2.4 Ejemplo Resuelto Losa Maciza. 1. Diseñe la losa maciza mostrada, realizando todos los chequeos necesarios.Dimensione la altura de la losa utilizando los criterios de resistencia y de rigidez. El acabado de piso es de granito y la losa llevará friso liso en su cara inferior. Datos: 1.)Carga Viva: Qcv = 300 Kg/m2. 2.)Carga Muerta: Qtab=160Kg/m2., γconcreto=2.500 Kg/m3., γgranito=2.200 Kg/m3., γfriso=1.700 Kg/m3., γsobrepiso=2.150,00Kg/m3., Materiales: Concreto, f’c =250 kg/cm2., Acero, fy = 4.200 kg/cm2. 1 4,50 2 4,50 3 h 0,30 Tip. q (kg/m l) Resolución: 1. Estimación de carga de servicio. Utilizando el criterio de rigidez, se obtiene un valor del espesor de la losa (altura h de la sección) de la tabla 9.5.1: Para un extremo continuo: h min = 450 l = 18,75 cm. ≈19 cm . = 24 24 Con h = 19 cm, se calcula el peso propio de la sección de la losa: qpp = 2.500,00 x 0,19 x 1,00 = 475 kg/ml. Las demás cargas muertas son: 700.00 = 44.Mizq R = ∑V M+ 1. El Factor de Mayoración FM se calcula entonces: FM = 1. qfriso = 1.328 2.50 kg/ml.qsobrepiso = 2.898 (se obtiene por 3 Visos 2. = 820. Para la carga viva se calcula: qCV = 300.531 +633 +633 3.50 + 300.602 1. La carga total de servicio es: qserv.848 2.00 x 0.164 3.898 Visos = (q x l)/2 Vhip = ΔM/l Vtot = Visos + Vhip x = Vizq / qserv.50 3 h 0.602 R 1.02 x 1.125. en este caso).50 2 4.00 x 1.898 Con el momento más desfavorable (en el apoyo 2.00 kg/ml.00 x 0.150.50 kg/ml.531 -633 1.00 kg/ml.531 Vhip Vtot X -633 1.50 Como qCV < qCM .81 0 2. q serv = 1. M+ = (Vizq x X)/2 .00 = 300.50 kg/ml.00 = 1.00 kg/ml.00 = 34.00 kg/ml.164 1. Total: qCM = 820.00 x 0. qgranito = 2. qtabiquería = 160 x 1.05 x 1. se calcula la altura de la sección por el criterio de resistencia: .00 kg/ml MMomentos) 0 2.69 6.30 Tip. Se procede al cálculo de la losa: 1 4.4 x820.02 x 1.00 = 160.48 1. no se requiere hacer el movimiento de carga viva.531 2.200.898 1.00 = 107.120.50 + 1.7 x300 = 1.120. obteniendo el nuevo valor de qpp = 425 kg/ml.814 1.1448 y la altura h de la sección es: h = 11+3 = 14 cm.721 2. FM = 1.< 19 cm.070.048 8.024 1. qserv.49 Se procede al re-cálculo de la losa: 1 4.06* As+ 4.79cm.50 kg/ml. .50 3 h 0.419 -605 1.06* (se obtiene por 3 Visos 2.00 kg/ml M.419 2. (50 kg/ml.13 4.419 Vhip Vtot X -605 1.81 0 2. M+ = (Vizq x X)/2 .00 = 10.48 x 2.814 Visos = (q x l)/2 Vhip = ΔM/l Vtot = Visos + Vhip x = Vizq / qserv.848. con la única condición de que debe hacerse luego el chequeo de la deflexión máxima de la losa... = 1.532 R 1. q serv = 1.45 2.45 Se procede al cálculo de los aceros de refuerzo en las secciones críticas: En las secciones de los apoyos extremos se utiliza el momento por norma: .419 +605 +605 3.814 As .3.075. ≈ 11cm.50 kg/ml.0 Momentos) 2.532 1. Con esto se logra una mejor racionalización en el uso de los materiales y cierta economía en la sección.484 ≈ 1. menos).814 3. 250 x1.00 x0.30 Tip.075 kg/ml. Adoptando el valor h = 17 cm. se recalcula el peso propio de la sección. Se puede tomar un valor intermedio. ≈ 1.024 3.Mizq R = ∑V M+ 1.50 2 4.69 6. menor que 19 cm. Se obtienen los valores nuevos de: qCM = 770.d= 1. 13 cm2.9 x 4. por lo que se obtiene como refuerzo: 1Ø3/8”@ 20 cm. ln = 4.m.15) = 4.00 x14 correspondientes de ω = 0. Para esta cantidad de refuerzo puede utilizarse 1Ø5/8”@ 20 cm. 0.= (q x ln 2)/24 .0271 y ju = 0. Mu = 1. = 3.47 cm2.20 m.177 2 = 0.. La segunda alternativa es más económica en cuanto a la cantidad de refuerzo proporcionado y el diámetro mas cómodo para trabajar. (sep.= 790 kg.9840. valor que se utiliza en los dos apoyos extremos.71 4.).) ó como alternativa se puede utilizar 1Ø1/2”@ 15 cm.M. (8.024 . de la siguiente forma: 3. (As prop.31 barras).55 cm2. entre 0.177 = 2.m.20cm. ≈ 20 cm.31 barras por metro. n= Por ser M.m.26 cm2. (9. mientras que la primera alternativa ofrece la única ventaja de que su separación es igual a la utilizada en los otros apoyos. en la zona a tracción. tracción r EN com presión MMd En el Apoyo 2: M-u = 4054 kg. para el cual se calcula As = 8.). para el cual se obtienen los valores 250 x1. por simetría.06 100 = 4. Con ju se calcula el área de acero As: k= As = 1.14 As min = 0.el refuerzo debe colocarse en la parte superior de la sección.9840 x0. Este se calcula tal como se explicó. Con este valor se procede al cálculo del refuerzo en 1 y 3: 1.90 cm2. por lo tanto se coloca el refuerzo para cumplir con el acero mínimo.0018 x100 x17 = 3.06cm2.50 – (2 x 0.200 x0. s = = 23.177 kg. . M. esto proporciona 4. 3/8"+1/2" @ 40 cm. Luego se calcula el Corte Resistente de la Sección: Vc = 0. de refuerzo por metro de ancho de losa.53 x √250 x 100 x 14 = 9.506 kg.45 cm2. Es importante destacar que en cada caso.m.08 cm2. Debe tenerse mucho cuidado en obra con este tipo de combinaciones de cabillas de diferentes diámetros.< 9. 1/2" @ 40 cm. Se obtiene el valor de corte mayorado Vu = 1. Por ser M+ el refuerzo debe colocarse en la parte inferior de la sección que es la zona a tracción. s s s = 20 cm. la separación cumple con los valores máximos exigidos por la Norma: Smax. para asegurar que no se cometan errores que puedan comprometer la resistencia de la sección.). (franja unitaria típica) 3/8" @ 40 cm.95 cm2.) (separación entre cabillas) Fig.00 m. (alternar @ 20 cm. Se calcula el área de acero As+ = 4.972 kg. OK.283 kg. alternados @ 20 cm.024 kg.024 = 4.506 kg. puede utilizarse 1Ø3/8”+ 1Ø1/2 @ 40 cm..85 x 0.Para el momento en el tramo M+u = 1. Como alternativa para lograr la misma separación de barras que en el refuerzo en los apoyos. (5.5. M+ com presión EN d r tracción M+ Puede utilizarse 1Ø1/2”@ 25 cm..49 x 3.532 = 2.49 x 1.972 kg. Para el chequeo por corte se toma el valor máximo de corte: V = 3. . En este caso. 2. la responsabilidad recae sobre el Ingeniero Responsable de la Obra. 1. y en el Ingeniero Inspector.5 Colocación de refuerzo utilizando combinación de diámetros. La colocación del refuerzo según la segunda alternativa se muestra en la Figura 2. 4. ≤ { 3h ó 35cm. 532 R 1.69 6.) Distribución del Refuerzo: 1 4.50 3 h 0.Mizq R = ∑V M+ 1. ≤ { 5h ó 45cm.06* . q serv = 1.30 Tip.50 3 3/8" @ 20 cm.06 cm2.814 Visos = (q x l)/2 Vhip = ΔM/l Vtot = Visos + Vhip x = Vizq / qserv.419 2.00 kg/ml M. 3/8" @ 20 cm.024 3. 5/8" @ 20 cm. Esquemáticamente se muestra la colocación del refuerzo principal en la losa: 1 4.721 2.024 1. M+ = (Vizq x X)/2 . 3/8" + 1/2" @ 40 cm.532 1.814 1.3.0 Momentos) 2.419 -605 1.50 2 4.81 0 2.El refuerzo por retracción y ΔT es igual al acero mínimo: 3. Smax.048 8.06* (se obtiene por 3 Visos 2.814 3.419 Vhip Vtot X -605 1.13 2.075.50 2 4. (alternar @ 20 cm. La separación cumple con la máxima permitida.814 As .419 +605 +605 3. por lo tanto se coloca el mismo refuerzo: 1Ø3/8”@ 20 cm. en los apoyos extremos. se construyen los diagramas correspondientes de corte y de momento flector.45 4. Lvert = 16 x1.50 ≈ 115 cm.32 ≈ 25 cm. se tiene (se utiliza el apoyo 1): Debido a que se utilizó un valor de momento normativo para el diseño del refuerzo del apoyo extremo. . por lo cual se utiliza el valor empírico L/4 para dimensionar la cabilla en ese apoyo. Se dimensiona el segmento vertical del gancho estándar de 900 utilizando el valor 16Ø. iguales entre sí por simetría. Comenzando por el diseño del refuerzo por M. para visualizar más fácilmente la solución.45 Con los valores calculados. lhor = 450/4 = 112.As+ 4. se desconoce el diagrama real de momento en la zona del mismo.27 = 20. 27 = 15.26 d = 14 cm. una vez cortado el refuerzo compuesto por las barras A. para simplificar) se especifica como 1Ø1/2” @ 30 cm. 2. Con Asbarras B = 4. Se toma el mayor de los 3 valores obtenidos.23 cm2: a= AsxFy 4.80 1Ø1/2"@ 15 cm. La distancia de terminación de las barras será la mayor de d.00 x1. h = 17 cm.836cm. ln/16 = 420/16 = 26. 12Ø = 12 x 1.23 cm2.80 m.80 m. 0. El refuerzo que se prolonga (barras B) es exactamente igual.12 1. 12D ó ln/16 0. Alternativa B: Para racionalizar el uso del refuerzo con el objeto de producir alguna economía en el uso de los materiales.24 cm. ldh = 0. ldh. l anclaje = 0. 12D ó ln/16 0.27 = 25.26 m.12 PI d. El refuerzo que se corta (compuesto por las llamadas barras A. longitud total de las barras: l = 2.200 = = 0. Se decide cortar la mitad del refuerzo (50%) y prolongar el otro 50%.00 x1.30cm.23x 4.La longitud de desarrollo horizontal. y proporciona un área de 4. para garantizar su correcto anclaje: d. El resto del refuerzo se prolonga igual que en la alternativa anterior.075 (Fyαβλ/√Fc)db = 0.85 x 250 x100 . 12Ø ó ln/16 más allá del PI.00 x1.25 cm. x 2.26 PI 2 1.075 x 250 Comparando el valor calculado (requerido) con la longitud de anclaje proporcionada: ldh proporcionada ≥ ldh calculada OK En el apoyo 2: Alternativa A: Se coloca todo el refuerzo igual. según el diagrama de momento flector. se calcula a partir de la expresión: 4200 x1. prolongándose más allá del Punto de Inflexión.85 xf ' cxb 0. ≈ 2.76 m. Se calcula el Mu de la sección como queda solo con las barras B. se corta parte del refuerzo donde no se requiera para resistir flexión. 075( x 2 ) M ( x) = 1. 2 100 1. 1.24 cm. 12D ó ln/16 barras A 0.12 PI d. y se colocan de forma alternada.075( x 2 ) Con la ecuación de Momento para el tramo 1-2: M ( x) = 1. la que sea mayor. 2 igualando la ecuación al valor de momento calculado. hacia cada lado es: 4.68 kgm. que nos su signo: M ( x) = 1. y se redondea a 1.m . x 2.30 1Ø1/2"@ 30 cm. El conjunto de las barras A y B conforman el refuerzo total. x 1. 2 Mu = 0.46 0.m ⇒ x = 4.04 = 0. El refuerzo por momento positivo en los tramos se coloca corrido sobre los dos tramos.814( x) − = − 1.50 – 4. ≈16 cm.16 d = 14 cm.12 1.2 de la Norma: .80 1Ø1/2"@ 30 cm.200 x(14 − 2 La distancia desde el eje 2 hasta el punto teórico de corte de las barras.458 kg. La longitud de las barras B queda entonces: 2x(0. como longitud de anclaje. medido desde el apoyo 1: 1. A partir de este punto.30m. con 2172 = − 1.46 0.16 0. sobre el apoyo. 2Ø = 15.30 m. barras B 0. si el refuerzo se termina recto en los extremos (sin ganchos).46+0. sin mayorar.49 indica la ubicación del momento. se despeja el valor de x. así como en los apoyos extremos.458 kg. 2.836 1 )x = 2. pero se representan por separado en el despiece para efectos de su correcta especificación. En los puntos de inflexión.171. por simetría.46 m.04 m.26 PI 2 1. por Norma se extiende la barra una distancia adicional d ó 12Ø.16)=1. que es donde se requiere.80 m.24 m. d.26 h = 17 cm. 1Ø1/2”@ 15 cm.9 x As x Fy x (d − a ) = 0. Las barras se colocan en una sola capa en la losa.814( x ) − .0.9 x 4. debe verificarse la expresión 12.23 x 4. 12D ó ln/16 0. 83 cm. En este caso se toma 15. Se calcula a partir de la sección utilizando la expresión de Mu.2 se cumple sin necesidad de agregar la.98 1 = 0.98 cm.92 OK. 1Ø1/2"+1Ø3/8" @ 40 cm. Mn = 4. a= la es de uso opcional en la expresión.83 ≤ 2.20 m (alternar @ 20 cm.95 x 4.Mn + la (12. ld es la longitud de desarrollo según el artículo 12. la en el PI es el mayor de d ó 12Ø. 250 43. 2. En este caso coincide el mismo valor en el apoyo y en el punto de inflexión PI. ld = (0.0 x 1.165Fyαβλ/√Fc)db ld = 0.m 0.703 Se verifica el expresión 12.95 x 4.27 = 43.90: d ≤ 4.200 x 1. 9.165 x 4.200 x (14 − )x ≈ 2. 1 2 Detalle 3 la = 10 cm. en este caso se prolonga la cabilla 10 cm.0 x 1.) Detalle en el Apoyo .85 x 250 x100 2 100 Vu es el corte último en la sección: Vu = 1.2: La expresión 12. El chequeo es el mismo para el PI.703 Kg.2 de la Norma.809 kg. sin el factor de minoración Ø = 0. .814 = 2.0 x 1.809 x 100 = 103. Queda el diseño como se muestra en la figura.49 x 1.2) Vu Mn es el Momento Nominal o Momento Resistente Mu’.25 cm. x 9. El valor de la depende del sitio del chequeo: la en el apoyo es la distancia recta horizontal más allá del eje.20 m. Se utiliza si se requiere para hacer cumplir la condición.200 0. Se calcula para la barra de mayor diámetro en el refuerzo. dada por la expresión Mn/Vu.13. sea menor que la longitud disponible que tiene la barra para desarrollar sus esfuerzos. la verificación de la expresión 12.2 de la Norma.2 es un chequeo del diámetro de la cabilla.2 de la Norma. calculada según el artículo 12. 4.2. Se pretende asegurar que el diámetro de la barra utilizada como refuerzo sea limitado a un valor tal de que su longitud de desarrollo. En la figura siguiente se ilustra el significado de los términos de la expresión. desde el eje del apoyo simple o desde la sección en el PI hacia el centro del tramo. Esta distancia teórica se mide. . Ilustración del significado de los términos de la expresión 12.La verificación de la expresión 12. El valor de “anclaje total” mostrado en la figura debe cumplir con la longitud de desarrollo calculado según el Artículo 12.2 debe entenderse mas como un chequeo numérico de los valores. no se requiere verificar la expresión 12. Es importante resaltar que cuando los extremos del refuerzo se terminan en ganchos estándar (según lo establecido en el Artículo 7. Sin embargo.1). dependiendo de la sección a chequear.2. Fig.