Evidencia delaprendizaje. Ecuaciones del transporte de cantidad de movimiento Fenómenos de transporte. Unidad 1 Transporte de cantidad de Movimiento (Momentum) María Esther Michel Hagelsieb Facilitador: Antonio Ramón Camelo Pérez Si conocemos la velocidad de cada gota en un instante de tiempo. olas. . Partimos de tres leyes físicas: La ley de la conservación de la masa. La segunda ley de Newton (Ley de conservación del movimiento). del magma terrestre… A lo largo de la historia los seres humanos han sido capaces de crear teorías que permiten anticiparse a lo que va a pasar en la naturaleza en el futuro.Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos “reales” Conocer sus soluciones permitiría predecir el comportamiento de la atmósfera. una masa de agua moviéndose de manera que a cada punto. Pensemos ahora en un río. la Mecánica de Fluidos permite comprender el medio continuo y sus ecuaciones sirven para diseñar modelos de sistemas complejos como la atmósfera o el mar. mareas y corrientes. Hablamos de la ecuación de Navier-Stokes. a cada gota que lo forma. Una ley de estado que relaciona la presión con la densidad Estas tres condiciones físicas se pueden traducir a un lenguaje matemático a través de ecuaciones en derivadas parciales.Entender la naturaleza de los movimientos del mar. ¿podemos decir cuál va ser su velocidad en el futuro? Los matemáticos y los físicos han sido capaces de encontrar una ecuación que se puede aplicar a todos estos. Las soluciones de estas ecuaciones nos dicen como varia con el tiempo la densidad.Predecir el tiempo atmosférico. una vez que se tiene suficiente información sobre el presente: La mayoría de estas teorías utilizan las matemáticas como lenguaje. en el presente. 1 .Comprender la naturaleza de los vientos. Ecuaciones del transporte de cantidad de movimiento Ecuaciones de Navier.Fenómenos de Transporte Primera Unidad BFDE_U1_EA_MAMH Evidencia del aprendizaje. podemos asociarle una velocidad (consideremos que es un vector que indica la rapidez y la dirección con la que se mueve). es posible: . Gracias a estos modelos. cada vez más precisos. de las corrientes oceánicas. Aplicaciones de la Mecánica de Fluidos Pese a que todavía hay muchas preguntas abiertas. . la velocidad y la presión del fluido en cada punto del espacio en el que yace. La base en la que se sustentan es fácil de entender. Cuando no existe deformación la única tensión es la estática o hidrostática. canales. pero no de la tasa de deformación. hizo una serie de hipótesis sobre el tipo de fluido que modelan esas ecuaciones. Y desde finales del siglo XIX. Luego Navier presentó por primera vez las ecuaciones hoy en día denominadas de Navier-Stokes en 1822. quien llegó a las mismas ecuaciones por un camino diferente en 1845. 2. Las ecuaciones generales de Navier-Stokes. la náutica y la naciente aeronáutica fomentan la investigación en el cálculo del vuelo de objetos. 3. surgen de anotaciones de Leonardo de Vinci quien describió los parámetros que definen el rozamiento sobre un cuerpo sumergido en un flujo. un ejemplo muy usado de la cual es la ecuación de estado para un gas ideal. y luego Descartes y más tarde Torricelli y Viviani. propuso una relación lineal entre tensión y deformación. De ahí el nombre de fluidos Newtonianos para sustancias que permiten expresar las tensiones en función de las deformaciones a través de un coeficiente constante. e independiente de alguna otra variable cinemática. las cuales al presente no tienen demostración analítica y si modelan correctamente un fluido Newtoniano en movimiento o no se lo debe verificar experimentalmente. es decir que las tensiones en un punto no dependen de las coordenadas espaciales. La primera de esas relaciones es una ecuación de estado propia para la sustancia. son las ecuaciones de cantidad de movimiento para fluidos Newtonianos.Fenómenos de Transporte Primera Unidad BFDE_U1_EA_MAMH Además. el lenguaje matemático permite plantear y resolver los problemas de la hidráulica tradicional: tuberías. es decir que no existe una dirección preferencial ni de tensión ni de deformación. consta de 7 ecuaciones constitutivas propias para un tipo de sustancia. Las hipótesis que hizo Stokes son: 1. Y son los antecedentes que tuvo Newton. las cuales conceptualmente definen la sustancia. 2 . de las cuales se tienen registros. Los anteriores son los antecedentes de las ecuaciones constitutivas para un fluido Newtoniano. quien razonando con un modelo de láminas que se desplazan unas sobre otra. Y tiempo después Stokes. El fluido es homogéneo. Las otras 6 ecuaciones son relaciones que permiten expresar las tensiones en función de las deformaciones. Las tensiones en un punto son una función continua de las deformaciones y del equilibrio termodinámico en un punto. Para un fluido Newtoniano la función f arriba es lineal. coincidente con la presión termodinámica. El fluido es isotrópico. el cual es una propiedad del estado local termodinámico de la sustancia. multiplicada por un coeficiente. 4. Las primeras ideas sobre el rozamiento interno en un fluido. en base a la relación propuesta por Newton. quienes trataron de relacionar experimentalmente el rozamiento con variables cinemáticas. esas relaciones expresan de qué forma ocurre el rozamiento interno en un fluido en movimiento. en el sistema cartesiano de coordenadas x. la fuerza de gravedad.y y z . El tensor de flujo convectivo. está formado. Las fuerzas que actúan en un fluido son: Fuerzas de volumen: que son las que actúan directamente sobre la masa del volumen por ejemplo. que describe la transferencia de la cantidad de movimiento a través de la superficie de una masa.Fenómenos de Transporte Primera Unidad BFDE_U1_EA_MAMH Ecuaciones de movimiento / Ecuaciones de Navier-Stokes Ecuación de la conservación de la masa. 3 . lo que indica que para cualquier fluido en reposo. se debe comenzar recordando la forma particular de la segunda Ley de Newton la cual establece que la variación del momento es la consecuencia de la sumatoria de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento. fuerza centrífuga e incluso debido a campos electromagnéticos. El flujo difusivo es cero. la variación de la masa implica un desplazamiento de las partículas fluidas Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento La ecuación del momento. Ecuaciones de continuidad En el principio de la conservación de la masa de fluidos monofásicos no existe la contribución del término difusivo en la ecuación de la continuidad. debido a que no es posible la difusión del momento en un fluido en reposo. la distribución de las presiones y las presiones normales y tangenciales resultantes de la interacción del fluido con las superficies que definen el mismo. Las fuerzas de superficie también forman parte de la ecuación de la energía. expresa que la variación temporal de la energía total en el flujo es igual al incremento de trabajo de las fuerzas que actúan sobre el volumen y el flujo neto de calor a través del contorno del dominio.Fenómenos de Transporte Primera Unidad BFDE_U1_EA_MAMH Fuerza de superficie: Son las que actúan directamente en la superficie que delimita el flujo. este es proporcional a la gradiente de la magnitud que se conserve por unidad de masa. Para fluidos como agua o aire (fluidos Newtonianos) Ecuación de la conservación de la conservación de la energía La ecuación de la conservación de la energía se basa en el primer principio de la termodinámica. A diferencia de la ecuación de la continuidad y de la cantidad de movimiento. existe un flujo difusivo. Si se aplica este principio a un flujo. El tensor de esfuerzos viscosos es función de las propiedades dinámicas del fluido. Estas fuerzas incluyen el trabajo realizado tanto por las fuerzas de presión como por los esfuerzas normales y tangenciales en el elemento fluido. Las fuerzas de superficie están formadas por dos términos la componente isótropa de presión y el tensor de esfuerzos viscosos. 4 . estas fuerzas provienen de dos posibles fuentes. El fluido es homogéneo. Su fórmula general es: La Ecuación de Hagen. En conclusión. El tensor de esfuerzos es independiente de la traslación y rotación del elemento considerado. En el caso más general. la fuerza gravitatoria y 5 . es decir. la función f no depende explícitamente de las coordenadas. 2. Tensor de esfuerzos es una función continua del tensor de velocidad de deformación y del estado termodinámico local.Poiseuille describe la relación entre el caudal de fluido y las fuerzas que lo originan: la diferencia de presión (fuerza/área). El fluido carece de elasticidad. 3. 4. 6. El comportamiento dinámico de los fluidos está gobernado por las ecuaciones de conservación de la masa. cantidad de movimiento y energía. El fluido es isótropo. Las propiedades del fluido son independientes del sistema de referencia utilizado.Fenómenos de Transporte Primera Unidad BFDE_U1_EA_MAMH Fluidos de Stokes Se define un fluido de Stokes al fluido que cumple con las siguientes condiciones: 1. las propiedades son independientes de la dirección y las direcciones principales del tensor de esfuerzos y deformaciones coinciden. 5. las ecuaciones completas de Navier Stokes presentan las siguientes características: Son dependientes del tiempo Tridimensionales Incluye esfuerzo viscoso Considera la comprensibilidad de un fluido ECUACIÓN DE HAGEN-POISEUILLE La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille) después de los experimentos llevados a cabo en 1839 es una ley que permite determinar el flujo laminar estacionario de un líquido incomprensible y uniformemente viscoso es decir un flujo Newtoniano. Considerando una diferencial del cilindro dr. 4) Se desprecian los “efectos de entrada y salida” del sistema. La ecuación de Hagen Poiseuille permite evaluar el caudal o flujo de fluido que circula por un tubo cilíndrico y recto en función de la diferencia de presión en una longitud “l” considerando las propiedades fisicoquímicas del fluido. esta restricción es equivalente a suponer flujo laminar). En la pared del cilindro. 3) El fluido es newtoniano. En el esquema se muestra un tubo cilíndrico de longitud “l” de radio R al inicio tiene una P1 y al final P2. 6 . Es decir que se toma una sección de tubo de longitud “l” lo suficientemente alejada de la entrada y la salida como para despreciar las perturbaciones que estas pudieran originar. El flujo volumétrico de un fluido viene dado por: Q = velocidad media * sección de flujo=<vz>*πR2 Suposiciones para su deducción: 1) Se cumple la hipótesis del continuo y la conservación de la materia 2) El flujo es estacionario (no existen variaciones en el tiempo) y unidireccional (sólo existe componente de velocidad en una única dirección. la velocidad es casi cero y en el centro cuando r=R se tiene la máxima velocidad. incompresible (ρ=cte) y de viscosidad constante (μ=cte).Fenómenos de Transporte Primera Unidad BFDE_U1_EA_MAMH la fuerza viscosa. cuando r=0. la velocidad va cambiando de la pared del cilindro al centro del tubo. Cuando se elige la componente en la dirección del movimiento. La región del espacio al cual se aplican los balances es: 0 ≤ L ≤ L y 0 ≤ r ≤ R. habrá que obtener la velocidad media. las ecuaciones de Navier Stokes se expresan: 7 . Para coordenadas cilíndricas. Balance de materia: ∂ p 1 1 ∂ ( prv r ) 1 1 ∂ ( pv ∅ ) ∂ ( pv z ) + + + =0 ∂t r ∂r r ∂∅ ∂z Aplicando las suposiciones dadas la ecuación anterior se simplifica: ya que el flujo es estacionario y unidireccional por lo cual solo existe vz ∂ ( pv z ) =0 ∂z Como el fluido es incompresible ρ es constante y su valor es diferente de cero. indica que la velocidad es constante. <vz>. diferencial expresada como dv/dr. Balance de fuerzas Cuando el flujo se encuentra totalmente desarrollado las fuerzas de presión. ni se acelera. en este caso z. de acuerdo al siguiente esquema. las viscosas y las gravitatorias se encuentran equilibradas. ni se frena. Para encontrar la velocidad media es necesario obtener en primer término el perfil de velocidad y después integrar.Fenómenos de Transporte Primera Unidad BFDE_U1_EA_MAMH Como la velocidad va cambiando en el elemento. el volumen de control será: 0<z < L y 0< r < R. por tanto la ecuación anterior. en la entrada tiene una presión P 0 y al final PL. 5) las fuerzas que originan dicho flujo son las relacionadas con la caída de presión y la aceleración gravitacional 6) La longitud del tubo (capilar) 8 .) y de viscosidad constante (μ=cte). 4) Se desprecian los “efectos de entrada y salida” del sistema. las viscosas y las de presión están equilibradas. Es decir que se toma una sección de tubo de longitud “L” lo suficientemente alejada de la entrada y la salida como para despreciar las perturbaciones que estas pudieran originar. habrá que resolver la ecuación anterior y se considerara la densidad del fluido otra característica física: la densidad (ρ) de la ecuación de Hagen Poiseuille Dónde: Q * p = Flujo volumétrico Y será válida para las suposiciones dadas al inicio: 1) Se cumple la hipótesis del continuo y la conservación de la materia 2) El flujo es estacionario (no existen variaciones en el tiempo) y unidireccional (sólo existe componente de velocidad en una única dirección.Fenómenos de Transporte p ( Primera Unidad [ ( ) BFDE_U1_EA_MAMH ] ∂vz ∂ v v ∂v ∂v ∂v −∂ p 1 ∂ 1 ∂2 vz ∂2 vz + vr z + θ z + vz z = +μ r z + 2 + + pg z ∂r ∂r r ∂θ ∂z ∂z r ∂ r ∂r r ∂ θ2 ∂ z 2 ) La cual si simplificará por que el sistema es estacionario. 3) El fluido es newtoniano. el flujo unidimensional (vz). incompresible (ρ=cte. Para encontrar la expresión matemática del flujo en un ducto circular. esta restricción es equivalente a suponer flujo laminar). el componente de la velocidad (vz) solo esta en función a r por lo que el balance queda: [ ( )] ∂v ∂p 1 ∂ +μ r z + pg z ∂z r ∂r ∂r A partir de la ecuación de Navier Stokes. la ecuación anterior muestra que las fuerzas gravitatorias. la ecuación de la continuidad es cero. Fundamentos de Mecanica de Fluidos. R. J.Introducción a la Mecánica de Fluidos. Iván Cabrera. W. & Saldarriaga. S. McGraw-Hill. J. M... W. R... (2014).Mecánica de los fluidos (Vol. G.. Ecuaciones de Navier Stokes. y había propuesto una explicación teórica convincente. Se observó con sorpresa que no solamente la caída de presión era siempre bastante mayor que la predicha (Hagen 1854. Torres. que incluía la viscosidad como única responsable posible de la disipación de energía. Industriales). Plaza Huincul. 217-223. & Confluencia.es/proyectos/abreproy/3718/fichero/Parte+I%252FCapitulo+2.Fenómenos de Transporte Primera Unidad BFDE_U1_EA_MAMH 7) La viscosidad del fluido La relación entre la pérdida de carga en conductos y el gasto era empírica. y constituía una de las principales incógnitas en el diseño de las obras hidráulicas. D.. Rubio. K. y es responsables de la pérdida de carga adicional (Jiménez 2011) Referencias Bibliográficas Pasinato. Jiménez-Lizárraga. Fenómenos turbulentos Capitulo 2 . Fox. R.pdf 9 . Ordaz. B. (2011). N. Capítulo 2. A. Madrid: Realigraf. que modifica el flujo de la energía cinética. de Jesús. 9). Jiménez. (2013). Wylie. L. Streeter. (2008).. (1988). Universidad Tecnologica Nacional. McDonald. Mayo-Junio. J. consultado el 24/04/2015 en http://bibing.. Revista Mexicana de Física. McGraw-Hill. A.. Pero esta teria solo aplica a flujos laminares y la razón por la que los flujos que hoy llamamos turbulentos se comportaban de forma distinta a los laminares tiene que ver con la presencia de fuertes fluctuaciones de la velocidad. E. G. & Callejas.us. Solución general de la ecuación de Navier-Stokes para describir la dinámica de un fluido viscoso homogéneo en una tubería abierta. A. (1995). Estudio numérico de flujo turbulento cargado con partículas sólidas a través de canales y tuberías de sección variable (Doctoral dissertation. Darcy 1854). Las teorías de la turbulencia y la imaginación en la física. sino que era independiente de la recién descubierta viscosidad. V. Bedford. S. G.. R. Cázares. H. T. porque Poiseuille había hecho observaciones experimentales bastante precisas. L.