y Lagrnge (1736-1813) establecieron los principios fundamentales de los conceptos de energía.aspectos económicas . Su interés fue . Romanos y Griegos.estéticas . Daniel Bernoulli (1700-1782).Los escritos sobre el análisis estructural se han encontrado solamente después del Renacimiento.C. las ecuaciones diferenciales de deformaciones y sus soluciones.condiciones del lugar. La tendencia histórica del análisis estructural después del Renacimiento.OBJETIVOS: El objetivo del análisis estructural consiste en calcular las fuerzas inetrnas y las deflexión es en un punto cualquiera de una estructura Es crear una estructura segura que satisfaga también un conjunto de diversos requisitos impuestos por factores tales como la función de la estructura . Fontana(1543-1607) y Mimar Sinan (1490-1588) de Estambul.Asiria y Persia fueron lo mas destacados de este periodo .muros y vigas en piedra y barro conocido (mampostería) la era de los grandes maestros Esta es la era de Leonardo de Vinci (1452-1519).facilidades para construir y las rectricciones legales. mostraron interés en la mecánica estructural. quienes tuvieron gran sentido físico acerca de las estructuras y sus éxitos se basaron en sus talentos innatos. las ruinas actuales indican que ciertos principios de la estática y del análisis estructural fueron conocidos por sus constructores.Son de destacar los templos construidos con columnas . La relación entre esfuerzos y deformaciones. puede dividirse en las siguientes categorías. Hombres como Hooke (1635. Los pueblos de Egipto . Por ejemplo Arquímedes (287-212 A. Euler (1707-1783). Aunque no se consiguen escritos sobre los principios del análisis de estructuras desde esta época. Galileo Galilei (1564-1642).Las ´PIRAMIDES EGIPCIAS son un ejemplo de estas estraordinarias estructuras antiguas.1703)Johann Bernoulli (16671748).) introdujo el concepto de centro de gravedad y llevo a su más simple expresión los principios fundamentales de la estática y el equilibrio . BREVE RESEÑA HISTORICA La historia del análisis estructural comienza mucho antes de la era antigua de los Egipcios. lo mismo que muchos otros. Dignos de mención los trabajos de Leonardo (el hombre que introdujo los conceptos de fuerza y de momento) y el libro de galileo Dos Nuevas Ciencias acerca de la teoría de la viga en voladizo o cantiliver La era de los grandes matemáticos En esta era los matemáticos mencionados adelante. Basándonos en la anterior definición de flexibilidades y aplicando el principio de superposición. Éstas se emplean en el análisis estructural y tienen que ver. contribuyeron sin duda al desarrollo de la teoría de las estructuras FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ 1 INTRODUCCIÓN En este capitulo estudiaremos un conjunto de importantes conceptos que utilizaremos al tratar los métodos para la resolución de estructuras indeterminadas.más en la teoría matemática de la elasticidad y sus hallazgos. la ecuación de las barras vibrantes de Bernoulli.1 Definición de flexibilidad Supongamos que tenemos una estructura donde hemos establecido tres direcciones como las indicadas en la fig 1. Las estructuras tienen propiedades relacionadas con su resistencia y deformabilidad. Esta relación . el pandeo de columnas de Euler y las ecuaciones de flexión de placas de Lagrange. que le son propias y que las caracterizan. Los desplazamientos originados en cada dirección los denominaremos flexibilidades y que indicaremos fij. 2). con la función que relaciona las causas y los efectos. Las estructuras que trataremos aquí tienen un comportamiento lineal. y sobre las mismas actuarán fuerzas de valor unitario. donde i indica la dirección donde se produce y j donde actúa la causa unitaria que lo produce. 2 FLEXIBILIDADES 2. los desplazamientos totales Ui que se producirán cuando actúan cargas Pi (fig 3) valen: U1 = f11P1 + f12P2 + f13P3 U2 = f21P1 + f22P2 + f23P3 U3 = f31P1 + f32P2 + f33P3 Expresado estas ecuaciones en forma matricial tenemos: Hemos encontrado una relación entre las fuerzas que actúan en determinadas direcciones y los desplazamientos que ocurren en las mismas direcciones. tales como la ley del esfuerzodeformación de Hooke. básicamente. Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por vez y observaremos los desplazamientos que se producen como consecuencia del estado de carga (fig. De esta manera la definición de estos desplazamientos sería: La flexibilidad fij es el efecto cinemático en i producido por una causa estática unitaria que actúa en j. anteriormente definidas (fig. será un desplazamiento de vínculo impuesto en cada uno de los vínculos agregados. La energía interna de deformación. vale: P FP 2 Ei = 1 T Cuya expresión desarrollada en nuestro ejemplo es: Ei = f11P1 + P f P + P f P + P f P + f P + P f P + P f P + P f P + f P Si las cargas crecen proporcionales. la energía interna de deformación no es una función lineal de las cargas. 3 RIGIDECES 3. donde i indica la dirección donde actúa la reacción y j donde se impuso el desplazamiento unitario. de acuerdo a la ley de Maxwell. F = FT 2. agregaremos vínculos en las direcciones.lineal se establece a través de matriz F. que es independiente de las cargas P y sólo depende de la estructura y de las direcciones elegidas. como hemos visto anteriormente. y por lo tanto. Las fuerzas reactivas necesarias para imponer esos desplazamientos las llamaremos rigideces. la energía interna de deformación vale: y reemplazando en ésta la ecuación (A). tenemos la expresión de la energía en función de las flexibilidades. de manera que se anulen los desplazamientos según las mismas. El estado de carga.1 Definición de rigidez Ahora cambiaremos un poco la estructura. se cumple que P1 = α1 *P P2 = α2 * P P3 = α3 * P ( ) 2 2 2 23 3 3 31 1 3 32 2 33 3 2 1 12 2 1 13 3 2 21 1 22 2 2 Ei = f11α1 + α f α + α f α + α f α + f α + α f α + α f α + α f α + f α P Ei = AP2 Esta ecuación es una función cuadrática de las fuerzas. Si se realiza el desarrollando esta ecuación matricial tenemos: (P1f11P1 P1f12P2 P1f13P3 P2f21P1 P2f22P2 P2f23P3 P3f31P1 P3f32P2 P3f33P3 ) y teniendo en cuenta la simetría fij = fji Si realizamos la derivada parcial de Ei con respecto a P1 tenemos Por último podemos verificar que la energía almacenada en una estructura es una función no lineal de las cargas y que por tanto no se cumple el principio de superposición con respecto a la energía. y las indicaremos con kij. Estos se realizaran uno por vez (fig 5). Estas flexibilidades tienen las siguientes propiedades: fii: flexibilidad directa: Estos efectos son siempre positivos.2 Primer Teorema de Castigliano Teniendo en cuenta que la ley de Clapeyron. Por esta razón la matriz F es simétrica. dado que son los desplazamientos correspondientes con la causa que los producen fij: flexibilidad cruzada: Estas tienen la propiedad.4). en este caso. La definición es la siguiente: Una rigidez kij es el efecto estático en i producido por una causa cinemática . La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y está integrada por las flexibilidades fij cuya definición ya realizáramos anteriormente. de ser igual a fji. y realicemos los diagramas de momentos flectores M1 y M2. con un procedimiento similar al utilizado anteriormente. 3. Para determinar el valor de f12. K = KT Sí se premultiplica ambos miembros la ecuación (B) por la matriz inversa de K obtenemos lo siguiente: K−1P = K−1KU = U (C) Este último resultado se debe a que el producto de una matriz por su inversa da la matriz unidad (K-1 K = I) Si comparamos la ecuación (C) con la (A). Si realizamos la segunda derivada con respecto a U1 y U2 obtenemos rigideces También podemos verificar. por lo tanto su determinación deberá realizarse mediante el Teorema de las Fuerzas Virtuales (TFV).2 Segundo Teorema de Castigliano La energía de deformación puede ser expresada en función de las rigideces Desarrollando esta ecuación y teniendo en cuenta las simetrías kij = kji Si hacemos la derivada parcial de Ei con respecto a U1 tenemos Este es el Segundo Teorema de Castigliano Cuyo enunciado dice: La variación de la energía interna de deformación con respecto a un desplazamiento que se produce en una dirección. Tomemos como ejemplo la estructura y las direcciones indicadas en la fig 7. vemos que se puede establecer las siguientes relaciones: Estas ecuaciones permiten determinar las rigideces a través de las flexibilidades y viceversa. Sobre la base de la anterior definición de rigidez y de la aplicación del principio de superposición. que es el desplazamiento en (1) cuando en (2) actúa en . Como veremos más adelante uno de los dos métodos para resolver estructuras indeterminadas utiliza las flexibilidades y el otro las rigideces. la no-linealidad de la energía en este caso con respecto a los desplazamientos. Por esta razón la matriz K es simétrica. de acuerdo a la ley de Maxwell. Las flexibilidades son desplazamientos originados por causas unitarias. utilizando las ecuaciones (D) obtendremos las rigideces. es igual a la fuerza que actúa en dicha dirección. si las cargas crecen proporcionales. Estas rigideces tienen las siguiente propiedades: kii: Rigidez directa: Estos efectos son siempre positivos. de ser igual a kji. Ei = BU2 4 CÁLCULO DE FLEXIBILIDADES Y RIGIDECES En el siguiente ejemplo realizaremos en la primera parte la determinación de las flexibilidades y a posteriori. Ei es una función cuadrática de los desplazamientos.6) vale: P1 = k11U1 + k12U2 + k13U3 P2 = k21U1 + k22U2 + k23U3 P3 = k31U1 + k32U2 + k33U3 P = KU (B) La matriz K se denomina matriz rigidez y está integrada por las rigideces kij cuya definición ya diéramos anteriormente.unitaria en j. De misma manera que se realizó para el caso de las flexibilidades. como consecuencia de los movimientos vínculos impuestos Ui (fig. las fuerzas reactivas Pi que se originan en cada dirección. dado que son las fuerzas reactivas correspondiente con las causas que las producen kij: Rigidez cruzada: Estos efectos tienen la propiedad. despreciando la deformación por corte.8/L2 1.8 EJ / L2 -4.8/L2 k11 = 38.6 EJ / L Estas son las reacciones necesarias para imponer las siguientes desplazamientos: L/2 L/2 f11 f21 f23 f22 M1 M1 fig.6 EJ/L .un momento unitario debemos cargar la estructura con una causa unitaria correspondiente con el desplazamiento que deseamos determinar. 7 1 2 P1=1 M=1 L/2 L 4. Esta causa coincide con la dirección (1) y por lo tanto si aplicamos TFV. el valor buscado es: ∫ f12 = M1 M2 / EJ dx En general para el cálculo de las flexibilidades utilizamos la expresión: ∫ fij = Mi Mj / EJ dx Para el ejemplo las fij valen f11 = L3 / (24EJ) L3/24 L2/8 f12 = f21 = L2 / (8EJ) F = 1/EJ f22 = L / (EJ) L2/8 L una vez obtenidas las flexibilidades podemos obtener las rigideces simplemente invirtiendo la matriz F 38.4 EJ/L3 2 1 1.4 EJ L3 K = F-1 = EJ k12= k21 = -4.4/L3 -4.8 EJ/L 38.6 /L k22 = 1.8 EJ/L 1 4.