Cuadernillo de ejerciciosMétodos de Decisión 5º ADE Curso 2004/05 Departamento de Estadística de Investigación Operativa II (Métodos de Decisión) Facultad de Ciencias Económicas Universidad Complutense de Madrid 1. Se suponen cuatro dados d1 ; d2 ; d3 y d4 , cuyas caras han sido numeradas. Los números asig- nados a cada cara para los dados han resultado ser: d1 : 0 0 4 4 4 4 d2 : 3 3 3 3 3 3 d3 : 2 2 2 2 7 7 d4 : 1 1 1 5 5 5 Si se acepta que: (a) un dado di “gana” a otro dj si al lanzarlos, el número obtenido con di es mayor que el obtenido por dj : (b) un dado que “gana más a menudo que pierde” NO ES PEOR QUE un dado que pierde más a menudo que gana. ¿Puede concluirse que esta relación binaria de…ne un preorden completo en el conjunto de los dados?. 2. Respecto de tres vendedores sometidos a control por parte de una empresa, se dispone de la información siguiente: -el primero consigue 40 contratos en el 60 % de los clientes que visita, y 10 con el resto. -el segundo consigue siempre 30 contratos. -el tercero consigue 20 contratos en el 70 % de los clientes que visita y 60 en el resto. Si la empresa considera que ”un vendedor es mejor que otro”cuando el número de contratos que consigue es superior a los del otro con mayor frecuencia que inferior”, ¿Puede la empresa a la vista de estos datos y de tal criterio elegir entre los tres vendedores a uno de ellos como el mejor?. 3. Probar que si sobre el conjunto = fwi g se ha de…nido una relación binaria de preferencia- indiferencia %, wi % wj () wi Rwj en la forma: “el elemento wj no es preferido a wi ", tal que dicha relación es de preorden com- pleto, sobre dicho conjunto queda de…nida una escala de preferencia. (Suponer i = 1; 2; 3; 4) 4. Si = fwi g es un conjunto en el que se ha de…nido una relación binaria de preferencia- indiferencia tal que constituye un preorden completo, establecer si toda función real e isótona u, de…nida sobre es o no una función de utilidad. 5. Si = fwi g es un conjunto en el que se ha de…nido una relación binaria de preferencia- indiferencia, tal que constituye un preorden, y u es una función real de…nida sobre que es representación …el, demostrar que el preorden es completo. 6. Se considera la lotería bi-etápica L = f(0; 2; L1 ) ; (0; 5; L2 ; ) (0; 3; L3 )g en la que: 0; 1 0; 5 0; 2 0; 2 L1 = e1 e2 e3 e4 1 7 0. 6 0. 15 L3 = e1 e2 e3 e4 e5 y se supone que las preferencias manifestadas por un individuo son en la forma siguiente: 0. 7.000 0. 1 0.000 0. 3 30:000 10:000 ' 0. 05 0. 0.3 -10. Se consideran las loterías siguientes: 0. 5 30:000 0' 0. 3 0.2 40. 2 0. 13 L= e1 e2 e3 e4 e5 y se supone que: e1 e5 e2 ' 0. 1 0. 4 0. e3 y e4 en la lotería L. 2 0. 2 30:000 40:000 ' 0.4 10. 5 100:000 . 2 0.000 0. 2 0. 2 0. 2 0.4 0 0. 4 e1 0. 15 0. 3 100:000 .000 0. 1 0. 4 e5 e3 ' 0. 7 e2 ' e3 ' e4 ' e1 e5 e1 e5 e1 e5 e1 e5 ¿Cual de las tres loterías preferirá dicha persona? 9. 1 L2 = e1 e2 e3 e4 e5 0. 6 e5 e4 ' 0. Dichos contratos proporcionan las opciones siguientes: Contrato A Contrato B Bene…cios Probabilidades Bene…cios Probabilidades 100. e1 y e5 . 17 0. 7 30:000 2 . 3 0. 25 L1 = e1 e2 e3 e4 e5 0. 0. 8 100:000 . 3 0. 1 L2 = e1 e2 e3 e4 0. 2 0. 35 0.3 -30. 1 L3 = e1 e2 e3 e4 Determinar la probabilidad de cada uno de los “premios”e1 .1 Si sus preferencias respecto de los distintos resultados las expresa de la forma siguiente: 50:000 ' 0. 8. 3 0.3 50. 15 0. 0. 0. 4 0. 0.000 0. 2 e1 0. e2 . 2 0. 3 0.000 0. Un hombre de negocios quiere decidir si emprender o no uno de dos contratos o ninguno. 8 e5 Transformar la lotería L en otra equivalente con sólo dos premios. 6 e1 0. Se considera la lotería 0. 7 100:000 . 3 0. 8 0. 001 u. Un inversor proyecta colocar 10. 8 30:000 ¿Emprenderá alguno de los contratos?.000 -50.000 u. 18 0. Parece que Vd. a NO escalar. 5 0. El decisor estima que la probabilidad de que el mercado se encuentre en ALZA es del 0.7.000 -500 0 500 600 700 800 1. 11. aceptará la ordenación que se propone a continuación: A B C.000 100. Sin embargo. 64 0.9 1 Establecer: (a) ¿Qué inversión realizará? (b) ¿Qué cantidad monetaria cierta le sería indiferente a otra opción de inversión de…nida A B como: L = ? 0. de forma que si existe ALZA dicho rendimiento es del 10 % y si existe BAJA es del -5 %.68 0. 13. El rendimiento de la inversión A depende de la situación del mercado …nanciero en cada momento. 10.000 0 75.000 euros en una operación A o en otra B. un individuo a…cionado al alpinismo.5 -1 0 1 2 discutir la veracidad de las siguientes a…rmaciones: 50:000 0 180:000 150:000 A= ' 0. 2 0.4 0. 0.m. Es claro para Vd. El rendimiento de la operación B es siempre del 5 %. B: poseer 0. muestra preferencia por una lotería “vida y muerte”frente a la vida misma. ¿cual sería su decisión?. 82 150:000 100:000 180:000 150:000 B= ' 0. que todo individuo preferirá con certeza la alternativa “vida”a la alternativa “muerte”.8 0. Supuesto que un decisor ajustándose a la racionalidad que se sigue de la axiomática de Luce y Rai¤a ha deducido la siguiente función de utilidad sobre los resultados monetarios: Resultados -150. 2 100:000 . Indique respecto a qué axioma de la axiomática de LUCE y RAIFFA tal comportamiento es inconsistente. siendo dichas alternativas las siguientes: A: poseer 1. En caso a…rmativo ¿cuál de ellos?.000 Utilidades -3 -2. 8 0.2 0. esto es. C: morir 3 . 6 0.m.6 0. 5 (c) ¿Qué probabilidad habría de asignar a la situación de ALZA para que resultara elegida la inversión B? (d) Si el decisor considerase que la utilidad del dinero es proporcional a la cantidad. 4 0.000 Utilidades 0 0.000 180. 10:000 ' 0. 36 12. y posee la siguiente función de utilidad sobre resultados monetarios: Resultados -1. puede o no ser la función de utilidad del dinero para un individuo. 15. si se le planteara una situación de este tipo. A2 = 100 225 250 500 Si se plantea la opción entre las siguientes alternativas: 0. ha de…nido la siguiente función de utilidad sobre los resultados monetarios posibles de las distintas alternativas: Resultados: xi -250 -100 0 150 225 500 Utilidades: u (xi ) -2 -1 0 1 2 3 discutir la veracidad de la a…rmación A1 A2 tal que: 0. 4 e3 ' e1 e5 0. de…nida sobre el conjunto E. A) Discutir razonadamente si la función u = x2 + 3x 4 4 x 1 (x en millones de euros). 2 e2 ' e1 e5 0. 5. Indique respecto de qué axioma Vd. e4 . 6 0. 17. 7 0. 4 . ajustándose a la racionalidad que se sigue de la axiomática de Luce y Rai¤a. 3 0.2 millones. Supuesto que un decisor. cuál sería la decisión entre una operación …nanciera A. 7 A1 = . 8 e4 ' e1 e5 Determinar la función de utilidad de dicho individuo. Se supone que un individuo expresa sus preferencias acerca de dichos sucesos en la forma e1 e5 0. tal que: u1 = u (e1 ) = 4 u5 = u (e5 ) = 16 16. 14. 2].3 y 1. con a > 0. Se considera el conjunto de sucesos E = fe1 . e2 . Si u es una función real de…nida sobre el conjunto de loterías fLg tal que u es una función de utilidad-derivada de la axiomática de Luce y Rai¤a. 3 0. e3 . mostraría inconsistencia-irracionalidad. 6 0. comprobar que la función 0 u =a u+b donde a y b son dos constantes cualesquiera.7 y otra B cuyo resultado es 1. de la que pueden obtenerse los resultados 0 con probabilidad 0. 5 0. 8 0.5 millones con probabilidad 0. e5 g. 2 0. A2 = 100 225 100 150 Decidir razonadamente cuál elegiría. 5 0. es también función de utilidad sobre dicho conjunto de loterías. 4 A1 = . B) Supuesto que u = x2 + 3x 4 sea función de utilidad 8x 2 [ 1. la aproximación media-varianza para cada alternativa?.18. 2. Un decisor de…ne su función de utilidad del dinero mediante u(x) = 16x x2 donde x representa unidades monetarias.000 150. Un decisor ha de…nido su función de utilidad del dinero de la siguiente forma: u(x) = (x + 2)2 1 donde x representa miles de unidades monetarias. A3 = 0 2:000 500 1:500 0 1:000 y la función de utilidad anterior. establecer: 1. Si se ha de…nido u(x) = 15x x3 . El equivalente cierto de L. 5 0. Determinar la prima de riesgo de l1 : 5 . 8 0.000 -50. Establecer: (a) Para qué valores de x dicha función es de utilidad. 4 19. Establecer: (a) Para qué valores de x puede a…rmarse que u es función de utilidad. (b) Razonadamente la actitud del decisor frente al riesgo. (b) La actitud del decisor ante el riesgo. 7 0. 8 0. 5 0. (c) Si se le ofrecen a este decisor dos loterías: 0. 2 0. 5 l1 = . (a) ¿Qué error se comete si se utiliza en lugar de u(x). (b) Dadas las alternativas: 0. 8x 2 [0.000 Utilidades (uj ) 2 3 4 5 6 7 8 determinar la utilidad. 3 0. Si un decisor ha asignado las siguiente utilidades de acuerdo con la axiomática de Luce y Rai¤a Resultados (wj ) -150.000 0 75. La decisión que se adoptará entre L y una cantidad cierta C. 20. 2 0. 2. 6 0. donde x viene expresado en miles de unidades.L= 1:000 0 1:000 3:000 l1 l2 Determinar: 1. 2]. 5 0. 5 0. l2 = .000 180. 1 l1 = . A2 = . 6 0. corresponde a las loterías: 50:000 75:000 0 100:000 A= B= 0. La ordenación de las mismas por la aproximación media-varianza.000 100. 4 0. que según la función u. l2 = 5 3 3 7 ¿Son ambas e…cientes?. 5 0. La comparación de dichas alternativas según criterio de “e…ciencia”. 5 0. 21. 5 A1 = . (c) Siendo 0. 9 0. 22. y en ausencia de conocimiento de p. Para ello tiene duda entre emplear una de las dos siguientes funciones X 50 25 0 50 100 v (x) 10 8 0 30 100 u (x) 0 0.6 respectivamente. Con la primera modalidad puede obtener unos bene…cios de tres millones de euros o nada. (b) Dada la siguiente lotería. (c) La opción óptima según el criterio de la máxima utilidad esperada. 6 . La aportación inicial es de tres millones de euros. Un decisor pretende emplear la axiomática de Luce y Rai¤a para evaluar un conjunto de alternativas. Un decisor se enfrenta al siguiente problema. establecer la decisión correspondiente según los criterios de Hurwicz y Savage. discutir de manera razonada. En el caso anterior. 3 0. probabilidad del estado de la naturaleza E1 . Si la función de utilidad del dinero de dicha persona es: x3 u(x) = 16x (x en millones de euros) 3 Determinar: (a) Para qué valores de x dicha función es de utilidad. 23. 5 1 (a) Señalar de forma razonada. resultaría elegida la alternativa A2 . Una persona se plantea la posibilidad de participar en un negocio como socio capitalista o trabajador. para qué valores de p = P (E1 ). de…nido por la matriz: E1 E2 A1 10 12 A2 5 15 Si se supone que los resultados son favorables al decisor. de acuerdo con el criterio de valor monetario esperado. (e) ¿Cuál es el error que se cometería al utilizar la aproximación media-varianza en la deter- minación de la utilidad de la lotería anterior? 24. interpretar su signi…cado y deducir razonadamente la actitud del decisor frente al riesgo.4 y 0. con la segunda opción puede obtener uno o dos millones de euros. cuál de las dos debería utilizar. (b) La actitud frente al riesgo. ambos con la misma probabilidad. desarrollando los conceptos matemáticos que estime opor- tunos. 7 0. determinar cuál debería ser el valor de p: p 1 p 50 100 50 (c) ¿Con qué axioma de Luce y Rai¤a está relacionado el resultado anterior? (d) Obtener la prima de riesgo de la lotería anterior. (d) ¿Sería necesariamente la misma si aplicara el criterio de la utilidad media-varianza? (e) ¿Cuál es la forma más e…ciente de participar en el negocio?. con probabilidades 0. ¿qué decisión tomará la empresa respecto del no de unidades a adquirir diariamente?. 3). 200 u. si resultaría conveniente a la empresa tratar de mejorar su información estadística.000 euros. 0. 0. 7 . La demanda diaria puede ser de 150 u. el número exacto de unidades que se van a demandar?. respectivamente. Se dispone de información acerca de las ventas realizadas por una empresa análoga en días anteriores.25. siendo el ingreso por venta de 300 euros/u. (d) Si el criterio de decisión fuera “elegir aquella decisión que otorgue mayor probabilidad a ingresos superiores a 20 millones”. X2 = (4. ¿Aceptará la empresa dicho asesoramiento?. (c) Si una empresa dedicada a estudios de mercado ofreciera su asesoramiento acerca de los niveles de precios alcanzables cada semana. clasi…cados según el tipo de inversión que se elija. son: A1 : 20 20 0 10 A2 : 10 10 10 10 A3 : 0 40 0 0 A4 : 10 30 0 0 Determinar el tipo de inversión que será elegida si se dispone de información que permita suponer que las situaciones previstas.15. El coste para una empresa distribuidora de un determinado artículo es de 200 euros/unidad. y la distribución de probabilidad asociada a los mismos. para la evolución de la coyuntura van a darse con probabilidades 0.40. siendo ésta: no de unidades vendidas 150 200 250 no de días 32 112 16 A la vista de esta información.25. determinar: (a) El conjunto de resultados posibles evaluados para cada alternativa. 2) y X3 = (3. 4).20. y si realmente llegará a mejorarla. 27. P2 ) (1 : 3) (2 : 4) (4 : 3) P (P1 = r : P2 = s) 1=5 2=5 2=5 Si las alternativas posibles para la empresa son. cuyas cantidades respectivas representamos por x1 y x2 . 26. cada día. por un precio de 487. en este caso. de forma que las unidades adquiridas por la empresa han de ser abonadas al proveedor tanto si las vende como si no. supuesto que el coste de tal mejora fuese de seis millones de euros. P2 ) son aleatorios de acuerdo con la siguiente distribución de probabilidad: (P1 . y establecer la decisión óptima. analizar la dominación estocástica entre las alterna- tivas. o 250 u. Una empresa distribuye dos artículos. (b) La decisión óptima. en millones de unidades X1 = (0. Los precios de venta semanales de dichos artículos (P1 . Dichos resultados. Establecer.¿Cuál será el límite del coste correspondiente a la información adicional que facilitará. Una empresa valora en millones de euros los resultados que espera obtener al …nalizar el ejercicio corriente según opte por uno de cuatro posibles tipos de inversión en función de cuatro posibles situaciones de la coyuntura económica. 0. Una compañía de transportes debe decidir entre reparar la ‡ota de vehículos con una cierta periodicidad a lo largo de un año. 1). medio o bajo.60”. 8 . una capacidad de 11. Los costes que se obtienen en el primer supuesto dependen de que el número de vehículos a reparar sea elevado. son variables aleatorias con las siguientes distribuciones de probabilidad: P1 N (10. de conseguir el segundo del 40 % y el tercero del 30 %. establecer: (a) ¿Cuál será su decisión óptima respecto al nuevo mercado en el que desarrollará su ac- tividad si el objetivo que persigue es minimizar los costes? (b) ¿Cuál será su decisión si además no acepta varianzas en los resultados superiores a 8. II. disponiéndose tan sólo de un total de nueve horas de trabajo al día. siendo dichos costes de 15. Por este motivo.28.5 15 III 15 16 19 IV 30 35 18 Si la probabilidad de alquilar el primer almacén es del 30 %. estimando una demanda en cada zona de 11.000 unidades. (a) Calcule la extensión que se debe plantar de cada cultivo para que el bene…cio esperado sea máximo.000 unidades respectivamente.000.000 euros? 29. I.A.000 mercado I 10 15 20 II 10 17. queda recogida en la siguiente tabla: Almacén 11.000. la regla de decisión utilizada en el apartado anterior veri…ca el criterio de dominación estocástica. 30. Para poder abastecer el nuevo mercado debe contar con un nuevo almacén.000. Esta empresa quiere ampliar su cifra de negocio entrando en un nuevo mercado. Por condiciones técnicas para el segundo cultivo se ha de dejar sin plantar tantas hectáreas como las sembradas y el primer cultivo necesita triple número de horas de trabajo diario que el segundo. 15. realiza un estudio sobre la demanda de su producto en cuatro zonas distintas. GANGA. cada uno. que tienen. (a) ¿Qué decisión adoptará la compañía de transportes? (b) ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones en caso de existir más de una?.000 17.000 y 17. S. 15. actualmente se alquilan tres.500 y 17. 2) y P2 N (15. En una extensión de cultivo de ocho hectáreas se desea plantar dos tipos de cultivos. Si se renuevan los vehículos al comienzo del año se espera un coste de 12 miles de euros. III y IV. 12 y 10 miles de euros respectivamente. (b) Compruebe que. 12. La estructura de costes mensuales (en miles de euros) que la empresa ha estimado para cada posible situación. o renovar ésta al comienzo del mismo. Los precios de venta de los cultivos por extensión plantada. para resultados superiores a 50. es una empresa que se dedica a la comercialización de bienes de consumo destinados a las tiendas de “TODO A 0.000 15. m.000 u. según que la duración del proyecto se extienda a 5 meses o se reduzca a 3 meses respectivamente.000 15.31. habiéndose establecido de…nitivamente la fecha de comienzo del mismo. para lo cual efectúa una estimación de la demanda que conseguiría captar en cada uno de los supuestos. Sin embargo. 10 %. Un proyecto de pavimentación de una carretera se puede realizar en cuatro.. determinar: (a) los resultados que se podrían obtener en cada situación. 32. los gastos de transporte (se consideran incluidos en el coste básico) se pueden reducir en 10. lluvia fuerte o lluvia y viento.200 1. si la carretera se pavimenta en tres meses en lugar de cuatro.000 u.000 euros en el supuesto de rechazarlo como consecuencia de los gastos que origina la devolución del lote. “bajo”(12 euros).000 u. ii) de 200. Si la pavimentación se realiza en cuatro meses. Puesto que el proyecto se tiene que realizar durante un periodo de más tiempo. 20 %.000 40.m.000 Viento y lluvia 15. la empresa citada (a) ¿aceptará o rechazará el lote? (b) ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones posibles si es que hay más de una?. llegando a estos resultados (número de unidades demandadas) Alto Medio Bajo Precio Alto 700 600 300 Medio 900 800 500 Bajo 1. el precio de otro producto análogo. 33. hay que considerar el gasto adicional debido a las condiciones meteorológicas.000 u. según sea su precio y el …jado por la competencia. tres o cinco meses.m. pretendiendo establecer el precio de éste teniendo en cuenta que en el periodo en que sea lanzado. La proporción de unidades defectuosas de un lote de 1. 5 %.000 Supuesto que el coste unitario del producto sea de 10 euros. o aumentando en 40.000 65. Los costes por dichas condiciones están dados en la tabla siguiente: 3 meses 4 meses 5 meses Lluvia débil 10. “medio” (15 euros).m. incurriendo en un coste adicional de transporte de 25. si y sólo si la verdadera proporción de unidades defectuosas es del 5 % o menos.000 unidades de un determinado artículo puede situarse en uno de estos cuatro niveles: 1 %.000 5.000 u.500 1. Una empresa proyecta lanzar un nuevo producto al mercado. si el periodo de la obra se extiende a 5 meses. disminuyendo en 20. (b) la decisión de la empresa en cuanto al precio de lanzamiento del producto. La empresa destinataria del lote incurrirá en un coste: i) de 100 euros por unidad.000 Lluvia fuerte 10.000 60. lanzado por una empresa competidora puede ser “alto” (20 euros).000 9 . en el supuesto de aceptarlo.m. A la vista de lo anterior. el coste básico del proyecto será de 80. que pueden ser de lluvia ligera. como consecuencia de la identi…cación y reparación de las unidades defectuosas que resulten del lote.000 55. pudiendo los distribuidores agruparse en cinco bloques. (b) Solicitar 1. El distribuidor considera que su actuación podría desenvolverse conforme a alguna de las siguientes alternativas: (a) No realizar nuevos aprovisionamientos. 400. a un precio igual a la cuarta parte del que se …je para el primer mercado. El coste variable por unidad producida es 200. Un distribuidor de cierto tipo de artículos debe realizar sus pedidos a un fabricante con un determinado plazo de anticipación. comercializando exclusivamente un stock disponible.000 nuevas unidades. dos mil. 5o . 35. respectivamente. 34. Por su experiencia de situaciones similares. C. La empresa conoce que: 1o . B. se recogen en la tabla: A B C a -50 0 80 b -10 30 35 c 60 45 -30 d 80 40 -45 Establecer qué decisión adoptará el distribuidor respecto del número de unidades que ha de solicitar.000 nuevas unidades. por unidad. expresados en miles de unidades monetarias. 2o . Esos volúmenes pueden ser.000. Los resultados que espera obtener. 3o .000 nuevas unidades. El precio que va a señalar para la colocación del producto es. 4o . ¿Que decisión deberá adoptarse?. en función del volumen que cada uno de ellos solicita. (c) Solicitar 3. respectivamente). Los excedentes de producción pueden ser colocados en un segundo mercado. la empresa se otorga a sí misma una posibilidad de fracasar con el lanzamiento del producto del 40 %. circunstancias que pueden ser de tres diferentes tipos (A. acaecidas en circunstancias anteriores. Las ventas que se efectúen dependen de circunstancias no controlables por el distribuidor. A la vista de los datos anteriores establecer: (a) La duración preferible para el proyecto (b) ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones posibles si es que hay más de una?. (d) Solicitar 10. 10 . Una empresa proyecta lanzar un producto en un mercado en el que la demanda es de carácter aleatorio. ajustándose la producción de la empresa a las previsiones de ‡uctuación de la demanda. El diseño del producto entraña un coste de 100. de mil. cuatro mil o cinco mil unidades al mes. tres mil. 4 5 = 0. ¿cuál sera el coste al que estaría limitada la adquisición de dicha información?. Una empresa pretende decidir si almacenar o no un nuevo producto. una empresa estima los resultados que se seguirían de tal decisión. habida cuenta del posible incremento de clientes. ¿Qué decisión adoptará la empresa? 2. 2 establecer: 1. y se estiman las probabilidades siguientes: P (X1 =E1 ) = 0. 15 ¿Cuál será la decisión elegida?. 35 P (E3 ) = 0. Incremento de clientes: 10% 25% 40% Resultados (miles euros): -10 10 25 (a) ¿Qué decisión adoptará la empresa? (b) Si se estimarán las probabilidades de los distintos niveles de incremento de clientes en: P (E1 ) = 0. si no utiliza otra información? (b) ¿Qué decisión adoptará si estima que las probabilidades de las distintas situaciones re- ferentes a la captación de demanda son: P ( 1 ) = 0. X2 : información consistentes en que el mercado es muy favorable. 1 P ( 5 ) = 0. 11 . elegidos aleatoriamente. 9 P (X2 =E2 ) = 0. 2. Si se estiman los siguientes resultados monetarios (en miles de euros): % de consumidores que aceptan el producto ( ) 1 = 0. (c) Una empresa dedicada al estudio de mercados ofrece a la empresa anterior información sobre sus posibilidades de captación de nuevos clientes. 5 P (E2 ) = 0. 1 2 = 0. 2 P ( 2 ) = 0. Si las únicas informaciones posibles son: X1 : información consistentes en que el mercado es poco favorable. 3 4 = 0. 1 (c) En el caso en que decida consultar a 4 clientes potenciales. La decisión depende de la reacción de los potenciales consumidores del producto. 3 P ( 4 ) = 0. ¿cuál será la regla de decisión que se sigue del análisis pre-aposteriori de dicha in- formación?. 5 A1 -10 -2 12 22 40 A2 -4 6 12 16 16 A3 0 0 0 0 0 donde A1 : almacenar 100 unidades. Con objeto de establecer la conveniencia de ampliar su red de ventas. 3 P ( 3 ) = 0. Discutir: (a) ¿Qué decisión deberá adoptar la empresa. 6 P (X1 =E3 ) = 0. 1. A2 : almacenar 50 unidades y A3 : no almacenar. ¿Qué valor otorga a la regla de decisión que se sigue del análisis pre-aposteriori de dicha información? 37.36. 2 3 = 0. acerca de si demandarán o no el producto. 4 %.4. según su experiencia en los lotes adquiridos. 10 0. si estima que la probabilidad de que el porcentaje de piezas defectuosas sea del 5 % es de 0. si la empresa pudiese solicitar una muestra del lote e inspeccionarla. -si el lote contiene un 5 % de unidades defectuosas. y estima que son los siguientes: % defectuosas 5% 10 % proveedor A 20 -10 proveedor B 2 2 Establecer: (a) la decisión de la empresa. 35 0. (b) el resultado esperado como consecuencia de la aplicación de tal regla de decisión. 39. para su reparación y venta posterior. 10 0.6. desde el punto de vista económico. (b) la decisión. sabiendo que. 25 No de camiones que necesitan reparación 0 1 2 3 4 5 A1 : ADQUIRIR LOTE 10 6 2 0 2 5 A2 : NO ADQUIRIR EL LOTE 0 0 0 0 0 0 donde los resultados vienen expresados en miles de euros. Una empresa dedicada a la compra de televisores usados. sabe que. la probabilidad anterior es de 0. (d) valorar la información muestral desde el punto de vista de su e…ciencia. 05 0. Los resultados netos (en miles de euros) que la empresa espera alcanzar. a través de las probabilidades “a priori”. habrá de enfrentarse a la incertidumbre que le provoque el número de camiones que necesitarán reparación antes de su puesta en funcionamiento. La empresa opera habitualmente con dos proveedores que cargan distintos costes de transporte a la mercancía. Al no poseer información exacta acerca del estado en que se encuentran dichos camiones. A una empresa se le ofrece la posibilidad de adquirir un lote de cinco camiones como parte del excedente del equipo que elimina otra empresa. 15 0. recogidas en el cuadro siguiente junto al conjunto de las consecuencias económicas que se seguirían de tal decisión: Probabilidades “a priori” 0. dependen del porcentaje real de piezas defectuosas en el lote y de los costes. el porcentaje de unidades que necesitan reparación puede ser del 5 % o del 10 %. en el supuesto de contemplar la alternativa consistente en la adquisición del lote. y si el lote contiene el 10 % de defectuosas. en el caso de que no disponga de más información. -el coste de la muestra es de 0. 12 .38. La experiencia de situaciones análogas anteriores le permite cuanti…car la incertidumbre a la que se enfrenta. (c) la decisión. Elaborar: (a) la regla de decisión que se sigue del análisis “pre-aposteriori” en el supuesto de que se opte por inspeccionar 3 camiones. la probabilidad de que en la muestra aparezcan como máximo el 6 % de piezas defectuosas es de 0.2 miles. suponiendo bene…cio los positivos y pérdidas los negativos. 000. dos de ellos necesiten reparación. la empresa se dirige a INFORMERC. Discutir: (a) la decisión que adoptará la empresa a la vista de dicha información.A. El Servicio de Estudios facilita la siguiente información: por experiencia anterior.000 u. acertará el 90 % de las veces. cuanto de la que se sigue del análisis de la e…ciencia de dicha información. S. en el caso en que no se conocieran las probabilidades El Servicio de Estudios de esta empresa. em- presa especializada en información sobre mercados.. d. tanto desde la perspectiva que se sigue del análisis coste-bene…cio. la regla de decisión. La empresa EXPORTCARDEL.4. un 10 % o un 15% de unidades defectuosas.6 y si el lote contiene un 15 % de unidades defectuosas la probabilidad citada es del 0. (b) la decisión.L. (d) el valor otorgado a la información que pueda proporcionar la inspección de tres camiones. lo cual produciría una pérdida de 10.L. inspeccionados 3 camiones. acertará en un 95 % de las veces. La operación está sometida a distintos avatares: por una parte.m. Para paliar.000 unidades por un millón de euros. Por otra parte. cuya reparación supondría un coste de 500 euros por unidad. 13 . puede contratar asesoramiento sobre la situación planteada de forma que. el precio de venta que dichos artículos alcanzarán en el mercado es de 1050 euros por unidad.m. si el lote contiene un 10 % de unidades defectuosas dicha probabilidad es de 0. Una empresa dedicada a la compra-venta de aparatos electrónicos discute la posibilidad de adquirir un lote de 1. estos problemas.. presume que en el lote pueden aparecer un 5 %. en lo posible.L. la probabilidad de que varíe el tipo de cambio es del 40 %. establecer la regla de decisión para la empresa EXPORTCARDEL.. INFORMERC. Teniendo en cuenta la situación descrita. S. 0. que le reportaría un bene…cio de 10. S.000 u. la probabilidad de que se le recomiende la adquisición del mismo es de 0. la probabilidad de que el cliente no pague es del 20 %. que le ofrece informarle sobre el cliente en cuestión por un precio de 4.000 u. Si el cliente es mal pagador INFORMERC. Establecer: c. este hecho reduciría el bene…cio un 20 %. el valor otorgado a dicha regla de decisión. S.2 respectivamente.000. puede considerarse que las probabilidades correspondientes a dichos niveles de unidades de- fectuosas son 0.3. (c) el valor otorgado a la información consistente en que.8. tiene la posibilidad de hacer una operación en el ex- tranjero.4 y 0. en el caso de que el lote contenga un 5 % de unidades defectuosas. S. Si el cliente es buen pagador. 41. 40.A.m. 25 P (informe: “baja”/mercado en baja)= 0.42.m.4. El Servicio de Estudios de la Sociedad.2 respectivamente. A la vista de lo anteriormente expuesto. a cuyos efectos puede adquirir dos tipos diferentes de títulos A y B. los resultados posibles que se recogen en la tabla siguiente: ALZA BAJA ESTABILIDAD TITULOS “A” 600.000. Con el …n de reducir la incertidumbre acerca de las distintas situaciones del mercado …nanciero. y en base a ellos.000 TITULOS “B” 200. A la vista de la información anterior: 14 . En el primer lugar la prospección tendrá un coste de 100 millones en el caso de que el terreno no falle. que le ofrece informar si el mercado se encontrará en situación de BAJA o no. con un coste de medio millón de euros. 0. estima los precios de cotización que dichos títulos pueden haber alcanzado al …nalizar el ejercicio. valorados en unidades monetarias. ESTABILIDAD o BAJA. La empresa puede solicitar. Con un coste de 100 u. habiéndose evaluado éstos en 10. la empresa puede revisar una máquina. Una compañía dedicada a la prospección petrolífera tiene la posibilidad de perforar en dos lugares distintos. una. 0 y -5. 05 P (informe: “baja”/mercado estable)= 0. 44.000 0 -200. una sociedad …nanciera proyecta realizar una inversión adquiriendo títulos en Bolsa. la regla de decisión asociada. El informe que la empresa consultora emitirá tras el estudio geológico puede ser positivo o negativo. dependen del no de máquinas que necesiten reparación. Si se optara por perforar en el segundo lugar el coste de la perforación sería de 60 millones.1.000 si hay que reparar: ninguna. y en caso a…rmativo. 0.000. 90 Determinar si la Sociedad …nanciera solicitará o no el informe a la empresa consultora. la Sociedad plantea a posibilidad de acudir a una empresa analista de mercados bursátiles. La probabilidad de que falle el terreno es de un 10 % en ambos lugares. Las probabilidades “a priori”asignadas a dichos sucesos son: 0. Una empresa tiene la oportunidad de comprar tres máquinas usadas.000 200. de tal manera que se estiman las siguientes probabilidades: P (informe: “baja”/mercado en alza)= 0. según que el mercado se encuentre en situación de ALZA.000 Las tres situaciones en que puede encontrarse el mercado se consideran igualmente probables. dos o tres máquinas respectivamente. Dicho informe no es infalible. A comienzo de un ejercicio económico. determinar si la compañía petrolífera solicitará o no el informe a la empresa consultora y en caso de que lo solicite la regla de decisión asociada al problema.000 -200. En el caso de que hubiera problemas con el terreno el coste sería de 150 millones en el primer lugar y de 180 millones en el segundo lugar. bajo el supuesto también de que el terreno no falle.3 y 0. Los resultados económi- cos. 6. 43. Si el terreno no va a fallar se ha estimado que el informe será positivo el 95 % de las veces y si va a fallar el terreno el informe sería negativo el 90 % de las veces. ¿Qué valor otorgaría la Sociedad a dicha regla de decisión?. un informe del compor- tamiento del terreno a perforar. 5%. con un coste de 200:000 euros. los resultados esperados “a posteriori”y las entropías condicionadas (en base el número e) que se indican en las siguientes tablas: Xi E (A=Xi ) P (Xi ) H (E=Xi ) Yi E (A=Yi ) P (Yi ) H (E=Yi ) 154 210. y a partir de ellas se han obtenido las probabilidades “a posteriori”. a la vista de los resultados del panel. 111 27 245 982. 0. 15 . 5 respectivamente. 5 X2 0. entre el 10% y el 5% (X2 ) ó es inferior al 5% (X3 ). pudiendo obtener unos resultados de 8. Conforme a su experiencia de situaciones análogas acaecidas anteriormente. 5 ó 6 millones de euros depen- diendo del porcentaje de personas que adquieran el producto. 37 0. ¿qué regla de decisión adoptará?. 24775 31 37 66 36. 10% ó 15% con probabilidades 0. Los resultados pueden indicar que el nuevo producto sería demandado por más de un 30% (Y1 ). Una empresa estudia la posibilidad de lanzar un nuevo producto de carácter estacional al mercado (A). En caso a…rmativo. 1. 62677 155 Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones: (a) ¿Cuál es la alternativa óptima “a priori”?. por una proporción comprendida entre el 10% y el 20% (Y3 ) ó por menos del 10% (Y4 ). (a) establecer la regla de decisión asociada al problema. (b) Determinar e interpretar la entropía “a priori”(tomando logaritmos neperianos). y en todas sus concreciones. 45. 61452 Y1 0. 27 1. 1799 Y3 0. 245 1. por una proporción comprendida ente el 20% y el 30% (Y2 ). La empresa puede recibir información acerca del porcentaje de personas dispuestas a demandar el producto mediante uno de los siguientes procedimientos: 1) Realizando una encuesta entre los potenciales consumidores (X). 2408 42 23 85 137. Las verosimilitudes para las distintas concreciones de X e Y son conocidas. estima que dichos porcentajes pueden ser del 1%. 5 Y4 0. En caso a…rmativo. 0. 1. 23 1. (e) ¿Cuál sería el valor de la información X1 ? (f) ¿Utilizará el panel?. 1 y 0. 155 0. 2. 2. 2) Utilizando un panel de consumidores (Y ) cuyo coste sería 70:000 euros. 5 X1 0. (d) ¿Realizará la empresa la encuesta?. ¿qué regla de decisión seguirá?. 2132 Y2 0. (b) el valor otorgado a dicha regla de decisión. (g) Si. 42 1. el encargado de tomar la decisión eligiese siempre la alternativa A ¿Cuál sería en este caso el valor otor- gado a dicha regla de decisión?¿Qué le indicaría esto al encargado de tomar la decisión?. (c) Determinar el resultado esperado de la encuesta. 5 X3 0. Los resultados de la encuesta pueden indicar que la proporción de personas dispuestas a adquirir el producto se sitúa entre el 10% y el 20% (X1 ). 31 0. gana una cantidad igual a la suma de los dedos adelantados por ambos. para su venta posterior de la que se obtendría un ingreso de 50. Si sólo uno de ellos acierta. Si aciertan los dos o ninguno se considera empate. ¿Cuál es la máxima pérdida que el jugador B estaría dispuesto a soportar? 16 . así como el resultado esperado. para los distintos resultados posi- bles de la misma.000 piezas por un precio total de 30. lo que no supone ganancia para ninguno”. establecer la estrategia óptima para ambos jugadores y el valor del juego. Supuesto que como criterio de evaluación se considere el bene…cio asociado a la decisión. (c) la distribución de probabilidad de los resultados determinados anteriormente. supondría un coste de 30 euros por unidad. y el valor otorgado a la información. establecer: (a) los resultados asociados a las decisiones posibles y la distribución de probabilidad de los mismos. (h) ¿Cuál de las dos informaciones le resulta más rentable? (i) ¿Cuál de las dos informaciones es más e…ciente? 46. cuya reparación. (b) la decisión óptima en ausencia de otra información. 47. (e) aplicación al caso en que se inspeccionen 30 piezas resultando 23 de ellas defectuosas. supuesto que se dispusiera de la información obtenida de la inspección de n piezas elegidas aleato- riamente. ¿se trata de una solución pura? (b) el valor del juego 49. Una empresa discute la posibilidad de adquirir un lote de 1. establecer: (a) si existe o no solución al juego. (d) la decisión óptima a posteriori de la decisión anterior. habida cuenta de los distintos costes a los que debe enfrentarse. Si la matriz 0 1 6 5 2 @ 8 4 1 A 2 4 3 representa la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero.000 euros. necesaria antes de la venta. La empresa ignora el porcentaje de piezas defectuosas del lote. y discutir si existe equilibrio puro: “Dos jugadores participan en el juego de “LOS DEDOS”en la forma siguiente: Cada jugador adelanta uno o dos dedos y además conjetura los que va a adelantar el otro.000 euros. Plantear el juego siguiente a través de la matriz de pagos. Si la matriz 2 3 4 6 1 1 representa la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero. 48. cualquiera que sea su concreción. el valor otorgado a cada una de dichas informaciones. 52. (b) ¿Es razonable que B elija B1 porque es donde puede captar una mayor proporción de clientes de A? (c) ¿Cuáles son las estrategias óptimas para ambas empresas y el valor del juego?. 3 0 0. 0. 35. establecer de forma razonada cuáles serían las consecuencias. de que el recluso NO escape: 17 . 1 1 (b) ¿Qué sucedería si ambos juegan según la estrategia mixta . cada empresa puede captar una proporción del mercado de la otra. ). 5 A2 0. 2 0. prensa. 5 0. 3 0. En función de lo que haga uno y otro se han estimado las probabilidades.0 ? 2 2 51. Si se estima que la proporción de mercado captado o perdido por A es: B1 B2 B3 A1 0. 4 0. en un mercado en el que la demanda es estable. 1 A4 0 0. . 0. televisión. El vigilante de un recluso tiene cuatro posibilidades distintas de efectuar la vigilancia cada día. conocidas por ambos. 1 A3 0. Resolver el juego bipersonal de suma nula. Si la matriz 0 1 4 2 5 @ 1 3 1 A 2 3 1 representa la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero. El recluso tiene tres posibles formas de intentar escaparse. . 1 0. 1 1 (d) Si A decide jugar de acuerdo con la distribución de probabilidad P = ( . 0. 5 5 53. 0) y B 2 2 3 2 jugase con Q = ( . La empresa A tiene cuatro posibles programas de publicidad distintos y B tiene tres.50. 4 Establecer razonadamente: (a) Las características del juego. Dos empresas A y B que comercializan dos marcas de un mismo producto. Dependiendo del ingenio e intensidad de la campaña. etc. se plantean la posibilidad de hacer una campaña publicitaria en radio. 65). dado por la matriz: 0 1 4 0 @ 3 3 A 1 5 y discutir si una solución posible óptima para el jugador B sería la elección de sus alternativas conforme a la siguiente estrategia mixta q = (0. (a) establecer la estrategia óptima para ambos jugadores y el valor del juego. . de 2 2 que el recluso no escape?. 8 0. . 1 A3 2. razonadamente. 2 0. Dada la siguiente matriz B1 B2 B3 A1 1. 1 (a) Caracterizar el juego propuesto. 2 0. 1 1. 9 0. ¿cuál será la probabilidad. (b) ¿Sería razonable que el recluso escogiese B1 porque es la que maximiza su probabilidad de escapar? (c) ¿Cuáles son las estrategias óptimas de ambos? Establecer el principio de racionalidad que permite determinarlas. 8 A4 0. en las mismas fechas. 0 A2 1. 54. 0 y el vigilante (jugador A) 7 7 1 1 decide elegir según P = 0. 3 4 (d) Si el recluso (jugador B) adopta la estrategia Q = . 3 A3 0. 1 2. 55. 5 0. el número de clientes potenciales que se adjudica a la cadena A. van a abrir. 3 2. Dos grandes cadenas de supermercados. Interprete el resultado obtenido. 18 . en miles. un nuevo supermercado en un centro comercial de una ciudad donde el número de clientes potenciales es de 100. En función de la estrategia seguida por cada empresa. 2 1. 9 A2 0 0. 1 0. A y B.000. el programa lineal para el jugador A. en términos medios. es el siguiente B1 B2 B3 A1 40 20 60 A2 30 40 70 A3 60 10 80 (a) ¿Cuáles son las características de este juego? (b) ¿Cuál es el número mínimo de clientes que aceptará tener A?¿Y B? (c) ¿Cuál es la estrategia óptima de A y B? A la vista de este resultado. 1 2. 4 0. B1 B2 B3 A1 0. 4 0. 6 (a) De…nir los elementos del problema de decisión y establecer sus características. El reparto del número de clientes potenciales entre las dos cadenas depende de la estrategia que cada una de las …rmas adopte en cuanto a campañas de publicidad y productos en oferta. 0 . . (e) Construir razonadamente el programa lineal que permite resolver el juego para el jugador A estableciendo todos los supuestos en los que se basa dicha construcción. ¿se puede a…rmar que A y B esperan repartirse por igual el número de clientes potenciales? (d) ¿Qué ocurrirá si B decide adoptar una estrategia diferente a la óptima? (e) Determine. Los pagos son como sigue Chico C F Chica C 2. Las preferencias de cada uno sobre las posibles alternativas están claras: la chica pre…ere ir al fútbol antes que de compras.3 0. si deciden hacer lo segundo. ni ésta con la ciudad.1 B 4. 57. lo contrario.2 donde C y F representan las estrategias “ir de compras”o “ir al fútbol”. Finalmente. el que lo hace es absuelto como recompensa y puesto en libertad. planteando a cada uno de ellos la posi- bilidad de que delate al otro. siempre preferirían hacer juntos cualquiera de las dos posibilidades que salir por separado. De momento. En cualquier caso. mientras que el otro es condenado a doce años de cárcel. Dos individuos que han cometido un cierto crimen son detenidos con sólo leves indicios de culpabilidad. pero hay dos empresas de transporte que se están planteando la posibilidad de cubrirlo.1 3. Considérese el juego bilateral resumido por la siguiente tabla de pagos: R S T A 3. Ya anticipan cuáles son las posibilidades: ir al fútbol o de compras. por lo que han de concretar ahora la cita.2 C 1. pero si ambas la montan cada una de ellas tendrá una pérdida de 50 millones de euros. Si sólo uno de ellos colabora con la justicia. quedan. no existe ningún transporte público que comunique la zona residencial.2 19 . por el contrario. 56. Se les aísla en celdas independientes.2 1.3 1. el chico. se obtienen pruebas que permiten condenar duramente (5 años) a ambos. Si. (b) Analizar los equilibrios de Nash existentes. Si las dos empresas deben decidir simultáneamente si van o no a dar servicio a la nueva zona: (a) Plantear el juego correspondiente y establecer sus características. No tienen teléfono.4 0. A veinte kilómetros de una gran ciudad se acaba de construir una importante zona residencial. Una pareja ha quedado para un día determinado y tiene que concretar dónde van a encontrarse y lo que van a hacer cuando llegue ese día. Si sólo una de las dos empresas pone la red de autobuses obtendrá unos bene…cios de 100 millones de euros. como siempre. por el contrario.3 2. ambos son condenados a penas menores (1 año) fundamentadas en los pocos indicios que la policía ha conseguido obtener.0 2. (b) Comprobar si existe equilibrio de Nash. los dos se delatan mutuamente. en la puerta de ciertos grandes almacenes después de comer.0 0. si ninguno de los dos colabora con la justicia.0 F 1. Si hacen lo primero. se reúnen en el campo de fútbol a la hora del comienzo del partido. ¿Cuál es la decisión óptima a que debe optar cada uno de ellos supuesto un comportamiento racional acorde con la teoría de juegos? 59. ¿Cuál es la decisión óptima a que debe optar cada uno de ellos supuesto un comportamiento racional acorde con la teoría de juegos? 58. Un individuo dispone de 2 millones de euros para realizar un inversión en una campaña publicitaria a …n de promocionar un nuevo artículo en cuatro regiones económicas (A. ¿Puede a…rmarse que el pago esperado por el jugador B si elige la estrategia mixta Q = (1=10. 38=60. siendo éstas las que aparecen en la siguiente tabla: 20 . NOTA: Se supone que la inversión total puede repartirse sólo en cantidades iguales a 1 millón de euros y que las cifras de ventas vienen dadas en miles de unidades. 60. B. Determinar la ruta total de coste mínimo. 62. tanto en estrategias puras como mixtas. que aparecen en el grá…co entre paréntesis sobre cada ruta. Resolver el juego bipersonal de suma nula de…nido por la matriz de pagos: 0 1 1 3 3 @ 2 0 3 A 2 1 0 determinando el valor del juego. 63. Para aprobar una asignatura un estudiante necesita superar tres pruebas y dispone únicamente de dos semanas para prepararlas. C y D). recorriendo distintas ciudades (nume- radas en el grá…co de 1 a 10) siendo las posibles rutas las señaladas en el grá…co. 16=60) y el jugador A elige la alternativa A3 . en la forma siguiente: Región Cantidad invertida A B C D 0 0 0 0 0 1 28 25 15 20 2 45 41 25 33 Determinar la política óptima de inversión. Dicho estudiante ha estimado la probabilidad de superar cada prueba dependiendo del número de semanas que dedique a la preparación de las mismas. ¿Que estrategias del juego sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias dominadas? Calcúlense los equilibrios de Nash. será menor que 4? 61. y estima los posibles volúmenes de ventas en cada una de ellas. Un viajante debe realizar un trayecto en cuatro etapas. Se conocen los costes de trayectos parciales entre dos ciudades. aplicando la metodología de Programación Dinámica. que se conseguirían según la cantidad invertida. Obtener max(z1 z2 z3 ).6 0. Sabiendo que el camión sólo puede transportar 2. siendo z1 + z2 + z3 = 6.2 1 0.5 2 0. Obtener max(z12 + z22 + z32 ).000 Kg y debe ir totalmente lleno y además que es necesario tranportar al menos un elemento del tipo 3. 048. Se consideran 3 posibles elementos a transportar. Sabiendo que el camión puede transportar como máximo 2. 66.000 euros por elemento transportado más una boni…cación por cada uno de ellos. 4 0. ¿qué materiales debe transportar? Materiales 1 2 3 4 5 Peso (en Kg) 1. Cada tm de pasta producida necesita un trabajador y la empresa dispone 21 .000 110 700 800 500 Boni…cación (en miles de euros) 7 8 11 10 7 Resolver el problema planteado utilizando la metodología de Programación Dinámica especi- …cando todos lo elementos que aparezcan.8 0.7 Si el estudiante no prepara ninguna prueba (dedica 0 semanas a cada una de ellas) la proba- bilidad de aprobar la asignatura sería: 0. 6 0. Se consideran 5 posibles materiales a transportar y se necesita como mucho una unidad de cada uno de ellos. 64. y supuesto que cada variable z es una variable continua no negativa.6 0. Probabilidad de aprobar Pruebas 1a 2a 3a no semanas 0 0.85 0.8 0. 65. La carga de un camión se distribuye con el propósito de maximizar el ingreso total. Una empresa papelera fabrica dos tipos de pasta de celulosa: pulpa de celulosa obtenida por medios mecánicos y pulpa de celulosa obtenida por medios químicos. Obtener max(z12 + z22 + z32 ). 2 = 0. 67. La compañía de transportes gana 5. ¿qué elementos debe transportar? Elementos 1 2 3 Peso (en Kg) 500 750 250 Bene…cio Unitario (euros) 50 100 25 Resolver el problema planteado utilizando la metodología de Programación Dinámica especi- …cando todos lo elementos que aparezcan. siendo z1 + z2 + z3 = 4 y zi 0: 68. siendo z1 + z2 + z3 = 8 y zi 0: 69. Determine a través de la metodología de la programación dinámica cómo asignaría el estu- diante su tiempo a cada una de las pruebas para que la probabilidad de aprobar la asignatura sea máxima.000 Kg. La carga de un camión se distribuye con el propósito de maximizar el ingreso total. Las capacidades máximas de producción se estiman en 300 y 200 tm/día para cada uno de los dos tipos de pasta de celulosa. De…na todos los elementos que necesite para la resolución del problema.4 0. El departamento …nanciero de la empresa presenta en la siguiente tabla la rentabilidad esti- mada para cada proyecto así como una valoración del riesgo asociado a cada proyecto Rentabilidad Estimada Nivel de riesgo por u. 70. con un límite de carga de 2400 kg. al menos. Además. Una compañía de transporte urgente tiene establecidas sus tarifas en función del tiempo de entrega deseado del producto.m. Cada camión tiene espacio para un máximo de 80 bultos. Las preferencias de la empresa se concretan en la maximización del margen bruto (objetivo económico) y en la minimización del daño generado en el río en el que la papelera vierte sus residuos (objetivo ambiental). por bulto. el servicio de 12h admite hasta 40 Kg. Por cada bulto del servicio 12h el camión gasta 3 litros de combustible. P1 14% 0. de 400 trabajadores.m/día.m y en 3000 u. cubrir costes …jos. El margen bruto (ingresos menos costes variables) por tm de pasta obtenida por medios mecánicos se estima en 1000 u.000 u.7 22 . ¿Cuántos bultos de cada tipo de servicio debería admitir la empresa. Se estima que los residuos producidos por cada tm de pasta obtenida por medios mecánicos y por medios químicos generan unas demandas biológicas de oxígeno en las aguas del río de 1 y 2 unidades. y el de 48h hasta 15 kg. Una empresa que busca diversi…car sus líneas de negocio se propone invertir un máximo de un millón de euros en una nueva actividad.m. de peso por viaje.m.m la obtenida por medios químicos. para las de 24 h uno de 3000 u. por camión. La empresa desearía.m.6 P2 20% 1 P3 13% 0. 71. el de 24h hasta 20 Kg. 2 litros por cada bulto del servicio de 24h y 1 litro por cada bulto del servicio 48h. Este objetivo medioambiental se traduce en minimizar la demanda biológica de oxígeno. El director comercial propone los siguientes proyectos: Proyecto 1 (P1) Proyecto 2 (P2) Proyecto 3 (P3) El comité de dirección considera que puede participar en varios de los proyectos presentados de forma que la rentabilidad de su inversión sea máxima al tiempo que el riesgo asumido sea mínimo. para con- seguir el máximo ingreso con el mínimo peso total y el mínimo gasto total de combustible? Aplíquense los métodos de las restricciones y de las ponderaciones en la resolución del prob- lema. El depósito del camión admite hasta 1400 litros. Resolver el problema: (a) Por el método de las restricciones (b) Por el método de las ponderaciones. para las entregas en 12 horas se establece un precio de 4000 u. Los costes de la papelera se estiman en 300. por bulto. por bulto y para las de 48 h 2000 u. 2 0.m) 4 5 Contaminación emitida(unidades) 3 2 (a) Plantear el problema multiobjetivo.5 0. PROD. el proceso de producción causa contaminantes en la atmósfera. Dicha empresa 23 . (h) Determine grá…camente el conjunto compromiso con las métricas lineal y de Tchebyche¤ si ambos objetivos son igualmente importantes para la empresa.2 Disponibilidades Unidades de galenio requeridas 1 5 72 Tiempo de la máquina (horas) 0. Para evitar posibles enfermedades en la población se desearia minimizar las emisiones de contaminación.000 y 50. . 1 PROD. Desafortunadamente.m) 2. La empresa SUPERMOTOR se plantea la estructuración de un programa de producción en base a los dos tipos de productos que fabrica y que denominaremos T1 y T2 . En la siguiente tabla se recogen los imputs y los precios de venta de cada uno de los productos. El capital necesario para iniciar cada proyecto es de 300. (b) Genere puntos e…cientes mediante el método de las restricciones. El director gerente no quiere que la empresa asuma riesgos que superen el 85% de la inversión total. 200. que produce componentes de tecnología solar. (a) Plantee el problema de decisión.25 0. de…niendo todos los elementos del mismo. 73.Pre…ere aproximarse al ideal de contaminacion el doble que al de bene…cio.00 euros respecti- vamente.000.2 4 Coste de los materiales (u.75 Coste de la mano de obra (u. (g) Si la empresa quiere elegir entre las soluciones e…cientes la más próxima al ideal. ¿Cuál es el punto ideal? (f) Obtenga el conjunto e…ciente por los métodos de las restricciones y de las ponderaciones.Para medir la proximidad al ideal utiliza la métrica L2 . está considerando la posibili- dad de fabricar en serie 2 tipos de células solares para la conversión de energía: un módulo celular (Producto 1) para aplicarlo a los satélites meteorológicos y un chip celular (Producto 2) para usarlo en las calculadoras solares.25 8 Tiempo de montaje(hombres/hora) 0.75 1. (e) Determine la matriz de pagos. plantee el problema a resolver sabiendo que: .m) 0. (b) ¿Existe una solución que minimize la contaminación y maximize el bene…cio? (c) ¿Es una solución factible producir 12 unidades del primer producto y 8 del segundo? ¿es e…ciente? (d) Represente gra…camente la frontera e…ciente en el conjunto de oportunidades de eleccion y en el espacio de objetivos.25 Precio de venta por unidad (u. Una empresa. Ademas tambien le gustaria maximizar el bene…cios. (c) Genere puntos e…cientes mediante el método de las ponderaciones. 72. (h) Resuelva grá…camente el problema del apartado (g). ¿cuál sería el programa a resolver?. Se ofrece la siguiente información en el cuadro: T1 T2 Ben…cios unitarios 4 2 Polución/uds. De la primera. Además. considera relevante conseguir el mayor bene…cio posible con la producción y venta de los productos y (por razones de imagen pública) conseguir reducir al mínimo la polución del medio ambiente derivada de los diferentes procesos productivos. dispone de 1200 uds. Plantee el programa matemático correspondiente a esta situación. Para poder acudir a esas menciones de calidad la empresa no debería contaminar más de 700 u. de producto 3 2 Consumo unitario de materia prima A 2 3 Consumo unitario de materia prima B 3 1 (a) Establecer los elementos del problema (b) Modelar el programa de producción de la empresa. y con el …n de mantener un cierto nivel de actividad. además del coste y la fuerza laboral empleada. Una nueva agencia publicitaria con 10 empleados ha conseguido un contrato para promover un nuevo producto. Sugerencia: apóyese en la repre- sentación grá…ca del apartado (d). ¿Hay un problema de decisión?. La empresa desea saber cuantos minutos de radio y televisión debe utilizar para conseguir la mayor audiencia posible con el menor coste. Por cada minuto de anuncio Radio TV Audiencia (millones de personas) 5 8 Coste (miles de um) 8 24 Empleados asignados 1 2 El contrato prohíbe a la agencia emplear más de 6 minutos de radio. de producto. utilizando la métrica L1. (e) Construir la matriz de pagos (f) Supuesto que al centro decisor le interese encontrar aquella solución e…ciente más cercana a la solución ideal. (d) Encontrar el conjunto de soluciones e…cientes en el espacio de objetivos (discutir grá…ca- mente) y plantear un programa matemático que permita encontrar soluciones e…cientes extremas. se considera que la producción total ha de superar las 300 uds. la empresa debe respetar algunas limitaciones o condiciones importantes relacionadas con las dos materias primas más importantes que utiliza. 74. (g) Desde el Parlamento Europeo se aconseja a las empresas que cuiden el medio ambiente y se establecen menciones de calidad para aquellas empresas que tengan unas buenas prác- ticas. y de la segunda de 600 uds. 24 . (c) Representación grá…ca del conjunto factible y del conjunto de objetivos. Además. La siguiente tabla pro- porciona los datos acerca del número de personas a las que llega según el tipo de soporte empleado. que denominaremos A y B. Puede contratar anuncios en radio y televisión. x2 = 2. de…niendo todos sus elementos. p1 = 5 millones de personas y el resto de variables son cero. plantee el problema correspondiente. sin resolverlo. si para la agencia $1 = $2 . 5 minutos.(a) Plantee el problema. (g) Si la empresa considera deseable que los anuncios de radio y televisión lleguen al menos a 45 millones de personas y establece un presupuesto meta de 100.000 um. (h) Si la solución al problema planteado en el apartado anterior es x1 = 5 minutos. sin resolverlo. (b) ¿Existe una solución óptima? ¿Por qué? (c) Existe alguna solución factible que no sea e…ciente? (d) Determine la matriz de pagos. y los puntos ideal y anti-ideal. y considera demás que la audiencia es el doble de importante que el coste. (e) Plantee el problema por el método de las restricciones. ¿es esta solución satisfactoria? ¿es e…ciente? ¿es factible? ¿constituye una solución racional? 25 . (f) Obtenga la solución compromiso con la métrica L1 .