Calculo Financeiro

Anderson Ribeiro DuarteNotas de Aula de C´ alculo Financeiro Universidade Federal de Ouro Preto Índice 1 Porcentagem 1.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Razão centesimal . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Forma porcentual . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Forma unitária . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Aumentos e redu¸c˜ oes porcentuais . . . . . . 1.7 Aumentos e redu¸c˜ oes porcentuais sucessivos 1.8 Outros Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Exerc´ıcios - Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 5 5 6 6 7 8 9 11 13 2 Juros 2.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . 2.2 Regimes de Capitaliza¸cão . . . . 2.3 Exerc´ıcios - Aula 2 . . . . . . . . 2.4 Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 17 24 25 . . . . . . 28 28 28 31 32 35 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Estudo das taxas 3.1 Taxas proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Taxas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Taxa nominal e Taxa efetiva . . . . . . . . . . . 3.4 Taxa de Juros Real × Taxa de Juros Aparente 3.5 Exerc´ıcios - Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Desconto na capitaliza¸ c˜ ao simples 39 4.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Valor nominal, valor atual e prazo de antecipa¸cão . . . . . . . 40 1 2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Desconto . . . . . . . . . . . . . . . . . Desconto por dentro (racional ou real) Desconto “por fora” ou comercial . . . Desconto na capitaliza¸cão simples . . . Exerc´ıcios - Aula 4 . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 40 40 44 46 5 Desconto na capitaliza¸ c˜ ao composta 49 5.1 Descontos compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Exerc´ıcios - Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6 Equivalˆ encia financeira na capitaliza¸ c˜ ao simples 6.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Equivalência na capitaliza¸cão simples . . . . . . . 6.3 Exerc´ıcios - Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 56 57 62 64 7 Equivalˆ encia financeira na capitaliza¸ c˜ ao composta 66 7.1 Equivalência na capitaliza¸cão composta . . . . . . . . . . . . 66 7.2 Exerc´ıcios - Aula 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8 S´ eries, Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento delo B´ asico - Valor atual) 8.1 Modelo Básico - Valor atual . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Defini¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Classifica¸cão das Anuidades . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Modelo Básico de Anuidade . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Valor atual do modelo básico . . . . . . . . . . . 8.5 Exerc´ıcios - Aula 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 8 . . . . . . . . . . . . . (Mo- 9 S´ eries, Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento delo B´ asico - Montante) 9.1 Modelo Básico - Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Exerc´ıcios - Aula 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Exerc´ıcios - extra-classe - Aula 9 . . . . . . . . . . . . . (Mo- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 76 76 77 79 82 83 86 86 89 90 . . 11. . . . .1. . . . . . . . .Aula 13 . . .1 Introdu¸cão . . . . mais parcelas intermediárias iguais . . . . .extra-classe . . . . . .extra-classe . . . . 12 Sistema de Amortiza¸ c˜ ao Constante 12.Com carência .4 Exerc´ıcios . . . 99 99 101 108 109 e Sistema de 121 . . . . . . 113 . . . . . . 10. . . 121 . . . . . 13. . . . . . . . . .1. . . .2 SAC . 10.Aula 10 . . . . . . . . . .Aula 10 . . 116 . .1 Introdu¸cão . .Aula 11 . . . 10. . . . .SAA . . 10. . . . . . 12. . . . .3 SAC . . . . . . 126 . . . . . 92 92 92 93 93 94 94 96 97 11 Sistemas de amortiza¸ c˜ ao de empr´ estimos .1. . . . . . . . . .Sistema de amortiza¸cões variáveis 13. . . . . . . . . . . . . . . SAC . . . . . . 11. . . . . . . . . . . 124 .Tabela Price 11.4 Anuidade composta por duas anuidades diferidas em sequência .1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . .extra-classe . . . . . . . .Aula 11 . .Sistema Price . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . segundo o modelo básico. . 12. . . . . . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . . . .5 Exerc´ıcios . .3 Anuidade com termos constantes. . . . . . . . . . . . .1 Anuidades Diferidas . . . . . . . .3 Exerc´ıcios . . . . 13 Sistema de Americano de Amortiza¸ c˜ ao . . . . . .4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . .3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . 128 . . . . . . . . . . . . . . 13. . . . . . . . . . . . . . . .2 Anuidade em que o per´ıodo dos termos não coincide com o da taxa .4 Exerc´ıcios . . .SAA Amortiza¸ c˜ oes Vari´ aveis 13. . . . 118 . . 123 . 12. . . . . . . 10. . . . . . . . . . . . . . . 13. .1. .5 Anuidades variadas . . . . . . . . . . 111 . . . 10. .Sem carência . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . .Aula 12 . . . 12. . . . . .2 Exerc´ıcios . . . .3 10 S´ eries. . . . Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento (Modelo Gen´ erico) 10.Aula 12 .1 Fundo de amortiza¸cão . . . . .extra-classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. .2 Introdu¸cão . . . . . .2 Sistema de amortiza¸cão francês . . .3 Exerc´ıcios . . . .1 Modelo Genérico .Aula 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . Aula 1 : Porcentagem Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Relembrar os conceitos de razão centesimal. porcentual. • Rever os conceitos envolvidos no calculo da porcentagem. • Entender e resolver os problemas propostos. 4 . unitária. 5%. Exemplo 1. 3 30 Exemplo 1. • O dólar baixou no mês de Janeiro cerca de 1. 12 = 12% (doze por cento) 100 3 = 3% (três por cento) 100 .2.5%. 1. Exemplo 1.2. ´ındice ou taxa porcentual e percentil.3.2. descontos de até 40%. • A alta dos pre¸cos no mês de Janeiro foi de 2. 3 em cada 10 −→ = 30 em cada 100 10 100 40 2 40 em cada 100 2 em cada 5 −→ = 5 100 25 1 25 em cada 100 1 em cada 4 −→ = 4 100 Outros nomes usados para uma razão centesimal são raz˜ ao porcentual.1.2. 1. assunto que passaremos a estudar agora.1. Chamamos de raz˜ ao centesimal a toda raz˜ ao cujo conseq¨ uente (denominador) seja igual a 100.1. • As mulheres constituem cerca de 53% da popula¸cão brasileira. 37 em cada 100 −→ 37 100 19 em cada 100 −→ 19 100 Diversas outras razões não centesimais podem ser facilmente reescritas na forma centesimal. Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem.2 Raz˜ ao centesimal Defini¸ c˜ ao 1.5 1.1 Introdu¸c˜ ao No nosso cotidiano e comum ouvir expressões do tipo: • Liquida¸cão de verão.3 Forma porcentual Uma razão centesimal pode ser indicada na forma porcentual anotando-se o antecedente (numerador) da razão centesimal seguido do s´ımbolo % (lê-se por cento). rendimento. igual a p% de B quando o valor A for igual a 100 p A é p% de B ⇐⇒ A = × B.005 0. B é a referência do c´ alculo porcentual. A .06 = 0.3. 20 Solu¸c˜ ao × 250 = 50 ou 0. preju´ızo. A e B .4 Forma unit´ aria Além da forma porcentual. abatiE mento. Calcular 20% de 250.23 23% = = 0.1. ou p em fun¸cão dos outros dois. ´ comum encontrarmos as expressões: lucro.33 133% = = 1. desconto.5. etc.5.5.005 = 100 1 6% = Porcentagem Defini¸ c˜ ao 1. dizemos que A ´ e p do valor B.23 = 100 1 133 1. B.5.33 = 100 1 1.20 × 250 = 50 100 Exemplo 1. 30 é igual a 20% de quanto? 20 3000 Solu¸c˜ ao × x = 30 =⇒ 20x = 3000 =⇒ x = = 150 100 20 Exemplo 1. indicando uma porcentagem em situa¸cões espec´ıficas e a expressão principal indicando o valor de referência que corresponde a 100%. ou seja 140% 100 15 . de determinarmos um dos valores dados na expressão acima.2. p A forma unitária da razão é o n´ umero decimal que obtemos dividindo 100 o valor p por 100. basicamente. Dados dois n´ umeros quaisquer.6 1. Exemplo 1. Exemplo 1. 100 Dizemos ent˜ ao que A é uma porcentagem do n´ umero B.1.4.5 6 0.06 = 100 1 0. ou seja.1.5% = = 0. Todo problema de porcentagem depende. 21 representa quanto por cento de 15? x 21 × 100 Solu¸c˜ ao 21 = × 15 =⇒ x = = 140. 23 0. existe uma outra forma de expressarmos uma razão porcentual a qual chamamos de forma unit´ aria.5 0. 103. 70 = 0. 130 Solu¸c˜ ao (100 + 30)% = 130% = = 1. calcular aumentos e redu¸cões porcentuais de modo mais rápido. para obter. Reduzir o valor 300 em 30%. ficamos com (100 − p)% de V .2.4% = = 1.7 1. respectivamente. basta multiplicar o valor V pela forma unitária de (100 + p)% para termos o resultado desejado. conforme o caso desejado.6.6.70 = 210 . Exemplo 1.6 Aumentos e redu¸c˜ oes porcentuais Quando queremos calcular um aumento ou uma redu¸cão de p% sobre determinado valor. calculamos a porcentagem p% do valor dado.034 = 413. 2. Então.4 Solu¸c˜ ao (100 + 3. normalmente somos levados a calcular o resultado em duas etapas: 1. o valor aumentado ou reduzido em p% do valor dado.4%. Exemplo 1. Então basta multiplicar o valor V pela forma unitária de (100 − p)% para termos o resultado desejado. Usando a forma unitária. poderemos.034 (fator de corre¸ c˜ ao) 100 400 × 1. adicionamos ou subtrairmos do valor original a porcentagem encontrada.4)% = 103. ficamos com (100 + p)% de V . Aumentar o valor 230 em 30%.1.30 (fator de corre¸ c˜ ao) 100 230 × 1.30 = 299 Exemplo 1.6.6 Para calcular uma redu¸ c˜ ao de p% Quando reduzimos em p% um valor V . da seguinte forma: Para calcular um aumento de p% Quando aumentamos em p% um valor V . Aumentar o valor 400 em 3.3.70 (fator de corre¸ c˜ ao) Solu¸c˜ ao (100 − 30)% = 70% = 100 300 × 0. 20% e 30%. .50 .4.30 = 3432 Exemplo 1.95 × 0. (100 − p2 )%. basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de (100 + p1 )%.5 Solu¸c˜ ao (100 − 2. 97. a partir do segundo. basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de (100 − p1 )%. incida sobre o resultado do aumento anterior.5)% = 97. .6. Aumentar o valor 2000 sucessivamente em 10%. Exemplo 1.10 × 1.90 × 0.8 Exemplo 1. . . Solu¸c˜ ao 2000 × 1.1. p2 %.7. . (100 − pn )%.2.975 = 390 1. Se o valor 4000 sofrer três redu¸c˜ oes sucessivas em 5%. Solu¸c˜ ao 2000 × 0. qual o valor resultante? Solu¸c˜ ao 4000 × 0. de tal forma cada uma das redu¸c˜ oes.7.7 Aumentos e redu¸c˜ oes porcentuais sucessivos Aumentos sucessivos Para aumentarmos um valor V sucessivamente em p1 %.05 × 1. incida sobre o resultado do aumento anterior. a partir do segunda.70 = 1008 Exemplo 1. 20% e 30%. Se o valor 4000 sofrer três aumentos sucessivos em 5%. Reduzir o valor 400 em 2.975 (fator de corre¸ c˜ ao) 100 400 × 0.5%.95 × 0.80 × 0. . qual o valor resultante? Solu¸c˜ ao 4000 × 1. pn %. Exemplo 1.20 × 1. p2 %. . . (100 + pn )%.50 Redu¸ c˜ oes sucessivas Para reduzirmos um valor V sucessivamente em p1 %.05 = 4630. . Reduzir o valor 2000 sucessivamente em 10%. .7.3. .05 × 1. .95 = 3429. . (100 + p2 )%. .4. . .5% = = 0. de tal forma que cada um dos aumentos.7. pn %. 00 .40 e ent˜ ao. A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$26.40 e portanto. 0. os 10% de servi¸co e quanto fica o total da despesa se nela incluirmos a porcentagem referente ao servi¸co? Solu¸c˜ ao Servi¸co 10% de 26. Qual o pre¸co de cada um deles? Solu¸c˜ ao Representaremos os pre¸cos de A.04 × 10.4.84c = 28. O pre¸co de um produto A é 30% maior que o de B e o pre¸co deste é 20% menor que o de C. Multiplicar o pre¸co de uma mercadoria por 1.28 Solu¸c˜ ao 1.60 = 28.0428% = = (104. portanto 2040 corresponde ent˜ ao a 68% do total.28)% = (100 + 4. a = 1.28)% 100 4. ou seja a = 1.1 = 28.0428 equivale a dar-lhe um aumento de quantos por cento? 104.00 = 8.28% Exemplo 1.00.3. B e C por a. Como a + b + c = 28.00 e da´ı.8. ao todo. portanto tem-se que: a = 1. 32% dos clientes s˜ ao pessoas jur´ıdicas e os outros 2040 s˜ ao pessoas f´ısicas. Quanto representa. Numa pequena agência banc´ aria. Sabe-se que A. a = 1.8. R$28. Quantos clientes.8c + c = 28.1. (100 − 32)% = 68% corresponde ent˜ ao ao porcentual de pessoas f´ısicas. c = 10. B e C custaram juntos. ou seja.00 = 10.8c e da´ı ent˜ ao.9 1. temos que: 1.00 × 1.04c + 0. logo o total de clientes ser´ a dado por: 2040 × 100 = 3000 68 Exemplo 1. b e c respectivamente.60 Exemplo 1. tem esta agência? Solu¸c˜ ao O total de clientes corresponde a 100%.40 e b = 0.8 Outros Exemplos Exemplo 1. 2.04c.8.00 = 2.3b e b = 0.8c. em dinheiro.8 × 10.60 Total da despesa 26.10 × 26.40.2.60 ou 26.3 × 0.00 e trazia a seguinte observa¸ca õ: “N˜ ao inclu´ımos os 10% de servi¸co”.8.40.00 + 2. 00? Solu¸c˜ ao O termo sobre a venda.0 × 100 = 200.00 e 160. Temos ent˜ ao que o pre¸co de custo corresponde a (100 − 20)% = 80% do pre¸co de venda. Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre a venda.00 da´ı o pre¸co de venda ser´ a dado por 80 .5.10 Exemplo 1. Qual o pre¸co de venda desta mercadoria se o seu pre¸co de custo foi de R$160.80 corresponde a 160. ou seja. portanto devemos fazer o pre¸co de venda corresponder a 100%.8. 0. indica que o valor de referência (principal) dever´ a ser o pre¸co de venda. . Após um mês................................................................................................................................. Antonio ganha 30% as mais que Beatriz e Carlos 20% a menos que Antonio........... 1.............00 tiver seu pre¸co reajustado sucessivamente em 5% e 10%.......................................................Aula 1 data ..... respectivamente............./........................................................................... Um preju´ızo de 50% sobre o pre¸co de custo de uma mercadoria corresponde a quantos por cento se for calculado sobre o pre¸co de venda? ...00........................ Se um produto que custa R$40.. qual será o seu pre¸co final? ............................................... Qual foi a rentabilidade do capital de Vidal nesse mês? ................................................................... 4... Vidal investiu 30% do seu capital em um fundo de a¸cões e o restante em um fundo de renda fixa...................................................................... qual é o salário de Beatriz? ............. as quotas dos fundos de a¸cões e de renda fixa haviam se valorizado 8% e 2.................................. 3............................................. ..................40%..................../................................ nome:... 2............................. Se a diferen¸ca entre os salários de Antonio e de Carlos é de R$130...........................11 1.......................................................9 Exerc´ıcios ..... nome:.. nome:.......................................................................................... ......................... sobre os salários de maio? ............ . Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50% sobre os salários de abril........ Sabendo-se que ela havia recebido em maio uma antecipa¸cão de 20%... descontadas as antecipa¸co˜es.............................................. qual do aumento obtido em junho..12 5.................. ............................. Em determinado mês o vendedor recebeu l´ıquido... 10% mais cara..00.................... qual será o seu pre¸co final? ................ Comprei numa promo¸cão uma cal¸ca e uma camisa....... eu gastaria 16% a mais..............00..... Após o término da promo¸cão................ 125 .....Aula 1 1................. Se comprasse as mesmas duas pe¸cas pagando esses novos pre¸cos....... 2.................................. Um lucro de 25% sobre o pre¸co de custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento se for calculado sobre o pre¸co de venda? ..... Quanto me custou a mais a cal¸ca em rela¸cão à camisa? ....................... O salário de um vendedor é constitu´ıdo de uma parte fixa igual a R$2300........................ um de 5% e outro de 10%......................00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$10000................... Se dermos dois descontos sucessivos.......................................10 Exerc´ıcios ............................00...... Estima-se em 10% o porcentual de descontos diversos que incidem sobre o salário bruto................................. 3......................... o valor de R$4500. Quanto ele vendeu nesse mês? ........................................... a uma mercadoria que tem pre¸co inicial de R$40...... .......... a cal¸ca ficou 20% mais cara e a camisa.........13 1........... Expresse a fra¸cão 31 em porcentagem....extra-classe ................................ 5................ 4......................................... ........................ Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? ............ .......................... 7............ Um vestido é vendido por R$250..... Suponha que em certo bimestre a infla¸cão foi de 5% e 4% ao mês.......................................... Qual a infla¸cão acumulada nesse bimestre? . Um certo produto podia ser comprado há alguns meses por 20% do seu valor atual....... 8...........14 6................................................ respectivamente....................................................................................................................................... em quanto diminui por mês o seu poder de compra? ............................. 9.....00 ou então por R$80................. Se os pre¸cos sobem 25% ao mês e o seu salário não se altera.... Qual a porcentagem de aumento sofrido pelo produto neste mesmo per´ıodo? ..................50 após 40 dias.............................00 de entrada..................... mais uma parcela de R$178.... taxa de juros e per´ıodo de capitaliza¸cão. • Entender e fazer o discernimento entre os regimes de capitaliza¸cão.Aula 2 : Juros Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender e definir o conceito de juros. • Entender e resolver os problemas propostos. 15 . Quando aplicamos um capital (principal) durante um per´ıodo de tempo (n).1. Após este per´ıodo. mês. Taxa = Juros Capital A Taxa pode ser: 1.1. Defini¸ c˜ ao 2. etc).08 ao mês. Unitária: Quando representar os rendimentos de uma unidade de capital durante o per´ıodo de tempo a que este se referir.1 Introdu¸c˜ ao ´ comum no nosso dia a dia ouvirmos expressões como estas: E • Vou depositar meu dinheiro na poupan¸ca. • Se eu comprar esta geladeira a prazo terei que pagar juros. Exemplo 2. Porcentual: Quando representar os rendimentos de 100 unidades de capital durante o per´ıodo de tempo a que esta se referir.16 2. • Tudo bem.1. ano. mas você vai ter que pagar juros por esse empréstimo.2. 0. A taxa est´ a sempre relacionada com a uma unidade de tempo (dia. o capital (principal) se transformará em valor capitalizado (montante) que será o capital aplicado acrescido do rendimento (juros) obtido durante o per´ıodo de aplica¸cão.00 de capital aplicado. esperamos obter um rendimento (juro). a uma certa taxa. isto é. dos juros. Defini¸ c˜ ao 2. O assunto que estudaremos agora tratará exatamente do crescimento de uma certa quantia em dinheiro quando aplicada. significa que cada R$100.2. .1.00 de juro a cada ano de aplica¸c˜ ao. eu empresto. durante determinado per´ıodo. isto é. trimestre.1. 14% ao ano. rende R$14. A taxa de juros (i) é a raz˜ ao entre o rendimento (juros) e o capital aplicado (C).00 de capital aplicado. rende R$0. e o custo do crédito obtido.08 de juro a cada mês de aplica¸c˜ ao.1. Chamamos de JUROS a remunera¸c˜ ao recebida pela aplica¸c˜ ao de um capital. significa que cada R$1. Exemplo 2. semestre. pois ele renderá juros. 2. A.2 Regimes de Capitaliza¸c˜ ao Defini¸ c˜ ao 2.0. E ao no qual ao final de cada per´ıodo os juros s˜ ao iguais.2.2.17 2. Solu¸ca õ: Juros no 1◦ mês . durante 4 meses.1 × 1000 = 100 Juros no 3◦ mês .00 ` a taxa de 10% ao mês. e por vários per´ıodos.1 × 1000 = 100 Juros no 4◦ mês .A. o n-ésimo termo dessa P. tem-se uma P. Exemplo 2. cujo primeiro termo é C + i × C e a razão é (i × C) logo. o montante pode ser calculado segundo dois critérios: 1. O per´ıodo de capitaliza¸ c˜ ao é o per´ıodo ao fim do qual os juros s˜ ao calculados.1. para um capital C que aplicado a juros simples durante n per´ıodos a uma taxa unitária i referida nesse per´ıodo.0. Quando um capital é aplicado a uma determinada taxa por per´ıodo. Calcular os juros simples obtidos e o montante de uma aplica¸ca õ de R$1000.2. No caso geral.0. Regime de capitaliza¸cão composta .1. e todos obtidos pelo produto do capital pela taxa unit´ aria.2.0. é o montante M dado por: M = (C + i × C) + (n − 1) × (i × C) M = C + i × C + C × i × n − i × C = C + C × i × n =⇒ M = C(1+ i × n) 2.1 × 1000 = 100 JT = J1 + J2 + J3 + J4 = 100 × 4 = 400 M = C + JT = 1000 + 400 = 1400 A cada mês o montante é acrescido de R$100.1 × 1000 = 100 Juros no 2◦ mês .00 e podemos afirmar ent˜ ao que os montantes formam uma progress˜ ao aritmética de raz˜ ao 100. Regime de capitaliza¸cão simples ´ o processo de capitaliza¸c˜ Defini¸ c˜ ao 2. durante 4 meses. Exemplo 2.1 × 1000 = 100 Montante ap´ os esse mês = 1000 + 100 = 1100 Juros no 2◦ mês . para um capital C que aplicado a juros compostos durante n per´ıodos a uma taxa unitária i referida nesse per´ıodo.10 = 1464.0.0.2.G.10 Montante ap´ os esse mês = 1331 + 133. E taliza¸ca õ.1 × 1210 = 121 Montante ap´ os esse mês = 1210 + 121 = 1331 Juros no 4◦ mês . De uma maneira geral.1) = 1.3.18 ´ o regime no qual ao final de cada per´ıodo de capiDefini¸ c˜ ao 2. os juros calculados s˜ ao incorporados ao montante do in´ıcio do per´ıodo e essa soma passa a render juros no per´ıodo seguinte. tem-se uma P.1 × 1100 = 110 Montante ap´ os esse mês = 1100 + 110 = 1210 Juros no 3◦ mês .1 × 1331 = 133.2.10 Os montantes formam então uma progressão geométrica de razão (1 + 0. o n-ésimo termo dessa PG é o montante M dado por: M = C(1 + i)(1 + i)n−1 =⇒ M = C(1 + i)n .00 ` a taxa de 10% ao mês.0. Calcular o capital acumulado (montante) de um aplica¸c˜ ao de R$1000. cujo primeiro termo é C(1 + i) e a razão é (1 + i) logo.2.1. Solu¸ca õ: Juros no 1◦ mês .0. de razão (1 + i). 1. Basicamente. Chamamos de juros exatos aqueles calculados em rela¸cão ao ano civil. de razão i × C . Verifica-se pelo gráfico acima que: • para n = 1 temos Js = Jc . verifica-se que o primeiro cresce em P. Mas é poss´ıvel que em algumas situa¸cões esse tempo não seja inteiro. só que orientadas para baixo. Nos exemplos estudados até agora de juros compostos. mês. que é o ano de 366 ou 365 dias. e o segundo. consta de um eixo horizontal onde é marcado o tempo a partir de um instante inicial (origem). A unidade de tempo pode ser qualquer (ano. Considere ao seguinte exemplo: . As entradas de dinheiro num determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal. caso seja ou não bissexto.19 . • para n < 1 temos Js > Jc .A. Comparando o regime de capitaliza¸cão simples com o regime de capitaliza¸cão composta. no instante considerado e orientadas para cima. o tempo de aplica¸cão do capital foi um n´ umero inteiro de per´ıodos de capitaliza¸cão. as sa´ıdas de dinheiro são indicadas da mesma forma. 2. 3. Os juros calculados sobre o ano comercial de 360 dias (mês de 30 dias) são chamados de juros comerciais ou ordin´ arios. em P.G. O fluxo de caixa de uma opera¸cão é uma representa¸cão esquemática muito u ´til na resolu¸cão de problemas. etc). • para n > 1 temos Js < Jc . 3.06 × = 13382.00 ser´ a capitalizado a juros compostos durante 5 meses e o montante assim adquirido ser´ a capitalizado durante 20 dias a juros simples. que n˜ ao chega a completar um per´ıodo (1 mês).26 e portanto o montante M da aplica¸c˜ ao ser´ a dado por: ( ) 20 M = 13382. ` a uma taxa 20 17 de 6% ao mês. Um capital de R$10000.06) 3 = 10000 × 1.26 1 + 0. Isto se deve ao fato de que o juro simples é maior que o juro composto quando calculado num tempo menor do 1 per´ıodo de capitaliza¸c˜ ao. n˜ ao inteiro. adotando-se a CONVEC ¸ AO Nesse caso. o capital ser´ a capitalizado tanto no per´ıodo inteiro quanto no per´ıodo n˜ ao inteiro segundo a capitaliza¸c˜ ao composta.2. adotando-se a CONVEC ¸ AO Nesse caso. resolver o exemplo considerado segundo as duas conven¸c˜ oes. Se for adotada a incidência de juros ˜ simples sobre o per´ıodo n˜ ao inteiro.04 = 13917. ambos ` a uma taxa de 6% ao mês. Solu¸c˜ ao: ˜ LINEAR: 1. ser´ a aplicado o critério da capitaliza¸c˜ ao composta obtendo-se um montante M1 .00 é aplicado ` a taxa de juros compostos de 6% ao mês. Com rela¸ca õ aos 20 dias restantes pode-se proceder de três maneiras poss´ıveis: n˜ ao incidência de juros. . dizemos que se adotou a CONVEC ¸ AO LINEAR. com rela¸c˜ ao aos 5 meses n˜ ao resta d´ uvida. Calcule o montante final deste per´ıodo. Vamos nos concentrar nas outras duas possibilidades. Nesse caso.26 × 1. temos ent˜ ao que: M1 = 10000(1 + 0. Neste exemplo. A primeira possibilidade n˜ ao oferece nenhum interesse.55 30 ˜ EXPONENCIAL: 2. o per´ıodo n ser´ a dado por n = 5 + = meses.06)5 = 13382. incidência de juros simples ou incidência de juros compostos sobre M1 . e 30 3 portanto o montante M ser´ a obtido de: 17 M = 10000(1 + 0. A ado¸c˜ ao de uma dessas hip´ oteses depender´ a exclusivamente do que for acordado entre as partes interessadas. durante 5 meses e 20 dias.20 Exemplo 2.391233104 ≈ 13912. o capital de R$10000. Se for adotada a incidência de juros compostos sobre o per´ıodo ˜ EXPONENCIAL. temos 5 per´ıodos inteiros de capitaliza¸c˜ ao (5 meses) e mais 20 dias. obtendo-se assim o montante final M . dizemos que se adotou a CONVENC ¸ AO Vamos ent˜ ao.33 Observe que o montante é maior na conven¸c˜ ao linear. 365 ( ) 73 M = 600. 1500.2.12 = 672.00 de entrada e o restante ap´ os um ano. isto é. temos ent˜ ao que: 300 1300. calcule o montante desembolsado pelo devedor.00 =⇒ i = = 0. Exemplo 2. Exemplo 2.40 Solu¸c˜ ao . sendo R$200.00. qual o valor do pagamento devido? Solu¸c˜ ao: valor a vista = 700.00 = 1300. 36 × 365 Exemplo 2. O cliente se compromete a pagar em um ano 1600.a.2.00 × 0.00 − 200.21 Exemplo 2.00 que é aplicado por 40 dias ` a taxa de 36% ao ano? Solu¸c˜ ao 40 C = 10000.m.5.00 × 1 + 0.00.00 = 560.5 mês e i = 8% a. Admitindo-se que o banco cobre juros simples exatos de 60% ao ano..2. i = 36% a. ou seja. Qual é a taxa anual de juros cobrada? Solu¸c˜ ao O valor a ser financiado é o valor ` a vista menos o que é dado de entrada.20 O valor a financiar.2.00. e n = 73 dias = ano. e n = 40 dias = ano.a.00. n = 45 dias = 1.00.00 − 140. 23.00 × i × 1 = 300. os juros s˜ ao de 300.00.00.08% ao 1300 ano. logo o montante é de 1600.5) = 627. Solu¸c˜ ao 73 C = 600.00. Se o vendedor cobra juros simples de 8% ao mês. Qual o capital que aplicado ` a taxa composta de 2% ao mês durante um semestre gera montante igual a R$225232. i = 60% a.6. somente foi pago em 22/06/1999.00 a vista.08 × 1. entrada de 20% de 700. vencido em 10/04/1999. valor a financiar 700.52 J = 10000.00.2. Um artigo de pre¸co ` a vista igual a R$700. Um t´ıtulo de R$600.00 pode ser adquirido com entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias. 6 × = 600 × 1.00 = 140. 365 40 = 394.8. Uma loja vende um gravador por R$1500.2308 ao ano.4.7.00. é sempre a diferen¸ca entre o valor ` a vista e a entrada. portanto M = 560 × (1 + 0.00 365 Exemplo 2. Qual o juro exato de um capital de R$10000.00 Tem-se ent˜ ao que C = 560. ou seja.00 e o per´ıodo é de um ano. A prazo vende por R$1800. Determine o capital inicial aplicado por Luiza. ou seja 12% ao mês.007625 .05)3 = 1.4071) = n log(1.05) log(1.00 gerar um montante de R$28142.05)n =⇒ log(1.12 ao fim de um trimestre? Solu¸c˜ ao M = 56197.m. n = 1 trimestre = 3 meses.00. i = 2% a.4071) = log(1. Se tivesse aplicado a juros compostos nas mesmas condi¸c˜ oes..00 = 1.4071 = (1. Determinar o tempo necess´ ario para o capital de R$20000.93 225232.05)n =⇒ log(1. 56197.4071 = (1.00 quando aplicado ` a taxa composta de 5% ao mês? Solu¸c˜ ao M = 28142.12 = 40000. teria recebido R$305.404928 =⇒ (1 + i) = 1.40 = C(1 + 0.00 28142.00 C= = 40000. n = 1 semestre = 6 meses.05) Exemplo 2.05)n 20000.15C = 0. C = 40000.00 = 20000.007625C =⇒ C = 0.2.10.12. C = 20000.. n = 90 dias = 3 meses.05)n =⇒ 1.007625 305.12 (1 + i) = 1.00 M2 − M1 = 305.05)n =⇒ = (1.00 √ 1..40. Luiza aplicou seu capital a juros simples durante 90 dias ` a taxa de 5% a. Exemplo 2.00 0.12 56197. 28142. Solu¸c˜ ao i = 5% ao mês.157625C − 1.00 56197.9.05) =⇒ n = log(1.05)n 20000. A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar R$40000.15C Juros Compostos M2 = C(1 + 0.00.404928 = (1 + i)3 40000.00.00 para obtermos montante igual a R$56197.02)6 =⇒ C = 6 (1 + 0.m.2.12 =⇒ i = 1.22 M = 225232.40 225232. Juros Simples M1 = C(1 + 0.4071) ≈ 7 meses log(1.00(1 + i)3 =⇒ = (1 + i)3 40000.12162419 Exemplo 2.12 − 1 = 0.05 × 3) = 1. i = 5% a.m.00(1 + 0.00 = (1.2.157625C 305.00 28142.00 1.00 a mais de montante.40 = ≈ 199999.11.12 a. 225232.4071) = n log(1.02) 1.404928 = (1 + i)3 =⇒ (1 + i) = 3 1.12 = (1 + i)3 =⇒ 1.m. A taxa de juros compostos considerada nessa antecipa¸c˜ ao é de 3% ao mês.00 de hoje a 6 meses e 70000. Determine o valor atual da d´ıvida. Considere um empréstimo que envolve os seguintes pagamentos: 15000.23 Exemplo 2.00 de hoje a 8 meses.12.94 + 34504.00 de hoje a 2 meses.21 + 55258. 40000. 50000.03)8 P = 14138.35 + 41874. pois est´ a negociando com o banco a liquida¸c˜ ao imediata de toda a d´ıvida.03) (1.2. O devedor deseja apurar o valor presente (na data zero) desses pagamentos. Solu¸c˜ ao 15000 40000 50000 70000 P = + + + 2 5 6 (1.15 .03) (1.00 de hoje a 5 meses.65 = 145776.03) (1. ....00............................. um mês após a compra e a 2a ............ .......... Qual foi a taxa efetiva mensal aplicada? ......../....0% ao mês a taxa a ser considerada no refinanciamento.............................. O devedor propõe ao credor re-financiar esta d´ıvida mediante cinco pagamentos bimestrais...............24 2.......00 venc´ıveis em três meses a partir de hoje e R$11700.... Determine a razão entre os montantes M1 e M2 ...........00............ de R$180............ respectivamente.....................Aula 2 data ........................ iguais e sucessivos.................. ....................................... Vera comprou um aparelho e vai pagá-lo em duas presta¸cões......................................................................... de dois meses após a compra Sabendo-se que estão sendo cobrados juros compostos de 25% ao mês........ nome:............ Se a aplica¸cão foi de cinco meses à taxa de 4% ao mês...... 3................................................ ..............................................3 Exerc´ıcios .... qual era o pre¸co à vista do aparelho? ......... 1............ de R$200......................... 4.......... Uma d´ıvida tem o seguinte esquema de pagamento: R$3900. Dois capitais C1 e C2 que estão na razão de três para cinco foram aplicados a juros compostos e a juros simples..... vencendo o primeiro de hoje a um mês....................1% ao mês a taxa de juros da d´ıvida original e 3.....00 de hoje a cinco meses... a 1a .................................. pede-se determinar o valor de cada pagamento bimestral........................................................................... Sendo de 2.................. nome:........00 esteve aplicado durante 2 meses................. Um capital de R$1500. produzindo R$315........ 2..../..............................00 de juros compostos............................... .......... Em quanto tempo essa aplica¸cão renderá 700% de juros? .Aula 2 1...............4% ao dia para produzir um montante de R$1710.......................4 Exerc´ıcios ..1% ao mês............50 após 40 dias................................... . O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge R$1562.........................00? ............................... 2.............. Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplica¸cões no mercado financeiro................. aplica 60% do capital numa alternativa de investimento que paga 34.............. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital de R$1500... 4....................... 3............00 ou então por R$80... mais uma parcela de R$178....... Para tanto.................... sendo remunerada pela taxa linear de 3........... Pede-se calcular o valor de todo o capital investido.....................................25 2......... ................ Um vestido é vendido por R$250.................... A outra parte é invertida numa conta de poupan¸ca por 30 dias.......00 de entrada...00 a uma taxa linear de 1............. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? ..2% ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias......extra-classe ....... Um certo tipo de aplica¸cão a juros simples duplica em dois meses..............................................................40.. ....... . 8... propõe os seguintes pagamentos: R$3500...............92 a mais de montante..... Pede-se calcular os prazos referentes a cada um dos empréstimos...... teria recebido R$615............................. Uma pessoa aplicou R$15000................... o devedor liquida sua divida remanescente...... ........ R$4000................................................ Se tivesse aplicado nas mesmas condi¸cões no regime de capitaliza¸c˜ ao composta.....00.. ..........00 pagando 5% de juros simples ao mês por certo prazo..........................26 5...... 7.............. Sendo de 3% ao mês a taxa de juros cobrada no empréstimo.......... 6.................... Um empréstimo de R$42000.........................87 de juros........................ Qual foi a taxa de juros mensal (capitaliza¸cão composta) paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado? ... Após dois anos de ter contra´ıdo o primeiro empréstimo.......00 ao final de cinco meses. pede-se calcular o valor do u ´ltimo pagamento.......00 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linear de 7% ao mês......00 ao final de dois meses...............00 e após um ano recebeu R$18782........... Em determinado momento o devedor resgata este empréstimo e contrai outro no valor de R$200000.... Para liquida¸cão dessa d´ıvida................. Uma pessoa deve a outra a importância de R$12400................ Qual montante auferido pelo capital de Guilherme se aplicado à taxa composta de 2% ao mês em dez meses? ..00 ao final de sete meses e o restante em um ano...................00...................................... R$1700... Guilherme aplicou seu capital à taxa de juros simples de 7% ao mês durante quatro meses............... O total dos juros pagos nos dois empréstimos tomados atinge R$180000............... ..... O mercado financeiro oferece rendimentos de 35% ao mês..................... Qual a melhor op¸cão para o comprador: o pagamento à vista ou a prazo? Por que? ............. (b) 10% a............... (c) 20% a............. 12.....27 9............... 11..m.............................. Neste caso.. .... a loja dá um desconto de 20%........................................................... Se eu quiser comprar um carro no valor de R$60000............................................ qual é a melhor alternativa? Por que? ....... Caso queira pagar à vista.............. 10................................................00 a vista.5% ao mês............5% a...............00 de entrada e R$100000............................................ o valor da mercadoria sofre um acréscimo de 10% a t´ıtulo de despesas administrativas............................................................................................................... Qual é a taxa de juros anual dessa loja? .............................a..........................00 em um ano...........s.............. Um s´ıtio é posto a venda por R$50000.. Se a taxa de juros de mercado é de 2............. Como op¸cão o vendedor pede R$124000......... O pre¸co de uma mercadoria é de R$2400................00................................. . .... quando devo aplicar hoje para daqui a dois anos possua tal valor ? Considerar as seguintes taxas de aplica¸cão(capitaliza¸cão composta): (a) 2........00 e o comprador tem um mês para efetuar o pagamento.. ................... Certa loja tem pol´ıtica de vendas a crédito exigir 30% do valor da mercadoria à vista como entrada e o restante a ser liquidado em até três meses................ 1. Exemplo 3. e portanto. pois se tomarmos meses como unidade de tempo. quanto para juros compostos. • Entender o conceito de taxa nominal e taxa efetiva. 18% a. A juros simples.a. As taxas 72% a. Duas taxas s˜ ao ditas equivalentes quando. produzem o mesmo montante. 36% a. isto n˜ ao acontecer´ a quanto se trata de juros compostos. Qual a taxa de juros simples mensal equivalente ` a taxa anual de 36% ao ano? 28 . • Interpretar e resolver os problemas propostos.2.1.2 Taxas equivalentes Defini¸ c˜ ao 3.s..t s˜ ao proporcionais.1. entretanto. aplicadas a um mesmo capital.2. A defini¸c˜ ao de taxas equivalentes é valida tanto para juros simples. duas taxas equivalentes s˜ ao também proporcionais. As taxas i1 e i2 s˜ ao ditas proporcionais se. 3. relativamente i1 i2 aos per´ıodos n1 e n2 expressos na mesma unidade de tempo ocorrer = n1 n2 Exemplo 3.Aula 3 : Estudo das taxas Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender o conceito de taxa proporcional e taxa equivalente. teremos 72% 36% 18% = = 12 6 3 3.1. o mesmo juro. durante um mesmo prazo.1.1 Taxas proporcionais Defini¸ c˜ ao 3.. • Entender o conceito de taxa real e taxa aparente.1. 425761−1 =⇒ ia = 0.03)12 ia = 1. ia = 42.2. 12 meses. Qual a taxa de juros compostos anual equivalente ` a taxa de 3% ao mês? Solu¸c˜ ao: Seja: im = 3% ao mês (taxa mensal) e ia a taxa anual equivalente. pelo mesmo per´ıodo.36 √ im = 12 1. Se considerarmos um prazo de 1 ano. quando aplicadas ao mesmo capital C. Portanto 3% ao mês é a taxa equivalente a juros compostos ` a taxa de 42. Observe que essas taxas n˜ ao s˜ ao proporcionais.29 Solu¸c˜ ao: Seja: im =taxa mensal e ia = 36% ao ano (taxa anual). ou seja. tem-se que: C × im × 12 = C × ia × 1 =⇒ C × im × 12 = C × 0. Se considerarmos um prazo de 1 ano.36 =⇒ (1 + im ) = 12 1. ou seja.5761% ao ano. Essas taxas devem produzir o mesmo montante (juros).5761% ao mês. ou seja.2. Exemplo 3. Essas taxas devem produzir o mesmo montante (juros). tem-se que: C(1 + im )12 = C(1 + ia )1 =⇒ (1 + 0. ou seja. as taxas s˜ ao proporcionais e equivalentes. 12 meses.425761 ao mês. Portanto 2. Se considerarmos um prazo de 1 ano.3. .60% ao mês. 12 36% 3% = . 12 1 Exemplo 3. im = 2. 12 meses.03)12 = (1 + ia )1 =⇒ (1 + ia ) = (1.36 − 1 =⇒ im = 0. Essas taxas devem produzir o mesmo montante (juros). pelo mesmo per´ıodo. ou seja. ou seja. Qual a taxa de juros compostos mensal equivalente ` a taxa de 36% ao ano? Solu¸c˜ ao: Seja im = taxa mensal e ia = 36% ao ano (taxa anual).0259955 ao mês.2.36 × 1 im = 36% =⇒ im = 3% ao mês. quando aplicadas ao mesmo capital C. quando aplicadas ao mesmo capital C.6% ao mês é a taxa equivalente a juros compostos ` a taxa de 36% ao ano. pelo mesmo per´ıodo. tem-se que: Note que √ C(1 + im )12 = C(1 + ia )1 =⇒ (1 + im )12 = 1. taxa trimestral 4.20 it = 4.t.2659% ao quadrimestre.20) =⇒ (1 + it ) = 1.20 iq = 6. devemos ter (1 + ia )1 = (1 + iq )3 (1 + ia )1 = (1.s. Calcular a taxa anual a i de juros compostos equivalente as seguintes taxas: a)1% a. Como 1 ano = 4 trimestres. d) Seja ia = 20% o ano (taxa anual) e im a taxa mensal equivalente. devemos ter (1 + ia )1 = (1 + is )2 (1 + ia )1 = (1. Como 1 ano = 2 semestres. Como 1 ano = 4 trimestres. d) Seja is = 10% ao mês (taxa semestral) e ia a taxa anual equivalente.0% ao ano.6825% ao ano.7625% ao ano. Como 1 ano = 2 semestres. tem-se ent˜ ao que (1 + iq )3 = (1 + ia ) √ 3 (1 + iq ) = (1. taxa quadrimestral 3. Exemplo 3.10)2 =⇒ ia = 21. .05)3 =⇒ ia = 15.02)4 =⇒ ia = 8. Como 1 ano = 12 meses..a. devemos ter (1 + ia )1 = (1 + im )12 (1 + ia )1 = (1.01)12 =⇒ ia = 12. conforme solicitado abaixo: 1. tem-se ent˜ ao que (1 + is )2 = (1 + ia ) √ 2 (1 + is ) = (1. taxa mensal Solu¸c˜ ao: a) Seja ia = 20% o ano (taxa anual) e is a taxa semestral equivalente.5. Calcular as taxas equivalentes a 20% a.6635% ao trimestre.5445% ao semestre. taxa semestral 2. c) 5% a. Como 1 ano = 3 quadrimestres.20) =⇒ (1 + iq ) = 3 1. devemos ter (1 + ia )1 = (1 + it )4 (1 + ia )1 = (1.20) =⇒ (1 + is ) = 1.2432% ao ano. c) Seja iq = 5% ao mês (taxa quadrimestral) e ia a taxa anual equivalente.2.m. c) Seja ia = 20% o ano (taxa anual) e it a taxa trimestral equivalente. tem-se ent˜ ao que (1 + it )4 = (1 + ia ) √ 4 4 (1 + it ) = (1. b) 2% a.4.20 is = 9. Como 1 ano = 3 quadrimestres. Solu¸c˜ ao: a) Seja im = 1% ao mês (taxa mensal) e ia a taxa anual equivalente.q. b) Seja it = 2% ao mês (taxa trimestral) e ia a taxa anual equivalente.2. b) Seja ia = 20% o ano (taxa anual) e iq a taxa quadrimestral equivalente.30 Exemplo 3. d) 10% a. 035744)12 =⇒ ia = 1.5309% ao trimestre. 1800 Como 1 ano = 12 meses. isto é.a. taxa anual ia equivalente a esta taxa mensal de 3.6. neste caso. é melhor do que aplicar a 40% a. 12% a. Portanto. vale a pena comprar a prazo? Solu¸c˜ ao: O pre¸co da mercadoria a vista é de R$1800. como 1 ano = 4 trimestres tem se que: (1 + ia )1 = (1 + 0.31 Como 1 ano = 12 meses.52338 ao ano ou ia = 52.00.16% a..t..3.a. Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9% a. 00. verificando se suas taxas s˜ ao equivalentes. Exemplo 3. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 40% a.a.t. Tem-se ent˜ ao que: √ 3 2000 = 1800(1+i) =⇒ 1+i = 3 2000 = 1. Exemplo 3. Taxa Nominal é aquela que est´ a definida em per´ıodo de tempo diferente do per´ıodo de capitaliza¸ca õ. ou ia = 41.20 im = 1. a loja oferece um desconto de 10%..338% ao ano. convers´ıvel mensalmente.411582 =⇒ ia = 0.3.a. O pre¸co de uma mercadoria é de R$2000. .7. 3. logo a taxa de financiamento da loja é maior do que a taxa de juros do mercado.2.3 Taxa nominal e Taxa efetiva Defini¸ c˜ ao 3. capitalizados trimestralmente. Caso opte por pagar a vista.57% ser´ a dada por: (1 + ia )1 = (1 + 0..52338 − 1 = 0..a. tem-se ent˜ ao que (1 + i12 m = (1 + ia ) √ 12 12 (1 + im ) = (1. Pode-se calcular por exemplo a taxa anual equivalente a 9% a.20) =⇒ (1 + im ) = 1. Devemos calcular a taxa a que est´ a sendo cobrada na opera¸c˜ ao. 90% de R$2000. sendo financiada até 3 meses.t.411582 a.5744% ao mês.2.00. Exemplo 3. qual ser´ a sua escolha? Solu¸c˜ ao: Podemos comparar as duas alternativas. Um corretor de t´ıtulos prop˜ oe a seu cliente uma aplica¸c˜ ao cuja rentabilidade é de 40% a.1.a.a.035744 = 3.035744 =⇒ i = 0.09)4 = 1. Taxas nominais: 8% a.1. aplicar a 9% a. 60 Observa¸ c˜ ao: A taxa efetiva da opera¸cão em que a unidade de referência é a mesma da taxa nominal será maior do que esta. Exemplo 3. Exemplo 3. portanto essa taxa é nominal e como 1 ano = 12 meses. a taxa efetiva mensal ser´ a de = 5% ao 12 mês. 3.2. Exemplo 3. Se aplicarmos R$10000. taxa nominal de 60% ao ano com capitaliza¸c˜ ao trimestral.5. 60% Como 1 ano = 4 trimestres. 60% Como 1 ano = 6 bimestres.4 Taxa de Juros Real × Taxa de Juros Aparente Se um capital C é aplicado durante um certo per´ıodo. taxa nominal de 60% ao ano com capitaliza¸c˜ ao mensal. .3.576% ao mês.42576 − 1 = 0.3. a taxa efetiva mensal ser´ a de = 10% 6 ao bimestre. Portanto o montante M 12 ser´ a obtido por M = 10000(1+0.3. No exemplo. Se no mesmo per´ıodo a taxa de infla¸cão for θ.2.3. ˜ OBSERVAC ¸ AO: O mercado financeiro adota a conven¸cão de que a taxa efetiva por per´ıodo de capitaliza¸cão é proporcional à taxa nominal.03)12 = 10000×1. Defini¸ c˜ ao 3.4. por per´ıodo.3. taxa nominal de 60% ao ano com capitaliza¸c˜ ao bimestral. a taxa efetiva anual a ia será a taxa equivalente a taxa efetiva mensal de 3%. à taxa i.00 ` a taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente. o capital corrigido pela infla¸cão será M2 = C(1 + θ). Taxa Efetiva é aquela utilizada no c´ alculo dos juros. portanto temos que (1 + ia ) = (1 + 0. qual o montante obtido ano final do ano? Solu¸c˜ ao: A taxa dada é anual mas a capitaliza¸c˜ ao é mensal. temos que a taxa mensal efetiva da 36% opera¸c˜ ao ser´ a dada por i = = 3% ao mês.32 A taxa nominal não representa a taxa de juros que efetivamente está sendo utilizada na opera¸cão.03)12 logo: ia = 1.42576 =⇒ M = 14257.42576 ao ano ou ia = 42. a taxa efetiva mensal ser´ a de = 15% 4 ao trimestre.3. 60% Como 1 ano = 12 meses. o capital acumulado será M1 = C(1 + i). Exemplo 3. Como 1 + r = 1+θ 1. Exemplo 3.a.a.05)2 .10250 ou ia = 10. Chama-se valor real à diferen¸ca (M1 − M2 ). Que taxa de infla¸c˜ ao anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 5% a.a. 3 anos = 6 opera¸c˜ ao ser´ a dada por i = 2 semestres. M = 1340. temos que a taxa mensal efetiva da 10% = 5% a. Exemplo 3.4. Se M1 > M2 . ` a taxa de 10% ao ano com capitaliza¸c˜ ao semestral. Calcular a taxa aparente anual que deve cobrar uma financeira para que ganhe 8% a. logo o montante M ser´ a dado por: 6 M = 1000(1 + 0. houve um ganho real.092 1. Um capital de R$1000.a. de juros reais sabendo-se que a taxa de infla¸c˜ ao foi de 40% a.a.4.05 = =⇒ 1 + θ = = 1.a.3.2.a. houve uma perda real.25% ao ano. portanto essa taxa é nominal e como 1 ano = 2 semestres.? Solu¸c˜ ao: 1+i Temos que: i = 9. portanto: ia = 1.2% a. Solu¸c˜ ao: . que poderá ser positiva (ganho real).05 θ = 4% a.05) = 1000 × 1.10250 − 1 = 0.s.04 1+θ 1. de juros reais. θ = taxa de infla¸c˜ ao e r = taxa real.2% a. e r = 5% a. Solu¸c˜ ao: A taxa dada é anual mas a capitaliza¸c˜ ao é semestral. se M1 < M2 . Calcular o montante e a taxa efetiva anual da opera¸c˜ ao.4. Por outro lado.00 foi aplicado por 3 anos.33 Se M1 = M2 então a taxa de juros i apenas recompôs o poder aquisitivo do capital C.1. Defini¸ c˜ ao 3. ou seja. nula ou negativa (perda real).092 1.10 A taxa efetiva anual ia é dada por (1 + ia )1 = (1 + 0. Chama-se taxa real de juros (e indica-se por r) ao valor real expresso como porcentagem do capital corrigido monetariamente.4.43010. Exemplo 3.1. Assim: M1 − M2 M1 C(1 + i) 1+i r= = − 1 =⇒ 1 + r = =⇒ 1 + r = M2 M2 C(1 + θ) 1+θ em que: i = taxa de aplica¸c˜ ao ou taxa aparente. caso a taxa aparente seja de 9. 1+r = . r = taxa real.2% ao ano. portanto. em que i = taxa de aplica¸c˜ ao ou taxa aparente. Nesse caso.34 1+i .a.40 ou 51. 1 + i = (1.512 ao ano 1 + 0.40)(1.512 e i = 0. 1+i 1 + 0. θ = taxa de 1+θ infla¸c˜ ao..08) = 1. θ = 40% a.a. r = 8% a.08 = ent˜ ao.. ........................................00..................................... João investiu R$5000........ Uma empresa aplica R$20000............................................00 em t´ıtulos de um banco pelo prazo de 1 ano................... por 36 meses..............................................................................a.......................................................... ao final de seis meses.................... se a infla¸cão mensal nos primeiros nove meses tiver sido de 2...........................................................00 quando do vencimento da aplica¸cão.............. nome:............... 1.......... 4........................... a taxa de juros de 40% ao ano....................../........ Qual a taxa que mais se aproxima da taxa proporcional bimestral dessa opera¸cão? .... para que se obtenha um montante de R$242.................................................. tendo sido fixado o valor de resgate em R$7200.........35 3................00 à taxa de juros compostos de 20% a. nome:.............................5%? ............. 3............................. 2................................................... nome:................................................ Entretanto....... necessitando de dinheiro........................... Em juros simples............................................................. capitalizados trimestralmente? ....00./...................... Qual o valor que dever ser investido hoje..... qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de 9% ao quadrimestre? ... recebendo a quantia l´ıquida de R$6400... descontou o t´ıtulo 3 meses antes do vencimento........ . Que taxa real João recebeu.........................5 Exerc´ıcios ..........Aula 3 data ................. que conduz à taxa efetiva de 40% ao ano? ................... ....... com capitaliza¸cões semestral....... 7% no segundo e 8% no terceiro e se os juros reais forem de 2% ao quadrimestre......................... Qual é a taxa nominal anual..................... ................ 6..36 5..................................................... Se a infla¸cão prevista pra um ano for de 6% no primeiro quadrimestre.... qual é a taxa nominal equivalente mensal para os doze meses? ..................................... qual será a taxa nominal para: (a) o primeiro quadrimestre? (b) os primeiros oito meses? (c) os doze meses? (d) considerando os dados acima.................................... ............extra-classe .....................00 e vendeu-a.................. Uma financeira ganha 12% a..............................00................. 5.Aula 3 1.......00....... após um ano.........6 Exerc´ıcios ............................... Qual é a melhor taxa para o cliente? .............. 00 e R$5000.................................... como juros reais ? ...................................................... ... 7% no segundo e 6% no terceiro? ........a... e a infla¸cão for de 8% no primeiro quadrimestre............ de juros reais em cada financiamento......... qual a taxa de juros nominal anual que a financeira deverá cobrar? .............................q... Uma pessoa comprou um casa por R$80000......... por R$120000.......... R$4000...................... Uma loja anuncia a venda de um conjunto de som por 3 parcelas quadrimestrais seq¨ uenciais de R$3000..............00.................. sendo sua capitaliza¸cão anual..... O Banco B........................... 3......... tendo como algo a diferenciá-la apenas o fato de sua capitaliza¸cão ser mensal.. 2....... Qual a taxa anual equivalente a taxa nominal anual de 20% capitalizados semestralmente? ....................... informa que sua taxa é de 27% ao ano............................37 3............00 mais uma entrada de R$500.... Supondo que a infla¸cão anual seja 40%. Qual deve ser o pre¸co a vista se a taxa de juros real for de 2% a...... 4. De quanto deve ser a infla¸cão mensal para que o investidor ganhe 10% a..... A taxa de juros cobrada pelo Banco A é de 30% ao ano............................... numa campanha promocional......a................ .......................690% terceiro trimestre 8........................6........ a juros efetivos de 12% ao ano mais a corre¸cão monetária...............a...... A agência o vende por R$5000. Quanto deve ser aplicado em caderneta de poupan¸ca em primeiro de janeiro para que se tenha R$100000...00.. qual será a taxa de juros real recebida pelo vendedor? ........................................ ...... Um terreno é posto a venda por R$50000.......... 9...................... qual o valor pago ao fim dos seis meses? ... Se a taxa de infla¸cão prevista for de 25% a..................................................... conforme hipóteses abaixo: primeiro trimestre 6.....................675% segundo trimestre 8...................................................... Sabendo-se que a corre¸cão do primeiro trimestre do financiamento foi de 6% e a do segundo trimestre foi de 10%. pergunta-se. 7.... sendo que nesse segundo caso o comprador deverá dar R$20000.... 8..............00 à prazo....... caso a taxa de juros aparente seja de 45% ao ano? .....00 de entrada e o restante em 1 ano...00 à vista ou por R$57500. Que taxa de infla¸cão anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais..................................00 no dia primeiro de janeiro (um ano depois da aplica¸cão)? Considerar a taxa de 6% ao ano mais corre¸cão monetária...000% ..................000% quarto trimestre 7.....00 de entrada e o restante após seis meses...................................................................... O pre¸co a vista de um carro é de R$20000.. valor atual e prazo de antecipa¸cão de um t´ıtulo. 4. • Entender de valor nominal. assume uma d´ıvida que deverá ser paga no futuro. 39 .1 Introdu¸c˜ ao Quando uma pessoa f´ısica ou jur´ıdica toma uma quantia emprestada. • Entender os conceitos envolvendo o desconto “por dentro” ou racional e o desconto “por fora” ou comercial. A nota promissória é um t´ıtulo de crédito que corresponde à uma promessa de um pagamento futuro. A duplicata é um t´ıtulo emitido por uma pessoa jur´ıdica contra o seu cliente (pessoa f´ısica ou jur´ıdica) para qual vende mercadoria a prazo ou prestou servi¸cos que serão pagos no futuro. ela e muito usada entre pessoas f´ısicas. Os t´ıtulos mais usados em empréstimos são a nota promissória e a duplicata.Aula 4 : Desconto na capitaliza¸c˜ ao simples Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender o conceito de desconto. chamado t´ıtulo. Para que esse compromisso seja firmado. o credor recebe um documento. com o qual pode provar publicamente que é a pessoa que deve receber aquela quantia em determinada data. O intervalo de tempo entre a data em que o t´ıtulo é negociado e a data de vencimento do mesmo e o prazo de antecipa¸cão. ou desconto racional o valor de referencia para o c´ alculo porcentual do desconto é o valor atual ou l´ıquido. durante o tempo que decorre da data da transa¸c˜ ao até a data de vencimento do t´ıtulo.5 Desconto “por fora” ou comercial Defini¸ c˜ ao 4. valor atual e prazo de antecipa¸c˜ ao Defini¸ c˜ ao 4. 4.1. No Desconto “por dentro”. dr s˜ ao os juros que s˜ ao incorporados ao capital A para reproduzir N .3.5. a referência para o c´ alculo porcentual do desconto. também. enquanto que valor atual (valor descontado ou valor l´ıquido ou ainda valor pago) é um valor que ele adquire numa data que antecede ao seu vencimento. prazo de antecipa¸c˜ ao e capitaliza¸c˜ ao). No desconto “por fora” ou comercial.1. é o valor nominal N . tem para montante o valor nominal N .1.4. 4. O desconto por fora ou comercial dc é o juro calculado sobre o valor nominal A. ` a uma taxa chamada taxa de desconto. pode ser definido como o abatimento a que o devedor faz jus quando antecipa o pagamento de um t´ıtulo. E valor atual. Ou seja.6 Desconto na capitaliza¸c˜ ao simples 1. Desconto. 4.4 Desconto por dentro (racional ou real) ´ o desconto dr que determina um valor atual A que.1. O valor nominal (valor de face) de um compromisso é quanto ele vale na data do seu vencimento.3 Desconto ´ a diferen¸ca entre o valor nominal de um t´ıtulo e seu Defini¸ c˜ ao 4. 4. E corrigido nas condi¸c˜ oes de mercado (taxa. Defini¸ c˜ ao 4.2.2 Valor nominal.40 4. Desconto “por dentro” racional ou real: . . Como N = A(1 + i × n).1.41 Nesse caso sabe-se que a base do desconto é valor atual A considerando a taxa i e o prazo de antecipa¸cão n. temos então que o desconto dr será dado por dr = A × i × n e como A = N −dr =⇒ A = N −A×i×n =⇒ N = A+A×i×n =⇒ N = A(1+i×n) 2.00. ` a taxa linear de 6% a.00 como dr = N − A A= 1 + 0.09 = 2725. 6715. Obter o desconto e o valor descontado.d.m.2.00 sofre um desconto comercial simples ` a taxa de 6% ao mês. Desconto “por fora” comercial ou bancário: Nesse caso sabe-se que a base do desconto é valor nominal N considerando a taxa i e o prazo de antecipa¸cão n.60 descontado a 24% ao ano em um mês e quinze dias? Solu¸c˜ ao: N = 6715.4.02 × 15 dr = 6715.00 = 195.m. n = 1. Nesse caso.m. Um valor nominal igual a R$2400.6.60 × 2) =⇒ A = 2.00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento.a =⇒ i = 2% a.2% a. cem dias antes do seu vencimento. qual foi o valor pago pelo t´ıtulo? Solu¸c˜ ao: 8800 = Como N = A(1 + i × n) tem-se que 8800 = A(1 + 0.m.60 = 6520.5 meses.6.002 × 45) = 2500 × 1.3.60 − 6520. Qual o valor de face desse t´ıtulo? Solu¸c˜ ao: 6% = 0. = 30 N = 2500(1 + 0. sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples ` a taxa 60% a.60 Exemplo 4. teve valor atual igual a R$2500. i = 24% a. temos que: 6% a. Um t´ıtulo.6.2 4000 Exemplo 4.6.60. ao ser descontado racionalmente 45 dias antes do vencimento. Um t´ıtulo com valor nominal de R$8800. temos então que o desconto dc será dado por dc = N × i × n e como dc = N ×i×n =⇒ A = N −dc =⇒ A = N −N ×i×n =⇒ A = N (1−i×n) Exemplo 4.. Qual o desconto racional simples sofrido por um t´ıtulo de R$6715.00 Exemplo 4. . calcular o desconto e o valor descontado. temos ent˜ ao que 608 = N (1 − 2 × 608 0. Sabe-se ainda que o banco cobra um taxa de 1. logo A = 2400.00 em 100 dias e recebeu um montante de 2400.00 = 55740.m =⇒ i = 0.00 Observa¸ c˜ ao: Do ponto de vista da institui¸cão financeira.5.5 meses. Como dc = N × i × n. Uma duplicata de valor nominal de R$60000.002 × 100 = 480.12) =⇒ N = = 800. tem-se que 60000 × 0. Sabemos que no desconto comercial simples A = N (1 − i × n).25. i = 6% a. como despesa administrativa.00 + 900.25 = 0. tem-se ent˜ ao que dc = 2400 × 0. e ela pode ser determinada através da razão A 480 No exemplo anterior. ela antecipou o pagamento do t´ıtulo mediante um desconto.42 Solu¸c˜ ao: N = 2400.075 ao mês. para recebê-lo no vencimento o seu valor de face. quinze meses antes do seu vencimento.00.8% ao mês a taxa de desconto comercial simples usada na opera¸c˜ ao. Uma nota promiss´ oria foi descontada comercialmente a uma taxa linear de 5% ao mês.00 0. foi feito um investimento.5% ao mês. i = 12% ao mês.00 − 480. na opera¸cão de desconto comercial simples.7.6.2% a. n = 60 dias 2 meses.028 × 2 = 3360. Solu¸c˜ ao: Tem-se que dc = 60000 × 0.d. ou ainda 7.00 Exemplo 4.76 Exemplo 4. Por outro lado. Exemplo 4.6. a taxa linear efetiva de ganho é dada por = 0.5% ao mês. Pode-se também determinar essa taxa.00 portanto a taxa linear i dessa opera¸cão será dada por 2400 = 1920(1 + i × 100) =⇒ 100i = 0.00 é descontada num banco dois meses antes do vencimento.5% sobre o valor nominal do t´ıtulo. Por outro lado.015 = 900. descontado comercialmente sessenta dias antes do vencimento ` a taxa linear de 12% ao mês. lembrando que a institui¸cão financeira aplicou 1920.6. Essa taxa é dita a taxa efetiva de ganho dc da institui¸cão. n = 100 dias = 3. Logo nessa opera¸cão está embutida uma taxa de juros.6.00.00 − 4260.. taxa essa que é maior do que a taxa de desconto. sabe-se que A = N − dc .00 e portanto o valor atual é A = 60000. descontados e pagos integralmente no momento da libera¸c˜ ao dos recursos. 1920 em 100 dias ou 0. Solu¸c˜ ao: A = 608.00.25% ao dia ou ainda i = 7. Sendo de 2. Logo o desconto efetivo é de 3360.00. Determinar o valor nominal de um t´ıtulo que.00 = 4260.00 = 1920. resultou um valor descontado de R$608. 43 Se o desconto fosse racional simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual valor? Solu¸c˜ ao: Podemos supor sem perda de generalidade que N = 100,00; i = 5% a.m. e n = 15 meses, portanto, dc = 100 × 0,05 × 15 = 75,00. Fazendo dc = dr , temos ent˜ ao que: 75 = 100 × i × 15 =⇒ 75(1 + 15 × i) = 1500i 1 + 15 × i 75 + 1125i = 1500i =⇒ i = 75 = 0,2 1500 − 1125 20% ao mês Observa¸ c˜ ao: Considerando as mesmas condi¸cões, o desconto comercial simples dc é maior que o desconto racional simples dr , e tem-se que, dc = dr (1 + i × n), em que i é a taxa de desconto e n o prazo de antecipa¸cão. De fato: Sabe-se que dc = N × i × n, por outro lado dr = N − A = N N ×i×n N− = 1+i×n 1+i×n N ×i×n dc dr = = =⇒ dc = dr (1 + i × n) 1+i×n 1+i×n Exemplo 4.6.8. O desconto comercial simples de um t´ıtulo descontado três meses antes de seu vencimento ` a taxa de 40% ao ano é de R$550,00. Qual é o desconto racional? Solu¸c˜ ao: 550 dc = dr (1+i×n) =⇒ 550 = dr (1+0,40×0,25) =⇒ dr = = (1 + 0,40 × 0,25) 500,00 44 4.7 Exerc´ıcios - Aula 4 data ............/............/............ nome:...................................................................................................................................... nome:...................................................................................................................................... nome:...................................................................................................................................... 1. Calcular o desconto por dentro sofrido por uma letra de R$8320,00, descontada à taxa linear de 6% a.a., 8 meses antes do seu vencimento? ............................................................................................................. 2. Aceitei um t´ıtulo venc´ıvel a 1 ano, 1 mês e 10 dias. Tendo sido descontado por dentro a 9% a.a., deu R$1000,00 de desconto. Qual era o valor nominal do t´ıtulo? ............................................................................................................. 3. O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional simples, caso a antecipa¸cão seja de oito meses. Qual é o seu valor nominal se o valor de resgate é de R$1740,00? ............................................................................................................. 4. Qual o valor nominal de uma nota promissória, a vencer em 30 de maio, que descontada por fora no dia 3 de abril do mesmo ano à taxa de 6% a.m., produziu um desconto de R$1881,00? ............................................................................................................. 5. Um t´ıtulo de valor nominal de R$111,11 foi descontado em um banco, à taxa de 4% a.m., cinco meses antes do vencimento (desconto comercial simples). Qual a taxa mensal que representou para o banco esse investimento? ............................................................................................................. 6 6. O desconto comercial simples de uma letra de câmbio é igual a do 5 desconto racional simples. Calcular o prazo de antecipa¸cão do pagamento, sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês. , ............................................................................................................. ....... Um t´ıtulo foi descontado cinco dias antes do seu vencimento.. a razão entre o valor nominal e o valor atual é igual a 1............................ Um t´ıtulo... 5....... 3............8 Exerc´ıcios .......... ....... à taxa linear de 0..................................... descontado por fora.........m................... O valor nominal e o valor atual são inversamente proporcionais a 40 e 44.....Aula 4 1....... 2.................................. Determinar o valor nominal de uma letra...........extra-classe ....................m..................00............... 4..................... qual é o prazo de antecipa¸cão? ............................... l mês e l5 dias antes de seu vencimento........... Sabendo-se que o devedor pagou R$2820..............................5% ao dia................. Numa opera¸cão de......................... Se a taxa de juros simples é de 6% ao mês........... respectivamente......... qual o seu valor nominal? ... Uma letra sofreu desconto racional simples 15 dias antes do vencimento.. sofrendo um desconto por fora à taxa linear de 36% a.................. Determinar o prazo de ziu o desconto equivalente a 8 antecipa¸cão..............08....... descontada por dentro à taxa linear de 8% a......... produ1 de si mesmo........................ ............................ Qual foi a taxa anual de desconto? ...... .............00........... desconto por dentro........... e que apresentou o desconto de R$400............................46 4. .... cobrando 5% a............ qual é o valor nominal da duplicata? ............................. 50 dias antes de seu vencimento...... O valor atual de uma letra é duas vezes o valor de seu desconto comercial simples................... sabendose que a taxa de desconto comercial adotada é de 60% ao ano? ........... ... Um banco oferece empréstimos pessoais.......6....................................... O valor do desconto foi de R$10164..... Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 84% a................... mais uma comissão de 2%... Qual deve ser o compromisso assumido? ....................00................ para pagar daqui a três meses............ 9........................ Achar a diferen¸ca entre o desconto comercial simples e o racional simples de uma letra de R$2100............................ 10............................4% a.............. o desconto seria reduzido em R$1764......................... ................................. três meses antes do seu vencimento? .... 7...............a............ 8........ Nessas condi¸cões........................................ Qual é o vencimento do t´ıtulo expresso em dias...........00 descontada a 3% a......... Qual a taxa efetiva mensal de uma opera¸cão de desconto comercial simples de um t´ıtulo realizada à taxa de 18...00............. Se uma pessoa necessita de R$4150.........m.................... e o desconto comercial simples..... de taxa de desconto comercial simples.........................00.........m..... Se na opera¸cão fosse adotado o desconto racional simples....a............................. ........................................................ 13....... Para estas mesmas condi¸c˜ oes......... determine o valor do desconto deste t´ıtulo.................... Uma pessoa descontou 2 duplicatas em um banco.. ............................00................ Sabe-se que o valor do desconto racional de um t´ıtulo à taxa linear de 66% ao ano e prazo de desconto de 50 dias...... sendo que ou ´ltimo era de valor nominal 50% superior ao primeiro.. determine o valor nominal do t´ıtulo que produziu o maior desconto..................... nas mesmas condi¸cões........... .......... Determinar a taxa linear de desconto “por dentro” e “por fora” desta opera¸cão......................................00......... se fosse adotado o critério de desconto comercial simples. à uma taxa de juros simples de 15% ao ano. 12........ ......................50.....00 e com prazo de vencimento de 141 dias produz um valor atual de R$65000...... ......... O primeiro t´ıtulo vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias............. Sabendo-se que os dois descontos somaram o valor de R$382.... O desconto de uma duplicata de valor nominal de R$77000....... atinge R$28963... no regime de desconto comercial.....11............................... 04)2 5408 = 5000. Antecipando em dois meses o pagamento de um t´ıtulo. 00 o valor nominal do t´ıtulo. ent˜ ao A = = . ou seja. 2. obtive um desconto racional composto que foi calculado com base na taxa de 4% ao mês. Desconto “por dentro” ou racional: Nesse caso temos que N = A(1 + i)n e dr = N − A = A(1 + i)n − A. portanto dr = A [(1 + i)n − 1]. 1. Exemplo 5.1. A = n (1 + i) (1 + 0. portanto dc = N [1 − (1 − i)n ].Aula 5 : Desconto na capitaliza¸c˜ ao composta Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender os conceitos envolvendo o desconto “por dentro” ou racional e o desconto “por fora” ou comercial na capitaliza¸cão composta. Desconto “por fora” comercial ou bancário: Nesse caso temos que A = N (1 − i)n e dc = N − A = N − N (1 − i)n .1 Descontos compostos 1.1. 5. quanto pagarei por ele ? Solu¸c˜ ao: N 5408 Como N = A(1 + i)n .0826 49 . Sendo R$5408. qual o valor desse t´ıtulo? Solu¸c˜ ao: Os dois t´ıtulos têm o mesmo valor quando comparados na mesma data.90 . n = 5 meses.29 = portanto: x(1 + i)5−2 = 36751.90 O objetivo agora é saber a taxa de juros compostos i.11 =⇒ 11% ao mês 5904. 36751.1.1. i = 20% a.. com capitaliza¸c˜ oes semestrais.00 ser´ a resgatado três anos antes do vencimento pelo critério do desconto comercial composto ` a taxa de 20% a. pelo critério do desconto comercial composto a uma taxa de 10% ao mês.29 36751.3.225043 Exemplo 5. Um t´ıtulo de valor R$10000. n = 3 meses. Qual é o valor l´ıquido ? Solu¸c˜ ao: N = 1000. M Como M = C(1 + i)n ent˜ ao i = 5 −1 C √ 10000 i= 5 − 1 = 0. i = 10% a. Um t´ıtulo de R$1000.07) 1. que aplicada ao capital 5904.10)5 = 5904. Um t´ıtulo de R$2000.29 venc´ıvel em cinco meses deve ser substitu´ıdo por um outro t´ıtulo com vencimento em dois meses.00 deve ser resgatado três meses antes do seu vencimento. gera o montante em cinco √ meses o montante 10000. A = N (1 − i)n = 1000(1 − 0.a =⇒ i = 10% a. Qual a taxa de juros efetivamente cobrada nessa transa¸ca õ? Solu¸c˜ ao: N = 10000.1.a..5.00 foi descontado cinco meses antes do vencimento ` a taxa de desconto composto de 10% ao mês.88 Exemplo 5.90. Qual ser´ a o valor liquido? Solu¸c˜ ao: N = 2000.50 Exemplo 5. Um t´ıtulo de valor nominal R$36751.1.10)6 = 1062. i = 10% a.29 =⇒ x = = 30000 3 (1. A = N (1 − i)n = 2000(1 − 0. Se a taxa de juros compostos é de 7% ao mês.00 Exemplo 5.m. n = 6 semestres.m.4.10)3 = 729. A = N (1 − i)n = 10000(1 − 0.00.2.s. Determinar a taxa mensal de desconto racional equivalente ` a taxa de desconto comercial de 20% ao mês. ent˜ ao os valores atuais também s˜ ao iguais e portanto: N (1 − ic )n = N =⇒ (1 − ic )n (1 + ir )n = 1 =⇒ (1 − ic )(1 + ir ) = 1 (1 + ir )n Exemplo 5.80 ir = 0. Solu¸c˜ ao: 1 (1 − ic )(1 + ir ) = 1 =⇒ (1 − 0. .20)(1 + ir ) = 1 =⇒ 1 + ir = = 1. e somente se produzirem descontos iguais quando aplicadas a um mesmo t´ıtulo e por um mesmo prazo de antecipa¸c˜ ao.25 =⇒ 0. Dizemos que duas taxas de desconto racional e comercial composto s˜ ao equivalentes se. como os descontos s˜ ao iguais.6.51 Defini¸ c˜ ao 5.25 ir = 25% ao mês.1.1.1. Nesse caso. ............../................................................ Um t´ıtulo de R$5000.........a.......................................2 Exerc´ıcios ........................00 será descontado 2 meses antes do vencimento pelo critério de desconto comercial composto à taxa de 60% a.............. 1..../..Aula 5 data ............................................................... Uma empresa tomou emprestada de um banco.....................m................... com capitaliza¸cão mensal........... Qual o valor do desconto? ...............52 5.............. Qual seria taxa anual a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto? ........... a quantia de R$10000.................................................................... 1 mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a d´ıvida....... 3............. 2............... Uma duplicata de R$3000................................................ No entanto.......... Qual o valor a ser pago............ por seis meses.? . .............................. se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a..............m.............................................................................................................. nome:....9% a.................................. nome:................................... nome:............00 deverá ser descontada 3 anos do seu vencimento a uma taxa de 25% ao ano pelo critério do desconto racional composto.............................................00 à taxa de juros compostos de 19..................... .. Que taxa mensal de desconto comercial composto é equivalente a taxa mensal de 20% de desconto racional composto ? ....... A taxa de desconto composto “por fora” do banco A é de 3......................................................................... Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês...... obedecendo ao critério de desconto comercial composto............... 5...................... qual é o valor do desconto e o valor descontado? ......................................9% ao mês com o prazo de 120 dias.... O banco B oferece uma taxa de desconto de 2..1% ao mês para opera¸cões com prazo de 90 dias........ ..... ............ Uma duplicata no valor de R$2000................................ 6......4.. ................... Determinar qual banco está cobrando a maior taxa efetiva mensal de juros..............................................................00 é resgatada dois meses antes do vencimento.......................... ....... qual foi a taxa de juros compostos anual adotada? .......................................................3 Exerc´ıcios ..............54 5........................ Sabendo-se que a antecipa¸cão fora de 6 meses e o desconto de R$1401................... Qual o valor da nova nota promissória? ............................ Guilherme tem um compromisso representado por duas promissórias: uma de R$100000... sob o regime de desconto racional composto.............. o possuidor do t´ıtulo recebeu R$10000........................... Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a............... 4........... qual será o l´ıquido recebido pela empresa? .00 e outra de R$200000............ solicita ao banco credor substitui¸cão dos dois t´ıtulos por um u ńico a vencer em dez meses............................... Numa opera¸cão de desconto... com prazo para trinta dias para vencimento e taxa cobrada de 4% ao mês? ........ dois meses antes do vencimento..75................ Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 8% ao mês...............00 venc´ıveis em quatro e seis meses............. Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas.extra-classe .......................Aula 5 1...... respectivamente.00..a.... Qual é o valor do desconto racional composto de um t´ıtulo de um valor nominal de R$20000................................. 2. ..........................................00 como valor de resgate........... Uma empresa descontou uma duplicata de R$44276.00................. 3..... ......... deve ser substitu´ıda por duas letras de câmbio......................................1% ao mês em suas opera¸cões de desconto composto “por fora”.................. cinco meses de seu vencimento................ Uma letra de câmbio no valor de R$800000...............m.............. . ......... sabendose que taxa de juro composto utilizada é de 8% ao semestre e a taxa de juro composto do desconto racional é de 10% ao semestre......................... 7.................... Sabe-se que essa opera¸cão produziu um desconto de R$39000.. com vencimentos daqui a dois anos e cinco anos respectivamente.....5% ao mês 3 meses antes do vencimento? .........00................... com vencimento daqui a três anos................................................ Um t´ıtulo foi descontado à taxa de 3% a.........5......00... Qual a taxa de juros efetiva anual de um t´ıtulo descontado à taxa “por fora” de 4....... 8.............. de mesmo valor nominal cada........................................................... Calcular o valor nominal das novas letras.......... . Uma institui¸cão financeira deseja cobrar uma taxa efetiva de 3........... 6................ Determinar a taxa de desconto que deve ser considerada para um prazo de antecipa¸cão de três meses......................... determinar o valor nominal do t´ıtulo............................ Admitindo o conceito de desconto composto “por fora”......... .............. Esse problema será resolvido pela equivalência financeira de capitais. 6. • Entender o conceito de equivalência financeira na capitaliza¸cão simples.1. ou ainda data focal a data que é considerada como base para compara¸c˜ ao de capitais referidos a datas diferentes.1.1 Introdu¸c˜ ao O problema da equivalência financeira de capitais. Defini¸ c˜ ao 6. Esses conjuntos s˜ ao ditos equivalentes se a soma de seus respectivos valores atuais for igual para uma mesma data de referência. 56 . Defini¸ c˜ ao 6.Aula 6 : Equivalˆ encia financeira na capitaliza¸c˜ ao simples Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender o conceito de equivalência financeira.2. Considere o problema da substitui¸cão de uma ou mais obriga¸cões financeiras por outras obriga¸cões. Considere dois ou mais conjuntos de capitais.1. cada um deles com suas datas de vencimento a uma mesma taxa de juros a partir da mesma data de origem. • Entender de o conceito de data de referência. Chama-se data de referência ou data de avalia¸c˜ ao. • Interpretar e resolver os problemas propostos. com datas diferentes de vencimentos das anteriores sem preju´ızo para credores ou devedores. constitui-se no racioc´ınio básico da matemática financeira. .. Cn mn 2o Conjunto Capital Data de vencimento C1′ m′1 C2′ m′2 . esses dois conjuntos de capitais são equivalentes considerando a capitaliza¸cão simples e fixada uma data de referência.57 Pode-se considerar o problema da equivalência financeira levando em considera¸cão se a capitaliza¸cão é simples ou composta. .1.. .. . Para uma taxa de juros linear de 31. 1o Conjunto Capital Data de vencimento C1 m1 C2 m2 . Exemplo 6. 2.2.00 vence em 120 dias.2% ao ano.312 1.052 1+ ×2 12 .312 1. estamos considerando a data zero como data de referência. 6. hoje. dois meses antes do vencimento. .74 0. contados a partir da mesma data de origem. Um t´ıtulo com valor nominal de R$7200. Solu¸c˜ ao: 7200 7200 )= 1. . pede-se calcular o valor deste t´ıtulo: 1. se: Cj′ C1 C2 Cn C1′ C2′ + +.+ = + +. 3. ( = 6844. . . . .2 Equivalˆ encia na capitaliza¸c˜ ao simples Considere dois conjuntos de capitais.. um mês ap´ os o seu vencimento. ( = 6521.74 0. referidos a uma mesma taxa de juros i com seus respectivos prazos.104 1+ ×4 12 7200 7200 )= 2. ′ Cj m′j Portanto.+ (1 + i × m1 ) (1 + i × m2 ) (1 + i × mn ) (1 + i × m′1 ) (1 + i × m′2 ) (1 + i × m′j ) Nesta equa¸cão. a. Logo: . 7200 1 + × 1 = 7200 × 1.8% ao ano a taxa linear de juros adotada nessa opera¸c˜ ao.00 vence daqui a seis meses. R$14400.20 12 Exemplo 6. as setas para cima representam o primeiro conjunto e as setas para baixo representam o segundo conjunto. Solu¸c˜ ao: No fluxo acima.2.9% (n˜ ao esque¸ca que na capi12 taliza¸c˜ ao simples as taxas equivalentes s˜ ao proporcionais) temos a seguinte equa¸c˜ ao: 48000 × (1 + 0. Considerando a data sete como data de referência e que a taxa de 34.029 × 1) = 4800 × (1 + 0.8% a.029 × 7) + 14400 × (1 + 0. e sabendo-se ainda que é de 34. e o restante um mês ap´ os a data de vencimento. determinar o valor do u ´ltimo pagamento.60 Vamos refazer o exemplo anterior. O devedor pretende resgatar a d´ıvida pagando R$4800.029 × 5) + x 49392 = 5774.40 + 16488 + x =⇒ 49392 = 22262. Sendo o momento deste u ´ltimo pagamento definido como a data de referência da opera¸c˜ ao.00 de hoje a dois meses.8 34.40 + x =⇒ x = 27129. Uma d´ıvida no valor de R$48000.58 ( ) 0. é equivalente a taxa de = 2. é necess´ ario que os dois conjuntos sejam equivalentes.312 3.026 = 7387.00 hoje. Para que n˜ ao haja preju´ızo para nenhuma das partes. considerando a data zero como data de referência.2. C= 4620 3960 + + 4000 (1 + 0. Qual o capital hoje equivalente ao capital de R$4620.001 × 20) (1 + 0.86 = 4800 + 13610.00 que venceu h´ a vinte dias.1% ao dia.00.348 0.058 1. sendo explicada pelo fato de não ser aceito o desmembramento (fracionamento) dos prazos.00 a uma taxa linear de 20% ao ano.83126x =⇒ x = 27037.59 + 0.3. a defini¸cão da data de referência em problemas de substitui¸cão de pagamento no regime de juros simples deve ser decidida naturalmente pelas partes.00 e reaplicá-lo nas mesma condi¸cões por mais um ano você obterá um montante de 144.00 que vence dentro de 50 dias.2. como veremos mais tarde. ele renderá em dois anos um montante de 140. ou seja. Essa caracter´ıstica é t´ıpica da capitaliza¸cão simples (em juro composto.05) (1.348 0.174 1.1) C = 4400 + 3600 + 4080 = 12080 . este comportamento não existe). que o saldo se altera quando a data de referência é modificada.00. se você considerar uma capital de 100.348 1+ ×6 1+ ×2 1+ ×7 12 12 12 48000 14400 x = 4800 + + 1. ` a taxa de juros simples de 0. Por exemplo.75 Observa¸ c˜ ao: Na questão da equivalência financeira em juros simples.00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$4000.001 × 50) (1 + 0.02) (1.59 48000 14400 x ( ) = 4800 + ( )+( ) 0. Agora se você apurar o montante ao final do primeiro ano ele será de 120.1% ao dia? Solu¸c˜ ao: Devemos encontrar um capital C que seja equivalente na data de referência zero(hoje) ao conjunto de capitais dados ` a taxa linear de 0.203 40885. mais o capital de R$3960.001 × 100) C= 4620 3960 + + 4000(1. Exemplo 6. é importante ressaltar. Na prática. ou seja o fracionamento dos prazos levou a resultados diferentes. Calcule o valor nominal comum. 60 e 90 dias. venc´ıveis. respectivamente. . Queremos substituir dois t´ıtulos.00 para 90 dias e outro de R$120000. um de R$50000.00 para 60 dias. com os mesmos valores nominais.60 Exemplo 6. por três outros. sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples da transa¸c˜ ao é de 3% ao mês. em 30.4.2. Portanto. d′1 = 50000×0.001 × 60 = 0.06x e d3 = x × 0.75 2.00 respectivamente e d′1 e d′2 os respectivos descontos comerciais simples. é necess´ ario que esses conjuntos de capitais sejam equivalentes. d2 = x × 0.03x = 0. A1 + A2 + A3 = 0.09x = 0. ou seja.001×90 = 4500 e d′2 = 120000×0. Considerando a data zero como data de referência. A2 e A3 os valores atuais do conjunto de capitais cujo valor nominal é x e d1 .97x + 0. A1 + A2 + A3 = 2. ou seja.001 × 90 = 0.91x. para que tanto credor quando devedor n˜ ao tenham preju´ızos.82x. sejam A′1 e A′2 os valores atuais do conjunto de capitais cujo valor nominal é 50000.d e portanto tem-se que: d1 = x × 0.97x.94x e A3 = x − 0. ou seja.61 Solu¸c˜ ao: No fluxo acima.94x + 0. segue ent˜ ao que A′1 = 50000−4500 = 45500 e A′2 = 120000−7200 = 112800. tem-se que 158300 2.82x = 158300 e ent˜ ao x = = 56134. Sejam A1 .001 × 30 = 0. A′1 + A′2 = 158300.1% a.06x = 0.91x.00 e 120000. isto é. a soma dos valores atuais dos dois conjuntos seja igual. Por outro lado. Como a taxa é linear ent˜ ao 3% a.09x. Como A1 + A2 + A3 = A′1 + A′2 .03x. d2 e d3 os respectivos descontos comerciais simples desses capitais. logo A1 = x − 0.m é equivalente a 0. que a taxa é de 3% ao mês é equivalente e que a opera¸c˜ ao é de desconto comercial simples. as setas para cima representam o primeiro conjunto e as setas para baixo representam o segundo conjunto.001×60 = 7200.82 . A2 = x − 0. ......... a primeira ao final do 10o mês... Condi¸cões desejadas: pagamento em três presta¸cões iguais... nome:......62 6.. qual o valor unitário de cada uma das novas presta¸cões ? .................................. A taxa de juros não sofrerá altera¸cões.. Qual o valor nominal do novo t´ıtulo considerando a taxa de juros simples de 3.................................................... Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado..................... Um industrial deve pagar dois t´ıtulos: um de R$14400...........................8% ao mês? ... Entretanto...00 para dois meses e outro de R$19200............................... Este financiamento foi contratado a trinta dias........................... 2............. não podendo resgatá-los no vencimento................................................................... A institui¸cão financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas altera¸cões........ nome:...................../.....00 para três meses.................... Condi¸cões pactuadas inicialmente: pagamento de duas presta¸cões iguais e sucessivas de R$11024................ nome:....... Caso sejam aprovadas as altera¸cões e considerando como data de referência a data zero........................... propõe ao credor substitu´ı-los por um novo t´ıtulo para 4 meses..........Aula 6 data ./.... a segunda ao final do 30o mês e a terceira ao final do 70o mês............................................................................00 a serem pagas em 60 e 90 dias............ sendo a data deste pagamento definida como data de referência....................................................... a uma taxa de juros simples de 2% ao mês................................................... .........................................3 Exerc´ıcios ......... 1.............. .............. determine o valor deste pagamento u ńico. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples... ............ (Considere a data cinco como data de referência)....3...................... Um indiv´ıduo deverá liquidar suas d´ıvidas.....00..........00 e outro de R$49800...00 cada..... O devedor deseja propor a substitui¸cão destas duas obriga¸cões por um u ńico pagamento ao final do quinto mês...................... .......................... venc´ıveis respectivamente em 8 e 11 meses a partir de hoje.00 seja equivalente...... Utilizando-se o critério o valor atual racional.......... Uma pessoa deve dois t´ıtulos no valor de R$25000.......... expressas por dois t´ıtulos.... um de R$37000............ qual deve ser o prazo de vencimento de uma promissória de R$59950.. O primeiro t´ıtulo vence de hoje a 2 meses e o segundo um mês após................. A taxa de juros simples é de 6% ao mês................. 4.... hoje........................ aos dois t´ıtulos especificados? .....00 e R$56000. .....5% ao mês...5% ao mês....... (Considere a data cinco como data de referência).....00 para 30 dias.. respectivamente.......................................... Determinar o valor da d´ıvida se o devedor liquidar os pagamentos: (a) hoje.00.... venc´ıveis em 60... Uma d´ıvida é composta de três pagamentos no valor de R$2800.....................................extra-classe ........ R$192............... Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado e de 4.........00 em trinta e sessenta dias... respectivamente........... .00 de entrada.. 3.................. Calcule o valor nominal do novo t´ıtulo.................................. ........5% ao mês.....00 para 90 dias.. e considerando como data de referência........... 2..........00 e R$7000...............00. a data zero. à taxa linear de 2............... Sendo de 1....................64 6... .. (b) daqui a sete meses.......................... um de R$40000......... Substitua três t´ıtulos...............00 para 60 dias e outro de R$160000.........................Aula 6 1........ venc´ıveis em 90 e 120 dias.. ..................00 para noventa dias deverá ser substitu´ıdo por outro para 150 dias.......1% ao mês a taxa linear de juros....... .......... outro de R$100000. 4.. calcule até que pre¸co é interessante comprar a máquina a vista.. Qual o valor nominal comum dos novos t´ıtulos sabendo que a taxa e desconto comercial simples da transa¸cão é de 3.......4 Exerc´ıcios ...... Uma máquina calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condi¸cões: R$128........ 90 e 150 dias...... por dois outros t´ıtulos de iguais valores nominais... Um t´ıtulo de valor nominal igual a R$6300... R$4200.............. .......00 e R$80000. R$14000....... ........ O devedor pretende resgatar a d´ıvida pagando R$4800..... supondo-se que a taxa de desconto racional simples seja de 3........ ..... e o restante um mês após a data de vencimento......... ........... determinar o montante do pagamento.........8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta opera¸cão..... Sendo o momento deste u ´ltimo pagamento definido como a data de referência da opera¸cão..2% ao mês para as transa¸cões desse tipo......5...........00 de hoje a dois meses...........00 hoje............ R$100000....00......... 150 e 180 dias.......... R$20000................ 6......... Um d´ıvida no valor de R$48000...... calcular o valor nominal comum......... respectivamente........ Desejando substitu´ı-los por dois outros de valores nominais iguais para 60 e 120 dias. e sabendo-se ainda que é de 34.....................00 vence daqui a 6 meses.. descontados em um banco e com vencimentos para 90................ (Considere a data cinco como data de referência)....00............. Um microempresário tem três t´ıtulos. . . esses dois conjuntos de capitais são equivalentes considerando a capitaliza¸cão composta e fixada uma data de referência. contados a partir da mesma data de origem.+ + +. • Interpretar e resolver os problemas propostos. . 66 . . ′ Cj m′j Portanto. . . .Aula 7 : Equivalˆ encia financeira na capitaliza¸c˜ ao composta Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender o conceito de equivalência financeira na capitaliza¸cão composta. . . se: Cj′ C2′ C1 C2 Cn C1′ + +.. Cn mn 2o Conjunto Capital Data de vencimento C1′ m′1 ′ C2 m′2 . referidos a uma mesma taxa de juros i com seus respectivos prazos. 7.. . .1 Equivalˆ encia na capitaliza¸c˜ ao composta Considere dois conjuntos de capitais. 1o Conjunto Capital Data de vencimento C1 m1 C2 m2 .+ = ′ ′ ′ (1 + i)m1 (1 + i)m2 (1 + i)m3 (1 + i)m1 (1 + i)m2 (1 + i)mj Nesta equa¸cão. estamos considerando a data zero como data de referência.. 55.00 que vencer´ a em 2 anos..4. no valor de R$25000. pergunta-se: 1. y é quantia na data l. ser´ a que R$8000.82 (1 + 0.00 é mais que R$10000. x = 20000 + 15000 = 29325. e o segundo em l ano e meio. quanto possui hoje? 2. que ir´ a aplicar ` a taxa de 2% ao mês.02)24 2. x = 20000(1 + 0. R$2000.1. com vencimento para 6 meses.02)24 + 15000 = 47168. possui R$20000.00.23 (1 + 0. qual é o valor da Nota Promiss´ oria em seu vencimento? . Uma pessoa tem uma nota promiss´ oria a receber com valor de R$15000.3.02)12 3.02)12 + 15000 = 37192..00 em 1 ano é equivalente a R$2300. Considerando-se a taxa de juros de 4% ao mês. Exemplo 7. logo R$8000.00. 1. quanto possuir´ a daqui a dois anos? Solu¸c˜ ao: Considere que: x é a quantia na data zero. Uma financeira oferece a um cliente dois t´ıtulos.1. A que taxa de juros anuais.m.a. durante 2 anos.74 Exemplo 7.1.15 =⇒ i = 15% a.67 Exemplo 7.04)6 = 10122.1.00 em seis meses? Solu¸c˜ ao: C = 8000(1 + 0. vencendo o primeiro em 1 ano no valor de R$15000. O cliente aceita assinando uma Nota Promiss´ oria.00 em 6 meses. x = 20000(1 + 0.00 em 2 anos? Solu¸c˜ ao: 2300 2300 2000 = =⇒ 1 + i = = 1. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje é de 2% a.00 hoje.2. z é a quantia na data 2.a. quanto possuir´ a daqui a um ano? 3. 1 (1 + i) 2000 Exemplo 7. Além disso.1.00 hoje é equivalente a R$10000. Sabendo-se que a taxa de juros considerada na opera¸ca õ foi de 30% a. 0175% a.87 + 1923077 = 32386. Contudo.00. o devedor propˆ os adiamento de sua d´ıvida. de R$3500. comprometendo-se a sald´ ala em dois pagamentos: o primeiro de R$2500.5.140175)2 Exemplo 7.1. portanto: 25000 15000 + x= = 13155.3 = 1.68 Solu¸c˜ ao: Taxa semestral equivalente: Como 1 ano = 2 semestres. O esquema apresentado foi: pagamento de R$4000. qual é o saldo restante em nove meses? .s.140175 (1 + 0.. n˜ ao dispondo de recursos. Uma pessoa contraiu um d´ıvida.64 1 + 0.3)1 =⇒ 1 + i = 1 + 0.00 daqui a três meses e o saldo em nove meses. no vencimento da primeira parcela. Se a taxa de juros considerada foi de 2. temos que √ (1 + i)2 = (1 + 0. seis meses ap´ os o primeiro.00 e o segundo.5% ao mês.140175 =⇒ i = 14. 025)6 + x =⇒ 3122. de modo que os conjuntos de capitais sejam equivalentes.51 .025)6 = 4000(1 + 0.77 + x =⇒ x = 2252.12 = 4638.025) + 3500(1 + 0. tem-se ent˜ ao que: 9 2500(1 + 0.15 + 3769.69 Solu¸c˜ ao: Devemos determina o valor de x. ...........00................................................... nome:.......................................... nome:........ Qual o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada presta¸cão? .........................................................................................../....................Aula 7 data ...........00 e o apartamento por R$250000........................................................... aplicando o dinheiro em uma institui¸cão que paga 40% ao ano......... Um empréstimo de R$20000............. e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 presta¸cões trimestrais iguais e consecutivas............. 2.................... 1....... uma pessoa vende seu carro hoje e seu apartamento a seis meses...................70 7..... Que saldo poderá deixar aplicado? .... sendo que na viagem ela pretende gastar R$300000...... nome:............. capitalizados trimestralmente... Para viajar daqui a um ano...../.................................................. O carro será vendido por R$30000......................00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% a............................................................. .............................................00..........................................2 Exerc´ıcios ........................................a..... .. se sua taxa for de 7.....00 no sexto mês após a compra................ Uma empresa imobiliária está vendendo um terreno por R$200000.. 4........ Uma loja tem com norma facilitar os pagamentos.... Um determinado comprador propõe alterar o valor do pagamento adicional para R$250000............ deslocando-se para o oitavo mês após a compra..................................00....... A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês...........00 de entrada e um pagamento adicional de R$200000.......... ...............3...... Qual o desconto sobre o pre¸co a vista que a loja pode conceder............................................5% ao mês? ............. Nesse caso o pre¸co a vista é dividido por 3 e a primeira parcela é dada como entrada............................. qual o valor da entrada no esquema proposto? ......... proporcionando a seus clientes a possibilidade de pagar em três vezes sem acréscimo...... .... 3.... Como alternativa........... Um conjunto de dormitório é vendido em uma loja por R$5000.......... Qual é o valor destes pagamentos....3 Exerc´ıcios .........t...00.....? ................... se forem iguais e a taxa de juros adotada pela butique for de 8% a.............Aula 7 1......... Qual o valor dos pagamentos..... podendo este valor ser pago em três presta¸cões mensais iguais.............. ....... uma parcela de R$200000.... a imobiliária propõe: entrada de R$100000.... se a taxa de juros de mercado for de 2% ao mês? ........... sendo a primeira paga na compra......... 4.. quanto deverá dar de entrada.................72 7.. se a taxa de juros considerada for de 8% a.....00............................00 como segunda parcela.......... Um carro está a venda por R$20000................... 2.....00 de entrada e R$20000... Um s´ıtio é posto a venda em uma imobiliária por R$500000..... não se exigindo entrada......... Um cliente propõe o pagamento de R$1000............... Uma butique vende um vestido por R$1800............ Um comprador propõe pagar R$25000..00 à vista..............00 após seis meses...... Nesse caso...m............... se a taxa de juros cobrada for de 5%a.... De quanto devem ser as duas primeiras parcelas.................... o que será feito após oito meses.....00 para um ano e dois pagamentos iguais...m...........................00 como terceira parcela...................extra-classe ..? .........00 a vista ou a prazo em dois pagamentos trimestrais iguais.. vencendo o primeiro em seis meses e o segundo em um ano e meio............................................................? .......... ................. Na venda de um barco...............00.00 e o apartamento por R$2500000....00....... se considerarmos a taxa de juros de 3% ao mês? ......... Para viajar daqui a um ano. Um financista propõe a compra deste imóvel pagando-o em duas parcelas iguais.. 7..... sendo o pagamento efetuado em quatro parcelas trimestrais: R$400000............... vencendo a primeira e........00 nas duas primeiras.......................00 nas duas u ´ltimas...00. Qual é a melhor alternativa para o comprador.......... oferece duas op¸cões a seus clientes: • R$30000.. seis meses.................5......... • sem entrada......... O carro será vendido por R$300000.......... Maria vende seu carro hoje e seu apartamento a 6 meses.....00. Um imóvel está a venda por 4 parcelas semestrais de R$500000..........00 de entrada mais duas parcelas semestrais................. a Loja Náutica S................................. ................. sendo que na viagem ela pretende gastar R$3000000.... 6........ sendo a primeira de R$500000. aplicando o dinheiro em uma institui¸cão financeira que paga 40% ao ano........ Qual é o valor das parcelas.. se a taxa de juros ajustada for de 20% ao semestre? ....00 e a segunda de R$1000000................ A....... Que saldo poderá deixar aplicado? ............... uma no ato da compra e outra após um ano.... e R$500000........................................ ...00 para doze meses e de R$300000...... Os pagamentos efetuados foram: R$50000.. Qual é o valor do acerto final? ..... ............ vencendo a primeira a seis meses.......... Quanto às condi¸cões de pagamento..................74 8............ Carlos vendeu um carro para um amigo seu.. R$10000...00 no sexto mês.....00 para vinte e quatro meses foi transformada em quatro parcelas iguais semestrais...00 no quinto mês e R$20000... O Sr.................... Uma d´ıvida de R$150000............... Qual é o valor das parcelas se considerarmos a taxa de 25% ao ano? ........ pelo pre¸co de R$500000........ 9..................................... No fim do décimo segundo mês o comprador diz querer saldar seu débito total....... sendo os juros de 40% ao ano............................00..................... ele disse que o amigo pagar-lhe-ia na medida do poss´ıvel.......00 no terceiro mês... • Entender o conceito do valor atual de uma serie de pagamento.Aula 8 : S´ eries. Esses exemplos caracterizam a existência de rendas ou anuidades. quando se quer pagar uma d´ıvida. • Entender o conceito do modelo básico da serie uniforme de pagamentos. • Determinar o fator de valor atual e o valor atual de uma serie uniforme de pagamento. • Interpretar e resolver os problemas propostos. Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma certa data futura. 8. Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento (Modelo B´ asico Valor atual) Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender os conceitos envolvidos no estudo das séries uniformes.Valor atual Nas aplica¸cões financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso. tem-se um processo de amortiza¸cão.1 Modelo B´ asico . tem-se um processo de capitaliza¸cão. Caso contrário. que é o caso de aluguéis. sem que haja amortiza¸cão. que podem ser basicamente de dois tipos: 75 . 2 Defini¸c˜ oes Considere a série seguinte de capitais referidos às suas respectivas datas.. O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos.. sendo aleatório o valor do seguro a receber e a data de recebimento.3 Classifica¸c˜ ao das Anuidades 1. Os valores que constituem a renda são os termos da mesma.. Esses são os tipos de rendas a serem estudados nesse curso. por exemplo.. R1 −→ n1 R2 −→ n2 . Rendas com essas caracter´ısticas são estudadas pela Matemática Atuarial... O intervalo de tempo entre dois termos chama-se per´ıodo e a soma dos per´ıodos define a dura¸c˜ ao da anuidade. De modo análogo o montante de uma anuidade é a soma dos montantes de seus termos considerada uma dada taxa de juros e uma data de referência. 8.. não dependendo de condi¸cões externas Os diversos parâmetros.76 1. . como o valor dos termos. com os seguros de vida: os valores de pagamentos (mensalidades) são certos. 8. prazo de dura¸cão. Rendas aleat´ orias ou probabil´ısticas: Os valores e/ou as datas de ´ o que pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis aleatórias. taxa de juros etc. Rm −→ nm Esses capitais que podem ser pagamentos ou recebimentos. sob o regime de juros compostos.. a menos que explicitado o contrário.. que por sua vez são referidos a uma data de referência. são fixos e imutáveis. caracterizam uma anuidade ou renda certa. E ocorre. Quanto à periodicidade . 2. Observa¸ c˜ ao: Serão abordados apenas as rendas certas ou anuidades.. soma esta feita para uma mesma data de referência e à mesma taxa de juros.. Rendas certas ou determin´ısticas: São aquelas cuja dura¸cão e pagamentos são predeterminados. referidos a uma dada taxa de juros i. Quanto à forma de pagamento ou de recebimento (a) Imediatas: quando os termos são exig´ıveis a partir do primeiro per´ıodo. 2. i. Quanto ao prazo (a) Temporárias: quando a dura¸cão for limitada. ii. ii.4 Modelo B´ asico de Anuidade Por modelo básico de anuidade.77 (a) Periódicas: se todos os per´ıodos são iguais. entende-se as anuidades que são simultaneamente: • temporárias • constantes • imediatas e postecipadas • periódicas E que a taxa de juros i seja referida no mesmo per´ıodo dos termos. (b) Perpétuas: quando a dura¸cão for ilimitada. Antecipadas: Se os termos são exig´ıveis no inicio dos per´ıodos. Postecipadas ou vencidas: Se os termos são exig´ıveis no fim dos per´ıodos. Antecipadas: Se os termos são exig´ıveis no inicio dos per´ıodos. Quanto ao valor dos termos (a) Constante: se todos os termos são iguais. (b) Não-periódicas: se os per´ıodos não iguais entre si. . (b) Diferidas: se os termos forem exig´ıveis a partir de uma data que não seja o primeiro per´ıodo. 8. 3. (b) Variável: se os termos não são iguais entre si 4. i. Postecipadas ou vencidas: Se os termos são exig´ıveis no fim dos per´ıodos. 02) (1 + 0.1.78 Exemplo 8.24.02) (1 + 0.02) (1 + 0. tem-se que P = 2626.807728 Como R = 2626.4.02) (1 + 0.24. Seja P o valor do carro ` a vista e R o valor das presta¸c˜ oes. sem entrada. portanto temos que: P = R R R R + + + 1 2 3 (1 + 0. calculados ` a taxa de 2% ao mês.02)4 ] P = R × 3.02) (1 + 0. Jo˜ ao compra um carro.626. Temos que determinar um capital aqui chamado de P . O seguinte fluxo representa ent˜ ao o problema proposto.02) (1 + 0.02)4 [ 1 1 1 1 P =R + + + 1 2 3 (1 + 0. As presta¸c˜ oes ser˜ ao pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. que ir´ a pagar em quatro presta¸c˜ oes mensais de R$2.24 × 3. que na data zero é equivalente ao conjunto de capitais R. Qual é o pre¸co do carro a vista? O pre¸co do carro a vista corresponde ` a soma dos valores atuais das presta¸c˜ oes na data de referência zero (data da compra).00 .807728 ≈ R$10000. cujo 1+i 1 termo inicial é . temos que: F V P (i. postecipados e periódicos. n) é denominado de fator de valor atual ou fator de valor presente de uma série uniforme e estabelece a equivalência entre P e R. n) = 1 − (1 + i)−n (1 + i)n − 1 = i i(1 + i)n O fator F V P (i.. aplicando a fórmula da soma dos termos de 1+i uma P. uma taxa i.1 Valor atual do modelo b´ asico Considere um principal P a ser pago em N termos iguais a R.. n) e este corresponde à soma 1 dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão .79 8.. imediatos. + = R × F V P (i..4. n) . A soma do valor atual dos termos da data zero é dada por: R R R + + . n) (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n P = Indica-se o fator entre colchetes por F V P (i.G. + 1 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i)n [ ] 1 1 1 P =R + + . referida ao mesmo per´ıodo dos termos. Assim. Pode-se então. expressar o valor atual do modelo básico como sendo: P = R × F V P (i.. 025)3 P = 150 + 122.807729 ≈ 10000 Exemplo 8. Solu¸c˜ ao: Chamando a entrada de E e as presta¸c˜ oes de R .5. mas pode ser financiado sem entrada em 10 presta¸c˜ oes mensais ` a taxa de 3% a. P = Exemplo 8.025(1 + 0. Calcular a presta¸c˜ ao a ser paga pelo comprador.00 ≈ 586.5.00 ` a vista.24 × 3..3.55 × 2.4.24 (1 + 0. Considerando o exemplo feito anteriormente.03)10 − 1 = 8.03(1 + 0.02(1 + 0.4. i = 2% a.55. Um televisor em cores custa R$5000. 10) = (1 + 0. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2.856024 F V P (2.m.856024 ≈ 500 . tem-se que: Solu¸c˜ ao: n = 4m.530203 0.2.807729 0.00 de entrada e três presta¸c˜ oes mensais iguais de R$122. R = 2626.5% ao mês. por 10 meses. tem-se que P = E + R × F V P (2.4.530203 Portanto. o comprador dever´ a pagar uma presta¸c˜ ao de R$586.15 8.m.80 Exemplo 8.02)4 − 1 F V P (2. 3) = 0.02)4 P = 2626. F V P (3. Uma aparelhagem de som est´ a anunciada nas seguintes condi¸c˜ oes: R$150. calcular o pre¸co a vista. 4) = = 3.03)10 5000.025)3 − 1 = 2.4.15. 3) (1 + 0. 884986 0. qual é a melhor op¸c˜ ao para o comprador? Solu¸c˜ ao: P = R × F V P (i.93 O 1◦ caso é a melhor alternativa para o comprador.935566 885.sendo que P = 15000.00 ` a vista.025)24 P = 61.03 × 16.257765 ≈ 1000.935566 = 1. portanto: (1 + 0.4. Nos dois casos.03 1 − 0. . R = 885.884986 ≈ 1099. Pode ser adquirido também em presta¸c˜ oes mensais de R$885.025(1 + 0.025)12 P = 97.49 ou em 24 presta¸co ˜es mensais de R$61. portanto: 15000 15000 = 885.6. 24) = = 17.025)12 − 1 F V P (2.5.257765 0. Sabendo-se que a taxa de juros do crédito pessoal é de 2.50.5. Uma loja vende um tapete em 12 presta¸c˜ oes mensais de R$97.71 e i = 3%. o cliente n˜ ao dar´ a entrada alguma.71 × F V P (3.71 1 − (1.5% ao mês.81 Exemplo 8.5.491933) = −n log(1. 12) = = 10. n).4.491933) n=− ≈ 24 log(1.03) Exemplo 8. n) = = 16.49 × 10.00. n) =⇒ F V P (3.03)−n 16.025(1 + 0. qual é o n´ umero de presta¸c˜ oes? Solu¸c˜ ao: P = R×F V P (i.71 a juros de 3% ao mês.03−n =⇒ log(0.03) log(0.03 (1 + 0.50 × 17. Sabendo que as presta¸c˜ oes vencem a partir do mês seguinte ao da compra.935566 = 0. Um tapete persa é vendido por R$15000.025)24 − 1 F V P (2. n). ... 2........... determinar o n´ umero de presta¸cões............ 4.......................................... De quanto serão as presta¸cões... nome:....................................... Um apartamento é vendido por R$1000000.00 de entrada mais 24 presta¸cões mensais de R$2236... Determinada mercadoria é vendida pro R$2500................................00 a vista ou por 50% de entrada e o restante em 60 meses à taxa de 12% ao ano capitalizados mensalmente.. se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50% a..? ..................................................................? ...m....... Como op¸cão............................51................. nome:................. Um carro está a venda por R$10000...00 à vista...........................................00..................00 de entrada..... 3......00 à vista ou por 20% de entrada mais presta¸cões mensais de R$309..................................16..................................................................... Qual é a melhor alternativa.............................. Sendo de 2% ao mês a taxa corrente de juros...........................Aula 8 data ........ a agência o vende em 36 presta¸cões mensais de R$1613.................... Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$6000........a.....82 8......................./..... mais 36 presta¸cões mensais.. 1..... se a taxa de mercado for de 3% a......00....... Qual é o valor das presta¸cões? .............................. nome:........................ Um cliente está disposto a comprá-lo por R$2000.................................................................../....... sendo neste caso exigida uma entrada de R$12000.................................... ....5 Exerc´ıcios .................................................................................................................. ............. ...m.. Uma loja vende uma geladeira por R$2000..... O valor financiado será pago em seis presta¸cões mensais iguais e consecutivas de R$100...............extra-classe .00.................... 3.....83 8...00 à vista ou financiada em 18 meses..... qual deverá ser o valor das presta¸cões ? ...........................................5% a........................... Qual o valor a ser pago na quarta presta¸cão. Contudo......................57.................... com a primeira vencendo em trinta dias....... se não for dada entrada alguma e a primeira presta¸cão vencer após um mês? . 4.............. o cliente teve o saldo devedor financiado em 3 presta¸cões quadrimestrais de R$5000.m..............00........6 Exerc´ıcios ............ Numa compra efetuada..... Se a taxa de juros da loja for de 2% ao mês. para evitar esta concentra¸cão de desembolso.................... e a taxa de financiamento de 60% ao ano capitalizados mensalmente...... sendo a primeira na compra.......................... Uma motocicleta foi vendida em 4 presta¸cões trimestrais de R$1000...........................00............ o cliente solicitou a transforma¸cão do financiamento em 12 presta¸cões mensais............. Qual será a presta¸cão mensal.... qual é o pre¸co a vista? .............Aula 8 1.. a juros de 3...... ........ 2.......... um cliente propôs pagar o valor da entrada no decorrer do financiamento e combinou que esse valor seria corrigido a juros compostos de 7% ao mês.......................... Se a taxa de mercado é de 3% a.. Na compra de um equipamento de valor à vista igual a R$587..................... se o valor relativo à entrada for pago nesse momento ? ......................................... ............... João dispõe para pagar.....00.. ......... a partir de hoje................ qual é o numero de presta¸cões? . A taxa de juros compostos é de 5% ao mês............. iguais e sucessivas......... venc´ıveis de hoje a seis meses................ 7..... Um indiv´ıduo deve R$181500...... e que o comprador está pagando R$205821.. capitalizados trimestralmente....... em presta¸cões iguais e sucessivas..... O pre¸co de um imóvel é de R$500000. desprezando-se os centavos? ..................... A firma vendedora exige 10% sobre o pre¸co à vista e financia o restante à taxa de juros compostos de 6% ao mês............................... podendo ser financiada em 10% de entrada e o restante em presta¸cões trimestrais......... Nessas condi¸cões...... 6.....00.......................00.....00. Para transformar suas d´ıvidas em uma série uniforme de quatro pagamentos postecipados trimestrais.............00............................5.. João pretende comprar uma mansão cujo pre¸co à vista é de R$1000000.............. a juros e desconto racional compostos de 10% ao trimestre....... quando vencerá a u ´ltima presta¸cão? ..00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 presta¸cões iguais.......... mensalmente............ Qual o valor de cada presta¸cão............. Uma máquina tem o pre¸co de R$2000000....................................01........................ Qual o valor do pagamento trimestral? .. Um comprador ofereceu R$200000.. mensais.......... e R$380666.... 8....................00.......... Sabendo-se que a financiadora cobra juros compostos de 28% ao ano. venc´ıveis de hoje a doze meses............................................ da quantia de R$74741....... 64 cada uma........ A institui¸cão financiadora cobra uma taxa de juros de 120% ao ano................. .... Com base nestas informa¸cões......00......... sem entrada.. capitalizados mensalmente (juros compostos)............................ iguais e sucessivas....................... Um bem foi adquirido................ Qual o valor do bem na data de aquisi¸cão? ........... .............60 na compra de um equipamento... no valor de R$14.................. Uma pessoa paga uma entrada no valor de R$23.... através de um plano de três presta¸cões de R$200.. paga mais 4 presta¸cões mensais. e a primeira ocorrendo a trinta dias da data de sua aquisi¸cão........... determine o valor à vista do equipamento adquirido................................. A taxa negociada é de 2% ao mês e o regime de capitaliza¸cão e composta.......85 9............... 10...... Aula 9 : S´ eries. (1 + i)n − 1 Logo. S = R × F V P (i. pois sabemos que o valor atual da série (na data zero) é P0 e é dado por: P0 = R × F V P (i. n). Como S é equivalente a P0 devemos ter S = P0 (1 + i)n . • Entender o conceito de montante do modelo básico de uma renda uniforme. Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento (Modelo B´ asico Montante) Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender os conceitos envolvidos no estudo das séries uniformes. ao capital u ńico equivalente à sequência e o representamos por S. • Interpretar e resolver os problemas propostos. • Determinar o fator de valor atual e o valor atual de uma serie uniforme de pagamento. n) × (1 + i)n ou S = R × × (1 + i)n = i(1 + i)n (1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 R× . O cálculo de S é muito fácil.1 Modelo B´ asico . 9. O fator é denominado fator de acumula¸cão i i 86 .Montante Chamamos de montante da seq¨ uência na data n. • Entender o conceito do modelo básico da serie uniforme de pagamentos. Qual é a melhor aplica¸c˜ ao? Solu¸ c˜ ao: Basta verificar qual aplica¸c˜ ao conduz ao maior montante no fim do décimo segundo mês. como o banco B devolve R$42000. do .83 Exemplo 9. Quanto deve ser depositado mensalmente de janeiro a agosto. n) = (1 + i)n − 1 i Exemplo 9. (1 + 0. Uma pessoa deposita R$1000. i = 3% e 12 meses. ao fim de cada mês. determine quanto deve ser poupado mensalmente.1. P0 = 30000. No banco A.1. 24) = ≈ 30. 2. Admitindo-se que ela v´ a poupar uma certa quantia mensal que ser´ a aplicada em letras de cˆ ambio rendendo 2. daqui a 12 meses. i = 2% e 24 meses. prevê dispêndios mensais de R$100000.421862 0.1.99 13.03)12 = 42772. devemos calcular quanto devolver´ a o banco A no fim do per´ıodo e comparar com o do banco B.86 Exemplo 9.2. planejando a constru¸c˜ ao de uma casa.022)12 − 1 ≈ 13. Uma pessoa deseja comprar um carro por R$40000.2% ao mês de juros compostos.1.00 no fim do per´ıodo.4.00. 12) = 0. No banco B que devolve R$42000.00 ` a vista. Sabendo-se que ela est´ a ganhando 2% ao mês quanto possuir´ a em dois anos? R = 1000.1. n) que estabelece a equivalência entre S e R. Uma pessoa possui R$30000.00 mensalmente.00 nos meses de setembro. S = P0 (1 + i)n = 30000(1 + 0.3. i = 2.2% e 12 meses. devolvendo o capital no fim do décimo segundo mês.563955 F V F (2. que pode aplicar do seguinte modo: 1.421862 = 30421. S = 40000. que paga um juro de 3% ao mês.00 no fim do décimo segundo mês. (1 + 0. n) com F V F (i.02)24 − 1 F V F (2.87 de capital de uma anuidade ou fator de valor futuro e é representado por F V F (i. Uma pessoa. outubro e novembro.022 40000 R= = 2948.563955 Exemplo 9.2.02 S = 1000 × 30. Portanto temos que: S = R × F V F (i. 88 mesmo ano. portanto: P = R′ × F V P (i. n′ ) = = 31809.54 R= F V F (i. i = 3%. 3) = 2. n = 8 e n′ = 3 F V P (3. o montante S dos 8 dep´ ositos deve ser igual ao valor atual P das três retiradas.892336 .m. n) 8. n) R′ = 100000.828611 e F V F (3. n′ ) e P = R × F V F (i.892336 R′ × F V P (i. ` a taxa de 3% a. n) 100000 × 2.m. 8) = 8. Solu¸ c˜ ao: O problema é representado pelo seguinte fluxo de caixa: Temos que.. n′ ) = R × F V F (i.828611 R′ × F V P (i. para que seja poss´ıvel efetuar tais retiradas? Considerar remunera¸c˜ ao de 3% a. sobre os dep´ ositos. ........................................ mensalmente...................... ao fim de um ano...................................................................................................................... . Uma pessoa investe R$1000............. No u ´ltimo saque ele zerou o saldo de sua conta.......................... nome:............................... de quanto devem ser os depósitos? ............. Se a financeira paga 3% ao mês........ ele efetuou saques de R$2000.................2 Exerc´ıcios .................. 1............00 durante o per´ıodo de sua viagem........................89 9............................... A primeira retirada ocorrerá um mês após o u ´ltimo depósito........................................................................................................ Quanto devo depositar...Aula 9 data .......... durante 100 meses...../.......00 por mês............ para obter um montante R$12000................................................00 mensalmente........ Certo executivo.. 4................................................ nome:... Qual o montante acumulado imediatamente após o 10◦ depósito....... Um cidadão............ sendo o primeiro um mês após o u ´ltimo depósito......... Do montante poupado....... pretendendo viajar durante doze meses..................... se a taxa de remunera¸cão do capital é de 21% ao trimestre capitalizada mensalmente? .00............................................. 2. Qual o valor dos depósitos? ................... sabendo-se que a taxa mensal de remunera¸cão do capital é de 4% e que o 1◦ depósito é feito ao fim do primeiro mês? ......................................................... num fundo de investimentos que rende 12% ao ano com capitaliza¸cão mensal......... resolve fazer seis depósitos mensais em uma financeira.. para que sua esposa possa efetuar doze retiradas mensais de R$20000.. efetuou 100 depósitos mensais iguais......................................................... nome:........................./..... 3.. .................................... a uma taxa de 2% ao mês...................00 e após 3 anos recebeu R$61558............ 3........................... capitalizados anualmente................... de modo que...Aula 9 1.......... De quanto devem ser os depósitos mensais? ..... durante quatro anos depósitos mensais iguais a uma taxa de 2................... .......... ocorrendo a primeira dois anos após o u ´ltimo depósito...............00 devem ser colocadas..... ao fazer o décimo depósito.. resolve efetuar...........extra-classe ............ Quantas presta¸cões mensais imediatas de R$5000............................... se os juros sobre o saldo credor fossem beneficiados com a mesma taxa da primeira hipótese? .. 4.................... ....................................................... 2.........3 Exerc´ıcios ...............00? ................... Este pec´ ulio deverá permitir cinco retiradas anuais de R$500000...90 9... à taxa de 6% ao ano......... a fim de se constituir o montante de R$67060.......... Que depósitos mensais nesse per´ıodo produziriam a mesma soma.... prevendo a sua aposentadoria..........99.......... Uma pessoa aplicou R$15000.......... Que importância constante deve ser depositada em um banco ao final de cada ano...........5% ao mês........ forme o capital de R$400000...........00......00........ Uma pessoa........ .......................... Qual será o valor das parcelas anuais? . O saldo será retirado em 2 parcelas anuais iguais. Uma pessoa pretende depositar R$100......00........m....................... Um economista tendo recebido R$300000.......... qual o valor de cada saque? .... Se o montante das aplica¸cões for resgatado por meio de três saques mensais iguais e consecutivos.....................00 todo final do mês durante 13 meses em uma aplica¸cão que rende juros efetivos de 4% ao mês................................... ................... e durante os próximos 24 meses efetuo retiradas mensais de R$15000......................................... imaginou o seguinte esquema: “Aplico este dinheiro em uma institui¸cão que pague 2% a.........00 como prêmio de loteria....... A primeira um ano após o u ´ltimo saque mensal e a segunda no ano seguinte”.......5....... o primeiro saque um mês depois do u ´ltimo depósito.. 6...... Podemos pensar como se os termos da série tivessem sido transladados de um intervalo de tempo igual a carência.1 Anuidades Diferidas Neste caso. • Interpretar e resolver os problemas propostos. Daremos a seguir. se for postecipada. Rendas ou Anuidades uniformes de pagamento (Modelo Gen´ erico) Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender os conceitos envolvidos no estudo dos modelos genéricos de rendas. a exigência do primeiro pagamento ou recebimento se dará após uma certa quantidade de per´ıodos. esta quantidade é chamada de carˆ encia. 92 . a carência será contada a partir do per´ıodo 0. 10. 10. (o primeiro termo da serie ocorre no final do primeiro per´ıodo: data 1) a carência será contada a partir do per´ıodo 1. Se a série é antecipada (o primeiro termo da serie ocorre no inicio do primeiro per´ıodo: data 0).1 Modelo Gen´ erico Por modelo genérico.Aula 10 : S´ eries. entende-se as anuidades que não se enquadram em algum dos conceitos que caracterizam as anuidades do modelo b´ asico. Ao estudá-las na maioria das vezes tenta-se reduzi-las sempre que poss´ıvel ao modelo b´ asico já estudado. alguns exemplos dessas séries.1. com 3 meses de carência. 1.015)3 = 7000 × F V P (1. admitida a mesma taxa de juros? C´ alculo da taxa equivalente bimestral: 1 + ib = (1.2 Anuidade em que o per´ıodo dos termos n˜ ao coincide com o da taxa Neste caso.1. Sendo a taxa de juros cobrada de 3% ao mês. 15) = ≈ 89322.5% ao mês ? Podemos tratar este problema considerando que o termo inicial da série dada ser´ a o valor de P0 no mês 3 que chamaremos de P3 . consideraremos que a série é postecipada.00 a serem pagas a cada 2 meses. . 5) = 2000 × 4. Exemplo 10.: Se não for dito nada em contrário.14 2. 09% a.14 × 1.46 10.03)10 = 8404.0609 =⇒ ib = 6.3 Anuidade com termos constantes. Se o mesmo aparelho pudesse ser pago em uma u ńica vez ap´ os 10 meses.015) 1.03)2 = 1.1. tem-se parcelas intermediárias eq¨ uidistantes e de mesmo valor.34323 7000 × F V P (1.93 Obs.202070 = 8404.5.343916 = 11294.b. se os termos são constantes e periódicos. a anuidade se apresenta com termos iguais e. Pre¸co ` a vista: P0 = 2000 × F V P (6. P10 = P0 (1.1.00. 1.5. ` a taxa de 1. além disso. Qual o valor atual de uma renda de 15 termos mensais de R$7000.04568 10. 15) 7000 × 13. segundo o modelo b´ asico.2. mais parcelas intermedi´ arias iguais Neste caso. de modo que todos os termos sejam iguais e com a taxa de juros i referida ao per´ıodo dos termos. a solu¸cão é feita em duas etapas: 1◦ ) Uniformiza-se a anuidade. Exemplo 10. qual o valor do aparelho ` a vista? 2.09.1. Um aparelho de som é vendido em cinco presta¸c˜ oes de R$2000. qual a quantia que a loja cobraria. basta calcular a taxa equivalente ao per´ıodo dos termos e recai-se assim no modelo básico.1.52 P0 = 3 (1 + 0. e este ser´ a dado por: P3 = P0 (1 + 0. 04.4. 8) = 1000 × 7.022 = 1 + ib =⇒ ib = 4. calculando o seu valor atual no per´ıodo imediatamente anterior ao primeiro termo da respectiva série e a seguir atualizar esses termos na data zero somando estes valores.77 P6 P12 P = = 256.02)1 2 10.4 Anuidade composta por duas anuidades diferidas em sequˆ encia Neste caso. determina-se o valor das parcelas intermediárias.00 P0′ = 1000 × F V P (2. A taxa de juros cobrada foi de 2% ao mês.00 no 13◦ .96 10.94 2◦ ) Por diferen¸ca. . Um carro é vendido em oito presta¸co ˜es mensais.5 Anuidades variadas São anuidades cujos termos não são iguais entre si.00 no 7◦ .m.3.02)6 (1. 3) = 100 × 2.04% a. podemos proceder como visto em Anuidades Diferidas. como sendo a soma dos valores atuais de cada um dos seus termos.08 + 300. • 4 presta¸c˜ oes de R$100. 8◦ e 9◦ mês.00 e mais quatro presta¸c˜ oes bimestrais de R$1000. 4) = 1000 × 3.48 + 3626.1. Qual o valor do gravador a vista? P6 = 100 × F V P (2.00.39 P12 = 100 × F V P (2. para pagar em sete presta¸c˜ oes do seguinte modo: • 3 presta¸c˜ oes de R$100. P0′′ = 1000 × F V P (4.1.325481 = 7325. 4) = 100 × 3.626476 = 3626.23 = 556. enquanto que as de ordem par s˜ ao iguais a R$2000.48 1. Podemos resolvê-la calculando-se o valor atual da série.48 P = P0′ + P0′′ = 7325.1. que são iguais entre si Exemplo 10. As presta¸c˜ oes de ordem impar s˜ ao iguais a R$1000. considerando cada série separadamente. 14◦ . Exemplo 10. e 16◦ mês.m. Uma pessoa comprou um gravador.48 = 10951. qual o pre¸co a vista? O problema pode ser visto como o pagamento de oito presta¸c˜ oes mensais de R$1000. 15◦ .883883 = 288.31 + (1..1. Considerando-se a taxa de juros de 2% a.807729 = 380. O montante da série pode ser determinado capitalizando-se o valor atual obtido ou pela soma da capitaliza¸cão de cada termo no u ´ltimo per´ıodo. 5% a.m.07689) (1.00.m.95 Exemplo 10.49 .5.30 + 2230.0253 = 1 + it =⇒ it = 7.. • 2◦ trimestre: R$5000. Sendo a taxa de juros para aplica¸c˜ oes financeiras vigente no mercado de 2.07689) (1. • 4◦ trimestre: R$3000.07689) (1.00 + 4311. com os seguintes valores: • 1◦ trimestre: R$20000. qual é o valor do terreno a vista? 1.00.07689)5 P = 18572.00. • 3◦ trimestre: R$10000. Um terreno foi comprado para ser pago em cinco presta¸c˜ oes trimestrais.49 + 8007.689% a.07689) (1. 20000 5000 10000 3000 30000 P = + + + + 1 2 3 4 (1.00.00. • 5◦ trimestre: R$30000.1.67 + 20714.03 = 53835. ......2 Exerc´ıcios .................. em sua promo¸cão...................... 2.................. Se a taxa de mercado é de 3% ao mês....................... Após 6 meses inicia uma série de 20 depósitos mensais de R$150..........00............00... para novamente reiniciá-la com seis depósitos trimestrais de R$600........................ uma vez que a taxa de mercado é de 2..... Certa pessoa abre um conta em um banco que paga 2% ao mês.........5% ao mês? .....5% a........... Qual seria o pre¸co à vista deste televisor.................................................. sendo a primeira na compra..................... nome:...................... Financiada...... nome:........................................ qual é o pre¸co a vista ? ...... 1......m... interrompendo-se por 4 meses......./......../............................. 00.................... facilitando em 4 parcelas trimestrais iguais.......Aula 10 data .. o construtor resolveu também financiar 80% do valor referente à entrada.......................................................... Um magazine oferece. ...................... 3......................... nome:.............. ocorrendo o primeiro pagamento após quatro meses da compra......... ela é vendida por 50% de entrada e o restante em 48 mensais a juros de 2..... com depósito inicial de R$5000......................................... à mesma taxa de juros..................00 à vista.................00.................00.................. 4.................................. Uma casa é posta à venda por R$500000...................... um televisor por 24 presta¸cões de R$300.......................... Qual é o valor da entrada............. Tendo encontrado certa dificuldade em vendê-la..............................96 10................ da parcela trimestral e da presta¸cão mensal? .... Uma bicicleta foi vendida em 4 presta¸cões trimestrais de R$1000................................................................................................... Quanto possui após o u ´ltimo depósito trimestral e que depósito inicial eu ńico geraria o mesmo montante ao fim do mesmo per´ıodo? ............................. .............5% ao mês..........5% ao mês............. Os depósitos serão feitos todo fim do mês. com seis meses de carência.......... Uma pessoa depositou R$1000.... Uma pessoa resolve efetuar depósitos mensais de R$100.............. A revendedora exige 30% como entrada........ abrindo uma conta em uma institui¸cão que paga 2% ao mês............... 3....... de janeiro a junho apenas....00 foi feita mediante entrada de 20% e o restante em presta¸cões trimestrais durante cinco anos.......... A compra de um apartamento no valor de R$250000.. Quanto possuirá esta pessoa no dia 31 de dezembro do u ´ltimo ano de depósitos? ........ sobre o saldo credor.................... quanto terá 5 anos após a abertura da conta? ...........5% ao mês? ..........................Aula 10 1.................................. Qual o valor da presta¸cão.. financiando o saldo em 36 pagamentos................................... Supondo-se que não seja efetuada nenhuma retirada.extra-classe .........00....... 2..... qual é o valor das presta¸cões? ....................... ......00..................... 4......... Em seguida efetuou uma série de 24 depósitos mensais de R$300............3 Exerc´ıcios ......00 durante 3 anos em um banco que paga 1.......................... Sabendo-se que a taxa de juros da agência é de 3.........00......................................................97 10...... O pre¸co à vista de um carro é de R$80000.. já que a taxa acertada foi de 1........................ sendo que o primeiro foi feito 4 meses após a abertura da conta. 5. A compra de um carro foi feita a prazo em oito presta¸cões trimestrais de R$3000,00. O comprador, entretanto solicitou o pagamento em 24 parcelas mensais, para que houvesse dilui¸cão dos compromissos. De quanto deveriam ser as presta¸cões mensais, uma vez que a taxa de juros era de 7,689% ao trimestre? ............................................................................................................. 6. Tendo comprado um eletrodoméstico em 24 presta¸cões mensais de R$210,00; o cliente propôs sua substitui¸cão para 12 presta¸cões bimestrais. Qual será o valor desta nova presta¸cão, se a taxa de juros considerada for de 2% ao mês? ............................................................................................................. 7. Um terreno é vendido mediante entrada de R$10000,00 e 3 parcelas, sendo a primeira de R$2000,00 para 3 meses, a segunda de R$6000,00 para 8 meses e a u ´ltima de R$20000,00 para 12 meses. Sabendo-se que a taxa vigente no mercado é de 35% ao ano, qual é pre¸co a vista do terreno? ............................................................................................................. Aula 11 : Sistemas de amortiza¸c˜ ao de empr´ estimos - Tabela Price Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender os conceitos envolvidos no estudo dos sistemas de amortiza¸cão de empréstimos; • Entender o Sistema de Amortiza¸cão Francês; • Interpretar e resolver os problemas propostos. 11.1 Introdu¸c˜ ao ´ Os empréstimos classificam-se em CURTO, MEDIO e de LONGO PRAZO. Os empréstimos de curto e médio prazo (saldados em até três anos), foram estudados no assunto ANUIDADES. Os empréstimos de longo prazo sofrem um tratamento especial porque existem várias modalidades ou sistemas de amortiza¸cão, restitui¸cão do principal e juros. O processo de amortiza¸cão de um empréstimo consiste nos pagamentos das presta¸cões em épocas pré-determinadas. Cada presta¸cão sendo subdividida em duas partes, a saber: • juros do per´ıodo, calculado sobre o saldo devedor no in´ıcio do per´ıodo; • amortiza¸cão do capital, obtida pela diferen¸ca entre o valor da presta¸cão e o valor dos juros do per´ıodo. Alguns termos de uso corrente serão explicitados para maior clareza: 1. Credor: aquele que concede o empréstimo. 99 100 2. Devedor: aquele que recebe o empréstimo 3. Taxa de Juros: é a taxa de juros contratada entre as partes. Pode referir-se ao custo efetivo do empréstimo ou não, dependendo das condi¸cões adotadas. 4. IOF: Imposto sobre opera¸cões financeiras. 5. Prazo de Utiliza¸cão: corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor para o devedor (um empréstimo pode ser transferido do credor para o devedor em uma ou mais parcelas). Caso o empréstimo seja transferido em uma só parcela, o prazo de utiliza¸cão é dito unitário. 6. Prazo de Carência: corresponde a uma quantidade de per´ıodos nos quais não haverá amortiza¸cão do empréstimo. Durante o prazo de carência, o devedor só paga os juros. Considera-se que existe carência quando este prazo é superior ou igual a pelo menos o dobro do menor ´ poss´ıvel também que as partes per´ıodo de amortiza¸cão das parcelas. E concordem que os juros devidos no prazo de carência sejam capitali´ importante observar que a carência zados e pagos posteriormente. E será contada a partir da data 0 ou da data 1 conforme o pagamento das amortiza¸cões for respectivamente antecipada ou postecipada. 7. Parcelas de Amortiza¸cão: corresponde às parcelas de devolu¸cão do principal, isto é, do capital emprestado. 8. Prazo de Amortiza¸c˜ ao: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortiza¸cões. 9. Presta¸cão: é a soma da amortiza¸cão acrescida de juros e outros encargos pagos em um dado per´ıodo. 10. Planilha: é um quadro padronizado ou não, onde são colocados os valores referentes ao empréstimo, ou seja, o cronograma dos valores de recebimento e de pagamentos. 11. Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com o prazo de amortiza¸cão. 12. Saldo devedor: é o estado da d´ıvida, ou seja, do débito em determinado instante de tempo. Portanto a presta¸cão no k−ésimo per´ıodo corresponde a Pk = Ak + Jk Observa¸ c˜ ao: Nos sistemas de amortiza¸cões que trataremos aqui. que a taxa contratada foi de 10% a.a. Qualquer um dos sistemas pode ter. construir a planilha. . serão utilizadas as seguintes nota¸cões: Sd0 : saldo devedor da data zero (saldo devedor inicial). isto é com carência. será devido ao final da data 0. Sdk : saldo devedor no k−ésimo per´ıodo (após o pagamento da k−ésima presta¸cão). na data 1.2. e que o banco quer a devolu¸c˜ ao em 5 presta¸c˜ oes anuais. Durante o prazo de carência. Per´ıodo de Amortiza¸cão: é o intervalo de tempo existente entre duas amortiza¸cões. ou não.101 13. carência.00. SISTEMA FRANCES ˜ CONSTANTE (SAC). ou seja. Estas parcelas são variáveis. os juros podem ser pagos ou capitalizados. sem prazo de carência. alguns exemplos em que a primeira presta¸cão é diferida. entregues no ato. Ak : valor da amortiza¸c˜ ao do k−ésimo per´ıodo. o primeiro pagamento caso não haja carência. 1.1. 2. Sabendo-se que o banco utiliza o Sistema Price. as presta¸cões são postecipadas. SISTEMA DE AMORTIZAC ¸ AO 3.Sistema Price ´ um sistema onde no fim de cada per´ıodo. SISTEMA AMERICANO (SA). Exemplo 11. já que a cada pagamento os juros diminuem e a quota amortizada aumenta o que é compreens´ıvel visto que os juros são calculados sobre o saldo devedor.. Jk : valor dos juros do k−ésimo per´ıodo. dependendo do contrato de financiamento. o devedor paga uma presta¸cão E constante e calculada de forma que uma parcela da presta¸cão paga os juros do per´ıodo e outra parcela amortiza parte do capital. Alguns dos principais e mais utilizados sistemas de amortiza¸cão são: ˆ (SFA) (Também denominado SISTEMA PRICE). 11. Pk : valor da presta¸cão do k−ésimo per´ıodo.2 Sistema de amortiza¸c˜ ao francˆ es . Um banco empresta R$100000. a menos que seja estabelecido o contrário. Serão vistos também. isto é. Nos sistemas de amortiza¸c˜ ao que estudaremos a seguir. 00 83620.03 23981.75.25 4578.00 8362. isto é.75 18017. c) o saldo devedor.102 Solu¸c˜ ao Se o principal vai ser devolvido em 5 presta¸c˜ oes iguais e postecipadas.00 Juros Jk − 10000. Se a taxa de juros contratada for de 10% ao mês. ou seja.75 F V P (10.74 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 26379. i = 10% a.00 ser´ a pago pelo SISTEMA ˆ DE AMORTIZAC ˜ em 4 presta¸co FRANCES ¸ AO ˜es mensais.75 26379.72 19819.58 100000. que se obtém subtraindo-se do saldo devedor inicial o valor amortizado nesse mês.a.53 45783.25 65602.2. 2o ) No per´ıodo “um”. Um empréstimo de R$10000.03 6560.74 Observa¸ c˜ ao: Em geral é necess´ ario um pequeno ajuste na presta¸ca õ do u ´ltimo per´ıodo para zerar o saldo devedor. . n˜ ao h´ a qualquer presta¸c˜ ao a pagar. Exemplo 11. que corresponde ao momento inicial do financiamento. b) a amortiza¸c˜ ao ser´ a obtida pela diferen¸ca entre o valor da 1a presta¸c˜ ao e o valor do juro pago. 5) 3. n = 5.74 131898. ou seja. construir a planilha. 100000 100000 Temos ent˜ ao que R = = = 26379. temos ent˜ ao uma anuidade que se encaixa no modelo b´ asico: P = 100000.2. ou seja. tendo em vista que primeira presta¸c˜ ao ser´ a paga da data 1. sem per´ıodo de carência.25. a amortiza¸c˜ ao do 1o mês é 26379.75 = 83620.16 31898.790787 Para a constru¸c˜ ao da planilha seguimos os seguintes passos: 1o ) No per´ıodo “zero”. 3o ) Nos per´ıodos subseq¨ uentes. os c´ alculos ser˜ ao feitos da seguinte forma: a) o juro devido incidente sobre o saldo devedor inicial.45 23981.75−10000 = 16379.50 21801.75 26379. 10% de 100000. 100000 − 16379.58 − − Amortiza¸cão Ak − 16379. Planilha do financiamento Anos k 0 1 2 3 4 5 TOTAL Saldo devedor Sdk 100000. repetem-se os procedimentos do per´ıodo “um”. 10000.75 26379.30 2398.75 26379.00. 71 12618.103 Solu¸c˜ ao: R= 10000 10000 = = 3154. Calcule o saldo devedor ap´ os ter sido paga a terceira presta¸c˜ ao. não há dificuldade alguma.20 2867.3. Basta considerar a anuidade formada pelas n − k presta¸cões a serem pagas.837159803 Sd3 = 13030. Existindo a planilha relativa ao financiamento em questão. obter uma rela¸cão que nos permita determinar o saldo devedor após o pagamento da k−ésima presta¸cão.29 5475.91 10000. desse modo tem-se que: Sdk = R × F V P (i. 0 ≤ k ≤ n.51 286. Solu¸c˜ ao: 50000 50000 = = 13030.71 F V P (10.18 2607. m) com m = n − k. a confeçcão da planilha torna-se extremamente trabalhosa. em oito presta¸c˜ oes anuais ` a taxa de juros de 20% ao ano.08 . 4) 3.47 × F V P (20. interessa-nos saber o saldo devedor Sdk em uma determinada época k.72 Obseva¸ c˜ ao 1: Saldo devedor após o pagamento de uma presta¸cão qualquer: Algumas vezes. então. Mas na maioria das vezes.71 3154.72 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 3154.00 Juros Jk = i × Sdk−1 − 1000. 5) = 13030. O saldo devedor Sdk no per´ıodo k será igual ao valor atual desta anuidade considerando a taxa i dada. Podemos.71 3154.169865 Planilha do financiamento Meses k 0 1 2 3 4 TOTAL Saldo devedor Sdk 10000.71 3154.99061214 = 38969.11 2867. temos que: Jk = i × Sdk−1 Obseva¸ c˜ ao 3: Valor da amortiza¸cão em um per´ıodo qualquer em fun¸cão da primeira parcela de amortiza¸cão: As amortiza¸cões podem ser obtidas por: Ak = A1 (1 + i)k−1 em que temos A1 = i × Sd0 Exemplo 11.71 2370. Obseva¸ c˜ ao 2: Juros pagos em um per´ıodo qualquer: Como os juros de um per´ıodo são sempre determinados sobre o saldo do per´ıodo anterior.00 7845.00 784.91 − − Amortiza¸cão Ak − 2154. 8) 3.00 vai ser amortizada. Uma d´ıvida de R$50000.2.47 × 2.47 R= F V P (20.68 2618.53 547. através do Sistema Francês de Amortiza¸c˜ ao. 5% ao mês. Solu¸c˜ ao: Como a taxa dada é nominal e os per´ıodos s˜ ao mensais.5. Sabendo que a taxa nominal de juro cobrada pela financeira é de 18% ao ano (Tabela Price) e que a amortiza¸c˜ ao deve ser feita em seis meses. mas durante a carência.1 × 100000 = 10000.00.5. ou seja: 100000 100000 = = 26379. ou seja . nesse caso. 1 e 2 é igual a 100000. Como o saldo do per´ıodo 0. tem-se que a 18 taxa efetiva i da opera¸c˜ ao ser dada por = 1. com três anos de carência.790787 A carência é de 3 anos. Assim: .69719 Exemplo 11. Um banco empresta R$100000. construir a planilha. os juros durante a carência ser´ a de 0. Sabendo-se que o banco utiliza o SFA.2. 6) 5. calcule o valor da presta¸c˜ ao.00. A partir do per´ıodo 4 a planilha ser´ a trabalhada da maneira usual. significa ent˜ ao que a primeira amortiza¸c˜ ao ser´ a paga no ano 4.a.00. podemos ter duas alternativas Alternativa 1: Paga-se os juros durante a carência.75 R= F V P (10. Solu¸c˜ ao: Com prazo de carência. Exemplo 11. logo temos 12 100000 100000 R= = = 17552. 2) em geral as presta¸cões são mensais.4.2.52 F V P (1. nos anos 1.104 Obseva¸ c˜ ao: Sistema Price: Este sistema constitui um caso particular o Sistema Francês de Amortiza¸cão e apresenta as seguintes caracter´ısticas: 1) a taxa é nominal e geralmente é dada em termos anuais. e que o banco quer a devolu¸ca õ em 5 presta¸c˜ oes. 2 e 3 o mutu´ ario pagar´ a os juros que ser´ a determinado sobre o saldo do per´ıodo anterior. sem prazo de carência. entregues no ato. que taxa contratada foi de 10% a. 5) 3. Uma financeira emprestou R$100000. o valor da presta¸c˜ ao ser´ a estabelecido da forma usual. Temos ent˜ ao que o saldo do per´ıodo 2 é de 121000.58 100000.16 61898.58 − − Amortiza¸cão Ak − − − − 16379.105 Planilha do financiamento Anos k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL Saldo devedor Sdk 100000.75 26379.00 8362.72 19819.00 10000.1 × 110000 = 11000 e também incorporado ao saldo devedor.00 portanto o juro do per´ıodo 2 ser´ a dado por 0. De forma an´ aloga.00 100000.00 10000.74 Alternativa 2: Os juros s˜ ao capitalizados durante a carência e incorporados ao principal.03 23981.00.30 2398.50 21801.74 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 10000.53 45783.00 100000.75 26379.00.25 4578.03 6560.00 Juros Jk − 10000.75 26379. para ser amortizado nas presta¸c˜ oes. Este valor n˜ ao ser´ a pago e sim incorporado ao saldo devedor do per´ıodo 1.00. tem-se que o saldo do per´ıodo 3 é 133100.25 65602.00 83620. O juro do primeiro per´ıodo é 0.74 161898.00 10000.75 18017. Como ir´ a pagar as amortiza¸c˜ oes a partir do per´ıodo 3.00 10000.75 26379.00 100000. ou seja o saldo do per´ıodo 1 ser´ a de 110000.45 23981.00 10000. logo: .1 × 100000 = 10000.00 26379. tem-se ent˜ ao que no c´ alculo das presta¸c˜ oes o saldo a ser considerado ser´ a de 133100. 106 Planilha do financiamento Anos k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL Saldo devedor Sdk 100000,00 110000,00 121000,00 133100,00 111298,56 87316,98 60937,24 31919,52 − − Amortiza¸cão Ak − − − − 21801,44 23981,58 26379,74 29017,72 31919,52 100000,00 Juros Jk − − − − 13310,00 11129,86 8731,70 6093,72 3191,95 75557,23 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − − − − 35111,44 35111,44 35111,44 35111,44 35.111,47 175557,23 ´ comum as institui¸cões financeiras cobrarem, além do juro deObseva¸ c˜ ao: E clarado, outros tipos de encargos, tais como IOF (Imposto sobre Opera¸cões Financeiras), comissões, taxas administrativas, etc. Estas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros, onerando o custo efetivo da opera¸cão. Exemplo 11.2.6. A uma pequena empresa s˜ ao emprestados R$50000,00; a serem pagos pelo Sistema Francês de Amortiza¸c˜ ao. As condi¸c˜ oes do financiamento s˜ ao as seguintes: • Prazo: 10 semestres • Juros: 6% a.s. • Despesas contratuais: 2% sobre o valor do financiamento a serem pagos no ato. • Imposto sobre Opera¸c˜ oes Financeiras (IOF): 1% sobre o valor financiamento mais encargos, pagos no ato. Construir a planilha do financiamento Solu¸c˜ ao C´ alculo da presta¸c˜ ao: 50000 50000 R= = = 6793,40 F V P (6, 10) 7,36009 107 C´ alculo das despesas contratuais: 50000 × 2% = 1000,00 C´ alculo do IOF: Valor total do financiamento Despesas contratuais + 10 × R = 1000,00 + 67934,00 = 68934,00 =⇒ 68934,00 × 1% = 689,34 Planilha do financiamento Semestres k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAL Saldo devedor Sdk 50000,00 46206,60 32185,60 37923,34 33405,34 28616,26 23593,84 18158,83 12454,96 6408,86 − − Amortiza¸cão Ak − 3793,40 4021,00 4262,26 4518,00 4789,08 5076,98 5381,01 5703,87 6046,10 6408,86 50000,00 Juros Jk − 3000,00 2772,40 2531,14 2275,40 2004,32 1716,98 1412,39 1089,53 747,33 384,54 17934,00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 6793,40 6793,40 6793,40 6793,40 6793,40 6793,40 6793,40 6793,40 6793,40 6793,40 67934,00 IOF+despesas contratuais 1689,34 − − − − − − − − − − 1689,34 108 11.3 Exerc´ıcios - Aula 11 data ............/............/............ nome:...................................................................................................................................... nome:...................................................................................................................................... nome:...................................................................................................................................... 1. Um empréstimo no valor de R$400000,00 entregue no ato e sem prazo de carência, deve ser pago em cinco presta¸cões mensais, utilizando o Sistema Francês de Amortiza¸cão, a uma taxa nominal de 60% ao ano. Qual o valor da amortiza¸cão do saldo devedor embutida na primeira presta¸cão mensal? ............................................................................................................. 2. Considere a planilha abaixo referente à amortiza¸cão pelo Sistema Francês, Meses k 0 1 2 .. . Saldo devedor Sdk 25000,00 Amortiza¸cão Ak − Juros Jk − 250,00 .. . .. . .. . Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 2918,51 2918,51 .. . Qual o valor dos juros relativos ao mês dois? 3. Um apartamento é comprado por R$25000,00, sendo R$5000,00 de entrada e o restante a ser pago pelo Sistema Francês de Amortiza¸cão em 12 presta¸cões mensais, à taxa de 2% ao mês, com 4 meses de carência. Construir a planilha para: a) pagamento dos juros devidos durante a carência; b) capitaliza¸cão dos juros no saldo devedor durante a carência. O financiamento de um equipamento no valor de R$10000000..................... Qual é o saldo devedor no 16◦ trimestre? .......................................... ......................................00.........00 foi contratado à taxa de 10% ao ano para ser quitado em 5 presta¸cões anuais pelo Sistema de Amortiza¸cão Francês. com 5 trimestres de carência.00 vai ser amortizada.................. em oito presta¸cões anuais à taxa de juros de 20% ao ano............... Um empréstimo de R$200000.................... 2........ A opera¸cão foi contratada à taxa nominal de 20% ao ano................................ Calcular a planilha respectiva............ Um microcomputador é vendido pelo pre¸co de R$2000... sendo os juros capitalizados durante a carência................ 3.......................... ......... mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 96% ao ano....... Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses.. considerando-se o IOF de 1% sobre o principal mais encargos descontados no ato.....................00 é feito pelo Sistema Francês em 20 trimestres...........................Aula 11 1......109 11................. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a terceira presta¸cão........ “Tabela Price”................ através do Sistema Francês de Amortiza¸cão................ qual o total de juros pagos pelo comprador? .4 Exerc´ıcios . Uma d´ıvida de R$50000... 4........extra-classe ... ........................................................ 110 Meses k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 TOTAL Meses k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 TOTAL Saldo devedor Sdk Amortiza¸cão Ak Juros Jk Presta¸cão Pk = Ak + Jk Saldo devedor Sdk Amortiza¸cão Ak Juros Jk Presta¸cão Pk = Ak + Jk . as presta¸cões periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética. Um empréstimo de R$10000. Como consequência do comportamento da amortiza¸cão e dos juros.1.2.2 SAC . Se a taxa de juros contratada for de 10% ao mês.1 Introdu¸c˜ ao Neste sistema. 12.Aula 12 : Sistema de Amortiza¸c˜ ao Constante SAC Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender os conceitos do Sistema de Amortiza¸cão Constante . Sabemos que os juros incidem sobre o saldo devedor. sem per´ıodo de carência. as amortiza¸cões periódicas são constantes e iguais ao valor do empréstimo dividido pelo n´ umero de pagamentos.SAC. • Interpretar e resolver os problemas propostos. 12.00 ser´ a pago pelo Sistema de Amortiza¸c˜ ao Constante em 4 presta¸c˜ oes mensais. construa a planilha.Sem carˆ encia Exemplo 12. 111 . que nesse caso decrescem de forma constante após o pagamento das presta¸cões. portanto o saldo do per´ıodo k. sem carência: • Amortiza¸cão (Ak ) : os valores são iguais em cada per´ıodo k e obtidos Sd0 .00 2750. n n Sd0 ou Jk = [n − k + 1] × i.00 10000. 1 ≤ k ≤ n. em que Sd0 é o valor do financiamento (saldo inicial por Ak = n ou principal). n • Juros (Jk ) : tendo em vista a redu¸cão constante do saldo devedor.00 4 Planilha do financiamento Meses k 0 1 2 3 4 TOTAL Saldo devedor Sdk 10000. Pk = Ak + Jk e portanto tem-se que Pk = Ak [1 + (n − k + 1) × i] .00 2500.00 0.00 3250.112 Solu¸c˜ ao Inicialmente calcularemos o valor das amortiza¸c˜ oes 10000 = 2500.00 250.00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 3500.00 2500. n é no de presta¸cões e 1 ≤ k ≤ n.00 ´ fácil estabelecer expressões genéricas de cálculo de forma determinar cada E parcela da planilha do SAC. n • Presta¸cão (Pk ) : a k−ésima presta¸cão será obtida pela soma da respectiva amortiza¸cão com o respectivo juros. isto é.00 2500.00 2500.00 Juros Jk − 1000. os juros também diminuem em progressão aritmética cujo 1o termo é Sd0 i×Sd0 e razão i× . • Saldo devedor (Sdk ) : é decrescente em PA (progressão aritmética) de Sd0 razão Ak = .00 12500.00 2500. Jk = Sd0 − (k − 1) × ×i.00 5000. denotado por Sdk n Sd0 será dado por Sdk = Sd0 − k × = Sd0 − k × Ak . ou seja.00 750.00 7500.00 500. logo os juros referente ao k−ésimo per´ıodo será n [ ] Sd0 Sd0 Jk = i×Sd0 −(k −1)×i× .00 − Amortiza¸cão Ak − 2500.00 3000. ou Jk = Ak [n − k + 1] × i. Sabemos que os juros do k−ésimo per´ıodo pode ser obtido através da equa¸c˜ ao Jk = Ak [n − k + 1] × i. o valor do saldo devedor imediatamente ap´ os o pagamento da 10a presta¸c˜ ao.04 = 1520.04] = 2080. Ak = 80000 = 2000 com. o valor de cada amortiza¸ca õ mensal. logo Pk = 2000 [1 + (40 − 40 + 1) × 0.00.1.2.00 + 1520.3 SAC .Com carˆ encia Exemplo 12. o valor dos juros e da presta¸c˜ ao referentes ao 22o pagamento. no segundo e no terceiro per´ıodos ser´ a de 10% sobre o saldo inicial . duas situa¸c˜ oes podem ocorrer: 1o ) Os juros s˜ ao pagos durante a carˆ encia 100000 Solu¸c˜ ao: A amortiza¸ca õ mensal é = 25000. 12. Ao se supor uma carência de 3 anos. 3.00 que o banco entrega no ato e que ser´ a pago pelo Sistema de Amortiza¸c˜ ao Constante. 4. Um empréstimo no valor de R$80000. Sabendo que o banco concedeu três anos de carência. 3. construa a planilha. A taxa de juros contratada para a opera¸c˜ ao é de 4% ao mês. que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal ser´ a amortizado em quatro parcelas anuais. portanto temos que: J22 = 2000 [40 − 22 + 1] × 0. e portanto P22 = 2000. Determinar: 1. 1 ≤ k ≤ 40.3.00. Solu¸c˜ ao: 1.113 Exemplo 12. O saldo ap´ os o pagamento da k−ésima presta¸c˜ ao pode ser obtida da express˜ ao Sdk = Sd0 −k×Ak .00 ser´ a liquidado pelo sistema de amortiza¸c˜ ao constante em 40 parcelas mensais. Sabe-se que k−ésima presta¸c˜ ao pode ser obtida através da express˜ ao Pk = Ak [1 + (n − k + 1) × i]. logo Sdk = 80000−10×2000 = 60000. Uma empresa pede emprestado R$100000. o valor da u ´ltima presta¸c˜ ao.00 = 3520.2. O juro pago no pri4 meiro. 40 2.00 4. 2. sendo que estas ser˜ ao calculadas tendo como base o saldo do per´ıodo três.114 de 100000.00 10000.00 25000. Temos ent˜ ao o seguinte quadro de desembolsos: .1 = 110000.00 30000.00 25000. A partir do per´ıodo 3 o comportamento é semelhante ao realizado no problema sem carência.00 10000.00 10000. A partir do quarto per´ıodo dar-se-´ a o inicio do pagamento das amortiza¸c˜ oes. temos ent˜ ao que no primeiro per´ıodo o saldo devedor passa a ser de 100000 × 1. o comportamento é semelhante ao 4 realizado no problema sem carência.00 32500.00 75000. isto é.00 7500.1 = 133100.00 sendo que este n˜ ao se altera.00 5000.00 100000.00 25000.00 100000.00 50000.00 35000. pois n˜ ao h´ a amortiza¸c˜ ao nos per´ıodos 1 e 2 devido ao prazo de carência.00 e n˜ ao 100000. no segundo e no terceiro per´ıodos. no segundo per´ıodo o saldo passa a ser de 110000 × 1.00 27500. 133100.1 = 121000 e no terceiro per´ıodo o saldo passa a ser de 121000 × 1. os juros ser˜ ao capitalizados e acrescidos ao saldo devedor. Temos ent˜ ao o seguinte quadro de desembolsos: Planilha do financiamento Meses k 0 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL Saldo devedor Sdk 100000.00 2500.00 10000. Temos ent˜ ao que o valor das amortiza¸c˜ oes ser´ a de 133100 = 33275 e partir do per´ıodo 4.00 100000. isto é.00 como foi nos casos anteriores.00 − − Amortiza¸cão Ak − − − − 25000.00 50000.00 2o ) Os juros s˜ ao capitalizados durante a carˆ encia e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortiza¸ c˜ oes de maior valor Solu¸c˜ ao: Nesse caso.00 25000.00 10000.00 155000.00 Juros Jk = i × Sdk−1 − 10000. o procedimento inicial é semelhante ao anterior.00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 10000.00 100000. 00 3327.115 Planilha do financiamento Meses k 0 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL Saldo devedor Sdk 100000.00 36602.00 99825.00 100000.00 43257.00 9982.50 6655.00 33275.00 121000.50 39930.00 66550.00 .50 166375.00 33275.00 − − Amortiza¸cão Ak − − − − 33275.50 66375.00 33275.00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − − − − 46585.00 33275.00 133100.00 110000.00 Juros Jk = i × Sdk−1 − − − − 13310. ../....................................................................................................116 12.... c) o valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 5a presta¸cão...............................................................................00 é feito pelo SAC................................................................ Uma d´ıvida de R$600000.........................................4 Exerc´ıcios ..00 pelo SAC deverá ser pago em 10 presta¸cões anuais e consecutivas sem carência........00 vai ser amortizada....... 1........................................ Um financiamento de R$10000................. ................................................. ................. devendo ser devolvido em oito presta¸cões mensais Sabendo que houve um prazo de carência de três meses............................................. ................. Um empréstimo de R$120000......................... d) o total de juros pagos durante o financiamento............... ..................................................... 3..................................... com juros de 4% ao ano................................................................................ nome:.................... b) o valor da quinta presta¸cão......................... através do SAC em 12 presta¸cões anuais....... ................ Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava presta¸cão............................... elabore a planilha de pagamentos para pagamento dos juros devidos durante a carência e também para capitaliza¸cão dos juros no saldo devedor durante a carência......... ./............... à taxa de 2% ao mês.................................. 2............Aula 12 data ............................................... Determine: a) o valor do juro pago na oitava presta¸cão.................... nome:........... nome:............................................ à taxa de 20% ao ano............ 117 Meses k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 TOTAL Meses k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 TOTAL Saldo devedor Sdk Amortiza¸cão Ak Juros Jk Presta¸cão Pk = Ak + Jk Saldo devedor Sdk Amortiza¸cão Ak Juros Jk Presta¸cão Pk = Ak + Jk . ......118 12.................. d) o saldo após o pagamento da décima quinta presta¸cão......................................................................................... será saldado em 25 amortiza¸cões quadrimestrais pelo sistema SAC........... ........... ...... calcule: a) o valor das amortiza¸cões pagas até dezembro de 1989(inclusive).....................................00 que a taxa de juro nominal contratual foi de 18% ao ano e que a primeira presta¸cão foi paga no mês de fevereiro desse mesmo ano..............................................5 Exerc´ıcios .. . ............ Sabendo que o valor financiado foi de R$84000................................................................. os juros e a presta¸cão........................ Qual é o saldo devedor................ referentes ao 16a quadrimestre? ........................ Em janeiro de 1989 uma pessoa adquiriu uma casa financiada por uma institui¸cão financeira em 120 presta¸cões mensais pelo SAC............... Um empréstimo de R$100000.............00.............................Aula 12 1....................................................... ......... c) o total de juros pagos durante o ano de 1990.......................... tendo sido contratada a taxa de juros de 5% ao quadrimestre...... 2................extra-classe ................. b) o valor da presta¸cão a vencer em maio de 1991.......... Pede-se: para um empréstimo de R$12000. ou seja. As amortiza¸cões serão quadrimestrais. Um banco empresta R$1.Sistema de Amortiza¸cão Constante . III .00 a terceira. Uma empresa em fase de expansão obtém de uma agência governamental o financiamento de 48. II . c) comissão de abertura de crédito de 0.00 sob as seguintes condi¸cões: a) juros de 20% ao ano. c) Imposto sobre Opera¸cões Financeiras (IOF) de 1% sobre o total geral. de 30. pago no ato. sendo de 13.00 a primeira.119 3. pagos semestralmente.00 a segunda e de 5.000.000. b) carência de um ano.SAC ou Sistema Francês de Amortiza¸cão. 4. e) IOF de l% sobre o valor total do financiamento (principal + encargos).000. valor do financiamento mais encargos financeiros.5% sobre o valor financiado. O órgão financiador concede 4 quadrimestres de carência.000. f) amortiza¸cões semestrais constantes.000. este valor será cobrado quando da libera¸cão da primeira parcela.000. d) comissão de l% sobre o saldo devedor anual.000.5% sobre o valor do financiamento. qual seria o valor da primeira presta¸cão pelo SAC.00 a ser liberado em 3 parcelas quadrimestrais seq¨ uenciais. Um banco de desenvolvimento empresta sob as seguintes condi¸cões: I . b) Comissão de abertura de crédito igual a 0. pago no ato. sem carência. g) prazo total de quatro anos e meio. se pelo Sistema Francês as presta¸cões .taxa nominal de juros de 6% ao ano com capitaliza¸cão semestral. O prazo total do financiamento será de 5 anos e o sistema de amortiza¸cão adotado é o SAC. 5.000. sendo os juros pagos durante a carência.000.a. Construir a planilha do financiamento.00. Construir a planilha do financiamento. Os encargos financeiros são basicamente os seguintes: a) Taxa efetiva de juros: 9% a.000.presta¸cões semestrais. .................... .......... nas seguintes condi¸cões: .... A fim de expandir seus negócios.............................................00........................... .................................77? ..............120 são iguais a R$1406... .............taxa de juros de 8% ao ano com capitaliza¸cão semestral.................prazo de amortiza¸c˜ ao: 5 anos....... 6.............. Determine o juros pagos com na décima presta¸cão......amortiza¸cões pelo SAC com pagamentos semestrais.. uma pessoa consegue um financiamento de R$300000... ............. • Entender os conceitos do Sistema de Amortiza¸cões Variáveis. pagando somente os juros ` a taxa de 10% ao mês. Por um empréstimo de R$10000.SAA. Construa a planilha. ser˜ ao pagos também o principal.Aula 13 : Sistema de Americano de Amortiza¸c˜ ao SAA e Sistema de Amortiza¸c˜ oes Vari´ aveis Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: • Entender os conceitos do Sistema Americano de Amortiza¸cão . o principal é devolvido em uma só parcela no final do per´ıodo contratado.1 Introdu¸c˜ ao .00. 13.SAA No sistema Americano de amortiza¸cão. temos que: 121 . junto com o principal. Solu¸c˜ ao A planilha e constru´ıda. tudo depende do acordo entre as partes interessadas. além dos juros. Assim. No u ´ltimo per´ıodo. uma pessoa se prop˜ oe a devolver o principal daqui a 4 meses. Exemplo 13.1. calculando-se os juros do per´ıodo sobre o saldo do per´ıodo anterior. podem ser capitalizados e pagos de uma só vez. entretanto. • Interpretar e resolver os problemas propostos. Em geral os juros são pagos durante o per´ıodo de emprétimo.1. 1. para ser devolvido ap´ os uma carência de 2 anos.00 1000.122 Planilha do financiamento Meses k 0 1 2 3 4 TOTAL Saldo devedor Sdk 10000.00 10000.00 14000.a.00 11000.00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 1000.00 100000.00 1000.00 100000. No u ´ltimo per´ıodo.00 a uma empresa.00 Juros Jk − 10000.00 4000. ou i = 21% a.1.00 Juros Jk − 1000.21 a.a. ser˜ ao pagos também o principal. Assim. com prazo de utiliza¸c˜ ao unit´ ario. além dos juros.00 1000.00 140000.1)2 − 1 = 1.2.00 10000. calcular planilha pelo sistema americano.00 100000. Nesse caso.00 10000.00 10000.00 10000. para ser devolvido ap´ os uma carência de 2 anos.00 1000. temos que: . a uma taxa de juros de 10% ao semestre.00 100000. Qual a taxa efetiva anual? Solu¸c˜ ao: Planilha do financiamento Semestres k 0 1 2 3 4 TOTAL Saldo devedor Sdk 100000. com prazo de utiliza¸c˜ ao unit´ ario.00 − − Amortiza¸cão Ak − − − − 10000.00 a uma empresa.00 10000. Um banco empresta R$100000. a uma taxa de juros de 10% ao semestre.00 40000.00 10000.00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 10000.3. calcular planilha pelo sistema americano.00 110000.00 Exemplo 13. constituindo assim o saldo do per´ıodo.21 − 1 = 0.00 A taxa efetiva anual é: i = (1.00 − − Amortiza¸cão Ak − − − − 100000. a planilha é constru´ıda calculando-se os juros sobre o saldo do per´ıodo anterior sendo que estes n˜ ao ser˜ ao pagos e sim acrescentados ao saldo anterior.00 10000. Sabendo-se que os juros ser˜ ao capitalizados durante a carência.00 10000.00 1000. Exemplo 13. Um banco empresta R$100000. Sabendo-se que os juros ser˜ ao cobrados semestralmente. 123 Planilha do financiamento Semestres k 0 1 2 3 4 5 TOTAL 13.00 146410. pede-se: a) construir a planilha do empréstimo. que os juros ser˜ ao cobrados em base anual e que o método utilizado pelo banco é o Sistema Americano com prazo total de 4 anos..00 100000.00 121000. construir a planilha do fundo de amortiza¸c˜ ao.00 − − Amortiza¸cão Ak − − − − − 100000. o mutuário constitui um fundo.00 Juros Jk − 12000.1.00 148000. neste sistema. a) Planilha do financiamento Anos k 0 1 2 3 4 TOTAL Saldo devedor Sdk 100000. denominado fundo de amortiza¸c˜ ao. Sabendo-se que o prazo de utiliza¸c˜ ao é unit´ ario. b) admitindo-se uma taxa de aplica¸c˜ ao de 10% a. cobrando a taxa de juros de 12% ao ano.00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − − − − − 161051. Exemplo 13.00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 12000.00 Juros Jk − − − − − 61051.00 133100.00 61051.00 48000.00 12000.00 100000.a.00 a uma empresa.4.00 100000. Um banco empresta R$100000.00 Fundo de amortiza¸c˜ ao Muitas vezes. visando o pagamento do principal.00 110000.00 . maior. é formado aplicando-se recursos a uma taxa de juros que pode ser.1 Saldo devedor Sdk 100000.00 12000.00 100000.00 100000.00 12000.00 − − Amortiza¸cão Ak − − − − 100000.00 112000.00 161051. Este fundo.00 12000. menor ou igual a do empréstimo.00 12000.1. de modo que o seu valor seja igual ao desembolso a ser efetuado. 08 13811. conforme estabelecido no contrato de empréstimo.87 71320.08 Na confeçc˜ ao da tabela. S = 100000. teremos na coluna dos dep´ ositos. 4 anos.32 Introdu¸c˜ ao . construir a planilha.00. n) ent˜ ao R = = = .124 b) Neste caso.00 − Juros Jk − − 2154. o problema constitui-se de uma renda uniforme modelo b´ asico.1◦ ano: 10000.08 21547.00 .08 21547.08 45248. Assim.4◦ ano: 40000. O juros de um per´ıodo s˜ ao determinados sobre o saldo anterior considerando a taxa combinada.00 .64100 logo tem-se R = 21547. tem-se que: Anos k 0 1 2 3 4 TOTAL 13.89 7132. S 100000 100000 Como S = R × F V F (i. que ser˜ ao amortizados anualmente do seguinte modo: . o pagamento do principal é feito em parcelas desiguais. ou seja.08 86188. F V F (i.1.00 . valor do termo R encontrado. que a taxa de juros devidos ser˜ ao pagos anualmente.2◦ ano: 20000.08 21547.00 e i = 10% ao ano e o prazo é o prazo do empréstimo.68 Dep´ osito Dk − 21547. 4) 4.2. .71 4524.Sistema de amortiza¸co ˜es vari´ aveis Neste caso. O saldo do per´ıodo é determinado somandose o saldo anterior com o dep´ osito e os juros do per´ıodo.2 Saldo Sk − 21547.00 Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carência para o in´ıcio das amortiza¸c˜ oes.84 100000. isto é. Uma empresa pede emprestado R$100000. Exemplo 13. onde o montante é o valor que foi tomado emprestado e a taxa é a que foi acordada entre as partes.3◦ ano: 30000. n) F V F (10. 00 100000.00 60000.00 Presta¸cão Pk = Ak + Jk − 10000.00 .00 10000.125 Anos k 0 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL Saldo devedor Sdk 100000.00 7000.00 100000.00 10000.00 29000.00 30000.00 37000.00 Juros Jk − 10000.00 44000.00 90000.00 10000.00 10000.00 70000.00 100000.00 20000.00 20000.00 40000.00 − − Amortiza¸cão Ak − − − − 10000.00 40000.00 100000.00 160000.00 10000.00 9000.00 4000. ............. Pede-se: a) elaborar a planilha do empréstimo pelo SAA...................................... ......................................................... nome:........00.................................................... aplicando anualmente certa . Uma empresa recebeu um empréstimo de R$5. nome:......................... determinar o valor dos depósitos quadrimestrais para constitui¸cão de um fundo de amortiza¸cão.............. Planejando a devolu¸cão do principal.............................. A taxa de juros cobrada a cada quadrimestre é de 8...3 Exerc´ıcios .......... a empresa resolve constituir um fundo de amortiza¸cão... 2. compromissandose a devolvê-lo ao fim de seis anos pelo Sistema Americano........5%...............................................126 13.....Aula 13 data ..000...... 1................... nome:........q..............000.............. pagando anualmente apenas os juros vencidos no per´ıodo.......... A taxa contratada é de 10% ao ano....................................../. em 4 anos............... Um empréstimo no valor de R$850000.............00 a uma empresa para serem devolvidos em presta¸c˜ oes quadrimestrais../............................................. Anos k 0 1 2 3 4 TOTAL Saldo devedor Sdk Amortiza¸cão Ak Juros Jk Presta¸cão Pk = Ak + Jk b) sendo de 4% a...................... pelo Sistema de Amortiza¸cão Americano............................................. a taxa de aplica¸cão.. ..... A devolu¸cão do principal far-se-ia mediante cinco parcelas semestrais de: 1a parcela: R$50.00 e 5a parcela: R$150.. Os juros serão cobrados sobre o saldo devedor............000....................... 3a parcela: R$100.....127 quantia fixa em uma institui¸cão financeira que paga 8% ao ano........ Qual será o desembolso anual? ..000.......000......00....000.00... Um banco de investimentos empresta R$500.. 2a parcela: R$75..... vencendo a cada semestre..000.... contratandose a taxa de 10% ao ano.. 3......... Construir a planilha do financiamento..... 4a parcela: R$125....000...... com capitaliza¸cões semestrais sem carência. Meses k 0 1 2 3 4 5 TOTAL Saldo devedor Sdk Amortiza¸cão Ak Juros Jk Presta¸cão Pk = Ak + Jk ..00......00 a um cliente..00..... ....extra-classe ........00 é financiado em cinco anos à taxa de 18% ao ano pelo Sistema Americano.00 à taxa de 25% ao ano..........128 13. constitui um fundo de amortiza¸cão... 3. Construir a planilha do financiamento ....... determinandose o prazo de quatro anos para liquida¸cão do financiamento.. Um financista toma emprestado R$100000. quanto perderia...00 foi contratado a uma taxa de 14% ao ano.... Construir o quadro demonstrativo dos desembolsos anuais e da evolu¸cão do fundo de amortiza¸cão.. 2.Aula 13 1.... Foi adotado o Sistema Americano de Amortiza¸cão.......................................... aplicando seus depósitos anuais a 27% ao ano.. Um financiamento de R$150000..... Se o tomador do empréstimo pudesse optar pelo Sistema Francês...... caso a taxa do fundo de amortiza¸cão fosse de 15% ao ano? . Optando pelo Sistema Americano.. O montante de R$450000...4 Exerc´ıcios ...... pelo prazo de 4 anos......... mantendo-se a taxa de juros....

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