CÁLCULO DE PROBABILIDADES

CÁLCULO DE PROBABILIDADES Fundamentado lo anterior, se puede llegar al concepto de probabilidad, afirmando que ³cuando se cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un eventoteniendo en cuenta el espacio muestral, se esta calculando su probabilidad ´. La probabilidad es una medida de incertidumbre que aporta elementos a la hora de tomar una de cisión Probabilidad simple ³Si es poco probable que una persona venga a visitarnos, entonces podemos salir de casa; si por el contrario, la probabilidad de que la persona venga a nuestra casa es alta, entonces esperamos a la persona que viene de visita´. La probabilidad es la medida de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, entonces dado un experimento aleatorio y considerado un evento E, se tiene que la probabilidad de ocurrencia de E, notada es:     A partir de esta definición es posible plantear las siguientes afirmaciones sobre la probabilidad. 1. El valor de P(E) siempre es menor o igual que 1, puesto que el número de elementos del espacio muestral es mayor que el número de elementos de cualquier evento, por tanto se puede afirmar que el cociente     es menor o igual que 1. 2. La probabilidad puede ser expresada como una fracción, un decimal o el porcentaje correspondiente a este cociente. 3. Cuando el espacio muestral es igual al evento se dice que es un evento seguro y su probabilidad es 1, o del 100%. 4. Cuando el evento es vacio, se llama evento imposible o de probabilidad nula (probabilidad = 0). 5. Cuando el evento es unitario, se llama evento simple y su probabilidad es Ejemplo: Se ponen siete fichas numeradas de 1 a 7 en una urna y se seleccionan dos de ellas. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos. a) La suma de las dos fichas e s 7. b) La suma de las dos fichas es menor que 14. c) El número de la ficha seleccionada es mayor que 2. d) Las dos fichas seleccionadas tienen el mismo número. Solución: a) El espacio muestral de este experimento aleatorio es:  . ya que no hay dos fichas del mismo número.No es necesario considerar el orden. por lo tanto.por tanto. en consecuencia. estas tengan el mismo numero. tampoco la repetición. 5 son blancas y 2 rojas. . . Luego. la probabilidad de que la suma de las dos fichas sea menor que 14 es 1. c) Sea C el evento que consiste en que el numero mayor de las dos fichas es 2. Para el cálculo de probabilidades a partir de un diagrama de árbol.  Por lo tanto i La probabilidad de que al seleccionar las dos fichas la suma sea 7. la probabilidad es:   d) Es imposible que al seleccionar dos fichas. C es un evento simple. b) Sea B el evento que consiste en que la suma de las dos fichas es menor que 14se tiene que S = B.29%. B es el evento seguro. Diagramas de árbol y probabilidades El diagrama de árbol es una forma útil de representar gráficamente las probabilidades. Sea A el evento que consiste en que la suma de los dos números sea 7. Para realizar el cálculo de la probabilidad del evento A y B se suma la probabilidad de A y B con la de B y A. puesto que la suma es una operación conmutativa. cuando el evento consiste en realizar una o más selecciones con o sin repetición. es de 14. y Ejemplo: Un centro comercial otorga premios navideños a las personas que seleccione n dos bolas de una bolsa en forma acertada según un plan de premios. Es decir. se tienen dos propiedades: Sean los eventos A y B representados en un diagrama de árbol: y Para realizar el cálculo de la probabilidad del evento A y B se multiplican las probabilidades de la rama correspondiente. La primera bola seleccionada no retorna a la bolsa. En la bolsa hay 7 bolas. y se dice que es seguro que este evento ocurrirá. la probabilidad de que salgan dos fichas del mismo número es 0. tal evento es imposible. Luego. ¿cuál es la probabilidad de que una persona que jugó.476. Según las condiciones del juego. ¿cuál es la probabilidad de ganar el árbol de navidad? Solución: El diagrama de árbol con sus respectivas probabilidades es el siguiente: En la primera rama del árbol se encuentra la probabilidad dos bolas blancas: y y En la primera selección.6% de probabilidad de que la persona no gane ninguno de los premios. hay 5 opciones favorables entre 7 opciones posibles. no gane ninguno de los dos premios?. hay 4opciones favorables entre 6 opciones posibles.La persona que seleccione dos bolas rojas ganará un árbol de navidad. sin importar el or den. la probabilidad de obtener dos bolas blancas es del 0. Seleccionar la primera bola blanca Seleccionar la segunda bola blanca = Seleccionar dos bolas blancas Así. Para encontrar la probabilidad de ganarse el arreglo decorativo recordemos que se necesita sacar una bola blanca y otra roja. por lo tanto. ¿qué probabilidad hay de ganar el arreglo decorativo?. se tiene que: Seleccionar la pareja blanca-roja + Seleccionar la pareja roja-blanca = Seleccionar una bola blanca y otra roja en cualquier orden . por la por la primera propiedad para el cálculo de propiedades y el principio de multiplicación se pueden determinar las siguientes probabilidades: Por lo tanto. hay un 47. el que selecci one una blanca y una roja ganará un arreglo decorativo y el que seleccione las dos blancas no ganará premio. es decir. es decir que gana el arreglo la persona que saque bolas blanca -roja o roja-blanca. En la segunda selección. 048 de obtener dos bolas rojas.8% = 47. se verifica que la probabilidad de sacar bolas blanca -roja P(BR) = 23.8% igual que la probabilidad de sacar bolas roja -blanca P(RB) = 23. es decir. Así:    Actividad: realizar un mapa conceptual que contenga los aspectos más relevantes de la probabilidad FASE EXPRESIVA Ejercicio (para resolver en clase). por lo tanto la probabilidad de sacar una bola roja y otra blanca en cualquier orden. En otras palabras. es decir: P(BR-RB) = 23. por lo tanto se tiene que: Seleccionar la primera bola roja Seleccionar la segunda bola roja = Seleccionar dos bolas blancas Por lo tanto. Es necesario tener en cuenta que al sumar los resultados de todas las ramas del diagrama de árbol en forma decimal se obtiene 1. 1.8%. hay una probabilidad del 0. la probabilidad que la persona gane el árbol de navidad es del 4. para ello hay 2 opciones favorables entre7 posibles para sacar la primera bola y 1 opción favorable entre 6 posibles para la segunda. 100 son mujeres.8% + 23.476 que salga una bola blanca y una bola roja.6% de probabilidad de que la persona gane el arreglo decorativo.8%. Un estudio realizado en un centro de alto rendimiento deportivo determinó que de los 157 deportistas que allí entrenan. 85 toman suplementos vitamínicos y 75 de los que toman dichos productos son mujeres.Así. hay una probabilidad del 0.6% Finalmente. Si un deportista nuevo llega a este centro: a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o tome suplementos vitamínicos? . hay un 47. El la tabla de probabilidades. si s e suman los porcentajes se obtiene 100%. para ganar árbol de navidad. se necesita sacar dos bolas rojas. es igual a la suma de las dos probabilidades anteriores. ¿Cuál es la probabili dad de que sea mujer y no tome suplementos vitamínicos? 2. El juego consiste en lanzar un par de dados y sumar ambos resultados. ¿Qué probabilidad de ganar tiene un empleado? c. En el reinado nacional de la belleza se seleccionaron como finalistas las candidatas de Bogotá. y calcular la probabilidad correspondiente. Entre ellas se debe escoger la reina y la virreina . ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? c. 5. Encontrar la probabilidad de que la suma de los dos sea: a) 3 b) Impar c) Menor que 5 d) 7 Se lanzan tres monedas al aire. el concursante gana 400 puntos. El gerente de una empresa de productos alimenticios desea premiar a tres de sus mejores empleados con viajes turísticos a tres lugares del país. por lo menos. El que selecciona dos bolas amarillas ganara el premio a. b. San Andrés y Meta. así como el evento. . o también mayor o igual a 10.b. Valle. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de los cuatro juegos? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione. El decidió que la suerte elegiría a los ganadores. para tal fin se tiene 6 candidatos . dos hombres y cuatro mujeres . ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y no tome suplementos vitamínicos? d. En una caja puso 8 bolas negras y 2 amarillas cada empleado selecciona la primera bola y la retorna a la caja antes de seleccionar la segunda. Se registra el resultado de cada jue go. ¿Cual es la probabilidad que el comité esté conformado sólo por mujeres? 2. Se lanzan dos dados. En un casino existe un juego basado en los dados. En cada una de las siguientes situaciones hallar el espacio muestral. ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccione bolas amarillas? ACTIVIDAD 1. una bola amarilla? e. Antioquia. Cartagena. Se desea conformar un comité de tres personas. Dos equipos de beisbol tiene la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de cuatro juegos. cuál es la probabilidad de que: e) Salgan tres caras f) Salgan al menos dos sellos g) Se obtengan resultados iguales en las tres monedas. ¿Cual es la probabilidad de que la reina sea la señorita Antioquia? 3. Si la suma obtenida es de 4 a 9 el concursante gana 300 puntos. Representar las probabilidades en un diagrama de árbol. Si la suma obtenida es menor o igual a 3. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una bola se cada color? d. podría darse en tres os competidores de una carrera ciclística son arlos. respectivamente? c) uál es la probabilidad de ue Arnoldo gane? "NUES EA: M í i m i ASIGNATURA: E E tudi nte G do . b) onstruir un diagrama de árbol ue represente los posibles resultados. Hernán realiza una apuesta pensando en los dos primeros lugares de la carrera. Si Samuel arti i a en el juego. . . orenzo amón. en cual uier orden. ué probabilidad tiene de ganar? e) Si apuesta a ue el orden correcto para la premiación en primer lugar orenzo ué probabilidad tiene de ganar? segundo amón. ué probabilidad tiene de c) Si Hernán apuesta a ue orenzo será el ganador ganar? d) Si Hernán apuesta a ue la premiación será por la pareja orenzo± arlos. El primero en llegar ganara un viaje al exterior para prepararse.El t l j i t l t . E el juego justo o no? i t ti l ué robabili ad tiene de ganarlo? En el juego es admitida la repeti i n. Hallar la probabilidad de ue al seleccionar una tarjeta: P R O B A B I L I D A D )( # Docente Lili Muñ z '& " ! ¨© PRUE A No: 2 PROBABI I AD   ¨ © ¨ Ó IG VERSIÓN ¦¥     § ¨  ¥     ¦© ¨ ¦¥§ ¦¥ ¤ £ ¡¢ ¡   O EGIO I IPE SE SEÑ E ESPE NZA " . . eonardo.0 00 -2 PERIODO: 2 Códi o % $ . as letras de la palabra P OBABI I A se escriben en tarjetas se depositan en una caja con un orificio. para los dos primeros lugares de la carrera. Kevin. a) Hallar el número de elementos del espacio muestral. . a) b) uál es la probabilidad de ue eonardo no gane ninguno de los dos premios? ual es la probabilidad de ue arlos Kevin ganen el primero el segundo lugar. el segundo una beca nacional paraestudiar ingles. f) Si apuesta a ue arlos no ocupará ninguno de los dos primeros lugares ué probabilidad tiene de ganar? . En la final masculina de atletismo del torneo distrital se clasificaron cuatro atletas: arlos. Arnoldo. a ue el resultado ocasiones. Ambas sean blancas. a) Escriba el espacio muestral del experimento aleatorio. d) Alguna de las dos no gane nada.a) Tenga escrita la letra B. b) Tenga escrita la letra A. . hallar la probabilidad de que al seleccionar las dos balotas: a) b) c) d) Ambas sean negras. Quien obtenga dos sellos gana $100. una de $500 y otra de $200. 2. Cada una lanza una vez las dos monedas. quien obtenga un sello gana $50 y quien obtenga dos caras no gana nada. c) Alguna de las dos gane $50. e) ¿Cuáles serían los posibles resultados que le permitieron ganar esa cantidad? 3. allar la probabilidad de que en el primer lanzamiento: b) Alguna de las dos gane $100. esta no retorna a la u rna. c) Tenga escrita la letra C. Si Laura ha ganado $300 en menos de 6 lanzamientos. Carolina y Laura están jugando con dos monedas. Teniendo en cuenta que al sacar la primera balota. En una urna se tienen 6 balotas blancas y 4 balotas negras. Tengan diferente color. Ambas tengan el mismo color (negro o blanco). Una persona selecciona dos balotas al azar.