NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNAEsquincalha NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA NICOLAS BOURBAKI AND MODERN MATHEMATICS MOVEMENT Agnaldo da Conceição Esquincalha1 Resumo O presente artigo traz uma breve apresentação sobre a história de Nicolas Bourbaki, pseudônimo de um grupo de matemáticos, quase todos franceses, que se reuniu para escrever um tratado de Análise e acabou por reorganizar boa parte da Matemática desenvolvida até então, tomando como princípios a unidade da Matemática, as estruturas-mães (algébricas, topológicas e de ordem) e o método axiomático. O texto trata também do Movimento Matemática Moderna, instaurado em diversos países entre as décadas de 1960 e 1970, reformulando os currículos de Matemática Escolar desde as séries iniciais até o que conhecemos hoje como Ensino Médio. Por fim, discute-se a relação entre as propostas de Bourbaki e o Movimento Matemática Moderna. Palavras Chave: Movimento Matemática Moderna, Nicolas Bourbaki, Currículo de Matemática Abstract This article offers a brief presentation on the history of Nicolas Bourbaki, the pseudonym of a group of mathematicians, almost all French, who met to write a treatise Analysis and eventually rearrange much of the mathematics developed so far, taking as the principles unity of mathematics, the structures of parent (algebraic, topological and order) and the axiomatic method. The text also deals with the Modern Mathematics Movement, established in several countries between the 1960s and 1970s, reshaping the curriculum of School Mathematics from the early grades to what we know today as high school. Finally, we discuss the relationship between the proposed Bourbaki and Modern Mathematics Movement. Keywords: Modern Math, Nicolas Bourbaki, Mathematics Curriculum Fundação CECIERJ/ PUC-SP ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação, Ciências e Matemática v.2 n.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 28 1 a expressão “História da Matemática” é ampla e vaga para falar sobre as pesquisas em Educação Matemática. O surgimento de Bourbaki: contexto e primeiros passos Fundada em 1794. retratando a história e a importância do Grupo Bourbaki para a Matemática do Século XX. enquanto a ENS oferecia estudos literários e científicos.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 29 . vá investigar também as possibilidades de ação que permitam uma profunda compreensão do ensino e da aprendizagem da matemática. Henri Cartan. portanto. ENS. pois o pensar contemporâneo moldado num processo histórico é conhecer elementos desse processo de modo a utilizá-los como formas alternativas no nosso cotidiano. para formar a nossa visão de mundo. não é natural vinculá-la à Educação Matemática. apresentando e discutindo superficialmente o Movimento Matemática Moderna. O que se pretende a seguir é fazer uma articulação da História da Matemática. buscando ainda evidenciar a articulação do trabalho dos Bourbaki com o referido movimento. Claude Chevalley. a “História da Matemática” se constitui de uma interface entre a História e a Matemática e. Ciências e Matemática v. Até então. que oferecia apenas formação científica. Para Garnica (2005). Ele afirma que não se pode negar a importância de temas como História.2 n. Na década de 1920 passaram pela ENS cinco jovens franceses. a École Normale Supérieure de Paris. Segundo Garnica (2005). ou seja. são objetivos tanto da História como da Educação. e a História da Educação Matemática têm se intensificado. No entanto. teve como primeiro objetivo formar professores para o que conhecemos atualmente como Ensino Médio. oriundos da École Polytechnique.NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA Esquincalha Introdução Nas últimas décadas as pesquisas sobre a História da Matemática. de modo com que seus egressos começaram a se interessar por lecionar no Ensino Superior e a se dedicar à pesquisa. que viriam a ser membros da primeira formação do Grupo Bourbaki: André Weil. Filosofia e Educação para a Educação Matemática. Ele acredita que se aprofundar na história da Educação Matemática fará com que o educador matemático vá além de meramente estudar o desenvolvimento dos conceitos e das práticas. com a História da Educação Matemática. no fim do século XIX seu foco mudou. a formação dos matemáticos franceses era politécnica. e balizar a luta pela atribuição de significados. Jean ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação. permitindo uma formação mais ampla. 2006. A escrita de cada assunto era delegada a um ou dois membros. para obtenção desse certificado era necessária a aprovação em quatro avaliações: uma de Matemática Elementar. de 1200 páginas o texto passaria a ter 3200. da Teoria dos Conjuntos e da Topologia. antes dos já previstos conteúdos de Análise. A ENS oferecia um certificado de Cálculo Diferencial e Integral. para ele. Para além da Análise: Éléments de Mathématique André Weil colocou para o Grupo a necessidade do Tratado de Análise ser útil para todos. uma de Geometria Analítica. que posteriormente liam sua produção em voz alta.2 n. com isso. o de Édouard Gousart. não apresentava os resultados matemáticos de maneira satisfatória.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 30 . Jean Coulomb. como eles. pois foram incorporados temas de Álgebra.NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA Esquincalha Delsarte e Jean Dieudonné. René Possel e Szolem Mandelbrojt. e tomados pelo mesmo propósito passaram a ser reunir com o intuito de escreverem um Tratado de Análise. O grupo era dividido em subgrupos. e. Também foram membros da formação inicial do Grupo: Charles Ehresmann. Ciências e Matemática v. a tarefa foi ampliada grandiosamente. não apenas para os candidatos ao CDI.17) A gênese do Grupo Bourbaki está na inquietação de Cartan diante da qualidade dos livros de Análise disponíveis à época. e que pudesse substituir todos os outros livros sobre o assunto. responsáveis pelo CDI em várias universidades. e não faria mais sentido ser chamado de Tratado de Análise. numa conferência do grupo para este fim. Diante disso. em particular. Cartan convenceu o amigo Weil a escrever um livro que fosse capaz de tratar de todo o conteúdo avaliado na prova de Análise. Assim. em um ano. CDI. que. recebiam árduas críticas dos colegas. com a presença dos outros membros. o que tornava o processo de escrita bastante lento. (PIRES. que se tratava de um apanhado de disciplinas. uma de Análise e uma de Mecânica. e. de modo que vários assuntos pudessem ser trabalhados de maneira simultânea. Cours d’Analyse. é fundado o Grupo Bourbaki. ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação. Assim. com cerca de 1200 páginas. Esse processo se repetia até que todos concordassem de maneira unânime com o texto. em 10 de dezembro de 1934. nem todos egressos da ENS. Os aprovados tornavam-se professores agregados e passavam a ensinar as disciplinas na ordem em que foram aprovados. passando a se chamar Éléments de Mathématique. e outro membro ficava responsável pelas devidas adequações. aparentemente desconexas. Cartan e Weil reuniram outros amigos. e com atuação menos intensa do que os citados anteriormente. p. a Lógica e a Física. como expressão de um consenso. mas também recebeu muitas críticas. com três seminários atuais.52) Algumas curiosidades sobre o Grupo Bourbaki e seu regimento -O nome Bourbaki surgiu quando da necessidade de assinatura de um trabalho que o grupo queria publicar em um periódico francês. ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação. os convida para seus seminários e os coloca à prova. . Topologia Geral. Aqui o Grupo reforça a autoridade de seu trabalho. Ciências e Matemática v. alcançando o total de 7000 páginas que versam sobre Teoria dos Conjuntos. Um paradoxo: o Grupo rejeitava a Lógica. mas escolhe os possíveis membros. Variedades Diferenciáveis e Analíticas. . rejeitou a Teoria das Probabilidades. e que os casos apresentados fossem os mais gerais possíveis. Éléments de Mathématique acabou se tornando uma coleção de dez livros publicados em vários volumes. que tem seus fundamentos na Lógica.Bourbaki aposenta seus membros aos 50 anos. Integração. (MASHAAL. Funções de Uma Variável Real. dentre as quais destacam-se: se interessou apenas pela Matemática Pura.Bourbaki se mantém até hoje. nem suas atividades. nenhuma pessoa deve conhecer a composição do grupo. Álgebra. e.NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA Esquincalha Todo o conteúdo dos Éléments de Mathématique foi rigorosamente selecionado com o objetivo de que as teorias ali apresentadas fossem efetivamente úteis ao maior número de pessoas possível. Grupos e Álgebra de Lie. mas superestimava a Teoria dos Conjuntos. 2006. entre 1939 e 1998. O legado de Bourbaki: sua contribuição para a Matemática O trabalho de Bourbaki foi amplamente aceito e divulgado em boa parte do mundo.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 31 . p. Weil enviou o trabalho e uma carta de apresentação de Bourbaki como um velho professor da Université Royale de Besse-en-Poldévie. Espaços Vetoriais Topológicos. reforçando sua identidade e coerência. Teorias Espectrais. -Os membros originais não eram necessariamente especialistas nas áreas em que tinham que escrever. Álgebra Comutativa. -Bourbaki é secreto. -Bourbaki não aceita candidaturas para membresia. tendo que se dedicar exaustivamente aos estudos.2 n. que residia na divulgação de uma síntese madura e articulada. tornando-as comuns a diversas áreas da Matemática. O surgimento do Movimento Matemática Moderna e a crítica de Piaget Após a Segunda Guerra Mundial houve um intenso desenvolvimento tecnológico. que foram chamados de estruturas. Mais ainda. Bourbaki contribuiu uniformizando notações e terminologias. e que elas poderiam ser descritas de uma maneira geral. 2006. fundamentado no conhecimento científico.2 n. o amadorismo pelo profissionalismo. substituindo o individualismo pelo trabalho de equipe. e que determinou uma reformulação no ensino de ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação. adotando Éléments de Mathématique e não Éléments de Mathématiques. e o provincialismo pela abertura ao que mundo exterior. apresentadas. surgindo assim a necessidade de introduzir novos objetos abstratos. e que. antes da natureza desses objetos. tem o mérito de ir na contramão do sistema acadêmico vigente. Álgebra e Geometria. até então. pode acontecer que haja relações que se exprimem da mesma maneira nas duas teorias. p. a de estrutura na base de uma teoria matemática.114) Pouco a pouco. articulando quatro áreas da Matemática. que as relações podem ser as mesmas para objetos que pareçam muito diferentes. por meio do que se conhece como método axiomático. Análise. estruturas-mães (algébricas. Ciências e Matemática v. (PIRES. da Teoria dos Conjuntos. uma reorganização da Matemática por meio da utilização de estruturas. tampouco foi esta sua intenção. Percebeu a necessidade de uma sistematização das relações existentes entre as diversas teorias matemáticas e a construiu. mas das relações estabelecidas entre eles. desenha-se uma ideia geral que será precisada no século XX. 118) apud Pires (2006. p. em duas teorias diferentes. p. Bourbaki defendia que o matemático não deve se ocupar dos objetos.NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA Esquincalha Por outro lado. (Dieudonné (1990. e do método axiomático. como seria natural).3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 32 . é a consequência da constatação de que aquilo que desempenha o papel primordial numa teoria são as relações entre os objetos matemáticos que aí figuram.114)) Bourbaki não tem o mérito de ter provado um importante teorema. o sistema destas relações e as suas <correspondências> é uma estrutura <subjacente> às duas teorias. de maneira totalmente desconexa: Aritmética. a vaidade pessoal pelo anonimato. Para organizar a Matemática o Grupo faz três escolhas que merecem ser destacadas: a unidade da Matemática (por isso deixam de trata-la no plural. topológicas e de ordem) e o método axiomático. em São Paulo. A esse movimento. que implicaria na reformulação do ensino científico. articulando o avanço no entendimento das estruturas matemáticas com sua epistemologia genética. como desejavam os políticos. uso de vocábulos contemporâneos. o NEDEM – Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação. 1994. De uma reunião. o GEPEM – Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática. pautada nos trabalhos de Bourbaki. no tocante às estruturas mentais. destacou que a construção de um edifício matemático provém de constantes abstrações reflexionantes. conceito que na época foi discutido e assumido por diferentes áreas da Matemática. Ciências e Matemática v. incluindo o Brasil. à época. de tentar modernizar o ensino de Matemática pautado nesses fundamentos. e a ideia central que a fundamentou foi o conceito de estrutura. Por fim. a visão de Matemática que estava em voga era a estruturalista. p. esta foi a inspiração para o novo currículo. em que estavam presentes matemáticos e políticos.NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA Esquincalha Ciências em todos os níveis. O Movimento Matemática Moderna na prática O MMM foi uma realidade nas décadas de 1960 e 1970 em vários países do mundo. maior rigor lógico. na Organização Europeia de Cooperação Econômica. de aplicá-las a objetos manipuláveis. Como. e têm necessidade. maior grau de generalização. precisão de linguagem. o Movimento Matemática Moderna. em 1959. Ainda segundo as mesmas autoras. p.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 33 . em que teve forte difusão por conta do surgimento de grupos de estudo e pesquisa preocupados com o ensino de Matemática.100) Segundo Novaes. para poder realizar uma dedução coerente.2 n. Afirmou que os professores de Matemática possuíam o “espírito abstrato por definição” e que ignoravam os estudos psicológicos. Pinto e França (2008. Como ensinar Matemática Moderna com métodos arcaicos de ensino? Ponderou ainda que uma criança não é capaz de raciocinar a partir de hipóteses puras expressas verbalmente. alto grau de abstração. Piaget (1975) fez várias considerações sobre o MMM. MMM. veio a solução: a reformulação do currículo de Matemática. chama-se Movimento Matemática Moderna. Destacam-se o GEEM – Grupo de Estudos do Ensino da Matemática. partindo de estruturas mais concretas. no Rio de Janeiro. (LOPES.3351) a teoria que orientou essa reforma curricular foi a Teoria dos Conjuntos. teve como características principais o pensamento axiomático. método dedutivo (do geral para o particular) e a forte influência estruturalista. Os professores estavam preocupados em transmitir aos professores cursistas o conteúdo da Teoria dos Conjuntos. uma nova simbologia matemática. a Matemática por ela mesma. Kline critica também a adoção do termo “moderna”. suscitando habilidades para o planejamento de testes.. Almeida e Dinis (2007) pesquisaram os saberes docentes necessários ao ensino da Matemática Moderna no Paraná. Almeida e Dinis (2007. ao não propiciar uma reflexão dos saberes da experiência..1748) destaca o insucesso do MMM no Brasil. autossuficiente. investiram na concepção tecnicista da educação. É possível afirmar que os famosos treinamentos da década de 1970. Mas. O aluno não mudou a postura diante da Matemática. novas técnicas de ensino. verificaram que os cursos não alcançaram seus objetivos. e.. ou seja. e que os novos currículos apresentam apenas uma nova abordagem da Matemática tradicional. ALMEIDA e DINIS. discordando da proposta de ensinar Teoria dos Conjuntos desde as séries iniciais: “. e verificaram que os saberes priorizados nos cursos oferecidos configuravam-se como um saber técnico.14) apud Pinto. muito provavelmente. promovidos para a capacitação de professores de Matemática. no Rio Grande do Sul.. a intenção foi muito mais a de mostrar que a Matemática pode ser sofisticada do que útil. de atividades mais sofisticadas. enquanto os professores se viciaram na precisão e no rigor trazido pela Teoria dos Conjuntos.1748) Fiorentini (1995. Esses grupos foram os principais responsáveis pela formação continuada dos professores em relação à Matemática Moderna. (PINTO. Ciências e Matemática v. p.”. Matrizes e Álgebra Abstrata parecem ter sido deliberadamente escolhidos para mostrar que o currículo alcançou progresso na Matemática” e que.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 34 . Metodologia de Pesquisa e Ação. ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação. apesar da boa intenção. Kline (1976) foi um voraz crítico do MMM. pelo menos mentalmente. tendo agora que reproduzir a linguagem e o raciocínio lógicos impregnados nos livros de Matemática Moderna. 2007. além do GEEMPA – Grupo de Estudos sobre Educação. ao mesmo tempo. que requeriam treinamentos para serem incorporados nas práticas modernas de ensino da matemática escolar. Pinto. se não tiverem essa dieta. no Paraná. p. como se os estudantes morressem de fome. Em sua concepção “os tópicos adiantados da Teoria do Conjuntos.NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA Esquincalha da Matemática. p.2 n. priorizando saberes e habilidades técnicas que intensificaram o formalismo matemático e a abordagem internalista da Matemática. apontando que o ensino continuou autoritário e centrado no professor. afirmando que a Matemática continua a mesma. da vida quotidiana . ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação. em 1975. Soares destaca a entrevista de Sangiorgi. que é extremamente abstrata para a idade que se encontra o aluno. que denunciava as superficialidades da simbologia da matemática moderna e o tempo “perdido” com a teoria dos conjuntos. dos pais de alunos e até da imprensa. p. Segundo Pires (2006). foi decisivo para o esgotamento do movimento no Brasil. como por exemplo ‘transformações geométricas’. acrescenta-se ainda o exclusivo e prematuro uso das maquininhas de calcular. O professor Sangiorgi apontou quais foram os principais efeitos da Matemática Moderna no ensino: 1. ou ainda. 2. Ciências e Matemática v.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 35 .116). p. que se tornaram populares do mesmo modo que brinquedos eletrônicos.115).para se aprender. proposto em livro de 5a série. ao Jornal “Estado de São Paulo”. na maioria das vezes incorretamente. como: “ O conjunto das partes de um conjunto vazio é um conjunto vazio?”. 3. 4. o livro de Kline “O fracasso da Matemática Moderna”. Críticas surgiam de todos os lados: dos meios acadêmicos.de grande importância para toda a vida . que a reorganização que propuseram para a Matemática tinha o objetivo de trazer melhoras para a educação escolar. publicado no Brasil três anos após seu lançamento nos Estados Unidos. A relação entre Bourbaki e o Movimento Matemática Moderna Muitas pessoas defendem a ideia de que o Movimento Matemática Moderna foi criado pelo Grupo Bourbaki.2 n. Abandono paulatino do salutar hábito de calcular (não sabendo mais a ‘tabuada’ em plena 5a e 6a séries!) porque as operações sobre conjuntos (principalmente com os vazios!) prevalecem acima de tudo. (Sangiorgi. ou mesmo de licenciatura. Deixa-se de aprender frações ordinárias e sistema métrico decimal . 1975b apud Soares. Não se resolvem mais problemas elementares .por causa da invasão de novos símbolos e de abstrações complementarmente fora da realidade. os professores mostravam sua insatisfação com o MMM. 2001. mas essas são ideias equivocadas. grande defensor do MMM no Brasil e autor dos livros didáticos de Matemática Moderna mais vendidos no país. Bourbaki jamais socializou seu trabalho no nível do ensino médio. Não se sabe mais calcular áreas de figuras geométricas planas muito menos dos corpos sólidos que nos cercam. a teoria dos conjuntos. Percebendo a confusão que a linguagem dos conjuntos provocava nos alunos e seu baixo rendimento.NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA Esquincalha Segundo Soares (2001. em troca da exibição de rico vocabulário de efeito exterior. ”. Como señala Dieudonné.NICOLAS BOURBAKI E O MOVIMENTO MATEMÁTICA MODERNA Esquincalha Bombal (1988.d. nunca se pronunció Bourbaki a favor de que los conceptos descritos en su tratado pudieran introducirse a un nivel inferior al de graduado universitario. Disponível em: http://www.) Considerações finais A reorganização da Matemática feita pelo Grupo Bourbaki é tida pela comunidade matemática como positiva. p. Esto contesta a una idea muy extendida en determinados círculos que achacan a la influencia de Bourbaki la introducción en la enseñanza elemental de nociones muy abstractas. Nicolas Bourbaki. e encerra com uma citação de Dieudonné. Referências bibliográficas BOMBAL.. porém. e com isso os membros do Grupo foram convidados para ministrar cursos fundamentados nos Éléments de Mathématique em diversos países. para justificar teorías o acciones que él nunca defendió. Acesso em 16/06/11. ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação.mat. e. generalmente inútiles a ese nivel (lo que se conoce peyorativamente en la enseñanza primaria como “nuevas matemáticas” o “matemática moderna”). (BOMBAL. es que la obra va dirigida al matemático profesional. 1988.ucm. Como a essa reorganização estava sendo difundida com sucesso. articular áreas até então compartimentalizadas e estudadas sem qualquer associação. p. 1988. incluindo o Brasil. não seria diferente com a obra de Bourbaki. que a História da Educação Matemática tem mostrado que praticamente não deixou marcas positivas por onde passou. e com isso a difusão da obra atingiu a quase todo o mundo. pois trouxe uma axiomatização que se fazia necessária e permitiu. y mucho menos en la escuela primaria o secundaria. mesmo com as críticas que recebeu.pdf.es/~bombal/Personal/Historia/BOURBAKI. En palabras de Dieudonné: “No se puede hacer responsable a un autor por el uso que algunas personas hayan hecho de su obra. mas há que se destacar a ousadia do Grupo em romper com o que havia e propor algo novo. para servir como obra de referencia y consulta. mais uma vez houve uma tentativa de melhorar o ensino vigente à época.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 36 . mesmo indireta.8) fala a respeito dessa relação direta inexistente.2 n. um dos membros da formação original do grupo: Lo primero que hay que destacar de esta concepción. Da mesma forma com relação ao Movimento Matemática Moderna. Ciências e Matemática v. por meio das estruturas. el que realiza investigación. F. Para qualquer obra há críticos e defensores. parecia haver um consenso a respeito de que aquela era uma boa maneira de se trabalhar a Matemática. Acesso em 18/06/11. Disponível em: www. PINTO.pdf. J.educ. PINTO. Rio de Janeiro: Zahar Editores. S. GEPEM – Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática. Em Aberto. (Mestrado em Matemática) – Pontifícia Universidade Católica. 2006.62. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica. ____________________________________________________________________________________________________ Revista de Educação. Rio de Janeiro. Bourbaki: a secret society of mathematicians. Disponível em: http://www. 2007.. N. 1994. Movimento da Matemática Moderna no Brasil: Avanço ou Retrocesso? 2001. NOVAES.doc. 2006. São Paulo. ano 14. A.pdf. 2005. 2008. A. A História Oral como recurso para a pesquisa em Educação Matemática: um estudo do caso brasileiro. D. R. n. e FRANÇA..pucpr.fc. C. 1975. INHELDER. F. Saberes docentes para o ensino da Matemática Moderna. Disponível em: www. São Paulo: IBRASA. F. M. Brasília.3 set/dez 2012 ISSN 2238-2380 37 . LOPES. 2001. KLINE. SOARES. 1976.br/eventos/educere/educere2007/anaisEvento/arquivos/CI-228-14.ul.pucpr. PIRES. American Mathematical Society. MASHAAL. Acesso em 16/06/11. B. M. 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