Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: Sejam e . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de p(x)=f(x).g(x) quando x=1. Seja P um ponto da curva no primeiro quadrante. Mostre que o triângulo determinado pelo eixo x, a tangente em P e pela reta que liga P à origem é isósceles e calcule a sua área. Determine todos os pontos da curva a tangente é paralela à reta 2y+3x+1=0 em que Ache as equações das retas tangente e normal à curva no ponto (1,2). Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: Seja . , de modo tal que Assumindo que f e g são deriváveis, encontre a derivada da função p. Sugestão: Escreva e derive utilizando a regra da derivada do produto e a Regra da Cadeia. Encontre a derivada de f(x)=tg x, utilizando o Exercício 2. Encontre a derivada de sendo n um número natural. , Sabendo que a velocidade é a derivada da posição com relação ao tempo e que a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo, se a aceleração é constante, a posição deve ser dada por uma função do tempo de qual tipo? Encontre uma função cuja derivada seja . Em seguida, encontre outra que tenha a mesma derivada. Quantas funções, com essa propriedade, é possível encontrar? Encontre uma função cuja derivada coincida com ela. Em seguida, encontre outra função com a mesma propriedade. Quantas funções, com essa propriedade, é possível encontrar? Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de abscissa 2. no ponto de Da Física, sabemos que a corrente I, que atravessa um circuito, é uma função do tempo e é dada por: , onde a carga Q de um capacitor, que inicia a descarga no instante t=0, é dada por R e C são constantes positivas que dependem do circuito. Determine a corrente I, em função do tempo. Uma partícula está em um movimento harmônico simples se a equação do seu movimento é dada pela fórmula velocidade dessa partícula. . Encontre a equação da Sendo u uma função de x, isto é, u=u(x), exprima cada uma das seguintes derivadas em termos de u e de : Determine uma função y=f(x) tal que Sua resposta, em cada caso, é única? Justifique. Observação: Cada uma das equações apresentadas é denominada uma equação diferencial. Utilizando a Regra da Cadeia, encontre a derivada das funções abaixo: a) f(x)=cotg x b) g(x)=sec x c) h(x)=cossec x Linearidade Regra do produto Regra do quociente Regra da Cadeia onde (f g)(x) está definido como f(g(x)) [editar] Derivadas de funções simples [editar] Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas [editar] Derivadas de funções trigonométricas As igualdades abaixo não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co-seno e da fórmula para a derivada do quociente: , ou, dito de outra maneira, , ou, dito de outra maneira, , ou, dito de outra maneira, ; , ou, dito de outra maneira, . . Ou seja, . . Isso é a mesma coisa que dizer que . . Dito de outra maneira, isso significa que ; . Ou seja, [editar] Derivadas de funções hiperbólicas Regras gerais para derivadas de funções 1. Multiplicação por escalar (kf) '(x) = k f '(x) 2. Soma de funções (f+g) '(x) = f '(x) + g '(x) 3. Diferença de funções (f–g) '(x) = f '(x) – g '(x) 4. Produto de funções (f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x) 5. Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo, então Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada. Exercício: Determinar as regras de derivação para as funções: a. b. c. d. e. w(x)=f(x)+g(x)+h(x) w(x)=f1(x) +...+ fn(x) w(x)=f(x) × g(x) × h(x) w(x)=f1(x) ×...× fn(x) w(x)=f(x) × g(x) ÷ h(x) Regra da cadeia As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta. Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por: h '(x) = f '(g(x)) g '(x) Uma notação muito utilizada é: [f(u(x))] ' = f '(u) u '(x) Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes: Dxy = Duy Dxu, yx = yu ux, Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia: f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x) logo f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99 Derivada da função inversa: Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por: g '(y) = 1/f '(x) Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos: 1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x) Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por: g '(y) = 1/(2x+3) Derivada de potência de função: Se f(x)=[u(x)]p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então f '(x) = p [u(x)]p-1 u '(x) Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]7, definida para x real. Mostrar que a derivada, é dada por: f '(x) = 14 [sen(2x)]6cos(2x) Derivadas de função elevada a outra função: Se f(x)=[u(x)]v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, então: f '(x) = u(x)v(x)[(v(x).u '(x)/u(x)) + v '(x).ln(u(x))] ou sem a variável x, como: f ' = uv [v u '/u + v ' ln(u)] Exemplo: Seja f(x)=xx, definida para x>0. Mostrar que a derivada, é dada por: f '(x) = xx [1 + ln(x)] Projeto para um trabalho 1. 2. 3. 4. Construir a circunferência x²+y²=1 e a hipérbole canônica x²–y²=1; Na circunferência, identificar o seno, o cosseno e a tangente; Na hipérbole, identificar o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico; Definir o seno hiperbólico, o cosseno hiperbólico e a tangente hiperbólica em função das funções exponenciais f(x)=exp(x) e g(x)=exp(–x); 5. Apresentar uma série de identidades trigonométricas circulares clássicas; 6. Apresentar uma série de identidades trigonométricas hiperbólicas; 7. Obter as derivadas das funções seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica, comparando os resultados obtidos com as derivadas de seno, cosseno e tangente circulares. Derivadas de Ordem Superior Seja f uma função derivável. Se f ' também for derivável, então a derivada de f ' é denominada derivada segunda de f e é representada por f” (f duas linhas). Se f" é uma função derivável, a sua derivada dada por f ' ' ', é denominada derivada terceira de f. A derivada de ordem n dada por f(n) é obtida pela derivada da derivada de ordem n-1 de f. Algumas notações para algumas derivadas de ordem superior: f(n) = Derivada de ordem n da função f f(o) = Derivada de ordem zero para f Derivadas de funções Implícitas As funções abordadas até agora, foram sempre apresentadas na forma explícita y=f(x) em que podemos determinar y em termos de x. Por exemplo, y=f(x)=esen(x) pode ser derivada pelas regras comuns. Muitas vezes, trabalhamos com equações em x e y, como por exemplo: x² + y² = 1 ou xy + sen(xy) = 3 onde nem sempre se pode explicitar para a variável y ser definida em função de x. As equações acima, definem relações entre y e x, mas nem sempre se pode definir y como uma única função de x. Assim, poderemos explicitar y na primeira, porém não explicitaremos y na segunda, por ser impossível. Para x²+y²=1, duas soluções possíveis são: e obtemos as derivadas pelos processos comuns. No caso em que temos xy+sen(xy)=3, não é possível extrair o valor de y em função de x e isto nos força a pensar na possibilidade da existência da derivada f ', mesmo que não exista uma função y=f(x). Construiremos outro processo que nos poupe trabalho. Não trabalharemos agora com a função xy+sen(xy)=3, por ser muito complicada, mas tomaremos a relação: x²+y²=1. Admitindo que existe y=f(x) definida implicitamente com x em algum intervalo real I, tal que f possua derivada neste intervalo, então para cada x em I, poderemos escrever: x² + f²(x) = 1 Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x, obtemos: 2x + 2 f(x) f '(x) = 0 Temos então uma relação entre x, f e f ', dada por: f '(x) = –x/f(x) desde que f(x) seja diferente de zero no ponto sob consideração, assim: Exercício: Derivar implicitamente a função y=f(x), definida pela relação: x3y + x²y² + x + y + xy3 = 6 Regra de L'Hôpital A regra de L'Hôpital apresenta um método geral para levantar indeterminações de limites dos tipos 0/0 ou infinito/infinito. Esse método é dado pelo: Teorema (L'Hôpital): Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo I=(a,b), exceto possivelmente no ponto a de I. Se para todo x diferente de a em I, a derivada de g não se anula, Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x a, e, além disso Lim x a então, também temos que Lim x a f(x) =L g(x) f '(x) =L g '(x) Exemplo: Para obter o limite Lim x 0 sen(x) x L= usamos a Regra de L'Hôpital. Derivamos as funções do numerador e do denominador (não é a derivada do quociente!) e calculamos o novo limite. Dessa forma: Lim L= x 0 sen(x) x Lim = x 0 cos(x) =1 1 O teorema acima continua válido para limites laterais e limites no infinito, definindo f e g em intervalos adequados. É válido também se ao invés do número L, o limite for infinito. Quando temos formas indeterminadas, podemos reescrever as mesmas para poder aplicar a Regra de L'Hôpital. Exemplo: Para obter o limite L=Lim[x.log(x)] quando x 0, podemos escrever este limite na forma de uma fração e usar a Regra de L'Hôpital. Realmente, Lim Lim L= [x log(x)] = x 0 x 0 log(x) 1/x Lim = x 0 1/x = -1/x² Lim -x = 0 x 0 Fórmula de Taylor A fórmula de Taylor é um método de aproximar uma função por um polinômio algébrico, com um erro que pode ser estimado. Se f é uma função real definida sobre um intervalo (a,b), f admitindo derivadas até a ordem n+1 em x=c de (a,b). O polinômio de Taylor de ordem n associado à função f em x=c, denotado por Pnf, é definido como: Aqui Pn(c)=f(c). Dado o polinômio de Taylor de grau n de uma função f, o resto Rn f(x) é a diferença entre f=f(x) e Pn f(x), isto é: Rnf(x) = f(x) - Pnf(x) Este resto é dado por f(n+1)(z) Rnf(x) = (n+1)! (x-c)n+1 sendo que z é um número que está entre x e c. Esta última expressão é a forma de Lagrange para o resto. Exercício: Obter o polinômio de Taylor de grau 10 da função real definida por f(x)=cos(x), desenvolvido em torno do ponto c=0. Construída por Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré Atualizada em 14/out/2004.
Report "Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo"