Haute Ecole d'Ingéniérie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-VD) Département de la formation en emploiFilière Electricité Filière Télécommunications (RS et IT) Traitement de Signal (TS) Corrigé des exercices in s t i t u t d ' Automatisation in d u s t r i e l l e Prof. Michel ETIQUE, janvier 2006, Yverdon-les-Bains HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé des exercices, v 1.18 2 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Table des matières 1 Analyse des signaux périodiques 5 1.1 Corrigé des exercices . 1.1.1 Exercice SF 1 . 1.1.2 Exercice SF 2 . 1.1.3 Exercice SF 3 . 1.1.4 Exercice SF 4 . 1.1.5 Exercice SF 5 . 1.1.6 Exercice SF 6 . 1.1.7 Exercice SF 7 . 1.1.8 Exercice SF 8 . 1.1.9 Exercice SF 15 1.1.10 Exercice SF 16 1.1.11 Exercice SF 17 1.1.12 Exercice SF 21 Corrigé des exercices . 2.1.1 Exercice TF 1 . 2.1.2 Exercice TF 2 . 2.1.3 Exercice TF 3 . 2.1.4 Exercice TF 4 . 2.1.5 Exercice TF 5 . 2.1.6 Exercice TF 6 . 2.1.7 Exercice TF 7 . 2.1.8 Exercice TF 8 . 2.1.9 Exercice TF 9 2.1.10 Exercice TF 10 2.1.11 Exercice TF 11 2.1.12 Exercice TF 12 2.1.13 Exercice TF 13 2.1.14 Exercice TF 14 2.1.15 Exercice TF 15 2.1.16 Exercice TF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 11 14 14 21 23 31 32 38 41 48 52 55 2 Analyse des signaux non périodiques 2.1 55 55 56 59 61 65 65 67 67 68 68 69 70 70 70 71 72 Corrigé des exercices, v 1.18 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 . .1. . v 1. . . . . . . . . . .15 Exercice ECH 3. .1. . . . . . . . . . .17 2. . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2. . . . . . 5 . . . . .11 Exercice ECH 3. . . . . . . . . . . . . 73 75 75 76 76 76 77 77 78 78 82 83 Echantillonnage des signaux analogiques 3.1.21 2. . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . .18 Exercice ECH . .1. . . . . 8 . . . .3 Exercice ECH 3. .26 2. . . . . .1. . . . . . . . . . . . . .24 2. . . . . . . . .1.5 Exercice ECH 3. . . . . . . . . . . . . . .22 2. .1. . . . . 2 . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . .1. . . . .18 2. . . . .1. . . .14 Exercice ECH 3. .4 Exercice ECH 3. . . . . .1. . . . . . .17 Exercice ECH 3. . . . . .1. . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Exercice ECH 3. . . . . . 6 . .tex 13 mars 2009 . . . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 83 83 84 84 85 86 86 87 87 87 88 88 88 89 89 91 92 92 93 Corrigé des exercices. .8 Exercice ECH 3. . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Exercice ECH 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 2. . . . . . . . . . . . . . . .1. . . 4 .23 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 2. . .18 4 MEE \co_ts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . 1 . . . . . . . . . . . .16 Exercice ECH 3. . . . . . .1. . . . . . . .1. . . .1. .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Exercice ECH 3.12 Exercice ECH 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 3 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice TF 17 TF 18 TF 19 TF 20 TF 21 TF 22 TF 23 TF 24 TF 25 Corr 1 Corr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2. .1. . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . .1 Exercice ECH 3. . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . .7 Exercice ECH 3. . . . . .10 Exercice ECH 3. . . . . . . . . . . .1. .13 Exercice ECH 3. . . . . . . .1 Corrigé des exercices 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . 8 · cos 2 · π · f0 · t + π + 0. On a tout d'abord pour la série en cosinus : Corrigé des exercices. Une harmonique 1 (fondamental) à f0 = 1 [kHz].18 5 MEE \co_ts.1. en comparant à la relation générale du développement en série de Fourier. écrivez x1 (t) et x2 (t) sous forme de série de Fourier complexe. v 1. il faut calculer la série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Chapitre 1 Analyse des signaux périodiques 1. avec a1 = −2 et b1 = 3 Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux. dessinez leurs spectres d'amplitude et de phase unilatéraux et bilatéraux .1 1. 2. Une composante continue a0 2 ∞ ∞ = 12 2 =6 2.1) 2 k=1 k=1 on a : 1. a0 + x (t) = ak · cos (2 · π · k · f0 · t) + bk · sin (2 · π · k · f0 · t) (1.tex 13 mars 2009 .8 · sin (6 · π · f0 · t) 3 1. Corrigé x1 (t) = 6 − 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t) : Pour x1 (t).1 Corrigé des exercices Exercice SF 1 Considérant les 2 signaux suivants pour lesquels f0 = 1 [kHz] x1 (t) = 6 − 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t) x2 (t) = 4 + 1. 8 · sin (6 · π · f0 · t) : 3 Pour x2 (t).HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Signal temporel 10 8 x(t) 6 4 2 6 4 Ak 2 0 1 0.5 αk / π 0 −0.5 −1 0 1000 2000 k f0 3000 4000 5000 0 0.8 · cos 2 · π · f0 · t + π + 0.5 0 −0.6056 · cos (2 · π · f0 · t − 2. on a en se référant au développement en série de Fourier (1.5 Spectre bilatéral 4 x 10 −3 0 1000 2000 k f0 3000 4000 5000 |X(jk)| 0 −5000 1 /X(jk) / π 0.1 ) : 1.eps Figure 1.5 −1 −5000 0 k f0 5000 0 k f0 5000 f_ex_SF_1_1_1.tex 13 mars 2009 .6056 = arctan −3 −2 = −2.1588 [rad] = −123.1 Spectres unilatéral et bilatéral de x1 (t) a0 12 = =6 2 2 2 a2 1 + b1 = ( chier source).5 1 Spectre unilatéral 1.5 2 temps 6 4 2 2.6901 [◦ ] On peut donc écrire : x1 (t) = 6 − 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1 ) = 6 + 3. A0 = A1 = α1 = arctan − b1 a1 (−2)2 + 32 = 3.18 a0 2 = 6 8 2 =4 MEE \co_ts. v 1. Une composante continue Corrigé des exercices.5 3 3.1588) x2 (t) = 4 + 1. 18 .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2. Des harmoniques à f0 = 1 [kHz] et 3 · f0 = 3 [kHz].8 · sin (6 · π · f0 · t) 3 π π + 0.8 · cos 2 · π · f0 · t + π + 0.82 = 0. il faut calculer la série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. avec a1 et b1 à calculer. v 1.8 = arctan −0.8 0 →− π 2 α3 = arctan − b3 a3 On peut donc écrire : x2 (t) = 4 + 1.tex 13 mars 2009 Corrigé des exercices. On a pour la série en cosinus : A0 = a0 =4 2 = 2 a2 1 + b1 A1 = 1.8 · cos 6 · π · f0 · t − = 4 + 1.8 · cos 2 · π · f0 · t + 3 2 = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1 ) + A3 · cos (6 · π · f0 · t + α3 ) Dans le cas général.8 α1 = A3 = π 3 2 a2 3 + b3 = √ 02 + 0.8 Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux. a3 = 0. b3 = 0. il aurait fallu calculer a1 et b1 selon les relations : 2 ak = · T 2 bk = · T +T 2 −T 2 x (t) · cos (2 · π · k · f0 · t) · dt x (t) · sin (2 · π · k · f0 · t) · dt k≥0 k≥1 +T 2 −T 2 En tenant compte des identités trigonométriques cos (α) · cos (β ) = 1 · cos (α + β ) + 2 1 sin (α) · cos (β ) = · sin (α + β ) + 2 7 1 · cos (α − β ) 2 1 · cos (α − β ) 2 MEE \co_ts. 5 1 Spectre unilatéral 1.5 αk / π 0 −0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Signal temporel 8 6 x(t) 4 2 0 4 3 2 1 0 1 0.5 2 temps 4 3 2 1 0 −5000 1 /X(jk) / π 0.tex 13 mars 2009 .5 Spectre bilatéral 4 x 10 −3 f_ex_SF_1_2_1.5 −1 −5000 0 k f0 5000 0 k f0 5000 2.2 Spectres unilatéral et bilatéral de x2 (t) ( chier source).eps Figure 1.5 0 −0. v 1. Corrigé des exercices.5 3 3.5 −1 0 1000 2000 k f0 3000 4000 5000 0 1000 2000 k f0 3000 4000 5000 |X(jk)| Ak 0 0.18 8 MEE \co_ts. v 1.9 · = arctan √ α1 = arctan − b1 a1 0.9 3 √ 2 = 1.8 · T −T 2 1 2 = · 1.92 + −0.8 = 1.9 1 π 1 π · cos 4 · π · f0 · t + + · cos 2 3 2 3 π +T 2 [t]− T 3 2 2 b1 = · T +T 2 −T 2 1.9 · 3 0.047 = π 3 Corrigé des exercices.8 · · cos T 2 = 0.9 · 3 π 1 π 1 · sin 4 · π · f0 · t + + · sin − 2 3 2 3 π +T 2 [t]− T 3 2 A1 = 2 a2 1 + b1 = 0.8 · · sin T √2 = −0.18 9 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 .8 · cos 2 · π · f0 · t + T π · cos (2 · π · 1 · f0 · t) · dt 3 · dt +2 2 = · 1.8 · T −T 2 2 1 = · 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) on a donc : 2 a1 = · T +T 2 −T 2 1.8 · cos 2 · π · f0 · t + T π · sin (2 · π · 1 · f0 · t) · dt 3 · dt On véri e que l'on a bien : +2 2 = · 1. v 1.tex 13 mars 2009 x2 (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1 ) + A3 · cos (6 · π · f0 · t + α3 ) A1 A3 = A0 + · e+j ·(2·π·f0 ·t+α1 ) + e−j ·(2·π·f0 ·t+α1 ) + · e+j ·(6·π·f0 ·t+α1 ) + e−j ·(6·π·f0 ·t+α1 ) 2 2 A1 A3 = A0 + · e+j ·2·π·f0 ·t · e+j ·α1 + e−j ·2·π·f0 ·t · e−j ·α1 + · e+j ·6·π·f0 ·t · e+j ·α3 + e−j ·6·π·f0 ·t · e−j ·α3 2 2 = X1 (j · 0) + X2 (j · 1) ·ej ·2·π·f0 ·t + X2 (−j · 1) ·e−j ·2·π·f0 ·t + X2 (j · 3) ·ej ·6·π·f0 ·t + X2 (−j · 3) ·e−j ·6·π·f0 ·t A0 A1 +j ·α 1 ·e 2 A1 −j ·α 1 ·e 2 A3 +j ·α 3 ·e 2 A3 −j ·α 3 ·e 2 Traitement de Signal (TS) .18 HEIG-VD Pour x1 (t) : x1 (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1 ) A1 = A0 + · e+j ·(2·π·f0 ·t+α1 ) + e−j ·(2·π·f0 ·t+α1 ) 2 A1 = A0 + · e+j ·2·π·f0 ·t · e+j ·α1 + e−j ·2·π·f0 ·t · e−j ·α1 2 = X1 (j · 0) + X2 (j · 1) ·ej ·2·π·f0 ·t + X2 (−j · 1) ·e−j ·2·π·f0 ·t A0 A1 +j ·α 1 ·e 2 A1 −j ·α 1 ·e 2 Pour x2 (t) : 10 MEE \co_ts.Corrigé des exercices. écrivez x (t) sous la forme d'une somme de phaseurs .1. dessinez les spectres bilatéraux et unilatéraux d'amplitude et de phase.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1. remplacez chaque fonction cosinus par deux phaseurs . Pour ce faire : 1.tex 13 mars 2009 .2 Exercice SF 2 Utilisez les formules d'Euler pour montrer que la série de Fourier du signal suivant x (t) = 1 + cos 2 · π · f0 · t + π 6 · cos (10 · π · f0 · t) est décrite par les harmoniques 4.18 11 MEE \co_ts. 3. eectuez le produit . v 1. 2. Corrigé des exercices. 5 et 6. que valent les coe cients X (j · k ) non-nuls ? 4. 5 · ej ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) + e−j ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) π π · 0.tex 13 mars 2009 = 0. v 1.5 · ej ·10·π·f0 ·t + e−j ·10·π·f0 ·t π π π π + 0.5 · ej ·10·π·f0 ·t + e−j ·10·π·f0 ·t = 0.5 X (−j · 5) = 0.5 · ej ·10·π·f0 ·t + e−j ·10·π·f0 ·t + 0.5 π X (−j · 6) = 0.5 · ej ·10·π·f0 ·t + e−j ·10·π·f0 ·t π π = 0.25 · e−j · 6 X (j · 6) = 0.5 · ej ·10·π·f0 ·t + e−j ·10·π·f0 ·t + 0.25 · e−j · 6 π .25 · ej ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) · ej ·10·π·f0 ·t + ej ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) · e−j ·10·π·f0 ·t + e−j ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) · ej ·10·π·f0 ·t + e−j ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) · e−j ·10·π·f0 ·t = X (j · 4) · ej ·8·π·f0 ·t + X (−j · 4) · e−j ·8·π·f0 ·t + X (j · 5) · ej ·10·π·f0 ·t + X (−j · 5) · e−j ·10·π·f0 ·t + X (j · 6) · ej ·12·π·f0 ·t + X (−j · 6) · e−j ·12·π·f0 ·t avec Traitement de Signal (TS) π π = 0.Corrigé des exercices.5 · ej ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) + e−j ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) · 0.25 · ej · 6 X (−j · 4) = 0.25 · ej · 6 X (j · 5) = 0.18 HEIG-VD Corrigé x (t) = 1 + cos 2 · π · f0 · t + π · cos (10 · π · f0 · t) 6 π π = 1 + 0.25 · ej ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) + e−j ·(2·π·f0 ·t+ 6 ) · ej ·10·π·f0 ·t + e−j ·10·π·f0 ·t 12 MEE \co_ts.25 · ej ·(12·π·f0 ·t+ 6 ) + ej ·(−8·π·f0 ·t+ 6 ) + ej ·(8·π·f0 ·t− 6 ) + e−j ·(12·π·f0 ·t+ 6 ) π π π π X (j · 4) = 0.5 · ej ·10·π·f0 ·t + e−j ·10·π·f0 ·t + 0. 5 αk / π 0 −0. v 1.5 −1 0 1 /X(jk) / π 0.5 0 1 0.tex 13 mars 2009 .eps Figure 1.5 Spectre bilatéral 4 0.5 |X(jk)| 0 2 4 k f0 6 8 Ak 0.5 1 Spectre unilatéral 1.5 −5 0 k f0 5 0 2 4 k f0 6 8 −1 −5 0 k f0 5 f_ex_SF_2_1.18 13 MEE \co_ts.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Signal temporel 2 1 x(t) 0 −1 −2 1 0 0.5 0 −0.3 Spectres unilatéral et bilatéral de x(t) ( chier source).5 3 3. Corrigé des exercices.5 2 temps 1 2. v 1.3246 · cos (4 · π · 50 [Hz] · t + 1.16236 = 6.1.2111 · cos (2 · π · 50 [Hz] · t + 2.2490) 1.1.5651 [◦ ] x (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1 ) + A2 · cos (4 · π · f0 · t + α2 ) A0 A1 +j ·α 1 ·e 2 A1 −j ·α 1 ·e 2 = X (j · 0) + X (j · 1) ·ej ·2·π·f0 ·t + X (−j · 1) ·e−j ·2·π·f0 ·t + X (j · 2) ·ej ·4·π·f0 ·t + X (−j · 2) ·e−j ·4·π·f0 ·t A2 +j ·α 2 ·e 2 A2 −j ·α 2 ·e 2 On en déduit A0 = X (j · 0) = 2 A1 = 2 · |X (j · 1)| = 2 · 3.5536) + 6.4 Exercice SF 4 À partir des spectres d'amplitude et de phase d'une SIR vus au cours. esquissez leurs spectres bilatéraux d'amplitude et de phase.3246 et nalement : α0 = 0 [rad] α1 = 2. calculez les spectres complexes des deux signaux de la gure 1.3 Exercice SF 3 Considérant un signal périodique de période T = 20 [ms] décrit par son spectre bilatéral X (j · k ) : k X (j · k ) |X | X 0 2 ±1 −3 ± j · 2 ±2 +1 ± j · 3 retrouvez sa description temporelle en cosinus après avoir rempli les cases libres du tableau.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1.4 page cicontre .6056 ±2. 1.5536 [rad] = ±146.tex 13 mars 2009 .3099 [◦ ] ±2 √ +1 ± j · 3 12 + 32 = 3.18 14 MEE \co_ts.2490 [rad] x (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1 ) + A2 · cos (4 · π · f0 · t + α2 ) = 2 + 7. Corrigé k X (j · k ) |X | X 0 2 2 0 ±1 √ −3 ± j · 2 32 + 22 = 3.2490 [rad] = ±71.6056 = 7. Corrigé des exercices.2111 A2 = 2 · |X (j · 2)| = 2 · 3. 2.5536 [rad] α2 = 1.16236 ±1. 5 page 17.e. SF4 10 8 x (t) [V] 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 6 4 x2(t) [V] 2 0 −2 −4 0 2 4 6 8 t [ms] 10 12 14 16 18 f_exgraphes_7. on trouve la synthèse de x(t) basée sur les Corrigé des exercices. . 1500 [Hz]. f = 500 [Hz]. Le premier signal est une SIR d'amplitude A = 10 de période T = f10 = t = 1 [ms]. de largeur ∆t = 2 [ms].18 15 MEE \co_ts. v 1. retardée d'une durée td = ∆ 2 déduit : X (j · k ) = A · ∆t sin (k · π · f0 · ∆t) −j ·2·π·k·f0 ·td ·e · T k · π · f0 · ∆t 2 sin (k · π · 100 [Hz] · 2 [ms]) −j ·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms] = 10 · · ·e 10 k · π · 100 [Hz] · 2 [ms] sin (k · π · 0. 1000 [Hz].HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Ex. 10. 15. .tex 13 mars 2009 . Sur la même gure. .4 Exercice SF 4 Corrigé ( chier source). . On en 10 [ms]. Les résultats (spectres bilatéraux d'amplitude et de phase) sont donnés sur la gure 1. pour = 5.2 sin k · π · 1 5 =2· ·e−j ·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms] k·π· 1 5 0 pour k i. .eps Figure 1. .2) −j ·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms] =2· ·e k · π · 0. 18 16 MEE \co_ts.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) N = 10 premiers termes X (j · k ) du développement en série de Fourier complexe : +10 x10 (t) = k=−10 X (j · k ) · e+j ·2·π·k·f0 ·t Corrigé des exercices. v 1.tex 13 mars 2009 . 015 0.4 .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2 1.5 0 −1000 −500 0 500 1000 1 0. x(t) 4 2 0 0 0. v 1. Figure 1.01 0.02 t [s] +j ·2·π ·k·f0 ·t termes de la série de Fourier complexe : x10 (t) = +10 .5 arg{X (j ·k)} π f [Hz] 0 −0.5 |X (j · k )| 1 0.18 17 MEE \co_ts.5 xN (t) est la synthèse du signal x(t) basée sur les N = 10 premiers Corrigé des exercices.5 −1 −1000 −500 0 500 1000 f [Hz] 10 8 6 xN (t).005 0. k=−10 X (j · k ) · e On remarque bien sûr la très forte ressemblance avec x(t) tel qu'il apparaît sur le haut de la gure 1.tex 13 mars 2009 . retardée d'une durée td = ∆ = 2.5 [ms] à laquelle on 2 2 a soustrait un oset de 3. T = 10 e − 3. on trouve la synthèse de x(t) basée sur les N = 10 premiers termes X (j · k ) du développement en série de Fourier complexe : +10 ∆t sin (k · π · f0 · ∆t) −j ·2·π·k·f0 ·td · ·e T k · π · f0 · ∆t 5 [ms] sin (k · π · 100 [Hz] · 5 [ms]) −j ·2·π·k·100 [Hz]·2.tex 13 mars 2009 %Tracage Corrigé des exercices. d e l t a _ t = 5 e − 3. figure subplot (211) stem ( k/T. X = A∗ d e l t a _ t /T∗ s i n c ( k / 2 ) . %I n i t i a l i s a t i o n %Parametres ( chier source) clc .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Le second signal est une SIR d'amplitude A = 9 de période T = f10 = 10 [ms]. close all . Sur la même gure. ∗ exp(− j ∗ k ∗ p i / 2 ) .5 [ms] =9· · ·e 10 [ms] k · π · 100 [Hz] · 5 [ms] x10 (t) = k=−10 X (j · k ) · e+j ·2·π·k·f0 ·t Un code MATLAB permettant de calculer X2 (j · k ) et tracer les spectres bilatéraux de gain et de phase est donné ci-dessous. On en déduit : X (j · k ) = A · ce à quoi il faut soustraire l'oset de 3 pour k = 0.18 . t de largeur ∆t = T = 5 [ms].5 e − 3.6 page ci-contre. %numeros des harmoniques a calculer %k<>0 %k=0 N = 10. td = − 2. Les résultats (spectres bilatéraux d'amplitude et de phase) sont donnés sur la gure 1. X(8)=−3+A∗ d e l t a _ t /T . abs (X) ) x l a b e l ( ' kf_0 [ Hz ] ' ) 18 MEE \co_ts. clear all . A=9. k = [ −N:N ] . v 1. 005 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 3 2 |X (j · k )| 1 0 −1000 −500 0 500 1000 1 0.01 0.6 xN (t) est la synthèse du signal x(t) basée sur les N = 10 premiers Corrigé des exercices.4 ( chier source).02 t [s] +j ·2·π ·k·f0 ·t termes de la série de Fourier complexe : x10 (t) = +10 .015 0.5 arg{X (j ·k)} π f [Hz] 0 −0. x(t) 0 −2 −4 0 0. k=−10 X (j · k ) · e On remarque bien sûr la très forte ressemblance avec x(t) tel qu'il apparaît sur le bas de la gure 1. Figure 1.tex 13 mars 2009 .5 −1 −1000 −500 0 500 1000 f [Hz] 6 4 2 xN (t). v 1.18 19 MEE \co_ts. a n g l e (X) / p i ) x l a b e l ( ' kf_0 [ Hz ] ' ) y l a b e l ( ' a r g {X_2( j k ) } ' ) grid Corrigé des exercices. v 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) y l a b e l ( ' | X_2( j k ) | ' ) grid subplot (212) stem ( k/T.18 20 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 . dessinez son spectre bilatéral .7) d'un signal x (t) : 1.6 0. Corrigé 1. On a donc : x(t) = 4+4·cos(2·π ·1 [kHz]·t)+2·cos(2·π ·3 [kHz]·t+0. v 1.eps 3 4 5 Figure 1.2 −0.8.15 [V] A2 0 ∞ Corrigé des exercices.tex 13 mars 2009 . 3.4 0. SF5 5 4 3 Ak [V] 2 1 0 0 1 2 3 4 5 0.4 0 1 2 f [kHz] f_exgraphes_6. 2.5 Exercice SF 5 ( chier source).2·π )+1·cos(2·π ·5 [kHz]·t−0. Au spectre unilatéral est associé directement le développement en série en cosinus. calculez sa puissance et sa valeur e cace.5 = 5.7 Exercice SF 5 1.45·π ) 2.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Ex. Les spectres d'amplitude et de phase sont représentés sur la gure 1. 3.5 [V2 ] P = + · A2 = 4 + 2 k=1 k 2 2 2 √ √ Xe = P = 26.18 21 MEE \co_ts. donnez l'expression de x (t) . 1 42 22 12 2 + + = 26. Considérant les spectres unilatéraux ( gure 1.2 αk / π 0 −0.1. 5 arg{X (j ·k)} π −4000 −2000 0 2000 4000 f [Hz] 0 −0. Corrigé des exercices.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 4 3 |X (j · k )| 2 1 0 1 0.18 22 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 . v 1.8 Ex SF 5.5 −1 −4000 −2000 0 2000 4000 f [Hz] Figure 1. 6 Exercice SF 6 Considérant les trois signaux x1 (t).et bilatéraux.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) x1 (t) x2 (t) x3 (t) k ak bk k Ak αk k X (j · k ) 0 +2 0 1 0 0 5 1 +5 +4 1 3 −π 3 ±1 4±j·3 2 -2 +3 2 0 0 ±2 0 3 +1 1 3 2 +π 2 ±3 −2 ± j 4 0 0 4 0 0 ±4 0 Table 1.1. x2 (t). donnez l'expression temporelle des trois signaux .1 Exercice SF 6. dessinez leurs spectres d'amplitude et de phase uni. v 1.1) : 1.18 23 MEE \co_ts. écrivez ces expressions à l'aide de cosinus seulement . 3. 2.tex 13 mars 2009 . Corrigé des exercices. x3 (t) de période T = 1 [ms] décrits par leurs spectres respectifs (tableau 1. 1. v 1.tex 13 mars 2009 x2 (t) = A0 + ∞ k=1 Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk ) π π + 2 · cos 2 · π · 3 · f0 · t + 3 2 = 1 + 3 · cos 2 · π · 1 · f0 · t − .Corrigé des exercices.18 HEIG-VD Corrigé 1. x2 (t) et x3 (t) : a0 x1 (t) = + ak · cos (2 · π · k · f0 · t) + bk · sin (2 · π · k · f0 · t) 2 k=1 k=1 2 + 5 · cos (2 · π · 1 · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · 1 · f0 · t) − 2 · cos (2 · π · 2 · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · 2 · f0 · t) 2 + 1 · cos (2 · π · 3 · f0 · t) − 1 · sin (2 · π · 3 · f0 · t) = 1 + 5 · cos (2 · π · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · f0 · t) − 2 · cos (4 · π · f0 · t) + 3 · sin (4 · π · f0 · t) + 1 · cos (6 · π · f0 · t) − 1 · sin (6 · π · f0 · t) = Traitement de Signal (TS) ∞ ∞ 24 MEE \co_ts. Expressions temporelles de x1 (t). 16) + 2 · cos 6 · π · f0 · t + 4 = A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1 ) + A2 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α2 ) + A3 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α3 ) Traitement de Signal (TS) .6779 · e−j ·2·π·3·f0 ·t ej ·0.x3 (t) = ∞ k=−∞ Corrigé des exercices.6779 · e−j ·2·π·3·f0 ·t + 5 · e−j ·0. Expressions de x1 (t).6779) + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + 0.675) + 13 · cos (4 · π · f0 · t − 2.6435 · e−j ·2·π·1·f0 ·t =5+2· 5· +2·5· 2 2 √ = 5 + 2 · 5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + 2.6779 · ej ·2·π·3·f0 ·t √ ej ·2.6435) 2.18 HEIG-VD X (j · k ) · ej ·2·π·k·f0 ·t = (−2 − j ) · e−j ·2·π·3·f0 ·t + (4 − j · 3) · e−j ·2·π·1·f0 ·t + 5 + (4 + j · 3) · ej ·2·π·1·f0 ·t + (−2 + j ) · ej ·2·π·3·f0 ·t −1 −3 = (−2)2 + (−1)2 · ej ·arctan ( −2 ) · e−j ·2·π·3·f0 ·t + 42 + (−3)2 · ej ·arctan ( 4 ) · ej ·2·π·1·f0 ·t √ 3 1 + 5 + 42 + 32 · ej ·arctan ( 4 ) · ej ·2·π·1·f0 ·t + (−2)2 + 12 · ej ·arctan ( −2 ) · ej ·2·π·3·f0 ·t √ √ √ √ −1 −3 3 1 = 5 · ej ·arctan ( −2 ) · e−j ·2·π·3·f0 ·t + 25 · ej ·arctan ( 4 ) · e−j ·2·π·1·f0 ·t + 5 + 25 · ej ·arctan ( 4 ) · ej ·2·π·1·f0 ·t + 5 · ej ·arctan ( −2 ) · ej ·2·π·3·f0 ·t √ √ = 5 · e−j ·2.6435 · ej ·2·π·1·f0 ·t + 5 · ej ·2. v 1.6435 · e−j ·2·π·1·f0 ·t + 5 + 5 · ej ·0. partant des résultats ci-dessus.6779 · ej ·2·π·3·f0 ·t + e−j ·2. on a : = X (−j · 3) · e−j ·2·π·3·f0 ·t + X (−j · 1) · e−j ·2·π·1·f0 ·t + X (j · 0) · ej ·2·π·0·f0 ·t + X (j · 1) · ej ·2·π·1·f0 ·t + X (j · 3) · ej ·2·π·3·f0 ·t 25 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 x1 (t) = 1 + 5 · cos (2 · π · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · f0 · t) − 2 · cos (4 · π · f0 · t) + 3 · sin (4 · π · f0 · t) + 1 · cos (6 · π · f0 · t) − 1 · sin (6 · π · f0 · t) √ −4 −3 + (−2)2 + 32 · cos 4 · π · f0 · t + arctan = 1 + 52 + 42 · cos 2 · π · f0 · t + arctan 5 −2 −(−1) + 12 + (−1)2 · cos 6 · π · f0 · t + arctan 1 √ √ √ π = 1 + 41 · cos (2 · π · f0 · t − 0. x2 (t) et x3 (t) à l'aide de cosinus seulement.6435 · ej ·2·π·1·f0 ·t + e−j ·0. x2 (t) et x3 (t) : x1 (t) Le spectre unitlatéral correspond directement à l'expression de x1 (t) en cosinus : x1 (t) = 1 + π 4 = A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1 ) + A2 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α2 ) + A3 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α3 ) 41 · cos (2 · π · f0 · t − 0.18 HEIG-VD Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk ) = 1 + 3 · cos 2 · π · 1 · f0 · t − π π + 2 · cos 2 · π · 3 · f0 · t + 3 2 = A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1 ) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + α3 ) √ x3 (t) = 5 + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + 0.tex 13 mars 2009 Le spectre bilatéral s'en déduit facilement : k Ak αk k X (j · k ) 0 A0 = 1 α0 = 0 0 X (j · 0) = A0 =1 1√ A1 = 41 α1 = −0. .16 ±2 A2 X (±j · 2) = √ · e±j ·α2 2 13 = 2 · e∓j ·2.675 ±1 A1 X (±j · 1) = √ · e±j ·α1 2 41 = 2 · e∓j ·0.x2 (t) = A0 + ∞ k=1 Corrigé des exercices.6435) + 2 · 5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + 2.675) + 13 · cos (4 · π · f0 · t − 2.et bilatéraux est donnée sur la gure 1.6779) = A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1 ) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + α3 ) 3.9.16 3√ A3 = 2 α3 = + π 4 ±3 3 X (±j · 3) = A · e±j ·α3 2 √ π = 22 · e±j · 4 La représentation graphique des spectre uni. v 1.16) + 2 · cos 6 · π · f0 · t + Traitement de Signal (TS) √ √ √ 26 MEE \co_ts.675 2√ A2 = 13 α2 = −2. Spectres unilatéraux et bilatéraux d'amplitude et de phase de x1 (t). v 1.tex 13 mars 2009 Traitement de Signal (TS) x3 (t) = X (j · k ) · ej ·2·π·k·f0 ·t = X (−j · 3) · e−j ·2·π·3·f0 ·t + X (−j · 1) · e−j ·2·π·1·f0 ·t + X (j · 0) · ej ·2·π·0·f0 ·t + X (j · 1) · ej ·2·π·1·f0 ·t + X (j · 3) · ej ·2·π·3·f0 ·t √ √ = 5 · e−j ·2.6435) + 2 · 5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + 2.6435 · ej ·2·π·1·f0 ·t + 5 · ej ·2.et bilatéraux est donnée sur la gure 1.6779) = A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1 ) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + α3 ) Le spectre bilatéral a dédjà été obtenu au précédemment : on avait : ∞ k=−∞ 27 MEE \co_ts. x3 (t) Le spectre unitlatéral correspond directement à l'expression de x3 (t) en cosinus : √ x3 (t) = 5 + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + 0.10.Corrigé des exercices.6779 · ej ·2·π·3·f0 ·t .6779 · e−j ·2·π·3·f0 ·t + 5 · e−j ·0.6435 · e−j ·2·π·1·f0 ·t + 5 + 5 · ej ·0.18 HEIG-VD x2 (t) Le spectre unitlatéral correspond directement à l'expression de x2 (t) en cosinus : x2 (t) = A0 + ∞ k=1 Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk ) = 1 + 3 · cos 2 · π · 1 · f0 · t − Le spectre bilatéral s'en déduit facilement : k 0 1 Ak A0 = 1 A1 = 3 αk α0 = 0 α1 = − π 3 k 0 ±1 π π + 2 · cos 2 · π · 3 · f0 · t + 3 2 = A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t + α1 ) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t + α3 ) 2 A2 = 0 α2 = 0 ±2 3 A3 = 2 α3 = + π 2 ±3 3 X ( ± j · 3) =A · e±j ·α3 ±j ·α1 1 2 π X (j · 0) = A0 X (±j · 1) = A · e 2 · e±j · 2 =2 X (j · k ) X ( ± j · 2) = 0 3 ∓j · π 2 π =1 = 2 ·e 3 = e±j · 2 La représentation graphique des spectre uni. et bilatéraux est donnée sur la gure 1.6779 ±3 3 X (±j · 3) = A · e±j ·α3 2√ 2· 5 · e±j ·2.11.6779 =√ 2 = 5 · e±j ·2.6435 ±1 1 X (±j · 1) = A · e±j ·α1 2 · e±j ·0.Corrigé des exercices. v 1.6435 2 A2 = 0 α2 = 0 ±2 X (±j · 2) = 0 3 √ A3 = 2 · 5 α3 = 2.tex 13 mars 2009 .6779 28 Traitement de Signal (TS) MEE \co_ts.18 HEIG-VD Si l'on répète néanmoins la même opération que pour x1 (t) et x2 (t). 1 A1 = 10 α1 = 0.6435 = 10 2 = 5 · e±j ·0. on a : k Ak αk k X (j · k ) 0 A0 = 5 α0 = 0 0 X (j · 0) = A0 =5 La représentation graphique des spectre uni. 2 −0.5 • • • • • • • |X (j · k )| Ak 1 0 • 3000 0 f [Hz] 0. v 1.6 • • • −3000 −2000 −1000 • 0 arg{X (j ·k)} π • 3000 10 5 f Hz f Hz x(t) 0 −5 −2 −1 0 1 2 t [ms] Figure 1.6 • • • 1000 2000 0 • 3000 0.2 −0.18 ( chier source).2 −0.4 0.9 3 2 ( chier source).HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 6 4 • • • 0 1000 2000 3 2 • • • −3000 −2000 −1000 • • • 1000 2000 3000 Ak 2 0 • 3000 1 0 • 0 |X (j · k )| f Hz 0.5 1 0.4 • • −3000 −2000 −1000 • • • 1000 2000 3000 arg{X (j ·k)} π • 0 • 6 4 2 f [Hz] f [Hz] x(t) 0 −2 −4 −2 −1 0 1 2 t [ms] Figure 1.4 0. 29 MEE \co_ts.4 −0.2 0 αk π f Hz • • 1000 2000 −0.4 −0.2 αk π −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 • • 0 1000 f [Hz] 0 −0.6 0.2 0 −0.4 0.10 Corrigé des exercices.2 • • 2000 3000 0.2 0 −0.tex 13 mars 2009 . • • • 0 1000 2000 1. 6 0.4 −0. Corrigé des exercices.6 −0.4 0.18 30 MEE \co_ts.8 0.2 0 −0.2 0 20 10 • 0 • 1000 2000 • 3000 0.2 −0.tex 13 mars 2009 .8 0.8 • • 2000 3000 arg{X (j ·k)} π • • • • 0 f [Hz] −3000 −2000 −1000 1000 f [Hz] x(t) 0 −10 −2 −1 0 1 2 t [ms] Figure 1.4 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Ak 10 8 6 4 2 0 • • 0 1000 2000 • • 3000 5 4 3 2 1 0 • • −3000 −2000 −1000 • • • |X (j · k )| • 0 1000 2000 • 3000 f [Hz] 0. v 1.11 ( chier source).6 αk π • f [Hz] • 0. 18 31 MEE \co_ts. Corrigé x1 (t) : P = A2 0+ = A2 0+ 1 · A2 2 k=1 k ∞ 1 2 2 · A2 1 + A2 + A3 2 2 2 1 √ 2 = 12 + · 5 + 42 + (−2)2 + 32 + 2 1 = 1 + · [41 + 13 + 2] 2 = 29 [V2 ] x2 (t) : 1 + (−1)2 2 P = A2 0 1 A2 + · 2 k=1 k ∞ = A2 0+ 1 2 · A2 1 + A2 2 1 2 = 1 + · 32 + 22 2 = 7.7 Exercice SF 7 Calculez la puissance de chacun des trois signaux de l'exercice 1.1.6 page 23.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1. v 1.1.tex 13 mars 2009 .5 [V2 ] x3 (t) : ∞ k=−∞ P = |X (j · k )|2 ∞ k=1 = |X (j · 0)| + 2 · |X (j · k )|2 = 85 [V2 ] √ √ 2 2 42 + 32 + 22 + 12 = 52 + 2 · Corrigé des exercices. 1.8 Exercice SF 8 Considérant le signal x (t) = 2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0. 4. véri ez que la puissance de ce signal calculée à l'aide des trois représentations donne le même résultat . comment calculeriez-vous la puissance dans l'espace temps ? voyez-vous des moyens de simpli er ce calcul ? Si oui.tex 13 mars 2009 .25 · cos (6 · π · f0 · t) 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1. αk } {X (j · k )} 3. le résultat est immédiat. écrivez x (t) dans les formes cosinus et complexe . b k } {Ak . v 1. donnez les composantes spectrales dans les trois représentations : { ak .18 32 MEE \co_ts. Corrigé des exercices. 2. 25 · cos (6 · π · f0 · t) 2 π π 1 1 1 1 = 2 + · e+j ·(2·π·f0 ·t− 2 ) + · e−j ·(2·π·f0 ·t− 2 ) + 0.25 +j ·6·π·f0 ·t 0.25 · · e+j ·(6·π·f0 ·t) + 0.25 −j ·6·π·f0 ·t = 2 + · e−j · 2 · e+j ·2·π·f0 ·t + · e+j · 2 · e−j ·2·π·f0 ·t + ·e + ·e 2 2 2 2 33 2. on obtient facilement la série complexe en faisant usage des formule d'Euler : x (t) = 2 + cos 2 · π · f0 · t − π + 0.25 · · e−j ·(6·π·f0 ·t) 2 2 2 2 +j ·2·π ·f0 ·t −j ·2·π ·f0 +j ·6·π ·f0 ·t = X (0) + X (+j · 1) · e + X (−j · 1) · e + X (+j · 3) · e + X (−j · 3) · e−j ·6·π·f0 ·t π π 1 1 0.25 α1 = − π 2 α3 = 0 .Corrigé des exercices.25 · cos (6 · π · f0 · t) 2 = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1 ) + A3 · cos (6 · π · f0 · t + α3 ) Partant de la série en cosinus.18 HEIG-VD Corrigé 1. v 1. MEE \co_ts. On a pour la série en cosinus : x (t) = 2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.tex 13 mars 2009 Traitement de Signal (TS) Série en cosinus : A0 = 2 A1 = 1 A3 = 0.25 · cos (6 · π · f0 · t) π = 2 + cos 2 · π · f0 · t − + 0. 125 · ej ·0 Traitement de Signal (TS) a0 P = 2 = MEE \co_ts.52125 [V2 ] .25 · cos (0) = 0. v 1.5 · e∓j · 2 3.25 · sin (0) = 0 Série complexe : X (±j · 1) = 0.tex 13 mars 2009 2 1 + · 2 k=1 ∞ 2 2 a2 k + bk a0 2 1 2 2 2 + · a2 1 + b 1 + a3 + b 3 2 2 2 4 1 = + · 02 + 12 + 0.18 HEIG-VD Série de Fourier : a0 = 2 · A0 a1 = +A1 · cos (α1 ) b1 = −A1 · sin (α1 ) a3 = +A3 · cos (α3 ) b3 = −A3 · sin (α3 ) =2·2=4 π = cos − =0 2 π = − sin − =1 2 = 0.Corrigé des exercices. X (j · 0) = 2 34 Série de Fourier : π X (±j · 3) = 0.25 = −0.252 + 02 2 2 = 4. 52125 [V2 ] 4.tex 13 mars 2009 P = |X (j · k )|2 = |X (−j · 3)|2 + |X (−j · 1)|2 + |X (j · 0)|2 + |X (j · 1)|2 + |X (j · 3)|2 = 0.1252 = 4.Corrigé des exercices.25 · cos (6 · π · f0 · t)]2 · dt +T 2 −T 2 .52125 [V2 ] = 22 + Série complexe : +∞ k=−∞ 35 MEE \co_ts.18 HEIG-VD Série en cosinus : P = A2 0 1 A2 + · 2 k=1 k ∞ 1 2 · A2 1 + A3 2 1 = 22 + · 12 + 0. La puissance dans l'espace temps se calcule comme : Traitement de Signal (TS) 1 P = · T 1 = · T +T 2 −T 2 x2 (t) · dt [2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.1252 + 0. v 1.252 2 = 4.52 + 22 + 0.52 + 0. . v 1..Corrigé des exercices.252 · cos2 (6 · π · f0 · t) · dt .252 · cos2 (6 · π · f0 · t) T =0 1 ·sin (2·π ·f0 ·t+6·π ·f0 ·t)+ 1 ·sin (2·π ·f0 ·t−6·π ·f0 ·t) 2 2 36 MEE \co_ts. il su t donc d'évaluer : Traitement de Signal (TS) 1 P = · T 1 = · T = .25 · cos (6 · π · f0 · t))]2 T =0 Pour la somme de sinus au carré.25 · cos (6 · π · f0 · t))2 T =0 (sin (2 · π · f0 · t) + 0. 1 = · T +T 2 −T 2 x2 (t) · dt [2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t) + (sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · (sin (8 · π · f0 · t) + sin (−4 · π · f0 · t)) +0.25 · cos (6 · π · f0 · t))2 = sin2 (2 · π · f0 · t) + 2 · sin (2 · π · f0 · t) · 0.tex 13 mars 2009 Pour le calcul de la puissance dans le domaine temporel.18 HEIG-VD La fonction à intégrer peut être mise sous la forme : [2 + (sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)]2 · dt +T 2 −T 2 +T 2 −T 2 22 + sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t) = sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t) = sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.5 · sin (2 · π · f0 · t) · cos (6 · π · f0 · t) +0. on a : = 22 + 2 · 2 · sin (2 · π · f0 · t) +0.25 · cos (6 · π · f0 · t) + 0. tex 13 mars 2009 . il su t de sommer les carrés des valeurs e caces de 2.18 HEIG-VD Autrement dit. sin (2 · π · f0 · t) et 0. soit : P =2 + 2 1 √ 2 2 + 0.53125 [V2 ] 37 Traitement de Signal (TS) MEE \co_ts.25 · 2 1 √ 2 2 = 4.Corrigé des exercices.25 · cos (6 · π · f0 · t). v 1. 1.0091 X (−j · 2) = 1.4677 X (j · 5) = 0 Corrigé des exercices. de largeur ∆t = 20 [µs] et d'amplitude A = 10 [V]. 2.0091 X (j · 4) = 0. 1.5136 X (j · 3) = 1. calculez le pourcentage de puissance comprise dans le premier lobe du sinus cardinal . Le premier lobe du spectre est donc constitué des raies (pour mémoire.5136 X (−j · 1) = 1. admettant que cette SIR est appliquée à un ltre passe-bas d'ordre 1 dont la fonction de transfert est 1 fc = 10 [kHz] H (j · f ) = f 1+j· f c que valent l'amplitude et la phase des composantes 10 [kHz].9 Exercice SF 15 Considérant une SIR centrée de période T = 100 [µs].12 page ci-contre).2 Le spectre d'amplitude s'annule pour la première fois pour k = 5 ( gure 1. on a |X (j · k )| = |X (−j · k )|) = 2 [ V] · X (−j · 5) = 0 X (−j · 4) = 0.4677 X (−j · 3) = 1. On a : X (j · k ) = A · sin (k · π · 0.tex 13 mars 2009 .2) k · π · 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1.871 X (j · 2) = 1.18 1 20 [µs] sin k · π · 100 [µs] · 20 [µs] · = 10 [V] · 100 [µs] k · π · 1001[µs] · 20 [µs] ∆t sin (k · π · f0 · ∆t) · T k · π · f0 · ∆t 38 MEE \co_ts.871 X (j · 0) = 2 X (j · 1) = 1. 40 [kHz] et 150 [kHz] ? Corrigé La série de Fourier complexe d'une SIR a été calculée dans le cours. v 1. HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2 1.5 |X (j · k )| 1 0.5 0 −100 −50 0 50 100 1 0.5 arg{X (j ·k)} π f [kHz] 0 −0.5 −1 −100 −50 0 50 100 f [kHz] Figure 1.12 f0 = 1001[µs] = 10 [kHz] ( chier source). Corrigé des exercices, v 1.18 39 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1. La puissance correspondante est ainsi : +5 +5 P±5 = = 2 + 2 · 1.871 + 1.5136 + 1.00912 + 0.46772 = 18.05756 [V2 ] 2 2 k=−5 2 |X (j · k )| = X (0) + 2 · 2 2 k=1 |X (j · k )|2 La puissance totale du signal se calcule aisément dans le domaine temporel : 1 P = · T +T 2 −T 2 x2 (t) · dt + 100 [µs] 2 100 [µs] − 2 10 [µs] + 2 10 [µs] − 2 1 = · 100 [µs] = 1 · 100 [µs] x2 (t) · dt (10 [V])2 · dt + 10 [µs] 2 10 [µs] 2 10 [µs] + 2 10 [µs] − 2 1 = 100 [µs] 1 = 100 [µs] 1 = 100 [µs] 20 [µs] = 100 [µs] = 20 [V2 ] · (10 [V]) · 2 dt − · (10 [V])2 · [t] · (10 [V])2 · + · (10 [V])2 10 [µs] 10 [µs] − (− ) 2 2 La puissance contenue dans le premier lobe de X (j · k ) représente donc P±5 18.05756 [V2 ] = ≈ 90% P 20 [V2 ] de la puissance totale du signal. 2. Il su t d'injecter dans H (j · f ) = 1 f 1+j · f les harmoniques de x(t) corres- pondant à 10 [kHz], 40 [kHz] et 150 [kHz], soit X (j · 1), X (j · 4) et X (j · 15), et d'extraire le module et l'argument du résultat Y (j · k ) : Y (j · 1) = Y (j · 4) = 1 1+j· 1 1+j· 1 f fc f fc c · X (j · 1) = · X (j · 4) = 1 1 1+j· 1+j· 10 [kHz] 10 [kHz] 40 [kHz] 10 [kHz] · 1.871 = 0.9355 − 0.9355 · j = 1.323 · e−j · 4 π · 0.4677 = 0.0275 − 0.1100 · j = 0.1134 · e−j ·1.3258 ·0=0 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 Y (j · 15) = 1+j· f fc · X (j · 15) = 1 1+j· 150 [kHz] 10 [kHz] Corrigé des exercices, v 1.18 40 HEIG-VD Traitement de Signal (TS) On remarquera le cas particulier où f = fc = 10 [kHz], i.e. celui où la fréquence du signal d'excitation x(t) coïncide avec la fréquence caractéristique (ou fréquence de coupure) du ltre H (j · f ) : ; (a) Le déphasage est d'exactement arg {H (j · fc )} = − π 4 (b) L'atténuation est de |H (j · f )| = 1.323 1.871 = 0.7071 = √ 2 2 = −3 [dB]. 1.1.10 Exercice SF 16 Un ltre passe-bas RC réalisé avec R = 1 [kΩ] et C = 0.1 [µF] est excité par un signal carré u1 (t) de période T = 1 [ms] et d'amplitude comprise entre 0 et 20 [V] : 1. esquissez le signal de sortie u2 (t) et le courant i (t) ; 2. pour chacun des 3 signaux u1 (t), u2 (t), i (t), calculez leurs valeurs DC, e cace totale et e cace AC. Corrigé On a pour la tension de sortie u2 (t) ainsi que le courant i(t) : Corrigé des exercices, v 1.18 41 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 20 15 u1 (t) [V] 10 5 0 0 1 2 3 4 5 t [ms] 20 15 u2 (t) [V] 10 5 0 0 1 2 3 4 5 0.02 0 1 2 3 4 5 t [ms] Corrigé des exercices.18 42 MEE \co_ts. v 1.01 t [ms] i(t) [A] 0 −0.02 0.01 −0.tex 13 mars 2009 . Corrigé des exercices.18 HEIG-VD Puissance du signal de X (j · k ) u1 (t) La valeur DC n'est autre que la valeur moyenne X (j · 0) du signal.tex 13 mars 2009 +T 2 −T 2 1 = · 1 [ms] = 1 · 1 [ms] = 10 [V] Traitement de Signal (TS) 1 [ms] 2 1 [ms] + 2 x (t) · dt 20 [V] · dt 0 La puissance AC se calcule par déduction de la puissance DC Pdc = |U1 (j · 0)|2 = 100 V2 de la puissance totale . pour k = 0 : 1 U1 (j · 0) = · T 1 = · T +T 2 −T 2 x (t) · e−j ·2·π·0·f0 ·t · dt x (t) · dt + − 1 [ms] 2 43 MEE \co_ts. Partant de la dé nition 1 X (j · k ) = · T +T 2 −T 2 x (t) · e−j ·2·π·k·f0 ·t · dt − ∞ < k < +∞ on a. v 1. La puissance totale s'écrit : 1 P = · T +T 2 −T 2 x2 (t) · dt + 1 [ms] 2 1 [ms] − 2 1 [ms] + 2 1 · = 1 [ms] = x2 (t) · dt 1 · (20 [V])2 · dt 1 [ms] 0 1 [ms] 1 + = · (20 [V])2 · [t]0 2 1 [ms] 1 1 [ms] = · (20 [V])2 · + −0 1 [ms] 2 = 200 V2 La valeur e cace est donc : 44 La valeur e cace AC est : MEE \co_ts. Par calcul. v 1.AC = P1 − P1. .18 HEIG-VD P .DC = 200 V2 − 100 V2 = 100 V2 U1eAC = Puissance du signal P1.AC = 10 [V] u2 (t) La valeur DC sera égale à celle de u1 (t) puisque l'on a aaire à un ltre passe-bas.tex 13 mars 2009 U1e = √ P = 200 V2 = 10 · √ 2 [V] Traitement de Signal (TS) On déduit de la puissance totale P et de la puissance DC Pdc la puissance AC : P1.Corrigé des exercices. 18 HEIG-VD on aurait : U2 (j · 0) = H (j · f ) · U1 (j · 0) 1 = · U1 (j · 0) 1 + j · 2 · π · 0 · f0 · τ = 1 · U1 (j · 0) = 10 [V] Pour la puissance totale. v 1. on peut procéder selon Parseval dans le domaine fréquentiel ou temporel. On peut aussi noter que si le rapport des amplitudes de la sortie et de l'entrée est donné par celui des puissances est par suite donné par : 45 Il s'ensuit que MEE \co_ts.Corrigé des exercices.0 · P1 (j · 0) Traitement de Signal (TS) Pour la puissance DC de u2 (t) on a donc : = 1.tex 13 mars 2009 U2 (j · k ) = H (j · f )|f =k·f0 U1 (j · k ) |U2 (j · k )|2 P2 (j · k ) 2 = 2 = |H (j · f )|f =k·f0 P1 (j · k ) |U1 (j · k )| P2 (j · k ) = |H (j · k · f0 )|2 · P1 (j · k ) 1 = · P1 ( j · k ) 1 + (2 · π · k · f0 · τ )2 P2 (j · 0) = 1 · P1 (j · 0) 1 + (2 · π · 0 · f0 · τ )2 = 1.0 · |U1 (j · 0)|2 = 100 V2 . 1 [ms] 1 2 ≈ · U0 2 1 ≈ · (20 [V])2 2 ≈ 200 V2 1 −2· R1 ·t ·C 1 ·e − 2 · R ·C +T 2 0 Traitement de Signal (TS) .1 [µF]=0.18 HEIG-VD La puissance totale est plus facilement calculée dans le domaine temporel : P2 = 1 · T T 0 T 2 u2 2 (t) · dt U0 · 1 − e− R·C ·τ T 2 1 1 = · T U2 = 0 · T U2 = 0 · T = 2 U0 2 0 · dτ + 1 · T T 2 T T 2 1 U0 · e− R·C ·(τ − 2 ) 1 T 2 · dτ t =τ − T 2 0 T 2 1−e 1−e ·τ − R1 ·C − R1 ·τ ·C 2 1 · dτ + · T U2 · dτ + 0 · T +e −2· R1 ·τ ·C e− R·C ·t T 2 1 2 0 · dt 2 0 T 2 0 e−2· R·C ·t · dt T 2 T · 0 1−2·e − R1 ·τ ·C U2 · dτ + 0 · T U2 1 1 − R1 −2· R1 ·t ·t ·C ·C = 0 · t−2· + 1 ·e 1 ·e T − R ·C − 2 · R ·C = 2 U0 0 +T 2 0 e−2· R·C ·t · dt U2 1 −2· R1 ·t ·C + 0 · 1 ·e T − 2 · R ·C +T 2 0 1 46 MEE \co_ts.Corrigé des exercices.tex 13 mars 2009 T · t−2· 1 − R1 ·C · e− R·C ·t + 2 · 1 U2 T 1 1 − R1 ·T − 1 ·0 −2· R1 ·T −2· R1 ·0 ·C 2 − e R·C ·C 2 − e ·C = 0 · + −0−2· +4· 1 · e 1 · e T 2 − R ·C − 2 · R ·C U2 T 1 1 ·T ·T − R1 −2· R1 ·C 2 − 1 ·C 2 − 1 = 0 · + −2· +4· 1 · e 1 · e T 2 − R ·C − 2 · R ·C 2 T 1 U 1 − R1 ·T −2· R1 ·T ·C 2 + 4 · ·C 2 = 0 · + −2· 1 ·e 1 ·e T 2 − R ·C −2 · R·C 1 R·C − T R·C − T 2 = U0 · +2· · e 2·R·C − 2 · · e R·C 2 T T T =1 [ms] R·C =1 [kΩ]·0. v 1. 18 HEIG-VD La puissance AC de u2 (t) est dès lors : P2. 47 Traitement de Signal (TS) MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 .DC = 200 V2 − 100 V2 = 100 V2 La valeur e cace AC est : U2eAC = Puissance du signal P2.AC = P2 − P1. v 1.AC = 10 [V] i(t) Suite du corrigé en préparation.Corrigé des exercices. de période T = 20 [ms] et de largeur ∆t = 1 [ms]. On lui applique une SIR x (t) d'amplitude A = 10 [V].0659 − j · 0. estimez la valeur maximum de y (t) . l'analyseur spectral du signal de sortie fournit le coe cient complexe Y (j · 5) = −0. quelle est la fonction de transfert H (j · ω ) du circuit . la composante continue X (j · 0) de l'entrée x(t) se retrouve telle quelle à la sortie : Y (j · 0) = X (j · 0) 2. (Rép. que valent la constante de temps et la fréquence de coupure du ltre ? (Rép.37.1. fc = 100 [Hz]) Corrigé 1. v 1. la fonction de transfert en j · ω s'obtient en raisonnant avec des impédance complexes et en faisant usage de la règle du diviseur de tension : Y (j · k ) = Corrigé des exercices.6 [ms]. H = −68 [◦ ]) 6. 3.13 1. admettant que la constante de temps est de l'ordre de 2 [ms]. 1. Comme il s'agit d'un ltre passe-bas ( gure 1.154 . : τ = 1.13). pour la fréquence f = 5 · f0 . 5. que valent les spectres bilatéraux X (j · k ) et Y (j · k ) ? 4.11 Exercice SF 17 ( chier source). calculez l'amplitude et l'argument de la fonction de transfert pour cette fréquence . Sous l'hypothèse de régime sinusoïdal permanent.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) R x(t) C y (t) Figure 1. que valent les composantes continues des signaux d'entrée et de sortie ? 2. esquissez les signaux d'entrée x (t) et de sortie y (t) .18 R 48 1 j ·ω · C 1 + j ·ω ·C · X (j · k ) MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 . Soit un ltre RC passe-bas dont la constante de temps est mal connue. : |H | = 0. les résultats se présentent comme indiqué sur la gure 1. On a : H (j · ω )|ω=2·π·5·f0 = Y (j · 5) X (j · 5) 0. c'est le spectre bien connu d'une SIR : X (j ·k ) = A· avec f0 = 1 .13) par synthèse à partie des N = 41 premiers termes de Y (j · k ).05 · k ) Graphiquement.15 montre le signal de sortie.3721 = = 1 1+j· 1 1+ Corrigé des exercices.1671 [ ] 6.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) d'où : H (j · ω ) = Y (j · k ) 1 1 1 = = = X (j · k ) 1+j·ω·R·C 1+j·ω·τ 1+j· f fc fc = 1 2·π ·τ 3. Pour X (j · k ). La gure 1.0659 − j · 0.05 · 5) = −0.05 · k ) Y (j · k ) = H (j · ω )|ω=2·π·f =2·π·k·f0 · X (j · k ) = · 0. Du point précédent. obtenu ici non par calcul analytique (résolution de l'équation diérentielle régisant le circuit de la gure 1.1464 − 0.18 f fc f fc 2 49 MEE \co_ts. T 1 [ms] 1 ∆t ·sinc(k · f0 · ∆t) = 10· ·sinc k · · 1 [ms] T 20 [ms] 20 [ms] Y (j · k ) est donc simplement : 1 1+j·k· f0 fc = 0. par : +N yN (t) = k=−N Y (j · k ) · e+j ·2·π·k·f0 ·t 5.5 · sinc(0. on tire : |H (j · ω )|ω=2·π·5·f0 = 0.3421 · j ◦ = 0.tex 13 mars 2009 .14.e.3721 · e−j ·113. 4.5·sinc(0.154 = 0.5 · sinc(0. i. v 1. 6 |H (j · k )| 0.lml.1 0 f [Hz] −2000 −1000 0 1000 2000 f [Hz] Figure 1.3 |X (j · k )| 0.5 0.14 exsf.2 0 f [Hz] −2000 −1000 0 1000 2000 0. v 1.8 0.2 0.5 0.3 |Y (j · k )| 0.4 0. Corrigé des exercices.2 0.18 50 MEE \co_ts.1 0 −2000 −1000 0 1000 2000 1 0.4 0.tex 13 mars 2009 .4 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 0. 22 [Hz] = fc On en déduit : τ= 1 1 1 = = = 1.22 [Hz] Corrigé des exercices. i. v 1.59 [ms] ωc 2 · π · fc 2 · π · 100.04 −0.15 Signal de sortie y(t) ≈ y41 (t).02 0 0.02 0.e.tex 13 mars 2009 .37212 100. par : y41 (t) = +41 k=−41 Y (j · k ) · e ( chier source).37212 f fc 2 5 · f0 = fc −1 = fc −1 5 · 50 [Hz] 1 0.37212 1 0.04 t [s ] Figure 1.18 51 MEE \co_ts.37212 1 f − 1 = 0. D'où : 1 =1+ 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 4 3 yN (t) 2 1 0 −0. obtenu par synthèse à partie des +j ·2·π ·k·f0 ·t N = 41 premiers termes de Y (j ·k ).37212 fc f = fc 1 − 1 0. quelle est la puissance normalisée P2 du signal de sortie ? 3. α = 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1. avec A = 10 [V]. faites l'A. v 1.2 · + ·e − ·e − ·e − ·e 2 2·j 2·j 4 4 π π = 10 + 5 · e−j · 2 · ej ·ω0 ·t + 5 · e+j · 2 · e−j ·ω0 ·t + 5 · ej ·π · ej ·2·ω0 ·t + 5 · e−j ·π · e−j ·2·ω0 ·t = U2 (j · 0) + U2 (j · 1) + U2 (−j · 1) + U2 (j · 2) + U2 (−j · 2) 2.1. esquissez u2 (t) .N. 2.2 · 102 −j ·2·ω0 ·t = 0.tex 13 mars 2009 .2 V 5. quel est son taux de distorsion harmonique ? Corrigé 1. soit A 2 A2 102 2 √ P1 = U1 = = = = 50 V2 e 2 2 2 Corrigé des exercices.2 · 102 j ·2·ω0 ·t 0. u2 (t) a pour expression : u2 (t) = α · u1 (t) + β · u2 1 (t) = α · A · sin (ω0 · t) + β · (A · sin (ω0 · t))2 1 − 2 · cos (2 · ω0 · t) = α · A · sin (ω0 · t) + β · A2 · 2 2 2 A A =β· + α · A · sin (ω0 · t) − β · · cos (2 · ω0 · t) 2 2 Pour obtenir rapidement le spectre U2 (j · k de u2 (t).12 Exercice SF 21 Un circuit non linéaire de type parabolique est modélisé par la caractéristique de transfert suivante : u2 (t) = α · u1 (t) + β · u2 1 (t) Sachant qu'on lui applique une tension sinusoïdale u1 (t) = A · sin (ω0 · t) : 1. déterminez les composantes spectrales que l'on obtient à la sortie . on peut dans ce cas faire usage des relations d'Euler : u2 (t) = β · A2 ej ·ω0 ·t − e−j ·ω0 ·t A2 ej ·2·ω0 ·t + e−j ·2·ω0 ·t +α·A· −β· · 2 2·j 2 2 2 2 A α · A j ·ω 0 ·t α · A − j ·ω 0 ·t β · A β · A2 −j ·2·ω0 ·t =β· + ·e − ·e − · ej ·2·ω0 ·t − ·e 2 2·j 2·j 4 4 102 1 · 10 j ·ω0 ·t 1 · 10 −j ·ω0 ·t 0. β = 0. La puissance du signal d'entrée est donnée par le carré de sa valeur e cace.18 52 MEE \co_ts. ω = 2 · π · 100 rad s . que vaut-elle par rapport à celle du signal d'entrée P1 ? −1 4. cf ci-dessus 5. Le taux de distortion harmonique (TDH) est donné par : T DH = On a donc : Xe (k > 1) = Xe (k = 1) X 2 (2) + X 2 (3) + X 2 (4) + . On a : 2 π 2 + 5 · ej ·π 2 200 V2 P2 = =4 P1 50 V2 4. v 1. X 2 (1) T DH = 2 U2 (2) = 2 U2 (1) 52 = 100% 52 Corrigé des exercices.18 53 MEE \co_ts. .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Pour le signal de sortie u2 (t). .tex 13 mars 2009 . on a en faisant usage de Parseval : P2 = +∞ k=−∞ |X (j · k )|2 2 π = |U2 (−j · 2)|2 + |U2 (−j · 1)|2 + |U2 (j · 0)|2 + |U2 (j · 1)|2 + |U2 (j · 2)|2 = 5 · e−j ·π + 5 · e−j · 2 + 102 + 5 · e+j · 2 = 52 + 52 + 102 + 52 + 52 = 200 V2 3. 18 54 MEE \co_ts.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé des exercices. v 1.tex 13 mars 2009 . 18 55 MEE \co_ts.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Chapitre 2 Analyse des signaux non périodiques 2.1.1. v 1.tex 13 mars 2009 .1 Corrigé des exercices Exercice TF 1 À partir de la seule observation du signal temporel de la gure 2. précisez ce que vaut sa densité spectrale en f = 0 [Hz] puis calculez et esquissez sa transformée de Fourier.1 page suivante est constitué de 3 impulsions rectangulaires décalées et pondérées. Si y (t) est une impulsion rectangulaire dé nie comme X (0) = 1 · 2 [ms] + 2 · 2 [ms] + 1 · 2 [ms] = 8 [ms] y (t) = dont la transformée de Fourier est 0 si |t| > 1 si |t| ≤ ∆t 2 ∆t 2 Y (j · f ) = F{y (t)} = ∆t · sinc(f · ∆t) alors x(t) peut être exprimé comme suit : x(t) = y (t + 4 [ms]) + 2 · y (t) + y (t − 4 [ms]) Corrigé des exercices.1 2. Corrigé Selon la propriété de la transformée de Fourrier X (0) = on a : +∞ −∞ x(t) · dt Le signal de la gure 2. on a : x(t + td ) ←→ X (j · f ) · e+j ·2·π·f ·td X (j · f ) = F{x(t)} = ∆t · sinc(f · ∆t) · e+j ·2·π·f ·4 [ms] + 2 + e−j ·2·π·f ·4 [ms] = ∆t · sinc(f · ∆t) · [2 · cos (2 · π · f · 4 [ms]) + 2] = 2 · 2 [ms] · sinc(f · 2 [ms]) · [cos (2 · π · f · 4 [ms]) + 1] = 4 [ms] · sinc(f · 2 [ms]) · [1 + cos (2 · π · f · 4 [ms])] 2.tex 13 mars 2009 .18 56 MEE \co_ts. Après calculs.5 0 −8 −6 −4 −2 0 2 temps [msec] 4 6 8 Figure 2.2 Exercice TF 2 = ∆t · sinc(f · ∆t) · e+j ·2·π·f ·4 [ms] + 2 · ∆t · sinc(f · ∆t) + ∆t · sinc(f · ∆t) · e−j ·2·π·f ·4 [ms] = Y (j · f ) · e+j ·2·π·f ·4 [ms] + 2 · Y (j · f ) + Y (j · f ) · e−j ·2·π·f ·4 [ms] Partant de la TF d'une impulsion rectangulaire et de la propriété d'intégration. v 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2 1. calculez les TF de x(t) et y (t) ( gure 2. vous remarquerez que Y (j · f ) peut s'écrire sous la forme d'un sinc2 . Corrigé des exercices.2).1.1 Exercice TF1. En faisant usage des propriétés de linéarité a · x(t) + b · y (t) ←→ a · X (j · f ) + b · Y (j · f ) et de décalage de la transformée de Fourier.5 x(t) 1 0. 5 0 −400 −200 0 200 400 600 −200 0 200 400 600 −200 0 200 temps [msec] 400 600 Figure 2.5 0 −400 1 z(t) 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1 x(t) 0 −1 −400 1 y(t) 0.2). v 1.18 57 MEE \co_ts. t t l'une avancée de td1 = 100 [ms] = ∆ et l'autre retardée de td2 = −100 [ms] = − ∆ 2 2 et de polarité négative ( gure 2. Corrigé x(t) est constituée la superposition de 2 impulsions de largeur ∆t = 200 [ms].tex 13 mars 2009 .1.2 Exercices TF2 et TF3. On a donc : X (j · f ) = F{x(t)} ∆t 2 ∆t 2 = A · ∆t · sinc(π · f · ∆t) · 2 · j · sin (π · f · ∆t) = j · 2 · A · ∆t · sinc(π · f · ∆t) · sin (π · f · ∆t) Application numérique : = A · ∆t · sinc(π · f · ∆t) · e+j ·2·π·f · = A · ∆t · sinc(π · f · ∆t) · e+j ·2·π·f · ∆t 2 − A · ∆t · sinc(π · f · ∆t) · e−j ·2·π·f · − e−j ·2·π·f · ∆t 2 X (j · f ) = j · 2 · A · ∆t · sinc(f · ∆t) · sin (π · f · ∆t) = j · 2 · 1 · 200 [ms] · sinc(π · f · 200 [ms]) · sin (π · f · 200 [ms]) = j · 400 [ms] · sinc(π · f · 200 [ms]) · sin (π · f · 200 [ms]) Corrigé des exercices. 4 x (t) = u t + ∆t 2 +u t− ∆t 2 y (t) = 1 ∆t · t −∞ x (τ ) · dτ t [s ] −0.5 0 −0.3 En traitillé l'intégrale sans prise en compte du facteur .5 0 −0.2 0 ∆t 0.4 −0.2 0.2 0 0.4 −0.5 −1 −0.4 −0.2 0 0.5 −1 −0.4 t [s] 1 .2 0.4 −0.2 0 0.5 −1 −0.2 u t+ ∆t 2 · u τ+ ∆t 2 · dτ 0 0.5 −1 −0.2 ∆t u (t) 0 0.4 −0.4 1 0.4 −0.5 −1 1 ∆t t −∞ t [s ] ∆t 1 0.2 0.2 0 0.2 0.2 0.2 0.5 0 −0.5 −1 −0.5 −1 −0.4 t [s] Traitement de Signal (TS) 1 0.5 0 −0. v 1.5 0 −0.tex 13 mars 2009 Figure 2.5 0 −0.2 0.4 t [s] 1 58 −u t − ∆t 2 0.5 0 −0.4 t [s ] + 1 0.4 1 ∆t · t −∞ −u τ − ∆t 2 · dτ t [s ] = 1 0.4 −0.Corrigé des exercices. ∆t MEE \co_ts.18 HEIG-VD 1 0. HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1 ∆t y (t) correspond.tex 13 mars 2009 (b) et d'un saut unité (t) Corrigé des exercices. trouvez celle de z (t) ( gure 2.3 Exercice TF 3 Partant de la TF d'une impulsion et d'un saut unité. l'on peut ainsi écrire : +∞ −∞ Y (j · f ) = F{y (t)} = 1 ∆t 1 = ∆t = · 1 · X (j · f ) j·2·π·f 1 · · A · ∆t · sinc(f · ∆t) · 2 · j · sin (π · f · ∆t) j·2·π·f sin (π · f · ∆t) = A · ∆t · sinc(f · ∆t) · · π · f · ∆t = A · ∆t · sinc2 (π · f · ∆t) Application numérique : 1 1 1 · · X (j · f ) + · ∆t j·2·π·f 2 x(t)·dt=0 X (0) ·δ (f ) Y (j · f ) = A · ∆t · sinc2 (π · f · ∆t) = 1 · 200 [ms] · sinc2 (π · f · 200 [ms]) 2. à l'intégrale de x(t) ( gure 2. z (t) correspond à la somme ( gure 2. retardée t 1 et d'amplitude − ∆ : de ∆ 2 t 59 MEE \co_ts.4 ) de (a) l'intégrale d'une impulsion rectangulaire v (t) de largeur ∆t.2).1. à un facteur près. votre résultat en calculant Z (j · f = 0) qui doit être égal à ∆ 2 Corrigé 1.2) : t −∞ y (t) = Connaissant la propriété de la TF t −∞ 1 · ∆t x(τ ) · dτ x(τ ) · dτ ←→ 1 1 · X (j · f ) + · X (0) · δ (f ) j·2·π·f 2 avec X (0) = +∞ −∞ x(t) · dt. v 1. Est-il possible de trouver Z (j · f ) à partir de Y (j · f ) ? Vous pouvez véri er t .18 .1. v 1.2 0 0.2 0.2 0 0.5 −1 −0.2 0.5 0 −0.2 0 0.4 t [s] Figure 2.2 0.4 t [s] 1 0.tex 13 mars 2009 .5 t −∞ z (t) = v (τ ) · dτ + (t) 0 −0.5 −1 −0.18 60 MEE \co_ts.5 −1 −0.4 −0.4 t [s] v (τ ) · dτ 0 −0.4 −0.2 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1 0 −1 v (t) −2 −3 −4 −5 1 0.4 −0.5 t −∞ ∆t −0.2 0 0.4 (t) t [s] 1 0.4 −0.4 Corrigé des exercices. 1.18 61 MEE \co_ts. le signal x(t) . on sait que Si on connaît Y (j ·f ). 3. Corrigé des exercices.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) t z (t) = D'où : −∞ v (τ ) · dτ + (t) Z (j · f ) = F{z (t)} t Z (j · f ) = F −∞ v (t) · dt + F{ (t)} +∞ −∞ 2. v 1.4 Exercice TF 4 Soit un signal carré symétrique (à valeur moyenne nulle) d'amplitude A. on ne peut déduire que 3. On a par la propriété de la TF : Y (j · f ) = Z ∗ (j · f ) + Z (j · f ) = 2 · {Y (j · f )} = 0.tex 13 mars 2009 . Esquissez 1. le spectre que l'on obtient avec la transformation de Fourier. Z (0) = +∞ −∞ z (t) · dt = On obtient le même résultat en faisant tendre f vers 0 dans l'expression de Z (j · f ) : f →0 lim Z (j · f ) = lim 1 · −sinc(f · ∆t) · e−j ·π·f ·∆t + 1 f →0 j · 2 · π · f 1 = lim · [−1 · (1 − j · π · f · ∆t) + 1] f →0 j · 2 · π · f 1 = lim · [−1 + j · π · f · ∆t + 1] f →0 j · 2 · π · f ∆t = 2 2. 2. On voit que 1 1 1 1 · V (j · f ) + · + · δ (f ) = V (0) ·δ (f ) + j·2·π·f 2 j · 2 · πf 2 ∆t 1 1 − 1 1 1 = · · ∆t · sinc(f · ∆t) · e−j ·2·π·f · 2 + · δ (f ) + + · δ (f ) j · 2 · π · f −∆t 2 j · 2 · πf 2 1 · −sinc(f · ∆t) · e−j ·π·f ·∆t + 1 = j·2·π·f y (t) = z (−t) + z (t) v (t)·dt=−1 Comme y (t) est paire. le spectre que l'on obtient avec les séries de Fourier . On a : {Z (j · f )} et pas ∆t 2 {Z (j · f )} {Z (j · f )}. tex 13 mars 2009 −1 = A · T T sin k · π · f0 · · 2 k · π · f0 · T 2 T 2 − (−1)k · T T −1 · e−j ·2·π·k·f0 · 4 − e+j ·2·π·k·f0 · 4 j · 2 · π · k · f0 A = · T = A· sin k · π · f0 · T T sin k · π · f0 · T k T 2 2 · − (−1) · · T 2 2 k · π · f0 · T k · π · f · 0 2 2 0 pour k = 0 et k paire sin(k· π 2) k· π 2 Traitement de Signal (TS) = sinc k · π 2 pour k impaire Ce résultat est représenté sur la gure 2. . v 1.6.5) de période T = d'oset) se calcule comme suit : 1 .Corrigé des exercices.18 HEIG-VD Corrigé La série de Fourier complexe d'un signal carré périodique ( gure 2. f0 de valeur moyenne nulle (pas 1 X (j · k ) = · T A = · T = A · T +T 4 −T 4 (+A) · e e −j ·2·π ·k·f0 ·t 1 · dt + · T T + 3· 4 T 4 T + 3· 4 T 4 (−A) · e−j ·2·π·k·f0 ·t · dt +T 4 −j ·2·π ·k·f0 ·t −T 4 · dt − e−j ·2·π·k·f0 ·t · dt T 3·T T T −1 −1 · e−j ·2·π·k·f0 · 4 − e+j ·2·π·k·f0 · 4 − · e−j ·2·π·k·f0 · 4 − e−j ·2·π·k·f0 · 4 j · 2 · π · k · f0 j · 2 · π · k · f0 T T T T T sin k · π · f0 · 2 −1 A · e−j ·2·π·k·f0 · 2 · e−j ·2·π·k·f0 · 4 − e+j ·2·π·k·f0 · 4 − = · · T T 2 j · 2 · π · k · f0 k · π · f0 · 2 k 62 MEE \co_ts. 5 Le signal carré périodique x(t) s'exprime partant de sa série de Fourier complexe X (j · k ) : x (t) = ∞ k=−∞ X (j · k ) · e+j ·2·π·k·f0 ·t La transformée de Fourier de x(t) s'écrit alors. représentées par des impulsions de Dirac pondérées par X (j · k ) ( gure 2.tex 13 mars 2009 .18 63 MEE \co_ts. v 1.7).5 −1 −4 −2 0 2 4 t [s] Figure 2. Corrigé des exercices.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1 0. en appliquant la dé nition et en tenant compte de la transformée de Fourier d'un phaseur : +∞ −∞ +∞ X (j · f ) = = = = = x(t) · e−j ·2·π·f ·t · dt ∞ −∞ k=−∞ ∞ +∞ k=−∞ ∞ k=−∞ ∞ −∞ X (j · k ) · e+j ·2·π·k·f0 ·t · e−j ·2·π·f ·t · dt X (j · k ) · e+j ·2·π·k·f0 ·t · e−j ·2·π·f ·t · dt +∞ −∞ X (j · k ) · e+j ·2·π·k·f0 ·t ·e−j ·2·π·f ·t · dt phaseur k=−∞ X (j · k ) · δ (f − k · f0 ) On obtient donc bel et bien un spectre de raies.5 x(t) 0 −0. 5 −1 −10 −5 0 5 10 f [Hz] Figure 2.2 0 −10 −5 0 5 10 1 0.6 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 0. v 1.6 0.4 |X (j · f )| 0.4 |X (j · k )| 0.5 −1 −10 −5 0 5 10 f [Hz] Figure 2.7 64 Corrigé des exercices.5 arg{X (j ·f )} π f [Hz] 0 −0.18 MEE \co_ts.6 0.5 arg{X (j ·k)} π f [Hz] 0 −0.tex 13 mars 2009 .2 0 −10 −5 0 5 10 1 0. 18 65 MEE \co_ts. 2. Corrigé des exercices. v 1. 2. quelles sont les propriétés du tableau qui s'y appliquent ? 3. calculez et esquissez x(t) et X (j · f ).tex 13 mars 2009 .6 Exercice TF 6 1 2 3 fréquence la partie réelle de X (j · f ) est nulle la partie imaginaire de X (j · f ) est nulle il existe un décalage t0 tel que temps ej ·2·π·f ·t0 · X (j · f ) 4 est réel X (j · f ) est continu 1.5 Exercice TF 5 Considérant le signal x(t) = e−a·|t| . Corrigé En préparation. Considérant les quatre propriétés fréquentielles du tableau ci-dessus. exprimez leur équivalent temporel dans la colonne de droite.1.1.8. Construisez un signal qui ne possède aucune des quatre propriétés mentionnées dans le tableau.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2. puis véri ez les 2 égalités suivantes : X (0) = x(0) = +∞ −∞ +∞ −∞ x(t) · dt X (j · f ) · df Corrigé En préparation. Pour chacun des signaux temporels de la gure 2. 5 4 6 −1 −6 1 0.5 0 −0.5 −4 −2 0 2 4 (f) 6 −4 −2 0 2 4 (d) 6 (e) 0.5 0 −4 −2 0 2 4 (c) 6 −6 1 0.tex 13 mars 2009 .5 −1 −6 1 0.5 0 −0.5 0 −0.18 66 MEE \co_ts. Corrigé des exercices.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1 0.5 −1 −6 1 −4 −2 0 2 (a) 1 (b) 0. v 1.5 0 −0.5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 −1 −6 −4 −2 0 2 4 6 Figure 2.8 Exercice TF6. la valeur de −∞ X (j · f ) · df .1. 2. la densité spectrale de phase de X (j · f ) .7 Exercice TF 7 Soit X (j · f ) la transformée de Fourier du signal x(t) de la gure 2.6 x(t) 0. discutez les diérences existant entre ces trois spectres. Corrigé En préparation. la valeur de +∞ −∞ |X (j · f )|2 · df . calculez la transformée de Fourier d'une sinusoïde démarrant à l'instant zéro : y (t) = A · sin(2 · π · f0 · t) · (t) 67 MEE \co_ts.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1 0.9. Figure 2. 2. recherchez : 1.1. Y (j · f ) et celui d'une sinusoïde permanente .8 0. 2. 4.18 1. 3. Corrigé des exercices.4 0. esquissez les spectres X (j · f ).2 0 −2 −1 0 1 temps [msec] 2 3 4 5.8 Exercice TF 8 Connaissant la TF d'une sinusoïde amortie x(t) = A · e−a·t · sin(2 · π · f0 · t) · (t) : 2. +∞ 3.tex 13 mars 2009 . v 1. Sans calculer explicitement X (j · f ).9 Exercice TF7. la valeur de X (f = 0) . 3.18 68 MEE \co_ts. v 1. exprimée dans le domaine fréquentiel. est : H (j · f ) = 1 U2 (j · f ) = U1 (j · f ) 1+j·2·π·f ·τ On a donc. d'amortissement a = 100 [s−1 ] à un ltre passe-bas de constante de temps τ = 1 [ms] . 2.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé En préparation. calculez la TF U2 (j · f ) de la tension de sortie u2 (t) du ltre . en tenant compte du fait que la transformée de Fourier de u1 (t) a été calculée au 2.1 : U2 (j · f ) = H (j · f ) · U1 (j · f ) 1 · U1 (j · f ) = 1+j·2·π·f ·τ 1 1 = · U0 · 1+j·2·π·f ·τ a+j·2·π·f 1 U0 1 = · 1 · τ τ +j·2·π·f a+j·2·π·f 2. La transformée de Fourier inverse fournit directement u2 (t) (annexe 2.10 Exercice TF 10 Soit un message m(t) = A · cos(2 · π · f1 · t) modulé en amplitude par une porteuse sinusoïdale p(t) = sin(2 · π · f0 · t) : Corrigé des exercices.1. utilisez le tableau des transformées pour déduire l'expression temporelle de u2 (t).1. La fonction de transfert du ltre. 2. 1.tex 13 mars 2009 .9 Exercice TF 9 On applique une exponentielle décroissante u1 (t) = U0 ·e−a·t · (t).A) : u2 (t) = t U0 1 −τ · − e−a·t · (t) 1 · e τ a− τ t U0 = · e− τ − e−a·t · (t) a·τ −1 t U0 = · e−a·t − e− τ · (t) 1−a·τ 2. Corrigé 1. esquissez u(t) .1. On peut exprimer u(t) comme u(t) = rect (t. U0 · cos(2 · π · f0 · t) si 0 si |t| ≤ t0 |t| > t0 Ce signal correspond à l'observation d'une fonction sinusoïdale pendant une durée nie 2 · t0 .18 . esquissez le spectre du signal modulé |X (j · f )| si f1 = 10 [kHz] et f0 = 800 [kHz] . idem que le point 2) lorsque le signal m(t) possède un spectre continu |M (j · f )| triangulaire et non-nul entre 2 [kHz] et 10 [kHz]. calculez sa TF U (j · f ) . 2. T = 1 f0 = 1 [ms] t0 = 10 [ms]. une fois le calcul eectué. 3. 2 · ∆t)·U0 · où la fonction rect (t. 2 · ∆t)·U0 ·cos(2·π ·f0 ·t) = rect (t. On sait que 1. Corrigé 3.11 Exercice TF 11 Soit le signal : u(t) = 1. calculez la TF du signal modulé x(t) = m(t) · p(t) = A · sin(2 · π · f0 · t) · cos(2 · π · f1 · t) .1) ej ·2·π·f0 ·t + e−j ·2·π·f0 ·t 2 0 si |t| > 1 si |t| ≤ ∆t 2 ∆t 2 ∆t · sinc (π · f · δt) 69 MEE \co_ts. 2. esquissez |U (j · f )| pour U0 = 1 [V] 2. 2.tex 13 mars 2009 Corrigé des exercices.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1. Corrigé En préparation. que l'analyse spectrale d'une sinusoïde pendant une durée nie revient à remplacer les raies spectrales situées en f = ±f0 par la fonction sinus cardinal.2. v 1. On remarquera. ∆t) est dé nie comme suit : rect (t. ∆t) = Sa TF est (2. propriété de modulation) x(t) · e+j ·2·π·f0 ·t ←→ X (j · (f − f0 )) on peut écrire : U (j · ω ) = U0 · 2 · ∆t · sinc (π · ∆t · (f − f0 ))+ U0 · 2 · ∆t · sinc (π · ∆t · (f + f0 )) 3. 2. 2. v 1. observez les diérences. Corrigé En préparation.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Sachant que (2.1. esquissez U (j · f ) et la TF d'une impulsion rectangulaire de même durée .1. 2. 1 2 · [1 − cos(2 · π · f0 · t)] si 0 si |t| ≤ |t| > T 2 T 2 3. 2. calculez la transformée S (j · f ) de la fonction signe s(t).13 Exercice TF 13 Connaissant la transformée E (j · f ) d'un saut unité (t). calculez sa TF U (j · f ) . 4.14 Exercice TF 14 Montrez qu'un produit simple dans l'espace des fréquences correspond à un produit de convolution dans l'espace temps : Y (j · f ) = X (j · f ) · H (j · f ) Corrigé des exercices.18 ⇔ y (t) = x(t) ∗ h(t) = 70 +∞ −∞ x(θ) · h(t − θ) · dθ MEE \co_ts.4.1. esquissez u(t) .1.12 Exercice TF 12 Soit la fonction : u(t) = 1. Corrigé En préparation.tex 13 mars 2009 . 10).18 71 MEE \co_ts. puis esquissez h(t) .tex 13 mars 2009 .1. ce ltre est-il réalisable ? Justi er la réponse. mais il est immédiat si l'on se souvient que F {x(t)} = X (j · f ) ⇐⇒ F −1 {x(j · f )} = X (−t) Indication Corrigé 1. On peut donc écrire : H (j · f ) = (f + fc ) − (f − fc ) Corrigé des exercices. esquissez H (j · f ) . vous pouvez d'abord exprimer la TFI de Y (j · f ) : y (t) = +∞ −∞ Y (j · f ) · e+j ·2·π·f ·t · df = +∞ −∞ H (j · f ) · X (j · f ) · e+j ·2·π·f ·t · df puis y introduire la TF de x(t) : X (j · f ) = Corrigé +∞ −∞ x(θ) · e−j ·2·π·f ·θ · dθ En préparation. H (j · f ) est une fenêtre fréquentielle rectangulaire de hauteur 1 et de largeur 2 · fc = 2 · 100 [Hz] ( gure 2. calculez.15 Exercice TF 15 Considérant la réponse d'un ltre h(t) dont le spectre est le suivant : H (j · f ) = 1. ce signal correspond à la réponse impulsionnelle du ltre décrit par H (j · f ).HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Pour démontrer ce résultat important et bien connu. v 1. 3. 2. 1 0 si |f | ≤ 100 [Hz] sinon 2. Le calcul de la transformée de Fourier inverse (TFI) peut se faire en appliquant la dé nition telle quelle . on voit ( gure 2.11) que la réponse h(t) existe pour t < 0 [s].03 t [s] ( chier source) Figure 2.03 −0. h(t) est la réponse impulsionnelle du ltre.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1 0. Le système " ltre passe-base idéal" est donc non causal et par suite irréalisable. i.01 0.tex 13 mars 2009 .01 0 1 2 ·f c 0.02 0.6 |X (j · f )| 0.4 0.18 1 0 si 100 [Hz] ≤ |f | ≤ 200 [Hz] sinon 72 MEE \co_ts.8 0. en tenant compte de la propriété de symétrie de la transformée de Fourier F {x(t)} = X (j · f ) ⇐⇒ F −1 {x(j · f )} = X (−t) h(t) = A · 2 · fc · sinc (−π · t · 2 · fc ) = 200 [Hz] · sinc (π · 200 [Hz] · t) C'est un sinus cardinal (sinc) en fonction de t ( gure 2.11). v 1. La TFI de H (j · f ) est.10 200 A · 2 · fc x(t) 100 0 −100 −0.11 2.2 0 A 2 · fc −300 −200 −100 0 100 200 300 f [Hz] ( chier source) Figure 2.1. 2. la réponse à une impulsion de Dirac δ (t) .02 −0.16 Exercice TF 16 Considérant un signal u(t) dont le spectre est le suivant : U (j · f ) = Corrigé des exercices. 3. celle-ci intervenant en t = 0 [s].e. 2. on a : X (j · f ) = rect f + f0 .1. 3. calculer puis esquissez u(t) . En pro tant de la propriété de symétrie F {x(t)} = X (j · f ) ⇐⇒ F −1 {x(j · f )} = X (−t) et en expimant X (j · f ) sous la forme de 2 impulsions décalées dans le domaine des fréquences. ∆f ) 150 [Hz] 100 [Hz] x(t) = ∆f · sinc(π · ∆f · (−t)) · e−j ·2·π·f0 ·t + ∆f · sinc(π · ∆f · (−t)) · e+j ·2·π·f0 ·t = 2 · ∆f · sinc(π · ∆f · t) · cos (2 · π · f0 · t) 3.tex 13 mars 2009 . 2. que vaut sa puissance ? Corrigé 1. v 1. ∆f + rect (f − f0 . Corrigé des exercices. esquisser U (j · f ) .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1.18 73 MEE \co_ts.17 Exercice TF 17 Utiliser la transformation de Fourier pour trouver le courant circulant dans un circuit RC série sachant que le signal appliqué est un saut de tension d'amplitude E. La puissance de x(t) est avantageusement calculée dans l'espace des fréquences : Wx = = +∞ −∞ +∞ −∞ Sx (f ) · df |X (j · f )|2 · df = 1 · ∆f + 1 · ∆f = 2 · ∆f 2. 0 au numérateur) soient uniCorrigé des exercices.tex 13 mars 2009 .18 74 MEE \co_ts. v 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé Le circuit est décrit par l'équation diérentielle (conditions initiales nulles) : u(t) = R · i(t) + 1 · C t −∞ i(τ ) · dτ La transformée de Fourier des 2 membres de cette équation diérentielle donne : U (j · f ) = R · I (j · f ) + 1 · C I (j · f ) + 1 · δ (f ) · I (0) · j · 2 · π · f 1 2 = R · I (j · f ) + · C j·2·π·f 1 I (j · f ) · C j·2·π·f 1 1 = R+ · · I (j · f ) C j·2·π·f j·2·π·f ·R·C +1 · I (j · f ) = j·2·π·f ·C = R · I (j · f ) + 1 1 · I (j · f ) + · δ (f ) · I (0) j·2·π·f 2 0∀f On en déduit : I (j · f ) = = j·2·π·f ·C · U (j · f ) 1+j·2·π·f ·R·C j·2·π·f 1 1 = · · E + · δ (f ) · E 1+j·2·π·f ·R·C j·2·π·f 2 C = ·E 1+j·2·π·f ·R·C C 1 j · 2 · π · f · · E + j · 2 · π · f · · δ (f ) · E 1+j·2·π·f ·R·C j·2·π·f 2 0 De façon à être compatible avec les formes de présentation des transformées de Fourier utilisées dans la tables. on s'arrange pour que les coe cients des plus haute puissance de j · ω (ici 1 au dénominateur. La marche à suivre est la même que celle utilisée avec la transformation de Laplace : décomposition en somme de fractions simples puis recherche des coe cients par identi cation avec des transformées connues. avant de vous lancer dans les calculs. Corrigé En préparation. 2. on a. v 1. Corrigé En préparation. avec a = 1 R ·C ·E : i(t) = F −1 {I (j · f )} = 2.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) taires : I (j · f ) = = j·2·π·f + 1 R C R ·C 1 R ·C ·E ·E 1 R ·C j · 2 · π · f + R1 ·C 1 1 = · R j·2·π·f + En se référant à l'annexe 2A.1. calculez la tension de sortie du ltre. utilisez la transformation de Fourier pour trouver la tension de sortie .1. 1.tex 13 mars 2009 . Corrigé des exercices. 2. 2.18 Exercice TF 18 E − 1 ·t · e R·C · (t) R On applique une fonction signe u1 (t) d'amplitude E à un ltre RC passe-bas. esquissez u1 (t) et imaginez ce que peut être u2 (t) . esquissez u1 (t) et u2 (t).18 75 MEE \co_ts.19 Exercice TF 19 On applique une exponentielle symétrique u1 (t) = U0 · e−a·|t| à un ltre passe-bas de constante de temps τ . 1. tex 13 mars 2009 . v 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2. H (j · f ) et U2 (j · f ) pour −500 [Hz] < f < +500 [Hz] . 2. mais précisez point par point votre démarche . esquissez leur module . en admettant U0 = 10 [V] et a = 1000 [s−1 ]. quelles sont les énergies E1 et E2 des signaux d'entrée et de sortie ? 4.1.18 76 MEE \co_ts. comment calculeriez-vous u2 (t) ? Ne faites pas les calculs.21 Exercice TF 21 On applique à un ltre passe-bas de constante de temps τ = 1 [ms] un signal u1 (t) dont le spectre est dé ni par : U1 (j · f ) = V 1 Hz V 0 Hz si 100 [Hz] <= |f | <= 300 [Hz] sinon 1. Corrigé des exercices. que vaut sa fréquence caractéristique fc ? 3. Corrigé 2. comment évoluera E2 si la constante de temps τ diminue ? 5. exprimez U1 (j · f ) et U2 (j · f ) . esquissez U1 (j · f ).1.22 Exercice TF 22 On applique à un ltre passe-bas de constante de temps τ = R · C = 10 [ms] une tension exponentielle u1 (t) = 10 · e−a·t · (t) avec a = 1000 [s−1 ]. 2. En préparation. exprimez la fonction de transfert H (j · f ) du ltre .20 Exercice TF 20 On applique une exponentielle décroissante u1 (t) = U0 · e−a·t · (t) à un ltre passe-bas idéal de fréquence de coupure fc .1. calculez les énergies E1 et E2 des signaux d'entrée et de sortie lorsque : (a) fc = 1 [kHz] (b) fc = Corrigé a 2 ·π 1. 2. essayez d'entrevoir les di cultés de ce calcul. En préparation. 24 Exercice TF 24 Considérant le spectre X (j · f ) de la gure 2. calculez les énergies contenues dans les signaux d'entrée et de sortie. 1 Corrigé En préparation. (c) à l'aide d'un petit programme (une douzaine de lignes).s Corrigé 1 √ = 1 [kHz] 2 · π · LC ∆f · ±1 + 1 + 4 · Q2 = 0 2 D0 = 1 = 0. le résultat obtenu sera tout à fait satisfaisant. 2. essayez la démarche suivante : (a) esquissez la fonction à intégrer .18 77 MEE \co_ts. Si le nombre de pas est su sant.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 1.1. esquissez u1 (t) et u2 (t) . trouvez 2 puis esquissez le signal x(t) correspondant.1 Q0 ∆f = f0 · D0 En préparation. (b) estimez des limites raisonnables pour la valeur de l'énergie . exprimez l'énergie du signal de sortie contenue dans la bande passante ∆f sachant que : f0 = fi. esquissez les spectres des signaux d'entrée et de sortie .12 constitué d'un sinus cardinal d'amplitude X (0) = 2 · 10−3 et de 2 impulsions de Dirac de surface 1 . 2. v 1.1. 1. Si le calcul de l'intégrale dé nie nécessaire pour obtenir l'énergie vous paraît trop di cile.tex 13 mars 2009 . 2. 2. intégrez numériquement la densité spectrale d'énergie. Corrigé des exercices.23 Exercice TF 23 On applique une impulsion de Dirac δ (t) à un ltre passe-bande dont la fonction de transfert vaut : H (j · f ) = D0 · 1 + D0 · j ·f f0 j ·f f0 + j ·f f0 2 D0 = 1 Q0 1. 12 Exercice TF24. esquissez la fonction rxx (τ ) Corrigé des exercices. 2. Corrigé En préparation.tex 13 mars 2009 . trouvez le spectre de y (t) = sgn(t). v 1.25 Exercice TF 25 A partir du signal x(t) = e−a·t · (t).HEIG-VD Traitement de Signal (TS) x 10 −4 20 15 10 X(jf) 1/2 1/2 5 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 fréquence [kHz] 2 3 4 Figure 2. 2. 78 MEE \co_ts. Corrigé En préparation.1.18 τ = ±∆t τ = ±2 · ∆t − ∞ < τ < +∞. calculez sa fonction d'autocorrélation pour les valeurs particulières suivantes τ =0 3. esquissez x(t) 2.26 Exercice Corr 1 on demande : Considérant le signal x(t) dé ni comme suit : −A si −∆t < t < 0 0 si t=0 x(t) = +A si 0 < t < ∆t 0 si |t| ≥ ∆t 1.1. Comme les surfaces dé nies par le produit x(t)·x(t+τ ) évoluent linéairement avec τ et que l'on dispose des valeurs de rx (τ ) pour τ = 0 [s]. rxx (∆t) = −A2 · ∆t Corrigé des exercices. i. on peut facilement esquisser rx (τ ) ( gure 2. τ = ∆t et τ = 2 · ∆t. la situation est décrite sur la gure 2. On a clairement : rxx (2 · ∆t) = 0 3.13(b). L'esquisse de x(t) est présenté à la gure 2.14).e.13(a). v 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé 1. 2. la situation est décrite sur la gure 2.tex 13 mars 2009 . rxx (0) = 2 · A2 · ∆t rxx (τ ) = on a : +∞ −∞ x(t) · x(t + τ ) · dt Pour τ = 2 · ∆t.13(c).18 79 MEE \co_ts. la fonction d'autocorrélation est +∞ −∞ +∞ −∞ rxx (0) = Wx = On a : x(t) · x(t) · dt = x2 (t) · dt Pour τ = ∆t. par dé nition. la fonction d'autocorrélation est l'intégrale de ce produit. Pour τ = 0 [s]. Comme. avec en gris la surface dé nie par le produit x(t) · x(t + τ ). 13 (a) : signal x(t).5 1 t [s] (c) τ = 2 · ∆t 4 2 0 −2 −4 −1 −0.5 ∆t ∆t τ A x(t).18 80 MEE \co_ts.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 4 2 +A x(t) 0 −2 −4 −1 −0.5 ∆t ∆t τ A x(t). Corrigé des exercices. x(t + τ ) 0 0.tex 13 mars 2009 . (d) : décalage de τ = 0.33 [s] Figure 2.5 ∆t −A ∆t 0 0. v 1.5 ∆t ∆t τ A x(t).(b) : décalage de τ = ∆t.5 1 t [s] (a) x(t) 4 2 0 −2 −4 −1 −0. (c) : décalage de τ = 2 · ∆t. x(t + τ ) 0 0.5 1 t [s] (b) τ = ∆t 4 2 0 −2 −4 −1 −0.5 1 t [s] (d) τ = 0. x(t + τ ) 0 0.33 [s] ( chier source). HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2 1 x(t) 0 −1 −2 3 2 1 −1 −0.5 0 0.18 81 MEE \co_ts.5 1 t [s] 2 · A 2 · ∆t rx (τ ) 0 −1 −2 −1 −∆t +∆t −A2 · ∆t −A2 · ∆t −0.tex 13 mars 2009 . v 1.14 Corrigé des exercices.5 0 0.5 1 τ [s] ( chier source) Figure 2. 27 Exercice Corr 2 Considérant les 3 signaux suivants : x(t) = une exponentielle décroissante d'amplitude A et de constante de temps τ1 y (t) = une impulsion rectangulaire centrée en t = 0. Remarque 3. Corrigé En préparation. d'amplitude A et de base 2 · ∆t on demande : 1. esquissez ces fonctions. imaginez comment vous devriez vous y prendre pour le faire. Le calcul de la troisième fonction n'est pas simple .1. d'amplitude A et de largeur ∆t z (t) = une impulsion triangulaire centrée en t = 0. v 1. calculez des valeurs particulières de leur fonction d'autocorrélation . 2.18 82 MEE \co_ts. 4. calculez leur fonction d'autocorrélation pour τ compris entre +∞ et −∞ .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2. sans entrer dans le détail des calculs. Corrigé des exercices.tex 13 mars 2009 . esquissez ces 3 signaux . tex 13 mars 2009 .1 3. que faut-il faire pour éviter le recouvrement spectral ? 3. 3. déterminez la fréquence d'échantillonnage minimum pour qu'il n'y ait pas de recouvrement spectral. 1. Cependant. 1. 2. 2.1 Corrigé des exercices Exercice ECH 1 Considérant un signal dont le spectre est représenté à la gure 3. comme on propose fe = 16 [kHz]. la fréquence d'échantillonnage devrait donc être supérieure à 2 · fmax = 20 [kHz]. quel en est l'avantage ? Corrigé On constate que le spectre proposé est borné par fmax = 10 [kHz] . il y aura inévitablement du recouvrement spectral pour f > fe − fmax = 6 [kHz].1.18 83 MEE \co_ts.1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Chapitre 3 Echantillonnage des signaux analogiques 3. dessinez le spectre du signal échantillonné pour f compris entre ±16 [kHz] . v 1. on pourra supprimer les fréquences supérieures à fN = f2e = 8 [kHz] et éviter ainsi tout recouvrement jusqu'à la fréquence de Nyquist fN . Corrigé des exercices. En ltrant analogiquement le signal temporel avant de l'échantillonner. On a ainsi gagné 2 [kHz] de bande passante non perturbée par le recouvrement spectral. dessinez le nouveau spectre . Admettant fe = 16 [kHz]. 1 Exercice 1 3. de période T0 = 1 [ms] et de 0 0 que l'on échantillonne avec Te = T .02 0 −20 −15 −10 −5 0 f [kHz] 5 10 15 20 f_xechant1_1.18 . T 4 2. esquissez Xa (j · f ) .eps Figure 3.1. On échantillonne un signal xa (t) = cos(2 · π · 1000 · t) . analysez et commentez.tex 13 mars 2009 Corrigé des exercices. esquissez les 3 spectres Xe (j · f ) correspondant aux 3 échantillonnages . que valent X (j · f ) et Xe (j · f ) pour f = 3 [kHz] ? Rép. 2. .1 0.06 0. 3. 3. (c) Te = 3 · . esquissez xa (t) sur 3 périodes T au moins puis échantillonnez xa (t) avec . largeur ∆t = T 4 20 1. (a) Te = (b) Te = T 4 T 2 1.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 0.2 Exercice ECH 2 ( chier source).08 X(jf) [V/Hz] 0. Corrigé En préparation. esquissez X (j · f ) et Xe (j · f ) .04 0.3 Exercice ECH 3 On considère une SIR d'amplitude A = 10 [V].12 0. esquissez x(t) et xe (t) .1. 3. v 1. : Xe (+j · 3) = X (+j · 3) + X (−j · 17) + X (+j · 23) 84 MEE \co_ts. + 10 [kHz] des raies spectrales correspondant à des fréquences du spectre original X (j · f ) supérieures à f2e = 10 [kHz].TF4). que valent X (j · f ) et Xe (j · f ) pour f = 1 [kHz] ? Corrigé des exercices. j ·k ·π esquissez X (j · f ) et Xe (j · f ) . sachant que X (j · k ) = (−1)k+1 · A . En préparation. correspondant à m = 0 et k = 3 dans l'expression (3. + f2e = −10 [kHz] .1 : X (j · k ) = A · ∆t sin (k · π · f0 · ∆t) · T k · π · f0 · ∆t Comme les raies spectrales des séries de Fourier complexes X (j · k ) deviennent des impulsions de Dirac lorsque l'on passe à la transformée de Fourier (cf. . on aura : La raie originale de X (j · f ). on a pour X (j · f ) : X (j · f ) = +∞ k=−∞ A· ∆t sin (k · π · f0 · ∆t) · · δ (f − k · f0 ) T k · π · f0 · ∆t Par suite de l'échantillonnage.tex 13 mars 2009 . 3.1) 3. 1. il y aura recouvrement spectral. La raie de Xe (j · f ). i. . Xe ( j · f ) = +∞ m=−∞ X (j · (f − m · fe )) (3.ex. Pour la raie spectrale de Xe (j · f ) située à f = 3 [kHz]. v 1.e. de période T0 = 1 [ms] que l'on échantillonne avec la fréquence fe = 8 [kHz] .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé 1. Xe (j · 3 [kHz]) = X (j · 3 [kHz]) + X (−j · 17 [kHz]) + X (+j · 23 [kHz]) 3. 2. correspondant à m = −1 et k = +23 de (3. La raie de Xe (j · f ). on retrouvera dans la bande de base − f2e . correspondant à m = 1 et k = −17 de (3. .1) . 85 MEE \co_ts.1) . i. La densité spectrale d'amplitude d'une SIR a été calculée au chap. On aura donc. en négligeant le recouvrement pour |m| > 1 : Comme X (j · f ) n'est pas à bande limitée.1) ci-dessus . esquissez x(t) et xe (t) . cette densité spectrale va se répéter et accumuler tous les fe . dans le cas particulier tous les fe = 20 · f0 = 20 [kHz].e.1.18 2.4 Exercice ECH 4 Soit un signal en dents de scie d'amplitude A = 5 [V]. . 18 86 MEE \co_ts. esquissez les spectres d'amplitudes et de phases du signal xe (t). que valent les fréquences repliées fr ? 3.1. si elles existent. Exercice ECH 6 3. que vaut le signal reconstruit ya (t) ? Corrigé 1. 2. Ce signal comporte quatre composantes spectrales situées en f = 50. On constate que le théorème d'échantillonnage n'est pas respecté et qu'il y aura du recouvrement spectral. 3. que vaut la fréquence de Nyquist fN = fe 2 π 6 ? 2. Dans la bande de base. Comme l'on a fe = 600 [Hz]. En choisissant fe = 3 · fe.6 Un signal analogique xa (t) = cos(2 · π · 240 · t) + 3 · cos 2 · π · 540 · t + est échantillonné à raison de 600 échantillons par seconde. 1. 125.1.min = 1800 [Hz]. La fréquence d'échantillonnage devra donc valoir au moins 2·fmax = 600 [Hz]. 300 [Hz].HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé En préparation. la fréquence de Nyquist vaut fN = f2e = 300 [Hz]. v 1.5 Exercice ECH 5 Considérant le signal analogique xa (t) = 2·cos(100·π ·t)+5·sin 250 · π · t + π π −4·cos(380·π ·t)+16·sin 600 · π · t + 6 4 1. quelle valeur minimum faut-il choisir pour fe si l'on veut respecter le théorème d'échantillonnage ? 2. Corrigé 1. soit fe = 3 · fe min . il n'y aura donc pas d'autres raies spectrales que celles données au point 1. il n'y aura pas de recouvrement spectral. 190. si x[n] est restitué à l'aide d'un convertisseur NA suivi d'un ltre passe-bas idéal tel que fc = f2e .tex 13 mars 2009 . Corrigé des exercices. 7 Exercice ECH 7 Considérant qu'un signal est échantillonné à 40 [kHz] et numérisé avec 16 bits. quelle est la durée d'enregistrement que l'on peut stocker dans 1 Moct ? Corrigé En préparation. Le cosinus de fréquence 540 [Hz] sera donc perçu comme un cosinus de fréquence 60 [Hz]. le rapport signal sur bruit du signal numérisé. un processeur DSP de 16 bits avec un cycle d'horloge de 50 [ns]. 3. Sachant que celui-ci travaille entre ±10 [V] et qu'il est entâché d'une LSB.18 87 MEE \co_ts. v 1. Le signal reconstruit et suivi d'un ltre passe-bas idéal vaudra donc π ya (t) = cos(2 · π · 240 · t) + 3 · cos 2 · π · 60 · t − 6 Le changement de signe de la phase provient du fait que la composante . Corrigé des exercices. Calculez la bande passante maximum que peut traiter ce ltre sachant que pour chaque valeur échantillonnée le DSP calcule le signal de sortie avec l'équation suivante : 19 y [n] = m=0 h[m] · x[n − m] en eectuant une multiplication et une addition en un seul cycle d'horloge. 3.5 [µs]. Corrigé 3.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 2. un convertisseur NA à 12 bits avec un temps d'établissement de 0. Les fréquences repliées vaudront fr = ±fe ± fmax = ±600 ± 540 = ±60 [Hz] dans la bande de base.1.1. +60 [Hz] est due à la raie −540 [Hz] dont la phase vaut − π 6 3. les valeurs e caces du signal et du bruit de quanti cation .9 Exercice ECH 9 Un signal sinusoïdal d'amplitude 6 [V] est numérisé à l'aide d'un convertisseur 16 bits. 2. sa résolution et son pas de quanti cation .1. 3.tex 13 mars 2009 . calculez : non-linéarité de ± 1 2 1.8 Exercice ECH 8 Un ltre numérique est constitué des éléments suivants : un convertisseur AN à 12 bits avec un temps de conversion de 5 [µs]. 3.1. que valent la résolution et le pas de quanti cation du convertisseur ? 3. Les valeurs numériques du CAN sont transmises à travers 2 une ligne dont le débit est de 104 oct s . v 1.18 MEE \co_ts. Considérant que le signal échantillonné est perturbé par une composante spectrale d'amplitude A = 5 [V] et de fréquence f0 = 8 [kHz]. On demande : 1. 3. y a-t-il repliement spectral ? 2.tex 13 mars 2009 . Est-il possible de garantir un SNR d'au moins 90 [dB] ? Corrigé En préparation.1.1. 3. que vaut le rapport signal sur bruit de conversion AN ? Corrigé En préparation. quelle fréquence d'échantillonnage chosissez-vous pour que le repliement de la perturbation se fasse en f ≥ fc ? 2. on demande : 1.12 Exercice ECH 12 On utilise un ltre analogique passe-bas de Butterworth d'ordre 6 et de fréquence de coupure 4 [kHz] comme ltre antirepliement. quelle sera l'amplitude Ar du signal replié en f = fc ? 88 Corrigé des exercices. que vaut la puissance du signal x(t) ? quelle est sa valeur e cace ? 4.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé En préparation.10 Exercice ECH 10 16 [bit] enOn échantillonne un signal sinusoïdal d'amplitude 5 [V] avec un CAN ± 10 [V] 1 tâché d'une de non-linéarité de ± 2 LSB.11 Exercice ECH 11 On échantillonne un signal analogique x(t) = 4 · cos(2 · π · 300 · t) + 2 · cos(2 · π · 900 · t) [V] avec un convertisseur AN 16 bits travaillant entre + et −5 [V] qui possède une non linéarité de ± 1 LSB. v 1. 2. 3. esquissez les signaux x(t). 2. Rép. 1. par exemple) à l'aide d'un convertisseur analogique-numérique 4 [bit] travaillant entre + et −10 [V]. quelle est la résolution du convertisseur comprenant la quanti cation et la non-linéarité .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé En préparation. calculez la fréquence d'échantillonnage nécessaire pour que l'aaiblissement du repliement spectral en f = fc soit inférieur à la résolution du convertisseur. 3. xq (t) . Selon le cours.2 page suivante 3. Voir gure 3. 3.13 Exercice ECH 13 On utilise un ltre analogique passe-bas de Butterworth d'ordre 3 (sa fréquence de coupure fc est xée par l'application) comme ltre antirepliement en amont LSB de non linéarité. quelle est la valeur e cace de ce bruit de quanti cation ? 4.18 89 MEE \co_ts. 3.14 Exercice ECH 14 Un signal x(t) sinusoïdal d'amplitude A = 10 [V] de fréquence f = 1 [kHz] est échantillonné très rapidement (à 1 [MHz]. la puissance du bruit de quantication est donnée par : Q2 PQ = 12 Corrigé des exercices. esquissez la réponse fréquentielle du ltre et celle causée par le repliement spectral . esquissez l'erreur de quanti cation e(t) .1. Voir gure 3. d'un convertisseur AN 12 bits avec ± 1 2 1.tex 13 mars 2009 . : fe = 13. xe [n]. que vaut le SNR ? Corrigé 1.7 · fc Corrigé En préparation.2 page suivante 2.1. 3 0.4 0.7 0.tex 13 mars 2009 . Q =0.9 x 10 1 −3 temps Quantification d’un signal analogique.7 0.8 0.8 0. v 1.5 −1 0 0.6 0.1 0.5 Amplitude 0 −0.18 90 MEE \co_ts.2 ( chier source) Corrigé des exercices.3 0.4 0.2 0.9 x 10 1 −3 temps f_ex_ECH_14_3.6 0.2 0.eps Figure 3.5 0.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Quantification d’un signal analogique 10 5 original codage Bruit Amplitude 0 −5 −10 0 0.34541[V] eff 1 Bruit 0.1 0.5 0. v 1. Corrigé des exercices.tex 13 mars 2009 . Le rapport signal-sur-bruit (SNR) se calcule comme suit : SNR = Xe Qe = 10 [V] √ 2 0.15 Exercice ECH 15 On remplace le signal sinusoïdal de l'exercice précédent par un signal triangulaire de mêmes amplitude et fréquence.3608 [V] = 18.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) La valeur e cace du bruit est par dé nition : Qe = Q PQ = √ 12 En tenant compte des valeurs numérique.1193 et donc Qe = PQ = 0. 4.3454 qui est très proche de la valeur calculée plus haut.18 91 MEE \co_ts.2 page ci-contre par la formule 1 Px = · T t0 +T t0 1 · x (t) · dt −→ Px ≈ N 2 N −1 n=0 x2 [n] on obtient PQ = 0. on a : Umax Q 2n−1 Qe = √ = √ 12 12 = √ 10 [V] 24−1 12 = 0.3608 A noter que si l'on calcule eectivement la puissance de e(t) puis sa valeur e cace sur la base de ses valeurs numériques successives telles qu'elles apparaissent sur la gure 3.56 = 25.37 [dB] 3.1. Qu'est ce qui change ? Corrigé En préparation. 1. Jusiti ez cette a rmation au travers de quelques exemples bien connus. montrez que le spectre du signal échantillonné vaut : 2 · (a + j · 2 · π · f ) 1 + Xe (j · f ) = a + j · 2 · π · f k=1 (a + j · 2 · π · f )2 + (2 · π · k · fe )2 +∞ Corrigé La densité spectrale d'amplitude de x(t) = e−a·t · (t) vaut (chap.16 Exercice ECH 16 On dit qu'un signal ne peut pas avoir simultanément une durée temporelle nie et une bande passante fréquentielle nie.tex 13 mars 2009 .HEIG-VD Traitement de Signal (TS) 3.17 Exercice ECH 17 Considérant une exponentielle décroissante x(t) = e−a·t ·ε(t) que l'on échantillonne avec une fréquence fe . qu'est-ce que cela implique ? Corrigé En préparation.2) : X (j · f ) = 1 a + j · 2 · πf L'échantillonnage avec une fréquence fe conduit à la recopie de ce spectre en tous les multiples de m · fe de fe . 3. Corrigé des exercices. Du point de vue de l'échantillonnage.18 92 MEE \co_ts. On a donc : Xe ( j · f ) = = 1 a + j · 2 · π · (f − m · fe ) m=−∞ −1 +∞ 1 1 1 + + a + j · 2 · π · (f − m · fe ) a + j · 2 · πf m=+1 a + j · 2 · π · (f − m · fe ) m=−∞ +∞ Considérant deux termes symétriques (m < 0 et m > 0) de chaque somme. v 1.1. Quelles sont les fréquences apparentes d'ordre n ∈ [0. Quelle est la largeur de la bande de base ? Quelles sont les composantes spectrales réelles présentes dans la bande de base ? 3. 2.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) on voit que l'on a Ce qui donne nalement 1 1 + a + j · 2 · π · (f − m · fe ) m<0 a + j · 2 · π · (f − m · fe ) m>0 1 1 + = a + j · 2 · π · (f + m · fe ) m>0 a + j · 2 · π · (f − m · fe ) m>0 1 1 = + (a + j · 2 · π · f ) + j · 2 · π · m · fe (a + j · 2 · π · f ) − j · 2 · π · m · fe (a + j · 2 · π · f ) − j · 2 · π · m · fe + (a + j · 2 · π · f ) + j · 2 · π · m · fe = (a + j · 2 · π · f )2 − (j · 2 · π · m · fe )2 2 · (a + j · 2 · π · f ) = (a + j · 2 · π · f )2 − (j · 2 · π · m · fe )2 2 · (a + j · 2 · π · f ) = (a + j · 2 · π · f )2 + (2 · π · m · fe )2 1 a+j·2·π·f Xe ( j · f ) = +2· a+j·2·π·f (a + j · 2 · π · f )2 + (2 · π · m · fe )2 m=1 +∞ 3. v 1. Les résultats de l'analyse spectrale sont donnés dans la gure 3. . Quelles sont les amplitudes de chacune de ces raies ? 5. Le spectre d'un signal carré d'amplitude A est décrit par X (j ·k ) = A· A sin k · π ∆t sin (k · π · f0 · ∆t) 2 · = · = T k · π · f0 · ∆t 2 k·π 2 93 0 si k pair ou k = 0 A ± k·π si k impair MEE \co_ts. .8 [kHz]. associez les numéros des composantes spectrales théoriques aux raies spectrales obtenues après échantillonnage.tex 13 mars 2009 Corrigé des exercices. . Quelles sont les fréquences et amplitudes des raies spectrales du signal analogique ? Esquissez le spectre d'amplitudes.18 . Corrigé 1.4 . on demande : 1. 15] présentes dans la bande de base ? 4.1. .18 Exercice ECH 18 Considérant un signal carré à valeur moyenne nulle de période T0 = 1 [ms] et d'amplitude A = 1 [V] que l'on échantillonne à la fréquence fe = 9. HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Signal échantillonné xe(t) 1 0.5 x(t) 0 −0.5 −1 0 1 2 3 4 5 temps [ms] 6 7 8 9 10 Spectre théorique (o) et spectre dû au repliement spectral (−) 0 f0 = 1 −10 |X(jf)| [dB] −20 −30 −40 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 fréquence [kHz] 3.5 4 4.5 5 f_xechcarre_1.eps Figure 3.3 Echantillonnage et repliement spectral pour un signal carré ( chier source). Corrigé des exercices, v 1.18 94 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Spectre théorique (o) et spectre dû au repliement spectral (−) 0 f0 = 1 −5 −10 −15 |X(jf)| [dB] 5 −20 9 11 −25 19 −30 39 −35 29 17 21 27 31 41 37 33 43 45 35 23 25 13 15 7 −40 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 fréquence [kHz] 3.5 4 4.5 5 f_cx_echcarre_1.eps fN Figure 3.4 Repliement spectral pour un signal carré. 2. La bande de base est comprise entre ± f2e = 4.9 [kHz]. Les composantes spectrales réelles présentes se situent donc en ±1 kHz et ±3 [kHz]. A . k ·π 3. Les fréquences apparentes sont présentées dans la gure 3.4. 4. L'amplitude de chaque raie d'ordre k vaut 5. Voir gure 3.4 Corrigé des exercices, v 1.18 95 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Corrigé des exercices, v 1.18 96 MEE \co_ts.tex 13 mars 2009 4.5 → 3) ex.SF6.11 v1. SF7.HEIG-VD Traitement de Signal (TS) Versions du document Version du document v1.18 Date 29 janvier 2006 31 janvier 2006 3 février 2006 25 février 2006 11 mars 2006 18 mars 2006 20 mars 2006 19 mai 2006 19 mai 2006 12 mars 2009 Notes erreur oset (1. TF 2 erreur phase X (j · k ) ex.SF6 erreur gure 2. terminé ex.5 erreur ∆t ex.16 v1.13 v1.1 Versions publiées Corrigé des exercices. Ech5.15 v1.2 ( gure 1. Ech17. Ech6. Ech18 Corrigé exercice Ech14 Recompilation avec adresse du nouveau serveur Table 3. erreur (2 ± j ) → (−2 ± j ) ex.8 v1.9 v1. TF 17 Corrigé exercice Corr 1 Corrigés exercices Ech1.18 97 MEE \co_ts.10 v1.tex 13 mars 2009 .12 v1. Listing MATLAB exercice SF4 erreur transformée de Fourier I (j · f ) (manque C au numérateur) ex.6) erreur calcul puissance (75 [V2 ] → 85 [V2 ]) ex. SF 15. v 1.14 v1.