperar hasta el siglo XVII. Hay que decir que sus métodos eran un tanto confusos (desconocían el concepto formal de límite). Jacobo Bernoulli (1654-1705) publicó en 1689 una demostración sobre la divergencia de la serie armónica. donde destacaban los que realizó el mismo Louis Cauchy y su colega francés Joseph Lagrange (1736-1813). Desde el principio enfocamos la diferencial como herramienta para el cálculo de errores y como representación “atómica” de un todo. Para ello dividimos la obra en seis unidades. Aquí examinamos las técnicas básicas de integración incorporando algunos métodos no tan rutinarios. Por ejemplo. que sirven como complemento .xii Prólogo al aumentar el número de figuras poligonales. En el texto proporcionamos elementos suficientes para comprender qué es lo que está detrás de este concepto. aparecidas en 1821. inversos entre sí. cuando los genios de Newton y Leibnitz. En la actualidad el concepto de serie de potencias encuentra su utilidad de manera natural al proporcionar aproximaciones de funciones donde otros métodos analíticos no pueden utilizarse. Esto a la vez provocó un desarrollo importante de las ideas del cálculo. en 1854. las porciones de la parábola u otras igualmente sencillas. Aproximadamente 150 años después. estableció los cimientos para desarrollar el cálculo con mayor rigor. Unidad 2. Con estos elementos. son verdaderas joyas del pensamiento matemático moderno y sirvieron de base para independizar el concepto de integral como proceso inverso de la derivada y. la falta de técnicas apropiadas hizo imposible extender el método a regiones que no fueran el círculo. Diferencial e integral definida. Ninguno de los dos tuvo la preocupación de dotar con rigor matemático sus deducciones. Dicha cuestión motivó una serie de trabajos interesantes. Este concepto también tiene un desarrollo histórico interesante y la contribución de matemáticos de gran renombre. al igual que en el texto anterior. su área se aproxime cada vez más al área de la región. en consecuencia. adquirir o readquirir la importancia que merece como concepto matemático relacionado con el límite de sumas y con el área bajo curvas. Métodos de integración. plantearon una metodología más adecuada para determinar el área de una región dada. así. las primeras cuatro están dedicadas a la integración. Sus obras Cours d’ Analyse y Analyse Algebrique. al concepto de serie. Brevemente te exponemos la descripción de cada unidad. El material se presenta de forma natural. El segundo tema fundamental que abordamos en el texto es el concepto de serie que. Sin embargo. los matemáticos se plantean la pregunta de si es posible representar cualquier función de variable real como una serie de potencias. el célebre matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866) precisó. básicamente. en tanto que Leibnitz se conformaba con la lógica fina de sus deducciones y el uso de su exitosa simbología. en cierto sentido. y establecemos el teorema fundamental del cálculo que relaciona los conceptos de integral definida y derivación. es una extensión matemática para entender la suma de un número infinito de términos a partir de la suma de un número finito. Por otro lado. no demasiado formal. haciendo énfasis en su utilidad para la solución de problemas. Baste decir que Newton sólo corroboraba experimentalmente sus resultados. Posteriormente definimos el concepto de integral definida. Unidad 1. los diferentes temas que abordamos se presentan de forma precisa. A finales del siglo XVIII. el matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) formuló claramente el concepto de límite y. y a utilizar el texto y su CD de apoyo. Aplicaciones de la integral. nos apoyamos en enfoques de tipos numérico y gráfico para establecer el resultado matemático discutido. a) La teoría se presenta con un buen nivel de generalización y precisión. con lo cual te brindamos la posibilidad de calcular. al menos de esta forma. un listado amplio de ejercicios propuestos (todos con su respuesta) y una sección de autoevaluación que te ayudará a valorar los progresos alcanzados durante tu estudio. teoremas y métodos del cálculo integral. Series de potencias. Unidad 6. Por esta razón no es extraño que dediquemos un capítulo a discutir acerca de dos procesos al infinito fundamentales: las formas indeterminadas y las integrales impropias. valorar la importancia de las series en una infinidad de aplicaciones. Los procesos al infinito se presentan con muchísima frecuencia en las aplicaciones de la matemática. c) Cada unidad contiene un buen número de ejemplos completamente resueltos. al igual que el anterior. buscando en todo momento su conexión con la práctica y utilidad del conocimiento discutido. Dedicamos también una sección para presentar aplicaciones diversas en geometría y física. en la teoría de la probabilidad aparece regularmente el concepto de integral impropia. al mismo tiempo. Nuestro interés es mostrarte el enorme potencial de la integración de funciones. se distingue por las siguientes particularidades. ya que en nuestra opinión no hay aprendizaje en matemáticas sin la práctica y el involucramiento del estudiante. Unidad 4.Prólogo xiii ideal de la unidad. Esta unidad complementa lo que estudiamos en el tomo dedicado al cálculo diferencial. un amplio espectro de integrales. Unidad 3. a resolver los problemas propuestos. Esta unidad trata la suma de un número infinito de términos. presentamos algunos métodos de integración numérica. actividades de aprendizaje del uso de paquetes como Excel y Mathematica. lo cual permitirá desarrollar tus habilidades matemáticas de forma planeada y organizada. Sabemos que este tema puede resultar sumamente abstracto cuando se estudia por primera vez. te invitamos a practicar con lápiz y papel. LOS AUTORES . Unidad 5. Por tal razón. Aquí analizamos las aplicaciones habituales del cálculo integral (cálculo de áreas y volúmenes). b) Se incorporan problemas originales y actuales que darán sentido a los conceptos y teoremas que te presentamos. d) El texto cuenta con un CD de apoyo el cual contiene prácticas de exploración computacional de conceptos matemáticos. así como tareas individualizadas. ejercicios de autovaloración. El último tema del libro se dedica a los conceptos relacionados con la serie de potencias. Formas indeterminadas e integral impropia. En conclusión. Para adquirir la suficiente habilidad. Nuestra experiencia nos dice que esto facilitará tu tarea de aprendizaje y te permitirá. tanto en lo operativo como en los procesos de pensamiento relacionados. Conscientes de las limitaciones de estos métodos. Este libro. Por ejemplo. Sucesiones y series. reconocemos que no hay rama de la ciencia o de la ingeniería donde no sea indispensable conocer y aplicar los conceptos. Muchos de estos problemas requieren del trabajo en grupos pequeños y del uso de tecnología. . 380.1 El concepto de diferencial Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. que se encuentra ubicado al norponiente de la Ciudad de México.3 El teorema fundamental del cálculo 1.Unidad Diferencial e integral definida Contenido de la unidad 1. Inesperadamente. un día de febrero de 2004 aparecieron centenares de peces muertos en sus riberas. además de que recibe 2.2 La integral definida 1. Galileo Galilei Tragedia ecológica El Lago de Guadalupe es un espejo de agua de 340 hectáreas.000 millones de metros cúbicos de lluvia.5 metros. Sus aguas se utilizan principalmente para riego y provienen de diferentes afluentes que descargan cerca de 15 millones de metros cúbicos anuales. con una altura promedio de 18.1 El concepto de diferencial 1. En mayo se recogieron muchísimos más. y para diciem- . en número de colonias por 100 mililitros. se formó la Comisión de la Cuenca de los Afluentes de la Presa Guadalupe. COLI 203 199 254 251 260 251 190 400 315 258. imágenes de la crisis de 2004. falta de infraestructura para la recolección de residuos sólidos. COLI 40 54 61 45 42 40 36 60 45 47 90 18 110 87 117 15 31 320 120 100. Para combatir la alta contaminación del lago. y la E. COLI) del Lago de Guadalupe en dos momentos diferentes. Así.400 460 629.2 Unidad 1: Diferencial e integral definida bre se estimaba que esta crisis había provocado la muerte de miles de aves y que produjo cerca de 30 toneladas de peces muertos. deforestación y poco respeto por la naturaleza. descarga de aguas residuales sin tratamiento. cuyos resultados se muestran en la tabla 1.11 196 21 210 147 162 17 49 4. a finales de 2004 se inició el monitoreo de los parámetros físico-químicos y biológicos del lago con nueve estaciones de monitoreo. particularmente los hídricos. Tabla 1. ¿Por qué ocurrió esa tragedia ecológica en 2004? Las razones son de diversa índole: crecimiento desordenado de los asentamientos urbanos alrededor del lago.88 . COLI.1: Datos de la contaminación por demanda bioquímica de oxígeno (DBO5) y Escherichia coli (E. con la intención de que coordinara los trabajos y las acciones necesarias para revertir la problemática de deterioro de los recursos naturales.11 Diciembre de 2005 DBO5 E. FIGURA 1. La DBO se mide en miligramos por litro. Estación de monitoreo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Promedio Diciembre de 2004 DBOs E.1: Lago de Guadalupe.1. Podemos decir. Este oxígeno lo obtienen las bacterias del que está disuelto en el agua. Sin embargo. su presencia en aguas residuales indica contaminación por heces fecales humanas y representa un problema de salud pública. es necesario reducir la DBO.1: El concepto de diferencial 3 En 2005 se colocaron cientos de recolectores marginales de drenaje. que corresponden a la medición de diciembre de ese año. Tu primera hipótesis sería que un trastorno ligero en la temperatura debería provocar un pequeño cambio en la longitud de la varilla. los ecólogos que analizan problemas de contaminación —como el presentado al inicio de esta sección— observan el efecto de una pequeña cantidad de contaminante en la vida del ecosistema y elaboran modelos que consideran los efectos acumulados producidos por grandes cantidades de contaminantes.1. uno de los que tiene mayor diversidad de aplicaciones. La E. Estas tres diferentes problemáticas (modelación de fenómenos físicos y de ingeniería. acumulación de efectos o integración. En otras ocasiones. Por lo tanto. lo cual redujo significativamente la entrada de contaminantes al lago. con base en ello se construye el modelo de dilatación lineal que se estudia en los cursos básicos de física. Introducción El concepto de diferencial es uno de los más importantes del cálculo y.COLI es una bacteria que forma parte de nuestra flora intestinal. ya que sus instrumentos de medición no son exactos. tanto en la formulación de modelos como en el análisis de errores. para analizar y acotar los errores propagados en sus modelos. grosso modo. por ejemplo.1. y análisis de errores basada en la linealización de funciones) evidencian la utilidad de la diferencial. que su utilidad radica en que una pequeña parte representativa contiene la información de un todo. un aumento de ella en la población de nuestro organismo produce graves problemas gastrointestinales. por ejemplo. Supón que el volumen del lago no cambia y que se mantienen los resultados de finales de 2005. sin lugar a dudas. Por tal razón. como se muestra en las columnas 4 y 5 de la tabla 1. de manera que . Los ingenieros también usan la diferencial. ¿Cuántos años habrá que esperar para que se reduzcan las concentraciones de contaminantes a los niveles adecuados establecidos por las normas ambientales? Observaciones: La DBO se define como la cantidad de oxígeno que requieren los microorganismos presentes en las aguas residuales para oxidar toda la materia orgánica contenida. Imagina. Las normas nacionales establecen que la demanda bioquímica de oxígeno (DBO) y el número de bacterias coliformes (COLI) no deben ser mayores a 75 miligramos por litro ni a 200 en el número de colonias por cada 100 mililitros. La idea general que subyace detrás es que el todo se forma por la unión de sus partes. a un físico interesado en saber cómo cambia la longitud de una varilla de acero. respectivamente. para mantener el oxígeno disuelto en el agua de los lagos arriba de 5 miligramos por litro. y que puede disminuir su concentración y poner en peligro la vida de las especies acuáticas. al modificar la temperatura del medio ambiente. como si se tratara de un pequeño segmento de línea recta. siempre que éste exista. Definición 1. • Utilizar la diferencial en el planteamiento de modelos de la geometría y de la física. pasando de x0 a x0 + ∆x. estas transformaciones se definen como sigue. al menos localmente.1: Incremento de una función El incremento de una función ∆f es el cambio que sufre ésta cuando la variable independiente cambia una cantidad ∆x. • Estimar errores empleando la diferencial. entonces la función cambia en una cantidad f (x0 + ∆x) − f (x0). recuerda que la derivada de una función y = f (x) en el punto x0 se define mediante el siguiente límite. deberás ser capaz de: • Comprender el concepto de diferencial de una función. En esta sección analizaremos el concepto de diferencial y lo aplicaremos. En resumen. para ver cada función.4 Unidad 1: Diferencial e integral definida una propiedad global podría calcularse obteniendo cada una de las contribuciones de los pedazos que lo forman (véase el ejemplo resuelto 7).1) .2 se muestran tanto la gráfica de la función como la de su recta tangente. Reservaremos su uso en integración para cuando estudiemos el teorema fundamental del cálculo. Sección 1. es decir. Observa que si la variable independiente cambia en una cantidad ∆x.1 La diferencial de una función Para iniciar.1. f ' ( x0 ) = lím f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x ∆ x →0 Ten presente también que si la función es derivable en x0 entonces la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (x0. mientras que la modificación en la ordenada de la recta tangente es y − f ( x0 ) = f '( x0 )∆x . al análisis de errores y a la modelación. y está dado por: ∆f = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) (1. Un aspecto que no debes pasar por alto es que la diferencial sirve para linealizar funciones. f (x0)) está dada por: y = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) En la figura 1. sobre todo. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. Relacionado con este resultado. entonces f ( x ) − ( f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 )) < ε . b) y x0 un punto en el intervalo. cuanto menor sea ∆ x. b).1: El concepto de diferencial 5 Definición 1.1 que es consecuencia directa de la definición de la derivada en x = x0.2) y f (x0 + ∆ x) f (x0) df f (x0) x0 ∆ x = dx x ∆ f (x0) FIGURA 1. b) y ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 ≤ x − x0 < δ . ∆f ( x0 ) ≈ f '( x0 )dx = df ( x0 ) Es decir.2: Interpretación geométrica de la diferencial.2: Diferencial de una función Sean y = f ( x ) una función derivable en el intervalo (a.1 Sea f una función diferenciable en (a.2. (1. Para x0 en (a. como se ve en la figura 1. Para una función derivable en x = x0. A la función g(h ) = f '( x0 ) h se le llama la diferencial de f en el punto x0 y se denota por df ( x0 ). se tiene el teorema 1. Observa que si identificamos h = ∆x = dx podemos escribir la diferencial como: df = f '( x0 )dx (1.3) Por otro lado. la aproximación ∆f (x0) = df (x0) será mejor. el incremento se puede aproximar con la diferencial.1. ∆x dx Teorema 1. ∆ f ( x0 ) ∆ f ( x0 ) = . de acuerdo con las definiciones de derivada y del incremento de una función tenemos: f '( x0 ) ≈ de donde. b) La diferencial de una función depende de dos características: el punto x0 donde se esté haciendo el cálculo y el valor de dx.1.4) A continuación. y más aún. cerca de x0. de la definición de diferencial. Interpreta los resultados obtenidos.731 y df ( 3) = 4. De forma simple. el teorema expresa simplemente que podemos aproximar muy bien la función original. exponemos algunas observaciones que no debes olvidar. como f '( x ) = 3x 2 + 8 x − 5 se tiene.1 en las dos expresiones anteriores. incremento y diferencial.0001. Observaciones: a) El incremento ∆ x y la diferencial dx de la variable independiente son iguales. 0. se obtiene que: ∆f ( 3) = 4.6 Unidad 1: Diferencial e integral definida El teorema indica que la diferencial estará tan cerca como queramos del incremento (menor que una distancia ε) con sólo pedir que la diferencia entre x y x0 sea pequeña (menor que d ). es decir.001.01. para valores cercanos a x0 se tiene que: Aproximación lineal f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) (1. con una función lineal si nos limitamos lo suficiente en el dominio de la función.1 3 2 Dada la función f ( x ) = x + 4 x − 5 x + 6 calcula ∆ f y df si ∆x = 0. 0. ∆ f ( 3) = (∆x )3 + 13(∆x )2 + 46 ∆x Por otro lado. 0. c) Para un punto x0 fijo.6 . Ejemplos Ejemplo 1. que: df ( 3) = f '( 3) dx = 46 dx Sustituyendo ∆x = 0. la diferencial dy = f '(x0)dx es una función lineal en las variables dx y dy. solución De la definición de incremento de una función tenemos: ∆ f ( 3) = f ( 3 + ∆ x ) − f ( 3) 3 2 = ( 3 + ∆x ) + 4 ( 3 + ∆x ) − 5 ( 3 + ∆x ) + 6 − 54 Desarrollando. gráficamente es una recta que pasa por el origen cuya pendiente es f '(x0). 2: Incrementos y diferenciales.6 0.001301 0.1. de la definición de diferencial resulta df ( x ) = f '( x )dx = 4 xd x. Observa que la función es derivable en x = 3 y que entre más cercano esté ∆ x a cero.2 se presentan los incrementos de la variable independiente.0046 ∆f(3) − d f (3) 0.461301 0.00000013 Ejemplo 1. Tabla 1. d f (3) será una mejor aproximación de ∆ f (3) en la medida en la que ∆ x esté más cercana a cero. luego: ∆ f ( x ) − d f ( x ) 4 x ∆x + 2 ( ∆x ) − 4 x dx = 2∆ x .461301 y df (3) = 0. En efecto.01 0. ∆x→0 lím ∆f ( x0 ) − df ( x0 ) ∆f ( x0 ) f '( x0 )∆x = lím − ∆x ∆ x → 0 ∆x ∆x ∆f ( x0 ) = lím − f '( x0 ) ∆x→0 ∆x ∆f ( x0 ) = lím − f '( x0 ) = 0 ∆x→0 ∆x .00460013 d f (3) 4.731 0.2 2 Dada la función f ( x ) = 2 x .1: El concepto de diferencial 7 Para el caso ∆ x = 0. En consecuencia. más próxima a cero estará la diferencia ∆ f (3) − d f (3). En general. Usamos en la simplificación anterior que dx = ∆ x.000013 0. En la quinta.046 0. x0 3 3 3 3 ∆x 0.131 0.046013 0.0001 ∆f(3) 4. en la tercera y cuarta. el resultado es válido para funciones derivables en x0. los valores de ∆ f (3) y de d f (3). ∆x solución De la definición de incremento tenemos: ∆ f ( x ) = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = 2 ( x + ∆x ) − 2 x 2 2 = 2 x 2 + 2 x ∆x + ( ∆x ) − 2 x 2 2 = 4 x ∆x + 2 ( ∆x ) ( 2 ) Por otro lado.46 0.46 En la segunda columna de la tabla 1. la diferencia entre estas dos cantidades. demuestra que ∆ f (x) − d f (x) → 0 cuando ∆ x → 0 .01 resulta: ∆f (3) = 0.001 0. = ∆x ∆x 2 Que tiende a cero cuando ∆ x tiende a cero.1 0. Si realizas el cálculo con calculadora. . En la actualidad. considera que la función es f ( x ) = x .5 − 49 = −0. que el punto de referencia es x0 = 49 y que ∆ x = 48. podrás 48.3: Aspecto de la linealización de la función y = x en x0 = 49 .5 ).5 ≈ 6.3 Usa diferenciales para estimar el valor de 48. Para este caso. también es representativo del poder de aproximación de la diferencial.0357143 = 6. En la figura 1.5 − 49 ≈ De aquí resulta que comprobar que 1 (−0.96429 .5.5 .8 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplo 1. sin embargo. obtenemos que: 2 x f ( 48.96419 y que nuestro resultado es una buena aproximación.5 ≈ 7 − 0. 48.0357143 14 1 (−0.3 hemos superpuesto tanto la gráfica de la función f ( x ) = x como la gráfica de su recta tangente 1 y = f ( 49 ) + f '( 49 )( x − 49 ) = 7 + ( x − 49 ) en el punto (49.5 ) − f ( 49 ) ≈ es decir. Observa que ambas gráficas son muy 14 parecidas en la cercanía de x0 = 49. solución Para resolver este tipo de ejercicios necesitamos una función y un valor de referencia donde resulte sencillo el cálculo de la función y tan cercano como se pueda del valor que queremos obtener. 7). este ejemplo resulta en cierta medida obsoleto.5 ) = − 0. 2 49 48. Tenemos: ∆ f ( 49 ) = f ( 49 + ∆x ) − f ( 49 ) ≈ df ( 49 ) = f ' ( 49 )∆x Como f ' ( x ) = 1 . 10 8 6 4 2 y x 20 x0 = 49 80 FIGURA 1. 5 –1 – 1. y 1.4 es evidente la proximidad entre la función y su linealización en la cercanía de x0 = 0. En la figura 1.1. Una vez más se aprecia la cercanía entre 40 ambas aproximaciones. 40 solución Una de las virtudes de la diferencial es que nos permite linealizar a la función en x0.4 Aproxima el valor de f (x) = sen(x) en π .0785398 sen ≈ 40 40 π Con una calculadora.1: El concepto de diferencial 9 Ejemplo 1. π π Así. Esto puede utilizarse de la siguiente manera: un determinado cálculo con una función (diferenciable en x0) y = f (x) se sustituye por el cálculo que corresponde a la linealización de la función g(h) (véase nuevamente la definición 1. obtenemos que sen ≈ 0. sen (h ) ≈ h π g . determinaremos 40 40 g(h ) = sen '(0 )h = cos(0 ) h = h . Dado que 40 .4: Aspecto de la linealización de la función en y = sen(x) en x0 = 0. resulta que para h suficientemente pequeño.5 1 0.5 2 4 6 FIGURA 1.5 x –6 –4 –2 – 0.1) en x0. resulta que π π = 0.0784591. en vez de calcular f = sen (que quizá sea difícil). ∆ f (0 ) = sen(h ) − sen(0 ) ≈ g(h ) = h De aquí: Así. el cual se calcula dividiendo el error absoluto entre el volumen. Muchas veces interesa conocer el error relativo respecto del volumen en x0. que mides uno de sus lados y obtienes un valor x0 con un error dx en la medición. al que llamaremos error absoluto. Exacto Valor de la función en x Error o cambio absoluto Error o cambio relativo Error o cambio porcentual f (x) Estimado L (x) = f (x0) + f '(x0)(x − x0) ∆ f (x0) = f (x0 + ∆ x) − f (x0) ∆ f ( x0 ) f ( x0 ) ∆ f ( x0 ) f ( x0 ) × 100 d f ( x0 ) = f ' ( x0 ) dx df f ( x0 ) df f ( x0 ) × 100 Los siguientes tres ejemplos ilustrarán la utilidad de la diferencial y su uso en el cálculo de errores. hemos dicho que las diferenciales son útiles en el análisis de errores.1. nos interesa conocer el error porcentual. En otras ocasiones. El coeficiente α se conoce como coeficiente de dilatación lineal y depende del material considerado. Para fijar ideas. supón que deseas determinar el volumen encerrado en una caja cúbica. Tanto el relativo como el porcentual pueden ser aproximados utilizando diferenciales. para ello. En la tabla 1. Por otra parte.3 se muestran las expresiones exactas y aproximadas para el cálculo de errores. este error se puede aproximar por la diferencial de volumen dV.3: Errores o cambios relativos y absolutos. La diferencia ∆V = V ( x0 + dx ) − V ( x0 ) representa el error máximo que se puede obtener en la medición del volumen del cubo. Como sabemos. Por ejemplo.2 Modelos basados en la diferencial y análisis de errores El concepto de diferencial es útil para construir modelos físicos porque permite relacionar linealmente las variables de los fenómenos a estudiar. el modelo de dilatación lineal de sólidos dL = α L0 dT nos indica que a cambios pequeños de temperatura dT corresponden pequeños cambios dL en la longitud inicial L0 de un sólido.10 Unidad 1: Diferencial e integral definida Sección 1. Tabla 1. basta multiplicar por 100% el error relativo. . La altura del cilindro es de 25 metros (altura que aquí consideraremos exacta). Calcula el volumen del silo a partir de tales medidas y usa diferenciales para estimar el error máximo cometido en el cálculo del volumen.5: Pequeños errores en la medición de dimensiones grandes tienen efectos importantes en el cálculo de errores. con un error máximo en la medición de 15 centímetros.15.1. Determina también los errores absoluto y porcentual. con las dimensiones proporcionadas. el valor Pexac satisface Pmed − 0.1: El concepto de diferencial 11 Ejemplos Ejemplo 1. solución Denotemos con P la circunferencia de la base. V = V (r ) = 25 π r 2 + 2π 3 r 3 . ∆ P = Pexac − Pmed representa el “error exacto” de tal medición. lo que sabemos es que ∆ P ≤ 0. Tenemos. se obtiene sumando el volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera. El problema radica.15 r 25m FIGURA 1. en tanto que la circunferencia de la base mide 10 metros.5 Un silo (observa la figura 1.5) tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por una semiesfera. De acuerdo con la información de este ejercicio. dicho de otra manera. en que es imposible obtener este “error exacto”. Entonces. entonces. El volumen del silo. precisamente.15 ≤ Pexac ≤ Pmed + 0. ocurren ηP(t)∆t nacimientos y µP(t)∆t muertes. el error relativo es más representativo. este error depende de la magnitud de las dimensiones que se midieron.387 V = 25π + π 3 π 3π 2 Para estimar el error cometido en el cálculo anterior necesitamos encontrar ∆V (r ) . concluimos que: 2 5 5 5 5 ∆V ≈ dV = 50 π + 2 π dr π π π π 50 ≤ 250 + dr π 2 3 ( ) 50 0.12 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ahora.06%. así. el cambio en P(t) está dado aproximadamente por: ∆ P (t 0 ) ≈ (η − µ ) P (t 0 )∆ t De aquí. Encuentra una expresión para el cambio en la población P(t) y determina dP(t0). Ejemplo 1. luego 2π ∆V (r ) ≈ dV (r ) = 50 π r + 2 π r 2 dr De la desigualdad del triángulo para valores absolutos a + b ≤ a + b .6 Supón que P(t) es el número de individuos de una población (de humanos.348 = 0. .0306 207. respectivamente (en nacimientos y muertes por unidad de tiempo). hallamos que: 2π 5 1875π + 250 5 = ≈ 207. a partir de Pmed = 2 π rmed = 10 . insectos o bacterias) que tiene índices constantes de natalidad y mortandad η y µ. De ∆ P ≤ 0.348 m π 2π Aunque en apariencia es muy grande. Desde este punto de vista. concluimos que dP(t 0 ) = (η − µ )P (t 0 ) dt .15 ducimos que ∆ r ≤ .387 Es decir.15 3 ≤ 250 + = 6. concretamente 5 ∆V π 5 V π ≤ 6.15 de0. solución Durante un corto intervalo de tiempo ∆t. en el cálculo del volumen del silo se cometió un error (porcentual) de únicamente 3. volumen de la mezcla en el tiempo t V (t ) . Se tiene que la cantidad de soluto que fluye hacia el tanque durante ∆t segundos es ve ce ∆t Observa cómo la consideración de las dimensiones corrobora esta expresión. litros gramos ∆t segundos = ve ce ∆t gramos ve ce litro segundo ( ) Por otro lado. Si la solución del tanque se mantiene bien mezclada y fluye hacia fuera con una tasa de vs litros por segundo.1. (Supón que ∆t es pequeño. por ejemplo. ésta concentración es: cs (t ) = cantidad de soluto en el tiempo t x (t ) = . Lo que deseamos estimar es el cambio en la cantidad de soluto ∆x(t) durante el intervalo de tiempo [ t . En efecto.7 Imagina un tanque que contiene alguna solución (una mezcla de soluto y solvente).1: El concepto de diferencial 13 Ejemplo 1.) Entrada Salida FIGURA 1. solución Sea x(t) la cantidad de soluto que existe en la mezcla. Después infiere una expresión para dx(t). sal disuelta en agua. la cantidad de soluto que fluye hacia fuera del tanque durante el mismo intervalo de tiempo depende de la concentración cs(t) en el tanque al instante t. t + ∆ t ]. determina el cambio en la cantidad de soluto en la mezcla en el intervalo de tiempo [t.6: El cambio de soluto en una solución bien mezclada. t + ∆t]. Supón que hacia el tanque fluye una solución con una tasa constante de ve litros por segundo. la cual posee una concentración ce gramos de soluto por litro. 1 2x +1 0 c) y = x4 . Proporciona la definición de diferencial de la función f en el punto x0 ∈ (a. dy y dy − ∆y: a) y = 3x 2 + 5 x − 2 b) y = 1/x 4.1 x +1 0 c) y = x3 + x2 . x1 = 1. x = 1. a) y = x3 − 3x2 + 2x − 7. Para cada una de las siguientes funciones. x0 = 4. De esta manera. calcula dy.14 Unidad 1: Diferencial e integral definida donde V(t) denota el volumen (no constante. Determina la diferencial de las siguientes funciones: a) y = x 3 + 4 x 2 − 5 x + 2 b) y = 1 − x + x2 x3 + 4 f) y = g) y = h) y = x ln( x ) + ln(1 − x ) 1− x ex ex + 1 x cos(2 x ) x +1 c) y = (a2 − x2)5 d) y = 1 + x 2 1 3 e) y = tan ( x ) + tan( x ) 3 i) y = x arctan(x2) j) y = e3x cos(2x) 3. ∆ x ≈ gramos que ingresan − gramos que salen ≈ ve ce ∆ t − vs cs ∆ t x (t ) ≈ ve ce ∆ t − vs ∆t V (t ) x (t ) = ve ce − vs ∆t V (t ) De aquí concluimos que x (t ) dx (t ) = ve ce − vs ∆t V (t ) 1. x1 = 3. b). determina ∆y. a menos que ve = vs) de la solución al instante t. x = 3. Para cada uno de los siguientes incisos. usa este resultado para determinar una aproximación del incremento de y cuando x varía de x0 a x1. Después. 2.95 b) y = x . x1 = 3. b) La alteración en el periodo T si el péndulo se alarga 3 mm. 14. Emplea diferenciales para calcular un valor aproximado de: a) tan(46°) Recuerda que 1° = b) cos(62°) c) 627 d) 3 62 e) ln(1. b) xsen(xy) + y2 = −0. si el radio es r. A partir de la información y0 = f (x0) que se le proporciona. la altura es l y el espesor es e. 180 7. Al medir un alambre de longitud dada se encuentra un error porcentual del 2% en la medida de su diámetro. 6. Determina: a) La longitud de un péndulo que oscila una vez por segundo. El periodo. Usa diferenciales para hallar un valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200 mm de diámetro exterior y 1 mm de espesor. así como los correspondientes errores porcentuales.4). T está dado segundos y g = 9. al calcular el área del círculo con tales valores. 8. a) xy3 + x2 y − y2 = −10. utiliza diferenciales para aproximar el valor solicitado. Determina una fórmula aproximada que proporcione el volumen de una cáscara cilíndrica delgada con los extremos abiertos (sin tapa y fondo). supón que la ecuación dada define implícitamente una función del tipo y = f (x). f (−1) = 2. 9. está dado por la fórmula T (l ) = π2l g donde l es la longitud del péndulo y se mide en metros. f (2) = −1. con la finalidad de que el volumen de la caja tenga un error máximo de 3 cm3? 11.1.818595. c) xexy + y2 = 4. cuya altura siempre es igual al radio de su base.1: El concepto de diferencial 15 5.5) π radianes . calcula aproximadamente f (−0. se obtuvo 3 m con un error máximo de 0. Supón que la longitud no tiene error en su medida. La resistencia eléctrica de un alambre es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro. Encuentra el error porcentual en el valor calculado de la resistencia. En cada uno de los siguientes incisos. con un error máximo de 0.3). ¿Con qué exactitud debe construirse la arista interior de este cubo. Encuentra un valor aproximado del error máximo que se cometerá.8 m/s2. 10. calcula el incremento en el radio cuando éste mide 10 cm. Determina también los errores relativo y porcentual correspondientes. f (0) = 2. . calcula aproximadamente f (−0. Se midió el diámetro de una circunferencia y se encontró que tenía 5.01 m.05 cm.97). determina aproximadamente f (2. Se quiere realizar una caja cúbica de 1 dm3 de capacidad. Si el volumen del montículo aumenta 2 cm3 usando diferenciales. Determina los errores máximos cometidos al calcular el área de la superficie (S) y el volumen (V).2 cm. tiempo necesario para que un péndulo oscile una vez. Al medir el radio de una esfera. c) ¿Cuánto se adelantaría o retrasaría con esta alteración un reloj en un día? 13. 12. La arena que se escapa de un recipiente forma un montículo en forma de cono. ¿cuál será la expresión de la diferencial de área? 3a 4 a da FIGURA 1. por cada grado de aumento de calor. éste es un resultado exacto. calculando la diferencia de áreas de las elipses de la figura 1. Calcula ∆ A (ahora de manera aproximada) como el área 4 de la franja indicada.1% por grado de elevación de la temperatura. Usa diferenciales para estimar el incremento que se requiere en el radio para que la fuerza aumente un 10% cuando r = 20 cm.7. Demuestra que el error relativo en el cálculo del volumen de una esfera es tres veces el error relativo del radio. . b) Corta la franja alrededor de la elipse y forma con ella una tira de ancho da y longitud igual al 3a perímetro de la elipse de semiejes a y . las aguas se desplazan. NOTA: Para el cálculo del perímetro de la elipse de semiejes mayor x y menor y puede utilizarse la fórmuy/ x π la P = 4 x . ¿Con cuánta exactitud debe medirse el diámetro de una circunferencia para que el cálculo del área resulte con un error menor del 1%? 17. donde G es la constante de gravitación universal y r es la r distancia entre las partículas. 18. Una isla tiene forma elíptica como la que se muestra en la figura 1.7. Determina el incremento porcentual de la superficie y del volumen del bloque. a) Determina el incremento de área ∆A. 16. Cuando un bloque cúbico de cierto metal se calienta. 19. 2 c) Según las consideraciones anteriores. provocando un incremento de los semiejes en una cantidad da. cada arista aumenta 0.16 Unidad 1: Diferencial e integral definida 15.7: El incremento de áreas entre las mareas alta y baja en una isla. La ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos partículas con m m masas m1 y m2 está dada por F = G 1 2 2 . Al bajar la marea. El fondo de un tanque para agua (vacío) de 10 m de radio está a 30 m sobre el suelo. a y ∆x. b) Determina una expresión para el diferencial de trabajo dW necesario para subir el elemento de agua. como se muestra en la figura 1. expresa la diferencial de volumen de cada parte en términos de x. considera que la densidad del agua es de 1 ton/m3.1. a) Calcula el diferencial de volumen de la sección sombreada dentro del tanque en términos de z y ∆z. 21. 10 m z ∆z 40 – z 40 m 30 m FIGURA 1. El prisma regular de la figura 1. Supón que dividimos este sólido en partes de espesor dx. desde el suelo. .9.8 tiene todos los lados de su base y la altura iguales a “a”.8: El diferencial de volumen es una parte representativa del volumen de un sólido. mostrado en la sección sombreada de la figura 1. un elemento de volumen de agua. desde el suelo hasta la altura h = 40 − z .9.1: El concepto de diferencial 17 20. a a dx x a a FIGURA 1.9: El diferencial de trabajo al subir. 1 5.4 6.92 0. 1.10.3 0.08 1. 25) dy (50.1 10. al que llamaremos origen) está dada por la siguiente tabla. la presa que regula el nivel de agua presenta una cara normal a la dirección del mismo. 25) y y = kx2 x FIGURA 1.68 0.2 11.4 13.7 15.5 7 1. 25 metros.9 9.92 12. 2.32 1.6 7.48 0.52 1.88 0.3 6.72 0. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo.52 1.18 Unidad 1: Diferencial e integral definida 22. discute con tus compañeros el problema planteado al inicio de esta sección. Da respuesta fundamentada a la pregunta que ahí se formula. El perfil transversal de un río es una parábola vertical como se muestra en la figura 1.5 14 0.2 5. y la profundidad máxima.28 .08 1.9 17.7 8.10: Fuerza de empuje sobre una presa con sección transversal parabólica.12 0.6 14.68 0. analiza y resuelve las siguientes situaciones.88 1 10 1. Tragedia ecológica. (–50. Si el agua pesa 1 ton/m3 expresa el diferencial de fuerza del agua en términos de ∆y y y.8 8. Imagina un muro del que sabe que la altura correspondiente a x metros (medidos en el piso desde un extremo.8 16. Dibujo con diferenciales. Con base en la teoría desarrollada. El ancho en la superficie es de 100 metros.32 1. donde la altura está también medida en metros: Metros Altura Metros Altura 0 5 1. 2 ) ≈ 1.8 cm3 c) ±2.8 cm3 3.05 cm.1: El concepto de diferencial 19 Metros Altura 2 19 2. ¿cuánto se desembolsará si se pinta desde 0 metros hasta 2.342 d) 0.4 cm3 d) ±2.7 metros? d) Si los pintores suelen tener un error que no excede 0. Elige la opción que da el posible error al calcular el volumen de la caja. Indica la opción que contiene el valor de ∆y − dy para x = 1/2. x 1 df ( x ) = 2 x + 2 dx x 1 df ( x ) = 2 x + 2 dx x 1 df ( x ) = 2 x − 2 dx x df ( x ) = 2 xdx 1 ∆x a) ∆ f ( x ) = 2 x + ∆ x + x( x + ∆ x ) 1 b) ∆ f ( x ) = 2 x + ∆x x ( x + ∆ x) 1 c) ∆ f ( x ) = ∆ x + ∆x x ( x + ∆ x) d) ∆ f ( x ) = [ 2 x + ∆ x ] ∆ x 2.1 20. ∆x = −0.5 25 2. Una caja con forma de cubo tiene en cada una de sus aristas una longitud de 4 centímetros. a) f ( 3.5413 d) f ( 3. ¿cuál será el error máximo esperado en el gasto en las dos situaciones del inciso anterior? Autoevaluación 2 1. b) Propón una función que pueda representar la altura h(x). el muro es muy alto y su forma es caprichosa. elige la opción que contiene ∆ f (x) y d f (x) .72 2.3 22.2 ) ≈ 2.3095 b) ±1.28 2.32 2. elige la opción que contiene un valor aproximado de f (3.2 cm3 a) −0.9556 c) f ( 3.2) y satisface la ecuación anterior.3 hasta 2.1.2 ) ≈ 0.1324 b) f ( 3. a partir del concepto de diferencial.052 6 define implícitamente la función y = f (x). Si f ( x ) = x − 1 .9826 4.68 a) Elabora un diagrama que ilustre la posible forma de este muro. c) Si el gasto de pintura es de 3 pesos por metro cuadrado.2 y y = f (x) = x3 + x.2). Si (3.04615 c) 0.4 23.6 26. en metros.48 2.2 ) ≈ 1. b) 0. Como observas. con un posible error de 0.12 2.7 metros? ¿Y cuánto si se pinta desde 2. Supón que la ecuación dada por x y − x = .7 27. a) ±3.2 21.05 metros al medir sobre la base del muro. 2 2 a) −b dθ = b + l dl 2 2 b) −b dl = b + l dθ ( ) ( ) c) −b dθ = (b + l ) dl 2 2 2 d) −l dl = b + l dθ l dq ( ) b FIGURA 1. Elige la opción que proporciona el volumen aproximado de un tubo cilíndrico de pared delgada que tiene un radio interior de r centímetros.11: Relación entre errores. A la función g(h ) = f ' ( x0 )h se le llama la diferencial de f en el punto x0 ∈ (a. 2. b ). a) dy = 3x 2 + 8 x − 5 dx b) dy = (− x + 2 x − 3x + 8 x − 4 )dx ( x 3 + 4 )2 4 3 2 ( ) d) dy = xdx 1+ x 2 e) dy = sec 4 ( x ) d x f ) dy = ln( x ) d x c) dy = −10 x (a 2 − x 2 )4 dx (1 − x ) 2 . una altura de h centímetros (considerada exacta) y un espesor ∆r centímetros. 7. b). Sea y = f (x) una función derivable en el dominio (a. Elige la opción que proporciona el volumen de una cáscara esférica que tiene un radio interior de 10 centímetros y un espesor de 2 milímetros. La distancia l de un objeto se calcula con mediciones angulares hechas en los extremos de una línea base. a) dV = 40 π cm 3 b) dV = 60 π cm 3 c) dV = 100 π cm 3 d) dV = 80 π cm 3 6. Elige la opción que indica la relación entre el error de la distancia con el error en la medición del ángulo θ.20 Unidad 1: Diferencial e integral definida 5. de longitud b (considerada como exacta) y normal a la distancia l. 3 a) π ( r + ∆ r ) h cm 2 3 b) 2 π r h ∆ r cm 3 c) 2 π r h ∆ r cm d) π r 2 + ∆ r h cm 3 ( ) Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. dV = 2 ax ∆x 2 21. a) 0. 0.008. a) d V = π 100 − z 2 ∆ z .24 π m2.00152 segundos. V. −1 14. b) 0. c ) f (−0. b) ∆ A ≈ 5.5 7. Error máximo: 0.1. errores relativos: S. dy = ( 6 x + 5 ) dx . 4 % 1 ≈ 0.75 a + da ) da . b ) f (2.12222 (1 + 2 x )2 b) dy = dx . c) d A = 5. d) 3. 2 a) ∆y = ( 6 x + 5 ) ∆x + 3 ( ∆x ) . dy − ∆y = − ( ∆x ) / x ( x + ∆x ) c) ∆y = 4 x 3∆x + 6 x 2 ( ∆x ) + 4 x ( ∆x ) + ( ∆x ) .66%. 0.01 cm 11. c) –2 minutos 10 segundos 13.30 ( ) c) dy = x (2 + 5 x + 4 x 2 )dx .2% por grado. b ) 0.3% por grado. V. error relativo: 0.0192. el volumen aumenta 0. dy = − dx / x .00637 50 π 15.46977. La superficie aumenta 0. d F = 20 ( 25 − y ) y ∆ y . dy − ∆y = −6 x 2 ( ∆x )2 − 4 x ( ∆x ) 3 − ( ∆x ) 4 2 3 4 4. a ) f (−0. 0. dy = 4 x 3dx. ∆y ≈ 0.1 12.00625 (1 + x )2 5.993 m. 18.0350.97 ) ≈ 2. El error no debe exceder 0.612 a da .0063. ∆y ≈ 0.4 ) = 2. 2 π r l e 10. El error no debe exceder 0. Aproximadamente: a) 1. c) 25. a) ∆ A = π (1.612 a da 20. La respuesta aparece en el propio enunciado del ejercicio. Errores máximos: S.92% 8.1: El concepto de diferencial 21 g) dy = e x dx (e + 1) x 2 2x2 + arctan( x 2 ) dx i) dy = 4 1+ x 3x j) dy = e ( 3 cos(2 x ) − 2 sen(2 x )) dx cos(2 x ) − 2 x( x + 1)sen(2 x ) h) dy = dx (1 + x )2 3.5% 17. e ) 0. ∆y ≈ −1.04. 2 a) dy = 3x − 6 x + 2 dx . b) dW = π ( 40 − z ) 100 − z ∆ z ( ) ( ) 22. el valor exacto es ∆V = 124 400 mm 3 6. 1% 9. dy − ∆y = −3 ( ∆x ) 2 2 2 2 b) ∆y = −∆x / x ( x + ∆x ) . 19.3) ≈ −1.95833. error porcentual: 1.41 cm2. dV = 125 600 mm 3. 16.36 π m3. http://www2. Del Grande. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. Harla. 3. 1975. 1994.. G. J. 4..eluniversal. Ejercicios de análisis. Quiero entender el cálculo. Barcelona. J. México. y Duff. ed. 1978. 1982. 5.. Reverté. R. T. 2. Courant. Iberoamérica. Reverté.22 Unidad 1: Diferencial e integral definida Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. F. 1982. c) 3.mx/pls/impreso/noticia. R. Introducción al cálculo elemental. d) 6. S. c) Referencias 1.. Trillas. México.com. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Rivaud. a) 2. México. Limusa. b) 5. b) 7.html?id_nota=71113&tabla=ciudad . I. Apóstol. 1980. México. Seeley. d) 4. 7. 6.. 2a. vol.. Madrid. Cálculo de una y varias variables. Mochón.. y John. En la figura 1.2 La integral definida Al final de una distancia indefinida siempre hubo un punto confuso.13: En las gráficas se muestran los ritmos o las velocidades de producción de las máquinas A y B. Por seguridad. Gustave Flaubert Producir sí.1.2: La integral definida 23 1. Cuando se detiene la máquina A entra en funcionamiento la B. A. FIGURA 1.12: ¿Cómo combinar el trabajo de dos máquinas para obtener la mayor producción? P unid hr 2000 1500 1000 500 –2 – 500 Máquina A 2 4 6 8 t hr –2 P unid hr 2000 1500 1000 500 2 – 500 Máquina B 4 6 8 t hr FIGURA 1. La velocidad máxima de producción de la primera es de 18 800 unidades por hora. pero que es muy constante en su rendimiento. La máquina A es un equipo nuevo que tiene un rendimiento variable en el tiempo. después eleva su productividad hasta un máximo.13 se muestran los ritmos de producción por hora de ambos equipos. y luego lo hace decrecer porque sus partes se calientan y es necesario detener la producción por un mínimo de dos horas. cuenta con dos máquinas para la elaboración de tornillos. que produce menos por ser más antigua. pero ¿cómo? La empresa Tornillos y Tuercas S. . empieza con un ritmo lento. hacia el que su sueño murió. utilizando la notación de suma o el concepto de integral definida. Iniciemos ahora el estudio del concepto de integración. y durante las últimas hacen funcionar la máquina B y repiten el proceso indefinidamente. y repiten el proceso durante cinco días. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. y repiten el proceso durante cinco días. hasta que llegan a cinco días (120 horas). El proceso de acumular información es la idea básica que sustenta el concepto de integral definida y es la base de su aplicabilidad en la solución de problemas. después hacen funcionar la B por dos horas. t = 5 horas. Finalmente. En específico. deberás ser capaz de: • Comprender el concepto de integral definida de una función real. cotejaremos la definición usual de promedio de una cantidad finita de números. • Dejan que la máquina A funcione por un periodo de siete horas. • Calcular el promedio de funciones en intervalos dados. . Con estas consideraciones: a) Calcula la producción total en una semana de cinco días. • Conocer y aplicar las propiedades básicas de la integral definida. Después. con la definición de promedio de una cantidad infinita de números que varían continuamente. hablaremos del área bajo la curva y su relación con el promedio de la función.24 Unidad 1: Diferencial e integral definida Para maximizar la producción. sino que cambiarán continuamente. más o menos fácilmente. siguiendo los tres procedimientos descritos. ¿Cuál será mejor? b) Si la máquina A se detiene después de un tiempo mayor a la producción máxima. debemos hacer una definición adecuada que rescate lo que esperaríamos intuitivamente. hacen funcionar la B por dos horas. los ingenieros de la empresa han seguido tres procedimientos: • Dejan que la máquina A cumpla un ciclo completo de ocho horas de funcionamiento y dos de descanso. luego la detienen. ¿cuál sería la producción? ¿Qué pasaría si fueran seis horas? c) ¿Podrías sugerir un procedimiento que haga producir más que los tres utilizados por los ingenieros de la empresa? d) ¿Cuál será la producción máxima que se pueda obtener? Introducción En esta sección trataremos el concepto de la integral definida y su importancia para resolver problemas como el descrito. La analogía más cercana es la suma usual. analizaremos el concepto de integración y aplicaremos algunas de sus propiedades para calcular. pero como los fenómenos que estudiaremos ahora no serán discretos. por ejemplo. una buena cantidad de integrales. • Dejan que la máquina A alcance su máxima producción. .1 La notación suma Como veremos más delante.2. Introducimos. a2. de donde claramente resulta: ∑ cai = ca1 + ca2 + i =1 n + can = c ( a1 + a2 + + an ) = c∑ ai i=1 n . entonces: a) ∑ cai = c∑ ai i=1 n i=1 n n (1. para la primera. en muchas ocasiones es útil contar con una notación para la suma de n términos que permita mantener clara la idea de suma.an se escribe usando el símbolo Σ (sigma) como ∑ ai = a1 + a2 + i =1 n + an (1. usando la notación de suma o el concepto de integral definida.. Notación La suma de los términos a1. • Aplicar el concepto de integral para resolver problemas en diversas áreas. ai es el sumando i-ésimo.5) Donde i se conoce como el índice de la suma. 1 y n. la siguiente notación. pero que simplifique lo que escribimos. entonces. • Calcular integrales definidas de funciones sencillas en intervalos dados. utilizamos la propiedad distributiva. Algunas de las propiedades más importantes de la suma son las siguientes: Propiedades Si c es una constante. Por ejemplo..1.7) c) ∑ (ai+1 − ai ) = an+1 − a1 i =1 (1..6) n b) ∑ (ai ± bi ) = ∑ ai ± ∑ bi i=1 n i =1 i=1 n (1. respectivamente.2: La integral definida 25 • Calcular el área bajo la curva de funciones positivas en intervalos dados. Sección 1.8) Estas tres propiedades se deducen de las reglas de la suma finita de términos. y los límites inferior y superior son. 9) y (1.9 a 1. resulta que: ∑ ((i + 1)3 − i 3 ) = ( 2 3 − 13 ) + ( 33 − 2 3 ) + ( 4 3 − 33 ) + n i=1 + (n + 1)3 − n 3 ( ) simplificando desarrolla ando = (n + 1)3 − 1 = n + 3n + 3n 3 2 Ahora. si desarrollamos la suma y cancelamos. así.9) +n = n ( n + 1) 2 + (2 n − 1) = n 2 + n2 = +n = 3 b) ∑i = 1+ 2 + i =1 n i=1 n (1.26 Unidad 1: Diferencial e integral definida La última se conoce como propiedad telescópica. y apliquemos la propiedad telescópica. que se infiere de la propiedad asociativa de la suma. ya que la (1.14) se deducen de forma similar y las tres primeras son evidentes. Posteriormente.10) c) ∑ (2i − 1) = 1 + 3 + ∑ i 2 = 12 + 22 + i=1 n (1.13) f) ∑ i 4 = 14 + 2 4 + + n4 = (1.12) e) ∑i i=1 n i=1 3 =1 +2 + 3 3 (1. Primero desarrollemos la suma. obtenemos: ∑ ( ai+1 − ai ) = ( a2 − a1 ) + ( a3 − a2 ) + ( a4 n i =1 − a3 + ) + an+1 − an = an+1 − a1 ( ) Además. ∑( i=1 n (i + 1)3 − i 3 = ∑ i 3 + 3i 2 + 3i + 1 − i 3 i=1 ) n ( ) simpli ificando .14) Sólo mostraremos la fórmula (1.12). entonces. usemos las fórmulas (1.10). desarrollemos el sumando general antes de hacer la suma. Tenemos. Calculemos ∑ ((i + 1)3 − i 3 ) por dos formas i=1 n diferentes.14) que nos serán de mucha utilidad más adelante: Fórmulas de sumas importantes a) ∑1 = n i =1 n n (1. En efecto.11) d) n ( n + 1) ( 2 n + 1) 6 n 2 ( n + 1) 4 n ( n + 1) (2 n + 1)( 3n 2 + 3n − 1) 30 2 (1.13) y la (1. contamos con las siguientes fórmulas (1. 3 = 3∑ i 2 + n(n + 1) + n 2 i=1 Al igualar los dos resultados: n n 3 + 3n 2 + 3n = 3∑ i 2 + i =1 3 2 5 n + n.1. 2 2 Al despejar ∑i2 i=1 n obtenemos: 3∑ i 2 = n 3 + i =1 n 3 2 n n n n + = (2 n 2 + 3n + 1) = (n + 1)(2 n + 1). 6 Ejemplos Ejemplo 1.8 Determina el valor de la siguiente suma: ∑ (i 3 − 4i 2 + 5i − 3) i=1 25 solución Si utilizamos las propiedades y las fórmulas de sumas. 2 2 2 2 De donde se consigue el resultado buscado: ∑ i2 = i =1 n n(n + 1)(2 n + 1) .2: La integral definida 27 = 3∑ i 2 + 3∑ i + ∑1 i=1 n i=1 i=1 n n n por las propiedades de la suma usando las fórmulas de sumas. tenemos que: ∑ (i 3 − 4i 2 + 5i − 3) = ∑ i 3 − 4∑ i 2 + 5∑ i − ∑1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 25 25 25 25 25 por las propiedades de suma = 25 2 × 26 2 4 × 25 × 26 × 51 5 × 25 × 26 − + − 25 por las fórm mulas de sumas 4 6 2 = 85075 . . 92.28 Unidad 1: Diferencial e integral definida Sección 1. obtenemos una primera estimader ción del promedio. obtuviste las calificaciones parciales 88.2. 4 8 12 16 20 ∑ 4 i + + + + 5 5 5 5 5 = i=1 5 = 12 = 2.4 5 4 4 ξ f (ξ ) Si promediamos. 5 5 16/5 16/5 16 .14: Determinación del promedio de los valores de f (x) = x en [0. aproximamos la función original por la función 4 (i − 1) 4 i 4i . Empezaremos por calcular el promedio de una función. por ejemplo. 5 5 8/5 8/5 8 12 . En la tabla 1. Considera que queremos determinar el promedio de la función f (x) = x en el intervalo 0 . dividimos el intervalo en cinco subintervalos de longitud 4 5 . Veamos cómo incorporar este tipo de promedio al problema que nos interesa. Primero. los cuatro números son diferentes. posteriormente evaluamos la función en los extremos derechos de cada uno. 5. Claramente. los extremos derechos y los valores que toma la función en esos extremos: Tabla 1. 5 4/5 4/5 4 8 .14: y 4 3 2 1 x 5 1 2 3 4 FIGURA 1.1]. 2.4: Promedio de una función. La base de nuestro método la encontramos en el concepto de promedio que manejamos cotidianamente.2 El promedio de una función Dos aplicaciones donde el símbolo Σ resulta útil son el cálculo de áreas bajo una curva y el promedio de una función en un intervalo. como se muestra en la figura 1. que denotaremos por prom 5 ( f ) . es un número que razonablemente representa las cuatro calificaciones parciales.. que en un curso de cálculo.. Intervalo 4 0. [ 4 ] . .4 prom der ( f ) 5 5 5 5 ¿Qué hemos hecho? Geométricamente. Supón. como en el caso de las calificaciones. con seccionada que asocia el valor a cada intervalo de la forma 5 5 5 i = 1. obtenido al sumar las calificaciones y pero el promedio ( prom = 4 dividir entre cuatro.. 5 5 12/5 12/5 12 16 . Para cada intervalo s selecciona un punto y evalúa la función. por utilizar cinco intervalos y la función evaluada en los extremos derechos.4 se muestran los intervalos. 95 y 85.. 88 + 92 + 95 + 85 = 90 ). . xn = a + nL ∆x1 = L ∆x2 = L ∆x3 = L ∆xi = L ∆xn = L FIGURA 1.15) x0 = a. primero necesitamos hacer la siguiente definición: Definición 1.. es irregular.. n si para puntos x0. x2. . xn ∈ [a.3: Partición de un intervalo Sea [a. x3 = a + 3L. La partición es regular si la longitud de todos los subintervalos es la misma: en caso contrario. Decimos que ∆ es una partición del intervalo en n subintervalos [xi−1. se cumple que a = x0 < x1 < x2 < . n n (1.. 2.2: La integral definida 29 Si repetimos el proceso con 10 intervalos. La figura 1.15: Partición regular donde las longitudes de los intervalos son iguales.. 2. n. x1. después de simplificar. x1 = a + L. b] un intervalo.. obtenemos: der prom10 (f)≈ ∑ 10 i=1 10 4i 10 = 44 = 2. xi] con i = 1. obtenemos: prom der n (f)= ∑n i=1 n 4i = 4 ∑i n 2 i=1 n n Utilizando la fórmula (1.15 muestra una partición regular. Observa que la longitud de todos los inb−a tervalos es ∆xi = y que los puntos de la partición cumplen: n b − a xi = a + i ∆ x = a + i con i = 1.. ∆xi = L para i = 1. Así....1.. resulta que: 4 n(n + 1) 2 prom der = 2+ n (f)= 2 n 2 n Finalmente... La norma de la partición es el máximo de las longitudes de los subintervalos y la denotamos por || ∆ ||..2 20 Observa que podemos pasar de forma inmediata al caso de n subintervalos de igual longitud.10). Basta con sustituir el número 10 de la expresión anterior por n. < xn−1 < xn = b. x2 = a + 2L.. en el límite cuando n tiende a ∞. . obtenemos el promedio buscado: 2 prom( f ) = lím 2 + = 2 n→∞ n Para generalizar el cálculo anterior..….b]. está dado por: prom n ( f ) = ∑ f (ξi ) i=1 n (1. La función f debe estar definida en todos los puntos del intervalo donde se promedia. xi] de la partición regular usada.. El promedio de n evaluaciones de la función f (ξ1).b ] = lím ||∆||→0 ||∆||→0 ∆x1 + ∆x2 + + ∆xn ∑ f (ξi )∆xi i=1 n b−a (1..b ] = lím ∑ f (ξi ) i=1 n n→∞ (1. se calcula usando la fórmula: f [ a. la longitud del intervalo original...b ].30 Unidad 1: Diferencial e integral definida En nuestro ejemplo utilizamos una partición regular. el promedio de una función definida en [a. la fórmula del promedio se reduce a: a+ ∑f i=1 n (b − a ) i n (1.17).17).2. En general..19) En esta expresión lím es la norma de la partición y significa que las longitudes ||∆||→0 de todos los subintervalos tienden a cero. Para aclarar el proceso de cálculo del promedio. resulta inadecuado usar la fórmula (1. b]. Para el caso de que los ξ i sean los extremos derechos. Para el caso de las particiones regulares. necesitaremos hacer algunas precisiones y observaciones: 1. consideramos que la suma de todas las ∆ xi es igual a b − a. sólo necesitamos que se pueda evaluar. el promedio de una función con dominio [a. Además. 2. n entonces el promedio estará dado por: f (ξ1 )∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + + f (ξn )∆xn = lím f [ a. ya que se requiere ponderar el valor de la función por la longitud de cada subintervalo. Si la partición usada no es regular. Es decir. como en nuestro ejemplo.16) n 3. con i = 1. que denotaremos por f [ a. No es necesario que sea continua..b ] = lím n→∞ n 4. la fórmula anterior se reduce a la expresión (1. si las longitudes de los subintervalos son ∆xi..17) n Donde ξ i es cualquier punto en el i-ésimo intervalo [xi−1. En conclusión. b] se puede determinar a través del procedimiento siguiente: .18) f [ a. f (ξ2).. f (ξn) que denotaremos por promn( f ). 2] en 20 intervalos y así obtenemos los 21 puntos siguientes 1 2 x = 0. b) Repite el cálculo evaluando en los extremos izquierdos..16 se muestran la gráfica de la función y las 20 longitudes calculadas con la fórmula anterior.5 FIGURA 1.1.5 2 x 2. 3. Entonces: 10 i i2 f = 10 100 En la figura 1. se obtiene el promedio de la función. Selecciona un punto ξ i en cada uno de los intervalos y calcule f (ξ i).16: La función evaluada en 20 puntos diferentes.9 a) Calcula el promedio de la función f (x) = x2 en el intervalo [0. Para obtener el promedio derecho.. Calcula el límite cuando n → ∞ o cuando || ∆ ||→ 0. n. Divide el intervalo en n subintervalos de longitudes ∆xi...2: La integral definida 31 Promedio de una función y = f(x) en el intervalo [a. y 4 3 2 1 – 0. 20. i = 1. A partir de estos valores. . considerando 20 intervalos de la misma longitud y evaluando la función en los extremos derechos. Queremos ahora calcular el promedio de estas 20 alturas.. b] 1. … . . basta con evaluar la función en los puntos 10 10 xi = i con i = 1.. . solución a) Dividimos el intervalo [0.. c) Repite el cálculo utilizando n intervalos de la misma longitud. Calcula el promedio de las n cantidades f (ξ i) usando cualquiera de las expresiones prom n ( f ) = ∑ f (ξi ) i=1 n n o: prom n ( f ) = ∑ f (ξi ) ∆xi i=1 n b−a 4. 2. 2]..2. 2.5 1 1.2. Ejemplos Ejemplo 1.5 0. respectivamente. 2 ] = 4 / 3 . Al seguir el proceso anterior: prom izq 20 ( f ) = 19 19 i 1 1 19 × 20 × 39 247 i2 = = = 1. 5]. entonces ambos promedios se acercan a 4/3..32 Unidad 1: Diferencial e integral definida Al promediar.. tenemos: prom der 20 ( f ) = = = 1 20 i ∑ 20 i =1 10 1 20 2 ∑i 2000 i =1 2 usando la fórmula del promedio desarrollando 20 × 21 × 41 287 = = 1. supón que quieres determinar el área bajo la curva definida por la función f (x) = 3 + x en el intervalo [1. construimos cuatro rectángulos de base ∆ x = 1 y alturas iguales al valor de la función en los extremos derechos de cada subintervalo. es decir: f [ 0.. Después. 1.3 Áreas bajo curvas El cálculo de áreas bajo curvas es otra aplicación donde el símbolo Σ juega un valioso papel. dividimos el intervalo en cuatro intervalos de igual longitud..235 = ∑ ∑ 20 i=0 10 2000 i=1 2000 × 6 200 2 i con 10 c) Para el caso general. Como primera aproximación. Observa la figura 1. Por ejemplo.2.17: .435 utilizando las fórmulas de sumas 2000 × 6 200 b) Para determinar el promedio izquierdo hay que evaluar la función en los puntos xi = i = 0. 19. Sección 1. Éste es el promedio de la función en el intervalo dado. con n intervalos tenemos: prom der n (f)= 1 n 2i 4 n 2 4 n(n + 1)(2 n + 1) 2 1 i = = = 1 + 2 + ∑ ∑ 3 3 n i =1 n 3 n n i =1 6n 4 (n − 1)(n )(2 n − 1) 2 1 n−1 2i 4 n−1 = 3 ∑ i2 = = 1 − ∑ n i=0 n 3 n i =1 6n 3 2 2 1 n prom izq n (f)= 1 1 2− n n Si el número de intervalos crece. Intervalo 4 0. En la tercera fila se muestran los valores de la función en los extremos derechos de cada uno. Pensemos ahora el caso general de n rectángulos de base ∆x = Tabla 1. Obtenemos así que: área 4 ( f ) = f ( x1 )∆x1 + f ( x2 )∆x2 + f ( x2 )∆x2 + f ( x2 )∆x2 = f (2 ) + f ( 3) + f ( 4 ) + f (5 ) = 5 + 6 + 7 + 8 = 26 5 −1 4 = . que llamaremos área4( f ). n n 4 (2 ) n 3+ 4 (2 ) n … 4 (i − 1) 4 i . n 4 n 3+ 4 n 4 4 (2 ) . Así obtenemos: . Para cada intervalo se selecciona un punto. Los intervan n los se muestran en la primera fila de la tabla 1.5.5: Área bajo una curva.2: La integral definida 33 y 10 8 6 4 2 x 1 2 3 4 5 6 FIGURA 1. Observa que el área de los rectángulos es superior al área bajo la recta. n n 4i n 3+ 4i n … 4 (n − 1) . sumamos el área de los cuatro rectángulos.17: Área bajo una recta utilizando cuatro rectángulos. Finalmente. 4 n 4 ξ … … f (x) … … 3+4 Calculamos ahora el área de cada rectángulo multiplicando su base ∆xi por su altura f (ξ i).1. donde se evalúa la función para obtener la altura del rectángulo. 18: Las gráficas corresponden al área de 6. dados por la ecuación (1. Al igual que en el cálculo del promedio.15). tenemos algunas observaciones sobre el cálculo de áreas. El área bajo la curva y = f (x) > 0 en el intervalo [a. Nota que cada vez más el área de los rectángulos se acerca al área bajo la recta. Si utilizamos una partición regular y evaluamos la función en los extremos derechos de cada intervalo. b]. 2. podemos reescribir la fórmula del área como: n (b − a ) i b − a área ( f ) = lím ∑ f a + n→ ∞ n n i =1 (1.20) Donde ξi es cualquier punto en el subintervalo i-ésimo [xi−1.34 Unidad 1: Diferencial e integral definida área n ( f ) = ∑ f (ξ i )∆xi i =1 n 4i 4 = ∑ 3+ nn i =1 n sumando las áreas de cada rectángulo sustituyendo altura y base de los rectángulos desarrollando el producto 12 16i = ∑ + 2 n n i =1 n 12 16 n(n + 1) = n+ 2 aplicando las fórmulas de la suma n n 2 8 = 20 + simplificando n Finalmente. 10 y 15 rectángulos. xi] que tiene longitud ∆xi = xi − xi−1.21) . 1. está dada por: área ( f ) = lím ∑ f (ξi )∆xi n→ ∞ i =1 n (1. En la figura 1.18 se muestra gráficamente cómo se aproxima el área de los rectángulos al área bajo la recta: y 10 8 6 4 2 –1 –2 1 2 3 4 5 6 x 10 8 6 4 2 –1 –2 y 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 y 1 2 3 4 5 6 x FIGURA 1. donde se encuentra definida la función. en el límite cuando n tiende a ∞ obtenemos que el área es igual a 20. Divide el intervalo en n subintervalos de longitudes ∆xi.19.2: La integral definida 35 3. b ] (b − a ) Es decir. y f a. No es difícil ver que el área bajo la curva y el promedio de una función en un intervalo [a.b] se relacionan mediante la expresión: área ( f ) = f [ a. el promedio de una función es la altura de un rectángulo que tiene base b − a y área ( f ). .22 y 1. Calcula el área de los n rectángulos de alturas f (ξi) y base ∆xi usando área n ( f ) = ∑ f (ξi ) ∆xi i =1 n 4.22) ) b − a n (1. b x a b FIGURA 1. Calcula el límite cuando n → ∞ o cuando ||∆|| → 0. En este caso. el área bajo una curva se determina con el siguiente procedimiento: Área bajo la curva y = f (x) > 0 en el intervalo [a.19: Relación entre área bajo la curva y el valor promedio. entonces utilizamos el cálculo del límite para que la norma de la partición tienda a cero.1. Si consideramos que la partición no es regular. 2. En conclusión.23) 4. n. 3. como se muestra en la figura 1..24) 5.23): (b − a )(i − 1) b − a área ( f ) = lím ∑ f a + n n→ ∞ n i =1 n n (b − a ) ( i − área ( f ) = lím ∑ f a + n→ ∞ n i =1 1 2 (1. Selecciona un punto ξien cada uno de los intervalos y calcule f (ξi).. son las siguientes (1.. b] 1.. la expresión para el área está dada por: área ( f ) = lím ∑ f (ξi )∆xi ||∆||→0 i =1 n (1.2. Otras dos expresiones que utilizan los extremos izquierdos o los puntos medios de cada intervalo para evaluar la función. y que son muy utilizadas. i = 1. como se observa en la figura 1.20: Interpretación de la integral definida como área bajo la curva.20 Al calcular la suma tenemos: n 4 4i 2 área( f ) = ∑ 3 − + n n n i =1 2 = ∑ 3− n i =1 n 4 8 n + ∑i n n 2 i =1 aplicando las propiedades de la suma 4 8 n(n + 1) 2 = n3− + 2 aplicando la fórmula de sumas n n n 2 4 = 10 − simplificando n Finalmente. evaluando en los extremos izquierdos. n n n n En consecuencia. el área de cada rectángulo es: 4 4 i 2 altura × base = 3 − + n n n y 8 6 4 2 x 1 –2 2 3 4 b − a 3 −1 2 = = . La suma de las áreas de estos rectángulos aproxima el área buscada por debajo del valor exacto. Cada recn n n FIGURA 1. si hacemos tender n a ∞ encontramos el área exacta bajo la recta: 4 Área = lím 10 − = 10 n→ ∞ n . n.10 Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función f (x) = 2x + 1 con dominio [1.3] y el eje x. solución Empezamos con el ancho de cada subintervalo y vemos que éste es ∆ x = tángulo tiene la siguiente altura: 2 2 4 4i f 1 + (i − 1) = 2 1 + (i − 1) + 1 = 3 − + con i = 1.36 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplos Ejemplo 1.2.…. Definición 1. xn−1 . b]. Definimos la suma de Riemann de orden n a la expresión b denotaremos como Sa fn. y la Un caso particular de las sumas de Riemann ocurre cuando la partición es regular y evaluamos la función en los extremos derechos ξi = xi . que ya habíamos usado para definir la diferencial de la función f (x). x1 .25) Con tales consideraciones. la suma de Riemann está dada por la expresión: i(b − a ) b − a b Sa fn = ∑ f a + n n i =1 n (1. y ∆ una partición del intervalo de la forma a = x0 .…. x2 .2: La integral definida 37 Sección 1. estamos en condiciones de hacer la siguiente definición. por lo que resulta conveniente contar con un método que facilite su cálculo. En ese caso.1. b].5: Integral definida de una función b fn. b fn tiene la forma f (xi)∆xi y por ello dentro del símbolo Observa que cada sumando de Sa b de la integral ∫ a (que no es más que una S mayúscula alargada) aparece la expresión f (x)dx. Empezaremos por hacer algunas definiciones que nos lleven directamente a éste y al tema fundamental del presente libro. la cual resulta muy afortunada. Definición 1. b].4 La integral definida y sus propiedades Determinar el promedio de una función o el área bajo una curva puede ser muy tortuoso. xn = b.2.4: Sumas de Riemann Sea f una función con dominio en el intervalo [a. Al símbolo ∫ f ( x ) dx lo llamaremos ∫ f ( x )dx = ||∆ ||→0 a a integral definida de la función f en el intervalo [a. En Decimos que una función f es integrable en el intervalo [a. ∑ f (ξi )∆xi donde i=1 n xi−1 ≤ ξi ≤ xi y ∆xi = xi − xi−1. Nota también que para particiones regulares. denotamos lím Sa fn . como se verá en la siguiente sección. si existe lím Sa ||∆||→0 b b b ese caso. la integral definida se reduce a b Sa fn ∫ f ( x )dx = nlím →∞ b a . 2. i = 1. n.…. esta última siempre es positiva. no siempre se da la igualdad entre integral definida y área.38 Unidad 1: Diferencial e integral definida De acuerdo con esta última definición tenemos los siguientes resultados: Resultados 1.b]. Si f es una función con dominio [a. entonces: f [ a. entonces el área de la figura plana comprendida entre la gráfica de b f y el eje x en el intervalo [a. Sin embargo. Tal situación se ilustra en la figura 1.21: Interpretación del signo de la integral definida y de las áreas bajo curvas. mientras que las integrales definidas pueden ser positivas. Es decir: a área = ∫ f ( x )dx a El segundo de estos resultados nos proporciona una interpretación geométrica de la integral definida.b ] = 1 f ( x )dx .b] e integrable en ese intervalo. que enunciaremos sin demostrar. Por otra parte.21. integrable y no negativa. de ahí su importancia. . lo que significa que este tipo de funciones es integrable. El valor promedio de una función. negativas o nulas. El área bajo la curva. Si f es una función con dominio [a.b] es igual a b ∫ f ( x )dx . b−a ∫ a b 2. intuitivamente pensamos que dada una función continua positiva en [a. + + – FIGURA 1. Esta discusión nos lleva a establecer el siguiente teorema.b] siempre existe el área bajo la curva. b] y ambas son integrables en aquél. no todas las funciones son integrables. Por ejemplo: 0 si x es racional f (x) = 1 si x es irracional no es integrable según Riemann en ningún intervalo [a. lo cual no es posible. entonces b b ∫ f ( x )dx = ∫ kdx = k (b − a) a a b b f ) Si f (x) = x entonces ∫ f ( x )dx = ∫ xdx = 2 (b a a 1 2 − a2 ) . Sin embargo.b] con a < b. debe ser único. obtenemos dos resultados diferentes. Para terminar. enunciamos y demostramos un teorema sobre las propiedades de la integral definida: Teorema 1.b]. cuyo dominio es el intervalo cerrado [a. Si el límite existe.3 Si f y g son dos funciones reales. Por lo tanto. la función no es integrable.2 Si y = f (x) es continua en el intervalo [a. entonces son ciertas las siguientes afirmaciones: b b a) ∫ k f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx para cualquier constante k a a b) ∫ ( f ( x ) ± g( x )) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a a a a b b b b c) ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx b a c b d) ∫ a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = c ∫ f ( x )dx para cualquier c ∈ [a.1. cuando n tiende a ∞.2: La integral definida 39 Teorema 1. b] a b e) Si f (x) = k es la función constante con valor k.b] entonces es integrable en ese mismo intervalo. considera que f es integrable y que ∆ es una partición del intervalo [a. Si en todos los subintervalos originados por la partición elegimos un número irracional. Para mostrarlo. entonces. la suma de Riemann toma el valor ∑ f ( xi )∆xi = ∑ ∆xi = b − a i=1 i=1 n n Si seleccionamos un número racional tenemos ∑ f ( xi )∆xi = ∑ (0)∆xi = 0 i=1 i=1 n n En el límite. 40 Unidad 1: Diferencial e integral definida Demostración: a) La afirmación de este inciso es consecuencia de las propiedades de la suma finita de términos. para demostrar la última de las afirmaciones. De aquí se desprende que b b Sa fn . i =1 i=1 n n por lo tanto. usando la relación (1. aunque es necesario asegurar que f es integrable en los tres intervalos [a.b]. usaremos una partición regular y evaluaremos la función en los extremos derechos.b].b]. d) Para demostrar esta propiedad. b b ∫ k f ( x )dx = lím Sa ( k fn ) = k lím Sa ( fn ) = k ∫ f ( x )dx a n→∞ n→∞ a b b b) Esta afirmación también se sigue de las propiedades de la suma finita de términos. Basta tomarlas para comprobar que c b c b b f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = lím Sa fn + lím Sc fn = lím Sa f2 n = c n→ ∞ n→ ∞ 2n→ ∞ b ∫ a ∫ f ( x )dx a e) Esta propiedad es válida para cualquier valor de c.c] y otra del mismo orden en el intervalo [c.25).c] y [c. La afirmación del inciso e) se verifica inmediatamente usando la siguiente factorización en cada suma de Riemann: b Sa kn = ∑ k ∆xi = k∑ ∆xi = k (b − a ).b] nos dan una suma de orden 2n en el intervalo [a. ( k fn ) = k Sa por lo tanto. Sa ( fn ± gn ) = lím Sa fn ± lím Sa gn = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x ) dx ∫ ( f ( x ) ± g( x )) dx = nlím n→ ∞ n→ ∞ →∞ b b b a a a b b b c) a b La demostración de la afirmación c) es consecuencia de que Sb fn = −Sa fn debido a que a − b = −(b − a ). Tenemos que: b b b Sa fn ± Sa gn . tenemos i (b − a ) b − a Sb a fn = ∑ a + n n i =1 n . [a. Así. ( fn ± gn ) = Sa por lo tanto. observa que una suma de orden n en el intervalo [a. b S a kn = k (b − a ) ∫ kd x = nlím →∞ b a f) Finalmente. solución 3 Para determinar el área basta calcular ∫ (2 x + 1) dx . tenemos que 1 3 3 9 − 1 + 1 ⋅ ( 3 − 1) = 10 ∫ (2 x + 1)d x = 2 ∫ x d x + ∫ d x = 2 2 1 1 1 3 Con geometría elemental podemos verificar este resultado. también de base 2 y altura 4. 10 es el área en cuestión. Ejemplos Ejemplo 1. que es 4. Así. Si usamos las propiedades de la integral.1.3]. al hacer tender n a ∞ resulta (b − a )2 1 b lím Sa fn = lím (b − a )a + 1+ n→ ∞ n→ ∞ n 2 2 (b − a ) b2 a2 = (b − a )a + = ab − a 2 + − ab + . . 2 2 2 b2 a2 = − 2 2 por lo tanto: b 2 S a fn = ∫ xdx = nlím →∞ b a b2 − a2 2 Con esto concluimos la demostración del teorema. más el área del triángulo rectángulo.11 (segunda visita) Calcula el área bajo la gráfica de la función f (x) = 2x + 1. que es 6.2: La integral definida 41 Esta suma se puede expandir para obtener a+ ∑ i=1 n n n i(b − a ) b − a b − a = ∑ a + ∑ i n n n i=1 i=1 b − a b − a n(n + 1) = an + n n 2 2 (b − a) 1 + 1 = (b − a ) a + 2 n De esta última expresión. ya que el área en cuestión es la suma del área del rectángulo de base 2 y altura 3. sobre el eje x y en el intervalo [1. Podemos determinar estas áreas utilizando las fórmulas geométricas para el área de rectángulo y triángulo.8]. respectivamente. tenemos que: 0 x 1 = 2 2 3 De donde resulta 8 − x si x < 0 y x = x si x ≥ 0 si 0 ≤ x < 2 si 2 ≤ x < 4 si 4 ≤ x < 6 si 6 ≤ x < 8 ⌠ x dx = ∫ (0 )dx + ∫ dx + ∫ 2 dx + ∫ 3dx = 2 + 2(2 ) + 3(2 ) = 12 ⌡ 2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 Como − ( x − 3) si x − 3 < 0 − x + 3 si x < 3 = x−3 = si x − 3 ≥ 0 x − 3 si x ≥ 3 x−3 se tiene que: 8 3 8 ∫ 0 x − 3 dx = ∫ (− x + 3)dx + ∫ ( x − 3)dx 0 3 3 3 8 8 = − ∫ xdx + ∫ 3dx + ∫ xdx − ∫ 3dx 0 0 3 3 ( 3)2 (8 )2 ( 3)2 =− + 3( 3) + − − 3(8 − 3) 2 2 2 = 17 Finalmente. restringiéndonos al intervalo [0. segunda y tercera gráficas.42 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplo 1.8]. 2 solución Recordemos que las funciones máximo entero y valor absoluto se definen respectivamente como: x = n si n ≤ x < n + 1 con n ∈ Entonces. . 17 y 29 para las primera. con lo que obtendremos que las áreas bajo las curvas son 12. obtenemos 8 ⌠ x ⌠ x + x − 3 dx = dx + ∫ x − 3 dx = 12 + 17 = 29 2 2 ⌡ ⌡ 0 0 0 8 8 En la figura 1.22 se muestra el área bajo cada una de las dos funciones y el área bajo su suma.12 Calcula el área bajo la curva y = x + x − 3 en el intervalo [0. 22: Las gráficas a) y b) muestran el área bajo la curva x / 2 y x − 3 .13 a) Determina el área bajo la curva y = x en el intervalo [0. Ejemplo 1. b b) Usa la expresión encontrada en a) para calcular 9 ∫ a xdx c) Calcula ∫ 4 xdx d) Calcula el valor promedio de y = x en el intervalo [4.n n2 . Nota que los puntos están dados por xi = i 2L con i = 1.2: La integral definida 43 y 6 4 2 2 –2 4 6 8 x –2 6 4 2 y 6 4 2 2 4 6 8 x –2 y 2 4 6 8 x FIGURA 1.. tenemos que las longitudes ∆xi están dadas por ∆xi = (2i − 1) L = (2i − 1)b para i = 1..2..23: x0 = 0 x1 = L x2 = 4L x3 = 9 L x4 = 16L .. xn = n 2 L ∆x1 = L ∆x2 = 3L ∆x3 = 5L ∆x4 = 7L . utilizando las sumas de Riemann.23: Partición donde las longitudes de los intervalos son diferentes.. Observa nuevamente la figura.. b de donde conseguimos la longitud del primer intervalo L = 2 .9] solución a) Para determinar el área.n..1. consideremos la partición no regular que se muestra en la figura 1.. ∆xn = (2n – 1)L FIGURA 1. Como además xn = b. En c) se muestra el área bajo la suma de las dos funciones.2.. En gen neral... se tiene que b = n2L.b]. basta dividir el resultado obtenido entre la longitud del intervalo. Al hacerlo. usando las propiedades de la integral definida sabemos que: a b ∫ a xdx = ∫ a 9 xdx + ∫ xdx = − ∫ xdx + ∫ xdx = 0 0 0 2 3/2 2 3/2 b − a 3 3 c) Si aplicamos esta relación obtenemos la respuesta a la última pregunta.9 ] = 9 38 1 xdx = ∫ 54 15 . f [ 4 .44 Unidad 1: Diferencial e integral definida Evaluando la función en los extremos derechos: f ( xi ) = xi = Al calcular las sumas de Riemann: i2b i = b n2 n ∑ f ( xi )∆xi = ∑ n i=1 i=1 n n i (2i − 1)b b n2 sustituyendo desarrollando sacando las constantes de la suma n 2i 2 − i = ∑ b 3/2 3 n i=1 = = b 3/2 ∑ 2i 2 − i n 3 i=1 n ( ) b 3/2 n(n + 1)(2 n + 1) n(n + 1) − aplicando las fórmulas de sumas 3 2 n3 1 (n + 1) (2 n + 1) n + 1 = b 3/2 dividiendo en − 2 ntre n 3 3 n n 2n 1 1 1 1 1 = b 3/2 1 + 2 + − − 2 simplificando 3 n n 2n 2n Para obtener el area sólo falta calcular el límite cuando n tiende a ∞. obtenemos área = lím ∑ f ( xi )∆xi = n→ ∞ i =1 n 2 3/2 b 3 b) Con el resultado anterior establecemos que b ∫ 0 b 0 b xdx = 2 3/2 b 3 Más aún. en este caso 5. ∫ 4 xdx = 2 3/2 2 3/2 16 38 (9 ) − ( 4 ) = 18 − = 3 3 3 3 d) Para determinar el valor promedio. 2] g) f ( x ) = 5 x + 1 + 1 en [0.3] con k = 10 d) f (x) = x3 + 4x2 − 3x + 2 en el intervalo [0. a a) f ( x ) = 5 x − 2 en el intervalo [0. d) f (x) = x2 + 2x en el intervalo [1. a) f (x) = 7 + 2x en el intervalo [1. considerando intervalos de la misma longitud.4] c) f ( x ) = x en el intervalo [−1. Calcula ∫ f ( x )dx . Determina los promedios derecho e izquierdo de las siguientes funciones en los intervalos proporcionados. Utiliza la fórmula (1. b) f (x) = x + 4 en el intervalo [1. y evalúa en los extremos derechos.2] con k = n. y evalúa en los puntos medios. f ) f (x) = x4 + 4x3 en el intervalo [0. así como el eje x en el intervalo dado. b e) f (x) = x3 + x2 en [0.2] 4.5] con k = 10.1. y evalúa en los extremos izquierdos.3] f ) f (x) = 5x4 + 4x3 en [0. y evalúa en los puntos medios. y evalúa en los extremos derechos.4] con k = 10 e) f (x) = sen(x) en el intervalo [0. utilizando una partición regular con k intervalos y evaluando la función en los puntos que se indican. i) f (x) = x4 + x3 en el intervalo [0. Estima el área comprendida entre la gráfica de las siguientes funciones. Calcula las siguientes sumas: a) ∑ (3i + 4 ) i=1 25 10 c) ∑ (i 3 + 3i 2 ) i=1 7 5 b) ∑ (i 2 + 3i − 5) i=1 d) ∑ (2i 4 − 3i 3 + 4i 2 ) i=1 2. e) f (x) = x3 + 4x2 + 9x en el intervalo [0. y evalúa en los extremos izquierdos. a) f (x) = 3x + 2 en el intervalo [0.3] d) f ( x ) = 2 x − 1 x en el intervalo [−1. para la función dada y = f (x) en el intervalo especificado [a.9] con k = 8 b) f (x) = 2x − x2 en el intervalo [0.2] con k = 4 c) f (x) = x + 3x2 en el intervalo [−1.b].4] 5.5] d) f (x) = x − x2 en [−2.5] b) f (x) = 2x − 10 en [−2.5] con k = n. h) f (x) = x3 en el intervalo [0.8] con k = 7.2] c) f (x) = x2 + 1 en [1.π] con k = 6 3. c) f (x) = 5x + 4 en el intervalo [0.2] con k = 5. y evalúa en los extremos derechos.6] con k = 12. y evalúa en los puntos medios.18) para determinar el promedio de las siguientes funciones en los intervalos dados: a) f (x) = 5x + 3 en [0.1] 2 .4] con k = n.4] con k = 8. g) f (x) = x2 + x en el intervalo [0. y evalúa en los extremos izquierdos.2: La integral definida 45 1.1] b) f ( x ) = x en el intervalo [0.3] con k = 10. 24: Gráfica de la función del ejercicio 8. 5] 2 e) f ( x ) = x − 4 en el intervalo [−4. (3. Demuestra que si f es integrable en [0. 1/2). 4] c) f ( x ) = 3x 2 + 2 x 3 en el intervalo [1. entonces −a ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx 0 a b) f es impar. entonces −a ∫ f ( x )dx = 0 . a) f ( x ) = x + x en el intervalo [2. 5] e) f (x) = 3x4 − x3 en el intervalo [−3. En los ejercicios siguientes. 0). 5] 4 3 d) f ( x ) = x + 2 x + x en el intervalo [0.5 x 1 2 3 4 FIGURA 1.46 Unidad 1: Diferencial e integral definida 6. 4]. 1) y (4. 5] d) f (x) = x2 + 3x3 en el intervalo [1. a] y a a a) f es par. 9. Si los vértices de la curva tienen coordenadas (0. 0). Utiliza los resultados del ejercicio anterior para calcular el valor promedio de la función f en el intervalo dado: a) f (x) = 3x − 1 en el intervalo [2. (1. determina el área bajo la curva en el intervalo [0. (2. y 1 0. 1). Utiliza la definición de integral definida para demostrar que a) ∫ x dx = 3 (b 2 b 1 3 − a3 − a4 a ) ) ) b) ∫ x dx = 4 (b 3 b 1 4 a b c) ∫x a 4 dx = 1 5 b − a5 5 ( 7. a].24. Sea f una función con dominio [−a. 5] c) f (x) = x en el intervalo [−1. que tiene apariencia de “M”. 4] 10. La gráfica de una función se muestra en la figura 1. calcula el área bajo la gráfica de la función descrita. 10] b) f (x) = x(1 − x) en el intervalo [0. 6] 2 b) f ( x ) = x + x − 1 en el intervalo [2. 1] 8. 3). f (n) = 0.n] de la siguiente manera: f (x) = (−1)m m. 19. donde f ( x ) = 2 − x si 1 ≤ x ≤ 2 x si 0 ≤ x ≤ c f ( x )dx . Encuentra todos los valores de c para los cuales: a) b) ∫ x (1 − x )dx = 0 ∫ x (1 − x ) dx = 0 0 2 0 c c 15. Calcula ∫ f ( x )dx . Usa el ejercicio anterior y la interpretación de la integral definida como área para hallar el valor de −1 ∫ (x 1 5 + 3 1 − x 2 dx 5 ) 12.1.. donde 0 ∫a b x dx+ ∫a b −x d x 14. Sea f ( x ) = ∫ 0 t 20. 0 a) Calcula g(3). g(4) y (g ° g)(3) b) ¿Para qué valor(es) de n se tiene | g(n) | = 7? .2. La función f está definida en el intervalo [0. donde f ( x ) = 1 − x con c una constante tal que 0 < c < 1 si c ≤ x ≤ 1 c 1− c 1 b) ∫ 0 16. calcula: a) ∫ 0 n t dt y b) x ∫ 0 2 t 2 dt dt para x ≥ 0.. p(1) = 15 y 0 −2 ∫ 3 p( x )dx = 4 n 18. Si n es un entero positivo. n − 1. Calcula las siguientes integrales definidas: a) ∫ 0 1 x2 si 0 ≤ x < 1 f ( x )dx . además.. Sea n un entero positivo.2: La integral definida 47 11. Ahora considera la función n g(n ) = ∫ f ( x )dx .. Utiliza propiedades de la integral definida y su interpretación como área para encontrar 4 − x 2 si 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 4 si 1 < x ≤ 5 13.1. Encuentra un polinomio cuadrático p(x) = ax2 + bx + c para el cual p(0) = p(1) = 0 y 3 2 ∫ p( x )dx = 1 0 17. Dibuja la gráfica de f en el intervalo [0. si m ≤ x < m + 1 con m = 0. Encuentra un polinomio cúbico p(x) = ax + bx + cx + d para el cual p(0) = p(−2) = 0. La huerta. Producir sí. Promedios de aprendizaje. La siguiente tabla muestra el nivel de aprendizaje (máximo 1) de cada uno en el tiempo especificado (medido en días). a) Determina los valores de A y B. pero ¿cómo? 2. dos obreros reciben un curso de capacitación sobre el uso de una máquina de alta complejidad técnica. Si la producción total en toneladas por año de una huerta de manzanos está dada por y = 576 − 16 2 ( x − 30) con 0 < x < 60 25 Calcula la producción total promedio anual de la huerta. para después disminuirla por efectos del cansancio. Carrera de maratón. Determina la producción promedio anual a los t años. analiza y resuelve las siguientes situaciones. Un corredor de maratón empieza la carrera lentamente. Después. En una fábrica. b) Establece la velocidad promedio del corredor. 4. ya que el gerente de la planta la usará para decidir a quién contratará. casi sin sentirlo. En promedio ¿Quién tuvo mejor nivel de aprendizaje? ¿Cuál de los dos es más eficiente para aprender? Al responder debes aclarar lo que entiendes por eficiencia. ¿cuánto tiempo haría en recorrer los 42 km? 3.48 Unidad 1: Diferencial e integral definida Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. porque guarda su energía para la parte final. . base de contratación laboral. para reducirla durante los últimos 15 años a causa de su edad. sube su velocidad hasta un valor máximo. que los siguientes 30 años tienen una alta producción. c) Calcula la velocidad promedio del corredor en el intervalo [0. 1.t] y su velocidad promedio máxima. Es importante que ofrezcas una buena respuesta. d) Si el corredor corriera toda la carrera a su velocidad promedio máxima. pero sólo uno de ellos será contratado para utilizarla. ¿En qué tiempo deben cortarse los árboles de la huerta para obtener los mejores rendimientos? Explica. Por experiencia un horticultor sabe que los árboles de manzanas producen poco los primeros 15 años debido a que no han alcanzado la madurez. Una ecuación que modela la velocidad del corredor es v (t) = A − B(t − 2)2 Si empieza con una velocidad de 7 km/hora y termina los 42 km de la carrera en 4 horas. Determina el área bajo la curva de la función f ( x ) = x − x en el intervalo [1.862244898 1 Nivel de aprendizaje del segundo obrero 0.T ] sea 4? a) T = 2 b) T = 2.005102041 0.5 2 2.534522484 0.1] a) 20 b) 21 c) 19 d) 22 2.377964473 0.5 6 6.020408163 0.2: La integral definida 49 Tiempo 0.081632653 0.755928946 0. Calcula el promedio de la función f ( x ) = 1 − 2 x en el intervalo [0.597614305 0. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el promedio de los valores de la función de costo c(t) = 3t + 1 en el intervalo [0.2] a) 1/2 b) 1/4 c) 3/2 d) Es imposible determinarla 3.9258201 0.845154255 0.510204082 0.1.5 1 1.88640526 0. Calcula la integral definida de la función f ( x ) = 3 x − x en el intervalo [−3.617346939 0.5 7 Nivel de aprendizaje del primer obrero 0.413265306 0.5 5 5.25 0.3] a) –5 b) 9 c) –2 d) 5 4.267261242 0.045918367 0.963624112 1 Autoevaluación 1.707106781 0.5 4 4.5 3 3.734693878 0.5 d) T = 4 .801783726 0.654653671 0.326530612 0.46291005 0.183673469 0.5 c) T = 1.12755102 0. b) c 2 16.5 d) 947.6 b) 45 c) 190.5 e) 32 10. a) 43. g) 27/2 4. promizq = 6.8 e) promder = 0.5 c) 121.50 Unidad 1: Diferencial e integral definida Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. b) 0 15. (1.48 e) 32. b) 6375 c) 390 d) 7560 a) promder = 18. a) 30 3π 2 π + 16 12.68 a) 31/2 b) −10 c) 34/3 d) −4/3 e) 39/4 f ) 24 d) 15. 7.625. . 4 13.622008.125 d) promder = 39. 3 2 .48. a − b 11.4.5 g) área izq n (f)= h) área pm n (f)= i) área der n (f)= 25(n − 1)(13n − 5 ) 6n2 4 n2 − 2 n2 64 (n + 1)(63n 3 + 87 n 2 + 8 n − 8 ) 15 n 4 5. p(x) = 6x − 6x2 17. promizq = 16 b) promder = 0. a) 0.622008 3.75 b) 59. a) 205 2.625 c) promder = 9. a) 0 .5 9.5 6.14).12).25). SUGERENCIA: Utiliza una partición regular y después las fórmulas (1. promizq = 0. promizq = 27.25 e) 235.13) y (1. (1. El resultado está en el propio enunciado del ejercicio.5 b) 6 c) 5 d) −2. a) 5 6 b) −35/6 c) 0 d) 870. promizq = 0. 14. p(x) = 3x2 + 8x2 + 4x . a) 19/2 8. 2.48 f ) 598. F. R.. Madrid. México.25). Ejercicios de análisis. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. N. Análisis matemático. c) 4. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Barcelona. 7. I. Cálculo diferencial e integral. 6. México. 3. Rivaud. Cálculo de una y varias variables. Courant. Santiago.. Haaser. R. ed. 1982. México. y Sullivan. Seeley. Precálculo. b) n = 14 y n = 15 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. y Robbins.2: La integral definida 51 18. Trillas. Su gráfica se muestra a continuación (figura 1. R. N. 1980. 4. 2a. Pearson Educación.. 2006. México.1. Apóstol. 1978. a) g(3) = 1.. vol. 1978. Edmusa. 8. a) n ( n − 1) 2 . Trillas. y John.. Montaner y Simón. 1982. México. Reverté. H. . et al. J.. g(4) = −1. 19. Reverté. T. 2002.25: Gráfica de la función y = f (x). vol.. Courant. b) 2. g(g(3)) = 0. 2.. J.. J. a) 3. Piskunov. La función tiene como fórmula 4 x si 2 ≤ x < 3 12 10 8 6 4 2 1 2 3 FIGURA 1. 5. LaSalle. Fondo de Cultura Económica. a) Referencias 1. Prado. Barcelona. 1975. 1. ¿Qué son las matemáticas?. b) n ( n − 1) ( 2 n − 1) 6 0 si 0 ≤ x < 1 f ( x ) = x si 1 ≤ x < 2 . y hubieras tenido que enfrentar la presión para que reabriera. Si hubieras sido el ingeniero responsable de la obra de limpieza de la autopista.html . • Cada máquina puede penetrar en los escombros alrededor de un metro y avanzar a lo largo de la zona a un ritmo de v metros/hora.eluniversalgrafico. se quitaran alrededor de mil metros cúbicos de material de la autopista. que prácticamente cerró en su totalidad la autopista que conecta las ciudades de México y Toluca.A. donde v es la función cuya gráfica se muestra en la figura 1. S.5 1 0. de forma extraordinaria. Pinfra. N. ¿cuánto tiempo más habrías declarado a la empresa que tardaría tu brigada en limpiar los tres mil metros cúbicos restantes de material del primer derrumbe? Supón que las siguientes son las condiciones de trabajo: • Cuentas con 20 máquinas buldózer para la limpieza.27: Rapidez de un buldózer.26: Alud en la autopista México–Toluca.3 El teorema fundamental del cálculo En las matemáticas se exhiben conexiones entre cosas que son poco obvias. La empresa concesionaria y operadora de esta vía.com.mx/58467.5 1 2 3 4 t(tiempo en horas) v(m / h) FIGURA 1.52 Unidad 1: Diferencial e integral definida 1.27. 2. • El ancho de la parte frontal de la cuchilla de cada buldózer es de cuatro metros.. presionó a geólogos y al personal de protección civil estatal para que permitieran la reapertura de la carretera. A. de las 5:00 a las 12:00 horas del lunes siguiente. Whitehead Alud en la autopista México-Toluca El domingo 24 de septiembre de 2006.1 las lluvias que cayeron en una zona conocida como La Marquesa provocaron un deslave. 1 FIGURA 1. alegando que el cierre les generaría pérdidas millonarias. Las obras de restauración permitieron que.5 2 1. http://www. que aparece regularmente en los cursos de física.750 (sin considerar intereses posibles). entonces: ∑ p(i ) = P( x ) − P(0) i=1 x De la misma forma. La distancia total recorrida en la suma de las distancias de cada intervalo. si conocemos la función de producción total. Es decir. Aunque parecería que saber cálculo es un requisito ineludible para entenderlo. ∑ a(i ) = F (t ) − F (0) i=1 t Por otra parte. Si se sabe que ésta elabora cierta cantidad de artículos por día. después de un cierto tiempo. si a(t) y F(t) son el ahorro y la fortuna en el mes t. ¿cuántos produce en un año? La respuesta es clara: si p(x) es la producción promedio estimada en el día x y P(x) es la función de producción total hasta ese día.3: El teorema fundamental del cálculo 53 Introducción El teorema fundamental del cálculo (TFC) es uno de los pocos teoremas matemáticos que alcanzan el estatus de término fundamental. podremos conocer la producción promedio diaria en cualquier día.500 y $1.000. Por ejemplo. el cambio en su fortuna personal estaría dado por la suma de todos los ahorros acumulados.250 en tres meses consecutivos. imagina que una persona ahorra mensualmente alguna cantidad. es la relación entre velocidad y distancia recorrida. En la figura 1. Si ahorra $3. si conocemos la función fortuna en el tiempo. entonces su fortuna habrá aumentado $6. En efecto: P( x ) − P( x − 1) = p( x ) Un tercer ejemplo. En efecto: F (t ) − F (t − 1) = a(t ) Un segundo ejemplo lo constituye la producción de una empresa. podremos determinar el ahorro hecho en cualquier mes. $2. en realidad las ideas matemáticas que lo sustentan son muy básicas y aparecen rutinariamente.1.28 se muestra la velocidad de un móvil en diferentes intervalos de tiempo. n v1∆t1 + v2 ∆t 2 + + vn ∆t n = ∑ vi ∆ti = x (t f ) − x (ti ) i =1 . entonces. En general. demostrar y aplicar el teorema fundamental del cálculo. esta relación es la base aritmética del TFC. b ) tal que f (ξ ) = f [ a. • Conocer y aplicar las propiedades de linealidad de la integral indefinida. Por otra parte. encuentran en el teorema fundamental una conexión casi inesperada pero sumamente útil y bella. demostrar y aplicar el teorema del valor medio para integrales. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. Ahora nos preguntamos: ¿es posible determinar un valor ξ ∈ (a.54 Unidad 1: Diferencial e integral definida v ms v2 v3 v1 d2 = v2 Dt2 d1 = v1 Dt1 t1 t2 t3 d3 = v3 Dt3 t seg FIGURA 1. • Identificar las antiderivadas básicas. los problemas que dan origen al cálculo diferencial y al cálculo integral (tangentes a una curva y área bajo una curva) que geométricamente son totalmente distintos. deberás ser capaz de: • Enunciar. • Calcular antiderivadas de funciones básicas.3.28: Gráfica que muestra la relación entre distancia recorrida y velocidad en diferentes intervalos de tiempo. Estos ejemplos ilustran cómo la acumulación o suma de una variable se relaciona con el cambio total producido en otra. • Enunciar. • Definir la antiderivada de una función.b ] ? En la . Sección 1.1 El teorema del valor medio para integrales En la sección anterior hablamos del promedio de una función en un intervalo. • Demostrar que dos antiderivadas de una función difieren en una constante. tal que el área bajo la curva es igual al área del rectángulo. b x a x a) b a b) b x FIGURA 1. Como m ≤ f [ a. En la primera. b ) tal que: f (ξ ) = 1 f ( x )dx b−a ∫ a b Demostración: Como la función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a. en b) para funciones discontinuas puede no existir. En otras palabras. y y f x f a. existe ξ ∈ (c. entonces existe un valor ξ ∈ (a.b].29a. en caso contrario. entonces alcanza sus valores extremos absolutos en ese intervalo. d ) ⊆ (a. b ) tal que f (ξ ) = . no podríamos asegurar nada sobre la existencia de ξ. Desde un punto de vista geométrico para funciones positivas. existe 1 f ( x )dx . ambos. En la segunda gráfica. Sin perder generalidad. vemos una función discontinua donde no es posible determinar ningún valor ξ que cumpla la condición de la pregunta.29: Interpretación geométrica del TVM.3: El teorema fundamental del cálculo 55 figura 1.1.b ] . como se muestra en la figura 1. Cálculo diferencial de Prado et al. Teorema del valor medio (TVM) para integrales Si f (x) es una función continua en un intervalo [a. b ξ ∈ (a.). Así.b]. b ) tal que f (ξ ) = f [ a. tenemos el siguiente resultado que nos indica cuándo existe ξ. Lo cual demuestra el teorema. En a) para funciones continuas existe ξ. respectivamente. el teorema afirma que existe un rectángulo de base b − a y altura f (ξ). supón que c < d. por ejemplo. Sean m y M los valores mínimo y máximo absolutos que se alcanzan en x = c y x = d.29 se muestran dos situaciones. b−a ∫ a Observa que la función tiene que ser continua. por el teorema del valor intermedio para funciones continuas (véase. tenemos una función continua donde gráficamente podemos encontrar el número ξ. en el intervalo [a.b].b ] ≤ M . 14 2 Supón que f ( x ) = 4 − x con x ∈ [−2. y 4 f x x –2 x 2 FIGURA 1.b ]. Tenemos entonces que: f = 1 2 ∫ (4 − x )dx 4− 2 1 1 = 4 (2 + 2 ) − 2 3 − (−2 )3 4 3 1 16 8 = 16 − = 4 3 3 2 ( ) 4 8 2 Para determinar el valor de ξ necesitamos resolver la ecuación 4 − ξ = .30 se muestra el valor de ξ y su significado geométrico. 3 3 En la figura 1. y encuentra un número ξ tal que f (ξ ) = f [ a. . De aquí obtenemos ξ = ± . solución Calculemos primero el valor promedio de la función en el intervalo dado.56 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplos Ejemplo 1. 2 ] .30: El rectángulo que tiene área igual al área bajo la curva. 31: Pendiente de la recta secante.3: El teorema fundamental del cálculo 57 Sección 1. como se muestra en la figura 1.34. De esta ecuación. tenemos f1∆x1 = F (b ) − F (a ) La cantidad f1∆x1 es el área de un rectángulo de base ∆x1 y altura f1. Dividamos ahora el intervalo original en dos subintervalos de igual longitud ∆x1 = b−a y construyamos dos rectas secantes.30. De estas expresiones.2 La búsqueda del teorema fundamental del cálculo Imagina que tiene una función y = F(x) definida en el intervalo [a.32. b−a ∆x1 donde hemos definido ∆x1 = b − a. FIGURA 1. una para cada subintervalo. La pendiente de la recta secante que une los dos puntos extremos (a.32: Relación entre el área de un rectángulo y la pendiente de una recta secante. Observa la ∆x2 = 2 figura 1. y Fb Área1 = f1∆ x1 Fb – Fa b–a x a ∆ x1 = b – a x b a ∆ x1 = b – a b f1 y f1 = Fa FIGURA 1. tenemos f1 ∆ x1 = F ( x1 ) − F (a ) y f2 ∆ x2 = F (b ) − F ( x1 ) Estas dos cantidades son precisamente las áreas de los dos rectángulos que se muestran en la figura 1. La suma de estas dos áreas da como resultado f1 ∆ x1 + f2 ∆ x2 = F (b ) − F (a ) . F(b)) está dada por f1 = F (b ) − F (a ) F (b ) − F (a ) = . F(a)) y (b. y f2 = ∆ x2 ∆ x1 donde x1 = (a + b)/2 es el punto medio del intervalo. Las pendientes de estas rectas son: f1 = F (b ) − F ( x1 ) F ( x1 ) − F (a ) .b].1. una primera vista hacia la integración.3. las áreas de los cuatro rectángulos mostrados en la figura 1.36 son f1∆x1 = F ( x1 ) − F (a ). .36: Áreas de cuatro rectángulos con alturas iguales a las pendientes de las rectas secantes. Las pendientes de las rectas secantes en este caso son 4 f1 = F ( x1 ) − F (a ) F ( x2 ) − F ( x1 ) F ( x 3 ) − F ( x2 ) F (b ) − F ( x3 ) .58 Unidad 1: Diferencial e integral definida y Fb Fx1 f2 f1 y Área1 = f1 ∆ x1 Área2 = f2 ∆ x2 f1 Fa ∆ x1 = x1 – a a ∆ x2 = b − x1 x1 b x x a ∆ x1 = x1 – a x1 b ∆ x2 = b – x1 f2 FIGURA 1.33: Relación entre la pendiente de dos rectas secantes y el área. Repitamos ahora el proceso.35: Relación entre la pendiente de rectas secantes y el área. si sumamos estas áreas obtenemos: ∑ fi ∆ xi = F (b) − F (a) i =1 4 y Fb F 2 Fx F 1 Fx Fa f1 a x1 x2 x3 b x f2 f3 f4 f2 f3 f4 f1 y f1 ∆ x1 f2 ∆ x2 f3 ∆ x3 f4 ∆ x4 x a x1 x2 x3 b FIGURA 1. 2. i = 1.34: Áreas de rectángulos con alturas iguales a las pendientes de las rectas secantes. 4 . FIGURA 1. FIGURA 1. considerando 4 subintervalos de igual longitud b−a ∆xi = . 3. f3∆x3 = F ( x3 ) − F ( x2 ) y f4 ∆x4 = F (b ) − F ( x3 ) Haciendo las cancelaciones de términos semejantes. Por otro lado. f2 ∆x2 = F ( x2 ) − F ( x1 ). ∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆x4 donde xi = a + i∆xi. f3 = y f4 = . f2 = . Más aún. F(xi)) está dada por fi = de donde fi ∆xi = F ( xi ) − F ( xi−1 ) Sumando y haciendo las cancelaciones pertinentes.33) y (1. Considere ahora el subintervalo [xi.b] y además F '( x ) = dx ∫ a a para todo x ∈ [a. xi−1]. donde C es cualquier constante real..b] se divide en n subintervalos b−a de longitud ∆xi = con i = 1. En efecto. (1.3: El teorema fundamental del cálculo 59 Pasemos al caso más general.. ∆xi ∑ fi ∆xi = ( F ( x1 ) − F (a)) + ( F ( x2 ) − F ( x1 )) + i =1 n + ( F (b ) − F ( xn−1 )) = F (b ) − F (a ) Observa que no importa el tamaño de la partición. se tiene lím ∑ fi ∆xi = F (b ) − F (a ) i =1 n n→ ∞ (1. Es decir: f ( x ) = lím ∆F ( x ) dF = ∆x dx ∆x →0 El resultado (1. la n pendiente de la recta secante que une los puntos (xi−1. .35) y no se afecta el proceso que seguimos.n. Imagine que el intervalo [a. Teorema fundamental del cálculo (primera parte) Si f es una función continua en un intervalo [a. deducidos intuitivamente y con poco rigor. F(xi−1)) y (xi. son la base del teorema que nos interesa enunciar y demostrar..31). obtenemos F ( xi ) − F ( xi −1 ) . 2. entonces la derivada de la x x d f ( s )ds = f ( x ). usando la definición de integral definida. b ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a) a En esta expresión la función f (x) es la función que se obtiene de considerar el límite de las pendientes de las rectas secantes.1..26) es válido para cualquier otra función G(x) tal que G(x) = F(x) + C. Estos resultados.b]. en el límite cuando n tiende a infinito. ésta sólo traslada verticalmente la gráfica de F (x) que aparece en las figuras (1. que es el fundamental del cálculo.b].26) De donde. función F ( x ) = ∫ f ( s )ds existe en [a. pues siempre se obtiene el mismo resultado. supón que h > 0. y la definih→0 ción de derivada.60 Unidad 1: Diferencial e integral definida Demostración: Sin perder generalidad.b]. tenemos que f ( x ) = lím f (ξ ) = lím h→0 h→0 F ( x + h) − F ( x ) = F '( x ) h Es decir. el teorema indica que los procesos de derivación e integración son inversos. x + h] tal que x+h ∫ x f ( s )ds = f (ξ ) [ ( x + h ) − x ] = hf (ξ ) f (ξ ) = F ( x + h) − F ( x ) h De donde resulta que Tomando en cuenta que f es continua en [a. De acuerdo a con el teorema fundamental. Observaciones 1. . por lo cual lím f (ξ ) = f ( x ) . que puede representarse por la función F ( x ) = ∫ f ( s )ds . En consecuencia. Así.37 se muestra el área bajo la curva y = f (s) > 0 en el intervalo x x a ≤ s ≤ x. d f ( s )ds = f ( x ) dx ∫ a Con lo cual queda demostrado el teorema fundamental del cálculo en su primera parte. f (s) s=a s=x s FIGURA 1. la derivada de esta función es f (x). x+h x F ( x + h) − F ( x ) = = = a x+h ∫ ∫ ∫ x f ( s )ds − ∫ f ( s )ds a a a x+h f ( s )ds + ∫ f ( s )ds x f ( s )ds Por el teorema del valor medio para integrales existe ξ ∈ [x.37: Representación gráfica de ∫ x a f ( s ) ds . En la figura 1. = 3x 2 eu = 3x 2 e x ∫ e ds = ∫ dx a dx du a 3 . Si el límite superior es una función h(x).1.15 x Calcula la derivada de la función definida como F ( x ) = ∫ 5u 3du a solución Usando la primera parte del teorema fundamental del cálculo tenemos. derivable y continua para toda x.3: El teorema fundamental del cálculo 61 2. Sea u(x) = x3. De esta forma. entonces.16 x3 Calcula la derivada de la función F ( x ) = e ds ∫ a s solución Apliquemos nuevamente el operador derivada d es ds dx ∫ a x3 F '( x ) = Dado que el límite superior es x3 haremos un cambio de variable. usando la regla de la cadena tenemos x u 3 d s d s du e ds .27) Ejemplos Ejemplo 1. d F(x) d 5u 3du = 5 x 3 = dx dx ∫ a x Ejemplo 1. por el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena tenemos el siguiente resultado: d dx h( x ) ∫ a dh( x ) f ( s )ds = f ( h( x )) dx (1. 18 Utiliza el teorema fundamental del cálculo para evaluar d dz ( ∫ cos( p )dp) z 2 b solución Observa que no importa el nombre que utilices para la variable de integración. antiderivada o integral indefinida de una función f. además.6 Una función F es una primitiva.b] se pedirá. donde F+ ' (a) es la derivada lateral derecha en x = a y F − ' (b) es la derivada lateral izquierda en x = b. a x d ⌠ 1 d ⌠ 1 =− 1 = 1 dr dr = − 2 2 ⌡ ⌡ dx 1 − r dx 1 − r 1 − x2 x2 − 1 x a Ejemplo 1. para cada x ∈ I. si en algún intervalo I se cumple f (x) = F '(x).3 Teorema fundamental del cálculo (segunda parte) Antes de establecer la segunda parte del teorema fundamental. requerimos la siguiente definición.3. Así: d dz ∫ b cos( p 2 ) dp = cos(z 2 ) z Sección 1. así que primero invertimos y después calculamos la derivada. Definición 1.62 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplo 1. dr Aplica el teorema fundamental del cálculo para calcular dx ⌡ 1 − r 2 x solución Nota que los límites de integración se encuentran invertidos. por esta razón se le conoce como variable muda.17 a d ⌠ 1 . Si el intervalo es I = [a. . que f (a) = F + ' (a) y f (b) = F − ' (b). donde C es una constante. con k una constante. como c ∈(a. ¿qué función tiene x5 como derivada? Una posible respuesta sería F(x) = x6/6. que también es c antiderivada de f. para las antiderivadas tenemos las siguientes propiedades. ∫ [ f ( x ) + g( x )] dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g( x ) dx La primera propiedad indica que las constantes salen del símbolo de integración. Por esta razón.6 se muestran algunas integrales indefinidas básicas que serán muy útiles a lo largo de este texto. probamos la siguiente propiedad de las antiderivadas. las cuales enunciaremos sin demostrar.b). una primitiva responde a la siguiente pregunta: ¿qué función tiene la propiedad de que su derivada produce como resultado una función previamente dada? Por ejemplo. las antiderivadas o primitivas suelen escribirse como F ( x ) = ∫ f ( x )dx + C y reciben el nombre de integrales indefinidas. x En efecto. . Utilizando. obtenemos una segunda función G ( x ) = ∫ f ( s )ds. consideramos un valor diferente. pero existen una infinidad de resultados. Propiedad Si F '( x ) = G '( x ) . la función F ( x ) = ∫ f ( s )ds es una antiderivada de f. Es decir. a x ya que F '(x) = f (x). Con estas circunstancias: x x F ( x ) − G ( x ) = ∫ f ( s )ds − ∫ f ( s )ds a x c c = ∫ f ( s )ds + ∫ f ( s )ds a c x = ∫ f ( s )ds = constante a Así demostramos que dos antiderivadas de una misma función difieren en una constante. entonces. La segunda afirma que la integral de una suma es la suma de las integrales. desde ahora esta notación. Propiedades de linealidad de la integral indefinida a) b) ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx. F ( x ) = G ( x ) + C . todos relacionados entre sí. Si en vez del límite inferior constante a. En la tabla 1.1. de acuerdo con el TFC.3: El teorema fundamental del cálculo 63 En esencia. 7. ∫ dv = v + C ∫ vn dv = n + 1 + C. 13. ⌠ dv v 24. ∫ e dv = e v v 14. 9. 11. Teorema fundamental del cálculo (segunda parte) Si f es una función continua en el intervalo [a. 1. Estamos ahora en condiciones de enunciar y mostrar la segunda parte del TFC. 19.64 Unidad 1: Diferencial e integral definida Tabla 1. para todo x ∈[a. +C v ∫ a v dv = ln(a) + C ∫ sen(v) dv = − cos (v) + C ∫ cos(v) dv = sen(v) + C ∫ sec2 (v) dv = tan(v) + C ∫ csc2 (v) dv = − cot (v) + C ∫ sec(v) tan(v) dv = sec(v) + C ∫ csc(v) cot(v)dv = − csc(v) + C ∫ tan(v)dv = − ln cos(v) + C = ln sec(v) + C ∫ cot(v)dv = ln sen(v) + C a (v )dv = tanh(v ) + C (v )dv = − coth(v ) + C 2 ∫ sech(v) tanh(v)dv = − sech(v) + C ∫ csch(v) coth(v)dv = − csch(v) + C 1 v ⌠ dv 22. 2 2 = arctan + C ⌡ v + a a a 1 (v − a ) ⌠ dv +C 23. 20. 2 2 = arcsen + C a ⌡ a −v ⌠ 1 v dv = arc sec + C 25. 18. 6. 21 ⌠ dv 3. 17. 2 2 = ln ⌡ v − a 2 a (v + a ) 10.6: Tabla básica de fórmulas de integración.b] a . 8. = ln v + C ⌡v 4. 2.b] y F es una primitiva de f en este intervalo. 5. entonces: x ∫ f (s )ds = F ( x ) − F (a). n ≠ −1 ∫ sec(v)dv = ln sec(v) + tan(v) + C ∫ csc(v)dv = ln csc(v) − cot(v) + C ∫ senh(v)dv = cosh(v) + C ∫ cosh(v)dv = senh(v) + C ∫ sech ∫ csch 2 v n+1 15. a ⌡ v v2 − a2 a 12. 16. 3: El teorema fundamental del cálculo 65 Demostración del teorema fundamental. cuya derivada sea x2 − 1 y que tome el valor de 6 cuando x sea igual a 3. . Si F(x) es otra antiderivada. Segunda parte Sea G ( x ) = ∫a x f ( s ) ds una primitiva de f.19 Determina el valor medio de la función f (x) = sen(x) sobre el intervalo [0.20 Usa el teorema fundamental del cálculo para encontrar una función F(x). tenemos f [ 0. Como f es una función continua en el interva- lo considerado y de acuerdo con la primera parte del teorema fundamental del cálculo. a obtenemos C = −F (a ) .π ] = 1 1 sen( x )dx = ( − cos( x )) π∫ π 0 π π = 0 2 π Ejemplo 1.1. se tiene que G(x) − F(x) = C Si evaluamos en x = a y utilizamos que a G (a ) = ∫ f ( s )ds = 0. Ejemplos Ejemplo 1. Con este resultado: G ( x ) = F ( x ) − F (a ) De aquí concluimos que x ∫ f (s )ds = F ( x ) − F (a).π]. como dos antiderivadas de la misma función difieren solamente por una constante. sabemos que G '( x ) = f ( x ). solución Partiendo de la definición correspondiente. a con lo cual queda demostrada la segunda parte del TFC. 3 6 = F ( 3) = ∫ ( s 2 − 1)ds + C = C 3 De aquí que la función buscada sea s3 F ( x ) = ∫ ( s 2 − 1)ds + 6 = − s 3 3 x x3 27 x3 + 6 = − x − − 3 + 6 = − x. la función buscada debe tener la forma x F ( x ) = ∫ ( s 2 − 1)ds + C .66 Unidad 1: Diferencial e integral definida solución En esencia. Con base en el teorema fundamental del cálculo. 3 Ahora. 2 dt . cumpla la condición dx F(3) = 6.x > 0 2 b) f ( x ) = 3 sen( x ) + 2 x 5 2. se busca una función F(x) tal que d F(x) = x 2 − 1 y que. Calcula las siguientes integrales definidas: π 6 x a) −π ∫ 6 sec 2 ( x )dx d) e) b) c) ∫ ( 3 − x − 3 ) dx 1 4 ∫ (t + t ) 0 π 4 0 x ∫ t dt . encuentra una primitiva de f y después aplique la segunda parte b del teorema fundamental del cálculo para hallar I = ∫ f ( x )dx a a) f ( x ) = 2 x + x . para cualquier x real.6. 3 3 3 3 x donde hemos utilizado las fórmulas 1 y 2 de la tabla 1. ∫x 0 4 2 − 4 x + 3 dx ⌠ 1 + sen 2 ( x ) f) dx 2 ⌡ cos ( x ) 0 . para cualquier x real. además. 1. En cada uno de los siguientes incisos. a) Calcula ∫ f ( x )dx 0 x 0 5 b) Si F ( x ) = ∫ f ( x )dx . Encuentra la derivada de las siguientes funciones: ∫ t f (t )dt = sen( x ) − x cos( x ) − c x2 ⌠ t dt . 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 FIGURA 1.38 que corresponde a una función f. calcula f y f ' . Una función definida en todo ޒsatisface que f ( x ) = 3 + ⌡ 2 + t2 0 drático p(x) = a + bx + cx2 tal que p(0 ) = f (0 ) . a) F ( x ) = ⌡ t3 + 2 2 x3 x4 b) F ( x ) = ∫ 3 t 4 + 1 dt.1.3: El teorema fundamental del cálculo 67 3. encuentra una fórmula para F y obtén la gráfica de y = F(x) 4. 2 4 4 x b) Encuentra una función f y un valor de la constante C tal que x C ∫ f (t )dt = cos( x ) − 2 .38: La función F es la función que proporciona el área bajo la curva y = f (x). 0 x c) F ( x ) = 3x ∫( t 3 +1 ) 10 dt. x2 . d) F ( x ) = x 1 ∫ x t 4 + t 2 + 4 dt ⌠ 1 + sen(t ) dt . Considera la gráfica quebrada de la figura 1. 2 1 c) Halla una función f y un valor de la constante C tal que 5. Encuentra un polinomio cua6. p '(0 ) = f ' (0 ) y p ''(0) = f ''(0). x a) Si ∫ f (t )dt = − 2 + x 0 1 2 π 1 π + x sen(2 x ) + cos(2 x ) . En cada uno de los siguientes incisos. la función f es continua y satisface la ecuación dada. . Determina: a) Las raíces de la función. . G es la constante de gravitación universal y M es la masa del planeta. a) Encuentra una relación entre v. r0 es el radio del planeta. Considera la función F ( x ) = −3 ∫e −t 2 dt . La distribución vertical de la velocidad del agua en un río se puede representar con la fórmula v = c (D − h)1/6. ¿qué relación existe entre An. donde v es la velocidad (en m/s) a una profundidad de h metros bajo la superficie del agua. 10. a) Establece una fórmula para la velocidad media vmed en términos de D y c. 0 1 b) f ''(1) y f '''(1). si f (x) = 1 ( x − t )2 g(t )dt 2∫ 0 11. v0. c) Establece una relación entre An y Bn . v es la velocidad del objeto a una distancia r del centro del planeta. y A la del más pequeño.39 se representa el área del rectángulo más grande. D es la profundidad del río y c es una constante positiva. Calcule: a) f '(x). La velocidad mínima que se requiere para que un objeto escape de la atracción gravitatoria de un planeta se obtiene resolviendo la ecuación ⌠ dr + c. calcula An + Bn. c) Los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y donde sea cóncava hacia abajo. 12.68 Unidad 1: Diferencial e integral definida ⌠ 7. a) Si An y Bn son las áreas sombreadas de la siguiente figura. 7 x 9. b) Los intervalos donde la función crece y donde decrece. ∫ vdv = −GM ⌡ r2 v 0 v r r0 donde v0 es la velocidad inicial del objeto lanzado desde el planeta. Calcula ⌡1 4 d 2 3 t − 1 dt dx. ∫ dx x 2 ( ) 8. r y r0 b) Usa esta expresión para determinar la velocidad mínima requerida para que un objeto escape de un cuerpo de masa M. Sea g una función continua en ޒtal que g(1) = 5 y x ∫ g(t )dt = 2. c) Determina la velocidad de escape de la Tierra. A y B? Calcula nuevamente la suma An + Bn usando la relación encontrada. Bn. definida en −3 ≤ x ≤ 3. b) Comprueba que vmed = 6 v0 donde v0 es la velocidad del agua en la superficie. d) La gráfica de la función. b) Si en la figura 1. 1. Determina sus extremos relativos. x] es igual a la ordenada del punto P(x. v. . A continuación se muestran cuatro integrales que definen cuatro funciones en ޒ. 2. analiza y resuelve las siguientes situaciones. Utiliza algún paquete computacional o dispositivo graficador para construir la gráfica de la función y compararlo con tu resultado. iv. Calcula su derivada. y). Con estos elementos. Una función desconocida y = f (x) > 0 tiene la propiedad de que el área comprendida entre su gráfica y el eje x en el intervalo [0. elabora un esbozo de la gráfica de la función. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. En diversas áreas de la ciencia y la ingeniería aparecen funciones que se resuelven usando integrales definidas.39: Relación entre las áreas An y Bn. Ofrece alguna solución a la situación que se presenta en la introducción del capítulo. c) Repite los puntos del inciso anterior para las otras tres funciones.1. Establece las regiones de concavidad de la función. Alud en la autopista México-Toluca.3: El teorema fundamental del cálculo 69 f (x) = xn An Bn a b FIGURA 1. ii. Halla la función que satisface esta condición y que además pasa por el punto P0(0. Funciones definidas por integración. 1). b) Considera la función S(x) y ahora i. iii. ⌠ πt 2 S ( x ) = sen dt ⌡ 2 0 x ⌠ πt 2 C ( x ) = cos dt ⌡ 2 0 x 2 erf( x ) = π ∫e 0 x −t 2 dt ⌠ sen(t ) Si( x ) = dt ⌡ t 0 x Integral seno de Fresnel Integral coseno de Fresnel Función error Función integral senoidal a) Investiga en qué áreas aparecen estas funciones y su utilidad. 13. Establece el área bajo la curva f (x) = x5 + 2x4 + 2x + 3 en el intervalo [0. Autoevaluación 1. Una empresa compra maquinaria con un valor inicial V0. Es decir: man(t ) = βt 2 . que los costos en el tiempo de la maquinaria están dados por costos(t ) = dep(t ) + man(t ) = α (V0 − kt ) + βt 2 a) Determina el costo promedio al tiempo t de servicio de la maquinaria.91 4.00 b) 7. Compra y venta de maquinaria. se sabe que los costos de mantenimiento en el tiempo aumentan de forma proporcional al cuadrado del tiempo de servicio de la maquinaria.00 c) 18. Obtén la derivada de la siguiente función F ( x ) = a) F '( x ) = x 1+ 8 x3 b) F '( x ) = x 1+ x6 ∫ 2 + 2x3 2 dx c) F '( x ) = x 2 + x6 d ) F '( x ) = x 1+ x3 3. b) Establece el tiempo en el cual se tiene el costo promedio mínimo. c) Explica por qué se sugiere cambiar la maquinaria en el tiempo obtenido en el inciso anterior. Calcula F '(−1).70 Unidad 1: Diferencial e integral definida 3. de tal suerte. si F ( x ) = a) 0 ∫x t 1 t 2 + 1 dt 2 x 2 b) c) −1 d) − 2 2. Por experiencia. Calcula el valor promedio de la función f (x) = 4 + 3sen(x) en el intervalo [0.56 d) 5. de acuerdo con la ecuación dep(t ) = α (V0 − kt ) Además. se sabe que aquella se deprecia linealmente.π]: a) 4. x]: a) área = 1 6 2 5 2 x + x + x + 3x 6 5 c) área = d) área = 1 5 2 4 x + x +x+3 6 5 1 6 2 5 2 x + x + x + 3x + 5 6 5 b) área = x 6 + 2 x 5 + x 2 + 3x . 8642 d) 2. d) (x + x ) . a) 14.5 a 3 FIGURA 1. 1 < x ≤ 3 2 2 53 5x2 . b) 2x . c) 4.5 0. e) . I = b 6 − a 6 − 3 ( cos (b ) − cos ( a )) 3 3 ( 2.40. f ) 2 − 4 3 2 2 3 14 12 3. 3< x ≤ 5 − 15 x + 2 2 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 . a) 2 13 π x 2x2 x . a) F ( x ) = 2 x 2 + c . donde f (t ) = t + 3 si 1 < t ≤ 3 2 Observa la figura 1.5684 b) 2.5 2 1. 0 ≤ x ≤ 1 x2 1 F ( x ) = 3x − − .40: Problema 3 de autoevaluación.5 1 0. I = 2 b 2 − a b) F ( x ) = ( 3 3 2 ) ) x6 1 − 3 cos ( x ) + c. Considera la función de área F ( x ) = ∫ 0 f (t ) dt .3: El teorema fundamental del cálculo 71 t 2 + t si 0 ≤ t ≤ 1 5. a) 1. Respuestas a los Ejercicios y problemas 3 1.71548 x 3 2. b) .1. Determina el valor de a para el cual F(a) = 5.1516 c) 1.5 1 1. .75 –3 –2 –1 1 2 3 10. 5. C = π . 1978. 1980. F. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. México. Pearson Educación.. c) La función es cóncava hacia arriba en (−3. vol. b) 3. b) 2. Hille.174 m / s R y R 12.. cóncava hacia arriba en (0. c) An = nBn 13. Madrid. Cálculo de una y varias variables. Reverté. 2.y John. Courant. Apóstol. 4a. et al. I . Limusa.. c) f (t) = sen(t) − 1. y Salas. a) f '( x ) = x ∫ g(t )dt − ∫ t g(t )dt . b) f ''(1) = 2. 1982. Seeley. Santiago. R. Barcelona. G. f '''(1) = 5 0 0 1 1 2GM 2 2 11. 6. d) La gráfica de la función es la siguiente. a) v = v0 + 2GM − . México. Calculus. vol. Precálculo. b) f (t) = –sen(t). b) v0 = .. ed. Introducción al cálculo y al análisis matemático. 2002. ed. Trillas.. Barcelona.. 4. a) La gráfica tiene una raíz en x = −3. 8. f ' = 2 − π . c) −3 27 x 3 + 1 3 ( ) 10 + 3x 2 x 9 + 1 . Ejercicios de análisis. a) 5. 1975. b) La función es creciente en todo su dominio. .3) y tiene un punto de inflexión en x = 0. C = 0 3 4 2 4 5. d) 4. c) Referencias 1.72 Unidad 1: Diferencial e integral definida π π π 4. Reverté. b) An + Bn = B − A. b) 2 x x 8 + 1 . p( x ) = 3 + x + x 2 2 4 7. a) b n+1 − a n+1.0). T. Etgen. a) vmed = x x 1. J. Prado. c) v0 ≈ 11. Rivaud. a) f = . 3. México. d) ( ) 10 4 x4 + x2 +1 x2 + x + 4 + x4 2 x 1 1 6. R. 2a. I. Reverté. f (x) = e x Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. a) 4 x7 x12 + 2 . –111 6 1/6 cD 7 9. 2006. 7 Integración numérica 2.1 Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 2.3 Integrales de potencias trigonométricas 2.2 Integración por partes 2.4 Método de sustitución trigonométrica 2.6 Sustituciones diversas 2.5 Integración por fracciones parciales 2. R.1 Método de sustitución y ecuaciones diferenciales La razón de ser de un matemático no es otra que la de resolver y proponer problemas. P.73 Unidad Métodos de integración Contenido de la unidad 2. pues dicha actividad constituye el corazón de las matemáticas. Halmos . la temperatura de Jorge era 25° C y la del sitio había descendido 2° C. La defensa de Juan. expresadas en la tabla de integrales básicas de la sección anterior. La policía llegó al lugar. Durante el juicio. 2. además. Después de bailar con Raquel y cansado de las actividades de la mañana. Juan se fue a su casa. no tienen el aspecto de las integrales inmediatas. argumentó que su cliente no podía haber estado en el parque a la hora señalada. respectivamente. se podía asegurar que el homicida había sido otro. ya que para llegar de la casa de Raquel al lugar del homicidio sólo se necesitaban 25 minutos. Raquel. La pelea alcanzó tintes dramáticos y Juan aseguró que Jorge moriría esa noche. Cerca de las 12 de la noche. Juan había tenido el tiempo suficiente para llevar a cabo el crimen. es necesario desarrollar estrategias que permitan calcular integrales de funciones complicadas. en ese preciso momento. asesorada por un equipo técnico. ¿hay evidencia suficiente para determinar que Juan es inocente? ¿Qué sentencia debería dictar el juez responsable del caso? FIGURA Introducción En el proceso de integración encontramos funciones que. También indicaba que se esperaba lluvia y que el frío era intenso. la cual reportaba que Jorge había sido asesinado en un parque muy cercano a la casa de Juan. 2 o 3. De acuerdo con los datos. . lo aplicaremos para resolver ecuaciones diferenciales sencillas. pues en la ropa de Jorge se habían encontrado huellas de las manos de aquél y que. Por ello. Juan se dirigió a la casa de su novia. porque el crimen ocurrió cuando éste todavía estaba en la casa de Raquel y que. que es la base de todos los demás procedimientos.1: Juan y Raquel. Juan argumentó que después de la cena se había dirigido a su hogar y que había olvidado el incidente con su amigo. Después de la riña.74 Unidad 2: Métodos de integración ¿Inocente o culpable? El viernes 13 de enero de 2006. A las tres de la mañana. quien lo había invitado a la cena del aniversario de bodas de sus padres. a las 11 de la noche. si se tomaban en cuenta los 25 minutos de distancia entre ambos sitios. El primero que estudiaremos es el de sustitución o de cambio de variable. bailando. El oficial al mando del caso reportó que. Cuando lo aprehendieron. agentes policiacos lo detuvieron: era el principal sospechoso del homicidio de Jorge. elevada a las potencias 1. y que una hora después —tiempo durante el que revisó la escena del crimen—. Al final. los abogados indicaron que ni siquiera suponiendo que la razón del cambio de la temperatura corporal fuera proporcional a la diferencia de la temperatura del occiso con la del medio ambiente. la parte acusadora insistió en que Juan era el ¿Juan es inocente? asesino. Juan y Jorge discutían de forma acalorada por motivos personales. en general. exactamente a las 24:00 horas. a las cinco de la tarde. Finalmente. las temperaturas del cuerpo del fallecido y del medio ambiente eran 29° C y 10° C. Además. estableceremos algunos modelos físicos interesantes en los que este método resulta fundamental para encontrar las soluciones. la policía recibió una llamada anónima. a quien realmente estimaba mucho. se podría asegurar que Juan había sido el responsable. • Calcular integrales mediante el método de sustitución. el cálculo de una integral complicada requiere de algunos cambios de variable que transformen la integral en otra más simple. que enunciaremos sin demostración. 10 2 3 = e5 x + C sustit tuyendo u 10 Con ello hemos encontrado una antiderivada de la función original. en consecuencia F ( g( x )) = ∫ f ( g( x )) g '( x )dx + C que es coherente con la regla de la cadena de derivadas. Sección 2. tenemos du = 10xe5x dx. Este resultado lo formalizamos con el siguiente teorema. deberás ser capaz de: • Enunciar y aplicar la regla de la cadena para antiderivadas.1 Método de sustitución En muchos casos. de donde La integral se transforma usando estos resultados 2 2 du = xe5 x dx 10 2 ⌠ 3du I = ⌡ 10 3u = +C integrando. Ésta es la idea básica del método de sustitución. supón que quieres calcular la siguiente integral: I = ∫ 3 xe5 x dx 2 Si definimos la función u = e5x . .1. sabemos que du = g'(x)dx. Con la finalidad de comprender mejor la idea. además.2. para mostrar que el cálculo es correcto basta con derivar la última expresión. F (u ) = ∫ f (u )du + C Si. si F es una antiderivada de f. En general. entonces.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 75 Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. • Resolver ecuaciones diferenciales básicas con el método de separación de variables. donde se identifique rápidamente una antiderivada. • Modelar fenómenos de diferente tipo utilizando ecuaciones diferenciales. u = g(x) de la definición de diferencial. y dejar el integrando en términos de las variables nueva y vieja. entonces. El primero consiste en no transformar adecuadamente la integral. Por otro lado. ∫a f (g( x ))g '( x )dx = F (g( x )) a b b por el teorema de e integrales definidas. = F (u ) u2= g ( a ) 1 u = g (b ) tomando u1 y u2 como límites de la variable u. Teorema 2. por la definición de antiderivada. en algunos casos no basta con un primer cambio de variable y. Tomando en cuenta dichas observaciones. existen dos errores comunes cuando se utiliza el método de sustitución.1: Cambio de variable para integrales indefinidas Sea u = g(x) una función derivable en algún intervalo donde la función f sea continua. en cambio. = F ( g(b )) − F ( g(a )) evaluando. establecemos el método de sustitución . La práctica le permitirá determinar cada vez con mayor facilidad el cambio adecuado. quizá sea necesario un segundo cambio o varios más. El segundo es transformar el integrando. pero no los límites de integración. tenemos el teorema equivalente. Entonces. ∫ a b g (b ) f ( g( x ))g '( x )dx = g(a ) ∫ f (u )du Demostración: Sea F(x) una antiderivada de f (x). =∫ g (b ) g(a ) f (u )du Recomendamos emplear el método de sustitución cuando aparezca una integral complicada. Sin embargo. Recuerda siempre que debe cambiar los límites y reescribir el integrando sólo en términos de la nueva variable. entonces.2: Cambio de variable para integrales definidas Si g'(x) es continua en a ≤ x ≤ b y f (x) es continua sobre la imagen de g(x). ya que una primera simplificación ayudará a decidir el siguiente paso.76 Unidad 2: Métodos de integración Teorema 2. ∫ f (g( x ))g '( x )dx = ∫ f (u )du Para el caso de las integrales definidas. Obtén los límites de la variable u considerando u(x = a) = g(a) y u(x = b) = g(b). Así. Reescribe la integral en términos de la variable u. 5. Calcula du = g'(x)dx. proponemos el argumento de la función como el cambio de variable u = 2x + 1. si no. 3. 4. Si es necesario y posible.2. 2 I= = = ∫ cos(2 x + 1) dx u du 2 identificando términos ∫ cos(u ) du 2 haciendo el cambio de variable 1 sen(u ) + C sacando constantes de la integral e integrando 2 1 = sen(2 x + 1) + C sustituyendo u 2 . despeje x. a) En el primer caso. busque una función de apoyo.1 Calcula las siguientes integrales: a) I = ∫ cos( 2 x + 1)dx 2 dx b) I = ⌠ ⌡1 + 5 x c) I = ∫ sec 2 ( 2 − 3 x )dx solución Para estas tres integrales. utilizando los resultados anteriores. y al despejar dx obtenemos dx = . du Al diferenciar. Ejemplos Ejemplo 2. 2. el cambio de variable es inmediato. resulta du = 2dx. Propón un cambio de variable u = g(x).1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 77 Método de sustitución 1. 3 . Si hacemos la sustitución du = x 2 dx . despejando dx = − I = ∫ sec 2 ( 2 − 3 x ) dx u − identificando términ nos du 3 du 2 = −⌠ haciendo el cambio de variable sec (u ) ⌡ 3 1 = − tan(u ) + C sacando constantes de la integral e integrando 3 1 = − tan( 2 − 3 x ) + C sustituyendo u 3 Ejemplo 2. de aquí tenemos du = 5dx. Así. de donde du = −3dx. 5 identificando términos haciendo el cambio de variable sacando constantes de la integral e int tegrando sustituyendo u du . observa que el término x2 está relacionado con la derivada de x3. 3 c) Ahora proponemos u = 2 − 3x. despejando dx = du ⌠ 5 2 I = dx 1+ 5 x ⌡ u ⌠ 2 du = ⌡u 5 2 = ln n u +C 5 2 = ln 1 + 5 x + C 5 du .2 Calcula la integral I = ∫ x 2 x 3 + 1 dx solución De entrada. u = x3 + 1. tenemos que su diferencial es du = 3x2dx. Así. de donde 3 expresamos la integral en términos de la variable u: 1/ 2 ⌠ 3 ⌠u 1/ 2 2 du ( x + 1) x dx = ⌡ 3 du ⌡ u 3 Una antiderivada de u1/2 es u 3/ 2 3 2 +C = 2 3/ 2 u + C . Al reunir tales resultados. Entonces.78 Unidad 2: Métodos de integración b) Ahora proponemos u = 1 + 5x. entre las rectas x = 2 y x = 5.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 79 I= 1 1/ 2 1 2 u 3/ 2 2 u du = ⋅ + C = u 3/ 2 + C ∫ 3 3 3 9 Finalmente. obtenemos I= 2 3 ( x + 1)3/ 2 + C 9 Ejemplo 2. al sustituir u obtenemos I= 1 sen( x 5 ) + C 5 Ejemplo 2. después de hacer el cambio de variable e integrar.2. al sustituir el valor de u.4 Calcula la integral I = ∫ (3 x 2 − 1) e x 3 −x dx solución En este caso. de donde du = 5x4dx. de manera que podemos realizar la sustitución u = x5. Ejemplo 2. de manera que.3 Calcula la integral I = ∫ x 4 cos( x 5 ) dx solución Observa que cos(x5) es una función compuesta. al sustituir e integrar resulta I = ∫ (3 x 2 − 1)e x − x dx = ∫ eu du = eu + C 3 En términos de la variable original. la integral I se expresa como I= 1 1⌠ 1 5 4 cos( x )(5 x )dx = ∫ cos(u )du = sen(u ) + C 5 5⌡ 5 f (u ) du Finalmente. ya que si definimos u = x3 − x.5 2 Determina el área limitada por la curva y = 2 x x − 1 arriba del eje x. De esta forma. . entonces du = (3x2 − 1) dx. obtenemos I = ex 3 −x + C. la integración resulta casi inmediata. su diferencial es du = 2xdx.2: En a) se muestra el área buscada en un sistema de ejes x.2. Ambas producen el mismo resultado.80 Unidad 2: Métodos de integración solución 2 Para determinar el área basta. Reunimos estos resultados en la línea siguiente: Cambio de variable u = x2 − 1 Diferencial du = 2xdx Límites u(x = 2) = 3 u(x = 5) = 24 De esta manera. cualquier cambio 5 de variable que hagamos modificará los límites de integración. y los límites de la variable u son u(x = 2) = 3 y u(x = 5) = 24. ⌠ I 5 = ( x 2 − 1)1/2 2 xdx ⌡ du 1/ 2 2 u 24 5 identifican ndo términos y sustituyendo u = = 1/2 ∫ u du = 3 2 3/2 u 3 24 integrando 3 2 2 (24 )3/2 − 33/2 = 74. El área buscada y el área transformada por el cambio de variable se muestran en la figura 2. En b) se muestra el área transformada mediante el cambio de variable. calcular la integral I = ∫ 2 x x − 1 dx . Como se define. 2 y 50 40 30 20 10 x –1 1 2 a) 3 4 5 6 –1 5 4 3 2 1 v u 5 10 15 b) 20 25 FIGURA 2. El cambio que proponemos es u = x2 − 1. y.9196 evaluando 3 3 . 8 0. Observa que para calcular du necesitamos despejar u antes. el resumen del cambio se muestra a continuación. solución Para determinar el área.6 0. Cambio de variable u = ex + 1 Diferencial du = exdx Límites u(x = 0) = 2 u(x = 1) = e + 1 Con este cambio la integral. basta con calcular la integral ⌠ e x dx A= ⌡ ex + 1 + 1 0 1 Proponemos u = ex + 1 como un primer cambio de variable para simplificar la integral.6 Calcula el área de la región sombreada de la figura 2. .2 0.2 y= ex ex + 1 + 1 0.8 1 FIGURA 2. 1 0.4 0.4 0.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 81 Ejemplo 2.2.3. se transforma en du A= ⌠ ⌡ u +1 2 1+ e Ahora proponemos v = u + 1 como un segundo cambio.6 0. su diferencial y los nuevos límites se muestran en las siguientes líneas.3: Cálculo del área de la región sombreada. ya que ésta es positiva en el intervalo proporcionado.7 Calcula el área y el valor promedio de las siguientes funciones en el intervalo [−1.642056 ( 2 +1 e +1 +1 − 2 ) ( 2 + 1 − 2 ln ) ( e + 1 + 1 + 2 ln ) ( 2 +1 ) evaluando Ejemplo 2. obtenemos 2(v − 1)dv A= ⌠ ⌡ v 2 +1 e+1+1 sustituyendo 2 ⌠ = 2 − dv = 2 v − 2 ln(v ) v ⌡ =2 e+1+1 e+1+1 2 +1 integrando o ≈ 0. a) f ( x ) = b) g( x ) = ex e +1 x e2 x ex + 1 1 c) h( x ) = x e +1 solución a) Para determinar el área sólo necesitamos calcular la integral de la función. e du = e dx x .82 Unidad 2: Métodos de integración Cambio de variable v = u +1 u = (v − 1)2 Diferencial Límites v(u = 2 ) = 2 + 1 v(u = 1 + e) = e + 1 + 1 du = 2(v − 1)dv Así. Usemos el cambio de variable u = ex + 1. 1]. la diferencial y los límites de integración se muestran en la siguiente línea de apoyo: Cambio de variable u = ex + 1 despejando ex se tiene ex = u − 1 Diferencial Límites u (−1) = 1 + e−1 = u(1) = 1 + e e +1 . b) Hacemos exactamente el mismo cambio del inciso anterior. x du ⌠ e dx área( f ) = x = ⌠ ⌡ u ⌡ e +1 −1 ( e+1)/ e 1 1+ e susti ituyendo integrando evaluando y simplificando = ln u ( e+1)/e e + 1 = ln(1 + e) − ln e = ln(e) = 1 1+ e Finalmente. 1] ≈ 0. Finalmente.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 83 Entonces. f [−1.350402 Nuevamente. 1] = 1/2. Es de– cir. c) En este último caso.2.675201. Obtene– mos así g [−1. . el valor promedio se obtiene dividiendo el área entre la longitud del intervalo. u(1) = −1 tenemos −x u u ⌠ e dx ⌠ e du ⌠ e du = área( f ) = 1 área(h ) = − x = − u = u ⌡ e +1 ⌡ e +1 ⌡ e +1 −1 1 −1 1 donde identificamos la integral que apareció en el cálculo del área de la función f. Tenemos ahora 1 u −1 ⌠ x x 2x ⌠ e dx e e dx área( g ) = x = x ⌡ e +1 e +1 −1 u ⌡ 1 −1 du identificando términos (u − 1)du ⌠ 1 = ⌠ = 1 − du ⌡ u ⌡ u ( e+1)/e ( e+1)/e 1+ e 1+ e simplif ficando integrando = u − ln u ( e+1)/e 1+ e e +1 e + 1 = [1 + e − ln(1 + e)] − − ln evaluando o e e = e − e−1 − 1 ≈ 1. primero reescribimos el integrando como sigue 1 1 e− x = = e x + 1 e x (1 + e− x ) 1 + e− x Considerando Cambio de variable Diferencial Límites u = −x du = −dx −1 1 u(−1) = 1. 1] = 1/2. el va– lor promedio es: h [−1. el valor promedio se obtiene dividiendo el área entre la longitud del intervalo. entonces por el teorema fundamental del cálculo x y x0 ∫ ⌠ dy f ( x )dx = F ( x ) − F ( x0 ) = G ( y ) − G ( y0 ) = ⌡ g( y ) y0 . y) = 0 es solución de la ecuación diferencial con la condición inicial y(x0) = y0 si es solución y. Por ejemplo. H(x0. al sustituir en la ecuación 3 x 3 5 5 5 diferencial. Para empezar. entonces. y y y ' en la ecuación diferencial se produce una identidad. En efecto. sin embargo. H(x. 3. para resolver una ecuación de variables separables. G(y) = F(x) + C. Así. la ecuación diferencial y' = y' = f (x) g( y ) Después. y con la condición inicial y(3) = 5 tiene como x 5 y 5 solución y = x . y) = 0 es solución. la identidad ≡ . Si además la ecuación tiene g( y ) la condición inicial y(x0) = y0 entonces G(y0) = F(x0) + C.84 Unidad 2: Métodos de integración Sección 2. su objetivo consiste en determinar la función que satisface tal relación. expresamos que una ecuación diferencial es una relación que incluye una función y sus derivadas. 3 3 3 Por otro lado. mencionaremos la siguiente definición. Como G y F son antiderivadas. además.2 Ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales son el lenguaje natural para describir fenómenos de diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. sólo tenemos que reescribir la ecuación con las variables separadas. Ecuación diferencial separable de primer orden 1.1) 2. Además. La expresión H(x. Es decir. el campo de las ecuaciones diferenciales es tan amplio que sólo trataremos las llamadas ecuaciones diferenciales separables de primer orden. Estas antiderivadas difieren en una constante: si G(y) y F(x) son primitivas y' de y f (x). como y ' = 5/3 y = obtenemos. y0) = 0. buscamos las antiderivadas de las funciones que aparecen en cada extremo de la ecuación. obtenemos G(y) − G(y0) = F(x) − F(x0). si al sustituir x. Sin profundizar. el punto (3. 5) está en la recta y = x . respectivamente. de donde C = G(y0) − F(x0).1. Aquí juegan un papel vital los métodos de integración. Una ecuación diferencial es de variables separables si se puede escribir como y ' = f (x)g(y) (2. 1) con la condición inicial y(x0) = y0 está dada por la expresión x y x0 ∫ ⌠ dy f ( x )dx = ⌡ g( y ) y0 (2. Una vez afuera del refrigerador. obtenemos y 3 ⌠ dy = ∫ 3x 2 e x dx ⌡ y 0 x 1 ln y y =1 = e x 0 y 3 x x0 = 0 ln( y ) = e − 1 y = ee x3 x3 −1 Ejemplo 2. b) al cuadrado de la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea. Si consideramos la condición inicial. Determina una ecuación diferencial que modele el cambio de la temperatura en el tiempo. la temperatura del agua era de 0° C y después de 10 minutos subió a 15° C.9 Carlos saca un vaso de agua fría del refrigerador y lo deja sobre una mesa.2. suponiendo que la razón a la que cambia la temperatura de la bebida es proporcional: a) a la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea. El día está soleado y la temperatura es de 30° C. . solución Sólo necesitamos separar las variables 3 dy = 3 x 2 e x dx y La solución se obtiene integrando ambos lados de esta ecuación.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 85 En resumen.8 Resuelve la ecuación diferencial 3 dy = 3 x 2 ye x dx Con la condición inicial y(0) = 1.2) Ejemplos Ejemplo 2. la solución de la ecuación diferencial (2. por lo que dT ⌠ ∫ kdt = ⌡ ( 30 − T )2 0 0 t T kt = 1 1 − 30 − T 30 . la ecuación diferencial que buscamos es: dT = k ( 30 − T )2 dt Nuevamente usamos separación de variables y T(0) = 0 para resolver la ecuación. 15 = 30(1 − e−10k) De donde concluimos que k = 0. De modo que la ecuación diferencial que buscamos es dT = k (30 − T ) dt Resolvemos la ecuación separando las variables y usando T(0) = 0. entonces. Para ello. e− kt = 30 − T 30 T = 30(1 − e− kt ) simplificando.0693147t) b) En este caso.0693147 Finalmente. dt • La frase “proporcional a la diferencia de la temperatura y el medio” significa k(30 − T ).86 Unidad 2: Métodos de integración solución a) Establezcamos el modelo matemático de la situación. kt = − ln n( 30 − T ) + ln( 30 ) integrando. sabemos que T(10) = 15. la función de temperatura en el tiempo es T = 30(1 − e−0. De las condiciones del problema. 30 − T − kt = ln 30 Al tomar la exponencial a ambos lados y despejar T. observa que: • La frase “razón a la que cambia la temperatura” nos indica que se está hablando de la derivada de dT la temperatura en el tiempo . Obtenemos ⌠ dT ∫ kdt = ⌡ 30 − T 0 0 t T separando variables. La mezcla bien revuelta sale a la misma velocidad. Ejemplo 2. la función de temperatura en el tiempo es T= 30t 10 + t Las gráficas de las dos funciones obtenidas se muestran en la figura 2. la cantidad de sal que cambia es dA. es necesario contar con un número mayor de datos experimentales.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 87 Al despejar T: T= Si usamos ahora T(10) = 15.9.4. Por otra parte. T °C 40 30 20 10 t min – 10 – 10 10 20 30 40 FIGURA 2. así que dA = cevdt − cvdt . Para decidir cuál modela mejor. En un intervalo de tiempo dt.10 A un tanque de 30 litros de agua pura se le agrega salmuera (agua con sal) con una concentración de 2 gramos/litro a una velocidad de 4 litros/seg. que ce y c son las concentraciones de entrada y salida y que v es la velocidad de salida y entrada de la mezcla. obtenemos 15 = De donde concluimos que k= 1 300 900 kt 1 + 30 kt 9000 k 1 + 300 k Finalmente. la cantidad de sal que entra es cevdt y la que sale cvdt. Con línea sólida se muestra el modelo a) y con línea punteada el modelo b). Observa que ambas curvas tienen concavidad hacia abajo y cumplen las condiciones del problema.2.4: Curvas de temperatura en el tiempo obtenidas con los modelos del ejemplo 2. solución Supón que A(t) es la cantidad de sal al tiempo t. Determina la cantidad de sal que hay en el tanque como función del tiempo. 2 ∫ (2 s + 3) ds b 0 a) −1 x2 + x ⌠ dx d) 2 3 4 ⌡ ( 4 − 3x − 2 x ) ⌠ tan( x ) dx h) ⌡ cos2 ( x ) ⌠ (ln( x )) dx i) x ⌡ dx j) ⌠ ⌡ 2 + ex π p ⌠ x dx b) 2 ⌡ ( x + 1)3 a ⌠ 1 1 e) 1 + 2 dz z z ⌡ dx f) ⌠ ⌡ 1+ x +1 −3 x2 ⌠ c) 3 3 dx ⌡ (x + c ) a b ⌠ dx g) ⌡ 1 + ex k) 2 dx ∫ cos( x ) + 1 0 . Usa el método de sustitución para calcular las siguientes integrales. t t A 1. despejamos la variable A: A = 60 − 60e−2t/15 gramos Observa que si el proceso continúa indefinidamente. la concentración c se relaciona con la cantidad de sal y el volumen mediante A c= V0 Al usar los dos últimos resultados.88 Unidad 2: Métodos de integración Observa que el volumen V0 no cambia porque las velocidades de entrada y salida son iguales. la cantidad de sal se acercará a 60 gramos. tenemos la ecuación diferencial que modela la situación: dA A = v ce − dt V 0 Al sustituir los datos de nuestro problema y considerar que A(0) = 0. Entonces. tenemos dA A 2 = 4 2 − = (60 − A) dt 30 15 Al separar variables e integrar: 2 dt dA ∫ 15 = ∫ 60 − A 0 0 2t A = − ln(60 − A) A= 0 15 t = 0 2t 60 = ln 60 − A 15 Finalmente. 4.y).5. Determina de qué curva se trata.8 0. . y) sea x x 2 − 1. Para m ≠ n.2 0. c) Calcula el área sombreada bajo la curva f ( x ) = arcsenh( x ) que se muestra en la figura 2. Una curva y = f (x) en el primer cuadrante que pasa por el punto P0(1.5 1 1.2. la cual denotaremos como y = arcsenh(x). comprendido entre los ejes coordenados. se divide a la mitad en el punto de contacto P(x. a) Haz el cambio de variable u = π − x en la integral π ∫ x f (sen( x ))dx 0 y verifica ∫ x f (sen( x ))dx = 0 π 2 π ∫ f (sen( x ))dx 0 ⌠ x sen( x ) dx b) Aplica el inciso anterior para calcular ⌡1 + cos2 ( x ) 0 π 6.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 89 2.5: Área bajo la curva y = f (x).2 – 0.5 2 x 2. apóyate en alguna(s) de la(s) siguientes identidades: sen(α ± β) = sen(α)cos(β) ± sen(β)cos(α) cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sen(α)sen(β) y el método de cambio de variable para calcular las siguientes integrales: a) ∫ sen(mx )cos(nx )dx b) ∫ sen(mx )sen(nx )dx c) ∫ cos(mx )cos(nx )dx 3.5 – 0.5 FIGURA 2.6 0. Considera la función seno hiperbólico definida por senh( x ) = e x − e− x 2 a) Proporciona un argumento en favor de la existencia de la función inversa.4 0. 1 + x2 y 1 0. Encuentra una ecuación y = f (x) para la curva que pasa por el punto (0. π 5. 1) y cuya pendiente en cualquier punto (x.1) tiene la propiedad de que el segmento de cualquiera de sus tangentes. b) Encuentra una fórmula para la función f (x) = arcsenh(x). que a las 7 de la mañana la del cuerpo . Muestra que si f es una función periódica con periodo p. b) La población de bacterias en un cultivo crece. que: du 4u = dT T 12. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales en variables separables con la condición inicial indicada: a) xyy ' = 4x + 1. y(1) = 1 h) y ' = sen(x)e2y. Usa este 0 resultado para calcular ∫ 1 sen( x ) dx. y(2) = 1 g) y ' = xe x 2 −y .90 Unidad 2: Métodos de integración a+ p p 7. respectivamente. Resuelve la ecuación para obtener la presión en función del volumen. suponiendo que la presión es de 4 libras por pulgada cúbica. y(0) = 5 xe2 y . d) La fortuna de un millonario crece proporcionalmente al cuadrado del dinero que tiene en un instante dado. 8. Aplica los dos modelos de enfriamiento para determinar la hora en que una persona fue asesinada. Se toman la temperatura del lugar y del cuerpo en dos tiempos diferentes. y(1) = 2 b) xy ' = 4xy + 3y. Establece una ecuación diferencial para cada una de las siguientes situaciones y resuelve. y(1) = 5 x2 + 1 9. la presión P está relacionada con el volumen V a través de la ecuación cp P dP =− dV cvV donde cP y cV son los calores específicos del gas a presión y volumen constantes. es fácil determinar la hora buscada. resulta común el siguiente procedimiento para determinar la hora en que una persona pudo haber fallecido. Una vez que se resuelve el modelo. c) La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre ésta y la temperatura del medio ambiente. si se sabe que la temperatura ambiente es 5° C. En el caso de un proceso adiabático en que interviene un gas perfecto. y(π/2) = 1 i) y' = j) y' = xe y . 13. Determina una expresión para el volumen V de un gas como función de la presión P. suponiendo que la rapidez de cambio de la temperatura del cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio. a) La población de peces en un lago aumenta con una rapidez proporcional al número de éstos que están presentes en un instante dado. de forma proporcional al cuadrado del número de bacterias en un instante dado. y la del cuerpo es proporcional al cuadrado de esta diferencia. por diversos experimentos. En los ministerios públicos del país. cuando el volumen es de una pulgada cúbica. Después se establece un modelo diferencial. y(1) = 2 x +2 2 e) y ' = e2 x + y. y(1) = 2 d) y ' = x2 + 1 . 1+π ∫ a f ( x )dx = ∫ f ( x )dx . entonces. y(0) = 1 y−5 f ) y' = 3e3x − y. y(1) = 3 c) y ' = x2 + y2 + x2y2 + 1. si la velocidad de variación del volumen con respecto a la presión es proporcional a −V/P2. Encuentra una expresión de la densidad de energía u de un cuerpo negro en términos de su temperatura absoluta T si se sabe. 11. 10. 5 kilos de sal.400 toneladas parte del reposo con un empuje constante de la hélice de 3. Un barco que pesa 86. Se agrega otra solución salina que tiene una concentración de 0. . Si la resistencia debida al agua es de 1500v newtons. Asimismo. Se agrega solución salina con concentración de 20 gramos/litro a razón de 5 litros/minuto y. Espera una hora y observa que el estado de calor del cuerpo disminuyó a 29 grados. Un recipiente de 30 litros de capacidad contiene inicialmente 10 litros de solución salina. la temperatura de un ser humano es de 37° C. La tractriz en una curva que tiene la propiedad de que la longitud del segmento de cada recta tangente desde el punto de tangencia hasta el punto de intersección con el eje x es una constante positiva a. en la cual se disolvieron 100 gramos de sal.3 kilos por litro. su velocidad terminal y la distancia que habrá recorrido cuando alcance 90% de su velocidad terminal. dx Sugerencia: Usa la figura 2. 18. determina la hora en que se cometió el crimen. y y a q x FIGURA 2.6 para relacionar la derivada y x. donde v es la velocidad en metros por segundo. Un tanque de 1. Para resolver el crimen es decisivo determinar cuándo se cometió el homicidio. 14.000 newtons. simultáneamente. Determina la cantidad de sal que hay en el recipiente y la concentración de ésta para cualquier tiempo t > 0. El médico forense llega al mediodía y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 30 grados Celsius. La policía descubre el cadáver de un profesor de matemáticas. 15.6: Segmento de una tractriz. en la cual se disolvieron 2. calcula la velocidad del barco como función del tiempo. en vida. la mezcla sale del recipiente a la misma velocidad. Determina una ecuación diferencial para los puntos de la tractriz y posteriormente resuélvela. Suponiendo que la temperatura de la víctima era normal en el momento de su fallecimiento (37 grados). 16. Encuentra una solución de esta ecuación que satisfaga la condición inicial W (0) = W0 > 0. El peso de un ser humano. puede modelarse por la ecuación de Gompertz: dW = (a − b ln(W ))W dt donde a y b son constantes apropiadas no nulas. nota que la temperatura de la habitación es constante e igual a 27 grados Celsius. desde el nacimiento hasta la muerte. a razón de 15 litros por minuto. Si la mezcla sale del tanque a la misma velocidad de 15 litros por minuto. 19.500 litros contiene inicialmente 300 litros de una solución salina. Supón que.2. determina la cantidad de sal después de t minutos. dy con tan(θ). 17.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 91 era 23° C y que dos horas después ésta bajó a 18°. si el tinaco recibe 5 litros/min de agua. . es de 1.92 Unidad 2: Métodos de integración Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. Observa la figura 2. y lo persigue con una velocidad constante de 20 kilómetros por hora.0 cm. 1. y que los radios del tanque y del orificio de salida son 1. medida desde el fondo. a) ¿Cuánto tardará el tinaco en vaciarse si no tiene alimentación de agua? b) Determina el tiempo en que se vaciará el tanque. con una velocidad constante de 10 kilómetros por hora. b) Determina el punto en que el perro atrapa al conejo y los minutos que se demora en hacerlo. Un perro que está sobre el eje y en el punto (0. 3.7: Principio de Torricelli. a) Determina la trayectoria del perro como una función de x. en tanto que y es una coordenada vertical que describe la altura de la superficie del agua en cualquier instante. Supón que la altura del agua. Un conejo parte del punto (2. analiza y resuelve las siguientes situaciones. 0) y corre hacia el semiplano superior sobre la recta x = 3. ¿Inocente o culpable? 2. donde A es el área de la sección transversal del tinaco.0 m y 2. De acuerdo con el principio de Torricelli. A0 donde g = 9. 1) lo ve 6 minutos después. El principio de Torricelli. Persecución. A y A0 FIGURA 2.5 m. la rapidez con que el agua baja de un tanque cilíndrico con un orificio de área A0 en el fondo está dada por A 2 g y . respectivamente. c) Grafica la altura del agua como función del tiempo en ambos casos.7.81 m/s2 es la aceleración de la gravedad. 2. Encuentra en la columna B el resultado de la integral propuesta en la columna A.8e− 0.2t c) sal(t) = 12 − 10.1t b) sal(t) = 12 − 10.8e− 0. 3 (sen( x ) − cos( x ))2 / 3 2 ∫x 1/ 3 2 x + 1dx 1/ 3 +C ∫ x( x − 1) − 2/3 8 dx 2 ii. 2).1t d) sal(t) = 10 − 8. Un tanque contiene inicialmente 20 litros de una solución salina. a razón de 2 litros por minuto. xdx 2 − 3x c) ⌠ ⌡ 2 7 ( x + 1) 2 − 4 ( x + 1) 2 + 2 ( x + 1) 2 + C 5 3 7 5 3 iv. elige el inciso que contiene el cálculo correcto de ∫ f (t ) f '(t )dt a b a) f (b) − f (a) b) 3 ( f 2 (a ) + 2 f 2 (b )) 1 c) 2 ( f 2 (b ) − f 2 (a )) d) 1 ( f 2 (a ) − 2 f 2 (b )) 3. cuya concentración es de 0. Si f es una función continua. Si la mezcla sale del tanque a la misma velocidad de 2 litros por minuto. b]. 2 1 + 1 + x + C iii. d) y = x 2 + 9 b) y = 3 − x 2 + 9 c) y = 7 − x 2 + 9 2. Encuentra la ecuación de la curva que tiene derivada 2 a) y = x + 9 − 3 dy = dx x x +9 2 y pasa por el punto (4. elige la opción en la que se encuentra una integral igual a ∫ f ( x )dx a b a) ∫a−c f ( x − c)dx b− c b) ∫a f ( x − c)dx c c) ∫c b f ( x + c )dx d) ∫a+c f ( x − c) d x b+ c 4. 2 1 + 1 + x 2 ( ) −1/ 2 +C ⌠ sen x + 1 dx d) x +1 ⌡ 3 ( ) . a) sal(t) = 10 − 8.8e− 0.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 93 Autoevaluación 1. determina la cantidad de sal después de t minutos. en la cual se disolvieron 1.5 kilo por litro.2 kilos de sal.2t 5. Columna A a) b) Columna B i. Si f es una función tal que su derivada es continua en [a. Se agrega otra solución salina.8e− 0. 5 (x2 2 ⌠ (sen( x ) + cos( x )) dx e) ⌡ (sen( x ) − cos( x ))1/ 3 ⌠ xdx f) 2 ⌡ 1 + x + (1 + x 2 )3 2 1/5 ⌠ (x + 1 − 2 x) dx g) 1− x ⌡ + 1 − 2 x )2 / 5 + C ix. 2(cos(2) − cos(3)) viii. − 5 2 vii. ⌠ (ln( x )) dx = p + 1 i) x ⌡ ln ln x + C. dx x 1 = − ln(2 + e x ) + C j) ⌠ ⌡ 2 + ex 2 2 π x2 1 1 ⌠ − c) 3 3 dx = 3 3 n 3 ( x + c ) 3 n ( a + c ) 3 n ( b + c 3 )n ⌡ a p ≠ −1 p = −1 x2 + x 1 ⌠ dx = +C d) 2 3 4 18( 4 − 3x 2 − 2 x 3 )3 ⌡ ( 4 − 3x − 2 x ) ⌠ 1 1 1 + 2z +C e) 1 + 2 dz = − z 2(1 + z )2 z ⌡ ⌠ dx = 2 1 + x − 2 ln 1 + 1 + x + C f) ⌡ 1+ x +1 −3 k) dx = ( 6 ∫ cos( x ) + 1 2 6 1 0 3+ π ) ( ) . −2 27 ( x − 1)2/5 + C vi. xi. a) −1 b ∫ (2 s + 3) 0 2 ds = 13 3 1 a2 + 1 − 1 b2 + 1 ⌠ dx = ln g) ⌡ 1 + ex 1 + ex − 1 +C 1 + ex + 1 ⌠ x dx = b) 2 ⌡ ( x + 1)3 a b 1 ⌠ tan( x ) dx = tan 2 ( x ) + C h) 2 2 x cos ( ) ⌡ ( ln x ) p+1 p + C. 2(sen(3) − sen(2)) x. 3 (x 7 3 − 1) 3 + 4 ( x − 1) 3 + C 7 4 2 (sen( x ) + 3 cos( x ))3/2 + C Respuestas a los Ejercicios y problemas 1.94 Unidad 2: Métodos de integración Columna A Columna B v. y = 1 3 3 7.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 95 2. La función es creciente en su dominio y. a) ∫ sen(mx )cos(nx )dx = ∫ sen(mx )sen(nx )dx = ∫ cos(mx )cos(nx )dx = cos[( m − n ) x ] cos[( m + n ) x ] + +C 2( m − n ) 2( m + n ) sen[( m − n ) x ] sen[( m + n ) x ] − +C 2( m − n ) 2( m + n ) sen[( m − n ) x ] sen[( m + n ) x ] + +C 2( m − n ) 2( m + n ) d senh( x ) e x + e− x = cosh( x ) = > 0 . a) b) c) 3. u = σ T 4 12. b) f ( x ) = arcsenh( x ) = ln x + x 2 + 1 (arcsenh(2 ))3/2 ≈ 1.2. V = ke1/P . por lo cual existe su función inversa. P (t ) = dt 1 − P ( 0 )kt c) d) dT = − k (T − Ta ). uno a uno. PV γ = 4 11. b) π2 4 3 ( ) ( x 2 + 1) 2 + 2 6. y2 + ln( x ) = 2 2 b) 4x + ln(3x3) − ln(y) = 4 x3 + arctan( 2 ) − arctan( y ) = 4 / 3 c) x + 3 x3 y 2 11 − 5y − + =0 d) x + 3 2 2 2x e − 1 −y + e − e −5 = 0 e) 2 a) 4 x − 9. en condx 2 secuencia. T (t ) = Ta + (T ( 0 ) − Ta )e − kt dt dF F (0) = kF 2 . F (t ) = dt 1 − F ( 0 )kt f ) e6 − e − e 3x + e y = 0 g) 2e y − 2e − e x + e π 2 2 /4 =0 h) 2cos(x) + e−2 − e−2y = 0 i) e −2 − e − y − 1 2 + x2 ln =0 2 3 j) 1 −10 1 −2 y 1 1 + x 2 e − e − ln =0 2 2 2 2 10. a) b) dP = kP.15637 c) A = 2 3 4. xy = 1 5. para todo x ∈ . 2 8. P (t ) = P( 0 )e kt dt dP P(0) = kP 2 . . Haaser. R.05t 16. vi. R. a) Con el modelo proporcional a la diferencia de temperaturas. iii. (e. 27 min. ( f. la persona murió a las 03:00 horas. Apóstol. México. a) 2. sal(t) = 200 − 100e−t /2. (a.). N.).. Cálculo diferencial e integral. ¿Qué son las matemáticas?. Madrid. et al. T. Reverté. Rivaud. 1978.. vterminal = 2 m/s. 4.. 1 min aproximadamente. (c. Courant. 1980. 2a. LaSalle.. 1978. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. Prado. J. la persona murió a las 04:00 horas. 9 hr. 2. vii. 43min. Precálculo. 1975. 3. (d. distancia = 16. y Robbins. Piskunov. Trillas. a) 5. d) 4. 1982. 30 seg. Limusa. vol.5e−0. vol. 6.. conc(t) = 20 − 10e−t /2 17. Ejercicios de análisis. sal(t) = 90 − 87. v(t) = 2 − 2e−25t /144 m/s.1578m a 18.. 5. México. w(t ) = e b (1− ebt ) e w0 bt a + a2 − y2 19. . i. ed. 15. Barcelona. (g. Pearson Educación. x. Courant. Santiago. Barcelona.. N.). 7. 50 seg. R. J. y John. 14. I. 2006. Introducción al cálculo y al análisis matemático.96 Unidad 2: Métodos de integración 13. México. Montaner y Simón.. México. 2002. x = − a ln y 2 2 + a −y Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1.). Fondo de Cultura Económica.) Referencias 1. (b. Reverté. c) 3.). 1. y Sullivan.). H. Seeley. ii. F. México. b) Con el modelo proporcional al cuadrado de la diferencia de temperaturas. Análisis matemático. 1982. x. J. 8. Trillas. Cálculo de una y varias variables. para ofrecer un mejor servicio. .2 Integración por partes Las matemáticas nos llevan más allá de lo que es humano: hacia la región de la necesidad absoluta. entonces la probabilidad que la variable aleatoria x tome valores en el intervalo [a.8. Veamos: si y = f (x) es una función de densidad de probabilidad.8: Gráfica de la función de densidad de probabilidad de la ecuación (2. Bertrand Russell Probabilidad y tiempos de espera La probabilidad es un área de las matemáticas donde la integración resulta sumamente útil. ( k − 1)! (2.2 0.2: Integración por partes 97 2.3 0. algunas compañías requieren conocer la forma como los clientes llegan a ellas. Supón que l es el promedio de clientes por hora que llegan a un banco.2. t > 0. a la cual se debe ajustar no solamente el mundo real. Éste es un proceso aleatorio y la probabilidad es la base de su estudio.4). la función de densidad para el tiempo en que k personas llegan a esa entidad está dada por: f ( x) = λ t t k −1e − λt . f 0.4) La gráfica de esta función se muestra en la figura 2.1 t 1 2 3 4 5 FIGURA 2.b] se calcula utilizando la expresión P(a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x )dx a b (2.4 0. sino todo mundo posible.5 0.3) Por ejemplo. Por ejemplo. Afortunadamente. ¿cuál será la probabilidad de que lleguen las siguientes cifras de clientes? • 8 entre la primera y segunda hora. ¿Cómo sería tal expresión? Antes de intentar encontrarla. • Conocer y aplicar el método tabular de integral por partes. d (uv ) = vdu + udv o. debido a que no existen métodos generales para el cálculo de las integrales que sean 100% efectivos. se basa en calcular la integral de una función.2.98 Unidad 2: Métodos de integración Esta compañía necesita una expresión para la probabilidad de que lleguen k personas antes de t horas. • 5 después de la primera hora. vale la pena calcular algunos casos prácticos. como su nombre lo indica. De acuerdo con la regla de la diferencial del producto. Entre los más utilizados se encuentra el método de la integración por partes que.1 Integración por partes Supón que tenemos dos funciones u (x) y v (x) continuamente diferenciables y definidas en un intervalo abierto I. • Aplicar el método de integral por partes para establecer fórmulas de reducción. nos permiten conocer la antiderivada de una función. si se sabe que l = 7 clientes/hora. Introducción Por desgracia. • 10 antes de tres horas. se obtiene la fórmula de integración por partes. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. integrando partes de la integral original. en muchos de los casos importantes. sobre todo. Más adelante estudiaremos diversas situaciones donde es importante su uso. . contamos con técnicas que. Sección 2. de forma equivalente: udv = d (uv ) − vdu Al integrar cada miembro de esta ecuación. ya que pronto se llevará a cabo una reestructuración en el área de servicio para reducir los tiempos de espera. la búsqueda de las antiderivadas de una función y = f (x) puede resultar un problema poco sencillo de resolver. deberás ser capaz de: • Describir y aplicar el método de integración por partes. v vb Área 4 Área 2 va Área 3 ua Área 1 ub u vu FIGURA 2.9: Función v = v(u) y cuatro regiones que se relacionan de acuerdo con el método de integral por partes. tenemos el siguiente teorema. la función u(v) no necesariamente es creciente. una simpática interpretación geométrica de la fórmula (2.2: Integración por partes 99 Fórmula de integración por partes ∫ udv = uv − ∫ vdu (2. va = v(a) y vb = v(b). Para el caso de integrales definidas. En general. pero las integrales ∫ dv y ∫ vdu sí lo son. ua = u(a) y ub = u(b) y equivalentemente v = v(x). es suficiente relacionar la geometría con la fórmula (2. la figura 2. pero para los fines que nos ocupan. entonces para todo a.6) A continuación. Teorema 2. En efecto.3 Si y = u(x) y y = v(x) son funciones continuamente diferenciables definidas en un intervalo abierto I.b ∈ I tenemos b b b ∫ u v'( x )dx = u( x )v( x ) a − ∫ v( x )u'( x )dx a a (2. de acuerdo con la interpretación geométrica de la integral se tiene que: .2.6).9 muestra en un plano uv la gráfica de una cierta función creciente u = u(v).6). En efecto. donde se supone que u = u(x).5) La fórmula anterior es útil cuando ∫ udv no es una integral sencilla. precisamente. se tiene que vb ub ub vb = ua va + ∫ u (v )dv + ∫ v(u )du va ua de donde vb ub va ∫ u(v)dv = ub vb − ua va − ∫ v(u )du ua que es. En el método de integración por partes. cuyas áreas están dadas por: Área de la región 3 = ua va Área de la región 4 = ub vb De forma clara. En la tabla 2. Integral u xn xn xn xn xn ln(x) arcsen(x) arctan(x) dv e axdx cos(ax)dx sen(ax)dx cosh(ax)dx senh(ax)dx xndx xndx xndx ∫ x n eax dx ∫ x n cos(ax )dx ∫ x n sen(ax )dx ∫ x n cosh(ax )dx ∫ x n senh(ax )dx ∫ x n ln( x )dx ∫ x n arcsen( x )dx ∫ x n arctan( x )dx .1: Algunas integrales que pueden resolverse usando el método de integración por partes.1 se muestran algunos casos de integrales y la forma de seleccionar u y dv. en la misma figura observamos dos rectángulos: las regiones 3 y 4. una sugerencia es elegir dv. Tabla 2.100 Unidad 2: Métodos de integración Área de la región 1 = ∫ v(u )du ua vb ub Área de la región 2 = ∫ u (v )dv va Por otro lado. es necesario elegir adecuadamente los factores u y dv. no obstante.6) en forma desarrollada. No existen reglas generales de cómo hacer la selección. la fórmula (2. de forma que sea fácil y posible integrarla y para que también la nueva integral ∫ vdu tenga un grado de dificultad menor que la integral original. 11 Usa el método de integración por partes para calcular la integral ∫ x ln ( x ) dx solución Como uno de los factores es ln(x). v = x ∫ xdx = x2 + C1 2 Si utilizamos la fórmula de integración por partes. Observa que la constante C1 no aparece en la respuesta final porque se elimina en el proceso. ⌡ v 2 du x x ln( x ) + C1 ln( x ) − − C1 ln( x ) + C2 2 4 2 2 x x = ln( x ) − + C2 2 4 = 2 desarrollando. obtenemos ∫ dx ⌠ x2 x2 ln( x ) xdx = ln( x ) + C1 − + C1 2 2 x dv u u v usando integral po or partes. dv = xdx Entonces. Ejemplo 2.2: Integración por partes 101 Ejemplos Ejemplo 2. simplificando. resulta conveniente elegir u = ln( x ). Este resultado es verdadero en general y no es necesario escribir la constante de integración al integral dv. 1 du = dx. elegimos u = arcsen(x ) y dv = dx .2.12 Calcula la integral 1 ∫ arcsen( x )dx 0 solución Como uno de los factores es arcsen(x). du = 2 xdx y v = ∫ ex dx = ex Al aplicar la fórmula de integración por partes. x La integral ∫ xe dx es más sencilla que la original. elegimos u = x2 y dv = e xdx Entonces.102 Unidad 2: Métodos de integración Entonces. du = dx 1 − x2 y v= ∫ dx = x Utilizando la fórmula de integración por partes: x ⌠ − dx ⌡ 1 − x2 0 1 ∫ arcsen( x )dx = 1 x arcsen( x ) 0 Para obtener la segunda integral usamos el método de cambio de variable visto anteriormente. obtenemos ∫ x 2 ex dx = x 2 ex − 2 ∫ xex dx. pero no es directa.1.13 Calcula la integral ∫ x 2 e x dx solución De acuerdo con la tabla 2. Por lo que integraremos por partes una segunda vez: u = x y dv = e x dx . De esta manera 1 x 1 ⌠ dx = − ⌠ 1 − x 2 2⌡ ⌡ 1 − x2 0 1 ( ) −1 2 ( −2 x ) dx = − 1 − x2 1 0 =1 0 Si sustituimos en la integral original: ∫ arcsen( x )dx = x arcsen( x ) 0 − 1 = 2 − 1 1 0 1 π Ejemplo 2. regresando a la integral original: x x 2 x x x ∫ x 2 e x dx = x 2 e x − 2∫ xe x dx = x 2 e x − 2 xe − e = x e − 2 xe + 2 e + C Ejemplo 2.14 Calcula la integral ∫ x 3e x dx 2 solución En este ejemplo vamos a tomar: u = x 2 y dv = xe x dx Entonces. ∫ Ejemplo 2. du = 2 xdx y v = 2 ∫ xex dx 2 Para calcular v utilizamos el método de cambio de variable. por ejemplo.2: Integración por partes 103 Entonces. du = dx y v = Y tenemos que ∫ ex dx = ex ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx = xex − ex Finalmente.2.15 ex2 ⌠ ex2 x2 ex2 2 2 e 2 x 3e x dx = x 2 x dx x +C − = 2 2 ⌡ − 2 2 Determina una expresión para ∫ e x cos( x )dx solución En este ejemplo la elección de u y dv es indistinta. Sea z = x2 por lo que dz = 2xdx y 2 1 1 2 z dz v = ∫ xe x dx = ⌠ = ez = ex e ⌡ 2 2 2 Si utilizamos la fórmula de integración por partes. u = ex y dv = cos(x)dx . Tomemos. Elegimos u = sec(x) y dv = sec2(x)dx Entonces. Sean ahora: u = ex y Entonces.104 Unidad 2: Métodos de integración Entonces.16 Calcula la integral ∫ sec3 ( x )dx solución Descomponemos el factor sec3(x) y la escribimos ∫ sec 3 ( x )dx = ∫ sec( x )sec2 ( x )dx. du = e x dx y dv = Obtenemos dv = sen(x)dx ∫ sen( x )dx = − cos( x ) ∫ e x sen( x )dx = − e x cos( x ) + ∫ e x cos( x )dx Al sustituir en la integral original: x x ∫ e x cos( x )dx = e x sen( x ) − ∫ e x sen( x )dx = e x sen( x ) − − e cos( x ) + ∫ e cos( x )dx = e x sen( x ) + e x cos( x ) − ∫ e x cos( x )dx Al despejar la integral ∫ e x cos( x )dx se obtiene ∫ e x cos( x )dx = 2 e x (sen( x ) + cos( x )) + C 1 Ejemplo 2. usando nuevamente integración por partes. du = e x dx y dv = Al integrar por partes. tenemos ∫ cos( x )dx = sen( x ) ∫ e x cos( x )dx = e x sen( x ) − ∫ e x sen( x )dx Calcularemos esta última integral. du = sec( x ) tan( x )dx y v = ∫ sec2 ( x )dx = tan( x ) . du = 3 sec 3 ( x ) tan( x )dx y v = tan( x ) Si seguimos el procedimiento de la integral por partes: ∫ sec5 ( x )dx = sec3 ( x ) tan( x ) − 3∫ sec3 ( x ) tan 2 ( x )dx 2 = sec( x ) tan( x ) − 3∫ sec3 ( x ) sec ( x ) − 1 dx = sec3 ( x ) tan( x ) − 3∫ sec5 ( x )dx + 3∫ sec3 ( x )dx Al despejar la integral buscada y utilizar el resultado del ejercicio anterior.2. Considera: u = sec 3 ( x ) y dv = sec 2 ( x )dx Entonces. obtenemos ∫ sec3 ( x )dx = 2 (sec( x ) tan( x ) + ln sec( x ) + tan( x ) ) + C Ejemplo 2.17 Determina una expresión para la integral 1 ∫ sec5 ( x )dx solución Para calcular ∫ sec 5 ( x )dx se sigue una estrategia similar. se obtiene ∫ sec5 ( x )dx = 4 sec3 ( x ) tan( x ) + 8 (sec( x ) tan( x ) + ln sec( x ) + tan( x ) ) + C Ejemplo 2.2: Integración por partes 105 Usamos la fórmula de integración por partes: ∫ sec3 ( x )dx = sec( x ) tan( x ) − ∫ sec( x ) tan 2 ( x )dx Utilizamos la identidad trigonométrica tan2 (x) = sec2 (x) − 1 y tenemos que 2 ∫ sec3 ( x )dx = sec( x ) tan( x ) − ∫ sec( x ) sec ( x ) − 1 dx 3 = sec( x ) tan( x ) − ∫ sec ( x )dx + ∫ sec( x )dx Al despejar la integral buscada.18 Determina una expresión para 1 3 ∫ cos(ln( x ))dx . Sustituyendo en la integral: ∫ cos ( x ) dx = ∫ 2 z cos( z)dz Considera ahora el nuevo cambio de variable u=z du = dz Finalmente.15: e z cos( z ) + sen( z )] +C ∫ e z cos( z)dz = [ 2 por lo que llegamos a x cos(ln( x )) + sen(ln( x ))] +C ∫ cos(ln( x ))dx = [ 2 Ejemplo 2. luego x = e z y dx = ezdz.106 Unidad 2: Métodos de integración solución Utilizamos el cambio de variable z = ln(x). Sustituyendo en la integral. tenemos ∫ cos(ln( x ))dx = ∫ e z cos( z)dz Usamos el resultado que obtuvimos en el ejemplo 2.19 Calcula la integral ∫ cos ( x ) dx solución Utilizamos el cambio de variable z = x . y luego x = z2 y dx = 2zdz. al aplicar integración por partes: dv = cos( z )dz v = sen( z ) ∫ cos ( x ) dx = ∫ 2 z cos( z )dz = 2 [ z sen( z ) + cos( z )] = 2 x sen x + cos = 2 z sen( z ) − ∫ sen( z )dz ( ) ( x ) +C . 2: Método tabular de integración por partes. obtenemos ∫ x 5e x dx = x 5e x − ∫ 5x 4 e x dx Como la nueva integral también se resuelve por partes.10) intercalando el signo.8).20 Calcula la integral ∫ x 5e x dx solución Para resolver necesitamos usar varias veces el método de integración por partes. Además.9) son las mismas que las ecuaciones (2.10). observa que las ecuaciones (2. elegimos u = 5x4.7) con la variable v de la línea (2. y así sucesivamente. v = ex (2. Signos alternados u y sus derivadas x5 5x4 20x3 60x 2 dv y sus antiderivadas ex ex ex ex ex ex ex + − + − + − + 120x 120 0 . después. las variables u se obtienen. los términos que interesan para la solución se obtienen multiplicando la variable u de la línea (2. Así. Finalmente. Al aplicar el método. En la tabla 2.8) du = 5x4.9) con la variable v de la línea (2.8) y que el integrando de la nueva integral se consigue multiplicando las ecuaciones de la línea (2. derivando y las variables v integrando una seguida de la otra. dv = exdx v = ex (2.10) ∫ x 5e x dx = x 5e x − (5x 4 e x − ∫ 20 x 3e x dx ) Antes de seguir con el proceso.9) (2.2 se muestra el esquema completo. una tras la otra. Observa que se deriva u hasta que se anula.2: Integración por partes 107 Ejemplo 2. Elegimos primero u = x5.2.7) (2. dv = exdx du = 20x3. la variable u de la línea (2. Tabla 2. 3 n n−2 n n par n impar .21 ⌠ P( x ) dx donde P (x) es un polinomio de grado n. se obtiene como resultado ∫ x 5e x dx = x 5e x − 5x 4 e x + 20 x 3e x − 60 x 2 e x + 120 xe x − 120e x + C = e x x 5 − 5 x 4 + 20 x 3 − 60 x 2 + 120 x − 120 + C ( ) Observación: Este método funciona muy bien para calcular integrales de la forma ∫ P( x )cos(ax )dx .22 Demuestra la fórmula de reducción ∫ cosn ( x )dx = n cosn−1 ( x )sen( x ) + Después. ∫ P( x )sen(ax )dx.1. En este caso. ∫ P( x )eax dx y Ejemplo 2. aplícala para deducir 1 n −1 ∫ cosn−2 ( x )dx para n ≥ 1 n π /2 ∫ 0 1 π n −1 n − 3 ⋅ ⋅ ⋅ n n−2 2 2 cos ( x )dx = n − 1 n − 3 2 ⋅ ⋅ . du = nxn−1dx y v = ex Si utilizamos la fórmula de integración por partes. obtenemos y dv = e xdx ∫ x n e x dx = x n e x − ∫ e x (nx n−1 ) dx = x n e x − n∫ x n−1e x dx Ejemplo 2. elegimos u = xn Entonces.108 Unidad 2: Métodos de integración Al seguir este proceso. ⌡( a + bx )k Demuestra la fórmula de reducción ∫ x n e x dx = x n e x − n∫ x n−1e x dx para n ∈ solución . a ≠ 0 y k ≠ 0. despejando ∫ cosn ( x )dx: ∫ cosn ( x )dx = n cosn−1 ( x )sen( x ) + π /2 1 n −1 ∫ cosn−2 ( x )dx n Al integrar ahora desde x = 0 hasta x = p/2 y observando que sen(0) = 0 y cos(p/2) = 0. du = − ( n − 1) cos n−2 ( x )sen( x )dx y v = sen( x ) Utilizando la fórmula de integración por partes: ∫ cos n n− 2 ( x )dx = cos n−1 ( x )sen( x ) − ∫ sen 2 ( x ) − ( n − 1) cos ( x ) dx = cos n−1 ( x )sen( x ) + ( n − 1) ∫ sen 2 ( x ) cos n− 2 ( x )dx Si usamos sen2(x) = 1 − cos2(x) se tiene 2 n −2 ∫ cosn ( x )dx = cosn−1 ( x )sen( x ) + (n − 1) ∫ 1 − cos ( x ) cos ( x )dx n n −2 = cos n−1 ( x )sen( x ) + ( n − 1) ∫ cos ( x )dx − ∫ cos ( x )dx Finalmente. n impar 3 n n−2 . n par π /2 2 ∫ n n−2 0 n ∫ cos ( x )dx = n − 1 n − 3 2 π /2 0 ⋅ ⋅ ∫ cos( x )dx. obtenemos ∫ 0 cos n ( x )dx = n −1 n π /2 ∫ cos 0 n− 2 ( x )dx Y al aplicar repetidamente este resultado: π /2 n −1 n − 3 1 ⋅ ⋅ dx.2. n impar 3 0 n n−2 1 π n −1 n − 3 ⋅ ⋅ ⋅ n par n n−2 2 2 = n − 1 ⋅ n − 3 ⋅ 2 .2: Integración por partes 109 solución Sea u = cosn−1(x) y dv = cos(x)dx Entonces. 110 Unidad 2: Métodos de integración 1. Con tus propias palabras, indica el método de integración por partes y cómo debes elegir u y dv. 2. Obtén las siguientes integrales: a) b) c) d) ∫ (2 x + 1) e3 x dx ∫ x 3e−2 x dx ∫ x5x dx ∫ (ln( x ))2 dx 2 i) j) k) l) m) n) ∫ x sec2 ( x )dx ∫ x arctan( x )dx ∫ 3arccos( x )dx ∫ arccot(2 x )dx ∫ x arcsen( x 2 )dx ∫x x + 1 dx p) q) r) s) t) u) v) ∫ e2 x sen(3x )dx ∫ e5 x cos(2 x )dx ∫ x ln (16 + x 0 1 2 )dx 3 e) ∫ x sen( 2 x )dx ∫ sen(ln( x ))dx ∫ sen ( x ) dx ∫ ln ( x 2 + 1) dx ∫e 2x f ) ∫ x sec (3 x )dx g) ∫ x ln( x + 2 )dx h) ∫ x csc( x ) cot( x )dx ⌠ x dx o) ⌡ 5 + 2x dx 3. Utiliza el método tabular para calcular las siguientes integrales: ⌠ t2 + 5 a) 1/ 5 dt ⌡(t + 2 ) ⌠ 2t b) 1/ 3 dt ⌡( 2t + 1) 3 c) d) ∫ ( x 4 + 3x 2 + 5)e3 x dx ∫ ( x 3 − x )cos(3x )dx e) ∫ ( x 3 + 2 x )sen(5 x )dx 4. Determina el área de la región limitada por f (x) = arccos(x), el eje x, el eje y y la recta x = 1/2. 5. Establece el área de la región limitada por f (x) = ln(x), el eje x, y las rectas x = 1 y x = e. 6. Durante el desarrollo de una epidemia de sarampión en Toluca, la razón de llegada de casos nuevos al Hospital Regional de Zona 26 del IMSS fue igual a f (t) = 5te−t/10, donde t se midió en días y t = 0 se consideró el tiempo de inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos se trataron en el nosocomio en los primeros t = 5 días y en los primeros t = 10 días? 7. En la teoría matemática de la información, aparece la integral de Boltzmann I ( p ) = ∫ p( x ) ln ( p( x ) ) dx 1 0 a) Calcula I (P1), si p1(x) = 2x es una función definida en el intervalo [0,1]. 2.2: Integración por partes 111 b) Determina I(p2), si 1 si 0 ≤ x ≤ 4 x 2 p2 ( x ) = 4 − 4 x si 1 ≤ x ≤ 1 2 8. Usa el método tabular para mostrar que ∫ emx P( x )dx = (n ) emx P '( x ) P ''( x ) P '''( x ) (x) n P + − + … + ( − 1 ) P( x ) − , m m m2 m3 mn donde P (x) es un polinomio de grado n > 0 y m ≠ 0. 9. Utiliza el método de integración por partes para demostrar: a) b) c) d) e) f) g) h) i) ∫ eax sen(bx )dx = ∫ eax cos(bx )dx = e ax ( a sen( bx ) − b cos( bx ) ) +C a2 + b2 e ax ( a sen( bx ) + b cos( bx ) ) +C a2 + b2 x n +1 n ≠ −1 ∫ x n ln( x )dx = n + 1 ln( x ) − (n + 1)2 + C; ∫ x n sen(ax )dx = − ∫ x n cos(ax )dx = ∫ x n eax dx = x n +1 xn m cos( ax ) + ∫ x n−1 cos( ax )dx a a xn m sen( ax ) − ∫ x n−1 sen( ax )dx a a x n e ax n n−1 ax − ∫ x e dx a a ∫ (ln( x ))n dx = x (ln( x ))n − n∫ (ln( x ))n−1 dx ∫ x n e x dx = x n e x − n∫ x n−1e x dx ∫ secn ( x )dx = tan( x ) sec n− 2 ( x ) n − 2 + ∫ secn−2 ( x )dx; n ≠ 1 n −1 n −1 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, analiza y resuelve las siguientes situaciones. 1. Probabilidad. (Situación de inicio de la sección). 2. Fórmulas de reducción. Aplica el método de la integral por partes para determinar la siguiente fórmula de reducción: 112 Unidad 2: Métodos de integración ∫ senn ( x )dx = − n senn−1 ( x )cos( x ) + π 1 n −1 ∫ sen n−2 ( x )dx n a) Muestra que n ∫ sen ( x )dx = 0 2 n −1 sen n− 2 ( x )dx para n entero y n ≥ 2. n ∫ 0 2 π b) Demuestra ahora que π i. ∫ sen 0 π 2 2 2 r +1 ( x )dx = 2i 4 i 6i i 2 r para r ≥ 1 y entero. 3i5i 7i i(2 r + 1) ii. ∫ sen 0 2r ( x )dx = 1i 3i5i i(2 r − 1) π para r ≥ 1 y entero. 2i 4 i 6i i 2 r 2 3. Flujo continuo de ingresos, su valor presente y su valor futuro. En matemáticas financieras, se define la razón de cambio del ingreso o la tasa de flujo de ingreso f (t) como la cantidad de ingresos que se reciben por año (en general, por unidad de tiempo). El ingreso total para k años está dado por: k Ingreso total = ∫ f (t )dt 0 Si el ingreso gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces definimos los valores presente y futuro en k años como: k Valor presente = ∫ f (t )e− r t dt 0 k Valor futuro = er k ∫ f (t )e− r t dt 0 a) Explica los significados del valor presente y del valor futuro de un flujo continuo de ingresos. b) Supón que la tasa de flujo de ingreso es constante, f (t) = C0. Determina fórmulas para el valor presente y el valor futuro. c) Repite el inciso anterior, si la tasa de flujo de ingreso es lineal: f (t) = C0 + C1t. d) Las ganancias de un ingenio azucarero dependen de la cantidad de azúcar que pueden producir. En ese caso, se puede considerar que las máquinas-herramientas del ingenio producen un flujo continuo de ingresos; como se desgastan con el uso, la producción depende del tiempo. Imagina que algunos estudios estadísticos señalan que la vida útil de las máquinas-herramientas de un ingenio es de 10 años y que la tasa de flujo de ingresos es 2 t f (t ) = t si 0 ≤ t ≤ 2 si 2 < t ≤ 10 Determina el ingreso total, el valor presente y el valor futuro en los primeros 2 años y en los próximos 10. 2.2: Integración por partes 113 Autoevaluación 1. Indica la opción que contiene el resultado de I = ∫ x ln( x )dx a) I = x 3 2 ( ln( x ) )2 + C b) I = ln( x 2 ) + C 7 c) I = 2 32 x (3 ln( x ) − 2 ) + C 9 d) I = 2 + ln( x ) +C 2 x 2. Halla la opción que contiene el resultado de J = a) J = x [cos (ln( x )) + sen (ln( x ))] + C 2 ∫ cos (ln( x ))dx x ln( x ) [cos x + sen ( x )] + C 2 − sen ( ln( x ) ) +C x c) J = d) J = b) J = x [ cos ( ln( x ) ) − sen ( ln( x ) )] + C 3. Encuentra la opción que contiene el resultado de K = ∫ arcsen(t )dt a) K = 1 1− t 2 +c 2 c) K = t arcsen(t ) + 1 − t + c b) K = − arccos(t ) + c d) K = t arcsen(t ) − ln ( 1− t ) + c 2 4. Determina la opción que contiene el resultado de L = ∫ 3 x ln( x )dx a) L = b) L = 3x 3 ( 4 ln( x ) − 3) + C 4 3x 3 ( ln( x ) + 3) + C 16 4 4 c) L = d) L = 3x 3 ( 4 ln( x ) − 3) + C 16 3x 3 ( 4 ln( x ) − 3) + C 8 4 4 5. Encuentra la opción que contiene el resultado de M = ∫ x 4 ln( x )dx a) M = x 4 − b) M = 4 3 x +C 3 c) M = x 3 + ln 4 x 4 + C d) M = x 3 [1 + 4 ln( x )] + C ( ) x5 [5 ln( x ) − 1] + C 25 114 Unidad 2: Métodos de integración Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. dv se elige de forma que sea fácil de calcular su integral. 2. a) b) c) d) e) 1 2x + +C 9 3 ∫ (2 x + 1) e3 x dx = e3 x 1 ∫ x 3e−2 x dx = − 8 e−2 x (3 + 6 x + 6 x 2 + 4 x 3 ) + C ∫ x 5x dx = 5x ( x ( ln(5) ) − 1) +C ln 2 (5) ∫ (ln( x ))2 dx = x (2 − 2 ln( x ) + ln2 ( x )) + C ∫ x 3 sen(2 x )dx = − 4 x (−3 + 2 x 2 ) cos(2 x ) + 8 (−1 + 2 x 2 ) sen(2 x ) + C 1 3 f) g) h) i) j) k) l) m) ∫ x sec2 (3x )dx = 9 ln cos(3x ) + 3 x tan(3x ) + C ∫ x ln( x + 2)dx = − 4 (− 4 x + x 2 ) + 2 (− 4 + x 2 ) ln ( x + 2) + C 1 1 1 1 ∫ x csc( x ) cot( x )dx = − x csc( x ) + ln csc( x ) − cot( x ) + C ∫ x sec2 ( x )dx = ln cos( x ) + x tan( x ) + C ∫ x arctan( x )dx = − 2 + 2 (1 + x 2 ) arctan( x ) + C x 1 ∫ 3 arccos( x )dx = −3 1 − x 2 + 3 x [arccos( x )] + C 1 +C ∫ arc cot(2 x )dx = x cot −1 (2 x ) + 4 ln 1 + 4 x 2 ∫ x arcsen( x 2 )dx = 2 ( 1 1 − x 4 + x 2 arcsen x 2 ( )) + C n) ∫x ∫ x + 1 dx = 3 2 (1 + x ) 2 ( −2 + 3x ) + C 15 o) x 1 dx = ( −5 + x ) 5 + 2 x + C 3 5 + 2x 1 p) ∫ e2 x sen(3x )dx = 13 e2 x (2 sen(3x ) − 3 cos(3x )) + C 2.2: Integración por partes 115 q) ∫ e5 x cos(2 x )dx = 29 e5 x (5 cos(2 x ) + 2 sen(2 x )) + C 2 ∫ x ln (16 + x ) = 2 ( −1 − 64 ln(2) + 17 ln(17)) 1 1 r) 1 0 s) ∫ sen(ln( x ))dx = − 2 x [cos (ln( x )) − sen (ln( x ))] + C ∫ sen ( x ) dx = −2 x cos 1 t) u) v) 3. a) b) c) d) ( x ) + 2 sen ( x ) + C ) ∫ ln ( x 2 + 1) dx = −2 x + 2 arctan( x ) + x ln (1 + x 2 ) ∫e 2x dx = e 2x (−1 + 2x + C 5 25 125 (5 + x 2 )( 2 + x )4 / 5 − x ( 2 + x )9/ 5 + ( 2 + x )14 / 5 4 18 252 3 3 27 2 81 243 x (1 + 2 x )2 / 3 − x (1 + 2 x )5/ 3 + x (1 + 2 x )8/ 3 − (1 + 2 x )11/ 3 2 20 160 3250 8 3x 8 3x 1 1 1 (5 + 3 x 2 + x 4 )e3 x − (6 x + 4 x 3 )e3 x + (6 + 12 x 2 )e3 x − xe + e 27 81 3 9 27 1 3 1 2 2 ( x − x )sen( 3x ) + ( 3x 2 − 1)cos( 3x ) − x sen( 3x ) − cos( 3x ) 3 9 9 27 1 1 6 6 3 2 x cos(5 x ) − sen(5 x ) e) − ( 2 x + x ) cos(5 x ) + ( 2 + 3 x ) sen(5 x ) + 5 25 125 625 4. A = 1 6−3 3 +π 6 ( ) 5. A = 1 6. A los 5 días se trataron a 45 enfermos; y a los 10, 132 pacientes. 7. En ambos incisos la respuesta es 0.193147. 116 Unidad 2: Métodos de integración Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. c) 2. a) 3. c) 4. c) 5. b) Referencias 1. Horowitz, D. “Tabular Integration by Parts”, en The College Mathematics Journal, 1991. 2. Gillman, L. “More on Tabular Integration by Parts”, en The College Mathematics Journal, 2002. 3. C. E. Shannon, “A mathematical Theory of Communication”, en Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379-423 y 623-656, julio y octubre de 1948. Versión on line: http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html 4. Pérez, J. Cálculo diferencial e integral, Granada, Universidad de Granada, 2006. 5. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simon, 1978. 6. Thomas, G. Cálculo (una variable), 11a. ed., México, Pearson Educación, 2005. 2.3: Integrales de potencias trigonométricas 117 2.3 Integrales de potencias trigonométricas Uno no puede dejar de tener la sensación de que estas fórmulas matemáticas poseeen una existencia independiente y una inteligencia propia; que son más sabias que nosotros, más sabias que sus descubridores y que obtenemos más de lo que originalmente se puso en ellas. Heinrich Hertz Señales de prueba En la vida diaria contamos con aparatos sofisticados (teléfonos celulares, redes inalámbricas, etcétera) que nos permiten comunicarnos rápida y eficazmente, y que aprovechan ampliamente las nuevas tecnologías electrónicas. No debe resultar sorprendente que para llevar a cabo estos avances se utilicen diversos conceptos matemáticos. Por ejemplo, para diseñar teléfonos celulares se realizan pruebas de envío y recepción de señales que pretenden reducir el ruido y maximizar los parámetros físicos importantes. Un estudio reciente muestra que si se envía una señal cuadrada, como la que se muestra en la figura 2.10, se recibe otra que puede modelarse utilizando la siguiente función: Vr (t ) = 5 10 2 10 10 + sen( 3π x ) + sen(5π x ) + sen( 7π x ) + sen(9π x ) 2 3π 7π 9π π V volts 6 5 4 3 2 1 – 0.5 –1 0. .5 1 1.5 2 2.5 3 t ms FIGURA 2.10: Señal de entrada en un sistema de pruebas de telefonía móvil. El tiempo se expresa en milisegundos; y el voltaje, en voltios. La eficiencia de transmisión es un parámetro que caracteriza el canal mediante el cual se envían y reciben las señales, y se determina usando la relación: e= Voltaje rms de la señal recibida Vrms, r = Voltaje rms de la señal enviada Vrms, e 118 Unidad 2: Métodos de integración Donde, por definición, el voltaje rms Vrms, es decir, el voltaje raíz medio cuadrático (por sus siglas en inglés) está dado por Vrms = 1 [V (t )]2 dt P∫ 0 P P es el periodo de ambas señales. Con estas consideraciones, determina: a) ¿cuál es el voltaje rms efectivo de las señales enviadas y recibidas en este sistema de pruebas? b) ¿cuál es la eficiencia del canal? c) ¿cómo puede mejorarse la eficiencia de la transmisión? Introducción En áreas como las teorías de señales y sistemas, la acústica, la teoría del calor y las series de Fourier, entre otras, aparece la necesidad de calcular integrales que incluyen potencias de funciones trigonométricas, como lo ilustra la situación precedente. Para solucionar este tipo de integrales, se requiere establecer una estrategia que considere el uso de identidades trigonométricas, cambios de variable y fórmulas de reducción, la cual presentaremos y será la base, en la sección siguiente, para estudiar el método de sustitución trigonométrica. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección, deberás ser capaz de resolver integrales cuyos integrandos incluyan: • • • • potencias de las funciones seno y coseno. potencias de las funciones tangente y secante (cotangente y cosecante). productos de funciones senoidales con diferente argumento. potencias de funciones hiperbólicas. Sección 2.3.1 Integrales que incluyen potencias de seno y coseno Las integrales que nos interesa calcular en este apartado tienen integrandos formados por productos de potencias de funciones sinusoidales con el mismo argumento. Es decir, son del tipo m n ∫ sen (z)cos (z)dz Nuestra estrategia consistirá en reducir el integrando a expresiones que podamos integrar fácilmente, a través de identidades trigonométricas y/o cambios de variable. No obstante, existen varios casos que dependen de la paridad de las potencias. Por ejemplo, podemos reducir una expresión del tipo senm(z)cos2k + 1(z) utilizando la identidad cos2(z) = 1 − sen2(z) de la siguiente forma: senm(z)cos2k + 1(z) = senm(z)[cos2(z)]k cos(z) = senm(z)[1 − sen2(z)]k cos(z) 2.3: Integrales de potencias trigonométricas 119 Finalmente, para hallar la integral, sólo basta hacer el cambio de variable u = sen(z). En efecto, tenemos: ∫ sen m ( z )cos 2 k +1 ( z ) = ∫ u m [1 − u 2 ]k du La cual podemos resolver desarrollando el binomio. En la tabla 2.3 se muestran todos los casos posibles: el primero (Ia y Ib) cuando una de las funciones tiene potencia impar, y el segundo (II) cuando las dos tienen potencia par. Además, se muestra el tipo de integrando, la reducción a utilizar, la identidad que se necesita y, cuando es posible, el cambio de variable adecuado para simplificar la integral. Tabla 2.3: Los casos posibles para integrar la expresión senm(z)cosn(z). Caso Ia n = 2k + 1 impar Ib m = 2k + 1 impar II n = 2k, m = 2r ambos pares Integrando Reducción Identidad Cambio sen m (z)cos 2 k + 1(z) cos 2 k + 1(z) = cos(z)cos 2k (z) cos 2 (z) = 1 − sen 2 (z) u = sen(z) sen 2 k + 1(z)cos n (z) sen 2 k + 1 (z) = sen(z)sen 2 k (z) sen 2 (z) = 1 − cos 2 (z) cos 2 ( z ) = 1 2 u = cos(z) [1 + cos(2 z )] y sen (z)cos (z) 2r 2k (sen (z)) (cos (z)) 2 r 2 k sen 2 ( z ) = 1 2 [1 − cos(2 z )] o sen( z )cos( z ) = 1 2 sen(2 z ) Ejemplos Ejemplo 2.23 Determina el área bajo la curva y = sen3(x) desde x = 0 hasta x = π. (Véase la figura 2.11) y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 – 0.2 p 2 x p y = sen3 x FIGURA 2.11: La gráfica de la curva y = sen3(x) en el intervalo [0, π]. 3 Finalmente.120 Unidad 2: Métodos de integración solución Primero buscaremos una antiderivada o primitiva de y = sen3(x). Hacemos el cambio de variable u = sen(2x) y du = 2 cos(2x)dx y obtenemos: ∫ cos 5 2 4 du (2 x )dx = ⌠ (1 − 2u + u ) ⌡ 2 sustituyendo. el área está dada por cos 3 ( x ) 2 2 4 A = ∫ sen ( x )dx = − cos( x ) + = −− = 3 0 3 3 3 0 3 π π Ejemplo 2. 3 cos 3 ( x ) = − cos( x ) + + C sustituyendo u. u3 +C integrando. Observa que necesitamos reducir la función a integrar utilizando el caso Ia de la tabla 2. 2 3 10 1 1 1 = sen(2 x ) − sen 3 (2 x ) + sen 5 (2 x ) + C sustituyendo u. 10 2 3 . usando identidades. agrupando. Si seguimos esta estrategia tenemos: ∫ sen 3 ( x )dx = ∫ sen 2 ( x )sen( x )dx = ∫ (1 − cos 2 ( x ))sen( x )dx Al hacer el cambio de variable u = cos(x) y du = −sen(x)dx: ∫ sen 3 ( x )dx = ∫ (1 − u 2 )(− du ) = −u + sustituyendo.3. = ∫ (1 − 2 sen 2 (2 x ) + sen 4 (2 x ))cos(2 x )dx desarrollando o. = u u3 u5 − + +C integrando. Seguimos entonces la estrategia adecuada: ∫ cos 5 (2 x )dx = ∫ cos 4 (2 x )cos(2 x )dx = ∫ (cos 2 (2 x ))2 cos(2 x )dx = ∫ (1 − sen 2 (2 x ))2 cos(2 x )dx separando térm minos. la potencia de cos(2x) en el integrando nos indica que debemos aplicar el caso I.24 Determina una expresión para ∫ cos 5 (2 x )dx solución De nuevo. Así: ∫ sen 7 ( x )cos 5 ( x )dx = ∫ sen 7 ( x )cos 4 ( x )cos( x )dx = ∫ sen 7 ( x )(cos 2 ( x )) cos( x )dx = ∫ sen 7 ( x )(1 − sen 2 ( x )) cos( x )dx 2 2 sep parando.2. separamos el factor con la potencia más pequeña. Cambiamos la variable: u = sen(x) y du = cos(x)dx: ∫ sen 7 ( x )cos5 ( x )dx = ∫ u 7 (1 − 2u 2 + u 4 )du 1 1 1 = u 8 − u10 + u12 + C 8 5 12 1 1 10 1 8 = sen ( x ) − sen ( x ) + sen12 ( x ) + C 8 5 12 sustituyend do. Con la finalidad de ahorrar pasos algebraicos. 9 7 Ejemplo 2.3: Integrales de potencias trigonométricas 121 Ejemplo 2. agrupando.26 Calcula ∫ sen 7 ( x )cos 5 ( x )dx solución Observa que las dos potencias son números impares positivos. desarrollando e integrando. desarrollando. aplicamos la estrategia del caso I: ∫ sen 3 ( x )cos 6 ( x )dx = ∫ sen 2 ( x )cos 6 ( x )sen( x )dx = ∫ (1 − cos 2 ( x ))cos 6 ( x )sen( x )dx Realizamos el cambio de variable u = cos(x) y du = −sen(x)dx: ∫ sen 3 ( x )cos6 ( x )dx = − ∫ (1 − u 2 )u 6 du = ∫ (u 8 − u 6 )du = 9 7 sustituyendo. así que seguimos la estrategia del caso I. usando identidades = ∫ sen 7 ( x )(1 − 2 sen 2 ( x ) + sen 4 ( x ))cos( x )dx desarrollando. sustituyendo u.25 Determina una expresión para la integral ∫ sen 3 ( x )cos 6 ( x )dx solución Como la potencia de sen(x) es impar. . − +C 9 7 1 1 = cos 9 ( x ) − cos 7 ( x ) + C sustituyendo u. u u integran ndo. 12. solución Primero buscaremos una antiderivada de f (x).12: Gráfica de la curva f (x) = sen6(x) en el intervalo [−π. la integral de los primeros tres términos es 3 3 5 ⌠ 5 − 4 cos(2 x ) + cos( 4 x ) dx = x − 2 sen(2 x ) + sen( 4 x ) + C1 8 2 2 ⌡ 2 Considera ahora el cambio de variable u = sen(2x). La potencia de sen(x) es par.6 0. desarrollando. La gráfica de la función se muestra en la figura 2. y 1 0. en tanto que el cuarto requiere una sustitución.122 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. π]. π). así que aplicamos la reducción sugerida en el caso II: 1 − cos(2 x ) sen 6 ( x ) = (sen 2 ( x ))3 = 2 = 3 usando identidades.27 Determina el valor promedio de la función f (x) = sen6(x) en el intervalo (−π.2 –p – p 2 p 2 x p FIGURA 2. 1 (1 − 3 cos(2 x ) + 3 cos 2 (2 x ) − cos 3 (2 x )) 8 1 1 + cos( 4 x ) = 1 − 3 cos(2 x ) + 3 − cos 2 (2 x ) cos(2 x ) 8 2 = = 1 3 3 2 usando identidades. porque los primeros tres términos se integran directamente. Observa que no reducimos más. du = 2cos(2x)dx . usando identid dades. En efecto. 1 − 3 cos(2 x ) + + cos( 4 x ) − (1 − sen (2 x )) cos(2 x ) 8 2 2 15 3 − 4 cos(2 x ) + cos( 4 x ) + sen 2 (2 x ) cos(2 x ) 8 2 2 desa arrollando.8 0.4 0. π ] = = 1 2π π 5 1 3 1 −π ∫ sen 6 ( x )dx π por definición. evaluando. las reducimos tantas veces como sea necesario. desarrollando. desarrollando o. Entonces. desarr rollando. 1 (1 − cos 2 (2 x ))(1 + cos(2 x )) 8 1 = (1 + cos(2 x ) − cos 2 (2 x ) − cos 3 (2 x )) 8 1 1 + cos( 4 x ) − cos 2 (2 x )cos(2 x ) = 1 + cos(2 x ) − 8 2 = 1 11 + cos(2 x ) − cos( 4 x ) − (1 − sen 2 (2 x ))cos(2 x ) 2 8 2 La integral de los tres primeros términos es inmediata: 1 x 1 1 ⌠ 1 + cos(2 x ) − cos( 4 x ) dx = + sen(2 x ) − sen( 4 x ) + C1 2 2 2 2 8 ⌡ .3: Integrales de potencias trigonométricas 123 Luego. tanto de sen(x). 1 − cos(2 x ) 1 + cos(2 x ) sen 2 ( x )cos 4 ( x ) = sen 2 ( x )(cos 2 ( x ))2 = 2 2 = 2 usando identidades.28 Calcula la integral ∫ sen 2 ( x )cos 4 ( x )dx solución Las potencias. la integral del cuarto término es ∫ sen2 (2 x ) cos(2 x )dx = 2 ∫ u2 du = 6 u3 + C2 = 6 sen3 (2 x ) + C2 Finalmente. usando identidades. para posteriormente hacer la integral. el resultado de la integral de f (x) está dada por 1 1 1 ∫ sen6 ( x )dx = 16 x − 4 sen(2 x ) + 64 sen(4 x ) + 48 sen3 (2 x ) + C El valor promedio se obtiene como sigue: f [ − π .2. Entonces. siguiendo la estrategia del caso II. 1 3 1 1 5 x − sen(2 x ) + sen( 4 x ) + sen 3 (2 x ) 4 64 48 2π 16 −π 1 5π 5 = = 2π 16 8 Ejemplo 2. integrando. como de cos(x) son pares. du = 2cos(2x)dx Y obtenemos ∫ (1 − sen2 (2 x )) cos(2 x ) dx = − 2 ∫ (1 − u 2 )du u3 u − + C2 6 2 1 1 n(2 x ) + C2 = sen 3 (2 x ) − sen 6 2 = El resultado de la integral es 1 sustituye endo. sustituyendo u.3. para ellos. queremos integrar funciones del tipo ∫ tan m ( z )sec n ( z )dz o ∫ cot m ( z )csc n ( z )dz Los casos más simples se obtienen cuando m = 0.2 Integrales que incluyen potencias de tangente y secante Ahora analizaremos integrales cuyos integrandos son productos de potencias de tangentes y secantes (o bien.5.124 Unidad 2: Métodos de integración Para la integral del cuarto término. integrando. productos de cotangentes y cosecantes) con el mismo argumento. + sen(2 x ) − sen( 4 x ) + C1 − sen 3 (2 x ) − sen(2 x ) + C2 ∫ sen2 ( x )cos4 ( x )dx = 8 2 2 8 6 8 2 = x 1 1 1 + sen(2 x ) − sen( 4 x ) − sen 3 (2 x ) + C 16 8 64 48 1x 1 1 1 1 1 Sección 2. ∫ tan( x )dx = − ln cos( x ) + C ∫ cot( x )dx = ln sen( x ) + C ∫ sec( x )dx = ln sec( x ) + tan( x ) + C ∫ csc( x )dx = − ln csc( x ) + cot( x ) + C Distinguimos también cuatro casos que dependen de la paridad de los exponentes. Es decir. es necesario conocer las fórmulas siguientes: Tabla 2. n = 0. . n = 1 o m = 1. hacemos el cambio de variable u = sen(2x). los cuales se muestran en la tabla 2.4: Fórmulas de integración de algunas funciones trigonométricas. tanm(z)sec2k(z) cotm(z)csc2k(z) Reducción tanm(z) = tanm − 2(z)tan2(z) cotm(z) = cotm − 2(z)cot2(z) sec2k(z) = sec2k− 2(z)sec2(z) csc2k(z) = csc2k− 2(z)csc2(z) sec2k(z) = sec2k− 2(z)sec2(z) csc2k(z) = csc2k− 2(z)csc2(z) Identidad tan2(z) = sec2(z) − 1 cot2(z) = csc2(z) − 1 sec2(z) = 1 + tan2(z) csc2(z) = 1 + cot2(z) sec2(z) = 1 + tan2(z) csc2(z) = 1 + cot2(z) Cambio u = tan(z) u = cot(z) u = tan(z) u = cot(z) u = tan(z) u = cot(z) tan2k+1(z)secn(z) cot2k−1(z)cscn(z) [tan2(z)]k secn− 1(z)tan(z)sec(z) [cot2(z)]k cscn− 1(z)cot(z)csc(z) tan2(z) = sec2(z) − 1 cot2(z) = csc2(z) − 1 u = sec(z) u = csc(z) tan2k (z)sec 2 r + 1 (z) Integración por partes sec2(z) = 1 + tan2(z) csc2(z) = 1 + cot2(z) Ejemplos Ejemplo 2. ∫ cot 4 ( x )dx = − cot 3 ( x ) + cot( x ) + x + C 3 . Entonces.2. r ≥ 0 Integrando tanm(z) cotm(z). Para calcular la integral del primer término del lado derecho. sec2k(z).29 Encuentra una expresión para ∫ cot 4 ( x )dx solución Reducimos el integrando de acuerdo con el caso I: cot 4 ( x )dx = cot 2 ( x )cot 2 ( x ) = cot ( x )(csc ( x ) − 1) 2 2 reescribiendo. n ≥ 1 IV m = 2k n = 2r + 1. k ≥ 0. Caso I m≥2 IIa n = 2k par k≥1 IIb n = 2k par k≥1 III m = 2k + 1 impar k ≥ 0.3: Integrales de potencias trigonométricas 125 Tabla 2. Los otros términos tienen integrales inmediatas. 2 = cot ( x )csc ( x ) − cot ( x ) 2 2 2 2 2 desarrollando. usando identidades. = cot ( x )csc ( x ) − (csc ( x ) − 1) usando identidades. utilizamos el cambio de variable u = cot(x).5: Los casos posibles para integrar la expresión tanm(z)secn(z). csc2k(z). du = −csc2(x)dx. usando identidades.32 Halla ∫ tan 5 ( x )sec 4 ( x )dx . las integrales de los primeros tres términos son inmediatas bajo el cambio de variable u = tan(x) y du = sec2(x)dx. ∫ tan7 ( x )dx = Ejemplo 2. Tenemos. es una integral que corresponde al caso I. Así: ∫ sec 4 ( x )dx = ∫ sec2 ( x )sec2 ( x )dx = ∫ (tan 2 ( x ) + 1)sec 2 ( x )dx = ∫ tan 2 ( x )sec 2 ( x )dx + ∫ sec 2 ( x ) dx = tan 3 ( x ) + tan( x ) + C 3 separando.31 Determina una expresión para tan 6 ( x ) tan 4 ( x ) tan 2 ( x ) − + + ln cos( x ) + C 6 4 2 ∫ sec 4 ( x )dx solución En este caso. separando. integrando. Si seguimos la estrategia indicada: tan 7 ( x )dx = tan 5 ( x ) tan 2 ( x ) = tan 5 ( x )(sec 2 ( x ) − 1) = tan ( x )sec ( x ) − tan ( x ) 5 2 5 separando.30 Halla la integral ∫ tan 7 ( x )dx solución Otra vez. usando identidades. 3 = tan ( x ) sec ( x ) − tan ( x )sec ( x ) + tan ( x ) 5 2 3 2 5 2 3 2 2 desarrolland do. Finalmente. = tan ( x )sec ( x ) − tan ( x )sec ( x ) + tan( x )sec ( x ) − tan( x ) usando identidades. entonces. la integral corresponde al caso IIa. Ejemplo 2. 2 3 = tan ( x )sec ( x ) − tan ( x )(sec ( x ) − 1) 5 2 usando identidades. desarrollando.126 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. tan 5 ( x )sec 8 ( x ) = tan 4 ( x )sec 7 ( x )sec( x ) tan( x ) = (tan ( x )) sec ( x )sec( x ) tan( x ) 2 2 7 sep parando. separando.34 Obtén una expresión para ∫ cot 5 ( x ) csc 7 ( x )dx . = integrando. 12 5 8 sec12 ( x ) sec10 ( x ) sec 8 ( x ) − + + C sustituyendo u. usando identidades. = ∫ tan 7 ( x )sec 2 ( x )dx + ∫ tan 5 ( x )sec 2 ( x )dx desarrollando.2. = (sec ( x ) − 1) sec ( x )sec( x ) tan( x ) 2 2 7 4 2 7 = (sec ( x ) − 2 sec ( x ) + 1)sec ( x ) sec( x ) tan( x ) desarrollando. Hacemos ahora el cambio de variable u = sec(x) y du = sec(x)tan(x)dx Tenemos: ∫ tan 5 ( x )sec 8 ( x )dx = ∫ (u11 − 2u 9 + u 7 )du = sustituyend do. usando identidades. Como la potencia de tan(x) es menor que la potencia de sec(x).33 Calcula la integral ∫ tan 5 ( x )sec 8 ( x )dx solución Se puede resolver de dos formas diferentes: siguiendo las estrategias de los casos IIb y III. utilizamos la reducción sugerida en el caso III. Ejemplo 2. = 5 8 12 Ejemplo 2.3: Integrales de potencias trigonométricas 127 solución Como en el caso anterior: ∫ tan 5 ( x )sec 4 ( x )dx = ∫ tan 5 ( x )sec 2 ( x )sec 2 ( x )dx = ∫ tan 5 ( x )(tan 2 ( x ) + 1)sec 2 ( x )dx tan 8 ( x ) tan 6 ( x ) + +C 8 6 se eparando. u12 u10 u 8 − + +C integrando. . Elegimos du = sec 2 ( x )dx. para calcularla utilizamos primero el método de integración por partes. = (csc ( x ) − 1) csc ( x )csc( x )cot( x ) 2 2 6 4 2 6 = (csc ( x ) − 2 csc ( x ) + 1)csc ( x )csc( x )cot( x ) desarrollando.128 Unidad 2: Métodos de integración solución Seguimos la estrategia del caso III. desarrollando. 1 dv = tan( x ) sec5 ( x )dx.35 Calcula ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx solución La integral corresponde al caso IV. 11 9 7 csc11 ( x ) 2 csc 9 ( x ) csc 7 ( x ) + − + C sustituyendo u. entonces. v = sec5 ( x ) 5 Tenemos. =− 11 9 7 Ejemplo 2. separando. usando identidades. reescribiendo. ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx = 1 5 1 sec ( x ) tan( x ) − ∫ sec 7 ( x )dx 5 5 1 5 1 = sec ( x ) tan( x ) − ∫ sec 5 ( x )sec c 2 ( x )dx 5 5 1 1 = sec 5 ( x ) tan( x ) − ∫ sec 5 ( x )(1 + tan 2 ( x ))dx 5 5 1 5 1 1 = sec ( x ) tan( x ) − ∫ sec 5 ( x )dx − ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx 5 5 5 integrando. cot 5 ( x )csc 7 ( x ) = cot 4 ( x )csc 6 ( x )csc( x )cot( x ) = (cot ( x )) csc ( x )csc( x )cot( x ) 2 2 6 sep parando. u = tan( x ). Haciendo el cambio de variable u = csc(x) y du = −csc(x)cot(x)dx resulta ∫ cot 5 ( x )csc 7 ( x )dx = − ∫ (u10 − 2u 8 − u 6 )du =− sustituyen ndo. usando identidades. u11 2u 9 u 7 + − +C integrando. La idea que seguiremos es utilizar identidades trigonométricas para producir funciones con el mismo argumento.3: Integrales de potencias trigonométricas 129 De donde resulta 6 ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx = sec 5 ( x ) tan( x ) − ∫ sec 5 ( x )dx La integral que nos falta se calculó en el ejemplo 2. ahí también se indica la identidad trigonométrica adecuada para transformar el integrando y poder hacer la integral.2.29 de la sección de integral por partes. Tabla 2. que: ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx = 3 1 5 1 1 sec ( x ) tan( x ) − sec 3 ( x ) tan( x ) + ( sec( x ) tan( x ) + ln sec( x ) + tan( x ) ) + C 8 6 6 4 1 5 1 1 1 = sec ( x ) tan( x ) − sec 3 ( x ) tan( x ) − sec( x ) tan( x ) − ln sec( x ) + tan( x ) + C 6 24 16 16 Sección 2.6.3.3 Integrales de productos de senos y cosenos con diferente argumento Deseamos ahora integrar productos de funciones sinusoidales que no tienen el mismo argumento. Caso Integral (m ≠ n) Identidad sen( A )cos( B ) = sen( A)sen( B) = cos( A)cos( B) = 1 2 1 2 1 2 I II III ∫ sen(mx )cos(nx )dx ∫ sen(mx )sen(nx )dx ∫ cos(mx )cos(nx )dx [sen( A − B) + sen( A + B)] [ cos( A − B) − cos( A + B)] [ cos( A − B) + cos( A + B)] Ejemplos Ejemplo 2. finalmente. Los tres casos que nos interesan se muestran en la tabla 2.36 Encuentra el valor de la integral π ∫ sen(5 x ) cos(2 x )dx 0 . Sustituyendo el resultado obtenemos.6: Integrales de productos de funciones sinusoidales con argumento diferente. integrando. evaluando. simplificando.75 0.25 – 0.25 – 0. 2∫ 0 1 (sen( 3x ) + sen( 7 x ))dx 2∫ 0 1 cos( 3x ) cos( 7 x ) − − 7 2 3 0 1 1 1 1 1 10 + + + = 2 3 7 3 7 21 π π π = = = simplificando. π]. si usamos la identidad sen( A)sen( B) = 1 2 [ cos( A − B) − cos( A + B)]: por la identidad.130 Unidad 2: Métodos de integración solución y 1 0. Observa que la integral corresponde al caso I.13: Gráfica de la curva f (x) = sen(5x)cos(2x) en el intervalo [0. utilizando la identidad trigonométrica asociada correspondiente.37 Calcula la integral ∫ sen(3x )sen(2 x )dx solución Corresponde al caso II. Ejemplo 2.13 se muestra la gráfica de la función f (x) = sen(5x)cos(2x). integrando.5 – 0. cos( 3x − 2 x ) − cos( 3x + 2 x )] dx 2[ ∫ sen(3x )sen(2 x )dx = ∫ 1 =∫1 cos( x ) − cos(5 x )] dx 2[ = 1 sen(5 x ) sen( x ) − +C 2 5 .5 0. tenemos π ∫ sen(5 x )cos(2 x )dx = 0 1 (sen(5 x − 2 x ) + sen(5 x + 2 x ))dx usando la identidad.75 –1 p 2 x p FIGURA 2. En la figura 2. Identidades hiperbólicas 1 = cosh 2 ( x ) − senh 2 ( x ) cosh(2 x ) = cosh 2 ( x ) + senh 2 ( x ) senh(2 x ) = 2 senh( x )cosh( x ) 1 cosh 2 ( x ) = (cosh(2 x ) + 1) 2 1 2 senh ( x ) = (cosh(2 x ) − 1) 2 sech 2 ( x ) = 1 − tanh 2 ( x ) csch 2 ( x ) = coth 2 ( x ) − 1 Tabla 2. En estos casos. = 1 sen(2 x ) sen( 4 x ) +C + 2 4 2 Sección 2. Integrales hiperbólicas ∫ cosh( x )dx = senh( x ) + C ∫ senh( x )dx = cosh( x ) + C ∫ tanh( x )dx = ln(cosh( x )) + C ∫ coth( x )dx = ln(senh( x )) + C x ∫ sech( x )dx = 2 arctan(e ) + C e x − 1 +C x dx csch( ) = ln ∫ e x + 1 Ejemplos Ejemplo 2.38 Resuelve ∫ cos(3x ) cos( x )dx solución Esta integral corresponde al caso (III).2. simplificando.7: Identidades trigonométricas hiperbólicas.7. Tabla 2.3: Integrales de potencias trigonométricas 131 Ejemplo 2.39 Calcula las integrales siguientes: a) ∫ sech( x )dx b) ∫ sech 3 ( x )dx . así como las integrales de la tabla 2. integrando.3.4 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas La integración de potencias funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las potencias de funciones trigonométricas. debes recordar las identidades que se muestran en la tabla 2. al usar la identidad cos( A)cos( B) = tenemos: 2 [ cos( 3x − x ) + cos( 3x + x ) ] dx ∫ cos(3x )cos( x )dx = ∫ 1 =∫1 2 [ cos(2 x ) + cos( 4 x ) ] dx 1 2 [ cos( A − B) + cos( A + B)] por la identidad.8.8: Integrales de funciones hiperbólicas. usando el del primer inciso. = 2 arctan( e x ) + C sustituyendo u. ∫ sech ∫ sech De donde: 3 3 ( x )dx = tanh( x )sech( x ) + ∫ sech( x ) tanh 2 ( x )dx Al usar la identidad sech2(x) = 1 − tanh2(x). escribimos sech(x) en términos de exponenciales: dx x ∫ sech( x )dx = ⌠ ⌡e + e − x 2 sustituyendo. es: ∫ sech Ejemplo 2. du = exdx obtenemos du 2 ∫ sech( x )dx = ⌠ ⌡u + 1 2 = 2 arctan(u ) + C sustituyendo. desarrollando. ( x )dx = tanh( x )sech( x ) + ∫ sech( x )(1 − sech 2 ( x ))dx = tanh( x )sech( x ) + ∫ sech( x )dx − ∫ sech 3 ( x )dx 2 ∫ sech 3 ( x )dx = tanh( x )sech( x ) + ∫ sech( x )dx El resultado.40 Determina una expresión para 3 ( x )dx = 1 tanh( x )sech( x ) + arctan(e x ) + C 2 ∫ senh 3 (t ) cosh 4 (t )dt .132 Unidad 2: Métodos de integración solución a) Para resolver la primera integral. ⌠ 2e = 2x dx ⌡e + 1 x Si usamos el cambio de variable u = ex. integrando. b) Para determinar una expresión para la segunda integral utilizamos integral por partes. toma en cuenta que: u = sech( x ) du = − sech( x ) tanh( x )dx 2 dv = sech ( x )dx v = tanh( x ) Entonces. b) n es impar. Observa que en el último paso utilizamos el cambio de variable u = cosh(t) y du = senh(t)dt. utilice los casos establecidos en la tabla 2. ∫ x sen2 ( x 2 )dx b) ∫ sen 4 ( x ) cos3 ( x )dx c) ∫ cos 4 ( x )dx d) ∫ cos6 (3 x )dx e) ∫ sen 2 ( x ) cos 4 ( x )dx f) ∫ sen 3 ( x ) cos 2 ( x )dx g) ∫ cos 2 (3 x ) sen 4 (3 x )dx a) h) 5 cos dx ∫ sen 3 2 2 π i) j) k) ∫ sen 0 4 3 (2 x )cos 4 (2 x ) dx ∫ sen5 ( x ) cos( x )dx ∫ sen5 ( x ) 3 cos( x ) dx ⌠ cos 5 ( x ) dx l) 3 ⌡ sen ( x ) m) n) o) ∫ cos 7 ( 4 x )dx ( 4 x )sen 2 ( 4 x )dx ( 4 x )sen 4 ( 4 x )dx x x ∫ cos ∫ cos 7 7 . 3. integrando. si b) n es impar. Explica cómo integrar a) m es par. ∫ sec m (u ) tan n (u )du . describe cómo integrar a) m es impar. c) m y n son pares. Con tus propias palabras. 2. usando identidades.3: Integrales de potencias trigonométricas 133 solución Procedemos como en el caso Ib de funciones circulares para potencias de seno y coseno.2. si d) m y n son impares. desarrollando. 1.3. ∫ sen m (u )cos n (u )du . Así: ∫ senh 3 (t )cosh 4 (t )dt = ∫ senh 2 (t )cosh 4 (t )senh(t )dt = ∫ (cosh 2 (t ) − 1)cosh 4 (t )senh(t )dt = ∫ (cosh 6 (t ) − cosh 4 (t ))senh(t )dt = 1 1 cosh 7 (t ) − cosh 5 (t ) + C 7 5 separando. Calcula las siguientes integrales. 0. 8. cuando el número cuántico n toma los valores 1. 4 o 5.7 para encontrar una expresión para las siguientes integrales: a) b) c) d) e) ∫ senh3 ( x )dx ∫ cosh3 ( x )dx ∫ cosh4 ( x )dx ∫ senh3 ( x ) cosh( x )dx ∫ senh2 ( x ) cosh2 ( x )dx f) g) h) i) j) ∫ tanh3 ( x )dx ∫ coth4 ( x )dx ∫ sech(2 x )dx ∫ sech3 (5x + 3)dx ∫ sech2 (2 x ) tanh5 (2 x )dx 7. . la probabilidad de encontrar una partícula en un intervalo [a. Utiliza los casos de la tabla 2. 1] y. π/2]. Un cuerpo de masa m = 0. su valor promedio. 3. b] está dada por b P(a ≤ x ≤ b ) = ∫ ψ ( x ) dx . Apóyate en los casos enunciados en la tabla 2. 2.6 para calcular las siguientes integrales: a) b) ∫ sen(3x ) cos(5x )dx ∫ sen(10 x ) sen(15x )dx e) f) g) h) ∫ cos(ax + b)cos(ax − b)dx ∫ sen(ax )sen(ax + b)dx ∫ cos( x )cos 2 ⌠ x x c) cos cos dx ⌡ 2 3 ⌠ x 2x d ) sen cos dx ⌡ 3 3 ( 3x )dx ∫ sen( x )sen(2 x )sen(3x )dx 6. donde x está dada en metros y t en segundos. donde ψ (x) es la función de onda de la partícula. Si una partícula tiene fun2 a ción de onda ψ ( x ) = 2 sen(nπ x ) .65].5 para determinar las siguientes integrales: a) ∫ tan4 ( x )dx ∫ sec4 ( x ) tan2 ( x )dx ∫ sec3 ( x ) tan3 ( x )dx ⌠ x x b) tan 3 + tan 4 dx 3 3 ⌡ c) d) ⌠ cos 2 ( 4 x ) dx f) 3 ⌡ sen ( 4 x ) g) h) i) j) ∫ sec4 (e x ) tan7 (e x )e x dx ∫ 6 x tan9 ( x 2 + 1)dx ∫ sec5 ( x ) tan3 ( x )dx ∫ sec( x ) tan7 ( x )dx ⌠ cos 2 ( x ) dx e) 4 ⌡ sen ( x ) 5.134 Unidad 2: Métodos de integración 4. En mecánica cuántica.03 cos(8t) + 0. después. establece la probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo [0. Determina el valor promedio de su energía cinética en el intervalo de tiempo[0. Determina el área bajo la curva f(x) = 4 sech(x) en el intervalo [−1. Usa los casos de la tabla 2.5 kg se encuentra unido a un resorte y se mueve con la función de posición x(t) = 0. 9.01 sen(8t). 1). 2). k + 1) = n! k ! . Dicha función se define mediante la integral 1 B( x. 3). x > 0. B(2. x > 0. 2). La función Beta. analiza y resuelve las siguientes situaciones. n. c) Muestra que el cambio de variable z = sen2(θ) transforma la función beta en π /2 B( x. B(3/2. 2) y B(3/2. y ) = ∫ z x −1 (1 − z )y−1 dz. B(1. k ∈ Z. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables: a) b) c) d) dy = cos 2 ( 2 x ) sech 2 ( y) dx dy = sen 3 ( x ) cosh 2 ( y) dx dy = 1 + sen( x ) + cosh( y) + sen( x )cosh( y) dx dy = 1 + 4 x + cos( y) + 4 x cos( y) con la condición inicial y(1) = 0 dx Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. n). y > 0 0 a) Calcula B(1.3: Integrales de potencias trigonométricas 135 10. (Que se presentó al inicio de esta sección. ∫z 0 1 4 (1 − z )4 dz (1 − z )9 dz ii. n). k ≥ 0 ( n + k + 1)! f ) Usa la expresión anterior para encontrar 1 i. e) Muestra que B( n + 1. 3). y ) = 2 ∫ sen 0 2 x −1 (θ )cos 2 y−1 (θ )dθ . y > 0 d) Calcula B(1/2. B(2. B(2. Señales de prueba. b) Encuentra fórmulas para determinar B(1. Ésta es una de las muchas funciones que estudió Leonard Euler. 3).) 2. B(1/2.2. n. 1). 1. y que ha resultado muy útil para analizar diversos problemas de física y matemáticas. ∫z 0 8 . empezando en 1 y terminando en 2n − 1. donde el símbolo doble g) Muestra que B(n + . h) Usa la expresión anterior para calcular 2 i. Señala la opción que contenga el resultado de I = ∫ sen ( x ) cos ( x )dx a) I = b) I = cos3 ( x ) cos5 ( x ) − +C 3 5 1 12 4 6 1 c) I = 1 4 sen ( x ) − 6 sen ( x ) + c 5 3 1 d) I = 1 5 cos ( x ) − 3 cos ( x ) + C sen 4 ( x ) cos3 ( x ) + C ⌠ x x 2... (2n − 1)!! es el producto de los impares. ∫ cos 0 2 n Autoevaluación 3 2 1.(3)(1). sugerencia: haz el cambio u2 = 4z π i) Calcula ∫ cos 0 6 (θ )dθ j) Usa la función beta para deducir las fórmulas de Wallis. ∫ cos 0 π 2 n 2 4 6 xdx = 3 5 7 1 3 5 xdx = 2 4 6 n − 1 para n ≥ 3 impar n n − 1 π para n ≥ 2 par n 2 ii. Es decir.136 Unidad 2: Métodos de integración 1 1 (2 n − 1)!!(2 k − 1)!! . n. π i. ∫u 0 3 ( 4 − u 2 )3/2 du . Indica la opción que tiene el resultado de J = csc 4 cot dx ⌡ 2 2 a) J = x x 1 csc 5 cot 2 + C 2 2 10 x 1 x 1 x 1 c) J = cot 6 + cot 4 + cot 2 + C 2 2 2 2 2 6 x 1 d) J = csc 4 + C 2 2 x 1 b) J = − csc 4 + C 2 2 . k + ) = 2 2 2 n+k (n + k )! factorial se define como (2n − 1)!! = (2n − 1)(2n − 3). k ∈ . Determina una expresión para la integral N = ∫ sec5 ( x ) tan 3 ( x )dx a) N = b) N = sec 7 ( x ) sec5 ( x ) − +C 7 5 sec6 ( x ) tan 4 ( x ) +C 24 c) N = d) N = sec 4 ( x ) tan( x ) +C 4 sec8 ( x ) sec6 ( x ) − +C 8 6 ⌠ x x 7. Encuentra una primitiva de P = csc 4 cot dx ⌡ 2 2 a) P = x x 1 csc 5 cot 2 + C 2 2 10 x 1 x 1 x 1 c) P = cot 6 + cot 4 + cot 2 + C 2 2 2 2 2 6 x 1 d ) P = csc 4 + C 2 2 x 1 b) P = − csc 4 + C 2 2 2 8.3: Integrales de potencias trigonométricas 137 3.2. Indica cuál inciso contiene el resultado de K = 1 a) K = sen( 2 x ) sen( 4 x ) + C 8 b) K = 1 1 sen( 2 x ) + sen(6 x ) + C 4 12 π 4 ∫ cos(2 x )cos(4 x ) dx 1 1 cos( 2 x ) + cos(6 x ) + C 4 12 1 c) K = sen(6 x ) + C 8 d) K = 4. Señala la opción que contenga el resultado de R = ∫ cosh( x ) 6 + csch ( x ) dx a) R = 6senh(x) − csch(x) + C b) R = −6csch(x) + tanh(x) + C c) R = senh(x)[6x − coth(x)] + C d) R = 6cosh(x) + tanh(x) + C . Indica la opción que representa el resultado de Q = ∫ sen( x ) −6 + sec ( x ) dx a) Q = −6cos(x) + tan(x) + C b) Q = 6cos(x) + sec(x) + C c) Q = 6csc(x) + tan(x) + C d) Q = −6csc(x) − sec(x) + C 2 9. Resuelve M = ∫ tan 3 ( x )dx 0 a) M = − 1 2 b) M = 1 2 c) M = 1 − ln 2 ( 2) d) M = 1 + ln 2 ( 2) 6. Calcula L = ∫ sen 2 (2 x )dx π 8 a) L = 4− 2 12 π 4 b) L = 4− 2 24 c) L = π −2 16 d) L = π +2 16 5. 138 Unidad 2: Métodos de integración 6 10. a) b) c) d) e) f) ∫ x sen 2 ( x 2 )dx = x 2 sen( 2 x 2 ) − +C 2 8 sen 5 ( x ) sen 7 ( x ) − +C 5 7 ∫ sen4 ( x ) cos3 ( x )dx = ∫ cos4 ( x )dx = 3 x sen( 2 x ) sen( 4 x ) + + +C 8 4 32 5x sen(6 x ) sen(12 x ) sen 3 (6 x ) + − +C 12 64 144 x sen( 4 x ) sen 3 ( 2 x ) + +C 64 48 ∫ cos6 (3x )dx = 16 + ∫ sen2 ( x ) cos4 ( x )dx = 16 − ∫ sen3 ( x ) cos2 ( x )dx = − cos3 ( x ) cos5 ( x ) + +C 3 5 1x sen(12 x ) sen 3 (6 x ) − + C 18 24 x g) ∫ cos2 (3x )sen 4 (3x )dx = 8 2 − x x 1 h) π 5 8 6 cos dx = cos − cos + C ∫ sen 3 2 2 2 3 2 4 x 1 i) ∫ sen 0 4 3 (2 x )cos 4 (2 x ) dx = cos( x )dx = − 1 35 3 7 11 j) ∫ sen5 ( x ) 2 cos 2 ( x ) 4 cos 2 ( x ) 2 cos 2 ( x ) + − +C 3 7 11 . 3. 2. Se debe revisar la primera parte de la sección. Indica la opción que tiene el resultado de hacer la integral S = ∫ 30 tanh ( x ) dx a) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30sech(x) + C b) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30tanh(x) + C c) S = −6tanh5(x) − 10tanh3(x) − 30tanh(x) + 30x + C d) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30tanh(x) − 30x + C Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Debe verse la segunda parte de la sección. a) b) ∫ sen5 ( x ) 3 cos( x )dx = − 4 3 cos4 ( x ) + 5 3 cos10 ( x ) − 16 3 cos16 ( x ) + C ∫ sen 3 ( x ) dx = ∫ cos ∫ cos ∫ cos 7 3 3 3 cos 5 ( x ) sen 2 ( x ) 1 − − 2 ln sen( x ) + C 2 2 sen 2 ( x ) 1 3 1 1 sen( 4 x ) − sen 3 ( 4 x ) + sen 5 ( 4 x ) − sen 7 ( 4 x ) + C 4 4 20 28 3 1 1 3 sen 3 ( 4 x ) − sen 5 ( 4 x ) + sen 7 ( 4 x ) − sen 9 ( 4 x ) + C 12 20 28 36 3 1 1 1 sen 5 ( 4 x ) − sen 7 ( 4 x ) + sen 9 ( 4 x ) − sen11 ( 4 x ) + C 20 28 12 44 ( 4 x )dx = 7 ( 4 x )sen 2 ( 4 x )dx = ( 4 x )sen 4 ( 4 x )dx = 7 ∫ tan4 ( x )dx = tan ∫ 3 tan 3 ( x ) − tan( x ) + x + C 3 3 x x x x x x + tan 4 dx = tan 2 + tan 3 − 3 tan + 3 ln cos + x + C 3 3 3 3 3 3 2 tan 3 ( x ) tan 5 ( x ) + +C 3 5 sec5 ( x ) sec3 ( x ) − +C 5 3 c) d) e) ∫ sec4 ( x ) tan2 ( x )dx = ∫ sec3 ( x ) tan3 ( x )dx = cos 2 ( x ) cot 3 ( x ) dx = − +C ∫ sen 4 ( x ) 3 1 1 ⌠ cos 2 ( 4 x ) dx = − csc( 4 x ) cot( 4 x ) + ln(csc( 4 x ) + cot( 4 x )) + C f) 3 8 8 sen ( 4 x ) ⌡ g) h) i) j) 5.3: Integrales de potencias trigonométricas 139 k) l) m) n) o) 4. a) b) ∫ sec4 (e x ) tan7 (e x )e x dx = 8 tan8 (e x ) + 10 tan10 (e x ) + C ∫ 6 x tan 9 1 1 ( x 2 + 1)dx = 3 3 8 2 1 3 tan ( x + 1) − tan 6 ( x 2 + 1) + tan 4 ( x 2 + 1) − tan 2 ( x 2 + 1) − 3 log cos( x ) + C 4 2 8 2 1 1 ∫ sec5 ( x ) tan3 ( x )dx = 7 sec7 ( x ) − 5 sec5 ( x ) + C ∫ sec( x ) tan7 ( x )dx = 7 sec7 ( x ) − 5 sec5 ( x ) + sec3 ( x ) − sec( x ) + C ∫ sen(3x ) cos(5x )dx = − cos(8 x ) cos( 2 x ) + +C 16 4 sen( 25 x ) sen(5 x ) + +C 50 10 1 3 ∫ sen(10 x ) sen(15x )dx = − .2. c) 1 5 (sección 2 x )dx =2. México. Barcelona. 0. G. d) 3 5. Cálculo (una variable). 7. a) b) c) d) e) ∫ cos(ax + b) cos(ax − b)dx = 2 x cos(2b) + 4 a sen(2ax ) + C ∫ sen(ax )sen(ax + b)dx = 2 x cos(b) − 4 a sen(2ax + b) + C ∫ cos( x ) cos 2 1 1 ( 3x )dx = sen( x ) sen(5 x ) sen( 7 x ) +C + + 2 20 18 cos(6 x ) cos( 4 x ) cos(2 x ) +C − − 8 24 16 ∫ sen( x )sen(2 x )sen(3x )dx = ∫ senh3 ( x )dx = ∫ cosh3 ( x )dx = ∫ cosh4 ( x )dx = cosh 3 ( x ) − cosh( x ) + C 3 senh 3 ( x ) + senh( x ) + C 3 3 x senh( 2 x ) senh( 4 x ) + + +C 8 4 32 senh 4 ( x ) +C 4 x senh( 4 x ) +C 32 ∫ senh3 ( x ) cosh( x )dx = ∫ senh2 ( x ) cosh2 ( x )dx = − 8 + 2 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación de la sección 2. 8.. Granada. 11a. 1978.92616. ∫ tanh d) ( x )dx = ln cosh( x ) − 2 2.3<T4> tanh ( x) 3 +C f ) 1. área = 6. promedio = 3. Universidad de Granada. 2005. P4 = 0. P2 = 0. P3 = 0. N.. Pearson Educación. Thomas.3<T4> tanh 6 ( 2 x ) + C j) Referencias de la ∫ sech2 (2 x ) tanh 12 1. a) 10. 3..140 Unidad 2: Métodos de integración c) cos dx = sen + 3 sen + C ∫ cos 2 3 6 6 5 cos ∫ sen 3 x 3 x 1 2x dx = cos − cos( x ) + C 3 2 3 2 1 1 x x 3 5x x d) e) f) g) h) 6.7788. b) coth 3 ( x ) 3.008 joules. a) 2 x )dx = arctan(e ) + C ∫ sech( 7.5743. Piskunov. 2006. ed. b) b) 3 (5 x + 3)dx = 1 tanh(5 x + 3)sech(5 x + 3) + 1 arctan(e5 x + 3 ) + C i) 8. 9. Cálculo diferencial e integral. Montaner y Simón. 2. Pérez. P5 = 0.46308.6664. P1 = 0. Cálculo diferencial e integral. c) 2x h) 6..6734. J.6182 . b) +C g) ∫ coth 4 ( x )dx = x − coth( x ) − 4. ∫ sech 10 5 9. 2. 1 y x 1 senh( 2 y ) + = + sen( 4 x ) + C 4 2 2 8 1 b) tanh( y) = − cos( x ) + cos3 ( x ) + C 3 c) 2arctan(ey/2) = x − cos(x) + C a) y 2 d) tan = x + 2 x − 3 2 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1.. b) 3. G. 3. Cálculo (una variable).. México. a) 2.. Cálculo diferencial e integral.. Pérez. d) 9. 2. Piskunov. Montaner y Simón. Barcelona. a) 5. b) 4. b) 8. Cálculo diferencial e integral. b) 7. ed.3: Integrales de potencias trigonométricas 141 10. Granada. Universidad de Granada. 1978. d) 6. c) 10. 2005. 2006. N. c) Referencias 1. Thomas. 11a. . Pearson Educación. J. sino de formas en que la memoria no será de utilidad a aquéllas en que sí lo serán. Una posible solución a este problema sería incorporar en los automóviles un sistema que permita medir fácilmente la cantidad de gasolina que contiene su tanque. suponga que el radio de la base del tanque es R = 0. la procuraduría del consumidor alerta sobre el robo cotidiano que sufrimos los automovilistas cuando cargamos gasolina.142 Unidad 2: Métodos de integración 2. Imagina que tienes un tanque cilíndrico horizontal.14: Tanques de gasolina. En a) se muestra uno cilíndrico. al que se le agregaron semiesferas de radio R en los extremos. como el que se muestra en la figura 2. conociendo el nivel o altura que alcanza la gasolina. Los diferentes artificios mediante los cuales se lleva a cabo la integración son cambios: no de lo conocido a lo desconocido. R h L a) L b) R FIGURA 2.451m.14a. Se sugiere uno con marcas en los tanques tales que. Encuentra una expresión para el volumen de gasolina que contiene el tanque. en términos de la altura h.188m y la longitud es L = 0. .14b. 2. 1. Augustus de Morgan Tanques de gasolina De manera constante.4. b) tiene dos semiesferas en los extremos. se determine su volumen. Método de sustitución trigonométrica La integración ordinaria es solamente la memoria de la diferenciación. Repite el procedimiento anterior para el caso del tanque de la figura 2. donde también resumimos las sustituciones trigonométricas aplicables a otras expresiones. En física. Por ejemplo. como la situación anterior. En esta sección estudiaremos sus diferentes variantes. se basa en reemplazar la variable de integración por una función trigonométrica. por ejemplo. en problemas geométricos.4: Método de sustitución trigonométrica 143 Introducción El método de sustitución trigonométrica aparece en diversas situaciones. se restringe θ. más aún. deberás ser capaz de describir y aplicar el método de sustitución trigonométrica para resolver las integrales que lo requieran.4. es de gran utilidad. con la finalidad de asegurar que la función que define la sustitución sea biunívoca. como se observa en la tabla 2.2. De hecho. como su nombre lo indica.9. Sección 2. podemos establecer el cambio de variable apoyándonos en un triángulo rectángulo adecuado. En cada caso.1 Sustitución trigonométrica El método de sustitución trigonométrica. . De esta manera es posible eliminar el radical utilizando identidades trigonométricas. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. u 2 − a2 o a 2 + u 2 . el cambio u = a sen(θ) transforma el término a 2 − u 2 en a 2 − u 2 = a 2 − a 2 sen 2 (θ ) = a 2 1 − sen 2 (θ ) = a cos(θ ) con a > 0 y 0 ≤ θ ≤ ( ) π 2 Por otra parte. estas restricciones son las mismas que se requieren para definir las funciones trigonométricas inversas. Suele ser útil si el integrando contiene cualquiera de los términos a 2 − u 2 . No resulta difícil comprobar que la hipotenusa de este triángulo es a y que sus catetos son u y a 2 − u 2 . en el cálculo de campos eléctricos o magnéticos producidos por líneas de carga o corriente. 9: Sustituciones recomendadas de acuerdo con la expresión que aparezca en la integral. Para ello. 0 ≤θ < π 2 si u ≥ 0 si u < 0 π − <θ < 0 2 1 + tan2(θ) = sec2(θ) u a a2 + u 2 u u −a 2 2 π 2 u = a sec(θ ).15.144 Unidad 2: Métodos de integración Tabla 2. deseamos que desaparezca el radical cuenta el triángulo rectángulo de la figura 2.41 Calcula la integral ⌠ 25 − x 2 I= dx 2 ⌡ x solución Mediante la sustitución adecuada. 25 − x 2 . tome en . 3π π ≤θ < 2 0 ≤θ < si u ≥ a si u ≤ −a sec2(θ) − 1 = tan2(θ) u u a u 2 − a2 Ejemplos Ejemplo 2. 0 ≤θ ≤ π 2 si u ≥ 0 π − ≤ θ < 0 si u < 0 2 1 − sen2(θ) = cos2(θ) a u a2 + u 2 u u 2 − a2 u = a tan(θ ). Expresión (a > 0) Sustitución Identidad Triángulo a +u 2 2 u = a sen(θ ). de forma que asociamos sus raíces (positivas.4: Método de sustitución trigonométrica 145 5 x q 25 − x 2 FIGURA 2. sen(θ ) obtenemos ⌠ 25 − x 2 dx = x2 ⌡ ∫ (csc2 (θ ) − 1) dθ = − cot(θ ) − θ + C Para reescribir el resultado en términos de la variable x necesitamos observar nuevamente el triángulo de la figura 2. con las ecuaciones (2. x θ = arcsen . dx = 5 cos(θ ) .11) se obtiene el resultado final: ⌠ 25 − x 2 x 25 − x 2 dx = − − arcsen + C 2 5 x x ⌡ .2.15) obtenemos 25 − x 2 = 5 cos(θ ) Sustituimos en la integral y resulta ⌠ 25 − x 2 ⌠ 5 cos(θ ) dx = (5 cos(θ )) dθ = 2 ⌡ 25 sen 2 (θ ) x ⌡ donde utilizamos la identidad cot(θ ) = ∫ cot 2 (θ )dθ . Entonces. por comodidad) 5 y x a las longitudes de la hipotenusa y de un cateto del triángulo.15: cot(θ ) = 25 − x 2 x Finalmente. del mismo triángulo de la figura (2.41. al despejar x y al diferenciar y des5 pejar θ se tiene x = 5sen(θ ) . sin importar cuál relacionemos con x.11) Además. 5 (2. Del triángulo obtenemos el cambio de variable buscando la relación trigonométrica x más sencilla que implica a θ y a x. cos(θ ) . Si nos apoyamos ahora en la identidad cot2(θ) = csc2(θ) − 1. y ésta es sen(θ ) = . Nota que en el radical los signos positivo y negativo están asociados a 25 y a x2.15: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. La selección que hicimos es la usual. pues el resultado final será el mismo. Entonces.16 se muestra el triángulo asociado a este caso. En la figura 2. del triángulo obtenemos 7 + 4 x 2 = 7 sec(θ ) Y.42.146 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2.12) Además. resulta (2. diferenciando y despejando θ se tiene x= 7 tan(θ ) .42 Encuentra una expresión para la integral ∫ 7 + 4 x 2 dx solución Observamos la tabla (2. 2 dx = 7 sec 2 (θ )dθ . 2x q FIGURA 2. al sustituir en la integral.13) ∫ 7 + 4 x 2 dx = ∫ 7 sec(θ ) 7 7 sec 2 (θ )dθ = 2 2 ∫ sec 3 (θ ) dθ Esta integral se resolvió en el ejemplo 2. 2 x = 7 tan(θ ) Despejando x.46 de la sección dedicada a la integración por partes.9) y vemos que el cambio adecuado es u = a tan(θ) con a = 7 y u = 2x.16: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. 2 2x θ = arctan 7 (2. Con el resultado que ahí obtuvimos llegamos a ∫ 7 + 4 x 2 dx = 7 (sec(θ ) tan(θ ) + ln sec(θ ) + tan(θ ) ) + C1 4 . 13): ∫ 7 7 + 4 x2 2x 7 + 4 x 2 dx = + ln 4 7 7 7 2x 7 + 4 x2 = + ln 4 7 7 + 4 x2 2x + + C1 7 7 7 + 4 x2 + 2x 7 + C1 7 el cual podemos simplificar todavía más si usamos − ln 4 ( 7) + C 1 = C . así que completamos el trinomio cuadrado en el radicando. de donde obtenemos x2 + 8x + 7 = (x2 + 8x + 16) − 16 + 7 = (x + 4)2 − 9 x+4 q 3 FIGURA 2. ∫ Ejemplo 2.2.12) y (2.17.17: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. De acuerdo con la tabla (2.9).43.43 Calcula la integral 7 + 4 x 2 dx = x 7 7 + 4 x 2 + ln 7 + 4 x 2 + 2 x + C 2 4 ⌠ dx 2 ⌡ x + 8x + 7 ( ) 3 2 solución El radical no se encuentra en ninguna de las formas mostradas en la tabla (2.4: Método de sustitución trigonométrica 147 Para escribir el resultado en términos de la variable x utilizamos las relaciones (2. Esto nos lleva a la sustitución sec(θ ) = x+4 3 .9) el triángulo adecuado es el que se muestra en la figura 2. Finalmente. sen(θ ) = Finalmente. Además.14) ( x + 4 )2 − 9 3 (2.148 Unidad 2: Métodos de integración Al despejar x y diferenciar θ se tiene x = 3 sec(θ) −4.17.44 Calcula la integral ⌠ ln 3 (t ) dt 2 ⌡ t ln (t ) − 4 . del triángulo: tan(θ ) = Si sustituimos en la integral: x+4 dx = 3 sec(θ) tan(θ). θ = arctan 3 (2. tan 2 (θ ) sen 2 (θ ) sen 2 (θ ) cos2 (θ ) y con la sustitución adicional u = sen(θ).15) ⌠ ⌡ ⌠ 3 sec(θ ) tan(θ )dθ 1 ⌠ sec(θ )dθ = = 9 ⌡ tan 2 (θ ) 27 tan 3 (θ ) ⌡ 2 (x + 4) − 9 dx 3 Nos apoyamos en la reducción 1 sec(θ ) cos(θ ) cos(θ ) = = . el resultado es ( x + 4 )2 − 9 x+4 x+4 ⌠ ⌡ De forma equivalente: ( (x + 4) − 9 ) 2 dx 3 =− 9 ( ( x + 4 )2 − 9 x+4 2 ) +C ⌠ dx 2 ⌡ x + 8x + 7 ( ) 3 2 =− 9 x + 8x + 7 ( ) 3 2 +C Ejemplo 2. tenemos ⌠ dx 2 ⌡ (x + 4) − 9 ( ) 3/2 = 1 ⌠ cos(θ ) 1 +C dθ = − 2 9 sen(θ ) 9 ⌡ sen (θ ) Considerando la figura 2. 18 se tiene que z = 2 sec(θ).2. Finalmente. dz = 2 sec(θ) tan(θ)dθ .18: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. ⌠ z3 ⌠ 8 sec 3 (θ ) dz = (2 )sec(θ ) tan(θ )dθ = 8 ∫ sec 4 (θ )dθ 2 ⌡ 2 tan(θ ) ⌡ z −4 Ahora usamos la identidad sec2(θ) = 1 + tan2(θ).44.16) z q 2 FIGURA 2. Al diferenciar y despejar θ. lo cual nos lleva a: ⌠ z3 dz = 8 ∫ sec 2 (θ )sec 2 (θ )dθ 2 ⌡ z −4 = 8 ∫ 1 + tan 2 (θ ) sec 2 (θ )dθ 2 2 2 = 8 ∫ sec (θ )dθ + ∫ tan (θ )sec (θ )dθ tan 3 (θ ) = 8 tan(θ ) + + C 3 ( ) .4: Método de sustitución trigonométrica 149 solución Primero hacemos el cambio de variable: z = ln(t ). dz = Con lo que dt t ⌠ ⌠ z3 ln 3 (t ) dt = dz 2 ⌡ z2 − 4 ⌡ t ln (t ) − 4 Del triángulo de la figura 2. sustituyendo en la integral: z θ = arcsec 2 z 2 − 4 = 2 tan(θ ) (2. de donde 3/2 ⌠ z3 1 +C dz = 4 z 2 − 4 + z 2 − 4 2 3 ⌡ z −4 z2 − 4 = 12 + z 2 − 4 + C 3 (z 2 + 8) 2 = z −4 +C 3 ( ) ( ) Finalmente. dz = 5 sec2 θdθ . . primero es conveniente hacer el cambio de variable z = et. ( z + 3)2 + 25 = 5 sec(θ ) z+3 q 5 FIGURA 2.16).19: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. dz = etdt Con lo cual obtenemos.19 para establecer el cambio z + 3 = 5 tan θ .45 Determina una expresión para ⌠ et 2t ⌡ e + 6 et + 34 ( ) 3 dt 2 solución De forma similar al ejercicio anterior.150 Unidad 2: Métodos de integración Para escribir nuestro resultado con la variable. al usar z = ln(t) obtenemos el resultado de la integral pedida: ⌠ ln 3 (t ) ln 2 (t ) + 8 2 dt = ln (t ) − 4 + C 2 3 ⌡ t ln (t ) − 4 Ejemplo 2. z usamos la ecuación (2. después de completar el trinomio cuadrado del término que aparece en el radicando: ⌠ et 2t ⌡ e + 6 et + 34 ( ) ⌠ dz dt = 3 2 2 ⌡ z + 6 z + 34 ( ) 3 2 ⌠ = ⌡ dz ( z + 3) 2 + 25 3 Utilizamos ahora el triángulo de la figura 2.45. indica la sustitución adecuada para calcular las siguientes integrales a) ∫ ∫ a 2 − u 2 du b) ∫ a 2 + u 2 du c) ∫ u 2 − a 2 du 2.2. Calcula las siguientes integrales: a) x 2 + 9 dx ⌠ dx b) ⌡ x2 − 1 c) ⌠ 49 − x 2 dx d) x ⌡ e) f) ∫ x 2 − 4 dx ∫ ∫ 4 + 25 x 2 dx x − x 2 dx . entonces.19: sen(θ ) = Finalmente. z+3 = z+3 z + 6 z + 34 2 ( z + 3) + 25 2 ⌠ ⌡ ( ( z + 3) + 25 ) 2 dz 3 = z+3 25 z + 6 z + 34 2 +C El resultado de la integral pedida es. Con tus propias palabras.4: Método de sustitución trigonométrica 151 Sustituimos en la integral: ⌠ ⌡ ⌠ 5 sec 2 (θ )dθ ⌠ dθ = = 3 3 ⌡ 25 sec(θ ) ⌡ ( 5 sec(θ )) 2 3 + 25 z + ( ) 1 1 = ∫ cos(θ )dθ = 25 sen(θ ) + C 25 dz Del triángulo de la figura 2. ⌠ et 2t ⌡ e + 6 et + 34 ( ) 3 2 dt = et + 3 25 e2 t + 6 et + 34 +C 1. donde E es la energía total de la partícula. Determina el área encerrada por la elipse b ∫ x3 a 2 − x 2 dx . .152 Unidad 2: Métodos de integración g) ∫ 2 − x − x 2 dx x +1 ⌠ dx h) 2 ⌡ x + 6x + 5 x ⌠ dx i) ⌡ 4 + 4 x − x2 dx ⌠ j) 2 ⌡ x − 6x ⌠ dx n) 2 x ⌡ e −1 dx ⌠ o) 2 x ⌡ e + ex + 1 ⌠ sen( x ) dx p) 2 ⌡ cos ( x ) + 4 cos( x ) + 1 ⌠ ln( x ) dx q) ⌡ x 1 − 4 ln( x ) − ln 2 ( x ) r) ⌠ 2x − 8 dx k) ⌡ 1 − x − x2 x ⌠ dx l) 2 ⌡ 5x − 2x + 1 dx ⌠ m) 2 x ⌡ e + ex 3. una partícula de masa m con energía potencial V(x) 1 2 se mueve según la ecuación E = mv + V ( x ) .20. determina su posición como función del tiempo. donde f (t) es la función de densidad de probabilidad. Establece la probabia lidad de que una variable aleatoria tome valores en el intervalo (−1. 6. b] se calcula mediante la integral ∫ f (t )dt .1). si la función de densidad de probabilidad está dada por 3 f (t ) = 5/ 2 con −∞ < t < ∞ 4 1 + t2 ( ) 5. Observa la figura 2. Encuentra el área de la región que está dentro del círculo de radio r = 4 centrado en el origen y arriba de la recta y = h con 0 < h < 4. Si una partícula con masa m = 4 kg parte al tiempo t = 0 seg de la posición x = 0 m con velocidad v = 1 m/s y se mueve con energía potencial V(x) = 2x2. a2 b2 4. dx Sugerencia: Despeja la velocidad en la ecuación de la energía y usa v = y después separa las variadt bles de la ecuación diferencial obtenida. a > 0 x 2 y2 + = 1. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores en el intervalo [a. De acuerdo con la ley de conservación de la energía. x su posición 2 y v su velocidad. en un punto P(a. 2. El campo produce una corriente I circulante sobre un alambre de longitud L. Observa la figura 2. Determina una función que tenga curvatura constante igual a k = 1/4. . después necesitarás integrar dos veces.20: Área de círculo. Tanques de gasolina.4: Método de sustitución trigonométrica 153 y 4 2 x –4 –2 –2 2 4 –4 FIGURA 2.2.21. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. b). que se encuentra sobre el eje y. Observación: Primero supón que z = y'. 1. donde y' y y'' son la primera y segunda derivadas de la función. ⌠ µ0 Ia B= 2 ⌡ 4π a 2 + ( b − y ) 0 L ( ) 3/2 dy donde µ0 = 4π × 10 −7 Nw / Amp 2 es la permeabilidad magnética del vacío. 7. analiza y resuelve las siguientes situaciones. la magnitud del campo magnético B está dada por la siguiente integral. La curvatura de una función se calcula de acuerdo con la fórmula k = (1 + ( y ') ) y '' 2 3/ 2 . Ley de Biot y Savart. De acuerdo con la Ley de Biot y Savart. 21: Ley de Biot y Savart. Campo y potencial eléctrico. La varilla de la figura 2. 0.22 tiene longitud L y densidad de carga uniforme λ. b) está dado por ⌠ λK V = ⌡ ( a − x )2 + b 2 0 L ( ) 1 2 dx .1. donde K = 9 × 10 9 Nw m 2 / C 2 es la constante eléctrica. 01).1) al punto P(0. el potencial eléctrico en el mismo punto P(a. 3.40 metros en los puntos P(0. b).01) sobre la línea recta que une ambos puntos. b) I 0 x FIGURA 2. y L P(a. c) Calcula una expresión para el campo promedio que siente una partícula que se mueve de P(0.154 Unidad 2: Métodos de integración a) Usa esta fórmula para determinar el campo magnético producido por una corriente de I = 10 amperes que circula por un alambre de longitud L = 0. 0. y P(a. Las componentes del campo eléctrico que produce en el punto P(a. b) 0 L x FIGURA 2.1.1.1.01) y P(0. b) están dadas por ⌠ λ K (a − x ) Ex = ⌡ ( a − x )2 + b 2 0 L ( ) 3 2 dx y ⌠ λ Kb Ey = ⌡ ( a − x )2 + b 2 0 L ( ) 3 2 dx . Asimismo. b) Determina una expresión general para el campo magnético en un punto cualquiera (a. 0.22: Campo y potencial eléctrico. Explica cuál es la opción que contiene el resultado de L = ⌡ 36 − x 2 ( ) 3 dx 2 a) L = − b) L = 2 36 − x x 36 − x 2 2 +C c) L = d) L = 2 6 36 − x 2 x +C +C +C 36 36 − x 2 . L). Señala la opción que contiene el resultado de J = ⌡ 16 − x 2 ( ) 3 a) J = x 16 16 − x −1 2 16 − x 2 2 +C c) J = −3 2 16 − x 2 ( ) 5 2 +C b) J = +C x 3 d) J = arcsen 4 + C ⌠ x3 dx 3. L).2. Autoevaluación 2 ⌠ dx 1. b) Calcula el potencial en los puntos (0. (L/2. c) ¿Cómo se relaciona el campo eléctrico con el potencial? Explica. L) y (L. L) y (L. Indica la opción que contiene el resultado de I = ⌡ 3 + 2x − x2 a) I = arcsen (x − 1) + C b) I = 4 3 + 2 x − x 2 + C x − 1 c) I = 2 arcsen + C 2 d ) I = ln ( 3 + 2x − x2 + C dx 2 ) ⌠ 1 2. L). L).4: Método de sustitución trigonométrica 155 a) Determina las componentes del campo en los puntos (0. (L/2. Indica la opción que contiene el resultado de K = ⌡ x2 − 1 tan 3 ( x ) a) K = tan( x ) + +C 3 b) K = x5 +C 5 c) K = x d) K = 2 (x −1 + 2 −1 3 ) 3 2 C cos4 ( x ) +C 4 ⌠ 1 4. Señala la opción que contiene el resultado de M = dx x ⌡ a) M = ln 1 − 1 − 4 x 2 + 1 − 4 x 2 + C b) M = ln 1 − 1 − 4x2 + 1 − 4x2 + C 2x c) M = ln 1 − 1 − 4 x 2 + ln 2 x + 1 − 4 x 2 + C d) M = ln 1 − 1 − 4 x 2 + ln x + 1 − 4 x 2 + C Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. 2. Se debe revisar la teoría de esta sección. a) b) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x 2 + 9 dx = dx x −1 2 x 2 9 x + 9 + ln 2 2 x2 + 9 + x + C = ln x + x 2 − 1 + C 1 x x 2 − 4 − 2 ln x + x 2 − 4 + C 2 c) x 2 − 4 dx = d) 49 − x 2 dx = 49 − x 2 + 7 ln x − 7 ln 7 + 49 − x 2 + C x 4 + 25 x 2 dx = 2 2 5 x 49 − x + ln 5 x + 4 + 25 x 2 5 4 e) +C f) x − x 2 dx = 2x − 1 1 x − x 2 + arcsen ( 2 x − 1) + C 4 8 2 x + 1 2x +1 9 2 − x − x 2 + arcsen + C 3 4 8 g) 2 − x − x 2 dx = x +1 x + 6x + 5 2 h) dx = x 2 + 6 x + 5 − 2 ln x + 3 + x 2 + 6 x + 5 + C i) x−2 dx = − 4 + 4 x − x 2 + 2 arcsen + C 2 2 4 + 4x − x x 2 .156 Unidad 2: Métodos de integración ⌠ 1 − 4 x2 5. 883883 5.4: Método de sustitución trigonométrica 157 j) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx x − 6x 2 = ln x − 3 + x 2 − 6 x + C k) 2 x + 1 dx = −2 1 − x − x 2 − 9 arcsen +C 5 1− x − x 2 2x − 8 l) x 5x − 2 x + 1 2 dx = 1 1 5x − 1 ln 5x 2 − 2 x + 1 − + 5x 2 − 2 x + 1 + C 5 5 5 5 +C m) dx e2 x + e x dx e 2x = −2 1 + e x ex n) −1 dx = arcsec e x + C ( ) o) e 2x + e +1 x = x − ln 2 + e x + 2 e 2 x + e x + 1 + C p) sen( x ) cos ( x ) + 4 cos( x ) + 1 2 dx = ln 2 + cos( x ) + cos 2 ( x ) + 4 cos( x ) + 1 + C q) ∫x ∫ x3 2 + ln( x ) dx = − 1 − 4 ln( x ) − ln 2 ( x ) − 2 arcsen +C 5 1 − 4 ln( x ) − ln ( x ) ln( x ) 2 r) a 2 − x 2 dx = − 1 2 a − x2 15 ( ) (2a 3/ 2 2 + 3x 2 + C ) 3. A = πab 4. P = 0. x = sen(t) 16 − h 2 2 6.2. área = 16 arcsen − h 16 − h 4 7. (x − C1)2 + (y − C2)2 = 16 . N.158 Unidad 2: Métodos de integración Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1.. J. 11a. G. ed. Cálculo diferencial e integral. c) 2. 2006. 1978. 2005. Pearson Educación. . Barcelona. Universidad de Granada. 3. México. Grananda. Montaner y Simón. 2.. Piskunov.. Cálculo (una variable). c) 4. d) 5. a) 3. Pérez. Cálculo diferencial e integral. Thomas.. b) Referencias 1. 5 Integración por fracciones parciales La matemática es la herramienta especialmente adecuada para tratar con conceptos abstractos de cualquier naturaleza y su poder en este campo es ilimitado. no se considera la posibilidad de que la población desaparezca debido a que se encuentre debajo de la población umbral necesaria para su subsistencia. P0 > r. Las tres constantes son positivas: a) Estudia gráficamente la función H ( P ) = kP ( P − a ) 1 − P . ¿qué ocurre si la población inicial es de 20.5: Integración por fracciones parciales 159 2. En ambos. por debajo del cual la velocidad de crecimiento es negativa.2.02. Dirac El efecto Allee El crecimiento de una población que se reproduce sexualmente se puede modelar a través del modelo de Malthus o de la ecuación logística.000? e) En general. b) Resuelve la ecuación diferencial. suponiendo que en el tiempo t = 0 la población es P0.M. ¿Qué ocurre si P0 = 800? d) Con los datos del inciso anterior.000. a = 800. La experiencia demuestra que si la velocidad de crecimiento de la población es baja —cuando se debe primordialmente a la falta de apareamientos—. . suponiendo primero que P0 = 780 y después que P0 = 820. En el primero se supone que los recursos son ilimitados. a es un umbral. a < P0 < r. quizá esté en riesgo de desaparecer. Interpreta las gráficas obtenidas. r indica la capacidad máxima de la población.A. k = 18. A este fenómeno se le conoce como efecto Allee y se modela con base en la ecuación diferencial dP P = kP ( P − a ) 1 − dt r donde k es un factor de crecimiento.000 habitantes o si fueran 16. mientras que en el segundo se realiza un ajuste considerando que la población tiene un límite. sin embargo. e indica en qué r región la razón de cambio de la población es positiva y en cuál negativa. P. construye una gráfica de la población considerando los casos P0 < a. c) Analiza el caso de una población con r = 0. y 0 < a < r. Esto nos permite proponer una forma diferente de escribir la función racional. En esta sección también discutiremos dos métodos complementarios: de Heaviside y de Hermite. que potencian el procedimiento tradicional de fracciones parciales. precisamente. + 2 − + 2 x − 2 x + 4 x − 1 ( x − 1) x x +1 El proceso que nos interesa ahora es. Sección 2. . nos ayuda a determinar la integral más fácilmente. deberás ser capaz de: • Determinar las fracciones parciales de una función racional. • Aplicar el método de Heaviside para calcular los coeficientes de los términos lineales de una fracción parcial. se basa en el teorema fundamental del álgebra que indica que cualquier polinomio se puede factorizar en productos de factores lineales y factores cuadráticos irreducibles. • Modelar situaciones de crecimiento de población de tipo logístico.160 Unidad 2: Métodos de integración Introducción El método de fracciones parciales se utiliza primordialmente para encontrar expresiones de integrales de funciones racionales. • Aplicar el método de Hermite para integrar funciones racionales. • Integrar funciones racionales con el método de fracciones parciales. De nuevo. el campo de las ecuaciones diferenciales es fuente de situaciones donde nuestro método de integración encuentra sus mejores aplicaciones.5. El problema con que se inicia esta sección es un claro ejemplo de ello. el inverso: dada una fracción final ¿de qué fracciones parciales proviene? Para contestar.1 El método de fracciones parciales En álgebra es común encontrar ejercicios o problemas. que a la vez. observemos los pasos seguidos en la simplificación de las fracciones anteriores: 4 7 4( x + 4 ) + 7( x − 2 ) 11x + 2 + = = 2 x−2 x+4 ( x − 2 )( x + 4 ) x + 2x − 8 3 5 3 ( x − 1) − 5 3 x − 8 − = = x − 1 ( x − 1)2 ( x − 1)2 ( x − 1)2 2 5 3 x + 9 5 x + 1 + (3 x + 9 ) x 8 x 2 + 9 x + 5 = + 2 = x x +1 x x2 + 1 x x2 + 1 ( ) ( ) ( ) . Como veremos. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. donde se necesita simplificar a formas más compactas expresiones como 4 7 5 9 3 5 . se debe: A + B = 11 coeficientes de x. por ejemplo. cualquier función racional se escribe en la forma f (x) = P( x ) = p( x ) + F1 ( x ) + F2 ( x ) + Q( x ) + Fk ( x ) . Observa. La solución de este sistema de ecuaciones es A = 4 y B = 7. con lo cual obtenemos 11x + 2 = A(x + 4) + B(x − 2) = (A + B) x + 4A − 2B En esta ecuación se encuentra establecida una igualdad entre dos polinomios. en consecuencia. el método de fracciones parciales se basa en el teorema fundamental del álgebra. que señala que cualquier polinomio de grado n con coeficientes constantes reales se puede factorizar como producto de términos lineales ax + b y cuadráticos irreducibles (sin raíces reales) ax2 + bx + c. x + 2x − 8 primero observemos que el denominador se puede factorizar como x2 + 2x − 8 = (x − 2) (x + 4).5: Integración por fracciones parciales 161 Los tres pasos básicos son: tomar un denominador común. En general. Una de estas últimas se caracteriza porque el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador. proponemos una fracción parcial general y establecemos la igualdad entre la fracción total y la suma de las fracciones parciales: 11x + 2 11x + 2 A B = = + x 2 + 2 x − 8 ( x − 2 )( x + 4 ) x − 2 x + 4 Ahora sólo falta conocer los coeficientes A y B. Para el proceso inverso. Ahora. Y. Posteriormente. ( ) . primero debemos identificar los términos de donde puede provenir una fracción total. estan o Fi ( x ) = 2 ( ax + b ) ax + bx + c bleceremos el método para la búsqueda de las fracciones parciales de una fracción total dada. que las fracciones parciales y totales son impropias. Por 11x + 2 ejemplo. 4A − 2B = 2 términos independientes de x. debemos factorizar el denominador en factores irreducibles de primero y segundo grados. como dos polinomios son iguales si y sólo si también lo son los coeficientes de potencias correspondientes. si multiplicamos la expresión por (x − 2)(x + 4). y después sumar y simplificar. Con estos valores obtenemos las fracciones parciales de donde proviene la fracción total. Por cada factor. se deben proponer las fracciones parciales más generales posibles asociadas a cada factor del denominador. además. para determinar las fracciones parciales de la fracción total propia 2 .2. Hay muchas formas para obtenerlos. donde p(x) es un polinomio y Fi ( x ) = Bx + C A n . para ello. diremos que los factores son lineales no repetidos. Observaciones • Si en la factorización se producen factores lineales (ax + b)n con n = 1. . diremos . Por cada factor cuadrático (ax2 + bx + c)n propón las fracciones simples A1 x + B1 A2 x + B2 . ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ( ) 2 . ( ax + b ) ( ax + b )2 . 3. (ax An x + Bn 2 + bx + c ) n 5. . Suma las fracciones parciales propuestas e iguala con la fracción propia R( x ) . Divide P( x ) P( x ) R( x ) = p( x ) + si la fracción es impropia.162 Unidad 2: Métodos de integración Método de fracciones parciales Para descomponer f ( x ) = trategia: 1. con esto. Q( x ) 6. Con esto obtendrá . 8. Q( x ) P( x ) en fracciones simples se sigue la siguiente esQ( x ) donde p(x) será un polinomio y 2. Finalmente. Q( x ) R( x ) . Factoriza Q(x) en factores lineales (ax + b)n y cuadráticos irreducibles (ax2 + bx + c)n. Multiplica la ecuación obtenida en el paso anterior por Q(x). igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de cada polinomio. Establece el sistema de ecuaciones a resolver. suma el polinomio p(x) Q( x ) Vale la pena hacer algunos comentarios sobre el método propuesto. obtendrás la igualdad entre dos polinomios. An ( ax + b )n 4. Por cada factor lineal (ax + b)n propón las fracciones parciales A1 A2 . En caso de que n > 1. Resuelve el sistema de ecuaciones y sustituye sus resultados en la ecuación obtenida en el paso 5 para obtener para obtener P( x ) . 7. Q( x ) Q( x ) Q( x ) R( x ) será una fracción propia. b ≠ 0 y n > 1) dx 1 = ln a + bx + C 1. primero buscamos las fracciones parciales de donde proviene y después las integramos. el método que proponemos no es la única alternativa para conocerlos.10: Fórmulas de las integrales necesarias en el método de fracciones parciales. 2 ⌡ a + b2 x 2 n = x 2(n − 1)a 2 a 2 + b x ( 2 2 n −1 ) + ( ) n −1 +C . ⌠ 2 ⌡ a + b 2 x 2 2b 2 dx 1 bx = arctan + C 4. pero sí es un algoritmo general que se aplica en cualquier caso. Hacemos la misma clasificación para los factores cuadráticos irreducibles obtenidos (ax2 + bx + c)n: si n = 1 diremos que los factores son cuadráticos no repetidos y si n > 1 serán factores cuadráticos repetidos. Observa que la última expresión es una fórmula de reducción. deberás hacer las integrales de ese tipo utilizando sustitución trigonométrica. 2 ⌡ a + b2 x 2 ( ( ) ) n = 1 2(1 − n )b a 2 + x 2 2 ( ) n −1 +C 2n − 3 ⌠ dx 2 2(n − 1)a 2 ⌡ a + b2 x 2 ⌠ dx 6. 7 y 8 es conocer los coeficientes de las fracciones parciales. Para encontrar la integral de una función de este tipo. El método que analizamos tiene su aplicación más interesante en la integración de funciones racionales. • El objetivo de los pasos 6.2. n n −1 b(1 − n ) ( a + bx ) ⌡ ( a + bx ) xdx 1 = ln a 2 + b 2 x 2 + C 3.10 se muestran las integrales que necesitamos conocer para calcular rápidamente la integral de una función racional.5: Integración por fracciones parciales 163 que los factores lineales son repetidos. Tabla 2. Desde luego. ⌠ 2 2 2 a ⌡ a +b x ab ( ) ⌠ xdx 5. Si no deseas utilizarla. Integrales básicas (a. ⌠ ⌡ a + bx b dx 1 ⌠ = +C 2. En la tabla 2. La solución del sistema es: A = 3 y B = −5. B = 3 y C = 9. C = 9 coeficientes de x. A = 3 coeficentes de x.46 Determina las fracciones parciales de donde provienen las fracciones siguientes: a) Q = 3x − 8 ( x − 1)2 b) R = 8x 2 + 9 x + 5 x x2 + 1 ( ) solución a) En este caso. Con este resultado podemos escribir R en términos de sus fracciones parciales como R= 5x 2 + 9 x + 5 5 3x + 9 = + 2 x x +1 x x2 + 1 ( ) . A = 5 términos independientes de x La solución del sistema es A = 5. B − A = −8 términos independientes de x. proponemos que Q= Multiplicando por (x − 1)2 tenemos 3x − 8 = A(x − 1) + B = Ax + B − A Al igualar los coeficientes de las mismas potencias de cada polinomio. la fracción total se puede escribir en términos de sus fracciones parciales como Q= b) Proponemos ahora que R= 8 x 2 + 9 x + 5 A Bx + C = + 2 x x +1 x x2 + 1 3x − 8 3 5 − 2 = ( x − 1) x − 1 ( x − 1)2 3x − 8 = A B + x − 1 ( x − 1)2 ( x − 1)2 ( ) Multiplicamos por x(x2 + 1) y después desarrollamos 8x2 + 9x + 5 = A(x2 + 1) + x(Bx + C) = (A + B)x2 + Cx + A Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de cada polinomio para obtener A + B = 8 coeficentes de x2. Finalmente.164 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplos Ejemplo 2. Para integrar la parte fraccionaria.2.5: Integración por fracciones parciales 165 Ejemplo 2.47 Determina una expresión para la integral 4 2 ⌠ x − 10 x + 3x + 1 dx x2 − 4 ⌡ solución Observa que la fracción es impropia. obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 3=A+B −23 = 2A − 2B cuya solución es A=− 17 y 4 B= 29 4 ) . el grado del numerador es mayor que el del denominador. proponemos que 3 x − 23 3 x − 23 A B = + = x2 − 4 (x − 2)(x + 2) (x − 2) (x + 2) Si multiplicamos por (x − 2)(x + 2): 3x − 23 = A(x + 2) + B(x − 2) Al desarrollar: 3x − 23 = (A + B) x + 2A − 2B Como dos polinomios son iguales si son iguales los coeficientes de las mismas potencias. Por ello. como se muestra a continuación. x2 − 6 x − 4 x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1 2 − x4 + 4x2 − 6x 2 + 3 x + 1 6x 2 − 24 3 x − 23 De aquí obtenemos que x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1 3 x − 23 = x2 − 6 + 2 x2 − 4 x −4 El término polinomial se integra directamente. Como los factores del denominador son lineales y no repetidos. el primer paso es hacer la división para reescribir la función como la suma de un polinomio más una fracción propia. Es posible realizar directamente la división. es decir. primero necesitamos determinar sus fracciones parciales. A + 2B − C = −3. La solución de este sistema es: A = 2.48 Calcula la integral 2 ⌠ 4 x − 3x − 4 dx 3 ⌡ x + x2 − 2x solución La función racional a integrar es propia y no necesitamos dividir. para establecer las fracciones parciales de donde proviene la fracción original x3 + x2 − 2x = x(x2 + x − 2) = x(x − 1)(x − 2) Observa que los tres factores son lineales no repetidos. B = −1. . −2A = −4. = (A + B + C)x2 + (A + 2B − C)x + (−2A) agrupando términos. 4 x 2 − 3x − 4 2 1 3 = − + x3 + x2 − 2 x x x − 1 x + 2 por lo que 2 ⌠ 4 x − 3x − 4 dx = 2 ln x − ln x − 1 + 3 ln x + 2 + C1 3 ⌡ x + x2 − 2x donde C1 es la constante de integración que hemos indicado para evitar confusión con el coeficiente C que necesitamos en el método. Factorizaremos el denominador. Igualamos los coeficientes de potencias iguales de x para conseguir el sistema de ecuaciones A + B + C = 4. lo que nos permite proponer la siguiente descomposición en fracciones parciales: 4 x 2 − 3x − 4 A B C = + + x3 + x2 − 2 x x x − 1 x + 2 Al multiplicar por x3 + x2 − 2x: 4x2 − 3x − 4 = A(x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 1) multiplicando. Entonces.166 Unidad 2: Métodos de integración Entonces. C = 3. x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1 17 / 4 29 / 4 = x2 − 6 − + x−2 x+2 x2 − 4 El resultado final se consigue integrando la expresión anterior de la siguiente manera: 4 2 x3 17 29 ⌠ x − 10 x + 3x + 1 dx = − 6 x − ln x − 2 + ln x + 2 + C 2 3 4 4 x −4 ⌡ Ejemplo 2. ahora contamos con un factor lineal repetido. integrando.49 Calcula la integral ⌠ x3 − 4 x − 1 dx 3 ⌡ x ( x − 1) solución En este caso. Además. C = 3 y D = −4. B = 0.5: Integración por fracciones parciales 167 Ejemplo 2. −3A − 2B + C = 0. 3 = x x − 1 ( x − 1)2 ( x − 1)3 x ( x − 1) Multiplicando por x(x − 1)3 resulta x3 − 4x − 1 = A(x − 1)3 + Bx(x − 1)2 + Cx(x − 1) + Dx = (A + B)x3 + (−3A − 2B + C)x2 + (3A + B − C + D)x + (−A) Igualamos coeficientes de potencias iguales para que resulte el sistema de ecuaciones A + B = 1. la descomposición en fracciones parciales que proponemos es x3 − 4 x − 1 A B C D + + + .2. la fracción también es propia y no necesitamos dividir. 3A + B − C + D = −4. por ello. por lo cual x3 − 4 x − 1 1 3 4 + − 3 = x ( x − 1)2 ( x − 1)3 x ( x − 1) Finalmente. tenemos ⌠ x3 − 4 x − 1 3 3 + + C1 dx = ln x − 3 x − 1 ( x − 1)2 ⌡ x ( x − 1) Ejemplo 2. −A = −1 cuya solución es A = 1.50 Determina una expresión para 3 2 ⌠ 5 x − 3x + 2 x − 1 dx x4 + x2 ⌡ . 168 Unidad 2: Métodos de integración solución De nuevo. al igualar los coeficientes de potencias correspondientes.51 Calcula la integral ⌠ xdx ⌡ ( x − 1) x 2 + 1 ( ) 2 . Por lo cual 5x 3 − 3x 2 + 2 x − 1 2 1 3x − 2 = − 2 + 2 x x x +1 x2 x2 + 1 ( ) Integramos para el resultado final: ⌠ 5 x 3 − 3x 2 + 2 x − 1 1 3 dx = 2 ln x + + ln x 2 + 1 − 2 arctan( x ) + C1 2 2 x 2 x x +1 ⌡ ( ) Ejemplo 2. La descomposición de fracciones parciales que proponemos es 5 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 1 A B Cx + D = + 2 + 2 x x x +1 x2 x2 + 1 ( ) Multiplicando por el factor x2(x2 + 1). D = −2. 5x3 − 3x2 + 2x − 1 = Ax(x2 + 1) + B(x2 + 1) + Cx3 + Dx2 = (A + C)x3 + (B + D)x2 + Ax + B En este caso. C = 3. se obtiene el sistema de ecuaciones A+C=5 B + D = −3 A=2 B = −1 cuya solución es A = 2. empezamos por factorizar el denominador x4 + x2 = x2(x2 + 1) Observa que aparece un factor lineal repetido x2 y un factor cuadrático irreducible x2 + 1. B = −1. como la fracción es propia. así que la descomposición de fracciones parciales que proponemos es ( x − 1) ( x + 1) 2 x 2 = A Bx + C Dx + E + 2 + 2 x −1 x +1 x2 + 1 ( ) Seguimos el proceso de los ejercicios anteriores y multiplicamos por (x − 1)(x2 + 1)2: x = A x 2 + 1 + ( Bx + C ) ( x − 1) x 2 + 1 + ( Dx + E ) ( x − 1) 2 = ( A + B) x + (C − B) x + (2 A + B − C + D ) x 2 + ( E − B + C − D )x + A − C − E 4 3 ( ) ( ) de donde resulta el sistema de ecuaciones 0=A+B 0=C−B 0 = 2A + B − C + D 1=E−B+C−D 0=A−C−E Aprovecharemos la segunda ecuación para reescribir el sistema de la siguiente forma A = −B C=B 0 = 2A + D 1=E−D 0=A−C−E La solución. B=− .) ⌠ x 1 1 1 x 1 1 an( x ) + + arctan( x ) + 2 + C1 dx = ln x − 1 − ln x 2 + 1 − arcta 2 2 2 4 8 4 x + 1 4 x +1 4 ⌡ ( x − 1) x + 1 1 1 1 1 x + 2 + C1 = ln x − 1 − ln x 2 + 1 + 2 4 8 4 x + 1 4 x + 1 ( ) ( ) ( ) . (Consulta el formulario de integrales de la tabla 2. D=− . es A= por lo cual 1 1 1 1 1 .10 de esta sección. fácil de encontrar.2. E= .5: Integración por fracciones parciales 169 solución El denominador tiene un factor lineal x − 1 y un factor cuadrático irreducible repetido (x2 + 1)2. C=− . 4 4 4 2 2 1 2 ( x − 1) ( x + 1) 2 x 2 = 1 1 x x − − − 4 ( x − 1) 4 x 2 + 1 4 x 2 + 1 2 x 2 + 1 ( ) ( ) ( ) 2 + 2 x +1 ( ) 2 Las integrales de estos términos son inmediatas. Finalmente. hacemos el cambio de variable z = tan(x). 1 = B. La descomposición en fracciones parciales que proponemos es 1 A B C = + 2 + z +1 z ( z + 1) z z 2 Multiplicamos por z2(z + 1): 1 = Az(z + 1) + B(z + 1) + Cz2 = (A + C)z2 + (A + B)z + B de donde obtenemos el sistema de ecuaciones 0 = A + C.52 Calcula la integral sec 2 ( x ) ⌠ dx 3 2 ⌡ tan ( x ) + tan ( x ) solución Primero. C = 1.170 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. Entonces. 0 = A + B. dz dz sec 2 ( x ) ⌠ ⌠ dx = ⌠ 3 2 = 2 3 2 ⌡ + z + z z tan ( x ) tan ( x ) z + 1) ( ⌡ ⌡ el denominador tiene un factor lineal repetido y uno no repetido. La solución de este sistema es A = −1. B = 1. dz = sec2(x)dx. 1 1 1 1 2 = − + 2 + z z z +1 z +z 3 por lo que ⌠ dz = − ln z − 1 + ln z + 1 + C 3 2 1 z ⌡z +z El último paso es regresar a la variable x original: sec 2 ( x ) 1 ⌠ dx = − ln tan( x ) − + ln tan( x ) + 1 + C1 3 2 tan( x ) ⌡ tan ( x ) + tan ( x ) . Ejemplos Ejemplo 2.5. sabemos que si 0 < P < r dP dP > 0 . Aun sin resolver la ecuación diferencial. r).17) 2 se resuelve fácilmente utilizando el método de separación de variables y fracciones parciales. aproximadamente.23: Gráfica de la función g(P): la población crece en la región (0.000 millones de personas. como lo constatamos en los ejemplos. la ecuación diferencial apropiada es dP P = kP 1 − dt r (2. donde se observa r r que tendrá una razón de cambio máxima cuando P = . En el primero.53 Expertos en demografía estiman que la máxima población que la Tierra puede sostener es de 30. que en el año 2000 había 6. Sin embargo. la población crece sin medida.2. Con este modelo. dP dt kr 4 r 2 r x FIGURA 2.000 millones de habitantes? .2 Ecuación logística Dos de los modelos de crecimiento de una población que se han utilizado con buen éxito son los de Malthus y el logístico. dP = kP dt Si la población inicial es P0. ¿En cuánto tiempo se alcanzarán 25. Si P > r entonces <0 y entonces dt dt P decrece.500 millones. es decir.5: Integración por fracciones parciales 171 Sección 2. no es difícil mostrar que la población está dada por P(t) = P0ekt.17) Donde r y k son constantes positivas y el coeficiente r se conoce como la capacidad máxima de la población. Supón que la población crece siguiendo un modelo logístico. En este caso. El modelo logístico incorpora este hecho y establece un límite a la población máxima que se puede tener. lo cual significa que la población crece. En la figura 2.000 millones de seres humanos y que en 2005 ya eran 6. se supone que la razón de crecimiento de una población es proporcional a la población misma.23 se muestra la gráfica de g( P ) = kP 1 − . La ecuación diferencial (2. sabemos que los recursos con que ella cuenta no son ilimitados y tendrán efecto sobre su crecimiento. Aprovechemos las propiedades de la función logaritmo para expresar P en términos de t. aplicando la exponencial y sus propiedades. Finalmente. P 1 + C1e kt = 30C1e kt P= 30C1e kt 1 + C1e kt ( ) Consideremos que t = 0 en el año 2000 y t = 5 en el año 2005.17) con r = 30. 30 A = 30 términos independientes de P. proponemos que 30 A B = + P (30 − P ) P 30 − P Multiplicando por P(30 − P) resulta: 30 = A(30 − P) + BP = P(B − A) + 30A lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones B − A = 0 coeficientes de P. dP P = kP 1 − dt 30 Si separamos las variables de población y tiempo: ⌠ 30 dP = ∫ kdt ⌡ P ( 30 − P ) Podemos integrar el término izquierdo usando el método de fracciones parciales. en unidades de miles de millones. Cuya solución es A = B = 1. despejando P.172 Unidad 2: Métodos de integración solución Si el crecimiento es logístico. Así. + dP = ∫ kdt sustituyendo los coe P 30 − P ⌡ ln P − ln 30 − P = kt + C integrando. desarrollando. ln P = kt + C 30 − P P = e kt +C = C1e kt 30 − P por propiedades de los logaritmo os. es decir. 1 ⌠1 eficientes. entonces la ecuación diferencial que modela la población humana es la ecuación (2. De la condición P(0) = 6 se tiene 6= 30C1 1 + C1 . 5. Pt 35 30 25 20 15 10 5 – 50 –5 50 100 150 200 250 t 300 0 FIGURA 2.0202192 t . de acuerdo con el modelo logístico.5 k= 1 6.5 + 1.0202192 t 0. la población será de 25.0202192 t = 1 + 0.5 30 −0.0202192 despejando k. 20 ln( 20 ) = 148.5.5 log = 0.5e5k 1 + 0.5: Integración por fracciones parciales 173 de donde obtenemos C1 = De la condición P(5) = 6. e −0.5e 0.000 millones de habitantes cuando 25 = De aquí.875 5 Así.25e 0.24: Número mundial de habitantes.0202192 t 7. t= 0.2.625 e5 k = 7.5 = de donde resulta 6. El tiempo se mide en años. en efecto.163 años despejando el tiempo. Por otra parte.25e5k multiplicando.000 millones es.5 ekt 5.25 + e 1 + 4e En la figura 2. la ecuación logística que modela la población humana es P= 7. y la población. despejando la exponencial. 6. Observa que 30. en miles de millones de habitantes.0202192 30 1 + 4 e −0.875 e 5k 1 4 7.0202192 t = 1 despejando la exponencial. la población límite.24 se muestra la gráfica de la población para los próximos 300 años.0202192 t = −0. = 6. después. de forma proporcional al número de habitantes infectados y a la cifra de los que no lo han sido.54 En un informe reciente de la Organización Mundial de Salud. que N es la cantidad de habitantes de la comunidad. una expresión para el número de ellos.000 residentes. Encuentra una ecuación diferencial que modele el crecimiento de la población infectada y. de forma que la constante 2000k es 800 500 2000 k = ln − ln = 0. la fiebre de Lassa aparece como una de las enfermedades de mayor contagio en África.174 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. Imagina que esta epidemia crece en una comunidad. solución Supón que P(t) es la población infectada al tiempo t.693147 1200 1500 Si usamos este valor. como una función del tiempo (en semanas). Supón que la comunidad señalada tiene 2. se tiene que 3P kt = ln 2000 − P 2000 − P e− kt = 3P 3Pe− kt + P = 200 00 Finalmente.693147t . El hecho que la primera crezca proporcionalmente a la cifra de los infectados y de los no infectados significa que dP = kP ( N − P ) dt Al separar las variables y usar P(0) = 500 se tiene que dP ⌠ = ∫ kdt ⌡ P ( 2000 − P ) 0 P t 500 Integrando por el método de fracciones parciales: ln( P ) ln(2000 − P ) − 2000 2000 P = 500 P 500 − ln 2000 kt = ln 2000 − P 1500 kt t = 0 = t P Observa que para el tiempo t = 1 la población es P = 800. que 500 tenían la enfermedad cuando ésta se detectó y que 800 fueron contagiados a finales de la primera semana. despejando P: P= 2000 1 + 3e −0. Para reducir las dificultades. El tiempo se mide en semanas. y obtener así la integral de una función dada. Observa que a las tres semanas la población infectada es cercana a 1. P 2000 1500 1000 500 t 1 – 500 2 3 4 5 6 7 8 FIGURA 2. En primer lugar. que queremos determinar los coeficientes A. dispones de otras estrategias. casi todos los habitantes estarán infectados.18) Si ahora multiplicamos la ecuación (2. B y C de la siguiente ecuación: x+3 A B C + + 2 = x + 1 x + 2 ( x + 2 )2 ( x + 1)( x + 2 ) Si multiplicamos por x + 1. en el método de fracciones parciales se requiere de mucha habilidad algebraica para plantear y resolver el sistema de ecuaciones que se trabaja.5: Integración por fracciones parciales 175 La gráfica de esta función se muestra en la figura 2. analicemos la que se conoce como método de Heaviside. Sección 2.2.18) por (x + 2)2: x + 3 A (x + 2) = + B (x + 2) + C x +1 x +1 2 (2.25: El crecimiento de una epidemia que depende del tamaño de la población. algunas muy sencillas. tenemos B C x+3 = A+ + ( x + 1) 2 2 ( x + 2) x + 2 ( x + 2) Esta expresión es válida para x ≠ −2. si la evaluamos en x = −1 obtenemos A= x+3 =2 x + 2 x =−1 (2. por ejemplo.19) .5. después. pero a la larga (10 semanas).3 Métodos de Hermite y Heaviside Como seguramente lo observaste.500 habitantes. Piense.25. la velocidad de contagio disminuye. si evaluamos en x = −2. entonces. y x − a. En general. donde Qn ( x ) x − a Qn−1 ( x ) (2.1: Factores lineales no repetidos a) Si P( x ) es una fracción propia.20) Qn(x). k. la fracción se puede escribir como A= ( x − a )P ( x ) P (a ) = lím Qn−1 (a ) x→a Qn ( x ) Caso 2. resulta 2 A ( x + 1) ( x + 2 ) − ( x + 2 ) −2 +B 2 = ( x + 1) ( x + 1)2 2 x+3 = −1 x + 1 x =−2 Finalmente.19). un factor lineal no repetido de Qn ( x ) P( x ) A R( x ) = + . si la evaluamos en x = −2: C= Derivando la expresión (2.21) . donde k + ( x − a ) Qn−k ( x ) A j = lím 1 d k− j x →a ( k − j )! dx k − j con j = 1.. tenemos los siguientes casos: Caso 2. B = −2 Con lo que resulta: x+3 2 2 1 = − − ( x + 1)( x + 2 )2 x + 1 x + 2 ( x + 2 )2 Observa que no necesitamos ningún sistema de ecuaciones para calcular los coeficientes. ya que el método permite obtenerlos de forma casi inmediata..2: Factores lineales repetidos b) En el caso de que x − a sea un factor lineal repetido k veces de Qn(x). En particular.. la fracción se puede escribir como P( x ) A A2 + = 1 + Qn ( x ) x − a ( x − a )2 ( x − a )k P ( x ) Qn ( x ) Ak R( x ) . (2.. 2.176 Unidad 2: Métodos de integración Esta expresión es válida para x ≠ −1. Una segunda alternativa. la integral que corresponde a los factores repetidos es inmediata. Sin embargo. necesitamos calcular la derivada indicada. En efecto.5: Integración por fracciones parciales 177 En los casos de factores cuadráticos irreducibles no es tan sencillo determinar los coeficientes. es posible extender los resultados anteriores. tenemos 3x 2 + 2 x + 3 A B C = + + ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 5) x + 1 x − 2 x + 5 Los coeficientes A. conocida como método de Hermite. como lo veremos en los ejemplos 2. después. i i P( x ) A = + Q( x ) x − ai Bx + C + + 2 x + bi x + ci d R( x ) + dx ( x − a )n i −1 … x 2 + b x + c i i i ( ) mi −1 (2.58 y 2.55 Utiliza el método de Heaviside para calcular la integral ⌠ 3x 2 + 2 x + 3 ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 5 ) dx ⌡ solución Como la integral es propia.22) donde R(x) es un polinomio de grado menor al grado de (x − ai)ni−1…(x2 + bix + ci)mi−1. lo cual quizá sea laborioso. Sin embargo. consiste en proponer de inicio la forma de la integral de una función racional con factores repetidos y. B y C se calculan utilizando 3x 2 + 2 x + 3 1 =− x→−1 ( x − 2 ) ( x + 5 ) 3 2 3x + 2 x + 3 19 = B = lím x→2 ( x + 1) ( x + 5 ) 21 2 3x + 2 x + 3 68 17 = = C = lím x→−5 ( x + 1) ( x − 2 ) 28 7 A = lím .59. supón que es una fracción Q( x ) propia y que Q(x) se factoriza como Q(x) = (x − ai)n … (x2 + bix + ci)m con x2 + bix + ci factor cuadrático irreducible. Ejemplos Ejemplo 2. P( x ) calcular los coeficientes necesarios faltantes. factorizando los términos cuadráticos en términos lineales con coeficientes complejos y usando álgebra de números complejos. Para determinar los coeficientes desconocidos. la ventaja es clara.2. entonces. A.178 Unidad 2: Métodos de integración Así. B y C se calculan utilizando A = lím x →1 x−7 ( x + 1) 2 =− 6 3 =− 4 2 C = lím Para el coeficiente B. usamos x →−1 x−7 8 = =4 x −1 2 6 3 d x − 7 = B = lím = lím x →−1 dx x − 1 x →−1 x − 1 2 ) 2 ( Finalmente. x−7 3 3 4 + + 2 = − − + 2 x 1 2 x 1 ( ) ( ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1)2 Integrando. Ejemplo 2.56 Usa el método de Heaviside para calcular la integral x−7 ⌠ dx 2 ⌡ ( x − 1) ( x + 1) solución Primero. 3x 2 + 2 x + 3 1 19 17 =− + + 3 ( x + 1) 21 ( x − 2 ) 7 ( x + 5) ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 5) Al integrar: ⌠ 17 3x 2 + 2 x + 3 1 19 ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 5 ) dx = 3 ln x + 1 + 21 ln x − 2 + 7 ln x + 5 + C1 ⌡ donde C1 es la constante de integración. x−7 3 3 4 ⌠ + C1 dx = − ln x − 1 + ln x + 1 − 2 2 2 x +1 ⌡ ( x − 1) ( x + 1) . proponemos que x−7 A B C + + 2 = ( x − 1) ( x + 1) x − 1 x + 1 ( x + 1)2 Los coeficientes. Ahora.21) y (2.20).20): x3 + 4 x2 + 2x + 3 7 23i + C = lím = x→i ( x − 4 ) ( x + i ) 578 578 x3 + 4 x2 + 2x + 3 7 23i = D = lím − x→− i ( x − 4 ) ( x − i ) 578 578 Así.57 Usa el método de Heaviside y el álgebra de números complejos para calcular la integral ⌠ x3 + 4 x2 + 2x + 3 ( x − 4 )2 x 2 + 1 dx ⌡ ( ) solución Como la fracción es propia proponemos que x3 + 4 x2 + 2 x + 3 A B C D = + + 2 + 2 2 − − x 4 x i x +i x 4 − ( ) x − 4 x 1 + ( ) ( ) donde hemos considerado que el factor cuadrático se puede escribir como x2 + 1 = (x + i)(x − i). los coeficientes A y B se calcularán utilizando las relaciones (2. C D 7 x − 23 (C + D ) x + (C − D ) i + = = x−i x+i x2 + 1 289 x 2 + 1 ( ) ) Al final: x3 + 4 x2 + 2 x + 3 282 139 7 x − 23 = + 2 + 2 2 ( x − 4 ) x + 1 89 ( x − 4 ) 17 ( x − 4 ) 289 x 2 + 1 ( ) ( Al integrar: ⌠ x3 + 4 x2 + 2x + 3 282 139 7 23 2 ( x − 4 )2 x 2 + 1 dx = 289 ln x − 4 − 17 ( x − 4 ) + 578 ln x + 1 − 289 arctan( x ) + C1 ⌡ ( ) ( ) .5: Integración por fracciones parciales 179 Ejemplo 2. respectivamente: A = lím d x 3 + 4 x 2 + 2 x + 3 282 = x→ 4 dx x2 + 1 289 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 3 139 B = lím = x→ 4 x2 + 1 17 Para calcular los coeficientes C y D utilizamos álgebra de números complejos y la relación (2.2. con i = −1 como unidad imaginaria. 180 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. x−2 A Bx + C d Dx + E + = + 2 ( x − 1)( x 2 + 1)2 x − 1 x 2 + 1 dx x +1 Al calcular la derivada. B = . 1 3 1 x + 1 −1 4 x− 4 = ∫ 4 + 42 + dx sustituyendo. x2 + 1 x −1 x +1 1 3x − 1 1 = − ln x − 1 + ln x 2 + 1 + arctan( x ) + + C1 integrando. Dx + E Bx + C x−2 A ⌠ + 2 dx + 2 dx = ∫ x +1 ⌡ ( x − 1)( x 2 + 1)2 x −1 x +1 propuesta de solución.58 Utiliza el método de Hermite para calcular la integral x−2 ⌠ dx ⌡ ( x − 1)( x 2 + 1)2 solución Como el factor x2 + 1 tiene multiplicidad dos. proponemos. C = 1. D = . E = − . 4 8 4 x2 + 1 ( ) ( ) . x 2 + 1 D − ( Dx + E ) 2 x x−2 A Bx + C = + + 2 ( x − 1)( x 2 + 1)2 x − 1 x 2 + 1 x2 + 1 ( ) ( ) Desarrollamos y agrupamos términos en potencias de x: x−2 ( A + B ) x 4 + (C − B − D ) x 3 + ( D − 2 E + 2 A + B − C ) x 2 + ( D + 2 E − B + C ) x + A − D − C 2 2 = ( x − 1)( x 2 + 1)2 ( x − 1)( x + 1) Multiplicamos por (x − 1)(x2 + 1)2 y obtenemos la siguiente igualdad entre polinomios: x − 2 = ( A + B ) x 4 + (C − B − D ) x 3 + ( D − 2 E + 2 A + B − C ) x 2 + ( D + 2 E − B + C ) x + A − D − C De aquí establecemos el sistema de ecuaciones −2 = A − D − C 1 = D + 2E − B + C 0 = D − 2E + 2A + B − C 0=C−B−D 0=A+B cuya solución está dada por 1 1 3 1 A = − . 4 4 4 4 Finalmente. de acuerdo con el método de Hermite. multiplicando por (x − 1)2(x + 2)3: x − 2 = −Cx 3 + 2(C − D ) x 2 + ( D − 4C − 3E ) x − 2 D + A( x − 1)( x + 2 )3 + B( x − 1)2 ( x + 2 )2 = −8 A − 2 D + 4 B + ( −4C − 4 A + D − 4 B − 3E ) x + ( 2C + 6 A − 2 D − 3B) x 2 + ( −C + 5 A + 2 B) x 3 + ( A + B ) x 4 De aquí establecemos el siguiente sistema de ecuaciones −2 = −8 A − 2 D + 4 B 1 = −4C − 4 A + D − 4 B − 3E 0 = 2C + 6 A − 2 D − 3B 0 = −C + 5 A + 2 B 0= A+B La solución de este sistema es A= Por último. B=− . E=− .2. D= . 27 27 9 9 9 2x2 + 5x − 4 x−2 2 ⌠ 1 1 ⌠ = − dx dx + 27 ⌡ x − 1 x + 2 9( x − 1)( x + 2 )2 ⌡ ( x − 1)2 ( x + 2 )3 2 2 2x2 + 5x − 4 + C1 = ln x − 1 − ln x + 2 + 27 27 9( x − 1)( x + 2 )2 . C= . 2 2 2 5 4 . proponemos x−2 A B d Cx 2 + Dx + E = + + 2 3 x − 1 x + 2 dx ( x − 1)( x + 2 )2 ( x − 1) ( x + 2 ) No es difícil mostrar que la derivada está dada por d Cx 2 + Dx + E −Cx 3 + 2(C − D ) x 2 + ( D − 4 C − 3E ) x − 2 D = 2 dx ( x − 1)2 ( x + 2 )3 ( x − 1) ( x + 2 ) Así.5: Integración por fracciones parciales 181 Ejemplo 2.59 Utiliza el método de Hermite para calcular la integral x−2 ⌠ dx ⌡ ( x − 1)2 ( x + 2 )3 solución De acuerdo con el método sugerido. Descompón las siguientes fracciones en sus fracciones parciales: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = x +1 ( x − 2 )( x + 3) x 2 + 3x − 2 ( x − 1)( x + 1)( x − 5) x + 3x x + 5x + 4 2 2 P( x ) . en fracciones parciales. Indica los pasos necesarios para descomponer. Q( x ) f) y = g) y = h) y = i) y = j) y = 2x2 − 3 ( x + 1)2 ( x + 2 )2 1 x ( x + 1) 2 1 + x + x2 x 2 ( x 2 + 4) 1 x ( x + 1)2 2 x3 + 3 x2 − 4 4 x 3 + 2 x 2 − 3x + 2 ( x + 1)( x + 2 )3 3x + 5 ( x + 1)2 ( x 2 + 4 )2 3.182 Unidad 2: Métodos de integración 1. la función racional f ( x ) = 2. Calcula las siguientes integrales utilizando el método de fracciones parciales: xdx ⌠ a) 2 ⌡ ( x − 1) ( x + 1) dx b) ⌠ 3 ⌡ x − 2x2 + x dx ⌠ c) x − 1 x + 2 x + 3 ( ) ( )( ) ⌡ ⌠ 5x2 + 6x + 9 dx i) 2 2 ⌡ ( x − 3) ( x + 1) ⌠ x2 − 8x + 7 j) dx 2 2 x − 3 x − 10 ⌡ ( ) ⌠ 2 x 2 + 41x − 91 dx d) ⌡ ( x − 1) ( x + 3) ( x − 4 ) 3 ⌠ 5x + 2 e) 3 dx ⌡ x − 5x2 + 4 x ⌠ x3 + x + 1 dx k) 2 ⌡ x x +1 ( ) ⌠ x l) 4 dx ⌡ x −1 ⌠ dx m) x 2 − 4 x + 3 x 2 + 4 x + 5 ⌡ 4 dx ⌠ f) 2 ⌡ x ( x + 1) x3 − 1 g) ⌠ dx 3 ⌡ 4x − x 4 3 2 ⌠ x − 6 x + 12 x + 6 dx h) 3 ⌡ x − 6 x 2 + 12 x − 8 ( )( ) dx n) ⌠ 3 ⌡ x +1 ⌠ dx o) ⌡ 1 + x2 ( ) 2 . Observación: Antes. también la conocerá el enemigo y. un espía llega a una aldea que tiene una población de 240 habitantes. empieza a correr el rumor de su verdadera identidad. sólo una persona sabía su secreto y dos lo saben después de un día de estancia. cuando la tercera parte de la población conozca su identidad. ( ) ⌠ 1 a) 2 ⌡x x −1 dx x +1 c) ∫ ∫ tanh( x )dx dx b) ⌠ 4x ⌡ e + ex d) tan( x )dx 5. En tiempos de guerra. por el número 240 − N de quienes aún lo desconocen.5: Integración por fracciones parciales 183 ⌠ ( 3x + 5 ) dx p) 2 2 ⌡ x + 2x + 2 ( ) 3 ⌠ x + 5x + 6 dx s) 2 ⌡ x − 5x + 6 −1 1 ⌠ dx q) ⌡ ( x + 1) x 2 + x + 1 ( ) 2 ⌠ cos 3 ( x )sen( x ) dx t) 2 ⌡ 2 sen ( x ) + 5 x 4 − 2 x 2 − 3x − 3 dx r) ⌠ x5 + x4 + x3 ⌡ 4. es decir. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas. a) dy 2 = (1 − y ) con y(0) = 5 dx dy = y 2 + 5 y + 6 con y(0) = 1 dx d) dy 100 y − 25 y 2 + y3 = dx 100 − 40 y + y 2 con y(0) = 15 b) 2 3 e) dy = 2 y − 3 y + y con y(0) = 3 2 dx 2 − 4y + y c) dy = 0. necesitarás hacer una sustitución.3 y (100 − y ) con y(0) = 10 dx (12 − y ) 50 − 15y + y2 f ) dy = dx 130 − 24 y + y 2 ( ) con y(0) = 11 6. entones.2. cuando llegó al lugar. dN = kN ( 240 − N ) . Si. ¿completará su misión o será atrapado por el enemigo? ¿Qué ocurriría si fueran 270 pobladores? ¿Y si fueran 210? . k constante dt El agente secreto necesita una semana para completar su tarea y sabe que. su vida penderá de un hilo. Aunque su disfraz es casi perfecto. Él calcula que la razón de crecimiento del rumor es proporcional al producto del número N de los que ya lo saben. Calcula las siguientes integrales. 22). Calcula s(n ) = ∫ 0 x n (1 − x ) dx para n = 1. suponiendo que después de cinco días hay 14 contagiados. t en años. 4.71. la masa total de los peces y(t) se modela con la ecuación dy y = ky 1 − .184 Unidad 2: Métodos de integración 7. Aplica la fórmula del ejercicio anterior para calcular las siguientes integrales: ⌠ dx a) 2 ⌡ x +1 ( ( ) 2 ⌠ dx d) 2 ⌡ x + x +1 ( ) 3 ⌠ dx b) 2 ⌡ x +4 ) 3 ⌠ dx e) 2 ⌡ 2x + 4x + 3 ( ) 3 ⌠ dx c) 2 ⌡ 4x + 9 ( ) 3 12. ¿Cuánto tiempo pasará para que la masa total de los peces llegue a 6 × 107 kg? 8. 1 9. Demuestra que 2 ⌡ a + b2 x 2 ( ) n = x 2(n − 1)a a + b x 2 2 ( 2 2 n −1 ) + 2n − 3 ⌠ dx 2 2 2(n − 1)a ⌡ a + b 2 x 2 ( ) n −1 + C para n > 1 11. Una persona infectada del virus de la influenza ingresa a una comunidad aislada que tiene 200 residentes. determina la cifra de individuos contagiados como función del tiempo. En una zona pesquera del Pacífico. encuentra y(t) y calcula y(1). 2. 3. 5 1 + x2 n ⌠ dx 10. donde y se mide en kilogramos. después. Si y(0) = 2 × 107 kg. para cada una de las siguientes expresiones racionales y. calcula sus integrales. y los valores de los parámetros anuales dt r son r = 8 × 107 kg y k = 0. que aparece en la ecuación (2. a) y = 1 + x + x2 (1 + x )2 ( 2 + x )2 4 + 7x + 2 x2 3 x 2 (1 + x ) 2 + 4 x + 2 x2 + 4 x3 ( x − 3 )2 ( x + 3 )2 e) y = ( x + 2 )2 ( x 2 + 4 ) ( x + 1)2 ( x 2 + 1) x3 x2 + 1 5 + 4x + x2 3 1+ x 2 b) y = f) y = c) y = d) y = g) y = 2 − 2 x + 4 x2 + 2 x3 ( ) 2 ( x − 1) ( x 2 + 1) 1 2 . Si el virus se propaga proporcionalmente al producto de residentes contagiados y de no contagiados. Aplica el método de Hermite para determinar el polinomio necesario R(x). La ecuación que modela dicha situación está dada por dP P = rP 1 − − H dt k a) ¿Cuál es el significado de r. sin arriesgar la estabilidad de la población. Un modelo de depredación. Supón que una población de peces evoluciona de acuerdo con la ecuación logística y que se cosecha un número fijo por unidad de tiempo. d ) Supón que r = 0.5: Integración por fracciones parciales 185 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. f ) Calcula el número de peces cosechados H que pondría en peligro la estabilidad de la población. Áreas bajo curvas especiales. iv.2. Imagina. suponiendo que r = 0.2. iii. que esta población se reduce debido a la depredación de los lobos. le sugerimos sumar y restar el término 2x2. ¿qué número H pondría en peligro la estabilidad de la población? e) Determina una expresión general para la población en el tiempo. de forma que la razón de cambio de la población está dada por dP P 9P = 0. v. a) Considera la función f ( x ) = 1 1 + x4 i. Calcula el área bajo la curva desde x = −1 hasta x = 1 1 b) Repite los incisos anteriores considerando la curva g( x ) = 1 + x6 c) ¿Existirá una fórmula para determinar el área bajo la curva de funciones del tipo 1 h( x ) = con n > 1? Explique.2. k y H? b) Determina una expresión de la población en el tiempo.4 P 1 − − dt 400 5 + P . Un modelo para cosecha de peces. k = 1000 y H = 100. Supón que P(t) es la población de conejos en el tiempo t y que evoluciona de acuerdo con la ecuación logística. Para establecer una granja piscícola se requiere saber la cantidad de peces que pueden ponerse a la venta. c) Grafica la expresión anterior.2) ii. completar el trinomio y usar diferencia de cuadrados. analiza y resuelve las siguientes situaciones. suponiendo diferentes valores de la población inicial. Halla una primitiva de la función. 1 + x2n 3. El efecto Allee (que viene al inicio de esta sección). k = 1000 y diferentes valores de la población inicial. Factoriza el denominador. Encuentra las fracciones parciales de la función dada. además. Grafica la curva en el intervalo (−2. 1. 2. 4. ¿en qué año crece con mayor rapidez el número de personas infectadas? f ) ¿En qué año debiera esperarse una desaceleración en la propagación del padecimiento? .26: Estadísticas mundiales del sida para diciembre de 2002. c) Grafica la expresión anterior. toma en cuenta los siguientes elementos: 42 millones de personas viven con VIH/SIDA Europa oriental y Asia central 1 000 000 América del Norte 950 000 Europa occidental 550 000 Caribe 120 000 América Latina 1 500 000 África del Norte y Oriente Medio 500 000 Asia oriental y Pacífico 1 000 000 Asia del Sur y suboriental 5 600 000 África subsariana 28 500 000 Australia y Nueva Zelandia 28 500 000 Cada día se infectan 14. en pleno siglo XX. se han dedicado incontables recursos económicos y humanos para erradicarlo.gob.000 personas se infectan cada día y muchos millones más han muerto debido a tal padecimiento. 2000.26).mx/conasida/ b) Ajusta los datos de crecimiento anual de la población a un polinomio de grado 3. (Véase la figura 2. ¿en qué año se esperaría tener en México el doble de las personas infectadas respecto de la actualidad? e) Según su modelo. No ha sido una tarea fácil. AIDS Epidemia Update: diciembre de 2002. Un modelo para una epidemia.salud. El síndrome de inmunodeficiencia adquirida (sida) surgió en la década de 1980. 5. Fuente UNAIDS. cerca de 14. a) Investiga los datos históricos del crecimiento anual de la población infectada en México. con la finalidad de obtener un modelo poblacional del tipo: dP = A + BP + CP 2 + DP 3 dt c) ¿Qué predice su modelo respecto del número de personas infectadas para el año 2010? d) Si la tendencia continúa. Para elaborar un modelo burdo sobre la población infectada en México. considerando diferentes valores de la población inicial. ya que actualmente existen más de 40 millones de personas contagiadas.186 Unidad 2: Métodos de integración a) ¿Cómo debe ser la población inicial de los conejos para mantener estable el sistema depredador-presa? b) Encuentra una expresión para la población de conejos en el tiempo. visite el portal de Conasida: http://www.000 personas en todo el mundo FIGURA 2. Desde entonces. Por ejemplo. Ginebra: UNAIDS. 2. Determina una expresión para la integral d) K = 3 ln ln( x ) + x +1 dx L=⌠ 2 ⌡ x − 5x + 6 a) L = (x − x 2 − 2 x + 11 2 − 5x + 6 ) 2 +C c) L = ln ( x − 3) ( x − 2 ) + C 4 3 b) L = ln ( x − 3 )4 +C ( x − 2 )3 d) L = ln ( x − 3)3 ( x − 2 )4 + C . Determina una expresión para 2 ⌠ J = dx 2 ⌡ ( x + 2) (2 − x) a) J = b) J = 1 1 1 2 ln x + 2 + ln ( x + 2 ) − ln 2 − x + C 8 2 8 1 x+2 1 ln − +C 8 2 − x 2 ( x + 2) c) J = − d) J = − 2 (x + 2) + ln 2 − x + C 1 1 − ln 2 − x + C 2 (x + 2) 8 3. Calcula la siguiente integral ⌠ 3 + 10 ( ln( x ) )2 dx. Encuentra una expresión para la integral ⌠ 3x + 4 I = 2 dx ⌡ x + 4 (3 − x) ( ) a) I = b) I = 1 ln x 2 + 4 + ln 3 − x + C 2 1 x arctan + ln 3 − x + C 2 2 ( ) c) I = 1 x arctan − ln 3 − x + C 2 2 x2 + 4 +C 3− x d) I = ln 2. K= 3 ⌡x ( ln( x ) ) + x ln( x ) a) K = 3 ln ln( x ) + 3 7 ln x 2 + 1 + C 2 c) K = 3 ln( x ) + 7 ln x 2 + 1 + C 2 7 2 ln ( ln x ) + 1 +C 2 ( ) b) K = 3 ln ( ln( x ) ) + ln( x ) + C 4.5: Integración por fracciones parciales 187 Autoevaluación 1. 2.188 Unidad 2: Métodos de integración 5. Revisa la teoría desarrollada en la sección correspondiente. Indica la opción que contiene el resultado de hacer la integral dx ⌠ M = 2 ⌡ x (2 + 7x) a) M = 1 x ln +C 2 2 + 7x 11 7 x +C c) M = − + ln 2 x 2 2 + 7x d) M = 1 1 1 x +C + ln 2 2 + 7x 2 2 + 7x 1 2 + 14 x x b) M = − +C + 7 ln 4 x (2 + 7x) 2 + 7x Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) x +1 3 2 + = ( x − 2 )( x + 3) 5 ( x − 2 ) 5 ( x + 3) x 2 + 3x − 2 19 1 1 − − = ( x − 1)( x + 1)( x − 5) 12 ( x − 5) 4 ( x − 1) 3 ( x + 1) x 2 + 3x 2 4 − = 1− 2 3 ( x + 1) 3 ( x + 4 ) x + 5x + 4 x3 + 3 11 5 + =x+ 2 4 (x − 2) 4 (x + 2) x −4 4 x 3 + 2 x 2 − 3x + 2 3 1 21 16 + − = 2 + 3 ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 1) x + 2 ( x + 2 ) ( x + 2 )3 2x2 − 3 2 5 2 1 − − = + ( x + 1)2 ( x + 2 )2 x + 2 ( x + 2 )2 x + 1 ( x + 1)2 1 1 x = − x ( x 2 + 1) x 1 + x 2 1 + x + x2 1 1 3− x = + + x 2 ( x 2 + 4) 4 x 4 x 2 4 4 + x 2 b) c) d) e) f) g) h) ( ) . a) ∫ ( x − 1) ( x + 1)2 = − 2 ( x − 1) + 4 ln x + 1 + C ∫ x 3 − 2 x 2 + x = ln x − ln x − 1 − x − 1 + C ∫ ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) = 12 ln dx 1 dx 1 xdx 1 1 x −1 b) c) ( x − 1) ( x + 3)3 +C ( x + 2 )4 4 5 d) 2 x 2 + 41x − 91 ( x − 1) ( x − 4 ) ∫ ( x − 1) ( x + 3) ( x − 4 ) dx = ln ( x + 3)7 + C e) ∫ x 3 − 5 x 2 + 4 x dx = 5 x + 2 ln x + ∫ x ( x + 1)2 = 1 + x + ln x + 1 + C dx 1 x 5x3 + 2 1 161 7 ln x − 4 − ln x − 1 + C 6 3 f) g) ∫ 4 x 3 − x dx = 4 + 16 ln ( 2 x − 1)7 ( 2 x + 1)9 ∫ x3 − 1 x 1 x16 +C h) x2 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + 6 8 11 dx = − − +C 3 2 2 x − 2 ( x − 2 )2 x − 6 x + 12 x − 8 5x2 + 6x + 9 x2 − 8x + 7 2 i) ∫ ( x − 3)2 ( x + 1)2 dx = − 2 ( x − 3) − 2 ( x + 1) + C ∫ 9 1 j) (x − 3x − 10 ) 2 dx = − 8 27 30 x−5 − + ln +C 49 ( x − 5 ) 49 ( x + 2 ) 343 x + 2 x x +1 2 k) ∫ x ( x 2 + 1) dx = x + ln x4 1 x + x +1 3 +C l) ∫ x 4 − 1 dx = x + 4 ln x + 1 − 2 arctan( x ) + C ∫ x −1 1 m) ( 7 dx 1 1 1 = ln x − 3 − ln x − 1 + ln x 2 + 4 x + 5 + arctan ( x + 2 ) + C 130 52 20 65 x2 − 4x + 3 x2 + 4x + 5 )( ) .2.5: Integración por fracciones parciales 189 i) 1 1 x x = − − x ( x 2 + 1)2 x 1 + x 2 1 + x 2 ( ) 2 j) 3x + 5 23 2 13 − 23 x 9 − 19 x + + + = ( x + 1)2 ( x 2 + 4 )2 125 ( x + 1) 25 ( x + 1)2 125 x 2 + 4 25 x 2 + 4 ( ) ( ) 2 3. ⌠ 1 a) 2 ⌡x x −1 x +1 x −1 x −1 +C dx = 2 arctan − x x +1 x +1 x +1 x ⌠ dx = − e− x − 1 arctan 2 e − 1 + 1 ln 1 + e x − 1 ln 1 − e x + e2 x + C b) 4 x x ⌡e +e 6 3 3 3 ( ) ( ) c) ∫ tanh( x )dx = − arctan ( ( 1 tanh( x ) + 1 tanh( x ) + ln +C 2 tanh( x ) − 1 ) e) 5.190 Unidad 2: Métodos de integración n) ∫ x 3 + 1 = 3 ln x + 1 − 6 ln x ∫ ∫ ∫ ∫ 1 dx 1 1 2 − x +1 + 1 2 x − 1 arctan +C 3 3 o) (1 + x ) (x 2 dx 2 2 = x 1 + arctan ( x ) + C 2 2 1 + x2 ( ) p) (3x + 5) dx + 2x + 2 dx ) 2 = 2x − 1 + arctan ( x + 1) + C 2 x + 2x + 2 ( 2 ) q) ( x + 1) ( x 2 + x +1 ) 2 = ln x + 1 + 3 x + x +1 2 ( x+2 ) + 2 x + 1 1 arct tan − ln x 2 + x + 1 + C 2 3 3 3 5 ( ) r) (x 4 − 2 x 2 − 3x − 3 dx x5 + x4 + x3 ) = 3 2 2 x + 1 + ln x − arctan +C 3 2x2 3 s) x3 + 5x + 6 ∫ x 2 − 5 x + 6 dx = 10 − 48 ln ( 2 ) + 24 ln ( 3) −1 t) ∫ cos3 ( x ) sen( x ) 1 7 dx = − sen 2 ( x ) + ln 2 sen 2 ( x ) + 5 + C 2 4 8 2 sen ( x ) + 5 4. ∫ tan( x )dx = − 1 + 2 tan( x ) + tan( x ) 1 1 1 arctan 1 − 2 tan( x ) + arctan 1 + 2 tan( x ) − ln +C 2 2 2 2 −1 + 2 tan( x ) − tan( x ) ) ( ) a) y = b) y = c) y = 4x − 5 4x − 1 9e x − 8 3e x − 4 100 1 + 9e −3 x ( ) 1 e) y = (1 + 6e − 1 − 36e + 36e ) 2 1 f ) y = (15 − 6e + 25 + 108e + 36e ) 2 d) y = 5 1 − 6et + 1 + 84 et + 36e 2 t 2 t t 2t t t 2t . y(t ) = 8 . sí la llevaría a cabo porque lo sabrían 89. a) R( x ) = −5 − 4 x. N (t ) = 9.2. s(2) = − + ln(2). Aplica el método de integración por partes a 2 ⌡ a + b2 x 2 11. y(1) = 3. y(3. 4 3 60 2 7 11411 − π − ln( 4 ) . Si la población fuera de 210. I = (1 + x ) ( 2 + x ) −5 − 4 x − 3 ln x + 1 + 3 ln x + 2 + C . 2520 ⌠ dx 10. 17 −4 − x − 5 x 2 17 2 2 − 5 ln x + 5 ln x + 1 + C b) R( x ) = −4 − x − 5 x . ⌠ dx 1 x = + arctan ( x ) + C a) 2 2 2 2 + 2 1 x ⌡ x +1 ( ) n −1 .5: Integración por fracciones parciales 191 6.23241 × 107 kg. I = 2 2 x (1 + x ) 10 −20 − x 10 58 50 9 + ln x − 3 + ln x + 3 + C c) R( x ) = −20 − x. s(3) = − + ln(2). 7. Si la población es de 240 habitantes.541323t 8. I = 9 27 ( x − 3) ( x + 3) 27 . ( ( ) ( ) ⌠ dx b) 2 ⌡ x +4 ) 3 = x 16 4 + x x 36 9 + 4 x = ( 2 2 ) + 128 4 + x 2 x ( 3x ) + 3 x arc ctan + C 2 256 1 2x arctan + C 3 1296 4 2 x + 1 arctan +C 3 3 3 3 arctan 8 2 ⌠ dx c) ⌡ 4 x2 + 9 ( ) 3 = ( 2 2 ) + 216 9 + 4 x + ( 2 ) + ⌠ dx d) 2 ⌡ x + x +1 ( ) 3 6 x + x +1 2 ( 2x + 1 ) 2 3 x + x +1 2 ( 2x + 1 ) + ⌠ dx e) 2 ⌡ 2x + 4x + 3 ( ) 3 = 4 2x + 4x + 3 2 ( x +1 ) 2 + 8 2x + 4x + 3 2 ( 3x + 3 ) + ( 2 ( x + 1) + C ) 12.09468 años) = 6 × 107 kg 1 + 3e −0. no completará la misión porque a los 7 días lo sabrán 83 personas.71t 200 1 + 199e −0. si fuera de 270 individuos. s(1) = s(5) = 1 2 53 π 22 (π − 4 + ln(4 )). no la completaría porque lo sabrían 81 personas. s(4 ) = − π . después despeja la integral buscada. . . I = −1 + 2 x + 4 x 3 x2 x2 + 1 ( ) + 4 arctan ( x ) + C Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 11a. Montaner y Simón. Thomas. d) 4. c) Referencias 1. G. Granada.... d) 2. Piskunov.I= + arctan + C e) R( x ) = + 2 2 8 32 64 ( x + 2 ) x + 4 128 ( ) f ) R( x ) = 1 + 3 x + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 . Universidad de Granada. Pérez. 3. Barcelona. I = 1 + 3x + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 ( x + 1) ( x 2 +1 ) 2 1 + 2 arctan ( x ) + ln 1 + x − ln 1 + x 2 + C 2 ( ) g) R( x ) = −1 + 2 x + 4 x 3 .I= − arctan ( x ) + ln x − 1 − ln 1 + x 2 + C 4 4 8 4 x2 + 1 2 ( ) ( ) 1 3 3 2 x+ x + 1 3 3 2 3 x 8 32 64 x+ x .192 Unidad 2: Métodos de integración d) R( x ) = 1− x 1− x 1 1 1 . 2. 2005. 1978. Cálculo (una variable). Pearson Educación. J. Barcelona. Cálculo diferencial e integral. ed. b) 5. 2006. b) 3. N. Cálculo diferencial e integral. México. 82 2607. Por ejemplo.46 Incremento en el peso ∆w 57. por lo que brindan al hombre tanto recursos como alimentos.64 1324.49 461.81 624.99 7.05 4333.88 52.36 2. Más aun. Johann Bernoulli La carpa de la presa de Atlangatepec Algunos recursos naturales. como los marinos.34 309. a veces no podemos decir con certeza si la integral de una cantidad dada pueda hallarse o no.87 48.2.39 6. tienen la capacidad de autorregularse.01 20 27.62 50.85 571.01 8.43 42. etcétera.34 252. se explotan esos recursos sin pensar en su conservación y luego.39 33.98 3811. Ejemplos claros de ello son la pesca de la ballena. también es difícil encontrar la integral de un diferencial dado.06 4.11: Datos de la carpa de la presa de Atlangatepec.07 522.26 1. FIGURA 2.27). cuando dejan de producir dividendos económicos. Edad (años) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud L (cm) 11.74 Incremento en la longitud ∆L 11.45 442.75 2.92 . En muchos casos. en el estado mexicano de Tlaxcala.35 579.08 3. del salmón.6: Sustituciones diversas 193 2.79 752.6 Sustituciones diversas Así como es fácil encontrar la diferencial de una cantidad dada.98 4.45 38. del atún. hay diversos estudios que pretenden maximizar la producción con un alto grado de conservación.51 45.63 3231.55 647.63 635. se abandonan.27: Presa de Atlangatepec. No obstante.86 Peso w 57. Tabla 2.27 1959.54 4795. los datos siguientes corresponden al crecimiento en longitud y peso de la carpa (Cyprinus carpio) en la presa de Atlangatepec en Tlaxcala (véase la figura 2. 23). deberás ser capaz de: • Aplicar el método de sustitución del ángulo medio para integrar funciones racionales de senos y cosenos. suponiendo que el peso es despreciable en el tiempo inicial. .23). un modelo matemático del peso de un pez diseñado por Von Bertalanffy establece que dw = aw 2 / 3 − bw dt (2. Introducción En las secciones precedentes. sustituciones de Euler y método alemán de reducción. ¿a qué grupo de edad se recomienda explotar la carpa? f ) Un modelo de longitud del pez. integrales binomias. de manera “natural”. indica que dL = α − βL dt Determina la solución de la longitud del pez e indica cómo se relaciona el peso con la longitud. suponiendo que es proporcional a la superficie del animal. Sus aplicaciones son diversas. cuando ésta es proporcional al peso del pez. d ) ¿Cuál es el peso máximo esperado de la carpa? En general. El término aw2/3 representa el aporte debido a los nutrientes. aparece la integral de Von Bertalanffy. estudiamos varios de los métodos de integración más utilizados.23) donde a y b son constantes positivas y w es el peso del pez. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. para muestra basta el estudio de pesquerías donde. De acuerdo con él. c) Construye una gráfica que muestre la evolución del peso del animal en el tiempo. Los cinco procedimientos que analizaremos son sustitución del ángulo medio. a) Resuelve la ecuación diferencial (2. de acuerdo con la expresión (2. ¿cuál es el peso máximo de un pez? e) Encuentra el incremento promedio máximo. En ésta abordaremos otros que completarán un amplio esquema que le permitirá resolver la mayoría de las integrales. mientras que bw representa la disminución debida a la respiración. comparando los datos experimentales con los resultados teóricos. b) Encuentra los valores de a y b que mejor ajusten los datos de la carpa de Atlangatepec. racionalización de funciones irracionales. también debido a Von Bertalanffy.194 Unidad 2: Métodos de integración Por otro lado. Por otro lado. Sección 2.6.26) .6: Sustituciones diversas 195 • Integrar funciones irracionales por racionalización.24) donde f (x.28. 2 2 2 2 1+ z 1 + z2 (2. obtenemos 2z x x sen( x ) = 2 sen cos = 2 2 1 + z2 2 x x 1− z cos( x ) = cos 2 − sen 2 = 2 2 1 + z2 sen( x ) 2z tan( x ) = = cos( x ) 1 − z 2 (2. • Aplicar las tres sustituciones de Euler para calcular integrales que lo requieran.sen( x )) dx. Para mostrar esta aseveración observa el triángulo de la figura 2. y) es una función racional de dos variables.2. sen = . • Calcular integrales binomios. (2.28: Triángulo de apoyo para el cambio de variable z = tan(x/2).1 Método de sustitución del ángulo medio El método conocido como sustitución del ángulo medio permite transformar integrales del tipo ∫ f ( cos( x ). cos = . usando las identidades trigonométricas del seno y coseno del ángulo doble y los resultados anteriores. las funciones trigonométricas del ángulo x/2 están dadas por: 1 z x x x tan = z. • Aplicar el método alemán de reducción para resolver integrales que lo necesiten.25) 1 – z2 z x 2 1 FIGURA 2. en integrales racionales rutinarias. 28) 2. cos ( x ) = 1 − z 2 . Si f (cos(x). Sin embargo. entonces. sen(x)).27) se transforma la integral (2.30) Ejemplos Ejemplo 2. La razón es simple: las integrales resultantes son menos complicadas que las que aparecen usando la sustitución del ángulo doble. dx = − dz 1 − z2 (2. −sen(x)) = f (cos(x).24) 1. tenemos que x = 2 arctan (z). si diferenciamos: dx = 2 dz 1 + z2 (2. Como z = tan (x/2). sen(x)) = −f (cos(x). función impar en seno. sen ( x ) = z 1+ z 2 . dx = dz 1 − z2 (2.29) 3. cos ( x ) = 1 1+ z 2 . Si f (−cos(x). entonces. si presenta algún tipo de simetría es recomendable utilizar los cambios de variable que se sugieren en el siguiente resultado. sen(x)). −sen(x)) = −f (cos(x). función par en seno y coseno.196 Unidad 2: Métodos de integración Sólo falta saber cómo se transforma la diferencial dx. dx = dz 1 + z2 (2. el cambio adecuado será sen ( x ) = z. entonces.60 Calcula la integral dx ⌠ ⌡ 1 + sen( x ) + cos( x ) .27) En resumen. sen(x)). el cambio adecuado será cos ( x ) = z. sen ( x ) = 1 − z 2 . función impar en coseno. Cambios de variable para calcular la integral (2.26) y (2. Si f (−cos(x). con las ecuaciones (2.24) en una integral racional que se puede resolver con el método de fracciones parciales. el cambio adecuado será tan ( x ) = z. integrando.61 Encuentra una expresión para la integral dx ⌠ 3 sen( x ) − 4 cos( x ) ⌡ solución Al utilizar el cambio de variable: ⌠ 2 dz dx ⌠ 1 + z2 = 1 − z2 ⌡3 sen( x ) − 4 cos( x ) 2 z 3 2 − 4 2 ⌡ 1+ z 1+ z 2 dz =⌠ 2 ⌡4 z + 6 z − 4 dz ⌠ = ⌡( 2 z − 1) ( z + 2 ) sustituyendo. ⌠ 2 dz = 2 + 1 2z + 1 − z2 z + ⌡ ( ) ( ) simplificando. utilicemos el método de fracciones parciales. dz =⌠ ⌡ 1+ z = ln (1 + z ) + C x = ln 1 + tan + C 2 Ejemplo 2.6: Sustituciones diversas 197 solución Si usamos el cambio de variable del ángulo medio. desarrollando y factorizando. sustituyendo. así que proponemos la siguiente descomposición: 1 A B = + ( 2 z − 1) ( z + 2 ) 2 z − 1 z + 2 Multiplicando por (2z − 1)(z + 2). Para determinar la última integral. factor rizando el denominador. simplificando. Estamos en el caso de factores lineales no repetidos. 1 = A(z + 2) + B(2z − 1) . tenemos 2 dz ⌠ dx ⌠ + z2 1 = 2z 1 − z2 ⌡ 1 + sen( x ) + cos( x ) + 1+ ⌡ 1 + z2 1 + z2 sustituyendo.2. 5 5 1 1 x x = ln 2 tan − 1 − ln tan + 2 + C sustituyendo. En ambos casos. establecemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2= B+D 0 = A + 2B + C −2 = 2 A − B + D 0 = −A + C .26) y (2.62 Calcula la integral ⌠ dx ⌡1 + tan( x ) solución Utilizamos las fórmulas (2. obtenemos directamente los coeficientes A = 2/5 y B = −1/5. Finalmente: dx ⌠ 2 / 5 1/ 5 ⌠ sustituyendo.27) para conseguir: 2 ⌠ ⌠ 2 1 − z 2 dz 1 + z 2 dz dx ⌠ = = 2 2 ⌡ 1 + tan( x ) 1 + 2 z ⌡ 1 + z 1 − z + 2z 2 ⌡ 1− z ( ( )( ) ) De nuevo. en particular cuando z = 1/2 y z = −2. para cada uno. obtenemos 2 1 − z 2 = ( Az + B ) 1 + 2 z − z 2 + (Cz + D ) 1 + z 2 ) ( ) ( ) Al desarrollar y agrupar los términos correspondientes a cada potencia de z.198 Unidad 2: Métodos de integración Este resultado es válido para todo z. el método de fracciones parciales es adecuado para calcular la última integral. Proponemos la siguiente descomposición: (1 + z ( )( ( ) 2 1 − z2 2 ( ) = Az + B + Cz + D ) (1 + 2 z − z ) 1 + z 1 + 2 z − z 2 2 2 Multiplicando por 1 + z 2 1 + 2 z − z 2 . 2 2 5 5 Ejemplo 2. = − dz ⌡ 3 sen( x ) − 4 cos x ⌡ 2 z − 1 z + 2 1 1 = ln 2 z − 1 − ln z + 2 + C integrando. resulta 2 − 2 z 2 = (− A + C )z 3 + (2 A − B + D )z 2 + ( A + 2 B + C )z + ( B + D ) Si igualamos los coeficientes de potencias correspondientes en cada polinomio. Si sustituimos los coeficientes e integramos: −z + 1 dx ⌠ −z + 1 ⌠ + = dz 2 1 + 2z − z2 ⌡ 1 + tan( x ) ⌡ 1 + z 1 1 = − ln 1 + z 2 + arctan ( z ) + ln 1 + 2 z − z 2 + C 2 2 1 x x 1 x x = − ln 1 + tan 2 + + ln 1 + 2 tan − tan 2 + C 2 2 2 2 2 2 Sin embargo. 1 1 1 . B = 1. cos( x )) sen( x) − sen( x ) 1 + 1+ cos( x ) − cos( x ) Entonces. − cos( x )) = 1 1 = = f ( sen( x ). la integral se calcula utilizando el cambio de variable u = tan(x) y el conjunto de fórmulas (2.28). C=− 2 2 2 Cuya solución es 1⌠ 1 1− z dx ⌠ dz = + 2 ⌡ 1 + tan( x ) 2 ⌡ 1 + z 1 + z 1 1 1 = lo og 1 + z + arctan( z ) − log 1 + z 2 + C 2 2 4 1 x 1 = log 1 + tan( x ) + − log 1 + tan 2 ( x ) + C 2 2 4 Usando identidades trigonométricas no es difícil mostrar que dx x 1 ⌠ = + ln cos ( x ) + sen ( x ) + C ⌡1 + tan x 2 2 .2. ⌡ 1 + tan( x ) ⌡ 1 + z 1 + z 2 Ahora proponemos que (1 + z ) (1 + z 1 2 ) = A B + Cz . la función a integrar es par en seno y coseno. B= . dx ⌠ 1 dz ⌠ = . C = −1. ya que f ( − sen( x ). Así. + 1 + z 1 + z2 Al multiplicar por (1 + z)(1 + z2) y después de agrupar: 1 = (A + B) + (B + C)z + (A + C)z2. Esto nos lleva al sistema de ecuaciones 1= A+ B 0 = B+C 0 = A+C A= Finalmente. D = 1 .6: Sustituciones diversas 199 Al resolver el sistema: A = −1. 200 Unidad 2: Métodos de integración Sección 2..6. u +1 u +1 obtendremos: 1 ⌠ ⌠ dx = 6 u 2 − u + 1 − du 3 u + 1 ⌡ x+ x ⌡ = 2u 3 − 3u 2 + 6u − 6 ln u + 1 + C 3 6 6 sustituyend do. la resta... al sustituir y simplificar: 5 3 dx ⌠ 6u du ⌠ u du ⌠ = 3 = 6 . 2 3 ⌡ x + x ⌡ u +u ⌡ u +1 x = u3 . el producto y el cociente. nk) El método sigue funcionando. si la función a integrar f depende de x. La sustitución adecuada es x = u 6 . dx = 6u 5 du.... n2. entonces. integrando. Si usamos u3 1 = u2 − u + 1 − . xm2/n2. . xm1/n1.. nk.2 Racionalización de funciones irracionales Algunas funciones irracionales (con radicales) pueden transformarse en funciones racionales mediante las sustituciones adecuadas. 3 x = u2 . el cambio adecuado es u = x r con r el mínimo común múltiplo de n1.. Identificamos n1 = 2 y n2 = 3.63 Calcula la integral dx ⌠ ⌡ x+3x solución Aquí aparecen los términos x1/2 y x1/3... Ejemplos Ejemplo 2.. ie.. Entonces.. si en lugar de la variable x tenemos una función racional g(x). = 2 x − 3 x + 6 x − 6 ln x + 1 + C sustituyendo. xmk/nk para algún entero k. y las únicas operaciones que se utilizan son la suma. Por ejemplo. n2.. y su mínimo común múltiplo es 6. r = mcm(n1.. integrando.64 Determina una expresión para la integral dx ⌠ 3 1 2 ⌡ (1 + x ) + (1 + x ) 2 solución De la integral identificamos que n1 = n2 = 2. simplificando.2. dx = − Luego. du 1 − e x dx = u − = 2 2 ⌡ u −1 ⌡ 1− u Al dividir la fracción del integrando: 2 2u 2 =2+ . (1 + x ) = u .6: Sustituciones diversas 201 Ejemplo 2. 3 2 1 2 sustituyendo o. ( ) 2udu . Sustituyendo en la integral: dx 2udu ⌠ =⌠ 3 3 1 2 2 ⌡u +u ⌡ (1 + x ) + (1 + x ) du = 2⌠ 2 ⌡ u +1 = 2 arctan(u ) 1 (1 + x ) = u3 . la sustitución adecuada será 1 + x = u 2 . x = ln 1 − u 2 . así que la sustitución adecuada es 1 − e x = u 2 . al sustituir en la integral. 1 − u2 ∫ 2 2u ⌠ ⌠ 2u du . dx = 2udu. 2 u −1 (u − 1) (u + 1) . 2 = 2 arctan (1 + x ) + C sustituyendo. e x = 1 − u 2 .65 Calcula la integral ∫ 1 − e x dx solución Aquí identificamos n1 = 2. así. Ejemplo 2. Finalmente.202 Unidad 2: Métodos de integración Proponemos así la descomposición en fracciones parciales: 2 A B = + (u − 1)(u + 1) u − 1 u + 1 Y multiplicamos por (u − 1)(u + 1): 2 = A(u + 1) + B(u − 1) Si evaluamos en u = −1 y en u = 1. = 2 1 − e x + ln Sección 2.3 Integrales binomias Una integral binomia es del tipo ∫ x m (a + bx n ) p dx donde a. n u = xn x = u1/n us − a x= b us − b x= a 1/ n dx = r p= s r p= s u = a + bx s n su s−1 u s − a n dx = nb b su s −1 u s − b dx = − na a −1/ n u = ax s −n +b 1 − −1 n . conseguimos B = −1 y A = 1. No siempre es posible determinar una expresión en términos de funciones elementales para las integrales binomias. integrando. + C sustituyendo u. m. simplificando. n y p son constantes. Tabla 2.6. b. p∈ .12 es posible calcularlas. Caso Usar el cambio Despejar x Calcular dx 1 n −1 u n 1 −1 1 p∈ m +1 ∈ .12: Sustituciones para calcular integrales binomias. la integral está dada por ∫ 1 1 ⌠ 1 − e x dx = 2 + − du u − 1 u − 1 ⌡ = 2u + ln u − 1 − ln u + 1 + C = 2u + ln u −1 +C u +1 1 − ex − 1 1 − ex + 1 sustituyendo. p∈ . n m +1 + p∈ . Sólo en los casos que se muestran en la tabla 2. respectivamente. te proponemos mostrar que los resultados que se obtengan utilizando ambos métodos sean los mismos. por comparación con el tipo general de las integrales binomias. p= 3 . 4 16 11 7 = ( ) ( ) Desde luego. .67 Determina una expresión para la integral ∫ x 3 (4 + 3x 4 )3/2 dx solución Identificamos en la integral. a = 1. x = u 5/ 4 . Ejemplo 2. m = 3. 2 . u 1 + 6u + 12u 2 + 8u 3 du 4∫ 5 = ∫ u 2/ 3 + 6u 5/ 3 + 12u 8/ 3 + 8u11/ 3 du multiplicando. proponemos el cambio de variable u = x 4 / 5 . Como un ejercicio. 3 5 Como p = 3 ∈ p = 3. 5 2/ 3 desarrollando el cubo. dx = 5 1/ 4 u du 4 al sustituir en la integral original: ⌠ 1/ 3 x 1 + 2 x 4 /5 5 /12 ⌡u (1+ 2 u )3 ( ) 3 dx = 5 1/ 4 u du 4 5 2/ 3 3 u (1 + 2u ) du 4∫ sustituyendo. . primer caso de las integrales binomias. b = 2 . a = 4. 4 3 45 45 15 = u 5/ 3 + u 8/ 3 + u11/ 3 + u14 / 3 + C integrando y simplificando. n= .2. b = 3 .6: Sustituciones diversas 203 Ejemplos Ejemplo 2. 4 16 11 7 3 45 32/15 45 44 /15 15 56/15 = x 4/3 + x + x + x + C sustituyendo u.66 Calcula la integral ∫ x1/3 (1 + 2 x 4/5 ) 3 dx solución En la integral identificamos los números 1 4 m= . n = 4. esta integral se puede resolver simplemente desarrollando el cubo en la integral original y después integrando. dx = − 4u(u2 − 1)−3 du Al reescribir el integrando. x = (u2 − 1)−2. u5 +C 30 1 = 4 + 3x 4 30 = integrando. b = 1 . n= . proponemos el cambio de Como 1 n 2 2 variable: u2 = x −1/2 + 1.204 Unidad 2: Métodos de integración Como m +1 ∈ n elegimos el segundo caso. . x 3 dx = Sustituimos en la integral: 1 udu . Ejemplo 2. tenemos x1/ 4 (1 + x1/ 2 )−7/ 2 = x1/ 4 x1/ 2 x −1/ 2 + 1 Al sustituir en la integral original: ( ( ) −3 )) −7 / 2 = x −3/ 2 x −1/ 2 + 1 ( ) −7 / 2 ⌠ −3/2 −1/2 x +1 x ⌡ (u 2 −1)3 −7 ( ) −7 / 2 dx −4 u u −1 2 u ( du = −4 ∫ u −6 du = 4 u −5 +C 5 4 = x −1/2 + 1 5 sustituyendo. Al diferenciar: 2udu = 12 x 3 dx . a = 1. 4 2 7 p = − . 6 ⌠ 4 + 3x 4 ⌡ u2 ( ) 3/2 4 ⌠ u du x 3dx = ⌡ 6 udu 6 susti ituyendo.68 Encuentra la integral ∫ x1/4 (1 + x1/2 )−7/2 dx solución En la integral identificamos los números m= 1 1 . proponemos entonces el cambio de variable u2 = 4 + 3x4. 2 5 m +1 7 + p = 4 − = −1 ∈ (tercer caso de las integrales binomios). −5 / 2 ( ) + C sustituyendo u. ( ) 5/2 + C sustituyendo u. integrando. Te sugerimos aprender sólo el cambio de variable.4 Sustitución de Euler Ya vimos que el método de sustitución trigonométrica es útil para calcular integrales del tipo ⌠ f x. α y β son raíces de ax + bx + c = 0 2 ax 2 + bx + c = xt + c x= dx = 2 a c + 2t − b + t c 2 ( −a ) 2 ) dt a ( x − α )( x − β ) = ( x − α ) t x= dx = 2 at ( β − α ) (a − t ) 2 2 dt Observa que en todos los casos. ( ) Tabla 2.69 Calcula la integral dx ⌠ 2 ⌡ x −x−2 solución Como x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) elegimos el tercer caso para hacer la sustitución.2. c > 0 III. Caso Cambio de variable x −c + t 2 b − 2t a b − 2t c t2 − a aβ − α t 2 a − t2 Diferencial 2bt − 2 a c + t 2 I.6. ax 2 + bx + c dx ⌡ las cuales también se pueden transformar a integrales de funciones racionales mediante las sustituciones que se muestran en la tabla 2. Ejemplos Ejemplo 2. a > 0 ax 2 + bx + c = a x + t x= dx = ( b − 2t a ) (t ( 2 ) dt II.13: Sustituciones de Euler.13 y que se deben al genio de Euler. proponemos ( x − 2 )( x + 1) = ( x − 2 )t o t = x +1 x−2 . Es decir.6: Sustituciones diversas 205 Sección 2. es necesario elevar al cuadrado para expresar x en función de t y posteriormente calcular dx. y obtener el despeje y la diferencial siempre que se necesiten. proponemos x2 + 4x = x + t o t = x2 + 4x − x . es decir. ( x − 2 )( x + 1) = ( x − 2 )t 1 + 2t 2 yendo. t −1 Calculemos ahora dx: (t dx = 2 − 1 4 t − 1 + 2t 2 2t ) (t ( 2 −1 ) ) 2 dt = − 6 t dt (t 2 −1 ) 2 Al sustituir en la integral original: ⌠ 1 dx 6 t dt ⌠ = − 2 3t t 2 − 1 ⌡ x −x−2 ⌡ 2 t −1 2 dt = −⌠ 2 ⌡ t −1 t +1 = ln +C t −1 ( ) 2 sustituye endo. elegimos el primer caso para hacer la sustitución. ) = −1 − 2t 1 + 2t 2 t2 − 1 2 x= Además. Ejemplo 2. despejando x.206 Unidad 2: Métodos de integración Elevamos al cuadrado y despejamos x: x 1− t ( x + 1 = ( x − 2 )t 2 2 elevando al cuadrado. agrupando términos con x. = ln x +1 +1 x−2 +C x +1 −1 x−2 sustituyendo t . simplificando. = 2 − 2 t sustituy t −1 3t = 2 simplificando. integrando.70 Encuentra la integral dx ⌠ 2 ⌡ x + 4x solución Como el coeficiente de x2 es positivo. despejando x. 4 − 2t 4t − t 2 4 − 2t sim mplificando. Sección 2. integrando. x + 4 x = x + 2 xt + t x ( 4 − 2t ) = t 2 x= Además. ( 4 − 2t ) 2t − (t 2 ) ( −2 ) 8t − 2t 2 dt = dt ( 4 − 2 t )2 ( 4 − 2 t )2 Sustituimos en la integral original y conseguimos: ⌠ 1 8t − 2t 2 ⌠ dx = 2 2 2 dt ⌡ x + 4 x 4t − t ( 4 − 2t ) ⌡ 4 − 2t dt ⌠ = ⌡2 − t = − ln 2 − t + C sust tituyendo. = − ln 2 + x − x 2 + 4 x + C sustituyendo t.5 Método alemán de reducción En esta sección nos interesa determinar integrales del tipo Pn ( x ) ⌠ dx 2 ⌡ ax + bx + c donde Pn(x) es un polinomio de grado n. proponemos que la solución esté dada por Pn ( x ) A ⌠ ⌠ dx = Qn−1 ( x ) ax 2 + bx + c + dx ⌡ ax 2 + bx + c ⌡ ax 2 + bx + c (2. desarrollando.2. simplificando y agrupando términos con x. Para ello. simplificando.6: Sustituciones diversas 207 Elevamos al cuadrado y despejamos: x2 + 4x = (x + t ) 2 2 2 2 elevando al cuadrado.6.31) . t2 4 − 2t x2 + 4x = x + t = = Calculamos ahora dx: dx = t2 + t sustituyendo. 33) A ésta muy ingeniosa estrategia de reducción se le conoce como el método alemán. x3 + 2 x2 + x − 2 1− x Multiplicamos por 1 − x2 : 2 =− x ax 2 + bx + c 1− x 2 ( ) + (2ax + b ) x 3 + 2 x 2 + x − 2 = − x ax 2 + bx + c + (2 ax + b ) 1 − x 2 + A = −3ax − 2bx + (2 a − c ) x + b + A 3 2 ( ) ( ) . por identificación de términos en las siguientes fórmulas: ⌠ dt ⌠ dt ⌠ dt = arcsen(t ) + C. formaremos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.31) se puede calcular usando las sustituciones de Euler o el método de sustitución trigonométrica.32) donde Q 'n − 1(x) es la derivada del polinomio Qn − 1(x).32) es una igualdad entre dos polinomios de grado n. La ecuación (2. El polinomio y la constante quedan determinados.71 Calcula la integral ⌠x 3 + 2 x 2 + x − 2 dx ⌡ 1 − x2 solución Proponemos que ⌠x 3 + 2 x 2 + x − 2 dx = ax 2 + bx + c 2 ⌡ 1− x ( ) ⌠ A 1 − x2 + dx ⌡ 1 − x2 1 − x2 + A 1 − x2 Al derivar. si derivamos la expresión anterior: Pn ( x ) ax + bx + c 2 = Q 'n−1 ( x ) ax 2 + bx + c + ( 2 ax + b )Qn−1 ( x ) ax + bx + c 2 + A ax + bx + c 2 Multiplicamos por ax 2 + bx + c y simplificamos: Pn ( x ) = Q 'n−1 ( x ) ax 2 + bx + c + (2 ax + b )Qn−1 ( x ) + A ( ) (2.208 Unidad 2: Métodos de integración donde Qn − 1(x) es un polinomio desconocido de grado n − 1 y A es una constante. o bien. = ln t + t 2 − 1 + C 2 2 ⌡ 1− t ⌡ 1+ t ⌡ t2 − 1 (2. Su solución nos permite conocer el polinomio Qn − 1(x) y la constante A. = ln t + 1 + t 2 + C. Ejemplos Ejemplo 2. La integral faltante en (2. Si igualamos los coeficientes de potencias correspondientes. obtenemos: 2 x 3 + x 2 − x − 12 = ( x + 2 ) ax 2 + bx + c + ( 2 ax + b ) x 2 + 4 x + A = 3ax + (10 a + 2 b ) x + ( c + 6b ) x + 2 c + A 3 2 ( ) ( ) De donde logramos el sistema de ecuaciones −12 = 2 c + A −1 = c + 6b 1 = 10 a + 2 b 2 = 3a . resulta 2 x 3 + x 2 − x − 12 x + 4x 2 = ( x + 2 ) ( ax 2 + bx + c ) x + 4x 2 + ( 2 ax + b ) x 2 + 4 x + A x + 4x 2 Si multiplicamos por x 2 + 4 x . A = −1 Finalmente: ⌠ x3 + 2x2 + x − 2 5 ⌠ 1 1 dx = − x 2 − x − 1 − x 2 − dx 2 3 3 ⌡ 1 − x2 ⌡ 1− x 5 1 = − x 2 + x + 1 − x 2 − arcsen( x ) + C 3 3 Ejemplo 2.2. c = −5/3.72 Encuentra una expresión para la integral ⌠2 x 3 + x 2 − x − 12 dx ⌡ x2 + 4x solución Proponemos ⌠2 x 3 + x 2 − x − 12 dx = ax 2 + bx + c 2 ⌡ x + 4x ( ) A ⌠ x2 + 4x + dx 2 ⌡ x + 4x Derivando.6: Sustituciones diversas 209 de donde logramos el sistema de ecuaciones −2 = b + A 1 = 2a − c 2 = −2 b 1 = −3a que tiene la solución a = −1/3. b = −1. escribe qué debe hacer para integrar funciones racionales de senos y cosenos. dx ⌠ a) ⌡ 1 + sen( x ) + cos x 0 dx ⌠ f) ⌡ 8 − 4 sen( x ) + 7 cos( x ) dx ⌠ g) ⌡ cos( x ) + 2 sen( x ) + 3 dx ⌠ h) ⌡ sen( x ) + tan( x ) dx ⌠ i) ⌡ 4 sec( x ) + 5 dx ⌠ j) ⌡ 4 − 3 cos( x ) 0 dx ⌠ b) ⌡ 3 sen( x ) + 4 cos( x ) dx ⌠ c) ⌡ 2 + cos( x ) cos x dx d) ⌠ ⌡ 1 + cos x π ⌠ sen( x ) dx e) ⌡ 1 − sen( x ) .210 Unidad 2: Métodos de integración cuya solución es a= 2 17 . Aplica el método de sustitución del ángulo medio para calcular las siguientes integrales: π 2 n g( x ) . b = − . A = −44 3 6 Ahora sustituimos estos valores y usamos el resultado del ejemplo 2. c = 16. 2.70 para obtener: ⌠ 2 x 3 + x 2 − x − 12 17 ⌠ −44 2 dx dx = x 2 − x + 16 x 2 + 4 x + 2 3 6 ⌡ x2 + 4 x ⌡ x + 4x 17 2 = x 2 − x + 16 x 2 + 4 x + 44 ln 2 + x − x 2 + 4 x + C 3 6 1. Indica cómo debe proceder para integrar funciones que contengan expresiones de la forma 3. Con tus propias palabras. 2. Aplica el caso I de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales: dx a) ⌠ ⌡ 25 + x 2 dx ⌠ b) ⌡ 16 + x 2 dx c) ⌠ ⌡ 1 + 4 x + x2 dx d) ⌠ ⌡ 1 + x + 4 x2 dx ⌠ e) ⌡ 16 + 9 x + x 2 ⌠ dx f) ⌡ 1 + 4 x + x2 ( ) 3/ 2 ⌠ dx g) ⌡ 1 + x + 4 x2 ( ) 3/ 2 . Aplica el método de racionalización de funciones irracionales para calcular las siguientes integrales: ⌠ xdx a) ⌡ 1 + 3 x4 dx b) ⌠ ⌡ x−3x x 2−x 3 c) ⌠ dx 1 ⌡ 6x 4 3 1 1 ⌠ dx g) 3 ⌡ 2x 9 + 2x ⌠ x 2 dx h) ⌡ x +1 dx ⌠ i) ⌡2 x+3x 0 27 0 1 2 ( ) 3 ⌠ x2 d) 5 dx 2 ⌡ ( 4 x + 1) dx e) ⌠ 58 1 ⌡x −x 8 ⌠ ( x − 2 ) 3 dx 2 j) 3 ⌡ ( x − 2) + 3 2 1 27 10 ⌠ x +1 +1 dx f) ⌡ x +1 −1 ⌠ dx k) ⌡ 1 + ex 5. Aplica el método de integrales binomias para calcular las siguientes integrales: a) b) c) d) e) f) g) ∫ x 5 (1 + x 3 ) ∫ x1/4 (1 + 3 dx x ) 4 dx 3 ⌠ x1/ 5 h) 1/ 3 ⌡ 1+ x ( ) 28 / 5 dx ∫ x1/2 (1 + 3 x ) ∫ x 5 (1 + x 3 ) 1/ 3 dx ⌠ x1/ 3 i) 1/ 7 ⌡ 1+ x dx dx dx ( ( ) 34 / 3 dx ∫ x1/2 (3 + 2 x ) ∫ x (5 + x ) 7/ 3 3/ 2 1/ 3 1/ 5 ∫ x 7 / 2 ( 3 + 2 x 3/ 2 ) ⌠ x 5/3 j) 3/ 7 ⌡ 1+ x k) ) 74 / 9 dx 5/ 3 1/ 2 ∫ x16/3 (1 + x −5/7 ) 103/15 dx dx 6.6: Sustituciones diversas 211 4. Utiliza la sustitución del ángulo medio para mostrar que go una fórmula semejante para ∫ csc( x )dx . ∫ sec( x )dx = ln 1 − tan ( x 2 ) + C .212 Unidad 2: Métodos de integración 7. Aplica el caso III de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales: dx a) ⌠ ⌡ 2 − 3x + x 2 dx b) ⌠ ⌡ 2 − 3x + x 2 dx ⌠ c) 2 − 3x + x 2 ⌡ dx ⌠ e) 35 − 12 x + x 2 ⌡ ( ) 3/ 2 dx f) ⌠ ⌡ −12 − x + x 2 ( ) 3/ 2 dx g) ⌠ 2 ⌡ x − x − 12 dx ⌠ h) x 2 − x − 12 ⌡ dx d) ⌠ ⌡ 35 − 12 x + x 2 ( ) 3/ 2 9. Aplica el caso II de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales: dx a) ⌠ ⌡ 9 + x2 dx b) ⌠ ⌡ 1 + 25 x 2 dx c) ⌠ ⌡ 1 + x + 4 x2 dx d) ⌠ ⌡ 4 + x + x2 dx e) ⌠ ⌡ 4 + 2x + x2 dx f) ⌠ ⌡ 9 − x2 dx g) ⌠ ⌡ 1 + 2x − x2 dx h) ⌠ ⌡ 7 + 4 x − x2 8. Aplica el método alemán para calcular las siguientes integrales: 2 a) ⌠ −3 + 4 x + x dx ⌡ 5 + x − 4 x2 2 b) ⌠ 1 − 7 x + 3x dx ⌡ 1 + 3x − 9 x 2 ⌠ 1 − 2x + 4 x2 e) dx ⌡ 1 + 5x + x2 ⌠ 2 − 5x + 9x2 f) dx ⌡ 2 + 3x − 4 x 2 ⌠ 2 − 5x + 9x2 g) dx ⌡ −5 + 7 x + x 2 ⌠ 2 + 3x + 2 x 2 + x 3 h) dx ⌡ 1 + 4 x − x2 ⌠ 5 + 2x − 4 x2 c) dx ⌡ 1 + x + x2 ⌠ 3 + x + x2 d) dx ⌡ 3 + 2x + x2 10. Deduce lue2 1 + tan ( x ) . precisamente. Un modelo general para el peso de un pez debido establece que dw = aw 2 r +1 − bw dt r +1 (2. d ) Determina una expresión general para el peso máximo en términos de r. w es el peso del pez y r es el exponente de la relación entre la anchura A y la longitud L del organismo. es el caso anterior. Para el crecimiento uniforme se tiene que r = 1 que. suponiendo que en el tiempo inicial el peso es despreciable. La carpa de la presa de Atlangatepec.34) donde a y b son constantes positivas. Modelo general de peso de un pez de Von Bertalanffy. así como diferentes valores de r para determinar el peso de la carpa de Atlangatepec. Autoevaluación dx ⌠ 1. c) Construye la gráfica del peso del pez en el tiempo para diferentes valores de r. b) Usa los valores de a y b de la situación anterior.6: Sustituciones diversas 213 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. analiza y resuelve las siguientes situaciones. 2.2. e) Encuentra una expresión para el incremento promedio máximo en términos de r.23). Indica la opción que contiene el resultado de I = ⌡1 + sen( x ) + cos( x ) x a) I = ln 1 + cot + C 2 x x b) I = ln tan + ln sen + C 2 2 x x c) I = ln cos + ln sen + C 2 2 x d ) I = ln 1 + tan + C 2 . a) Resuelve la ecuación diferencial (2. 1. Señala la opción que contiene el resultado de L = ∫ 1 + x dx 4 a) L = 1 + x 5 1 b) L = 1 + x 5 ( ) ) 5 2 4 − 1+ x 3 2 + 1+ x 3 ( ) ) 3 2 +C +C 1 c) L = 1 + x 3 d) L = 5 1 + x ( ) 3 2 2 + 1+ x 3 ( ) 1 2 +C ( 5 2 ( 3 2 ( ) 5 2 + 3 1+ x ( ) 3 2 +C ⌠ 1+ x dx 5.214 Unidad 2: Métodos de integración dx ⌠ 2. Elige la opción que contiene el resultado de M = ⌡ 1− 3 x 1 1 1 7 1 5 1 2 1 1 1 1 a) M = x 6 + x 6 + x 3 + x 2 + x 3 + x 6 + ln x 6 − 1 + C 2 7 5 4 3 1 1 1 7 1 5 1 2 1 1 1 1 b) M = − x 6 + x 6 + x 3 + x 2 + x 3 + x 6 + ln x 6 − 1 + C 5 4 3 2 7 7 5 2 1 1 1 1 6 6 3 2 3 6 6 c) M = −6 7 x + 5 x + 4 x + 3 x + 2 x + x + ln x − 1 + C 1 1 1 7 1 5 1 2 1 1 1 1 d) M = −6 x 6 + x 6 + x 3 + x 2 + x 3 + x 6 + ln x 6 − 1 + C 3 2 5 4 7 6. Calcula la siguiente integral binomia: N = ∫ x8 1 + x 3 ( ) 1/ 3 dx . Señala la opción que contiene el resultado de J = ⌡4 − 3 cos( x ) 0 π a) J = 7 (π ) b) J = c) J = 0 d) J = 7π π π 7 2 dx ⌠ 3. Indica la opción que contiene el resultado de K = + x) 2 sen( ⌡ 0 a) K = 3 3 π c) K = π π b) K = 3 3 3 d) K = π 3 4. Aplica el método alemán de reducción para determinar la integral ⌠ 1 + 3x + x 2 R= dx ⌡ −1 + x + x 2 2 2 a) R = ( 7 x + 2 ) −1 + x + x + ln 1 − 2 x + 2 −1 + x + x + C 7 b) R = + 6 x 1 x − 1 −1 + x + x 2 + arcsen +C 2 3 6 1 7 x c) R = + −1 + x + x 2 + ln 1 + 2 x + 2 −1 + x + x 2 + C 6 3 6 x − 1 2 +C d) R = ( 7 x + 2 ) −1 + x + x + arcsen 2 ( ) .2.6: Sustituciones diversas 215 a) N = b) N = 1 1 + x3 28 ( ) (−3 + 4 x ) + C 4/3 3 c) N = 1 1 + x3 14 ( ) (4 − 3x ) + C 4/3 3 1 1 + x3 140 ( ) (9 − 12 x 4/3 3 + 14 x 6 + C ) d) N = 1 1 + x3 70 ( ) (9 + 12 x 4/3 3 − 14 x 6 + C ) 7. Usa el caso III de las sustituciones de Euler para calcular la integral dx ⌠ P= ⌡ 6 − 5x + x 2 a) P = ln x−2 − x−3 +C x−2 + x−3 x−2 x−3 −2 +C x−3 x−2 x−3 +C x−2 b) P = −2 c) P = −2 ln d) P = ln x−2 + x−3 +C x−2 − x−3 8. 216 Unidad 2: Métodos de integración Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Se debe revisar la teoría de la primera parte de la sección. π 2 dx ⌠ = ln 2 a) ⌡ 1 + sen( x ) + cos( x ) 0 dx 1 1 x x ⌠ = ln 2 tan + 1 − ln tan − 2 + C b) 2 2 5 ⌡ 3 sen( x ) + 4 cos( x ) 5 dx 2 1 x ⌠ = arctan tan + C c) 2 ⌡ 2 + cos( x ) 3 3 x ⌠ cos( x ) dx = x − tan + C d) 2 ⌡ 1 + cos( x ) x 2 sen 2 +C x x cos − sen 2 2 ⌠ sen( x ) dx = − x + e) ⌡ 1 − sen( x ) dx x x ⌠ n − 3 + C = ln tan − 5 − ln tan f) 2 8 − 4 sen( x ) + 7 cos( x ) 2 ⌡ dx x ⌠ = arctan 1 + tan + C g) 2 ⌡ cos( x ) + 2 sen( x ) + 3 dx 1 x x 1 ⌠ = ln tan − tan 2 + C h) 2 2 4 ⌡ sen( x ) + tan( x ) 2 4 dx 2 x 4 x x ⌠ = arctan tan + ln tan − 3 − ln tan + 3 + C i) 2 5 2 15 2 1 ⌡ 4 sec( x ) + 5 5 dx π ⌠ = j) ⌡ 4 − 3 cos( x ) 7 0 π . 3. Debe revisarse la teoría de la segunda parte de la sección. 2. 09614 i) ⌡2 x+3x 1 27 ⌠ ( x − 2 ) 3 dx 2 = 10 + 3 3 π − 9 3 arctan j) 2 3 3 ⌡ ( x − 2) + 3 2 27 10 1 + ex − 1 ⌠ dx = ln +C k) ⌡ 1 + ex 1 + ex + 1 5. ⌠ x dx 4 4 = 3 x 4 − ln 1 + 3 x 4 + C a) 3 4 3 3 ⌡ 1+ x 3 dx x ⌠ = 3 ln +C b) 3 4 1− 3 x ⌡ x− x ( ) 2 9 4 2 1312 ⌠x 2−x 3 dx = x − x +C c) 1 4 27 13 ⌡ 6x 3 1 ⌠ 6 x2 + 6 x + 1 x2 = +C dx d) 5 3 2 12 ( 4 x + 1) 2 ⌡ ( 4 x + 1) x 8 −1 dx 8 3 1 e) ⌠ + 4 arctan x 8 + C = x 8 + 2 ln 1 8 58 1 8 ⌡x −x 3 x +1 1 ( ) ⌠ x +1 +1 f) dx = x + 4 x + 1 + 4 ln ⌡ x +1 −1 1 x +1 −1 + C ⌠ dx 1 = 3 − 9 arctan g) 3 3 ⌡ 2x 9 + 2x 0 2 ( ) x 2 dx π 4 h) ⌠ = − ⌡ x +1 2 3 3 1 0 dx ⌠ = 3.2.6: Sustituciones diversas 217 4. a) b) c) 5 3 ∫ x (1 + x ) 3 dx = 1 6 1 9 1 12 1 15 x + x + x + x +C 6 3 4 15 4 5/ 4 16 7/ 4 8 9/ 4 16 11/ 4 4 13/ 4 x + x + x + x + x +C 5 7 3 11 13 2 3/ 2 54 5/ 2 9 2 x + x + x + 9x3 + C 3 5 2 ∫ x1/4 (1 + x ) 4 dx = 3 ∫ x1/2 (1 + 3 x ) dx = . 218 Unidad 2: Métodos de integración d) e) f) g) ∫ x 5 (1 + x 3 ) 1/ 3 dx = 1/ 3 1 1 + x3 28 ( ) (−3 + 4 x ) + C 4/3 3 ∫ x1/2 (3 + 2 x 3/2 ) dx = dx = 1 3 + 2 x 3/ 2 4 ( ) 4/3 +C ∫ x 7 / 2 ( 3 + 2 x 3/ 2 ) ∫ x 7 / 3 ( 5 + x 5/ 3 ) 1/ 5 5 3 + 2 x 3/ 2 2122 ( ) (75 − 60 x 6/ 5 5/ 3 3/ 2 + 44 x 3 + C ) 1/ 2 dx = 2 5 + x 5/ 3 25 15 ( ) (−10 + 3x ) + C 3/ 2 ⌠ x1/ 5 h) 1/ 3 ⌡ 1+ x ( ) 28 / 5 dx = − 23 1 + x ( −1/ 3 23/ 5 ) + 5 6 1 + x −1/ 3 3 4 1 + x −1/ 7 3 8 1 + x −3/ 7 ( ) ) 18 / 5 +C ⌠ x1/ 3 i) 1/ 7 ⌡ 1+ x ( ( ) 34 / 3 dx = − 21 31 1 + x ( −1/ 7 31/ 3 ) + ( 28 / 3 +C ⌠ x 5/3 j) 3/ 7 ⌡ 1+ x k) 6. ) 74 / 9 dx = − 103/15 21 65 1 + x ( −3/ 7 65 / 9 ) + ( ) 56 / 9 +C ∫ x16/3 (1 + x −5/7 ) dx = − 21 1 + x 5/ 7 118 ( ) 118/15 + 3 1 + x 5/ 7 19 ( ) 133/15 +C dx ⌠ a) = − ln − x + 25 + x 2 + C ⌡ 25 + x 2 dx ⌠ b) = − ln − x + 16 + x 2 + C ⌡ 16 + x 2 dx 1 ⌠ c) = − ln 1 + 8 x − 4 1 + 4 x + x 2 + C 2 2 ⌡ 1+ 4x + x dx 1 ⌠ d) = − ln 1 + 8 x − 4 1 + x + 4 x 2 + C 2 2 ⌡ 1+ x + 4x dx ⌠ e) = − ln 9 + 2 x − 2 16 + 9 x + x 2 + C ⌡ 16 + 9 x + x 2 ⌠ dx f) 2 ⌡ 1+ 4x + x ( ) 3/ 2 = 2 1 + 4 x − 4 1 + 4 x + x2 + − x + 1 + 4 x + x2 = 2 ( ) 2 +C ⌠ dx g) 1 + x + 4 x2 ⌡ ( ) 3/ 2 2 + 2 x − 1 + x + 4 x 2 + 2 −2 x + 1 + x + 4 x 2 ( ) 2 +C . 6: Sustituciones diversas 219 7. −3 + x + 9 + x 2 ⌠ dx = ln +C a) ⌡ 9 + x2 −3 − x + 9 + x 2 dx 1 −1 + 5 x + 1 + 25 x 2 ⌠ = ln +C b) ⌡ 1 + 25 x 2 5 −1 − 5 x + 1 + 25 x 2 dx 1 −1 + 2 x + 1 + x + 4 x 2 ⌠ +C = ln c) ⌡ 1 + x + 4 x 2 2 −1 − 2 x + 1 + x + 4 x 2 dx −2 + x + 4 + x + x 2 ⌠ = ln +C d) ⌡ 4 + x + x2 −2 − x + 4 + x + x 2 dx −2 + x + 4 + 2 x + x 2 ⌠ = ln +C e) ⌡ 4 + 2x + x2 −2 − x + 4 + 2 x + x 2 −3 + 9 − x 2 ⌠ dx = −2 arctan f) +C x ⌡ 9 − x2 −1 + 1 + 2 x − x 2 dx ⌠ g) = −2 arctan +C x ⌡ 1 + 2x − x2 7 − 7 + 4 x − x2 dx ⌠ h) = 2 arctan +C x ⌡ 7 + 4 x − x2 8. dx ⌠ a) = ln ⌡ 2 − 3x + x 2 dx b) ⌠ = −2 ln ⌡ 2 − 3x + x 2 x −1 + x − 2 +C x −1 − x − 2 x −1 +C x−2 x−2 x −1 −2 +C x −1 x−2 x−5+ x−7 +C x−5− x−7 ⌠ dx c) ⌡ 2 − 3x + x 2 ( ) 3/2 = −2 dx ⌠ d) = ln ⌡ 35 − 12 x + x 2 .2. 220 Unidad 2: Métodos de integración ⌠ dx e) ⌡ 35 − 12 x + x 2 ( ) 3/2 =− 1 2 x−7 1 − x−5 2 x−5 +C x−7 dx ⌠ f) = ln ⌡ −12 − x + x 2 dx 2 g) ⌠ = − ln 2 ⌡ x − x − 12 7 x+3+ x−4 +C x+3− x−4 x+3 +C x−4 2 49 x−4 2 − x + 3 49 x+3 +C x−4 ⌠ dx h) 2 ⌡ x − x − 12 ( ) 3/2 =− 9. ⌠ −3 + 4 x + x 2 33 1 25 x a) arcsen 2 x − + C dx = − + 5 + x − 4 x2 − 2 32 4 48 12 ⌡ 5 + x − 4x ⌠ 1 − 7 x + 3x 2 1 1 19 x b) arcsen 3 x − + C dx = − 1 + 3x − 9 x 2 + 2 54 6 54 9 ⌡ 1 + 3x − 9 x ⌠ 5 + 2x − 4 x2 7 4x c) dx = − 1 + x + x 2 + 4 ln 1 + 2 x + 2 1 + x + x 2 + C 2 3 3 ⌡ 1+ x + x ⌠ 3 + x + x2 x d) dx = − 2 3 ⌡ 3 + 2x + x 1 7 3 + 2 x + x 2 + ln 2 + 2 x + 2 3 + 2 x + x 2 + C 6 3 ( ) ( ) ⌠ 1 − 2x + 4 x2 4 x 23 e) dx = − 1 + 5 x + x 2 + 38 ln 5 + 2 x + 2 1 + 5 x + x 2 + C 2 3 3 ⌡ 1 + 5x + x 3 2x − ⌠ 2 − 5x + 9x2 53 1 3x 2 4 arcsen dx = − 2 + 3x − 4 x + f) +C 2 32 16 4 3 ⌡ 2 + 3x − 4 x ( ) ⌠ 2 − 5x + 9x2 47 363 g) ln 7 + 2 x + 2 −5 + 7 x + x 2 + C dx = 3x − −5 + 7 x + x 2 + 2 2 2 ⌡ −5 + 7 x + x 101 5 x x 2 ⌠ 2 + 3x + 2 x 2 + x 3 112 x − 2 h) +C arcsen dx = − + + 1 + 4 x − x2 + 2 2 3 12 3 4 ⌡ 1+ 4x − x ( ) . . 1978.. 5. N. Suárez. Universidad de Granada. J. b) 7. México. 2006. Granada.. d) 2. Tlaxcala”. 4. c) Referencias 1. d) 6. y Rodríguez. Jurado. México. 1993. UNAM. Thomas. 1992. Anales del Instituto de Geofísica. Anales del Instituto de Geofísica. d) 8. sobrevivencia y optimización de la carpa (Cyprinus carpio) en la presa de Atlangatepec. Piskunov.. D.6: Sustituciones diversas 221 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. Cálculo diferencial e integral. 0.2. por dos métodos distintos”. 3. J. y Salas. UNAM. Barelona. J. a) 5. Pearson. “Crecimiento. 2005. Cálculo diferencial e integral. c) 4.. G. R. . Montaner y Simón. onceava edición. Pérez. b) 3. México. Ritter. “Solución de la ecuación diferencial de crecimiento en peso de Von Bertalanffy (1938). Cálculo (una variable). 89 1381.14: Coordenadas de diversos puntos del terreno afectado para la construcción de la presa El Charco.00 563.12 627.67 278.7 Integración numérica La matemática es la ciencia del orden y la medida de bellas cadenas de razonamientos.32 .49 X (metros) 1108.07 835. sencillos y fáciles. ubicada en la Costa Chica del estado de Guerrero.44 y (metros) 1035. René Descartes El Charco Para promover el desarrollo del país.87 544. se afectan terrenos comunales y ejidales.73 584.17 1685. En un caso reciente.86 2416.35 X (metros) 3262. los cuales fueron tomados por los ingenieros con respecto a un punto fijo considerado como origen. para construir una presa y un centro económico de gran importancia para la región. por ejemplo.79 X (metros) 1157.06 1604. Las medidas están dadas en metros.27 1745.20 3080.79 y (metros) 473.86 2029. todos.56 3067.56 2348.13 2656. X (metros) 2416. En la tabla 2.32 979.222 Unidad 2: Métodos de integración 2.86 2780.76 558. En el decreto respectivo se indica que los pobladores recibirían 75 pesos por metro cuadrado como indemnización.97 y (metros) 1902.14 se muestran las coordenadas de diversos puntos de la periferia del terreno afectado.89 2210.97 2460.20 275.41 327.85 1204.96 1522. El gran problema aquí es determinar con exactitud qué área se afectará para resarcir a los pobladores con indemnizaciones claras y justas.02 2933.47 740. el gobierno elabora proyectos de gran envergadura.30 2550.41 2048.64 y (metros) 1335.14 304. ¿Cuál será el área afectada? ¿Cuál será el costo de la indemnización? Tabla 2.02 730.34 528.13 1335. el gobierno federal expropió amplios terrenos alrededor de la laguna El Charco.10 3350.18 1685. los cuales muchas veces requieren la expropiación de enormes extensiones de terreno.88 350.41 1425.89 2025.57 1950.14 1691. cuando se necesita construir una presa para fortalecer el crecimiento agrícola y generar energía eléctrica. en integrales como ∫e a b − x2 dx . Por geometría elemental. sabemos que el área de este trapecio está dada por la fórmula B + B2 h ATrap = 1 2 (2. el valor de estas integrales. pero son sumamente complejas.7. deberás ser capaz de: • Aplicar el método del trapecio en el cálculo de integrales definidas. sin embargo.35) . en general. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. analizaremos las condiciones para estimar numéricamente. con el grado de precisión deseado. sí pueden resolverse usando los métodos analíticos. mucho mejores que el cálculo de la integral por sumas de Riemann. En otros casos. Los tres métodos numéricos (trapecio. no son aplicables para integrar un gran número de funciones. Simpson y Cuadraturas de Gauss) que presentamos son. en general. en intervalos cerrados. lado menor B2 y grosor h. Por ejemplo. también en estadística y en física. existen funciones integrables cuya integral no se puede expresar en términos de funciones elementales. • Aplicar el método de Simpson en el cálculo de integrales definidas.1 Método del trapecio En la figura 2. en cambio. • Aplicar el método de cuadraturas de Gauss para determinar el valor de integrales definidas de funciones continuas.7: Integración numérica 223 Introducción En las secciones anteriores estudiamos diversos métodos analíticos para resolver integrales.2. en esta sección. aparecen integrales del tipo: ∫ (1 + x 2 )n /2 . ∫ cos( x a b 2 )dx las cuales aparecen en estadística y en óptica. con sus tres dimensiones básicas: lado mayor B1.29a se muestra un trapecio típico. De esta forma. En otras palabras. Sección 2. a b dx que. y no son solucionables con los métodos analíticos. construiremos los trapecios sobre cada intervalo. En general. Después.224 Unidad 2: Métodos de integración Considera ahora una función positiva y = f (x) en el intervalo (a. Las dimensiones del primer trapecio.29b. b).. + 2 f ( xn −1 ) + f ( xn )] 2 En la figura 2.29: En a) se muestra un trapecio de lados B1 y B2 y grosor h.….…. x1). xi + 1): ∆A1 = B1 + B2 = f ( xi ) + f ( xi −1 ) h = xi −1 − xi h ∆Ai = ( f ( xi ) + f ( xi −1 )) 2 Si sumamos el área de todos los trapecios. Queremos aproximar el área bajo la curva mediante un conjunto de trapecios. para el trapecio sobre el intervalo (xi. Observa la figura 2. n.29b.. observa que el área encerrada por los trapecios es buena estimación para el área bajo la curva y que los posibles errores. xn = b] del intervalo [a. se redu- . y y1 y0 B1 B2 h a) x x0 x1 x2 b) x3 x4 x5 y2 y3 y4 y5 FIGURA 2. [x1. x1]. calcularemos los valores yi = f (xi) que toma la función n en los puntos xi. con i = 1.. 2.. son B1 = f (x1) B2 = f (x0) h = x1 − x0 y su área es h ( f ( x1 ) + f ( x0 )) 2 A esta relación se le conoce como fórmula simple del método del trapecio. que se encuentra sobre el intervalo (x0. por exceso o por defecto. + [ f ( xn −1 ) + f ( xn )] [ 2 2 2 h = [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + . el área bajo una curva y su aproximación mediante la suma del área de varios trapecios. primero haremos una partición [a = x0.[xn − 1. x2]. b] en subintervalos de b−a igual longitud h = . y en b). obtenemos una aproximación del área bajo la curva: Atrap = h h h f ( x0 ) + f ( x1 )] + [ f ( x1 ) + f ( x2 )] + . para ello. Posteriormente. en cualquier otro caso. 2.….36) se conoce como fórmula simple del trapecio. Si consideramos sólo un intervalo. 4 subintervalos. • El error que se produce al estimar la integral por el método del trapecio está dado por la fórmula errortrap = nh 3 f ''( µ ) (b − a )3 f ''( µ ) = 12 12 n 2 (2. b]. n 2 . 2..36) donde n es el número de intervalos. 1. Observaciones • Para n = 1 la fórmula (2. 3.37) para algún valor de µ tal que a ≤ µ ≤ b.. solución La función a integrar es f (x) = e−x en el intervalo [0. x0 = 0 y x1 = 1. 1].73 Calcula el valor de la integral 1 ∫e 0 − x2 dx Usamos el método del trapecio con n = 1. Una estimación de la integral de la función en el intervalo por el método del trapecio está dada por: b ∫ f ( x )dx ≈ 2 [ y0 + 2 y1 + 2 y2 + . n − 1. Ejemplos Ejemplo 2. En general.2. se llama fórmula compuesta del trapecio. para i = 0. + 2 yn−1 + yn ] a h (2. h = (b − a)/n es su longitud y yi = f (xi) con xi + 1 = xi + h. se tiene el siguiente método para el cálculo de integrales.7: Integración numérica 225 cen aumentando el número de subintervalos. tenemos: h= b−a = 1. Queda fuera del alcance de este texto mostrar que esta fórmula sea correcta. n = 1. Método del trapecio para el cálculo numérico de integrales Sea y = f (x) una función continua en el intervalo finito [a. 10 intervalos. 6.745119 0.….746067 0.4 0.8 1 1. x1 = . el área bajo la curva se aproxima por A3 = 1 h 9 + 2 e−4 / 9 + e−1 ] = 0.73 y su aproximación por tres trapecios. x2 = . .739986 [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + f ( x3 )] = 6 [1 + 2e−1/9 2 1 1 1 3 . x3 = .73137 [ 2 4 1 1 2 h = .6 0.4 0.73 con n trapecios.30: Gráfica de la función del ejemplo 2.742984 0. la suma del área de los trapecios es: h= A2 = 1 h f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + f ( x2 )] = [1 + e−1/ 4 + e−1 ] = 0.746211 1.8 0.745866 0.2 1 0. x2 = 1 2 2 2 En este caso.739986 0.68394 0. x1 = . x4 = 1 4 4 2 4 1 h f ( x0 ) + f ( x1 )] = [1 + e−1 ] = 0.36): A1 = Para el caso de dos trapecios: 1− 0 1 1 = . x0 = 0.15: Cálculo de la integral del ejemplo 2. Tabla 2.15 se muestran los resultados anteriores y los que corresponden a n = 5.2 – 0.2 0.68394 [ 2 2 Para tres subintervalos obtenemos. x0 = 0.745572 0. x0 = 0.2 0. En la figura 2.2 FIGURA 2. A4 = h [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) + f ( x4 )] 2 1 = [1 1 + 2 e−1/16 + 2 e−1/ 4 + 2 e−9 /16 + e−1 ] = 0.2 – 0.744368 0.30 se muestran la curva y la aproximación con tres trapecios.73137 0. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Área 0. para el caso de n = 4 trapecios: h= Así. de forma similar: Finalmente.6 0. x1 = . x2 = .742984 8 En la tabla 2. x3 = 1 3 3 3 En tanto.226 Unidad 2: Métodos de integración Si utilizamos la expresión (2. 60592 − 0. muestre que: 4 L = ∫ 1+ 0 x2 dx = 4.75 5 Estima el número de intervalos necesario para que el cálculo de la integral todo del trapecio. 4. tenga un error menor a ε = 10−3. 1.36): La función a integrar es f ( x ) = 1 + Atrap = h [ f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + 2 f (3) + f (4 )] 2 5 5 1 17 + + + 2 = 4. 2. 3. ∫e 0 −2 x dx . 4. Como n = 4 se tiene que h = 1. 4. errortrap = 4 (1)3 ( 4 ) 1 nh 3 f ''( µ ) = 0.02083) = (4. mediante el mé- . usando el método de sustitución trigonométrica.59117 16 Ejemplo 2. 4].2.58509. por lo que 16 necesitamos evaluar la función en x = 0. desde x = 0 hasta x = 4.02083. se requiere calcular la segunda derivada: f ''( x ) = Entonces.60592 = 1 + 4 2 4 2 Para determinar el error.7: Integración numérica 227 Ejemplo 2. Más adelante discutiremos la razón de x2 que esta integral represente geométricamente la longitud de la curva y = .020833 = ≤ 2 3/ 2 12 48 12(16 + x ) 4 (16 + x 2 )3/ 2 De acuerdo con esto.74 Usa cuatro intervalos de igual longitud para estimar el valor de la siguiente integral: 4 L = ∫ 1+ 0 x2 dx 16 Determina también el error de la estimación. 8 solución x2 en el intervalo [0. Si aplicamos la fórmula (2. el valor exacto de la integral se encuentra en el intervalo (4. a modo de ejercicio.62675) En efecto.60592 + 0. c en términos de y0. y0 = ah2 − bh + c y1 = c y2 = ah2 + bh + c Despejemos ahora los coeficientes a. x2 = h obtenemos las abscisas de los puntos por donde pasa la curva. primero.124 3( 0. si sustituimos la función en los puntos x0 = −h.38) Por otra parte. y1. determinar el área bajo la función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c en el intervalo [−h. es decir.2 Método de Simpson Para establecer el método de Simpson necesitamos. Aplicando la expresión (2.001) (b − a )3 f ''( µ ) (5 )3 ( 4 e−2 x ) 125 = ≤ 2 = 0.7. tenemos que Ap = 1 3 1 2 ax + bx + cx 3 2 x =− h 1 3 b 2 1 b = ah + h + ch + ah 3 − h 2 + ch 3 2 3 2 2 3 = ah + 2 ch 3 x=h (2. usando n = 205 se obtiene el error pedido en el cálculo de la integral. h]. y2: y2 + y0 − 2 y1 2h2 y2 − y0 b= 2h c = y1 a= . Por un lado. integrando la función en el intervalo. x1 = 0. Sección 2.228 Unidad 2: Métodos de integración solución La segunda derivada de la función f (x) = e−2x es f ''(x) = 4e−2x. b.37) se tiene errortrap = Si despejamos n: n≥ 125 = 204.001 3n 12 n 2 12 n 2 En conclusión. Calculemos ahora 2n los valores yi = f (xi) que toma la función en los puntos xi.31: En a) se muestra una parábola que pasa por los puntos (x0.38) determinamos el área bajo la parábola en el intervalo [−h. el área bajo una parábola que pasa por los puntos (x1 − h. para los primeros dos intervalos con puntos extremos x0. 2n.…. (x1. x1. y1). x3. y0). el área bajo esta parábola es siempre A p = h ( y0 + 4 y1 + y2 ) y no depende de los valores de x. x2. (x1. y2) es exactamente Ap.39).16. [x1.39) Observa que el resultado depende sólo de h y de los valores y0. construimos las parábolas sobre cada par de intervalos. x1. y1. y0). x1]. la complejidad de la curva es tal que se observan claramente errores por exceso o por defecto en la estimación del área. Observa la figura 7. Un breve resumen se muestra en la tabla 2.…. h]. Establezcamos ahora el método de Simpson para determinar el área bajo la curva y = f (x) desde x = a hasta x = b. usando estos resultados en (2. y2 en vez de x0. Ap = 1 ( y2 + y0 − 2 y1 )h + 2 y1h 3 h = [ y0 + 4 y1 + y2 ] 3 (2. En b) se muestra el 3 área bajo una curva utilizando tres parábolas. De acuerdo con el resultado (2. y2). . x4.2. x2]. y y2 y2 y3 y0 y1 x x0 a) x1 x2 x3 b) x4 x5 x6 y1 y4 y5 y6 y0 FIGURA 2.7: Integración numérica 229 Finalmente. obtenemos el área bajo cada parábola. (x1 + h. Considera primero una partición de 2n subintervalos b−a [a = x0. x2n = b] de igual longitud h = . con i = 1. x2. Posteriormente. el área bajo la parábola correspondiente es h ∆A2 = ( f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + f ( x4 )) 3 Al seguir el proceso. 2. y1) y (x2. [x2n − 1.29b. es decir. se tiene que el área es: ∆A1 = h ( f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )) 3 Para los siguientes dos intervalos con puntos extremos x2. este método establece lo siguiente: Método de Simpson para el cálculo numérico de integrales Sea y = f (x) una función continua en el intervalo finito [a.. x2n) (x0. (x2n . y2).. • El error que se produce al estimar la integral por el método de Simpson está dada por la fórmula errorsimp = nh 5 f ( 4 ) ( µ ) (b − a )5 f ( 4 ) ( µ ) = 180 180 n 4 (2. para i = 0. ambas de Simpson. + 2 f ( x2 n − 2 ) + 4 f ( x2 n −1 ) + f ( x2 n )] 3 (2. 2. y2) (x2. (x1.230 Unidad 2: Métodos de integración Tabla 2. + 2 y2 n− 2 + 4 y2 n−1 + y2 n ] a h (2. En general. 2n − 1.41) donde n es el número de intervalos.…. Queda fuera del alcance de este texto mostrar que esta fórmula del error es correcta. b]. y2n − 2). aquí f (4) es la cuarta derivada de la función. y3). h = (b − a)/n es su longitud y yi = f (xi) con xi + 1 = xi + h. (x2.39) es la fórmula simple y la (2. y1). x4) … (x2n − 2. y2n ) Al sumar el área bajo cada parábola obtenemos el área total: Asimp = h [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + 2 f ( x4 ) + .42) para algún valor de µ tal que a ≤ µ ≤ b. Una estimación de la integral de la función en el intervalo por el método de Simpson está dada por: b ∫ f ( x )dx ≈ 3 [ y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 + . Observaciones • La expresión (2. Intervalo Puntos Área h ( y0 + 4 y1 + y2 ) 3 h ( y2 + 4 y3 + y4 ) 3 … h ( y2 n − 2 + 4 y2 n −1 + y2 n ) 3 (x0. (x2n − 1. (x4. x2) (x2..41) es la fórmula compuesta.. 1. .16: El intervalo.40) Ésta es la fórmula de Simpson para determinar el área bajo una curva. los puntos extremos y el área bajo la parábola que pasa por estos puntos. y0). y2n − 1). y4) … (x2n − 2. (x3. 75506 + 0.132764 = 0. Los puntos a consi4 derar son x0 = 0. mientras que en la figura 2.2.815705. y3 = 0. x3 = y x4 = π 4 4 2 Los valores correspondientes de las ordenadas son. y1 = 0.0997396 − 0. cada uno con longitud h = ≈ 0. x2 = . Sumando el resultado de cada parábola obtenemos el valor de la integral I = 0.75 usando el método de Simpson con cuatro intervalos.785398 . x1 = 3π π π .33 se muestra la aproximación.744151 y y4 = −0. y2 = −0.902685 Entonces. un valor aproximado para la integral es I= h ( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 ) = 1.24991 3 y 2 1 –1 –2 π 4 π 2 3π 4 π x FIGURA 2. Para el caso n = 8 intervalos los puntos y las aproximaciones por segmentos se muestran en la tabla 2. respectivamente: y0 = 1.17.400656 + 0.586908 .32: Aproximación de la integral del ejemplo 2.7: Integración numérica 231 Ejemplos Ejemplo 2.781212.76 Utiliza el método de Simpson con cuatro y ocho intervalos para determinar el valor de la integral: I = ∫ cos( x 2 )dx 0 π solución π Analicemos el caso de n = 4 intervalos. 781212 −0.17: Puntos y áreas de cada parábola al calcular el área por el método de Simpson con ocho intervalos.14159 yi 1 0.132764 3 I1 = h ( y0 + 4 y1 + y2 ) = 0.75 usando el método de Simpson con n intervalos.565692 .565688 0. se obtienen los resultados de la tabla 2.565691 0. n 4 16 28 40 52 64 76 Asimp 1.9635 2.5708 1.24991 0.744151 0.988133 0.1781 1.400656 3 h ( y6 + 4 y7 + y8 ) = 0.565164 0.232 Unidad 2: Métodos de integración Tabla 2.35619 2.785398 1.293194 −0. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 0 0.33: Aproximación del área bajo la curva usando el método de Simpson con ocho intervalos.0997396 3 h ( y4 + 4 y5 + y6 ) = −0.392699 0.815705 0.565631 0.75506 3 Asimp I3 = y 2 1 –1 –2 π 4 π 2 3π 4 π x FIGURA 2.565678 0.18: Cálculo de la integral del ejemplo 2.74889 3.902685 I4 = I2 = h ( y2 + 4 y3 + y4 ) = 0. Tabla 2. Al seguir el procedimiento anterior.181865 −0.755931 0.18 para diferentes valores de n. que en el intervalo [−1. Estima el error cometido.1353.00001) Como el número de intervalos debe ser par. de forma que si queremos cinco cifras decimales correctas. y2 = 1.7: Integración numérica 233 π El valor obtenido con cualquier software simbólico o calculadora es ∫ cos( x 0 2 )dx = 0.77 Determina el área bajo la curva y = e2x desde x = −1 hasta x = 1 usando 4 intervalos. 1] está acotada por y(4) = 16e2. entonces el valor de n adecuado es n = 40.082 21006 180 32(180 ) Si deseamos que el error sea menor que 10−5 necesitamos que errortrap = Despejando n resulta 32(16e 2 ) 1/ 4 n ≥ = 38. y3 = 2. La cuarta derivada de y = e2x es y(4) = 16e2x.19561 3 x1 = −0. Calcula también el número de intervalos necesario para asegurar que el error sea menor a ε = 10−5. (b − a )5 f ( 4 ) ( µ ) 32(16 e2 ) ≤ ≤ 0. además. necesitamos aumentar el costo del cálculo. 4 2 x3 = 0.2. y1 = 0.3679 x2 = 0. si queremos mejorar la estimación. y0 = 0.5.3891. así que el error es menor a errorsimp = nh 5 f ( 4 ) ( µ ) 4 (16 e2 ) ≤ ≈ 0.0756 180( 0. necesitamos 64 intervalos. Ejemplo 2. solución Usamos el método de Simpson con cuatro intervalos y tenemos que h = x0 = −1. V= h [ y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 ] = 3.7183. x4 = 1. y4 = 7. Así.565694 . Observa que si usamos 16 intervalos ya tenemos una aproximación exacta hasta tres cifras decimales.00001 180 n 4 180 n 4 . 1 − ( −1) 1 = .5. Considera entonces la función cúbica f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 y el intervalo (−1. ¿existen valores b x1.3 Método de cuadraturas de Gauss Por un momento regresemos al método del trapecio. x2 ∈(a. w1 y w2 tales que 2 a0 + 2 a2 = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) 3 (2. b). w2 ∈ tales que ∫ f ( x )dx = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) ? a La respuesta no es obvia.7. lo cual significa que el grado máximo de la función polinomial que buscamos es tres. 1). evaluando la función en sólo dos puntos x1 y x2 y multiplicando cada evaluación por factores w1 y w2? En otras palabras. es necesario que 2 = w1 + w2 0 = w1 x1 + w2 x2 2 2 2 = w1 x1 + w2 x2 3 3 3 0 = w1 x1 + w2 x2 De la segunda y cuarta ecuación: w1 x1 = − w2 x2 3 3 w1 x1 = − w2 x2 . queremos que se cumpla 2 a0 + 2 a2 2 3 2 3 = w1 ( a0 + a1 x1 + a2 x1 + a3 x1 ) + w2 ( a0 + a1 x2 + a2 x2 + a3 x2 ) 3 2 2 3 3 + w2 x2 ) = a0 ( w1 + w2 ) + a1 ( w1 x1 + w2 x2 ) + a2 ( w1 x1 + w2 x2 ) + a3 ( w1 x1 Como el resultado debe ser válido para cualquier conjunto de valores a0. en este caso h/2. a3. a2. x2. Nota también que el cálculo se hace evaluando la función en los dos puntos extremos del intervalo y multiplicando cada uno de ellos por un factor. La pregunta que nos hacemos aquí es si ¿será posible estimar exactamente la integral de una función polinomial en el intervalo (a. Integramos: a 2 a 3 a 4 ∫ f ( x )dx = a0 x + 21 x + 32 x + 43 x −1 Necesitamos encontrar x1. Si consideramos sólo un intervalo la expresión (2. b) y w1. a1. Observa que tenemos cuatro incógnitas.43) 1 1 = 2 a0 + −1 2 a2 3 Es decir.234 Unidad 2: Métodos de integración Sección 2.36) se reduce a: ∫ f ( x )dx ≅ 2 [ f (a) + f (b)] = 2 f (a) + 2 f (b) a b h h h Observa que la estimación de la integral es exacta cuando la función a integrar f (x) es lineal. hacemos una estimación simple usando directamente la fórmula (2. tenemos el siguiente resultado.. En este caso.19. concluimos que es posible calcular exactamente la integral de una función cúbica evaluando la función en únicamente dos puntos.44) es la base para estimar el valor de la integral. usamos ahora la primera ecuación y obtenemos w1 = w2 = 1. sustituyendo estos resultados en 1 = − x2 . Re1 2 gresamos luego a la segunda ecuación del sistema. + wn f ( xn ) (2. si regresamos a la ecuación (2.44) Para el caso de la integral en el intervalo [a. como x1 ≠ x2 se tiene x2 = −x1. Una estimación de la integral de la función en ese intervalo. para cualquier función polinomial cúbica se cumple que: 1 −1 ∫ f ( x )dx = f 1 + 3 1 f − 3 (2. xn y n pesos w1. b] en el intervalo [−1. + wn f ( xn ) En resumen. La fórmula (2.45) que transforma el intervalo [a. . Finalmente. para funciones polinomiales de grado 2n − 1 se tenga el resultado exacto: 1 −1 ∫ f ( x )dx = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + . están dados por la tabla 2.... aun para el caso de funciones diferentes a las polinomiales de grado menor o igual a 3. Una tercera posibilidad es generalizar el proceso anterior considerando n puntos x1.…. utilizando n puntos está dada por 1 −1 ∫ f ( x )dx = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + . También podemos hacerlo de forma compuesta realizando primero una partición del intervalo original y sumando las estimaciones de todos los intervalos. 1] y después aplicamos la expresión (2.43). Método de cuadraturas de Gauss Sea y = f(x) una función continua en el intervalo finito [−1. desde n = 2 hasta n = 10.wn.44). w2. de forma que. de donde w1 = w2. de donde x1 = ± x2. la tercera ecuación. 1]. basta con hacer el cambio de variable u = −1 + 2( x − a ) b−a (2. x2. Con esto. por el método de cuadraturas de Gauss.44).…. resulta x1 = 3 En resumen.2.7: Integración numérica 235 Dividimos para obtener x 2 = x2 . como en los métodos del trapecio y de Simpson. b].46) Donde los puntos xi y los pesos wi. 47862867 0.79666648 ±0. Fórmula del error por cuadraturas Si y = f(x) es una función con al menos 2n derivadas.23861918 0.97390653 0.47) Donde n es el número de puntos utilizado y f (2n) es la dos enésima derivada de la función evaluada en algún punto µ∈[−1. sin demostración. la fórmula del error debida a la integración por cuadraturas.18343464 ±0.78 Usa el método de cuadraturas de Gauss con n = 2 y n = 4 para determinar el valor de la integral 1 −1 ∫ 4 + x 4 dx 2 .14887434 ±0.18064816 0.0 ±0. entonces el error cometido al utilizar el método de cuadraturas con n puntos está dado por Errorcuadr = 2 2 n+1[ n!]4 f ( 2 n ) ( µ ) (2 n + 1)[ (2 n )!] 3 (2.08127439 ±0.0 ±0.36268378 0.38183005 0.27970539 n=6 ±0.31370665 0.46791393 ±0.74153119 0.26926672 ±0.14945135 0.32425342 ±0.40584515 ±0.236 Unidad 2: Métodos de integración Tabla 2.29552422 0.61337143 ±0.93246951 0.86506337 ±0.36076157 ±0.22238103 0.06667134 Para completar el esquema.0 ±0.23692689 1 ωi xi n=3 0.43339539 ±0.65214515 ±0.90617985 n=8 ±0.52553241 ±0.57735 n=5 0.41795918 0. Ejemplos Ejemplo 2.34785485 n=7 0.19: Nodos y pesos del método de cuadraturas para diferentes valores de n.10122854 0.26031070 0.77459667 ωi 0.33023936 0. 1].17132449 n=9 0. presentaremos.94910791 0.96028986 0.96816024 0.88888889 0.53846931 ±0.56888889 0. xi n=2 ±0.31234708 0.0 ±0.86113631 0.67940957 ±0.55555555 xi ωi n=4 ±0.12948497 n = 10 ±0.83603111 ±0.66120939 0.33998104 0.21908636 0. Es impresionante que sólo baste evaluar la función en cuatro puntos.44). para el caso n = 4.34785485 f (−0.955787 2 Como ejercicio. busquemos la ecuación de la recta que une los puntos (−3. Ejemplo 2. 1): u = −1 + u= Al despejar la variable x se tiene x = 4u + 1.19.2.65214515 f (0. Para ello.86113631) = 0.7: Integración numérica 237 solución De acuerdo con la expresión (2. dx = 4du Entonces. demuestra que el valor exacto de la integral es 0.955934.972973 37 Si usamos la expresión (2. −1) y (5. el valor de la integral usando n = 2 puntos es 1 −1 − ∫ 4 + x 4 dx = f 2 1 1 + f = 3 3 2 1 4+ 9 + 2 1 4+ 9 = 36 ≈ 0.33998104) ) + 0.46) y los datos de la tabla 2.79 Utiliza el método de cuadraturas de Gauss con n = 4 para determinar el valor de la integral 5 −3 ∫ 9 + x 2 dx 1 solución Primero hacemos un cambio de variable para transformar los límites de integración al intervalo [−1.34785485 f (0. 1].86113631) + 0. para tener una precisión de tres cifras significativas.33998104 ) + 0. tenemos: 1 −1 ∫ 4 + x 4 dx = 0. 1 4 ∫ 9 + x 2 dx = ∫ 9 + (4u + 1)2 du −3 −1 5 1 x −1 4 x+3 1 − (−1) ( x + 3) = −1 + 5 − (−3) 4 .65214515 f (−0. De acuerdo con la fórmula (2.80 Determina una cota superior para el error cometido al utilizar el método de cuadraturas con n = 3 puntos para calcular la integral 1 −1 ∫e 2x dx solución La cuarta derivada de la función y = e2x es y(4) = 16e2x. Es claro que: 1 w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + w2 f ( x2 ) = 3.62686 .34785485 f (−0.00 0750634 3 7875 ( 7 )[ 6 !] Errorcuadr = Es decir.19.65214515 f (−0.47): 2 7 [ 3!]4 16 e2 µ 8 e2 ≤ ≈ 0.46) y la tabla 2.86113631) + 0.33998 8104) + 0. éste es error = 0. en efecto. con sólo evaluar la función en dos puntos tenemos dos dígitos de precisión.65214515 f (0.. considerando f (u ) = 1 4 : 9 + ( 4 u + 1)2 −1 ∫ 9 + (4u + 1)2 du = 0. −1 ∫e 2x dx = 3.34785485 f (0.238 Unidad 2: Métodos de integración Si aplicamos ahora la fórmula (2.00750634.6 62227 de donde podemos obtener el error cometido en la aproximación.00458796 que.86113631) = 0.606078 4 Ejemplo 2.33998104 ) + 0. es menor que 0. n = 6 4 x +4 1. n = 8 2x + 3 2 e) 8 dx. n = 6 3. con el número de intervalos indicado 2 π a) −2 3 2 ∫ (4 x + 3x + 2 x − 1) dx . n = 6 e) ∫ x 3 + 1 dx . Calcula las siguientes integrales usando el método de Simpson con el número de intervalos considerado. n = 8 d) −2 x ∫ xe dx .7: Integración numérica 239 1. n = 5 h) x2 ∫ x − 8 dx. . n = 4 2. n = 4 2 g) π ∫e 4 −2 x cos(5 x )dx . n = 4 0 3 h) ∫ x 2 + 4 dx . n = 6 0 7 d) ∫ x e dx. Determina una cota para el error cometido al calcular. n = 8 1 8 x c) ∫ ( x 3 + x 2 )ln( x )dx. Utiliza el método del trapecio para estimar el valor de las siguientes integrales. las siguientes integrales con el número de intervalos indicado. n = 6 3 b) 3 2 ∫ ( x − 5 x )dx . n = 6 1 2 i) ∫ 0 x2 x3 + 1 2 dx.6 2. n = 2 0 2 π j) π ∫ cos 2 ( x )dx .2. n = 4 3 f) ∫x 0 2 tan( x )dx. n = 4 f) ∫x 0 2 cos( x )dx . con el método del trapecio. n = 4 2. n = 4 0 π 2 1 4 k) ∫x 2 4 cos 6 ( x )e x dx . n = 4 sen( x )dx. π 3 a) −2 4 ∫ (x + x − 2 x + 3)dx.5 b) ∫ (x 0 5 3. n = 3 3 x 1 i) ∫ 3 x dx.5 ∫ 2 π j) ∫ cos 0 ( x )dx. n = 5 π g) ∫e 0 2 3x c) ∫x 2 ln( x )dx.5 3 3 − 2 x 2 + 3x + 2 )dx . n = 2 3 2 π j) cos 2 ( x )e x ∫ x 2 + 1 dx . n = 2 e) ∫ x 3 + 4 dx . las integrales del inciso anterior con el número de intervalos indicado. n = 6 1 1 d) ∫x 4 −2 x 2 i) ∫ 0 x x +1 2 dx . Aproxima las siguientes integrales aplicando la cuadratura gaussiana. n = 4 π g) ∫e 0 3 2x c) ∫x 1 1 −2 4 5 ln( x )dx . n = 4 −1 1 1 π 2 f) π ∫x 4 2 cos 3 ( x )dx . En algunos experimentos de viscosidad se ha encontrado que una partícula de masa m. 1 a) ∫x 0 4 1 4 dx . ε = 10−4 b) ∫ 0 1 + 2 x dx. n = 6 cos(2 x )dx. con el número de puntos indicado y compara sus resultados con el valor exacto de las integrales. a) x 2 ex ∫ 1 + x 2 dx . soltada en la parte superior de un contenedor que contiene un fluido viscoso. 8. n = 6 2 26 1 b) ∫ 3e dx . n = 8 0 6. se mueve de acuerdo con la siguiente ley: v (t ) t=− v (t0 ∫ m du u 3/2 ) . por el método de Simpson. ε = 10−3 7. n = 4 x d) ∫ 1 + x dx . n = 3 h) x2 ∫ x 2 + 9 dx . Determina el número n de intervalos necesarios para que se pueda calcular la integral dada con el error máximo ε. n = 8 3 2 4. 5. Define una cota para el error cometido al calcular.240 Unidad 2: Métodos de integración 1 3 a) ∫ 0 3 1 1 + xdx . n = 6 5 e) ∫ (1 + x ) 0 1/ 3 dx. n = 4 b) −1 2 ∫x 4 x e dx . a través del método del trapecio. Repite el ejercicio anterior para el método de Simpson. n = 26 c) ∫ x 2 dx . n = 2 e dx . ε = 10−6 c) ∫e 0 −x dx . basándote en el método del trapecio. c) usando el método de cuadraturas de Gauss con n = 3 puntos. Usa los métodos simples del trapecio y de Simpson con dos intervalos y el de cuadratura gaussiana con dos puntos para determinar expresiones dependientes de k que estimen el valor de la integral: 1 I ( k ) = ∫ x k exp(− x 2 )dx 0 Compara los resultados obtenidos aplicando las expresiones respectivas con el valor verdadero para el caso k = 3. si la función f está dada por la 2 x f (x) 3 3. (km/hora) 0 60 10 55 20 58 30 62 40 68 50 75 60 81 13.7: Integración numérica 241 Si m = 10 kgs y v(0) = 10 m/s.25968 6.2. d ) compara con el valor exacto.5 4 4. a) I = ∫ sen( x 2 )dx 0 1 π 1 c) K = −1 ∫ 1 + x 4 dx 1 b) J = ∫ x 2 exp(− x 2 )dx 0 12.45879 7. Aproxima la distancia recorrida usando 6 subdivisiones de longitud 10 minutos. Calcula la integral −1 ∫ x e dx : 3 x a) usando el método del trapecio con n = 8 intervalos. Utiliza los métodos del trapecio y de Simpson para determinar aproximaciones de las siguientes integrales con n = 10 intervalos de igual longitud.24569 1 10. Aproxima tabla ∫ f ( x )dx . La siguiente tabla muestra la velocidad de un automóvil en la carretera México-Cuernavaca durante una hora.5 5 4. utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson. ¿Qué método produce el menor error? 11.21568 8.12547 5. ¿Cuál es el mejor procedimiento? . 4 9. utiliza el método de Simpson con cuatro intervalos para aproximar el tiempo requerido para que la velocidad de descenso de la partícula sea v = 5 m/s. Tiempo (min) Veloc. b) usando el método de Simpson con n = 8 intervalos. d. Construye ahora una fórmula de integración para evaluar exactamente polinomios de grado tres. 1. para ellos. Considera la fórmula de integración −1 ∫x 2 f ( x )dx = A0 f (−1) + A1 f (0 ) + A2 f (1) . Fórmulas de integración de Newton-Cotes. A2. Encuentra el valor de las constantes A0. y para ello evalúan la función en dos o tres puntos de un intervalo dado. a) Algunos de estos meteorólogos opinan que g(t) es un polinomio cúbico. Para aproximar la temperatura media Tm = 24 ∫ 0 día cualquiera. 2. el comportamiento de g(t) se ajusta mejor a funciones del tipo: π π g (t ) = a + bt + c cos (t − 12 ) + d sen (t − 12 ) 24 24 Define los tiempos en que deben hacerse las medidas de temperatura y los coeficientes a. Las fórmulas del trapecio y Simpson son casos particulares de las fórmulas de Newton-Cotes. ¿Cuál es ese grado? 16. El Charco. A1. c. De ser así. Los dos métodos que hemos estudiado se basan en obtener una fórmula de integración exacta para polinomios de uno y dos grados. respectivamente. Encuentra los valores de la constan0 1 te A y de los puntos x0 y x1 para que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible. 24]. Observa que la longitud del intervalo es igual a 3h. Sea T = g(t) con t ∈ [0. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. b. analiza y resuelve las siguientes situaciones.242 Unidad 2: Métodos de integración 1 14. A2 para que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Piensa en la fórmula de integración ∫ f ( x )dx = A( f ( x0 ) + f ( x1 )) . la función que define la temperatura ambiente en Cuernavaca determinada 24 1 g(t )dt en un a lo largo de las distintas horas del día. b) Otros de sus colegas piensan que es necesario incluir términos trigonométricos que tomen en cuenta la intensidad de la radiación solar. ¿Cuál es ese grado? 15. 2 2 . para lo cual debes responder los siguientes incisos: a) Integra un polinomio de grado tres P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 en el intervalo 3h 3h . − . determina los tiempos en que deben hacerse las mediciones de temperatura y las constantes A1. que se presenta en la introducción de esta sección. un grupo de meteorólogos propone tomar únicamente dos lecturas en los instantes t1 y t2 y usar la relación Tm = A1g(t1) + A2g(t2). y0 . 2 h h − . Como seguramente habrás observado. y1.2. El problema es determinar w1. 2 3 c) Usa los dos resultados anteriores para mostrar que 3h / 2 −3h /2 ∫ (a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 ) dx = 3h ( y0 + 3y1 + 3y2 + y3) 8 b d) Establece ahora un método simple para calcular 4 ∫ f ( x )dx y apóyate en él para detera 3 minar el valor de las siguientes integrales x ∫ e ln( x ) dx y 1 ∫x e 0 3 2x dx . . establezca una fórmula compuesta para calcular integrales y aplícala para calcular las integrales del inciso anterior con seis subintervalos. w3. 4 para mostrar que una solución del sistema debe cumplir x2 = 0. sigue el proceso siguiente: a) Establece el siguiente sistema de ecuaciones: 1 −1 ∫ x dx = w1 x1 + w2 x2 + w3 x3. c) Reescribe el sistema de ecuaciones restante considerando los resultados del inciso anterior y resuélvelo. x3 tales que 1 I= −1 ∫ f ( x )dx = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + w3 f ( x3 ) Para ello. y . x2. Ahora construirá un método de cuadraturas basado en la evaluación de la función en tres puntos. 5 ¿Por qué basta con establecer este sistema de ecuaciones para resolver el problema? b) Usa las ecuaciones con i = 0. b] se divide en 3n subintervalos de igual longitud. 2. 2. a1. 3. f ) Siguiendo el proceso anterior. y 2 y 2 1 2 3h . construye una fórmula para evaluar integrales que sea exacta para polinomios de grado cuatro. e) Supón que el intervalo original de integración [a. los métodos de cuadraturas son sumamente poderosos y útiles. . 1. y2 y y3. Expresa los coeficientes a0. y . ya que sólo se necesita evaluar la función en algunos pocos puntos. x3 = −x2 y w1 = w3. 4.7: Integración numérica 243 3h b) Considera que el polinomio pasa por los cuatro puntos − . x1. w2. i i i i i = 0. Fórmulas de integración por cerraduras utilizando tres puntos. 3. a2 y a3 en términos de y0. Considera el polinomio de grado cinco f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5. L = ∫ 2 dx 5 x + 25 0 0 0 0 5 5 5 5 a) Calcula el valor exacto de todas las integrales. el método de cuadraturas con n = 2.7426 c) 6. Comparación numérica. considera las siguientes integrales: 2 πx I = ∫ x + 4 dx. K = ∫ 1 + x 2 dx −1 −1 −1 1 1 1 4. K = ∫ ( x 2 + x + 1)e− x dx.68104 d ) 4.68104 2. 5 puntos. Para ello. Simpson. ii.204868 . 4. J = ∫ sen dx. Autoevaluación 1. toma en cuenta la diferencia entre los valores estimados y los exactos.193316 d ) 0.244 Unidad 2: Métodos de integración d) Establece ahora una fórmula de integración y úsala para calcular la integral de las siguientes funciones. I= x + x2 1 2 x ∫ 1 + x 2 dx. no uses las fórmulas del error. b) Estima el valor de cada integral aplicando: i. c) Construye un cuadro comparativo donde se ponga de manifiesto el error cometido en cada uno de los casos anteriores. Con la finalidad de apreciar la bondad de las diferentes fórmulas de integración numérica (trapecio. iii. Determina el valor de la siguiente integral usando el método de Simpson con cuatro intervalos: 2 ∫x e 0 2 −2 x dx c) 0. 8 subintervalos de igual longitud. las fórmulas compuestas del trapecio y de Simpson con n = 2. Calcula el valor de la siguiente integral usando el método del trapecio con tres intervalos: 3 ∫ 1 + x 5 dx 0 7x + 3 a) 7. las fórmulas simples del trapecio y de Simpson. 3. Compara los resultados que arroja su fórmula con los exactos. J = ∫ x e dx . Gauss).184874 b) 0.06433 b) 7.182828 a) 0. 456369 g) 745. −3. En la columna B. viii. iv.566234 b) 0.0179 Columna A a) b) c) d) trapecio con dos intervalos Simpson con dos intervalos Simpson con cuatro intervalos Cuadratura gaussiana con n = 2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1.16117 −2. v. a) 14.55 h) −0.599327 4. ii. utilizando el método indicado en la columna A.5346 −1.49582 j) 1.75881 −6. Usa el método de cuadraturas de Gauss con n = 3. vii. iii. encuentra la estimación del valor de la siguiente integral.364873 f ) 0.35341 −4.597288 c) 0.418851 i) 5.2. 1 −1 ∫ xe −3 x dx Columna B i.097 d ) 285. b) 13.67858 −4. vi.353 e) 0.2567 −4.9063 c) 40.594444 d ) 0.50716 −10.5708 . Determina el mínimo valor de n necesario para calcular la siguiente integral con un error menor a 0. para determinar el valor de 2 ∫ 1 + 2 x dx 0 x a) 0.7: Integración numérica 245 3.001 usando el método del trapecio 2 ∫e 0 −x dx c) 82 d) 3 a) 26 b) 9 5. Icuad (3) = 0. c) 1. I tr ( k ) = 1 1 1 1 + k +1 1/ 4 . A = . A través del método del trapecio: 12.62075 9. 2.42265)k 21− k + 0.239081 * ( 0.785398 k) 3010.043 h) 0.57302 6.413008 j) 2.451487 c) 0.72725 Con el de Simpson: a) 0. 13.04407 f ) 0.5599.73402 12.192657 e) 1.3333 b) −42.000014289 d) 0. Con el método del trapecio: a) 0. x2 = .477755 i) 14.0715376 g) 135.09683 f ) 0. grado = 3 2 6 6 15.6667 c) 24.2459 3.75 km. b) 0. k −1 1/ 4 4e 2 e 6 e ( 3)2 e I cuad ( k ) = 0.5 11. A1 = 4/15.795031.5317. a) 1000 7.609057 i) 0.4857 j) 0. 10. x1 = 1 3− 3 3+ 3 .11586 4.00826565 5.63685.441217 d) Simpson con 8 intervalos. a) 0. a) 0.0000203451 b) 0.000171468 e) 0. grado = 3 . a) 20 8. A0 = A2 = 1/5.449507 b) 18 c) 4 b) 74 c) 29 d) 0.556053 b) 0. pues el resultado exacto es 0.40325 c) 0. b) 0.136196 14. a) 0.551852 c) 5.000000423 e) 0.467305 g) 0.246 Unidad 2: Métodos de integración 2. con el método de Simpson: 12. a) 17. a) 0.019316 h) 0.627915.57735)k 21− k Para k = 3 se tiene Itr (3) = 0.00130208 b) 1.142661 c) 0.722381. 64.481481 d) 0.134216 * (1.00154321 d) 0. Isimp(3) = 0. I simp ( k ) = + .142507 e) 0.5018 b) 0. c) 1.126213.140645. 6a. grado = 3 2 b) Una posibilidad es A1 = 0. a) 2. Análisis numérico con aplicaciones.). i. viii. (c. (a.. y Domínguez. ed. Métodos numéricos aplicados a la ingeniería. a) 5. CECSA. . y Wheatley. México. a) x1 = 4 3 − 3 . A1 = A1 = ( ) ( ) 1 .. México. 2a. d) 3. C.) Referencias 1. 2. A. P. A2 = 1. d) 4. (d. Gerald. iv.2.. v. Pearson Educación. F. 2005. Nieves.7: Integración numérica 247 16.). (b. ed. 2000.). x2 = 4 3 + 3 . Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. x2 = 12 y x1 en cualquier otro valor.. . Hermann Hankel La función de Lorenz y el índice de Gini Para medir la distribución de los ingresos de una población se utiliza la función de Lorenz L(x). si se sabe que el 50% de la población más pobre obtiene el 10% de los ingresos.249 Unidad Aplicaciones de la integral Contenido de la unidad 3.10. que se define mediante la integral G = 2 ∫ ( x − L ( x )) dx 0 1 . Solamente en matemáticas.1 Área entre curvas En la mayoría de las ciencias. el índice de Gini es una medida de la desigualdad de la distribución de los salarios. que está definida y es creciente en el intervalo [0. cada generación construye un nuevo piso sobre la vieja estructura. entonces se tendría que L(0. Dicha función se construye considerando fracciones de la población de menor a mayor ingreso.5) = 0. Por otro lado.3 Aplicaciones de la integral 3. una generación derriba lo que otra ha construido. Por ejemplo.1 Área entre curvas 3.2 Volúmenes 3. 1]. 28 0.2 0. Sección 3.1.002 0. explica los costos y beneficios de un índice de Gini cercano a los valores 1 o 0.10 Introducción En esta sección abordaremos el problema de calcular áreas encerradas por dos o más curvas.5 0. para esos datos.6 0.1 se muestran los datos del producto interno bruto (PIB) de los países del mundo. Ahora deseamos calcular el área encerrada por las curvas y = f (x). inferiormente por el eje x y lateralmente por las rectas x = a y x = b. y utilízalo para explicar el significado geométrico del índice de Gini. Este problema geométrico lo encontramos.0 0.4 0.0 1 0. Primero.001 0. • reconocer los tipos de regiones I y II.0 0. c) Desde un punto de vista económico.8 0. donde se vuelve necesario determinar con mucha precisión el área de una región dada.11 0.1: El producto interno bruto mundial y su distribución entre los países del mundo. definiremos dos tipos generales de regiones y mostraremos cómo aplicar la integral para calcular su área. así como la forma de calcular sus áreas. por ejemplo.1 Áreas entre curvas En la sección 1. y = g(x) y las rectas verticales x = a y x = b.250 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Ejercicio a) Elabora un esquema gráfico que muestre la curva de Lorenz y la recta y = x. en situaciones como la precedente. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. es igual a la integral definida de la función en el intervalo [a. construye la curva de Lorenz y determina el índice de Gini. .9 0. deberás ser capaz de: • calcular el área encerrada entre dos curvas. b].005 0.1 0.18 0. Fracción de países Fracción del PIB 0.3 0.58 0.21 1. b) En la tabla 3.7 0. Basaremos el estudio en el conocimiento que ya tenemos sobre la relación entre área e integral.2 mostramos que el área de la región limitada superiormente por la curva y = f (x) > 0. Tabla 3. …. abajo por y = g(x) y lateralmente por x = a y x = b está dada por A = área de la región R = ∫ [ f ( x ) − g( x )] dx a b (3. obtenemos una aproximación del área buscada A.…. ya que pueden existir subintervalos donde f (x) < g(x). es decir: . x2). observa la figura 3.3. Para calcular el área encerrada por las dos curvas en el intervalo [a. Sumando el área de estos rectángulos. obtenemos el siguiente resultado: Área entre curvas y = f (x) y y = g(x) que no se intersecan El área de una región limitada arriba por y = f (x). Considera ahora una partición del intervalo [a. donde ξi es un punto en el intervalo (xi − 1. (x1. b] es necesario determinar primero los puntos de intersección x1. b]. xn pertenecientes al intervalo y ordenados de menor a mayor.3. xi). observa que el área se puede estimar sumando el área de rectángulos verticales. x2. usando la integral definida. n. (xn − 1. tenemos A = lím ∑ f (ξi ) − g (ξi ) ∆xi || P ||→ 0 i =1 n Finalmente.1. b]. x1). Con la finalidad de establecer una expresión que permita determinar esta área.1: Área entre curvas 251 y y y=fx x=a y=gx x x=b x=a y=fx x=b y=gx x FIGURA 3. observa la figura 3. b]. 2. supón que f (x) > g(x) en [a. b] en n pequeños subintervalos (a = x0. Es decir: A ≈ ∑ f (ξi ) − g (ξi ) ∆xi i =1 n En el límite. i = 1.1) No siempre se cumple que f (x) > g(x) en todo el intervalo [a.1: Área limitada por dos funciones que no se intersecan en el intervalo [a. xn = b). En cada intervalo construimos un rectángulo de base ∆xi = xi − xi − 1 y altura f (ξi) − g(ξi). cuando la norma de la partición tiende a cero.…. tendremos el área encerrada por las curvas en ese intervalo. b]. En el primer caso. . b].4. que a la vez.2: Dos funciones que se intersecan en [a. basta con cambiar el signo para obtener el área.252 Unidad 3: Aplicaciones de la integral a ≤ x1 < x2 < … < xn ≤ b. en una parte del intervalo se satisface f (x) > g(x) y en otra se cumple la desigualdad contraria. es equivalente a integrar f ( x ) − g( x ) en [a. x = g(y) y las rectas horizontales y = c y y = d. tenemos el siguiente resultado.4. [xn − 1.3 y 3. Área encerrada por curvas y = f (x) y y = g(x) que se intersecan El área de una región encerrada por la funciones y = f (x) y y = g(x) en el intervalo [a.2) que corresponden a las figuras 3. observa la figura 3.1) y (3. Si el resultado es negativo. Es decir. [xn. queremos determinar el área encerrada por las curvas x = f (y). x1 A= = = a x1 ∫ ( g( x ) − f ( x )) dx g( x ) − f ( x ) dx + x2 + x2 x1 ∫ ( f ( x ) − g( x )) dx f ( x ) − g ( x ) dx + + b + xn ∫ ( g( x ) − f ( x )) dx b ∫ a b a x1 ∫ + xn ∫ g( x ) − f ( x ) dx ∫ g( x ) − f ( x ) dx En resumen.2) y y y=fx y=fx x=a y=gx x=b x x=a y=gx x=b x FIGURA 3.1) para cada uno de los subintervalos [a. Tenemos dos resultados adicionales equivalentes a las fórmulas (3. Si queremos asegurar que siempre tengamos el área correcta. xn]. [x1. se suma el valor absoluto de las integrales en cada región.…. b]. x1]. y posteriormente evaluar la integral que aparece en la fórmula (3. x2]. b] está dada por: A= ∫ a b f ( x ) − g( x ) dx (3. esto es equivalente a sumar las integrales del valor absoluto de la diferencia de las dos funciones. Cuando el resultado sea positivo. y2). obtenemos el siguiente resultado: Área entre curvas x = f (y) y x = g(y) que no se intersecan El área de una región limitada a la derecha por x = f (y). donde ξi es un punto en el intervalo (yi − 1. tenemos que el área encerrada está dada por A = lím ∑ f (ξi ) − g (ξi ) ∆xi || P ||→ 0 i =1 n Si usamos la definición de integral definida.3) De forma similar. Primero hacemos una partición del intervalo [c. tenemos el resultado más general siguiente: Área encerrada por curvas x = f (y) y x = g(y) que se intersecan El área de una región encerrada por las funciones x = f (y). Para cada subintervalo construimos rectángulos horizontales de base ∆yi = yi − yi − 1 y altura f (ξi) − g(ξi). i = 1. d]. en el caso ilustrado en la figura 3.1: Área entre curvas 253 y y=d x=gy y y=d x=gy y=c x=fy x y=c x=fy x FIGURA 3.4) . posteriormente.3. yi). d]. y1).…. (yn − 1. (y1. n. a la izquierda por x = g(y) y lateralmente por y = c y y = d está dada por A = ∫ [ f ( y ) − g( y )] dy c d (3. en n pequeños subintervalos (c = y0. sobre el eje y.4. yn = d).3: Dos curvas definidas por x = f (y) y x = g(y) que no se intersecan en el intervalo [c. tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero.…. Observa que el área se puede estimar sumando el área de rectángulos horizontales. Sumando el área de estos rectángulos y. x = g(y) y las rectas y = c y y = d está dada por: A = ∫ f ( y ) − g( y ) dy c d (3. 2. 2 del libro Cálculo diferencial de los autores de este texto. Sin embargo. Observa que el área se puede estimar sumando el área de rectángulos horizontales. Para su construcción. las incluimos porque son ilustrativas del área que buscamos. ya que las áreas a calcular sólo requieren conocer los puntos de intersección.5 y 15 x – 15 – 10 –5 a) 5 10 15 – 15 – 10 –5 –5 b) 5 10 15 x FIGURA 3.1. Ejemplos Ejemplo 3.4: El área encerrada por dos curvas definidas por x = f(y) y x = g(y) que se intersecan dentro del intervalo [c. .5: Área entre dos curvas. ejemplo 3. se puede consultar la sección 9.254 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y y=d x=gy x=fy y=c y y=d x=gy x=fy y=c x x FIGURA 3. Todas las gráficas de los ejemplos siguientes no son necesarias. − 4 y arriba por la curva y = 9 64 + x 2 y 15 12.1 Determina el área de la región limitada abajo por la parábola y = x2 100 . d]. 65654 integrando. x 4 + 28 x 2 − 3204 = 0 x = ±6. = x x3 100 arctan − + 4x 8 27 8 −6.5 –5 – 100 – 150 – 200 b) 100 50 10 x 12.65654 resolv viendo la ecuación cuadrática. ( ) simplificando. y 9 64 + x 2 A= −6. .6: Área entre dos curvas. igualamos las ordenadas de ambas curvas. multiplicando por 64 + x 2 .1: Área entre curvas 255 solución En la figura 3.65654 ⌠ 100 x2 − − 4 dx 2 ⌡ 64 + x 9 6.1).5 y FIGURA 3. la fórmula adecuada para hacer el cálculo es la fórmula (3. = 48.2 Determina el área de la región limitada abajo por la parábola y = 4x2 − 21x − 122 y arriba por la recta y = 7x − 2. El área pedida se obtiene aplicando la fórmula (3.5b se muestran las gráficas de las dos funciones dadas y el área que delimitan. en consecuencia.2.3.1) con f ( x ) = 6.7541 Ejemplo 3.65654 sustituyendo. Necesitamos ahora los puntos de intersección de las curvas. y 100 50 –5 – 100 – 150 – 200 a) 10 x 12. Para obtenerlos. obtenemos: x2 100 −4= 9 64 + x 2 x2 64 + x 2 − 4 = 100 9 igualando las ordenadas. Observa que el área buscada se puede estimar mediante la suma de rectángulos verticales. eva aluando. ejemplo 3. Así.65654 x2 100 g ( x ) = −4 . dx sustituyendo. simplificando.256 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución Nuevamente aplicamos la fórmula (3. y 200 150 100 50 2 – 50 – 100 a) 4 6 x –6 –4 –2 – 50 – 100 b) 2 4 6 x y 200 150 100 50 –6 –4 –2 FIGURA 3. Identificamos ahora f (x) = 7x − 2 y g(x) = 4x2 − 21x − 122.3 Determina el área encerrada por las curvas y = 5x2 − 3x + 2 y y = −3x3 − x2 + 54x + 62.7 muestra la gráfica de las dos curvas y el área buscada.10 simpl lificando. Para determinar esta área calculamos primero los puntos de intersección de las curvas. Los puntos de intersección de las curvas son: 4 x 2 − 21x − 122 = 7 x − 2 igualando. 2 = −3. resolviendo la ecuación cuadrática. evaluan ndo. 4 x 2 − 28 x − 120 = 0 x1. solución La figura 3. Así tenemos que: . el área encerrada entre las curvas está dada por 10 A= = −3 10 ∫ 7x − 2 − (4 x ∫ −4 x 2 2 − 21x − 122 . Finalmente.7). ejemplo 3. ) −3 + 28 x + 120 dx 10 =− 4 x2 + 14 x 2 + 120 x 3 −3 integrando.1) porque el área buscada se puede describir como la suma de rectángulos verticales (figura 3.67 Ejemplo 3.7: Área entre dos curvas.4. = 1464. Sustituyendo estos valores y factorizando. 3x 3 + 6 x 2 − 57 x − 60 = 0 x + 2 x − 19 x − 20 = 0 3 2 simplificando.25 Ejemplo 3.25 = 630.25 2 4 −1 4 Finalmente. separamos la integral en dos: −1 A1 = −5 4 ∫( −1 3x 4 57 x 2 −3x − 6 x + 57 x + 60 dx = − − 2x3 + + 60 x = 224 4 2 −5 3 2 ) −1 A2 = ∫( 3x 3 + 6 x 2 − 57 x − 60 dx = ) 57 x 2 3x 4 + 2x3 − − 60 x = 406. c = −20. .2).7a y 3. Al igualar los coeficientes de potencias correspondientes obtendremos el sistema de ecuaciones: a=1 a+b=2 b + c = −19 c = −20 que tiene como solución: a = 1.7b. el área es: A = A1 + A2 = 224 + 406. aplicando la fórmula (3. Observa que una solución de esta ecuación es x1 = −1. b = 1.3.1: Área entre curvas 257 5 x 2 − 3x + 2 = −3x 3 − x 2 + 54 x + 62 igualando. nuevamente obtenemos: x3 + 2x2 − 19x − 20 = (x + 1)(x2 + x − 20) = (x + 1)(x + 5)(x − 4) Las raíces de esta ecuación son x1 = −5.4 Determina el área encerrada por las curvas y = −x3 + 8x2 y y = 8x4 − 9x3 − 64x2 + 72x. dividien ndo entre 3. Proponemos entonces la factorización x3 + 2x2 − 19x − 20 = (x + 1)(ax2 + bx + c) Y desarrollando obtenemos x3 + 2x2 − 19x − 20 = ax3 + (a + b)x2 + (b + c)x + c. tenemos que A= −5 ∫ 4 5 x 2 − 3x + 2 − −3x 3 − x 2 + 54 x + 62 dx = ( ) −5 ∫ 3x 4 3 + 6 x 2 − 57 x − 60 dx Apoyándonos en las figuras 3. x2 = −1 y x3 = 4. 8: Área entre dos curvas. una tercera factorización. y después igualamos las dos funciones. 8 x ( x − 1) − 72 x ( x − 1) = 0 3 8 x ( x − 1) x − 9 = 0 2 8 x ( x − 1) ( x − 3) ( x + 3) = 0 ( ) De donde las raíces son: x1 = −3. ejemplo 3. una segunda factorización.258 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y 150 100 50 x –4 –3 – 50 – 100 – 150 – 200 a) 1 3 4 –4 –3 – 50 – 100 – 150 – 200 150 100 50 y x 1 3 4 b) FIGURA 3. 8 x 4 − 9 x 3 − 64 x 2 + 72 x = − x 3 + 8 x 2 8 x − 8 x − 72 x + 72 x = 0 4 3 2 igualando. x3 = 1 y x4 = 3. solución En la figura 3.2 −3 A1 = ∫( 0 8 x 4 − 8 x 3 − 72 x 2 + 72 x dx = ) 8 5 x − 2 x 4 − 24 x 3 + 36 x 2 = 11. A= ∫ 8x a b 4 − 8 x 3 − 72 x 2 + 72 x dx Observa.6 5 0 3 1 A1 = ∫( 1 3 8 −8 x 4 + 8 x 3 + 72 x 2 − 72 x dx = − x 5 + 2 x 4 + 24 x 3 − 36 x 2 = 108.8 5 1 ) .5. para calcularla determinamos primero los puntos de intersección.9.8 se muestra el área encerrada por las dos curvas. una primera factorización. las cuales se calculan como sigue: A1 = −3 1 ∫ ( −8 x 0 4 8 + 8 x 3 + 72 x 2 − 72 x dx = − x 5 + 2 x 4 + 24 x 3 − 36 x 2 5 ) 0 = 421.2. que esta área la constituyen tres pequeñas áreas. simplificando. en la figura 3. En efecto. El área encerrada por las curvas se determina utilizando la relación 3. Obtener las raíces es un ejercicio simple de factorización. x2 = 0. 5 Determina el área encerrada por las curvas x = 2 + 4y y x = −30 + 4y + 2y2. Así el área encerrada está dada por: A= = −4 4 ∫ 2 + 4 y − (2 y ∫ 32 − 2 y 2 4 2 + 4 y − 30 dy sustituyendo. tenemos: 2y2 + 4y − 30 = 2 + 4y 2y − 32 = 0 2 igualando. Así. ) −4 dy = 32 y − = 512 3 2 3 y 3 −4 4 . solución En este caso.1: Área entre curvas 259 Finalmente. el área encerrada se determina usando rectángulos horizontales.3). y 6 4 6 4 y – 40 –2 –4 –6 a) 10 20 x – 40 –2 –4 –6 b) 10 20 x FIGURA 3.6 + 108.2 + 11.8 = 541. ejemplo 3.9. De la última ecuación se obtienen las raíces y1 = −4 y y2 = 4. por esa razón.3. evaluando.6 Ejemplo 3. debemos utilizar la expresión (3.6. Primero calculamos los puntos de intersección de las curvas. simplificando.9: Área entre dos curvas. simplificando. in ntegrando. el área encerrada está dada por: A = A1 + A2 + A3 = 421. 0bserva la figura 3. y2 = 0 y y = 4. el área encerrada entre las curvas se obtiene sumando el área de rectángulos horizontales.6.260 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Ejemplo 3. el área que buscamos está formada por dos regiones. una primera factorización.10.10: Área entre dos curvas. solución Nuevamente. 2 y 2 − 4 y + 4 = −5 y 3 + 7 y 2 + 56 y + 4 igualando. Observa la figura 3. el área encerrada está dada por: A= −3 ∫ 5y 4 3 − 5 y 2 − 60 y dy De la figura 3. y 6 4 2 x – 100 – 50 50 100 150 – 100 – 50 50 100 150 6 4 2 x y –4 a) –4 b) FIGURA 3.10. 5 y ( y − 4 ) ( y + 3) = 0 ( ) Entonces. ejemplo 3.75 + 266. una segunda factorización. 5 y 3 − 5 y 2 − 60 y = 0 5 y y − y − 12 = 0 2 simplificando.6 Determina el área encerrada por las curvas x = 2y2 − 4y + 4 y x = −5y3 + 7y2 + 56y + 4.67 = 390.75 4 ∫ ( −5 y 5 5 800 = 266.42 . las raíces son: y1 = −3. área requerida está dada por: A = A1 + A2 = 123. Así que primero determinamos los puntos de intersección.67 + 5 y 2 + 60 y dy = − y 4 + y 3 + 30 y 2 = 3 4 3 0 ) Finalmente. cada una de ellas con área: A1 = A2 = −3 4 ∫ (5y 0 0 3 − 5 y 2 − 60 y dy = 3 ) 5 4 5 3 y − y − 30 y 2 4 3 0 = −3 4 495 = 123. 6667 3 6 6 3 . 10 y 4 − 10 y 3 − 40 y 2 + 40 y = 0 10 y ( y − 1) − 40 y ( y − 1) = 0 3 simplificando.7. y 3 2 1 – 100 – 75 – 50 – 25 –2 –3 a) 25 50 75 x 100 – 100 – 75 – 50 – 25 –2 –3 3 2 1 y 25 50 75 x 100 b) FIGURA 3. una primera factorización. solución Busquemos primero los puntos de intersección.11.11: Área entre dos curvas. 10 y ( y − 1) y 2 − 4 = 0 10 y ( y − 1) ( y − 2 ) ( y + 2 ) = 0 ( ) Las raíces son. ejemplo 3. y = 0. una segunda factorización. el área total encerrada A = A1 + A2 + A3 = 248 37 53 293 + + = = 97. una última factorización.1: Área entre curvas 261 Ejemplo 3. −8 y 3 − 9 y 2 + 5 y − 6 = −10 y 4 + 2 y 3 + 31y 2 − 35 y − 6 igualando.3. y = 1 y y = 2. Ahora las áreas de las tres regiones de la figura 3. se calculan como sigue: A1 = A2 = A3 = −2 1 ∫( 0 0 10 y 4 − 10 y 3 − 40 y 2 + 40 y dy = 2 y 5 − ) 5 4 40 3 y − y + 20 y 2 2 3 5 0 = −2 0 248 3 = 37 6 ∫ (−10 y 4 + 10 y 3 + 40 y2 − 40 y) dy = − 2 y5 + 2 y 4 + ∫ (10 y 4 − 10 y 3 − 40 y2 + 40 y) dy = 2 y5 − 2 y 4 − 5 1 2 40 3 y − 20 y 2 3 2 −2 40 3 y + 20 y 2 3 = 1 53 6 Entonces. .7 Determina el área encerrada por las curvas x = −8y3 − 9y2 + 5y − 6 y x = −10y4 + 2y3 + 31y2 − 35y − 6. entonces: y = −2. x = 109 − 28y − 8y2 + 3y3. y = −2 − 10x + 6x2.25 y) x = −3 − 4y − 6y2.3333 z) x = −6 + 5y + 2y2. x = 10 g) y = 3 + 2x − x2.3333 t) y = 4x2 + 3x − 2. x = 18 − 3y − 4y2 + 2y3. el eje x y la recta x = 5 x2 x −1 k) y = 2 . los dos ejes coordenados y la recta x = 4 ( x 2 + 4 )3 3 4 m) y = arcsen(2x). 9. y = 59 + 35x + 4x2. y = x3 − 4x2 − 3x + 4. 435. x = 0 en el primer cuadrante f ) x = y2 + 1. y = 3x3 − 1x2 − 5x + 9. x = −183 + 5y + 5y2. y = 4x3 − 9x2 − 21x + 43. el eje x y la recta x = n) y = −2 + 2x. x = −19 + 10y2 − 4y3. el eje x. 65. y = 4. el eje x y x = e3 i) y = sen2(x). y = 0. en el segundo cuadrante h) y = ln(x). 3005.5 . x = 0 y x = 2π 16 . 64 q) x = −6 − 4y. 49. y = 35 − 34x + 6x2. x = 174 − 70y + 6x2. 1 r) x = 1 + 4y. x = 0. 1440 o) y = −1 + 3x. y = −3x3 + 22x2 + 78x − 452.3333 w) y = −5x2 − 2x + 3. y = 0 y x = 1 d) y = x . 8 p) y = 5 + 2x.25 u) y = 3x2 − 5x − 5. 84. y = 1 y x = 9 e) xy = 2. 5. el eje x y las rectas x = 4 y x = 6 x − 5x + 6 j) y = x 2 − l) y = x3 . x = −143 − 56y − 6y2. 8 s) x = −3 + 5y. 131 v) y = x2 − 2x − 1.25 x) x = 1 − y + 4y2. y = 1.262 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Determina el área encerrada por las siguientes curvas: a) y = 5x − x2 y y = 0 b) y = x y y = x2 c) y = x . responde las preguntas del inicio de la sección y las siguientes. i.3. 1. 3. analiza y resuelve las siguientes situaciones. cuando a = 0 y a = 1. Posteriormente. demuestra que la fracción de población situada entre esos puntos obtiene menos de una fracción igual del recurso medido por la función de Lorenz. c) Determina el valor de a tal que la integral de la función en [0.1: Área entre curvas 263 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. ¿Qué ocurre si m = 1? ¿Y si m > 1? ii. L(x) = c) Se define el coeficiente de partes iguales (CPI) como el porcentaje p de la población que recibe una parte igual de los recursos. Posteriormente encuentra el área entre las curvas. L(x) = x2 ex − 1 e −1 b) Si m es la pendiente de la recta que une los puntos A y B en la curva de Lorenz y = L(x). a] sea la mitad del área del inciso anterior. La función de Lorenz y el índice de Gini Investiga sobre la función de Lorenz y el índice de Gini. Jugando con áreas a) Para este problema considera que f (x) = 2x − 3x3. Área entre parábolas Considera las dos familias de curvas y = x2 − a2 y x = a2 − y2: a) Determina el área interior a las dos parábolas. a) Calcula el índice de Gini para las siguientes funciones de Lorenz. Calcula el CPI de la función de Lorenz L(x) = 2. d) Encuentra el valor de b tal que la integral de la función y − b ≥ 0 sea igual a la mital del área del inciso a). b) Encuentra el área limitada por la función anterior y el eje x para x > 0. e) Determina c tal que x p 1 3/ 2 1 5 / 2 x + x 2 2 ∫ ( c − f ( x )) dx = ∫ ( f ( x ) − c ) dx 0 x1 1 donde x1 es el punto de intersección de las curvas y = f (x) y y = c. c) Encuentra una fórmula general para el área encerrada entre las dos parábolas que sea válida para el caso a ≥ 2. . si m < 1. b) Para el caso a = 2 encuentra los puntos de intersección (sugerencia: completa cuadrados). Calcula el área encerrada por las curvas y = x2 y y = x3.5 .264 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Autoevaluación 1. Determina el área encerrada por las curvas y = x5 y y = x3.20345 n) 8 o) 5.66667 h) 41.25 y) 84.8333 b) 0.3333 p) 64 q) 1 r) 8 s) 1440 t) 3005.1711 i) π j) 124. a) A = 500/3 a) A = 1/3 a) A = 1/16 a) A = 0 a) A = 407/4 b) A = 200/3 b) A = 7/12 b) A = 1/12 b) A = 863/2 b) A = 100 c) A = 20/3 c) A = 1 c) A = 4 c) A = 863/6 c) A = 102 d) A = 660 d) A = 1/12 d) A = 0 d) A = 21/6 d) A = 305/3 2.33333 e) 2.3333 z) 65.77259 f ) 36. g) 3.04 m) 0.50408 l) 0.874 k) 1. 4.25 x) 435. Respuestas a los Ejercicios y problemas a) 20. Determina el área encerrada por las curvas x = 4 − 9y − 3y2 + y3 y x = 4 + y.166667 c) 0.3333 w) 9. Determina el área encerrada por la parábola y = x2 y la recta y = 4x + 21. 5.333333 d) −9. 3. Calcula el área encerrada por las curvas y = 4 − 12x + 2x2 + x3 y y = 4 + 3x.25 u) 131 v) 49. 11ª. a) 4. N. Thomas. Pearson Educación. ed. Santiago de Chile. G. versión on line: http://www.cepal. Fernando. c) 5. 2001..pdf 2. México. Consideraciones sobre el índice de Gini para medir la concentración del ingreso. Barcelona. 2005. Medina. Piskunov. a) Referencias 1.. CEPAL.. 3. 1978.3. Cálculo (una variable).1: Área entre curvas 265 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1.org/publicaciones/xml/0/6570/ lcl1493e. Cálculo diferencial e integral. . a) 2. d) 3. Montaner y Simón. sin embargo.266 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 3. ALTURA DIÁMETRO . Willard Van Orman Quine La fórmula secreta de la Coca ColaMR ALTURA ALTURA DIÁMETRO DIÁMETRO FIGURA 3.2 Volúmenes Así como los números irracionales son un mito conveniente que simplifica las leyes de la aritmética. de la misma manera los objetos físicos son entidades postuladas que complementan y simplifican nuestra descripción del flujo de la existencia. contiene esa verdad literal como una parte dispersa. Debes encontrar una fórmula para calcular el volumen de esas botellas en función de su altura.12: Botellas de Coca ColaMR que son copias a escala del modelo clásico. El esquema conceptual de los objetos físicos es un mito más sencillo que la verdad literal que. se necesita determinar una fórmula que permita calcular el volumen (en mililitros) en términos de la altura (en centímetros) con una precisión de. La imagen corresponde al cuadro Frutas de temporada de Aurora Santiago. y finalmente la pantalla de un tercer torno de control numérico. momento de inercia). del modelo clásico (véase figura 3.3.2: Volúmenes 267 La compañía Coca ColaMR quiere fabricar nuevas botellas de vidrio de distintos tamaños.13: Algunas frutas que son sólidos de revolución. ± 0.14 se ilustran diferentes objetos que son sólidos de revolución.12). En muchas situaciones resulta importante conocer sus características físicas (volumen.13 y 3. de manera que sean copias exactas. al menos. otro torno mecánico para metal. De izquierda a derecha: torno para madera. y aparecen de diversas formas en la vida cotidiana. Incluso las tapas deben ajustarse a las nuevas botellas.14: Los tornos producen piezas que son sólidos de revolución. peso) y geométricas (centroide. FIGURA 3. a escalas diferentes. En las figuras 3. FIGURA 3. . ¿Cómo debe ser la expresión funcional de esta fórmula? Introducción Los sólidos de revolución son objetos tridimensionales que se obtienen al girar una región plana alrededor de un eje de rotación. Por tal razón. Iniciamos entonces su estudio en esta sección.1 mililitros. 8. arandelas y cáscaras cilíndricas. al que se le hizo un orificio cilíndrico de radio pequeño en el centro. Si llamamos ∆x a ese grosor. y = 12.2. En este caso. entonces el volumen de este sólido de revolución está dado por: . x = 6 y x = 8. Recuerda que para cada cilindro el volumen es igual al área de la base circular multiplicada por la altura. el cual también puede interpretarse como un cilindro sólido de radio grande. tomando como eje de giro los ejes coordenados o cualquier línea paralela a dichos ejes. Sección 3. la altura es el grosor de la arandela. 16 14 12 10 EJE y = 15 EJE 8 6 4 2 2 4 6 8 10 FIGURA 3. El sólido tiene forma de arandela (disco perforado). así como el sólido que se obtiene al girar dicha región alrededor de la recta y = 15. mejor conocido como arandela. deberás ser capaz de: • Calcular el volumen de un sólido de revolución usando los métodos de discos.15: Eje de rotación y sólido de revolución del ejemplo 3. El volumen del sólido es igual al volumen del cilindro grande menos el volumen del agujero cilíndrico pequeño. R al radio exterior (radio del cilindro sólido) y r al radio interior (radio del agujero cilíndrico).1 Sólidos de revolución En la figura 3.15 se muestra la región limitada por rectas y = 4. Observa que el sólido que se obtiene es un disco perforado.268 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. • Determinar el volumen de un sólido conociendo el área de una sección transversal. al girar esta región alrededor del eje y = 5.17). 16 14 12 10 r r 8 6 4 2 ∆x 2 4 6 8 10 12 14 16 ∆x FIGURA 3.8.16: El radio exterior de la arandela del ejemplo 3. es r = 15 − 12 = 3 (véase la figura 3. El valor del radio exterior R.2: Volúmenes 269 Volumen del cilindro Volumen del agujero Volumen = − sólido grande cilíndrico pequeño Área de la base Grosor Área de la base Grosor ⋅ ⋅ Volumen = − de la arandela de la arandela c ircular pequeña circular grande 2 2 v= π R ⋅ ( ∆x ) − π r ⋅ ( ∆x ) ( ) ( ) 16 14 12 10 8 R R 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 FIGURA 3. es R = 15 − 4 = 11. al girar alrededor del eje y = 15. .8.16.17: El radio interior y el grosor de la arandela del ejemplo 3. el radio interior r. En conclusión. la altura de los dos cilindros (el grosor de la arandela) vale ∆x = 8 − 6 = 2. Observa la figura 3.3. De forma similar. y = 12. Esa suma de volúmenes de arandelas es una aproximación al volumen del sólido de revolución. Pasemos ahora a generalizar el resultado para responder la pregunta ¿cómo calcular el volumen del sólido que se obtiene al girar una área alrededor de un eje dado? Para ello considera un sólido como el de la figura 3. se obtiene el volumen exacto del sólido.19: La suma de volúmenes de arandelas es una aproximación al volumen del sólido. Cuanto más arandelas usa. mejor será la aproximación (véase la figura 3. x = 6 y x = 8 alrededor del eje y = 15 es: ( ) ( ) v= (π 11 ) ⋅ ( 2 ) − (π 3 ) ⋅ ( 2 ) 2 2 2 2 v= π R ⋅ ( ∆x ) − π r ⋅ ( ∆x ) v = 224π v = 703. se genera una arandela similar a la de nuestro ejemplo anterior.18. mejor será la aproximación. Cuando ese rectángulo se rota alrededor del eje. Cuanto más arandelas usa. FIGURA 3. cuyo volumen se calcula fácilmente. Al hacer tender a infinito el número de arandelas.19). con su lado mayor perpendicular al eje de rotación.270 Unidad 3: Aplicaciones de la integral El volumen del sólido generado al rotar la región encerrada entre las rectas y = 4.18 se muestran una área y un rectángulo pequeño inscrito en esa área. .18: Una arandela se genera al rotar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación. En la figura 3. FIGURA 3.717 Esta discusión nos muestra cómo determinar el volumen de una arandela. Esto sugiere que es posible cubrir la región con rectángulos y sumar los volúmenes de las arandelas generadas al rotar. El volumen ∆vj de esta arandela se calcula de la misma manera que el volumen presentado en nuestra discusión previa. radio exterior Rj y radio interior rj. x1). considera que la región está limitada por las curvas y = g(x). x2). xn = b).20: Las gráficas de las funciones f (x) y g(x) encierran la región. b ). De manera que el volumen de la arandela j-ésima queda como: 2 ∆v j = π R 2 j − rj ∆x j ( =π f x j − c − g x j − c ∆x j ( ( ) ) 2 ( ) 2 ) .2: Volúmenes 271 Para formalizar el resultado. Cada arandela j tiene su propio grosor ∆xj. xj + 1).21. su propio radio exterior Rj y su propio radio interior rj . … . si el eje de rotación es la línea horizontal y = c.3. y que éste se dividió en n pequeños subintervalos (a = x0. Como se observa en la figura 3. En la figura 3. y = f ( x ) en el intervalo ( a . la función más alejada del eje es f (x) y la función más cercana al eje es g(x). así como la arandela j-ésima asociada que tiene grosor ∆xj.20 se muestra la gráfica que corresponde a un intervalo genérico (xj. (x1. (xn − 1. entonces el radio exterior es Rj = f (xj) − c y el radio interior es rj = g(xj) − c. 2 ∆v j = π R 2 j ∆x j − π rj ∆x j 2 = π R2 j − rj ∆x j ( ) ∆xj y = f (x) Rj y = g(x) EJE y=c x = x1 x = x2 EJE rj EJE FIGURA 3. es decir: V = lím f x −c ∑π ( ( j ) ) || P ||→ 0 N j =1 2 2 − g x j − c ∆x j (( ) ) Finalmente. se hace girar la región que está encerrada entre las gráficas de dos funciones f (x) y g(x) con intersecciones en x = a y x = b es: V = ⌠π f ( x) − c − g( x) − c dx ⌡ 2 2 a b ( ) . para obtener una aproximación del volumen del sólido de revolución. obtenemos el volumen exacto V del sólido de revolución.272 Unidad 3: Aplicaciones de la integral ∆x ∆x f (x) R = f (x) – c EJE y=c xj xj EJE y=c r = g(x) – c g(x) FIGURA 3. Volumen del sólido de revolución: método de discos El volumen del sólido de revolución generado cuando. entonces VN viene dado por la siguiente expresión: VN = ∑ π f x j − c − g x j − c ∆x j j =1 N ( ( ) 2 ( ) 2 ) Tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero.21: El radio exterior R y el radio interior r en términos del eje y = c y de las funciones f(x) y g(x) que encierran la región. A continuación sumamos los volúmenes de todas las arandelas generadas al girar los rectángulos que cubren la región. aplicando la relación entre sumas de Riemann y la integral definida. alrededor del eje horizontal y = c. obtenemos el siguiente resultado. Si llamamos VN al volumen aproximado con una cantidad N de arandelas. con los cuales también se determinan los volúmenes de los sólidos de revolución. Observación: En algunas ocasiones.2: Volúmenes 273 No es buena idea memorizar esta fórmula. tenemos las dos soluciones x = 1 y x2 = 3. y2) = (3. Tracemos ahora la región entre las curvas (véase la figura 3. En esa notación no es necesario escribir el límite ni la sumatoria en cada ejercicio. 1). los valores de y de ambas curvas coinciden. pintemos la región que queda encerrada entre las curvas y tracemos el eje de rotación y = −1. solución Para graficar la región encerrada entre las dos curvas.23). necesitamos primero determinar los puntos donde se cortan. y1) = (1. resulta útil emplear la notación de diferenciales en vez de los incrementos. consideramos las diferenciales dx y dV en vez de los incrementos ∆x y ∆V. así como la integral definida en vez del límite lím ∑ ( ) ∆x j . los dos puntos de intersección son (x1. alrededor del eje y = −1. En términos prácticos. sino entender el procedimiento que usamos para obtenerla. encontramos el valor de y2: y2 = 4 + 2 ⋅ (3) − (3)2 = 1 Es decir. 5 ) y (x2. || P ||→ 0 j =1 N Ejemplos Ejemplo 3. Para obtener el valor de y1 reemplazamos el valor de x1 en cualquiera de las dos curvas: y1 = 4 + 2 ⋅ (1) − (1)2 = 5 De forma similar. Finalmente. y se encuentran igualando las expresiones para y de ambas curvas: 4 + 2x − x2 = 10 − 6x + x2 Pasando todos los términos al lado derecho de la ecuación. que deben pasar por los puntos de intersección. Más adelante estudiaremos otros casos (girar alrededor un eje vertical en vez de horizontal y el uso de cáscaras cilíndricas en vez de arandelas). . y = 10 − 6x + x2. obtenemos: 2x2 − 8x + 6 = 0 Si aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.3. y simplificando. Además es una notación muy utilizada en las aplicaciones de física e ingeniería. b) Calcula el volumen de ese sólido. Posteriormente tracemos las dos parábolas.8 a) Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = 4 + 2x − x2. En esos puntos. Primero dibujemos los puntos de cruce. sumaremos una cantidad infinita de arandelas.23: Sólido de revolución del ejemplo 3. construyamos el sólido de revolución que se genera al rotar esa región alrededor del eje y = −1 (véase la figura 3.9. al girar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación.274 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 5 5 5 4 y = 4 + 2x – x2 5 4 3 2 y = 10 – 6x + x2 5 4 3 2 1 (1. FIGURA 3. Como se observa en la figura 3. Si utilizamos el subíndice j para indicar que es la “j-ésima” arandela y llamamos ∆xj a su grosor y ∆vj a su volumen.22. entonces su volumen queda: 2 2 ∆v j = π R j − rj ∆x j 2 2 = π 4 + 2x j − x2 + 1 − 10 − 6 x j + x 2 + 1 ∆x j j j 2 3 96 152 x 64 x 8 x ∆ x =π − + − + j j j j ( ) ( ) . Después de dibujar la región de la figura 3. Para calcular su volumen.23). se genera una arandela con radio exterior R = 4 + 2x − x2 + 1 y radio interior r = 10 − 6x + x2 + 1.24.22: Trazado de la región del ejemplo 3. 1) 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 EJE 1 y = –1 2 3 FIGURA 3. 5) 4 3 2 4 3 2 3 2 1 (3.9. 3. Es decir: V = lím 3 2 3 ∑π −96 + 152 x j − 64 x j + 8 x j ∆x j || P ||→ 0 j =1 N 2 3 = ∫π −96 + 152 x − 64 x + 8 x dx 64π = = 67. con un grosor diferencial dx y un diferencial de volumen dV. solución La primera parte de la solución no cambia. como se observa en la figura 3. basta con tender a infinito el número de arandelas N) y usando la relación de este límite con la integral definida. entonces VN viene dado por la siguiente expresión: 2 3 VN = ∑ π −96 + 152 x j − 64 x j + 8 x j ∆x j j =1 N El volumen exacto V del sólido de revolución se obtiene al hacer tender a cero la norma de la partición (recuerda: si la partición es regular.25.24: El radio exterior R y el radio interior r en términos de x para el sólido del ejemplo 3. Si VN es el volumen aproximado con una cantidad N de arandelas. la diferencia viene al considerar una arandela. Ahora nos referiremos a ella como una arandela típica.0206 3 1 Ejemplo 3.9.9 Vuelve a escribir la solución del ejemplo 3. Ya no la llamaremos la “arandela j-ésima”.8 utilizando la notación de diferenciales. A continuación sumamos los volúmenes de todas las arandelas generadas por los rectángulos que cubren la región. Usando las expresiones .2: Volúmenes 275 5 4 5 4 3 R = 4 + 2x – x 2 + 1 y = 4 + 2x – x2 3 R r 2 2 y = 10 – 6x + x2 r = 10 – 6x + x2 + 1 1 1 x –1 –1 x FIGURA 3. 0206 3 En este procedimiento no aparecen explícitamente los símbolos de sumatoria y límite. . se obtiene el volumen del sólido de revolución. Al integrar el diferencial de volumen en la región. en este caso. es la construcción de la integral adecuada para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.25: Una arandela de grosor diferencial dx tiene un volumen diferencial dV. y la expresión para el volumen de una arandela. Evidentemente. tenemos que el diferencial de volumen de una arandela típica está dado por: 2 2 dV = π R −r dx 2 2 dV = π 4 + 2 x − x 2 + 1 − 10 − 6 x + x 2 + 1 dx 2 3 − + − + dV = π 96 152 x 64 x 8 x dx ( ) ( ) Integrando se obtiene el volumen del sólido de revolución: V= V= ∫x π −96 + 152 x − 64 x + 8 x dx 3 2 3 V =∫ π −96 + 152 x − 64 x + 8 x dx 1 2 3 1 región x2 ∫ dV V= 64π = 67. la respuesta de este ejemplo es la misma que en el ejemplo anterior. dx R r dV V= región ∫ dV FIGURA 3.276 Unidad 3: Aplicaciones de la integral para los radios exterior e interior. además. tiene la ventaja de facilitar el trabajo de modelación que. se obtienen las siguientes dos soluciones reales: x1 = −2.10. necesitamos determinar primero los puntos donde se cruzan las curvas. los dos puntos de intersección son (x1. 3 2 3 2 y = 4 – x2 3 2 (–2. Para trazar la región entre las curvas. y es posible encontrarlos igualando las expresiones de y de ambas curvas: 4 − x2 = 0 Resolviendo esa ecuación cuadrática.27.26). x=3 EJE 4 4 4 . y1) = (−2.10 a) Dibuja el sólido de revolución que se obtiene al rotar la región encerrada entre las curvas y = 4 − x2 y y = 0 alrededor del eje x = 3. y2) = (2. 0) 2 3 4 –3 –2 –1 1 1 2 y=0 3 4 –3 –2 –1 1 1 2 3 4 FIGURA 3.3. b) Determina el volumen de ese sólido. 0) –3 –2 –1 1 1 (2. solución Para saber cuál es la región encerrada entre las dos curvas. luego las dos curvas (recta y parábola) y el eje de rotación x = 3 (recta vertical) (véase la figura 3.26: Trazado de la región del ejemplo 3.26 alrededor del eje x = 3 para obtener el sólido de revolución que se muestra en la figura 3.2: Volúmenes 277 Ejemplo 3. 0). 0) y (x2. Ahora giramos la región de la figura 3. dibujamos primero los puntos de cruce. El valor y1 que le corresponde a x1 se obtiene reemplazando el valor de x1 en cualquiera de las dos curvas: y1 = 4 − (−2)2 = 0 De forma similar. x2 = 2. coinciden las ordenadas (coordenada y) de ambas curvas. En esos puntos. encontramos el valor de y2: y2 = 4 − (2)2 = 0 En consecuencia. 27: Sólido de revolución del ejemplo 3. El diferencial de volumen de una arandela queda. se genera una arandela.28. al girar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación.10. es decir. los límites de integración van desde un valor inicial ymín hasta un valor final ymáx que permitan cubrir toda la región con rectángulos: cubrir todo el sólido con arandelas.28: Una arandela para el sólido de revolución del ejemplo 3. Puesto que tenemos dy en vez de dx. pero con dy en vez de dx.10. exactamente como en el ejemplo anterior. el diferencial dy.26 se observa que el valor mínimo de y en la región es ymín = 0. entonces: 2 2 dV = π R −r dy Y el volumen del sólido de revolución se obtiene integrando la variable y. Como se observa en la figura 3. Ahora el grosor es una pequeña distancia vertical. . mientras que el valor máximo se da en ymáx = 4.278 Unidad 3: Aplicaciones de la integral FIGURA 3. En la figura 3. Así el volumen viene dado por: V= V= ∫y π R −r dy 4 R2 − r 2 V =∫ π dy 0 2 2 mín región ymáx ∫ dV R R r r 3 dy dy 1 –3 –2 –1 1 2 3 4 FIGURA 3. en la figura 3.29: Al despejar x de la curva y = 4 − x2 se obtiene una expresión para el lado izquierdo de la curva y otra expresión para el lado derecho. que al girar alrededor del eje x = 3 obtenemos el radio interior r = 3 − 4 − y . necesitamos tener los radios R y r en función de esta variable. como se ve en la figura 3. y el signo negativo para el lado izquierdo de la curva.30. vemos que el volumen del sólido está dado por: V= 3+ ∫0 π ( 4 4−y ) −(3 − 2 2 4 − y dy ) R = 3− − 4 − y x= 4−y R r 3 3 3 3 ( ) r = 3− 4 − y x=− 4−y dy dy –3 –2 –1 1 1 dy 1 1 1 2 3 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 FIGURA 3. mientras que el radio exterior es R = 3 + 4 − y . Usando estas expresiones para los radios. se obtiene x = ± 4 − y . Observa. Despejando x de esta expresión. En la figura 3. 4 x=− 4−y 4 3 2 1 4 3 2 1 x= 4+y y = 4 – x2 3 2 1 –3 –2 –1 –1 1 2 3 –3 –2 –1 –1 1 2 3 –3 –2 –1 –1 1 2 3 FIGURA 3.28 se observa que ambos radios llegan a lados distintos de la curva y = 4 − x2.10.30: El radio exterior R y el radio interior r para la región del ejemplo 3. con el signo positivo para el lado derecho de la curva.3. .29.2: Volúmenes 279 Como estamos integrando la variable y. . cuyo volumen se calcula fácilmente. se forma una arandela.280 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Para evaluar esta integral necesitamos usar el cambio de variable u = 4 − y.24 y 3. se ve que al rotar un rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación.2 Método de cáscaras cilíndricas En las figuras 3. al rotar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación. Esa suma es una aproximación al volumen del sólido de revolución. Esto sugiere que podemos cubrir la región con rectángulos de este tipo y sumar los volúmenes de las cáscaras cilíndricas generadas al rotar.32. en la figura 3. esto es: V = −π ⌠ 3+ u ⌡ 4 0 0 ( du ) − (3 − u ) 2 2 sustituyendo. u2(y2 = 4) = 0 Con lo cual obtenemos el valor numérico del volumen. Cuanto más cáscaras cilíndricas use. du = −dy De donde u1(y1 = 0) = 4. 3. = −π ∫ 9 + 6 u + u − 9 + 6 u − u du desarrollando.31: Cáscara cilíndrica que se genera al rotar un rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación. . y1 y2 FIGURA 3. se forma una cáscara cilíndrica. Ahora. 4 3 = −8π u 2 = 64π 4 0 simplificando e integrando. mejor será la aproximación (véase la figura 3.2.30 se muestra que.18. Sección 3.33). imagina que la “desenrolla” hasta formar un prisma rectangular muy delgado. entonces el volumen de la cáscara cilíndrica tiende a ser igual al volumen del prisma rectangular: diferencial de volumen diferencial de volumen = de la cáscara cilíndrica del prisma ferencial de volumen dif = ( lado1 ) ⋅ ( lado2 ) ⋅ ( lado3 ) del prisma dV = ( 2π R ) ⋅ ( h ) ⋅ ( dy ) h h 2πR R dy dy FIGURA 3. En esta figura son cáscaras cilíndricas.3. Si el grosor dy tiende a cero.32: La suma de volúmenes de cáscaras cilíndricas es una aproximación al volumen del sólido. Cuando su grosor tiende a cero. el volumen de la cáscara cilíndrica tiende a ser igual al volumen del prisma. Como sugiere la figura 3. En la figura 3. cada una envolviendo a la anterior. como se muestra en la figura 3. Para calcular el volumen de una cáscara cilíndrica.19 eran arandelas.33. Aquí se muestran cortadas a la mitad para percibir su forma. El lado más largo del prisma es igual al perímetro de la base de la cáscara cilíndrica. . cada una delante de la anterior. cada una de ellas con grosor pequeño y considerando que el número de cáscaras cilíndricas crece sin medida.2: Volúmenes 281 FIGURA 3.33: La cáscara cilíndrica se “desenrolla” para formar un prisma rectangular. el volumen exacto del sólido se obtiene sumando un número mayor de cáscaras.32. 34: Rectángulos con su lado mayor paralelo al eje de rotación generan cáscaras cilíndricas.10.282 Unidad 3: Aplicaciones de la integral El volumen de todo el sólido se obtiene integrando el diferencial de volumen en la región.33. El volumen de la región queda: V= región ∫ dV y2 y1 V = 2π ∫ R ⋅ h dy El siguiente paso consiste en escribir R y h en términos de y para llevar a cabo la integración. 3 x R dx dx R = 3 –x 3 3 h = y = 4 –x2 2 1 h –3 –2 –1 x 2 3 4 FIGURA 3.11 Usa cáscaras cilíndricas para calcular el valor numérico del volumen del sólido del ejemplo 3. como se muestra en la figura 3. Cada cáscara cilíndrica con radio R. solución La primera parte de la solución no cambia con respecto al ejemplo 3: debes encontrar los puntos de cruce y graficar la región. envolviendo a la anterior. Si el eje de rotación hubiera sido vertical. el grosor diferencial hubiera sido dx. como se muestra en la figura 3. los límites de integración hubieran sido x1 y x2. como en la figura 3. y habríamos tenido que escribir R y h en términos de x para llevar a cabo la integración. . La diferencia es que ahora consideraremos un rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación. h y dx. Ejemplos Ejemplo 3. altura h y grosor diferencial dx se desenrolla en un prisma rectangular. y habríamos usado rectángulos con su lado mayor paralelo a ese eje y. de lados 2π R.33. como se ilustra en el siguiente ejemplo.34. A la derecha se observan los valores de R y h en términos de x para la región y eje de rotación del ejemplo 3. pero con cilindros cuyo eje es vertical. como se muestra en la figura 3. Observa que al integrar.26. entonces. se están sumando volúmenes de cáscaras cilíndricas que están.11. cada una. Tabla 3.3. la verdadera elección es integrar en x o en y. o si por el contrario. entonces usarás rectángulos con lado menor dx (rectángulos “verticales”). entonces elige que el lado menor de los rectángulos sea dx (rectángulos “verticales”). El volumen del sólido de revolución queda: V= región ∫ dV x2 x1 2 −2 2 V = 2π ∫ V = 2π ∫ V = 2π ∫ V = 64 π R ⋅ h dx ( 3 − x ) ⋅ ( 4 − x 2 ) dx 12 − 4 x − 3x 2 + x 3 dx −2 Sección 3.2. x o y. elige que el lado menor sea dx (rectángulos “horizontales”).2 y se ilustra en el ejemplo siguiente. Si decides integrar en y.35. ¿Cómo elegir cuál de los dos métodos usar para cada ejercicio? La estrategia consiste en elegir primero si se va a integrar en x o en y. (Continúa) . Es importante que en tu dibujo identifiques los puntos exactos donde las curvas se cruzan. si tienes curvas con la variable x despejada y escrita como función de y. Ahora tienes que elegir cuál será tu variable de integración. quedan más sencillas al expresarlas con x despejada como función de y (entonces debes integrar en y). Por otro lado.2: Estrategia para calcular volúmenes de sólidos de revolución. como también ya se había mostrado en el ejemplo 3. Si. realmente no se elige entre arandelas y cáscaras cilíndricas. tenemos que escribir R y h en función de x. Como se observa. El procedimiento se resume en la tabla 3. En esa misma figura se observa que la región va desde x1 = −2 hasta x2 = 2. traza el eje de rotación. en tanto que hay otros volúmenes donde sucede justamente lo opuesto: se calculan más fácilmente con cáscaras cilíndricas que con arandelas. como se muestra en la figura 3. 2. por el contrario. usarás arandelas. Para esa decisión tienes que tomar en cuenta si las curvas que limitan la región quedan más sencillas al expresarlas con x despejada como función de x (entonces debe integrar en x). entonces usarás rectángulos con lado menor dy (rectángulos “horizontales”). Después de que hayas elegido el tipo de rectángulos. Si el lado mayor de los rectángulos que elegiste es paralelo al eje de rotación. el lado mayor es perpendicular al eje de rotación.2: Volúmenes 283 Puesto que en este ejemplo el grosor es dx. Si decides integrar en x. y lo demás es una consecuencia de tal elección.10. Dibuja cuidadosamente la región plana que al rotar generará el sólido.2. Volumen de un sólido de revolución 1. Como se observa en la tabla 3. usarás cáscaras cilíndricas. si tienes curvas donde y está despejada y escrita como función de x.3 Elección entre arandelas y cáscaras cilíndricas Hay volúmenes de revolución que son más sencillos de calcular con arandelas que con cáscaras cilíndricas. x > 0. solución El primer paso de la tabla 3. Finalmente integra para obtener el valor numérico del volumen. al rotar la región en el primer cuadrante que está limitada a la izquierda por la curva x = y2. La región que cumple con esas condiciones se muestra en la figura 3. −1) 2 Ahora traza la región entre las curvas. y2 ) = (1. según el tipo de rectángulo que elegiste. Escribe también los límites de integración que permitan recorrer toda la región. traza las dos curvas. entonces usarás cáscaras cilíndricas y el diferencial de volumen será dV = 2π R ⋅ h ⋅ dx o dV = 2π R ⋅ h ⋅ dy. 4.35.2 es graficar la región. o todas en términos de y si estás usando dy. En caso contrario.35. y que la curva x = y2 limita a la región por la izquierda y que la curva x = 2 − y2 limita a la región por la derecha. alrededor del eje y = 0. si el lado mayor del rectángulo es perpendicular al eje de rotación. los valores de x de ambas curvas coinciden. encontramos el valor de x2: x2 = 2 − ( −1) = 1 → ( x2 . obtenemos: 2y2 = 2 y2 = 1 y1 = 1 2 y2 = −1 El valor x1. Sobre el dibujo de la región traza un rectángulo de los que elegiste en el punto anterior. Si el lado mayor del rectángulo es paralelo al eje de rotación.284 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Volumen de un sólido de revolución (continuación) 3. como se muestra en la figura 3.1) De forma similar. comenzamos identificando los puntos donde las curvas se cruzan. A continuación. En esos puntos.12 Usa los pasos de la tabla 3. Dibuja también el eje de rotación. y > 0). a la derecha por la curva x = 2 − y2. Como en los ejemplos anteriores. que le corresponde a y1. Ejemplos Ejemplo 3. es decir. usarás arandelas y el diferencial de volumen será dV = π(R2 − r2)dx o dV = π (R2 − r2)dy. se obtiene reemplazando el valor de y1 en cualquiera de las dos curvas: x1 = 2 − (1) = 1 → ( x1. así que podemos encontrarlos igualando las expresiones para x de ambas curvas: y2 = 2 − y2 Pasando los términos que contienen y al lado izquierdo de la ecuación. Observa que el enunciado menciona que la región está en el primer cuadrante (es decir. Primero dibuja los puntos de cruce. .2 para encontrar el volumen del sólido generado. y1 ) = (1. según el tipo de rectángulo que eligió. Escribe todas las cantidades en términos de x si estás usando dx. 2 es dibujar el eje de rotación.5 0. Como se observa en la figura 3. una para los rectángulos que terminan en y = x y otra para los rectángulos que terminan en y = 2 − x .36: En esta región.5 1 1. Esto quiere decir que para calcular el volumen usando x como variable.2: Volúmenes 285 1 0. necesitaríamos calcular dos integrales. algunos rectángulos verticales están limitados arriba por y = x y otros por y = 2 − x . El segundo paso de la tabla 3. –1) –1 FIGURA 3. lo cual implicaría el hecho de tener que usar dos integrales.5 1 1 x = 2 – y2 0.2 consiste en elegir si la variable de integración será x o será y.33. el eje es y = 0. 1 y= x y= 2− x 1 x = y2 0. si la variable de integración fuera y. los rectángulos deberían tener un lado menor dx (rectángulos verticales).5 0. mientras que otros rectángulos terminarían en y = 2 − x . En este caso.5 0. lo cual implica una sola integral.36 se observa qué pasaría en cada uno de esos dos casos.5 1 1.5 2 0. Por otro lado. todos los rectángulos horizontales están limitados por las mismas curvas a la izquierda y a la derecha. En la figura 3. es posible escribir todas las curvas con y despejada como función de x. En la figura 3.5 (1.5 –1 (1.5 x = y2 0.5 2 – 0.5 2 0. y por ello cada uno de esos rectángulos genera una cáscara cilíndrica.5 – 0.5 1 1. dV = 2π R ⋅ h ⋅ dy. usaremos y como variable de integración (rectángulos horizontales). pero nota que algunos rectángulos terminarían en la curva y = x .35: Trazado de la región del ejemplo 3.5 2 – 0. Una vez que ya decidimos usar y como variable de integración.36. los rectángulos deberían tener lado menor dy (rectángulos horizontales).5 FIGURA 3. 1) PRIMER CUADRANTE 1 0. Por otro lado. Tomando eso en cuenta.13.5 –1 1 1. .5 – 0.5 x = 2 – y2 y=0 0.37 vemos que ese eje es paralelo al lado mayor de los rectángulos que ya habíamos elegido.36 vemos que en ese caso todos los rectángulos comienzan en la curva x = y2 y todos terminan en x = 2 − y2.3. el tercer paso de la tabla 3. Esto quiere decir que podemos usar una sola integral. es decir. Cómo en la figura 3. En la figura 3. el diferencial de volumen es la multiplicación de los tres lados del prisma que se genera al desenrollar la cáscara. Si la variable de integración fuera x.5 –1 1 1. su altura es h = 2 − 2y2.2.5 0 0 0 0.5 x 2 FIGURA 3. su grosor es dy. . Así.37 también se observa el cuarto paso de la tabla 3.5 A(x) y 1 z 3 4 2 1 1. El radio de la cáscara cilíndrica es R = y.14 Sección 3. Volúmenes de sólidos con área transversal conocida 2 1. y los valores inicial y final en y. son 0 y 1. se generan cáscaras cilíndricas. el volumen queda: V= V= región 1 ∫ dV 2 ∫ 0 2π y ⋅ ( 2 − 2 y ) dy 1 V = 2π ∫ ( 2 y − 2 y 3 ) dy 0 V = π = 3. para recorrer toda la región.37: Como los rectángulos que fueron elegidos son paralelos al eje de rotación.2. En la figura 3.286 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 1 h y R=y 0 x = y2 R 2 EJE y=0 x = 2 – y2 h = 2 – y2 – y2 FIGURA 3.5 1 0.38: Sólido con sección transversal conocida A(x).4. 0. 0) está dada por: y=5− 5x 12 . 5. después. En efecto.13.39. obtenemos el siguiente resultado. xi + 1) es un intervalo genérico de la partición. Para determinar el volumen de este sólido. calcular el volumen de una rebanada típica y. Volumen de un sólido con sección transversal conocida V = lím ∑ A( xi )∆xi = ∫ A( x )dx || P ||→ 0 i =1 a n b Ejemplos Ejemplo 3. si (xi. la ecuación de la recta L1 que une los puntos con coordenadas (0. basta con hacer una partición del intervalo [a. y considerando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero.2: Volúmenes 287 Supongamos ahora que tenemos un sólido con sección transversal conocida A(x) entre x = a y x = b (véase la figura 3. entonces el volumen de la rebanada está dada por ∆Vi = A(xi)∆xi.38). solución De la figura 3.13 Determina el área de la sección transversal del sólido que se muestra en la figura 3. Posteriormente calcula su volumen. y 5 A(x) L2 x 12 z 4 L1 FIGURA 3. Sumando ahora. sumar todos los volúmenes. b].3.39: Sólido correspondiente al ejemplo 3.39. 0) y (12. y = 1. 2. y = 0. la recta L2 que une los puntos (0. Entonces obtenemos que: 12 9 20 2 ⌠ V ( x ) = 20 − x + x dx 12 144 ⌡ 0 = 20 x − = 266 3 2 5 3 x + x 8 108 0 12 integrando y simplificando. x = 4 . y = x2. x = 4. eje y = 1 h) x = 2 y . eje x = 3 j) y = x . x = 1. y = 0. eje y = 0 f ) y = x − x2. basta con integrar esta función desde x = 0 hasta x = 12. eje x = 0 i) x = y2 + 1. 5. y = 4. x = 3. 0) está dada por: z=4− 4x 12 Reuniendo estos dos resultados. obtenemos que el área A(x) está dada por: 5x 4x 9 20 2 A( x ) = yz = 5 − 4 − = 20 − x + x 12 12 12 144 Para determinar el volumen del sólido. ev valuando. eje x = 0 k) y = x . y = 1. Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = x2. 0) y (12. eje y = 2 d) y = x. eje x = −1 b) y = x. y = 0. 1. 3. eje x = 2 g) y = x . alrededor del eje x = 4. x = 0. y = 0. y = 3 − x. alrededor del eje y = 0. eje y = 0 . x = 4. y = 0. Usa los pasos de la tabla 3. Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = 1 + x2. y = 6x − x2. al eje x = −1 e) y = x . eje y = 0 c) y = x.2 para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región encerrada por las curvas en torno al eje dado: a) y = 3x − x2. Usa arandelas para calcular el volumen de este sólido. 0. y = x2. y = x2. Usa cáscaras cilíndricas para calcular el volumen de este sólido.288 Unidad 3: Aplicaciones de la integral De forma similar. eje x = 0 4. b) Investiga en la biblioteca y en Internet el teorema de Pappus para volúmenes de sólidos de revolución y úsalo para encontrar el volumen de este sólido. x = 0. en el primer cuadrante. Dibuja el sólido que se genera al rotar disco adentro del círculo x2 + y2 = a2 en torno al eje x = b.org/wiki/BonaventuraCavalieri.40? FIGURA 3.40: La imagen de las monedas. en el primer cuadrante. x = 0. tales que b > a. y = 0. sin tener que integrar.3. donde a y b son constantes positivas. eje y = 0 m) y = 3 + 2x − x2. a) Usa los pasos de la tabla 3. Observación: Hay varios teoremas de Pappus y nos interesa el que sirve para volúmenes de sólidos de revolución. en el primer cuadrante. en el primer cuadrante.2 para encontrar su volumen. 5. x = 4. x = 1. ¿qué puedes decir sobre la cantidad de café que le cabe a las tazas de la figura 3. eje x = 0 n) y = 3 + 2x − x2. ilustra el Principio de Cavalieri.40 para explicar el principio de Cavalieri. . y = 0. a) Utiliza las monedas de la figura 3. eje x = 4 p) y = 1 x . x = 0. Investiga en la biblioteca y en Internet sobre el principio de Cavalieri. b) Usando ese principio. y = 0. y = 0. las cuales son propiedad de uno de los autores de este libro. x = 0.wikipedia. el cual nos permite concluir algo interesante acerca de la cantidad de café que cabe en las tazas. y = 0. eje y = −1 o) y = 3 + 2x − x2. obtenida de http://en.2: Volúmenes 289 l) y = 3 + 2x − x2. 5 1 y = x2 y 20 10 y = x3 0.75 y 0.5 0.5 1 1.5 1 1. La fórmula secreta de la coca cola. analiza y resuelve las siguientes situaciones.5 0.5 z 2 a) 4 y = x2 3 y 2 1 0 00 0.5 π FIGURA 3. Determina el sólido que tienen las secciones transversales de las figuras siguientes.5 1 1. a) ¿Por qué una sencilla “regla de tres” no sirve como fórmula para relacionar la altura con el volumen de la botella? b) ¿Por qué la gráfica de volumen como función de la altura no puede ser una línea recta? . 4 3 y 2 1 0 00 0. correspondientes con el ejercicio 6. 1.51 x x 1 2 z z = x2 d) 1 1.5 z 2 y=x c) 0. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo.290 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 6.5 x y=x 2 0 00 2 4 8 6z z = x2 b) 1 2 x 3 1 0.25 0 00 2 y = cos(x) 1.41: Sólidos con sección transversal conocida. A. 2 0 10 0 20 –2 0 –2 2 2. e) Presenta tus resultados en un reporte digno de entregarse a ejecutivos de Coca ColaMR. Por tal razón debemos informarles que el anterior equipo de investigadores sólo dejó un esquema del juego y un borrador incompleto sobre el problema. La carta de proyectos especiales. es una empresa dedicada al análisis. sin embargo.. Sugerimos que los perfiles de las piezas se elaboren en papel cuadriculado (o se use algún programa de apoyo) y después se obtengan las expresiones . por lo que planeábamos terminar el análisis. Una de nuestras actuales investigaciones incluye el análisis de juegos de mesa. En este proyecto hemos trabajado periódicamente debido a las continuas peticiones que recibimos de organizaciones dedicadas a elaborar juguetes. A. Nuestra desesperación está en el límite porque debemos presentar el reporte final del análisis a nuestro contratante en muy poco tiempo. Col. Proyectos Especiales S. Doctores México D. CP 06720 Estimados alumnos: Proyectos Especiales.. desarrollo e implementación de diversos prototipos que responden a una amplia gama de intereses. Recientemente firmamos un nuevo contrato con otro grupo interesado en este proyecto.3. Afortunadamente recibimos informes de que ustedes podrían ayudarnos a elaborar el reporte final. para nuestra mala fortuna. S. Los datos proporcionados al torno se pueden generar mediante curvas z = f (y) que al rotar alrededor del eje z producirán las figuras de las piezas de ajedrez. y argumenta cómo puedes averiguar si se calcula correctamente el volumen con la precisión solicitada en el enunciado del problema.2: Volúmenes 291 c) Haz propuestas para la fórmula. renunció el brillante equipo de investigadores con el que inicialmente trabajábamos. Uno de los últimos trabajos en esta área (juegos de ajedrez) no se completó porque la empresa que lo solicitó tuvo que salir del mercado nacional y canceló el contrato que teníamos antes de que se terminara el proyecto.F. d ) Selecciona la fórmula más adecuada y grafícala para alturas desde 10 cm hasta 50 cm. En este reporte se señala que “algunas piezas de ajedrez se pueden elaborar en tornos de control numérico. aunque este margen es muy pequeño para incluirlos” y se incluye la figura anexa. . les pedimos nos hagan llegar su reporte a la brevedad. si se supone que las piezas se elaborarán de madera. nuestro contratante nos exige que entreguemos un reporte que incluya: ✓ los perfiles (numéricos. Sinceramente _________________________________________ Geraldine Estrada Montalbán Gerente General de Proyectos Especiales. S. gráficos y algebraicos) de cada una de las piezas ✓ las gráficas tridimensionales de las piezas que se construirán ✓ las características físicas y mecánicas de las piezas (volumen. físicos.292 Unidad 3: Aplicaciones de la integral analíticas de las curvas”. centro de masa y momentos de inercia) ✓ la cantidad de materia prima (en kilogramos) que se requerirá. En el margen final del reporte inconcluso aparece la frase: “indudablemente el análisis requerirá de conceptos matemáticos. A. Para que podamos incorporar sus contribuciones en nuestra presentación. Por otra parte. mecánicos y computacionales. acero o nylamid ✓ el costo de fabricación Es importante anexar al reporte un programa computacional que facilite la toma de decisión sobre cuál prototipo construir. plástico. La profundidad varía como se muestra en la siguiente figura. La profundidad en el extremo izquierdo es de 1. la profundidad es de 2. Después. la pendiente cambia a otro valor constante.0 metros.3. de tal manera que a 2.5 metros. Con tu equipo calcula el volumen de la alberca en litros.0 metros a la derecha la profundidad es de 0.5 5 2. Justo en ese punto la pendiente cambia a otro valor constante. ancho (metros) profundidad (metros) 0 4 2 0 0 2 4 6 8 10 –2 b) Esta segunda alberca debe tener la forma y las dimensiones que se muestran en la siguiente figura. la profundidad no cambia hasta el extremo derecho de la alberca.5 –3 0 0 5 10 15 longitud (metros) .67 metros.0 metros. de tal manera que en el extremo derecho la profundidad es de 3. 15 20 5 0 0 –1 –2 –3 15 10 10 5 0 ancho (metros) 15 profundidad (metros) 12. y hay una pendiente constante.5 0 10 7.0 metros a la derecha.2: Volúmenes 293 3.5 metros.0 metros. Con tu equipo calcula el volumen de la alberca en litros. la profundidad es de 0. Justo en ese punto. la profundidad es de 2. Para esta primera alberca debes obtener el volumen exacto. y hay una pendiente constante. Albercas a) Una alberca rectangular tiene un ancho de 6 metros y una longitud de 10 metros. de tal manera que a 10. de tal manera que a 6. Para esta segunda alberca también debes obtener el volumen exacto.0 metros a la derecha del extremo izquierdo. En el extremo izquierdo. Con tu equipo calcula el volumen en litros de la alberca. y tiene una profundidad de 4 metros.000 litros (5 metros cúbicos). ancho (metros) 0 0m 3 2 1 –1 –2 –3 0 2 4 6 8 10 12 14 –4 m longitud (metros) profundidad (metros) . Encuentra argumentos sólidos para demostrar que su cálculo tiene un error máximo de 5. El punto más profundo de la alberca se encuentra a 12.0 metros.294 Unidad 3: Aplicaciones de la integral c) ¿Te imaginas una fiesta con tus amigos al lado de la alberca con forma de guitarra mostrada en la siguiente figura? El brazo de la guitarra tiene una profundidad constante de 1. justo en el centro del círculo mayor.2 metros a la derecha del extremo izquierdo. y = 6. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ iv. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ iii. 8 d ) Región encerrada entre las curvas y = 0. y = 3 27 x en el primer 8 cuadrante x ≥ 0. b) Región encerrada entre las curvas 6 y = x. y ≥ 0. x = 8. Columna B i. y = x. c) Región encerrada entre las curvas 6 y = 0.3. x = 8. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la _____ . y = 3 27 x . y = 3 27 x .2: Volúmenes 295 Autoevaluación 1. Columna A a) Región encerrada. entre las curvas x = 0. Relaciona cada inciso de la columna A con su número correspondiente en la columna B. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ ii. y = 3 27 x . y = 3 27 x en el primer 8 cuadrante x ≥ 0. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas. y = 3 27 x . 6 ⌠ 8y 8 − dy π 6 ⌡ 0 2 ii. 6 ⌠ y3 π 8 − dy ∫ π ( 8 ) dy − 27 0 ⌡ 6 2 0 2 iv. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas. x = 8. Columna A a) Región encerrada entre las curvas x = 0. Columna B i. b) Región encerrada entre las curvas 6 y = x . y ≥ 0.296 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 2. y = 6. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas. c) Región encerrada entre las curvas 6 y = 0. 6 2 ⌠ ⌠ y3 8y π 8 − dy − π 8 − dy 6 27 ⌡ ⌡ 0 0 2 6 . x = 8. 8 d) Región encerrada entre las curvas y = 0. y = x . 6 ⌠ y3 dy π 8 − 27 ⌡ 0 2 iii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas. Relaciona cada inciso de la columna A con su número correspondiente en la columna B. 3.2: Volúmenes 297 3. Relaciona cada inciso de la columna A con su número correspondiente en la columna B. Columna A a) Región encerrada entre las curvas x = 0, y = 6, y = 3 27 x ,. b) Región encerrada entre las curvas 6 y = x , y = 3 27 x , en el primer 8 cuadrante x ≥ 0, y ≥ 0. c) Región encerrada entre las curvas 6 y = 0, y = x , x = 8. 8 d) Región encerrada entre las curvas y = 0, y = 3 27 x ,, x = 8. Columna B i. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras cilíndricas. ∫ 2π ( 8 − x ) ( 6 − 3 27 x ) dx 0 8 ii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras cilíndricas. 8 6x ⌠ dx 2π ( 8 − x ) 8 ⌡ 0 iii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras cilíndricas. 8 6x 3 ⌠ 27 x − dx 2π ( 8 − x ) 8 ⌡ 0 iv. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras cilíndricas. ∫ 2π ( 8 − x ) ( 3 27 x ) dx 0 8 298 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Región encerrada entre las curvas y = 1 + x2, alrededor del eje y = 0. El volumen de este 117π = 73.5133 . sólido es V = 5 6 5 4 1 –3 –2 –1 1 2 2. Región encerrada entre las curvas y = x2, y = 6x − x2, alrededor del eje x = 4. El volumen de este sólido es V = 45π = 141.372. 10 8 6 4 2 1 2 3 4 3. a) V = 45π 2 b) V = 2π 15 c) V = 8π 15 d) V = π 2 e) V = π 2 f) V = π 2 g) V = 7π 6 h) V = 3π i) V = 64π 2 15 j) V = 128π 5 k) V = 8π l) V = 153π 5 –2 m) V = 45π 2 n) V = 243π 5 o) V = 99π 2 p) V = 6π 4. Tanto con los métodos de este capítulo como con el teorema de Pappus se obtiene que el volumen es V = 2π2ba2, sólo que con el teorema de Pappus en este ejercicio no hace falta integrar, porque el centroide (centro de masa) de la región evidentemente se encuentra en el origen. 5. Que a ambas tazas les cabe la misma cantidad de café. 6. a) 2; b) 243/4; c) 4; d) π 2 − 8 / 4 . ( ) 3.2: Volúmenes 299 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. (b, i.); (a, ii.); (c, iii.); (d, iv.) 2. (c, i.); (d, ii.); (a, iii.); (b, iv.) 3. (a, i.); (c, ii.); (b, iii.); (d, iv.) 300 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 3.3 Aplicaciones de la integral Las ciencias no tratan de explicar; incluso apenas tratan de interpretar; construyen modelos principalmente. Por modelo, se entiende una construcción matemática que, con la adición de ciertas interpretaciones verbales, describe los fenómenos observados. La justificación de tal construcción matemática es sólo y precisamente que se espera que funcione. John von Neumann Situación: La pirámide del Sol FIGURA 3.42: La pirámide del Sol en Teotihuacan. En Teotihuacan, la ciudad de los dioses, destaca la gran Pirámide del Sol, una gigantesca construcción con base cuadrada de 200 metros por lado y 65 metros de alto, la cual se empezó a construir alrededor del año 0 de nuestra era y se terminó después de 50 largos años. Muy pocas ciudades del mundo se han considerado dignas de ser habitadas por los dioses, quienes están más habituados a vivir en las esferas celestes que en los dominios humanos. Teotihuacan, sin lugar a dudas, es una de ellas. Sólo después de mil años de civilización logró alcanzar el rango de ciudad mítica. Aun en la actualidad, en nuestra época de innumerables avances tecnológicos, podemos admirarla recorriendo su amplia avenida central que marca el rumbo del Universo, y observando sus plazas y pirámides de proporciones ciclópeas que incitan a la imaginación de un mundo espiritual casi olvidado. Dos mil años de grandeza sublime. Algunas veces en decadencia y otras en claro renacimiento, nos hacen pensar en la grandeza de la raza humana que le dio 3.3: Aplicaciones de la integral 301 origen y que aún le permite vivir en el México moderno. ¿Qué motivó a nuestros antepasados a construir la gran ciudad de Teotihuacan? ¿Qué tanto volumen de piedra tuvieron que transportar de lejanas tierras para construir la Pirámide del Sol? ¿Cuál fue el trabajo requerido para construirla? ¿Cuántos hombres fueron necesarios para levantarla? La grandeza humana se mide por sus magnos sueños y por las metas colosales que se propone. La ciudad de los dioses es muestra de la grandeza de los hombres de esas tierras que la construyeron hace 2000 años. Introducción Ya tuvimos la oportunidad de estudiar algunas de las aplicaciones geométricas más relevantes de la integral. Con su ayuda pudimos determinar el área encerrada entre curvas y el volumen de sólidos de revolución. Sin embargo, sus aplicaciones no se circunscriben sólo al ámbito geométrico, ya que forman parte importante de la modelación de fenómenos físicos cotidianos. Por ejemplo, con su ayuda podemos calcular la distancia recorrida por partículas, la masa contenida en un cuerpo sólido, el área a pintar de una superficie, algunas características físicas como el centro de masa o los momentos de inercia que suelen ser útiles en mecánica. Como te das cuenta, sus aplicaciones son inmensas y, en ese sentido, su importancia es mayúscula. Por tal razón, dedicaremos esta sección al estudio de diversas aplicaciones de la integral. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección, deberás ser capaz de: • Calcular la longitud de una curva definida por y = f (x) o x = g(y). • Determinar el área superficial de un sólido de revolución. • Calcular la masa de un sólido con densidad de masa no constante. • Determinar el centro de masa de un objeto. • Determinar los momentos de inercia de objetos. • Calcular el trabajo hecho por una fuerza variable en una dimensión. • Calcular la fuerza hidrostática sobre un contenedor. Sección 3.3.1 Longitud de arco Supón que una partícula se mueve sobre la trayectoria definida por la curva y = f (x), desde un punto inicial con coordenadas (a, f (a)) hasta un punto final (b, f (b)). Observa la figura 3.43 a. ¿Cuál es la distancia recorrida? 302 Unidad 3: Aplicaciones de la integral a) y fb b) fxi + 1 D L = D x 2 + D y2 Dy fxi fa a x1 x2 b x xi xi + 1 FIGURA 3.43: a) Aproximación de la longitud de una curva por segmentos rectilíneos. b) Un segmento de línea que aproxima una curva en el intervalo (xi, xi+1). Para responder la pregunta anterior, considera una partición del intervalo (a, b) en n pequeños subintervalos (a = x0, x1), (x1, x2),…, (xn − 1, xn = b). En la figura 3.43b se muestra la gráfica que corresponde al intervalo (xi, xi+1). Observa que la distancia del punto (xi, yi = f (xi)) al punto (xi+1, yi+1 = f (xi+1)) aproxima la longitud de la curva entre esos dos puntos, y cuanto más pequeña sea la longitud del intervalo (xi, xi+1), mejor será la aproximación. Es decir, si ∆Li es la longitud de la curva en el intervalo, entonces: ∆y ∆Li ≅ ( xi +1 − xi )2 + ( yi +1 − yi )2 = ( ∆xi )2 + ( ∆yi )2 ≅ 1 + i ∆xi ∆xi Donde hemos considerado que ∆xi = xi+1 − xi y ∆yi = yi+1 − yi. Sumando las longitudes de todos los segmentos rectilíneos, obtenemos una aproximación para la longitud total de la curva: n ∆y L ≅ ∑ 1 + i ∆xi ∆xi i =1 2 2 Finalmente, en el límite cuando todas las longitudes de los subintervalos tienden a cero o, de forma equivalente, cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos: L = lím que se traduce en la fórmula de la: || P ||→ 0 ∑ i =1 n ∆y 1 + i ∆xi ∆xi 2 Longitud de la curva y = f (x) desde x = a hasta x = b dy L = ∫ 1 + dx dx a b 2 (3.5) 3.3: Aplicaciones de la integral 303 De forma similar, si la curva se define como x = g(y), obtenemos la fórmula de la Longitud de la curva x = g(y) desde y = c hasta y = d L=∫ c d dx 1 + dy dy 2 (3.6) En algunos casos, la curva se define mediante ecuaciones paramétricas x = f (t), y = g(t). En estos casos calculamos la longitud de la curva con la siguiente fórmula: Longitud de la curva definida por ecuaciones paramétricas x = f (t), y = g(t) desde t = a hasta t = b dx dy L = ∫ + dt dt dt a b 2 2 (3.7) Ejemplos Ejemplo 3.14 Algunos puentes colgantes se sostienen mediante una estructura simple basada en dos grandes soportes anclados al piso y unidos, en sus extremos superiores, por un cable guía de acero. El puente se une con cables verticales al cable guía (véase la figura 3.44). Supón que la forma del cable guía está dada por la expresión x y = 25(e x / 50 + e− x / 50 ) − 50 m = 50 cosh − 50 m , 50 donde x varía de a = −70 m hasta b = 70 m. Determina la longitud del cable requerido para unir los dos extremos superiores de los soportes. 140 m 57.5449 m FIGURA 3.44: Un puente colgante unido a un cable guía por cables verticales. 304 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución Para determinar la longitud del cable seguimos la fórmula 3.5. Calculemos primero la derivada, dy x = senh 50 dx Entonces, 70 L= Usando la identidad: −70 ∫ x 1 + senh 2 dx 50 cosh2(t) = 1 + senh2(t) Obtenemos: 70 L= 70 −70 = 50 senh − 50 senh 50 50 7 = 100 senh m = 190.43 m 5 −70 ∫ x x cosh dx = 50senh 50 50 x = 70 x =−70 Ejemplo 3.15 Calcula la longitud de la curva x = 2 3/ 2 y desde y = 0 hasta y = 8. 3 solución Para resolver el ejercicio, seguimos la fórmula 3.6. Calculamos primero la derivada, dx = y1/ 2 dy Entonces, L = ∫ 1 + ( y1/2 )2 dx = ∫ 1 + y dy 0 0 8 ∞ Haciendo la sustitución u = 1 + y tenemos, u=1+y du = dy de donde L = ∫ u1/2 = 1 9 u=9 u(y = 0) = 1 u(y = 8) = 9 2 52 2 3/2 2 u = (27 ) − = 3 3 3 3 u =1 3.3: Aplicaciones de la integral 305 Ejemplo 3.16 Calcula la longitud de arco de la curva y= desde x = 1 hasta x = 3 3 x3 1 + 4 3x solución Aplicamos nuevamente la fórmula 3.5. Primero determinamos la derivada, 1 dy 3 2 = x − 2 dx 4 3x Usando este resultado, tenemos 1 dy 3 1 + = 1 + x2 − 2 dx 4 3x 2 2 1 1 3 = 1 + x2 − + 2 4 2 3x 2 1 3 = x2 + 2 4 3x Así, L= = 1 x3 1 3 2 = − x + dx ∫ 4 4 3x 3x 2 1 3 3 x=3 x= 1 3 2 2 27 1 1 206 − − − 1 = 4 9 108 27 Ejemplo 3.17 Una partícula parte del origen y se mueve en el tiempo de acuerdo con x = et cos(t) − 1 y = et sen(t) Si x y y se miden en metros, determina la distancia recorrida por la partícula, desde t = 0 hasta t = 3 segundos. y 20 15 10 5 x –20 –15 –10 –5 –5 5 FIGURA 3.45: La trayectoria seguida por la partícula del ejemplo 3.17. 306 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución En la figura 3.45 se muestra la trayectoria seguida por la partícula. Para determinar la distancia recorrida aplicamos la fórmula 3.7. Primero determinamos las derivadas, dx = et cos(t ) − et sen(t ) dt dy = et sen(t ) + et cos(t ) dt Usando este resultado, tenemos dx dy = (et cos(t ) − et sen(t ))2 + (et sen(t ) + et cos(t ))2 = 2 e2 t + dt dt Finalmente, integrando obtenemos la distancia recorrida L = ∫ 2 et dt = 2 et 0 3 t =3 t =0 2 2 = 2 (e3 − 1) metros. Sección 3.3.2 Área superficial de sólidos de revolución En la sección anterior obtuvimos fórmulas generales para determinar el volumen de sólidos de revolución en diferentes situaciones. Ahora nuestro objetivo es determinar el área superficial de tales sólidos de revolución. Para ello considera el sólido generado al rotar la curva y = f (x) alrededor del eje x desde x = a hasta x = b (véase la figura 3.46). y dy dL = 1 + dx 2 dS = 2π ydL x z FIGURA 3.46: Para determinar el área de un sólido de revolución, generado al girar la curva y = f (x) alrededor del eje y, basta con integrar el grosor dL por el perímetro 2π y de un segmento de cáscara. Observa que esta cantidad es la ∆x i 2 diferencial de la longitud de arco. está dada por dy S = ∫ 2π y 1 + dx dx a b 2 (3. se obtiene la expresión para el área de una superficie de revolución: 2 Área de una superficie de revolución Si y = f (x) es una función con derivada continua.3. el área superficial del sólido de revolución. . salvo en un número finito de puntos. b) en pequeños subintervalos.9) Ejemplos Ejemplo 3. está dada por: dx S = ∫ 2π x 1 + dx dy c d 2 (3. ∆y ∆Si ≅ 2π yi 1 + i ∆xi ∆xi Sumando las áreas superficiales producidas en cada intervalo y considerando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero.3: Aplicaciones de la integral 307 Supón que y = f (x) es una función derivable. Una aproximación del área superficial del sólido en este intervalo se obtiene multiplicando el perímetro de un círculo ∆y de radio yi = f (xi) por el grosor ∆Li = 1 + i ∆xi . que se obtiene al girar la curva x = g(y) alrededor del eje y desde y = c hasta y = d.8) De forma similar. b). entonces el área del sólido de revolución. que se obtiene al girar la curva alrededor del eje x desde x = a hasta x = b.18 x3 Determina el área del sólido de revolución que se obtiene al girar la curva y = desde x = 0 has3 ta x = 1. en el intervalo (a. xi+1). Y consideremos el intervalo genérico (xi. salvo en un número finito de puntos. De esta forma. Hagamos ahora una partición de este intervalo (a. .47: El sólido de revolución del ejemplo 3.308 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y z x FIGURA 3. alrededor del eje x. Para resolver el problema. 0 ≤ x ≤ 3A2. tenemos superficial. y se miden en centímetros.A.19 La empresa Osram S. Como dx 2 S = ∫ π x 3 1 + x 4 dx 3 0 1 Para determinar el valor de la integral usamos el método de integración por sustitución. está diseñando un nuevo tipo de focos para su venta en la época decembrina. Haciendo el cambio u = 1 + x4 u(x = 0) = 1 du = 4x3dx u(x = 1) = 2 se tiene S=∫ 2 π 1/2 π 2 π u du = u 3/2 2 2 − 1 = 3 6 6 9 1 u=2 u =1 Ejemplo 3.18.8. la curva con ecuación y = Ax1/ 2 − x 3/ 2 . calcula el volumen del material que se requiere para construir un foco típico. Si el grosor del vidrio es de 0. . 3A Donde x. aplicamos la fórmula 3.05 cm. Los focos se obtendrán girando. solución En la figura 3.47 se muestra el sólido de revolución del que queremos conocer el área dy = x 2. solución La estrategia para resolver el problema parte de determinar el área superficial del foco (véase la figura 3. Posteriormente. Así.5 3 y x x z b) a) FIGURA 3.4 0.48).8. el sólido obtenido. multiplica el resultado obtenido por el grosor del vidrio. se sigue que 2 2 x 3/ 2 A −1/ 2 x1/ 2 dy y 1 + = Ax −1/ 2 − + x dx 3A 2A 2 2 2 A x x = + − 2 3 6 A2 .3: Aplicaciones de la integral 309 y 0.48: Foco de la empresa Osram generado al rotar la curva y = f (x) alrededor del eje y.3 0. y en b).5 0. seguimos la fórmula 3. Para ello.6 0. derivando la función propuesta se llega a dy A −1/ 2 x1/ 2 = x − dx 2 2A Usando este resultado tenemos 2 A x1 / 2 dy 1 + = 1 + x −1/ 2 − dx 2A 2 2 2 1 x1 / 2 A = 1 + x −1/ 2 − + 2 2 2A 2 1 x1 / 2 A = x −1/ 2 + + 2 2 2A 2 2 A x1 / 2 = x −1/ 2 + 2A 2 De donde.5 1 1.2 0.1 0. En a) se muestra el perfil usado.5 2 2.3. . ρ= Masa Volumen Decimos que un cuerpo tiene densidad de masa uniforme si. obtenemos la misma densidad volumétrica de masa para cada pedazo.15πA4cm3 Sección 3. este resultado no es válido y la densidad de masa no es constante y depende de la posición del pedazo que estemos considerando. Es decir. podemos calcular la masa de un objeto si se conoce su densidad de masa.310 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Finalmente. obtenemos el volumen del material empleado en la construcción del foco. Con ellas. con i = 1. el área superficial está dada por 3 A2 S= ∫ 0 A2 x x 2 2π + − dx 2 3 6 A2 x = 3 A2 A2 x2 x3 S = 2π x+ − 6 18 A 2 2 3 9 27 A 6 S = 2π A 4 + A 4 − 6 18 A 2 2 S = 3π A 4 x=0 Multiplicando este resultado por el grosor. cada pedazo tiene masa dada por ∆mi = ρ∆Vi Si sumamos las masas tendemos: M = ∑ ∆mi = ∑ ρ∆Vi i =1 i =1 n n En el caso de considerar pedazos cada vez más pequeños. al dividir el cuerpo en pequeños pedazos de masa ∆mi y volumen ∆Vi.005) = 0. Sin embargo. es posible definir la densidad volumétrica de masa como el cociente de la masa entre el volumen. ρ= ∆m1 ∆m2 = = ∆V1 ∆V2 = ∆mn ∆Vn En general. 2.3. n. V = 3πA4(0. En efecto.3 Densidad de masa Cualquier cuerpo sólido tiene dos características físicas que lo determinan: su masa y el volumen que ocupa.…. llegamos a una expresión para la masa en términos de integrales. Por ejemplo. la masa de un objeto lineal. por ejemplo un disco. que se define como la masa por unidad de área. 2. la masa total se obtiene haciendo una partición del alambre en segmentos de longitud didy ferencial ds = 1 + dx . 4. El término densidad aparece en varios contextos. Sin embargo. se integra la densidad de población en esa región. Es decir. En este caso.10) Observaciones 1. Para objetos de grosor despreciable. existen casos interesantes que pueden resolverse con las técnicas estudiadas en capítulos previos y que analizaremos en los ejemplos siguientes.3.22).13) donde σ es la densidad superficial de masa. de tal forma que la masa total se obtiene in dx tegrando la densidad lineal λ multiplicada por ds. En general. un alambre por ejemplo.12) 3.11) donde a y b son los límites del alambre. dy 2 M = ∫ λ ds = ∫ λ 1 + dx dx a b 2 (3. se determina usando M = ∫ λ dx a b (3. Si se quiere determinar la población de una región. En muchas ocasiones se define la densidad lineal de masa λ como la masa por unidad de longitud. . la masa se calcula usando M = ∫ σ dA (3.3: Aplicaciones de la integral 311 Masa de un objeto sólido con densidad volumétrica de masa ρ y que ocupa un volumen V M = ∫ dm = ∫ ρdV (3. estado o país por cada kilómetro cuadrado de área. el cálculo de la masa de un objeto sólido requiere de técnicas de integración que están fuera del alcance de este texto. Para el caso de alambres curvos (véase el ejemplo 3. 5. en demografía se habla de la densidad de población por kilómetro cuadrado como la cantidad de pobladores que tiene una ciudad. uno de sus extremos en el origen de coordenadas y densidad de masa λ = 2x. Así. basta con aplicar directamente la fórmula 3. Supón 2 solución Como el alambre es curvo. x2 desde x = 0 hasta x = 1.49: Alambre con densidad de masa λ correspondiente al ejemplo 3.20 Determina la masa del alambre de la figura 3.12.49 que tiene longitud L = 2 metros.11.21 Determina la masa de un alambre que tiene la forma de la curva y = que el alambre tiene densidad de masa constante λ. para la curva que estamos considerando se tiene dy = x . usamos la fórmula 3. θ ( x = 1) = π / 4 M = ∫ λ sec 3 (θ )dθ 0 4 . solución Para resolver este ejemplo. Para hacerlo considera el cambio: x = tan(θ ) . dx = sec 2 (θ )dθ Entonces. Alambre con densidad λ x 0 L FIGURA 3. de donde inferimos que la masa total es dx dy M = ∫ λ 1 + dx = ∫ λ 1 + x 2 dx dx 0 0 1 2 1 Esta integral se resuelve usando el método de sustitución.312 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Ejemplos Ejemplo 3.20. θ = arctan( x ) 1 + x = sec(θ ) 2 π θ ( x = 0) = 0 . obtenemos M = ∫ 2 xdx = x 2 0 2 x=2 x=0 =4 Ejemplo 3. 2 t t = 0.3. la coordenada xcm del centro de masa se define mediante la relación: . x2.2e 0 −0. xn. 0. con t ≥ 0. mn posicionadas en x1.5 probabilidad = ∫ 0. en años. …. basta integrar la función de densidad de probabilidad desde t = 0 hasta t = 0.5 t =0 = 1 − e−0.1 ≈ 0. Para ello.4 Centro de masa y momentos de inercia Para un sistema de partículas con masas m1. …. ¿Qué porcentaje de automóviles tendrá fallas en el tren de transmisión durante los primeros seis meses de uso? solución El problema se reduce a calcular la probabilidad de que un automóvil elegido al azar tenga una falla antes de los seis meses. considera el cambio u = sec(θ) dv = sec2(θ)dθ Así. transcurrido hasta que se presenta la primera falla en el tren de transmisión de un automóvil nuevo tiene una función de densidad de probabilidad f (t) = 0.2e−0. respectivamente.3: Aplicaciones de la integral 313 Usemos ahora integración por partes.2t. tenemos λ θ =π sec(θ ) tan(θ ) + ln(sec(θ ) + tan(θ ))] θ = 04 [ 2 λ M= 2 + ln( 2 + 1) 2 M= Ejemplo 3.5. m2.0951626 Sección 3.2 t dt = − e−0.22 Se sabe por diversos estudios que el tiempo t.3. du = sec(θ)tan(θ)dθ v = tan(θ) ∫ sec Usando la identidad resulta 3 (θ )dθ = sec(θ ) tan(θ ) − ∫ sec(θ ) tan 2 (θ )dθ tan2(θ) = sec2(θ) − 1 ∫ sec De donde 3 (θ )dθ = sec(θ ) tan(θ ) − ∫ sec 3 (θ )dθ + ∫ sec(θ )dθ 2 ∫ sec 3 (θ )dθ = sec(θ ) tan(θ ) + ∫ sec(θ )dθ = sec(θ ) tan(θ ) + ln(sec(θ ) + tan(θ )) Regresando al cálculo de la masa. . En efecto.. obtenemos: . físicamente se puede considerar que 2 dt i =1 el centro de masa es un punto donde se concentra toda la masa de un sistema de partículas.. + mn ∑ xi mi i =1 n n ∑ mi i =1 (3.314 Unidad 3: Aplicaciones de la integral xcm = m1 x1 + m2 x2 + . El centro de masa de un cuerpo sólido se puede determinar muy fácilmente considerando una partición del sólido en pequeños elementos de volumen ∆Vi con masas ∆mi con i = 1. de acuerdo con la segunda ley de Newton F = Macm n d 2 Xcm y M = ∑ mi . para la coordenada x del centro de masa tenemos que: xcm = ∑ xi ∆mi i =1 n n ∑ ∆mi i =1 Tomando el límite ∆mi → 0 (n → ∞).50: En a) se muestra un sólido de masa M.14. tanto en el numerador como en el denominador. + mn xn = m1 + m2 + . 2. …. En este sentido. Usando la relación 3. y en b) se muestra el mismo sólido dividido en pequeños cubos de masa ∆m y volumen ∆V.. n. donde acm = y y x z a) z b) x FIGURA 3.14) La utilidad de este concepto aparece de forma natural cuando se aplica una fuerza neta F sobre el sistema. 14 y 3.16. El cálculo es similar al proceso utilizado para determinar el centro de masa. en consecuencia: dx 2 Centroide de curvas y = f (x) dy dx ∫ x 1+ dx 2 xgeom = ∫ dy 1 + dx dx 2 . . para el caso de las coordenadas ycm y zcm se tiene Coordenadas y y z del centro de masa ycm = ∫ ydm . ya que basta considerar. En efecto.15) De forma similar. en las relaciones 3.51: Una región plana delimitada por las curvas y = f (x).3: Aplicaciones de la integral 315 Coordenada x del centro de masa xcm = ∫ xdm ∫ dm (3. áreas planas o sólidos es otra aplicación donde la integración resulta útil. que la densidad de masa es constante. para curvas en el plano definidas por y = f (x) se tiene dy que dm = λ 1 + dx y.3.17) y 50 40 30 20 y=gx 10 1 2 3 4 x 5 y=fx FIGURA 3.16) El centro geométrico o centroide de curvas. ygeom = dy dx ∫ y 1+ dx 2 ∫ dy 1 + dx dx 2 (3. ∫ dm zcm = ∫ zdm ∫ dm (3. y = g(x) y las rectas x = a y x = b. Si hacemos una partición de la región en rectángulos de base dx y altura h = f (x) − g(x).51). cada rectángulo tiene un centro geométrico con coordenadas f ( x ) + g( x ) . Para responder la pregunta.52: Un pequeño elemento de masa ∆m y volumen ∆V gira alrededor del eje vertical. Para fijar ideas considera que tenemos un sólido que gira alrededor del eje y con velocidad angular w.316 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Supón ahora que tienes una región plana (véase la figura 3. La energía cinética de un elemento genérico está dada por 1 ∆Eci = vi2 ∆mi 2 . 2 así que el centro geométrico de la figura está dado por: Centro geométrico de figuras planas xgeom = ∫ x( f ( x ) − g( x )) dx a b b . limitada superiormente por una curva y = f (x). ygeom = ∫ 2 ( f ( x ) + g( x ))( f ( x ) − g( x ))dx a b 1 ∫ ( f ( x ) − g( x )) dx a ) dx ∫ ( f ( x ) − g( x )) a b (3. inferiormente por y = g(x) y lateralmente por las rectas x = a y x = b. obtenemos que la diferencial de área de cada rectángulo está dada por dA = (f (x) − g(x))dx x. ¿Cuál es su energía cinética? y w ri ∆mi vi (xi. Por otro lado. n. zi).…. 2. hacemos una partición del objeto en pequeños elementos de masa ∆mi y volumen ∆Vi centrados en las coordenadas (xi. yi. i = 1. zi) z x FIGURA 3.18) El proceso de integración también es útil para calcular fácilmente los momentos de inercia de sólidos. yi. x2 2 .3. Ejemplos Ejemplo 3. entonces podemos establecer un equivalen2 te inmediato entre masa y momento de inercia.23 Determina las coordenadas del centro de masa de un alambre que tiene la forma de la curva y = desde x = 0 hasta x = 1.19) De forma similar. r2 2 2 2 2 x i + zi i ∆Eci = ∆ m w = i 2 2 ∆mi w . los momentos de inercia alrededor de los ejes x y z están dados por las fórmulas siguientes: Momento de inercia alrededor de los ejes x y z I x = ∫ ( y 2 + z 2 )dm. es decir: Ec = 1 2 ( ∫ r dm ) w 2 2 = 1 2 ( ∫ (x 2 + z 2 )dm w 2 ) Ahora estamos en posibilidad de definir el movimiento de inercia alrededor del eje z. Momento de inercia alrededor del eje y I y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm (3.20) Si recordamos que una partícula de masa m que se mueve con velocidad v tiene energía 1 2 cinética de traslación dada por EcT = mv . I z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm (3. En consecuencia. entonces.52. Supón que el alambre tiene densidad de masa constante λ. Donde usamos la relación r 2 = x2 + z2 . Usando este resultado tenemos. Nota que i i i la velocidad angular es la misma para todos los elementos de masa ∆mi. donde ri es la distancia del elemento de masa al eje de giro. en este caso el eje y.3: Aplicaciones de la integral 317 La velocidad tangencial vi se relaciona con la velocidad angular w mediante vi = wri. obtenemos la energía cinética total integrando la relación anterior. fácilmente observable en la figura 3. 24 Determina el centroide de la región plana que se muestra en la figura 3.8 y=x 0.6 0. tenemos Xcm = Si hacemos el cambio de variable u = 1 + x2 du = 2xdx se tiene Xcm = u(x = 0) = 1 u(x = 1) = 2 1 λ x 1 + x 2 dx M∫ 0 1 2 λ M u2 λ u2 ∫ 2 du = 2 M 3 2 1 1 3 2 2 = 1 λ 2 2 − 1 3M Sustituyendo la masa obtenida en el ejemplo 3.318 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución Como la densidad de masa es constante.24.4 0.2 x 0.22.16. De acuerdo con la ecuación 3. . resulta 2 2 2 −1 X cm = 3 + + 2 ln( 2 1 ) Ejemplo 3.6 0.53.53: Región plana del ejemplo 3.4 0. dy dm = λ ds = λ 1 + dx dx Calculemos ahora el centro de masa.2 0. y 1 0.8 1 y = x2 FIGURA 3. uno de sus extremos en el origen de coordenadas y densidad de masa λ = 2x (véase la figura 3.3.18. a = 0 y b = 1. c) Un disco de radio R en el plano xz centrado en el origen de coordenadas. 3 9 xgeom = 20 = . g(x) = x2. Observa la figura 3. z). que 2 ∫ ( f ( x ) − g( x ))dx = ∫ ( x − x )dx = 3/2 3 ∫ x( f ( x ) − g( x )) dx = ∫ ( x − x )dx = 0 1 0 1 1 2 3/2 1 3 1 x − x = 3 3 x=0 3 2 5/2 1 4 x − x 5 4 x =1 x =1 = x=0 3 20 1 1 1/2 2 1/2 2 ∫ 2 ( f ( x ) + g( x ))( f ( x ) − g( x )) dx = ∫ 2 ( x + x )( x − x )dx 0 1 1 1 = ∫ ( x − x 4 )dx = x 4 − x 5 2 4 10 0 Sustituyendo en las fórmulas para el centroide se obtiene el resultado final. con densidad de masa λ uniforme. consideremos un elemento de masa dm = λ dr = 2r dr posicionado en (x. solución a) En este caso. 1 20 3 3 9 ygeom = 20 = 1 20 3 1 x =1 = x=0 3 20 Ejemplo 3. 0.49).17. r2 = x2 + z2. obtenemos r4 I y = ∫ ( x + z ) dm = ∫ r (2 r )dr = 2 0 2 2 2 2 r =2 = 8 kgm 2 r =0 .25 Determina el momento de inercia Iy de a) Un alambre de longitud L = 2 metros. El radio de giro r satisface. con densidad de masa σ uniforme. Si usamos la fórmula 3.54. entonces. considerando que f ( x ) = x . entonces.3: Aplicaciones de la integral 319 solución Para resolver el ejercicio basta con calcular las integrales que aparecen en la fórmula 3. b) Un anillo de radio R en el plano xz centrado en el origen de coordenadas. Tenemos. b) Para el caso del anillo consideremos un elemento de masa dm = λ ds = λ R dθ colocado en (x. . 2π R Finalmente.55: Un anillo de radio R situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y. z).54: Una barra de longitud L situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y. entonces. Así.55 observa que el radio de giro es R = x 2 + z 2 . I y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm = ∫ R 2 (λ R) dθ = λ R 3θ 0 2 θ = 2π θ =0 = 2πλ R 3 kgm 2 M .320 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y w x r z dm z x FIGURA 3. 0. En la figura 3. simplificamos el momento Iy considerando que λ = Iy = MR2 kgm2 y w x R z z dm x FIGURA 3. Obtenemos. Tenemos. que el momento de inercia de cada uno de estos anillos está dado por: dIy = r2 dm Como dm = σ dA = 2πσ rdr se tiene que dIy = 2πσ r 3 dr Integrando.3. entonces. resulta 1 I y = ∫ 2πσ r dr = πσ r 4 2 3 0 R r= R r =0 1 = πσ R 4 2 Si ahora usamos σ = M .26 Determine el momento de inercia Iy del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región limitada por las rectas y = 4 − x. usando el resultado anterior. obtenemos π R2 Iy = MR 2 kgm 2 2 y dm r z R R x FIGURA 3. como se muestra en la figura 3.56: Un disco de radio R situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y. Ejemplo 3. Supón que la densidad volumétrica de masa del sólido obtenido es uniforme. y = 0 y x = 0. radio r y grosor dr.3: Aplicaciones de la integral 321 c) Consideremos que el disco está formado por anillos de masa dm. .56. . solución Al girar la región limitada por las rectas y = 4 − x. grosor dy y momento de inercia dI y = dm.58. y = 0 y x = 0 alrededor del eje y se obtiene un cono (véase la figura 3. se mueve una distancia D en la misma dirección.27 alrededor del eje y. definimos el trabajo mediante la expresión W = FD. por esa razón. tenemos que Iy = ∫ 4 ( 4 − y )4 ρπ dy ( 4 − y )5 ρπ =− 2 10 0 y= 4 = y= 0 4 5 ρπ 10 Sección 3. Recordemos brevemente este concepto. En esta situación. Observa la figura 3. considerando que la densidad volumétrica ρ es constante. Usando es2 tos resultados se tiene que dI y = r 2 ρ dV r 2 ρ A dy r 4 ρπ dy ( 4 − y )4 ρπ dy = = = 2 2 2 2 El momento de inercia buscado se obtiene al integrar esta última expresión. Cada disco tiene radio x.3. considera que se aplica una fuerza F constante en la dirección del eje x sobre un objeto de masa m que.5 Trabajo El trabajo es un concepto muy utilizado en física. Así. En b) se muestra una partición del cono en discos de grosor dy. Para ello. Dividamos el cono en pequeños elementos de masa dm = ρ dV en forma de disr2 cos. área A = π r2.57). por la relación que guarda con la pérdida o ganancia de energía en un sistema dado.57: En a) se muestra el cono que se obtiene al girar la región del ejemplo 3.322 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y y x z a) z b) x FIGURA 3. 21) Ejemplos Ejemplo 3. Calcula el trabajo hecho por cada una de las fuerzas. Desde luego. x1). Para determinar una expresión para el trabajo considera una partición del intervalo (a.…. donde ci es un número tal que xi ≤ ci ≤ xi+1. obtenemos una aproximación para el trabajo total: W = ∑ ∆Wi = ∑ F ( xi )∆xi i =1 i =1 n n Finalmente. x2). b) en n pequeños subintervalos (a = x0.58: Un bloque de masa m se mueve una distancia D debido a la acción de una fuerza F. éste será más despreciable cuanto más pequeño sea el intervalo (xi. Trabajo sobre un cuerpo por una fuerza variable F(x) desde x = a hasta x = b W = ∫ F ( x )dx a b (3. el trabajo en este intervalo será ∆Wi = F(xi)∆xi Sumando los pequeños trabajos realizados en cada subintervalo. De aquí. se define el trabajo como W = FD. Tomando eso en cuenta.3: Aplicaciones de la integral 323 D F FIGURA 3. por esta acción. pasa del punto x0 al punto xf . a) F = mg b) F = −kx Gm1m2 c) F = − x2 Fuerza de un resorte Fuerza de atracción gravitacional . (xn−1. esta suposición conduce a un error. obtenemos la fórmula del trabajo realizado por una fuerza variable. (x1. xn = b).3. Supón que la fuerza es constante en el intervalo (xi. tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero. sin embargo. Considera ahora que la fuerza depende de la posición del objeto F = F(x). xi+1). xi+1) e igual a F(ci).27 Se aplican las siguientes fuerzas sobre un objeto que. En el caso a).28 Una montaña se forma por la acción de fuerzas internas en el interior de la Tierra. Determina el trabajo necesario que tienen que hacer las fuerzas internas para formar una montaña.21 para calcular el trabajo. se tiene: xf W= Para el caso b). las cuales expulsan material desde el interior hacia afuera. Supón que la montaña tiene un perfil en el plano xy dado por: y = f ( x ) = 50 − x2 con −50 ≤ x ≤ 50 50 y x z a) b) FIGURA 3.324 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución Usamos la definición 3. xf k 2 ∫ (− kx )dx = − 2 x x 0 xf x0 k k = − x f 2 + x0 2 2 2 xf W= Gm1 m2 Gm1 m2 dx = ∫ − x2 x x 0 = x0 Gm1 m2 Gm1 m2 − xf x0 Ejemplo 3.59: En la figura a) se muestra una superficie que suponemos es una montaña con perfil y = f (x) en el plano XY. En b) se muestra una aproximación a la superficie mediante discos apilados. . xf x0 ∫ (mg)dx = mg x x xf 0 = mg( x f − x0 ) W= Para el caso c). (y1. yn = 50). Para cada subintervalo podemos formar un disco de área transversal A y grosor dy. tenemos que el trabajo se reduce a: dW = gyρπ x2dy En el lado derecho de esta expresión aparecen las variables x y y. y2). el trabajo hecho para elevar el disco una altura y es: dW = gydm = gyρAdy Como el área del disco está dada por A = π x2.59b. Así.12246 × 1011 joules Sección 3. Cada disco tiene una masa dm dada por dm = ρdv = ρAdy donde ρ es la densidad del disco.3. W = 1.…. (yn−1.6 Fuerza y presión Al observar el agua retenida en una presa. x2 = 2500 − 50y Usando este resultado. Obtenemos.3. necesitamos recordar primero algunos principios básicos de la estática de fluidos. .3: Aplicaciones de la integral 325 solución Considera primero una partición del eje y en n pequeños subintervalos (y0 = 0. entonces. De acuerdo con la definición de trabajo y el resultado del inciso a) del ejercicio anterior. 50 x2 + 50 50 W= ∫ gρπ (2500 y − 50 y 0 2 )dy 50 50 3 = gρπ 1250 y 2 − y 3 3125000 = gρπ 3 0 Un valor típico de la densidad de una montaña es ρ = 3500 kg/m3. Para ello recordemos que: y=− Así. Si queremos calcular el trabajo total. obtenemos dW = gρπ (2500y − 50y2)dy El trabajo total se obtiene integrando la relación anterior. y1). necesitamos reescribirlo sólo en términos de la variable y. quizás te habrás preguntado ¿cuál es la fuerza que debe soportar la cortina de la presa? Para responder esta pregunta. Observa la figura 3. se necesita que F = F0 + mg Usando el resultado previo y considerando que la masa del cubo está dada por: m = ρhA. es decir: Fuerza ejercida sobre la pared vertical de un contenedor F = ∫ ( P − P0 )dA = ∫ ρ ghDdh 0 0 H H (3. Observa primero que la fuerza F ejercida por el fluido es perpendicular a las paredes del cubo en todos los puntos. para mantener en equilibrio el cubo. por ejemplo. determinamos la fuerza total ejercida sobre el contenedor calculando primero la fuerza dF que ejerce el fluido sobre cada pequeña área superficial dA = Ddh de grosor dh y ancho D = D(h) a una altura h usando dF = (P − P0)dA = ρghDdh y. podemos interpretar P0 como la presión atmosférica. P = P0 + ρgh. Más aún. Si el cubo tiene su cara superior en la interfase entre el aire y el líquido. Considera un recipiente lleno de agua y un pequeño elemento de volumen.60b. Esto se debe a que del otro lado del contenedor se aplica una fuerza exactamente igual a F0 = P0 A. En efecto.22) . como se muestra en la figura 3.326 Unidad 3: Aplicaciones de la integral F =P0A mg + F0 = PA a) b) FIGURA 3. la presión P que ejerce el fluido sobre cada una de las caras se relaciona con la fuerza y el área lateral mediante: F P= A Otra característica de la presión es que dentro del líquido varía con la altura.60. después. En b) se muestra el diagrama de fuerzas sobre el elemento de agua. el cubo representa un elemento diferencial de agua. Observa ahora que la fuerza que ejerce el agua sobre el contenedor depende sólo del término ρgh y no de P0. integrando esta última expresión. según el diagrama de cuerpo libre del cubo en la figura 3. obtenemos PA = P0 A + ρhAg. En este caso. y P como la presión a la altura h. un cubo pequeño con áreas laterales A y lado h.60: En la figura a) se muestra un recipiente con agua. en general.29 La Presa del Infiernillo (Michoacán) se construyó entre 1961 y 1966. nuevamente consideremos la figura 3. ¿Cuál será la fuerza que sienta la cortina a causa de que debe contener el agua? . y es una maravilla de la ingeniería mexicana del siglo XX. En la figura 3. Para ello.61 se muestra una cortina rectangular de una presa donde el ancho D es constante. para una cortina cuadrada de altura H y ancho D: h= H F = ∫ ( P − P0 )dA = ∫ ρ ghDdh = 0 0 H H ρ gDh 2 2 = h=0 ρ gD H 2 2 Ejemplos Ejemplo 3. usando el caudal de los ríos Tepalcatepec y Balsas. La cortina de la presa es una enorme pared trapezoidal de concreto y piedra. La fuerza es.000 millones de metros cúbicos de agua. Para construirla se necesitó llenar un vaso de 12. el ancho D es función de la variable h.3. y h D dh H z x FIGURA 3. entonces.3: Aplicaciones de la integral 327 Observa que.61: Sobre la cortina de una presa se ejercen fuerzas debidas al agua que contiene. 340 metros en su parte superior y 150 metros de altura. Estamos ahora en posibilidad de responder la pregunta inicial de este apartado. que tiene 600 metros de base.61. Tenemos dos condiciones que se deben cumplir: D(0) = 340 m y D(150) = 600 m.62: En a) se muestra parte del río Balsas que llega a la Presa del Infiernillo en el estado de Michoacán.8 m/seg2.328 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y 340 m h D 150 m dh z x 600 m a) b) FIGURA 3. se obtiene el sistema de ecuaciones 340 = a 600 = a + 150b cuya solución es a = 340 y b = 26/15 Finalmente.22 se obtiene la fuerza sobre la cortina H H 340 h 2 26 h 3 26 26 H 3 = ρ g 170 H 2 + F = ∫ ρ ghDdh = ∫ ρ gh 340 + h dh = ρ g + 15 45 45 h = 0 2 0 0 h= H Sustituyendo los datos H = 150 m. En b) se muestra la forma trapezoidal de la cortina. tenemos que D(h ) = 340 + 26 h 15 Usando la relación 3. dada por D(h) = a + bh. Supón que hay una relación lineal entre ellas. obtenemos la fuerza sobre la cortina. F = 5. solución Para resolver el problema necesitamos determinar la relación que guardan las variables D y h.6595 × 1010 Newtons . Sustituyendo esos datos en la relación. g = 9. ρ = 1000 kg/m3. 16 16 −2 ∫ x 3t 4 − 1 dt . Determina el área superficial del sólido de revolución. 0 ≤ x ≤ 1. [ln(2). 0 ≤ x ≤ 64 k) x = e) y = 2ln(cos(x/2)). . 1 ≤ y ≤ 3. eje x Sugerencia: escribe x como función de y. y ∈ [0. 0 ≤ y ≤ 1. [1.2 + . eje x 3 3 2 j) y = 2 x − x . eje x e) y = f) y = 1 1/ 2 1 x + x 3/ 2 . [0. eje x 3 d) y = r 2 − x 2 .5 ≤ x ≤ 1. en el intervalo dado. eje y y3 .1 4 8x 4 2.3: Aplicaciones de la integral 329 1. eje x 1 c) y = cosh( 3x ) . 5 8 ≤ y ≤ 1. [−2. a) y = x . eje x x3 h) y = . 0. . que se obtiene al girar la curva y = f (x) alrededor del eje indicado. 1 ≤ x ≤ 5. 3 4 ≤ x ≤ 15 4 . eje y 3 1 3 1 m) x = ( y 2 − y 2 ) . 2π/3] f) y = x4 1 1 + 2 . 2] 12 g) y = h) y = i) y = x3 1 1 . eje y 3 n) x = 2 4 − y . eje y 4 8y h x . 0 ≤ x ≤ . 0 ≤ y ≤ 15 4 . [1. 0 ≤ x ≤ r. 8] 2 1 6 x −6 x ( e + e ). eje y l) x = p) x = q) y = y4 1 + 2 . 6 2x 2 1 7 /2 1 x + 3/ 2 . eje x k) x2/3 + y2/3 = 16. 1 ≤ x ≤ 4. 4 π 3π . 4] 3 y4 1 + 2 . 0 ≤ x ≤ 2. eje x b) y = x + 1 . eje y r x4 1 + .3. 1 ≤ y ≤ 2. 2] 8 4y l) x2/3 + y2/3 = 16. a) y = b) y = 3 3/ 2 x + 9 . eje x 9 i) y = x2. eje x 16 2 x 2 g) y = sen(x). y ∈ [1. ln(4)] e − 1 d) y = 1 ln(sen( 4 x )) . −2 ≤ x ≤ −1 1 j) x = ( y 2 + 2 )3/ 2 . 0 ≤ x ≤ 2. 0 ≤ x ≤ r. 0 ≤ y ≤ 64. Determina la longitud de las curvas siguientes en los intervalos dados. 4] 7 3x ex + 1 c) y = ln x . 0 ≤ x ≤ π.5. eje y o) x = 2 y − 1 . 8 1 x 4 y=x y = x2 3 2 1 y b) c) y 4 3 2 1 1. ρ(x) = x d) y = x4 1 + .2 0. 0 ≤ x ≤ 9.64a a 3. 0 ≤ x ≤ 2.5 2 x –2 –1 –1 y = 4 – x2 y = x2 0.5 –1 0. f) 5.5 0. eje y 3 3.6 0. 0 ≤ x ≤ 2.5 2 0.5 1 0.5 –1 x2 + y2 = 4 1 2 3 x a) y 1 0. .330 Unidad 3: Aplicaciones de la integral r) y = 4 − x2. eje x 3 1 3 t) y = ( x 2 + 2 ) 2 .8 0. Determina el centroide de las siguientes figuras geométricas (24a a 24f ) usando integración.5 x –2 –1 1 2 x –3 –2 2 y 3 2. Supón que la densidad volumétrica de masa de los sólidos obtenidos es uniforme e igual a 1 kg/m y que las distancias están en metros. ρ(x) = 2x c) y = x3/2. 0 ≤ x ≤ 2 . 0 ≤ x ≤ 2 . Determina la masa (en kilogramos) de un alambre que tiene la forma de la curva y = f (x) (medida en metros) en el intervalo indicado y con la densidad de masa proporcionada (en kilogramos por metro).5 1 1 2 x d) e) FIGURA 3.6 0.5 1 y 8 y = 2x + 1 y = 2x + 3 6 4 2 1. eje y 1 3 s) y = ( x 2 + 2 ) 2 .4 0.63: Regiones planas del ejercicio 4. Determina el momento de inercia Iy del sólido que se obtiene al girar las regiones de las figuras 3. 0 ≤ x ≤ 3.2 0. ρ(x) = x + 3 b) y = x2. −2 ≤ x ≤ 2. y 8 6 4 2 -0. ρ ( x ) = 4 x 16 2 x 2 e) y = cosh(x).5 2 1. 1 ≤ x ≤ 4.64f alrededor del eje y. a) y = 5x + 1. ρ(x) = 1 + 2x2 4.4 0. 5 1 1. Determina la longitud del cable y las coordenadas del centro geométrico. Un cable de forma parabólica se sostiene entre las torres de soporte de un puente. 5).5 1 0. Determina el volumen y el área superficial del sólido generado al hacer girar la circunferencia (x − 2)2 + y2 = 1 alrededor del eje y.5 –1 y = 4 – x2 y 5 4 3 2 1 1 2 3 x 0.5 3 a) 10 8 6 4 2 y y=8–x y=4 x 0. . a este sólido se le conoce como “toro”. La región cuadrada con vértices (0. (10.5 –– 10.5 2 2. Repite el ejercicio anterior con la función y = 1/x en el intervalo [1. Determina: a) La longitud de la curva b) El área bajo la curva c) El volumen del sólido de revolución que se forma al girar la curva alrededor del eje x d) El área superficial de este sólido de revolución 9. 5) y (5.4 0. como se muestra en la figura 3.3. Considera la curva definida por la función f (x) = cosh(x) en el intervalo [0.6 0. 10. 0).5 –1 y = x2 x 2 3 0. 10) se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. (5.3: Aplicaciones de la integral 331 y 6 5 4 3 2 1 –1 –1 1 y=5–x 12 10 8 6 4 2 4 5 6 x –2 –1–2 y y = 10 y = 2x 1 2 x 3 4 5 6 y 6 5 y=4 4 3 2 1 –0.5 2 2. 4].5 –1 d) e) f) FIGURA 3.2 c) y = 4 cos x y = 4 sen x 0.5 2 1.5 1 1.8 1 x –1 –0. 6. 7.5 3 2 b) y 2. 5]. 8.65. Calcula el volumen y el área de la superficie del sólido.64: Regiones planas del ejercicio 5. determina el x2 trabajo realizado sobre ella cuando llega al punto x = a. Un volcán de forma cónica tiene un radio de r = 10 5 metros.80 m se encuentra lleno de agua. distante 20 kilómetros del centro de distribución. una partícula de masa M posicionada en el origen ejerce una fuerza de atracción sobre otra partícula de masa m que se encuentra en el punto (x. Si la altura del volcán es de 3000 metros. Con el propósito de conocer la potencia mínima de las bombas que deben llevar el agua a dicho depósito. Determina el trabajo necesario para bombear el agua a una altura 2 metros arriba de donde termina el tanque. De acuerdo con la ley de gravitación universal. El tanque se llena bombeando agua desde un río que se encuentra 5 metros debajo de la parte inferior del tanque. si se sabe que el costo por kilómetro es de $35. 13. ¿Cuál será el trabajo necesario para llenar el tanque? 18.65: Cable de forma parabólica del ejercicio 10. Calcula dicho trabajo. 16. 12. ¿Cuál fue el trabajo realizado por los antiguos egipcios.8 metros de radio. ¿Qué trabajo resulta si sólo estuviéramos interesados en llenar el depósito hasta el 75% de su capacidad? .000. La Compañía Federal de Electricidad (CFE) planea suministrar energía eléctrica a una comunidad de la montaña en el estado de Guerrero. 0).332 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 120 m y 40 m x FIGURA 3. determina la energía total necesaria para levantarlo. Dicho depósito tiene 4 metros de radio y está colocado 10 metros sobre el suelo. Una montaña de forma parabólica tiene una altura de 500 metros y un radio en la falda de 700 metros. Determina el trabajo necesario para levantar la montaña. 17. Supón que un cable típico con soportes en x = −50 m y x = 50 m tiene una ecuación y = 80 cosh(x/80). por comodidad supón que 0 < a < b. 11. Determina el costo de cableado para esta obra. En la colonia Peñitas en Tlalnepantla hay un depósito esférico de agua que suministra el vital líquido a la zona. Un tanque de forma cilíndrica de altura h = 1. con una fuerGMm za dada por F = .4 m y radio r = 0. requerido para levantar la pirámide? 14. El cable quedará suspendido entre tramo y tramo por dos torres fijas. ubicadas entre sí a una distancia de 100 metros. Un tanque cilíndrico mide 2 metros de altura y 0. Donde h es la altura medida con h + 500 respecto a la falda de la montaña. La Gran Pirámide de Egipto tiene una base casi cuadrada de 230 metros de lado y una altura de 122 metros. 15. Si la segunda partícula se encuentra en x = b y parte del reposo. se requiere conocer el trabajo necesario para llenarlo de agua desde la superficie del terreno. 20. Un depósito semiesférico de radio 5 m está lleno y el agua se bombea a una altura de 4 m por encima de la parte superior del depósito. c) la cortina es un arco de círculo. Determina la fuerza que ejerce el agua sobre la cortina de la presa. La presa Chicoasén ubicada en el estado de Chiapas tiene un ancho de aproximadamente 700 metros y una profundidad máxima de 350 metros (véase la figura 3. si se supone que: a) la cortina es rectangular. b) la cortina es parabólica. a) Determina el área de la superficie y el volumen del tanque. el área limitada por la curva y = x2.66). En b) se muestra una fotografía de la presa Chicoasén.3: Aplicaciones de la integral 333 19.66: En a) se muestra el perfil de la presa con cortina cilíndrica. . b) Calcula el trabajo realizado para llenar el tanque con agua. desde y = 0 hasta y = 4 metros. 21. alrededor del eje y. c) Determina el trabajo necesario para vaciar el tanque bombeando el agua a la parte superior del tanque. Determina el trabajo necesario para subir toda el agua a la altura dada.3. Un contenedor de agua se obtiene girando. dh D h x a) b) FIGURA 3. 67.2 m dh 1. Los extremos verticales de un abrevadero son triángulos isósceles de base b = 1. b) ¿Cuántos centímetros debe disminuir el nivel del agua del abrevadero para que la fuerza del fluido se reduzca a la mitad? y 1.334 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 22. ¿Cuál es la fuerza que siente la cortina debida a que debe contener al agua? y h D z H x dh FIGURA 3.68.67: Cortina trapezoidal de una presa correspondiente al ejercicio 22. a) Determina la fuerza del fluido contra los extremos cuando el abrevadero está lleno de agua. Un camión transporta leche en un tanque con forma de cilindro circular recto horizontal de radio r y largo h. Determina la fuerza que ejerce la leche sobre cada extremo cuando el tanque: a) está completamente lleno. 400 metros en su parte superior y 175 metros de altura. 23. La cortina de una presa es una enorme pared trapezoidal de concreto y piedra que tiene 200 metros de base.5 m x z FIGURA 3. Observa la figura 3. 50 o 75% la fuerza del fluido? 25.68: Abrevadero con extremos en forma de triángulo isósceles. b) ¿Cuántos metros debe bajar el nivel del agua en el abrevadero. . Los extremos verticales de un abrevadero son cuadrados de dos metros por lado. b) está lleno al 50% de su capacidad. Observa la figura 3. 24.2 metros y altura h = 1.5 metros. para reducir en 25. a) Determina la fuerza del fluido contra los extremos cuando el abrevadero está lleno. 69: Juan. La longitud de cada arista es de 4 metros y la densidad de la placa es de 3. Una placa cuadrada delgada gira en torno a una de sus aristas tres veces por segundo. Supón que la función de densidad de probabilidad para el tiempo de vida activa de los componentes eléctricos elaborados por cierta compañía es f (t) = 0. donde λ es el número promedio de éxitos por unidad de tiempo y n es el número de (n − 1)! éxitos y t el tiempo.3. . Supón que en promedio entran λ = 3 personas cada minuto a una tienda departamental. b) pasen entre tres y diez minutos para que entre la tercera persona (n = 3). 1. el alfarero de la situación “Jarrones de barro”. de un componente seleccionado al azar. medido en meses.03e−0. La pirámide del Sol 2. En problemas de tiempo de espera se utiliza la función de densidad de probabilidad gamma λ nt n −1e− λt f (t ) = .3: Aplicaciones de la integral 335 26. 27.03t. Jarrones de barro FIGURA 3. donde t representa el tiempo de vida activa.8 kilos por metro cuadrado. 28. Determina la probabilidad de que después de abrir la puerta: a) transcurran más de dos minutos para que entre la segunda persona (n = 2). b) Calcula la probabilidad de que el tiempo de vida activa de un componente seleccionado al azar sea menor a 10 meses. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones. Encuentra la energía cinética total de la placa. a) Determina la probabilidad de que el tiempo de vida activa de un componente seleccionado al azar esté entre 20 y 30 meses. ¿En qué valores de x debe colocar las marcas? c) Si el grosor debe ser menor que 0. se abrió una grieta de 15 metros orientada de este a oeste.336 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Juan el alfarero recibió un pedido para elaborar 100 jarrones de barro. el diámetro de la base medía 1. Para construirlos utilizará el método tradicional de alfarería.5 cm.5 y 1 litros. b) Juan necesita marcar el jarrón cuando el contenido sea de 0.300 metros. Al día siguiente las explosiones fueron tremendas y ensordecedoras. y a las nueve de la noche comenzaron los inolvidables fenómenos luminosos. Para el mes de junio. No entendía qué estaba pasando ni se podía . le pregunté: “¿Tuviste miedo?” “Mucho”. empezó a salir humo negro acompañado de fuertes ruidos. con lanzamiento de piedras candentes y lava semifluida. “Verdaderamente fue un espectáculo único. a) Determina el área superficial de cada jarrón (lateral y base) y el volumen que pueden contener. De repente. y el cono alcanzó entre 6 y 7 metros de altura por 20 metros de diámetro en su base. el volcán tenía más de 300 metros de alto. digno de verse. Eso narraba mi abuelo observando a lontananza la torre hundida de la iglesia que él conociera de niño. imponente. majestuoso y fantástico: el nacimiento del Paricutín”. Incrédulo alguna vez. A las cinco de la tarde del 20 de febrero de 1943. girando una masa de barro y obteniendo el jarrón como la superficie de un sólido de revolución. me contestó.70: Fotografía del Paricutín de Rafael Estévez. El Paricutín FIGURA 3. Supón que el perfil del jarrón está dado por: 139 2 5161 − 3990 x + 7980 x + 2 si 0 ≤ x ≤ 20 si 20 ≤ x ≤ 24 1 f (x) = x −11 + si 24 ≤ x ≤ 26 2 0 otro lado Donde x y y se miden en centímetros.100 metros y el cráter tenía un perímetro cercano a los 1. 1943. ¿cuál será la cantidad de material que necesita Juan para elaborar 100 jarrones? 3. en las piedras encendidas que manaban del volcán. le preguntaba admirado y él callaba absorto en sus recuerdos. “La emisión de cenizas alcanzó la ciudad de México y su volumen fue impresionante”. Había desaparecido mi pueblo San Juan Parangaricutiro. d) Si se supone que la profundidad de la ceniza a una distancia de x kilómetros del Paricutín es Ae−kx. encuentra una expresión para el volumen total de ceniza que cayó dentro de una distancia b del volcán. donde A y k son constantes positivas. “En las noches. Dionisio Pulido. púrpura. “¡Así fue!”. Y él adoptaba el papel de un gran maestro y sacaba unas hojas raídas por el tiempo.3: Aplicaciones de la integral 337 imaginar la energía que desplegaba día a día la naturaleza para formar el volcán. el Paricutín presentaba su máxima fastuosidad y se bañaba de luces.3. las explosiones en el cráter declinaron el mismo día y la actividad continuó solamente con soplos débiles hasta el 4 de marzo.71: Erupción en el Paricutín. “¿Cuánta?”. Atl). de grandes peligros e inmensa atracción”. cuando finalmente enmudeció. me decía. Después él seguía con su narración. Sin creerle todavía. escritas por los geólogos de la época. y mi tío. Preguntas: a) ¿Cuánto trabajo gravitacional se necesita para levantar un montecillo como el cono del primer día? b) ¿Y cuánto para levantar el cono trunco del mes de junio? c) Determina el trabajo necesario para levantar el volcán final. tonos de oro y escarlata. era el único dueño del volcán. FIGURA 3. donde sólo se alcanzaba a leer: “El grosor de la capa de ceniza emitida decae exponencialmente y a una distancia de 30 kilómetros se estima que es …” y sin dejar que las tomara nuevamente las guardaba. Cuando ya cumplía el noveno año de actividad. “¿Cómo cuánta fue?”. La emisión de lavas del Paricutín cesó repentinamente el 25 de febrero de 1952. Mis amigos y yo. parecíamos vivir en una época remota. . impotentes ante esas fuerzas desatadas de la naturaleza. le preguntaba nuevamente con la boca y los ojos abiertos. Y así él terminaba de contar. La altura del volcán para ese entonces alcanzaba los 424 metros sobre la llanura que lo vio nacer. reflejos y llamas de colores carmín. caracterizada por derrames de fuego interno. Retomaba un poco después la palabra y me decía: “Lo recuerdo como si fuera ayer”. mi abuelo aseguraba con firmeza que aquellos que se animaban a visitar el Paricutín encendían sus cigarros a la vera del camino. 1943. Gerardo Murillo (Dr. 4 0.8 0. ygeom = 36/105 1 cosh(2 x ).2 0. Considera la curva definida por y = c) xgeom = 1/2. v.72: Área plana del ejercicio de la autoevaluación 4.6 0. ii. Determina el trabajo que hace la fuerza F = x = 0 hasta x = 5.2938 0.2875 3.7427 1. Indica la opción que contiene la longitud de la curva y = 2 ( 3 + x )3/ 2 desde x = 0 hasta x = 5. ygeom = 4/21 b) xgeom = 8/15.4 0. vii.4855 0. ygeom = 8/21 5.1752 6.338 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Autoevaluación 1.8 1 x y=x y = x3 FIGURA 3. viii. ygeom = 36/105 d) xgeom = 8/15. iii. y 1 0. En la columna B encuentre las respuestas de 2 las preguntas que se hacen en la columna A.2 0. 3 a) L = 18 b) L = 19/3 c) L = 38/3 d) L = 55 2. iv. vi. Determina las coordenadas del centroide de la figura 3. a) xgeom = 1/2. a) W = 25/36 J b) W = 65/36 c) W = ∞ 4.1438 12. Columna A Columna B i. Calcula el área superficial del sólido de revolución que se obtiene al girar la curva y = x + 1 alrededor del eje x desde x = 1 hasta x = 5.72.07188 a) Longitud de la curva desde x = 0 hasta x = 1 b) Área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 1 c) Volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar el área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 1 d) Área de la superficie del sólido de revolución del inciso c) e) Coordenada xgeom del centroide de la figura plana del inciso b) . a) L = 3π b) L = 32π c) L = 8π 2 d) L = 32π 2 5 sobre una partícula de masa m desde ( x + 4 )2 d) W = 25/18 3. 0.6 0.5876 1. 6) c) 151.523364 c) (0.3215 b) 51.854 g) 14. 1.3 c) 33. a) 74. a) 981.80094 i) 3.748 b) 1963.1769 s) 24. S = 200π 2 7.5103 d) 33.2032 c) 8657.80973 j) 6. 4/π) d) (0. xgeom = 0. 4.8823 q) π r r 2 + h 2 r) 36.6 l ) 0.99684 p) 51. a) (1.5.5103 e) 26.916291 d) 0. 1. a) 33.1032 kg h) 3. V = 6π 2.3: Aplicaciones de la integral 339 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. costo = $ 746.4345 i) 4.438.625 kg d) 207. 8.3.2402 b) 27125.00 .8 c) 0. L = 149.2867 11. a) 29.5664 e) 2.86359) 5.04145 j) 25. 0. 5) b) (0.0625 l ) 96 10.600 kg e) 34.4) e) (1.63392 f ) 2. S = 12π 2.2 ) f) (0.0625 h) 18.2032 9.7922 kg b) 37.9562 o) 2.3127 c) 14205.3333 k) 2.38629 c) 2.35619 d) 9.440687 2. ygeom = 15.63 d) 17315.41724 b) 74.15018 b) 1.638241 m) 7. a) 3.63303 n) 81.554 t) 12.5 6.12402 g) 2.3437 kg 4.1 d) 2πr2 e) 0.471.634188 f ) 813. V = 500π . a) 40.5.4236 3.8083 f ) 0.28319 k) 15441. 80117 × 1011 joules c) W = 328401 joules π g ρr 3 2 g ρr 3 . Fmitad = 2 3 a) W = 39200 joules b) Se deben reducir h = 2 − 3 m. W = 862053 joules 21.67809 × 107 joules. = 0. = 0. a) V = 25.309449 metros 26. entonces W75% = 2. V = 4. donde ρ es la densidad de las piedras 14. = 0.0173513 b) Prob. donde ρ es la densidad de la montaña 15.78541 × 109 ρ joules. respectivamente 25. a) Prob. donde ρ es la densidad del volcán 16. si sólo se llena hasta el 75%.1327 m3. c) W = 2. a) Prob. a) V = 4. S = 36. Ft = 24.20175 × 1011 joules b) V = 2. W = 6.1769 m2 b) W = 656802 joules 20. h = 2 − 2 m.24093 × 1011 joules 22.259182 .0062322 28. W = 236449 joules 18.2 joules 27. Ec = 1459. W = 2.2858 × 1011 ρ joules. = 0. h = 1 m .142242 b) Prob.4 joules 17.340 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 1 1 12. a) W = 4410 joules b) Se deben reducir 0.60619 × 107 joules 19. Wt = 3.00167 × 1010 joules 23.24079 × 1014 ρ joules. W = 74481. W = GMm − a b 13. W = 6. . iii. 4. 11a. b) 5. (d.3. México. 2004. ed. 2005. iv.). 2004. Resnick. D.3: Aplicaciones de la integral 341 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. M.. Prentice Hall.. F. 2. Física. Física universitaria. 3. (b.. México. y Krane.. vii.). K. México. Halliday. Saff. A..). 2002.. y Zinder. viii. a) 4. ed. Hibbeler. E.. H.) Referencias 1. 4a. ed. R. (a. R. i. . Ecuaciones diferenciales. Prentice Hall.. ed. R..). Prentice Hall. Estática.. Zemansky. d) 3. Nagle. y Freedman. c) 2. 10a. (e. K. (c. 5a. CECSA. Young. Sears. México. . 1 Formas indeterminadas Al infinito y más allá. . pero como la vida tiene sorpresas. Buzz Lightyear. Transcribimos el artículo en cuestión. su jefe le pidió que leyera el siguiente artículo y. en Toy Story ¿Por qué vuelan los aviones? Manuel Ojeda es un joven egresado de la carrera de diseño industrial que jamás se imaginó que trabajaría para una empresa aeronáutica. de pronto se vio envuelto en tareas de diseño y mantenimiento dentro de la industria de las aves de acero.2 Integrales impropias 4. durante sus primeras semanas de trabajo se requería conocer sus aptitudes y capacidad de adaptación a la compañía.343 Unidad Formas indeterminadas e integral impropia Contenido de la unidad 4. por lo que en ese tiempo. después. respondiera los cuestionamientos indicados en una nota aparte y que estaban relacionados con una curva conocida como línea de sostén.1 Formas indeterminadas 4. Como él mismo relata. Un perfil aerodinámico es un cuerpo diseñado para aprovechar al máximo las fuerzas que se originan por la variación de velocidad y presión. además. . el que discurre por la parte superior del perfil tendrá una velocidad mayor (efecto Venturi) que el que discurre por la inferior. La diferencia de presiones produce una fuerza aerodinámica que empuja al ala de la zona de mayor presión (abajo) a la zona de menor presión (arriba).es/de/vuelo/PBV/PBV12.1: Línea de sostén del perfil de una ala de avión. de este flujo de aire. Esa mayor velocidad implica menor presión (teorema de Bernoulli). lo cual produce una fuerza de reacción adicional hacia arriba. (Véase: http://www. Tenemos. un cometa. por ejemplo. de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton. Pero. en posición ligeramente inclinada hacia arriba —contra el viento—. pues. que la superficie superior de este objeto soporta menos presión que la inferior. al conjuntarse con la que fluye por debajo. deflecta esta última hacia abajo. Una ala es un ejemplo de diseño avanzado de perfil aerodinámico: produce un flujo de aire proporcional a su ángulo de ataque (a mayor ángulo de ataque. La suma de estas dos fuerzas se conoce como fuerza de sustentación y es lo que mantiene al avión en el aire. la corriente de aire que fluye a mayor velocidad por encima del ala. mayor será el estrechamiento en la parte superior del ala) y a la velocidad con que ella se mueve respecto de la masa de aire que la rodea.html) y Extrado Línea de sostén y = f (x) x a) Baja presión b) Intrado Alta velocidad Viento relativo Baja velocidad c) Alta presión Línea de sostén FIGURA 4.344 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia ¿Por qué vuelan los aviones? Un objeto plano. cuando se sitúa en una corriente de aire.inicia. produce sustentación. 1b). aunque dejaremos de lado su definición. la parte inferior del ala comprendida entre los bordes de ataque y salida (véase nuevamente la figura 4. La historia terminó felizmente para Manuel. Sobra decir la importancia que tiene. Por ello. una vez hallada. realiza el mismo ejercicio. En las ciencias y la ingeniería. lamentablemente borrosa. cs es el coeficiente de sustentación y t una constante de ajuste. se les llama así porque es imposible asignar un valor a priori que las represente en su conjunto y sólo puede decirse algo de ellas cuando se les trata de manera particular. supón que ya integras el equipo de diseño de aeronaves. no siempre se tiene mayor claridad sobre lo que dicho ente significa. revisaremos formas matemáticas que lo utilizan y estableceremos que este concepto debe tratarse con el debido cuidado.1b). de modo que entre sus usuarios no faltan quienes lo usan en sus cálculos como si fuera un número común y corriente —con los riesgos que esto conlleva para las interpretaciones y los resultados. Introducción Uno de los conceptos que han enamorado. pues de ello depende la correcta unión entre el extrado. de su límite. En el ámbito popular. “el infinito” o “lo infinito” se considera como el lugar al que nunca se puede llegar o aquello que encierra la idea de lo que no tiene fin. éstas se presentan cuando la variable independiente provoca en la función un comportamiento no definido que deberá precisarse por el estudio de su tendencia.1: Formas indeterminadas 345 En la descripción anterior Manuel pudo leer que el diseño del ala de un avión es una parte fundamental para lograr la fuerza de sustentación. Espero tu respuesta a mi regreso en la próxima semana”. pues logró hallar la citada curva. e imagina que en los manuales encontraste una expresión. confundido a los matemáticos de todos los tiempos es el de infinito. observes si su forma tiene la apariencia que se muestra en los esquemas del ala (véase la figura 4. “Manuel. Te pido que precises la curva descrita y que. estos pensamientos. y que le ha llevado al hombre siglos de esfuerzo llegar a una comprensión razonable. en el mejor de los casos. y el intrado. En primer lugar. veremos en esta sección formas matemáticas a las que llamaremos indeterminadas. Con tu equipo de trabajo. es decir. incluso.4. seducido e. su aplicación en la resolución de situaciones reales es invaluable. Luego. que indica que la línea de sostén es una función de la forma y = f (x) que satisface una ecuación diferencial de la forma x dy cs x = ln 1 − − ln . y(0) = y(p) = 0 dx 4 π t p donde p es la profundidad del perfil. la parte superior del ala comprendida entre los bordes de ataque y salida. . resultan inciertos y vagos. Si bien es cierto que la conceptualización de infinito es tanto matemática como filosófica. leyó la nota que su jefe le había dejado. La denominación indeterminada no es sinónimo de inexistente. piensa en la emisión de un rayo láser sobre dos rendijas en un campo lejano.346 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. 0 ∞ 0 ±∞ • Utilizar la regla de L’Hôpital en la elaboración de formas indeterminadas del tipo 0 ±∞ . exige el manejo de formas indeterminadas frecuentes. como vimos. químicos. aθ 2 . . . 0 ±∞ ±∞ 0 .2: Experimento de una rendija al hacer incidir un haz láser. ±∞ 0 • Transformar diversas formas indeterminadas a las del tipo ^ Sección 4.1 Formas indeterminadas y la regla de L’Ho pital El análisis de modelos matemáticos. ∞ 0 . entre muchos otros. por lo que se requiere un análisis más profundo de la situación y de la función que se trabaja. pues en caso contrario podrían generarse interpretaciones erróneas. el comportamiento de las formas indeterminadas es incierto. económicos. físicos. deberás ser capaz de: • Identificar las formas indeterminadas 0 ±∞ . una parte se difracta y otra emerge de las dos rendijas. Por ejemplo. la expresión que aproxima la intensidad de radiación de un rayo láser que sale por las dos aberturas es sen(a θ ) I (θ ) = I o k. ∞ 0 . mecánicos.1. 0 ∞ 0 ±∞ Las formas indeterminadas requieren de un análisis cuidadoso de la función que se analiza.1∞ . Se sabe que a distancias mucho mayores que el tamaño de la rendija.∞.2). ∞ ± ∞. ∞ ± ∞.∞. FIGURA 4. sin embargo. 0. lo cual produce una radiación que se transmite al otro lado (véase el arreglo experimental de este ejemplo con una rendija de difracción y un láser de helio neón en la figura 4. 0. Las formas indeterminadas más frecuentes tienen el siguiente aspecto que se genera —si cabe la expresión— por evaluación directa: 0 ±∞ .1∞ . 1: Formas indeterminadas 347 donde: I es la intensidad de radiación respecto del ángulo de observación θ es el ángulo de observación de la radiación a y k son constantes de parámetros opto-geométricos Intuitivamente.5 y el generado por el modelo teórico que lleva a la gráfica de la función en la figura 4.99995 2.3.99994 3.4 0.4.19985 1.29995 –0.99992 1.99992 | 3 |2 –1.29995 0. Nota la gran similitud del modelo experimental en la figura 4.99994 3. . 0.00001601 0. 1 0.5: Intensidad de radiación en campo lejano FIGURA 4. En las figuras 4. decimos que la intensidad luminosa es la magnitud de la densidad de energía que se focaliza hacia cierta dirección del espacio.99995 2.65 –1 –0.39995 –0.2 −20 −10 I 10 20 θ FIGURA 4.4 y 4.5 se muestra la intensidad de la radiación que sale de las rendijas cuando se hace incidir un rayo láser.19985 –1. Cuando graficamos la función I = I(θ) obtenemos la curva de la figura 4.99975 1.4: Distribución de intensidades en el patrón de difracción.999968 1.00001601 0.19985 0.3. en función del ángulo de observación.6 0.3: Intensidad de la radiación en función del ángulo de observación θ (modelo aproximado).19985 –1.39995 –1.99975 FIGURA 4.99975 1.8 0. que nos muestra cómo cambia la intensidad de radiación. de un haz incidente sobre dos rendijas (resultados experimentales).99975 –1 –0.999968 1. 6: Guillaume L’Hôpital. de hecho. Así. ^ Sección 4. el experimento muestra que la función de intensidad del haz incidente cuando θ = 0. En su forma más amplia.348 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Como se ve en los datos experimentales (figura 4. Se le atribuye la conformación del primer libro de cálculo.5) y en el desarrollo aproximado (figura 4. donde en particular hallará una demostración formal del siguiente hecho: lím sen(t ) =1 t →0 t sen(aθ ) 2 k = I k De este resultado obtenemos que lím I (θ ) = lím I o θ →0 θ →0 aθ o Entonces. se demuestra la regla de L’Hôpital. De acuerdo con ello. sí está definida. Sin embargo.1. si el ángulo de observación del haz es igual a 0. para la determinación del valor que corresponde a una forma indeterminada no podemos proceder por “evaluación directa”. no sería posible definir la ordenada de la intensidad del haz incidente cuando el ángulo sea θ = 0 radianes (por la sencilla razón de que la función no está definida ahí). al. se localiza un modo principal de la luz en θ = 0. al matemático francés Guillaume François Antoine se le conoce más como Marqués de L’Hôpital (1661-1704). en este capítulo veremos cómo ±∞ 0 4. indeterminada. Aunque ésta sólo se aplica a las formas ±∞ 0 indeterminadas básicas del tipo y .2 La regla de L’Ho pital FIGURA Alumno de grandes matemáticos de su época como Johann Bernoulli y Gottfried Leibniz. la forma indeterminada no presenta ningún obstáculo para obtener información de nuestro modelo. Es decir. es decir. que discutimos ampliamente en la unidad 3 del libro de cálculo diferencial (véase la referencia bibliográfica núm. 4). Pero. por lo tanto. descubrirás que la expresión 0 toma la forma “ ”. [2006]). la expresión analítica muestra una forma 0 indeterminada que no genera ninguna información. En su libro L’Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (Análisis de los infinitamente pequeños para el entendimiento de las líneas curvas) desarrolla el método que permite trabajar las for±∞ 0 mas indeterminadas del tipo y . obra que realizó al recopilar las notas de sus maestros. ¿qué sucede con 2 sen(a θ ) k cuando el ángulo es θ = 0? Si tomas en cuenta la la expresión I (θ ) = I o aθ expresión dentro del paréntesis y el límite cuando θ → 0. una dirección en la cual existe una concentración de la radiación.3). cambiar cualquier otra forma indeterminada en alguna de las del tipo básico señaladas. la regla de L’Hôpital puede enunciarse como sigue: . al contrario. ±∞ 0 En la unidad 7 del libro de Cálculo Diferencial (de Prado et. el teorema de L’Hôpital será suficiente para estudiar cualquier forma indeterminada. tendrás que estudiar el concepto de límite. la intensidad de radiación resulta continua y. entonces.4. c) Se cuidadoso al aplicar la regla de L’Hôpital. l = 0. además. Si lím f ( x ) = lím g( x ) = l . a) En las condiciones adecuadas. donde x→ c x→ c f '( x ) = L ( finito.1 Forma indeterminada 0 0 Calcula lím x →1 ln ( x ) x2 − x . x + 0 0 − ∞. excepto posiblemente en c. ±∞ y si lím x → c g '( x ) lím f (x) f '( x ) = lím =L x → c g( x ) x → c g '( x ) Notas: . Ejemplos Ejemplo 4. no se deriva el cociente de funciones. −∞ ) . pues sólo es válida para formas indeter±∞ 0 minadas del tipo y . b) un intervalo abierto que contiene c.1: Formas indeterminadas 349 Teorema 1: La regla de L’Hôpital Sea (a. el resultado sigue siendo válido si c = x0.…. Si f ' y g '. f (n) y x → c g '( x ) g(n) satisfacen las condiciones de la regla de L’Hôpital. ±∞ 0 d) Observa. +∞. y sean f y g funciones definidas y derivables en (a. indistintamente. que las derivadas que aparecen en la regla de L’Hôpital se consideran por separado para las funciones del numerador y denominador. ±∞. x− . f '( x ) b) Con frecuencia ocurre que lím también es indeterminado. la cual puede aplicarse de manera f (n ) ( x ) f (x) f '( x ) f ''( x ) = lím = lím = = lím ( n ) iterada para obtener lím hasta llegar x → c g( x ) x → c g '( x ) x → c g ''( x ) x→ c g ( x ) a un límite determinado. b). Por la x →1 x →1 regla de L’Hôpital.5 10 75 5 2.7 no revela ninguna información importante en x = 1.350 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia solución El límite pedido lleva a una forma indeterminada del tipo 0/0.5 15 12.6 0.2 0. El ejemplo trata una forma indeterminada del tipo ∞/∞ que podrá estudiarse empleado la regla de L’Hôpital: d x (e ) ex ex dx = lím = lím x = lím 1 = 1 lím x x →∞ x →∞ e + 1 x →∞ d x →∞ e (e x + 1) dx Ve cómo.8 1 1.2 ln( x ) x2 − x x FIGURA 4. y 17.2 Calcula lím ex x →∞ e x + 1 solución Observa que las funciones del numerador y denominador tienden a “∞” cuando x → ∞.8. el estudio de la forma nos lleva fácilmente a la conclusión de que la recta y = 1 es una asíntota de la función misma que se muestra en la figura 4. pues lím ln ( x ) = lím( x 2 − x ) = 0 . a pesar de que era imposible determinar a priori un significado adecuado para la forma indeterminada ∞/∞. a pesar de que ahí se presenta una forma indeterminada del tipo 0/0. en efecto. la gráfica de la función en la figura 4.5 0. .7: Gráfica de la función y = . en este caso.4 0. Ejemplo 4. tenemos d 1 ln ( x ) ln ( x ) 1 =1 lím 2 = lím dx = lím x = lím x →1 x − x x →1 d x → 1 x → 1 2x − 1 x(2 x − 1) (x2 − x) dx Nota cómo. cero a la cero. todas las que se originen por expresiones del tipo f (x)g(x) Infinito menos infinito Si y = f (x)g(x) entonces: i.4. g(x) → 0 … Uno a la infinito.8 0.2 −2 2 4 6 e x x x FIGURA 4. En los ejemplos 4. f (x) − g(x). infinito a la cero. f (x) → 1. f (x) → 0.6 0.4 0.1 y 4. sin embargo. lím Exp[g(x)ln( f (x))] = Exp[lím g(x)ln( f (x))] iii. . o ii. Para el resto de las formas indeterminadas. g(x) → ∞.1: Esbozo metodológico para estudiar formas indeterminadas. En los siguientes ejemplos mostraremos el procedimiento. como vimos. Se aplica la regla de L’Hôpital f (x)g(x). Se busca tener un solo término. Tabla 4. existen casos donde esto no es posible.1: Formas indeterminadas 351 y 1 0.2 las formas indeterminadas se calcularon directamente a través de la regla de L’Hôpital.8: Gráfica de la función y = e +1 . g(x) → 0 f (x)g(x). Forma Tipo Método f (x)g(x). Se genera de alguna forma un cociente para poder usar la regla de L’Hôpital. f ( x )g( x ) = f (x) (1 / g( x )) ii. f (x) → ∞. g(x) → ∞ Cero por infinito: 0⋅∞ i. f (x) → 0. i. La siguiente tabla contiene algunas indicaciones de carácter general que pueden serle útiles. será necesario aplicar transformaciones que las lleven a alguna de las del tipo básico. Habitualmente en ii se aplica una forma del tipo 0 ⋅ ∞. y = Exp[g(x)ln( f (x))] ii. f (x) → ∞. g(x) → ∞ f (x)g(x). tenemos que aplicar una vez más la regla de L’Hôpital: d (1 − cos( x )) 1 − cos( x ) dx = lím+ lím+ x → 0 x cos( x ) + sen( x ) x→ 0 d ( x cos( x ) + sen( x )) dx = lím+ x→ 0 sen( x ) =0 − xsen( x ) + 2 cos( x ) . Estamos listos ahora para aplicar la regla de L’Hôpital: d ( x − sen( x )) x − sen( x ) 1 − cos( x ) dx lím+ lím = lím+ = + d x → 0 x sen( x ) x→ 0 ( x sen( x )) x→0 x cos( x ) + sen( x ) dx Nota que el último límite cae nuevamente en una forma del tipo 0/0.352 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Ejemplo 4. a priori. En este caso. x − sen( x ) 1 1 . límite que contiene una forma del tipo “0/0” lím+ − = lím+ x → 0 sen( x ) x x→ 0 x sen( x ) En este ejemplo observa cómo la simple operación algebraica transformó la forma ∞ − ∞ en la forma 0/0. la cual es una expresión que carece de sentido. cero. nota que cuando x → 0+. En primer lugar. Nota: No existen reglas infalibles ni únicas para manipular una expresión. por lo tanto. ∞ − ∞ no es. Esta forma no conlleva la idea de una resta aritmética. y así llevarla a una forma equivalente de los tipos 0 o ±∞ . será necesario aplicar creativamente algún proce±∞ 0 dimiento algebraico para obtener la forma deseada.3 1 1 − Calcula lím+ x → 0 sen( x ) x solución 1 1 → ∞ y → ∞ . pues ∞ no es un número y. en consecuencia. en el cálculo de este límite tenemos sen( x ) x una forma indeterminada del tipo ∞ − ∞. En todo caso. 1. ±∞ 0 lím x ln ( x ) = lím+ x→ 0 x→ 0+ ln( x ) 1 x −∞ Ve que en el último límite se presenta otra forma indeterminada.9: Gráfica de la función del ejemplo 4.9 se nota la correspondencia entre el resultado analítico hallado y la apariencia de la gráfica “cerca” de cero.5 −2 −1 −0. de esta manera. pero del tipo . por lo que ahora sí +∞ podemos emplear la regla de L’Hôpital: d (ln ( x )) ln ( x ) lím+ x ln ( x ) = lím+ = lím+ dx 1 x →0 x →0 x →0 d 1 x dx x 1 = lím+ x = lím+ (− x ) = 0 x →0 −1 x →0 x2 . recuerda que ni +∞ ni −∞ son números sino símbolos.4. sin embargo.4 Calcula lím+ x ln ( x ) x→ 0 solución Nota que cuando x → 0+ el primer factor tiende a cero.3. por lo tanto. Es muy común pensar que todo número multiplicado por cero es cero.5 −1 1 2 FIGURA 4.1: Formas indeterminadas 353 1 0. mientras que el segundo tiende a −∞. Ejemplo 4. en este límite tenemos una forma indeterminada del tipo 0 ⋅ (−∞). ±∞ 0 Para transformar esta forma al tipo o al tipo utilizamos la guía de la tabla 4. En la figura 4. por lo que no se puede utilizar la aritmética usual. por otra parte. 1 2 3 4 5 FIGURA 4. x ln(x) → 0 de acuerdo con el ejemplo 4. por lo tanto. tanto la base como el exponente tienden a cero.10 se “acerca” a 0 cuando x → 0+.354 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Una vez más. Con apoyo de la tabla 4. Ésta es una de las razones por las que el estudio de esta forma debe abordarse desde la perspectiva de forma indeterminada.5 Calcula lím+ x x x→ 0 solución En este caso. Ejemplo 4. “Intuitivamente”. toda potencia (cuando menos de exponente entero positivo) de una base igual a cero es 0.11 corrobora el cálculo obtenido. observa cómo la gráfica de la función en la figura 4. esto en correspondencia con el cálculo que realizamos. La gráfica en la figura 4. todo número (diferente de cero) elevado a la potencia cero es 1 y. luego: lím x = lím+ Exp( x ln( x )) x→ 0 x→ 0+ = Exp lím+ x ln( x ) = Exp(0 ) = 1. x→ 0 ( ) (el paso al límite dentro de la función exponencial es válido debido a su continuidad).10: Gráfica de la función y = x ln(x). determinamos el siguiente procedimiento: xx = Exp(x ln(x)) = ex ln(x). cuando x → 0+. la forma indeterminada es del tipo 00. . por lo que resulta difícil imaginar siquiera qué ocurriría cuando la base y el exponente se combinan en una tendencia a cero.1. 12 refleja su coincidencia con nuestro cálculo. tenemos ln ( x ) 2 x x −1 = Exp ln ( x ) = Exp 2 ⋅ x −1 x −1 Ahora observa que cuando x → 1+. la base tiende a 1 y el exponente 2 → + ∞ . por lo tanto. ln ( x ) lím+ x x −1 = lím+ Exp 2 ⋅ x −1 x →1 x →1 ln ( x ) = Exp 2 ⋅ lím+ = Exp(2) = e2 ≈ 7.389 x→1 x − 1 En su aspecto la gráfica de la función en la figura 4. de acuerdo con la regla de L’Hôpital: d ln( x ) ln( x ) = lím+ dx lím+ x →1 x − 1 x →1 d ( x − 1) dx 1 x 1 = lím+ = 1 = lím+ x →1 x → 1 1 x En consecuencia.1. por lo tanto.4.1: Formas indeterminadas 355 1 1 2 3 4 5 FIGURA 4. Ejemplo 4. se genera x −1 ∞ una forma indeterminada del tipo 1 . Siguiendo otra vez las indicaciones de la tabla 4. tanto ln(x) como x − 1 tienden a cero.11: Gráfica de la función y = xx. 2 2 .6 2 Calcula el límite de la función en el punto indicado lím+ x x −1 x →1 solución En este ejemplo. como x → 1+. tenemos una forma indeterminada del tipo ∞0. por lo tanto. Así.1) la forma en otra del tipo básico.13. 3 .356 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia e2 2 4 6 8 10 12 14 FIGURA 4.13: Gráfica de la función y = (1 + x ) x . 2 Ejemplo 4. 5 4 3 2 1 5 10 15 20 25 30 x FIGURA 4. por lo tanto.12: Gráfica de la función y = x x −1 . transformaremos (con apoyo de la estrategia delineada en la tabla 4. 3 ln( x − 1) 3 lím (1 + x ) x = lím Exp ln( x − 1) = Exp lím x x x→∞ x→∞ x→∞ Nota que el límite anterior es del tipo ∞ . d x→∞ x 1 x→∞ x→∞ (x) dx 3 3 3 ln( x − 1) = e0 = 1 de aquí resulta que lím (1 + x ) x = Exp lím x→ ∞ x→∞ x El resultado del cálculo anterior corresponde a la apariencia que tiene la gráfica de la figura 4. podemos aplicar la regla de L’Hôpital: ∞ d 3 ( 3 ln( x − 1)) 3 ln( x − 1) lím = lím dx = lím x − 1 = 0. Cuando x → ∞.7 Calcula lím (1 + x ) x x→∞ 3 solución → 0 . 1 + x → ∞ y 3 x Para calcular el límite pedido. Supón que f ( x ) = ∫ e 9t + 1 dt y g(x) = x ne 3x. obtenga n x →+∞ nx − 1 f '( x ) 3t 4 = 1.14 el círculo — — — unitario está centrado en O.4. En los siguientes incisos. determina únicamente la forma indeterminada que se presenta. sen ( 4 x ) x→ 0 x 1 cos x 3 b) lím 6 − x→ 0 x x6 1 c) lím 1 + x →∞ x x a) lím d) lím 4 x 2 − 3x x →∞ 6 x 2 + 1 2. Si lím = 9. Si lím x →+∞ g '( x ) 1 (En los siguientes ejercicios bien cabe un pensamiento de Albert Einstein: “El sentido común es el depósito de prejuicios guardados en la mente antes de los 18 años. ¿Qué sucede con el punto E a medida de que Q → B? x . En— la figura 4. Emplea la regla de L’Hôpital para determinar los siguientes límites: 1 1 a) lím+ − x→ 0 x x b) lím x −1 x →1 ln ( x ) i) lím x→ 0 sen ( 7 x ) tan (11x ) q) lím 1 − x →∞ 6 x x 1 j) lím x tan x x→∞ k) lím x − x 2 + x x →∞ 1 r) lím 1 − x →∞ 4x 3x c) lím ex − 1 x → 0 cos ( x ) − 1 x3 − 1 x →1 4 x 3 − x − 3 ( ) 1 s) lím(1 − x ) x x→ 0 d) lím l) lím 2 x 2 − ( 3x + 1) x + 2 x →1 x −1 ln 2 + e x t) lím x→ 0 xe x cos 2 6 x e2 x − 1 x−2 e) lím 2 x→ 2 x − 4 f ) lím ln ( x ) x→1 x 2 ln (ln ( x )) ln ( x ) m) lím x →+∞ ( 5x ) u) x2 4 4 lím [(cos x ) e 2 ] x x→ 0 3x 2 − 3x n) lím x→ − ∞ 4 x 2 + 1 o) lím h→0 1 ( x 6 + 3x 5 + 4 ) 6 − x v) lím x→+∞ g) lím x→1 h) lím ln ( x + h ) − ln ( x ) h cos ( x + h ) − cos ( x ) h sen(sen ( x )) x→ 0 sen ( x ) x p) lím h→ 0 nx + 1 3. y la longitud de BP es igual a la de BQ . 4. BQ es una recta tangente vertical.”) 5.1: Formas indeterminadas 357 1. obtén el valor de n. 16: Esquema del planteamiento del ejercicio 7. y la — — longitud del segmento BQ es igual a la del arco BP .14: Esquema del planteamiento del ejercicio 5. 0 < f (θ) < g(θ).358 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia y Q P BQ = BP x B O E FIGURA 4.16.15: Esquema del planteamiento del ejercicio 6. En la figura 4. ¿Qué sucede con la abscisa de R cuando P → B? y P Q R −1 B O 1 x FIGURA 4. sean f (θ) = área del triángulo ∆ABC y g(θ) = área de la región sombreada formada al f (θ ) suprimir el área del triángulo ∆OAC del sector OBC . En la figura 4. 6. Encuentra lím θ →0 g(θ ) y C 1 0<θ < π 2 θ O A B x FIGURA 4.15 el círculo unitario está centrado en el origen. 7. . claramente. BQ es una recta tangente vertical. La figura 4. b) lím+ x t→ 0 t→ 0 y E C t F t A(x. Encuentra a) lím+ y . de la razón entre el área del triángulo y el área de la región sombreada.18: Esquema del planteamiento del ejercicio 10. despreciando las fuerzas de fricción. x 2) B(x. 9. puede determinarse que el desplazamiento x = x(t) del cuerpo con respecto de la posición de equilibrio está dada por x (t ) = Aw 2 cos(wt ) − cos(w0 t )) . entonces. CD = DE = DF = t . y) D(1. Halla el límite.4. 10. a medida que x → 0. Si un cuerpo de masa m se fija a un resorte colgado de un soporte.17 muestra un triángulo ∆ABC y la región sombreada cortada a partir de la parábola y = x2 mediante una recta horizontal. y y = x2 A(−x. En la figura 4. w ≠ w0 2 ( w2 0−w . donde A y w son constantes positivas. y después la masa se pone en movimiento mediante una fuerza f (t) = A cos(wt). 0) O B(0.18.1: Formas indeterminadas 359 8. x 2) C x FIGURA 4.17: Esquema del planteamiento del ejercicio 8. ¿Para qué valores de las constantes a y b es lím x − 3 sen( 3x ) + a x − 2 + b = 0 ? x→ 0 ( ) 11. 0) x FIGURA 4. ¿Qué ocurre con s(t) cuando k → 0+? 14. Halla: a) La función integral senaria se define por s i ( x ) = ⌠ ⌡0 u i.360 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Calcula lím x y verifica que la amplitud de las oscilaciones sea creciente. lím c (x) − x x→ 0 x5 2 ∫0 cos (u ) du . R ( ) donde E. Determina qué pasa con la corriente eléctrica de este circuito cuando R → 0+. 12. La corriente i = i(t) que circula en cierto circuito eléctrico en el tiempo t está dada por i(t ) = E 1− e−R t / L . tales que lím 2 1 ⌠ t dt = 1. te pedimos que no hagas caso al respecto y calcula formalmente los límites que se indican. su velocidad de propagación v está dada por v= gL 2π D tanh . Si una bola de acero se deja caer en agua y si la fuerza de resistencia debida al agua es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. x . ¿Qué ocurre con la velocidad de propagación en aguas profundas? 16. Sin embargo. x ii. x sen (u ) du . x→0 l x − sen( x ) ⌡ k+t 0 x 15. lím x→ 0 s i (x) − x x3 Nota: La integral que define a la función si (x) es impropia y es un concepto que estudiaremos en la próxima sección. k m donde k es una constante y g es la aceleración de la gravedad. Las siguientes funciones son importantes en diversas ramas de la ingeniería y la matemática aplicada. R y L son constantes positivas. x→ 0 x ii. b) La integral cosenaria de Fresnel define una función que denotaremos por c( x ) = Calcula: i. se desplaza por una masa de agua que tiene una profundidad D. lím x→ 0 s i (x) . Éste es un caso de un few→ w 0 nómeno conocido como resonancia. L 2π donde g es la aceleración de la gravedad. 13. Si una ola con longitud de onda L. lím c (x) . entonces la distancia recorrida por la bola al tiempo t está dada por gk m s(t ) = ln cosh t . Encuentra las constantes k y l. Calcula lo que se pide. el axón posee una envoltura aislante a su alrededor que le permite conducir la electricidad de manera eficiente.1: Formas indeterminadas 361 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. x2 son constantes positivas. El sistema nervioso está formado por billones de células conocidas como neuronas. los axones tienen un funcionamiento parecido a los cables eléctricos. Dicha cubierta está formada por mielina. el cual podrás consultar en la siguiente dirección electrónica: http://www. aparece el siguiente argumento: “Considérese la función de producción y = k [α x1− ρ + (1 − α ) x2 − ρ ] ρ . Como cualquier cable. 7).4. ¿Qué “A” es al que se refiere la autora? 3. como se esperaba. Es decir.com/htm/mujer/articulo/esclero1. se halla que: ρ → 0+ −1 lím y=A donde A corresponde a la función de Cobb-Douglas. donde k. x1. La reunión de miles de axones con su respectiva capa de mielina forma los nervios encargados de conectar las diferentes regiones del cerebro entre sí y con el resto del organismo (vea la figura 4. sustancia producida por otra célula llamada oligodendrocito. 1. La función de Cobb-Douglas en la economía. En la obra de Eugene Silberberg (véase la referencia bibliográfica núm.html. FIGURA 4. ρ > 0 y 0 < α < 1. “Esclerosis múltiple”. Esclerosis múltiple. Tales células están comunicadas unas con otras por medio de filamentos especializados o axones. ¿Por qué vuelan los aviones? 2. analiza y resuelve las siguientes situaciones. a través de los cuales viajan señales eléctricas. Resulta sorprendente que un tema en apariencia tan teórico como el que hemos discutido en esta sección tenga tantas aplicaciones en la vida cotidiana. a través de los cuales pasan señales eléctricas de una neurona a otra.saludhoy. Al tomar el límite a medida que ρ → 0+. .19: Los axones son como cables recubiertos por mielina. La siguiente situación es del campo de la neurología y se apoya en el extracto de un artículo médico.19). Ese curioso fenómeno es llamado por los médicos desmielinización (figura 4. Pues bien. en la esclerosis múltiple ocurre una destrucción de la capa de mielina y el sistema nervioso deja de funcionar adecuadamente. Determina la opción que proporciona el lím a) No existe. b) ∞. por lo cual R → r +. Esto ocasiona numerosas complicaciones. pérdida de la sensibilidad o de la visión. c) 3 . a) La esclerosis múltiple destruye la capa de mielina. entre muchas otras.20). desequilibrio y alteraciones de los procesos mentales. b) 1 . R es el radio de la capa de mielina y k es una constante. ¿Qué ocurre en este caso con la velocidad del impulso eléctrico? Autoevaluación 1. c) 2. que se manifiestan en parálisis. d) 0 2 3x − 5 2x2 − x + 2 .362 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Cuando se lesiona la mielina. Indica la opción que contiene el cálculo correcto de lím a) ∞. Discute con tus compañeros los siguientes problemas que tienen que ver con el sistema nervioso.20: La destrucción de la mielina interrumpe la comunicación entre las neuronas. FIGURA 4. ¿Qué ocurre con la velocidad del impulso eléctrico? b) El axón se reduce tanto en algunas zonas del sistema nervioso que r → 0+. d) No existe. 2 x →−∞ x→ 0 1 − cos ( x ) : x2 2. De esta manera. no es posible conducir de manera adecuada las señales eléctricas a través de los axones y las neuronas no pueden comunicarse entre sí. la fibra nerviosa se parece a un cable cilíndrico aislado para el que la ve2 r r locidad está dada por v = − k ln R R Donde r es el radio del axón. f ) 0 .1: Formas indeterminadas 363 4 3. Escoge la opción que contiene el cálculo correcto de lím 1 + . lím f (θ ) =0 θ →0 g(θ ) A1 3 = 8. Si A1 representa el área del triángulo y A2 el área de la región sombreada. j) 1. n = 4. a) 2. b) lím+ x = −2 t→ 0 t→ 0 10. e) . m) 5. n = 2 5. a) +∞. 4 11 11 2 x 4 1 1 1 1 1 p) −sen x. o) . l) −1. c) 4 .4. a = −3. b) No existe. b = 9 2 . x2 − 4 a) 5. v) 2 e e 2 e 1 ln( 3) 3. Determina la opción que contiene el lím 1 . El punto E tiende al punto (3. u) e−1/3. b) e. i) . d) 0 ∞ 1. x→ 0 x2 x→ 2 x x2 + 5 − 3 . s) . b) ∞ − ∞. n) . La abscisa del punto R tiende a −2 7. c) 1 . a) lím+ y = −1. g) −∞. r) 3/ 4 . d) ∞ 6 ex − 1 − x . d) 1 7 3 1 1 3 . q) 6 . b) 0. entonces lím x→ 0 A 4 2 9. c) −∞. c) No existe. k) − . 0) 6. h) 1. c) 1∞. b) 1. t) . d) ∞ 2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 0 ∞ . x →∞ x 1 a) e4. Encuentra la opción que da el cálculo correcto de lím a) 0. d) 4 e e 4. ii.com/htm/mujer/articulo/esclero1. ed. Referencias de Internet 1. Madrid. Reverté. T. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. i(t ) → 13. −1 18 b) i. Cálculo diferencial para ingeniería. c) Referencias 1. R.. 2. R. al.html. McGraw-Hill.. J. Brauch. b) 2. Esclerosis múltiple. Trillas. 2006. et. podrás deducir que v ≈ D →∞ gL 2π 16. 5. 1975. Cálculo. 1. Ejercicios de análisis. y Minton.. 6. Cálculo de una y varias variables. a) i.. d) 3. México.saludhoy. 1982. −1 10 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2a. 2. 1970. México. R. I. 1978. Courant. Apóstol. a) 4. Prado. 2a. URMO. Madrid. . W. 3. ¿Por qué vuelan los aviones? http://www. 1980. x (t ) → 12. 7. vol. k = 4. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Nueva York. Ejemplos y ejercicios de matemáticas para ingenieros. Silberberg. ed. Seeley. México. 1. a) 5. Pearson-Prentice Hall. ii. The Structure of Economics. al..364 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 11. s(t ) → Aw 0 t sen ( w0 t ) 2 Et L 1 2 gt 2 14. 2a. McGraw-Hill. Smith.. Reverté.. y John. Barcelona. vol 1. 8. Del cálculo obtenido. Limusa.es/de/vuelo/PBV/PBV12. ed. R... E. 2003. Madrid.inicia. et. 1978. Calcula lím v 2 . 4..html . F. l = 1 15. http://www. Rivaud. hacia las grandes ciudades del país. tomaremos el ejemplo de lo que ocurre con un pequeño poblado llamado Piaxtla. por lo que debe encontrar los medios para su subsistencia. la población indígena se ha visto en la necesidad de emigrar. al igual que otras muchas comunidades poblanas. Aunque no son pocas las adversidades que debe soportar en las grandes ciudades. regresan cada año. para la población indígena éstas continúan siendo su mejor estrategia (tal vez la única) para lograr mejores condiciones de vida. si éstas se mantienen y si prevalecen las de la tabla 4. Según el censo del año 2000. la costumbre. hacia Estados Unidos.8% Mortalidad 4. una vez que terminan la educación secundaria. en primer lugar. . Desde este punto de vista.4. con base en las siguientes consideraciones. sobre todo. pues los varones emigran. Tabla 4. tanto individuales como familiares.3% Migración 42. está disminuyendo su población de manera dramática. a fuentes de trabajo o de otro tipo—. su población presenta la siguiente dinámica. Dentro del marco de esta problemática. Como puedes constatar. Estima lo que ocurriría con la población de Piaxtla. Debido a las escasas oportunidades de nuestro medio —como acceder a la educación.2: Dinámica poblacional de Piaxtla Población 5500 Natalidad 37. es posible entender los motivos que han influido en las poblaciones indígenas para abandonar sus comunidades. seguridad económica y otras necesidades. Julio Cortázar El problema de la migración La sociedad está conformada por un grupo de seres humanos que busca el equilibrio. los habitantes principales son mujeres y niños.21: En varias comunidades poblanas. localizado al sur de Puebla en la Mixteca Baja.2. por arraigo a su familia y a su tierra. luego al extranjero.2 Integrales impropias Sólo existe algo más fuerte que nuestras propias convicciones.26% FIGURA 4. Un factor que no se menciona en la tabla anterior tiene que ver con las personas que. Piaxtla.2: Integrales impropias 365 4. San Pablo Anicano. varianza). incluso los más prolíficos.366 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia a) Supón que Piaxtla tiene una dinámica poblacional que varía constantemente. Chila de la Sal) y si estas acciones fueran exitosas. deberás ser capaz de: • Definir y calcular integrales impropias con límites de integración infinitos o con discontinuidades infinitas en el intervalo de integración. Sección 4. tiene un uso potencial inmenso. sí podemos indicar qué conceptos de probabilidad y estadística (distribuciones. incluye al infinito en su proceso de cálculo. Tecomatlán. sucumbieron ante la consideración del infinito como una especie de número al que manipularon incorrectamente. Ahuehuetitla. Así. En esta sección estudiaremos el concepto de integración impropia que.1 Integrales impropias Que el infinito causa sorpresas queda de manifiesto en situaciones aun tan simples como la que mostramos en el siguiente ejemplo. Aunque ya analizamos integrales. Guadalupe Santa Ana. se trata de un ente que. Determina lo que pasará con la población a largo plazo. Acatlán.000 habitantes? Introducción Internarse en el mundo de los conceptos que cubren la idea de lo infinito es introducirse en un mar de sorpresas. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. para que a la larga se estabilice en 10. en esta sección nos dedicaremos a definir. Ahora imagina que 200 personas regresan anualmente. b) Responde al problema anterior. como veremos. entre las que se encuentran pobladores que ingresan de otros estados y los inmigrantes de Estados Unidos. . Grandes matemáticos de la historia. a manipular y a comprender las integrales que añaden “∞” en su descripción. aunque extraño en muchos sentidos. en proporción directa a la cantidad de sus habitantes. recordarás que hasta este momento no se ha presentado ninguna situación donde la función tenga un comportamiento asintótico o donde alguno (o ambos) de los límites de integración sea(n) +∞ o −∞. del 5 al 9— rompen el sentido común. esperanza. c) Si. aspectos de la física (energía potencial) y procesos de transformación (como los de Laplace y Fourier) sin la ayuda de esta poderosa herramienta sería imposible definir o determinar. Aunque por ahora no podemos desplegar todos los usos de esta herramienta. Los problemas que presentamos en la sección anterior —en particular. con el propósito de detener la merma poblacional de este lugar.2. ¿cuántas personas tendrían que instalarse en Piaxtla. el edil ofreciera facilidades para la adquisición de tierras entre los pobladores de las comunidades cercanas (Chinantla. si en vez de 200 personas se incorporan anualmente al poblado a individuos (donde a es una constante). como hemos señalado reiteradamente. ±∞ no son números. si el área resultante existiera.1: Integral impropia tipo I Diremos que una integral es impropia del tipo I. x→ 0 es decir. Grosso modo.2: Integrales impropias 367 Considera la integral de la función f ( x ) = esta integral definida. y no negativa. 1]. ∞ ∫−∞ f ( x )dx ∫−∞ f ( x )dx . tenemos 1 en el intervalo [−2.22: Si existiera el área. a) Para f continua en [a. b]. b]. de acuerdo con la figura 4. cada vez que en la función se presente un comportamiento b asintótico y éste se origine en algún punto c ∈ [a. 1]. c) Para f continua en . si se presenta alguno de los siguientes casos. ∫a ∞ f ( x )dx b b) Para f continua en [−∞. la gráfica de la función se encuentra en su totalidad por encima del eje x. ¿Por qué ocurrió esto? Una primera observación consiste en mirar la gráfica de la función en el intervalo de integración. Una objeción inmediata a este resultado es que. Definición 4. que se caracterizan porque en alguno de los límites de integración se emplearon los símbolos −∞ o +∞. ésta debería ser positiva. Cabe enfatizar que éstas se incluyen en dicha categoría porque. la función tiene una asíntota vertical en x = 0. ∞].4.21.1 y 4. Nota que x→ 0 − lím f ( x ) = + ∞ y lím+ f ( x ) = + ∞ . a Existe otro tipo de integrales impropias que tienen una enorme aplicación en la ingeniería y en las ciencias aplicadas en general. Formalizamos lo anterior en las definiciones 4. como se ve. por lo tanto. Al resolver x2 ⌠ 1 dx = ∫ x − 2 d x = − x −1 2 ⌡−2 x −2 1 1 1 −2 1 1 = −1 + = −1 − = −3 / 2 −2 2 8 6 4 2 −2 −1 1 2 FIGURA 4. sino símbolos que deberán manejarse con el cuidado que exija el caso. y este punto pertenece al intervalo [−2. la integral ∫ f ( x )dx será impropia. ésta debería ser positiva.2. si el límite existe r→b a r b) Si la función f es continua en el intervalo semiabierto (a. diremos que es divergente. vale la pena reflexionar en la siguiente idea: Dado que una integral impropia es aquella en la que. f ( x )dx. b Antes de formalizar las definiciones respectivas sobre el cálculo de estas integrales. si el límite existe ∫−∞ f ( x )dx = Rlím →− ∞ ∫ R c) Si la función es continua en el intervalo f ( x )dx + lím ∫ ∫−∞ f ( x )dx = Rlím →− ∞ ∫ R S →∞ a ∞ a S b . entonces. entonces. diremos que la integral impropia es convergente.4: Integrales impropias tipo II a) Si la función f es continua en el intervalo semiabierto [a.368 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Definición 4. Definición 4. b] tal que la gráfica de la función tenga una asíntota vertical en x = c. entonces. b] y si en x = a la gráfica de f tiene una asíntota vertical. b) y si en x = b la gráfica de f tiene una asíntota vertical. de alguna manera. y dado que éste no es un número al que se pueda manipular con la aritmética usual. ∞] entonces.3: Integrales impropias tipo I a) Si la función es continua en el intervalo [a. si exisa te al menos un valor c ∈ [a. está presente el “infinito”. f ( x )dx. si el límite existe b) Si la función es continua en el intervalo (−∞.2: Integral impropia tipo II Diremos que la integral ∫ f ( x )dx es una integral impropia del tipo II. ∫a b ∞ f ( x )dx = lím R→∞ a ∫ R f ( x )dx. Si en cada caso los límites involucrados existen. en caso contrario. Definición 4. donde a es cualquier constante en . evadiremos la dificultad que entraña su presencia en la integral con el concepto de límite. si el límite existe r→a r b . si ambos límites existen. b]. ∫a b f ( x ) d x = lím− ∫ f ( x ) d x. entonces. ∫a b f ( x ) d x = lím+ ∫ f ( x ) d x. Retoma el cálculo de 2 ⌡−2 x 1 solución Como indicamos.2: Integrales impropias 369 c) Si la función f es continua en el intervalo [a. por lo tanto. r r 1 r 1 Ejemplo 4. Esto explica la incongruencia entre la gráfica del área en la figura 4. por lo tanto. la función f ( x ) = con la definición 4. si ambos límites existen r→c a s→ c s r b Una vez más. ∫a b f ( x ) d x = lím− ∫ f ( x ) d x + lím+ ∫ f ( x ) d x. lím− 2 r 2 r→ 0 ⌡ r → 0 r → 0 x −2 −2 x Sin necesidad de averiguar lo que ocurra con el segundo límite. b] con excepción de x = c ∈(a.9 Si existe.8 ⌠ 1 dx en el ejemplo inicial e investiga si la integral impropia es convergente. . si en cada caso los límites involucrados existen. Determinar la existencia de la integral equivale a considerar su convergencia. en caso contrario diremos que es divergente. la integral debe estudiarse bajo el concepto de integral impropia (tipo II). entonces.4c): 1 tiene una asíntota vertical en x = 0. y si en x = c la gráfica de f tiene una asíntota vertical. Ejemplos Ejemplo 4. concluimos de manera inmediata que la integral diverge. debemos estudiar el límite correspondiente que define este tipo de integral. 2). por ello. de acuerdo x2 ⌠ 1 ⌠ 1 ⌠ 1 dx = lím− dx + lím+ dx 2 2 2 r → s → 0 0 ⌡−2 x ⌡−2 x ⌡s x 1 ⌠ 1 1 1 dx = − lím− = − lím− + = + ∞ Así. diremos que la integral impropia es convergente. b). calcula la integral de la función f ( x ) = 1 en el intervalo de [0. 2−x solución Observa que la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 2.22 y el cálculo realizado que llevó al resultado −3/2.4. 23: Área del ejemplo 4.10 Determina si la integral de la función f (x) = xln(x) en la región comprendida en el intervalo de (0. 1 2 FIGURA 4. calcula su valor. De acuerdo con la definición 4. entonces.4a). requerimos estudiar el límite: ⌠ lím r → 2 − ⌡0 r dx 2−x Si hacemos el cambio de variable u = 2 − x.370 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia En la figura 4.9. 1] es convergente. Ejemplo 4. concluimos que la integral converge y que su valor 2 2 (unidades cuadradas) representa el área de la región sombreada. du = −dx y así: ⌠ ⌡0 2 1 2−x dx = lím− r→ 2 1 ⌠ (−1) ⌡0 2−r r −1 2−x dx = − lím− r→2 ∫ 2 u −1 / 2 du = − lím− 2 u r→2 2−r 2 = lím− 2 2 − 2 2 − r = 2 2 r→2 ( ) Como el límite existe. Si lo es.23 se representa la gráfica de la función de este ejemplo. . ¿Qué ocurre con f (x) = xln(x) cuando x → 0+? Un vistazo a la función que se integra mostrará que se genera una forma indeterminada del tipo “0 ⋅ (−∞)”.4.5 1. Así: x 2 1 1 1 1 1 1 1 1⌠ x2 1 lím+ ∫ x ln( x )dx = lím+ x 2 ln( x ) − dx = lím+ x 2 ln( x ) − x 2 r→0 r→0 2 2 ⌡r x 4 r→0 2 r r r r En el primer término se ve que será necesario hallar el límite: lím 1 2 1 ln(r ) −∞ r ln(r ) = lím+ −2 (la forma 0 ⋅ (−∞) se transforma en ) r → 0 2 2 +∞ r = De aquí: 1 1 1 1 1 lím+ ∫ x ln( x )dx = lím+ x 2 ln( x ) − x 2 r→0 r→0 2 4 r r r r → 0+ 1 r −1 1 lím+ = lím r 2 = 0 − 3 2 r → 0 −2 r − 4 r → 0+ 1 1 1 = lím+ − r 2 ln(r ) − 1 − r 2 = − r→0 2 4 4 ( ) Así. . podemos decir que la integral converge a −1/4.10.5 1 –0.2: Integrales impropias 371 solución 3 2. De acuerdo con la definición 4.5 2 2.5 2 1.24: Área del ejemplo 4.5 1 0.4b): ∫0 x ln( x ) d x = rlím ∫ x ln( x ) d x →0 r + 1 1 Al integrar por partes. de lo cual deducimos que la integral que buscamos es impropia. tomamos u = ln(x) y dv = xdx. de donde: du = dx x2 y v= .5 3 FIGURA 4. observa que la integral va de 0 a 1.372 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Ejemplo 4.6. solución 10 8 6 4 2 –1 –0.25. explique a qué valor.5 1 FIGURA 4. Por ello.6 x 1 − x Es importante señalar que el valor intermedio seleccionado. una desigualdad equivalente a −1 < x < 1. 0. Resolvemos ahora la integral indefinida por sustitución trigonométrica.6 s 1 0. ⌡ x 1− x 2 sea x = sen(θ) de donde dx = cos(θ)dθ. así. extendiendo la idea que se formalizó proveen el mecanismo de cálculo de ⌡0 x 1 − x 2 en dichas definiciones. pudo ser cualquier otro punto del in⌠ dx tervalo (0. resulta que la gráfica tiene asíntotas verticales en x = 0 y en x = 1. parece razonable realizar el cálculo considerando lo siguiente: 1 1 1 ⌠ ⌠ ⌠ dx = dx + dx 2 2 ⌡0 x 1 − x ⌡0 x 1 − x ⌡0. abordaremos el cálculo de la integral a través del concepto de integral impropia.5 –2 –4 0. Nota que el dominio de la función se restringe bajo las condiciones x ≠ 0 y 1 − x2 > 0.6 x 1 − x 2 dx dx ⌠ ⌠ = lím+ + lím− (*) 2 2 r→0 ⌡ s →1 ⌡ x 1− x r 0.11 dx ⌠ Determina si ⌡0 x 1 − x 2 1 converge.25: La función del ejemplo 4. En caso afirmativo. 1). Para este caso.11. sin embargo. Tenemos.6 1 1 . razón por la cual debemos determinar lo que ocurre cuando x → 0+ y cuando x → 1−. 0. entonces. Asimismo. Como se ve en la figura 4. ninguna de las definiciones (ni 3 ni 4) dx ⌠ . 4.2: Integrales impropias 373 ⌠ 1 1 ⌠ dx = (cos(θ ))dθ 2 ⌡ x 1− x ⌡ sen(θ ) 1 − sen 2 (θ ) ⌠ 1 (cos(θ ))dθ = = ⌡ sen(θ ) cos(θ ) ∫ csc(θ )dθ = ln csc(θ ) − cot(θ ) + C Al transformar el último resultado (como lo hicimos en la unidad 2) para la variable “x”. por la continuidad de la función logaritmo: 1 − 1 − r2 ln → −∞ r En cuanto a la conclusión.6 2 0. . Nota: Observa que no se requiere que ambos límites diverjan. con uno solo que no exista basta para llegar a esta conclusión.6 1 − 1 − r2 ≈ lím+ −1. lím+ .4. en (*).09861 − ln r→0 r 2 + el cual tiene una forma indeterminada pues 1 − 1 − r → 0 y r → 0+ cuando r → 0+.3 y 4. tenemos r→0 ⌡ x 1 − x2 r 1 − 1 − 0. ésta es idéntica a la que se señaló en las definiciones 4.6 6 x 1− x r 1 − 1 − r2 − ln r .6 ( ) dx ⌠ = lím+ ln lím+ 2 r→0 ⌡ r→0 0. obtenemos ⌠ 1 1 − 1 − x2 dx = ln csc θ − cot θ + C = ln +c ⌡ x 1 − x2 x dx ⌠ Si regresamos al cálculo del primer límite. hallamos: 1 − 1 − r2 r lím+ = 0+ . para concluir que la integral no existe (o que diverge). Si recurrimos a la regla de L’Hôpital. = lím+ r→0 r r→0 1 − r 2 por lo tanto. 0. y deducimos que la integral impropia diverge. por lo tanto. 4 3 2 10 8 6 4 1 2 0.26: Representación gráfica de la integral en a). FIGURA 4. .4 0. el área de la región sombreada en la figura 4.12 ⌠ dx ⌠ dx Si existe. sin embargo.374 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Ejemplo 4. la integral diverge. la intención de este ejemplo es mostrar que esta similitud sólo es aparente.8 1 FIGURA 4. Nota que pese a la similitud de las integrales y las áreas que representan. nota que el aspecto gráfico de las áreas cuyo cálculo corresponde a los incisos a) y b) es similar. b) 5 . y en el otro divergencia.4b)): −4 ⌠ dx ⌠ dx = lím+ 1/ 4 5 5 4 = rlím + 4 →0 ⌡ x r→0 x ⌡0 x r 1 1 1 r 1 = −4 lím+ 1 − 1/ 4 = + ∞ r→0 r Por lo tanto. la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 0 (observa la definición 4.27: Representación gráfica de la integral en b).26 es 5. como lo mostrarán los siguientes cálculos.4b): ⌠ dx ⌠ dx 5 x1/ 5 4 5 = rlím 4 = rlím → 0+ ⌡ x 5 → 0+ ⌡0 x r 1 1 1 r = 5 lím+ 1 − r1/ 5 = 5 r→0 ( ) De manera que la integral existe y podemos decir que el área de la región sombreada en la figura 4. 5 ⌡0 x ⌡0 x 4 1 1 solución Antes de empezar. a) La gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 0. en un caso tenemos convergencia. es decir.2 0. La diferencia estriba en la magnitud de los exponentes de x en el denominador de cada función. b) Como en el inciso anterior. calcula a) 4 .27 no existe.6 0.5 1 0. de acuerdo con la definición 4. 4.2: Integrales impropias 375 Ejemplo 4.13 Si es posible, calcula el área de la región sombreada de la figura 4.28, limitada por la gráfica de la función f (x) = xex en el intervalo (−∞, 0]. solución FIGURA 4.28: Apariencia del área calculada del ejemplo 4.13. 0 El problema se resuelve estudiando la convergencia de la integral nición 4.3b): ∫−∞ x e x d x . De acuerdo con la defi- ∫−∞ x e ∫−∞ x e 0 0 x d x = lím xe R→ − ∞ ∫ R 0 x dx Calculamos la integral usando integración por partes y, para ello, tomamos u = x y dv = exdx. Entonces, x d x = lím R→ − ∞ ∫R x e 0 x dx 0 R = lím x e x R→ − ∞ ( 0 R − ex ) = lím (− R e − 1 + e ) R R R→ − ∞ Observa que para calcular el límite del primer término dentro del paréntesis, requerimos estudiar una forma indeterminada de la forma ∞ ⋅ 0. Calculando esta forma por separado y hallamos d (− R ) −1 −R = lím − R = lím dR ; = lím = lím e R = 0 −R R→ − ∞ e R→ − ∞ d R → − ∞ R→ − ∞ −R e − e dR R→ − ∞ lím − R e R ( ) ( ) De esta manera, ∫−∞ x e 0 x d x = lím − R e R − 1 + e R = −1 . Por lo tanto, la integral converge y podemos R→ − ∞ ( ) decir que el área pedida existe y es igual a −1. 376 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Ejemplo 4.14 ⌠ 3 dx Determina si la integral converge. 2 ⌡1 x ∞ solución 5 4 3 2 1 2 4 6 FIGURA 4.29: Apariencia del área representada por la integral del ejemplo 4.14. De acuerdo con la definición 4.3a), debemos estudiar el siguiente límite: ⌠ 3 dx ⌠ 3 dx = lím 2 2 R →∞ x ⌡1 ⌡1 x Así, ∞ R ⌠ 3 dx ⌠ 3 dx = lím 2 2 R →∞ x ⌡1 ⌡1 x = lím −3x −1 R→∞ ∞ R ( ) R 1 1 = −3 lím − 1 = 3 R→∞ R Concluimos que la integral existe y converge a 3. Ejemplo 4.15 Si es posible, calcula el área de la región sombreada, limitada por el eje horizontal y la gráfica de la función f (x) = xe−x en el intervalo (−∞, ∞). 2 4.2: Integrales impropias 377 solución −2 −1 1 2 FIGURA 4.30: Aspecto gráfico del área del ejemplo 4.15. Observa que la función es impar; bastará calcular la integral ∞ −x −x ∫ xe dx = lím ∫ xe dx 2 2 R 0 R→∞ 0 En caso de convergencia, el área buscada será dos veces el valor hallado. Si hacemos el cambio u = −x2, entonces du = −2 xdx; de esta manera: ∞ −x −x ∫ xe dx = lím ∫ xe dx 2 2 R 0 R→∞ 0 =− =− 2 1 lím e− x R → + ∞ 2 R 0 2 1 1 lím e− R − 1 = 2 R→ + ∞ 2 ( ) 1 Dada la convergencia de esta integral, concluimos que el área de la región existe y que es 2 = 1 . 2 Ejemplo 4.16 ∞ ⌠ ln ( x ) dx Si existe, calcula la integral ⌡1 x 2 378 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia solución 1 2 3 4 5 FIGURA 4.31: Aspecto gráfico del área del ejemplo 4.16. De acuerdo con la definición 4.3a), ∞ R ⌠ ln ( x ) dx = lím ⌠ ln ( x ) dx 2 R→∞ ⌡1 ⌡1 x x2 Si aplicamos integración por partes, con u = ln(x) y dv = du = dx y v = −x−1; por lo tanto, x ∞ dx = x − 2 dx , entonces, x2 ln( x ) R R 1 ln( x ) dx = lím + 2 dx − ∫ x2 R→∞ x 1 ∫ x 1 1 ln( x ) R 1 R = lím − +− R→∞ x 1 x 1 1 ln( R) = lím − + 1 − = 1, R→∞ R R donde utilizamos la regla de L’Hôpital para calcular el límite d 1 ln ( R ) 1 ln( R) lím − = − lím dR = − lím R = − lím = 0 d R→∞ R→∞ R→∞ 1 R→∞ R R ( R) dR Y concluimos que la integral converge a 1. Ejemplo 4.17 Determina si la integral ∫−∞ e ∞ −x dx es convergente. 4.2: Integrales impropias 379 solución FIGURA 4.32: Aspecto gráfico del área del ejemplo 10. Según la definición 4.3c), tenemos ∫−∞ ∞ e− x dx = lím R→ − ∞ −x −x ∫ e dx + lím ∫ e dx, R S →∞ 0 0 S donde x = 0 es cualquier valor que nos permita “fraccionar” la integral. Hagamos ahora cada cálculo por separado: lím R→ − ∞ ∫e R 0 −x dx = lím − e− x R→ − ∞ 0 R = lím e− R − 1 = +∞ R→ − ∞ ( ) Después de realizar este primer cálculo, concluimos que no será necesario hacer el segundo (igual de sencillo); sabemos ahora que la integral no existe, es decir, que es divergente. 1. Expresa con el límite correspondiente a cada una de las siguientes integrales. Muestra un dibujo que indique el área que se calcularía (si existe) con la integral respectiva; no calcules la integral. ∞ x ⌠ dx a) ⌡1 1 + x 3 ∞ x ⌠ dx b) ⌡−1 1 + x 3 0 ⌠ 1 c) 3 dx ⌡− ∞ x d) ∫0 π /2 cot( x ) dx 380 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 2. En los siguientes incisos, determina si la integral impropia converge o diverge. En caso de convergencia, calcula el valor de la integral. dx ⌠ a) 2/3 ⌡0 ( x − 1) 20 ⌠ dx f) ⌡−∞ x 2 + 16 ∞ 1 x +1 ⌠ dx b) ⌡0 x 2 + 2 x 1 c) ∫0 − x ln( x )dx 5 d) ∫− ∞ e 4 ∞ 3x dx e) ∫0 tan( x )dx π ⌠ ln( y ) dy g) 3 ⌡1 y 3 dx k) ⌠ ⌡0 x − 1 2 ∞ ∞ 2 ⌠ dx h) ⌡− ∞ e x + e− x dx ⌠ i) ⌡0 16 − x 2 ⌠ j) ⌡0 ∞ dt t2 +1 l) ∫−1 ln x dx ∞ 1 ∞ 4 dx ⌠ dx ⌠ dx ⌠ . , b) 3. Calcula: a) y finalmente c) ⌡0 ( x + 4 ) x ⌡4 ( x + 4 ) x ⌡0 ( x + 4 ) x 4. ¿Para qué valores de p existen las siguientes integrales? a) ∫0 x 1 p dx b) ∫1 ∞ x p dx c) ∫0 ∞ x p dx 5. Para n entero positivo, determina si cada una de las siguientes integrales converge. En caso de que así ocurra, determina a qué convergen. a) ∫0 ∞ x n e− x dx. Más generalmente, determina a qué converge ∫0 ∞ x n e− a x dx , con a > 0. Sugerencia: Haz el cambio t = ln(1/x) y aplica el inciso a). ⌠ 1 ln dx. b) ⌡0 x 6. Prueba que las siguientes dos integrales convergen, después, calcula la diferencia que se pide. ∞ ⌠ dx ⌠ arctan( x ) d x ; J = a) I = 2 ⌡0 x2 ⌡0 x 1 + x ∞ 1 n ( ) b) J − 1 7. ¿Es posible asignar un valor real al área delimitada por f ( x ) = 1 sec h( x ) y el eje x? Presente adecua2 damente sus argumentos, usando el concepto de integral impropia. ∞ dx ⌠ 8. Determina los valores de n para los cuales la integral impropia converge. Una vez que n ⌡e x ( ln( x )) encuentres la respuesta, indica a qué converge la integral. 4.2: Integrales impropias 381 9. En cada uno de los siguientes incisos, determina el valor de la constante k con el cual se pueda asegurar que la integral converge. Una vez hallada la constante, calcula su integral. 1 ⌠ kx − a) 2 dx ⌡2 x + 1 2 x + 1 ∞ x k ⌠ − b) 2 dx ⌡1 2 x + 2 k x + 1 ∞ ⌠ k 1 dx − c) 2 x + 1 ⌡0 1 + 2 x ∞ 10. Dada una función f definida para toda t ≥ 0, la transformada de Laplace de f es la función F de “s” que se define de la siguiente manera: F (s) = ∫0 e ∞ − st f (t ) dt para todos los valores “s” donde la integral impropia converja. En cada uno de los siguientes incisos, encuentra bajo qué condición existe la transformada de Laplace y determina la fórmula correspondiente: a) f (t) = eat b) f (t) = cos(at) c) f (t) = senh(at) 11. En la teoría de la probabilidad, una función f se llama función de densidad si se satisfacen las siguientes dos condiciones: a) f (x) ≥ 0 para todo x ∈ b) ∫ − ∞ f ( x )dx = 1 (t − µ ) 2 2σ 2 ∞ Para una constante µ ∈ , y σ > 0 también constante se define la función f (t ) = i. A partir del resultado − 1 e 2π σ ∫−∞ e ∞ −u2 du = π , demuestra que f (t) es una función de densidad. ii. Un par de conceptos importantes de la probabilidad son la esperanza matemática y la varianza que se definen para una función de densidad f de la siguiente manera: E= ∫−∞ t f (t ) dt , Var = ∫−∞ (t − E ) ∞ ∞ 2 f (t )dt , si las integrales convergen. Demuestra que para la función de densidad en i. ambas integrales convergen; después, calcula a qué convergen. 12. Una función muy importante de la matemática aplicada es la función gamma, que se define por ∞ Γ ( s ) = ∫ t s −1 e − t dt , la cual converge para s > 0. Aplica integración por partes y prueba que Γ(s + 1) = sΓ(s). Después, demuestra por inducción que Γ(n + 1) = n! para n entero positivo. ∞ 0 dx 13. Para 0 < α < π, calcula ⌠ 2 ⌡1 x − 2 x cos(α ) + 1 14. Encuentra un valor de la constante C, de manera que la función Cx ,x ≥ 0 2 f ( x ) = 1 + 3x 2 0, x < 0 ( ) sea una función de densidad (véase el problema 11). 382 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 15. Una varilla uniforme se extiende sobre el eje x no negativo. Si tiene una densidad lineal δ y una partícula de masa m se coloca en el punto (−a, 0), determina la fuerza gravitatoria F que la varilla ejerce sobre la masa. 16. Supón que la integral I = ∫ π /2 0 ln(sen( x )) dx converge. π /2 π − y y demuestra que I = ∫ ln(cos( x )) dx 0 2 a) Realiza el cambio de variable x = b) A partir de 2 I = ∫ π /2 0 ( ln(sen( x )) + ln(cos( x ))) dx, muestra que 2I = ∫ π /2 0 ln(sen(2 x )) dx − π ln(2 ) 2 π /2 0 c) Usa el inciso b) y el cambio 2x = v y demuestra que I = ∫ d) A partir de los incisos b) y c), encuentra el valor de I. e) Calcula J = ∫ x ln(sen( x ))dx 0 ln(sen(2 x ))dx π ∞ ∞ 1 − cos( x ) π ⌠ sen( x ) dx 17. A partir del resultado ⌠ , y suponiendo la convergencia de las integrales = ⌡0 x ⌡0 2 x2 2 ⌠ sen ( x ) dx , obtén el valor de cada una. e x2 ⌡0 ∞ 18. Usa los problemas 11 y 12 para calcular las siguientes integrales: a) ∫0 ∞ x 3e− x dx b) ∫0 ∞ x 6 e−2 x dx c) ∫0 ∞ x e− x dx 3 d) ∫0 3 ∞ − 4z 2 dz dx e) ⌠ ⌡ 0 − ln( x ) 1 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, analiza y resuelve las siguientes situaciones: 1. El problema de la migración 2. La trompeta del Ángel Gabriel 4.2: Integrales impropias 383 f (x) = 1 x; x ≥ 1 1 2 3 4 FIGURA 4.33: Aspecto de la superficie conocida como la trompeta del ángel Gabriel. (En el Nuevo Testamento, Gabriel es el ángel que anuncia a María que dará a luz al mesías.) FIGURA 4.34: La superficie La trompeta del ángel Gabriel se genera por la rotación de la región sombreada alrededor del eje horizontal. Cuando se descubrió (hallazgo atribuido a Torricelli) esta superficie se consideró como una paradoja, pues se observó que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior (A), al tiempo que era posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura (B). La explicación a que una área infinita requiera una cantidad finita de pintura presupone que una capa de pintura tiene un grosor constante, lo cual no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayoría de la longitud no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Con tu equipo de trabajo, responde los siguientes incisos. a) Verifica la veracidad de la afirmación (A) del párrafo anterior. b) Define la veracidad de la afirmación (B) del párrafo anterior. Autoevaluación dx ⌠ 1. Indica la opción correcta para 4 ⌡0 x + 4 2π 5 π b) 8 a) c) ∞ π2 4 d) No existe Sugerencia: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2) 384 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 2. Determina la opción que contiene el cálculo de a) −10 2 b) 4 − 2 2 ∫ 1 3 1 dx x −1 c) No existe d) 2 2 2 3 dx 3. Elige el inciso que dé la afirmación correcta para ⌠ ⌡− 2 x a) 2 ln(2) b) ln(8) c) 0 d) Diverge 4. Determina qué inciso contiene la afirmación correcta para a) −10 2 b) 4 − 2 2 ∫−∞e ∞ − 2x dx c) Diverge d) 2 2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) b) −2 2 4 6 1 2 3 4 5 6 R ∞ x x ⌠ dx = lím ⌠ dx 3 R→∞ ⌡1 1 + x 3 ⌡1 1 + x ∞ 0 ∞ x x x ⌠ dx = lím+ ⌠ dx + lím ⌠ dx 3 3 R→∞ ⌡0 1 + x 3 r →−1 ⌡r 1 + x ⌡−1 1 + x 4.2: Integrales impropias 385 c) d) ⌠ 1 ⌠ 1 ⌠ 1 dx + lím− 3 dx 3 dx = Rlím →−∞ ⌡ R 3 x r → 0 ⌡−1 x ⌡−∞ x 0 −1 r ∫0 π /2 cot( x ) dx = lím+ ∫ r→ 0 π /2 r cot( x ) dx 2. a) Converge a 3; b) Converge a 25 (1 − ln ( 25 )) ; d) Diverge; e) Diverge; 4 1 π f ) Converge a 5π ; g) Converge a ; h) Converge a π ; i) Converge a ; j) Diverge; k) Diverge; 4 2 3 ; c) Converge a l) Converge a −2. 3. a) π π π ; b) ; c) 4 4 2 4. a) p > −1; b) p < −1; c) No existe ningún valor de p con el cual la integral converja. 5. a) Converge a n!; la integral más general converge a n! . a n +1 n I n −1 . ; b) Converge a n! a < Sugerencia: si I n = ∫0 ∞ x n e − a x dx , muestra que I n = 1 6. a) Para la integral I, observa que x > 1 implica 1 . Busca una desigualdad similar para x2 x 1+ x la segunda integral. Reflexiona sobre la utilidad de estas desigualdades. ( 2 ) b) arctan( x ) π ; sugerimos que consideres la diferencial de x 4 7. La integral converge, el área de la región descrita es 8. La integral converge para n > 1 y converge a 1 n −1 π 2 386 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 9. a) k = 1 1 5 1 8 1 ; la integral converge a ln ; b) k = ; la integral converge a ln ; 2 4 4 4 3 2 3 ln 2 2 ; la integral converge a 2 2 c) k = ( ) 10. a) F ( s ) = s a 1 para s > a; b) F ( s ) = 2 , s > 0; c) F ( s ) = 2 , s> a . s + a2 s−a s − a2 11. i. No requiere respuesta, ésta se encuentra en el mismo texto. ii. E = µ, y Var = σ 2 12. La respuesta aparece en el mismo texto. 13. π −α 2sen(α ) ∞ 14. C = 6 Gmδ mδ ⌠ dx. Al calcular esta integral, obtenemos F = 15. La fuerza está dada por F = G , donde G 2 a ⌡0 ( x + a ) es la constante de gravitación universal. 16. Las respuestas de los incisos a) a c) aparecen en el planteamiento del problema. La respuesta a d) es π I = − ln(2 ) . Para e), usa el cambio de variable x = π − y en el resultado del inciso anterior, entonces 2 J=− π2 ln(2 ). 2 ∞ 2 ∞ sen( x ) π ⌠ sen ( x ) dx = dx = 17. ⌠ ⌡0 2 x x2 ⌡0 18. a) Γ(4) = 6; b) Haz el cambio 2x = y, x3 = y, Γ ( 7 ) 45 ; c) Calcula el valor de Γ ( 1 2 ) , y cambia la variable = 8 27 π π ; d) ; e) 3 4 ln( 3) π Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. b) 2. d) 3. d) 4. c) 4.2: Integrales impropias 387 Referencias 1. Apóstol, T., Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal, 2a. ed., Barcelona, Reverté, 1980. 2. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982. 3. Prado, et. al, Cálculo diferencial para ingeniería, México, Pearson Educación, 2006. 4. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975. 5. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978. 6. Silberberg, E., The Structure of Economics, New York, McGraw-Hill, 1978. 7. Smith, R. & Minton, R., Cálculo, vol. 1, 2a. ed., Madrid, McGraw-Hill, 2003. Referencias de Internet 1. Enciclopedia de los Municipios de México Puebla, Piaxtla: http://www.emexico.gob.mx/work/EMM_1/Puebla/Mpios/21113a.htm 2. “La migración, puntal de la economía mexicana”en http://www.eumed.net/cursecon/ecolat/mx/mebb-migra.htm 389 Unidad Sucesiones y series Contenido de la unidad 5.1 Sucesiones 5.2 Primeras series 5.3 Criterios de convergencia 5.1 Sucesiones La imaginación debe apoyarse en la realidad, de la misma manera que la realidad se apoya en la imaginación. Vladimir Kazakov Bautzen Cómo ganar fácilmente una apuesta en una reunión de amigos Ganar una apuesta no siempre es tan difícil. Si realizas lo que a continuación te planteamos, te será muy sencillo. Para ello, deberás aprovechar las circunstancias que te ofrecen las reuniones con amigos o familiares. Supón que en una de ellas, por lo menos está concentrada una treintena de personas. Plantea ahí el siguiente desafío: “¿Creen que sea probable que al menos dos de nosotros celebremos cumpleaños el mismo día?” Los no versados en matemáticas tenderán a afirmar que la probabilidad de que esto ocurra es francamente pequeña; tal vez algunos se aventuren a estimar al respecto un valor cercano a 10%. Es aquí donde podrías aprovechar la situación. Por ello, si lanza una apuesta en tales circunstancias, posiblemente se le considere no haya dos o más personas con la misma fecha de cumpleaños. • Indaga la relación que hay entre la probabilidad de un evento y la de su complemento. grosso modo. • ¿Qué revela la tabla 5. la confrontación de todas las identificaciones llevará a constatar que. como quien juega a la lotería. ¿Qué ocurrirá en la medida en que el número de invitados se haga cada vez más grande? A partir de la gráfica. • Si consideras que no hay años bisiestos y que cada día del año es igualmente probable. Pn). sorprendentemente. ¿no se enfila a estafarlo. como contar. pues quienes escuchen su reto tendrán toda la información disponible.390 Unidad 5: Sucesiones y series incauto.1: ¿Qué tan probable es que en una reunión dos personas celebren sus respectivos cumpleaños el mismo día? Tabla 5. Tu apuesta es como si desafiaras al adversario disponiendo de armas más eficaces. sin que él lo sepa. • Sea Qn la probabilidad de que haya dos o más individuos con el mismo cumpleaños. Si n representa el número de personas en la reunión. ¿qué tan probable es que ganes la apuesta? • Grafica (n. n 8 12 16 20 22 23 24 28 30 32 Pn Qn Introducción El problema que acabamos de plantear usa ideas básicas de la probabilidad y un concepto matemático de importancia trascendental: la sucesión. en la misma reunión. es un arreglo de números y su valía radica en su aplicabilidad desde asuntos tan sencillos. completa la tabla 5. determina la probabilidad Pn de que. para que no pase por una situación bochornosa con tus conocidos. pero que en realidad es una ganancia casi segura para ti? Todo parece indicar que no es así.1. La única diferencia estriba en que tu poseas conocimientos. la cual. ¿qué puede decir de la sucesión {Pn}: crece o decrece? ¿Está acotada? ¿Tiende hacia algún valor? Queda un asunto por dilucidar: ¿Su apuesta es honrada? Si sabes que la probabilidad de ganar es muy superior a la del contrario. FIGURA 5.1: Sucesión de probabilidades. al proponerle un juego aparentemente ventajoso para él.1 en las columnas de Pn y Qn? Con una treintena de invitados. se producen coincidencias —a menudo. hasta las cuestiones más complica- . Ésta se apoya en los siguientes aspectos que te pedimos considerar con tu equipo de trabajo: • Investiga el concepto básico de probabilidad de un evento y escríbalo. Sin embargo. te pedimos que pienses por un momento qué tan comprometedora o qué tan segura es la apuesta que te proponemos formular. más de una—. En una apuesta se puede ganar o perder. este patrón puede hallarse con algunas dificultades y en otras. 2. 3. Notas: 1. Con estas ideas estaremos listos para luego desarrollar el aspecto crucial de esta unidad. es decir. como los métodos numéricos. que n per- . definiremos una sucesión como una regla de correspondencia que asigna un valor real a cada número natural. que es el de series. sabemos que los conceptos de sucesión y convergencia no nos resultan desconocidos. el producto y el cociente de sucesiones convergentes. Por ejemplo. la teoría de fractales. con esta notación nos referiremos a la sucesión {xn}. en particular los que se refieren a la suma. Dado que una sucesión es una función. es conveniente relajar la definición para permitir que una sucesión empiece con el término 0-ésimo x0. la de la probabilidad y la estadística. • Describir el concepto de convergencia de una sucesión. 2. En función de lo que hasta aquí hemos analizado. Es verdad que. no se entiende como sucesión una colección arbitraria de valores reales. en ocasiones. hablar de una sucesión es referirse a un arreglo de números reales.…} y cuyos valores son números reales. n = 1. es posible usar para ésta los resultados del cálculo diferencial. Definición 5. con la finalidad de que conformen una sucesión es indispensable que sigan un patrón bien definido. En dichos casos debemos considerar.5. Si x es el nombre de la función en la definición anterior. se acostumbra escribir x(n) como xn.1: Sucesiones 391 das del análisis matemático. no obstante. que señale tal asignación. incluso. En esta sección estudiaremos sucesiones y otro concepto al cual está íntimamente relacionado: el de convergencia. entonces. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. 2. A veces. Sección 5. éstos seguirían el patrón dado por f (n) = 2n. el valor de la sucesión correspondiente a cierto n debería escribirse como x(n).… Sin embargo.1: Sucesión Sucesión de números reales es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales = {1. sin embargo. Tenemos. podemos hablar de la sucesión de números naturales pares.1 El concepto de sucesión Como señalamos. deberás ser capaz de: • Definir una sucesión de números reales. por supuesto. • Enunciar y aplicar los teoremas más importantes sobre convergencia de sucesiones. Bastará con que eches una mirada retrospectiva a sumas de Riemann para saber dónde se usaron tales herramientas. para la sucesión de números primos no es posible indicar una función-fórmula. es imposible de encontrar. la resta.1. 392 Unidad 5: Sucesiones y series tenece a los reales y no sólo a los naturales.5 1 FIGURA 5. 2. Antes de precisar este concepto. Si ahora tomamos x1 = 2. a partir de n = 4 en la tabla 5.. n 1 2 3 4 5 xn 2 2. Usamos el método de Newton para aproximar el valor de 5 . observa la tabla 5. entonces. Ejemplos Ejemplo 5. . n = 1. Así.5 n 2 1. segunda.236067978 2. xn) en la figura 5.1. Un aspecto fundamental es la idea de aproximación de donde proviene la importante idea de convergencia. f '(x) = 2x. solución En primer lugar.. f '( xn ) permite generar una sucesión {xn} que se acerca. n = 1. Dos observaciones importantes: primera. Lo interesante es que los valores de xn se acercan arbitrariamente a 5 en la medida en la que n se hace cada vez más grande.… 2x n 2x n Así. los puntos (n.. consideramos f (x) = x2 − 5.2: Muestra el comportamiento numérico de la sucesión {xn}.2: Muestra el comportamiento gráfico de la sucesión {xn}. 4.2 se aproximan a la recta y = 5. en extremo relevante y vinculada a una sucesión es su posible convergencia. Hecha esta consideración.1 Está relacionado con lo mencionado en las notas 3 y 4.2 y la gráfica de la figura 5. a una raíz de la función y = f (x) cerca de x1.236111111 2.2. las siete primeras cifras decimales de xn no cambian.236067977 2 3 4 5 6 0. En la práctica es conveniente especificar el valor de x1 y algún método para hallar xn+1 (n ≥ 1) cuando xn se conoce. podremos asumir posteriormente la condición original de que n ∈ . en ciertas condiciones..2. Reflexiona en el siguiente ejemplo 5. obtenemos de manera recursiva una sucesión dada por (véase nota 4): xn+1 = x n − 2 xn −5 x2+5 = n .250000000 2. 2. Tabla 5. el método expresado por xn+1 = xn − f ( xn ) . La figura 5. Lo anterior significa que para cualquier n (por grande que éste sea) ln = π. Para determinar ln observamos que para cada n hay 2n semicircunferencias Cn (en este con2n teo tenemos otra sucesión. De este número deducimos 1 que l n = 2 n π n = π .1: Sucesiones 393 Ejemplo 5. deducimos que el radio de cada Cn es 8 2 4 22 1 . solución Éste es un problema que puede inducir fácilmente al error.1. ¿es posible aproximar el valor de π ? C1 C2 A C3 C3 C3 C3 C2 C3 C3 C3 C2 C1 C2 C3 B FIGURA 5. “acercarse arbitrariamente” y “n se hace cada vez más grande”. Si ahora ln representa la sucesión que se obtiene sumando los perímetros de todas las semicircunferencias Cn.3 consta de una circunferencia de radio 1. no debemos dejarnos guiar completamente por ella. 2 Como las semicircunferencias se aproximan arbitrariamente (aparentemente) al segmento AB. sin éstas. Escribe la regla de la sucesión de radios rn de las semicircunferencias Cn.3: Las curvas Cn se acercan arbitrariamente al diámetro AB. la de suma de perímetros ln. Este ejemplo demuestra que aunque la intuición siempre es valiosa.5. es decir. con lo cual ya poseemos tres de ellas en este ejemplo: la de radios rn. Intuitivamente.2 Lee nuevamente la solución del ejemplo 5. y la que determina la cantidad de semicircunferencias). cuya longitud es igual a 2. Notarás el uso de expresiones como “aproximar”. Todas las curvas Cn son semicircunferencias. como se verá. se observa que las curvas Cn se “acercan arbitrariamente” al diámetro AB. el diámetro AB mide 2 unidades. A partir de ln. lo cual evidentemente es falso. y el de cada C3 es r3 = = 3 . El siguiente ejemplo pone de manifiesto la necesidad imperiosa de contar con definiciones precisas. lo anterior es cierto de manera particular cuando tratamos con procesos al infinito (véase la unidad 4). determina ln. concluiríamos que π = 2. Observa que el radio de cada C1 es r1 = de cada C2 es r2 = rn = 1 . nuestra intuición nos podría llevar a conclusiones equivocadas. el 21 1 1 1 1 = . . 2 Convergencia y divergencia de sucesiones Ahora nos dedicaremos a precisar diversas expresiones e ideas de párrafos anteriores. L + ε).108328 FIGURA 5.211018 0. n Observa que la primera sucesión no tiene un comportamiento oscilatorio alrededor de 0.3 y 5.1.394 Unidad 5: Sucesiones y series Sección 5. Vale la pena resaltar que la franja de la que hablamos es tan delgada como queramos.513361 0.329133 0. la franja será indicada por el intervalo (L − ε. Sin entrar todavía en n detalles.5.135291 0. y que ésta se genera en torno a cierto valor L.5 −0. De manera general. diremos que la sucesión diverge a infinito.411052 10 no –0.263539 −0. Éste es un caso típico de sucesión donde el límite no existe. existirá cierto índice n0 a partir del cual todos los términos caerán en dicha franja. sin importar cuán angosta sea la franja entre líneas horizontales. el único proceso de convergencia que interesa es aquel en el que n tiende a infinito. número al que parece natural llamar límite de la sucesión. sin embargo. Para las sucesiones. 1. r ≤ 1 . así como las tablas 5.4 como la correspondiente tabla 5. n = 0. podemos señalar que la sucesión geométrica r . aquí an = ( −22 23 ) .5. .4: Comportamiento gráfico de an.168964 −0.5 –1 20 30 40 50 −0.3 de valores de an sugieren que. n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 an −0. donde ε es cualquier número positivo. Tabla 5. considera una sucesión particularmente útil conocida como sucesión geométrica. no existe un índice n0 a partir del cual se asegure que todos los términos de la sucesión caigan dentro de la franja mostrada. En el caso mostrado en la figura 5.4 y 5.956522 −0. a saber: {an } con an = r n Las figuras 5.800708 0. Con la finalidad de pasar de lo intuitivo a la precisión matemática.4 revelan el comportamiento de esta n n sucesión para los casos an = ( −22 23) y an = ( 23 22 ) . tanto la figura 5.641133 1 0. para el caso de la segunda sucesión. 2… converge para { } r < 1 y r = 1 y diverge para r > 1 y r = 1.3: Comportamiento numérico de n an = ( −22 23 ) . Observa ahora que. Continuando con la dicusión considera ahora la sucesión {bn} con {bn} = 2 + (−1)n.5: Comportamiento gráfico de an.23119 10 20 30 40 50 r > 1.5. pero en este caso no existe un valor n0 a partir del cual todos los términos de la sucesión caigan en una franja predeterminada. n impar bn. 2… La sucesión {bn} también es oscilatoria como {an}. a partir de cierto n0.6: Comportamiento gráfico de bn. n par 5 10 15 20 25 30 FIGURA 5. y otra infinidad cae en la franja alrededor de 1.7945 4. la idea de convergencia es que todos los términos. Es verdad que una infinidad de términos están en la franja alrededor de 3. sin embargo.24889 1. n n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 an 1.55974 1.04545 1.39149 9.1: Sucesiones 395 Tabla 5.43278 3.73893 5. 1. 10 8 6 4 2 FIGURA 5.94795 2. cualquiera que sea su ancho. .03829 3. 4 3 2 1 bn. deberían caer en una sola franja.91843 7. n = 0.4: Comportamiento numérico de an = ( 23 22 ) . Los ejemplos anteriores inducen la siguiente definición de convergencia de una sucesión. si no existe tal número L diremos que la sucesión es divergente. n n r < ε equivalente a ln( r ) < ln(ε ). De esta última desigualdad: del cual se cumpla que n−4 n−4 1 1 1 < ε equivale a < n − 4 que equivale a n > 4 + n−4 ε ε Por lo tanto. Sea ε un número positivo cualquiera y queremos hallar un n0 ∈ a partir 1 1 −0 = < ε . pues 1 no n−4 está definido para n = 4. pues la función ln es creciente. luego r n → 0.396 Unidad 5: Sucesiones y series Definición 5. aseguraremos que n−4 n−4 ε n b) Tomemos un ε > 0 cualquiera. si n0 ≥ ln(ε ) (ya que ln ( r ) < 0 pues r < 1). ln ( r ) ln(ε ) n n y n ≥ n0 podemos asegurar que r − 0 = r < ε .3 1 Demuestra que: a) lím lím r n = 0 para r < 1. diremos que la sucesión es convergente. Si xn → L para algún número L ∈ .2: Convergencia Una sucesión {xn} converge a un número L si. El número L se llama límite de la sucesión {xn} y escribimos lím xn = L o lím xn = L o xn → L. = 0 y que b) n n→∞ n − 4 →∞ solución a) Lo primero que debes notar es que la sucesión tiene que considerarse a partir de 5. Queremos hallar un n0 ∈ . ln ( r ) . existe un número n0 (en general. n→∞ Ejemplos Ejemplo 5. si n0 ≥ 4 + 1 1 1 −0 = < ε para n ≥ n0. n ln ( r ) < ln(ε ) que equivale a n > Por lo tanto. Entonces. es decir. para cada número positivo ε. tal que para n ≥ n0 r n − 0 = r < ε . dependiente de ε) tal que para n > n0 se cumple que xn − L < ε . para cualquier constante c c) lím(an ± bn) = lím an ± lím bn d) lím(an ⋅ bn) = lím an ⋅ lím bn a lím an . 7. n a1 a2 an → L. entonces f (an) → f (L). 10. Si an → L y f es una función continua tal que an.1 (cuya demostración omitimos).1: Sucesiones 397 Esta metodología ofrece la comprobación de que un número conocido L es el límite de una sucesión. sin embargo. 2. hasta para casos tan elementales como los mostrados en el ejemplo 5. entonces. cn → L. 6. Entonces. Definición 5. bn → L y an ≤ cn ≤ bn. 1 2 n 9. En los ejemplos resueltos ilustraremos su aplicación. condensamos los resultados más importantes sobre el cálculo de límites de sucesiones. Teorema 5. entonces. a) lím(c) = c. anbn → 0. Acotada. no permite determinar el valor de L al que converge una sucesión. para cualquier constante c b) lím(can) = c lím an. 8. entonces lím an = 0. si lím bn ≠ 0 e) lím n = bn lím bn 4. Si an ≤ bn para todo n ≥ n0 y si lím an = 0. Antes de pasar al próximo teorema.1 1. entonces. Sean {an} y {bn} dos sucesiones convergentes. requerimos la siguiente definición que nos resultará en extremo útil. De hecho. resulta un procedimiento complejo de comprobación.3. 2. entonces. si existe un número M > 0 tal que an ≤ M para toda n. Si an → L. si a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an … o si a1 ≥ a2 ≥ … ≥ an ≥ …. L ∈ Df para todo n.3 Una sucesión {an} se dice: 1. (Teorema del sándwich) Si an → L. respectivamente. entonces. 3. a + a + + an → L. n→∞ n→∞ .5. 5. (Teorema de Weierstrass) Si {an} está acotada y es monótona. En el teorema 5. Monótona creciente o decreciente. Si {an} está acotada y bn → 0. Toda sucesión convergente {an} está acotada. es convergente. La sucesión {an} no puede converger a dos límites diferentes. Si an → L. aun conociendo L. n→∞ Ejemplos Ejemplo 5. entonces lím an = L. 00. es decir. ∞0. 2 2 n→∞ n→∞ 2(n ) n (n ) n→∞ 2 n n→∞ 2(n − 1) n (n + 1) lím donde utilizamos la siguiente idea. “c” es “despreciable” en comparación con “bn”.5 n2 − n Si existe. el límite existe y de hecho L = −2. Así.. pues subsiste el siguiente resultado (teorema 5. n=1. ∞ − ∞. calcula el límite L = lím 2 n→ 0 n + 1 2n+ 3 .2): Teorema 5. en una expresión del tipo “bn + c”. Ejemplo 5.. Si {an} es una sux →∞ cesión tal que f (n) = an para cada entero positivo. 1∞. Observa que al tratar con el límite de una sucesión se debe consin→∞ 2(n − 1) n (n 2 + 1) derar en todo caso que n → ∞. en comparación con “an2”. sin el análisis detallado de cada caso concreto.398 Unidad 5: Sucesiones y series Nota: Los símbolos 0/0. Análogamente. Sea L = lím ( 3 + 2 n )2 (1 − 2 n − n 2 ) ( 2 n )2 ( − n 2 ) 4n4 = lím = − lím 4 = − lím 2 = − 2. 0 ⋅ ∞. solución ( 3 + 2 n )2 (1 − 2 n − n 2 ) .2 Sea f una función de una variable real tal que lím f ( x ) = L. 0∞ denotan expresiones indeterminadas en las que el comportamiento no puede precisarse a priori. 2 . Ahora bien. calcula el límite de la sucesión 2 2(n − 1) n (n + 1) ..4 ( 3 + 2 n )2 (1 − 2 n − n 2 ) Si existe. Para estas formas será posible utilizar la regla de L’Hôpital en alguna de sus variantes. “bn” y “c” resultan “despreciables”. Para n suficientemente grande y dentro de una expresión del tipo “an2 + bn + c”. ∞/∞. podemos decir que el método por el que obtenemos enteros positivos es la suma de 1 al entero positivo anterior. es decir. Si: a) 1 ∈ M. M = . Si utilizamos el teorema 5.3). la reescribimos para obtener ln(n 2 − n ) − ln(n 2 + 1) A L = Exp lím = ln( A) − ln( B) ) . Esto sugiere un patrón de nuestra definición matemática exacta del conjunto = {1. luego. es el más pequeño. es conveniente especificar el valor de x1 y algún método recursivo para hallar xn + 1(n ≥ 1) a partir del xn conocido. la forma indeterminada entre llaves tiene la forma 0/0. Para determinar la convergencia de este tipo de sucesiones.…}. el límite tiene la forma indeterminada 1∞.1: Sucesiones 399 solución Observa que lím n2 − n = 1. b) (hipótesis de inducción) n ∈ M implica que n + 1 ∈ M Entonces. si M es otro conjunto de números que satisfacen a) y b). por ello. en la práctica. existe un principio matemático muy poderoso que ofrece una estrategia para demostrar la validez de enunciados generales que implican enteros positivos. (ya que ln −1 B n→ 0 (2 n + 3) Así.3: Principio de inducción Sea M ⊂ . De manera más específica. entonces n + 1 ∈ c) De todos los conjuntos de números que satisfacen a) y b). a) 1 ∈ b) Si n ∈ . ⊂ M De estas condiciones puede establecerse el principio de inducción (teorema 5. 3. en una primera aproximación. el conjunto está definido por las siguientes tres condiciones. por lo cual utilizamos la regla de L’Hôpital de la siguiente manera: 2n 2n − 1 n2 − n − n2 + 1 ( 3 + 2 n )2 (1 − 2 n − n 2 ) −2 = L = Exp lím Exp lím = e (véase el ejemplo 5.4).5. −2 2 n→ 0 n → 0 2 ( 2 3 ) − n + 2 ( n − 1 ) n ( n + 1 ) En páginas anteriores indicamos que. entonces. La idea no es complicada. Teorema 5.2: n→∞ n 2 + 1 2n+ 3 n2 − n L = lím 2 n→ 0 n + 1 n2 − n n2 − n 2 3 = + = lím Exp (2 n + 3) ln n 2 Exp lím ( n ) ln 2 n→ 0 n +1 n +1 n→ 0 La expresión entre llaves dentro de la función exponencial tiene la forma ∞ ⋅ 0. 2. entonces. y ésta a la tercera. Antes de regresar a las sucesiones donde usaremos el principio de inducción. Si se quisiera derribarlas una por una. pero si las fichas están cuidadosamente dispuestas. pues 1 2 = 1 (1 + 1) ( 2 ⋅ 1 + 1) 6 . Demostrar que una propiedad matemática es válida para todos los enteros positivos equivale a buscar una manera de derribar cada una de las fichas. que indica que si cae la primera ficha. vamos a ilustrar su utilidad en la demostración de una propiedad matemática. llevaría una cantidad infinita de tiempo y esfuerzo. y así de forma sucesiva. FIGURA 5.6 Utiliza la inducción matemática para demostrar que para cada entero positivo n.400 Unidad 5: Sucesiones y series Una manera de comprender este principio es imaginando una línea infinita de fichas de dominó.7: Ilustración gráfica del principio de inducción. La inducción matemática permite demostrar una propiedad para los enteros positivos. al caer la primera derribará a la segunda. la suma de los primeros n cuadrados cumple 12 + 2 2 + + n2 = n ( n + 1) ( 2n + 1) 6 solución Sea M = n ∈ :12 + 2 2 + + n2 = n ( n + 1) ( 2n + 1) 6 a) 1 ∈ M. caerán todas las fichas. Ejemplos Ejemplo 5. y la n-ésima tira la ficha n + 1 para cualquier n. .5 y la figura 5. calcula el límite de la sucesión. Ahora. 12 + 2 2 + + n 2 + ( n + 1) = 2 + n 2 + ( n + 1) = 2 n +1 ( n + 2 ) ( 2n + 3) 6 n ( n + 1) ( 2n + 1) + ( n + 1)2 6 n +1 2n2 + n + 6n + 6 6 = = = ( ( ) n +1 2n2 + 7n + 6 6 ) n +1 ( n + 2 ) ( 2n + 3) 6 Por lo tanto. Para este tipo de sucesiones. generamos los términos de ella. 3….5. que es monótona. solución Sea {xn} la sucesión dada. se trata de la ley de recursividad para este caso.8 mostramos su comportamiento tanto numérico como gráfico. si se toma x1 = 11 y xn+1 = 11 + xn para n = 1. de acuerdo con el principio de inducción. segundo. 11 + 11 + 11 . En caso de existir. 12 + 2 2 + Por la hipótesis de inducción. 2. M = y así la propiedad es cierta para cada entero positivo. Así.1.…. es decir. después. que está acotada y. el estudio de su convergencia se apoya generalmente en el teorema 5. 11 + 11 . continuamos nuestro desarrollo sobre sucesiones aplicando el principio mencionado. deseamos probar que n + 1 ∈ M. En la tabla 5. que se cumple 12 + 2 2 + + n2 = n ( n + 1) ( 2n + 1) 6 A partir de esta hipótesis.7 Expresa una ley de recursividad para el término general de la sucesión 11. mostraremos dos cuestiones respecto de esta sucesión. Entonces. Primero. estudia su convergencia. Ejemplo 5.1: Sucesiones 401 b) (Hipótesis de inducción) Supongamos que n ∈ M. es decir. … Sabiendo ahora que la sucesión es monótona (creciente) y acotada. sin lugar a dudas. aquí hemos empleado la hipótesis de inducción: xn < 4 De acuerdo con el principio de inducción. 2.783731596 3. i. en efecto. 3. la afirmación xn = xn < 4 es válida para todo n = 1. xn = xn < 4 para todo n = 1. x1 = 11 < 11 + 11 = x2 ii.5 5 10 15 20 n FIGURA 5. 2. L = lím xn . i.5 3 2. La proposición es cierta para n = 1. … En efecto.854082006 3.5 1 0.852916019 3. pues x1 = 11 < 16 = 4 ii. xn 2 4 6 8 10 12 14 3.1 que la sucesión es convergente. La proposición es cierta para n = 1. n→∞ . es decir. … b) Afirmación: La sucesión es monótona creciente.854101966 3. b) Si L existe. De acuerdo con el principio de inducción xn < xn + 1 para todo n = 1. demuestre nuestras aseveraciones.402 Unidad 5: Sucesiones y series 4 Tabla 5. deducimos del teorema 5. es fácil mostrar que también L = lím xn+1 . Hipótesis de inducción: Supón ahora que xn − 1 < xn y deseamos mostrar que xn < xn + 1: xn = 11 + xn −1 < 11 + xn = xn +1 . x1 < x2 < … xn < xn + 1 < … Usamos nuevamente inducción matemática. es decir. Nuestra argumentación recurrirá al principio de inducción matemática. es necesario escribir una demostración que.854101630 3. es decir.5: Comportamiento numérico de la sucesión {xn}.8: Comportamiento gráfico de la sucesión {xn}. donde usamos la hipótesis de inducción: xn − 1 < xn. Hipótesis de inducción: Supón ahora que xn < 4 y queremos demostrar que xn + 1 < 4: xn +1 = 11 + xn < 12 + 4 = 4.854101966 3. Aunque la gráfica y la tabla anteriores inducen las afirmaciones que hemos hecho. 3. Tenemos lo siguiente: a) Afirmación: La sucesión está acotada por 4. 3. 2.5 2 1. n→∞ Observaciones: a) No tiene ningún sentido hablar de L en tanto no se sepa que existe.854101961 3. a) lím (−1)n 1 1 = 0. de aquí.5. L2 = 11 + L. 10 100 n (n + 1) b) lím n→∞ c) lím n→∞ 2. Como los términos de la sucesión son positivos.85410197 (véase la tabla 5. ε = . ε = . ε general = 0. . 10 100 n 1 1 1 . al tomar el límite y utilizar el teorema 5. encuentra n0 tal que n ≥ n0 implique xn − L < ε para el valor de L y ε > 0 indicados. por lo cual. concluimos que L = lím xn ≥ 0. Usa el teorema 5. lím xn = 1 + 3 5 ≈ 3. Para cada una de las siguientes sucesiones. ε general = 1. tenemos L = 11 + L . n→∞ 2 ( ) ( ) 1.1: Sucesiones 403 Con base en la observación b).1. ε general n→∞ n 10 100 1 1 n +1 . n→∞ 2 1 luego.5). ε = .1 para calcular el límite (si existe) de cada una de las siguientes sucesiones: a) {ln(n + 1) − ln(n )} ( −10 ) b) n n 3 + 5 n n 2 + n arctan n ! e n e) 2n2 + 5 ( 2 ) c) { ( n 4 − 5 n 2 − 3 − n 4 + 15 n 2 − 5 } n+5 1− n +1 d) −7 n + 3 )( ) {n ( n + a − n)} g) { a + b } con 0 < a < b f) 2 2 n n n 3 na − 1 − a3 h) n 2 n . al resolver esta ecuación cuadrática hallamos que L 1= L 2= 1 1− 3 5 < 0 y 2 ( ) 1 1 + 3 5 > 0. Considera la sucesión {an} dada por a 1= 13. cada mes. … que genere los términos anteriores. Apóyate en el teorema 5. define una sucesión {xn}. 5. a) Escribe los primeros cinco términos de la sucesión. b) Usa el principio de inducción matemática y demuestra que la sucesión es creciente y acotada. b) Supón luego que el límite L de la sucesión existe. 2.2 y la regla de L’Hôpital para calcular el límite (si existe) de cada una de las siguientes sucesiones: a) { n} n b) na n con a < 1 c) { } n + 1 g) n ln n − 1 h) {(n + 7) } 1 ( n + 3) 2 {(e − n) } n 1/n n ( n + 1) d) n 3 n 2n 1 e) 1 + 2 n + n +n ln(ln(n )) i) ln(n − ln(n )) e2 n − 1 ln n j) 1 2 n 1 na 1 − 1 − n f) nb 1 − 1 − 1 n . n = 1. cuyo seudónimo fue Fibonacci. Considera la sucesión 1. ¿Cuál es su valor? c) Usa el resultado del inciso b) y calcula x15 para estimar el valor de L. “¿Cuántas parejas de conejos se tendrán en un año. El siguiente problema se atribuye a Leonardo de Pisa. 2+ 4. 2+ 1 1 2+ 3 2+ 2+ 1 3 a) Por recurrencia. 2 + 1 3 1 1 . Usa su resultado para estimar el valor de n→∞ 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 6. cada pareja produce una nueva pareja que empezará a reproducirse a partir del segundo mes?” ¿Qué ocurrirá si el proceso continuara indefinidamente? .… . an+1 = 13 + an .404 Unidad 5: Sucesiones y series 3. c) Calcula L = lím a n . si iniciamos con una sola pareja y. 1: Sucesiones 405 Pareja no reproductiva Pareja reproductiva 1 1 2 3 5 8 13 FIGURA 5. a a) Si lím n +1 = L. calcula su límite. Sea {an} una sucesión de números estrictamente positivos. 9. Considera la sucesión {an} definida por a = 2. verifica la convergencia de la sucesión {an} en los casos 0 ≤ L < 1 y L > 1 n→∞ a n . Sea {an} una sucesión que satisface an = nkbn donde b es cualquier constante tal que 0 < b < 1 y k es cualquier entero positivo.9: Crecimiento de los conejos de Fibonacci. Analiza la convergencia de esta sucesión y.… Obtén una expresión n para an + 1 que dependa sólo de n. Cada nueva pareja debe madurar durante un mes antes de reproducirse. n = 2. intuye la convergencia de la sucesión {bn} c) Usa el inciso b) y demuestra que bn = 1 + n→∞ 1 bn−1 d) Supón ahora que el lím bn = ρ existe (a ρ se le llama razón áurea). 8. después de este periodo producirá una pareja cada mes. Resuélvelo para ρ y determina su valor 1 7. La sucesión de Fibonacci se define recursivamente por an + 2 = an + an + 1. Muestra que ρ satisface una ecuación de segundo grado. A partir de los vaan lores obtenidos. Determina si la sucesión converge o diverge y. a n +1 = 1 − a n . donde a1 = a2 = 1: a) Escribe los primeros diez términos de la sucesión {an} a b) Escribe los primeros diez términos de la sucesión definida por bn = n +1 . en caso de que exista. calcula su límite. 3.5. n ≥ 1. en caso de convergencia. en caso de convergencia. 2. si Nt y Nt + 1 representan los miembros de una especie de una generación y la siguiente. Si existe el π e límite. determina si la sucesión n ! . y b) k > 1. Estudia el comportamiento del número de miembros de la especie a la larga. cn b) De su conclusión en a).10: Colocación de n2 discos en una caja angosta de base cuadrada de lado “k”. 1 1 12. calcula el límite de la sucesión. Define las sucesiones {sn} y {tn} de la siguiente forma: sn = 1 n −1 ∑ n k=0 1 n k k f . es decir. respectivamente. 11. n→∞ 13. Si la sucesión {an} proporciona el área sobrante (en la figura 5. n→∞ FIGURA 5.406 Unidad 5: Sucesiones y series Sugerencia: Una posible solución puede apoyarse en el teorema del sándwich. cuando t → ∞ para los casos a) 0 < k < 1. n = 0. Al estudiar la población de una especie se logró determinar que en su esquema más simple (sin considerar mortandad).10 se muestra el caso n = 4 y el área sobrante está sombreada). … c > 0 converge o diverge. 10. encuentra lím an . Una empresa de embalaje colocará n2 discos iguales en una caja delgada de base cuadrada con lado “k”. es decir. en caso de convergencia. Determina el valor de an en términos de “n” y. el número de miembros de una generación es proporcional al número de individuos de la generación anterior. calcula lím xn . tn = ∑ f n n k =1 n . 1. entonces Nt + 1 = kNt para cierta constante k > 0. 1]. Sea f una función real monótona creciente y acotada en el intervalo [0. Considera la sucesión {xn} y supón que para n ≥ 50 se cumple 4 − n ≤ x n ≤ 4 − n . Considera la figura 5. a la función g se le conoce como función de iteración. xn converge a p.1: Sucesiones 407 a) Demuestra que sn ≤ ∫0 f ( x ) d x ≤ tn y que 1 0≤ ∫ 0 f ( x ) d x − sn ≤ 1 f (1 ) − f ( 0 ) n 1 b) Explica que las sucesiones {sn} y {tn} convergen ambas hacia ∫0 f ( x ) d x c) Establezce y demuestra un resultado correspondiente al intervalo [a. . calcula los siguientes límites en caso de que existan: a) lím 1 n k ∑ n→∞ n k =1 n 1 k =1 n + k n 2 c) lím ∑ n 2 n→∞ k =1 n + k 2 n n n 1 kπ e) lím ∑ sen n n→∞ n k =1 n 1 2 kπ f ) lím ∑ sen n n→∞ n k =1 b) lím ∑ n→∞ d ) lím ∑ n→∞ k =1 1 n + k2 2 15. Imagina que x0 está en un intervalo I al cual pertenece p (aunque se desconoce p. Con base en el problema 15. En caso de convergencia. Observa que el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f (x) = 0 y el de encontrar los puntos fijos de una función g(x) son equivalentes. a menudo es posible determinar a priori tal intervalo). y que en el intervalo I se cumple g ' ( x ) < q para cierta constante q < 1.11: Representación gráfica de las componentes de la sucesión {xn}. 1 cos (xn –1) xn –1 xn –1 1 FIGURA 5. El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial x0 y el establecimiento de una sucesión dada por xn + 1 que genera una sucesión de aproximaciones. b] 14. El método de punto fijo.5. la cual en ciertas condiciones converge a la solución de la ecuación f (x) = 0. entonces. indica a qué límite converge y prueba su aseveración. Aunque hay varios resultados relacionados con este concepto. bastará que imagine f (x) = x − g(x). Sea la sucesión {xn} tal que x1 = 1 y xn = xn − 1 + cos(xn − 1). 16. uno de los más importantes y generales en cuanto a la convergencia es el siguiente. en efecto.11 e infiere si la sucesión {xn} es convergente o divergente. Un punto fijo de una función g es un número p tal que g( p) = p. Encuentra el x+B máximo absoluto de g ' ( x ) y verifica que se cumple que g ' ( x ) < q < 1. Por muchos años se ha seguido esta política. En una plática con uno de los autores.000 y se mantenga en ese número? Organízate con tu equipo y responde esta pregunta de manera fundamentada. b) 300 roedores. Determina lo que ocurre a la larga con la población si se inicia con a) 60 roedores. Para limitar su crecimiento poblacional se introducen depredadores. Sigue los siguientes lineamientos: a) De la ecuación x3 + 4x2 − 10 = 0.007125Nt2.3.007125. b) Elige g como la función g ( x ) = A para ciertas consx+B A para los valores de A y B determinados en a). eventualmente llegue a 4.408 Unidad 5: Sucesiones y series Aplica el método de punto fijo para aproximar la solución de la ecuación x3 + 4x2 − 10 = 0 dentro del intervalo [1. La ganadería es una de las principales actividades económicas en el estado de Guerrero. que actualmente cuenta con 500 reses. Sucesiones en la compra-venta de ganado. los cuales regulan su crecimiento en un factor de 0. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. ganadero medio de la región y dueño del rancho “La Cañada”. 2]. a la vez. Con esto se ha logrado establecer que la dinámica poblacional de las subsecuentes generaciones sigue el modelo Nt + 1 = 2. . con tus compañeros analiza el problema introductorio y da una respuesta fundamentada a las preguntas que ahí se formulan. el ganado se renueva con una determinada cantidad A (fija) de las mismas compradas a otras ganaderías. Jesús Estrada García. 1. la cuarta parte de las reses del rancho se ofrece en el mercado y. planteó la siguiente situación: Cada semestre. ¿Cómo ganar fácilmente una apuesta en una reunión de amigos? Con base en la teoría desarrollada en este capítulo.3Nt − 0. La pregunta que se planteó fue la siguiente. analiza y resuelve las siguientes situaciones. c) Utiliza Excel o alguna otra herramienta tecnológica y consigue una aproximación de la solución pedida. Una población de roedores se reproduce cada cuatro meses. con la finalidad de enriquecer el ganado con que cuenta el señor Estrada. ¿Cuántas cabezas se deben comprar cada semestre para que al cabo de algunos años el rancho. 2. despeja x y exprésala en la forma x = ± tantes A y B. 17. de manera que su constante de reproducción es 2. Determina la opción que contiene una sucesión convergente y su límite correspondiente. sabemos que la sucesión es convergente. Elige la opción que contiene la afirmación correcta para la siguiente sucesión {xn}. xn = n(−1) a) Converge a cero 3. a) L ≈ 0. a) L = 1 3 n b) Diverge n n c) Diverge a + ∞ d) Converge a e 3 n+1 + ( −2 ) 3 n + ( −2 ) es convergente. La sucesión xn = límite L. Para el límite lím n→∞ b) Converge a 1 c) Diverge de manera oscilatoria d) Converge a 0 ( an2+ n+ 3 − n 2 + n + 7 . después.1: Sucesiones 409 Autoevaluación 1. a) L = c b) L = 2c c) L = c d) L = c2 . Sea {an} una sucesión tal que a n +1 = 1 + a n .525 b) L ≈ 0. 2.5. a) El límite existe para cualquier a > 1 b) El límite existe sólo si a = 1 6.49 d) L ≈ 1. a1 = 1.…y que esté acotada (superiormente) por 2. Por el teorema de Weierstrass. Elige la opción que proporciona la afirmación correcta para la sucesión xn = n +1 a) Diverge a + ∞ 5. Por inducción matemática verifica que la sucesión es monótona y que a ≤ an ≤ 2c. a1 = 1. elige la opción que contiene su límite L. Utiliza el principio de inducción para verificar que la sucesión sea creciente para todo n = 1. elige la opción que lo contiene. elige la opción que proporciona el valor del c) El límite existe para cualquier a < 1 d) El límite existe para cualquier a > 0 ) parámetro a de tal manera que el límite exista.5001 c) L ≈ 1. Por el teorema de Weierstrass hablamos del límite L de la sucesión. Usa inducción matemática para verifin −1 car que a n ≥ 2 . Sugerencia: an2 − an − 12 = c (an − 1 − an − 2). Considera la sucesión {an} tal que a n +1 = 2 a n . a) La sucesión converge a 2200 b) La sucesión es acotada c) La sucesión diverge bajo un patrón oscilatorio d) La sucesión diverge a + ∞ 8. 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ( 2 n − 1) − 2 n 2 + 1 n n a) xn = ( −1) b) xn = sen c) xn = d) xn = (−1)n + 1 n + 1 n ( 2 n )n 2.007 7. determina la opción que contiene el valor de su b) L = 0 c) L = 1 2 d) L = 1 2 n 3sen ( n!) 4. elige la afirmación correcta sobre la sucesión {an}. Sea {an} una sucesión tal que an2 = can − 1 con c > 0 y a1 > 0. xn = 2n − 2 vii. Relaciona las sucesiones de la columna A con las afirmaciones de la columna B. para ε = 1100 . n ≥ 2 es… 2 b) El límite lím n ln 1 + es… n→∞ n c) El límite lím 1 n2 − 1 − n2 + n es… Columna B i. a) Para ε = 1 10 . No existe. −2 vi. n0 ≥ 10. xn = 2n + 1 ii. n0 ≥ 100. para ε > 0. n 0 ≥ 2 ε + 2ε c) Para ε = 2. a) Converge a 0 b) diverge c) converge a −10 3. 2 iii. para ε > 0. n0 ≥ 10. Columna A a) Sea la sucesión {xn} dada por x1 = 1. n 0 ≥ −ε + 4 ε + ε 2 2ε (e ( b −1 ) ) i ) converge a 0 j) diverge a ∞ . n0 ≥ 5. la sucesión diverge n→∞ n2 1 lím sen es… d ) El límite n n →∞ 2 n − 1 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. n0 ≥ 3. La fórmula general para xn. para ε = 1 100 . n0 ≥ 50.410 Unidad 5: Sucesiones y series 9. para ε = 1 100 . n 0 ≥ 1 ε 1 b) Para ε = 110 . 1 v. 1 2 iv. para ε > 0. y xn + 1 = x1 + x2 + … + xn. a) Converge a 1 b) converge a 0 c) converge a 1 e d) converge a 3 e) converge a e2 f ) Converge a g) converge a 2 h) converge a e e− a +b ea − 1 d ) converge a 1 7 e) converge a 0 2 f ) converge a a 2 g) converge a b h) diverge a − ∞ 1 10 . 14005. i. c) 1 + 1 1 a a + an−1 an+1 = 1+ = 1 + n−1 = n = = bn an bn−1 an an an an−1 n→∞ n→∞ d) Dado que lím bn = lím bn −1 = ρ. a 2 = 13 + 13 ≈ 4.615.6. La sucesión es creciente. para n ≥ 1. a9 = 34. 2. a3 = 2. Se intuye que la sucesión {bn} converge a un valor que está cercano a 1. x n + 1 = 2 + b) L = 5. La proposición es cierta para n = 1.619. tenemos: lím a n +1= 13 + lím a n . es decir.0749. c) 5 ≈ 2. a10 = 55 b) b1 = 1. al tomar el límite cuando n → ∞ en bn = 1 + 1 obtenemos bn−1 ρ = 1+ ρ1= 1 .236067977 1 . pues a1 < a2.1: Sucesiones 411 4. b6 ≈ 1.61. b7 ≈ 1. Las soluciones de esta ecuación son ρ 1+ 5 1+ 5 1− 5 .617. determinamos que ρ = ≈ 1. por el principio de inducción.14005 ( ) 13 + 13 + 13 + 13 + 13 6. a 4 = 13 + 13 + 13 + 13 ≈ 4. c) Sabiendo ya que el límite existe. an < 5 para toda n = 1. b4 ≈ 1. queremos mostrar que an < an + 1. iii.6667. …. a) a 1 = 13 ≈ 3. por el principio de inducción. 2. ii. a) Definimos la sucesión {xn} de la siguiente manera: x1 = 1. a 3 = 13 + 13 + 13 ≈ 4. b2 = 2. b9 ≈ 1. a 5 = 13 + 13 + 13 + 13 + 13 ≈ 4. Supongamos que an − 1 < an. Tenemos: an+1 = 13 + an > 13 + an−1 = an Nuevamente. Hipótesis de inducción. Como ρ1 < 0. La proposición es cierta para n = 1. a4 = 3.6055. a8 = 21.5. a) a1 = 1. L = 13 + L Despen→∞ n→∞ jando L. a5 = 5. ….1321. a2 = 1.625. b8 ≈ 1. Hipótesis de inducción. ii. En efecto.618 y ρ2= 2 2 2 . En efecto: i. queremos mostrar que an + 1 < 5. que equivale a la ecuación cuadrática ρ2 − ρ − 1 = 0. Tenemos: an+1 = 13 + an < 13 + 5 < 13 + 12 = 5 Luego.618. como habíamos afirmado.5. Supongamos que an < 5. an < an + 1 para toda n = 1.1391. b3 = 1. b10 ≈ 1. como habíamos afirmado. pues a1 = 13 < 25 = 5. a7 = 13. De aquí que 2 ≈ 4. b5 ≈ 1. deducimos que L = 1 1 + 53 ≈ 4.1399 b) Del inciso anterior conjeturamos que la sucesión está acotada por 5 (por ejemplo). a6 = 8. 2+ xn 5. obtenemos 17. el radio de cada disco es r = 2n k 2 π k2 π π 2 . La sucesión es convergente con límite igual a 16. para a) N t → 0. a) 1 3 b) ln(2) c) π/4 π 2. b) g ' ( x ) = p ≈ 1. n n→∞ 8. Como se colocarán n discos. . lím an = 0. B = 4. en aproximadamente 183 roedores. de hecho lím an = 0. c) Al tomar x0 = 1. El límite existe y lím xn = 4. Si se realizan las operaciones 2 2 1 2. 9. an se será n π = 4 4 4 2n n π mantiene constante y lím an = k 2 1 − . No requiere solución. b) Consideremos an = . an = 1 − n n n − 1 n −1 n − 1 1 1 1 1 a . a) La población se estabiliza en aproximadamente 183 roedores. n→∞ 4 11. 10 2 (x + 4) 3 2 ≤ g(2 ) < 1 para toda x ∈ [1. Por lo tanto. d) ln 1 + 2 ( ) e) 2/π f ) 1/2 15. a) A = 10. n→∞ c n +1 a c c (n + 1)! = → 0. an +1 = 1 − an . entonces n +1 = n n→∞ n + 1 n→∞ an n! c n! k 10. para cada “n”. 14. donde N0 es la población al tiempo inicial t = 0. Sobre cada lado del cuadrado se disponen “n” discos. t →∞ t →∞ 12. el área total de todos ellos es decir. de nuevo. b) N t → ∞ . De la misma an −1 . n k 2 . b) La población se estabiliza. La sucesión es convergente. Por lo tanto. véase el problema correspondiente. Nt = ktN0. a) Para L < 1. Para n ≥ 2.36523001. la sucesión diverge a infinito. al simplificar an +1 = 2 . la sucesión converge a cero. si L > 1. en consecuencia. luego an +1 = 1 − 1 − 7. por lo cual an +1 = 1 − 1 − forma an −1 = 1 − 1− a . 2]. luego por el inciso a) lím an = 0. de donde: an = k 2 − k 2 = k 2 1 − . n→∞ 13.412 Unidad 5: Sucesiones y series 1 1 1 1 a . luego el diámetro de cada uno de ellos es d = . Continuando de es n − 2 n−2 n n − 1 n − 2 n−2 1 1 1 1− ta manera hallamos que an +1 = 1 − 1 − n n − 1 n − 2 1 1− a . por lo 2 n − 1 n − 2 n − 3 en los paréntesis y se sustituye a2 = 2 se encuentra que an +1 = n n −1 n − 2 tanto. R.. 1975. México. C. vi. E. 8. F. 2. Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones.) Referencias 1. . b) 6. México.. a) 4. T. CECSA. Diana. México. Parzen.). v. 3. 1977. México.. et al. Misterios matemáticos. ed. El omnipresente número π. c) converge a 0 2. México. d) 8. Santiago. iii. a) 9. 6. Takeuchi. 1978. 2a.. I. 1980. ii. I. Fondo de Cultura Económica. 5. Limusa. Barcelona. Cálculo de una y varias variables. (d. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Moscú. 1982. y John. Prado. E. d) 5. J. ¿Qué son las matemáticas?. URSS. 1980. 10. J. Newman. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal.. y Robbins. Trillas. 1982. Teoría de la probabilidad. Sucesiones y series. Limusa. Ejercicios de análisis. 1972. 7.. Courant. Courant. Pearson Educación. Clawson.1: Sucesiones 413 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2006. México. Limusa. Apóstol. b) 3. (a.). Precálculo. Reverté. 4. México. Kasner. H. México.. Zhúkov. 2002. México. 11. 12... 2005. Seeley. Matemáticas e imaginación. (c. 1999. Limusa.).. R. vol. c) 7. A. Obregón.. magia y belleza de los números. Madrid. (b.. Rivaud. Reverté.. Y. R.5.. 9. Ningún otro país del llamado Nuevo Mundo ofrece al turismo riquezas similares: gastronomía. FIGURA 5. Arqueología (Monte Albán). .12: Turismo en México. Playas (Cabo San Lucas). FIGURA 5. ganamos y gastamos. folclor y arte colonial. FIGURA 5.14: Turismo en México. fuente importante del ingreso nacional México posee una enorme riqueza cultural que se acompaña de bellas sedes naturales.414 Unidad 5: Sucesiones y series 5. William Wordsworth.13: Turismo en México. 1806 Turismo. sitios arqueológicos grandiosos. Puertos (Veracruz).2 Primeras series Tarde o temprano. derrochamos nuestras fuerzas. Soneto. Si consideramos la distancia total caminada. pues lo hicieron como si se tratara de mecanismos finitos que nuestra intuición pudiera manejar y sin la dedicación requerida. en sí mismo. Con tu equipo de trabajo. como un reto a los filósofos y geómetras de su tiempo. De manera particular. Aunque ya haya avanzado mucho en esa dirección. deberás responder lo siguiente: ¿Cuál fue el monto total que por efecto directo recibió México en 2001 por concepto de convenciones y congresos? Introducción Como seguramente ya te diste cuenta. sino también al consumo de cada residente. Casi dos siglos antes de Euclides. es imposible”. cuando se realiza alguna convención o algún congreso. el movimiento. pues la respuesta está asociada con una idea que parece . para recorrer el cuarto de kilómetro restante. En general. la distancia total por recorrer puede representarse como una suma infinita de longitudes. A este respecto. valles extensos. Zenón de Elea enunció un conjunto de paradojas. La paradoja más simple toma la siguiente forma.2: Primeras series 415 así como paradisiacos lugares de grandes contrastes. bosques y selvas. revisa la página http://www. es decir. donde encontrarán datos referentes al año 2001. De aquí se genera la paradoja: “Parece imposible que podamos recorrer un kilómetro. que es el dinero que gastan los asistentes a las convenciones b) De los recursos que cada residente gasta en la ciudad donde se realiza la convención Puesto que en cada congreso se genera una derrama económica que no sólo se debe al efecto directo. para recorrer en su totalidad cualquier longitud (¡por pequeña que ésta sea!) tendremos que recorrer una infinidad de tales longitudes. es ilustrativa la paradoja de Zenón. se genera un fenómeno que en economía se conoce como efecto multiplicador. y así sucesivamente. la derrama económica proviene de dos fuentes (en su esquema más simplificado): a) Del efecto directo. Con esos datos y el material de esta sección. debemos recorrer primero un cuarto de kilómetro. el turismo ha sido y es una de las actividades económicas más dinámicas y con mayor potencial de crecimiento. que hemos adaptado al lenguaje contemporáneo: “Para recorrer un kilómetro. ad infinitum. un decímetro….mx/wb2/sectur/sect_9189_congresos_y_convenci. ríos y cascadas. En la época de Zenón resultaba sumamente difícil dar una respuesta convincente a su paradoja.gob. Por todo ello. trabajar con el “infinito” en todos los casos requiere de un acercamiento cuidadoso. como playas de arenas blancas y diversas tonalidades de mar.5. primero debemos recorrer medio kilómetro. debemos recorrer primero un octavo de kilómetro. para recorrer el medio kilómetro restante.sectur. bajo este procedimiento habremos cubierto una distancia de 1 1 1 + + + 2 4 8 . también lo parece recorrer un metro. no sobra advertirle que grandes pensadores de todos los tiempos han cometido errores importantes en el manejo de procesos “al infinito”. luego. Llegar al concepto matemático de una suma infinita de términos es una idea fundamental de las matemáticas puras y aplicadas. ¿qué deberíamos entender por sumar una infinidad de términos? A nuestra intuición le suena imposible sumar una infinidad de términos en un lapso finito. Así. nos referimos en primera instancia a la suma de una infinidad de términos. deberíamos considerar lo que pasa con la suma de los primeros sumandos. deberás ser capaz de: • Definir los conceptos serie. nos concentraremos en tres tipos de serie que revisten una enorme importancia para generar ideas fundamentales y para deducir resultados importantes para el resto del estudio: • La serie telescópica • La serie geométrica • La serie “p” . sea cada vez más grande. • Calcular la suma de una serie telescópica o geométrica. 107 sumandos. • Aplicar los primeros criterios sobre convergencia y divergencia de una serie. en caso de convergencia. en vez de ello. pero. nuestro acercamiento al tema de series será a través del estudio de lo que llamaremos sucesión de sumas parciales. por ejemplo.2. ¿Le parece familiar este lenguaje? En efecto. una suma infinita de números positivos resulte en una suma finita. A partir de lo que ocurra con tales sumas diremos lo que pasa con la serie. dentro de un proceso que nos lleve a la idea de suma infinita de términos. Por el lado matemático parece irrealizable que. • Identificar las tres series discutidas en esta sección. a saber: la telescópica. • Aplicar los criterios de convergencia para las series del inciso anterior. con más o menos trabajo. 1000. Cualquiera de nosotros.416 Unidad 5: Sucesiones y series fuera de juicio: sumar una infinidad de términos. en tanto que el concepto del que hablamos se conoce como serie. “n”. Sección 5. de manera que el número de éstos. Así. la geométrica y la serie p. se trata de nuestro gran aliado de la sección anterior: estamos contemplando la posibilidad de definir la suma de una infinidad de términos a partir de dos ideas fundamentales: la de sucesión y la del límite de ésta. Así. Esta idea —que por el momento suena como locura— será la finalidad de nuestro estudio.1 El concepto de serie Al hablar de una serie. parece natural que al sumar una infinidad de términos. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. divergencia y suma de una serie. Pero para comprender esto debemos partir de lo que sabemos hacer: sumar una cantidad finita (aunque tal vez muy grande) de sumandos. no abordaremos el estudio de todas las series en esta sección. incluido el criterio los términos n-ésimo. de Cauchy y de combinación de series. será capaz de sumar 20. convergencia. + an = ∑ a j j =1 n Definición 5. a2. Iniciamos con el siguiente recordatorio (definición 5. Esto ocurrirá si lím Sn = ± ∞ o si Sn oscila de manera que no se aproxime a ningún valor real para n suficientemente grande. No sumaremos términos que no tengan un cierto arreglo. La suma de los números reales a1. diremos que la serie lo hace o que no es sumable.. pero ahora requerimos precisar. una sucesión de la forma {an}.4 Operaciones con series Sean ∑ a j . por ello algunos resultados como el siguiente son consecuencia inmediata de esta idea.2: Primeras series 417 Hemos hablado de sumar una infinidad de términos (si esto es posible).. donde S = a1 + a2 + .…. la de las n-ésimas sumas parciales {Sn}. entonces la serie de término general an se denota por: a1 + a2 + a3 + … o ∑ aj j =1 ∞ o {Sn} Diremos que la serie converge si lo hace la sucesión {Sn} formada por las sumas parciales Sn: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 . a la vez. an se denota con Sn = a1 + a2 + . = ∑ a j = lím j =1 ∞ Sn ∑ a j = nlím n→∞ →∞ j =1 n Si la sucesión {Sn} diverge. Teorema 5. n→∞ Como se ve. la convergencia o divergencia de una serie se reduce a determinar la convergencia de una sucesión. ∑ bj j =1 j =1 ∞ ∞ dos series convergentes..4 Si el conjunto de elementos de la suma conforma una sucesión {an}. Entonces .4).. buscaremos sumar siempre y cuando los sumandos constituyan. Sn = a1 + a2 + … + an (Observa que el número de sumandos es n y n → ∞).5.. diremos que la suma de la serie es S.. En este caso. 04 0.00416667 0. el término general de la sucesión de sumandos es a j = n-ésima suma parcial es Sn = a1 + a2 + a3 + + an = 1 .15: Aspecto gráfico de la sucesión del término general aj de la serie.02 0. En primer lugar.00107527 5 10 15 20 25 30 0.0333333 0.00153846 0. además. aj 0. .6: Comportamiento numérico de la sucesión del término general de la serie. + + + + 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n ⋅ (n + 1) cuyo formato es abierto (fácilmente identificable por los tres puntos suspensivos).6 y en la figura 5.03 j 1 5 10 15 20 25 30 FIGURA 5.7 se muestra el comportamiento de la sucesión de sumas parciales Sn. Tabla 5. también lo es ∑ (a j ± c j ) j =1 ∞ Serie telescópica Para iniciar la discusión de la serie telescópica.15 hemos plasmado un acercamiento al comportamiento del término general de la serie. en la tabla 5. considera la serie ∑ j ( j + 1) .16 y en la tabla 5. c) Si ∑ cj j =1 ∞ es divergente. Del comportamiento gráfico y numérico de Sn se desprenden varias observaciones importantes que hacemos explícitas a continuación. ∞ ∑ (a j =1 ∞ j =1 ∞ j ± bj = ∑ a j ± ∑ bj j =1 j =1 ) ∞ ∞ b) ∑ c (a j ) j =1 también converge y ∑ c ( a j ) = c∑ a j j =1 para cualquier constante c.01 0.00238095 0. y la j ( j + 1) 1 1 1 1 .00909091 0. entonces. En tanto.05 0. j =1 ∞ 1 Observa que.5 0. en la gráfica de la figura 5.418 Unidad 5: Sucesiones y series a) ∑ (a j ± bj ) j =1 ∞ ∞ también converge y. b) De la tabla 5.961538 0.9375 0.7 se infiere que.5.16: Aspecto gráfico de las n-ésimas sumas parciales de la serie. a) La tabla 5. no obstante. que la cola o el residuo de la serie. La razón estriba en que n→∞ el límite que deseamos hace que el número de sumando aumente indefinidamente y esto imposibilita el uso de los teoremas que se tiene sobre cálculo de límites de sucesiones. Así. que tomando los primeros n términos de la serie lograremos acercarnos a la suma tanto como deseemos. Necesitamos observar que aunque en la definición de convergencia de una serie se debe considerar lím Sn . la suma de los últimos términos de la serie puede hacerse tan pequeña como se desee.2 1 0. Que la serie es. c) De acuerdo con la tabla 5.16 sugieren que la sucesión {Sn} de n-ésimas sumas parciales converge a 1. es decir. que se caracteriza por la ausencia de los puntos suspensivos.967742 5 10 15 20 25 30 0. No obstante estas apreciaciones. convergente y que su suma es 1. n 1 5 10 15 20 25 30 Sn 0. con tal de que se tomen índices suficientemente grandes. Aprovechamos para indicar un aspecto algebraico importante que caracn→∞ . de aquí estamos tentados a señalar que ésta debería ser una condición necesaria para la convergencia. en efecto. antes de proceder al cálculo de lím Sn .909091 0.7 y la figura 5.2: Primeras series 419 Tabla 5.6 y la correspondiente figura 5.5 0. estaremos en un campo inseguro de conclusiones e interpretaciones en tanto éstas no se verifiquen analíticamente. éste no es un cálculo tan directo.7: Comportamiento numérico de las n-ésimas sumas parciales de la serie.15 se observa que las contribuciones de los últimos términos son prácticamente “despreciables”. en caso de convergencia. la suma de la serie parece ser un valor finito.6 0. donde el número de sumandos sea finito. Hay que tener cuidado: por el momento no podemos decir qué tan “despreciables” deberán ser las contribuciones de los últimos términos para que la serie converja. ii.952381 0. i. iii. Observa que el número de sumandos en Sn se incrementa indefinidamente en la medida en que n → ∞.833333 0. es decir.4 FIGURA 5. Por ello. mostraremos: i. es indispensable pasar del formato abierto de la sucesión {Sn} a su formato cerrado.8 0. la suma “S” de la serie se obtiene prácticamente de sus primeros sumandos. Por lo tanto. aunque el número de sumandos aumente indefinidamente). En nuestro caso: n→∞ 1 lím Sn = lím 1 − =1 n→∞ n + 1 Por lo tanto. existe n0 tal que n ≥ n0 implica Sn − 1 < ε . dado ε > 0. después de hacer simplificaciones. Sn puede estar tan cerca de 1 como deseemos. luego: aj = 1 1 − j j +1 Reescribimos ahora Sn de la siguiente manera: Sn = a1 + a2 + a3 + + an = 1 − = 1− 1 1 1 1 + − + − 2 2 3 3 1 + 4 1 1 + − (forma abierta de Sn) n n + 1 1 (forma cerrada de Sn) n +1 Acabamos de ver la característica fundamental de una serie telescópica. j ( j + 1) j j + 1 1 = A(j + 1) + Bj. a saber: cuando se despliegan los sumandos de una serie de este tipo. En la tabla 5.8: Si n es suficientemente grande. es decir. si descomponemos aj en fracciones parciales hallaremos que aj = 1 A B = + . además. Tenemos: Tabla 5.420 Unidad 5: Sucesiones y series teriza a una serie telescópica. En primer lugar. En la última ecuación (aunque n → ∞. Esto significa que. ii. la serie es convergente y. La tabla 5. la suma S es igual a 1. quedan únicamente el primero y el último de los términos desplegados. con los cuales podemos manipular nuestros resultados para el cálculo de límites.8 se obtiene con las ideas de la sección anterior e indica cuántos términos de la serie se requieren con la finalidad de asegurar que Sn − 1 < ε . la forma cerrada de Sn sigue constando de dos sumandos.7 se generó la apreciación de que en los primeros n términos de esta serie se encuentra su mayor peso. ε 1 10 1 100 n requerido n≥9 n ≥ 99 n ≥ 105 − 1 10−5 ε > 0 (arbitrario) n≥ 1 −1 ε . de donde: A = 1 y B = −1. 06 0.02 0. deberás apoyarte en la tabla 5. una cola o residuo de ésta es una suma finita de la forma: j =1 ∞ Sn − Sm = a m+1 + am+ 2 + + an para n > m Tanto gráfica como numéricamente hemos señalado lo que ocurre con la cola de la serie. para n > m.00606015 0. estudiaremos dónde está la pieza clave de la convergencia de una serie.0269841 0. Por tal razón.166667 0.0188537 0. Precisemos lo que acaba- Definición 5.03 0.0117613 45 51 55 61 65 71 75 81 85 0.0136933 0.0107501 0.00952203 0. m +1 n +1 1 1 + − n n + 1 .00884813 0.015377 0. en la medida en que n → ∞. Antes de precisar esta idea.0398551 0. Como se observa. Es decir.5 Dada la serie ∑ a j .0757576 0. S2n − Sn n S2n − Sn 0.00577995 0. la cola de la serie tiene aportaciones “despreciables” a la suma de ésta.0221987 0.2: Primeras series 421 iii.00799895 0.9 y en la figura 5.00689588 0. Finalmente.5.04 0. a m+1 + am+ 2 + 1 1 1 1 + + an = − + − m +1 m + 2 m + 2 m + 3 = 1 1 − . a saber: Sn − Sm mos de señalar con la definición 5.00653538 0. Analíticamente.01 10 20 30 40 50 n 1 5 11 17 21 25 31 35 41 FIGURA 5.17: Muestra el comportamiento gráfico de las colas de la serie. Tabla 5. comentaremos que la diferencia S2 n − Sn es sólo un caso particular de una diferencia más general. ésta es la piedra angular sobre la que descansa el concepto de convergencia de una serie.9: Muestra el comportamiento numérico de las colas de la serie para diferentes valores de n.00751793 0.5. la diferencia S2 n − Sn tiende a cero en la medida en la que n → ∞.05 0. Para ello. aunque sumemos cada vez más términos la suma de la serie (y su consecuente convergencia) prácticamente no se vea afectada.17. Teorema 5. a saber: Teorema 5.5: Criterio de Cauchy para la convergencia de una serie Una condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie ∑a j j =1 ∞ es que la cola Sn − Sm = am +1 + am + 2 + + an . Como hemos dicho. Es decir. es posible deducir las siguientes afirmaciones de carácter general. suprimir o añadir un número finito de éstos afecta el valor de la suma.422 Unidad 5: Sucesiones y series Luego. existe un n0 tal que n > m > n0 implica que Sn − Sm = am+1 + am+ 2 + + an < ε . Nota: Con base en la discusión anterior. para ε > 0 existe n0 tal que n > n0 implij =1 n→∞ ∞ ca an < ε . Sobre ese criterio tenemos el teorema 5. si lím an no existe o lím an ≠ 0 . la serie n→∞ n→∞ ∑ a j diverge. En otras palabras (ésta es la forma en que puede usarse el resultado). lím an = 0. a) La convergencia o divergencia de una serie no se ve afectada si se le suprime o añade un número finito de términos. aunque no sólo de esta serie sino de cualquier otra. atribuido al matemático francés August Cauchy. si dado ε > 0. n > m sea arbitrariamente pequeña al considerar m (y n) suficientemente grandes. j =1 ∞ . c) Si escribimos m = n − 1 en el teorema anterior. en consecuencia.6: Criterio de divergencia de una serie Si la serie ∑ a j converge debe tenerse que. si m es suficientemente grande. se puede afirmar que bajo estas condiciones la cola de esta serie será tan pequeña como lo deseemos. también lo será n (pues n > m) y. el significado de esto es trascendental para la convergencia. es decir.5. obtenemos una condición necesaria para la convergencia de una serie. b) Dado que el peso de una serie convergente se concentra en los primeros sumandos. 6 –0. considera las siguientes dos series: a) ∑ j =2 ∞ 3⋅ (−2 ) j +1 5j 7 b) ∑ j =1 2 ∞ j −1 Nuestro primer análisis será numérico y gráfico.686838 −0.576 −0.685894 −0.19 muestran el comportamiento tanto de los términos generales de las series como de sus n-ésimas sumas parciales: Tabla 5.692736 −0.2: Primeras series 423 Serie geométrica Antes de definir la serie geométrica y establecer las condiciones de su convergencia.685719 −0.685712 −0.682906 −0.11 y las figuras 5.685715 −0. .8 –1 10 15 20 FIGURA 5.4 –0.685265 −0.685714 0.18: Comportamiento gráfico de la sucesión {Sn} de la serie a) para diferentes valores de n.685703 −0.685743 −0.2 5 –0.5.18 y 5.96 −0. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sn n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Sn −0.2 –0.66816 −0.10: Comportamiento numérico de la sucesión {S0} de la serie a) para diferentes valores de n.10 y 5.685714 −0. Las tablas 5.685714 −0.685642 −0.7296 −0. en realidad. éste puede ser cualquier otro número entero positivo. Las series en a) y b) tienen en el fondo la misma apariencia.424 Unidad 5: Sucesiones y series Tabla 5. de ahí que las series en a) y b) que empiezan. Dada la importancia de este tipo de series conviene dar la definición 5.000 40.000 60. n 1 2 3 4 6 7 8 9 10 Sn 1 4. De las gráficas y tablas anteriores inferimos que la serie del inciso a) es convergente a una suma cuyo valor aproximado es −0.967742 31525.685714. Para el inciso b) la base es 7 2 . Definición 5. La primera es que en una serie geométrica el término siguiente es el término previo multiplicado por una constante a la que hemos denotado por “r ”. mientras que en b) el valor absoluto de la base es mayor que 1.688 0.9 110341 4 6 8 10 20. de donde la base = − 6 ⋅ potencias. Nota que cualitativamente las series a) y b) difieren en la base de sus j ∞ ∞ (−2 ) j +1 −2 ( ) . Recuerda que en una serie la suma sólo se ve afectada por la omisión o incorporación de un número finito de tér- .75 209.6. para cuestiones de convergencia.5 16.952381 0.000 100.000 FIGURA 5. aun cuando en la serie hemos colocado su índice inicial en 0. respectivamente.6: Series geométricas Una serie geométrica tiene la siguiente forma ∑ a r j = a + ar + ar 2 + j =0 ∞ = a 1 + r + r2 + ( ) Haremos aquí un par de aclaraciones.961538 0. El punto que ahora estudiamos no es que una base sea negativa y la otra positiva. La segunda.11: Comportamiento numérico de la sucesión {Sn} de la serie b) para diferentes valores de n. mientras que la serie del inciso b) es divergente al infinito. sino el hecho de que el valor absoluto de la base en a) es menor que 1.000 80. la serie del inciso a) es ∑ 3 ⋅ ∑ 5 5j j=2 j=2 es − 2 5 . Así.19: Comportamiento gráfico de la sucesión {Sn} de la serie b) para diferentes valores de n. en 2 y 1 también sean geométricas. esto no es importante. Ahora obtendremos un resultado general en este sentido. la idea básica que permite llevar esta forma abierta a una forma cerrada (sobre la cual podremos hacer que n → ∞) consiste en multiplicar por r el resultado anterior y considerar la resta Sn − rSn. Observarás que estas operaciones llevan la serie geométrica a una versión de serie telescópica.7: Convergencia y divergencia de series geométricas Dada la serie geométrica ∑ a r j = a + ar + ar 2 + j=0 ∞ = a 1 + r + r2 + ( ). Evidentemente. Luego. para ello. diverge si r ≥ 1. Resumimos las observaciones anteriores en el teorema 5. la serie converge si r < 1. 1− r . Sn = a + ar + ar 2 + + ar n −1 = a + a + + a = na. Hemos hecho notar que la pieza clave de la convergencia en una serie geométrica estriba en el valor absoluto de su base. por lo cual estudiaremos la serie de la definición anterior. pero no la cualidad referente a convergencia o divergencia. la sucesión {Sn} diverge y. Sn = a + ar + ar 2 + + ar n−1 Así.2: Primeras series 425 minos. como mostramos en los siguientes cálculos: rSn = ar + ar 2 + … + ar n − 1 + ar n. consideremos lo que pasa con la sucesión de n-ésimas sumas parciales de la serie. y diverge para r > 1 o r = −1. y para r > 1 o r = −1. en este caso. En caso de convergencia.7: Teorema 5. se simplificó anulando los términos iguales Si factorizamos Sn en el lado izquierdo de esta última ecuación. se multiplicó Sn por r Sn − rSn = a + ar + ar 2 + + ar n−1 − ar + ar 2 + ( + ar n−1 + ar n ) = a − ar n. la sucesión {r n} diverge. Empezamos con Sn. ésta converge si r < 1. la suma de la serie es S = 1− r caso para el cual r = 1. a ≠ 0 De aquí que cuando n → ∞. r n → 0.5. la suma de la serie es S = a . requerimos el resultado del ejemplo de la sección anterior. Sn(1 − r) = a(1 − r ). en caso de a . en consecuencia. la serie también diverge. sólo queda pendiente el convergencia. De esta manera. de donde: Sn = n a 1 − rn 1− r ( ) Al considerar lím S n . donde n→∞ vimos que para r < 1. 67987 4.59361 4. 20 15 10 5 Sn 12.20: Aspecto gráfico de la sucesión {Sn} para la serie ∑ n =1 ∞ 1 j 1 2 .83284 4.81596 3.12: Comportamiento numérico de la sucesión {Sn} para n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 Sn 1 3. p = 1 y p = 2. n =1 ∞ 1 Los comportamientos gráfico y numérico son muy reveladores.3325 15.58513 10.99499 4.14678 4. En cambio.7524 13.4561 11. la serie “p” con p = 2 parece ser convergente a una suma cercana a 1.90136 4.096 14. .21: Aspecto gráfico de la sucesión {Sn} para la serie ∑ j.39495 4.0305 12. Tabla 5.4394 14.28333 2.63324.9178 16.13: Comportamiento numérico de la ∞ sucesión {Sn} para n 45 50 55 60 65 70 75 80 85 ∑ j.484 17. ∑ j p .75928 4. Para los casos p = 1 y p = 1 2 las series parecen divergir al infinito (aunque muy lentamente). llamada serie j =1 ∞ 1 Tabla 5. para los casos p = 1 2 .426 Unidad 5: Sucesiones y series La serie “p” Consideremos los comportamientos gráfico y numérico de la serie “p”.02574 20 40 60 80 FIGURA 5.7261 15.49921 4.96548 5.021 6.59526 8.59774 3.23167 5.41399 7.2676 n 45 50 55 60 65 70 75 80 85 ∑ n =1 ∞ 1 j 1 2 .31823 3. Tenemos las siguientes observaciones: 1.0329 10 20 30 40 FIGURA 5. n =1 1 20 15 10 5 n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 Sn 1 2.92897 3.27854 Sn 4.63931 9. p = 2 Sn.62024 n 45 50 55 60 65 70 75 80 85 ∑ n =1 1 2 1. nuestra conjetura es que para p > 1. se nota un crecimiento muy lento de la sucesión {Sn}. j De esta manera. p = 1/2 14 12 10 8 6 4 2 20 40 60 80 Sn. p = 1 y p = 2. p = 1 FIGURA 5.58044 1. la convergencia a cero del término general de la serie será lo suficientemente rápida como para que al sumar los últimos términos de la serie. 3.63251 1. Las imágenes sugieren que cuanto menor sea “p”. se producirá la divergencia de la serie.62513 1.5.54977 1.62692 1.63075 1. Observa que para p > 0.61215 1.5 j2 . Sn 1.14: Comportamiento numérico de ∞ la sucesión {Sn} para n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 Sn 1 1. en cambio para p = 2 > 1 se tiene convergencia.22: Aspecto gráfico de la sucesión {Sn} para la serie ∑ n =1 ∞ 1 j2 . en consecuencia.62296 1. . no obstante. parece divergir. el término 1 general de la serie p → 0. 4. Sn. pero p depende de la rapidez con que ocurra. El aspecto comparativo de las gráficas que se observan en la figura 5. Para el caso p = 1.63324 20 40 60 80 FIGURA 5.5 1 0. el crecimiento de {Sn} será más rápido y.23: Aspecto gráfico comparativo de {Sn} para p = 1/ 2. Una cuestión interesante sería determinar con qué valor de “p” tenemos la frontera entre convergencia y divergencia en este tipo de series.46361 1. la contribución de todos estos será “despreciable”. Los casos de divergencia se presentan con valores de “p” menores o iguales a 1.61677 1.63169 1.62967 1.62841 1.23 es similar para otros valores de p < 1 y de p > 1.2: Primeras series 427 Tabla 5.60572 1.59616 1. 2. resulta que la suma de las áreas de n de estos n 1 rectángulos es. por lo tanto. Sn = ∑ 1 . comencemos considerando el caso para el cual p = 1 2 .… Dado que j 2 la base de cada rectángulo es igual a 1. Con el mismo argun→∞ mento se observa que la serie “p” con p = 1 es divergente. Ahora bien.24. lím ∫ n +1 −2 1 n→∞ x dx = − lím x − 1 n→∞ n +1 1 1 − 1 = 1 = − lím n→∞ n + 1 Deducimos entonces que la sucesión {Sn} es creciente y acotada. Para concretar ideas. el 2 j =1 j área bajo la curva de la función f (x) = x−1/2 en el intervalo [1.25). 1 .24 y 5. y se ∫1 x n −1 2 dx ≤ Sn = ∑ j =1 n 1 1 j 2 Tomando el límite cuando n → ∞. n] es cumple que: ∫1 x n −1 2 dx.25. Para el caso p = 2. la curva en color azul mostrada en la figura 5. de donde concluimos que la serie es divergente. con base en la teoría de integración. lím Sn = ∞. Las figuras 5.25 muestran una interpretación geométrica de las n-ésimas sumas parciales Sn correspondientes a la serie p. Cada rec1 tángulo circunscrito a esta gráfica tiene una altura igual a 1 . no obstante. Luego. 1 1 donde el primer rectángulo tiene una altura igual a 2 y no 2 (véase la figura 5. Tenemos entonces que: Sn = ∑ n +1 j=2 1 ≤ j2 ∫1 n +1 −2 x dx. por el teorema 5.428 Unidad 5: Sucesiones y series El resultado general para este tipo de series se obtiene analíticamente. 2. esta idea generará un criterio importante sobre convergencia y divergencia de series. como hemos 12 comentado reiteradamente esto no afecta su convergencia (o divergencia). En la próxima sección. la serie es n→∞ convergente. para j = 1.1 de la sección anterior. precisamente. nos apoyamos en la figura 5. al que llamaremos criterio de la integral. Nota: En esta serie se ha omitido el primer término . observamos que lím ∫ x 1 n −1 2 n→∞ dx = 2 lím x n→∞ n 1 = 2 lím n→∞ ( n −1 = ∞ ) Luego. concluimos que existe lím Sn . 2 1 Tomando el límite cuando n → ∞.24 corresponde a la función f (x) = x−1/2. como sugiere la figura 5. Por ejemplo. Por lo tanto. es muy frecuente usar el índice n dentro de la notación sigma. Nota: Hasta ahora hemos utilizado el índice j en la notación ∑ .8 contiene el resultado general para la serie “p”. y diverge para p ≤ 1.25: Interpretación gráfica de Sn para la serie “p”: rectángulos inscritos.2: Primeras series 429 an an n 1 2 3 4 5 6 7 … 1 2 3 4 5 6 7… n FIGURA 5. la serie se conoce como serie armónica.8: Criterio de convergencia y divergencia para la serie “p” La serie “p” ∑ jp j =1 ∞ 1 converge para p > 1.24: Interpretación gráfica de Sn para la serie “p”: rectángulos circunscritos. en adelante no le daremos importancia al índice empleado. determina también la suma. Las ideas anteriores se pueden generalizar fácilmente a partir de argumentos similares a los presentados arriba. Cuando sea posible.5. Ejemplo 5. Nota: Si p = 1. éste es intrascendente. sin embargo. Teorema 5.3 n =1 j =1 ∞ n 1 . El teorema 5. a) ∑ n2 (n + 1)2 n =1 ∞ 2n + 1 b) ∑ ( 2 + ( −1) n =1 ∞ n ) c) ∑ ( −1)n cot n 3 n= 3 ∞ π d) ∑ ∑ j 0.8 Determina la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series. FIGURA 5. Con esos valores: an = 2n + 1 1 1 = − n 2 (n + 1)2 n 2 (n + 1)2 De esta manera. luego. la n-ésima suma parcial queda como Sn = a1 + a2 + 1 1 1 1 + an = 2 − 2 + 2 − 2 + 1 2 2 3 = 1− 1 1 + 2 − n (n + 1)2 1 . concluimos que diverge. si n es impar Dado el carácter oscilatorio de la sucesión {an}. se escribe como exacto: cot = 3 3 = ∑ (−1)n cot n 3 ∑ n= 3 ∞ π −1 3 n= 3 ∞ n Dado que esta serie se inicia con n = 3.6 (cuyo principio se marca en n = 0). c) Dado que el argumento de la función es un ángulo notable.6. se puede interpretar como una geométrica. B. Si ahora tomamos el límite cuando n → ∞. así: 2n + 1 A B C D = + + + n 2 (n + 1)2 n n 2 n + 1 (n + 1)2 Al calcular los valores de A. no es geométrica en el sentido estricto de la definición 5. b) Aunque el resultado sobre divergencia del teorema 5. parece razonable intentar su descomposición en fracciones parciales. la serie es telescópica. por el teorema 5. podemos indicar fácilmente el valor 1 π . No obstante. forma cerrada de Sn (n + 1)2 Es decir. como lo hicimos en el método de integración con fracciones parciales. Por lo tanto. B = 1 y D = −1. la serie también diverge. es habitual empezar su estudio con este criterio.430 Unidad 5: Sucesiones y series solución a) Dada la apariencia del término general an de la serie. en la . Por lo tanto. C y D. encontramos que A = C = 0. si n es par an = 2 + (−1)n = 1.6 no siempre es concluyente. estaremos en posibilidades de determinar la convergencia de la serie: 1 lím Sn = lím 1 − =1 n→∞ n→∞ (n + 1) 2 De aquí resultan dos conclusiones: que la serie es convergente y que la suma es 1. consideramos 3. re- 1 j j =1 . 4. la manera más cómoda de proceder se muestra a continuación: ∑ −1 −1 −1 −1 + + + = 3 3 3 3 n= 3 ∞ n 3 4 5 . n =1 j =1 ∞ n 1 Ejemplo 5. Si ahora tomamos el límite cuando n → ∞.… para encontrar los primeros términos. la serie converge.9 Determina la convergencia de la serie ∑ ∫n n =1 ∞ ( n +1 x e− x dx ) . En cuanto a la suma.6.3 Debido a que ∑ j 0.3 diverge.7. y el siguiente sumando después del 1 se interpreta como “r” (véase la definición 5. en el corchete se busca que el primer término sea 1. observa que: r = −1 <1 3 Nota: es importante señalar que el criterio no se apoya sólo en “r” sino en r Por lo tanto. la convergencia o divergencia de una serie no se ve afectada por esta circunstancia. 5. la serie ∑ ∑ j 0. en cuanto a la suma (si existe).3.2: Primeras series 431 cual se han omitido los primeros tres términos. por el teorema 5. el término general de la serie es an = ∑ sulta que lím an = ∑ n→∞ ∞ n 1 j 0. −1 3 a −1 S= = = 1− r −1 3 1 + 3 1− 3 3 ( ) d ) Aquí. de acuerdo con el teorema 5. Entonces. deducimos que lím an n→∞ no existe. Ahora. donde hemos dado a n los valores n = 3.3 .6). el término factorizado es valor de “a”.3 j =1 ∞ j =1 1 es una serie “p” con p = 0. −1 −1 −1 −1 + = + + ∑ 3 3 3 3 n= 3 ∞ n 3 4 5 3 2 1 −1 −1 = + 1− + 3 3 3 r a Como se ha escrito. Como sabemos.5. 0. an = an = ∫n n +1 xe − x d x. integración por partes an = n +1 n + 2 − n +1 . por ello. Lo j =1 ∞ primero que debe notarse es que no tiene sentido intentar siquiera la solución de la ecuación anterior si la serie involucrada es divergente. el segundo término de la ecuación anterior contiene la serie ∑ tan j ( x ). Si tomamos el límite cuando n → ∞ y aplicamos la regla de L’Hôpital al segundo término de Sn: n+2 1 2 = lím n +1 = 0. Por lo tanto. desplegando los primeros n términos de la serie: Sn = a1 + a2 + a3 + 5 2 3 3 4 4 + an = − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + e e e e e e Sn = 2 n+2 − . para x ∈ 4 4 2 n 2 tan( x ) −π π = 0. en primer lugar analizaremos su convergencia. simplificando.432 Unidad 5: Sucesiones y series solución Hagamos primero el cálculo del término general de la serie. e e n +1 n +1 n + 2 + n − n+1 e e Como se observa. Nota que esta serie es geométrica y ∑ tan j ( x ) = tan( x ) + tan2 ( x ) + j =1 ∞ = tan( x ) 1 + tan( x ) + r a −π π . de donde: lím Sn = n + 1 n→∞ e n→∞ e n→∞ e lím Es decir.10 2 n −π π . Falta resol. De aquí deducimos que la serie converge para tan( x ) < 1. es decir. si evaluamos y simplificamos en e De aquí. . es decir. Encontramos ∫n n +1 xe − x d x = − xe− x n +1 n − e− x n +1 n . obtenemos lím tan 2 ( x ) − ∑ tan j ( x ) = tan 2 ( x ) − si x ∈ n→∞ 9 1 − tan( x ) 4 4 9 j =1 . tales que lím tan 2 ( x ) − ∑ tan j ( x ) = 0 Encuentra todos los valores x ∈ 2 2 n→∞ 9 j =1 solución Al tomar el límite indicado. la serie de este ejemplo es telescópica. Ejemplo 5. la serie converge y la suma es igual a 2 e. 2: Primeras series 433 2 2 tan( x ) = tan( x ) tan( x ) − ver la ecuación trigonométrica tan 2 ( x ) − = 0. a) 1 1 + + 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3⋅ 4 + 1 + n (n + 1)(n + 2 ) 1 3 − n2 − ∑ 2 4 n2 + 7 n =1 n + 3n + 2 ∞ d) b) ∑ ( 2n + 1) ( 2n + 3) n =1 ∞ ∞ 1 e) ∑ n ( n + 3) ( n + 5 ) n =1 ∞ 1 c) 1− ∑ n ( n − 1) n= 2 2 3. Para cada uno de los siguientes incisos. a) 1 1 − n ∑ n 3 n= 0 2 ∞ b) 1 − 2 4 8 + − + 3 9 81 −2 + 3 n −1 + . Obtene 9 1 − tan( x ) 9 ( 1 tan( x )) − mos que tan(x) = 0 y tan( x ) − 2 = 0. En caso de convergencia. 1.7 + 0. usa la notación ∑ para representarla.588. Como 2 3 −π π . x 1 . resulta que hay otras dos ( ) ≈ 0. Si ponemos m = tan(x).5. En el primer caso. De aquí. a) c) 1 ∑ (−1)n 7 n= 3 n=0 ∞ n b) 1 − 3n 1 + 4n 3 4 5 6 + + + + 2 2 32 4 2 5 2 ∑ an . . hallamos x1 = 0.07 − 0. cuyas soluciones son m = soluciones. De la primera ecuación. determina la suma. ∞ donde an = d ) 7 − 0.0007 − 2.322 y x 1 3 3= arctan ( ) ≈ 0. determina la suma. Determina si convergen o divergen. Determina si convergen o divergen. En cuanto a 9(1 − tan( x )) 1 3 la segunda. Los siguientes incisos implican series geométricas. la ecuación queda como 9m2 − 9m + 2 = 0. a saber: x 2 = arctan y m = 2 3 . partiendo de los primeros términos de la serie dada.007 + 0. x 3 ∈ 4 4 concluimos que las soluciones anteriores son de la ecuación planteada. x 2 . es equivalente a 9 tan2(x) − 9 tan(x) + 2 = 0. escriba los primeros cuatro términos de la serie o. en su caso. Los siguientes incisos implican series telescópicas. Completa el cálculo y escribe la fracción 2 10 10 correspondiente al número dado. b) 0. la trayectoria de cada movimiento se reduce 2% respecto de la longitud de la trayectoria anterior (de un lado a otro). a) 4.26: Imagen de un péndulo. 3. Supón que. después de la primera oscilación. a) ∑ an . determina si las siguientes series son convergentes o divergentes. Si converge determina la suma de la serie.434 Unidad 5: Sucesiones y series 1 7 c) ∑ n − n n =1 π ∞ d) ∑ n =1 ∞ ( 23 )n + ( 13 )n 2 n e) Para a < 1. FIGURA 5.… y a1 = 3 n π e) ∑ ( 3 n + 1 )( 3n − 2 ) n= 2 ∞ ∑ n! n =1 nn 5.616161… puede escribirse como 4 + 61 61 + 4 + .151151… c) 2.0101… 6. n = 2. calcula la distancia total recorrida por la masa del péndulo antes de detenerse. Por efecto de la resistencia del aire. Repite el procedimiento para los incisos b) y c). Por ejemplo. ∑nan n =1 ∞ y ∑ n ( n + 1) a n n= 2 ∞ 4. un péndulo llega finalmente al reposo después de cierto número de oscilaciones. n =1 ∞ 1 con an = 1 − an −1 . n =1 ∞ ∞ donde Sn = n2 n2 . Las series pueden utilizarse para escribir un número decimal infinito periódico como una fracción común. Con base en los resultados de esta sección. Si la longitud de la primera oscilación fue de 45 cm. − 2n + 6 2n + 8 f) b) c) ∑ ∞ n= 3 ∞ (2 n − 1) 3 n n+7 n =1 n + 1 n n = 50 ∞ ∑ ∞ ( n) 3 1 π ∑ ln g) h) i) 5 2 n− 3 d) ∑ n n= 2 (− 8 ) ∑ π ne n= 0 ∞ e nπ ∑ an . . Con la finalidad de que te familiarices con ellas. al cual se le llama intervalo de convergencia.2: Primeras series 435 7. En la práctica de la ingeniería y de las ciencias exactas. n +1 La fórmula de f (x) (sin el símbolo n =1 (−2 ) ∑ ) y su dominio. 2 ( x + 1)n .27: En cada par de círculos se inscriben dos más por cada uno de los formados previamente. con las mismas características. ∞ proporciona la fórmula de f (x) (sin el símbolo ∑ ) y su dominio. en cada uno de éstos se inscriben dos más. Halle lo que se pide en cada caso. donde f (x) es la función del inciso a). A la vez. en cada uno se inscriben otros dos círculos más. 1 a) 1 + 0 + + 0 + 3 b) + 1 +0+ 3n c) ∑ ln ( tan2 ((2 n+1)π 4 )) n =1 ∞ ∑ n =1 ∞ sen 4n ( ) nπ 2 d) ∑ ( n − 1) ( n − 2 ) ( n − n2 ) n =1 . Si es posible. FIGURA 5. tangenciales al primero. las cuales estudiaremos en el próximo capítulo. que también son tangenciales.5. ∑ . En un círculo de radio a se inscriben dos círculos iguales. La fórmula sin el símbolo n =1 ∞ 9. Posteriormente. considera los siguientes incisos que abarcan sólo el caso de series geométricas. b) La solución de la ecuación f ( x ) = c) f ( x ) = ∑ ∞ ∞ 3 . 8. determina la suma de las áreas de todos los círculos que se forman bajo este procedimiento. Decide si cada una de las siguientes series converge o diverge. de manera infinita. como muestra la figura 5. de manera general está difundido el uso que se da a las funciones definidas a partir de una serie. y la solución de la ecuación f (x) = 2. x ∈ (0. a) f ( x ) = n =0 ∑ 3n x 2 n . π). Una función de este tipo se conoce como serie de potencias.27. d) f ( x ) = ∑ cosn ( x ). determina si cada una de las siguientes series es convergente o divergente. ∑ a ⋅ r n −1 n =1 ∞ converja a 3. ∑ ( n + x ) ( n + x + 1) ( n + x + 2 ) n =1 ∞ 1 converge o diverge. 1 1 /16 1 1 /4 1 /8 /2 1 –1 FIGURA 5. Determina si la serie n + 1 − n converge o diverge. a) ∑ nx n n =1 ∞ ∞ c) ∑ ∞ xn n =1 n ∞ e) ∑ (n + 1) x n n =1 ∞ b) ∑n2 xn n =1 d) ∑ 2n − 1 n =1 x 2 n−1 14. Determina el valor de b para el que 1 + eb + e2b + e3b + … = 9. calcula la suma correspondiente.436 Unidad 5: Sucesiones y series 10. proceda por derivación o integración de una serie geométrica conveniente y calcula fórmulas cerradas para las series que a continuación se proponen. En el primer caso. calcula la suma. ) 12. Si. Si 13. las cuales serán válidas cuando menos para x < 1. 2…. como en la teoría de la probabilidad. decida si la serie el primer caso es factible. Para a < 1. Para cualquier x = 0.28. a) a = 2 y b) a = 5 2 . 16. escoge un valor adecuado de r tal que la serie 15. Encuentra el área de la región sombreada de la figura 5. . Sin intentar justificar los pasos.28: Cálculo del área de la región sombreada. a) n=0 ∑ a n (1 + a n ). De ser posible el primer caso. calcula la suma. muchos de ellos útiles. ¿Para qué valores de r la serie infinita 1 + 2r + r 2 + 2r 3 + r 4 + 2r 5 + r 6 + … converge? Calcula la suma cuando la serie converge. en la serie geométrica es posible llegar a resultados sorprendentes. ∑( n =1 ∞ ∞ b) ∑ a n (1 + a n ) (1 + a 2 n ) n= 0 ∞ 11. 17. 1. Al efectuar diversas operaciones. obtendrás una tercera etapa de la curva de Koch a la que llamaremos C3. discute con sus compañeros el problema de la introducción y da respuesta fundamentada a la pregunta que ahí se formuló. a) Sea Ln la longitud de la n-ésima curva Cn. Para ello. analiza y resuelve las siguientes situaciones. Si divides cada uno de sus lados en tres partes iguales.5. Excepto . Con base en la teoría desarrollada en esta sección. están su área y su longitud. C2 y C3. Con la finalidad de dar una somera descripción de esta curva. alcanzar el compartimiento acuoso del organismo. Encuentra una expresión que proporcione el cálculo de Ln y determina qué sucede con el límite lím L n . b) En la misma fuente de internet. c) Supón que cada residente de las ciudades sede gastó. la sustancia tiene que absorberse. Usa un tipo de serie conveniente para determinar el monto total que por efecto directo recibió México durante ese año por concepto de convenciones y congresos. toma el subintervalo de enmedio. respectivamente. fuente importante del ingreso nacional.2: Primeras series 437 18. la derrama económica total. Puede apoyarse en la siguiente guía: a) Investiga el número de congresos y convenciones que en México se llevaron a cabo en 2001. Si repites la idea sobre la curva C2. fue de 1. Entre los aspectos interesantes de esta curva. en promedio. La curva copo de nieve de Helga von Koch. 1. 2. piensa que por el efecto multiplicador. iniciemos con un triángulo equilátero de lado igual a la unidad. Turismo.29: Las primera tres etapas de la curva copo de nieve: C1. determina el número de visitantes que por este concepto recibió el país y su consecuente derrama económica. obtendrás una segunda fase de la curva llamada C2. el cual es la curva C1. mientras que el 20% restante lo gastó fuera de las ciudades o lo ahorró. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. n→∞ b) Determina el área An de la región delimitada por Cn y calcula lím A n n→∞ FIGURA 5.5 veces el gasto total generado por los congresistas. 80% de los ingresos generados por los congresos. borrando las partes comunes a los triángulos nuevos y viejos. Finalmente. que por convenciones y congresos se realizó en México en 2001. Administración de medicamentos “Para que un fármaco actúe. esto es. y construye un triángulo equilátero dirigido hacia fuera. determinado por la subdivisión. es necesario que llegue a su sitio de acción. por ello. K(t) = K0e−ct. si K = K(t) representa la cantidad de un fármaco al tiempo “t”. Diversos medicamentos se asimilan en el cuerpo humano. Supón que. entonces. FIGURA 5. t0. .30: Dosificación de un medicamento. una vez que se ha obtenido cierta concentración del fármaco. ésta no debe ser excesiva. Como sabes. 2t0. Supón ahora que se administrarán n dosis de K0 unidades cada una. en todos estos mecanismos participa la sangre. con la finalidad de evitar daños al organismo (véase la figura 5.31: Gráfica que indica la concentración adecuada de medicamento (nivel terapéutico). los medicamentos tienen también un aspecto tóxico que debe cuidarse.438 Unidad 5: Sucesiones y series en la piel y algunas mucosas. y la cantidad de droga que cada tejido reciba depende de la concentración del fármaco en la sangre”. Así.31). donde c es una constante positiva y K0 es el número de unidades de medicamento aplicado en t = 0. la distribución del fármaco dentro del cuerpo puede variar de acuerdo con el flujo sanguíneo o la vascularización regional de cada tejido u órgano. concretamente. Imagina que las dosis se aplican en los tiempos 0. Nivel de medicamento Cmáx (cimas) concentración deseada Cmín (valles) Dosis 1 Dosis 2 Dosis 3 FIGURA 5. como es habitual en un tratamiento. se desea administrar a un paciente dosis iguales de un medicamento en intervalos de tiempo iguales. siguiendo un patrón de ley exponencial de disminución.… y que el nivel terapéutico T se alcanza en t = (n + 1)t0. a intervalos iguales t0. halla la suma. peso del paciente. La serie 2− n + ∑ ( n + 1) ( n + 2 ) n= 0 es convergente. encuentra una fórmula para R. determina si la serie a + b + a2 + b2 + a3 + b3 + … + an + bn + … converge. b) Investiga el concepto de semivida de un medicamento y. y que se administra una primera dosis reducida R en (n + 1)t0. Para cualquier k = 0.5. Si 0 < b < a < 1. con base en él. determina la suma. c) Por último. los médicos (entre varias consideraciones de edad. en caso afirmativo. (n + 4)t0]. Para lograrlo. n =1 ∞ 1 π4 ∑ n 4 = 90 .2: Primeras series 439 a) Obtén con sus compañeros de equipo una fórmula que proporcione el nivel terapéutico de un medicamento. interacción con otros medicamentos. imagina que se desea mantener el nivel terapéutico T del medicamento sin correr el riesgo de su toxicidad. 5. investiga la convergencia o divergencia de la serie ∞ 1 1 − ∑ . calcula los siguientes límites: 1 1 a) lím n + n+1 + n→∞ 2 2 ∞ 1 1 1 1 lím + + + b) n →∞ n n +1 n + 2 4. Autoevaluación 1. Considera ahora que el nivel terapéutico se ha logrado en el tiempo (n + 1)t0. n =1 c) ∞ π6 1 = ∑ n6 945 .(n + 3)t0] y [(n + 3)t0. Nota: una vez hallada. determina el valor de la constante “c”. encuentra el valor de la suma. 2…. n+ k n =1 n + 1 + k . Si existen. etcétera. y en particular de riñones e hígado) aplican después de algún tiempo lo que se conoce como dosis reducida. Si converge. evalúa n =1 ∞ ∑ n2 n =1 ∞ 12 b) ∑ n2 + 3 4 n =1 n ∞ ∑ 5n2 − 6 n6 n =1 ∞ 3. salud general. se podría aplicar para los siguientes periodos [(n + 2)t0. A partir de la cantidad de medicamento en el tiempo (n + 2)t0 (antes de la segunda dosis reducida). Sobre la base de los siguientes resultados las series: a) 1 π2 ∑ n2 = 6 . 1. 2. como veremos en el siguiente capítulo. pues lím Sn = lím n→∞ n→∞ Columna B 3 5 7 b) Para x < 1.440 Unidad 5: Sucesiones y series xn = e x se llama serie exponencial y. calcula a) ∞ ∑ n −1 n= 2 n! ∞ b) ∑ n +1 n= 2 n! ∞ c) ∑ (n − 1)(n + 1) n! n= 2 ∞ ∞ d) ∑ n2 x n n =1 n ! ∞ 7.1)n n= 0 ∞ 2. ∑n n =1 ∞ 1 1 1 1− = 2 2n + 1 2 vii. Converge. Con base en este resultado. e) converge a 139 1800 . 1 1 iii. Diverge xn v. Columna A a) La serie 1 1 1 + + + 1⋅ 3 3⋅ 5 5 ⋅ 7 = x 1 − x2 ii. 6 n +1 2 n= 2 n ∞ c) 1 − 2 5 8 − − − 5 9 13 d) ∑ 7(−0. 5 2 x 1 + x2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. iv. a) − 1 1 1 1 + 4 − 5+ 6− 3 7 7 7 7 1 . Relaciona las respuestas correctas en la columna B que correspondan a los planteamientos de la columna A. ln 1− x i. viii. donde k es un entero pon =1 n2 8. x − x + x − x + c) 2n + n 2 + n ∑ 2n+1 n ( n + 1) n =1 ∞ d) Para x < 1. 4 b) ∑ 1 . Del inciso d) del ejercicio anterior puede deducirse que sitivo. ∑ n! = k e. con6. d) diverge. La serie ∑ n ! n= 0 verge para todo x ∈ a la suma que se muestra en el lado derecho de la igualdad anterior. Encuentra el valor de k. a) Converge a b) converge a c) diverge. ln(x) vi. e) la primera serie 2 5 10 2 3 a 2 − 3 a 3+ a 4 converge a ( a − 1) 2 .5. n =1 n =1 ∞ 3 ∞ 1 i) por el teorema 5.50 metros. que diverge. . Df = − . 8. la serie diverge. g) Es una serie geométrica con r = eπ > 1. La suma de áreas de los círculos es π a 2 1 + + 2 + 2 2 te. La serie converge. pues lím a n = lím n→∞ (2 n − 1) 3 n =∞ n→∞ n+7 c) La serie es telescópica. La serie generada es geométrica y convergen 1 1 1 1 x +1 1 1 .6. La solución de la ecuación f (x) = 2 es x = arccos ≈ 0. 999 6. la segunda serie converge a 1 2 ( (1 − a ) ) 3 4. nn = ∞. 3 1 − cos( x ) .841 radianes. S = lím Sn = n→∞ b) De acuerdo con el teorema 5. a) La serie converge a a 1 3 7 . a) f ( x ) = d) f ( x ) = . b) x = ± ∈ − . . 2 3 2x + 6 1 − 3x 3 3 3 3 cos( x ) 2 . por lo tanto. diverge. n→∞ n ! 1 c) 2 99 5. πe π > 1. c) diverge. a) b) 151 . c) f ( x ) = . la serie diverge. 22.6 y dado que lím 61 4 99 . de donde an = 1 = .2: Primeras series 441 3. b) la serie converge a . de hecho. 1 1 7. entonces. Esto im 3 2 1 n n la serie armónica. No 3 n − 1 n − 2 n − 3 h) Puede mostrarse que a n = n n −1 n − 2 plica que la serie dada tiene la forma a 3 2 1 a . 1). diverge. d) La serie es geométrica con r = 25 > 1. d) converge a . 8 π 12 e) La serie es telescópica y converge a f ) Aunque la serie no inicia en 1. a) La serie converge. del hecho de que Sn = a3 + a4 + … + an + 2 = ln(n + 1) − ln(3) concluimos que la serie es divergente. la suma total de áreas es 2πa2. ∑ n = 3∑ n . Df = (−3. es propiamente una serie “p” con p = se puede dar el valor exacto de la suma. en este caso. la suma de la serie es 1 2 1 + 2r 1− r 2 18. de aquí (dado que la serie es geométrica con r = > 1 ) deducimos n−2 3 3 que lím L n =∞ 3 el área encerrada por la curva C1. b = ln 16. a) x (1 − x )2 x2 + x (1 − x )3 1 3 1 2( x + 1)( x + 2 ) 2x − x 2 (1 − x )2 1 c) ln 1− x d) 1 1+ x ln 2 1− x e) b) 14. a) L n = 3 + 1 + n→∞ 4 42 + + 3 32 + 4 n−2 4 .442 Unidad 5: Sucesiones y series 9. 12. La serie diverge. Todas convergen. Entonces: 4 1 1 4 An = A + A + A + 3 3 9 1 4 + 3 9 n−2 b) Sea A = A. Además: a) S = a5 + 3 a4 + 5 a3 + 7 a2 + 5 a + 4 a+2 . y lím m An = n→∞ 2 3 5 . b) r = 1 6 ( ) 8 9 r < 1. b) S = 2 1− a 1 − a4 1 + a + a2 ( )( ) 11. 10. La serie es convergente con suma S = 13. a) r = 15. Ambas series son convergentes. 17. y John.. I. b) S = 2e − 3.optyma. La serie converge a la suma −1 k +1 6. a) S = 1. Apóstol. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. vol.) Referencias 1. Courant. A. México.sefap. 1999. J. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Limusa. El omnipresente número π. México.). 2002. Barcelona. Ejercicios de análisis.. C. (b...gob. 4. Reverté. 1978.). 3. R.. ii. H. 2a. y Robbins. Fondo de Cultura Económica. México.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/130/html/sec_12.php?codigo=879460 http://omega. Y. viii.thebody. Moscú. R.2: Primeras series 443 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. México.mx/wb2/sectur/sect_9189_congresos_y_convenci http://www. La serie converge a 2. ¿Qué son las matemáticas?. 9. México. 7.com/ficha. CECSA. vi. 1975. Takeuchi. R. 1980.sectur.. (c. Trillas. 3. b) el límite no existe. d) S = x(x + 1)ex 7.5. México. Limusa. Cálculo de una y varias variables. 6. Referencias de Internet 1.). URSS. Kasner.. 1980. 4. 8.. Clawson. 2. a) el límite existe y es cero. (a. c) S = e + 1. Seeley. Rivaud. Sucesiones y series.. 1982.html . Newman. a) 2π 2 a b + 1− a 1− b c) 35 π 4 − 4 π 630 6 b) 5 π 2+ π 4 30 3. 1972. http://www. 4. (d. iii. ed. S = 3 5. 2. T. 2005. Reverté. F..html http://www. Zhúkov. Matemáticas e imaginación. Diana. k = 2 8. Courant. Misterios matemáticos: magia y belleza de los números. J. Madrid.ilce. 5.edu.. E.com/pinf/espanol/farmacologia. Hugo Steinhaus El sistema pensionario mexicano En la actualidad para el sistema pensionario mexicano representa un verdadero desafío hacer frente a las pensiones de quienes en 2030 serán mayores de 60 años. En gran medida. FIGURA 5.444 Unidad 5: Sucesiones y series 5. Este resultado permite a los actuarios resolver la determinación de una serie de ingresos y de egresos de duración aleatoria. Para algunos especialistas. El problema que se vislumbra tiene diversas raíces. .3 Criterios de convergencia A quienes creen que la computadora es capaz de reemplazar al matemático. permita ver la magnitud del problema. que no tomaron en cuenta el incremento paulatino de la esperanza de vida en México. podríamos compararlos con los que consideran que un fusil de tiro rápido puede sustituir al jefe del Estado mayor. la solución es multifactorial y requiere efectuar importantes reformas estructurales —como la laboral y la fiscal—. En el aspecto administrativo son invaluables los cálculos que pueden orientar una propuesta bien pensada que.32: Pensión por cesantía de edad para personas mayores de 60 años. la solución al problema de pensiones consiste en estructurar mecanismos que proporcionen la igualdad de montos para ambas series de valores presentes esperados. al mismo tiempo. además de la homologación de todos los programas pensionarios para mejorar el sistema nacional en la materia. Con base en la teoría de esta sección podrás determinar por qué una cantidad conocida como valor presente esperado resulta una serie convergente. entre las que se encuentran las de índole administrativa y de planeación. Sección 5.3. Por tal razón. en esta primera etapa de trabajo consideraremos series del tipo ∑ an n =1 ∞ para las cuales an > 0. explicaremos la forma en que dividiremos nuestro trabajo en esta sección. • Reconocer una serie alternante y aplicar el criterio de convergencia correspondiente. determinar la convergencia o divergencia de una serie particular tiene una enorme importancia pues. si Sn no está acotada). • Utilizar el método de Kummer para acelerar la convergencia de cierto tipo de series convergentes. De esta manera. sólo será posible dar el valor de la suma S de una serie convergente. . las series de términos positivos. sin embargo. tanto positivos como negativos. Por tal razón. lo cual indicará que la serie diverge (a infinito).5. lo presentamos como nuestro primer teorema. determinar si una serie es convergente nos brindará una información muy importante. si logramos mostrar que Sn tiene una cota superior M (es decir. muchos métodos de la matemática aplicada a las ciencias sociales y a la ingeniería se apoyan en aquéllas. deberás ser capaz de: j• Determinar la convergencia o divergencia de series de términos positivos. es no decreciente.1 será que lím Sn existe y con ello podremos decir que la n→∞ serie es convergente.1 inciso 5 de la sección 6. en términos generales. además. siempre y cuando sea geométrica o telescópica. entonces Sn → ∞.… Principalmente. • Analizar la convergencia de una serie de términos. para todo n = 1. segundo. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. y tercero. Primero. en caso contrario (es decir. porque al considerar la sucesión de las n-ésimas sumas parciales Sn. sobre todo si podemos estimar el error cometido en tal aproximación o si podemos asegurar un método de convergencia rápido. en la mayoría de los casos. el estudio de este tipo de series es sencillo. debido a que tienen propiedades importantes que vale la pena discutir por separado.3: Criterios de convergencia 445 Introducción Como indican los ejemplos y situaciones relacionados con las series que hasta aquí hemos planteado. las series numéricas de términos positivos y negativos.1 Series de términos positivos Como señalamos en la introducción. si logramos mostrar que Sn ≤ M para una cierta constante M). Dada la importancia de este resultado. nuestra conclusión basada en el teorema 6. • Distinguir y aplicar los conceptos de convergencia condicional y absoluta. ésta está acotada inferiormente por 0 y. 2. una breve discusión sobre aceleración de la convergencia de cierto tipo de series utilizando el método de Kummer. Por último. nos tendremos que conformar con una determinada suma parcial Sn para estimar el valor de la suma total S. 9: Sobre convergencia de series de términos positivos Una serie de términos positivos es convergente. por lo jj tanto. la sucesión de n-ésimas sumas parciales tiene una cota superior M. 3. al sumar los primeros n términos aj. que 1 ≤ 1 . Sn = ∑ n +1 1 − 1 j j j j=2 ∑ n +1 1 − 1 j j j j=2 ≤∑ 1 n +1 1 . aquélla se obtiene habitualmente tomando parte del término general de la serie en estudio. Es muy frecuente determinar la conver∞ gencia o divergencia de una serie a partir de una serie de prueba ∑ bj j =1 con la cual se compara la serie dada. a = < j ≤ j = bj . Si en el teorema 5. Entonces. que se compara con el término general de una serie cuya convergencia o divergencia sea conocida. En nuestro caso. Ahora bien. 3. Para continuar con la discusión considera la serie aj = 1− 1 j ∑ j =1 ∞ 1− 1 j j j que tiene el término general . pues a1 = 0) tenemos 1− 1 1 1 j < 1 .… (observa que j j es parte del término general de la serie en estudio y que la comparación inicia con j = 2 . Observa. ≤∑ n +1 deducimos . la suma se mantendrá por debajo de la suma de los primeros n términos bj.446 Unidad 5: Sucesiones y series Teorema 5.9 anterior. 3. ∞ 1 1 1 ≤ = . que aj > 0 para j = 2. M = ∑ j j 2 j=2 2 j=2 2 que la serie dada es convergente. j j=2 2 2.33: Comparación de términos de las series dada y de prueba. como 1 − 1 concluimos que j j j j j 2 j j j 2 j = 2. la serie dada es de términos no negativos. en primer lugar.… Esto significa que. si y sólo si. es decir.… y que a1 = 0. dado que j j ≥ 2 j para j = 2. FIGURA 5. también converge la serie ∞ ∑ aj j =1 ∞ b) Si la serie ∑ aj j =1 diverge. Criterio de la integral.33. observarás que los criterios del teorema 5. Antes de dar el teorema 5. Por tal razón. Criterio de comparación por desigualdades.3: Criterios de convergencia 447 Nota: Lo que hemos planteado arriba de forma analítica tiene una interpretación geométrica sencilla. entonces. y otra de color azul que limita alturas de magnitud jj 2 n-ésimas sumas parciales corresponden. 2.…. no será necesario considerar las n-ésimas sumas parciales. de color negro que limita 1− 1 1 j . a la suma de las áreas de los rectángulos que se muestran en la misma figura 5.7: Sucesiones asintóticamente equivalentes Diremos que las sucesiones {aj} y {bj}.10 que cubre los resultados más importantes sobre convergencia de series de términos positivos. ∑ f ( j) j =1 ∞ converge si y sólo si la integral impropia ∫1 ∞ f (x) d x converge. Este caso pone de manifiesto una situación de validez general: es suficiente considerar los términos generales de las series dada y de prueba a fin de obtener la conclusión sobre la convergencia o divergencia de una serie. ahí se aprecia que la suma de áreas de los rectángulos más pequeños queda acotada por la suma de áreas de los rectángulos más grandes. Definición 5.7. entonces. Sea f una función positiva y decreciente para x ≥ 1. también lo hace la serie ∑ bj j =1 ii. la suma S de la serie cumple la relación f (1) + + f (n ) ≤ S ≤ f (1) + + f (n ) + ∫ ∞ n f (x) d x .33 se colocaron dos gráficas: una. Aunque todas las pruebas de convergencia para series de términos positivos consisten en determinar un límite superior M para las sumas parciales. En caso de convergencia. Supón que 0 ≤ aj ≤ bj a) Si la serie ∑ bj j =1 ∞ ∞ converge. Teorema 5.5.10: Principales criterios sobre convergencia de series i. estableceremos la definición 5. donde aj > 0 y bj > 0 para cada j = 1. En la figura 5. son asintóticamente equivalentes y escribiremos aj bj si lím aj bj j →∞ = c > 0. entonces. Las alturas de magnitud j .10 se establecen sobre el término general de una serie. Entonces. Criterio de la raíz n-ésima. Su- a) L < 1 implica que la serie converge. entonces. ∑ b j = S. c) El criterio no es útil si L = 1. 2. c) El criterio no es útil si L = 1. j →∞ a j a) L < 1 implica que la serie converge. ∑ aj j =1 ∞ ∞ también converge.448 Unidad 5: Sucesiones y series iii. c) Si lím j →∞ = + ∞ y si ∑ bj diverge. ∞ ∞ ∑ aj j =1 y ∑ bj j =1 dos series de a) Si aj bj. b) L > 1 o L = + ∞ implica que la serie diverge. Criterio de la razón. Sea ∑ aj j =1 ∞ una serie de términos estrictamente positivos. ∞ ∑ aj j =1 también diverge. ∑ a j ≤ ∑ b j ≤ S. Demostración (parcial): i. entonces. entonces. v. j →∞ ∑ aj j =1 una serie de términos positivos. j =1 j =1 j =1 ∞ n n n De manera que la sucesión ∑ a j es creciente y está acotada por S. Así. Sea pón que lím j a j = L.… Supón que lím = L. b) Si lím aj bj aj bj = 0 y si j →∞ ∑ bj j =1 ∞ j =1 ∞ converge. a) Piensa que la serie ∑ bj j =1 ∞ converge. entonces. Sean términos positivos. las dos series son convergentes o las dos series son divergentes. a j +1 es decir. j =1 ∞ . concluimos j =1 que la serie ∑ a j converge. iv. b) L > 1 o L = + ∞ implica que la serie diverge. entonces. aj > 0 para j = 1. entonces. Criterio de comparación por límite. entonces.5. hallaremos un n0 tal que para j ≥ n0 a j +1 < r. lo cual es una contradicción a la hipótesis. Si ε = r − L > 0. Por lo tanto. No daremos la demostración de este inciso porque ésta quedó delineada en el teorema 5. Por lo tanto: se cumpla aj a n 0 +1 < ra n 0 a n 0+ 2 < ra n 0+1 < r 2 a n 0 a n 0+ 3 < ra n 0+ 2 < r 2 a n 0+1 < r 3 a n 0 … a n 0+ k < r k a n 0 Entonces. por i. la serie ∑ a j j =1 j =1 ∞ ∞ también lo sería.34: Interpretación gráfica de la desigualdad a j +1 aj < r. para n ≥ n0: Sn = ∑ a j = j =1 n 0 −1 j =1 n n 0 −1 j =1 ∑ a j + ( an n 0 −1 j =1 0 + an0 +1 + ∞ + an ) ∑ aj + 1 − r j =1 < ∑ a j + an (1 + r + 0 + r n−n 0 < ) ∑a j + an 0 ∑ r j = j =0 =M n 0 −1 an 0 . por la definición de límite. ∑ bj j =1 ∞ ii. a j +1 Supón que lím = L < 1.8 de la sección anterior. iii. Como L < 1 podemos tomar un número r tal que j →∞ a j L < r < 1. la serie es divergente.3: Criterios de convergencia 449 b) Si la serie ∑ b j fuera convergente. a) ε ε 0 L–ε L L+ε 1 aj +1 aj se encuentra aquí para j ≥ n0 FIGURA 5. existe n0 tal que j ≥ n0 implica que j →∞ b j c−ε < aj bj < c + ε . Como se hizo en a).450 Unidad 5: Sucesiones y series Así. de esto deducimos que an 0 + k ≥ r k an 0 → ∞. existe un número j →∞ a j r > 1 y un n0 tal que j ≥ n0 implica aj + 1 ≥ raj.3. a j +1 b) De manera análoga al inciso anterior. v. Si ∑ aj j =1 ∞ converge. también lo hace ∑ 3c 3c b j .2 Series de términos positivos y negativos Los resultados deducidos para series de términos positivos nos serán útiles para obtener resultados de series más generales. Asimismo. De acuerdo con el teorema 5. j =1 j =1 ∞ ∞ Veamos el teo- . entonces. se demuestra que en caso de que un de las series diverja. de c b j < a j y del 2 b ∑ 2 j j =1 ∞ mismo criterio de comparación por desigualdades concluimos que converge. pues r > 1. por el teorema 5. c aj 3c < < . si lím = L > 1. Sección 5.4 de la sección anterior la 2 2 multiplicación por una constante diferente de cero no altera ni la convergencia ni la divergencia de una serie. Esto significa que para ε = c 2 . iv. Supongamos que aj bj.11. si ∑ bj j =1 ∞ converge. resulta del criterio de comparación por desib j . Como ejercicio. consideramos ∑ a j . La piedra angular del apartado anterior fue el signo positivo del término general de la serie. aj lím = c > 0. encontramos una cota superior de la sucesión {Sn}. De esta manera. usted deberás demostrar esta parte. Probaremos únicamente el inciso a). las dos lo hacen. por lo tanto. lím Sn existe y en n→∞ consecuencia la serie converge. deducimos que 2 bj 2 3c c b j < aj < b j . Dado que a j < 2 2 j =1 ∞ j =1 ∞ gualdades que ∑ a j converge.6 de k →∞ la sección anterior. Luego. concluimos que la serie diverge. por esta razón parece natural preguntarnos qué ocurre cuando en una serie cualquiera rema 5. es decir. ∑ a j . Puesto que bj > 0. luego c ∑ bj j =1 ∞ converge. entonces. j =1 Definición 5. ∑ (a +j + a −j ) = ∑ a j j =1 j =1 también converge.9: Convergencia condicional Si ∑ a j converge y ∑ a j j =1 j =1 ∞ ∞ diverge. de hecho.9. Demostración: si a j ≥ 0 a j si a j ≥ 0 0 + .8: Convergencia absoluta Si ∑ aj j =1 ∞ converge. además. la serie se dice condicionalmen- te convergente.11 indica que una serie absolutamente convergente es también convergente (sin el valor absoluto).11: Convergencia absoluta Si ∑ aj j =1 ∞ converge. entonces. 0 ≤ a j ≤ a j y. ∑a j j =1 ∞ converge.11 no dice que para la convergencia de se requiera la convergencia de ∞ ∑a j j =1 ∞ ∑ a j . a− . El resultado expresado en el teorema 5.4 de la sección anterior.5. pero que ∑ a j converja.3: Criterios de convergencia 451 Teorema 5. Definición 5. entonces. puede ocurrir que ∑ a j j =1 j =1 ∞ ∞ diverja.8. por el criterio de comparación. Se ve que Considera las siguientes sucesiones a j = j = 0 si a j < 0 − a j si a j < 0 + − − 0 ≤ a+ j ≤ a j . el teorema 5. ∞ ∑ a +j j =1 y ∞ ∑ a −j j =1 convergen. que a j = a j + a j ∞ ∞ Por lo tanto. . Así. Para tener en claro esto contamos con la definición 5. por el teorema 5. Además. El contenido del teorema anterior es tan importante que vale la pena establecer la definición 5. se dice que la serie ∑a j j =1 ∞ converge absolutamente. Por supuesto. Dos leyes básicas de la aritmética elemental se refieren a la asociatividad y a la conmutatividad de sumas finitas. puede obtenerse como suma de la nueva serie cualquier número real prefijado e. el resultado será otra idéntica. cuya suma será igual a la de la primera.35 ayudará a aclarar las definiciones 5.8 y 5. sabemos que a + (b + c) = (a + b) + c y que a + b = b + a para cualesquiera que sean los números a. . b y c. reordenando adecuadamente sus términos.9. a) En una serie cualquiera.452 Unidad 5: Sucesiones y series El esquema de la figura 5. pero ¿qué pasa con una serie? Considera. si hacemos los siguientes arreglos y asociamos como se indica. una serie divergente. se explica al notar la divergencia de la serie. desconcertante en parte. Condicional Absoluta Convergencia Divergencia FIGURA 5. incluso.9. converge a 1. ni la asociación.8 y 5. Aunque la demostración de las siguientes observaciones está fuera del alcance del presente texto. ni el arreglo de sus términos puede hacerse de manera arbitraria. por ejemplo la serie n=0 ∑ ( −1)n . pues no existe lím ( −1) . converge a 0 ∑ ( −1)n = (1 − 1) + (1 − 1) + ∞ El ejemplo. leyes similares son válidas para un número finito de sumandos. n n→∞ ∞ Es claro que ésta no converge. y = 0. observamos que: ∞ n=0 ∑ ( −1)n = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + n=0 = 1. Para resaltar la diferencia entre ambos tipos de convergencia —la absoluta y la condicional— nos detendremos un poco en el contenido de las definiciones 5. Sin embargo.35: Esquema general de las series. vale la pena tenerlas en cuenta con la finalidad de entender la importancia de la convergencia absoluta. Sólo si se reordenan o agrupan los términos de una serie absolutamente convergente. b) Teorema de Riemann: Si una serie es condicionalmente convergente. Concretamente. con la inclusión de valores absolutos.3: Criterios de convergencia 453 Retomamos el contenido del teorema 5. La forma simple de este tipo de series se conoce como serie alternante. Sea ∑ aj j =1 ∞ una serie de términos diferentes de cero.11: dada la serie arbitraria alguno de los criterios del teorema 5. donde los términos son. ∑a j j =1 ∞ ∑b j j =1 ∞ con- converge absolutamente. de esta forma. entonces. b) L > 1 o L = + ∞ implica que la serie diverge. . entonces. 2. la convergencia de una serie que no sea absolutamente convergente está condicionada a un cierto arreglo de sus términos. Criterio de la razón. de manera que se realicen las cancelaciones apropiadas.10. c) El criterio no es útil si L = 1. aj ≠ 0 para j = 1. Con la intención de ser claros. a j +1 aj = L. Sea lím j j→∞ ∞ ∑ aj j =1 una serie dada. Criterio de comparación por desigualdades.12: Criterios de convergencia para series arbitrarias i. entonces. Bastará aplicar j =1 ∞ ∑ aj j =1 ∞ para decidir si la serie dada ∑an n =1 ∞ es absolutamente convergente. es decir. iii. Como señalamos. escribimos el teorema 5. Criterio de la raíz n-ésima.… Supón que lím j→∞ a) L < 1 implica que la serie converge absolutamente. Teorema 5. b) L > 1 o L = + ∞ implica que la serie diverge.5. c) El criterio no es útil si L = 1. Dado que la convergencia absoluta implica con- vergencia. positivos y negativos. se obtiene una metodología indirecta muy eficaz para probarla en una serie arbitraria. a) L < 1 implica que la serie converge absolutamente.10 a la serie ∑ a j . Piense que a j = L. ii. Si a j ≤ b j y verge.12 (sin demostración) que proporciona la versión de algunos incisos del teorema 5. … + a1 – a2 + a3 – a4 + a5 S … 0 S2 S4 S5 S3 S1 FIGURA 5. en caso de convergencia la suma de la serie S estará contenida entre cualesquiera de dos sumas parciales sucesivas Sn y Sn + 1. es decir.….10: Series alternantes Una serie ∑ aj j =1 ∞ se dice alternante si aj ⋅ aj + 1 < 0 para j = 1.36: La sucesión {Sn} oscila acercándose a un límite S.36 ilustra cómo se va generando la convergencia de una serie de este tipo bajo las condiciones expresadas en los puntos i.… ∑ aj j =1 ∞ converge si j→ ∞ Además. piensa que a1 > 0. Teorema 5. 2. lím a j = 0 y a j +1 < a j . si para cada término el siguiente es de signo contrario.13: Criterio de convergencia para series alternantes Una serie alternante i. para j = 1. a2 < 0. ii. 2. Esto implica que S − S n < S n+1 − S n = a n+1 . Cerramos esta discusión con el teorema 5. Para fijar ideas.454 Unidad 5: Sucesiones y series Definición 5. y ii. Demostración (bosquejo): La figura 5. a3 > 0. .13 sobre series alternantes. uno que permitirá convertir una serie convergente en otra que converja al mismo valor que la primera. n→∞ para cada n = 1. está entre cualesquiera dos sumas parciales consecutivas. por ello. S se encuentra por arriba de cada suma parcial par y por debajo de cada suma parcial impar y. El último aspecto que trataremos en esta sección tiene que ver con un método que acelera la convergencia de una serie. {S2n + 1} es una sucesión decreciente.…: S 2 n ≤ lím S 2 n = S. observamos que {S2} es una sucesión creciente. a la vez. n→∞ Ahora. para demostrar que S se encuentra entre cualesquiera dos sumas parciales sucesivas. n→∞ Así. Nota: De acuerdo con lo que discutimos anteriormente. Empezaremos con la definición 5. Definición 5. pero más rápidamente.11. Sin embargo.3. Sección 5. de manera que para cada n = 1. 2. Concluimos que podremos obtener aproximaciones de S a través de la sucesión {Sn} con una rapidez similar a la de convergencia de la sucesión {an}. 2.5.3: Criterios de convergencia 455 La figura ilustra cómo las sumas parciales pares {S2n} forman una sucesión creciente acotada por a1 = S1. Además. las sumas parciales pares convergen a un límite S.11: Aceleración de la convergencia Sean ∑ a j y ∑ bj j =1 j =1 ∞ ∞ ∞ dos series convergentes a la misma suma S con sumas par- ciales {Sn} y {Tn}. respectivamente. Por consiguiente. se observa (para el caso planteado) que S 2 n+1− S 2 n = a 2 n +1 Dado que a 2 n +1 → 0. De forma similar. hay series que aunque convergen lo hacen tan lentamente que esta utilidad prácticamente se desvanece. lím S 2 n = S. como n→∞ S2n + 1 = S2n + a2n + 1 y como an → 0 Deducimos también que lím S 2 n +1 = S. Diremos que mente que ∑ bj j =1 ∞ converge más rápida- ∑ a j si: j =1 lím S−b j S−aj j →∞ =0 .3 Aceleración de la convergencia La utilidad principal de la convergencia de una serie tiene que ver con la idea de aproximación. es decir. y que S está contenida entre cualesquiera dos sumas n→ ∞ parciales sucesivas Sn y Sn + 1.…: S 2 n+1 ≥ lím S 2 n+1 = S. pero más rápida. En este proceso queda comprendida una transformación. también con- ∑ bj j =1 ∞ converge más rápidamente a la suma A que la serie ∑ aj j =1 ∞ Demostración (bosquejo): i. Con b1 = a1 + β (C − c1) y bj = aj − β cj. no obstante. transformaremos una serie convergente dada en otra también convergente a la misma suma. de la cual diremos que acelera la convergencia. i.14: Método de aceleración de Kummer Sea ∑ aj = A j =1 ∞ una serie convergente dada (con suma A) y ∑ cj j =1 ∞ una serie de la cual se conoce la siguiente información: a) Converge a la suma C. en este libro nos limitaremos al método de Kummer. j ≥ 2 (estas igualdades constituyen la transformación de Kummer). es decir b) lím aj cj =β≠0 ∑ cj = C j =1 ∞ j →∞ Entonces. iii. se cumple que la serie verge a la suma A. β C + ∑ a j − β c j = β C + ∑ a j −β ∑ c j = β C + A − β C = A j =1 j =1 j =1 ∞ ∞ ( ) ∞ ∞ ii. A = β C + ∑ a j − β c j j =1 ∞ ( ) ∑ bj j =1 ∞ ii. que existen diversos tipos. Teorema 5.456 Unidad 5: Sucesiones y series Para lograr la aceleración de la convergencia. ∑ b j = b 1 + ∑ b j = a 1 + β C − β c 1 + ∑ (a j − β c j ) j =1 j =2 j =2 ∞ ∞ ∞ = a1 + βC − β c1 + ∑ a j − β∑ c j j =2 ∞ j =2 ∞ = a1 + βC − β c1 + ∑ a j − a1 − β∑ c j + β c1 j =1 j =1 ∞ = a1 + βC − β c1 + A − a1 − β C + β c1 = A . prueba con el criterio de la raíz n-ésima. la serie diverge. c) ∑ n +1 n n =1 n ∞ .11.3: Criterios de convergencia 457 iii. En efecto. Si hay cocientes o factoriales puedes utilizar el criterio de la razón. intenta una comparación del término general. Ahora. Si éste lleva a una integración sencilla. Asimismo. observa la forma que tiene el término general an. En términos generales. Si no funciona ninguna de las ideas anteriores. serie “p” o alternante. j =1 ∞ lím j →∞ n→∞ cj 1 = lím 1 − β = 1 − β = 0 j →∞ β aj El ejemplo 5. La dificultad principal está en decidir el criterio que permita dar una respuesta. averigua si la serie es absolutamente convergente. prueba con el criterio de la integral (si las condiciones lo permiten). Si los términos exhiben potencias de orden “n”. mostramos una estrategia general que puede ayudarte en el análisis de la convergencia o divergencia de una serie. si mostramos que lím j→∞ a j j =1 intuye que la cola de la serie ∑ bj j =1 ∞ tendrá una menor contribución a la suma A que la cola correspondiente de la serie bj aj = lím a j −β c j aj ∑ a j . c) Si tiene términos positivos y no es de ninguno de los tipos indicados en b). b) n =15 ∞ ∑ ln n= 3 ∞ 1 n . b) A partir del término general de la serie.11 Determina la convergencia o divergencia de las siguientes series: a) 7 ∑ 4 n + 3.16 contiene un caso de esta transformación. Estrategia para analizar la convergencia o divergencia de la serie ∑an n =1 ∞ a) Investiga si an → 0. si esto no ocurre. ya sea por desigualdad o por comparación vía límites. De manera equivalente a la definición 5. A continuación. frecuentemente se utiliza más de un criterio. se pida de la serie ∑ b j a la suma A. Ejemplos Ejemplo 5. d) Si no todos los términos son positivos. determinar si una serie converge o diverge puede convertirse en un asunto poco trivial. geométrica. diga si ésta es de alguno de los tipos más sencillos: telescópica.5. deducimos una convergencia más rá∞ bj = 0. n+2 n +1 an+1 ( n + 1) = n +1 an nn = = (n + 1) ( n + 1) n (n + 2 ) n n n +1 1+ 2n 1 1 n+2 n 1 = n + 1 n + 1 n + 1 1 + 1 n n +1 1 + 1n n . por lo tanto. n = 1. y como 4n + 3 4n que la serie ∞ 7 1 1 : serie geométrica con r = < 1 deducimos: primero.… Dado que la función “ln” es es1 trictamente creciente. Tal vez te haya parecido que determinar que n n nn n n =1 ∞ no sea tan sencillo.…. ∑ 4n = 7 ∑ 4 4 n =15 n =15 ∞ n a) n =15 ∑ 4n ∞ 7 converge. esto no asegura que las series sean convergentes. si n ≥ 4 converge. en vez de este método. En este caso. resulta que la serie ∑ n +1 n +1 1 ≤ 2 . nuevamente. la serie por desigualdades. Dado que la serie nn n ∑ ln n= 3 ∞ 1 n también diverge por el criterio de comparación n= 4 ∑ n2 ∞ 1 es de tipo “p” con p = 2. 2. si n ≥ 4. ln n = 1 2 ln(n ) < 2 n < n. se tiene que n < en. en particular. 2. por ello. c) Para esta serie podemos partir de la observación de que n +1 1 ≤ 2 . se deduce que ln(n) < n. segundo. por el criterio de comparación por desigualdades. Puesto que la serie n n ∑n n= 3 ∞ 1 diverge (recuerda que la supresión de un número finito de términos no afecta ni la convergencia ni la divergencia de una serie.458 Unidad 5: Sucesiones y series solución Observa que en cada caso el término general de la serie tiende a cero. tomamos las siguientes estrategias para cada inciso: 7 7 ∼ . b) Una idea que suele ser muy útil es tener presente que la función exponencial crece más rápido que cualquier polinomio. sin embargo. n = 1. que por el criterio de comparación por límites la serie n =15 ∑ 4n + 3 ∞ 7 converge. y ésta es prácticamente la serie armónica). es posible que parezca más natural considerar el criterio del cociente (muy útil cuando el término general de una serie presenta cocientes con potencias o factoriales). Aunque para cada serie hay generalmente más de un criterio para utilizarse. ( ) De aquí resulta que ln ( ) 1 1 > . Como los términos de la serie son tanto positivos como negativos. y el tercer factor tiende a cero. por ello. así como el valor de la suma con tres cifras decimales exactas. por el criterio de la razón. an = 1 1 . 1 −1 4 (−1)n . así que por el criterio de series alternantes concluimos que la serie n (1 + 2 ln(n )) n→∞ . ∑ n (1 + 2 ln(n)) n =1 ∞ (−1)n no converge absolutamente. luego. cabe la posibilidad de que la convergencia de la serie sea condicional. Sin embargo.3: Criterios de convergencia 459 Al tomar el límite cuando n → ∞ notamos que el primer factor de la última igualdad tiende a 1. Por otro y an+1 = n (1 + 2 ln(n )) (n + 1) (1 + 2 ln(n + 1)) 1 → 0. b) 9 + 81 − 27 + a) ∑ n =1 n (1 + 2 ln(n )) ∞ + ( − n )n ( ) 3n 2 + solución a) Aunque es oscilante. tomamos el criterio de series alternantes. lo aplicamos: que la función f ( x ) = ∫1 R 1 1 dx = ln (1 + 2 ln( x )) = ln (1 + 2 ln( ( R )) − ln (1 + 2 ln(1)) 2 x (1 + 2 ln( x )) 2 1 = 1 ∞. según el esquema de la figura 5. con cierta pericia en integración. Por lo tanto. deducimos que an+1 < an . ∞). n =1 n Ejemplo 5. Ahora observamos que la serie original es alternante.12 Determina si las siguientes series convergen o divergen. ln (1 + 2 ln( R)) R→ →∞ 2 R de acuerdo con el criterio de la integral.5. así. puede notarse la serie ∑ n =1 n (1 + 2 ln(n )) n =1 n (1 + 2 ln(n )) 1 es fácil de integrar.35. Esta apreciación nos lleva a considerar el x (1 + 2 ln( x )) criterio de la integral. intentamos ahora considerar la convergencia absoluta de la serie. Si el primer caso es posible. Como an = lado. Ahora. an n→∞ ∞ n +1 la serie ∑ n converge. el segundo a factor tiende a 1 e . lo cual nos lleva a considerar ∞ ∞ (−1)n 1 =∑ . como la función f (x) es continua. el criterio de divergencia de n (1 + 2 ln(n )) n→∞ la sección anterior no es aplicable. observamos que an = (−1)n → 0. decreciente y positiva en [1. n+1 → 0. indica si ésta es condicional o absoluta. (−1)n = 1. para conseguir la acotación del error absoluto en menos de 10−4.00177769 0.13): 1 S − Sn < an+1 = < 10 − 4 ( n + 1) (1 + 2 ln ( n + 1)) De la tabla 5.00289425 0. inferimos que un buen acercamiento al estudio de la misma lo proporciona el criterio de la raíz n-ésima.00671727 0.15: Comportamiento numérico del término an+1 = 1 ∞ ( n + 1) (1 + 2 ln ( n + 1)) n 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 97 98 1 (n + 1)(1 + 2 ln(n + 1)) 0.15 deducimos que se deben tomar al menos 98 términos. concluimos que la serie diverge. (3 ) n 2 El término general de la serie contiene potencias cuyos exponentes son de orden “n” y. esta convergencia es condicional. Nota: En el cálculo anterior hemos usado que (− n )n = (−1)n n n = n n y.460 Unidad 5: Sucesiones y series (−1)n ∑ n (1 + 2 ln(n)) converge y. En cuanto al número n =1 de términos requeridos para la precisión de la suma de la serie.00126119 0. Del teorema 5. por ello.12: n→∞ lím n ( − n )n (3 ) 2 n = lím n ( n )n 32 n n→∞ = lím n→∞ n =∞ 32 De acuerdo con este cálculo y el criterio de la raíz n-ésima.00109652 0. por lo ya discutido.00221216 0. debemos asegurar que (véase el teorema 5. .00100336 0.0156854 0. Tabla 5.00409992 0.20953 0. en general.000991244 b) Al usar la notación sigma escribimos la serie en la forma ∑ n =1 ∞ ( − n )n .00147863 0. ∞). R→∞ lím ( ln( R)) 1− q = 0 de donde deducimos la convergencia de la integral y la consecuente convergencia de la serie. b) Por la forma que tiene el término general de la serie.5. n→∞ 5 ⋅ n 2 0. n j2 ∑ n an ∞ ∞ ∞ ( −1) ( 2n + 1) . q ≠1 2 1 1− q lím ( ln( R)) − ( ln(2 )) 1 − q 1 − q R→∞ 1− q Si 1 − q > 0. a) ∑ b ) c ) ∑ ∑ a q n 2 n n 4 + 5 + 3 n ln ( n ) ( ) n = 1 n n =1 = 2 5n + 1 ( ) solución a) Nota que el término general de la serie contiene potencias de orden “n”. luego la integral diverge y lo mismo ocurrirá con la serie. 1 j =1 . utilizamos el criterio señalado: lím ∫ ∫2 x ( ln( x ))q = R →∞ 2 = ∞ dx R (ln( x )) −q x 1 1− q m ( ln( x )) dx = lím R →∞ 1− q R . Lo 1 primero que notamos es que la función f ( x ) = q es continua. “q > 0” en las siguientes series. consideraremos nuevamente el criterio de la raíz n-ésima: (−1)n ( 2 n + 1) an L = lím n n→∞ ( 5n 2 +1 ) n = lím ( 2n + 1)a 5n2 + 1 n→∞ = lím + ∞ . El caso q = 1 debe tratarse por separado: ∫2 ∞ R R dx dx d x = lím ln(ln( x )) = lím ∫ 2 R→∞ x ln( x ) R→∞ x ln( x ) 2 = lím [ ln(ln( R)) − ln(ln(2 ))] = + ∞ R→∞ . Si 1 − q < 0. Por ello. con la finalidad de que sean convergentes. entonces.a < 2 donde.13 Determina los parámetros “a”. “despreciamos” el 1 tanto en el numerador como en el denominador.a = 2 . decreciente y positiva en el x ( ln( x )) intervalo [2. Del citado criterio concluimos que la serie converge (absolutamente) para a ≤ 2. debido al crecimiento de “n”. Por lo tanto. trabajaremos con el criterio de la integral.3: Criterios de convergencia 461 Ejemplo 5. a > 2 2a na 4 = 5. lím ( ln( R)) R→∞ = + ∞. la serie es convergente para a > 4 y divergente para 1 < a ≤ 4. De aquí concluimos que 12 n a 12 n a − 3 Si a = 1. tenemos que an ∼ Si a < 1. conclui6 ( 5n ) 15 n 15 Ejemplo 5. a > 1. y divergente para a − 3 ≤ 1.14 A partir de la segunda parte del criterio de la integral en el teorema 5. la serie converge sólo para a > 4.03706. Es decir. a > 1.0004. c) Lo primero que requerimos entender es la forma del término general de la serie: an = ∑ j2 j =1 n 4 na + 5n + 3 = 1 2 + 2 2 + + n 2 n(n + 1)(2 n + 1) = .037 con tres cifras decimales exactas. Como la serie ∑ n 2 es divergente. donde 0 < ε ≤ 0. converge. tenemos ∞ dx 1 1 1 1 1+ 5 + + 5 ≤ S ≤ 1+ 5 + + 5 + ∫ n 2 2 n n x5 Ahora. ∫n ∞ dx 1 = − lím 4 5 →∞ R x 4x S = 1+ R = n 1 1 = 0. la serie diverge.03666 ≤ S ≤ 1. concluimos que la serie es convergente para q > 1. aproxima ∑ 5 con tres cifras decimales exactas. 5 2 3 4 5 entonces. 4 na + 5n + 3 6 4 na + 5n + 3 ( ) n (n + 1)(2 n + 1) . 6 ( 4 n + 5 n ) 27 n 27 n =1 deducimos del criterio de comparación por límites que la serie dada diverge para a = 1. Por la forma algebraica que 6 tiene an.0004. Como en el caso anterior. n =1 n solución Esta serie es una serie “p” con p = 5. ∞ n (n )(2 n ) n3 1 2 = = n . an ∼ la serie será convergente para a − 3 > 1. En consecuencia. Con n = 5. por lo tanto: .462 Unidad 5: Sucesiones y series Así. n (n )(2 n ) n 3 1 2 = = n . vemos que 4 4n4 4n 1 1 1 1 + 5 + 5 + 5 + ε = 1. la integral diverge y lo mismo pasa con la serie.10 (sobre la acotación de la su∞ 1 ma S de una serie convergente). Puesto que la adición de ε no afecta ya la tercera cifra decimal. tenemos: donde utilizamos el resultado 1 2 + 2 2 + 3 2 + n (n )(2 n ) 6 4 na + n 2= Para a > 1. 1. luego. Con f (x) = x−5 en el criterio de la integral. deducimos que S = 1. .03666 + ε . En síntesis. tenemos ahora que an ∼ mos que para a < 1. deducimos que una buena idea es utilizar el criterio de comparación por límites. ( ) = n3 1 1 = : serie “p” con p = a − 3. que 1 + + + + representa la suma de las áreas de los rectángulos 2 3 M −1 La figura 5.37: Interpretación geométrica de la desigualdad (*). Así: sombreados y no sombreados. hallamos n −1 + + 1 M −1 (*) 1 1 + + 2 3 1 1 1 ≤ ln ( n ) ≤ 1 + + + n 2 3 1 1 1 ≥ + + n 2 3 0< + 1 1 1 1 y ≤ ln ( n ) − − − n −1 n 2 3 − 1 ≤1 n −1 Al multiplicar por −1.5.37 muestra que dx = ln ( M ) representa el área bajo la curva f ( x ) = x valor intermedio entre las dos áreas anteriores. y que ∫1 M 1 x.15 n 1 1 1 Indica si existe lím Sn . donde Sn = ∑ − ln ( n ) = 1 + + + n→∞ j 2 3 j =1 + 1 − ln ( n ) n solución 1 1 /2 1 /3 1 /M 1 2 3 M –1M FIGURA 5. − 1 1 − ln ( n ) ≥ −1. Si ahora sumamos 1 + : n n −1 + 1 1 + − ln ( n ) ≤ 1. un 1 1 + + 2 3 Tomando M = n y restando en (*) 1 1 + + 2 3 + + 1 1 1 ≤ ln ( M ) ≤ 1 + + + M 2 3 + 1 . 1 1 1 + + + representa geométricamente la suma de áreas de los rec2 3 M 1 1 1 tángulos sombreados. n −1 n Sn 1 1 1 ≤ 1+ + + 2 3 n .3: Criterios de convergencia 463 Ejemplo 5. n→∞ 2 3 n Al número γ se le llama constante de Euler. ≤∫ ≤∫ n n n +1 x n n +1 = ln n 1 1 n + 1 n + 1 1 ≤ 0. así que 2 ∼ 2 . Si consideramos Sn + 1 − Sn obtenemos: Sn+1 − Sn = 1 + = 1 1 + + 2 3 + 1 1 1 1 + − ln ( n + 1) − 1 + + + n n +1 2 3 + 1 − ln ( n ) n 1 1 n + 1 − ln ( n + 1) + ln ( n ) = − ln n n +1 n +1 Como 1 1 1 ≤ ≤ para n ≤ x ≤ n + 1. es decir. γ = lím 1 + + + + − ln(n ) existe. De aquí resulta que ≤ ln n n n n +1 n +1 Sn +1 − Sn + 1 − Sn ≤ 0 o Sn + 1 ≤ Sn. Por lo cual. Ejemplo 5. obtenemos que n +1 x n ∫n n +1 n +1 dx n +1 dx dx . Sn − ln ≤ . ∑bn n =1 ∞ que converja más rápidamente a la su- solución 1 n − ln (n ) n2 n2 1 1 = lím = lím 2 = lím 2 = 1. la sucesión {Sn} está acotada por 0 y 1. Como a) Observa que lím 1 n→∞ c n→∞ n→∞ n − ln (n ) n→∞ n n − ln(n ) n n n2 an 2 ∑ n2 n =1 ∞ n =1 ∞ 1 es una serie convergente. ∑ n2 − ln (n) . por el criterio de comparación por límites deducimos que la serie 1 converge. De acuerdo con el teorema 5. Luego. la sucesión {Sn} también es monótona decreciente. por lo tanto. para obtener una serie ma (desconocida) de la serie en a).1.464 Unidad 5: Sucesiones y series es decir.16 a) Verifica que la serie n =1 ∑ an = ∞ n =1 ∑ n2 − ln (n) ∞ n =1 ∞ 1 es convergente. 1 1 1 determinamos que la sucesión {Sn} es convergente. Usa este resultado y converge a la suma 2 6 n =1 n ∞ b) Leonardo Euler demostró que la serie ∑cn = ∑ aplica el método de Kummer. 1 π2 . 00229963 0. también mostrada en la figura. tras sus primeros n0 términos. La y c n = 2 . Tabla 5. manera su mayor rapidez de convergencia hacia la suma A. del inciso anterior β = lím n →∞ cn n − ln (n ) n 2 transformación de Kummer nos lleva a la serie b 1= a 1+ β ( C − c1 ) = ∑bn n =1 ∞ donde: π2 π2 1 1 1 1 ( ) .5. por lo tanto. En la primera notarás que los puntos en Así.16.000280159 ∑ aj j =1 n 5 10 15 20 25 30 35 FIGURA 5.5 0.16: Comparación numérica de la magnitud de colas de ambas series. sin embargo. la nueva serie negro correspondientes a valores de n-ésimas sumas parciales de la serie ∑ bn n =1 ∞ n =1 ∞ están por encima de los adelantando de esta puntos en azul correspondientes a las n-ésimas sumas parciales de la serie ∑an.000527944 0.000338067 0.00140411 0. a n = an 1 1 = 1.38 y la tabla 5. te pedimos que considere la figura 5.000416793 0. más rápidamente. ∑a n =1 n versus ∑b n =1 n a . para validar nuestra afirmación sobre la rapidez de convergencia.38: Comparación gráfica de la rapidez de con∞ ∞ vergencia de la serie la suma A.000953143 0. n =1 ∞ lo cual indica que en los primeros términos de la serie acelerada podremos hallar una mayor contribución a la suma A. que en el mismo número de los primeros términos tomados de la serie original. n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 2 ∑ bj j =1 n j =n+1 ∑ bj ÷ ∑ aj j =n+1 2n 2n A 1.3: Criterios de convergencia 465 b) En este caso. En la tabla se hace una comparación numérica que muestra cómo la aportación de las colas en la serie la larga resultan “despreciables” respecto de la aportación de las colas en la serie ∑ bn n =1 ∞ a ∑an.5 1 0.0045449 0. 6 n= 2 n − ln(n ) n Está fuera del alcance de este libro hacer el estudio analítico del error cometido al truncar ambas series.000672845 0.0138259 0. y b n = a n − β cn = 2 + − 1 = − 6 12 − ln(1) n − ln(n ) n 2 6 π2 ∞ 1 1 + ∑ 2 − 2 converge a la suma desconocida A. determina si las siguientes series convergen o divergen. Aplica el criterio mediante comparación por desigualdades o límites. a) ∑ n 2n n =1 ∞ ∞ 1 c) n =10 ∞ ∑ n 3 + 7n2 + 1 1+ e −n ∞ n2 e) ∑ n =1 ∞ 4 16 n 2 + 4 n + 3 6n + 5 b) ∑ 3n (n + 1) n =1 n+2 d) ∑ 1 + en n =1 2.α > 0 n n =1 ∞ c) n =10 ∞ ∑ n ln ( n ) ln ( ln ( n )) n2 3 ∞ 1 e) ∑ ( n + 1) n =1 ∞ 1 (n 2 +1 ) b) ∑ n2 + 1 1 d) ∑ en n =1 3. a) ∑ n =1 ∞ n =1 ∞ 2n − 1 n n + 13 nn 2 n c) ( −1)n ( 5 n 2 + 1) ∑ ( 2n + 1) 2 n n =1 ∞ n e) ∑ nn n =1 ∞ en b) ∑ 23 n d) ∑ lnn (3) n =1 ∞ n 10 . Usa el criterio de la razón. A través del criterio de la raíz n-ésima.466 Unidad 5: Sucesiones y series 1. di si las siguientes series convergen o divergen. a) ∑ ∞ n =1 lnα (n ) . y determina la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series. Aplica el método del ejemplo 5. Comprueba la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series.14 y encuentra la suma de las siguientes series hasta con tres cifras decimales exactas. a) ∑ n 5 ln ( n ) n= 2 ∞ 1 b) ∑ en n =1 ∞ n2 3 c) ∑ ( n + 1) n =1 ∞ 1 (n 2 +1 ) 4. a) ∑ n! n= 0 ∞ ∞ 3n c) 2 ∑ n =1 ∞ ∞ ( −1)n n 7 ⋅ 7 n + 3 23n e) ∑ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ( 2n − 1) n =1 ∞ ( −1)n n ! b) 2nn ∑ n! n= 0 d) ∑ n =1 ( −1)n n! 90 n 5. utilizando el criterio de la integral. Indica si cada una de las siguientes series converge o diverge. con an = 0. 2. Fundamenta tu respuesta indicando el nombre del criterio utilizado. en caso de convergencia.3: Criterios de convergencia 467 6. indica si es condicional o absoluta. 1.… o 9 n =1 1 ∑ n ln(n) n= 2 1 1 1 + + + 3 5 11 + 1 + 3 +2 n −1 ∞ d) ∑ 4 n 3 + 2n2 − 1 n =1 ∞ − n2 + 5n + 3 f) ∑ 4 n2 n =1 n ( n −1 ) 2 3 n + 200 n + 5n n + 2n − 1 n g) 2 3 4 n) 1 − − + + 3 5 7 ñ) 1 − o) 1 − 1 1 1 1 1 + − + − + 5 2 52 3 53 1 1 1 + 3− 2+ 2 2 3 4 1 2 2 3 4 + ( −1) h) i) ∑1+ 2 + 3+ n =1 ∞ ∞ 1 +n + 1 ( 2n − 1) 3 − 1 ( 2 n )2 n 2 + 1 j) ∑ ln( n) n= 4 k) 3 p) 4 q) 5 7 + + 7 10 3 2 + 2n + 1 + 3n + 1 + + ∑ n =1 ∞ ∞ 1 n 1+ 1 n 3 5 7 + + + 2 2 ⋅ 32 32 ⋅ 4 2 4 2 ⋅ 5 2 2n + 1 + (n + 1)2 ⋅ (n + 2 )2 1 l) ∑ 2n n ⋅ n =1 1 3 5 m) + 2 + 3 + 2 2 2 r) ∑ ∞ (−1)n−1 n ! n n =1 2 + 1 ∞ 2 n −1 s) 3n − 1 ∑ (−1)n+1 n n =1 t) ∑ n= 2 ∞ 1 n ln(n ) + ln 3 (n ) . Miscelánea sobre criterios de convergencia de series. ∞ a) ∑ en n =1 ∞ n c) 33 4 4 5 5 + + + 3! 4 ! 5! e) ∑ n −1 n= 2 ∞ ∞ (−1)n b) a ∑ 10nn . Analiza la convergencia o divergencia de las siguientes series. a) 1 − ∞ 1 + 3! + ( −1)n−1 + ( 2n − 1)! c) ∑ ln ( n ) n =1 ∞ ∞ ( −1)n e) ∑ n =1 ∞ ( −1)n arctan ( n ) n b) 3n−1 ∑ n2 +1 n =1 d) ∑ ( −1)n+1 3 n =1 1 n 7.5. 10. d) Revisa la forma de una serie exponencial en el ejercicio 6 de la autoevaluación de la sección 5. 1− x 1 1 . Ecuaciones de este tipo pueden resolverse usando un tipo de series especiales (que estudiaremos con más detalle en la próxima unidad) y las de potencias. “Hasta los grandes cometen equivocaciones”. Si el valor de p es cercano a 1. entonces. Decide cuáles de las siguientes series alternantes son convergentes. toma r = y relaciona el resultado con el inciso a). que son de la forma ∑ an x n n= 0 ∞ para x en el intervalo de convergencia. como si se tratara de un polinomio.468 Unidad 5: Sucesiones y series 8. ¿cuántos térmi−4 nos hay que sumar para obtener la suma (en caso de que exista) con ε < 10 . Una fábrica de pistones prueba sus productos y encuentra que la proporción de pistones buenos es “p”. 1− r x c) Suma los resultados hallados en a) y b). b) Sustituye los coeficientes hallados en a) y exprese f (x) como una serie. … en términos de a0. a) A partir de la serie geométrica obtén una serie que sea igual a b) En el resultado 1 + r + r 2 + = x . una ecuación diferencial es aquella donde aparece una derivada. Para cada inciso. c) Aplica el criterio de la razón a la serie encontrada en b) y determina su intervalo de convergencia.2 y expresa a la función f (x) prescindiendo del la notación ∑ . si x = 1? ¿En qué consiste el error de Euler? 11. Encuentra an y expréselo en términos de a0. En términos vagos. y determina el valor de la siguiente fórmula adjudicada al gran matemático Leonhard Euler: + 1 1 + + 1 + x + x2 + x2 x = d) ¿Qué ocurre en el resultado hallado en c). donde ε representa el error absoluto? a) ∑ n =1 ∞ ( −1)n+1 n b) ∑ n =1 ∞ ( −1)n+1 n! c) ∑ log (n ) n =1 ∞ ( −1)n+1 9. a) A partir de la ecuación f '(x) = x + f (x) + f (x) se pueden escribir los coeficientes a1. Piensa en la siguiente: f '( x ) = x + f ( x ). a2. . Supón que la ecuación diferencial dada admite una ∞ n solución de la forma f ( x ) = ∑ an x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + n= 0 y que de ella se puede derivar. Descubre el error cometido por Euler al manipular series sin el debido cuidado. en tanto que “1 − p” es la correspondiente a los defectuosos. verifica que el promedio de longitud de pistones buenos sea una función creciente de p. … se define por la fórmula de recurrencia an + 2 = an + an + 1. a) Usa el principio de inducción y compruebe que a n = general de la sucesión. ∑ p (n ) n= 0 ∞ es convergente. y efectúa la siguiente adición: 0 ⋅ (1 − p ) + 1 ⋅ p (1 − p ) + + n ⋅ p n (1 − p ) + = ∑ n p(n ) n= 0 ∞ Indica si la serie anterior converge. calcula la suma. multiplique la longitud de cada una por la proporción de veces que ésta ocurre.3: Criterios de convergencia 469 muchos de los pistones son buenos. 1. c) Con base en el inciso anterior. an 1 1+ 5 1 1− 5 − es el término 5 2 5 2 n n b) Calcula lím n→∞ c) ¿Converge o diverge la serie ∑a n =1 ∞ 1 n 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + 1 1 2 3 5 8 ? Argumenta.8 de la primera sección de esta unidad) 1. determina si la serie caso de que lo sea. con posibles valores n = 0. 5. ¿Por qué esto es razonable? 12. interrumpida ocasionalmente por una o dos partes malas. una fila general tendrá la siguiente apariencia: bb bb m : filas con longitud “n” de pistones buenos n veces De acuerdo con la probabilidad. 8. y que llega el momento de encontrarse con un pistón defectuoso (malo) “m”. en b) Para obtener la longitud promedio de las filas buenas. una fila como ésta tendrá una probabilidad dada por pn(1 − p). La sucesión de Fibonacci {an} (véase el ejemplo 5. por ejemplo: bbmbbbbmmmbbbbbbbbbbmbbb Supón que una fila de pistones buenos “b” ha terminado. donde a1 = a2 = 1. 2. a) Si p(n) indica la proporción de filas de longitud n. Bajo este esquema. a n+1 .5. .… Realiza lo que se pide a continuación. si así ocurre. calcula la suma. 1. 3. La prueba encuentra una larga lista o enumeración de partes buenas. 2. Utiliza el criterio de la razón para mostrar que la serie ∑ 2n n =1 ∞ n2 es convergente. social y moral que pueda brindarle. hace trece mil millones de años. c) En caso de convergencia. La lenta divergencia de la serie armónica. y que puede sumar un término más cada segundo desde entonces. 16. no existen expresiones explícitas y simples para g(p). acota el valor de la suma. El cálculo numérico de series de la forma ∑ q(n ) n =1 ∞ p(n ) donde p y q son polinomios en n. 1− x multiplica ambos miembros del resultado anterior por x y deriva nuevamente. Argumenta. De acuerdo con la declaratoria de la Fundación UNAM. 17. para la comparación cualquiera de las siguientes series: ∑ n p = g ( p) n =1 ∞ 1 y Sk = ∑ ∞ n =1 n ( n + 1) 1 ( n + k − 1) ( k − 1) ⋅ ( k − 1)! = 1 para k = 2. Sea Sn = 1 + f (x) = 1 x para demostrar que ln(n + 1) < Sn < 1 + ln(n) Supón que comenzó a sumar la serie con S1 = 1 en el momento de la creación. Utiliza la gráfica de la función n 15. pero para p impar. Si a n = ( −1) n +1 2 ∫ 0 6 ( nx ) dx n 1 a) Calcula an. b) Determina si la serie ∑an n =1 ∞ converge o diverge. multiplica una vez más por x y. desea . finalmente. 3. 1 Expresa como una serie geométrica y deriva ambos lados de la ecuación respecto de x. Vianey Terán. como el que se te pide aplicar a continuación. resuelve x = 1 2. ¿Qué obtiene? 1 1 + + 2 3 1 + .470 Unidad 5: Sucesiones y series 13. ¿Cuánto sería el valor de la suma parcial Sn actualmente? Recuerda que los años constan de 365 días. egresada de la Facultad de Ingeniería. ésta tiene por finalidad coadyuvar con la Universidad Nacional Autónoma de México. Ocasionalmente es posible obtener el valor de la suma empleando artificios. Usa el método de Kummer y calcula g(3) con un error relativo menor a 10−7. para cumplir proyectos específicos. Ahora.… Los valores de g(p) de la llamada función de Riemann g para p par se pueden obtener mediante una fórmula de recurrencia (que omitimos para no exceder el alcance del presente libro). tales que grado(q) − grado(p) ≥ 2 puede acelerarse usando el método de Kummer. 14. a través del apoyo económico. FIGURA 5. a) Halla la expresión de la serie infinita descrita y determina si es convergente o divergente. En este problema. a perpetuidad. ésta se llama el valor presente de la perpetuidad.04)n. Determina la solución x > 1 (real) de la ecuación x = ∑ n =1 damos a continuación. es decir. a) Demuestra que la cantidad que Vianey debe invertir hoy para cubrir el n-ésimo pago de 1.5. iniciamos con un triángulo equilátero con lados de longitud 2a. multiplica por x y. resultado debe tener la forma ∑ n n =1 x c) Encuentra la solución pedida. 1− x 1 x.500 pesos de hoy en n años equivaldrá a 1500(1. 1.500 pesos es 1500(1. con ello. Compara su resultado con el área del triángulo inicial. Determina qué es an y qué f (x). Su 19. reemplaza x por ∞ an = f ( x ). Supón que en las actuales condiciones económicas del país. Cada triángulo equilátero en blanco se obtiene uniendo los puntos medios de cada lado. Sigue los lineamientos que le brinxn x2 . 18.3: Criterios de convergencia 471 incorporarse a la fundación y se ha propuesto donar anualmente.500 pesos. el área total eliminada del triángulo original. ∞ n (n + 1) . escribe la serie correspondiente a b) Deriva la ecuación obtenida en a) dos veces. este dinero puede ganar 4% anual. b) Construye una serie infinita que exprese la cantidad que Vianey debe invertir hoy para cubrir todos los pagos a perpetuidad. b) En caso de convergencia. .04) − n. a) A partir de la serie geométrica 1 + x + x2 + x3 + …. c) Muestra que la serie en b) converge y determina la suma. encuentra la suma de la serie y. un pago de 1. después. como se muestra en la figura 5.39 La suma de áreas eliminadas del triángulo original forma una serie infinita.39: Alfombra de Waclaw Sierpinski. Entonces.472 Unidad 5: Sucesiones y series 20. a cambio de esta obligación futura? Al valor A se le llama valor presente de S pagadero dentro de t años. a) Para x < 1.…. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones. S2. El sistema pensionario mexicano. . 1. Hazlo con ambos miembros de la ecuación formada en el inciso anterior de 0 a 1. Con tus compañeros de equipo. SN donde S0 es pagadero inmediatamente. lo cual origina una serie. el valor esperado presente es: S0 ⋅ p0 + ( S0 + S0 ⋅ v ) p1 + S0 + S0 ⋅ v + S0 ⋅ v 2 p2 + ( ) .… es de probabilidad. determina la función f (x) que represente la serie 1 − x2 + x4 − x6 + … b) Supón que en el resultado anterior puede integrar término a término. Sk. donde v = (1 + i) −1 e i representa la tasa de interés (en decimales) aplicable al pago. 1. sea una serie de pagos S0. 2. uno de ellos tiene que ver con el concepto de serie. ¿Cuál sería el monto de la suma única A pagadera hoy por la cual estarías dispuesto a cambiar esta serie? c) En relación con las pensiones. trabaja con los siguientes conceptos fundamentales: a) Supón que alguien te ofrece pagarte una suma de dinero S dentro de t años. S1 dentro de un periodo. con pago Sk determinístico. el valor presente también será aleatorio e involucrará en su cálculo las probabilidades de que la persona que recibe el pago (pensión) siga viva para el siguiente periodo (calculado de manera anual). Escribe la suma anterior como serie y argumenta por qué es convergente. ¿Qué obtienes? c) A partir de b). Sugerencia: La función f (n) = pn. SN dentro de N periodos. Dado el carácter incierto del número de pagos por realizar. S2 dentro de dos. Investiga los dos aspectos que la caracterizan. …. Una serie para π. ¿Qué suma A debería estar dispuesto a recibir hoy. De la teoría de la probabilidad puede determinarse que (considerando todos los pagos iguales). la suma anterior se ha escrito sin precisar su terminación. b) De manera general. Supón que pk es la probabilidad de que se produzca el k-ésimo pago. En el libro El omnipresente número π (véase la referencia bibliográfica 13) Zhúkov exhibe una cantidad enorme de formas en las que se presenta π. S1. A este valor se le conoce como valor esperado presente. Las siguientes indicaciones proporcionan una manera en la cual π aparece relacionado con una serie. n = 0. imagina que el número de pagos del inciso anterior es una variable aleatoria (no determinística). expresa π como una serie. siempre y cuando las ganancias o pérdidas que se tengan sean de magnitudes considerablemente menores que el capital de quien arriesga. máxime cuando cierto tipo de actividades requiere cierto perfil de personal para la toma de decisiones. Con esta información. el parámetro k permite ajustar el grado de cautela y el límite. cuando k → 0 representa a alguien indiferente al riesgo. sin embargo. Ahora. Dentro de este esquema. ya que el valor esperado de la lotería siempre es menor que el precio de un boleto. Por ejemplo. El primer n= 0 ∞ valor representa la ganancia con probabilidad 1 si no se toma ningún riesgo. Para convencerte. En efecto. es posible que no estés dispuesto a jugar sus ingresos de los próximos cinco años en un lanzamiento de moneda. Una función que se utiliza prioritariamente como modelo matemático en situaciones de riesgo es u(x) = 1 − e−kx. los gastos fijos serán de 500. piensa si estás dispuesto a jugar en un lanzamiento de moneda sus ingresos de cinco años. temerario o indiferente de forma pura. al hacerlo. Por otro lado. piensa que deseas asociarte con algunos amigos para establecer una franquicia y que. pero tampoco eres temerario. el segundo. k > 0 Dentro de la caracterización señalada. no eres indiferente ante el riesgo. Suponer indiferencia al riesgo dentro de la formulación de un modelo es una hipótesis razonable. ¿Cómo tomar decisiones usando series? La actitud de las personas ante el riesgo es un tema fascinante para psicólogos e investigadores. temerario e indiferente.5. tampoco eres un cauteloso puro. uno de sus posibles socios te dice que la utilidad neta de cada unidad vendida será de 400 pesos y que él 1200 n calcula que el número de unidades vendidas es una función del tipo g (n ) = e− 1200 n! (ésta es una función que en la teoría de la probabilidad se conoce como distribución de Poisson con parámetro λ = 1200). ¿qué decisión tomarías? . En la teoría de decisiones se calculan dos valores G1 = u(0) y G 2 = ∑ g (n ) u (n ). FIGURA 5. quien tomará una decisión (temerario. De esta manera.40: Decisiones a partir de series. Debe decirse.3: Criterios de convergencia 473 2. pero tal vez sí jugaría 10 pesos de la misma forma. se ha clasificado a los individuos en tres categorías básicas: cauteloso. esta función se utiliza para personas cautelosas. cauteloso o indiferente) es sólo una idealización para simplificar nuestro modelo. si has comprado algún boleto de lotería o jugado algún tipo de rifa o sorteo.000 pesos. que nadie se comporta como cauteloso. la ganancia cuando se toma el riesgo de determinada acción. Si la respuesta es negativa. b) La serie converge a 2. pero no puede determinarse la suma. Determina la opción que proporciona los valores positivos de p para los cuales converge la n ∞ 2 2 serie ∑ n p n= 3 a) p > 2 b) p > 3 2 c) p > 4 d) p > 1 3. Dada la n-ésima suma parcial S n = de una serie. di si la serie dada es absolutamente convergente. .474 Unidad 5: Sucesiones y series Autoevaluación 1. a) A = 7 b) A = 4 c) A = 1 1 1 + + n +1 n + 2 + d) A = 12 1 1 1 1 1 = ⋅ + ⋅ + n + n n 1+ 1 n n 1+ 2 n + 1 1 ⋅ n 1+ n n 5. Escribe como serie geométrica. deriva ambos lados 2 4 1− x 2 de la ecuación formada y elige el inciso que contiene el valor de A. ln ( n + 2 ) ∑ n n =1 ∞ a) kk c) ∑ k =1 k ! d) ∞ b) ∑3 n =1 ∞ n 8n5+ 7 n = 30 ∑ ( n + 3)! ∞ n! 2. Sugerencia: Recuerde la definición de sumas de Riemann y toma en cuenta la integral ∫0 1+ x . a) ∑ ( −1)n 5 n n =1 ∞ n b) ∑ ( −1)n−1 1 + n 2 n =1 ∞ n c) ∑ ( −1)n+1 100 n n =1 ∞ n! 4. Nicolás Oresme logró hallar el valor exacto de la suma de la serie convergente 1 1 n 1 1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 + + n−1 + = A. Para cada inciso. condicionalmente convergente o divergente. c) La serie converge a ln(2). 1 dx a) La serie diverge. Elige la opción que proporciona una serie convergente. d) La serie converge. elige la opción que proporcione la afirmación correcta. a) La serie converge pero no puede conocerse su suma. e) converge a) Converge absolutamente.3: Criterios de convergencia 475 6. c) diverge. Converge a 3 4 b) ∑ ( −1) n =1 ∞ n= 2 ∞ n +1 sen 2 ( n ) 9 ii. e) converge a) Diverge. Relaciona las series de la columna A con las afirmaciones que aparecen en la columna B. c) converge. 3. c) diverge. b) La serie converge. . c) diverge. b) converge. Converge absolutamente n→∞ Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Converge a 1 4 n n +1 2 c) ∑ ( −1) 1 ∑j j =1 n n ln ( n ) n d) lím vii. d) diverge.374 a) Converge. b) diverge. 6. ∞ vi. c) converge condicionalmente. b) La serie diverge. 2. e) diverge a) Diverge. b) converge. d) converge.369. e) converge a) 0. b) converge. Una serie tiene una n-ésima suma parcial dada por Sn = 1 n +1 2 + 1 n +2 2 2 + + 1 n + n2 2 . e) converge condicionalmente a) La serie converge. b) 0. b) diverge. Aplica la misma idea del problema 5 y elige la opción correcta. Criterio de comparación por desigualdades y criterio sobre series geométricas.050. d) diverge. c) 0. d) converge. Criterio de la integral. 7. d) converge. c) La serie converge a ln 1 + 2 ( ) 7. 0 iv. Converge condicionalmente iii. 5.5. Columna A a) 1 1 1 1 − + − + 1⋅ 3 2 ⋅ 4 3⋅ 5 4 ⋅ 6 Columna B i. Diverge v. a) Converge. 4. s) La serie diverge. Criterio de la razón. q) La serie converge. Criterio de la razón. Criterio de la integral. de donde resulta la afirmación del ejercicio. Euler no consideró la importancia de la convergencia de las series trabajadas. h) La serie converge. b) La serie converge y la suma es .476 Unidad 5: Sucesiones y series c) La serie diverge. Criterio de la raíz n-ésima. ñ) La serie es divergente. Por el teorema 5. t) La serie diverge. a) a n = 1+ a0 n! c) Df = d) f (x) = −1 − x + (1 + a0)ex x2 x3 + + b) f ( x ) = −1 − x + (1 + a 0 ) 1 + x + 2 ! 3! 10. d ) La serie diverge. f ) La serie converge. las tres series son convergentes. Criterio de comparación por límites. debes tomar para a) al menos 104 términos. j) La serie diverge. el resultado es absurdo para cualquier x > 0. Criterio de la razón. y para c) 1010 términos. la serie converge. y para b) 8 términos porque 8! > 104. Criterio de la razón. Criterio de comparación por desigualdades. m) La serie converge. Criterio de comparación por límites. 4 9. Criterio de comparación por desigualdades y criterio de la integral. Criterio de series alternantes. k) La serie diverge. Se puede separar en dos series. Criterio de la raíz n-ésima. una convergente y la otra divergente. o) La serie es absolutamente convergente. l) La serie converge. p) La serie converge. a) b) x = x + x2 + x3 + 1− x x 1 1 = 1+ + 2 + x −1 x x c) + 1 1 + + x2 x + 1 + x + x2 + = x x + =0 1− x x −1 d) Evidentemente. n) La serie es absolutamente convergente. g) La serie diverge. a) La serie es convergente.13. a) Te será útil darte cuenta de que 2 2 2 2 b) lím n→∞ 2 2 a n+1 1 + 5 = . 8. an 2 c) Por el criterio de la razón. Criterio de la raíz n-ésima. e) La serie converge. c) Al derivar 1− p d p 1 > 0. p 11. r) La serie diverge. Criterio de comparación por límites. Criterio de comparación por límites. Criterio de comparación por límites.y = 12. . la suma es igual a 1. Criterio de comparación por desigualdades y criterio sobre series geométricas. i) La serie converge. = 1− p (1 − p )2 dp 1+ 5 1− 5 3+ 5 3− 5 = . Como S − S n < a n+1 . el mismo valor del área del triángulo inicial. desarrollo válido para De aquí. A pesar de que la serie diverge. 1 ≤ S ≤ 17.04 ) − n .3: Criterios de convergencia 477 13. 16. válido para n =1 ∞ x2 x <1 b) ∑ n (n + 1) 2x 2 2x 2 f ( x ) = = .5. han transcurrido n = 409.04 ) < 1. arctan (1) = 1 − + − + 2 b) 3 5 7 1+ x 1 1 1 . una serie geométrica convergente. −1 El valor presente de la perpetuidad es 39. en- 15. 18. De aquí. Comprueba que la serie ∑ n (n + 1)(n + 2) n =1 ∞ 1 es convergente y converge a 1 . a = n ( n + 1) y n xn ( x − 1)3 ( x − 1)3 n =1 3 2 ∞ 3 a ∑ . c) Si S es la suma de la serie. 20. De ln(n + 1) < Sn < 1 + ln(n). a) ∑ x n+1 = 1 − x .968 × 1015. n= 0 ∞ ∞ c) La serie es una serie geométrica con r = (1.76929 19. 4 n= 0 4 n c) x ≈ 2. converge. a) f ( x ) = 1 1 1 1 .55 < Sn < 41. c) π = 4 1 − + − + 3 5 7 .000. a) La suma de áreas está dada por S = b) S = 3 a 2. b) Por el criterio de las series alternantes deducimos que la serie converge (condicion 3 2 nalmente). a) a n = ( −1) n +1 2 .55. por lo tanto. Desde la creación.00. Al seguir el procedimiento señalado se halla contramos que ∑ 2n = 6 n =1 ∞ n 2 (1 − x ) x2+ x 3 = x + 4x 2 + 9x 3 + Si ahora se toma x = 1 2.968 × 1015 segundos. Úsala como serie de com4 paración en el método de Kummer para obtener g( 3) = 1 ∞ 1 1 1 1 ∞ 3n + 2 +∑ 2 − = +∑ 4 n=1 n 3 (n + 1)(n + 2 ) 4 n=1 n n (n + 1)(n + 2 ) Como g(3) ≥ 1 y ∞ ∞ dx 1 3n + 2 1 ≤ 3 ∑ 4 ≤ 3∫ = 3 ≤ 10 −7 para N ≥ 216. con n = 409. se observa la pasmosa lentitud con que lo hace. b) ∑ 1500 (1. x > 1. deducimos que 40.2020568 +∑ 3 4 n=1 n (n + 1)(n + 2 ) 14. N x4 n n + 1 n + 2 n ( )( ) N n = N +1 n = N +1 ∑ ∞ 3 g( 3) ≈ 1 216 3n + 2 = 1. Limusa. Barcelona. El omnipresente número π.. R. Limusa. Reverté. Limusa. 1980. magia y belleza de los números. 5. 1972. 11.. ed.. A.. R. Matemáticas e imaginación. 12. CECSA. 1978..) Referencias 1.. 13. Trillas. 8. Seeley. vi. 2. México. 6. Rivaud.. vol. Misterios matemáticos. E. 1999. Parzen. et al. Limusa. Madrid. Clawson. México. 3. Courant. vii. Y. Apóstol. J. J.478 Unidad 5: Sucesiones y series Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. I. México. Cálculo de una y varias variables. y Robbins. a) 5. 1980. Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones. Reverté. 9. (a. Zhúkov.. F. 2a.. c) 3. Diana. Pearson Educación. Kasner. 1982. Courant. I. Prado. 7. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. 1991. URSS. Moscú. 1982. 2005. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Newman.. a) Absolutamente convergente.. Cálculo. y John. México. McGraw-Hill.. R. Sucesiones y series. México. Takeuchi. (c. Santiago. Fondo de Cultura Económica. H. 2002. c) 7. México.. 4. ii. 2006. T. E. 10. México. México. Ejercicios de análisis. México.. b) condicionalmente convergente. 1975. Madrid.. iii. (d. ¿Qué son las matemáticas?. Teoría de la probabilidad. b) 2. d) 4.). Granero. F. Obregón.). Precálculo. . 1977. C.). c) divergente 6. (b. 1 Polinomios y series de Taylor 6. como para facilitar todas las artes y disminuir el trabajo de los hombres. Cálculo. conceptos y contextos. el estudio de las propiedades de las lentes resulta fundamental en áreas tan distintas como la medicina (por ejemplo. tanto para contentar a los curiosos. en las lentes intraoculares) y la astronomía (en telescopios).1 Polinomios y series de Taylor Las matemáticas tienen invenciones muy sutiles que pueden servir de mucho.2 Series de potencias 6. René Descartes Diseño de lentes Para el diseño de dispositivos ópticos. como parte del trabajo que se debe desarrollar para la interpretación y justificación de los .479 Unidad Series de potencias Contenido de la unidad 6. incluido en las referencias bibliográficas de este capítulo). Considera la siguiente situación (adaptada del libro de Stewart. En el Instituto de Investigación Óptica Lentes de México se realizó un estudio experimental sobre una lente esférica y. la luz viaja de tal manera que utiliza el mínimo tiempo posible: n1 n2 1 n2 si n1 s0 + = − L0 Li R L0 Li Supón que se pidió a tu equipo de trabajo colaboración en este proyecto. para demostrar que la ecuación anterior se puede reducir a una expresión más sencilla: n1 n2 n2 − n1 + = s0 si R θy θi A L0 V S S0 n1 h R φ θ C Li P Si n2 FIGURA 6. aprenderás sobre un tipo particular y muy importante de serie: la de Taylor. convergencia o divergencia. Leibniz. así como sus aplicaciones). como el de diseño de lentes. . explicar y resolver muchos problemas.480 Unidad 6: Series de potencias resultados. Lagrange y Euler utilizaron ampliamente este tipo de series para el desarrollo de sus trabajos. La figura 6. el cual indica que. El rayo SA se refracta hacia P. Newton. Las personas que llevaron a cabo el estudio dedujeron la siguiente ecuación.1 muestra una onda que parte de un punto fuente S y que llega a una interfase esférica de radio R con centro en C.1: Refracción en una interfase esférica. con base en el principio de Fermat. Ahora. para ir de un punto a otro. tanto del ámbito matemático como del mundo real. Introducción En la unidad anterior estudiamos las sucesiones y las series numéricas infinitas (su definición. Ésta es muy útil para aproximar y representar funciones y también es una herramienta teórica muy poderosa para interpretar. es necesario modelar el fenómeno. usando otras funciones de tipo polinomial (lineales.3. se tiene que f (x) ≈ f (a) + f '(a)(x − a) y Valor real de f (x) Valor aproximado de f (x) f '(a)(x – a) x–a f (a) a x f (a) FIGURA 6. sin embargo. recuerda que una función y su tangente en un punto x = a tienen la misma pendiente en ese punto y toman valores muy aproximados para puntos cercanos a a (véase la figura 6. para valores cercanos a a. ya no es posible distinguir entre la función f (x) y su recta tangente. alrededor del punto de tangencia.2).1 Polinomios de Taylor En esta sección estudiaremos cómo aproximar una función y = f (x) en torno a un punto x = a. El caso más simple consiste en utilizar la recta tangente a la gráfica de una función. Consideremos. También se ve que si se toma un valor x muy cercano al valor a. .2 se exageró la distancia entre a y x para observar mejor lo que ocurre entre las distancias. Recuerda también que dada una función y = f (x). • Determinar las series de Taylor y Maclaurin de una función dada y aplicarlas para resolver problemas de diferentes áreas. cúbicas.6. cuadráticas. deberás ser capaz de: • Establecer los polinomios de Taylor y aplicarlos en la solución de problemas.1. Sección 6. de manera que la ecuación de su recta tangente en x = 0 es y = 1 + x. su recta tangente en x = a está determinada por ytan = f (a) + f '(a)(x − a) Entonces. como se observa en la figura 6.2: Aproximación de f (x) mediante la recta tangente. La derivada de esta función es y ' = ex. por ejemplo. A partir del curso de cálculo diferencial. es importante no perder de vista que una buena aproximación se obtiene sólo cuando el valor x está suficientemente cercano al valor a. cómo aproximar la función y = ex mediante su recta tangente cuando x = 0. etcétera).1: Polinomios y series de Taylor 481 Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. En la figura 6. 01. De igual forma.01005 .5 –1 –0.5 1 1. simplemente sustituiríamos este valor en la ecuación de la recta tangente encontrada.01)2 = 1.05 = 0.01) = 1 + 0.. como notamos en la figura 6. . si quisiéramos aproximar el valor de y = ex para x = 0. y = e0. Entonces. P2''(x) = 2C2 y y ' = y '' = ex.482 Unidad 6: Series de potencias y 4 3 y=x+1 2 1 x y = ex –1.01. y obtendríamos y = 1 + 0.3: Aproximación lineal a y = ex en x = 0.01 = 1. si x = −0. Por ejemplo. si en vez de una recta tangente utilizamos una parábola que tenga la misma pendiente en x = 0.05.. es decir.. es decir. Esto nos indica que e x ≈ 1 + x siempre que el valor de x sea cercano a 0. que P2'(0) = f '(0) y que P2''(0) = f ''(0).4. para el 2 mismo valor x = 0.95. Se obtiene una mejor aproximación. como P2'(x) = C1 + 2C2x.010050. mientras que el valor real es y = e− 0.010050.951229. se necesita que P2(0) = f (0)..01 = 1. que es un valor aproximado al valor real que se obtiene al sustituir en y = ex.01 que empleamos en la aproximación lineal (recta tangente). Consideremos un polinomio cuadrático de la forma P2(x) = C0 + C1x + C2x2 Cuando x = 0 las dos funciones (y = ex y P2(x)) y sus primeras y segundas derivadas deben ser iguales entre sí. tenemos que para x = 0..05 = 0. con la cuadrática resulta P2 (0.01 + 1 (0.5 0. Por ejemplo. el polinomio cuadrático es P2 ( x ) = 1 + x + ex ≈ 1 + x + 1 2 x y se tiene entonces que 2 1 2 x para x cerca de 0. en la recta tangente obtendríamos y = 1 − 0..01 = 1.5 FIGURA 6. 2 que es un valor más aproximado al valor de y = e0. P2 (0 ) = C0 y f (0 ) = 1 P2'(0 ) = C1 y f '(0 ) = 1 ⇒ C0 = 1 ⇒ C1 = 1 1 2 P2''(0 ) = 2C2 y f ''(0 ) = 1 ⇒ C2 = Por lo tanto. Al emplear la notación 24 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 factorial.. podemos escribir estos resultados como C2 = En general Cn = f ''(0 ) f '''(0 ) f ( 4 ) (0 ) .4: Aproximación con polinomio cuadrático a y = ex en x = 0. Asimismo. queremos que f (x) ≈ P3(x) = C0 + C1x + C2x2 + C3x3. definimos el polinomio de Taylor de grado n para x = 0 como sigue: Polinomio de Taylor de grado n para aproximar f(x) en torno a x = 0 Pn ( x ) = f (0 ) + f ( n ) (0 ) n f '(0 ) f ''(0 ) 2 f '''(0 ) 3 f ( 4 ) (0 ) 4 x + .6. donde el símbolo f (n) repren! senta la n-ésima derivada de la función f (x). + x . P3''(x) = 2C2 + 6C3x y P3'''(x) = 6C3. Entonces. al sustituir x = 0 se obtiene f (0 ) = P3 (0 ) = C0 f '(0 ) = P3'(0 ) = C1 f ''(0 ) = P3''(0 ) = 2C2 = 2 ⋅ 1 ⋅ C2 f '''(0 ) = p3 '''(0 ) = 6C3 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ C3 ⇒ C2 = f ''(0 ) 2 ⋅1 f '''(0 ) ⇒ C3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 Nota que si hubiéramos iniciado con un polinomio P4(x). usando la cuarta derivada..1: Polinomios y series de Taylor 483 y 4 3 y2 = 1 + x + x2 2 2 1 x –2 –1 1 2 y1 = e x FIGURA 6. Dado que P3'(x) = C1 + 2C2 x + 3C3 x 2. haf ( 4 ) (0 ) f ( 4 ) (0 ) = bríamos obtenido C4 = y así sucesivamente. x+ x + x + 4! n! 1! 2! 3! . C3 = . Los resultados que hemos obtenido se generalizan de la siguiente forma: Consideremos un polinomio de grado 3 de la forma P3(x) = C0 + C1x + C2x2 + C3x3 para y = f (x) en x = 0. C4 = 2! 3! 4! f ( n ) (0 ) para cualquier entero positivo n. e x ≈ P10 ( x ) = 1 + x + x2 x3 x4 x10 + + + .1). b) En torno a x = 1. recordemos primero que la aproximación lineal se obtiene con f (x) ≈ f (a) + f '(a)(x − a). en torno a un punto x = a. Al sustituir x = 0 resulta f (n)(0) = e0 = 1.. es decir.1 Determina el polinomio de Taylor de grado 10 para y = ex como se indica: a) En torno a x = 0. Así. + Cn ( x − a )n Y si en este polinomio hacemos que las derivadas de Pn(x) y la función original f (x) coincidan en x = a.. ( x − a) + ( x − a )2 + 3! n! 1! 2! Los polinomios estudiados en este apartado son conocidos como de Taylor.484 Unidad 6: Series de potencias Si queremos aproximar una función f (x) en general. obtendremos el siguiente resultado (que puede deducirse en la misma forma que se explicó para x = 0.. el polinomio de aproximación Pn(x) centrado en x = a se forma con f (a) más los términos de corrección que dependen de las derivadas de f (x).. para x cerca de 0 2 ! 3! 4 ! 10 ! . Ejemplos Ejemplo 6. f '( x ) = f ''( x ) = f '''( x ) = .. el polinomio se forma expresando primero el polinomio en potencias de (x − a) en vez de potencias de x: f ( x ) ≈ Pn ( x ) = C0 + C1 ( x − a ) + C2 ( x − a )2 + . = f ( n ) ( x ) = e x . + ( x − a )n .. vea el problema 13). Como ex evaluada en x = 0 también es 1. y describe en forma aproximada cuánto se aleja f (x) de f (a) cuando x se aleja de a (esto se puede observar en la figura 6.. en honor al matemático inglés Brook Taylor (1685-1731). + . quien en 1715 publicó una de las primeras obras sobre la aproximación polinomial para funciones trascendentes. Polinomio de Taylor de grado n para aproximar f (x) en torno a x = a Pn ( x ) = f (a ) + f ( n ) (a ) f '(a ) f ''(a ) f '''(a ) ( x − a )3 + . Es decir. al sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor centrado en x = 0. c) Usa el polinomio hallado en a) para aproximar el valor del número e.. donde el término f '(a)(x − a) es de corrección. solución a) Las derivadas sucesivas de f (x) = ex son todas iguales a ex. para x cerca de 1.3 Halla el polinomio de Taylor de tercer grado de la función f (x) = sen (x): a) Alrededor de x = 0 π b) En torno a x = 3 . 1! 2! 3! 4! x 1 ≈ P4 ( x ) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + ( x − 1)4 . El valor real del número e es 2. Por lo tanto..2 Encuentra el polinomio de Taylor de cuarto grado. Es decir. tenemos que f (1) = e1 = e y f (n)(1) = e1 = e. + . + = 2.....718281828. al sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor centrado en x = a. en este caso. para x cerca de 1 2! 3! 4! 10 ! c) Para aproximar el valor del número e debemos tomar x = 1. x Ejemplo 6.718281801 2 ! 3! 4 ! 10 ! Esta aproximación es muy precisa. respectivamente. Esto significa que. x solución Calculamos las derivadas sucesivas de la función y evaluamos en x = 1 f (x) = 1 x ⇒ f (1) = 1 ⇒ f '(1) = −1 ⇒ f ''(1) = 2! ⇒ f '''(1) = −3! ⇒ f ( 4 ) (1) = 4 ! 1 x2 2 f ''( x ) = 3 x 3⋅ 2 f '''( x ) = − 4 x 4 ⋅ 3⋅ 2 (4 ) f (x) = x5 f '( x ) = − Al sustituir esta información en la fórmula del polinomio de Taylor: 1 1 2! 3! 4! ≈ P4 ( x ) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + ( x − 1)4 . Entonces. e1 = e ≈ P10 (1) = 1 + 1 + 12 13 14 110 + + + . para la función y = 1 alrededor de x = 1. Ejemplo 6.1: Polinomios y series de Taylor 485 b) Al sustituir x = 1 en f (x) = ex y en sus derivadas sucesivas. el polinomio de Taylor de grado 10 nos proporciona exactitud hasta los primeros siete decimales de e. con a = 1 resulta e x ≈ P10 ( x ) = e + e( x − 1) + e( x − 1)2 e( x − 1)3 e( x − 1)4 e( x − 1)10 + + + ..6. puesto que e1 = e. definiremos la serie de Taylor como un polinomio de Taylor que extiende indefinidamente su número de términos.. Ahora generalizaremos la idea de los polinomios de Taylor de grado n al caso en que los términos de éstos nunca terminan. + ( x − a )n + .2 Serie de Taylor Hasta ahora. para x cerca de 0 3! π en las derivadas de f (x) = sen(x) se tiene que: 3 3 2 1 f '(π 3) = cos(π 3) = 2 f (π 3) = sen(π 3) = 3 2 1 f '''(π 3) = − cos(π 3) = − 2 f ''(π 3) = − sen(π 3) = − Al sustituir en el polinomio de Taylor con x = sen( x ) ≈ P3 ( x ) = f (π 3) + f '(π 3)( x − π 3) + sen( x ) ≈ P3 ( x ) = π se obtiene: 3 f ''(π 3) f '''(π 3) ( x − π 3)2 + ( x − π 3)3 .1. 2! 3! 3 1 3 1 + ( x − π 3) + ( x − π 3)2 + ( x − π 3)3 2 2 2 ⋅ 2! 2 ⋅ 3! Sección 6. hemos visto cómo aproximar una función usando polinomios de Taylor en torno a un punto. o bien. Si y = f (x) es una función cuyas derivadas sucesivas existen en x = a y si la serie resultante es convergente a esa función (puede ser que la serie no converja para todos los valores de x). es decir...486 Unidad 6: Series de potencias solución a) Calculamos las derivadas sucesivas de f (x) = sen(x) y evaluamos en x = 0: f ( x ) = sen(x ) ⇒ f (0 ) = 0 f '( x ) = cos( x ) ⇒ f '(0 ) = 1 f ''( x ) = −sen(x ) ⇒ f ''(0 ) = 0 f '''( x ) = − cos( x ) ⇒ f '''(0 ) = −1 Al sustituir en el polinomio de Taylor centrado en x = 0 resulta que sen( x ) ≈ P3 ( x ) = x − b) Al poner x = x3 .. se tiene la siguiente fórmula general: Serie de Taylor centrada en x = a f ( x ) = f (a ) + =∑ ∞ n=0 f ( n ) (a ) f '(a ) f ''(a ) f '''(a ) ( x − a )3 + . ( x − a) + ( x − a )2 + 3! n! 1! 2! f ( n ) (a ) ( x − a )n n! . En algunos casos. Criterio de la razón Para una serie de la forma C0 + C1x + C2x2 + …+ Cnx n +… (alrededor de x = 0) supongamos que n→∞ lím Cn Cn+1 =R Entonces. llamada así en honor del matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746): Serie de Maclaurin f ( x ) = f (0 ) + =∑ ∞ n=0 f ( n ) (0 ) n f '(0 ) f ''(0 ) 2 f '''(0 ) 3 x + . . es recomendable contar con una forma analítica para determinar la convergencia de una serie de Taylor.. la serie converge para toda x ∈ ∠ b) Si 0 < R < ∞. Veamos los siguientes ejemplos. a) Si R = ∞.. usando representaciones gráficas (como en el ejemplo 6. probablemente será necesario emplear algún teorema estudiado en el capítulo anterior..4) o cálculos numéricos. Este resultado es aplicable de la misma forma para series alrededor de x = a (el radio de convergencia estaría centrado en a). sin embargo. + n! 1! 2! 3! f ( n ) (0 ) n x n! Es importante tener en cuenta que para muchas funciones y = f (x) la serie de Taylor sólo converge a esas funciones cuando x es cercana a a. la serie converge sólo para x = 0 A R se le llama radio de convergencia.1: Polinomios y series de Taylor 487 La serie particular para a = 0 es conocida como serie de Maclaurin. la serie converge para | x | < R c) Si R = 0.6.. dependiendo del tipo de función de que se trate. x+ x + x + . es posible determinar (aunque sea aproximadamente) el intervalo de convergencia de una serie. También es importante tomar en cuenta que. El siguiente resultado es muy útil en este sentido para algunos casos (y es una adaptación del criterio de la razón que estudiamos en la unidad anterior). Resulta: ln(1 + x ) = 0 + 1 −1 2 2 3 −6 4 x+ x + x + x + . 2 3 4 5 6 7 P5 ( x ) = x − Sus gráficas y la de la función original se muestran en la figura 6. .488 Unidad 6: Series de potencias Ejemplos Ejemplo 6.. 2 3 4 b) Para estimar la convergencia de la serie usaremos las gráficas de algunos de los polinomios de Taylor.. En ella se ve cómo las gráficas coinciden cada vez más para valores entre −1 y 1. porque la función original no está definida para ellos). 6 y 7: 1 2 1 3 1 4 1 5 x + x − x + x . 2 3 4 5 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 P6 ( x ) = x − x + x − x + x − x . Se dice que para estos valores de x los polinomios divergen de la función original (note que no tiene sentido considerar valores menores a −1. solución a) Las derivadas sucesivas de la función evaluadas en x = 0 quedan como sigue: 1 1+ x −1 f ''( x ) = (1 + x )2 2 f '''( x ) = (1 + x )3 −6 f (4 ) (x) = (1 + x )4 f '( x ) = ⇒ f '(0 ) = 1 ⇒ f ''(0 ) = −1 ⇒ f '''(0 ) = 2 ⇒ f ( 4 ) (0 ) = −6 Sustituimos esta información en la fórmula de Maclaurin (caso particular de la serie de Taylor para x = 0) con f (0) = ln(1 + 0) = 0. Sin embargo. 1! 2! 3! 4! 1 1 1 = x − x 2 + x 3 − x 4 + . para valores de x mayores a 1. Por ejemplo.5.4 a) Determina la serie de Taylor de la función y = ln(1 + x) centrada en x = 0. 2 3 4 5 6 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 P7 ( x ) = x − x + x − x + x − x + x . bajo la idea de que cuanto mayor sea el grado del polinomio. en los polinomios de grados 5. las gráficas de los polinomios se apartan de la curva y las aproximaciones ya no son tan buenas. b) Usa representaciones gráficas para estimar la convergencia de la serie del inciso a). la aproximación será mejor... la función y = ln(1 + x) y podemos afirmar que parece tener el intervalo de convergencia −1 < x < 1 (véase el ejemplo 6.5 2 P6 FIGURA 6.6. 2 ! 3! 4 ! n! b) Para demostrar la convergencia de la serie aplicamos el criterio de la razón.5 –2 –4 –6 0. Ejemplo 6. la serie de y = ex converge para toda x.1: Polinomios y series de Taylor 489 y 4 P5 P1 f (x) = 1n(x + 1) x 2 –1 –0. tenemos que n! el límite enunciado en el criterio es: lím Cn Cn+1 = lím 1 n! (n + 1)! = lím (n + 1) = ∞ = lím n→∞ (n + 1)! n→∞ n! n→∞ n→∞ 1 Por lo tanto. de acuerdo con la parte a) del criterio. según ese criterio). De acuerdo con la figura 6...1 en la fórmula de la serie de Taylor centrada en x = 0 (o bien.8).5. + + . En este caso. b) Demuestra que la serie de Taylor de y = ex converge para todo número real x.1): ex = 1 + x + x2 x3 x4 xn + + + . Entonces.5 1 1.5 a) Determina la serie de Taylor de y = ex en torno a x = 0. el térmi1 no n-ésimo es Cn = (porque Cn es el coeficiente de xn.. solución a) La serie se obtiene simplemente sustituyendo la información obtenida en el ejemplo 6.5: Estimación gráfica del intervalo de convergencia de y = ln(1 + x). .. generalizando el polinomio de orden 10 encontrado en el mismo ejemplo 6. 2! 4 ! 6! b) Para mostrar que la serie converge usaremos dos resultados estudiados en el capítulo anterior: la comparación con una serie convergente y el hecho de que si ∑ an converge...6 a) Determina la serie de Taylor para f (x) = cos (x) centrada en x = 0.490 Unidad 6: Series de potencias Ejemplo 6... Ahora rescribimos con valores absolutos: Tenemos que la serie de Taylor de cos(x) puede escribirse como 1 + 0 x − 1+ 0 x + x2 2! + 0 x3 + x4 4! + 0 x5 + x2 2! x3 3! x6 6! + + . también converge ∑ an . 1 b) Usa el resultado del inciso a) para formar una serie de Maclaurin de .. x2 x4 x6 + 0x3 + + 0x5 − + .7 a) Encuentra la serie de Maclaurin para la función f (x) = (1 + x)α.. solución a) Calculamos las derivadas sucesivas de f (x) = cos (x) y evaluamos en x = 0 f ( x ) = cos( x ) f '( x ) = −sen ( x ) f ''( x ) = − cos( x ) f '''( x ) = sen ( x ) f ( 4 ) ( x ) = cos( x ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ f (0 ) = 1 f '(0 ) = 0 f ''(0 ) = −1 f '''(0 ) = 0 f ( 4 ) (0 ) = 1 . ... donde α es un número real. 2! 4! 6! x Incluimos los términos nulos para compararla con la serie de y = e .. Al sustituir en la fórmula de la serie de Taylor centrada en x = 0 (serie de Maclaurin): cos x = 1 − x2 x4 x6 + − + . concluimos que la serie de Taylor de f (x) = cos (x) también converge. x Comparando con la serie convergente e = 1 + x + + x4 4! + . Ejemplo 6... 1+ x solución Para el inciso a): f ( x ) = (1 + x )α f '( x ) = α (1 + x )α −1 f ''( x ) = α (α − 1)(1 + x )α − 2 f '''( x ) = α (α − 1)(α − 2 )(1 + x )α − 3 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ f (0 ) = 1 f '(0 ) = α f ''(0 ) = α (α − 1) f '''(0 ) = α (α − 1)(α − 2 ) . b) Demuestra por qué la serie de f (x) = cos (x) es convergente para todo x ∈ ∠. obtenemos: (1 + x )α = 1 + α x + que se conoce como serie binomial. −1 < x < 1. α (α − 1) 2 α (α − 1)(α − 2 ) 3 x + x + . tomamos α = −1 y tenemos que: 1+ x 1 (−1)(−2 ) 2 (−1)(−2 )(−3) 3 x + . + (−1)n−1 + .. Ejemplo 6.4 deducimos que el término general es xn/n para n impar.. + + . como sigue: en x = 1.... solución Al observar los términos de la serie en el ejemplo 6.. por lo que debemos analizar aparte lo que sucede en estos extremos del intervalo.. el criterio no dice nada en caso de que x = −1 o x = 1. − − . 2 3 4 n Ésta es una serie alternante con an = 1/n. Para x = −1. que es un tema que vimos en la unidad anterior. Para ello. 2 3 4 n . emplearemos la prueba de la serie alternante (estudiada en la unidad anterior).. = (1 + x )−1 = 1 + (−1) x + x + 1+ x 2! 3! = 1 − x + x2 − x3 +. y −xn/n si n es par. la serie es 1− 1 1 1 (−1)n−1 + − + .. 2 3 4 n 1 : n Por lo tanto. Para el inciso b): Como 1 = (1 + x )−1 .... Sin embargo... 2! 3! Ésta es una serie geométrica... del criterio de la razón con Cn = (−1)n−1 n→∞ lím (−1)n−1 / n Cn n +1 = lím = lím =1 Cn+1 n→∞ (−1)n / (n + 1) n→∞ n Esto indica que la serie converge para x < 1 . es decir. la serie es −1 − 1 1 1 1 − − − . entonces. para −1 < x < 1.1: Polinomios y series de Taylor 491 Al sustituir en la fórmula de Maclaurin..8 Determina el intervalo de convergencia de y = ln(1 + x) centrada en x = 0. ln(1 + x ) = x − 1 2 1 3 1 4 xn x + x − x + .. por lo que es una serie convergente de acuerdo con la prueba de la serie alternante.6. no puede ser la serie de Taylor de 5 5 5 10 f (x) alrededor de x = 1.6. El polinomio de Taylor de segundo grado es P2 (t ) = s(0 ) + s '(0 )t + s ''(0 ) 2 a(0 ) 2 t = s(0 ) + v(0 )t + t 2 2 Y como v(0) = 20 m/s y a(0) = 2 m/s2. Explica por qué la serie: 8 4 2 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + . 1.. Si esto sucediera. no sería razonable emplear este polinomio para el siguiente minuto. P2(t) = 20t + t2 En el primer segundo. ¿Sería razonable emplear ese polinomio para estimar la distancia recorrida durante el siguiente minuto? solución Simbolicemos la posición del automóvil como s(t). pues no daría una buena aproximación debido a que no podría mantener por muchos segundos una aceleración de 2 m/s2. .492 Unidad 6: Series de potencias que es la serie negativa de la serie armónica (estudiada en el capítulo anterior). donde f (x) es la función de la figura 6. entonces. Por lo tanto. Use un polinomio de Taylor de grado 2 para estimar la distancia recorrida por el vehículo en el segundo siguiente. s(0) = 0. Al iniciar el segundo en cuestión. en el intervalo de convergencia. Ejemplo 6. Por otro lado.9 Un automóvil se desplaza con una velocidad de 20 m/s y una aceleración de 2 m/s2 en un instante determinado. converge en el intervalo −1 < x ≤ 1. La velocidad del auto es v(t) = s'(t) y la aceleración es a(t) = s ''(t). la serie para y = ln(1 + x) centrada en x = 0. la distancia recorrida es s(1) ≈ P2(1) = 20(1) + (1)2 = 21 m. por lo que es divergente. la velocidad final sería ¡140 m/s! (Verifica esta última afirmación). Estos dos resultados indican que el extremo derecho sí se incluye y el izquierdo no.. la posición es cero en tiempo cero. ¿De qué grado debe ser el polinomio de Maclaurin de la función f (x) = ex para aproximar el valor de e con a) cinco cifras decimales exactas? b) diez cifras decimales exactas? 2. es decir. f ( x ) = senπ x. a = 1 c ) f ( x ) = sen ( x ). a = π 2 a) f ( x ) = d ) f ( x ) = cos ( x ). a = 1 8. 3. f ) f (x) = 3 1 − x . ¿cómo puede mejorarse la aproximación a una función cerca de x = a mediante su polinomio de Taylor? 5. Sea la función f ( x ) = 4 x a) Determina el polinomio de Taylor de f (x) de grado 2 en torno a a = 1 b) Usa el polinomio hallado en el inciso a) para completar la siguiente tabla: x f (x) P2(x) 0 0. b ) f ( x ) = xe x . a=π 4 n = 3. Encuentra la serie de Taylor de las funciones alrededor de los puntos indicados. En general.2 2 6. Determina el polinomio de Taylor de grado n centrado en a.1 1. n=4 n=4 n=4 7. a ) f ( x ) = e2 x . f ( x ) = senh x. a = 1 x b) f ( x ) = x .9 1 1. b ) f ( x ) = cos( x 2 ). a = − 1 3 n = 3. f ) f ( x ) = arctan ( x ). n = 3. a ) f ( x ) = e− x . n=4 n=4 n=2 d ) f (x) = 1 + x . e) f ( x ) = arctan x.8 0. c) f ( x ) = cosh x.1: Polinomios y series de Taylor 493 1 1 FIGURA 6. n = 4. 1 . 4. Encuentra el polinomio de Maclaurin para las funciones y grados indicados. f (t ) = et cos t .6. n = 4. d f ( y ) = ln(1 − 2 y). a=0 a=0 a =0 a=0 e) f) g) h) f ( x ) = ln x.6: Gráfica de f (x) del ejercicio 2. Con tus propias palabras. e) f ( x ) = sen (π x ). a =1 a =1 2 a=0 a = ln 4 . describe qué significa que un polinomio aproxime a una función en torno a a o centrada en a. c) f ( x ) = sec x. n = 4. . Desarrolla la función z por medio de una serie de Maclaurin (a es una constante positiva). a partir de ello. 16.. donde b es una constante positiva muy pequeña.1 e − x dx 2 3 1 dx b) ⌠ ⌡ 0 1 + x6 1 0. 4 9 16 25 b) x 2 x 2 3x 3 4 x 4 5 x 5 + + + + + .. Aplica el criterio de la razón para determinar el radio de convergencia de las series. grafica cada función y varios de sus polinomios de Taylor. despeja φ. 13. después. z = a2 + x 2 − a2 − x 2 15. si f (n)(0) = (n + 1)! para n = 0.2 arctan ( x ) c) ⌠ dx ⌡ 0. Forma la serie de Maclaurin para f y calcula su radio de convergencia. 3 5 7 9 11 12. a) x − x2 x3 x4 x5 + − + − . 2.1 x d) ∫0e 1 − x2 10 dx . para estimar el intervalo de convergencia de las series. La respuesta debe estar en términos de b.. Sugerencia: para determinar los cuatro primeros términos puedes usar la serie binomial del ejemplo 7. Deduce la fórmula del polinomio de Taylor de grado n alrededor de x = a para f (x). Halla la serie de Maclaurin de las siguientes funciones: a) f (x) = sen2x x −x b) f ( x ) = 1 2 (e − e ) = senh x 10. En tus cálculos se debía despejar φ de la ecuación: sen(φ) + b(1 + cos2(φ) + cos(φ)) = 0. 14.494 Unidad 6: Series de potencias 9. a) y = 1 1− x b) f ( x ) = 1 1+ x 11. sin tener en cuenta términos del orden de φ 2 o mayores. 1. Desarrolla el lado izquierdo de la ecuación usando una serie de Taylor alrededor de φ = 0.. 2 a) ∫0 0... Usa un polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f (x) = e−x y con éste aproxima el valor de la siguiente integral. Una de las predicciones más sorprendentes de Einstein consiste en que la luz procedente de estrellas lejanas se curvaría en torno al Sol en su camino hacia la Tierra. Determina los cuatro primeros términos de la serie de Taylor alrededor de x = 0 y. mgR 2 ( R + h )2 . La fuerza de gravedad. Muestra que si cos(φ) se sustituye por su polinomio de tercer grado en las ecuaciones para L0 y Li del inciso anterior. Contesta lo que se pide en la introducción de este capítulo.6. Supón el caso en el que el cuerpo está cerca de la superficie de la Tierra (h es mucho menor que R) para contestar lo siguiente: a) Expresa F en la forma mg multiplicado por una serie en h/R.1: Polinomios y series de Taylor 495 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones. 2. b) La corrección de primer orden a la aproximación F ≈ mg se obtiene tomando sólo el término lineal de la serie (sin ninguno otro de orden mayor a uno). ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra se debe ir. la ecuación original se convierte en 2 2 n 1 n 2 n 2− n 1 n2 1 1 1 2 n1 1 − + = +h + + s0 s i R 2 s0 2s i R si s0 R 3. con la finalidad de que la corrección de primer orden cambie la estimación F ≈ mg en más de 10%? Use R = 6400 km. 1. aplicada a los triángulos ACS y ACP de la figura 6. Diseño de lentes (continuación). Se supone que cuando un cuerpo está cerca de la superficie de la Tierra. En el problema anterior se obtiene una mejor aproximación con un polinomio de tercer grado. donde m es la masa del cuerpo y g. una ecuación más exacta para determinar la fuerza F es F= donde R es el radio de la Tierra.1). Para un cuerpo que está a una altura h sobre la superficie de la Tierra. la aceleración de la gravedad al nivel del mar. Sugerencia: Para deducir la ecuación n1 + n2 = n2 − n1 . aproxima cos(φ) en las ecuas0 si R ciones: L 0 = R 2 + ( s0 + R)2 − 2 R( s0 + R) cos φ y L i = R 2 + ( si − R )2 + 2 R( si − R ) cos φ (las cuales se obtienen por la ley de los cosenos. la fuerza de gravedad sobre éste es una constante cuyo valor es mg. Diseño de lentes. Observación: la energía cinética del objeto es la diferencia entre su energía total y su energía en reposo. Si las cargas q y −q están a una distancia d una de la otra (véase la figura 6. el campo eléctrico es aproximadamente proporcional a 1/D3 P D q d –q FIGURA 6.7). Utiliza una serie de Maclaurin para probar que cuando v es muy pequeña en comparación con c. Dipolo eléctrico.005004165 .7: Dipolo eléctrico. Teoría especial de la relatividad. el campo eléctrico E en el punto P se expresa por E= q q − 2 D ( D + d )2 Use series para investigar el comportamiento del campo eléctrico en puntos muy alejados del dipolo y demuestre que cuando D es grande en comparación con d.995004165 d) 1. la energía cinética del objeto concuerda con la que se obtiene en la física clásica newtoniana 2 K=1 2 m 0v . a) 0. es decir.1) al usar un polinomio de Maclaurin de grado 6 para la función f (x) = cos(x).599005614 b) 0. 5. Autoevaluación 1.999998477 c) 0. Dos cargas eléctricas de igual magnitud y signos contrarios cercanas entre sí forman un dipolo eléctrico. K = mc2 − m0c2. En la teoría especial de la relatividad de Einstein.496 Unidad 6: Series de potencias 4. la masa de un objeto que se mueve a una velocidad v se determina por: m= m0 1 − v2 c2 donde m0 es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. Es la aproximación que se obtiene para cos(0. 2! 3! 1 1 ( x − 1)2 + ( x − 1)3 + . a) 1 + ∑ (−1)n (2 x )2 n (2 n )! n= 0 ∞ n 2n ∞ c) 1 ∑ (−1) (2 x ) 2 n= 0 (2 n )! b) ∞ 1 (−1)n (2 x )2 n + 1 ∑ 2 n= 0 (2 n )! d) x + 1 ∞ (−1)n (2 x )2 n ∑ (2n)! 2 n= 0 6. una aceleración de 2 km/min2 y la razón a la que está cambiando la aceleración es de −1 km/min3. 2! 3! 2 4. . Prueba que la serie de Maclaurin para f (x) = sen(x) es convergente en todo x ∈ ∠.6. En cierto momento t = 0. Indica la opción correspondiente al polinomio de Taylor de tercer grado para f (x) = sen(x). Indica la opción correspondiente a la serie de Maclaurin de f (x) = cos2 x.. a) 1 1 π 1 π 1 π + x− − x− − x− 2 2 6 2(2 !) 6 2( 3!) 6 2 2 3 b) 1 3 π 1 π 3 π + x− − x− − x− 2 2 6 2(2 !) 6 2( 3!) 6 1 3 π 1 π 3 π + x− − x− − x− 2 2 6 2 6 2 6 2 2 3 3 c) 3 π 1 π π x− d) 1 + 3 x − − x − − 6 2! 6 3! 6 3 3. a) ∑ 2n n n= 0 ∞ xn b) ∑ x n+ 2 n= 0 n ! ∞ c) ∑ 2n2 n= 0 ∞ x2n d) ∑ 2n n! n= 0 ∞ x2n 5.. En ese mismo momento tiene una velocidad de 10 km/min. Indica el inciso que corresponde a la serie de Taylor de f (x) = ex alrededor de x = 1.. Indica la opción que corresponde a la serie de Maclaurin de f (x) = ex /2.. 2 3 ! ! b) x + 1 1 ( x − 1)2 + ( x − 1)3 + .. 2! 3! c) e + e( x − 1) + d) e + e e ( x − 1)2 + ( x − 1)3 + .. ¿Cuál es la posición aproximada del avión 2 minutos después? 7. un avión se localiza a 10 kilómetros de distancia horizontal respecto de un punto fijo en la superficie de la Tierra. desarrollado alrededor de a = π/6.1: Polinomios y series de Taylor 497 2... 1 2 3 1 a) e ( x − 1) + ( x − 1) + . Al comparar con la serie dada. Columna A a) y = x 2 − b) y = x − x 3! 4 Columna B i.498 Unidad 6: Series de potencias 8. 2 1.. a) 9 b) 13 2. En los polinomios de la columna A del ejercicio anterior.5 x3 c) y = x + x + 2! d) y = x2 − x3 + x4 iii. Por lo tanto. obtén el factor común de cada uno e identifica la función aproximada por el polinomio de Taylor restante.5 0. . deberíamos tener que f' (1) = −4/5. En la columna B encuentra las gráficas correspondientes a los polinomios de Maclaurin dados en la columna A. Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. 2 –3 –2 –1 –2 1 2 3 –2 –1 –1 1 2 –4 v.5 1 1. 2 ii. 2 –4 –2 –2 2 4 vi.. la serie dada no es la serie de Taylor de f (x) centrada en 1. –4 3 2 1 iv. 3 2 1 –2 –4 –1 –1 1 2 9. La expansión en serie de Taylor de f (x) debería tener la forma f (1) + f' (1)(x − 1) + .5 x3 x5 + 2! 4 ! 2 –2 –1 –2 1 2 3 1 0. el valor de f' (1) debe ser positivo. pero de acuerdo con la gráfica de f (x).5 –1 –0. a) b) c) d) xn ∑ (−1) n ! n= 0 ∞ x2n ∑ (−1)n 4 n (2n)! n= 0 ∞ x2n ∑ (2n)! n= 0 3 4 ln(1 − 2 y ) = −2 y − 2 y 2 − 8 3 y − 4 y − . n= 0 ∞ R =1 13.... a ) sen 2 x = 2 2 23 4 25 6 27 8 x − x + x − x + . a ) y = 1 + x + x 2 + x 3 + .2 3. 3 2 4 a) 1 + 2 x + 2 x 2 + 4 3 x + 3x 2 1 3 1 4 b) x + x + 2 x + 6 x 2 c) 1 + 1 2 x 4 1 2 1 3 5 d) 1 + 1 2 x − 8 x + 16 x − 128 x 1 3 e) x − 3 x 1 2 5 3 10 4 f ) 1− 1 3 x − 9 x − 81 x − 243 x 7. a ) 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + ( x − 1)4 2 3 4 1 1 5 b) 1 + 1 2 ( x − 1) − 8 ( x − 1) + 16 ( x − 1) − 128 ( x − 1) π 2 π 4 1 1 c) 1 − 2 ! (x − 2 ) + 4! (x − 2 ) 8.9 4....4721 4. f (a)). b ) R = 1 12..6600 2 2. aumentando el grado de los polinomios.8 4. f (a)) y tienen la misma pendiente ahí. a ) R = 1 . .5000 6. Si P es de grado n.. n ∞ d) 2 2 − 3 2 e) − f) π 4 + 2 2 2 π π 2 π 3 2 ( x − 4 ) − 4 ( x − 4 ) + 12 ( x − 4 ) 2 3 2 π 3 π 1 1 1 3 +π 2 ( x + 3 ) + 4 ( x + 3 ) − 12 ( x + 3 ) 2 3 1 1 1 2 ( x − 1) − 4 ( x − 1) + 12 ( x − 1) e) f) ∑ (−1)n+1 n =1 ∞ ∞ ( x − 1)n n 2n 1 π 2n x− ( 2 )! 2 n n= 0 4 t t3 g ) e cos t = 1 + t − 3 − t6 + ..1 3... . entonces. 4. − 1 < x < 1 11. 3 ( x − 1)2 5.0000 4.6515 3..4600 0.2150 1 4. ∞ 16 + (−1)n+1 ( x − ln 4 )n h) ∑ n! 8 n= 0 ∑ (−1)n 9.2164 4.8150 1. x b) f ( x ) = 1 − 2 + − 5 x3 16 + . La gráfica de la aproximación polinomial P y la función elemental f pasan por el punto (a.1: Polinomios y series de Taylor 499 3. − 1 < x < 1 ∑ (n + 1)x n . Esto permite que la gráfica de P se parezca a la de f cerca del punto (a. las n primeras derivadas de f y P coinciden en a.8139 3. + Cn(x − a)n .5000 0.0000 1.8284 3. 2! 4! 6! 8! b ) senh x = ∑ x 2 n+1 n = 0 (2 n + 1)! ∞ 3x2 8 10. Se inicia escribiendo el polinomio en la forma Pn = (x) = C0 + C1(x − a) + C2(x − a)2 + .6. Se considera el intervalo de convergencia. a) P2 ( x ) = 4 − 2( x − 1) + 2 b) x f(x) P2(x) 0 Error 7. Cálculo. y los coeficientes que resultan se usan para determinar la forma pedida del polinomio de Taylor.). ed. (a. Internacional Thompson Editores. 2002.. Los resultados obtenidos se igualan con las derivadas sucesivas de f (x) en x = a. conceptos y contextos. et al. (b. iv.). a) 0. b) f (x) = x cos(x). d) 5. ed.6b). a 8a 15. φ ≈ −3b 16. b) 3. v.. 14. México. 2a. CECSA. México. Deborah. Cálculo. Stewart. ii. b) km (distancia horizontal respecto al punto fijo) 7. James.333 c) 0.500 Unidad 6: Series de potencias En seguida se calculan las derivadas sucesivas de este polinomio y se evalúan en x = a.. i. . Hughes-Hallett. 3a. 8. a) f (x) = x sen(x).99667 b) 0. c) 6. Véase el ejemplo 6..0992 d) 0.. 2006. (c.). 98 3 2. 2 1 d) f ( x ) = x 1+ x Referencias 1.) 9. c) 4. 2.9677 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. (d. c) f (x) = x e x. z = x2 x6 + 5 + . 2: Series de potencias 501 6.6. respectivamente. las dimensiones de los dispositivos. Anónimo Sistema muelle-amortiguador automotriz En la permanente búsqueda de seguridad y comodidad se realizan diversos análisis teóricos sobre el comportamiento de los sistemas de suspensión en los automóviles.8: Sistema amortiguador automotriz d2y k + ty = 0 dt 2 m (*) donde la variable y representa la posición de un punto particular en un extremo del resorte cuando se encuentra en movimiento. La variable t simboliza el tiempo que transcurre durante ese movimiento y las constantes m y k son. delgada y uniforme. Con base en ellos.2 Series de potencias El infinito llega hasta donde alcanza el pensamiento humano. el desgaste a que estarán sujetos. con la finalidad de establecer las características de su comportamiento. en estudios de aerodinámica. Esta ecuación sirve para modelar cierto comportamiento del resorte en relación con los cambios de temperatura a que estará sujeto durante su funcionamiento. la masa sujeta al resorte y la constante del resorte. que es solución de esa ecuación). etcétera. y en el análisis de la deflexión de una columna vertical. Supón que se ha invitado a tu equipo de trabajo a colaborar en la resolución del problema para el caso particular en que m = k = 1. los ingenieros de la empresa Muelles Spring realizaron el modelo del movimiento vibratorio a que estará sujeto un prototipo. los materiales adecuados para construirlos. Para el análisis particular de los efectos de la temperatura en las características del muelle (resorte helicoidal). Se encuentra también en el estudio de la difracción de ondas de radio alrededor de la superficie de la Tierra. ¿Qué solución propondrían? * La ecuación en estudio se llama ecuación de Airy. Piensa en la siguiente situación: Durante el desarrollo de un nuevo sistema muelle-amortiguador automotriz. necesitan resolver la ecuación siguiente: FIGURA 6. que se curva bajo su propio peso. . entre otras cuestiones. para lo que se requiere determinar la función y = f (t) que la satisface (la función y. los ingenieros pueden simular e interpretar lo que sucede en sus componentes. aun cuando x = a.. las del cálculo (diferenciación e integración) y algunas de sus aplicaciones. Sin embargo. Este tipo de series determina funciones de una variable x.1 Series de potencias Empezaremos por definir la forma que tiene una serie de potencias.. + cn ( x − a)n + . Nota: para simplificar la notación se establece que (x − a)0. Sección 6.. • Derivar e integrar series de potencias. así como en la interpretación. • Realizar operaciones algebraicas con series de potencias. • Calcular el radio y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.. En esta sección se estudiará cómo hallar el intervalo de convergencia de este tipo de series.2. n= 0 ∞ De manera más general. n= 0 ∞ se llama serie de potencias centrada en a. que es el dominio de esta clase de funciones. una serie infinita de la forma ∑ cn ( x − a)n = c0 + c1 ( x − a) + c2 ( x − a)2 + c3 ( x − a)3 + . Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. deberás ser capaz de: • Comprender la definición de serie de potencias.. + cn x n + . la física y la astronomía.. que resultan sumamente importantes en el estudio de la propia matemática. .1 Una serie de potencias en la variable x tiene la forma ∑ cn x n = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + . modelación y resolución de diversos fenómenos en áreas como la ingeniería. donde a es una constante. para mostrar los potenciales usos de esta herramienta también estudiaremos sus propiedades operacionales (algebraicas)..502 Unidad 6: Series de potencias Introducción La serie de Taylor estudiada en la sección anterior es un caso particular de un tipo de serie más general: la de potencias.. Definición 6. 6. n =0 ∞ se cumple una y sólo a) La serie converge sólo en x = a. Para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias aplicaremos el criterio de la razón (estudiado en el capítulo anterior).. El teorema siguiente establece que el dominio de una serie de potencias puede tomar sólo tres formas básicas. 1. ∑ n ! x n = 1 + x + 2 x 2 + 3! x 3 + 4 ! x 4 + . n= 0 ∞ solución Observación: A veces resulta conveniente desplegar algunos términos de una serie. n= 0 ∞ . Cabe decir que toda serie de potencias converge en su centro x = a. 3 y 4. para n = 0. Ahora nos ocuparemos en estudiarlas sin importar la forma de los coeficientes cn (recuerda que en el caso particular de las series de Taylor. Teorema 6. y diverge si x − a > R.10 Determina el radio de convergencia de la serie de potencias ∑ n! x n. b) La serie converge (absolutamente) para todos los valores x ∈ . los coeficientes resultan de las derivadas sucesivas de una función y = f (x)). Una serie de potencias puede verse como una función: f ( x ) = ∑ cn ( x − a )n n= 0 ∞ en la cual el dominio está formado por todos los valores x para los que la serie converge. Ejemplos Ejemplo 6. En este caso. Veamos los siguientes ejemplos..2: Series de potencias 503 Observa que en apariencia estas series son idénticas a las de Taylor. c) Existe un número real R > 0 tal que la serie converge (absolutamente) si x − a < R. 2.1: Convergencia de una serie de potencias Para toda serie de potencias de la forma una de las afirmaciones siguientes: ∑ cn ( x − a)n . 12 Determina para qué valores de x converge la serie ∑ ( x − 3)n . es decir. c2 = 2. aplicamos el criterio de la razón (cociente). c1 = 1.1). concluimos que la serie converge absolutamente para toda x. por lo tanto. Ejemplo 6. ∞) y el radio de convergencia es R = ∞. . n n→∞ n→∞ x n→∞ n + 1 un (n + 1)! x / n! n→∞ Puesto que L < 1 para toda x. Ejemplo 6. n= 0 ∞ xn solución Aplicando el criterio de la razón: L = lím un+1 x n+1/ (n + 1)! x n+1 n! 1 = lím = lím n ⋅ = x lím = 0. la serie diverge para todo x con excepción de su centro x = 0. Ahora bien. el intervalo de convergencia es (−∞. concluimos que R = 0. Entonces. Como n→∞ La serie converge (absolutamente) cuando x − 3 <1 ⇔ −1 < x − 3 < 1 ⇔ 2 < x < 4.504 Unidad 6: Series de potencias Nota que ésta es la forma establecida en la definición de una serie de potencias con c0 = 1. = lím = x lím n→∞ n→∞ n→∞ un n! n! xn n→∞ Por lo tanto (de acuerdo con el criterio del teorema 6. debemos tratar estos casos por separado.11 Encuentra el intervalo y el radio de convergencia de la serie ∑ n! . deducimos que la serie converge (absolutamente) pa- ra 2 < x < 4. Si tomamos un como el término general de la serie. es decir. c3 = 3! y c4 = 4 ! En cuanto al radio de convergencia. si un = n!xn. n n=1 ∞ solución lím un+1 ( x − 3)n+1 n n 1 = x − 3 lím 1 − = x−3 = lím ⋅ = x − 3 lím n n →∞ n →∞ n →∞ un n +1 n +1 n +1 ( x − 3) x − 3 <1 y diverge cuando x − 3 > 1. dado que el criterio no da información en el caso en que x − 3 = 1. entonces: lím un+1 (n + 1)! x n+1 (n + 1)! = x lím (n + 1) = ∞. cuando x = 2 y x = 4. Sección 6. n= 0 ∞ (−1)n x n solución Observa que (−1)n = (−1)n+1 = 1.13 Halla el intervalo de convergencia y el radio de convergencia de ∑ 3n (n + 1) . entonces. la anterior. convergente de acuerdo con el criterio de series alternantes de la unidad ∑1 / n. Así.. concluimos que la serie converge para 2 ≤ x < 4. de acuerdo con el criterio sobre series alternantes... Si x = 2.2 Operaciones con series de potencias Veremos ahora cómo usar las propiedades operacionales de las series de potencias. es divergente. la cual es armónica y en consecuencia diverge. para determinar las series de otras funciones con base en algunas series elementales..2: Series de potencias 505 Para x = 4 la serie se convierte en serie resultante es ∑ (−1)n / n. 3] y el radio de convergencia es R = 3.1).. El intervalo de convergencia de la serie original es (−3.. 2 . Sustituyendo x = −3 en la serie dada resulta: ∞ ∞ ∞ (−1)n (−3)n (−1)n (−1)n 3n 1 ∑ 3n (n + 1) = ∑ 3n (n + 1) = ∑ n + 1 n= 0 n= 0 n= 0 1 1 que es la serie armónica 1 + 1 2 + 3 + 4 + . lím un+1 x n+1 n +1 x 1+1 n x 3n (n + 1) x = lím = = lím n+1 ⋅ = lím n n→∞ 3 un 3 n→∞ n + 2 3 n→∞ 1 + 2 n 3 x (n + 2 ) n→∞ El criterio del cociente (o de la razón) implica que la serie converge absolutamente si x < 3 y diverge si x > 3. para toda x de un intervalo abierto que contiene a a. entonces esta serie es la serie de Taylor de f alrededor de a. las operaciones se utilizan junto con las series de Maclaurin básicas (véase la tabla 6. Ejemplo 6. Generalmente. Teorema 6. + cn ( x − a ) + . Los casos x = −3 y x = 3 deben analizarse por separado. Veamos el siguiente teorema que establece la relación directa entre las series de Taylor y las de potencias (recuerde que una serie de Maclaurin es una serie de Taylor alrededor de cero).2.6. Al sustituir x = 3 en la serie dada obtenemos: ∑ 3n (n + 1) = ∑ n + 1 n= 0 n= 0 ∞ (−1)n 3n ∞ (−1)n una serie alternante y convergente..2 3 n Si f ( x ) = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a ) + c3 ( x − a ) + . 506 Unidad 6: Series de potencias Demostración: Derivando f (x) sucesivamente.. 1 − x n =0 .. Considerando este teorema y retomando algunos resultados de la sección inmediata anterior... 2n + 1 3 5 7 cos x = ∑ (−1)n n =0 ∞ ln(1 + x ) = ∑ (−1)n n =0 ∞ arctan ( x ) = ∑ (−1)n n =0 ∞ 1 = ∑ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + .. 2 ! 3! 4 ! n! n =0 ∞ ∞ Intervalo de convergencia −∞ < x < ∞ −∞ < x < ∞ −∞ < x < ∞ −1 < x ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 1 −1 < x < 1 sen x = ∑ (−1)n n =0 ∞ x 2 n+1 x3 x5 x7 = x − + − + . Tabla 6.1: Series de Maclaurin de algunas funciones elementales. a continuación presentamos una lista de las series de Maclaurin de algunas de las funciones más importantes. (2 n + 1)! 3! 5 ! 7 ! x2n x2 x4 x6 = 1− + − + .. n +1 2 3 4 x 2 n+1 x3 x5 x7 = x − + − + ... Función ex = ∑ xn x2 x3 x4 = 1 + x + + + + . c2.. (2 n )! 2! 4 ! 6! x n+1 x2 x3 x4 = x− + − + ... c1..... Este teorema implica que no importa cómo se llegue a una serie de potencias centrada en x = a y convergente a f (x): siempre será la serie de Taylor de f (x) alrededor de a. Al sustituir x = a.. a un lado aparecen también sus intervalos de convergencia. c3. resulta: f '( x ) = c1 + 2 c2 ( x − a ) + 3c3 ( x − a )2 + 4 c4 ( x − a )3 + . f '' ( x ) = 2 ! c2 + ( 3 ⋅ 2 )c3 ( x − a ) + ( 4 ⋅ 3)c4 ( x − a )2 + ... todas las potencias de x − a se anulan y tenemos que f (a ) = c0 f '(a ) = c1 f ''(a ) = 2 ! c2 f '''(a ) = 3! c3 ⇒ ⇒ c2 = f ''(a ) 2! f '''(a ) c3 = 3! Con lo que se demuestra que los coeficientes c0.… son precisamente los coeficientes de la serie de Taylor de f (x) alrededor de a. f '''( x ) = 3! c3 + ( 4 ⋅ 3 ⋅ 2 )c4 ( x − a ) + . 6. Veamos los ejemplos siguientes.1 como sigue: 1− x 1 = 1 + (− x ) + (− x )2 + (− x )3 . Una serie de potencias puede interpretarse como un polinomio infinito. Nota: Las propiedades operativas de las series de potencias son las mismas de los polinomios algebraicos. 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + ..15 Encuentra una representación en serie de Maclaurin para f ( x ) = 1 .2: Series de potencias 507 Como veremos en el siguiente apartado de esta sección....14 Halla la serie de Maclaurin de f ( x ) = 1 . x +1 solución Simplemente sustituimos −x en la serie para 1 de la tabla 6. − 1 < x < 1 1 − (− x ) Es decir. x+2 solución Primero tomamos el 2 como factor común en el denominador: 1 1 1 = = x 2+x x 2 1 + 2 1 − − 2 2 ... esta lista básica es muy útil en el desarrollo de diversos cálculos algebraicos y de otro tipo donde intervienen derivadas e integrales. Ejemplos Ejemplo 6. de lo que resulta: 1 − x n =0 ⇒ ∞ 1 = ∑ (−1)n x n 1 + x n= 0 ∞ ∞ 1 = ∑ ( − x )n 1 − (− x ) n= 0 Ejemplo 6. − 1 < x < 1 1+ x Otra posibilidad es reemplazar −x en 1 = ∑ x n . 1 + x + 2 ! 3! 4 ! 2 2 ! 3! 4 ! ∞ x2 x4 x 2n 1 2x2 2x4 . 2 + x n= 0 2 Entonces. Ejemplo 6.... Iniciamos determinando una serie para Nos apoyaremos en el hecho de que cosh( x ) = 1 2 e −x .508 Unidad 6: Series de potencias Para x < 2.. para lo que simplemente sustituimos −x en la serie para e x de la tabla 6. −∞ < x < ∞ 2 ! 3! 4 ! x2 x3 x4 x2 x3 x4 1 + + + . solución (e x + e− x ).. x − + + . solución Al emplear las series de Maclaurin para ex y arctan(x).....17 Determina los primeros tres términos distintos de cero de la serie de Maclaurin de f (x) = ex arctan(x)...1: 1− x n ∞ ∞ (−1)n 1 1 1 ∞ x 1 1 ⋅ = ∑ − = ∑ (−1)n x n = ∑ n+1 x n 2 2 2 x 2 n= 0 2 n= 0 n= 0 2 − 1 − 2 ∞ 1 (−1)n = ∑ n+1 x n si x < 2. .1: e− x = ∑ n =0 ∞ (− x ) n! n = 1 + (− x ) + (− x )2 (− x )3 (− x )4 + .. x2 x3 x4 x3 x5 e x arctan( x ) = 1 + x + + + + . −∞ < x < ∞ + + 2! 3! 4! Es decir.. = 1 + + + .16 Halla una representación en serie de potencias centrada en x = 0 para la función f (x) = cosh(x). + 1 − x + − + + . sustituimos − x 2 en la serie de n 1 en la tabla 6. = ∑ (2 n )! 2 2! 4! 2! 4 ! n =0 Ejemplo 6... e− x = 1 − x + Entonces. x −x cosh ( x ) = 1 2 (e + e ) = x2 x3 x4 − + + . −∞ < x < ∞ = 2 + + + .. −1 ≤ x ≤ 1 2 ! 3! 4 ! 3 5 ... 6... el único cuadrático es x2 y el único cúbico. + + .18 Realiza las operaciones indicadas: a) ∑ xn + ∑ 2 n= 0 n= 0 ∞ n= 0 ∞ ∞ x n b) ( x + 3)∑ x n solución a) Para realizar la suma. Como 2 3 6 3 e x arctan ( x ) = x + x 2 + 1 6 x + .. x − + + . simplemente expresamos con un sólo símbolo de sumatoria. la suma de los términos que definen cada serie dada: ∑ xn + ∑ 2 n= 0 n= 0 ∞ ∞ x n n ∞ ∞ 1 x = ∑ x n + = ∑ 1 + n x n 2 n= 0 n= 0 2 b) El producto lo realizamos como sigue: ( x + 3)∑ x n = x ⋅ ∑ x n + 3 ⋅ ∑ x n = ∑ x ⋅ x n + ∑ 3 ⋅ x n n= 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = ∑x n= 0 n= 0 ∞ n +1 + ∑ 3x = ∑ ( x n n= 0 n= 0 ∞ n= 0 n= 0 ∞ n= 0 n +1 + 3x n ) Otra opción: ( x + 3)∑ x n = ∑ ( x + 3) x n = ∑ ( x n+1 + 3x n ) n= 0 n= 0 n= 0 ∞ ∞ ∞ Nota: La suma (o resta) de series de potencias expresadas con el símbolo Σ es posible sólo cuando las potencias de x sean idénticas y cuando el índice de las sumas empiecen en el mismo valor de n.. − 1 ≤ x ≤ 1 Ejemplo 6. por cada uno de los términos del segundo. . .2: Series de potencias 509 Ahora realizamos la multiplicación indicada como haríamos en los polinomios del álgebra elemental: El primer término del primer factor. + . etcétera. = x − + + + x − + + − 2 ! 3! 4 ! 3 5 3 5 3 5 2! 3 ⋅ 2! 5 ⋅ 2! x4 x6 x8 + − + + .. por cada uno de los términos del segundo factor.. . x2 x3 x4 x3 x5 x7 x3 x5 x4 x6 x3 x5 2 1 + x + + + + .. resulta que resulta de la suma de − x 3/3 y x 3/2.. más el segundo término del primer factor...... − 1 ≤ x ≤ 1 3! 3 ⋅ 3! 5 ⋅ 3! En este desarrollo vemos que el único término lineal es x. x3 x3 x3 − = ... resulta n= 2 ∞ n= 2 n= 2 ∑ ncn x n−1 = n =1 ∞ ( k +1)=1 ∑ ∞ ( k + 1)ck +1 x ( k +1)−1 = ∑ ( k + 1)ck +1 x k k =0 ∞ Y al sustituir k = n en la segunda serie. Entonces.19 Realiza las siguientes resta y suma. lo único que debemos arreglar es que las sumas inicien con el mismo subíndice n. lo cual se logra a través de un cambio de variable. Escribimos k = n − 1 en la primera serie. si escribimos los dos primeros términos de la primera serie fuera de la notación sigma (los cuales se obtienen sustituyendo n = 0 y n = 1. Al sustituir n = k + 1 en la primera serie. la suma original se reescribe como: ∑ ncn x n−1 + ∑ cn x n = ∑ (k + 1)ck +1 x k + ∑ ck x k n =1 n= 0 k =0 k =0 ∞ ∞ ∞ ∞ . respectivamente). en x2. la segunda). y la segunda. ∑ xn − ∑ n − 1 = 1 + x + ∑ xn − ∑ n − 1 n= 0 n= 2 n= 2 n= 2 ∞ ∞ nx n ∞ ∞ nx n Como las potencias de x ya inician con el mismo exponente (dos). En este caso. y en la otra sustituimos los valores de n necesarios para empatarlas. a) ∞ ∞ ∑ xn − ∑ n − 1 n= 0 ∞ n= 2 nx n ∞ b) ∑ ncn x n−1 + ∑ cn x n n =1 n= 0 solución a) Para realizar la resta es necesario que las potencias de x inicien con el mismo exponente. Para lograr que ambas comiencen con la misma potencia. al tiempo que se iguala k = n en la segunda. Por ello. la primera comienza en x0. y las sumas empiezan también en el mismo subíndice (n = 2). tenemos: ∑ cn x n = ∑ ck x k . realizamos la suma y escribimos la expresión original en términos de una sola serie: xn − ∑ xn − ∑ n − 1 = 1 + x + ∑ xn − ∑ n − 1 = 1 + x + ∑ n − 1 n= 0 n= 2 ∞ ∞ nx n ∞ ∞ nx n ∞ nx n n n = 1 + x + ∑ 1 − x n − 1 n= 2 b) Observa que las series dadas ya empiezan con la misma potencia x0. n =0 k =0 ∞ ∞ Por lo tanto.510 Unidad 6: Series de potencias Ejemplo 6. conservamos la serie que inicia en la potencia más alta (en este caso. f '( x ) = ∑ ncn ( x − a )n−1 = c1 + 2 c2 ( x − a ) + 3c3 ( x − a )2 + . no importa el nombre que le pongamos. podemos escribir: ∑ ncn x n−1 + ∑ cn x n = ∑ [(n + 1)cn+1 + cn ] x n n =1 n= 0 n= 0 ∞ ∞ ∞ Sección 6. n= 0 ∞ con un radio de convergencia R > 0 es derivable (y por lo tanto continua) e integrable en el intervalo (a − R.. por lo que resulta natural preguntarse ¿cómo determinar las derivadas o las integrales de funciones definidas en términos de series? El siguiente teorema establece las propiedades que responden a esta pregunta.3: Derivación e integración de series de potencias Una función f definida por f ( x ) = ∑ cn ( x − a )n = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a )2 + c3 ( x − a )3 + .. Teorema 6.6. las series de potencias representan funciones y = f (x) en su intervalo de convergencia. y los subíndices también comienzan igual (k = 0).3 Derivación e integración de series de potencias Como hemos visto. 2.. por lo tanto.. a + R). el índice de la suma es una variable “muda”. 2 3 = C + c0 ( x − a ) + c1 El radio de convergencia de la serie que se obtenga por derivación o integración es el mismo que el de la serie de potencias original (el intervalo de convergencia podría diferir en los extremos). por lo que se acostumbra renombrar a la variable k del último resultado nuevamente como n (con la finalidad de no cambiar el nombre del índice de la suma original)...2: Series de potencias 511 Las series en términos de k inician en la misma potencia (x0)..2. n =1 ∞ ∫ f ( x )dx = C + ∑ cn n =0 ∞ ( x − a )n+1 n +1 ( x − a )2 ( x − a )3 + c2 + . + cn ( x − a )n + . Entonces. . 1. k k ∑ ncn x n−1 + ∑ cn x n = ∑ ( k + 1)ck +1 x + ck x n =1 n= 0 ∞ ∞ ∞ = ∑ [ ( k + 1)ck +1 + ck ] x k k =0 k =0 ∞ Así como ocurre en integración. es decir.. Además. ..20 Determina la derivada de la función dada por f ( x ) = ∑ xn .21 Calcula la primera y segunda derivadas de la función representada por la serie y = ∑ cn x n .. Ejemplos Ejemplo 6. n= 0 ∞ solución Simplemente aplicamos la regla para derivadas de funciones en forma de potencias xn (cn es constante).. Revisa la tabla 6. de donde resulta y '' = ∑ n(n − 1)cn x n− 2 n= 2 ∞ . 2 3! 4 ! Es decir. la fórmula dx ( ) y ' = ∑ ncn x n−1 n =1 ∞ Para hallar y″ volvemos a aplicar la regla a y′. 2 3! 4! x2 x3 x4 = 1+ x + + + + .. f '(x) = f (x).1 para que reconozca que ocurrió este hecho. resulta: n! 2 3! 4 ! n =0 x x2 x3 f '( x ) = 1 + (2 ) + ( 3) + ( 4 ) + . d x n = nx n−1 es decir.. como si se tratara de un polinomio. Ilustraremos algunos de ellos en los siguientes ejemplos. podemos derivar e integrar una serie de potencias término a término. al derivar término a término..512 Unidad 6: Series de potencias De acuerdo con el teorema 6. Es muy amplia la variedad de cálculos que se pueden realizar con la derivación y la integración de series de potencias.3. n= 0 n ! ∞ solución Como f ( x ) = ∑ x2 x3 x4 xn = 1 + x + + + + . ∞ Ejemplo 6. . (Recuerda que esta ecuación se puede escribir también como y ' = ex. 3 10 42 216 1 1 1 1 ≈ 1− + − + ≈ 0. Ejemplo 6.7 7475 3 10 42 216 = 1− 1 1 Al apoyarnos en el teorema 5..22 mostramos cómo se utilizan las series de potencias para aproximar el cálculo de integrales definidas.3 para la estimación del error (residuo) de las series alternantes. la ecuación dy = ex dx es diferencial por el hecho de que en su estructura aparece la derivada de y respecto de x.) Resolver una ecuación diferencial significa encontrar una función que en cierto . Por ejemplo. dx 2 ! 3! 4 ! ⌡0 x3 x5 x7 x9 = x − + − + − .001.22 Mediante una serie de potencias. aproxima la siguiente integral con una precisión de 0. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales.. 2 ! 3! 4 ! Entonces. ¿Por qué? En el ejemplo 6. tenemos que esta aproximación es menor que 1 1 = < 0. y la segunda.. ∫0 1 − x2 e ⌠ x4 x6 x8 dx = 1 − x 2 + − + − .001 11 ⋅ 5 ! 1320 Mediante las propiedades de las series de potencias se pueden resolver algunas ecuaciones que implican las derivadas o diferenciales de una función.. 3 5 ⋅ 2 ! 7 ⋅ 3! 9 ⋅ 4 ! 0 1 1 1 1 + − + − .6..2: Series de potencias 513 Observa que la primera derivada comienza con el subíndice de la suma en n = 1.13 de la sección 5. aun en el caso de que la función por integrar no tenga una primitiva elemental. 1 − x2 ∫0e dx solución Primero sustituimos −x2 en la serie para ex de la tabla 6. con n = 2..1: e− x = 1 − x 2 + 2 x4 x6 x8 − + − .. función y = ex.. Método 1. n = 0 (2 n + 1)! ∞ y '' + y = 0 solución Lo que se pide es mostrar que la suma de la función dada. 2 4 ! 6! y y '' = − x + x3 x5 − + . Método 2. 3! 5 ! . decimos que la solución general de esta ecuación diferencial es y = ex + c..514 Unidad 6: Series de potencias intervalo la satisfaga.. tenemos y ' = ∑ ( 2 n + 1) n= 0 ∞ ∞ ∞ ∞ (−1)n x 2 n (−1)n x 2 n (−1)n x 2 n−1 (−1)n x 2 n−1 . por lo que nos enfocaremos a tratarlas sólo con algunas ecuaciones diferenciales sencillas. y '' = ∑ ( 2 n ) =∑ =∑ (2 n + 1)! n= 0 (2 n )! (2 n )! n =1 (2 n − 1)! n =1 x2 x4 x6 + − + . Ejemplo 6. dx considerando que la derivada de toda constante es cero. da cero.. = 0 3! 5 ! 3! 5 ! 7 ! Con lo cual queda verificado lo que se pide.23 Verifica que la función representada por la siguiente serie de potencias es una solución de la ecuación diferencial dada. una solución podría ser la dy = e x . precisamente... Para la ecuación del ejemplo. 3! 5 ! 7 ! n = 0 (2 n + 1)! ∞ Por lo tanto.. con su segunda derivada. y' = 1− de donde x3 x5 x3 x5 x7 y '' + y = − x + − + .. + x − + − + . porque al derivarla resulta. A través de la notación Σ.. Para resolver ecuaciones diferenciales mediante series de potencias se requiere de algunas consideraciones teóricas que rebasan el alcance de este libro. al derivar término a término. Al escribir algunos términos de y resulta: y=∑ x3 x5 x7 (−1)n x 2 n+1 = x− + − + . Además.. y=∑ (−1)n x 2 n+1 . 24. Veamos ahora cómo obtenerla con series de potencias.19: y '' + y = ∑ =∑ ∞ (−1)n x 2 n−1 ∞ (−1)n x 2 n+1 +∑ n = 0 (2 n + 1)! n =1 (2 n − 1)! ∞ ∞ (−1)k+1 x 2 k+1 (−1)n x 2 n+1 +∑ ... la función y = sen(x) + c.. en efecto. Ejemplo 6. cuya solución se obtiene por simple inspección y un poco de experiencia en cálculo. n =1 ∞ y de la tabla 6.24 Resuelve la ecuación diferencial y ' − cos(x) = 0. Se requiere hallar una función y que satisfaga la ecuación dada. note que la ecuación diferencial dada puede reescribirse en la forma y ' = cos(x). c1..25. solución En primer lugar. una función cuya derivada sumada con el coseno negativo. n =0 ∞ donde c0. resolveremos una con una solución que.21 sabemos que y ' = ∑ ncn x n−1 . en la primera integral renombramos k como n. se debe tener que: n =1 ∞ ∑ ncn x n−1 − cos ( x ) = 0 n =1 ∞ (*) Al desarrollar algunos términos de y ' tendremos y ' = ∑ ncn x n−1 = c1 + 2 c2 x + 3c3 x 2 + 4 c4 x 3 + 5 c5 x 4 + .. usaremos series para que corrobores de una manera simple la viabilidad de un método apoyado en esta herramienta. Del ejemplo 6. (2 n + 1)! n=0 (2 n + 1)! n =0 ∞ ∞ = −∑ En el ejemplo 6. que es una solución “general” de la ecuación.. c2. por derivación directa o por integración.6. Supongamos que esta función puede representarse mediante una serie de potencias de la forma: y = ∑ cn x n = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + . una vez visto que las series proporcionan un procedimiento de solución para una ecuación diferencial. (2 n )! 2! 4 ! 6! . c3. Como se observa. Por lo tanto.1 sabemos que cos ( x ) = ∑ (−1)n n= 0 ∞ x2n x2 x4 x6 = 1− + − + . aunque resolveremos una ecuación diferencial muy sencilla. dé como resultado cero. en la primera suma hicimos n = k + 1 (2 k + 1)! (2 n + 1)! k =0 n =0 (−1)n x 2 n+1 (−1)n x 2 n+1 +∑ = 0. exige el uso de series de potencias.… son coeficientes que debemos determinar. En el ejemplo 6.. es decir.2: Series de potencias 515 Si ahora sumamos y aplicamos las ideas del ejemplo 6.. − ∞ < x < ∞ 3! 5 ! 7 ! Podemos escribir la solución encontrada en la forma y = c0 + sen(x).. c5 = = ..1. . p5 ( x ) = x − + . Observa que a partir del segundo término de esta solución. se obtienen aproximaciones sucesivas a una de sus soluciones en la cercanía del centro de la serie..516 Unidad 6: Series de potencias Al sustituir estos desarrollos en la ecuación (*). c3 = − sustituimos estos coeficientes en nuestra propuesta de solución y = ∑ cn x n = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + .. se tiene 3! 5 ! la serie que representa a la función sen(x) de la tabla 6.... como de donde y = c0 + x − sen ( x ) = x − x3 x5 x7 + − + . c4 = 0. la misma que habíamos señalado como solución general al inicio de este ejemplo. los términos lineales por otra.. c2 = 0.. los cuadráticos por otra. es decir.. etcétera..9 muestra las aproximaciones de este tipo a la ecuación diferencial f (x) = sen(x) (caso c0 = 0). La gráfica de la figura 6. . p3 ( x ) = x − x3 x3 x5 ... n =0 obtendremos y = c0 + (1) x + (0 ) x 2 + (−1 / 3!) x 3 + (0 ) x 4 + (1 / 5!) x 5 + . 3! 3! 5! .) − (1 − x2 x4 x6 + − + .. Si ahora 2⋅3 3! (5 )( 4 !) 5 ! ∞ De estas ecuaciones hallamos c1 = 1. De aquí resulta que: c1 − 1 = 0 2 c2 = 0 3c3 + 1 2 = 0 4 c4 = 0 5 c5 − 1 4! =0 1 1 1 1 = − .. x3 x5 + + . resulta (c1 + 2 c2 x + 3c3 x 2 + 4 c4 x 3 + 5 c5 x 4 + ..) = 0 2! 4 ! 6! Si asociamos los términos constantes por una parte. 3 y 5: p1(x) = x. Nota: Cuando se resuelve una ecuación diferencial por series de potencias. Se muestran las aproximaciones con los polinomios de grados 1. obtenemos: 2 3 4 1 (c1 − 1) + 2 c2 x + ( 3c3 + 1 2 ) x + 4 c4 x + (5 c5 − 4 ! ) x + . = 0 De manera que cada coeficiente de los términos de la parte izquierda de la ecuación debe ser igual a los de la derecha (0 = (0)x0 + (0)x + (0)x2 + …). y '' = ∑ n (n − 1) cn X n− 2 n =1 n= 2 ∞ ∞ Al reemplazar estas expresiones en la ecuación 6.21. al calcular la primera y la segunda derivadas de la serie con respecto de X.1 toma la forma: (X2 + 1)y '' + Xy ' + y = 0 De esta manera.2. hallamos y ' = ∑ n cn X n−1 .9: Aproximaciones sucesivas de f (x) = sen(x).25 A través de una serie de potencias alrededor de a = 1. De acuerdo con el ejemplo 6. resuelva la ecuación diferencial (x2 − 2x + 2) y '' − (1 − x) y ' + y = 0 (6.2: Series de potencias 517 p3(x) p1(x) p5(x) y = sen(x) FIGURA 6.1) solución n La solución en serie de potencias alrededor de uno puede escribirse como y = ∑ cn ( x − 1) .6.3) . Con esta transformación la ecuación 6. (X 2 +1 ) ∑ n (n − 1) c X n n= 2 ∞ n− 2 + X ∑ n cn X n−1 + ∑ cn X n = 0 n =1 n= 0 ∞ ∞ (6. Para faci∞ litar el trabajo. buscaremos una solución del tipo y = ∑ cn X n n= 0 ∞ n= 0 (6. hagamos primero un cambio de variable: X = x − 1.2) Recuerda que el propósito en este método es hallar los coeficientes cn que aparecen en la serie anterior. Ejemplo 6. n − 6. los coeficientes de las diferentes potencias de X deben ser cero: c0 + 2 c2 = 0 . evaluando en la segunda suma resulta n = 0. 2 c1 + 6 c3 = 0 (n + 1)(n + 2 ) cn+ 2 + n 2 + 1 cn = 0 ( ) De estas últimas ecuaciones resultan c2 = n2 + 1 − c0 −c . c4. c4 = − c2 . 1.. obtendremos el valor de c2n en función de c0: c2 n = ( −1) n 1 ⋅ 1 + 22 1 + 4 2 ( )( 1⋅ 2 ⋅ 3 2 2 n ) (1 + ( 2n − 2 ) ) c 2 2n 0 = ( −1) (1 + 2 ) (1 + 4 ) (1 + ( 2n − 2 ) ) c 2 ( 2 n )! 0 . n = 2.23 se convierte en ∑ n (n − 1) cn X n + ∑ (n + 2 )(n + 1) cn+2 X n + ∑ n cn X n + ∑ cn X n = 0 n= 2 n= 0 n =1 n= 0 ∞ ∞ ∞ ∞ De aquí.. n= 2 n= 0 entonces. cn− 4 = − cn− 6 . …. 6 3 2 cn = − Si multiplicamos miembro a miembro las expresiones para c2. 1 que: (c0 + 2 c2 ) + (2 c1 + 6 c3 ) X + ∑ [ (n + 1)(n + 2 )cn+ 2 + {n (n − 1) + n + 1} cn ] X n = 0 n= 2 ∞ En la última ecuación. n (n − 1) (n − 2 )(n − 3) (n − 4 )(n − 5 ) 4⋅3 2 1 c note además que c3 = − c1 = − c1. (n + 1)(n + 2 ) 2 3 Si en la última reemplazamos n por n − 2. la ecuación 6.518 Unidad 6: Series de potencias El primer término es: (X 2 +1 ) ∑ n (n − 1) c X n n= 2 ∞ n− 2 = ∑ n (n − 1) cn X n + ∑ n (n − 1) cn X n− 2 n= 2 ∞ n= 2 ∞ ∞ ∞ = ∑ n (n − 1) cn X n + ∑ (n + 2 )(n + 1) cn+2 X n . cn+ 2 = − cn .. en la tercera n = 1.… c2n. obtenemos: (n − 2 ) 2 + 1 ( n − 4 )2 + 1 ( n − 6 )2 + 1 22 + 1 cn− 2 cn− 2 = − cn− 4 . y en la última n = 0. c3 = 1 . c2 = − 0 . 3. …. n − 4. 6. ¿cuál será el radio de convergencia 3. Si el radio de convergencia de la serie de potencias de la serie ∑ ncn x n−1 ? Explica tu razonamiento. n =1 ∞ ∑ cn x n n= 0 ∞ es 2. de las ecuaciones para c3. Si la serie de potencias ∞ ∑ cn x n n= 0 ∞ converge para x < 4. ¿Qué es una serie de potencias? 2. como X = x − 1.2: Series de potencias 519 Por otro lado. ¿qué se puede decir sobre la convergencia de la serie ∑ cn n + 1 ? Explica tu razonamiento. n= 0 x n+1 .…c2n + 1. c2 n+1 = (−1)n (1 + 1 ) (1 + 3 ) (1 + (2n − 1) ) c 2 2 2 (2 n + 1)! 1 Al reemplazar los valores de c2n y c2n + 1 en y = ∑ cn X n se obtiene n= 0 ∞ y = c0 + c0 ∑ (−1) n =1 ∞ n (1 + 2 ) ⋅ (1 + 4 ) (1 + (2n − 2) ) X 2 2 2 2n (2 n )! ∞ 1 + 12 ⋅ 1 + 32 1 + (2 n − 1)2 2 n+1 + c1 X + ∑ (−1)n X + 1 )! 2 n ( n =1 ( )( ) ( ) Finalmente. c5. hallamos la solución de la ecuación: y = c0 + c0 ∑ (−1) n =1 ∞ ∞ n (1 + 2 ) ⋅ (1 + 4 ) (1 + (2n − 2) ) ( x − 1) 2 2 2 2n (2 n )! 2 + c1 ( x − 1) + c1 ∑ (−1)n n =1 (1 + 1 ) ⋅ (1 + 3 ) (1 + (2n − 1) ) ( x − 1) 2 2 2 n +1 (2 n + 1)! 1. a) f ( x ) = − 1 d 1 = ( x + 1)2 dx x + 1 b) f ( x ) = ln( x + 1) = ∫ x + 1 dx 1 7.1 x arctan( 3x ) dx . x+2 a=0 d) f ( x ) = e) f ( x ) = x .1 y las sugerencias que se indican abajo para determinar una serie de potencias. precisión de 0. x2 + x − 2 a=0 a=0 a=0 b) f ( x ) = c) f ( x ) = f ) f ( x ) = ln(5 − x ).01 precisión de 0. 6. a) b) ∫ 0 e− x dx .01 0.2 1 ⌠ dx . Utiliza operaciones algebraicas adecuadas y la tabla 6. precisión de 0. precisión de 0. n=1 ∞ n b>0 d) (−2 )n x n ∑ 4n n=1 i) ∑ (2n + 1)! n =0 ∞ x 2 n+1 e) ∑ (−1)n+1 ( x − 1)n+1 n +1 n =0 ∞ j) ∑ n!(2 x − 1)n n=1 5.000001 . a = −3 2x − 5 1 . centradas en 0.000001 e) ⌡0 1 + x 5 ∫ 0 sen ( x ) dx . 9 + x2 3x . a) ∑ ∞ (−1)n x n n n=1 ∞ f) ∑ (−1)n 4 n ln(n) n =2 ∞ ∞ xn b) ∑ ∑ ∞ ∞ (−1)n−1 x n n3 n=1 g) ∑ n + 1 (−2 x )n−1 n=1 ∞ n c) (−1)n+1 x n 4n n=1 h) ∑ b n ( x − a )n . a) g( x ) = 1 . Encuentra el radio y el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias. a) f (x) = senh(x) b) g(x) = x2 cos(x3) c) h(x) = ex cos(x) d) y = sen(x) cos(x) 8.1 para hallar una representación en serie de potencias alrededor de a = 0 de cada una de las siguientes funciones. 1 3 precisión de 0. Determina una serie de potencias centrada en a para las siguientes funciones.5 ⌠ ln(1 + x ) d x . Indica en cada caso el intervalo de convergencia. a=0 1− x3 3 .0001 c) ⌡0 x f) ∫0 0. 1 1 ⌠ sen ( x ) dx . de las funciones siguientes. Usa una serie adecuada de la tabla 6.520 Unidad 6: Series de potencias 4. Usa series de potencias para hacer un cálculo aproximado de las siguientes integrales con la precisión que se indica.0001 d) ⌡0 x 0. precisión de 0. a) lím x →0 1 − cos ( x ) x 2 b) lím x →0 cos ( x ) − 1 x sen ( x ) 11.2: Series de potencias 521 9. Calcula los siguientes límites de dos maneras: a) usando la regla de L’Hôpital. n n= 0 2 n ! ∞ y '' − xy ' − y = 0 13. Comprueba que la función representada por la serie de potencias es una solución de la ecuación diferencial. como el crecimiento de una población o la rapidez de desintegración de una sustancia radiactiva. Reescribe las expresiones siguientes en términos de una sola serie. Sea f (x) = xex a) Halla el desarrollo de f (x) en la serie de potencias de x. a) y = ∑ x 2 n+1 . En el caso particular de que la razón de cambio de una cantidad en estudio sea proporcional a la cantidad presente en cualquier momento t. Diversos fenómenos donde intervienen cantidades que aumentan o disminuyen en el tiempo pueden modelarse con una ecuación diferencial. La ecuación diferencial que modela el movimiento armónico simple de un sistema masa-resorte se deduce de la segunda ley de Newton y tiene la forma d 2x + ω 2 x = 0. . b) Integra la serie de potencias encontrada en el inciso a) y demuestra que ∑ n !(n + 2) = 2 n =1 ∞ 1 1 10. a) ∑ 4 n(n − 1)cn x n−2 +∑ cn x n n =2 n =0 ∞ ∞ b) ∑ 2ncn x n−1 + ∑ 6cn x n+1 n=1 n =0 ∞ ∞ 12. y '' − y = 0 n = 0 (2 n + 1)! ∞ ∞ b) y = ∑ x2n . 2 dt 2 donde ω = k m (k es la constante del resorte y m la masa sujeta). b) mediante series de potencias.6. se tiene la ecuación dP = kP dt Usa series de potencias para probar que la solución general es P(t) = ce−kt 15. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales suponiendo una solución en serie de potencias de la forma y = ∑ cn x n n= 0 a) y ' − x2y = 0 b) (1 − x)y ' − y = 0 c) y '' = y ' d) y '' − 2xy ' + y = 0 14. la solución general de esta ecuación diferencial es: x(t) = c0 cos(t) + c1 sen(t) Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones. Las series de potencias son muy importantes porque constituyen una forma de representar algunas de las funciones primordiales de matemáticas. b) Verifica que la serie es una solución de la ecuación diferencial x2J1'' + xJ1' + (x2 − 1)J1 = 0 c) Usa una calculadora graficadora o algún software computacional para representar el polinomio formado por los primeros cuatro términos de J1. de orden cero y de orden uno. respectivamente. La función de Bessel. Para la función de Bessel de orden cero: a) Muestra que la serie converge para todo x.522 Unidad 6: Series de potencias Usa el método de series de potencias estudiado en esta sección para demostrar que si ω = 1. al inicio de esta sección. Por ejemplo. el astrónomo alemán Friedrich Bessel (1784-1846) usó funciones representadas en series de potencias del tipo J0 (x) = ∑ (−1)n x 2 n 2n 2 n = 0 2 (n !) ∞ J1 ( x ) = ∑ (−1)n x 2 n+1 2 n +1 n = 0 n !(n + 1)! 2 ∞ Éstas se llaman. funciones de Bessel. 1. II. b) Demuestra que la serie es una solución de la ecuación diferencial x2J0'' + xJ0' + x2J0 = 0 c) Usa una calculadora graficadora o algún software computacional para representar el polinomio formado por los cuatro primeros términos de J0. realiza lo que se indica a continuación. Contesta la pregunta planteada en el apartado Sistema muelle-amortiguador automotriz. en la resolución de las ecuaciones de Kepler —que describen el movimiento planetario—. Con base en ellas. Para la función de Bessel de orden 1: a) Demuestra que la serie converge para todo x. 2. física y química. d) Demuestra que J0'(x) = −J1(x). . precisamente. I. 2: Series de potencias 523 3. en 1973 Jean Guilloud y Martine Bouyer determinaron el primer millón de cifras a través de una identidad relacionada con la utilizada por John Machin: 1 1 1 π = 48 arctan + 32 arctan − 20 arct tan 18 57 239 En 1983 el número π se calculó hasta con 16 millones de cifras empleando un método distinto. a) Usa la serie para arctan(x) (véase la tabla 6.000 cifras y. determina el valor que se obtiene con sólo cinco términos de cada una de las series para el arctan (1/5) y arctan (1/239).511 trillones de cifras en tan sólo 500 horas de trabajo. para 4 aproximar π con una precisión de una cifra decimal.1) y el hecho de que arctan(1) = π .6. Por ejemplo. En 1706 John Machin (1680-1751). Entre tanto. es decir. En 1671 James Gregory (1638-1675) usó la serie de potencias para la función arctan(x) en el caso de que x = 1.450. la serie numérica resultante (véase el inciso a) no ofrece una manera práctica de aproximar π debido a que tiene una convergencia muy lenta. Sin embargo. 8 ∞ ( 4 n )!(1103 + 26390 n ) 1 = ∑ 9801 n= 0 π (n!) 396 4 n . ¿Haz pensado alguna vez cómo se desarrolló el decimal del número π con un gran número de cifras? Revisemos un poco su historia. quien se anticipó a diversos descubrimientos de Newton. En 1995 se calcularon 6’442. usando la identidad: 1 1 π 4 arctan − arctan = 5 239 4 la cual brinda una forma de aproximar π con pocos términos (véase el inciso b). c) Usa una calculadora o algún software computacional para demostrar que la serie de Srinivasa Ramanujan converge a 1 π . una supercomputadora calculó 13. desarrolló una aproximación a π con cien dígitos. en 1914 Srinivasa Ramanujan (1887-1920) descubrió una serie muy interesante para aproximar el valor de π (véase el inciso c): 8 ∞ ( 4 n )!(1103 + 26390 n ) ∑ 9801 n= 0 (n!) 396 4 n En años más recientes (con el uso de computadoras) se han realizado cálculos más precisos. en 2004. por lo que se necesitarían cientos de términos para obtener una precisión razonable. Cálculo del número π. ¿Cuántos términos de la serie se necesitan para esta aproximación? b) Con la serie para arctan(x) en la identidad usada por John Machin. . Sugerencia: use tan ( x ) = sen ( x ) .63984 6.. Al resolver la ecuación diferencial a) y = c1 x + x2 + 1 2! 1 2! 1 3! x 3 + ..36849 c) 0.. Es la serie que representa la derivada de la función f ( x ) = xn ∑ n! n= 0 ∞ ∞ 1 1− x x2n d) a) b) ∑ (−1)n n= 0 x n+1 n +1 c) ∑ (−1)n (2n)! n= 0 ∞ ∑ (n + 1) x n n= 0 ∞ 1 ⌠ 1 − cos ( x ) dx 5.... x2 ⌡0 a) 0. 3. 2 b) y = c0 1 + x + x4 + x 6 + . Es la aproximación de con una precisión de cinco cifras decimales. 4 1 5 d) x 3 + 1 2 x + 3 x + . 4. 2) b) (−2. 1 3! x2 + 1 3! x 3 + .... x4 + 1 3! x 8 + ..84369 b) 0. 3 1 5 a) x − 1 3 x + 5 x − .....48639 dy − 2 xy = 0. . 1 2 1 3 1 4 c) f ( x ) = 1 − 1 3 x + 6 x − 10 x + 15 x − . Halla la opción que corresponde con la serie de potencias para f (x) = (1 + x)−3.. Indica la opción que contiene el intervalo de convergencia de la serie a) (−6. n ⋅ 4n n =1 ∞ d) [−4.... 2] 2. 6] c) (2. 3 5 1 b) x − 1 6 x + 120 x − . cos ( x ) 3 2 5 c) x + 1 3 x + 15 x + .. Indica la serie que representa a la función tan(x)... b) f ( x ) = 3 − 6 x + 10 x 2 − 15 x 3 + . 2 3 4 d) f ( x ) = 1 + x + 3x − 6 x + 10 x − . resulta dx c) y = c0 1 + x + d) y = 1 + 1 2! 1 2! d) 1. 2 3 4 a) f ( x ) = 1 − 3x + 6 x − 10 x + 15 x − .524 Unidad 6: Series de potencias Autoevaluación 1. 4) ∑ (−1)n ( x − 2 )n . . 1] c) 4. El radio de convergencia es 2. Los radios e intervalos de convergencia son a) 1. ∞) j) 0. + cn ( x − a)n + .. 2. vi.. 1] 2 2 e) 1. 4] g) 1 2 . (− ∞. (−1.. Columna A a ) x 2 e−3 x 1 b) 1 + x2 i. 3. 1 2 1 4 1 6 x+ 2 ! x + 4 ! x + 6 ! x + . Columna B 1 2 1 4 1 6 1− 2 ! x + 4 ! x − 6 ! x + .. Las derivadas y las integrales de una serie de potencias tienen el mismo radio de convergencia que la serie original. 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − . [−1. ii. 1] b) 1.. (0. { 1 } 2 . 2] ... 4) d) 1 2 f ) 4. por lo tanto. a + b) i) ∞.2: Series de potencias 525 7. viii... 1 3 1 5 1 7 x− 3 ! x + 5 ! x − 7 ! x + . 1 2 2 3 3 2 x − 3 x + 4 x − ...6. En la columna B... (− 1 . n =0 ∞ donde a es una constante. (− 1 . converge en el mismo intervalo (−4. Es una serie de la forma ∑ cn ( x − a)n = c0 + c1 ( x − a) + c2 ( x − a)2 + c3 ( x − a)3 + . 4. iv. 2 3 5 9 4 x − 3x + 2! x − 27 3! x + . v. La segunda serie es la integral de la primera.. x 2 n+1 (2 n + 1)! n= 0 ∞ x2n d ) La integral de y = ∑ (−1)n (2 n )! n= 0 c ) La derivada de y = ∑ (−1)n ∞ Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. 3 5 1 1 1 7 1+ 3 ! x + 5 ! x + 7 ! x + .... vii. 8 2 4 6 x + x + x + x + . 4) y tal vez también en uno o en ambos extremos del intervalo. halla las series de potencias que corresponden con las expresiones de la columna A.. iii... (a − b. (−4. (−4. 1) 2 2 h) b. 808 b) 0. Las simplificaciones son a) ∑ [ 4(n + 2)(n + 1)cn+2 + cn ] x n n =0 ∞ b) 2 c1 + ∑ [ 2(n + 1)cn+1 + 6 cn−1 ] x n n=1 ∞ 12.526 Unidad 6: Series de potencias 5. 2! 4 ! 6! c) e x cos x = 1 + x − x3 x4 − + . d) sen x cos x = x − x 3 + x 5 − 3 15 315 8.804 ≤ I ≤ 0. Las soluciones son 1 a) ∑ x n+1 n! n =0 10.. n +1 n=0 ∑ ∞ (−1.. Las series e intervalos de convergencia son a) ∑ n (−1)n x n−1. ..9461 9. 1] 7..199989 f ) 0.603 c) 0.000983 b) − 1 2 11. 3 6 b) x 2 cos x 3 = x 2 − 2 2 4 7 x + . 1) b) (−1)n x n +1 . Las soluciones son a) 1 2 ∞ ∞ ⌠ ∞ 1 n +1 1 x b) ∫0 xe dx = 1 = ∑ x dx = ∑ ! !( n n n + 2) ⌡0 n = 0 n=0 1 1 d ) 0. 3! 5! x 8 x14 x 20 + − + .. n =1 ∞ (−1. Demostraciones (calcule y ' y y ''. sustituye en la ecuación y verifica que se satisface).. Las soluciones aproximadas son a) 0. Las series correspondientes a cada función son 1 ∞ 2 ∑ 11 ( x + 3) 11 n = 0 n a) − d) ∑ (−1)n 9n+1 x 2 n+1 n =0 ∞ n=0 ∞ 1 b) ∑ x 3n n =0 ∞ e) n − ∑ 2 ∞ 1 n − 1 x n c) 3 ∞ x ∑− 2 n=0 2 f ) ln 5 − ∑ xn n n=1 n 5 6. Las series son a) senh x = x + x3 x5 + + .600 ≤ I ≤ 0...8224 e) 0. conceptos y contextos. El resultado se encuentra dentro del problema. b) 7.. (c. Hostetler. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1... Referencias de Internet 1.wikipedia. 3a. Las soluciones son a) y = c0 ∑ ∞ 1 x3 n = 0 n! 3 ∞ n c) y = c0 − c1 + c1 ∑ xn n! n=1 ∞ b) y = c0 ∑ x n n =0 1 5 45 7 3 21 1 x + . a) 3.).2: Series de potencias 527 13. Sobre la función de Bessel en astronomía: http://www1.. McGraw-Hill. México. Internacional Thompson Editores. (a. Cálculo.eafit. 2006. c) 6. i.edu.htm 2. El resultado se encuentra dentro del problema.)..) Referencias 1.co/quasar/congreso/agreda. México. Stewart.. ed. d) y = c0 1 − x 2 − x 4 − x 6 − . Cálculo.6. ed.org/wiki/N%C3%BAmero_pi . iii. iv. c) 4. Edwards. Sobre el número π : http://es. b) 2. Larson. (b. 2. James. 8a. (d. 2006. d) 5. 15. + c1 x + x 3 + x 5 + 3! 2! 5! 7! 4! 6! 14. vii.). aplicaciones de la integral. 329 problemas para trabajar en equipo. 403 sustituciones diversas. 76 Centro de masa y momentos de inercia. 346 Fuerza de gravedad. 453 de la razón. 1-72 modelos basados en la. directo. 84 logísticas. 263 superficial de sólidos de revolución. 357 problemas para trabajar en equipo de. 18 de una función. 474 ejercicios y problemas de. 492 primeras series. 446 C Cambio de variable para integrales definidas. 416. 428.Índice analítico A Aplicaciones de la integral. 262 problemas para trabajar en equipo. 310 Diferencial. 362 e integral impropia. 447. 361 y la regla de L Hôpital. 306 Arreglo de números. 457 F Formas indeterminadas. 110 por fracciones parciales. 262 criterios de convergencia. 437 D Densidad de masa. 14-18 problemas para trabajar en equipo. 38 entre curvas. 4-9 e integral definida. 66-69 volúmenes. 454 autoevaluación. 433 series de potencias. 513 de primer orden. 446. 453-454 problemas para trabajar en equipo. 249. 519 sucesiones. 133 método de sustitución trigonométrica. de Cauchy para la convergencia de una serie. concepto de. integrales de potencias trigonométricas. 19-20 ejercicios y problemas. 171 Efecto. 466 diferencial. 495 Divergencia. 313 Criterio(s). 447 Curva copo de nieve de Helga von Koch. 32-36. 451 condicional. 283 Estrategias para analizar la convergencia o divergencia de la serie. 415 multiplicador. 288 Elección entre arandelas y cáscaras cilíndricas. 429 de comparación por desigualdades. 425. 422 E Ecuación(es) diferenciales. 335 Área(s) bajo curvas. 357 integración numérica. 453 por límite. 422 de convergencia. 329 área entre curvas. 10 Dipolo eléctrico. 448. 1-4 autoevaluación. 84. 415 Ejercicios y problemas. 495 y presión. 472 y divergencia para la serie “p”. 88-91 polinomios y series de Taylor. 250 autoevaluación. 211 teorema fundamental del cálculo. 343-87 ejercicios y problemas de. 325 . 396. 264 ejercicios y problemas. 448. 343 autoevaluación. 153 y ecuaciones diferenciales. 503 y divergencia de series geométricas. 451 de una serie de potencias. 466 para series arbitrarias. 487 Convergencia. 446 absoluta. 448 de la raíz n-ésima. 496 Diseño de lentes. 249-342 autoevaluación. 45-47 impropia. 182 integral definida. 391 de la integral. 448 de divergencia de una serie. 14-18 formas indeterminadas. 453. 416. 239 por partes. 338 ejercicios y problemas. 242 por fracciones parciales. 405 Regla de L´Hôpital. 182 problemas para trabajar en equipo. 124 Intervalo de convergencia. 437 y análisis de errores. 399 Probabilidad y tiempo de espera. 18 M formas indeterminadas. 492 R Racionalización de funciones irracionales. 160 integral definida. 263 criterios de convergencia. 97-109 autoevaluación de. 335 L área entre curvas. 10 series de potencias. 383 ejercicios y problemas. 159 autoevaluación. 131 trigonométricas. 213 Notación. 445. 348. 400 Integración. 223 impropias. 239 problemas para trabajar en equipo. 399 matemática. 25 teorema fundamental del cálculo. 129 impropias. 25 Operaciones con series de de linealidad de la integral potencias. 379 problemas para trabajar en equipo. 73-247 de potencias trigonométricas. suma. 37 Integrales binomios. 495 Primeras series. 234 por partes. de iteración. numérica. 487. 505 definida. 28-32 valor promedio de una. 63 P Partición de un intervalo. 290 O Propiedades. 407 método de sustitución de Simpson. 48 y sus propiedades. 118 de tangente y secante. 301 diferencial. 185 por partes. 365. 361 integración Método(s). 222 autoevaluación. 48 de Hermite y Heaviside. 142-151 polinomios y series Taylor. 111 de fracciones parciales. hipótesis de. 4 promedio de una. 75. 73 495 Modelos basados en la diferencial. 242 alemán. 187 ejercicios y problemas. 244 ejercicios y problemas. 399. y ecuaciones diferenciales. 433 problemas para trabajar en equipo. 117 problemas para trabajar en equipo. 228 trigonométrica. aplicaciones de la integral. 29 Polinomios de Taylor. 113 ejercicios y problemas de. 414 autoevaluación. 202 de potencias de funciones hiperbólicas. 38 H Hipótesis de inducción. 195 92 trigonométrica. 249 diferencial de una. 77 y ecuaciones diferenciales. 25-27 69 volúmenes. 175 integrales de integración. 37 ejercicios y problemas de. 456 135 del trapecio. 522 sucesiones. 400 principio de.Índice analítico 529 Función. 484 autoevaluación. 439 ejercicios y problemas. de cáscaras cilíndricas. 366 autoevaluación. 280 185 de cuadratura de Gauss. I Inducción. 511 Razón áurea. 97 Problemas para trabajar en equipo. 111 Integral definida. 408 N sustituciones diversas. 472 Longitud de arco. 382 que incluyen potencias de seno y coseno. 404 . numérica. 382 de punto fijo. 110 problemas para trabajar en equipo. 407 de Lorenz y el índice de Gini. 207 por fracciones parciales. 45-47 problemas para trabajar en equipo de. 409 ejercicios y problemas. 200 Radio de convergencia. 5 incremento de una. 437 Principio de inducción. 151 de sustitución. 23-25 de una función. 401-02 de productos de seno y coseno con diferente argumento. del ángulo medio. de reducción. primeras series. 481. de Kummer. de Euler. 193 autoevaluación. 416. de infinita. 424. 417 Sustitución(es). 487. 408 y series. 409 concepto de. 205 diversas. 503 derivación e integración de. 416 ejercicios y problemas. 322 V Valor presente esperado. 454 concepto de. 406 del valor medio para integrales. 511 ejercicios y problemas. 444 promedio de una función. 389. 522 de Taylor. 422. 496 Trabajo. 486-87 y Maclaurin. 479. 445 y negativos. 37 parciales. 62. 392. 405 de sumas parciales. 426 suma de la. 52-54. 394 de Fibonacci. 402 asintóticamente equivalentes. 447 autoevaluación de. 397. 64 búsqueda del. 416. 506 de potencias. 290 T Teorema del sándwich. 403 problemas para trabajar en equipo. 519 operaciones con. 416 alternante. 4. 288 problemas para trabajar en equipo. 501 autoevaluación. 481 de términos positivos. 415 de Riemann. 416 de Maclaurin. 505 problemas para trabajar en equipo. 65 Teoría especial de la relatividad. 213 ejercicios y problemas. 295 de sólidos con área transversal conocida. 416 Sólidos de revolución. 391 convergencia y divergencia. 210 problemas para trabajar en equipo. 450 geométrica. 524 convergencia de una. 481. 417 “p”.530 Índice analítico S Serie(s). 266 autoevaluación. 397 . 268 Sucesión(es). 54-56 de Weierstrass. 286 ejercicios y problemas. 57-61 demostración del. 38 Volúmenes. 391. 491 operaciones con. 389 Suma(s). 417 telescópica. 213 fundamental del cálculo.