Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG Escola de Engenharia Departamento de Mecânica - DEMECEMA105 – Laboratório de Automação e Controle Caderno de Práticas de Controle Autores Prof. Lázaro Valentim Donadon Profa. Gilva Rossi de Jesus Fevereiro 2010 Normas do Laboratório • • • Não é permitido assistir aula em outro horário; Relatório será impresso e deve ser entregue na próxima aula; Pontualidade e assiduidade serão pontuadas; Pontuação: 1 Ponto por participação por aula 1 Ponto por presença por aula 3 Pontos por relatório 15 Pontos da prova prática Total de Pontos: Participação Presença Relatórios Prova Total 7 Pontos 7 Pontos 21 Pontos 15 Pontos 50 Pontos Cronograma Aula 01 02 03 04 05 06 07 08 Turmas D1 e D2 Turmas D3 e D4 Assunto Sistemas de 1ª ordem Sistemas de 2ª ordem Introdução ao Controlador PID Método de ajuste em malha fechada Simulink Método de ajuste em malha aberta Identificação de sistemas Prova de Sistemas de Controle 1 ....................................................1 Método de Ziegler-Nichols e Hagglund..................................................................................................1 MODELOS DE 1ª ORDEM .....................................................................................................................................................................10 CONTROLADOR PID..........4 2.................................................1 4............1 3..............15 TRABALHO 2 .................................................21 7.......................11 TRABALHO 4 ......3 MÉTODO ZIEGLER-NICHOLS MALHA ABERTA ..23 2 .3 EXERCÍCIO 1 ...................................................................................................................................................................................................................20 7.......................................................................................................................6 TEORIA SOBRE RAÍZES COMPLEXAS ..............................2 4 4.................1..................................................................................1 6................8 EXERCÍCIO 2 .................................................7 ESTABILIDADE ..................................................................................21 7.................................................2 Método de Smith ...........................9 EXERCÍCIO 3 ...1..........4 EXERCÍCIO 2 ................................................................................................................................................................................Índice 1 TRABALHO 1 ...........................13 TRABALHO 5 ..................................7 EXERCÍCIO 1 ....7 TRABALHO 3 ..........................................................17 6.........................................12 MÉTODO ZIEGLER-NICHOLS DE MALHA FECHADA ............13 EXERCÍCIO ........................................................................................................................................................1 1.............................................2 MODELOS DE 2ª ORDEM ...................................2 1...............................................................................................................................................................................................11 EXERCÍCIO .......................................................................................................................................................................................................................................2 2............................................................................................4 2 2.................................17 EXERCÍCIO .........................................2 5 6 TEORIA SOBRE CONSTANTE DE TEMPO ...................................................5 3 3...................5 COMANDOS UTILIZADOS (MATLAB) .........................................................................................................................................................16 TRABALHO 6 ................3 2........................2 6...................................................................3 1..........17 MÉTODO COHEN E COON .....................................................................................................................................1 2............20 7..........3 EXERCÍCIO ....................................................3 1..........................................................................20 7...............................19 7 TRABALHO 7 ....................................................................................................................... 2% da amplitude da resposta em regime permanente quando o sistema é submetido a uma entrada degrau.632 12 9 6 3 0 0 3 6 9 12 15 18 0 0 3 6 9 12 15 18 20 Tempo (sec) Tempo (sec) Figura 1-2: Respostas ao degrau e à rampa 3 . (a) Resposta ao degrau (b) Resposta à rampa Figura 1-1: Identificação gráfica da constante de tempo Exemplo: Encontrar a constante de tempo do seguinte sistema.1 Teoria sobre Constante de Tempo Constante de tempo é o tempo necessário para a resposta atingir 63. 1. 1 G (s) = 3s + 1 Resposta ao Degrau 1 20 18 Resposta à Rampa 15 Resposta g(t) 0.1 Trabalho 1 Esta prática tem por objetivo estudar a influência da constante de tempo na resposta de um sistema de 1ª ordem. (d) Reduzir a área do tanque para 1 m2 e verificar a influência desta alteração na constante de tempo do sistema. 4 . Comentar a respeito das diferenças nas constantes de tempo nos três casos. Traçar novamente qo(t) para uma variação degrau unitário em qi(t).1. utilizando o pacote Matlab pede-se: Figura 1-3: Sistema de um tanque representando um sistema de 1ª ordem (a) Determinar a função de transferência que relaciona qo(t) e qi(t). Traçar novamente qo(t) para uma variação degrau unitário em qi(t). (c) e (d).25 m/(m3/min).2 Exercício 1 Para o tanque abaixo com área A = 6 m2. (b) Traçar qo(t) quando qi(t) sofre uma variação degrau unitário. Resistência R = 1. Qual a constante de tempo para este caso? (c) Reduzir a área do tanque para 3 m2 e verificar a influência desta alteração na constante de tempo do sistema. (e) Comparar as respostas obtidas nos itens (b). A2 = 3 m2.25 m/(m3/min). traçar em um único gráfico as respostas q2(t). pede-se utilizando o Matlab: Figura 1-4: Sistema de tanques representando sistemas de 1ª ordem em série (a) Determinar a função de transferência que relaciona q2(t) e q1(t). (c) Determinar a função de transferência que relaciona q4(t) e q1(t). q3(t) e q4(t) obtidas nos itens anteriores e comentar as diferenças que ocorreram entre as respostas. A3 = 2 m2 e R1=R2=R3 = 1. considerar que a entrada q1(t) é um degrau unitário.3 Exercício 2 Para o sistema de tanques definido abaixo. (d) Utilizando o Pacote computacional Matlab. 5 .1. (b) Determinar a função de transferência que relaciona q3(t) e q1(t). supondo que A1 = 4 m2. t).t. a variável "a" é diferente da variável "A". Exemplo : help title <enter> (i) Especificação de legendas : title. u=sin(5*t).1. (ii) Letra minúscula é diferente de letra maiúscula. {calcula resposta a entrada u definida anteriormente} plot(t. axes (iii)Entrando com valores durante a execução de um programa : input (por exemplo : kc=input('Entre com o valor de Kc :'). axis. den2=[1 4 5].4 COMANDOS UTILIZADOS (Matlab) Comando step : simula a resposta ao degrau unitário. Utilizando o comando "help" é possível obter as informações sobre estes comandos. (iv) Escrevendo uma informação na tela : disp (por ex : disp('Lugar das raízes do sistema em malha aberta')) Nesta página de trabalho do matlab o usuário poderá ter uma demonstração da capacidade do matlab digitando o comando "demo" e em seguida "enter". { define o denomindor da função de transferênica : 3s^2+4s+5) planta=tf(num1. Exemplo de programação t=0:0. Uma nova tela irá se abrir e o usuário poderá iniciar o seu programa. {calcula a resposta ao degrau unitário} num2=1. Sugestão : ler demonstrativo disponível em : "Control System" . {define o tempo final (100) e o passo (0. Comando help step <enter> : fornece informaçoes sobre o comando step STEP(SYS. ou seja.den2).1)} num1=[1]. (iii) Comentários dentro do programa basta inserir no início da linha "%" (iv) Após salvar o programa."Getting started" Como criar um novo programa : (i) Após entrar no programa matlab. { define o numerador da função de transferênica) den1=[3 4 5]. subplot."Tutorials" .u. {entrada é a função sen(5t)} y2=lsim(planta2. o mesmo poderá ser executado através da tecla F5 • • 6 . ylabel.den1). {define a FT) y1=step(planta. xlabel. planta2=tf(num2.TFINAL) simulates the step response from t=0 to the final time t=TFINAL.t).1:100.y2) {(plota y1 e y2 em um mesmo gráfico} planta3 = planta*planta2 {multiplica 2 FT) • Os comandos listados abaixo podem ser úteis nos desenvolvimentos dos trabalhos de simulação. clicar no ícone "open file". text (ii) Traçando gráficos : figure.y1. s = −ζω n ± jωd . o sistema é Marginalmente Estável. o sistema é Instável. 2. Supondo um sistema cujas raízes são na forma s = σ ± jω . & m&&( t ) + cx ( t ) + kx ( t ) = f ( t ) x → &&( t ) + 2ζω n x ( t ) + ω 2 x ( t ) = & x n f (t) m As raízes do sistema acima podem ser dadas por uma parte real e uma parte complexa. Figura 2-1: Movimentação das raízes complexas em função do fator de amortecimento 2.2 Estabilidade As raízes da equação característica ou pólos do sistema são indicativos da sua estabilidade. No plano complexo. Se pelo menos 1 pólo possui ℜ{s} = 0 e os demais pólos forem ℜ{s} < 0 . então.2 Trabalho 2 Esta prática tem por objetivo estudar a influência dos pólos em um sistema de 2ª ordem. ωn é a freqüência natural e ωd é a freqüência natural amortecida. ωd = ω n 1 − ζ 2 onde ζ é o fator de amortecimento. Se pelo menos 1 pólo possui ℜ{s} > 0 . 7 . • • • Se todos os pólos possuem ℜ{s} < 0 . o sistema é Assintoticamente Estável.1 Teoria sobre Raízes Complexas Um sistema massa-mola-amortecedor possui sua representação na forma padrão de um sistema de segunda ordem dado por. Traçar o gráfico da resposta ao degrau. (d) Alterar o valor da massa e/ou mola e/ou amortecedor de tal forma a se obter um sistema criticamente amortecido. (f) Traçar os itens (d) e (e) juntos. Quais os valores dos pólos do novo sistema. qual a diferença entre um sistema criticamente amortecido e um sistema sobre-amortecido? 8 . Traçar y(t) utilizando Matlab. (b) Para uma perturbação na força igual a um degrau unitário.3 Exercício 1 Para o sistema massa mola amortecedor supondo M = 2 kg.2. C= 1 Ns/m e K = 5 N/m Figura 2-2: Sistema Massa-Mola-Amortecedor (a) Determinar a função de transferência que relaciona a posição y(t) e a força aplicada f(t). Quais os valores dos pólos do sistema (raízes da equação característica) ? (c) Calcular o valor máximo de y(t) através do gráfico obtido no item anteriror. Quais os valores dos pólos do novo sistema? (e) Alterar o valor da massa e/ou mola e/ou amortecedor de tal forma a se obter um sistema sobre-amortecido. traçar y(t) usando Matlab. Para melhor visualizar os efeitos dos pólos na resposta. (f) Os pólos são valores complexos conjugados – parte real negativa. variar os valores dos pólos para que se torne mais significativa a diferença entre os itens. traçar os itens (a) e (b) sobrepostos. (b) Os pólos da FT são reais. (e) e (f)? 9 . (g) Qual o conclusão dos itens (d). (e) Os pólos são valores complexos conjugados – parte real positiva.4 Exercício 2 Considere a função de transferência abaixo. diferentes e negativos. traçar a resposta ao degrau unitário para que os pólos do sistema sejam na forma: Y(s) 10 = 2 X(s) aS + bS + 1 (a) Os pólos da FT são reais. (c) Faça a análise dos resultados dos itens (a) e (b). Se necessário. (d) Um dos pólos da FT é real positivo.2. iguais e negativos. Pede-se: Y(s) 10 = 2 X(s) aS + bS + 1 (a) Variar de forma significativa somente a parte real. escolha os pólos adequadamente tal que o sistema tenha pólos complexos conjugados com parte real negativa. O que se conclui? Observações a serem feitas: Qual é o efeito da parte real e da parte imaginária na resposta? Qual é a influência no fator de amortecimento ζ e na freqüência natural ωn? 10 . Calcular os valores de ζn e de ωn para cada caso.2. O que se conclui? (c) Variar de forma significativa somente a parte imaginária e fazer a parte real igual a zero. cerca de 3 valores diferentes. Traçar a resposta ao degrau para cada caso em um único gráfico. O que se conclui? (b) Variar de forma significativa somente a parte imaginária. Traçar a resposta ao degrau para cada caso em um único gráfico. cerca de 4 valores diferentes. Calcular os valores de ζn e de ωn para cada caso. Traçar a resposta ao degrau para cada caso em um único gráfico.5 Exercício 3 Para um sistema de 2ª ordem sem erro estacionário. Calcular os valores de ζn e de ωn para cada caso. cerca de 3 valores diferentes. Observe que a função de transferência do controlador PID é imprópria.3 Trabalho 3 Esta prática tem por objetivo analisar os efeitos do controlador PID.1 Controlador PID O controlador PID possui a seguinte função de transferência. Td é a constante de tempo do controle derivativo. 11 . Ki é o ganho integral. Kd é o ganho derivativo. 3. Ti é a constante de tempo do controle integral. 2 K I K ds + K ps + K I PID = K p + K d s + = s s ⎛ 1 ⎞ K c Td Ti s 2 + K c Ti s + K c ⎟= = K c ⎜1 + Td s + ⎜ Ti s ⎟ Tis ⎝ ⎠ Onde: Kp é o ganho proporcional. Kc é o ganho proporcional. 25 m/(m3/min) pede-se: Figura 3-1: Esquema de controle do sistema de tanques (a) Determinar o diagrama de blocos do sistema de controle de nível de líquido. Comentar o resultado obtido. Comentar o resultado obtido.3. Fixar o valor de Kc e variar Ti. área do tanque 2 A2 = 10 m2 e as resistências R1 e R2 são 1.2 Exercício Para o sistema abaixo. Comentar o resultado obtido. Traçar as curvas no mesmo gráfico. (c) Assumir que a FT do controlador PID tem apenas o ganho Kc = 1. (d) Variar 3 valores para Kc e verificar a sua influência no controlador traçando as curvas no mesmo gráfico. Comparar as respostas em malha aberta e malha fechada da resposta q3(t). 3 valores. (f) Trocar o controlador para um do tipo PID. Fixar os valores de Kc e de Ti e variar Td em 3 valores diferentes. 12 . traçando as curvas no mesmo gráfico. (b) Determinar a função de transferência da malha fechada com o controlador PID do sistema de controle de nível de líquido. (e) Trocar o controlador para um do tipo PI. (g) Ajustar um PID para obter o melhor desempenho possível. sabendo-se que área do tanque 1 A1 = 6 m2. 4.8 Pole: -0.4 Trabalho 4 Esta prática tem o objetivo de ajustar um controlador PID utilizando Método ZieglerNichols de malha fechada. Figura 4-1: Controlador PID Para aplicar o método Ziegler-Nichols de malha fechada deve-se primeiro encontrar qual o ganho proporcional Kc.7 Frequency (rad/sec): 4 2 Imaginary Axis 0 -2 -4 System: untitled1 Gain: 49. que torna o sistema de malha fechada marginalmente estável. pelo menos um dos pólos do sistema de malha fechada deve ser puramente imaginário.000873 Overshoot (%): 99. fazendo o PID somente Kc. pelo menos um dos pólos da equação acima deve possuir parte real igual a zero. O sistema apresentado na Figura 4-1.7 Frequency (rad/sec): 4 0 -2 -6 -8 -10 -8 -6 -4 2 Real Axis Figura 4-2: Lugar das Raízes no plano complexo 13 .000873 Overshoot (%): 99.8 Pole: -0. sem que tenha a parte integral e derivativa. Y(s) G (s)Kc = R (s) 1 + G (s)Kc Para o calculo do ganho crítico.1 Método Ziegler-Nichols de malha Fechada Supondo um controlador PID na forma. Root Locus 8 6 Ganho Crítico Kcr 4 System: untitled1 Gain: 49. isto é.00349 .4i Damping: 0. Este ganho Kc passa a ser chamado de ganho crítico Kcr. o sistema de malha fechada é dado por.00349 + 4i Damping: 0. 7 0.5 0.2 --PID 0.8 0. PID = K p + K d s + 2 K I K ds + K ps + K I = s s ⎛ 1 ⎞ K c Td Ti s 2 + K c Ti s + K c ⎟= = K c ⎜1 + Td s + ⎜ Ti s ⎟ Tis ⎝ ⎠ 14 .8 0. Resposta ao Degrau Unitário 1.Kcr Tu/1.45.2 0.6 0.Kcr 0.1 0.4 1.5Tu 0.2 0 0 0.4 0. Tabela 4-1: Parâmetros do controlador em função do ganho crítico Kcr e do tempo de oscilação Tu Tipo do controlador Kc Ti Td P 0.125Tu Deve ser lembrado que.2 Tempo de oscilação Tu 1 Amplitude 0.9 1 Tempo [s] Figura 4-3: Resposta ao degrau do sistema realimentado com Kcr Agora os parâmetros do controlador podem ser ajustados de acordo com a tabela abaixo.5 Kcr --PI 0.4 0.O segundo passo consiste em traçar a resposta ao degrau do sistema realimentado pelo ganho crítico Kcr.6.3 0.6 0. Desta resposta é retirado o tempo de oscilação Tu. H(s) = 1 τs + 1 (c) Projetar um controlador PID utilizando o método Ziegler-Nichols de malha fechada. Comentar a diferença. X(s)/R(s) com o sistema sem controle ou de malha aberta. na forma. com o sistema de controle em malha fechada medido. • U(s) é a lei de controle. G (s) = d as + bs + c 2 (b) Escolher o sensor de erro H(s) para que este seja uma planta de 1ª ordem com constante de tempo τ rápida o suficiente para acompanhar. Comparar o resultado do sistema de controle em malha fechada real. Observe que a resposta do sistema não depende do sensor de medida. Assumindo que G(s) seja a planta do processo a ser controlado e H(s) a função de transferência do sensor de erro utilizado para medir a resposta de G(s). (a) Escolher a planta G(s) para que esta seja uma planta de 2ª ordem. mas apenas o sistema de controle. tenha pólos com parte real negativa e apresente y(∞) entre 0.2 Exercício Considerando o sistema de controle apresentado na Figura 4-4. Dica.9. • Y(s) é a resposta controlada real do sistema em malha fechada. 15 .7 e 0. Figura 4-4: Sistema de controle utilizando sensores Sendo que: • E(s) é o erro do sistema de controle. isso pode ser conseguido fazendo o pólo de H(s) de 3 a 6 vezes maior que os pólos de G(s). Este era o resultado esperado? Caso contrário. qual a explicação? (d) Fazer ajustes finos no controlador PID para obter o melhor desempenho possível. H(s) é na forma. mas que esta não seja rápida o suficiente para seguir exatamente a planta G(s). Y(s)/R(s). este afetará o desempenho do sistema de controle. • X(s) é a resposta medida pelo sensor de erro. Observe que se H(s) possuir erro estacionário.4. 16 . pede-se: (a) Refazer o exercício 4. Comparar as respostas controladas e as leis de controle para o método Ziegler-Nichols e do ajuste fino. (b) e (c) com valores diferentes do utilizado na aula 4. a resposta controlada real y(t) e medida x(t) do Sistema . traçar a referência r(t). o erro e(t).2 letras (a). a lei de controle u(t). (c) Fazer ajustes finos no controlador PID para obter o melhor desempenho possível.5 Trabalho 5 Esta prática tem o objetivo de simular um sistema de controle em malha fechada utilizando o Simulink Figura 5-1: Sistema de Controle em malha fechada Para o diagrama de blocos acima. (b) Utilizando o Simulink. 2T/L 2L 0.1 Método Ziegler-Nichols Malha Aberta O método Ziegler-Nichols em malha aberta se aplica se a curva de resposta ao degrau unitário de entrada apresentar o aspecto de um S.2 Método Cohen e Coon O método Cohen e Coon é muito parecido com o método Ziegler-Nichols de malha aberta. Essa curva de resposta ao degrau unitário pode ser gerada experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica da planta.6 Trabalho 6 Esta prática tem o objetivo de ajustar o Controlador PID utilizando o método de ZieglerNichols em malha aberta e o método da curva de reação do processo. 6. segundo este método.3 0 PID 1. O ajuste de controlador PID. 17 . proposto por Cohen e Coon. Tabela 6-1: Parâmetros do controlador PID segundo o método Ziegler-Nichols malha aberta. introduz no sistema dois zeros em -1/L.5L 6. Tipo de controlador Kc Ti Td P T/L 0 ∞ PI 0. o degrau aplicado como entrada tem amplitude M e não mais é necessário que seja de amplitude igual a 1. O atraso e a constante de tempo são determinados desenhando-se uma linha tangente no ponto de inflexão da curva com o formato em S e determinando-se a interseção da linha tangente com o eixo do tempo. mas neste caso.9T/L L/0. o atraso L e a constante de tempo T. Figura 6-1: Resposta ao degrau unitário A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duas constantes. S. B= K K . Tipo de Kc Ti Td Controlador P 0 ∞ 1 B ⎛ Td ⎞ ⎜1 + ⎟ Kg L ⎝ 3B ⎠ 0 PI 1 T⎛ 9 L ⎞ L⎞ ⎛ ⎜ + ⎟ ⎜ 30 + 3 ⎟ Kg L ⎝ 10 12T ⎠ T⎠ L⎝ L 9 + 20 T PD ∞ 1 B⎛5 L ⎞ L⎞ ⎛ ⎜ + ⎟ ⎜6 − 2 ⎟ Kg L ⎝ 4 6B ⎠ T⎠ L⎝ L 22 + 3 B PID 4 1 B⎛4 L ⎞ L⎞ ⎛ L ⎜ + ⎟ ⎜ 32 + 6 ⎟ L Kg L ⎝ 3 4B ⎠ B⎠ 11 + 2 L⎝ B L 13 + 8 B 18 . os ajustes recomendados para os controladores são os seguintes. A inclinação da reta tangente. Kg = S M Usando os valores de L.Primeiramente. A interseção desta tangente com a abscissa é tomada como o tempo morto aparente. B e Kg. ou seja. Tabela 6-2: Parâmetros do controlador PID segundo o método Cohen Coon. Com os valores de L e de S. L. calcula-se B e Kg. é determinada baseando-se no gráfico. traça-se uma tangente à curva no ponto de inflexão. Figura 6-1. (f) Comparar os resultados obtidos para uma entrada degrau unitário. (d) Projetar um controlador PID baseado no método Cohen-Coon. isto é. segundo. (e) Projetar um controlador PID baseado no método Ziegler-Nichols de malha fechada. com pólos reais e negativos. (g) Fazer ajustes finos no sistema de controle para se obter o melhor resultado possível. 19 .7 e 0.6.3 Exercício Projetar um controlador PID baseado nos métodos Ziegler-Nichols de malha aberta e Cohen Coon para uma planta que apresente a resposta ao degrau unitário a forma de “S”. com y(∞) entre 0.9. (c) Projetar um controlador PID baseado no método Ziegler-Nichols de malha aberta. Figura 6-2: Sistema de controle utilizando sensores (a) Escolher uma planta G(s) de 2ª ordem. (b) Escolher um sensor de erro adequado para a planta. que não possua erro estacionário e uma constante de tempo rápida o suficiente para acompanhar as variações da planta. 1 Método de Ziegler-Nichols e Hagglund Nestes métodos os parâmetros Kp. Constante de tempo τ.1.τ e θ são calculados conforme é ilustrado na figura abaixo. a constante de tempo τ e o atraso por transporte. 7. Kp = Δy Δu Ziegler-Nichols Hagglund onde Δy é a variação na saída e Δu é a variação na entrada. somente a constante de tempo são obtidas de forma diferente. Os parâmetros Kp e θ são calculados da mesma forma nos dois métodos.7 Trabalho 7 Esta prática tem o objetivo de estimar os parâmetros de um sistema de 1ª e de 2ª ordem através de métodos analíticos simples. θ.1 Modelos de 1ª Ordem O modelo paramétrico de um sistema de primeira ordem pode ser representado pela seguinte função de transferência. θ = t1 τ = t 2 − t1 τ = t 3 − t1 20 . Figura 7-1: Resposta ao degrau de uma planta que pode ser aproximada por um modelo de 1ª ordem Ganho Estático Kp. 7. Atraso por transporte θ. onde a reta traçada corresponde à tangente no ponto de máxima inclinação da curva de reação. G (s) = Kp (τs + 1) e −θs = Y(s) U(s) Note-se que é necessário determinar 3 parâmetros: o ganho estático Kp. 2 Método de Smith Neste método. ΔU θ = t2 − τ 7. t1 = tempo para a saída alcançar 15% da resposta final. existem vários métodos que possibilitam a determinação do modelo paramétrico deste sistema. as constantes de tempo τ1 e τ2.5( t 2 − t 1 ) . os parâmetros são obtidos conforme as equações e a figura representada a seguir.1. são identificados três pontos intermediários. Figura 7-2: Resposta ao degrau de uma planta que pode ser aproximada por um modelo de 1ª ordem. o método de Mollenkamp. Será apresentado a seguir. t3 : tempo para a saída alcançar 75% da resposta final. θ. 21 . Kp = ΔY .2 Modelos de 2ª Ordem O modelo paramétrico de um sistema de segunda ordem pode ser representado pela seguinte função de transferência. O método apresentado por Mollenkamp. t2 : tempo para a saída alcançar 45% da resposta final. Na curva de reação. obtida a partir de uma entrada degrau. Da mesma forma que para sistemas de primeira ordem. Kp. apresentado os parâmetros para o método de Smith Os parâmetros são estimados como.7. τ = 1. e o atraso por transporte. também analisa a curva de reação do processo. Kp Y(s) e −θs = G (s) = U(s) (τ1s + 1)(τ 2s + 1) Note-se que é necessário determinar 4 parâmetros: o ganho estático. 922.085 − 5.66) ζ θ = t2 − f3 ωn (7) Atraso de Transporte (8) Constantes de Tempo ζ ± ζ2 −1 τ12 = ωn 22 .356) (3) Se ζ≤1 (4) Se ζ>1 f 2 = 0.6ζ − 0.(2.708.547(0.(1.60 ωn = f2 t 3 − t1 (5) Freqüência Natural (6) f 3 = 0.475 − x ) 2 (2) Fator de Amortecimento ζ = ( x − 0.Os parâmetros são calculados conforme a seqüência de expressões. (1) x= t 2 − t1 t 3 − t1 0.811) ζ f 2 = 2. e resposta ao degrau unitário 0. Comparar as resposta ao degrau da planta real e dos modelos estimados. freqüências naturais e erro estacionário. Estimar esta planta utilizando uma aproximação de 1ª ordem e uma aproximação de 2ª ordem. Comparar as respostas ao degrau da planta e do modelo estimado e comparar os fatores de amortecimento. Escolher uma planta de 2ª ordem que tenha fator de amortecimento menor que 1. 23 .7.9. estimar esta planta utilizando uma aproximação de 2ª ordem.8.3 Exercício Construir uma função de transferência G(s) de 3ª ordem com pólos reais e negativos que apresente resposta ao degrau unitário entre 0.7 e 0.