Cables de acero ANSYS

Vol.VIII, No 1, Mayo (3004) Matem´ aticas: 1–?? Matem´ aticas: Ense˜ nanza Universitaria c °Escuela Regional de Matem´ aticas Universidad del Valle - Colombia Validaci´ on de la formulaci´ on num´ erica del an´ alis estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS Wilson Rodr´ıguez Calderón, Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz Recibido 29.09.2004 Aceptado 30.09.2004 Abstract The weight of a cable, subjects it to a load evenly distributed in all its longitude. The form assumed by the cable is called “catenarie”, and the tension varies in all its longitude. With the present work, the structural answer of a cable subject to its own weight and suspended between two fixed supports located at different level, is characterized. With the developed formulation, the problem consists of the resolution of a non lineal system of two equations with two variables in terms of the vertical and horizontal reactions in one of the supports. It is possible to formulate Newton-Raphson method easily, for this specific problem, since the lineal system obtained in the formulation of the method is 2 × 2, that which allows approaching the solution in an explicit way. With the purpose of demonstrating the validity and importance of the numerical formulation, a comparison with the analytic formulation of cables with supports located at same level, is made, for this, it is appealed some of the results found in the numerical exercise, like they are, the tension in the lowest point (H) and the horizontal coordinate (x(s)) in this point, since these, are beginning parameters of the analytic formulation. Also, an identical model is made with an educational version of the commercial program of finite elements, ANSYS. Finally, some graphs that present the geometry of the cable and the values of tension in each one of the equally spaced points are schematized for the three formulations. Keywords: catenarie, tension, Newton-Raphson AMSC(2000): 00A72, 74G15 Resumen El peso de un cable, lo somete a una carga uniformemente distribuida en toda su longitud. La forma asumida por el cable se denomina “catenaria”, y la tensi´ on var´ıa en toda su longitud. Con el presente trabajo se caracteriza la respuesta estructural de un cable sometido al efecto de su peso propio y suspendido entre dos apoyos fijos situados a distinto nivel. Con la formulaci´ on desarrollada, el problema se reduce a la resoluci´ on de un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos inc´ ognitas en términos de las reacciones vertical y horizontal en uno de los apoyos. Es posible formular f´ acilmente el método de Newton-Raphson para este problema espec´ıfico, dado que el sistema lineal obtenido en el planteamiento es 2 × 2, lo cual permite abordar la soluci´ on de manera expl´ıcita. Con el fin de demostrar la validez y la importancia de la formulaci´ on numérica, se efect´ ua una comparaci´ on con la formulaci´ on anal´ıtica de cables con soportes localizados a igual nivel, para lo cual, se recurre a algunos de los resultados encontrados en el ejercicio numérico, como son, la tensi´ on en el punto m´ as bajo del cable (H) y la coordenada horizontal (x(s)) en este punto, ya que estos, son par´ ametros de partida de la formulaci´ on anal´ıtica. También, se realiza un modelo de idénticas caracter´ısticas con una versi´ on educativa del programa comercial de elementos finitos ANSYS. Finalmente, se esquematizan unas gr´ aficas donde se presentan la geometr´ıa del cable y los valores de tensi´ on en cada uno de los puntos equiespaciados, para las tres formulaciones. Palabras y frases claves: catenaria, tensi´ on, Newton-Raphson 1. Descripci´ on del problema f´ısico Desde el punto de vista del análisis estructural, los cables son elementos con una dimensión sensiblemente mayor que las otras dos (su longitud), incapaces de resistir esfuerzos de flexión y/o de compresión, pero que, en cambio, presentan una gran resistencia a la tracción. Bajo una determinada ley de cargas, inclinadas respecto al eje longitudinal del cable, éste se deforma de modo que los esfuerzos de tracción generados resistan la carga aplicada. Seg´ un Merritt (1992), la eficiencia estructural del cable se debe a la uniformidad de estos esfuerzos de tracción (denominados habitualmente esfuerzos de tensión) en la sección transversal del cable y a que su variación a lo largo del eje longitudinal de éste es peque˜ na. Dado que la magnitud de estos esfuerzos depende en gran medida de la deformación experimentada por el cable y puesto que estas deformaciones no suelen 2 Wilson Rodr´ıguez Calderón, Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz ser despreciables, las ecuaciones que describen el comportamiento estructural del cable acostumbran a ser no lineales. A modo ilustrativo, en este trabajo se plantea la resolución de un problema clásico de la teor´ıa de cables, conocido como problema de la catenaria elástica 1 El enfoque utilizado es el propuesto por Irvine (1992). (a) (b) Figura 1: Catenaria elástica con soportes situados a distinto nivel, (a) Geometr´ıa y definición del problema; (b) equilibrio estático de un segmento deformado de cable. En referencia a la figura 1a, se considera un cable de longitud inicial L0 , suspendido entre dos apoyos fijos A y B situados a distinto nivel. La distancia horizontal entre ambos apoyos es l, mientras que su diferencia de nivel es h. La curva descrita originalmente por el cable en ausencia de cargas (es decir, cuando el cable no se ha deformado), puede parametrizarse en coordenadas cartesianas por una coordenada lagrangiana s. Para un punto P sobre el cable no deformado, esta coordenada s se define como la longitud del segmento de cable comprendido entre el apoyo A (origen de coordenadas) y el punto P en cuestión. Bajo los efectos del peso propio, el cable se deforma y el punto P pasa a ocupar una nueva posición. La curva deformada puede parametrizarse en coordenadas cartesianas por una nueva coordenada ξ. Para el punto P , esta coordenada se define como la longitud del tramo de cable deformado comprendido entre el apoyo A y el punto sobre la geometr´ıa deformada que corresponder´ıa al punto P en la geometr´ıa original. Esta definición introduce una primera ecuación, ya que ha de satisfacerse la relación geométrica µ dx dξ ¶2 + µ dz dξ ¶2 =1 (1) que equivale a exigir que la coordenada ξ sea parámetro arco de la geometr´ıa deformada. Por otra parte, con base en la figura 1b, el equilibrio estático del segmento de cable deformado comprendido entre el apoyo A y un punto genérico de coordenada ξ, proporciona las ecuaciones, dx =H dξ dz W s(ξ) T (ξ) = V − dξ Lo T (ξ) 1 (2) (3) La palabra catenaria (en lat´ın, cadena) se debe a que los primeros problemas de la teor´ıa de cables se ocupaban de la forma que deb´ıa adoptar una cadena bajo el efecto de su peso propio. para s = 0. Para ello. En principio. sino que conviene expresarlas seg´ un la coordenada material s. La ecuación (2) corresponde al equilibrio horizontal de fuerzas. z = h. L es la longitud total del cable deformado. mucho más intuitiva. obteniendo la tensión T (ξ) en el cable. z = 0. De acuerdo con la práctica habitual en análisis estructural. por u ´ltimo. se elevan al cuadrado las ecuaciones de equilibrio (2) y (3) y se substituyen en la relación geométrica (1). V es la reacción vertical en el apoyo A. La correspondiente ecuación constitutiva (ley de Hooke) puede expresarse como ¶ µ dξ −1 (4) T (s) = EAo ds donde E es el módulo de Young del cable y Ao es el área (supuesta constante) de su sección transversal en la geometr´ıa no deformada. que permite relacionar las derivadas respecto a la coordenada ξ con las derivadas respecto a la coordenada s. puede demostrarse que es redundante. H es la correspondiente reacción horizontal. y la parametrización en coordenadas cartesianas de la geometr´ıa deformada. seg´ un Irvine (1992). las reacciones vertical V y horizontal H en el apoyo A. no interesa obtener las variables del problema parametrizadas por la coordenada ξ.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 3 para 0 < ξ < L. es decir. combinadas con la ecuación constitutiva (4) y sujetas a la relación geométrica (1) y a unas condiciones de contorno apropiadas. ya que las ecuaciones (2) y (3) garantizan que dicha ecuación se satisface automáticamente. pueden integrarse. Las condiciones de contorno en cuestión son x = 0. ξ = L (5) (6) que equivalen a exigir que los dos apoyos A y B del cable son fijos. las ecuaciones de equilibrio (2) y (3). que además coincide con la componente horizontal (constante) de la tensión T (ξ) del cable2 . donde T (ξ) es la tensión del cable (descrita seg´ un la coordenada ξ). x = l. . Se hace observar que la relación (4) caracteriza la tensión del cable en términos de la coordenada material s y no seg´ un la coordenada ξ. a efectos prácticos. Por otra parte. En cuanto a la ecuación de equilibrio de momentos. para determinar la parametrización en coordenadas cartesianas del cable sin deformar (seg´ un la coordenada s). ξ = 0 para s = Lo. es preciso aplicar la regla de la cadena. mientras que la ecuación (3) es la asociada al equilibrio vertical e incorpora además la condición de conservación de masa del cable. se admite la hipótesis de elasticidad lineal para el material del cable. W es el peso total del cable y. En realidad. obteniendo la siguiente expresión para la tensión del cable: " µ ¶2 #1/2 W s T (s) = H 2 + V − (7) Lo para 0 < s < Lo. dx dx dξ = ds dξ ds 2 (8) El hecho de que la componente horizontal de la tensión del cable sea constante es consecuencia directa de la ausencia de cargas horizontales. del tipo variables separadas. las ecuaciones de equilibrio (2) y (3) se pueden reescribir como " ¶2 #1/2 µ dx H W s (10) = + H H2 + V − ds EAo Lo µ µ ¶ µ ¶" ¶2 #1/2 W s Ws Ws 1 dz H2 + V − (11) V − + V − = ds EAo Lo Lo Lo es decir. Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz dz dξ dz = (9) ds dξ ds Teniendo en cuenta que la derivada de ξ respecto a s viene dada como función de la tensión T (s) del cable por la ley de Hooke (4) y substituyendo T (s) por su expresión seg´ un (7). dadas por (5). ya que tanto en la expresión (7) para la tensión del cable. V ) = + sinh − sinh EAo W H H (16) W Lo g(H. El resultado es · ¶¸ µ ¶ µ Hs HLo Ws V V −1 −1 x (s) = + − sinh − sinh (12) EAo W H H HLo z (s) = Ws EAo µ V s − W 2Lo ¶ + " HLo  W  1+ µ V H ¶2 #1/2 " − 1+ µ Ws V − H HLo  ¶2 #1/2  (13)  para 0 < s < Lo. V ) h = g(H. La solución del problema no está todav´ıa completa. Este sistema es de la forma con l = f (H. que son incógnitas adicionales del análisis. V ) (14) (15) · ¶¸ µ ¶ µ HLo HLo V V −W −1 −1 f (H.4 Wilson Rodr´ıguez Calderón. los valores H y V obtenidos pueden substituirse en las expresiones (7). dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Sin embargo. en el desarrollo de las expresiones anteriores no han intervenido las condiciones de contorno correspondientes al apoyo B. V ) = EAo µ 1 V − W 2 ¶ "  µ ¶2 #1/2 " µ ¶2 #1/2  V HLo  V −W 1+ + − 1+  W  H H (17) Una vez resueltas las ecuaciones no lineales (14) y (15). que pueden integrarse anal´ıticamente junto con las dos condiciones de contorno correspondientes al apoyo A. como en las expresiones (12) y (13) que definen la geometr´ıa no deformada. de modo que la respuesta estructural del cable queda completamente caracterizada. dadas por (6). se obtiene un sistema no lineal de ecuaciones definido por una ecuación trascendente y una ecuación algebraica en términos de las reacciones H y V . . (12) y (13). Si se exige ahora que las expresiones (12) y (13) satisfagan además esas condiciones de contorno. aparecen las reacciones vertical V y horizontal H en el apoyo A. V ) del sistema no lineal de ecuaciones definido por (14) y (15). Problema num´ erico Se trata entonces de determinar.5 m 28 m 1: Datos del problema Parámetro Valor Ao 2 x 10−4 m2 E 1.5 x 107 kN/m2 w 0. definida por las coordenadas cartesianas x(s) y z(s). Los datos relevantes del problema se proporcionan en la tabla 1.85 kN/m En la resolución del problema se tuvieron en cuenta lo siguientes aspectos: 1. Parámetro 1 h Lo Cuadro Valor 20 m 8. puede calcularse anal´ıticamente (Irvine.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 5 2. la tensión T (s) del cable y representarla gráficamente junto con la geometr´ıa no deformada del mismo. 1992) as´ı: J(H. La matriz jacobiana J(H. V ) = donde:  ∂f     ∂H     ∂g ∂H ∂f ∂V      (18)  ∂g    ∂V " Ã ! Ã !# ∂f Lo Lo V V − W = + sinh−1 − sinh−1 ∂H EAo W H H      !2 −1/2  Ã !2 −1/2 Ã   (V − W ) Lo V V V −W 1 +  1 +  − −  W H H H H    Ã Ã !2 −1/2  !2 −1/2     V −W V ∂f Lo     1+ − 1+ =  ∂V W H H     Ã !2 1/2  !2 1/2  Ã    ∂g Lo V V −W 1 +  − 1 +  =  ∂H W H H      Ã !2 −1/2  Ã Ã !2  !2 −1/2 Ã !2  V −W V V −W Lo V 1 +  1 +  − −  W H H H   H   ! !2 −1/2  Ã ! Ã !2 −1/2 Ã Ã    ∂g Lo Lo V V V −W V −W 1 + 1 +   = + −  ∂V EAo W  H H H  H  (19) (20) (21) (22) . adaptado al problema de la catenaria El primer paso consiste en definir el vector de incógnitas x. E es muy grande) y que los apoyos están situados al mismo nivel (es decir. Muchas de las operaciones que intervienen en las expresiones (19) a (22) son repetitivas. es preferible utilizar la propiedad. Press et al. adaptado al problema de la catenaria del cable. Una idea muy simple que sirve para escoger las aproximaciones iniciales consiste en suponer que el cable es r´ıgido (es decir. 3. después se describe la solución expl´ıcita del sistema lineal de ecuaciones encontrado en la formulación del método iterativo..    H  x¯ =   V (28) . Planteamiento de la soluci´ on num´ erica El desarrollo de la solución se presenta en tres fases. por cuestiones de error de redondeo. mientras que la reacción horizontal H debe satisfacer la ecuación trascendente µ ¶ W Wl sinh = (25) 2HLo 2H Considerando u ńicamente los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor de la función sinh(x). 1992) y se obtiene que la reacción vertical en el apoyo A es exactamente V = W/2. 1972.6 Wilson Rodr´ıguez Calderón. 3. para evaluar la función sinh−1 (x). x3 (26) sinh(x) ≈ x + 6 y teniendo en cuenta que H > 0. h = 0). se utiliza su expresión logar´ıtmica (Abramowitz y Stegun. para x > 0. −1 ³ sinh (x) = ln x + √ 1+ x2 ´ (23) mientras que para x < 0. Este hecho se tiene en cuenta en la implementación. inicialmente se hace el planteamiento del método de Newton – Raphson. 1992). es decir. inextensible y por tanto. En ese caso.1. sinh−1 (−x) = − sinh−1 (x) (24) 4. Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz 2. el problema se reduce a la versión clásica del problema de la catenaria (Irvine. el valor de H puede estimarse mediante la expresión r W l l H≈ √ (27) 2 6 Lo Lo − l 3. A efectos de cálculo. Planteamiento del m´ etodo de Newton-Raphson. de cara a minimizar el costo computacional. y finalmente se establecen los criterios de convergencia necesarios para determinar el fin de este proceso. lo que mas adelante da ventajas para la solución expl´ıcita del sistema de ecuaciones lineal asociado al Método de Newton-Raphson.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 7 Como se puede observar en (14 y 15) el sistema de ecuaciones no lineal. y remplazando en (32). V ) − h (34) . tiene la forma. (31) y (33).2. ∆¯ xk+1 =  k+1  ∆H   ∆V (33)  Tomando (30). V ) − l  =−   g(H. ¡ ¢ ¡ ¢ xk+1 = f¯ x¯k (32) J xk ∆¯ El sistema de ecuaciones lineales de la ecuación (32) es 2 × 2. dos ecuaciones. Por tanto. V ) − h 0 (31) A partir del sistema de ecuaciones lineales clásico del método de Newton Raphson. el sistema de ecuaciones lineal queda planteado de la siguiente forma:  ∂f     ∂H     ∂g ∂H ∂f ∂V    k+1    ∆H    ∂g    ∆V ∂V    f (H. puede obtenerse el vector de correcciones ∆xk+1 . El vector de correcciones ∆xk+1 . Esta versión propone como valores iniciales los siguientes:   s     l l W     √    Lo − l   2 6 Lo  = x1 = H (29) x¯0 = Ã !     = x2 = V   W         2 la matriz Jacobiana está definida por:   ∂f k     H    ∂H ¡ ¢   J x¯k = J  =     V   ∂g ∂H ∂f ∂V      (30)  ∂g    ∂V y el vector de funciones no lineales.     ¡ k ¢  f (H. utilizando la ecuación. no es un sistema robusto. es de dos incógnitas (H = Reacción Horizontal en A y V = Reacción Vertical en A). V ) − l   0  f¯ x¯ = =     g(H. por tanto la solución expl´ıcita es totalmente viable y as´ı se resuelve más adelante en el apartado 4. con obviamente. Seguidamente se toman valores de inicio de acuerdo a la versión del problema de catenaria planteada por Irvine en 1992. 3. Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz Del sistema (34) se obtiene el vector de correcciones ∆xk+1 . es decir.8 Wilson Rodr´ıguez Calderón. se tiene que: ∂g ∂g ∂f ∂g ∂g ∂f ∂f ∂f f (H. con un cambio de signos en el numerador y en el denominador que no alteran su resultado. se encuentra: ∂g Ã ! ∂f ∂g ∂H −f (H. como sigue: k+1   H   V =  k   H   V +  k+1   ∆H   ∆V (35)  Por supuesto la ecuación (35) requiere de criterios de convergencia que permitan finalizar satisfactoriamente el proceso iterativo. se obtiene la misma expresión para ∆V . Estos criterios se describen en el apartado 4. y multiplicándola por df /dH.3. V ) + l− ∆V + ∆V = − g(H. pudiéndose plantear la función vectorial de iteraciones. V ) − l− g(H. sin embargo. V ) + l ∂V ∂g ∆V = −g(H. V ) + l − ∆V + ∆V = −g(H. V ) + h ∂H ∂H ∂H (primera formulación) ∆V = ∂H (41) ∂f ∂g ∂g ∂f − + ∂V ∂H ∂V ∂H Si se realiza el proceso de sustitución de manera inversa.2. despejando ∆H de la ecuación (37) y reemplazando su expresión en (36). la expresión para ∆H es diferente y presenta un problema . V ) + l − ∂f ∆V ∂V (primera formulación) ∂f ∂H Reemplazando (38) en (37). V ) + h ∂H ∂H ∂V ∂H ∂V ∂H ∂H ∂H Despejando de (40) se halla la siguiente expresión para ∆V : − (38) (39) (40) ∂g ∂g ∂f ∂f f (H. se encuentra: ∂f ∆H + ∂H ∂g ∆H + ∂H ∂f ∆V = −f (H. V ) + h ∂V ∂V ∂f ∂H Tomando la ecuación (39). V ) + h ∂V (36) (37) Despejando ∆H de la ecuación (36) se obtiene: ∆H = −f (H. Soluci´ on expl´ıcita del sistema de ecuaciones lineales del algoritmo de Newton-Raphson Desarrollando la ecuación (34). V ) + l ∂H ∂H ∂H ∂V ∂H ∂V ∂H (43) (44) (45) Despejando de (45) se halla la siguiente expresión para ∆V: ∂f ∂f ∂g ∂g g(H. V ) + h − ∂g ∆V ∂V (segunda formulación) ∂g ∂H Reemplazando (42) en (36). dado que la solución para V es exactamente W/2.4 aplicado a W/2. se presenta el desarrollo para las expresiones de ∆H y ∆V siguiendo el procedimiento planteado anteriormente: Despejando ∆H de la ecuación (37) se obtiene: ∆H = −g(H.4     2 Es importante tener en cuenta que en un problema con apoyos situados al mismo nivel. aplicando la norma eucl´ıdea a los vectores obtenidos. as´ı:   s     l W l     √    Lo − l   2 6 Lo  = x1 = H (42) x¯0 = Ã !     = x2 = V   W     0. esta formulación definitivamente fallará. V ) + l ∂V ∂V ∂g ∂H Tomando la ecuación (44). la norma eucl´ıdea puede implementarse expl´ıcitamente. V ) − h− f (H. V ) + l ∂H ∂H ∂H (segunda formulación) ∆V = ∂H ∂f ∂g ∂g ∂f + − ∂H ∂V ∂H ∂V 3. escogido como valor de prueba inicial. y este se anula para el valor V = W/2. V ) + h − ∆V + ∆V = −f (H.3. Como los vectores son sólo de dos términos. se encuentra: ∂f Ã ! ∂g ∂f ∂H −g(H. La norma eucl´ıdea se determina como: vÃ ! u 2 u X x2i (47) k¯ xk = t i=1 . (46) Criterios de convergencia de la soluci´ on Se establecen dos criterios de convergencia. A continuación.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 9 numérico si tenemos en cuenta que el denominador es dg/dH. V ) + h− ∆V + ∆V = − f (H. y multiplicándola por dg/dH. se tiene que: − ∂f ∂f ∂f ∂g ∂g ∂f ∂g g(H. Este inconveniente puede solucionarse si se escoge un factor arbitrario por ejemplo 0. el objetivo es determinar z(x) y T . la constante a = w s = as. H y T son las tensiones en el punto más bajo y en s. por lo que.10 Wilson Rodr´ıguez Calderón. respectivamente. la pendiente del cable = tan θ. Figura 2: Diagrama de cuerpo libre. H w dz . se obtiene al cortar el cable en su punto más bajo y en un punto a una distancia s. dx (51) (52) . se obtienen las ecuaciones de equilibrio. Planteamiento de la soluci´ on anal´ıtica Si se supone que sobre el cable act´ ua una carga distribuida que somete cada elemento ds de su longitud a una fuerza wds. la tolerancia tol x debe escogerse adecuadamente dependiendo de la precisión de la máquina y de las variables. es posible considerar el diagrama de cuerpo libre de la figura 2. Equilibrio estático de un segmento de cable deformado por su propio peso. H dx dz = as. la tolerancia tol f debe escogerse con el mismo criterio mencionado para tol x. 4. Si z(x) es la función de la curva descrita por el cable en el plano x − z. El diagrama de cuerpo libre de la figura 2. as´ı: ° ¡ K ¢° °f¯ x¯ ° 6 tol f (49) Donde. donde w es constante. El origen del sistema de coordenadas se halla en el punto más bajo. Del diagrama de cuerpo libre de la figura 2. Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz La formulación del primer criterio sobre el error relativo del vector solución es: ° K ° °x¯ − x¯K+1 ° 6 tol x (48) rK = k¯ xK+1 k donde. y. tan θ = donde. La carga distribuida ejerce una fuerza ws hacia abajo. El segundo criterio de convergencia se aplica a la función de ecuaciones no lineales. T sen θ = w y T cos θ = H (50) De la división de estas dos expresiones. 1 + σ2 0 0 (56) se determina la pendiente en función de x. s µ ¶2 √ ds dy = 1 + σ2. (55) 1 + σ2 La pendiente es σ = 0 en x = 0. s= 1 σ tan θ = . se obtiene la curva descrita por el cable (catenaria). µ ¶ ds d dz =a . a a (61) y sustituyendo la ecuación (57) en la ecuación (61). Con la ecuación (54) es posible escribir la ecuación (52) como. r 1 T = H 1 + (eax − e−ax )2 = H cosh ax. σ= ¢ 1 ¡ ax dy = e − e−ax = senh ax. (59) cos θ dx Sustituyendo la ecuación (54) en la expresión (59) y utilizando la ecuación (57). ds 2 = dx 2 + dy 2 . es posible escribir la derivada de s con respecto a x como. dx dx dx (53) y por la relación. Si se integra la expresión (55).Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 11 La derivada de la ecuación (52) con respecto a x es. se obtiene una expresión para la longitud s del cable en el intervalo horizontal desde su punto más bajo hasta x. = 1+ (54) dx dx donde σ se define como la pendiente. (60) 4 T = De la ecuación (51) la longitud del cable (s) es. se obtiene la tensión en el cable en función de x. ¢ 1 1 ¡ ax z= (58) e + e−ax − 2 = (cosh ax − 1) . se obtiene la tensión en el cable. Z x Z σ dσ √ = adx. dx 2 (57) Integrando la ecuación (57) con respecto a x. H ds =H . 2a a (62) . 2a a Con base en la ecuación (50) y la relación dx = cosθ ds. dσ √ = adx. s= ¢ senh ax 1 ¡ ax e − e−ax = . la rigidez es removida del elemento si el elemento entra a compresión (simulación de la condición de cable suspendido). En la tabla 2 se presenta un resumen de los datos de entrada del elemento. está dada por δ/L. Densidad La deformación inicial en el elemento (εin ). el área de la sección transversal (A).5. y densidad. y las propiedades isotrópicas del material (módulo de elasticidad. Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz Formulaci´ on de la soluci´ on con Ansys3 5. una deformación inicial (εin ). J Grados de libertad UX. Lo (ver datos en la tabla 1). localización de los nodos y sistema de coordenadas se presentan en la figura 3. ρ). La deformación inicial es negativa e indica la condición de suspensión en el cable. Figura 3: Elemento finito LINK10 Figura tomada del manual de elementos de ANSYS 5. UZ Propiedades del material Módulo de elasticidad. En este apartado se presentan algunas definiciones básicas de la formulación matricial del elemento finito con el que se modela el problema. Con la opción de sólo tensión. El eje X se orienta a lo largo del elemento desde el nodo I hacia el J. . El elemento es no lineal y requiere una solución iterativa. En la formulación numérica del elemento se tiene en cuenta una rigidez muy peque˜ na 3 Para la implementación del modelo de elementos finitos se utilizó la versión educativa del programa Ansys. E. UY. El elemento se define por medio de dos nodos (I y J). Cuadro 2: Datos de entrada del elemento Nombre del elemento LINK10 Nodos I. y la longitud de deformación cero. donde δ es la diferencia entre la longitud del elemento. 5. Elemento LINK10 (s´ olo tensi´ on o compresi´ on) Es un elemento tridimensional en el que la matriz de rigidez es bilineal lo que resulta en un elemento de sólo tensión uniaxial (o sólo compresión).12 Wilson Rodr´ıguez Calderón. 1.4. Datos de entrada y salida del elemento La geometr´ıa. E L = = = área de la sección transversal del elemento módulo de elasticidad longitud del elemento   1.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 13 (AE × 10−6 /L) con el fin de prevenir porciones no restringidas o de “libre flotación” cuando el cable está suspendido. v.0 × 10−6 en compresión La matriz de masa del elemento condensada se define por.7.6.0 en tensión C1 = coeficiente de rigidez =  1. rigidez al esfuerzo y vector de carga Las matrices y los vectores de carga se generan en el sistema de coordenadas del elemento y se convierten después al sistema de coordenadas globales. w = componentes de desplazamiento en cualquier punto del elemento s = coordenada natural en dirección axial w= 5. Funciones de forma Las funciones de forma empleadas para la interpolación de la variable principal (desplazamiento) son. La matriz de rigidez del elemento es.   C1 0 0 −C1 0 0  0 0 0 0 0 0     AE  0 0 0 0 0 0   [Kl ] =  L   −C1 0 0 C1 0 0   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 A donde.  1 0 0 0 0 0  0 1 0 0 0 0  ρAL (1 − εin )   0 0 1 0 0 0 [Ml ] =  0 0 0 1 0 0 2   0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1         . u. Definici´ on de las matrices de rigidez. Los datos de salida del elemento son: desplazamientos nodales fuerza axial. masa. u= 1 (uI (1 − s) + uJ (1 + s)) 2 (63) v= 1 (vI (1 − s) + vJ (1 + s)) 2 (64) 1 (wI (1 − s) + wJ (1 + s)) (65) 2 donde. esfuerzos y deformaciones 5. . Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz ρ = densidad in ε = deformación inicial La matriz de rigidez al esfuerzo del elemento es. dado que este asume en mayor proporción el peso. El vector de carga aplicado al elemento es. respectivamente. La rigidez al esfuerzo proporciona estabilidad numérica en este tipo de problemas. 6.0 en tensión    C2 = coeficiente de rigidez al esfuerzo =  AE   en compresión F 106 La deformación inicial se usa en el cálculo de la matriz de rigidez al esfuerzo para la primera iteración.14 Wilson Rodr´ıguez Calderón. El apoyo de mayor tensión es el superior.   0 0 0 0 0 0  0 C2 0 0 −C2 0     F 0 0 C 0 0 −C 2 2  [Sl ] =  0 0 0 0 0  L   0  0 −C2 0 0 C2 0  0 0 −C2 0 0 C2 ½ para la primera iteración: AEεin donde: F = para las siguientes iteraciones: la fuerza axial en el elemento 1. £ ¤T {Fl } = AEεin −C1 0 0 C1 0 0 Resultados obtenidos de la formulaci´ on num´ erica En la figura 4 se observa la geometr´ıa del cable y los puntos de menor y mayor tensión. los cuales corresponden al nodo más bajo y más alto de la geometr´ıa. donde. 820 m x* = 12.5 9. Los resultados de geometr´ıa y tensión en el cable se ilustran en la figura 5.529 12.754 11.6 4 1.878 6.811 8.716 28 ∗ 20 8.125 11.397 6.61 7.751 12 6.467 12. se hace necesario recurrir a algunos de los resultados encontrados en el ejercicio numérico.003 KN Figura 4: Solución numérica con soportes situados a distinto nivel.8∗ 12.925 m T* = 6.058 6 2.513 14 7.86 15.184 10.831 6. No obstante.61 3.469 12.557 8 3.231 8.459 16 9. empleando la formulación del problema de cargas uniformemente distribuidas en cables referenciado en el apartado (4).475 7.279 7.384 12.765 1.676 18 11.98 ∗ Resultados del punto m´ as bajo (punto de tensi´ on m´ınima) s* = 18.229 KN H = 6.266 6. como son. son parámetros de entrada de la formulación anal´ıtica.66 9. Resultados de tensión y geometr´ıa deformada del cable 7.625 26 18.269 m z* = 12.457 12. ya que estos.683 14.268 18.788 24 17.163 11.925∗ 6.269∗ 12.77 9.552 5.112 10 4.308 22 15.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 15 Cuadro 3: Resultados de la formulación numérica s [m] x(s) [m] z(s) [m] Tensi´ on [kN/m] 0 0 0 17.991 8.229 20 13. Resultados obtenidos de la formulaci´ on anal´ıtica Es posible realizar una comparación de los resultados obtenidos del planteamiento numérico. .172 2 0.299 KN V = 16. la tensión en el punto más bajo del cable (H) y la coordenada horizontal (x(s)) en este punto. 675 8.115 0.740 0.800 24 4.518 6.717 7.503 14 4. x(s) anal´ıtico = x ∗ −x(s)i (hacia adelante y hacia atr´ as de x∗) Nota: las coordenadas x se diferencian anal´ıtica y num´ ericamente.905 17.739 11.229∗ 20 1.043 15.198 0.443 12.134 9.098 6.085 2.312 22 3.266 18.968 8. respectivamente.219 14.470 10. .515 1.616 4 10.000∗ 6.669 7. para el planteamiento anal´ıtico.672 6.752 7.659 9.731 4.065 6 9.269 12.458 4.659 5. Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz x(s) [m] z(s) [m] Tensi´ on [kN/m] 0 12.16 Wilson Rodr´ıguez Calderón. (a) Resultados de tensi´ on y geometr´ıa deformada de la primera porci´ on del cable.800 0.435 7. (b) Resultados de tensi´ on y geometr´ıa deformada de la segunda porci´ on del cable.136458501 Origen de coordenadas.000∗ 0.107 10 7.669 18 0. Resultados obtenidos de la formulaci´ on de Ansys En la figura 6 se presenta el desplazamiento del cable en dirección X .391 2.044 6.449 16 2.029 28 ∗ Porci´ on de cable (2) s [m] Porci´ on de cable (1) Cuadro 4: Resultados de la forw mulación numérica a = H = 0.198 2 11.8∗ 0. dado que el origen del sistema de referencia no es el mismo (ver figuras 1 y 2). Los desplazamientos m´ınimo y máximo del cable se se˜ nalan en la figura 5 con la siglas MN y MX. Figura 5: Soluci´ on anal´ıtica con soportes situados al mismo nivel. Los resultados de la geometr´ıa deformada en esta dirección equivalen a la suma algebraica entre las coordenadas iniciales de los puntos y el desplazamiento respectivo. Estos resultados se presentan en la tabla 5 y se observa que coinciden de manera importante con los valores obtenidos de la formulación numérica de Irvine presentados en la tabla 3.556 8 8.856 1.647 26 6.504 11. 8.743 12 6. 961 SMN =-2. El punto más bajo en el cable se se˜ nala en la figura 7 con la sigla MN.33384 15.39050 11.81205714 8.52797143 12.42857143 -0.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 17 Cuadro 5: Resultados de desplazamiento horizontal de la formulación de Ansys Coordenada x Ux x(s) 0 0 0 1.66335 0.8571429 -1.18412857 10 -2.454 Z-BUFFER MN MX Punto m´ as bajo del cable x∗ = 12. .61108571 7.3804457 17.76522143 2.24660 1.6580086 20 ∗ 0 20 PLOT NO.16250∗ 12. En la figura 8 se ilustra la tensión a lo largo del cable.08658 18.4285714∗ -1.28571429 -1.85714286 -1.4666429 13.71428571 -2.4630743 15.02060 17.73340 2. El punto de menor tensión en el cable se se˜ nala en la figura 8 con la sigla MN.2660714∗ 14.266m Figura 6: Resultados de desplazamiento en direcci´ on X utilizando elementos finitos En la figura 7 se presenta el desplazamiento del cable en dirección Y. Las peque˜ nas variaciones en los resultados corresponden a la diferencia entre los dos algoritmos.10320 3.5714286 0.90060 9.7142857 -0.75360000 11.4285714 -1. Los resultados de la geometr´ıa deformada en esta dirección (coordenadas verticales) se presentan en la tabla 6 y se observa que coinciden significativamente con los valores obtenidos de la formulación numérica de Irvine presentados en la tabla 3.2857143 -0.33080 4.82264 13.1428571 -0.57142857 -2.391 SMX =.24640 7. Los resultados se presentan en la tabla 7 y se observa que concuerdan con los valores obtenidos de la formulación numérica de Irvine presentados en la tabla 3.14285714 -2.08658 Y WY WZ Z X WX ZV =1 DIST=11 XF =10 YF =-6.55231429 5.1222571 18. 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =16 TIME=1 UX (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX =12.61054286 4.38730 6. 860 18.2449* 20 6.2759 18.4297 16 6. 1 ELEMENT SOLUTION STEP=1 SUB =16 TIME=1 SMIS1 DMX =12.907m Figura 8: Resultados de Tensi´ on utilizando elementos finitos .7660 24 7.106 2 15. 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =16 TIME=1 UY (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX =12.271 26 9.996 6 12.0000 2 1.7022 12 8. Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz Cuadro 6: Resultados de desplazamiento vertical de la formulación de Ansys s [m] z(s) Ansys [m] 0 0.961 SMN =6.8561 4 3.961 SMN =-12.7548 12 10.454 Z-BUFFER MN 8.816 22 12.106 Y WY 28 ∗ WZ Z MX X WX ZV =1 DIST=11 XF =10 YF =-6.9174 Punto m´ as bajo del cable z∗ = 12.1504 10 8.245 SMX =17.378 18 12.5000 Punto m´ as bajo del cable z∗ = 12.6631 PLOT NO.454 Z-BUFFER MN 9.4721 14 7.907m Figura 7: Resultados de desplazamiento en direcci´ on Y utilizando elementos finitos Cuadro 7: Resultados de Tensión de la formulación de Ansys s [m] Tensi´ on Ansys [kN/m] 0 17.6763 Y WY Z WZ MX 6 5.254 24 11.058 10 9.6636 18 6.5844 26 8.456 16 12.536 4 13.3098 22 6.214 14 11.4475 8 7.8∗ 12.8* 6.18 Wilson Rodr´ıguez Calderón.497 8 11.907∗ 20 12.907 X WX ZV =1 DIST=11 XF =10 YF =-6.9873 28 ∗ PLOT NO. 058 8. si se tiene en cuenta que el término del denominador (dg/dH) se anula para V = W/2 .6763 14.625 7.459 7. esta se constituye en una forma generalizada que funciona para apoyos localizados a igual y a diferente nivel.112 11.266 12.1504 11. 41. si se emplea para apoyos de igual nivel.3098 12.279 11.4475 12.268 6.058 13.4).860 6. ya que cuenta solo con dos incógnitas (H y V). dado que la solución para V es exactamente W/2 .2). no obstante.513 8. es necesario introducir . Cuadro 8: Comparación de resultados de las dos formulaciones z(s) Numérico [m] z(s) Ansys [m] Tensión Numérico [kN/m] Tensión Ansys [kN/m] 0.254 6. Esta formulación sólo funciona para apoyos con distinto nivel.229* 6.676 6.4721 11. La solución expl´ıcita del sistema lineal de Newton – Raphson.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 19 9. requiere de un factor multiplicador para W/2 (por ejemplo 0.7660 11. lleva a que la formulación falle numéricamente para problemas de catenaria donde los apoyos se encuentran localizados al mismo nivel. Factor determinante para la formulación expl´ıcita del sistema lineal del Método Newton-Raphson y de la norma eucl´ıdea de los vectores.2759 12.557 12.378 6.106 1. No obstante.497 7. 43 y 46 del apartado 3.536 3.475 11.2449* 12.770 8.788 6.172 17.214 8. una de ellas genera una expresión para ∆H que se indetermina. Conclusiones El sistema no lineal del problema de la catenaria es realmente peque˜ no.9873 8.683 3.5000 9.6631 8.716 8.457 5.6636 12.4297 12.925* 12.163 7.878 12. Por este motivo.9174 10.8561 15.5844 9.991 9.98 9.0000 17. Comparaci´ on entre los resultados de las formulaciones num´ erica y de Ansys En la tabla 8 se re´ unen los resultados obtenidos de las formulaciones numérica y de Ansys. se lleva a cabo por sustitución.751 9.7548 9.308 6.500 8. Esta particularidad. Esto permite inicializar V sin indeterminar la expresión para ∆H.231 10.996 5.831 12. ya que.6 15.397 12.000 0.907* 6. Dicha sustitución puede efectuarse de dos maneras (expresiones 38.860 1. La utilización de la segunda formulación (expresiones 43 y 46).456 7.271 7. con el fin de realizar una comparación y establecer la validación del algoritmo numérico que resuelve el problema de la catenaria elástica para soportes localizados a distinta altura.7022 10.816 6. se recomienda utilizar la primera formulación expl´ıcita obtenida para la solución del sistema lineal de Newton-Raphson (expresiones 38 y 41). Statics of suspended cables. E. L. [5] M. 1972. Prentice Hall Hispanoamericana. como son. Prentice-Hall Series in Computational Mathematics.20 Wilson Rodr´ıguez Calderón. [7] Nakamura Shoichiro (1997). Vol. Referencias [1] A. ASCE. Bedford & W. 101. Dover Publications. Numerical Methods for Engineering Application. En este caso. Irvine. Wiley. Ed. Dado que el vector solución consta tan sólo de dos términos. 1983. Journal of the Engineering Mechanic Division. Massachusetts. Ed. La solución del problema numérico es iterativa. la formulación anal´ıtica para apoyos a igual nivel es más apropiada. No. Esto. permite validar la formulación numérica generalizada del problema de catenaria elástica cuando los apoyos se encuentran localizados a diferente nivel. por lo que se requieren de criterios de convergencia aplicados a través del cálculo del error relativo de la solución y la evaluación de la función no lineal vectorial evaluada en el vector solución en cada iteración. H ). EM3: 187-205. Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. E. Myriam Roc´ıo Pallares Mu˜ noz condicionales que bifurquen el algoritmo y solucionen los inconvenientes creados por la indeterminación. Ed. New York. Ed. Addisson Wesley & Publishing Company. De acuerdo con los resultados de la formulación numérica presentados en la gráfica 3. Irvine. Fowler. Engineering Mechanics: Statics. Los resultados obtenidos del modelo de elementos finitos realizado con el programa Ansys coinciden de manera importante con los obtenidos de la formulación de Irvine. 1975. [6] M. México D. [3] J.A. la tensión en el punto más bajo del cable (H) y la coordenada horizontal (x(s)) en este punto.A. [4] M. Handbook of mathematical functions. es necesario hacer uso de algunos de los resultados encontrados en el ejercicio numérico. Análisis numérico y visualización gráfica con Matlab. H. [2] J. ya que este asume en mayor proporción el peso. para implementar la solución anal´ıtica. Reading. Ed. Stegun.U. Dover Publications. La formulación anal´ıtica para cables situados al mismo nivel. Abramowitz & I. la norma eucl´ıdea se plantea expl´ıcitamente. Schnabel. demuestra una vez más la importancia de los métodos numéricos cuando son llevados al computador.F. No obstante. Ferziger. B. New York. . Cable structures. 1981. 1992. se confirma que el punto de menor tensión en el cable corresponde al nodo mas bajo (sólo act´ ua la componente horizontal de la tensión. y que el apoyo donde se presenta la mayor tensión es el punto más alto. New York. Dennis & R. 1996. H. International Thomson. 1994. Numerical methods for engineers. 1992. Análisis numérico. Flannery. Canale.A. D. New York. Teukolsky. S. L. W. Las matemáticas del cálculo cient´ıfico. 1985. . New York. [9] S. McGraw-Hill.P. Ed. [10] W. [11] W. México. Ed. P. Faires. Vetterling & B. Ed. Numerical recipes in FORTRAN. 2002.C Chapra & R.T. Addison-Wesley Iberoamericana. Kincaid.Validación de la formulación numérica del anális estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS 21 [8] R. Análisis Numérico. Cheney & D. Burden & J. Cambridge University Press. Press.

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