Box Plot

MedianaPara calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de observações for ímpar, a mediana será a observação central. Se o número de observações for par, a mediana será a média aritmética das duas observações centrais. Notação: . Exemplo 2.1.3: Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 rolos de fio de aço: 65, 72, 70, 72, 60, 67, 69, 68. clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo Ordenando os valores temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 72. Como o número de observações é par, a mediana é dada pela média dos dois valores centrais que são 68 e 69, isto é, Também resolvemos o problema utilizando o Action. Os resultados são mostrados a seguir Informação Valor Mediana 68,5 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. Moda A moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta a maior freqüência. Exemplo 2.1.4: Considerando os dados do Exemplo 2.1.3 temos que sua moda é 72, pois este é o valor do conjunto de dados que aparece com maior frequência. Dispersão é sinônimo de variação ou variabilidade. Para medir a dispersão são usadas mais frequentemente duas medidas: a amplitude e odesvio padrão. Amplitude A amplitude é definida como sendo a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. temos o seguinte resultado Informação Valor Amplitude 12 Para entender como executar essa função do Software Action. Variância populacional A variância de uma população {x1. Utilizando o Action. Ou seja.3. você pode consultar o manual do usuário. A notação mais comumente usada é:  s2: variância amostral.  s : desvio padrão amostral. Para definirmos desvio padrão é necessário definir variância.2..60 = 12.xN} de N elementos é a medida de dispersão definida como a média do quadrado dos desvios dos elementos em relação à média populacional μ. Denotaremos a amplitude por R. Exemplo 2... a variância populacional é dada por: .  σ2: variância populacional.1: Considere o Exemplo 2.  σ : desvio padrão populacional. Qual a amplitude deste conjunto de dados? clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo Como o valor máximo do conjunto é 72 e o valor mínimo é 60.1.. temos que a amplitude é: R = 72 . .2.xn} de n elementos é definida como a soma ao quadrado dos desvios dos elementos em relação à sua média dividido por (n-1). Desta forma. Desta forma. Calcule o desvio padrão dos dados. perdemos 1 grau de liberdade em relação à variância populacional. Ou seja.2: Considere novamente os dados do Exemplo 2..3. o desvio padrão amostral é dado por: Exemplo 2.. Desvio padrão populacional O desvio padrão populacional de um conjunto de dados é igual à raiz quadrada da variância populacional..1. a variância amostral é dada por: Ao utilizarmos a média amostral como estimador de m para calcularmos a variância amostral. o desvio padrão populacional é dado por: Desvio padrão amostral O desvio padrão amostral de um conjunto de dados é igual à raiz quadrada da variância amostral. .Variância amostral A variância de uma amostra {x1. 97986.015625 67-67.875 = 4.875)2 = 8.765625 69-67.125 (2.875 = 0.875 = -7.875)2 = 0.125)2 = 1. isto é: Agora vamos subtrair de cada valor.875 = 1.125)2 = 17.875 = 2.125 (4. Utilizando o Action.875 Portanto.875 (-2.125)2 = 0. o desvio padrão é 3.875 (-0.875 (-7.015625 60-67. por (n-1) e extraímos a raiz quadrada: 65-67.015625 Total = 110.875)2 = 62.515625 72-67.125 (1.875 = 4.125)2 = 4.015625 70-67.125 (4.265625 72-67.265625 68-67. Então dividimos o total dos quadrados pelo número de valores menos 1.875 = -2. ou seja. temos o seguinte resultado . elevar os resultados ao quadrado e somá-los.875 = -0.125 (0.clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo Para calcularmos o desvio padrão devemos primeiramente calcular a média .125)2 = 17. 4. Q1.75 e com isso k = 1. clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo Deste modo temos que (n+1)/4 = 7/4 = 1.1: Considere uma amostra de 6 elementos com os seguintes valores: 7.Informação Valor Desvio-padrão 3.97986 Uma análise das estatísticas descritivas da amostra é fundamental para resumirmos algumas informações sobre a população.  Máximo: maior elemento da amostra.1. Seja n o número total de elementos da amostra e calcule j(n+1)/4. Desta forma Qj será um elemento entre Xk e Xk+1. 7. 7.3.2 e 3. é o número que deixa 25% das observações abaixo e 75% acima. Q2 e Q3): São valores dados a partir do conjunto de observações ordenado em ordem crescente. 7. enquanto que o terceiro quartil. logo . que dividem a distribuição em quatro partes iguais. logo Também temos que 2(n+1)/4 = 14/4 = 3.9. deixa 50% das observações abaixo e 50% das observações acima. Já Q2 é a mediana.5. Estas informações são utilizadas para tomada de decisão e formação de modelos estatísticos paramétricos. deixa 75% das observações abaixo e 25% acima. Definiremos como:  Mínimo: menor elemento da amostra.  Quartis (Q1. para j=1. 7. com isso k = 3.8. 7.5. O primeiro quartil. onde k é o maior inteiro menor que j(n+1)/4 e será calculado da seguinte forma Exemplo 2. Q3.7. 67. 60. 72. calcule os quartis dos dados. Os resultados são dados abaixo Para entender como executar essa função do Software Action. logo E. 65. clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo Primeiramente ordemos os dados.1. com isso k = 6.3. logo Também temos que 2(n+1)/4 = 18/4 = 4. 72. logo Os mesmos podem ser calculados no Software Action .E. temos que 3(n+1)/4= 21/4 = 5. temos que 3(n+1)/4= 27/4 = 6. 68. com isso k = 5. com isso k = 4.5. Exemplo 2.3. logo Podemos utilizar o Action para o cálculo dos quartis.25.75. Deste modo temos que (n+1)/4 = 9/4 = 2. você pode consultar o manual do usuário. 69. 70.25 e com isso k = 2.2: Considere o Exemplo 2. um corpo mais fino e uma cauda mais gorda que a distribuição normal.  Assimetria: A assimetria permite distinguir as distribuições assimétricas.Para entender como executar essa função do Software Action. Então. arredondados para o maior inteiro. A fórmula da assimetria é dada por  Curtose: É uma medida de dispersão que caracteriza o "achatamento" da curva da função de distribuição. Um valor positivo para a assimetria indica que a cauda do lado direito é maior que a do lado esquerdo. uma distribuição simétrica. e então calculamos a média dos valores restantes. removemos os n% maiores valores e os n% menores valores. Um valor negativo indica que a cauda do lado esquerdo da função densidade de probabilidade é maior que a do lado direito. Um valor positivo costuma indicar um pico mais agudo. Um valor nulo indica que os valores são distribuidos de maneira relativamente igual em ambos os lados da média.  Tri-média: Escolhemos um valor n entre 5 e 25. Um valor negativo indica um . mas não implica necessariamente. você pode consultar o manual do usuário. 69. 77. 69. Então temos que: Mínimo = 60. Para ilustrar a curtose. 67. 65. temos os gráficos a seguir. 60. 68. 71. 72. 65. 67.3: Suponha que uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de aço cujos valores foram 72. 68. que representam uma curtose positiva (caudas mais alongadas) e curtose negativa (caudas mais curtas).pico mais tênue. 66. respectivamente. 71. 77. Para calcular a Tri-média retiramos o maior e o menor valor do conjunto de dados e calculamos a média dos 9 restantes. 66.3. Máximo = 77. um corpo mais grosso e uma cauda mais fina que a distribuição normal. A fórmula da curtose é dada por Exemplo 2. clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo Os dados ordenados de forma crescente são: 60. então:  Tri-média =  Posição do Q1 =  Posição do Q3 =  Assimetria = . 70. 69. 68. 70. máximo. assimetria e curtose. obtemos os seguinte resultados para os valores de mínimo. Para calcular a trimédia de 5% da amostra.4: Considere as medidas das alturas de 11 pacientes.69 1.028 Curtose -0.80 1.68 1.68 1.59 1. posição dos quartis. dadas abaixo Altura dos pacientes 1.18 Para entender como executar essa função do Software Action.85 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo Ordenando os valores.73 1. você pode consultar o manual do usuário. Curtose = . Utilizando o Action. Exemplo 2.3.79 1. Informação Valor Mínimo 60 1º Quartil 66 3º Quartil 71 Máximo 77 Assimetria -0.58 1. Segue que a tri-média é dada por . temos que o valor mínimo é 1. temos que Desta forma. o valor máximo é 1.60 1.87.58.87 1. retiramos o menos e o maior elemento da amostra e calculamos a média dos elementos restantes. 5: Considerando os valores diários de um retorno do índice S&P 500. Para entender como executar essa função do Software Action. respectivamente. Utilizando o software Action. Encontre os coeficientes de assimetria e curtose. Este é um fenômeno típico de dados finaceiros. enquanto que a assimetria e a curtose são dadas.5489. ano de 2010.80. temos os seguinte resultados.3. que são assimétricos e possuem caudas pesadas.60 e o terceiro quartil é 1. por 0.35 e assimetria negativa de -0.28. clique aqui para efetuar o download dos dados Utilizando o Software Action temos os seguintes resultados Observamos uma curtose alta de 1. .O primeiro quartil é dado por 1. você pode consultar o manual do usuário. Exemplo 2.1350 e -1. Os limites são calculados da forma abaixo Limite inferior: . do quartil inferior até o menor valor não inferior ao limite inferior e do quartil superior até o maior valor não superior ao limite superior.O boxplot (gráfico de caixa) é um gráfico utilizado para avaliar a distribuição empírica do dados. . O boxplot é formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana. respectivamente. As hastes inferiores e superiores se estendem. Limite superior: . 12 . a mediana e assim por diante. Faça o boxplot correspondente.19 950.38 1014.88 1036. duas ou mais caixas são colocadas lado a lado e se compara a variabilidade entre elas.Para este caso.45 1120.78 1086.1.26 1020.38 941.52 1214. A Figura a seguir apresenta um exemplo do formato de um boxplot. Dados da usinagem 903.83 936.70 915.92 1098. os pontos fora destes limites são considerados valores discrepantes (outliers) e são denotados por asterisco (*).94 1066.79 934. Outro ponto importante é a diferença entre os quartis que é uma medida da variabilidade dos dados.19 860.1: Na Tabela a seguir temos as medidas da altura de 20 hastes. Exemplo 3.41 1039.04 1011. O boxplot pode ainda ser utilizado para uma comparação visual entre dois ou mais grupos.08 993. Por exemplo.98 1144.53 1097. 3.714545 3° Quartil 1.2: Utilizando os dados do Exemplo 2.8 Máximo 1.3.6 Tri-Média 1. temos clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo Mínimo 1.1.58 1° Quartil 1.87 .clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo O boxplot é dado por Exemplo 3. 29 Assim.111765 Curtose -1. obtemos o seguinte boxplot .Assimetria 0.569809 Amplitude 0. 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