1. Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = <1+t, 2+5t, -1+6t>.a) x = t; y = 2+5t; z = -1+6t b) x = 1+t; y = 2+5t; z = -1 c) x = 1+t; y = 2+5t; z = -1+6t d) x = 1-t; y = 2+5t; z = -1+6t e) x = 1+t; y = 2+5t 2. Encontrando Primitivas: Seja ((cost)i+3t²)j dt, qual a resposta correta? a) (sent)i + t³j b) –(sent)i – 3tj c) (cost)i – 3tj d) (cost)i + 3tj e) (cost)i – sentj + 3tk 3. Calcule 140x32eyx dydx. a) e-1 b) 7 c) 7e-7 d) 7e e) e7 4.y. Determine o vetor posição s(t) de uma partícula que se move em função do tempo t.y²+2.y. 0 com uma velocidade v0=2i+j. 6. 7. Verifique se a função fx.z2-2.z² é harmônica. 5.z=3. sabendo-se que o vetor aceleração é dado pela equação vetorial at=eti-t.x.y-3. Encontre o vetor velocidade e aceleração da partícula no instante t.x. Esboce a região limitada pelas funções x= -y² e y=x+2 expressando a área da região como uma integral dupla iterada e encontre o valor de sua área. .etj+6tk e que primeiramente (t=0) a partícula saiu de um ponto P1.x². 1. Seja rt= eti+ 29e2tj a posição de uma partícula no plano xy no instante t. Calcule a integral tripla 010π0πy sen zdxdydz. Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial rt=6t³i-2t3j-3t³k. 10. Depois encontre a área da região. 9. A integral 0π4senxcosxdydx fornece a área de uma região no plano xy. escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Se rt=2cost i+sent j+2t k. então a integral definida: 0π2rtdt é: a) 2i-j + π²4k . a) 21 b) 14 c) 28 d) 49 e) 7 12. identifique cada curva limite com sua equação.8. 11. Resolva a equação diferencial para r como função vetorial de t: drdt=t3+4ti+tj+2t²k com a condição inicial: r0=i3j. considerando 1≤t ≤2. Esboce a região. b) 2i+j+ π²4k c) 2i+j+π2k d) i-j. a) -6senx+3ycos (x+3y) b) senx-3ycos (x-3y) . y=sen²(x-3y).π²4k e) i+j. a) ∂f∂x= -y2+1(xy-1) e ∂f∂y= -x2-1(xy+1) b) ∂f∂x= -y³(xy-1)² e ∂f∂y= -x³(xy-1)² c) ∂f∂x= -y2-1(xy-1) e ∂f∂y= -x2-1(xy-1) d) ∂f∂x= -y-1(xy-1)² e ∂f∂y= -x-1(xy-1)² e) ∂f∂x= -y2-1(xy-1)² e ∂f∂y= -x2-1(xy-1)² 14. y= x+yxy-1. Encontre ∂f∂y.π2k 13. Seja a função fx. Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função fx. Se rt=2cost i+sent j+2t k. Calcule a integral tripla 1e1e1e(lnrlnslnt) dtdrds no espaço rst.c) -6senx-3ycos (x-3y) d) -6sen(x-3y) e) senx-3ycos (x-3y) 15. Sendo x=coswt. 16. então: rtdt é: a) sent i – t² k + C b) –cost j + t² k + C . qual é o resultado da soma: d²xdt²+w²x? a) -wsen(wt) b) w2senwtcos (wt) c) w² d) cos²(wt) e) 0 17. a) -6(2x+3y)³ b) (2x+3y)² c) -6x-y(2x+3y)² d) -6(2x+3y)² e) -62x+3y 21. A integral 03-x2x-x²dydx fornece a área de uma região no plano xy. Encontre a equação do plano que passa por (3. encontre ∂²w∂y∂x.(i+xj+2xk). -2. Encontre uma função potencial f para o campo F= ey+2z.c) πsent i-cost j+t2k+C d) 2sent i + cost j – t² k + C e) 2sent i – cost j + t² k + C 18. Esboce a região. . escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região. 5) e é paralelo ao plano de equação x+2y-4z=6. 20. 19. Seja a função w=ln2x+3y. identifique cada curva limite com sua equação. 22. a) x²+ 3y²2+C b) x²+2z²+C c) x²+ 3y2+2z²+C d) x+ 3y²2+2z²+C e) x²+ 3y²2+2z²+C 23. . Encontre ∂f∂x. y=sen²(x-3y). Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: rt=eti+29e2tj-2etk no instante t=ln3. a) at=e3i+ 29e3j-2e3k b) at=3i+ 89j-6k c) at=e³i + 29e³j-2e³k d) at=e³i+2e³j-4e³k e) at=3i+8j-6k 24. Seja a função fx. Encontre uma equação potencial f para o campo F=2xi+3yj+4zk. a) 2cosx-3y b) 2senx+3ycos (x+3y) c) 2sen(x-3y) d) 2sen(x-3y)cos (x-3y) e) senx-3ycos (x-3y) 25. 27. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição rt=3costi+3sentj+t²k. encontre o módulo da velocidade da asadelta em qualquer instante t. 28. y= x³+ y223. Verifique se a função fx. 4π]. Calcule a integral 04012y24cosx²2zdxdydz mudando a ordem de integração de maneira apropriada. z=x. 29. Calcule ∂f∂x e ∂f∂y para a função fx. y.sen x. 26. sen x+z. Para o intervalo de tempo [0. Esboce a região limitada pelas funções y= ex.cosy é harmônica.cosy+y. . y=0. x=0 e x=ln2 expressando a área da região como uma integral dupla iterada e encontre o valor de sua área. et. 1+tet) 33. z=lnxyz em P(1. 1) na direção do vetor u=(3. 32. tet). a) 3 b) 23 c) 32 . 1+tet) b) (t. Determine a derivada direcional de fx. y= x²+xy+2y² no ponto P0(2. 1-tet) e) (2. Calcule a integral 1e1e1e1xyz dxdydz. 31. -4). Os conceitos e aplicações de derivada direcional e gradiente de uma função são ferramentas matemáticas de grande utilidade na Engenharia onde se buscam as respostas para uma série de perguntas. 2. 1+tet) d) (2t. et. et. 2) na direção do vetor v= i+j-k. et. 2+tet) c) (2t. Encontre a derivada direcional da função fx.30. Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição rt=(t2. a) (t. et. et. y. Indique a única resposta correta. a) aw2coswt i +aw2senwt j b) -aw2coswt i-awsenwt j c) -w2coswt i-w2senwt j d) -aw2coswt i-aw2senwt j e) aw2coswt i-aw2senwt j 35. 36. Indique a única resposta correta que determina a aceleração em um tempo t qualquer. y= cos²(3x-y2).d) 22 e) 33 34. Encontre a ∂f∂x para y²-x2-senxy=0 usando derivação implícita. Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função fx. Observação: a>0. . Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por rt=acoswt i+asenwt j. Encontre o valor de ∂R∂R2 quando R1=30. Encontre o volume da região formada pelo cilindro z = y² e o plano xy que é limitado pelos planos x = 0. y) = x² + 3xy + y – 1. Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x² + 3y² e z = 8 – x² . R2 e R3 ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms. a) 82 b) 8π3 c) 2 d) 8π2 e) π2 40.37. -5) se f(x. . Encontre os valores de ∂f∂x e ∂f∂y no ponto (4. 38. R2=45 e R3=90 ohms. o valor de R pode ser encontrado a partir da equação 1R= 1R1+ 1R2+ 1R3. x = 1. 39.y². Se resistores elétricos de R1. y = -1 e y = 1. Conforme a afirmativa. derivadas de uma função tantas vezes quantas forem necessárias. 44. Não existe nada que prove ao se tomar. 46. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por rt=t³i+t²j. sucessivamente. 42. π]. 2). Encontre a velocidade da partícula enquanto ela se move sobre o ponto (2. 43. que as funções derivadas permanecem diferenciáveis em cada estágio. Uma partícula se move ao longo do topo de uma curva y² = 2x da esquerda para a direita a uma velocidade constante de 5 unidades por segundo. Calcule a integral tripla iterada 0309-x²09-x²dzdydx. Encontre um vetor tangente unitário da curva rt=6sen 2ti+6cos2tj+5tk para t pertencente ao intervalo [0. Determine a velocidade do objeto no instante t=1. a) t²i + 2j b) 2tj c) -3t²i + 2tj d) 0 . determine as derivadas de todas as ordens da função polinomial fx=3x5-2x4+5x2+2x-8. 45.41. Calcule a integral tripla: I=0103-3x03-3x-ydzdydx. Calcule a integral de linha C 2x-3y-z-1ds onde C é o segmento de reta de P(1. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de -1101-x²dydx. 1. a) 0 b) π2+1 . 49. A posição de uma partícula é dada pela seguinte função vetorial: rt= 1-t2+t². 50. a) 12 b) π2 c) π2+3 d) 3 e) π 48. Encontrar a função vetorial para a velocidade da partícula. 0) a Q(3.e) 3t²i + 2tj 47. 2). ln (t)2+sen(t). 2. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar -11-1-x²1-x²dydx. sempre da mesma forma.O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes. 4 d) 1. de diferentes maneiras.O cálculo de integrais duplas (ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas (ou três) integrais simples. 3. 5 e) 1. 4 52. 5 . 2.c) 2 d) π2 e) π 51. 3.O cálculo de integrais duplas (ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas (ou três) integrais simples.O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras diferentes. 5 c) 2. Calcule a integral A= 120πr² dr e indique a única resposta correta. 4. 2 . a) -π b) π³6 c) 2π d) π²3 e) 0 . 3. 3 .A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. Considere as seguintes informações: 1 . 3 b) 2. segundo o sistema de coordenadas considerado. 4 . As seguintes informações são verdadeiras: a) 1. 54. l(t))dt onde ds=vtdt. r(t) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Quando uma curva r(t) = g(t)i + h(t)j + l(t)k. calcula-se a integral de linha de f(x. ht. zds= abf(gt. Portanto C fx. z) no espaço. y. h(t). a≤t≤b passa pelo domínio de uma função f(x. l(t)). a) 324 b) 233 c) 423 d) 2 e) 1 . Calcule a integral de linha C (x2+y2+z2) onde C é a hélice circular dada por rt=senti+costj+tk. y. 0≤t≤1. z) ao longo da curva. Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante t = 0 para rt=lnt2+1i+tg-1 tj+(t2+1)12k. os valores de f ao longo da curva são dados pela função composta f(g(t).53. Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de t = a a t = b. y. 57.c. 5). d) 28 u. 2.c. Encontre o coeficiente angular da tangente à parábola em (1. encontre o comprimento da curva rt=3t3i-2t3j-6t3k. a) 49 u. e) 21 u. b) 14 u. 56. .c. O plano x = 1 apresenta intersecção com a paraboloide z = x² + y² em uma parábola. Calcule a integral C xydy-y²dx onde C é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x = 1 e y = 1. 1≤t≤2.c. c) 7 u. a≤t≤b é dada pela fórmula L= abdxdt2+ dydt2+ dzdt2dt= abvtdt.c.55. Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa rt=xti+ytj+ztk.