Versión 2014UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan C CA AP PI I T TU UL LO O 7 7 P PR RO OY YE EC CT TO O Y Y C CÁ ÁL LC CU UL LO O D DE E E EJ J E ES S Y Y E EL LE EM ME EN NT TO OS S A AC CC CE ES SO OR RI I O OS S División 1 Generalidades. Revisión de métodos estáticos Métodos Dinámicos y por Fatiga Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan 1. I ntroducción En este capítulo se darán herramientas para el cálculo de ejes y sus accesorios afines. En la presente División 1, se efectuará un repaso de la metodología de análisis y cálculo estático de ejes y se introducirán esquemas para el estudio de resistencia por fatiga, que es lo más importante desde el punto de vista de diseño. 2. Generalidades Un eje es un elemento de máquina generalmente rotatorio y a veces estacionario, que tiene sección normalmente circular de dimensiones menores a la longitud del mismo. Tiene montados sobre sí, elementos que transmiten energía o movimiento, tales como poleas (con correas o cadenas), engranajes, levas, volantes, etc. En la Figura 7.1 se puede apreciar un eje con diferentes tipos de montajes, como los mencionados anteriormente. Figura 7.1. Eje con diferentes tipos de montajes. La solicitación sobre un eje puede ser de diferentes características, estática o dinámica en cuanto a la variación temporal de las solicitaciones, o bien, flexional, torsional, axial en cuanto al modo en que actúa la solicitación. 3. Procedimiento de Diseño de Eje En la Figura 7.2 se puede apreciar una distribución cualquiera de las solicitaciones a que puede estar sometido un eje, flexionales, cortantes por flexión, axiales y torsionales. Un procedimiento general para el cálculo y diseño de ejes se puede condensar en las siguientes etapas: 1. Desarrollar un diagrama de cuerpo libre, reemplazando los diversos dispositivos por sus correspondientes acciones o solicitaciones, de manera de obtener un sistema estático equivalente. 2. Evaluar los momentos flectores, torsores, esfuerzos de corte y esfuerzos axiales en el tramo completo del eje. Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan 3. Seleccionar las secciones más conflictivas y de ellas los puntos más conflictivos. Esta tarea está asociada a la determinación de factores de concentración de tensiones debidos a entallas geométricas y otros factores debidos según ha sido explicado en el Capítulo 2. 4. Evaluar los estados tensionales en los puntos conflictivos. 5. Seleccionar el criterio o teoría de falla estática o dinámica en función del tipo de material (frágil o dúctil) y tipo de rotura estimada (fatiga, etc.) 6. Evaluar la seguridad de los puntos conflictivos. 7. Efectuar un replanteo en términos de diámetro y configuraciones geométricas o material en tanto que los resultados obtenidos no satisfagan las condiciones de diseño. Figura 7.2. Solicitaciones en un eje y diagrama de cuerpo libre. 4. Diseño para solicitación estática Discriminación de las tensiones normales y cortantes Dado el tipo de configuración de las solicitaciones se puede discriminar el siguiente estado tensional genérico debido a flexión, torsión y efecto axial: ( ) A P I c x M x + = . o , ( ) J c x T xy . = t (7.1) Donde M(x), T(x) y P(x) son el momento flector, el momento torsor y la fuerza axial respectivamente y además: 2 d c= , 64 d I 4 t = , 32 d J 4 t = , 4 d A 2 t = (7.2) Luego los valores de tensión serán ( ) ( ) 2 3 x d x P 4 d x M 32 t t o + = , ( ) 3 xy d x T 16 t t = (7.3) Entonces según las expresiones de tensiones principales y las tensiones de corte máxima y mínima, según un estado plano de tensiones, se obtienen como: Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan { } 2 xy 2 x x 2 1 2 2 t o o o o + | . | \ | ± = , , { } 2 xy 2 x 2 t o t t + | . | \ | ± = min max , (7.4) Luego, reemplazando (7.3) en (7.4) se tiene { } 2 3 2 2 3 2 3 2 1 d T 16 d P 2 d M 16 d P 2 d M 16 | . | \ | + | . | \ | + ± | . | \ | + = t t t t t o o , (7.5) { } 2 3 2 2 3 d T 16 d P 2 d M 16 | . | \ | + | . | \ | + = t t t t t min max , (7.6) Ahora bien, según sea el criterio de rotura que se pretenda emplear se tendrán diferentes casos, los cuales se tratarán a continuación. Teoría de la Energía de Distorsión (Criterio de Von Mises-Hencky) Se recordará del Capítulo 2, División 4, que el criterio de máxima energía de distorsión establece que la falla se produce (en un material dúctil) cuando se cumple que: ( ) s y 2 1 2 2 2 1 n S > ÷ + o o o o (7.7) Donde S y y n s son el límite de fluencia del material y el coeficiente de seguridad del material. En consecuencia, reemplazando los valores de (7.5) en (7.7) se puede obtener la siguiente expresión: s y 2 3 2 2 3 n S d T 16 4 3 d P 2 d M 16 2 > | . | \ | | . | \ | + | . | \ | + t t t (7.8) Nótese que en (7.8) no se puede obtener el diámetro como forma explícita en función de las solicitaciones actuantes. Sin embargo en el caso de poder desechar el esfuerzo axial, se puede obtener la conocida expresión: 3 2 2 y s T M S n 32 d | | . | \ | + = ¾ . t (7.9) que si tiene explicitado el diámetro en función de las solicitaciones actuantes. En definitiva, dentro de la posibilidad de explicitar el diámetro como en (7.9) se puede obtener una expresión para dimensionar el eje. Pero por lo general se tendrá que recurrir a expresiones como la (7.8) para verificar el estado tensional, dado que en más frecuente tener un prediseño geométrico del eje con la localización de todos los concentradores de tensiones. Teoría de la máxima tensión de corte (Criterio de Coulomb-Tresca) En este caso la falla se presentará si se cumple que: s y 2 1 n S > ÷o o (7.10) Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan Luego reemplazando (7.5) en (7.10) se obtiene s y 2 3 2 2 3 n S d T 16 d P 2 d M 16 2 > | . | \ | + | . | \ | + t t t (7.11) La cual no tiene explicitado el diámetro en función de los esfuerzos. Ahora como en el caso anterior, en ausencia de cargas axiales (o sea P=0) se puede explicitar el diámetro obteniendo: 3 2 2 y s T M S n 32 d | | . | \ | + = . t (7.12) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo: Un eje es sometido a una solicitación flexional y una solicitación torsional tal que en el punto más solicitado se tiene T = 3.5 Nm y M = 50 Nm. Se sabe que el límite de fluencia es de 450 MPa. Se desea comparar la diferencia en el dimensionado del diámetro empleando los criterios de Von-Mises-Hencky y de Coulomb-Tresca. Suponga que el coeficiente de seguridad es uno. Entonces, reemplazando los valores en la (7.9) y en la (7.12) se tiene m T M S n d y s 03843 . 0 ¾ . 32 3 2 2 1 = | | . | \ | + = t m T M S n d y s 03845 . 0 . 32 3 2 2 2 = | | . | \ | + = t % 041 . 0 [%] 2 = err Nótese que no hay prácticamente diferencia entre los dos métodos. Sin embargo esto se debe a que el torque es de un orden de magnitud menor al momento flector. Si se repite el cálculo, pero modificando el torque a T = 50 Nm se observa: m T M S n d y s 0463 . 0 ¾ . 32 3 2 2 1 = | | . | \ | + = t m T M S n d y s 0484 . 0 . 32 3 2 2 2 = | | . | \ | + = t % 354 . 4 [%] 2 = err Aun así la diferencia porcentual está por debajo del 5%. Lo que a veces suele ser aceptable ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan 5. Diseño para solicitación Dinámica Teoría de diseño a la fatiga para materiales dúctiles En la Figura 7.3 se muestra un elemento diferencial sobre la superficie cilíndrica de un eje. En tal elemento diferencial se pueden apreciar las componentes media (con subíndice m) y alternante (con subíndice a) de las tensiones normales y las tensiones cortantes. Además en la Figura 7.3.b se puede apreciar la distribución de tensiones actuantes en un plano inclinado un ángulo |. Obsérvese que los estados de tensiones son magnificados por coeficientes de concentraciones de tensiones dinámicos K F para tensiones normales y K FS para tensiones tangenciales. De todas las posibles combinaciones de solicitación cíclica, la situación más conflictiva se da cuando las cargas alternantes debidas a los momentos flectores y a los momentos torsores se encuentran en fase (es decir cuando las tensiones alternantes normal y tangencial se encuentran en fase). (a) (b) Figura 7.3. Elemento diferencial de superficie cilíndrica en un eje. Para deducir una expresión de cálculo a la fatiga en ejes, se pueden contabilizar diferentes situaciones. La manera más simple es analizando el estado tensional tangencial sobre el plano oblicuo A, que se ve en la Figura 7.3, esto significa emplear una variante del criterio de Máxima Tensión de Corte. Efectuando una sumatoria sobre la tangente del plano inclinado en |, se obtiene: ( ) | | | | ( ) | | | | ( ) | | | | 0 = + + + + ÷ + + ÷ dA Sen Cos K dA Sen Sen K dA Cos Cos K dA a F m a FS m a FS m | | o o | | t t | | t t t | (7.13) simplificando y recurriendo a las definiciones de ángulos dobles se obtiene ( ) | | ( ) | | 2 2 2 | o o | t t t | Sen K Cos K a F m a FS m + + + = (7.14) con lo cual se puede separar en componentes alternantes y componentes medias de la tensión de corte Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan | | | | | | | | | . | \ | + + | . | \ | + = + = 2 2 2 2 2 2 | o | t | o | t t t t | | | Sen K Cos K Sen Cos a F a FS m m a m (7.15) En la Figura 7.4 se muestra el criterio de fatiga de Soderberg para un estado tensional cortante, del cual se puede extractar la siguiente relación: ¬ = ¬ = OD CD OA CB CB CD OA OD 2 S 2 S n 1 y m e a s / / | | t t + = (7.16) Luego reemplazando (7.15) en (7.16) se obtiene la siguiente forma | | | | | | 2 Sen A 2 Cos A 2 n 1 2 1 s + = con e a FS y m S K S A t t + = 1 , e a F y m S K S A o o + = 2 (7.17) Figura 7.4. Diagrama de Fatiga de Soderberg para estado tensional cortante. La condición de máxima seguridad, se tendrá cuando la expresión recuadrada de (7.17) sea mínima, es decir: | | | | ¬ = + ÷ = | | . | \ | 0 2 Cos A 2 2 Sen A 4 n 1 d d 2 1 s | | | | | | | | | 1 2 A 2 A 2 Tan 2 Cos 2 Sen = = | | | (7.18) de la cual se puede obtener: | | 2 1 2 2 2 A 4 A A 2 Sen + = | , | | 2 1 2 2 1 A 4 A A 2 Cos + = | (7.19) Reemplazando (7.19) en (7.17) y operando se puede lograr la siguiente expresión de tensión: 2 2 4 | | . | \ | + + | | . | \ | + = a e FS y m a e F y m s y S K S S K S n S t t o o (7.20) Dado que en un estado plano de tensiones la tensión de corte máxima viene dada por 2 2 2 t o t + | . | \ | = max (7.21) o bien aplicando la condición del criterio de máxima tensión cortante: Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan ¬ = max / t 2 S n y s 2 2 s y 4 n S t o + = (7.22) De manera que comparando (7.20) y (7.22) se puede obtener las siguientes expresiones: a e F y m S K S o o o + = , a e FS y m S K S t t t + = (7.23) Teniendo en cuenta que de (7.23) se puede escribir: 3 3 32 32 d M S K S d M a e F y m t t o + = , 3 3 16 16 d T S K S d T a e FS y m t t t + = (7.24) Donde M m y M a son momentos flectores medio y alternante, mientras que T m y T a son momentos torsores medio y alternante. Luego, reemplazando (7.24) en (7.20) se puede obtener: 2 2 3 32 | | . | \ | + + | | . | \ | + = a e FS y m a e F y m s y T S K S T M S K S M d n S t Expresión de Fatiga por criterio de máxima tensión de corte (7.25) de la (7.25) se puede despejar el diámetro o el coeficiente de seguridad o el valor de la tensión de fluencia según sea el tipo de cálculo que se encare. Por otro lado se puede demostrar que para la teoría de máxima energía de deformación se obtiene la siguiente expresión (ver referencia [2]) 2 2 3 4 3 32 | | . | \ | + + | | . | \ | + = a e FS y m a e F y m s y T S K S T M S K S M d n S t Expresión de Fatiga por criterio de máxima energía de deformación (7.26) NOTA: En determinadas circunstancias y aplicaciones es común que alguno de los esfuerzos M m , M a , T m y T a sea nulo. Por ejemplo en el caso de flexión es más preponderante M a que M m y en torsión ocurre lo contrario. Sin embargo esto depende estrictamente de las aplicaciones. NOTA: Obsérvese que en las expresiones (7.17) a (7.25), el factor K F /S e o K FS /S e (según convenga) se puede reemplazar por la expresión (2.193b) con los coeficientes de concentración de tensiones que correspondan. Teoría de diseño a la fatiga para materiales frágiles Aunque generalmente los ejes son fabricados con materiales dúctiles, en algunas aplicaciones los ejes se hacen de fundición, es decir un material frágil. En consecuencia para plantear un método de análisis, se emplea la suma de componentes normales al plano de la sección A en la Figura 7.3.b. es decir ( ) | | | | ( ) | | | | ( ) | | | | 0 dA Sen Sen K dA Cos Sen K dA Sen Cos K dA a m c a m cs a m cs = + ÷ ÷ + ÷ + ÷ | | o o | | t t | | t t o | (7.27) donde Kc y Kcs son factores de concentración de tensiones. Téngase presente que hay una diferencia entre la concentración de tensiones para materiales frágiles que para materiales dúctiles. Esta es la razón por la cual los coeficientes se aplican en ambas componentes de Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan tensión para los materiales frágiles y solo en la componente alternante en el caso de materiales dúctiles. En la Figura 7.5 se muestra el criterio de Goodman para tensiones normales. Figura 7.5. Diagrama de Fatiga de Goodman para estado de tensiones normales. Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado anterior (el trabajo algebraico se deja al alumno) se obtiene la siguiente expresión genérica en términos de la tensión: 2 a e u m 2 CS 2 a e u m 2 C a e u m C s u S S K 4 S S K S S K n S 2 | | . | \ | + + | | . | \ | + + | | . | \ | + = t t o o o o (7.28) Luego teniendo en cuenta las expresiones de los momentos flectores y torsores (7.24) se tiene: ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + + | | . | \ | + + | | . | \ | + = 2 a e u m 2 CS 2 a e u m 2 C a e u m C 3 s u T S S T K M S S M K M S S M K d 16 n S t Expresión de Fatiga por criterio de máxima tensión normal (7.29) de la (7.29) se puede despejar el diámetro o el coeficiente de seguridad o el valor de la tensión de fluencia según sea el tipo de cálculo que se encare. 6. Diseño de accesorios de sujeción Los accesorios de sujeción más comunes son las denominadas chavetas. Las mismas pueden tener una gran variedad de formas y diseños según el tipo de aplicación. En la Figura 7.6 se pueden ver diferentes tipos de chavetas y ranurados para chavetas para ser empleadas como elementos de conexión de los ejes con las poleas, engranajes, y algunos tipos de acoplamientos, entre otros dispositivos. Las chavetas y otros elementos de sujeción de dispositivos a los ejes normalmente se calculan a dos tipos de solicitación diferentes 1) por corte 2) por aplastamiento Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan Figura 7.6. Diferentes Tipos de Chavetas. En la Figura 7.7 se muestra un tipo de chaveta paralelepípeda normalizada. El cálculo de falla debido al corte de la chaveta se obtiene de: L w d T 2 A P 2 d T P diseño . . / = = ¬ = t (7.30) Siendo P la fuerza de corte, T el momento torsor, d el diámetro del eje, w y L el ancho y longitud de la chaveta. Para la falla por aplastamiento se tiene h L d T 4 2 h L d T 2 A d T 2 A P c c diseño . . / . . . = = = = o (7.31) recordar que para (7.30) y (7.31) se deberán cumplir condiciones de seguridad apropiadas, las cuales se dan por las siguientes expresiones: s y s sy diseño n S 40 0 n S . = s t , s y diseño n S 90 0. s o (7.32) Figura 7.7. Chavetas rectangulares o paralelepípedas Otros accesorios de retención son los anillos de ajuste o de retención como las que se pueden ver en la Figura 7.8. Para seleccionar este tipo de accesorio es siempre necesario recurrir a los Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan catálogos de los fabricantes. En la Figura 7.9 se muestran otros accesorios de sujeción elasticos, son denominados resortes de ajuste. (a) (b) Figura 7.8. Diferentes Tipos de anillos de sujeción. (a) (b) Figura 7.9. Diferentes Tipos de resortes de sujeción. (ver referencia [5]) 7. Diseño y cálculo de Volantes Cuando se presentan en mecanismos, grandes variaciones de aceleración, se transmiten pares torsores con mucha fluctuación. Para suavizar este comportamiento de cambios bruscos de velocidad y para estabilizar el flujo de ida y vuelta de energía del equipo de rotación, se coloca un volante sobre el eje. Las funciones del volante son: Reducir la amplitud de fluctuación de la velocidad Reducir la amplitud del par torsor fluctuante Almacenar y liberar energía cuando sea necesario. En la Figura 7.10 se tiene un ejemplo de montaje de volante sobre un eje. La energía cinética que posee tal volante es: Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan 2 m e I 2 1 K e = (7.33) Siendo I m la inercia de la masa del volante y w la velocidad de rotación con dimensiones del sistema internacional. Por otro lado en el volante de la Figura 7.10 se puede establecer la siguiente ley de equilibrio dinámico dt d I T T m m l e = ÷ (7.34) siendo T l el par de la carga y T m el par del motor de accionamiento. Figura 7.10. Esquema de un volante montado en un eje. Ahora bien dado que u e e u u e e d d dt d d d dt d = = . (7.35) y teniendo en cuenta que en el par del motor T m = T prom , luego se puede escribir u e e d d I T T m prom l = ÷ (7.36) Integrando queda ( ) ( ) 2 2 m prom l 2 I d T T min max max min e e u u u ÷ = ÷ } (7.37) Para la selección del tamaño del volante es necesario establecer o conocer un parámetro que pondere la variabilidad de la velocidad de rotación. Este parámetro de variación se llama Coeficiente de Fluctuación y viene dado por la relación entre la velocidad de fluctuación y la velocidad promedio: ( ) min max min max min max e e e e e e e e e + ÷ = ÷ = = 2 C prom prom f F (7.38) Así pues la energía cinética (7.33) se puede expresar en función del coeficiente de fluctuación como: ( )( ) F 2 prom m m e C I 2 I K e e e e e = ÷ + = min max min max (7.39) Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan De donde se puede despejar la inercia en función del resto de términos, es decir F 2 prom e m C K I e = (7.40) El momento de inercia se puede obtener conociendo el coeficiente de fluctuación, el cual es dato para muchos tipos diferentes de aplicaciones. En el Caso de Estudio 12 se puede ver el análisis de diferentes tipos de solicitaciones para diseñar un Volante. El diseño más eficiente se obtiene maximizando la inercia del volante. El procedimiento para dimensionar volantes es el siguiente: 1. graficar el par de torsion de carga T l en función del ángulo 2. se determina el par torsor promedio a lo largo del ciclo 3. se encuentran localizaciones para max u y min u 4. Determinar la energía cinética por integración de la curva del par de torsión 5. Establecer el valor de prom e 6. Determinar la inercia I m con la ecuación (7.33) 7. Obtener las dimensiones del volante. En la Tabla 7.1 se pueden apreciar algunos valores de coeficientes de amortiguamiento para diferentes aplicaciones de volantes. Estos valores son orientativos y deben considerarse como cotas máximas en caso de no tener información suficiente como para iniciar los cálculos. En los volantes se deben tener en cuenta en más de una oportunidad los estados tensionales. Como hipótesis de análisis se supone que un volante es un cilindro de espesor uniforme con un orificio central y que es sometido a dos tipos de esfuerzos. Uno debido a efectos centrífugos y otro debido a efectos de presión de ajuste (según se vio en el Capítulo 2). Así pues, el estado de tensiones circunferencial y radial viene dado por: rp r r p o o o o o o e u ue u + = + = (7.41) donde los subíndices u y r identifican las componente circunferencial y radial y los subíndices e y p identifican las componentes debidas a efectos centrífugos y de presión. Teniendo en cuenta las expresiones (2.128) y (2.129) aplicadas a la configuración de un volante como el mencionado más arriba, se puede escribir las siguientes expresiones del estado tensional para el volante: ( ) ( ) p 2 2 o 2 i 2 o 2 i i 2 2 2 o 2 i 2 o 2 i 2 r r 1 r r r p r 3 3 1 r r r r r 8 3 u o ue o u v v µe v o | | . | \ | + ÷ + ( ¸ ( ¸ + + ÷ + + + = (7.42) Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan rp 2 2 o 2 i 2 o 2 i i r 2 2 2 o 2 i 2 o 2 i 2 r r r 1 r r r p r r r r r r 8 3 o e o µe v o | | . | \ | ÷ ÷ + ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ + + = (7.43) Téngase presente que tanto o u como o r son tensiones principales, en consecuencia para la obtención de una norma de valoración de seguridad para materiales Frágiles, donde se predice falla si se cumple: s u n S > u o (7.44) Mientras que para materiales dúctiles se empleará una forma similar al criterio de máxima energía de deformación, en la cual se predice falla si: s y r 2 r 2 n S > ÷ + u u o o o o (7.45) Tipo de Aplicación Coeficiente de fluctuación C F Máquinas de Trituración 0.200 Máquinas Eléctricas 0.003 Máquinas eléctricas accionadas directamente 0.002 Motores con transmisión por correas 0.030 Máquinas de molienda de granos 0.020 Transmisión por engranajes 0.020 Máquinas para estampado o martillado 0.200 Máquinas herramientas 0.030 Máquinas para fabricación de papel 0.025 Máquinas para bombeo 0.030 a 0.050 Maquinas para cortar 0.030 a 0.050 Máquinas giratorias 0.010 a 0.020 Máquinas para la industria textil 0.025 Tabla 7.1. Coeficientes de Fluctuación para diversas aplicaciones Los volantes suelen fabricarse con diferentes tipos de materiales, que van desde los materiales metálicos (acero, fundición, plomo, etc) hasta los materiales cerámicos. Para poder clasificar su utilidad se suele definir una propiedad denominada “índice de rendimiento” el cual se obtiene relacionando la máxima tensión del material con respecto a la densidad del mismo. Esto es, mediante la siguiente ecuación: µ o max = R I (7.46) En la Tabla 7.2 se muestran algunos valores de los Índices de rendimiento para diferentes materiales. Nótese que algunos son poco útiles como materiales para construir volantes (p.e. el plomo). Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan Material Índice de Rendimiento Comentario Cerámicas 200-500 Frágiles. Poco útiles (rompen a tracción) Berilio 300 muy caro y también es tóxico Acero de alta resistencia 100-200 Buenas propiedades y rendimiento parejo en cada uno. Aleaciones de aluminio 100-200 Aleaciones de titanio 100-200 Aleaciones de plomo 3 Barato y fácil de emplear cuando el rendimiento está limitado por velocidad y no por la resistencia. Plástico reforzado con fibra carbono 100-400 muy buen material Tabla 7.2. Comparación de Materiales para volantes ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo de cálculo de un volante: Se desea calcular el volante para una prensa de 100 toneladas que siga un patrón de carga torsional como el que se muestra en la Figura (a). El bastidor de la prensa se construye en fundición de hierro. La prensa debe realizar 50 ciclos por minuto utilizando hasta el 18% de toda su energía en cada carrera, esto se hace para evitar el atascamiento (lo que implicaría una falla catastrófica de la máquina). El motor transfiere potencia a una rueda dentada de pequeño diámetro y de b w =65 mm de ancho de faja. Se desea obtener las dimensiones del volante y establecer un coeficiente de fluctuación que sea razonable. Se pretende que el volante no sea muy voluminoso y que tenga una forma similar a la que se muestra en la Figura (b) (a) (b) Figura. (a) Patrón de carga torsional, (b) Forma seccional del volante Solución: Se pretende construir el volante con algún material dentro de los industrialmente disponibles. La opción de fundición de hierro sería una bastante acertada en tanto que el material del bastidor es también de fundición, con lo cual la densidad es 7850 kg/m 3 . La velocidad promedio debe ser: seg rad rpm prom / 24 . 5 50 = = e por otro lado la energía cinética del volante se obtiene de Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan 2 prom m e I 2 1 K e = Sin embargo por condicionamiento contra el atascamiento se tiene que cumplir que en una carrera se gaste hasta el 15% de la energía total del volante. Con lo cual se puede obtener la siguiente expresión de balance energético: ¬ = + max min e gasto e K K K ¬ = + 2 max 2 max 2 min 2 1 2 1 18 . 0 2 1 e e e m m m I I I max min 82 . 0 e e = Ahora bien, como la velocidad promedio es seg rad prom / 24 . 5 2 min max = + = e e e Con las dos expresiones anteriores en las incógnitas e min y e max se obtiene: seg rad seg rad / 50 . 5 / 98 . 4 max min = = e e Luego se puede calcular el coeficiente de fluctuación como: 099 . 0 2 min max min max = + ÷ = e e e e f C Ahora bien, siendo que el volante tiene las características indicadas en el Figura (b), y considerando solo la inercia del anillo externo (despreciando la inercia del disco interno), se puede obtener el momento de inercia según la siguiente expresión: ¬ = = } } } } w o i b d d V m dr r dz dm r I 0 2 0 2 / 2 / 3 2 t µ ( ) 4 4 0 32 i w m d d b I ÷ = tµ Teniendo en cuenta que la energía cinética se puede equilibrar con la capacidad de transferencia de energía según la Figura (a), se puede escribir: ( ) } = = t u u e 2 0 2 d T C I K f prom m e Ahora bien, de la Figura (a) se puede determinar una función para T(u), cuya expresión será: ( ) | | | ) ( | ¦ ¹ ¦ ´ ¦ e ¬ e ¬ | . | \ | ÷ = t t t u t t u u t u 2 , 2 / , 0 , 0 , 2 / , 1 2 max T T En consecuencia, integrando T(u), se tiene: ( ) max 2 / max 2 0 2 4 1 2 T d T d T C I K f prom m e t u u t u u e t t t = | . | \ | ÷ = = = } } Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan Ahora bien, de la última expresión se conoce el coeficiente de fluctuación, la velocidad promedio y el momento torsor máximo, en consecuencia se puede despejar la inercia del volante y luego calcular los diámetros del volante, sin embargo esta tarea tiene cierta aparente dificultad matemática por la indeterminación de la solución. Esto se puede sobrellevar suponiendo una serie de valores de prueba para el diámetro interno y luego se calcula el diámetro externo. Así pues en la Tabla 1 se muestra una variación entre los diámetros involucrados. Debe calcular el diámetro externo en función de diámetros internos establecidos. Caso d i [m] d o [m] 1 0.0 2 0.3 3 0.6 4 0.9 5 1.2 6 1.5 7 1.8 8 2.1 Tabla (a). Relaciones de diámetros para el volante Obviamente, las opciones adoptadas no son las únicas que se pueden tomar en cuenta. Sin embargo esto dependerá de las alternativas de fabricación del volante que se tengan a disposición. Se deja a los alumnos la tarea de completar la tabla de arriba con el diámetro externo y extraer las conclusiones correspondientes. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Bibliografía [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002. [2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000 [3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000. [4] X. Oliver Olivella y C. Agelet de Saracibar Bosch. “Mecánica de medios continuo para ingenieros”. Ediciones UPC, Ed. Alfaomega. (2002). [5] http://www.smalley.com 9. Problemas resueltos y para completar Problema 1. Cálculo de un eje a fatiga (Planteado y Resuelto en clase: Hamrock 11.8) Los engranajes 3 y 4 actúan sobre el eje que se muestra en la Figura. La fuerza resultante del engranaje 3 es de 600 lbf y actúa en un ángulo de 20° desde el eje y. El límite de fluencia del Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan eje construido en acero estirado en frío es de 71000 psi y la tensión de rotura es de 85000 psi. El eje es sólido y tiene un diámetro constante. Se supone un factor de seguridad de 2.6. Emplear la teoría de la energía de distorsión. Para el cálculo del eje a la fatiga, suponer una flexión completamente invertida con una amplitud igual a la que se empleó para las condiciones estáticas. El par torsor alternante es nulo y suponga válida la relación de Goodman. Se debe determinar un diámetro seguro para solicitación estática y dinámica. Nota: en este problema se debe calcular primeramente la carga P C . Esto se logra equilibrando los pares torsores en cada engranaje, es decir Y el momento torsor entre ambos engranaje vale Determinación de las reacciones en los cojinetes: Los momentos flectores y esfuerzos de corte en los planos z e y vienen dados por las siguientes gráficas El momento flector total en A es 12.1 kips-pul y en B es 14.4 kips-pul. En tanto que el momento torsor entre puntos involucrados es T=6.76 kips-pul. Determinación del diámetro para carga estática El material tiene las siguientes propiedades: S y = 71000 psi y S u = 85000 psi. Luego el diámetro se calcula de la siguiente manera Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan Determinación del diámetro para carga dinámica Para el análisis por fatiga se tendrán presentes las hipótesis: M alternante = 14400 lib-pul M medio = 0 T alternante = 0 T medio = 6760 lib-pul. Podemos tomar un límite de resistencia a la fatiga de psi S S u e 42500 5 . 0 = = ' , y el límite de resistencia a la fatiga modificado se calcula empleando la expresión e s f e S k k S ' = Donde k f = 0.832 es el factor de terminación superficial se obtiene (de la expresión 7.21 Hamrock) de la siguiente forma k f = 2.70 85 -0.265 . k s = 0.804, es el factor de tamaño se obtiene (de la expresión 7.22 Hamrock) de la siguiente forma k s = 0.869 d -0.112 , donde “d “ es un diámetro de prueba, en este caso tomamos d = 2 pul (un poco más que el valor para solicitación estática). Luego S e = 28429 psi. Dado que no existen entallas en el eje, el coeficiente de concentración de tensiones dinámico: K f =1. En consecuencia, el diámetro para solicitación por fatiga valdrá: Dado que se ha obtenido un diámetro distinto al supuesto para calcular k s , se debe recalcular k s y d y verificar. Luego se adopta el diámetro comercial o estándar inmediatamente mayor. Esto último se deja librado al alumno. 10. Problemas propuestos Problema 1. Determine el diámetro del eje y que tipo de material a usar para garantizar la transmisión del sistema correa-poleas de la figura, con un coeficiente de seguridad de 5. La polea transmisora de movimiento tiene un diámetro de 300 mm y la otra polea que recibe el movimiento tiene un diámetro de 500 mm. Las ramas tensa y floja de cada polea son paralelas al eje z. Problema 2. Se tiene un eje simplemente apoyado con una carga en el centro de la viga tal que genera un momento flector y un momento torsor. La longitud de la viga es la unidad y el diámetro del Versión 2014 UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan eje es 10 veces menor que la longitud. En este contexto programe un descriptor de FlexPDE para calcular los desplazamientos flexionales y las rotaciones torsionales en el centro de la viga. Emplee las fórmulas analíticas conocidas para cotejar los resultados. Problema 3. Un volante con espesor de 20 mm construido con aleación de aluminio 2014, gira a 9000 RPM en el motor de un auto de competición. Hallar el factor de seguridad si la aleación de aluminio se esfuerza a un cuarto de su límite de fluencia a 9000 RPM. Para disminuir el diámetro exterior se emplean materiales especiales de alta densidad. Hallar el mejor material (según datos de Tabla de densidades de materiales del Apéndice 4 y del presente capítulo) que permita sustituir la aleación de aluminio 2014 pero manteniendo el mismo factor de seguridad. El volante está maquinado de una pieza sólida de una aleación de aluminio 2014 sin orificio central y el espesor no puede ser mayor a 20 mm. Problema 4. Un motor de combustión interna mono cilíndrico, para un bote pesquero tiene un volante que le proporciona al motor un coeficiente de fluctuación de 25% cuando está en marcha en vacío a 180 RPM. El momento de inercia de la masa del volante es de 1.9 kg m². Determinar el coeficiente de fluctuación a 500 RPM, si en la carrera de compresión consume la misma cantidad de energía que en todas las velocidades. Calcular también el momento de inercia de la masa que se necesita para obtener un coeficiente de fluctuación de 20% a 500 RPM.