Rubén Gómez García – 11111354ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Índice Notación sumatoria ............................................................................................................................. 2 Sumas de Riemann .............................................................................................................................. 3 Definición de serie............................................................................................................................... 5 Serie numérica y convergencia. Prueba de la razón (Criterio D’ Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy) ............................................................................................................................. 5 Serie de potencia................................................................................................................................. 7 Radio de convergencia ........................................................................................................................ 8 Serie de Taylor................................................................................................................................... 11 Representación de funciones mediante la serie Taylor ................................................................... 13 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. ............................................. 16 Bibliografía ........................................................................................................................................ 17 1 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Notación sumatoria En matemáticas se requiere la suma de grandes cantidades de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben: X1 +X2 +X3 +…+Xn En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n. La letra griega sigma mayúscula (∑ ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones. La notación se lee Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n. Ejemplo: X1 =3, X2 =9, X3 =11 Encontrar: Solución: 2 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Sumas de Riemann En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: Teniendo los intervalos: La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente: donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux. Para esta suma es importante saber las siguientes identidades: Sabiendo que: Podemos obtener las siguientes igualdades: 3 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 (donde C es constante) Ejemplo: Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función: ,límites La suma de Riemann representa la suma de las areas sobre el eje eje ; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje . , menos la suma de las areas debajo del 4 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Definición de serie Una sucesión es una lista de números en un orden dado. Cada al, az. a3, etcétera, representa un número. Éstos son los términos de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión a1,a2,a3….an,… en un orden dado. Cada al, az. a3, etcétera, representa un número. Éstos son los términos de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión 2,4,6,8,10, 12, ... , 2n, .. tiene primer término al = 2, segundo término = 4 Yn-ésimo término an = 2n. El entero n se denomina índice de a" e indica en dónde aparece a" en la lista. El orden es importante. La sucesión 2, 4, 6, 8, ... no es la misma que la sucesión 4, 2, 6, 8, ... Podemos considerar a la sucesión como una función que envía ella al, 2 a ai, 3 a a3 Yen general envía el entero positivo n al n-ésimo término a". Con mayor precisión, una sucesión infinita de números es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. La función asociada a la sucesión 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... , 2n, ... Envía 1 a = 2, 2 a = 4 y así sucesivamente. El comportamiento general de dicha sucesión se describe por medio de la fórmula an = 2n. Serie numérica y convergencia. Prueba de la razón (Criterio D’ Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy) En matemáticas, una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función. Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R), como las cuestiones de pedido. Las secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positivos enteros (2, 4, 6 ,…). secuencias finitos se conocen como cadenas o palabras y secuencias infinitas como los arroyos. La secuencia vacía () se incluye en la mayoría de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en función del contexto. 5 Rubén Gómez García – 11111354 Ejemplos y notación ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Hay muchas diferentes nociones de secuencias en las matemáticas, algunas de las cuales ( por ejemplo, la secuencia exacta ) no están cubiertos por las anotaciones que se presentan a continuación. Además de identificar los elementos de una secuencia por su posición, como “la tercera elemento”, elementos que pueden dar los nombres de referencia conveniente. Por ejemplo, una secuencia podría ser escrito como ( un uno , un dos , un dos , …), o ( b 0 , b 1 , b 2 , …), o ( c 0 , c 2 , c 4 , …), dependiendo en lo que es útil en la aplicación. Finito y lo infinito Una definición más formal de una secuencia finita con los términos de un conjunto S es una función de {1, 2, …, n } a S por alguna n > 0. Una secuencia infinita de S es una función de {1, 2, … A} S. Por ejemplo, la secuencia de números primos (2,3,5,7,11, …) es la función 1 → 2 , 2 → 3 , 3 → 5 , 4 → 7 , 5 → 11 , …. Una secuencia de longitud finita n es también llamado n -tupla; secuencias finitas incluyen la secuencia vacía () que no tiene elementos. Una de las funciones de todos los números enteros es que en un conjunto a veces se denomina secuencia infinita-bi o dos vías secuencia infinita. Un ejemplo es la secuencia bi-infinita de todos los enteros pares (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8 …). Multiplicativo Deja una = (una secuencia definida por una función f : {1, 2, 3, …} → {1, 2, 3, …}, de tal manera que un i = f (i). La secuencia es multiplicativo si f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) para todo x , y tales que x e y son primos entre sí. Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón) Sea una serie Si existe , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos). con , el Criterio de D'Alembert establece que: si L < 1, la serie converge. si L > 1, entonces la serie diverge. si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe. 6 Rubén Gómez García – 11111354 Criterio de Cauchy (raíz enésima) ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe , siendo Entonces, si: L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente. L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión. Serie de potencia Una serie de potencias es una serie de la forma: donde es una variable y las son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada establecida, la serie (1) es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función. cuyo dominio es el conjunto de todas las que términos. para las cuales la serie es convergente. Observe tiene una cantidad infinita de es parecida a un polinomio. La única diferencia es que 7 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Ejemplo: Para que valores de la serie es convergente? como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, Al aplicar la regla de comparación. Si denota con después Si . Según la regla de comparación, la serie es divergente cuando converge cuando . En estos términos, la serie dada Radio de convergencia En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dado por la expresión: Defiincion: Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en que verifica que absolutamente para un conjunto de valores de valores de pertenecientes al intervalo , . La serie converge , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los , ya que la convergencia para los , . Si lo hace para cualquier extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para valor de , . 8 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Ejemplos: Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado. Radio de convergencia finito La función potencia en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de , tiene el siguiente aspecto: . (para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al ejemplo el mismo que remplazarlo en la función, de hecho es menor que . Eso significa , por , entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el . (la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado . Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente: , los más . 9 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Distancia a la singularidad El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función su desarrollo con centro tiene la forma: . Pero en este caso su radio de convergencia es distancia del centro a la singularidad: ejemplo: . Notemos que la función y . Esto será siempre tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente en Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador. Radio de convergencia infinito Por ejempo, la función puede desarrollarse en series de potencia de , de hecho y esto vale para todo real . por eso el radio de convergencia será infinito. 10 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Serie de Taylor. En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma: La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo). Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llamaanalítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. 11 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Si a = 0, a la serie se le llama serie de McLaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias: que puede ser escrito de una manera más compacta como donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y y son ambos definidos como uno. Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma que función desarrollaría siempre se puede hacer el cambio de variable en la función a desarrollar original) para expresarla como alrededor de a = 1 se puede tomar centrada en 0. (con lo centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la , de manera que se A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x. 12 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Representación de funciones mediante la serie Taylor Función exponencial y logaritmo natural Serie geométrica Teorema del binomio para y cualquier complejo Funciones trigonométricas. Donde Bs son los Números de Bernoulli. 13 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Funciones hiperbólica Función W de Lambert Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son números de Euler. La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de variables: 14 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 donde es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es: Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así: donde es el gradiente y es la matriz hessiana. Otra forma: Aplicaciones: Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones. Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc. 15 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR Se incluye la serie de Taylor como una herramienta para la representación de funciones como una serie de potencias. También para calcular integrales definidas de funciones con primitivas difícil de determinar. La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas. Fórmula de Taylor f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f(n)(a) (x-a) n Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si derivable (1a) veces en el intervalo cerrado [ , 1 ≥ 0 es un entero y ]y una función que es ), +1 veces en el intervalo abierto ( , entonces se cumple que: O en forma compacta (1b) 16 Rubén Gómez García – 11111354 ITCJ Calculo Integral – Unidad 5 Ejemplo: Exprese Como serie de TAYLOR -ésimas : Solución: Hallamos las derivadas . . . . . . Bibliografía: Libros: Cálculo, Una variable - George B Thomas Jr - 12ava. Ed. Vol.1 Enlaces: http://es.wikipedia.org http://www.wikimatematica.org http://mhdezascencion.blogspot.mx 17