UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIACálculo diferencial Código: 100410 Trabajo colaborativo 1 Presentado a: Nelly Johana Mesa Solano Tutor Presentado por: Ciro Alberto Clavijo González Código: 1071162578 David Ricardo Romero León Código: Edwin Enrique Peñuela Código: 1069302137 Juliana Acosta Garzón Código: 1032459097 Grupo: 100410_3 Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Facultad de ingeniería 23 de abril de 2017 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Introducción El presente trabajo colaborativo se abordara el tema de progresiones y sucesiones, donde se deberá realizar una investigación para comprender los términos básicos que las componen, de esta manera se presentan el desarrollo de unos ejercicios con el fin de reforzar los conocimientos adquiridos en el tema, y en base a la solución de problemas identificar qué tipo de progresiones son, si bien son aritméticas o geométricas, crecientes o decrecientes y determinar el termino general para las mismas. Lo anterior evidencia la necesidad que representan las sucesiones y progresiones en la vida profesional ya que son de gran ayuda para determinar ciertos fenómenos que ocurren en este ámbito y proporciona métodos para una fácil resolución. . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Desarrollo estudiante 1 Juliana Acosta Garzón Anexo 1 Determinar la cota superior e inferior 2𝑛 1 1 1 1 1 2 = {1. . . … } 2𝑛 2 3 4 5 6 2(1) =1 2(1)2 2(2) 1 = 2(2)2 2 2(3) 1 2 = 2(3) 3 2(4) 1 2 = 2(4) 4 2(5) 1 2 = 2(5) 5 2(6) 1 2 = 2(6) 6 Cota superior: 1 . . . 9. 72 . −62 } = −(2𝑛)2 2 = −(2(1))2 = −4 = −(2(2))2 = −16 = −(2(3))2 = −36 No es una sucesión monótona ya que sus términos están alternados por diferentes signos igualmente no converge ni diverge. 25. … } 𝐶𝑛= {−22 . … } 𝐶𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 {32 . 1 𝑘𝑔 = 1000𝑔𝑟 10 𝑘𝑔 = 10000 𝑔𝑟 Ahora se hace la división de los gramos en el peso de cada moneda 10000𝑔𝑟 = 5000 𝑔𝑟 2𝑔𝑟 𝑎1 = 1 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎 𝑎2 = 2 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑎3 = 4 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑎4 = 8 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑎5 = 16 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝐸𝑙 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑑í𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑔𝑒𝑟á: 𝑎𝑛 = 5000 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo? . −16. ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero? Primero se pasa los 10kg en gramos para poder saber cuántas monedas en total logrará recoger. 72 } = (2𝑛 − 1)2 (2(1) − 1)2 = 1 (2(2) − 1)2 = 9 (2(3) − 1)2 = 25 (2(4) − 1)2 = 49 {−2 . -4. −36. 52 . 25. cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. 52 . así: 𝑎𝑛 = {−4. Problema 3: Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Cota inferior: 0 Se observa la gráfica y por medio de los valores que se le da a n se puede decir que a medida que n crece la sucesión tiende llegar a o.… Es una sucesión alterna puesto que sus valores son de diferente signo. −42 . pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente. −62 . Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de 10kg. dado a esto su solución es la de pasar a potencias apartes las de signo negativo de las de signo positivo. puesto que es una sucesión alterna oscilante. Responda las siguientes preguntas. 49. 49. -16. mañana 2 monedas. 32 . −42 . 9. -36. 28 𝑑í𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑐ℎ𝑖𝑙𝑎 ¿La progresión es aritmética o geométrica? Es una progresión geométrica porque cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón. el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100. Problema 4.30103 𝑛 = 13. un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora. ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? Se dice que por cada hora se obtienen las siguientes bacterias 𝑎1 = 3 𝑎2 = 3 ∗ 3 = 9 𝑎3 = 9 ∗ 3 = 27 Por medio de la ecuación de n términos 𝑎𝑛 = 𝑎1 . En un laboratorio.69897 𝑛= +1 0. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑎2 𝑟= 𝑎1 2 𝑟= 1 𝑟=2 El último día recogerá 𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑟 𝑛−1 Hallamos la razón . 𝑟 𝑛−1 (n es el número de días en que tarda en recoger todas las monedas) Reemplazamos en la fórmula de término general 5000 = 1. Responda las siguientes preguntas. Justificar Es creciente ya que la razón es mayor que la unidad. que en este ejercicio es 2. 2𝑛−1 5000 = 2𝑛−1 Tomando logaritmos en ambos lados log 5000 = log 2𝑛−1 log 5000 = (𝑛 − 1) log 2 log 5000 (𝑛 − 1) = log 2 log 5000 𝑛= +1 log 2 3. ¿La progresión es creciente o decreciente?.000. Problema 5. 37 (2 − 3) 𝑆𝑛 = 2−1 6561 𝑆𝑛 = 1 𝑆𝑛 = 6561 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido? Por medio de logaritmos hallamos el tiempo requerido para producir un valor superior a 100. 38−1 𝑎8 = 3. 38−1 𝑎8 = 3. 33 𝑎4 = 81 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑛 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 34−1 𝑎4 = 3. 𝑎𝑛 (𝑟 − 𝑎1 ) 𝑆𝑛 = 𝑟−1 3. ¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal? . Pedro tiene sobrepeso. 𝑎𝑛 = 𝑎1 . ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? Por medio de la ecuación de n términos hallamos cuántas bacterias obtiene el científico en 8 horas. hallamos el total de las bacterias producidas en 8 horas. su peso actual es de 195 Kg y su peso ideal debería ser de 85Kg. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑎2 𝑟= 𝑎1 9 𝑟= 3 𝑟=3 Reemplazamos 𝑎4 = 3.000 bacterias 10000 = 3. Un médico le receta un tratamiento el cual le va a permitir bajar de peso a razón de 1Kg mensualmente. 3𝑛−1 10000 = 3𝑛 log 10000 = log 3𝑛 log 10000 = n ∗ log 3 log 100000 𝑛= log 3 5 𝑛= 0.477 𝑛 = 10. 37 Por medio de la fórmula n términos.46 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 100000 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠. 𝑟 𝑛−1 Razón 𝑟 = 3 𝑎8 = 3. 5 − 1 = −𝑛 −59. como es diferencia lo dejamos en negativo: -1. 𝑈𝑛 = 5 ∗ 3𝑛−1 𝑈𝑛 = 5 ∗ 31−1 𝑈𝑛 = 5 ∗ 30 𝑼𝒏 = 𝟓 .5 195 − 58.5 = 136. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑎1 = 195 𝑘𝑔 𝑎𝑛 = 85 𝑘𝑔 Lo que tiene que bajar en el tratamiento es de 1 kg.5 𝑘𝑔 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 30% 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 Utilizamos la ecuación de término general 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∗ 𝑑 Reemplazamos 136. ¿Cuánto tiempo necesita pedro para adelgazar el 30% de su peso actual? 0.5 − 195 = −𝑛 ∗ 1 −58.5 𝑑í𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑔𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 30% 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 ¿La progresión es una progresión creciente o decreciente? Justificar Es una progresión aritmética decreciente porque la razón es menor que 1.30 ∗ 195 = 58.5 = 195 + (𝑛 − 1) ∗ −1 136.5 = −𝑛 Multiplicamos a los dos lados por menos para poder dejar los términos positivos 𝑛 = 59. (n número de días que tarda en bajar de peso) Utilizamos la ecuación de progresiones aritméticas 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∗ 𝑑 Reemplazamos 85 = 195 + (𝑛 − 1) ∗ −1 85 = 195 + (−𝑛 + 1) 85 − 195 = −𝑛 + 1 −110 = −𝑛 + 1 −110 − 1 = −𝑛 −111 = −𝑛 Multiplicamos a los dos lados por menos para poder dejar los términos positivos 111 = 𝑛 𝑑í𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 ¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar Es una progresión aritmética ya que la diferencia de los términos sucesivos son una constante diferencia. Anexo 2 1. … ) Razón común . 135. 15. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑈𝑛 = 5 ∗ 32−1 𝑈𝑛 = 5 ∗ 31 𝑼𝒏 = 𝟏𝟓 𝑈𝑛 = 5 ∗ 33−1 𝑈𝑛 = 5 ∗ 32 𝑼𝒏 = 𝟒𝟓 𝑈𝑛 = 5 ∗ 34−1 𝑈𝑛 = 5 ∗ 33 𝑼𝒏 = 𝟏𝟑𝟓 𝑈𝑛 = 5 ∗ 35−1 𝑈𝑛 = 5 ∗ 34 𝑼𝒏 = 𝟒𝟎𝟓 𝑈𝑛 = 5 ∗ 36−1 𝑈𝑛 = 5 ∗ 35 𝑼𝒏 = 𝟏𝟐𝟏𝟓 𝑈𝑛 = (5. 1215. 405. 45. 20. 𝑈𝑛 = 10 + 5𝑛 𝑈𝑛 = 10 + 5(1) 𝑈𝑛 = 10 + 5 𝑼𝒏 = 𝟏𝟓 𝑈𝑛 = 10 + 5(2) 𝑈𝑛 = 10 + 10 𝑼𝒏 = 𝟐𝟎 𝑈𝑛 = 10 + 5(3) 𝑈𝑛 = 10 + 15 𝑼𝒏 = 𝟐𝟓 𝑈𝑛 = 10 + 5(4) 𝑈𝑛 = 10 + 20 𝑼𝒏 = 𝟑𝟎 𝑈𝑛 = 10 + 5(5) 𝑈𝑛 = 10 + 25 𝑼𝒏 = 𝟑𝟓 𝑈𝑛 = 10 + 5(6) 𝑈𝑛 = 10 + 30 𝑼𝒏 = 𝟒𝟎 𝑈𝑛 = (15. 30. 2. 40. 25. 35. … ) . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑈𝑛+1 =𝑟 𝑈𝑛 Reemplazando 15 =3 5 La razón común es 3 Es una progresión geométrica creciente ya que el siguiente número es mayor que el anterior. las partículas de PM 10. Anexo 3 En Ingeniería ambiental el uso progresiones y sucesiones es importante ya que permite calcular en número de microorganismos que se reproducen en un tiempo determinado en las aguas residuales.5 que se emiten al aire. adicionalmente a lo anterior también son de gran utilidad para determinar las cantidades de contaminantes que se vierten en un afluente o a los suelos en un determinado tiempo. agua potable o en el aire. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Diferencia común 𝑑 = 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 Reemplazando con los términos 𝑑 = 20 − 15 = 5 La diferencia común es 5 Es una progresión aritmética creciente por el termino siguiente es mayor que el anterior. también permite realizar diagnósticos mediante de las emisiones de una chimenea. PM 2. . −7. Responda las siguientes preguntas. [𝑎𝑛 = 13 − 5𝑛] Se puede denotar que la función es decreciente en su dominio. 5𝑛 =5 𝑛 Reemplazamos en los naturales. … Por tener términos constantes el todo el dominio. . justificar la respuesta 8. 5. 5.3. . 1 mg de multivitamínico cuesta 10 Pesos. a) ¿Cuánto multivitamínico consumirá Sergio en el total de su dieta? b) ¿Cuánto dinero gastará comprando este multivitamínico? c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar Desarrollo a) 𝑎1 = 200 𝑎2 = 200 + 20 𝑎𝑛 = 200 + 𝑑 . Determinar si son monótonas y si convergen o divergen. le exige iniciar tomando 200mg de multivitamínico el primer día e ir tomando 20 mg más cada día durante los 90 días que el doctor le ha programado la dieta. 5. 5.. la sucesión no presenta cotas ni inferior ni superior. Problema 1: Sergio ingresa a una dieta para subir de peso. −12. 5. De las siguientes sucesiones. Se puede reemplazar la sucesión con el siguiente modelo. −2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Desarrollo estudiante 2 David Ricardo Romero León Anexo 1 De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior. Ahora analizamos según el criterio de convergencia lim [13 − 5𝑛] = ∞ 𝑛→∞ Por tal motivo la sucesión diverge ya que no tiende hacia un valor en particular y no es acotada. en este caso presenta monotonía. esta dieta. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de términos sea 50/11? Desarrollo 𝑈1 = 7 50 𝑆𝑛 = 11 𝑈1 50 7 𝑆𝑛 = = = 1 − 𝑞 11 1 − 𝑞 Despejando se tiene que: 50(1 − 𝑞) = 77 50 − 50𝑞 = 77 27 𝑞=− 50 Problema 7: Plantee el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 y la razón común es 8 Adicionalmente encuentre la suma de los primeros 5 términos y el valor del décimo término. ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar La progresión es creciente 𝑎𝑛 = 200 + 𝑑 A mayor tiempo mayor costo. En una progresión geométrica el primer término es 7. Primer termino u1 = 12 La razón común es: . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Donde la diferencia común es 20 𝑢90 = 200 + (90 − 1) ∗ 20 𝑢90 = 1980 𝑚𝑔 90(200 + 1980) 𝑠90 = 2 𝑠 = 98100𝑚𝑔 b) para el costo total se multiplica el valor consumido total por 10 pesos 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 = 98100 ∗ 10 = 981000 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar La progresion es aritmetica. ya que el valor de la funcion crece de acuerdo a la sumatoria de la diferencia comun. diferencia común menos tres Progresión geométrica creciente. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA q=8 El termino enésimo lo calculamos con la siguiente f ormula.3 . un = q(n−a) Ua 𝑢5 = 8(4) ∗ 12 𝑢5 = 49152 Ahora la sumatoria de los términos 12(85 − 1) 𝑠5 = = 56172 8−1 𝑠5 = 56172 El décimo termino seria 𝑢10 = 8(9) ∗ 12 = 16106127 Anexo 2 Progresión aritmética decreciente. razón común 2. ya que con esto se puede prever comportamientos sobre el crecimiento de tipo bacteriano en una represa o en un proceso donde incluya interacción con microorganismos. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Anexo 3 En la rama de la ingeniería ambiental. es de vital importancia las progresiones aritméticas o geométricas. . esto nos puede dar una noción de cómo se puede regular la cantidad de microorganismo para que sus emisiones de gases metano y sulfuros de hidrogeno no vayan a generar problemas ambientales severos en la población o lugar donde se esté haciendo el estudio ambiental. . . n+1 3n − 5 1 7 5 13 = {−1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Desarrollo estudiante 3 Ciro Alberto Clavijo González Anexo 1 3n−5 1. . . . . } n+1 3 5 3 7 3(1) − 5 −2 = = −1 1+1 2 3(2) − 5 1 = 2+1 3 3(3) − 5 4 = =1 3+1 4 3(4) − 5 7 = 4+1 5 3(5) − 5 10 5 = 5+1 6 3 3(6) − 5 13 = 6+1 7 . . 1. 5. 50. 37. 26. 10. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Cota superior: 3 Cota inferior: -1 2. 5 10 17 26 37 50 5 7 9 11 13 2 2 2 2 Método de la regla practica 𝐴 𝐴 𝐴𝑛 = ( ) 𝑛2 + (𝐵 − ) 𝑛 + 𝐶 2 2 𝐴=𝑑=2 𝐵 =𝑝−𝑑 =3 𝐶 = 𝑎1 − 𝑏 = 2 2 2 𝐴𝑛 = ( ) 𝑛2 + (3 − )𝑛 + 2 2 2 . 17. En un laboratorio. a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido? Reproducción de bacterias cada hora: 𝑎1 = 3 𝑎2 = 32 𝑎3 = 33 𝑎4 = 𝑎1 ∗ 𝑟 𝑛−1 𝑎2 9 𝐿𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑟 = = = 3 𝑎1 3 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜. La sucesión converge por que la suma de los números dentro de la sucesión se aproxima al infinito. 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑟 𝑛−1 𝑎4 = 3 ∗ 34−1 𝑎4 = 3 ∗ 33 𝑎4 = 34 𝑎4 = 81 a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? 𝑟 − 𝑎1 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 ∗ 𝑟−1 3−3 𝑆4 = 81 ∗ 3−1 3(81 − 1) 𝑆4 = 2 3 ∗ 80 𝑆4 = 2 𝑆4 = 3. Responda las siguientes preguntas. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝐴𝑛 = 𝑛2 + (3 − 1)𝑛 + 2 𝐴𝑛 = 𝑛2 + 2n + 2 La sucesión si es monótona por que la suma de los números los términos va aumentando su valor.000. un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora. Problema 4. el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100.40 = 120 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑙𝑡𝑖𝑣𝑜 b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? 𝑎8 = 3 ∗ 37 𝑎8 = 38 = 6561 . y cuál el décimo término? 𝑛 = 12 𝑎1 = 1 𝑎𝑛 = 2048 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑟 𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑟= √ 𝑎1 12−1 2048 𝑟= √ 1 11 𝑟 = √2048 11 𝑟 = √211 𝑟=2 Mediante la fórmula de la suma hallamos: 𝑎𝑛 ∗ 𝑟 − 𝑎1 𝑠𝑛 = 𝑟−1 2048 ∗ 2 − 1 𝑠𝑛 = 2−1 𝑠𝑛 = 4095 Mediante la fórmula de cálculo del último término hallamos el décimo: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑟 𝑛−1 . 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 100. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑎8 = 6561 𝑁𝑜.000 > 6561 c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido? 𝑛−1 100000 = 3 ∗ 3 100000 = 3𝑛 𝑙𝑜𝑔 100000 = 𝑛 ∗ 𝑙𝑜𝑔3 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 100000/𝑙𝑜𝑔3 5 𝑛= 0.48 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 Problema 31. siendo el primero 1 y el último 2048? ¿Cuál será la suma de los términos de esta progresión.477 𝑛 = 10. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica de 12 términos. 64. … ) . 1024. 256. 𝑈𝑛 = 4 ∗ 4𝑛−1 𝑈𝑛 = 4 ∗ 4𝑛−1 𝑈𝑛 = 4 ∗ 41−1 𝑈𝑛 = 4 ∗ 40 𝑼𝒏 = 𝟒 𝑈𝑛 = 4 ∗ 42−1 𝑈𝑛 = 4 ∗ 41 𝑼𝒏 = 𝟏𝟔 𝑈𝑛 = 4 ∗ 43−1 𝑈𝑛 = 4 ∗ 42 𝑼𝒏 = 𝟔𝟒 𝑈𝑛 = 4 ∗ 44−1 𝑈𝑛 = 4 ∗ 43 𝑼𝒏 = 𝟐𝟓𝟔 𝑈𝑛 = 4 ∗ 45−1 𝑈𝑛 = 4 ∗ 44 𝑼𝒏 = 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝑈𝑛 = 4 ∗ 46−1 𝑈𝑛 = 4 ∗ 45 𝑼𝒏 = 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝑈𝑛 = (4. 4096. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑎10 = 1 ∗ 210−1 𝑎10 = 29 𝒂𝟏𝟎 = 𝟓𝟏𝟐 Anexo 2 1. 16. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Razón común 𝑈𝑛+1 =𝑟 𝑈𝑛 Reemplazando 64 =4 16 La razón común es 4 Es una progresión geométrica creciente ya que el siguiente número es mayor que el anterior. 𝑈𝑛 = 4𝑛 + 3 𝑈𝑛 = 4𝑛 + 3 𝑈𝑛 = 4(1) + 3 𝑈𝑛 = 4 + 3 𝑼𝒏 = 𝟕 𝑈𝑛 = 4(2) + 3 𝑈𝑛 = 8 + 3 𝑼𝒏 = 𝟏𝟏 𝑈𝑛 = 4(3) + 3 . 2. 11. 19. 15. 27. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑈𝑛 = 12 + 3 𝑼𝒏 = 𝟏𝟓 𝑈𝑛 = 4(4) + 3 𝑈𝑛 = 16 + 3 𝑼𝒏 = 𝟏𝟗 𝑈𝑛 = 4(5) + 3 𝑈𝑛 = 20 + 3 𝑼𝒏 = 𝟐𝟎 𝑈𝑛 = 4(6) + 3 𝑈𝑛 = 24 + 3 𝑼𝒏 = 𝟐𝟕 𝑈𝑛 = (7. 23. … ) Diferencia común 𝑑 = 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 Reemplazando con los términos 𝑑 = 11 − 7 = 4 La diferencia común es 4 . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Es una progresión aritmética creciente por el termino siguiente es mayor que el anterior. 𝑛 + 𝑏 . el resultado varía entre positivos y negativos por que el número base en negativo y además su exponente no es una constante. 6. 27. 2n Entonces tenemos la sucesión −1n-1 × 2n . 11.… Buscamos la diferencia común 𝑑 = 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 𝑑 = 11 − 6 = 5 → 𝑑 = 5 𝑈𝑛 = 𝑑. justificar la respuesta. -1 n-1. Anexo 3 Desarrollo estudiante 4 Edwin Enrique Peñuela Anexo 1 De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior. 18. 51. ahora buscamos los términos reemplazando “n” así: U1 = −11−1 × 2(1) → −1 × 2 = −2 U1 = −2 U2= −12−1 × 2(2) → −11 × 4 = −4 U2 = -4 U3= −13−1 × 2(3) → −12 × 6 = 6 U3= 6 U4= −14−1 × 2(4) → −13 × 8 = −8 U4= -8 U5= −15−1 × 2(5) → −14 × 10 = 10 U5= 10 U6= −16−1 × 2(6) → −15 × 12 = 12 U6= -12 U7= −17−1 × 2(7) → −16 × 14 = 14 U5= 14 La sucesión dada no es acotada En este ejercicio no se pueden encontrar cotas ni inferior ni superior ya que a medida que aumenta el término. De la siguiente sucesión. 38. esto hace que la sucesión no tenga limites finitos. considero que es una sucesión divergente por que los enésimos términos no tienen limite. Determinar si son monótonas y si convergen o divergen. 23833.33 esta tambn seria nuestra diferencia Entonces nuestra progresión será Un (26000. por lo tanto.68.5 18 𝑈𝑛 = 𝑈1 ∗ 𝑟 𝑛−1 𝑈2 = 6 ∗ 1.33 = 24916. 21666.4 este es el saldo de la deuda en el momento en que Pedro se gana el chance.33. Luego averiguamos el término 20 de la progresión así: U20 = 24916.5 No coinciden los valores y la razón tampoco es la misma para todos los términos por tanto tampoco es una progresión geométrica. Se realizaron las operaciones y no fue posible encontrar ni la diferencia ni la razón común. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Entonces nuestro término general será 𝑈𝑛 = 5𝑛 + 1 𝑈1 = 5(1) + 1 = 6 𝑈2 = 5(2) + 1 = 11 𝑈3 = 5(3) + 1 = 16 Encontramos que el 16 no corresponde al 3er termino ósea que la diferencia no es constante en todos los términos por ello no es una sucesión aritmética. .26000 = 1083. Ahora buscamos el término general así:Un = U1 + (n − 1 ). Problema 2: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20..33 entonces d = 1083.000. Cuando Pedro acaba de cancelar su veinteavo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones.67. Entonces buscamos la razón común 𝑈𝑛+1 =𝑟 𝑈𝑛 27 = 1. 24916.67 + (20 − 1). d → Un = 26000 − 1083. se compromete a cancelar el 130% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos.67 este es el termino general. él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda.52−1 = 9 𝑈3 = 6 ∗ 1.33 U20 = 4333.67. Primero averiguo cuanto es el 130% de la deuda 20000× 130 ÷ 100 = 26000 en este caso el 130% de la deuda es 26000 Ahora divido el total de la deuda en los 24 pagos fijos así: 26000÷ 24 = 1083. a través de un acuerdo de pago..Un) Buscamos la diferencia común d=Un +1 –Un → 24916.34. 1083.53−1 = 13. 3 → 𝑈1 = 5 − 6 = −1 𝑈4 = 5 − 2.33.La progresión es aritmética por que la diferencia común entre los términos es constante. RTA.68 a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance? RTA. 1083. RTA-La progresión es decreciente por que a medida que “n” crece los términos de la progresión decrecen.68 efectivamente en nuestra progresión U4 es igual a 21666.33 = 21666. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Ahora comprobamos buscando otro enésimo término así: U4 = 24916.No.4 → 𝑈1 = 5 − 8 = −3 𝑈5 = 5 − 2.1 → 𝑈1 = 5 − 2 = 3 𝑈2 = 5 − 2.67 + (4 − 1). No le alcanza pues el saldo de la deuda supera el valor del premio c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué.El saldo de la deuda es de 4333. ANEXO 2 𝑈1 = 5 − 2.5 → 𝑈1 = 5 − 10 = −5 .4 en el momento que se gana el chance.2 → 𝑈1 = 5 − 4 = 1 𝑈3 = 5 − 2. d) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué. en este caso nuestra diferencia común d= 1083. b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance? RTA. 22−1 → 𝑈2 = 3. para así poder determinar una solución oportuna y acertada en beneficio de la comunidad y el medio ambiente. .2n-1 𝑈1 = 3. 23−1 → 𝑈3 = 3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 𝑈𝑛 = 3. o una proyección de la cantidad de residuos sólidos que genera una comunidad en determinado periodo de tiempo y mostrar el gran impacto socio-ambiental que trae consigo este problema. el crecimiento de bacterias en ellas. 23 = 24 𝑈5 = 3. 21 = 6 𝑈3 = 3. 24−1 → 𝑈4 = 3. 25−1 → 𝑈5 = 3. 22 = 12 𝑈4 = 3. puede ser la contaminación de aguas. 21−1 → 𝑈1 = 3. son fundamentales pues sirven para realizar proyecciones sobre cualquier tipo de contaminación. 20 = 3 𝑈2 = 3. o la contaminación atmosférica prediciendo patrones de contaminación por CO2. 24 = 48 Anexo 3 En la ingeniería ambiental las progresiones aritméticas y geométricas. además de ello el objetivo principal de este aplicativo van en pro de la interpretación de sucesiones numéricas de forma práctica. para posibles soluciones ante problemas propuestos. determinar su aplicación en problemas de la vida laboral. . Al investigar. profundizar y desarrollar los ejercicios propuestos se obtuvieron los conocimientos necesarios para comprender a cabalidad el tema. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Conclusiones Se pudo concluir que el uso de sucesiones y progresiones son de gran utilidad en la resolución de problemas de la vida profesional y cotidiana. El uso del software geogebra permitió realizar graficas de forma fácil y sencilla lo cual es de suma importancia ya que en el ámbito laboral es necesario utilizar gráficas para ilustrar datos recopilados durante una investigación determinada. además de lo anterior permite determinar resultados futuros. de esta forma se pueden tomar decisiones. a spx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Rondón. J. L. 7-38. Introducción al cálculo diferencial.F. (2106). México. Pág. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Referencias bibliográficas Cabrera. MX: Instituto Politécnico Nacional.net/10596/11564 García.com/login.unad.net/10596/11565 Cabrera.edu..net/10596/11570 .handle.co:2048/login?url=http://search.ebscohost. Recuperado de: http://hdl. Recuperado de: http://bibliotecavirtual. (2010). Recuperado de:http://hdl. Recuperado de:http://hdl. G. D. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. (2106). Y.handle. Unidad 1 – Análisis de Sucesiones y Progresiones. Progresiones Aritméticas. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. 100410 – Cálculo Diferencial.handle. J. J. (2010). Progresiones Geométricas. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
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