Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral IICOLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Eusebio Pillado Hernández Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Segunda edición 2010. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer María Elena Conde Hernández Revisor de Contenido: María Elena Conde Hernández Hermenegildo Rivera Martínez Corrección de Estilo: Jesús Alfonso Velasco Núñez Supervisión Académica: Nancy Vianey Morales Luna Edición: Ana Isabel Ramírez Vásquez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 1,209 ejemplares. 2 Ubicación Curricular COMPONENTE: FORMACIÓN PROPEDÉUTICA CAMPO DE CONOCIMIENTO: QUÍMICO–BIOLÓGICO Esta asignatura se imparte en el 6 semestre; tiene como antecedente Cálculo Diferencial e Integral I, no tiene asignatura consecuente es ____________________________ y se relaciona con ____________________________________________________. HORAS SEMANALES: 3 CRÉDITOS: 6 DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________ 3 Mapa Conceptual de la Asignatura 4 . ...............2.........55 Sección de tareas .......................................................Índice Recomendaciones para el alumno .....101 Claves de respuestas ...............................................................................................83 3.....89 Sección de tareas ......................................................................................................................95 Autoevaluación ..................103 Glosario ................................ 77 3...............................3 Aplicaciones de la Integral Definida ..........................................................................................................................................................................................6 Presentación................................................ INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN...... 9 1......................................................................31 Autoevaluación ..... La diferencial ...................................................................39 Ejercicio de reforzamiento ..................................... Teorema fundamental del Cálculo ................................................................................................................................................................................................105 5 .47 2..............104 Bibliografía ............................................ Integral definida ....... Métodos de integración ............................................................................................. Integral Indefinida ............................................................. DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA .............2...71 Ejercicio de reforzamiento .....11 Sección de tareas .............................................................79 3......... ........................1...........................................1..................43 UNIDAD 2..................................................................................65 Autoevaluación ...................................................................................................................75 UNIDAD 3..................................................................................................................................................................................................................... TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ....................................................... 45 2................................99 Ejercicio de reforzamiento ......6 UNIDAD 1........................................................1....................... consulta el glosario que aparece al final del módulo. el análisis y la discusión. mediante la investigación. Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad. Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados. Enfoque del campo: justifica la ubicación de la asignatura en determinado campo de conocimiento.mx Presentación Deberá incluirse el enfoque del campo y de la asignatura.Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti. Para comprender algunos términos o conceptos nuevos. en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II. resuelve la autoevaluación. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo. Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. es decir.edu. Si quieres hacer llegar tus comentarios. de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase. (sin ser necesaria la identificación). ¿por qué pertenece esta asignatura al campo de _________? Enfoque de la asignatura: describe la importancia e intencionalidad de la asignatura dentro del plan de estudios. así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios. utiliza el portal del Colegio: www. su pertinencia social en la formación de los estudiantes de bachillerato.cobachsonora. se responde a las preguntas ¿por qué es importante conocer acerca de lo planteado en el programa? ¿dónde reside la relevancia de los contenidos seleccionados para los estudiantes a este nivel? 6 . Al término de cada unidad. responde a la pregunta. ideas y prácticas sociales. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 5. México y el mundo. con acciones responsables. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula. 7 III. considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende de forma autónoma V. siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres. se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres. en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB). que actualmente. así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad. Competencias Genéricas CATEGORIAS I. 11. Sin embargo. en el primer semestre. códigos y herramientas apropiados. interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios. II. la cual establece un enfoque educativo basado en competencias. 8. basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. es necesario conocer los fines de esta reforma. 4. valores. Piensa crítica y reflexivamente IV. pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor. Elige y practica estilos de vida saludables. de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009.RIEMS Introducción El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora. Se autodetermina y cuida de sí. Se expresa y comunica COMPETENCIAS GENÉRICA 1. 3. Es por ello. la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo. ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general. Trabaja en forma colaborativa VI. de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior. Participa con responsabilidad en la sociedad . 9. 2. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias. 6. Escucha. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. región. 7. 10. Interpreta tablas. mediante el lenguaje verbal. geométricos y variacionales. algebraicos. Cuantifica. y argumenta su pertinencia. 5. 8. 6. curriculares y sociales amplios. y los ubica en contextos disciplinares. diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. hipotéticas o formales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva. 8. gráficas. con métodos numéricos. 6. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 3. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. 8 . 4. 4. Competencias docentes: 1. para la comprensión y análisis de situaciones reales. 3. gráficos. creativa e innovadora a su contexto institucional. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 2.Competencias Disciplinares Básicas Matemáticas 1. 7. 7. Formula y resuelve problemas matemáticos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias. Argumenta la solución obtenida de un problema. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional. 5. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes. representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. aplicando diferentes enfoques. mapas. analíticos o variacionales. Unidad 1 Diferenciales e integral Indefinida Objetivos: El alumno: Aplicará los conceptos de diferencial. las ciencias de la salud. la cual nace precisamente entre los siglos XVII y XVIII en el marco de aquella revolución científica que generó una nueva visión del mundo. tras conocer las reglas de diferenciación. mostrando una actitud analítica y participativa. el Cálculo diferencial e Integral conforman a la matemática moderna. encontró sus tres Leyes del Movimiento que describen el movimiento de los objetos en la Tierra. fue el inventor del Cálculo Diferencial e Integral. Isaac Newton (1642-1727). Organizador anticipado: ¿Por qué el Cálculo Diferencial e Integral ha sido un curso obligado de la formación matemática que se requiere en las universidades para seguir diferentes carreras que van desde la ingeniería. además de problemas prácticos. que también fue inventado de manera paralela por Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716). y constituyó una visión moderna de la que somos parte. la economía. . Temario: ¾ La diferencial. desarrollada en la Grecia Antigua. hasta las ciencias naturales en general? La razón a fondo es que el Cálculo constituye el segundo gran avance o gran resultado de la historia de las matemáticas después de la geometría euclidiana. para resolver valores aproximados de funciones. Así. Utilizando el Cálculo. Cálculo diferencial e integral II Mapa Conceptual de Unidad DIFERENCIALES Definición de Diferencial Nos permite enunciar Reglas de diferenciación Para resolver problemas De aproximación al incremento y de errores de aproximación 10 . 1. y = f ( x) una función cualquiera y ( x. Para el caso de aproximar funciones podemos utilizar la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función alrededor del punto de tangencia. Existen muchas situaciones. ( x + ∆x. elabora un mapa conceptual utilizando los conceptos que aparecen en la siguiente lista y muéstrala a tu profesor cuando te lo solicite. Concepto geométrico de la diferencial de una función (“ dy ”). en las cuales necesitamos estimar una diferencia. b) Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor Aproximado). ƒ ƒ 1. f ( x)).Diferenciales e Integral Indefinida Evaluación Diagnóstica: Ejemplo: Antes de iniciar esta unidad sobre la diferencial. Derivadas explícitas. algunos ejemplos de esto son: a) Aproximar valores de funciones. f ( x + ∆x)) dos puntos sobre Sea muestra en la siguiente figura: sean los puntos la función como se f ( x + ∆x) f ( x) x x + ∆x 11 .1. Razón de cambio. c) Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía “un poco”.1. LA DIFERENCIAL 1. representa el incremento que sufre la variable independiente.Cálculo diferencial e integral II ∆x . y definiremos el incremento real que sufre la función que lo denotaremos como ∆y como la diferencia que existe entre f ( x) y f ( x + ∆x) . es decir: ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) Al cual se le conoce como el nombre de Valor Real o cambio total y lo podemos apreciar en la siguiente figura: f ( x + ∆x ) ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) f ( x) x ∆x x + ∆x 12 . o bien dx dy se obtiene: dy = f ´(x) dx A la que llamaremos LA DIFERENCIAL DE f en el punto x. conocido también con el nombre de Valor Aproximado del cambio total ∆y . 13 . con respecto al incremento ∆x = dx . equivale a la razón que existe entre dy y ∆x . además si recordamos lo que se estuvo estudiando en el curso anterior la tangente del ángulo de inclinación de la recta corresponde a la pendiente de la recta tangente la cuál esta representada por la derivada de la función. en otras palabras y resumiendo lo anterior podemos decir que: dy = f ´(x) ∆x Ahora bien si denotamos a si despejamos ∆x como dx tendremos que dy = f ´(x) . llamaremos dy al incremento aproximado a través de la recta tangente como lo podemos observar en la siguiente figura: f ( x + ∆x) ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) dy f ( x) x ∆x x + ∆x Si observamos la figura podemos darnos cuenta que la tangente del ángulo de inclinación de la recta.Diferenciales e Integral Indefinida Tracemos la recta tangente a la función f ( x) en el punto x . entonces como 2 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) . f ' ( x) = 2 x de tal forma que: 2 dy = f ´(x) dx = 2 x dx . 2 x se Ahora bien como f ( x) = x . obtenemos: ∆y = 1.01)2 = 1.0201 Que corresponde al incremento real que sufre la función f ( x) = x cuando la incrementa de 1 a 1.A = EJEMPLO 1..0201 − 1 = 0. entonces. dy y E. es decir: E.02 Que corresponde al Valor Aproximado de la función f ( x ) = x a través de la recta tangente a ella cuando la x se incrementa de 1 a 1. 14 . Hallar ∆y.0201 − 0.A cuando x = 1 y ∆x = dx = 0.01 . calculamos: f ( x + ∆x) = ( x + ∆x) 2 = (1 + 0. sustituyendo los valores de x = 1 y dx = 0. 2 Si calculamos E.01. SOLUCIÓN: Como y = f ( x ) = x .0201 f ( x) = x 2 = (1)2 = 1 Sustituyendo estos valores en: ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) .Cálculo diferencial e integral II A la diferencia que existe entre el Valor real ( ∆y ) y el Valor Aproximado ( dy ).A = 0. E.A = Es decir: E.A.A = E.02 0.A = ∆y − dy 0.01)2 = (1.Sea ∆y − dy f ( x) = x 2 .A). le llamaremos ERROR DE APROXIMACIÓN y lo denotaremos como (E.01 obtenemos: dy = 2 x dx = 2(1) (0.0001 Lo que nos permite observar que es una muy buena aproximación pues tenemos un error de una millonésima.01) dy = 0.01.0001 E. 1. Hallar ∆y . calculamos: 2 entonces como ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) . dy y E.Diferenciales e Integral Indefinida EJEMPLO 2.001 . f ( x + ∆x) = ( x + ∆x) 2 − 2( x + ∆x) − 3 = x 2 + 2( x)(∆x) + (∆x) 2 − 2 x − 2∆x − 3 f ( x) = x 2 − 2 x − 3 Sustituyendo estos valores en: ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) . 0. es decir: Para x = 1 y ∆x = 1 tendremos que: f ( x + ∆x) = ( x + ∆x) 2 − 2( x + ∆x) − 3 = f ( x + ∆x) = (1 + 1) 2 − 2(1 + 1) − 3 = f ( x + ∆x) = ( 2) 2 − 2(2) − 3 = f ( x + ∆x) = 4 − 4 − 3 = f ( x + ∆x) = −3 f ( x) = x 2 − 2 x − 3 f ( x) = (1) 2 − 2(1) − 3 f ( x) = 1 − 2 − 3 f ( x) = −4 15 .A cuando x = 1 y 2 ∆x = dx = 1.5.01. 0. SOLUCIÓN: Como f ( x ) = x − 2 x − 3 . 0. obtenemos: ∆y = x 2 + 2( x)(∆x) + (∆x) 2 − 2 x − 2∆x − 3 − ( x 2 − 2 x − 3) ∆y = x 2 + 2( x)(∆x) + (∆x) 2 − 2 x − 2∆x − 3 − x 2 + 2 x + 3 ∆y = 2( x)(∆x) + (∆x) 2 − 2∆x si sustituimos por ejemplo los valores de x = 1 y ∆x = 1 tendremos que: ∆y = 2( x)(∆x) + (∆x) 2 − 2∆x ∆y = 2(1)(1) + (1) 2 − 2(1) ∆y = 2 + 1 − 2 ∆y = 1 Otra manera de resolverse es utilizando el procedimiento del ejemplo 1.- Sea f ( x ) = x − 2 x − 3 . 0. A = ∆y − dy 1 E.A = Es decir: E. se obtiene: dy = (2 x − 2) dx = (2(1) − 2)(1) dy = (2 − 2)(1) dy = (0)(1) dy = 0 De tal manera que: E.A = 1 Utilizando cualquiera de los dos procedimientos para calcular terminar el ejemplo para el ∆x = 0.001 utilizando la siguiente tabla: de resolver valor ∆y podemos x =1 y de x 1 1 1 1 1 EJERCICIO 1 ∆x 1 0. ∆x = dx = 0.1 3 para x = 1 y dx = −0.1 0. 0.1.5 0.Cálculo diferencial e integral II Por lo tanto.001 f ( x + ∆x) -3 f ( x) -4 ∆y 1 dy 0 E.01 5) f ( x) = Ln x 16 .2 TAREA 1 2) f ( x) = Sen x para x = 3) f ( x) = x 2 y dx = 0. obtenemos: ∆y = −3 − (−4) ∆y = −3 + 4 ∆y = 1 Como f ( x ) = x − 2 x − 3 entonces: 2 dy = f ´(x) dx = (2 x − 2) dx sustituyendo los valores de x = 1 y dx = 1 .01.A 1 EN EQUIPO: Hallar ∆y y dy .1 para x = 1 y dx = 0. 0. 0.5 π Página 31.A = 1 − 0 E.01 0. 4) f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 3 para x = 2 y dx = 0. y E.5.A para las funciones y los valores dados: 1) f ( x) = 3 x para x = 8. si sustituimos estos valores en: ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) . Diferenciales e Integral Indefinida 1. REGLA DE LA CADENA: d [( f o g )( x)] = d [( f ( g ( x) )] = f ' ( g ( x)) ⋅ g ' ( x)dx 17 . le corresponde una diferenciación que detallaremos a continuación. aceptamos que a cada fórmula de derivación que se vio en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I.2.1. Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente. PRODUCTO: d [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = f ( x ) ⋅ d [g ( x ) ] + g ( x ) ⋅ d [ f ( x ) ] = f ( x) ⋅ g ' ( x)dx + g ( x) ⋅ f ' ( x)dx 6. FÓRMULAS DIFERENCIALES GENERALES Para 1. COCIENTE: ⎡ f ( x ) ⎤ g ( x ) ⋅ d [ f ( x ) ] − f ( x ) ⋅ d [g ( x ) ] d⎢ ⎥= g x ( ) [g ( x)]2 ⎣ ⎦ g ( x) ⋅ f ' ( x)dx − f ( x) ⋅ g ' ( x)dx = [g ( x)]2 7. POTENCIA: d x n = n x n−1 dx d [ f ( x) ± g ( x)] = d ( f ( x)) ± d ( g ( x)) = f ' ( x)dx ± g ' ( x)dx [ ] 4. funciones derivables de x : CONSTANTE: d [c ] = 0 2. MULTIPLO CONSTANTE: d [cg ( x)] = c g ' ( x)dx 3. SUMA O DIFERENCIA: 5. Teoremas sobre Diferenciales. f ( x) y g ( x) . Sea y = 5 x − 2 x + 4 2 Calcula dy Aquí se aplica la regla de suma o resta de funciones. SOLUCIÓN: dy = d (5 x 2 ) − d (2 x) + d (4) dy = 10 xdx − 2dx 2 Factorizando dx obtenemos la diferencial de la función y = 5 x − 2 x + 4 dy = (10 x − 2)dx Conclusión: La diferencial es EJEMPLO 2. Calcula la diferencial de las siguientes funciones. Sea y = (2 x − 9)(4 x + 2) . SOLUCIÓN: dy = − x −2 dx y para no dejar exponentes negativos hacemos lo siguiente: 1 dy = − 2 dx x dx Conclusión: la diferencial es dy = − 2 x 5 2 EJEMPLO 3. Calcula dy SOLUCIÓN: dy = (2 x 5 − 9)(8 x) + (4 x 2 + 2)(10 x 4 ) dx 6 6 [ =[ 16 x = [56 x − 72 x + 40 x 6 + 20 x 4 dx + 20 x 4 − 72 x dx ] ] ] Conclusión: la diferencial es dy = 56 x 6 + 20 x 4 − 72 x dx [ ] 18 . Sea y = (10 x − 2)dx Aquí se aplica la regla de potencias de funciones. EJEMPLO 1. Aquí se aplica la regla de la suma de funciones. 1 .Cálculo diferencial e integral II EJEMPLOS: Utilizando las reglas de diferenciación. Calcula dy x −1 Hacemos a la función y = x y utilizamos la regla de las potencias. Diferenciales e Integral Indefinida EJEMPLO 4. dy = 7 5 x 6 − 9 (30 x 5 ) dx = 210 x 5 (5 x 6 − 9) 6 dx Conclusión: la diferencial es ( ) 6 dy = 210 x 5 (5 x 6 − 9) 6 dx 19 . Calcula dy x2 + 5 Aquí se aplica la regla del cociente de funciones. ⎡ ( x 2 + 5)(3x 2 ) − ( x 3 + 7)(2 x) ⎤ dy = ⎢ ⎥ dx ( x 2 + 5) 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 3x 4 + 15 x 2 − 2 x 4 − 14 x ⎤ =⎢ ⎥ dx ( x 2 + 5) 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ x 4 + 15 x 2 − 14 x ⎤ =⎢ ⎥ dx 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ ( x + 5) ⎦ Conclusión: la diferencial es ⎡ x 4 + 15 x 2 − 14 x ⎤ dy = ⎢ ⎥ dx 2 2 ( 5 ) x + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ EJEMPLO 5. Sea y = SOLUCIÓN: x3 + 7 . Calcula 6 ( ) 7 dy SOLUCIÓN: Aquí se aplica la regla de la cadena. Sea y = 5 x − 9 . 1) y = 4 x − 3 2 1 13) y = 2 (3 x − 2) 2 2) y = 2 x 3 3) y = 5 2 x2 14) y = 2 5x + 3 4) y = x +1 2x −1 4 15) y = x −1 x+2 5) y = 5 x − 6 x + 8 6) y = (9 x 5 − 2 x + 1) 3 2 7) y = (−2 x + 9)(5 x − 2) 8) y= 8x 2 − 2x + 7 x3 2 9) y = 3 x + 5 x − 1 1 + x− +1 5 x x 10) y = ( 2 x + 7) 11) y = TAREA 2 12) y = 3 2 9x +1 1 x−2 Página 33.Cálculo diferencial e integral II EJERCICIO 2 INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 20 . FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1) 2) 3) 4) 5) 6) d [Sen( g ( x))] = g´(x) ⋅ Cos ( g ( x)) dx d [Cos ( g ( x))] = − g´(x) ⋅ Sen( g ( x)) dx d [Tan( g ( x))] = g´(x) ⋅ Sec 2 ( g ( x)) dx d [Cot ( g ( x))] = − g´(x) ⋅ Csc 2 ( g ( x)) dx d [Sec( g ( x))] = g´(x) ⋅ Sec( g ( x)) ⋅ Tan( g ( x)) dx d [Csc( g ( x))] = − g´(x) ⋅ Csc( g ( x)) ⋅ Cot ( g ( x)) dx II. FUNCION LOGARITMO NATURAL 1) d [Ln( g ( x)] = g ' ( x) ⋅ dx con g ( x) ≠ 0 g ( x) 21 .Diferenciales e Integral Indefinida FÓRMULAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES TRASCEDENTALES. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL 1) d e g ( x ) = g ' ( x) ⋅ e g ( x ) dx [ ] III. I. Calcula dy SOLUCIÓN: ⎛ 15 x 2 + 6 x + 1 ⎞ ⎟ dy = ⎜ ⎜ 5 x 3 + 3x 2 + x + 8 ⎟ dx ⎝ ⎠ Conclusión: la diferencial es ⎛ 15 x 2 + 6 x + 1 ⎞ ⎟ dy = ⎜ ⎜ 5 x 3 + 3x 2 + x + 8 ⎟ dx ⎝ ⎠ 3 EJEMPLO 4 . Calcula SOLUCIÓN: dy ⎛ 3x 2 ⋅ Sec 2 ( x 3 − 5) ⎞ 2 3 3 ⎟ dy = ⎜ ⎜ Tan( x 3 − 5) ⎟ dx = 3x ⋅ Csc ( x − 5) ⋅ Sec( x − 5) dx ⎝ ⎠ Conclusión: la diferencial es dy = 3 x 2 ⋅ Csc( x 3 − 5) ⋅ Sec( x 3 − 5) dx 22 . Sea y = Ln(5 x + 3 x + x + 8) .Cálculo diferencial e integral II EJEMPLO 1. Sea y = Ln(Tan( x − 5)) . Calcula dy x 2 + 9 x −3 dy = (2 x + 9) ⋅ e x 2 + 9 x −3 dx dy = (2 x + 9) ⋅ e x 3 2 2 + 9 x −3 Conclusión: la diferencial es dx EJEMPLO 3 . Sea y = Sen(3 x − 7) . Sea y = e SOLUCIÓN: dy = 6 x ⋅ Cos (3 x 2 − 7) dx . Calcula 2 dy SOLUCIÓN: dy = 6 x ⋅ Cos (3 x 2 − 7) dx Conclusión: la diferencial es EJEMPLO 2 . Diferenciales e Integral Indefinida EJERCICIO 3 INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1) y = Sen( 4 x − 3) 2 13) y = 2 Sec(3 x − 2) 2 2) y = Ln( 2 x ) 3) y = Tan⎜ 1 3 ⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎜ 5 x2 ⎟ ⎝ ⎠ 14) y = 2 Csc (5 x + 3) 4) y=e x +1 2 x −1 15) y = Ln⎜ ⎛ x −1 ⎜ x+2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 5) y = Sec(5 x − 6 x + 8) 4 6) 5 3 y = Csc⎛ ⎜ (9 x − 2 x + 1) ⎞ ⎟ ⎝ ⎠ 7) y = Cos ( −2 x + 9)(5 x − 2) 2 [ ] 8) ⎛ 8x 2 − 2 x + 7 ⎞ ⎟ y = Ln⎜ 3 ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 9) y=e 3 x 2 +5 x − 1 1 + x− +1 5 x x 10) y = Sen( 2 x + 7) 11) TAREA 3 12) 2 y = Cos (9 x + 1) y= 1 3 Tanx − 2 Página 35. 23 . para este caso es conveniente tomar x0 = 25 .4 . calculando el incremento de una función.020m 2 Entonces: Como Conclusión: El incremento es de 0.002m) por lo tanto dA = 0. PROBLEMA 2.020 metros cuadrados. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5m. Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada. entonces.dl y sustituyendo los datos tenemos: dA = 2(5m)(0. Aplicaciones de la diferencial. entonces si sabemos que: f ( x) ≅ f ( x0 ) + dy f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx 24 .4 dy nos representa una muy buena y = f ( x) alrededor del punto de tangencia x0 . l = 5m dl = ∆l = 0.002m Calcular: dA = A = l 2 su diferencial es: dA = 2l.1.3.002m. para esto tomaríamos la función f ( x) = x de igual manera escogeríamos un punto x0 donde podamos conocer con exactitud el valor de la función evaluada en ese punto. si éste recibe un aumento de 0. podemos definir una función que nos permita aproximar dicho valor. 5m SOLUCIÓN: Datos: A = l 2 Fórmula del área de un cuadrado. lo que f ( x) ≅ f ( x0 ) + dy donde dy = f ' ( x0 ) dx Como el problema consiste en aproximar 25. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente aproximación a la función nos permite afirmar que: 25. PROBLEMA 1.Cálculo diferencial e integral II 1. 04 25.4 − 25 dx = 0.A = Valor real − Valor aproximado = 5.Diferenciales e Integral Indefinida Haciendo: 1) f ( x ) = x 1 Como f ( x ) = 2) x entonces f ( x) = x 2 por lo tanto f ' ( x) = 1 −2 1 x = 2 2 x 1 f ' ( x) = 1 2 x 3) x = 25.4 ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ 25. De tal manera que el error de aproximación sería: E.4) 2 25 1 5+ ( 0 .039841 lo podemos obtener haciendo uso de la El valor real de calculadora.4 ≅ 5.4 ) (2)(5) 1 5+ (0.04 E.000159 25 .4 4) x0 = 25 dx = x − x0 5) dx = 25.04 25 + 1 25.A = − 0.4) 5 + 0.1)(0.4) 10 5 + (0.000159 = 0.4 Entonces: f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx (0.039841 − 5.4 = 5. Cálculo diferencial e integral II Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente una diezmilésima. PROBLEMA 3. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a Ln 1.1 SOLUCIÓN: Hagamos: 1) f ( x) = Ln x f ( x) = Ln x entonces f ' ( x) = 1 x 1 x Como 2) f ' ( x ) = 3) x = 1.1 4) x0 = 1 dx = x − x0 5) dx = 1.1 − 1 dx = 0.1 Entonces: f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx 1 Ln 1 + (0.1) 1 0 + 1(0.1) 0 + 0 .1 Ln 1.1 ≅ ≅ ≅ Ln 1.1 ≅ 0.1 El valor real de calculadora. Ln 1.1 = 0.0953 lo podemos obtener haciendo uso de la De tal manera que el error de aproximación sería: E.A = Valor real − Valor aproximado = 0.0953 − 0.1 E.A = − 0.00047 = 0.00047 Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente cuatro diezmilésimas. ` 26 Diferenciales e Integral Indefinida PROBLEMA 4. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? SOLUCIÓN: La cantidad de concreto requerida es la diferencia ∆V entre el volumen del cilindro exterior y el cilindro interior como lo podemos observar en la siguiente figura: ∆V Calcularemos ∆V a través de volumen del cilindro es: dV recordando que la fórmula para calcular el V = π r2 h Como h = 1 m = 100 cm entonces tenemos una función para el volumen del cilindro que depende únicamente del radio la cuál escribimos de la siguiente manera: V (r ) = 100 π r 2 Por lo tanto: dV = 200 π r dr Si sustituimos r = 50 y dr = 3 , en dV , obtenemos: dV = 200 π (50)(3) = 94247.77961 cm 3 Lo que representa la cantidad de concreto que se necesita para revestir el depósito cilíndrico. 27 Cálculo diferencial e integral II PROBLEMA 5. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a SOLUCIÓN: Hagamos: 1) Cos 30.5º f ( x) = Cos x Como f ( x) = Cos x entonces f ' ( x) = − Sen x 2) f ' ( x) = − Sen x 3) x = 30.5º 4) x0 = 30º dx = x − x0 5) dx = 30.5º −30º dx = 0.5º Cos 30.5º es importante que el Recuerda que: 180º= π rad Para poder aproximar correctamente el valor de dx = 0.5º lo expresemos en radianes, es decir, dx = Entonces: π 360 rad . f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx ⎛ π ⎞ Cos30.5º ≅ Cos 30º + Sen 30º ⎜ ⎜ 360 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ≅ ≅ Cos 30.5º ≅ El valor real de calculadora. 3 ⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞ ⎟ +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠⎝ 360 ⎠ π 3 + 2 720 360 3 + π = 0.87038 720 Cos 30.5º = 0.86162 lo podemos obtener haciendo uso de la De tal manera que el error de aproximación sería: E.A = Valor real − Valor aproximado = 0.86162 − 0.87038 E.A = − 0.00876 = 0.00876 28 Diferenciales e Integral Indefinida Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente ocho milésimas.5 29 . su lado disminuye un 0.003m.5º Cos 60. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área? 5) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º. de longitud.04 cm. de longitud. utilizando la diferencial y compara el proceso de solución con tu compañero.75º H) Ln 1. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? 6) Aproximar utilizando diferenciales los siguientes valores: A) B) C) D) E) F) 5 EJERCICIO 4 9 .01 TAREA 4 Sen 45.03%.5 3 64. 2) Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200mm de diámetro exterior y 1mm de espesor. su lado aumenta 0.1 e 0.3º. sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0. 3) Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a 100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro.5 32. 4) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. EN EQUIPO DE DOS: Detalla por escrito el proceso de solución analítica típica de problemas de aproximación al incremento.25º Página 37 G) Tan 30. 1) obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de lado de 2m al aumentar el lado 0. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura.3 I) J) 37 1 4. Cálculo diferencial e integral II 30 . 0. 0. 0. 0. 0.1. 0.Diferenciales e Integral Indefinida Nombre ____________________________________________________________ TAREA 1 Núm. 0. 0.1. 0. 0. 0. 0.5. 0.1.1. 0. ∆x = dx = 1. 0. 0. ∆x = dx = 1.001 4) f ( x) = x 2 − 4 x + 3 para x = 1 y dx = 1.01. 0. y E. 0. 0. 0. 0.01.001 y dx = 1.5.5. 1) f ( x) = 3 x para x = 64. 0. 0.001 9) f ( x) = x para x = 1.5. 0.01.001 4 8) f ( x) = x 2 + 2 x − 1 para x = 0 y dx = 1.5.A para las funciones y los valores dados.001 5) f ( x) = Ln x 6) f ( x ) = e x 2) f ( x) = Cos x para x = π para x = 1 y dx = 1.1. 0. 0.5.01.5. de Expediente _____________________ Fecha _____________________ INSTRUCCIONES: Hallar ∆y y dy .1.001 x 7) f ( x) = Tan x para x = π 31 .001 y dx = 1. 0.001 3 3) f ( x) = x 2 − 1 para x = 1 y dx = 1.1. 0.001 10) f ( x) = 1 para x =1. 0. entrégale los resultados a tu profesor para su revisión. 0.01.01. ∆x = dx = 1.001 para x = 0 y dx = 1. 0.1. 0.01.1.01. 0. 0.5. 0.01. 0. 0.1.5. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm.01. 0. 0. 0.5. Cálculo diferencial e integral II Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 32 . utilizando las fórmulas de diferenciación.de las siguientes funciones. de Expediente _____________________ Fecha _____________________ INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy .Diferenciales e Integral Indefinida Nombre ____________________________________________________________ TAREA 2 Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. 1) y = 5 x 3 − 2 x 2 + x − 10 11) y = 1 2x −1 2) y = 1 1 + x5 − −2 2 5 x x x 2 − 5x + 9 12) y = x3 13) y = 8 (3 x 2 − 1) 5 3) y = (4 x 7 − 9)(2 x 3 + 1) x6 − 2x + 3 4) y = x2 + 5 5) y = x3 − 8 x2 + 2x + 4 x 2 − 2 x − 15 x −5 14) y = (3x10 − 1)( x 3 + 5) 15) y = 5 1 4x 2 + 2 7 x4 + 8 6) y = 16) y = 7) y = (3x 2 − 5) 3 8) y = 3 x − 2 17) y = 6 x 3 − 4 x 2 − x + 3 x +3 x 4 18) y = x 6 9) y = 1 x+7 ⎛ x+2 ⎞ 19) y = ⎜ ⎜ x−5 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 3 10) y = 2 ( x + 9) 6 20) y = (3x + 6) 7 (2 x − 1) 3 33 . entrégale los resultados a tu profesor para su revisión. Cálculo diferencial e integral II Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 34 . de Expediente _____________________ Fecha _____________________ INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones. 1) y = Sen ( x 3 + 1) 2) y = Cos (2 x 5 + 7) 11) y = Ln 7 x 5 − 9 12) y = Sen ( x − 3) Cos ( x − 3) 3) y = Tan (4 x 7 − 9) ⎛ x−2 ⎞ 4) y = Cot ⎜ ⎜ x+5 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 13) y = Sen 2 ( x − 1) + Cos 2 ( x − 1) 14) y = 1 Sec ( x 5 ) 9 5) y = Sec [(3x + 2)( x − 1)] ⎛ x3 − 5x + 1 ⎞ ⎟ 15) y = Ln ⎜ ⎜ x2 − 2 ⎟ ⎠ ⎝ 16) y = e x −3 6) y = Csc (2 x 5 − 11) 5 7) y = Ln (3 x 2 − 5) 3 ⎛ x+3 ⎞ 8) y = Ln ⎜ ⎜ x+4 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 17) y = e 18) y = x +8 x+2 2 +5 x + 2 2 − x −2 e 3x ex 9) y = Ln ( x − 2)( x + 6) 10) y = Ln ( Sen( x 3 )) 19) y = e Sen x 5 20) y = e Cos ( Ln ( x −3)) 35 . de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.Diferenciales e Integral Indefinida Nombre ____________________________________________________________ TAREA 3 Núm. utilizando las fórmulas de diferenciación. Cálculo diferencial e integral II Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 36 . esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º. 2) Calcular el incremento del área de un cuadrado de lado 7m. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? 8) Pruebe que si al calentar(enfriar) una placa cuadrada metálica de lado L.04 cm. sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0. b) El área superficial del cubo.3m al aumentar el lado 0. 1) Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas. ¿Cuánto aumento aproximadamente su área? 6) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud. 37 . con un posible error de 0. 3) Calcular el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 7. su lado aumenta en 0. su lado disminuye un 0. al aumentar el lado 3mm. se encuentra que desde un punto situado a 100 m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro. 4) Obtener el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8cm de radio cuando el radio aumenta 3cm.03 pulgadas. 5) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud.Diferenciales e Integral Indefinida Nombre ____________________________________________________________ TAREA 4 Núm. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura. entonces el área se incrementa(diminuye) un 2p %. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm.03%. de Expediente _____________________ Fecha _____________________ INSTRUCCIONES: Plantea y resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión. debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor.007m. 9) Al calcular la altura de un cerro.3º. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? 7) La pared lateral de un depósito cilíndrico con radio de 60 cm y altura de 1. estimar mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular: a) El volumen del cubo.20m. su lado incrementa(disminuye) un p %. Cálculo diferencial e integral II Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 38 . 589  0.083  2.698  0. El incremento aproximado del volumen de un cubo con lado de 5.3m al aumentar el lado 0. 1.004 39 .007m es:  0.416  2.5 es:  2. La diferencial de la siguiente función y = Sen ( x 4 + 7) es:  dy = Cos ( x 4 + 7) dx  dy = 4 x Cos ( x + 7) dx 3 4  dy = − 4 x Cos ( x + 7) dx 3 4  dy = − Cos ( x + 7) dx 4 4. La diferencial de la siguiente función 3 y = 3x 4 − 5x 2 + 4 x − 1 es:  dy = (12 x − 10 x + 4) dx  dy = (12 x − 10 x + 4 x − 1) dx 3 3  dy = (12 x − 10 x + 3) dx  dy = (12 x − 10 x + 4) dx 3 2 2.456 3. El valor aproximado de 3 8. rellenando el círculo de la opción que consideres correcta. de Expediente ___________________ Fecha ____________________ INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm.041  2.Diferenciales e Integral Indefinida Nombre _________________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN Núm.725  0. La diferencial de la siguiente función y = Ln (2 x + 1) es:  dy =  2x dx 2x + 1 dy = 0 2 dx 2x +1 2  dy = dx Ln(2 x + 1)  dy = 6. para x = 0 y ∆x = dx = 0.001  ∆y = 0.0001 40 .01 es:  ∆y = 0. La diferencial de la siguiente función  dy = x 7 dx  dy = ( x + 9) dx 7  dy = x 7 dx 6  dy = 7 x dx 8.Cálculo diferencial e integral II 5. El valor del incremento real ∆y de la función: f ( x) = x 2 − 5. La diferencial de la siguiente función y = e x −5 es:  dy = e x −5 dx  dy = ( x − 5) e  x −5 dx dy = dx x −5  dy = − e dx y = ( x 7 + 9) es: 7.01  ∆y = 0.1  ∆y = 0. A = 0.5 es:  E. A = 0. ¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos. A = 0. por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.025  E. para x = 4 y ∆x = dx = 0.0025  E. su lado se incrementa un 2 %. tu aprendizaje es bueno. el porcentaje en el que se incrementa su área es: 2% 3% 4% 8% ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE ¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente. ¾ Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos. El valor del error de aproximación (E. pero es necesario que nuevamente repases los temas.0025  E. Consulta las claves de respuestas en la página 103.A) de la función f ( x) = ( x − 3) 2 + 5.25 10. tu aprendizaje es insuficiente.Diferenciales e Integral Indefinida 9. Al calentar una placa metálica cuadrad de 25 cm de lado. 41 . A = 0. por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. Cálculo diferencial e integral II 42 . 1 0.5 Sen 60. el radio mide 8m. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm.25m.8) 5 5 32. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error. con un error posible de ±0. Utiliza el concepto de diferencial para encontrar el valor aproximado de los siguientes valores: a) b) c) d) e) 37 (1.Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el volumen. Completa la siguiente tabla para la función: y = 1 x x 2 2 2 2 dx = ∆x 1 0.Diferenciales e Integral Indefinida EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1 Nombre _________________________________________________________ Núm.5º Ln 1.01 ∆y dy ∆y − dy 2.5 0. 43 . Resuelve el siguiente problema de aplicación de las diferenciales: Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5m. de Expediente ___________________ Fecha ____________________ INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.25 3. 1. Hallar dy utilizando los teoremas: x3 − 2x 2 + x + 7 c) y = 7 x + 6 x3 ⎛ x7 − 2 ⎞ ⎟ f ) y = e 2 x+7 e) y = Ln ⎜ ⎜ x2 + 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 10 h) y = + x − 1 i) y = 3x 8 + 5 j ) y = e tan x x b) y = a) y = 3x 2 − 11x + 5 d ) y = Sen (4 x 2 − 8) g ) y = Sec ( x 4 ) ( ) 44 .Cálculo diferencial e integral II 4. com . consulta en Internet bajo el nombre de la “presa Hoover”. tiene uno de los diques de arco de concreto más altos del mundo . Para determinar el área y el volumen de concreto para la construcción de la obra se requiere de conocimientos matemáticos. Objetivos: El alumno: Aplicará el concepto de integral indefinida. U.Integral indefinida y algunos métodos de integración. como los de integración que en este capítulo te presentaremos. mostrando una actitud analítica y participativa. Ésta contiene las aguas del Río Colorado. la estructura depende tanto de las paredes del Black Canyon como de su propia masa. a partir del conocimiento de algunos métodos de integración (cambio de variable. Si quieres investigar más acerca de esta monumental obra.wolfram. integrando diferenciales cuya forma no sea susceptible de integrarse de manera inmediata. Temario: • • Integral indefinida Métodos de integración http://integrals. Unidad 2 La presa Hoover en E. Este diseño de arco presenta una curva hacia el agua que contiene y casi siempre se construye en cañones angostos. integración por partes). Cálculo integral II Mapa Conceptual de Unidad Integrales Integral Indefiinida Cambio de variable o por sustitución Para integrarlas se usan Métodos de integración Integración por partes 46 . F ( x) = x 2 + 3 . es: F ( x) = x 2 . sabemos que la función cuya derivada es 2 x . puedo quitármelos otra vez. En el Cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada f ´(x) de una función f ( x ) . A F ( x ) se le conoce como la antiderivada de f ( x) . dichas funciones representan la antiderivada de la función f ( x ) = 2 x . es decir. Generalizando lo anterior podemos escribir F ( x) = x + C . regresando los zapatos a la posición original. ya que la derivada de F ( x ) = x es F ' ( x ) = 2 x . Los valores de las ordenadas en dicho corte representan los valores que puede tomar la constante C . al igual que la división y la multiplicación. La segunda operación anula a la primera. Decimos que las dos son operaciones inversas.1. dada una función Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada de f ( x) = 2 x y represéntala gráficamente. Veamos los siguientes ejemplos: ocuparemos del problema inverso. Si me pongo los zapatos. sabemos que no es la única.Integral definida 2. 2. Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: La Suma y la resta. LA INTEGRAL INDEFINIDA.1. Recordando los conocimientos de cálculo diferenciaI I. 47 . Si representamos gráficamente cada una de las antiderivadas obtenemos: Observa que la diferencia entre las parábolas se da en el corte de éstas con el eje y . tal que al derivar F obtengamos la función f ( x) . Sin embargo. obtenemos la misma derivada. La integral indefinida (Antiderivada). donde C es 2 cualquier constante. pues también si derivamos las siguientes funciones: 2 F ( x) = x 2 − 3. productos notables y la factorización. lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente. Ahora nos f ( x) buscaremos obtener la función F ( x) . 2 F ( x) = x 2 − 2π . Solución: Buscamos una función F ( x) que satisfaga la igualdad F ' ( x) = 2 x . Definición formal de integral indefinida. F es una antiderivada de f ( x) .1.1. Una definición formal del concepto de antiderivada es la siguiente: Sea F ( x ) una función tal que F ´(x ) = f ( x ) .Cálculo integral II Ejemplo 2: Encuentra la antiderivada de f ( x) = 3 x 2 . ya que si derivamos cero. la cual llamaremos la antiderivada de f . recuerda que la derivada de la constante C es igual a 2 3 Por lo tanto la antiderivada de f ( x) = 3 x es F ( x ) = x + C . Más adelante se verá que hay aplicaciones reales e interpretaciones físicas de esta idea. “Integral indefinida” y “función primitiva” son sinónimos de la palabra “antiderivada”. 2. Encontrar la función que tiene cierta derivada es más que un simple ejercicio mental. y la denotaremos como Al término ∫ f ( x) dx también se le conoce como integral indefinida. Ésta es: 2 F ( x) = x 3 + C . Solución: Al igual que en el ejemplo anterior. buscamos una función F ( x) que satisfaga la igualdad F ' ( x) = 3x . ∫ 48 . F ( x) = ∫ f ( x) dx . El símbolo es la inicial de la palabra suma. obtenemos F ' ( x) = 3 x 2 . F ( x) . Por lo tanto: ∫ 3x 2 dx = x 3 + C . ∫ 5 dx = 5x + C . ∫e x dx = e x + C . ∫ cos x dx = sen x + C . 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) ∫ 4x 3 dx = x 4 + C . 1) ∫ 3x 2 dx es una función F ( x) tal que F ' ( x) = 3x 2 . ∫ − 3 dx = −3x + C . 2 ∫ (cos x − sen x + sec x + e x − 5) dx = sen x + cos x + tan x + e x − 5 x + C . 19 ∫ 20 x dx = x 20 + C . EJERCICIO 1 EN EQUIPO: Encuentra la integral indefinida (antiderivada) de las siguientes funciones y compara tus resultados con tus compañeros: 1) 2) 3) 4) 5) ∫ 5 x dx ∫ 7 x dx ∫ (3x − 2 x + 1) dx ∫ (2 x − 4) dx ∫ 4 dx 4 6 2 ∫ π dx 7) ∫ − csc x dx 8) ∫ sec x ⋅ tan x dx 9) ∫ ( 4 x + 3 x + 2 x + 1) dx 10) ∫ (e + sec x ⋅ tan x − csc x ⋅ cot x) dx 6) 2 3 2 x 49 . 19 ∫ (20 x − 3x 2 + 3) dx = x 20 − x 3 + 3 x + C .Integral definida Ejemplos: Encuentra la integral indefinida o la antiderivada de las siguientes funciones. F ( x) = x 3 + C . es decir. ∫ (4 x 3 + 5) dx = x 4 + 5 x + C . Cálculo integral II 50 . n ≠1 n +1 ∫e 1 x dx = e x + C −1 ∫ x dx = ∫ x dx = ln x + C 7) TRIGONOMETRICAS: ∫ cos xdx = senx +C ∫ senxdx = − cos x + C ∫ sec 2 xdx = tan x + C ∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc 2 xdx = − cot x + C ∫ csc x cot xdx = − csc x + C 51 . Reglas básicas de integración.2.Integral definida 2. DEFINICIÓN DE LA NOTACION INTEGRAL PARA LAS ANTIDERIVADAS: Si F ( x) es una integral indefinida de f ( x) se expresa: y = ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Donde: C = Constante arbitraria. Si y solo si F ´(x) + C = f ( x) REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACION: 1) CONSTANTE: 2) MULTIPLO CONSTANTE: 3) SUMA O DIFERENCIA: 4) POTENCIAS: 5) EXPONENCIALES: 6) LOGARITMICA: n ∫ x dx = ∫ kdx = kx + C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx x n +1 +C .1. 4) ∫ (2 x + 3) 2 2 dx = Solución: Aplicando el álgebra tenemos: ∫ (4 x + 12 x + 9)dx = 4∫ x 2 dx + 12 ∫ xdx + 9 ∫ dx x3 x2 4x3 = 4 + 12 + 9x + C = + 6x 2 + 9x + C 3 2 3 3 4x = + 6x2 + 9x + C . 3) ∫ (3x 2 2 − 2 x + 3)dx = Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la suma o resta: ∫ (3x − 2 x + 3)dx =3∫ x 2 dx − 2∫ xdx + 3∫ dx = =3 x3 x2 −2 + 3x + C = x 3 − x 2 + 3x + C 3 2 3 2 = x − x + 3x + C . 3 52 .Cálculo integral II Ejemplos: Calcular la integral de las siguientes funciones utilizando las reglas de integración. Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la constante así: 2) ∫ 4 x dx = 3 Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla del múltiplo constante así: Por lo tanto: x 3+1 ∫ 4 x dx = 4∫ x dx = 4 3 + 1 + C 3 3 ∫ 4 x dx =x 3 4 +C = x4 + C . 1) ∫ 5dx = ∫ 5dx =5∫ dx = 5 x + C = 5x + C . 2 = 2 x3 + C .Integral definida 5) ∫ 2sen xdx = 2 ∫ sen xdx = 2(− cos x) + C = −2 cos x + C . Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos: Simplificando tenemos: 6) 2 ∫ 8 sec xdx = Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos: 8∫ sec 2 xdx = 8(tan x) + C Simplificando tenemos: = 8 tan x + C . 7) ∫ (2 x 3 2 + 3)(3x − 2)dx = Solución: ∫ (6 x − 4 x 2 + 9 x − 6)dx = 6 ∫ x 3 dx − 4∫ x 2 dx + 9 ∫ xdx − 6 ∫ dx = 6x 4 4x3 9x 2 − + − 6x + C 4 3 2 3x 4 4 x 3 9 x 2 − + − 6x + C . 3 1 2 53 . 2 3 2 = 8) ∫ x dx = 3 2 Solución: Aplicando la regla de potencias tenemos: simplificando nos quedaría de la siguiente manera: x 2 3 ∫ ( x) dx = 3 + C = 3 x 2 + C . 1) 2) 3) 4) ∫ (2 x ⎛1 3 − 5 x + 8 − 10 x 2 dx = 4 ) ∫⎜ ⎜ x − 2x ⎝ ∫( + ⎞ 6 + 8x ⎟ ⎟dx = 3 x ⎠ x + 7 x − 2)dx = ⎛ 1 ⎞ ⎟dx = ∫⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎝ x ⎠ 2 5) ∫ (4 x − 3)(2 x + 5) dx = 6) 7) ∫ (3x − 2) 2 dx = ∫ (e x + 6 cos x − sec 2 x + 3x 3 dx = ) x2 − 4 8) ∫ dx = x+2 3 9) ∫ ( x − 2 ) dx = 10) ⎜ 54 ⎛ 4 x 3 − 6 x 5 + 7 − 8x ⎞ ⎟dx = ∫⎜ 2 ⎟ x ⎝ ⎠ . 3 ⎞ ⎟dx = x4 ⎠ + 2x ∫⎜ ⎝x ⎛5 2 − Solución: Aquí se aplica la regla de potencias y la de logaritmos: 1 5∫ dx + 2∫ x 2 dx − 3∫ x − 4 dx = x = 5 ln x + simplificando tenemos la solución: TAREA 1 2x 3x − +C . 3 −3 2 3 1 x + 3 +C . 3 x Pág. 65 3 −3 = 5 ln x + INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones y entrégaselas a EJERCICIO 2 tu profesor para su revisión.Cálculo integral II 9) ∫ (e x + cos x)dx = Solución: Esto quedaría de la siguiente forma: ∫e 10) x dx + ∫ cos xdx = e x + sen x + C = e x + sen x + C . Además. dx ∫ F ' ( g ( x)) g ' ( x)dx = F ( g ( x)) + C = F (u ) + C. En muchas ocasiones la integral que se obtiene con el cambio de variable es más sencilla que la original y así podemos integrarla. se escribe de nuevo toda la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable conveniente). reconociendo la presencia de f ( g ( x)) y g ' ( x) . si F es la antiderivada de f y u = g ( x) . Con un cambio de variable formal. ∫ f ( g ( x)) g ' ( x)dx = ∫ f (u)du = F (u ) + C. la derivada g ' ( x ) está presente como un factor del integrando. Recuerda que para funciones derivables dadas por y = F (u) y u = g ( x) . 55 .2. La técnica de cambio de variables usa la notación de Leibniz para la derivada. y la integral anterior toma la forma En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar el teorema de integración por sustitución. Evidentemente después tenemos que deshacer el cambio de variable. Observa que la función compuesta en el integrando tiene una función externa f y una función interna g. es decir. Por supuesto. En esta sección se estudiarán métodos para la integración de funciones compuestas. ∫ f ( g ( x))1 2 3 Función interna Derivada de la función interna El teorema no indica cómo distinguir entre f ( g ( x)) y g ' ( x) en el integrando. La técnica de cambio de variable o sustitución es el más frecuente. cociente de funciones. se deduce que d [F ( g ( x))] = F ' ( g ( x)) g ' ( x) . la regla de la cadena expresa que De la definición de una antiderivada. producto de funciones.2. La importancia de la sustitución en la integración es comparable con la de la regla de la cadena en la derivación. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.Integral definida 2. Consiste en hacer una expresión igual a una nueva variable (por ejemplo u). entonces du = g ' ( x ) dx . Integración por cambio de variable o sustitución. tu habilidad para hacer esto se incrementará. Función externa g ' ( x)dx = F ( g ( x)) + C. A medida que adquieras más experiencia en la integración. calcular el diferencial de esta nueva variable y sustituir estos cambios en la expresión que queremos integrar. etc.1. una parte clave es la familiaridad que tengas con derivadas. 2. potencias de suma de funciones. Es decir. tienes dx = du / 2 x . sustituye el cambio de variable para obtener lo siguiente: ⎛ du ⎞ 2 2 2 Integral en términos de u ⎟ ∫ ( x + 1) (2 x)dx. despejando dx de la expresión de du . que es un producto de funciones. u = 2 x − 1 . también debemos despejar x en términos de u . obtienes lo siguiente: ⎛ u + 1 ⎞ 12 ⎛ du ⎞ ∫ x 2 x − 1dx = ∫ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟u ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ 1 4 2 4 3 ⎝ x u +1 . 1 . 10 6 ∫ sen x x dx . u = x + 1 . haciendo la sustitución del cambio de variable. despejando dx tenemos: 2 dx = 56 2du x −1 2 = 2 x 2 du = 2 x du .Cálculo integral II EJEMPLO 1: Encuentra ∫ ( x 2 + 1) 2 (2 x) dx. Solución: Como el integrando involucra la función trigonométrica sen x el cambio de variable adecuado es u = x = u 2 . En este ejemplo con el cambio de variable sugerido se logró expresar el producto de funciones ( x 2 + 1) 2 (2 x) dx como una potencia de funciones u 2 du con la finalidad de utilizar el teorema de integración básico correspondiente. Solución: Primero. en una integral más sencilla. Ahora. 3 ( ) Si te fijas la intención del cambio de variable es expresar la integral. Como el integrando contiene un factor de x que no se va a poder cancelar al sustituir dx . Solución: Como en el ejemplo anterior. hacemos que u sea la función interna. De modo que du = 1 1 − 12 x dx . haz que u sea la función interna. EJEMPLO 2: Encuentra ∫x 2 x − 1dx. 2 3 1 1 ⎞ = ∫⎛ ⎜ u 2 + u 2 ⎟du ⎠ 4 ⎝ 3 ⎞ ⎛ 5 1⎜u 2 u 2 ⎟ +C = ⎜ + 3 ⎟ 4⎜ 5 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ = EJEMPLO 3: Encuentra 1 (2 x − 1)52 + 1 (2 x − 1)32 + C. de tal manera que puedas utilizar los teoremas básicos de integración. como sigue: u = 2x − 1 ⇒ x = Ahora. = ∫ u 2 x⎜ ⎝ 2x ⎠ 2 = ∫ u 2 du ⎛ u3 ⎞ =⎜ ⎜ 3⎟ ⎟+C ⎝ ⎠ Antiderivada en términos de u Antiderivada en términos de x = 3 1 2 x + 1 + C. Después. ya que el denominador del integrando contiene la misma forma del argumento de la función trigonométrica. usando ( x 2 + 1) 2 = (u ) 2 . calcula el diferencial de u que es du = 2 xdx . el diferencial de u es du = 2dx y obtenemos dx = du / 2 . Entonces du = (cos 3x)(3)dx. diferenciando u obtienes: du = (2 x + 2)dx . Así u = x + 2 x + 6 . se sustituyen u y du en la integral dada 3 cos 3 x 3 cos 3 x Solución: Como sen 2 3 x = ( sen3 x) 2 .Integral definida Sustituyendo el cambio de variable obtenemos: ∫ sen x senu dx = 2∫ x x ( x du . u = sen3 x . todo el exponente) como el cambio de variable u . du Ahora. 2( x + 1) ∫ ( x + 1)e x 2 + 2 x+6 dx = ∫ ( x + 1)e u = du . EJEMPLO 4: Encuentra ∫ sen 2 3x cos 3xdx. . obteniendo dx = . 9 EJEMPLO 5: Encuentra Solución: En el caso de las funciones exponenciales es recomendable considerar el argumento de la función exponencial (es decir. despeja dx y no olvides considerar el factor común con la finalidad de obtener 2 ∫ ( x + 1)e x2 +2 x+6 dx . despejamos dx . haz produciendo lo siguiente: ∫ sen 2 3x cos 3xdx = ∫ u 2 cos 3x du . 2( x + 1) 1 u e du . 3∫ 1 ⎛ u3 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟+C . = −2 cos x + C . ) = 2∫ sen u du . dx = Sustituye el cambio de variable en la integral para proceder a integrar bajo algún teorema básico: du . 2 57 . un factor igual al factor que tienes en el integrando para que logres la cancelación del mismo. 3 cos 3x 1 2 u du . 2∫ 1 = eu + C. = −2 cos u + C . 3⎜ ⎝ 3⎠ = 1 = sen 3 3 x + C . 2 1 2 = e x + 2 x + 6 + C. Escribe de nuevo la integral en términos de la variable u sustituyendo el cambio de variable. 4 −1 4u 1 =− + C.. 2. observa que el denominador del cociente es una potencia. digamos. = 2 ∫ (4 x 3 − 4 x 2 + 16 x) 2 ∫ u2 4(3x − 2 x + 4) 1 du 1 = ∫ 2 = ∫ u −2 du . 4 u 4 −1 1 u 1 = ⋅ +C = − +C.. 67 58 .Calcula du = g ' ( x ) dx y despeja de ella dx . por lo que al momento de despejar te sugiero que consideres nuevamente el factor común con el objetivo de eliminar ese factor al momento de aplicar la sustitución del cambio de variable. Ahora despejamos dx de du . TAREA 2 Pág. observa que el diferencial de u es parecido al numerador del cociente del ejemplos anteriores es precisamente integrando. Casi siempre es mejor elegir la parte interna de una función compuesta.De nuevo sustituye u por g ( x) para obtener una antiderivada en términos de x. 4. una cantidad elevada a una potencia. dx = du y sustituimos en la integral: 4(3 x − 2 x + 4) 2 3x 2 − 2 x + 4 3x 2 − 2 x + 4 du dx .. diferenciando obtienes du = (12 x 2 − 8 x + 16)dx . 3 4(4 x − 4 x 2 + 16 x) Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya. (Busca “The Integrator” en el Google). etc. 5.. el argumento de una función trigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x .Cálculo integral II EJEMPLO 6: Encuentra 3x 2 − 2 x + 4 ∫ (4 x 3 − 4 x 2 + 16 x) 2 dx. 3. 1..Elige un cambio de variable u = g ( x) . Solución: En este ejemplo el integrando es un cociente de polinomios específicamente.. por lo que la sugerencia para el cambio de variable de acuerdo a los u = 4 x 3 − 4 x 2 + 16 x .Evalúa la integral resultante en términos de u.Si quieres comprobar tu respuesta puedes hacerlo mediante derivación o mediante el uso de la tecnología. 6. una función radical. Enseguida te presentamos un resumen de estos pasos. de los pasos a seguir para llevar a cabo la integración por sustitución. Por ejemplo.2 Integración por partes. es posible integrar ambos miembros de esta ecuación para obtener uv = ∫ uv' dx + ∫ u ' vdx = ∫ udv + ∫ vdu. Al volver a escribir esta ecuación. Si u ' y v ' son continuas. entonces ∫ udv = uv − ∫ vdu. dx dx dx donde u y v son funciones diferenciables de x . ∫ x e dx 2 x y ∫e x sen xdx . se obtiene el siguiente teorema: TEOREMA: Integración por partes. 1 ∫ (2 x ∫ 3 − 5 x + 8 − 10 x 2 (6 x 2 − 20 x − 5)dx = ) 3 6) ∫ x 2 − 2 x dx = ∫ t2 ∫ ∫ e 1 t x −1 2) 3) 4) sen2 x dx = cos 2 2 x 3 7) 8) 9) dt = senx ∫x x 4 + 5 dx = 2 ∫ (3x ∫ − 4)(2 x 3 − 8 x) 5 dx = dx = 2 − cos x 1 cos x dx = x 5) xe −2 x 2 dx = 10) ∫ t sen t 2 dt = 2.2. Este método puede aplicarse a una gran variedad de funciones. la integración por partes funciona bien para integrales similares a ya que puede transformarlas en una forma estándar. d [uv] = u dv + v du = uv'+vu' . es muy útil particularmente para integrandos que incluyen productos de funciones algebraicas o logaritmos que no pueden evaluarse directamente por medio de los teoremas básicos de integración. 59 .Integral definida INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando la EJERCICIO 3 técnica de cambio de variable y entrégaselas a tu profesor para su revisión. La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto ∫ x ln xdx. Si una integral no puede resolverse por cambio de variable. puedes intentarlo por integración por partes. Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas. la derivada de ln x es más simple que ln x . Busca “The Integrator” en el Google si quieres comprobarlo de una manera más rápida. debes hacer dv = x 2 dx. En esta fórmula se expresa la integral original en términos de otra integral.Intenta hacer que u sea la parte del integrando cuya derivada sea una función más sencilla que u . Entonces dv será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando. En algunos casos puede necesitarse la aplicación de la fórmula de integración por partes más de una vez. x dv = e dx integrando tenemos ∫ dv = ∫ e dx v = ex. EJEMPLO 1: Integración por partes que contiene producto de una función exponencial. u = ln x ⇒ du = 1 dx. u=x x ⇒ du = dx. Para comprobar el resultado. 2.Intenta hacer que dv sea la parte más complicada del integrando y que se ajuste a una regla básica de integración. Por consiguiente. Ahora la integración por partes produce: ∫ udv = uv − ∫ vdu ∫ xe dx = xe − ∫ e dx x x x Fórmula de integración por partes Sustituimos Integramos Factorizamos = xe x − e x + C = e x ( x − 1) + C. como en el ejemplo que se planteará más adelante. ∫ 1 xe dx). x Solución: Para aplicar la integración por partes. y dv = e dx es la parte más complicada del integrando que se ajusta a una regla básica de integración. dx siempre forma parte de dv . ∫( 1 2 3{ x u dv x De acuerdo con las recomendaciones anteriores.. Además. Entonces u será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando. 4. 3. Hay x)(e dx). puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la original. {( ∫ ({ { 1 2 3 1 2 3 1 4 2 4 3 x x x u dv u dv u dv xe )( dx). dv tiene que ser integrable.. es necesario escribir la integral en la forma varias formas de hacerlo. trata de derivar e ( x − 1) + C para ver si obtienes el integrando original. Encuentra ∫x 2 ln xdx. la primera opción parece ser la adecuada. Como la selección de u y dv es importante en el proceso de integración por partes. se proporciona las siguientes recomendaciones: 1. ya que la derivada de u = x es más sencilla que x . ∫ ( e )( xdx). x EJEMPLO 2: Integración por partes que contiene producto de una función logarítmica. x 60 .Cálculo integral II Esta es la fórmula de integración por partes. Encuentra ∫ xe dx. Con base en las selecciones de u y dv . 2 Solución: En este caso es más fácil integrar x que ln x . ∫ udv. 3 ∫ udv = uv − ∫ vdu ∫x 2 Fórmula de integración por partes Sustituimos Simplificamos Integramos ln xdx = Puedes comprobar este resultado derivando o a través del uso de la tecnología.Integral definida dv = x 2 dx ⇒ v = ∫ x 2 dx = la integración por partes produce: x3 . la integración por partes produce: ∫ udv = uv − ∫ vdu 1 ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x x dx = x ln x − x + C = x( ln x − 1) + C . Por consiguiente. la derivada de x 2 es 2 más sencilla que la de sen x . ∫ udv = uv − ∫ vdu produce: Primera integración por partes ∫x 2 sen xdx = − x 2 cos x + ∫ 2 x cos xdx + C1 61 . Solución: Los factores dv = sen xdx ⇒ Y la integración por partes v = ∫ sen xdx = − cos x . ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ dx ⎣ 3 9 ⎦ 3 ⎝ x⎠ 3 EJEMPLO 3: Integración por partes de la función logaritmo natural. u = ln x ⇒ du = Solución: Considera Por tanto. ∫x 2 sen xdx. Sin embargo. x 2 y sen x son igualmente fáciles de integrar. Encuentra ∫ ln x dx. Si derivas te queda: x 1 1 ln x − ∫ x 3 dx 3 3 x 3 1 x = ln x − ∫ x 2 dx 3 3 3 x x3 = ln x − + C. x dv = dx ⇒ v = ∫ dx = x. u = x 2 ⇒ du = 2 xdx. 3 9 3 d ⎡ x3 x3 ⎤ x3 ⎛ 1 ⎞ x2 2 − ln x = + (ln x )( x ) − = x 2 ln x. Encuentra Fórmula de integración por partes Sustituimos Reescribimos Integramos = x ln x − ∫ dx EJEMPLO 4: Uso repetido de la integración por partes. haz u = x . 1 dx . Y la integración por partes x x ∫ udv = uv − ∫ vdu produce: ∫ e cos x dx = e sen x − ∫ e sen x dx + C x 1 Aplicando nuevamente la integración por partes: u = e x ⇒ du = e x dx. ] pasando la integral del miembro derecho de la igualdad hacia el lado izquierdo y factorizando tenemos: 2∫ e x cos x dx = e x ( sen x + cos x) + C 1 = e x ( sen x + cos x) + C. pero la integral del miembro derecho aún no se ajusta a la regla básica de integración. haz u = 2 x. Donde C es la suma de C1 + C 2 . En esta ocasión. Al combinar estos dos resultados escribimos senxdx = − x 2 cos x + 2 xsenx + 2 cos x + C. x ∫e x cos x dx . u = e x ⇒ du = e x dx. x +1 1 dx. ∫e x cos x dx = e x sen x − − e x cos x + ∫ e x cos x dx + C = e x sen x + e x cos x − ∫ e x cos x dx + C . Entonces. [ dv = sen x dx ⇒ v = ∫ sen x dx = − cos x . para evaluar esa integral puedes aplicar nuevamente la integración por partes.Cálculo integral II Esta primera aplicación de la integración por partes ha simplificado la integral original. 2 EJEMPLO 6: Encuentra Solución: ∫ ln( x + 1) dx. La integración por partes produce ahora: ∫ 2 x cos xdx = 2 xsenx − ∫ 2senxdx ∫x 2 Segunda integración por partes = 2 xsenx + 2 cos x + C 2 . dv = cos x dx ⇒ v = ∫ cos x dx = sen x . x +1 −1 2 u = ln( x + 1) ⇒ du = dv = ( x + 1) −1 2 dx ⇒ v = ∫ ( x + 1) dx = 2( x + 1) 1 2 62 . EJEMPLO 5: Encuentra Solución: Haz u = e . u = 2 x ⇒ du = 2dx. dv = cos x dx ⇒ v = ∫ cos x dx = sen x. Integrando ésta última integral por cambio de variable obtienes: = 2( x + 1) 1 1 2 ln( x + 1) − 4( x + 1) 1 2 +C = 2( x + 1) 2 (ln( x + 1) − 2) + C. 1 xe dx = 2x ∫ 6) x e 7) 8) 9) 10) ∫ −6 x dx = 2) 3) 4) ∫e x cos x dx = dx = ∫ sec ∫x ∫x 2 3 x dx = ∫x e 2 3x ln x dx = 1 + x dx = 2 ∫ t ln t dt = 5) ln(3 x ) dx = 2 ∫ ∫ sen t dt = TAREA 3 Para saber más y enriquecer el tema. visita el sitio encarta.com Pág.Integral definida Aplicando el teorema de integración por partes udv = uv − vdu obtienes: ∫ ∫ ∫ ln( x + 1) x +1 dx = 2( x + 1) 1 2 ln( x + 1) − 2 ∫ 2 1 1 ( x + 1) 2 + C . INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando la EJERCICIO 4 técnica de integración por partes y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 69 63 . x +1 −1 2 = 2( x + 1) 1 ln( x + 1) − 2 ∫ ( x + 1) + C. esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase.Cálculo integral II ¡Ojo! Recuerda que debes resolver la autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento. 64 . 1) 2) ∫ (6 x ∫ (5 x ⎛1 3 − 3x + 8) dx = − 4)( x − 4) dx = ⎞ + 9x − 4x − 4⎟ ⎟ dx = x ⎠ 3 2 2 2 3) ∫⎜ ⎜x− ⎝ 4) 5) 6) 7) 8) ∫ (3x − 7) dx = dx = ∫ (5x − 1) ∫ (e ∫( x 3 + 5 csc 2 x) dx = x + 1) dx = 2 ∫ (sen x + cos x + sec x − csc x cot x) dx = 9) ⎛ 4x 5 − 5x 4 − 2x + 3 ⎞ ⎟ dx = ∫⎜ 3 ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 10) ∫ (x 3 − 3 x 2 + 2 x + x −1 − x 1 2 +x −2 3 + 1) dx = 65 .Integral definida Nombre ____________________________________________________________ TAREA 1 Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________ INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida de las siguientes funciones usando los teoremas básicos. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. Cálculo integral II Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 66 . - ∫ (1 + x 3 ) 2 ∫ x 1− x 2 x2 dx 9.2. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm.5.4.Integral definida Nombre ____________________________________________________________ TAREA 2 Núm.- 3 ⎛ 1 ⎜ ⎜ t2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟dt ⎠ ∫ cos 3 x dx ∫ cot 3 x dx 67 senx 12..- ∫ (1 − x ) dx 8.- dx ⎛ 1⎞ 10.- csc 2 x . de Expediente _____________________ Fecha _____________________ INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de cambio de variable y verifica el resultado por diferenciación. 1.3.- ∫ (1 + 2 x) ∫ 4 (2)dx 9 − x 2 (−2 x)dx 3 ∫x ∫x ∫t ( x 4 + 3) 2 dx ( x 3 − 1) 4 dx t 2 + 2 dt 3 2 ∫ 5x 1 − x 2 dx x 2 3 7.6.∫ ⎜ ⎜1 + t ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 11. Cálculo integral II 13.14.15.- ∫ πsenπxdx ∫ 4 x senx dx 3 4 ∫ sec(1 − x) tan(1 − x)dx ∫ cos 2 x dx ∫ 1 + sen dx dx x + cos x x 16.- 17.- 18.- ∫ 2 + sen ∫ 4sen x 19.- dx x − 3 cos x dx x + 3 cos x 20.- ∫ 5 − 4sen Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 68 Integral definida Nombre ____________________________________________________________ TAREA 3 Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________ INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de integración por partes y verifica el resultado por diferenciación. 1.2.3.4.5.6.- ∫ xe −2 x dx ∫ t ln(t )dt ∫x −3 x e dx ∫ (x ∫x 3 2 − 1)e x dx sen xdx cos xdx ∫x 2 et 7.- ∫ 2 dt t 8.9.- 1 ∫ x sec ∫x 2 2 xdx 3 ( x − 2) 2 dx 3 10.11.12.13.14.15.- ∫x cos 2 xdx dx ∫x e ∫e 2 2x −2 x sen3xdx ∫ x senπxdx 4 ∫x ∫x 3 ln xdx 4 + x dx 69 Cálculo integral II 16.17.18.19.- ∫x e ∫ tan 2 −x dx xdx −1 ∫ xsen(3x + 1)dx ∫ sen(ln x)dx xe 2 x ∫ (2 x + 1) 2 dx 20.- Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 70 de Expediente ___________________ Fecha ____________________ INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos.  tan x − cot x + C . 1 2  x − ln x + C . El resultado de la integral  x 2 −1 ∫ x dx = es: x3 − x +C. x 2 3. sec 3 x csc 3 x  − + C.  tan x + cot x + C . El resultado de la integral   ∫ x +1 dx = es: x x+2 x +C . 3 2 5 x 3 3x 2  − + x+C . 2 x3 −x  3 2 +C . 3 2 3 2  5 x − 3 x + x + C.Integral definida Nombre _________________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN Núm. El resultado de la integral  ∫ (sec 2 x − csc 2 x) dx es: 2 sec x tan x + 2 csc x cot x + C . 2. nx+C. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. x2  2x + C . El resultado de la integral  ∫ (5 x 2 − 3 x + 1)dx es: 5x 3 3x 2 − +1+ C . 71 . 1. rellenando el círculo de la opción que consideres correcta. 3 3 4. 3 2  5 x 3 3x − + x+C.  Método de cambio de variable. 6 ( ) ∫x 3 x 4 + 5 dx por cambio de variable es: ( ) (  3x 2 x 4 + 5 ) 3 2 +C . 4 3 2  12 x + 6 x + 2 x + C .  Método de integración por partes. 4 3 2  x − x + x + x + C. 7. 3 2  4 x + 3x + 2 x + x + C . 6 3 1 3 4 2  x (x + 5) + C .  Método de integración por partes.  Diferenciación. 8.Cálculo integral II 2 3 x +x 3  +C . 7 49 1 7 1 7  x ln x + x +C . 2 3 x 3 2 3  x+ x + C. 7 49 72 . 3 5. 6. 6 3 1  4x3 2 + C . El resultado de la integral  ∫x 6 ln x dx por el método de integración por partes es: 1 7 1 x ln x − x 6 + C . El resultado de la integral  12 x 2 4 ∫ (4 x 3 + 3x 2 + 2 x + 1)dx es: + 6x + 2 + C . 7 42 1 6 5  6x + x +C .  Diferenciación.  Método de cambio de variable. Para resolver la integral ∫ xe x2 dx es necesario utilizar:  Teoremas básicos de integración directa. El resultado de la integral  3 1 4 x +5 2 +C. 42 1 7 1 7  x ln x − x +C . Para resolver la integral ∫ xe 2x dx es necesario utilizar:  Teoremas básicos de integración directa. 9. 2 1 5 x −6 1 5 x −6  xe + e +C . 73 Consulta las claves de respuestas en la página 103. 5 5 ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE ¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente. ¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos. tu aprendizaje es insuficiente. por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. Resultado de la integral  ∫ xe 5 x −6 dx por el método de integración por partes es: 1 5 x −6 1 5 x −6 xe − e +C . por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. . 2 x 2 5 x −5  e +C. pero es necesario que nuevamente repases los temas. ¾ Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos. tu aprendizaje es bueno.Integral definida 10. 5 25 5 2 5 x −6  x e +C. Cálculo integral II 74 . 5. 2 x 2 5. ∫ cos(ln x) dx. ∫ x sen3xdx. verifica tu respuesta a través de diferenciación. ∫ ∫x 1 4− x dx. ∫ ∫ x 2 − 81 dx. ( x 2 − 4) 7 dx. ∫ 6 dx. ∫x x − 2 dx. 4.Integral definida EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1 Nombre _________________________________________________________ Núm. 75 . de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. ∫ 3x ∫x 2 cos x 3 dx. verifica tu respuesta a través de diferenciación. 2. III) Encuentra las siguientes integrales por cambio de variable. 1. 3. 1. 1. x − 2 dx. x+9 x 3 − 2 x 2 + 5x − 7 x3 2 dx. 2. 3. 2. de Expediente ___________________ Fecha ____________________ INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios. t2 ∫ (t 3 − 3) −10 dt. ∫ x cos 2 xdx. 3. I) Encuentra el resultado de las siguientes integrales mediante el uso de teoremas básicos. 2 2 4. II) Encuentra las siguientes integrales por partes. 4. ∫ (sec x + x − 1) dx. ∫ (sen x − 2 x )dx. 5. ∫ ( x + e ) dx. Cálculo integral II 76 . Unidad 3 Temario: • • • La integral definida y sus propiedades. Aplicaciones de la integral definida. Objetivos: El alumno: Aplicará la integral definida y el teorema fundamental del cálculo a la solución de problemas de área bajo una gráfica en situaciones de aplicación de las ciencias naturales y sociales. . mostrando una actitud analítica. El teorema fundamental del cálculo y sus aplicaciones. a partir del conocimiento de las propiedades de la integral definida.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida. reflexiva y colaborativa. sociales y administrativas 78 .Cálculo integral II Mapa Conceptual de Unidad Integral definida y el teorema fundamental del cálculo Se usan para Aplicaciones En problemas de Cálculo de áreas Ciencias naturales. motivaron las dos más grandes ideas del cálculo. Dos problemas. El problema de la tangente nos condujo a la derivada.1. De la misma manera el área bajo la función comprendido entre x = 0 y x = 6 de acuerdo a la figura.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida 3. Por ejemplo si queremos calcular el área bajo la función f ( x ) = 3 en el intervalo comprendido entre x = 0 y x = 4 como se muestra en la siguiente figura: y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x −1 −2 −3 Como te puedes dar cuenta el área a la que se hace referencia. por lo que su área entonces es de 12 u2 . es el área de un rectángulo de largo 4 unidades y ancho 3 unidades. Integral definida como el área bajo una curva. 3. f ( x) = x en el intervalo y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x −1 −2 −3 79 . INTEGRAL DEFINIDA. ambos geométricos. El problema del área nos llevará a la integral definida.1.1. Sin embargo si queremos 2 calcular el área bajo la función f ( x ) = x entre x = 0 y x = 2 . es decir. Ahora si dividimos el intervalo de 0 a 2 en dos subintervalos de longitud 1.Cálculo integral II El área correspondiente del triángulo es A = En el caso de estos ejemplos surgieron figuras de polígonos cuya fórmula para calcular el área de cada uno de ellos es conocida. tales como aproximar el área bajo la curva mediante rectángulos. rectángulos por encima de la curva) o por rectángulos inscritos (rectángulos por debajo de la curva). Por ejemplo si consideramos el rectángulo por encima de la curva de base 2 y altura 4 como se observa en la figura: y 6 5 4 3 2 1 x −3 −2 −1 −1 −2 1 2 3 4 5 El área aproximada sería de 8 u2. entonces tendríamos dos rectángulos de base 1 cada uno. como f ( x ) = x entonces las alturas de los rectángulos son f (1) = (1) = 1 y f (2) = (2) = 4 respectivamente. El problema de asignar el área bajo una curva como en la figura anterior requiere de otras herramientas. Dicha aproximación puede ser considerada por rectángulos circunscritos (es decir. 2 2 y 6 5 4 3 2 1 x −3 −2 −1 −1 −2 1 2 3 4 5 Como puedes observar el área sombreada bajo la curva ya no es un polígono conocido del cual conozcas su fórmula para calcular el área. pero ahora consideremos también alturas diferentes para cada uno tales 2 como f (1) y f (2) . 2 2 80 . (b)(h) (6)(6) = = 18 u 2 . que obviamente no es una buena aproximación al área sombreada debido a que es mayor. A = f (1)(1) + f (2)(1) = (1)(1) + (4)(1) = 5u 2 Como te puedes dar cuenta la aproximación del área es mejor que en el caso anterior. Por lo tanto el área correspondiente es la suma de las áreas de ambos rectángulos. (ya que el intervalo es de 3 longitud 2. esto es. De tal manera que el área aproximada es la suma (que denotaremos con la letra griega sigma. ∑ ) de las áreas de los n rectángulos. y la expresamos por: y A = ∑i =1 f ( xi )∆x . entonces el área del i-ésimo rectángulo (cuya base es el subintervalo con extremos con longitud ∆x = xi − xi −1 y altura f ( xi ) ).2. Luego entonces. Fig. n 6 5 4 3 2 1 x −3 −2 −1 −1 −2 1 2 3 4 5 6 Por ejemplo si el intervalo de 0 a 2 lo dividimos en n = 6 subintervalos. si dividimos el intervalo de 0 a 2 en n (donde n puede tomar cualquier entero positivo) subintervalos.2 Aproximación del área bajo la curva por rectángulos circunscritos. xi . es decir. 81 .Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida y 6 5 4 3 2 1 x −3 −2 −1 −1 −2 1 2 3 4 5 Observa que las alturas de los rectángulos que están por encima de la curva corresponde a la función evaluada en el extremo derecho de cada subintervalo. está dada por: xi −1 . 3. entonces 1 cada rectángulo tendría base de longitud igual a . dividido en 6 partes resultan 6 subintervalos de longitud un tercio) como lo muestra la Figura 3. A = f ( xi )∆x . si este procedimiento lo continuamos haciendo la aproximación al área va a ser cada vez mejor. tal como se hizo con la derivada. e inclusive con rectángulos por debajo de la curva.b] y el límite se denota por lim ∑i =1 f (c i ) ∆x i = ∫ f ( x ) dx. Pero obviamente este procedimiento es muy engorroso llevarlo a cabo cada vez que quieras calcular el área bajo una curva.3703 u 2 . El número a es el límite inferior de integración. Área = lim ∑i =1 f ( xi )∆x. cuando aproximamos un área por rectángulos inscritos y circunscritos las sumas de las áreas de los rectángulos tanto por debajo de la curva como por encima de la misma. Es preciso aclarar que la definición anterior es hasta cierto punto muy intuitiva. Ahora imagínate que podemos dividir el intervalo en una infinidad de subintervalos y no necesariamente del mismo tamaño. se requiere de definiciones más elaborados tales como sumas de Riemann. Definición de una integral definida Si f está definida en el intervalo cerrado [a. Es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva (ver Fig. Es importante notar que las integrales definidas y las indefinidas son identidades diferentes. Para nuestro fin es suficiente la anterior definición.2) como por encima de la misma es: Fig. 3. 82 . Una integral definida es un número mientras que una integral indefinida es una familia de funciones.2 Área por debajo de la curva mediante rectángulos inscritos. etc. 3. de longitudes diferentes. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto de límite. ∆ →0 a El límite se llama integral definida de f de a a b. particiones irregulares. si tienes oportunidad de consultar un libro de cálculo de nivel superior te darás cuenta que para comprender bien el concepto de integral definida. coinciden en un valor. dicha definición es la de integral definida. donde la altura sería ahora la función evaluada en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Por tal razón es preciso introducir una definición que nos facilitará el cálculo.Cálculo integral II Entonces el área aproximada de acuerdo a la expresión anterior es: y 6 5 4 3 2 1 x −3 −2 −1 −1 −2 1 2 3 4 5 6 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛ 1 ⎞ A = f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 9 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 16 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 25 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 36 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ 1 4 9 16 25 36 91 = + + + + + = = 3. 27 27 27 27 27 27 27 Como se esperaba la aproximación es mejor que las anteriores. el b es el límite superior. es decir. n n →∞ Esto es.b] y existe el límite lim∑i=1 f (ci )∆xi n ∆ →0 n b entonces f es integrable en [a. Asegúrate de que sea posible encontrar una antiderivada de f. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. ya que ∫1 3 x3dx = x4 = 34 − 14 = 81 − 1 = 80 ∫a b f ( x)dx = [F ( x) + C ] b a = [F (b) + C ] − [F (a ) + C ] = F (b) − F (a) .. 3. Las siguientes directrices pueden ayudarte a entender el uso del teorema fundamental del cálculo. entonces tiene una forma de evaluar una integral definida sin tener que usar el límite de una suma.No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada. y hasta ahora el cálculo integral. De igual modo.mat. existen teoremas que nos permiten calcularla de manera práctica y sencilla. puedes escribir 3 = 20. entonces ∆y ∫a f ( x)dx = F (b) − F (a). Si quieres saber acerca de la demostración de este teorema consulta en Internet la página http://www. 2. El teorema fundamental del cálculo expresa que los procesos para hallar límites (usados para definir la derivada y la integral definida) conservan esta reacción inversa. TEOREMA: Teorema Fundamental del Cálculo. en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación. el teorema señala que la derivación e integración (definida) son operaciones inversas. En este punto.b] y F es una antiderivada de f sobre el intervalo [a.mx/eduardo/calculo 2/ 83 . En el semestre pasado estudiaste cálculo diferencial. De modo informal.2. introducido con el problema de la recta tangente. 4 1 4 4 4 4 4 3.. introducido con el problema del área.. el cual enunciamos a continuación.b]. es conveniente usar la siguiente notación: b ∫a Por ejemplo.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida De la misma forma que en las derivadas. Si una función f es continua sobre el intervalo cerrado [a. cuando se define el área de una región bajo una curva se utiliza el producto ∆y∆x (el área de un rectángulo). para evaluar b f ( x) dx = F ( x ) b = F (b) − F ( a ) a ∫1 x 3 3 dx. Cuando se define la pendiente de una recta tangente se usa el cociente ∆x (la pendiente de la recta secante). Esa conexión se expresa en un teorema que con toda propiedad se llama Teorema Fundamental del Cálculo. 1.uson . ambos problemas parecen no estar relacionados. pero existe una conexión muy cercana. en el caso de la integral definida también se cuenta con herramientas que facilitan su cálculo.Cunado apliques el Teorema Fundamental del Cálculo. tal es el caso del teorema Fundamental del Cálculo integral. x ≥ ⎪ 2 ⎪ ⎩ ⎭ Ahora puedes escribir de nuevo la integral en dos partes. ⎥ ⎦1 4 c) d) ∫0 2 π sec 2 xdx = tan x 0 4 = 1 − 0 = 1. 3. puedes escribir de nuevo el integrando como sigue: ⎧− (2 x − 1). 2 x − 1 .Cálculo integral II EJEMPLO 1: Evaluación de una integral definida.77. En los ejemplos subsecuentes haremos uso del Teorema Fundamental del Cálculo a la solución de problemas de cálculo de áreas. 2 84 . debes verificar que tu calculadora esté programada en radianes. Evalúa 6 5 4 3 2 1 x −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 y ∫0 2 2 x − 1 dx. EJEMPLO 2: Para encontrar el área que comprende un valor absoluto. ⎝ ⎠ En el ejemplo (c) es importante aclarar que al momento de evaluar la integral.08 − 2 = 2. Evalúa cada integral definida utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. Solución: Si usas la figura y la definición de valor absoluto.08.77 − 2 = 12. utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. = − x2 + x 2 [ ] + [x 1 2 0 2 −x ] 2 1 2 ⎛ ⎛1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞2 1 ⎞ 1⎞ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ − ⎟ = −⎜ ⎟ + − ((0 ) + 0) + ((2 ) − 2) − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝2⎠ ⎜⎜ 2⎟ 2⎟ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎛1 1⎞ =⎜ ⎜− 4 + 2 ⎟ ⎟ − (0 + 0) + (4 − 2) − ⎜ ⎜4 − 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 = . ⎞ ⎛ 1⎞ ⎟ ⎟ dx =⎜ ⎜ x + ln x + x ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠1 e x 2 + x −1 x2 dx = ∫ e 1 e) ⎛ 1 1 ⎜ ⎜1 + x − x 2 ⎝ ⎛ 1⎞ =⎜ ⎜e +1+ e ⎟ ⎟ − (1 + 0 + 1) = 4.3 La integral definida de y=|2x-1| sobre [0. a) ∫1 2 ( x 2 − 3)dx b) ∫1 4 3 x dx c) ∫0 π 4 sec 2 xdx Solución: a) ∫1 ( x 2 2 ⎡ x3 ⎤ 2 ⎛ 23 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛8 ⎞ ⎛1 ⎞ 2 − 3)dx = ⎢ − 3x ⎥ = ⎜ − 3(2) ⎟ −⎜ − 3(1) ⎟ ⎜ 3 − 6⎟ ⎟−⎜ ⎜ 3 − 3⎟ ⎟ = − 3. x π ∫0 2e ∫1 e dx = 2∫ e x dx = 2 e x 0 2 [ ] 2 0 = 2(e 2 ) − 2(e 0 ) = 14. x < 1 ⎫ ⎪ 2⎪ 2x − 1 = ⎨ 1 ⎬.2] es 5/2. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ 3 3 3 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 1 b) ∫1 4 ⎡ 32 x 3 x dx = 3∫ x 2 dx = 3⎢ 1 ⎢3 ⎣ 2 4 ⎤ ⎥ = 2(4) 3 2 − 2(1) 32 = 14. ∫0 2 2 x − 1 dx = ∫ 2 − (2 x − 1)dx + ∫1 (2 x − 1)dx 0 2 1 2 Fig. x=0 y x=2. Solución: Observe que y>0 sobre el intervalo [0.0]. Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de y = 2 x 2 − 3x + 2. fundamental −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 1 2 3 4 5 ⎡ 2 x 3 3x 2 ⎤ =⎢ − + 2 x⎥ 3 2 ⎣ ⎦0 2 ⎞ ⎛ 16 = ⎜ − 6 + 4 ⎟ − (0 − 0 + 0 ) ⎠ ⎝3 10 = . 85 . el 5 4 3 2 1 y eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2 . como se muestra en la Figura 3.4. ⎝2⎠ Como te puedes dar cuenta el resultado de la integral es negativo.2]. Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de y = x el eje x y las rectas verticales x = −2 y x = 0 . Evidentemente el área de una región no puede ser negativa. EJEMPLO 3: Para encontrar área comprendida por una función polinomial. esto se debe a que el área sombreada se encuentra por debajo del eje x . está por debajo del eje de las x ) sobre el intervalo [-2. Área = ∫ (2 x − 3 x + 2)dx 2 0 2 x Integra entre 0 y 2 Encuentra la antiderivada Aplica el teor.4 El área de la región acotada por la gráfica de y. 3 Fig. el eje x. 3. nos indicará gráficamente que el área bajo la curva se encuentra por debajo del eje x .3 muestra el área determinada por la función y las rectas verticales que es de 5/2. es 10/3. Simplifica EJEMPLO 4: Para encontrar área comprendida por una función lineal. el signo (-) resultante de una integral definida. Área = ∫ x dx −2 0 Integra entre -2 y 0 Encuentra la antiderivada Aplica el Teor.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida La Figura 3. Fundamental ⎡ x2 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ −2 0 ⎛0⎞ = ⎜ ⎟ − (2 ) = −2. como se muestra en la Figura: 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 y Solución: Observa que y < 0 (es decir. Como pudiste observar en los ejemplos anteriores las integrales definidas pueden ser positivas. de un rectángulo. digamos.b].Cálculo integral II EJEMPLO 5: Para encontrar área comprendida por una función lineal. Después evalúe cada una de las integrales usando una fórmula geométrica.b]. EJEMPLO 8: Áreas de figuras comunes y la integral definida. entonces el área de la región acotada por la gráfica de f.4]. el área de la región es 2 Área = ∫ (4 x − x 2 )dx.5. la función f debe ser continua y no negativa sobre [a. En virtud de que f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [0. un triángulo o un semicírculo. Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de y = x el eje x y las rectas verticales x = −2 y x = 2 . considera la región acotada por la gráfica de f ( x ) = 4 x − x y el eje x . El área de la región acotada está dada por 86 . TEOREMA: La integral definida como el área de una región. ahora puedes evaluar la integral definida en dos formas: puedes usar la definición de límite o puedes comprobar si la integral definida representa el área de una región geométrica común. Sin embargo. el eje x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por Área = ∫ f ( x)dx. 3. a b Como un ejemplo del teorema anterior. (La demostración de este teorema no se hará aquí. negativas o cero.5. simplemente hay que usar la definición de área que se dio en la subsección anterior). Elabora la gráfica correspondiente para que te des cuenta de por qué el resultado del área es cero. como se muestra en la Figura 3. Para que una integral definida pueda interpretarse como un área. ci a) ∫ 4dx 1 3 b) ∫ ( x + 2)dx 0 3 c) ∫ 2 −2 4 − x 2 dx Fig. 0 8 7 6 5 4 3 2 1 x −2 −1 −1 −2 1 2 3 4 5 6 7 y 4 En la siguiente sección estudiaremos una técnica directa para evaluar una integral definida como ésta. Solución: Área = ∫ x dx −2 2 ⎡ x2 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ −2 2 = (2 ) − (2 ) = 0. Si f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [a. pero es muy clara. Traza la región correspondiente a cada integral definida. como se indica en el siguiente teorema. ∫−1 ( x − 2) dx 7 3.6 se muestran los dibujos de cada región. La fórmula del área de un trapecio es 2 h(b1 + b2 ). (t 2 − 2)dt 1 ∫−3 ∫0 3 3 v 3 dv 2 x − 3 dx 6. c) Esta región es un semicírculo de radio 2. Emplea un instrumento graficador para verificar tu resultado. 5. 3. es ideal para verificar si nuestras respuestas son correctas. 3 1 1 21 ∫0 ( x + 2)dx = 2 h(b1 + b2 ) = 2 (3)(2 + 5) = 2 . ∫0 2 xdx 0 2. 0. ∫ 4dx = b × h = 4(2) = 8. no es necesario hacer este tipo de procedimientos. a) Esta región es un rectángulo de alto 4 y ancho 2. 87 . es el sitio indicado para resolver una integral en cuestión de segundos. = 1 2 π (22 ) = 2π . basta con aplicar algunas de las técnicas de integración directa de la integral definida. EJERCICIO 1 INDIVIDUAL Evalúa la integral definida de la función algebraica.6. La fórmula del área de un semicírculo es 2 πr 1 2 1 ∫− 2 y y = 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 − x 2 dx = 1 2 πr 2. 8 7 6 5 4 3 2 1 x −3 −2 −1 −1 −2 1 2 3 4 5 6 y y x+2. 4. 1 3 b) Esta región es un trapecio de alto 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5. a) b) c) Como ya mencionamos anteriormente.000000 <= x <= 3. cada vez que quieras calcular un área mediante una integral definida. 1.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida Solución: En la Figura 3. ∫2 3dv ∫−1 1 1 Visita el sitio: The Integrator.000000 y = 8 7 6 5 4 3 2 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fig. ∫−2 ⎜ ⎜u − u 2 ⎟ ⎟du ⎝ ⎠ ∫0 (2 − t ) 2 −1 ⎛ 1 ⎞ TAREA 1 10. ∫0 3 9. 88 .Cálculo integral II 7. t dt Página 95. ∫1 8 2 dx x x 2 − 4 dx 8. Ringsburg tiene un radio de 5 millas.8) El ancho del rectángulo es ∆r millas. Geometría. Solución: Usando el resultado del ejemplo previo. Sumando sobre todos los anillos. entonces Población total = ∑ 5 0 ∫ 2πrf (r )dr gentes.3 .05 r gentes. Por lo tanto tomamos piezas que son anillos delgados alrededor del centro. tal que sea posible estimar la población de multiplicando la densidad y el área juntas. Ringsburg. EJEMPLO 2: Un problema de población. (Ver Fig. Así Fig. Encontrar la población total en Ringsburg del ejemplo 1 si la densidad de población en la milla r está dada por P = f (r ) = 170e1. Solución: Queremos hacer la partición del poblado de Ringsburg y estimar la población en cada pieza resultante de la partición. ya que ésta depende de la distancia del centro de la Cada pieza tiene un ciudad. tenemos 89 . Escribe una integral definida que exprese el total de la población de Ringsburg. EJEMPLO 1: Un problema de Ciencias Sociales. Población del anillo ≈ ( f (r ) gentes / mi 2 )(2πr∆r mi 2 ) = f (r ) ⋅ 2πr∆r gentes. Típicamente esto puede suceder cuando la cantidad a calcular puede ser aproximada mediante la división de pequeños rectángulos. y entonces sumar esas aproximaciones. Queremos que la densidad de la población sea lo más cercanamente ancho de y un largo constante en cada una de las piezas. tenemos 2πrf (r )∆r gentes. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. ya que el anillo es muy delgado. La densidad de población ≈ Densidad ∗ Área.7). y su longitud es aproximadamente igual al anillo de la circunferencia. las piezas resultantes.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida 3 . Existen muchas situaciones donde la cantidad que queremos calcular puede ser expresada como una integral definida. De esta manera. etc.7. Esto es lo que hemos visto a lo largo del desarrollo de este capítulo. Si tomamos la partición de la región en línea recta.8. Anillo de Ringsburg. resolviendo el problema aproximadamente para cada uno de esos rectángulos. 3. a una distancia constante del mismo (ver Figura 3. entonces su área es aproximadamente 2πr∆r mi2. la densidad es P = f ( r ) gentes por milla cuadrada. Esta sección tiene como objetivo aplicar la teoría vista en relación a la integral definida en disciplinas como Física. La densidad de población de Ringsburg está en función de la distancia del centro de la ciudad: a r millas del centro. la densidad de la población podría variar en cada una de Fig. 3. 3. podemos aproximar su área enderezando el anillo como si fuera un rectángulo delgado. 2πr millas. Economía. Población total ≈ Como la suma se aproxima a la integral. donde s varía de 755 pies desde la capa de la base hasta 0 pies para la capa de la punta. De esta manera Fig. Corte vertical de la pirámide donde se relaciona y . obtenemos la sección triangular dada en la Figura 3.9.28⎢re1. es aproximadamente ⎡⎛ 755 ⎞ ⎤ 3 V ≈ ∑ s ∆h = ∑ ⎢⎜ ⎟(410 − h)⎥ ∆h pies . 5 = 340π ∫ re1. Finalmente. es el grosor de una pieza horizontal de la pirámide. en pies cúbicos. Como el grosor de cada capa tiende a cero. la altura de la pirámide. Calcula el volumen.Cálculo integral II Población total = ∫0 2πr [170e ]dr gentes.9.838)] = 969. entonces el volumen de cada capa es aproximadamente s ∆h pies .4 − 968.05 r ⎡re1.05 − ⎥ 1. La pirámide está construida de una serie de capas que inician desde la base de la misma. las capas tienden a ser más cortas en longitud. La primera capa.05 r dr ⎤ ∫0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ e1.05 [1017. tenemos s s = (755 / 410)(410 − h) . cuya base es un cuadrado de 755 pies y su altura es de 410 pies. Como nos movemos a lo alto de la pirámide. ya que h varía de 0 a 140.838] 5 0 340π 1.294. Sea s la longitud de la base.05 ⎦ ⎢ ⎥0 ⎣ = = e1. Si hacemos un corte de la pirámide a lo largo de su alto desde la base hasta la punta .566[(5086. V .05 = 190.05 r dr 0 5 1. ⎣⎝ 410 ⎠ ⎦ 2 2 Solución: Primero determinaremos de donde salió esa expresión del volumen. tenemos 90 . Ya que cada capa es tiene una altura diferente h .838) − (0 − 968. y el volumen total. EJEMPLO 3: Un problema de volumen.05 r − 5 e1. 3. Cada capa tiene una base cuadrada con un alto que denotaremos como ∆h . cuyo volumen esta dado por la expresión ⎡⎛ 755 ⎞ ⎤ 3 V = ∑ s ∆h = ∑ ⎢⎜ ⎟(410 − h)⎥ ∆h pies . de la gran pirámide de Egipto. por supuesto esta altura es muy pequeña para cada capa de la pirámide. la de la base.90 gentes. El volumen total de la pirámide es la suma de todos los volúmenes de las losas. debemos expresar s como una función de h tal que cada término de la suma dependa solamente de h . 2 3 s 2 ∆h .28r − 968.05 r ⎤ 5 = 1017. la suma da la integral definida. Por semejanza de triángulos. es una losa cuadrada de 755 pies por 755 pies por ∆h pies. ⎣⎝ 410 ⎠ ⎦ 2 2 755 = (410 − h) 410 . ¿Qué tanto trabajo se requiere aplicar para jalar la cadena hasta el techo del edificio? Solución: Ya que la masa de la cadena es 20 kg. así 1 m pesa 7 newtons).416. Solución: El valor presente. Ya que y varía de 0 a 28 m. es la cantidad que debería crecer si es depositada en una cuenta bancaria a un cierto interés en un tiempo pertinente. el trabajo total realizado es 28 7 28 W = ∫ (7 y )dy = y 2 = 2744 joules. Como ∆y tiende a cero. 0 T 91 . cada una de ellas pesa 7 ∆y newtons. asumiendo una tasa de interés del 10% compuesto continuamente. De esta manera. Por otro lado el valor futuro. de un pago futuro $B. todas las secciones de la cadena serán jaladas aproximadamente la misma distancia. $B. t es el tiempo y B es la cantidad depositada. $P. puede parecer que la respuesta sería (196 newtons)( 28 m)=5488 joules. de un pago $P. Dividamos entonces la cadena en pequeñas secciones de longitud ∆y . La expresión del valor futuro cuando el interés es compuesto y continuo está expresado por Valor futuro = ∫ P(t )e r (T −t ) dt. (Una longitud de 28 m pesa 196 newtons.67 ≈ 78 millones pies .8 m/seg2) =196 newtons. Si ∆y es pequeña. Una cadena uniforme de 28 m de largo que tiene una masa de 20 kg está colgando del techo de un edificio. EJEMPLO 4: Calculando el trabajo hecho. 0 T donde r es la tasa de interés compuesto. Encontrar el valor presente y el futuro de una entrada constante de $100 dólares por año sobre un período de 20 años. a la fuerza de gravedad que va en contra de la fuerza de 7 ∆y newtons. La expresión del valor presente cuando el interés es compuesto y continuo está expresado por Valor presente = ∫ P(t )e −rt dt . 0 2 0 EJEMPLO 5: Aplicando la integral definida en economía. su peso es (20 kg)(9. los eslabones que están cerca del techo se mueven menos. obtenemos la integral definida. Pero recuerda que no toda la cadena se tiene que mover los 28 m.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida ∫ h = 410 h =0 ⎡⎛ 755 ⎞ ⎤ ⎛ 755 ⎞ ⎢⎜ 410 ⎟(410 − h⎥ dh = ⎜ 410 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎦ 2 2 2 ∫ 410 0 2 (410 − h) 2 dh 3 1 ⎛ 755 ⎞ ⎡ (410 − h) ⎤ 410 1 ⎛ 755 ⎞ 3 2 =⎜ = ⎜ ⎟ (410) = (755) (410) ⎟ ⎢− ⎥ 3 3 ⎝ 410 ⎠ ⎣ ⎦ 0 3 ⎝ 410 ⎠ 3 = 77. llamemos y . es la cantidad que debería ser depositada al día de hoy en una cuenta bancaria para producir exactamente $B en la cuenta a un tiempo pertinente en el futuro.903. el trabajo hecho sobre una de las secciones pequeñas de la cadena es aproximadamente: (7∆y newtons )( y metros) = 7 y∆y joules. 3.1 ⎝ −0.1t ⎞ 20 2 −2 ⎟ ⎟ 0 = 1000e (1 − e ) ≈ $6389. en 20 años ese monto habrá crecido a un valor futuro de B = Pe rt = 864.1t − 0. ¿Cuál es la relación entre el valor presente y el valor futuro del ejemplo previo? Explica tu respuesta.1 ⎝ ⎞ 20 −2 ⎟ ⎟ 0 = 1000(1 − e ) ≈ $864. valor futuro = (valor presente)e 2 . ⎡ x3 ⎤ 4 = π ⎢16 x − ⎥ 3 ⎦ −4 ⎣ 256π = pu lg adas 3 . Con una tasa de interés del 10%. los radios interior y exterior son r ( x) = 3 y R ( x) = 25 − x 2 y el volumen se obtiene por b 4 2 2 V = π ∫ [(R( x) ) − (r ( x) ) ]dx = π ∫ ⎡ 25 − x 2 −4 ⎢ a ⎣ ( ) 2 − (3) 2 ⎤dx ⎥ ⎦ = π ∫ (16 − x 2 )dx −4 4 Fig.06. ¿Cuál es el volumen del anillo metálico resultante? Solución: Puedes imaginar el anillo como si fuera generado por un segmento del círculo cuya ecuación es x + y = 25 . Por consiguiente. ⎠ EJEMPLO 6: Un problema en economía.66. Solución: Ya que el valor presente = 1000(1 − e −2 ) ≈ $864.66e 2 ≈ $6389.10. como se ilustra en la Figura 3. En 2 2 virtud de que el radio del orificio es 3 pulgadas.1dt ⎛ e = 100e 2 ⎜ ⎜ − 0 . 3 92 .1( 20 ) = 864.06. ⎠ 20 0 Valor futuro = ∫ 20 0 100e 0. Un fabricante hace un orificio a través del centro de una esfera metálica de 5 pulgadas de radio. puedes hacer y = 3 y resolver la ecuación x + y = 25 para determinar que los límites de integración son 2 2 x = ±4 .66 a un tiempo t = 0.66e 0. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas.10. EJEMPLO 7: Un problema de fabricación.66 y 2 −2 el valor futuro = 1000e (1 − e ) ≈ $6389. Región plana que se hace girar sobre el eje x para formar el sólido que se va a retirar de la esfera.1t ⎜ = = 100 e dt 100 Valor presente ∫0 ⎜ − 0. Puedes ver que el valor futuro es La razón de esto es que el monto a pagar es equivalente a un pago inicial de $864.1( 20−t ) dt = ∫ 100e 2 e −0.Cálculo integral II 20 ⎛ e −0.02. la función de ingreso marginal es i ' ( x ) = 15 − 4 x .11 Tanque de combustible. 2. (vea la Figura 3.. 93 . b) ¿Cuál es el ingreso total dentro de los primeros cinco años? c) ¿Cuántas unidades demandadas se requieren para que el ingreso total sea máximo? d) ¿Cuál es el máximo ingreso? TAREA 2 Página 97. Una cadena de 20 pies de longitud y peso de 5 libras por pie. Una función de costo marginal está definida por c ' ( x ) = 3 x + 8 x + 4 . b) El costo total dentro de los primero 3 años.00. Calcula el volumen del tanque. 3. Si x son las unidades demandadas. yace enrollada en el piso. Fig. Un tanque colocado en el ala de un avión jet se forma al hacer girar la región limitada por la gráfica de 1 y = x 2 2 − x y el eje x alrededor del mismo eje. Determina: 2 a) La función costo total correspondiente. ¿Cuánto trabajo se necesita para levantar un extremo de la cadena a una altura de 20 pies de manera que quede extendida por completo? 3. Determina: a) La función ingreso total. c) ¿Cuál es el costo total entre el segundo y quinto año? 4.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida EJERCICIO 2 INDIVIDUAL Resuelve los siguientes problemas de aplicación de la integral definida. para un artículo particular. y el costo fijo es de $6.Volumen de un tanque de combustible. donde 8 x y y están expresados en metros. 1.11). 94 .Cálculo integral II ¡Ojo! Recuerda que debes resolver la autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento. esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase. 3. de Expediente Fecha INSTRUCCIONES: Evalúa las siguientes integrales definidas mediante el teorema fundamental del cálculo. Entra a la página http://integrals. 13. x (1 + x ) 2 dx 5. 2. 11.wolfram. 8. 7. ∫−2 [( x 2 2 + 2 x + 1) − (2 x + 5)]dx 95 .com para comprobar tus respuestas. ∫0 sen 4 2 2 2 x cos 2 xdx x⎤ ( x + 1) − ⎥dx ∫0 ⎢ 2⎦ ⎣ ⎡ ∫−1[(1 − x 4( 2 ∫0 ⎢ ⎣ 3 6 1 2 ) − ( x 2 − 1)]dx )− x⎤ ⎥dx 6⎦ ⎡ −x 3 ⎡⎛ x 3 ⎞ x⎤ − x ⎟ − ⎥dx 14. ∫2 ⎢⎜ ⎜ 3 ⎟ 3⎥ ⎢ ⎠ ⎣⎝ ⎦ 15. 12. ∫1 ( x − 1) 2 2 − x dx ∫0 π 2 cos 2 2x dx 3 ∫−2 x π 2 4 ( x 3 + 8)dx ∫−π 2 cos xdx ∫−π 2 senx cos xdx 2 π 10. Recuerda usar los diferentes métodos de integración. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. ∫−1 x( x ∫1 2 x 2 2 1 2 + 1) 3 dx x 3 + 1dx ∫0 ∫1 4 1 2x + 1 1 dx 9 4. 6. 9. 1.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida TAREA 1 Nombre ____________________________________________________________ Núm. xe x dx Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 96 . 3 1 21. ∫0 [ x − x ]dx 6 2 20. ∫0 [( x − 6 x ) − 0]dx 16. ∫−π 4 cot x dx ∫1 ln 2 π 25. ∫1 e (ln x) 2 x 4 dx 24. ∫0 [3( x − x ) − 0]dx 6 2 2 18. ∫π 4 sen 2 π x dx 23.Cálculo integral II ∫0 [( x − 1) − ( x − 1)]dx 3 3 17. ∫0 [( x − 4 x + 3) − ( − x + 2 x + 3)]dx 1 2 3 19. ∫0 π 4 sec 3 x dx 2 22. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f ( x) = 1000 + 5000 x .//www.edu. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función f ( x ) describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro años.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida TAREA 2 Nombre ____________________________________________________________ Núm. 1. visita el sitio http://dieumsnh.htm 97 . de Expediente Fecha INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicación.unl. f ( x) pesos al año donde a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola? Para saber más y enriquecer el tema.ar/In tdef/AplicacionesEconomia . mx/INTEGRAL/ http.fca.umich.gfb. Se sabe que f ( x ) = 2700 x + 900 si 0 ≤ x ≤ 5 . 2. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. Cálculo integral II 98 . El índice de severidad se define como sigue: Donde α se considera una constante implicada con la aceleración media ponderada y T es la duración del choque. En un análisis de la severidad en el tránsito. El resultado de la integral definida     ∫ π 0 cos x dx 0 1 No existe  −1 2 3. La función de costo marginal de un fabricante es CM ( q ) = 0. donde f ( x ) = x − 1 y g ( x) = −3 x − 2 . de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. Si la producción actual es q = 80 unidades por semana.5  18 4. rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.100   $1. Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo el valor de la integral definida     ∫ 3 −1 (3 x 2 − x + 6) dx es: 54  48  45  84 2. Shonle considera cuánta aceleración puede tolerar una persona en un choque sin que se presenten en ella lesiones serias.Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida AUTOEVALUACIÓN Nombre _________________________________________________________ Núm.280 5. y las rectas x = 0 y x = 3 . Índice de severidad. Determina el área de región comprendida entre la función h( x) = f ( x) − g ( x ) . ¿cuánto más costará (en dólares) incrementar la producción a 100 unidades por semana.520   $1.6 q + 2 . 1. 0 T 5 α 2T  5  2α T    5 α 5T  α T 99 2 .  $2.120   $5. de Expediente ___________________ Fecha ____________________ INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos.     6 57  25. El índice de severidad es: índice de severidad = ∫ α 2 dt . es decir. 100 . Dentro de las propiedades de la integral definida. pero es necesario que nuevamente repases los temas. Para que la integral definida pueda ser interpretada como un área. tu aprendizaje es bueno. 8.  Continua y positiva . Dentro de las propiedades de la integral definida. tu aprendizaje es insuficiente.Cálculo integral II 6.  Discontinua y negativa . Consulta las claves de respuestas en la página 103.b] debe ser:  Continua y negativa . Si tienes de 8 a 9 aciertos. por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.  Discontinua y positiva . Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos. la integral ∫ b a f ( x) dx es igual a: ∫ f ( x) dx   − ∫ f ( x ) dx   ∫ f ( x ) dx   ∫ − f ( x ) dx  − a a b −b −a b a b 9. La función f en el intervalo [a.03  38  −  3 70  3  ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente. El resultado de la integral definida ∫ 6 1 2 x x 2 + 3 dx es: 38  3  157. la integral     ∫ a a f ( x) dx es igual a: No existe  a 0 f ( x) 10. El resultado de la integral definida ∫ 4 −4 − x dx es:  0  − 16   8  −8 7. por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. que el valor de la integral sea positivo. 3. y preséntalos a tu profesor. ∫1 ln x dx 3 e e 2 x x2 dx ∫0 π sen x dx 1 + cos x 2 ∫3 (cos 6 x + sen 2 x) dx II. I. 5. 2 ∫−2 (4 x + 5) dx π 2. El economista Pareto ha establecido una ley empírica de distribución de ingresos superiores que da el número N de personas que reciben x o más dólares. ∫3 ∫1 5 1 dx x−2 1 4. aparece la siguiente integral ∫0 10 −4 x −1 2 dx . Bajo condiciones apropiadas. inclusive. Esta función se llama función de la tabla de vida. Resuelve los siguientes problemas. Evalúa las siguientes integrales. En un estudio sobre mutación genética. ya que respuestas fraccionarias no tienen sentido. determina el número de gente que tiene exactamente entre 36 y 64 años inclusive. 2. donde A y B dx 101 . 1. Para cierta población supongamos que la función l ( x ) representa el número de personas que alcanzan la edad x en cualquier año. de Expediente ___________________ Fecha ____________________ INSTRUCCIONES: Resuelve las siguientes integrales y problemas. Evalúa la integral. ∫−π (cos x + sen x ) dx 2 3. dN = − Ax − B . Da tu respuesta al entero más cercano. 6.000 100 − x .Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1 Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. 7. 1. Si son constantes. Si l ( x ) = 10. la integral ∫x l (t ) dt x+n da el número esperado de gente en la población que tiene exactamente x y x + n . encuentra una expresión que te represente el número total de personas que reciben $100 o más dólares. Cálculo integral II 102 . B 4. A 1. C 4. B 2. D 7. C 10. A 7. A 2. A 4. A 3. B 9. D 8.Claves de Respuestas UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 1. A 5. C 5. D 8. C 3. C 10. C 3. C 7. B 2. A 6. A 103 . A 1. D 6. B 5. A 6. A 9. . (a..z) 104 .Glosario Recuerda que tienes que ordenar los conceptos alfabéticamente. Progreso. HUGHES-Hallet Deborah-GLEASON Andrew M. “Cálculo diferencial e integral”. “Calculus with analytic geometry”. HAEUSSLER Ernest. S. John Wiley & Sons. Ed.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag1. Prentice-Hall. Ciencias Sociales y de la vida”.htm -http://www. 1997. Inc. 2002. Ed.mat..mx/eduardo/calculo2 -http://www. “Calculus”. John Wiley & Sons.A. “Matemáticas para Administración. 1994. 1980.Bibliografía General GONZALEZ Cabrera Víctor M.V. HOWARD Antón.matharticles.HOSTETLER Robert P. 1997. “Cálculo 4000”. -http://www.tahc. LARSON Ron .PAUL Richard S. McGraw-Hill Interamericna. JR.com 105 . Economía.uson. de C.ula. Inc.