Universidad Metropolitana Facultad de Ciencias y Artes Escuela de Ingeniería Optimización I Guía de Ejercicios: Programación Entera Mixta 1.Una inmobiliaria desea promocionar una nueva urbanización mediante una campaña publicitaria. Para ello dispone de 5 tipos de anuncios: anuncios en televisión local al mediodía (tvm), anuncios en televisión local a la noche (tvn), anuncios en periódico local (per), anuncios en suplemento dominical local (sup) y anuncios en radio local por la mañana (rad). La empresa ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales a los que se destina cada tipo de anuncio y el costo de cada anuncio en euros. Además, se ha llevado a cabo una valoración de la calidad que tiene cada anuncio de acuerdo al medio en el que se expone, en una escala de 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos se recogen en la siguiente tabla: Clientes Anuncio Cos potenciale s to s 150 Tvm 1000 0 300 Tvn 2000 0 Per 1500 400 100 Sup 2500 0 rad 300 100 Calidad exposició n 65 90 40 60 20 El número máximo de anuncios que se pueden emitir es 15, 10, 25, 4 y 30 de tvm, tvn, per, sup y rad, respectivamente. La inmobiliaria, aconsejada por una agencia de publicidad, decide utilizar al menos 10 anuncios en la televisión, alcanzar por lo menos 50000 clientes potenciales, no gastar más de 18000 euros en anuncios en televisión y si se hacen anuncios en el periódico Prof. Oscar Neira 2 y 3) para su posible inclusión en la próxima campaña de Navidad.entonces no hacer anuncios en la televisión por la noche. La preparación de instalaciones para la fabricación de estos modelos costaría 25000 €. Una empresa de juguetes está considerando la puesta en marcha de tres nuevos modelos de juguetes (1.4.a 1500x 1 + 3000x2 ≤ 18000 1500x 1 + 3000x2 + 400x3 + 1000x4 + 100x5 ≤ 30000 x3 ≤ 25y x2 ≤ 10(1 − y) xi≥ 0. enteras. Modelar. Solución: Definimos las variables de decisión siguientes: x 1= número de anuncios a emitir en tvm x 2 = número de anuncios a emitir en tvn x 3 = número de anuncios a emitir en per x 4 = número de anuncios a emitir en sup x 5= número de anuncios a emitir en rad 1 si se hacenanunciosper y= 0 encasocontrario El PPL es el siguiente: Max Z = 65x1 + 90x2 + 40x3 + 60x4 + 20x5 1 ≤ 15 x x4 ≤ 4 x5 ≤ 30 1 + x2 ≥ 10 x 1000x 1 + 2000x2 + 1500x3 + 2500x4 + 300x5 ≥ 50000 s.2.1 2. 35000 € y 30000 € respectivamente. mediante programación lineal entera el problema de cómo debe planificar la campaña si se desea maximizar la calidad de la exposición de todos los anuncios de la campaña publicitaria.3. Oscar Neira . i = 1. sin resolver. y la ganancia unitaria sería Prof. El presupuesto máximo para la campaña publicitaria es de 30000 euros.5 y = 0. de 10 €. dependiendo la elección de la maximización de las ganancias. i=1. pero debe tener en cuenta que si produce más de 50 unidades de este tipo de juguete entonces: • el costo de preparación de instalaciones del juguete tipo 3 es de 40000 € • debe producir en la planta 3 Modelar el problema. b) La empresa decide producir únicamente el juguete tipo 3.3 0 encasocontrario Prof. pero para evitar gastos sólo en una de ellas se producirían los juguetes. La empresa dispone de tres plantas de producción para la elaboración de estos modelos. añadiendo esta información. Oscar Neira . a) Modelar el problema utilizando programación lineal entera para maximizar el beneficio total. Solución: a) Definimos las variables de decisión siguientes: x i = número de juguetes producidos diariamente del tipo i. 600 y 630 horas de producción respectivamente. utilizando programación lineal entera.2. La gerencia ha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes.2. 15 € y 13 € respectivamente. El número de horas que se precisa para producir cada juguete en cada planta es: Planta 1 2 3 Juguete 1 5 4 3 Juguete 2 4 2 3 Juguete 3 6 2 2 Las plantas disponen al día 500.3 1 si seponeenmarchael juguetetipoi yi= i = 1. z3) 3x1 z1+ z2+ z3= 1 i = 1.2. i = 1.3 n + 4x2 + 6x3 ≤ 500+ M(1.2.2.1 i = 1.1 j = 1. yi= 0. b) Definimos la variable de decisión siguiente: 1 si x3≥ 51 p= 0 encasocontrario El modelo es el siguiente: Max W = 13x3 – 30000(1 – p) – 40000p Prof.2. i = 1.3 xi≥ 0. 1 si seproducesóloenla plantaj zj= j = 1. Oscar Neira .2.2.z2) 4x1 s.3 zj= 0.3 con M suficientemente grande.z1) 5x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 600 + M(1. enteras.3 Correcció yi≤ xi.a + 3x2 + 2x3 ≤ 630 + M(1.3 0 encasocontrario El modelo queda como sigue: Max W = 10x1 – 25000y1 + 15x2 – 35000y2 + 13x3 – 30000y3 y1 + y2 + y3 ≥ 1 xi≤ Myi. p)+ Mp 51p≤ x3≤ 50(1 p ≤ z3 6x3 ≤ 500+ M(1. un estudiante. La mezcla de los nominados en las siguientes categorías es como sigue: Persona s A.G.G. entera p = 0.B. D. I y J. 3. un hombre.H.z3) z1+ z2+ z3= 1 x3≥ 0.F vos Profesores D.. Diez personas han sido nominadas: A. B. un administrativo y un profesor.I Categoría Modelizar sin resolver como un problema de programación lineal entera.I.3 con M suficientemente grande.a 2x3 ≤ 630+ M(1. E. Solución: Prof. H. si se trata que la comisión sea lo más reducida posible.z1) ≤ 600+ M(1.2.H. Oscar Neira . G. C.C. Además. F.1 zi= 0.B.J Administrati E. Mujeres E Hombres F. i = 1. El reglamento obliga a que sean incluidos en dicha comisión al menos una mujer.z2) 2x3 s. el número de mujeres debe ser igual que el de hombres y el número de profesores no debe de ser inferior al de administrativos.1.D.C. Una universidad se encuentra en un proceso de formar una comisión.J Estudiantes A. La inversión necesaria para construir la fábrica en la ubicación 1 es de 2000000 unidades monetarias y de 1750000 unidades monetarias en la ubicación 2.G.F. 100000 de la media y 200000 de la baja.J El modelo queda como sigue: Min Z = xA + xB + xC + xD + xE + xF + xG + xH + xI + xJ xA+ xB+ xC+ xD+ xE≥ 1 xF+ xG+ xH+ xI+ xJ≥ 1 xA+ xB+ xC+ xJ≥ 1 xE+ xF≥ 1 s. Oscar Neira .D. i = 1. las siguientes restricciones: Prof. b) Si se incluye la posibilidad de construir las dos plantas (ubicación 1 y 2). modelar el problema con el objetivo de minimizar costos. además.C.3 Xi= 0.H.I. enteras. J 4.2.1 i = A. media y baja.I. a) Si sólo se va a construir una planta. en la ubicación 2.H. De la gama alta se han de producir al menos 75000 unidades anuales. modelar el problema con el objetivo de minimizar costos considerando.G.Definimos las variables de decisión siguientes: i 1 si se incluyea lapersona xi= 0 encasocontrario i = A. media y baja.E. 12 y 9 unidades monetarias. Los costos unitarios de producción son 15.B.B. respectivamente. Tiene dos posibles ubicaciones: 1 y 2.a xD+ xG+ xH+ xI≥ 1 xA+ xB+ xC+ xD+ xE= xF+ xG+ xH+ xI+ xJ xD+ xG+ xH+ xI≥ xE+ xF xi≥ 0. 13 y 10 unidades monetarias.C.E. respectivamente para gama alta.F. en la ubicación 1 y 16. Una empresa que fabrica electrodomésticos está pensando abrir una nueva planta para producir 3 modelos de lavadora: modelo de gama alta.D. m = media y b = baja) enlaubicación i 1 si seproduce yi= i = 1. 2.m. m. b (siendo a = alta. b (siendo a = alta. al año con i = 1.2 0 encasocontrario El modelo queda como sigue: Min Z = 15x1a + 13x1m + 10x1b + 16x2a + 12x2m + 9x2b + 2000000y1 + 1750000y2 1a+ x2a≥ 75000 x x 1m+ x2m≥ 100000 x 1b + x2b ≥ 200000 y1+ y2= 1 x1a ≤ My1 ≤ My2 x2a s. yi= 0. • La gama alta se producirá únicamente en una de las dos ubicaciones. Solución: a) Definimos las variables de decisión siguientes: xij = número de lavadoras de la gama j producidas en la ubicación i. j = a. b) Se definen las siguientes variables de decisión: xij = número de lavadoras de la gama j producidas en la ubicación i. al año con i = 1. m. enteras.• En caso de producirse lavadoras de gama baja en la ubicación 1 se recibirá una subvención de 1000000 unidades monetarias. j = a. b xij≥ 0. 2.a ≤ My1 x1m x2m ≤ My2 ≤ My1 x1b x2b ≤ My2 i = 1.2.2 con M suficientemente grande. Oscar Neira . m = media y b = baja) Prof.j = a.1 i = 1. i =1.2. Prof.1 Correcció n con M suficientemente grande. b yij=0. enteras.j =a.b i 1 si se construyela plantaenla ubicación zj= i = 1. j = a.j =a.enlaubicación i lavadoras de la gamaj 1 si seproduce yij= 0 encasocontrario i = 1. m.1 i =1. i = 0. Oscar Neira .2.2 0 encasocontrario El modelo queda como sigue: Min Z = 15x1a + 13x1m + 10x1b + 16x2a + 12x2m + 9x2b + 2000000z1 + 1750000z2 1000000y1b x 1a+x2a≥75000 x 1m+x2m≥100000 x 1b +x2b ≥200000 y1a +y2a =1 z1+z2≥1 y1a ≤z1 y2a ≤z2 y1m ≤z1 y2m ≤z2 y1b ≤z1 s . m.a y2b ≤z2 x1a ≤My1a x2a ≤My2a x1m ≤My1m x2m ≤My2m x1b ≤My1b y1b ≤x1b x2b ≤My2b xij≥0. b zi = 0.1.2.m. 3 kg de glicerina. 13. Solución: Definimos las siguientes variables de decisión: xi = número de pastillas de jabón tipo Ji producidas diariamente.5. 15 y 11 euros respectivamente para cada tipo de pastilla de jabón. En la siguiente tabla se muestran las cantidades necesarias para realizar una pastilla de jabón de cada tipo. Una fábrica produce 4 tipos de jabones. si se producen pastillas del tipo 3. 12 kg de sosa cáustica. 2000 ml de esencia de limón y 3000 ml de esencia de fresa por día. Además si se producen jabones del tipo 1 no se podrán producir del tipo 4. La fábrica se está planteando ampliar la planta de producción con un costo de 200000 euros.. El beneficio por cada pastilla de jabón es de 10.. 4 kg de glicerina. 70000 ml de agua. Se tiene que producir al menos un tipo de jabón al día y como mucho tres.. Aceit Agu Sosa Gliceri e a cáustica na (ml) (ml) (g) (ml) J1 J2 J3 J4 250 200 230 180 240 210 240 200 42 2 20 10 1 40 25 35 Esencia Esencia de de fresa limón (ml) (ml) 1 3 2 1 3 1 1 3 La fábrica dispone de 150000 ml de aceite. en el caso de realizar esta ampliación. Además. de forma que si se realiza la ampliación las disponibilidades de los componentes aumentarán en 50000 ml de aceite. i =1. para lo cual son necesarios 6 componentes.. se tendrán que realizar también del tipo 1. Modelar el problema de programación lineal entera que maximice el beneficio. Oscar Neira . 160000 ml de agua. 4 Prof. 4 kg de sosa cáustica. 1000 ml de esencia de limón y 500 ml de esencia de fresa. 2. enteras.4 yi= 0. 1 si seproducejabóndeltipo Ji yi= i = 1.1. Prof. i = 1.4 z = 0.4 0 en casocontrario la ampliación 1 si se realiza z= 0 en casocontrario El modelo es el siguiente: Max W = 10x1 + 13x2 + 15x3 + 11x4 – 200000z + 200x2 + 230x3 + 180x4 ≤ 150000 + 50000z 250x1 240x1 + 210x2 + 240x3 + 2000x4 ≤ 160000 + 70000z 42x1 + 2x2 + 20x3 + 10x4 ≤ 12000 + 4000z + 35x4≤ 3000 + 4000z x1+ 40x2+ 25x3 x1+ 2x2+ 3x3 + x4≤ 2000 + 1000z + x2+ x3+ 3x4≤ 3000 + 500z 3x1 y1+ y2+ y3+ y4≥ 1 y1+ y2+ y3+ y4≤ 3 s.3.3.2.1 con M suficientemente grande.a y4 ≤ 1 − y 1 y 1 ≥ y3 + z − 1 1 ≤ My1 x x2 ≤ My2 x3 ≤ My3 x4 ≤ My4 xi≥ 0. Oscar Neira .3. i = 1.2.