Boletin de Repaso SEMANA14 2010-II

EUREKAEL PRIMER GRUPO DE ESTUDIO UNI SEMANA 14 2010-II ARITMÉTICA : NÚMEROS PRIMOS ÁLGEBRA : INV. DE UNA MATRIZ-DETERMINANTES GEOMETRÍA : POLIEDROS – POLIEDROS REGULARES TRIGONOMETRÍA : RESOLUCIÓN DE FIG. GEOMETRICAS II FÍSICA : CONDENSADORES–CORRIENTE ELÉCTR. QUÍMICA : ÁCIDOS Y BASES LIMA, 14 DE JUNIO DEL 2010 EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 2 ARITMÉTICA SEMANA 14: NÚMEROS PRIMOS 01. Hallar “n” sabiendo que el número: n P 55x22 = tiene 20 divisores más que 55. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Más de 4 02. Calcular el valor de “n” si el número: n k 12 x28 = , tiene 152 divisores compuestos. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 03. ¿Cuántos divisores de 10 800 son múltiplo de 15? A) 30 B) 20 C) 34 D) 40 E) 28 04. ¿Cuántos divisores que no son múltiplos de 40, tiene el número 19 600? A) 32 B) 29 C) 33 D) 27 E) 26 05. El número m n 6 .5 contiene 280 divisores múltiplos de 3 y 256 múltiplo de 5. Hallar m+n. A) 13 B) 8 C) 11 D) 10 E) 9 06. ¿Cuántos números de dos cifras de la base 7 son números primos? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) Más de 13 07. Indique con V si es verdadero y con F si es falso. I. Todo número primo mayor que 3, al expre- sarlo en base 6, tiene como cifra de menor orden al 1 ó 5. II. Para todo número natural “p”, primo absoluto, la cantidad de números naturales menores que p y primos relativos con p, es igual a (p - 1). III. 23! + 19 es un número primo. A) VVV B) FFF C) VFV D) FVF E) VVF 08. Hallar a+c, abc cba − es un número que tiene 24 divisores. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) Más de 11 09. Hallar el número abab que tiene 18 divisores. Dar la suma de sus cifras. A) 9 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 10. La suma de los divisores de k N 16x7 = es 1 767. Hallar N. A) 784 B) 392 C) 588 D) 5 488 E) 1 372 11. Indique la suma de las inversas de los divisores de 180. A) 23/6 B) 91/30 C) 101/30 D) 211/60 E) 26/15 12. ¿Cuántos divisores tiene el producto de los divisores de 72? A) 247 B) 216 C) 180 D) 144 E) 125 13. ¿Cuántos números naturales menores que 2 520 existen que sean primos relativos con 2 520? A) 576 B) 288 C) 864 D) 580 E) 860 14. Hallar un número múltiplo de 15, que tenga 6 divisores y que la suma de estos sea 124. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 10 B) 12 C) 15 D) 14 E) 9 15. ¿Cuál es la suma de los divisores de 19 500 que son primos relativos con 455? A) 35 B) 40 C) 56 D) 32 E) 28 16. ¿En cuántos ceros termina la representa- ción de 100! En base 7? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 17. ¿En cuántos ceros termina 150!, al convertir al sistema pentadecimal? A) 37 B) 40 C) 42 D) 51 E) 53 EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 3 18. ¿Cuál es la última cifra al representar 25 56 en el sistema de base 19? A) 6 B) 9 C) 1 D) 17 E) 18 19. Indique con V si es verdadero y con F si es falso. I. Para todo a y b números naturales, se cumple que Φ(a.b) = Φ(a).Φ(b) II. Para todo número natural n, se cumple que Φ(n) < n. III. Para todo a y b números naturales y copri- mos, se cumple que Φ(a.b) = Φ(a).Φ(b) A) VVV B) FFF C) FFV D) FVF E) VVF 20. ¿Cuántos divisores de 360 son números de dos cifras? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 21. Si ab es un número primo absoluto, mayor que 40, ¿cuántos divisores tiene el número ababab00. A) 288 B) 250 C) 260 D) 240 E) 100 22. Hallar el resto de la división de N entre 60 donde N=2x3x5x7x11x…x101 (producto de los números primos desde 2 hasta 101) A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 15 23. ¿Cuántos números de la forma 30x son primos? A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 24. ¿De cuántas se puede expresar 10! como el producto de dos números naturales primos entre si? A) 8 B) 10 C) 12 D) 4 E) 16 25. ¿Cuál es el menor número natural que es divisible por 60 números naturales diferentes? Dar como respuesta la suma de sus cifras A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 18 26. Calcular el menor valor de a + b + c, si la descomposición en factores primos de un nú- mero es: c b ab .ac además tiene 32 divisores. A) 11 B) 12 C) 13 D) 18 E) 21 27. Un número de 5 cifras con 30 divisores es tal que si se divide entre 9 y 8 da como residuos 3 y 4 respectivamente. ¿Cuál es la suma de las cifras de dicho número? A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 28. Hallar la suma de las cifras del menor nú- mero abc , sabiendo que es múltiplo del núme- ro ( )( )( ) a 2 b 1 c 3 − − − . A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 14 29. Si la suma de los divisores de: ( ) 2 N 15a = es 2 821, siendo “a” un número primo. Hallar la suma de las inversas de los divisores de N. A) 3,134 B) 4, 23 C) 4, 21 D) 3,12 E) 4,12 30. Hallar un número que tenga 15 divisores y que la suma de estos 15 divisores es 961. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 4 B) 11 C) 13 D) 12 E) 8 31. Si el producto de los divisores de un núme- ro es 12 64x10 . Hallar la suma de todos sus divisores. A) 465 B) 961 C) 186 D)1 953 E) 4 681 32. Indique el número de afirmaciones correctas. I. El número (45 60 – 1) es divisible por 77 II. El número 496 es perfecto. III. El menor número natural abundante es 12. IV. El número 1000…..001 de 2010 cifras es un número primo. V. El número 73! + 71 es compuesto. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 4 33. Se llama perfecto a todo número que es igual a la suma de todos sus divisores a excep- ción de ellos mismos. Euclides demostró que cualquier número de la forma: ( ) n 1 n 2 x 2 1 − − es perfecto y par, siendo: ( ) n 2 1 − un número primo. ¿Cuál es la suma de los cuatro primeros números perfectos pares? A) 650 B) 436 C) 8 658 D) 8 128 E) 9 200 34. ¿Cuál es el menor número natural que posee 30 divisores naturales? A) 49 512 B) 9 216 C) 2 592 D) 14 400 E) 720 35. ¿De cuántas maneras diferentes se puede distribuir 7 060 lapiceros en grupos de un mismo número de lapiceros de tal manera que en cada distribución sobre 10 lapiceros? A) 20 B) 18 C) 16 D) 22 E) Más de 22 36. ¿Cuál es la antepenúltima cifra que se obtiene al convertir 296 13 en base 7? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 37. Calcular el valor de m + c + d + u si mcdu tiene como sus únicos factores primos a 2;5 y 7, además 5 mcdu tiene 8 divisores más que mcdu . A) 5 B) 12 C) 10 D) 8 E) 15 38. ¿Cuál es el promedio armónico de todo los divisores naturales de 3600 que son múltiplos de 10? A) 11 70 13 B) 11 71 13 C) 11 72 13 D) 11 73 13 E) 11 74 13 39. ¿Cuál es la suma de todos los números naturales menores que 200 y que son PESI con 1000? A) 2000 B) 4000 C) 6000 D) 8000 E) 10000 40. Un avaro agrupaba sus 360 monedas en grupos de a “x” luego en grupos de “x - 24” y al final en grupos de “x + 24”, obteniéndose siempre grupos exactos. Hallar la suma de cifras de “x”. A) 3 B) 6 C) 9 D) 4 E) 12 41. Si un estudiante realiza la tabla de los 30 divisores de un número y observa que el producto del quinto divisor y el octavo divisor es 192 y el producto del o 23 y o 26 divisor es 2 700. Hallar el o 13 divisor de esta tabla. A) 24 B) 36 C) 48 D) 18 E) 72 42. Hallar la medida aritmética de todos los divisores cuadrados perfectos del número 14 400. A) 221 B) 546 C) 4 968,6 D) 2 762,5 E)1 381,25 43. “N” es un número cuya suma de sus divisores simples es 10. Si dividimos “N” entre 4 su número de divisores se reduce a la tercera parte, pero si lo multiplicamos por 14 su nú- mero de divisores se duplica. Determine la suma de los divisores propios de “N”. A) 30 B) 36 C) 196 D) 28 E) 392 44. Si N tiene 8 divisores propios y al construir su tabla de divisores se observa que la suma de los elementos de la diagonal que contiene a la unidad es 6 007, ¿cuánto suman los elementos de la otra diagonal? A) 120 B) 156 C) 180 D) 216 E) 247 45. Sea A la cantidad de divisores de 11! que no son múltiplos de 35 y sea B la cantidad de números naturales menores que A y PESI con 30. Hallar la cantidad de números naturales menores que B y que no sean PESI con B. A) 47 B) 95 C) 15 D) 31 E) 63 46. Hallar un número de cinco cifras, con 5 divisores simples y 95 divisores propios, tales que al dividirlos entre 16; 27 y 49 se obtienen residuos 8; 9 y 35 respectivamente. ¿Cuántos divisores impares tiene dicho número? EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 5 A) 8 B) 12 C) 24 D) 32 E) 40 47. Hallar el número de soluciones de la e- cuación: Φ (x) = 16, siendo x un n úmero natural. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 48. Sea N un número natural tal que entre 6N y 10N existen 96 números naturales primos relativos con N, además al convertir N al sistema de numeración de base 7, resulta un número cuya cifra de menor orden es significativa. Cal- cular la cantidad de números naturales primos relativos con 7N que existen entre 28N y 49N. A) 420 B) 423 C) 430 D) 432 E) 450 49. Un número posee solamente dos factores primos y su cubo posee 70 divisores, además la suma de los cuadrados de sus divisores es 55335. Hallar la suma de sus divisores que son números de dos cifras A) 108 B) 120 C) 125 D) 136 E) 145 50. ¿Cuál es la antepenúltima cifra que se obtiene al convertir 296 13 en base 7? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 PROF. ROBERTO VISURRAGA EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 6 ÁLGEBRA SEMANA 14: INVERSA DE UNA MATRIZ - DETERMINANTES 01. Sea la matriz 2 3 A 5 8 | | = | \ . , halle la traza de 1 A − . A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 02. Si 1 2 2A 3 5 | | = | \ . ; 2 t A X A = . Halle la traza de la matriz X. A) -36 B) -24 C) -12 D) 6 E) 38 03. Dada la matriz ( ) ij ij 3 3 A a , a 1, i, j × = = ∀ . Determine el valor de r ∈R tal que el producto de las matrices (I+r A) y (I-A) sea la matriz I. A) -2 B) -1 C) 1 4 − D) 1 2 − E) 1 2 04. Sea la matriz 1 2 B 2 1 ( = ( ¸ ¸ , calcule la matriz A, si ( ) ( ) 1 B A I A I − = + − A) 0 1 1 0 − ( ( − ¸ ¸ B) 1 1 1 1 ( ( ¸ ¸ C) 1 1 1 1 − − ( ( − − ¸ ¸ D) 1 1 1 1 − ( ( − − ¸ ¸ E) 1 1 1 1 − ( ( − ¸ ¸ 05. Determine los valores de x, para los cuales la matriz dada es singular ( ) A 0 = ( ) ( ) 3 Log 35 x Log 5 x A 3 1 | | − − = | | \ . dar como respuesta el producto de estos valores. A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 10 06. Si X es la solución de la ecuación matricial: AX=B; determine la traza de ( ) T X .B , sabiendo que 1 1 A 2 1 ( = ( ¸ ¸ y 2 B 1 ( = ( ¸ ¸ . A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 07. Sea la matriz a b A bc x c a ( ( = + ( ¸ ¸ , determine el conjunto { } M x / AB BA I = ∈ = = R A) { } 1;3 B) C) R D) | 1; 2 E) { } 0 − R 08. Si 1 2 3 5 X 3 0 2 3 2 1 ( ( ( = ( ( ¸ ¸ ( − − ¸ ¸ , halle la suma de los elementos de la matriz X. A) -1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 10 09. Si 2 0 0 0 0 1 0 0 A 0 0 1 0 1 0 0 2 | | | − | = | | \ . halle la suma de elementos de 1 A − . A) 1 4 B) 3 4 C) 1 D) 2 E) 3 10. Halle la traza de ( ) 1 A − , si. 1 0 0 A 1 2 0 1 2 3 ( ( = − ( ( ¸ ¸ A) 10 3 B) 10 7 C) 11 5 D) 11 6 E) 12 7 11. Dada la matriz 1 2 3 A 2 3 4 3 4 6 | | | = | | \ . Halle 1 A − e indique la suma de sus elementos. EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 7 A) -3 B) 0 C) 2 D) 4 E) 13 12. Determine la matriz inversa de: 1 1 1 A 0 0 1 0 1 0 | | | = | | \ . , dar como respuesta la suma de los elementos de 1 A − . A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1 13. Si A, B y C son matrices cuadradas de orden N x N. decir el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si AB=AC entonces B=C. II. Si A 0 B 0 ≠ ∧ ≠ entonces AB 0 ≠ . III. Si 2 B es inversible entonces B es inversible. A) VFV B) FFV C) FVF D) VVF E) VVV 14. Determine cuántas proposiciones existe. I. Si existe ( ) 1 AB − entonces existe 1 A − y 1 B − . II. Si existe 1 A − y A es simétrica, entonces A D B C C´ B´ P D´ A´ M es simétrica III. Si existe 1 A − , entonces ( ) 1 1 A A − − = . IV: Si A 0 ≠ , entonces ( ) ( ) 1 2 2 1 A A − − = . A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 15. Si A es una matriz definida por: 1 6 4 3 2 3 2 5 A 1 3 2 2 2 5 3 2 − − ( ( − − − ( = ( − ( − − ¸ ¸ . Halle el A A) - 4 B) - 2 C) 0 D) 2 E) 6 16. Si { } 1 2 x ; x es el conjunto solución de la ecuación: 2 1 5 1 1 1 1 4 0 x 6 8 1 2 2 2 x − − = − . Entonces el valor de 1 2 x x + es: A) -18 B) -13 C) -10 D) 4 E) 7 17. Sea A una matriz definida por: 4 9 2 11 3 8 7 8 A 5 11 6 5 10 6 7 2 | | | | = | | − − \ . , halle el A . A) 4326 B) 4476 C) 4796 D) 4896 E) 44656 18. Calcular el determinante: 1 4 0 1 t 2 3 5 1 2t 3 2 7 1 3t 4 1 9 1 4t + ( ( + ( ( + ( + ¸ ¸ A) -120 B) -10t C) 0 D) 100 E) 20t 19. Sea ( ) ij 3 3 A a × = tal que 1 1 A 2 2 1 7 | | | | | | = | | | | \ . \ . . Si detA=3, calcular el determinante de la matriz B definida por: 12 22 32 11 13 21 23 31 33 a a a B 1 2 7 a 2a a 2a a 2a | | | = | | + + + \ . A) -3 B) 3 C) 6 D)9 E) 12 20. A es una matriz de orden 3, si se inter- cambian la primera y tercera fila, se obtiene la matriz 0 A ; en 0 A a la primera fila se le multi- plica por 3 y a la tercera por 2 obteniéndose la matriz 1 A , de manera que det( 1 A )=66. Halle ( ) 1 det A − . A) 1 15 B) 1 12 − C) 1 14 − D) 7 12 − E) 1 11 − EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 8 21. Calcule el determinante: a b 0 0 0 0 0 a b 0 0 0 0 0 a b 0 0 0 0 0 a b 0 0 0 0 0 a b b 0 0 0 0 a A) 6 6 a b − B) 6 6 a b + C) ( ) 5 5 ab a b + D) 0 E) 1 22. Calcule el determinante: a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a A) ( ) 3 a 1 − B) ( ) ( ) 2 a 1 a 1 + − C) ( )( ) 3 a 3 a 1 + − D) ( ) 4 a 1 − E) ( )( ) 3 a 1 a 3 + − 23. La matriz a b c A x y z u v w ( ( = ( ( ¸ ¸ es no singular. Determine los valores reales de t para los cuales la matriz a bt at b c x yt xt y z u vt ut v w + + ( ( + + ( ( + + ¸ ¸ sea inversible A) R B) { } \ 1 R C) { } \ 1 − R D) { } \ 1; 1 − R E) { } 1; 1 − 24. Calcule el determinante de la siguiente matriz. 0 1 1 ... 1 1 1 0 x ... x x 1 x 0 ... x x A 1 x x ... 0 x 1 x x ... x 0 ( ( ( ( = ( ( ( ( ¸ ¸ . . . . . A) ( ) n 1 n 1 x + − B) ( ) n 1 n 1 x − + C) ( ) n 2 n 1 x + − − D) ( )( ) n 1 n 2 n 1 1 x − − − − E) ( )( ) n 1 n 3 n 1 1 x − + + − 25. Determine ( ) 1 A 2I − − , sabiendo que: 2 A A 7I + = A) A+I B) A+2I C) A+3I D) A-3I E) A-2I 26. Sea la matriz ( ) ij A a n n = × tal que: ij b c; i j a b; i j ¦ + = ¦ = ´ ≠ ¦ ¹ . Calcule el A . A) nb+c B) ( ) n nb c + C) ( ) n nb c c + D) ( ) n 1 nb c c − + E) ( ) n nb c c − 27. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: Si 1 1 1 A 0 1 1 − | | = | \ . y 1 1 B 1 1 1 0 − − | | | = | | − \ . verifican que 1 0 A.B 0 1 | | = | \ . . Entonces la matriz B es la inversa de A. q: Si 2 A I = , entonces (I-A)(I+A)=O. r: Si 5 A I = , entonces la matriz 2 A es la inversa de 3 A , ( ) A 0 ≠ . A) VVV B) FVV C) VFV D) FVF E) VVF 28. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: Si A, B, C y X son matrices cuadradas del mismo orden e invertibles, que satisfacen la ecuación ( ) 1 A XC B B A B − + = + entonces 1 1 X A C − − = . q: Si A y B son conmutables, entonces 1 A − y B también son conmutables. r: Si A y B tienen inversas, entonces ( ) ( ) 1 T T T 1 1 A B A B − − − = . EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 9 A) VFF B) FFF C) VVF D) VVV E) FVV 29. Si: ( ) ij 2 3 i, i j A a j, i j × ¦ ≤ ¦ = = ´ > ¦ ¹ ( ) ij 3 2 j, i j B b i, i j × ¦ ≤ ¦ = = ´ > ¦ ¹ Determine la traz ( ) 1 AB − A) 18 5 − B) 7 5 − C) 3 5 D) 9 5 E) 12 5 30. Si las matrices A, B, C, X. verifican: ( ) 2 t t 2 3 A XB 2B A C = , 6 0 C 3A 0 6 | | = = | \ . ; t 2 B A − = . Calcule el X . A) 1 B) 6 C) 36 D) 72 E) 216 31. Sea ( ) ij 3 3 A a × = , det(A)=2; ( ) ij 4 4 B b × = , det(B)=-2 Calcule ( ) ( ) ( ) ( ) t 1 det 2A det B det det 2A det 2B − ( − ( ( ¸ ¸ A) -504 B) 0 C) 101 D) 485 E) 539 32. Determine el valor de: 4n 4n 1 A .A + si 0 A 0 −α | | = | α \ . A) 5 α B) 7 α C) 16n 2 + α D) 3n 1 − α E) 20n α 33. Halle el conjunto solución de la ecuación: 2 1 0 0 a 1 0 1 3 1 3a 0 14 0 1 a 2 a 2 − + = − A) 1 3 ¦ ¹ ´ ` ¹ ) B) 3 2 ¦ ¹ ´ ` ¹ ) C) 7 3 ¦ ¹ ´ ` ¹ ) D) 10 3 ¦ ¹ ´ ` ¹ ) E) 20 3 ¦ ¹ ´ ` ¹ ) 34. Determine A si 2 2 2 1 1 1 A a b c a b c | | | = | | \ . A) (a+c)(a+b)(b+c) B) (a-b)(b-a)(a+c) C) (a-b)(b-c)(c-a) D) (a+b)(b-c)(c-a) E) (a-b)(b+c)(c-a) 35. Calcular el valor del determinante: a b c A a a b a b c a 2 ab 3a 2b c ( ( = + + + ( ( + + + ¸ ¸ A) 3a B) 2 a b C) abc D) 3 a E) 6abc 36. Halle el determinante de la matriz b c a a E b a c b c c a b + ( ( = + ( ( + ¸ ¸ A) a+b+c B) 4abc C) abc D) ab+ac+bc E) –abc 37. Dadas las matrices: 2 2 2 1 1 1 A x y z x y z ( ( = ( ( ¸ ¸ 2 2 0 1 1 B 1 y z x y y z ( ( = ( ( + ¸ ¸ Entonces la relación es: A) A B = B) A xy B = C) y. A x B = D) ( ) A x y B = + E) ( ) A x y B = − 38. Si T es una matriz definida por 2 5 3 6 4 6 4 6 T 6 7 5 4 8 2 8 4 | | | | = | | \ . , entonces el valor del det(T) es: A) 420 B) -420 C) 440 D) -80 E) 80 EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 10 39. Si M es una matriz definida por 2 2 2 2 2 2 1 sec x tan x 3 4 4cos x 4sen x 1 M 5 5sen x 5cos x 7 6 6 0 2 | | | − | = | − | | \ . , entonces el valor del det(M) es: A) senx cosx B) ( ) 2 sec x tan x C) ( ) 2 se nx.cos x D)0 E) 2 2 sen x tan x + 40. En la siguiente igualdad ( ) 3 a b c a b a b a b a b a b c a b a b 3a 3b 1 c ; c 0 a b a b a b c a b a b a b a b a b c + + + + + + + + + + = + + ≠ + + + + + + + + + + La relación correcta entre los valores de a, b y c es: A) a + b = c B) a + b + c = 0 C) a + b + c = 1 D) 3 3 3 a b c 3abc + + = E) abc = 1 PROF. RÚBEN QUISPE EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 11 GEOMETRÍA SEMANA 14: POLIEDROS – POLIEDROS REGULARES 01. Se tiene un poliedro formado por 20 regiones triangulares, 8 cuadrangulares y 4 pentagonales. ¿Cuántas aristas tiene dicho poliedro? A) 50 B) 47 C) 54 D) 51 E) 56 02. Se tiene un poliedro convexo de 12 aristas formado por regiones pentagonales y cuadrangulares. ¿Cuántos vértices tiene? A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 10 03. Un poliedro está formado por 3 regiones cuadrangulares, 5 pentagonales y “x” triangulares. Calcular “x”, si la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras es 4320. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 04. Un poliedro convexo, tiene 33 vértices y es- tá conformado por 8 caras triangulares, 9 caras cuadrangulares y m caras pentagonales. Entonces m es A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 05. Un poliedro convexo tiene 5 caras, entonces el número de vértices pueden ser. A) 6 ó 7 B) 7 ó 8 C) 4 ó 5 D) 5 ó 6 E) 8 ó 9 06. En un poliedro la razón entre el número de arista y la razón número de caras es 5 3 . Calcule el número de caras, si el número de vértices es mayor que 6 y menor que 10. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 07. En un poliedro de seis caras y doce aristas, calcular la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras A) 2 520 B) 1 800 C) 3 600 D) 2 160 E) 1 440 08. Se tiene un poliedro convexo que está formado por “x” triángulos, 4 cuadriláteros y “z” pentágonos. Si además se sabe que la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras es 4 680, calcular: ( ) ( ) "z" "x" ; z x − > A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5 09. En un tetraedro regular cuya arista es de longitud 3 3 calcular la distancia del baricentro de una cara al plano de cualquier otra cara. A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 2 E) 3 10. En un tetraedro regular de arista “a”, halle la distancia entre la altura del tetraedro y la altura de una de las caras, si éstas se cruzan. A) a / 2 7 B) 2a / 7 C) 3a / 7 D) 4a / 7 E) a / 7 11. La superficie total de un cubo es T. Enton- ces la diagonal de dicho cubo es igual a: A) 2T B) 2T C) 2T / 2 D) 2 T E) 3T 12. Calcular el área total de un cubo, sabiendo que la menor distancia entre arista y una diagonal del cubo (ambas cruzadas) es 4 2 A) 524 B) 400 C) 256 D) 384 E) 512 13. En un octaedro regular de arista “a”, halle la longitud del segmento que une un vértice con el baricentro de la cara opuesta. A) a/4 B) a/2 C) a D) 2a E) 2a 2 14. En un octaedro regular OABCDE, la distancia del incentro del triángulo ABD a O mide 2u, calcule la distancia entre los vértices opuestos O y E. A) 3 3 B) 3 2 2 C) 2 2 2 + D) 2 3 E) 5 EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 12 15. Indique, cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: I. El tetraedro regular tiene 6 planos de sime- tría, 3 ejes de simetría. II. El hexaedro regular tiene 9 planos de sime- tría, 9 ejes de simetría y 1 centro de simetría. III. El octaedro regular tiene 9 planos de sime- tría, 9 ejes de simetría y 1 centro de simetría. A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) FFV 16. ABCD, DEFGH y HGKJI son tres caras de un dodecaedro regular entonces la medida del ángulo entre AC ,¸¸, y HK ,¸¸, es A) 30º B) 45º C) 72º D) 36º E) 60º 17. En un icosaedro regular, halle la medida del mayor ángulo que determina un plano que pasa por 5 aristas consecutivas y una cara adyacente. A) 5 arccos 6 | | | | \ . B) 5 arccos 4 | | − | | \ . C) 5 arccos 5 | | − | | \ . D) 5 arccos 7 | | − | | \ . E) ( ) arccos 5 2 5 + 18. Señale la alternativa que presenta la se- cuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falso (F): I. Los centros de las caras de un tetraedro regular son los vértices de un tetraedro. II. Los centros de las caras de un octaedro regular son los vértices de un octaedro. III. Los centros de las caras de un icosaedro regular son los vértices de un dodecaedro. A) VVV B) FFV C) VVF D) VFV E) VFF 19. Halle el número de vértices del poliedro convexo limitado por 32 cuadriláteros y 64 triángulos. A) 96 B) 66 C) 48 D) 16 E) 32 20. El número de caras más el número de vér- tices más el número de aristas y más el nú- mero de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de las caras de todos los án- gulos sólidos de un poliedro convexo excede en 14 al doble de la suma del número de aristas y vértices. Calcular el número de vértices A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 21. Halle el área de la región limitada por la sección hecha en un tetraedro regular de 10 cm de arista por un plano de simetría que pasa por una de sus aristas ( ) 2 en cm . A) 15 B) 15 2 C) 20 D) 25 E) 25 2 22. En la figura, el cubo tiene arista igual a 1 y el punto P se escoge de manera que el triángulo BPH tenga área mínima. El valor de esta área mínima es: A D B C P H A) 3 8 B) 1 3 C) 1 2 D) 1 2 E) 2 1 − 23. La distancia entre dos caras opuestas de un octaedro de arista de longitud a es A) a 6 6 B) a 6 4 C) a 6 3 D) a 6 2 E) a 6 24. ¿Cuántos planos de simetría tiene el octaedro regular? A) 6 B) 4 C) 8 D) 9 E) 12 25. Indique el valor de verdad de las proposiciones siguientes: I. El tetraedro regular tienen centro de sime- tría. II. El tetraedro regular tiene 6 planos de si- metría. III. El hexaedro regular tiene 9 ejes de simetría. EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 13 IV. El hexaedro regular tiene 9 planos de si- metría. A) VVVV B) FFVV C) FVVF D) FVFV E) FVVV 26. Un tetraedro regular ABCD tiene su cara BCD contenido en un plano Q, A´B´CD es el tetraedro simétrico con respecto a un plano P perpendicular a Q. si la arista de los tetraedros miden a, calcule AB´. A) a 2 B) a 3 C) 3 a 2 D) 2a E) 3 a 4 27. De las proposiciones verdaderas (V) o falso (F) I. Si por un vértice de un poliedro regular pa- san 5 de sus caras, entonces el poliedro es un icosaedro regular. II. El poliedro que se forma al unir los centros de las caras de un hexaedro es un octaedro regular. III. Si el poliedro regular tiene 30 aristas, entonces pueden ser un dodecaedro regular. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF 28. En un tetraedro regular O-ABC: “M” es el baricentro de la cara OBC. Calcular el volumen del tetraedro si la menor distancia entre AM y BC es 2. A) 16 6 3 B) 16 2 C) 16 3 D) 16 6 E) 20 6 29. Halle la medida de un ángulo diedro en el icosaedro regular de dos caras adyacentes. A) 5 ar ccos 3 | | − | | \ . B) 5 ar ccos 5 | | − | | \ . C) 5 ar ccos 6 | | | | \ . D) 1 ar ccos 5 | | − | | \ . E) 1 ar ccos 2 5 | | | \ . 30. Calcular el número de diagonales de un icosaedro regular. A) 72 B) 48 C) 36 D) 2 E) 66 31. En la figura se muestra un cubo y tres puntos A, B y C dichos puntos determinan un plano que al intersecarse con las caras del cubo determinan un polígono. ¿De qué polígono se trata?. (MB<MC) A M B C A) Cuadrilátero B) Pentágono C) Hexágono D) Heptágono E) Octógono 32. Un poliedro convexo está formado por “n” hexágono y “n” octógonos convexos, además tienen A aristas. Si se disminuye en un hexá- gono y dos octógonos se forma un nuevo poliedro con B aristas. Calcular el valor de “n”, si: A + B = 185. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 33. ABCDEF es un octaedro cuya arista mide 6cm O y O´ son los baricentros de las caras EAD y EDF respectivamente. Determine la medida del ángulo OBO´. A) 2 2arcsen 6 | | | | \ . B) 2 2arcsen 3 | | | | \ . C) 2 2arcsen 4 | | | | \ . D) 2 2arcsen 5 | | | | \ . E) 2 2arcsen 8 | | | | \ . 34. En un tetraedro regular ABCD, O es el centro de la base BCD: M y N son puntos medios de AB y AD respectivamente. Si el área de la región OMN es 2 3m , calcular el volumen del tetraedro. A) 3 16 3m 3 B) 3 16 2m 3 C) 3 16 6m 3 D) 3 64 2m 3 E) 3 64 3m 3 EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 14 35. Determine la medida del menor ángulo formado por los ejes de simetría de un Hexaedro regular. A) 45 B) 3 arccos 4 | | | \ . C) 37 D) 1 arccos 3 | | | \ . E) 30 36. En un octaedro regular la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide / unidades. Entonces, el área de la superficie total del poliedro que resulta al unir los baricentros de sus caras es: A) 2 3 3 / B) 2 4 3 / C) 2 2/ D) 2 4 3 3 / E) 2 4 3 / 37. En un tetraedro regular ABCM, se trazan las medianas BQ y AR de las caras BCM y ABM. Entonces, la medida del ángulo que forman las rectas BQ y AR es: A) 1 3 cos 8 − | | | | \ . B) 1 3 cos 4 − | | | | \ . C) 1 3 cos 5 − | | | | \ . D) 1 1 cos 8 − | | | | \ . E) 1 1 cos 7 − | | | \ . 38. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Existen poliedros no convexos cuyas caras son todas regiones poligonales convexas. II. Algún poliedro no convexo cumple: V + C = A donde: V = número de vértice, C = número de caras, A = número de arista III. En todo poliedro convexo siempre se cumple que: 4C 2V 8 − ≥ donde C = número de caras, V = número de vértices. A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FFF 39. Halle la menor longitud del recorrido que se puede realizar partiendo desde un vértice y llegando a otro vértice consecutivo de un hexaedro regular de arista 3u pasando por todas sus caras. A) 6u B) 9u C) 12u D) 15u E) 18u 40. En las siguientes vistas: Halle la suma del número de arista y de vér- tices del sólido correspondiente. A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 41. la proyección de un octaedro regular de a- rista a sobre un plano que contiene a una de sus caras tiene un área igual a: A) 2 2 a 3 3 B) 2 a 3 3 C) 2 3 a 3 2 D) 2 a 3 E) 2 a 3 2 42. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, de- muestre que los planos que contienen a los triángulos EBD y FCH respectivamente trise- can a la diagonal AG. A) B) C) D) E) 43. Las caras de un poliedro sólo determina 8 ángulos triedro y 12 diedros siendo estas caras triangulares, cuadrangulares y pentagonales calcule el número de caras cuadrangulares. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2 44. En un exaedro regular la distancia del pun- to medio de una arista al centro de una cara adyacente a una arista opuesta es L. Calcule el volumen del sólido limitado por el exaedro regular. A) 3 8 5 L 25 B) 3 8 L 5 C) 3/ 2 8 L 25 D) 3 L 2 12 E) 3 L 4 45. Sea M el punto medio de la arista AB de un tetraedro regular ABCD. Si el simétrico de M respecto al eje de simetría del tetraedro que pasa por AD y BC, es M´ y la arista del tetraedro mide a, entonces BM´ mide. EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 15 A) a 2 2 B) a 3 3 C) a 3 2 D) a 3 6 E) a 46. En un octaedro regular P-ABCD-Q, en las aristas PB y PD se ubican los puntos E y F tal que EF/ /BD, se ubica G en CQ. Halle la medida del ángulo que determina EF en AG. A) 45° B) 60° C) 90° D) 105° E) 135° 47. En el cubo ABCD-A´B´C´D´, M es punto medio de AA´ , P es el punto medio de C´D´´. Una hormiga está en el punto M y se dirige hacia el vértice C, luego al punto P y finalmente al pun- to M. Si “ / ” es la longitud de la arista del cubo, ¿Cuál es la mínima longitud que caminó la hormiga? A D B C C´ B´ P D´ A´ M A) ( ) 17 10 5 2 − − / B) ( ) 2 1 5 + / C) ( ) 3 1 5 2 + / D) ( ) 1 10 2 + / E) ( ) 17 5 + / 48. En un tetraedro regular ABCD la distancia del centro de la cara BCD hacia AD es 2 2 . Calcular el volumen de dicho sólido. A) 9 2 B) 12 2 C) 15 2 D) 18 2 E) 16 2 49. ABCD – EFGH es un hexaedro regular, se ubican los puntos medios M y N de las aristas HG y FG respectivamente. Si P es punto medio de MN y AB=1u, entonces la longitud del segmento PA es: A) 30 / 4 B) 31 / 4 C) 33 / 4 D) 34 / 4 E) 35 / 4 50. En un poliedro no convexo, 12 vértices pertenecen a una cara y las otras 12 vértices restantes del poliedro pertenecen a una cara pa- ralela a la anterior, si el número de aristas en cada una de las dos caras mencionadas es 12, entonces el número máximo de las otras caras restantes del poliedro es: A) 10 B) 12 C) 24 D) 34 E) 48 PROF. MANUEL TRUJILLO EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 16 TRIGONOMETRÍA SEMANA 14: RESOLUCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS II 01. Una persona localizada en A, observa directamente el Este y ve un globo con un ángulo de elevación de 45°. En el mismo instante otra persona localizada en B, a 1km directamente al Oeste de A, ve el mismo globo con un ángulo de elevación de 30°. Calcule la distancia (en km) de la persona localizada en B al globo. A) 1,89 B) 2,22 C) 2,73 D) 2,91 E) 3,01 02. Un avión vuela en la dirección NE a una altura de H metros y observa la parte más alta y la parte más baja de una torre de altura h metros con ángulos de depresión de 45° y 60°. Calcule: H h A) 3 2 3 2 − B) 3 3 2 − C) 3 2 3 2 + D) 3 3 2 + E) 3 2 03. Desde el sur de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación θ luego avanzamos en la dirección E(90°- θ )N; hasta ubicarnos exactamente al Este de la torre. Determine el ángulo de elevación con que se ve la parte superior de la torre en esta nueva posición: A) 15° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75° 04. Un hombre se encuentra ubicado entre dos postes de luz pública que tienen la misma altura, si dicho hombre observa la parte más alta de uno de ellos en la dirección Norte y con ángulo de elevación de 60º, luego recorre 10m en la dirección Este y observa la parte más alta del mismo poste con ángulo de elevación de 30º y la del otro poste con ángulo de elevación de 16º. Determine aproximadamente la distancia que separa a los dos postes (en metros). A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 05. Una persona A ubicada a una altura de 12 m, observa a otra persona B en la dirección Este y con ángulo de depresión de 53°; otra persona C ubicada a la misma altura que la persona B en la dirección S θ E y al Sur de B con un ángulo de depresión de 37°. Calcule (en m) la distancia entre B y C. A) 7 B) 2 7 C) 3 7 D) 4 7 E) 5 7 06. Una persona A, ubicada en el patio de un edificio, observa a una persona B ubicada en lo alto del edificio de 24m de altura, con un án- gulo de elevación de 37° en la dirección NE; a su vez, la persona B observa a una persona C, ubicada en el piso con un ángulo de depresión de 53° y en la dirección SE. Calcule (en m) la distancia entre la parte A y la persona C. A) 337 B) 2 337 C) 3 337 D) 4 337 E) 5 337 07. En un triángulo ABC se cumple que: cos A cos B cos C C a b c ab + + = Calcular la medida del mayor ángulo del triángulo. A) 120° B) 90° C) 150° D) 135° E) 108° 08. En un triángulo ABC; AB=C, BC=a, AC=b. Al simplificar: ( ) bsenB csenC F 2asen B C − = − se obtiene: A) 1/4 B) ½ C) 3/4 D) 1 E) 2 09. Si el coseno del mayor ángulo “A” de un triángulo de lados consecutivos es 1/5. Hallar el semiperimetro de dicho triángulo: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 10. Con los elementos de un triángulo ABC, halle la medida del ángulo C tal que (senA + senB +senC)(senA + senB ⎯ senC) =3senAsenB A) 60° B) 30° C) 45° D) 15° E) (45/2)° EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 17 11. En un triángulo ABC; AB = c; BC = a y AC = b se cumple ( ) 2 2 2 2 a b cos 2A b a + = − . Halle la m C < sí m A < y m B < son agudos: A) 60° B) 75° C) 90° D) 120° E) 130° 12. Con los elementos de un ABC, AB = c; BC = a; AB = b y R es circunradio, simplificar: ( ) ( )( )( ) 2 2 2 a sen2B b sen2A cos A cos B.cos C cos B cos Acos C cos C cos Acos B + + + + A) 4 16R B) 4 32R C) 4 48R D) 4 64R E) 4 80R 13. En un triángulo ABC se saber que C = 60° y a = 3b, determinar el valor de tg(A ⎯ B): A) 4 3 B) 2 3 C) 3 D) 3 / 2 E) 1 14. Las alturas relativas a los lados a, b, y c de un triángulo ABC miden 6, 8 y 9µ. Halle secA. A) 121 B) 125 C) 169 D) 181 E) 144 15. En un triángulo ABC se traza la mediana AM = m(M en BC) y en el triángulo AMB, se traza la mediana BE. Calcular ( ) 2 4 BE en tér- minos de “m” y los lados “b” y “c” del triángulo ABC: A) 2 2 2 3b 3c p m + + B) 2 2 2 3b c 3m − + C) 2 2 2 b 3c m + + D) 2 2 2 b 3c m − − E) 2 2 2 b 3c 3m + − 16. En un triángulo ABC; se tienen como datos el lado a, la mediana relativa a dicho lado m, y el área del triángulo S. Halle ctgA en términos de los datos: A) ( ) 2 2 a 4m a / 8S + B) ( ) 2 2 a 8S/ 4m a − C) ( ) 2 a aS/ 4m D) ( ) 2 2 a 4m a / aS + E) ( ) 2 2 a 4m a / aS − 17. Siendo a V ; b V y b V las longitudes de las bisectrices interiores de los ángulos de un tri- ángulo ABC simplificar: a b c 1 A 1 B 1 C cos cos cos V 2 V 2 V 2 + + A) a + b + c B) ab + ac + bc C) 2 2 2 a b c + + D) 1 1 1 a b c − − − + + E) abc /(a + b + c) 18. En un triángulo ABC (BC = a, AC = b, AB = c), reducir en función al área de la región triangular ABC, cuyo valor es (S). 2 2 2 F a cot A b cot B c cot C = + + A) S B) 2S C) 4S D) 6S E) 8S 19. En un triángulo ABC si: BC = a, AB = c y AC = b Reducir: a cos A bcos B ccos C M 2RsenA.senB.senC + + = A) 1 2 B) 1 C) 3 D) 3 E) 4 20. En un triángulo ABC de semiperimetro p cuya área de la región triangular es S, entonces: 2 A B C E p tan tan tan 2 2 2 | | | | | | = | | | \ . \ . \ . . Representa a: A) S B) 2S C) 3S D) 4S E) 2 S 21. Las longitudes de los lados de un triángulo miden 26, 20, 18 unidades. Calcule (en 2 u ) el área de la región triangular. A) 9 B) 10 C) 12 D) 10 E) 13 22. En un triángulo ABC(BC = a, AC = b, AB = c), si ( ) A 2 2 bc 4Stan 2 − = y S es el área de la región triangular ABC, halle: m BAC < . A) 2 π B) 3 π C) 4 π D) 6 π E) 8 π 23. En un triángulo ABC(BC = a, AC = b, AB = c), si: abc M a b c = + + . Halle M en función del circunradio (R) y del inradio (r). A) ( ) 1 Rr − B) 2Rr C) 3Rr D) 4Rr E) ( ) 1 2 Rr − EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 18 24. Si el área de la región triangular ABC es S, exprese ( ) 2 2 2 a b c E 2cot C + − = en función de S. A) S B) 2S C) 3S D) 4S E) 6S 25. En un triángulo ABC, si BC = a, AC = b y AB = c. Determine E en función de semiperimetro p, donde: B C a cos .cos 2 2 E A sen 2 | | | | | | \ . \ . = | | | \ . A) p-b B) p 2 C) p-c D) p E) 2p 26. En un triángulo ABC, donde: BC = a, AC = b y AB = c Simplifique: ( ) a b c A B C M sec .sec .sec c 2 2 2 + + | | | | | | = | | | \ . \ . \ . A) 1 2 B) 1 C) 2 D) a E) b 27. Los vértices de un triángulo ABC tienen por coordenadas: A = (-3;-2), B = (6;-2) y C = (2;1). Determine la medida del ángulo A. A) 1 5 tan 4 − | | | \ . B) 1 5 tan 3 − | | | \ . C) 1 4 tan 3 − | | | \ . D) 1 3 tan 5 − | | | \ . E) 1 4 tan 5 − | | | \ . 28. En un triángulo ABC, donde: BC = a, AC = b y AB = c; el área de la región triangular ABC es S. simplifique: 2 2 2 E a b c = sen(A)sen(B)sen(C) en función de S. A) 3 8S B) 3 6S C) 3 4S D) 3 2S E) 3 S 29. En un triángulo ABC, donde: BC = a, AC = b, AB = c; 2p = a + b + c si 4(p ⎯ a)(p ⎯ b) = 3ab. Determine: C tan 2 | | | \ . . A) 3 3 B) 3 2 C)1 D) 2 E) 3 30. En un triángulo ABC; a b r , r y c r son los exradios relativos a los lados BC, AC y AB respectivamente. Si: a b c r r r r = + + . De qué triángulo se trata? A) Obtusángulo B) Isósceles C) Equilátero D) Rectángulo E) Oblicuángulo 31. Si S es área de la región triangular ABC. Exprese: ( ) 2 A E r cot 2rRsen A 2 | | = + | \ . en fun- ción de S. Donde: (r: inradio; R: circunradio). A) S 4 B) S 2 C) S D) 2S E) 3S 32. Un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, tiene dos lados consecutivos congruentes. La diagonal que une los extremos de los lados congruentes tiene como longitud 3 2 2 − ; el ángulo opuesto, en el cuadri- látero, al ángulo comprendido entre dichos lados congruentes, mide 135° ¿Qué longitud tiene los lados? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 33. En un triángulo ABC, de lados a, b, c y semiperimetro P se cumple: 4S = (P ⎯ b)(P ⎯ c)+P(P ⎯ a) S: Área de la región triangular ABC. Halle la medida del ángulo A (en grados sexa- gesimales). A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 34. En un triángulo ABC se cumple: ( )( ) b a c a b c r r r r 2r r − − = Donde a b r , r y c r son las longitudes de los ra- dios de las circunferencias ex-inscritas, determine qué tipo de triángulo es: A) Acutángulo B) Rectángulo EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 19 C) Equilátero D) Isósceles E) Escaleno 35. En un triángulo ABC se cumple: a r 3 = y c = 6, halle el valor de : a b pr r r r M a b − − = + A) 1/2 B) 2 C) 1 D) 1/3 E) 1/4 36. En un triángulo ABC, calcule: ( )( )( ) p a p b p c E A B C ctg ctg ctg 2 2 2 − − − = Si el semiperimetro es p y el inradio es r. A) 3 8pr B) 3 4pr C) 2 2 2p r D) 3 p E) 3 2p r 37. En un triángulo ABC la expresión: 2 2 B A B C a cos bcos ptg tg 2 2 2 2 + − Es: Nota. p: semiperimetro A) a/2 B) a C) 3a/2 D) 2a E) 3a 38. En un triángulo isósceles, el lado desigual, tiene una longitud igual a la mediana relativa a dicho lado, determine el cociente de la suma de los lados del triángulo entre la suma de sus tres medianas. A) 1/3 B) 2 5 2 13 2 + + C) 1 D) 2 5 13 E) 1/2 39. Los lados de un cuadrilátero circunscriptible son tales que su producto es 4 289cm . Si la suma de dos ángulos opuestos de dicho cuadrilátero es ( ) 9 400 / 3 , calcule aproximadamente (en 2 cm ) el valor del área del cuadri- látero. A) 14,1 B) 14,3 C) 14,5 D) 14,7 E) 14,9 40. Los lados de un cuadrilátero bicéntrico se encuentran en progresión aritmética de razón 2 cm, si el mayor lado mide 16 cm. Halle el área de dicho cuadrilátero en 2 cm . A) 8 105 B) 10 105 C) 16 105 D) 24 105 E) 36 105 41. Un cuadrilátero bicentrico tiene un área de 2 20cm , si una diagonal del cuadrilátero tiene longitud 10m y pasa por el centro de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero. Calcule la suma de sus lados, en metros. A) 2 15 B) 3 15 C) 4 15 D) 15 E) 4 35 42. En un cuadrilátero inscriptible ABCD (AB = a, BC = b, CD = c, AD = d). Si a + d = b + c y m ∠ A = 53°. Halle: bc ad A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 2 43. Sea ABCD un cuadrilátero inscriptible, de lados a, b, c, d y S el área de su región cuadrangular, Simplifique: ( ) S W A sen ad bc 2 = | | + | \ . A) cos(C/2) B) 2tg(A/2) C) ctg(c/2) D) 2cos(c/2) E) sen(c/2) 44. Los lados de un cuadrilátero inscriptible, miden AB = 2u, BC = 4u, CD = 3u y AD = 5u. Halle cos θ, si θ es el ángulo que forman las diagonales. A) 5/13 B) 6/13 C) 7/13 D) 9/13 E) 11/13 45. Sea ABCD un cuadrilátero bicentrico de lados a, b, c y a. Determine: ( ) 2 W ad.ctg c / 2 = A) ab B) bc C) ad D) bd E) 2 ad / b 46. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, AB = a BC = b, CD = c y AD = d. Si S es el área de la región ABCD, determine ( ) 2 2 2 2 a d b c + − − tan(A). A) S B) 2S C) 3S D) 4S E) 6S EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 20 47. Dado un cuadrilátero ABCD inscriptible de lados a, b, c y d respectivamente, además el área del cuadrilátero es S. Calcule: ( ) 2 2 2 2 2 4Scot A 2b c a M 1 b d + + − = + + A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 48. En un cuadrilátero circunscriptible ABCD (AB = a, BC = b, CD = c, AD = d), si a = 12 u, b = 25 u, c = 52 u, además; si el área de la región cuadrangular es 2 650u . Entonces, el valor de cos(A+C) A) 5 16 − B) 6 17 − C) 7 18 − D) 8 19 − E) 9 20 − 49. En un cuadrilátero bicentrico sus lados consecutivos son: ( ) sen θ , ( ) cos θ , ( ) tan θ y ( ) cot θ unidades. Entonces, el área (en 2 u ) de la región cuadrangular, es: A) 1 2 B) 2 2 C) 3 2 4 D) 2 E) 2 50. Verifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. En un cuadrilátero ABCD inscriptible se cumple: ( )( ) p a p d C cos 2 ad bc − − | | = | + \ . II. En un cuadrilátero ABCD bicentrico se cumple: B cd tan 2 ab | | = | \ . III. En un cuadrilátero ABCD bicentrico se cumple: ( )( ) p a p d A sen 2 ad bc − − | | = | + \ . A) FFF B) FVV C) FFV D) VVV E) VFV PROF. RAÚL ALEJO EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 21 FÍSICA SEMANA 14: CONDENSADORES – CORRIENTE ELÉCTRICA 01. Respecto a un conductor en equilibrio elec- trostático, podemos afirmar: CARACTERÍSTICAS ELECTROSTÁTICAS DE LOS CONDUCTORES I. La carga neta se ubica siempre en la superficie del conductor. II. El campo eléctrico en el interior del conductor es nulo. III. El potencial en el interior del conductor es cero. A) VFF B) FFF C) VVF D) FFV E) FVF 02. Determine la verdad (V) o falsedad (F) sobre los conductores en equilibrio electrostáti- co: I. Si un conductor tiene una carga neta, esta se distribuye uniformemente en su superficie. II. El potencial eléctrico es constante sólo en la superficie del conductor. III. La magnitud del campo eléctrico es cero en la superficie de un conductor y comienza a aumentar conforme nos alejamos de ella. A) VVV B) VFV C) FVV D) FFV E) FFF 03. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Cuando se deposita carga eléctrica sobre un conductor sólido, ésta se distribuye uniformemente por todo el volumen del conductor. II. En condiciones electrostáticas, dentro de un conductor sólido cargado el campo eléctrico es cero. III. En condiciones electrostáticas, cualquier punto de un conductor sólido cargado se encuentra al mismo potencial. A) VVV B) FVF C) VVF D) FVV E) FFF 04. Respecto a los conductores sólidos aislados en equilibrio electrostáticos, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El campo eléctrico puede tener una compo- nente tangencial a la superficie del conductor justo saliendo de él. II. En un conductor de forma irregular la carga se acumula de manera uniforme en la superficie del conductor. III. Un “cachimbo” se encuentra en el laborato- rio de Física dentro de una caja conductora rectangular cargada, sin ningún otro cuerpo dentro, si toca las paredes internas de la caja no recibirá descarga alguna. A) FFF B) VFF C) FFV D) FVV E) VFV 05. La figura muestra una esfera sólida conductora con carga Q y de radio R. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas? I. La carga eléctrica se encuentra distribuida en todo su volumen. II. El valor del campo eléctrico es cero solo en el centro de la esfera. II. El potencial eléctrico en el centro de la esfera es cero. A) Todas B) I y II C) II y III D) solo II E) ninguna 06. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Si se suspende una carga en el interior de una cavidad conductora, se produce inducción de carga solamente en la superficie externa de la cavidad. II. Cuando sobre la superficie de un conductor se deposita carga, ésta se distribuye uniformemente hasta que en el interior del conductor el campo eléctrico se haga igual a cero. III. Cuando una cavidad conductora inicial- mente descargada se introduce en un campo eléctrico, se induce carga en su superficie externa de tal manera que, en el equilibrio, el potencial eléctrico en el interior de la cavidad se hace cero. A) VVV B) VVF C) FFV D) FVF E) FFF 07. Si el conductor mostrado se encuentra cargado y en equilibrio electrostático, señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El potencial eléctrico en A es mayor que en B. R O Q EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 22 II. El trabajo desarrollado para trasladar una carga desde A hasta B es diferente de cero. III. El vector campo eléctrico en el punto C es como se muestra en la figura. A) FVV B) FVF C) FFF D) FFV E) VVV 08. Una esfera metálica neutra es colocada en un campo eléctrico uniforme, indique el dia- grama que muestra mejor las líneas de campo y distribución de cargas sobre la esfera. A) B) C) D) E) 09. Respecto a los condensadores, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: CONDENSADORES I. Un condensador puede almacenar carga eléc- trica ilimitadamente. II. La capacidad de un condensador es un indi- cador de la cantidad de carga que puede almacenar para una cierta diferencia de potencial entre sus placas. III. La carga total en un condensador cargado es cero. A) VVV B) FVV C) FFV D) VVF E) FVF 10. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Dado que C = Q/ΔV, entonces si la diferencia de potencial (ΔV) se duplica, la capacidad (C) se reduce a la mitad. II. La capacidad eléctrica depende de la carga almacenada y del voltaje aplicado al condensador. III. La capacidad eléctrica de un condensador depende de su geometría. A) FFF B) FFV C) VFV D) VVF E) FVV 11. Señale que proposiciones son correctas: I. En un condensador la carga es proporcional a la diferencia de potencial y la constante de proporcional es su capacidad. II. En un condensador cargado la carga del condensador es el valor de la carga en una de las placas. III. La capacidad de un condensador siempre es positiva. A) Ninguna B) I y II C) II y III D) II y III E) todas 12. En un condensador plano es correcto afirmar: I. Su capacitancia sólo depende del área de sus placas y de la distancia de separación entre ellas. II. Su capacitancia es independiente del dieléc- trico ubicado entre sus placas. III. Al aumentar la distancia de separación entre sus placas la capacitancia aumenta. A) Solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) ninguna 13. Dos placas semicirculares de aluminio de radio 40 cm, son colocadas una frente a la otra con una separación de 1,77 mm, como se muestra en la figura. Asumiendo vacío entre las placas, calcule (en nF) su capacitancia. A) 0,4π B) 0,2π C) 0,8π D) 4π E) 2π 14. Se necesita fabricar un condensador plano de 0,885 pF con placas de 1 cm 2 de área, ¿Cuál B A E d R R EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 23 debe ser la separación, en mm, entre las placas? A) 10 B) 1 C) 0,1 D) 0,01 E) 100 15. Respecto al condensador mostrado en la figura, determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La capacidad del condensador es 5,9 nF. II. La carga del condensador es 35,4 nC. III. La intensidad del campo eléctrico entre las placas es ⎯4 000 ` k V/m A) FFV B) FVF C) VFF D) VFV E) VVV 16. En la figura se muestra la variación de la carga respecto a la diferencia de potencial de un condensador. Determine el área de las placas (en m 2 ), si la distancia de separación entre las placas es 2 mm. A) 339 B) 180 C) 226 D) 430 E) 452 17. Entre las placas de un condensador plano existe un campo uniforme de 400 N/C. Si su capacitancia es 20 uF y la separación entre sus placas es 2 mm. Determine la carga del condensador (en C) A) 80 B) 160 C) 16 D) 1,6 E) 0,8 18. En un condensador de placas paralelas de área 1 m 2 se acumula 35,4 x 10 ‒6 C. Calcule el campo eléctrico (en 10 6 N/C) entre las placas del condensador. A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 6 19. Respecto al proceso de carga de un condensador de placas paralelas, determine las proposiciones correctas: I. El campo eléctrico está distribuido entre las placas del condensador. II. La energía de un condensador está conteni- da en el campo eléctrico entre las placas. III. La densidad volumétrica de energía está dada por εE 2 /2. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF 20. Un condensador plano se conecta a una batería y luego se desconecta. Si se aumenta la separación entre las placas, podemos afirmar sobre la capacitancia, el voltaje y la energía respectivamente: A) Aumenta, aumenta, disminuye B) Disminuye, disminuye, aumenta C) Disminuye, aumenta, disminuye D) Disminuye, aumenta, aumenta E) Disminuye, disminuye, disminuye 21. Un condensador plano se conecta a una ba- tería y luego se desconecta. Si llenamos el es- pacio entre las placas, podemos afirmar: I. La capacitancia disminuye. II. El voltaje entre las placas permanece constante. III. La energía almacenada disminuye. A) Solo I B) solo II C) I y II D) II y III E) solo III 22. Un condensador plano descargado se conecta a los extremos de una batería. Si se aumenta la separación entre las placas, podemos afirmar: I. La capacitancia del condensador permanece constante. II. La diferencia de potencial entre las placas del condensador aumenta. III. La energía almacenada en el condensador aumenta. A) Solo I B) solo II C) Sólo III D) I y III E) ninguna 23. Un condensador de placas paralelas se mantiene conectado a una batería de voltaje constante entre sus terminales. Al acercar las placas del condensador, se cumple: 6 V 1,5 mm A = 1 m 2 A = 1 m 2 Q (uC) V (voltio) 12 4 2 6 EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 24 A) La energía almacenada aumenta y el campo eléctrico entre las placas disminuye. B) La energía almacenada aumenta pero la carga en las placas disminuye. C) La energía almacenada aumenta y la capacidad disminuye. D) La energía almacenada disminuye porque el campo eléctrico también disminuye. E) La energía almacenada aumenta pero el voltaje entre placas no cambia. 24. Determine la capacidad, en uF, equivalente entre los puntos A y B. Todas las capacidades están en uF. A) 90 B) 75 C) 45 D) 20 E) 15 CEPRE2009-I 25. En el circuito de la figura, determine la capacidad equivalente entre los bornes a y b. To- dos los condensadores tienen capacidad C. A) 2C B) 3C C) 4C D) C/2 E) C/4 26. Determine la capacidad equivalente entre los puntos a y b del conjunto de condensadores mostrados (todos tiene la misma capacidad C). A) 0,50C B) 1,00C C) 0,25C D) 1,25C E) 1,75C 27. Determine la capacidad eléctrica equivalente entre X e Y (en uF). Todas las capacidades están representadas en uF. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 28. Calcule la capacidad equivalente entre los puntos a y b del circuito mostrado. A) C/6 B) C/3 C) 2C/3 D) C E) 4C/3 29. En el circuito mostrado la capacidad equivalente entre los puntos A y B no varía si el in- terruptor S se cierra. Hallar la capacidad, en uF, del condensador C. Asuma que todas las capacidades están en uF. A) 1,5 B) 2,0 C) 2,5 D) 3,0 E) 3,5 30. Determine la energía (en mJ) que almacena el sistema de condensadores, si la fuente es de = 40V. (CEPRE_2007-I) A) 8 B) 5 C) 2 D) 1,5 E) 1 31. En el circuito de la figura, determine que energía almacena, en mJ, el sistema de condensadores, sabiendo que todas las capacidades 20 20 30 10 10 A B a b 6 6 6 3 4 10 1 6 X Y A B a b a b S 5 10 5 C ‒ + 5 uF 20 uF 6 uF EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 25 están en uF. ε = 20 V. A) 0,06 B) 1,20 C) 0,03 D) 0,40 E) 0,60 32. En el circuito mostrado, todas las capacidades están en uF, determine la energía almacenada en el circuito y en el condensador de 20 uF (en mJ). A) 1 y 1 B) 1 y 0,16 C) 1 y 0,36 D) 5,8 y 0,16 E) 5,8 y 0,36 33. ¿Qué porcentaje(%) de energía almacena uno de los capacitores de 1 uF, con respecto a la energía de todo el sistema?. A) 1 B) 4 C) 10 D) 20 E) 25 34. Un condensador de 10 uF se carga median- te una batería de 30 V, luego se retira de la fuente y se la conecta en paralelo otro condensador de 5 uF (totalmente descargado), determine la diferencia de potencial (en V) de los condensadores en paralelo. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 35. Los condensadores de capacidades C 1 = 2 uF y C 2 = 3 uF han sido conectados separada- mente a fuentes de tal manera que han adqui- rido cargas de 30 uC y 70 uC respectivamente. Al conectarse los extremos de los condensadores a con c y b con d ¿Cuál será la carga (en uC) en cada condensador? A) 20 y 90 B) 40 y 80 C) 40 y 60 D) 50 y 50 E) 90 y 60 36. Dos condensadores de capacidades C 1 = 3 uF y C 2 = 5 uF se conectan por separado a fuentes de 12 V y 10 V respectivamente; se car- gan y luego se desconectan. Hallar las cargas fi- nales (en uC) para cada condensador, si se conectan uniendo entre si las placas de polaridad opuesta. A) 36 y 50 B) 14 y 8,75 C) 32,25 y 53,75 D) 5,25 y 15 E) 5,25 y 8,75 37. Dos capacitores C 1 = 3 uF y C 2 = 6 uF se conectan en serie a una batería de 12 V. La ba- tería se desconecta y se unen las placas del mismo signo, halle la energía final que almacena el conjunto de condensadores (en uJ). A) 32 B) 48 C) 64 D) 96 E) 128 38. Dos capacitores C 1 = 2 uF y C 2 = 3 uF poseen cargas de ⎯12 uC y 15 uC respectivamente. Si se conectan en circuito cerrado de modo que la placa positiva de C 1 se une con la placa negativa de C 2 , halle la carga final, en uC, de cada capacitor. A) 5,4 y 1,8 B) 1,2 y 1,8 C) 1,2 y 0,8 D) 1,8 y 2,7 E) 1,0 y 1,5 39. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: CORRIENTE ELÉCTRICA I. La corriente eléctrica es un movimiento neto de partículas cargadas eléctricamente. II. Un peine electrizado y puesto en movimien- to establece una corriente eléctrica. III. Si en una solución electrolítica, cierta cantidad de cargas (+) se mueven en un sentido y la misma cantidad de cargas (‒) se mueven en sentido contrario, entonces la corriente eléctri- ca es nula. A) FFF B) VVF C) VFF D) FVF E) VFV 10 V 20 30 8 4 1 3 8 ε ε ‒ + 1 uF 1 uF 2 uF a c d b EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 26 40. Señale que proposiciones son correctas: I. Cuando se aplica una diferencia de potencial en los extremos de un conductor se mueven tanto los protones como los electrones del conductor. II. La dirección de la corriente en un conductor es opuesta a la dirección del flujo de electrones. III. Cuando se produce corriente eléctrica en los gases y soluciones iónicas, es el resultado del flujo de cargas positivas y negativas. A) Solo I B) I y II C) II y III D) solo II E) solo III 41. Indique si los enunciados son verdaderos o falsos (V o F). I. La intensidad de corriente es una cantidad fí- sica fundamental y su unidad en el S.I. es el ampere. II. La intensidad de corriente es una cantidad física vectorial y su sentido coincide con la velocidad de las cargas positivas. III. La intensidad de corriente se define como la carga neta que atraviesa una superficie transversal por unidad de tiempo. IV. La intensidad de corriente es la rapidez con que fluye la carga positiva a través de una sec- ción transversal. A) VFVV B) VFVF C) VVFV D) VFFV E) FFFV 42. En una solución de cloruro de sodio se establece un campo eléctrico que apunta a la derecha por lo tanto respecto a los iones Na + y Cl ‒ se puede afirmar: I. La corriente es cero porque la carga (+) se mueve en sentido contrario a la carga (‒). II. La corriente no es cero porque la carga (+) y (‒) se mueven en el sentido del campo. III. Los iones Na + se mueven a la derecha y los iones Cl ‒ se mueven a la izquierda. A) FFV B) FVV C) VFV D) FFF E) VFF 43. Se establece un campo eléctrico sobre una solución de cloruro de sodio y en 10 s se observa que 6,45 x 10 16 iones de Na + llegan al electrodo negativo y 4,18 x 10 16 iones de Cl ‒ llegan al electrodo positivo. ¿Cuál es aproximadamente la corriente (en mA) que pasa entre los electrodos? A) 5,3 B) 3,6 C) 1,7 D) 6,7 E) 10,3 44. En un tubo fluorescente se transporta 28 C de iones negativos de A hacia B y 32 C de iones positivos de B hacia A, simultáneamente en 12 s. Calcule la intensidad de corriente (en A) que circula por el fluorescente. A) 2,3 B) 2,6 C) 0,3 D) 4,9 E) 5 45. La densidad de electrones libres de un me- tal es de 8 x 10 28 electrones por metro cúbico, si por un conductor de este material cuya sec- ción transversal cuadrada de 1 mm de lado circula una corriente constante de 19,2 A, determine la magnitud de la velocidad de arrastre en mm/s. A) 0,8 B) 1,6 C) 3,0 D) 1,5 E) 2,8 46. Si los electrones libres arrastrados por el campo eléctrico requieren de un intervalo de tiempo de 10 s para recorrer un conductor de silicio de 3 m de longitud y 10 mm 2 de sección recta, determine la intensidad de corriente (en A) asumiendo que la concentración de portadores es 4 x 10 24 electrones/m 3 . A) 3,40 B) 2,15 C) 1,92 D) 1,42 E) 1,52 47. Sobre la densidad de corriente “J”, es falso: I. Es un vector cuya dirección coincide con la dirección de la velocidad de los portadores de carga positivos. II. Su módulo representa la rapidez con que se transporta la carga a través de la unidad de área normal a la corriente. III. Se define como la carga por unidad de volumen. A) Sólo III B) Sólo II C) Sólo I D) II y III E) I y III PROF. ANIBAL MALCA A B EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 27 QUÍMICA SEMANA 14: ÁCIDOS Y BASES 01. Indicar el o los enunciados correctos: I. El 3 NH es una bese según Arrhenius II. Una solución de pH 7 < es ácida. III. Si el HCl se disocia completamente una so- lución 0,1M de HCl presenta 0,1 moL/l H 1+ A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III 02. Indicar en cuál de los siguientes conjuntos, un compuesto no es considerado como ácido de Arrhenius. A) 3 3 HCl.HON , CH COOH B) 2 4 3 H SO , NH HCl C) 4 3 3 NH CH COOH, HNO D) 4 HClO , HF, HCl E) 4 2 4 NH , HCl, H SO 03. ¿Cuál de las siguientes especies químicas no es un ácido según Bronsted y Lowry? A) HF B) 2 2 2 H S O C) 2 5 C H OH D) 3 SO E) 3 CH COOH 04. Identifique los conjugados ácido-base de la siguiente reacción por definición de Broonsted-Lowry A) Ácido + base z base conjugado + ácido conjugado B) Ácido + base z ácido conjugado + base conjugada C) Base + ácido z ácido conjugado + base conjugada D) Base + ácido z base conjugada + ácido conjugado E) Ácido + base z base + ácido conjugado 05. En la siguiente reacción indicar: ¿Cuáles son las especies químicas ácidas, según Bronsted - Lowry? 3 2 3 CO H O HCO OH = − − + + z A) 3 3 CO HCO = − + B) 3 2 CO y H O = C) 2 H O OH − + D) 2 3 H O y HCO − E) 3 CO y OH = − 06. ¿En cuál o cuáles de las siguientes reac- ciones, el agua actúa como una base? I. 2 3 3 H O CH COO CH COOH OH − − + + z II. 2 H O CN HCN OH − − + + z III. 4 2 3 H O NH HH OH + − + + z IV. 2 3 4 3 2 4 H O H PO H O H PO + + + z V. 2 2 4 3 4 H O H SO H O SO + = + + z A) I, II y III B) II y V C) IV y V D) Sólo V E) I y II 07. ¿En cuál o cuáles de las siguientes reac- ciones el agua actúa como un ácido? I. 2 3 4 H O NH NH OH + − + + z II. 2 3 4 3 2 4 H O H PO H O H PO + − + + z III. 2 4 3 4 H O HSO H O SO − + = + + z IV. 2 H O CN HCN OH − − + + z V. 2 3 3 H O CH COO CH COOH OH − − + + z A) I y II B) IV y V C) II y III D) Sólo V E) I, IV y V 08. El 3 BF es………………..según la teoría de …………………… A) Base, Arrhenius B) Acido, Broonsted C) Acido, Lewis D) Base, Lewis E) Base, Broonsted 09. ¿Cuál de los siguientes compuestos es un ácido, de acuerdo a la teoría de Lewis? A) 3 NCl B) 3 PF C) 3 PH D) 3 NH E) 3 BF 10. En la reacción en medio acuoso: 4 2 4 4 3 4 HClO H SO ClO H SO − + + + = Podemos afirmar que: A) El ácido sulfúrico está actuando como un ácido. B) El ácido perclórico es más fuerte que el á- cido sulfúrico. C) La mezcla no conducirá la corriente eléc- trica. D) Si el ácido sulfúrico es más fuerte. E) El ión 4 ClO − es la base conjugada del 2 4 H SO . EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 28 11. Escribe las moléculas siguientes en orden decreciente de acidez. I. HF II. HI III. HCl Datos de energía de ionización: F E 4, 0 = 1 E 2, 5 = Cl E 3, 0 = H E 2,1 = A) I-II- III B) III-II-I C) II-III-I D) I-III-II E) III-I-II 12. Respecto a la siguiente reacción ácido- base: 3 3 3 4 CH COOH NH CH COO NH − + + + = A) El 3 NH es ácido de Lewis. B) El 3 CH COOH es ácido de Broonsted- Lowry C) El 4 NH + es base conjugada. D) El 3 NH es ácido de de Arrhenius . E) El 3 CH COO − es ácido conjugado. 13. Marcar lo correcto según: 2 3 2 3 3 3 3 NH Cu 4NH NH Cu NH NH + + ( ( ↓ ( ( + → ← ( ↑ ( ( ¸ ¸ = A) El 2 Cu + es ácido de Arrhenius. B) El 3 NH es ácido de Lewis. C) El 3 NH es base de Lewis. D) El 2 Cu + es base de Bronsted-Lowry. E) El 2 Cu + es base de Lewis. 14. Cuál de las siguientes propiedades no co- rresponde al comportamiento de una sustancia de carácter ácido: A) En soluciones diluidas poseen sabor agrio. B) Enrojecen al papel tornasol de color azul. C) Toman un color rojo grosella en presencia a de fenoltaleina. D) Neutraliza a sustancia de carácter básico. E) Su pOH>7 15. Si una solución tiene un pH = 4,3 se dice que está es: A) Neutra B) Básica C) Ácida D) Oxidante E) Reductora 16. Se tiene una solución con un pH = 10, luego esta es: A) Ácida B) Básica C) neutra D) Anfótera E) Concentrada 17. Se tiene una solución preparada c con 40ml de NaOH 0,2 M y 60mL de HCl 0,15 M ¿Cuál es el pH de la solución? A) 1,0 B) 2,0 C) 5,0 D) 12,0 E) 13,0 18. ¿Cuál es el pH de una solución preparada por la mezcla de 100mL de HCL 0,005M con 400mL de NaCl 0,02M? A) 1,0 B) 1,7 C) 2,3 D) 3,0 E) 4,0 19. Una disolución acuosa 0,01 N de ácido mo- noprotónico tiene pH = 4; si se diluye la solu- ción a la mitad. ¿Cuál sería la concentración de iones hidronio 3 H O + , en mol/ / ? A) 5 5, 0.10 − B) 5 7,1.10 − C) 4 1.10 − D) 4 5, 0.10 − E) 4 7,1.10 − 20. Hallar el pH de la mezcla de 2 / de KOH 0,5M con 8/ de NaOH 0,1M Dato: log3 = 0,4 A) 13,25 B) 0,74 C) 10,6 D) 13,1 E) 15,3 21. ¿Qué volumen de HCl pH = 2,3 puede ser neutralizado por 500m/ de NaOH cuyo pH=12,3? A) 2/ B) 1,5/ C) 1,8/ D) 6/ E) 10/ 22. ¿Cuál es el pH de una solución cuya con- centración de 3 H O + es el doble de la concen- tración de 3 H O + que posee otra solución cuyo pH = 3,9? A) 3,9 B) 3,6 C) 7,8 D) 7,2 E) 9,2 23. ¿Qué volumen en litros de HCl con pH = 2 neutraliza 600 m/ de NaOH con pH = 1? A) 0,6/ B) 1,2/ C) 6/ D) 60/ E) 12/ 24. Determinar el pH de una solución 3 CH COOH 0,02M cuyo 5 Ka 1, 0x10 − = . Dato: log6 0, 78 = EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 29 A) 2,3 B) 5,8 C) 6,3 D) 3,2 E) 8,5 25. Para neutralizar 0,8/ de 2 4 H SO 0,7M se han utilizado medio litros de NaOH se pide determinar la concentración normal de la soda cáustica. A) 11,2 N B) 2,24 C) 5,6 D) 10,5 E) 3,6 26. ¿Cuántas gotas de HCl 36,5% en masa ( ) solución P 1, 2g / m = / , son necesarios agregar a un litro de agua para disminuir el pH del agua en 5 unidades? A) 17 B) 13 C) 16 D) 10 E) 15 27. Una solución de un ácido monoprótico HA, tiene una concentración 0,1M, si el pH de la solución resultante es 5. Calcular la contante de acides Ka. A) 10 10 − B) 10 2.10 − C) 9 10 D) 4 10 − E) 4 2.10 − 28. ¿Cuántos gramos de NaOH con 15% de hu- medad son necesarios para preparar 2/ de solución cuyo pH=13,3? Dato: | | M.A. Na 13.3 = A) 13,7 B) 18,8 C) 16 D) 44,44 E) 17,4 29. Si disuelve 1 gota de 2 4 H SO al 98% y densidad de solución 1,8g/m/ en 10/ de agua. Determine el pH de la solución y cuántos mg de NaOH se han añadido a esta solución, para que el pH final sea 17. Dato: | | M.A. Na 23 m 20 gotas = ∧ = / A) 3,4 ∧120 B) 3,4 ∧200 C) 3,7 ∧560 D) 3,4 ∧544 E) 3,7∧544 30. ¿Qué acido es más fuerte, si cada uno tiene una concentración 0,1M? A) HF 4 0,1M; Ka 7, 2 10 − = × B) 5 3 CH COOH 0,1M; Ka 8 10 − = × C) 10 HCN 0,1M; Ka 4 10 − = × D) 4 HCOOH 0,1M; Ka 1, 8 10 − = × E) Sólo B y C. 31. Un método comercial para limpiar papas consiste en agitarlas con una disolución de NaOH de 10 a 20 % a 60 – 88 °C durante 1 a 5 minutos y quitar la piel y una vez sacado las papas de la solución se toma una muestra de 35 ml de densidad 0,7g/ml y se valora hasta neutralizar con 42ml de HCl 0,02N ¿servirá to- davía la solución y cuál es su pH? A) Si; 1,6 B) Si; 4 C) No; 10,4 D) No; 12,4 E) Si; 12,4 32. Si una solución de ácido Monoprótico está disociado en 1%, ¿Cuál es su pOH? A) 10,5 B) 11,5 C) 11,0 D) 13,5 E) 13 33. A partir de la solución de 3 CH COOH 2M, cuya constante de ionización es: 5 1, 8 10 − × , calcule el grado de ionización. A) 0,03 B) 0,3 C) 0,025 D) 0,003 E) 0,006 34. Se mezclan las siguientes soluciones. a. 100mL HBr 0,5M b. 100mL HCl 0,25M c. 300mL KOH 0,5M Determine el pH de la solución resultante. A) 13,08 B) 6,72 C) 0,82 D) 11,22 E) 4,35 35. Se tiene una solución acuosa 0,04M de un ácido monoprótico HA en donde se encuentra disociado en 0,85%. Calcule la constante de di- sociación de dicho ácido. A) 6 6, 25 10 − × B) 4 8, 5 10 − × C) 5 2, 25 10 − × D) 6 3, 64 10 − × E) 6 2, 89 10 − × 36. Se tiene la siguiente muestra con sus res- pectivos Ph Muestras pH a. Lagrimas 7,4 b. Jugo de toronja 3,2 c. Limpiador domestico 11,5 d. Pinillos encurtidos 3,4 e. Cerveza 4,2 Indique: I. La muestra que tenga mayor concentración de iones H + . II. La muestra más básica. EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 30 A) a y e B) b y c C) d y e D) c y d E) c y a 37. Se disuelve 1g de HF en agua, formando 500 mL de solución, alcanzando el equilibrio iónico a 25° C donde se determinó que la con- centración ión fluoruro es 0,008M, entonces determine la constancia de acidez. A) 4 6, 40 10 − × B) 4 6, 95 10 − × C) 5 1, 82 10 − × D) 4 4, 25 10 − × E) 4 4, 82 10 − × 38. Si se diluye 20 mL de HCl 1 M con agua hasta obtener 150 mL de solución, luego a esta se le adiciona 50 mL de NaOH 0,5N, entonces calcule el pH de la solución final. Log 2,5 = 0,40 A) 8,20 B) 12,40 C) 11,60 D) 6,40 E) 12,25 39. De las sustancias: 2 4 4 SO , HS , HClO − − , 2 Cu + , y 2 H O indique aquellas que son anfiproticas A) 2 Cu + y 2 H O B) HS − y 2 H O C) 2 4 SO − y HS − D) HS − y 2 H O E) Sólo 4 HClO 40. Cierta amina se comporta en solución acuosa como una base débil monohi- bidroxilada. Una solución 0, 2 M de la amina tiene una concentración de iones OH ⎯ , igual a 10 ⎯5 M. Determine la constante de basicidad. A) 3 x 10 ⎯8 B) 4 x 10 ⎯8 C) 6 x 10 ⎯10 D) 7 x 10 ⎯10 E) 5 x 10 ⎯10 PROF. MICHAEL TÉVEZ EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 31 SEGUNDA MARATON EUREKANA 2010-II (DOMINGO 6 DE JUNIO) EUREKA, la mejor preparación UNI Jesús María: 462 8880 Magdalena: 694 4930 Los Olivos: 521 5182 Página 32

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