Caderno de Atividades

Caderno de Atividades Administração Disciplina Matemática Aplicada Coordenação do Curso Grasiele Lourenço Autora Andrea Hamazaki Feitosa 2 Chanceler Diretora de Desenvolvimento de EAD Ana Maria Costa de Sousa Thais Costa de Sousa Reitora Leocádia Aglaé Petry Leme Diretoria do Núcleo de Produção de Conteúdo e Inovações Tecnológicas Carina Maria Terra Alves Pró-Reitor Administrativo Rodolfo Pinelli Antonio Fonseca de Carvalho Marcio Olivério Pró-Reitor de Graduação Eduardo de Oliveira Elias Pró-Reitor de Extensão Ivo Arcangêlo Vedrúsculo Busato Juliana Alves Lusana Verissimo Planejamento Acadêmico dos Cadernos de Atividades Barbara Monteiro Gomes de Campos Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação Ana Cristina Ferreira Luciana Paes de Andrade João Fiorio Priscilla Ramos Capelo Diretor Geral de EAD José Manuel Moran  Como citar esse documento: FEITOSA, Andrea Hamazaki. Matemática Aplicada. Valinhos, pp. 1-119, 2013. Disponível em: www. anhanguera.com. Acesso em: 01 fev. 2013. © 2012 Anhanguera Publicações Proibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica,resumida ou modificada em língua portuguesa ou qualquer outro idioma. Diagramado no Brasil 2012 3 Legenda de Ícones Leitura Obrigatória Agora é a sua vez Vídeos Links Importantes Ver Resposta Finalizando Referências Início 4 Nossa Missão, Nossos Valores Desde sua fundação, em 1994, os fundamentos da “Anhanguera Educacional” têm sido o principal motivo do seu crescimento. Buscando permanentemente a inovação e o aprimoramento acadêmico em todas as ações e programas, ela é uma Instituição de Educação Superior comprometida com a qualidade do ensino, pesquisa de iniciação científica e extensão, que oferecemos.   Ela procura adequar suas iniciativas às necessidades do mercado de trabalho e às exigências do mundo em constante transformação. Esse compromisso com a qualidade é evidenciado pelos intensos e constantes investimentos no corpo docente e de funcionários, na infraestrutura, nas bibliotecas, nos laboratórios, nas metodologias e nos Programas Institucionais, tais como: · · · · · Programa de Iniciação Científica (PIC), que concede bolsas de estudo aos alunos para o desenvolvimento de pesquisa supervisionada pelos nossos professores. Programa Institucional de Capacitação Docente (PICD), que concede bolsas de estudos para docentes cursarem especialização, mestrado e doutorado. Programa do Livro-Texto (PLT), que propicia aos alunos a aquisição de livros a preços acessíveis, dos melhores autores nacionais e internacionais, indicados pelos professores. Serviço de Assistência ao Estudante (SAE), que oferece orientação pessoal, psicopedagógica e financeira aos alunos. Programas de Extensão Comunitária, que desenvolve ações de responsabilidade social, permitindo aos alunos o pleno exercício da cidadania, beneficiando a comunidade no acesso aos bens educacionais e culturais. A fim de manter esse compromisso com a mais perfeita qualidade, a custos acessíveis, a Anhanguera privilegia o preparo dos alunos para que concretizem seus Projetos de Vida e obtenham sucesso no mercado de trabalho. Adotamos inovadores e modernos sistemas de gestão nas suas instituições. As unidades localizadas em diversos Estados do país preservam a missão e difundem os valores da Anhanguera. Atuando também na Educação a Distância, orgulha-se de oferecer ensino superior de qualidade em todo o território nacional, por meio do trabalho desenvolvido pelo Centro de Educação a Distância da Universidade Anhanguera - Uniderp, nos diversos polos de apoio presencial espalhados por todo o Brasil. Sua metodologia permite a integração dos professores, tutores e coordenadores habilitados na área pedagógica com a mesma finalidade: aliar os melhores recursos tecnológicos e educacionais, devidamente revisados, atualizados e com conteúdo cada vez mais amplo para o desenvolvimento pessoal e profissional de nossos alunos. A todos bons estudos! Prof. Antonio Carbonari Netto Presidente do Conselho de Administração — Anhanguera Educacional 5 Sobre o Caderno de Atividades Caro (a) aluno (a),  O curso de Educação a Distância acaba de ganhar mais uma inovação: o caderno de atividades digitalizado. Isso significa que você passa a ter acesso a um material interativo, com diversos links de sites, vídeos e textos que enriquecerão ainda mais a sua formação. Se preferir, você também poderá imprimi-lo.   Este caderno foi preparado por professores do seu Curso de Graduação, com o objetivo de auxiliá-lo na aprendizagem. Para isto, ele aprofunda os principais tópicos abordados no Livro-texto, orientando seus estudos e propondo atividades que vão ajudá-lo a compreender melhor os conteúdos das aulas. Todos estes recursos contribuem para que você possa planejar com antecedência seu tempo e dedicação, o que inclusive facilitará sua interação com o professor EAD e com o professor tutor a distância.   Assim, desejamos que este material possa ajudar ainda mais no seu desenvolvimento pessoal e profissional.   Um ótimo semestre letivo para você! José Manuel Moran Diretor-Geral de EAD Universidade Anhanguera ­– Uniderp Thais Sousa Diretora de Desenvolvimento de EAD Universidade Anhanguera ­– Uniderp 6 para que você faça um bom estudo. ANDREA HAMAZAKI FEITOSA Este roteiro tem como objetivo orientar seu percurso por meio dos materiais disponibilizados no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Tema 1 REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS ícones: 7 .Caro Aluno. do autor Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto. Responda às perguntas referentes ao item “Habilidades” deste roteiro. Leia o material didático referente a cada aula. Assim. 2004. Roteiro de Estudo Matemática Aplicada Profª. 3. Editora Cengage. 2. Economia e Contabilidade. Após concluir o conteúdo dessa aula. 4. Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Participe dos encontros presenciais e tire suas dúvidas com o tutor presencial. 5. Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Administração. acesse a sua ATPS e verifique a etapa que deverá ser realizada. siga atentamente os passos seguintes: 1. PLT 59. as mulheres não deveriam pagar. dee R$72. quanto vale na realidade? AULA 1 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Sabe-se que 20% dos homens e 40% das mulheres dese grupo usam óculos. inicialmente. Habilidades Ao final. produtos notáveis e fatoração. A conta. • Como realizar de forma correta as operações aritméticas fundamentais. As equações serão abordadas em situações simples de fácil compreensão. você estudará: • Os conceitos básicos de álgebra elementar.00. identificar os principais conjuntos numéricos: 8 . Então cada homem contribuiu com mais R$4. você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante. sendo que três delas são mulheres.5 cm. fatoração e produtos notáveis. Os conceitos da álgebra elementar são tratados a partir de expressões algébricas. mas depois os homens resolveram que . Para que a revisão das operações aritméticas fique completa. Quantos homens há na sala? • A planta de um terreno está na escala . foi inicialmente dividida entre todos. são abordadas situações-problema que contêm expressões numéricas envolvendo as operações aritméticas nos diversos conjuntos numéricos. Para alcançar os objetivos propostos. Se a frente desse terreno mede 4. através da resolução de equações. é necessário. Quantas pessoas haviam no grupo? • Em uma sala há 100 pessoas. acompanhe a seguir os conceitos matemáticos fundamentais: I. sendo que 26 delas usam óculos.00 e a conta foi paga. • Representar geometricamente a reta dos números reais para futura apresentação de gráficos.Conteúdos e Habilidades Conteúdo Nesta aula. por gentileza. Leitura Obrigatória REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS No estudo deste tema. p = Q  . II. −2. 8.} ⇒ conjunto dos números naturais.Ν ={0. subtraem-se os valores absolutos. Se os números tiverem o mesmo sinal. Exemplos: 2+6 = 8 –8-9=–17 2. e conservase o sinal. Se os números têm o mesmo sinal. = Ζ { . Todos os números que não podem ser escritos como forma de fração. aqueles que têm infinitas casas decimais não periódicas ⇒ conjunto dos números irracionais. 2. 1. q ∈ Ζ. o produto e o quociente serão positivos. o produto e o quociente serão negativos. 1. Se os números têm sinais diferentes. 2. } ⇒ conjunto dos números inteiros. 4. Exemplos: 9 . somam-se os valores absolutos das parcelas. 0. ℜ ⇒ conjunto formado pelos números racionais e irracionais. Exemplos: Para a multiplicação ( +5 ) ⋅ para a divisão ( −5 ) ⋅ ( +6 ) = ( −4 ) = +20 Para a multiplicação ( −5 ) ⋅ ( −4 ) = para a divisão ( −12 ) ÷ ( −3) = +4 +30 e +20 e 2. 7. Se os números tiverem os sinais contrários. −1. Exemplos: –5+7=2 2–3=–1 Multiplicação e divisão de números inteiros 1. isto é. p. A realização das operações aritméticas fundamentais torna-se possível pela aplicação das seguintes regras: Adição e subtração de números inteiros 1. sendo q  q ≠ 0  ℜ ⇒ conjunto dos números racionais (são os números que podem ser escritos como uma fração). 6. 5. 3. e o sinal do resultado é o mesmo do maior valor absoluto. sendo d= x ⋅ b e d= x ⋅ b b d Operações com frações · Adição e Subtração · a c a±c = ± .Para a multiplicação ( −5 ) ⋅ para a divisão ( −5 ) ⋅ ( +2 ) = −10 e ( +2 ) = ( +6 ) = −2 −10 e ( +2 ) = Para a multiplicação ( −5 ) ⋅ para a divisão ( −12 ) ÷ −10 Potenciação de números inteiros 1. 2. 4 2 a c Frações equivalentes são aquelas em que = . Se o expoente for ímpar. a potência será positiva. b ≠ 0. Exemplos: +9 ( +3) = 2 +9 ( −3) = 5 +243 ( +3) = 5 −243 ( −3) = 2 Operações com números racionais . b ≠ 0. d ≠ 0 b d b⋅d 1 3 5 + 18 23 += = 6 5 30 30 Multiplicação a c a⋅c = ⋅ . Exemplos: 2 1 = . Se o expoente for par.Números que podem ser representados por frações Duas frações são denominadas equivalentes quando representam a mesma quantia do todo considerado. d ≠ 0 a c = . d ≠ 0 b d b⋅d 10 3) 1 3 5 − 18 −13 −= = 6 5 30 30 . a potência será negativa. b ≠ 0 b b b Exemplos: 1) 1 3 5 + 18 23 += = 6 5 30 30 · · 2) a c a±c ± = . com b d Para encontrar frações equivalentes: b ≠ 0. depois. c ≠ 0 b d b c bc Exemplo: 2 3 2 4 8 ÷ = ⋅ = 5 4 5 3 15 · Potenciação am ⋅ an = a m+n am ÷ an = a m−n (a ) m · · n = a m+n Propriedades de potência de mesma base: am ⋅ an = a m+n am ÷ an = a m−n (a ) m n = a m+n Lembrando: Todo número elevado a zero é igual a um: ⇒ a 0 = 1 Se o expoente for negativo: Expressões numéricas Ordem das operações: quando existem várias operações em uma mesma expressão numérica. por último. b ≠ 0. seguida de divisão. multiplicação.Exemplo: 1 3 3 ⋅ = 5 5 25 · Divisão · a c a d ad ÷ = ⋅ = . a adição e a subtração (na ordem em que aparecem). Exemplo: −3 + 6 ⋅ 5 ÷ 2 + 4 =−3 + 30 ÷ 2 + 4 =−3 + 15 + 4 =16 11 . e. a primeira operação a ser realizada é a potenciação. as que estiverem dentro das chaves. Esses sinais indicam as prioridades das operações. Divisão · 15 x 4 ÷ 3 x 2 = 5 x 2 ⇒ Dividem-se os números (coeficientes) e conserva-se a variável. números ou ambos. 15 xy − 7 z Para se simplificarem as expressões. Para a compreensão dos fatos da álgebra elementar.Sinais de associação: são sinais de associação os parênteses ( ). finalmente. é necessário entender que um número pode ser representado por uma letra com as mesmas propriedades operatórias. conservase a variável e somam-se os expoentes. · Exemplo: 5 xy + 2 x + 7 y − 3 z + 6 xy + 3 x + 20 y + 8 z= 11xy + 5 x + 27 y + 5 z Multiplicação · · 6 4 y ⋅ 2 y 3 =⇒ 8 y9 Multiplicam-se os números (conhecidos como coeficientes da expressão). seguidas das que estiverem dentro dos colchetes e. mais a multiplicação do primeiro pelo segundo . Portanto. deverão ser resolvidas primeiramente as que estiverem dentro dos parênteses. os colchetes [ ] e as chaves { }. isto é. uma expressão algébrica é toda sentença matemática que contenha letras. Exemplo: (2  24 ⋅ − 8 )  ÷ 32 ÷  (1 2  2 4 ⋅ + 3) =   ( −6 ) ÷ [32 ÷ 16= ] = −4 ÷ 2 = −2 III. devem ser obedecidas as seguintes regras operatórias: Para se somarem ou subtraírem as expressões algébricas. reduzem-se termos semelhantes · (são semelhantes os termos que possuem a mesma parte literal). 8 x 4 − 3. 2 x + 5. subtraindo-se seus expoentes. Produtos Notáveis Alguns casos de produtos notáveis: Quadrado da soma/diferença de dois termos: · · (a + b) 12 2 =a 2 + 2ab + b 2 ⇒ (quadrado do primeiro termo. Exemplos: 2 x. ( 3x + 2 ) ⋅ ( 4 y + 5)= 12 xy + 15 x + 8 y + 10 ⇒ Aplica-se a propriedade distributiva. ( a + b ) ⋅ ( a − b )= ( ) Fatoração Significa transformar em fatores uma determinada expressão. é dada por: ax + b = e sua resolução é dada por: x = −b . Equações. mais o quadrado do segundo termo). b=–4 e c=3. a Exemplo: −1 5 x + 1 =0 ⇒ 5 x =−1 ⇒ x = 5 A equação em que o expoente é 2. · Produto da soma pela diferença de dois termos: a 2 − b 2 ⇒ (quadrado do primeiro termo. menos a multiplicação do primeiro pelo segundo termo. se o expoente for 1. mais o quadrado do segundo termo). Assim. menos o quadrado do segundo). O que determina o grau da equação é o valor do maior expoente nela contido. em sua forma genérica. Pode ser resolvida pela fórmula de Báskara: x2 − 4x + 3 = 0 Exemplo: x2 − 4x + 3 = 0 . conhecida como equação do segundo grau. Aplicando na fórmula: 13 . a equação será do segundo grau. tem em sua forma genérica: ax 2 + bx + c = 0 . ⇒ (quadrado do primeiro termo. e assim sucessivamente. Resolver uma equação significa encontrar o valor da variável em uma sentença aberta.⇒ termo. Uma equação do primeiro grau. se o expoente for 2. Casos de fatoração: Fator comum em evidência: ay + by = y ( a + b ) Agrupamento: ax + ay + bx + by = a ( x + y ) + b( x + y ) = (a + b)( x + y ) Trinômio do quadrado perfeito: a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 Diferença de quadrados: a 2 − b 2 = ( a + b ) (a − b) IV. Temos: a=1. a equação será do primeiro grau. = x − ( −4 ) ± 4+2 = 3 2 4−2 = x2 = 1 2 = x1 14 ( −4 ) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 3 4 ± 4 4 ± 2 = = 2 ⋅1 2 2 . com.LINKS IMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: Acesse o site <http://pessoal.br/matematica/fundam/fundam. Visite o site <http://www. Nesse link. você encontra um resumo conceitual de todos os temas relacionados à Matemática necessários para os assuntos desenvolvidos neste curso. Acesso em 23/11/2011.php>.htm>.sercomtel. 15 . Acesso em 23/11/2011.br/soexercicios.com.somatematica. Esse site traz diversos exercícios de aritmética e álgebra elementar. clicando no ícone ao lado. você deverá assistir às aulas. realizar a leitura obrigatória do caderno de atividades. os links e vídeos disponibilizados com o objetivo de ampliar seus conhecimentos.Agora é a sua vez INSTRUÇÕES Para colocar em prática seus conhecimentos. como também. Questão 01 Calcule o valor das expressões exponenciais: 23 3 b) ( −2 ) c) d) 2−5 a) 3 2 e)   3 (2 ) 3 2 Agora é com você! Responda às questões a f) seguir para conferir o que aprendeu! −3 1 g)   2 37 h) 34 i) 1 − 43 − 3−4 2 1 j) − 43 − 3−4 2 Verifique seu desempenho nesta questão. Questão 02 Calcule: (5 ) −1 a) b) −8 * 5−6  12  5    (2 ) 2 −12 3   2    * 5−2 ÷ 2−5 1 4 ÷ 5−2 1 8 * 28 * 22 Verifique seu desempenho nesta questão. clicando no ícone ao lado. 16 . Leia atentamente os enunciados e realize com sucesso o que está sendo solicitado. a outra. Uma pessoa caminhou 12 m para o sul. simplificando-a sempre que possível: a) Calcule o valor da expressão numérica de acordo com o x dado: a) 3 4 b) − 5 7 112 9 3 c) − + +3 7 5 5 d) y= x3 − 2 x + 1 . ao final. h) Questão 04 Questão 05 Duas pessoas. Calcule o valor das expressões numéricas. Qual a distância que separa essas duas pessoas? a) 7 m b) 13 m c) 17 m d) 60 m e) 119 m Verifique seu desempenho nesta questão. caminham uma em direção à outra. = x 1 4 x3 − 2 x + 1 . expressando. 4  −1  ÷  5  2  4  −1  i) ÷   5  2  −5  −1  j) ÷  2  4 8 9 7 k) * * −4 7 2 3 1 1 2  1 l) + − * 5 ÷   2 6 3  5 5 5   m) + 2 ÷  2 *   6 3   5 5   n) + 2 ÷  2 *   6 3   o)  4 *  2 − 3   ÷ 8 *  25 − 1       7  2   7     x3 x 4 + −1 .ASSUNTO: SUBSTITUIÇÃO NUMÉRICA Questão 03 Verifique seu desempenho nesta questão. distantes 30 m. clicando no ícone ao lado. x = −2 3x − 2 e) y= ASSUNTO: FUNÇÃO DE 1º GRAU Verifique seu desempenho nesta questão. clicando no ícone ao lado. a resposta em forma de fração. x = −1 b) y= c) d) 3 31 e) * 5 4 1 3 f) 3 −  *  −1 4 7 1 3 g) 3 −  *  −1 4 7 3 = y x = 1 4 * 1 − x3 3 ( 2 ) 2 x= −1 1 2 + ∗ ( x − 1) 2 . 5 m para o norte. 17 . 5 6 y= ( x − 1) + (1 − x ) + 1 . clicando no ícone ao lado. clicando no ícone ao lado.50 t. a cada ano. Questão 09 Duas pequenas fábricas de calçados.562. Se uma determinada fábrica vende o seu produto ao preço de R$ 56. a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês. Sendo x o número de unidades produzidas. Dado pela expressão V = 25. qual é a receita se são vendidas 40 produção de A a partir de qual mês? ASSUNTO: TRINÔMIO Questão 10 Assinale a resposta correta onde a expressão 16x² − 49 é equivalente: Verifique seu desempenho nesta questão. respectivamente. c) (−4x – 7) (4x +7) custo fixo de R$ 8. A e B. Se. esse é depreciado em R$ 1. determine o custo total de 100 peças.562. clicando no ícone ao lado.00. clicando no ícone ao lado.50 por unidade produzida. uma indústria tem um DO PERFEITO unidades? Questão 08 18 por mês.00 e. . têm fabricado. Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? Verifique seu desempenho nesta questão.Questão 06 O valor inicial de um carro é de R$ 25. clicando no ícone ao lado. clicando no ícone ao lado. a) (4x + 7) (4x – 7) Na produção de peças. 3.000 – 1.50. mais um custo variável de R$ 0. Questão 07 A receita R é definida como preço de venda multiplicado pela quantidade vendida.009 pares de sapatos por mês.000 e 11.00. em que t é o número de anos passados após a compra. e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares QUADRADO Verifique seu desempenho nesta questão. Verifique seu desempenho nesta questão.000. a partir de janeiro. a produção da fábrica B superará a b) (4x + 7) (4x +7) d) 4x(4x + 7) e) 4x(4x – 7) Verifique seu desempenho nesta questão. FINALIZANDO Nessa aula. os conceitos básicos de álgebra elementar. e para uma melhor compreensão e fixação dos exercícios e exemplos. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. assim como a resolução de equações . resolva os exercícios propostos no Livro-Texto. você viu os conceitos das operações fundamentais. fatoração e produtos notáveis. Bons estudos! 19 . Caro aluno. não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. agora que o conteúdo dessa aula foi concluído. 00 mais R$15. você estudará: O conceito de função matemática como uma relação estabelecida entre duas grandezas ou • variáveis e a sua aplicação para a resolução de situações práticas nas áreas financeiras e administrativas. você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Numa loja. Plano B: um valor fixo de R$130. Analisando os planos qual seria o mais vantajoso? .00 mais R$20. Além disso. ele recebe de comissão R$ 50 por produto vendido? • O valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função (está dependendo) de quanto iremos gastar de m 3 de água e quantos KW de energia consumidos durante o mês? • Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamentos mensais: 20 Plano A: um valor fixo de R$110.00 por consulta dentro do período.00 por consulta dentro do período. • Habilidades Ao final. os tipos e as características de uma função como função • crescente.Tema 2 Conceito de Função e Função de Primeiro Grau ícones: Conteúdos e Habilidades Conteúdo Nesta aula. Por meio de exemplos práticos. limitada e composta. As funções de primeiro grau. o salário fixo mensal de um vendedor é R$ 500. decrescente. à medida que o tempo aumenta.200.000. x ) maior será o salário S de Carlos. o estudo pode ser realizado em um determinado período de tempo. Em um exemplo simples. As grandezas ou variáveis relacionadas são salário e quantidade. é necessário entender que essa “ferramenta” permite analisar o comportamento de duas grandezas ou variáveis interdependentes.00 por material vendido. Leitura Obrigatória Conceito de Função e Função de Primeiro Grau Para se compreender o conceito de função. sendo que o salário é dado em função da quantidade vendida de material. esse valor é depreciado em 10% do valor pago. onde S representa o salário de Carlos e x .00 e.00 mais uma comissão de R$ 3. Analisando esse exemplo. pois. A função matemática que representa o salário de S 1200 + 3x . onde V representa o valor do carro e t . ou seja.AULA 2 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem. o vendedor de materiais elétricos Carlos recebe salário de R$ 1. pois quanto maior a quantidade de material vendida por Carlos (ou seja. Analisando-se esse exemplo. percebe-se que a função é decrescente. o valor deste carro tende a diminuir. Uma função pode ser limitada. a cada ano. a quantidade vendida de Carlos é dada por= material. 21 . percebe-se que a função é crescente. As grandezas ou variáveis relacionadas são valor e tempo. sendo que o valor do carro é dado em função do tempo. ou da limitação de capacidade produtiva. Outro exemplo: O valor inicial de um carro é de R$ 25.000 − 2500t . A função matemática que representa o valor do carro= é V 25. ou a partir de um determinado custo. o tempo de uso do carro. pois um aumento nos preços faz com que a demanda ou procura da utilidade diminua. Vale ressaltar que a oferta a que se refere o texto é a de todos os produtores da S aP + b . PONTO DE EQUILIBRIO (break-even point): É o ponto onde a oferta e a demanda de uma 22 .59q .). é uma função do tipo = corresponde à oferta da utilidade P ao seu preço. administrativas ou contábeis. Já analisada anteriormente. é uma função do tipo D= b − aP .59 por litro. torna-se necessário conhecer o conceito de oferta.). onde P corresponde à demanda ou procura da utilidade P ao seu preço. a soma das quantidades que todos os compradores de mercados estão dispostos e aptos a adquirir ao preço P em determinado período de tempo (que pode ser um dia. pois um aumento nos preços faz com que a oferta da utilidade também tenda a aumentar. As grandezas ou variáveis relacionadas são: valor e quantidade. tem-se uma função do tipo crescente. a soma das quantidades que todos os produtores estão dispostos e aptos a vender ao preço P em determinado período de tempo (que pode ser um dia. Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte somente 52 litros e que o consumidor pretenda encher o tanque. Vale reforçar que a demanda ou procura a que se refere o texto é a de todos os compradores da utilidade. isto é. uma semana. a quantidade de litros abastecidos pelo consumidor. Analisando-se esse exemplo. A função matemática que representa o valor a ser pago de combustível é V = 2. quanto seria o gasto deste consumidor para “completar” o tanque? Você poderá perceber que o consumidor irá gastar somente R$ 101.Exemplo: Em um posto de combustível. Já analisada anteriormente. Geralmente. pois o tanque de combustível tem uma capacidade máxima de armazenagem. Para a aplicação de funções em áreas financeiras. uma semana. demanda. custos. percebe-se que a função é limitada. o preço da gasolina é de R$ 2. além de cálculos de juros simples. tem-se uma função do tipo decrescente. e não a de um comprador individual. receita. e seja D a demanda ou procura de mercado desta utilidade a um preço P .01. onde S utilidade e não a de um produtor individual. mas sabe de antemão que no tanque existe ¼ de combustível. um mês etc. um mês etc. sendo que o valor a ser pago pelo combustível é dado em função da quantidade de gasolina abastecida pelo consumidor. DEMANDA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço). Geralmente. OFERTA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja S a oferta de mercado desta utilidade a um preço P . lucros. onde V representa o valor a ser pago e q . ponto de equilíbrio (break-even point). isto é. É isso o que caracteriza uma função do 1° grau. LUCRO: para obter-se a função lucro de uma determinada utilidade (bem ou serviço) deve-se fazer: L= R − C . A função dada para a receita é . é o preço para o qual a demanda e a oferta de mercado desta utilidade coincidem. despesas com folha de pagamento etc. o custo aumenta em R$ 60. m = 30 60 180 = = =  = 3. ainda. que. 23 . se há um aumento de 20 unidades na quantidade. CUSTO: No exemplo a seguir. haverá um custo fixo de R$120. a função custo pode ser determinada com a fórmula C = Cv + C f .determinada utilidade são iguais. Para uma melhor compreensão. Tal custo é atribuído à manutenção de máquinas. o custo aumenta em R$ 180. com um aumento de 60 unidades. impostos. a função custo relacionada é C =Cv + C f =3q + 120 . a razão m = 3 dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de 1 unidade na quantidade. De modo geral.00. A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado (QE). o custo aumentará R$ 30. Nota-se. com um aumento de 10 unidades na quantidade. Conclui-se que uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. Determina-se aqui o preço de equilíbrio de mercado (PE) para a dada utilidade. o lucro é “receita menos custo”. Do exemplo aqui apresentado. ou seja.00. Isto é. podemos calcular a taxa de variação média. ou. ou seja.00.00. onde toda utilidade oferecida é vendida. Portanto. RT = pq onde p é o preço e q a quantidade da utilidade. se não for produzida qualquer quantidade de calças. Quantidade (q) Custo (C) R$ 0 10 20 40 100 120 150 180 240 420 Nota-se que. onde Cv é o custo variável e C f o custo fixo. a tabela traz o custo para a produção de calças. 10 20 60 Neste exemplo. ainda. que consiste em dividir a variação em C pela variação em q. RECEITA: Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) cujo preço de venda seja um preço unitário p . sercomtel.br/financeira. Acesse o site <http://www. você encontrará dicas e explicações detalhadas e exemplos sobre a matemática financeira.com.LINKS IMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: Acesse o site <http://pessoal. 2011.somatematica. 2011. Acesso em: 13 dez. 24 . Nesse site.htm>.com.br/matematica/financeira/matfin.php>. Acesso em: 13 dez. você encontrará definições detalhadas sobre o estudo da matemática financeira. Nesse site. 00. d) 5.00. e seus custos operacionais variáveis sejam de R$ 5.100. c) 300. Leia atentamente os enunciados e realize com sucesso o que está sendo solicitado. Quantas unidades. Verifique seu desempenho nesta questão. c) 5. seguir para conferir o que aprendeu! b) 4. tenha custos operacionais fixos de R$ 3. os links e vídeos disponibilizados com o objetivo de ampliar seus conhecimentos. para o preço de $ 2.000. O INSTRUÇÕES Departamento de Marketing da empresa trabalha Para colocar em prática seus conhecimentos. indique a opção que responde à pergunta: “Quantas unidades produzir. b) 200.00 por unidade. preço e a quantidade da demanda.000.000.050. 25 . realizar a leitura obrigatória do caderno de atividades. Verifique seu desempenho nesta questão. como também. YD = –2XD + 10.150. o deverá assistir às aulas.200. respectivamente. clicando no ícone ao lado. com a Equação da Demanda apresentada a seguir. você onde YD e XD representam. Questão 01 e) 5. aproximadamente. Suponha que o Guaíba Pôster. que seu preço de venda por unidade (pôster) seja de R$ 15.00?” Agora é com você! Responda às questões a a) 5.100 Como um primeiro passo para a elaboração do Plano de Produção dessa empresa.000. d) 600. Questão 03 O gráfico a seguir descreve o estoque de blusas de uma loja: e) 3. clicando no ícone ao lado. um pequeno varejista de pôsteres. são o ponto de equilíbrio da empresa? a) zero.Agora é a sua vez Questão 02 Uma empresa fabrica e vende um produto. d) 2. Tamanho da blusa Quantidade 40 30 42 40 44 60 46 70 Tamanho da blusa Quantidade 40 30 42 60 44 70 o mês de fevereiro.e) Para construir esse gráfico. t = 2 a) 2. c) d) 26 b) 2. . Observe: a) 42 Questão 04 O gráfico a seguir representa o valor (em R$) de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos meses. Verifique seu desempenho nesta questão.99. Tamanho da blusa Quantidade 40 30 42 60 44 40 46 70 Tamanho da blusa Quantidade 40 40 c) 3.78. e assim sucessivamente.01. b) 70 44 60 46 30 Tamanho da blusa Quantidade 40 40 42 42 44 44 46 46 Verifique seu desempenho nesta questão. e) 2. clicando no ícone ao lado.90.96. clicando no ícone ao lado. o gerente fez inicialmente uma tabela com o resultado do levantamento do número de blusas de cada tamanho que havia no estoque. Assinale a alternativa que apresenta a tabela que o gerente pode ter feito. a 46 40 média dos valores das ações é de: Considerando-se t = 1 o mês de janeiro. Verifique seu desempenho nesta questão. o número de idosos pesquisados nessa situação e que apresentam algum tipo de problema cognitivo é: a) 168.d. c) 40. um em cada cinco nunca foi à escola. clicando no ícone ao lado.58%. entre 2. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico.Questão 05 Questão 07 Pipoca. Verifique seu desempenho nesta questão.a. d) 19. Se.25%. clicando no ícone ao lado. 17% apresenta algum problema cognitivo (perda de memória. publicada na revista Pesquisa/Fapesp de maio de 2003. a planta terá.75%. acertou x Uma pesquisa realizada com pessoas com arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. b) 10. em sua última partida. e) 50.000 idosos pesquisados. Questão 06 Questão 08 Entre 9h e 17h. todos os dias. d) 68. Se for mantida sempre a relação entre o tempo e a altura. uma altura igual a: é igual a: a) 13.25%. Verifique seu desempenho nesta questão. resulta a figura a seguir. mostrou que. entre os idosos que nunca frequentaram a escola. e) 23. Se todos os instantes desse intervalo são igualmente prováveis para a consulta. a probabilidade de ela ter iniciado o acesso ao seu correio eletrônico em algum instante entre 14h35min e 15h29min Um botânico mede o crescimento de uma planta. e) n. em centímetros. Rita faz uma consulta pela internet das mensagens de seu correio eletrônico. 27 . b) 60. no 30º dia. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? Qual seria a tradução dessa situação por meio de duas equações: a) b) c) d) 25  x+ y =  55 2 x + 3 y = 25  x− y =  55 2 x − 3 y = 25 2 x + 3 y =  55  x+ y = 25 2 x + 3 y =  55  x+ y = idade maior ou igual a sessenta anos residentes na cidade de São Paulo. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. c) 11.25%. de raciocínio e de outras funções cerebrais). clicando no ícone ao lado. Verifique seu desempenho nesta questão. gasta sua condução diária de R$ 45. c) 3 cm. b) 5 cm. Determine seu custo diário C em função da quantidade comprada q. o litro da tinta custa R$ 40. clicando no ícone ao lado. Questão 10 Um comerciante compra produtos ao preço unitário de R$ 5.00 e do verniz.00. . expresse seu lucro diário L em função da quantidade q. Questão 09 Um pintor de uma casa pretende comprar tinta e verniz e dispõe de R$ 1. Na loja de Tintas “Dois Irmãos”.00.800. Verifique seu desempenho nesta questão. clicando no ícone ao lado. Além disso. e) 30 cm.00.00 e vende seu produto a R$ 8. d) 6 cm. clicando no ícone ao lado. Determine também a sua receita R em função da quantidade vendida q. R$ 30. 28 Verifique seu desempenho nesta questão. Obtenha expressão da restrição orçamentária e a represente graficamente. que se supõe igual à quantidade comprada.a) 4 cm.00. não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. resolva os exercícios propostos no Livro-Texto. agora que o conteúdo dessa aula foi concluído. os conceitos de taxas de variação. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. restrição orçamentária e juros simples. Aprendeu como analisar. você viu os conceitos e aplicações das funções e da função de primeiro grau. ponto de equilíbrio. Bons estudos! 29 . custo e lucro. Viu também como realizar a representação gráfica de uma função. função de receita.FINALIZANDO Nessa aula. Para uma melhor compreensão e fixação das questões e exemplos. Caro aluno. por meio de situações práticas. ponto de equilíbrio (break even point). cujos modelos podem ser determinados por uma função de segundo grau. Qual é a medida do lado de cada azulejo ? 30 . você estudará: • A função do segundo grau. os conceitos de receita.Tema 3 Função de Segundo Grau ícones: Conteúdos e Habilidades Conteúdo Nesta aula. subtraí do resultado o mesmo numero e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. • Como construir e analisar o gráfico da função de segundo grau. suas características e a sua aplicação para a resolução de problemas e situações nas áreas financeiras e administrativas. custos. além de outras situações. Habilidades Ao final. • Por meio de situações práticas. aplicadas às áreas de administração.O resultado que achei foi igual ao numero menos 1 ? • Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m 2 de parede. lucros. você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior ou igual a dele mesmo? • Elevei um número positivo ao quadrado. denominada parábola (curva). 31 . obter a receita para a venda de bolas pela equação R = (−4q + 400)q ⇒ −4q 2 + 400q . Sabe-se que a receita R é dada por R= p ⋅ q . o que nos dá R =−4 ⋅ 02 + 400 ⋅ 0 =0 .AULA 3 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem. O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0 . são obtidos fazendo R = 0 : R = 0 ⇒ −4q 2 + 400q = 0 ⇒ q = 0 ou q = 100 . seus vértices e raízes. o número . Uma das situações práticas é a obtenção da função receita. você poderá resolver problemas práticos. que. Leitura Obrigatória Função de Segundo Grau Ao estudar a função de segundo grau por meio de suas características. Por exemplo: se o preço das bolas de uma marca variar de acordo com a relação p = −4q + 400 . que depende do sinal de a . como sua concavidade. pode-se. como o do conhecimento da receita. onde p representa o preço unitário e q . Pela interpretação do gráfico da função de segundo grau. ou raízes da função. implica ter a concavidade voltada para baixo. então. Os pontos em que a curva corta o eixo q . você observará aspectos importantes. Nessa parábola. que relaciona o preço e a quantidade de produtos comercializados. por ser negativo. a quantidade comercializada do produto. convém observar alguns aspectos importantes associados à função R = −4q 2 + 400q : Como o coeficiente de q 2 . quando consideramos o preço e a quantidade comercializada. Embora se tenha obtido a coordenada qv = 50 q =pela média aritmética das raízes da função. Rv ) ( 50. o lucro máximo é de 3.000 ) da parábola em que qv = 50 é a média aritmética das raízes e Rv = 10. que decresce à medida que a demanda q aumenta. existem outras maneiras de se 50 v encontrar tal coordenada. O vértice = V = qv q v . A partir do vértice e do eixo de simetria. nota-se que: Como o coeficiente de q 2 é o número −4 .000 é a receita correspondente: O vértice = V = qv q v . por ser negativo.800 =−2.10.600 ) da parábola em que qv = − coeficiente de q . É importante lembrar que a coordenada qv = 50 determina o eixo de simetria da parábola. Os pontos em que a curva corta o eixo q .600 e que o lucro cresce para quantidades menores que 40 e decresce para quantidades maiores que 40. pode-se verificar que o lucro é positivo L > 0 quando se vendem entre 10 e 70 bolas. o vértice é importante. Lv ) ( 40. ou seja.800 . Por exemplo: considerando-se a receita R = −4q 2 + 400q da venda de bolas e supondo-se o custo de produção C dado por= C 80q + 2. Outra aplicação muito usada da função de segundo grau é a determinação do Lucro de uma empresa. 32 .600 . O lucro é zero quando se vendem 10 ou 70 bolas. o que nos dá L =−4 ⋅ 02 + 320 ⋅ 0 − 2. pois a receita está associada ao preço p = −4q + 400 . pois informa a quantidade qv = 50 que deve ser comercializada para que se tenha a receita máxima Rv = 10.800 . isto é.000 . obtemos: Rv =−4 ⋅ 502 + 400 ⋅ 50 =10. Lv =−4 ⋅ 402 + 320 ⋅ 40 − 2800 =3. Isto é natural. quantidades maiores que Rv = 10. O ponto em que a curva corta o eixo L é obtido fazendo q = 0 . são obtidos fazendo L = 0 : L = 0 ⇒ −4q 2 + 320q − 2. Para a obtenção do gráfico. para a quantidade de 40 bolas.800 . (= 0 + 100 = 50 .000 . e o lucro é negativo L < 0 quando se vendem entre 0 e 10 bolas ou quantidades superiores a 70 bolas. (= 3. 2 ⋅ coeficiente de q 2 −320 = 40 e Lv é o lucro correspondente. nota-se que. que. Substituindo em R . então o Lucro L da comercialização de bolas é L= R −C ⇒ L = −4q 2 + 400q − ( 80q + 2800 ) ⇒ L = −4q 2 + 320q − 2. 2 Especificamente para esta função.800 = 0 ⇒ q = 70 ou q = 10 . ou raízes da função.000 . 2 ⋅ ( −4 ) Com esses dados. implica ter a concavidade voltada para baixo.000 proporcionam receitas menores que Rv = 10. e pode ser obtido fazendo x = 0 ⇒ y = f ( 0 ) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c ⇒ y = c . os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da função. Se existirem. ∆ > . Para a obtenção do gráfico. têm-se duas raízes reais e distintas x2 = Se ∆= b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c for nulo. onde E é dado em kWh. utiliza-se a fórmula de Báskara. observam-se os seguintes passos: O coeficiente a determina a concavidade da parábola. O vértice da parábola é dado por V = xv . a concavidade é voltada para cima e se a < 0 (negativo). têm-se duas raízes reais e iguais = x −b − ∆ −b − ∆ e x2 = . em que: x= −b ± ∆ . depende do ∆ : Se ∆= b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c for positivo. b = −14 e c = 32 . Solução: Os coeficientes da função são a = −1 . onde ∆= b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c . 33 . ou pontos em que a parábola corta o eixo x . 2⋅a O número de raízes. 4⋅a  Exemplos de Funções de Segundo Grau 1. 2⋅a 2⋅a −b + 0 −b . que são obtidas fazendo y = 0 . O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E =−t 2 − 14t + 32 . t = 1 a fevereiro. não existem raízes reais.   2⋅a −∆  . se a > 0 (positivo). ∆ < 0 .A caracterização geral de uma função de segundo grau é dada por: y = f ( x ) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c . = 2⋅a 2⋅a Se ∆= b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c for negativo. conhecido como parábola. O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y . onde a ≠ 0. yv ) (=  −b . ∆ =0 . Para a resolução dessa equação. e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro. Determine a quantidade de energia máxima consumida pela residência. a concavidade é voltada para baixo. e assim sucessivamente. A concavidade é voltada para baixo, pois a < 0 . A parábola corta o eixo E em c = 32 , pois quando t = 0 , temos E =−1 ⋅ 02 − 14 ⋅ 0 + 32 =32 . A parábola corta o eixo t quando E = 0 , o que nos leva a: E =−t 2 − 14t + 32 =0 , cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara: ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = ( −14 ) 2 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ 32 = 324 ⇒ ∆ > 0 . Vamos obter duas raízes reais e distintas: t2 = −b + ∆ − ( −14 ) − 324 −b + ∆ − ( −14 ) − 324 = = −2 = = −2 e t2 = 2⋅a 2 ⋅ ( −1) 2⋅a 2 ⋅ ( −1) Ou seja, a parábola corta o eixo t nos pontos t1 = 16 e t2 = −2 . O vértice da parábola é dado por V = = V tv , Ev ) (= −∆   −b ,=    2⋅a 4⋅a   −b ,   2⋅a xv , yv ) (=  − ( −14 ) ,   2 ⋅ ( −1) −324  =  4 ⋅ ( −1)  −∆   , isto é: 4⋅a  ( 7, 81) . Para esse exemplo, a concavidade voltada para baixo associada ao eixo de simetria tv = 7 indica que o consumo é crescente para os meses entre 0 e 7, e decrescente para os meses superiores a 7. Da mesma forma, o consumo máximo desta residência é de 81 kWh. 2. Um vendedor anotou as vendas de carro nos 30 dias em que trabalhou na loja, e notou que o número de vendas deste carro, dado por V em função de t (número de dias), pode ser obtido por V = t 2 − 2t + 1 . Vamos estudar como essa função se comporta. Os coeficientes da função são a = 1 , b = −2 e c = 1 . A concavidade é voltada para cima, pois a > 0 . A parábola corta o eixo V em c = 1 , pois, quando t = 0 , temos V = 02 − 2 ⋅ 0 + 1 = 1 . A parábola corta o eixo t quando V = 0 , o que nos leva a: V = t 2 − 2t + 1 = 0 , cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara: ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 2 − 4 ⋅1 ⋅1 = 0 ⇒ ∆ = 0 . −b + ∆ − ( −2 ) + 0 = = 1. 2⋅a 2 ⋅1 Vamos obter duas raízes reais e iguais: = t Ou seja, a parábola corta o eixo t nos pontos t = 1 . O vértice da parábola é dado por V = = V 34 ( −2 ) tv , Vv ) (= xv , yv ) (= −∆   − ( −2 ) −0   −b ,= ,=     4 ⋅ a   2 ⋅1 4 ⋅1   2⋅a (1, 0)  −b ,   2⋅a −∆   , isto é: 4⋅a  Para esse exemplo, a concavidade é voltada para cima associada ao eixo de simetria tv = 1 , ou seja, ao se esboçar o gráfico, ele irá “tocar” o eixo t neste ponto. 3. Em um ano, o valor v , de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos meses, indicados em t , é dado pela expressão v =t 2 − 10t + 30 . Sabendo que o valor da ação é dado em R$, como ficaria a análise do comportamento desta função? Veja a seguir: Os coeficientes da função são a = 1 , b = −10 e c = 30 . A concavidade é voltada para cima, pois a > 0 . A parábola corta o eixo v em c = 30 , pois, quando t = 0 , temos 2 v = 0 − 10 ⋅ 0 + 30 = 30 . A parábola corta o eixo t quando v = 0 , o que nos leva a: 2 v =t − 10t + 30 =0 , cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara: ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = ( −10 ) − 4 ⋅1 ⋅ 30 = −20 ⇒ ∆ < 0 . 2 Não existem raízes reais, pois o discriminante é negativo, ou seja, a parábola não corta o eixo t . O vértice da parábola é dado por V = = V tv , vv ) (= xv , yv ) (= −∆   − ( −10 ) − ( −20 )   −b ,= , =     4 ⋅1   2 ⋅ a 4 ⋅ a   2 ⋅1  −b ,   2⋅a ( 5, −∆   , isto é: 4⋅a  5) . Para esse exemplo, a concavidade é voltada para cima associada ao eixo de simetria tv = 5 , indicando que o valor da ação é decrescente do momento em que a ação é negociada ( t = 0 ) ao final do 5° mês ( t = 5 ) , e crescente, do final do 5° mês ( t = 5 ) ao final do 12° mês ( t = 12 ) . 35 LINKS IMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: Acesse o site <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/medio.htm>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará definições dos conceitos da teoria de conjuntos e relações e funções, além de uma série de exercícios com exemplos de aplicações. Acesse o site <http://quimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau/>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará definições dos conceitos das equações de segundo grau, além de uma série de exercícios com exemplos de aplicações. Acesse o site <http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx>. Acesso em: 13 dez. 2011. Nesse site, você encontrará exemplos e exercícios resolvidos das equações de segundo grau. 36 t = 2 após 2 dias. onde t Para colocar em prática seus conhecimentos.5 a 2. realizar a leitura foi vendido o número máximo de apostas? obrigatória do caderno de atividades. clicando no ícone ao lado. Para quais dias as ações são crescentes? a) 1. representa o mês da venda. o que está sendo solicitado. Qual o mês em que você deverá assistir às aulas. Considere t = 0 o momento inicial de análise.25 a 1. como a) 5. Agora é com você! Responda às questões a seguir para conferir o que aprendeu! Verifique seu desempenho nesta questão. e assim sucessivamente. b) 1 a 1. Verifique seu desempenho nesta questão. e) 6. Leia c) 1. clicando no ícone ao lado. o objetivo de ampliar seus conhecimentos. e) 0. também.25 a 2.Agora é a sua vez Questão 01 O número N de apólices vendidas por INSTRUÇÕES um vendedor de seguros pode ser obtido pela expressão N = −2t 2 + 28t + 64 . t = 1 após 1 dia. os links e vídeos disponibilizados com b) 4. Questão 02 O valor em reais (R$) de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado pela expressão v = t 2 − 3t + 2 .5. atentamente os enunciados e realize com sucesso d) 7. d) 0. c) 1 a 2. 37 . variando de 0 a 5? Verifique seu desempenho nesta questão. clicando no ícone ao lado. –18. a) 500. e a equação que nos dá a restrição e) 89%. a de creme d) 100%. Qual a variação percentual do Questão07 valor da ação após 20 dias? Um comerciante de cosméticos compra a) 90%. orçamentária é 20 x 2 + 20 y = 2000 . d) –9. e tal dependência é expressa d) 700. responda: se forem comprados seis sabonetes. onde de sabonetes comprados. Qual o lucro para o preço. 0. Qual a 38 acordo com a relação p = −2q + 400 . 2 pregão é dado pela expressão v = t − 3t + 2 . –13. quantidade de cremes em função da quantidade Questão 05 A produção de um funcionário. –8. –7 e –16. Sabendo que a receita R é dada pela relação R= p ⋅ q . de sabonetes é representada por x . clicando no ícone ao lado. e tem um b) 88%. –5. –5. 0. quantos cremes é possível comprar? Verifique seu desempenho nesta questão. 13. –7 e –16. clicando no ícone ao lado. 5. O preço de uma garrafa de vinho varia de e) 9. produto depende do preço p em que ele é c) 100. t = 1 após um dia. Questão06 c) –9. de um b) 400. 8. 0. –25 e –34. clicando no ícone ao lado. e assim sucessivamente. orçamento limitado para a compra. clicando no ícone ao lado. Considere t = 0 o momento inicial de análise.[ Verifique seu desempenho nesta questão. sabonetes e creme para revenda. quando relacionada ao número de horas trabalhadas. . por l = − p 2 + 9 . Em seguida. Qual a quantidade de garrafas a ser O valor em reais (R$) de uma ação negociada comercializada para que a receita seja máxima? na bolsa de valores no decorrer dos dias de Verifique seu desempenho nesta questão. –10. obtenha a função receita. t = 2 após dois dias. A quantidade c) 98%. por unidade. leva à função P = −4t 2 + 48t + 256 . a) –9. –8. por y . e) 600. b) 9.Questão 03 produção máxima desse trabalhador? O lucro na venda. 7 e 16. Questão 04 q representa a quantidade de garrafas comercializadas. comercializado. 25 e 34. 18. 10. Expresse a Verifique seu desempenho nesta questão. Questão08 Para a comercialização de parafusos. sendo que os recursos são os mesmos para tal produção. Verifique seu desempenho nesta questão. Verifique seu desempenho nesta questão. clicando no ícone ao lado. Determine o mês em que o preço é mínimo e qual seria esse preço. As quantidades de detergentes e sabonetes líquidos produzidos podem ser representadas. Questão10 Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em uma das suas linhas de produção. e t = 0 o momento inicial de análise. clicando no ícone ao lado. 39 . um lojista nota que a receita é dada por R = −9q 2 + 360q e o custo é dado por C = 6q 2 + 60q + 1125 . t = 2 após dois meses. A interdependência dessas variáveis é dada por 45 x 2 + 45 y = 405 . clicando no ícone ao lado. respectivamente. Determine a equação do lucro e qual a quantidade comercializada de parafusos para que o lucro seja máximo. por x e y . Aproximadamente. quanto se deve produzir de detergente para que tal quantidade seja igual à metade da quantidade de sabonete líquido? Considere que as quantidades são dadas em milhares de litros. Questão 09 O preço do trigo varia no decorrer dos meses. t = 1 após um mês. Verifique seu desempenho nesta questão. de acordo com a função p =t 2 − 10t + 240 para o período de um ano. e assim sucessivamente. Para uma melhor compreensão e fixação dos exercícios e exemplos. Aprendeu como analisar. Viu também como realizar a representação gráfica de uma função. não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. você viu os conceitos e aplicações das funções e da função de segundo grau. além de outras situações cujos modelos podem ser determinados por uma função de segundo grau. Caro aluno. ponto de equilíbrio (break-even point). Bons estudos! 40 . custos. lucros. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano.FINALIZANDO Nessa aula. resolva os exercícios propostos no Livro-Texto. os conceitos de receita. por meio de situações práticas. agora que o conteúdo dessa aula foi concluído. você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Qual o montante gerado sobre um capital aplicado a uma determinada taxa de juros compostos ? • Qual o crescimento populacional de uma cidade em determinado período de tempo ? • Quanto vale uma máquina após 10 anos de uso.000.00? AULA 4 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem. na depreciação de uma máquina e no crescimento populacional. 41 . cujo valor pago no ato da compra foi de R$ 50. • As aplicações da função exponencial no cálculo de juros compostos. • O logaritmo como uma operação inversa da potenciação e que permite conhecer o valor desconhecido do expoente. com uma taxa depreciação de 2% ao ano. você estudará: • A função exponencial a partir do fator multiplicativo e em sua forma geral. Habilidades Ao final.Tema 4 Função Exponencial ícones: Conteúdos e Habilidades Conteúdo Nesta aula. o valor apurado a cada mês incorpora-se ao capital. Assim. para um período indefinido. base = 1 − . se um capital de R$ 1. como cálculo de juros compostos. n a taxa (escrita de forma decimal) e n o tempo (período) de aplicação. isto é.00.000. sucessivamente. e a sua utilidade para estabelecer a depreciação de uma máquina no decorrer do tempo. Já a função exponencial pode ser determinada a partir de um fator multiplicativo. Nessas condições. base = 1 + Um exemplo de função exponencial é dado quando se considera uma máquina cujo valor é depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa que incide sobre o valor da máquina no ano anterior. 42 .Leitura Obrigatória Função Exponecial Ao estudar a função exponencial por meio de suas características.200. torna-se importante conhecer a função matemática que possibilite estabelecer a relação entre o montante. C é n o capital inicial. sendo que a variável é o expoente. gerando um valor de R$ 132. o valor de R$ 120. n De uma forma geral. isto é. se o valor inicial da máquina é de R$ 35.00. bem como nos decréscimos sucessivos.320. para se obter o aumento percentual em uma quantidade. É importante ressaltar sua utilidade nos aumentos sucessivos. na caracterização da base da função exponencial. que é a base da função exponencial. Nesta modalidade.00 e a depreciação é de 12% ao ano. 100 pela soma de 1 à porcentagem de aumento escrita na forma decimal. os valores podem ser calculados mês a mês.00 será incorporado ao capital para o cálculo dos juros no mês seguinte. E assim. Portanto. No entanto. a taxa de juros acumulados em um período de tempo. (a > 0 e a ≠ 1) . Voltando ao exemplo citado. E. pode-se obter a função exponencial por: M = C ⋅ (1 + i ) = 1200 ⋅ (1 + 0. onde i é 100 a taxa. o capital. Essa função é dada por M = C ⋅ (1 + i ) . Podem-se determinar os coeficientes a e b por meio de razões entre dois valores conhecidos da função. onde M definimos como montante.12 ) n . é obtido simplesmente i . O fator multiplicativo.00 for aplicado a juros de 10% ao mês. você poderá resolver problemas práticos. a função exponencial é definida por f ( x ) = b ⋅ ax . ao final de um mês. para a obtenção da diminuição. onde i é a taxa. os juros serão calculados sobre R$ 1. basta diminuir 1 da porcentagem de diminuição escrita na i forma decimal. vamos obter o fator multiplicativo e, na sequência, a função que representa o valor da máquina ao longo do tempo. Usando o fator multiplicativo, obtemos: base = 1− i 12 = 1− = 0,88 . 100 100 Como o valor inicial da máquina é de R$ 35.000,00, define-se, então, a função exponencial como: f ( x ) =b ⋅ a x =35.000 ⋅ 0,88 x . Outro exemplo de aplicação é o aumento populacional. Considere que uma cidade tem uma população de 550.000 habitantes e cresce a uma taxa de 1,45% ao ano. Considerando como tempo t, podemos encontrar a função que determina o aumento populacional P em função do tempo, isto é, i 1, 45 P = f ( t ) . Usando o fator multiplicativo base = 1+ = 1+ = 1, 01 , conseguimos determinar a função 100 100 exponencial: = P 550.000 ⋅1, 01t . Existem outras maneiras de obtenção da função exponencial: 1° Caso: Identificando a evolução exponencial Quando são fornecidos dados relativos às variáveis independentes ( x ) e às correspondentes variáveis dependentes ( y ) período a período (isto é, dia a dia, mês a mês, ano a ano), deve-se dividir a variável dependente pela variável dependente do período anterior e comparar os resultados. y2 y3 y4 Se os quocientes = = =  forem iguais, tem-se um fenômeno que pode ser representado y1 y2 y3 x por uma função exponencial, sendo a base a da função y= b ⋅ a o resultado das divisões assim ( x ) , e substituem-se tais valores em realizadas. Para a obtenção de b , utiliza-se um dos valores de y= b ⋅ a x , e, assim, se obtém b . 43 Considere este exemplo: a população de uma cidade nos anos de 2008 a 2011 é dada na tabela a seguir. Realizando-se as divisões, obtém-se: 960.159 = 1, 017879916 ≅ 1, 02 943.293 960.159 = 1, 017879916 ≅ 1, 02 943.293 977.361 = 1, 017915783 ≅ 1, 02 960.159 Verificando-se que os resultados são iguais, tem-se neste exemplo uma função exponencial cuja base é dada por a = 1, 02 ; o coeficiente b será obtido substituindo-se em y= b ⋅ a x o valor de a = 1, 02 em um dos pares de valores de x e y dados, por exemplo, ( x, y ) = ( 8,926.758 ) , onde 8 representa o ano de 2008. 926.758= b ⋅1, 028 b 790.979, 0294 ≅ 790.979 Assim, a função exponencial da população é dada= por y 790.979 ⋅1, 02 x . 2° Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos O procedimento consiste em substituir os dois pares de valores y = b ⋅ a x em que y = b ⋅ a x , formando um sistema de duas equações e duas variáveis, cuja solução nos fornece os coeficientes b e b . Por exemplo, em um armazém, os grãos de milho armazenados, com o tempo, começam a estragar, sendo que a quantidade de grãos ainda em condições de consumo começa a decair segundo um modelo exponencial. A tabela a seguir relaciona os dois momentos e as respectivas quantidades de grãos em condições de uso. 44 Também é possível obter-se uma função exponencial que relaciona a quantidade de grãos em função do ano de estocagem. Pela tabela, verifica-se que o modelo é exponencial e que os pontos ( x, y ) = ( 2, 760 ) e ( x, y ) = ( 5, 580 ) satisfazem à equação y= b ⋅ a x ; então, substituindo: x = 2 e y = 760 em y =b ⋅ a x ⇒ 760 =b ⋅ a 2 x = 5 e y = 580 em y =b ⋅ a x ⇒ 580 =b ⋅ a 5 5 Com isso, é obtido o sistema b ⋅ a = 580 , que se resolve dividindo a primeira equação pela segunda: b ⋅ a 2 760 b ⋅ a 5 580 = b ⋅ a 2 760 = a 3 0, 763158 = ⇒a 3 0, 763158= ⇒ a 0,91 Substituindo-se a = 0,91 em b ⋅ a 2 = 760 , tem-se b: b ⋅ 0,912= 760 ⇒ b ≅ 918 . Assim, a função exponencial que fornece a quantidade de grãos sem função do tempo é dada por = y 918 ⋅ 0,91x . 45 disponível em: <http://www. 2011.brasilescola. Acesse o site <http://www. 2011.htm>.com/watch?v=VTIXdWSJ_ u0>.  Acesso em: 13 dez.alunosonline.html>.LINKS IMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: Acesse o site <http://www. você encontrará os conceitos de função exponencial de forma didática. além de alguns exemplos.com/matematica/funcao-exponencial-1. 2011.br/matematica/funcao-exponencial. Nesse site. VÍDEOS IMPORTANTES Assista ao vídeo sobre função exponencial. você encontrará definição da função exponencial e uma série de exercícios com exemplos de aplicações. Nesse vídeo. Acesso em: 13 dez. você encontrará a definição de função exponencial.youtube.com. 46 . Acesso em: 23 nov. Nesse site. Verifique seu desempenho nesta questão.277. tem seu 47 .085. 59. 1. de R$ 97. 025 x . obtenha o valor V como uma do caderno de atividades. Uma máquina copiadora.6% ao ano. dos meses (tempo) x .277. 22 c) = M 40.800.277. E qual b) R$ 130. após a compra.90 x e R$77. 025 x . 59.53 = b) V 97.00.059.277. onde Uma pessoa faz empréstimo de R$ 40.000 ⋅1. 025 x .53 Agora é com você! Responda às questões a seguir para conferir o que aprendeu! Questão 01 Verifique seu desempenho nesta questão.200. 6 x e R$197.64. 09 x .000 ⋅ 9. 6 x e R$57.00.308. M = f ( x ) . clicando no ícone ao lado.380. Leia atentamente = a) V 97. clicando no ícone ao lado. x representa o ano após a aplicação. clicando no ícone ao lado. 51.53 sendo solicitado.000 ⋅1.00. 10 anos após a aplicação? determina o montante M da dívida em função a) R$ 284.53 os enunciados e realize com sucesso o que está = c) V 97.00. Qual seria a equação que montante.000 ⋅ 0.000 ⋅10. 1.1060 x e R$96. Qual o a juros compostos.000 ⋅ 0.000 ⋅1.000.000 ⋅1. 025 x . = d) V 97.53 = e) V 97. você função dos anos x após a compra. como também. e o valor da deverá assistir às aulas.083. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma INSTRUÇÕES função exponencial e que o valor da compra é Para colocar em prática seus conhecimentos.203.34 Verifique seu desempenho nesta questão. os links e vídeos disponibilizados com o objetivo de ampliar seus conhecimentos.00. 25 x .5% ao mês momento em que foi realizada a aplicação.380. realizar a leitura obrigatória máquina após cinco anos.277. seria o montante da dívida após 16 meses? c) R$ 1.000 ⋅1.Agora é a sua vez valor depreciado a uma taxa de 10. isto é.380. 22 e) = M 40.083.90 x e R$57. e x = 0 é o que será corrigido a uma taxa de 2.421. d) R$ 130.000. Questão 02 a) = M 40. O montante de aplicação financeira no decorrer Questão 03 dos anos é dado por = M ( x ) 120.000 ⋅1.000.000. e) R$ 1.64. 22 d) = M 40.000 ⋅ 0. 22 b) = M 40. considerando que o ano de 2001 foi o ano inicial e que. clicando no ícone ao lado. d) 76%.Questão 04 O preço médio dos componentes de um remédio aumenta conforme uma função exponencial. em 2001 a 2005. O preço médio inicial é de R$12. clicando no ícone ao lado. determine qual o aumento percentual desta função.011t . clicando no ícone ao lado. c) 56%.36 meses. responda: a) Qual a função exponencial que relaciona a quantidade consumida de água em função do tempo (ano)? b) Qual o aumento percentual anual no consumo de água? Verifique seu desempenho nesta questão.000 ⋅1. o crescimento da população foi similar ao da tabela.10% ao mês. b) 40%. e) 73.00 Verifique seu desempenho nesta questão.36 meses. .000.56 x . Questão 06 Estudos mostram que é exponencial o consumo de água em uma cidade. Questão 05 Dada uma função exponencial = V 46. b) 50. Determine depois de quanto tempo o montante será de R$ 68. Questão 07 A população de uma cidade no decorrer dos anos de 2005 a 2008 é dada pela tabela a seguir: Obtenha uma função que forneça a população como uma função do ano. clicando no ícone ao lado. Foram computados os valores de consumo após o início do estudo. Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará? a) 10 meses. d) 63.36 meses. 03t .98 ⋅1. c) 65. é dado por = M ( t ) 25. clicando no ícone ao lado. e dois desses valores são dados na tabela a seguir: 48 Com base nesses dados. Verifique seu desempenho nesta questão. Verifique seu desempenho nesta questão. e a taxa percentual de aumento é de 1. Verifique seu desempenho nesta questão. no decorrer de t meses.50 ⋅1. Questão 08 O montante de uma dívida.36 meses.50. A função que determina o preço em função do tempo é dada por = P 12. a) 50%. e) 98%. b) Determine em quanto tempo vamos ter a quantidade de 1. o número de carros cresce de forma exponencial a uma taxa de 10% ao ano. C = f ( t ) . A tabela a seguir fornece os valores das contas dos últimos meses: a) Determine a expressão que relaciona valor em função das ligações. Verifique seu desempenho nesta questão. no ano de 2006. para o Governo poder estruturar-se para que o sistema rodoviário não entre em colapso. a) Determine a função que relaciona o número de carros C em função do ano t .100. mais uma parte que varia de acordo com o número de ligações. Questão 10 Uma cidade. clicando no ícone ao lado. a partir de então. b) Identifique qual a tarifa fixa e o preço por ligação.500 carros e. Verifique seu desempenho nesta questão. clicando no ícone ao lado.000 carros. 49 . tem 870.Questão 09 O valor de uma conta de celular é dado por uma tarifa fixa. isto é. Entendeu que todos os conceitos estudados têm aplicações no nosso cotidiano. os conceitos de juros compostos. Aprendeu como analisar. com situações práticas. depreciação de uma máquina e crescimento populacional.FINALIZANDO Nessa aula. Caro aluno. agora que o conteúdo dessa aula foi concluído. resolva os exercícios propostos no Livro-Texto. você viu os conceitos e aplicações da função exponencial. Viu também como identificar a função exponencial por meio de um fator multiplicativo. não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos! 50 . Para uma melhor compreensão e fixação das questões e exemplos. Qual seria o número de coelhos após quatro gestações? • Qual a produção de um determinado produto.Tema 5 Função Potência. Polinomial. você estudará: • Os conceitos matemáticos e seus desenvolvimentos na prática do dia a dia. Na primeira gestação. Polinomial. Habilidades Ao final. • As Funções Potência. você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Ângela resolveu criar coelhos e comprou quatro casais. onde a receita é dada por R ( x ) = 100 x + 400 ? x+5 51 . Racional e Inversa ícones: Conteúdos e Habilidades Conteúdo Nesta aula. • As funções racionais explorando algumas ideias relacionadas à teoria do limite. considerando P a quantidade de bolsas produzidas e q a quantidade de capital aplicado na compra de equipamentos? • Qual a receita obtida se aplicarmos certa quantia de valores em propaganda. cada um dos quatro casais gerou outros quatro casais. Racional e Inversa. totalizando 16 coelhos. por exemplo. a produção de bolsa de uma determinada fábrica. Embora o expoente possa assumir qualquer valor real. y x= . y = −90 x 7 y = 0. y x10 . onde n = . e y= 600 x 2 Ao analisar o comportamento das potências inteiras e positivas de x nota-se que: A) Potências ímpares:( = y x= . y x 7 . e 2 7 y= 60 x Você deve lembrar que a caracterização geral da função potência é dada por p n = . Polinomial. 1 3 2 5 4 7 1 5 Exemplos: y = 6x . y = −9 x y= 0. q ≠ 0 e q p > 0. lembre-se de que pode .AULA 5 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem. y = 24 x8 . onde k e x são constantes. cujo gráfico é uma reta. Leitura Obrigatória Função Potência. para tanto. y x 5 . Racional e Inversa FUNÇÃO POTÊNCIA De uma forma geral a função potência é definida por y == f ( x ) k ⋅ xn . y x 5= .  ) são funções decrescentes para x < 0 e crescentes para x > 0 e seus gráficos são simétricos em relação ao eixo y. Exemplos: y = 40 x. Para x = y . q > 0 p . a taxa é constante (não há concavidade). é interessante estudar três casos: 1° caso. os gráficos têm concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes) quando x < 0 e concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando x > 0 . Potências fracionárias e positivas. 44 x3 . q > 0 .12 x . y x 3= . y x= .  ) são funções crescentes para todos os valores do domínio e seus gráficos são simétricos em relação à origem dos eixos. y = 4x . ( k ≠ 0) . Nota-se ainda 3 que para = y x= . 2° caso. Potências inteiras e positivas.q ≠ 0 e q 52 p > 0. 2 4 8 B) Potências pares: = ( y x= . Note ainda que tem concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes) quando x < 0 e concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando x > 0 . Por exemplo: y = x ⇒ y = 3 As potências fracionárias são crescentes a taxas decrescentes se o expoente é maior do que 0 e menor do que 1 (concavidade para baixo) e crescente a taxas crescentes se o expoente é maior do que 1 ( concavidade para cima). pois ao escrevê-las na forma de fração tem-se x como denominador. decrescentes para x > 0 e. y x= .  são funções crescentes para x < 0 . inúmeras potências fracionárias de x são definidas somente se x ≥ 0 . Tais funções são conhecidas como hiperbólicas. 3° caso. y x −8 .escrever a potência fracionária em forma de raiz. os ramos de hipérbole são simétricos em relação à origem dos eixos. considerando fixas as demais quantidades de outros insumos. y 10 x −2 = ou y Exemplos: = 1 1 . Tais fatores são chamados de insumos de produção. De modo análogo. 53 .  são funções decrescentes para todos os valores do domínio e. pois seus gráficos no domínio x ∈ℜ e x ≠ 0 são hipérboles. −1 −3 −5 Potências negativas impares = y x= . isto é. p y = f ( x ) = k ⋅ xn ⇒ y = k ⋅ x q ⇒ y = k ⋅ x p . é interessante estabelecer a quantidade produzida em correspondência com a quantidade de apenas um dos componentes do insumo. nos gráficos. y x −7 . Por ser a concavidade voltada para cima. Potências inteiras e negativas. −2 −4 −6 Potências negativas pares = y x= . y x= . equipamentos. Algumas aplicações das funções potência: no processo de produção de um produto são utilizados vários fatores como matéria-prima. q 5 3 5 1 2 x ou ainda y = x ⇒ y = 2 x1 ⇒ y = x . Na análise matemática da produção de um produto. as taxas são crescentes tanto para o crescimento como para o decrescimento da função. lembre-se de que este último exemplo também é conhecido como raiz quadrada e é definida somente para x ≥ 0 . energia. y x= . mão de obra e dinheiro. nos gráficos. y x= . os ramos de hipérbole são simétricos em relação ao eixo y . y x −3= ou y = 2 10 x x3 As potências inteiras e negativas x são definidas para x ≠ 0 . P= k ⋅ q n . Pode-se construir uma tabela que dá a produção para alguns valores de insumos aplicados na compra de equipamentos.Por exemplo. Por exemplo: em uma determinada fábrica. ou seja. 03q 3 ( P medida em milhares de unidades e q em milhares de reais). Resumindo.000. a produção pode ser escrita como função da quantidade de um insumo. percebe-se que para aumentos iguais em q . de energia utilizada. considerada fixa a quantidade de mão de obra disponível. portanto: Analisando mais detalhadamente. P= k ⋅ q n . dependendo apenas da quantidade q de matéria-prima utilizada na produção. A partir da tabela acima. a quantidade produzida P depende apenas da quantidade q de um insumo. Em situações práticas.00 acarretam diferentes aumentos em P . isto é. os aumentos em P 54 . considerando P a quantidade de sacolas produzidas e q a quantidade de capital aplicado na compra de equipamentos. na produção de sacolas plásticas. a quantidade produzida P . nota-se que aumentos de R$ 5. estabeleceu-se a função da produção P = 0. para alguns processos de produção nota-se que a produção é proporcional a uma potência positiva da quantidade de insumo. onde k e n são constantes positivas. de dinheiro disponível etc. ou seja. pode-se dizer que a função P cresce a taxas crescentes. estabeleceu-se uma função desta produção por P = 2. os aumentos em P são decrescentes. diz-se que a função P cresce a taxas decrescentes. ou seja. Nessa situação. Em outro exemplo. Notou-se que. se a população estudada é de 1.são cada vez maiores. Nessa situação. o número P de aparelhos telefônicos produzidos por um grupo de operadores que 3 trabalham uma quantidade q de horas. verifica-se o crescimento a uma taxa decrescente: em uma determinada linha de produção.000 habitantes . como se vê na tabela a seguir: Analisando mais detalhadamente.500. A partir dessa função consegue-se determinar uma tabela que nos dá a quantidade produzida em função de algumas horas trabalhadas. os aumentos em P são cada vez menores. Outro exemplo prático da função polinomial é denominado Lei de Pareto. o número y de indivíduos que recebem uma renda superior a x é dado aproximadamente a por y = . na maioria dos casos. percebe-se que para aumentos iguais em q .000q é crescente e que os aumentos de 2 horas em q acarretam diferentes aumentos em P . os aumentos em P são crescentes.000q 4 . onde r é a menor renda considerada para a população e b um parâmetro positivo b (x − r) que varia de acordo com a população estudada. na qual se estuda a distribuição de rendas para os indivíduos de uma população de tamanho a . 3 4 Observa-se que a função P = 2. a renda mínima considerada for de 55 . Por exemplo. tem-se o preço máximo do produto e em t = 4 tem-se o preço mínimo. então o número de indivíduos y que tem renda superior a x é dado por = y a (x − r) b = ⇒y 1.R$ 250.200 − 250 ) FUNÇÃO POLINOMIAL De um modo geral.000 1. você verá que esses pontos são denominados pontos de “máximo local” e “mínimo local”.3 7431 (1. y = 5 x 4 + 17 x3 − 2 x 2 − 8 x + 10 → função polinomial de grau 4.200 . Se quiser uma estimativa de quantos indivíduos têm renda superior a R$ 1. assim: = y a (x − r) b = ⇒y 1.3 . Aplicação: o preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que pode ser aproximado pela função p ( t ) = t 3 − 7t 2 + 9t + 20 .500.000 ( x − 250 ) 1. Os coeficientes y =−5 x 6 + 7 x5 − 2 x 4 + 9 x3 − 10 x 2 + 8 x + 9 → são números reais. basta fazer x = 1. conseguiu-se: Tempo t Preço p 0 1 2 3 4 5 20 23 18 11 8 15 Note que para t = 1 . Características: O número n é denominado o grau da função polinomial.500.000 = ≅ 202 habitantes. Exemplos: y =−5 x 6 + 7 x5 − 2 x 4 + 9 x3 − 10 x 2 + 8 x + 9 → função polinomial de grau 6. pode-se definir a função polinomial da seguinte maneira: y = f ( x ) = an ⋅ x n + an −1 ⋅ x n −1 + a n − 2 ⋅ x n − 2 +  + a2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0 .00 e o parâmetro b = 1.500. Construindo uma tabela para alguns meses. 1.00. Mais adiante.200. onde n ∈ N e an ≠ 0 . onde t representa o numero de meses.3 . p ( t ) = t 3 − 7t 2 + 9t + 20 função polinomial de grau 3. 56 . isto é: x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ −5 . onde P ( x ) e Q ( x ) são polinômios e Q ( x ) ≠ 0 . São apresentados os seguintes x+5 é definida. Para estimar os valores de lim →− R ( x ) . foi estabelecido que: R ( x ) = passos: 1° passo. monte uma tabela tomando valores próximos a –5. R ( x ) existe para x ≠ −5 . estudar os limites laterais lim x →a+ e lim x →a− . analisar o comportamento da função quando x → a . quando x → +∞ . ou seja. Analisar onde x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ −5 200 x + 500 . porém maiores que –5.FUNÇÃO RACIONAL = y Definição de uma função racional é dada por: P ( x) f= ( x) Q ( x) . ou seja. 57 . analise os limites lim x→−5+ R(x ) e lim x →−5− R ( x ) . siga os seguintes passos: = y 1° passo. Descobrir onde f= ( x) P ( x) Q ( x) P ( x) Q ( x) corta o eixo y fazendo x = 0 . Analisar o comportamento de f= ( x) = y 5° passo. Analisar o comportamento de f= ( x) P ( x) Q ( x) P ( x) Q ( x) quando x → −∞ . = y 4° passo. Se há assíntota vertical em x = a . Descobrir onde f= ( x) = y 3° passo. analise o comportamento de R( x ) quando x → −5 . corta o eixo x fazendo y = 0 . investigando assim se há assíntotas verticais. = y 2° passo. Analisar onde f= ( x) P ( x) Q ( x) é definida. Assim. Para analisar esta função. Exemplo: Considerando a função que dá a receita R para certo produto em função da quantia x investida em propaganda. percebe-se que. Conclui-se. tem-se R( x ) assumindo valores cada vez maiores. Conclui-se. tem-se R ( x ) assumindo valores cada vez maiores. Para estimar os valores de lim x →−5− R ( x ) . Conclui-se que. monte uma tabela tomando valores próximos a –5. então que lim x →−5+ R ( x ) = +∞ . a partir dos limites calculados. quando x → −5− . em x = −5 tem-se duas assíntotas verticais. percebe-se que.Pela tabela. porém menores que –5. então que lim x →−5+ R ( x ) = −∞ . quando x → −5− . 58 . Pela tabela. Descobrir onde R ( x ) = Isto é.50 .00 representa a receita quando nada é investido em propaganda. Analisar o comportamento de R ( x ) = 200 x + 500 quando x → −∞ . 3° passo. observa-se que. 200 x + 500 corta o eixo x fazendo R ( x ) = 0 . R ( x ) corta o eixo x em x = −2. = y 5° passo. Assim. Analisar o comportamento de f= ( x) P ( x) Q ( x) quando x → +∞ . 59 .000.50 . x+5 200 x + 500 = 0 ⇒ 200 x = −500 ⇒ x = −2. x+5 Monte uma tabela para investigar o limite lim x →−∞ R ( x ) : Pelos cálculos. assim R ( x ) corta o eixo R em R(0 ) = 100 . x+5 4° passo. R= ⇒ R= = 100 . Descobrir onde R ( x ) = termos práticos R$ 100. se x assume valores cada vez menores. então para lim x →−∞ R ( x ) = 200 . R( x ) assume valores cada vez mais próximos de 200.200 x + 500 corta o eixo y fazendo x = 0 x+5 200 x + 500 200 ⋅ 0 + 500 Isto é. ( x) (0) x+5 0+5 em 2° passo. A partir de tal função pode-se obter outra função. Simbolicamente: q = f −1 ( C ) 3 . basta “isolar” q na relação: C = 3q + 120 3q + 120 = C 3q= C − 120 C − 120 q= 3 A função q = 60 C − 120 é conhecida como a função da função C = 3q + 120 . então para lim x →+∞ R ( x ) = 200 .000. R ( x ) assume valores cada vez mais próximos de 200. se x assume valores cada vez maiores. de maneira inversa. FUNÇÃO INVERSA No início do Tema 2. a função de primeiro grau foi estudada em uma situação que relaciona o custo para a produção de q calças . Para isso. se é dado o custo C . em que.00. obtém-se a quantidade q produzida. observa-se que. obtém-se o custo de produção. Em termos práticos. por maior que seja a quantidade investida em propaganda a receita obtida não ultrapassa o valor de R$ 200. onde conseguiu-se a função C = 3q + 120 . Se for dada a quantidade q produzida.Monte uma tabela para investigar o limite lim x →+∞ R ( x ) : Pelos cálculos. br/scielo.LINKS IMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: Leia o artigo de Carlos Ramos de Souza-Dias.scielo. 61 . Disponível em: <http:// www.php?script=sci_arttext&pid=S0004-27492010000200022>. Acesso em: 20 dez. The intimate nature of oculomotor muscles contracture. 2011. que trata sobre as características das células musculares e suas influências. 1.000. b) 6.000.200.960. 320.220.000.000. os links e vídeos disponibilizados com o objetivo de ampliar seus conhecimentos. 1. para um grupo de colaboradores. no decorrer do expediente.000.760 . aproximadamente. 1.500.960. Quais são os custos de produção para as quantidades de 0. 3.000 b) 0.200 telefones? a) 19 horas.760 . onde q representa o numero de horas trabalhadas a partir do inicio do expediente.000.000.960.000. 1.000. 1. e) 0.31 horas.960. 40.000 d) 0.000.049.049.620. nota-se que o número P de telefones montados é 4 de aproximadamente = P 520 ⋅ q 7 . 12. Questão 01 O custo variável Cv = 20q 4 .000 c) 0. d) 20 horas. Quantas horas devem se passar. 2.960. 1. 9 ? a) 0. 40. 62 . clicando no ícone ao lado. 32. Verifique seu desempenho nesta questão. 12.620. Leia atentamente os enunciados e realize com sucesso o que está sendo solicitado. 5. 100. onde q representa a unidade de um produto e Cv medidos em reais. 131. você deverá assistir às aulas. 100. c) 10 horas.000. 100. 40. 12.760. 131. desde o início do expediente para que sejam produzidos 5. Agora é com você! Responda às questões a seguir para conferir o que aprendeu! Verifique seu desempenho nesta questão. como também. Questão 02 Em uma empresa. clicando no ícone ao lado.Agora é a sua vez INSTRUÇÕES Para colocar em prática seus conhecimentos. e) 3. realizar a leitura obrigatória do caderno de atividades. 12.000.049.960. 73 horas.2500. 10 x . clicando no ícone ao lado..000 ⋅ p 2 renda entre R$ 25. Obtenha a função inversa de peças produzidas por um operário depende do número de horas trabalhadas a partir do início do turno (x = 0) e tal função e dada por 3 2 y= −2 x + 15 x Quantas peças foram produzidas na primeira e na terceira hora de trabalho? a) 13 e 31 peças.5 (R$/dia).04. onde q é dada em quilos e p em reais por quilo (R$/kg). Qual o preço da fruta quando os produtores estão dispostos a ofertar 54. Verifique seu desempenho nesta questão. 9 a 10... e ) 8. Qual o número de pessoas que tem relacionados de acordo com = q 50. b) 13 e 37 peças. c) 700 pessoas. e) 44 e 81 peças. b) 1.. clicando no ícone ao lado. Dada a função = M 60.25. a) 100 pessoas.000 pessoas.000 .09. clicando no ícone ao lado. d) 13 e 44 peças.25. d) R$ 1. d) 7. o número de uma aplicação financeira e x = ano após (x = 0) o ano de aplicação. 2 a 3.Questão 03 indivíduos com renda superior a x é dado por Em uma safra. clicando no ícone ao lado. clicando no ícone ao lado..000. . c) R$ 1. Verifique seu desempenho nesta e ) R$ 1.000 ⋅1. c) 31 e 37 peças.000 pessoas. estabeleceu-se que o número explicando o seu significado.00 por dia? . x de 1 a 2. Construa uma tabela que dê o custo quando são produzidas 0. 63 .2. pela Lei de Pareto.000 pessoas. onde x é dado em reais por dia x1. Questão 07 O custo C na produção de um produto depende da quantidade q produzida e tal custo é dado por C =q 5 − 15q 3 + 90q + 20 . Analisando a distribuição de rendas para um grupo particular. Questão 06 Verifique seu desempenho nesta questão. em que o custo é medido em milhares de reais e a quantidade em milhares de unidades.45. M = montante Questão 04 Em uma fábrica.9 e 10 unidades e depois determine as diferentes Questão 05 variações do custo ∆C para variações de mil unidades produzidas (∆q = 1) . questão. a quantidade q ofertada pelos y= produtores e o preço p de uma fruta estão 5 1. 1. com q de 0 a 1..00 e R$ 100. Verifique seu desempenho nesta questão.678 kg? a) R$ 1.. Verifique seu desempenho nesta questão. b) R$ 1. 00 quantas horas extras ele deverá trabalhar? Verifique seu desempenho nesta questão. Determine para quais valores de x a função existe e qual o valor de lim x→−∞ e lim x→+∞ . Quais são os intervalos de crescimento (diferentes taxas) para a produção. clicando no ícone ao lado. Questão 10 Em uma fábrica. clicando no ícone ao lado. de acordo com o tempo trabalhado a partir do inicio do turno. o número y de peças produzidas por um operário depende do número de horas x trabalhadas a partir do início do turno ( x = 0 ) e tal produção é dada por y = − x3 + 20 x 2 . considerando a produção nas dez primeiras horas ? Verifique seu desempenho nesta questão. onde x é dada em horas e y em unidades. Questão 09 A receita R para certo produto. onde S representa o salário e n o número de horas extras mensais. 64 . Verifique seu desempenho nesta questão.Questão 08 Os colaboradores de uma empresa recebem um salário mensal de acordo com a expressão S=900+15n. é dada por 10 x + 400 R ( x) = . em função da quantia x investida em propaganda. clicando no ícone ao lado. onde tanto receita quanto x+2 quantia investida em propaganda são medidas em milhares de reais.680. Determine n = f −1 ( S ) e para que um colaborador dessa empresa consiga um salário mensal de R$ 1. agora que o conteúdo dessa aula foi concluído. Bons estudos! 65 . além dos problemas propostos. Polinomial. os demais. Racional e Inversa. 2012).2ª ed. não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Giácomo . O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados ajudarão você a resolver. Afrânio / Bonetto.MUROLO.Cengage . foram tratados os conceitos relacionados à Função Potência. esses conceitos encontram-se no Capítulo 5. economia e contabilidade . Caro aluno.FINALIZANDO Nessa aula. No Livro-Texto Matemática Aplicada à administração . como taxa de variação instantânea. • O conceito de derivada como a inclinação da reta tangente à curva num determinado ponto. • Como encontrar a equação da reta tangente à curva em um de seus pontos. Habilidades Ao final. ou mesmo. 66 .Tema 6 Conceito de Derivada ícones: Conteúdos e Habilidades Conteúdo Nesta aula. você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Qual a taxa de variação da produção para intervalos de tempo? • Qual a taxa de variação instantânea da função produção em um determinado instante? • Substituir o último item de Habilidades: ‘’COMO estimar numericamente a demanda de um determinado produto? AULA 6 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem. bem como aplicar o conceito de derivada em seus cálculos. você estudará: • O conceito de taxa de variação média e instantânea. ou simplesmente. em relação a variável independente q . ela pode ser obtida para qualquer função. onde P é dada em toneladas. então a taxa de variação média de y em relação ao x é calculada pela razão: taxa de = var iação média var iação em y ∆y = var iação em x ∆x TAXA DE VARIAÇÃO EM UM INTERVALO Seja P a quantidade de alimentos produzidos por operários em uma indústria em relação às horas x trabalhadas a partir do início do expediente e tal produção é dada por P = x 2 . pode-se definir a taxa de variação média. O inicio do expediente é representado por x = 0 . por se tratar de uma função de primeiro grau.Leitura Obrigatória Conceito de Derivada TAXA DE VARIAÇÃO TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA Seja C o custo para a produção de uma quantidade q de bolsas. ou seja. é importante salientar que a taxa de variação média representa o coeficiente angular da reta que representa graficamente essa função. então. Se y representa a variável dependente e x a variável independente. A equação de tal reta é dada por = y mx + b . estabelecida por C = f ( q ) . De fato. a taxa de variação 67 . dada pela razão: m= var iação em C var iação em q Em tal exemplo. portanto. Determina-se. Para tal função uma variação na quantidade q de bolsas determina uma variação correspondente nos custos de produção e. 0 h. taxa de variação da variável dependente C . o conceito de taxa de variação média não é exclusividade da função de primeiro grau. significa 68 . Isto é. taxa de var iação = média f ( 3) − f ( 2 ) 32 − 22 = = 5ton / h 3− 2 1 Para o intervalo de 3 h a 4 h ( 3 ≤ x ≤ 4 ). Ao isolar a. De acordo com a definição dada anteriormente. pode-se escrever a taxa de variação média como: taxa de var iação média = f (a + h) − f (a) h TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTANEA Você estudou até agora a variação da produção para intervalos de tempo. Se escrever de maneira geral um intervalo a até b . taxa de var iação = média f ( 4 ) − f ( 3) 42 − 32 = = 7ton / h 3− 2 1 Note que. com o passar do tempo. a taxa de variação média é dada por: taxa de var iação média = f (b ) − f ( a ) b−a Para esse modo de definir a taxa de variação média. obtém-se b = a + h e o intervalo a até b . pode-se ainda considerar o “tamanho” do intervalo como sendo h . as taxas de variação médias da produção aumentam e como a produção é crescente. conclui-se que a produção é crescente às taxas crescentes. A taxa de variação média sempre é calculada para intervalos da variável independente. ou seja. como 2 h até as 3 h ou ainda das 3 h até as 4 h. pode-se dizer que a taxa de variação média é dada por: taxa de = var iação média var iação em P ∆P = var iação em x ∆x Para o intervalo de 2 h a 3 h ( 2 ≤ x ≤ 3 ). passa a ser de a até a + h . e a taxa de variação média em um intervalo foi útil para analisar o comportamento da produção. para 2 ≤ x ≤ 3 e 3 ≤ x ≤ 4 . Então.média da produção para o intervalo de 2 h até as 3 h e também das 3 h até as 4 h. h = b − a . pois dizer que a produção está variando a uma taxa de 5ton/h. 01 h 0. 01) − f ( 5 ) 5. tem-se o intervalo 5 até 5 + 0. Mas. pode-se calcular a produção exatamente para 5 horas? Sim. 01 Fazendo h = 0.1 . cada vez mais próximos do instante x = 5 .1 . dizer que a produção varia a uma taxa de 7ton/h significa que em uma hora.que em uma hora. taxa de var iação = média Fazendo 5 + 0. tem-se o intervalo 5 até 5 − 0. tem-se o intervalo 5 até 5 + 0.001 . serão considerados valores negativos para h . 01 . 012 − 52 = = 10. são produzidas 7 toneladas – produções essas referidas a intervalos de tempos distintos do processo de produção. 01 taxa de var iação= média f ( 5 + 0. De modo análogo. 5 + 0. pode-se calcular taxa de variação em determinado instante? Por exemplo.10 h 0.01 e 0. 001 . calcula-se as taxas de variação média para os intervalos de “5 até um instante pouco maior do que 5”. então: taxa de var iação média = f ( 5 + h ) − f ( 5) h Fazendo h = 0. 0012 − 52 = = 10. Considere o instante x = 5 . 001) − f ( 5 ) 5. 69 .00 h 0.001 os valores da taxa de variação estão cada vez mais próximo de 10. foram produzidas 5 toneladas.1 até 5 + 0. onde h representa o tamanho do intervalo. tome cálculos das taxas de variação média o intervalo de 5 até 5 + h . Já para calcular as taxas de variação média para os intervalos de “5 até um instante pouco menor do que 5”.1. 0.1 . é possível e será feito da seguinte forma: calculando várias taxas de variação médias para intervalos de tempo “muito pequenos”. Note que todos os valores encontrados para h variando dentre 0.1 . Isto é: Fazendo h = −0.1) − f ( 5 ) 5. 001 Assim.12 − 52 = = 10. 01 . taxa de var iação = média f ( 5 + 0. tem-se o intervalo f ( 5 + 0. 992 − 52 = = 9.999 −0. Então. 00ton / h Considerando a taxa de variação instantânea assim definida.1) − f ( 5 ) 4. a taxa de variação instantânea não existe. taxa de var iação = média f ( 5 − 0. tem-se o intervalo 5 até 5 − 0.92 − 52 = = 9. 01 Fazendo h = −0. com h < 0 . com h > 0 . 01 . ou seja.taxa de var iação = média f ( 5 − 0. taxa de var iação= média f ( 5 − 0. para o instante x = 5 tem-se: taxa de var iação ins tan tânea = 10.1 Fazendo h = −0. 01 . os três primeiros cálculos da taxa de variação média. 001 h Você pode perceber que a taxa de variação média também se aproxima de 10. 001 . 70 .99 h −0. 01) − f ( 5 ) 4. resumem a tentativa de determinar o limite lateral: lim h→0− f ( 5 + h ) − f ( 5) h = 10 Conclui-se então que: lim h→0 f ( 5 + h ) − f ( 5) h = 10 Caso os limites laterais resultem em números diferentes.9992 − 52 = = 9. resumem a tentativa de determinar o limite lateral lim h→0+ f ( 5 + h ) − f ( 5) h = 10 Os três últimos cálculos da taxa de variação média. 001) − f ( 5 ) 4. diz-se que o limite que dá origem aos limites laterais não existe.90 h −0. 001 . tem-se o intervalo 5 até 5 − 0. Assim. f ' ( a ) = lim h→0 f (a + h) − f (a) h 71 . de um modo geral. ou derivada. no ponto x = 5 por f ' ( 5 ) .DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMO TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTANEA A taxa de variação instantânea da função produção no instante x = 5 é muito importante e também recebe o nome derivada da função produção no ponto x = 5 . a derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação instantânea da função no ponto. A taxa de variação instantânea é simbolizada. ou seja. Disponível em: <http://www.com/ watch?v=Nwy4NILJDxw>. 72 . VÍDEOS IMPORTANTES Assista ao vídeo sobre deverivada. 2011.html>.br/conteudos/TaxasVariacao/saibamais. Acesso em 30 nov. Este vídeo mostra uma aula de derivada que irá auxiliá-lo nas resoluções dos exercícios. assim como exemplos de aplicações. 2011. O site traz dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das taxas de variação instantânea.youtube.pdf>.com. O site mostra dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das taxas de variação médias. Acesso em 12 dez.fc.unicsulvirtual. 2011. Acesse o link< http://wwwp. Acesso em 30 nov.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadas.LINKS IMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: Acesse o link <http://condigital. você deverá assistir às aulas. onde a produção P é dada em milhares de litros e o capital q investido é dado em milhares de reais. Verifique seu desempenho nesta questão. d) Significa que a taxa de variação do custo é Questão 01 Em uma indústria química. d) 300.00.a.00 milhares de reais para uma produção de 5 mil unidades. é dada pela função R = −5q 2 + 3.000. Verifique seu desempenho nesta questão. Questão 02 O custo C para a produção de uma quantidade q de componentes elétricos é representado pela função C = f ( q ) . decrescente para uma variação crescente nas unidades e) N. Questão 03 Para um produto.000q . 73 . Determine a taxa de variação média para os intervalos 100 ≤ q ≤ 200 . b) 35.Agora é a sua vez INSTRUÇÕES Para colocar em prática seus conhecimentos. clicando no ícone ao lado. clicando no ícone ao lado. ao se comercializar a quantidade q . realizar a leitura obrigatória do caderno de atividades. e) 700. 200 ≤ q ≤ 300 . Qual o significado de f ' (10 ) = 5 ? a) Significa que a taxa de variação do custo Agora é com você! Responda às questões a é de R$ 5. Leia atentamente os enunciados e realize com sucesso o que está sendo solicitado. b) Significa que a taxa de variação do custo é de R$ 10. os links e vídeos disponibilizados com o objetivo de ampliar seus conhecimentos. em unidades. c) 70. em reais (R$).00 milhares de reais para uma seguir para conferir o que aprendeu! produção de 10 mil unidades. a) 350. a receita R . considerou-se a produção de sabão como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se P ( q ) = 5q 2 . como também.d. O custo é dado em reais (R$) e a quantidade é dada em milhares de unidades. Determine a taxa de variação média para a produção no intervalo 6≤ q ≤8. c) Significa que a taxa de variação das unidades é de 5 milhares para um custo de R$ 10. para o trabalhadas em P = 2.450 unidades. y= −5 x + 7 .000. na qual M = montante de uma aplicação financeira e x = ano após o ano de aplicação. o número P de aparelhos eletrônicos montados por um grupo de funcionários depende do número q de horas 1 variação média é de 500 unidades.000. clicando no ícone ao lado. b) Para o intervalo de 100 ≤ q ≤ 200 . clicando no ícone ao lado. a taxa de variação média é de 5. Estime numericamente a derivada da c) Para o intervalo de 100 ≤ q ≤ 200 . a taxa de Questão 05 Em uma linha de produção. b) 500.500 unidades. Utilizando P ' ( t ) . d) 7. a taxa de variação média é de 500 unidades. a taxa de variação média é de 14. a taxa de variação média é de 1.000. e) 125. clicando no ícone ao lado. a) 2.255.500 unidades. clicando no ícone ao lado. e) Para o intervalo de 100 ≤ q ≤ 200 .93. Determine a taxa de Questão 04 variação média para o intervalo 2 ≤ q ≤ 6 ? Determine a equação da reta tangente à curva b) R$ 5.000q 4 . 08 x . a taxa de variação média é de 1.00. para o intervalo de 200 ≤ q ≤ 300 . y= a) b) c) d) e) 2 x 2 + 5 x − 7 no ponto ( 0. função para q = 1 . para o intervalo de 200 ≤ q ≤ 300 . Verifique seu desempenho nesta questão. Verifique seu desempenho nesta questão.a) Para o intervalo de 100 ≤ q ≤ 200 . −7 ) . Verifique seu desempenho nesta questão.985. para o intervalo de 200 ≤ q ≤ 300 . d) Para o intervalo de 100 ≤ q ≤ 200 . a) R$ 5. Verifique seu desempenho nesta questão. y= x + 7 y = −7 .500 unidades. c) R$ 4. y= x − 7 . y= −5 x + 7 . a taxa de variação em unidades montadas aproximadamente média é de 1.66.500 unidades. a taxa de variação média é de 15.000. a taxa de variação média é de 500 unidades. Questão 06 Dada a função = M 50.60.500 unidades. e) R$ 6.500 unidades. para o intervalo de 200 ≤ q ≤ 300 . por dia. Questão 07 A produção de um funcionário quando relacionada ao número de horas trabalhadas leva a função P= −4t 2 + 48t + 256 .307.44. onde P é medida intervalo de 200 ≤ q ≤ 300 . em que 74 . c) 8.000 ⋅1. a taxa de variação média é de 1. d) R$ 8.847. 00 . Verifique seu desempenho nesta questão. para tais cálculos.momento a produção é máxima e qual o valor dessa produção? Verifique seu desempenho nesta questão. 75 . a derivada da demanda para p = 2. h = ±0.1. Em uma fábrica. Estime. Verifique seu desempenho nesta questão. Determine. Determine algebricamente a função de derivada de y em função de x . o número y de peças produzidas por um operário depende do número de horas x Questão 08 trabalhadas a partir do inicio do turno Em uma safra a quantidade q demandada pelos consumidores e o preço p de uma fruta estão relacionados de acordo com q = 160. t = 1 após um mês. (Utilize para as estimativas do limite h= ±0. clicando no ícone ao lado. onde a demanda é dada em quilos e o preço em reais por quilo (R$/kg).) Verifique seu desempenho nesta questão. h = ±0. 01. a taxa de variação instantânea do preço para t = 10 meses. após dois meses e assim por diante. 001 . clicando no ícone ao lado. clicando no ícone ao lado. Questão 09 O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p =t 2 − 10t + 240 para o período de um ano. considere todas as casas decimais da sua calculadora. numericamente. onde x é dada em horas e y em unidades. ( x = 0) e tal produção é dada por = y x 3 + 20 x 2 . numericamente. onde t = 0 representa o momento inicial de análise. clicando no ícone ao lado.000 p Questão 10 −2 . você viu o conceito de taxa de variação média e instantânea. Bons estudos! 76 . bem como aplicar o conceito de derivada em seus cálculos. Aprendeu como encontrar a equação da reta tangente à curva em um de seus pontos. O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados complementam-se para que você possa resolver todos os problemas propostos e os demais também. Caro aluno. agora que o conteúdo dessa aula foi concluído. não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada.FINALIZANDO Nessa aula. assim como o conceito de derivada e estudou também o conceito de derivada como a inclinação da reta tangente à curva num determinado ponto. • Como analisar as aplicações da derivada. você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Qual a produção em toneladas de um cereal por hectare. • Os vários tipos de funções e suas maneiras de derivação. em função da quantidade de um fertilizante usado no plantio? • Qual a Elasticidade Preço da Demanda ou a Elasticidade Preço da Procura? • Qual o montante de uma aplicação financeira após determinado ano de aplicação? AULA 7 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem.Tema 7 Conceito de Derivada ícones: Conteúdos e Habilidades Conteúdo Nesta aula. você estudará: • As técnicas de derivação e suas aplicações. 77 . Habilidades Ao final. De modo simplificado. onde m é uma constante diferente de zero. onde k é uma constante.000 b) y = −23 Solução: a)= y 10. tem-se: y = mx + b ⇒ y ' = m Exemplo: Derive as funções: a)= y 10 x + 7 b) y = −2 x + 9 78 . então a sua derivada será f ' ( x ) = 0 .000 ⇒= y' 0 b) y = −23 ⇒ y ' = 0 FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU Seja a função f ( x= ) mx + b . De modo simplificado tem-se: y =k ⇒ y ' =0 Exemplo: Derive as funções: a) y = 10.Leitura Obrigatória Conceito de Derivada REGRAS DE DERIVAÇÃO FUNÇÃO CONSTANTE Seja a função f ( x ) = k . então a sua derivada será f ' ( x ) = m . f = ( x ) u ( x ) − v ( x ) . então a sua derivada será f ' ( x )= k ⋅ u ' ( x ) . tem-se u ' ( x ) = 4 . então f ' ( x )= 6 ⋅ u ' ( x ) Para u ( x= ) 4 x + 5 . ou seja. f ' ( x ) = k ⋅ u ' ( x ) = 6 ⋅ 4 = 24 SOMA OU DIFERENCA DE FUNÇÕES Seja a função f ( x ) obtida pela soma das funções u ( x ) e v ( x ) . Se u ( x=) 7 x + 9 . De modo simplificado f = Exemplo: Dada a função f = ( x ) u ( x ) + v ( x ) . sendo ' u ( x ) e v ( x ) deriváveis. Solução: ' ' Se f = ( x ) u ' ( x ) + v' ( x ) . obtenha f ' ( x ) . Portanto f ' ( x ) = u ' ( x ) + v' ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 7 + 8 = 15 . então f = v ( x= ) 3x + 8 a sua derivada é v' ( x ) = 3 . 79 . É possível proceder de modo análogo para a diferença de funções. sendo ' v ( x ) e v ( x ) deriváveis. De modo simplificado . Solução: Se f ( x )= 6 ⋅ u ( x ) . onde u ( x= ) 4 x + 5 .Solução: a) y= 10 x + 7 ⇒ y '= 10 b) y =−2 x + 9 ⇒ y ' =−2 CONSTANTE MULTIPLICANDO FUNÇÃO Seja a função f ( x )= k ⋅ u ( x ) . ( x) u ( x) + v ( x) . onde u ( x=) 7 x + 9 e v ( x=) 3x + 8 . obtenha f ' ( x ) . então: f = ( x ) u ' ( x ) + v' ( x ) . Sendo u ( x ) derivável. isto é: f = ( x ) u ( x ) + v ( x ) . então: f = ( x ) u ' ( x ) + v' ( x ) . De modo simplificado tem-se: y =k ⋅ u ( x ) ⇒ y ' =k ⋅ u ' ( x ) Exemplo: Dada a função f ( x )= 6 ⋅ u ( x ) . Logo. então u ' ( x ) = 7 e se ( x ) u ' ( x ) + v' ( x ) . onde m é uma constante diferente de zero. De .POTÊNCIA DE x Seja a função f ( x ) = x n . onde n é um número real. Solução: p ( x ) = 4 x 6 + 3 x 4 + 5 x 2 − 3 x −2 + 10 x + 5 p ' ( x ) = 4 ⋅ 6 ⋅ x 6−1 + 5 ⋅ 2 ⋅ x 2−1 − 3 ⋅ ( −2 ) ⋅ x −2−1 + 10 + 0 p1 ( x ) = 24 x5 + 10 x + 6 x −3 + 10 FUNÇÃO EXPONENCIAL 80 y =x n ⇒ y ' =n ⋅ x n −1 . então a sua derivada será n ' modo simplificado tem-se: y =x ⇒ y =n ⋅ x n −1 Exemplo 01: Derive as funções: a) y = x 5 b) y = 15 x 3 c) y = −2 x 4 d) y = 5 x −6 Solução : a) y = x 5 ⇒ y ' = 5 x 5−1 ⇒ y ' = 5 x 4 b) y = 15 x 3 ⇒ y ' = 15 ⋅ 3 ⋅ x 3−1 ⇒ y ' = 45 x 2 c) y =−2 x 4 ⇒ y ' =−2 ⋅ 4 ⋅ x 4−1 ⇒ y ' =−8 x 3 d) y = 5 x −6 ⇒ y ' = 5 ⋅ ( −6 ) ⋅ x −6−1 ⇒ y ' = −30 x −7 Exemplo 02: Derive o polinômio p ( x ) = 4 x 6 + 3 x 4 + 5 x 2 − 3 x −2 + 10 x + 5 . onde a > 0 e a ≠ 1 então a sua derivada será f ' ( x ) = a x ⋅ ln a .Seja a função f ( x ) = a x . De modo simplificado. então a sua derivada será f ' ( x ) = e x . De modo simplificado tem-se: y = ex ⇒ y' = ex Exemplo: Derive as funções: a) y = 20e x b) y = −4e x + x e + 4e Solução: a) y= 20e x ⇒ y=' 20e x b) y = −4e x + x e + 4e ⇒ y ' = −4e x + ex e −1 + 0 ⇒ y ' = −4e x + ex e −1 LOGARITMO NATURAL Seja a função f ( x ) = ln x .000 ⋅1. De modo simplificado tem-se: x 81 . 08 ) FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE e Seja a função f ( x ) = e x . 08 x ⋅ ln1. então a sua derivada será f ' ( x ) = 1 .000 ⋅1. 08 x ⇒ M ' ( x ) = 20. tem-se : y = a x ⇒ y ' = a x ⋅ ln a Exemplo: Derive as funções: a) y = 2 x b) M = ( x ) 20.000 ⋅ 1. 08x Solução: a) y = 2 x ⇒ y ' = 2 x ⋅ ln 5 ( b) M ( x ) = 20. então . você obtém: 82 v ' ( x ) = 3 x 2 . então u ' ( x ) = 6 e v ' ( x ) = 3 x 2 . com u ( x ) e v(x ) deriváveis.999 ⋅ ln M − 200.999 ⇒= y' M M PRODUTO DE FUNÇÕES Seja a função f ( x ) obtida pela multiplicação das funções u ( x ) e v( x ) . sendo u ( x ) e v( x ) deriváveis.999 ⋅ 1 45. então: ' 3 2 ) = 6 x3 + u54(= f ' ( x ) = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ' ( xf) . 23 Solução: a) y = 10 ln x ⇒ y ' = 10 ⋅ 1 10 ⇒ y' = x x b)= y 45. então: f ' ( x ) = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ' ( x ) .( xFazendo x+)18 x( 6 x++31x) .999 ⋅ ln M − 200. isto é: f = ( x) u ( x) ⋅ v ( x) . 23 ⇒= y ' 45. De modo simplificado y = u ⋅ v ⇒ y ' = u ' ⋅ v + u ⋅ v ' Exemplos: Derive: a) f ( x )= ( 6 x + 1) ⋅ (x 3 +9 ) b) f ( x= ) ex ⋅ x4 Solução: ( ) f ' ( x ) = 6 ⋅ x3 + 9 + ( 6 x + 1) ⋅ 3 x 2 a) Considerando f = ( x ) u ( x ) ⋅ v ( x ) . Substituindo em f ' ( x ) = 24 x 3 + 3 x 2 + 54 .y= ln x ⇒ y '= 1 x Exemplo: Derive as funções: a) y = 10 ln x b) y = 45. então u ' ( x ) = 6 e v ( x )= x + 8 . com u (x ) e f ' ( x ) = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v' ( x ) deriváveis. então v' ( x ) = 1 . . 6 x + 90 x +8 Exemplos: Derive: a) f ( x ) = 6 x + 90 x +8 b) f ( x ) = 3. isto é: u ( x ) e v( x ) deriváveis. então: f ' ( x) = De modo simplificado y = u ⋅ v ⇒ y ' = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v' ( x ) v ( x )  u ' ⋅ v − u ⋅ v' v2 f ( x) = 2 u (x ) . Fazendo u ( x ) = e x . então : f ' ( x ) = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ' ( x ) . sendo . então v ' ( x ) = 4 x3 . Substituindo em 83 .000 x 7. com u ( x ) e v( x ) deriváveis.( ) f ' ( x ) = 6 ⋅ x3 + 9 + ( 6 x + 1) ⋅ 3 x 2 f ' ( x ) = 6 x3 + 54 + 18 x3 + 3 x 2 f ' ( x ) = 24 x3 + 3 x 2 + 54 b) Considerando f = ( x ) u ( x ) ⋅ v ( x ) . então u ' ( x ) = e x e v ( x ) = x 4 . Substituindo em f ' ( x ) = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ' ( x ) . Fazendo u ( x= ) 6 x + 90 . então : u ( x= ) 6 x + 90 . você obtém: f ' ( x ) = e x ⋅ x 4 + e x ⋅ 4 x3 ( ' f= ( x ) e x x 4 + 4 x3 ) QUOCIENTE DE FUNÇÕES Seja a função f ( x ) obtida pela multiplicação das funções u ( x ) e v( x ) .5 Solução: a) Considerando f ( x ) = u ( x) v ( x) . 5 .000 . você obtém: f ' ( x) = 0 ⋅ x 7.5 (x ) 7.5 f '( x) = FUNÇÃO COMPOSTA Seja a função u ( x ) obtida pela composição das funções u ( x ) e v( x ) . você obtém: f ' ( x) = 6 ⋅ ( x + 8 ) − ( 6 x + 90 ) ⋅1 ( x + 8) 2 6 x + 48 − 6 x − 90 x 2 + 16 x + 64 −42 f ' ( x) = 2 x + 16 x + 64 f '( x) = b) Considerando u (x ) .5 2 −22.000 ⋅ 7.000 . sendo v( x ) e v( x ) deriváveis. Fazendo u ( x ) = 3. então:= f ' ( x ) v ' u ( x )  ⋅ u ' ( x ) .5 x6. com u ( x ) e v( x ) deriváveis.5 x 6.5 x 6. De modo simplificado y= v ( u ) ⇒ y=' v ' ( x ) ⋅ u ' Exemplo: Derive f (= x) Solução: 84 ( 3x + 5) 3 . então u ' ( x ) = 0 e v' ( x ) = 7.5 x15 f ' ( x ) = −22. Substituindo em f ' ( x) = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v' ( x ) v ( x )  2 . então: u ( x ) = 3.500 x −8.5 .500 x 6. então v ' ( x ) = 7. .f ' ( x) = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v' ( x ) v ( x )  2 .5 − 3. isto é: f ( x ) = v u ( x )  . lembra que a derivada é obtida pela divisão de uma variação de y associada a uma variação em x quando a variação em x tende a zero. por esse motivo. escreve-se v ' (u ) em função de x : v ' u ( x )  =⋅ 3 ( 3x + 5) . pois. ao considerar ∆= y f ( x + h ) − f ( x ) e ∆x = h . pois remete a divisão de uma “pequena” variação em x por uma dx “pequena” variação em x : O símbolo dy “lembra” dx ∆y(com ∆y e ∆x ”pequenos”). tal símbolo. ou seja. dy como um único símbolo e não como uma divisão de dy por dx . então: v ' ( u ) = 3u 2 . Lembrando que v (u ) ' 3 . você utilizou até o momento a notação y ' ou y . 2 Deve calcular u ' ( x ) = 3 . De fato. Será apresentada agora outra notação. de certa forma. . Por ora. 85 . A derivada de y em relação a x será representada por: Você deve entender dy . é conhecida como notação de Leibniz. identifique a composição das funções em f ( x ) = v u ( x )  .u ( x= ) 3x + 5 . A notação de Leibniz é útil. de tal forma que. tem-se: f ' ( x ) =⋅ 3 ( 3x + 5) ⋅ 3 2 ( f ' ( x) = 9 ⋅ 9 x 2 + 30 x + 25 ) f ' ( x ) = 81x 2 + 270 x + 225 A NOTAÇÃO DE LEIBNIZ Para representar a derivada de y = f ( x ) . f ( x ) = v u ( x )  . obtendo v (u ) a partir de v ( u ) = u . dy é sugestivo. não deve ter significado se escrito isoladamente. então:= f ' ( x ) v ' u ( x )  ⋅ u ' ( x ) . que foi desenvolvida primeiramente pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) e que. Calculando e ' v ' (u ) . na derivada f ' ( x ) = lim h→0 reescreve-se f ( x) lim → f ' ( x ) = lim h→0 ∆y ∆x por: f ( x + h) − f ( x) h . substituindo em= f ' ( x ) v ' u ( x )  ⋅ u ' ( x ) . sendo u ( x=) 3x + 5 Primeiramente. Portanto. vai obter a sequência das derivadas de primeira. f ''' ( x ) conhecida como derivada terceira. f ( x ) =⇒ x7 f ' ( x) = 7 x6 f '' ( x ) =⇒ 7 x6 f '' ( x ) = 7 ⋅ 6 x5 ⇒ f '' ( x ) = 42 x5 f ''' ( x ) = 42 x5 ⇒ f ''' ( x ) = 42 ⋅ 5 x 4 ⇒ f ''' ( x ) = 210 x 4 f '''' ( x ) = 210 x 4 ⇒ f '''' ( x ) = 210 ⋅ 4 x3 ⇒ f '''' ( x ) = 840 x3 86 . dq DERIVADA SEGUNDA E DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Dada uma função f ( x ) . dC pelo limite do quociente da variação do custo Solução: a derivada do custo será obtida variação da quantidade ∆q . ou derivada de primeira ordem de f ( x ) . C = f ( q ) . Exemplo: Dada a função f ( x ) = x 7 . ou derivada de terceira ordem de f ( x ) . Simbolicamente: y '' = f '' ( x ) . Solução: Você deve derivar f (x ) = x 7 quatro vezes. f n ( x ) conhecida como derivada n-ésima. ou derivada de ordem n de f ( x ) . segunda. terceira e quarta de f ( x ) =⇒ x7 f ' ( x) = 7 x6 .Exemplo: Considere o custo C como função de uma quantidade produzida . ou seja. Usando a notação de Leibniz. obtenha a derivada de quarta ordem. Observação: f ' ( x ) conhecida como derivada primeira. A derivada segunda de f (x ) é obtida simplesmente derivando a derivada f (x ) . ou derivada de segunda ordem de f ( x ) . ou. f '' ( x ) conhecida como derivada segunda. pela notação de Leibniz será escrita como dC . a derivada segunda é a derivada da derivada da função. você obtém a derivada f ' ( x ) e tal função representa a taxa de variação de ' f ( x ) . quando dq ∆q pela . ou seja. em outras palavras. represente a derivada do custo em relação à quantidade produzida. na C = f (q) qual o custo é dado em reais (R$) e a quantidade é dada em unidades. VÍDEOS IMPORTANTES Assista ao vídeo <http://www.br/matematica/derivada-de-funcoes.php>.br/superior/derivada. 2011. 2011.youtube.mundodosfilosofos. você encontrará mais detalhes da vida do matemático e filósofo Leibniz assim como a sua importante contribuição para a matemática.com. Acesso em 30 nov. Acesse o site <http://www.html>. você encontrará dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das derivadas.colegioweb.LINKS IMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: Acesse o site <http://www.htm#ixzz1fBLtCO5z>.br/leibniz. Nesse site. 87 . 2011. você encontrará dicas e explicações detalhadas sobre o estudo das derivadas de funções assim como mais alguns exemplos de aplicações. 2011. Acesso em 30 nov. Esse vídeo mostra uma aula de derivada que irá auxiliá-lo nas resoluções dos exercícios.com.com. Acesse o site <http://www.com/watch?v=Nwy4NILJDxw>. Acesso em 30 nov. Nesse site. Nesse site. Acesso em 30 nov.somatematica. seguir para conferir o que aprendeu! 3x 2 + 2 x x2 + 1 10. os links e vídeos disponibilizados com o objetivo de ampliar seus conhecimentos. f ( x )= 8. f ( x )= (x 7. e) N.728. . Agora é com você! Responda às questões a c) 42. f ( x ) = 88 Verifique seu desempenho nesta questão. como também.875. Verifique seu desempenho nesta questão. f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 2 ⋅ 4 x 5 − 3 x 6. clicando no ícone ao lado. e) P = 45q . b) P = 75q . clicando no ícone ao lado. f ( x ) = 6 x − 8 x + 20 x 7 2 4. Leia atentamente os enunciados e Questão 02 Qual a taxa de variação da reta tangente à curva f ( x ) = 7 x 3 . Questão 01 Aplicando as regras de derivação. onde q é dado em reais(R$) e q em unidades. b) 875. '' −1 3 '' −1 3 d) P = 75q . Determine a segunda derivada da função preço. 2 3 '' c) P = 50q . realizar a leitura obrigatória do caderno de atividades. f ( x ) = 9. f ( x ) = 6 x 3 − 4 x 2 + 5 x + 10 Questão 03 2. d) 1. f ( x ) = ( 2 x 4 − 5 x 2 ) ⋅ ( 4 x5 − 3x ) ( )( 5. clicando no ícone ao lado.Agora é a sua vez INSTRUÇÕES Substituir as instruções que antecedem as perguntas pelo texto: Para colocar em prática seus conhecimentos.d. f ( x ) = −5 (x )( ) + 1 ⋅ 7 x 2 − 3x 4 −5 )( + 1 ⋅ 7 x 2 − 3x 4 2x + 7 x2 + 1 −9 2x + 7 x2 + x ) ) 5 3 P = 45q . '' −1 3 '' 2 3 a) P = 50q . f ( x ) = 5 x 5 + 3 x 4 − 8 x Sabendo que o preço de um produto é dado por 3. no ponto x = 5 ? a) 525. 1. encontre a derivada das funções: Verifique seu desempenho nesta questão. você deverá assistir às aulas. realize com sucesso o que está sendo solicitado.a. 05 K 2 + 10 K − 0. 08 ) ⋅1. M= ( x ) 5. ao nível atual de 0.90. 08 x e R$ 50. 08 e R$ 5. em = ano após o ano de aplicação. clicando no ícone ao lado. 08 x e R$ 4.000 ⋅ ( ln1. 00 .Questão 04 Para função= y (5x 3 Questão 07 ) A equação da reta tangente é dada por 4 + 2 x . Verifique seu desempenho nesta questão. usando a regra da cadeia.000 ⋅ ( ln1. Questão 05 Verifique seu desempenho nesta questão. 4 p ao nível de preço 2. 08 ) ⋅1. clicando no ícone ao lado. 08 e R$ ' x x 10. passa pelo ponto P = (x0 .000 ⋅ ( ln1. encontre a derivada das seguintes funções: 1. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P = (2. Calcular e interpretar o valor da após cinco anos de aplicação? elasticidade da produção em relação ao uso do a) M ( x ) =50.000 ⋅1.05. Usando as regras de derivação.05. clicando no ícone ao lado. Determine a função da quantidade de um fertilizante usado derivada da função e quanto será o montante no plantio. f (x0 )) .155. 08 ) ⋅1. 08 ) ⋅1. d) M ' ( x ) =50. Questão 10 Seja P= 1.10 6 Questão 08 Dada a definição de elasticidade como dy x = E ⋅ . Verifique seu desempenho nesta questão. clicando no ícone ao lado. Verifique seu desempenho nesta questão. 08 x e R$ 55. c) M ' ( x ) =50. 2 x 2 + 5 mede a produção em toneladas de um cereal por hectare.000 ⋅1. 89 . f (= x ) 5e x + 4 ln x p = 5.na qual Verifique seu desempenho nesta questão.000 ⋅ ( ln1.05. onde tal reta derivada. 4 ) da função f ( x ) = x 2 .654. Calcule o produto marginal e dK interprete em valor o nível K = 10 . x = montante de uma aplicação financeira e x Questão 09 A função y = 4 x − 0. clicando no ícone ao lado.654. Verifique seu desempenho nesta questão. x ' b) M ( x ) = 50. 08 ) ⋅1. fertilizante. e) M ' ( x ) =50. clicando no ícone ao lado. Questão 06 Dada a função = M 50.654.654. Calcule o valor da elasticidade dx y da procura q = 12 − 0.05. Verifique seu desempenho nesta questão. 08 x . clicando no ícone ao lado. 02 K 3 a produção ( P) de uma empresa em função do insumo dP dP capital dK .25 ton/ha. determine a y = f ( x0 ) + f ' ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) .000 ⋅ ( ln1. FINALIZANDO Nessa aula. reconheceu vários tipos de funções e suas formas de derivação e aprendeu a analisar as aplicações da derivada. Bons estudos! 90 . além dos problemas propostos. não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Caro aluno. agora que o conteúdo dessa aula foi concluído. você viu as técnicas de derivação e suas aplicações. os demais. O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados ajudarão você a resolver. Tema 8 Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções ícones: Conteúdos e Habilidades Conteúdo Nesta aula. • Como aplicar o aprendizado de forma segura nas práticas do dia a dia. • Como relacionar o conhecimento às áreas administrativas e contábeis tendo uma visão de custos. você estudará: • Como identificar pontos críticos e estabelecer a relação de máximo e mínimo de uma função. Habilidades Ao final. você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: • Qual o custo marginal de uma função Custo? • Qual a receita marginal de uma função Receita? Ou Qual o lucro marginal dada uma função Lucro? • Qual a propensão marginal considerando como Poupança = Renda – Consumo? 91 . receitas. demandas e elasticidade. diz-se que o ponto c é o ponto de máximo local se o valor f ( c ) for o maior valor que a função assume para x em uma vizinhança de c . como os pontos de máximo. diz-se que o ponto c é o ponto de máximo global se o valor f ( c ) for o maior valor que a função assume para x do domínio da função. MÁXIMO E MÍNIMOS LOCAIS Para uma função f ( x ) . então as respostas dessas perguntas envolvem pontos especiais. receita. então f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x na vizinhança de c . administrativos e contábeis. Se c é máximo local. diz-se que o ponto c é o ponto de mínimo local se o valor f ( c ) for o menor valor que a função assume para x em uma vizinhança de c . Leitura Obrigatória Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções MAXI E MÍNIMOS No estudo de situações práticas ou fenômenos econômicos. De modo análogo. é muito comum surgirem perguntas como: qual a quantidade que devo comercializar para que o lucro seja máximo? Qual a quantidade que devo estocar para que o custo de estoque seja mínimo? Quanto devo aplicar em propaganda para que a receita seja máxima? Nas perguntas citadas. Para uma função f ( x ) . custo. Se c é mínimo local. de mínimo e ponto de inflexão. então f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x na vizinhança de c . para uma função f ( x ) 92 . se o lucro. forem funções. MÁXIMO E MÍNIMOS GLOBAIS Para uma função f ( x ) .AULA 8 Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem. resolvendo a equação f ' ( x ) = 0 ou encontrando os pontos onde f ' ( x ) não existe. então f ( x ) é decrescente nesse intervalo. DERIVADA E CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO Uma propriedade muito importante que será utilizada para a análise das funções e construção de seus gráficos relaciona o sinal da derivada de uma função e o comportamento de tal função em um intervalo. Mínimo local – se nele a função passa de decrescente para crescente à medida que x aumenta. Calcule a derivada primeira nos diferentes pontos de teste. determinando seu sinal ( f ' > 0 ) ou ( f ' < 0 ). diz-se que o ponto x é o ponto de mínimo global se o valor f ( c ) for o menor valor que a função assume para x do domínio da função. ' 2° Passo: Marque os pontos críticos em uma reta numérica. Se f ' ( x ) < 0 em um intervalo. 3° Passo: Analisando o crescimento ou decrescimento de à esquerda e à direita de cada ponto crítico conclui-se que o ponto é: Máximo local – se nele a função passa de crescente para decrescente à medida que x aumenta. TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA 1° Passo: determine os pontos críticos de f ( x ) = 0 . 93 . então f ( x ) é crescente nesse intervalo. escolha pontos para teste à direita e à esquerda de cada ponto crítico. Resumidamente você terá: Se f ' ( x ) > 0 em um intervalo.. Nos diferentes intervalos obtidos. PONTOS CRITICOS Note que os pontos de máximo ou de mínimo ocorrem em pontos específicos chamados pontos críticos. Nos pontos de teste onde ( f ' ( x ) > 0 ) tem-se f ( x ) é crescente e. Se f ' ( x ) = 0 em um intervalo. então f ( x ) é constante intervalo. Um ponto c é chamado ponto crítico se f ' ( c ) = 0 ou se f ' ( c ) não existir. nos pontos de teste onde f ' ( x ) < 0 ) tem-se f ( x ) é decrescente. Se c é mínimo local. então f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x na vizinhança de c . pois a função dele passa de decrescente para crescente à medida que t aumenta. O ponto t = 3 é mínimo local. escolha pontos para teste à direita e à esquerda = de t 1= e t 3 . pois estão à direita e à esquerda dos pontos críticos. deve-se primeiramente encontrar p ' ( t ) =3t 2 − 12t + 9 . O valor de máximo local é conseguido substituindo t = 1 na função p ( t ) = t − 6t + 9t + 100 ⇒ p (1) = 1 −6 ⋅1 + 9 ⋅1 + 100 = 104 O valor de mínimo local é conseguido substituindo t = 3 na função p ( t ) = t 3 − 6t 2 + 9t + 100 ⇒ p (1) = 3 3 −6 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3 + 100 = 100 3 2 FUNÇÕES MARGINAIS CUSTO MARGINAL 94 3 2 p (t ) : p (t ) : . Seguindo o teste da derivada primeira: 1° Passo: determine os pontos críticos de f ( x ) .resolvendo a equação p ' ( t ) = 0 . serão escolhidos para teste os pontos = t 0. isto é: p ' ( t ) = 3t 2 − 12t + 9 = 0 ⇒ t = 1 ou t = 3 Logo os pontos = t 1= e t 3 são os pontos “candidatos” a máximo ou mínimo. Nos diferentes intervalos obtidos. Aqui. 2° Passo: Marque os pontos críticos em uma reta numérica.= t 2 e= t 5 . Exemplo: Para usar o teste da derivada primeira na busca de máximos ou mínimos de p ( t ) = t 3 − 6t 2 + 9t + 100 . t = 0 : p' ( 0) = 3 ⋅ 02 − 12 ⋅ 0 + 9 ⇒ p ' ( 0 ) = 9 ⇒ p ' ( 0 ) > 0 ⇒ p ( t ) crescente em t = 0 t = 2 : p ' ( 2 ) =3 ⋅ 22 − 12 ⋅ 2 + 9 ⇒ p ' ( 2 ) =−3 ⇒ p ' ( 0 ) < 0 ⇒ p ( t ) decrescente em t = 2 t = 5 : p ' ( 5 ) = 3 ⋅ 52 − 12 ⋅ 5 + 9 ⇒ p ' ( 5 ) = 24 ⇒ p ' ( 0 ) > 0 ⇒ p ( t ) crescente em t = 5 3° Passo: Analisando o crescimento ou decrescimento à esquerda e à direita de cada ponto crítico conclui-se que o ponto é: O ponto t = 1 é máximo local. pois a função dele passa de crescente para decrescente à medida que t aumenta.Nem Máximo e nem Mínimo local – se antes e depois dela a função permanecer crescente ou decrescente. Note que para cada nível de produção há um custo marginal. Em outras palavras. CUSTO MÉDIO MARGINAL Considerando Custo Médio como Cme = C (q) q . Exemplo: Em um fábrica de móveis. em análises econômicas e administrativas. Assim. A função Receita Marginal é obtida pela derivada da Função Receita e é denotada por: Rmg = R ' ( q ) LUCRO MARGINAL O lucro marginal nos dá a variação do lucro correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto. pois é interessante saber como variam os custos em determinados níveis de produção na medida em que ocorrem variações nas quantidades produzidas. Obtenha as funções custo marginal. A função Lucro Marginal é obtida pela derivada da Função Lucro e é denotada por: Lmg = L' ( q ) . o custo médio marginal é obtido por meio da derivada ' do custo médio e denotado por Cmemg = Cme ( q ) . economistas e administradores têm o interesse em lidar com o custo marginal. Em diversas análises. custo médio e custo médio marginal: 95 . também é importante saber a que taxa tal custo está variando nesse nível de produção. além de conhecer os custos envolvidos em um nível de produção. o custo ao produzir q unidades de uma cadeira é dado C ( q ) =2q 2 + 500q + 300 . RECEITA MARGINAL A receita marginal nos dá a variação da receita correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto. 3 2 Exemplo: Se o custo é dado por C ( q ) = 2q + 7 q − 15q + 100 . o que motiva a determinação da função Custo Marginal. então a função custo marginal será C ' ( q ) =6q 2 + 14q − 15 . define-se a Função Custo Marginal ' como a derivada da função custo e denota-se por: Cmg = C ( q ) . Solução: a) Custo marginal será obtido derivando a função custo: Cmg =C ' ( q ) ⇒ Cmg =4q + 500 b) Custo médio é obtido dividindo-se a função custo por q : C ( q ) 2q 2 + 500q + 300 300 Cme = = =2q + 500 + q q q c) Custo médio marginal é obtido derivando a função custo médio: 2 − 300q −2 = 2− Cmemg = C 'me ⇒ Cmemg = 96 300 q2 . Assim como alguns exemplos explicativos.ipt. Disponível em: <http://pt. O site reúne dicas e exercícios resolvidos no estudo das derivadas.pdf>. Disponível em: <http://elisiofisica. assim como alguns exemplos explicativos. Disponível em: <http://www. O site traz dicas e explicações detalhadas sobre a aplicação das derivadas nos estudos de gráficos de funções. O site mostra dicas e explicações detalhadas sobre as aplicações dos estudos das derivadas. 2011. aim.pt/~manuela/AnMatI/Acetatos/ApliDerF. 2011. Consulte o Blog Estudando Física. Acesso em 30 nov.com/2010/05/derivadasexercicios-resolvidos.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/ Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_derivadas>.LINKS IMPORTANTES Quer saber mais sobre o assunto? Então: Acesse o site Wikilivros.blogspot.html>.estt. 2011. Acesso em 30 nov.wikibooks. Leia o estudo Aplicações das derivadas ao estudo do gráfico de Funções. Acesso em 30 nov. 97 . 60 seguir para conferir o que aprendeu! b) R$300. . A quantidade e o lucro máximo seriam respectivamente: a) 20 e 4.Agora é a sua vez b) 0 e 0. que o custo para a produção dos ventiladores Questão 02 a quantidade que daria o lucro máximo? a) 250 ( q ) 400q + 50. Determine o custo marginal para produção de 12 unidades. Questão 04 usando teste da primeira derivada identifique os Em uma fábrica de ventiladores. realizar a leitura obrigatória do caderno de atividades. 98 venda de um tipo de ventilador é dada por b) 600 c) 200 d) 200 e) 150 Verifique seu desempenho nesta questão.000. INSTRUÇÕES Para colocar em prática seus conhecimentos. você deverá assistir às aulas.000. d) 30 e 6. clicando no ícone ao lado.30q3 − 9q 2 + 108q + 300 .000 . os links e vídeos disponibilizados com o objetivo de ampliar seus conhecimentos. Leia atentamente os enunciados e realize com sucesso o que está e) 15 e 3. como também. Qual seria seja dado por C= Dada a equação do lucro L ( q ) = −q + 30q lucro 3 2 para quantidade q vendida. 00 d) R$216. clicando no ícone ao lado. 00 e) R$31. clicando no ícone ao lado. Verifique seu desempenho nesta questão. Suponha Verifique seu desempenho nesta questão. o custo em sendo solicitado. para produzir q unidades é dado por C ( q= ) 0. 00 c) R$300. Agora é com você! Responda às questões a reais.000. bem como os valores da função nesses pontos. a) R$21. Questão 03 Na fabricação de um produto.000. clicando no ícone ao lado. 60 Verifique seu desempenho nesta questão. onde 0 ≤ q ≤ 800 . a receita da pontos de máximo e mínimo (local). R (q) = −4q 2 + 1600q . Questão 01 Dada a função f ( x ) = 2 x3 − 18 x 2 + 30 x + 100 . se existirem. c) 10 e 2. onde. clicando no ícone ao lado. 25 Verifique seu desempenho nesta questão.100 . clicando no ícone ao lado. sendo a produção diária igual a 20 unidades. a demanda p e o preço p C ( x ) = 0. Verifique seu desempenho nesta questão. Encontre os intervalos nos quais a receita marginal é positiva ou negativa. com 0 ≤ p ≤ 50 . Verifique seu desempenho nesta questão. r = 600 e r = 600 e. 03 x 2 + 0. elástica e tem elasticidade unitária. obtenha a Questão 07 . Obtenha os intervalos de preços para os quais a demanda é inelástica. 99 . conforme as elasticidades obtidas. 02 x + 55 reais. a função consumo é dada por = c 7 y + 2. 00 c) R$3. Considerando como Poupança = Renda – Consumo.000 preço demanda para cada preço. 00 d) R$2. onde 0 ≤ q ≤ 4. Questão 09 A demanda para certo produto é dada por q= r 2 + 180.000 . Verifique seu desempenho nesta questão. onde r é renda do consumidor. Determine a equação da elasticidade- são relacionados por = q 50 − p . elasticidade para os preços p = 5 e p = 10 e Questão 10 interprete os resultados. de um tipo de peça é dado por p = −20q + 8. clicando no ícone ao lado. interprete os resultados. clicando no ícone ao lado. Verifique seu desempenho nesta questão. onde p varia no intervalo 0 ≤ p ≤ 20 . onde y é a renda dos consumidores. Obtenha a elasticidade para as rendas r = 300 . Para certa população.000 . 00 e) R$1.Questão 05 Questão 08 O custo de para produzir x unidades é Para certo produto.50 b) R$6. determine a função poupança s . Qual seria o custo adicional quando o nível de produção aumentar de 20 para 21 unidades? a) R$2. clicando no ícone ao lado. Questão 06 A demanda para certo produto é dada por = q 500 − 25 p . clicando no ícone ao lado. o preço Verifique seu desempenho nesta questão. Em seguida determine a propensão marginal a consumir e a propensão marginal a poupar. Em uma fábrica de peças automotivas. FINALIZANDO Nessa aula. O Livro-Texto e os sites de pesquisa indicados ajudarão você a resolver. os demais. não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. tendo uma visão de custos. além dos problemas propostos. receitas. Viu também como relacionar o conhecimento às áreas administrativas e contábeis. Bons estudos! 100 . você viu como identificar pontos críticos e estabelecer a relação de máximo e mínimo de uma função. Caro aluno. demandas e elasticidade. agora que o conteúdo dessa aula foi concluído. São Paulo: Atlas. BONETTO. Afrânio Carlos. Matemática Essencial. Elio Medeiros da. Ermes Medeiros da. SILVA. Acesso em: 13 dez.REFERÊNCIAS Equação do Segundo Grau. Acesso em: 13 dez. Acesso em: 13 dez.com/equacaodo2grau/>.br/ EquacaoSegundoGrauExercicios. 101 .htm>. Sebastião Medeiros da. 5. Giácomo Augusto. Matemática: para os cursos de economia. SILVA. Matemática Didática. 2011.matematicadidatica. administração. Disponível em: <http://pessoal.com.com. Site.sercomtel. Disponível em: <http://quimsigaud.tripod. ed. ciências contábeis. 2008. 2011. SILVA. Economia e Contabilidade.br/matematica/medio/ medio.aspx>. Disponível em: <http://www. MUROLO. Matemática Aplicada à Administração. 1999. São Paulo: Cengage Learning. 2011. GABARITO TEMA 1 ASSUNTO: POTÊNCIA DE NÚMEROS Questão 1 Resposta: a) 8 b) − 8 c) 1 1 d) 32 e) 8 27 f) 64 g) 8 h) 27 i) 51 j) 25 − 10289 162 Questão 2 Resposta: a) b) 5 2 9 2 929 32 ASSUNTO: FRAÇÕES Questão 3 Resposta: 113 a) 10 b) 102 1 35 . c) 581 35 d) 2 e) 93 20 f) g) h) i) j) 53 53 28 15 16 −8 5 10 k) 8 l) −9 7 m) 145 3 11 5 n) o) 19 2401 103 . Questão 7 Resposta: R$ 2. 104 . Questão 6 Resposta: 8 anos.00.240.ASSUNTO: SUBSTITUIÇÃO NUMÉRICA Questão 4 Resposta: a) 2 19 30 b) c) -3 d) 0 27 8 e) ASSUNTO: FUNÇÃO DE 1º GRAU Questão 5 Resposta: B. Questão 8 Resposta: R$ 58. Questão 3 Resposta: B. Questão 2 Resposta: B. Questão 4 Resposta: D. 105 . Questão 9 Resposta: setembro. TEMA 2 Questão 1 Resposta: C. ASSUNTO: TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO Questão 10 Resposta: A.00. Questão 7 Resposta: D. Questão 8 Resposta: D. Questão 1 Resposta: D. Questão 9 Resposta: 40x+30y = 1800. L = 3q – 45. 106 . e os menores valores em fevereiro. d) O investidor necessita de 4 meses para recuperar o capital empregado. R = 8q. b) Se ele vender as ações depois de 2 meses. TEMA 3 Ponto de partida Resposta: a) O valor desembolsado na compra foi de R$ 20 milhares de reais. c) As ações tiveram seus maiores valores em abril.  Questão 6 Resposta: B. terá lucro de R$ 12 milhares de reais. Questão 10 Resposta: C = 5q+45.Questão 5 Resposta: A. 00.76 milhares de litros. 2000 − 20 x 2 = 100 − x 2 e 64 cremes. Questão 3 Resposta: E.00. e valor mínimo é de R$ 215. Questão 10 Resposta: Devem-se produzir aproximadamente 2. Questão 9 Resposta: Mês 5. Questão 6 Resposta: R = −2q 2 + 400q Questão 7 Resposta: y= e a receita máxima é de R$ 40. Questão 5 Resposta: B. 107 .Questão 2 Resposta: A. Questão 4 Resposta: E. 20 Questão 8 Resposta: L = −15q 2 + 300q − 1125 e Lucro máximo para a quantidade de 10 parafusos.000. Questão 5 Resposta: C. Questão 6 Resposta: a) C = 91.25 ⋅ 4 x b) 108 300% .TEMA 4 Questão 1 Resposta: A.506. Questão 2 Resposta: E. Questão 4 Resposta: D. Questão 3 Resposta: B. 938.Questão 7 Resposta: P = 277.05t Questão 8 Resposta: Aproximadamente 34 meses.= 870.94.1t 2.46 anos. Questão 10 Resposta: a) b) C . Questão 9 Resposta: a) L = 3.94 ⋅1.06 x b) tarifa fixa de 6% e preço por ligação de R$ 3.500 ⋅1.67 ⋅1. TEMA 5 Questão 1 Resposta : A Questão 2 Resposta: E 109 . 312 − 5.944 10-5=1 85. Questão 7 Resposta : 110 q ( milh.Questão 3 Resposta: E Questão 4 Resposta: B Questão 5 Resposta: D Questão 6 Resposta : x = 10.920 M que .096 − 1.096 = 7.920 − 25.828 = 60.148 = 572 5 1.096 7-5=1 7 12.312 8-5=1 12.43 e seu significado é : essa função fornece o tempo deverá durar a aplicação para obter um montante M . unid.720 − 1.148 5-4=1 1.828 = 23.116 9 48.49 ⋅ ln M − 115.216 25.828 9-5=1 48.312 = 13. De R$ ) ∆q ∆C 0 20 1-0=1 96 − 20 = 76 1 96 2-1=1 112 − 96 = 16 2 112 3-2=1 3 128 4-3=1 128 − 112 = 16 1148 − 128 = 1.828 − 12.516 8 25.092 10 85.720 = 3.944 − 25.020 4 1.376 6 5.) C ( milh..720 6-5=1 5. 000.000.379242 -1.12 -1.000 10.000 10.Questão 8 Resposta : n = S − 900 e deverá fazer 52 horas extras.62 -1. 15 Questão 9 Resposta : A função existe para x ≠ −2 .000000 Veja que para valores cada vez menores de x . Para calcular lim x→−∞ .000. x →−∞ = 10 Questão 10 Resposta: 111 .725490 -1. R assume valores próximos de 10.000.000000 Veja que para valores cada vez maiores de x .000.000.999620 -1. então lim .000380 -1.000000 -1. monte a tabela: x R(x ) = 10 x + 400 x+2 -100 6. R assume valores próximos de 10.000.000 10.000 9.000 9.000 10. então lim x→−∞ = 10 x R(x ) = 10 x + 400 x+2 -100 13.000 10.000.000000 -1.000 10.000.000. pois com aumentos em x houve aumentos em y E intervalo de decrescimento é para x > 7 . TEMA 6 Questão 1 Resposta: C Questão 2 Resposta: A Questão 3 Resposta: A Questão 4 Resposta: A 112 . os valores de y estão cada vez menores.x ( horas ) y ( unidades ) ∆y ( produção a cada hora ) 0 0 1 19 19 2 72 53 3 153 81 4 256 103 5 375 119 6 504 129 7 637 133 8 768 131 9 891 123 10 1. pois aumentos em y .000 109 O intervalo de crescimento é de 0 < x < 7 . 1 obtém-se : Taxa de var iação inst.1) − f (10 ) = 10.h = 0.000. h = 0.Questão 5 Resposta: B Questão 6 Resposta: B Questão 7 Resposta: Valor máximo é de 400 unidades em 6 horas de trabalho. Questão 8 Resposta: Estimativa é de -40.10 0. o aluno deve estimar os limites laterais de acordo com: Fazendo .1 Fazendo .01 obtém-se : Fazendo . = f (10 + 0.001 obtém-se : 113 . Questão 9 Resposta: A taxa de variação instantânea para t = 10 Taxa de var iação inst. em x = 10 = lim h→0 é dada por f (10 + h ) − f (10 ) h Para calcular tal taxa.h = 0. obtém-se : Taxa de var iação inst.001) − f (10) = 10.00.90 − 0.001 Taxa de var iação média = f (10 − 0.Aplicando a função em ( x + h ) e Resposta : Por definição obtém-se y ' ( x ) = lim h→0 Logo : y(x + h ) − y(x ) h y(x + h ) − y(x ) 20( x + h ) − 20 x 2 y ( x ) = lim h→0 = lim h→0 Como então h h 2 ' y ' ( x ) = lim h→0 lim h→0 TEMA 7 114 ( ) 20 x 2 + 2 xh + h 2 − 20 x 2 2 xh + h 2 = lim h→0 = lim h→0 2 x + h h h y ' (x ) = 2 x h. Taxa de var iação média = Questão 10 f (10 − 0.001) − f (10 ) = 9.001.01) − f (10 ) = 9.99 − 0.001 .1 . = Fazendo .1 .001 obtém-se : Taxa de var iação média = f (10 − 0. f (10 + 0.Fazendo h = −0. obtém-se : Fazendo hh==−−00.1) − f (10 ) = 9.999 − 0. . 0.01 Isto significa que a variação instantânea para t=10 é de R$ 10.001. encontre a derivada das funções: 1) Resposta: 2) Resposta: 3) Resposta: 4) Resposta: 5) Resposta: 6) Resposta: 7) Resposta: 8) Resposta: 9) Resposta: f ' (x ) = 18 x 2 − 8 x + 5 f ' (x ) = 25 x 4 + 12 x 3 − 8 f ' ( x ) = 42 x 6 − 16 x + 20 f ' (x ) = −18 x 8 + 14 x 6 − 6 f ' ( x ) = 178 x 8 − 46 x 6 − 18 x 4 + 45 x 2 f ' ( x ) = 32 x 3 − 6 x 2 − 1 f ' ( x ) = −21x −4 + 3 x −2 − 12 x 3 + 14 x − 2 x 2 − 14 x + 2 f (x ) = x 4 +2 x 2 + 1 ' 10) Resposta: − 22 x −8 − 20 x −9 − 14 x − 7 f (x ) = x 4 +2 x 3 + x 2 ' f ' (x ) = Questão 2 6x − 2x 2 + 2 x 4 +2 x 2 + 1 Resposta: A 115 .Questão 01 Aplicando as regras de derivação. Questão 3 Resposta: A Questão 4 Resposta: Questão 5 1) Resposta: f ' ( x ) = 7.10 ) ⋅1.10 x Questão 6 Resposta: A f ' ( x ) = 5e x + Questão 7 4 x Resposta: y = 4 x − 4 Questão 8 Resposta: .900 x 9 + 1.560 x 7 + 528 x 5 + 64 x 3 2) Resposta: M ' (x ) = 5.1628 .000 ⋅ (ln 1.500 x11 + 1.20 Questão 10 ) 116 . interpretação : um aumento no uso do fertilizante corresponde a um aumento percentual menor na produção ( 16% ) E = −0. Questão 9 Resposta: E = 0. p = 5 ⇒ E = −0. significa que. Questão 2 Resposta: A Questão 3 Resposta: A t =1 e t = 5 Questão 4 Resposta: E Questão 5 Resposta: E Questão 6 Resposta: .33%. interpretação : ao nível . para um aumento de 1% para o preço de a demanda diminuirá 0. a tendência da produção é aumentar 25 vezes o acréscimo em K . . para um aumento de 1% para o preço de . TEMA 8 Questão 1 dP = 25 Resposta: dK Pontos K = 10 são os candidatos t = 5 Ponto de máximo e valor máximo local é 114. t = 5 Ponto de mínimo e valor mínimo local é 50. a demanda 117 .Resposta: .333 significa que. − 25 p 500 − 25 p Resposta: p=5 Inelástica para . Para . E = 0. propensão marginal a consumir: Questão 8 E = propensão marginal a poupar . r = 300 Questão 10 Resposta: em 0 ≤ q < 200 e em 200 < q ≤ 4. tem-se a elasticidade r = 400 significa que para um aumento de 1% para a renda a demanda aumentará 0. elástica unitária p = 10 ⇒9E = −0.333 Questão p = 10 Resposta: r E (R ) 300 400 600 0.33%.33 cmg = 7 s mg = −6 . elástica para . Questão 7 Resposta: s = −6 y − 2.94 118 . tem-se a elasticidade p = 25 significa que para um aumento de 1% para a renda a demanda aumentará 0.diminuirá 1%.67%.94 1.100 .67 0.94%. Para 0 ≤ p < 25 25 < p < 50 Para r = 400 . tem-se a elasticidade significa que para um aumento de 1% para a renda a demanda aumentará 1.000 . 33 Rmg < 0 119 .r = 600 Rmg > 0 E = 1. 120 .