FísicaDepartamento de Física Aplicada. Facultad Ciencias Químicas. U.C.L.M. CAMPO ELÉCTRICO II 1) Utilizando el teorema de Gauss para el campo eléctrico, calcular en las siguientes situaciones, el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio. Tomar como origen de potencial el infinito salvo que se indique lo contrario. Es preciso en cada caso justificar la ventaja que ofrece aplicar el teorema de Gauss y discutir con detalle la simetría del problema que justifica el tipo de superficie gaussiana elegida. Asimismo dibujar aproximadamente las funciones obtenidas para E y V en los casos que indica al final 'dibujar'. 1a) Una esfera hueca de radio R cargada con una carga Q. dibujar 1b) Una esfera maciza de radio R cargada con una carga -Q. dibujar 1c) Una corteza esférica dieléctrica de radios R 1 y R 2 cargada con una densidad de carga ρ. Calcular en este caso sólo el campo eléctrico. 1d) Una corteza esférica dieléctrica de radios R 1 y R 2 cargada con una densidad de carga ρ más una carga puntual -Q en el centro. (ver figura). Calcular en este caso sólo el campo eléctrico. 1e) El mismo caso anterior pero la corteza es metálica y sin carga neta. Determinar la densidad superficial de carga en las superficies de la corteza. dibujar 1f) Un hilo indefinidamente largo y estrecho cargado con una densidad de carga λ por unidad de longitud. (No calcular en este caso el potencial) dibujar solo E 1g) El mismo hilo de (e) pero con un radio no despreciable R. Tomar en este caso el origen de potencial en la superficie del hilo: V(R)=0 dibujar solo E 1h) Un plano conductor indefinidamente grande de grosor t, cargado con una densidad superficial de carga σ. Calcular en este caso sólo el campo eléctrico.dibujar figura (1d) figura (1h) z + t / 2 - t / 2 O 1i) Una esfera maciza dieléctrica de radio R cargada con una densidad volumétrica no uniforme ρ(r) = 1/r 2 1j) Un condensador plano de placas muy grandes cargado con carga Q y con separación entre placas d. dibujar Solución: 2 0 0 0 2 2 3 3 0 0 0 0 0 3 3 4 2 1 3 2 0 1 1 1 (1 ) ( ) ; ( ) 0; ( ) ; ( ) 4 4 4 1 1 3 (1 ) ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) 4 4 4 8 8 ( ) (1 ) ( ) 4 r r r Q Q Q a E r R u E r R V r R V r R r r R Q rQ Q Q Qr b E r R u E r R u V r R V r R r R r R R R R c E r R πε πε πε πε π ε πε πε πε π ρ πε − − > · < · > · < · − − + + > · < · > · < · − − > · ur uur ur uur ur uur ur 3 3 4 1 3 1 2 1 2 2 0 3 3 3 3 4 4 2 1 1 3 3 2 1 2 2 2 0 0 1 2 0 2 2 0 ( ) ; ( ) ; ( ) 0 4 ( ) ( ) 1 1 (1 ) ( ) ; ( ) ; 4 4 1 ( ) 4 1 (1 ) ( ) 4 r r r r r r R u E R r R u E r R r r R R Q r R Q d E r R u E R r R u r r Q E r R u r Q e E r R r π ρ πε πρ ρπ πε πε πε πε − < < · < · 1 1 − − − − ¸ ] ¸ ] > · < < · − < · − > · uur ur uur ur uur ur uur ur uur ur 1 2 1 2 0 2 1 2 1 0 0 2 0 2 1 0 2 0 0 1 ; ( ) 0; ( ) 4 1 1 1 1 1 ( ) ; ( ) ; ( ) 4 4 4 1 (1 ) ( ) 2 1 1 (1 ) ( ) ; ( ) ; ( 2 2 r r r r r Q u E R r R E r R u r Q Q Q V r R V R r R V r R r R r R R f E r u r r g E r R u E r R u V r R πε πε πε πε λ πε λ λ πε πε − < < · < · 1 > · < < · < · + − 1 ¸ ] · > · < · uur ur ur uur ur uur ur uur ur uur 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 d ) log ; ( ) 1 2 2 (1 ) ( / 2) 0; ( / 2) 2 1 1 (1 ) ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) 1 ln (1 ) 0; , r r fuera dentro r r r R V r R R R R h E r t E r t k R R r i E r R u E r R u V r R V r R r r r R j E E k λ λ πε πε σ ε ε ε ε ε σ ε ¸ _ − − > · < · − ¸ , < · > · 1 ¸ _ > · < · > · < · − 1 ¸ , ¸ ] · · ur ur r ur uur ur uur ur ur r 0 onde señala la perpendicular a las placas; k V d σ ε · r 2) Calcular la capacidad de una esfera conductora. Solución: 0 4 C R πε · 3) Calcular la capacidad de un condensador esférico formado por dos cortezas metálicas conductoras de radios R 1 y R 2 , cargadas con cargas de igual valor y signo opuesto, con una sustancia dieléctrica de constante dieléctrica relativa ε r entre medias. Solución: 0 1 2 2 1 4 ( ) r R R C R R πε ε · − 4) Calcular la capacidad de un condensador de placas plano-paralelas de superficie S, separadas una distancia t y con una substancia de permitividad relativa ε r Solución: 0 r S C d ε ε · 5) Dos esferas conductoras de radios 0.10cm y 0.15cm tienen cargas respectivas de 10 -7 C y 2·10 -7 C. Se ponen en contacto y luego se separan. Calcular la carga final de cada esfera. Solución: 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 ; ; Con i i f i f i R Q RQ Q Q Q Q Q Q Q R R − · − · + · + 6) Un condensador plano de 1000pF se encuentra cargado con 1 µC en cada placa. ¿Cuál es la diferencia de potencial (ddp) entre las placas? Suponiendo que se encuentra aislado (con lo que la carga permanece constante) se duplica la distancia entre sus placas. ¿Cuál será la nueva ddp entre las placas? Solución: V=1000V; V=2000V 7) Calcular la capacidad de los condensadores de las siguientes figuras. Puede ayudar considerarlos como asociaciones de varios condensadores con diferente constante dieléctrica relativa (κ) C 1 C 2 C 3 Solución: 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 2 2 2 2 A A A C C C d d d ε ε ε κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ ¸ _ + · · · + + + ¸ , 8) La capacidad de un condensador variable puede ajustarse entre 50pF y 950pF girando un dial ente 0º y 180º. Con el dial situado en 180º se conecta a una batería de 400V. Una vez cargado el condensador se desconecta de la batería y se lleva el dial a 0º. (a) ¿Cuál será la carga del condensador? (b) ¿Cuánto vale la ddp cuando el dial se encuentra en 0º? (c) ¿Cuánto vale la Energía del condensador en esta posición? Solución: (a) 380nC (b) 7600V (c) 1.443·10 -3 J 9) Se carga un condensador de 20 µF con una batería de 1000V. Luego se conectan los terminales del condensador cargado a los de otro condensador descargado de 5 µF. Calcular (a) La carga original del sistema. (b) Cantidad de carga intercambiada al conectarlos (c) La ddp final de cada condensador. (d) Energía final del sistema. y la perdida en el proceso de conexión Solución: Q=0.02 C; 0 1 1 2 0.004 ; Q C Q C C C · · + 800 ; 8 ; 2 f final perdida V V E J E J · · · 10) Para la asociación de condensadores que se muestra en la figura calcular: (a) La capacidad equivalente del sistema. (b) La carga almacenada en cada condensador. (c) La Energía total almacenada en el sistema. Solución: C e =0.242 µF Q 0.30 =2.42 µC Q 1.0 =1.94 µC Q 0.25 =0.484 µC E=1.21 x 10 -5 J 11) Cinco condensadores idénticos de capacidad C 0 están conectados como indica la siguiente figura. (a) ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los puntos a y b? (b) Determinar la nueva capacidad equivalente si el condensador central se cambia por uno de capacidad 10·C 0 (c) Si el sistema se conecta a una ddp de V 0 entre a y b, determinar la carga de cada condensador en esta última configuración. Solución: C eq =2C 0 ; C eq =11C 0 ; Q central =10C 0 V 0 ; Q resto =V 0 C 0 /2 12) Se llama tensión de ruptura a la máxima ddp que puede soportar un condensador sin estropearse. Disponemos de condensadores planos de 2µF y 100V de tensión de ruptura, con una separación entre placas de 0.5 mm. (a) Calcular el campo eléctrico que existe entre las placas del condensador cuando la tensión aplicada es la de ruptura. (b) Necesitamos un circuito equivalente con 2µF de capacidad que pueda soportar una tensión de 400V. ¿Qué asociación habrá que hacer? Solución: E=2·10 5 V/m; Cuatro bloques idénticos en serie,cada uno de ellos formado por 4 condensadores en paralelo. 13) Un condensador de placas paralelas tiene una capacidad de 2µF y la separación entre placas es 1.6 mm. El campo máximo que puede existir ente las placas sin que se rompa el condensador es 3MV/m. (a) ¿Qué diferencia de potencial puede establecerse entre las placas sin que el condensador se estropee? (b) ¿Cuánto vale la carga eléctrica almacenada en el condensador en ese momento? Solución: V=4800 V; Q=9.6 m. E ( R1 < r < R2 ) = ur . E ( r < R ) = ur . V (r < R ) = 2 4πε 0 r 4πε0 r 4πε0 R u r u r r u r −1 Q u u − rQ u +1 Q +3Q Qr 2 (1b) E (r > R ) = ur . V (r < R ) = − + 1 4πε 0 r 4πε0 R2 4πε0 r R2 R 1 u r u u r 1 λ (1 f ) E (r ) = ur 2πε 0 r u r u r r u r 1 λu u 1 λr u −λ r −λ r 2 (1g ) E ( r > R ) = ur . V ( R1 < r < R2 ) = . donde k señala la perpendicular a las placas. E (r < R1 ) = 0 2 2 4πε 0 r 4πε 0 r 3 3 3 3 4 4 u r r r r 1 3 πρ ( R2 − R1 ) − Q u u 1 uu. V ( r < R ) = − 1 2 2 2 2πε 0 r 2πε0 R 2πε 0 R 2πε0 R R u r u r σ r (1h) E ( r < t / 2) = 0. V (r > R ) = . V (r > R ) = log . E (r > t / 2) = k 2ε 0 u r u r r u r R u u 1 u R 1 r (1i ) E (r > R ) = ur .1i) Una esfera maciza dieléctrica de radio R cargada con una densidad volumétrica no uniforme ρ(r) = 1/r2 1j) Un condensador plano de placas muy grandes cargado con carga Q y con separación entre placas d. V (r > R ) = . E ( r < R ) = ur . V = ε0 ε0 V (r > R2 ) = 2) Calcular la capacidad de una esfera conductora. E ( r < R ) = ur . E (r < R ) = 0. E dentro = k . dibujar Solución: u r u r 1 Qu −1 Q −1 Q (1a ) E (r > R ) = ur . E ( R1 < r < R2 ) = 0. u (1d ) E (r > R2 ) = r 1 2 r 2 2 4πε 0 r 4πε0 r u r u r 1 −Q u E (r < R1 ) = ur 2 4πε 0 r u r u r r u r u r 1 −Q u u 1 −Q u (1e) E (r > R2 ) = ur . Solución: C = 4πε 0 R . V (r < R ) = − 4πε 0 r 2 4π R3ε0 4πε0 r 8πε0 R 8πε0 R3 u r u r r u r ρ 4 π ( R23 − R13 ) u u ρ 4 π (r 3 − R13 ) u 3 3 (1c) E (r > R2 ) = ur . E ( R < r < R ) = 1 3 ρπ (r − R ) − Q uu. V ( r > R ) = . E ( r < R1 ) = ur 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 1 Q 1 Q Q 1 1 1 . V (r < R) = 1 − ln 2 ε 0r rε0 rε0 ε0 R u r u r r σ r σd (1 j ) E fuera = 0. V=2000V 7) Calcular la capacidad de los condensadores de las siguientes figuras. Q2 f = Q2i + Q. con una sustancia dieléctrica de constante dieléctrica relativa εr entre medias. ¿Cuál es la diferencia de potencial (ddp) entre las placas? Suponiendo que se encuentra aislado (con lo que la carga permanece constante) se duplica la distancia entre sus placas.15cm tienen cargas respectivas de 10-7 C y 2·10-7 C. Luego se conectan los terminales del condensador cargado a los de otro condensador descargado de 5 µF. Se ponen en contacto y luego se separan.3) Calcular la capacidad de un condensador esférico formado por dos cortezas metálicas conductoras de radios R1 y R2. (a) ¿Cuál será la carga del condensador? (b) ¿Cuánto vale la ddp cuando el dial se encuentra en 0º? (c) ¿Cuánto vale la Energía del condensador en esta posición? Solución: (a) 380nC (b) 7600V (c) 1. separadas una distancia t y con una substancia de permitividad relativa εr Sε ε Solución: C = 0 r d 5) Dos esferas conductoras de radios 0.10cm y 0. Con el dial situado en 180º se conecta a una batería de 400V. cargadas con cargas de igual valor y signo opuesto. Una vez cargado el condensador se desconecta de la batería y se lleva el dial a 0º. Calcular la carga final de cada esfera.443·10-3 J 9) Se carga un condensador de 20 µF con una batería de 1000V. Con Q = R1 + R2 6) Un condensador plano de 1000pF se encuentra cargado con 1 µC en cada placa. Calcular . R2Q1i − R1Q2 i Solución: Q1 f = Q1i − Q. ¿Cuál será la nueva ddp entre las placas? Solución: V=1000V. 4πε 0ε r R1 R2 Solución: C = ( R2 − R1 ) 4) Calcular la capacidad de un condensador de placas plano-paralelas de superficie S. Puede ayudar considerarlos como asociaciones de varios condensadores con diferente constante dieléctrica relativa (κ) C1 Solución: C1 = 2κ 1κ 2 Aε 0 κ1 + κ 2 d C2 = C2 κ1 + κ 2 Aε0 2 d 2κ κ Aε C3 = κ3 + 1 2 0 κ1 + κ2 2d C3 8) La capacidad de un condensador variable puede ajustarse entre 50pF y 950pF girando un dial ente 0º y 180º. Q=9.30=2.242 µF Q0. . determinar la carga de cada condensador en esta última configuración.004C . Eperdida = 2 J C1 + C2 10) Para la asociación de condensadores que se muestra en la figura calcular: (a) La capacidad equivalente del sistema.(a) La carga original del sistema.94 µC Q0. E final = 8 J . Qresto=V0C0/2 12) Se llama tensión de ruptura a la máxima ddp que puede soportar un condensador sin estropearse. (a) ¿Qué diferencia de potencial puede establecerse entre las placas sin que el condensador se estropee? (b) ¿Cuánto vale la carga eléctrica almacenada en el condensador en ese momento? Solución: V=4800 V. 13) Un condensador de placas paralelas tiene una capacidad de 2µF y la separación entre placas es 1. Q = Q0C1 = 0. (b) Necesitamos un circuito equivalente con 2µF de capacidad que pueda soportar una tensión de 400V.cada uno de ellos formado por 4 condensadores en paralelo.5 mm.484 µC E=1. (c) La Energía total almacenada en el sistema. (a) ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los puntos a y b? (b) Determinar la nueva capacidad equivalente si el condensador central se cambia por uno de capacidad 10·C0 (c) Si el sistema se conecta a una ddp de V0 entre a y b.0=1. y la perdida en el proceso de conexión Solución: Q=0. ¿Qué asociación habrá que hacer? Solución: E=2·105 V/m. Solución: Ceq=2C0.6 m. Ceq=11C0.42 µC Q1.02 C. V f = 800V . (a) Calcular el campo eléctrico que existe entre las placas del condensador cuando la tensión aplicada es la de ruptura.25=0. Disponemos de condensadores planos de 2µF y 100V de tensión de ruptura. El campo máximo que puede existir ente las placas sin que se rompa el condensador es 3MV/m.6 mm. Cuatro bloques idénticos en serie.21 x 10-5 J 11) Cinco condensadores idénticos de capacidad C0 están conectados como indica la siguiente figura. (b) Cantidad de carga intercambiada al conectarlos (c) La ddp final de cada condensador. Solución: Ce=0. (b) La carga almacenada en cada condensador. con una separación entre placas de 0. Qcentral=10C0V0 . (d) Energía final del sistema.