Cálculo integral para ingeniería Cálculo integral para ingeniería Rubén Darío Santiago Acosta Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Carlos Daniel Prado Pérez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México José Luis Gómez Muñoz Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Ma. de Lourdes Quezada Batalla Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Leopoldo Zúñiga Silva Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus San Luis Potosí Javier Pulido Cejudo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Santa Fe Lázaro Barajas de la Torre Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Vicerrectoría de la Zona Centro Omar Olmos López Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Revisión técnica Fernando Vallejo Aguirre Instituto Politécnico Nacional Unidad Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Manuel González Sarabia Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Datos de catalogación bibliográfica SANTIAGO, PRADO, GÓMEZ, QUEZADA, ZÚÑIGA, PULIDO, BARAJAS, OLMOS Cálculo integral para ingeniería PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-0990-2 Área: Universitarios Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 544 Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de producción: Rubén Fuerte Rivera e-mail:
[email protected] Felipe Hernández Carrasco Gustavo Rivas Romero PRIMERA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-0990-9 ISBN 13: 978-970-26-0990-2 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08 Contenido Unidad 1 Diferencial e integral definida 1.1 El concepto de diferencial Sección 1.1.1 La diferencial de una función Sección 1.1.2 Modelos basados en la diferencial y análisis de errores 1.2 La integral definida Sección 1.2.1 La notación suma Sección 1.2.2 El promedio de una función Sección 1.2.3 Áreas bajo curvas Sección 1.2.4 La integral definida y sus propiedades 1.3 El teorema fundamental del cálculo Sección 1.3.1 El teorema del valor medio para integrales Sección 1.3.2 La búsqueda del teorema fundamental del cálculo Sección 1.3.3 Teorema fundamental del cálculo (segunda parte) Unidad 2 Métodos de integración 2.1 Método de sustitución y ecuaciones diferenciales Sección 2.1.1 Método de sustitución Sección 2.1.2 Ecuaciones diferenciales 2.2 Integración por partes Sección 2.2.1 Integración por partes 1 1 4 10 23 25 28 32 37 52 54 57 62 73 73 75 84 97 98 vi Contenido 2.3 Integrales de potencias trigonométricas Sección 2.3.1 Integrales que incluyen potencias de seno y coseno Sección 2.3.2 Integrales que incluyen potencias de tangente y secante Sección 2.3.3 Integrales de productos de senos y cosenos con diferente argumento Sección 2.3.4 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas 2.4 Método de sustitución trigonométrica Sección 2.4.1 Sustitución trigonométrica 2.5 Integración por fracciones parciales Sección 2.5.1 El método de fracciones parciales Sección 2.5.2 Ecuación logística Sección 2.5.3 Métodos de Hermite y Heaviside 2.6 Sustituciones diversas Sección 2.6.1 Método de sustitución del ángulo medio Sección 2.6.2 Racionalización de funciones irracionales Sección 2.6.3 Integrales binomias Sección 2.6.4 Sustitución de Euler Sección 2.6.5 Método alemán de reducción 2.7 Integración numérica Sección 2.7.1 Método del trapecio Sección 2.7.2 Método de Simpson Sección 2.7.3 Método de cuadraturas de Gauss Unidad 3 Aplicaciones de la integral 3.1 Área entre curvas Sección 3.1.1 Áreas entre curvas 3.2 Volúmenes Sección 3.2.1 Sección 3.2.2 Sección 3.2.3 Sección 3.2.4 117 118 124 129 131 142 143 159 160 171 175 193 195 200 202 205 207 222 223 228 234 249 249 250 266 268 280 283 286 300 301 306 310 313 322 325 Sólidos de revolución Método de cáscaras cilíndricas Elección entre arandelas y cáscaras cilíndricas Volúmenes de sólidos con área transversal conocida 3.3 Aplicaciones de la integral Sección 3.3.1 Longitud de arco Sección 3.3.2 Área superficial de sólidos de revolución Sección 3.3.3 Densidad de masa Sección 3.3.4 Centro de masa y momentos de inercia Sección 3.3.5 Trabajo Sección 3.3.6 Fuerza y presión Contenido vii Unidad 4 Formas indeterminadas e integral impropia 4.1 Formas indeterminadas Sección 4.1.1 Formas indeterminadas y la regla de L’Ho ˆ pital Sección 4.1.2 La regla de L’Ho ˆ pital 4.2 Integrales impropias Sección 4.2.1 Integrales impropias Unidad 5 Sucesiones y series 5.1 Sucesiones Sección 5.1.1 El concepto de sucesión Sección 5.1.2 Convergencia y divergencia de sucesiones 5.2 Primeras series Sección 5.2.1 El concepto de serie 5.3 Criterios de convergencia Sección 5.3.1 Series de términos positivos Sección 5.3.2 Series de términos positivos y negativos Sección 5.3.3 Aceleración de la convergencia Unidad 6 Series de potencias 6.1 Polinomios y series de Taylor Sección 6.1.1 Polinomios de Taylor Sección 6.1.2 Serie de Taylor 6.2 Series de potencias Sección 6.2.1 Series de potencias Sección 6.2.2 Operaciones con series de potencias Sección 6.2.3 Derivación e integración de series de potencias 343 343 346 348 365 366 389 389 391 394 414 416 444 445 450 455 479 479 481 486 501 502 505 511 Campus Estado de México . que te servirá de apoyo al agudizar tu capacidad de análisis mediante ejercicios interactivos. de investigación y de herramientas útiles para el aprendizaje de nuestros estudiantes. con un CD basado en prácticas de exploración computacional de conceptos matemáticos. la utilización de un gran número de ejercicios con su respectiva solución y la base de un modelo educativo capaz de explotar el aprendizaje simbólico. Por ello. en esta herramienta que resultará funcional para ti. Pedro Luis Grasa Soler Director General Tecnológico de Monterrey. gráfico y verbal. en la medida en que te tomes el tiempo y la paciencia necesarias para cultivar tu aprendizaje. numérico. es un ejemplo de ello. Además de complementar tu aprendizaje a través del semestre. “Cálculo integral para ingeniería” está elaborado con estricto apego al programa vigente de la materia impartida en nuestro sistema. Dr. al ser una publicación funcional que te guiará a través de la aprehensión. y refleja los años de experiencia del cuerpo docente que le ha dado vida. hacen de este libro un excelente refuerzo para tu incursión al mundo del cálculo. la vocación a la enseñanza y el impulso al desarrollo educativo de nuestra comunidad. a comprender de manera práctica y didáctica. El uso de actividades que fomentan el aprendizaje colaborativo. el cálculo y sus aplicaciones. te invito a que disfrutes de esta publicación y aproveches al máximo la investigación. teniendo como principal incentivo. “Cálculo integral para ingeniería” te servirá de consulta aún después de haber adquirido los conocimientos que alberga. y el trabajo invertido por parte de sus autores.Presentación Para el Tecnológico de Monterrey es un orgullo contar con equipos docentes capacitados en el desarrollo y la creación de conocimiento. permitiéndote ser aún más ágil en la resolución de problemas prácticos. la aplicación de problemas al contexto de nuestra cotidianeidad. “Cálculo integral para ingeniería”. El libro cuenta además. . En el primer libro presentamos las ideas básicas del cálculo diferencial y discutimos diversas aplicaciones en todas las áreas del conocimiento. de tal forma que .). la integral de una función. en una región plana compleja.) Riemann (1826-1866) Cauchy (1789-1857) Lagrange (1736-1813) El texto que tienes en tus manos es el segundo tomo de una obra dedicada al estudio de los conceptos fundamentales del cálculo de una variable real.Prólogo Los científicos necesitamos especialmente la imaginación. El primer matemático en estudiarla fue el griego Arquímedes de Siracusa (287-212 a. Este método consiste en inscribir y/o circunscribir figuras poligonales. El tema primordial que desarrollaremos. con área simple de calcular. tiene una historia que empezó en la antigua Grecia.C. quien inventó el método de exhaución para encontrar el área de figuras planas.C. En este segundo tomo presentamos las ideas básicas del cálculo integral y la teoría de aproximación basada en el concepto de serie de potencias. María Casares Arquímedes (287-212 a. No bastan las matemáticas ni la lógica. Necesitamos algo de estética y poesía. Dicha cuestión motivó una serie de trabajos interesantes. las porciones de la parábola u otras igualmente sencillas. Posteriormente definimos el concepto de integral definida. los matemáticos se plantean la pregunta de si es posible representar cualquier función de variable real como una serie de potencias. en 1854. Hay que decir que sus métodos eran un tanto confusos (desconocían el concepto formal de límite). Desde el principio enfocamos la diferencial como herramienta para el cálculo de errores y como representación “atómica” de un todo. no demasiado formal. Brevemente te exponemos la descripción de cada unidad. Este concepto también tiene un desarrollo histórico interesante y la contribución de matemáticos de gran renombre. adquirir o readquirir la importancia que merece como concepto matemático relacionado con el límite de sumas y con el área bajo curvas. son verdaderas joyas del pensamiento matemático moderno y sirvieron de base para independizar el concepto de integral como proceso inverso de la derivada y. el célebre matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866) precisó. inversos entre sí. Unidad 2. El segundo tema fundamental que abordamos en el texto es el concepto de serie que. donde destacaban los que realizó el mismo Louis Cauchy y su colega francés Joseph Lagrange (1736-1813). Fue necesario esperar hasta el siglo XVII. El material se presenta de forma natural. y las dos últimas. estableció los cimientos para desarrollar el cálculo con mayor rigor. Con estos elementos. Sus obras Cours d’ Analyse y Analyse Algebrique. el matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) formuló claramente el concepto de límite y. Métodos de integración. Para ello dividimos la obra en seis unidades. Unidad 1. básicamente. Aproximadamente 150 años después. y establecemos el teorema fundamental del cálculo que relaciona los conceptos de integral definida y derivación. pero lograron concluir que los procesos de derivación e integración son. cuando los genios de Newton y Leibnitz. Esto a la vez provocó un desarrollo importante de las ideas del cálculo.xii Prólogo al aumentar el número de figuras poligonales. Diferencial e integral definida. Por ejemplo. las primeras cuatro están dedicadas a la integración. al concepto de serie. la falta de técnicas apropiadas hizo imposible extender el método a regiones que no fueran el círculo. los diferentes temas que abordamos se presentan de forma precisa. que sirven como complemento . Aquí examinamos las técnicas básicas de integración incorporando algunos métodos no tan rutinarios. al igual que en el texto anterior. es una extensión matemática para entender la suma de un número infinito de términos a partir de la suma de un número finito. en consecuencia. en tanto que Leibnitz se conformaba con la lógica fina de sus deducciones y el uso de su exitosa simbología. en cierto sentido. En el texto proporcionamos elementos suficientes para comprender qué es lo que está detrás de este concepto. Ninguno de los dos tuvo la preocupación de dotar con rigor matemático sus deducciones. Jacobo Bernoulli (1654-1705) publicó en 1689 una demostración sobre la divergencia de la serie armónica. su área se aproxime cada vez más al área de la región. plantearon una metodología más adecuada para determinar el área de una región dada. aparecidas en 1821. así. Baste decir que Newton sólo corroboraba experimentalmente sus resultados. A finales del siglo XVIII. Sin embargo. haciendo énfasis en su utilidad para la solución de problemas. En la actualidad el concepto de serie de potencias encuentra su utilidad de manera natural al proporcionar aproximaciones de funciones donde otros métodos analíticos no pueden utilizarse. Por otro lado. el concepto de integral y determinó las condiciones en las cuales las sumas de Riemann tienden hacia un límite finito: hecho decisivo que llevó al cálculo integral a la cúspide del saber matemático de la época. buscando en todo momento su conexión con la práctica y utilidad del conocimiento discutido. presentamos algunos métodos de integración numérica. Series de potencias. El último tema del libro se dedica a los conceptos relacionados con la serie de potencias. Unidad 6. b) Se incorporan problemas originales y actuales que darán sentido a los conceptos y teoremas que te presentamos. lo cual permitirá desarrollar tus habilidades matemáticas de forma planeada y organizada. Formas indeterminadas e integral impropia. nos apoyamos en enfoques de tipos numérico y gráfico para establecer el resultado matemático discutido. d) El texto cuenta con un CD de apoyo el cual contiene prácticas de exploración computacional de conceptos matemáticos. así como tareas individualizadas. Nuestro interés es mostrarte el enorme potencial de la integración de funciones. Conscientes de las limitaciones de estos métodos. Dedicamos también una sección para presentar aplicaciones diversas en geometría y física. un listado amplio de ejercicios propuestos (todos con su respuesta) y una sección de autoevaluación que te ayudará a valorar los progresos alcanzados durante tu estudio. Por ejemplo. tanto en lo operativo como en los procesos de pensamiento relacionados. se distingue por las siguientes particularidades. Esta unidad trata la suma de un número infinito de términos. un amplio espectro de integrales. ejercicios de autovaloración. Los procesos al infinito se presentan con muchísima frecuencia en las aplicaciones de la matemática. al menos de esta forma. Sabemos que este tema puede resultar sumamente abstracto cuando se estudia por primera vez. teoremas y métodos del cálculo integral. Unidad 5. Muchos de estos problemas requieren del trabajo en grupos pequeños y del uso de tecnología. Esta unidad complementa lo que estudiamos en el tomo dedicado al cálculo diferencial. con lo cual te brindamos la posibilidad de calcular. en la teoría de la probabilidad aparece regularmente el concepto de integral impropia. Unidad 4. al igual que el anterior. Aplicaciones de la integral. Aquí analizamos las aplicaciones habituales del cálculo integral (cálculo de áreas y volúmenes).Prólogo xiii ideal de la unidad. ya que en nuestra opinión no hay aprendizaje en matemáticas sin la práctica y el involucramiento del estudiante. En conclusión. c) Cada unidad contiene un buen número de ejemplos completamente resueltos. Nuestra experiencia nos dice que esto facilitará tu tarea de aprendizaje y te permitirá. y a utilizar el texto y su CD de apoyo. al mismo tiempo. Sucesiones y series. a resolver los problemas propuestos. actividades de aprendizaje del uso de paquetes como Excel y Mathematica. te invitamos a practicar con lápiz y papel. reconocemos que no hay rama de la ciencia o de la ingeniería donde no sea indispensable conocer y aplicar los conceptos. LOS AUTORES . Para adquirir la suficiente habilidad. valorar la importancia de las series en una infinidad de aplicaciones. Unidad 3. a) La teoría se presenta con un buen nivel de generalización y precisión. Este libro. Por esta razón no es extraño que dediquemos un capítulo a discutir acerca de dos procesos al infinito fundamentales: las formas indeterminadas y las integrales impropias. Por tal razón. . En mayo se recogieron muchísimos más.3 El teorema fundamental del cálculo 1.1 El concepto de diferencial 1.1 El concepto de diferencial Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. que se encuentra ubicado al norponiente de la Ciudad de México. Sus aguas se utilizan principalmente para riego y provienen de diferentes afluentes que descargan cerca de 15 millones de metros cúbicos anuales.2 La integral definida 1. un día de febrero de 2004 aparecieron centenares de peces muertos en sus riberas. con una altura promedio de 18. y para diciem- .Unidad Diferencial e integral definida Contenido de la unidad 1. Inesperadamente. Galileo Galilei Tragedia ecológica El Lago de Guadalupe es un espejo de agua de 340 hectáreas. además de que recibe 2.000 millones de metros cúbicos de lluvia.5 metros.380. particularmente los hídricos. ¿Por qué ocurrió esa tragedia ecológica en 2004? Las razones son de diversa índole: crecimiento desordenado de los asentamientos urbanos alrededor del lago.1: Lago de Guadalupe. COLI 203 199 254 251 260 251 190 400 315 258.1: Datos de la contaminación por demanda bioquímica de oxígeno (DBO5) y Escherichia coli (E.1. con la intención de que coordinara los trabajos y las acciones necesarias para revertir la problemática de deterioro de los recursos naturales. Estación de monitoreo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Promedio Diciembre de 2004 DBOs E. Así. a finales de 2004 se inició el monitoreo de los parámetros físico-químicos y biológicos del lago con nueve estaciones de monitoreo. en número de colonias por 100 mililitros. y la E. deforestación y poco respeto por la naturaleza. Para combatir la alta contaminación del lago. descarga de aguas residuales sin tratamiento. COLI 40 54 61 45 42 40 36 60 45 47 90 18 110 87 117 15 31 320 120 100. cuyos resultados se muestran en la tabla 1. Tabla 1.11 196 21 210 147 162 17 49 4. imágenes de la crisis de 2004.2 Unidad 1: Diferencial e integral definida bre se estimaba que esta crisis había provocado la muerte de miles de aves y que produjo cerca de 30 toneladas de peces muertos.11 Diciembre de 2005 DBO5 E. COLI) del Lago de Guadalupe en dos momentos diferentes.88 . falta de infraestructura para la recolección de residuos sólidos. FIGURA 1. La DBO se mide en miligramos por litro.400 460 629. se formó la Comisión de la Cuenca de los Afluentes de la Presa Guadalupe. COLI. Este oxígeno lo obtienen las bacterias del que está disuelto en el agua. y análisis de errores basada en la linealización de funciones) evidencian la utilidad de la diferencial. Por lo tanto. Tu primera hipótesis sería que un trastorno ligero en la temperatura debería provocar un pequeño cambio en la longitud de la varilla. y que puede disminuir su concentración y poner en peligro la vida de las especies acuáticas. su presencia en aguas residuales indica contaminación por heces fecales humanas y representa un problema de salud pública. Los ingenieros también usan la diferencial.1.1. Introducción El concepto de diferencial es uno de los más importantes del cálculo y. Podemos decir. con base en ello se construye el modelo de dilatación lineal que se estudia en los cursos básicos de física. sin lugar a dudas. por ejemplo. tanto en la formulación de modelos como en el análisis de errores. Supón que el volumen del lago no cambia y que se mantienen los resultados de finales de 2005. Imagina. por ejemplo. Por tal razón. Las normas nacionales establecen que la demanda bioquímica de oxígeno (DBO) y el número de bacterias coliformes (COLI) no deben ser mayores a 75 miligramos por litro ni a 200 en el número de colonias por cada 100 mililitros. para mantener el oxígeno disuelto en el agua de los lagos arriba de 5 miligramos por litro. es necesario reducir la DBO. ¿Cuántos años habrá que esperar para que se reduzcan las concentraciones de contaminantes a los niveles adecuados establecidos por las normas ambientales? Observaciones: La DBO se define como la cantidad de oxígeno que requieren los microorganismos presentes en las aguas residuales para oxidar toda la materia orgánica contenida. respectivamente. ya que sus instrumentos de medición no son exactos. Sin embargo. de manera que . al modificar la temperatura del medio ambiente. grosso modo. Estas tres diferentes problemáticas (modelación de fenómenos físicos y de ingeniería.COLI es una bacteria que forma parte de nuestra flora intestinal. un aumento de ella en la población de nuestro organismo produce graves problemas gastrointestinales. La E. como se muestra en las columnas 4 y 5 de la tabla 1. los ecólogos que analizan problemas de contaminación —como el presentado al inicio de esta sección— observan el efecto de una pequeña cantidad de contaminante en la vida del ecosistema y elaboran modelos que consideran los efectos acumulados producidos por grandes cantidades de contaminantes. La idea general que subyace detrás es que el todo se forma por la unión de sus partes. a un físico interesado en saber cómo cambia la longitud de una varilla de acero.1: El concepto de diferencial 3 En 2005 se colocaron cientos de recolectores marginales de drenaje. que su utilidad radica en que una pequeña parte representativa contiene la información de un todo. uno de los que tiene mayor diversidad de aplicaciones. para analizar y acotar los errores propagados en sus modelos. que corresponden a la medición de diciembre de ese año. acumulación de efectos o integración. lo cual redujo significativamente la entrada de contaminantes al lago. En otras ocasiones. es decir. y está dado por: ∆f = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) (1. entonces la función cambia en una cantidad f (x0 + ∆x) − f (x0). para ver cada función. Observa que si la variable independiente cambia en una cantidad ∆x.1) . • Utilizar la diferencial en el planteamiento de modelos de la geometría y de la física. f ' ( x0 ) = lím f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x ∆ x →0 Ten presente también que si la función es derivable en x0 entonces la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (x0.2 se muestran tanto la gráfica de la función como la de su recta tangente. sobre todo.4 Unidad 1: Diferencial e integral definida una propiedad global podría calcularse obteniendo cada una de las contribuciones de los pedazos que lo forman (véase el ejemplo resuelto 7).1: Incremento de una función El incremento de una función ∆f es el cambio que sufre ésta cuando la variable independiente cambia una cantidad ∆x. pasando de x0 a x0 + ∆x. f (x0)) está dada por: y = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) En la figura 1. recuerda que la derivada de una función y = f (x) en el punto x0 se define mediante el siguiente límite. En resumen. mientras que la modificación en la ordenada de la recta tangente es y − f ( x0 ) = f '( x0 )∆x . deberás ser capaz de: • Comprender el concepto de diferencial de una función. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección.1. como si se tratara de un pequeño segmento de línea recta. Sección 1. • Estimar errores empleando la diferencial. Definición 1. al menos localmente. al análisis de errores y a la modelación.1 La diferencial de una función Para iniciar. siempre que éste exista. En esta sección analizaremos el concepto de diferencial y lo aplicaremos. estas transformaciones se definen como sigue. Reservaremos su uso en integración para cuando estudiemos el teorema fundamental del cálculo. Un aspecto que no debes pasar por alto es que la diferencial sirve para linealizar funciones. ∆ f ( x0 ) ∆ f ( x0 ) = . b) y x0 un punto en el intervalo.1 que es consecuencia directa de la definición de la derivada en x = x0.1 Sea f una función diferenciable en (a. Para una función derivable en x = x0. el incremento se puede aproximar con la diferencial. Observa que si identificamos h = ∆x = dx podemos escribir la diferencial como: df = f '( x0 )dx (1. la aproximación ∆f (x0) = df (x0) será mejor. A la función g(h ) = f '( x0 ) h se le llama la diferencial de f en el punto x0 y se denota por df ( x0 ).3) Por otro lado. cuanto menor sea ∆ x. ∆x dx Teorema 1.1: El concepto de diferencial 5 Definición 1. Para x0 en (a. de acuerdo con las definiciones de derivada y del incremento de una función tenemos: f '( x0 ) ≈ de donde.1. se tiene el teorema 1. como se ve en la figura 1.2: Diferencial de una función Sean y = f ( x ) una función derivable en el intervalo (a.2: Interpretación geométrica de la diferencial.2) y f (x0 + ∆ x) f (x0) df f (x0) x0 ∆ x = dx x ∆ f (x0) FIGURA 1. entonces f ( x ) − ( f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 )) < ε . b) y ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 ≤ x − x0 < δ . Relacionado con este resultado. b). ∆f ( x0 ) ≈ f '( x0 )dx = df ( x0 ) Es decir.2. (1. Ejemplos Ejemplo 1. b) La diferencial de una función depende de dos características: el punto x0 donde se esté haciendo el cálculo y el valor de dx.6 . Interpreta los resultados obtenidos.4) A continuación.1 3 2 Dada la función f ( x ) = x + 4 x − 5 x + 6 calcula ∆ f y df si ∆x = 0. es decir. con una función lineal si nos limitamos lo suficiente en el dominio de la función. De forma simple. gráficamente es una recta que pasa por el origen cuya pendiente es f '(x0).1. ∆ f ( 3) = (∆x )3 + 13(∆x )2 + 46 ∆x Por otro lado. solución De la definición de incremento de una función tenemos: ∆ f ( 3) = f ( 3 + ∆ x ) − f ( 3) 3 2 = ( 3 + ∆x ) + 4 ( 3 + ∆x ) − 5 ( 3 + ∆x ) + 6 − 54 Desarrollando. 0. que: df ( 3) = f '( 3) dx = 46 dx Sustituyendo ∆x = 0.6 Unidad 1: Diferencial e integral definida El teorema indica que la diferencial estará tan cerca como queramos del incremento (menor que una distancia ε) con sólo pedir que la diferencia entre x y x0 sea pequeña (menor que d ). se obtiene que: ∆f ( 3) = 4. c) Para un punto x0 fijo. Observaciones: a) El incremento ∆ x y la diferencial dx de la variable independiente son iguales.01. incremento y diferencial. como f '( x ) = 3x 2 + 8 x − 5 se tiene.0001. exponemos algunas observaciones que no debes olvidar.001. 0. para valores cercanos a x0 se tiene que: Aproximación lineal f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) (1. cerca de x0.1 en las dos expresiones anteriores.731 y df ( 3) = 4. la diferencial dy = f '(x0)dx es una función lineal en las variables dx y dy. 0. de la definición de diferencial. y más aún. el teorema expresa simplemente que podemos aproximar muy bien la función original. 2 2 Dada la función f ( x ) = 2 x .461301 0.0046 ∆f(3) − d f (3) 0. demuestra que ∆ f (x) − d f (x) → 0 cuando ∆ x → 0 .1 0.0001 ∆f(3) 4. luego: ∆ f ( x ) − d f ( x ) 4 x ∆x + 2 ( ∆x ) − 4 x dx = 2∆ x .2 se presentan los incrementos de la variable independiente. ∆x solución De la definición de incremento tenemos: ∆ f ( x ) = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = 2 ( x + ∆x ) − 2 x 2 2 = 2 x 2 + 2 x ∆x + ( ∆x ) − 2 x 2 2 = 4 x ∆x + 2 ( ∆x ) ( 2 ) Por otro lado. ∆x→0 lím ∆f ( x0 ) − df ( x0 ) ∆f ( x0 ) f '( x0 )∆x = lím − ∆x ∆ x → 0 ∆x ∆x ∆f ( x0 ) = lím − f '( x0 ) ∆x→0 ∆x ∆f ( x0 ) = lím − f '( x0 ) = 0 ∆x→0 ∆x .01 0.731 0.46 0. Usamos en la simplificación anterior que dx = ∆ x. En efecto. = ∆x ∆x 2 Que tiende a cero cuando ∆ x tiende a cero. la diferencia entre estas dos cantidades.001301 0.046013 0. de la definición de diferencial resulta df ( x ) = f '( x )dx = 4 xd x. d f (3) será una mejor aproximación de ∆ f (3) en la medida en la que ∆ x esté más cercana a cero. En consecuencia.1: El concepto de diferencial 7 Para el caso ∆ x = 0. los valores de ∆ f (3) y de d f (3). Tabla 1.00460013 d f (3) 4.00000013 Ejemplo 1.461301 y df (3) = 0.01 resulta: ∆f (3) = 0.131 0.1. En la quinta. en la tercera y cuarta. más próxima a cero estará la diferencia ∆ f (3) − d f (3). x0 3 3 3 3 ∆x 0. En general.046 0.46 En la segunda columna de la tabla 1.001 0. Observa que la función es derivable en x = 3 y que entre más cercano esté ∆ x a cero.2: Incrementos y diferenciales.6 0.000013 0. el resultado es válido para funciones derivables en x0. 5 ).5 ≈ 6. Para este caso. solución Para resolver este tipo de ejercicios necesitamos una función y un valor de referencia donde resulte sencillo el cálculo de la función y tan cercano como se pueda del valor que queremos obtener.8 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplo 1. Observa que ambas gráficas son muy 14 parecidas en la cercanía de x0 = 49. 10 8 6 4 2 y x 20 x0 = 49 80 FIGURA 1. podrás 48. también es representativo del poder de aproximación de la diferencial.96419 y que nuestro resultado es una buena aproximación.5 ≈ 7 − 0. 7).3 Usa diferenciales para estimar el valor de 48. 2 49 48.5 ) − f ( 49 ) ≈ es decir.5. Tenemos: ∆ f ( 49 ) = f ( 49 + ∆x ) − f ( 49 ) ≈ df ( 49 ) = f ' ( 49 )∆x Como f ' ( x ) = 1 . sin embargo.3: Aspecto de la linealización de la función y = x en x0 = 49 . En la figura 1.5 − 49 ≈ De aquí resulta que comprobar que 1 (−0. obtenemos que: 2 x f ( 48. considera que la función es f ( x ) = x .5 ) = − 0.5 − 49 = −0. . que el punto de referencia es x0 = 49 y que ∆ x = 48.0357143 14 1 (−0.96429 .0357143 = 6.5 . En la actualidad. 48. este ejemplo resulta en cierta medida obsoleto.3 hemos superpuesto tanto la gráfica de la función f ( x ) = x como la gráfica de su recta tangente 1 y = f ( 49 ) + f '( 49 )( x − 49 ) = 7 + ( x − 49 ) en el punto (49. Si realizas el cálculo con calculadora. 40 solución Una de las virtudes de la diferencial es que nos permite linealizar a la función en x0. determinaremos 40 40 g(h ) = sen '(0 )h = cos(0 ) h = h . sen (h ) ≈ h π g .4: Aspecto de la linealización de la función en y = sen(x) en x0 = 0. En la figura 1. Dado que 40 .5 –1 – 1.0785398 sen ≈ 40 40 π Con una calculadora.1. resulta que π π = 0. resulta que para h suficientemente pequeño.1: El concepto de diferencial 9 Ejemplo 1.0784591. y 1. Esto puede utilizarse de la siguiente manera: un determinado cálculo con una función (diferenciable en x0) y = f (x) se sustituye por el cálculo que corresponde a la linealización de la función g(h) (véase nuevamente la definición 1.1) en x0. en vez de calcular f = sen (que quizá sea difícil).5 2 4 6 FIGURA 1.4 Aproxima el valor de f (x) = sen(x) en π .5 x –6 –4 –2 – 0. obtenemos que sen ≈ 0.4 es evidente la proximidad entre la función y su linealización en la cercanía de x0 = 0. Una vez más se aprecia la cercanía entre 40 ambas aproximaciones.5 1 0. π π Así. ∆ f (0 ) = sen(h ) − sen(0 ) ≈ g(h ) = h De aquí: Así. Muchas veces interesa conocer el error relativo respecto del volumen en x0. este error se puede aproximar por la diferencial de volumen dV. basta multiplicar por 100% el error relativo. que mides uno de sus lados y obtienes un valor x0 con un error dx en la medición.2 Modelos basados en la diferencial y análisis de errores El concepto de diferencial es útil para construir modelos físicos porque permite relacionar linealmente las variables de los fenómenos a estudiar. La diferencia ∆V = V ( x0 + dx ) − V ( x0 ) representa el error máximo que se puede obtener en la medición del volumen del cubo. hemos dicho que las diferenciales son útiles en el análisis de errores. para ello. nos interesa conocer el error porcentual. supón que deseas determinar el volumen encerrado en una caja cúbica.1. Tanto el relativo como el porcentual pueden ser aproximados utilizando diferenciales. el modelo de dilatación lineal de sólidos dL = α L0 dT nos indica que a cambios pequeños de temperatura dT corresponden pequeños cambios dL en la longitud inicial L0 de un sólido. El coeficiente α se conoce como coeficiente de dilatación lineal y depende del material considerado. el cual se calcula dividiendo el error absoluto entre el volumen. Por ejemplo.3 se muestran las expresiones exactas y aproximadas para el cálculo de errores.10 Unidad 1: Diferencial e integral definida Sección 1. Tabla 1. Como sabemos. Para fijar ideas. Por otra parte. En otras ocasiones. . Exacto Valor de la función en x Error o cambio absoluto Error o cambio relativo Error o cambio porcentual f (x) Estimado L (x) = f (x0) + f '(x0)(x − x0) ∆ f (x0) = f (x0 + ∆ x) − f (x0) ∆ f ( x0 ) f ( x0 ) ∆ f ( x0 ) f ( x0 ) × 100 d f ( x0 ) = f ' ( x0 ) dx df f ( x0 ) df f ( x0 ) × 100 Los siguientes tres ejemplos ilustrarán la utilidad de la diferencial y su uso en el cálculo de errores. En la tabla 1. al que llamaremos error absoluto.3: Errores o cambios relativos y absolutos. Tenemos.15 ≤ Pexac ≤ Pmed + 0.15 r 25m FIGURA 1. en tanto que la circunferencia de la base mide 10 metros.5) tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por una semiesfera. El volumen del silo. Calcula el volumen del silo a partir de tales medidas y usa diferenciales para estimar el error máximo cometido en el cálculo del volumen. La altura del cilindro es de 25 metros (altura que aquí consideraremos exacta).5: Pequeños errores en la medición de dimensiones grandes tienen efectos importantes en el cálculo de errores. Entonces.5 Un silo (observa la figura 1.1: El concepto de diferencial 11 Ejemplos Ejemplo 1. dicho de otra manera.15. en que es imposible obtener este “error exacto”. lo que sabemos es que ∆ P ≤ 0.1. con las dimensiones proporcionadas. Determina también los errores absoluto y porcentual. entonces. ∆ P = Pexac − Pmed representa el “error exacto” de tal medición. con un error máximo en la medición de 15 centímetros. solución Denotemos con P la circunferencia de la base. El problema radica. V = V (r ) = 25 π r 2 + 2π 3 r 3 . precisamente. De acuerdo con la información de este ejercicio. el valor Pexac satisface Pmed − 0. se obtiene sumando el volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera. 15 de0.387 V = 25π + π 3 π 3π 2 Para estimar el error cometido en el cálculo anterior necesitamos encontrar ∆V (r ) .12 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ahora. De ∆ P ≤ 0. a partir de Pmed = 2 π rmed = 10 .0306 207. Desde este punto de vista. insectos o bacterias) que tiene índices constantes de natalidad y mortandad η y µ.387 Es decir.15 3 ≤ 250 + = 6. el cambio en P(t) está dado aproximadamente por: ∆ P (t 0 ) ≈ (η − µ ) P (t 0 )∆ t De aquí. el error relativo es más representativo. respectivamente (en nacimientos y muertes por unidad de tiempo). luego 2π ∆V (r ) ≈ dV (r ) = 50 π r + 2 π r 2 dr De la desigualdad del triángulo para valores absolutos a + b ≤ a + b . solución Durante un corto intervalo de tiempo ∆t. este error depende de la magnitud de las dimensiones que se midieron. concluimos que: 2 5 5 5 5 ∆V ≈ dV = 50 π + 2 π dr π π π π 50 ≤ 250 + dr π 2 3 ( ) 50 0. concluimos que dP(t 0 ) = (η − µ )P (t 0 ) dt . así. concretamente 5 ∆V π 5 V π ≤ 6. hallamos que: 2π 5 1875π + 250 5 = ≈ 207. ocurren ηP(t)∆t nacimientos y µP(t)∆t muertes. Encuentra una expresión para el cambio en la población P(t) y determina dP(t0).15 ducimos que ∆ r ≤ . Ejemplo 1.348 = 0. en el cálculo del volumen del silo se cometió un error (porcentual) de únicamente 3.6 Supón que P(t) es el número de individuos de una población (de humanos. .348 m π 2π Aunque en apariencia es muy grande.06%. ésta concentración es: cs (t ) = cantidad de soluto en el tiempo t x (t ) = . Si la solución del tanque se mantiene bien mezclada y fluye hacia fuera con una tasa de vs litros por segundo.7 Imagina un tanque que contiene alguna solución (una mezcla de soluto y solvente).) Entrada Salida FIGURA 1.6: El cambio de soluto en una solución bien mezclada.1: El concepto de diferencial 13 Ejemplo 1. sal disuelta en agua. Se tiene que la cantidad de soluto que fluye hacia el tanque durante ∆t segundos es ve ce ∆t Observa cómo la consideración de las dimensiones corrobora esta expresión. t + ∆ t ]. Supón que hacia el tanque fluye una solución con una tasa constante de ve litros por segundo.1. la cantidad de soluto que fluye hacia fuera del tanque durante el mismo intervalo de tiempo depende de la concentración cs(t) en el tanque al instante t. la cual posee una concentración ce gramos de soluto por litro. determina el cambio en la cantidad de soluto en la mezcla en el intervalo de tiempo [t. por ejemplo. (Supón que ∆t es pequeño. solución Sea x(t) la cantidad de soluto que existe en la mezcla. volumen de la mezcla en el tiempo t V (t ) . En efecto. Lo que deseamos estimar es el cambio en la cantidad de soluto ∆x(t) durante el intervalo de tiempo [ t . litros gramos ∆t segundos = ve ce ∆t gramos ve ce litro segundo ( ) Por otro lado. Después infiere una expresión para dx(t). t + ∆t]. x = 1. usa este resultado para determinar una aproximación del incremento de y cuando x varía de x0 a x1. x1 = 3.14 Unidad 1: Diferencial e integral definida donde V(t) denota el volumen (no constante.1 2x +1 0 c) y = x4 . De esta manera. a menos que ve = vs) de la solución al instante t. 2. x1 = 3. b). Después. x = 3. dy y dy − ∆y: a) y = 3x 2 + 5 x − 2 b) y = 1/x 4.1 x +1 0 c) y = x3 + x2 . Proporciona la definición de diferencial de la función f en el punto x0 ∈ (a. Para cada una de las siguientes funciones. ∆ x ≈ gramos que ingresan − gramos que salen ≈ ve ce ∆ t − vs cs ∆ t x (t ) ≈ ve ce ∆ t − vs ∆t V (t ) x (t ) = ve ce − vs ∆t V (t ) De aquí concluimos que x (t ) dx (t ) = ve ce − vs ∆t V (t ) 1. determina ∆y. x1 = 1. a) y = x3 − 3x2 + 2x − 7. calcula dy. Para cada uno de los siguientes incisos.95 b) y = x . Determina la diferencial de las siguientes funciones: a) y = x 3 + 4 x 2 − 5 x + 2 b) y = 1 − x + x2 x3 + 4 f) y = g) y = h) y = x ln( x ) + ln(1 − x ) 1− x ex ex + 1 x cos(2 x ) x +1 c) y = (a2 − x2)5 d) y = 1 + x 2 1 3 e) y = tan ( x ) + tan( x ) 3 i) y = x arctan(x2) j) y = e3x cos(2x) 3. x0 = 4. calcula aproximadamente f (−0. a) xy3 + x2 y − y2 = −10. La arena que se escapa de un recipiente forma un montículo en forma de cono. c) ¿Cuánto se adelantaría o retrasaría con esta alteración un reloj en un día? 13. f (0) = 2. calcula el incremento en el radio cuando éste mide 10 cm. ¿Con qué exactitud debe construirse la arista interior de este cubo. 180 7. 14. se obtuvo 3 m con un error máximo de 0.97).1: El concepto de diferencial 15 5. así como los correspondientes errores porcentuales.1. determina aproximadamente f (2. Encuentra un valor aproximado del error máximo que se cometerá. T está dado segundos y g = 9. 12.01 m. si el radio es r. En cada uno de los siguientes incisos. f (−1) = 2. Determina también los errores relativo y porcentual correspondientes.818595.5) π radianes . tiempo necesario para que un péndulo oscile una vez. Encuentra el error porcentual en el valor calculado de la resistencia.8 m/s2. A partir de la información y0 = f (x0) que se le proporciona. calcula aproximadamente f (−0. con la finalidad de que el volumen de la caja tenga un error máximo de 3 cm3? 11. al calcular el área del círculo con tales valores. utiliza diferenciales para aproximar el valor solicitado. . 6. b) La alteración en el periodo T si el péndulo se alarga 3 mm. Usa diferenciales para hallar un valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200 mm de diámetro exterior y 1 mm de espesor. 10. Emplea diferenciales para calcular un valor aproximado de: a) tan(46°) Recuerda que 1° = b) cos(62°) c) 627 d) 3 62 e) ln(1. 9.3). b) xsen(xy) + y2 = −0. Si el volumen del montículo aumenta 2 cm3 usando diferenciales. c) xexy + y2 = 4.2 cm. cuya altura siempre es igual al radio de su base. La resistencia eléctrica de un alambre es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro.4). Se midió el diámetro de una circunferencia y se encontró que tenía 5. la altura es l y el espesor es e. con un error máximo de 0.05 cm. Determina una fórmula aproximada que proporcione el volumen de una cáscara cilíndrica delgada con los extremos abiertos (sin tapa y fondo). f (2) = −1. 8. El periodo. supón que la ecuación dada define implícitamente una función del tipo y = f (x). Al medir el radio de una esfera. Determina los errores máximos cometidos al calcular el área de la superficie (S) y el volumen (V). Al medir un alambre de longitud dada se encuentra un error porcentual del 2% en la medida de su diámetro. Supón que la longitud no tiene error en su medida. está dado por la fórmula T (l ) = π2l g donde l es la longitud del péndulo y se mide en metros. Determina: a) La longitud de un péndulo que oscila una vez por segundo. Se quiere realizar una caja cúbica de 1 dm3 de capacidad. Determina el incremento porcentual de la superficie y del volumen del bloque. b) Corta la franja alrededor de la elipse y forma con ella una tira de ancho da y longitud igual al 3a perímetro de la elipse de semiejes a y . cada arista aumenta 0. . Demuestra que el error relativo en el cálculo del volumen de una esfera es tres veces el error relativo del radio.7. donde G es la constante de gravitación universal y r es la r distancia entre las partículas. 18. 2 c) Según las consideraciones anteriores. por cada grado de aumento de calor. Calcula ∆ A (ahora de manera aproximada) como el área 4 de la franja indicada.7.7: El incremento de áreas entre las mareas alta y baja en una isla. calculando la diferencia de áreas de las elipses de la figura 1. a) Determina el incremento de área ∆A. Usa diferenciales para estimar el incremento que se requiere en el radio para que la fuerza aumente un 10% cuando r = 20 cm. ¿cuál será la expresión de la diferencial de área? 3a 4 a da FIGURA 1. Cuando un bloque cúbico de cierto metal se calienta. Al bajar la marea.16 Unidad 1: Diferencial e integral definida 15. éste es un resultado exacto. las aguas se desplazan. provocando un incremento de los semiejes en una cantidad da. La ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos partículas con m m masas m1 y m2 está dada por F = G 1 2 2 . ¿Con cuánta exactitud debe medirse el diámetro de una circunferencia para que el cálculo del área resulte con un error menor del 1%? 17. Una isla tiene forma elíptica como la que se muestra en la figura 1.1% por grado de elevación de la temperatura. 16. NOTA: Para el cálculo del perímetro de la elipse de semiejes mayor x y menor y puede utilizarse la fórmuy/ x π la P = 4 x . 19. b) Determina una expresión para el diferencial de trabajo dW necesario para subir el elemento de agua. 10 m z ∆z 40 – z 40 m 30 m FIGURA 1. 21.8: El diferencial de volumen es una parte representativa del volumen de un sólido.9.9: El diferencial de trabajo al subir. expresa la diferencial de volumen de cada parte en términos de x. un elemento de volumen de agua. como se muestra en la figura 1. a y ∆x. . considera que la densidad del agua es de 1 ton/m3. desde el suelo. El prisma regular de la figura 1.1: El concepto de diferencial 17 20.9.1. mostrado en la sección sombreada de la figura 1. Supón que dividimos este sólido en partes de espesor dx. a) Calcula el diferencial de volumen de la sección sombreada dentro del tanque en términos de z y ∆z. desde el suelo hasta la altura h = 40 − z . a a dx x a a FIGURA 1. El fondo de un tanque para agua (vacío) de 10 m de radio está a 30 m sobre el suelo.8 tiene todos los lados de su base y la altura iguales a “a”. 9 9.88 1 10 1.08 1. al que llamaremos origen) está dada por la siguiente tabla.52 1. y la profundidad máxima. Con base en la teoría desarrollada. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo.32 1.48 0. 25) dy (50. 25) y y = kx2 x FIGURA 1. Si el agua pesa 1 ton/m3 expresa el diferencial de fuerza del agua en términos de ∆y y y.1 5. analiza y resuelve las siguientes situaciones.7 8. 2.68 0.12 0.92 12.4 6. Da respuesta fundamentada a la pregunta que ahí se formula.4 13. 25 metros.92 0. El ancho en la superficie es de 100 metros. la presa que regula el nivel de agua presenta una cara normal a la dirección del mismo.10.9 17.7 15. Dibujo con diferenciales.08 1.3 6.1 10. El perfil transversal de un río es una parábola vertical como se muestra en la figura 1. (–50.72 0.8 8.52 1. discute con tus compañeros el problema planteado al inicio de esta sección.3 0.6 14.10: Fuerza de empuje sobre una presa con sección transversal parabólica.18 Unidad 1: Diferencial e integral definida 22.5 7 1.5 14 0.32 1.28 . 1. Tragedia ecológica.2 5. Imagina un muro del que sabe que la altura correspondiente a x metros (medidos en el piso desde un extremo.88 0.68 0.2 11.6 7. donde la altura está también medida en metros: Metros Altura Metros Altura 0 5 1.8 16. Si (3.2 ) ≈ 1. a) ±3.68 a) Elabora un diagrama que ilustre la posible forma de este muro. Como observas.7 metros? ¿Y cuánto si se pinta desde 2.05 metros al medir sobre la base del muro. c) Si el gasto de pintura es de 3 pesos por metro cuadrado. b) Propón una función que pueda representar la altura h(x).2 ) ≈ 2.6 26.1. b) 0.052 6 define implícitamente la función y = f (x). elige la opción que contiene un valor aproximado de f (3. a) f ( 3.2 ) ≈ 1.4 23.5413 d) f ( 3. a partir del concepto de diferencial.32 2.2). Elige la opción que da el posible error al calcular el volumen de la caja.5 25 2.2 cm3 a) −0. con un posible error de 0.4 cm3 d) ±2.9556 c) f ( 3. Supón que la ecuación dada por x y − x = .9826 4.1: El concepto de diferencial 19 Metros Altura 2 19 2.05 cm.48 2.7 metros? d) Si los pintores suelen tener un error que no excede 0.2 21.2 y y = f (x) = x3 + x.3 hasta 2.7 27.2) y satisface la ecuación anterior.3095 b) ±1.3 22. Indica la opción que contiene el valor de ∆y − dy para x = 1/2.2 ) ≈ 0.12 2.28 2.8 cm3 c) ±2.04615 c) 0. x 1 df ( x ) = 2 x + 2 dx x 1 df ( x ) = 2 x + 2 dx x 1 df ( x ) = 2 x − 2 dx x df ( x ) = 2 xdx 1 ∆x a) ∆ f ( x ) = 2 x + ∆ x + x( x + ∆ x ) 1 b) ∆ f ( x ) = 2 x + ∆x x ( x + ∆ x) 1 c) ∆ f ( x ) = ∆ x + ∆x x ( x + ∆ x) d) ∆ f ( x ) = [ 2 x + ∆ x ] ∆ x 2.8 cm3 3.1 20. elige la opción que contiene ∆ f (x) y d f (x) .1324 b) f ( 3.342 d) 0. Una caja con forma de cubo tiene en cada una de sus aristas una longitud de 4 centímetros. Si f ( x ) = x − 1 . ¿cuál será el error máximo esperado en el gasto en las dos situaciones del inciso anterior? Autoevaluación 2 1. el muro es muy alto y su forma es caprichosa. ∆x = −0.72 2. en metros. ¿cuánto se desembolsará si se pinta desde 0 metros hasta 2. Elige la opción que proporciona el volumen de una cáscara esférica que tiene un radio interior de 10 centímetros y un espesor de 2 milímetros. 2 2 a) −b dθ = b + l dl 2 2 b) −b dl = b + l dθ ( ) ( ) c) −b dθ = (b + l ) dl 2 2 2 d) −l dl = b + l dθ l dq ( ) b FIGURA 1. Sea y = f (x) una función derivable en el dominio (a. 7.20 Unidad 1: Diferencial e integral definida 5. a) dy = 3x 2 + 8 x − 5 dx b) dy = (− x + 2 x − 3x + 8 x − 4 )dx ( x 3 + 4 )2 4 3 2 ( ) d) dy = xdx 1+ x 2 e) dy = sec 4 ( x ) d x f ) dy = ln( x ) d x c) dy = −10 x (a 2 − x 2 )4 dx (1 − x ) 2 . a) dV = 40 π cm 3 b) dV = 60 π cm 3 c) dV = 100 π cm 3 d) dV = 80 π cm 3 6. b ). Elige la opción que proporciona el volumen aproximado de un tubo cilíndrico de pared delgada que tiene un radio interior de r centímetros.11: Relación entre errores. b). 3 a) π ( r + ∆ r ) h cm 2 3 b) 2 π r h ∆ r cm 3 c) 2 π r h ∆ r cm d) π r 2 + ∆ r h cm 3 ( ) Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. de longitud b (considerada como exacta) y normal a la distancia l. La distancia l de un objeto se calcula con mediciones angulares hechas en los extremos de una línea base. una altura de h centímetros (considerada exacta) y un espesor ∆r centímetros. A la función g(h ) = f ' ( x0 )h se le llama la diferencial de f en el punto x0 ∈ (a. Elige la opción que indica la relación entre el error de la distancia con el error en la medición del ángulo θ. 2. 30 ( ) c) dy = x (2 + 5 x + 4 x 2 )dx .612 a da 20. La respuesta aparece en el propio enunciado del ejercicio.1. 4 % 1 ≈ 0.0192. el valor exacto es ∆V = 124 400 mm 3 6.36 π m3. c) 25.66%. 0.00152 segundos. 18. d) 3.1 12.1: El concepto de diferencial 21 g) dy = e x dx (e + 1) x 2 2x2 + arctan( x 2 ) dx i) dy = 4 1+ x 3x j) dy = e ( 3 cos(2 x ) − 2 sen(2 x )) dx cos(2 x ) − 2 x( x + 1)sen(2 x ) h) dy = dx (1 + x )2 3. b) 0. 16. dy − ∆y = −6 x 2 ( ∆x )2 − 4 x ( ∆x ) 3 − ( ∆x ) 4 2 3 4 4. dy = − dx / x . ∆y ≈ 0.612 a da . Error máximo: 0.5 7. b) dW = π ( 40 − z ) 100 − z ∆ z ( ) ( ) 22. a) 0. errores relativos: S. La superficie aumenta 0. −1 14. a) ∆ A = π (1. ∆y ≈ 0.5% 17. error porcentual: 1.008.3) ≈ −1. b ) 0. a ) f (−0. d F = 20 ( 25 − y ) y ∆ y .75 a + da ) da . V.4 ) = 2. Errores máximos: S.12222 (1 + 2 x )2 b) dy = dx . b) ∆ A ≈ 5. V. c ) f (−0. c) –2 minutos 10 segundos 13. e ) 0. dy − ∆y = − ( ∆x ) / x ( x + ∆x ) c) ∆y = 4 x 3∆x + 6 x 2 ( ∆x ) + 4 x ( ∆x ) + ( ∆x ) .97 ) ≈ 2. el volumen aumenta 0.01 cm 11. b ) f (2. 0.3% por grado. El error no debe exceder 0. 19. Aproximadamente: a) 1. a) d V = π 100 − z 2 ∆ z .41 cm2.04.24 π m2. dy − ∆y = −3 ( ∆x ) 2 2 2 2 b) ∆y = −∆x / x ( x + ∆x ) . 2 π r l e 10. dy = 4 x 3dx. 0. c) d A = 5. dV = 125 600 mm 3.2% por grado.92% 8.0063.00637 50 π 15. ∆y ≈ −1. error relativo: 0. 1% 9. El error no debe exceder 0. 2 a) dy = 3x − 6 x + 2 dx .993 m. 2 a) ∆y = ( 6 x + 5 ) ∆x + 3 ( ∆x ) . dV = 2 ax ∆x 2 21.0350.46977.00625 (1 + x )2 5.95833. dy = ( 6 x + 5 ) dx . 1978. 1980.com. Barcelona. b) 7. R. 1975. vol. México. Iberoamérica. 3. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. a) 2. J. 2a.. 7. J. Harla. Mochón.. 1982.. http://www2. 1994. Introducción al cálculo elemental.. d) 4. Introducción al cálculo y al análisis matemático. I. Apóstol. S. d) 6. 1982. Seeley. y Duff. 6. Trillas.. 5.eluniversal. y John. F. Courant. México. Del Grande. Madrid..html?id_nota=71113&tabla=ciudad . ed. c) 3. Cálculo de una y varias variables. Limusa. c) Referencias 1. Reverté.22 Unidad 1: Diferencial e integral definida Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. b) 5. Reverté. T. Rivaud. 2. Quiero entender el cálculo. Ejercicios de análisis. México.mx/pls/impreso/noticia. 4. R.. México. G. 2: La integral definida 23 1. La velocidad máxima de producción de la primera es de 18 800 unidades por hora.2 La integral definida Al final de una distancia indefinida siempre hubo un punto confuso. La máquina A es un equipo nuevo que tiene un rendimiento variable en el tiempo. empieza con un ritmo lento. Gustave Flaubert Producir sí. pero ¿cómo? La empresa Tornillos y Tuercas S.1.13 se muestran los ritmos de producción por hora de ambos equipos. pero que es muy constante en su rendimiento. cuenta con dos máquinas para la elaboración de tornillos. . A. Por seguridad. En la figura 1. y luego lo hace decrecer porque sus partes se calientan y es necesario detener la producción por un mínimo de dos horas. Cuando se detiene la máquina A entra en funcionamiento la B. que produce menos por ser más antigua. hacia el que su sueño murió. FIGURA 1. después eleva su productividad hasta un máximo.13: En las gráficas se muestran los ritmos o las velocidades de producción de las máquinas A y B.12: ¿Cómo combinar el trabajo de dos máquinas para obtener la mayor producción? P unid hr 2000 1500 1000 500 –2 – 500 Máquina A 2 4 6 8 t hr –2 P unid hr 2000 1500 1000 500 2 – 500 Máquina B 4 6 8 t hr FIGURA 1. hacen funcionar la B por dos horas. debemos hacer una definición adecuada que rescate lo que esperaríamos intuitivamente. por ejemplo. pero como los fenómenos que estudiaremos ahora no serán discretos. Con estas consideraciones: a) Calcula la producción total en una semana de cinco días. cotejaremos la definición usual de promedio de una cantidad finita de números. y repiten el proceso durante cinco días. siguiendo los tres procedimientos descritos. luego la detienen. Finalmente. . hasta que llegan a cinco días (120 horas). Iniciemos ahora el estudio del concepto de integración. • Conocer y aplicar las propiedades básicas de la integral definida. • Calcular el promedio de funciones en intervalos dados. los ingenieros de la empresa han seguido tres procedimientos: • Dejan que la máquina A cumpla un ciclo completo de ocho horas de funcionamiento y dos de descanso. hablaremos del área bajo la curva y su relación con el promedio de la función. y repiten el proceso durante cinco días. una buena cantidad de integrales. ¿cuál sería la producción? ¿Qué pasaría si fueran seis horas? c) ¿Podrías sugerir un procedimiento que haga producir más que los tres utilizados por los ingenieros de la empresa? d) ¿Cuál será la producción máxima que se pueda obtener? Introducción En esta sección trataremos el concepto de la integral definida y su importancia para resolver problemas como el descrito. El proceso de acumular información es la idea básica que sustenta el concepto de integral definida y es la base de su aplicabilidad en la solución de problemas.24 Unidad 1: Diferencial e integral definida Para maximizar la producción. Después. La analogía más cercana es la suma usual. • Dejan que la máquina A alcance su máxima producción. y durante las últimas hacen funcionar la máquina B y repiten el proceso indefinidamente. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. analizaremos el concepto de integración y aplicaremos algunas de sus propiedades para calcular. t = 5 horas. deberás ser capaz de: • Comprender el concepto de integral definida de una función real. utilizando la notación de suma o el concepto de integral definida. ¿Cuál será mejor? b) Si la máquina A se detiene después de un tiempo mayor a la producción máxima. • Dejan que la máquina A funcione por un periodo de siete horas. con la definición de promedio de una cantidad infinita de números que varían continuamente. después hacen funcionar la B por dos horas. sino que cambiarán continuamente. En específico. más o menos fácilmente. 1 y n. respectivamente.5) Donde i se conoce como el índice de la suma. ai es el sumando i-ésimo.8) Estas tres propiedades se deducen de las reglas de la suma finita de términos.1. de donde claramente resulta: ∑ cai = ca1 + ca2 + i =1 n + can = c ( a1 + a2 + + an ) = c∑ ai i=1 n . la siguiente notación.2: La integral definida 25 • Calcular el área bajo la curva de funciones positivas en intervalos dados..an se escribe usando el símbolo Σ (sigma) como ∑ ai = a1 + a2 + i =1 n + an (1.2.. a2. Algunas de las propiedades más importantes de la suma son las siguientes: Propiedades Si c es una constante.7) c) ∑ (ai+1 − ai ) = an+1 − a1 i =1 (1. utilizamos la propiedad distributiva.6) n b) ∑ (ai ± bi ) = ∑ ai ± ∑ bi i=1 n i =1 i=1 n (1. y los límites inferior y superior son. usando la notación de suma o el concepto de integral definida. entonces: a) ∑ cai = c∑ ai i=1 n i=1 n n (1. Notación La suma de los términos a1. pero que simplifique lo que escribimos.. Introducimos. entonces. en muchas ocasiones es útil contar con una notación para la suma de n términos que permita mantener clara la idea de suma. Por ejemplo.. Sección 1. • Calcular integrales definidas de funciones sencillas en intervalos dados.1 La notación suma Como veremos más delante. • Aplicar el concepto de integral para resolver problemas en diversas áreas. para la primera. 14) Sólo mostraremos la fórmula (1.9) y (1.9) +n = n ( n + 1) 2 + (2 n − 1) = n 2 + n2 = +n = 3 b) ∑i = 1+ 2 + i =1 n i=1 n (1. contamos con las siguientes fórmulas (1. obtenemos: ∑ ( ai+1 − ai ) = ( a2 − a1 ) + ( a3 − a2 ) + ( a4 n i =1 − a3 + ) + an+1 − an = an+1 − a1 ( ) Además.13) f) ∑ i 4 = 14 + 2 4 + + n4 = (1. Tenemos.10) c) ∑ (2i − 1) = 1 + 3 + ∑ i 2 = 12 + 22 + i=1 n (1. Posteriormente. si desarrollamos la suma y cancelamos.14) que nos serán de mucha utilidad más adelante: Fórmulas de sumas importantes a) ∑1 = n i =1 n n (1. En efecto. entonces. resulta que: ∑ ((i + 1)3 − i 3 ) = ( 2 3 − 13 ) + ( 33 − 2 3 ) + ( 4 3 − 33 ) + n i=1 + (n + 1)3 − n 3 ( ) simplificando desarrolla ando = (n + 1)3 − 1 = n + 3n + 3n 3 2 Ahora.12) e) ∑i i=1 n i=1 3 =1 +2 + 3 3 (1. Calculemos ∑ ((i + 1)3 − i 3 ) por dos formas i=1 n diferentes. Primero desarrollemos la suma. que se infiere de la propiedad asociativa de la suma. ya que la (1. y apliquemos la propiedad telescópica.10).9 a 1.12). ∑( i=1 n (i + 1)3 − i 3 = ∑ i 3 + 3i 2 + 3i + 1 − i 3 i=1 ) n ( ) simpli ificando .13) y la (1.26 Unidad 1: Diferencial e integral definida La última se conoce como propiedad telescópica. desarrollemos el sumando general antes de hacer la suma. así.11) d) n ( n + 1) ( 2 n + 1) 6 n 2 ( n + 1) 4 n ( n + 1) (2 n + 1)( 3n 2 + 3n − 1) 30 2 (1.14) se deducen de forma similar y las tres primeras son evidentes. usemos las fórmulas (1. 6 Ejemplos Ejemplo 1. 2 2 2 2 De donde se consigue el resultado buscado: ∑ i2 = i =1 n n(n + 1)(2 n + 1) .8 Determina el valor de la siguiente suma: ∑ (i 3 − 4i 2 + 5i − 3) i=1 25 solución Si utilizamos las propiedades y las fórmulas de sumas. 3 = 3∑ i 2 + n(n + 1) + n 2 i=1 Al igualar los dos resultados: n n 3 + 3n 2 + 3n = 3∑ i 2 + i =1 3 2 5 n + n. 2 2 Al despejar ∑i2 i=1 n obtenemos: 3∑ i 2 = n 3 + i =1 n 3 2 n n n n + = (2 n 2 + 3n + 1) = (n + 1)(2 n + 1).1. tenemos que: ∑ (i 3 − 4i 2 + 5i − 3) = ∑ i 3 − 4∑ i 2 + 5∑ i − ∑1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 25 25 25 25 25 por las propiedades de suma = 25 2 × 26 2 4 × 25 × 26 × 51 5 × 25 × 26 − + − 25 por las fórm mulas de sumas 4 6 2 = 85075 .2: La integral definida 27 = 3∑ i 2 + 3∑ i + ∑1 i=1 n i=1 i=1 n n n por las propiedades de la suma usando las fórmulas de sumas. es un número que razonablemente representa las cuatro calificaciones parciales. Empezaremos por calcular el promedio de una función. 95 y 85. [ 4 ] . 5 5 16/5 16/5 16 .. como se muestra en la figura 1. 5.14: y 4 3 2 1 x 5 1 2 3 4 FIGURA 1.4: Promedio de una función.1].4 5 4 4 ξ f (ξ ) Si promediamos. 2. los cuatro números son diferentes. Supón. 92.. obtuviste las calificaciones parciales 88. obtenemos una primera estimader ción del promedio. Intervalo 4 0.4 se muestran los intervalos. 88 + 92 + 95 + 85 = 90 ). La base de nuestro método la encontramos en el concepto de promedio que manejamos cotidianamente. Veamos cómo incorporar este tipo de promedio al problema que nos interesa. con seccionada que asocia el valor a cada intervalo de la forma 5 5 5 i = 1. aproximamos la función original por la función 4 (i − 1) 4 i 4i .2.. 5 4/5 4/5 4 8 .2 El promedio de una función Dos aplicaciones donde el símbolo Σ resulta útil son el cálculo de áreas bajo una curva y el promedio de una función en un intervalo. En la tabla 1. 5 5 8/5 8/5 8 12 . que denotaremos por prom 5 ( f ) . posteriormente evaluamos la función en los extremos derechos de cada uno. por utilizar cinco intervalos y la función evaluada en los extremos derechos. 5 5 12/5 12/5 12 16 .4 prom der ( f ) 5 5 5 5 ¿Qué hemos hecho? Geométricamente. que en un curso de cálculo. Considera que queremos determinar el promedio de la función f (x) = x en el intervalo 0 .28 Unidad 1: Diferencial e integral definida Sección 1.14: Determinación del promedio de los valores de f (x) = x en [0. Para cada intervalo s selecciona un punto y evalúa la función. dividimos el intervalo en cinco subintervalos de longitud 4 5 . los extremos derechos y los valores que toma la función en esos extremos: Tabla 1. por ejemplo. como en el caso de las calificaciones. obtenido al sumar las calificaciones y pero el promedio ( prom = 4 dividir entre cuatro. . 4 8 12 16 20 ∑ 4 i + + + + 5 5 5 5 5 = i=1 5 = 12 = 2. Claramente.. Primero. . .. xn ∈ [a. primero necesitamos hacer la siguiente definición: Definición 1. . es irregular. en el límite cuando n tiende a ∞.15: Partición regular donde las longitudes de los intervalos son iguales.. obtenemos: der prom10 (f)≈ ∑ 10 i=1 10 4i 10 = 44 = 2.. x1 = a + L. 2.…. n.10). n n (1.. resulta que: 4 n(n + 1) 2 prom der = 2+ n (f)= 2 n 2 n Finalmente. x2.. Así.1. n si para puntos x0. b] un intervalo. después de simplificar.15) x0 = a..2 20 Observa que podemos pasar de forma inmediata al caso de n subintervalos de igual longitud.2: La integral definida 29 Si repetimos el proceso con 10 intervalos. La partición es regular si la longitud de todos los subintervalos es la misma: en caso contrario.. .. x3 = a + 3L. x1. ∆xi = L para i = 1. Observa que la longitud de todos los inb−a tervalos es ∆xi = y que los puntos de la partición cumplen: n b − a xi = a + i ∆ x = a + i con i = 1. x2 = a + 2L. obtenemos el promedio buscado: 2 prom( f ) = lím 2 + = 2 n→∞ n Para generalizar el cálculo anterior. La norma de la partición es el máximo de las longitudes de los subintervalos y la denotamos por || ∆ ||. Basta con sustituir el número 10 de la expresión anterior por n.. La figura 1.3: Partición de un intervalo Sea [a. xn = a + nL ∆x1 = L ∆x2 = L ∆x3 = L ∆xi = L ∆xn = L FIGURA 1... xi] con i = 1.. Decimos que ∆ es una partición del intervalo en n subintervalos [xi−1.. 2. obtenemos: prom der n (f)= ∑n i=1 n 4i = 4 ∑i n 2 i=1 n n Utilizando la fórmula (1.15 muestra una partición regular. se cumple que a = x0 < x1 < x2 < ...b]. < xn−1 < xn = b. Además. En general. la fórmula anterior se reduce a la expresión (1.18) f [ a.. f (ξ2). el promedio de una función con dominio [a. Para el caso de las particiones regulares. Para aclarar el proceso de cálculo del promedio.30 Unidad 1: Diferencial e integral definida En nuestro ejemplo utilizamos una partición regular.17). Es decir. f (ξn) que denotaremos por promn( f ). consideramos que la suma de todas las ∆ xi es igual a b − a.17) n Donde ξ i es cualquier punto en el i-ésimo intervalo [xi−1. No es necesario que sea continua. se calcula usando la fórmula: f [ a. la fórmula del promedio se reduce a: a+ ∑f i=1 n (b − a ) i n (1. Si la partición usada no es regular.16) n 3.b ] = lím ∑ f (ξi ) i=1 n n→∞ (1. que denotaremos por f [ a. necesitaremos hacer algunas precisiones y observaciones: 1. la longitud del intervalo original.. xi] de la partición regular usada. 2.b ] = lím ||∆||→0 ||∆||→0 ∆x1 + ∆x2 + + ∆xn ∑ f (ξi )∆xi i=1 n b−a (1.. La función f debe estar definida en todos los puntos del intervalo donde se promedia...b ] = lím n→∞ n 4. resulta inadecuado usar la fórmula (1.b ]. Para el caso de que los ξ i sean los extremos derechos. En conclusión. si las longitudes de los subintervalos son ∆xi.17). está dado por: prom n ( f ) = ∑ f (ξi ) i=1 n (1.. como en nuestro ejemplo. el promedio de una función definida en [a. n entonces el promedio estará dado por: f (ξ1 )∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + + f (ξn )∆xn = lím f [ a. sólo necesitamos que se pueda evaluar.19) En esta expresión lím es la norma de la partición y significa que las longitudes ||∆||→0 de todos los subintervalos tienden a cero.. con i = 1.. b]. b] se puede determinar a través del procedimiento siguiente: .2. ya que se requiere ponderar el valor de la función por la longitud de cada subintervalo. El promedio de n evaluaciones de la función f (ξ1). considerando 20 intervalos de la misma longitud y evaluando la función en los extremos derechos.5 FIGURA 1. Entonces: 10 i i2 f = 10 100 En la figura 1.. y 4 3 2 1 – 0. se obtiene el promedio de la función. basta con evaluar la función en los puntos 10 10 xi = i con i = 1. c) Repite el cálculo utilizando n intervalos de la misma longitud.5 0. Selecciona un punto ξ i en cada uno de los intervalos y calcule f (ξ i). Calcula el límite cuando n → ∞ o cuando || ∆ ||→ 0. Divide el intervalo en n subintervalos de longitudes ∆xi. . n. Queremos ahora calcular el promedio de estas 20 alturas. i = 1..16 se muestran la gráfica de la función y las 20 longitudes calculadas con la fórmula anterior. 3. 2]. b] 1. Ejemplos Ejemplo 1.2. 20. 2. 2.. . … ..1.2. A partir de estos valores..9 a) Calcula el promedio de la función f (x) = x2 en el intervalo [0.. Para obtener el promedio derecho..2: La integral definida 31 Promedio de una función y = f(x) en el intervalo [a. solución a) Dividimos el intervalo [0.5 2 x 2. . Calcula el promedio de las n cantidades f (ξ i) usando cualquiera de las expresiones prom n ( f ) = ∑ f (ξi ) i=1 n n o: prom n ( f ) = ∑ f (ξi ) ∆xi i=1 n b−a 4.. respectivamente. b) Repite el cálculo evaluando en los extremos izquierdos.16: La función evaluada en 20 puntos diferentes.5 1 1.2] en 20 intervalos y así obtenemos los 21 puntos siguientes 1 2 x = 0. 17: . 1. es decir: f [ 0. Al seguir el proceso anterior: prom izq 20 ( f ) = 19 19 i 1 1 19 × 20 × 39 247 i2 = = = 1. Observa la figura 1. 19. Éste es el promedio de la función en el intervalo dado.2 ] = 4 / 3 .. Por ejemplo. con n intervalos tenemos: prom der n (f)= 1 n 2i 4 n 2 4 n(n + 1)(2 n + 1) 2 1 i = = = 1 + 2 + ∑ ∑ 3 3 n i =1 n 3 n n i =1 6n 4 (n − 1)(n )(2 n − 1) 2 1 n−1 2i 4 n−1 = 3 ∑ i2 = = 1 − ∑ n i=0 n 3 n i =1 6n 3 2 2 1 n prom izq n (f)= 1 1 2− n n Si el número de intervalos crece.32 Unidad 1: Diferencial e integral definida Al promediar.. construimos cuatro rectángulos de base ∆ x = 1 y alturas iguales al valor de la función en los extremos derechos de cada subintervalo. 5]. dividimos el intervalo en cuatro intervalos de igual longitud.235 = ∑ ∑ 20 i=0 10 2000 i=1 2000 × 6 200 2 i con 10 c) Para el caso general. tenemos: prom der 20 ( f ) = = = 1 20 i ∑ 20 i =1 10 1 20 2 ∑i 2000 i =1 2 usando la fórmula del promedio desarrollando 20 × 21 × 41 287 = = 1. Como primera aproximación. supón que quieres determinar el área bajo la curva definida por la función f (x) = 3 + x en el intervalo [1.435 utilizando las fórmulas de sumas 2000 × 6 200 b) Para determinar el promedio izquierdo hay que evaluar la función en los puntos xi = i = 0.2. Después... Sección 1. entonces ambos promedios se acercan a 4/3.3 Áreas bajo curvas El cálculo de áreas bajo curvas es otra aplicación donde el símbolo Σ juega un valioso papel. donde se evalúa la función para obtener la altura del rectángulo. n n 4 (2 ) n 3+ 4 (2 ) n … 4 (i − 1) 4 i . Obtenemos así que: área 4 ( f ) = f ( x1 )∆x1 + f ( x2 )∆x2 + f ( x2 )∆x2 + f ( x2 )∆x2 = f (2 ) + f ( 3) + f ( 4 ) + f (5 ) = 5 + 6 + 7 + 8 = 26 5 −1 4 = . Finalmente.17: Área bajo una recta utilizando cuatro rectángulos. Así obtenemos: . Los intervan n los se muestran en la primera fila de la tabla 1. que llamaremos área4( f ). n n 4i n 3+ 4i n … 4 (n − 1) .5: Área bajo una curva.5. 4 n 4 ξ … … f (x) … … 3+4 Calculamos ahora el área de cada rectángulo multiplicando su base ∆xi por su altura f (ξ i). En la tercera fila se muestran los valores de la función en los extremos derechos de cada uno. Observa que el área de los rectángulos es superior al área bajo la recta. sumamos el área de los cuatro rectángulos. Pensemos ahora el caso general de n rectángulos de base ∆x = Tabla 1.1. Para cada intervalo se selecciona un punto. n 4 n 3+ 4 n 4 4 (2 ) .2: La integral definida 33 y 10 8 6 4 2 x 1 2 3 4 5 6 FIGURA 1. Intervalo 4 0. 34 Unidad 1: Diferencial e integral definida área n ( f ) = ∑ f (ξ i )∆xi i =1 n 4i 4 = ∑ 3+ nn i =1 n sumando las áreas de cada rectángulo sustituyendo altura y base de los rectángulos desarrollando el producto 12 16i = ∑ + 2 n n i =1 n 12 16 n(n + 1) = n+ 2 aplicando las fórmulas de la suma n n 2 8 = 20 + simplificando n Finalmente. está dada por: área ( f ) = lím ∑ f (ξi )∆xi n→ ∞ i =1 n (1. podemos reescribir la fórmula del área como: n (b − a ) i b − a área ( f ) = lím ∑ f a + n→ ∞ n n i =1 (1. b]. en el límite cuando n tiende a ∞ obtenemos que el área es igual a 20. 10 y 15 rectángulos. Nota que cada vez más el área de los rectángulos se acerca al área bajo la recta. El área bajo la curva y = f (x) > 0 en el intervalo [a. donde se encuentra definida la función. dados por la ecuación (1. 1.18 se muestra gráficamente cómo se aproxima el área de los rectángulos al área bajo la recta: y 10 8 6 4 2 –1 –2 1 2 3 4 5 6 x 10 8 6 4 2 –1 –2 y 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 y 1 2 3 4 5 6 x FIGURA 1. tenemos algunas observaciones sobre el cálculo de áreas.21) . xi] que tiene longitud ∆xi = xi − xi−1. 2.18: Las gráficas corresponden al área de 6. Al igual que en el cálculo del promedio.15).20) Donde ξi es cualquier punto en el subintervalo i-ésimo [xi−1. En la figura 1. Si utilizamos una partición regular y evaluamos la función en los extremos derechos de cada intervalo. Si consideramos que la partición no es regular. b] 1. Divide el intervalo en n subintervalos de longitudes ∆xi. y que son muy utilizadas. como se muestra en la figura 1..23): (b − a )(i − 1) b − a área ( f ) = lím ∑ f a + n n→ ∞ n i =1 n n (b − a ) ( i − área ( f ) = lím ∑ f a + n→ ∞ n i =1 1 2 (1.. entonces utilizamos el cálculo del límite para que la norma de la partición tienda a cero.1. el área bajo una curva se determina con el siguiente procedimiento: Área bajo la curva y = f (x) > 0 en el intervalo [a.22) ) b − a n (1. i = 1.19: Relación entre área bajo la curva y el valor promedio.24) 5..2. En este caso. .2: La integral definida 35 3. Calcula el límite cuando n → ∞ o cuando ||∆|| → 0. y f a. 2. la expresión para el área está dada por: área ( f ) = lím ∑ f (ξi )∆xi ||∆||→0 i =1 n (1. Otras dos expresiones que utilizan los extremos izquierdos o los puntos medios de cada intervalo para evaluar la función. son las siguientes (1..b] se relacionan mediante la expresión: área ( f ) = f [ a. Selecciona un punto ξien cada uno de los intervalos y calcule f (ξi). el promedio de una función es la altura de un rectángulo que tiene base b − a y área ( f ). n. b ] (b − a ) Es decir. b x a b FIGURA 1. Calcula el área de los n rectángulos de alturas f (ξi) y base ∆xi usando área n ( f ) = ∑ f (ξi ) ∆xi i =1 n 4.23) 4.22 y 1. 3. En conclusión.19. No es difícil ver que el área bajo la curva y el promedio de una función en un intervalo [a. 2. evaluando en los extremos izquierdos. solución Empezamos con el ancho de cada subintervalo y vemos que éste es ∆ x = tángulo tiene la siguiente altura: 2 2 4 4i f 1 + (i − 1) = 2 1 + (i − 1) + 1 = 3 − + con i = 1.3] y el eje x. si hacemos tender n a ∞ encontramos el área exacta bajo la recta: 4 Área = lím 10 − = 10 n→ ∞ n .10 Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función f (x) = 2x + 1 con dominio [1. n n n n En consecuencia. Cada recn n n FIGURA 1.36 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplos Ejemplo 1. La suma de las áreas de estos rectángulos aproxima el área buscada por debajo del valor exacto. el área de cada rectángulo es: 4 4 i 2 altura × base = 3 − + n n n y 8 6 4 2 x 1 –2 2 3 4 b − a 3 −1 2 = = .…. n.20: Interpretación de la integral definida como área bajo la curva.20 Al calcular la suma tenemos: n 4 4i 2 área( f ) = ∑ 3 − + n n n i =1 2 = ∑ 3− n i =1 n 4 8 n + ∑i n n 2 i =1 aplicando las propiedades de la suma 4 8 n(n + 1) 2 = n3− + 2 aplicando la fórmula de sumas n n n 2 4 = 10 − simplificando n Finalmente. como se observa en la figura 1. ∑ f (ξi )∆xi donde i=1 n xi−1 ≤ ξi ≤ xi y ∆xi = xi − xi−1.5: Integral definida de una función b fn. Empezaremos por hacer algunas definiciones que nos lleven directamente a éste y al tema fundamental del presente libro. En Decimos que una función f es integrable en el intervalo [a. En ese caso. que ya habíamos usado para definir la diferencial de la función f (x). y la Un caso particular de las sumas de Riemann ocurre cuando la partición es regular y evaluamos la función en los extremos derechos ξi = xi . x2 .4: Sumas de Riemann Sea f una función con dominio en el intervalo [a. la integral definida se reduce a b Sa fn ∫ f ( x )dx = nlím →∞ b a . n. por lo que resulta conveniente contar con un método que facilite su cálculo.2: La integral definida 37 Sección 1. b]. la cual resulta muy afortunada.25) Con tales consideraciones. estamos en condiciones de hacer la siguiente definición. denotamos lím Sa fn . xn−1 . Al símbolo ∫ f ( x ) dx lo llamaremos ∫ f ( x )dx = ||∆ ||→0 a a integral definida de la función f en el intervalo [a.2. como se verá en la siguiente sección. la suma de Riemann está dada por la expresión: i(b − a ) b − a b Sa fn = ∑ f a + n n i =1 n (1. i = 1. 2. Definición 1.4 La integral definida y sus propiedades Determinar el promedio de una función o el área bajo una curva puede ser muy tortuoso. y ∆ una partición del intervalo de la forma a = x0 . b]. Definimos la suma de Riemann de orden n a la expresión b denotaremos como Sa fn.…. x1 . si existe lím Sa ||∆||→0 b b b ese caso. xn = b. b]. b fn tiene la forma f (xi)∆xi y por ello dentro del símbolo Observa que cada sumando de Sa b de la integral ∫ a (que no es más que una S mayúscula alargada) aparece la expresión f (x)dx. Definición 1. Nota también que para particiones regulares.….1. Tal situación se ilustra en la figura 1. negativas o nulas. Por otra parte. Si f es una función con dominio [a. El área bajo la curva. integrable y no negativa.b] e integrable en ese intervalo. intuitivamente pensamos que dada una función continua positiva en [a. de ahí su importancia.38 Unidad 1: Diferencial e integral definida De acuerdo con esta última definición tenemos los siguientes resultados: Resultados 1.b]. Esta discusión nos lleva a establecer el siguiente teorema. + + – FIGURA 1. Sin embargo. Si f es una función con dominio [a. . no siempre se da la igualdad entre integral definida y área.b] siempre existe el área bajo la curva.21. esta última siempre es positiva. b−a ∫ a b 2.b ] = 1 f ( x )dx . entonces: f [ a.21: Interpretación del signo de la integral definida y de las áreas bajo curvas. El valor promedio de una función.b] es igual a b ∫ f ( x )dx . mientras que las integrales definidas pueden ser positivas. Es decir: a área = ∫ f ( x )dx a El segundo de estos resultados nos proporciona una interpretación geométrica de la integral definida. que enunciaremos sin demostrar. lo que significa que este tipo de funciones es integrable. entonces el área de la figura plana comprendida entre la gráfica de b f y el eje x en el intervalo [a. cuando n tiende a ∞.b] con a < b. Sin embargo. Por ejemplo: 0 si x es racional f (x) = 1 si x es irracional no es integrable según Riemann en ningún intervalo [a.1. b] a b e) Si f (x) = k es la función constante con valor k.b] y ambas son integrables en aquél.2: La integral definida 39 Teorema 1. Para mostrarlo. entonces b b ∫ f ( x )dx = ∫ kdx = k (b − a) a a b b f ) Si f (x) = x entonces ∫ f ( x )dx = ∫ xdx = 2 (b a a 1 2 − a2 ) .3 Si f y g son dos funciones reales. la suma de Riemann toma el valor ∑ f ( xi )∆xi = ∑ ∆xi = b − a i=1 i=1 n n Si seleccionamos un número racional tenemos ∑ f ( xi )∆xi = ∑ (0)∆xi = 0 i=1 i=1 n n En el límite. obtenemos dos resultados diferentes. enunciamos y demostramos un teorema sobre las propiedades de la integral definida: Teorema 1. Si en todos los subintervalos originados por la partición elegimos un número irracional.2 Si y = f (x) es continua en el intervalo [a. la función no es integrable.b] entonces es integrable en ese mismo intervalo. entonces son ciertas las siguientes afirmaciones: b b a) ∫ k f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx para cualquier constante k a a b) ∫ ( f ( x ) ± g( x )) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a a a a b b b b c) ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx b a c b d) ∫ a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = c ∫ f ( x )dx para cualquier c ∈ [a. lo cual no es posible.b]. cuyo dominio es el intervalo cerrado [a. Por lo tanto. debe ser único. considera que f es integrable y que ∆ es una partición del intervalo [a. Para terminar. entonces. Si el límite existe. no todas las funciones son integrables. i =1 i=1 n n por lo tanto. ( fn ± gn ) = Sa por lo tanto.b]. Sa ( fn ± gn ) = lím Sa fn ± lím Sa gn = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x ) dx ∫ ( f ( x ) ± g( x )) dx = nlím n→ ∞ n→ ∞ →∞ b b b a a a b b b c) a b La demostración de la afirmación c) es consecuencia de que Sb fn = −Sa fn debido a que a − b = −(b − a ). usaremos una partición regular y evaluaremos la función en los extremos derechos. ( k fn ) = k Sa por lo tanto. La afirmación del inciso e) se verifica inmediatamente usando la siguiente factorización en cada suma de Riemann: b Sa kn = ∑ k ∆xi = k∑ ∆xi = k (b − a ).25).40 Unidad 1: Diferencial e integral definida Demostración: a) La afirmación de este inciso es consecuencia de las propiedades de la suma finita de términos. para demostrar la última de las afirmaciones. Basta tomarlas para comprobar que c b c b b f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = lím Sa fn + lím Sc fn = lím Sa f2 n = c n→ ∞ n→ ∞ 2n→ ∞ b ∫ a ∫ f ( x )dx a e) Esta propiedad es válida para cualquier valor de c. usando la relación (1. tenemos i (b − a ) b − a Sb a fn = ∑ a + n n i =1 n . Tenemos que: b b b Sa fn ± Sa gn . d) Para demostrar esta propiedad. b S a kn = k (b − a ) ∫ kd x = nlím →∞ b a f) Finalmente. aunque es necesario asegurar que f es integrable en los tres intervalos [a.b] nos dan una suma de orden 2n en el intervalo [a. [a. observa que una suma de orden n en el intervalo [a.c] y [c.b].b]. De aquí se desprende que b b Sa fn . Así.c] y otra del mismo orden en el intervalo [c. b b ∫ k f ( x )dx = lím Sa ( k fn ) = k lím Sa ( fn ) = k ∫ f ( x )dx a n→∞ n→∞ a b b b) Esta afirmación también se sigue de las propiedades de la suma finita de términos. 3]. más el área del triángulo rectángulo. . al hacer tender n a ∞ resulta (b − a )2 1 b lím Sa fn = lím (b − a )a + 1+ n→ ∞ n→ ∞ n 2 2 (b − a ) b2 a2 = (b − a )a + = ab − a 2 + − ab + .11 (segunda visita) Calcula el área bajo la gráfica de la función f (x) = 2x + 1. 2 2 2 b2 a2 = − 2 2 por lo tanto: b 2 S a fn = ∫ xdx = nlím →∞ b a b2 − a2 2 Con esto concluimos la demostración del teorema. Así. que es 4. también de base 2 y altura 4.2: La integral definida 41 Esta suma se puede expandir para obtener a+ ∑ i=1 n n n i(b − a ) b − a b − a = ∑ a + ∑ i n n n i=1 i=1 b − a b − a n(n + 1) = an + n n 2 2 (b − a) 1 + 1 = (b − a ) a + 2 n De esta última expresión. 10 es el área en cuestión. Ejemplos Ejemplo 1. ya que el área en cuestión es la suma del área del rectángulo de base 2 y altura 3. que es 6. Si usamos las propiedades de la integral.1. sobre el eje x y en el intervalo [1. solución 3 Para determinar el área basta calcular ∫ (2 x + 1) dx . tenemos que 1 3 3 9 − 1 + 1 ⋅ ( 3 − 1) = 10 ∫ (2 x + 1)d x = 2 ∫ x d x + ∫ d x = 2 2 1 1 1 3 Con geometría elemental podemos verificar este resultado. restringiéndonos al intervalo [0. 2 solución Recordemos que las funciones máximo entero y valor absoluto se definen respectivamente como: x = n si n ≤ x < n + 1 con n ∈ Entonces. respectivamente.12 Calcula el área bajo la curva y = x + x − 3 en el intervalo [0.22 se muestra el área bajo cada una de las dos funciones y el área bajo su suma.8]. segunda y tercera gráficas. .8]. Podemos determinar estas áreas utilizando las fórmulas geométricas para el área de rectángulo y triángulo.42 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplo 1. 17 y 29 para las primera. con lo que obtendremos que las áreas bajo las curvas son 12. tenemos que: 0 x 1 = 2 2 3 De donde resulta 8 − x si x < 0 y x = x si x ≥ 0 si 0 ≤ x < 2 si 2 ≤ x < 4 si 4 ≤ x < 6 si 6 ≤ x < 8 ⌠ x dx = ∫ (0 )dx + ∫ dx + ∫ 2 dx + ∫ 3dx = 2 + 2(2 ) + 3(2 ) = 12 ⌡ 2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 Como − ( x − 3) si x − 3 < 0 − x + 3 si x < 3 = x−3 = si x − 3 ≥ 0 x − 3 si x ≥ 3 x−3 se tiene que: 8 3 8 ∫ 0 x − 3 dx = ∫ (− x + 3)dx + ∫ ( x − 3)dx 0 3 3 3 8 8 = − ∫ xdx + ∫ 3dx + ∫ xdx − ∫ 3dx 0 0 3 3 ( 3)2 (8 )2 ( 3)2 =− + 3( 3) + − − 3(8 − 3) 2 2 2 = 17 Finalmente. obtenemos 8 ⌠ x ⌠ x + x − 3 dx = dx + ∫ x − 3 dx = 12 + 17 = 29 2 2 ⌡ ⌡ 0 0 0 8 8 En la figura 1. .2..23: x0 = 0 x1 = L x2 = 4L x3 = 9 L x4 = 16L . En gen neral..2.n n2 .. Como además xn = b.. consideremos la partición no regular que se muestra en la figura 1.. En c) se muestra el área bajo la suma de las dos funciones..b]. xn = n 2 L ∆x1 = L ∆x2 = 3L ∆x3 = 5L ∆x4 = 7L . se tiene que b = n2L.23: Partición donde las longitudes de los intervalos son diferentes. Nota que los puntos están dados por xi = i 2L con i = 1.1. ∆xn = (2n – 1)L FIGURA 1.9] solución a) Para determinar el área.. Ejemplo 1. utilizando las sumas de Riemann..n. b b) Usa la expresión encontrada en a) para calcular 9 ∫ a xdx c) Calcula ∫ 4 xdx d) Calcula el valor promedio de y = x en el intervalo [4.. b de donde conseguimos la longitud del primer intervalo L = 2 . Observa nuevamente la figura.13 a) Determina el área bajo la curva y = x en el intervalo [0.22: Las gráficas a) y b) muestran el área bajo la curva x / 2 y x − 3 .. tenemos que las longitudes ∆xi están dadas por ∆xi = (2i − 1) L = (2i − 1)b para i = 1.2: La integral definida 43 y 6 4 2 2 –2 4 6 8 x –2 6 4 2 y 6 4 2 2 4 6 8 x –2 y 2 4 6 8 x FIGURA 1. 44 Unidad 1: Diferencial e integral definida Evaluando la función en los extremos derechos: f ( xi ) = xi = Al calcular las sumas de Riemann: i2b i = b n2 n ∑ f ( xi )∆xi = ∑ n i=1 i=1 n n i (2i − 1)b b n2 sustituyendo desarrollando sacando las constantes de la suma n 2i 2 − i = ∑ b 3/2 3 n i=1 = = b 3/2 ∑ 2i 2 − i n 3 i=1 n ( ) b 3/2 n(n + 1)(2 n + 1) n(n + 1) − aplicando las fórmulas de sumas 3 2 n3 1 (n + 1) (2 n + 1) n + 1 = b 3/2 dividiendo en − 2 ntre n 3 3 n n 2n 1 1 1 1 1 = b 3/2 1 + 2 + − − 2 simplificando 3 n n 2n 2n Para obtener el area sólo falta calcular el límite cuando n tiende a ∞. ∫ 4 xdx = 2 3/2 2 3/2 16 38 (9 ) − ( 4 ) = 18 − = 3 3 3 3 d) Para determinar el valor promedio.9 ] = 9 38 1 xdx = ∫ 54 15 . basta dividir el resultado obtenido entre la longitud del intervalo. usando las propiedades de la integral definida sabemos que: a b ∫ a xdx = ∫ a 9 xdx + ∫ xdx = − ∫ xdx + ∫ xdx = 0 0 0 2 3/2 2 3/2 b − a 3 3 c) Si aplicamos esta relación obtenemos la respuesta a la última pregunta. Al hacerlo. obtenemos área = lím ∑ f ( xi )∆xi = n→ ∞ i =1 n 2 3/2 b 3 b) Con el resultado anterior establecemos que b ∫ 0 b 0 b xdx = 2 3/2 b 3 Más aún. f [ 4 . en este caso 5. y evalúa en los extremos izquierdos.4] con k = 10 e) f (x) = sen(x) en el intervalo [0.b].5] b) f (x) = 2x − 10 en [−2.1. Determina los promedios derecho e izquierdo de las siguientes funciones en los intervalos proporcionados. y evalúa en los extremos izquierdos.8] con k = 7. y evalúa en los extremos izquierdos.5] con k = n. así como el eje x en el intervalo dado.2] con k = n. b) f (x) = x + 4 en el intervalo [1. Calcula las siguientes sumas: a) ∑ (3i + 4 ) i=1 25 10 c) ∑ (i 3 + 3i 2 ) i=1 7 5 b) ∑ (i 2 + 3i − 5) i=1 d) ∑ (2i 4 − 3i 3 + 4i 2 ) i=1 2.5] con k = 10. y evalúa en los extremos derechos. Utiliza la fórmula (1. b e) f (x) = x3 + x2 en [0.1] b) f ( x ) = x en el intervalo [0.3] con k = 10 d) f (x) = x3 + 4x2 − 3x + 2 en el intervalo [0. y evalúa en los extremos derechos.3] con k = 10. para la función dada y = f (x) en el intervalo especificado [a. y evalúa en los puntos medios.9] con k = 8 b) f (x) = 2x − x2 en el intervalo [0.2] c) f (x) = x2 + 1 en [1.2] con k = 5.18) para determinar el promedio de las siguientes funciones en los intervalos dados: a) f (x) = 5x + 3 en [0.2] con k = 4 c) f (x) = x + 3x2 en el intervalo [−1. c) f (x) = 5x + 4 en el intervalo [0. y evalúa en los puntos medios.2] 4.5] d) f (x) = x − x2 en [−2. f ) f (x) = x4 + 4x3 en el intervalo [0.3] f ) f (x) = 5x4 + 4x3 en [0.6] con k = 12. a) f (x) = 7 + 2x en el intervalo [1. g) f (x) = x2 + x en el intervalo [0. y evalúa en los puntos medios. y evalúa en los extremos derechos. i) f (x) = x4 + x3 en el intervalo [0.4] c) f ( x ) = x en el intervalo [−1. utilizando una partición regular con k intervalos y evaluando la función en los puntos que se indican. considerando intervalos de la misma longitud. h) f (x) = x3 en el intervalo [0.2: La integral definida 45 1. Estima el área comprendida entre la gráfica de las siguientes funciones. Calcula ∫ f ( x )dx .4] 5.3] d) f ( x ) = 2 x − 1 x en el intervalo [−1. a a) f ( x ) = 5 x − 2 en el intervalo [0. d) f (x) = x2 + 2x en el intervalo [1. a) f (x) = 3x + 2 en el intervalo [0. e) f (x) = x3 + 4x2 + 9x en el intervalo [0.2] g) f ( x ) = 5 x + 1 + 1 en [0.4] con k = 8.4] con k = n.π] con k = 6 3.1] 2 . Utiliza los resultados del ejercicio anterior para calcular el valor promedio de la función f en el intervalo dado: a) f (x) = 3x − 1 en el intervalo [2. 0). determina el área bajo la curva en el intervalo [0. a) f ( x ) = x + x en el intervalo [2. (2.24. 5] d) f (x) = x2 + 3x3 en el intervalo [1. Si los vértices de la curva tienen coordenadas (0. 4] 10. Demuestra que si f es integrable en [0. 4]. Utiliza la definición de integral definida para demostrar que a) ∫ x dx = 3 (b 2 b 1 3 − a3 − a4 a ) ) ) b) ∫ x dx = 4 (b 3 b 1 4 a b c) ∫x a 4 dx = 1 5 b − a5 5 ( 7. (1. 10] b) f (x) = x(1 − x) en el intervalo [0. calcula el área bajo la gráfica de la función descrita. 5] e) f (x) = 3x4 − x3 en el intervalo [−3.24: Gráfica de la función del ejercicio 8. 1] 8. En los ejercicios siguientes. 1) y (4. 5] c) f (x) = x en el intervalo [−1. 9. y 1 0. (3. 6] 2 b) f ( x ) = x + x − 1 en el intervalo [2. entonces −a ∫ f ( x )dx = 0 . 0). La gráfica de una función se muestra en la figura 1.5 x 1 2 3 4 FIGURA 1. a] y a a a) f es par. 1). 5] 4 3 d) f ( x ) = x + 2 x + x en el intervalo [0. entonces −a ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx 0 a b) f es impar.46 Unidad 1: Diferencial e integral definida 6. 1/2). 4] c) f ( x ) = 3x 2 + 2 x 3 en el intervalo [1. que tiene apariencia de “M”. a]. Sea f una función con dominio [−a. 5] 2 e) f ( x ) = x − 4 en el intervalo [−4. donde f ( x ) = 2 − x si 1 ≤ x ≤ 2 x si 0 ≤ x ≤ c f ( x )dx .1. calcula: a) ∫ 0 n t dt y b) x ∫ 0 2 t 2 dt dt para x ≥ 0. f (n) = 0. Sea f ( x ) = ∫ 0 t 20. La función f está definida en el intervalo [0.n] de la siguiente manera: f (x) = (−1)m m. donde 0 ∫a b x dx+ ∫a b −x d x 14. Dibuja la gráfica de f en el intervalo [0. Encuentra un polinomio cuadrático p(x) = ax2 + bx + c para el cual p(0) = p(1) = 0 y 3 2 ∫ p( x )dx = 1 0 17.1.. Calcula las siguientes integrales definidas: a) ∫ 0 1 x2 si 0 ≤ x < 1 f ( x )dx . Usa el ejercicio anterior y la interpretación de la integral definida como área para hallar el valor de −1 ∫ (x 1 5 + 3 1 − x 2 dx 5 ) 12.. Utiliza propiedades de la integral definida y su interpretación como área para encontrar 4 − x 2 si 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 4 si 1 < x ≤ 5 13. Si n es un entero positivo.2: La integral definida 47 11. Ahora considera la función n g(n ) = ∫ f ( x )dx . donde f ( x ) = 1 − x con c una constante tal que 0 < c < 1 si c ≤ x ≤ 1 c 1− c 1 b) ∫ 0 16. Calcula ∫ f ( x )dx . Encuentra todos los valores de c para los cuales: a) b) ∫ x (1 − x )dx = 0 ∫ x (1 − x ) dx = 0 0 2 0 c c 15. p(1) = 15 y 0 −2 ∫ 3 p( x )dx = 4 n 18. n − 1.3). Encuentra un polinomio cúbico p(x) = ax + bx + cx + d para el cual p(0) = p(−2) = 0. si m ≤ x < m + 1 con m = 0. Sea n un entero positivo. 0 a) Calcula g(3). g(4) y (g ° g)(3) b) ¿Para qué valor(es) de n se tiene | g(n) | = 7? . además... 19.2. para después disminuirla por efectos del cansancio. Promedios de aprendizaje. base de contratación laboral. Una ecuación que modela la velocidad del corredor es v (t) = A − B(t − 2)2 Si empieza con una velocidad de 7 km/hora y termina los 42 km de la carrera en 4 horas. Es importante que ofrezcas una buena respuesta. Carrera de maratón. pero sólo uno de ellos será contratado para utilizarla. ¿cuánto tiempo haría en recorrer los 42 km? 3. c) Calcula la velocidad promedio del corredor en el intervalo [0. Determina la producción promedio anual a los t años. casi sin sentirlo. La huerta. pero ¿cómo? 2. a) Determina los valores de A y B. sube su velocidad hasta un valor máximo.48 Unidad 1: Diferencial e integral definida Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. Por experiencia un horticultor sabe que los árboles de manzanas producen poco los primeros 15 años debido a que no han alcanzado la madurez. d) Si el corredor corriera toda la carrera a su velocidad promedio máxima.t] y su velocidad promedio máxima. Un corredor de maratón empieza la carrera lentamente. analiza y resuelve las siguientes situaciones. Después. que los siguientes 30 años tienen una alta producción. . Producir sí. para reducirla durante los últimos 15 años a causa de su edad. En una fábrica. 1. 4. porque guarda su energía para la parte final. Si la producción total en toneladas por año de una huerta de manzanos está dada por y = 576 − 16 2 ( x − 30) con 0 < x < 60 25 Calcula la producción total promedio anual de la huerta. ¿En qué tiempo deben cortarse los árboles de la huerta para obtener los mejores rendimientos? Explica. ya que el gerente de la planta la usará para decidir a quién contratará. b) Establece la velocidad promedio del corredor. dos obreros reciben un curso de capacitación sobre el uso de una máquina de alta complejidad técnica. La siguiente tabla muestra el nivel de aprendizaje (máximo 1) de cada uno en el tiempo especificado (medido en días). En promedio ¿Quién tuvo mejor nivel de aprendizaje? ¿Cuál de los dos es más eficiente para aprender? Al responder debes aclarar lo que entiendes por eficiencia. 5 5 5.326530612 0.755928946 0.5 4 4.183673469 0.005102041 0.12755102 0.707106781 0.5 7 Nivel de aprendizaje del primer obrero 0.5 2 2.081632653 0. Calcula el promedio de la función f ( x ) = 1 − 2 x en el intervalo [0.020408163 0.617346939 0. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el promedio de los valores de la función de costo c(t) = 3t + 1 en el intervalo [0.267261242 0.5 3 3.9258201 0.510204082 0.963624112 1 Autoevaluación 1. Determina el área bajo la curva de la función f ( x ) = x − x en el intervalo [1.413265306 0.5 6 6.1.534522484 0.377964473 0.734693878 0.597614305 0. Calcula la integral definida de la función f ( x ) = 3 x − x en el intervalo [−3.654653671 0.845154255 0.2] a) 1/2 b) 1/4 c) 3/2 d) Es imposible determinarla 3.1] a) 20 b) 21 c) 19 d) 22 2.5 d) T = 4 .862244898 1 Nivel de aprendizaje del segundo obrero 0.5 1 1.2: La integral definida 49 Tiempo 0.25 0.88640526 0.T ] sea 4? a) T = 2 b) T = 2.801783726 0.5 c) T = 1.46291005 0.045918367 0.3] a) –5 b) 9 c) –2 d) 5 4. promizq = 0. 14. g) 27/2 4.48.5 9.5 6. a) 0. a − b 11. . El resultado está en el propio enunciado del ejercicio. a) 30 3π 2 π + 16 12. a) 5 6 b) −35/6 c) 0 d) 870. p(x) = 3x2 + 8x2 + 4x .68 a) 31/2 b) −10 c) 34/3 d) −4/3 e) 39/4 f ) 24 d) 15.12).4.622008 3. promizq = 6. (1.5 g) área izq n (f)= h) área pm n (f)= i) área der n (f)= 25(n − 1)(13n − 5 ) 6n2 4 n2 − 2 n2 64 (n + 1)(63n 3 + 87 n 2 + 8 n − 8 ) 15 n 4 5. (1. b) 0 15. b) c 2 16. 4 13. a) 43.25).125 d) promder = 39. b) 6375 c) 390 d) 7560 a) promder = 18. a) 0 . 3 2 .5 b) 6 c) 5 d) −2.14). promizq = 16 b) promder = 0.50 Unidad 1: Diferencial e integral definida Respuestas a los Ejercicios y problemas 1.5 e) 32 10.5 d) 947.622008.48 e) 32.625 c) promder = 9.25 e) 235. 7. promizq = 0.5 c) 121.48 f ) 598. SUGERENCIA: Utiliza una partición regular y después las fórmulas (1. promizq = 27.6 b) 45 c) 190. a) 19/2 8.13) y (1. a) 205 2.8 e) promder = 0. 2.625. p(x) = 6x − 6x2 17.75 b) 59. Barcelona. 1980. Apóstol. Rivaud. 1982. H. Courant. Reverté. México. 7. N. R. Courant. 1978. Edmusa. Barcelona. 1975. 6. Piskunov. y John. La función tiene como fórmula 4 x si 2 ≤ x < 3 12 10 8 6 4 2 1 2 3 FIGURA 1. Ejercicios de análisis. I. a) n ( n − 1) 2 . a) g(3) = 1. b) n = 14 y n = 15 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. Pearson Educación. Reverté. Precálculo. g(g(3)) = 0. Trillas. N. 2006. México. Haaser. ¿Qué son las matemáticas?. México.1... Cálculo de una y varias variables. 2002. 2a. b) n ( n − 1) ( 2 n − 1) 6 0 si 0 ≤ x < 1 f ( x ) = x si 1 ≤ x < 2 . 1978. F. Introducción al cálculo y al análisis matemático. g(4) = −1. R.. vol. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. LaSalle.. México. 1982. J.. Fondo de Cultura Económica. 8. 3.. 4. Prado.. Análisis matemático. ed. et al.25: Gráfica de la función y = f (x). Cálculo diferencial e integral. 19. vol. Seeley. 5. R. y Sullivan. Su gráfica se muestra a continuación (figura 1. J. J. Trillas. 2. T..25). México. . 1. Santiago. y Robbins. c) 4.. Madrid.2: La integral definida 51 18. a) 3. Montaner y Simón. b) 2. a) Referencias 1. 52 Unidad 1: Diferencial e integral definida 1.5 1 0.mx/58467.5 2 1. ¿cuánto tiempo más habrías declarado a la empresa que tardaría tu brigada en limpiar los tres mil metros cúbicos restantes de material del primer derrumbe? Supón que las siguientes son las condiciones de trabajo: • Cuentas con 20 máquinas buldózer para la limpieza.A.com. de las 5:00 a las 12:00 horas del lunes siguiente.26: Alud en la autopista México–Toluca. 1 FIGURA 1. alegando que el cierre les generaría pérdidas millonarias.html .1 las lluvias que cayeron en una zona conocida como La Marquesa provocaron un deslave. Whitehead Alud en la autopista México-Toluca El domingo 24 de septiembre de 2006. 2.5 1 2 3 4 t(tiempo en horas) v(m / h) FIGURA 1. La empresa concesionaria y operadora de esta vía. y hubieras tenido que enfrentar la presión para que reabriera. S.3 El teorema fundamental del cálculo En las matemáticas se exhiben conexiones entre cosas que son poco obvias. presionó a geólogos y al personal de protección civil estatal para que permitieran la reapertura de la carretera. Pinfra. • El ancho de la parte frontal de la cuchilla de cada buldózer es de cuatro metros. A.eluniversalgrafico. http://www. • Cada máquina puede penetrar en los escombros alrededor de un metro y avanzar a lo largo de la zona a un ritmo de v metros/hora. Si hubieras sido el ingeniero responsable de la obra de limpieza de la autopista.27: Rapidez de un buldózer. que prácticamente cerró en su totalidad la autopista que conecta las ciudades de México y Toluca. Las obras de restauración permitieron que. donde v es la función cuya gráfica se muestra en la figura 1.. N. se quitaran alrededor de mil metros cúbicos de material de la autopista.27. de forma extraordinaria. el cambio en su fortuna personal estaría dado por la suma de todos los ahorros acumulados.750 (sin considerar intereses posibles). $2. entonces.28 se muestra la velocidad de un móvil en diferentes intervalos de tiempo. En general. Si ahorra $3. n v1∆t1 + v2 ∆t 2 + + vn ∆t n = ∑ vi ∆ti = x (t f ) − x (ti ) i =1 . Es decir. Aunque parecería que saber cálculo es un requisito ineludible para entenderlo. si conocemos la función fortuna en el tiempo.1. entonces su fortuna habrá aumentado $6. en realidad las ideas matemáticas que lo sustentan son muy básicas y aparecen rutinariamente. si conocemos la función de producción total. En efecto: F (t ) − F (t − 1) = a(t ) Un segundo ejemplo lo constituye la producción de una empresa. podremos conocer la producción promedio diaria en cualquier día. entonces: ∑ p(i ) = P( x ) − P(0) i=1 x De la misma forma. En efecto: P( x ) − P( x − 1) = p( x ) Un tercer ejemplo. después de un cierto tiempo.500 y $1. que aparece regularmente en los cursos de física. ¿cuántos produce en un año? La respuesta es clara: si p(x) es la producción promedio estimada en el día x y P(x) es la función de producción total hasta ese día. si a(t) y F(t) son el ahorro y la fortuna en el mes t. es la relación entre velocidad y distancia recorrida. Por ejemplo. podremos determinar el ahorro hecho en cualquier mes. ∑ a(i ) = F (t ) − F (0) i=1 t Por otra parte. En la figura 1.250 en tres meses consecutivos.000. Si se sabe que ésta elabora cierta cantidad de artículos por día. La distancia total recorrida en la suma de las distancias de cada intervalo. imagina que una persona ahorra mensualmente alguna cantidad.3: El teorema fundamental del cálculo 53 Introducción El teorema fundamental del cálculo (TFC) es uno de los pocos teoremas matemáticos que alcanzan el estatus de término fundamental. esta relación es la base aritmética del TFC. demostrar y aplicar el teorema del valor medio para integrales. Por otra parte. encuentran en el teorema fundamental una conexión casi inesperada pero sumamente útil y bella.b ] ? En la . Sección 1.54 Unidad 1: Diferencial e integral definida v ms v2 v3 v1 d2 = v2 Dt2 d1 = v1 Dt1 t1 t2 t3 d3 = v3 Dt3 t seg FIGURA 1. • Definir la antiderivada de una función.3.1 El teorema del valor medio para integrales En la sección anterior hablamos del promedio de una función en un intervalo. deberás ser capaz de: • Enunciar. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección.28: Gráfica que muestra la relación entre distancia recorrida y velocidad en diferentes intervalos de tiempo. demostrar y aplicar el teorema fundamental del cálculo. Ahora nos preguntamos: ¿es posible determinar un valor ξ ∈ (a. • Identificar las antiderivadas básicas. Estos ejemplos ilustran cómo la acumulación o suma de una variable se relaciona con el cambio total producido en otra. • Calcular antiderivadas de funciones básicas. • Enunciar. • Conocer y aplicar las propiedades de linealidad de la integral indefinida. los problemas que dan origen al cálculo diferencial y al cálculo integral (tangentes a una curva y área bajo una curva) que geométricamente son totalmente distintos. • Demostrar que dos antiderivadas de una función difieren en una constante. b ) tal que f (ξ ) = f [ a. b x a x a) b a b) b x FIGURA 1. respectivamente. el teorema afirma que existe un rectángulo de base b − a y altura f (ξ). En otras palabras. b−a ∫ a Observa que la función tiene que ser continua. Así. por ejemplo. y y f x f a. b ξ ∈ (a. Sean m y M los valores mínimo y máximo absolutos que se alcanzan en x = c y x = d. b ) tal que f (ξ ) = f [ a. tenemos una función continua donde gráficamente podemos encontrar el número ξ.). Como m ≤ f [ a. en el intervalo [a. ambos. por el teorema del valor intermedio para funciones continuas (véase. entonces existe un valor ξ ∈ (a.1. Cálculo diferencial de Prado et al. Lo cual demuestra el teorema. supón que c < d. en caso contrario. En a) para funciones continuas existe ξ. Sin perder generalidad. Desde un punto de vista geométrico para funciones positivas.29 se muestran dos situaciones. en b) para funciones discontinuas puede no existir.b]. vemos una función discontinua donde no es posible determinar ningún valor ξ que cumpla la condición de la pregunta.3: El teorema fundamental del cálculo 55 figura 1. tenemos el siguiente resultado que nos indica cuándo existe ξ. En la primera.b ] ≤ M . En la segunda gráfica.b].b ] . b ) tal que: f (ξ ) = 1 f ( x )dx b−a ∫ a b Demostración: Como la función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a. existe 1 f ( x )dx . como se muestra en la figura 1. Teorema del valor medio (TVM) para integrales Si f (x) es una función continua en un intervalo [a. b ) tal que f (ξ ) = . entonces alcanza sus valores extremos absolutos en ese intervalo.29a.29: Interpretación geométrica del TVM.b]. tal que el área bajo la curva es igual al área del rectángulo. no podríamos asegurar nada sobre la existencia de ξ. d ) ⊆ (a. existe ξ ∈ (c. . Tenemos entonces que: f = 1 2 ∫ (4 − x )dx 4− 2 1 1 = 4 (2 + 2 ) − 2 3 − (−2 )3 4 3 1 16 8 = 16 − = 4 3 3 2 ( ) 4 8 2 Para determinar el valor de ξ necesitamos resolver la ecuación 4 − ξ = . solución Calculemos primero el valor promedio de la función en el intervalo dado. 3 3 En la figura 1. y 4 f x x –2 x 2 FIGURA 1.30: El rectángulo que tiene área igual al área bajo la curva.56 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplos Ejemplo 1. 2 ] . De aquí obtenemos ξ = ± .b ].30 se muestra el valor de ξ y su significado geométrico.14 2 Supón que f ( x ) = 4 − x con x ∈ [−2. y encuentra un número ξ tal que f (ξ ) = f [ a. La pendiente de la recta secante que une los dos puntos extremos (a. y Fb Área1 = f1∆ x1 Fb – Fa b–a x a ∆ x1 = b – a x b a ∆ x1 = b – a b f1 y f1 = Fa FIGURA 1. una primera vista hacia la integración. b−a ∆x1 donde hemos definido ∆x1 = b − a.3.34.30.31: Pendiente de la recta secante. y f2 = ∆ x2 ∆ x1 donde x1 = (a + b)/2 es el punto medio del intervalo. Dividamos ahora el intervalo original en dos subintervalos de igual longitud ∆x1 = b−a y construyamos dos rectas secantes.2 La búsqueda del teorema fundamental del cálculo Imagina que tiene una función y = F(x) definida en el intervalo [a.32. F(a)) y (b. una para cada subintervalo. tenemos f1 ∆ x1 = F ( x1 ) − F (a ) y f2 ∆ x2 = F (b ) − F ( x1 ) Estas dos cantidades son precisamente las áreas de los dos rectángulos que se muestran en la figura 1.1. De esta ecuación. F(b)) está dada por f1 = F (b ) − F (a ) F (b ) − F (a ) = . Las pendientes de estas rectas son: f1 = F (b ) − F ( x1 ) F ( x1 ) − F (a ) . tenemos f1∆x1 = F (b ) − F (a ) La cantidad f1∆x1 es el área de un rectángulo de base ∆x1 y altura f1. FIGURA 1. como se muestra en la figura 1. De estas expresiones.b]. La suma de estas dos áreas da como resultado f1 ∆ x1 + f2 ∆ x2 = F (b ) − F (a ) .32: Relación entre el área de un rectángulo y la pendiente de una recta secante. Observa la ∆x2 = 2 figura 1.3: El teorema fundamental del cálculo 57 Sección 1. 33: Relación entre la pendiente de dos rectas secantes y el área.36 son f1∆x1 = F ( x1 ) − F (a ). considerando 4 subintervalos de igual longitud b−a ∆xi = . f3 = y f4 = . Por otro lado. FIGURA 1. f2 ∆x2 = F ( x2 ) − F ( x1 ). 4 . 3. Repitamos ahora el proceso. Las pendientes de las rectas secantes en este caso son 4 f1 = F ( x1 ) − F (a ) F ( x2 ) − F ( x1 ) F ( x 3 ) − F ( x2 ) F (b ) − F ( x3 ) . i = 1. si sumamos estas áreas obtenemos: ∑ fi ∆ xi = F (b) − F (a) i =1 4 y Fb F 2 Fx F 1 Fx Fa f1 a x1 x2 x3 b x f2 f3 f4 f2 f3 f4 f1 y f1 ∆ x1 f2 ∆ x2 f3 ∆ x3 f4 ∆ x4 x a x1 x2 x3 b FIGURA 1.36: Áreas de cuatro rectángulos con alturas iguales a las pendientes de las rectas secantes. las áreas de los cuatro rectángulos mostrados en la figura 1. ∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆x4 donde xi = a + i∆xi.34: Áreas de rectángulos con alturas iguales a las pendientes de las rectas secantes. 2. . f3∆x3 = F ( x3 ) − F ( x2 ) y f4 ∆x4 = F (b ) − F ( x3 ) Haciendo las cancelaciones de términos semejantes. f2 = .58 Unidad 1: Diferencial e integral definida y Fb Fx1 f2 f1 y Área1 = f1 ∆ x1 Área2 = f2 ∆ x2 f1 Fa ∆ x1 = x1 – a a ∆ x2 = b − x1 x1 b x x a ∆ x1 = x1 – a x1 b ∆ x2 = b – x1 f2 FIGURA 1.35: Relación entre la pendiente de rectas secantes y el área. FIGURA 1. Más aún. son la base del teorema que nos interesa enunciar y demostrar. donde C es cualquier constante real. 2. en el límite cuando n tiende a infinito...35) y no se afecta el proceso que seguimos.b] y además F '( x ) = dx ∫ a a para todo x ∈ [a. que es el fundamental del cálculo. Teorema fundamental del cálculo (primera parte) Si f es una función continua en un intervalo [a.. F(xi)) está dada por fi = de donde fi ∆xi = F ( xi ) − F ( xi−1 ) Sumando y haciendo las cancelaciones pertinentes.33) y (1. Es decir: f ( x ) = lím ∆F ( x ) dF = ∆x dx ∆x →0 El resultado (1. xi−1].26) es válido para cualquier otra función G(x) tal que G(x) = F(x) + C. ∆xi ∑ fi ∆xi = ( F ( x1 ) − F (a)) + ( F ( x2 ) − F ( x1 )) + i =1 n + ( F (b ) − F ( xn−1 )) = F (b ) − F (a ) Observa que no importa el tamaño de la partición. se tiene lím ∑ fi ∆xi = F (b ) − F (a ) i =1 n n→ ∞ (1.b]. Imagine que el intervalo [a. En efecto. entonces la derivada de la x x d f ( s )ds = f ( x ). obtenemos F ( xi ) − F ( xi −1 ) .. Estos resultados.31).3: El teorema fundamental del cálculo 59 Pasemos al caso más general. usando la definición de integral definida.26) De donde. deducidos intuitivamente y con poco rigor.b] se divide en n subintervalos b−a de longitud ∆xi = con i = 1. ésta sólo traslada verticalmente la gráfica de F (x) que aparece en las figuras (1.b]. (1. pues siempre se obtiene el mismo resultado. b ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a) a En esta expresión la función f (x) es la función que se obtiene de considerar el límite de las pendientes de las rectas secantes.1. . la n pendiente de la recta secante que une los puntos (xi−1.n. F(xi−1)) y (xi. Considere ahora el subintervalo [xi. función F ( x ) = ∫ f ( s )ds existe en [a. x + h] tal que x+h ∫ x f ( s )ds = f (ξ ) [ ( x + h ) − x ] = hf (ξ ) f (ξ ) = F ( x + h) − F ( x ) h De donde resulta que Tomando en cuenta que f es continua en [a. supón que h > 0.37 se muestra el área bajo la curva y = f (s) > 0 en el intervalo x x a ≤ s ≤ x. tenemos que f ( x ) = lím f (ξ ) = lím h→0 h→0 F ( x + h) − F ( x ) = F '( x ) h Es decir. . Observaciones 1. por lo cual lím f (ξ ) = f ( x ) .37: Representación gráfica de ∫ x a f ( s ) ds . d f ( s )ds = f ( x ) dx ∫ a Con lo cual queda demostrado el teorema fundamental del cálculo en su primera parte. De acuerdo a con el teorema fundamental. En consecuencia. En la figura 1.60 Unidad 1: Diferencial e integral definida Demostración: Sin perder generalidad. que puede representarse por la función F ( x ) = ∫ f ( s )ds . el teorema indica que los procesos de derivación e integración son inversos. f (s) s=a s=x s FIGURA 1.b]. y la definih→0 ción de derivada. x+h x F ( x + h) − F ( x ) = = = a x+h ∫ ∫ ∫ x f ( s )ds − ∫ f ( s )ds a a a x+h f ( s )ds + ∫ f ( s )ds x f ( s )ds Por el teorema del valor medio para integrales existe ξ ∈ [x. la derivada de esta función es f (x). Así. d F(x) d 5u 3du = 5 x 3 = dx dx ∫ a x Ejemplo 1. Sea u(x) = x3.1.27) Ejemplos Ejemplo 1. usando la regla de la cadena tenemos x u 3 d s d s du e ds . = 3x 2 eu = 3x 2 e x ∫ e ds = ∫ dx a dx du a 3 . Si el límite superior es una función h(x). derivable y continua para toda x. entonces. De esta forma.16 x3 Calcula la derivada de la función F ( x ) = e ds ∫ a s solución Apliquemos nuevamente el operador derivada d es ds dx ∫ a x3 F '( x ) = Dado que el límite superior es x3 haremos un cambio de variable. por el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena tenemos el siguiente resultado: d dx h( x ) ∫ a dh( x ) f ( s )ds = f ( h( x )) dx (1.3: El teorema fundamental del cálculo 61 2.15 x Calcula la derivada de la función definida como F ( x ) = ∫ 5u 3du a solución Usando la primera parte del teorema fundamental del cálculo tenemos. Así: d dz ∫ b cos( p 2 ) dp = cos(z 2 ) z Sección 1.17 a d ⌠ 1 . antiderivada o integral indefinida de una función f. requerimos la siguiente definición. así que primero invertimos y después calculamos la derivada. a x d ⌠ 1 d ⌠ 1 =− 1 = 1 dr dr = − 2 2 ⌡ ⌡ dx 1 − r dx 1 − r 1 − x2 x2 − 1 x a Ejemplo 1.62 Unidad 1: Diferencial e integral definida Ejemplo 1.3 Teorema fundamental del cálculo (segunda parte) Antes de establecer la segunda parte del teorema fundamental.b] se pedirá. que f (a) = F + ' (a) y f (b) = F − ' (b). además.3. si en algún intervalo I se cumple f (x) = F '(x). donde F+ ' (a) es la derivada lateral derecha en x = a y F − ' (b) es la derivada lateral izquierda en x = b. dr Aplica el teorema fundamental del cálculo para calcular dx ⌡ 1 − r 2 x solución Nota que los límites de integración se encuentran invertidos. . por esta razón se le conoce como variable muda.6 Una función F es una primitiva.18 Utiliza el teorema fundamental del cálculo para evaluar d dz ( ∫ cos( p )dp) z 2 b solución Observa que no importa el nombre que utilices para la variable de integración. Si el intervalo es I = [a. Definición 1. para cada x ∈ I. Propiedades de linealidad de la integral indefinida a) b) ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx. consideramos un valor diferente. de acuerdo con el TFC. para las antiderivadas tenemos las siguientes propiedades. entonces.6 se muestran algunas integrales indefinidas básicas que serán muy útiles a lo largo de este texto. Propiedad Si F '( x ) = G '( x ) .3: El teorema fundamental del cálculo 63 En esencia. Con estas circunstancias: x x F ( x ) − G ( x ) = ∫ f ( s )ds − ∫ f ( s )ds a x c c = ∫ f ( s )ds + ∫ f ( s )ds a c x = ∫ f ( s )ds = constante a Así demostramos que dos antiderivadas de una misma función difieren en una constante. una primitiva responde a la siguiente pregunta: ¿qué función tiene la propiedad de que su derivada produce como resultado una función previamente dada? Por ejemplo. desde ahora esta notación. donde C es una constante. x En efecto. con k una constante. Utilizando. la función F ( x ) = ∫ f ( s )ds es una antiderivada de f. a x ya que F '(x) = f (x). pero existen una infinidad de resultados. ¿qué función tiene x5 como derivada? Una posible respuesta sería F(x) = x6/6.b). Es decir. Si en vez del límite inferior constante a. las cuales enunciaremos sin demostrar. ∫ [ f ( x ) + g( x )] dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g( x ) dx La primera propiedad indica que las constantes salen del símbolo de integración. probamos la siguiente propiedad de las antiderivadas. todos relacionados entre sí. F ( x ) = G ( x ) + C . como c ∈(a. que también es c antiderivada de f.1. La segunda afirma que la integral de una suma es la suma de las integrales. . En la tabla 1. obtenemos una segunda función G ( x ) = ∫ f ( s )ds. Por esta razón. las antiderivadas o primitivas suelen escribirse como F ( x ) = ∫ f ( x )dx + C y reciben el nombre de integrales indefinidas. 16.b] y F es una primitiva de f en este intervalo. ∫ e dv = e v v 14. 6. Estamos ahora en condiciones de enunciar y mostrar la segunda parte del TFC. 2 2 = ln ⌡ v − a 2 a (v + a ) 10. 17. 2 2 = arctan + C ⌡ v + a a a 1 (v − a ) ⌠ dv +C 23. 5. a ⌡ v v2 − a2 a 12. 1. ⌠ dv v 24.6: Tabla básica de fórmulas de integración. 11. 13. 9. 20. Teorema fundamental del cálculo (segunda parte) Si f es una función continua en el intervalo [a. 21 ⌠ dv 3. +C v ∫ a v dv = ln(a) + C ∫ sen(v) dv = − cos (v) + C ∫ cos(v) dv = sen(v) + C ∫ sec2 (v) dv = tan(v) + C ∫ csc2 (v) dv = − cot (v) + C ∫ sec(v) tan(v) dv = sec(v) + C ∫ csc(v) cot(v)dv = − csc(v) + C ∫ tan(v)dv = − ln cos(v) + C = ln sec(v) + C ∫ cot(v)dv = ln sen(v) + C a (v )dv = tanh(v ) + C (v )dv = − coth(v ) + C 2 ∫ sech(v) tanh(v)dv = − sech(v) + C ∫ csch(v) coth(v)dv = − csch(v) + C 1 v ⌠ dv 22. n ≠ −1 ∫ sec(v)dv = ln sec(v) + tan(v) + C ∫ csc(v)dv = ln csc(v) − cot(v) + C ∫ senh(v)dv = cosh(v) + C ∫ cosh(v)dv = senh(v) + C ∫ sech ∫ csch 2 v n+1 15.64 Unidad 1: Diferencial e integral definida Tabla 1. ∫ dv = v + C ∫ vn dv = n + 1 + C.b] a . 18. 19. 2. para todo x ∈[a. entonces: x ∫ f (s )ds = F ( x ) − F (a). 8. 2 2 = arcsen + C a ⌡ a −v ⌠ 1 v dv = arc sec + C 25. 7. = ln v + C ⌡v 4. se tiene que G(x) − F(x) = C Si evaluamos en x = a y utilizamos que a G (a ) = ∫ f ( s )ds = 0. Como f es una función continua en el interva- lo considerado y de acuerdo con la primera parte del teorema fundamental del cálculo. .20 Usa el teorema fundamental del cálculo para encontrar una función F(x). como dos antiderivadas de la misma función difieren solamente por una constante. cuya derivada sea x2 − 1 y que tome el valor de 6 cuando x sea igual a 3. Ejemplos Ejemplo 1. tenemos f [ 0. a con lo cual queda demostrada la segunda parte del TFC.3: El teorema fundamental del cálculo 65 Demostración del teorema fundamental. Segunda parte Sea G ( x ) = ∫a x f ( s ) ds una primitiva de f. a obtenemos C = −F (a ) .π].π ] = 1 1 sen( x )dx = ( − cos( x )) π∫ π 0 π π = 0 2 π Ejemplo 1. sabemos que G '( x ) = f ( x ).1. solución Partiendo de la definición correspondiente. Con este resultado: G ( x ) = F ( x ) − F (a ) De aquí concluimos que x ∫ f (s )ds = F ( x ) − F (a). Si F(x) es otra antiderivada.19 Determina el valor medio de la función f (x) = sen(x) sobre el intervalo [0. 3 Ahora. la función buscada debe tener la forma x F ( x ) = ∫ ( s 2 − 1)ds + C . cumpla la condición dx F(3) = 6. 3 6 = F ( 3) = ∫ ( s 2 − 1)ds + C = C 3 De aquí que la función buscada sea s3 F ( x ) = ∫ ( s 2 − 1)ds + 6 = − s 3 3 x x3 27 x3 + 6 = − x − − 3 + 6 = − x. 1. se busca una función F(x) tal que d F(x) = x 2 − 1 y que. para cualquier x real. 3 3 3 3 x donde hemos utilizado las fórmulas 1 y 2 de la tabla 1.6. 2 dt . encuentra una primitiva de f y después aplique la segunda parte b del teorema fundamental del cálculo para hallar I = ∫ f ( x )dx a a) f ( x ) = 2 x + x . además. para cualquier x real.x > 0 2 b) f ( x ) = 3 sen( x ) + 2 x 5 2. Calcula las siguientes integrales definidas: π 6 x a) −π ∫ 6 sec 2 ( x )dx d) e) b) c) ∫ ( 3 − x − 3 ) dx 1 4 ∫ (t + t ) 0 π 4 0 x ∫ t dt . En cada uno de los siguientes incisos. Con base en el teorema fundamental del cálculo.66 Unidad 1: Diferencial e integral definida solución En esencia. ∫x 0 4 2 − 4 x + 3 dx ⌠ 1 + sen 2 ( x ) f) dx 2 ⌡ cos ( x ) 0 . x a) Si ∫ f (t )dt = − 2 + x 0 1 2 π 1 π + x sen(2 x ) + cos(2 x ) . 0 x c) F ( x ) = 3x ∫( t 3 +1 ) 10 dt. Considera la gráfica quebrada de la figura 1. 2 1 c) Halla una función f y un valor de la constante C tal que 5. x2 . a) F ( x ) = ⌡ t3 + 2 2 x3 x4 b) F ( x ) = ∫ 3 t 4 + 1 dt. Una función definida en todo ޒsatisface que f ( x ) = 3 + ⌡ 2 + t2 0 drático p(x) = a + bx + cx2 tal que p(0 ) = f (0 ) . a) Calcula ∫ f ( x )dx 0 x 0 5 b) Si F ( x ) = ∫ f ( x )dx . 2 4 4 x b) Encuentra una función f y un valor de la constante C tal que x C ∫ f (t )dt = cos( x ) − 2 .38: La función F es la función que proporciona el área bajo la curva y = f (x). encuentra una fórmula para F y obtén la gráfica de y = F(x) 4. la función f es continua y satisface la ecuación dada. Encuentra un polinomio cua6. p '(0 ) = f ' (0 ) y p ''(0) = f ''(0). Encuentra la derivada de las siguientes funciones: ∫ t f (t )dt = sen( x ) − x cos( x ) − c x2 ⌠ t dt .3: El teorema fundamental del cálculo 67 3. En cada uno de los siguientes incisos. calcula f y f ' . d) F ( x ) = x 1 ∫ x t 4 + t 2 + 4 dt ⌠ 1 + sen(t ) dt . .38 que corresponde a una función f. 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 FIGURA 1.1. b) Los intervalos donde la función crece y donde decrece. y A la del más pequeño. calcula An + Bn. r y r0 b) Usa esta expresión para determinar la velocidad mínima requerida para que un objeto escape de un cuerpo de masa M. r0 es el radio del planeta. A y B? Calcula nuevamente la suma An + Bn usando la relación encontrada. Calcula ⌡1 4 d 2 3 t − 1 dt dx. si f (x) = 1 ( x − t )2 g(t )dt 2∫ 0 11. v es la velocidad del objeto a una distancia r del centro del planeta. 7 x 9. 10. 0 1 b) f ''(1) y f '''(1). ¿qué relación existe entre An. 12. La distribución vertical de la velocidad del agua en un río se puede representar con la fórmula v = c (D − h)1/6.39 se representa el área del rectángulo más grande. b) Si en la figura 1. a) Establece una fórmula para la velocidad media vmed en términos de D y c. c) Los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y donde sea cóncava hacia abajo. ∫ vdv = −GM ⌡ r2 v 0 v r r0 donde v0 es la velocidad inicial del objeto lanzado desde el planeta. La velocidad mínima que se requiere para que un objeto escape de la atracción gravitatoria de un planeta se obtiene resolviendo la ecuación ⌠ dr + c. . donde v es la velocidad (en m/s) a una profundidad de h metros bajo la superficie del agua. ∫ dx x 2 ( ) 8. c) Determina la velocidad de escape de la Tierra. d) La gráfica de la función. Determina: a) Las raíces de la función. D es la profundidad del río y c es una constante positiva. v0. c) Establece una relación entre An y Bn . Bn. Calcule: a) f '(x). Considera la función F ( x ) = −3 ∫e −t 2 dt . a) Encuentra una relación entre v.68 Unidad 1: Diferencial e integral definida ⌠ 7. definida en −3 ≤ x ≤ 3. Sea g una función continua en ޒtal que g(1) = 5 y x ∫ g(t )dt = 2. G es la constante de gravitación universal y M es la masa del planeta. b) Comprueba que vmed = 6 v0 donde v0 es la velocidad del agua en la superficie. a) Si An y Bn son las áreas sombreadas de la siguiente figura. Determina sus extremos relativos. Calcula su derivada. Halla la función que satisface esta condición y que además pasa por el punto P0(0. 2. En diversas áreas de la ciencia y la ingeniería aparecen funciones que se resuelven usando integrales definidas. A continuación se muestran cuatro integrales que definen cuatro funciones en ޒ. v. iii. . x] es igual a la ordenada del punto P(x. ⌠ πt 2 S ( x ) = sen dt ⌡ 2 0 x ⌠ πt 2 C ( x ) = cos dt ⌡ 2 0 x 2 erf( x ) = π ∫e 0 x −t 2 dt ⌠ sen(t ) Si( x ) = dt ⌡ t 0 x Integral seno de Fresnel Integral coseno de Fresnel Función error Función integral senoidal a) Investiga en qué áreas aparecen estas funciones y su utilidad. iv. Una función desconocida y = f (x) > 0 tiene la propiedad de que el área comprendida entre su gráfica y el eje x en el intervalo [0. c) Repite los puntos del inciso anterior para las otras tres funciones. ii. elabora un esbozo de la gráfica de la función. Funciones definidas por integración. analiza y resuelve las siguientes situaciones. Alud en la autopista México-Toluca. 13. Ofrece alguna solución a la situación que se presenta en la introducción del capítulo. y). Establece las regiones de concavidad de la función. 1.39: Relación entre las áreas An y Bn. Con estos elementos. 1).3: El teorema fundamental del cálculo 69 f (x) = xn An Bn a b FIGURA 1. Utiliza algún paquete computacional o dispositivo graficador para construir la gráfica de la función y compararlo con tu resultado. b) Considera la función S(x) y ahora i. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo.1. Obtén la derivada de la siguiente función F ( x ) = a) F '( x ) = x 1+ 8 x3 b) F '( x ) = x 1+ x6 ∫ 2 + 2x3 2 dx c) F '( x ) = x 2 + x6 d ) F '( x ) = x 1+ x3 3. b) Establece el tiempo en el cual se tiene el costo promedio mínimo.π]: a) 4.00 c) 18. se sabe que aquella se deprecia linealmente. Por experiencia. de acuerdo con la ecuación dep(t ) = α (V0 − kt ) Además. c) Explica por qué se sugiere cambiar la maquinaria en el tiempo obtenido en el inciso anterior. Calcula F '(−1).56 d) 5. que los costos en el tiempo de la maquinaria están dados por costos(t ) = dep(t ) + man(t ) = α (V0 − kt ) + βt 2 a) Determina el costo promedio al tiempo t de servicio de la maquinaria. Una empresa compra maquinaria con un valor inicial V0. si F ( x ) = a) 0 ∫x t 1 t 2 + 1 dt 2 x 2 b) c) −1 d) − 2 2.00 b) 7.91 4. Calcula el valor promedio de la función f (x) = 4 + 3sen(x) en el intervalo [0. se sabe que los costos de mantenimiento en el tiempo aumentan de forma proporcional al cuadrado del tiempo de servicio de la maquinaria. Compra y venta de maquinaria. Es decir: man(t ) = βt 2 . Establece el área bajo la curva f (x) = x5 + 2x4 + 2x + 3 en el intervalo [0. de tal suerte.70 Unidad 1: Diferencial e integral definida 3. Autoevaluación 1. x]: a) área = 1 6 2 5 2 x + x + x + 3x 6 5 c) área = d) área = 1 5 2 4 x + x +x+3 6 5 1 6 2 5 2 x + x + x + 3x + 5 6 5 b) área = x 6 + 2 x 5 + x 2 + 3x . 3< x ≤ 5 − 15 x + 2 2 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 .71548 x 3 2.8642 d) 2.3: El teorema fundamental del cálculo 71 t 2 + t si 0 ≤ t ≤ 1 5. a) 14. Considera la función de área F ( x ) = ∫ 0 f (t ) dt . d) (x + x ) . a) F ( x ) = 2 x 2 + c . b) 2x . I = b 6 − a 6 − 3 ( cos (b ) − cos ( a )) 3 3 ( 2.1. 1 < x ≤ 3 2 2 53 5x2 .5 0.1516 c) 1. a) 1. a) 2 13 π x 2x2 x . f ) 2 − 4 3 2 2 3 14 12 3.5 1 1.40: Problema 3 de autoevaluación. b) .5 2 1.5 1 0. 0 ≤ x ≤ 1 x2 1 F ( x ) = 3x − − .5 a 3 FIGURA 1. Determina el valor de a para el cual F(a) = 5.40. donde f (t ) = t + 3 si 1 < t ≤ 3 2 Observa la figura 1. e) . c) 4.5684 b) 2. I = 2 b 2 − a b) F ( x ) = ( 3 3 2 ) ) x6 1 − 3 cos ( x ) + c. Respuestas a los Ejercicios y problemas 3 1. f (x) = e x Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. G. vol. Pearson Educación. Reverté. J. 2002. f '''(1) = 5 0 0 1 1 2GM 2 2 11. 6. a) f '( x ) = x ∫ g(t )dt − ∫ t g(t )dt . 1982. Prado.0). México. 4a. a) vmed = x x 1. b) 2. ed. Trillas. d) ( ) 10 4 x4 + x2 +1 x2 + x + 4 + x4 2 x 1 1 6. b) f ''(1) = 2. a) 5. México. 4. f ' = 2 − π . c) La función es cóncava hacia arriba en (−3. a) b n+1 − a n+1. c) −3 27 x 3 + 1 3 ( ) 10 + 3x 2 x 9 + 1 .. ed... Reverté. c) f (t) = sen(t) − 1. b) An + Bn = B − A.3) y tiene un punto de inflexión en x = 0. Courant. 1978.174 m / s R y R 12. R. F. 2. 5. Rivaud.. 8. T. 2a. a) La gráfica tiene una raíz en x = −3. vol. . c) v0 ≈ 11. Apóstol. b) f (t) = –sen(t). et al. C = π . b) 3. I. p( x ) = 3 + x + x 2 2 4 7.. c) An = nBn 13. Santiago. Precálculo. 1975. a) v = v0 + 2GM − . Reverté. C = 0 3 4 2 4 5. Etgen. Limusa. a) 4 x7 x12 + 2 . cóncava hacia arriba en (0. 3. 1980.72 Unidad 1: Diferencial e integral definida π π π 4. b) v0 = . R. b) 2 x x 8 + 1 . d) La gráfica de la función es la siguiente. a) f = .. México. Introducción al cálculo y al análisis matemático. d) 4. Madrid. 2006.75 –3 –2 –1 1 2 3 10. –111 6 1/6 cD 7 9. c) Referencias 1. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. I . y Salas. Cálculo de una y varias variables.. Seeley. Ejercicios de análisis. Calculus. Barcelona.y John. b) La función es creciente en todo su dominio. Barcelona. Hille. 1 Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 2. R.73 Unidad Métodos de integración Contenido de la unidad 2. pues dicha actividad constituye el corazón de las matemáticas.1 Método de sustitución y ecuaciones diferenciales La razón de ser de un matemático no es otra que la de resolver y proponer problemas.7 Integración numérica 2. P.6 Sustituciones diversas 2.5 Integración por fracciones parciales 2.2 Integración por partes 2.3 Integrales de potencias trigonométricas 2.4 Método de sustitución trigonométrica 2. Halmos . expresadas en la tabla de integrales básicas de la sección anterior. La defensa de Juan. agentes policiacos lo detuvieron: era el principal sospechoso del homicidio de Jorge. . a quien realmente estimaba mucho. lo aplicaremos para resolver ecuaciones diferenciales sencillas. porque el crimen ocurrió cuando éste todavía estaba en la casa de Raquel y que. Juan argumentó que después de la cena se había dirigido a su hogar y que había olvidado el incidente con su amigo. a las cinco de la tarde. Juan había tenido el tiempo suficiente para llevar a cabo el crimen. ya que para llegar de la casa de Raquel al lugar del homicidio sólo se necesitaban 25 minutos. Después de la riña. a las 11 de la noche. Por ello. 2 o 3. El oficial al mando del caso reportó que. Finalmente. bailando. las temperaturas del cuerpo del fallecido y del medio ambiente eran 29° C y 10° C. es necesario desarrollar estrategias que permitan calcular integrales de funciones complicadas. asesorada por un equipo técnico. Juan se fue a su casa. la cual reportaba que Jorge había sido asesinado en un parque muy cercano a la casa de Juan. en general. los abogados indicaron que ni siquiera suponiendo que la razón del cambio de la temperatura corporal fuera proporcional a la diferencia de la temperatura del occiso con la del medio ambiente. quien lo había invitado a la cena del aniversario de bodas de sus padres. Al final. De acuerdo con los datos. Después de bailar con Raquel y cansado de las actividades de la mañana. Cerca de las 12 de la noche. estableceremos algunos modelos físicos interesantes en los que este método resulta fundamental para encontrar las soluciones. 2. El primero que estudiaremos es el de sustitución o de cambio de variable.1: Juan y Raquel. argumentó que su cliente no podía haber estado en el parque a la hora señalada. se podía asegurar que el homicida había sido otro. en ese preciso momento. si se tomaban en cuenta los 25 minutos de distancia entre ambos sitios. exactamente a las 24:00 horas. A las tres de la mañana. la policía recibió una llamada anónima. Además. La pelea alcanzó tintes dramáticos y Juan aseguró que Jorge moriría esa noche. la temperatura de Jorge era 25° C y la del sitio había descendido 2° C. elevada a las potencias 1. que es la base de todos los demás procedimientos. Durante el juicio. La policía llegó al lugar. la parte acusadora insistió en que Juan era el ¿Juan es inocente? asesino. ¿hay evidencia suficiente para determinar que Juan es inocente? ¿Qué sentencia debería dictar el juez responsable del caso? FIGURA Introducción En el proceso de integración encontramos funciones que. respectivamente. Raquel. Juan y Jorge discutían de forma acalorada por motivos personales. además.74 Unidad 2: Métodos de integración ¿Inocente o culpable? El viernes 13 de enero de 2006. no tienen el aspecto de las integrales inmediatas. Juan se dirigió a la casa de su novia. y que una hora después —tiempo durante el que revisó la escena del crimen—. También indicaba que se esperaba lluvia y que el frío era intenso. se podría asegurar que Juan había sido el responsable. Cuando lo aprehendieron. pues en la ropa de Jorge se habían encontrado huellas de las manos de aquél y que. deberás ser capaz de: • Enunciar y aplicar la regla de la cadena para antiderivadas. si F es una antiderivada de f.1. en consecuencia F ( g( x )) = ∫ f ( g( x )) g '( x )dx + C que es coherente con la regla de la cadena de derivadas. además. • Calcular integrales mediante el método de sustitución.2. u = g(x) de la definición de diferencial. .1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 75 Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. • Resolver ecuaciones diferenciales básicas con el método de separación de variables. donde se identifique rápidamente una antiderivada. el cálculo de una integral complicada requiere de algunos cambios de variable que transformen la integral en otra más simple. Ésta es la idea básica del método de sustitución. supón que quieres calcular la siguiente integral: I = ∫ 3 xe5 x dx 2 Si definimos la función u = e5x . • Modelar fenómenos de diferente tipo utilizando ecuaciones diferenciales. de donde La integral se transforma usando estos resultados 2 2 du = xe5 x dx 10 2 ⌠ 3du I = ⌡ 10 3u = +C integrando. que enunciaremos sin demostración. En general. F (u ) = ∫ f (u )du + C Si. 10 2 3 = e5 x + C sustit tuyendo u 10 Con ello hemos encontrado una antiderivada de la función original. Con la finalidad de comprender mejor la idea. sabemos que du = g'(x)dx. entonces. Sección 2.1 Método de sustitución En muchos casos. tenemos du = 10xe5x dx. Este resultado lo formalizamos con el siguiente teorema. para mostrar que el cálculo es correcto basta con derivar la última expresión. entonces.2: Cambio de variable para integrales definidas Si g'(x) es continua en a ≤ x ≤ b y f (x) es continua sobre la imagen de g(x). El segundo es transformar el integrando. Entonces. tenemos el teorema equivalente. Recuerda siempre que debe cambiar los límites y reescribir el integrando sólo en términos de la nueva variable. Por otro lado. =∫ g (b ) g(a ) f (u )du Recomendamos emplear el método de sustitución cuando aparezca una integral complicada.76 Unidad 2: Métodos de integración Teorema 2. por la definición de antiderivada. ya que una primera simplificación ayudará a decidir el siguiente paso. pero no los límites de integración. existen dos errores comunes cuando se utiliza el método de sustitución. Teorema 2. Tomando en cuenta dichas observaciones. establecemos el método de sustitución . = F (u ) u2= g ( a ) 1 u = g (b ) tomando u1 y u2 como límites de la variable u. entonces. quizá sea necesario un segundo cambio o varios más. en cambio. en algunos casos no basta con un primer cambio de variable y. = F ( g(b )) − F ( g(a )) evaluando. ∫a f (g( x ))g '( x )dx = F (g( x )) a b b por el teorema de e integrales definidas.1: Cambio de variable para integrales indefinidas Sea u = g(x) una función derivable en algún intervalo donde la función f sea continua. ∫ a b g (b ) f ( g( x ))g '( x )dx = g(a ) ∫ f (u )du Demostración: Sea F(x) una antiderivada de f (x). La práctica le permitirá determinar cada vez con mayor facilidad el cambio adecuado. El primero consiste en no transformar adecuadamente la integral. ∫ f (g( x ))g '( x )dx = ∫ f (u )du Para el caso de las integrales definidas. y dejar el integrando en términos de las variables nueva y vieja. Sin embargo. a) En el primer caso. 2. resulta du = 2dx. proponemos el argumento de la función como el cambio de variable u = 2x + 1.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 77 Método de sustitución 1. Calcula du = g'(x)dx.2. el cambio de variable es inmediato. Reescribe la integral en términos de la variable u.1 Calcula las siguientes integrales: a) I = ∫ cos( 2 x + 1)dx 2 dx b) I = ⌠ ⌡1 + 5 x c) I = ∫ sec 2 ( 2 − 3 x )dx solución Para estas tres integrales. Propón un cambio de variable u = g(x). 3. y al despejar dx obtenemos dx = . si no. Obtén los límites de la variable u considerando u(x = a) = g(a) y u(x = b) = g(b). du Al diferenciar. 5. 4. 2 I= = = ∫ cos(2 x + 1) dx u du 2 identificando términos ∫ cos(u ) du 2 haciendo el cambio de variable 1 sen(u ) + C sacando constantes de la integral e integrando 2 1 = sen(2 x + 1) + C sustituyendo u 2 . Así. busque una función de apoyo. Si es necesario y posible. Ejemplos Ejemplo 2. despeje x. utilizando los resultados anteriores. Si hacemos la sustitución du = x 2 dx . de donde du = −3dx. 3 . de donde 3 expresamos la integral en términos de la variable u: 1/ 2 ⌠ 3 ⌠u 1/ 2 2 du ( x + 1) x dx = ⌡ 3 du ⌡ u 3 Una antiderivada de u1/2 es u 3/ 2 3 2 +C = 2 3/ 2 u + C . despejando dx = du ⌠ 5 2 I = dx 1+ 5 x ⌡ u ⌠ 2 du = ⌡u 5 2 = ln n u +C 5 2 = ln 1 + 5 x + C 5 du . Así. observa que el término x2 está relacionado con la derivada de x3. Así. 3 c) Ahora proponemos u = 2 − 3x. tenemos que su diferencial es du = 3x2dx. 5 identificando términos haciendo el cambio de variable sacando constantes de la integral e int tegrando sustituyendo u du .78 Unidad 2: Métodos de integración b) Ahora proponemos u = 1 + 5x. Al reunir tales resultados. despejando dx = − I = ∫ sec 2 ( 2 − 3 x ) dx u − identificando términ nos du 3 du 2 = −⌠ haciendo el cambio de variable sec (u ) ⌡ 3 1 = − tan(u ) + C sacando constantes de la integral e integrando 3 1 = − tan( 2 − 3 x ) + C sustituyendo u 3 Ejemplo 2.2 Calcula la integral I = ∫ x 2 x 3 + 1 dx solución De entrada. u = x3 + 1. de aquí tenemos du = 5dx. Entonces. después de hacer el cambio de variable e integrar.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 79 I= 1 1/ 2 1 2 u 3/ 2 2 u du = ⋅ + C = u 3/ 2 + C ∫ 3 3 3 9 Finalmente.2. la integral I se expresa como I= 1 1⌠ 1 5 4 cos( x )(5 x )dx = ∫ cos(u )du = sen(u ) + C 5 5⌡ 5 f (u ) du Finalmente. al sustituir el valor de u.3 Calcula la integral I = ∫ x 4 cos( x 5 ) dx solución Observa que cos(x5) es una función compuesta. al sustituir u obtenemos I= 1 sen( x 5 ) + C 5 Ejemplo 2. entonces du = (3x2 − 1) dx. obtenemos I = ex 3 −x + C. de donde du = 5x4dx. De esta forma. . Ejemplo 2. la integración resulta casi inmediata. entre las rectas x = 2 y x = 5.4 Calcula la integral I = ∫ (3 x 2 − 1) e x 3 −x dx solución En este caso. de manera que. obtenemos I= 2 3 ( x + 1)3/ 2 + C 9 Ejemplo 2. ya que si definimos u = x3 − x. de manera que podemos realizar la sustitución u = x5. al sustituir e integrar resulta I = ∫ (3 x 2 − 1)e x − x dx = ∫ eu du = eu + C 3 En términos de la variable original.5 2 Determina el área limitada por la curva y = 2 x x − 1 arriba del eje x. 2: En a) se muestra el área buscada en un sistema de ejes x. El área buscada y el área transformada por el cambio de variable se muestran en la figura 2.80 Unidad 2: Métodos de integración solución 2 Para determinar el área basta. y. cualquier cambio 5 de variable que hagamos modificará los límites de integración. El cambio que proponemos es u = x2 − 1. 2 y 50 40 30 20 10 x –1 1 2 a) 3 4 5 6 –1 5 4 3 2 1 v u 5 10 15 b) 20 25 FIGURA 2. En b) se muestra el área transformada mediante el cambio de variable. Como se define.2. calcular la integral I = ∫ 2 x x − 1 dx . su diferencial es du = 2xdx.9196 evaluando 3 3 . Ambas producen el mismo resultado. Reunimos estos resultados en la línea siguiente: Cambio de variable u = x2 − 1 Diferencial du = 2xdx Límites u(x = 2) = 3 u(x = 5) = 24 De esta manera. y los límites de la variable u son u(x = 2) = 3 y u(x = 5) = 24. ⌠ I 5 = ( x 2 − 1)1/2 2 xdx ⌡ du 1/ 2 2 u 24 5 identifican ndo términos y sustituyendo u = = 1/2 ∫ u du = 3 2 3/2 u 3 24 integrando 3 2 2 (24 )3/2 − 33/2 = 74. 4 0.3.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 81 Ejemplo 2.2. solución Para determinar el área. se transforma en du A= ⌠ ⌡ u +1 2 1+ e Ahora proponemos v = u + 1 como un segundo cambio.6 0.2 0. . basta con calcular la integral ⌠ e x dx A= ⌡ ex + 1 + 1 0 1 Proponemos u = ex + 1 como un primer cambio de variable para simplificar la integral.8 0.2 y= ex ex + 1 + 1 0.6 Calcula el área de la región sombreada de la figura 2.6 0.8 1 FIGURA 2. el resumen del cambio se muestra a continuación.3: Cálculo del área de la región sombreada. 1 0. Cambio de variable u = ex + 1 Diferencial du = exdx Límites u(x = 0) = 2 u(x = 1) = e + 1 Con este cambio la integral.4 0. Observa que para calcular du necesitamos despejar u antes. su diferencial y los nuevos límites se muestran en las siguientes líneas. obtenemos 2(v − 1)dv A= ⌠ ⌡ v 2 +1 e+1+1 sustituyendo 2 ⌠ = 2 − dv = 2 v − 2 ln(v ) v ⌡ =2 e+1+1 e+1+1 2 +1 integrando o ≈ 0.82 Unidad 2: Métodos de integración Cambio de variable v = u +1 u = (v − 1)2 Diferencial Límites v(u = 2 ) = 2 + 1 v(u = 1 + e) = e + 1 + 1 du = 2(v − 1)dv Así. 1]. Usemos el cambio de variable u = ex + 1.642056 ( 2 +1 e +1 +1 − 2 ) ( 2 + 1 − 2 ln ) ( e + 1 + 1 + 2 ln ) ( 2 +1 ) evaluando Ejemplo 2. e du = e dx x .7 Calcula el área y el valor promedio de las siguientes funciones en el intervalo [−1. a) f ( x ) = b) g( x ) = ex e +1 x e2 x ex + 1 1 c) h( x ) = x e +1 solución a) Para determinar el área sólo necesitamos calcular la integral de la función. ya que ésta es positiva en el intervalo proporcionado. la diferencial y los límites de integración se muestran en la siguiente línea de apoyo: Cambio de variable u = ex + 1 despejando ex se tiene ex = u − 1 Diferencial Límites u (−1) = 1 + e−1 = u(1) = 1 + e e +1 . Tenemos ahora 1 u −1 ⌠ x x 2x ⌠ e dx e e dx área( g ) = x = x ⌡ e +1 e +1 −1 u ⌡ 1 −1 du identificando términos (u − 1)du ⌠ 1 = ⌠ = 1 − du ⌡ u ⌡ u ( e+1)/e ( e+1)/e 1+ e 1+ e simplif ficando integrando = u − ln u ( e+1)/e 1+ e e +1 e + 1 = [1 + e − ln(1 + e)] − − ln evaluando o e e = e − e−1 − 1 ≈ 1.675201. f [−1.2. primero reescribimos el integrando como sigue 1 1 e− x = = e x + 1 e x (1 + e− x ) 1 + e− x Considerando Cambio de variable Diferencial Límites u = −x du = −dx −1 1 u(−1) = 1. Obtene– mos así g [−1. 1] = 1/2.350402 Nuevamente. b) Hacemos exactamente el mismo cambio del inciso anterior. el valor promedio se obtiene dividiendo el área entre la longitud del intervalo. el va– lor promedio es: h [−1. el valor promedio se obtiene dividiendo el área entre la longitud del intervalo.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 83 Entonces. u(1) = −1 tenemos −x u u ⌠ e dx ⌠ e du ⌠ e du = área( f ) = 1 área(h ) = − x = − u = u ⌡ e +1 ⌡ e +1 ⌡ e +1 −1 1 −1 1 donde identificamos la integral que apareció en el cálculo del área de la función f. c) En este último caso. Es de– cir. Finalmente. 1] ≈ 0. . 1] = 1/2. x du ⌠ e dx área( f ) = x = ⌠ ⌡ u ⌡ e +1 −1 ( e+1)/ e 1 1+ e susti ituyendo integrando evaluando y simplificando = ln u ( e+1)/e e + 1 = ln(1 + e) − ln e = ln(e) = 1 1+ e Finalmente. G(y) = F(x) + C. su objetivo consiste en determinar la función que satisface tal relación. Ecuación diferencial separable de primer orden 1. Es decir. si al sustituir x. Una ecuación diferencial es de variables separables si se puede escribir como y ' = f (x)g(y) (2. Si además la ecuación tiene g( y ) la condición inicial y(x0) = y0 entonces G(y0) = F(x0) + C. la identidad ≡ . la ecuación diferencial y' = y' = f (x) g( y ) Después. Así. el punto (3. 5) está en la recta y = x . además. respectivamente. expresamos que una ecuación diferencial es una relación que incluye una función y sus derivadas. 3 3 3 Por otro lado. Aquí juegan un papel vital los métodos de integración. sólo tenemos que reescribir la ecuación con las variables separadas. y) = 0 es solución de la ecuación diferencial con la condición inicial y(x0) = y0 si es solución y. mencionaremos la siguiente definición.1) 2. La expresión H(x. como y ' = 5/3 y = obtenemos. entonces.2 Ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales son el lenguaje natural para describir fenómenos de diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. En efecto. H(x. el campo de las ecuaciones diferenciales es tan amplio que sólo trataremos las llamadas ecuaciones diferenciales separables de primer orden. obtenemos G(y) − G(y0) = F(x) − F(x0). buscamos las antiderivadas de las funciones que aparecen en cada extremo de la ecuación.1. Además. y) = 0 es solución. y con la condición inicial y(3) = 5 tiene como x 5 y 5 solución y = x . 3. Estas antiderivadas difieren en una constante: si G(y) y F(x) son primitivas y' de y f (x). sin embargo. y y y ' en la ecuación diferencial se produce una identidad.84 Unidad 2: Métodos de integración Sección 2. Como G y F son antiderivadas. H(x0. para resolver una ecuación de variables separables. al sustituir en la ecuación 3 x 3 5 5 5 diferencial. entonces por el teorema fundamental del cálculo x y x0 ∫ ⌠ dy f ( x )dx = F ( x ) − F ( x0 ) = G ( y ) − G ( y0 ) = ⌡ g( y ) y0 . Para empezar. Sin profundizar. de donde C = G(y0) − F(x0). y0) = 0. Por ejemplo. obtenemos y 3 ⌠ dy = ∫ 3x 2 e x dx ⌡ y 0 x 1 ln y y =1 = e x 0 y 3 x x0 = 0 ln( y ) = e − 1 y = ee x3 x3 −1 Ejemplo 2. suponiendo que la razón a la que cambia la temperatura de la bebida es proporcional: a) a la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea. Una vez afuera del refrigerador. El día está soleado y la temperatura es de 30° C. . solución Sólo necesitamos separar las variables 3 dy = 3 x 2 e x dx y La solución se obtiene integrando ambos lados de esta ecuación. b) al cuadrado de la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.9 Carlos saca un vaso de agua fría del refrigerador y lo deja sobre una mesa. la temperatura del agua era de 0° C y después de 10 minutos subió a 15° C. Si consideramos la condición inicial.2) Ejemplos Ejemplo 2. la solución de la ecuación diferencial (2.2.1) con la condición inicial y(x0) = y0 está dada por la expresión x y x0 ∫ ⌠ dy f ( x )dx = ⌡ g( y ) y0 (2. Determina una ecuación diferencial que modele el cambio de la temperatura en el tiempo.8 Resuelve la ecuación diferencial 3 dy = 3 x 2 ye x dx Con la condición inicial y(0) = 1.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 85 En resumen. 0693147 Finalmente.86 Unidad 2: Métodos de integración solución a) Establezcamos el modelo matemático de la situación. 15 = 30(1 − e−10k) De donde concluimos que k = 0. por lo que dT ⌠ ∫ kdt = ⌡ ( 30 − T )2 0 0 t T kt = 1 1 − 30 − T 30 . De modo que la ecuación diferencial que buscamos es dT = k (30 − T ) dt Resolvemos la ecuación separando las variables y usando T(0) = 0. observa que: • La frase “razón a la que cambia la temperatura” nos indica que se está hablando de la derivada de dT la temperatura en el tiempo . sabemos que T(10) = 15. e− kt = 30 − T 30 T = 30(1 − e− kt ) simplificando. dt • La frase “proporcional a la diferencia de la temperatura y el medio” significa k(30 − T ).0693147t) b) En este caso. 30 − T − kt = ln 30 Al tomar la exponencial a ambos lados y despejar T. kt = − ln n( 30 − T ) + ln( 30 ) integrando. Para ello. Obtenemos ⌠ dT ∫ kdt = ⌡ 30 − T 0 0 t T separando variables. la función de temperatura en el tiempo es T = 30(1 − e−0. De las condiciones del problema. entonces. la ecuación diferencial que buscamos es: dT = k ( 30 − T )2 dt Nuevamente usamos separación de variables y T(0) = 0 para resolver la ecuación. 1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 87 Al despejar T: T= Si usamos ahora T(10) = 15. la cantidad de sal que entra es cevdt y la que sale cvdt. que ce y c son las concentraciones de entrada y salida y que v es la velocidad de salida y entrada de la mezcla. la función de temperatura en el tiempo es T= 30t 10 + t Las gráficas de las dos funciones obtenidas se muestran en la figura 2. así que dA = cevdt − cvdt . Con línea sólida se muestra el modelo a) y con línea punteada el modelo b). obtenemos 15 = De donde concluimos que k= 1 300 900 kt 1 + 30 kt 9000 k 1 + 300 k Finalmente. Para decidir cuál modela mejor. Determina la cantidad de sal que hay en el tanque como función del tiempo.4: Curvas de temperatura en el tiempo obtenidas con los modelos del ejemplo 2.2. es necesario contar con un número mayor de datos experimentales. la cantidad de sal que cambia es dA.10 A un tanque de 30 litros de agua pura se le agrega salmuera (agua con sal) con una concentración de 2 gramos/litro a una velocidad de 4 litros/seg. En un intervalo de tiempo dt. Por otra parte.9. solución Supón que A(t) es la cantidad de sal al tiempo t. Ejemplo 2. T °C 40 30 20 10 t min – 10 – 10 10 20 30 40 FIGURA 2. La mezcla bien revuelta sale a la misma velocidad. Observa que ambas curvas tienen concavidad hacia abajo y cumplen las condiciones del problema.4. la concentración c se relaciona con la cantidad de sal y el volumen mediante A c= V0 Al usar los dos últimos resultados.88 Unidad 2: Métodos de integración Observa que el volumen V0 no cambia porque las velocidades de entrada y salida son iguales. Entonces. despejamos la variable A: A = 60 − 60e−2t/15 gramos Observa que si el proceso continúa indefinidamente. tenemos la ecuación diferencial que modela la situación: dA A = v ce − dt V 0 Al sustituir los datos de nuestro problema y considerar que A(0) = 0. Usa el método de sustitución para calcular las siguientes integrales. tenemos dA A 2 = 4 2 − = (60 − A) dt 30 15 Al separar variables e integrar: 2 dt dA ∫ 15 = ∫ 60 − A 0 0 2t A = − ln(60 − A) A= 0 15 t = 0 2t 60 = ln 60 − A 15 Finalmente. 2 ∫ (2 s + 3) ds b 0 a) −1 x2 + x ⌠ dx d) 2 3 4 ⌡ ( 4 − 3x − 2 x ) ⌠ tan( x ) dx h) ⌡ cos2 ( x ) ⌠ (ln( x )) dx i) x ⌡ dx j) ⌠ ⌡ 2 + ex π p ⌠ x dx b) 2 ⌡ ( x + 1)3 a ⌠ 1 1 e) 1 + 2 dz z z ⌡ dx f) ⌠ ⌡ 1+ x +1 −3 x2 ⌠ c) 3 3 dx ⌡ (x + c ) a b ⌠ dx g) ⌡ 1 + ex k) 2 dx ∫ cos( x ) + 1 0 . la cantidad de sal se acercará a 60 gramos. t t A 1. 5: Área bajo la curva y = f (x).4 0.2 0. b) Encuentra una fórmula para la función f (x) = arcsenh(x).5 FIGURA 2. a) Haz el cambio de variable u = π − x en la integral π ∫ x f (sen( x ))dx 0 y verifica ∫ x f (sen( x ))dx = 0 π 2 π ∫ f (sen( x ))dx 0 ⌠ x sen( x ) dx b) Aplica el inciso anterior para calcular ⌡1 + cos2 ( x ) 0 π 6. π 5.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 89 2. . 1) y cuya pendiente en cualquier punto (x.2 – 0.5. Para m ≠ n. Considera la función seno hiperbólico definida por senh( x ) = e x − e− x 2 a) Proporciona un argumento en favor de la existencia de la función inversa.y).1) tiene la propiedad de que el segmento de cualquiera de sus tangentes.2. Encuentra una ecuación y = f (x) para la curva que pasa por el punto (0. 1 + x2 y 1 0. apóyate en alguna(s) de la(s) siguientes identidades: sen(α ± β) = sen(α)cos(β) ± sen(β)cos(α) cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sen(α)sen(β) y el método de cambio de variable para calcular las siguientes integrales: a) ∫ sen(mx )cos(nx )dx b) ∫ sen(mx )sen(nx )dx c) ∫ cos(mx )cos(nx )dx 3.6 0.5 – 0.5 2 x 2. comprendido entre los ejes coordenados. c) Calcula el área sombreada bajo la curva f ( x ) = arcsenh( x ) que se muestra en la figura 2. 4. Determina de qué curva se trata.8 0. Una curva y = f (x) en el primer cuadrante que pasa por el punto P0(1. se divide a la mitad en el punto de contacto P(x. y) sea x x 2 − 1.5 1 1. la cual denotaremos como y = arcsenh(x). y(0) = 5 xe2 y . 8. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales en variables separables con la condición inicial indicada: a) xyy ' = 4x + 1. y(1) = 2 b) xy ' = 4xy + 3y. y(0) = 1 y−5 f ) y' = 3e3x − y. a) La población de peces en un lago aumenta con una rapidez proporcional al número de éstos que están presentes en un instante dado. Después se establece un modelo diferencial. y(π/2) = 1 i) y' = j) y' = xe y . es fácil determinar la hora buscada. y(2) = 1 g) y ' = xe x 2 −y . la presión P está relacionada con el volumen V a través de la ecuación cp P dP =− dV cvV donde cP y cV son los calores específicos del gas a presión y volumen constantes. de forma proporcional al cuadrado del número de bacterias en un instante dado. 11. En los ministerios públicos del país. c) La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre ésta y la temperatura del medio ambiente. por diversos experimentos. suponiendo que la presión es de 4 libras por pulgada cúbica. Establece una ecuación diferencial para cada una de las siguientes situaciones y resuelve. y(1) = 1 h) y ' = sen(x)e2y. resulta común el siguiente procedimiento para determinar la hora en que una persona pudo haber fallecido. 10. suponiendo que la rapidez de cambio de la temperatura del cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio. Muestra que si f es una función periódica con periodo p. b) La población de bacterias en un cultivo crece. que: du 4u = dT T 12. respectivamente. y(1) = 5 x2 + 1 9. y(1) = 3 c) y ' = x2 + y2 + x2y2 + 1. 1+π ∫ a f ( x )dx = ∫ f ( x )dx . Una vez que se resuelve el modelo. entonces. y(1) = 2 x +2 2 e) y ' = e2 x + y. d) La fortuna de un millonario crece proporcionalmente al cuadrado del dinero que tiene en un instante dado. Aplica los dos modelos de enfriamiento para determinar la hora en que una persona fue asesinada. si se sabe que la temperatura ambiente es 5° C. 13. Determina una expresión para el volumen V de un gas como función de la presión P. Resuelve la ecuación para obtener la presión en función del volumen. y la del cuerpo es proporcional al cuadrado de esta diferencia. y(1) = 2 d) y ' = x2 + 1 . cuando el volumen es de una pulgada cúbica. Encuentra una expresión de la densidad de energía u de un cuerpo negro en términos de su temperatura absoluta T si se sabe. Se toman la temperatura del lugar y del cuerpo en dos tiempos diferentes. En el caso de un proceso adiabático en que interviene un gas perfecto. que a las 7 de la mañana la del cuerpo .90 Unidad 2: Métodos de integración a+ p p 7. si la velocidad de variación del volumen con respecto a la presión es proporcional a −V/P2. Usa este 0 resultado para calcular ∫ 1 sen( x ) dx. . Un tanque de 1. Se agrega otra solución salina que tiene una concentración de 0. determina la hora en que se cometió el crimen.500 litros contiene inicialmente 300 litros de una solución salina.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 91 era 23° C y que dos horas después ésta bajó a 18°. en la cual se disolvieron 100 gramos de sal.6 para relacionar la derivada y x. dx Sugerencia: Usa la figura 2. determina la cantidad de sal después de t minutos. dy con tan(θ). El peso de un ser humano. y y a q x FIGURA 2. Para resolver el crimen es decisivo determinar cuándo se cometió el homicidio. Determina la cantidad de sal que hay en el recipiente y la concentración de ésta para cualquier tiempo t > 0. su velocidad terminal y la distancia que habrá recorrido cuando alcance 90% de su velocidad terminal. donde v es la velocidad en metros por segundo. Un barco que pesa 86. Espera una hora y observa que el estado de calor del cuerpo disminuyó a 29 grados. El médico forense llega al mediodía y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 30 grados Celsius.2.6: Segmento de una tractriz. La tractriz en una curva que tiene la propiedad de que la longitud del segmento de cada recta tangente desde el punto de tangencia hasta el punto de intersección con el eje x es una constante positiva a. la mezcla sale del recipiente a la misma velocidad.000 newtons. puede modelarse por la ecuación de Gompertz: dW = (a − b ln(W ))W dt donde a y b son constantes apropiadas no nulas. Supón que. Asimismo.5 kilos de sal. calcula la velocidad del barco como función del tiempo. Si la resistencia debida al agua es de 1500v newtons. Determina una ecuación diferencial para los puntos de la tractriz y posteriormente resuélvela. La policía descubre el cadáver de un profesor de matemáticas. la temperatura de un ser humano es de 37° C. 15. en la cual se disolvieron 2. 14. en vida. desde el nacimiento hasta la muerte. Suponiendo que la temperatura de la víctima era normal en el momento de su fallecimiento (37 grados). 17.3 kilos por litro. simultáneamente. nota que la temperatura de la habitación es constante e igual a 27 grados Celsius. 18. Encuentra una solución de esta ecuación que satisfaga la condición inicial W (0) = W0 > 0. Se agrega solución salina con concentración de 20 gramos/litro a razón de 5 litros/minuto y. 16. Un recipiente de 30 litros de capacidad contiene inicialmente 10 litros de solución salina. a razón de 15 litros por minuto. 19. Si la mezcla sale del tanque a la misma velocidad de 15 litros por minuto.400 toneladas parte del reposo con un empuje constante de la hélice de 3. El principio de Torricelli. Supón que la altura del agua. a) ¿Cuánto tardará el tinaco en vaciarse si no tiene alimentación de agua? b) Determina el tiempo en que se vaciará el tanque. c) Grafica la altura del agua como función del tiempo en ambos casos. A0 donde g = 9. a) Determina la trayectoria del perro como una función de x. Un perro que está sobre el eje y en el punto (0.92 Unidad 2: Métodos de integración Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. Un conejo parte del punto (2. A y A0 FIGURA 2. la rapidez con que el agua baja de un tanque cilíndrico con un orificio de área A0 en el fondo está dada por A 2 g y .81 m/s2 es la aceleración de la gravedad. en tanto que y es una coordenada vertical que describe la altura de la superficie del agua en cualquier instante. 0) y corre hacia el semiplano superior sobre la recta x = 3. ¿Inocente o culpable? 2. b) Determina el punto en que el perro atrapa al conejo y los minutos que se demora en hacerlo. 3. Observa la figura 2. 1) lo ve 6 minutos después. es de 1. con una velocidad constante de 10 kilómetros por hora.0 cm. De acuerdo con el principio de Torricelli.7. . si el tinaco recibe 5 litros/min de agua. donde A es el área de la sección transversal del tinaco. y lo persigue con una velocidad constante de 20 kilómetros por hora. analiza y resuelve las siguientes situaciones.0 m y 2. 1. Persecución.7: Principio de Torricelli. medida desde el fondo. y que los radios del tanque y del orificio de salida son 1.5 m. respectivamente. 2t 5.2 kilos de sal. Si f es una función tal que su derivada es continua en [a. determina la cantidad de sal después de t minutos. Encuentra la ecuación de la curva que tiene derivada 2 a) y = x + 9 − 3 dy = dx x x +9 2 y pasa por el punto (4. en la cual se disolvieron 1. Columna A a) b) Columna B i.8e− 0. elige el inciso que contiene el cálculo correcto de ∫ f (t ) f '(t )dt a b a) f (b) − f (a) b) 3 ( f 2 (a ) + 2 f 2 (b )) 1 c) 2 ( f 2 (b ) − f 2 (a )) d) 1 ( f 2 (a ) − 2 f 2 (b )) 3.8e− 0. 2).2t c) sal(t) = 12 − 10. cuya concentración es de 0. xdx 2 − 3x c) ⌠ ⌡ 2 7 ( x + 1) 2 − 4 ( x + 1) 2 + 2 ( x + 1) 2 + C 5 3 7 5 3 iv. d) y = x 2 + 9 b) y = 3 − x 2 + 9 c) y = 7 − x 2 + 9 2. b]. Encuentra en la columna B el resultado de la integral propuesta en la columna A. Se agrega otra solución salina. a razón de 2 litros por minuto.2. elige la opción en la que se encuentra una integral igual a ∫ f ( x )dx a b a) ∫a−c f ( x − c)dx b− c b) ∫a f ( x − c)dx c c) ∫c b f ( x + c )dx d) ∫a+c f ( x − c) d x b+ c 4. a) sal(t) = 10 − 8. Si f es una función continua.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 93 Autoevaluación 1. Si la mezcla sale del tanque a la misma velocidad de 2 litros por minuto. 2 1 + 1 + x + C iii. 3 (sen( x ) − cos( x ))2 / 3 2 ∫x 1/ 3 2 x + 1dx 1/ 3 +C ∫ x( x − 1) − 2/3 8 dx 2 ii.8e− 0.1t b) sal(t) = 12 − 10.8e− 0.5 kilo por litro. 2 1 + 1 + x 2 ( ) −1/ 2 +C ⌠ sen x + 1 dx d) x +1 ⌡ 3 ( ) . Un tanque contiene inicialmente 20 litros de una solución salina.1t d) sal(t) = 10 − 8. 3 (x 7 3 − 1) 3 + 4 ( x − 1) 3 + C 7 4 2 (sen( x ) + 3 cos( x ))3/2 + C Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. 2(sen(3) − sen(2)) x. a) −1 b ∫ (2 s + 3) 0 2 ds = 13 3 1 a2 + 1 − 1 b2 + 1 ⌠ dx = ln g) ⌡ 1 + ex 1 + ex − 1 +C 1 + ex + 1 ⌠ x dx = b) 2 ⌡ ( x + 1)3 a b 1 ⌠ tan( x ) dx = tan 2 ( x ) + C h) 2 2 x cos ( ) ⌡ ( ln x ) p+1 p + C. 5 (x2 2 ⌠ (sen( x ) + cos( x )) dx e) ⌡ (sen( x ) − cos( x ))1/ 3 ⌠ xdx f) 2 ⌡ 1 + x + (1 + x 2 )3 2 1/5 ⌠ (x + 1 − 2 x) dx g) 1− x ⌡ + 1 − 2 x )2 / 5 + C ix. dx x 1 = − ln(2 + e x ) + C j) ⌠ ⌡ 2 + ex 2 2 π x2 1 1 ⌠ − c) 3 3 dx = 3 3 n 3 ( x + c ) 3 n ( a + c ) 3 n ( b + c 3 )n ⌡ a p ≠ −1 p = −1 x2 + x 1 ⌠ dx = +C d) 2 3 4 18( 4 − 3x 2 − 2 x 3 )3 ⌡ ( 4 − 3x − 2 x ) ⌠ 1 1 1 + 2z +C e) 1 + 2 dz = − z 2(1 + z )2 z ⌡ ⌠ dx = 2 1 + x − 2 ln 1 + 1 + x + C f) ⌡ 1+ x +1 −3 k) dx = ( 6 ∫ cos( x ) + 1 2 6 1 0 3+ π ) ( ) .94 Unidad 2: Métodos de integración Columna A Columna B v. xi. −2 27 ( x − 1)2/5 + C vi. − 5 2 vii. ⌠ (ln( x )) dx = p + 1 i) x ⌡ ln ln x + C. 2(cos(2) − cos(3)) viii. 15637 c) A = 2 3 4. T (t ) = Ta + (T ( 0 ) − Ta )e − kt dt dF F (0) = kF 2 . La función es creciente en su dominio y. P (t ) = P( 0 )e kt dt dP P(0) = kP 2 . P (t ) = dt 1 − P ( 0 )kt c) d) dT = − k (T − Ta ). b) f ( x ) = arcsenh( x ) = ln x + x 2 + 1 (arcsenh(2 ))3/2 ≈ 1. y = 1 3 3 7.1: Método de sustitución y ecuaciones diferenciales 95 2. a) b) dP = kP. a) ∫ sen(mx )cos(nx )dx = ∫ sen(mx )sen(nx )dx = ∫ cos(mx )cos(nx )dx = cos[( m − n ) x ] cos[( m + n ) x ] + +C 2( m − n ) 2( m + n ) sen[( m − n ) x ] sen[( m + n ) x ] − +C 2( m − n ) 2( m + n ) sen[( m − n ) x ] sen[( m + n ) x ] + +C 2( m − n ) 2( m + n ) d senh( x ) e x + e− x = cosh( x ) = > 0 . b) π2 4 3 ( ) ( x 2 + 1) 2 + 2 6. por lo cual existe su función inversa. en condx 2 secuencia. xy = 1 5. PV γ = 4 11. V = ke1/P . u = σ T 4 12. uno a uno. a) b) c) 3. 2 8. para todo x ∈ .2. y2 + ln( x ) = 2 2 b) 4x + ln(3x3) − ln(y) = 4 x3 + arctan( 2 ) − arctan( y ) = 4 / 3 c) x + 3 x3 y 2 11 − 5y − + =0 d) x + 3 2 2 2x e − 1 −y + e − e −5 = 0 e) 2 a) 4 x − 9. F (t ) = dt 1 − F ( 0 )kt f ) e6 − e − e 3x + e y = 0 g) 2e y − 2e − e x + e π 2 2 /4 =0 h) 2cos(x) + e−2 − e−2y = 0 i) e −2 − e − y − 1 2 + x2 ln =0 2 3 j) 1 −10 1 −2 y 1 1 + x 2 e − e − ln =0 2 2 2 2 10. d) 4. Análisis matemático. 2a. x. ed. Introducción al cálculo y al análisis matemático. (e. b) Con el modelo proporcional al cuadrado de la diferencia de temperaturas. v(t) = 2 − 2e−25t /144 m/s. 2002. 2006. Courant. Pearson Educación. México.). Piskunov. ¿Qué son las matemáticas?. 1978. 2. LaSalle. i. conc(t) = 20 − 10e−t /2 17. .) Referencias 1. Barcelona. x. vterminal = 2 m/s. Montaner y Simón. (d. 6. la persona murió a las 04:00 horas. 1978.1578m a 18. Haaser. R. 7. y John. ( f.. iii. et al.). 27 min. a) Con el modelo proporcional a la diferencia de temperaturas. J.. F. (c.). 43min. vii. J.)..05t 16. vol. a) 5. w(t ) = e b (1− ebt ) e w0 bt a + a2 − y2 19. México. Seeley. ii. J.. 5. Santiago. y Robbins. Madrid. Fondo de Cultura Económica. 8.5e−0. c) 3.. Trillas. Precálculo. 50 seg. sal(t) = 200 − 100e−t /2. la persona murió a las 03:00 horas. México. sal(t) = 90 − 87. T. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. H. 1 min aproximadamente. Rivaud. x = − a ln y 2 2 + a −y Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 1982.96 Unidad 2: Métodos de integración 13. distancia = 16. Courant. Cálculo diferencial e integral..). R. 1975. Ejercicios de análisis. Apóstol. 3. 4. Reverté. México. 14. 9 hr. a) 2. R. Reverté. Barcelona.. 1. 30 seg. y Sullivan.). vi. México. Trillas. 15. Limusa. Prado. (b. Cálculo de una y varias variables.. N. vol. (g. 1980.. I. 1982. N. (a. sino todo mundo posible. la función de densidad para el tiempo en que k personas llegan a esa entidad está dada por: f ( x) = λ t t k −1e − λt .1 t 1 2 3 4 5 FIGURA 2.4).8: Gráfica de la función de densidad de probabilidad de la ecuación (2. t > 0. Supón que l es el promedio de clientes por hora que llegan a un banco.4 0. Bertrand Russell Probabilidad y tiempos de espera La probabilidad es un área de las matemáticas donde la integración resulta sumamente útil. f 0. ( k − 1)! (2. algunas compañías requieren conocer la forma como los clientes llegan a ellas.2: Integración por partes 97 2. Éste es un proceso aleatorio y la probabilidad es la base de su estudio.4) La gráfica de esta función se muestra en la figura 2.3) Por ejemplo.5 0.3 0. entonces la probabilidad que la variable aleatoria x tome valores en el intervalo [a. a la cual se debe ajustar no solamente el mundo real. Veamos: si y = f (x) es una función de densidad de probabilidad.8. para ofrecer un mejor servicio.b] se calcula utilizando la expresión P(a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x )dx a b (2.2 Integración por partes Las matemáticas nos llevan más allá de lo que es humano: hacia la región de la necesidad absoluta.2.2 0. . deberás ser capaz de: • Describir y aplicar el método de integración por partes. De acuerdo con la regla de la diferencial del producto. como su nombre lo indica. nos permiten conocer la antiderivada de una función. debido a que no existen métodos generales para el cálculo de las integrales que sean 100% efectivos. • 10 antes de tres horas. en muchos de los casos importantes.1 Integración por partes Supón que tenemos dos funciones u (x) y v (x) continuamente diferenciables y definidas en un intervalo abierto I. • Aplicar el método de integral por partes para establecer fórmulas de reducción. contamos con técnicas que. ¿Cómo sería tal expresión? Antes de intentar encontrarla. vale la pena calcular algunos casos prácticos.2. sobre todo. Sección 2. la búsqueda de las antiderivadas de una función y = f (x) puede resultar un problema poco sencillo de resolver.98 Unidad 2: Métodos de integración Esta compañía necesita una expresión para la probabilidad de que lleguen k personas antes de t horas. d (uv ) = vdu + udv o. Afortunadamente. integrando partes de la integral original. se obtiene la fórmula de integración por partes. se basa en calcular la integral de una función. de forma equivalente: udv = d (uv ) − vdu Al integrar cada miembro de esta ecuación. • Conocer y aplicar el método tabular de integral por partes. Entre los más utilizados se encuentra el método de la integración por partes que. • 5 después de la primera hora. si se sabe que l = 7 clientes/hora. Por ejemplo. Introducción Por desgracia. . ¿cuál será la probabilidad de que lleguen las siguientes cifras de clientes? • 8 entre la primera y segunda hora. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. Más adelante estudiaremos diversas situaciones donde es importante su uso. ya que pronto se llevará a cabo una reestructuración en el área de servicio para reducir los tiempos de espera. 6) A continuación. Teorema 2. tenemos el siguiente teorema.6). pero para los fines que nos ocupan. Para el caso de integrales definidas. entonces para todo a. En efecto. v vb Área 4 Área 2 va Área 3 ua Área 1 ub u vu FIGURA 2. es suficiente relacionar la geometría con la fórmula (2. En efecto.5) La fórmula anterior es útil cuando ∫ udv no es una integral sencilla.6).b ∈ I tenemos b b b ∫ u v'( x )dx = u( x )v( x ) a − ∫ v( x )u'( x )dx a a (2. la función u(v) no necesariamente es creciente.2.3 Si y = u(x) y y = v(x) son funciones continuamente diferenciables definidas en un intervalo abierto I.9: Función v = v(u) y cuatro regiones que se relacionan de acuerdo con el método de integral por partes. de acuerdo con la interpretación geométrica de la integral se tiene que: . ua = u(a) y ub = u(b) y equivalentemente v = v(x). donde se supone que u = u(x). una simpática interpretación geométrica de la fórmula (2. pero las integrales ∫ dv y ∫ vdu sí lo son. va = v(a) y vb = v(b).2: Integración por partes 99 Fórmula de integración por partes ∫ udv = uv − ∫ vdu (2. la figura 2. En general.9 muestra en un plano uv la gráfica de una cierta función creciente u = u(v). la fórmula (2. en la misma figura observamos dos rectángulos: las regiones 3 y 4. En el método de integración por partes. No existen reglas generales de cómo hacer la selección.100 Unidad 2: Métodos de integración Área de la región 1 = ∫ v(u )du ua vb ub Área de la región 2 = ∫ u (v )dv va Por otro lado. no obstante. cuyas áreas están dadas por: Área de la región 3 = ua va Área de la región 4 = ub vb De forma clara. Integral u xn xn xn xn xn ln(x) arcsen(x) arctan(x) dv e axdx cos(ax)dx sen(ax)dx cosh(ax)dx senh(ax)dx xndx xndx xndx ∫ x n eax dx ∫ x n cos(ax )dx ∫ x n sen(ax )dx ∫ x n cosh(ax )dx ∫ x n senh(ax )dx ∫ x n ln( x )dx ∫ x n arcsen( x )dx ∫ x n arctan( x )dx . se tiene que vb ub ub vb = ua va + ∫ u (v )dv + ∫ v(u )du va ua de donde vb ub va ∫ u(v)dv = ub vb − ua va − ∫ v(u )du ua que es.6) en forma desarrollada. En la tabla 2.1 se muestran algunos casos de integrales y la forma de seleccionar u y dv. de forma que sea fácil y posible integrarla y para que también la nueva integral ∫ vdu tenga un grado de dificultad menor que la integral original.1: Algunas integrales que pueden resolverse usando el método de integración por partes. precisamente. una sugerencia es elegir dv. es necesario elegir adecuadamente los factores u y dv. Tabla 2. 2: Integración por partes 101 Ejemplos Ejemplo 2.2. obtenemos ∫ dx ⌠ x2 x2 ln( x ) xdx = ln( x ) + C1 − + C1 2 2 x dv u u v usando integral po or partes.12 Calcula la integral 1 ∫ arcsen( x )dx 0 solución Como uno de los factores es arcsen(x). 1 du = dx.11 Usa el método de integración por partes para calcular la integral ∫ x ln ( x ) dx solución Como uno de los factores es ln(x). v = x ∫ xdx = x2 + C1 2 Si utilizamos la fórmula de integración por partes. elegimos u = arcsen(x ) y dv = dx . ⌡ v 2 du x x ln( x ) + C1 ln( x ) − − C1 ln( x ) + C2 2 4 2 2 x x = ln( x ) − + C2 2 4 = 2 desarrollando. Este resultado es verdadero en general y no es necesario escribir la constante de integración al integral dv. simplificando. resulta conveniente elegir u = ln( x ). Ejemplo 2. Observa que la constante C1 no aparece en la respuesta final porque se elimina en el proceso. dv = xdx Entonces. x La integral ∫ xe dx es más sencilla que la original. pero no es directa.102 Unidad 2: Métodos de integración Entonces.1. elegimos u = x2 y dv = e xdx Entonces. obtenemos ∫ x 2 ex dx = x 2 ex − 2 ∫ xex dx. Por lo que integraremos por partes una segunda vez: u = x y dv = e x dx . De esta manera 1 x 1 ⌠ dx = − ⌠ 1 − x 2 2⌡ ⌡ 1 − x2 0 1 ( ) −1 2 ( −2 x ) dx = − 1 − x2 1 0 =1 0 Si sustituimos en la integral original: ∫ arcsen( x )dx = x arcsen( x ) 0 − 1 = 2 − 1 1 0 1 π Ejemplo 2. du = 2 xdx y v = ∫ ex dx = ex Al aplicar la fórmula de integración por partes. du = dx 1 − x2 y v= ∫ dx = x Utilizando la fórmula de integración por partes: x ⌠ − dx ⌡ 1 − x2 0 1 ∫ arcsen( x )dx = 1 x arcsen( x ) 0 Para obtener la segunda integral usamos el método de cambio de variable visto anteriormente.13 Calcula la integral ∫ x 2 e x dx solución De acuerdo con la tabla 2. 2: Integración por partes 103 Entonces.2. u = ex y dv = cos(x)dx . Tomemos. ∫ Ejemplo 2. Sea z = x2 por lo que dz = 2xdx y 2 1 1 2 z dz v = ∫ xe x dx = ⌠ = ez = ex e ⌡ 2 2 2 Si utilizamos la fórmula de integración por partes.14 Calcula la integral ∫ x 3e x dx 2 solución En este ejemplo vamos a tomar: u = x 2 y dv = xe x dx Entonces. du = 2 xdx y v = 2 ∫ xex dx 2 Para calcular v utilizamos el método de cambio de variable. regresando a la integral original: x x 2 x x x ∫ x 2 e x dx = x 2 e x − 2∫ xe x dx = x 2 e x − 2 xe − e = x e − 2 xe + 2 e + C Ejemplo 2.15 ex2 ⌠ ex2 x2 ex2 2 2 e 2 x 3e x dx = x 2 x dx x +C − = 2 2 ⌡ − 2 2 Determina una expresión para ∫ e x cos( x )dx solución En este ejemplo la elección de u y dv es indistinta. du = dx y v = Y tenemos que ∫ ex dx = ex ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx = xex − ex Finalmente. por ejemplo. 16 Calcula la integral ∫ sec3 ( x )dx solución Descomponemos el factor sec3(x) y la escribimos ∫ sec 3 ( x )dx = ∫ sec( x )sec2 ( x )dx.104 Unidad 2: Métodos de integración Entonces. du = e x dx y dv = Obtenemos dv = sen(x)dx ∫ sen( x )dx = − cos( x ) ∫ e x sen( x )dx = − e x cos( x ) + ∫ e x cos( x )dx Al sustituir en la integral original: x x ∫ e x cos( x )dx = e x sen( x ) − ∫ e x sen( x )dx = e x sen( x ) − − e cos( x ) + ∫ e cos( x )dx = e x sen( x ) + e x cos( x ) − ∫ e x cos( x )dx Al despejar la integral ∫ e x cos( x )dx se obtiene ∫ e x cos( x )dx = 2 e x (sen( x ) + cos( x )) + C 1 Ejemplo 2. du = sec( x ) tan( x )dx y v = ∫ sec2 ( x )dx = tan( x ) . du = e x dx y dv = Al integrar por partes. Elegimos u = sec(x) y dv = sec2(x)dx Entonces. tenemos ∫ cos( x )dx = sen( x ) ∫ e x cos( x )dx = e x sen( x ) − ∫ e x sen( x )dx Calcularemos esta última integral. Sean ahora: u = ex y Entonces. usando nuevamente integración por partes. se obtiene ∫ sec5 ( x )dx = 4 sec3 ( x ) tan( x ) + 8 (sec( x ) tan( x ) + ln sec( x ) + tan( x ) ) + C Ejemplo 2. du = 3 sec 3 ( x ) tan( x )dx y v = tan( x ) Si seguimos el procedimiento de la integral por partes: ∫ sec5 ( x )dx = sec3 ( x ) tan( x ) − 3∫ sec3 ( x ) tan 2 ( x )dx 2 = sec( x ) tan( x ) − 3∫ sec3 ( x ) sec ( x ) − 1 dx = sec3 ( x ) tan( x ) − 3∫ sec5 ( x )dx + 3∫ sec3 ( x )dx Al despejar la integral buscada y utilizar el resultado del ejercicio anterior.2: Integración por partes 105 Usamos la fórmula de integración por partes: ∫ sec3 ( x )dx = sec( x ) tan( x ) − ∫ sec( x ) tan 2 ( x )dx Utilizamos la identidad trigonométrica tan2 (x) = sec2 (x) − 1 y tenemos que 2 ∫ sec3 ( x )dx = sec( x ) tan( x ) − ∫ sec( x ) sec ( x ) − 1 dx 3 = sec( x ) tan( x ) − ∫ sec ( x )dx + ∫ sec( x )dx Al despejar la integral buscada. Considera: u = sec 3 ( x ) y dv = sec 2 ( x )dx Entonces. obtenemos ∫ sec3 ( x )dx = 2 (sec( x ) tan( x ) + ln sec( x ) + tan( x ) ) + C Ejemplo 2.18 Determina una expresión para 1 3 ∫ cos(ln( x ))dx .17 Determina una expresión para la integral 1 ∫ sec5 ( x )dx solución Para calcular ∫ sec 5 ( x )dx se sigue una estrategia similar.2. tenemos ∫ cos(ln( x ))dx = ∫ e z cos( z)dz Usamos el resultado que obtuvimos en el ejemplo 2.19 Calcula la integral ∫ cos ( x ) dx solución Utilizamos el cambio de variable z = x .15: e z cos( z ) + sen( z )] +C ∫ e z cos( z)dz = [ 2 por lo que llegamos a x cos(ln( x )) + sen(ln( x ))] +C ∫ cos(ln( x ))dx = [ 2 Ejemplo 2. al aplicar integración por partes: dv = cos( z )dz v = sen( z ) ∫ cos ( x ) dx = ∫ 2 z cos( z )dz = 2 [ z sen( z ) + cos( z )] = 2 x sen x + cos = 2 z sen( z ) − ∫ sen( z )dz ( ) ( x ) +C . luego x = e z y dx = ezdz.106 Unidad 2: Métodos de integración solución Utilizamos el cambio de variable z = ln(x). y luego x = z2 y dx = 2zdz. Sustituyendo en la integral. Sustituyendo en la integral: ∫ cos ( x ) dx = ∫ 2 z cos( z)dz Considera ahora el nuevo cambio de variable u=z du = dz Finalmente. 2.2: Integración por partes 107 Ejemplo 2. Elegimos primero u = x5.7) (2. Al aplicar el método. derivando y las variables v integrando una seguida de la otra.2: Método tabular de integración por partes. dv = exdx v = ex (2.10) ∫ x 5e x dx = x 5e x − (5x 4 e x − ∫ 20 x 3e x dx ) Antes de seguir con el proceso.9) son las mismas que las ecuaciones (2.8) du = 5x4. obtenemos ∫ x 5e x dx = x 5e x − ∫ 5x 4 e x dx Como la nueva integral también se resuelve por partes. Además. observa que las ecuaciones (2.7) con la variable v de la línea (2. elegimos u = 5x4. después. Observa que se deriva u hasta que se anula.2 se muestra el esquema completo. Así. una tras la otra.10) intercalando el signo. En la tabla 2.8) y que el integrando de la nueva integral se consigue multiplicando las ecuaciones de la línea (2.10). la variable u de la línea (2. dv = exdx du = 20x3.8). Signos alternados u y sus derivadas x5 5x4 20x3 60x 2 dv y sus antiderivadas ex ex ex ex ex ex ex + − + − + − + 120x 120 0 . v = ex (2. los términos que interesan para la solución se obtienen multiplicando la variable u de la línea (2.9) (2. y así sucesivamente. Finalmente.9) con la variable v de la línea (2. las variables u se obtienen.20 Calcula la integral ∫ x 5e x dx solución Para resolver necesitamos usar varias veces el método de integración por partes. Tabla 2. 1. elegimos u = xn Entonces. 3 n n−2 n n par n impar . ∫ P( x )sen(ax )dx.22 Demuestra la fórmula de reducción ∫ cosn ( x )dx = n cosn−1 ( x )sen( x ) + Después. a ≠ 0 y k ≠ 0. se obtiene como resultado ∫ x 5e x dx = x 5e x − 5x 4 e x + 20 x 3e x − 60 x 2 e x + 120 xe x − 120e x + C = e x x 5 − 5 x 4 + 20 x 3 − 60 x 2 + 120 x − 120 + C ( ) Observación: Este método funciona muy bien para calcular integrales de la forma ∫ P( x )cos(ax )dx . ⌡( a + bx )k Demuestra la fórmula de reducción ∫ x n e x dx = x n e x − n∫ x n−1e x dx para n ∈ solución . du = nxn−1dx y v = ex Si utilizamos la fórmula de integración por partes.108 Unidad 2: Métodos de integración Al seguir este proceso.21 ⌠ P( x ) dx donde P (x) es un polinomio de grado n. En este caso. ∫ P( x )eax dx y Ejemplo 2. obtenemos y dv = e xdx ∫ x n e x dx = x n e x − ∫ e x (nx n−1 ) dx = x n e x − n∫ x n−1e x dx Ejemplo 2. aplícala para deducir 1 n −1 ∫ cosn−2 ( x )dx para n ≥ 1 n π /2 ∫ 0 1 π n −1 n − 3 ⋅ ⋅ ⋅ n n−2 2 2 cos ( x )dx = n − 1 n − 3 2 ⋅ ⋅ . n impar 3 n n−2 . du = − ( n − 1) cos n−2 ( x )sen( x )dx y v = sen( x ) Utilizando la fórmula de integración por partes: ∫ cos n n− 2 ( x )dx = cos n−1 ( x )sen( x ) − ∫ sen 2 ( x ) − ( n − 1) cos ( x ) dx = cos n−1 ( x )sen( x ) + ( n − 1) ∫ sen 2 ( x ) cos n− 2 ( x )dx Si usamos sen2(x) = 1 − cos2(x) se tiene 2 n −2 ∫ cosn ( x )dx = cosn−1 ( x )sen( x ) + (n − 1) ∫ 1 − cos ( x ) cos ( x )dx n n −2 = cos n−1 ( x )sen( x ) + ( n − 1) ∫ cos ( x )dx − ∫ cos ( x )dx Finalmente. n impar 3 0 n n−2 1 π n −1 n − 3 ⋅ ⋅ ⋅ n par n n−2 2 2 = n − 1 ⋅ n − 3 ⋅ 2 . n par π /2 2 ∫ n n−2 0 n ∫ cos ( x )dx = n − 1 n − 3 2 π /2 0 ⋅ ⋅ ∫ cos( x )dx.2: Integración por partes 109 solución Sea u = cosn−1(x) y dv = cos(x)dx Entonces.2. obtenemos ∫ 0 cos n ( x )dx = n −1 n π /2 ∫ cos 0 n− 2 ( x )dx Y al aplicar repetidamente este resultado: π /2 n −1 n − 3 1 ⋅ ⋅ dx. despejando ∫ cosn ( x )dx: ∫ cosn ( x )dx = n cosn−1 ( x )sen( x ) + π /2 1 n −1 ∫ cosn−2 ( x )dx n Al integrar ahora desde x = 0 hasta x = p/2 y observando que sen(0) = 0 y cos(p/2) = 0. 110 Unidad 2: Métodos de integración 1. Con tus propias palabras, indica el método de integración por partes y cómo debes elegir u y dv. 2. Obtén las siguientes integrales: a) b) c) d) ∫ (2 x + 1) e3 x dx ∫ x 3e−2 x dx ∫ x5x dx ∫ (ln( x ))2 dx 2 i) j) k) l) m) n) ∫ x sec2 ( x )dx ∫ x arctan( x )dx ∫ 3arccos( x )dx ∫ arccot(2 x )dx ∫ x arcsen( x 2 )dx ∫x x + 1 dx p) q) r) s) t) u) v) ∫ e2 x sen(3x )dx ∫ e5 x cos(2 x )dx ∫ x ln (16 + x 0 1 2 )dx 3 e) ∫ x sen( 2 x )dx ∫ sen(ln( x ))dx ∫ sen ( x ) dx ∫ ln ( x 2 + 1) dx ∫e 2x f ) ∫ x sec (3 x )dx g) ∫ x ln( x + 2 )dx h) ∫ x csc( x ) cot( x )dx ⌠ x dx o) ⌡ 5 + 2x dx 3. Utiliza el método tabular para calcular las siguientes integrales: ⌠ t2 + 5 a) 1/ 5 dt ⌡(t + 2 ) ⌠ 2t b) 1/ 3 dt ⌡( 2t + 1) 3 c) d) ∫ ( x 4 + 3x 2 + 5)e3 x dx ∫ ( x 3 − x )cos(3x )dx e) ∫ ( x 3 + 2 x )sen(5 x )dx 4. Determina el área de la región limitada por f (x) = arccos(x), el eje x, el eje y y la recta x = 1/2. 5. Establece el área de la región limitada por f (x) = ln(x), el eje x, y las rectas x = 1 y x = e. 6. Durante el desarrollo de una epidemia de sarampión en Toluca, la razón de llegada de casos nuevos al Hospital Regional de Zona 26 del IMSS fue igual a f (t) = 5te−t/10, donde t se midió en días y t = 0 se consideró el tiempo de inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos se trataron en el nosocomio en los primeros t = 5 días y en los primeros t = 10 días? 7. En la teoría matemática de la información, aparece la integral de Boltzmann I ( p ) = ∫ p( x ) ln ( p( x ) ) dx 1 0 a) Calcula I (P1), si p1(x) = 2x es una función definida en el intervalo [0,1]. 2.2: Integración por partes 111 b) Determina I(p2), si 1 si 0 ≤ x ≤ 4 x 2 p2 ( x ) = 4 − 4 x si 1 ≤ x ≤ 1 2 8. Usa el método tabular para mostrar que ∫ emx P( x )dx = (n ) emx P '( x ) P ''( x ) P '''( x ) (x) n P + − + … + ( − 1 ) P( x ) − , m m m2 m3 mn donde P (x) es un polinomio de grado n > 0 y m ≠ 0. 9. Utiliza el método de integración por partes para demostrar: a) b) c) d) e) f) g) h) i) ∫ eax sen(bx )dx = ∫ eax cos(bx )dx = e ax ( a sen( bx ) − b cos( bx ) ) +C a2 + b2 e ax ( a sen( bx ) + b cos( bx ) ) +C a2 + b2 x n +1 n ≠ −1 ∫ x n ln( x )dx = n + 1 ln( x ) − (n + 1)2 + C; ∫ x n sen(ax )dx = − ∫ x n cos(ax )dx = ∫ x n eax dx = x n +1 xn m cos( ax ) + ∫ x n−1 cos( ax )dx a a xn m sen( ax ) − ∫ x n−1 sen( ax )dx a a x n e ax n n−1 ax − ∫ x e dx a a ∫ (ln( x ))n dx = x (ln( x ))n − n∫ (ln( x ))n−1 dx ∫ x n e x dx = x n e x − n∫ x n−1e x dx ∫ secn ( x )dx = tan( x ) sec n− 2 ( x ) n − 2 + ∫ secn−2 ( x )dx; n ≠ 1 n −1 n −1 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, analiza y resuelve las siguientes situaciones. 1. Probabilidad. (Situación de inicio de la sección). 2. Fórmulas de reducción. Aplica el método de la integral por partes para determinar la siguiente fórmula de reducción: 112 Unidad 2: Métodos de integración ∫ senn ( x )dx = − n senn−1 ( x )cos( x ) + π 1 n −1 ∫ sen n−2 ( x )dx n a) Muestra que n ∫ sen ( x )dx = 0 2 n −1 sen n− 2 ( x )dx para n entero y n ≥ 2. n ∫ 0 2 π b) Demuestra ahora que π i. ∫ sen 0 π 2 2 2 r +1 ( x )dx = 2i 4 i 6i i 2 r para r ≥ 1 y entero. 3i5i 7i i(2 r + 1) ii. ∫ sen 0 2r ( x )dx = 1i 3i5i i(2 r − 1) π para r ≥ 1 y entero. 2i 4 i 6i i 2 r 2 3. Flujo continuo de ingresos, su valor presente y su valor futuro. En matemáticas financieras, se define la razón de cambio del ingreso o la tasa de flujo de ingreso f (t) como la cantidad de ingresos que se reciben por año (en general, por unidad de tiempo). El ingreso total para k años está dado por: k Ingreso total = ∫ f (t )dt 0 Si el ingreso gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces definimos los valores presente y futuro en k años como: k Valor presente = ∫ f (t )e− r t dt 0 k Valor futuro = er k ∫ f (t )e− r t dt 0 a) Explica los significados del valor presente y del valor futuro de un flujo continuo de ingresos. b) Supón que la tasa de flujo de ingreso es constante, f (t) = C0. Determina fórmulas para el valor presente y el valor futuro. c) Repite el inciso anterior, si la tasa de flujo de ingreso es lineal: f (t) = C0 + C1t. d) Las ganancias de un ingenio azucarero dependen de la cantidad de azúcar que pueden producir. En ese caso, se puede considerar que las máquinas-herramientas del ingenio producen un flujo continuo de ingresos; como se desgastan con el uso, la producción depende del tiempo. Imagina que algunos estudios estadísticos señalan que la vida útil de las máquinas-herramientas de un ingenio es de 10 años y que la tasa de flujo de ingresos es 2 t f (t ) = t si 0 ≤ t ≤ 2 si 2 < t ≤ 10 Determina el ingreso total, el valor presente y el valor futuro en los primeros 2 años y en los próximos 10. 2.2: Integración por partes 113 Autoevaluación 1. Indica la opción que contiene el resultado de I = ∫ x ln( x )dx a) I = x 3 2 ( ln( x ) )2 + C b) I = ln( x 2 ) + C 7 c) I = 2 32 x (3 ln( x ) − 2 ) + C 9 d) I = 2 + ln( x ) +C 2 x 2. Halla la opción que contiene el resultado de J = a) J = x [cos (ln( x )) + sen (ln( x ))] + C 2 ∫ cos (ln( x ))dx x ln( x ) [cos x + sen ( x )] + C 2 − sen ( ln( x ) ) +C x c) J = d) J = b) J = x [ cos ( ln( x ) ) − sen ( ln( x ) )] + C 3. Encuentra la opción que contiene el resultado de K = ∫ arcsen(t )dt a) K = 1 1− t 2 +c 2 c) K = t arcsen(t ) + 1 − t + c b) K = − arccos(t ) + c d) K = t arcsen(t ) − ln ( 1− t ) + c 2 4. Determina la opción que contiene el resultado de L = ∫ 3 x ln( x )dx a) L = b) L = 3x 3 ( 4 ln( x ) − 3) + C 4 3x 3 ( ln( x ) + 3) + C 16 4 4 c) L = d) L = 3x 3 ( 4 ln( x ) − 3) + C 16 3x 3 ( 4 ln( x ) − 3) + C 8 4 4 5. Encuentra la opción que contiene el resultado de M = ∫ x 4 ln( x )dx a) M = x 4 − b) M = 4 3 x +C 3 c) M = x 3 + ln 4 x 4 + C d) M = x 3 [1 + 4 ln( x )] + C ( ) x5 [5 ln( x ) − 1] + C 25 114 Unidad 2: Métodos de integración Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. dv se elige de forma que sea fácil de calcular su integral. 2. a) b) c) d) e) 1 2x + +C 9 3 ∫ (2 x + 1) e3 x dx = e3 x 1 ∫ x 3e−2 x dx = − 8 e−2 x (3 + 6 x + 6 x 2 + 4 x 3 ) + C ∫ x 5x dx = 5x ( x ( ln(5) ) − 1) +C ln 2 (5) ∫ (ln( x ))2 dx = x (2 − 2 ln( x ) + ln2 ( x )) + C ∫ x 3 sen(2 x )dx = − 4 x (−3 + 2 x 2 ) cos(2 x ) + 8 (−1 + 2 x 2 ) sen(2 x ) + C 1 3 f) g) h) i) j) k) l) m) ∫ x sec2 (3x )dx = 9 ln cos(3x ) + 3 x tan(3x ) + C ∫ x ln( x + 2)dx = − 4 (− 4 x + x 2 ) + 2 (− 4 + x 2 ) ln ( x + 2) + C 1 1 1 1 ∫ x csc( x ) cot( x )dx = − x csc( x ) + ln csc( x ) − cot( x ) + C ∫ x sec2 ( x )dx = ln cos( x ) + x tan( x ) + C ∫ x arctan( x )dx = − 2 + 2 (1 + x 2 ) arctan( x ) + C x 1 ∫ 3 arccos( x )dx = −3 1 − x 2 + 3 x [arccos( x )] + C 1 +C ∫ arc cot(2 x )dx = x cot −1 (2 x ) + 4 ln 1 + 4 x 2 ∫ x arcsen( x 2 )dx = 2 ( 1 1 − x 4 + x 2 arcsen x 2 ( )) + C n) ∫x ∫ x + 1 dx = 3 2 (1 + x ) 2 ( −2 + 3x ) + C 15 o) x 1 dx = ( −5 + x ) 5 + 2 x + C 3 5 + 2x 1 p) ∫ e2 x sen(3x )dx = 13 e2 x (2 sen(3x ) − 3 cos(3x )) + C 2.2: Integración por partes 115 q) ∫ e5 x cos(2 x )dx = 29 e5 x (5 cos(2 x ) + 2 sen(2 x )) + C 2 ∫ x ln (16 + x ) = 2 ( −1 − 64 ln(2) + 17 ln(17)) 1 1 r) 1 0 s) ∫ sen(ln( x ))dx = − 2 x [cos (ln( x )) − sen (ln( x ))] + C ∫ sen ( x ) dx = −2 x cos 1 t) u) v) 3. a) b) c) d) ( x ) + 2 sen ( x ) + C ) ∫ ln ( x 2 + 1) dx = −2 x + 2 arctan( x ) + x ln (1 + x 2 ) ∫e 2x dx = e 2x (−1 + 2x + C 5 25 125 (5 + x 2 )( 2 + x )4 / 5 − x ( 2 + x )9/ 5 + ( 2 + x )14 / 5 4 18 252 3 3 27 2 81 243 x (1 + 2 x )2 / 3 − x (1 + 2 x )5/ 3 + x (1 + 2 x )8/ 3 − (1 + 2 x )11/ 3 2 20 160 3250 8 3x 8 3x 1 1 1 (5 + 3 x 2 + x 4 )e3 x − (6 x + 4 x 3 )e3 x + (6 + 12 x 2 )e3 x − xe + e 27 81 3 9 27 1 3 1 2 2 ( x − x )sen( 3x ) + ( 3x 2 − 1)cos( 3x ) − x sen( 3x ) − cos( 3x ) 3 9 9 27 1 1 6 6 3 2 x cos(5 x ) − sen(5 x ) e) − ( 2 x + x ) cos(5 x ) + ( 2 + 3 x ) sen(5 x ) + 5 25 125 625 4. A = 1 6−3 3 +π 6 ( ) 5. A = 1 6. A los 5 días se trataron a 45 enfermos; y a los 10, 132 pacientes. 7. En ambos incisos la respuesta es 0.193147. 116 Unidad 2: Métodos de integración Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. c) 2. a) 3. c) 4. c) 5. b) Referencias 1. Horowitz, D. “Tabular Integration by Parts”, en The College Mathematics Journal, 1991. 2. Gillman, L. “More on Tabular Integration by Parts”, en The College Mathematics Journal, 2002. 3. C. E. Shannon, “A mathematical Theory of Communication”, en Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379-423 y 623-656, julio y octubre de 1948. Versión on line: http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html 4. Pérez, J. Cálculo diferencial e integral, Granada, Universidad de Granada, 2006. 5. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, Barcelona, Montaner y Simon, 1978. 6. Thomas, G. Cálculo (una variable), 11a. ed., México, Pearson Educación, 2005. 2.3: Integrales de potencias trigonométricas 117 2.3 Integrales de potencias trigonométricas Uno no puede dejar de tener la sensación de que estas fórmulas matemáticas poseeen una existencia independiente y una inteligencia propia; que son más sabias que nosotros, más sabias que sus descubridores y que obtenemos más de lo que originalmente se puso en ellas. Heinrich Hertz Señales de prueba En la vida diaria contamos con aparatos sofisticados (teléfonos celulares, redes inalámbricas, etcétera) que nos permiten comunicarnos rápida y eficazmente, y que aprovechan ampliamente las nuevas tecnologías electrónicas. No debe resultar sorprendente que para llevar a cabo estos avances se utilicen diversos conceptos matemáticos. Por ejemplo, para diseñar teléfonos celulares se realizan pruebas de envío y recepción de señales que pretenden reducir el ruido y maximizar los parámetros físicos importantes. Un estudio reciente muestra que si se envía una señal cuadrada, como la que se muestra en la figura 2.10, se recibe otra que puede modelarse utilizando la siguiente función: Vr (t ) = 5 10 2 10 10 + sen( 3π x ) + sen(5π x ) + sen( 7π x ) + sen(9π x ) 2 3π 7π 9π π V volts 6 5 4 3 2 1 – 0.5 –1 0. .5 1 1.5 2 2.5 3 t ms FIGURA 2.10: Señal de entrada en un sistema de pruebas de telefonía móvil. El tiempo se expresa en milisegundos; y el voltaje, en voltios. La eficiencia de transmisión es un parámetro que caracteriza el canal mediante el cual se envían y reciben las señales, y se determina usando la relación: e= Voltaje rms de la señal recibida Vrms, r = Voltaje rms de la señal enviada Vrms, e 118 Unidad 2: Métodos de integración Donde, por definición, el voltaje rms Vrms, es decir, el voltaje raíz medio cuadrático (por sus siglas en inglés) está dado por Vrms = 1 [V (t )]2 dt P∫ 0 P P es el periodo de ambas señales. Con estas consideraciones, determina: a) ¿cuál es el voltaje rms efectivo de las señales enviadas y recibidas en este sistema de pruebas? b) ¿cuál es la eficiencia del canal? c) ¿cómo puede mejorarse la eficiencia de la transmisión? Introducción En áreas como las teorías de señales y sistemas, la acústica, la teoría del calor y las series de Fourier, entre otras, aparece la necesidad de calcular integrales que incluyen potencias de funciones trigonométricas, como lo ilustra la situación precedente. Para solucionar este tipo de integrales, se requiere establecer una estrategia que considere el uso de identidades trigonométricas, cambios de variable y fórmulas de reducción, la cual presentaremos y será la base, en la sección siguiente, para estudiar el método de sustitución trigonométrica. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección, deberás ser capaz de resolver integrales cuyos integrandos incluyan: • • • • potencias de las funciones seno y coseno. potencias de las funciones tangente y secante (cotangente y cosecante). productos de funciones senoidales con diferente argumento. potencias de funciones hiperbólicas. Sección 2.3.1 Integrales que incluyen potencias de seno y coseno Las integrales que nos interesa calcular en este apartado tienen integrandos formados por productos de potencias de funciones sinusoidales con el mismo argumento. Es decir, son del tipo m n ∫ sen (z)cos (z)dz Nuestra estrategia consistirá en reducir el integrando a expresiones que podamos integrar fácilmente, a través de identidades trigonométricas y/o cambios de variable. No obstante, existen varios casos que dependen de la paridad de las potencias. Por ejemplo, podemos reducir una expresión del tipo senm(z)cos2k + 1(z) utilizando la identidad cos2(z) = 1 − sen2(z) de la siguiente forma: senm(z)cos2k + 1(z) = senm(z)[cos2(z)]k cos(z) = senm(z)[1 − sen2(z)]k cos(z) 2.3: Integrales de potencias trigonométricas 119 Finalmente, para hallar la integral, sólo basta hacer el cambio de variable u = sen(z). En efecto, tenemos: ∫ sen m ( z )cos 2 k +1 ( z ) = ∫ u m [1 − u 2 ]k du La cual podemos resolver desarrollando el binomio. En la tabla 2.3 se muestran todos los casos posibles: el primero (Ia y Ib) cuando una de las funciones tiene potencia impar, y el segundo (II) cuando las dos tienen potencia par. Además, se muestra el tipo de integrando, la reducción a utilizar, la identidad que se necesita y, cuando es posible, el cambio de variable adecuado para simplificar la integral. Tabla 2.3: Los casos posibles para integrar la expresión senm(z)cosn(z). Caso Ia n = 2k + 1 impar Ib m = 2k + 1 impar II n = 2k, m = 2r ambos pares Integrando Reducción Identidad Cambio sen m (z)cos 2 k + 1(z) cos 2 k + 1(z) = cos(z)cos 2k (z) cos 2 (z) = 1 − sen 2 (z) u = sen(z) sen 2 k + 1(z)cos n (z) sen 2 k + 1 (z) = sen(z)sen 2 k (z) sen 2 (z) = 1 − cos 2 (z) cos 2 ( z ) = 1 2 u = cos(z) [1 + cos(2 z )] y sen (z)cos (z) 2r 2k (sen (z)) (cos (z)) 2 r 2 k sen 2 ( z ) = 1 2 [1 − cos(2 z )] o sen( z )cos( z ) = 1 2 sen(2 z ) Ejemplos Ejemplo 2.23 Determina el área bajo la curva y = sen3(x) desde x = 0 hasta x = π. (Véase la figura 2.11) y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 – 0.2 p 2 x p y = sen3 x FIGURA 2.11: La gráfica de la curva y = sen3(x) en el intervalo [0, π]. Seguimos entonces la estrategia adecuada: ∫ cos 5 (2 x )dx = ∫ cos 4 (2 x )cos(2 x )dx = ∫ (cos 2 (2 x ))2 cos(2 x )dx = ∫ (1 − sen 2 (2 x ))2 cos(2 x )dx separando térm minos. agrupando. la potencia de cos(2x) en el integrando nos indica que debemos aplicar el caso I. 2 3 10 1 1 1 = sen(2 x ) − sen 3 (2 x ) + sen 5 (2 x ) + C sustituyendo u. 10 2 3 . Observa que necesitamos reducir la función a integrar utilizando el caso Ia de la tabla 2. = ∫ (1 − 2 sen 2 (2 x ) + sen 4 (2 x ))cos(2 x )dx desarrollando o. usando identidades. Si seguimos esta estrategia tenemos: ∫ sen 3 ( x )dx = ∫ sen 2 ( x )sen( x )dx = ∫ (1 − cos 2 ( x ))sen( x )dx Al hacer el cambio de variable u = cos(x) y du = −sen(x)dx: ∫ sen 3 ( x )dx = ∫ (1 − u 2 )(− du ) = −u + sustituyendo. Hacemos el cambio de variable u = sen(2x) y du = 2 cos(2x)dx y obtenemos: ∫ cos 5 2 4 du (2 x )dx = ⌠ (1 − 2u + u ) ⌡ 2 sustituyendo. u3 +C integrando. = u u3 u5 − + +C integrando.3.120 Unidad 2: Métodos de integración solución Primero buscaremos una antiderivada o primitiva de y = sen3(x).24 Determina una expresión para ∫ cos 5 (2 x )dx solución De nuevo. 3 Finalmente. el área está dada por cos 3 ( x ) 2 2 4 A = ∫ sen ( x )dx = − cos( x ) + = −− = 3 0 3 3 3 0 3 π π Ejemplo 2. 3 cos 3 ( x ) = − cos( x ) + + C sustituyendo u. 2. 9 7 Ejemplo 2. desarrollando e integrando. usando identidades = ∫ sen 7 ( x )(1 − 2 sen 2 ( x ) + sen 4 ( x ))cos( x )dx desarrollando.25 Determina una expresión para la integral ∫ sen 3 ( x )cos 6 ( x )dx solución Como la potencia de sen(x) es impar. aplicamos la estrategia del caso I: ∫ sen 3 ( x )cos 6 ( x )dx = ∫ sen 2 ( x )cos 6 ( x )sen( x )dx = ∫ (1 − cos 2 ( x ))cos 6 ( x )sen( x )dx Realizamos el cambio de variable u = cos(x) y du = −sen(x)dx: ∫ sen 3 ( x )cos6 ( x )dx = − ∫ (1 − u 2 )u 6 du = ∫ (u 8 − u 6 )du = 9 7 sustituyendo.26 Calcula ∫ sen 7 ( x )cos 5 ( x )dx solución Observa que las dos potencias son números impares positivos. desarrollando. Con la finalidad de ahorrar pasos algebraicos. . sustituyendo u. Así: ∫ sen 7 ( x )cos 5 ( x )dx = ∫ sen 7 ( x )cos 4 ( x )cos( x )dx = ∫ sen 7 ( x )(cos 2 ( x )) cos( x )dx = ∫ sen 7 ( x )(1 − sen 2 ( x )) cos( x )dx 2 2 sep parando. Cambiamos la variable: u = sen(x) y du = cos(x)dx: ∫ sen 7 ( x )cos5 ( x )dx = ∫ u 7 (1 − 2u 2 + u 4 )du 1 1 1 = u 8 − u10 + u12 + C 8 5 12 1 1 10 1 8 = sen ( x ) − sen ( x ) + sen12 ( x ) + C 8 5 12 sustituyend do. u u integran ndo. agrupando. separamos el factor con la potencia más pequeña. así que seguimos la estrategia del caso I.3: Integrales de potencias trigonométricas 121 Ejemplo 2. − +C 9 7 1 1 = cos 9 ( x ) − cos 7 ( x ) + C sustituyendo u. porque los primeros tres términos se integran directamente.27 Determina el valor promedio de la función f (x) = sen6(x) en el intervalo (−π.6 0.12. La gráfica de la función se muestra en la figura 2. π]. π). usando identid dades.12: Gráfica de la curva f (x) = sen6(x) en el intervalo [−π. 1 − 3 cos(2 x ) + + cos( 4 x ) − (1 − sen (2 x )) cos(2 x ) 8 2 2 15 3 − 4 cos(2 x ) + cos( 4 x ) + sen 2 (2 x ) cos(2 x ) 8 2 2 desa arrollando. desarrollando. así que aplicamos la reducción sugerida en el caso II: 1 − cos(2 x ) sen 6 ( x ) = (sen 2 ( x ))3 = 2 = 3 usando identidades. en tanto que el cuarto requiere una sustitución. solución Primero buscaremos una antiderivada de f (x). 1 (1 − 3 cos(2 x ) + 3 cos 2 (2 x ) − cos 3 (2 x )) 8 1 1 + cos( 4 x ) = 1 − 3 cos(2 x ) + 3 − cos 2 (2 x ) cos(2 x ) 8 2 = = 1 3 3 2 usando identidades.122 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2.2 –p – p 2 p 2 x p FIGURA 2.4 0. En efecto. y 1 0. Observa que no reducimos más.8 0. la integral de los primeros tres términos es 3 3 5 ⌠ 5 − 4 cos(2 x ) + cos( 4 x ) dx = x − 2 sen(2 x ) + sen( 4 x ) + C1 8 2 2 ⌡ 2 Considera ahora el cambio de variable u = sen(2x). du = 2cos(2x)dx . La potencia de sen(x) es par. 1 3 1 1 5 x − sen(2 x ) + sen( 4 x ) + sen 3 (2 x ) 4 64 48 2π 16 −π 1 5π 5 = = 2π 16 8 Ejemplo 2. usando identidades. tanto de sen(x). evaluando. desarrollando o.28 Calcula la integral ∫ sen 2 ( x )cos 4 ( x )dx solución Las potencias. el resultado de la integral de f (x) está dada por 1 1 1 ∫ sen6 ( x )dx = 16 x − 4 sen(2 x ) + 64 sen(4 x ) + 48 sen3 (2 x ) + C El valor promedio se obtiene como sigue: f [ − π . Entonces. 1 (1 − cos 2 (2 x ))(1 + cos(2 x )) 8 1 = (1 + cos(2 x ) − cos 2 (2 x ) − cos 3 (2 x )) 8 1 1 + cos( 4 x ) − cos 2 (2 x )cos(2 x ) = 1 + cos(2 x ) − 8 2 = 1 11 + cos(2 x ) − cos( 4 x ) − (1 − sen 2 (2 x ))cos(2 x ) 2 8 2 La integral de los tres primeros términos es inmediata: 1 x 1 1 ⌠ 1 + cos(2 x ) − cos( 4 x ) dx = + sen(2 x ) − sen( 4 x ) + C1 2 2 2 2 8 ⌡ . la integral del cuarto término es ∫ sen2 (2 x ) cos(2 x )dx = 2 ∫ u2 du = 6 u3 + C2 = 6 sen3 (2 x ) + C2 Finalmente. 1 − cos(2 x ) 1 + cos(2 x ) sen 2 ( x )cos 4 ( x ) = sen 2 ( x )(cos 2 ( x ))2 = 2 2 = 2 usando identidades. las reducimos tantas veces como sea necesario. siguiendo la estrategia del caso II.π ] = = 1 2π π 5 1 3 1 −π ∫ sen 6 ( x )dx π por definición. Entonces. desarr rollando. como de cos(x) son pares. integrando. desarrollando.2. para posteriormente hacer la integral.3: Integrales de potencias trigonométricas 123 Luego. para ellos.2 Integrales que incluyen potencias de tangente y secante Ahora analizaremos integrales cuyos integrandos son productos de potencias de tangentes y secantes (o bien.124 Unidad 2: Métodos de integración Para la integral del cuarto término. queremos integrar funciones del tipo ∫ tan m ( z )sec n ( z )dz o ∫ cot m ( z )csc n ( z )dz Los casos más simples se obtienen cuando m = 0. hacemos el cambio de variable u = sen(2x).3.4: Fórmulas de integración de algunas funciones trigonométricas. productos de cotangentes y cosecantes) con el mismo argumento. integrando. du = 2cos(2x)dx Y obtenemos ∫ (1 − sen2 (2 x )) cos(2 x ) dx = − 2 ∫ (1 − u 2 )du u3 u − + C2 6 2 1 1 n(2 x ) + C2 = sen 3 (2 x ) − sen 6 2 = El resultado de la integral es 1 sustituye endo. + sen(2 x ) − sen( 4 x ) + C1 − sen 3 (2 x ) − sen(2 x ) + C2 ∫ sen2 ( x )cos4 ( x )dx = 8 2 2 8 6 8 2 = x 1 1 1 + sen(2 x ) − sen( 4 x ) − sen 3 (2 x ) + C 16 8 64 48 1x 1 1 1 1 1 Sección 2. n = 1 o m = 1. Es decir. . los cuales se muestran en la tabla 2. n = 0. ∫ tan( x )dx = − ln cos( x ) + C ∫ cot( x )dx = ln sen( x ) + C ∫ sec( x )dx = ln sec( x ) + tan( x ) + C ∫ csc( x )dx = − ln csc( x ) + cot( x ) + C Distinguimos también cuatro casos que dependen de la paridad de los exponentes. es necesario conocer las fórmulas siguientes: Tabla 2.5. sustituyendo u. n ≥ 1 IV m = 2k n = 2r + 1. Los otros términos tienen integrales inmediatas. = cot ( x )csc ( x ) − (csc ( x ) − 1) usando identidades. r ≥ 0 Integrando tanm(z) cotm(z). Para calcular la integral del primer término del lado derecho. 2 = cot ( x )csc ( x ) − cot ( x ) 2 2 2 2 2 desarrollando. sec2k(z). csc2k(z). Caso I m≥2 IIa n = 2k par k≥1 IIb n = 2k par k≥1 III m = 2k + 1 impar k ≥ 0. tanm(z)sec2k(z) cotm(z)csc2k(z) Reducción tanm(z) = tanm − 2(z)tan2(z) cotm(z) = cotm − 2(z)cot2(z) sec2k(z) = sec2k− 2(z)sec2(z) csc2k(z) = csc2k− 2(z)csc2(z) sec2k(z) = sec2k− 2(z)sec2(z) csc2k(z) = csc2k− 2(z)csc2(z) Identidad tan2(z) = sec2(z) − 1 cot2(z) = csc2(z) − 1 sec2(z) = 1 + tan2(z) csc2(z) = 1 + cot2(z) sec2(z) = 1 + tan2(z) csc2(z) = 1 + cot2(z) Cambio u = tan(z) u = cot(z) u = tan(z) u = cot(z) u = tan(z) u = cot(z) tan2k+1(z)secn(z) cot2k−1(z)cscn(z) [tan2(z)]k secn− 1(z)tan(z)sec(z) [cot2(z)]k cscn− 1(z)cot(z)csc(z) tan2(z) = sec2(z) − 1 cot2(z) = csc2(z) − 1 u = sec(z) u = csc(z) tan2k (z)sec 2 r + 1 (z) Integración por partes sec2(z) = 1 + tan2(z) csc2(z) = 1 + cot2(z) Ejemplos Ejemplo 2. ∫ cot 4 ( x )dx = − cot 3 ( x ) + cot( x ) + x + C 3 . usando identidades.3: Integrales de potencias trigonométricas 125 Tabla 2.5: Los casos posibles para integrar la expresión tanm(z)secn(z). Entonces.2. k ≥ 0. utilizamos el cambio de variable u = cot(x).29 Encuentra una expresión para ∫ cot 4 ( x )dx solución Reducimos el integrando de acuerdo con el caso I: cot 4 ( x )dx = cot 2 ( x )cot 2 ( x ) = cot ( x )(csc ( x ) − 1) 2 2 reescribiendo. du = −csc2(x)dx. Ejemplo 2.32 Halla ∫ tan 5 ( x )sec 4 ( x )dx . separando. integrando. Si seguimos la estrategia indicada: tan 7 ( x )dx = tan 5 ( x ) tan 2 ( x ) = tan 5 ( x )(sec 2 ( x ) − 1) = tan ( x )sec ( x ) − tan ( x ) 5 2 5 separando. 2 3 = tan ( x )sec ( x ) − tan ( x )(sec ( x ) − 1) 5 2 usando identidades.31 Determina una expresión para tan 6 ( x ) tan 4 ( x ) tan 2 ( x ) − + + ln cos( x ) + C 6 4 2 ∫ sec 4 ( x )dx solución En este caso. entonces.126 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. la integral corresponde al caso IIa. Así: ∫ sec 4 ( x )dx = ∫ sec2 ( x )sec2 ( x )dx = ∫ (tan 2 ( x ) + 1)sec 2 ( x )dx = ∫ tan 2 ( x )sec 2 ( x )dx + ∫ sec 2 ( x ) dx = tan 3 ( x ) + tan( x ) + C 3 separando. Finalmente. = tan ( x )sec ( x ) − tan ( x )sec ( x ) + tan( x )sec ( x ) − tan( x ) usando identidades. ∫ tan7 ( x )dx = Ejemplo 2.30 Halla la integral ∫ tan 7 ( x )dx solución Otra vez. usando identidades. 3 = tan ( x ) sec ( x ) − tan ( x )sec ( x ) + tan ( x ) 5 2 3 2 5 2 3 2 2 desarrolland do. Tenemos. las integrales de los primeros tres términos son inmediatas bajo el cambio de variable u = tan(x) y du = sec2(x)dx. desarrollando. usando identidades. es una integral que corresponde al caso I. u12 u10 u 8 − + +C integrando. separando. usando identidades. utilizamos la reducción sugerida en el caso III.2. = 5 8 12 Ejemplo 2. 12 5 8 sec12 ( x ) sec10 ( x ) sec 8 ( x ) − + + C sustituyendo u.34 Obtén una expresión para ∫ cot 5 ( x ) csc 7 ( x )dx . tan 5 ( x )sec 8 ( x ) = tan 4 ( x )sec 7 ( x )sec( x ) tan( x ) = (tan ( x )) sec ( x )sec( x ) tan( x ) 2 2 7 sep parando. = (sec ( x ) − 1) sec ( x )sec( x ) tan( x ) 2 2 7 4 2 7 = (sec ( x ) − 2 sec ( x ) + 1)sec ( x ) sec( x ) tan( x ) desarrollando. usando identidades. Ejemplo 2. = ∫ tan 7 ( x )sec 2 ( x )dx + ∫ tan 5 ( x )sec 2 ( x )dx desarrollando. = integrando. Como la potencia de tan(x) es menor que la potencia de sec(x).33 Calcula la integral ∫ tan 5 ( x )sec 8 ( x )dx solución Se puede resolver de dos formas diferentes: siguiendo las estrategias de los casos IIb y III.3: Integrales de potencias trigonométricas 127 solución Como en el caso anterior: ∫ tan 5 ( x )sec 4 ( x )dx = ∫ tan 5 ( x )sec 2 ( x )sec 2 ( x )dx = ∫ tan 5 ( x )(tan 2 ( x ) + 1)sec 2 ( x )dx tan 8 ( x ) tan 6 ( x ) + +C 8 6 se eparando. Hacemos ahora el cambio de variable u = sec(x) y du = sec(x)tan(x)dx Tenemos: ∫ tan 5 ( x )sec 8 ( x )dx = ∫ (u11 − 2u 9 + u 7 )du = sustituyend do. . v = sec5 ( x ) 5 Tenemos. para calcularla utilizamos primero el método de integración por partes. desarrollando. Haciendo el cambio de variable u = csc(x) y du = −csc(x)cot(x)dx resulta ∫ cot 5 ( x )csc 7 ( x )dx = − ∫ (u10 − 2u 8 − u 6 )du =− sustituyen ndo. 11 9 7 csc11 ( x ) 2 csc 9 ( x ) csc 7 ( x ) + − + C sustituyendo u. usando identidades. Elegimos du = sec 2 ( x )dx. 1 dv = tan( x ) sec5 ( x )dx. entonces. =− 11 9 7 Ejemplo 2. u = tan( x ). reescribiendo.128 Unidad 2: Métodos de integración solución Seguimos la estrategia del caso III. u11 2u 9 u 7 + − +C integrando. ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx = 1 5 1 sec ( x ) tan( x ) − ∫ sec 7 ( x )dx 5 5 1 5 1 = sec ( x ) tan( x ) − ∫ sec 5 ( x )sec c 2 ( x )dx 5 5 1 1 = sec 5 ( x ) tan( x ) − ∫ sec 5 ( x )(1 + tan 2 ( x ))dx 5 5 1 5 1 1 = sec ( x ) tan( x ) − ∫ sec 5 ( x )dx − ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx 5 5 5 integrando. usando identidades. separando.35 Calcula ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx solución La integral corresponde al caso IV. = (csc ( x ) − 1) csc ( x )csc( x )cot( x ) 2 2 6 4 2 6 = (csc ( x ) − 2 csc ( x ) + 1)csc ( x )csc( x )cot( x ) desarrollando. cot 5 ( x )csc 7 ( x ) = cot 4 ( x )csc 6 ( x )csc( x )cot( x ) = (cot ( x )) csc ( x )csc( x )cot( x ) 2 2 6 sep parando. 6. ahí también se indica la identidad trigonométrica adecuada para transformar el integrando y poder hacer la integral.2.3: Integrales de potencias trigonométricas 129 De donde resulta 6 ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx = sec 5 ( x ) tan( x ) − ∫ sec 5 ( x )dx La integral que nos falta se calculó en el ejemplo 2.3.6: Integrales de productos de funciones sinusoidales con argumento diferente.3 Integrales de productos de senos y cosenos con diferente argumento Deseamos ahora integrar productos de funciones sinusoidales que no tienen el mismo argumento. Caso Integral (m ≠ n) Identidad sen( A )cos( B ) = sen( A)sen( B) = cos( A)cos( B) = 1 2 1 2 1 2 I II III ∫ sen(mx )cos(nx )dx ∫ sen(mx )sen(nx )dx ∫ cos(mx )cos(nx )dx [sen( A − B) + sen( A + B)] [ cos( A − B) − cos( A + B)] [ cos( A − B) + cos( A + B)] Ejemplos Ejemplo 2. que: ∫ tan 2 ( x )sec 5 ( x )dx = 3 1 5 1 1 sec ( x ) tan( x ) − sec 3 ( x ) tan( x ) + ( sec( x ) tan( x ) + ln sec( x ) + tan( x ) ) + C 8 6 6 4 1 5 1 1 1 = sec ( x ) tan( x ) − sec 3 ( x ) tan( x ) − sec( x ) tan( x ) − ln sec( x ) + tan( x ) + C 6 24 16 16 Sección 2. Tabla 2. finalmente. Sustituyendo el resultado obtenemos.36 Encuentra el valor de la integral π ∫ sen(5 x ) cos(2 x )dx 0 . Los tres casos que nos interesan se muestran en la tabla 2.29 de la sección de integral por partes. La idea que seguiremos es utilizar identidades trigonométricas para producir funciones con el mismo argumento. En la figura 2.13: Gráfica de la curva f (x) = sen(5x)cos(2x) en el intervalo [0. evaluando.13 se muestra la gráfica de la función f (x) = sen(5x)cos(2x). cos( 3x − 2 x ) − cos( 3x + 2 x )] dx 2[ ∫ sen(3x )sen(2 x )dx = ∫ 1 =∫1 cos( x ) − cos(5 x )] dx 2[ = 1 sen(5 x ) sen( x ) − +C 2 5 .5 – 0. integrando. simplificando.5 0. 2∫ 0 1 (sen( 3x ) + sen( 7 x ))dx 2∫ 0 1 cos( 3x ) cos( 7 x ) − − 7 2 3 0 1 1 1 1 1 10 + + + = 2 3 7 3 7 21 π π π = = = simplificando. integrando.75 0. utilizando la identidad trigonométrica asociada correspondiente. tenemos π ∫ sen(5 x )cos(2 x )dx = 0 1 (sen(5 x − 2 x ) + sen(5 x + 2 x ))dx usando la identidad.25 – 0.37 Calcula la integral ∫ sen(3x )sen(2 x )dx solución Corresponde al caso II. Ejemplo 2. si usamos la identidad sen( A)sen( B) = 1 2 [ cos( A − B) − cos( A + B)]: por la identidad. Observa que la integral corresponde al caso I.75 –1 p 2 x p FIGURA 2.25 – 0.130 Unidad 2: Métodos de integración solución y 1 0. π]. al usar la identidad cos( A)cos( B) = tenemos: 2 [ cos( 3x − x ) + cos( 3x + x ) ] dx ∫ cos(3x )cos( x )dx = ∫ 1 =∫1 2 [ cos(2 x ) + cos( 4 x ) ] dx 1 2 [ cos( A − B) + cos( A + B)] por la identidad.4 Integrales de potencias de funciones hiperbólicas La integración de potencias funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las potencias de funciones trigonométricas.8: Integrales de funciones hiperbólicas. Integrales hiperbólicas ∫ cosh( x )dx = senh( x ) + C ∫ senh( x )dx = cosh( x ) + C ∫ tanh( x )dx = ln(cosh( x )) + C ∫ coth( x )dx = ln(senh( x )) + C x ∫ sech( x )dx = 2 arctan(e ) + C e x − 1 +C x dx csch( ) = ln ∫ e x + 1 Ejemplos Ejemplo 2. Tabla 2.38 Resuelve ∫ cos(3x ) cos( x )dx solución Esta integral corresponde al caso (III).3: Integrales de potencias trigonométricas 131 Ejemplo 2. simplificando.39 Calcula las integrales siguientes: a) ∫ sech( x )dx b) ∫ sech 3 ( x )dx .2. Identidades hiperbólicas 1 = cosh 2 ( x ) − senh 2 ( x ) cosh(2 x ) = cosh 2 ( x ) + senh 2 ( x ) senh(2 x ) = 2 senh( x )cosh( x ) 1 cosh 2 ( x ) = (cosh(2 x ) + 1) 2 1 2 senh ( x ) = (cosh(2 x ) − 1) 2 sech 2 ( x ) = 1 − tanh 2 ( x ) csch 2 ( x ) = coth 2 ( x ) − 1 Tabla 2.7. integrando. así como las integrales de la tabla 2.7: Identidades trigonométricas hiperbólicas. = 1 sen(2 x ) sen( 4 x ) +C + 2 4 2 Sección 2.8.3. debes recordar las identidades que se muestran en la tabla 2. En estos casos. ∫ sech ∫ sech De donde: 3 3 ( x )dx = tanh( x )sech( x ) + ∫ sech( x ) tanh 2 ( x )dx Al usar la identidad sech2(x) = 1 − tanh2(x). du = exdx obtenemos du 2 ∫ sech( x )dx = ⌠ ⌡u + 1 2 = 2 arctan(u ) + C sustituyendo. es: ∫ sech Ejemplo 2. escribimos sech(x) en términos de exponenciales: dx x ∫ sech( x )dx = ⌠ ⌡e + e − x 2 sustituyendo.40 Determina una expresión para 3 ( x )dx = 1 tanh( x )sech( x ) + arctan(e x ) + C 2 ∫ senh 3 (t ) cosh 4 (t )dt . b) Para determinar una expresión para la segunda integral utilizamos integral por partes. usando el del primer inciso.132 Unidad 2: Métodos de integración solución a) Para resolver la primera integral. ⌠ 2e = 2x dx ⌡e + 1 x Si usamos el cambio de variable u = ex. ( x )dx = tanh( x )sech( x ) + ∫ sech( x )(1 − sech 2 ( x ))dx = tanh( x )sech( x ) + ∫ sech( x )dx − ∫ sech 3 ( x )dx 2 ∫ sech 3 ( x )dx = tanh( x )sech( x ) + ∫ sech( x )dx El resultado. = 2 arctan( e x ) + C sustituyendo u. desarrollando. integrando. toma en cuenta que: u = sech( x ) du = − sech( x ) tanh( x )dx 2 dv = sech ( x )dx v = tanh( x ) Entonces. 2.3: Integrales de potencias trigonométricas 133 solución Procedemos como en el caso Ib de funciones circulares para potencias de seno y coseno. 1. si b) n es impar. ∫ sen m (u )cos n (u )du . Así: ∫ senh 3 (t )cosh 4 (t )dt = ∫ senh 2 (t )cosh 4 (t )senh(t )dt = ∫ (cosh 2 (t ) − 1)cosh 4 (t )senh(t )dt = ∫ (cosh 6 (t ) − cosh 4 (t ))senh(t )dt = 1 1 cosh 7 (t ) − cosh 5 (t ) + C 7 5 separando.3. desarrollando. 3. c) m y n son pares. b) n es impar. integrando. Calcula las siguientes integrales. Con tus propias palabras.2. Explica cómo integrar a) m es par. si d) m y n son impares. Observa que en el último paso utilizamos el cambio de variable u = cosh(t) y du = senh(t)dt. usando identidades. describe cómo integrar a) m es impar. ∫ sec m (u ) tan n (u )du . utilice los casos establecidos en la tabla 2. ∫ x sen2 ( x 2 )dx b) ∫ sen 4 ( x ) cos3 ( x )dx c) ∫ cos 4 ( x )dx d) ∫ cos6 (3 x )dx e) ∫ sen 2 ( x ) cos 4 ( x )dx f) ∫ sen 3 ( x ) cos 2 ( x )dx g) ∫ cos 2 (3 x ) sen 4 (3 x )dx a) h) 5 cos dx ∫ sen 3 2 2 π i) j) k) ∫ sen 0 4 3 (2 x )cos 4 (2 x ) dx ∫ sen5 ( x ) cos( x )dx ∫ sen5 ( x ) 3 cos( x ) dx ⌠ cos 5 ( x ) dx l) 3 ⌡ sen ( x ) m) n) o) ∫ cos 7 ( 4 x )dx ( 4 x )sen 2 ( 4 x )dx ( 4 x )sen 4 ( 4 x )dx x x ∫ cos ∫ cos 7 7 . después.5 kg se encuentra unido a un resorte y se mueve con la función de posición x(t) = 0. 4 o 5.134 Unidad 2: Métodos de integración 4. Apóyate en los casos enunciados en la tabla 2. donde x está dada en metros y t en segundos. Si una partícula tiene fun2 a ción de onda ψ ( x ) = 2 sen(nπ x ) . b] está dada por b P(a ≤ x ≤ b ) = ∫ ψ ( x ) dx . 3.6 para calcular las siguientes integrales: a) b) ∫ sen(3x ) cos(5x )dx ∫ sen(10 x ) sen(15x )dx e) f) g) h) ∫ cos(ax + b)cos(ax − b)dx ∫ sen(ax )sen(ax + b)dx ∫ cos( x )cos 2 ⌠ x x c) cos cos dx ⌡ 2 3 ⌠ x 2x d ) sen cos dx ⌡ 3 3 ( 3x )dx ∫ sen( x )sen(2 x )sen(3x )dx 6. π/2]. la probabilidad de encontrar una partícula en un intervalo [a. 0. En mecánica cuántica. 1] y.03 cos(8t) + 0.7 para encontrar una expresión para las siguientes integrales: a) b) c) d) e) ∫ senh3 ( x )dx ∫ cosh3 ( x )dx ∫ cosh4 ( x )dx ∫ senh3 ( x ) cosh( x )dx ∫ senh2 ( x ) cosh2 ( x )dx f) g) h) i) j) ∫ tanh3 ( x )dx ∫ coth4 ( x )dx ∫ sech(2 x )dx ∫ sech3 (5x + 3)dx ∫ sech2 (2 x ) tanh5 (2 x )dx 7. 2. Un cuerpo de masa m = 0.01 sen(8t). Usa los casos de la tabla 2. 8. Utiliza los casos de la tabla 2. Determina el valor promedio de su energía cinética en el intervalo de tiempo[0. cuando el número cuántico n toma los valores 1. donde ψ (x) es la función de onda de la partícula.65]. establece la probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo [0. Determina el área bajo la curva f(x) = 4 sech(x) en el intervalo [−1.5 para determinar las siguientes integrales: a) ∫ tan4 ( x )dx ∫ sec4 ( x ) tan2 ( x )dx ∫ sec3 ( x ) tan3 ( x )dx ⌠ x x b) tan 3 + tan 4 dx 3 3 ⌡ c) d) ⌠ cos 2 ( 4 x ) dx f) 3 ⌡ sen ( 4 x ) g) h) i) j) ∫ sec4 (e x ) tan7 (e x )e x dx ∫ 6 x tan9 ( x 2 + 1)dx ∫ sec5 ( x ) tan3 ( x )dx ∫ sec( x ) tan7 ( x )dx ⌠ cos 2 ( x ) dx e) 4 ⌡ sen ( x ) 5. . su valor promedio. 9. 3). n. 1. B(1. ∫z 0 1 4 (1 − z )4 dz (1 − z )9 dz ii. n. B(2. k ≥ 0 ( n + k + 1)! f ) Usa la expresión anterior para encontrar 1 i.2. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables: a) b) c) d) dy = cos 2 ( 2 x ) sech 2 ( y) dx dy = sen 3 ( x ) cosh 2 ( y) dx dy = 1 + sen( x ) + cosh( y) + sen( x )cosh( y) dx dy = 1 + 4 x + cos( y) + 4 x cos( y) con la condición inicial y(1) = 0 dx Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. 3). y que ha resultado muy útil para analizar diversos problemas de física y matemáticas. La función Beta. 2). b) Encuentra fórmulas para determinar B(1. e) Muestra que B( n + 1. 1). analiza y resuelve las siguientes situaciones. Señales de prueba. y ) = 2 ∫ sen 0 2 x −1 (θ )cos 2 y−1 (θ )dθ . x > 0. B(2. B(3/2.) 2. ∫z 0 8 . 3). 1). y ) = ∫ z x −1 (1 − z )y−1 dz. x > 0. Ésta es una de las muchas funciones que estudió Leonard Euler. 2) y B(3/2. Dicha función se define mediante la integral 1 B( x. n). B(2. 2). k ∈ Z. y > 0 d) Calcula B(1/2. k + 1) = n! k ! . B(1/2. y > 0 0 a) Calcula B(1. (Que se presentó al inicio de esta sección. c) Muestra que el cambio de variable z = sen2(θ) transforma la función beta en π /2 B( x. n).3: Integrales de potencias trigonométricas 135 10. h) Usa la expresión anterior para calcular 2 i. (2n − 1)!! es el producto de los impares.. sugerencia: haz el cambio u2 = 4z π i) Calcula ∫ cos 0 6 (θ )dθ j) Usa la función beta para deducir las fórmulas de Wallis. ∫ cos 0 2 n Autoevaluación 3 2 1. empezando en 1 y terminando en 2n − 1. ∫u 0 3 ( 4 − u 2 )3/2 du . Es decir.136 Unidad 2: Métodos de integración 1 1 (2 n − 1)!!(2 k − 1)!! .(3)(1). donde el símbolo doble g) Muestra que B(n + . k + ) = 2 2 2 n+k (n + k )! factorial se define como (2n − 1)!! = (2n − 1)(2n − 3). ∫ cos 0 π 2 n 2 4 6 xdx = 3 5 7 1 3 5 xdx = 2 4 6 n − 1 para n ≥ 3 impar n n − 1 π para n ≥ 2 par n 2 ii. Indica la opción que tiene el resultado de J = csc 4 cot dx ⌡ 2 2 a) J = x x 1 csc 5 cot 2 + C 2 2 10 x 1 x 1 x 1 c) J = cot 6 + cot 4 + cot 2 + C 2 2 2 2 2 6 x 1 d) J = csc 4 + C 2 2 x 1 b) J = − csc 4 + C 2 2 . Señala la opción que contenga el resultado de I = ∫ sen ( x ) cos ( x )dx a) I = b) I = cos3 ( x ) cos5 ( x ) − +C 3 5 1 12 4 6 1 c) I = 1 4 sen ( x ) − 6 sen ( x ) + c 5 3 1 d) I = 1 5 cos ( x ) − 3 cos ( x ) + C sen 4 ( x ) cos3 ( x ) + C ⌠ x x 2.. n. k ∈ . π i. Determina una expresión para la integral N = ∫ sec5 ( x ) tan 3 ( x )dx a) N = b) N = sec 7 ( x ) sec5 ( x ) − +C 7 5 sec6 ( x ) tan 4 ( x ) +C 24 c) N = d) N = sec 4 ( x ) tan( x ) +C 4 sec8 ( x ) sec6 ( x ) − +C 8 6 ⌠ x x 7. Indica la opción que representa el resultado de Q = ∫ sen( x ) −6 + sec ( x ) dx a) Q = −6cos(x) + tan(x) + C b) Q = 6cos(x) + sec(x) + C c) Q = 6csc(x) + tan(x) + C d) Q = −6csc(x) − sec(x) + C 2 9. Indica cuál inciso contiene el resultado de K = 1 a) K = sen( 2 x ) sen( 4 x ) + C 8 b) K = 1 1 sen( 2 x ) + sen(6 x ) + C 4 12 π 4 ∫ cos(2 x )cos(4 x ) dx 1 1 cos( 2 x ) + cos(6 x ) + C 4 12 1 c) K = sen(6 x ) + C 8 d) K = 4.3: Integrales de potencias trigonométricas 137 3. Calcula L = ∫ sen 2 (2 x )dx π 8 a) L = 4− 2 12 π 4 b) L = 4− 2 24 c) L = π −2 16 d) L = π +2 16 5. Resuelve M = ∫ tan 3 ( x )dx 0 a) M = − 1 2 b) M = 1 2 c) M = 1 − ln 2 ( 2) d) M = 1 + ln 2 ( 2) 6. Encuentra una primitiva de P = csc 4 cot dx ⌡ 2 2 a) P = x x 1 csc 5 cot 2 + C 2 2 10 x 1 x 1 x 1 c) P = cot 6 + cot 4 + cot 2 + C 2 2 2 2 2 6 x 1 d ) P = csc 4 + C 2 2 x 1 b) P = − csc 4 + C 2 2 2 8.2. Señala la opción que contenga el resultado de R = ∫ cosh( x ) 6 + csch ( x ) dx a) R = 6senh(x) − csch(x) + C b) R = −6csch(x) + tanh(x) + C c) R = senh(x)[6x − coth(x)] + C d) R = 6cosh(x) + tanh(x) + C . 3. Se debe revisar la primera parte de la sección. 2. a) b) c) d) e) f) ∫ x sen 2 ( x 2 )dx = x 2 sen( 2 x 2 ) − +C 2 8 sen 5 ( x ) sen 7 ( x ) − +C 5 7 ∫ sen4 ( x ) cos3 ( x )dx = ∫ cos4 ( x )dx = 3 x sen( 2 x ) sen( 4 x ) + + +C 8 4 32 5x sen(6 x ) sen(12 x ) sen 3 (6 x ) + − +C 12 64 144 x sen( 4 x ) sen 3 ( 2 x ) + +C 64 48 ∫ cos6 (3x )dx = 16 + ∫ sen2 ( x ) cos4 ( x )dx = 16 − ∫ sen3 ( x ) cos2 ( x )dx = − cos3 ( x ) cos5 ( x ) + +C 3 5 1x sen(12 x ) sen 3 (6 x ) − + C 18 24 x g) ∫ cos2 (3x )sen 4 (3x )dx = 8 2 − x x 1 h) π 5 8 6 cos dx = cos − cos + C ∫ sen 3 2 2 2 3 2 4 x 1 i) ∫ sen 0 4 3 (2 x )cos 4 (2 x ) dx = cos( x )dx = − 1 35 3 7 11 j) ∫ sen5 ( x ) 2 cos 2 ( x ) 4 cos 2 ( x ) 2 cos 2 ( x ) + − +C 3 7 11 . Indica la opción que tiene el resultado de hacer la integral S = ∫ 30 tanh ( x ) dx a) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30sech(x) + C b) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30tanh(x) + C c) S = −6tanh5(x) − 10tanh3(x) − 30tanh(x) + 30x + C d) S = 6tanh5(x) − 10tanh3(x) + 30tanh(x) − 30x + C Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Debe verse la segunda parte de la sección.138 Unidad 2: Métodos de integración 6 10. 2. a) b) ∫ sec4 (e x ) tan7 (e x )e x dx = 8 tan8 (e x ) + 10 tan10 (e x ) + C ∫ 6 x tan 9 1 1 ( x 2 + 1)dx = 3 3 8 2 1 3 tan ( x + 1) − tan 6 ( x 2 + 1) + tan 4 ( x 2 + 1) − tan 2 ( x 2 + 1) − 3 log cos( x ) + C 4 2 8 2 1 1 ∫ sec5 ( x ) tan3 ( x )dx = 7 sec7 ( x ) − 5 sec5 ( x ) + C ∫ sec( x ) tan7 ( x )dx = 7 sec7 ( x ) − 5 sec5 ( x ) + sec3 ( x ) − sec( x ) + C ∫ sen(3x ) cos(5x )dx = − cos(8 x ) cos( 2 x ) + +C 16 4 sen( 25 x ) sen(5 x ) + +C 50 10 1 3 ∫ sen(10 x ) sen(15x )dx = − . a) b) ∫ sen5 ( x ) 3 cos( x )dx = − 4 3 cos4 ( x ) + 5 3 cos10 ( x ) − 16 3 cos16 ( x ) + C ∫ sen 3 ( x ) dx = ∫ cos ∫ cos ∫ cos 7 3 3 3 cos 5 ( x ) sen 2 ( x ) 1 − − 2 ln sen( x ) + C 2 2 sen 2 ( x ) 1 3 1 1 sen( 4 x ) − sen 3 ( 4 x ) + sen 5 ( 4 x ) − sen 7 ( 4 x ) + C 4 4 20 28 3 1 1 3 sen 3 ( 4 x ) − sen 5 ( 4 x ) + sen 7 ( 4 x ) − sen 9 ( 4 x ) + C 12 20 28 36 3 1 1 1 sen 5 ( 4 x ) − sen 7 ( 4 x ) + sen 9 ( 4 x ) − sen11 ( 4 x ) + C 20 28 12 44 ( 4 x )dx = 7 ( 4 x )sen 2 ( 4 x )dx = ( 4 x )sen 4 ( 4 x )dx = 7 ∫ tan4 ( x )dx = tan ∫ 3 tan 3 ( x ) − tan( x ) + x + C 3 3 x x x x x x + tan 4 dx = tan 2 + tan 3 − 3 tan + 3 ln cos + x + C 3 3 3 3 3 3 2 tan 3 ( x ) tan 5 ( x ) + +C 3 5 sec5 ( x ) sec3 ( x ) − +C 5 3 c) d) e) ∫ sec4 ( x ) tan2 ( x )dx = ∫ sec3 ( x ) tan3 ( x )dx = cos 2 ( x ) cot 3 ( x ) dx = − +C ∫ sen 4 ( x ) 3 1 1 ⌠ cos 2 ( 4 x ) dx = − csc( 4 x ) cot( 4 x ) + ln(csc( 4 x ) + cot( 4 x )) + C f) 3 8 8 sen ( 4 x ) ⌡ g) h) i) j) 5.3: Integrales de potencias trigonométricas 139 k) l) m) n) o) 4. Piskunov. Granada. 7. Cálculo diferencial e integral.5743. Pérez.46308. 1978. ∫ sech 10 5 9. área = 6. P1 = 0.. b) +C g) ∫ coth 4 ( x )dx = x − coth( x ) − 4. 0. 2006.6664. c) 1 5 (sección 2 x )dx =2. ∫ tanh d) ( x )dx = ln cosh( x ) − 2 2. Barcelona. México. Thomas.6182 . d) 3 5.6734. Universidad de Granada. J. promedio = 3. Pearson Educación.008 joules.140 Unidad 2: Métodos de integración c) cos dx = sen + 3 sen + C ∫ cos 2 3 6 6 5 cos ∫ sen 3 x 3 x 1 2x dx = cos − cos( x ) + C 3 2 3 2 1 1 x x 3 5x x d) e) f) g) h) 6. 8.3<T4> tanh ( x) 3 +C f ) 1. G. P4 = 0. c) 2x h) 6. N. b) coth 3 ( x ) 3. 9. 2. 2005.3<T4> tanh 6 ( 2 x ) + C j) Referencias de la ∫ sech2 (2 x ) tanh 12 1. P2 = 0. a) b) c) d) e) ∫ cos(ax + b) cos(ax − b)dx = 2 x cos(2b) + 4 a sen(2ax ) + C ∫ sen(ax )sen(ax + b)dx = 2 x cos(b) − 4 a sen(2ax + b) + C ∫ cos( x ) cos 2 1 1 ( 3x )dx = sen( x ) sen(5 x ) sen( 7 x ) +C + + 2 20 18 cos(6 x ) cos( 4 x ) cos(2 x ) +C − − 8 24 16 ∫ sen( x )sen(2 x )sen(3x )dx = ∫ senh3 ( x )dx = ∫ cosh3 ( x )dx = ∫ cosh4 ( x )dx = cosh 3 ( x ) − cosh( x ) + C 3 senh 3 ( x ) + senh( x ) + C 3 3 x senh( 2 x ) senh( 4 x ) + + +C 8 4 32 senh 4 ( x ) +C 4 x senh( 4 x ) +C 32 ∫ senh3 ( x ) cosh( x )dx = ∫ senh2 ( x ) cosh2 ( x )dx = − 8 + 2 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación de la sección 2.. P5 = 0.7788. Montaner y Simón. Cálculo (una variable)..92616. a) 10.. b) b) 3 (5 x + 3)dx = 1 tanh(5 x + 3)sech(5 x + 3) + 1 arctan(e5 x + 3 ) + C i) 8. a) 2 x )dx = arctan(e ) + C ∫ sech( 7. P3 = 0. Cálculo diferencial e integral. ed. 11a. 3. J. Thomas. México. a) 2. 2005. 1978. b) 7. 2.. Universidad de Granada. 1 y x 1 senh( 2 y ) + = + sen( 4 x ) + C 4 2 2 8 1 b) tanh( y) = − cos( x ) + cos3 ( x ) + C 3 c) 2arctan(ey/2) = x − cos(x) + C a) y 2 d) tan = x + 2 x − 3 2 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. c) 10. a) 5.. Cálculo (una variable). 2006..2.. Pérez. Montaner y Simón. Cálculo diferencial e integral. b) 8. Cálculo diferencial e integral. Piskunov. 11a. c) Referencias 1. d) 6. d) 9. 3. ed. N. G. Granada. Barcelona. Pearson Educación. . b) 4.3: Integrales de potencias trigonométricas 141 10. b) 3. Los diferentes artificios mediante los cuales se lleva a cabo la integración son cambios: no de lo conocido a lo desconocido. b) tiene dos semiesferas en los extremos. Repite el procedimiento anterior para el caso del tanque de la figura 2. conociendo el nivel o altura que alcanza la gasolina. como el que se muestra en la figura 2.14b.451m. suponga que el radio de la base del tanque es R = 0. Una posible solución a este problema sería incorporar en los automóviles un sistema que permita medir fácilmente la cantidad de gasolina que contiene su tanque. Encuentra una expresión para el volumen de gasolina que contiene el tanque. en términos de la altura h.4.188m y la longitud es L = 0. Imagina que tienes un tanque cilíndrico horizontal. 1. R h L a) L b) R FIGURA 2. Se sugiere uno con marcas en los tanques tales que.14: Tanques de gasolina. al que se le agregaron semiesferas de radio R en los extremos.14a. Método de sustitución trigonométrica La integración ordinaria es solamente la memoria de la diferenciación. 2.142 Unidad 2: Métodos de integración 2. . la procuraduría del consumidor alerta sobre el robo cotidiano que sufrimos los automovilistas cuando cargamos gasolina. se determine su volumen. Augustus de Morgan Tanques de gasolina De manera constante. En a) se muestra uno cilíndrico. sino de formas en que la memoria no será de utilidad a aquéllas en que sí lo serán. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. donde también resumimos las sustituciones trigonométricas aplicables a otras expresiones. En cada caso. Por ejemplo. más aún. En esta sección estudiaremos sus diferentes variantes. como la situación anterior.2. De esta manera es posible eliminar el radical utilizando identidades trigonométricas. con la finalidad de asegurar que la función que define la sustitución sea biunívoca. Sección 2. u 2 − a2 o a 2 + u 2 .9.4. como se observa en la tabla 2. en problemas geométricos. se basa en reemplazar la variable de integración por una función trigonométrica. por ejemplo. el cambio u = a sen(θ) transforma el término a 2 − u 2 en a 2 − u 2 = a 2 − a 2 sen 2 (θ ) = a 2 1 − sen 2 (θ ) = a cos(θ ) con a > 0 y 0 ≤ θ ≤ ( ) π 2 Por otra parte. en el cálculo de campos eléctricos o magnéticos producidos por líneas de carga o corriente. deberás ser capaz de describir y aplicar el método de sustitución trigonométrica para resolver las integrales que lo requieran.1 Sustitución trigonométrica El método de sustitución trigonométrica. No resulta difícil comprobar que la hipotenusa de este triángulo es a y que sus catetos son u y a 2 − u 2 . se restringe θ. podemos establecer el cambio de variable apoyándonos en un triángulo rectángulo adecuado.4: Método de sustitución trigonométrica 143 Introducción El método de sustitución trigonométrica aparece en diversas situaciones. . es de gran utilidad. estas restricciones son las mismas que se requieren para definir las funciones trigonométricas inversas. En física. De hecho. como su nombre lo indica. Suele ser útil si el integrando contiene cualquiera de los términos a 2 − u 2 . 9: Sustituciones recomendadas de acuerdo con la expresión que aparezca en la integral.144 Unidad 2: Métodos de integración Tabla 2.15. Para ello. tome en .41 Calcula la integral ⌠ 25 − x 2 I= dx 2 ⌡ x solución Mediante la sustitución adecuada. 0 ≤θ < π 2 si u ≥ 0 si u < 0 π − <θ < 0 2 1 + tan2(θ) = sec2(θ) u a a2 + u 2 u u −a 2 2 π 2 u = a sec(θ ). deseamos que desaparezca el radical cuenta el triángulo rectángulo de la figura 2. 3π π ≤θ < 2 0 ≤θ < si u ≥ a si u ≤ −a sec2(θ) − 1 = tan2(θ) u u a u 2 − a2 Ejemplos Ejemplo 2. Expresión (a > 0) Sustitución Identidad Triángulo a +u 2 2 u = a sen(θ ). 25 − x 2 . 0 ≤θ ≤ π 2 si u ≥ 0 π − ≤ θ < 0 si u < 0 2 1 − sen2(θ) = cos2(θ) a u a2 + u 2 u u 2 − a2 u = a tan(θ ). 11) se obtiene el resultado final: ⌠ 25 − x 2 x 25 − x 2 dx = − − arcsen + C 2 5 x x ⌡ . del mismo triángulo de la figura (2. cos(θ ) . con las ecuaciones (2.41. al despejar x y al diferenciar y des5 pejar θ se tiene x = 5sen(θ ) . Si nos apoyamos ahora en la identidad cot2(θ) = csc2(θ) − 1.4: Método de sustitución trigonométrica 145 5 x q 25 − x 2 FIGURA 2. sin importar cuál relacionemos con x. Del triángulo obtenemos el cambio de variable buscando la relación trigonométrica x más sencilla que implica a θ y a x. por comodidad) 5 y x a las longitudes de la hipotenusa y de un cateto del triángulo. y ésta es sen(θ ) = . Nota que en el radical los signos positivo y negativo están asociados a 25 y a x2. dx = 5 cos(θ ) .15: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. x θ = arcsen . 5 (2. Entonces. de forma que asociamos sus raíces (positivas. sen(θ ) obtenemos ⌠ 25 − x 2 dx = x2 ⌡ ∫ (csc2 (θ ) − 1) dθ = − cot(θ ) − θ + C Para reescribir el resultado en términos de la variable x necesitamos observar nuevamente el triángulo de la figura 2. pues el resultado final será el mismo.2.11) Además.15: cot(θ ) = 25 − x 2 x Finalmente. La selección que hicimos es la usual.15) obtenemos 25 − x 2 = 5 cos(θ ) Sustituimos en la integral y resulta ⌠ 25 − x 2 ⌠ 5 cos(θ ) dx = (5 cos(θ )) dθ = 2 ⌡ 25 sen 2 (θ ) x ⌡ donde utilizamos la identidad cot(θ ) = ∫ cot 2 (θ )dθ . Entonces.46 de la sección dedicada a la integración por partes. En la figura 2. 2x q FIGURA 2.13) ∫ 7 + 4 x 2 dx = ∫ 7 sec(θ ) 7 7 sec 2 (θ )dθ = 2 2 ∫ sec 3 (θ ) dθ Esta integral se resolvió en el ejemplo 2.12) Además.16 se muestra el triángulo asociado a este caso.42 Encuentra una expresión para la integral ∫ 7 + 4 x 2 dx solución Observamos la tabla (2.146 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. 2 dx = 7 sec 2 (θ )dθ . del triángulo obtenemos 7 + 4 x 2 = 7 sec(θ ) Y.42. Con el resultado que ahí obtuvimos llegamos a ∫ 7 + 4 x 2 dx = 7 (sec(θ ) tan(θ ) + ln sec(θ ) + tan(θ ) ) + C1 4 . 2 2x θ = arctan 7 (2.9) y vemos que el cambio adecuado es u = a tan(θ) con a = 7 y u = 2x. 2 x = 7 tan(θ ) Despejando x. diferenciando y despejando θ se tiene x= 7 tan(θ ) . al sustituir en la integral. resulta (2.16: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. De acuerdo con la tabla (2.9).2. así que completamos el trinomio cuadrado en el radicando.17: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2.13): ∫ 7 7 + 4 x2 2x 7 + 4 x 2 dx = + ln 4 7 7 7 2x 7 + 4 x2 = + ln 4 7 7 + 4 x2 2x + + C1 7 7 7 + 4 x2 + 2x 7 + C1 7 el cual podemos simplificar todavía más si usamos − ln 4 ( 7) + C 1 = C .17. de donde obtenemos x2 + 8x + 7 = (x2 + 8x + 16) − 16 + 7 = (x + 4)2 − 9 x+4 q 3 FIGURA 2. Esto nos lleva a la sustitución sec(θ ) = x+4 3 . Finalmente.43 Calcula la integral 7 + 4 x 2 dx = x 7 7 + 4 x 2 + ln 7 + 4 x 2 + 2 x + C 2 4 ⌠ dx 2 ⌡ x + 8x + 7 ( ) 3 2 solución El radical no se encuentra en ninguna de las formas mostradas en la tabla (2.12) y (2.43.9) el triángulo adecuado es el que se muestra en la figura 2. ∫ Ejemplo 2.4: Método de sustitución trigonométrica 147 Para escribir el resultado en términos de la variable x utilizamos las relaciones (2. 15) ⌠ ⌡ ⌠ 3 sec(θ ) tan(θ )dθ 1 ⌠ sec(θ )dθ = = 9 ⌡ tan 2 (θ ) 27 tan 3 (θ ) ⌡ 2 (x + 4) − 9 dx 3 Nos apoyamos en la reducción 1 sec(θ ) cos(θ ) cos(θ ) = = . sen(θ ) = Finalmente.17. tenemos ⌠ dx 2 ⌡ (x + 4) − 9 ( ) 3/2 = 1 ⌠ cos(θ ) 1 +C dθ = − 2 9 sen(θ ) 9 ⌡ sen (θ ) Considerando la figura 2. Además. el resultado es ( x + 4 )2 − 9 x+4 x+4 ⌠ ⌡ De forma equivalente: ( (x + 4) − 9 ) 2 dx 3 =− 9 ( ( x + 4 )2 − 9 x+4 2 ) +C ⌠ dx 2 ⌡ x + 8x + 7 ( ) 3 2 =− 9 x + 8x + 7 ( ) 3 2 +C Ejemplo 2. del triángulo: tan(θ ) = Si sustituimos en la integral: x+4 dx = 3 sec(θ) tan(θ).14) ( x + 4 )2 − 9 3 (2. tan 2 (θ ) sen 2 (θ ) sen 2 (θ ) cos2 (θ ) y con la sustitución adicional u = sen(θ).44 Calcula la integral ⌠ ln 3 (t ) dt 2 ⌡ t ln (t ) − 4 . θ = arctan 3 (2.148 Unidad 2: Métodos de integración Al despejar x y diferenciar θ se tiene x = 3 sec(θ) −4. Finalmente.4: Método de sustitución trigonométrica 149 solución Primero hacemos el cambio de variable: z = ln(t ).44.16) z q 2 FIGURA 2.2. lo cual nos lleva a: ⌠ z3 dz = 8 ∫ sec 2 (θ )sec 2 (θ )dθ 2 ⌡ z −4 = 8 ∫ 1 + tan 2 (θ ) sec 2 (θ )dθ 2 2 2 = 8 ∫ sec (θ )dθ + ∫ tan (θ )sec (θ )dθ tan 3 (θ ) = 8 tan(θ ) + + C 3 ( ) . ⌠ z3 ⌠ 8 sec 3 (θ ) dz = (2 )sec(θ ) tan(θ )dθ = 8 ∫ sec 4 (θ )dθ 2 ⌡ 2 tan(θ ) ⌡ z −4 Ahora usamos la identidad sec2(θ) = 1 + tan2(θ).18 se tiene que z = 2 sec(θ). sustituyendo en la integral: z θ = arcsec 2 z 2 − 4 = 2 tan(θ ) (2. Al diferenciar y despejar θ.18: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. dz = 2 sec(θ) tan(θ)dθ . dz = Con lo que dt t ⌠ ⌠ z3 ln 3 (t ) dt = dz 2 ⌡ z2 − 4 ⌡ t ln (t ) − 4 Del triángulo de la figura 2. 45. z usamos la ecuación (2. dz = 5 sec2 θdθ .16). primero es conveniente hacer el cambio de variable z = et. de donde 3/2 ⌠ z3 1 +C dz = 4 z 2 − 4 + z 2 − 4 2 3 ⌡ z −4 z2 − 4 = 12 + z 2 − 4 + C 3 (z 2 + 8) 2 = z −4 +C 3 ( ) ( ) Finalmente. dz = etdt Con lo cual obtenemos. al usar z = ln(t) obtenemos el resultado de la integral pedida: ⌠ ln 3 (t ) ln 2 (t ) + 8 2 dt = ln (t ) − 4 + C 2 3 ⌡ t ln (t ) − 4 Ejemplo 2.19 para establecer el cambio z + 3 = 5 tan θ . . ( z + 3)2 + 25 = 5 sec(θ ) z+3 q 5 FIGURA 2.45 Determina una expresión para ⌠ et 2t ⌡ e + 6 et + 34 ( ) 3 dt 2 solución De forma similar al ejercicio anterior.150 Unidad 2: Métodos de integración Para escribir nuestro resultado con la variable. después de completar el trinomio cuadrado del término que aparece en el radicando: ⌠ et 2t ⌡ e + 6 et + 34 ( ) ⌠ dz dt = 3 2 2 ⌡ z + 6 z + 34 ( ) 3 2 ⌠ = ⌡ dz ( z + 3) 2 + 25 3 Utilizamos ahora el triángulo de la figura 2.19: Triángulo asociado a la sustitución del ejemplo 2. Calcula las siguientes integrales: a) x 2 + 9 dx ⌠ dx b) ⌡ x2 − 1 c) ⌠ 49 − x 2 dx d) x ⌡ e) f) ∫ x 2 − 4 dx ∫ ∫ 4 + 25 x 2 dx x − x 2 dx . z+3 = z+3 z + 6 z + 34 2 ( z + 3) + 25 2 ⌠ ⌡ ( ( z + 3) + 25 ) 2 dz 3 = z+3 25 z + 6 z + 34 2 +C El resultado de la integral pedida es. ⌠ et 2t ⌡ e + 6 et + 34 ( ) 3 2 dt = et + 3 25 e2 t + 6 et + 34 +C 1. indica la sustitución adecuada para calcular las siguientes integrales a) ∫ ∫ a 2 − u 2 du b) ∫ a 2 + u 2 du c) ∫ u 2 − a 2 du 2.2.19: sen(θ ) = Finalmente. Con tus propias palabras. entonces.4: Método de sustitución trigonométrica 151 Sustituimos en la integral: ⌠ ⌡ ⌠ 5 sec 2 (θ )dθ ⌠ dθ = = 3 3 ⌡ 25 sec(θ ) ⌡ ( 5 sec(θ )) 2 3 + 25 z + ( ) 1 1 = ∫ cos(θ )dθ = 25 sen(θ ) + C 25 dz Del triángulo de la figura 2. b] se calcula mediante la integral ∫ f (t )dt .152 Unidad 2: Métodos de integración g) ∫ 2 − x − x 2 dx x +1 ⌠ dx h) 2 ⌡ x + 6x + 5 x ⌠ dx i) ⌡ 4 + 4 x − x2 dx ⌠ j) 2 ⌡ x − 6x ⌠ dx n) 2 x ⌡ e −1 dx ⌠ o) 2 x ⌡ e + ex + 1 ⌠ sen( x ) dx p) 2 ⌡ cos ( x ) + 4 cos( x ) + 1 ⌠ ln( x ) dx q) ⌡ x 1 − 4 ln( x ) − ln 2 ( x ) r) ⌠ 2x − 8 dx k) ⌡ 1 − x − x2 x ⌠ dx l) 2 ⌡ 5x − 2x + 1 dx ⌠ m) 2 x ⌡ e + ex 3. a2 b2 4. a > 0 x 2 y2 + = 1. determina su posición como función del tiempo. Establece la probabia lidad de que una variable aleatoria tome valores en el intervalo (−1. dx Sugerencia: Despeja la velocidad en la ecuación de la energía y usa v = y después separa las variadt bles de la ecuación diferencial obtenida.20. De acuerdo con la ley de conservación de la energía. donde f (t) es la función de densidad de probabilidad. Encuentra el área de la región que está dentro del círculo de radio r = 4 centrado en el origen y arriba de la recta y = h con 0 < h < 4. Observa la figura 2. x su posición 2 y v su velocidad. . donde E es la energía total de la partícula. si la función de densidad de probabilidad está dada por 3 f (t ) = 5/ 2 con −∞ < t < ∞ 4 1 + t2 ( ) 5.1). La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores en el intervalo [a. una partícula de masa m con energía potencial V(x) 1 2 se mueve según la ecuación E = mv + V ( x ) . Si una partícula con masa m = 4 kg parte al tiempo t = 0 seg de la posición x = 0 m con velocidad v = 1 m/s y se mueve con energía potencial V(x) = 2x2. 6. Determina el área encerrada por la elipse b ∫ x3 a 2 − x 2 dx . 2.4: Método de sustitución trigonométrica 153 y 4 2 x –4 –2 –2 2 4 –4 FIGURA 2. De acuerdo con la Ley de Biot y Savart. ⌠ µ0 Ia B= 2 ⌡ 4π a 2 + ( b − y ) 0 L ( ) 3/2 dy donde µ0 = 4π × 10 −7 Nw / Amp 2 es la permeabilidad magnética del vacío. que se encuentra sobre el eje y. en un punto P(a. Determina una función que tenga curvatura constante igual a k = 1/4. . El campo produce una corriente I circulante sobre un alambre de longitud L. analiza y resuelve las siguientes situaciones.21. después necesitarás integrar dos veces. b). Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. Tanques de gasolina. donde y' y y'' son la primera y segunda derivadas de la función. Observación: Primero supón que z = y'. 7. Observa la figura 2.20: Área de círculo.2. la magnitud del campo magnético B está dada por la siguiente integral. Ley de Biot y Savart. La curvatura de una función se calcula de acuerdo con la fórmula k = (1 + ( y ') ) y '' 2 3/ 2 . 1. b) Determina una expresión general para el campo magnético en un punto cualquiera (a.01) sobre la línea recta que une ambos puntos.1. 0. La varilla de la figura 2. b).1. Las componentes del campo eléctrico que produce en el punto P(a. Asimismo. y L P(a. y P(a. 01). b) 0 L x FIGURA 2. donde K = 9 × 10 9 Nw m 2 / C 2 es la constante eléctrica. c) Calcula una expresión para el campo promedio que siente una partícula que se mueve de P(0. b) están dadas por ⌠ λ K (a − x ) Ex = ⌡ ( a − x )2 + b 2 0 L ( ) 3 2 dx y ⌠ λ Kb Ey = ⌡ ( a − x )2 + b 2 0 L ( ) 3 2 dx .154 Unidad 2: Métodos de integración a) Usa esta fórmula para determinar el campo magnético producido por una corriente de I = 10 amperes que circula por un alambre de longitud L = 0.40 metros en los puntos P(0. 0. el potencial eléctrico en el mismo punto P(a. 0.1) al punto P(0.1.01) y P(0. b) I 0 x FIGURA 2. b) está dado por ⌠ λK V = ⌡ ( a − x )2 + b 2 0 L ( ) 1 2 dx .21: Ley de Biot y Savart.1. 3.22 tiene longitud L y densidad de carga uniforme λ. Campo y potencial eléctrico.22: Campo y potencial eléctrico. Señala la opción que contiene el resultado de J = ⌡ 16 − x 2 ( ) 3 a) J = x 16 16 − x −1 2 16 − x 2 2 +C c) J = −3 2 16 − x 2 ( ) 5 2 +C b) J = +C x 3 d) J = arcsen 4 + C ⌠ x3 dx 3. L) y (L. L). Indica la opción que contiene el resultado de I = ⌡ 3 + 2x − x2 a) I = arcsen (x − 1) + C b) I = 4 3 + 2 x − x 2 + C x − 1 c) I = 2 arcsen + C 2 d ) I = ln ( 3 + 2x − x2 + C dx 2 ) ⌠ 1 2. L). (L/2. b) Calcula el potencial en los puntos (0. Autoevaluación 2 ⌠ dx 1. Explica cuál es la opción que contiene el resultado de L = ⌡ 36 − x 2 ( ) 3 dx 2 a) L = − b) L = 2 36 − x x 36 − x 2 2 +C c) L = d) L = 2 6 36 − x 2 x +C +C +C 36 36 − x 2 . L). (L/2. L). c) ¿Cómo se relaciona el campo eléctrico con el potencial? Explica.4: Método de sustitución trigonométrica 155 a) Determina las componentes del campo en los puntos (0. L) y (L.2. Indica la opción que contiene el resultado de K = ⌡ x2 − 1 tan 3 ( x ) a) K = tan( x ) + +C 3 b) K = x5 +C 5 c) K = x d) K = 2 (x −1 + 2 −1 3 ) 3 2 C cos4 ( x ) +C 4 ⌠ 1 4. Señala la opción que contiene el resultado de M = dx x ⌡ a) M = ln 1 − 1 − 4 x 2 + 1 − 4 x 2 + C b) M = ln 1 − 1 − 4x2 + 1 − 4x2 + C 2x c) M = ln 1 − 1 − 4 x 2 + ln 2 x + 1 − 4 x 2 + C d) M = ln 1 − 1 − 4 x 2 + ln x + 1 − 4 x 2 + C Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Se debe revisar la teoría de esta sección.156 Unidad 2: Métodos de integración ⌠ 1 − 4 x2 5. 2. a) b) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x 2 + 9 dx = dx x −1 2 x 2 9 x + 9 + ln 2 2 x2 + 9 + x + C = ln x + x 2 − 1 + C 1 x x 2 − 4 − 2 ln x + x 2 − 4 + C 2 c) x 2 − 4 dx = d) 49 − x 2 dx = 49 − x 2 + 7 ln x − 7 ln 7 + 49 − x 2 + C x 4 + 25 x 2 dx = 2 2 5 x 49 − x + ln 5 x + 4 + 25 x 2 5 4 e) +C f) x − x 2 dx = 2x − 1 1 x − x 2 + arcsen ( 2 x − 1) + C 4 8 2 x + 1 2x +1 9 2 − x − x 2 + arcsen + C 3 4 8 g) 2 − x − x 2 dx = x +1 x + 6x + 5 2 h) dx = x 2 + 6 x + 5 − 2 ln x + 3 + x 2 + 6 x + 5 + C i) x−2 dx = − 4 + 4 x − x 2 + 2 arcsen + C 2 2 4 + 4x − x x 2 . x = sen(t) 16 − h 2 2 6. A = πab 4. (x − C1)2 + (y − C2)2 = 16 . área = 16 arcsen − h 16 − h 4 7.4: Método de sustitución trigonométrica 157 j) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx x − 6x 2 = ln x − 3 + x 2 − 6 x + C k) 2 x + 1 dx = −2 1 − x − x 2 − 9 arcsen +C 5 1− x − x 2 2x − 8 l) x 5x − 2 x + 1 2 dx = 1 1 5x − 1 ln 5x 2 − 2 x + 1 − + 5x 2 − 2 x + 1 + C 5 5 5 5 +C m) dx e2 x + e x dx e 2x = −2 1 + e x ex n) −1 dx = arcsec e x + C ( ) o) e 2x + e +1 x = x − ln 2 + e x + 2 e 2 x + e x + 1 + C p) sen( x ) cos ( x ) + 4 cos( x ) + 1 2 dx = ln 2 + cos( x ) + cos 2 ( x ) + 4 cos( x ) + 1 + C q) ∫x ∫ x3 2 + ln( x ) dx = − 1 − 4 ln( x ) − ln 2 ( x ) − 2 arcsen +C 5 1 − 4 ln( x ) − ln ( x ) ln( x ) 2 r) a 2 − x 2 dx = − 1 2 a − x2 15 ( ) (2a 3/ 2 2 + 3x 2 + C ) 3. P = 0.883883 5.2. d) 5. 11a. Universidad de Granada... J.158 Unidad 2: Métodos de integración Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. Pearson Educación. ed. Pérez. Montaner y Simón. Thomas.. G.. 3. Cálculo diferencial e integral. c) 4. Piskunov. 2006. Grananda. 2005. Cálculo (una variable). México. a) 3. Barcelona. b) Referencias 1. 2. . N. c) 2. Cálculo diferencial e integral. 1978. En el primero se supone que los recursos son ilimitados.000.000? e) En general.5 Integración por fracciones parciales La matemática es la herramienta especialmente adecuada para tratar con conceptos abstractos de cualquier naturaleza y su poder en este campo es ilimitado.A. . La experiencia demuestra que si la velocidad de crecimiento de la población es baja —cuando se debe primordialmente a la falta de apareamientos—. Dirac El efecto Allee El crecimiento de una población que se reproduce sexualmente se puede modelar a través del modelo de Malthus o de la ecuación logística. k = 18. a = 800. quizá esté en riesgo de desaparecer. construye una gráfica de la población considerando los casos P0 < a. b) Resuelve la ecuación diferencial. suponiendo primero que P0 = 780 y después que P0 = 820. a < P0 < r.M. c) Analiza el caso de una población con r = 0. sin embargo. y 0 < a < r. P0 > r.2. A este fenómeno se le conoce como efecto Allee y se modela con base en la ecuación diferencial dP P = kP ( P − a ) 1 − dt r donde k es un factor de crecimiento. no se considera la posibilidad de que la población desaparezca debido a que se encuentre debajo de la población umbral necesaria para su subsistencia. P. mientras que en el segundo se realiza un ajuste considerando que la población tiene un límite. Interpreta las gráficas obtenidas. r indica la capacidad máxima de la población. e indica en qué r región la razón de cambio de la población es positiva y en cuál negativa.02.5: Integración por fracciones parciales 159 2. suponiendo que en el tiempo t = 0 la población es P0.000 habitantes o si fueran 16. ¿Qué ocurre si P0 = 800? d) Con los datos del inciso anterior. por debajo del cual la velocidad de crecimiento es negativa. ¿qué ocurre si la población inicial es de 20. En ambos. Las tres constantes son positivas: a) Estudia gráficamente la función H ( P ) = kP ( P − a ) 1 − P . a es un umbral. • Aplicar el método de Heaviside para calcular los coeficientes de los términos lineales de una fracción parcial. el inverso: dada una fracción final ¿de qué fracciones parciales proviene? Para contestar. el campo de las ecuaciones diferenciales es fuente de situaciones donde nuestro método de integración encuentra sus mejores aplicaciones. De nuevo. se basa en el teorema fundamental del álgebra que indica que cualquier polinomio se puede factorizar en productos de factores lineales y factores cuadráticos irreducibles. donde se necesita simplificar a formas más compactas expresiones como 4 7 5 9 3 5 .160 Unidad 2: Métodos de integración Introducción El método de fracciones parciales se utiliza primordialmente para encontrar expresiones de integrales de funciones racionales.5. + 2 − + 2 x − 2 x + 4 x − 1 ( x − 1) x x +1 El proceso que nos interesa ahora es. • Aplicar el método de Hermite para integrar funciones racionales. nos ayuda a determinar la integral más fácilmente. . precisamente.1 El método de fracciones parciales En álgebra es común encontrar ejercicios o problemas. En esta sección también discutiremos dos métodos complementarios: de Heaviside y de Hermite. • Modelar situaciones de crecimiento de población de tipo logístico. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. Esto nos permite proponer una forma diferente de escribir la función racional. Como veremos. El problema con que se inicia esta sección es un claro ejemplo de ello. observemos los pasos seguidos en la simplificación de las fracciones anteriores: 4 7 4( x + 4 ) + 7( x − 2 ) 11x + 2 + = = 2 x−2 x+4 ( x − 2 )( x + 4 ) x + 2x − 8 3 5 3 ( x − 1) − 5 3 x − 8 − = = x − 1 ( x − 1)2 ( x − 1)2 ( x − 1)2 2 5 3 x + 9 5 x + 1 + (3 x + 9 ) x 8 x 2 + 9 x + 5 = + 2 = x x +1 x x2 + 1 x x2 + 1 ( ) ( ) ( ) . • Integrar funciones racionales con el método de fracciones parciales. que a la vez. deberás ser capaz de: • Determinar las fracciones parciales de una función racional. Sección 2. que potencian el procedimiento tradicional de fracciones parciales. Observa. Por 11x + 2 ejemplo.5: Integración por fracciones parciales 161 Los tres pasos básicos son: tomar un denominador común. además. La solución de este sistema de ecuaciones es A = 4 y B = 7. estan o Fi ( x ) = 2 ( ax + b ) ax + bx + c bleceremos el método para la búsqueda de las fracciones parciales de una fracción total dada. cualquier función racional se escribe en la forma f (x) = P( x ) = p( x ) + F1 ( x ) + F2 ( x ) + Q( x ) + Fk ( x ) . Hay muchas formas para obtenerlos. para determinar las fracciones parciales de la fracción total propia 2 . Con estos valores obtenemos las fracciones parciales de donde proviene la fracción total. si multiplicamos la expresión por (x − 2)(x + 4). debemos factorizar el denominador en factores irreducibles de primero y segundo grados. ( ) . por ejemplo. Por cada factor. Para el proceso inverso. con lo cual obtenemos 11x + 2 = A(x + 4) + B(x − 2) = (A + B) x + 4A − 2B En esta ecuación se encuentra establecida una igualdad entre dos polinomios. que señala que cualquier polinomio de grado n con coeficientes constantes reales se puede factorizar como producto de términos lineales ax + b y cuadráticos irreducibles (sin raíces reales) ax2 + bx + c. el método de fracciones parciales se basa en el teorema fundamental del álgebra. en consecuencia. que las fracciones parciales y totales son impropias. y después sumar y simplificar.2. Ahora. Y. proponemos una fracción parcial general y establecemos la igualdad entre la fracción total y la suma de las fracciones parciales: 11x + 2 11x + 2 A B = = + x 2 + 2 x − 8 ( x − 2 )( x + 4 ) x − 2 x + 4 Ahora sólo falta conocer los coeficientes A y B. para ello. se deben proponer las fracciones parciales más generales posibles asociadas a cada factor del denominador. donde p(x) es un polinomio y Fi ( x ) = Bx + C A n . En general. 4A − 2B = 2 términos independientes de x. Una de estas últimas se caracteriza porque el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador. se debe: A + B = 11 coeficientes de x. Posteriormente. x + 2x − 8 primero observemos que el denominador se puede factorizar como x2 + 2x − 8 = (x − 2) (x + 4). como dos polinomios son iguales si y sólo si también lo son los coeficientes de potencias correspondientes. primero debemos identificar los términos de donde puede provenir una fracción total. Q( x ) Q( x ) Q( x ) R( x ) será una fracción propia. Q( x ) R( x ) . suma el polinomio p(x) Q( x ) Vale la pena hacer algunos comentarios sobre el método propuesto. Resuelve el sistema de ecuaciones y sustituye sus resultados en la ecuación obtenida en el paso 5 para obtener para obtener P( x ) . (ax An x + Bn 2 + bx + c ) n 5. con esto. 8. igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de cada polinomio. Suma las fracciones parciales propuestas e iguala con la fracción propia R( x ) . diremos que los factores son lineales no repetidos. An ( ax + b )n 4. Q( x ) P( x ) en fracciones simples se sigue la siguiente esQ( x ) donde p(x) será un polinomio y 2. Por cada factor lineal (ax + b)n propón las fracciones parciales A1 A2 . Con esto obtendrá . Factoriza Q(x) en factores lineales (ax + b)n y cuadráticos irreducibles (ax2 + bx + c)n. obtendrás la igualdad entre dos polinomios. Divide P( x ) P( x ) R( x ) = p( x ) + si la fracción es impropia. 7.162 Unidad 2: Métodos de integración Método de fracciones parciales Para descomponer f ( x ) = trategia: 1. ( ax + b ) ( ax + b )2 . En caso de que n > 1. Q( x ) 6. diremos . . ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ( ) 2 . . Por cada factor cuadrático (ax2 + bx + c)n propón las fracciones simples A1 x + B1 A2 x + B2 . Finalmente. Observaciones • Si en la factorización se producen factores lineales (ax + b)n con n = 1. Multiplica la ecuación obtenida en el paso anterior por Q(x). Establece el sistema de ecuaciones a resolver. 3. 5: Integración por fracciones parciales 163 que los factores lineales son repetidos. Para encontrar la integral de una función de este tipo. 2 ⌡ a + b2 x 2 n = x 2(n − 1)a 2 a 2 + b x ( 2 2 n −1 ) + ( ) n −1 +C . primero buscamos las fracciones parciales de donde proviene y después las integramos. Desde luego. ⌠ ⌡ a + bx b dx 1 ⌠ = +C 2. El método que analizamos tiene su aplicación más interesante en la integración de funciones racionales. • El objetivo de los pasos 6. n n −1 b(1 − n ) ( a + bx ) ⌡ ( a + bx ) xdx 1 = ln a 2 + b 2 x 2 + C 3. Observa que la última expresión es una fórmula de reducción.2. ⌠ 2 2 2 a ⌡ a +b x ab ( ) ⌠ xdx 5. Integrales básicas (a. Hacemos la misma clasificación para los factores cuadráticos irreducibles obtenidos (ax2 + bx + c)n: si n = 1 diremos que los factores son cuadráticos no repetidos y si n > 1 serán factores cuadráticos repetidos. pero sí es un algoritmo general que se aplica en cualquier caso.10: Fórmulas de las integrales necesarias en el método de fracciones parciales. deberás hacer las integrales de ese tipo utilizando sustitución trigonométrica. b ≠ 0 y n > 1) dx 1 = ln a + bx + C 1. Tabla 2. 7 y 8 es conocer los coeficientes de las fracciones parciales. Si no deseas utilizarla.10 se muestran las integrales que necesitamos conocer para calcular rápidamente la integral de una función racional. ⌠ 2 ⌡ a + b 2 x 2 2b 2 dx 1 bx = arctan + C 4. el método que proponemos no es la única alternativa para conocerlos. En la tabla 2. 2 ⌡ a + b2 x 2 ( ( ) ) n = 1 2(1 − n )b a 2 + x 2 2 ( ) n −1 +C 2n − 3 ⌠ dx 2 2(n − 1)a 2 ⌡ a + b2 x 2 ⌠ dx 6. Con este resultado podemos escribir R en términos de sus fracciones parciales como R= 5x 2 + 9 x + 5 5 3x + 9 = + 2 x x +1 x x2 + 1 ( ) . C = 9 coeficientes de x. A = 3 coeficentes de x.164 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplos Ejemplo 2. La solución del sistema es: A = 3 y B = −5. Finalmente. B − A = −8 términos independientes de x.46 Determina las fracciones parciales de donde provienen las fracciones siguientes: a) Q = 3x − 8 ( x − 1)2 b) R = 8x 2 + 9 x + 5 x x2 + 1 ( ) solución a) En este caso. A = 5 términos independientes de x La solución del sistema es A = 5. la fracción total se puede escribir en términos de sus fracciones parciales como Q= b) Proponemos ahora que R= 8 x 2 + 9 x + 5 A Bx + C = + 2 x x +1 x x2 + 1 3x − 8 3 5 − 2 = ( x − 1) x − 1 ( x − 1)2 3x − 8 = A B + x − 1 ( x − 1)2 ( x − 1)2 ( ) Multiplicamos por x(x2 + 1) y después desarrollamos 8x2 + 9x + 5 = A(x2 + 1) + x(Bx + C) = (A + B)x2 + Cx + A Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de cada polinomio para obtener A + B = 8 coeficentes de x2. B = 3 y C = 9. proponemos que Q= Multiplicando por (x − 1)2 tenemos 3x − 8 = A(x − 1) + B = Ax + B − A Al igualar los coeficientes de las mismas potencias de cada polinomio. obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 3=A+B −23 = 2A − 2B cuya solución es A=− 17 y 4 B= 29 4 ) . como se muestra a continuación. es decir. proponemos que 3 x − 23 3 x − 23 A B = + = x2 − 4 (x − 2)(x + 2) (x − 2) (x + 2) Si multiplicamos por (x − 2)(x + 2): 3x − 23 = A(x + 2) + B(x − 2) Al desarrollar: 3x − 23 = (A + B) x + 2A − 2B Como dos polinomios son iguales si son iguales los coeficientes de las mismas potencias. Por ello. primero necesitamos determinar sus fracciones parciales.47 Determina una expresión para la integral 4 2 ⌠ x − 10 x + 3x + 1 dx x2 − 4 ⌡ solución Observa que la fracción es impropia. el grado del numerador es mayor que el del denominador.2.5: Integración por fracciones parciales 165 Ejemplo 2. Es posible realizar directamente la división. Para integrar la parte fraccionaria. el primer paso es hacer la división para reescribir la función como la suma de un polinomio más una fracción propia. Como los factores del denominador son lineales y no repetidos. x2 − 6 x − 4 x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1 2 − x4 + 4x2 − 6x 2 + 3 x + 1 6x 2 − 24 3 x − 23 De aquí obtenemos que x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1 3 x − 23 = x2 − 6 + 2 x2 − 4 x −4 El término polinomial se integra directamente. x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1 17 / 4 29 / 4 = x2 − 6 − + x−2 x+2 x2 − 4 El resultado final se consigue integrando la expresión anterior de la siguiente manera: 4 2 x3 17 29 ⌠ x − 10 x + 3x + 1 dx = − 6 x − ln x − 2 + ln x + 2 + C 2 3 4 4 x −4 ⌡ Ejemplo 2. 4 x 2 − 3x − 4 2 1 3 = − + x3 + x2 − 2 x x x − 1 x + 2 por lo que 2 ⌠ 4 x − 3x − 4 dx = 2 ln x − ln x − 1 + 3 ln x + 2 + C1 3 ⌡ x + x2 − 2x donde C1 es la constante de integración que hemos indicado para evitar confusión con el coeficiente C que necesitamos en el método.48 Calcula la integral 2 ⌠ 4 x − 3x − 4 dx 3 ⌡ x + x2 − 2x solución La función racional a integrar es propia y no necesitamos dividir. A + 2B − C = −3. B = −1. C = 3.166 Unidad 2: Métodos de integración Entonces. −2A = −4. para establecer las fracciones parciales de donde proviene la fracción original x3 + x2 − 2x = x(x2 + x − 2) = x(x − 1)(x − 2) Observa que los tres factores son lineales no repetidos. Factorizaremos el denominador. = (A + B + C)x2 + (A + 2B − C)x + (−2A) agrupando términos. Entonces. . lo que nos permite proponer la siguiente descomposición en fracciones parciales: 4 x 2 − 3x − 4 A B C = + + x3 + x2 − 2 x x x − 1 x + 2 Al multiplicar por x3 + x2 − 2x: 4x2 − 3x − 4 = A(x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 1) multiplicando. Igualamos los coeficientes de potencias iguales de x para conseguir el sistema de ecuaciones A + B + C = 4. La solución de este sistema es: A = 2. −3A − 2B + C = 0. por ello.50 Determina una expresión para 3 2 ⌠ 5 x − 3x + 2 x − 1 dx x4 + x2 ⌡ . ahora contamos con un factor lineal repetido. 3 = x x − 1 ( x − 1)2 ( x − 1)3 x ( x − 1) Multiplicando por x(x − 1)3 resulta x3 − 4x − 1 = A(x − 1)3 + Bx(x − 1)2 + Cx(x − 1) + Dx = (A + B)x3 + (−3A − 2B + C)x2 + (3A + B − C + D)x + (−A) Igualamos coeficientes de potencias iguales para que resulte el sistema de ecuaciones A + B = 1. −A = −1 cuya solución es A = 1. B = 0.2. la descomposición en fracciones parciales que proponemos es x3 − 4 x − 1 A B C D + + + .49 Calcula la integral ⌠ x3 − 4 x − 1 dx 3 ⌡ x ( x − 1) solución En este caso.5: Integración por fracciones parciales 167 Ejemplo 2. integrando. 3A + B − C + D = −4. Además. la fracción también es propia y no necesitamos dividir. tenemos ⌠ x3 − 4 x − 1 3 3 + + C1 dx = ln x − 3 x − 1 ( x − 1)2 ⌡ x ( x − 1) Ejemplo 2. C = 3 y D = −4. por lo cual x3 − 4 x − 1 1 3 4 + − 3 = x ( x − 1)2 ( x − 1)3 x ( x − 1) Finalmente. al igualar los coeficientes de potencias correspondientes.168 Unidad 2: Métodos de integración solución De nuevo. La descomposición de fracciones parciales que proponemos es 5 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 1 A B Cx + D = + 2 + 2 x x x +1 x2 x2 + 1 ( ) Multiplicando por el factor x2(x2 + 1). 5x3 − 3x2 + 2x − 1 = Ax(x2 + 1) + B(x2 + 1) + Cx3 + Dx2 = (A + C)x3 + (B + D)x2 + Ax + B En este caso. C = 3. D = −2. empezamos por factorizar el denominador x4 + x2 = x2(x2 + 1) Observa que aparece un factor lineal repetido x2 y un factor cuadrático irreducible x2 + 1. se obtiene el sistema de ecuaciones A+C=5 B + D = −3 A=2 B = −1 cuya solución es A = 2. Por lo cual 5x 3 − 3x 2 + 2 x − 1 2 1 3x − 2 = − 2 + 2 x x x +1 x2 x2 + 1 ( ) Integramos para el resultado final: ⌠ 5 x 3 − 3x 2 + 2 x − 1 1 3 dx = 2 ln x + + ln x 2 + 1 − 2 arctan( x ) + C1 2 2 x 2 x x +1 ⌡ ( ) Ejemplo 2.51 Calcula la integral ⌠ xdx ⌡ ( x − 1) x 2 + 1 ( ) 2 . B = −1. como la fracción es propia. C=− .) ⌠ x 1 1 1 x 1 1 an( x ) + + arctan( x ) + 2 + C1 dx = ln x − 1 − ln x 2 + 1 − arcta 2 2 2 4 8 4 x + 1 4 x +1 4 ⌡ ( x − 1) x + 1 1 1 1 1 x + 2 + C1 = ln x − 1 − ln x 2 + 1 + 2 4 8 4 x + 1 4 x + 1 ( ) ( ) ( ) . B=− . E= .2. D=− .10 de esta sección. 4 4 4 2 2 1 2 ( x − 1) ( x + 1) 2 x 2 = 1 1 x x − − − 4 ( x − 1) 4 x 2 + 1 4 x 2 + 1 2 x 2 + 1 ( ) ( ) ( ) 2 + 2 x +1 ( ) 2 Las integrales de estos términos son inmediatas.5: Integración por fracciones parciales 169 solución El denominador tiene un factor lineal x − 1 y un factor cuadrático irreducible repetido (x2 + 1)2. fácil de encontrar. (Consulta el formulario de integrales de la tabla 2. es A= por lo cual 1 1 1 1 1 . así que la descomposición de fracciones parciales que proponemos es ( x − 1) ( x + 1) 2 x 2 = A Bx + C Dx + E + 2 + 2 x −1 x +1 x2 + 1 ( ) Seguimos el proceso de los ejercicios anteriores y multiplicamos por (x − 1)(x2 + 1)2: x = A x 2 + 1 + ( Bx + C ) ( x − 1) x 2 + 1 + ( Dx + E ) ( x − 1) 2 = ( A + B) x + (C − B) x + (2 A + B − C + D ) x 2 + ( E − B + C − D )x + A − C − E 4 3 ( ) ( ) de donde resulta el sistema de ecuaciones 0=A+B 0=C−B 0 = 2A + B − C + D 1=E−B+C−D 0=A−C−E Aprovecharemos la segunda ecuación para reescribir el sistema de la siguiente forma A = −B C=B 0 = 2A + D 1=E−D 0=A−C−E La solución. dz dz sec 2 ( x ) ⌠ ⌠ dx = ⌠ 3 2 = 2 3 2 ⌡ + z + z z tan ( x ) tan ( x ) z + 1) ( ⌡ ⌡ el denominador tiene un factor lineal repetido y uno no repetido. hacemos el cambio de variable z = tan(x). La descomposición en fracciones parciales que proponemos es 1 A B C = + 2 + z +1 z ( z + 1) z z 2 Multiplicamos por z2(z + 1): 1 = Az(z + 1) + B(z + 1) + Cz2 = (A + C)z2 + (A + B)z + B de donde obtenemos el sistema de ecuaciones 0 = A + C. La solución de este sistema es A = −1. Entonces.170 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. B = 1. 1 1 1 1 2 = − + 2 + z z z +1 z +z 3 por lo que ⌠ dz = − ln z − 1 + ln z + 1 + C 3 2 1 z ⌡z +z El último paso es regresar a la variable x original: sec 2 ( x ) 1 ⌠ dx = − ln tan( x ) − + ln tan( x ) + 1 + C1 3 2 tan( x ) ⌡ tan ( x ) + tan ( x ) .52 Calcula la integral sec 2 ( x ) ⌠ dx 3 2 ⌡ tan ( x ) + tan ( x ) solución Primero. C = 1. dz = sec2(x)dx. Finalmente. 0 = A + B. 1 = B. 000 millones de habitantes? . dP = kP dt Si la población inicial es P0. se supone que la razón de crecimiento de una población es proporcional a la población misma.000 millones de seres humanos y que en 2005 ya eran 6. En el primero.17) Donde r y k son constantes positivas y el coeficiente r se conoce como la capacidad máxima de la población. ¿En cuánto tiempo se alcanzarán 25.000 millones de personas. donde se observa r r que tendrá una razón de cambio máxima cuando P = .500 millones. la ecuación diferencial apropiada es dP P = kP 1 − dt r (2. Supón que la población crece siguiendo un modelo logístico. la población crece sin medida. dP dt kr 4 r 2 r x FIGURA 2. aproximadamente. como lo constatamos en los ejemplos.23: Gráfica de la función g(P): la población crece en la región (0. El modelo logístico incorpora este hecho y establece un límite a la población máxima que se puede tener. Sin embargo. La ecuación diferencial (2. que en el año 2000 había 6.5: Integración por fracciones parciales 171 Sección 2. Si P > r entonces <0 y entonces dt dt P decrece. lo cual significa que la población crece. no es difícil mostrar que la población está dada por P(t) = P0ekt. sabemos que los recursos con que ella cuenta no son ilimitados y tendrán efecto sobre su crecimiento. Con este modelo.5. Aun sin resolver la ecuación diferencial. Ejemplos Ejemplo 2. r). sabemos que si 0 < P < r dP dP > 0 . es decir.53 Expertos en demografía estiman que la máxima población que la Tierra puede sostener es de 30.17) 2 se resuelve fácilmente utilizando el método de separación de variables y fracciones parciales.23 se muestra la gráfica de g( P ) = kP 1 − .2. En este caso. En la figura 2.2 Ecuación logística Dos de los modelos de crecimiento de una población que se han utilizado con buen éxito son los de Malthus y el logístico. 1 ⌠1 eficientes. Finalmente. ln P = kt + C 30 − P P = e kt +C = C1e kt 30 − P por propiedades de los logaritmo os. Cuya solución es A = B = 1. es decir. en unidades de miles de millones.17) con r = 30. despejando P. 30 A = 30 términos independientes de P. + dP = ∫ kdt sustituyendo los coe P 30 − P ⌡ ln P − ln 30 − P = kt + C integrando. proponemos que 30 A B = + P (30 − P ) P 30 − P Multiplicando por P(30 − P) resulta: 30 = A(30 − P) + BP = P(B − A) + 30A lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones B − A = 0 coeficientes de P. entonces la ecuación diferencial que modela la población humana es la ecuación (2. Así. P 1 + C1e kt = 30C1e kt P= 30C1e kt 1 + C1e kt ( ) Consideremos que t = 0 en el año 2000 y t = 5 en el año 2005. dP P = kP 1 − dt 30 Si separamos las variables de población y tiempo: ⌠ 30 dP = ∫ kdt ⌡ P ( 30 − P ) Podemos integrar el término izquierdo usando el método de fracciones parciales.172 Unidad 2: Métodos de integración solución Si el crecimiento es logístico. De la condición P(0) = 6 se tiene 6= 30C1 1 + C1 . Aprovechemos las propiedades de la función logaritmo para expresar P en términos de t. aplicando la exponencial y sus propiedades. desarrollando. 5e 0. en efecto. 20 ln( 20 ) = 148.5 30 −0.5 log = 0. e −0. en miles de millones de habitantes. 6.5 k= 1 6.25 + e 1 + 4e En la figura 2.000 millones es.5: Integración por fracciones parciales 173 de donde obtenemos C1 = De la condición P(5) = 6.875 5 Así. la población límite. 5. de acuerdo con el modelo logístico.5 + 1.0202192 t .0202192 despejando k.5.25e 0.0202192 t 7. despejando la exponencial. Observa que 30. Pt 35 30 25 20 15 10 5 – 50 –5 50 100 150 200 250 t 300 0 FIGURA 2.24: Número mundial de habitantes.2.25e5k multiplicando. la población será de 25. y la población.0202192 30 1 + 4 e −0. = 6.625 e5 k = 7. la ecuación logística que modela la población humana es P= 7.5 = de donde resulta 6. t= 0.0202192 t 0.0202192 t = 1 despejando la exponencial. El tiempo se mide en años.24 se muestra la gráfica de la población para los próximos 300 años.0202192 t = 1 + 0. Por otra parte.000 millones de habitantes cuando 25 = De aquí.5 ekt 5.875 e 5k 1 4 7.5e5k 1 + 0.0202192 t = −0.163 años despejando el tiempo. 54 En un informe reciente de la Organización Mundial de Salud. se tiene que 3P kt = ln 2000 − P 2000 − P e− kt = 3P 3Pe− kt + P = 200 00 Finalmente. después. El hecho que la primera crezca proporcionalmente a la cifra de los infectados y de los no infectados significa que dP = kP ( N − P ) dt Al separar las variables y usar P(0) = 500 se tiene que dP ⌠ = ∫ kdt ⌡ P ( 2000 − P ) 0 P t 500 Integrando por el método de fracciones parciales: ln( P ) ln(2000 − P ) − 2000 2000 P = 500 P 500 − ln 2000 kt = ln 2000 − P 1500 kt t = 0 = t P Observa que para el tiempo t = 1 la población es P = 800. una expresión para el número de ellos.693147t .693147 1200 1500 Si usamos este valor. solución Supón que P(t) es la población infectada al tiempo t. de forma proporcional al número de habitantes infectados y a la cifra de los que no lo han sido. que 500 tenían la enfermedad cuando ésta se detectó y que 800 fueron contagiados a finales de la primera semana.174 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. Supón que la comunidad señalada tiene 2. de forma que la constante 2000k es 800 500 2000 k = ln − ln = 0. que N es la cantidad de habitantes de la comunidad.000 residentes. la fiebre de Lassa aparece como una de las enfermedades de mayor contagio en África. como una función del tiempo (en semanas). Imagina que esta epidemia crece en una comunidad. despejando P: P= 2000 1 + 3e −0. Encuentra una ecuación diferencial que modele el crecimiento de la población infectada y. 25. En primer lugar.19) .25: El crecimiento de una epidemia que depende del tamaño de la población. tenemos B C x+3 = A+ + ( x + 1) 2 2 ( x + 2) x + 2 ( x + 2) Esta expresión es válida para x ≠ −2.18) Si ahora multiplicamos la ecuación (2. casi todos los habitantes estarán infectados.18) por (x + 2)2: x + 3 A (x + 2) = + B (x + 2) + C x +1 x +1 2 (2. después. P 2000 1500 1000 500 t 1 – 500 2 3 4 5 6 7 8 FIGURA 2.500 habitantes. Piense. en el método de fracciones parciales se requiere de mucha habilidad algebraica para plantear y resolver el sistema de ecuaciones que se trabaja.5: Integración por fracciones parciales 175 La gráfica de esta función se muestra en la figura 2. analicemos la que se conoce como método de Heaviside. y obtener así la integral de una función dada. B y C de la siguiente ecuación: x+3 A B C + + 2 = x + 1 x + 2 ( x + 2 )2 ( x + 1)( x + 2 ) Si multiplicamos por x + 1. El tiempo se mide en semanas.5. Sección 2. la velocidad de contagio disminuye. si la evaluamos en x = −1 obtenemos A= x+3 =2 x + 2 x =−1 (2. Para reducir las dificultades.2. pero a la larga (10 semanas). dispones de otras estrategias. por ejemplo. que queremos determinar los coeficientes A. Observa que a las tres semanas la población infectada es cercana a 1.3 Métodos de Hermite y Heaviside Como seguramente lo observaste. algunas muy sencillas. si evaluamos en x = −2.19). k. un factor lineal no repetido de Qn ( x ) P( x ) A R( x ) = + . tenemos los siguientes casos: Caso 2. (2. En general. ya que el método permite obtenerlos de forma casi inmediata. 2.176 Unidad 2: Métodos de integración Esta expresión es válida para x ≠ −1.1: Factores lineales no repetidos a) Si P( x ) es una fracción propia.. En particular. B = −2 Con lo que resulta: x+3 2 2 1 = − − ( x + 1)( x + 2 )2 x + 1 x + 2 ( x + 2 )2 Observa que no necesitamos ningún sistema de ecuaciones para calcular los coeficientes.21) . donde k + ( x − a ) Qn−k ( x ) A j = lím 1 d k− j x →a ( k − j )! dx k − j con j = 1. si la evaluamos en x = −2: C= Derivando la expresión (2.. entonces. resulta 2 A ( x + 1) ( x + 2 ) − ( x + 2 ) −2 +B 2 = ( x + 1) ( x + 1)2 2 x+3 = −1 x + 1 x =−2 Finalmente..2: Factores lineales repetidos b) En el caso de que x − a sea un factor lineal repetido k veces de Qn(x). y x − a. la fracción se puede escribir como A= ( x − a )P ( x ) P (a ) = lím Qn−1 (a ) x→a Qn ( x ) Caso 2. la fracción se puede escribir como P( x ) A A2 + = 1 + Qn ( x ) x − a ( x − a )2 ( x − a )k P ( x ) Qn ( x ) Ak R( x ) .20) Qn(x).. donde Qn ( x ) x − a Qn−1 ( x ) (2. Sin embargo.58 y 2. entonces. Una segunda alternativa. B y C se calculan utilizando 3x 2 + 2 x + 3 1 =− x→−1 ( x − 2 ) ( x + 5 ) 3 2 3x + 2 x + 3 19 = B = lím x→2 ( x + 1) ( x + 5 ) 21 2 3x + 2 x + 3 68 17 = = C = lím x→−5 ( x + 1) ( x − 2 ) 28 7 A = lím . Para determinar los coeficientes desconocidos. como lo veremos en los ejemplos 2. después.22) donde R(x) es un polinomio de grado menor al grado de (x − ai)ni−1…(x2 + bix + ci)mi−1. P( x ) calcular los coeficientes necesarios faltantes. Sin embargo.2.59. tenemos 3x 2 + 2 x + 3 A B C = + + ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 5) x + 1 x − 2 x + 5 Los coeficientes A.5: Integración por fracciones parciales 177 En los casos de factores cuadráticos irreducibles no es tan sencillo determinar los coeficientes. i i P( x ) A = + Q( x ) x − ai Bx + C + + 2 x + bi x + ci d R( x ) + dx ( x − a )n i −1 … x 2 + b x + c i i i ( ) mi −1 (2. es posible extender los resultados anteriores. la integral que corresponde a los factores repetidos es inmediata. conocida como método de Hermite. En efecto. Ejemplos Ejemplo 2. supón que es una fracción Q( x ) propia y que Q(x) se factoriza como Q(x) = (x − ai)n … (x2 + bix + ci)m con x2 + bix + ci factor cuadrático irreducible. consiste en proponer de inicio la forma de la integral de una función racional con factores repetidos y. factorizando los términos cuadráticos en términos lineales con coeficientes complejos y usando álgebra de números complejos. lo cual quizá sea laborioso. la ventaja es clara.55 Utiliza el método de Heaviside para calcular la integral ⌠ 3x 2 + 2 x + 3 ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 5 ) dx ⌡ solución Como la integral es propia. necesitamos calcular la derivada indicada. x−7 3 3 4 + + 2 = − − + 2 x 1 2 x 1 ( ) ( ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1)2 Integrando.56 Usa el método de Heaviside para calcular la integral x−7 ⌠ dx 2 ⌡ ( x − 1) ( x + 1) solución Primero. proponemos que x−7 A B C + + 2 = ( x − 1) ( x + 1) x − 1 x + 1 ( x + 1)2 Los coeficientes. A. x−7 3 3 4 ⌠ + C1 dx = − ln x − 1 + ln x + 1 − 2 2 2 x +1 ⌡ ( x − 1) ( x + 1) . B y C se calculan utilizando A = lím x →1 x−7 ( x + 1) 2 =− 6 3 =− 4 2 C = lím Para el coeficiente B. 3x 2 + 2 x + 3 1 19 17 =− + + 3 ( x + 1) 21 ( x − 2 ) 7 ( x + 5) ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 5) Al integrar: ⌠ 17 3x 2 + 2 x + 3 1 19 ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 5 ) dx = 3 ln x + 1 + 21 ln x − 2 + 7 ln x + 5 + C1 ⌡ donde C1 es la constante de integración. Ejemplo 2. usamos x →−1 x−7 8 = =4 x −1 2 6 3 d x − 7 = B = lím = lím x →−1 dx x − 1 x →−1 x − 1 2 ) 2 ( Finalmente.178 Unidad 2: Métodos de integración Así. los coeficientes A y B se calcularán utilizando las relaciones (2. respectivamente: A = lím d x 3 + 4 x 2 + 2 x + 3 282 = x→ 4 dx x2 + 1 289 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 3 139 B = lím = x→ 4 x2 + 1 17 Para calcular los coeficientes C y D utilizamos álgebra de números complejos y la relación (2.2.20): x3 + 4 x2 + 2x + 3 7 23i + C = lím = x→i ( x − 4 ) ( x + i ) 578 578 x3 + 4 x2 + 2x + 3 7 23i = D = lím − x→− i ( x − 4 ) ( x − i ) 578 578 Así.20).5: Integración por fracciones parciales 179 Ejemplo 2. C D 7 x − 23 (C + D ) x + (C − D ) i + = = x−i x+i x2 + 1 289 x 2 + 1 ( ) ) Al final: x3 + 4 x2 + 2 x + 3 282 139 7 x − 23 = + 2 + 2 2 ( x − 4 ) x + 1 89 ( x − 4 ) 17 ( x − 4 ) 289 x 2 + 1 ( ) ( Al integrar: ⌠ x3 + 4 x2 + 2x + 3 282 139 7 23 2 ( x − 4 )2 x 2 + 1 dx = 289 ln x − 4 − 17 ( x − 4 ) + 578 ln x + 1 − 289 arctan( x ) + C1 ⌡ ( ) ( ) . con i = −1 como unidad imaginaria. Ahora.21) y (2.57 Usa el método de Heaviside y el álgebra de números complejos para calcular la integral ⌠ x3 + 4 x2 + 2x + 3 ( x − 4 )2 x 2 + 1 dx ⌡ ( ) solución Como la fracción es propia proponemos que x3 + 4 x2 + 2 x + 3 A B C D = + + 2 + 2 2 − − x 4 x i x +i x 4 − ( ) x − 4 x 1 + ( ) ( ) donde hemos considerado que el factor cuadrático se puede escribir como x2 + 1 = (x + i)(x − i). B = . 4 4 4 4 Finalmente. C = 1. de acuerdo con el método de Hermite. proponemos. 1 3 1 x + 1 −1 4 x− 4 = ∫ 4 + 42 + dx sustituyendo.180 Unidad 2: Métodos de integración Ejemplo 2. x−2 A Bx + C d Dx + E + = + 2 ( x − 1)( x 2 + 1)2 x − 1 x 2 + 1 dx x +1 Al calcular la derivada. x 2 + 1 D − ( Dx + E ) 2 x x−2 A Bx + C = + + 2 ( x − 1)( x 2 + 1)2 x − 1 x 2 + 1 x2 + 1 ( ) ( ) Desarrollamos y agrupamos términos en potencias de x: x−2 ( A + B ) x 4 + (C − B − D ) x 3 + ( D − 2 E + 2 A + B − C ) x 2 + ( D + 2 E − B + C ) x + A − D − C 2 2 = ( x − 1)( x 2 + 1)2 ( x − 1)( x + 1) Multiplicamos por (x − 1)(x2 + 1)2 y obtenemos la siguiente igualdad entre polinomios: x − 2 = ( A + B ) x 4 + (C − B − D ) x 3 + ( D − 2 E + 2 A + B − C ) x 2 + ( D + 2 E − B + C ) x + A − D − C De aquí establecemos el sistema de ecuaciones −2 = A − D − C 1 = D + 2E − B + C 0 = D − 2E + 2A + B − C 0=C−B−D 0=A+B cuya solución está dada por 1 1 3 1 A = − . 4 8 4 x2 + 1 ( ) ( ) .58 Utiliza el método de Hermite para calcular la integral x−2 ⌠ dx ⌡ ( x − 1)( x 2 + 1)2 solución Como el factor x2 + 1 tiene multiplicidad dos. E = − . D = . Dx + E Bx + C x−2 A ⌠ + 2 dx + 2 dx = ∫ x +1 ⌡ ( x − 1)( x 2 + 1)2 x −1 x +1 propuesta de solución. x2 + 1 x −1 x +1 1 3x − 1 1 = − ln x − 1 + ln x 2 + 1 + arctan( x ) + + C1 integrando. C= . B=− . multiplicando por (x − 1)2(x + 2)3: x − 2 = −Cx 3 + 2(C − D ) x 2 + ( D − 4C − 3E ) x − 2 D + A( x − 1)( x + 2 )3 + B( x − 1)2 ( x + 2 )2 = −8 A − 2 D + 4 B + ( −4C − 4 A + D − 4 B − 3E ) x + ( 2C + 6 A − 2 D − 3B) x 2 + ( −C + 5 A + 2 B) x 3 + ( A + B ) x 4 De aquí establecemos el siguiente sistema de ecuaciones −2 = −8 A − 2 D + 4 B 1 = −4C − 4 A + D − 4 B − 3E 0 = 2C + 6 A − 2 D − 3B 0 = −C + 5 A + 2 B 0= A+B La solución de este sistema es A= Por último.2. proponemos x−2 A B d Cx 2 + Dx + E = + + 2 3 x − 1 x + 2 dx ( x − 1)( x + 2 )2 ( x − 1) ( x + 2 ) No es difícil mostrar que la derivada está dada por d Cx 2 + Dx + E −Cx 3 + 2(C − D ) x 2 + ( D − 4 C − 3E ) x − 2 D = 2 dx ( x − 1)2 ( x + 2 )3 ( x − 1) ( x + 2 ) Así. 2 2 2 5 4 . E=− .5: Integración por fracciones parciales 181 Ejemplo 2. D= . 27 27 9 9 9 2x2 + 5x − 4 x−2 2 ⌠ 1 1 ⌠ = − dx dx + 27 ⌡ x − 1 x + 2 9( x − 1)( x + 2 )2 ⌡ ( x − 1)2 ( x + 2 )3 2 2 2x2 + 5x − 4 + C1 = ln x − 1 − ln x + 2 + 27 27 9( x − 1)( x + 2 )2 .59 Utiliza el método de Hermite para calcular la integral x−2 ⌠ dx ⌡ ( x − 1)2 ( x + 2 )3 solución De acuerdo con el método sugerido. Indica los pasos necesarios para descomponer. Q( x ) f) y = g) y = h) y = i) y = j) y = 2x2 − 3 ( x + 1)2 ( x + 2 )2 1 x ( x + 1) 2 1 + x + x2 x 2 ( x 2 + 4) 1 x ( x + 1)2 2 x3 + 3 x2 − 4 4 x 3 + 2 x 2 − 3x + 2 ( x + 1)( x + 2 )3 3x + 5 ( x + 1)2 ( x 2 + 4 )2 3.182 Unidad 2: Métodos de integración 1. Descompón las siguientes fracciones en sus fracciones parciales: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = x +1 ( x − 2 )( x + 3) x 2 + 3x − 2 ( x − 1)( x + 1)( x − 5) x + 3x x + 5x + 4 2 2 P( x ) . la función racional f ( x ) = 2. en fracciones parciales. Calcula las siguientes integrales utilizando el método de fracciones parciales: xdx ⌠ a) 2 ⌡ ( x − 1) ( x + 1) dx b) ⌠ 3 ⌡ x − 2x2 + x dx ⌠ c) x − 1 x + 2 x + 3 ( ) ( )( ) ⌡ ⌠ 5x2 + 6x + 9 dx i) 2 2 ⌡ ( x − 3) ( x + 1) ⌠ x2 − 8x + 7 j) dx 2 2 x − 3 x − 10 ⌡ ( ) ⌠ 2 x 2 + 41x − 91 dx d) ⌡ ( x − 1) ( x + 3) ( x − 4 ) 3 ⌠ 5x + 2 e) 3 dx ⌡ x − 5x2 + 4 x ⌠ x3 + x + 1 dx k) 2 ⌡ x x +1 ( ) ⌠ x l) 4 dx ⌡ x −1 ⌠ dx m) x 2 − 4 x + 3 x 2 + 4 x + 5 ⌡ 4 dx ⌠ f) 2 ⌡ x ( x + 1) x3 − 1 g) ⌠ dx 3 ⌡ 4x − x 4 3 2 ⌠ x − 6 x + 12 x + 6 dx h) 3 ⌡ x − 6 x 2 + 12 x − 8 ( )( ) dx n) ⌠ 3 ⌡ x +1 ⌠ dx o) ⌡ 1 + x2 ( ) 2 . Si. sólo una persona sabía su secreto y dos lo saben después de un día de estancia. a) dy 2 = (1 − y ) con y(0) = 5 dx dy = y 2 + 5 y + 6 con y(0) = 1 dx d) dy 100 y − 25 y 2 + y3 = dx 100 − 40 y + y 2 con y(0) = 15 b) 2 3 e) dy = 2 y − 3 y + y con y(0) = 3 2 dx 2 − 4y + y c) dy = 0. En tiempos de guerra. por el número 240 − N de quienes aún lo desconocen. Observación: Antes. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas. entones. su vida penderá de un hilo. también la conocerá el enemigo y.2. ( ) ⌠ 1 a) 2 ⌡x x −1 dx x +1 c) ∫ ∫ tanh( x )dx dx b) ⌠ 4x ⌡ e + ex d) tan( x )dx 5. dN = kN ( 240 − N ) . es decir.3 y (100 − y ) con y(0) = 10 dx (12 − y ) 50 − 15y + y2 f ) dy = dx 130 − 24 y + y 2 ( ) con y(0) = 11 6. Aunque su disfraz es casi perfecto. ¿completará su misión o será atrapado por el enemigo? ¿Qué ocurriría si fueran 270 pobladores? ¿Y si fueran 210? . un espía llega a una aldea que tiene una población de 240 habitantes.5: Integración por fracciones parciales 183 ⌠ ( 3x + 5 ) dx p) 2 2 ⌡ x + 2x + 2 ( ) 3 ⌠ x + 5x + 6 dx s) 2 ⌡ x − 5x + 6 −1 1 ⌠ dx q) ⌡ ( x + 1) x 2 + x + 1 ( ) 2 ⌠ cos 3 ( x )sen( x ) dx t) 2 ⌡ 2 sen ( x ) + 5 x 4 − 2 x 2 − 3x − 3 dx r) ⌠ x5 + x4 + x3 ⌡ 4. cuando llegó al lugar. necesitarás hacer una sustitución. Él calcula que la razón de crecimiento del rumor es proporcional al producto del número N de los que ya lo saben. Calcula las siguientes integrales. empieza a correr el rumor de su verdadera identidad. k constante dt El agente secreto necesita una semana para completar su tarea y sabe que. cuando la tercera parte de la población conozca su identidad. calcula sus integrales. Aplica la fórmula del ejercicio anterior para calcular las siguientes integrales: ⌠ dx a) 2 ⌡ x +1 ( ( ) 2 ⌠ dx d) 2 ⌡ x + x +1 ( ) 3 ⌠ dx b) 2 ⌡ x +4 ) 3 ⌠ dx e) 2 ⌡ 2x + 4x + 3 ( ) 3 ⌠ dx c) 2 ⌡ 4x + 9 ( ) 3 12. la masa total de los peces y(t) se modela con la ecuación dy y = ky 1 − . t en años. Una persona infectada del virus de la influenza ingresa a una comunidad aislada que tiene 200 residentes. donde y se mide en kilogramos. 3. suponiendo que después de cinco días hay 14 contagiados. encuentra y(t) y calcula y(1). 2. a) y = 1 + x + x2 (1 + x )2 ( 2 + x )2 4 + 7x + 2 x2 3 x 2 (1 + x ) 2 + 4 x + 2 x2 + 4 x3 ( x − 3 )2 ( x + 3 )2 e) y = ( x + 2 )2 ( x 2 + 4 ) ( x + 1)2 ( x 2 + 1) x3 x2 + 1 5 + 4x + x2 3 1+ x 2 b) y = f) y = c) y = d) y = g) y = 2 − 2 x + 4 x2 + 2 x3 ( ) 2 ( x − 1) ( x 2 + 1) 1 2 .22). ¿Cuánto tiempo pasará para que la masa total de los peces llegue a 6 × 107 kg? 8.184 Unidad 2: Métodos de integración 7.71. Si y(0) = 2 × 107 kg. Si el virus se propaga proporcionalmente al producto de residentes contagiados y de no contagiados. que aparece en la ecuación (2. para cada una de las siguientes expresiones racionales y. 5 1 + x2 n ⌠ dx 10. En una zona pesquera del Pacífico. determina la cifra de individuos contagiados como función del tiempo. Calcula s(n ) = ∫ 0 x n (1 − x ) dx para n = 1. 4. Demuestra que 2 ⌡ a + b2 x 2 ( ) n = x 2(n − 1)a a + b x 2 2 ( 2 2 n −1 ) + 2n − 3 ⌠ dx 2 2 2(n − 1)a ⌡ a + b 2 x 2 ( ) n −1 + C para n > 1 11. 1 9. y los valores de los parámetros anuales dt r son r = 8 × 107 kg y k = 0. Aplica el método de Hermite para determinar el polinomio necesario R(x). después. 4 P 1 − − dt 400 5 + P .5: Integración por fracciones parciales 185 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. k y H? b) Determina una expresión de la población en el tiempo. f ) Calcula el número de peces cosechados H que pondría en peligro la estabilidad de la población. 2. suponiendo diferentes valores de la población inicial. Halla una primitiva de la función.2. 4. 1 + x2n 3. Supón que P(t) es la población de conejos en el tiempo t y que evoluciona de acuerdo con la ecuación logística. Supón que una población de peces evoluciona de acuerdo con la ecuación logística y que se cosecha un número fijo por unidad de tiempo. Calcula el área bajo la curva desde x = −1 hasta x = 1 1 b) Repite los incisos anteriores considerando la curva g( x ) = 1 + x6 c) ¿Existirá una fórmula para determinar el área bajo la curva de funciones del tipo 1 h( x ) = con n > 1? Explique. Grafica la curva en el intervalo (−2. iii. v. completar el trinomio y usar diferencia de cuadrados. Imagina. d ) Supón que r = 0. que esta población se reduce debido a la depredación de los lobos. Un modelo de depredación. c) Grafica la expresión anterior. sin arriesgar la estabilidad de la población.2. a) Considera la función f ( x ) = 1 1 + x4 i. analiza y resuelve las siguientes situaciones. Un modelo para cosecha de peces. Para establecer una granja piscícola se requiere saber la cantidad de peces que pueden ponerse a la venta.2) ii. le sugerimos sumar y restar el término 2x2. La ecuación que modela dicha situación está dada por dP P = rP 1 − − H dt k a) ¿Cuál es el significado de r. El efecto Allee (que viene al inicio de esta sección). Factoriza el denominador.2. k = 1000 y diferentes valores de la población inicial. suponiendo que r = 0. además. iv. Áreas bajo curvas especiales. de forma que la razón de cambio de la población está dada por dP P 9P = 0. 1. Encuentra las fracciones parciales de la función dada. ¿qué número H pondría en peligro la estabilidad de la población? e) Determina una expresión general para la población en el tiempo. k = 1000 y H = 100. 26: Estadísticas mundiales del sida para diciembre de 2002. se han dedicado incontables recursos económicos y humanos para erradicarlo. cerca de 14. El síndrome de inmunodeficiencia adquirida (sida) surgió en la década de 1980. AIDS Epidemia Update: diciembre de 2002. ¿en qué año se esperaría tener en México el doble de las personas infectadas respecto de la actualidad? e) Según su modelo.000 personas se infectan cada día y muchos millones más han muerto debido a tal padecimiento. (Véase la figura 2. con la finalidad de obtener un modelo poblacional del tipo: dP = A + BP + CP 2 + DP 3 dt c) ¿Qué predice su modelo respecto del número de personas infectadas para el año 2010? d) Si la tendencia continúa. Por ejemplo. en pleno siglo XX. considerando diferentes valores de la población inicial.000 personas en todo el mundo FIGURA 2. ya que actualmente existen más de 40 millones de personas contagiadas. Fuente UNAIDS. ¿en qué año crece con mayor rapidez el número de personas infectadas? f ) ¿En qué año debiera esperarse una desaceleración en la propagación del padecimiento? .mx/conasida/ b) Ajusta los datos de crecimiento anual de la población a un polinomio de grado 3. No ha sido una tarea fácil. a) Investiga los datos históricos del crecimiento anual de la población infectada en México.26). c) Grafica la expresión anterior. visite el portal de Conasida: http://www. Un modelo para una epidemia. 5.gob. 2000. toma en cuenta los siguientes elementos: 42 millones de personas viven con VIH/SIDA Europa oriental y Asia central 1 000 000 América del Norte 950 000 Europa occidental 550 000 Caribe 120 000 América Latina 1 500 000 África del Norte y Oriente Medio 500 000 Asia oriental y Pacífico 1 000 000 Asia del Sur y suboriental 5 600 000 África subsariana 28 500 000 Australia y Nueva Zelandia 28 500 000 Cada día se infectan 14.186 Unidad 2: Métodos de integración a) ¿Cómo debe ser la población inicial de los conejos para mantener estable el sistema depredador-presa? b) Encuentra una expresión para la población de conejos en el tiempo. Para elaborar un modelo burdo sobre la población infectada en México. Ginebra: UNAIDS.salud. Desde entonces. 5: Integración por fracciones parciales 187 Autoevaluación 1.2. Encuentra una expresión para la integral ⌠ 3x + 4 I = 2 dx ⌡ x + 4 (3 − x) ( ) a) I = b) I = 1 ln x 2 + 4 + ln 3 − x + C 2 1 x arctan + ln 3 − x + C 2 2 ( ) c) I = 1 x arctan − ln 3 − x + C 2 2 x2 + 4 +C 3− x d) I = ln 2. K= 3 ⌡x ( ln( x ) ) + x ln( x ) a) K = 3 ln ln( x ) + 3 7 ln x 2 + 1 + C 2 c) K = 3 ln( x ) + 7 ln x 2 + 1 + C 2 7 2 ln ( ln x ) + 1 +C 2 ( ) b) K = 3 ln ( ln( x ) ) + ln( x ) + C 4. Determina una expresión para la integral d) K = 3 ln ln( x ) + x +1 dx L=⌠ 2 ⌡ x − 5x + 6 a) L = (x − x 2 − 2 x + 11 2 − 5x + 6 ) 2 +C c) L = ln ( x − 3) ( x − 2 ) + C 4 3 b) L = ln ( x − 3 )4 +C ( x − 2 )3 d) L = ln ( x − 3)3 ( x − 2 )4 + C . Determina una expresión para 2 ⌠ J = dx 2 ⌡ ( x + 2) (2 − x) a) J = b) J = 1 1 1 2 ln x + 2 + ln ( x + 2 ) − ln 2 − x + C 8 2 8 1 x+2 1 ln − +C 8 2 − x 2 ( x + 2) c) J = − d) J = − 2 (x + 2) + ln 2 − x + C 1 1 − ln 2 − x + C 2 (x + 2) 8 3. Calcula la siguiente integral ⌠ 3 + 10 ( ln( x ) )2 dx. Revisa la teoría desarrollada en la sección correspondiente. 2. a) x +1 3 2 + = ( x − 2 )( x + 3) 5 ( x − 2 ) 5 ( x + 3) x 2 + 3x − 2 19 1 1 − − = ( x − 1)( x + 1)( x − 5) 12 ( x − 5) 4 ( x − 1) 3 ( x + 1) x 2 + 3x 2 4 − = 1− 2 3 ( x + 1) 3 ( x + 4 ) x + 5x + 4 x3 + 3 11 5 + =x+ 2 4 (x − 2) 4 (x + 2) x −4 4 x 3 + 2 x 2 − 3x + 2 3 1 21 16 + − = 2 + 3 ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 1) x + 2 ( x + 2 ) ( x + 2 )3 2x2 − 3 2 5 2 1 − − = + ( x + 1)2 ( x + 2 )2 x + 2 ( x + 2 )2 x + 1 ( x + 1)2 1 1 x = − x ( x 2 + 1) x 1 + x 2 1 + x + x2 1 1 3− x = + + x 2 ( x 2 + 4) 4 x 4 x 2 4 4 + x 2 b) c) d) e) f) g) h) ( ) .188 Unidad 2: Métodos de integración 5. Indica la opción que contiene el resultado de hacer la integral dx ⌠ M = 2 ⌡ x (2 + 7x) a) M = 1 x ln +C 2 2 + 7x 11 7 x +C c) M = − + ln 2 x 2 2 + 7x d) M = 1 1 1 x +C + ln 2 2 + 7x 2 2 + 7x 1 2 + 14 x x b) M = − +C + 7 ln 4 x (2 + 7x) 2 + 7x Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. 5: Integración por fracciones parciales 189 i) 1 1 x x = − − x ( x 2 + 1)2 x 1 + x 2 1 + x 2 ( ) 2 j) 3x + 5 23 2 13 − 23 x 9 − 19 x + + + = ( x + 1)2 ( x 2 + 4 )2 125 ( x + 1) 25 ( x + 1)2 125 x 2 + 4 25 x 2 + 4 ( ) ( ) 2 3. a) ∫ ( x − 1) ( x + 1)2 = − 2 ( x − 1) + 4 ln x + 1 + C ∫ x 3 − 2 x 2 + x = ln x − ln x − 1 − x − 1 + C ∫ ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) = 12 ln dx 1 dx 1 xdx 1 1 x −1 b) c) ( x − 1) ( x + 3)3 +C ( x + 2 )4 4 5 d) 2 x 2 + 41x − 91 ( x − 1) ( x − 4 ) ∫ ( x − 1) ( x + 3) ( x − 4 ) dx = ln ( x + 3)7 + C e) ∫ x 3 − 5 x 2 + 4 x dx = 5 x + 2 ln x + ∫ x ( x + 1)2 = 1 + x + ln x + 1 + C dx 1 x 5x3 + 2 1 161 7 ln x − 4 − ln x − 1 + C 6 3 f) g) ∫ 4 x 3 − x dx = 4 + 16 ln ( 2 x − 1)7 ( 2 x + 1)9 ∫ x3 − 1 x 1 x16 +C h) x2 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + 6 8 11 dx = − − +C 3 2 2 x − 2 ( x − 2 )2 x − 6 x + 12 x − 8 5x2 + 6x + 9 x2 − 8x + 7 2 i) ∫ ( x − 3)2 ( x + 1)2 dx = − 2 ( x − 3) − 2 ( x + 1) + C ∫ 9 1 j) (x − 3x − 10 ) 2 dx = − 8 27 30 x−5 − + ln +C 49 ( x − 5 ) 49 ( x + 2 ) 343 x + 2 x x +1 2 k) ∫ x ( x 2 + 1) dx = x + ln x4 1 x + x +1 3 +C l) ∫ x 4 − 1 dx = x + 4 ln x + 1 − 2 arctan( x ) + C ∫ x −1 1 m) ( 7 dx 1 1 1 = ln x − 3 − ln x − 1 + ln x 2 + 4 x + 5 + arctan ( x + 2 ) + C 130 52 20 65 x2 − 4x + 3 x2 + 4x + 5 )( ) .2. ⌠ 1 a) 2 ⌡x x −1 x +1 x −1 x −1 +C dx = 2 arctan − x x +1 x +1 x +1 x ⌠ dx = − e− x − 1 arctan 2 e − 1 + 1 ln 1 + e x − 1 ln 1 − e x + e2 x + C b) 4 x x ⌡e +e 6 3 3 3 ( ) ( ) c) ∫ tanh( x )dx = − arctan ( ( 1 tanh( x ) + 1 tanh( x ) + ln +C 2 tanh( x ) − 1 ) e) 5. ∫ tan( x )dx = − 1 + 2 tan( x ) + tan( x ) 1 1 1 arctan 1 − 2 tan( x ) + arctan 1 + 2 tan( x ) − ln +C 2 2 2 2 −1 + 2 tan( x ) − tan( x ) ) ( ) a) y = b) y = c) y = 4x − 5 4x − 1 9e x − 8 3e x − 4 100 1 + 9e −3 x ( ) 1 e) y = (1 + 6e − 1 − 36e + 36e ) 2 1 f ) y = (15 − 6e + 25 + 108e + 36e ) 2 d) y = 5 1 − 6et + 1 + 84 et + 36e 2 t 2 t t 2t t t 2t .190 Unidad 2: Métodos de integración n) ∫ x 3 + 1 = 3 ln x + 1 − 6 ln x ∫ ∫ ∫ ∫ 1 dx 1 1 2 − x +1 + 1 2 x − 1 arctan +C 3 3 o) (1 + x ) (x 2 dx 2 2 = x 1 + arctan ( x ) + C 2 2 1 + x2 ( ) p) (3x + 5) dx + 2x + 2 dx ) 2 = 2x − 1 + arctan ( x + 1) + C 2 x + 2x + 2 ( 2 ) q) ( x + 1) ( x 2 + x +1 ) 2 = ln x + 1 + 3 x + x +1 2 ( x+2 ) + 2 x + 1 1 arct tan − ln x 2 + x + 1 + C 2 3 3 3 5 ( ) r) (x 4 − 2 x 2 − 3x − 3 dx x5 + x4 + x3 ) = 3 2 2 x + 1 + ln x − arctan +C 3 2x2 3 s) x3 + 5x + 6 ∫ x 2 − 5 x + 6 dx = 10 − 48 ln ( 2 ) + 24 ln ( 3) −1 t) ∫ cos3 ( x ) sen( x ) 1 7 dx = − sen 2 ( x ) + ln 2 sen 2 ( x ) + 5 + C 2 4 8 2 sen ( x ) + 5 4. 17 −4 − x − 5 x 2 17 2 2 − 5 ln x + 5 ln x + 1 + C b) R( x ) = −4 − x − 5 x . si fuera de 270 individuos. ( ( ) ( ) ⌠ dx b) 2 ⌡ x +4 ) 3 = x 16 4 + x x 36 9 + 4 x = ( 2 2 ) + 128 4 + x 2 x ( 3x ) + 3 x arc ctan + C 2 256 1 2x arctan + C 3 1296 4 2 x + 1 arctan +C 3 3 3 3 arctan 8 2 ⌠ dx c) ⌡ 4 x2 + 9 ( ) 3 = ( 2 2 ) + 216 9 + 4 x + ( 2 ) + ⌠ dx d) 2 ⌡ x + x +1 ( ) 3 6 x + x +1 2 ( 2x + 1 ) 2 3 x + x +1 2 ( 2x + 1 ) + ⌠ dx e) 2 ⌡ 2x + 4x + 3 ( ) 3 = 4 2x + 4x + 3 2 ( x +1 ) 2 + 8 2x + 4x + 3 2 ( 3x + 3 ) + ( 2 ( x + 1) + C ) 12. y(t ) = 8 . y(3. a) R( x ) = −5 − 4 x. Si la población es de 240 habitantes. Si la población fuera de 210. s(4 ) = − π . s(3) = − + ln(2).2. sí la llevaría a cabo porque lo sabrían 89.5: Integración por fracciones parciales 191 6. 4 3 60 2 7 11411 − π − ln( 4 ) .09468 años) = 6 × 107 kg 1 + 3e −0. s(2) = − + ln(2). Aplica el método de integración por partes a 2 ⌡ a + b2 x 2 11.71t 200 1 + 199e −0. 7. I = (1 + x ) ( 2 + x ) −5 − 4 x − 3 ln x + 1 + 3 ln x + 2 + C . I = 2 2 x (1 + x ) 10 −20 − x 10 58 50 9 + ln x − 3 + ln x + 3 + C c) R( x ) = −20 − x. I = 9 27 ( x − 3) ( x + 3) 27 .23241 × 107 kg. no la completaría porque lo sabrían 81 personas. s(1) = s(5) = 1 2 53 π 22 (π − 4 + ln(4 )). ⌠ dx 1 x = + arctan ( x ) + C a) 2 2 2 2 + 2 1 x ⌡ x +1 ( ) n −1 . después despeja la integral buscada.541323t 8. N (t ) = 9. no completará la misión porque a los 7 días lo sabrán 83 personas. 2520 ⌠ dx 10. y(1) = 3. b) 5. 2005. Universidad de Granada.. Thomas.I= + arctan + C e) R( x ) = + 2 2 8 32 64 ( x + 2 ) x + 4 128 ( ) f ) R( x ) = 1 + 3 x + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 . ed. 2. Granada.192 Unidad 2: Métodos de integración d) R( x ) = 1− x 1− x 1 1 1 . G. Pearson Educación. 2006. Pérez. d) 4. 3. I = 1 + 3x + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 ( x + 1) ( x 2 +1 ) 2 1 + 2 arctan ( x ) + ln 1 + x − ln 1 + x 2 + C 2 ( ) g) R( x ) = −1 + 2 x + 4 x 3 . Piskunov.. Cálculo diferencial e integral. Cálculo (una variable). . Barcelona. Cálculo diferencial e integral. c) Referencias 1. Barcelona. J.. I = −1 + 2 x + 4 x 3 x2 x2 + 1 ( ) + 4 arctan ( x ) + C Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1.I= − arctan ( x ) + ln x − 1 − ln 1 + x 2 + C 4 4 8 4 x2 + 1 2 ( ) ( ) 1 3 3 2 x+ x + 1 3 3 2 3 x 8 32 64 x+ x . d) 2.. 11a. 1978. N. Montaner y Simón. México. b) 3. 43 42. Edad (años) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud L (cm) 11.55 647.01 8.08 3.6 Sustituciones diversas Así como es fácil encontrar la diferencial de una cantidad dada.36 2.82 2607. No obstante.49 461.06 4.27: Presa de Atlangatepec.45 38.79 752.05 4333.88 52. se abandonan. Ejemplos claros de ello son la pesca de la ballena. como los marinos.34 252.34 309. tienen la capacidad de autorregularse.86 Peso w 57. se explotan esos recursos sin pensar en su conservación y luego.11: Datos de la carpa de la presa de Atlangatepec. del salmón.98 4.07 522.51 45.99 7. los datos siguientes corresponden al crecimiento en longitud y peso de la carpa (Cyprinus carpio) en la presa de Atlangatepec en Tlaxcala (véase la figura 2. Por ejemplo.2. Más aun.46 Incremento en el peso ∆w 57.27). FIGURA 2. también es difícil encontrar la integral de un diferencial dado.01 20 27.75 2. cuando dejan de producir dividendos económicos.39 6.45 442.27 1959.54 4795. En muchos casos. en el estado mexicano de Tlaxcala.98 3811.39 33.26 1.62 50.35 579.85 571.6: Sustituciones diversas 193 2. Johann Bernoulli La carpa de la presa de Atlangatepec Algunos recursos naturales.74 Incremento en la longitud ∆L 11. hay diversos estudios que pretenden maximizar la producción con un alto grado de conservación.63 635. Tabla 2. a veces no podemos decir con certeza si la integral de una cantidad dada pueda hallarse o no. etcétera. por lo que brindan al hombre tanto recursos como alimentos.92 .64 1324.81 624. del atún.87 48.63 3231. suponiendo que el peso es despreciable en el tiempo inicial. comparando los datos experimentales con los resultados teóricos. En ésta abordaremos otros que completarán un amplio esquema que le permitirá resolver la mayoría de las integrales. deberás ser capaz de: • Aplicar el método de sustitución del ángulo medio para integrar funciones racionales de senos y cosenos. integrales binomias. Sus aplicaciones son diversas. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. de manera “natural”.23). para muestra basta el estudio de pesquerías donde. b) Encuentra los valores de a y b que mejor ajusten los datos de la carpa de Atlangatepec. estudiamos varios de los métodos de integración más utilizados. a) Resuelve la ecuación diferencial (2. El término aw2/3 representa el aporte debido a los nutrientes. mientras que bw representa la disminución debida a la respiración. . aparece la integral de Von Bertalanffy. c) Construye una gráfica que muestre la evolución del peso del animal en el tiempo. de acuerdo con la expresión (2. un modelo matemático del peso de un pez diseñado por Von Bertalanffy establece que dw = aw 2 / 3 − bw dt (2. ¿a qué grupo de edad se recomienda explotar la carpa? f ) Un modelo de longitud del pez.194 Unidad 2: Métodos de integración Por otro lado. sustituciones de Euler y método alemán de reducción. suponiendo que es proporcional a la superficie del animal. De acuerdo con él. Los cinco procedimientos que analizaremos son sustitución del ángulo medio. indica que dL = α − βL dt Determina la solución de la longitud del pez e indica cómo se relaciona el peso con la longitud.23) donde a y b son constantes positivas y w es el peso del pez. también debido a Von Bertalanffy. racionalización de funciones irracionales.23). ¿cuál es el peso máximo de un pez? e) Encuentra el incremento promedio máximo. d ) ¿Cuál es el peso máximo esperado de la carpa? En general. Introducción En las secciones precedentes. cuando ésta es proporcional al peso del pez. cos = .26) . • Aplicar el método alemán de reducción para resolver integrales que lo necesiten. • Calcular integrales binomios. usando las identidades trigonométricas del seno y coseno del ángulo doble y los resultados anteriores. obtenemos 2z x x sen( x ) = 2 sen cos = 2 2 1 + z2 2 x x 1− z cos( x ) = cos 2 − sen 2 = 2 2 1 + z2 sen( x ) 2z tan( x ) = = cos( x ) 1 − z 2 (2. Para mostrar esta aseveración observa el triángulo de la figura 2.24) donde f (x.2. y) es una función racional de dos variables. (2. sen = . Sección 2. Por otro lado.28: Triángulo de apoyo para el cambio de variable z = tan(x/2). las funciones trigonométricas del ángulo x/2 están dadas por: 1 z x x x tan = z.25) 1 – z2 z x 2 1 FIGURA 2.28. • Aplicar las tres sustituciones de Euler para calcular integrales que lo requieran.6. en integrales racionales rutinarias.1 Método de sustitución del ángulo medio El método conocido como sustitución del ángulo medio permite transformar integrales del tipo ∫ f ( cos( x ). 2 2 2 2 1+ z 1 + z2 (2.6: Sustituciones diversas 195 • Integrar funciones irracionales por racionalización.sen( x )) dx. 196 Unidad 2: Métodos de integración Sólo falta saber cómo se transforma la diferencial dx. el cambio adecuado será sen ( x ) = z. sen(x)). entonces. si presenta algún tipo de simetría es recomendable utilizar los cambios de variable que se sugieren en el siguiente resultado. tenemos que x = 2 arctan (z). sen ( x ) = 1 − z 2 .28) 2. el cambio adecuado será cos ( x ) = z. La razón es simple: las integrales resultantes son menos complicadas que las que aparecen usando la sustitución del ángulo doble. dx = − dz 1 − z2 (2.30) Ejemplos Ejemplo 2. con las ecuaciones (2. función impar en coseno. sen(x)).27) se transforma la integral (2. Cambios de variable para calcular la integral (2. función par en seno y coseno. cos ( x ) = 1 1+ z 2 . dx = dz 1 − z2 (2. sen ( x ) = z 1+ z 2 . entonces. sen(x)) = −f (cos(x). el cambio adecuado será tan ( x ) = z. Sin embargo. sen(x)).24) 1. cos ( x ) = 1 − z 2 . si diferenciamos: dx = 2 dz 1 + z2 (2. Si f (−cos(x). entonces. Como z = tan (x/2). Si f (−cos(x).26) y (2. función impar en seno.60 Calcula la integral dx ⌠ ⌡ 1 + sen( x ) + cos( x ) . −sen(x)) = −f (cos(x). −sen(x)) = f (cos(x).27) En resumen. dx = dz 1 + z2 (2.24) en una integral racional que se puede resolver con el método de fracciones parciales.29) 3. Si f (cos(x). Para determinar la última integral. dz =⌠ ⌡ 1+ z = ln (1 + z ) + C x = ln 1 + tan + C 2 Ejemplo 2. Estamos en el caso de factores lineales no repetidos.2. utilicemos el método de fracciones parciales.61 Encuentra una expresión para la integral dx ⌠ 3 sen( x ) − 4 cos( x ) ⌡ solución Al utilizar el cambio de variable: ⌠ 2 dz dx ⌠ 1 + z2 = 1 − z2 ⌡3 sen( x ) − 4 cos( x ) 2 z 3 2 − 4 2 ⌡ 1+ z 1+ z 2 dz =⌠ 2 ⌡4 z + 6 z − 4 dz ⌠ = ⌡( 2 z − 1) ( z + 2 ) sustituyendo. sustituyendo. simplificando.6: Sustituciones diversas 197 solución Si usamos el cambio de variable del ángulo medio. 1 = A(z + 2) + B(2z − 1) . factor rizando el denominador. desarrollando y factorizando. así que proponemos la siguiente descomposición: 1 A B = + ( 2 z − 1) ( z + 2 ) 2 z − 1 z + 2 Multiplicando por (2z − 1)(z + 2). tenemos 2 dz ⌠ dx ⌠ + z2 1 = 2z 1 − z2 ⌡ 1 + sen( x ) + cos( x ) + 1+ ⌡ 1 + z2 1 + z2 sustituyendo. integrando. ⌠ 2 dz = 2 + 1 2z + 1 − z2 z + ⌡ ( ) ( ) simplificando. obtenemos directamente los coeficientes A = 2/5 y B = −1/5.26) y (2. resulta 2 − 2 z 2 = (− A + C )z 3 + (2 A − B + D )z 2 + ( A + 2 B + C )z + ( B + D ) Si igualamos los coeficientes de potencias correspondientes en cada polinomio. en particular cuando z = 1/2 y z = −2. para cada uno.62 Calcula la integral ⌠ dx ⌡1 + tan( x ) solución Utilizamos las fórmulas (2. 2 2 5 5 Ejemplo 2. Proponemos la siguiente descomposición: (1 + z ( )( ( ) 2 1 − z2 2 ( ) = Az + B + Cz + D ) (1 + 2 z − z ) 1 + z 1 + 2 z − z 2 2 2 Multiplicando por 1 + z 2 1 + 2 z − z 2 . obtenemos 2 1 − z 2 = ( Az + B ) 1 + 2 z − z 2 + (Cz + D ) 1 + z 2 ) ( ) ( ) Al desarrollar y agrupar los términos correspondientes a cada potencia de z. establecemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2= B+D 0 = A + 2B + C −2 = 2 A − B + D 0 = −A + C . 5 5 1 1 x x = ln 2 tan − 1 − ln tan + 2 + C sustituyendo.198 Unidad 2: Métodos de integración Este resultado es válido para todo z. = − dz ⌡ 3 sen( x ) − 4 cos x ⌡ 2 z − 1 z + 2 1 1 = ln 2 z − 1 − ln z + 2 + C integrando. En ambos casos. Finalmente: dx ⌠ 2 / 5 1/ 5 ⌠ sustituyendo. el método de fracciones parciales es adecuado para calcular la última integral.27) para conseguir: 2 ⌠ ⌠ 2 1 − z 2 dz 1 + z 2 dz dx ⌠ = = 2 2 ⌡ 1 + tan( x ) 1 + 2 z ⌡ 1 + z 1 − z + 2z 2 ⌡ 1− z ( ( )( ) ) De nuevo. la integral se calcula utilizando el cambio de variable u = tan(x) y el conjunto de fórmulas (2. D = 1 . Esto nos lleva al sistema de ecuaciones 1= A+ B 0 = B+C 0 = A+C A= Finalmente.6: Sustituciones diversas 199 Al resolver el sistema: A = −1. la función a integrar es par en seno y coseno. Si sustituimos los coeficientes e integramos: −z + 1 dx ⌠ −z + 1 ⌠ + = dz 2 1 + 2z − z2 ⌡ 1 + tan( x ) ⌡ 1 + z 1 1 = − ln 1 + z 2 + arctan ( z ) + ln 1 + 2 z − z 2 + C 2 2 1 x x 1 x x = − ln 1 + tan 2 + + ln 1 + 2 tan − tan 2 + C 2 2 2 2 2 2 Sin embargo. ya que f ( − sen( x ). ⌡ 1 + tan( x ) ⌡ 1 + z 1 + z 2 Ahora proponemos que (1 + z ) (1 + z 1 2 ) = A B + Cz .28). B = 1. − cos( x )) = 1 1 = = f ( sen( x ). + 1 + z 1 + z2 Al multiplicar por (1 + z)(1 + z2) y después de agrupar: 1 = (A + B) + (B + C)z + (A + C)z2. B= . cos( x )) sen( x) − sen( x ) 1 + 1+ cos( x ) − cos( x ) Entonces.2. C = −1. dx ⌠ 1 dz ⌠ = . C=− 2 2 2 Cuya solución es 1⌠ 1 1− z dx ⌠ dz = + 2 ⌡ 1 + tan( x ) 2 ⌡ 1 + z 1 + z 1 1 1 = lo og 1 + z + arctan( z ) − log 1 + z 2 + C 2 2 4 1 x 1 = log 1 + tan( x ) + − log 1 + tan 2 ( x ) + C 2 2 4 Usando identidades trigonométricas no es difícil mostrar que dx x 1 ⌠ = + ln cos ( x ) + sen ( x ) + C ⌡1 + tan x 2 2 . 1 1 1 . Así. . xmk/nk para algún entero k.. Entonces. . nk) El método sigue funcionando.. La sustitución adecuada es x = u 6 . xm1/n1. = 2 x − 3 x + 6 x − 6 ln x + 1 + C sustituyendo. Ejemplos Ejemplo 2. y las únicas operaciones que se utilizan son la suma.. integrando. Si usamos u3 1 = u2 − u + 1 − .. al sustituir y simplificar: 5 3 dx ⌠ 6u du ⌠ u du ⌠ = 3 = 6 .. Identificamos n1 = 2 y n2 = 3. r = mcm(n1. xm2/n2. y su mínimo común múltiplo es 6. 2 3 ⌡ x + x ⌡ u +u ⌡ u +1 x = u3 ... n2..6.. entonces.200 Unidad 2: Métodos de integración Sección 2. el producto y el cociente. si la función a integrar f depende de x. nk.63 Calcula la integral dx ⌠ ⌡ x+3x solución Aquí aparecen los términos x1/2 y x1/3. si en lugar de la variable x tenemos una función racional g(x).. Por ejemplo.. la resta... n2. dx = 6u 5 du.2 Racionalización de funciones irracionales Algunas funciones irracionales (con radicales) pueden transformarse en funciones racionales mediante las sustituciones adecuadas. 3 x = u2 . el cambio adecuado es u = x r con r el mínimo común múltiplo de n1. u +1 u +1 obtendremos: 1 ⌠ ⌠ dx = 6 u 2 − u + 1 − du 3 u + 1 ⌡ x+ x ⌡ = 2u 3 − 3u 2 + 6u − 6 ln u + 1 + C 3 6 6 sustituyend do.. ie. 2 = 2 arctan (1 + x ) + C sustituyendo. integrando. la sustitución adecuada será 1 + x = u 2 .65 Calcula la integral ∫ 1 − e x dx solución Aquí identificamos n1 = 2. dx = − Luego. e x = 1 − u 2 .6: Sustituciones diversas 201 Ejemplo 2. du 1 − e x dx = u − = 2 2 ⌡ u −1 ⌡ 1− u Al dividir la fracción del integrando: 2 2u 2 =2+ . Ejemplo 2. dx = 2udu. al sustituir en la integral.2. ( ) 2udu . 2 u −1 (u − 1) (u + 1) . x = ln 1 − u 2 . simplificando. 1 − u2 ∫ 2 2u ⌠ ⌠ 2u du . (1 + x ) = u . así. Sustituyendo en la integral: dx 2udu ⌠ =⌠ 3 3 1 2 2 ⌡u +u ⌡ (1 + x ) + (1 + x ) du = 2⌠ 2 ⌡ u +1 = 2 arctan(u ) 1 (1 + x ) = u3 . 3 2 1 2 sustituyendo o. así que la sustitución adecuada es 1 − e x = u 2 .64 Determina una expresión para la integral dx ⌠ 3 1 2 ⌡ (1 + x ) + (1 + x ) 2 solución De la integral identificamos que n1 = n2 = 2. conseguimos B = −1 y A = 1. Caso Usar el cambio Despejar x Calcular dx 1 n −1 u n 1 −1 1 p∈ m +1 ∈ . Sólo en los casos que se muestran en la tabla 2. Finalmente. simplificando. p∈ . respectivamente.12: Sustituciones para calcular integrales binomias. + C sustituyendo u. n m +1 + p∈ . m.202 Unidad 2: Métodos de integración Proponemos así la descomposición en fracciones parciales: 2 A B = + (u − 1)(u + 1) u − 1 u + 1 Y multiplicamos por (u − 1)(u + 1): 2 = A(u + 1) + B(u − 1) Si evaluamos en u = −1 y en u = 1. No siempre es posible determinar una expresión en términos de funciones elementales para las integrales binomias. n y p son constantes. integrando. = 2 1 − e x + ln Sección 2.6. n u = xn x = u1/n us − a x= b us − b x= a 1/ n dx = r p= s r p= s u = a + bx s n su s−1 u s − a n dx = nb b su s −1 u s − b dx = − na a −1/ n u = ax s −n +b 1 − −1 n . b.12 es posible calcularlas. la integral está dada por ∫ 1 1 ⌠ 1 − e x dx = 2 + − du u − 1 u − 1 ⌡ = 2u + ln u − 1 − ln u + 1 + C = 2u + ln u −1 +C u +1 1 − ex − 1 1 − ex + 1 sustituyendo. p∈ .3 Integrales binomias Una integral binomia es del tipo ∫ x m (a + bx n ) p dx donde a. Tabla 2. 2 . . proponemos el cambio de variable u = x 4 / 5 . b = 2 . 4 3 45 45 15 = u 5/ 3 + u 8/ 3 + u11/ 3 + u14 / 3 + C integrando y simplificando. por comparación con el tipo general de las integrales binomias. dx = 5 1/ 4 u du 4 al sustituir en la integral original: ⌠ 1/ 3 x 1 + 2 x 4 /5 5 /12 ⌡u (1+ 2 u )3 ( ) 3 dx = 5 1/ 4 u du 4 5 2/ 3 3 u (1 + 2u ) du 4∫ sustituyendo.2. p= 3 .67 Determina una expresión para la integral ∫ x 3 (4 + 3x 4 )3/2 dx solución Identificamos en la integral. n= . 4 16 11 7 3 45 32/15 45 44 /15 15 56/15 = x 4/3 + x + x + x + C sustituyendo u. primer caso de las integrales binomias. 3 5 Como p = 3 ∈ p = 3.6: Sustituciones diversas 203 Ejemplos Ejemplo 2. b = 3 . Como un ejercicio. x = u 5/ 4 . u 1 + 6u + 12u 2 + 8u 3 du 4∫ 5 = ∫ u 2/ 3 + 6u 5/ 3 + 12u 8/ 3 + 8u11/ 3 du multiplicando. esta integral se puede resolver simplemente desarrollando el cubo en la integral original y después integrando. a = 4. n = 4. te proponemos mostrar que los resultados que se obtengan utilizando ambos métodos sean los mismos. .66 Calcula la integral ∫ x1/3 (1 + 2 x 4/5 ) 3 dx solución En la integral identificamos los números 1 4 m= . m = 3. 5 2/ 3 desarrollando el cubo. 4 16 11 7 = ( ) ( ) Desde luego. a = 1. Ejemplo 2. dx = − 4u(u2 − 1)−3 du Al reescribir el integrando. x = (u2 − 1)−2. ( ) 5/2 + C sustituyendo u. proponemos el cambio de Como 1 n 2 2 variable: u2 = x −1/2 + 1. 6 ⌠ 4 + 3x 4 ⌡ u2 ( ) 3/2 4 ⌠ u du x 3dx = ⌡ 6 udu 6 susti ituyendo. 2 5 m +1 7 + p = 4 − = −1 ∈ (tercer caso de las integrales binomios).68 Encuentra la integral ∫ x1/4 (1 + x1/2 )−7/2 dx solución En la integral identificamos los números m= 1 1 . x 3 dx = Sustituimos en la integral: 1 udu . tenemos x1/ 4 (1 + x1/ 2 )−7/ 2 = x1/ 4 x1/ 2 x −1/ 2 + 1 Al sustituir en la integral original: ( ( ) −3 )) −7 / 2 = x −3/ 2 x −1/ 2 + 1 ( ) −7 / 2 ⌠ −3/2 −1/2 x +1 x ⌡ (u 2 −1)3 −7 ( ) −7 / 2 dx −4 u u −1 2 u ( du = −4 ∫ u −6 du = 4 u −5 +C 5 4 = x −1/2 + 1 5 sustituyendo.204 Unidad 2: Métodos de integración Como m +1 ∈ n elegimos el segundo caso. . b = 1 . a = 1. n= . Ejemplo 2. Al diferenciar: 2udu = 12 x 3 dx . −5 / 2 ( ) + C sustituyendo u. integrando. proponemos entonces el cambio de variable u2 = 4 + 3x4. 4 2 7 p = − . u5 +C 30 1 = 4 + 3x 4 30 = integrando. 6.13 y que se deben al genio de Euler. α y β son raíces de ax + bx + c = 0 2 ax 2 + bx + c = xt + c x= dx = 2 a c + 2t − b + t c 2 ( −a ) 2 ) dt a ( x − α )( x − β ) = ( x − α ) t x= dx = 2 at ( β − α ) (a − t ) 2 2 dt Observa que en todos los casos.13: Sustituciones de Euler. a > 0 ax 2 + bx + c = a x + t x= dx = ( b − 2t a ) (t ( 2 ) dt II. ax 2 + bx + c dx ⌡ las cuales también se pueden transformar a integrales de funciones racionales mediante las sustituciones que se muestran en la tabla 2. Ejemplos Ejemplo 2.4 Sustitución de Euler Ya vimos que el método de sustitución trigonométrica es útil para calcular integrales del tipo ⌠ f x. es necesario elevar al cuadrado para expresar x en función de t y posteriormente calcular dx. Es decir.69 Calcula la integral dx ⌠ 2 ⌡ x −x−2 solución Como x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) elegimos el tercer caso para hacer la sustitución. Caso Cambio de variable x −c + t 2 b − 2t a b − 2t c t2 − a aβ − α t 2 a − t2 Diferencial 2bt − 2 a c + t 2 I. y obtener el despeje y la diferencial siempre que se necesiten. c > 0 III.2.6: Sustituciones diversas 205 Sección 2. Te sugerimos aprender sólo el cambio de variable. proponemos ( x − 2 )( x + 1) = ( x − 2 )t o t = x +1 x−2 . ( ) Tabla 2. ) = −1 − 2t 1 + 2t 2 t2 − 1 2 x= Además. = ln x +1 +1 x−2 +C x +1 −1 x−2 sustituyendo t . simplificando. integrando.70 Encuentra la integral dx ⌠ 2 ⌡ x + 4x solución Como el coeficiente de x2 es positivo. elegimos el primer caso para hacer la sustitución. agrupando términos con x. = 2 − 2 t sustituy t −1 3t = 2 simplificando.206 Unidad 2: Métodos de integración Elevamos al cuadrado y despejamos x: x 1− t ( x + 1 = ( x − 2 )t 2 2 elevando al cuadrado. ( x − 2 )( x + 1) = ( x − 2 )t 1 + 2t 2 yendo. t −1 Calculemos ahora dx: (t dx = 2 − 1 4 t − 1 + 2t 2 2t ) (t ( 2 −1 ) ) 2 dt = − 6 t dt (t 2 −1 ) 2 Al sustituir en la integral original: ⌠ 1 dx 6 t dt ⌠ = − 2 3t t 2 − 1 ⌡ x −x−2 ⌡ 2 t −1 2 dt = −⌠ 2 ⌡ t −1 t +1 = ln +C t −1 ( ) 2 sustituye endo. proponemos x2 + 4x = x + t o t = x2 + 4x − x . Ejemplo 2. despejando x. es decir. ( 4 − 2t ) 2t − (t 2 ) ( −2 ) 8t − 2t 2 dt = dt ( 4 − 2 t )2 ( 4 − 2 t )2 Sustituimos en la integral original y conseguimos: ⌠ 1 8t − 2t 2 ⌠ dx = 2 2 2 dt ⌡ x + 4 x 4t − t ( 4 − 2t ) ⌡ 4 − 2t dt ⌠ = ⌡2 − t = − ln 2 − t + C sust tituyendo.6: Sustituciones diversas 207 Elevamos al cuadrado y despejamos: x2 + 4x = (x + t ) 2 2 2 2 elevando al cuadrado. = − ln 2 + x − x 2 + 4 x + C sustituyendo t. Para ello. Sección 2. 4 − 2t 4t − t 2 4 − 2t sim mplificando. proponemos que la solución esté dada por Pn ( x ) A ⌠ ⌠ dx = Qn−1 ( x ) ax 2 + bx + c + dx ⌡ ax 2 + bx + c ⌡ ax 2 + bx + c (2. x + 4 x = x + 2 xt + t x ( 4 − 2t ) = t 2 x= Además. simplificando. simplificando y agrupando términos con x.31) .5 Método alemán de reducción En esta sección nos interesa determinar integrales del tipo Pn ( x ) ⌠ dx 2 ⌡ ax + bx + c donde Pn(x) es un polinomio de grado n. integrando. desarrollando. t2 4 − 2t x2 + 4x = x + t = = Calculamos ahora dx: dx = t2 + t sustituyendo. despejando x.6.2. 31) se puede calcular usando las sustituciones de Euler o el método de sustitución trigonométrica. o bien. Si igualamos los coeficientes de potencias correspondientes. El polinomio y la constante quedan determinados.71 Calcula la integral ⌠x 3 + 2 x 2 + x − 2 dx ⌡ 1 − x2 solución Proponemos que ⌠x 3 + 2 x 2 + x − 2 dx = ax 2 + bx + c 2 ⌡ 1− x ( ) ⌠ A 1 − x2 + dx ⌡ 1 − x2 1 − x2 + A 1 − x2 Al derivar.32) donde Q 'n − 1(x) es la derivada del polinomio Qn − 1(x). x3 + 2 x2 + x − 2 1− x Multiplicamos por 1 − x2 : 2 =− x ax 2 + bx + c 1− x 2 ( ) + (2ax + b ) x 3 + 2 x 2 + x − 2 = − x ax 2 + bx + c + (2 ax + b ) 1 − x 2 + A = −3ax − 2bx + (2 a − c ) x + b + A 3 2 ( ) ( ) . = ln t + t 2 − 1 + C 2 2 ⌡ 1− t ⌡ 1+ t ⌡ t2 − 1 (2.208 Unidad 2: Métodos de integración donde Qn − 1(x) es un polinomio desconocido de grado n − 1 y A es una constante. si derivamos la expresión anterior: Pn ( x ) ax + bx + c 2 = Q 'n−1 ( x ) ax 2 + bx + c + ( 2 ax + b )Qn−1 ( x ) ax + bx + c 2 + A ax + bx + c 2 Multiplicamos por ax 2 + bx + c y simplificamos: Pn ( x ) = Q 'n−1 ( x ) ax 2 + bx + c + (2 ax + b )Qn−1 ( x ) + A ( ) (2. La integral faltante en (2. = ln t + 1 + t 2 + C. formaremos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. por identificación de términos en las siguientes fórmulas: ⌠ dt ⌠ dt ⌠ dt = arcsen(t ) + C. Su solución nos permite conocer el polinomio Qn − 1(x) y la constante A.33) A ésta muy ingeniosa estrategia de reducción se le conoce como el método alemán. Ejemplos Ejemplo 2.32) es una igualdad entre dos polinomios de grado n. La ecuación (2. obtenemos: 2 x 3 + x 2 − x − 12 = ( x + 2 ) ax 2 + bx + c + ( 2 ax + b ) x 2 + 4 x + A = 3ax + (10 a + 2 b ) x + ( c + 6b ) x + 2 c + A 3 2 ( ) ( ) De donde logramos el sistema de ecuaciones −12 = 2 c + A −1 = c + 6b 1 = 10 a + 2 b 2 = 3a . c = −5/3.72 Encuentra una expresión para la integral ⌠2 x 3 + x 2 − x − 12 dx ⌡ x2 + 4x solución Proponemos ⌠2 x 3 + x 2 − x − 12 dx = ax 2 + bx + c 2 ⌡ x + 4x ( ) A ⌠ x2 + 4x + dx 2 ⌡ x + 4x Derivando.6: Sustituciones diversas 209 de donde logramos el sistema de ecuaciones −2 = b + A 1 = 2a − c 2 = −2 b 1 = −3a que tiene la solución a = −1/3.2. resulta 2 x 3 + x 2 − x − 12 x + 4x 2 = ( x + 2 ) ( ax 2 + bx + c ) x + 4x 2 + ( 2 ax + b ) x 2 + 4 x + A x + 4x 2 Si multiplicamos por x 2 + 4 x . b = −1. A = −1 Finalmente: ⌠ x3 + 2x2 + x − 2 5 ⌠ 1 1 dx = − x 2 − x − 1 − x 2 − dx 2 3 3 ⌡ 1 − x2 ⌡ 1− x 5 1 = − x 2 + x + 1 − x 2 − arcsen( x ) + C 3 3 Ejemplo 2. 2.70 para obtener: ⌠ 2 x 3 + x 2 − x − 12 17 ⌠ −44 2 dx dx = x 2 − x + 16 x 2 + 4 x + 2 3 6 ⌡ x2 + 4 x ⌡ x + 4x 17 2 = x 2 − x + 16 x 2 + 4 x + 44 ln 2 + x − x 2 + 4 x + C 3 6 1. A = −44 3 6 Ahora sustituimos estos valores y usamos el resultado del ejemplo 2. escribe qué debe hacer para integrar funciones racionales de senos y cosenos. Indica cómo debe proceder para integrar funciones que contengan expresiones de la forma 3. c = 16.210 Unidad 2: Métodos de integración cuya solución es a= 2 17 . Aplica el método de sustitución del ángulo medio para calcular las siguientes integrales: π 2 n g( x ) . dx ⌠ a) ⌡ 1 + sen( x ) + cos x 0 dx ⌠ f) ⌡ 8 − 4 sen( x ) + 7 cos( x ) dx ⌠ g) ⌡ cos( x ) + 2 sen( x ) + 3 dx ⌠ h) ⌡ sen( x ) + tan( x ) dx ⌠ i) ⌡ 4 sec( x ) + 5 dx ⌠ j) ⌡ 4 − 3 cos( x ) 0 dx ⌠ b) ⌡ 3 sen( x ) + 4 cos( x ) dx ⌠ c) ⌡ 2 + cos( x ) cos x dx d) ⌠ ⌡ 1 + cos x π ⌠ sen( x ) dx e) ⌡ 1 − sen( x ) . Con tus propias palabras. b = − . 2. Aplica el método de racionalización de funciones irracionales para calcular las siguientes integrales: ⌠ xdx a) ⌡ 1 + 3 x4 dx b) ⌠ ⌡ x−3x x 2−x 3 c) ⌠ dx 1 ⌡ 6x 4 3 1 1 ⌠ dx g) 3 ⌡ 2x 9 + 2x ⌠ x 2 dx h) ⌡ x +1 dx ⌠ i) ⌡2 x+3x 0 27 0 1 2 ( ) 3 ⌠ x2 d) 5 dx 2 ⌡ ( 4 x + 1) dx e) ⌠ 58 1 ⌡x −x 8 ⌠ ( x − 2 ) 3 dx 2 j) 3 ⌡ ( x − 2) + 3 2 1 27 10 ⌠ x +1 +1 dx f) ⌡ x +1 −1 ⌠ dx k) ⌡ 1 + ex 5. Aplica el caso I de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales: dx a) ⌠ ⌡ 25 + x 2 dx ⌠ b) ⌡ 16 + x 2 dx c) ⌠ ⌡ 1 + 4 x + x2 dx d) ⌠ ⌡ 1 + x + 4 x2 dx ⌠ e) ⌡ 16 + 9 x + x 2 ⌠ dx f) ⌡ 1 + 4 x + x2 ( ) 3/ 2 ⌠ dx g) ⌡ 1 + x + 4 x2 ( ) 3/ 2 . Aplica el método de integrales binomias para calcular las siguientes integrales: a) b) c) d) e) f) g) ∫ x 5 (1 + x 3 ) ∫ x1/4 (1 + 3 dx x ) 4 dx 3 ⌠ x1/ 5 h) 1/ 3 ⌡ 1+ x ( ) 28 / 5 dx ∫ x1/2 (1 + 3 x ) ∫ x 5 (1 + x 3 ) 1/ 3 dx ⌠ x1/ 3 i) 1/ 7 ⌡ 1+ x dx dx dx ( ( ) 34 / 3 dx ∫ x1/2 (3 + 2 x ) ∫ x (5 + x ) 7/ 3 3/ 2 1/ 3 1/ 5 ∫ x 7 / 2 ( 3 + 2 x 3/ 2 ) ⌠ x 5/3 j) 3/ 7 ⌡ 1+ x k) ) 74 / 9 dx 5/ 3 1/ 2 ∫ x16/3 (1 + x −5/7 ) 103/15 dx dx 6.6: Sustituciones diversas 211 4. Aplica el método alemán para calcular las siguientes integrales: 2 a) ⌠ −3 + 4 x + x dx ⌡ 5 + x − 4 x2 2 b) ⌠ 1 − 7 x + 3x dx ⌡ 1 + 3x − 9 x 2 ⌠ 1 − 2x + 4 x2 e) dx ⌡ 1 + 5x + x2 ⌠ 2 − 5x + 9x2 f) dx ⌡ 2 + 3x − 4 x 2 ⌠ 2 − 5x + 9x2 g) dx ⌡ −5 + 7 x + x 2 ⌠ 2 + 3x + 2 x 2 + x 3 h) dx ⌡ 1 + 4 x − x2 ⌠ 5 + 2x − 4 x2 c) dx ⌡ 1 + x + x2 ⌠ 3 + x + x2 d) dx ⌡ 3 + 2x + x2 10. Aplica el caso II de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales: dx a) ⌠ ⌡ 9 + x2 dx b) ⌠ ⌡ 1 + 25 x 2 dx c) ⌠ ⌡ 1 + x + 4 x2 dx d) ⌠ ⌡ 4 + x + x2 dx e) ⌠ ⌡ 4 + 2x + x2 dx f) ⌠ ⌡ 9 − x2 dx g) ⌠ ⌡ 1 + 2x − x2 dx h) ⌠ ⌡ 7 + 4 x − x2 8.212 Unidad 2: Métodos de integración 7. Utiliza la sustitución del ángulo medio para mostrar que go una fórmula semejante para ∫ csc( x )dx . Deduce lue2 1 + tan ( x ) . Aplica el caso III de las sustituciones de Euler para calcular las siguientes integrales: dx a) ⌠ ⌡ 2 − 3x + x 2 dx b) ⌠ ⌡ 2 − 3x + x 2 dx ⌠ c) 2 − 3x + x 2 ⌡ dx ⌠ e) 35 − 12 x + x 2 ⌡ ( ) 3/ 2 dx f) ⌠ ⌡ −12 − x + x 2 ( ) 3/ 2 dx g) ⌠ 2 ⌡ x − x − 12 dx ⌠ h) x 2 − x − 12 ⌡ dx d) ⌠ ⌡ 35 − 12 x + x 2 ( ) 3/ 2 9. ∫ sec( x )dx = ln 1 − tan ( x 2 ) + C . 23). es el caso anterior. 1.2. Autoevaluación dx ⌠ 1. b) Usa los valores de a y b de la situación anterior. así como diferentes valores de r para determinar el peso de la carpa de Atlangatepec. precisamente. analiza y resuelve las siguientes situaciones. 2. d ) Determina una expresión general para el peso máximo en términos de r. Un modelo general para el peso de un pez debido establece que dw = aw 2 r +1 − bw dt r +1 (2. La carpa de la presa de Atlangatepec. e) Encuentra una expresión para el incremento promedio máximo en términos de r.6: Sustituciones diversas 213 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. Modelo general de peso de un pez de Von Bertalanffy.34) donde a y b son constantes positivas. suponiendo que en el tiempo inicial el peso es despreciable. a) Resuelve la ecuación diferencial (2. w es el peso del pez y r es el exponente de la relación entre la anchura A y la longitud L del organismo. Para el crecimiento uniforme se tiene que r = 1 que. Indica la opción que contiene el resultado de I = ⌡1 + sen( x ) + cos( x ) x a) I = ln 1 + cot + C 2 x x b) I = ln tan + ln sen + C 2 2 x x c) I = ln cos + ln sen + C 2 2 x d ) I = ln 1 + tan + C 2 . c) Construye la gráfica del peso del pez en el tiempo para diferentes valores de r. Elige la opción que contiene el resultado de M = ⌡ 1− 3 x 1 1 1 7 1 5 1 2 1 1 1 1 a) M = x 6 + x 6 + x 3 + x 2 + x 3 + x 6 + ln x 6 − 1 + C 2 7 5 4 3 1 1 1 7 1 5 1 2 1 1 1 1 b) M = − x 6 + x 6 + x 3 + x 2 + x 3 + x 6 + ln x 6 − 1 + C 5 4 3 2 7 7 5 2 1 1 1 1 6 6 3 2 3 6 6 c) M = −6 7 x + 5 x + 4 x + 3 x + 2 x + x + ln x − 1 + C 1 1 1 7 1 5 1 2 1 1 1 1 d) M = −6 x 6 + x 6 + x 3 + x 2 + x 3 + x 6 + ln x 6 − 1 + C 3 2 5 4 7 6. Señala la opción que contiene el resultado de J = ⌡4 − 3 cos( x ) 0 π a) J = 7 (π ) b) J = c) J = 0 d) J = 7π π π 7 2 dx ⌠ 3. Señala la opción que contiene el resultado de L = ∫ 1 + x dx 4 a) L = 1 + x 5 1 b) L = 1 + x 5 ( ) ) 5 2 4 − 1+ x 3 2 + 1+ x 3 ( ) ) 3 2 +C +C 1 c) L = 1 + x 3 d) L = 5 1 + x ( ) 3 2 2 + 1+ x 3 ( ) 1 2 +C ( 5 2 ( 3 2 ( ) 5 2 + 3 1+ x ( ) 3 2 +C ⌠ 1+ x dx 5.214 Unidad 2: Métodos de integración dx ⌠ 2. Calcula la siguiente integral binomia: N = ∫ x8 1 + x 3 ( ) 1/ 3 dx . Indica la opción que contiene el resultado de K = + x) 2 sen( ⌡ 0 a) K = 3 3 π c) K = π π b) K = 3 3 3 d) K = π 3 4. Usa el caso III de las sustituciones de Euler para calcular la integral dx ⌠ P= ⌡ 6 − 5x + x 2 a) P = ln x−2 − x−3 +C x−2 + x−3 x−2 x−3 −2 +C x−3 x−2 x−3 +C x−2 b) P = −2 c) P = −2 ln d) P = ln x−2 + x−3 +C x−2 − x−3 8.2. Aplica el método alemán de reducción para determinar la integral ⌠ 1 + 3x + x 2 R= dx ⌡ −1 + x + x 2 2 2 a) R = ( 7 x + 2 ) −1 + x + x + ln 1 − 2 x + 2 −1 + x + x + C 7 b) R = + 6 x 1 x − 1 −1 + x + x 2 + arcsen +C 2 3 6 1 7 x c) R = + −1 + x + x 2 + ln 1 + 2 x + 2 −1 + x + x 2 + C 6 3 6 x − 1 2 +C d) R = ( 7 x + 2 ) −1 + x + x + arcsen 2 ( ) .6: Sustituciones diversas 215 a) N = b) N = 1 1 + x3 28 ( ) (−3 + 4 x ) + C 4/3 3 c) N = 1 1 + x3 14 ( ) (4 − 3x ) + C 4/3 3 1 1 + x3 140 ( ) (9 − 12 x 4/3 3 + 14 x 6 + C ) d) N = 1 1 + x3 70 ( ) (9 + 12 x 4/3 3 − 14 x 6 + C ) 7. Debe revisarse la teoría de la segunda parte de la sección. π 2 dx ⌠ = ln 2 a) ⌡ 1 + sen( x ) + cos( x ) 0 dx 1 1 x x ⌠ = ln 2 tan + 1 − ln tan − 2 + C b) 2 2 5 ⌡ 3 sen( x ) + 4 cos( x ) 5 dx 2 1 x ⌠ = arctan tan + C c) 2 ⌡ 2 + cos( x ) 3 3 x ⌠ cos( x ) dx = x − tan + C d) 2 ⌡ 1 + cos( x ) x 2 sen 2 +C x x cos − sen 2 2 ⌠ sen( x ) dx = − x + e) ⌡ 1 − sen( x ) dx x x ⌠ n − 3 + C = ln tan − 5 − ln tan f) 2 8 − 4 sen( x ) + 7 cos( x ) 2 ⌡ dx x ⌠ = arctan 1 + tan + C g) 2 ⌡ cos( x ) + 2 sen( x ) + 3 dx 1 x x 1 ⌠ = ln tan − tan 2 + C h) 2 2 4 ⌡ sen( x ) + tan( x ) 2 4 dx 2 x 4 x x ⌠ = arctan tan + ln tan − 3 − ln tan + 3 + C i) 2 5 2 15 2 1 ⌡ 4 sec( x ) + 5 5 dx π ⌠ = j) ⌡ 4 − 3 cos( x ) 7 0 π .216 Unidad 2: Métodos de integración Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Se debe revisar la teoría de la primera parte de la sección. 3. 2. ⌠ x dx 4 4 = 3 x 4 − ln 1 + 3 x 4 + C a) 3 4 3 3 ⌡ 1+ x 3 dx x ⌠ = 3 ln +C b) 3 4 1− 3 x ⌡ x− x ( ) 2 9 4 2 1312 ⌠x 2−x 3 dx = x − x +C c) 1 4 27 13 ⌡ 6x 3 1 ⌠ 6 x2 + 6 x + 1 x2 = +C dx d) 5 3 2 12 ( 4 x + 1) 2 ⌡ ( 4 x + 1) x 8 −1 dx 8 3 1 e) ⌠ + 4 arctan x 8 + C = x 8 + 2 ln 1 8 58 1 8 ⌡x −x 3 x +1 1 ( ) ⌠ x +1 +1 f) dx = x + 4 x + 1 + 4 ln ⌡ x +1 −1 1 x +1 −1 + C ⌠ dx 1 = 3 − 9 arctan g) 3 3 ⌡ 2x 9 + 2x 0 2 ( ) x 2 dx π 4 h) ⌠ = − ⌡ x +1 2 3 3 1 0 dx ⌠ = 3.09614 i) ⌡2 x+3x 1 27 ⌠ ( x − 2 ) 3 dx 2 = 10 + 3 3 π − 9 3 arctan j) 2 3 3 ⌡ ( x − 2) + 3 2 27 10 1 + ex − 1 ⌠ dx = ln +C k) ⌡ 1 + ex 1 + ex + 1 5.2. a) b) c) 5 3 ∫ x (1 + x ) 3 dx = 1 6 1 9 1 12 1 15 x + x + x + x +C 6 3 4 15 4 5/ 4 16 7/ 4 8 9/ 4 16 11/ 4 4 13/ 4 x + x + x + x + x +C 5 7 3 11 13 2 3/ 2 54 5/ 2 9 2 x + x + x + 9x3 + C 3 5 2 ∫ x1/4 (1 + x ) 4 dx = 3 ∫ x1/2 (1 + 3 x ) dx = .6: Sustituciones diversas 217 4. ) 74 / 9 dx = − 103/15 21 65 1 + x ( −3/ 7 65 / 9 ) + ( ) 56 / 9 +C ∫ x16/3 (1 + x −5/7 ) dx = − 21 1 + x 5/ 7 118 ( ) 118/15 + 3 1 + x 5/ 7 19 ( ) 133/15 +C dx ⌠ a) = − ln − x + 25 + x 2 + C ⌡ 25 + x 2 dx ⌠ b) = − ln − x + 16 + x 2 + C ⌡ 16 + x 2 dx 1 ⌠ c) = − ln 1 + 8 x − 4 1 + 4 x + x 2 + C 2 2 ⌡ 1+ 4x + x dx 1 ⌠ d) = − ln 1 + 8 x − 4 1 + x + 4 x 2 + C 2 2 ⌡ 1+ x + 4x dx ⌠ e) = − ln 9 + 2 x − 2 16 + 9 x + x 2 + C ⌡ 16 + 9 x + x 2 ⌠ dx f) 2 ⌡ 1+ 4x + x ( ) 3/ 2 = 2 1 + 4 x − 4 1 + 4 x + x2 + − x + 1 + 4 x + x2 = 2 ( ) 2 +C ⌠ dx g) 1 + x + 4 x2 ⌡ ( ) 3/ 2 2 + 2 x − 1 + x + 4 x 2 + 2 −2 x + 1 + x + 4 x 2 ( ) 2 +C .218 Unidad 2: Métodos de integración d) e) f) g) ∫ x 5 (1 + x 3 ) 1/ 3 dx = 1/ 3 1 1 + x3 28 ( ) (−3 + 4 x ) + C 4/3 3 ∫ x1/2 (3 + 2 x 3/2 ) dx = dx = 1 3 + 2 x 3/ 2 4 ( ) 4/3 +C ∫ x 7 / 2 ( 3 + 2 x 3/ 2 ) ∫ x 7 / 3 ( 5 + x 5/ 3 ) 1/ 5 5 3 + 2 x 3/ 2 2122 ( ) (75 − 60 x 6/ 5 5/ 3 3/ 2 + 44 x 3 + C ) 1/ 2 dx = 2 5 + x 5/ 3 25 15 ( ) (−10 + 3x ) + C 3/ 2 ⌠ x1/ 5 h) 1/ 3 ⌡ 1+ x ( ) 28 / 5 dx = − 23 1 + x ( −1/ 3 23/ 5 ) + 5 6 1 + x −1/ 3 3 4 1 + x −1/ 7 3 8 1 + x −3/ 7 ( ) ) 18 / 5 +C ⌠ x1/ 3 i) 1/ 7 ⌡ 1+ x ( ( ) 34 / 3 dx = − 21 31 1 + x ( −1/ 7 31/ 3 ) + ( 28 / 3 +C ⌠ x 5/3 j) 3/ 7 ⌡ 1+ x k) 6. −3 + x + 9 + x 2 ⌠ dx = ln +C a) ⌡ 9 + x2 −3 − x + 9 + x 2 dx 1 −1 + 5 x + 1 + 25 x 2 ⌠ = ln +C b) ⌡ 1 + 25 x 2 5 −1 − 5 x + 1 + 25 x 2 dx 1 −1 + 2 x + 1 + x + 4 x 2 ⌠ +C = ln c) ⌡ 1 + x + 4 x 2 2 −1 − 2 x + 1 + x + 4 x 2 dx −2 + x + 4 + x + x 2 ⌠ = ln +C d) ⌡ 4 + x + x2 −2 − x + 4 + x + x 2 dx −2 + x + 4 + 2 x + x 2 ⌠ = ln +C e) ⌡ 4 + 2x + x2 −2 − x + 4 + 2 x + x 2 −3 + 9 − x 2 ⌠ dx = −2 arctan f) +C x ⌡ 9 − x2 −1 + 1 + 2 x − x 2 dx ⌠ g) = −2 arctan +C x ⌡ 1 + 2x − x2 7 − 7 + 4 x − x2 dx ⌠ h) = 2 arctan +C x ⌡ 7 + 4 x − x2 8. dx ⌠ a) = ln ⌡ 2 − 3x + x 2 dx b) ⌠ = −2 ln ⌡ 2 − 3x + x 2 x −1 + x − 2 +C x −1 − x − 2 x −1 +C x−2 x−2 x −1 −2 +C x −1 x−2 x−5+ x−7 +C x−5− x−7 ⌠ dx c) ⌡ 2 − 3x + x 2 ( ) 3/2 = −2 dx ⌠ d) = ln ⌡ 35 − 12 x + x 2 .2.6: Sustituciones diversas 219 7. 220 Unidad 2: Métodos de integración ⌠ dx e) ⌡ 35 − 12 x + x 2 ( ) 3/2 =− 1 2 x−7 1 − x−5 2 x−5 +C x−7 dx ⌠ f) = ln ⌡ −12 − x + x 2 dx 2 g) ⌠ = − ln 2 ⌡ x − x − 12 7 x+3+ x−4 +C x+3− x−4 x+3 +C x−4 2 49 x−4 2 − x + 3 49 x+3 +C x−4 ⌠ dx h) 2 ⌡ x − x − 12 ( ) 3/2 =− 9. ⌠ −3 + 4 x + x 2 33 1 25 x a) arcsen 2 x − + C dx = − + 5 + x − 4 x2 − 2 32 4 48 12 ⌡ 5 + x − 4x ⌠ 1 − 7 x + 3x 2 1 1 19 x b) arcsen 3 x − + C dx = − 1 + 3x − 9 x 2 + 2 54 6 54 9 ⌡ 1 + 3x − 9 x ⌠ 5 + 2x − 4 x2 7 4x c) dx = − 1 + x + x 2 + 4 ln 1 + 2 x + 2 1 + x + x 2 + C 2 3 3 ⌡ 1+ x + x ⌠ 3 + x + x2 x d) dx = − 2 3 ⌡ 3 + 2x + x 1 7 3 + 2 x + x 2 + ln 2 + 2 x + 2 3 + 2 x + x 2 + C 6 3 ( ) ( ) ⌠ 1 − 2x + 4 x2 4 x 23 e) dx = − 1 + 5 x + x 2 + 38 ln 5 + 2 x + 2 1 + 5 x + x 2 + C 2 3 3 ⌡ 1 + 5x + x 3 2x − ⌠ 2 − 5x + 9x2 53 1 3x 2 4 arcsen dx = − 2 + 3x − 4 x + f) +C 2 32 16 4 3 ⌡ 2 + 3x − 4 x ( ) ⌠ 2 − 5x + 9x2 47 363 g) ln 7 + 2 x + 2 −5 + 7 x + x 2 + C dx = 3x − −5 + 7 x + x 2 + 2 2 2 ⌡ −5 + 7 x + x 101 5 x x 2 ⌠ 2 + 3x + 2 x 2 + x 3 112 x − 2 h) +C arcsen dx = − + + 1 + 4 x − x2 + 2 2 3 12 3 4 ⌡ 1+ 4x − x ( ) . Ritter. “Crecimiento. Jurado. 3. México. 4. Granada. Anales del Instituto de Geofísica. G. por dos métodos distintos”. UNAM. “Solución de la ecuación diferencial de crecimiento en peso de Von Bertalanffy (1938). UNAM.. Cálculo diferencial e integral. Universidad de Granada. y Rodríguez. 2005. sobrevivencia y optimización de la carpa (Cyprinus carpio) en la presa de Atlangatepec. Anales del Instituto de Geofísica. R. Pérez. México. 5. Piskunov. Cálculo diferencial e integral. b) 3. y Salas. c) Referencias 1. Montaner y Simón. Thomas. 1992. d) 2..2. D. d) 6. 2006. Suárez. 1978. 1993. J. 2. d) 8. J. Cálculo (una variable). México. onceava edición. N. Barelona. J. a) 5. 0... Pearson. . b) 7. c) 4.6: Sustituciones diversas 221 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1.. Tlaxcala”. 27 1745. ubicada en la Costa Chica del estado de Guerrero.87 544.47 740. para construir una presa y un centro económico de gran importancia para la región.89 2025.06 1604. se afectan terrenos comunales y ejidales.73 584.97 y (metros) 1902.79 y (metros) 473.18 1685.89 2210. En un caso reciente.44 y (metros) 1035. los cuales fueron tomados por los ingenieros con respecto a un punto fijo considerado como origen.14 304.32 .20 3080.41 2048. todos. el gobierno elabora proyectos de gran envergadura. por ejemplo.41 327.56 3067.00 563. X (metros) 2416. los cuales muchas veces requieren la expropiación de enormes extensiones de terreno.35 X (metros) 3262. el gobierno federal expropió amplios terrenos alrededor de la laguna El Charco.02 2933.13 2656.41 1425.86 2780. En el decreto respectivo se indica que los pobladores recibirían 75 pesos por metro cuadrado como indemnización.10 3350.30 2550.79 X (metros) 1157.86 2029.49 X (metros) 1108.07 835.57 1950.02 730.89 1381.14 1691.14: Coordenadas de diversos puntos del terreno afectado para la construcción de la presa El Charco.85 1204.56 2348. sencillos y fáciles. En la tabla 2.88 350. Las medidas están dadas en metros.13 1335.14 se muestran las coordenadas de diversos puntos de la periferia del terreno afectado.34 528.7 Integración numérica La matemática es la ciencia del orden y la medida de bellas cadenas de razonamientos. cuando se necesita construir una presa para fortalecer el crecimiento agrícola y generar energía eléctrica.86 2416.96 1522.67 278.20 275.17 1685.12 627.222 Unidad 2: Métodos de integración 2. ¿Cuál será el área afectada? ¿Cuál será el costo de la indemnización? Tabla 2.76 558. René Descartes El Charco Para promover el desarrollo del país.97 2460. El gran problema aquí es determinar con exactitud qué área se afectará para resarcir a los pobladores con indemnizaciones claras y justas.64 y (metros) 1335.32 979. existen funciones integrables cuya integral no se puede expresar en términos de funciones elementales. lado menor B2 y grosor h. no son aplicables para integrar un gran número de funciones. ∫ cos( x a b 2 )dx las cuales aparecen en estadística y en óptica.29a se muestra un trapecio típico. deberás ser capaz de: • Aplicar el método del trapecio en el cálculo de integrales definidas. y no son solucionables con los métodos analíticos.35) . Sección 2.7: Integración numérica 223 Introducción En las secciones anteriores estudiamos diversos métodos analíticos para resolver integrales. mucho mejores que el cálculo de la integral por sumas de Riemann. en cambio. Simpson y Cuadraturas de Gauss) que presentamos son. el valor de estas integrales. Por geometría elemental. Por ejemplo. con el grado de precisión deseado. De esta forma. con sus tres dimensiones básicas: lado mayor B1. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. también en estadística y en física. aparecen integrales del tipo: ∫ (1 + x 2 )n /2 . En otros casos. en esta sección. Los tres métodos numéricos (trapecio.1 Método del trapecio En la figura 2. en intervalos cerrados. en general. a b dx que. En otras palabras. • Aplicar el método de Simpson en el cálculo de integrales definidas. pero son sumamente complejas. • Aplicar el método de cuadraturas de Gauss para determinar el valor de integrales definidas de funciones continuas. sabemos que el área de este trapecio está dada por la fórmula B + B2 h ATrap = 1 2 (2. analizaremos las condiciones para estimar numéricamente. sin embargo. sí pueden resolverse usando los métodos analíticos. en general.7. en integrales como ∫e a b − x2 dx .2. x2].…. son B1 = f (x1) B2 = f (x0) h = x1 − x0 y su área es h ( f ( x1 ) + f ( x0 )) 2 A esta relación se le conoce como fórmula simple del método del trapecio. Las dimensiones del primer trapecio. construiremos los trapecios sobre cada intervalo.29b. para el trapecio sobre el intervalo (xi. que se encuentra sobre el intervalo (x0. y y1 y0 B1 B2 h a) x x0 x1 x2 b) x3 x4 x5 y2 y3 y4 y5 FIGURA 2.. observa que el área encerrada por los trapecios es buena estimación para el área bajo la curva y que los posibles errores. Posteriormente. se redu- . Queremos aproximar el área bajo la curva mediante un conjunto de trapecios.29b. obtenemos una aproximación del área bajo la curva: Atrap = h h h f ( x0 ) + f ( x1 )] + [ f ( x1 ) + f ( x2 )] + . x1].[xn − 1. calcularemos los valores yi = f (xi) que toma la función n en los puntos xi. y en b).. xn = b] del intervalo [a. xi + 1): ∆A1 = B1 + B2 = f ( xi ) + f ( xi −1 ) h = xi −1 − xi h ∆Ai = ( f ( xi ) + f ( xi −1 )) 2 Si sumamos el área de todos los trapecios. x1). b] en subintervalos de b−a igual longitud h = .. b). Después. 2. el área bajo una curva y su aproximación mediante la suma del área de varios trapecios.224 Unidad 2: Métodos de integración Considera ahora una función positiva y = f (x) en el intervalo (a. Observa la figura 2. n.. En general.…. + [ f ( xn −1 ) + f ( xn )] [ 2 2 2 h = [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + . + 2 f ( xn −1 ) + f ( xn )] 2 En la figura 2.29: En a) se muestra un trapecio de lados B1 y B2 y grosor h. primero haremos una partición [a = x0. [x1. con i = 1. por exceso o por defecto. para ello. . tenemos: h= b−a = 1. n − 1.37) para algún valor de µ tal que a ≤ µ ≤ b. • El error que se produce al estimar la integral por el método del trapecio está dado por la fórmula errortrap = nh 3 f ''( µ ) (b − a )3 f ''( µ ) = 12 12 n 2 (2. 4 subintervalos. n = 1.73 Calcula el valor de la integral 1 ∫e 0 − x2 dx Usamos el método del trapecio con n = 1. Observaciones • Para n = 1 la fórmula (2. Si consideramos sólo un intervalo. 3. b]. Ejemplos Ejemplo 2. se tiene el siguiente método para el cálculo de integrales. para i = 0.36) se conoce como fórmula simple del trapecio. n 2 .2. x0 = 0 y x1 = 1. 1. Queda fuera del alcance de este texto mostrar que esta fórmula sea correcta. 1]. Una estimación de la integral de la función en el intervalo por el método del trapecio está dada por: b ∫ f ( x )dx ≈ 2 [ y0 + 2 y1 + 2 y2 + . + 2 yn−1 + yn ] a h (2.…. En general. en cualquier otro caso. 2.7: Integración numérica 225 cen aumentando el número de subintervalos. se llama fórmula compuesta del trapecio. Método del trapecio para el cálculo numérico de integrales Sea y = f (x) una función continua en el intervalo finito [a.. solución La función a integrar es f (x) = e−x en el intervalo [0. h = (b − a)/n es su longitud y yi = f (xi) con xi + 1 = xi + h. 2.36) donde n es el número de intervalos. 68394 [ 2 2 Para tres subintervalos obtenemos.4 0. x0 = 0. Tabla 2. .742984 8 En la tabla 2.2 0.2 0.2 – 0.746067 0.744368 0.30 se muestran la curva y la aproximación con tres trapecios.68394 0. x0 = 0.73 y su aproximación por tres trapecios. la suma del área de los trapecios es: h= A2 = 1 h f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + f ( x2 )] = [1 + e−1/ 4 + e−1 ] = 0.30: Gráfica de la función del ejemplo 2.8 0.2 1 0.745866 0. x2 = 1 2 2 2 En este caso. para el caso de n = 4 trapecios: h= Así.36): A1 = Para el caso de dos trapecios: 1− 0 1 1 = . 10 intervalos.15: Cálculo de la integral del ejemplo 2.…. x1 = .73 con n trapecios.739986 [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + f ( x3 )] = 6 [1 + 2e−1/9 2 1 1 1 3 . 6.6 0.226 Unidad 2: Métodos de integración Si utilizamos la expresión (2.745119 0. x1 = .15 se muestran los resultados anteriores y los que corresponden a n = 5. x3 = .4 0.746211 1.739986 0. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Área 0.73137 0.8 1 1.742984 0.745572 0. A4 = h [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) + f ( x4 )] 2 1 = [1 1 + 2 e−1/16 + 2 e−1/ 4 + 2 e−9 /16 + e−1 ] = 0. En la figura 2.2 FIGURA 2. el área bajo la curva se aproxima por A3 = 1 h 9 + 2 e−4 / 9 + e−1 ] = 0. x0 = 0.2 – 0. x4 = 1 4 4 2 4 1 h f ( x0 ) + f ( x1 )] = [1 + e−1 ] = 0. x2 = .6 0. de forma similar: Finalmente.73137 [ 2 4 1 1 2 h = . x3 = 1 3 3 3 En tanto. x2 = . x1 = . 74 Usa cuatro intervalos de igual longitud para estimar el valor de la siguiente integral: 4 L = ∫ 1+ 0 x2 dx 16 Determina también el error de la estimación.60592 + 0.02083) = (4. por lo que 16 necesitamos evaluar la función en x = 0. errortrap = 4 (1)3 ( 4 ) 1 nh 3 f ''( µ ) = 0. Más adelante discutiremos la razón de x2 que esta integral represente geométricamente la longitud de la curva y = .59117 16 Ejemplo 2.020833 = ≤ 2 3/ 2 12 48 12(16 + x ) 4 (16 + x 2 )3/ 2 De acuerdo con esto. usando el método de sustitución trigonométrica. se requiere calcular la segunda derivada: f ''( x ) = Entonces.75 5 Estima el número de intervalos necesario para que el cálculo de la integral todo del trapecio. a modo de ejercicio. Como n = 4 se tiene que h = 1.60592 − 0. 3. el valor exacto de la integral se encuentra en el intervalo (4. mediante el mé- . 1.7: Integración numérica 227 Ejemplo 2. 4. tenga un error menor a ε = 10−3. 4.62675) En efecto. Si aplicamos la fórmula (2. 2. desde x = 0 hasta x = 4.58509.36): La función a integrar es f ( x ) = 1 + Atrap = h [ f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + 2 f (3) + f (4 )] 2 5 5 1 17 + + + 2 = 4.02083. ∫e 0 −2 x dx . 8 solución x2 en el intervalo [0. 4. 4]. muestre que: 4 L = ∫ 1+ 0 x2 dx = 4.60592 = 1 + 4 2 4 2 Para determinar el error.2. Aplicando la expresión (2.7. si sustituimos la función en los puntos x0 = −h. y2: y2 + y0 − 2 y1 2h2 y2 − y0 b= 2h c = y1 a= .228 Unidad 2: Métodos de integración solución La segunda derivada de la función f (x) = e−2x es f ''(x) = 4e−2x.001) (b − a )3 f ''( µ ) (5 )3 ( 4 e−2 x ) 125 = ≤ 2 = 0. Por un lado.38) Por otra parte. x1 = 0. Sección 2. h].37) se tiene errortrap = Si despejamos n: n≥ 125 = 204. c en términos de y0.2 Método de Simpson Para establecer el método de Simpson necesitamos. es decir. y0 = ah2 − bh + c y1 = c y2 = ah2 + bh + c Despejemos ahora los coeficientes a. primero. b.124 3( 0. y1. determinar el área bajo la función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c en el intervalo [−h.001 3n 12 n 2 12 n 2 En conclusión. usando n = 205 se obtiene el error pedido en el cálculo de la integral. integrando la función en el intervalo. x2 = h obtenemos las abscisas de los puntos por donde pasa la curva. tenemos que Ap = 1 3 1 2 ax + bx + cx 3 2 x =− h 1 3 b 2 1 b = ah + h + ch + ah 3 − h 2 + ch 3 2 3 2 2 3 = ah + 2 ch 3 x=h (2. y y2 y2 y3 y0 y1 x x0 a) x1 x2 x3 b) x4 x5 x6 y1 y4 y5 y6 y0 FIGURA 2. usando estos resultados en (2. x1]. obtenemos el área bajo cada parábola.39) Observa que el resultado depende sólo de h y de los valores y0. para los primeros dos intervalos con puntos extremos x0.38) determinamos el área bajo la parábola en el intervalo [−h. y0). h]. Establezcamos ahora el método de Simpson para determinar el área bajo la curva y = f (x) desde x = a hasta x = b. el área bajo una parábola que pasa por los puntos (x1 − h. es decir. (x1 + h. x1. . y2). Considera primero una partición de 2n subintervalos b−a [a = x0. (x1. la complejidad de la curva es tal que se observan claramente errores por exceso o por defecto en la estimación del área. Calculemos ahora 2n los valores yi = f (xi) que toma la función en los puntos xi. (x1.…. x4. x3.2. Observa la figura 7. x2n = b] de igual longitud h = .39). y0). [x2n − 1. con i = 1.16. el área bajo la parábola correspondiente es h ∆A2 = ( f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + f ( x4 )) 3 Al seguir el proceso. el área bajo esta parábola es siempre A p = h ( y0 + 4 y1 + y2 ) y no depende de los valores de x. y1) y (x2. y2 en vez de x0. y1. x2. y1). x1.31: En a) se muestra una parábola que pasa por los puntos (x0. x2]. 2. se tiene que el área es: ∆A1 = h ( f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )) 3 Para los siguientes dos intervalos con puntos extremos x2. Ap = 1 ( y2 + y0 − 2 y1 )h + 2 y1h 3 h = [ y0 + 4 y1 + y2 ] 3 (2. 2n.7: Integración numérica 229 Finalmente. x2. En b) se muestra el 3 área bajo una curva utilizando tres parábolas. Posteriormente. y2) es exactamente Ap. construimos las parábolas sobre cada par de intervalos. [x1.….29b. Un breve resumen se muestra en la tabla 2. De acuerdo con el resultado (2. 40) Ésta es la fórmula de Simpson para determinar el área bajo una curva. (x1. y1). 1. .39) es la fórmula simple y la (2. x4) … (x2n − 2.. (x2n .230 Unidad 2: Métodos de integración Tabla 2. y2n − 1).16: El intervalo. + 2 y2 n− 2 + 4 y2 n−1 + y2 n ] a h (2. y4) … (x2n − 2.42) para algún valor de µ tal que a ≤ µ ≤ b. aquí f (4) es la cuarta derivada de la función. Observaciones • La expresión (2. b]..…. ambas de Simpson. Intervalo Puntos Área h ( y0 + 4 y1 + y2 ) 3 h ( y2 + 4 y3 + y4 ) 3 … h ( y2 n − 2 + 4 y2 n −1 + y2 n ) 3 (x0. 2n − 1. y2).41) es la fórmula compuesta. para i = 0. 2. y0). + 2 f ( x2 n − 2 ) + 4 f ( x2 n −1 ) + f ( x2 n )] 3 (2. (x3.41) donde n es el número de intervalos. y2n − 2). (x2. Una estimación de la integral de la función en el intervalo por el método de Simpson está dada por: b ∫ f ( x )dx ≈ 3 [ y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 + .. y3). (x2n − 1. los puntos extremos y el área bajo la parábola que pasa por estos puntos. este método establece lo siguiente: Método de Simpson para el cálculo numérico de integrales Sea y = f (x) una función continua en el intervalo finito [a. y2) (x2. x2n) (x0. • El error que se produce al estimar la integral por el método de Simpson está dada por la fórmula errorsimp = nh 5 f ( 4 ) ( µ ) (b − a )5 f ( 4 ) ( µ ) = 180 180 n 4 (2. y2n ) Al sumar el área bajo cada parábola obtenemos el área total: Asimp = h [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + 2 f ( x4 ) + . (x4. h = (b − a)/n es su longitud y yi = f (xi) con xi + 1 = xi + h. x2) (x2. Queda fuera del alcance de este texto mostrar que esta fórmula del error es correcta. En general.. 400656 + 0. respectivamente: y0 = 1. x2 = .0997396 − 0. mientras que en la figura 2.902685 Entonces.75506 + 0.76 Utiliza el método de Simpson con cuatro y ocho intervalos para determinar el valor de la integral: I = ∫ cos( x 2 )dx 0 π solución π Analicemos el caso de n = 4 intervalos.33 se muestra la aproximación.17.32: Aproximación de la integral del ejemplo 2. x3 = y x4 = π 4 4 2 Los valores correspondientes de las ordenadas son.132764 = 0.7: Integración numérica 231 Ejemplos Ejemplo 2.586908 .2. y3 = 0. Los puntos a consi4 derar son x0 = 0.744151 y y4 = −0. un valor aproximado para la integral es I= h ( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 ) = 1. Para el caso n = 8 intervalos los puntos y las aproximaciones por segmentos se muestran en la tabla 2.815705. Sumando el resultado de cada parábola obtenemos el valor de la integral I = 0.75 usando el método de Simpson con cuatro intervalos. y2 = −0.781212.24991 3 y 2 1 –1 –2 π 4 π 2 3π 4 π x FIGURA 2. y1 = 0.785398 . x1 = 3π π π . cada uno con longitud h = ≈ 0. 5708 1.785398 1.293194 −0.181865 −0.565631 0.565691 0.17: Puntos y áreas de cada parábola al calcular el área por el método de Simpson con ocho intervalos.781212 −0. Tabla 2.755931 0.744151 0. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 0 0.75 usando el método de Simpson con n intervalos.902685 I4 = I2 = h ( y2 + 4 y3 + y4 ) = 0.35619 2.988133 0.815705 0.18 para diferentes valores de n.565164 0. n 4 16 28 40 52 64 76 Asimp 1. Al seguir el procedimiento anterior.565678 0.400656 3 h ( y6 + 4 y7 + y8 ) = 0.75506 3 Asimp I3 = y 2 1 –1 –2 π 4 π 2 3π 4 π x FIGURA 2.9635 2.18: Cálculo de la integral del ejemplo 2.1781 1. se obtienen los resultados de la tabla 2.132764 3 I1 = h ( y0 + 4 y1 + y2 ) = 0.565688 0.33: Aproximación del área bajo la curva usando el método de Simpson con ocho intervalos.0997396 3 h ( y4 + 4 y5 + y6 ) = −0.565692 .74889 3.232 Unidad 2: Métodos de integración Tabla 2.24991 0.14159 yi 1 0.392699 0. 00001) Como el número de intervalos debe ser par. y1 = 0. Observa que si usamos 16 intervalos ya tenemos una aproximación exacta hasta tres cifras decimales. (b − a )5 f ( 4 ) ( µ ) 32(16 e2 ) ≤ ≤ 0.7: Integración numérica 233 π El valor obtenido con cualquier software simbólico o calculadora es ∫ cos( x 0 2 )dx = 0.00001 180 n 4 180 n 4 . así que el error es menor a errorsimp = nh 5 f ( 4 ) ( µ ) 4 (16 e2 ) ≤ ≈ 0. que en el intervalo [−1.5. V= h [ y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 ] = 3.1353. Estima el error cometido.19561 3 x1 = −0. 4 2 x3 = 0. y0 = 0. Calcula también el número de intervalos necesario para asegurar que el error sea menor a ε = 10−5.2.7183.77 Determina el área bajo la curva y = e2x desde x = −1 hasta x = 1 usando 4 intervalos. si queremos mejorar la estimación.3679 x2 = 0. y4 = 7.0756 180( 0. además. 1 − ( −1) 1 = . La cuarta derivada de y = e2x es y(4) = 16e2x. solución Usamos el método de Simpson con cuatro intervalos y tenemos que h = x0 = −1. necesitamos aumentar el costo del cálculo. y3 = 2. necesitamos 64 intervalos.082 21006 180 32(180 ) Si deseamos que el error sea menor que 10−5 necesitamos que errortrap = Despejando n resulta 32(16e 2 ) 1/ 4 n ≥ = 38.5. Ejemplo 2. 1] está acotada por y(4) = 16e2.3891. y2 = 1. de forma que si queremos cinco cifras decimales correctas. entonces el valor de n adecuado es n = 40. x4 = 1. Así.565694 . x2 ∈(a.43) 1 1 = 2 a0 + −1 2 a2 3 Es decir. es necesario que 2 = w1 + w2 0 = w1 x1 + w2 x2 2 2 2 = w1 x1 + w2 x2 3 3 3 0 = w1 x1 + w2 x2 De la segunda y cuarta ecuación: w1 x1 = − w2 x2 3 3 w1 x1 = − w2 x2 . lo cual significa que el grado máximo de la función polinomial que buscamos es tres.3 Método de cuadraturas de Gauss Por un momento regresemos al método del trapecio.7. w1 y w2 tales que 2 a0 + 2 a2 = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) 3 (2.234 Unidad 2: Métodos de integración Sección 2. Considera entonces la función cúbica f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 y el intervalo (−1. Integramos: a 2 a 3 a 4 ∫ f ( x )dx = a0 x + 21 x + 32 x + 43 x −1 Necesitamos encontrar x1.36) se reduce a: ∫ f ( x )dx ≅ 2 [ f (a) + f (b)] = 2 f (a) + 2 f (b) a b h h h Observa que la estimación de la integral es exacta cuando la función a integrar f (x) es lineal. Observa que tenemos cuatro incógnitas. queremos que se cumpla 2 a0 + 2 a2 2 3 2 3 = w1 ( a0 + a1 x1 + a2 x1 + a3 x1 ) + w2 ( a0 + a1 x2 + a2 x2 + a3 x2 ) 3 2 2 3 3 + w2 x2 ) = a0 ( w1 + w2 ) + a1 ( w1 x1 + w2 x2 ) + a2 ( w1 x1 + w2 x2 ) + a3 ( w1 x1 Como el resultado debe ser válido para cualquier conjunto de valores a0. 1). evaluando la función en sólo dos puntos x1 y x2 y multiplicando cada evaluación por factores w1 y w2? En otras palabras. w2 ∈ tales que ∫ f ( x )dx = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) ? a La respuesta no es obvia. b) y w1. ¿existen valores b x1. a2. a1. en este caso h/2. Si consideramos sólo un intervalo la expresión (2. a3. Nota también que el cálculo se hace evaluando la función en los dos puntos extremos del intervalo y multiplicando cada uno de ellos por un factor. La pregunta que nos hacemos aquí es si ¿será posible estimar exactamente la integral de una función polinomial en el intervalo (a. b). x2. como x1 ≠ x2 se tiene x2 = −x1. b]. . sustituyendo estos resultados en 1 = − x2 ... + wn f ( xn ) En resumen. Re1 2 gresamos luego a la segunda ecuación del sistema. También podemos hacerlo de forma compuesta realizando primero una partición del intervalo original y sumando las estimaciones de todos los intervalos. como en los métodos del trapecio y de Simpson. si regresamos a la ecuación (2.2. xn y n pesos w1. desde n = 2 hasta n = 10. usamos ahora la primera ecuación y obtenemos w1 = w2 = 1. 1] y después aplicamos la expresión (2. La fórmula (2.7: Integración numérica 235 Dividimos para obtener x 2 = x2 .…. Una tercera posibilidad es generalizar el proceso anterior considerando n puntos x1. Método de cuadraturas de Gauss Sea y = f(x) una función continua en el intervalo finito [−1. la tercera ecuación. + wn f ( xn ) (2. basta con hacer el cambio de variable u = −1 + 2( x − a ) b−a (2. Con esto. de donde x1 = ± x2.44) Para el caso de la integral en el intervalo [a. x2.45) que transforma el intervalo [a. por el método de cuadraturas de Gauss.. concluimos que es posible calcular exactamente la integral de una función cúbica evaluando la función en únicamente dos puntos.44).43).wn. aun para el caso de funciones diferentes a las polinomiales de grado menor o igual a 3. para funciones polinomiales de grado 2n − 1 se tenga el resultado exacto: 1 −1 ∫ f ( x )dx = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + .44). w2. b] en el intervalo [−1.…. resulta x1 = 3 En resumen.44) es la base para estimar el valor de la integral. Una estimación de la integral de la función en ese intervalo. hacemos una estimación simple usando directamente la fórmula (2. de forma que. están dados por la tabla 2. para cualquier función polinomial cúbica se cumple que: 1 −1 ∫ f ( x )dx = f 1 + 3 1 f − 3 (2.46) Donde los puntos xi y los pesos wi. de donde w1 = w2.. Finalmente. En este caso. utilizando n puntos está dada por 1 −1 ∫ f ( x )dx = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + . 1]. tenemos el siguiente resultado.19. 0 ±0.41795918 0.18064816 0.86113631 0.38183005 0.79666648 ±0.83603111 ±0.67940957 ±0.10122854 0.61337143 ±0.23692689 1 ωi xi n=3 0.74153119 0. 1]. Fórmula del error por cuadraturas Si y = f(x) es una función con al menos 2n derivadas. sin demostración.06667134 Para completar el esquema.88888889 0.12948497 n = 10 ±0.36268378 0. entonces el error cometido al utilizar el método de cuadraturas con n puntos está dado por Errorcuadr = 2 2 n+1[ n!]4 f ( 2 n ) ( µ ) (2 n + 1)[ (2 n )!] 3 (2. la fórmula del error debida a la integración por cuadraturas.40584515 ±0.26926672 ±0.55555555 xi ωi n=4 ±0.47862867 0.22238103 0.36076157 ±0.26031070 0.66120939 0.0 ±0.14945135 0.21908636 0.27970539 n=6 ±0.96028986 0.56888889 0.236 Unidad 2: Métodos de integración Tabla 2.52553241 ±0.08127439 ±0.31234708 0.33998104 0.14887434 ±0.78 Usa el método de cuadraturas de Gauss con n = 2 y n = 4 para determinar el valor de la integral 1 −1 ∫ 4 + x 4 dx 2 .53846931 ±0.43339539 ±0.77459667 ωi 0.46791393 ±0.18343464 ±0.33023936 0.97390653 0.31370665 0. Ejemplos Ejemplo 2.57735 n=5 0.94910791 0.0 ±0.19: Nodos y pesos del método de cuadraturas para diferentes valores de n.86506337 ±0.90617985 n=8 ±0.34785485 n=7 0.32425342 ±0.93246951 0.65214515 ±0.29552422 0. presentaremos.96816024 0.23861918 0.17132449 n=9 0.0 ±0.47) Donde n es el número de puntos utilizado y f (2n) es la dos enésima derivada de la función evaluada en algún punto µ∈[−1. xi n=2 ±0. 1].955787 2 Como ejercicio.34785485 f (0.34785485 f (−0. Es impresionante que sólo baste evaluar la función en cuatro puntos.2.7: Integración numérica 237 solución De acuerdo con la expresión (2. demuestra que el valor exacto de la integral es 0.79 Utiliza el método de cuadraturas de Gauss con n = 4 para determinar el valor de la integral 5 −3 ∫ 9 + x 2 dx 1 solución Primero hacemos un cambio de variable para transformar los límites de integración al intervalo [−1.86113631) + 0. Para ello. 1): u = −1 + u= Al despejar la variable x se tiene x = 4u + 1.955934. tenemos: 1 −1 ∫ 4 + x 4 dx = 0. 1 4 ∫ 9 + x 2 dx = ∫ 9 + (4u + 1)2 du −3 −1 5 1 x −1 4 x+3 1 − (−1) ( x + 3) = −1 + 5 − (−3) 4 .46) y los datos de la tabla 2. −1) y (5. Ejemplo 2. busquemos la ecuación de la recta que une los puntos (−3. dx = 4du Entonces. para tener una precisión de tres cifras significativas. para el caso n = 4. el valor de la integral usando n = 2 puntos es 1 −1 − ∫ 4 + x 4 dx = f 2 1 1 + f = 3 3 2 1 4+ 9 + 2 1 4+ 9 = 36 ≈ 0.33998104 ) + 0.65214515 f (0.86113631) = 0.33998104) ) + 0.65214515 f (−0.19.972973 37 Si usamos la expresión (2.44). De acuerdo con la fórmula (2.86113631) + 0. con sólo evaluar la función en dos puntos tenemos dos dígitos de precisión.80 Determina una cota superior para el error cometido al utilizar el método de cuadraturas con n = 3 puntos para calcular la integral 1 −1 ∫e 2x dx solución La cuarta derivada de la función y = e2x es y(4) = 16e2x.00458796 que. −1 ∫e 2x dx = 3. en efecto.46) y la tabla 2.62686 . es menor que 0.65214515 f (0.47): 2 7 [ 3!]4 16 e2 µ 8 e2 ≤ ≈ 0.19.00750634. considerando f (u ) = 1 4 : 9 + ( 4 u + 1)2 −1 ∫ 9 + (4u + 1)2 du = 0. éste es error = 0.00 0750634 3 7875 ( 7 )[ 6 !] Errorcuadr = Es decir.34785485 f (−0.33998104 ) + 0.65214515 f (−0.86113631) = 0.33998 8104) + 0. Es claro que: 1 w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + w2 f ( x2 ) = 3..606078 4 Ejemplo 2.238 Unidad 2: Métodos de integración Si aplicamos ahora la fórmula (2.6 62227 de donde podemos obtener el error cometido en la aproximación.34785485 f (0. n = 6 3 b) 3 2 ∫ ( x − 5 x )dx . n = 6 0 7 d) ∫ x e dx. n = 8 d) −2 x ∫ xe dx .5 ∫ 2 π j) ∫ cos 0 ( x )dx. n = 4 2. n = 5 π g) ∫e 0 2 3x c) ∫x 2 ln( x )dx. n = 3 3 x 1 i) ∫ 3 x dx. n = 5 h) x2 ∫ x − 8 dx. con el número de intervalos indicado 2 π a) −2 3 2 ∫ (4 x + 3x + 2 x − 1) dx .5 b) ∫ (x 0 5 3. n = 2 0 2 π j) π ∫ cos 2 ( x )dx . π 3 a) −2 4 ∫ (x + x − 2 x + 3)dx. n = 4 3 f) ∫x 0 2 tan( x )dx.6 2. . Calcula las siguientes integrales usando el método de Simpson con el número de intervalos considerado. n = 4 2 g) π ∫e 4 −2 x cos(5 x )dx . n = 4 0 π 2 1 4 k) ∫x 2 4 cos 6 ( x )e x dx .7: Integración numérica 239 1. n = 4 f) ∫x 0 2 cos( x )dx . con el método del trapecio. n = 4 0 3 h) ∫ x 2 + 4 dx . Determina una cota para el error cometido al calcular. n = 6 3.5 3 3 − 2 x 2 + 3x + 2 )dx . las siguientes integrales con el número de intervalos indicado. n = 6 4 x +4 1. n = 4 2. n = 8 1 8 x c) ∫ ( x 3 + x 2 )ln( x )dx. n = 6 e) ∫ x 3 + 1 dx . n = 4 sen( x )dx. n = 8 2x + 3 2 e) 8 dx. n = 6 1 2 i) ∫ 0 x2 x3 + 1 2 dx.2. Utiliza el método del trapecio para estimar el valor de las siguientes integrales. n = 3 h) x2 ∫ x 2 + 9 dx . n = 8 3 2 4. Repite el ejercicio anterior para el método de Simpson. n = 8 0 6. Define una cota para el error cometido al calcular. n = 6 1 1 d) ∫x 4 −2 x 2 i) ∫ 0 x x +1 2 dx . soltada en la parte superior de un contenedor que contiene un fluido viscoso. n = 2 e) ∫ x 3 + 4 dx . 1 a) ∫x 0 4 1 4 dx . con el número de puntos indicado y compara sus resultados con el valor exacto de las integrales. 5. n = 4 x d) ∫ 1 + x dx . n = 2 e dx . a través del método del trapecio. n = 4 −1 1 1 π 2 f) π ∫x 4 2 cos 3 ( x )dx . n = 6 cos(2 x )dx. n = 4 π g) ∫e 0 3 2x c) ∫x 1 1 −2 4 5 ln( x )dx . n = 2 3 2 π j) cos 2 ( x )e x ∫ x 2 + 1 dx . En algunos experimentos de viscosidad se ha encontrado que una partícula de masa m. a) x 2 ex ∫ 1 + x 2 dx . ε = 10−3 7. n = 26 c) ∫ x 2 dx . ε = 10−4 b) ∫ 0 1 + 2 x dx. Aproxima las siguientes integrales aplicando la cuadratura gaussiana. n = 4 b) −1 2 ∫x 4 x e dx . 8.240 Unidad 2: Métodos de integración 1 3 a) ∫ 0 3 1 1 + xdx . n = 6 2 26 1 b) ∫ 3e dx . las integrales del inciso anterior con el número de intervalos indicado. n = 6 5 e) ∫ (1 + x ) 0 1/ 3 dx. Determina el número n de intervalos necesarios para que se pueda calcular la integral dada con el error máximo ε. ε = 10−6 c) ∫e 0 −x dx . por el método de Simpson. se mueve de acuerdo con la siguiente ley: v (t ) t=− v (t0 ∫ m du u 3/2 ) . 45879 7. basándote en el método del trapecio.5 4 4.5 5 4. (km/hora) 0 60 10 55 20 58 30 62 40 68 50 75 60 81 13. ¿Cuál es el mejor procedimiento? . b) usando el método de Simpson con n = 8 intervalos.25968 6.12547 5. Calcula la integral −1 ∫ x e dx : 3 x a) usando el método del trapecio con n = 8 intervalos. a) I = ∫ sen( x 2 )dx 0 1 π 1 c) K = −1 ∫ 1 + x 4 dx 1 b) J = ∫ x 2 exp(− x 2 )dx 0 12.7: Integración numérica 241 Si m = 10 kgs y v(0) = 10 m/s. Tiempo (min) Veloc. d ) compara con el valor exacto. c) usando el método de cuadraturas de Gauss con n = 3 puntos. Aproxima la distancia recorrida usando 6 subdivisiones de longitud 10 minutos. Usa los métodos simples del trapecio y de Simpson con dos intervalos y el de cuadratura gaussiana con dos puntos para determinar expresiones dependientes de k que estimen el valor de la integral: 1 I ( k ) = ∫ x k exp(− x 2 )dx 0 Compara los resultados obtenidos aplicando las expresiones respectivas con el valor verdadero para el caso k = 3. 4 9. La siguiente tabla muestra la velocidad de un automóvil en la carretera México-Cuernavaca durante una hora.21568 8. Aproxima tabla ∫ f ( x )dx . Utiliza los métodos del trapecio y de Simpson para determinar aproximaciones de las siguientes integrales con n = 10 intervalos de igual longitud.24569 1 10. utilizando las fórmulas del trapecio y de Simpson. si la función f está dada por la 2 x f (x) 3 3.2. ¿Qué método produce el menor error? 11. utiliza el método de Simpson con cuatro intervalos para aproximar el tiempo requerido para que la velocidad de descenso de la partícula sea v = 5 m/s. y para ello evalúan la función en dos o tres puntos de un intervalo dado. 2. el comportamiento de g(t) se ajusta mejor a funciones del tipo: π π g (t ) = a + bt + c cos (t − 12 ) + d sen (t − 12 ) 24 24 Define los tiempos en que deben hacerse las medidas de temperatura y los coeficientes a. Construye ahora una fórmula de integración para evaluar exactamente polinomios de grado tres. a) Algunos de estos meteorólogos opinan que g(t) es un polinomio cúbico. Observa que la longitud del intervalo es igual a 3h. 2 2 . b) Otros de sus colegas piensan que es necesario incluir términos trigonométricos que tomen en cuenta la intensidad de la radiación solar. Encuentra el valor de las constantes A0. De ser así. para lo cual debes responder los siguientes incisos: a) Integra un polinomio de grado tres P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 en el intervalo 3h 3h . c. Piensa en la fórmula de integración ∫ f ( x )dx = A( f ( x0 ) + f ( x1 )) . 1. 24]. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. Las fórmulas del trapecio y Simpson son casos particulares de las fórmulas de Newton-Cotes. A1. determina los tiempos en que deben hacerse las mediciones de temperatura y las constantes A1. − . analiza y resuelve las siguientes situaciones. A2 para que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible. b. Considera la fórmula de integración −1 ∫x 2 f ( x )dx = A0 f (−1) + A1 f (0 ) + A2 f (1) . respectivamente. Encuentra los valores de la constan0 1 te A y de los puntos x0 y x1 para que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible. A2. Fórmulas de integración de Newton-Cotes. Para aproximar la temperatura media Tm = 24 ∫ 0 día cualquiera. El Charco. d. ¿Cuál es ese grado? 16. ¿Cuál es ese grado? 15. un grupo de meteorólogos propone tomar únicamente dos lecturas en los instantes t1 y t2 y usar la relación Tm = A1g(t1) + A2g(t2).242 Unidad 2: Métodos de integración 1 14. para ellos. Sea T = g(t) con t ∈ [0. Los dos métodos que hemos estudiado se basan en obtener una fórmula de integración exacta para polinomios de uno y dos grados. la función que define la temperatura ambiente en Cuernavaca determinada 24 1 g(t )dt en un a lo largo de las distintas horas del día. que se presenta en la introducción de esta sección. c) Reescribe el sistema de ecuaciones restante considerando los resultados del inciso anterior y resuélvelo. Expresa los coeficientes a0. a2 y a3 en términos de y0. 2. a1. Como seguramente habrás observado. y . y0 . b] se divide en 3n subintervalos de igual longitud. y 2 y 2 1 2 3h . y1. w3. establezca una fórmula compuesta para calcular integrales y aplícala para calcular las integrales del inciso anterior con seis subintervalos. Fórmulas de integración por cerraduras utilizando tres puntos. sigue el proceso siguiente: a) Establece el siguiente sistema de ecuaciones: 1 −1 ∫ x dx = w1 x1 + w2 x2 + w3 x3. 3. i i i i i = 0. los métodos de cuadraturas son sumamente poderosos y útiles. 2. y . x3 = −x2 y w1 = w3. 2 h h − .2. x3 tales que 1 I= −1 ∫ f ( x )dx = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + w3 f ( x3 ) Para ello. 4 para mostrar que una solución del sistema debe cumplir x2 = 0. . 3. construye una fórmula para evaluar integrales que sea exacta para polinomios de grado cuatro. y2 y y3. ya que sólo se necesita evaluar la función en algunos pocos puntos. 2 3 c) Usa los dos resultados anteriores para mostrar que 3h / 2 −3h /2 ∫ (a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 ) dx = 3h ( y0 + 3y1 + 3y2 + y3) 8 b d) Establece ahora un método simple para calcular 4 ∫ f ( x )dx y apóyate en él para detera 3 minar el valor de las siguientes integrales x ∫ e ln( x ) dx y 1 ∫x e 0 3 2x dx . 1. 5 ¿Por qué basta con establecer este sistema de ecuaciones para resolver el problema? b) Usa las ecuaciones con i = 0. x1.7: Integración numérica 243 3h b) Considera que el polinomio pasa por los cuatro puntos − . El problema es determinar w1. e) Supón que el intervalo original de integración [a. 4. x2. . Ahora construirá un método de cuadraturas basado en la evaluación de la función en tres puntos. Considera el polinomio de grado cinco f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5. w2. f ) Siguiendo el proceso anterior. I= x + x2 1 2 x ∫ 1 + x 2 dx. considera las siguientes integrales: 2 πx I = ∫ x + 4 dx. L = ∫ 2 dx 5 x + 25 0 0 0 0 5 5 5 5 a) Calcula el valor exacto de todas las integrales. Con la finalidad de apreciar la bondad de las diferentes fórmulas de integración numérica (trapecio. ii. b) Estima el valor de cada integral aplicando: i.06433 b) 7. no uses las fórmulas del error. el método de cuadraturas con n = 2.182828 a) 0. Comparación numérica. las fórmulas simples del trapecio y de Simpson. Simpson. c) Construye un cuadro comparativo donde se ponga de manifiesto el error cometido en cada uno de los casos anteriores.184874 b) 0.193316 d ) 0.7426 c) 6. J = ∫ sen dx. 4. Gauss). J = ∫ x e dx . Para ello.68104 d ) 4. las fórmulas compuestas del trapecio y de Simpson con n = 2.204868 . Determina el valor de la siguiente integral usando el método de Simpson con cuatro intervalos: 2 ∫x e 0 2 −2 x dx c) 0. K = ∫ ( x 2 + x + 1)e− x dx. Compara los resultados que arroja su fórmula con los exactos. iii.68104 2. 5 puntos. Calcula el valor de la siguiente integral usando el método del trapecio con tres intervalos: 3 ∫ 1 + x 5 dx 0 7x + 3 a) 7. toma en cuenta la diferencia entre los valores estimados y los exactos. 8 subintervalos de igual longitud. 3. K = ∫ 1 + x 2 dx −1 −1 −1 1 1 1 4. Autoevaluación 1.244 Unidad 2: Métodos de integración d) Establece ahora una fórmula de integración y úsala para calcular la integral de las siguientes funciones. iv. encuentra la estimación del valor de la siguiente integral. Usa el método de cuadraturas de Gauss con n = 3. a) 14.353 e) 0. vii.418851 i) 5.75881 −6.2567 −4.597288 c) 0. En la columna B.9063 c) 40.7: Integración numérica 245 3. 1 −1 ∫ xe −3 x dx Columna B i.5708 . utilizando el método indicado en la columna A.594444 d ) 0.55 h) −0.456369 g) 745. b) 13. ii.097 d ) 285. Determina el mínimo valor de n necesario para calcular la siguiente integral con un error menor a 0. vi.364873 f ) 0. iii.566234 b) 0.2. v.16117 −2. para determinar el valor de 2 ∫ 1 + 2 x dx 0 x a) 0.5346 −1.35341 −4.599327 4.67858 −4. viii. −3.001 usando el método del trapecio 2 ∫e 0 −x dx c) 82 d) 3 a) 26 b) 9 5.0179 Columna A a) b) c) d) trapecio con dos intervalos Simpson con dos intervalos Simpson con cuatro intervalos Cuadratura gaussiana con n = 2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1.50716 −10.49582 j) 1. 62075 9. c) 1.477755 i) 14.413008 j) 2.551852 c) 5. I simp ( k ) = + .3333 b) −42.609057 i) 0. Icuad (3) = 0.136196 14.09683 f ) 0. b) 0.126213.239081 * ( 0.4857 j) 0.246 Unidad 2: Métodos de integración 2.5599. a) 0.00154321 d) 0. x2 = .795031.11586 4.467305 g) 0.5018 b) 0.000171468 e) 0. A1 = 4/15.627915.556053 b) 0.42265)k 21− k + 0.785398 k) 3010. grado = 3 2 6 6 15. pues el resultado exacto es 0.142507 e) 0.75 km.04407 f ) 0. A0 = A2 = 1/5. 10. a) 0.043 h) 0.57302 6. 2.00130208 b) 1. b) 0.449507 b) 18 c) 4 b) 74 c) 29 d) 0.00826565 5.5317. grado = 3 .134216 * (1.019316 h) 0.000000423 e) 0.441217 d) Simpson con 8 intervalos.0715376 g) 135.142661 c) 0. 64. 13.6667 c) 24. Isimp(3) = 0.000014289 d) 0.722381. A = . a) 1000 7. x1 = 1 3− 3 3+ 3 . I tr ( k ) = 1 1 1 1 + k +1 1/ 4 .140645. a) 0.192657 e) 1. con el método de Simpson: 12. a) 0. a) 20 8.0000203451 b) 0. Con el método del trapecio: a) 0.2459 3.40325 c) 0. A través del método del trapecio: 12. c) 1. k −1 1/ 4 4e 2 e 6 e ( 3)2 e I cuad ( k ) = 0.481481 d) 0.57735)k 21− k Para k = 3 se tiene Itr (3) = 0.73402 12. a) 17.5 11.63685.72725 Con el de Simpson: a) 0.451487 c) 0. ) Referencias 1. d) 4. Métodos numéricos aplicados a la ingeniería. viii. Gerald. (d. 6a. . A1 = A1 = ( ) ( ) 1 . (a. F. d) 3. C. ed. (c. y Wheatley. A2 = 1. y Domínguez. a) 2.. x2 = 4 3 + 3 . Pearson Educación. CECSA.2. grado = 3 2 b) Una posibilidad es A1 = 0. 2a. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. ed. (b. México.). a) x1 = 4 3 − 3 .. P. v. A. Nieves.). 2005. Análisis numérico con aplicaciones. iv. i. 2...). México. a) 5. x2 = 12 y x1 en cualquier otro valor.7: Integración numérica 247 16. 2000. . cada generación construye un nuevo piso sobre la vieja estructura. el índice de Gini es una medida de la desigualdad de la distribución de los salarios. que está definida y es creciente en el intervalo [0. Dicha función se construye considerando fracciones de la población de menor a mayor ingreso. una generación derriba lo que otra ha construido. que se define mediante la integral G = 2 ∫ ( x − L ( x )) dx 0 1 .10. si se sabe que el 50% de la población más pobre obtiene el 10% de los ingresos. Por otro lado.1 Área entre curvas 3. Hermann Hankel La función de Lorenz y el índice de Gini Para medir la distribución de los ingresos de una población se utiliza la función de Lorenz L(x). entonces se tendría que L(0.249 Unidad Aplicaciones de la integral Contenido de la unidad 3.5) = 0.3 Aplicaciones de la integral 3.2 Volúmenes 3. Solamente en matemáticas.1 Área entre curvas En la mayoría de las ciencias. 1]. Por ejemplo. 58 0. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección.250 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Ejercicio a) Elabora un esquema gráfico que muestre la curva de Lorenz y la recta y = x.002 0. Fracción de países Fracción del PIB 0. b]. para esos datos.6 0. .2 0.21 1.10 Introducción En esta sección abordaremos el problema de calcular áreas encerradas por dos o más curvas. Primero. explica los costos y beneficios de un índice de Gini cercano a los valores 1 o 0.7 0. Tabla 3. donde se vuelve necesario determinar con mucha precisión el área de una región dada. inferiormente por el eje x y lateralmente por las rectas x = a y x = b.1 Áreas entre curvas En la sección 1. por ejemplo.1 se muestran los datos del producto interno bruto (PIB) de los países del mundo. y utilízalo para explicar el significado geométrico del índice de Gini.1.0 0. b) En la tabla 3. • reconocer los tipos de regiones I y II. deberás ser capaz de: • calcular el área encerrada entre dos curvas.11 0.005 0.1 0. c) Desde un punto de vista económico.4 0.1: El producto interno bruto mundial y su distribución entre los países del mundo. Este problema geométrico lo encontramos.0 1 0. Sección 3.3 0.9 0.0 0.28 0. y = g(x) y las rectas verticales x = a y x = b. definiremos dos tipos generales de regiones y mostraremos cómo aplicar la integral para calcular su área. construye la curva de Lorenz y determina el índice de Gini. es igual a la integral definida de la función en el intervalo [a. Basaremos el estudio en el conocimiento que ya tenemos sobre la relación entre área e integral.001 0. en situaciones como la precedente.8 0. Ahora deseamos calcular el área encerrada por las curvas y = f (x).5 0. así como la forma de calcular sus áreas.2 mostramos que el área de la región limitada superiormente por la curva y = f (x) > 0.18 0. observa la figura 3. xn = b). i = 1. es decir: . xn pertenecientes al intervalo y ordenados de menor a mayor.…. tenemos A = lím ∑ f (ξi ) − g (ξi ) ∆xi || P ||→ 0 i =1 n Finalmente. ya que pueden existir subintervalos donde f (x) < g(x). obtenemos una aproximación del área buscada A. 2.1: Área entre curvas 251 y y y=fx x=a y=gx x x=b x=a y=fx x=b y=gx x FIGURA 3. n. b] en n pequeños subintervalos (a = x0.1: Área limitada por dos funciones que no se intersecan en el intervalo [a. Considera ahora una partición del intervalo [a. Con la finalidad de establecer una expresión que permita determinar esta área. En cada intervalo construimos un rectángulo de base ∆xi = xi − xi − 1 y altura f (ξi) − g(ξi). (xn − 1. b]. Para calcular el área encerrada por las dos curvas en el intervalo [a. xi). b].1.…. usando la integral definida. x2. observa la figura 3.…. cuando la norma de la partición tiende a cero. x1). observa que el área se puede estimar sumando el área de rectángulos verticales. abajo por y = g(x) y lateralmente por x = a y x = b está dada por A = área de la región R = ∫ [ f ( x ) − g( x )] dx a b (3. obtenemos el siguiente resultado: Área entre curvas y = f (x) y y = g(x) que no se intersecan El área de una región limitada arriba por y = f (x). donde ξi es un punto en el intervalo (xi − 1. x2). Sumando el área de estos rectángulos.1) No siempre se cumple que f (x) > g(x) en todo el intervalo [a. (x1.3. b]. b] es necesario determinar primero los puntos de intersección x1. supón que f (x) > g(x) en [a. Es decir: A ≈ ∑ f (ξi ) − g (ξi ) ∆xi i =1 n En el límite.3. y posteriormente evaluar la integral que aparece en la fórmula (3.2: Dos funciones que se intersecan en [a. Si queremos asegurar que siempre tengamos el área correcta. xn]. [xn.2) que corresponden a las figuras 3. . [xn − 1. tenemos el siguiente resultado.…. x2]. Si el resultado es negativo. esto es equivalente a sumar las integrales del valor absoluto de la diferencia de las dos funciones. en una parte del intervalo se satisface f (x) > g(x) y en otra se cumple la desigualdad contraria. x = g(y) y las rectas horizontales y = c y y = d. [x1. b] está dada por: A= ∫ a b f ( x ) − g( x ) dx (3. es equivalente a integrar f ( x ) − g( x ) en [a. Es decir. b]. basta con cambiar el signo para obtener el área. Tenemos dos resultados adicionales equivalentes a las fórmulas (3. queremos determinar el área encerrada por las curvas x = f (y). b]. Cuando el resultado sea positivo. b].4.2) y y y=fx y=fx x=a y=gx x=b x x=a y=gx x=b x FIGURA 3. que a la vez. tendremos el área encerrada por las curvas en ese intervalo.1) y (3. observa la figura 3.1) para cada uno de los subintervalos [a. En el primer caso. se suma el valor absoluto de las integrales en cada región. Área encerrada por curvas y = f (x) y y = g(x) que se intersecan El área de una región encerrada por la funciones y = f (x) y y = g(x) en el intervalo [a.4. x1].3 y 3. x1 A= = = a x1 ∫ ( g( x ) − f ( x )) dx g( x ) − f ( x ) dx + x2 + x2 x1 ∫ ( f ( x ) − g( x )) dx f ( x ) − g ( x ) dx + + b + xn ∫ ( g( x ) − f ( x )) dx b ∫ a b a x1 ∫ + xn ∫ g( x ) − f ( x ) dx ∫ g( x ) − f ( x ) dx En resumen.252 Unidad 3: Aplicaciones de la integral a ≤ x1 < x2 < … < xn ≤ b. posteriormente. y1).1: Área entre curvas 253 y y=d x=gy y y=d x=gy y=c x=fy x y=c x=fy x FIGURA 3. x = g(y) y las rectas y = c y y = d está dada por: A = ∫ f ( y ) − g( y ) dy c d (3.3) De forma similar. tenemos que el área encerrada está dada por A = lím ∑ f (ξi ) − g (ξi ) ∆xi || P ||→ 0 i =1 n Si usamos la definición de integral definida.3: Dos curvas definidas por x = f (y) y x = g(y) que no se intersecan en el intervalo [c. tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero. d]. sobre el eje y. i = 1. donde ξi es un punto en el intervalo (yi − 1. (y1. yn = d). Sumando el área de estos rectángulos y. y2). a la izquierda por x = g(y) y lateralmente por y = c y y = d está dada por A = ∫ [ f ( y ) − g( y )] dy c d (3. Para cada subintervalo construimos rectángulos horizontales de base ∆yi = yi − yi − 1 y altura f (ξi) − g(ξi). obtenemos el siguiente resultado: Área entre curvas x = f (y) y x = g(y) que no se intersecan El área de una región limitada a la derecha por x = f (y).…. en el caso ilustrado en la figura 3. yi).….4) . d]. Observa que el área se puede estimar sumando el área de rectángulos horizontales. n. Primero hacemos una partición del intervalo [c. 2.4. tenemos el resultado más general siguiente: Área encerrada por curvas x = f (y) y x = g(y) que se intersecan El área de una región encerrada por las funciones x = f (y). en n pequeños subintervalos (c = y0. (yn − 1.3. 2 del libro Cálculo diferencial de los autores de este texto. las incluimos porque son ilustrativas del área que buscamos.1 Determina el área de la región limitada abajo por la parábola y = x2 100 . Observa que el área se puede estimar sumando el área de rectángulos horizontales. − 4 y arriba por la curva y = 9 64 + x 2 y 15 12. d]. se puede consultar la sección 9. Todas las gráficas de los ejemplos siguientes no son necesarias.5 y 15 x – 15 – 10 –5 a) 5 10 15 – 15 – 10 –5 –5 b) 5 10 15 x FIGURA 3. Sin embargo. .4: El área encerrada por dos curvas definidas por x = f(y) y x = g(y) que se intersecan dentro del intervalo [c.1. ya que las áreas a calcular sólo requieren conocer los puntos de intersección.5: Área entre dos curvas. Para su construcción.254 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y y=d x=gy x=fy y=c y y=d x=gy x=fy y=c x x FIGURA 3. ejemplo 3. Ejemplos Ejemplo 3. 5 –5 – 100 – 150 – 200 b) 100 50 10 x 12. multiplicando por 64 + x 2 .65654 integrando.1) con f ( x ) = 6. la fórmula adecuada para hacer el cálculo es la fórmula (3. obtenemos: x2 100 −4= 9 64 + x 2 x2 64 + x 2 − 4 = 100 9 igualando las ordenadas.2 Determina el área de la región limitada abajo por la parábola y = 4x2 − 21x − 122 y arriba por la recta y = 7x − 2.6: Área entre dos curvas. Observa que el área buscada se puede estimar mediante la suma de rectángulos verticales.5b se muestran las gráficas de las dos funciones dadas y el área que delimitan. Para obtenerlos. = 48. = x x3 100 arctan − + 4x 8 27 8 −6. igualamos las ordenadas de ambas curvas. eva aluando.5 y FIGURA 3.7541 Ejemplo 3. y 9 64 + x 2 A= −6.1: Área entre curvas 255 solución En la figura 3.1).3. x 4 + 28 x 2 − 3204 = 0 x = ±6. y 100 50 –5 – 100 – 150 – 200 a) 10 x 12. . Así. ( ) simplificando.65654 resolv viendo la ecuación cuadrática. ejemplo 3.2. en consecuencia.65654 x2 100 g ( x ) = −4 . El área pedida se obtiene aplicando la fórmula (3.65654 ⌠ 100 x2 − − 4 dx 2 ⌡ 64 + x 9 6. Necesitamos ahora los puntos de intersección de las curvas.65654 sustituyendo. 10 simpl lificando. evaluan ndo.3 Determina el área encerrada por las curvas y = 5x2 − 3x + 2 y y = −3x3 − x2 + 54x + 62.7: Área entre dos curvas. el área encerrada entre las curvas está dada por 10 A= = −3 10 ∫ 7x − 2 − (4 x ∫ −4 x 2 2 − 21x − 122 . dx sustituyendo. simplificando. y 200 150 100 50 2 – 50 – 100 a) 4 6 x –6 –4 –2 – 50 – 100 b) 2 4 6 x y 200 150 100 50 –6 –4 –2 FIGURA 3. Así tenemos que: . Identificamos ahora f (x) = 7x − 2 y g(x) = 4x2 − 21x − 122. Para determinar esta área calculamos primero los puntos de intersección de las curvas.67 Ejemplo 3.7 muestra la gráfica de las dos curvas y el área buscada.4.1) porque el área buscada se puede describir como la suma de rectángulos verticales (figura 3. ) −3 + 28 x + 120 dx 10 =− 4 x2 + 14 x 2 + 120 x 3 −3 integrando.256 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución Nuevamente aplicamos la fórmula (3. resolviendo la ecuación cuadrática. Los puntos de intersección de las curvas son: 4 x 2 − 21x − 122 = 7 x − 2 igualando. 2 = −3. = 1464.7). ejemplo 3. 4 x 2 − 28 x − 120 = 0 x1. solución La figura 3. Finalmente. el área es: A = A1 + A2 = 224 + 406.25 = 630. 3x 3 + 6 x 2 − 57 x − 60 = 0 x + 2 x − 19 x − 20 = 0 3 2 simplificando. c = −20. aplicando la fórmula (3.1: Área entre curvas 257 5 x 2 − 3x + 2 = −3x 3 − x 2 + 54 x + 62 igualando. b = 1. Sustituyendo estos valores y factorizando.4 Determina el área encerrada por las curvas y = −x3 + 8x2 y y = 8x4 − 9x3 − 64x2 + 72x. .3. nuevamente obtenemos: x3 + 2x2 − 19x − 20 = (x + 1)(x2 + x − 20) = (x + 1)(x + 5)(x − 4) Las raíces de esta ecuación son x1 = −5.25 2 4 −1 4 Finalmente. separamos la integral en dos: −1 A1 = −5 4 ∫( −1 3x 4 57 x 2 −3x − 6 x + 57 x + 60 dx = − − 2x3 + + 60 x = 224 4 2 −5 3 2 ) −1 A2 = ∫( 3x 3 + 6 x 2 − 57 x − 60 dx = ) 57 x 2 3x 4 + 2x3 − − 60 x = 406.2). x2 = −1 y x3 = 4.7b. Al igualar los coeficientes de potencias correspondientes obtendremos el sistema de ecuaciones: a=1 a+b=2 b + c = −19 c = −20 que tiene como solución: a = 1.7a y 3. dividien ndo entre 3. tenemos que A= −5 ∫ 4 5 x 2 − 3x + 2 − −3x 3 − x 2 + 54 x + 62 dx = ( ) −5 ∫ 3x 4 3 + 6 x 2 − 57 x − 60 dx Apoyándonos en las figuras 3. Observa que una solución de esta ecuación es x1 = −1. Proponemos entonces la factorización x3 + 2x2 − 19x − 20 = (x + 1)(ax2 + bx + c) Y desarrollando obtenemos x3 + 2x2 − 19x − 20 = ax3 + (a + b)x2 + (b + c)x + c.25 Ejemplo 3. x3 = 1 y x4 = 3. una tercera factorización.8 5 1 ) . Obtener las raíces es un ejercicio simple de factorización. que esta área la constituyen tres pequeñas áreas.6 5 0 3 1 A1 = ∫( 1 3 8 −8 x 4 + 8 x 3 + 72 x 2 − 72 x dx = − x 5 + 2 x 4 + 24 x 3 − 36 x 2 = 108.5.2 −3 A1 = ∫( 0 8 x 4 − 8 x 3 − 72 x 2 + 72 x dx = ) 8 5 x − 2 x 4 − 24 x 3 + 36 x 2 = 11. para calcularla determinamos primero los puntos de intersección.8 se muestra el área encerrada por las dos curvas. A= ∫ 8x a b 4 − 8 x 3 − 72 x 2 + 72 x dx Observa. una primera factorización. simplificando. 8 x 4 − 9 x 3 − 64 x 2 + 72 x = − x 3 + 8 x 2 8 x − 8 x − 72 x + 72 x = 0 4 3 2 igualando. 8 x ( x − 1) − 72 x ( x − 1) = 0 3 8 x ( x − 1) x − 9 = 0 2 8 x ( x − 1) ( x − 3) ( x + 3) = 0 ( ) De donde las raíces son: x1 = −3. y después igualamos las dos funciones.2.258 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y 150 100 50 x –4 –3 – 50 – 100 – 150 – 200 a) 1 3 4 –4 –3 – 50 – 100 – 150 – 200 150 100 50 y x 1 3 4 b) FIGURA 3. en la figura 3.9. solución En la figura 3. las cuales se calculan como sigue: A1 = −3 1 ∫ ( −8 x 0 4 8 + 8 x 3 + 72 x 2 − 72 x dx = − x 5 + 2 x 4 + 24 x 3 − 36 x 2 5 ) 0 = 421. ejemplo 3.8: Área entre dos curvas. x2 = 0. El área encerrada por las curvas se determina utilizando la relación 3. una segunda factorización. En efecto. in ntegrando. Así el área encerrada está dada por: A= = −4 4 ∫ 2 + 4 y − (2 y ∫ 32 − 2 y 2 4 2 + 4 y − 30 dy sustituyendo.6. evaluando. Así.8 = 541. el área encerrada está dada por: A = A1 + A2 + A3 = 421.3). De la última ecuación se obtienen las raíces y1 = −4 y y2 = 4.2 + 11. el área encerrada se determina usando rectángulos horizontales. solución En este caso. Primero calculamos los puntos de intersección de las curvas.9: Área entre dos curvas. debemos utilizar la expresión (3. 0bserva la figura 3.1: Área entre curvas 259 Finalmente. simplificando. ejemplo 3. tenemos: 2y2 + 4y − 30 = 2 + 4y 2y − 32 = 0 2 igualando.5 Determina el área encerrada por las curvas x = 2 + 4y y x = −30 + 4y + 2y2.6 Ejemplo 3.9. simplificando. por esa razón.3.6 + 108. y 6 4 6 4 y – 40 –2 –4 –6 a) 10 20 x – 40 –2 –4 –6 b) 10 20 x FIGURA 3. ) −4 dy = 32 y − = 512 3 2 3 y 3 −4 4 . 260 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Ejemplo 3. una segunda factorización.75 4 ∫ ( −5 y 5 5 800 = 266. 5 y 3 − 5 y 2 − 60 y = 0 5 y y − y − 12 = 0 2 simplificando. área requerida está dada por: A = A1 + A2 = 123. y2 = 0 y y = 4. ejemplo 3. una primera factorización. cada una de ellas con área: A1 = A2 = −3 4 ∫ (5y 0 0 3 − 5 y 2 − 60 y dy = 3 ) 5 4 5 3 y − y − 30 y 2 4 3 0 = −3 4 495 = 123. Así que primero determinamos los puntos de intersección.42 .6 Determina el área encerrada por las curvas x = 2y2 − 4y + 4 y x = −5y3 + 7y2 + 56y + 4. el área encerrada entre las curvas se obtiene sumando el área de rectángulos horizontales. las raíces son: y1 = −3. 2 y 2 − 4 y + 4 = −5 y 3 + 7 y 2 + 56 y + 4 igualando. el área que buscamos está formada por dos regiones.75 + 266.6. y 6 4 2 x – 100 – 50 50 100 150 – 100 – 50 50 100 150 6 4 2 x y –4 a) –4 b) FIGURA 3.10. 5 y ( y − 4 ) ( y + 3) = 0 ( ) Entonces.10. Observa la figura 3. el área encerrada está dada por: A= −3 ∫ 5y 4 3 − 5 y 2 − 60 y dy De la figura 3.67 = 390. solución Nuevamente.67 + 5 y 2 + 60 y dy = − y 4 + y 3 + 30 y 2 = 3 4 3 0 ) Finalmente.10: Área entre dos curvas. 7. y 3 2 1 – 100 – 75 – 50 – 25 –2 –3 a) 25 50 75 x 100 – 100 – 75 – 50 – 25 –2 –3 3 2 1 y 25 50 75 x 100 b) FIGURA 3. −8 y 3 − 9 y 2 + 5 y − 6 = −10 y 4 + 2 y 3 + 31y 2 − 35 y − 6 igualando. una primera factorización. entonces: y = −2. 10 y 4 − 10 y 3 − 40 y 2 + 40 y = 0 10 y ( y − 1) − 40 y ( y − 1) = 0 3 simplificando. Ahora las áreas de las tres regiones de la figura 3.6667 3 6 6 3 .11.3. el área total encerrada A = A1 + A2 + A3 = 248 37 53 293 + + = = 97. solución Busquemos primero los puntos de intersección. ejemplo 3.11: Área entre dos curvas.1: Área entre curvas 261 Ejemplo 3. y = 1 y y = 2. una segunda factorización. . y = 0.7 Determina el área encerrada por las curvas x = −8y3 − 9y2 + 5y − 6 y x = −10y4 + 2y3 + 31y2 − 35y − 6. se calculan como sigue: A1 = A2 = A3 = −2 1 ∫( 0 0 10 y 4 − 10 y 3 − 40 y 2 + 40 y dy = 2 y 5 − ) 5 4 40 3 y − y + 20 y 2 2 3 5 0 = −2 0 248 3 = 37 6 ∫ (−10 y 4 + 10 y 3 + 40 y2 − 40 y) dy = − 2 y5 + 2 y 4 + ∫ (10 y 4 − 10 y 3 − 40 y2 + 40 y) dy = 2 y5 − 2 y 4 − 5 1 2 40 3 y − 20 y 2 3 2 −2 40 3 y + 20 y 2 3 = 1 53 6 Entonces. 10 y ( y − 1) y 2 − 4 = 0 10 y ( y − 1) ( y − 2 ) ( y + 2 ) = 0 ( ) Las raíces son. una última factorización. x = 18 − 3y − 4y2 + 2y3. 1 r) x = 1 + 4y. x = 0 en el primer cuadrante f ) x = y2 + 1. el eje x y la recta x = 5 x2 x −1 k) y = 2 . y = −2 − 10x + 6x2. el eje x y la recta x = n) y = −2 + 2x. 84. en el segundo cuadrante h) y = ln(x). y = 0. y = 35 − 34x + 6x2.25 u) y = 3x2 − 5x − 5. 64 q) x = −6 − 4y. x = −183 + 5y + 5y2. el eje x y las rectas x = 4 y x = 6 x − 5x + 6 j) y = x 2 − l) y = x3 . x = −143 − 56y − 6y2. x = 10 g) y = 3 + 2x − x2. y = 4. y = 3x3 − 1x2 − 5x + 9. 435. 131 v) y = x2 − 2x − 1. y = x3 − 4x2 − 3x + 4. y = 59 + 35x + 4x2. x = 174 − 70y + 6x2. 49. 65.3333 z) x = −6 + 5y + 2y2.25 y) x = −3 − 4y − 6y2. y = 0 y x = 1 d) y = x . 8 s) x = −3 + 5y.262 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Determina el área encerrada por las siguientes curvas: a) y = 5x − x2 y y = 0 b) y = x y y = x2 c) y = x . el eje x y x = e3 i) y = sen2(x).5 . x = 0 y x = 2π 16 . 9.3333 w) y = −5x2 − 2x + 3. los dos ejes coordenados y la recta x = 4 ( x 2 + 4 )3 3 4 m) y = arcsen(2x). y = 1 y x = 9 e) xy = 2.3333 t) y = 4x2 + 3x − 2. y = 1. 1440 o) y = −1 + 3x. 8 p) y = 5 + 2x.25 x) x = 1 − y + 4y2. x = 0. 3005. 5. x = 109 − 28y − 8y2 + 3y3. y = 4x3 − 9x2 − 21x + 43. y = −3x3 + 22x2 + 78x − 452. x = −19 + 10y2 − 4y3. el eje x. b) Encuentra el área limitada por la función anterior y el eje x para x > 0. Jugando con áreas a) Para este problema considera que f (x) = 2x − 3x3. La función de Lorenz y el índice de Gini Investiga sobre la función de Lorenz y el índice de Gini.3. b) Para el caso a = 2 encuentra los puntos de intersección (sugerencia: completa cuadrados). responde las preguntas del inicio de la sección y las siguientes. Calcula el CPI de la función de Lorenz L(x) = 2. demuestra que la fracción de población situada entre esos puntos obtiene menos de una fracción igual del recurso medido por la función de Lorenz. a] sea la mitad del área del inciso anterior. cuando a = 0 y a = 1.1: Área entre curvas 263 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. i. si m < 1. a) Calcula el índice de Gini para las siguientes funciones de Lorenz. . ¿Qué ocurre si m = 1? ¿Y si m > 1? ii. 1. analiza y resuelve las siguientes situaciones. d) Encuentra el valor de b tal que la integral de la función y − b ≥ 0 sea igual a la mital del área del inciso a). 3. Posteriormente. Posteriormente encuentra el área entre las curvas. Área entre parábolas Considera las dos familias de curvas y = x2 − a2 y x = a2 − y2: a) Determina el área interior a las dos parábolas. e) Determina c tal que x p 1 3/ 2 1 5 / 2 x + x 2 2 ∫ ( c − f ( x )) dx = ∫ ( f ( x ) − c ) dx 0 x1 1 donde x1 es el punto de intersección de las curvas y = f (x) y y = c. c) Encuentra una fórmula general para el área encerrada entre las dos parábolas que sea válida para el caso a ≥ 2. L(x) = x2 ex − 1 e −1 b) Si m es la pendiente de la recta que une los puntos A y B en la curva de Lorenz y = L(x). L(x) = c) Se define el coeficiente de partes iguales (CPI) como el porcentaje p de la población que recibe una parte igual de los recursos. c) Determina el valor de a tal que la integral de la función en [0. 50408 l) 0. 5. 3.8333 b) 0.66667 h) 41. Determina el área encerrada por las curvas x = 4 − 9y − 3y2 + y3 y x = 4 + y.20345 n) 8 o) 5.25 x) 435. Determina el área encerrada por las curvas y = x5 y y = x3. Calcula el área encerrada por las curvas y = 4 − 12x + 2x2 + x3 y y = 4 + 3x.1711 i) π j) 124.264 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Autoevaluación 1. 4.25 u) 131 v) 49.166667 c) 0.874 k) 1.5 .33333 e) 2.04 m) 0. g) 3. Respuestas a los Ejercicios y problemas a) 20.3333 z) 65.25 y) 84. a) A = 500/3 a) A = 1/3 a) A = 1/16 a) A = 0 a) A = 407/4 b) A = 200/3 b) A = 7/12 b) A = 1/12 b) A = 863/2 b) A = 100 c) A = 20/3 c) A = 1 c) A = 4 c) A = 863/6 c) A = 102 d) A = 660 d) A = 1/12 d) A = 0 d) A = 21/6 d) A = 305/3 2.3333 w) 9.333333 d) −9. Determina el área encerrada por la parábola y = x2 y la recta y = 4x + 21. Calcula el área encerrada por las curvas y = x2 y y = x3.77259 f ) 36.3333 p) 64 q) 1 r) 8 s) 1440 t) 3005. pdf 2.. a) 4. Piskunov. ed. Consideraciones sobre el índice de Gini para medir la concentración del ingreso. 3. Cálculo (una variable). N. a) 2.. Medina. Santiago de Chile. d) 3. Cálculo diferencial e integral. CEPAL.org/publicaciones/xml/0/6570/ lcl1493e. Montaner y Simón. Pearson Educación. Fernando. c) 5. 2001. Thomas. México. 11ª.3.1: Área entre curvas 265 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. versión on line: http://www..cepal. G. . 2005. a) Referencias 1. Barcelona. 1978. ALTURA DIÁMETRO . sin embargo. contiene esa verdad literal como una parte dispersa.2 Volúmenes Así como los números irracionales son un mito conveniente que simplifica las leyes de la aritmética. Debes encontrar una fórmula para calcular el volumen de esas botellas en función de su altura. El esquema conceptual de los objetos físicos es un mito más sencillo que la verdad literal que. Willard Van Orman Quine La fórmula secreta de la Coca ColaMR ALTURA ALTURA DIÁMETRO DIÁMETRO FIGURA 3.12: Botellas de Coca ColaMR que son copias a escala del modelo clásico. de la misma manera los objetos físicos son entidades postuladas que complementan y simplifican nuestra descripción del flujo de la existencia.266 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 3. En muchas situaciones resulta importante conocer sus características físicas (volumen. Incluso las tapas deben ajustarse a las nuevas botellas. FIGURA 3.2: Volúmenes 267 La compañía Coca ColaMR quiere fabricar nuevas botellas de vidrio de distintos tamaños. ¿Cómo debe ser la expresión funcional de esta fórmula? Introducción Los sólidos de revolución son objetos tridimensionales que se obtienen al girar una región plana alrededor de un eje de rotación.1 mililitros. y finalmente la pantalla de un tercer torno de control numérico. del modelo clásico (véase figura 3.14: Los tornos producen piezas que son sólidos de revolución. . y aparecen de diversas formas en la vida cotidiana. En las figuras 3.14 se ilustran diferentes objetos que son sólidos de revolución. Por tal razón. momento de inercia).13 y 3. peso) y geométricas (centroide.3.12). al menos. De izquierda a derecha: torno para madera. se necesita determinar una fórmula que permita calcular el volumen (en mililitros) en términos de la altura (en centímetros) con una precisión de. La imagen corresponde al cuadro Frutas de temporada de Aurora Santiago. a escalas diferentes. otro torno mecánico para metal. FIGURA 3.13: Algunas frutas que son sólidos de revolución. de manera que sean copias exactas. Iniciamos entonces su estudio en esta sección. ± 0. 1 Sólidos de revolución En la figura 3. 16 14 12 10 EJE y = 15 EJE 8 6 4 2 2 4 6 8 10 FIGURA 3.15 se muestra la región limitada por rectas y = 4. x = 6 y x = 8. El volumen del sólido es igual al volumen del cilindro grande menos el volumen del agujero cilíndrico pequeño. Sección 3. mejor conocido como arandela. Si llamamos ∆x a ese grosor. así como el sólido que se obtiene al girar dicha región alrededor de la recta y = 15. arandelas y cáscaras cilíndricas.268 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Objetivos Al terminar de estudiar esta sección.2. entonces el volumen de este sólido de revolución está dado por: . tomando como eje de giro los ejes coordenados o cualquier línea paralela a dichos ejes. R al radio exterior (radio del cilindro sólido) y r al radio interior (radio del agujero cilíndrico). El sólido tiene forma de arandela (disco perforado). Recuerda que para cada cilindro el volumen es igual al área de la base circular multiplicada por la altura. En este caso.15: Eje de rotación y sólido de revolución del ejemplo 3. deberás ser capaz de: • Calcular el volumen de un sólido de revolución usando los métodos de discos. al que se le hizo un orificio cilíndrico de radio pequeño en el centro. el cual también puede interpretarse como un cilindro sólido de radio grande.8. y = 12. • Determinar el volumen de un sólido conociendo el área de una sección transversal. la altura es el grosor de la arandela. Observa que el sólido que se obtiene es un disco perforado. Observa la figura 3.17: El radio interior y el grosor de la arandela del ejemplo 3. En conclusión.16. El valor del radio exterior R. .17). es R = 15 − 4 = 11. 16 14 12 10 r r 8 6 4 2 ∆x 2 4 6 8 10 12 14 16 ∆x FIGURA 3. la altura de los dos cilindros (el grosor de la arandela) vale ∆x = 8 − 6 = 2. al girar esta región alrededor del eje y = 5. es r = 15 − 12 = 3 (véase la figura 3.8. De forma similar. el radio interior r.16: El radio exterior de la arandela del ejemplo 3.3. al girar alrededor del eje y = 15.2: Volúmenes 269 Volumen del cilindro Volumen del agujero Volumen = − sólido grande cilíndrico pequeño Área de la base Grosor Área de la base Grosor ⋅ ⋅ Volumen = − de la arandela de la arandela c ircular pequeña circular grande 2 2 v= π R ⋅ ( ∆x ) − π r ⋅ ( ∆x ) ( ) ( ) 16 14 12 10 8 R R 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 FIGURA 3.8. Esa suma de volúmenes de arandelas es una aproximación al volumen del sólido de revolución. Cuanto más arandelas usa. En la figura 3.18: Una arandela se genera al rotar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación. y = 12. cuyo volumen se calcula fácilmente.18 se muestran una área y un rectángulo pequeño inscrito en esa área. Pasemos ahora a generalizar el resultado para responder la pregunta ¿cómo calcular el volumen del sólido que se obtiene al girar una área alrededor de un eje dado? Para ello considera un sólido como el de la figura 3.19). Cuanto más arandelas usa. se genera una arandela similar a la de nuestro ejemplo anterior.270 Unidad 3: Aplicaciones de la integral El volumen del sólido generado al rotar la región encerrada entre las rectas y = 4. mejor será la aproximación (véase la figura 3.18. FIGURA 3. . Al hacer tender a infinito el número de arandelas.717 Esta discusión nos muestra cómo determinar el volumen de una arandela. x = 6 y x = 8 alrededor del eje y = 15 es: ( ) ( ) v= (π 11 ) ⋅ ( 2 ) − (π 3 ) ⋅ ( 2 ) 2 2 2 2 v= π R ⋅ ( ∆x ) − π r ⋅ ( ∆x ) v = 224π v = 703. FIGURA 3. Cuando ese rectángulo se rota alrededor del eje. se obtiene el volumen exacto del sólido. Esto sugiere que es posible cubrir la región con rectángulos y sumar los volúmenes de las arandelas generadas al rotar. mejor será la aproximación. con su lado mayor perpendicular al eje de rotación.19: La suma de volúmenes de arandelas es una aproximación al volumen del sólido. Cada arandela j tiene su propio grosor ∆xj.20: Las gráficas de las funciones f (x) y g(x) encierran la región. entonces el radio exterior es Rj = f (xj) − c y el radio interior es rj = g(xj) − c. y = f ( x ) en el intervalo ( a . (x1. y que éste se dividió en n pequeños subintervalos (a = x0. (xn − 1. considera que la región está limitada por las curvas y = g(x). su propio radio exterior Rj y su propio radio interior rj . así como la arandela j-ésima asociada que tiene grosor ∆xj.21. si el eje de rotación es la línea horizontal y = c. Como se observa en la figura 3. la función más alejada del eje es f (x) y la función más cercana al eje es g(x). x1). xj + 1).3. radio exterior Rj y radio interior rj. x2). En la figura 3. … .2: Volúmenes 271 Para formalizar el resultado. b ).20 se muestra la gráfica que corresponde a un intervalo genérico (xj. El volumen ∆vj de esta arandela se calcula de la misma manera que el volumen presentado en nuestra discusión previa. De manera que el volumen de la arandela j-ésima queda como: 2 ∆v j = π R 2 j − rj ∆x j ( =π f x j − c − g x j − c ∆x j ( ( ) ) 2 ( ) 2 ) . 2 ∆v j = π R 2 j ∆x j − π rj ∆x j 2 = π R2 j − rj ∆x j ( ) ∆xj y = f (x) Rj y = g(x) EJE y=c x = x1 x = x2 EJE rj EJE FIGURA 3. xn = b). se hace girar la región que está encerrada entre las gráficas de dos funciones f (x) y g(x) con intersecciones en x = a y x = b es: V = ⌠π f ( x) − c − g( x) − c dx ⌡ 2 2 a b ( ) . alrededor del eje horizontal y = c. obtenemos el siguiente resultado.21: El radio exterior R y el radio interior r en términos del eje y = c y de las funciones f(x) y g(x) que encierran la región. obtenemos el volumen exacto V del sólido de revolución. Volumen del sólido de revolución: método de discos El volumen del sólido de revolución generado cuando. entonces VN viene dado por la siguiente expresión: VN = ∑ π f x j − c − g x j − c ∆x j j =1 N ( ( ) 2 ( ) 2 ) Tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero. para obtener una aproximación del volumen del sólido de revolución. Si llamamos VN al volumen aproximado con una cantidad N de arandelas. aplicando la relación entre sumas de Riemann y la integral definida. es decir: V = lím f x −c ∑π ( ( j ) ) || P ||→ 0 N j =1 2 2 − g x j − c ∆x j (( ) ) Finalmente.272 Unidad 3: Aplicaciones de la integral ∆x ∆x f (x) R = f (x) – c EJE y=c xj xj EJE y=c r = g(x) – c g(x) FIGURA 3. A continuación sumamos los volúmenes de todas las arandelas generadas al girar los rectángulos que cubren la región. Para obtener el valor de y1 reemplazamos el valor de x1 en cualquiera de las dos curvas: y1 = 4 + 2 ⋅ (1) − (1)2 = 5 De forma similar. sino entender el procedimiento que usamos para obtenerla. que deben pasar por los puntos de intersección. En esa notación no es necesario escribir el límite ni la sumatoria en cada ejercicio. y simplificando. 1). encontramos el valor de y2: y2 = 4 + 2 ⋅ (3) − (3)2 = 1 Es decir. y se encuentran igualando las expresiones para y de ambas curvas: 4 + 2x − x2 = 10 − 6x + x2 Pasando todos los términos al lado derecho de la ecuación. necesitamos primero determinar los puntos donde se cortan. consideramos las diferenciales dx y dV en vez de los incrementos ∆x y ∆V. 5 ) y (x2. y = 10 − 6x + x2. Posteriormente tracemos las dos parábolas. Observación: En algunas ocasiones. || P ||→ 0 j =1 N Ejemplos Ejemplo 3. Finalmente.23).2: Volúmenes 273 No es buena idea memorizar esta fórmula. Además es una notación muy utilizada en las aplicaciones de física e ingeniería. En esos puntos. los dos puntos de intersección son (x1. con los cuales también se determinan los volúmenes de los sólidos de revolución. solución Para graficar la región encerrada entre las dos curvas. obtenemos: 2x2 − 8x + 6 = 0 Si aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Tracemos ahora la región entre las curvas (véase la figura 3. y2) = (3. En términos prácticos. tenemos las dos soluciones x = 1 y x2 = 3. . y1) = (1. b) Calcula el volumen de ese sólido. pintemos la región que queda encerrada entre las curvas y tracemos el eje de rotación y = −1. así como la integral definida en vez del límite lím ∑ ( ) ∆x j . alrededor del eje y = −1.3. Más adelante estudiaremos otros casos (girar alrededor un eje vertical en vez de horizontal y el uso de cáscaras cilíndricas en vez de arandelas). resulta útil emplear la notación de diferenciales en vez de los incrementos.8 a) Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = 4 + 2x − x2. Primero dibujemos los puntos de cruce. los valores de y de ambas curvas coinciden. Como se observa en la figura 3. entonces su volumen queda: 2 2 ∆v j = π R j − rj ∆x j 2 2 = π 4 + 2x j − x2 + 1 − 10 − 6 x j + x 2 + 1 ∆x j j j 2 3 96 152 x 64 x 8 x ∆ x =π − + − + j j j j ( ) ( ) .22: Trazado de la región del ejemplo 3. al girar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación.9. Si utilizamos el subíndice j para indicar que es la “j-ésima” arandela y llamamos ∆xj a su grosor y ∆vj a su volumen. Después de dibujar la región de la figura 3.23). 5) 4 3 2 4 3 2 3 2 1 (3. 1) 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 EJE 1 y = –1 2 3 FIGURA 3. construyamos el sólido de revolución que se genera al rotar esa región alrededor del eje y = −1 (véase la figura 3.24. Para calcular su volumen.274 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 5 5 5 4 y = 4 + 2x – x2 5 4 3 2 y = 10 – 6x + x2 5 4 3 2 1 (1. sumaremos una cantidad infinita de arandelas.9.23: Sólido de revolución del ejemplo 3. se genera una arandela con radio exterior R = 4 + 2x − x2 + 1 y radio interior r = 10 − 6x + x2 + 1.22. FIGURA 3. Ahora nos referiremos a ella como una arandela típica. Es decir: V = lím 3 2 3 ∑π −96 + 152 x j − 64 x j + 8 x j ∆x j || P ||→ 0 j =1 N 2 3 = ∫π −96 + 152 x − 64 x + 8 x dx 64π = = 67. A continuación sumamos los volúmenes de todas las arandelas generadas por los rectángulos que cubren la región. solución La primera parte de la solución no cambia.2: Volúmenes 275 5 4 5 4 3 R = 4 + 2x – x 2 + 1 y = 4 + 2x – x2 3 R r 2 2 y = 10 – 6x + x2 r = 10 – 6x + x2 + 1 1 1 x –1 –1 x FIGURA 3. Ya no la llamaremos la “arandela j-ésima”. la diferencia viene al considerar una arandela. entonces VN viene dado por la siguiente expresión: 2 3 VN = ∑ π −96 + 152 x j − 64 x j + 8 x j ∆x j j =1 N El volumen exacto V del sólido de revolución se obtiene al hacer tender a cero la norma de la partición (recuerda: si la partición es regular.24: El radio exterior R y el radio interior r en términos de x para el sólido del ejemplo 3. Si VN es el volumen aproximado con una cantidad N de arandelas. con un grosor diferencial dx y un diferencial de volumen dV. basta con tender a infinito el número de arandelas N) y usando la relación de este límite con la integral definida.8 utilizando la notación de diferenciales.25. Usando las expresiones .9 Vuelve a escribir la solución del ejemplo 3. como se observa en la figura 3.9.3.0206 3 1 Ejemplo 3. tiene la ventaja de facilitar el trabajo de modelación que. se obtiene el volumen del sólido de revolución.276 Unidad 3: Aplicaciones de la integral para los radios exterior e interior. tenemos que el diferencial de volumen de una arandela típica está dado por: 2 2 dV = π R −r dx 2 2 dV = π 4 + 2 x − x 2 + 1 − 10 − 6 x + x 2 + 1 dx 2 3 − + − + dV = π 96 152 x 64 x 8 x dx ( ) ( ) Integrando se obtiene el volumen del sólido de revolución: V= V= ∫x π −96 + 152 x − 64 x + 8 x dx 3 2 3 V =∫ π −96 + 152 x − 64 x + 8 x dx 1 2 3 1 región x2 ∫ dV V= 64π = 67. Al integrar el diferencial de volumen en la región. . y la expresión para el volumen de una arandela. Evidentemente. es la construcción de la integral adecuada para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. la respuesta de este ejemplo es la misma que en el ejemplo anterior. además. dx R r dV V= región ∫ dV FIGURA 3.25: Una arandela de grosor diferencial dx tiene un volumen diferencial dV. en este caso.0206 3 En este procedimiento no aparecen explícitamente los símbolos de sumatoria y límite. luego las dos curvas (recta y parábola) y el eje de rotación x = 3 (recta vertical) (véase la figura 3. En esos puntos. 0) 2 3 4 –3 –2 –1 1 1 2 y=0 3 4 –3 –2 –1 1 1 2 3 4 FIGURA 3.10. Ahora giramos la región de la figura 3. 0) –3 –2 –1 1 1 (2.27. dibujamos primero los puntos de cruce. solución Para saber cuál es la región encerrada entre las dos curvas. y1) = (−2. x2 = 2. 0).3. los dos puntos de intersección son (x1.26 alrededor del eje x = 3 para obtener el sólido de revolución que se muestra en la figura 3. y es posible encontrarlos igualando las expresiones de y de ambas curvas: 4 − x2 = 0 Resolviendo esa ecuación cuadrática.26). 0) y (x2. b) Determina el volumen de ese sólido. x=3 EJE 4 4 4 . se obtienen las siguientes dos soluciones reales: x1 = −2. coinciden las ordenadas (coordenada y) de ambas curvas. y2) = (2. encontramos el valor de y2: y2 = 4 − (2)2 = 0 En consecuencia. El valor y1 que le corresponde a x1 se obtiene reemplazando el valor de x1 en cualquiera de las dos curvas: y1 = 4 − (−2)2 = 0 De forma similar. 3 2 3 2 y = 4 – x2 3 2 (–2.2: Volúmenes 277 Ejemplo 3. Para trazar la región entre las curvas. necesitamos determinar primero los puntos donde se cruzan las curvas.26: Trazado de la región del ejemplo 3.10 a) Dibuja el sólido de revolución que se obtiene al rotar la región encerrada entre las curvas y = 4 − x2 y y = 0 alrededor del eje x = 3. los límites de integración van desde un valor inicial ymín hasta un valor final ymáx que permitan cubrir toda la región con rectángulos: cubrir todo el sólido con arandelas.10. Puesto que tenemos dy en vez de dx. mientras que el valor máximo se da en ymáx = 4. es decir.28. Así el volumen viene dado por: V= V= ∫y π R −r dy 4 R2 − r 2 V =∫ π dy 0 2 2 mín región ymáx ∫ dV R R r r 3 dy dy 1 –3 –2 –1 1 2 3 4 FIGURA 3. al girar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación. pero con dy en vez de dx. se genera una arandela.27: Sólido de revolución del ejemplo 3.26 se observa que el valor mínimo de y en la región es ymín = 0. . El diferencial de volumen de una arandela queda. Ahora el grosor es una pequeña distancia vertical.278 Unidad 3: Aplicaciones de la integral FIGURA 3. entonces: 2 2 dV = π R −r dy Y el volumen del sólido de revolución se obtiene integrando la variable y. En la figura 3.10. el diferencial dy. exactamente como en el ejemplo anterior.28: Una arandela para el sólido de revolución del ejemplo 3. Como se observa en la figura 3. Usando estas expresiones para los radios.29.2: Volúmenes 279 Como estamos integrando la variable y.28 se observa que ambos radios llegan a lados distintos de la curva y = 4 − x2. y el signo negativo para el lado izquierdo de la curva. necesitamos tener los radios R y r en función de esta variable.30. con el signo positivo para el lado derecho de la curva.10. .30: El radio exterior R y el radio interior r para la región del ejemplo 3. 4 x=− 4−y 4 3 2 1 4 3 2 1 x= 4+y y = 4 – x2 3 2 1 –3 –2 –1 –1 1 2 3 –3 –2 –1 –1 1 2 3 –3 –2 –1 –1 1 2 3 FIGURA 3.29: Al despejar x de la curva y = 4 − x2 se obtiene una expresión para el lado izquierdo de la curva y otra expresión para el lado derecho.3. como se ve en la figura 3. mientras que el radio exterior es R = 3 + 4 − y . que al girar alrededor del eje x = 3 obtenemos el radio interior r = 3 − 4 − y . Despejando x de esta expresión. vemos que el volumen del sólido está dado por: V= 3+ ∫0 π ( 4 4−y ) −(3 − 2 2 4 − y dy ) R = 3− − 4 − y x= 4−y R r 3 3 3 3 ( ) r = 3− 4 − y x=− 4−y dy dy –3 –2 –1 1 1 dy 1 1 1 2 3 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 FIGURA 3. se obtiene x = ± 4 − y . en la figura 3. Observa. En la figura 3. esto es: V = −π ⌠ 3+ u ⌡ 4 0 0 ( du ) − (3 − u ) 2 2 sustituyendo.32. cuyo volumen se calcula fácilmente. = −π ∫ 9 + 6 u + u − 9 + 6 u − u du desarrollando. se forma una cáscara cilíndrica. Cuanto más cáscaras cilíndricas use. mejor será la aproximación (véase la figura 3. al rotar un rectángulo con su lado mayor perpendicular al eje de rotación. se ve que al rotar un rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación.2 Método de cáscaras cilíndricas En las figuras 3. Sección 3.24 y 3. en la figura 3. 4 3 = −8π u 2 = 64π 4 0 simplificando e integrando. 3. Esa suma es una aproximación al volumen del sólido de revolución. se forma una arandela.2.280 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Para evaluar esta integral necesitamos usar el cambio de variable u = 4 − y.31: Cáscara cilíndrica que se genera al rotar un rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación. . Esto sugiere que podemos cubrir la región con rectángulos de este tipo y sumar los volúmenes de las cáscaras cilíndricas generadas al rotar. Ahora.18. du = −dy De donde u1(y1 = 0) = 4. u2(y2 = 4) = 0 Con lo cual obtenemos el valor numérico del volumen.33).30 se muestra que. . y1 y2 FIGURA 3. 2: Volúmenes 281 FIGURA 3. En la figura 3. Para calcular el volumen de una cáscara cilíndrica. cada una delante de la anterior.33: La cáscara cilíndrica se “desenrolla” para formar un prisma rectangular. Aquí se muestran cortadas a la mitad para percibir su forma. el volumen de la cáscara cilíndrica tiende a ser igual al volumen del prisma. cada una de ellas con grosor pequeño y considerando que el número de cáscaras cilíndricas crece sin medida. imagina que la “desenrolla” hasta formar un prisma rectangular muy delgado. El lado más largo del prisma es igual al perímetro de la base de la cáscara cilíndrica. En esta figura son cáscaras cilíndricas. Si el grosor dy tiende a cero.19 eran arandelas.33. el volumen exacto del sólido se obtiene sumando un número mayor de cáscaras. Como sugiere la figura 3.32: La suma de volúmenes de cáscaras cilíndricas es una aproximación al volumen del sólido.32. entonces el volumen de la cáscara cilíndrica tiende a ser igual al volumen del prisma rectangular: diferencial de volumen diferencial de volumen = de la cáscara cilíndrica del prisma ferencial de volumen dif = ( lado1 ) ⋅ ( lado2 ) ⋅ ( lado3 ) del prisma dV = ( 2π R ) ⋅ ( h ) ⋅ ( dy ) h h 2πR R dy dy FIGURA 3. Cuando su grosor tiende a cero.3. como se muestra en la figura 3. . cada una envolviendo a la anterior. 33. pero con cilindros cuyo eje es vertical. como se muestra en la figura 3. altura h y grosor diferencial dx se desenrolla en un prisma rectangular. como se muestra en la figura 3.282 Unidad 3: Aplicaciones de la integral El volumen de todo el sólido se obtiene integrando el diferencial de volumen en la región.10. Cada cáscara cilíndrica con radio R.34. los límites de integración hubieran sido x1 y x2. como se ilustra en el siguiente ejemplo. 3 x R dx dx R = 3 –x 3 3 h = y = 4 –x2 2 1 h –3 –2 –1 x 2 3 4 FIGURA 3. El volumen de la región queda: V= región ∫ dV y2 y1 V = 2π ∫ R ⋅ h dy El siguiente paso consiste en escribir R y h en términos de y para llevar a cabo la integración. se están sumando volúmenes de cáscaras cilíndricas que están. Ejemplos Ejemplo 3. Si el eje de rotación hubiera sido vertical. . y habríamos usado rectángulos con su lado mayor paralelo a ese eje y.11 Usa cáscaras cilíndricas para calcular el valor numérico del volumen del sólido del ejemplo 3. y habríamos tenido que escribir R y h en términos de x para llevar a cabo la integración. solución La primera parte de la solución no cambia con respecto al ejemplo 3: debes encontrar los puntos de cruce y graficar la región. entonces. h y dx. Observa que al integrar. como se muestra en la figura 3.11. el grosor diferencial hubiera sido dx. cada una. de lados 2π R. como en la figura 3.34: Rectángulos con su lado mayor paralelo al eje de rotación generan cáscaras cilíndricas. envolviendo a la anterior. A la derecha se observan los valores de R y h en términos de x para la región y eje de rotación del ejemplo 3.33.26. La diferencia es que ahora consideraremos un rectángulo con su lado mayor paralelo al eje de rotación. En esa misma figura se observa que la región va desde x1 = −2 hasta x2 = 2. quedan más sencillas al expresarlas con x despejada como función de y (entonces debes integrar en y).10. entonces elige que el lado menor de los rectángulos sea dx (rectángulos “verticales”). y lo demás es una consecuencia de tal elección. Si decides integrar en y. usarás cáscaras cilíndricas. como también ya se había mostrado en el ejemplo 3. Dibuja cuidadosamente la región plana que al rotar generará el sólido. Si el lado mayor de los rectángulos que elegiste es paralelo al eje de rotación. si tienes curvas donde y está despejada y escrita como función de x.2: Volúmenes 283 Puesto que en este ejemplo el grosor es dx. Como se observa en la tabla 3. elige que el lado menor sea dx (rectángulos “horizontales”). ¿Cómo elegir cuál de los dos métodos usar para cada ejercicio? La estrategia consiste en elegir primero si se va a integrar en x o en y. si tienes curvas con la variable x despejada y escrita como función de y. Si. usarás arandelas. El volumen del sólido de revolución queda: V= región ∫ dV x2 x1 2 −2 2 V = 2π ∫ V = 2π ∫ V = 2π ∫ V = 64 π R ⋅ h dx ( 3 − x ) ⋅ ( 4 − x 2 ) dx 12 − 4 x − 3x 2 + x 3 dx −2 Sección 3.2: Estrategia para calcular volúmenes de sólidos de revolución. El procedimiento se resume en la tabla 3.2. como se muestra en la figura 3. realmente no se elige entre arandelas y cáscaras cilíndricas.35. x o y. en tanto que hay otros volúmenes donde sucede justamente lo opuesto: se calculan más fácilmente con cáscaras cilíndricas que con arandelas. tenemos que escribir R y h en función de x.2 y se ilustra en el ejemplo siguiente. Por otro lado.3 Elección entre arandelas y cáscaras cilíndricas Hay volúmenes de revolución que son más sencillos de calcular con arandelas que con cáscaras cilíndricas. Si decides integrar en x. Tabla 3. el lado mayor es perpendicular al eje de rotación. Para esa decisión tienes que tomar en cuenta si las curvas que limitan la región quedan más sencillas al expresarlas con x despejada como función de x (entonces debe integrar en x). la verdadera elección es integrar en x o en y. Después de que hayas elegido el tipo de rectángulos. (Continúa) . Es importante que en tu dibujo identifiques los puntos exactos donde las curvas se cruzan. Como se observa. traza el eje de rotación. 2. entonces usarás rectángulos con lado menor dy (rectángulos “horizontales”). Ahora tienes que elegir cuál será tu variable de integración. entonces usarás rectángulos con lado menor dx (rectángulos “verticales”). o si por el contrario.3.2. Volumen de un sólido de revolución 1. por el contrario. si el lado mayor del rectángulo es perpendicular al eje de rotación. A continuación. Finalmente integra para obtener el valor numérico del volumen. los valores de x de ambas curvas coinciden. a la derecha por la curva x = 2 − y2. En esos puntos. . La región que cumple con esas condiciones se muestra en la figura 3. Sobre el dibujo de la región traza un rectángulo de los que elegiste en el punto anterior. encontramos el valor de x2: x2 = 2 − ( −1) = 1 → ( x2 . como se muestra en la figura 3. Como en los ejemplos anteriores.2 para encontrar el volumen del sólido generado. entonces usarás cáscaras cilíndricas y el diferencial de volumen será dV = 2π R ⋅ h ⋅ dx o dV = 2π R ⋅ h ⋅ dy. y > 0). Si el lado mayor del rectángulo es paralelo al eje de rotación. Ejemplos Ejemplo 3. al rotar la región en el primer cuadrante que está limitada a la izquierda por la curva x = y2. En caso contrario. y que la curva x = y2 limita a la región por la izquierda y que la curva x = 2 − y2 limita a la región por la derecha. usarás arandelas y el diferencial de volumen será dV = π(R2 − r2)dx o dV = π (R2 − r2)dy. así que podemos encontrarlos igualando las expresiones para x de ambas curvas: y2 = 2 − y2 Pasando los términos que contienen y al lado izquierdo de la ecuación. Primero dibuja los puntos de cruce. según el tipo de rectángulo que eligió. se obtiene reemplazando el valor de y1 en cualquiera de las dos curvas: x1 = 2 − (1) = 1 → ( x1.284 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Volumen de un sólido de revolución (continuación) 3. y2 ) = (1. solución El primer paso de la tabla 3. Dibuja también el eje de rotación. x > 0. o todas en términos de y si estás usando dy. comenzamos identificando los puntos donde las curvas se cruzan.1) De forma similar. que le corresponde a y1. traza las dos curvas. y1 ) = (1. 4.35.12 Usa los pasos de la tabla 3. −1) 2 Ahora traza la región entre las curvas. Observa que el enunciado menciona que la región está en el primer cuadrante (es decir. alrededor del eje y = 0. Escribe también los límites de integración que permitan recorrer toda la región. según el tipo de rectángulo que elegiste. Escribe todas las cantidades en términos de x si estás usando dx. es decir.35. obtenemos: 2y2 = 2 y2 = 1 y1 = 1 2 y2 = −1 El valor x1.2 es graficar la región. 37 vemos que ese eje es paralelo al lado mayor de los rectángulos que ya habíamos elegido.5 (1.5 –1 1 1. .5 2 0. En la figura 3. Esto quiere decir que podemos usar una sola integral. si la variable de integración fuera y. el diferencial de volumen es la multiplicación de los tres lados del prisma que se genera al desenrollar la cáscara.5 2 – 0. 1) PRIMER CUADRANTE 1 0.5 FIGURA 3. los rectángulos deberían tener lado menor dy (rectángulos horizontales). lo cual implicaría el hecho de tener que usar dos integrales.36: En esta región. El segundo paso de la tabla 3.5 –1 (1. En este caso. Una vez que ya decidimos usar y como variable de integración.33. –1) –1 FIGURA 3.5 0. En la figura 3.36 se observa qué pasaría en cada uno de esos dos casos.5 1 1. Por otro lado.5 –1 1 1.5 1 1 x = 2 – y2 0. algunos rectángulos verticales están limitados arriba por y = x y otros por y = 2 − x .2 consiste en elegir si la variable de integración será x o será y.5 x = y2 0.5 1 1. los rectángulos deberían tener un lado menor dx (rectángulos verticales).5 2 0. es decir. el tercer paso de la tabla 3.36. 1 y= x y= 2− x 1 x = y2 0. el eje es y = 0.5 0. dV = 2π R ⋅ h ⋅ dy.5 1 1. y por ello cada uno de esos rectángulos genera una cáscara cilíndrica. En la figura 3.2: Volúmenes 285 1 0. Cómo en la figura 3. necesitaríamos calcular dos integrales.5 2 – 0.36 vemos que en ese caso todos los rectángulos comienzan en la curva x = y2 y todos terminan en x = 2 − y2.5 – 0. Esto quiere decir que para calcular el volumen usando x como variable. Como se observa en la figura 3. una para los rectángulos que terminan en y = x y otra para los rectángulos que terminan en y = 2 − x .13.35: Trazado de la región del ejemplo 3.5 x = 2 – y2 y=0 0. lo cual implica una sola integral. usaremos y como variable de integración (rectángulos horizontales).5 – 0.3. todos los rectángulos horizontales están limitados por las mismas curvas a la izquierda y a la derecha. mientras que otros rectángulos terminarían en y = 2 − x . Si la variable de integración fuera x. es posible escribir todas las curvas con y despejada como función de x.2 es dibujar el eje de rotación.5 0. Tomando eso en cuenta. pero nota que algunos rectángulos terminarían en la curva y = x . Por otro lado. 38: Sólido con sección transversal conocida A(x). su altura es h = 2 − 2y2.14 Sección 3.286 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 1 h y R=y 0 x = y2 R 2 EJE y=0 x = 2 – y2 h = 2 – y2 – y2 FIGURA 3.5 x 2 FIGURA 3. Volúmenes de sólidos con área transversal conocida 2 1. el volumen queda: V= V= región 1 ∫ dV 2 ∫ 0 2π y ⋅ ( 2 − 2 y ) dy 1 V = 2π ∫ ( 2 y − 2 y 3 ) dy 0 V = π = 3.2.5 A(x) y 1 z 3 4 2 1 1. para recorrer toda la región.37: Como los rectángulos que fueron elegidos son paralelos al eje de rotación. se generan cáscaras cilíndricas. su grosor es dy.4. En la figura 3.5 0 0 0 0. El radio de la cáscara cilíndrica es R = y.2.5 1 0.37 también se observa el cuarto paso de la tabla 3. y los valores inicial y final en y. . Así. son 0 y 1. después. 0) y (12.38). entonces el volumen de la rebanada está dada por ∆Vi = A(xi)∆xi. y considerando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero. Sumando ahora.3. Volumen de un sólido con sección transversal conocida V = lím ∑ A( xi )∆xi = ∫ A( x )dx || P ||→ 0 i =1 a n b Ejemplos Ejemplo 3. b]. la ecuación de la recta L1 que une los puntos con coordenadas (0. 0. obtenemos el siguiente resultado. calcular el volumen de una rebanada típica y.39: Sólido correspondiente al ejemplo 3.39.39. y 5 A(x) L2 x 12 z 4 L1 FIGURA 3.13.2: Volúmenes 287 Supongamos ahora que tenemos un sólido con sección transversal conocida A(x) entre x = a y x = b (véase la figura 3. 0) está dada por: y=5− 5x 12 .13 Determina el área de la sección transversal del sólido que se muestra en la figura 3. xi + 1) es un intervalo genérico de la partición. solución De la figura 3. basta con hacer una partición del intervalo [a. 5. Para determinar el volumen de este sólido. sumar todos los volúmenes. En efecto. Posteriormente calcula su volumen. si (xi. y = 0. 0) está dada por: z=4− 4x 12 Reuniendo estos dos resultados.288 Unidad 3: Aplicaciones de la integral De forma similar. eje x = 3 j) y = x . x = 4 . eje x = 2 g) y = x . Usa cáscaras cilíndricas para calcular el volumen de este sólido. x = 3. Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = x2. x = 4. eje x = −1 b) y = x. alrededor del eje x = 4. y = 0.2 para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región encerrada por las curvas en torno al eje dado: a) y = 3x − x2. 2. y = 6x − x2. x = 1. y = 4. y = x2. Dibuja el sólido de revolución que se obtiene de rotar la región encerrada entre las curvas y = 1 + x2. y = 3 − x. y = 0. eje y = 1 h) x = 2 y . al eje x = −1 e) y = x . y = 1. eje y = 0 . 5. obtenemos que el área A(x) está dada por: 5x 4x 9 20 2 A( x ) = yz = 5 − 4 − = 20 − x + x 12 12 12 144 Para determinar el volumen del sólido. eje x = 0 i) x = y2 + 1. eje y = 0 f ) y = x − x2. eje y = 0 c) y = x. Usa arandelas para calcular el volumen de este sólido. basta con integrar esta función desde x = 0 hasta x = 12. eje y = 2 d) y = x. 0) y (12. y = 0. alrededor del eje y = 0. x = 0. Usa los pasos de la tabla 3. 0. y = 0. y = x2. x = 4. Entonces obtenemos que: 12 9 20 2 ⌠ V ( x ) = 20 − x + x dx 12 144 ⌡ 0 = 20 x − = 266 3 2 5 3 x + x 8 108 0 12 integrando y simplificando. y = 1. 1. y = x2. ev valuando. 3. eje x = 0 k) y = x . la recta L2 que une los puntos (0. y = 0. las cuales son propiedad de uno de los autores de este libro. b) Investiga en la biblioteca y en Internet el teorema de Pappus para volúmenes de sólidos de revolución y úsalo para encontrar el volumen de este sólido. eje x = 0 n) y = 3 + 2x − x2. a) Utiliza las monedas de la figura 3.40 para explicar el principio de Cavalieri. obtenida de http://en. eje y = 0 m) y = 3 + 2x − x2.wikipedia. eje y = −1 o) y = 3 + 2x − x2. Dibuja el sólido que se genera al rotar disco adentro del círculo x2 + y2 = a2 en torno al eje x = b. 5.3. en el primer cuadrante.org/wiki/BonaventuraCavalieri. eje x = 4 p) y = 1 x . Observación: Hay varios teoremas de Pappus y nos interesa el que sirve para volúmenes de sólidos de revolución. en el primer cuadrante.40: La imagen de las monedas. el cual nos permite concluir algo interesante acerca de la cantidad de café que cabe en las tazas. Investiga en la biblioteca y en Internet sobre el principio de Cavalieri. x = 1. a) Usa los pasos de la tabla 3. x = 0. y = 0. en el primer cuadrante. x = 0. x = 0. ilustra el Principio de Cavalieri. donde a y b son constantes positivas. . x = 4. tales que b > a. b) Usando ese principio.2: Volúmenes 289 l) y = 3 + 2x − x2. sin tener que integrar. y = 0. eje x = 0 4. x = 0. ¿qué puedes decir sobre la cantidad de café que le cabe a las tazas de la figura 3. en el primer cuadrante.40? FIGURA 3.2 para encontrar su volumen. y = 0. y = 0. a) ¿Por qué una sencilla “regla de tres” no sirve como fórmula para relacionar la altura con el volumen de la botella? b) ¿Por qué la gráfica de volumen como función de la altura no puede ser una línea recta? .75 y 0.5 1 1. 1.25 0 00 2 y = cos(x) 1. 4 3 y 2 1 0 00 0. La fórmula secreta de la coca cola. correspondientes con el ejercicio 6. analiza y resuelve las siguientes situaciones.5 x y=x 2 0 00 2 4 8 6z z = x2 b) 1 2 x 3 1 0.5 π FIGURA 3.5 0.5 1 1.5 z 2 a) 4 y = x2 3 y 2 1 0 00 0. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo.5 0.5 1 1.51 x x 1 2 z z = x2 d) 1 1.290 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 6.5 z 2 y=x c) 0.41: Sólidos con sección transversal conocida.5 1 y = x2 y 20 10 y = x3 0. Determina el sólido que tienen las secciones transversales de las figuras siguientes. es una empresa dedicada al análisis. Los datos proporcionados al torno se pueden generar mediante curvas z = f (y) que al rotar alrededor del eje z producirán las figuras de las piezas de ajedrez. 2 0 10 0 20 –2 0 –2 2 2. A. sin embargo. Proyectos Especiales S. por lo que planeábamos terminar el análisis. desarrollo e implementación de diversos prototipos que responden a una amplia gama de intereses. Col. Una de nuestras actuales investigaciones incluye el análisis de juegos de mesa. e) Presenta tus resultados en un reporte digno de entregarse a ejecutivos de Coca ColaMR. Sugerimos que los perfiles de las piezas se elaboren en papel cuadriculado (o se use algún programa de apoyo) y después se obtengan las expresiones .F. Doctores México D. Uno de los últimos trabajos en esta área (juegos de ajedrez) no se completó porque la empresa que lo solicitó tuvo que salir del mercado nacional y canceló el contrato que teníamos antes de que se terminara el proyecto.. En este reporte se señala que “algunas piezas de ajedrez se pueden elaborar en tornos de control numérico.. d ) Selecciona la fórmula más adecuada y grafícala para alturas desde 10 cm hasta 50 cm. y argumenta cómo puedes averiguar si se calcula correctamente el volumen con la precisión solicitada en el enunciado del problema. CP 06720 Estimados alumnos: Proyectos Especiales.2: Volúmenes 291 c) Haz propuestas para la fórmula. Nuestra desesperación está en el límite porque debemos presentar el reporte final del análisis a nuestro contratante en muy poco tiempo. Recientemente firmamos un nuevo contrato con otro grupo interesado en este proyecto.A. La carta de proyectos especiales. En este proyecto hemos trabajado periódicamente debido a las continuas peticiones que recibimos de organizaciones dedicadas a elaborar juguetes. renunció el brillante equipo de investigadores con el que inicialmente trabajábamos. para nuestra mala fortuna. Por tal razón debemos informarles que el anterior equipo de investigadores sólo dejó un esquema del juego y un borrador incompleto sobre el problema.3. S. Afortunadamente recibimos informes de que ustedes podrían ayudarnos a elaborar el reporte final. Para que podamos incorporar sus contribuciones en nuestra presentación. Sinceramente _________________________________________ Geraldine Estrada Montalbán Gerente General de Proyectos Especiales. aunque este margen es muy pequeño para incluirlos” y se incluye la figura anexa. centro de masa y momentos de inercia) ✓ la cantidad de materia prima (en kilogramos) que se requerirá. plástico. A. acero o nylamid ✓ el costo de fabricación Es importante anexar al reporte un programa computacional que facilite la toma de decisión sobre cuál prototipo construir. S. En el margen final del reporte inconcluso aparece la frase: “indudablemente el análisis requerirá de conceptos matemáticos. les pedimos nos hagan llegar su reporte a la brevedad.292 Unidad 3: Aplicaciones de la integral analíticas de las curvas”. . si se supone que las piezas se elaborarán de madera. Por otra parte. mecánicos y computacionales. físicos. nuestro contratante nos exige que entreguemos un reporte que incluya: ✓ los perfiles (numéricos. gráficos y algebraicos) de cada una de las piezas ✓ las gráficas tridimensionales de las piezas que se construirán ✓ las características físicas y mecánicas de las piezas (volumen. Con tu equipo calcula el volumen de la alberca en litros.5 metros. Para esta segunda alberca también debes obtener el volumen exacto. la profundidad es de 2. y hay una pendiente constante. Después.0 metros a la derecha del extremo izquierdo. de tal manera que a 2. la profundidad es de 2. 15 20 5 0 0 –1 –2 –3 15 10 10 5 0 ancho (metros) 15 profundidad (metros) 12.2: Volúmenes 293 3.0 metros.0 metros a la derecha la profundidad es de 0. y hay una pendiente constante. de tal manera que en el extremo derecho la profundidad es de 3. Justo en ese punto la pendiente cambia a otro valor constante. Albercas a) Una alberca rectangular tiene un ancho de 6 metros y una longitud de 10 metros.67 metros.3.5 –3 0 0 5 10 15 longitud (metros) . En el extremo izquierdo.5 0 10 7. Para esta primera alberca debes obtener el volumen exacto. de tal manera que a 6.0 metros.5 5 2.0 metros a la derecha. Con tu equipo calcula el volumen de la alberca en litros. de tal manera que a 10.0 metros.5 metros. La profundidad en el extremo izquierdo es de 1. la profundidad no cambia hasta el extremo derecho de la alberca. la profundidad es de 0. La profundidad varía como se muestra en la siguiente figura. Justo en ese punto. ancho (metros) profundidad (metros) 0 4 2 0 0 2 4 6 8 10 –2 b) Esta segunda alberca debe tener la forma y las dimensiones que se muestran en la siguiente figura. la pendiente cambia a otro valor constante. El punto más profundo de la alberca se encuentra a 12. Encuentra argumentos sólidos para demostrar que su cálculo tiene un error máximo de 5.000 litros (5 metros cúbicos).2 metros a la derecha del extremo izquierdo. justo en el centro del círculo mayor.294 Unidad 3: Aplicaciones de la integral c) ¿Te imaginas una fiesta con tus amigos al lado de la alberca con forma de guitarra mostrada en la siguiente figura? El brazo de la guitarra tiene una profundidad constante de 1.0 metros. y tiene una profundidad de 4 metros. ancho (metros) 0 0m 3 2 1 –1 –2 –3 0 2 4 6 8 10 12 14 –4 m longitud (metros) profundidad (metros) . Con tu equipo calcula el volumen en litros de la alberca. x = 8. y = 3 27 x . x = 8. b) Región encerrada entre las curvas 6 y = x. c) Región encerrada entre las curvas 6 y = 0. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ iv. y ≥ 0. y = 3 27 x en el primer 8 cuadrante x ≥ 0. y = 6. y = 3 27 x . y = x. entre las curvas x = 0.3. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la _____ .2: Volúmenes 295 Autoevaluación 1. Relaciona cada inciso de la columna A con su número correspondiente en la columna B. Columna A a) Región encerrada. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ iii. Columna B i. Sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ ii. 8 d ) Región encerrada entre las curvas y = 0. 296 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 2. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas. Columna B i. Relaciona cada inciso de la columna A con su número correspondiente en la columna B. 6 ⌠ y3 π 8 − dy ∫ π ( 8 ) dy − 27 0 ⌡ 6 2 0 2 iv. c) Región encerrada entre las curvas 6 y = 0. x = 8. b) Región encerrada entre las curvas 6 y = x . 6 ⌠ 8y 8 − dy π 6 ⌡ 0 2 ii. y = 3 27 x . y = 3 27 x en el primer 8 cuadrante x ≥ 0. y = 6. 6 2 ⌠ ⌠ y3 8y π 8 − dy − π 8 − dy 6 27 ⌡ ⌡ 0 0 2 6 . Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas. 6 ⌠ y3 dy π 8 − 27 ⌡ 0 2 iii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de arandelas. y ≥ 0. y = x . y = 3 27 x . 8 d) Región encerrada entre las curvas y = 0. Columna A a) Región encerrada entre las curvas x = 0. x = 8. 3.2: Volúmenes 297 3. Relaciona cada inciso de la columna A con su número correspondiente en la columna B. Columna A a) Región encerrada entre las curvas x = 0, y = 6, y = 3 27 x ,. b) Región encerrada entre las curvas 6 y = x , y = 3 27 x , en el primer 8 cuadrante x ≥ 0, y ≥ 0. c) Región encerrada entre las curvas 6 y = 0, y = x , x = 8. 8 d) Región encerrada entre las curvas y = 0, y = 3 27 x ,, x = 8. Columna B i. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras cilíndricas. ∫ 2π ( 8 − x ) ( 6 − 3 27 x ) dx 0 8 ii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras cilíndricas. 8 6x ⌠ dx 2π ( 8 − x ) 8 ⌡ 0 iii. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras cilíndricas. 8 6x 3 ⌠ 27 x − dx 2π ( 8 − x ) 8 ⌡ 0 iv. Esta integral da el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x = 8 la ___ por el método de cáscaras cilíndricas. ∫ 2π ( 8 − x ) ( 3 27 x ) dx 0 8 298 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Región encerrada entre las curvas y = 1 + x2, alrededor del eje y = 0. El volumen de este 117π = 73.5133 . sólido es V = 5 6 5 4 1 –3 –2 –1 1 2 2. Región encerrada entre las curvas y = x2, y = 6x − x2, alrededor del eje x = 4. El volumen de este sólido es V = 45π = 141.372. 10 8 6 4 2 1 2 3 4 3. a) V = 45π 2 b) V = 2π 15 c) V = 8π 15 d) V = π 2 e) V = π 2 f) V = π 2 g) V = 7π 6 h) V = 3π i) V = 64π 2 15 j) V = 128π 5 k) V = 8π l) V = 153π 5 –2 m) V = 45π 2 n) V = 243π 5 o) V = 99π 2 p) V = 6π 4. Tanto con los métodos de este capítulo como con el teorema de Pappus se obtiene que el volumen es V = 2π2ba2, sólo que con el teorema de Pappus en este ejercicio no hace falta integrar, porque el centroide (centro de masa) de la región evidentemente se encuentra en el origen. 5. Que a ambas tazas les cabe la misma cantidad de café. 6. a) 2; b) 243/4; c) 4; d) π 2 − 8 / 4 . ( ) 3.2: Volúmenes 299 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. (b, i.); (a, ii.); (c, iii.); (d, iv.) 2. (c, i.); (d, ii.); (a, iii.); (b, iv.) 3. (a, i.); (c, ii.); (b, iii.); (d, iv.) 300 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 3.3 Aplicaciones de la integral Las ciencias no tratan de explicar; incluso apenas tratan de interpretar; construyen modelos principalmente. Por modelo, se entiende una construcción matemática que, con la adición de ciertas interpretaciones verbales, describe los fenómenos observados. La justificación de tal construcción matemática es sólo y precisamente que se espera que funcione. John von Neumann Situación: La pirámide del Sol FIGURA 3.42: La pirámide del Sol en Teotihuacan. En Teotihuacan, la ciudad de los dioses, destaca la gran Pirámide del Sol, una gigantesca construcción con base cuadrada de 200 metros por lado y 65 metros de alto, la cual se empezó a construir alrededor del año 0 de nuestra era y se terminó después de 50 largos años. Muy pocas ciudades del mundo se han considerado dignas de ser habitadas por los dioses, quienes están más habituados a vivir en las esferas celestes que en los dominios humanos. Teotihuacan, sin lugar a dudas, es una de ellas. Sólo después de mil años de civilización logró alcanzar el rango de ciudad mítica. Aun en la actualidad, en nuestra época de innumerables avances tecnológicos, podemos admirarla recorriendo su amplia avenida central que marca el rumbo del Universo, y observando sus plazas y pirámides de proporciones ciclópeas que incitan a la imaginación de un mundo espiritual casi olvidado. Dos mil años de grandeza sublime. Algunas veces en decadencia y otras en claro renacimiento, nos hacen pensar en la grandeza de la raza humana que le dio 3.3: Aplicaciones de la integral 301 origen y que aún le permite vivir en el México moderno. ¿Qué motivó a nuestros antepasados a construir la gran ciudad de Teotihuacan? ¿Qué tanto volumen de piedra tuvieron que transportar de lejanas tierras para construir la Pirámide del Sol? ¿Cuál fue el trabajo requerido para construirla? ¿Cuántos hombres fueron necesarios para levantarla? La grandeza humana se mide por sus magnos sueños y por las metas colosales que se propone. La ciudad de los dioses es muestra de la grandeza de los hombres de esas tierras que la construyeron hace 2000 años. Introducción Ya tuvimos la oportunidad de estudiar algunas de las aplicaciones geométricas más relevantes de la integral. Con su ayuda pudimos determinar el área encerrada entre curvas y el volumen de sólidos de revolución. Sin embargo, sus aplicaciones no se circunscriben sólo al ámbito geométrico, ya que forman parte importante de la modelación de fenómenos físicos cotidianos. Por ejemplo, con su ayuda podemos calcular la distancia recorrida por partículas, la masa contenida en un cuerpo sólido, el área a pintar de una superficie, algunas características físicas como el centro de masa o los momentos de inercia que suelen ser útiles en mecánica. Como te das cuenta, sus aplicaciones son inmensas y, en ese sentido, su importancia es mayúscula. Por tal razón, dedicaremos esta sección al estudio de diversas aplicaciones de la integral. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección, deberás ser capaz de: • Calcular la longitud de una curva definida por y = f (x) o x = g(y). • Determinar el área superficial de un sólido de revolución. • Calcular la masa de un sólido con densidad de masa no constante. • Determinar el centro de masa de un objeto. • Determinar los momentos de inercia de objetos. • Calcular el trabajo hecho por una fuerza variable en una dimensión. • Calcular la fuerza hidrostática sobre un contenedor. Sección 3.3.1 Longitud de arco Supón que una partícula se mueve sobre la trayectoria definida por la curva y = f (x), desde un punto inicial con coordenadas (a, f (a)) hasta un punto final (b, f (b)). Observa la figura 3.43 a. ¿Cuál es la distancia recorrida? 302 Unidad 3: Aplicaciones de la integral a) y fb b) fxi + 1 D L = D x 2 + D y2 Dy fxi fa a x1 x2 b x xi xi + 1 FIGURA 3.43: a) Aproximación de la longitud de una curva por segmentos rectilíneos. b) Un segmento de línea que aproxima una curva en el intervalo (xi, xi+1). Para responder la pregunta anterior, considera una partición del intervalo (a, b) en n pequeños subintervalos (a = x0, x1), (x1, x2),…, (xn − 1, xn = b). En la figura 3.43b se muestra la gráfica que corresponde al intervalo (xi, xi+1). Observa que la distancia del punto (xi, yi = f (xi)) al punto (xi+1, yi+1 = f (xi+1)) aproxima la longitud de la curva entre esos dos puntos, y cuanto más pequeña sea la longitud del intervalo (xi, xi+1), mejor será la aproximación. Es decir, si ∆Li es la longitud de la curva en el intervalo, entonces: ∆y ∆Li ≅ ( xi +1 − xi )2 + ( yi +1 − yi )2 = ( ∆xi )2 + ( ∆yi )2 ≅ 1 + i ∆xi ∆xi Donde hemos considerado que ∆xi = xi+1 − xi y ∆yi = yi+1 − yi. Sumando las longitudes de todos los segmentos rectilíneos, obtenemos una aproximación para la longitud total de la curva: n ∆y L ≅ ∑ 1 + i ∆xi ∆xi i =1 2 2 Finalmente, en el límite cuando todas las longitudes de los subintervalos tienden a cero o, de forma equivalente, cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos: L = lím que se traduce en la fórmula de la: || P ||→ 0 ∑ i =1 n ∆y 1 + i ∆xi ∆xi 2 Longitud de la curva y = f (x) desde x = a hasta x = b dy L = ∫ 1 + dx dx a b 2 (3.5) 3.3: Aplicaciones de la integral 303 De forma similar, si la curva se define como x = g(y), obtenemos la fórmula de la Longitud de la curva x = g(y) desde y = c hasta y = d L=∫ c d dx 1 + dy dy 2 (3.6) En algunos casos, la curva se define mediante ecuaciones paramétricas x = f (t), y = g(t). En estos casos calculamos la longitud de la curva con la siguiente fórmula: Longitud de la curva definida por ecuaciones paramétricas x = f (t), y = g(t) desde t = a hasta t = b dx dy L = ∫ + dt dt dt a b 2 2 (3.7) Ejemplos Ejemplo 3.14 Algunos puentes colgantes se sostienen mediante una estructura simple basada en dos grandes soportes anclados al piso y unidos, en sus extremos superiores, por un cable guía de acero. El puente se une con cables verticales al cable guía (véase la figura 3.44). Supón que la forma del cable guía está dada por la expresión x y = 25(e x / 50 + e− x / 50 ) − 50 m = 50 cosh − 50 m , 50 donde x varía de a = −70 m hasta b = 70 m. Determina la longitud del cable requerido para unir los dos extremos superiores de los soportes. 140 m 57.5449 m FIGURA 3.44: Un puente colgante unido a un cable guía por cables verticales. 304 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución Para determinar la longitud del cable seguimos la fórmula 3.5. Calculemos primero la derivada, dy x = senh 50 dx Entonces, 70 L= Usando la identidad: −70 ∫ x 1 + senh 2 dx 50 cosh2(t) = 1 + senh2(t) Obtenemos: 70 L= 70 −70 = 50 senh − 50 senh 50 50 7 = 100 senh m = 190.43 m 5 −70 ∫ x x cosh dx = 50senh 50 50 x = 70 x =−70 Ejemplo 3.15 Calcula la longitud de la curva x = 2 3/ 2 y desde y = 0 hasta y = 8. 3 solución Para resolver el ejercicio, seguimos la fórmula 3.6. Calculamos primero la derivada, dx = y1/ 2 dy Entonces, L = ∫ 1 + ( y1/2 )2 dx = ∫ 1 + y dy 0 0 8 ∞ Haciendo la sustitución u = 1 + y tenemos, u=1+y du = dy de donde L = ∫ u1/2 = 1 9 u=9 u(y = 0) = 1 u(y = 8) = 9 2 52 2 3/2 2 u = (27 ) − = 3 3 3 3 u =1 3.3: Aplicaciones de la integral 305 Ejemplo 3.16 Calcula la longitud de arco de la curva y= desde x = 1 hasta x = 3 3 x3 1 + 4 3x solución Aplicamos nuevamente la fórmula 3.5. Primero determinamos la derivada, 1 dy 3 2 = x − 2 dx 4 3x Usando este resultado, tenemos 1 dy 3 1 + = 1 + x2 − 2 dx 4 3x 2 2 1 1 3 = 1 + x2 − + 2 4 2 3x 2 1 3 = x2 + 2 4 3x Así, L= = 1 x3 1 3 2 = − x + dx ∫ 4 4 3x 3x 2 1 3 3 x=3 x= 1 3 2 2 27 1 1 206 − − − 1 = 4 9 108 27 Ejemplo 3.17 Una partícula parte del origen y se mueve en el tiempo de acuerdo con x = et cos(t) − 1 y = et sen(t) Si x y y se miden en metros, determina la distancia recorrida por la partícula, desde t = 0 hasta t = 3 segundos. y 20 15 10 5 x –20 –15 –10 –5 –5 5 FIGURA 3.45: La trayectoria seguida por la partícula del ejemplo 3.17. 306 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución En la figura 3.45 se muestra la trayectoria seguida por la partícula. Para determinar la distancia recorrida aplicamos la fórmula 3.7. Primero determinamos las derivadas, dx = et cos(t ) − et sen(t ) dt dy = et sen(t ) + et cos(t ) dt Usando este resultado, tenemos dx dy = (et cos(t ) − et sen(t ))2 + (et sen(t ) + et cos(t ))2 = 2 e2 t + dt dt Finalmente, integrando obtenemos la distancia recorrida L = ∫ 2 et dt = 2 et 0 3 t =3 t =0 2 2 = 2 (e3 − 1) metros. Sección 3.3.2 Área superficial de sólidos de revolución En la sección anterior obtuvimos fórmulas generales para determinar el volumen de sólidos de revolución en diferentes situaciones. Ahora nuestro objetivo es determinar el área superficial de tales sólidos de revolución. Para ello considera el sólido generado al rotar la curva y = f (x) alrededor del eje x desde x = a hasta x = b (véase la figura 3.46). y dy dL = 1 + dx 2 dS = 2π ydL x z FIGURA 3.46: Para determinar el área de un sólido de revolución, generado al girar la curva y = f (x) alrededor del eje y, basta con integrar el grosor dL por el perímetro 2π y de un segmento de cáscara. ∆y ∆Si ≅ 2π yi 1 + i ∆xi ∆xi Sumando las áreas superficiales producidas en cada intervalo y considerando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero. Hagamos ahora una partición de este intervalo (a. De esta forma. está dada por dy S = ∫ 2π y 1 + dx dx a b 2 (3. que se obtiene al girar la curva alrededor del eje x desde x = a hasta x = b. Una aproximación del área superficial del sólido en este intervalo se obtiene multiplicando el perímetro de un círculo ∆y de radio yi = f (xi) por el grosor ∆Li = 1 + i ∆xi . que se obtiene al girar la curva x = g(y) alrededor del eje y desde y = c hasta y = d.8) De forma similar. Y consideremos el intervalo genérico (xi.3: Aplicaciones de la integral 307 Supón que y = f (x) es una función derivable. salvo en un número finito de puntos. en el intervalo (a. está dada por: dx S = ∫ 2π x 1 + dx dy c d 2 (3. b) en pequeños subintervalos. b). entonces el área del sólido de revolución.9) Ejemplos Ejemplo 3. el área superficial del sólido de revolución. Observa que esta cantidad es la ∆x i 2 diferencial de la longitud de arco. salvo en un número finito de puntos.3.18 x3 Determina el área del sólido de revolución que se obtiene al girar la curva y = desde x = 0 has3 ta x = 1. se obtiene la expresión para el área de una superficie de revolución: 2 Área de una superficie de revolución Si y = f (x) es una función con derivada continua. xi+1). . 19 La empresa Osram S. . 0 ≤ x ≤ 3A2. tenemos superficial.308 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y z x FIGURA 3.47 se muestra el sólido de revolución del que queremos conocer el área dy = x 2.18. Haciendo el cambio u = 1 + x4 u(x = 0) = 1 du = 4x3dx u(x = 1) = 2 se tiene S=∫ 2 π 1/2 π 2 π u du = u 3/2 2 2 − 1 = 3 6 6 9 1 u=2 u =1 Ejemplo 3.05 cm.. calcula el volumen del material que se requiere para construir un foco típico. Si el grosor del vidrio es de 0. Los focos se obtendrán girando. y se miden en centímetros. está diseñando un nuevo tipo de focos para su venta en la época decembrina.A. alrededor del eje x. Como dx 2 S = ∫ π x 3 1 + x 4 dx 3 0 1 Para determinar el valor de la integral usamos el método de integración por sustitución. 3A Donde x.47: El sólido de revolución del ejemplo 3. Para resolver el problema.8. solución En la figura 3. aplicamos la fórmula 3. la curva con ecuación y = Ax1/ 2 − x 3/ 2 . 3. En a) se muestra el perfil usado.5 1 1. Posteriormente.8. derivando la función propuesta se llega a dy A −1/ 2 x1/ 2 = x − dx 2 2A Usando este resultado tenemos 2 A x1 / 2 dy 1 + = 1 + x −1/ 2 − dx 2A 2 2 2 1 x1 / 2 A = 1 + x −1/ 2 − + 2 2 2A 2 1 x1 / 2 A = x −1/ 2 + + 2 2 2A 2 2 A x1 / 2 = x −1/ 2 + 2A 2 De donde. el sólido obtenido.6 0. multiplica el resultado obtenido por el grosor del vidrio. Así.2 0. se sigue que 2 2 x 3/ 2 A −1/ 2 x1/ 2 dy y 1 + = Ax −1/ 2 − + x dx 3A 2A 2 2 2 A x x = + − 2 3 6 A2 .3: Aplicaciones de la integral 309 y 0.4 0.48: Foco de la empresa Osram generado al rotar la curva y = f (x) alrededor del eje y.3 0.1 0. Para ello.5 3 y x x z b) a) FIGURA 3.5 0. solución La estrategia para resolver el problema parte de determinar el área superficial del foco (véase la figura 3.48). seguimos la fórmula 3. y en b).5 2 2. con i = 1. obtenemos la misma densidad volumétrica de masa para cada pedazo.310 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Finalmente. ρ= Masa Volumen Decimos que un cuerpo tiene densidad de masa uniforme si. cada pedazo tiene masa dada por ∆mi = ρ∆Vi Si sumamos las masas tendemos: M = ∑ ∆mi = ∑ ρ∆Vi i =1 i =1 n n En el caso de considerar pedazos cada vez más pequeños.15πA4cm3 Sección 3. al dividir el cuerpo en pequeños pedazos de masa ∆mi y volumen ∆Vi. podemos calcular la masa de un objeto si se conoce su densidad de masa. es posible definir la densidad volumétrica de masa como el cociente de la masa entre el volumen.…. ρ= ∆m1 ∆m2 = = ∆V1 ∆V2 = ∆mn ∆Vn En general. n.3. V = 3πA4(0. obtenemos el volumen del material empleado en la construcción del foco. .3 Densidad de masa Cualquier cuerpo sólido tiene dos características físicas que lo determinan: su masa y el volumen que ocupa.005) = 0. Con ellas. llegamos a una expresión para la masa en términos de integrales. Sin embargo. Es decir. este resultado no es válido y la densidad de masa no es constante y depende de la posición del pedazo que estemos considerando. 2. el área superficial está dada por 3 A2 S= ∫ 0 A2 x x 2 2π + − dx 2 3 6 A2 x = 3 A2 A2 x2 x3 S = 2π x+ − 6 18 A 2 2 3 9 27 A 6 S = 2π A 4 + A 4 − 6 18 A 2 2 S = 3π A 4 x=0 Multiplicando este resultado por el grosor. En efecto. El término densidad aparece en varios contextos. la masa total se obtiene haciendo una partición del alambre en segmentos de longitud didy ferencial ds = 1 + dx . la masa se calcula usando M = ∫ σ dA (3. Por ejemplo. En este caso.22). el cálculo de la masa de un objeto sólido requiere de técnicas de integración que están fuera del alcance de este texto. que se define como la masa por unidad de área. En muchas ocasiones se define la densidad lineal de masa λ como la masa por unidad de longitud. se integra la densidad de población en esa región. existen casos interesantes que pueden resolverse con las técnicas estudiadas en capítulos previos y que analizaremos en los ejemplos siguientes. Es decir.12) 3. 4.11) donde a y b son los límites del alambre. En general. por ejemplo un disco.3: Aplicaciones de la integral 311 Masa de un objeto sólido con densidad volumétrica de masa ρ y que ocupa un volumen V M = ∫ dm = ∫ ρdV (3. . Para objetos de grosor despreciable. se determina usando M = ∫ λ dx a b (3. Para el caso de alambres curvos (véase el ejemplo 3. la masa de un objeto lineal. dy 2 M = ∫ λ ds = ∫ λ 1 + dx dx a b 2 (3. Si se quiere determinar la población de una región. Sin embargo. en demografía se habla de la densidad de población por kilómetro cuadrado como la cantidad de pobladores que tiene una ciudad. 2.13) donde σ es la densidad superficial de masa. 5. un alambre por ejemplo. estado o país por cada kilómetro cuadrado de área.10) Observaciones 1.3. de tal forma que la masa total se obtiene in dx tegrando la densidad lineal λ multiplicada por ds. 49 que tiene longitud L = 2 metros.12.21 Determina la masa de un alambre que tiene la forma de la curva y = que el alambre tiene densidad de masa constante λ.312 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Ejemplos Ejemplo 3. obtenemos M = ∫ 2 xdx = x 2 0 2 x=2 x=0 =4 Ejemplo 3. de donde inferimos que la masa total es dx dy M = ∫ λ 1 + dx = ∫ λ 1 + x 2 dx dx 0 0 1 2 1 Esta integral se resuelve usando el método de sustitución. Supón 2 solución Como el alambre es curvo.49: Alambre con densidad de masa λ correspondiente al ejemplo 3. dx = sec 2 (θ )dθ Entonces. Así. usamos la fórmula 3.20 Determina la masa del alambre de la figura 3. θ = arctan( x ) 1 + x = sec(θ ) 2 π θ ( x = 0) = 0 . θ ( x = 1) = π / 4 M = ∫ λ sec 3 (θ )dθ 0 4 . basta con aplicar directamente la fórmula 3. solución Para resolver este ejemplo.20. para la curva que estamos considerando se tiene dy = x . uno de sus extremos en el origen de coordenadas y densidad de masa λ = 2x. x2 desde x = 0 hasta x = 1.11. Alambre con densidad λ x 0 L FIGURA 3. Para hacerlo considera el cambio: x = tan(θ ) . 0951626 Sección 3. du = sec(θ)tan(θ)dθ v = tan(θ) ∫ sec Usando la identidad resulta 3 (θ )dθ = sec(θ ) tan(θ ) − ∫ sec(θ ) tan 2 (θ )dθ tan2(θ) = sec2(θ) − 1 ∫ sec De donde 3 (θ )dθ = sec(θ ) tan(θ ) − ∫ sec 3 (θ )dθ + ∫ sec(θ )dθ 2 ∫ sec 3 (θ )dθ = sec(θ ) tan(θ ) + ∫ sec(θ )dθ = sec(θ ) tan(θ ) + ln(sec(θ ) + tan(θ )) Regresando al cálculo de la masa. respectivamente.3: Aplicaciones de la integral 313 Usemos ahora integración por partes.3. basta integrar la función de densidad de probabilidad desde t = 0 hasta t = 0.2 t dt = − e−0. Para ello.5. tenemos λ θ =π sec(θ ) tan(θ ) + ln(sec(θ ) + tan(θ ))] θ = 04 [ 2 λ M= 2 + ln( 2 + 1) 2 M= Ejemplo 3. m2. x2. 0.2t. en años.5 probabilidad = ∫ 0.2e 0 −0. mn posicionadas en x1.2 t t = 0. xn.4 Centro de masa y momentos de inercia Para un sistema de partículas con masas m1.2e−0. …. considera el cambio u = sec(θ) dv = sec2(θ)dθ Así. la coordenada xcm del centro de masa se define mediante la relación: .22 Se sabe por diversos estudios que el tiempo t. con t ≥ 0. ….5 t =0 = 1 − e−0.3.1 ≈ 0. ¿Qué porcentaje de automóviles tendrá fallas en el tren de transmisión durante los primeros seis meses de uso? solución El problema se reduce a calcular la probabilidad de que un automóvil elegido al azar tenga una falla antes de los seis meses. transcurrido hasta que se presenta la primera falla en el tren de transmisión de un automóvil nuevo tiene una función de densidad de probabilidad f (t) = 0. . obtenemos: ..14. donde acm = y y x z a) z b) x FIGURA 3.14) La utilidad de este concepto aparece de forma natural cuando se aplica una fuerza neta F sobre el sistema. y en b) se muestra el mismo sólido dividido en pequeños cubos de masa ∆m y volumen ∆V. + mn ∑ xi mi i =1 n n ∑ mi i =1 (3. para la coordenada x del centro de masa tenemos que: xcm = ∑ xi ∆mi i =1 n n ∑ ∆mi i =1 Tomando el límite ∆mi → 0 (n → ∞). El centro de masa de un cuerpo sólido se puede determinar muy fácilmente considerando una partición del sólido en pequeños elementos de volumen ∆Vi con masas ∆mi con i = 1. de acuerdo con la segunda ley de Newton F = Macm n d 2 Xcm y M = ∑ mi .314 Unidad 3: Aplicaciones de la integral xcm = m1 x1 + m2 x2 + . físicamente se puede considerar que 2 dt i =1 el centro de masa es un punto donde se concentra toda la masa de un sistema de partículas. n.. tanto en el numerador como en el denominador. Usando la relación 3.. + mn xn = m1 + m2 + . …. En efecto. 2. En este sentido.50: En a) se muestra un sólido de masa M. 3: Aplicaciones de la integral 315 Coordenada x del centro de masa xcm = ∫ xdm ∫ dm (3.15) De forma similar.51: Una región plana delimitada por las curvas y = f (x). ya que basta considerar. en las relaciones 3.16. áreas planas o sólidos es otra aplicación donde la integración resulta útil. ygeom = dy dx ∫ y 1+ dx 2 ∫ dy 1 + dx dx 2 (3. ∫ dm zcm = ∫ zdm ∫ dm (3. El cálculo es similar al proceso utilizado para determinar el centro de masa.3. para curvas en el plano definidas por y = f (x) se tiene dy que dm = λ 1 + dx y. En efecto. en consecuencia: dx 2 Centroide de curvas y = f (x) dy dx ∫ x 1+ dx 2 xgeom = ∫ dy 1 + dx dx 2 . que la densidad de masa es constante. para el caso de las coordenadas ycm y zcm se tiene Coordenadas y y z del centro de masa ycm = ∫ ydm .14 y 3.16) El centro geométrico o centroide de curvas.17) y 50 40 30 20 y=gx 10 1 2 3 4 x 5 y=fx FIGURA 3. y = g(x) y las rectas x = a y x = b. . ygeom = ∫ 2 ( f ( x ) + g( x ))( f ( x ) − g( x ))dx a b 1 ∫ ( f ( x ) − g( x )) dx a ) dx ∫ ( f ( x ) − g( x )) a b (3. hacemos una partición del objeto en pequeños elementos de masa ∆mi y volumen ∆Vi centrados en las coordenadas (xi. limitada superiormente por una curva y = f (x). n. Para fijar ideas considera que tenemos un sólido que gira alrededor del eje y con velocidad angular w. zi). cada rectángulo tiene un centro geométrico con coordenadas f ( x ) + g( x ) .18) El proceso de integración también es útil para calcular fácilmente los momentos de inercia de sólidos. Por otro lado. La energía cinética de un elemento genérico está dada por 1 ∆Eci = vi2 ∆mi 2 . obtenemos que la diferencial de área de cada rectángulo está dada por dA = (f (x) − g(x))dx x. yi. inferiormente por y = g(x) y lateralmente por las rectas x = a y x = b. 2. Para responder la pregunta. i = 1. ¿Cuál es su energía cinética? y w ri ∆mi vi (xi.51). Si hacemos una partición de la región en rectángulos de base dx y altura h = f (x) − g(x). zi) z x FIGURA 3. yi.316 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Supón ahora que tienes una región plana (véase la figura 3.52: Un pequeño elemento de masa ∆m y volumen ∆V gira alrededor del eje vertical. 2 así que el centro geométrico de la figura está dado por: Centro geométrico de figuras planas xgeom = ∫ x( f ( x ) − g( x )) dx a b b .…. entonces. En consecuencia. fácilmente observable en la figura 3. Nota que i i i la velocidad angular es la misma para todos los elementos de masa ∆mi.23 Determina las coordenadas del centro de masa de un alambre que tiene la forma de la curva y = desde x = 0 hasta x = 1. Ejemplos Ejemplo 3. r2 2 2 2 2 x i + zi i ∆Eci = ∆ m w = i 2 2 ∆mi w .3: Aplicaciones de la integral 317 La velocidad tangencial vi se relaciona con la velocidad angular w mediante vi = wri.3. Supón que el alambre tiene densidad de masa constante λ. Donde usamos la relación r 2 = x2 + z2 . Usando este resultado tenemos. obtenemos la energía cinética total integrando la relación anterior. x2 2 .20) Si recordamos que una partícula de masa m que se mueve con velocidad v tiene energía 1 2 cinética de traslación dada por EcT = mv .19) De forma similar. en este caso el eje y.52. donde ri es la distancia del elemento de masa al eje de giro. es decir: Ec = 1 2 ( ∫ r dm ) w 2 2 = 1 2 ( ∫ (x 2 + z 2 )dm w 2 ) Ahora estamos en posibilidad de definir el movimiento de inercia alrededor del eje z. Momento de inercia alrededor del eje y I y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm (3. entonces podemos establecer un equivalen2 te inmediato entre masa y momento de inercia. los momentos de inercia alrededor de los ejes x y z están dados por las fórmulas siguientes: Momento de inercia alrededor de los ejes x y z I x = ∫ ( y 2 + z 2 )dm. I z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm (3. De acuerdo con la ecuación 3. tenemos Xcm = Si hacemos el cambio de variable u = 1 + x2 du = 2xdx se tiene Xcm = u(x = 0) = 1 u(x = 1) = 2 1 λ x 1 + x 2 dx M∫ 0 1 2 λ M u2 λ u2 ∫ 2 du = 2 M 3 2 1 1 3 2 2 = 1 λ 2 2 − 1 3M Sustituyendo la masa obtenida en el ejemplo 3.53.8 y=x 0.16. .6 0.24.8 1 y = x2 FIGURA 3.318 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución Como la densidad de masa es constante.6 0. y 1 0.22.4 0.24 Determina el centroide de la región plana que se muestra en la figura 3.53: Región plana del ejemplo 3.4 0. resulta 2 2 2 −1 X cm = 3 + + 2 ln( 2 1 ) Ejemplo 3.2 x 0.2 0. dy dm = λ ds = λ 1 + dx dx Calculemos ahora el centro de masa. 54. z). con densidad de masa σ uniforme. b) Un anillo de radio R en el plano xz centrado en el origen de coordenadas. considerando que f ( x ) = x .25 Determina el momento de inercia Iy de a) Un alambre de longitud L = 2 metros. El radio de giro r satisface.17. uno de sus extremos en el origen de coordenadas y densidad de masa λ = 2x (véase la figura 3. c) Un disco de radio R en el plano xz centrado en el origen de coordenadas.3. a = 0 y b = 1. Tenemos. Si usamos la fórmula 3.49). consideremos un elemento de masa dm = λ dr = 2r dr posicionado en (x. g(x) = x2. con densidad de masa λ uniforme. 0. Observa la figura 3. que 2 ∫ ( f ( x ) − g( x ))dx = ∫ ( x − x )dx = 3/2 3 ∫ x( f ( x ) − g( x )) dx = ∫ ( x − x )dx = 0 1 0 1 1 2 3/2 1 3 1 x − x = 3 3 x=0 3 2 5/2 1 4 x − x 5 4 x =1 x =1 = x=0 3 20 1 1 1/2 2 1/2 2 ∫ 2 ( f ( x ) + g( x ))( f ( x ) − g( x )) dx = ∫ 2 ( x + x )( x − x )dx 0 1 1 1 = ∫ ( x − x 4 )dx = x 4 − x 5 2 4 10 0 Sustituyendo en las fórmulas para el centroide se obtiene el resultado final. solución a) En este caso. r2 = x2 + z2. entonces. 3 9 xgeom = 20 = . obtenemos r4 I y = ∫ ( x + z ) dm = ∫ r (2 r )dr = 2 0 2 2 2 2 r =2 = 8 kgm 2 r =0 .3: Aplicaciones de la integral 319 solución Para resolver el ejercicio basta con calcular las integrales que aparecen en la fórmula 3.18. entonces. 1 20 3 3 9 ygeom = 20 = 1 20 3 1 x =1 = x=0 3 20 Ejemplo 3. Así.55: Un anillo de radio R situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y. En la figura 3. . 2π R Finalmente. I y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm = ∫ R 2 (λ R) dθ = λ R 3θ 0 2 θ = 2π θ =0 = 2πλ R 3 kgm 2 M . z).320 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y w x r z dm z x FIGURA 3.54: Una barra de longitud L situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y. simplificamos el momento Iy considerando que λ = Iy = MR2 kgm2 y w x R z z dm x FIGURA 3. entonces. 0.55 observa que el radio de giro es R = x 2 + z 2 . b) Para el caso del anillo consideremos un elemento de masa dm = λ ds = λ R dθ colocado en (x. Obtenemos. radio r y grosor dr. y = 0 y x = 0. entonces.56.56: Un disco de radio R situado en el plano horizontal xz gira alrededor del eje y. obtenemos π R2 Iy = MR 2 kgm 2 2 y dm r z R R x FIGURA 3. resulta 1 I y = ∫ 2πσ r dr = πσ r 4 2 3 0 R r= R r =0 1 = πσ R 4 2 Si ahora usamos σ = M .3.3: Aplicaciones de la integral 321 c) Consideremos que el disco está formado por anillos de masa dm. Ejemplo 3.26 Determine el momento de inercia Iy del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región limitada por las rectas y = 4 − x. como se muestra en la figura 3. usando el resultado anterior. . Tenemos. que el momento de inercia de cada uno de estos anillos está dado por: dIy = r2 dm Como dm = σ dA = 2πσ rdr se tiene que dIy = 2πσ r 3 dr Integrando. Supón que la densidad volumétrica de masa del sólido obtenido es uniforme. 58. . Usando es2 tos resultados se tiene que dI y = r 2 ρ dV r 2 ρ A dy r 4 ρπ dy ( 4 − y )4 ρπ dy = = = 2 2 2 2 El momento de inercia buscado se obtiene al integrar esta última expresión. tenemos que Iy = ∫ 4 ( 4 − y )4 ρπ dy ( 4 − y )5 ρπ =− 2 10 0 y= 4 = y= 0 4 5 ρπ 10 Sección 3.3.57: En a) se muestra el cono que se obtiene al girar la región del ejemplo 3. Para ello. En esta situación.57). Dividamos el cono en pequeños elementos de masa dm = ρ dV en forma de disr2 cos. por esa razón. y = 0 y x = 0 alrededor del eje y se obtiene un cono (véase la figura 3. Observa la figura 3. área A = π r2. considera que se aplica una fuerza F constante en la dirección del eje x sobre un objeto de masa m que.5 Trabajo El trabajo es un concepto muy utilizado en física. grosor dy y momento de inercia dI y = dm. solución Al girar la región limitada por las rectas y = 4 − x.322 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y y x z a) z b) x FIGURA 3. definimos el trabajo mediante la expresión W = FD. En b) se muestra una partición del cono en discos de grosor dy. Así. se mueve una distancia D en la misma dirección.27 alrededor del eje y. Recordemos brevemente este concepto. Cada disco tiene radio x. considerando que la densidad volumétrica ρ es constante. por la relación que guarda con la pérdida o ganancia de energía en un sistema dado. obtenemos la fórmula del trabajo realizado por una fuerza variable. esta suposición conduce a un error. a) F = mg b) F = −kx Gm1m2 c) F = − x2 Fuerza de un resorte Fuerza de atracción gravitacional . xn = b). Trabajo sobre un cuerpo por una fuerza variable F(x) desde x = a hasta x = b W = ∫ F ( x )dx a b (3. tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero. Supón que la fuerza es constante en el intervalo (xi.…. De aquí. el trabajo en este intervalo será ∆Wi = F(xi)∆xi Sumando los pequeños trabajos realizados en cada subintervalo. x2). Tomando eso en cuenta. b) en n pequeños subintervalos (a = x0. Considera ahora que la fuerza depende de la posición del objeto F = F(x).3. éste será más despreciable cuanto más pequeño sea el intervalo (xi. Calcula el trabajo hecho por cada una de las fuerzas. xi+1) e igual a F(ci). sin embargo. por esta acción. obtenemos una aproximación para el trabajo total: W = ∑ ∆Wi = ∑ F ( xi )∆xi i =1 i =1 n n Finalmente.21) Ejemplos Ejemplo 3.58: Un bloque de masa m se mueve una distancia D debido a la acción de una fuerza F. se define el trabajo como W = FD. (xn−1. Para determinar una expresión para el trabajo considera una partición del intervalo (a. Desde luego. (x1.27 Se aplican las siguientes fuerzas sobre un objeto que. donde ci es un número tal que xi ≤ ci ≤ xi+1. x1). xi+1).3: Aplicaciones de la integral 323 D F FIGURA 3. pasa del punto x0 al punto xf . 21 para calcular el trabajo. se tiene: xf W= Para el caso b). xf k 2 ∫ (− kx )dx = − 2 x x 0 xf x0 k k = − x f 2 + x0 2 2 2 xf W= Gm1 m2 Gm1 m2 dx = ∫ − x2 x x 0 = x0 Gm1 m2 Gm1 m2 − xf x0 Ejemplo 3.28 Una montaña se forma por la acción de fuerzas internas en el interior de la Tierra. En el caso a). En b) se muestra una aproximación a la superficie mediante discos apilados. Determina el trabajo necesario que tienen que hacer las fuerzas internas para formar una montaña.59: En la figura a) se muestra una superficie que suponemos es una montaña con perfil y = f (x) en el plano XY.324 Unidad 3: Aplicaciones de la integral solución Usamos la definición 3. xf x0 ∫ (mg)dx = mg x x xf 0 = mg( x f − x0 ) W= Para el caso c). Supón que la montaña tiene un perfil en el plano xy dado por: y = f ( x ) = 50 − x2 con −50 ≤ x ≤ 50 50 y x z a) b) FIGURA 3. . las cuales expulsan material desde el interior hacia afuera. necesitamos recordar primero algunos principios básicos de la estática de fluidos. W = 1. yn = 50). (yn−1. Así.59b. el trabajo hecho para elevar el disco una altura y es: dW = gydm = gyρAdy Como el área del disco está dada por A = π x2. obtenemos dW = gρπ (2500y − 50y2)dy El trabajo total se obtiene integrando la relación anterior. Para cada subintervalo podemos formar un disco de área transversal A y grosor dy. Cada disco tiene una masa dm dada por dm = ρdv = ρAdy donde ρ es la densidad del disco.6 Fuerza y presión Al observar el agua retenida en una presa.3. y2). (y1.12246 × 1011 joules Sección 3. Si queremos calcular el trabajo total. Observa la figura 3. y1). entonces. x2 = 2500 − 50y Usando este resultado. quizás te habrás preguntado ¿cuál es la fuerza que debe soportar la cortina de la presa? Para responder esta pregunta. De acuerdo con la definición de trabajo y el resultado del inciso a) del ejercicio anterior.3. . tenemos que el trabajo se reduce a: dW = gyρπ x2dy En el lado derecho de esta expresión aparecen las variables x y y. Obtenemos. necesitamos reescribirlo sólo en términos de la variable y. Para ello recordemos que: y=− Así.3: Aplicaciones de la integral 325 solución Considera primero una partición del eje y en n pequeños subintervalos (y0 = 0.…. 50 x2 + 50 50 W= ∫ gρπ (2500 y − 50 y 0 2 )dy 50 50 3 = gρπ 1250 y 2 − y 3 3125000 = gρπ 3 0 Un valor típico de la densidad de una montaña es ρ = 3500 kg/m3. En efecto. la presión P que ejerce el fluido sobre cada una de las caras se relaciona con la fuerza y el área lateral mediante: F P= A Otra característica de la presión es que dentro del líquido varía con la altura. como se muestra en la figura 3. por ejemplo. Más aún. según el diagrama de cuerpo libre del cubo en la figura 3. después. determinamos la fuerza total ejercida sobre el contenedor calculando primero la fuerza dF que ejerce el fluido sobre cada pequeña área superficial dA = Ddh de grosor dh y ancho D = D(h) a una altura h usando dF = (P − P0)dA = ρghDdh y. En este caso.60b. y P como la presión a la altura h. Observa primero que la fuerza F ejercida por el fluido es perpendicular a las paredes del cubo en todos los puntos. para mantener en equilibrio el cubo. el cubo representa un elemento diferencial de agua.60: En la figura a) se muestra un recipiente con agua. Observa ahora que la fuerza que ejerce el agua sobre el contenedor depende sólo del término ρgh y no de P0.326 Unidad 3: Aplicaciones de la integral F =P0A mg + F0 = PA a) b) FIGURA 3. podemos interpretar P0 como la presión atmosférica. Esto se debe a que del otro lado del contenedor se aplica una fuerza exactamente igual a F0 = P0 A. es decir: Fuerza ejercida sobre la pared vertical de un contenedor F = ∫ ( P − P0 )dA = ∫ ρ ghDdh 0 0 H H (3. obtenemos PA = P0 A + ρhAg.60.22) . Si el cubo tiene su cara superior en la interfase entre el aire y el líquido. se necesita que F = F0 + mg Usando el resultado previo y considerando que la masa del cubo está dada por: m = ρhA. Considera un recipiente lleno de agua y un pequeño elemento de volumen. integrando esta última expresión. un cubo pequeño con áreas laterales A y lado h. P = P0 + ρgh. En b) se muestra el diagrama de fuerzas sobre el elemento de agua. en general. usando el caudal de los ríos Tepalcatepec y Balsas. ¿Cuál será la fuerza que sienta la cortina a causa de que debe contener el agua? . Para ello. nuevamente consideremos la figura 3. Para construirla se necesitó llenar un vaso de 12. y h D dh H z x FIGURA 3. 340 metros en su parte superior y 150 metros de altura.61. En la figura 3. y es una maravilla de la ingeniería mexicana del siglo XX. que tiene 600 metros de base.3. Estamos ahora en posibilidad de responder la pregunta inicial de este apartado. para una cortina cuadrada de altura H y ancho D: h= H F = ∫ ( P − P0 )dA = ∫ ρ ghDdh = 0 0 H H ρ gDh 2 2 = h=0 ρ gD H 2 2 Ejemplos Ejemplo 3. entonces.61 se muestra una cortina rectangular de una presa donde el ancho D es constante. La fuerza es.000 millones de metros cúbicos de agua. el ancho D es función de la variable h.29 La Presa del Infiernillo (Michoacán) se construyó entre 1961 y 1966. La cortina de la presa es una enorme pared trapezoidal de concreto y piedra.61: Sobre la cortina de una presa se ejercen fuerzas debidas al agua que contiene.3: Aplicaciones de la integral 327 Observa que. 6595 × 1010 Newtons . dada por D(h) = a + bh. se obtiene el sistema de ecuaciones 340 = a 600 = a + 150b cuya solución es a = 340 y b = 26/15 Finalmente. F = 5. Tenemos dos condiciones que se deben cumplir: D(0) = 340 m y D(150) = 600 m.22 se obtiene la fuerza sobre la cortina H H 340 h 2 26 h 3 26 26 H 3 = ρ g 170 H 2 + F = ∫ ρ ghDdh = ∫ ρ gh 340 + h dh = ρ g + 15 45 45 h = 0 2 0 0 h= H Sustituyendo los datos H = 150 m. En b) se muestra la forma trapezoidal de la cortina.62: En a) se muestra parte del río Balsas que llega a la Presa del Infiernillo en el estado de Michoacán. ρ = 1000 kg/m3.328 Unidad 3: Aplicaciones de la integral y 340 m h D 150 m dh z x 600 m a) b) FIGURA 3. Supón que hay una relación lineal entre ellas. tenemos que D(h ) = 340 + 26 h 15 Usando la relación 3. solución Para resolver el problema necesitamos determinar la relación que guardan las variables D y h. Sustituyendo esos datos en la relación.8 m/seg2. g = 9. obtenemos la fuerza sobre la cortina. 0 ≤ x ≤ . eje y 3 1 3 1 m) x = ( y 2 − y 2 ) . eje y y3 . eje x b) y = x + 1 . eje y 4 8y h x . 16 16 −2 ∫ x 3t 4 − 1 dt . 1 ≤ y ≤ 3.2 + . en el intervalo dado. [−2. 4 π 3π . 0 ≤ x ≤ r. 0 ≤ x ≤ 2. −2 ≤ x ≤ −1 1 j) x = ( y 2 + 2 )3/ 2 . eje x 3 d) y = r 2 − x 2 . y ∈ [1. 4] 3 y4 1 + 2 . 0 ≤ y ≤ 1. eje x k) x2/3 + y2/3 = 16. 6 2x 2 1 7 /2 1 x + 3/ 2 .5. 5 8 ≤ y ≤ 1. 0 ≤ x ≤ 1. . 0 ≤ y ≤ 15 4 . 0.3: Aplicaciones de la integral 329 1. [1. ln(4)] e − 1 d) y = 1 ln(sen( 4 x )) . 2π/3] f) y = x4 1 1 + 2 . 0 ≤ x ≤ 2. eje x 3 3 2 j) y = 2 x − x . a) y = x . [ln(2). Determina la longitud de las curvas siguientes en los intervalos dados. eje x 9 i) y = x2. eje y r x4 1 + . y ∈ [0. [0. 4] 7 3x ex + 1 c) y = ln x . 8] 2 1 6 x −6 x ( e + e ). a) y = b) y = 3 3/ 2 x + 9 . eje x 16 2 x 2 g) y = sen(x). 0 ≤ x ≤ 64 k) x = e) y = 2ln(cos(x/2)). eje x e) y = f) y = 1 1/ 2 1 x + x 3/ 2 . 1 ≤ x ≤ 4. 1 ≤ x ≤ 5. eje y o) x = 2 y − 1 . 1 ≤ y ≤ 2. eje y l) x = p) x = q) y = y4 1 + 2 . 0 ≤ y ≤ 64. eje x 1 c) y = cosh( 3x ) . 0 ≤ x ≤ r. 3 4 ≤ x ≤ 15 4 . que se obtiene al girar la curva y = f (x) alrededor del eje indicado. eje x x3 h) y = .1 4 8x 4 2. 2] 8 4y l) x2/3 + y2/3 = 16.3. . 2] 12 g) y = h) y = i) y = x3 1 1 . eje y 3 n) x = 2 4 − y . 0 ≤ x ≤ π.5 ≤ x ≤ 1. [1. eje x Sugerencia: escribe x como función de y. Determina el área superficial del sólido de revolución. ρ(x) = x + 3 b) y = x2. 0 ≤ x ≤ 2 . 1 ≤ x ≤ 4. Supón que la densidad volumétrica de masa de los sólidos obtenidos es uniforme e igual a 1 kg/m y que las distancias están en metros. ρ(x) = x d) y = x4 1 + . 0 ≤ x ≤ 9.8 0. f) 5.5 2 0.63: Regiones planas del ejercicio 4.5 1 y 8 y = 2x + 1 y = 2x + 3 6 4 2 1. ρ(x) = 1 + 2x2 4.5 2 x –2 –1 –1 y = 4 – x2 y = x2 0.5 1 1 2 x d) e) FIGURA 3. ρ ( x ) = 4 x 16 2 x 2 e) y = cosh(x). eje x 3 1 3 t) y = ( x 2 + 2 ) 2 . a) y = 5x + 1. 0 ≤ x ≤ 2 .6 0. Determina la masa (en kilogramos) de un alambre que tiene la forma de la curva y = f (x) (medida en metros) en el intervalo indicado y con la densidad de masa proporcionada (en kilogramos por metro).5 –1 x2 + y2 = 4 1 2 3 x a) y 1 0.4 0. 0 ≤ x ≤ 3.6 0. Determina el centroide de las siguientes figuras geométricas (24a a 24f ) usando integración. y 8 6 4 2 -0.5 –1 0.2 0.64f alrededor del eje y.5 x –2 –1 1 2 x –3 –2 2 y 3 2. 0 ≤ x ≤ 2.4 0. . ρ(x) = 2x c) y = x3/2.2 0. Determina el momento de inercia Iy del sólido que se obtiene al girar las regiones de las figuras 3. −2 ≤ x ≤ 2.8 1 x 4 y=x y = x2 3 2 1 y b) c) y 4 3 2 1 1.5 1 0. 0 ≤ x ≤ 2. eje y 1 3 s) y = ( x 2 + 2 ) 2 .330 Unidad 3: Aplicaciones de la integral r) y = 4 − x2.5 0.5 2 1. eje y 3 3.64a a 3. .65. Determina el volumen y el área superficial del sólido generado al hacer girar la circunferencia (x − 2)2 + y2 = 1 alrededor del eje y. 4].64: Regiones planas del ejercicio 5. (5. 5]. 6. Calcula el volumen y el área de la superficie del sólido.5 –1 d) e) f) FIGURA 3. 5).5 3 a) 10 8 6 4 2 y y=8–x y=4 x 0. 0).5 1 1.8 1 x –1 –0.5 2 2. 7. Un cable de forma parabólica se sostiene entre las torres de soporte de un puente. 8.3: Aplicaciones de la integral 331 y 6 5 4 3 2 1 –1 –1 1 y=5–x 12 10 8 6 4 2 4 5 6 x –2 –1–2 y y = 10 y = 2x 1 2 x 3 4 5 6 y 6 5 y=4 4 3 2 1 –0.5 1 0. La región cuadrada con vértices (0.5 3 2 b) y 2. 5) y (5.6 0.5 –1 y = 4 – x2 y 5 4 3 2 1 1 2 3 x 0. Determina la longitud del cable y las coordenadas del centro geométrico.3. como se muestra en la figura 3. 10) se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. a este sólido se le conoce como “toro”.5 –– 10.5 2 2.5 2 1. (10. Determina: a) La longitud de la curva b) El área bajo la curva c) El volumen del sólido de revolución que se forma al girar la curva alrededor del eje x d) El área superficial de este sólido de revolución 9.5 1 1. 10.5 –1 y = x2 x 2 3 0. Considera la curva definida por la función f (x) = cosh(x) en el intervalo [0.2 c) y = 4 cos x y = 4 sen x 0. Repite el ejercicio anterior con la función y = 1/x en el intervalo [1.4 0. 4 m y radio r = 0. Determina el costo de cableado para esta obra.65: Cable de forma parabólica del ejercicio 10. determina la energía total necesaria para levantarlo.000. 0). Dicho depósito tiene 4 metros de radio y está colocado 10 metros sobre el suelo. Supón que un cable típico con soportes en x = −50 m y x = 50 m tiene una ecuación y = 80 cosh(x/80). Un tanque de forma cilíndrica de altura h = 1.8 metros de radio. Si la altura del volcán es de 3000 metros. 15. determina el x2 trabajo realizado sobre ella cuando llega al punto x = a. Determina el trabajo necesario para bombear el agua a una altura 2 metros arriba de donde termina el tanque. Un tanque cilíndrico mide 2 metros de altura y 0. con una fuerGMm za dada por F = . se requiere conocer el trabajo necesario para llenarlo de agua desde la superficie del terreno. 12. distante 20 kilómetros del centro de distribución. si se sabe que el costo por kilómetro es de $35. De acuerdo con la ley de gravitación universal. requerido para levantar la pirámide? 14. Si la segunda partícula se encuentra en x = b y parte del reposo. Una montaña de forma parabólica tiene una altura de 500 metros y un radio en la falda de 700 metros. Un volcán de forma cónica tiene un radio de r = 10 5 metros. una partícula de masa M posicionada en el origen ejerce una fuerza de atracción sobre otra partícula de masa m que se encuentra en el punto (x. El tanque se llena bombeando agua desde un río que se encuentra 5 metros debajo de la parte inferior del tanque. El cable quedará suspendido entre tramo y tramo por dos torres fijas. Donde h es la altura medida con h + 500 respecto a la falda de la montaña. 13. ubicadas entre sí a una distancia de 100 metros. 11. Calcula dicho trabajo. 17. ¿Cuál fue el trabajo realizado por los antiguos egipcios. ¿Cuál será el trabajo necesario para llenar el tanque? 18. La Gran Pirámide de Egipto tiene una base casi cuadrada de 230 metros de lado y una altura de 122 metros. por comodidad supón que 0 < a < b.80 m se encuentra lleno de agua. ¿Qué trabajo resulta si sólo estuviéramos interesados en llenar el depósito hasta el 75% de su capacidad? . La Compañía Federal de Electricidad (CFE) planea suministrar energía eléctrica a una comunidad de la montaña en el estado de Guerrero.332 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 120 m y 40 m x FIGURA 3. Determina el trabajo necesario para levantar la montaña. En la colonia Peñitas en Tlalnepantla hay un depósito esférico de agua que suministra el vital líquido a la zona. 16. Con el propósito de conocer la potencia mínima de las bombas que deben llevar el agua a dicho depósito. 3: Aplicaciones de la integral 333 19. dh D h x a) b) FIGURA 3. La presa Chicoasén ubicada en el estado de Chiapas tiene un ancho de aproximadamente 700 metros y una profundidad máxima de 350 metros (véase la figura 3. Un contenedor de agua se obtiene girando. b) Calcula el trabajo realizado para llenar el tanque con agua. desde y = 0 hasta y = 4 metros. Determina el trabajo necesario para subir toda el agua a la altura dada.3. c) Determina el trabajo necesario para vaciar el tanque bombeando el agua a la parte superior del tanque.66: En a) se muestra el perfil de la presa con cortina cilíndrica. . si se supone que: a) la cortina es rectangular. alrededor del eje y. b) la cortina es parabólica. Un depósito semiesférico de radio 5 m está lleno y el agua se bombea a una altura de 4 m por encima de la parte superior del depósito. En b) se muestra una fotografía de la presa Chicoasén. a) Determina el área de la superficie y el volumen del tanque.66). c) la cortina es un arco de círculo. el área limitada por la curva y = x2. Determina la fuerza que ejerce el agua sobre la cortina de la presa. 20. 21. Observa la figura 3. para reducir en 25.68: Abrevadero con extremos en forma de triángulo isósceles. Los extremos verticales de un abrevadero son cuadrados de dos metros por lado. La cortina de una presa es una enorme pared trapezoidal de concreto y piedra que tiene 200 metros de base. b) está lleno al 50% de su capacidad.2 metros y altura h = 1. a) Determina la fuerza del fluido contra los extremos cuando el abrevadero está lleno de agua. Un camión transporta leche en un tanque con forma de cilindro circular recto horizontal de radio r y largo h.5 m x z FIGURA 3.2 m dh 1.68. b) ¿Cuántos metros debe bajar el nivel del agua en el abrevadero. Los extremos verticales de un abrevadero son triángulos isósceles de base b = 1. 24. b) ¿Cuántos centímetros debe disminuir el nivel del agua del abrevadero para que la fuerza del fluido se reduzca a la mitad? y 1. .67: Cortina trapezoidal de una presa correspondiente al ejercicio 22. Observa la figura 3. 400 metros en su parte superior y 175 metros de altura. a) Determina la fuerza del fluido contra los extremos cuando el abrevadero está lleno.334 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 22.5 metros. 23. Determina la fuerza que ejerce la leche sobre cada extremo cuando el tanque: a) está completamente lleno. ¿Cuál es la fuerza que siente la cortina debida a que debe contener al agua? y h D z H x dh FIGURA 3. 50 o 75% la fuerza del fluido? 25.67. b) Calcula la probabilidad de que el tiempo de vida activa de un componente seleccionado al azar sea menor a 10 meses. b) pasen entre tres y diez minutos para que entre la tercera persona (n = 3).03e−0. La pirámide del Sol 2. a) Determina la probabilidad de que el tiempo de vida activa de un componente seleccionado al azar esté entre 20 y 30 meses.8 kilos por metro cuadrado. donde λ es el número promedio de éxitos por unidad de tiempo y n es el número de (n − 1)! éxitos y t el tiempo. 1. La longitud de cada arista es de 4 metros y la densidad de la placa es de 3. Jarrones de barro FIGURA 3. 27. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones. . donde t representa el tiempo de vida activa. En problemas de tiempo de espera se utiliza la función de densidad de probabilidad gamma λ nt n −1e− λt f (t ) = . Una placa cuadrada delgada gira en torno a una de sus aristas tres veces por segundo.3.03t. 28. Supón que la función de densidad de probabilidad para el tiempo de vida activa de los componentes eléctricos elaborados por cierta compañía es f (t) = 0.69: Juan. Encuentra la energía cinética total de la placa. Determina la probabilidad de que después de abrir la puerta: a) transcurran más de dos minutos para que entre la segunda persona (n = 2). Supón que en promedio entran λ = 3 personas cada minuto a una tienda departamental. el alfarero de la situación “Jarrones de barro”. medido en meses.3: Aplicaciones de la integral 335 26. de un componente seleccionado al azar. digno de verse.100 metros y el cráter tenía un perímetro cercano a los 1.300 metros. El Paricutín FIGURA 3. Supón que el perfil del jarrón está dado por: 139 2 5161 − 3990 x + 7980 x + 2 si 0 ≤ x ≤ 20 si 20 ≤ x ≤ 24 1 f (x) = x −11 + si 24 ≤ x ≤ 26 2 0 otro lado Donde x y y se miden en centímetros. majestuoso y fantástico: el nacimiento del Paricutín”. el diámetro de la base medía 1.5 cm. Para construirlos utilizará el método tradicional de alfarería. ¿En qué valores de x debe colocar las marcas? c) Si el grosor debe ser menor que 0. imponente.70: Fotografía del Paricutín de Rafael Estévez. Al día siguiente las explosiones fueron tremendas y ensordecedoras. b) Juan necesita marcar el jarrón cuando el contenido sea de 0. empezó a salir humo negro acompañado de fuertes ruidos.336 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Juan el alfarero recibió un pedido para elaborar 100 jarrones de barro. le pregunté: “¿Tuviste miedo?” “Mucho”. Eso narraba mi abuelo observando a lontananza la torre hundida de la iglesia que él conociera de niño. A las cinco de la tarde del 20 de febrero de 1943. Para el mes de junio. Incrédulo alguna vez.5 y 1 litros. a) Determina el área superficial de cada jarrón (lateral y base) y el volumen que pueden contener. “Verdaderamente fue un espectáculo único. me contestó. De repente. 1943. No entendía qué estaba pasando ni se podía . el volcán tenía más de 300 metros de alto. y a las nueve de la noche comenzaron los inolvidables fenómenos luminosos. se abrió una grieta de 15 metros orientada de este a oeste. y el cono alcanzó entre 6 y 7 metros de altura por 20 metros de diámetro en su base. girando una masa de barro y obteniendo el jarrón como la superficie de un sólido de revolución. ¿cuál será la cantidad de material que necesita Juan para elaborar 100 jarrones? 3. con lanzamiento de piedras candentes y lava semifluida. “¡Así fue!”. Retomaba un poco después la palabra y me decía: “Lo recuerdo como si fuera ayer”. Después él seguía con su narración. le preguntaba nuevamente con la boca y los ojos abiertos.71: Erupción en el Paricutín. . el Paricutín presentaba su máxima fastuosidad y se bañaba de luces. Sin creerle todavía. “La emisión de cenizas alcanzó la ciudad de México y su volumen fue impresionante”. La emisión de lavas del Paricutín cesó repentinamente el 25 de febrero de 1952. le preguntaba admirado y él callaba absorto en sus recuerdos. Y él adoptaba el papel de un gran maestro y sacaba unas hojas raídas por el tiempo. donde sólo se alcanzaba a leer: “El grosor de la capa de ceniza emitida decae exponencialmente y a una distancia de 30 kilómetros se estima que es …” y sin dejar que las tomara nuevamente las guardaba. donde A y k son constantes positivas. impotentes ante esas fuerzas desatadas de la naturaleza. tonos de oro y escarlata. Atl). cuando finalmente enmudeció. me decía. mi abuelo aseguraba con firmeza que aquellos que se animaban a visitar el Paricutín encendían sus cigarros a la vera del camino. púrpura.3. 1943. Mis amigos y yo. las explosiones en el cráter declinaron el mismo día y la actividad continuó solamente con soplos débiles hasta el 4 de marzo. “¿Cómo cuánta fue?”. La altura del volcán para ese entonces alcanzaba los 424 metros sobre la llanura que lo vio nacer. FIGURA 3. parecíamos vivir en una época remota. encuentra una expresión para el volumen total de ceniza que cayó dentro de una distancia b del volcán. era el único dueño del volcán. reflejos y llamas de colores carmín. y mi tío. Gerardo Murillo (Dr. Y así él terminaba de contar. “En las noches. Preguntas: a) ¿Cuánto trabajo gravitacional se necesita para levantar un montecillo como el cono del primer día? b) ¿Y cuánto para levantar el cono trunco del mes de junio? c) Determina el trabajo necesario para levantar el volcán final. en las piedras encendidas que manaban del volcán. “¿Cuánta?”. Dionisio Pulido. Cuando ya cumplía el noveno año de actividad. de grandes peligros e inmensa atracción”. caracterizada por derrames de fuego interno. Había desaparecido mi pueblo San Juan Parangaricutiro. escritas por los geólogos de la época.3: Aplicaciones de la integral 337 imaginar la energía que desplegaba día a día la naturaleza para formar el volcán. d) Si se supone que la profundidad de la ceniza a una distancia de x kilómetros del Paricutín es Ae−kx. iii.5876 1. ygeom = 4/21 b) xgeom = 8/15. Considera la curva definida por y = c) xgeom = 1/2. Determina el trabajo que hace la fuerza F = x = 0 hasta x = 5. 0. a) xgeom = 1/2.2 0. a) L = 3π b) L = 32π c) L = 8π 2 d) L = 32π 2 5 sobre una partícula de masa m desde ( x + 4 )2 d) W = 25/18 3. En la columna B encuentre las respuestas de 2 las preguntas que se hacen en la columna A.4 0. ii.7427 1. iv. Columna A Columna B i.8 1 x y=x y = x3 FIGURA 3. ygeom = 36/105 1 cosh(2 x ).2938 0.4855 0.1438 12.1752 6.72. ygeom = 8/21 5. 3 a) L = 18 b) L = 19/3 c) L = 38/3 d) L = 55 2.4 0. Calcula el área superficial del sólido de revolución que se obtiene al girar la curva y = x + 1 alrededor del eje x desde x = 1 hasta x = 5. vii. viii. Determina las coordenadas del centroide de la figura 3.6 0. y 1 0.2875 3. a) W = 25/36 J b) W = 65/36 c) W = ∞ 4.07188 a) Longitud de la curva desde x = 0 hasta x = 1 b) Área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 1 c) Volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar el área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 1 d) Área de la superficie del sólido de revolución del inciso c) e) Coordenada xgeom del centroide de la figura plana del inciso b) .2 0. vi. Indica la opción que contiene la longitud de la curva y = 2 ( 3 + x )3/ 2 desde x = 0 hasta x = 5.338 Unidad 3: Aplicaciones de la integral Autoevaluación 1.72: Área plana del ejercicio de la autoevaluación 4.8 0.6 0. ygeom = 36/105 d) xgeom = 8/15. v. 4.86359) 5.04145 j) 25.5.523364 c) (0.35619 d) 9. costo = $ 746.2032 c) 8657.748 b) 1963.4345 i) 4.3127 c) 14205. 1. 5) b) (0.00 .8083 f ) 0.6) c) 151.41724 b) 74.63392 f ) 2. a) 3. a) 33.6 l ) 0.600 kg e) 34.38629 c) 2.63 d) 17315.63303 n) 81.3333 k) 2.80094 i) 3.1 d) 2πr2 e) 0.0625 h) 18.625 kg d) 207.5103 d) 33.15018 b) 1. L = 149.438.7922 kg b) 37. V = 6π 2. S = 200π 2 7. 8.1032 kg h) 3. xgeom = 0. 0. a) 74. V = 500π .8823 q) π r r 2 + h 2 r) 36.9562 o) 2.2 ) f) (0.8 c) 0.2402 b) 27125.638241 m) 7.634188 f ) 813.554 t) 12.3: Aplicaciones de la integral 339 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1.440687 2.854 g) 14.99684 p) 51.5 6.0625 l ) 96 10.3215 b) 51. 4/π) d) (0. a) (1. 1. S = 12π 2.12402 g) 2.2032 9. ygeom = 15.5. a) 40. a) 29.3.4236 3.1769 s) 24.916291 d) 0. a) 981.3 c) 33.471.5664 e) 2.28319 k) 15441.80973 j) 6.2867 11.5103 e) 26.4) e) (1.3437 kg 4. 142242 b) Prob. donde ρ es la densidad de la montaña 15. V = 4. W = GMm − a b 13.309449 metros 26.0062322 28.60619 × 107 joules 19.1769 m2 b) W = 656802 joules 20. W = 2.2 joules 27. Wt = 3. h = 1 m . donde ρ es la densidad de las piedras 14. = 0. a) W = 4410 joules b) Se deben reducir 0. Ec = 1459. a) Prob. donde ρ es la densidad del volcán 16. W = 6. entonces W75% = 2. a) V = 4. a) Prob.78541 × 109 ρ joules. si sólo se llena hasta el 75%.2858 × 1011 ρ joules.24093 × 1011 joules 22.00167 × 1010 joules 23.24079 × 1014 ρ joules. a) V = 25.1327 m3.340 Unidad 3: Aplicaciones de la integral 1 1 12. W = 6. h = 2 − 2 m. S = 36. = 0. Ft = 24.0173513 b) Prob. W = 74481. respectivamente 25. = 0.4 joules 17. = 0. Fmitad = 2 3 a) W = 39200 joules b) Se deben reducir h = 2 − 3 m.20175 × 1011 joules b) V = 2.80117 × 1011 joules c) W = 328401 joules π g ρr 3 2 g ρr 3 . c) W = 2. W = 236449 joules 18. W = 862053 joules 21.259182 .67809 × 107 joules. ). Prentice Hall. R. México.). 2004. (a. K.). A. (b.. 11a.. Halliday. (e. d) 3. iii. Prentice Hall. b) 5. México. R.). 5a. Zemansky. CECSA. H. . Estática. M. ed. Prentice Hall.. Young. 2005.) Referencias 1. 10a. México. 2. ed. Física. vii..3.3: Aplicaciones de la integral 341 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. Nagle. Sears. i. Hibbeler.. y Zinder. (c. ed. Física universitaria. ed. 2002. R. México. y Freedman.. 2004. viii.. 3. Resnick.. Ecuaciones diferenciales. Saff. 4a. iv. a) 4. y Krane.. E. D. (d... c) 2. F. K. 4. . por lo que en ese tiempo. pero como la vida tiene sorpresas.2 Integrales impropias 4.1 Formas indeterminadas 4. en Toy Story ¿Por qué vuelan los aviones? Manuel Ojeda es un joven egresado de la carrera de diseño industrial que jamás se imaginó que trabajaría para una empresa aeronáutica. Como él mismo relata. después. respondiera los cuestionamientos indicados en una nota aparte y que estaban relacionados con una curva conocida como línea de sostén.343 Unidad Formas indeterminadas e integral impropia Contenido de la unidad 4. durante sus primeras semanas de trabajo se requería conocer sus aptitudes y capacidad de adaptación a la compañía. de pronto se vio envuelto en tareas de diseño y mantenimiento dentro de la industria de las aves de acero. Transcribimos el artículo en cuestión. Buzz Lightyear.1 Formas indeterminadas Al infinito y más allá. . su jefe le pidió que leyera el siguiente artículo y. pues. en posición ligeramente inclinada hacia arriba —contra el viento—. un cometa. Esa mayor velocidad implica menor presión (teorema de Bernoulli). lo cual produce una fuerza de reacción adicional hacia arriba. además. que la superficie superior de este objeto soporta menos presión que la inferior.1: Línea de sostén del perfil de una ala de avión.344 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia ¿Por qué vuelan los aviones? Un objeto plano. de este flujo de aire. cuando se sitúa en una corriente de aire. mayor será el estrechamiento en la parte superior del ala) y a la velocidad con que ella se mueve respecto de la masa de aire que la rodea.inicia. produce sustentación. Un perfil aerodinámico es un cuerpo diseñado para aprovechar al máximo las fuerzas que se originan por la variación de velocidad y presión. .html) y Extrado Línea de sostén y = f (x) x a) Baja presión b) Intrado Alta velocidad Viento relativo Baja velocidad c) Alta presión Línea de sostén FIGURA 4. por ejemplo. la corriente de aire que fluye a mayor velocidad por encima del ala. deflecta esta última hacia abajo. La suma de estas dos fuerzas se conoce como fuerza de sustentación y es lo que mantiene al avión en el aire. Pero. La diferencia de presiones produce una fuerza aerodinámica que empuja al ala de la zona de mayor presión (abajo) a la zona de menor presión (arriba). Tenemos.es/de/vuelo/PBV/PBV12. de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton. (Véase: http://www. Una ala es un ejemplo de diseño avanzado de perfil aerodinámico: produce un flujo de aire proporcional a su ángulo de ataque (a mayor ángulo de ataque. al conjuntarse con la que fluye por debajo. el que discurre por la parte superior del perfil tendrá una velocidad mayor (efecto Venturi) que el que discurre por la inferior. En el ámbito popular. En primer lugar. . Te pido que precises la curva descrita y que. Introducción Uno de los conceptos que han enamorado. leyó la nota que su jefe le había dejado.1b). su aplicación en la resolución de situaciones reales es invaluable. pues logró hallar la citada curva. y el intrado. de modo que entre sus usuarios no faltan quienes lo usan en sus cálculos como si fuera un número común y corriente —con los riesgos que esto conlleva para las interpretaciones y los resultados. “el infinito” o “lo infinito” se considera como el lugar al que nunca se puede llegar o aquello que encierra la idea de lo que no tiene fin. La denominación indeterminada no es sinónimo de inexistente. e imagina que en los manuales encontraste una expresión. realiza el mismo ejercicio. Con tu equipo de trabajo. que indica que la línea de sostén es una función de la forma y = f (x) que satisface una ecuación diferencial de la forma x dy cs x = ln 1 − − ln . aunque dejaremos de lado su definición. y(0) = y(p) = 0 dx 4 π t p donde p es la profundidad del perfil. observes si su forma tiene la apariencia que se muestra en los esquemas del ala (véase la figura 4. Luego. Si bien es cierto que la conceptualización de infinito es tanto matemática como filosófica. en el mejor de los casos. supón que ya integras el equipo de diseño de aeronaves.1: Formas indeterminadas 345 En la descripción anterior Manuel pudo leer que el diseño del ala de un avión es una parte fundamental para lograr la fuerza de sustentación. “Manuel. Por ello. de su límite. revisaremos formas matemáticas que lo utilizan y estableceremos que este concepto debe tratarse con el debido cuidado. la parte inferior del ala comprendida entre los bordes de ataque y salida (véase nuevamente la figura 4. confundido a los matemáticos de todos los tiempos es el de infinito. es decir. estos pensamientos. y que le ha llevado al hombre siglos de esfuerzo llegar a una comprensión razonable. una vez hallada. resultan inciertos y vagos.1b). En las ciencias y la ingeniería. se les llama así porque es imposible asignar un valor a priori que las represente en su conjunto y sólo puede decirse algo de ellas cuando se les trata de manera particular. cs es el coeficiente de sustentación y t una constante de ajuste. lamentablemente borrosa. pues de ello depende la correcta unión entre el extrado. la parte superior del ala comprendida entre los bordes de ataque y salida. incluso.4. Espero tu respuesta a mi regreso en la próxima semana”. veremos en esta sección formas matemáticas a las que llamaremos indeterminadas. Sobra decir la importancia que tiene. seducido e. La historia terminó felizmente para Manuel. no siempre se tiene mayor claridad sobre lo que dicho ente significa. éstas se presentan cuando la variable independiente provoca en la función un comportamiento no definido que deberá precisarse por el estudio de su tendencia. 0.∞. FIGURA 4. ∞ 0 . Por ejemplo. sin embargo. aθ 2 . 0 ∞ 0 ±∞ Las formas indeterminadas requieren de un análisis cuidadoso de la función que se analiza. piensa en la emisión de un rayo láser sobre dos rendijas en un campo lejano. deberás ser capaz de: • Identificar las formas indeterminadas 0 ±∞ .1∞ . 0 ∞ 0 ±∞ • Utilizar la regla de L’Hôpital en la elaboración de formas indeterminadas del tipo 0 ±∞ .346 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Objetivos Al terminar de estudiar esta sección.1 Formas indeterminadas y la regla de L’Ho pital El análisis de modelos matemáticos. físicos. una parte se difracta y otra emerge de las dos rendijas. ±∞ 0 • Transformar diversas formas indeterminadas a las del tipo ^ Sección 4.1. el comportamiento de las formas indeterminadas es incierto. económicos. Las formas indeterminadas más frecuentes tienen el siguiente aspecto que se genera —si cabe la expresión— por evaluación directa: 0 ±∞ . químicos. mecánicos. pues en caso contrario podrían generarse interpretaciones erróneas. entre muchos otros.∞. .2: Experimento de una rendija al hacer incidir un haz láser. exige el manejo de formas indeterminadas frecuentes. lo cual produce una radiación que se transmite al otro lado (véase el arreglo experimental de este ejemplo con una rendija de difracción y un láser de helio neón en la figura 4. por lo que se requiere un análisis más profundo de la situación y de la función que se trabaja. como vimos. ∞ ± ∞. Se sabe que a distancias mucho mayores que el tamaño de la rendija. ∞ 0 . 0. la expresión que aproxima la intensidad de radiación de un rayo láser que sale por las dos aberturas es sen(a θ ) I (θ ) = I o k.1∞ . .2). 0 ±∞ ±∞ 0 . ∞ ± ∞. 99975 –1 –0.4 y 4.6 0.8 0.65 –1 –0.99975 FIGURA 4.4 0.5 y el generado por el modelo teórico que lleva a la gráfica de la función en la figura 4.99992 1.999968 1.29995 –0. .19985 –1. en función del ángulo de observación.1: Formas indeterminadas 347 donde: I es la intensidad de radiación respecto del ángulo de observación θ es el ángulo de observación de la radiación a y k son constantes de parámetros opto-geométricos Intuitivamente.99975 1.99994 3.3.3.29995 0.99995 2.3: Intensidad de la radiación en función del ángulo de observación θ (modelo aproximado). Nota la gran similitud del modelo experimental en la figura 4. de un haz incidente sobre dos rendijas (resultados experimentales).19985 1.999968 1.4. decimos que la intensidad luminosa es la magnitud de la densidad de energía que se focaliza hacia cierta dirección del espacio.39995 –0.19985 –1. Cuando graficamos la función I = I(θ) obtenemos la curva de la figura 4.99992 | 3 |2 –1.39995 –1.99994 3. 0.5: Intensidad de radiación en campo lejano FIGURA 4. En las figuras 4.00001601 0.00001601 0.2 −20 −10 I 10 20 θ FIGURA 4.5 se muestra la intensidad de la radiación que sale de las rendijas cuando se hace incidir un rayo láser.4: Distribución de intensidades en el patrón de difracción.99995 2. que nos muestra cómo cambia la intensidad de radiación. 1 0.99975 1.19985 0. De acuerdo con ello. indeterminada. el experimento muestra que la función de intensidad del haz incidente cuando θ = 0. [2006]). Se le atribuye la conformación del primer libro de cálculo.1. de hecho. 4). tendrás que estudiar el concepto de límite. la regla de L’Hôpital puede enunciarse como sigue: .5) y en el desarrollo aproximado (figura 4. Es decir. al contrario.6: Guillaume L’Hôpital. la intensidad de radiación resulta continua y. ¿qué sucede con 2 sen(a θ ) k cuando el ángulo es θ = 0? Si tomas en cuenta la la expresión I (θ ) = I o aθ expresión dentro del paréntesis y el límite cuando θ → 0.348 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Como se ve en los datos experimentales (figura 4. al. en este capítulo veremos cómo ±∞ 0 4.3). por lo tanto. se localiza un modo principal de la luz en θ = 0.2 La regla de L’Ho pital FIGURA Alumno de grandes matemáticos de su época como Johann Bernoulli y Gottfried Leibniz. la forma indeterminada no presenta ningún obstáculo para obtener información de nuestro modelo. una dirección en la cual existe una concentración de la radiación. ±∞ 0 En la unidad 7 del libro de Cálculo Diferencial (de Prado et. Aunque ésta sólo se aplica a las formas ±∞ 0 indeterminadas básicas del tipo y . que discutimos ampliamente en la unidad 3 del libro de cálculo diferencial (véase la referencia bibliográfica núm. obra que realizó al recopilar las notas de sus maestros. En su forma más amplia. cambiar cualquier otra forma indeterminada en alguna de las del tipo básico señaladas. Así. para la determinación del valor que corresponde a una forma indeterminada no podemos proceder por “evaluación directa”. el teorema de L’Hôpital será suficiente para estudiar cualquier forma indeterminada. Sin embargo. se demuestra la regla de L’Hôpital. al matemático francés Guillaume François Antoine se le conoce más como Marqués de L’Hôpital (1661-1704). no sería posible definir la ordenada de la intensidad del haz incidente cuando el ángulo sea θ = 0 radianes (por la sencilla razón de que la función no está definida ahí). sí está definida. si el ángulo de observación del haz es igual a 0. descubrirás que la expresión 0 toma la forma “ ”. ^ Sección 4. es decir. la expresión analítica muestra una forma 0 indeterminada que no genera ninguna información. En su libro L’Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (Análisis de los infinitamente pequeños para el entendimiento de las líneas curvas) desarrolla el método que permite trabajar las for±∞ 0 mas indeterminadas del tipo y . Pero. donde en particular hallará una demostración formal del siguiente hecho: lím sen(t ) =1 t →0 t sen(aθ ) 2 k = I k De este resultado obtenemos que lím I (θ ) = lím I o θ →0 θ →0 aθ o Entonces. el resultado sigue siendo válido si c = x0. que las derivadas que aparecen en la regla de L’Hôpital se consideran por separado para las funciones del numerador y denominador. Ejemplos Ejemplo 4. b) un intervalo abierto que contiene c. b). además. f '( x ) b) Con frecuencia ocurre que lím también es indeterminado.1 Forma indeterminada 0 0 Calcula lím x →1 ln ( x ) x2 − x .…. no se deriva el cociente de funciones. excepto posiblemente en c.4. entonces. ±∞. −∞ ) . indistintamente.1: Formas indeterminadas 349 Teorema 1: La regla de L’Hôpital Sea (a. ±∞ y si lím x → c g '( x ) lím f (x) f '( x ) = lím =L x → c g( x ) x → c g '( x ) Notas: . ±∞ 0 d) Observa. c) Se cuidadoso al aplicar la regla de L’Hôpital. Si lím f ( x ) = lím g( x ) = l . l = 0. y sean f y g funciones definidas y derivables en (a. x− . donde x→ c x→ c f '( x ) = L ( finito. x + 0 0 − ∞. a) En las condiciones adecuadas. la cual puede aplicarse de manera f (n ) ( x ) f (x) f '( x ) f ''( x ) = lím = lím = = lím ( n ) iterada para obtener lím hasta llegar x → c g( x ) x → c g '( x ) x → c g ''( x ) x→ c g ( x ) a un límite determinado. Si f ' y g '. f (n) y x → c g '( x ) g(n) satisfacen las condiciones de la regla de L’Hôpital. pues sólo es válida para formas indeter±∞ 0 minadas del tipo y . +∞. 4 0. y 17.2 ln( x ) x2 − x x FIGURA 4. en este caso. en efecto.6 0. Por la x →1 x →1 regla de L’Hôpital. El ejemplo trata una forma indeterminada del tipo ∞/∞ que podrá estudiarse empleado la regla de L’Hôpital: d x (e ) ex ex dx = lím = lím x = lím 1 = 1 lím x x →∞ x →∞ e + 1 x →∞ d x →∞ e (e x + 1) dx Ve cómo.2 Calcula lím ex x →∞ e x + 1 solución Observa que las funciones del numerador y denominador tienden a “∞” cuando x → ∞. Ejemplo 4. a pesar de que ahí se presenta una forma indeterminada del tipo 0/0. pues lím ln ( x ) = lím( x 2 − x ) = 0 .5 10 75 5 2. la gráfica de la función en la figura 4.7: Gráfica de la función y = . .5 15 12.350 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia solución El límite pedido lleva a una forma indeterminada del tipo 0/0.8.8 1 1.7 no revela ninguna información importante en x = 1.2 0. tenemos d 1 ln ( x ) ln ( x ) 1 =1 lím 2 = lím dx = lím x = lím x →1 x − x x →1 d x → 1 x → 1 2x − 1 x(2 x − 1) (x2 − x) dx Nota cómo.5 0. a pesar de que era imposible determinar a priori un significado adecuado para la forma indeterminada ∞/∞. el estudio de la forma nos lleva fácilmente a la conclusión de que la recta y = 1 es una asíntota de la función misma que se muestra en la figura 4. f (x) → 1. f (x) → ∞.1 y 4. . existen casos donde esto no es posible. lím Exp[g(x)ln( f (x))] = Exp[lím g(x)ln( f (x))] iii. Se genera de alguna forma un cociente para poder usar la regla de L’Hôpital.1: Esbozo metodológico para estudiar formas indeterminadas. g(x) → ∞ Cero por infinito: 0⋅∞ i. Tabla 4.8: Gráfica de la función y = e +1 . Se aplica la regla de L’Hôpital f (x)g(x). como vimos. o ii. infinito a la cero. En los siguientes ejemplos mostraremos el procedimiento.4. f (x) → 0. i. La siguiente tabla contiene algunas indicaciones de carácter general que pueden serle útiles. todas las que se originen por expresiones del tipo f (x)g(x) Infinito menos infinito Si y = f (x)g(x) entonces: i. g(x) → ∞. En los ejemplos 4. g(x) → ∞ f (x)g(x).1: Formas indeterminadas 351 y 1 0. Para el resto de las formas indeterminadas.2 −2 2 4 6 e x x x FIGURA 4. Habitualmente en ii se aplica una forma del tipo 0 ⋅ ∞. Se busca tener un solo término. g(x) → 0 f (x)g(x). f (x) → 0. g(x) → 0 … Uno a la infinito. Forma Tipo Método f (x)g(x).2 las formas indeterminadas se calcularon directamente a través de la regla de L’Hôpital. f ( x )g( x ) = f (x) (1 / g( x )) ii. será necesario aplicar transformaciones que las lleven a alguna de las del tipo básico. sin embargo. f (x) − g(x). y = Exp[g(x)ln( f (x))] ii. cero a la cero.8 0.6 0. f (x) → ∞.4 0. será necesario aplicar creativamente algún proce±∞ 0 dimiento algebraico para obtener la forma deseada. la cual es una expresión que carece de sentido. Estamos listos ahora para aplicar la regla de L’Hôpital: d ( x − sen( x )) x − sen( x ) 1 − cos( x ) dx lím+ lím = lím+ = + d x → 0 x sen( x ) x→ 0 ( x sen( x )) x→0 x cos( x ) + sen( x ) dx Nota que el último límite cae nuevamente en una forma del tipo 0/0. y así llevarla a una forma equivalente de los tipos 0 o ±∞ . En primer lugar. Nota: No existen reglas infalibles ni únicas para manipular una expresión. En todo caso. Esta forma no conlleva la idea de una resta aritmética. ∞ − ∞ no es. En este caso. límite que contiene una forma del tipo “0/0” lím+ − = lím+ x → 0 sen( x ) x x→ 0 x sen( x ) En este ejemplo observa cómo la simple operación algebraica transformó la forma ∞ − ∞ en la forma 0/0. cero. por lo tanto. a priori. nota que cuando x → 0+. en consecuencia.352 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Ejemplo 4. tenemos que aplicar una vez más la regla de L’Hôpital: d (1 − cos( x )) 1 − cos( x ) dx = lím+ lím+ x → 0 x cos( x ) + sen( x ) x→ 0 d ( x cos( x ) + sen( x )) dx = lím+ x→ 0 sen( x ) =0 − xsen( x ) + 2 cos( x ) . x − sen( x ) 1 1 . pues ∞ no es un número y. en el cálculo de este límite tenemos sen( x ) x una forma indeterminada del tipo ∞ − ∞.3 1 1 − Calcula lím+ x → 0 sen( x ) x solución 1 1 → ∞ y → ∞ . sin embargo. por lo tanto. por lo que no se puede utilizar la aritmética usual. pero del tipo . En la figura 4. ±∞ 0 Para transformar esta forma al tipo o al tipo utilizamos la guía de la tabla 4. recuerda que ni +∞ ni −∞ son números sino símbolos. Es muy común pensar que todo número multiplicado por cero es cero. en este límite tenemos una forma indeterminada del tipo 0 ⋅ (−∞).1: Formas indeterminadas 353 1 0. de esta manera. mientras que el segundo tiende a −∞. Ejemplo 4.4.3.9: Gráfica de la función del ejemplo 4.9 se nota la correspondencia entre el resultado analítico hallado y la apariencia de la gráfica “cerca” de cero. por lo que ahora sí +∞ podemos emplear la regla de L’Hôpital: d (ln ( x )) ln ( x ) lím+ x ln ( x ) = lím+ = lím+ dx 1 x →0 x →0 x →0 d 1 x dx x 1 = lím+ x = lím+ (− x ) = 0 x →0 −1 x →0 x2 .5 −1 1 2 FIGURA 4.1.5 −2 −1 −0. ±∞ 0 lím x ln ( x ) = lím+ x→ 0 x→ 0+ ln( x ) 1 x −∞ Ve que en el último límite se presenta otra forma indeterminada.4 Calcula lím+ x ln ( x ) x→ 0 solución Nota que cuando x → 0+ el primer factor tiende a cero. x→ 0 ( ) (el paso al límite dentro de la función exponencial es válido debido a su continuidad).11 corrobora el cálculo obtenido.354 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Una vez más.10 se “acerca” a 0 cuando x → 0+. por lo que resulta difícil imaginar siquiera qué ocurriría cuando la base y el exponente se combinan en una tendencia a cero. por lo tanto.5 Calcula lím+ x x x→ 0 solución En este caso. observa cómo la gráfica de la función en la figura 4. esto en correspondencia con el cálculo que realizamos. por otra parte. todo número (diferente de cero) elevado a la potencia cero es 1 y. la forma indeterminada es del tipo 00. tanto la base como el exponente tienden a cero. La gráfica en la figura 4.10: Gráfica de la función y = x ln(x). Con apoyo de la tabla 4. “Intuitivamente”. Ejemplo 4.1. cuando x → 0+. luego: lím x = lím+ Exp( x ln( x )) x→ 0 x→ 0+ = Exp lím+ x ln( x ) = Exp(0 ) = 1. . determinamos el siguiente procedimiento: xx = Exp(x ln(x)) = ex ln(x). toda potencia (cuando menos de exponente entero positivo) de una base igual a cero es 0. 1 2 3 4 5 FIGURA 4. x ln(x) → 0 de acuerdo con el ejemplo 4. Ésta es una de las razones por las que el estudio de esta forma debe abordarse desde la perspectiva de forma indeterminada. 11: Gráfica de la función y = xx.6 2 Calcula el límite de la función en el punto indicado lím+ x x −1 x →1 solución En este ejemplo. de acuerdo con la regla de L’Hôpital: d ln( x ) ln( x ) = lím+ dx lím+ x →1 x − 1 x →1 d ( x − 1) dx 1 x 1 = lím+ = 1 = lím+ x →1 x → 1 1 x En consecuencia. como x → 1+.4. la base tiende a 1 y el exponente 2 → + ∞ . tenemos ln ( x ) 2 x x −1 = Exp ln ( x ) = Exp 2 ⋅ x −1 x −1 Ahora observa que cuando x → 1+. por lo tanto. Siguiendo otra vez las indicaciones de la tabla 4. por lo tanto. 2 2 . tanto ln(x) como x − 1 tienden a cero. ln ( x ) lím+ x x −1 = lím+ Exp 2 ⋅ x −1 x →1 x →1 ln ( x ) = Exp 2 ⋅ lím+ = Exp(2) = e2 ≈ 7.1.389 x→1 x − 1 En su aspecto la gráfica de la función en la figura 4.1: Formas indeterminadas 355 1 1 2 3 4 5 FIGURA 4. Ejemplo 4. se genera x −1 ∞ una forma indeterminada del tipo 1 .12 refleja su coincidencia con nuestro cálculo. 3 ln( x − 1) 3 lím (1 + x ) x = lím Exp ln( x − 1) = Exp lím x x x→∞ x→∞ x→∞ Nota que el límite anterior es del tipo ∞ . por lo tanto.1) la forma en otra del tipo básico. por lo tanto. 1 + x → ∞ y 3 x Para calcular el límite pedido. 5 4 3 2 1 5 10 15 20 25 30 x FIGURA 4.356 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia e2 2 4 6 8 10 12 14 FIGURA 4. Cuando x → ∞.13: Gráfica de la función y = (1 + x ) x . tenemos una forma indeterminada del tipo ∞0. transformaremos (con apoyo de la estrategia delineada en la tabla 4. Así. podemos aplicar la regla de L’Hôpital: ∞ d 3 ( 3 ln( x − 1)) 3 ln( x − 1) lím = lím dx = lím x − 1 = 0.12: Gráfica de la función y = x x −1 . 3 .13. d x→∞ x 1 x→∞ x→∞ (x) dx 3 3 3 ln( x − 1) = e0 = 1 de aquí resulta que lím (1 + x ) x = Exp lím x→ ∞ x→∞ x El resultado del cálculo anterior corresponde a la apariencia que tiene la gráfica de la figura 4.7 Calcula lím (1 + x ) x x→∞ 3 solución → 0 . 2 Ejemplo 4. y la longitud de BP es igual a la de BQ .14 el círculo — — — unitario está centrado en O.1: Formas indeterminadas 357 1. determina únicamente la forma indeterminada que se presenta. En— la figura 4.4. BQ es una recta tangente vertical. Si lím x →+∞ g '( x ) 1 (En los siguientes ejercicios bien cabe un pensamiento de Albert Einstein: “El sentido común es el depósito de prejuicios guardados en la mente antes de los 18 años. ¿Qué sucede con el punto E a medida de que Q → B? x . obtenga n x →+∞ nx − 1 f '( x ) 3t 4 = 1. sen ( 4 x ) x→ 0 x 1 cos x 3 b) lím 6 − x→ 0 x x6 1 c) lím 1 + x →∞ x x a) lím d) lím 4 x 2 − 3x x →∞ 6 x 2 + 1 2. En los siguientes incisos. obtén el valor de n. Supón que f ( x ) = ∫ e 9t + 1 dt y g(x) = x ne 3x.”) 5. 4. Emplea la regla de L’Hôpital para determinar los siguientes límites: 1 1 a) lím+ − x→ 0 x x b) lím x −1 x →1 ln ( x ) i) lím x→ 0 sen ( 7 x ) tan (11x ) q) lím 1 − x →∞ 6 x x 1 j) lím x tan x x→∞ k) lím x − x 2 + x x →∞ 1 r) lím 1 − x →∞ 4x 3x c) lím ex − 1 x → 0 cos ( x ) − 1 x3 − 1 x →1 4 x 3 − x − 3 ( ) 1 s) lím(1 − x ) x x→ 0 d) lím l) lím 2 x 2 − ( 3x + 1) x + 2 x →1 x −1 ln 2 + e x t) lím x→ 0 xe x cos 2 6 x e2 x − 1 x−2 e) lím 2 x→ 2 x − 4 f ) lím ln ( x ) x→1 x 2 ln (ln ( x )) ln ( x ) m) lím x →+∞ ( 5x ) u) x2 4 4 lím [(cos x ) e 2 ] x x→ 0 3x 2 − 3x n) lím x→ − ∞ 4 x 2 + 1 o) lím h→0 1 ( x 6 + 3x 5 + 4 ) 6 − x v) lím x→+∞ g) lím x→1 h) lím ln ( x + h ) − ln ( x ) h cos ( x + h ) − cos ( x ) h sen(sen ( x )) x→ 0 sen ( x ) x p) lím h→ 0 nx + 1 3. Si lím = 9. En la figura 4. . claramente.15 el círculo unitario está centrado en el origen.16. 7. Encuentra lím θ →0 g(θ ) y C 1 0<θ < π 2 θ O A B x FIGURA 4.14: Esquema del planteamiento del ejercicio 5. y la — — longitud del segmento BQ es igual a la del arco BP . ¿Qué sucede con la abscisa de R cuando P → B? y P Q R −1 B O 1 x FIGURA 4. 6.15: Esquema del planteamiento del ejercicio 6. sean f (θ) = área del triángulo ∆ABC y g(θ) = área de la región sombreada formada al f (θ ) suprimir el área del triángulo ∆OAC del sector OBC . 0 < f (θ) < g(θ).358 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia y Q P BQ = BP x B O E FIGURA 4. BQ es una recta tangente vertical.16: Esquema del planteamiento del ejercicio 7. En la figura 4. x 2) B(x. de la razón entre el área del triángulo y el área de la región sombreada.17: Esquema del planteamiento del ejercicio 8. 10. x 2) C x FIGURA 4. En la figura 4. 9. w ≠ w0 2 ( w2 0−w . y) D(1. Encuentra a) lím+ y . y después la masa se pone en movimiento mediante una fuerza f (t) = A cos(wt). Halla el límite. 0) x FIGURA 4.18: Esquema del planteamiento del ejercicio 10. La figura 4. a medida que x → 0. CD = DE = DF = t . puede determinarse que el desplazamiento x = x(t) del cuerpo con respecto de la posición de equilibrio está dada por x (t ) = Aw 2 cos(wt ) − cos(w0 t )) . Si un cuerpo de masa m se fija a un resorte colgado de un soporte. b) lím+ x t→ 0 t→ 0 y E C t F t A(x. 0) O B(0. entonces.1: Formas indeterminadas 359 8. y y = x2 A(−x. despreciando las fuerzas de fricción.4.17 muestra un triángulo ∆ABC y la región sombreada cortada a partir de la parábola y = x2 mediante una recta horizontal. ¿Para qué valores de las constantes a y b es lím x − 3 sen( 3x ) + a x − 2 + b = 0 ? x→ 0 ( ) 11. donde A y w son constantes positivas.18. x . lím c (x) − x x→ 0 x5 2 ∫0 cos (u ) du . R ( ) donde E. su velocidad de propagación v está dada por v= gL 2π D tanh . Si una bola de acero se deja caer en agua y si la fuerza de resistencia debida al agua es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. L 2π donde g es la aceleración de la gravedad. La corriente i = i(t) que circula en cierto circuito eléctrico en el tiempo t está dada por i(t ) = E 1− e−R t / L . Encuentra las constantes k y l.360 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Calcula lím x y verifica que la amplitud de las oscilaciones sea creciente. k m donde k es una constante y g es la aceleración de la gravedad. x→ 0 x ii. ¿Qué ocurre con s(t) cuando k → 0+? 14. 12. lím x→ 0 s i (x) . Éste es un caso de un few→ w 0 nómeno conocido como resonancia. R y L son constantes positivas. Si una ola con longitud de onda L. lím x→ 0 s i (x) − x x3 Nota: La integral que define a la función si (x) es impropia y es un concepto que estudiaremos en la próxima sección. x sen (u ) du . entonces la distancia recorrida por la bola al tiempo t está dada por gk m s(t ) = ln cosh t . Las siguientes funciones son importantes en diversas ramas de la ingeniería y la matemática aplicada. Halla: a) La función integral senaria se define por s i ( x ) = ⌠ ⌡0 u i. Sin embargo. te pedimos que no hagas caso al respecto y calcula formalmente los límites que se indican. 13. lím c (x) . Calcula lo que se pide. x ii. ¿Qué ocurre con la velocidad de propagación en aguas profundas? 16. Determina qué pasa con la corriente eléctrica de este circuito cuando R → 0+. b) La integral cosenaria de Fresnel define una función que denotaremos por c( x ) = Calcula: i. x→0 l x − sen( x ) ⌡ k+t 0 x 15. se desplaza por una masa de agua que tiene una profundidad D. tales que lím 2 1 ⌠ t dt = 1. el cual podrás consultar en la siguiente dirección electrónica: http://www. x2 son constantes positivas. Tales células están comunicadas unas con otras por medio de filamentos especializados o axones.1: Formas indeterminadas 361 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. 7).19).saludhoy. el axón posee una envoltura aislante a su alrededor que le permite conducir la electricidad de manera eficiente. El sistema nervioso está formado por billones de células conocidas como neuronas. En la obra de Eugene Silberberg (véase la referencia bibliográfica núm. Dicha cubierta está formada por mielina. donde k. ¿Qué “A” es al que se refiere la autora? 3. Esclerosis múltiple. ρ > 0 y 0 < α < 1. a través de los cuales pasan señales eléctricas de una neurona a otra. La reunión de miles de axones con su respectiva capa de mielina forma los nervios encargados de conectar las diferentes regiones del cerebro entre sí y con el resto del organismo (vea la figura 4. x1. como se esperaba. . Resulta sorprendente que un tema en apariencia tan teórico como el que hemos discutido en esta sección tenga tantas aplicaciones en la vida cotidiana. analiza y resuelve las siguientes situaciones. 1. La siguiente situación es del campo de la neurología y se apoya en el extracto de un artículo médico. ¿Por qué vuelan los aviones? 2. FIGURA 4. se halla que: ρ → 0+ −1 lím y=A donde A corresponde a la función de Cobb-Douglas.4. La función de Cobb-Douglas en la economía. “Esclerosis múltiple”. a través de los cuales viajan señales eléctricas. aparece el siguiente argumento: “Considérese la función de producción y = k [α x1− ρ + (1 − α ) x2 − ρ ] ρ . los axones tienen un funcionamiento parecido a los cables eléctricos.com/htm/mujer/articulo/esclero1.html. Es decir. Al tomar el límite a medida que ρ → 0+.19: Los axones son como cables recubiertos por mielina. Como cualquier cable. sustancia producida por otra célula llamada oligodendrocito. la fibra nerviosa se parece a un cable cilíndrico aislado para el que la ve2 r r locidad está dada por v = − k ln R R Donde r es el radio del axón. b) ∞. no es posible conducir de manera adecuada las señales eléctricas a través de los axones y las neuronas no pueden comunicarse entre sí.20). en la esclerosis múltiple ocurre una destrucción de la capa de mielina y el sistema nervioso deja de funcionar adecuadamente. c) 3 . por lo cual R → r +. d) 0 2 3x − 5 2x2 − x + 2 . R es el radio de la capa de mielina y k es una constante. Esto ocasiona numerosas complicaciones. FIGURA 4. Indica la opción que contiene el cálculo correcto de lím a) ∞. desequilibrio y alteraciones de los procesos mentales. Pues bien. b) 1 . Ese curioso fenómeno es llamado por los médicos desmielinización (figura 4. d) No existe. a) La esclerosis múltiple destruye la capa de mielina. pérdida de la sensibilidad o de la visión. De esta manera. Determina la opción que proporciona el lím a) No existe.20: La destrucción de la mielina interrumpe la comunicación entre las neuronas. ¿Qué ocurre con la velocidad del impulso eléctrico? b) El axón se reduce tanto en algunas zonas del sistema nervioso que r → 0+. 2 x →−∞ x→ 0 1 − cos ( x ) : x2 2. Discute con tus compañeros los siguientes problemas que tienen que ver con el sistema nervioso. entre muchas otras. ¿Qué ocurre en este caso con la velocidad del impulso eléctrico? Autoevaluación 1. c) 2.362 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Cuando se lesiona la mielina. que se manifiestan en parálisis. d) 1 7 3 1 1 3 . f ) 0 .4. lím f (θ ) =0 θ →0 g(θ ) A1 3 = 8. a = −3. b) No existe. h) 1. c) 1 . j) 1. m) 5. u) e−1/3. d) 4 e e 4. b = 9 2 . b) 1. b) lím+ x = −2 t→ 0 t→ 0 10. 4 11 11 2 x 4 1 1 1 1 1 p) −sen x. a) lím+ y = −1. b) e. r) 3/ 4 . 0) 6. x→ 0 x2 x→ 2 x x2 + 5 − 3 . entonces lím x→ 0 A 4 2 9. n) . v) 2 e e 2 e 1 ln( 3) 3. d) 0 ∞ 1. k) − . Escoge la opción que contiene el cálculo correcto de lím 1 + . a) +∞. b) ∞ − ∞. Determina la opción que contiene el lím 1 . t) . l) −1.1: Formas indeterminadas 363 4 3. n = 4. El punto E tiende al punto (3. d) ∞ 2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 0 ∞ . Si A1 representa el área del triángulo y A2 el área de la región sombreada. e) . d) ∞ 6 ex − 1 − x . s) . c) No existe. La abscisa del punto R tiende a −2 7. c) 4 . b) 0. n = 2 5. x →∞ x 1 a) e4. c) 1∞. c) −∞. a) 2. g) −∞. Encuentra la opción que da el cálculo correcto de lím a) 0. q) 6 . o) . i) . x2 − 4 a) 5. Silberberg. Madrid.. s(t ) → Aw 0 t sen ( w0 t ) 2 Et L 1 2 gt 2 14. Rivaud. 8. 1970. 1. 2a. Esclerosis múltiple. Reverté. Trillas. et. Nueva York. y Minton. R. k = 4. Ejemplos y ejercicios de matemáticas para ingenieros.. 1980. Limusa. Madrid. R. J. Smith. The Structure of Economics.. 1975. 6.364 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 11. R. ii.. I. Referencias de Internet 1. México. ed. México. vol.inicia. 2a. −1 18 b) i. 7. 2. et. . Pearson-Prentice Hall. al. R.. Cálculo diferencial para ingeniería. l = 1 15. i(t ) → 13. 2003. −1 10 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. ii. 3.saludhoy.. Apóstol. Cálculo de una y varias variables. b) 2. Madrid. México. E. ¿Por qué vuelan los aviones? http://www. 2.es/de/vuelo/PBV/PBV12. Courant. al. ed. vol 1. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. Cálculo. W. d) 3. 1982.html . 2006. 2a. x (t ) → 12. Ejercicios de análisis. ed. McGraw-Hill. Seeley. http://www. Del cálculo obtenido.. 4. 1978. 1. Calcula lím v 2 .. 1978. McGraw-Hill. F. a) 4.com/htm/mujer/articulo/esclero1. a) i. T. Prado. Reverté. Barcelona. podrás deducir que v ≈ D →∞ gL 2π 16. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Brauch.. c) Referencias 1. a) 5.html. 5. y John.. URMO. al igual que otras muchas comunidades poblanas. la población indígena se ha visto en la necesidad de emigrar. la costumbre. Estima lo que ocurriría con la población de Piaxtla.2: Integrales impropias 365 4.2. Dentro del marco de esta problemática. pues los varones emigran. Piaxtla. los habitantes principales son mujeres y niños. . tomaremos el ejemplo de lo que ocurre con un pequeño poblado llamado Piaxtla. su población presenta la siguiente dinámica. por arraigo a su familia y a su tierra. Tabla 4.2: Dinámica poblacional de Piaxtla Población 5500 Natalidad 37. una vez que terminan la educación secundaria. localizado al sur de Puebla en la Mixteca Baja. Como puedes constatar. sobre todo. a fuentes de trabajo o de otro tipo—.8% Mortalidad 4. hacia Estados Unidos. tanto individuales como familiares. seguridad económica y otras necesidades. para la población indígena éstas continúan siendo su mejor estrategia (tal vez la única) para lograr mejores condiciones de vida. con base en las siguientes consideraciones.26% FIGURA 4. hacia las grandes ciudades del país. luego al extranjero. Un factor que no se menciona en la tabla anterior tiene que ver con las personas que. Debido a las escasas oportunidades de nuestro medio —como acceder a la educación. está disminuyendo su población de manera dramática. Julio Cortázar El problema de la migración La sociedad está conformada por un grupo de seres humanos que busca el equilibrio.3% Migración 42. Desde este punto de vista. regresan cada año.21: En varias comunidades poblanas. si éstas se mantienen y si prevalecen las de la tabla 4. por lo que debe encontrar los medios para su subsistencia. Aunque no son pocas las adversidades que debe soportar en las grandes ciudades. Según el censo del año 2000. es posible entender los motivos que han influido en las poblaciones indígenas para abandonar sus comunidades.2 Integrales impropias Sólo existe algo más fuerte que nuestras propias convicciones.4. en primer lugar. Determina lo que pasará con la población a largo plazo. con el propósito de detener la merma poblacional de este lugar. sí podemos indicar qué conceptos de probabilidad y estadística (distribuciones. a manipular y a comprender las integrales que añaden “∞” en su descripción. deberás ser capaz de: • Definir y calcular integrales impropias con límites de integración infinitos o con discontinuidades infinitas en el intervalo de integración. Aunque ya analizamos integrales. del 5 al 9— rompen el sentido común.366 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia a) Supón que Piaxtla tiene una dinámica poblacional que varía constantemente. Los problemas que presentamos en la sección anterior —en particular. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. en proporción directa a la cantidad de sus habitantes. Ahora imagina que 200 personas regresan anualmente. para que a la larga se estabilice en 10.000 habitantes? Introducción Internarse en el mundo de los conceptos que cubren la idea de lo infinito es introducirse en un mar de sorpresas. En esta sección estudiaremos el concepto de integración impropia que. ¿cuántas personas tendrían que instalarse en Piaxtla. Así. tiene un uso potencial inmenso. Acatlán.2. Ahuehuetitla. Guadalupe Santa Ana. si en vez de 200 personas se incorporan anualmente al poblado a individuos (donde a es una constante). c) Si. recordarás que hasta este momento no se ha presentado ninguna situación donde la función tenga un comportamiento asintótico o donde alguno (o ambos) de los límites de integración sea(n) +∞ o −∞. esperanza. aspectos de la física (energía potencial) y procesos de transformación (como los de Laplace y Fourier) sin la ayuda de esta poderosa herramienta sería imposible definir o determinar. incluye al infinito en su proceso de cálculo. Chila de la Sal) y si estas acciones fueran exitosas. incluso los más prolíficos. se trata de un ente que. Tecomatlán. en esta sección nos dedicaremos a definir. Grandes matemáticos de la historia. entre las que se encuentran pobladores que ingresan de otros estados y los inmigrantes de Estados Unidos. . como veremos. San Pablo Anicano. aunque extraño en muchos sentidos. varianza).1 Integrales impropias Que el infinito causa sorpresas queda de manifiesto en situaciones aun tan simples como la que mostramos en el siguiente ejemplo. b) Responde al problema anterior. el edil ofreciera facilidades para la adquisición de tierras entre los pobladores de las comunidades cercanas (Chinantla. Sección 4. sucumbieron ante la consideración del infinito como una especie de número al que manipularon incorrectamente. Aunque por ahora no podemos desplegar todos los usos de esta herramienta. 1: Integral impropia tipo I Diremos que una integral es impropia del tipo I. Nota que x→ 0 − lím f ( x ) = + ∞ y lím+ f ( x ) = + ∞ .1 y 4. a Existe otro tipo de integrales impropias que tienen una enorme aplicación en la ingeniería y en las ciencias aplicadas en general. de acuerdo con la figura 4. Formalizamos lo anterior en las definiciones 4. 1]. Una objeción inmediata a este resultado es que. ∞ ∫−∞ f ( x )dx ∫−∞ f ( x )dx . y no negativa. Definición 4. b]. la integral ∫ f ( x )dx será impropia. y este punto pertenece al intervalo [−2. si el área resultante existiera. sino símbolos que deberán manejarse con el cuidado que exija el caso. ésta debería ser positiva. cada vez que en la función se presente un comportamiento b asintótico y éste se origine en algún punto c ∈ [a. ∞]. ¿Por qué ocurrió esto? Una primera observación consiste en mirar la gráfica de la función en el intervalo de integración.22: Si existiera el área. x→ 0 es decir. la función tiene una asíntota vertical en x = 0. Grosso modo. ∫a ∞ f ( x )dx b b) Para f continua en [−∞.2: Integrales impropias 367 Considera la integral de la función f ( x ) = esta integral definida. tenemos 1 en el intervalo [−2. ±∞ no son números. por lo tanto. la gráfica de la función se encuentra en su totalidad por encima del eje x.21. Al resolver x2 ⌠ 1 dx = ∫ x − 2 d x = − x −1 2 ⌡−2 x −2 1 1 1 −2 1 1 = −1 + = −1 − = −3 / 2 −2 2 8 6 4 2 −2 −1 1 2 FIGURA 4. que se caracterizan porque en alguno de los límites de integración se emplearon los símbolos −∞ o +∞.2. a) Para f continua en [a. c) Para f continua en . ésta debería ser positiva. Cabe enfatizar que éstas se incluyen en dicha categoría porque. si se presenta alguno de los siguientes casos. b].4. como se ve. 1]. como hemos señalado reiteradamente. Definición 4. diremos que es divergente. b] tal que la gráfica de la función tenga una asíntota vertical en x = c. de alguna manera. ∫a b f ( x ) d x = lím+ ∫ f ( x ) d x. b] y si en x = a la gráfica de f tiene una asíntota vertical. diremos que la integral impropia es convergente.2: Integral impropia tipo II Diremos que la integral ∫ f ( x )dx es una integral impropia del tipo II. en caso contrario. entonces. y dado que éste no es un número al que se pueda manipular con la aritmética usual. b) y si en x = b la gráfica de f tiene una asíntota vertical. b Antes de formalizar las definiciones respectivas sobre el cálculo de estas integrales. f ( x )dx. está presente el “infinito”. si ambos límites existen. b]. vale la pena reflexionar en la siguiente idea: Dado que una integral impropia es aquella en la que. si el límite existe r→a r b . ∫a b f ( x ) d x = lím− ∫ f ( x ) d x. ∞] entonces. f ( x )dx. si el límite existe r→b a r b) Si la función f es continua en el intervalo semiabierto (a. Definición 4. donde a es cualquier constante en . si el límite existe ∫−∞ f ( x )dx = Rlím →− ∞ ∫ R c) Si la función es continua en el intervalo f ( x )dx + lím ∫ ∫−∞ f ( x )dx = Rlím →− ∞ ∫ R S →∞ a ∞ a S b . evadiremos la dificultad que entraña su presencia en la integral con el concepto de límite.3: Integrales impropias tipo I a) Si la función es continua en el intervalo [a.368 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Definición 4. ∫a b ∞ f ( x )dx = lím R→∞ a ∫ R f ( x )dx. si exisa te al menos un valor c ∈ [a. Si en cada caso los límites involucrados existen. entonces. entonces. entonces. si el límite existe b) Si la función es continua en el intervalo (−∞.4: Integrales impropias tipo II a) Si la función f es continua en el intervalo semiabierto [a. la integral debe estudiarse bajo el concepto de integral impropia (tipo II). b). por lo tanto. diremos que la integral impropia es convergente.4. Esto explica la incongruencia entre la gráfica del área en la figura 4.9 Si existe. entonces. y si en x = c la gráfica de f tiene una asíntota vertical. debemos estudiar el límite correspondiente que define este tipo de integral. b] con excepción de x = c ∈(a. ∫a b f ( x ) d x = lím− ∫ f ( x ) d x + lím+ ∫ f ( x ) d x. calcula la integral de la función f ( x ) = 1 en el intervalo de [0. 2−x solución Observa que la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 2. por lo tanto. concluimos de manera inmediata que la integral diverge. de acuerdo x2 ⌠ 1 ⌠ 1 ⌠ 1 dx = lím− dx + lím+ dx 2 2 2 r → s → 0 0 ⌡−2 x ⌡−2 x ⌡s x 1 ⌠ 1 1 1 dx = − lím− = − lím− + = + ∞ Así. 2). Ejemplos Ejemplo 4.2: Integrales impropias 369 c) Si la función f es continua en el intervalo [a. si en cada caso los límites involucrados existen. en caso contrario diremos que es divergente. Determinar la existencia de la integral equivale a considerar su convergencia. si ambos límites existen r→c a s→ c s r b Una vez más.8 ⌠ 1 dx en el ejemplo inicial e investiga si la integral impropia es convergente. r r 1 r 1 Ejemplo 4.22 y el cálculo realizado que llevó al resultado −3/2.4c): 1 tiene una asíntota vertical en x = 0. por ello. . Retoma el cálculo de 2 ⌡−2 x 1 solución Como indicamos. lím− 2 r 2 r→ 0 ⌡ r → 0 r → 0 x −2 −2 x Sin necesidad de averiguar lo que ocurra con el segundo límite. la función f ( x ) = con la definición 4. requerimos estudiar el límite: ⌠ lím r → 2 − ⌡0 r dx 2−x Si hacemos el cambio de variable u = 2 − x. 1 2 FIGURA 4.370 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia En la figura 4. du = −dx y así: ⌠ ⌡0 2 1 2−x dx = lím− r→ 2 1 ⌠ (−1) ⌡0 2−r r −1 2−x dx = − lím− r→2 ∫ 2 u −1 / 2 du = − lím− 2 u r→2 2−r 2 = lím− 2 2 − 2 2 − r = 2 2 r→2 ( ) Como el límite existe. entonces.23: Área del ejemplo 4. 1] es convergente.4a). calcula su valor.9.23 se representa la gráfica de la función de este ejemplo. concluimos que la integral converge y que su valor 2 2 (unidades cuadradas) representa el área de la región sombreada.10 Determina si la integral de la función f (x) = xln(x) en la región comprendida en el intervalo de (0. . De acuerdo con la definición 4. Ejemplo 4. Si lo es. 5 2 2. . tomamos u = ln(x) y dv = xdx.4b): ∫0 x ln( x ) d x = rlím ∫ x ln( x ) d x →0 r + 1 1 Al integrar por partes. de lo cual deducimos que la integral que buscamos es impropia. podemos decir que la integral converge a −1/4.5 1.2: Integrales impropias 371 solución 3 2. de donde: du = dx x2 y v= . Así: x 2 1 1 1 1 1 1 1 1⌠ x2 1 lím+ ∫ x ln( x )dx = lím+ x 2 ln( x ) − dx = lím+ x 2 ln( x ) − x 2 r→0 r→0 2 2 ⌡r x 4 r→0 2 r r r r En el primer término se ve que será necesario hallar el límite: lím 1 2 1 ln(r ) −∞ r ln(r ) = lím+ −2 (la forma 0 ⋅ (−∞) se transforma en ) r → 0 2 2 +∞ r = De aquí: 1 1 1 1 1 lím+ ∫ x ln( x )dx = lím+ x 2 ln( x ) − x 2 r→0 r→0 2 4 r r r r → 0+ 1 r −1 1 lím+ = lím r 2 = 0 − 3 2 r → 0 −2 r − 4 r → 0+ 1 1 1 = lím+ − r 2 ln(r ) − 1 − r 2 = − r→0 2 4 4 ( ) Así.24: Área del ejemplo 4.4.5 1 –0. ¿Qué ocurre con f (x) = xln(x) cuando x → 0+? Un vistazo a la función que se integra mostrará que se genera una forma indeterminada del tipo “0 ⋅ (−∞)”. De acuerdo con la definición 4.10.5 1 0.5 3 FIGURA 4.5 2 1. observa que la integral va de 0 a 1. Tenemos. explique a qué valor. ninguna de las definiciones (ni 3 ni 4) dx ⌠ . 1). ⌡ x 1− x 2 sea x = sen(θ) de donde dx = cos(θ)dθ. sin embargo.11. resulta que la gráfica tiene asíntotas verticales en x = 0 y en x = 1. Resolvemos ahora la integral indefinida por sustitución trigonométrica.5 1 FIGURA 4. así.11 dx ⌠ Determina si ⌡0 x 1 − x 2 1 converge. Para este caso. En caso afirmativo. una desigualdad equivalente a −1 < x < 1.5 –2 –4 0. extendiendo la idea que se formalizó proveen el mecanismo de cálculo de ⌡0 x 1 − x 2 en dichas definiciones. Por ello. entonces. Asimismo. Nota que el dominio de la función se restringe bajo las condiciones x ≠ 0 y 1 − x2 > 0. razón por la cual debemos determinar lo que ocurre cuando x → 0+ y cuando x → 1−.6 x 1 − x Es importante señalar que el valor intermedio seleccionado. abordaremos el cálculo de la integral a través del concepto de integral impropia. 0.6 x 1 − x 2 dx dx ⌠ ⌠ = lím+ + lím− (*) 2 2 r→0 ⌡ s →1 ⌡ x 1− x r 0. parece razonable realizar el cálculo considerando lo siguiente: 1 1 1 ⌠ ⌠ ⌠ dx = dx + dx 2 2 ⌡0 x 1 − x ⌡0 x 1 − x ⌡0. pudo ser cualquier otro punto del in⌠ dx tervalo (0.6 s 1 0. 0.25: La función del ejemplo 4.25.6 1 1 . Como se ve en la figura 4. solución 10 8 6 4 2 –1 –0.372 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Ejemplo 4.6. 6 2 0.6 1 − 1 − r2 ≈ lím+ −1. Si recurrimos a la regla de L’Hôpital.09861 − ln r→0 r 2 + el cual tiene una forma indeterminada pues 1 − 1 − r → 0 y r → 0+ cuando r → 0+. con uno solo que no exista basta para llegar a esta conclusión.4. y deducimos que la integral impropia diverge.6 6 x 1− x r 1 − 1 − r2 − ln r .3 y 4. hallamos: 1 − 1 − r2 r lím+ = 0+ . obtenemos ⌠ 1 1 − 1 − x2 dx = ln csc θ − cot θ + C = ln +c ⌡ x 1 − x2 x dx ⌠ Si regresamos al cálculo del primer límite. en (*).2: Integrales impropias 373 ⌠ 1 1 ⌠ dx = (cos(θ ))dθ 2 ⌡ x 1− x ⌡ sen(θ ) 1 − sen 2 (θ ) ⌠ 1 (cos(θ ))dθ = = ⌡ sen(θ ) cos(θ ) ∫ csc(θ )dθ = ln csc(θ ) − cot(θ ) + C Al transformar el último resultado (como lo hicimos en la unidad 2) para la variable “x”. = lím+ r→0 r r→0 1 − r 2 por lo tanto. tenemos r→0 ⌡ x 1 − x2 r 1 − 1 − 0.6 ( ) dx ⌠ = lím+ ln lím+ 2 r→0 ⌡ r→0 0. 0. por la continuidad de la función logaritmo: 1 − 1 − r2 ln → −∞ r En cuanto a la conclusión. . Nota: Observa que no se requiere que ambos límites diverjan. ésta es idéntica a la que se señaló en las definiciones 4. para concluir que la integral no existe (o que diverge). lím+ .4. 5 1 0. 4 3 2 10 8 6 4 1 2 0. b) Como en el inciso anterior. a) La gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 0. b) 5 . como lo mostrarán los siguientes cálculos. la intención de este ejemplo es mostrar que esta similitud sólo es aparente.27 no existe. calcula a) 4 .4b): ⌠ dx ⌠ dx 5 x1/ 5 4 5 = rlím 4 = rlím → 0+ ⌡ x 5 → 0+ ⌡0 x r 1 1 1 r = 5 lím+ 1 − r1/ 5 = 5 r→0 ( ) De manera que la integral existe y podemos decir que el área de la región sombreada en la figura 4. La diferencia estriba en la magnitud de los exponentes de x en el denominador de cada función.27: Representación gráfica de la integral en b).374 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Ejemplo 4. y en el otro divergencia. 5 ⌡0 x ⌡0 x 4 1 1 solución Antes de empezar. de acuerdo con la definición 4.26: Representación gráfica de la integral en a). FIGURA 4. la integral diverge.26 es 5. sin embargo. en un caso tenemos convergencia. la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 0 (observa la definición 4.6 0.12 ⌠ dx ⌠ dx Si existe. . Nota que pese a la similitud de las integrales y las áreas que representan.4 0. nota que el aspecto gráfico de las áreas cuyo cálculo corresponde a los incisos a) y b) es similar.2 0.8 1 FIGURA 4. por lo tanto. es decir. el área de la región sombreada en la figura 4.4b)): −4 ⌠ dx ⌠ dx = lím+ 1/ 4 5 5 4 = rlím + 4 →0 ⌡ x r→0 x ⌡0 x r 1 1 1 r 1 = −4 lím+ 1 − 1/ 4 = + ∞ r→0 r Por lo tanto. 4.2: Integrales impropias 375 Ejemplo 4.13 Si es posible, calcula el área de la región sombreada de la figura 4.28, limitada por la gráfica de la función f (x) = xex en el intervalo (−∞, 0]. solución FIGURA 4.28: Apariencia del área calculada del ejemplo 4.13. 0 El problema se resuelve estudiando la convergencia de la integral nición 4.3b): ∫−∞ x e x d x . De acuerdo con la defi- ∫−∞ x e ∫−∞ x e 0 0 x d x = lím xe R→ − ∞ ∫ R 0 x dx Calculamos la integral usando integración por partes y, para ello, tomamos u = x y dv = exdx. Entonces, x d x = lím R→ − ∞ ∫R x e 0 x dx 0 R = lím x e x R→ − ∞ ( 0 R − ex ) = lím (− R e − 1 + e ) R R R→ − ∞ Observa que para calcular el límite del primer término dentro del paréntesis, requerimos estudiar una forma indeterminada de la forma ∞ ⋅ 0. Calculando esta forma por separado y hallamos d (− R ) −1 −R = lím − R = lím dR ; = lím = lím e R = 0 −R R→ − ∞ e R→ − ∞ d R → − ∞ R→ − ∞ −R e − e dR R→ − ∞ lím − R e R ( ) ( ) De esta manera, ∫−∞ x e 0 x d x = lím − R e R − 1 + e R = −1 . Por lo tanto, la integral converge y podemos R→ − ∞ ( ) decir que el área pedida existe y es igual a −1. 376 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia Ejemplo 4.14 ⌠ 3 dx Determina si la integral converge. 2 ⌡1 x ∞ solución 5 4 3 2 1 2 4 6 FIGURA 4.29: Apariencia del área representada por la integral del ejemplo 4.14. De acuerdo con la definición 4.3a), debemos estudiar el siguiente límite: ⌠ 3 dx ⌠ 3 dx = lím 2 2 R →∞ x ⌡1 ⌡1 x Así, ∞ R ⌠ 3 dx ⌠ 3 dx = lím 2 2 R →∞ x ⌡1 ⌡1 x = lím −3x −1 R→∞ ∞ R ( ) R 1 1 = −3 lím − 1 = 3 R→∞ R Concluimos que la integral existe y converge a 3. Ejemplo 4.15 Si es posible, calcula el área de la región sombreada, limitada por el eje horizontal y la gráfica de la función f (x) = xe−x en el intervalo (−∞, ∞). 2 4.2: Integrales impropias 377 solución −2 −1 1 2 FIGURA 4.30: Aspecto gráfico del área del ejemplo 4.15. Observa que la función es impar; bastará calcular la integral ∞ −x −x ∫ xe dx = lím ∫ xe dx 2 2 R 0 R→∞ 0 En caso de convergencia, el área buscada será dos veces el valor hallado. Si hacemos el cambio u = −x2, entonces du = −2 xdx; de esta manera: ∞ −x −x ∫ xe dx = lím ∫ xe dx 2 2 R 0 R→∞ 0 =− =− 2 1 lím e− x R → + ∞ 2 R 0 2 1 1 lím e− R − 1 = 2 R→ + ∞ 2 ( ) 1 Dada la convergencia de esta integral, concluimos que el área de la región existe y que es 2 = 1 . 2 Ejemplo 4.16 ∞ ⌠ ln ( x ) dx Si existe, calcula la integral ⌡1 x 2 378 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia solución 1 2 3 4 5 FIGURA 4.31: Aspecto gráfico del área del ejemplo 4.16. De acuerdo con la definición 4.3a), ∞ R ⌠ ln ( x ) dx = lím ⌠ ln ( x ) dx 2 R→∞ ⌡1 ⌡1 x x2 Si aplicamos integración por partes, con u = ln(x) y dv = du = dx y v = −x−1; por lo tanto, x ∞ dx = x − 2 dx , entonces, x2 ln( x ) R R 1 ln( x ) dx = lím + 2 dx − ∫ x2 R→∞ x 1 ∫ x 1 1 ln( x ) R 1 R = lím − +− R→∞ x 1 x 1 1 ln( R) = lím − + 1 − = 1, R→∞ R R donde utilizamos la regla de L’Hôpital para calcular el límite d 1 ln ( R ) 1 ln( R) lím − = − lím dR = − lím R = − lím = 0 d R→∞ R→∞ R→∞ 1 R→∞ R R ( R) dR Y concluimos que la integral converge a 1. Ejemplo 4.17 Determina si la integral ∫−∞ e ∞ −x dx es convergente. 4.2: Integrales impropias 379 solución FIGURA 4.32: Aspecto gráfico del área del ejemplo 10. Según la definición 4.3c), tenemos ∫−∞ ∞ e− x dx = lím R→ − ∞ −x −x ∫ e dx + lím ∫ e dx, R S →∞ 0 0 S donde x = 0 es cualquier valor que nos permita “fraccionar” la integral. Hagamos ahora cada cálculo por separado: lím R→ − ∞ ∫e R 0 −x dx = lím − e− x R→ − ∞ 0 R = lím e− R − 1 = +∞ R→ − ∞ ( ) Después de realizar este primer cálculo, concluimos que no será necesario hacer el segundo (igual de sencillo); sabemos ahora que la integral no existe, es decir, que es divergente. 1. Expresa con el límite correspondiente a cada una de las siguientes integrales. Muestra un dibujo que indique el área que se calcularía (si existe) con la integral respectiva; no calcules la integral. ∞ x ⌠ dx a) ⌡1 1 + x 3 ∞ x ⌠ dx b) ⌡−1 1 + x 3 0 ⌠ 1 c) 3 dx ⌡− ∞ x d) ∫0 π /2 cot( x ) dx 380 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 2. En los siguientes incisos, determina si la integral impropia converge o diverge. En caso de convergencia, calcula el valor de la integral. dx ⌠ a) 2/3 ⌡0 ( x − 1) 20 ⌠ dx f) ⌡−∞ x 2 + 16 ∞ 1 x +1 ⌠ dx b) ⌡0 x 2 + 2 x 1 c) ∫0 − x ln( x )dx 5 d) ∫− ∞ e 4 ∞ 3x dx e) ∫0 tan( x )dx π ⌠ ln( y ) dy g) 3 ⌡1 y 3 dx k) ⌠ ⌡0 x − 1 2 ∞ ∞ 2 ⌠ dx h) ⌡− ∞ e x + e− x dx ⌠ i) ⌡0 16 − x 2 ⌠ j) ⌡0 ∞ dt t2 +1 l) ∫−1 ln x dx ∞ 1 ∞ 4 dx ⌠ dx ⌠ dx ⌠ . , b) 3. Calcula: a) y finalmente c) ⌡0 ( x + 4 ) x ⌡4 ( x + 4 ) x ⌡0 ( x + 4 ) x 4. ¿Para qué valores de p existen las siguientes integrales? a) ∫0 x 1 p dx b) ∫1 ∞ x p dx c) ∫0 ∞ x p dx 5. Para n entero positivo, determina si cada una de las siguientes integrales converge. En caso de que así ocurra, determina a qué convergen. a) ∫0 ∞ x n e− x dx. Más generalmente, determina a qué converge ∫0 ∞ x n e− a x dx , con a > 0. Sugerencia: Haz el cambio t = ln(1/x) y aplica el inciso a). ⌠ 1 ln dx. b) ⌡0 x 6. Prueba que las siguientes dos integrales convergen, después, calcula la diferencia que se pide. ∞ ⌠ dx ⌠ arctan( x ) d x ; J = a) I = 2 ⌡0 x2 ⌡0 x 1 + x ∞ 1 n ( ) b) J − 1 7. ¿Es posible asignar un valor real al área delimitada por f ( x ) = 1 sec h( x ) y el eje x? Presente adecua2 damente sus argumentos, usando el concepto de integral impropia. ∞ dx ⌠ 8. Determina los valores de n para los cuales la integral impropia converge. Una vez que n ⌡e x ( ln( x )) encuentres la respuesta, indica a qué converge la integral. 4.2: Integrales impropias 381 9. En cada uno de los siguientes incisos, determina el valor de la constante k con el cual se pueda asegurar que la integral converge. Una vez hallada la constante, calcula su integral. 1 ⌠ kx − a) 2 dx ⌡2 x + 1 2 x + 1 ∞ x k ⌠ − b) 2 dx ⌡1 2 x + 2 k x + 1 ∞ ⌠ k 1 dx − c) 2 x + 1 ⌡0 1 + 2 x ∞ 10. Dada una función f definida para toda t ≥ 0, la transformada de Laplace de f es la función F de “s” que se define de la siguiente manera: F (s) = ∫0 e ∞ − st f (t ) dt para todos los valores “s” donde la integral impropia converja. En cada uno de los siguientes incisos, encuentra bajo qué condición existe la transformada de Laplace y determina la fórmula correspondiente: a) f (t) = eat b) f (t) = cos(at) c) f (t) = senh(at) 11. En la teoría de la probabilidad, una función f se llama función de densidad si se satisfacen las siguientes dos condiciones: a) f (x) ≥ 0 para todo x ∈ b) ∫ − ∞ f ( x )dx = 1 (t − µ ) 2 2σ 2 ∞ Para una constante µ ∈ , y σ > 0 también constante se define la función f (t ) = i. A partir del resultado − 1 e 2π σ ∫−∞ e ∞ −u2 du = π , demuestra que f (t) es una función de densidad. ii. Un par de conceptos importantes de la probabilidad son la esperanza matemática y la varianza que se definen para una función de densidad f de la siguiente manera: E= ∫−∞ t f (t ) dt , Var = ∫−∞ (t − E ) ∞ ∞ 2 f (t )dt , si las integrales convergen. Demuestra que para la función de densidad en i. ambas integrales convergen; después, calcula a qué convergen. 12. Una función muy importante de la matemática aplicada es la función gamma, que se define por ∞ Γ ( s ) = ∫ t s −1 e − t dt , la cual converge para s > 0. Aplica integración por partes y prueba que Γ(s + 1) = sΓ(s). Después, demuestra por inducción que Γ(n + 1) = n! para n entero positivo. ∞ 0 dx 13. Para 0 < α < π, calcula ⌠ 2 ⌡1 x − 2 x cos(α ) + 1 14. Encuentra un valor de la constante C, de manera que la función Cx ,x ≥ 0 2 f ( x ) = 1 + 3x 2 0, x < 0 ( ) sea una función de densidad (véase el problema 11). 382 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 15. Una varilla uniforme se extiende sobre el eje x no negativo. Si tiene una densidad lineal δ y una partícula de masa m se coloca en el punto (−a, 0), determina la fuerza gravitatoria F que la varilla ejerce sobre la masa. 16. Supón que la integral I = ∫ π /2 0 ln(sen( x )) dx converge. π /2 π − y y demuestra que I = ∫ ln(cos( x )) dx 0 2 a) Realiza el cambio de variable x = b) A partir de 2 I = ∫ π /2 0 ( ln(sen( x )) + ln(cos( x ))) dx, muestra que 2I = ∫ π /2 0 ln(sen(2 x )) dx − π ln(2 ) 2 π /2 0 c) Usa el inciso b) y el cambio 2x = v y demuestra que I = ∫ d) A partir de los incisos b) y c), encuentra el valor de I. e) Calcula J = ∫ x ln(sen( x ))dx 0 ln(sen(2 x ))dx π ∞ ∞ 1 − cos( x ) π ⌠ sen( x ) dx 17. A partir del resultado ⌠ , y suponiendo la convergencia de las integrales = ⌡0 x ⌡0 2 x2 2 ⌠ sen ( x ) dx , obtén el valor de cada una. e x2 ⌡0 ∞ 18. Usa los problemas 11 y 12 para calcular las siguientes integrales: a) ∫0 ∞ x 3e− x dx b) ∫0 ∞ x 6 e−2 x dx c) ∫0 ∞ x e− x dx 3 d) ∫0 3 ∞ − 4z 2 dz dx e) ⌠ ⌡ 0 − ln( x ) 1 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, analiza y resuelve las siguientes situaciones: 1. El problema de la migración 2. La trompeta del Ángel Gabriel 4.2: Integrales impropias 383 f (x) = 1 x; x ≥ 1 1 2 3 4 FIGURA 4.33: Aspecto de la superficie conocida como la trompeta del ángel Gabriel. (En el Nuevo Testamento, Gabriel es el ángel que anuncia a María que dará a luz al mesías.) FIGURA 4.34: La superficie La trompeta del ángel Gabriel se genera por la rotación de la región sombreada alrededor del eje horizontal. Cuando se descubrió (hallazgo atribuido a Torricelli) esta superficie se consideró como una paradoja, pues se observó que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior (A), al tiempo que era posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura (B). La explicación a que una área infinita requiera una cantidad finita de pintura presupone que una capa de pintura tiene un grosor constante, lo cual no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayoría de la longitud no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Con tu equipo de trabajo, responde los siguientes incisos. a) Verifica la veracidad de la afirmación (A) del párrafo anterior. b) Define la veracidad de la afirmación (B) del párrafo anterior. Autoevaluación dx ⌠ 1. Indica la opción correcta para 4 ⌡0 x + 4 2π 5 π b) 8 a) c) ∞ π2 4 d) No existe Sugerencia: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2) 384 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 2. Determina la opción que contiene el cálculo de a) −10 2 b) 4 − 2 2 ∫ 1 3 1 dx x −1 c) No existe d) 2 2 2 3 dx 3. Elige el inciso que dé la afirmación correcta para ⌠ ⌡− 2 x a) 2 ln(2) b) ln(8) c) 0 d) Diverge 4. Determina qué inciso contiene la afirmación correcta para a) −10 2 b) 4 − 2 2 ∫−∞e ∞ − 2x dx c) Diverge d) 2 2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) b) −2 2 4 6 1 2 3 4 5 6 R ∞ x x ⌠ dx = lím ⌠ dx 3 R→∞ ⌡1 1 + x 3 ⌡1 1 + x ∞ 0 ∞ x x x ⌠ dx = lím+ ⌠ dx + lím ⌠ dx 3 3 R→∞ ⌡0 1 + x 3 r →−1 ⌡r 1 + x ⌡−1 1 + x 4.2: Integrales impropias 385 c) d) ⌠ 1 ⌠ 1 ⌠ 1 dx + lím− 3 dx 3 dx = Rlím →−∞ ⌡ R 3 x r → 0 ⌡−1 x ⌡−∞ x 0 −1 r ∫0 π /2 cot( x ) dx = lím+ ∫ r→ 0 π /2 r cot( x ) dx 2. a) Converge a 3; b) Converge a 25 (1 − ln ( 25 )) ; d) Diverge; e) Diverge; 4 1 π f ) Converge a 5π ; g) Converge a ; h) Converge a π ; i) Converge a ; j) Diverge; k) Diverge; 4 2 3 ; c) Converge a l) Converge a −2. 3. a) π π π ; b) ; c) 4 4 2 4. a) p > −1; b) p < −1; c) No existe ningún valor de p con el cual la integral converja. 5. a) Converge a n!; la integral más general converge a n! . a n +1 n I n −1 . ; b) Converge a n! a < Sugerencia: si I n = ∫0 ∞ x n e − a x dx , muestra que I n = 1 6. a) Para la integral I, observa que x > 1 implica 1 . Busca una desigualdad similar para x2 x 1+ x la segunda integral. Reflexiona sobre la utilidad de estas desigualdades. ( 2 ) b) arctan( x ) π ; sugerimos que consideres la diferencial de x 4 7. La integral converge, el área de la región descrita es 8. La integral converge para n > 1 y converge a 1 n −1 π 2 386 Unidad 4: Formas indeterminadas e integral impropia 9. a) k = 1 1 5 1 8 1 ; la integral converge a ln ; b) k = ; la integral converge a ln ; 2 4 4 4 3 2 3 ln 2 2 ; la integral converge a 2 2 c) k = ( ) 10. a) F ( s ) = s a 1 para s > a; b) F ( s ) = 2 , s > 0; c) F ( s ) = 2 , s> a . s + a2 s−a s − a2 11. i. No requiere respuesta, ésta se encuentra en el mismo texto. ii. E = µ, y Var = σ 2 12. La respuesta aparece en el mismo texto. 13. π −α 2sen(α ) ∞ 14. C = 6 Gmδ mδ ⌠ dx. Al calcular esta integral, obtenemos F = 15. La fuerza está dada por F = G , donde G 2 a ⌡0 ( x + a ) es la constante de gravitación universal. 16. Las respuestas de los incisos a) a c) aparecen en el planteamiento del problema. La respuesta a d) es π I = − ln(2 ) . Para e), usa el cambio de variable x = π − y en el resultado del inciso anterior, entonces 2 J=− π2 ln(2 ). 2 ∞ 2 ∞ sen( x ) π ⌠ sen ( x ) dx = dx = 17. ⌠ ⌡0 2 x x2 ⌡0 18. a) Γ(4) = 6; b) Haz el cambio 2x = y, x3 = y, Γ ( 7 ) 45 ; c) Calcula el valor de Γ ( 1 2 ) , y cambia la variable = 8 27 π π ; d) ; e) 3 4 ln( 3) π Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. b) 2. d) 3. d) 4. c) 4.2: Integrales impropias 387 Referencias 1. Apóstol, T., Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal, 2a. ed., Barcelona, Reverté, 1980. 2. Courant, R. y John, F., Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I, México, Limusa, 1982. 3. Prado, et. al, Cálculo diferencial para ingeniería, México, Pearson Educación, 2006. 4. Rivaud, J., Ejercicios de análisis, Madrid, Reverté, 1975. 5. Seeley, R., Cálculo de una y varias variables, México, Trillas, 1978. 6. Silberberg, E., The Structure of Economics, New York, McGraw-Hill, 1978. 7. Smith, R. & Minton, R., Cálculo, vol. 1, 2a. ed., Madrid, McGraw-Hill, 2003. Referencias de Internet 1. Enciclopedia de los Municipios de México Puebla, Piaxtla: http://www.emexico.gob.mx/work/EMM_1/Puebla/Mpios/21113a.htm 2. “La migración, puntal de la economía mexicana”en http://www.eumed.net/cursecon/ecolat/mx/mebb-migra.htm 389 Unidad Sucesiones y series Contenido de la unidad 5.1 Sucesiones 5.2 Primeras series 5.3 Criterios de convergencia 5.1 Sucesiones La imaginación debe apoyarse en la realidad, de la misma manera que la realidad se apoya en la imaginación. Vladimir Kazakov Bautzen Cómo ganar fácilmente una apuesta en una reunión de amigos Ganar una apuesta no siempre es tan difícil. Si realizas lo que a continuación te planteamos, te será muy sencillo. Para ello, deberás aprovechar las circunstancias que te ofrecen las reuniones con amigos o familiares. Supón que en una de ellas, por lo menos está concentrada una treintena de personas. Plantea ahí el siguiente desafío: “¿Creen que sea probable que al menos dos de nosotros celebremos cumpleaños el mismo día?” Los no versados en matemáticas tenderán a afirmar que la probabilidad de que esto ocurra es francamente pequeña; tal vez algunos se aventuren a estimar al respecto un valor cercano a 10%. Es aquí donde podrías aprovechar la situación. Por ello, si lanza una apuesta en tales circunstancias, posiblemente se le considere como quien juega a la lotería. en la misma reunión. Si n representa el número de personas en la reunión. determina la probabilidad Pn de que. • Si consideras que no hay años bisiestos y que cada día del año es igualmente probable. más de una—. la cual. ¿qué tan probable es que ganes la apuesta? • Grafica (n. completa la tabla 5. para que no pase por una situación bochornosa con tus conocidos. ¿no se enfila a estafarlo. es un arreglo de números y su valía radica en su aplicabilidad desde asuntos tan sencillos. al proponerle un juego aparentemente ventajoso para él. hasta las cuestiones más complica- .1. Sin embargo.1: Sucesión de probabilidades. En una apuesta se puede ganar o perder. sin que él lo sepa.1 en las columnas de Pn y Qn? Con una treintena de invitados. ¿Qué ocurrirá en la medida en que el número de invitados se haga cada vez más grande? A partir de la gráfica. • Sea Qn la probabilidad de que haya dos o más individuos con el mismo cumpleaños. • Indaga la relación que hay entre la probabilidad de un evento y la de su complemento. • ¿Qué revela la tabla 5. la confrontación de todas las identificaciones llevará a constatar que. Tu apuesta es como si desafiaras al adversario disponiendo de armas más eficaces. te pedimos que pienses por un momento qué tan comprometedora o qué tan segura es la apuesta que te proponemos formular.1: ¿Qué tan probable es que en una reunión dos personas celebren sus respectivos cumpleaños el mismo día? Tabla 5. como contar. La única diferencia estriba en que tu poseas conocimientos. no haya dos o más personas con la misma fecha de cumpleaños. n 8 12 16 20 22 23 24 28 30 32 Pn Qn Introducción El problema que acabamos de plantear usa ideas básicas de la probabilidad y un concepto matemático de importancia trascendental: la sucesión. ¿qué puede decir de la sucesión {Pn}: crece o decrece? ¿Está acotada? ¿Tiende hacia algún valor? Queda un asunto por dilucidar: ¿Su apuesta es honrada? Si sabes que la probabilidad de ganar es muy superior a la del contrario. pero que en realidad es una ganancia casi segura para ti? Todo parece indicar que no es así. pues quienes escuchen su reto tendrán toda la información disponible. sorprendentemente.390 Unidad 5: Sucesiones y series incauto. Ésta se apoya en los siguientes aspectos que te pedimos considerar con tu equipo de trabajo: • Investiga el concepto básico de probabilidad de un evento y escríbalo. se producen coincidencias —a menudo. FIGURA 5. Pn). grosso modo. por supuesto. la teoría de fractales. Por ejemplo. 3. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección.1: Sucesiones 391 das del análisis matemático.… Sin embargo. se acostumbra escribir x(n) como xn. Es verdad que. • Enunciar y aplicar los teoremas más importantes sobre convergencia de sucesiones. en particular los que se refieren a la suma.5. es posible usar para ésta los resultados del cálculo diferencial.…} y cuyos valores son números reales. que es el de series.1 El concepto de sucesión Como señalamos. 2. en ocasiones. hablar de una sucesión es referirse a un arreglo de números reales. En función de lo que hasta aquí hemos analizado. este patrón puede hallarse con algunas dificultades y en otras. Dado que una sucesión es una función. con la finalidad de que conformen una sucesión es indispensable que sigan un patrón bien definido. Definición 5. n = 1. deberás ser capaz de: • Definir una sucesión de números reales. sabemos que los conceptos de sucesión y convergencia no nos resultan desconocidos. como los métodos numéricos. 2. definiremos una sucesión como una regla de correspondencia que asigna un valor real a cada número natural. sin embargo. Si x es el nombre de la función en la definición anterior. • Describir el concepto de convergencia de una sucesión.1: Sucesión Sucesión de números reales es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales = {1. Sección 5. Tenemos.1. entonces. Notas: 1. es conveniente relajar la definición para permitir que una sucesión empiece con el término 0-ésimo x0. para la sucesión de números primos no es posible indicar una función-fórmula. éstos seguirían el patrón dado por f (n) = 2n. no se entiende como sucesión una colección arbitraria de valores reales. con esta notación nos referiremos a la sucesión {xn}. A veces. la resta. En esta sección estudiaremos sucesiones y otro concepto al cual está íntimamente relacionado: el de convergencia. incluso. el producto y el cociente de sucesiones convergentes. Bastará con que eches una mirada retrospectiva a sumas de Riemann para saber dónde se usaron tales herramientas. 2. En dichos casos debemos considerar. que señale tal asignación. Con estas ideas estaremos listos para luego desarrollar el aspecto crucial de esta unidad. podemos hablar de la sucesión de números naturales pares. no obstante. es imposible de encontrar. es decir. el valor de la sucesión correspondiente a cierto n debería escribirse como x(n). que n per- . la de la probabilidad y la estadística. f '(x) = 2x. xn) en la figura 5. Lo interesante es que los valores de xn se acercan arbitrariamente a 5 en la medida en la que n se hace cada vez más grande.2 se aproximan a la recta y = 5.236067977 2 3 4 5 6 0. n = 1. podremos asumir posteriormente la condición original de que n ∈ . las siete primeras cifras decimales de xn no cambian.5 1 FIGURA 5. el método expresado por xn+1 = xn − f ( xn ) .… 2x n 2x n Así. f '( xn ) permite generar una sucesión {xn} que se acerca. Si ahora tomamos x1 = 2. en extremo relevante y vinculada a una sucesión es su posible convergencia. en ciertas condiciones. 2. consideramos f (x) = x2 − 5.1. Reflexiona en el siguiente ejemplo 5. obtenemos de manera recursiva una sucesión dada por (véase nota 4): xn+1 = x n − 2 xn −5 x2+5 = n .1 Está relacionado con lo mencionado en las notas 3 y 4.2. segunda. n = 1. .. 4. observa la tabla 5. los puntos (n. Así. Hecha esta consideración. Usamos el método de Newton para aproximar el valor de 5 ..2: Muestra el comportamiento gráfico de la sucesión {xn}. Ejemplos Ejemplo 5. entonces. En la práctica es conveniente especificar el valor de x1 y algún método para hallar xn+1 (n ≥ 1) cuando xn se conoce. a una raíz de la función y = f (x) cerca de x1.250000000 2. Tabla 5.5 n 2 1.2 y la gráfica de la figura 5..236067978 2. solución En primer lugar. Un aspecto fundamental es la idea de aproximación de donde proviene la importante idea de convergencia. 2. Antes de precisar este concepto. Dos observaciones importantes: primera. a partir de n = 4 en la tabla 5..236111111 2.392 Unidad 5: Sucesiones y series tenece a los reales y no sólo a los naturales.2.2: Muestra el comportamiento numérico de la sucesión {xn}. n 1 2 3 4 5 xn 2 2. Escribe la regla de la sucesión de radios rn de las semicircunferencias Cn. con lo cual ya poseemos tres de ellas en este ejemplo: la de radios rn. Si ahora ln representa la sucesión que se obtiene sumando los perímetros de todas las semicircunferencias Cn. se observa que las curvas Cn se “acercan arbitrariamente” al diámetro AB.5. La figura 5. y el de cada C3 es r3 = = 3 . sin éstas. es decir. determina ln.3 consta de una circunferencia de radio 1. no debemos dejarnos guiar completamente por ella. ¿es posible aproximar el valor de π ? C1 C2 A C3 C3 C3 C3 C2 C3 C3 C3 C2 C1 C2 C3 B FIGURA 5.1: Sucesiones 393 Ejemplo 5. lo cual evidentemente es falso.2 Lee nuevamente la solución del ejemplo 5. concluiríamos que π = 2. Este ejemplo demuestra que aunque la intuición siempre es valiosa. A partir de ln. el diámetro AB mide 2 unidades. Todas las curvas Cn son semicircunferencias. Lo anterior significa que para cualquier n (por grande que éste sea) ln = π. solución Éste es un problema que puede inducir fácilmente al error. Intuitivamente. El siguiente ejemplo pone de manifiesto la necesidad imperiosa de contar con definiciones precisas.3: Las curvas Cn se acercan arbitrariamente al diámetro AB. Observa que el radio de cada C1 es r1 = de cada C2 es r2 = rn = 1 . De este número deducimos 1 que l n = 2 n π n = π . . el 21 1 1 1 1 = . lo anterior es cierto de manera particular cuando tratamos con procesos al infinito (véase la unidad 4). “acercarse arbitrariamente” y “n se hace cada vez más grande”. y la que determina la cantidad de semicircunferencias). como se verá. cuya longitud es igual a 2. Para determinar ln observamos que para cada n hay 2n semicircunferencias Cn (en este con2n teo tenemos otra sucesión. Notarás el uso de expresiones como “aproximar”. nuestra intuición nos podría llevar a conclusiones equivocadas.1. deducimos que el radio de cada Cn es 8 2 4 22 1 . 2 Como las semicircunferencias se aproximan arbitrariamente (aparentemente) al segmento AB. la de suma de perímetros ln. Éste es un caso típico de sucesión donde el límite no existe.135291 0.956522 −0.5 −0.394 Unidad 5: Sucesiones y series Sección 5.4 y 5. r ≤ 1 .641133 1 0.1. existirá cierto índice n0 a partir del cual todos los términos caerán en dicha franja. Sin entrar todavía en n detalles.4 como la correspondiente tabla 5. y que ésta se genera en torno a cierto valor L. En el caso mostrado en la figura 5.5.800708 0. sin importar cuán angosta sea la franja entre líneas horizontales. considera una sucesión particularmente útil conocida como sucesión geométrica.211018 0.168964 −0. Observa ahora que. Con la finalidad de pasar de lo intuitivo a la precisión matemática. 1. tanto la figura 5.5.4: Comportamiento gráfico de an. L + ε). n Observa que la primera sucesión no tiene un comportamiento oscilatorio alrededor de 0.329133 0. sin embargo. la franja será indicada por el intervalo (L − ε.263539 −0. donde ε es cualquier número positivo.513361 0. el único proceso de convergencia que interesa es aquel en el que n tiende a infinito.108328 FIGURA 5. así como las tablas 5. podemos señalar que la sucesión geométrica r . De manera general. aquí an = ( −22 23 ) .3 de valores de an sugieren que. para el caso de la segunda sucesión. diremos que la sucesión diverge a infinito. n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 an −0. .4 revelan el comportamiento de esta n n sucesión para los casos an = ( −22 23) y an = ( 23 22 ) . Vale la pena resaltar que la franja de la que hablamos es tan delgada como queramos. n = 0. número al que parece natural llamar límite de la sucesión. Para las sucesiones. Tabla 5.3 y 5. a saber: {an } con an = r n Las figuras 5.3: Comportamiento numérico de n an = ( −22 23 ) .2 Convergencia y divergencia de sucesiones Ahora nos dedicaremos a precisar diversas expresiones e ideas de párrafos anteriores. no existe un índice n0 a partir del cual se asegure que todos los términos de la sucesión caigan dentro de la franja mostrada.5 –1 20 30 40 50 −0.411052 10 no –0. 2… converge para { } r < 1 y r = 1 y diverge para r > 1 y r = 1. 4 3 2 1 bn. deberían caer en una sola franja. 10 8 6 4 2 FIGURA 5. n impar bn. n = 0. 1. 2… La sucesión {bn} también es oscilatoria como {an}. y otra infinidad cae en la franja alrededor de 1. .5.55974 1. n par 5 10 15 20 25 30 FIGURA 5.6: Comportamiento gráfico de bn.43278 3.5: Comportamiento gráfico de an. cualquiera que sea su ancho. Los ejemplos anteriores inducen la siguiente definición de convergencia de una sucesión. sin embargo.94795 2.4: Comportamiento numérico de an = ( 23 22 ) . Continuando con la dicusión considera ahora la sucesión {bn} con {bn} = 2 + (−1)n.04545 1.73893 5. Es verdad que una infinidad de términos están en la franja alrededor de 3. pero en este caso no existe un valor n0 a partir del cual todos los términos de la sucesión caigan en una franja predeterminada. n n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 an 1.23119 10 20 30 40 50 r > 1.39149 9.03829 3.1: Sucesiones 395 Tabla 5. la idea de convergencia es que todos los términos.24889 1. a partir de cierto n0.7945 4.91843 7. para cada número positivo ε. Si xn → L para algún número L ∈ . n→∞ Ejemplos Ejemplo 5. aseguraremos que n−4 n−4 ε n b) Tomemos un ε > 0 cualquiera. luego r n → 0. tal que para n ≥ n0 r n − 0 = r < ε . De esta última desigualdad: del cual se cumpla que n−4 n−4 1 1 1 < ε equivale a < n − 4 que equivale a n > 4 + n−4 ε ε Por lo tanto. El número L se llama límite de la sucesión {xn} y escribimos lím xn = L o lím xn = L o xn → L. n ln ( r ) < ln(ε ) que equivale a n > Por lo tanto. si n0 ≥ ln(ε ) (ya que ln ( r ) < 0 pues r < 1). pues 1 no n−4 está definido para n = 4. es decir. dependiente de ε) tal que para n > n0 se cumple que xn − L < ε . diremos que la sucesión es convergente.396 Unidad 5: Sucesiones y series Definición 5. Sea ε un número positivo cualquiera y queremos hallar un n0 ∈ a partir 1 1 −0 = < ε . pues la función ln es creciente. Queremos hallar un n0 ∈ . si no existe tal número L diremos que la sucesión es divergente. ln ( r ) . n n r < ε equivalente a ln( r ) < ln(ε ). existe un número n0 (en general. Entonces. si n0 ≥ 4 + 1 1 1 −0 = < ε para n ≥ n0.3 1 Demuestra que: a) lím lím r n = 0 para r < 1. = 0 y que b) n n→∞ n − 4 →∞ solución a) Lo primero que debes notar es que la sucesión tiene que considerarse a partir de 5.2: Convergencia Una sucesión {xn} converge a un número L si. ln ( r ) ln(ε ) n n y n ≥ n0 podemos asegurar que r − 0 = r < ε . Antes de pasar al próximo teorema. Si an → L. para cualquier constante c c) lím(an ± bn) = lím an ± lím bn d) lím(an ⋅ bn) = lím an ⋅ lím bn a lím an . Sean {an} y {bn} dos sucesiones convergentes. 6. resulta un procedimiento complejo de comprobación. 10. si a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an … o si a1 ≥ a2 ≥ … ≥ an ≥ …. bn → L y an ≤ cn ≤ bn.1: Sucesiones 397 Esta metodología ofrece la comprobación de que un número conocido L es el límite de una sucesión. entonces. 7. En los ejemplos resueltos ilustraremos su aplicación. De hecho. cn → L. 2.1 1. Monótona creciente o decreciente. a + a + + an → L. sin embargo. condensamos los resultados más importantes sobre el cálculo de límites de sucesiones. 3. entonces.3. a) lím(c) = c. entonces f (an) → f (L). entonces. Si {an} está acotada y bn → 0. no permite determinar el valor de L al que converge una sucesión. La sucesión {an} no puede converger a dos límites diferentes. n a1 a2 an → L. 2. L ∈ Df para todo n. Toda sucesión convergente {an} está acotada. Si an ≤ bn para todo n ≥ n0 y si lím an = 0. respectivamente. (Teorema del sándwich) Si an → L. Entonces. Teorema 5. entonces. Si an → L y f es una función continua tal que an. 5. hasta para casos tan elementales como los mostrados en el ejemplo 5. requerimos la siguiente definición que nos resultará en extremo útil. anbn → 0. aun conociendo L. 8.5. Si an → L. n→∞ n→∞ .1 (cuya demostración omitimos). es convergente. entonces. para cualquier constante c b) lím(can) = c lím an. Acotada. Definición 5.3 Una sucesión {an} se dice: 1. 1 2 n 9. (Teorema de Weierstrass) Si {an} está acotada y es monótona. entonces lím an = 0. si existe un número M > 0 tal que an ≤ M para toda n. si lím bn ≠ 0 e) lím n = bn lím bn 4. En el teorema 5. Para estas formas será posible utilizar la regla de L’Hôpital en alguna de sus variantes.. ∞ − ∞. 0 ⋅ ∞. Ejemplo 5.5 n2 − n Si existe. ∞0. es decir. Así. Análogamente.2 Sea f una función de una variable real tal que lím f ( x ) = L. solución ( 3 + 2 n )2 (1 − 2 n − n 2 ) . en una expresión del tipo “bn + c”. 1∞. Observa que al tratar con el límite de una sucesión se debe consin→∞ 2(n − 1) n (n 2 + 1) derar en todo caso que n → ∞.4 ( 3 + 2 n )2 (1 − 2 n − n 2 ) Si existe. Para n suficientemente grande y dentro de una expresión del tipo “an2 + bn + c”. Sea L = lím ( 3 + 2 n )2 (1 − 2 n − n 2 ) ( 2 n )2 ( − n 2 ) 4n4 = lím = − lím 4 = − lím 2 = − 2. 2 . 00.2): Teorema 5. entonces lím an = L.. “c” es “despreciable” en comparación con “bn”. el límite existe y de hecho L = −2. calcula el límite de la sucesión 2 2(n − 1) n (n + 1) . n→∞ Ejemplos Ejemplo 5. Si {an} es una sux →∞ cesión tal que f (n) = an para cada entero positivo. sin el análisis detallado de cada caso concreto. en comparación con “an2”..398 Unidad 5: Sucesiones y series Nota: Los símbolos 0/0. “bn” y “c” resultan “despreciables”. n=1. 2 2 n→∞ n→∞ 2(n ) n (n ) n→∞ 2 n n→∞ 2(n − 1) n (n + 1) lím donde utilizamos la siguiente idea. ∞/∞. calcula el límite L = lím 2 n→ 0 n + 1 2n+ 3 . Ahora bien. pues subsiste el siguiente resultado (teorema 5. 0∞ denotan expresiones indeterminadas en las que el comportamiento no puede precisarse a priori. es el más pequeño.…}. la reescribimos para obtener ln(n 2 − n ) − ln(n 2 + 1) A L = Exp lím = ln( A) − ln( B) ) . 3. en la práctica. 2. podemos decir que el método por el que obtenemos enteros positivos es la suma de 1 al entero positivo anterior. el conjunto está definido por las siguientes tres condiciones.4). b) (hipótesis de inducción) n ∈ M implica que n + 1 ∈ M Entonces. M = . es decir. por lo cual utilizamos la regla de L’Hôpital de la siguiente manera: 2n 2n − 1 n2 − n − n2 + 1 ( 3 + 2 n )2 (1 − 2 n − n 2 ) −2 = L = Exp lím Exp lím = e (véase el ejemplo 5. el límite tiene la forma indeterminada 1∞. existe un principio matemático muy poderoso que ofrece una estrategia para demostrar la validez de enunciados generales que implican enteros positivos. De manera más específica. −2 2 n→ 0 n → 0 2 ( 2 3 ) − n + 2 ( n − 1 ) n ( n + 1 ) En páginas anteriores indicamos que. Para determinar la convergencia de este tipo de sucesiones. Esto sugiere un patrón de nuestra definición matemática exacta del conjunto = {1. en una primera aproximación. (ya que ln −1 B n→ 0 (2 n + 3) Así.2: n→∞ n 2 + 1 2n+ 3 n2 − n L = lím 2 n→ 0 n + 1 n2 − n n2 − n 2 3 = + = lím Exp (2 n + 3) ln n 2 Exp lím ( n ) ln 2 n→ 0 n +1 n +1 n→ 0 La expresión entre llaves dentro de la función exponencial tiene la forma ∞ ⋅ 0. es conveniente especificar el valor de x1 y algún método recursivo para hallar xn + 1(n ≥ 1) a partir del xn conocido. luego. la forma indeterminada entre llaves tiene la forma 0/0. si M es otro conjunto de números que satisfacen a) y b). por ello. entonces.3). Si: a) 1 ∈ M. ⊂ M De estas condiciones puede establecerse el principio de inducción (teorema 5.1: Sucesiones 399 solución Observa que lím n2 − n = 1. Teorema 5. Si utilizamos el teorema 5. entonces n + 1 ∈ c) De todos los conjuntos de números que satisfacen a) y b). La idea no es complicada.5.3: Principio de inducción Sea M ⊂ . a) 1 ∈ b) Si n ∈ . Demostrar que una propiedad matemática es válida para todos los enteros positivos equivale a buscar una manera de derribar cada una de las fichas. Ejemplos Ejemplo 5. pues 1 2 = 1 (1 + 1) ( 2 ⋅ 1 + 1) 6 .7: Ilustración gráfica del principio de inducción. FIGURA 5. y ésta a la tercera.400 Unidad 5: Sucesiones y series Una manera de comprender este principio es imaginando una línea infinita de fichas de dominó. la suma de los primeros n cuadrados cumple 12 + 2 2 + + n2 = n ( n + 1) ( 2n + 1) 6 solución Sea M = n ∈ :12 + 2 2 + + n2 = n ( n + 1) ( 2n + 1) 6 a) 1 ∈ M. al caer la primera derribará a la segunda. La inducción matemática permite demostrar una propiedad para los enteros positivos. llevaría una cantidad infinita de tiempo y esfuerzo. y así de forma sucesiva. vamos a ilustrar su utilidad en la demostración de una propiedad matemática. entonces. y la n-ésima tira la ficha n + 1 para cualquier n. caerán todas las fichas. Antes de regresar a las sucesiones donde usaremos el principio de inducción. Si se quisiera derribarlas una por una. que indica que si cae la primera ficha. pero si las fichas están cuidadosamente dispuestas.6 Utiliza la inducción matemática para demostrar que para cada entero positivo n. 1: Sucesiones 401 b) (Hipótesis de inducción) Supongamos que n ∈ M. 12 + 2 2 + Por la hipótesis de inducción. En la tabla 5. Ahora.7 Expresa una ley de recursividad para el término general de la sucesión 11. 11 + 11 . . Ejemplo 5. Entonces. es decir. después. segundo. 11 + 11 + 11 . es decir.…. el estudio de su convergencia se apoya generalmente en el teorema 5. En caso de existir. estudia su convergencia. continuamos nuestro desarrollo sobre sucesiones aplicando el principio mencionado. generamos los términos de ella. 2. que está acotada y.1. Así. si se toma x1 = 11 y xn+1 = 11 + xn para n = 1. deseamos probar que n + 1 ∈ M. de acuerdo con el principio de inducción. calcula el límite de la sucesión. Para este tipo de sucesiones. que se cumple 12 + 2 2 + + n2 = n ( n + 1) ( 2n + 1) 6 A partir de esta hipótesis. que es monótona. se trata de la ley de recursividad para este caso. M = y así la propiedad es cierta para cada entero positivo. solución Sea {xn} la sucesión dada.5. 3…. Primero. 12 + 2 2 + + n 2 + ( n + 1) = 2 + n 2 + ( n + 1) = 2 n +1 ( n + 2 ) ( 2n + 3) 6 n ( n + 1) ( 2n + 1) + ( n + 1)2 6 n +1 2n2 + n + 6n + 6 6 = = = ( ( ) n +1 2n2 + 7n + 6 6 ) n +1 ( n + 2 ) ( 2n + 3) 6 Por lo tanto.8 mostramos su comportamiento tanto numérico como gráfico. mostraremos dos cuestiones respecto de esta sucesión.5 y la figura 5. demuestre nuestras aseveraciones. 2. 3. L = lím xn . … En efecto.854101966 3. x1 = 11 < 11 + 11 = x2 ii.5 3 2. Hipótesis de inducción: Supón ahora que xn < 4 y queremos demostrar que xn + 1 < 4: xn +1 = 11 + xn < 12 + 4 = 4. deducimos del teorema 5.854101630 3. La proposición es cierta para n = 1. es fácil mostrar que también L = lím xn+1 . … Sabiendo ahora que la sucesión es monótona (creciente) y acotada.5: Comportamiento numérico de la sucesión {xn}. sin lugar a dudas. es decir. es necesario escribir una demostración que. n→∞ Observaciones: a) No tiene ningún sentido hablar de L en tanto no se sepa que existe. … b) Afirmación: La sucesión es monótona creciente. donde usamos la hipótesis de inducción: xn − 1 < xn.5 1 0. es decir. la afirmación xn = xn < 4 es válida para todo n = 1. n→∞ .8: Comportamiento gráfico de la sucesión {xn}.402 Unidad 5: Sucesiones y series 4 Tabla 5. b) Si L existe.5 5 10 15 20 n FIGURA 5. Nuestra argumentación recurrirá al principio de inducción matemática.852916019 3. i.854101961 3. i.5 2 1.783731596 3. aquí hemos empleado la hipótesis de inducción: xn < 4 De acuerdo con el principio de inducción. xn = xn < 4 para todo n = 1. en efecto.854101966 3. 2. 3. pues x1 = 11 < 16 = 4 ii. es decir. Tenemos lo siguiente: a) Afirmación: La sucesión está acotada por 4. Aunque la gráfica y la tabla anteriores inducen las afirmaciones que hemos hecho. 3. La proposición es cierta para n = 1. De acuerdo con el principio de inducción xn < xn + 1 para todo n = 1. x1 < x2 < … xn < xn + 1 < … Usamos nuevamente inducción matemática. Hipótesis de inducción: Supón ahora que xn − 1 < xn y deseamos mostrar que xn < xn + 1: xn = 11 + xn −1 < 11 + xn = xn +1 . 2. xn 2 4 6 8 10 12 14 3.854082006 3.1 que la sucesión es convergente. a) lím (−1)n 1 1 = 0. de aquí. ε general = 1.85410197 (véase la tabla 5. al resolver esta ecuación cuadrática hallamos que L 1= L 2= 1 1− 3 5 < 0 y 2 ( ) 1 1 + 3 5 > 0. 10 100 n 1 1 1 . . 10 100 n (n + 1) b) lím n→∞ c) lím n→∞ 2. encuentra n0 tal que n ≥ n0 implique xn − L < ε para el valor de L y ε > 0 indicados.5. ε general = 0. ε = . L2 = 11 + L.1: Sucesiones 403 Con base en la observación b). al tomar el límite y utilizar el teorema 5. ε = . n→∞ 2 1 luego. Para cada una de las siguientes sucesiones.1 para calcular el límite (si existe) de cada una de las siguientes sucesiones: a) {ln(n + 1) − ln(n )} ( −10 ) b) n n 3 + 5 n n 2 + n arctan n ! e n e) 2n2 + 5 ( 2 ) c) { ( n 4 − 5 n 2 − 3 − n 4 + 15 n 2 − 5 } n+5 1− n +1 d) −7 n + 3 )( ) {n ( n + a − n)} g) { a + b } con 0 < a < b f) 2 2 n n n 3 na − 1 − a3 h) n 2 n . Como los términos de la sucesión son positivos.5).1. tenemos L = 11 + L . lím xn = 1 + 3 5 ≈ 3. Usa el teorema 5. por lo cual. ε general n→∞ n 10 100 1 1 n +1 . ε = . concluimos que L = lím xn ≥ 0. n→∞ 2 ( ) ( ) 1. ¿Cuál es su valor? c) Usa el resultado del inciso b) y calcula x15 para estimar el valor de L. cuyo seudónimo fue Fibonacci.… . cada mes. n = 1. 2 + 1 3 1 1 . si iniciamos con una sola pareja y. 5. 2. c) Calcula L = lím a n . Usa su resultado para estimar el valor de n→∞ 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 6. cada pareja produce una nueva pareja que empezará a reproducirse a partir del segundo mes?” ¿Qué ocurrirá si el proceso continuara indefinidamente? . an+1 = 13 + an . b) Usa el principio de inducción matemática y demuestra que la sucesión es creciente y acotada. … que genere los términos anteriores. 2+ 1 1 2+ 3 2+ 2+ 1 3 a) Por recurrencia. Apóyate en el teorema 5. b) Supón luego que el límite L de la sucesión existe. “¿Cuántas parejas de conejos se tendrán en un año. 2+ 4.404 Unidad 5: Sucesiones y series 3. Considera la sucesión 1. Considera la sucesión {an} dada por a 1= 13. a) Escribe los primeros cinco términos de la sucesión. define una sucesión {xn}.2 y la regla de L’Hôpital para calcular el límite (si existe) de cada una de las siguientes sucesiones: a) { n} n b) na n con a < 1 c) { } n + 1 g) n ln n − 1 h) {(n + 7) } 1 ( n + 3) 2 {(e − n) } n 1/n n ( n + 1) d) n 3 n 2n 1 e) 1 + 2 n + n +n ln(ln(n )) i) ln(n − ln(n )) e2 n − 1 ln n j) 1 2 n 1 na 1 − 1 − n f) nb 1 − 1 − 1 n . El siguiente problema se atribuye a Leonardo de Pisa. calcula su límite. Muestra que ρ satisface una ecuación de segundo grado. en caso de que exista. Analiza la convergencia de esta sucesión y. Considera la sucesión {an} definida por a = 2. n = 2.… Obtén una expresión n para an + 1 que dependa sólo de n. n ≥ 1.9: Crecimiento de los conejos de Fibonacci. donde a1 = a2 = 1: a) Escribe los primeros diez términos de la sucesión {an} a b) Escribe los primeros diez términos de la sucesión definida por bn = n +1 . La sucesión de Fibonacci se define recursivamente por an + 2 = an + an + 1. a a) Si lím n +1 = L. Sea {an} una sucesión que satisface an = nkbn donde b es cualquier constante tal que 0 < b < 1 y k es cualquier entero positivo. después de este periodo producirá una pareja cada mes. a n +1 = 1 − a n .1: Sucesiones 405 Pareja no reproductiva Pareja reproductiva 1 1 2 3 5 8 13 FIGURA 5. 8. Cada nueva pareja debe madurar durante un mes antes de reproducirse. calcula su límite. 9. 3. A partir de los vaan lores obtenidos. verifica la convergencia de la sucesión {an} en los casos 0 ≤ L < 1 y L > 1 n→∞ a n . en caso de convergencia. Sea {an} una sucesión de números estrictamente positivos.5. Determina si la sucesión converge o diverge y. Resuélvelo para ρ y determina su valor 1 7. intuye la convergencia de la sucesión {bn} c) Usa el inciso b) y demuestra que bn = 1 + n→∞ 1 bn−1 d) Supón ahora que el lím bn = ρ existe (a ρ se le llama razón áurea). n→∞ 13. Considera la sucesión {xn} y supón que para n ≥ 50 se cumple 4 − n ≤ x n ≤ 4 − n . en caso de convergencia. 2. 1 1 12. Estudia el comportamiento del número de miembros de la especie a la larga. tn = ∑ f n n k =1 n .10: Colocación de n2 discos en una caja angosta de base cuadrada de lado “k”.10 se muestra el caso n = 4 y el área sobrante está sombreada). cuando t → ∞ para los casos a) 0 < k < 1. Al estudiar la población de una especie se logró determinar que en su esquema más simple (sin considerar mortandad). el número de miembros de una generación es proporcional al número de individuos de la generación anterior. … c > 0 converge o diverge. y b) k > 1. Si existe el π e límite. Si la sucesión {an} proporciona el área sobrante (en la figura 5. 10. en caso de convergencia. calcula lím xn . n→∞ FIGURA 5. respectivamente. determina si la sucesión n ! . cn b) De su conclusión en a). Determina el valor de an en términos de “n” y.406 Unidad 5: Sucesiones y series Sugerencia: Una posible solución puede apoyarse en el teorema del sándwich. calcula el límite de la sucesión. n = 0. entonces Nt + 1 = kNt para cierta constante k > 0. es decir. es decir. 1]. 11. 1. encuentra lím an . Sea f una función real monótona creciente y acotada en el intervalo [0. Una empresa de embalaje colocará n2 discos iguales en una caja delgada de base cuadrada con lado “k”. Define las sucesiones {sn} y {tn} de la siguiente forma: sn = 1 n −1 ∑ n k=0 1 n k k f . si Nt y Nt + 1 representan los miembros de una especie de una generación y la siguiente. 11 e infiere si la sucesión {xn} es convergente o divergente. xn converge a p.11: Representación gráfica de las componentes de la sucesión {xn}. Un punto fijo de una función g es un número p tal que g( p) = p. Aunque hay varios resultados relacionados con este concepto. En caso de convergencia. Observa que el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f (x) = 0 y el de encontrar los puntos fijos de una función g(x) son equivalentes. Sea la sucesión {xn} tal que x1 = 1 y xn = xn − 1 + cos(xn − 1). y que en el intervalo I se cumple g ' ( x ) < q para cierta constante q < 1. Considera la figura 5. a la función g se le conoce como función de iteración. la cual en ciertas condiciones converge a la solución de la ecuación f (x) = 0. b] 14. Imagina que x0 está en un intervalo I al cual pertenece p (aunque se desconoce p. . 1 cos (xn –1) xn –1 xn –1 1 FIGURA 5.1: Sucesiones 407 a) Demuestra que sn ≤ ∫0 f ( x ) d x ≤ tn y que 1 0≤ ∫ 0 f ( x ) d x − sn ≤ 1 f (1 ) − f ( 0 ) n 1 b) Explica que las sucesiones {sn} y {tn} convergen ambas hacia ∫0 f ( x ) d x c) Establezce y demuestra un resultado correspondiente al intervalo [a. calcula los siguientes límites en caso de que existan: a) lím 1 n k ∑ n→∞ n k =1 n 1 k =1 n + k n 2 c) lím ∑ n 2 n→∞ k =1 n + k 2 n n n 1 kπ e) lím ∑ sen n n→∞ n k =1 n 1 2 kπ f ) lím ∑ sen n n→∞ n k =1 b) lím ∑ n→∞ d ) lím ∑ n→∞ k =1 1 n + k2 2 15. entonces. bastará que imagine f (x) = x − g(x). uno de los más importantes y generales en cuanto a la convergencia es el siguiente. El método de punto fijo. El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial x0 y el establecimiento de una sucesión dada por xn + 1 que genera una sucesión de aproximaciones.5. Con base en el problema 15. 16. indica a qué límite converge y prueba su aseveración. en efecto. a menudo es posible determinar a priori tal intervalo). la cuarta parte de las reses del rancho se ofrece en el mercado y.007125. Determina lo que ocurre a la larga con la población si se inicia con a) 60 roedores. Por muchos años se ha seguido esta política.000 y se mantenga en ese número? Organízate con tu equipo y responde esta pregunta de manera fundamentada. . La pregunta que se planteó fue la siguiente. Sucesiones en la compra-venta de ganado. Una población de roedores se reproduce cada cuatro meses. ¿Cómo ganar fácilmente una apuesta en una reunión de amigos? Con base en la teoría desarrollada en este capítulo. b) Elige g como la función g ( x ) = A para ciertas consx+B A para los valores de A y B determinados en a).007125Nt2. a la vez. b) 300 roedores. con la finalidad de enriquecer el ganado con que cuenta el señor Estrada. eventualmente llegue a 4. La ganadería es una de las principales actividades económicas en el estado de Guerrero. de manera que su constante de reproducción es 2. Sigue los siguientes lineamientos: a) De la ecuación x3 + 4x2 − 10 = 0. 17. con tus compañeros analiza el problema introductorio y da una respuesta fundamentada a las preguntas que ahí se formulan. Encuentra el x+B máximo absoluto de g ' ( x ) y verifica que se cumple que g ' ( x ) < q < 1. Con esto se ha logrado establecer que la dinámica poblacional de las subsecuentes generaciones sigue el modelo Nt + 1 = 2. Jesús Estrada García. c) Utiliza Excel o alguna otra herramienta tecnológica y consigue una aproximación de la solución pedida. En una plática con uno de los autores.408 Unidad 5: Sucesiones y series Aplica el método de punto fijo para aproximar la solución de la ecuación x3 + 4x2 − 10 = 0 dentro del intervalo [1. 2]. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. Para limitar su crecimiento poblacional se introducen depredadores.3. los cuales regulan su crecimiento en un factor de 0. ganadero medio de la región y dueño del rancho “La Cañada”. que actualmente cuenta con 500 reses.3Nt − 0. despeja x y exprésala en la forma x = ± tantes A y B. planteó la siguiente situación: Cada semestre. 2. 1. el ganado se renueva con una determinada cantidad A (fija) de las mismas compradas a otras ganaderías. analiza y resuelve las siguientes situaciones. ¿Cuántas cabezas se deben comprar cada semestre para que al cabo de algunos años el rancho. a) L = c b) L = 2c c) L = c d) L = c2 .5001 c) L ≈ 1. a) L = 1 3 n b) Diverge n n c) Diverge a + ∞ d) Converge a e 3 n+1 + ( −2 ) 3 n + ( −2 ) es convergente. Por inducción matemática verifica que la sucesión es monótona y que a ≤ an ≤ 2c. La sucesión xn = límite L. Sea {an} una sucesión tal que an2 = can − 1 con c > 0 y a1 > 0. elige la opción que contiene su límite L. 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ( 2 n − 1) − 2 n 2 + 1 n n a) xn = ( −1) b) xn = sen c) xn = d) xn = (−1)n + 1 n + 1 n ( 2 n )n 2.…y que esté acotada (superiormente) por 2. a) La sucesión converge a 2200 b) La sucesión es acotada c) La sucesión diverge bajo un patrón oscilatorio d) La sucesión diverge a + ∞ 8. después. Determina la opción que contiene una sucesión convergente y su límite correspondiente.49 d) L ≈ 1. xn = n(−1) a) Converge a cero 3. Por el teorema de Weierstrass.1: Sucesiones 409 Autoevaluación 1. Utiliza el principio de inducción para verificar que la sucesión sea creciente para todo n = 1. elige la afirmación correcta sobre la sucesión {an}. Elige la opción que proporciona la afirmación correcta para la sucesión xn = n +1 a) Diverge a + ∞ 5. Sugerencia: an2 − an − 12 = c (an − 1 − an − 2). Usa inducción matemática para verifin −1 car que a n ≥ 2 . sabemos que la sucesión es convergente. elige la opción que proporciona el valor del c) El límite existe para cualquier a < 1 d) El límite existe para cualquier a > 0 ) parámetro a de tal manera que el límite exista. 2. Elige la opción que contiene la afirmación correcta para la siguiente sucesión {xn}. a1 = 1.5. determina la opción que contiene el valor de su b) L = 0 c) L = 1 2 d) L = 1 2 n 3sen ( n!) 4.525 b) L ≈ 0. Considera la sucesión {an} tal que a n +1 = 2 a n . elige la opción que lo contiene. a) L ≈ 0. a) El límite existe para cualquier a > 1 b) El límite existe sólo si a = 1 6. a1 = 1. Para el límite lím n→∞ b) Converge a 1 c) Diverge de manera oscilatoria d) Converge a 0 ( an2+ n+ 3 − n 2 + n + 7 .007 7. Por el teorema de Weierstrass hablamos del límite L de la sucesión. Sea {an} una sucesión tal que a n +1 = 1 + a n . para ε = 1 100 . y xn + 1 = x1 + x2 + … + xn. No existe. n 0 ≥ 1 ε 1 b) Para ε = 110 . para ε > 0. para ε = 1 100 . a) Converge a 0 b) diverge c) converge a −10 3. Relaciona las sucesiones de la columna A con las afirmaciones de la columna B. Columna A a) Sea la sucesión {xn} dada por x1 = 1. xn = 2n − 2 vii. 1 2 iv. 2 iii. 1 v. n0 ≥ 10. −2 vi. n ≥ 2 es… 2 b) El límite lím n ln 1 + es… n→∞ n c) El límite lím 1 n2 − 1 − n2 + n es… Columna B i. la sucesión diverge n→∞ n2 1 lím sen es… d ) El límite n n →∞ 2 n − 1 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1.410 Unidad 5: Sucesiones y series 9. n0 ≥ 100. n0 ≥ 10. n 0 ≥ −ε + 4 ε + ε 2 2ε (e ( b −1 ) ) i ) converge a 0 j) diverge a ∞ . n0 ≥ 5. n0 ≥ 3. n 0 ≥ 2 ε + 2ε c) Para ε = 2. La fórmula general para xn. n0 ≥ 50. para ε > 0. para ε = 1100 . xn = 2n + 1 ii. a) Para ε = 1 10 . a) Converge a 1 b) converge a 0 c) converge a 1 e d) converge a 3 e) converge a e2 f ) Converge a g) converge a 2 h) converge a e e− a +b ea − 1 d ) converge a 1 7 e) converge a 0 2 f ) converge a a 2 g) converge a b h) diverge a − ∞ 1 10 . para ε > 0. c) 1 + 1 1 a a + an−1 an+1 = 1+ = 1 + n−1 = n = = bn an bn−1 an an an an−1 n→∞ n→∞ d) Dado que lím bn = lím bn −1 = ρ.1399 b) Del inciso anterior conjeturamos que la sucesión está acotada por 5 (por ejemplo). a10 = 55 b) b1 = 1. b9 ≈ 1. Se intuye que la sucesión {bn} converge a un valor que está cercano a 1. como habíamos afirmado. a) a 1 = 13 ≈ 3.6667. determinamos que ρ = ≈ 1. 2. b5 ≈ 1. queremos mostrar que an + 1 < 5. b3 = 1. queremos mostrar que an < an + 1. por el principio de inducción. Las soluciones de esta ecuación son ρ 1+ 5 1+ 5 1− 5 . a7 = 13. b10 ≈ 1. b6 ≈ 1. c) Sabiendo ya que el límite existe. La proposición es cierta para n = 1. a5 = 5. a 2 = 13 + 13 ≈ 4.1391. pues a1 < a2. deducimos que L = 1 1 + 53 ≈ 4. En efecto: i. 2+ xn 5.618 y ρ2= 2 2 2 .1321. a) a1 = 1.618. an < an + 1 para toda n = 1. Supongamos que an − 1 < an.6055.1: Sucesiones 411 4. Tenemos: an+1 = 13 + an < 13 + 5 < 13 + 12 = 5 Luego. De aquí que 2 ≈ 4. Supongamos que an < 5. como habíamos afirmado. Como ρ1 < 0. b2 = 2. La proposición es cierta para n = 1. La sucesión es creciente. a9 = 34.61. …. es decir.5. i. que equivale a la ecuación cuadrática ρ2 − ρ − 1 = 0. pues a1 = 13 < 25 = 5. por el principio de inducción. x n + 1 = 2 + b) L = 5.625. 2.236067977 1 . a3 = 2. al tomar el límite cuando n → ∞ en bn = 1 + 1 obtenemos bn−1 ρ = 1+ ρ1= 1 . b4 ≈ 1.0749. a) Definimos la sucesión {xn} de la siguiente manera: x1 = 1. c) 5 ≈ 2.619. a2 = 1.14005. …. Hipótesis de inducción.617. L = 13 + L Despen→∞ n→∞ jando L.5. ii. En efecto. ii. a 5 = 13 + 13 + 13 + 13 + 13 ≈ 4. tenemos: lím a n +1= 13 + lím a n . a6 = 8.14005 ( ) 13 + 13 + 13 + 13 + 13 6. Tenemos: an+1 = 13 + an > 13 + an−1 = an Nuevamente. a 3 = 13 + 13 + 13 ≈ 4. b7 ≈ 1. a8 = 21. a4 = 3.615. iii. Hipótesis de inducción. a 4 = 13 + 13 + 13 + 13 ≈ 4. b8 ≈ 1.6. para n ≥ 1. an < 5 para toda n = 1. por lo 2 n − 1 n − 2 n − 3 en los paréntesis y se sustituye a2 = 2 se encuentra que an +1 = n n −1 n − 2 tanto. El límite existe y lím xn = 4. Para n ≥ 2. an +1 = 1 − an . d) ln 1 + 2 ( ) e) 2/π f ) 1/2 15. luego an +1 = 1 − 1 − 7. de hecho lím an = 0. 2]. n n→∞ 8. de donde: an = k 2 − k 2 = k 2 1 − . de nuevo. Continuando de es n − 2 n−2 n n − 1 n − 2 n−2 1 1 1 1− ta manera hallamos que an +1 = 1 − 1 − n n − 1 n − 2 1 1− a . La sucesión es convergente con límite igual a 16. La sucesión es convergente. a) 1 3 b) ln(2) c) π/4 π 2. 9. a) Para L < 1. a) La población se estabiliza en aproximadamente 183 roedores. véase el problema correspondiente. Sobre cada lado del cuadrado se disponen “n” discos. Si se realizan las operaciones 2 2 1 2. para cada “n”. t →∞ t →∞ 12. el radio de cada disco es r = 2n k 2 π k2 π π 2 . b) g ' ( x ) = p ≈ 1. an se será n π = 4 4 4 2n n π mantiene constante y lím an = k 2 1 − . 14. entonces n +1 = n n→∞ n + 1 n→∞ an n! c n! k 10.36523001. b) La población se estabiliza. Por lo tanto. n→∞ 13. Como se colocarán n discos. No requiere solución. Por lo tanto. n→∞ c n +1 a c c (n + 1)! = → 0. donde N0 es la población al tiempo inicial t = 0. b) Consideremos an = . . n→∞ 4 11. luego por el inciso a) lím an = 0. luego el diámetro de cada uno de ellos es d = . a) A = 10. si L > 1. c) Al tomar x0 = 1. el área total de todos ellos es decir. la sucesión converge a cero. para a) N t → 0. lím an = 0. 10 2 (x + 4) 3 2 ≤ g(2 ) < 1 para toda x ∈ [1.412 Unidad 5: Sucesiones y series 1 1 1 1 a . b) N t → ∞ . la sucesión diverge a infinito. an = 1 − n n n − 1 n −1 n − 1 1 1 1 1 a . al simplificar an +1 = 2 . en aproximadamente 183 roedores. De la misma an −1 . obtenemos 17. B = 4. en consecuencia. por lo cual an +1 = 1 − 1 − forma an −1 = 1 − 1− a . n k 2 . Nt = ktN0. . et al.. Ejercicios de análisis. Courant. vi. F. E. H.). Kasner. vol.. 11. México. Prado.. Y. . Zhúkov. ii.). A. ¿Qué son las matemáticas?. C.. Clawson. México.. 12. 2a. iii.. Obregón. J.. ed. J. c) converge a 0 2. Parzen. 2. Cálculo de una y varias variables. magia y belleza de los números. b) 3. 1977. Diana. (a. (d. Reverté. Santiago. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. 5. 6. México. 1980. Reverté..1: Sucesiones 413 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. URSS. 7.. R. 3. Limusa. Moscú. 1982. Fondo de Cultura Económica. Newman. México. y John. 1980. Misterios matemáticos. 1972. Takeuchi. 2006. Limusa. Trillas.) Referencias 1. Limusa. 10. Barcelona. CECSA. Limusa. Pearson Educación. Introducción al cálculo y al análisis matemático... Seeley. (b. a) 4. México. Madrid. c) 7. y Robbins. E. Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones. I. b) 6. 1999. Apóstol. 1982. El omnipresente número π. 8.. (c. Teoría de la probabilidad.5. 1978. México. 2002. Courant. Sucesiones y series. 9. v. T. México. Matemáticas e imaginación. R.). México. a) 9. R. d) 5.. Rivaud. 2005. 4. Precálculo. 1975. d) 8. México. I. 12: Turismo en México. FIGURA 5. Playas (Cabo San Lucas). Soneto. ganamos y gastamos. sitios arqueológicos grandiosos. Puertos (Veracruz). . FIGURA 5.14: Turismo en México.13: Turismo en México. derrochamos nuestras fuerzas. 1806 Turismo. fuente importante del ingreso nacional México posee una enorme riqueza cultural que se acompaña de bellas sedes naturales. Ningún otro país del llamado Nuevo Mundo ofrece al turismo riquezas similares: gastronomía. William Wordsworth.414 Unidad 5: Sucesiones y series 5.2 Primeras series Tarde o temprano. Arqueología (Monte Albán). folclor y arte colonial. FIGURA 5. 2: Primeras series 415 así como paradisiacos lugares de grandes contrastes. para recorrer el cuarto de kilómetro restante. luego. debemos recorrer primero un cuarto de kilómetro. Casi dos siglos antes de Euclides. que hemos adaptado al lenguaje contemporáneo: “Para recorrer un kilómetro. el turismo ha sido y es una de las actividades económicas más dinámicas y con mayor potencial de crecimiento. Si consideramos la distancia total caminada. es decir. para recorrer el medio kilómetro restante. En la época de Zenón resultaba sumamente difícil dar una respuesta convincente a su paradoja. De manera particular.5. primero debemos recorrer medio kilómetro. A este respecto. y así sucesivamente. es imposible”. como playas de arenas blancas y diversas tonalidades de mar. debemos recorrer primero un octavo de kilómetro. en sí mismo. Con tu equipo de trabajo. ríos y cascadas. valles extensos. pues la respuesta está asociada con una idea que parece . trabajar con el “infinito” en todos los casos requiere de un acercamiento cuidadoso. En general. que es el dinero que gastan los asistentes a las convenciones b) De los recursos que cada residente gasta en la ciudad donde se realiza la convención Puesto que en cada congreso se genera una derrama económica que no sólo se debe al efecto directo.mx/wb2/sectur/sect_9189_congresos_y_convenci. donde encontrarán datos referentes al año 2001. Aunque ya haya avanzado mucho en esa dirección. bosques y selvas. La paradoja más simple toma la siguiente forma. pues lo hicieron como si se tratara de mecanismos finitos que nuestra intuición pudiera manejar y sin la dedicación requerida. bajo este procedimiento habremos cubierto una distancia de 1 1 1 + + + 2 4 8 . la distancia total por recorrer puede representarse como una suma infinita de longitudes. es ilustrativa la paradoja de Zenón. revisa la página http://www.gob. sino también al consumo de cada residente. también lo parece recorrer un metro. deberás responder lo siguiente: ¿Cuál fue el monto total que por efecto directo recibió México en 2001 por concepto de convenciones y congresos? Introducción Como seguramente ya te diste cuenta. cuando se realiza alguna convención o algún congreso. para recorrer en su totalidad cualquier longitud (¡por pequeña que ésta sea!) tendremos que recorrer una infinidad de tales longitudes. un decímetro…. ad infinitum. no sobra advertirle que grandes pensadores de todos los tiempos han cometido errores importantes en el manejo de procesos “al infinito”. Zenón de Elea enunció un conjunto de paradojas. Con esos datos y el material de esta sección. Por todo ello.sectur. el movimiento. la derrama económica proviene de dos fuentes (en su esquema más simplificado): a) Del efecto directo. se genera un fenómeno que en economía se conoce como efecto multiplicador. De aquí se genera la paradoja: “Parece imposible que podamos recorrer un kilómetro. como un reto a los filósofos y geómetras de su tiempo. • Aplicar los criterios de convergencia para las series del inciso anterior. 107 sumandos. Llegar al concepto matemático de una suma infinita de términos es una idea fundamental de las matemáticas puras y aplicadas. dentro de un proceso que nos lleve a la idea de suma infinita de términos. nos referimos en primera instancia a la suma de una infinidad de términos. • Aplicar los primeros criterios sobre convergencia y divergencia de una serie. ¿qué deberíamos entender por sumar una infinidad de términos? A nuestra intuición le suena imposible sumar una infinidad de términos en un lapso finito. Esta idea —que por el momento suena como locura— será la finalidad de nuestro estudio.416 Unidad 5: Sucesiones y series fuera de juicio: sumar una infinidad de términos. • Identificar las tres series discutidas en esta sección. parece natural que al sumar una infinidad de términos. pero. Así. Por el lado matemático parece irrealizable que. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. será capaz de sumar 20. Cualquiera de nosotros. divergencia y suma de una serie. nuestro acercamiento al tema de series será a través del estudio de lo que llamaremos sucesión de sumas parciales. deberás ser capaz de: • Definir los conceptos serie. en tanto que el concepto del que hablamos se conoce como serie. 1000. en caso de convergencia. por ejemplo. se trata de nuestro gran aliado de la sección anterior: estamos contemplando la posibilidad de definir la suma de una infinidad de términos a partir de dos ideas fundamentales: la de sucesión y la del límite de ésta. nos concentraremos en tres tipos de serie que revisten una enorme importancia para generar ideas fundamentales y para deducir resultados importantes para el resto del estudio: • La serie telescópica • La serie geométrica • La serie “p” . Sección 5. en vez de ello. Pero para comprender esto debemos partir de lo que sabemos hacer: sumar una cantidad finita (aunque tal vez muy grande) de sumandos. una suma infinita de números positivos resulte en una suma finita. • Calcular la suma de una serie telescópica o geométrica. a saber: la telescópica.1 El concepto de serie Al hablar de una serie. Así. convergencia. “n”. con más o menos trabajo. sea cada vez más grande. de manera que el número de éstos. no abordaremos el estudio de todas las series en esta sección. A partir de lo que ocurra con tales sumas diremos lo que pasa con la serie. ¿Le parece familiar este lenguaje? En efecto. deberíamos considerar lo que pasa con la suma de los primeros sumandos. la geométrica y la serie p.2. de Cauchy y de combinación de series. incluido el criterio los términos n-ésimo. Así. 4 Si el conjunto de elementos de la suma conforma una sucesión {an}.. Iniciamos con el siguiente recordatorio (definición 5...2: Primeras series 417 Hemos hablado de sumar una infinidad de términos (si esto es posible). entonces la serie de término general an se denota por: a1 + a2 + a3 + … o ∑ aj j =1 ∞ o {Sn} Diremos que la serie converge si lo hace la sucesión {Sn} formada por las sumas parciales Sn: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 .4 Operaciones con series Sean ∑ a j . No sumaremos términos que no tengan un cierto arreglo. una sucesión de la forma {an}. + an = ∑ a j j =1 n Definición 5. por ello algunos resultados como el siguiente son consecuencia inmediata de esta idea. n→∞ Como se ve. La suma de los números reales a1. donde S = a1 + a2 + . Esto ocurrirá si lím Sn = ± ∞ o si Sn oscila de manera que no se aproxime a ningún valor real para n suficientemente grande. an se denota con Sn = a1 + a2 + . la de las n-ésimas sumas parciales {Sn}. la convergencia o divergencia de una serie se reduce a determinar la convergencia de una sucesión.…. Entonces . buscaremos sumar siempre y cuando los sumandos constituyan. diremos que la serie lo hace o que no es sumable. ∑ bj j =1 j =1 ∞ ∞ dos series convergentes.4). En este caso... = ∑ a j = lím j =1 ∞ Sn ∑ a j = nlím n→∞ →∞ j =1 n Si la sucesión {Sn} diverge. Teorema 5. a2.. Sn = a1 + a2 + … + an (Observa que el número de sumandos es n y n → ∞).5. diremos que la suma de la serie es S. a la vez. pero ahora requerimos precisar. 01 0. j =1 ∞ 1 Observa que.418 Unidad 5: Sucesiones y series a) ∑ (a j ± bj ) j =1 ∞ ∞ también converge y.5 0. el término general de la sucesión de sumandos es a j = n-ésima suma parcial es Sn = a1 + a2 + a3 + + an = 1 .00153846 0.00416667 0. considera la serie ∑ j ( j + 1) .00107527 5 10 15 20 25 30 0. Tabla 5.7 se muestra el comportamiento de la sucesión de sumas parciales Sn.00238095 0. también lo es ∑ (a j ± c j ) j =1 ∞ Serie telescópica Para iniciar la discusión de la serie telescópica.15 hemos plasmado un acercamiento al comportamiento del término general de la serie.02 0. c) Si ∑ cj j =1 ∞ es divergente.6 y en la figura 5. Del comportamiento gráfico y numérico de Sn se desprenden varias observaciones importantes que hacemos explícitas a continuación.03 j 1 5 10 15 20 25 30 FIGURA 5. . + + + + 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n ⋅ (n + 1) cuyo formato es abierto (fácilmente identificable por los tres puntos suspensivos).6: Comportamiento numérico de la sucesión del término general de la serie. ∞ ∑ (a j =1 ∞ j =1 ∞ j ± bj = ∑ a j ± ∑ bj j =1 j =1 ) ∞ ∞ b) ∑ c (a j ) j =1 también converge y ∑ c ( a j ) = c∑ a j j =1 para cualquier constante c. entonces. En primer lugar. en la gráfica de la figura 5. En tanto. además.15: Aspecto gráfico de la sucesión del término general aj de la serie.05 0. en la tabla 5. aj 0.04 0.0333333 0. y la j ( j + 1) 1 1 1 1 .16 y en la tabla 5.00909091 0. Hay que tener cuidado: por el momento no podemos decir qué tan “despreciables” deberán ser las contribuciones de los últimos términos para que la serie converja. estaremos en un campo inseguro de conclusiones e interpretaciones en tanto éstas no se verifiquen analíticamente.7 y la figura 5. Aprovechamos para indicar un aspecto algebraico importante que caracn→∞ . que la cola o el residuo de la serie. i.9375 0. la suma “S” de la serie se obtiene prácticamente de sus primeros sumandos. antes de proceder al cálculo de lím Sn .5. ii. es indispensable pasar del formato abierto de la sucesión {Sn} a su formato cerrado.16: Aspecto gráfico de las n-ésimas sumas parciales de la serie. la suma de los últimos términos de la serie puede hacerse tan pequeña como se desee. de aquí estamos tentados a señalar que ésta debería ser una condición necesaria para la convergencia. iii.8 0. éste no es un cálculo tan directo.961538 0.833333 0. Así. es decir.5 0. es decir.15 se observa que las contribuciones de los últimos términos son prácticamente “despreciables”.909091 0. n 1 5 10 15 20 25 30 Sn 0.16 sugieren que la sucesión {Sn} de n-ésimas sumas parciales converge a 1. mostraremos: i. No obstante estas apreciaciones. con tal de que se tomen índices suficientemente grandes. en caso de convergencia. Necesitamos observar que aunque en la definición de convergencia de una serie se debe considerar lím Sn .2 1 0. b) De la tabla 5. que se caracteriza por la ausencia de los puntos suspensivos. en efecto.967742 5 10 15 20 25 30 0. Observa que el número de sumandos en Sn se incrementa indefinidamente en la medida en que n → ∞.7: Comportamiento numérico de las n-ésimas sumas parciales de la serie. a) La tabla 5. que tomando los primeros n términos de la serie lograremos acercarnos a la suma tanto como deseemos.6 y la correspondiente figura 5. Por ello.6 0.2: Primeras series 419 Tabla 5.7 se infiere que. no obstante. Que la serie es. La razón estriba en que n→∞ el límite que deseamos hace que el número de sumando aumente indefinidamente y esto imposibilita el uso de los teoremas que se tiene sobre cálculo de límites de sucesiones. donde el número de sumandos sea finito.952381 0. c) De acuerdo con la tabla 5. la suma de la serie parece ser un valor finito.4 FIGURA 5. convergente y que su suma es 1. Por lo tanto. la serie es convergente y.8 se obtiene con las ideas de la sección anterior e indica cuántos términos de la serie se requieren con la finalidad de asegurar que Sn − 1 < ε . con los cuales podemos manipular nuestros resultados para el cálculo de límites. a saber: cuando se despliegan los sumandos de una serie de este tipo. Esto significa que.8: Si n es suficientemente grande. j ( j + 1) j j + 1 1 = A(j + 1) + Bj. ii. En nuestro caso: n→∞ 1 lím Sn = lím 1 − =1 n→∞ n + 1 Por lo tanto. la suma S es igual a 1. quedan únicamente el primero y el último de los términos desplegados. En primer lugar.7 se generó la apreciación de que en los primeros n términos de esta serie se encuentra su mayor peso. la forma cerrada de Sn sigue constando de dos sumandos. si descomponemos aj en fracciones parciales hallaremos que aj = 1 A B = + . En la tabla 5.420 Unidad 5: Sucesiones y series teriza a una serie telescópica. ε 1 10 1 100 n requerido n≥9 n ≥ 99 n ≥ 105 − 1 10−5 ε > 0 (arbitrario) n≥ 1 −1 ε . además. es decir. luego: aj = 1 1 − j j +1 Reescribimos ahora Sn de la siguiente manera: Sn = a1 + a2 + a3 + + an = 1 − = 1− 1 1 1 1 + − + − 2 2 3 3 1 + 4 1 1 + − (forma abierta de Sn) n n + 1 1 (forma cerrada de Sn) n +1 Acabamos de ver la característica fundamental de una serie telescópica. de donde: A = 1 y B = −1. La tabla 5. Tenemos: Tabla 5. después de hacer simplificaciones. existe n0 tal que n ≥ n0 implica Sn − 1 < ε . En la última ecuación (aunque n → ∞. Sn puede estar tan cerca de 1 como deseemos. aunque el número de sumandos aumente indefinidamente). dado ε > 0. la cola de la serie tiene aportaciones “despreciables” a la suma de ésta. Como se observa. deberás apoyarte en la tabla 5.0757576 0.00952203 0.00606015 0. ésta es la piedra angular sobre la que descansa el concepto de convergencia de una serie.0269841 0.17.02 0. Precisemos lo que acaba- Definición 5. en la medida en que n → ∞.00751793 0. Analíticamente.0136933 0.5 Dada la serie ∑ a j .05 0.00884813 0.06 0.0117613 45 51 55 61 65 71 75 81 85 0.00653538 0. la diferencia S2 n − Sn tiende a cero en la medida en la que n → ∞.9 y en la figura 5.00577995 0.03 0. Es decir.00689588 0.0221987 0.9: Muestra el comportamiento numérico de las colas de la serie para diferentes valores de n.166667 0. estudiaremos dónde está la pieza clave de la convergencia de una serie. aunque sumemos cada vez más términos la suma de la serie (y su consecuente convergencia) prácticamente no se vea afectada.01 10 20 30 40 50 n 1 5 11 17 21 25 31 35 41 FIGURA 5.17: Muestra el comportamiento gráfico de las colas de la serie. Antes de precisar esta idea.0398551 0. una cola o residuo de ésta es una suma finita de la forma: j =1 ∞ Sn − Sm = a m+1 + am+ 2 + + an para n > m Tanto gráfica como numéricamente hemos señalado lo que ocurre con la cola de la serie.5. Por tal razón. comentaremos que la diferencia S2 n − Sn es sólo un caso particular de una diferencia más general.0107501 0. a m+1 + am+ 2 + 1 1 1 1 + + an = − + − m +1 m + 2 m + 2 m + 3 = 1 1 − . Finalmente.5. S2n − Sn n S2n − Sn 0. Tabla 5. m +1 n +1 1 1 + − n n + 1 . a saber: Sn − Sm mos de señalar con la definición 5.00799895 0. Para ello.015377 0.2: Primeras series 421 iii.0188537 0. para n > m.04 0. Como hemos dicho. atribuido al matemático francés August Cauchy. el significado de esto es trascendental para la convergencia. si dado ε > 0.422 Unidad 5: Sucesiones y series Luego.5. b) Dado que el peso de una serie convergente se concentra en los primeros sumandos. j =1 ∞ . suprimir o añadir un número finito de éstos afecta el valor de la suma. en consecuencia. existe un n0 tal que n > m > n0 implica que Sn − Sm = am+1 + am+ 2 + + an < ε . lím an = 0. aunque no sólo de esta serie sino de cualquier otra. la serie n→∞ n→∞ ∑ a j diverge. n > m sea arbitrariamente pequeña al considerar m (y n) suficientemente grandes. Nota: Con base en la discusión anterior. c) Si escribimos m = n − 1 en el teorema anterior. a saber: Teorema 5. si m es suficientemente grande. es posible deducir las siguientes afirmaciones de carácter general. Sobre ese criterio tenemos el teorema 5. Teorema 5.5: Criterio de Cauchy para la convergencia de una serie Una condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie ∑a j j =1 ∞ es que la cola Sn − Sm = am +1 + am + 2 + + an .6: Criterio de divergencia de una serie Si la serie ∑ a j converge debe tenerse que. a) La convergencia o divergencia de una serie no se ve afectada si se le suprime o añade un número finito de términos. Es decir. es decir. si lím an no existe o lím an ≠ 0 . En otras palabras (ésta es la forma en que puede usarse el resultado). para ε > 0 existe n0 tal que n > n0 implij =1 n→∞ ∞ ca an < ε . se puede afirmar que bajo estas condiciones la cola de esta serie será tan pequeña como lo deseemos. también lo será n (pues n > m) y. obtenemos una condición necesaria para la convergencia de una serie. 685743 −0.8 –1 10 15 20 FIGURA 5.685714 0.96 −0.685714 −0.5. considera las siguientes dos series: a) ∑ j =2 ∞ 3⋅ (−2 ) j +1 5j 7 b) ∑ j =1 2 ∞ j −1 Nuestro primer análisis será numérico y gráfico.18 y 5.685894 −0.6 –0.66816 −0. .685265 −0.10 y 5.685719 −0.18: Comportamiento gráfico de la sucesión {Sn} de la serie a) para diferentes valores de n.685703 −0.686838 −0.4 –0.685642 −0.692736 −0.682906 −0.7296 −0.2 –0. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sn n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Sn −0.576 −0.2 5 –0.685712 −0.11 y las figuras 5.19 muestran el comportamiento tanto de los términos generales de las series como de sus n-ésimas sumas parciales: Tabla 5.10: Comportamiento numérico de la sucesión {S0} de la serie a) para diferentes valores de n.685714 −0. Las tablas 5.685715 −0.2: Primeras series 423 Serie geométrica Antes de definir la serie geométrica y establecer las condiciones de su convergencia. 6. la serie del inciso a) es ∑ 3 ⋅ ∑ 5 5j j=2 j=2 es − 2 5 . La segunda. Recuerda que en una serie la suma sólo se ve afectada por la omisión o incorporación de un número finito de tér- . Nota que cualitativamente las series a) y b) difieren en la base de sus j ∞ ∞ (−2 ) j +1 −2 ( ) . éste puede ser cualquier otro número entero positivo.000 100. Para el inciso b) la base es 7 2 .000 FIGURA 5. en realidad.19: Comportamiento gráfico de la sucesión {Sn} de la serie b) para diferentes valores de n.11: Comportamiento numérico de la sucesión {Sn} de la serie b) para diferentes valores de n. El punto que ahora estudiamos no es que una base sea negativa y la otra positiva. en 2 y 1 también sean geométricas. esto no es importante.685714.000 80. De las gráficas y tablas anteriores inferimos que la serie del inciso a) es convergente a una suma cuyo valor aproximado es −0.967742 31525. Dada la importancia de este tipo de series conviene dar la definición 5. Definición 5.5 16. de ahí que las series en a) y b) que empiezan. Las series en a) y b) tienen en el fondo la misma apariencia. Así. sino el hecho de que el valor absoluto de la base en a) es menor que 1. respectivamente. de donde la base = − 6 ⋅ potencias.9 110341 4 6 8 10 20. mientras que en b) el valor absoluto de la base es mayor que 1.424 Unidad 5: Sucesiones y series Tabla 5.75 209. para cuestiones de convergencia.952381 0. La primera es que en una serie geométrica el término siguiente es el término previo multiplicado por una constante a la que hemos denotado por “r ”.000 40.688 0. aun cuando en la serie hemos colocado su índice inicial en 0. mientras que la serie del inciso b) es divergente al infinito.000 60.6: Series geométricas Una serie geométrica tiene la siguiente forma ∑ a r j = a + ar + ar 2 + j =0 ∞ = a 1 + r + r2 + ( ) Haremos aquí un par de aclaraciones.961538 0. n 1 2 3 4 6 7 8 9 10 Sn 1 4. sólo queda pendiente el convergencia. r n → 0. Luego. de donde: Sn = n a 1 − rn 1− r ( ) Al considerar lím S n . Sn = a + ar + ar 2 + + ar n−1 Así. diverge si r ≥ 1. pero no la cualidad referente a convergencia o divergencia. y para r > 1 o r = −1. la sucesión {Sn} diverge y. ésta converge si r < 1. como mostramos en los siguientes cálculos: rSn = ar + ar 2 + … + ar n − 1 + ar n. la suma de la serie es S = a . Hemos hecho notar que la pieza clave de la convergencia en una serie geométrica estriba en el valor absoluto de su base. consideremos lo que pasa con la sucesión de n-ésimas sumas parciales de la serie. en consecuencia. Empezamos con Sn. Resumimos las observaciones anteriores en el teorema 5. Sn(1 − r) = a(1 − r ). De esta manera. en caso de a . y diverge para r > 1 o r = −1. 1− r . la sucesión {r n} diverge. se simplificó anulando los términos iguales Si factorizamos Sn en el lado izquierdo de esta última ecuación.7: Convergencia y divergencia de series geométricas Dada la serie geométrica ∑ a r j = a + ar + ar 2 + j=0 ∞ = a 1 + r + r2 + ( ). se multiplicó Sn por r Sn − rSn = a + ar + ar 2 + + ar n−1 − ar + ar 2 + ( + ar n−1 + ar n ) = a − ar n. la serie converge si r < 1. Ahora obtendremos un resultado general en este sentido.7: Teorema 5. requerimos el resultado del ejemplo de la sección anterior. en este caso. Sn = a + ar + ar 2 + + ar n −1 = a + a + + a = na. la idea básica que permite llevar esta forma abierta a una forma cerrada (sobre la cual podremos hacer que n → ∞) consiste en multiplicar por r el resultado anterior y considerar la resta Sn − rSn. para ello. la suma de la serie es S = 1− r caso para el cual r = 1.2: Primeras series 425 minos.5. Observarás que estas operaciones llevan la serie geométrica a una versión de serie telescópica. la serie también diverge. donde n→∞ vimos que para r < 1. por lo cual estudiaremos la serie de la definición anterior. En caso de convergencia. Evidentemente. a ≠ 0 De aquí que cuando n → ∞. 2676 n 45 50 55 60 65 70 75 80 85 ∑ n =1 ∞ 1 j 1 2 .021 6.83284 4.67987 4. Tabla 5.58513 10. para los casos p = 1 2 .92897 3. Tenemos las siguientes observaciones: 1. 20 15 10 5 Sn 12. Para los casos p = 1 y p = 1 2 las series parecen divergir al infinito (aunque muy lentamente).63931 9.096 14.20: Aspecto gráfico de la sucesión {Sn} para la serie ∑ n =1 ∞ 1 j 1 2 . . p = 1 y p = 2.28333 2.12: Comportamiento numérico de la sucesión {Sn} para n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 Sn 1 3.96548 5.14678 4. ∑ j p .81596 3.59526 8.7261 15.59774 3.21: Aspecto gráfico de la sucesión {Sn} para la serie ∑ j.0329 10 20 30 40 FIGURA 5. la serie “p” con p = 2 parece ser convergente a una suma cercana a 1.31823 3.23167 5.7524 13.59361 4. llamada serie j =1 ∞ 1 Tabla 5.39495 4.27854 Sn 4.13: Comportamiento numérico de la ∞ sucesión {Sn} para n 45 50 55 60 65 70 75 80 85 ∑ j. n =1 1 20 15 10 5 n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 Sn 1 2.3325 15. n =1 ∞ 1 Los comportamientos gráfico y numérico son muy reveladores.9178 16.99499 4.0305 12.41399 7.63324.75928 4.4561 11.426 Unidad 5: Sucesiones y series La serie “p” Consideremos los comportamientos gráfico y numérico de la serie “p”.484 17. En cambio.49921 4.02574 20 40 60 80 FIGURA 5.4394 14.90136 4. 62513 1. Sn. en consecuencia. Las imágenes sugieren que cuanto menor sea “p”.61677 1. la contribución de todos estos será “despreciable”. 2.5. El aspecto comparativo de las gráficas que se observan en la figura 5. se nota un crecimiento muy lento de la sucesión {Sn}.63324 20 40 60 80 FIGURA 5. j De esta manera.5 j2 .62692 1. p = 1 FIGURA 5. Sn 1.23 es similar para otros valores de p < 1 y de p > 1.2: Primeras series 427 Tabla 5. p = 1/2 14 12 10 8 6 4 2 20 40 60 80 Sn. 3. no obstante.62024 n 45 50 55 60 65 70 75 80 85 ∑ n =1 1 2 1.59616 1. el crecimiento de {Sn} será más rápido y.63251 1. el término 1 general de la serie p → 0. p = 2 Sn. Los casos de divergencia se presentan con valores de “p” menores o iguales a 1.63169 1.54977 1.58044 1. pero p depende de la rapidez con que ocurra.5 1 0.62841 1.61215 1. Para el caso p = 1. Una cuestión interesante sería determinar con qué valor de “p” tenemos la frontera entre convergencia y divergencia en este tipo de series. p = 1 y p = 2.14: Comportamiento numérico de ∞ la sucesión {Sn} para n 1 5 10 15 20 25 30 35 40 Sn 1 1. parece divergir. la convergencia a cero del término general de la serie será lo suficientemente rápida como para que al sumar los últimos términos de la serie.62296 1. 4. se producirá la divergencia de la serie. nuestra conjetura es que para p > 1.46361 1.60572 1. Observa que para p > 0. .22: Aspecto gráfico de la sucesión {Sn} para la serie ∑ n =1 ∞ 1 j2 . en cambio para p = 2 > 1 se tiene convergencia.62967 1.63075 1.23: Aspecto gráfico comparativo de {Sn} para p = 1/ 2. esta idea generará un criterio importante sobre convergencia y divergencia de series. para j = 1. 1 . comencemos considerando el caso para el cual p = 1 2 .24 y 5. precisamente. resulta que la suma de las áreas de n de estos n 1 rectángulos es. Nota: En esta serie se ha omitido el primer término . el 2 j =1 j área bajo la curva de la función f (x) = x−1/2 en el intervalo [1. n] es cumple que: ∫1 x n −1 2 dx. la serie es n→∞ convergente. 2 1 Tomando el límite cuando n → ∞. por lo tanto. 2. Para concretar ideas.24. Las figuras 5.25 muestran una interpretación geométrica de las n-ésimas sumas parciales Sn correspondientes a la serie p. concluimos que existe lím Sn . nos apoyamos en la figura 5.428 Unidad 5: Sucesiones y series El resultado general para este tipo de series se obtiene analíticamente. Ahora bien. Luego. Cada rec1 tángulo circunscrito a esta gráfica tiene una altura igual a 1 .… Dado que j 2 la base de cada rectángulo es igual a 1. como hemos 12 comentado reiteradamente esto no afecta su convergencia (o divergencia). por el teorema 5. Para el caso p = 2. no obstante. Sn = ∑ 1 . como sugiere la figura 5. con base en la teoría de integración.25). Con el mismo argun→∞ mento se observa que la serie “p” con p = 1 es divergente. En la próxima sección.24 corresponde a la función f (x) = x−1/2. observamos que lím ∫ x 1 n −1 2 n→∞ dx = 2 lím x n→∞ n 1 = 2 lím n→∞ ( n −1 = ∞ ) Luego. lím ∫ n +1 −2 1 n→∞ x dx = − lím x − 1 n→∞ n +1 1 1 − 1 = 1 = − lím n→∞ n + 1 Deducimos entonces que la sucesión {Sn} es creciente y acotada. lím Sn = ∞. al que llamaremos criterio de la integral. 1 1 donde el primer rectángulo tiene una altura igual a 2 y no 2 (véase la figura 5.1 de la sección anterior. y se ∫1 x n −1 2 dx ≤ Sn = ∑ j =1 n 1 1 j 2 Tomando el límite cuando n → ∞. la curva en color azul mostrada en la figura 5. de donde concluimos que la serie es divergente.25. Tenemos entonces que: Sn = ∑ n +1 j=2 1 ≤ j2 ∫1 n +1 −2 x dx. 2: Primeras series 429 an an n 1 2 3 4 5 6 7 … 1 2 3 4 5 6 7… n FIGURA 5. Nota: Hasta ahora hemos utilizado el índice j en la notación ∑ .5. Ejemplo 5. Las ideas anteriores se pueden generalizar fácilmente a partir de argumentos similares a los presentados arriba. Teorema 5.8: Criterio de convergencia y divergencia para la serie “p” La serie “p” ∑ jp j =1 ∞ 1 converge para p > 1.8 contiene el resultado general para la serie “p”. y diverge para p ≤ 1. en adelante no le daremos importancia al índice empleado. a) ∑ n2 (n + 1)2 n =1 ∞ 2n + 1 b) ∑ ( 2 + ( −1) n =1 ∞ n ) c) ∑ ( −1)n cot n 3 n= 3 ∞ π d) ∑ ∑ j 0.24: Interpretación gráfica de Sn para la serie “p”: rectángulos circunscritos.25: Interpretación gráfica de Sn para la serie “p”: rectángulos inscritos. Por ejemplo. Cuando sea posible.3 n =1 j =1 ∞ n 1 . Por lo tanto. Nota: Si p = 1. sin embargo. la serie se conoce como serie armónica. FIGURA 5. El teorema 5.8 Determina la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series. determina también la suma. éste es intrascendente. es muy frecuente usar el índice n dentro de la notación sigma. forma cerrada de Sn (n + 1)2 Es decir. la serie es telescópica. es habitual empezar su estudio con este criterio. por el teorema 5.6. así: 2n + 1 A B C D = + + + n 2 (n + 1)2 n n 2 n + 1 (n + 1)2 Al calcular los valores de A. se puede interpretar como una geométrica.6 (cuyo principio se marca en n = 0). B = 1 y D = −1. consideramos 3. Por lo tanto. encontramos que A = C = 0. luego. podemos indicar fácilmente el valor 1 π . No obstante. b) Aunque el resultado sobre divergencia del teorema 5. la serie también diverge. estaremos en posibilidades de determinar la convergencia de la serie: 1 lím Sn = lím 1 − =1 n→∞ n→∞ (n + 1) 2 De aquí resultan dos conclusiones: que la serie es convergente y que la suma es 1.430 Unidad 5: Sucesiones y series solución a) Dada la apariencia del término general an de la serie. c) Dado que el argumento de la función es un ángulo notable. Si ahora tomamos el límite cuando n → ∞. B. si n es par an = 2 + (−1)n = 1. si n es impar Dado el carácter oscilatorio de la sucesión {an}. concluimos que diverge. no es geométrica en el sentido estricto de la definición 5. Por lo tanto. en la . se escribe como exacto: cot = 3 3 = ∑ (−1)n cot n 3 ∑ n= 3 ∞ π −1 3 n= 3 ∞ n Dado que esta serie se inicia con n = 3. la n-ésima suma parcial queda como Sn = a1 + a2 + 1 1 1 1 + an = 2 − 2 + 2 − 2 + 1 2 2 3 = 1− 1 1 + 2 − n (n + 1)2 1 . Con esos valores: an = 2n + 1 1 1 = − n 2 (n + 1)2 n 2 (n + 1)2 De esta manera. como lo hicimos en el método de integración con fracciones parciales. parece razonable intentar su descomposición en fracciones parciales.6 no siempre es concluyente. C y D. −1 −1 −1 −1 + = + + ∑ 3 3 3 3 n= 3 ∞ n 3 4 5 3 2 1 −1 −1 = + 1− + 3 3 3 r a Como se ha escrito.3 Debido a que ∑ j 0. deducimos que lím an n→∞ no existe.3 j =1 ∞ j =1 1 es una serie “p” con p = 0. −1 3 a −1 S= = = 1− r −1 3 1 + 3 1− 3 3 ( ) d ) Aquí. la manera más cómoda de proceder se muestra a continuación: ∑ −1 −1 −1 −1 + + + = 3 3 3 3 n= 3 ∞ n 3 4 5 . donde hemos dado a n los valores n = 3.… para encontrar los primeros términos. y el siguiente sumando después del 1 se interpreta como “r” (véase la definición 5.5. en cuanto a la suma (si existe). en el corchete se busca que el primer término sea 1. Como sabemos.6. de acuerdo con el teorema 5. Entonces. observa que: r = −1 <1 3 Nota: es importante señalar que el criterio no se apoya sólo en “r” sino en r Por lo tanto. el término factorizado es valor de “a”. 0. 5. la serie converge.6). la convergencia o divergencia de una serie no se ve afectada por esta circunstancia.9 Determina la convergencia de la serie ∑ ∫n n =1 ∞ ( n +1 x e− x dx ) . por el teorema 5. re- 1 j j =1 . 4. el término general de la serie es an = ∑ sulta que lím an = ∑ n→∞ ∞ n 1 j 0. la serie ∑ ∑ j 0.3 . n =1 j =1 ∞ n 1 Ejemplo 5.7. En cuanto a la suma. Si ahora tomamos el límite cuando n → ∞.2: Primeras series 431 cual se han omitido los primeros tres términos. Ahora.3 diverge.3. en primer lugar analizaremos su convergencia. Encontramos ∫n n +1 xe − x d x = − xe− x n +1 n − e− x n +1 n . es decir. la serie de este ejemplo es telescópica. simplificando. tales que lím tan 2 ( x ) − ∑ tan j ( x ) = 0 Encuentra todos los valores x ∈ 2 2 n→∞ 9 j =1 solución Al tomar el límite indicado. el segundo término de la ecuación anterior contiene la serie ∑ tan j ( x ). Por lo tanto. Nota que esta serie es geométrica y ∑ tan j ( x ) = tan( x ) + tan2 ( x ) + j =1 ∞ = tan( x ) 1 + tan( x ) + r a −π π . Lo j =1 ∞ primero que debe notarse es que no tiene sentido intentar siquiera la solución de la ecuación anterior si la serie involucrada es divergente. an = an = ∫n n +1 xe − x d x. si evaluamos y simplificamos en e De aquí. Falta resol. para x ∈ 4 4 2 n 2 tan( x ) −π π = 0. obtenemos lím tan 2 ( x ) − ∑ tan j ( x ) = tan 2 ( x ) − si x ∈ n→∞ 9 1 − tan( x ) 4 4 9 j =1 . desplegando los primeros n términos de la serie: Sn = a1 + a2 + a3 + 5 2 3 3 4 4 + an = − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + e e e e e e Sn = 2 n+2 − .10 2 n −π π . de donde: lím Sn = n + 1 n→∞ e n→∞ e n→∞ e lím Es decir. e e n +1 n +1 n + 2 + n − n+1 e e Como se observa. . De aquí deducimos que la serie converge para tan( x ) < 1. Ejemplo 5. Si tomamos el límite cuando n → ∞ y aplicamos la regla de L’Hôpital al segundo término de Sn: n+2 1 2 = lím n +1 = 0. la serie converge y la suma es igual a 2 e. es decir.432 Unidad 5: Sucesiones y series solución Hagamos primero el cálculo del término general de la serie. integración por partes an = n +1 n + 2 − n +1 . por ello. Para cada uno de los siguientes incisos.0007 − 2. la ecuación queda como 9m2 − 9m + 2 = 0. es equivalente a 9 tan2(x) − 9 tan(x) + 2 = 0. a saber: x 2 = arctan y m = 2 3 . partiendo de los primeros términos de la serie dada.588. usa la notación ∑ para representarla. hallamos x1 = 0. Obtene 9 1 − tan( x ) 9 ( 1 tan( x )) − mos que tan(x) = 0 y tan( x ) − 2 = 0. a) 1 1 − n ∑ n 3 n= 0 2 ∞ b) 1 − 2 4 8 + − + 3 9 81 −2 + 3 n −1 + . x 3 ∈ 4 4 concluimos que las soluciones anteriores son de la ecuación planteada. a) c) 1 ∑ (−1)n 7 n= 3 n=0 ∞ n b) 1 − 3n 1 + 4n 3 4 5 6 + + + + 2 2 32 4 2 5 2 ∑ an . Determina si convergen o divergen.7 + 0. Determina si convergen o divergen. ∞ donde an = d ) 7 − 0. De aquí. Los siguientes incisos implican series geométricas. . x 1 . x 2 . a) 1 1 + + 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3⋅ 4 + 1 + n (n + 1)(n + 2 ) 1 3 − n2 − ∑ 2 4 n2 + 7 n =1 n + 3n + 2 ∞ d) b) ∑ ( 2n + 1) ( 2n + 3) n =1 ∞ ∞ 1 e) ∑ n ( n + 3) ( n + 5 ) n =1 ∞ 1 c) 1− ∑ n ( n − 1) n= 2 2 3. Si ponemos m = tan(x). resulta que hay otras dos ( ) ≈ 0.007 + 0. cuyas soluciones son m = soluciones.2: Primeras series 433 2 2 tan( x ) = tan( x ) tan( x ) − ver la ecuación trigonométrica tan 2 ( x ) − = 0. Como 2 3 −π π . determina la suma. En caso de convergencia.322 y x 1 3 3= arctan ( ) ≈ 0.07 − 0. De la primera ecuación. en su caso. Los siguientes incisos implican series telescópicas. En el primer caso. 1. escriba los primeros cuatro términos de la serie o. determina la suma.5. En cuanto a 9(1 − tan( x )) 1 3 la segunda. Repite el procedimiento para los incisos b) y c). Las series pueden utilizarse para escribir un número decimal infinito periódico como una fracción común. calcula la distancia total recorrida por la masa del péndulo antes de detenerse. Si la longitud de la primera oscilación fue de 45 cm.26: Imagen de un péndulo. Si converge determina la suma de la serie. n =1 ∞ 1 con an = 1 − an −1 . .… y a1 = 3 n π e) ∑ ( 3 n + 1 )( 3n − 2 ) n= 2 ∞ ∑ n! n =1 nn 5. n = 2. − 2n + 6 2n + 8 f) b) c) ∑ ∞ n= 3 ∞ (2 n − 1) 3 n n+7 n =1 n + 1 n n = 50 ∞ ∑ ∞ ( n) 3 1 π ∑ ln g) h) i) 5 2 n− 3 d) ∑ n n= 2 (− 8 ) ∑ π ne n= 0 ∞ e nπ ∑ an . FIGURA 5.0101… 6. determina si las siguientes series son convergentes o divergentes. b) 0. después de la primera oscilación. la trayectoria de cada movimiento se reduce 2% respecto de la longitud de la trayectoria anterior (de un lado a otro). ∑nan n =1 ∞ y ∑ n ( n + 1) a n n= 2 ∞ 4. n =1 ∞ ∞ donde Sn = n2 n2 .151151… c) 2. Por ejemplo. un péndulo llega finalmente al reposo después de cierto número de oscilaciones.434 Unidad 5: Sucesiones y series 1 7 c) ∑ n − n n =1 π ∞ d) ∑ n =1 ∞ ( 23 )n + ( 13 )n 2 n e) Para a < 1.616161… puede escribirse como 4 + 61 61 + 4 + . Por efecto de la resistencia del aire. a) 4. Completa el cálculo y escribe la fracción 2 10 10 correspondiente al número dado. Supón que. Con base en los resultados de esta sección. a) ∑ an . 3. 1 a) 1 + 0 + + 0 + 3 b) + 1 +0+ 3n c) ∑ ln ( tan2 ((2 n+1)π 4 )) n =1 ∞ ∑ n =1 ∞ sen 4n ( ) nπ 2 d) ∑ ( n − 1) ( n − 2 ) ( n − n2 ) n =1 . en cada uno de éstos se inscriben dos más. en cada uno se inscriben otros dos círculos más. con las mismas características.2: Primeras series 435 7.5. Halle lo que se pide en cada caso. En un círculo de radio a se inscriben dos círculos iguales. La fórmula sin el símbolo n =1 ∞ 9. A la vez. y la solución de la ecuación f (x) = 2. 2 ( x + 1)n . de manera general está difundido el uso que se da a las funciones definidas a partir de una serie. de manera infinita. x ∈ (0. En la práctica de la ingeniería y de las ciencias exactas. tangenciales al primero. Posteriormente. como muestra la figura 5. considera los siguientes incisos que abarcan sólo el caso de series geométricas.27. n +1 La fórmula de f (x) (sin el símbolo n =1 (−2 ) ∑ ) y su dominio. ∞ proporciona la fórmula de f (x) (sin el símbolo ∑ ) y su dominio. las cuales estudiaremos en el próximo capítulo. al cual se le llama intervalo de convergencia. que también son tangenciales. Una función de este tipo se conoce como serie de potencias. π). Si es posible. FIGURA 5.27: En cada par de círculos se inscriben dos más por cada uno de los formados previamente. donde f (x) es la función del inciso a). a) f ( x ) = n =0 ∑ 3n x 2 n . d) f ( x ) = ∑ cosn ( x ). Con la finalidad de que te familiarices con ellas. ∑ . determina la suma de las áreas de todos los círculos que se forman bajo este procedimiento. Decide si cada una de las siguientes series converge o diverge. b) La solución de la ecuación f ( x ) = c) f ( x ) = ∑ ∞ ∞ 3 . 8. proceda por derivación o integración de una serie geométrica conveniente y calcula fórmulas cerradas para las series que a continuación se proponen. Sin intentar justificar los pasos. 1 1 /16 1 1 /4 1 /8 /2 1 –1 FIGURA 5. Para a < 1. ¿Para qué valores de r la serie infinita 1 + 2r + r 2 + 2r 3 + r 4 + 2r 5 + r 6 + … converge? Calcula la suma cuando la serie converge. Si. ∑( n =1 ∞ ∞ b) ∑ a n (1 + a n ) (1 + a 2 n ) n= 0 ∞ 11. 2…. De ser posible el primer caso. escoge un valor adecuado de r tal que la serie 15. calcula la suma. ∑ a ⋅ r n −1 n =1 ∞ converja a 3. a) ∑ nx n n =1 ∞ ∞ c) ∑ ∞ xn n =1 n ∞ e) ∑ (n + 1) x n n =1 ∞ b) ∑n2 xn n =1 d) ∑ 2n − 1 n =1 x 2 n−1 14. las cuales serán válidas cuando menos para x < 1.436 Unidad 5: Sucesiones y series 10.28. ) 12. Al efectuar diversas operaciones. decida si la serie el primer caso es factible. 16. Si 13. Determina si la serie n + 1 − n converge o diverge. calcula la suma. Para cualquier x = 0. como en la teoría de la probabilidad. 17. Encuentra el área de la región sombreada de la figura 5. en la serie geométrica es posible llegar a resultados sorprendentes. muchos de ellos útiles.28: Cálculo del área de la región sombreada. Determina el valor de b para el que 1 + eb + e2b + e3b + … = 9. ∑ ( n + x ) ( n + x + 1) ( n + x + 2 ) n =1 ∞ 1 converge o diverge. a) a = 2 y b) a = 5 2 . . 1. calcula la suma correspondiente. determina si cada una de las siguientes series es convergente o divergente. En el primer caso. a) n=0 ∑ a n (1 + a n ). analiza y resuelve las siguientes situaciones. Con la finalidad de dar una somera descripción de esta curva. discute con sus compañeros el problema de la introducción y da respuesta fundamentada a la pregunta que ahí se formuló. borrando las partes comunes a los triángulos nuevos y viejos. Usa un tipo de serie conveniente para determinar el monto total que por efecto directo recibió México durante ese año por concepto de convenciones y congresos. el cual es la curva C1. c) Supón que cada residente de las ciudades sede gastó. fue de 1. en promedio.2: Primeras series 437 18. fuente importante del ingreso nacional. Excepto . la derrama económica total. determina el número de visitantes que por este concepto recibió el país y su consecuente derrama económica. Finalmente. la sustancia tiene que absorberse.29: Las primera tres etapas de la curva copo de nieve: C1. 2. b) En la misma fuente de internet. Turismo. y construye un triángulo equilátero dirigido hacia fuera. La curva copo de nieve de Helga von Koch. están su área y su longitud. obtendrás una tercera etapa de la curva de Koch a la que llamaremos C3. Para ello. Encuentra una expresión que proporcione el cálculo de Ln y determina qué sucede con el límite lím L n . C2 y C3. mientras que el 20% restante lo gastó fuera de las ciudades o lo ahorró. iniciemos con un triángulo equilátero de lado igual a la unidad. Entre los aspectos interesantes de esta curva. Con base en la teoría desarrollada en esta sección. n→∞ b) Determina el área An de la región delimitada por Cn y calcula lím A n n→∞ FIGURA 5. Si divides cada uno de sus lados en tres partes iguales.5. a) Sea Ln la longitud de la n-ésima curva Cn. alcanzar el compartimiento acuoso del organismo.5 veces el gasto total generado por los congresistas. Puede apoyarse en la siguiente guía: a) Investiga el número de congresos y convenciones que en México se llevaron a cabo en 2001. 80% de los ingresos generados por los congresos. Si repites la idea sobre la curva C2. respectivamente. obtendrás una segunda fase de la curva llamada C2. piensa que por el efecto multiplicador. es necesario que llegue a su sitio de acción. esto es. que por convenciones y congresos se realizó en México en 2001. Administración de medicamentos “Para que un fármaco actúe. toma el subintervalo de enmedio. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo. determinado por la subdivisión. 1. 438 Unidad 5: Sucesiones y series en la piel y algunas mucosas.31). si K = K(t) representa la cantidad de un fármaco al tiempo “t”. concretamente. Imagina que las dosis se aplican en los tiempos 0. en todos estos mecanismos participa la sangre. con la finalidad de evitar daños al organismo (véase la figura 5. ésta no debe ser excesiva. FIGURA 5. una vez que se ha obtenido cierta concentración del fármaco. K(t) = K0e−ct. por ello.… y que el nivel terapéutico T se alcanza en t = (n + 1)t0. Supón ahora que se administrarán n dosis de K0 unidades cada una. donde c es una constante positiva y K0 es el número de unidades de medicamento aplicado en t = 0. Diversos medicamentos se asimilan en el cuerpo humano. t0.30: Dosificación de un medicamento. la distribución del fármaco dentro del cuerpo puede variar de acuerdo con el flujo sanguíneo o la vascularización regional de cada tejido u órgano. se desea administrar a un paciente dosis iguales de un medicamento en intervalos de tiempo iguales.31: Gráfica que indica la concentración adecuada de medicamento (nivel terapéutico). Supón que. como es habitual en un tratamiento. y la cantidad de droga que cada tejido reciba depende de la concentración del fármaco en la sangre”. entonces. siguiendo un patrón de ley exponencial de disminución. Así. 2t0. Como sabes. . los medicamentos tienen también un aspecto tóxico que debe cuidarse. a intervalos iguales t0. Nivel de medicamento Cmáx (cimas) concentración deseada Cmín (valles) Dosis 1 Dosis 2 Dosis 3 FIGURA 5. Nota: una vez hallada. determina la suma. (n + 4)t0]. imagina que se desea mantener el nivel terapéutico T del medicamento sin correr el riesgo de su toxicidad. encuentra el valor de la suma. interacción con otros medicamentos. Si existen. se podría aplicar para los siguientes periodos [(n + 2)t0. n =1 c) ∞ π6 1 = ∑ n6 945 . determina el valor de la constante “c”. n =1 ∞ 1 π4 ∑ n 4 = 90 .5. encuentra una fórmula para R. Para cualquier k = 0. halla la suma. Sobre la base de los siguientes resultados las series: a) 1 π2 ∑ n2 = 6 . los médicos (entre varias consideraciones de edad. 2…. La serie 2− n + ∑ ( n + 1) ( n + 2 ) n= 0 es convergente. Para lograrlo. 1. Considera ahora que el nivel terapéutico se ha logrado en el tiempo (n + 1)t0. determina si la serie a + b + a2 + b2 + a3 + b3 + … + an + bn + … converge. salud general. y que se administra una primera dosis reducida R en (n + 1)t0. Autoevaluación 1. Si converge.(n + 3)t0] y [(n + 3)t0. con base en él. 5.2: Primeras series 439 a) Obtén con sus compañeros de equipo una fórmula que proporcione el nivel terapéutico de un medicamento. evalúa n =1 ∞ ∑ n2 n =1 ∞ 12 b) ∑ n2 + 3 4 n =1 n ∞ ∑ 5n2 − 6 n6 n =1 ∞ 3. calcula los siguientes límites: 1 1 a) lím n + n+1 + n→∞ 2 2 ∞ 1 1 1 1 lím + + + b) n →∞ n n +1 n + 2 4. Si 0 < b < a < 1. etcétera. n+ k n =1 n + 1 + k . c) Por último. 2. A partir de la cantidad de medicamento en el tiempo (n + 2)t0 (antes de la segunda dosis reducida). en caso afirmativo. b) Investiga el concepto de semivida de un medicamento y. peso del paciente. y en particular de riñones e hígado) aplican después de algún tiempo lo que se conoce como dosis reducida. investiga la convergencia o divergencia de la serie ∞ 1 1 − ∑ . Con base en este resultado. ∑ n! = k e. Converge. 5 2 x 1 + x2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. 1 1 iii. iv. Columna A a) La serie 1 1 1 + + + 1⋅ 3 3⋅ 5 5 ⋅ 7 = x 1 − x2 ii. Del inciso d) del ejercicio anterior puede deducirse que sitivo. a) − 1 1 1 1 + 4 − 5+ 6− 3 7 7 7 7 1 . calcula a) ∞ ∑ n −1 n= 2 n! ∞ b) ∑ n +1 n= 2 n! ∞ c) ∑ (n − 1)(n + 1) n! n= 2 ∞ ∞ d) ∑ n2 x n n =1 n ! ∞ 7. d) diverge. con6. ∑n n =1 ∞ 1 1 1 1− = 2 2n + 1 2 vii.1)n n= 0 ∞ 2. como veremos en el siguiente capítulo. pues lím Sn = lím n→∞ n→∞ Columna B 3 5 7 b) Para x < 1. a) Converge a b) converge a c) diverge. 4 b) ∑ 1 . x − x + x − x + c) 2n + n 2 + n ∑ 2n+1 n ( n + 1) n =1 ∞ d) Para x < 1. Diverge xn v. ln(x) vi. viii. Relaciona las respuestas correctas en la columna B que correspondan a los planteamientos de la columna A. 6 n +1 2 n= 2 n ∞ c) 1 − 2 5 8 − − − 5 9 13 d) ∑ 7(−0. ln 1− x i. e) converge a 139 1800 .440 Unidad 5: Sucesiones y series xn = e x se llama serie exponencial y. La serie ∑ n ! n= 0 verge para todo x ∈ a la suma que se muestra en el lado derecho de la igualdad anterior. donde k es un entero pon =1 n2 8. Encuentra el valor de k. La serie generada es geométrica y convergen 1 1 1 1 x +1 1 1 . 999 6. La suma de áreas de los círculos es π a 2 1 + + 2 + 2 2 te. la segunda serie converge a 1 2 ( (1 − a ) ) 3 4. a) La serie converge a a 1 3 7 . por lo tanto. n→∞ n ! 1 c) 2 99 5. que diverge. a) La serie converge. d) converge a . Df = − .2: Primeras series 441 3. g) Es una serie geométrica con r = eπ > 1. . entonces. pues lím a n = lím n→∞ (2 n − 1) 3 n =∞ n→∞ n+7 c) La serie es telescópica. nn = ∞. 1 1 7.6 y dado que lím 61 4 99 . b) la serie converge a . a) f ( x ) = d) f ( x ) = . la serie diverge. la serie diverge.50 metros.6. 22. a) b) 151 . n =1 n =1 ∞ 3 ∞ 1 i) por el teorema 5. es propiamente una serie “p” con p = se puede dar el valor exacto de la suma. 8. de hecho. d) La serie es geométrica con r = 25 > 1. S = lím Sn = n→∞ b) De acuerdo con el teorema 5. ∑ n = 3∑ n . 1). la suma total de áreas es 2πa2. La serie converge. c) diverge.841 radianes. La solución de la ecuación f (x) = 2 es x = arccos ≈ 0. πe π > 1.5. 2 3 2x + 6 1 − 3x 3 3 3 3 cos( x ) 2 . b) x = ± ∈ − . . del hecho de que Sn = a3 + a4 + … + an + 2 = ln(n + 1) − ln(3) concluimos que la serie es divergente. Df = (−3. de donde an = 1 = . 8 π 12 e) La serie es telescópica y converge a f ) Aunque la serie no inicia en 1. c) f ( x ) = . e) la primera serie 2 5 10 2 3 a 2 − 3 a 3+ a 4 converge a ( a − 1) 2 . No 3 n − 1 n − 2 n − 3 h) Puede mostrarse que a n = n n −1 n − 2 plica que la serie dada tiene la forma a 3 2 1 a . diverge. 3 1 − cos( x ) . diverge. Esto im 3 2 1 n n la serie armónica. Además: a) S = a5 + 3 a4 + 5 a3 + 7 a2 + 5 a + 4 a+2 . La serie es convergente con suma S = 13. 17. a) L n = 3 + 1 + n→∞ 4 42 + + 3 32 + 4 n−2 4 . Ambas series son convergentes. en este caso. Entonces: 4 1 1 4 An = A + A + A + 3 3 9 1 4 + 3 9 n−2 b) Sea A = A. 12. b) S = 2 1− a 1 − a4 1 + a + a2 ( )( ) 11. y lím m An = n→∞ 2 3 5 . b = ln 16. La serie diverge. de aquí (dado que la serie es geométrica con r = > 1 ) deducimos n−2 3 3 que lím L n =∞ 3 el área encerrada por la curva C1. 10. la suma de la serie es 1 2 1 + 2r 1− r 2 18. Todas convergen.442 Unidad 5: Sucesiones y series 9. a) r = 15. b) r = 1 6 ( ) 8 9 r < 1. a) x (1 − x )2 x2 + x (1 − x )3 1 3 1 2( x + 1)( x + 2 ) 2x − x 2 (1 − x )2 1 c) ln 1− x d) 1 1+ x ln 2 1− x e) b) 14. Moscú.optyma.sectur.. 2005. 3. 2a. Referencias de Internet 1. 9.. CECSA. El omnipresente número π. La serie converge a 2. b) el límite no existe.. Zhúkov. Rivaud. Limusa. 1980. T. (a.5.). Courant. F. Matemáticas e imaginación. 2. Diana. 1972. ¿Qué son las matemáticas?. 1975. E. a) el límite existe y es cero. Sucesiones y series. 1999. iii.. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. Limusa. La serie converge a la suma −1 k +1 6. vol. S = 3 5. viii. d) S = x(x + 1)ex 7.gob. A. R. Misterios matemáticos: magia y belleza de los números. c) S = e + 1.sefap. 1980. R.mx/wb2/sectur/sect_9189_congresos_y_convenci http://www. Seeley. Madrid.) Referencias 1. México. a) S = 1. México. http://www. Takeuchi...com/ficha. 4.html http://www. vi. Kasner. Y. 1982.edu. 2.).. Courant. R. Clawson. 3. 5. H. ed..mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/130/html/sec_12. México. (b. C. URSS. Apóstol. y Robbins. Trillas. (c. 2002.2: Primeras series 443 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 8. Reverté. Fondo de Cultura Económica. Newman. Ejercicios de análisis. 4.php?codigo=879460 http://omega. b) S = 2e − 3. México. 1978. 6. J. México. 7. Cálculo de una y varias variables.html . a) 2π 2 a b + 1− a 1− b c) 35 π 4 − 4 π 630 6 b) 5 π 2+ π 4 30 3.). ii. (d. y John. México..com/pinf/espanol/farmacologia. Reverté. I.. J. Barcelona.ilce. k = 2 8. 4..thebody. Introducción al cálculo y al análisis matemático. 32: Pensión por cesantía de edad para personas mayores de 60 años. Para algunos especialistas. En gran medida. la solución es multifactorial y requiere efectuar importantes reformas estructurales —como la laboral y la fiscal—. podríamos compararlos con los que consideran que un fusil de tiro rápido puede sustituir al jefe del Estado mayor. al mismo tiempo. entre las que se encuentran las de índole administrativa y de planeación. Con base en la teoría de esta sección podrás determinar por qué una cantidad conocida como valor presente esperado resulta una serie convergente. permita ver la magnitud del problema. FIGURA 5. Este resultado permite a los actuarios resolver la determinación de una serie de ingresos y de egresos de duración aleatoria. . además de la homologación de todos los programas pensionarios para mejorar el sistema nacional en la materia. la solución al problema de pensiones consiste en estructurar mecanismos que proporcionen la igualdad de montos para ambas series de valores presentes esperados. En el aspecto administrativo son invaluables los cálculos que pueden orientar una propuesta bien pensada que.3 Criterios de convergencia A quienes creen que la computadora es capaz de reemplazar al matemático. El problema que se vislumbra tiene diversas raíces. Hugo Steinhaus El sistema pensionario mexicano En la actualidad para el sistema pensionario mexicano representa un verdadero desafío hacer frente a las pensiones de quienes en 2030 serán mayores de 60 años.444 Unidad 5: Sucesiones y series 5. que no tomaron en cuenta el incremento paulatino de la esperanza de vida en México. 3: Criterios de convergencia 445 Introducción Como indican los ejemplos y situaciones relacionados con las series que hasta aquí hemos planteado. debido a que tienen propiedades importantes que vale la pena discutir por separado. • Analizar la convergencia de una serie de términos. muchos métodos de la matemática aplicada a las ciencias sociales y a la ingeniería se apoyan en aquéllas. De esta manera.1 Series de términos positivos Como señalamos en la introducción.… Principalmente. explicaremos la forma en que dividiremos nuestro trabajo en esta sección.1 inciso 5 de la sección 6. porque al considerar la sucesión de las n-ésimas sumas parciales Sn. las series numéricas de términos positivos y negativos. • Reconocer una serie alternante y aplicar el criterio de convergencia correspondiente. Por tal razón. y tercero. para todo n = 1. además. es no decreciente. . sólo será posible dar el valor de la suma S de una serie convergente. si Sn no está acotada). en términos generales. deberás ser capaz de: j• Determinar la convergencia o divergencia de series de términos positivos. ésta está acotada inferiormente por 0 y. en la mayoría de los casos. • Utilizar el método de Kummer para acelerar la convergencia de cierto tipo de series convergentes. una breve discusión sobre aceleración de la convergencia de cierto tipo de series utilizando el método de Kummer. determinar si una serie es convergente nos brindará una información muy importante.5.1 será que lím Sn existe y con ello podremos decir que la n→∞ serie es convergente. sin embargo. lo presentamos como nuestro primer teorema. determinar la convergencia o divergencia de una serie particular tiene una enorme importancia pues. si logramos mostrar que Sn ≤ M para una cierta constante M). Por tal razón. Por último. lo cual indicará que la serie diverge (a infinito). Primero. nos tendremos que conformar con una determinada suma parcial Sn para estimar el valor de la suma total S. Sección 5. • Distinguir y aplicar los conceptos de convergencia condicional y absoluta. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. si logramos mostrar que Sn tiene una cota superior M (es decir. nuestra conclusión basada en el teorema 6. sobre todo si podemos estimar el error cometido en tal aproximación o si podemos asegurar un método de convergencia rápido. segundo. 2. el estudio de este tipo de series es sencillo. en esta primera etapa de trabajo consideraremos series del tipo ∑ an n =1 ∞ para las cuales an > 0. Dada la importancia de este resultado. las series de términos positivos. en caso contrario (es decir. entonces Sn → ∞.3. siempre y cuando sea geométrica o telescópica. tanto positivos como negativos. Observa. Para continuar con la discusión considera la serie aj = 1− 1 j ∑ j =1 ∞ 1− 1 j j j que tiene el término general . a = < j ≤ j = bj .9 anterior. pues a1 = 0) tenemos 1− 1 1 1 j < 1 . M = ∑ j j 2 j=2 2 j=2 2 que la serie dada es convergente. dado que j j ≥ 2 j para j = 2. la suma se mantendrá por debajo de la suma de los primeros n términos bj. por lo jj tanto. Si en el teorema 5. 3. 3. que 1 ≤ 1 .446 Unidad 5: Sucesiones y series Teorema 5. Entonces.33: Comparación de términos de las series dada y de prueba. aquélla se obtiene habitualmente tomando parte del término general de la serie en estudio.9: Sobre convergencia de series de términos positivos Una serie de términos positivos es convergente. j j=2 2 2. 3. la sucesión de n-ésimas sumas parciales tiene una cota superior M. FIGURA 5. si y sólo si. como 1 − 1 concluimos que j j j j j 2 j j j 2 j = 2.… y que a1 = 0. ≤∑ n +1 deducimos .… (observa que j j es parte del término general de la serie en estudio y que la comparación inicia con j = 2 . en primer lugar. Ahora bien. Es muy frecuente determinar la conver∞ gencia o divergencia de una serie a partir de una serie de prueba ∑ bj j =1 con la cual se compara la serie dada. la serie dada es de términos no negativos. que aj > 0 para j = 2. que se compara con el término general de una serie cuya convergencia o divergencia sea conocida. Sn = ∑ n +1 1 − 1 j j j j=2 ∑ n +1 1 − 1 j j j j=2 ≤∑ 1 n +1 1 . En nuestro caso. ∞ 1 1 1 ≤ = . es decir. al sumar los primeros n términos aj.… Esto significa que. 3: Criterios de convergencia 447 Nota: Lo que hemos planteado arriba de forma analítica tiene una interpretación geométrica sencilla.10 que cubre los resultados más importantes sobre convergencia de series de términos positivos. son asintóticamente equivalentes y escribiremos aj bj si lím aj bj j →∞ = c > 0. Teorema 5. entonces.7. estableceremos la definición 5. Entonces. ahí se aprecia que la suma de áreas de los rectángulos más pequeños queda acotada por la suma de áreas de los rectángulos más grandes. Este caso pone de manifiesto una situación de validez general: es suficiente considerar los términos generales de las series dada y de prueba a fin de obtener la conclusión sobre la convergencia o divergencia de una serie. En caso de convergencia. la suma S de la serie cumple la relación f (1) + + f (n ) ≤ S ≤ f (1) + + f (n ) + ∫ ∞ n f (x) d x . y otra de color azul que limita alturas de magnitud jj 2 n-ésimas sumas parciales corresponden. Criterio de la integral. Definición 5. no será necesario considerar las n-ésimas sumas parciales.10 se establecen sobre el término general de una serie. Antes de dar el teorema 5. Supón que 0 ≤ aj ≤ bj a) Si la serie ∑ bj j =1 ∞ ∞ converge.33. Aunque todas las pruebas de convergencia para series de términos positivos consisten en determinar un límite superior M para las sumas parciales. de color negro que limita 1− 1 1 j . entonces. Por tal razón. observarás que los criterios del teorema 5. 2.5. también converge la serie ∞ ∑ aj j =1 ∞ b) Si la serie ∑ aj j =1 diverge.….10: Principales criterios sobre convergencia de series i. a la suma de las áreas de los rectángulos que se muestran en la misma figura 5. ∑ f ( j) j =1 ∞ converge si y sólo si la integral impropia ∫1 ∞ f (x) d x converge. Las alturas de magnitud j . Criterio de comparación por desigualdades. entonces.7: Sucesiones asintóticamente equivalentes Diremos que las sucesiones {aj} y {bj}. donde aj > 0 y bj > 0 para cada j = 1. En la figura 5. Sea f una función positiva y decreciente para x ≥ 1.33 se colocaron dos gráficas: una. también lo hace la serie ∑ bj j =1 ii. entonces. ∞ ∞ ∑ aj j =1 y ∑ bj j =1 dos series de a) Si aj bj. Demostración (parcial): i. j =1 ∞ . v. iv. Sea ∑ aj j =1 ∞ una serie de términos estrictamente positivos. b) L > 1 o L = + ∞ implica que la serie diverge. a) Piensa que la serie ∑ bj j =1 ∞ converge. Criterio de comparación por límite. Sea pón que lím j a j = L. ∑ a j ≤ ∑ b j ≤ S. Criterio de la razón. las dos series son convergentes o las dos series son divergentes. aj > 0 para j = 1. 2. b) L > 1 o L = + ∞ implica que la serie diverge.… Supón que lím = L. j =1 j =1 j =1 ∞ n n n De manera que la sucesión ∑ a j es creciente y está acotada por S. b) Si lím aj bj aj bj = 0 y si j →∞ ∑ bj j =1 ∞ j =1 ∞ converge. Criterio de la raíz n-ésima. ∞ ∑ aj j =1 también diverge. entonces.448 Unidad 5: Sucesiones y series iii. entonces. entonces. Su- a) L < 1 implica que la serie converge. j →∞ a j a) L < 1 implica que la serie converge. entonces. ∑ b j = S. Sean términos positivos. concluimos j =1 que la serie ∑ a j converge. a j +1 es decir. c) El criterio no es útil si L = 1. entonces. Así. j →∞ ∑ aj j =1 una serie de términos positivos. c) Si lím j →∞ = + ∞ y si ∑ bj diverge. ∑ aj j =1 ∞ ∞ también converge. c) El criterio no es útil si L = 1. a j +1 Supón que lím = L < 1.34: Interpretación gráfica de la desigualdad a j +1 aj < r. entonces.5. Por lo tanto. Si ε = r − L > 0.3: Criterios de convergencia 449 b) Si la serie ∑ b j fuera convergente. hallaremos un n0 tal que para j ≥ n0 a j +1 < r. iii. lo cual es una contradicción a la hipótesis. Como L < 1 podemos tomar un número r tal que j →∞ a j L < r < 1. la serie es divergente.8 de la sección anterior. por la definición de límite. la serie ∑ a j j =1 j =1 ∞ ∞ también lo sería. No daremos la demostración de este inciso porque ésta quedó delineada en el teorema 5. por i. ∑ bj j =1 ∞ ii. a) ε ε 0 L–ε L L+ε 1 aj +1 aj se encuentra aquí para j ≥ n0 FIGURA 5. Por lo tanto: se cumpla aj a n 0 +1 < ra n 0 a n 0+ 2 < ra n 0+1 < r 2 a n 0 a n 0+ 3 < ra n 0+ 2 < r 2 a n 0+1 < r 3 a n 0 … a n 0+ k < r k a n 0 Entonces. para n ≥ n0: Sn = ∑ a j = j =1 n 0 −1 j =1 n n 0 −1 j =1 ∑ a j + ( an n 0 −1 j =1 0 + an0 +1 + ∞ + an ) ∑ aj + 1 − r j =1 < ∑ a j + an (1 + r + 0 + r n−n 0 < ) ∑a j + an 0 ∑ r j = j =0 =M n 0 −1 an 0 . encontramos una cota superior de la sucesión {Sn}. entonces. por esta razón parece natural preguntarnos qué ocurre cuando en una serie cualquiera rema 5. De acuerdo con el teorema 5. Si ∑ aj j =1 ∞ converge. deducimos que 2 bj 2 3c c b j < aj < b j . usted deberás demostrar esta parte. existe n0 tal que j ≥ n0 implica que j →∞ b j c−ε < aj bj < c + ε . Luego. pues r > 1. por lo tanto. las dos lo hacen. Como se hizo en a). también lo hace ∑ 3c 3c b j . j =1 j =1 ∞ ∞ Veamos el teo- . v. c aj 3c < < . De esta manera. se demuestra que en caso de que un de las series diverja. Como ejercicio.11. Asimismo. Esto significa que para ε = c 2 . concluimos que la serie diverge. iv. por el teorema 5. a j +1 b) De manera análoga al inciso anterior. Supongamos que aj bj. si lím = L > 1. ∑ a j . de c b j < a j y del 2 b ∑ 2 j j =1 ∞ mismo criterio de comparación por desigualdades concluimos que converge. existe un número j →∞ a j r > 1 y un n0 tal que j ≥ n0 implica aj + 1 ≥ raj.4 de la sección anterior la 2 2 multiplicación por una constante diferente de cero no altera ni la convergencia ni la divergencia de una serie. es decir. si ∑ bj j =1 ∞ converge. Puesto que bj > 0.2 Series de términos positivos y negativos Los resultados deducidos para series de términos positivos nos serán útiles para obtener resultados de series más generales. Dado que a j < 2 2 j =1 ∞ j =1 ∞ gualdades que ∑ a j converge. Probaremos únicamente el inciso a). La piedra angular del apartado anterior fue el signo positivo del término general de la serie.6 de k →∞ la sección anterior. resulta del criterio de comparación por desib j .3. aj lím = c > 0. entonces. de esto deducimos que an 0 + k ≥ r k an 0 → ∞. luego c ∑ bj j =1 ∞ converge. lím Sn existe y en n→∞ consecuencia la serie converge. consideramos ∑ a j .450 Unidad 5: Sucesiones y series Así. Sección 5. por el teorema 5. Demostración: si a j ≥ 0 a j si a j ≥ 0 0 + . Se ve que Considera las siguientes sucesiones a j = j = 0 si a j < 0 − a j si a j < 0 + − − 0 ≤ a+ j ≤ a j . Definición 5. a− . además. pero que ∑ a j converja. entonces. El contenido del teorema anterior es tan importante que vale la pena establecer la definición 5.5. por el criterio de comparación.9. j =1 Definición 5. entonces. Así. que a j = a j + a j ∞ ∞ Por lo tanto. puede ocurrir que ∑ a j j =1 j =1 ∞ ∞ diverja.3: Criterios de convergencia 451 Teorema 5. de hecho. se dice que la serie ∑a j j =1 ∞ converge absolutamente.11 no dice que para la convergencia de se requiera la convergencia de ∞ ∑a j j =1 ∞ ∑ a j .9: Convergencia condicional Si ∑ a j converge y ∑ a j j =1 j =1 ∞ ∞ diverge. la serie se dice condicionalmen- te convergente. Para tener en claro esto contamos con la definición 5. 0 ≤ a j ≤ a j y.11: Convergencia absoluta Si ∑ aj j =1 ∞ converge.8. ∞ ∑ a +j j =1 y ∞ ∑ a −j j =1 convergen. ∑a j j =1 ∞ converge.11 indica que una serie absolutamente convergente es también convergente (sin el valor absoluto).8: Convergencia absoluta Si ∑ aj j =1 ∞ converge. El resultado expresado en el teorema 5. el teorema 5. . ∑ (a +j + a −j ) = ∑ a j j =1 j =1 también converge.4 de la sección anterior. Además. converge a 1. .9. Aunque la demostración de las siguientes observaciones está fuera del alcance del presente texto.35: Esquema general de las series. se explica al notar la divergencia de la serie. Sin embargo. y = 0. vale la pena tenerlas en cuenta con la finalidad de entender la importancia de la convergencia absoluta. converge a 0 ∑ ( −1)n = (1 − 1) + (1 − 1) + ∞ El ejemplo. cuya suma será igual a la de la primera. el resultado será otra idéntica. por ejemplo la serie n=0 ∑ ( −1)n .35 ayudará a aclarar las definiciones 5. b) Teorema de Riemann: Si una serie es condicionalmente convergente. Por supuesto.452 Unidad 5: Sucesiones y series El esquema de la figura 5. Para resaltar la diferencia entre ambos tipos de convergencia —la absoluta y la condicional— nos detendremos un poco en el contenido de las definiciones 5. sabemos que a + (b + c) = (a + b) + c y que a + b = b + a para cualesquiera que sean los números a. pues no existe lím ( −1) . Dos leyes básicas de la aritmética elemental se refieren a la asociatividad y a la conmutatividad de sumas finitas. Concretamente. Condicional Absoluta Convergencia Divergencia FIGURA 5. una serie divergente. n n→∞ ∞ Es claro que ésta no converge. Sólo si se reordenan o agrupan los términos de una serie absolutamente convergente. ni la asociación. ni el arreglo de sus términos puede hacerse de manera arbitraria. leyes similares son válidas para un número finito de sumandos.9. incluso. observamos que: ∞ n=0 ∑ ( −1)n = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + n=0 = 1. desconcertante en parte.8 y 5. pero ¿qué pasa con una serie? Considera. si hacemos los siguientes arreglos y asociamos como se indica. puede obtenerse como suma de la nueva serie cualquier número real prefijado e. reordenando adecuadamente sus términos.8 y 5. a) En una serie cualquiera. b y c. Criterio de comparación por desigualdades.10. de esta forma. aj ≠ 0 para j = 1. La forma simple de este tipo de series se conoce como serie alternante. Si a j ≤ b j y verge. positivos y negativos.3: Criterios de convergencia 453 Retomamos el contenido del teorema 5. con la inclusión de valores absolutos.10 a la serie ∑ a j .11: dada la serie arbitraria alguno de los criterios del teorema 5. c) El criterio no es útil si L = 1. iii.12: Criterios de convergencia para series arbitrarias i. b) L > 1 o L = + ∞ implica que la serie diverge. Dado que la convergencia absoluta implica con- vergencia. la convergencia de una serie que no sea absolutamente convergente está condicionada a un cierto arreglo de sus términos. a j +1 aj = L.5. entonces. Sea lím j j→∞ ∞ ∑ aj j =1 una serie dada. c) El criterio no es útil si L = 1. Bastará aplicar j =1 ∞ ∑ aj j =1 ∞ para decidir si la serie dada ∑an n =1 ∞ es absolutamente convergente.12 (sin demostración) que proporciona la versión de algunos incisos del teorema 5. a) L < 1 implica que la serie converge absolutamente. ∑a j j =1 ∞ ∑b j j =1 ∞ con- converge absolutamente. donde los términos son. entonces. Criterio de la razón. de manera que se realicen las cancelaciones apropiadas. escribimos el teorema 5. Como señalamos. es decir. b) L > 1 o L = + ∞ implica que la serie diverge. 2. Con la intención de ser claros. entonces. . Piense que a j = L. Teorema 5. Criterio de la raíz n-ésima. Sea ∑ aj j =1 ∞ una serie de términos diferentes de cero. ii.… Supón que lím j→∞ a) L < 1 implica que la serie converge absolutamente. se obtiene una metodología indirecta muy eficaz para probarla en una serie arbitraria. a2 < 0. y ii. en caso de convergencia la suma de la serie S estará contenida entre cualesquiera de dos sumas parciales sucesivas Sn y Sn + 1. Teorema 5. es decir.454 Unidad 5: Sucesiones y series Definición 5. Para fijar ideas. a3 > 0. 2. ii. … + a1 – a2 + a3 – a4 + a5 S … 0 S2 S4 S5 S3 S1 FIGURA 5.36: La sucesión {Sn} oscila acercándose a un límite S. 2. lím a j = 0 y a j +1 < a j . si para cada término el siguiente es de signo contrario.13: Criterio de convergencia para series alternantes Una serie alternante i.13 sobre series alternantes.36 ilustra cómo se va generando la convergencia de una serie de este tipo bajo las condiciones expresadas en los puntos i. para j = 1. Cerramos esta discusión con el teorema 5.… ∑ aj j =1 ∞ converge si j→ ∞ Además. . piensa que a1 > 0.10: Series alternantes Una serie ∑ aj j =1 ∞ se dice alternante si aj ⋅ aj + 1 < 0 para j = 1. Demostración (bosquejo): La figura 5. Esto implica que S − S n < S n+1 − S n = a n+1 .…. Empezaremos con la definición 5. Definición 5. está entre cualesquiera dos sumas parciales consecutivas. n→∞ Ahora. Diremos que mente que ∑ bj j =1 ∞ converge más rápida- ∑ a j si: j =1 lím S−b j S−aj j →∞ =0 . observamos que {S2} es una sucesión creciente. Además.3. respectivamente. hay series que aunque convergen lo hacen tan lentamente que esta utilidad prácticamente se desvanece.5. por ello. lím S 2 n = S. como n→∞ S2n + 1 = S2n + a2n + 1 y como an → 0 Deducimos también que lím S 2 n +1 = S. 2. {S2n + 1} es una sucesión decreciente. las sumas parciales pares convergen a un límite S. Nota: De acuerdo con lo que discutimos anteriormente. 2.11: Aceleración de la convergencia Sean ∑ a j y ∑ bj j =1 j =1 ∞ ∞ ∞ dos series convergentes a la misma suma S con sumas par- ciales {Sn} y {Tn}. a la vez.3 Aceleración de la convergencia La utilidad principal de la convergencia de una serie tiene que ver con la idea de aproximación.…: S 2 n ≤ lím S 2 n = S. uno que permitirá convertir una serie convergente en otra que converja al mismo valor que la primera. n→∞ para cada n = 1. de manera que para cada n = 1. Concluimos que podremos obtener aproximaciones de S a través de la sucesión {Sn} con una rapidez similar a la de convergencia de la sucesión {an}.11. S se encuentra por arriba de cada suma parcial par y por debajo de cada suma parcial impar y. para demostrar que S se encuentra entre cualesquiera dos sumas parciales sucesivas.…: S 2 n+1 ≥ lím S 2 n+1 = S. n→∞ Así. Sin embargo. y que S está contenida entre cualesquiera dos sumas n→ ∞ parciales sucesivas Sn y Sn + 1. De forma similar. pero más rápidamente. se observa (para el caso planteado) que S 2 n+1− S 2 n = a 2 n +1 Dado que a 2 n +1 → 0. Por consiguiente. El último aspecto que trataremos en esta sección tiene que ver con un método que acelera la convergencia de una serie. es decir.3: Criterios de convergencia 455 La figura ilustra cómo las sumas parciales pares {S2n} forman una sucesión creciente acotada por a1 = S1. Sección 5. A = β C + ∑ a j − β c j j =1 ∞ ( ) ∑ bj j =1 ∞ ii. es decir b) lím aj cj =β≠0 ∑ cj = C j =1 ∞ j →∞ Entonces. de la cual diremos que acelera la convergencia. En este proceso queda comprendida una transformación. Con b1 = a1 + β (C − c1) y bj = aj − β cj. también con- ∑ bj j =1 ∞ converge más rápidamente a la suma A que la serie ∑ aj j =1 ∞ Demostración (bosquejo): i. Teorema 5. en este libro nos limitaremos al método de Kummer. i. ∑ b j = b 1 + ∑ b j = a 1 + β C − β c 1 + ∑ (a j − β c j ) j =1 j =2 j =2 ∞ ∞ ∞ = a1 + βC − β c1 + ∑ a j − β∑ c j j =2 ∞ j =2 ∞ = a1 + βC − β c1 + ∑ a j − a1 − β∑ c j + β c1 j =1 j =1 ∞ = a1 + βC − β c1 + A − a1 − β C + β c1 = A .456 Unidad 5: Sucesiones y series Para lograr la aceleración de la convergencia. se cumple que la serie verge a la suma A. β C + ∑ a j − β c j = β C + ∑ a j −β ∑ c j = β C + A − β C = A j =1 j =1 j =1 ∞ ∞ ( ) ∞ ∞ ii. pero más rápida. iii.14: Método de aceleración de Kummer Sea ∑ aj = A j =1 ∞ una serie convergente dada (con suma A) y ∑ cj j =1 ∞ una serie de la cual se conoce la siguiente información: a) Converge a la suma C. no obstante. transformaremos una serie convergente dada en otra también convergente a la misma suma. j ≥ 2 (estas igualdades constituyen la transformación de Kummer). que existen diversos tipos. j =1 ∞ lím j →∞ n→∞ cj 1 = lím 1 − β = 1 − β = 0 j →∞ β aj El ejemplo 5. A continuación. si mostramos que lím j→∞ a j j =1 intuye que la cola de la serie ∑ bj j =1 ∞ tendrá una menor contribución a la suma A que la cola correspondiente de la serie bj aj = lím a j −β c j aj ∑ a j . deducimos una convergencia más rá∞ bj = 0. prueba con el criterio de la integral (si las condiciones lo permiten).5. determinar si una serie converge o diverge puede convertirse en un asunto poco trivial. Ahora. Si no funciona ninguna de las ideas anteriores. serie “p” o alternante. De manera equivalente a la definición 5. Asimismo. ya sea por desigualdad o por comparación vía límites. b) A partir del término general de la serie. Ejemplos Ejemplo 5.3: Criterios de convergencia 457 iii. d) Si no todos los términos son positivos. intenta una comparación del término general. b) n =15 ∞ ∑ ln n= 3 ∞ 1 n .16 contiene un caso de esta transformación. La dificultad principal está en decidir el criterio que permita dar una respuesta. frecuentemente se utiliza más de un criterio. c) Si tiene términos positivos y no es de ninguno de los tipos indicados en b). En efecto. Si los términos exhiben potencias de orden “n”. diga si ésta es de alguno de los tipos más sencillos: telescópica.11 Determina la convergencia o divergencia de las siguientes series: a) 7 ∑ 4 n + 3. c) ∑ n +1 n n =1 n ∞ . prueba con el criterio de la raíz n-ésima. En términos generales. Si éste lleva a una integración sencilla. se pida de la serie ∑ b j a la suma A. mostramos una estrategia general que puede ayudarte en el análisis de la convergencia o divergencia de una serie. Estrategia para analizar la convergencia o divergencia de la serie ∑an n =1 ∞ a) Investiga si an → 0. Si hay cocientes o factoriales puedes utilizar el criterio de la razón.11. averigua si la serie es absolutamente convergente. la serie diverge. si esto no ocurre. geométrica. observa la forma que tiene el término general an. ( ) De aquí resulta que ln ( ) 1 1 > .… Dado que la función “ln” es es1 trictamente creciente. 2. en particular. nuevamente. Tal vez te haya parecido que determinar que n n nn n n =1 ∞ no sea tan sencillo. y como 4n + 3 4n que la serie ∞ 7 1 1 : serie geométrica con r = < 1 deducimos: primero. si n ≥ 4. Aunque para cada serie hay generalmente más de un criterio para utilizarse. por el criterio de comparación por desigualdades.…. c) Para esta serie podemos partir de la observación de que n +1 1 ≤ 2 . por ello. esto no asegura que las series sean convergentes. sin embargo. se deduce que ln(n) < n. Puesto que la serie n n ∑n n= 3 ∞ 1 diverge (recuerda que la supresión de un número finito de términos no afecta ni la convergencia ni la divergencia de una serie. 2. Dado que la serie nn n ∑ ln n= 3 ∞ 1 n también diverge por el criterio de comparación n= 4 ∑ n2 ∞ 1 es de tipo “p” con p = 2. b) Una idea que suele ser muy útil es tener presente que la función exponencial crece más rápido que cualquier polinomio. resulta que la serie ∑ n +1 n +1 1 ≤ 2 . ∑ 4n = 7 ∑ 4 4 n =15 n =15 ∞ n a) n =15 ∑ 4n ∞ 7 converge. es posible que parezca más natural considerar el criterio del cociente (muy útil cuando el término general de una serie presenta cocientes con potencias o factoriales).458 Unidad 5: Sucesiones y series solución Observa que en cada caso el término general de la serie tiende a cero. segundo. y ésta es prácticamente la serie armónica). n = 1. la serie por desigualdades. n = 1. si n ≥ 4 converge. ln n = 1 2 ln(n ) < 2 n < n. que por el criterio de comparación por límites la serie n =15 ∑ 4n + 3 ∞ 7 converge. En este caso. se tiene que n < en. por lo tanto. en vez de este método. n+2 n +1 an+1 ( n + 1) = n +1 an nn = = (n + 1) ( n + 1) n (n + 2 ) n n n +1 1+ 2n 1 1 n+2 n 1 = n + 1 n + 1 n + 1 1 + 1 n n +1 1 + 1n n . tomamos las siguientes estrategias para cada inciso: 7 7 ∼ . deducimos que an+1 < an . con cierta pericia en integración. luego. por el criterio de la razón. tomamos el criterio de series alternantes. n =1 n Ejemplo 5. puede notarse la serie ∑ n =1 n (1 + 2 ln(n )) n =1 n (1 + 2 ln(n )) 1 es fácil de integrar. por ello. indica si ésta es condicional o absoluta. Ahora. b) 9 + 81 − 27 + a) ∑ n =1 n (1 + 2 ln(n )) ∞ + ( − n )n ( ) 3n 2 + solución a) Aunque es oscilante. el segundo a factor tiende a 1 e . y el tercer factor tiende a cero. Por lo tanto. ln (1 + 2 ln( R)) R→ →∞ 2 R de acuerdo con el criterio de la integral. Como los términos de la serie son tanto positivos como negativos. lo cual nos lleva a considerar ∞ ∞ (−1)n 1 =∑ . así que por el criterio de series alternantes concluimos que la serie n (1 + 2 ln(n )) n→∞ . según el esquema de la figura 5.5. decreciente y positiva en [1. ∞). Esta apreciación nos lleva a considerar el x (1 + 2 ln( x )) criterio de la integral.35. Si el primer caso es posible. el criterio de divergencia de n (1 + 2 ln(n )) n→∞ la sección anterior no es aplicable. observamos que an = (−1)n → 0. Sin embargo. lo aplicamos: que la función f ( x ) = ∫1 R 1 1 dx = ln (1 + 2 ln( x )) = ln (1 + 2 ln( ( R )) − ln (1 + 2 ln(1)) 2 x (1 + 2 ln( x )) 2 1 = 1 ∞. ∑ n (1 + 2 ln(n)) n =1 ∞ (−1)n no converge absolutamente. 1 −1 4 (−1)n . cabe la posibilidad de que la convergencia de la serie sea condicional. así como el valor de la suma con tres cifras decimales exactas. an = 1 1 . an n→∞ ∞ n +1 la serie ∑ n converge.12 Determina si las siguientes series convergen o divergen. como la función f (x) es continua. Como an = lado. intentamos ahora considerar la convergencia absoluta de la serie.3: Criterios de convergencia 459 Al tomar el límite cuando n → ∞ notamos que el primer factor de la última igualdad tiende a 1. Ahora observamos que la serie original es alternante. así. n+1 → 0. Por otro y an+1 = n (1 + 2 ln(n )) (n + 1) (1 + 2 ln(n + 1)) 1 → 0. 00177769 0.12: n→∞ lím n ( − n )n (3 ) 2 n = lím n ( n )n 32 n n→∞ = lím n→∞ n =∞ 32 De acuerdo con este cálculo y el criterio de la raíz n-ésima.000991244 b) Al usar la notación sigma escribimos la serie en la forma ∑ n =1 ∞ ( − n )n .20953 0.460 Unidad 5: Sucesiones y series (−1)n ∑ n (1 + 2 ln(n)) converge y. En cuanto al número n =1 de términos requeridos para la precisión de la suma de la serie. inferimos que un buen acercamiento al estudio de la misma lo proporciona el criterio de la raíz n-ésima.00221216 0.00109652 0. concluimos que la serie diverge.00671727 0. para conseguir la acotación del error absoluto en menos de 10−4. Del teorema 5.00126119 0. por lo ya discutido. . (−1)n = 1.15 deducimos que se deben tomar al menos 98 términos.13): 1 S − Sn < an+1 = < 10 − 4 ( n + 1) (1 + 2 ln ( n + 1)) De la tabla 5. en general. por ello. esta convergencia es condicional. Nota: En el cálculo anterior hemos usado que (− n )n = (−1)n n n = n n y.00100336 0. Tabla 5.00409992 0. (3 ) n 2 El término general de la serie contiene potencias cuyos exponentes son de orden “n” y.00147863 0. debemos asegurar que (véase el teorema 5.00289425 0.0156854 0.15: Comportamiento numérico del término an+1 = 1 ∞ ( n + 1) (1 + 2 ln ( n + 1)) n 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 97 98 1 (n + 1)(1 + 2 ln(n + 1)) 0. decreciente y positiva en el x ( ln( x )) intervalo [2. R→∞ lím ( ln( R)) 1− q = 0 de donde deducimos la convergencia de la integral y la consecuente convergencia de la serie.3: Criterios de convergencia 461 Ejemplo 5. trabajaremos con el criterio de la integral. con la finalidad de que sean convergentes. Del citado criterio concluimos que la serie converge (absolutamente) para a ≤ 2. n j2 ∑ n an ∞ ∞ ∞ ( −1) ( 2n + 1) .5. utilizamos el criterio señalado: lím ∫ ∫2 x ( ln( x ))q = R →∞ 2 = ∞ dx R (ln( x )) −q x 1 1− q m ( ln( x )) dx = lím R →∞ 1− q R . consideraremos nuevamente el criterio de la raíz n-ésima: (−1)n ( 2 n + 1) an L = lím n n→∞ ( 5n 2 +1 ) n = lím ( 2n + 1)a 5n2 + 1 n→∞ = lím + ∞ . Si 1 − q < 0. El caso q = 1 debe tratarse por separado: ∫2 ∞ R R dx dx d x = lím ln(ln( x )) = lím ∫ 2 R→∞ x ln( x ) R→∞ x ln( x ) 2 = lím [ ln(ln( R)) − ln(ln(2 ))] = + ∞ R→∞ . ∞). lím ( ln( R)) R→∞ = + ∞. b) Por la forma que tiene el término general de la serie. “q > 0” en las siguientes series. Por lo tanto. debido al crecimiento de “n”. q ≠1 2 1 1− q lím ( ln( R)) − ( ln(2 )) 1 − q 1 − q R→∞ 1− q Si 1 − q > 0. entonces.13 Determina los parámetros “a”.a = 2 . a > 2 2a na 4 = 5. 1 j =1 .a < 2 donde. n→∞ 5 ⋅ n 2 0. “despreciamos” el 1 tanto en el numerador como en el denominador. a) ∑ b ) c ) ∑ ∑ a q n 2 n n 4 + 5 + 3 n ln ( n ) ( ) n = 1 n n =1 = 2 5n + 1 ( ) solución a) Nota que el término general de la serie contiene potencias de orden “n”. luego la integral diverge y lo mismo ocurrirá con la serie. Por ello. Lo 1 primero que notamos es que la función f ( x ) = q es continua. concluimos que la serie es convergente para q > 1. a > 1. la serie diverge. por lo tanto: . conclui6 ( 5n ) 15 n 15 Ejemplo 5. tenemos: donde utilizamos el resultado 1 2 + 2 2 + 3 2 + n (n )(2 n ) 6 4 na + n 2= Para a > 1. ∫n ∞ dx 1 = − lím 4 5 →∞ R x 4x S = 1+ R = n 1 1 = 0. donde 0 < ε ≤ 0. n =1 n solución Esta serie es una serie “p” con p = 5. deducimos que S = 1.0004. ∞ n (n )(2 n ) n3 1 2 = = n . Como en el caso anterior.037 con tres cifras decimales exactas. En síntesis. En consecuencia. 4 na + 5n + 3 6 4 na + 5n + 3 ( ) n (n + 1)(2 n + 1) .14 A partir de la segunda parte del criterio de la integral en el teorema 5. Con n = 5. c) Lo primero que requerimos entender es la forma del término general de la serie: an = ∑ j2 j =1 n 4 na + 5n + 3 = 1 2 + 2 2 + + n 2 n(n + 1)(2 n + 1) = .03706.03666 + ε . an ∼ la serie será convergente para a − 3 > 1. deducimos que una buena idea es utilizar el criterio de comparación por límites.10 (sobre la acotación de la su∞ 1 ma S de una serie convergente). la serie es convergente para a > 4 y divergente para 1 < a ≤ 4. ( ) = n3 1 1 = : serie “p” con p = a − 3. la integral diverge y lo mismo pasa con la serie. Como la serie ∑ n 2 es divergente. 1. 6 ( 4 n + 5 n ) 27 n 27 n =1 deducimos del criterio de comparación por límites que la serie dada diverge para a = 1. n (n )(2 n ) n 3 1 2 = = n . . Puesto que la adición de ε no afecta ya la tercera cifra decimal.462 Unidad 5: Sucesiones y series Así. a > 1. tenemos ahora que an ∼ mos que para a < 1. aproxima ∑ 5 con tres cifras decimales exactas. la serie converge sólo para a > 4. De aquí concluimos que 12 n a 12 n a − 3 Si a = 1. luego.03666 ≤ S ≤ 1. vemos que 4 4n4 4n 1 1 1 1 + 5 + 5 + 5 + ε = 1.0004. y divergente para a − 3 ≤ 1. converge. 5 2 3 4 5 entonces. tenemos que an ∼ Si a < 1. Es decir. Con f (x) = x−5 en el criterio de la integral. tenemos ∞ dx 1 1 1 1 1+ 5 + + 5 ≤ S ≤ 1+ 5 + + 5 + ∫ n 2 2 n n x5 Ahora. Por la forma algebraica que 6 tiene an. un 1 1 + + 2 3 Tomando M = n y restando en (*) 1 1 + + 2 3 + + 1 1 1 ≤ ln ( M ) ≤ 1 + + + M 2 3 + 1 . y que ∫1 M 1 x.37: Interpretación geométrica de la desigualdad (*).5. hallamos n −1 + + 1 M −1 (*) 1 1 + + 2 3 1 1 1 ≤ ln ( n ) ≤ 1 + + + n 2 3 1 1 1 ≥ + + n 2 3 0< + 1 1 1 1 y ≤ ln ( n ) − − − n −1 n 2 3 − 1 ≤1 n −1 Al multiplicar por −1.3: Criterios de convergencia 463 Ejemplo 5. − 1 1 − ln ( n ) ≥ −1. Así: sombreados y no sombreados. n −1 n Sn 1 1 1 ≤ 1+ + + 2 3 n . Si ahora sumamos 1 + : n n −1 + 1 1 + − ln ( n ) ≤ 1.37 muestra que dx = ln ( M ) representa el área bajo la curva f ( x ) = x valor intermedio entre las dos áreas anteriores. donde Sn = ∑ − ln ( n ) = 1 + + + n→∞ j 2 3 j =1 + 1 − ln ( n ) n solución 1 1 /2 1 /3 1 /M 1 2 3 M –1M FIGURA 5.15 n 1 1 1 Indica si existe lím Sn . que 1 + + + + representa la suma de las áreas de los rectángulos 2 3 M −1 La figura 5. 1 1 1 + + + representa geométricamente la suma de áreas de los rec2 3 M 1 1 1 tángulos sombreados. para obtener una serie ma (desconocida) de la serie en a). Como a) Observa que lím 1 n→∞ c n→∞ n→∞ n − ln (n ) n→∞ n n − ln(n ) n n n2 an 2 ∑ n2 n =1 ∞ n =1 ∞ 1 es una serie convergente. De acuerdo con el teorema 5. la sucesión {Sn} está acotada por 0 y 1. Si consideramos Sn + 1 − Sn obtenemos: Sn+1 − Sn = 1 + = 1 1 + + 2 3 + 1 1 1 1 + − ln ( n + 1) − 1 + + + n n +1 2 3 + 1 − ln ( n ) n 1 1 n + 1 − ln ( n + 1) + ln ( n ) = − ln n n +1 n +1 Como 1 1 1 ≤ ≤ para n ≤ x ≤ n + 1. por el criterio de comparación por límites deducimos que la serie 1 converge. obtenemos que n +1 x n ∫n n +1 n +1 dx n +1 dx dx . Por lo cual. la sucesión {Sn} también es monótona decreciente. De aquí resulta que ≤ ln n n n n +1 n +1 Sn +1 − Sn + 1 − Sn ≤ 0 o Sn + 1 ≤ Sn. ∑bn n =1 ∞ que converja más rápidamente a la su- solución 1 n − ln (n ) n2 n2 1 1 = lím = lím 2 = lím 2 = 1.464 Unidad 5: Sucesiones y series es decir. Luego. Sn − ln ≤ . γ = lím 1 + + + + − ln(n ) existe. ∑ n2 − ln (n) . Ejemplo 5. n→∞ 2 3 n Al número γ se le llama constante de Euler.1. Usa este resultado y converge a la suma 2 6 n =1 n ∞ b) Leonardo Euler demostró que la serie ∑cn = ∑ aplica el método de Kummer.16 a) Verifica que la serie n =1 ∑ an = ∞ n =1 ∑ n2 − ln (n) ∞ n =1 ∞ 1 es convergente. 1 π2 . es decir. ≤∫ ≤∫ n n n +1 x n n +1 = ln n 1 1 n + 1 n + 1 1 ≤ 0. así que 2 ∼ 2 . por lo tanto. 1 1 1 determinamos que la sucesión {Sn} es convergente. 00229963 0.000672845 0. n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 2 ∑ bj j =1 n j =n+1 ∑ bj ÷ ∑ aj j =n+1 2n 2n A 1.3: Criterios de convergencia 465 b) En este caso.38 y la tabla 5. n =1 ∞ lo cual indica que en los primeros términos de la serie acelerada podremos hallar una mayor contribución a la suma A. ∑a n =1 n versus ∑b n =1 n a . que en el mismo número de los primeros términos tomados de la serie original.00140411 0.5 1 0.38: Comparación gráfica de la rapidez de con∞ ∞ vergencia de la serie la suma A.0138259 0. Tabla 5. tras sus primeros n0 términos. por lo tanto. para validar nuestra afirmación sobre la rapidez de convergencia. En la primera notarás que los puntos en Así. te pedimos que considere la figura 5.000280159 ∑ aj j =1 n 5 10 15 20 25 30 35 FIGURA 5.16: Comparación numérica de la magnitud de colas de ambas series. 6 n= 2 n − ln(n ) n Está fuera del alcance de este libro hacer el estudio analítico del error cometido al truncar ambas series.5.5 0. a n = an 1 1 = 1. En la tabla se hace una comparación numérica que muestra cómo la aportación de las colas en la serie la larga resultan “despreciables” respecto de la aportación de las colas en la serie ∑ bn n =1 ∞ a ∑an. más rápidamente.000953143 0. la nueva serie negro correspondientes a valores de n-ésimas sumas parciales de la serie ∑ bn n =1 ∞ n =1 ∞ están por encima de los adelantando de esta puntos en azul correspondientes a las n-ésimas sumas parciales de la serie ∑an. y b n = a n − β cn = 2 + − 1 = − 6 12 − ln(1) n − ln(n ) n 2 6 π2 ∞ 1 1 + ∑ 2 − 2 converge a la suma desconocida A.000527944 0.000338067 0. sin embargo.000416793 0.0045449 0. La y c n = 2 . también mostrada en la figura.16. del inciso anterior β = lím n →∞ cn n − ln (n ) n 2 transformación de Kummer nos lleva a la serie b 1= a 1+ β ( C − c1 ) = ∑bn n =1 ∞ donde: π2 π2 1 1 1 1 ( ) . manera su mayor rapidez de convergencia hacia la suma A. a) ∑ ∞ n =1 lnα (n ) .α > 0 n n =1 ∞ c) n =10 ∞ ∑ n ln ( n ) ln ( ln ( n )) n2 3 ∞ 1 e) ∑ ( n + 1) n =1 ∞ 1 (n 2 +1 ) b) ∑ n2 + 1 1 d) ∑ en n =1 3. Comprueba la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series. y determina la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series.466 Unidad 5: Sucesiones y series 1. A través del criterio de la raíz n-ésima. determina si las siguientes series convergen o divergen. a) ∑ n 5 ln ( n ) n= 2 ∞ 1 b) ∑ en n =1 ∞ n2 3 c) ∑ ( n + 1) n =1 ∞ 1 (n 2 +1 ) 4. a) ∑ n 2n n =1 ∞ ∞ 1 c) n =10 ∞ ∑ n 3 + 7n2 + 1 1+ e −n ∞ n2 e) ∑ n =1 ∞ 4 16 n 2 + 4 n + 3 6n + 5 b) ∑ 3n (n + 1) n =1 n+2 d) ∑ 1 + en n =1 2. utilizando el criterio de la integral. a) ∑ n =1 ∞ n =1 ∞ 2n − 1 n n + 13 nn 2 n c) ( −1)n ( 5 n 2 + 1) ∑ ( 2n + 1) 2 n n =1 ∞ n e) ∑ nn n =1 ∞ en b) ∑ 23 n d) ∑ lnn (3) n =1 ∞ n 10 . Usa el criterio de la razón. Aplica el criterio mediante comparación por desigualdades o límites. di si las siguientes series convergen o divergen. a) ∑ n! n= 0 ∞ ∞ 3n c) 2 ∑ n =1 ∞ ∞ ( −1)n n 7 ⋅ 7 n + 3 23n e) ∑ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ( 2n − 1) n =1 ∞ ( −1)n n ! b) 2nn ∑ n! n= 0 d) ∑ n =1 ( −1)n n! 90 n 5. Aplica el método del ejemplo 5.14 y encuentra la suma de las siguientes series hasta con tres cifras decimales exactas. Fundamenta tu respuesta indicando el nombre del criterio utilizado.… o 9 n =1 1 ∑ n ln(n) n= 2 1 1 1 + + + 3 5 11 + 1 + 3 +2 n −1 ∞ d) ∑ 4 n 3 + 2n2 − 1 n =1 ∞ − n2 + 5n + 3 f) ∑ 4 n2 n =1 n ( n −1 ) 2 3 n + 200 n + 5n n + 2n − 1 n g) 2 3 4 n) 1 − − + + 3 5 7 ñ) 1 − o) 1 − 1 1 1 1 1 + − + − + 5 2 52 3 53 1 1 1 + 3− 2+ 2 2 3 4 1 2 2 3 4 + ( −1) h) i) ∑1+ 2 + 3+ n =1 ∞ ∞ 1 +n + 1 ( 2n − 1) 3 − 1 ( 2 n )2 n 2 + 1 j) ∑ ln( n) n= 4 k) 3 p) 4 q) 5 7 + + 7 10 3 2 + 2n + 1 + 3n + 1 + + ∑ n =1 ∞ ∞ 1 n 1+ 1 n 3 5 7 + + + 2 2 ⋅ 32 32 ⋅ 4 2 4 2 ⋅ 5 2 2n + 1 + (n + 1)2 ⋅ (n + 2 )2 1 l) ∑ 2n n ⋅ n =1 1 3 5 m) + 2 + 3 + 2 2 2 r) ∑ ∞ (−1)n−1 n ! n n =1 2 + 1 ∞ 2 n −1 s) 3n − 1 ∑ (−1)n+1 n n =1 t) ∑ n= 2 ∞ 1 n ln(n ) + ln 3 (n ) . 1. Analiza la convergencia o divergencia de las siguientes series. Indica si cada una de las siguientes series converge o diverge. en caso de convergencia. a) 1 − ∞ 1 + 3! + ( −1)n−1 + ( 2n − 1)! c) ∑ ln ( n ) n =1 ∞ ∞ ( −1)n e) ∑ n =1 ∞ ( −1)n arctan ( n ) n b) 3n−1 ∑ n2 +1 n =1 d) ∑ ( −1)n+1 3 n =1 1 n 7. con an = 0. Miscelánea sobre criterios de convergencia de series. 2.5.3: Criterios de convergencia 467 6. ∞ a) ∑ en n =1 ∞ n c) 33 4 4 5 5 + + + 3! 4 ! 5! e) ∑ n −1 n= 2 ∞ ∞ (−1)n b) a ∑ 10nn . indica si es condicional o absoluta. c) Aplica el criterio de la razón a la serie encontrada en b) y determina su intervalo de convergencia. como si se tratara de un polinomio. que son de la forma ∑ an x n n= 0 ∞ para x en el intervalo de convergencia. ¿cuántos térmi−4 nos hay que sumar para obtener la suma (en caso de que exista) con ε < 10 . Descubre el error cometido por Euler al manipular series sin el debido cuidado. Encuentra an y expréselo en términos de a0. Supón que la ecuación diferencial dada admite una ∞ n solución de la forma f ( x ) = ∑ an x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + n= 0 y que de ella se puede derivar. … en términos de a0. a) A partir de la serie geométrica obtén una serie que sea igual a b) En el resultado 1 + r + r 2 + = x . donde ε representa el error absoluto? a) ∑ n =1 ∞ ( −1)n+1 n b) ∑ n =1 ∞ ( −1)n+1 n! c) ∑ log (n ) n =1 ∞ ( −1)n+1 9. Para cada inciso. 1− x 1 1 . d) Revisa la forma de una serie exponencial en el ejercicio 6 de la autoevaluación de la sección 5. y determina el valor de la siguiente fórmula adjudicada al gran matemático Leonhard Euler: + 1 1 + + 1 + x + x2 + x2 x = d) ¿Qué ocurre en el resultado hallado en c). En términos vagos. una ecuación diferencial es aquella donde aparece una derivada. 10. b) Sustituye los coeficientes hallados en a) y exprese f (x) como una serie. a) A partir de la ecuación f '(x) = x + f (x) + f (x) se pueden escribir los coeficientes a1. entonces. a2.468 Unidad 5: Sucesiones y series 8.2 y expresa a la función f (x) prescindiendo del la notación ∑ . Ecuaciones de este tipo pueden resolverse usando un tipo de series especiales (que estudiaremos con más detalle en la próxima unidad) y las de potencias. si x = 1? ¿En qué consiste el error de Euler? 11. Piensa en la siguiente: f '( x ) = x + f ( x ). “Hasta los grandes cometen equivocaciones”. Si el valor de p es cercano a 1. Una fábrica de pistones prueba sus productos y encuentra que la proporción de pistones buenos es “p”. 1− r x c) Suma los resultados hallados en a) y b). toma r = y relaciona el resultado con el inciso a). Decide cuáles de las siguientes series alternantes son convergentes. . en tanto que “1 − p” es la correspondiente a los defectuosos. an 1 1+ 5 1 1− 5 − es el término 5 2 5 2 n n b) Calcula lím n→∞ c) ¿Converge o diverge la serie ∑a n =1 ∞ 1 n 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + 1 1 2 3 5 8 ? Argumenta. a) Usa el principio de inducción y compruebe que a n = general de la sucesión. multiplique la longitud de cada una por la proporción de veces que ésta ocurre. interrumpida ocasionalmente por una o dos partes malas. verifica que el promedio de longitud de pistones buenos sea una función creciente de p. 5. una fila general tendrá la siguiente apariencia: bb bb m : filas con longitud “n” de pistones buenos n veces De acuerdo con la probabilidad. si así ocurre. determina si la serie caso de que lo sea. y que llega el momento de encontrarse con un pistón defectuoso (malo) “m”. 1. y efectúa la siguiente adición: 0 ⋅ (1 − p ) + 1 ⋅ p (1 − p ) + + n ⋅ p n (1 − p ) + = ∑ n p(n ) n= 0 ∞ Indica si la serie anterior converge. por ejemplo: bbmbbbbmmmbbbbbbbbbbmbbb Supón que una fila de pistones buenos “b” ha terminado. 2. calcula la suma. 3. ∑ p (n ) n= 0 ∞ es convergente. . 2. La sucesión de Fibonacci {an} (véase el ejemplo 5. 1. ¿Por qué esto es razonable? 12. con posibles valores n = 0. … se define por la fórmula de recurrencia an + 2 = an + an + 1. c) Con base en el inciso anterior. Bajo este esquema.3: Criterios de convergencia 469 muchos de los pistones son buenos. La prueba encuentra una larga lista o enumeración de partes buenas. calcula la suma.8 de la primera sección de esta unidad) 1. 8.… Realiza lo que se pide a continuación. en b) Para obtener la longitud promedio de las filas buenas. a) Si p(n) indica la proporción de filas de longitud n. a n+1 .5. una fila como ésta tendrá una probabilidad dada por pn(1 − p). donde a1 = a2 = 1. como el que se te pide aplicar a continuación. Si a n = ( −1) n +1 2 ∫ 0 6 ( nx ) dx n 1 a) Calcula an. ¿Qué obtiene? 1 1 + + 2 3 1 + . c) En caso de convergencia. para cumplir proyectos específicos. hace trece mil millones de años. 1 Expresa como una serie geométrica y deriva ambos lados de la ecuación respecto de x. social y moral que pueda brindarle. Ocasionalmente es posible obtener el valor de la suma empleando artificios. Usa el método de Kummer y calcula g(3) con un error relativo menor a 10−7. tales que grado(q) − grado(p) ≥ 2 puede acelerarse usando el método de Kummer. pero para p impar. egresada de la Facultad de Ingeniería. 3. para la comparación cualquiera de las siguientes series: ∑ n p = g ( p) n =1 ∞ 1 y Sk = ∑ ∞ n =1 n ( n + 1) 1 ( n + k − 1) ( k − 1) ⋅ ( k − 1)! = 1 para k = 2. La lenta divergencia de la serie armónica. 17. y que puede sumar un término más cada segundo desde entonces. ésta tiene por finalidad coadyuvar con la Universidad Nacional Autónoma de México. Ahora. acota el valor de la suma. a través del apoyo económico.470 Unidad 5: Sucesiones y series 13.… Los valores de g(p) de la llamada función de Riemann g para p par se pueden obtener mediante una fórmula de recurrencia (que omitimos para no exceder el alcance del presente libro). Utiliza la gráfica de la función n 15. b) Determina si la serie ∑an n =1 ∞ converge o diverge. Sea Sn = 1 + f (x) = 1 x para demostrar que ln(n + 1) < Sn < 1 + ln(n) Supón que comenzó a sumar la serie con S1 = 1 en el momento de la creación. 1− x multiplica ambos miembros del resultado anterior por x y deriva nuevamente. finalmente. multiplica una vez más por x y. Utiliza el criterio de la razón para mostrar que la serie ∑ 2n n =1 ∞ n2 es convergente. ¿Cuánto sería el valor de la suma parcial Sn actualmente? Recuerda que los años constan de 365 días. Vianey Terán. El cálculo numérico de series de la forma ∑ q(n ) n =1 ∞ p(n ) donde p y q son polinomios en n. De acuerdo con la declaratoria de la Fundación UNAM. Argumenta. 16. desea . resuelve x = 1 2. no existen expresiones explícitas y simples para g(p). 14. 500 pesos es 1500(1. ∞ n (n + 1) . a) A partir de la serie geométrica 1 + x + x2 + x3 + …. a) Demuestra que la cantidad que Vianey debe invertir hoy para cubrir el n-ésimo pago de 1. c) Muestra que la serie en b) converge y determina la suma. 1. a perpetuidad. iniciamos con un triángulo equilátero con lados de longitud 2a. resultado debe tener la forma ∑ n n =1 x c) Encuentra la solución pedida. Sigue los lineamientos que le brinxn x2 .5. encuentra la suma de la serie y. Supón que en las actuales condiciones económicas del país. b) Construye una serie infinita que exprese la cantidad que Vianey debe invertir hoy para cubrir todos los pagos a perpetuidad.04)n.500 pesos.04) − n. escribe la serie correspondiente a b) Deriva la ecuación obtenida en a) dos veces. como se muestra en la figura 5. este dinero puede ganar 4% anual. b) En caso de convergencia. después. con ello.3: Criterios de convergencia 471 incorporarse a la fundación y se ha propuesto donar anualmente. un pago de 1.39 La suma de áreas eliminadas del triángulo original forma una serie infinita. Su 19. 18. multiplica por x y. ésta se llama el valor presente de la perpetuidad. Compara su resultado con el área del triángulo inicial. el área total eliminada del triángulo original.39: Alfombra de Waclaw Sierpinski. Determina la solución x > 1 (real) de la ecuación x = ∑ n =1 damos a continuación. Cada triángulo equilátero en blanco se obtiene uniendo los puntos medios de cada lado.500 pesos de hoy en n años equivaldrá a 1500(1. a) Halla la expresión de la serie infinita descrita y determina si es convergente o divergente. FIGURA 5. reemplaza x por ∞ an = f ( x ). 1− x 1 x. Determina qué es an y qué f (x). es decir. En este problema. . 2. imagina que el número de pagos del inciso anterior es una variable aleatoria (no determinística). sea una serie de pagos S0. Sugerencia: La función f (n) = pn. Escribe la suma anterior como serie y argumenta por qué es convergente.… es de probabilidad. A este valor se le conoce como valor esperado presente. el valor presente también será aleatorio e involucrará en su cálculo las probabilidades de que la persona que recibe el pago (pensión) siga viva para el siguiente periodo (calculado de manera anual). determina la función f (x) que represente la serie 1 − x2 + x4 − x6 + … b) Supón que en el resultado anterior puede integrar término a término. S1. b) De manera general. Con tus compañeros de equipo. 1.…. n = 0. a) Para x < 1. En el libro El omnipresente número π (véase la referencia bibliográfica 13) Zhúkov exhibe una cantidad enorme de formas en las que se presenta π. SN donde S0 es pagadero inmediatamente. SN dentro de N periodos. uno de ellos tiene que ver con el concepto de serie. donde v = (1 + i) −1 e i representa la tasa de interés (en decimales) aplicable al pago. El sistema pensionario mexicano. expresa π como una serie. Investiga los dos aspectos que la caracterizan. Supón que pk es la probabilidad de que se produzca el k-ésimo pago. . Las siguientes indicaciones proporcionan una manera en la cual π aparece relacionado con una serie. el valor esperado presente es: S0 ⋅ p0 + ( S0 + S0 ⋅ v ) p1 + S0 + S0 ⋅ v + S0 ⋅ v 2 p2 + ( ) . Dado el carácter incierto del número de pagos por realizar. Una serie para π. S2 dentro de dos. ¿Cuál sería el monto de la suma única A pagadera hoy por la cual estarías dispuesto a cambiar esta serie? c) En relación con las pensiones. a cambio de esta obligación futura? Al valor A se le llama valor presente de S pagadero dentro de t años.472 Unidad 5: Sucesiones y series 20. lo cual origina una serie. trabaja con los siguientes conceptos fundamentales: a) Supón que alguien te ofrece pagarte una suma de dinero S dentro de t años. 1. S1 dentro de un periodo. S2. De la teoría de la probabilidad puede determinarse que (considerando todos los pagos iguales). con pago Sk determinístico. Sk. Entonces. la suma anterior se ha escrito sin precisar su terminación. Hazlo con ambos miembros de la ecuación formada en el inciso anterior de 0 a 1. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones. …. ¿Qué suma A debería estar dispuesto a recibir hoy. ¿Qué obtienes? c) A partir de b). siempre y cuando las ganancias o pérdidas que se tengan sean de magnitudes considerablemente menores que el capital de quien arriesga. En efecto. si has comprado algún boleto de lotería o jugado algún tipo de rifa o sorteo. cuando k → 0 representa a alguien indiferente al riesgo. temerario o indiferente de forma pura. pero tampoco eres temerario. se ha clasificado a los individuos en tres categorías básicas: cauteloso. temerario e indiferente. tampoco eres un cauteloso puro. FIGURA 5. Ahora. Por otro lado. el segundo. ¿qué decisión tomarías? . Por ejemplo. que nadie se comporta como cauteloso. ya que el valor esperado de la lotería siempre es menor que el precio de un boleto. k > 0 Dentro de la caracterización señalada. los gastos fijos serán de 500. cauteloso o indiferente) es sólo una idealización para simplificar nuestro modelo. es posible que no estés dispuesto a jugar sus ingresos de los próximos cinco años en un lanzamiento de moneda.5. piensa si estás dispuesto a jugar en un lanzamiento de moneda sus ingresos de cinco años. Una función que se utiliza prioritariamente como modelo matemático en situaciones de riesgo es u(x) = 1 − e−kx. En la teoría de decisiones se calculan dos valores G1 = u(0) y G 2 = ∑ g (n ) u (n ). esta función se utiliza para personas cautelosas. De esta manera. al hacerlo. el parámetro k permite ajustar el grado de cautela y el límite. quien tomará una decisión (temerario. Dentro de este esquema. pero tal vez sí jugaría 10 pesos de la misma forma. sin embargo.40: Decisiones a partir de series. Si la respuesta es negativa. la ganancia cuando se toma el riesgo de determinada acción. Con esta información. máxime cuando cierto tipo de actividades requiere cierto perfil de personal para la toma de decisiones. Para convencerte.000 pesos.3: Criterios de convergencia 473 2. uno de sus posibles socios te dice que la utilidad neta de cada unidad vendida será de 400 pesos y que él 1200 n calcula que el número de unidades vendidas es una función del tipo g (n ) = e− 1200 n! (ésta es una función que en la teoría de la probabilidad se conoce como distribución de Poisson con parámetro λ = 1200). no eres indiferente ante el riesgo. El primer n= 0 ∞ valor representa la ganancia con probabilidad 1 si no se toma ningún riesgo. Debe decirse. ¿Cómo tomar decisiones usando series? La actitud de las personas ante el riesgo es un tema fascinante para psicólogos e investigadores. piensa que deseas asociarte con algunos amigos para establecer una franquicia y que. Suponer indiferencia al riesgo dentro de la formulación de un modelo es una hipótesis razonable. 1 dx a) La serie diverge. Escribe como serie geométrica. Elige la opción que proporciona una serie convergente. Para cada inciso. deriva ambos lados 2 4 1− x 2 de la ecuación formada y elige el inciso que contiene el valor de A. Nicolás Oresme logró hallar el valor exacto de la suma de la serie convergente 1 1 n 1 1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 + + n−1 + = A. c) La serie converge a ln(2). a) A = 7 b) A = 4 c) A = 1 1 1 + + n +1 n + 2 + d) A = 12 1 1 1 1 1 = ⋅ + ⋅ + n + n n 1+ 1 n n 1+ 2 n + 1 1 ⋅ n 1+ n n 5. di si la serie dada es absolutamente convergente. Dada la n-ésima suma parcial S n = de una serie. elige la opción que proporcione la afirmación correcta. d) La serie converge.474 Unidad 5: Sucesiones y series Autoevaluación 1. Sugerencia: Recuerde la definición de sumas de Riemann y toma en cuenta la integral ∫0 1+ x . pero no puede determinarse la suma. Determina la opción que proporciona los valores positivos de p para los cuales converge la n ∞ 2 2 serie ∑ n p n= 3 a) p > 2 b) p > 3 2 c) p > 4 d) p > 1 3. a) ∑ ( −1)n 5 n n =1 ∞ n b) ∑ ( −1)n−1 1 + n 2 n =1 ∞ n c) ∑ ( −1)n+1 100 n n =1 ∞ n! 4. ln ( n + 2 ) ∑ n n =1 ∞ a) kk c) ∑ k =1 k ! d) ∞ b) ∑3 n =1 ∞ n 8n5+ 7 n = 30 ∑ ( n + 3)! ∞ n! 2. b) La serie converge a 2. . condicionalmente convergente o divergente. Converge absolutamente n→∞ Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Relaciona las series de la columna A con las afirmaciones que aparecen en la columna B. c) converge condicionalmente. . Criterio de comparación por desigualdades y criterio sobre series geométricas. Criterio de la integral. c) 0. Converge condicionalmente iii. d) converge. e) converge a) Converge absolutamente. b) converge.050. c) converge. c) diverge. d) diverge. 4. 2. 5. e) diverge a) Diverge. b) diverge. 0 iv. Converge a 3 4 b) ∑ ( −1) n =1 ∞ n= 2 ∞ n +1 sen 2 ( n ) 9 ii.369. b) diverge.3: Criterios de convergencia 475 6. d) converge. Aplica la misma idea del problema 5 y elige la opción correcta. e) converge a) 0. e) converge condicionalmente a) La serie converge. 6.5. b) converge. Converge a 1 4 n n +1 2 c) ∑ ( −1) 1 ∑j j =1 n n ln ( n ) n d) lím vii. b) La serie converge. 7. a) La serie converge pero no puede conocerse su suma. 3. Columna A a) 1 1 1 1 − + − + 1⋅ 3 2 ⋅ 4 3⋅ 5 4 ⋅ 6 Columna B i. d) converge. b) converge. a) Converge. b) 0. c) diverge.374 a) Converge. ∞ vi. d) diverge. Una serie tiene una n-ésima suma parcial dada por Sn = 1 n +1 2 + 1 n +2 2 2 + + 1 n + n2 2 . c) diverge. c) La serie converge a ln 1 + 2 ( ) 7. b) La serie diverge. Diverge v. e) converge a) Diverge. t) La serie diverge. f ) La serie converge. Criterio de la integral. p) La serie converge. Criterio de la raíz n-ésima. p 11. la serie converge. q) La serie converge. el resultado es absurdo para cualquier x > 0. Criterio de la razón. m) La serie converge. Criterio de la razón. a) a n = 1+ a0 n! c) Df = d) f (x) = −1 − x + (1 + a0)ex x2 x3 + + b) f ( x ) = −1 − x + (1 + a 0 ) 1 + x + 2 ! 3! 10. Criterio de la razón. Criterio de la raíz n-ésima. Criterio de comparación por límites. j) La serie diverge. l) La serie converge. Criterio de la raíz n-ésima. i) La serie converge.13. 4 9. Criterio de comparación por desigualdades y criterio sobre series geométricas. Criterio de series alternantes. a) Te será útil darte cuenta de que 2 2 2 2 b) lím n→∞ 2 2 a n+1 1 + 5 = . y para b) 8 términos porque 8! > 104. de donde resulta la afirmación del ejercicio. y para c) 1010 términos. n) La serie es absolutamente convergente. 8. r) La serie diverge. ñ) La serie es divergente. e) La serie converge. b) La serie converge y la suma es . k) La serie diverge. c) Al derivar 1− p d p 1 > 0.y = 12. Como S − S n < a n+1 . o) La serie es absolutamente convergente. Criterio de comparación por límites. an 2 c) Por el criterio de la razón. a) La serie es convergente. Criterio de comparación por desigualdades y criterio de la integral.476 Unidad 5: Sucesiones y series c) La serie diverge. Criterio de comparación por límites. d ) La serie diverge. h) La serie converge. Criterio de la razón. debes tomar para a) al menos 104 términos. Criterio de comparación por límites. la suma es igual a 1. = 1− p (1 − p )2 dp 1+ 5 1− 5 3+ 5 3− 5 = . una convergente y la otra divergente. . s) La serie diverge. Por el teorema 5. Se puede separar en dos series. las tres series son convergentes. Euler no consideró la importancia de la convergencia de las series trabajadas. a) b) x = x + x2 + x3 + 1− x x 1 1 = 1+ + 2 + x −1 x x c) + 1 1 + + x2 x + 1 + x + x2 + = x x + =0 1− x x −1 d) Evidentemente. Criterio de comparación por límites. g) La serie diverge. Criterio de comparación por desigualdades. A pesar de que la serie diverge. Desde la creación. a) La suma de áreas está dada por S = b) S = 3 a 2.5. a) a n = ( −1) n +1 2 . −1 El valor presente de la perpetuidad es 39.2020568 +∑ 3 4 n=1 n (n + 1)(n + 2 ) 14. De ln(n + 1) < Sn < 1 + ln(n). Al seguir el procedimiento señalado se halla contramos que ∑ 2n = 6 n =1 ∞ n 2 (1 − x ) x2+ x 3 = x + 4x 2 + 9x 3 + Si ahora se toma x = 1 2.00. han transcurrido n = 409. De aquí. una serie geométrica convergente.3: Criterios de convergencia 477 13.04 ) < 1. 20. b) Por el criterio de las series alternantes deducimos que la serie converge (condicion 3 2 nalmente). c) π = 4 1 − + − + 3 5 7 .968 × 1015. a = n ( n + 1) y n xn ( x − 1)3 ( x − 1)3 n =1 3 2 ∞ 3 a ∑ .04 ) − n .55 < Sn < 41. x > 1. converge. 16. deducimos que 40.76929 19. con n = 409. en- 15. n= 0 ∞ ∞ c) La serie es una serie geométrica con r = (1. N x4 n n + 1 n + 2 n ( )( ) N n = N +1 n = N +1 ∑ ∞ 3 g( 3) ≈ 1 216 3n + 2 = 1.000. 4 n= 0 4 n c) x ≈ 2.55. Úsala como serie de com4 paración en el método de Kummer para obtener g( 3) = 1 ∞ 1 1 1 1 ∞ 3n + 2 +∑ 2 − = +∑ 4 n=1 n 3 (n + 1)(n + 2 ) 4 n=1 n n (n + 1)(n + 2 ) Como g(3) ≥ 1 y ∞ ∞ dx 1 3n + 2 1 ≤ 3 ∑ 4 ≤ 3∫ = 3 ≤ 10 −7 para N ≥ 216. válido para n =1 ∞ x2 x <1 b) ∑ n (n + 1) 2x 2 2x 2 f ( x ) = = . a) f ( x ) = 1 1 1 1 . a) ∑ x n+1 = 1 − x .968 × 1015 segundos. b) ∑ 1500 (1. Comprueba que la serie ∑ n (n + 1)(n + 2) n =1 ∞ 1 es convergente y converge a 1 . por lo tanto. arctan (1) = 1 − + − + 2 b) 3 5 7 1+ x 1 1 1 . el mismo valor del área del triángulo inicial. se observa la pasmosa lentitud con que lo hace. 18. desarrollo válido para De aquí. 1 ≤ S ≤ 17. c) Si S es la suma de la serie. . 2a.. 1991. 12. 9.. Parzen. Cálculo de una y varias variables. Courant. c) 7.. R. Cálculo. McGraw-Hill. (d. 13. E. C. Obregón. México. I. iii. México. vol. (c. Takeuchi. R. Fondo de Cultura Económica. R. y Robbins. 7... J. México. Limusa. 1980. 1982. México.). Limusa. a) 5. Limusa. 1977. E. 5. México. 11. 3. Precálculo. Diana. Barcelona. Ejercicios de análisis. 2002. 8.. México. Trillas. CECSA. Kasner.. Seeley. Newman. Santiago. J. Pearson Educación. Rivaud.) Referencias 1. y John. Courant. 10. Teoría de la probabilidad. F. 1982. vi. Clawson. H. México. c) divergente 6. 2006. 1975. Granero. 1978..478 Unidad 5: Sucesiones y series Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal. d) 4. A. Limusa. Zhúkov. México.. México. Matemáticas e imaginación. Introducción al cálculo y al análisis matemático.). Prado. URSS. (a.. Sucesiones y series. Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones. F. a) Absolutamente convergente. magia y belleza de los números. 1980. Apóstol. ii. 4. 2005. 6. Y. ¿Qué son las matemáticas?... Reverté. 1999. b) condicionalmente convergente. El omnipresente número π. 2. T. I. Misterios matemáticos.). vii.. . ed. et al. Moscú. b) 2. Reverté. c) 3. (b. 1972. Madrid.. Madrid. conceptos y contextos. Cálculo. Considera la siguiente situación (adaptada del libro de Stewart. tanto para contentar a los curiosos. el estudio de las propiedades de las lentes resulta fundamental en áreas tan distintas como la medicina (por ejemplo. incluido en las referencias bibliográficas de este capítulo). René Descartes Diseño de lentes Para el diseño de dispositivos ópticos.479 Unidad Series de potencias Contenido de la unidad 6. como parte del trabajo que se debe desarrollar para la interpretación y justificación de los . como para facilitar todas las artes y disminuir el trabajo de los hombres.1 Polinomios y series de Taylor Las matemáticas tienen invenciones muy sutiles que pueden servir de mucho.2 Series de potencias 6. en las lentes intraoculares) y la astronomía (en telescopios).1 Polinomios y series de Taylor 6. En el Instituto de Investigación Óptica Lentes de México se realizó un estudio experimental sobre una lente esférica y. la luz viaja de tal manera que utiliza el mínimo tiempo posible: n1 n2 1 n2 si n1 s0 + = − L0 Li R L0 Li Supón que se pidió a tu equipo de trabajo colaboración en este proyecto. . aprenderás sobre un tipo particular y muy importante de serie: la de Taylor. es necesario modelar el fenómeno. Newton. Ahora.1 muestra una onda que parte de un punto fuente S y que llega a una interfase esférica de radio R con centro en C. Ésta es muy útil para aproximar y representar funciones y también es una herramienta teórica muy poderosa para interpretar. así como sus aplicaciones). Introducción En la unidad anterior estudiamos las sucesiones y las series numéricas infinitas (su definición. con base en el principio de Fermat.480 Unidad 6: Series de potencias resultados. para ir de un punto a otro.1: Refracción en una interfase esférica. La figura 6. Las personas que llevaron a cabo el estudio dedujeron la siguiente ecuación. Leibniz. explicar y resolver muchos problemas. tanto del ámbito matemático como del mundo real. para demostrar que la ecuación anterior se puede reducir a una expresión más sencilla: n1 n2 n2 − n1 + = s0 si R θy θi A L0 V S S0 n1 h R φ θ C Li P Si n2 FIGURA 6. el cual indica que. convergencia o divergencia. Lagrange y Euler utilizaron ampliamente este tipo de series para el desarrollo de sus trabajos. El rayo SA se refracta hacia P. como el de diseño de lentes. sin embargo. A partir del curso de cálculo diferencial. ya no es posible distinguir entre la función f (x) y su recta tangente.2 se exageró la distancia entre a y x para observar mejor lo que ocurre entre las distancias.2: Aproximación de f (x) mediante la recta tangente. por ejemplo.1. para valores cercanos a a. cuadráticas. cómo aproximar la función y = ex mediante su recta tangente cuando x = 0. Consideremos. También se ve que si se toma un valor x muy cercano al valor a.3.1: Polinomios y series de Taylor 481 Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. cúbicas. Sección 6. recuerda que una función y su tangente en un punto x = a tienen la misma pendiente en ese punto y toman valores muy aproximados para puntos cercanos a a (véase la figura 6. usando otras funciones de tipo polinomial (lineales. su recta tangente en x = a está determinada por ytan = f (a) + f '(a)(x − a) Entonces. se tiene que f (x) ≈ f (a) + f '(a)(x − a) y Valor real de f (x) Valor aproximado de f (x) f '(a)(x – a) x–a f (a) a x f (a) FIGURA 6. . de manera que la ecuación de su recta tangente en x = 0 es y = 1 + x. alrededor del punto de tangencia. El caso más simple consiste en utilizar la recta tangente a la gráfica de una función. es importante no perder de vista que una buena aproximación se obtiene sólo cuando el valor x está suficientemente cercano al valor a. como se observa en la figura 6. deberás ser capaz de: • Establecer los polinomios de Taylor y aplicarlos en la solución de problemas. La derivada de esta función es y ' = ex.2). • Determinar las series de Taylor y Maclaurin de una función dada y aplicarlas para resolver problemas de diferentes áreas. En la figura 6. Recuerda también que dada una función y = f (x). etcétera).6.1 Polinomios de Taylor En esta sección estudiaremos cómo aproximar una función y = f (x) en torno a un punto x = a. 05 = 0.010050. y = e0.3: Aproximación lineal a y = ex en x = 0. es decir. Esto nos indica que e x ≈ 1 + x siempre que el valor de x sea cercano a 0..95. es decir. como P2'(x) = C1 + 2C2x. se necesita que P2(0) = f (0). como notamos en la figura 6. 2 que es un valor más aproximado al valor de y = e0.482 Unidad 6: Series de potencias y 4 3 y=x+1 2 1 x y = ex –1.01005 . P2 (0 ) = C0 y f (0 ) = 1 P2'(0 ) = C1 y f '(0 ) = 1 ⇒ C0 = 1 ⇒ C1 = 1 1 2 P2''(0 ) = 2C2 y f ''(0 ) = 1 ⇒ C2 = Por lo tanto..01)2 = 1.01 = 1. tenemos que para x = 0. que P2'(0) = f '(0) y que P2''(0) = f ''(0).01) = 1 + 0. simplemente sustituiríamos este valor en la ecuación de la recta tangente encontrada. y obtendríamos y = 1 + 0. Por ejemplo.. .951229.01. Por ejemplo. Consideremos un polinomio cuadrático de la forma P2(x) = C0 + C1x + C2x2 Cuando x = 0 las dos funciones (y = ex y P2(x)) y sus primeras y segundas derivadas deben ser iguales entre sí. P2''(x) = 2C2 y y ' = y '' = ex.01 = 1. mientras que el valor real es y = e− 0. con la cuadrática resulta P2 (0. De igual forma.05. que es un valor aproximado al valor real que se obtiene al sustituir en y = ex.4.5 0.01 = 1. si en vez de una recta tangente utilizamos una parábola que tenga la misma pendiente en x = 0..01 que empleamos en la aproximación lineal (recta tangente). si x = −0. para el 2 mismo valor x = 0.5 –1 –0. en la recta tangente obtendríamos y = 1 − 0..01 + 1 (0..010050.01. Se obtiene una mejor aproximación.5 FIGURA 6.5 1 1.05 = 0. Entonces. el polinomio cuadrático es P2 ( x ) = 1 + x + ex ≈ 1 + x + 1 2 x y se tiene entonces que 2 1 2 x para x cerca de 0. si quisiéramos aproximar el valor de y = ex para x = 0. donde el símbolo f (n) repren! senta la n-ésima derivada de la función f (x). P3''(x) = 2C2 + 6C3x y P3'''(x) = 6C3. definimos el polinomio de Taylor de grado n para x = 0 como sigue: Polinomio de Taylor de grado n para aproximar f(x) en torno a x = 0 Pn ( x ) = f (0 ) + f ( n ) (0 ) n f '(0 ) f ''(0 ) 2 f '''(0 ) 3 f ( 4 ) (0 ) 4 x + .4: Aproximación con polinomio cuadrático a y = ex en x = 0. Asimismo. Al emplear la notación 24 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 factorial. C4 = 2! 3! 4! f ( n ) (0 ) para cualquier entero positivo n. + x ... podemos escribir estos resultados como C2 = En general Cn = f ''(0 ) f '''(0 ) f ( 4 ) (0 ) . Entonces. haf ( 4 ) (0 ) f ( 4 ) (0 ) = bríamos obtenido C4 = y así sucesivamente. al sustituir x = 0 se obtiene f (0 ) = P3 (0 ) = C0 f '(0 ) = P3'(0 ) = C1 f ''(0 ) = P3''(0 ) = 2C2 = 2 ⋅ 1 ⋅ C2 f '''(0 ) = p3 '''(0 ) = 6C3 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ C3 ⇒ C2 = f ''(0 ) 2 ⋅1 f '''(0 ) ⇒ C3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 Nota que si hubiéramos iniciado con un polinomio P4(x). C3 = . Los resultados que hemos obtenido se generalizan de la siguiente forma: Consideremos un polinomio de grado 3 de la forma P3(x) = C0 + C1x + C2x2 + C3x3 para y = f (x) en x = 0. Dado que P3'(x) = C1 + 2C2 x + 3C3 x 2.6. queremos que f (x) ≈ P3(x) = C0 + C1x + C2x2 + C3x3. x+ x + x + 4! n! 1! 2! 3! .1: Polinomios y series de Taylor 483 y 4 3 y2 = 1 + x + x2 2 2 1 x –2 –1 1 2 y1 = e x FIGURA 6. usando la cuarta derivada. Así. + Cn ( x − a )n Y si en este polinomio hacemos que las derivadas de Pn(x) y la función original f (x) coincidan en x = a. el polinomio se forma expresando primero el polinomio en potencias de (x − a) en vez de potencias de x: f ( x ) ≈ Pn ( x ) = C0 + C1 ( x − a ) + C2 ( x − a )2 + . en honor al matemático inglés Brook Taylor (1685-1731). f '( x ) = f ''( x ) = f '''( x ) = ..484 Unidad 6: Series de potencias Si queremos aproximar una función f (x) en general.1 Determina el polinomio de Taylor de grado 10 para y = ex como se indica: a) En torno a x = 0. donde el término f '(a)(x − a) es de corrección. al sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor centrado en x = 0. solución a) Las derivadas sucesivas de f (x) = ex son todas iguales a ex. y describe en forma aproximada cuánto se aleja f (x) de f (a) cuando x se aleja de a (esto se puede observar en la figura 6.. para x cerca de 0 2 ! 3! 4 ! 10 ! . el polinomio de aproximación Pn(x) centrado en x = a se forma con f (a) más los términos de corrección que dependen de las derivadas de f (x). Al sustituir x = 0 resulta f (n)(0) = e0 = 1. en torno a un punto x = a. Como ex evaluada en x = 0 también es 1. Ejemplos Ejemplo 6. Es decir.. + . vea el problema 13). obtendremos el siguiente resultado (que puede deducirse en la misma forma que se explicó para x = 0. ( x − a) + ( x − a )2 + 3! n! 1! 2! Los polinomios estudiados en este apartado son conocidos como de Taylor. c) Usa el polinomio hallado en a) para aproximar el valor del número e.. recordemos primero que la aproximación lineal se obtiene con f (x) ≈ f (a) + f '(a)(x − a).. b) En torno a x = 1.. quien en 1715 publicó una de las primeras obras sobre la aproximación polinomial para funciones trascendentes.. Polinomio de Taylor de grado n para aproximar f (x) en torno a x = a Pn ( x ) = f (a ) + f ( n ) (a ) f '(a ) f ''(a ) f '''(a ) ( x − a )3 + . es decir. e x ≈ P10 ( x ) = 1 + x + x2 x3 x4 x10 + + + .. = f ( n ) ( x ) = e x . + ( x − a )n .1). x Ejemplo 6.. 1! 2! 3! 4! x 1 ≈ P4 ( x ) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + ( x − 1)4 .3 Halla el polinomio de Taylor de tercer grado de la función f (x) = sen (x): a) Alrededor de x = 0 π b) En torno a x = 3 . x solución Calculamos las derivadas sucesivas de la función y evaluamos en x = 1 f (x) = 1 x ⇒ f (1) = 1 ⇒ f '(1) = −1 ⇒ f ''(1) = 2! ⇒ f '''(1) = −3! ⇒ f ( 4 ) (1) = 4 ! 1 x2 2 f ''( x ) = 3 x 3⋅ 2 f '''( x ) = − 4 x 4 ⋅ 3⋅ 2 (4 ) f (x) = x5 f '( x ) = − Al sustituir esta información en la fórmula del polinomio de Taylor: 1 1 2! 3! 4! ≈ P4 ( x ) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + ( x − 1)4 . al sustituir en la fórmula del polinomio de Taylor centrado en x = a.718281801 2 ! 3! 4 ! 10 ! Esta aproximación es muy precisa. el polinomio de Taylor de grado 10 nos proporciona exactitud hasta los primeros siete decimales de e.2 Encuentra el polinomio de Taylor de cuarto grado. + .. Esto significa que. Por lo tanto.6. e1 = e ≈ P10 (1) = 1 + 1 + 12 13 14 110 + + + . con a = 1 resulta e x ≈ P10 ( x ) = e + e( x − 1) + e( x − 1)2 e( x − 1)3 e( x − 1)4 e( x − 1)10 + + + . para x cerca de 1. Ejemplo 6.. + = 2.. en este caso.718281828.1: Polinomios y series de Taylor 485 b) Al sustituir x = 1 en f (x) = ex y en sus derivadas sucesivas. para x cerca de 1 2! 3! 4! 10 ! c) Para aproximar el valor del número e debemos tomar x = 1.. El valor real del número e es 2. puesto que e1 = e. respectivamente.. para la función y = 1 alrededor de x = 1. tenemos que f (1) = e1 = e y f (n)(1) = e1 = e. Es decir. Entonces. . para x cerca de 0 3! π en las derivadas de f (x) = sen(x) se tiene que: 3 3 2 1 f '(π 3) = cos(π 3) = 2 f (π 3) = sen(π 3) = 3 2 1 f '''(π 3) = − cos(π 3) = − 2 f ''(π 3) = − sen(π 3) = − Al sustituir en el polinomio de Taylor con x = sen( x ) ≈ P3 ( x ) = f (π 3) + f '(π 3)( x − π 3) + sen( x ) ≈ P3 ( x ) = π se obtiene: 3 f ''(π 3) f '''(π 3) ( x − π 3)2 + ( x − π 3)3 .2 Serie de Taylor Hasta ahora. ( x − a) + ( x − a )2 + 3! n! 1! 2! f ( n ) (a ) ( x − a )n n! . se tiene la siguiente fórmula general: Serie de Taylor centrada en x = a f ( x ) = f (a ) + =∑ ∞ n=0 f ( n ) (a ) f '(a ) f ''(a ) f '''(a ) ( x − a )3 + . hemos visto cómo aproximar una función usando polinomios de Taylor en torno a un punto.1.. Si y = f (x) es una función cuyas derivadas sucesivas existen en x = a y si la serie resultante es convergente a esa función (puede ser que la serie no converja para todos los valores de x). + ( x − a )n + . Ahora generalizaremos la idea de los polinomios de Taylor de grado n al caso en que los términos de éstos nunca terminan.. definiremos la serie de Taylor como un polinomio de Taylor que extiende indefinidamente su número de términos.486 Unidad 6: Series de potencias solución a) Calculamos las derivadas sucesivas de f (x) = sen(x) y evaluamos en x = 0: f ( x ) = sen(x ) ⇒ f (0 ) = 0 f '( x ) = cos( x ) ⇒ f '(0 ) = 1 f ''( x ) = −sen(x ) ⇒ f ''(0 ) = 0 f '''( x ) = − cos( x ) ⇒ f '''(0 ) = −1 Al sustituir en el polinomio de Taylor centrado en x = 0 resulta que sen( x ) ≈ P3 ( x ) = x − b) Al poner x = x3 .. o bien. es decir. 2! 3! 3 1 3 1 + ( x − π 3) + ( x − π 3)2 + ( x − π 3)3 2 2 2 ⋅ 2! 2 ⋅ 3! Sección 6. es recomendable contar con una forma analítica para determinar la convergencia de una serie de Taylor. probablemente será necesario emplear algún teorema estudiado en el capítulo anterior. En algunos casos. Este resultado es aplicable de la misma forma para series alrededor de x = a (el radio de convergencia estaría centrado en a). sin embargo.. El siguiente resultado es muy útil en este sentido para algunos casos (y es una adaptación del criterio de la razón que estudiamos en la unidad anterior). Criterio de la razón Para una serie de la forma C0 + C1x + C2x2 + …+ Cnx n +… (alrededor de x = 0) supongamos que n→∞ lím Cn Cn+1 =R Entonces. llamada así en honor del matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746): Serie de Maclaurin f ( x ) = f (0 ) + =∑ ∞ n=0 f ( n ) (0 ) n f '(0 ) f ''(0 ) 2 f '''(0 ) 3 x + . usando representaciones gráficas (como en el ejemplo 6. . la serie converge para | x | < R c) Si R = 0. es posible determinar (aunque sea aproximadamente) el intervalo de convergencia de una serie.. x+ x + x + . a) Si R = ∞. También es importante tomar en cuenta que.1: Polinomios y series de Taylor 487 La serie particular para a = 0 es conocida como serie de Maclaurin. dependiendo del tipo de función de que se trate.4) o cálculos numéricos. + n! 1! 2! 3! f ( n ) (0 ) n x n! Es importante tener en cuenta que para muchas funciones y = f (x) la serie de Taylor sólo converge a esas funciones cuando x es cercana a a. la serie converge para toda x ∈ ∠ b) Si 0 < R < ∞. la serie converge sólo para x = 0 A R se le llama radio de convergencia.. Veamos los siguientes ejemplos.6.. porque la función original no está definida para ellos). Se dice que para estos valores de x los polinomios divergen de la función original (note que no tiene sentido considerar valores menores a −1.. Por ejemplo. Resulta: ln(1 + x ) = 0 + 1 −1 2 2 3 −6 4 x+ x + x + x + .. 6 y 7: 1 2 1 3 1 4 1 5 x + x − x + x . En ella se ve cómo las gráficas coinciden cada vez más para valores entre −1 y 1. b) Usa representaciones gráficas para estimar la convergencia de la serie del inciso a). en los polinomios de grados 5. 2 3 4 5 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 P6 ( x ) = x − x + x − x + x − x . 2 3 4 b) Para estimar la convergencia de la serie usaremos las gráficas de algunos de los polinomios de Taylor. 2 3 4 5 6 7 P5 ( x ) = x − Sus gráficas y la de la función original se muestran en la figura 6.5. para valores de x mayores a 1. bajo la idea de que cuanto mayor sea el grado del polinomio. solución a) Las derivadas sucesivas de la función evaluadas en x = 0 quedan como sigue: 1 1+ x −1 f ''( x ) = (1 + x )2 2 f '''( x ) = (1 + x )3 −6 f (4 ) (x) = (1 + x )4 f '( x ) = ⇒ f '(0 ) = 1 ⇒ f ''(0 ) = −1 ⇒ f '''(0 ) = 2 ⇒ f ( 4 ) (0 ) = −6 Sustituimos esta información en la fórmula de Maclaurin (caso particular de la serie de Taylor para x = 0) con f (0) = ln(1 + 0) = 0..4 a) Determina la serie de Taylor de la función y = ln(1 + x) centrada en x = 0. las gráficas de los polinomios se apartan de la curva y las aproximaciones ya no son tan buenas.488 Unidad 6: Series de potencias Ejemplos Ejemplo 6. Sin embargo. . la aproximación será mejor. 1! 2! 3! 4! 1 1 1 = x − x 2 + x 3 − x 4 + . 2 3 4 5 6 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 P7 ( x ) = x − x + x − x + x − x + x .. De acuerdo con la figura 6.5 2 P6 FIGURA 6... la función y = ln(1 + x) y podemos afirmar que parece tener el intervalo de convergencia −1 < x < 1 (véase el ejemplo 6. 2 ! 3! 4 ! n! b) Para demostrar la convergencia de la serie aplicamos el criterio de la razón. Entonces.5.6. el térmi1 no n-ésimo es Cn = (porque Cn es el coeficiente de xn.8). según ese criterio).. b) Demuestra que la serie de Taylor de y = ex converge para todo número real x.5: Estimación gráfica del intervalo de convergencia de y = ln(1 + x). solución a) La serie se obtiene simplemente sustituyendo la información obtenida en el ejemplo 6. la serie de y = ex converge para toda x. generalizando el polinomio de orden 10 encontrado en el mismo ejemplo 6. + + . de acuerdo con la parte a) del criterio.5 a) Determina la serie de Taylor de y = ex en torno a x = 0.5 1 1.1: Polinomios y series de Taylor 489 y 4 P5 P1 f (x) = 1n(x + 1) x 2 –1 –0. .5 –2 –4 –6 0.. tenemos que n! el límite enunciado en el criterio es: lím Cn Cn+1 = lím 1 n! (n + 1)! = lím (n + 1) = ∞ = lím n→∞ (n + 1)! n→∞ n! n→∞ n→∞ 1 Por lo tanto.1): ex = 1 + x + x2 x3 x4 xn + + + . Ejemplo 6. En este caso.1 en la fórmula de la serie de Taylor centrada en x = 0 (o bien. 2! 4 ! 6! b) Para mostrar que la serie converge usaremos dos resultados estudiados en el capítulo anterior: la comparación con una serie convergente y el hecho de que si ∑ an converge.7 a) Encuentra la serie de Maclaurin para la función f (x) = (1 + x)α..6 a) Determina la serie de Taylor para f (x) = cos (x) centrada en x = 0.. Al sustituir en la fórmula de la serie de Taylor centrada en x = 0 (serie de Maclaurin): cos x = 1 − x2 x4 x6 + − + ... Ahora rescribimos con valores absolutos: Tenemos que la serie de Taylor de cos(x) puede escribirse como 1 + 0 x − 1+ 0 x + x2 2! + 0 x3 + x4 4! + 0 x5 + x2 2! x3 3! x6 6! + + ..490 Unidad 6: Series de potencias Ejemplo 6.. . 1 b) Usa el resultado del inciso a) para formar una serie de Maclaurin de . Ejemplo 6. 2! 4! 6! x Incluimos los términos nulos para compararla con la serie de y = e . también converge ∑ an .. x2 x4 x6 + 0x3 + + 0x5 − + . concluimos que la serie de Taylor de f (x) = cos (x) también converge.. solución a) Calculamos las derivadas sucesivas de f (x) = cos (x) y evaluamos en x = 0 f ( x ) = cos( x ) f '( x ) = −sen ( x ) f ''( x ) = − cos( x ) f '''( x ) = sen ( x ) f ( 4 ) ( x ) = cos( x ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ f (0 ) = 1 f '(0 ) = 0 f ''(0 ) = −1 f '''(0 ) = 0 f ( 4 ) (0 ) = 1 .. donde α es un número real. b) Demuestra por qué la serie de f (x) = cos (x) es convergente para todo x ∈ ∠. 1+ x solución Para el inciso a): f ( x ) = (1 + x )α f '( x ) = α (1 + x )α −1 f ''( x ) = α (α − 1)(1 + x )α − 2 f '''( x ) = α (α − 1)(α − 2 )(1 + x )α − 3 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ f (0 ) = 1 f '(0 ) = α f ''(0 ) = α (α − 1) f '''(0 ) = α (α − 1)(α − 2 ) ... x Comparando con la serie convergente e = 1 + x + + x4 4! + . obtenemos: (1 + x )α = 1 + α x + que se conoce como serie binomial.. Para el inciso b): Como 1 = (1 + x )−1 . = (1 + x )−1 = 1 + (−1) x + x + 1+ x 2! 3! = 1 − x + x2 − x3 +. Para ello... 2! 3! Ésta es una serie geométrica. emplearemos la prueba de la serie alternante (estudiada en la unidad anterior). 2 3 4 n Ésta es una serie alternante con an = 1/n. α (α − 1) 2 α (α − 1)(α − 2 ) 3 x + x + . para −1 < x < 1.. tomamos α = −1 y tenemos que: 1+ x 1 (−1)(−2 ) 2 (−1)(−2 )(−3) 3 x + . −1 < x < 1.. por lo que debemos analizar aparte lo que sucede en estos extremos del intervalo.. por lo que es una serie convergente de acuerdo con la prueba de la serie alternante... 2 3 4 n .8 Determina el intervalo de convergencia de y = ln(1 + x) centrada en x = 0. solución Al observar los términos de la serie en el ejemplo 6. el criterio no dice nada en caso de que x = −1 o x = 1.6. 2 3 4 n 1 : n Por lo tanto.. Ejemplo 6..1: Polinomios y series de Taylor 491 Al sustituir en la fórmula de Maclaurin. del criterio de la razón con Cn = (−1)n−1 n→∞ lím (−1)n−1 / n Cn n +1 = lím = lím =1 Cn+1 n→∞ (−1)n / (n + 1) n→∞ n Esto indica que la serie converge para x < 1 . la serie es −1 − 1 1 1 1 − − − . entonces. + (−1)n−1 + . − − . y −xn/n si n es par.. Sin embargo. es decir... ln(1 + x ) = x − 1 2 1 3 1 4 xn x + x − x + .. Para x = −1.... + + . como sigue: en x = 1. que es un tema que vimos en la unidad anterior.4 deducimos que el término general es xn/n para n impar. la serie es 1− 1 1 1 (−1)n−1 + − + .. Use un polinomio de Taylor de grado 2 para estimar la distancia recorrida por el vehículo en el segundo siguiente. la posición es cero en tiempo cero. Por lo tanto. no puede ser la serie de Taylor de 5 5 5 10 f (x) alrededor de x = 1. ¿Sería razonable emplear ese polinomio para estimar la distancia recorrida durante el siguiente minuto? solución Simbolicemos la posición del automóvil como s(t). converge en el intervalo −1 < x ≤ 1. la velocidad final sería ¡140 m/s! (Verifica esta última afirmación). por lo que es divergente. La velocidad del auto es v(t) = s'(t) y la aceleración es a(t) = s ''(t). pues no daría una buena aproximación debido a que no podría mantener por muchos segundos una aceleración de 2 m/s2. Por otro lado. Si esto sucediera. Ejemplo 6... P2(t) = 20t + t2 En el primer segundo.6. s(0) = 0. entonces. la serie para y = ln(1 + x) centrada en x = 0. Estos dos resultados indican que el extremo derecho sí se incluye y el izquierdo no. la distancia recorrida es s(1) ≈ P2(1) = 20(1) + (1)2 = 21 m. 1. no sería razonable emplear este polinomio para el siguiente minuto. ¿De qué grado debe ser el polinomio de Maclaurin de la función f (x) = ex para aproximar el valor de e con a) cinco cifras decimales exactas? b) diez cifras decimales exactas? 2. donde f (x) es la función de la figura 6. . Explica por qué la serie: 8 4 2 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + . en el intervalo de convergencia. es decir.492 Unidad 6: Series de potencias que es la serie negativa de la serie armónica (estudiada en el capítulo anterior). El polinomio de Taylor de segundo grado es P2 (t ) = s(0 ) + s '(0 )t + s ''(0 ) 2 a(0 ) 2 t = s(0 ) + v(0 )t + t 2 2 Y como v(0) = 20 m/s y a(0) = 2 m/s2.9 Un automóvil se desplaza con una velocidad de 20 m/s y una aceleración de 2 m/s2 en un instante determinado. Al iniciar el segundo en cuestión. n = 3.1 1. n = 4. a =1 a =1 2 a=0 a = ln 4 . c) f ( x ) = sec x. e) f ( x ) = sen (π x ).9 1 1. e) f ( x ) = arctan x. n=4 n=4 n=2 d ) f (x) = 1 + x . n=4 n=4 n=4 7. a=π 4 n = 3. a = 1 x b) f ( x ) = x . b ) f ( x ) = cos( x 2 ). f ) f (x) = 3 1 − x . ¿cómo puede mejorarse la aproximación a una función cerca de x = a mediante su polinomio de Taylor? 5. f ( x ) = senπ x.6: Gráfica de f (x) del ejercicio 2. c) f ( x ) = cosh x. Encuentra la serie de Taylor de las funciones alrededor de los puntos indicados. n = 4. En general. 3. a = − 1 3 n = 3. describe qué significa que un polinomio aproxime a una función en torno a a o centrada en a. d f ( y ) = ln(1 − 2 y). f (t ) = et cos t . a ) f ( x ) = e− x . a = 1 8. Con tus propias palabras. a=0 a=0 a =0 a=0 e) f) g) h) f ( x ) = ln x. Encuentra el polinomio de Maclaurin para las funciones y grados indicados. f ) f ( x ) = arctan ( x ).2 2 6.6. a = π 2 a) f ( x ) = d ) f ( x ) = cos ( x ). f ( x ) = senh x. 4.1: Polinomios y series de Taylor 493 1 1 FIGURA 6. Sea la función f ( x ) = 4 x a) Determina el polinomio de Taylor de f (x) de grado 2 en torno a a = 1 b) Usa el polinomio hallado en el inciso a) para completar la siguiente tabla: x f (x) P2(x) 0 0. a = 1 c ) f ( x ) = sen ( x ). a ) f ( x ) = e2 x .8 0. b ) f ( x ) = xe x . 1 . Determina el polinomio de Taylor de grado n centrado en a. n = 4. Sugerencia: para determinar los cuatro primeros términos puedes usar la serie binomial del ejemplo 7. 3 5 7 9 11 12. donde b es una constante positiva muy pequeña. Forma la serie de Maclaurin para f y calcula su radio de convergencia. En tus cálculos se debía despejar φ de la ecuación: sen(φ) + b(1 + cos2(φ) + cos(φ)) = 0. 2 a) ∫0 0.. 4 9 16 25 b) x 2 x 2 3x 3 4 x 4 5 x 5 + + + + + . a partir de ello. despeja φ. sin tener en cuenta términos del orden de φ 2 o mayores. Una de las predicciones más sorprendentes de Einstein consiste en que la luz procedente de estrellas lejanas se curvaría en torno al Sol en su camino hacia la Tierra.. 14. 2. grafica cada función y varios de sus polinomios de Taylor..494 Unidad 6: Series de potencias 9. 16. z = a2 + x 2 − a2 − x 2 15.. Determina los cuatro primeros términos de la serie de Taylor alrededor de x = 0 y. Halla la serie de Maclaurin de las siguientes funciones: a) f (x) = sen2x x −x b) f ( x ) = 1 2 (e − e ) = senh x 10. a) y = 1 1− x b) f ( x ) = 1 1+ x 11.1 e − x dx 2 3 1 dx b) ⌠ ⌡ 0 1 + x6 1 0.2 arctan ( x ) c) ⌠ dx ⌡ 0. 1... después. Usa un polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f (x) = e−x y con éste aproxima el valor de la siguiente integral. Aplica el criterio de la razón para determinar el radio de convergencia de las series. La respuesta debe estar en términos de b. 13. para estimar el intervalo de convergencia de las series. a) x − x2 x3 x4 x5 + − + − .. Desarrolla el lado izquierdo de la ecuación usando una serie de Taylor alrededor de φ = 0. Desarrolla la función z por medio de una serie de Maclaurin (a es una constante positiva).1 x d) ∫0e 1 − x2 10 dx . si f (n)(0) = (n + 1)! para n = 0. Deduce la fórmula del polinomio de Taylor de grado n alrededor de x = a para f (x). 1. Diseño de lentes. Diseño de lentes (continuación). Supón el caso en el que el cuerpo está cerca de la superficie de la Tierra (h es mucho menor que R) para contestar lo siguiente: a) Expresa F en la forma mg multiplicado por una serie en h/R. con la finalidad de que la corrección de primer orden cambie la estimación F ≈ mg en más de 10%? Use R = 6400 km. Sugerencia: Para deducir la ecuación n1 + n2 = n2 − n1 .6. 2.1: Polinomios y series de Taylor 495 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones. Muestra que si cos(φ) se sustituye por su polinomio de tercer grado en las ecuaciones para L0 y Li del inciso anterior. aplicada a los triángulos ACS y ACP de la figura 6.1). b) La corrección de primer orden a la aproximación F ≈ mg se obtiene tomando sólo el término lineal de la serie (sin ninguno otro de orden mayor a uno). Se supone que cuando un cuerpo está cerca de la superficie de la Tierra. La fuerza de gravedad. aproxima cos(φ) en las ecuas0 si R ciones: L 0 = R 2 + ( s0 + R)2 − 2 R( s0 + R) cos φ y L i = R 2 + ( si − R )2 + 2 R( si − R ) cos φ (las cuales se obtienen por la ley de los cosenos. Para un cuerpo que está a una altura h sobre la superficie de la Tierra. Contesta lo que se pide en la introducción de este capítulo. la fuerza de gravedad sobre éste es una constante cuyo valor es mg. una ecuación más exacta para determinar la fuerza F es F= donde R es el radio de la Tierra. mgR 2 ( R + h )2 . la ecuación original se convierte en 2 2 n 1 n 2 n 2− n 1 n2 1 1 1 2 n1 1 − + = +h + + s0 s i R 2 s0 2s i R si s0 R 3. donde m es la masa del cuerpo y g. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra se debe ir. la aceleración de la gravedad al nivel del mar. En el problema anterior se obtiene una mejor aproximación con un polinomio de tercer grado. 1) al usar un polinomio de Maclaurin de grado 6 para la función f (x) = cos(x). K = mc2 − m0c2. Teoría especial de la relatividad.7). el campo eléctrico es aproximadamente proporcional a 1/D3 P D q d –q FIGURA 6. Observación: la energía cinética del objeto es la diferencia entre su energía total y su energía en reposo.995004165 d) 1. Dipolo eléctrico.005004165 . En la teoría especial de la relatividad de Einstein.999998477 c) 0.7: Dipolo eléctrico. Autoevaluación 1. Es la aproximación que se obtiene para cos(0. a) 0. el campo eléctrico E en el punto P se expresa por E= q q − 2 D ( D + d )2 Use series para investigar el comportamiento del campo eléctrico en puntos muy alejados del dipolo y demuestre que cuando D es grande en comparación con d. la masa de un objeto que se mueve a una velocidad v se determina por: m= m0 1 − v2 c2 donde m0 es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. Si las cargas q y −q están a una distancia d una de la otra (véase la figura 6. 5. es decir. Utiliza una serie de Maclaurin para probar que cuando v es muy pequeña en comparación con c. Dos cargas eléctricas de igual magnitud y signos contrarios cercanas entre sí forman un dipolo eléctrico.496 Unidad 6: Series de potencias 4. la energía cinética del objeto concuerda con la que se obtiene en la física clásica newtoniana 2 K=1 2 m 0v .599005614 b) 0. . Indica la opción que corresponde a la serie de Maclaurin de f (x) = ex /2.. 2 3 ! ! b) x + 1 1 ( x − 1)2 + ( x − 1)3 + . Indica el inciso que corresponde a la serie de Taylor de f (x) = ex alrededor de x = 1.1: Polinomios y series de Taylor 497 2. desarrollado alrededor de a = π/6. . Indica la opción correspondiente a la serie de Maclaurin de f (x) = cos2 x. un avión se localiza a 10 kilómetros de distancia horizontal respecto de un punto fijo en la superficie de la Tierra... 2! 3! 1 1 ( x − 1)2 + ( x − 1)3 + .. 2! 3! 2 4.. a) 1 + ∑ (−1)n (2 x )2 n (2 n )! n= 0 ∞ n 2n ∞ c) 1 ∑ (−1) (2 x ) 2 n= 0 (2 n )! b) ∞ 1 (−1)n (2 x )2 n + 1 ∑ 2 n= 0 (2 n )! d) x + 1 ∞ (−1)n (2 x )2 n ∑ (2n)! 2 n= 0 6. una aceleración de 2 km/min2 y la razón a la que está cambiando la aceleración es de −1 km/min3. Prueba que la serie de Maclaurin para f (x) = sen(x) es convergente en todo x ∈ ∠. a) 1 1 π 1 π 1 π + x− − x− − x− 2 2 6 2(2 !) 6 2( 3!) 6 2 2 3 b) 1 3 π 1 π 3 π + x− − x− − x− 2 2 6 2(2 !) 6 2( 3!) 6 1 3 π 1 π 3 π + x− − x− − x− 2 2 6 2 6 2 6 2 2 3 3 c) 3 π 1 π π x− d) 1 + 3 x − − x − − 6 2! 6 3! 6 3 3. 2! 3! c) e + e( x − 1) + d) e + e e ( x − 1)2 + ( x − 1)3 + . En ese mismo momento tiene una velocidad de 10 km/min.. ¿Cuál es la posición aproximada del avión 2 minutos después? 7. En cierto momento t = 0. Indica la opción correspondiente al polinomio de Taylor de tercer grado para f (x) = sen(x). 1 2 3 1 a) e ( x − 1) + ( x − 1) + . a) ∑ 2n n n= 0 ∞ xn b) ∑ x n+ 2 n= 0 n ! ∞ c) ∑ 2n2 n= 0 ∞ x2n d) ∑ 2n n! n= 0 ∞ x2n 5..6. 2 1. pero de acuerdo con la gráfica de f (x). 2 ii.5 0. la serie dada no es la serie de Taylor de f (x) centrada en 1.. 2 –4 –2 –2 2 4 vi. En los polinomios de la columna A del ejercicio anterior. La expansión en serie de Taylor de f (x) debería tener la forma f (1) + f' (1)(x − 1) + . Por lo tanto.5 –1 –0. En la columna B encuentra las gráficas correspondientes a los polinomios de Maclaurin dados en la columna A. Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Columna A a) y = x 2 − b) y = x − x 3! 4 Columna B i. el valor de f' (1) debe ser positivo. 2 –3 –2 –1 –2 1 2 3 –2 –1 –1 1 2 –4 v.498 Unidad 6: Series de potencias 8. deberíamos tener que f' (1) = −4/5. obtén el factor común de cada uno e identifica la función aproximada por el polinomio de Taylor restante. 3 2 1 –2 –4 –1 –1 1 2 9..5 x3 c) y = x + x + 2! d) y = x2 − x3 + x4 iii. . a) 9 b) 13 2. –4 3 2 1 iv.5 1 1.5 x3 x5 + 2! 4 ! 2 –2 –1 –2 1 2 3 1 0. Al comparar con la serie dada. 9 4.8 4.8150 1. ∞ 16 + (−1)n+1 ( x − ln 4 )n h) ∑ n! 8 n= 0 ∑ (−1)n 9. . a) b) c) d) xn ∑ (−1) n ! n= 0 ∞ x2n ∑ (−1)n 4 n (2n)! n= 0 ∞ x2n ∑ (2n)! n= 0 3 4 ln(1 − 2 y ) = −2 y − 2 y 2 − 8 3 y − 4 y − . a ) sen 2 x = 2 2 23 4 25 6 27 8 x − x + x − x + . 4...2164 4.4721 4. 3 ( x − 1)2 5. entonces. − 1 < x < 1 11...0000 4.2150 1 4.6600 2 2.. 3 2 4 a) 1 + 2 x + 2 x 2 + 4 3 x + 3x 2 1 3 1 4 b) x + x + 2 x + 6 x 2 c) 1 + 1 2 x 4 1 2 1 3 5 d) 1 + 1 2 x − 8 x + 16 x − 128 x 1 3 e) x − 3 x 1 2 5 3 10 4 f ) 1− 1 3 x − 9 x − 81 x − 243 x 7. aumentando el grado de los polinomios. x b) f ( x ) = 1 − 2 + − 5 x3 16 + .1 3.. . f (a)) y tienen la misma pendiente ahí.. − 1 < x < 1 ∑ (n + 1)x n . + Cn(x − a)n . a ) R = 1 .. b ) R = 1 12.5000 0. Esto permite que la gráfica de P se parezca a la de f cerca del punto (a. las n primeras derivadas de f y P coinciden en a.5000 6.2 3. a) P2 ( x ) = 4 − 2( x − 1) + 2 b) x f(x) P2(x) 0 Error 7. a ) 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + ( x − 1)4 2 3 4 1 1 5 b) 1 + 1 2 ( x − 1) − 8 ( x − 1) + 16 ( x − 1) − 128 ( x − 1) π 2 π 4 1 1 c) 1 − 2 ! (x − 2 ) + 4! (x − 2 ) 8.1: Polinomios y series de Taylor 499 3... Se inicia escribiendo el polinomio en la forma Pn = (x) = C0 + C1(x − a) + C2(x − a)2 + . Se considera el intervalo de convergencia. La gráfica de la aproximación polinomial P y la función elemental f pasan por el punto (a. n ∞ d) 2 2 − 3 2 e) − f) π 4 + 2 2 2 π π 2 π 3 2 ( x − 4 ) − 4 ( x − 4 ) + 12 ( x − 4 ) 2 3 2 π 3 π 1 1 1 3 +π 2 ( x + 3 ) + 4 ( x + 3 ) − 12 ( x + 3 ) 2 3 1 1 1 2 ( x − 1) − 4 ( x − 1) + 12 ( x − 1) e) f) ∑ (−1)n+1 n =1 ∞ ∞ ( x − 1)n n 2n 1 π 2n x− ( 2 )! 2 n n= 0 4 t t3 g ) e cos t = 1 + t − 3 − t6 + .4600 0. n= 0 ∞ R =1 13.6515 3.8284 3.0000 1. f (a)). Si P es de grado n..8139 3.. a ) y = 1 + x + x 2 + x 3 + . 2! 4! 6! 8! b ) senh x = ∑ x 2 n+1 n = 0 (2 n + 1)! ∞ 3x2 8 10.6. Los resultados obtenidos se igualan con las derivadas sucesivas de f (x) en x = a. 2002. 3a. (d. a) f (x) = x sen(x). a 8a 15. z = x2 x6 + 5 + .. Internacional Thompson Editores.500 Unidad 6: Series de potencias En seguida se calculan las derivadas sucesivas de este polinomio y se evalúan en x = a. 2006. James. . ii. Véase el ejemplo 6. Hughes-Hallett. Cálculo. iv. a) 0. φ ≈ −3b 16. Deborah.6b). c) 4. ed. v.. 8. México.333 c) 0.9677 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. b) 3. 2 1 d) f ( x ) = x 1+ x Referencias 1. conceptos y contextos. b) f (x) = x cos(x).. i.) 9. 2a. CECSA. Cálculo.. c) 6. ed.).0992 d) 0. (c. 98 3 2. Stewart.. et al.). d) 5. (a.). 2. México.99667 b) 0. y los coeficientes que resultan se usan para determinar la forma pedida del polinomio de Taylor. c) f (x) = x e x. b) km (distancia horizontal respecto al punto fijo) 7. 14. (b. los ingenieros pueden simular e interpretar lo que sucede en sus componentes. delgada y uniforme. para lo que se requiere determinar la función y = f (t) que la satisface (la función y. Piensa en la siguiente situación: Durante el desarrollo de un nuevo sistema muelle-amortiguador automotriz. y en el análisis de la deflexión de una columna vertical. necesitan resolver la ecuación siguiente: FIGURA 6. . que es solución de esa ecuación). ¿Qué solución propondrían? * La ecuación en estudio se llama ecuación de Airy.2: Series de potencias 501 6. Esta ecuación sirve para modelar cierto comportamiento del resorte en relación con los cambios de temperatura a que estará sujeto durante su funcionamiento. los materiales adecuados para construirlos. La variable t simboliza el tiempo que transcurre durante ese movimiento y las constantes m y k son. las dimensiones de los dispositivos. respectivamente. con la finalidad de establecer las características de su comportamiento. entre otras cuestiones. Supón que se ha invitado a tu equipo de trabajo a colaborar en la resolución del problema para el caso particular en que m = k = 1. Se encuentra también en el estudio de la difracción de ondas de radio alrededor de la superficie de la Tierra. los ingenieros de la empresa Muelles Spring realizaron el modelo del movimiento vibratorio a que estará sujeto un prototipo. Para el análisis particular de los efectos de la temperatura en las características del muelle (resorte helicoidal). que se curva bajo su propio peso.8: Sistema amortiguador automotriz d2y k + ty = 0 dt 2 m (*) donde la variable y representa la posición de un punto particular en un extremo del resorte cuando se encuentra en movimiento.6. la masa sujeta al resorte y la constante del resorte.2 Series de potencias El infinito llega hasta donde alcanza el pensamiento humano. Con base en ellos. Anónimo Sistema muelle-amortiguador automotriz En la permanente búsqueda de seguridad y comodidad se realizan diversos análisis teóricos sobre el comportamiento de los sistemas de suspensión en los automóviles. etcétera. en estudios de aerodinámica. el desgaste a que estarán sujetos. Sin embargo. Este tipo de series determina funciones de una variable x. aun cuando x = a.. Nota: para simplificar la notación se establece que (x − a)0. • Derivar e integrar series de potencias. + cn ( x − a)n + . . + cn x n + . Definición 6. que es el dominio de esta clase de funciones.. modelación y resolución de diversos fenómenos en áreas como la ingeniería. n= 0 ∞ De manera más general.2.502 Unidad 6: Series de potencias Introducción La serie de Taylor estudiada en la sección anterior es un caso particular de un tipo de serie más general: la de potencias... para mostrar los potenciales usos de esta herramienta también estudiaremos sus propiedades operacionales (algebraicas). • Realizar operaciones algebraicas con series de potencias. la física y la astronomía..1 Series de potencias Empezaremos por definir la forma que tiene una serie de potencias. las del cálculo (diferenciación e integración) y algunas de sus aplicaciones.1 Una serie de potencias en la variable x tiene la forma ∑ cn x n = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + . • Calcular el radio y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.. así como en la interpretación. n= 0 ∞ se llama serie de potencias centrada en a.. una serie infinita de la forma ∑ cn ( x − a)n = c0 + c1 ( x − a) + c2 ( x − a)2 + c3 ( x − a)3 + .. Sección 6. Objetivos Al terminar de estudiar esta sección. que resultan sumamente importantes en el estudio de la propia matemática. donde a es una constante. deberás ser capaz de: • Comprender la definición de serie de potencias. En esta sección se estudiará cómo hallar el intervalo de convergencia de este tipo de series. El teorema siguiente establece que el dominio de una serie de potencias puede tomar sólo tres formas básicas. Ahora nos ocuparemos en estudiarlas sin importar la forma de los coeficientes cn (recuerda que en el caso particular de las series de Taylor. n= 0 ∞ solución Observación: A veces resulta conveniente desplegar algunos términos de una serie. Ejemplos Ejemplo 6. Veamos los siguientes ejemplos. para n = 0.2: Series de potencias 503 Observa que en apariencia estas series son idénticas a las de Taylor. En este caso. c) Existe un número real R > 0 tal que la serie converge (absolutamente) si x − a < R. Cabe decir que toda serie de potencias converge en su centro x = a. b) La serie converge (absolutamente) para todos los valores x ∈ .. Teorema 6.. Una serie de potencias puede verse como una función: f ( x ) = ∑ cn ( x − a )n n= 0 ∞ en la cual el dominio está formado por todos los valores x para los que la serie converge. ∑ n ! x n = 1 + x + 2 x 2 + 3! x 3 + 4 ! x 4 + .10 Determina el radio de convergencia de la serie de potencias ∑ n! x n. n= 0 ∞ . Para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias aplicaremos el criterio de la razón (estudiado en el capítulo anterior). 1.6.1: Convergencia de una serie de potencias Para toda serie de potencias de la forma una de las afirmaciones siguientes: ∑ cn ( x − a)n . y diverge si x − a > R. 2. 3 y 4. n =0 ∞ se cumple una y sólo a) La serie converge sólo en x = a. los coeficientes resultan de las derivadas sucesivas de una función y = f (x)). dado que el criterio no da información en el caso en que x − 3 = 1. es decir. Si tomamos un como el término general de la serie. n n→∞ n→∞ x n→∞ n + 1 un (n + 1)! x / n! n→∞ Puesto que L < 1 para toda x.12 Determina para qué valores de x converge la serie ∑ ( x − 3)n .11 Encuentra el intervalo y el radio de convergencia de la serie ∑ n! . deducimos que la serie converge (absolutamente) pa- ra 2 < x < 4.504 Unidad 6: Series de potencias Nota que ésta es la forma establecida en la definición de una serie de potencias con c0 = 1. c2 = 2. . concluimos que la serie converge absolutamente para toda x. cuando x = 2 y x = 4. = lím = x lím n→∞ n→∞ n→∞ un n! n! xn n→∞ Por lo tanto (de acuerdo con el criterio del teorema 6. si un = n!xn. c1 = 1.1). n n=1 ∞ solución lím un+1 ( x − 3)n+1 n n 1 = x − 3 lím 1 − = x−3 = lím ⋅ = x − 3 lím n n →∞ n →∞ n →∞ un n +1 n +1 n +1 ( x − 3) x − 3 <1 y diverge cuando x − 3 > 1. el intervalo de convergencia es (−∞. debemos tratar estos casos por separado. Ejemplo 6. c3 = 3! y c4 = 4 ! En cuanto al radio de convergencia. ∞) y el radio de convergencia es R = ∞. por lo tanto. Entonces. Ejemplo 6. Como n→∞ La serie converge (absolutamente) cuando x − 3 <1 ⇔ −1 < x − 3 < 1 ⇔ 2 < x < 4. es decir. entonces: lím un+1 (n + 1)! x n+1 (n + 1)! = x lím (n + 1) = ∞. concluimos que R = 0. la serie diverge para todo x con excepción de su centro x = 0. Ahora bien. n= 0 ∞ xn solución Aplicando el criterio de la razón: L = lím un+1 x n+1/ (n + 1)! x n+1 n! 1 = lím = lím n ⋅ = x lím = 0. aplicamos el criterio de la razón (cociente). . Sustituyendo x = −3 en la serie dada resulta: ∞ ∞ ∞ (−1)n (−3)n (−1)n (−1)n 3n 1 ∑ 3n (n + 1) = ∑ 3n (n + 1) = ∑ n + 1 n= 0 n= 0 n= 0 1 1 que es la serie armónica 1 + 1 2 + 3 + 4 + .. de acuerdo con el criterio sobre series alternantes. Sección 6. 3] y el radio de convergencia es R = 3. Al sustituir x = 3 en la serie dada obtenemos: ∑ 3n (n + 1) = ∑ n + 1 n= 0 n= 0 ∞ (−1)n 3n ∞ (−1)n una serie alternante y convergente.2. lím un+1 x n+1 n +1 x 1+1 n x 3n (n + 1) x = lím = = lím n+1 ⋅ = lím n n→∞ 3 un 3 n→∞ n + 2 3 n→∞ 1 + 2 n 3 x (n + 2 ) n→∞ El criterio del cociente (o de la razón) implica que la serie converge absolutamente si x < 3 y diverge si x > 3.. Veamos el siguiente teorema que establece la relación directa entre las series de Taylor y las de potencias (recuerde que una serie de Maclaurin es una serie de Taylor alrededor de cero). convergente de acuerdo con el criterio de series alternantes de la unidad ∑1 / n. 2 . es divergente.... las operaciones se utilizan junto con las series de Maclaurin básicas (véase la tabla 6. + cn ( x − a ) + .13 Halla el intervalo de convergencia y el radio de convergencia de ∑ 3n (n + 1) . la anterior. Teorema 6. entonces. Así. Si x = 2. para determinar las series de otras funciones con base en algunas series elementales.. para toda x de un intervalo abierto que contiene a a. concluimos que la serie converge para 2 ≤ x < 4. entonces esta serie es la serie de Taylor de f alrededor de a.2 3 n Si f ( x ) = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a ) + c3 ( x − a ) + . Ejemplo 6. n= 0 ∞ (−1)n x n solución Observa que (−1)n = (−1)n+1 = 1.2: Series de potencias 505 Para x = 4 la serie se convierte en serie resultante es ∑ (−1)n / n. Los casos x = −3 y x = 3 deben analizarse por separado.2 Operaciones con series de potencias Veremos ahora cómo usar las propiedades operacionales de las series de potencias.1). El intervalo de convergencia de la serie original es (−3. la cual es armónica y en consecuencia diverge. Generalmente.6. f '''( x ) = 3! c3 + ( 4 ⋅ 3 ⋅ 2 )c4 ( x − a ) + .1: Series de Maclaurin de algunas funciones elementales.. (2 n + 1)! 3! 5 ! 7 ! x2n x2 x4 x6 = 1− + − + . a un lado aparecen también sus intervalos de convergencia... 2 ! 3! 4 ! n! n =0 ∞ ∞ Intervalo de convergencia −∞ < x < ∞ −∞ < x < ∞ −∞ < x < ∞ −1 < x ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 1 −1 < x < 1 sen x = ∑ (−1)n n =0 ∞ x 2 n+1 x3 x5 x7 = x − + − + .506 Unidad 6: Series de potencias Demostración: Derivando f (x) sucesivamente. n +1 2 3 4 x 2 n+1 x3 x5 x7 = x − + − + . f '' ( x ) = 2 ! c2 + ( 3 ⋅ 2 )c3 ( x − a ) + ( 4 ⋅ 3)c4 ( x − a )2 + . Este teorema implica que no importa cómo se llegue a una serie de potencias centrada en x = a y convergente a f (x): siempre será la serie de Taylor de f (x) alrededor de a... Tabla 6. a continuación presentamos una lista de las series de Maclaurin de algunas de las funciones más importantes.. 2n + 1 3 5 7 cos x = ∑ (−1)n n =0 ∞ ln(1 + x ) = ∑ (−1)n n =0 ∞ arctan ( x ) = ∑ (−1)n n =0 ∞ 1 = ∑ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + . Considerando este teorema y retomando algunos resultados de la sección inmediata anterior. resulta: f '( x ) = c1 + 2 c2 ( x − a ) + 3c3 ( x − a )2 + 4 c4 ( x − a )3 + . Función ex = ∑ xn x2 x3 x4 = 1 + x + + + + .. todas las potencias de x − a se anulan y tenemos que f (a ) = c0 f '(a ) = c1 f ''(a ) = 2 ! c2 f '''(a ) = 3! c3 ⇒ ⇒ c2 = f ''(a ) 2! f '''(a ) c3 = 3! Con lo que se demuestra que los coeficientes c0.. (2 n )! 2! 4 ! 6! x n+1 x2 x3 x4 = x− + − + .. 1 − x n =0 ... c1.. Al sustituir x = a... c3..… son precisamente los coeficientes de la serie de Taylor de f (x) alrededor de a. c2.... Veamos los ejemplos siguientes.2: Series de potencias 507 Como veremos en el siguiente apartado de esta sección. esta lista básica es muy útil en el desarrollo de diversos cálculos algebraicos y de otro tipo donde intervienen derivadas e integrales... − 1 < x < 1 1+ x Otra posibilidad es reemplazar −x en 1 = ∑ x n .1 como sigue: 1− x 1 = 1 + (− x ) + (− x )2 + (− x )3 . Una serie de potencias puede interpretarse como un polinomio infinito... x +1 solución Simplemente sustituimos −x en la serie para 1 de la tabla 6. de lo que resulta: 1 − x n =0 ⇒ ∞ 1 = ∑ (−1)n x n 1 + x n= 0 ∞ ∞ 1 = ∑ ( − x )n 1 − (− x ) n= 0 Ejemplo 6. Nota: Las propiedades operativas de las series de potencias son las mismas de los polinomios algebraicos.15 Encuentra una representación en serie de Maclaurin para f ( x ) = 1 .. − 1 < x < 1 1 − (− x ) Es decir..14 Halla la serie de Maclaurin de f ( x ) = 1 . 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + .6. x+2 solución Primero tomamos el 2 como factor común en el denominador: 1 1 1 = = x 2+x x 2 1 + 2 1 − − 2 2 . Ejemplos Ejemplo 6. .. Ejemplo 6. = ∑ (2 n )! 2 2! 4! 2! 4 ! n =0 Ejemplo 6. para lo que simplemente sustituimos −x en la serie para e x de la tabla 6.. = 1 + + + . −∞ < x < ∞ = 2 + + + . + 1 − x + − + + .17 Determina los primeros tres términos distintos de cero de la serie de Maclaurin de f (x) = ex arctan(x). solución Al emplear las series de Maclaurin para ex y arctan(x)....508 Unidad 6: Series de potencias Para x < 2. 2 + x n= 0 2 Entonces.1: e− x = ∑ n =0 ∞ (− x ) n! n = 1 + (− x ) + (− x )2 (− x )3 (− x )4 + . x −x cosh ( x ) = 1 2 (e + e ) = x2 x3 x4 − + + ... −1 ≤ x ≤ 1 2 ! 3! 4 ! 3 5 . −∞ < x < ∞ 2 ! 3! 4 ! x2 x3 x4 x2 x3 x4 1 + + + . solución (e x + e− x ). e− x = 1 − x + Entonces.1: 1− x n ∞ ∞ (−1)n 1 1 1 ∞ x 1 1 ⋅ = ∑ − = ∑ (−1)n x n = ∑ n+1 x n 2 2 2 x 2 n= 0 2 n= 0 n= 0 2 − 1 − 2 ∞ 1 (−1)n = ∑ n+1 x n si x < 2.... x2 x3 x4 x3 x5 e x arctan( x ) = 1 + x + + + + . 1 + x + 2 ! 3! 4 ! 2 2 ! 3! 4 ! ∞ x2 x4 x 2n 1 2x2 2x4 . −∞ < x < ∞ + + 2! 3! 4! Es decir.. Iniciamos determinando una serie para Nos apoyaremos en el hecho de que cosh( x ) = 1 2 e −x .16 Halla una representación en serie de potencias centrada en x = 0 para la función f (x) = cosh(x)... sustituimos − x 2 en la serie de n 1 en la tabla 6.. x − + + .. ... .6... .. más el segundo término del primer factor... x2 x3 x4 x3 x5 x7 x3 x5 x4 x6 x3 x5 2 1 + x + + + + .18 Realiza las operaciones indicadas: a) ∑ xn + ∑ 2 n= 0 n= 0 ∞ n= 0 ∞ ∞ x n b) ( x + 3)∑ x n solución a) Para realizar la suma. + . resulta que resulta de la suma de − x 3/3 y x 3/2. simplemente expresamos con un sólo símbolo de sumatoria. x − + + . la suma de los términos que definen cada serie dada: ∑ xn + ∑ 2 n= 0 n= 0 ∞ ∞ x n n ∞ ∞ 1 x = ∑ x n + = ∑ 1 + n x n 2 n= 0 n= 0 2 b) El producto lo realizamos como sigue: ( x + 3)∑ x n = x ⋅ ∑ x n + 3 ⋅ ∑ x n = ∑ x ⋅ x n + ∑ 3 ⋅ x n n= 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = ∑x n= 0 n= 0 ∞ n +1 + ∑ 3x = ∑ ( x n n= 0 n= 0 ∞ n= 0 n= 0 ∞ n= 0 n +1 + 3x n ) Otra opción: ( x + 3)∑ x n = ∑ ( x + 3) x n = ∑ ( x n+1 + 3x n ) n= 0 n= 0 n= 0 ∞ ∞ ∞ Nota: La suma (o resta) de series de potencias expresadas con el símbolo Σ es posible sólo cuando las potencias de x sean idénticas y cuando el índice de las sumas empiecen en el mismo valor de n.. − 1 ≤ x ≤ 1 3! 3 ⋅ 3! 5 ⋅ 3! En este desarrollo vemos que el único término lineal es x... − 1 ≤ x ≤ 1 Ejemplo 6. por cada uno de los términos del segundo factor. = x − + + + x − + + − 2 ! 3! 4 ! 3 5 3 5 3 5 2! 3 ⋅ 2! 5 ⋅ 2! x4 x6 x8 + − + + . . + + ... x3 x3 x3 − = . por cada uno de los términos del segundo. ... el único cuadrático es x2 y el único cúbico... etcétera.2: Series de potencias 509 Ahora realizamos la multiplicación indicada como haríamos en los polinomios del álgebra elemental: El primer término del primer factor. Como 2 3 6 3 e x arctan ( x ) = x + x 2 + 1 6 x + . y las sumas empiezan también en el mismo subíndice (n = 2). Al sustituir n = k + 1 en la primera serie. resulta n= 2 ∞ n= 2 n= 2 ∑ ncn x n−1 = n =1 ∞ ( k +1)=1 ∑ ∞ ( k + 1)ck +1 x ( k +1)−1 = ∑ ( k + 1)ck +1 x k k =0 ∞ Y al sustituir k = n en la segunda serie. lo cual se logra a través de un cambio de variable. conservamos la serie que inicia en la potencia más alta (en este caso. Por ello. y en la otra sustituimos los valores de n necesarios para empatarlas. la segunda). respectivamente). tenemos: ∑ cn x n = ∑ ck x k .510 Unidad 6: Series de potencias Ejemplo 6. Escribimos k = n − 1 en la primera serie. Entonces.19 Realiza las siguientes resta y suma. en x2. Para lograr que ambas comiencen con la misma potencia. ∑ xn − ∑ n − 1 = 1 + x + ∑ xn − ∑ n − 1 n= 0 n= 2 n= 2 n= 2 ∞ ∞ nx n ∞ ∞ nx n Como las potencias de x ya inician con el mismo exponente (dos). al tiempo que se iguala k = n en la segunda. n =0 k =0 ∞ ∞ Por lo tanto. y la segunda. si escribimos los dos primeros términos de la primera serie fuera de la notación sigma (los cuales se obtienen sustituyendo n = 0 y n = 1. lo único que debemos arreglar es que las sumas inicien con el mismo subíndice n. En este caso. la primera comienza en x0. realizamos la suma y escribimos la expresión original en términos de una sola serie: xn − ∑ xn − ∑ n − 1 = 1 + x + ∑ xn − ∑ n − 1 = 1 + x + ∑ n − 1 n= 0 n= 2 ∞ ∞ nx n ∞ ∞ nx n ∞ nx n n n = 1 + x + ∑ 1 − x n − 1 n= 2 b) Observa que las series dadas ya empiezan con la misma potencia x0. la suma original se reescribe como: ∑ ncn x n−1 + ∑ cn x n = ∑ (k + 1)ck +1 x k + ∑ ck x k n =1 n= 0 k =0 k =0 ∞ ∞ ∞ ∞ . a) ∞ ∞ ∑ xn − ∑ n − 1 n= 0 ∞ n= 2 nx n ∞ b) ∑ ncn x n−1 + ∑ cn x n n =1 n= 0 solución a) Para realizar la resta es necesario que las potencias de x inicien con el mismo exponente. y los subíndices también comienzan igual (k = 0). Teorema 6.3: Derivación e integración de series de potencias Una función f definida por f ( x ) = ∑ cn ( x − a )n = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a )2 + c3 ( x − a )3 + . las series de potencias representan funciones y = f (x) en su intervalo de convergencia.6... es decir.. el índice de la suma es una variable “muda”... Entonces. f '( x ) = ∑ ncn ( x − a )n−1 = c1 + 2 c2 ( x − a ) + 3c3 ( x − a )2 + . + cn ( x − a )n + . por lo tanto. n= 0 ∞ con un radio de convergencia R > 0 es derivable (y por lo tanto continua) e integrable en el intervalo (a − R. 2. .. 1. n =1 ∞ ∫ f ( x )dx = C + ∑ cn n =0 ∞ ( x − a )n+1 n +1 ( x − a )2 ( x − a )3 + c2 + .3 Derivación e integración de series de potencias Como hemos visto. no importa el nombre que le pongamos. por lo que resulta natural preguntarse ¿cómo determinar las derivadas o las integrales de funciones definidas en términos de series? El siguiente teorema establece las propiedades que responden a esta pregunta. 2 3 = C + c0 ( x − a ) + c1 El radio de convergencia de la serie que se obtenga por derivación o integración es el mismo que el de la serie de potencias original (el intervalo de convergencia podría diferir en los extremos)..2: Series de potencias 511 Las series en términos de k inician en la misma potencia (x0).2. podemos escribir: ∑ ncn x n−1 + ∑ cn x n = ∑ [(n + 1)cn+1 + cn ] x n n =1 n= 0 n= 0 ∞ ∞ ∞ Sección 6. Además.. k k ∑ ncn x n−1 + ∑ cn x n = ∑ ( k + 1)ck +1 x + ck x n =1 n= 0 ∞ ∞ ∞ = ∑ [ ( k + 1)ck +1 + ck ] x k k =0 k =0 ∞ Así como ocurre en integración. a + R). por lo que se acostumbra renombrar a la variable k del último resultado nuevamente como n (con la finalidad de no cambiar el nombre del índice de la suma original). 20 Determina la derivada de la función dada por f ( x ) = ∑ xn . de donde resulta y '' = ∑ n(n − 1)cn x n− 2 n= 2 ∞ .. la fórmula dx ( ) y ' = ∑ ncn x n−1 n =1 ∞ Para hallar y″ volvemos a aplicar la regla a y′. Ilustraremos algunos de ellos en los siguientes ejemplos. ∞ Ejemplo 6. d x n = nx n−1 es decir. como si se tratara de un polinomio.512 Unidad 6: Series de potencias De acuerdo con el teorema 6.. Ejemplos Ejemplo 6... Revisa la tabla 6. Es muy amplia la variedad de cálculos que se pueden realizar con la derivación y la integración de series de potencias. 2 3! 4! x2 x3 x4 = 1+ x + + + + . n= 0 n ! ∞ solución Como f ( x ) = ∑ x2 x3 x4 xn = 1 + x + + + + ..1 para que reconozca que ocurrió este hecho. resulta: n! 2 3! 4 ! n =0 x x2 x3 f '( x ) = 1 + (2 ) + ( 3) + ( 4 ) + .. 2 3! 4 ! Es decir. al derivar término a término..3. n= 0 ∞ solución Simplemente aplicamos la regla para derivadas de funciones en forma de potencias xn (cn es constante). f '(x) = f (x). podemos derivar e integrar una serie de potencias término a término.21 Calcula la primera y segunda derivadas de la función representada por la serie y = ∑ cn x n . 22 mostramos cómo se utilizan las series de potencias para aproximar el cálculo de integrales definidas. 3 5 ⋅ 2 ! 7 ⋅ 3! 9 ⋅ 4 ! 0 1 1 1 1 + − + − .001. dx 2 ! 3! 4 ! ⌡0 x3 x5 x7 x9 = x − + − + − . con n = 2. Ejemplo 6.6.) Resolver una ecuación diferencial significa encontrar una función que en cierto .001 11 ⋅ 5 ! 1320 Mediante las propiedades de las series de potencias se pueden resolver algunas ecuaciones que implican las derivadas o diferenciales de una función..22 Mediante una serie de potencias. 2 ! 3! 4 ! Entonces.3 para la estimación del error (residuo) de las series alternantes. ∫0 1 − x2 e ⌠ x4 x6 x8 dx = 1 − x 2 + − + − . la ecuación dy = ex dx es diferencial por el hecho de que en su estructura aparece la derivada de y respecto de x. (Recuerda que esta ecuación se puede escribir también como y ' = ex.7 7475 3 10 42 216 = 1− 1 1 Al apoyarnos en el teorema 5. 1 − x2 ∫0e dx solución Primero sustituimos −x2 en la serie para ex de la tabla 6.2: Series de potencias 513 Observa que la primera derivada comienza con el subíndice de la suma en n = 1.. y la segunda... ¿Por qué? En el ejemplo 6.13 de la sección 5. tenemos que esta aproximación es menor que 1 1 = < 0. 3 10 42 216 1 1 1 1 ≈ 1− + − + ≈ 0.... aproxima la siguiente integral con una precisión de 0. aun en el caso de que la función por integrar no tenga una primitiva elemental.. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales.1: e− x = 1 − x 2 + 2 x4 x6 x8 − + − . Por ejemplo. función y = ex.. 3! 5 ! . y=∑ (−1)n x 2 n+1 .. Ejemplo 6. n = 0 (2 n + 1)! ∞ y '' + y = 0 solución Lo que se pide es mostrar que la suma de la función dada. 3! 5 ! 7 ! n = 0 (2 n + 1)! ∞ Por lo tanto. Para la ecuación del ejemplo.. 2 4 ! 6! y y '' = − x + x3 x5 − + .. Al escribir algunos términos de y resulta: y=∑ x3 x5 x7 (−1)n x 2 n+1 = x− + − + . precisamente. da cero.. A través de la notación Σ. = 0 3! 5 ! 3! 5 ! 7 ! Con lo cual queda verificado lo que se pide. Método 2.. una solución podría ser la dy = e x ..514 Unidad 6: Series de potencias intervalo la satisfaga.. porque al derivarla resulta. decimos que la solución general de esta ecuación diferencial es y = ex + c. dx considerando que la derivada de toda constante es cero. y' = 1− de donde x3 x5 x3 x5 x7 y '' + y = − x + − + .. Para resolver ecuaciones diferenciales mediante series de potencias se requiere de algunas consideraciones teóricas que rebasan el alcance de este libro. y '' = ∑ ( 2 n ) =∑ =∑ (2 n + 1)! n= 0 (2 n )! (2 n )! n =1 (2 n − 1)! n =1 x2 x4 x6 + − + . con su segunda derivada. Además.23 Verifica que la función representada por la siguiente serie de potencias es una solución de la ecuación diferencial dada. por lo que nos enfocaremos a tratarlas sólo con algunas ecuaciones diferenciales sencillas.. + x − + − + . al derivar término a término. Método 1. tenemos y ' = ∑ ( 2 n + 1) n= 0 ∞ ∞ ∞ ∞ (−1)n x 2 n (−1)n x 2 n (−1)n x 2 n−1 (−1)n x 2 n−1 . es decir. Del ejemplo 6... por derivación directa o por integración.1 sabemos que cos ( x ) = ∑ (−1)n n= 0 ∞ x2n x2 x4 x6 = 1− + − + . Por lo tanto.24 Resuelve la ecuación diferencial y ' − cos(x) = 0. n =0 ∞ donde c0.6. que es una solución “general” de la ecuación. n =1 ∞ y de la tabla 6. c1. resolveremos una con una solución que. c2. se debe tener que: n =1 ∞ ∑ ncn x n−1 − cos ( x ) = 0 n =1 ∞ (*) Al desarrollar algunos términos de y ' tendremos y ' = ∑ ncn x n−1 = c1 + 2 c2 x + 3c3 x 2 + 4 c4 x 3 + 5 c5 x 4 + .25. (2 n )! 2! 4 ! 6! . Como se observa..… son coeficientes que debemos determinar. c3. dé como resultado cero..24. Se requiere hallar una función y que satisfaga la ecuación dada. aunque resolveremos una ecuación diferencial muy sencilla.21 sabemos que y ' = ∑ ncn x n−1 .. Ejemplo 6. solución En primer lugar.2: Series de potencias 515 Si ahora sumamos y aplicamos las ideas del ejemplo 6. en efecto. exige el uso de series de potencias. (2 n + 1)! n=0 (2 n + 1)! n =0 ∞ ∞ = −∑ En el ejemplo 6. cuya solución se obtiene por simple inspección y un poco de experiencia en cálculo. Supongamos que esta función puede representarse mediante una serie de potencias de la forma: y = ∑ cn x n = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + ... la función y = sen(x) + c.19: y '' + y = ∑ =∑ ∞ (−1)n x 2 n−1 ∞ (−1)n x 2 n+1 +∑ n = 0 (2 n + 1)! n =1 (2 n − 1)! ∞ ∞ (−1)k+1 x 2 k+1 (−1)n x 2 n+1 +∑ . en la primera integral renombramos k como n. una vez visto que las series proporcionan un procedimiento de solución para una ecuación diferencial. usaremos series para que corrobores de una manera simple la viabilidad de un método apoyado en esta herramienta. una función cuya derivada sumada con el coseno negativo. Veamos ahora cómo obtenerla con series de potencias.. En el ejemplo 6. note que la ecuación diferencial dada puede reescribirse en la forma y ' = cos(x). en la primera suma hicimos n = k + 1 (2 k + 1)! (2 n + 1)! k =0 n =0 (−1)n x 2 n+1 (−1)n x 2 n+1 +∑ = 0. obtenemos: 2 3 4 1 (c1 − 1) + 2 c2 x + ( 3c3 + 1 2 ) x + 4 c4 x + (5 c5 − 4 ! ) x + . como de donde y = c0 + x − sen ( x ) = x − x3 x5 x7 + − + . es decir. Se muestran las aproximaciones con los polinomios de grados 1. los términos lineales por otra. . c2 = 0... etcétera.. x3 x5 + + ...9 muestra las aproximaciones de este tipo a la ecuación diferencial f (x) = sen(x) (caso c0 = 0). La gráfica de la figura 6. c4 = 0. c5 = = .1.) − (1 − x2 x4 x6 + − + . . − ∞ < x < ∞ 3! 5 ! 7 ! Podemos escribir la solución encontrada en la forma y = c0 + sen(x). c3 = − sustituimos estos coeficientes en nuestra propuesta de solución y = ∑ cn x n = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + . Si ahora 2⋅3 3! (5 )( 4 !) 5 ! ∞ De estas ecuaciones hallamos c1 = 1.. se obtienen aproximaciones sucesivas a una de sus soluciones en la cercanía del centro de la serie....516 Unidad 6: Series de potencias Al sustituir estos desarrollos en la ecuación (*). los cuadráticos por otra... 3 y 5: p1(x) = x. n =0 obtendremos y = c0 + (1) x + (0 ) x 2 + (−1 / 3!) x 3 + (0 ) x 4 + (1 / 5!) x 5 + .) = 0 2! 4 ! 6! Si asociamos los términos constantes por una parte.. Nota: Cuando se resuelve una ecuación diferencial por series de potencias. p5 ( x ) = x − + .. Observa que a partir del segundo término de esta solución. 3! 3! 5! . De aquí resulta que: c1 − 1 = 0 2 c2 = 0 3c3 + 1 2 = 0 4 c4 = 0 5 c5 − 1 4! =0 1 1 1 1 = − .. resulta (c1 + 2 c2 x + 3c3 x 2 + 4 c4 x 3 + 5 c5 x 4 + . la misma que habíamos señalado como solución general al inicio de este ejemplo. se tiene 3! 5 ! la serie que representa a la función sen(x) de la tabla 6.. p3 ( x ) = x − x3 x3 x5 .. = 0 De manera que cada coeficiente de los términos de la parte izquierda de la ecuación debe ser igual a los de la derecha (0 = (0)x0 + (0)x + (0)x2 + …). 2) Recuerda que el propósito en este método es hallar los coeficientes cn que aparecen en la serie anterior.6. (X 2 +1 ) ∑ n (n − 1) c X n n= 2 ∞ n− 2 + X ∑ n cn X n−1 + ∑ cn X n = 0 n =1 n= 0 ∞ ∞ (6.21. hallamos y ' = ∑ n cn X n−1 . Ejemplo 6. De acuerdo con el ejemplo 6. Para faci∞ litar el trabajo. resuelva la ecuación diferencial (x2 − 2x + 2) y '' − (1 − x) y ' + y = 0 (6. al calcular la primera y la segunda derivadas de la serie con respecto de X.1) solución n La solución en serie de potencias alrededor de uno puede escribirse como y = ∑ cn ( x − 1) .25 A través de una serie de potencias alrededor de a = 1. buscaremos una solución del tipo y = ∑ cn X n n= 0 ∞ n= 0 (6. Con esta transformación la ecuación 6. hagamos primero un cambio de variable: X = x − 1.2. y '' = ∑ n (n − 1) cn X n− 2 n =1 n= 2 ∞ ∞ Al reemplazar estas expresiones en la ecuación 6.3) .9: Aproximaciones sucesivas de f (x) = sen(x).1 toma la forma: (X2 + 1)y '' + Xy ' + y = 0 De esta manera.2: Series de potencias 517 p3(x) p1(x) p5(x) y = sen(x) FIGURA 6. 1 que: (c0 + 2 c2 ) + (2 c1 + 6 c3 ) X + ∑ [ (n + 1)(n + 2 )cn+ 2 + {n (n − 1) + n + 1} cn ] X n = 0 n= 2 ∞ En la última ecuación. 1.. n − 4.… c2n. 6 3 2 cn = − Si multiplicamos miembro a miembro las expresiones para c2. …. n (n − 1) (n − 2 )(n − 3) (n − 4 )(n − 5 ) 4⋅3 2 1 c note además que c3 = − c1 = − c1. c2 = − 0 . la ecuación 6. c4. 2 c1 + 6 c3 = 0 (n + 1)(n + 2 ) cn+ 2 + n 2 + 1 cn = 0 ( ) De estas últimas ecuaciones resultan c2 = n2 + 1 − c0 −c . obtenemos: (n − 2 ) 2 + 1 ( n − 4 )2 + 1 ( n − 6 )2 + 1 22 + 1 cn− 2 cn− 2 = − cn− 4 . ….518 Unidad 6: Series de potencias El primer término es: (X 2 +1 ) ∑ n (n − 1) c X n n= 2 ∞ n− 2 = ∑ n (n − 1) cn X n + ∑ n (n − 1) cn X n− 2 n= 2 ∞ n= 2 ∞ ∞ ∞ = ∑ n (n − 1) cn X n + ∑ (n + 2 )(n + 1) cn+2 X n . cn+ 2 = − cn . n= 2 n= 0 entonces. los coeficientes de las diferentes potencias de X deben ser cero: c0 + 2 c2 = 0 . cn− 4 = − cn− 6 .23 se convierte en ∑ n (n − 1) cn X n + ∑ (n + 2 )(n + 1) cn+2 X n + ∑ n cn X n + ∑ cn X n = 0 n= 2 n= 0 n =1 n= 0 ∞ ∞ ∞ ∞ De aquí. c3 = 1 . n − 6. obtendremos el valor de c2n en función de c0: c2 n = ( −1) n 1 ⋅ 1 + 22 1 + 4 2 ( )( 1⋅ 2 ⋅ 3 2 2 n ) (1 + ( 2n − 2 ) ) c 2 2n 0 = ( −1) (1 + 2 ) (1 + 4 ) (1 + ( 2n − 2 ) ) c 2 ( 2 n )! 0 .. evaluando en la segunda suma resulta n = 0. n = 2. en la tercera n = 1. y en la última n = 0. 3.. c4 = − c2 . (n + 1)(n + 2 ) 2 3 Si en la última reemplazamos n por n − 2. c5. c2 n+1 = (−1)n (1 + 1 ) (1 + 3 ) (1 + (2n − 1) ) c 2 2 2 (2 n + 1)! 1 Al reemplazar los valores de c2n y c2n + 1 en y = ∑ cn X n se obtiene n= 0 ∞ y = c0 + c0 ∑ (−1) n =1 ∞ n (1 + 2 ) ⋅ (1 + 4 ) (1 + (2n − 2) ) X 2 2 2 2n (2 n )! ∞ 1 + 12 ⋅ 1 + 32 1 + (2 n − 1)2 2 n+1 + c1 X + ∑ (−1)n X + 1 )! 2 n ( n =1 ( )( ) ( ) Finalmente.2: Series de potencias 519 Por otro lado. ¿Qué es una serie de potencias? 2. n= 0 x n+1 .6.…c2n + 1. ¿qué se puede decir sobre la convergencia de la serie ∑ cn n + 1 ? Explica tu razonamiento. de las ecuaciones para c3. Si la serie de potencias ∞ ∑ cn x n n= 0 ∞ converge para x < 4. Si el radio de convergencia de la serie de potencias de la serie ∑ ncn x n−1 ? Explica tu razonamiento. ¿cuál será el radio de convergencia 3. n =1 ∞ ∑ cn x n n= 0 ∞ es 2. como X = x − 1. hallamos la solución de la ecuación: y = c0 + c0 ∑ (−1) n =1 ∞ ∞ n (1 + 2 ) ⋅ (1 + 4 ) (1 + (2n − 2) ) ( x − 1) 2 2 2 2n (2 n )! 2 + c1 ( x − 1) + c1 ∑ (−1)n n =1 (1 + 1 ) ⋅ (1 + 3 ) (1 + (2n − 1) ) ( x − 1) 2 2 2 n +1 (2 n + 1)! 1. precisión de 0.01 0.520 Unidad 6: Series de potencias 4. a) ∑ ∞ (−1)n x n n n=1 ∞ f) ∑ (−1)n 4 n ln(n) n =2 ∞ ∞ xn b) ∑ ∑ ∞ ∞ (−1)n−1 x n n3 n=1 g) ∑ n + 1 (−2 x )n−1 n=1 ∞ n c) (−1)n+1 x n 4n n=1 h) ∑ b n ( x − a )n . a) f (x) = senh(x) b) g(x) = x2 cos(x3) c) h(x) = ex cos(x) d) y = sen(x) cos(x) 8. Determina una serie de potencias centrada en a para las siguientes funciones. x+2 a=0 d) f ( x ) = e) f ( x ) = x .1 para hallar una representación en serie de potencias alrededor de a = 0 de cada una de las siguientes funciones. x2 + x − 2 a=0 a=0 a=0 b) f ( x ) = c) f ( x ) = f ) f ( x ) = ln(5 − x ).0001 c) ⌡0 x f) ∫0 0. a = −3 2x − 5 1 . de las funciones siguientes.0001 d) ⌡0 x 0. Encuentra el radio y el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias. precisión de 0. n=1 ∞ n b>0 d) (−2 )n x n ∑ 4n n=1 i) ∑ (2n + 1)! n =0 ∞ x 2 n+1 e) ∑ (−1)n+1 ( x − 1)n+1 n +1 n =0 ∞ j) ∑ n!(2 x − 1)n n=1 5. precisión de 0. a) f ( x ) = − 1 d 1 = ( x + 1)2 dx x + 1 b) f ( x ) = ln( x + 1) = ∫ x + 1 dx 1 7. a=0 1− x3 3 .000001 . 9 + x2 3x .2 1 ⌠ dx . 1 1 ⌠ sen ( x ) dx .01 precisión de 0. a) b) ∫ 0 e− x dx . Indica en cada caso el intervalo de convergencia.000001 e) ⌡0 1 + x 5 ∫ 0 sen ( x ) dx .5 ⌠ ln(1 + x ) d x . Usa una serie adecuada de la tabla 6. centradas en 0. a) g( x ) = 1 . Usa series de potencias para hacer un cálculo aproximado de las siguientes integrales con la precisión que se indica. Utiliza operaciones algebraicas adecuadas y la tabla 6. 1 3 precisión de 0.1 x arctan( 3x ) dx . precisión de 0. 6.1 y las sugerencias que se indican abajo para determinar una serie de potencias. La ecuación diferencial que modela el movimiento armónico simple de un sistema masa-resorte se deduce de la segunda ley de Newton y tiene la forma d 2x + ω 2 x = 0. 2 dt 2 donde ω = k m (k es la constante del resorte y m la masa sujeta). n n= 0 2 n ! ∞ y '' − xy ' − y = 0 13. Reescribe las expresiones siguientes en términos de una sola serie. Diversos fenómenos donde intervienen cantidades que aumentan o disminuyen en el tiempo pueden modelarse con una ecuación diferencial. a) lím x →0 1 − cos ( x ) x 2 b) lím x →0 cos ( x ) − 1 x sen ( x ) 11. y '' − y = 0 n = 0 (2 n + 1)! ∞ ∞ b) y = ∑ x2n . como el crecimiento de una población o la rapidez de desintegración de una sustancia radiactiva. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales suponiendo una solución en serie de potencias de la forma y = ∑ cn x n n= 0 a) y ' − x2y = 0 b) (1 − x)y ' − y = 0 c) y '' = y ' d) y '' − 2xy ' + y = 0 14. En el caso particular de que la razón de cambio de una cantidad en estudio sea proporcional a la cantidad presente en cualquier momento t. . a) ∑ 4 n(n − 1)cn x n−2 +∑ cn x n n =2 n =0 ∞ ∞ b) ∑ 2ncn x n−1 + ∑ 6cn x n+1 n=1 n =0 ∞ ∞ 12.2: Series de potencias 521 9. b) Integra la serie de potencias encontrada en el inciso a) y demuestra que ∑ n !(n + 2) = 2 n =1 ∞ 1 1 10. Comprueba que la función representada por la serie de potencias es una solución de la ecuación diferencial. b) mediante series de potencias. Sea f (x) = xex a) Halla el desarrollo de f (x) en la serie de potencias de x. se tiene la ecuación dP = kP dt Usa series de potencias para probar que la solución general es P(t) = ce−kt 15.6. a) y = ∑ x 2 n+1 . Calcula los siguientes límites de dos maneras: a) usando la regla de L’Hôpital. b) Demuestra que la serie es una solución de la ecuación diferencial x2J0'' + xJ0' + x2J0 = 0 c) Usa una calculadora graficadora o algún software computacional para representar el polinomio formado por los cuatro primeros términos de J0. d) Demuestra que J0'(x) = −J1(x). la solución general de esta ecuación diferencial es: x(t) = c0 cos(t) + c1 sen(t) Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo analiza y resuelve las siguientes situaciones. 1. I. al inicio de esta sección. funciones de Bessel. Para la función de Bessel de orden 1: a) Demuestra que la serie converge para todo x. La función de Bessel. precisamente. respectivamente. II. realiza lo que se indica a continuación. Las series de potencias son muy importantes porque constituyen una forma de representar algunas de las funciones primordiales de matemáticas. . en la resolución de las ecuaciones de Kepler —que describen el movimiento planetario—. Para la función de Bessel de orden cero: a) Muestra que la serie converge para todo x. el astrónomo alemán Friedrich Bessel (1784-1846) usó funciones representadas en series de potencias del tipo J0 (x) = ∑ (−1)n x 2 n 2n 2 n = 0 2 (n !) ∞ J1 ( x ) = ∑ (−1)n x 2 n+1 2 n +1 n = 0 n !(n + 1)! 2 ∞ Éstas se llaman. 2. Con base en ellas.522 Unidad 6: Series de potencias Usa el método de series de potencias estudiado en esta sección para demostrar que si ω = 1. física y química. de orden cero y de orden uno. Contesta la pregunta planteada en el apartado Sistema muelle-amortiguador automotriz. Por ejemplo. b) Verifica que la serie es una solución de la ecuación diferencial x2J1'' + xJ1' + (x2 − 1)J1 = 0 c) Usa una calculadora graficadora o algún software computacional para representar el polinomio formado por los primeros cuatro términos de J1. quien se anticipó a diversos descubrimientos de Newton.6. para 4 aproximar π con una precisión de una cifra decimal. desarrolló una aproximación a π con cien dígitos. Cálculo del número π. c) Usa una calculadora o algún software computacional para demostrar que la serie de Srinivasa Ramanujan converge a 1 π . En 1995 se calcularon 6’442. en 1973 Jean Guilloud y Martine Bouyer determinaron el primer millón de cifras a través de una identidad relacionada con la utilizada por John Machin: 1 1 1 π = 48 arctan + 32 arctan − 20 arct tan 18 57 239 En 1983 el número π se calculó hasta con 16 millones de cifras empleando un método distinto. la serie numérica resultante (véase el inciso a) no ofrece una manera práctica de aproximar π debido a que tiene una convergencia muy lenta.450.2: Series de potencias 523 3. por lo que se necesitarían cientos de términos para obtener una precisión razonable. es decir. 8 ∞ ( 4 n )!(1103 + 26390 n ) 1 = ∑ 9801 n= 0 π (n!) 396 4 n . ¿Cuántos términos de la serie se necesitan para esta aproximación? b) Con la serie para arctan(x) en la identidad usada por John Machin. Por ejemplo. ¿Haz pensado alguna vez cómo se desarrolló el decimal del número π con un gran número de cifras? Revisemos un poco su historia. en 2004. usando la identidad: 1 1 π 4 arctan − arctan = 5 239 4 la cual brinda una forma de aproximar π con pocos términos (véase el inciso b). determina el valor que se obtiene con sólo cinco términos de cada una de las series para el arctan (1/5) y arctan (1/239).1) y el hecho de que arctan(1) = π . Sin embargo. una supercomputadora calculó 13. Entre tanto. En 1671 James Gregory (1638-1675) usó la serie de potencias para la función arctan(x) en el caso de que x = 1. En 1706 John Machin (1680-1751).511 trillones de cifras en tan sólo 500 horas de trabajo.000 cifras y. en 1914 Srinivasa Ramanujan (1887-1920) descubrió una serie muy interesante para aproximar el valor de π (véase el inciso c): 8 ∞ ( 4 n )!(1103 + 26390 n ) ∑ 9801 n= 0 (n!) 396 4 n En años más recientes (con el uso de computadoras) se han realizado cálculos más precisos. a) Usa la serie para arctan(x) (véase la tabla 6. 1 2 1 3 1 4 c) f ( x ) = 1 − 1 3 x + 6 x − 10 x + 15 x − ... x2 ⌡0 a) 0.... 2 3 4 a) f ( x ) = 1 − 3x + 6 x − 10 x + 15 x − . 3 1 5 a) x − 1 3 x + 5 x − ... resulta dx c) y = c0 1 + x + d) y = 1 + 1 2! 1 2! d) 1. Al resolver la ecuación diferencial a) y = c1 x + x2 + 1 2! 1 2! 1 3! x 3 + ..84369 b) 0..... x4 + 1 3! x 8 + ... Sugerencia: use tan ( x ) = sen ( x ) .. Indica la serie que representa a la función tan(x). Es la serie que representa la derivada de la función f ( x ) = xn ∑ n! n= 0 ∞ ∞ 1 1− x x2n d) a) b) ∑ (−1)n n= 0 x n+1 n +1 c) ∑ (−1)n (2n)! n= 0 ∞ ∑ (n + 1) x n n= 0 ∞ 1 ⌠ 1 − cos ( x ) dx 5..63984 6. Es la aproximación de con una precisión de cinco cifras decimales.. 4. n ⋅ 4n n =1 ∞ d) [−4.524 Unidad 6: Series de potencias Autoevaluación 1.. 2 b) y = c0 1 + x + x4 + x 6 + . 3 5 1 b) x − 1 6 x + 120 x − . 2) b) (−2. Halla la opción que corresponde con la serie de potencias para f (x) = (1 + x)−3.36849 c) 0. 4 1 5 d) x 3 + 1 2 x + 3 x + . 6] c) (2... Indica la opción que contiene el intervalo de convergencia de la serie a) (−6. cos ( x ) 3 2 5 c) x + 1 3 x + 15 x + . 4) ∑ (−1)n ( x − 2 )n . 3. 2] 2. ..48639 dy − 2 xy = 0. 2 3 4 d) f ( x ) = 1 + x + 3x − 6 x + 10 x − .. b) f ( x ) = 3 − 6 x + 10 x 2 − 15 x 3 + . 1 3! x2 + 1 3! x 3 + . La segunda serie es la integral de la primera..... ∞) j) 0.. 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − .. (− 1 . viii. Las derivadas y las integrales de una serie de potencias tienen el mismo radio de convergencia que la serie original.. 4. (0. ii.. 4] g) 1 2 . por lo tanto... 1] b) 1.... Columna B 1 2 1 4 1 6 1− 2 ! x + 4 ! x − 6 ! x + ..6. 1) 2 2 h) b. { 1 } 2 . 1] c) 4. vi. converge en el mismo intervalo (−4.2: Series de potencias 525 7. 2. 1 3 1 5 1 7 x− 3 ! x + 5 ! x − 7 ! x + . 2] . En la columna B. iii. (−4. El radio de convergencia es 2. 4) y tal vez también en uno o en ambos extremos del intervalo. vii. [−1. 4) d) 1 2 f ) 4. (−1. halla las series de potencias que corresponden con las expresiones de la columna A. 1 2 1 4 1 6 x+ 2 ! x + 4 ! x + 6 ! x + . + cn ( x − a)n + . v. a + b) i) ∞. Columna A a ) x 2 e−3 x 1 b) 1 + x2 i. 3.. 3 5 1 1 1 7 1+ 3 ! x + 5 ! x + 7 ! x + .. iv. (a − b. 1] 2 2 e) 1. Es una serie de la forma ∑ cn ( x − a)n = c0 + c1 ( x − a) + c2 ( x − a)2 + c3 ( x − a)3 + .. 1 2 2 3 3 2 x − 3 x + 4 x − . (− ∞. 2 3 5 9 4 x − 3x + 2! x − 27 3! x + . 8 2 4 6 x + x + x + x + . Los radios e intervalos de convergencia son a) 1. n =0 ∞ donde a es una constante.. (− 1 .... (−4. x 2 n+1 (2 n + 1)! n= 0 ∞ x2n d ) La integral de y = ∑ (−1)n (2 n )! n= 0 c ) La derivada de y = ∑ (−1)n ∞ Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. d) sen x cos x = x − x 3 + x 5 − 3 15 315 8. Las soluciones son 1 a) ∑ x n+1 n! n =0 10.8224 e) 0.. Las soluciones aproximadas son a) 0. Las soluciones son a) 1 2 ∞ ∞ ⌠ ∞ 1 n +1 1 x b) ∫0 xe dx = 1 = ∑ x dx = ∑ ! !( n n n + 2) ⌡0 n = 0 n=0 1 1 d ) 0... n =1 ∞ (−1. Las series e intervalos de convergencia son a) ∑ n (−1)n x n−1.808 b) 0.526 Unidad 6: Series de potencias 5. 3! 5! x 8 x14 x 20 + − + . 2! 4 ! 6! c) e x cos x = 1 + x − x3 x4 − + .000983 b) − 1 2 11.199989 f ) 0... .600 ≤ I ≤ 0. Las series correspondientes a cada función son 1 ∞ 2 ∑ 11 ( x + 3) 11 n = 0 n a) − d) ∑ (−1)n 9n+1 x 2 n+1 n =0 ∞ n=0 ∞ 1 b) ∑ x 3n n =0 ∞ e) n − ∑ 2 ∞ 1 n − 1 x n c) 3 ∞ x ∑− 2 n=0 2 f ) ln 5 − ∑ xn n n=1 n 5 6. n +1 n=0 ∑ ∞ (−1. sustituye en la ecuación y verifica que se satisface)....9461 9. Las series son a) senh x = x + x3 x5 + + . 1] 7.603 c) 0. Demostraciones (calcule y ' y y ''. Las simplificaciones son a) ∑ [ 4(n + 2)(n + 1)cn+2 + cn ] x n n =0 ∞ b) 2 c1 + ∑ [ 2(n + 1)cn+1 + 6 cn−1 ] x n n=1 ∞ 12. 1) b) (−1)n x n +1 . 3 6 b) x 2 cos x 3 = x 2 − 2 2 4 7 x + .804 ≤ I ≤ 0. c) 6. b) 7.org/wiki/N%C3%BAmero_pi .6. c) 4. (d. México. 8a. 3a. Cálculo. 2006. iv. Hostetler.htm 2. conceptos y contextos. 15. a) 3.). b) 2. Edwards.. d) 5. 2. d) y = c0 1 − x 2 − x 4 − x 6 − .). i. (a. El resultado se encuentra dentro del problema. + c1 x + x 3 + x 5 + 3! 2! 5! 7! 4! 6! 14.co/quasar/congreso/agreda. iii. Referencias de Internet 1. (c..) Referencias 1.. Cálculo. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1.. McGraw-Hill. James.wikipedia. ed. México.2: Series de potencias 527 13. vii. (b.eafit.edu. Las soluciones son a) y = c0 ∑ ∞ 1 x3 n = 0 n! 3 ∞ n c) y = c0 − c1 + c1 ∑ xn n! n=1 ∞ b) y = c0 ∑ x n n =0 1 5 45 7 3 21 1 x + . Stewart. 2006. Larson.. Sobre el número π : http://es. Internacional Thompson Editores. El resultado se encuentra dentro del problema. Sobre la función de Bessel en astronomía: http://www1.. ed.). 362 e integral impropia. 466 diferencial. 66-69 volúmenes. 422 E Ecuación(es) diferenciales. 396. 453-454 problemas para trabajar en equipo. 76 Centro de masa y momentos de inercia. 472 y divergencia para la serie “p”. 429 de comparación por desigualdades. 171 Efecto. 343 autoevaluación. 454 autoevaluación. 425. 329 área entre curvas. 503 y divergencia de series geométricas. 313 Criterio(s). 1-72 modelos basados en la. 422 de convergencia. 451 condicional. 84. integrales de potencias trigonométricas. 239 por partes. 182 integral definida. 110 por fracciones parciales. 45-47 impropia. 310 Diferencial. 262 criterios de convergencia. 10 Dipolo eléctrico. 416. 133 método de sustitución trigonométrica. 18 de una función. 446. 433 series de potencias. 283 Estrategias para analizar la convergencia o divergencia de la serie. 495 y presión. de Cauchy para la convergencia de una serie. 448. 249. 447 Curva copo de nieve de Helga von Koch. 415 multiplicador. concepto de. 492 primeras series. 338 ejercicios y problemas. 416. 428. 446 C Cambio de variable para integrales definidas. 453. 446 absoluta. 391 de la integral.Índice analítico A Aplicaciones de la integral. aplicaciones de la integral. 19-20 ejercicios y problemas. 346 Fuerza de gravedad. 263 superficial de sólidos de revolución. 448. 14-18 problemas para trabajar en equipo. 329 problemas para trabajar en equipo. 466 para series arbitrarias. 153 y ecuaciones diferenciales. 262 problemas para trabajar en equipo. 357 problemas para trabajar en equipo de. 403 sustituciones diversas. 447. 453 por límite. 32-36. 88-91 polinomios y series de Taylor. 4-9 e integral definida. 487 Convergencia. 457 F Formas indeterminadas. 14-18 formas indeterminadas. 415 Ejercicios y problemas. 1-4 autoevaluación. 437 D Densidad de masa. 38 entre curvas. 288 Elección entre arandelas y cáscaras cilíndricas. 496 Diseño de lentes. 474 ejercicios y problemas de. directo. 361 y la regla de L Hôpital. 84 logísticas. 264 ejercicios y problemas. 357 integración numérica. 343-87 ejercicios y problemas de. 519 sucesiones. 451 de una serie de potencias. 453 de la razón. 249-342 autoevaluación. 211 teorema fundamental del cálculo. 306 Arreglo de números. 448 de la raíz n-ésima. 513 de primer orden. 335 Área(s) bajo curvas. 250 autoevaluación. 448 de divergencia de una serie. 325 . 495 Divergencia. 5 incremento de una. 301 diferencial. 223 impropias. numérica. 63 P Partición de un intervalo. 382 que incluyen potencias de seno y coseno. 182 problemas para trabajar en equipo. 366 autoevaluación. aplicaciones de la integral. 400 principio de. 202 de potencias de funciones hiperbólicas. 207 por fracciones parciales. primeras series. 379 problemas para trabajar en equipo. 28-32 valor promedio de una. 433 problemas para trabajar en equipo.Índice analítico 529 Función. 213 Notación. 382 de punto fijo. 124 Intervalo de convergencia. 97-109 autoevaluación de. 456 135 del trapecio. 399. 222 autoevaluación. 25 teorema fundamental del cálculo. 200 Radio de convergencia. 73 495 Modelos basados en la diferencial. del ángulo medio. 38 H Hipótesis de inducción. 77 y ecuaciones diferenciales. 492 R Racionalización de funciones irracionales. 404 . de reducción. 505 definida. 484 autoevaluación. 280 185 de cuadratura de Gauss. 175 integrales de integración. 48 y sus propiedades. 522 sucesiones. 131 trigonométricas. 25-27 69 volúmenes. 400 Integración. 249 diferencial de una. de cáscaras cilíndricas. 187 ejercicios y problemas. 185 por partes. 117 problemas para trabajar en equipo. I Inducción. 399 matemática. 405 Regla de L´Hôpital. 48 de Hermite y Heaviside. 37 ejercicios y problemas de. 242 por fracciones parciales. de Kummer. 348. 75. 399 Probabilidad y tiempo de espera. 263 criterios de convergencia. 239 problemas para trabajar en equipo. 511 Razón áurea. 73-247 de potencias trigonométricas. 408 N sustituciones diversas. 234 por partes. 383 ejercicios y problemas. 23-25 de una función. 29 Polinomios de Taylor. 481. 118 de tangente y secante. de iteración. 439 ejercicios y problemas. suma. 37 Integrales binomios. 25 Operaciones con series de de linealidad de la integral potencias. 335 L área entre curvas. 142-151 polinomios y series Taylor. 437 Principio de inducción. 195 92 trigonométrica. 160 integral definida. hipótesis de. 472 Longitud de arco. 159 autoevaluación. 18 M formas indeterminadas. 365. 129 impropias. 151 de sustitución. 487. 407 método de sustitución de Simpson. 409 ejercicios y problemas. 290 O Propiedades. 407 de Lorenz y el índice de Gini. 361 integración Método(s). 10 series de potencias. 97 Problemas para trabajar en equipo. y ecuaciones diferenciales. 113 ejercicios y problemas de. 4 promedio de una. 244 ejercicios y problemas. 111 de fracciones parciales. 242 alemán. 495 Primeras series. 45-47 problemas para trabajar en equipo de. 437 y análisis de errores. 110 problemas para trabajar en equipo. 445. 228 trigonométrica. 414 autoevaluación. 401-02 de productos de seno y coseno con diferente argumento. 111 Integral definida. numérica. 416 de Maclaurin. 290 T Teorema del sándwich. de Euler. 193 autoevaluación. 403 problemas para trabajar en equipo. 205 diversas. 394 de Fibonacci. 426 suma de la. 4. 450 geométrica. 65 Teoría especial de la relatividad. 54-56 de Weierstrass. 64 búsqueda del. 479. 422.530 Índice analítico S Serie(s). 505 problemas para trabajar en equipo. 391 convergencia y divergencia. 37 parciales. 408 y series. 417 Sustitución(es). 416 alternante. 288 problemas para trabajar en equipo. 62. 416. 444 promedio de una función. 491 operaciones con. 416 ejercicios y problemas. 511 ejercicios y problemas. 506 de potencias. 454 concepto de. 487. 38 Volúmenes. 415 de Riemann. 486-87 y Maclaurin. 322 V Valor presente esperado. 405 de sumas parciales. 295 de sólidos con área transversal conocida. 417 “p”. 406 del valor medio para integrales. 519 operaciones con. 409 concepto de. 447 autoevaluación de. 268 Sucesión(es). 391. 389. 397. 524 convergencia de una. 496 Trabajo. 286 ejercicios y problemas. 213 fundamental del cálculo. 481 de términos positivos. 417 telescópica. 392. 213 ejercicios y problemas. 389 Suma(s). 402 asintóticamente equivalentes. 52-54. 503 derivación e integración de. 397 . 445 y negativos. 501 autoevaluación. de infinita. 210 problemas para trabajar en equipo. 416. 57-61 demostración del. 522 de Taylor. 424. 481. 416 Sólidos de revolución. 266 autoevaluación.