CALCULO

Cálculo DiferencialFrancisco J. Sepúlveda C. INSTITUTO TÉCNICO CENTRAL Escuela Tecnológica Tema Nº 6: APLICACIONES DE LA DERIVADA I. RAPIDECES DE VARIACIÓN RELACIONADAS A un problema en que intervengan intensidades de cambio, respecto al tiempo, de variación relacionadas, se le llama problema de RAPIDECES DE VARIACIÓN RELACIONADAS. A la intensidad de variación respecto al tiempo, de una función, se la llama concretamente RAPIDEZ DE VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN. De este modo, la velocidad de un móvil es la rapidez de variación del desplazamiento o recorrido. Ejemplo 1. Una escalera de 8 metros de largo está apoyada contra un muro vertical. Si su base es empujada horizontalmente lejos de la pared a 1 m/s, ¿con qué rapidez resbalará la parte superior de la escalera cuando su base esté a 5 m. del muro? Solución: Sea y: la altura de la escalera y x: la distancia desde la base de la escalera hasta el muro. Como la base de la escalera es empujada horizontalmente lejos de la pared a dy dx 1m/s, = 1 . Deseamos calcular cuando x = 5 m. dt dt Aplicando Pitágoras tenemos: x2 + y2 = 64; y2 = 64 – x2 Como x, y son funciones de t, derivamos implícitamente con respecto a t y así: dy dx dy x dx = −2 x ; entonces =− 2y dt dt dt y dt 5 dx dy Cuando x = 5; y = 6.2; = 1 . Por tanto: =− • 1 = −0.80m / s dt dt 6.2 Por tanto, la parte superior de la escalera resbala por el muro a razón de 0.80 m/s, cuando su base se encuentra a 5 metros del muro. Ejemplo 2. En una cisterna en forma de cono invertido fluye agua a razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura de la cisterna es de 12 pies y el radio de su base circular es de 6 pies, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando ésta tiene 4 pies de profundidad? Solución. Comience dibujando un cono invertido. Sea h: la profundidad del agua en la cisterna en un momento cualquiera t. Sea r: el radio correspondiente de la superficie del agua. 79 Cálculo Diferencial Francisco J. Sepúlveda C. dv = 8 pies3/minuto, ya que el volumen V del agua en la cisterna aumenta a dt razón de 8 pies cúbicos por minuto. Queremos saber qué tan rápido sube el agua cuando esta tiene 4 pies de dh profundidad; es decir = ? cuando h = 4 pies? dt Hemos expresado en lenguaje matemático la información dada en el problema. Necesitamos encontrar una ecuación que relacione V y h. Como la cisterna 1 tiene forma de cono invertido, el volumen V = πr 2 h, y empleando semejanza 3 2 1 ⎛h⎞ 1 h de triángulos llegamos a que r = . Luego V = π ⎜ ⎟ h = πh 3 2 3 ⎝2⎠ 12 Derivemos implícitamente, teniendo en cuenta que V y h dependen del tiempo. dV 1 dh 1 2 dh = π ⋅ 3h 2 = πh dt 12 dt 4 dt Para dar solución al problema, consideramos la situación en que h = 4 y dV = 8, dt dh dh 2 1 = pies/minuto. 8 = π (4) 2 , entonces dt dt π 4 2 Cuando la profundidad del agua es de 4 pies, su nivel sube a razón de π pies/minuto. Reflexione y conteste: a medida que transcurre el tiempo, el nivel del agua sube más rápido o más despacio? PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En los ejercicios a y b, x, y son funciones de una tercera variable t. dy dx a. Si 2x + 3y = 8 y = 2, obtenga dt dt dy dx b. Si 2senx + 4 cosy = 3 y = 3 halle en (π/6, π/3). dt dt 2. Una cometa vuela a una altura de 40 pies. El niño que la controla lo hace de tal modo que esta describe un movimiento horizontal a razón de 3 pies/seg. Si la cuerda se halla tensa, ¿con qué rapidez se afloja cuando la longitud de cuerda suelta es de 50 pies? 3. Una bola de nieve se forma de tal manera que su volumen aumenta a razón de 8 pies3/min. Calcule la rapidez a la que el radio aumenta cuando la bola de nieve tiene 4 pies de diámetro. 4. En un montón de forma cónica se deja caer arena a razón de 10m3/min. Si la altura del montón es dos veces el radio de la base, ¿con qué rapidez aumenta la altura, cuando el montón tiene 8m de alto? 80 ¿a qué velocidad está bajando su extremo superior cuando la base está a 15 pies de la pared? 11. ¿con qué rapidez se desplaza el extremo de su sombra? 6. Hallar la altura del edificio supuesto que golpea el suelo 6. respectivamente. Su posición viene dada por s = -16t2 + 16t + 32 con s medida en pies y t en segundos. 7. con s medida en pies y t en segundos. 8. Hallar su velocidad tras 5 y 10 segundos. La altura del cono es de 24m y el radio de su base es 12m. ¿a qué ritmo está cambiando R cuando R1 = 50 ohmios y R2 = 75 ohmios? 12. Hallar la velocidad de la moneda al golpear en el suelo. El radio de una esfera crece 2 pulgadas por minuto. usar la siguiente función de posición para objetos en caída libre: s = -16t2 + vot + so 13. a. Cuánto tarda en llegar al suelo? d. 5. Si la base de la escalera se separa de la pared a razón de 2 pies/seg. Hallar la velocidad instantánea para t = 1 y t = 2. Hallar la razón de cambio del área cuando el radio es de 24 pulgadas. Se lanza un proyectil hacia arriba desde la superficie de la tierra con velocidad inicial de 384 pies/seg. La altura S en el instante t de una moneda que se deja caer desde lo alto de un edificio viene dada por s = -16t2 + 1350.8 segundos después de soltarla. b. La resistencia conjunta R que producen R1 y R2. En el instante t = 0 un saltador se lanza desde un trampolín situado a 32 pies de altura. 15. R1 y R2 crecen a razón de 1 y 1. Si un hombre de 1. Para estimar la altura de un edificio se deja caer desde lo alto una piedra. viene dada por 1/R = 1/ R1+ 1/R2 se miden en ohmios. En los ejercicios 13 y 14. ¿Con qué rapidez cambia el volumen cuando cada arista tiene 10 cm? 10. Todas las aristas de un cubo están creciendo 3cm/seg.5 ohmios por segundo. Sepúlveda C.2]. c.Cálculo Diferencial Francisco J.80m de estatura se aleja de la lámpara a razón de 1. ¿Cómo varía el radio en el instante en que este mide 2 pies? 9. Calcule la rapidez con que desciende el nivel del líquido cuando el agua tiene 10m de profundidad. conectadas en paralelo. ¿Cuándo toca el agua el saltador? ¿Con qué velocidad llega al agua? 81 . Una lámpara esta colgada a 4. 14. Hallar la velocidad media en el intervalo [1. Un globo esférico se infla a razón de 20 pies cúbicos por minuto. Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada en una casa. es vaciado a razón de 6m3/min. Un depósito de agua en forma de cono invertido.5m por encima de un sendero horizontal y recto.5m/seg. Funciones crecientes y decrecientes (Intervalos de monotonía) Una función f(x) definida en un intervalo. Si f’(x) > 0. b). b). Sepúlveda C. Un fabricante deseará minimizar el costo de distribución de sus productos. donde x1. Si f’(x) < 0. b). donde x1. para todo x ∈ (a. 82 . Definición 2 Una función f tiene un mínimo absoluto o mínimo global en c si f(x) ≥ f(c) para toda x en el dominio de f.b ). siempre que x1 < x2. Por ejemplo. para todo x ∈ (a.Cálculo Diferencial Francisco J. si y solo si se verifica que: f(x1) < f(x2). Si es así. siempre que x1 < x2. Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a. Definición 1 Una función f tiene un máximo absoluto o máximo global en c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f. x2 son dos número cualesquiera del intervalo. Algunas veces un problema de esta naturaleza puede formularse de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico. x2 son dos número cualesquiera del intervalo. Definición 3 Una función f tiene un máximo relativo o máximo loca en c si f(c) ≥ f(x) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c. si y solo si se verifica que: f(x1) > f(x2). un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mejor aprovechamiento. entonces f(x) es decreciente en (a. Criterio de la primera derivada para intervalos de monotonía. II.b ). tenemos que: a. b] y derivable en el intervalo abierto (a. entonces f(x) es creciente en (a. b. es creciente en ese intervalo. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. es decreciente en ese intervalo. TRAZO DE GRÁFICAS MÁXIMOS Y MÍNIMOS Introducción A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Definición 4 Una función f tiene un mínimo relativo o mínimo local en c ci f(x) ≥ f(c) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c. Una función f(x) definida en un intervalo. los métodos del cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema. Ejemplo 1. Prueba de la primera derivada para extremos relativos de una función Si c es un punto crítico de una función continua f. entonces f tiene un mínimo local en c. 3 3 x = es un punto crítico porque f! ( ) = 0 2 2 Ejemplo 2 Dada la función f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7.−1) ∪ (2. entonces f tiene un máximo local en c. Si f! no cambia de signo en c. a. b. ∞ ) entonces f(x) es creciente en dichos intervalos. Como f’(x) < 0 a la derecha de x = 2 y f’(x) > 0 a la derecha de x = 2. c. entonces f(x) es decreciente en dicho intervalo. Encuentre los puntos críticos de f(x) = x3/5(4 .1 y f’(x) < 0 a la derecha de x = .b ). determinar: los intervalos de monotonía y los extremos relativos. 83 . entonces f(x) es constante en (a. para todo x ∈ (a. entonces f no tiene un extremo relativo en c. Si f! cambia de positiva a negativa en c. Sepúlveda C. f’(x) > 0 en (− ∞. Solución: Comencemos por encontrar la derivada de f.x) Solución 3 12 − 8 x f!(x) = x − 2 / 5 (4 − x) + x 3 / 5 (−1) = 5 5x 2 / 5 x = 0 es punto crítico porque x = 0 pertenece al dominio de la función y además f!(0) no existe.1. Definición 5 Llamamos punto crítico de una función f a un número c en el dominio de f tal que f!(c)= 0 o f!(c) no existe. f’(x) < 0 en (-1. c. b). Como f’(x) > 0 a la izquierda de x = . Dibujar la gráfica. entonces f(2) es un mínimo relativo.Cálculo Diferencial Francisco J. f’(x) = 6x2 – 6x – 12 = 6(x + 1)(x – 2) Necesitamos determinar dónde es positiva y dónde es negativa la derivada. Si f! cambia de negativa a positiva en c. 2). entonces f(1) es un máximo. Si f’(x) = 0. b] Proceso para hallar los valores extremos absolutos de una función definida en un intervalo cerrado [a.2⎥ ⎣ 2 ⎦ Solución. f’(x) = . ii. Halle los valores de f en los extremos del intervalo (f(a) y f(b). Derivamos la función para encontrar los puntos críticos en el intervalo. entonces x = 0. b] i. ⎡ 1 ⎤ Encuentre los valores extremos globales de f(x) = -2x3 + 3x2 en ⎢− . Ejemplo 3. Evalúe f para cada uno de esos puntos críticos.Cálculo Diferencial Francisco J. Teorema del valor extremo (Para extremos absolutos) Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a. Observe que los extremos relativos ocurren en los puntos críticos. 84 . b] . iii.6x2 + 6x. x = 1 Calculamos el valor de función en los extremos del intervalo y en cada punto crítico. El mayor de los valores de los pasos ii y iii será el máximo absoluto y el menor de dichos valores será el mínimo absoluto. iv.6x2 + 6x = 0. Sepúlveda C. . Encuentre los puntos críticos de f en el intervalo. entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algunos números c y d en [a. Si f’’(x) > 0. 1 F(0) = 0. b). el valor máximo es 1 (obtenido tanto con -1/2. entonces: . F(t) = (t2 – 4)2/3 II.Cálculo Diferencial Francisco J. entonces la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo. b). Trace la gráfica de la función en el intervalo. b). Los puntos críticos b. Supóngase que f’(c) = 0 -Si f’’(c) < 0. f(x) = Concavidad Si f(x) es una función derivable en el intervalo abierto (a. f(1) = 1.2] x+2 [− 3. f(x) = x4 + 4x3 – 2x2 – 12x 4. Si f’’(x) está definida para todos los valores del intervalo (a. para todo x que pertenece al intervalo (a. Los intervalos de monotonía. Sepúlveda C.f(x) es cóncava hacia abajo si f’(x) es decreciente en (a. Dada la función f(x) = x4 – 4x3 . Punto de inflexión Al punto o puntos donde la gráfica de una función cambia de concavidad lo llamamos punto o puntos de inflexión. Los intervalos donde la gráfica es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia 85 . [− 4.0] 3. como con 1 y el valor mínimo es – 4 (obtenido con 2). f(x) = x3 + 7x2 – 5x x−3 3. entonces f(c) es un máximo relativo.Si f’’(x) < 0. . Dibuje la gráfica. g(x) = x3 + 5x – 4. b). Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Sea f una función continua en el intervalo (a. f(2) = . f( (− ) = 1. f(x) = x4 – 8x2 + 16. entonces la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba. entonces: . [− 1. EJERCICIOS PROPUESTOS I. . b). Obtenga los puntos críticos de la función dada: 1. b). 1. x .f(x) es cóncava hacia arriba si f’(x) es creciente en (a.4 2 Por lo tanto. determine: a. Los extremos relativos d. h(x) = x+7 2. -Si f’’(c) > 0. b) y derivable para algún c que pertenece al intervalo (a.−4] 2. Ejemplo 1. Encuentre los valores extremos de la función dada en el intervalo indicado. entonces f(c) es un mínimo relativo. b). c. para todo x que pertenece al intervalo (a. Como f”(3) = 36 > 0 entonces f( 3) = -27 es un mínimo local Como f”(0) = 0 el criterio de la segunda derivada no es concluyente.Cálculo Diferencial Francisco J. cóncava hacia abajo 2 -16 0 Punto de inflexión (2.∞ . Dibuje la gráfica. cóncava hacia arriba Con esta información podemos dibujar la función.. 3) + Decreciente.0) + Decreciente. entonces x = 0 y x = 3 son los puntos críticos. abajo e. 2) Decreciente. 4x2( x – 3) = 0. ∞ ) + + Creciente. f. cóncava hacia arriba 3 -27 0 + Mínimo relativo (3. Solución: Función propuesta: f(x) = x4 – 4x3 entonces f’(x) = 4x3 – 12x2 y f!!(x) = 12x2-24x Para hallar los puntos críticos igualamos f’(x) = 0. Dominio f(x) F!(x) f”(x) Conclusiones (. Sepúlveda C. cóncava hacia arriba 0 0 0 0 Punto de inflexión (0. Los puntos de inflexión. 4x3 – 12x2 = 0. 86 . x 2 = −1. f es par y la curva es simétrica respecto al eje y.Cálculo Diferencial Francisco J. f es una función periódica. 5º Encuentre los intervalos de monotonía 6º Halle los extremos relativos. 7º Determine la concavidad y los puntos de inflexión. Lineamientos para el trazo de una curva El siguiente bosquejo muestra los aspectos más importantes a tener en cuenta al trazar la gráfica de una función. donde p es una constante positiva. 3º Determine las simetrías: a. Oblicuas. Si f(x+p) = f(x) para toda x que pertenece al dominio de f. Horizontales. 1 + x 2 = 0 . 1º Halle el dominio de la función. si lim− f ( x) = ±∞ x →a o si x→a + lim f ( x) = ± ∞ . 4º Encuentre las asíntotas. c. Sepúlveda C. Ejemplo Siga los lineamientos anteriores para el trazo de la gráfica de la función f ( x) = 1+ x2 1− x2 1º Como f ( x) = 1+ x2 1+ x2 = entonces el dominio de la función es ℜ ≠ {− 1. b. Si f(-x) =-f(x) para toda x que pertenece al dominio de f.1} 1 − x 2 (1 + x)(1 − x) 2º Puntos de corte con el eje x. f es impar y la curva es simétrica respecto al origen. x = a es una asíntota vertical c. 2 1− x función no corta al eje x. 8º Trace la curva 9º Determine el rango de la función. Hacemos f(x) = 0 1+ x2 x no pertenece a los reales. 87 . si lim f ( x) = L x →∞ o si x → −∞ lim f ( x) = L. y=L es una asíntota horizontal b. 2º Determine las coordenadas al origen o intersecciones con los ejes. Si f(-x) = f(x) para toda x que pertenece al dominio de f. Verticales. por tanto la = 0 . si existen a. 1) ∪ (1. − x →1 y x →1+ lim f ( x) = −∞ entonces x = 1 es AV 4º Intervalos de monotonía df 2 x(1 − x 2 ) + 2 x(1 + x 2 ) 4x = = 2 2 dx (1 − x ) (1 − x 2 ) 2 Con la derivada encuentro los puntos críticos. 1) entonces f es cóncava hacia arriba en dicho intervalo Cuadro resumen D(f(x)) (− ∞. = dx 2 (1 − x 2 ) 4 (1 − x 2 ) 3 4(1 + 3x 2 ) = 0 entonces x no pertenece a los reales. entonces la recta corta al 1 − 02 1 x2 1 + 2 +1 2 0 +1 1+ x2 x = lim x 2 = = −1 entonces y = -1 = lim x a. Horizontales: lim 2 2 x →∞ 1 − x x →∞ 1 x →∞ 1 0 −1 x −1 − x2 x2 x2 es AH. 5º Extremos relativos. ∞ ) f(x) f!(x) 0 + + f!!(x) + + + Conclusiones Decreciente y cóncava hacia abajo Decreciente y cóncava hacia arriba Mínimo relativo Creciente y cóncava hacia arriba Creciente y cóncava hacia abajo 1 88 . ∞ ) .−1) (-1. Como la derivada de la función es positiva en (0. entonces f(0) = 1 es mínimo relativo. Como lim− f ( x) = −∞ . (1 − x 2 ) 3 Como la segunda derivada es negativa en (− ∞. No hay puntos de inflexión. 4x = 0 .−1) ∪ (− 1. Como la segunda derivada es positiva en (-1. f(x) es cóncava hacia abajo en dichos intervalos. Sepúlveda C. Puntos de corte con el eje y.0 ) f es decreciente en dichos intervalos. ∞ ) f es creciente en dichos intervalos.1) (1.Cálculo Diferencial Francisco J. d 2 f 4(1 − x 2 ) − 2(1 − x 2 )(−2 x)(4 x) 4(1 + 3 x 2 ) = 6º Concavidad. b. 3º Asíntotas 1 + 02 = 1 .−1) ∪ (1. Calculamos f(0) = eje y en 1. entonces x = 0 es (1 − x 2 ) 2 punto crítico.0) 0 (0. y lim+ f ( x) = ∞ entonces x = -1 es AV x → −1 x → −1 Como lim f ( x) = ∞. Como la derivada de la función es negativa en (− ∞. Verticales. La derivada es negativa a la izquierda de x = 0 y positiva a la derecha de x = 0. c. f(x) = x + h(x) = x4 + 2x3 x 89 . f(x) = x3 – 3x + 4 3. Los intervalos donde la gráfica es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo b.Los puntos de inflexión. Los extremos relativos d. 1 1. Para cada una de las funciones 1 a 5. f(x) = x3 – 3x2 + 2 2. EJERCICIOS ROPUESTOS I. determine: a. c. f(x) = x4 – 4x3 5. Dibuje la gráfica. Los puntos críticos b. g(x) = x 4 + 1 4. Sepúlveda C. 4 1 4.Cálculo Diferencial Francisco J. Los intervalos de monotonía. los métodos del cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema. Sepúlveda C. Ejemplo 1 Un hacendado tiene 1200 metros de cerca y desea cercar una hacienda rectangular que limita con un río recto. Un fabricante deseará minimizar el costo de distribución de sus productos. ancho = x. un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mejor aprovechamiento. Por ejemplo. Ya se han dado los fundamentos matemáticos que nos permite resolver problemas de aplicación. Si es así. Algunas veces un problema de esta naturaleza puede formularse de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico. Para cada una de las funciones siguientes aplique los lineamientos dados en la sección anterior: 2x 2 1 x 2º f ( x) = 2 3º f ( x) = 2 1º f ( x) = x −1 x −1 x −9 1 1 5º f ( x) = 3 4º y = 2 x +x−2 x −x III. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS En la sección anterior decía: A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. II. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. debe cercar 2x + y = 1200 por tanto y = 1200 – 2x.y entonces A(x) = x(1200 – 2x) = 1200x – 2x2 Derivamos la función para hallar puntos críticos: A!(x) = 1200 – 4x Igualamos a cero: 1200 – 4x = 0. entonces x = 300 es un punto crítico 90 . ¿Cuáles son las dimensiones de la finca que tiene el área más grande? Supongamos que las dimensiones de la hacienda son: Comencemos planteando una hipótesis: Sea el largo = y. No necesita cercar a lo largo del río.Cálculo Diferencial Francisco J. Como el área es A = x. el río pasa por la parte inferior. debido a que x no puede tomar valores negativos ni mayores que 1200. ¿Cuáles serán las dimensiones que producirán el máximo volumen de la pecera? Solución Hipótesis: Sea x el lado de la base. teniendo en cuenta que h = . 1200 − x 2 Calculamos la altura de la pecera. Si V’(x) = 0. Sea h la altura de la pecera. las dimensiones de la pecera que permiten encontrar un volumen máximo 91 . haciendo V’(x) = 0 y resolviendo para x: 3x 2 x3 V(x) = 300x . Luego A = x2 + 4xh.20 porque carece de sentido bajo las condiciones del problema. Entonces su volumen está dado por V = x2 h Como la pecera no puede tener tapa. luego. Aplicando el criterio de la primera derivada para extremos relativos comprobamos que A!(x) es positiva a la izquierda de 300 y negativa a la derecha de 300. V’’(x) = − x . Aplicamos el criterio de la segunda derivada de V(x) para confirmar que en efecto en x 3 3 = 20 se tiene un máximo. Como la base es cuadrada. 4 4 3x 2 = 0. más las áreas de las cuatro caras laterales que son rectángulos de área xh. o. Hallemos la primera derivada de V(x) para conocer los puntos críticos. entonces su área total será la suma del área de la base. que es el área que tiene David para fabricar la pecera. 1200 = x2 + 4xh.20 son los puntos críticos. Sepúlveda C. V’’(20) = . V’(x) = 300 . son 0 ≤ x ≤ 1200. en x = 20 hay un valor máximo. David quiere construir una pecera de base cuadrada empleando 1200 cm2 de vidrio. Luego las dimensiones de la hacienda de área máxima son: ancho= 300 metros y largo = 600 metros Ejemplo 2. x = .(20) = −30. entonces su área es x2. x = 20. Despejo h para expresar el volumen de la pecera en función únicamente de x. 2 2 Como V’’(20) < 0. Como el área del vidrio a emplear es de 1200 cm2. Entonces 1200 − x 2 h= 4x Remplazamos el valor hallado para h en V = x2h ⎛ 1200 − x 2 ⎞ x3 ⎟ = 300 x − V(x) = x 2 ⎜ ⎟ ⎜ 4x 4 ⎠ ⎝ Los valores admisibles de x para que la situación planteada tenga sentido. entonces: 300 4 Se descarta x = . Por tanto A(300) =180 000 metros cuadrados es un máximo relativo.Cálculo Diferencial Francisco J. h = 4x 1200 − 20 2 = 10 4(20) Luego. cuando la caja tiene 20 pulgadas de largo. cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados. Hipótesis Sea x el lado del cuadrado que se va a cortar y V el volumen de la caja resultante. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ⎡ 9⎤ V’(x) = 0. cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados. Se quiere construir cajas de estaño empleando piezas de 10 decímetros por 16 decímetros. Calcule la longitud del lado del cuadrado que será cortado si se desea obtener de cada pieza de estaño. una caja abierta que tenga el mayor volumen posible. 2 Concluimos que la caja tiene un volumen máximo de 200 pulgadas cúbicas cuando x = 2. 9 En los puntos frontera 0 y el volumen V es V = 0. Entonces: V = x ( 9 – 2x)(24 – 2x) = 216x – 66x2 + 4x3 V’(x) = 216 – 132x + 12x2 = 12 (18 – 11x + x2) = 12 (9 – x) (2 – x) Igualo a cero la derivada para encontrar los puntos críticos. mientras que V(2) = 200. ¿Cuál es ese volumen? Solución. El volumen máximo es: V = (20cm)2(10cm) = (400cm2)(10cm) = 4000 cm3 Ejemplo 3 Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho. 5 de ancho y 2 de altura.Cálculo Diferencial Francisco J. Respuesta: lado del cuadrado: 2 decímetros. Sepúlveda C. es decir. Los puntos críticos deben estar en el intervalo ⎢0. entonces x = 9 o x = 2. son x = 20 cm y h = 10 cm. ¿Qué dimensiones debe tener el corral para encerrar la mayor área posible? Respuesta: 300mx600 m 2. Un hombre tiene un muro de piedra en un costado de un terreno. volumen máximo: 144 decímetros cúbicos 92 . PROBLEMAS PROPUESTOS 1. utilizando el muro como uno de sus costados. Dispone de 1200 metros de material para cercar y desea hacer un corral rectangular. De acuerdo a la información dada dibuje la caja. ⎣ 2⎦ por tanto descartamos a x = 9. ⎥ . determine cuál debe ser el radio 93 . Respuesta: Los números son 10 y 30 5. Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con cuatro pulgadas de margen arriba y abajo y 2 pulgadas de margen a los lados. ¿Qué dimensiones debe tener para que su área lateral sea mínima? Respuesta: radio = 3 360 2π . Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio 12 decímetros. Calcule el área del rectángulo más grande que tenga un perímetro de 200 centímetros. a 4 kilómetros del punto m{as cercano O de una costa recta. Si el guardafaros puede remar a a 4km/hora y caminar a 5 km/hora. Un trozo de alambre de 10 metros de largo se corta en dos partes: una de ellas se emplea para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Si un cilindro recto circular cerrado ( es decir. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal. 3. que tenga una capacidad de 1 m3. generatriz = ⎛ 360 ⎞ 3 ⎛ 720 ⎞ 3 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ π ⎠ ⎝ 2π ⎠ 2 2 9. 12. 10. Si el perímetro de la ventana gótica debe ser de 32 pies. Un cono recto circular tiene un volumen de 120 dm3 . ¿Qué valores debería tener el radio y la altura para que su 50 50 yh=2 volumen fuera máximo? Respuesta: r = 3π 3π 8. En tales condiciones. Encuentre las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima que pueda inscribirse en un círculo de radio r. con tapa y fondo incluidos) debe tener un área de 100 dm2. ¿Cómo debe cortarse el alambre si se desea con las dos figuras obtener el área máxima? Y ¿Cómo debe cortarse si se quiere que el área sea mínima? 13. Suponiendo que no se desperdicia material. h = 8 3 dm 5. Una sección rectangular de un terreno se va a cercar por tres lados y un río servirá como límite natural para el cuarto lado. en un punto B también en la costa y a 4 kilómetros de O hay una tienda. La suma de un número y el triple de un segundo número es 60. ¿Qué dimensiones debe tener el volante para que gaste menos papel? 11. altura= 3 720 π . Encontrar entre todos los pares de números que satisfacen esta condición aquel cuyo producto sea el máximo posible. Un faro se encuentra ubicado en un punto A. Una ventana gótica consta de un semicírculo montado en un rectángulo. Respuesta: r: 4 6 dm. Halle el punto más cercano al origen de la recta y = 4x + 7 16. calcule las dimensiones de la sección más grande que se pueda cercar con 240 metros de alambre. 14. sin tapa.Cálculo Diferencial Francisco J. hallar las dimensiones que debe tener el recipiente para que la cantidad de material necesario sea mínimo. Sepúlveda C. ¿qué camino debe seguir para llegar del faro a la tienda en el mínimo de tiempo? Respuesta: ir directamente de A a la tienda 7. 4. existe un c en el intervalo (-3. En este caso el valor máximo de f en [a. En este caso f es una función constante y por lo tanto f!(x) = 0 para todo x. el valor máximo está en algún número c del intervalo abierto (a. que se atribuye al matemático francés Michel Rolle. por tanto.4] i. f(x) = x2 + 2x – 3 .b) tal que f!(c) = 0 Este teorema se puede demostrar considerando los siguientes casos: Caso 1: f(x) > f(a) = f(b).Cálculo Diferencial Francisco J. b] y derivable en el intervalo abierto (a.b) tal que f!(c) = 0 Caso 3. f(x) < f(a) = f(b). [0. Teorema de Rolle Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a.1] ii. Entonces 2x + 2 = 0. IV. Por tanto x = -1. Luego. asegura la existencia de extremos en el interior de un intervalo. Si f(a) = f(b).1] i. f es derivable en (0. y. b) es un punto crítico y f!(c) = 0 Ejemplos: Demuestre que las siguientes funciones cumplen con el teorema de Rolle en in intervalo indicado. Luego debe satisfacer la conclusión del teorema. 4) tal que f!(c) = 0. TEOREMAS DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO En algunas ocasiones es difícil encontrar los puntos críticos de una función. 1) tal que f!(c) = 0. b] es mayor que f(a) o que f(b). iii. Luego. se iguala la derivada de f a cero. el valor mínimo está en algún número c del intervalo abierto (a. Sepúlveda C. b). f(0) = f(4) Por qué? f es continua en [0. Para hallar c. f(-3) = f(1) = 0 f es continua en [− 3. f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 3. 4). es decir . 1). todo número c en el intervalo (a.b) tal que f!(c) = 0 Caso 2. por el Teorema de Rolle. Luego encuentre los puntos c que satisfacen la conclusión del Teorema. del semicírculo y la altura del rectángulo para que pase la mayor cantidad de luz por la ventana. 1. f(x) = f(a) = f(b). se concluye que c = -1 2. existe al menos un punto c en el intervalo (0. Como -1 está en el intervalo (-3. [− 3. entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a.4] ii. por tanto. f!(x) = 2x + 2. b] es menor que f(a) o que f(b). y. f es derivable en el intervalo (-3. En este caso el valor mínimo de f en [a. iii. El teorema de Rolle. Entonces 94 . 1) ya que es una función polinómica. es fácil de establecer y de comprender.F(x) es continua en [a. Enunciado Si una función f es continua en un intervalo [a. En el lenguaje geométrico. definida como la diferencia entre f(x) y la función cuya gráfica es la secante AB . c = 3 son los puntos de la función para los cuales se cumple la conclusión del teorema de Rolle. Sepúlveda C.F(x) es derivable en (a. f!(x) = 3x2 – 12x + 9. ii. entonces hay por lo menos un punto C de la gráfica comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la recta secante AB. entonces c = 1.b) iii-F(a) = F(b) = 0 Luego se cumple la conclusión del teorema de Rolle. es decir: b−a f (b) − f (a) y= ( x − a) + f (a) b−a f (b) − f (a) ( x − a) Por tanto: F ( x) = f ( x) − f (a ) − b−a Apliquemos el Teorema de Rolle a la función F(x) La recta AB tiene por ecuación: y − f (a) = i. luego x = 1. es decir: 95 . Luego la función F(x) es: f (b) − f (a) ( x − a) . Dice que si la gráfica de una función continua tiene una tangente no vertical en algún punto comprendido entre A y B. entonces 3x2 – 12x + 9 = 0.Cálculo Diferencial Francisco J. b] porque la función f(x) y la recta secante son continuas. x = 3 Como 1 y 3 son números dentro del intervalo (0. b) tal que f (b) − f (a) = f ′(c) b−a Demostración Aplicamos el teorema de Rolle a una nueva función F(x) . 4). Teorema del Valor Medio Este teorema es una generalización del Teorema Rolle. b) entonces existe al menos un punto c en (a. b] y derivable en su interior (a. Encuentre el número c garantizado por el teorema del valor medio para f(x)=2 x en el intervalo [1.Cálculo Diferencial Francisco J. Ejemplo 2. f (b) − f (a) . y.22 f´(x) = 3x2 – 2x – 1 y V. Sepúlveda C.55 y c = 1.4] Solución f´(x) = x-1/2 y f (4) − f (1) 2 = 4 −1 3 1 c = 2 9 ⇒c= 3 4 Por tanto tenemos que resolver la ecuación: Construya la gráfica. 96 . Sea f(x) = x3 – x2 – x + 1 en el intervalo cerrado [− 1. entonces b−a f (b) − f (a) Por tanto F ! (c) = b−a F ! ( x) = f ! ( x) − F ! (c ) = f ! (c ) − f (b) − f (a ) =0 b−a Ejemplo 1. Solución. REGLA DE L´HOPITAL Esta regla permite calcular límites de funciones racionales que corresponden a las 0 ∞ formas indeterminadas . f (2) − f (−1) 3 − 0 =1 = 2 − (−1) 3 Por lo tanto debemos resolver la ecuación: 3c2 – 2c -1 =1 Que equivale a 3c2 – 2c – 2 = 0. Entonces c = -0. Encuentre todos los números que satisfacen la conclusión del Teorema del Valor Medio. 0 ∞ Enunciado: Si f y g son funciones derivables y g´(x) ≠ 0 cerca de un punto a.2] . y además. lím g ( x) = ±∞. f(x) = x2 – 5x + 6 Sen(x) 4o . b] en los cuales f(a) = f(b) = 0. y. [− 1. Utilizar el teorema de Rolle. Ejemplos: Calcular cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L´Hopital Ejemplo 1: lím x 2 + 2x + 1 . Lím x = 0 x →0 x →0 x →0 x Sen( x) Cos ( x) 0 = lím = =0 Entonces lím x →0 x →0 1 1 x Ejemplo 2: lím EJERCICIOS PROPUESTOS I. x→a x→a x→a x→a ii. se sigue x→ a g´( x ) 0 ∞ aplicando la regla hasta poder calcular el límite. b) tal que f´(c) = 0. se procede así: Se verifica si lím f ( x) = 0. o.1] 97 . y encontrar. tales que f ´(c) = teorema del valor medio. un c ∈ (a.Cálculo Diferencial Francisco J. . x→a x→a x→a x→a Entonces lím x→a f ( x) f ´(x) = lím g ( x) x →a g´(x) Para calcular los límites por la regla de L´Hopital. 1o . o. 1o . [− 2. f(x) = x2 + 7x + 12 5o f(x) = 9x2 – 5 f (b) − f (a ) . f(x) = x3 – x2 – 2x. [0. Hallar los intervalos [a.1] 5o . [0. Hallar los valores c para cada función. f(x) = Sen(x). Se halla f´(x) y g´(x) por separado f ´(x) Se calcula lím x→ a g´( x ) 0 ∞ f ´(x) Si lím sigue siendo una indeterminación de la forma . f(x) = x2 – 1. lím f ( x) = ±∞. lím f ( x) = 0. 3º . y. iii. lím ( x + 1) = 0 x → −1 x → −1 x → −1 x +1 2 2x + 2 0 x + 2x + 1 = lím = =0 Luego lím x → −1 x → −1 1 1 x +1 Sen( x) . y. f(x) = II. Aplicar el b−a 3º . PI ] 2º . y. lím g ( x) = ±∞ i. y. Como lím Sen( x) = 0.4] [0.1] 4o . Sepúlveda C. o. al menos. y. f(x) = x3. Como lím ( x 2 + 2 x + 1) = 0. lím f ( x) = ±∞. f(x) = x3/2. lím g ( x) = 0. f(x) = x + Sen(x) 2o . iv. lím g ( x) = 0. 4 pulgadas. lím 6º lim x →0 x →1 x − 1 x →1 1 − x x3 7º lim( x ln x ) x →0 8º lim (sec x − tan x ) x →π / 2 x ln x 11º lim x →1 x − 1 9º lim ln x x →∞ 3 ex 10º lim 2 x →∞ x 12º lim− x →π senx 1 − cos x II. lím 3o lím 1º . la pendiente de PQ y PR. Definición 2: Si la función f se define por y = f(x). III. denotada por dx. ∆x es un incremento arbitrario de x y x cualquier número en el dominio de f’ Ejemplo 1 La medida del diámetro de una bola da 1. denotada dy. está dada por dx = ∆x . x está en el dominio de f’ y ∆x es un incremento arbitrario de x. ∆y = f ' ( x) .Cálculo Diferencial Francisco J. Si la medida es correcta con un margen de error de 0. Hallar el valor de los siguientes límites utilizando la regla de L´Hopital x2 − 4 Cosx − 1 x 2 − 8 x + 15 2º . PM = ∆x = dx Supongamos que la función f está definida por y = f(x) ∆y donde ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) Entonces cuando f`(x) existe. Sepúlveda C. lím x → −2 x + 2 x →0 x →5 x x−5 ln x x −1 tan x − x 4º . luego ∆y = f ' ( x)∆x En la gráfica observamos que ∆x Definición 1: Si la función f está definida por y = f(x). f(x)) MQ = ∆y . entonces la diferencial de x. f ' ( x) = Lím ∆x →0 ∆x Para un valor pequeño de ∆x. estimar el error propagado en el 98 . lím 2 5º . son aproximadamente iguales. f(x)+dy) M(x+∆x.01 pulgadas. entonces el diferencial de y. DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES P(x.f(x)) Q(x+∆x).f(x+∆x)) R(x+∆x. está dada por: dy = f ' ( x)∆x. entonces V = (11.025. ¿Este error es grande o pequeño? Comparemos dV con V. se podría reportar el volumen de l cubo como 1482 ± 19 centímetros cúbicos. mediante la diferencial dA. Solución: El área de una pompa de jabón esférica está dada por A = 4πr 2 .025 pulgadas. Solución: 2 El volumen V de un cubo de lado x es V = x3.4)3 ≈ 1483 y dV = 3(11. Ejemplo 4. si y = x 2 + 3 x −1 / 2 1 2 (2 x + 3)dx = 2 x2 + 3 dx Solución: dy = x + 3x 2 2 x + 3x ( ) Ejemplo 3 Use diferenciales para calcular el valor aproximado del aumento en el área de una pompa de jabón cuando su radio aumenta de 3 a 3.Al medir el diámetro del extremo de un tronco se ha obtenido 28 pulgadas 99 .885 pulgadas cuadradas.0429 Este error se llama Error Relativo. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Evalúe el volumen del cubo y dé una estimación del error de este valor.4 centímetros con un posible error de ± 0. derivamos V.4 y dx = 0. volumen V de la bola. V 4/3 πr3 r 0.7 El porcentaje de error es dV/V (100) = 4.01) ≈ ±0.01) ≈ ±0.025) ≈ 1.7 pulgadas y el error posible es de 0.06158pulgadas3. El lado de un cubo es de 11.01<∆r<0. Por lo tanto. donde dA = 8πrdr En r = 3 y dr = ∆r = 0. donde r es el radio de la bola. Sepúlveda C. dV = 3x2 dx.05. r = 0. SI x = 11.01. Solución: La fórmula del volumen V =4/3 πr3. .7)2(±0. Podemos aproximarnos al cambio exacto. Para aproximar el error propagado en el volumen. entonces dA = 8π (3)(0. ∆A .05 centímetros.Cálculo Diferencial Francisco J.4) (0.29% Ejemplo 2 Encuentre dy.05) ≈ 19 Por lo tanto. dV/dr=4πr2 y escribimos ∆V ≈ dv = 4πr2dr = 4π(0.dV = 4πr2dr = 3dr ≈ 3 (±0. (R/. Use diferenciales para estimar el máximo error obtenido al calcular el área de uno de los lados del disco.Al medir el diámetro de una esfera se ha estimado en 18 pulgadas con n margen de error posible de 0. R/. con un margen de error de ¼ de pulgada. 2. b) Su área.02 pulgadas. Aproximar con diferenciales el máximo error posible al calcular: a) Su volumen.06 cm. ±7π pulgadas2).Se calcula que el radio de un disco circular es aproximadamente igual a 8cm con un error máximo en la medición de 0. b) ±0. Usar la diferencial para estimar el posible error propagado en el área de su superficie y en su volumen.5 pulgadas.Se nos dice que el radio de una esfera es de 6 pulgadas. con un margen de error de 0. a) ±2.Cálculo Diferencial Francisco J.96π pulgadas2 c) 1% y 2/3% 3. ¿Cuál es el error porcentual obtenido? 100 .88π pulgadas3 . c) Hallar los errores relativos y los porcentajes de a y b. 4. Sepúlveda C. Usar diferenciales para estimar el posible error cuando se calcule el área de ese extremo. Documents Similar To CALCULOSkip carouselcarousel previouscarousel nextAplicaciones de la Derivada (Extremos)DerivadaCuestionario de Calorimetria!Aplicaciones de La DerivadaRazon de CambioProblemas de aplicación de derivadas (Razón de cambio y Máximos y Mínimos)36304539 Informe de Lab de QuimicaExperimento 11Ejercicios Razon de CambioImforme de Calorimetrialos gases.docxREDOX ElectrolisisaplicderCapitulo III. 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