Betancourt Grajales, Ramiro - FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.pdf

FENÓMENOSDE TRANFERENCIA Ramiro Betancourt Grajales TABLA DE CONTENIDO Capítulo 1. TANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONAL ESTABLE. .............................. 10 1.1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR. ........................................... 10 1.1.1. Transferencia de calor por conducción. .......................................................................... 11 1.1.2. Ley de Fourier. ................................................................................................................ 12 1.1.3. Conducción de calor en estado estable unidimensional. ................................................. 14 1.1.4. Aplicación de los balances diferenciales a la transferencia de calor por conducción. .... 15 1.1.4.1. La pared plana. ......................................................................................................... 15 1.1.4.2. Placa plana sin generación en estado estable. .......................................................... 16 1.2. TRANSFERENCIA EN LA INTERFASE. ....................................................................... 17 1.2.1. Efecto convectivo............................................................................................................ 17 1.3. RADIACIÓN. ....................................................................................................................... 17 1.3.1. El cuerpo negro. .............................................................................................................. 18 1.3.1.1. Intercambio de calor radiante entre dos superficies negras...................................... 20 1.3.1.2. Superficies rerradiantes. ........................................................................................... 21 1.3.2. Superficies grises (α = ε). ............................................................................................... 21 1.3.3. Error de Termocupla. ...................................................................................................... 23 1.3.4. Radiación desde gases..................................................................................................... 26 1.3.5. Radiación solar................................................................................................................ 26 1.4. PARED CON CAPAS MÚLTIPLES. ................................................................................ 27 1.5. MANANTIALES CALORÍFICOS..................................................................................... 29 1.5.1. Manantial calorífico de origen eléctrico.......................................................................... 29 1.5.2. Manantial calorífico de origen viscoso. .......................................................................... 29 1.5.3. Manantial calorífico de origen químico. ......................................................................... 30 1.5.4. Manantial calorífico de origen nuclear............................................................................ 31 1.6. SISTEMAS CON FUENTES DE CALOR. ....................................................................... 31 1.6.1. Pared plana. ..................................................................................................................... 31 1.6.1.1. Pared Plana Simétrica, con generación y convección: ............................................. 32 1.6.2. Transporte de energía con generación. Geometría cilíndrica. ......................................... 36 1.6.2.1. Flujo total de calor en la pared. ................................................................................ 38 1.6.3. Otros sistemas radiales. El tubo. ..................................................................................... 38 1.6.3.1. El tubo compuesto.................................................................................................... 39 1.6.3.2. Coeficientes globales................................................................................................ 40 1.6.4. Espesor crítico de aislamiento......................................................................................... 41 1.6.5. La esfera. ......................................................................................................................... 42 1.6.6. Otros sistemas con área transversal variable................................................................... 42 1.7. SISTEMAS DE CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN. .......................................................... 44 1.7.1. Aletas de área transversal uniforme. ............................................................................... 47 1.7.2. Rendimiento de las aletas. ............................................................................................... 52 1.7.2.1. Eficacia de la aleta.................................................................................................... 53 1.7.2.2. Eficiencia de las aletas. ............................................................................................ 56 1.7.3. Aletas de área transversal variable. ................................................................................. 57 1.7.3.1. Aletas rectas de perfil triangular. ............................................................................. 57 1.7.3.2. Aletas cónicas........................................................................................................... 58 1.7.4. Aleta de enfriamiento por convección natural. ............................................................... 60 EJERCICIOS..................................................................................................................................... 61 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Capítulo 2. TRANSFERENCIA DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.................................... 71 2.1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE MASA. ............................................................ 71 2.1.1. Definiciones básicas. ................................................................................................................. 71 2.1.1.1. Concentraciones. ................................................................................................................ 72 2.1.2. Primera ley de Fick.................................................................................................................... 73 2.1.3. Densidades de flujo. .................................................................................................................. 74 2.1.4. Balances de materia................................................................................................................... 76 2.1.5. Transferencia de masa por difusión unidireccional................................................................... 83 2.1.5.1. Película plana estancada. .................................................................................................... 83 2.1.5.2. Reacción química heterogénea no instantánea. .................................................................. 90 2.1.5.3. Sistemas con área seccional variable.................................................................................. 95 2.1.6. Difusión con generación interna................................................................................................ 99 2.1.6.1. Reacción química homogénea............................................................................................ 99 2.1.6.2. Difusión con generación. Simetría esférica...................................................................... 101 2.2. INTRODUCCIÓN AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DINÁMICA DE FLUIDOS. ............................................................................................................................................. 103 2.2.1. Transporte de cantidad de movimiento entre placas paralelas. Flujo de Couette.................... 104 2.2.2. Ley de Newton de la viscosidad.............................................................................................. 105 2.2.3. Fluidos no newtonianos........................................................................................................... 106 2.2.3.1. Flujo dependiente del tiempo. .......................................................................................... 107 2.2.3.2. Esfuerzo cortante frente a gradientes de velocidad para fluidos no newtonianos. ........... 107 2.2.3.3. Número de Reynolds para fluidos no newtonianos. ......................................................... 108 2.2.4. Transporte de cantidad de movimiento unidireccional estacionario. Flujo de Couette........... 108 2.2.5. Simetría radial. ........................................................................................................................ 109 2.2.5.1. Transporte de cantidad de movimiento en un anillo......................................................... 109 2.2.6. Transporte de cantidad de movimiento con generación. ......................................................... 111 2.2.7. Velocidad promedio. ............................................................................................................... 112 2.2.8. Ecuación de Hagen Poiseuille. ................................................................................................ 114 2.3. ANALOGÍAS ENTRE LOS TRES FENÓMENOS DE TRANSPORTE. .................................... 116 2.3.1. Ecuaciones de continuidad para una mezcla binaria. .............................................................. 117 2.3.2. La ecuación de continuidad..................................................................................................... 118 2.3.3. El gradiente y el laplaciano de un escalar. .............................................................................. 122 2.3.4. Balance generalizado para fluido incompresible y propiedades de transporte constantes. ..... 122 2.3.4.1. La derivada substancial. ................................................................................................... 122 2.3.4.2. Coordenadas cilíndricas.................................................................................................... 131 2.3.4.3. Coordenadas esféricas. ..................................................................................................... 132 2.3.5. Utilización de las ecuaciones de variación para el planteamiento de problemas de estado estacionario (Ψ no es función del tiempo). ....................................................................................... 133 2.3.5.1. Flujo axial de un fluido incompresible en un tubo circular. ............................................. 133 2.3.5.2. Transporte en un anillo con generación interna................................................................ 134 2.3.5.3. Transporte de calor. .......................................................................................................... 134 2.3.5.4. Velocidad neta de pérdida de calor. ................................................................................. 136 2.3.5.5. Transporte de cantidad de movimiento. ........................................................................... 136 2.3.5.5.1. Caída de presión en un anillo. ................................................................................... 137 2.3.5.5.2. Forma de la superficie de un líquido que gira. .......................................................... 138 2.3.5.6. Transferencia de cantidad de movimiento. Factor de fricción. ........................................ 139 2.3.5.7. Análisis dimensional. ....................................................................................................... 140 2.3.6. Definición general del factor de fricción................................................................................. 140 2.3.6.1. Coeficiente de forma. ....................................................................................................... 141 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2.3.6.2. Ecuaciones para el movimiento unidimensional de una partícula a través de un fluido. . 141 2.3.6.3. Velocidad terminal. .......................................................................................................... 142 2.3.6.4. Flujo en conductos............................................................................................................ 144 2.3.6.5. Aplicación a secciones transversales arbitrarias............................................................... 145 2.3.6.6. Factor de fricción para un anillo....................................................................................... 146 2.3.7. Relación con los coeficientes de transferencia de calor y masa. ............................................. 147 2.3.7.1. Teoría pelicular................................................................................................................. 148 2.3.7.2. Condiciones límites generales en una interfase................................................................ 149 2.3.7.3. Otras condiciones límite en la interfase............................................................................ 151 2.3.8. Transferencia de calor o masa superpuesta a un campo de flujo............................................. 153 2.3.8.1. Transferencia de masa en una película liquida descendente. ........................................... 153 2.3.8.1.1. Transferencia de masa entre una fase gaseosa y una película liquida descendente... 154 2.3.8.1.2. Tiempos cortos de exposición. .................................................................................. 156 2.3.9. Transferencia simultanea de calor y cantidad de movimiento. ............................................... 161 2.3.9.1. Perfil de velocidad parabólico con temperatura uniforme de pared. ................................ 161 2.3.9.2. Perfil de velocidad plano. ................................................................................................. 162 2.3.9.3. Transferencia de calor con flujo laminar en tubos circulares. Solución de Lévêque. ...... 163 2.3.9.4. Transmisión de calor desde una pared a una película descendente: tiempos de contacto cortos. ............................................................................................................................................ 169 2.3.10. Transferencia simultanea de calor y masa............................................................................. 170 2.3.10.1. El psicrómetro de bulbo húmedo.................................................................................... 174 EJERCICIOS......................................................................................................................................... 174 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Capítulo 3. ESTIMACION DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE.................................. 179 3.1. PROPIEDADES DE TRANSPORTE A PARTIR DE LA TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES SIMPLIFICADA. .......................................................................................................... 179 3.1.1. Transporte de masa en gases a baja presión. ................................................................. 179 3.1.2. Transporte de cantidad de movimiento. ........................................................................ 181 3.1.3. Transporte de energía. ................................................................................................... 182 3.2. TEORÍA RIGUROSA DE CHAPMAN - ENSKOG PARA GASES DILUIDOS. ............. 184 3.2.1. Viscosidad. .................................................................................................................... 185 3.2.1.1. Gases puros a presiones elevadas........................................................................... 191 3.2.2. Conductividad térmica. ................................................................................................. 194 3.2.3. Difusividad másica........................................................................................................ 195 3.2.4. Correlaciones empíricas para gases............................................................................... 196 3.2.4.1. Difusión en mezclas multicomponentes................................................................. 198 3.3. ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR PROPIEDADES DE TRANSPORTE EN LÍQUIDOS................................................................................................. 199 3.3.1. Viscosidad. .................................................................................................................... 199 3.3.2. Conductividad térmica. ................................................................................................. 200 3.3.3. Difusividad. ................................................................................................................... 200 3.4. DIFUSIVIDAD EN SÓLIDOS. ........................................................................................... 201 EJERCICIOS............................................................................................................................... 202 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Capítulo 4. PROCESOS EN ESTADO INESTABLE. ................................................................... 203 4.1. SOLUCIONES ANALÍTICAS. ........................................................................................... 203 4.1.1. Método de separación de variables. .............................................................................. 205 4.1.2. Transformada de Laplace. ............................................................................................. 207 4.1.2.1. Propiedades. ........................................................................................................... 208 4.1.2.2. Transformación e inversión.................................................................................... 209 4.1.2.3. Sólido semiinfinito – Método de la transformada de Laplace................................ 210 4.2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES............................................................... 212 4.2.1. Transporte de calor en estado transitorio a través de una placa plana........................... 212 4.2.2. Transporte de masa y/o cantidad de movimiento. ......................................................... 219 4.3. TRANSFORMADA DE LAPLACE. .................................................................................. 224 4.3.1. Difusión transitoria en una placa simétrica. .................................................................. 224 4.3.2. Difusión a través de una sola superficie de una placa. .................................................. 230 4.4. DIFUSION EN ESTADO TRANSITORIO EN UN CILINDRO. ...................................... 230 4.5. ESFERA. .............................................................................................................................. 233 4.5.1. Esfera con temperatura inicial constante....................................................................... 233 4.6. INTERDIFUSION DE DOS GASES................................................................................... 235 4.7. EL SÓLIDO SEMI – INFINITO. ........................................................................................ 239 4.8. DIFUSIÓN Y CONDUCCIÓN NO ESTABLE CON CONVENCIÓN.............................. 245 4.9. CONDUCCION NO ESTACIONARIA CON CONVECCION. CONDICION INICIAL UNIFORME. ............................................................................................................................... 254 4.9.1. Pared plana infinita con convención simétrica.............................................................. 254 4.9.2. Cilindro infinito con convención................................................................................... 255 4.9.3. Esfera con temperatura inicial constante....................................................................... 255 4.9.4. Soluciones aproximadas. ............................................................................................... 256 4.10. VALORES PROMEDIO.................................................................................................... 256 4.10.1. Placa plana infinita. ..................................................................................................... 256 4.10.2. Cilindro infinito........................................................................................................... 257 4.10.3. Esfera........................................................................................................................... 257 4.11. EL SÓLIDO SEMI – INFINITO. ...................................................................................... 257 4.11.1. Caso 1 - Concentración constante en la superficie: Ψ(0,t) = ΨS. ................................ 258 4.11.2. Caso 2 - Flujo constante en la superficie: ΠmS = − β(∂T/∂z)z = 0 = constante. ............. 258 4.11.3. Caso 3 - Convección en la superficie. ......................................................................... 259 4.11.4. Sólido infinito compuesto. .......................................................................................... 260 4.11.5. Acoplamiento infinito de difusión............................................................................... 260 4.12. CILINDROS Y PLACAS FINITAS. ................................................................................. 262 4.13. SISTEMAS CON BAJA RESISTENCIA INTERNA Y ALTA RESISTENCIA EXTERNA. ..................................................................................................................................................... 264 4.14. CONDICIONES LIMITE EN FUNCION DEL TIEMPO................................................. 266 4.15. SISTEMAS EN ESTADO SEUDOESTACIONARIO...................................................... 272 4.15.1. El tubo de Stefan. ........................................................................................................ 272 4.15.2. Establecimiento del estado estable. ............................................................................. 274 4.16. CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO. MÉTODOS APROXIMADOS. ...................................................................................................................... 292 4.16.1. Sólido semiinfinito con propiedades físicas constantes. ............................................. 293 4.16.2. Sólido semiinfinito con temperatura de superficie variable con el tiempo. ................ 295 4.16.3. Sólido semiinfinito con pérdidas convectivas de calor en la superficie. ..................... 296 4.16.4. Fuente de calor uniformemente distribuida................................................................. 298 4.17. METODOS NUMERICOS EN PROCESOS NO ESTABLES. ........................................ 299 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4.17.1. Métodos de diferencias finitas. Método explícito. ...................................................... 299 4.17.1.1. Formulación matemática de las ecuaciones de diferencias finitas. ...................... 300 4.17.1.2. Método gráfico de Schmidt. ................................................................................. 302 4.17.1.3. Exactitud, convergencia y estabilidad. ................................................................. 304 4.17.2. Método implícito. ........................................................................................................ 305 4.17.3. Métodos mixtos. .......................................................................................................... 305 4.17.3.1. Método de Crank – Nicolson................................................................................ 305 4.17.4. Nodo interno (m) con generación,............................................................................... 306 4.17.4.1. Método explícito. ................................................................................................. 306 4.17.4.2. Método implícito. ................................................................................................. 307 4.17.4.3. Método mixto. ...................................................................................................... 307 4.17.5. Nodo adiabático izquierdo (0) con generación............................................................ 308 4.17.5.1. Método explícito. ................................................................................................. 308 4.17.5.2. Método implícito. ................................................................................................. 308 4.17.5.3. Método Crank – Nicolson. ................................................................................... 308 4.17.6. Nodo convectivo derecho (n), con generación. ........................................................... 308 4.17.6.1. Método explícito. ................................................................................................. 308 4.17.6.2. Método implícito. ................................................................................................. 309 4.17.6.3. Método Crank – Nicolson. ................................................................................... 309 4.17.7. Flujo constante en la pared. Nodo izquierdo (0). Generación uniforme dentro del sólido. ...................................................................................................................................... 309 4.17.7.1. Método explícito (por unidad de área). ................................................................ 309 4.17.7.2. Método Implícito (por unidad de área),................................................................ 310 4.17.7.3. Método Crank Nicolson. ...................................................................................... 310 4.17.8. Difusión con reacción química homogénea. ............................................................... 316 4.17.9. Conducción transitoria en una aleta. ........................................................................... 316 4.17.10. Diferencias finitas. .................................................................................................... 317 4.17.10.1. Método implícito. Aleta unidimensional transitoria sin generación. Nodo interno (m). ...................................................................................................................................... 317 4.17.10.2. Método explícito. Aleta unidimensional transitoria sin generación. Nodo interno (m). ...................................................................................................................................... 318 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Anexo A. Coeficientes usados en la aproximación a un término de la solución en series de Fourier para la conducción transitoria unidimensional con convección. Bi = hL/k para la pared plana simétrica y hR/k para el cilindro infinito y la esfera (kcL/DAB y kcR/DAB en transferencia de masa). .................................................. 328 Anexo B. Primeras seis raíces αi, de αJ 1 (α ) − CJ 0 (α ) = 0 . .................................................................. 329 Anexo C. Primeras seis raíces βn de β tan β = C Las raíces son todas reales si C > 0. .................................. 330 Anexo D. Primeras seis raíces de αctgα + C = 0 (radianes).......................................................................... 331 Anexo E. COEFICIENTES CONVECTIVOS. ............................................................................................. 332 E.1. FLUJO EXTERNO. ................................................................................................................................ 332 E.1.1. Placa plana horizontal. ............................................................................................................... 332 E.1.2. Flujo laminar de metales líquidos sobre placas planas. .............................................................. 335 E.1.3. Flujo transversal a cilindros. ....................................................................................................... 335 E.1.4. Esferas. ....................................................................................................................................... 336 E.1.5. Lechos empacados....................................................................................................................... 336 E.2. FLUJO INTERNO. ................................................................................................................................ 337 E.2.1. Flujo laminar en tubos................................................................................................................. 337 E.2.2. Flujo turbulento en tubos circulares lisos. .................................................................................. 338 E.2.3. Flujo turbulento de metales líquidos dentro de tubos lisos.......................................................... 340 E.2.4. Flujo Turbulento en conductos lisos no circulares. ..................................................................... 341 E.3. CONVECCION NATURAL EN PLACA VERTICAL. ........................................................................ 341 E.4. CONVECCIÓN NATURAL Y CONVECCIÓN FORZADA COMBINADAS. .................................. 343 E.4.1. Influencia de la convección natural. ........................................................................................... 343 E.4.2. Conductos horizontales. ............................................................................................................. 344 E.5. FLUJO DE FLUIDOS SOBRE BLOQUES DE TUBOS. ..................................................................... 345 E.5.1. Flujo perpendicular a bloques de tubos sin tabiques deflectores. ............................................... 345 E.5.2. Flujo sobre bloques de tubos con tabiques deflectores. .............................................................. 347 Parte de la carcasa de un cambiador multitubular sin tabique deflector alguno. .............................. 348 Parte de la carcasa de un cambiador multitubular con tabiques deflectores de discos-coronas........ 348 Parte de la carcasa de un cambiador multitubular con tabiques deflectores de segmentos circulares. ........................................................................................................................................................... 348 E.6. CONDENSACIÓN TIPO PELÍCULA DE VAPORES PUROS. .......................................................... 349 E.7. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA VELOCIDAD Y DEL ARRASTRE EN EL FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA .................................................................................................................... 350 E.8. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA .................................................................................................................................. 354 E.9. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y TÉRMICA SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARMÁN Y SUPONIENDO PERFILES PARABÓLICOS. ............................................................................................. 357 E.10. ANÁLISIS APROXIMADO DEL FLUJO DE CALOR EN FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA. ......................................................................................................................................................... 360 E.10.1. Coeficiente de transferencia de calor ........................................................................................ 363 E.11. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y DE CONCENTRACIONES SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARMÁN Y SUPONIENDO PERFILES LINEALES. .......................................... 364 E.12. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA VELOCIDAD Y DEL ARRASTRE EN EL FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA. ................................................................................................................... 366 E.13. ANÁLISIS APROXIMADO DE CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y TÉRMICA SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARMÁN Y SUPONIENDO PERFILES PARABÓLICOS. ............................................................................................. 370 E.14. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y DE CONCENTRACIONES SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARMÁN Y SUPONIENDO PERFILES LINEALES. .......................................... 372 PROBLEMAS. .............................................................................................................................................. 375 Anexo F. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD HIDRAULICA. ..................................................... 379 ......... 380 F................................ .......................................................................................................1..1.....................5..................................................... El método de Rayleigh.................. ....................... 379 F............................... FORMA GENERALIZADA DE LA ECUACIÓN DE BESSEL: ......... DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA MEDIA GLOBAL.................................FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.............................................. LA FUNCION ERROR Y OTRAS FUNCIONES RELACIONADAS......................................................................2.............. 410 K................... SIMILITUD CINEMATICA........................................ 408 Anexo K..................................................................... DE MEZCLA O PROMEDIA DE BLOQUE......................................... .......................................................................................... ........................... FUNCIONES BESSEL Y GAMMA ............... ECUACIÓN DE BESSEL. 410 K.............................................................1.......................................2.....3.............. 400 H... 403 H... Uso de ecuaciones diferenciales........................3........................................ 389 Anexo G.. 388 F...... HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL........ 405 Anexo J................. 403 Anexo I..................... ........ ..1........................................3........... 387 F............................................................2..... DEFINICION DE UN VALOR MEDIO .. .......... .................. 391 Anexo H... DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES DE ERROR................................ DETERMINACION DEL TIEMPO NECESARIO PARA QUE UNA PARTICULA ESFERICA CAYENDO EN UN FLUIDO ALCANCE SU VELOCIDAD TERMINAL...... 382 F................................................................ METODOS DE ANALISIS DIMENSIONAL.................. 411 ................... .................................................................................. ............ Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento F.5.......................................... LA FUNCIÓN GAMMA................. .... .... FUNCION GAMMA....... Γ(p).................... FUNCION DE ERROR DEL ARGUMENTO COMPLEJO....................... 379 F...........................................2.......... COMENTARIOS SOBRE EL ANALISIS DIMENSIONAL.................. EXPONENTES DE e ..............5..........5...1.................................................. 382 F... El método de Buckingham..........4...................... .3........ SIMILITUD DINAMICA........ 402 H..................................... ..... .............................. ................................. ................................... 383 F................................................................... SIMILITUD GEOMETRICA........................ 410 K....... 407 J.......6..................................... De otra parte debemos recordar que el calor es solo una de las formas de la energía y que es esta y no el calor la que se conserva de acuerdo a la primera ley de la termodinámica. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR. Radiación. ii. El cálculo de las velocidades locales de transferencia de calor requiere conocer las distribuciones locales de temperatura. y "Densidad de Flujo de Calor" o "Flux de Calor" (q. Conducción. [W/m2] o [Btu/hr.pie2]). las cuales proveen el potencial para la transferencia de calor. mecanismo por el que el calor se transfiere directamente entre partes distantes del cuerpo por radiación electromagnética. Existen tres mecanismos diferentes por los cuales ocurre esta transferencia de calor: i. [W] o [Btu/h]). y iii. En gases y líquidos la convección y la radiación tienen importancia destacada. La "Velocidad de Transferencia de Calor" o "Flujo de Calor" (Q. Procesos que emplean transporte de calor aparecen frecuentemente en la industria química: Calentamiento del petróleo crudo (u otra mezcla líquida) hasta su punto de ebullición para separarlo en fracciones en una columna de destilación o la remoción del calor generado en una reacción química.1. La energía como propiedad se utiliza en termodinámica para ayudar a especificar el estado de un sistema. De los tres procesos de transporte a estudiar. En cualquier caso necesitamos hallar la velocidad a la cual ocurre la transferencia de calor para calcular el tamaño del equipo requerido o para mejorar el ya existente. en el cual el calor es transferido por el movimiento relativo de partes del cuerpo calentado. . Transferencia de calor es la expresión usada para indicar el transporte de energía originado en una diferencia de temperatura. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Capítulo 1. pero en los sólidos la convección puede considerarse ausente y la radiación generalmente es despreciable. es la expresión de la energía térmica transportada por unidad de tiempo. Convección. en donde el calor pasa a través de la sustancia misma del cuerpo. el transporte de calor es probablemente el más familiar dado que es parte de nuestra experiencia diaria. De otra parte la energía se transfiere a través de los límites de un sistema termodinámico en forma de trabajo o de calor. TANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONAL ESTABLE.10 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. es la velocidad de transferencia de calor por unidad de área. por ejemplo cuando se nos enfría la sopa o el café. 1. En la práctica esta condición puede acercarse usando una placa plana de dimensiones finitas donde sus caras menores han sido aisladas térmicamente de forma tal que solo existan gradientes de temperatura en la dirección perpendicular a las caras mayores. Los resultados de los experimentos sugieren que. Transferencia de calor por conducción. las temperaturas de los diferentes puntos del sólido alcanzaran valores estables. desde el punto de vista de las partes entre los dos planos.11 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. En este caso la diferencia de temperatura ocurre entre planos perpendiculares al eje z causando transporte en la dirección z. Por ejemplo. La placa tiene un espesor b. El hecho de que la placa es muy delgada en la dirección z y muy ancha en las direcciones x e y indica que hay pérdidas despreciables en los extremos perpendiculares a los ejes x e y. cuando se ha . En general la velocidad de conducción de calor en cualquier punto en un material se caracteriza por un vector de flux de calor q el cual puede resolverse en componentes a lo largo de los tres ejes coordenados. la temperatura siendo igual para planos paralelos a la superficie de la placa (despreciando los efectos terminales). mientras la superficie superior se mantiene a la temperatura de una mezcla hielo agua. Supongamos que la temperatura de la superficie inferior es T1 y la de la superficie superior es T2 (T1 > T2). Después de mantener estas condiciones durante suficiente tiempo. Los dos planos se mantienen a temperaturas diferentes sin que esta diferencia de temperaturas sea tan grande como para causar un cambio sensible en las propiedades del sólido.1. la inferior se mantiene a la temperatura de una corriente de agua caliente que fluye constantemente por allí.1a).1. La teoría matemática de la conducción del calor puede basarse en una hipótesis sugerida por el siguiente experimento: Tomemos una placa de algún sólido limitada por dos superficies planas paralelas de una extensión tal que. y consideremos que el sólido está inicialmente a temperatura uniforme T2. puedan suponerse infinitos (ver figura 1. De esta forma qx y qy son cero. Podemos ignorar la naturaleza vectorial de q y considerar solo su componente escalar z para un simple caso de conducción unidimensional de calor. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1. 12 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Q= 1.3).1) b El coeficiente de proporcionalidad k es la conductividad térmica. Estrictamente hablando la conductividad térmica no es una constante sino que. Comencemos por reconocer que la velocidad de flujo de calor puede escribirse a partir de la ecuación (1. Se puede relacionar la velocidad de flujo de calor Qz en cualquier posición arbitraria z a la densidad de flujo de calor qz en la misma posición usando la definición Qz = qzSz.1. Ley de Fourier. se dice que el sistema se encuentra en estado estable). Se resalta el que el gradiente de temperatura será lineal solo cuando la conductividad térmica sea constante. La conductividad térmica en la madera y cristales varía también en forma ostensible con la dirección. Esta es una de las Propiedades de Transporte de los materiales. En la sección anterior se considera el caso especial de conducción de calor unidimensional en estado estable en una geometría rectangular.1b una línea de temperatura contra posición en cualquier momento arbitrario (ver figura 1. especialmente cerca al estado crítico. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento alcanzado el estado estable.2.2 muestra el efecto en el gradiente de temperatura (para estado estable) en una placa plan como resultado que este sea positivo o negativo.1) es válida sólo para este caso especial y no puede usarse en otras situaciones tales como geometría cilíndrica o estado transitorio. la cantidad de calor que fluye a través de la placa en un tiempo t a través de un área Sz perpendicular a la dirección z es igual a: kS z (T1 − T2 ) (1. de hecho. es una función de la temperatura para todas las fases y en líquidos y gases depende también de la presión. Tampoco puede usarse para predecir la variación de la temperatura con la posición dentro del medio. Con este propósito retomamos del gráfico 1. La ecuación (1. en cualquier geometría y para condiciones estables o inestables (cuando el estado físico de un sistema no cambia con el tiempo. Por esta razón es necesario desarrollar una ecuación más general que sea aplicable en cualquier punto. La dependencia de la conductividad térmica con la temperatura para rangos de temperatura pequeños puede expresarse en forma aceptable como k = ko(1 + aT).1) como: . La figura 1. donde ko es el valor de la conductividad térmica en alguna condición de referencia y a es el coeficiente de la temperatura que es positivo o negativo dependiendo del material en cuestión. También i. El operador ∇ (nabla) puede operar sobre cualquier escalar.t ) − T( z . donde hay flujo de calor en las tres direcciones coordenadas. ⎠ ⎛ ∂T ⎞ q z = −k ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ serán las componentes del vector densidad de flujo de calor. e z. Así. También observamos que si hacemos ∆z cada vez más pequeño obtenemos una mejor aproximación de la pendiente en z. y (T1 −T2) por −∆T.3 se observa que ∆T/∆z representa la pendiente promedia sobre la región ∆z de la curva T vs z. j. ⎠ ⎛ ∂T q y = −k ⎜ ⎝ ∂y ⎞ ⎟.2) a un pequeño incremento ∆z. podemos escribir en cualquier localización: q z = −k ∂T Q z = ∂z S z (1. T sería solo función de z y la derivada sería total. k son los vectores unitarios en las direcciones x. En el caso general. obtenemos la derivada parcial de T respecto a z según el teorema fundamental del cálculo. en honor al matemático francés Jean Baptiste Fourier a quien se le atribuye.13 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.t ) ∆T = −k ∆z ∆z De la figura 1. El signo menos es necesario de acuerdo a la definición del operador diferencia: ∆T = Tz +∆z − Tz Entonces el flujo promedio de calor a través de una distancia ∆z es: q z = −k T( z + ∆z . T es función de más de una variable independiente y: ⎛ ∂T q x = −k ⎜ ⎝ ∂x ⎞ ⎟. el término ∇ es: . Usando T como ejemplo. q = i q x + jq y + kq z o q = − k ∇T (1. En el límite cuando ∆z tiende a cero.2) Si aplicamos (1. b será reemplazado por ∆z.3) La cual es llamada ley de Fourier para conducción de calor en una dimensión. y. para estado transitorio. En el caso de tratarse de estado estable en una dimensión. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Qz k (T1 − T2 ) = = qz Sz b (1.4) Aquí q es una cantidad vectorial. y la conductividad eléctrica ke (ke = 1/ρe. En estos casos.3) y (1. En algunos problemas bidimensionales.6) En esta ecuación la corriente eléctrica i corresponde al flujo de calor Q. la cual puede expresarse como: i = −k e S ∂E ∂n (1. 1. el campo de temperatura dentro del cuerpo calentado. las ecuaciones diferenciales se simplifican y se obtiene una solución fácil como resultado de la simplificación.3. Como las ecuaciones (1. Es interesante hacer notar que la ecuación de Fourier para conducción unidireccional de calor es exactamente análoga a la ley de Ohm para un conductor eléctrico. Es válida para cualquier sistema isotrópico. .1. Podemos examinar en primera instancia las aplicaciones de la ley de Fourier para conducción de calor. el efecto de una segunda coordenada en el espacio puede ser tan pequeño que se justifique despreciarlo.5) La ecuación (1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛ ∂T ∇T = i ⎜ ⎝ ∂x ⎞ ⎟+ ⎠ ⎛ ∂T j⎜ ⎝ ∂y ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎟+k⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ ⎠ (1. el potencial eléctrico E corresponde al potencial térmico T. El signo menos indica que el calor solo se transfiere en la dirección en la que decrece la temperatura como lo predice la segunda ley de la termodinámica. Conducción de calor en estado estable unidimensional.6) tienen la misma forma.4) es una ecuación para la ley de Fourier en notación vectorial Gibbs o forma vectorial. calculando el flujo de calor en algunos sistemas unidimensionales sencillos. y el campo de potencial eléctrico en un cuerpo de la misma forma. Varias formas físicas diferentes pueden caer en la categoría de sistemas unidimensionales: los sistemas cilíndricos y esféricos son unidimensionales cuando la temperatura en el cuerpo es una función únicamente de la distancia radial y es independiente del ángulo azimutal o de la distancia axial. o sea que la conductividad es la misma independientemente de la dirección. corresponden uno al otro siempre que la distribución de temperatura en la superficie corresponda a la distribución superficial del potencial eléctrico. donde ρe es la resistividad eléctrica) corresponde a la conductividad térmica k. Esta analogía nos capacita para estudiar problemas de conducción de calor en detalle a través de modelos eléctricos similares. y el problema de flujo de calor multidimensional puede aproximarse con un análisis unidimensional.14 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La pared plana.1.4: La definición de la derivada dQ/dz es el límite de ∆Q /∆z cuando ∆z tiende a cero. Es posible hacer el siguiente balance de energía en el elemento con espesor dz: [Energía calorífica conducida en la dirección positiva de z por la cara superior] . En el caso general la temperatura puede estar cambiando con el tiempo y puede haber fuentes de calor dentro del cuerpo. Aplicación de los balances diferenciales a la transferencia de calor por conducción. Para una placa de conductividad térmica constante y espesor b.7) Estas cantidades de energía están dadas como sigue: Calor entrando por la cara ubicada en z: Qz z Calor saliendo por la cara ubicada en z + dz: Qz z + dz = Qz z + ∂Q z dz ∂z Esto surge de la definición básica de la derivada siendo Qz función de z como lo podemos revisar con la ayuda de la figura 1.[Energía calorífica conducida en la dirección positiva de z por la cara inferior] + [Cambio de energía interna (acumulación de energía calorífica)] = [Calor generado dentro del elemento de volumen Szdz] Podemos simplificar como SALIDA . Así el valor de Q en el punto z + ∆z.1.4.a) extendida al infinito en las otras dimensiones de tal manera que el flujo de calor en la región considerada es efectivamente unidimensional. es conveniente tratar el problema en el sistema de coordenadas rectangulares. A partir de la ley de Fourier encontramos el flujo de calor entrando por la cara ubicada en z: Qz z = − kS z ∂T ∂z z La acumulación: ρC p ( S z dz ) ∂T ∂t .4.ENTRADA + ACUMULACIÓN = GENERACIÓN (1. 1.1.1.15 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. es igual al valor de Q(z) mas la derivada por ∆z. (Fig.1. la derivada multiplicada por ∆z es realmente ∆Q. En otras palabras. es decir Q(z + ∆z). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1. Combinando las relaciones anteriores. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento En el caso de sólidos y líquidos los calores específicos a presión y volumen constantes son iguales y la velocidad de incremento de la energía interna se refleja en la velocidad de almacenamiento de energía calorífica en el elemento de volumen. la ecuación (1. Placa plana sin generación en estado estable. El término b/kSz es equivalente a la resistencia eléctrica y se denomina adecuadamente la resistencia térmica. La energía generada dentro del elemento es ΦHSzdz donde ΦH es la generación de energía por unidad de volumen y unidad de tiempo por fuentes de calor distribuidas.16 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Las constantes C1 y C2 pueden evaluarse a partir de las condiciones límite que nos indican las temperaturas de las superficies en z = 0 y z = b. Si la conductividad térmica varía con la temperatura . Debido a que es un balance de energía térmica y no de energía total. Si no hay fuentes de calor dentro de la placa.4.8) Estos términos resumen un balance térmico que expresa la primera ley de la termodinámica o ley de la conservación de la energía. aparece el término de generación de energía. por conversión (o degradación) de otras formas de energía en energía calorífica como lo estudiaremos más adelante. la conductividad térmica k es constante y el flujo de calor es estable (∂T/∂t = 0) y unidimensional. la cuál fácilmente se resuelve para dar: T = C1 z + C2. eliminando términos semejantes y dividiendo por el volumen del elemento Szdz.10) Es interesante resaltar la similitud entre esta ecuación y la que normalmente establece la ley de Ohm. y además. ya que el área transversal Sz es constante: − ∂ ⎡ ∂T ⎤ ∂T k + ρC p = ΦH ⎢ ⎥ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂t (1.8) se convierte en (∂2T)/(∂z2) = 0. Aplicando estas condiciones se obtiene una expresión para la distribución de temperaturas en la placa: (T − T1 ) z = (T2 − T1 ) b (1.1. 1.9) El flujo de calor a través de la placa se obtiene por la ley de Fourier de la conducción: Q z = − kS z (T − T2 ) ∂T ⎛ kS ⎞ = −⎜ z ⎟(T2 − T1 ) = 1 (b kS z ) ∂z ⎝ b ⎠ (1.2. 2). cuando está en el rango de longitud de onda comprendido entre los 0. El fluido que está en contacto con la superficie del sólido puede estar en movimiento laminar.2 y los 100 µm se denomina térmica. Efecto convectivo. Independientemente de la naturaleza particular del proceso de transferencia.8) deberá integrarse teniendo en cuenta esta variación.11) proporcional a la diferencia de temperaturas de la superficie y del fluido respectivamente. y éste movimiento puede ser causado por fuerzas externas. y más que una ley fenomenológica. define el coeficiente de transferencia de calor h. vibracional y rotacional de átomos o moléculas. como la lineal k = k0(1 + aT) (ver fig. Esta ecuación se conoce como la ley de Newton del enfriamiento. Además puede estar cambiando de fase (ebullición o condensación). Conforma solo una . 1. Hasta ahora hemos supuesto las temperaturas de las superficies externas constantes y conocidas. o por gradientes de densidad inducidos por las diferencias de temperatura. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento de acuerdo con alguna relación.3. RADIACIÓN.17 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. TRANSFERENCIA EN LA INTERFASE. Cualquier estudio sobre convección se reduce en últimas al estudio de los medios por los cuales puede determinarse h. ser convección forzada. el flujo de calor en la superficie se expresa como Q = hAS (TS − T∞ ) = (TS − T∞ ) 1 hAS (1. 1. 1.1.1. Todo cuerpo a una temperatura absoluta finita emite radiación electromagnética. que a su vez está influenciada por la geometría de la superficie. y h es el coeficiente convectivo de transferencia de calor o coeficiente pelicular. y será convección natural. el cual depende de las características de la capa límite. En cualquiera de los casos anteriores el mecanismo de transferencia es complejo.2. por la naturaleza del movimiento del fluido y de una variedad de propiedades termodinámicas y de transporte del fluido. Sin embargo el sólido puede estar intercambiando calor con el medio que lo rodea por convección y/o por radiación. la ecuación (1. es decir. o en movimiento turbulento. Esta radiación. Cualitativamente puede explicarse su origen a variaciones en los estados electrónico.2. Diferenciando la ley de Planck e igualando a cero se obtiene su ecuación conocida como ley del desplazamiento de Wien: (1. en el vacío. A partir de la segunda ley de la termodinámica Max Planck (1900) dedujo que la potencia con la que un cuerpo negro emite energía en una longitud de onda y a una temperatura dadas.7405x10−16 W. En la figura 1.m2. ésta puede ocurrir también en líquidos y gases. Se denomina así una superficie que en todas las longitudes de onda emite y absorbe la máxima cantidad posible de radiación.0143879 m.35 a 0. W/m2. λ = Longitud de onda de la energía emitida.K.18 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Aunque nos vamos a centrar en la radiación desde superficies sólidas. K. 1. C2 = 0. C1 = 3.78 µm) y parte del infrarrojo.m. la radiación visible (0.6 se muestra una línea que une los máximos a diferentes temperaturas.12) . T = Temperatura absoluta de la superficie. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento pequeña parte de todo el espectro de radiación e incluye parte de la radiación ultravioleta. El cuerpo negro.3. viene dada por E bλ = λ (e 5 C 1 C 2 / λT ) −1 donde: Ebλ = Potencia emisiva espectral o monocromática de un cuerpo negro a una temperatura y longitud de onda dadas. m.1. Si la absortividad α = 1 será negro y si α = ε. La fracción de la energía total emitida en estas franjas de longitudes de onda se λ2 λ2 ∫ Ebλ dλ obtiene así: λ1 ∞ ∫ Ebλ dλ = C1 ⌠ dλ ⎮ 5 C2 / λT −1 ⌡λ e λ1 ( ) σT 4 0 ( λT ) 2 C1d (λT ) ⌠ = ⎮ 5 C / λT ⌡ σ ( λT ) e 2 − 1 ( λT )1 ( ) (1. el cuerpo se considera opaco.pie2.6697x10−8 W/m2. esta propiedad nos da una medida de la eficiencia con que la superficie emite energía radiante. Este tipo de superficies se denominan radiadores ideales o cuerpos negros.6µ mR La potencia a la cual una superficie emite energía radiante en todas las longitudes de onda. La radiación puede originarse desde una fuente especial. Existe un límite superior para esta potencia emisiva. entonces será transparente a la irradiación.14) Esta expresión sólo depende de (λT). . respectivamente.13) 0 Donde TS es la temperatura absoluta de la superficie y σ es la constante de Stefan Boltzmann (5. El flujo emitido por una superficie real es menor que el emitido por una superficie ideal a la misma temperatura y está dado por: E = εσTS4 donde ε es una propiedad radiativa de la superficie denominada emisividad. tal como el sol. Indistintamente de cual sea la fuente nosotros designamos la velocidad a la cual esta radiación incide por unidad de área de la superficie como la irradiación G. La radiación también puede incidir sobre una superficie desde sus alrededores. 0. menor que la unidad. Con valores en el rango 0 ≤ ε ≤ 1. por unidad de área se denomina potencia emisiva superficial E.19 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento λmáxT = 2897. ρ. si τ = 1.°R4).K4. que está prescrito por la ley de Stefan Boltzmann: ∞ Eb = ∫ Ebλ dλ = σTS4 (1. En algunas ocasiones es necesario calcular la energía emitida en una banda específica de longitudes de onda lo que se consigue integrando la ecuación para Ebλ entre los respectivos límites.1714x10−8 Btu/hr. transmitida y/o reflejada en proporciones α. Esta irradiación puede ser absorbida. Si la fracción τ (transmisividad) transmitida es cero. o desde otra superficie hacia la cual la superficie de interés está expuesta. Depende fuertemente del material y de su terminado. τ.8µ mK = 5215. se considera gris. Por ejemplo. El flujo de calor radiante emitido por la superficie “1” e interceptado por la superficie “2”es Q1→2 = σA1 F12T14 El flujo de calor radiante emitido por la superficie “2” e interceptado por la superficie “1” es Q2→1 = σA2 F21T24 La cantidad Fij es la fracción de la energía radiante que sale de la superficie i y es interceptada por la superficie j y se conoce como factor de visión. 1. Si la superficie es semitransparente porciones de la irradiación pueden ser transmitidos. la energía térmica de la materia. La velocidad a la cual la energía radiante es absorbida por unidad de área superficial puede evaluarse conociendo la absortividad α. El intercambio neto de calor por radiación entre las dos superficies será Q2→1 = σ A1 F12 (T14 − T24 ) = σ A2 F21 (T14 − T24 ) A1F12 = A2F21 pues depende solo de la geometría del sistema y es válido tanto para superficies negras como para superficies grises. la radiación reflejada y transmitida no tiene efecto en ésta energía. respectivamente. Si α < 1. Intercambio de calor radiante entre dos superficies negras. Algunas de sus reglas son i) ii) iii) iv) A1F12 = A2F21 Reciprocidad En recinto cerrado ∑ Fij = 1 ∑ A1 F1j = A1 Para superficie plana o convexa Fii = 0 (no puede verse a sí misma). El factor de visión presenta un “álgebra” que permite en muchas ocasiones determinarlo fácilmente. la absortividad de una superficie a la radiación solar puede diferir de su absortividad a la radiación emitida por las paredes de un horno. Esto es.1.1. Sin embargo. Gabs= αG con 0 ≤ α ≤ 1. mientras que la radiación absorbida o emitida aumenta o reduce. . y la superficie es opaca. la otra porción de la irradiación es reflejada.20 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.3. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Una porción o toda la irradiación pueden ser absorbidas por la superficie aumentando la energía térmica del material. Nótese que el valor de α depende de la naturaleza de la irradiación así como de la superficie misma. Si llamamos J (radiosidad) el calor radiante por unidad de área que deja la superficie este será . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Una ilustración sencilla es determinar los factores de visión para un sistema compuesto por una superficie hemisférica y su base. el factor de visión se modificará así ⎡ FR 2 ⎤ F12 = F12 + F1R ⎢ ⎥ ⎣ FR1 + FR 2 ⎦ F12 es la suma de la fracción radiada directamente más la fracción rerradiada y se conoce como factor de intercambio. tendremos: F11 = 0 porque es plana ⇒ F12 = 1 por (ii).1.3. Llamando esta última la superficie “1” y el hemisferio la superficie “2”.2.3. creando un flujo de calor adicional que puede expresarse modificando el factor de visión. Aquí determinamos 22 = 4 factores de visión.2. Superficies rerradiantes. Para el caso de una superficie refractaria R conectando las superficies radiantes “1” y “2”. En la práctica se puede encontrar que las superficies que intercambian calor radiante estén unidas por superficies aisladas o adiabáticas que reemiten toda la energía que absorben en forma difusa. ARFR2 = A2F2R.21 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La transferencia de calor radiante neta desde una superficie gris se determina por la diferencia entre la radiación que deja la superficie (emitida mas reflejada) y la radiación G que incide sobre ella. 1. Teniendo en cuenta que la superficie adiabática puede verse a sí misma y ver las otras dos superficies. En general en un recinto con N zonas se deben determinar N2 factores de visión. Ahora como A1F12 = A2F21 ⇒ F21 = (1)(A1/A2) = (πR2)/(2πR2) = ½ y F22 = ½ nuevamente por (ii). Por las reglas de reciprocidad y simetría se reducen los cálculos a N(N-1)/2. Superficies grises (α = ε). el álgebra del factor de visión en este caso será A1F1R = ARFR1. Multiplicando la ecuación para F12 por A1 y reorganizando A1 F12 = A1 F12 + 1 FR1 FR 2 + A1 F1R FR 2 A1 F1R FR 2 = A1 F12 + 1 1 1 + AR FR 2 A1 F1R = A1 F12 + 1 1 1 + A2 F2 R A1 F1R Así el intercambio neto de calor radiante entre dos superficies en presencia de superficies adiabáticas será ( ) ( Q = σA1 F12 T14 − T24 = σA2 F21 T14 − T24 ) 1. cuando la energía radiante se intercambia entre dos placas planas paralelas. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento J = ρG + ε Eb Entonces el intercambio neto de calor entre dos superficies grises puede darse en función de sus radiosidades y de la visión relativa que tengan entre sí: Q = A1 F12 ( J1 − J 2 ) = A2 F21 ( J1 − J 2 ) Se demuestra que entre dos superficies grises entre las cuales hay flujo neto de calor. el flujo neto de calor radiante puede representarse por la ecuación Q = σ A1ℑ12 (T14 − T24 ) Donde ℑ12 = (1. Los alrededores. Hay muchas aplicaciones para las cuales es conveniente expresar la radiación neta de transferencia de calor en la forma Qrad = hrAS(TS − Talr). el coeficiente de transferencia de calor radiante hr vendrá dado por hr ≡ εσ (TS + Talr )(TS2 + Talr2 ) (1.15a). En éste sentido nosotros hemos linealizado la ecuación de radiación haciendo el flujo de calor proporcional a una diferencia de temperatura en lugar de la diferencia entre dos . conectadas por cualquier número de superficies rerradiantes. nuevamente se cumple F12 = F12 = 1 .22 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 1 F12 = F12 y A1 = A2 . Por lo tanto la velocidad neta de transferencia de calor por radiación desde la superficie es: Qrad = εσAS (TS4 − Talr4 ) (1. por lo que ℑ12 = . pero A1/A2 = 0 ⇒ ℑ 12 = ε1. Aquí.15a) Esta expresión provee la diferencia entre la energía térmica que se pierde debido a la radiación emitida y esa que se gana por la radiación absorbida. isotérmica que rodea completamente a la menor.16) Aquí nosotros hemos modelado el fenómeno radiativo de manera similar al convectivo. a partir de (1. donde. podrían ser por ejemplo las paredes de un cuarto o un horno cuya temperatura difiere de la de la superficie incluida. Por ejemplo. 1 1 + −1 ε1 ε2 Otra situación especial que ocurre con frecuencia involucra intercambio de radiación entre una superficie pequeña a temperatura TS y una superficie mucho mayor.15) 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎤ ⎛ A1 ⎞ ⎡ 1 + ⎢ − 1⎥ + ⎜ ⎟ ⎢ − 1⎥ F12 ⎣ ε1 ⎦ ⎝ A2 ⎠ ⎣ ε 2 ⎦ Esta ecuación se aplica muy fácilmente a un número de sistemas simples pero útiles. . Sin embargo el cálculo que se sugiere aquí resulta casi siempre adecuado para gases.1.67x10−8)(π)(0. los procesos de radiación y convección no son independientes entre sí y Qconv y Qrad no pueden sumarse directamente.23 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Error de Termocupla. y tanto las paredes que lo rodean como el aire circundante se encuentran a 27 °C. Solución. Nótese sin embargo que hr depende fuertemente de la temperatura. Qconv = (1. La superficie del aislante está completamente rodeada por las paredes por lo cual será aplicable la ecuación para Qrad: Qrad = (5. En este caso la velocidad total de transferencia de calor desde la superficie será Q = Qconv + Qrad = hAS (TS − T∞ ) + εσAS (TS4 − Talr4 ) Si el fluido no es transparente a la radiación.25 W/m2.3. °C. El diámetro externo del aislamiento es de 15 cm y está a 38 °C. La superficie puede también transferir calor simultáneamente por convección a un gas adyacente a temperatura T∞.15)(1)(0. Qtotal = 31. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento temperaturas a la cuarta potencia.15)(1)(38 − 27) = 20.15]0.25(π)(0. mientras que la dependencia del coeficiente convectivo h de la temperatura es generalmente débil.20 W. Predecir la cantidad total de pérdida de calor por radiación y convección libre por unidad de longitud de una tubería recubierta con aislante de emisividad térmica ε = 0. EJEMPLO 1.02 = 51.93.02 W. A pesar de ser un rango tan moderado de temperaturas las pérdidas por radiación son el 61% del total. Asuma que el coeficiente convectivo para este caso puede determinarse como hC = 1. Una termocupla o cualquier otro dispositivo usado para medir la temperatura de un fluido en un recipiente pueden dar una lectura significativamente diferente de la temperatura del fluido si las paredes tienen otra temperatura.3.32 [(TS − T∞)/D] 0. y en la mayor parte de los problemas en los que intervienen líquidos Qrad puede despreciarse.18 W.18 + 20.93)(3114 − 3004) = 31. 1. Observe que en la solución de la ecuación para Qrad es imprescindible usar temperaturas absolutas mientras que en el cálculo del calor por convección es irrelevante.32)[(38 − 27)/0. Esta diferencia ocurre debido a que el elemento detector estabiliza su temperatura intercambiando calor con el fluido por convección y con las paredes por radiación (y eventualmente por conducción). 0. d) Porcentaje de energía total emitida que corresponde a longitudes de onda del espectro visible. El Sol puede suponerse que actúa como un cuerpo negro a 5. la temperatura de la pared TS es mayor que la temperatura del gas TG.42x107 J/s.0x10−7m = 0. el poder emisor monocromático máximo es: Ebλmax = λ 5 max (e C1 C2 / λmaxT = 3.4692 ⎮( 5 0. dx = − (C2/z2)dz.8978x10−3 m.14) realizando el cambio de variable C2/x = z. Reemplazando.24 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. b) La longitud de onda a la que se consigue el poder emisor máximo c) El poder emisor monocromático máximo.8978x10−3/5800 = 5. con x = λT.75 µm) teniendo en cuenta la ecuación (1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Si .12).m2 b) Según la ley del desplazamiento de Wien: λmaxT = 2.7405x10 −16 ) (5. La integral se evaluó numéricamente usando el método de Romberg.67x10−8)(5800)4 = 6.92% de la energía radiada por el sol se emite en el rango visible del espectro.2.14) podrá expresarse como: ( λ2T ) ( 4.0 x10 ) (e −1 −7 5 0.35 x10 −3 ) ( λ1T ) ( 2.50 µm.0143879 / 2.6697 x10 )(λT ) (e Es decir que el 46.41x1013 J s. aplicando desarrollo en series de Taylor y adecuando los valores límites se obtiene una expresión de la forma . por ejemplo. El balance de calor será hrAC(TS – TC) = hAC(TC – TG) ⇒ TG = TC – (hr/h)(TS – TC) EJEMPLO 1.800 K. c) De acuerdo con la ecuación (1. Analíticamente puede integrarse el numerador de la ecuación (1. Solución. la termocupla indicará algún valor intermedio TC. a) El poder emisivo total de una superficie negra está dado por la ley de Stefan Boltzmann: Eb = σT4 = (5.m 2 d) El porcentaje de energía total emitida dentro del espectro visible (0.8978 x10 −3 ) −1 = 8.03 x10 ) C1 d (λT ) ⌠ = ⎮ 5 C / λT ⌡ σ (λT ) (e 2 − 1) (3.35 .0143879 / λT −8 − 1) ⌡ −53 . agrupando constantes.7405x10 −16 )d (λT ) ⌠ = 0. Así. Calcular: a) El poder emisor total.K ⇒ λmax = 2. 105x10−3 m.14) que nos determina la fracción de la energía total emitida en un rango de longitudes de onda a una temperatura dada por un cuerpo negro. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento z2 z2 z2 ⌠ z 3d ( z ) ⌠ z 3e − z d ( z ) 3 −z −z −2 z −3 z C⎮ z = C⎮ = C ∫ z e 1 + e + e + e + ⋅ ⋅ ⋅ dz −z z1 ⌡ e −1 ⌡ 1− e ( ) z1 ( ( ) ) z1 Cada una de las integrales resultantes se integra por partes. Solución.K ( λ2T ) C1d (λT ) τ = τλ ⌠ = τλ ⎮ 5 C / λT ⌡ σ (λT ) e 2 − 1 ( λ1T ) ( ) ( 0.35x10−6)(300) = 0.35x10−6 y 3x10−6 m y es opaco al resto de las radiaciones.92 ⎮ 5 C / λT ⌡ σ ( λT ) e 2 − 1 ( λ1T ) ( ) (17. Un invernadero está construido con un vidrio que posee una tramitancia de 0. Suponga que el invernadero recibe del sol un flujo de energía radiante de 1350 J/s. c) Flujo neto de calor por radiación que recibe el invernadero.3. EJEMPLO 1. Así. b) Tramitancia total del vidrio a la radiación interior del mismo.8347 σ (λT ) 5 e C2 / λT − 1 ( ) En esta ocasión τλ es independiente de λ y puede sacarse de la integral.105 x10−3 ) C1d (λT ) = 8. que también puede considerarse negro.m2. También pueden usarse las tablas tabuladas por Dunkle (1954) y reproducidas en varios textos de transferencia de calor como “funciones de radiación del cuerpo negro”. a) De forma paralela a la ecuación (1. absorbida o emitida por un cuerpo gris conociendo τλ.92 para todas las longitudes de onda comprendidas entre 0.00 × 10 −5 5 C2 / λT −1 σ (λT ) e ( ) .4 x10−3 ) ⌠ ⎮ ⌡ ( 2.9 x10−3 ) ⌠ ⎮ ⌡ ( 0.K: λ1T = (0. mientras que el interior del invernadero. αλ o ελ.25 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la tramitancia total de esta superficie vendrá dada por ( λ1T ) C1d (λT ) τ = τλ ⌠ = 0. Determinar: a) Tramitancia total del vidrio del invernadero a la radiación solar. podemos obtener la fracción transmitida. se encuentra a 300 K.9x10−3 m. El Sol se comporta como un cuerpo negro a 5800 K. b) Cuando la fuente de radiación es el interior del invernadero.03 x10−3 ) C1d (λT ) = 0. análogamente al apartado anterior se llega a: λ2T = (3x10−6)(300) = 0. 4 a 3. Una representación aproximada para vapor de agua nos da bandas entre 2. Estos diagramas son función de la temperatura. Mientras que líquidos y sólidos emiten radiación sobre un espectro continuo. de la presión parcial del gas y de una trayectoria equivalente que depende de la forma geométrica del sistema.5.m2 Puede apreciarse como el vidrio del invernadero transmite el 83.5.0. Radiación solar.3. Otros.0 a 4. La constante solar es la cantidad de energía por unidad de tiempo y de área perpendicular a la misma que alcanza la atmósfera terrestre.3. vapor . escasamente emiten radiación. 1. 4. la mayoría de los gases monoatómicos y biatómicos. polvo. triatómicos y de más átomos emiten radiación en cantidades apreciables.3.08 % de la energía radiante del invernadero hacia el exterior. mientras que apenas transmite el 0. y 12 a 25 µm.26 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Los gases que no emiten radiación tampoco la absorben.8 y 12.2 a 3. 1.8 a 8. a temperatura TS se puede determinar como ( Q = σA ε GTG4 − α GTS4 ) La emisividad de la masa de gas εG se obtiene de un diagrama de emisividad a la temperatura del gas y la absortividad αG se obtiene del mismo diagrama pero a la temperatura TS de la pared pues esta sería la temperatura de la superficie absorbente si se encontrara en equilibrio térmico con el emisor.67x108) (300)4 = 1127.4. El ancho de las bandas de radiación para emitir (absorber) un gas en particular depende tanto de la temperatura como de la presión. La radiación solar es la responsable de mantener la temperatura superficial de la tierra. Los gases que emiten energía también la absorben. Para el dióxido de carbono las bandas son entre 2. tales como los que están presentes en la atmósfera. Es claro que la energía que alcanza la superficie de la tierra es algo menor después de haber atravesado unos 135 km de aire. los gases no lo hacen. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento c) El flujo neto de calor por radiación que recibe el invernadero será entonces qneto = (0. Solamente los gases con momento dipolar. De hecho. El intercambio neto de calor radiante entre una masa de gas a temperatura TG y una superficie negra que lo rodea A.5 a 16.2 J/s.5 µm. Radiación desde gases. como el vapor de agua y el dióxido de carbono emiten radiación solo en bandas espectrales específicas.835)(1350) – (8.00x10–5) (5. 4. pero en las mismas bandas de radiación en las que emiten.5 % de la energía del Sol al interior del mismo. deben incluirse las resistencias térmicas debidas al fluido: Q= (T f 6 − T f 1 ) b 1 + b1 + b2 + 3 + 1 hf 6S k1 S k2 S k3 S h f 1S (1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento de agua. y parte de esta energía sería rerradiada directamente hacia el espacio en lugar que hacia la tierra. y las propiedades térmicas de la misma son conocidas. emitida a una temperatura sustancialmente menor (aproximadamente 280 K en promedio). La ecuación de Einstein E = mc2 puede usarse para expresar la radiación Eb como una densidad de flujo másico m’ equivalente. La analogía con la ley de Ohm y el concepto de la resistencia térmica provee un medio de tratar el problema de flujo de calor a través de una placa hecha de materiales de diferentes espesores y propiedades termofísicas. la radiación terrestre. con longitudes de onda mayores que coinciden con las bandas de absorción del dióxido de carbono y el vapor de agua.27 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. tiene longitud de onda por debajo de las bandas de absorción del dióxido de carbono y el vapor de agua. las dimensiones físicas. Un aspecto de la radiación solar destacado por Maxwell en 1865 es el que la radiación incidente sobre una superficie debe ejercer una fuerza sobre esa superficie. dióxido de carbono y vapor de agua pueden absorber energía radiante. PARED CON CAPAS MÚLTIPLES. Sin embargo este efecto es pequeño debido a que la mayor parte de la energía emitida por el sol a 6000 K. y la fuerza ejercida por unidad de área es entonces m’c. el flujo de calor puede escribirse inmediatamente como: (T5 − T2 ) Q= (1. Si hay reflexión esta fuerza se aumentará proporcionalmente. las temperaturas de cada una de las superficies exteriores de la pared. 1.7. Este fenómeno es conocido como el “efecto invernadero” (greenhouse).17) b b1 b + 2 + 3 k1 S k2 S k3 S Si lo que conocemos es la temperatura del fluido adyacente a la pared y no las temperaturas de las superficies. hacen que buena parte de esta radiación sea absorbida por la atmósfera y rerradiada a la tierra manteniendo una temperatura adecuada en la atmósfera. Esta placa se representa esquemáticamente en la figura. tal que si T5 y T2. 1. Sin embargo.17a) . es decir que los gases de la atmósfera son prácticamente transparentes a la radiación solar.4. El polvo. dióxido de carbono entre otros. El tratamiento es el de resistencias en serie. Aquí las resistencias térmicas de los materiales B. así como de los F y G. La analogía eléctrica puede usarse para resolver problemas más complejos que involucren tanto resistencias térmicas en serie como en paralelo. Q = (T f 6 − T5 ) hf 6S Q k3 S b3 Q Q = (T5 − T4 ) = (T4 − T3 ) k1S k2 S b1 b2 Q = (T3 − T2 ) = T2 − T f 1 h f 1S ( ) Sumando miembro a miembro estas ecuaciones. se encuentran en paralelo.17a). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Esta expresión se comprueba fácilmente si tenemos presente que en estado estable. C. el flujo de calor es el mismo a través de todas las secciones y hacia o desde las superficies que intercambian calor por convección: ⎛k S⎞ ⎛kS⎞ ⎛k S⎞ Q = h f 6 S (T f 6 − T5 ) = ⎜ 1 ⎟ (T5 − T4 ) = ⎜ 2 ⎟ (T4 − T3 ) = ⎜ 3 ⎟ (T3 − T2 ) = h f 1S (T2 − T f 1 ) . D. La ecuación de flujo de calor unidimensional para este tipo de problema puede escribirse como: .28 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y al despejarlo se obtiene la ecuación (1. donde las resistencias equivalentes son: 1 1 1 1 = + + Req1 RB RC RD y 1 1 1 = + Req 2 RF RG Las resistencias individuales son todas de la forma Ri = bi/kiS.8 se muestra un problema típico y su circuito eléctrico análogo. En la figura 1. ⎝ b1 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ b3 ⎠ Así. Las temperaturas intermedias pueden determinarse por la inclusión de las resistencias entre una temperatura conocida y aquella a determinarse. al destruir paréntesis se cancelan las temperaturas intermedias y en el otro miembro se saca Q como factor común. La resistencia térmica al flujo de calor desde la superficie más caliente a T1 hacia la más fría a T5 es Rtotal = RA + Requivalente1 + RE +Requivalente2. Manantial calorífico de origen viscoso.29 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Al girar el cilindro exterior.5. La velocidad de generación de calor será Q [W] = V [voltios] x i [amperios]. 1. las capas cilíndricas del fluido rozan con las capas de fluido adyacentes dando lugar a una producción de calor.1.5. La transmisión de la corriente eléctrica es un proceso irreversible. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Q= ∆Ttotal Rtotal Conviene mencionar que en sistemas como el de la fig. 1. es decir que la energía mecánica se .2. no es preciso tener en cuenta la variación de las conductividades eléctrica y calorífica con la temperatura.5.m] e inversamente proporcional al área transversal A. Entonces la velocidad de producción de calor debido a la disipación eléctrica por unidad de volumen viene dada por la expresión: Φ He i 2 ρe L 1 i 2 ρe = ⋅ = 2 = I 2 ⋅ ρe A AL A ⎡W 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ (1. La resistencia eléctrica de la varilla es directamente proporcional a la longitud L. 1. Por él circula una corriente eléctrica i amperios. Consideremos un alambre conductor de sección circular con radio R.8 puede presentarse flujo de calor bidimensional si las conductividades térmicas de los materiales difieren en gran medida. Consideremos el flujo de un fluido Newtoniano incompresible a través del espacio comprendido entre dos cilindros coaxiales.18) I densidad de corriente eléctrica. a la resistividad específica del material ρe [Ω. A partir de la ley de ohm se define la resistencia eléctrica Re de la varilla como Re [ohmio] = V [voltios]/i [amperios]. y parte de la energía eléctrica se transforma en calor. con una caída de voltaje V a lo largo del alambre. Manantial calorífico de origen eléctrico. Si se supone que el aumento de temperatura en el alambre no es grande. 1. Por esto. también Q [W] = i2 [amp2]×Re [Ω]. MANANTIALES CALORÍFICOS. despreciando los efectos de la curvatura y resolver el problema en coordenadas cartesianas. 1. Manantial calorífico de origen químico.5. existe una temperatura máxima en un punto comprendido entre las dos paredes. es lineal: vx = (y/b)V por tanto: ⎛V ⎞ Q = µ⎜ ⎟ ⎝b⎠ 2 (1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento degrada a energía calorífica. vx = R ⋅ w (velocidad tangencial ) El perfil de velocidad para el flujo laminar estacionario de un fluido de viscosidad constante en una rendija de espesor b. cuanto más rápidamente se mueva una capa de fluido respecto de otra adyacente. ⎝ ∂r ⎠ w : velocidad angular . La magnitud de la intensidad de manantial calorífico depende del gradiente local de velocidad. La velocidad de producción de energía calorífica por unidad de volumen en las reacciones . Si el espesor b de la rendija es pequeño comparado con el radio R del cilindro exterior.30 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. En una reacción química se produce o consume energía calorífica debido a la reordenación de los átomos de las moléculas reaccionantes para dar lugar a los productos de reacción.3. mayor será el calentamiento producido por disipación viscosa. es decir. que es una medida de la importancia del calentamiento viscoso con relación al flujo de calor que resulta de la diferencia de temperatura comunicada (Tb . Para Br > 2.19) ΦΗ = µ (V/b)2 Al calcular el perfil de temperatura aparece espontáneamente la expresión: ⎡ µV 2 ⎤ Br = ⎢ ⎥ ⎣ k (Tb − T0 ) ⎦ o número de Brinkman. T será función solo de r.To). el problema puede resolverse aproximadamente utilizando un sistema simplificado. En este caso el manantial calorífico de origen viscoso viene dado por: 2 ⎛ ∂v ⎞ ΦHµ = µ ⎜ ⎟ . cuyo radio externo es Rc. Este manantial volumétrico de energía calorífica no será uniforme en el interior de la esfera del material fisionable. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento químicas es generalmente una función compleja de la presión. revestido con una vaina esférica de aluminio.6. y Φ0 y To son constantes empíricas para unas determinadas condiciones de entrada al reactor.1.4.20) donde T es la temperatura local del lecho catalítico. Usando métodos de cálculo adecuados pueden obtenerse expresiones más realistas para ΦΗC 1. El espesor de la pared en la dirección z es 2b y se supone que las dimensiones en las otras direcciones son bastante grandes para que el flujo de calor pueda considerarse como unidimensional. composición y actividad del catalizador. SISTEMAS CON FUENTES DE CALOR. Pared plana. Considérese una pared plana con fuentes de calor uniformemente distribuidas como se muestra en la figura 1. La principal fuente de energía calorífica en el reactor se debe a las colisiones entre los fragmentos de fisión producidos. 1.21) ΦΝ0 es la velocidad volumétrica de producción de calor en el centro de la esfera. sino máximo en el centro de la misma. que poseen energías cinéticas elevadas. Podríamos representar este manantial mediante una función parabólica: Φ HN ⎡ ⎛ r = Φ N 0 ⎢1 − m⎜ ⎜R ⎢ ⎝ f ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (1.9. temperatura.5. y los átomos del material fisionable.6. Si consideramos ΦΗC como una función exclusiva de la temperatura. El calor . supuesta igual para el catalizador y el fluido (aunque la diferencia de temperatura entre el catalizador y el fluido no siempre es despreciable). y suponemos variación lineal con esta variable ⎡ T − T0 ⎤ Φ HC = Φ 0 ⎢ ⎥ ⎣ T1 − T0 ⎦ (1. Manantial calorífico de origen nuclear. 1.31 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Consideremos un elemento de combustible nuclear de forma esférica de radio Rf. y m es una constante adimensional comprendida entre cero y uno. Para las condiciones de frontera se especifican las temperaturas en cada pared: T = T1 en z = 0. pero en este caso intercambia calor por convección desde sus dos caras con un medio ambiente a temperatura T∞ y con coeficiente convectivo h∞.8) con las simplificaciones de estado estacionario (∂T/∂t = 0) y flujo unidimensional para obtener d 2T Φ H + =0 k dz 2 (A) La derivada es total pues T depende solo de z. T = T2 en z = 2b Integrando una vez: Φ z dT = − H + C1 dz k (B) La solución es entonces: T =− ΦH 2 z + C1 z + C 2 2k (C) Aplicando las condiciones límite T1 = C 2 .22) En el caso que la generación valga cero esta ecuación se reduce a la (1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento generado por unidad de volumen es ΦΗ y se supone que la conductividad térmica no varía con la temperatura.9) como es de esperarse. Pared Plana Simétrica.1.1. 1. Tenga presente que estamos considerando una pared de espesor 2b. .6. con generación y convección: Analicemos la misma pared plana con generación uniforme. T2 = − T − T1 = − ΦH (2b) 2 + C1 (2b) + T1 2k Φ H bz ⎡ z⎤ ⎛ z ⎞ 1 − ⎥ + (T2 − T1 )⎜ ⎟ ⎢ k ⎣ 2b ⎦ ⎝ 2b ⎠ (1.32 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Solución. Como la geometría es rectangular usamos directamente la ecuación (1. el calor que llega a esta interfase por conducción se disipa por convección hacia el medio circundante. así: −k dT dz z =b = h∞ (T − T∞ ) z =b Despejando T y reemplazando en la ecuación anterior calculada en z = b. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Solución. dT/dz = 0. ya que se espera un máximo de temperatura en el plano central debido a la simetría del sistema. En lugar de condiciones de frontera de primera clase tendremos una de segunda y otra de tercera clase a saber: En z = 0. Integrando nuevamente ΦH 2 z + C2 2k T =− En la superficie ubicada en z = b. Integrando una vez Φ z dT = − H + C1 dz k De la primera condición límite se infiere que C1 = 0. El planteamiento del problema no varía sino en el momento de aplicar las condiciones límite. se intercambia calor por convección.33 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. obtenemos C2 = Φ H b2 2k ⎛ 2k ⎜⎜1 + ⎝ bh∞ ⎞ ⎟⎟ + T∞ ⎠ 2 Φ H b2 ⎡ 2k ⎛ z ⎞ ⎤ T − T∞ = −⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 + 2k ⎣⎢ bh∞ ⎝ b ⎠ ⎦⎥ (1. Esta misma condición límite surge cuando existe una superficie adiabática o aislada pues no hay flujo de calor a través de ella como se desprende de la ley de Fourier: Qz = − kSz(dT/dz). d 2T Φ H + =0 k dz 2 Como en este caso la temperatura es igual a cada lado de la pared parece conveniente seleccionar el origen coincidiendo con el plano de simetría. En estado estable.23) . la de la parte superior se mueve a V = 10 m/s y está a 30 °C. la diferencia de temperaturas en la interfase tiende a cero y TS ⇒ T∞. Solución.799 Pa. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Observamos que la distribución de temperaturas es parabólica en ambos casos.s. EJEMPLO 1.4. Es decir.145 W/m. Considere dos placas paralelas separadas una distancia de 3 mm. La temperatura de la superficie y la del centro o máxima se obtienen fácilmente reemplazando por el correspondiente valor de z. La inferior está estacionaria y a 10 °C.K. ¿Cuál será el flujo de calor en las dos placas y la temperatura máxima en el aceite?. Nótese que cuando Bi ⇒ ∞. Retomamos la ecuación (1.34 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. µ = 0. todo el calor generado se disipa por convección hacia el fluido. La relación adimensional h⋅b/k se conoce como numero de Biot abreviado Bi que se interpreta como la relación entre la resistencia interna a la conducción de calor y la resistencia externa a la transferencia por convección. Entre ambas hay un aceite de motor cuyas propiedades a 20 °C son ρ = 888.8): − ∂ ⎡ ∂T ⎤ ∂T k + ρC p = ΦH ⎢ ⎥ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂t Para estado estable y reemplazando el término de generación (1. El caso se asimila a pared plana con generación por manantial calorífico de origen viscoso y condiciones límite asimétricas.19) ∂ ⎡ ∂T ⎤ ⎛V ⎞ − ⎢k = µ⎜ ⎟ ⎥ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ⎝b⎠ 2 Con conductividad térmica constante ∂ 2T ⎛V ⎞ k 2 = −µ ⎜ ⎟ ∂z ⎝b⎠ 2 . El gradiente de temperatura en la superficie puede hallarse directamente como: dT dz = z =b ΦHb k El flujo en una de las superficies es dT QS = − kS = Φ H (bS ) dz z =b que es la mitad del calor generado en el volumen.2 kg/m3. k = 0. tal como 55 °C (a 330 K.0836 Pa. Reemplazando zmax en la expresión para T(z) encontramos Tmax = 89.35 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. T −T µ V 2 C1 = 2 1 + y C2 = T1 .141 W/m.K y µ = 0. Br 2 2⎠ µ V ⎝ ⎣ ⎦ En nuestro caso el numero de Brinkman.8 > 2 y evidentemente se presenta un máximo de temperaturas entre las dos placas.s). ρ = 865. a saber T(0) = T1 y T(b) = T2. qS1 hacia abajo (signo menos) y qS2 hacia arriba. La localización del máximo de temperatura en el aceite la hallamos haciendo dT ⎛ 1 2 z ⎞ µ 2 T2 − T1 =⎜ − ⎟ V + =0 b dz ⎝ b b 2 ⎠ 2k Resolviendo para z obtenemos ⎡ k (T − T ) 1 ⎤ ⎛ 1 1⎞ z max = ⎢ 2 2 1 + ⎥b = ⎜ + ⎟b = 0.536 b. k = 0.3 °C. 2k b b Reemplazando ⎡ z ⎛ z ⎞2 ⎤ µ 2 z T ( z ) = T1 + ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ V + (T2 − T1 ) b ⎢⎣ b ⎝ b ⎠ ⎥⎦ 2k Conociendo la distribución de temperaturas podemos calcular los flujos de calor en las superficies aplicando la ley de Fourier: qS 1 = − k qS 2 = − k dT dz dT dz =− z =0 = z =b µV 2 2b µV 2 2b − − k (T2 − T1 ) = −14.8 kg/m3.3 kW m2 b Ambas densidades de flujo están dirigidas hacia afuera de la película líquida. . Br = 27. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Integrando dos veces: T ( z) = − µ ⎛V ⎞ 2 2 ⎜ ⎟ z + C1 z + C 2 2k ⎝ b ⎠ Aplicando las condiciones límite. El cálculo deberá repetirse usando propiedades a una temperatura diferente de 20 °C.3 kW m2 b k (T2 − T1 ) = 12. (∆ r)2 lo será aún más y lo podemos despreciar. Consideremos un elemento cilíndrico de combustible nuclear dentro de un reactor. Geometría cilíndrica. Por lo tanto reemplazando en el balance dr d (Qr )∆r = Φ H 2πLr∆r dr . de manera que el balance de energía se puede escribir como: Qr r + ∆r − Qr pero Qr r + ∆r r = Φ H ∆V = Qr r + d (Qr )∆r . Se desea conocer la velocidad de flujo de calor hacia el refrigerante por unidad de longitud del cilindro y la máxima temperatura en el mismo. Apliquemos esta expresión a un elemento de volumen de forma anular dentro del cilindro de combustible. Aunque en la práctica. suponemos que tiene el mismo valor en todos los puntos de la barra.2. El volumen de este elemento de volumen ubicado entre r y r+∆r podría calcularse como la diferencia entre el volumen del cilindro exterior de radio r+∆r y el volumen del cilindro interior ubicado en r. Este elemento genera calor debido a la reacción nuclear a velocidad ΦH [energía/volumen⋅tiempo].6.πr2L = 2πr∆rL + π(∆r)2L Seleccionando ∆r suficientemente pequeño. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1. Transporte de energía con generación. tal como se ilustra en la figura 1. o sea: ∆V = π(r + ∆r)2L . ΦΗ varía con la posición. En estado estable. Este calor debe removerse rodeando el elemento de combustible con un medio refrigerante que mantiene la temperatura de la superficie a alguna temperatura constante TS.7.36 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La longitud del elemento es L y su espesor ∆r.7) se reduce a: [Velocidad de salida de calor] − [Velocidad de entrada de calor] = [Velocidad de generación de calor]. El calor entra a través del área cilíndrica 2πrL y sale a través del área concéntrica 2π(r+∆r)L. la ecuación de balance de energía (1. obtenemos − k d ⎛ dT ⎞ ⎜r ⎟ = ΦH r dr ⎝ dr ⎠ (1. Las condiciones límite en el cilindro sólido para las circunstancias físicas descritas son: CL1: En el eje de simetría deberá presentarse un máximo o un mínimo de temperatura r=0 dT =0 dr CL2: En la superficie la temperatura es conocida y constante r=R T = TS Reescribiendo la ecuación del balance como Φ ⎛ dT ⎞ d⎜ r ⎟ = − H rdr k ⎝ dr ⎠ Integrando una vez dT ΦH r2 r =− + C1 dr 2k Esta constante de integración C1 = 0 por la primera condición límite. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Aplicando Fourier: Qr = − kAr dT dr dT ⎞ d ⎛ ⎜ − k 2πrL ⎟∆r = Φ H 2πLr∆r dr ⎠ dr ⎝ Dividiendo por 2πrL∆r y simplificando con k constante. La nueva ecuación es dT = − ΦH r dr 2k .24) Observe que la variable r no se puede simplificar pues está afectada por el diferencial.37 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 1. El tubo o cilindro hueco (fig. no hay manantiales térmicos y el gradiente de temperaturas es radial. 1. El caso presente es el de estado estable.6.6.25a) Como es de esperarse es igual al calor total generado en el volumen: 1. Esta se puede calcular como el producto de la densidad de flujo qS = − k(dT/dr) por el área de transferencia: Qtotal = (ΦΗ. con el máximo de temperaturas ocurriendo en el centro del cilindro.R2/4k y aumenta con el cuadrado del radio del cilindro.3. La máxima diferencia de temperaturas es ΦΗ.11) se trata convenientemente usando el sistema de simetría cilíndrica.24) se reduce a − k d ⎛ dT ⎞ ⎜r ⎟=0 r dr ⎝ dr ⎠ . Es útil calcular la pérdida total de calor a través de la superficie del cilindro. conductividad térmica k constante.R2.25) ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 4k ⎠ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ Este perfil de temperaturas es parabólico. Para este caso el balance (1.R/2)(2πRL) = ΦΗ (π.2. Otros sistemas radiales. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Integrando nuevamente obtenemos el perfil de temperatura en el cilindro sólido con generación uniforme: T =− ΦH r 2 + C2 4k Usando la segunda condición límite obtenemos C2 = TS + ΦH R2 4k y así 2 ⎛ Φ H R 2 ⎞⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ ⎟ ⎜ (T − TS ) = ⎜ (1.38 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.L) (1. El tubo. Flujo total de calor en la pared.1. 28) También podemos obtener el resultado (1.26) El flujo de calor a través de la pared del tubo se determina a partir de la ley de Fourier. Sin embargo.28) sin necesidad de hallar el perfil de temperaturas dado que como r(dT/dr) = C1. obtenemos: Qr = (Ti − T0 ) ⎛ ln R0 Ri ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2πkL ⎟ ⎠ ⎝ Aquí la resistencia térmica es ln(R0/Ri)/2πkL (1. Integrando una vez dr ⎢⎣ dr ⎥⎦ ⎡ dT ⎤ ⎢⎣r dr ⎥⎦ = C1 Integrando nuevamente T = C1 ln r + C2 y las condiciones límite son las que especifican las temperaturas Ti y T0 en los radios Ri y R0 a partir de las cuales se obtienen las constantes de integración C1 y C2.12).27) donde L es la longitud axial del tubo. entonces Qr = 2πkLC1. 1. El tratamiento es el mismo de las resistencias en serie: . es posible tener tubos compuestos (figura 1.6. El tubo compuesto. Diferenciando el perfil de temperatura y usando el resultado en la expresión para Qr. también lo será y en (1. Así como en el caso de la pared compuesta.1.27) bastará separar variables e integrar.39 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.3. permitiendo obtener la expresión para la distribución radial de temperatura en el tubo: T − T0 ln( r R0 ) = Ti − T0 ln( Ri R0 ) (1. Físicamente puede corresponder a un tubo recubierto de diferentes tipos de aislante o a un intercambiador tubular. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento multiplicando ambos lados de la igualdad por – (r/k) ≠ 0 obtenemos d ⎡ dT ⎤ r = 0 . el área normal al vector flujo de calor cambia con el radio: Qr = − kS r dT dT = − k (2πrL) dr dr (1. constante. 2.6. Coeficientes globales. obtendríamos: S 0 (T fi − T fo ) 1 = U0 Qr R4 ln( R2 Ri ) R4 ln( R3 R2 ) R4 ln(R4 R3 ) 1 R4 1 = + + + + U 0 Ri hi k1 k2 k3 h0 . 1.30) donde Si y S0 son.3. Se observa que aunque Qr es constante para cualquier valor de r. La ecuación (1. Reorganizando (1. en las superficies interior y exterior del tubo.30): S i (T fi − T fo ) 1 = Ui Qr R R R R 1 1 Ri ln( 2 Ri ) Ri ln( 3 R2 ) Ri ln( 4 R3 ) = + + + + i U i hi k1 k2 k3 R4 h0 Ahora. la densidad de flujo de calor qr = Qr/Sr no lo es pues Sr varía con la posición radial r. es necesario incluir las áreas barridas por el flujo: Qr = (T fi − T fo ) ⎛ ⎞ ln R2 R1 ln R3 R2 ln R4 R3 1 1 ⎜ ⎟ + + + + ⎜ 2πR Lh 2πk L 2πk L 2πk L 2πR Lh ⎟ 1 2 3 4 0 ⎠ i i ⎝ (1.29) puede escribirse en la forma de un coeficiente por un área y una fuerza guía: Qr = Ui Si (Tfi − Tf0) = Uo So (Tfi − Tf0) (1.29) hi y h0 son coeficientes convectivos del fluido interno y externo respectivamente. el área interior del conducto y el área exterior del aislamiento (o sea. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Qr = (T1 − T4 ) ⎛ ln R1 ln R3 R2 ln R4 R3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2πk L + 2πk L + 2πk L ⎟ 1 2 3 ⎠ ⎝ R2 para incluir resistencias debidas a efectos convectivos ocasionados por fluidos. si buscáramos el coeficiente global basado en el área externa S0.40 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. respectivamente. Si = 2πR1 L y S0 = 2πR4 L) y Ui y U0 se denominan los coeficientes globales de transferencia de calor basados en las áreas interna y externa respectivamente. 31) Este resultado es independiente de R2 y considera que ho no cambia con Ro. lo que puede ser aceptable en muchos casos prácticos. El flujo de calor será un máximo cuando el denominador sea mínimo. el aislante está comprendido entre R2 y R0. 1. Tomando en cuenta los efectos del cambio de curvatura en ho.4. puede ver sus pérdidas aumentadas por aislamientos que lleguen hasta el tamaño crítico. La conclusión es que en tubos cuyo radio exterior (en este caso R2) sea menor que el radio crítico Rocrit. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Obsérvese que: U0S0 = UiSi = Qr/(Tfi − Tfo) = 1/Rt donde Rt es la resistencia total a la transferencia de calor en el sistema compuesto. Los radios interno y externo del conducto son Ri y R2.41 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.6. Espesor crítico de aislamiento. No siempre el aislamiento colocado a un conducto cilíndrico disminuye las pérdidas de calor de la superficie.31). La pérdida de calor desde un tubo con aislamiento hacia el fluido de los alrededores está dada por: Qr = (T fi − T fo ) ⎞ ⎛ ln R2 R1 ln R0 R2 1 1 ⎟ ⎜ + + + ⎜ 2πR Lh 2πk L 2πk L 2πR Lh ⎟ i i 1 A 0 0 ⎠ ⎝ Nuevamente hi y h0 son los coeficientes convectivos correspondientes a los fluidos interno y externo. De hecho en los conductores eléctricos facilita la refrigeración de los mismos. se pueden obtener radios críticos del orden del 60 % del obtenido por la ecuación (1. Tomando la derivada de los dos últimos términos del denominador con respecto a Ro manteniendo R2 como parámetro constante e igualando el resultado a cero obtenemos: 1 1 − =0 k A R0 h0 R02 O sea: Ro crit = kA/ho (1. k1 y kA son las conductividades térmicas del tubo y del aislante. . Otros sistemas con área transversal variable. La ecuación (1. r 2 dr ⎢⎣ dr ⎥⎦ 1 − 1 T − T0 r R0 = 1 − 1 Ti − T0 Ri R0 Qr = ( Ti − T0 ⎛ 1 − 1 ⎞ 1 4πk ⎜⎝ Ri R0 ⎟⎠ ) El caso de la esfera compuesta se obtiene análogamente.5. aislada en su superficie curva.6.6. La esfera. Para flujo estable sin generación Qz es constante y la ley de Fourier se puede escribir . La distribución de temperaturas y el flujo de calor a través de las paredes de una esfera hueca pueden calcularse a partir de balances y la ley de Fourier.6.20) se escribe dQ z 1 d ⎛ dT ⎞ = ⎜ − k (T ) A( z ) ⎟ = ΦH dV Az ( z ) dz ⎝ dz ⎠ Se tiene en cuenta que la superficie perpendicular al flujo de calor varía con la distancia y que la conductividad térmica puede hacerlo también.20) puede utilizarse para analizar sistemas de área transversal variable en los cuales podamos aceptar flujo unidimensional como es el caso de una cuña con forma de cono trunco.42 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1. Similar se halla un radio crítico: R0 crit = 2k/h. usando las mismas suposiciones simplificadoras que usamos anteriormente: 1 d ⎡ 2 dT ⎤ r = 0. En este caso la ecuación (1. Usando entonces la ecuación (1. R1 Integrando obtenemos T1 Qr R2 aT 2 ⎤ ln =T + ⎥ 2πLk 0 R1 2 ⎦T 2 Como lo que nos interesa es conocer el valor máximo de la temperatura en la envoltura tubular de aluminio que debe ocurrir en r = R1 despejamos: .32) con conductividad y áreas variables obtenemos: R2 T2 ⌠ dr Qr ⎮ = − ∫ k 0 (1 + aT )dT T1 ⌡ 2πrL R1 ≤ r ≤ R2. El elemento combustible para usar en el reactor de una planta nuclear consiste de un núcleo cilíndrico de 2 plg.pie3. la temperatura de este no debe exceder los 800 °F en ningún punto.32) z1 EJEMPLO 1. El calor generado dentro del núcleo radioactivo debe ser eliminado en su totalidad a través del revestimiento de aluminio y en estado estable tendrá un valor constante e igual a Qr = ΦH πR12L. ¿Cuál será la máxima temperatura en el núcleo combustible?. de diámetro sostenido por una capa que lo rodea de 0.43 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. El combustible en el núcleo genera calor a razón de 5. siendo R1 el radio del elemento combustible o sea 1 plg. Debido al efecto negativo que tiene la temperatura en la resistencia del aluminio. de espesor en aluminio.95x10−4 °F−1 en el rango de temperatura de 200 °F a 800 °F.° F y a = 4. Solución.5. El exterior del aluminio estará en contacto con un fluido que transfiere el calor y que se encarga de mantener la superficie exterior de la coraza de aluminio a 200°F. ¿Es el diseño propuesto satisfactorio? Para el aluminio la conductividad térmica puede expresarse como: k = k0(1 + aT). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Q z = − kAz dT = constante dz z T ⌠ dz Qz ⎮ = − ∫ k (T )dT T1 ⌡ Az ( z ) (1.pie. donde k0 = 118 Btu/hr.8x107 Btu/hr.25 plg. El coeficiente convectivo h puede aumentarse aumentando la velocidad del fluido. sin embargo. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Φ H πR12 L ln (R2 r ) + T2 + (a / 2)T22 = T + (a / 2)T 2 2πLk 0 R1 ≤ r ≤ R2 nos permite encontrar el perfil de temperatura resolviendo la ecuación cuadrática T= 1 − 1 − 9.14 °F y R = 1 plg. TS = 688. la velocidad de transferencia de calor puede aumentarse aumentando el área superficial sobre la cual ocurre la convección.05 460. Para determinar la temperatura máxima en la barra de combustible podríamos usar la ecuación (1. pero desconocemos la conductividad térmica del material radioactivo.1 . Algunos valores son: T [°F] r [plg] 688. pueden encontrarse muchas situaciones en las cuales aumentar h al máximo valor posible es aún insuficiente para obtener la velocidad de transferencia de calor deseada o los costos asociados son prohibitivos. nosotros vemos que existe una tercera opción.25 / r ) + 190.7 * ln(1.14 1.7. Aunque existen muchas situaciones diferentes que envuelven efectos combinados de conducción convección.15b.47 1.10 365. Estos costos están relacionados a los requerimientos de potencia para el ventilador o la bomba necesitados para aumentar el movimiento del fluido.15a. SISTEMAS DE CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN. hay dos maneras en las cuales se puede aumentar la velocidad de transferencia de calor. Es más.83 1. la segunda opción de reducir T∞ es frecuentemente impracticable.15 279.44 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.95 * 10 − 4 con C = 1706. y/o la temperatura del fluido T∞ puede reducirse.33 1. Examinando la figura 1.20 200.04 1.00 1. Esto puede hacerse . la aplicación más frecuente es el de una superficie extendida que se utiliza específicamente para aumentar la velocidad de transferencia de calor entre un sólido y un fluido adyacente. Estas superficies extendidas se denominan aletas. Consideremos la pared plana de la figura 1.9 *10 −4 * C 4. Esta es.25 De acuerdo con este resultado el diseño es aceptable.00 567. 1. Si TS es fijo. Sin embargo.25) con r = 0. del peso. la selección de una configuración particular de aleta puede depender del espacio. Puede ser de área seccional transversal uniforme (a) o ésta puede variar con la distancia desde la pared (b). En el límite de conductividad térmica infinita. cuya área puede ser expresada como un producto del espesor de la aleta t y el ancho w para aletas rectas o la circunferencia 2πr para aletas anulares.45 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. . Estas aletas pueden también ser de sección transversal uniforme o no uniforme. En la figura 1. Una aleta recta es cualquier superficie extendida fijada a una pared plana. Estos tipos de aleta tienen sección transversal rectangular. En cualquier aplicación. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento utilizando aletas que se extienden desde la pared hacia el fluido de los alrededores. manufacturación. así como de la extensión en la cual las aletas reducen el coeficiente convectivo superficial y aumenta la caída de presión asociada con el flujo sobre las aletas. la aleta completa estaría a la temperatura de la superficie base. proveyendo por tanto el máximo aumento posible de la transferencia de calor. y consideraciones de costos. En contraste una espina o aleta puntilla es una superficie extendida de sección transversal circular (d). Una aleta anular es una que se encuentra fijada circunferencialmente a un cilindro y su sección transversal varía con el radio desde la línea central del cilindro (c). Idealmente el material de las aletas deberá tener una conductividad térmica alta para minimizar las variaciones de temperatura desde su base hasta su extremo. La conductividad térmica del material de las aletas tiene un fuerte efecto en la distribución de las temperaturas a lo largo de la aleta y por lo tanto influye en el grado hasta el cual la velocidad de transferencia de calor se incrementa.16 se ilustran varias configuraciones de aletas. y que el coeficiente de transferencia de calor convectivo h es uniforme sobre la superficie.17. la cual varía con z. Su solución para las condiciones límite adecuadas nos dará la distribución de temperaturas. La transferencia de calor por convección: dQconv = hdS(T − T∞ ) donde dS es el área superficial del elemento diferencial. Como hemos hecho para otros sistemas.33) Este resultado nos provee una forma general de la ecuación de energía para condiciones unidimensionales en la superficie extendida.46 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. que los efectos de generación térmica están ausentes. La velocidad a la cual la energía se transporte por convección hacia el fluido desde cualquier punto de la superficie de la aleta debe ser balanceada por la velocidad a la cual la energía alcanza ese punto gracias a la conducción en la dirección transversal. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para determinar la transferencia de calor asociada con una aleta nosotros debemos primero obtener la distribución de temperaturas a lo largo de la aleta. Aquí nosotros podemos asumir conducción unidimensional en la dirección z. (ecuación 1. Consideremos la superficie extendida de la figura 1. El análisis se simplifica si hacemos ciertas suposiciones. Sustituyendo en el balance de energía obtenemos d ⎡ dT ⎤ dS kA + h (T − T∞ ) = 0 − z dz ⎢⎣ dz ⎥⎦ dz (1. Asumimos condiciones unidimensionales en la dirección longitudinal. Aplicando los requerimientos de conservación de la energía. Nosotros también podemos considerar condiciones de estado estable y también asumir que la conductividad térmica es constante. . Sin embargo en la practica la aleta es delgada y los cambios de temperatura en la dirección longitudinal son mucho mayores que esos en la dirección transversal. nosotros comenzamos realizando un balance de energía en un elemento diferencial apropiado. la cual con la ley de Fourier nos permite calcular la velocidad de conducción en cualquier posición. aunque la conducción dentro de la aleta es realmente bidimensional. que la radiación desde la superficie es despreciable.7 sin generación y en estado estable) a un elemento diferencial obtenemos: Qz z + dz + dQconv − Q z con Q z = − kAz Qz z + dz z =0 = Qz z + dQ z dz dz y dT dz donde Az es el área transversal. 33) se reduce a: d 2T Ph − (T − T∞ ) = 0 dz 2 kAz (1. 150).19). y S = Pz. Aletas de área transversal uniforme. Con m2 = P⋅h/(kAz) y en términos del operador D = d/dz de tal forma que: (D2 – m2)θ = (D + m)(D − m)θ = 0 dθ = − mθ ⇒ θ = C1 exp( − mz ) . Sherwood y Reid.34) se transforma en: d 2θ − m 2θ = 0 (1. Para resolver la ecuación (1. homogénea. Comenzamos con el caso más simple de aletas rectangulares y de puntilla de sección transversal uniforme (figura 1.33) anterior es necesario ser más específicos acerca de la geometría.18. nosotros transformamos la variable dependiente definiendo una temperatura en exceso θ = (T − T∞).7. Az es constante. Para las aletas prescritas. pp. Esta tendencia es consecuencia de la reducción en la transferencia de calor por conducción con el aumento de z debido a las pérdidas continuas por convección desde la superficie de la aleta. de segundo orden con coeficientes constantes que puede resolverse por métodos rutinarios (Mickley. Cada aleta esta fija a una superficie base de temperatura TS y se extiende hacia un fluido a temperatura T∞. Note que la magnitud del gradiente de temperatura disminuye a medida que aumenta z. teniendo presente que T varía a lo largo de la aleta y que si T∞ es constante d2T/dz2 = d2θ/dz2 la ecuación (1. 1.47 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La forma de ésta distribución de temperaturas se esquematiza en la figura 1. dz y dθ = mθ ⇒ θ = C 2 exp( mz ) dz son soluciones particulares y la solución general es: . donde S es el área superficial medida desde la base hasta z y P es el perímetro de la aleta.34) Para simplificar la forma de ésta ecuación.1.35) 2 dz Esta ecuación es una ecuación diferencial lineal. la ecuación (1. Suponiendo k constante y con dS = P⋅dz. 36) puede expresarse como θ = C3 cosh(mz) + C4 senh(mz) (1. Está transfiriendo calor por convección al fluido de los alrededores.40) Esta condición para el extremo corresponde a la suposición de que las pérdidas convectivas desde el extremo de la aleta son despreciables en cuyo caso el extremo puede ser tratado como adiabático. sabiendo que: senh(mz) = ½(emz – e−mz) . T = T∞. iv. se acepta tomando la altura efectiva como Lef = L + t/2 y Lef = L + D/4 para cilindros (ver figura 1. (1.36) También. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento θ = C1 exp(mz) + C2 exp(−mz) (1. T = TL. constante y conocida. Esta condición límite parece irrealista pues correspondería a extremos aislados lo que no es lógico si lo que se quiere es disipar calor. es decir: (dθ/dz)z=L= 0 (1. la velocidad a la cual la energía es transferida al fluido por convección desde el extremo debe ser igual a la velocidad con la cual la energía alcanza el extremo por conducción a través de la aleta: − kAz(dθ/dz)z=L = hLAzθL.39) ii.37) o también θ = C5 cosh[m(L−z)] + C6 senh[m(L−z)] (1. θ = TS − T∞ = θS En el otro extremo. cosh(mz) = ½(emz + e−mz) la solución (1. Como la aleta es delgada podríamos despreciar las pérdidas en su extremo. z = L. Para z = L.42) . puede considerarse una de las condiciones siguientes: i. Esto es.19). θL = TL − T∞ (1. es decir para z = ∞.41) (1. su extremo L estará en equilibrio con el medio. La condición límite de la base no tiene discusión y puede considerarse que para: z = 0. T = TS.38) Las constantes Ci deben calcularse con la ayuda de condiciones límites aceptables. Si la varilla tiene longitud infinita.48 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Sin embargo. iii. contenido en el parámetro m. extremo convectivo. h.43) debe entonces coincidir con la solución para el extremo adiabático (1.43) Si la transferencia de calor en el extremo de la aleta es despreciable. Para z = L. la temperatura en exceso del borde es: θL 1 = θ S cosh[ mL] + (hL / mk ) senh[ mL] (1.44) Calor total transferido por la aleta: De la figura 1. Nótese también que el coeficiente de transferencia de la superficie lateral. dθ dz = − m[C 5 Senh[m( L − z )] + C 6 Cosh[m( L − z )]]z = L = − z=L hLθ L k como senh 0 = 0 y cosh 0 =1 ⇒ kC6m = hLθL determinando C6 y C5 se obtiene: T − T∞ cosh[ m( L − z )] + (hL / mk ) senh[ m( L − z )] θ = = θ S TS − T∞ cosh[ mL] + (hL / mk ) senh[ mL] (1. no necesariamente es el mismo que el coeficiente hL del borde de la aleta.39) θ = C5cosh[m(L−z)] + C6senh[m(L−z)] Aplicando condiciones límite: Para z = 0. la conservación de la energía establece que la velocidad a la cual el calor es transferido por convección desde la aleta debe ser igual a la velocidad a la cual es conducido a través de la base de la misma. la formulación alternativa .45) Sin embargo. QS = − kS (dT/dz)z=0. se tiene hL = 0 y la ecuación (1. y ambos usan la distribución de temperaturas. El procedimiento más simple es aplicar la ley de Fourier en la base de la aleta.19 es evidente que el calor transferido puede evaluarse en dos caminos alternativos. Consecuentemente. θS = C5cosh (mL) + C6senh (mL) Para z = L. ecuación 1. Así el calor que fluye a través de la base en z = 0 QS = mkAθ S hL / mk + tanh(mL) 1 + (hL / mk )tanh(mL) (1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Solución general: (Caso i.49 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.40). La velocidad de flujo es 20 m/s. Para z = 0.36): θ exp(mz ) exp(−mz) cosh[m( L − z )] = + = θ S 1 + exp(2mL) 1 + exp(−2ml ) cosh(mL) (1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Q f = ∫ h[T ( z ) − T∞ ]dS = ∫ hθ ( z ) dS = Q S S S EJEMPLO 1.40) y manejando los resultados adecuadamente. La diferencia de temperatura en el extremo de la varilla (z = L) es: T −T θ L = TL − T∞ = S ∞ (1.20). la pared del conducto puede estar a una temperatura inferior a la del fluido interno y fluirá calor por conducción desde el portatermómetro hacia la pared del conducto. θ’L = mC1exp(mL) − mC2exp(− mL) Resolviendo y reemplazando en (1. Determinar la longitud del receptáculo que se necesitaría para .38).47a) Para ilustrar el caso que nos ocupa demos las siguientes dimensiones al conducto y al portatermómetro.50 cm.6.50 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Se mide la temperatura de un fluido que avanza en el interior de un conducto circular por medio de un termómetro colocado dentro de una cavidad o portatermómetro cilíndrico soldado en el interior de la pared del tubo como se muestra en la figura (1. Este error puede calcularse resolviendo la ecuación (1.47) cosh(mL) El flujo de calor a través de la base de la barra (z = 0) es: QS = −kAS dθ dz z =0 ⎡ senh[m( L − z )] ⎤ = mkASθ S ⎢ ⎥ = θS ⎣ cosh(mL) ⎦ z =0 (PhkAS )tanh(mL) (1. Solución.35) con la condición límite (1. podría entonces estar más frío que el fluido. Si la temperatura del fluido es alta y difiere bastante de la temperatura externa. para z = L. y la temperatura indicada no sería la verdadera temperatura. El tubo tiene 10 cm de diámetro y por él fluye vapor de agua sobrecalentado. θS = C1 + C2. donde el bulbo del termómetro (o la unión de la termocupla) está colocado. El extremo del mismo. El vapor está a presión de 1 kg/cm2 y su temperatura es de 315 °C. el portatermómetro es de hierro y tiene diámetro D = 1.46) A este resultado se llega más fácilmente si se parte de la correlación (1. y el coeficiente de convección es h = 15 W/m2. el coeficiente convectivo entre el vapor y el conducto es de h = 105 W/m2K.005 θ S TS − T∞ o sea. −1 m = (hP/kAz)½ = (h/ke)½ = [(105)(100)/((55)(0.7)x100 = 13. El perímetro es sólo πD = P. Si la pared del receptorio tiene espesor e = 0. es decir. será necesario colocarlo oblicuamente con respecto al eje del conducto. La varilla está soldada a la pared del horno y se usa como soporte para cargar cables de instrumentación. la longitud del portatermómetro será: L ≥ (5.1))]1/2 = 43.K (Perry).7 m Se requiere que θ L TL − T∞ = ≤ 0. Calculando. To.5)(0. a) Derive una expresión para la temperatura de la superficie expuesta To como función de los parámetros térmicos y geométricos establecidos.71 cm.1 cm el área transversal para el flujo de calor por conducción en el mismo será: Az = πDe = (π)(1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento producir un error en la medida de la temperatura que sea inferior al 0.99/43. EJEMPLO 1. Para evitar que se dañen los cables.7.005 ⇒ cosh(mL) ≥ 200 ⇒ mL ≥ 5.99. La temperatura del aire ambiental es T∞ = 25°C.47): 1/[cosh(mL)] ≤ 0.K sobresale normalmente de la pared de un horno que está a Tw = 200°C y está cubierta (la pared) de un aislante de espesor Lais = 200 mm. la temperatura de la varilla en la superficie expuesta. La conductividad térmica del hierro es k = 55 W/m. La varilla tiene una longitud expuesta Lo y su punta está bien aislada. Una varilla de diámetro D = 25 mm y conductividad térmica k = 60 W/m.5% de la diferencia entre la temperatura del vapor y la temperatura de la pared del conducto. por la ecuación (1.51 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Como esta longitud es mayor que el diámetro del tubo. debe mantenerse por debajo de un límite de operación específico de Tmax = 100°C.1) cm2. La radiación térmica entre la pared del conducto y el portatermómetro puede inducir un error adicional en la medición de la temperatura. .K. Esta última condición es satisfecha trivialmente para k = 0. Rendimiento de las aletas. ¿qué parámetros de diseño cambiaría? Considere otro material.21o C > 100 o C 0.2 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 0.1473 Si se usa un material de conductividad térmica menor que 43 W/m.45) y considerando que los factores k. Es muy importante poder reconocer las condiciones para las cuales es ventajoso colocar álabes en una superficie.025 ⎠ = 25 × 0.52 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. se hace cero cuando el numerador es cero ó el denominador se hace infinito.0252 ⎥⎦ 4 × 0. D = 25 mm Tomax =100°C k = 60 W/mK T∞ = 25°C Tw = 200°C h = 15 W/m2 K Lais = 200 mm To = ? θS = (To − T∞) ⎛ hP ⎞ kAz (Tw − To ) Lo ⎟⎟ = a) Q z = hPkAz (T0 − T∞ ) tgh⎜⎜ kA Lais z ⎠ ⎝ ⎡ ⎡ ⎞ kA ⎤ ⎞⎤ ⎛ hP ⎛ hP kA To ⎢ hPkAz tgh⎜⎜ Lo ⎟⎟ + z ⎥ = T∞ ⎢ hPkAz tgh⎜⎜ Lo ⎟⎟⎥ + Tw z Lais ⎠ L ais ⎦⎥ ⎠⎥⎦ ⎝ kAz ⎝ kAz ⎣⎢ ⎣⎢ b) T = o ⎡ 15× π × 0. El resultado de la diferenciación. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento b) ¿Una varilla con Lo = 200 mm cumplirá con el límite de operación especificado? Si no.025× 60 × π × 0.2 4 ⎢⎣ (25)⎢ ⎡ ⎞ 15 × π × 0. aumentar la longitud Lo no es suficiente por sí sola pues la tangente hiperbólica alcanza rápidamente su valor límite de la unidad.1588 + 200 × 0. Az.k) + tanh(mL)][(hL/k)/cosh2(mL)] = 0 .0252 Lo ⎥ + tgh 60 × π × 0.0252 15× π × 0.2. Solución. (f/g)' = (gf' − fg')/g2. El límite está dado por la relación (dQS/dL) = 0.025 tgh⎜⎜ 0.1473 = 109.K o se aumenta el espesor del aislante por encima de 250 mm se alcanzan las condiciones estipuladas. considere cómo unir la base de la varilla a la pared del horno como un medio para reducir To. aumente el espesor del aislante y la longitud de la varilla. Aunque son varios los puntos de vista que se podrían tener en cuenta. Sin embargo. Considerando el numerador: [1+(hL/m.0252 ⎤ ⎛ 1 2 3 Lo ⎟⎟ + ⎥ ⎢ 225× π × 0. 1. Usando la expresión (1. m y θS son constantes. basta con diferenciar la parte fraccionaria de la ecuación.k) tanh(mL)][m/cosh2(mL)] − [(h2/m. Además.7.1588 + 0. el primero es determinar cuando se incrementaría el flujo de calor utilizando aletas.025× 4 ⎤ 200× 60 × π × 0. lo que nos da una manera de probar si la altura óptima se ha obtenido.419 ⎜ ⎟ (t / 2) ⎝ ht ⎠ y el exceso de temperatura en el extremo es θL = 0. Eficacia de la aleta.53 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Remplazando m por su valor y haciendo h = hL: 2k/ht·= 1 ó 1/h·= (t/2)/k El término izquierdo corresponde a la resistencia convectiva y el de la derecha a la resistencia térmica por conducción de una pared plana de espesor igual a la mitad del espesor de la aleta.457 θS. Se pueden definir dos maneras de calcular el rendimiento de una aleta: 1) Eficiencia con respecto al área de la base sin aleta o efectividad εf. la aleta misma representa una resistencia conductiva a la transferencia de calor desde la superficie original. Sabemos que las aletas se utilizan para aumentar la transferencia de calor desde una superficie aumentando el área superficial efectiva. Sin embargo. En la práctica se sugiere utilizar superficies alabeadas siempre y cuando se cumpla que 2k/ht > 5. y 2)Eficiencia relativa a una aleta similar de conductividad térmica infinita.49) 1. Para aletas de sección transversal constante. no hay seguridad de que la velocidad de transferencia de calor pueda aumentarse con . de tal manera que: ηf = θ S PhkAz tanh(mL) tanh(mL) = hLPθ S mL (1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento que se simplifica a [m − (hL2/m.k2)] = 0. Cuando ambas resistencias son iguales se alcanza el límite más allá del cual las aletas son inútiles.5 ⎛ kP ⎞ ⎟⎟ tanh(mL) = ⎜⎜ (1. Por ésta razón.1. para el caso (1) el calor que la base transmitiría sin la aleta Qs = hAzθS.7.48) εf = hAzθ S ⎝ hAz ⎠ En el caso (2). la conductividad infinita equivale a que toda la aleta se encuentre a temperatura uniforme e igual a la de la base. También se puede demostrar (Eckert) que el flujo máximo de calor a través de una aleta rectangular de un peso dado se obtiene cuando: L ⎛ 2k ⎞ = 1. y la eficacia sería. ηf. usando condiciones límite (ii): θS (PhkAz ) tanh(mL) 0.2. sin embargo.48) con tanh ∞ = 1): ⎛ kP ε f = ⎜⎜ ⎝ hAz ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0.98. Para cualquier diseño racional el valor de la eficacia debe ser lo más grande posible. También la expresión sugiere que las aletas se justifican en condiciones para las cuales el coeficiente convectivo h es pequeño. . Por lo tanto no tiene mayor sentido aumentar la longitud de las aletas mas allá de L = 2. y en general. La eficacia de la aleta es también aumentada aumentando la relación del perímetro al área transversal.50) hAzθ S donde Az es el área transversal de la base de la aleta.3. es preferido. que es el de menor coeficiente convectivo.L = 2. Aunque la instalación de aletas puede alterar el coeficiente convectivo superficial. εf = Qf (1. Por ésta razón el uso de aletas delgadas pero muy poco espaciadas. las aleaciones de aluminio son la elección más común debido a los beneficios adicionales relativos a un menor costo y peso. Cuando consideramos una aleta adiabática observamos que tanh(2. la eficacia de la aleta se aumenta por la selección de un material de alta conductividad térmica.3) = 0. es decir que el 98% del máximo calor posible se alcanza para m. el uso de aletas puede difícilmente justificarse a menos que εf ≥ 2. generalmente se colocan en el lado del gas. Si las aletas van a usarse en una superficie que separa un gas y un líquido. suponiendo que el coeficiente convectivo de la superficie con aletas es equivalente al de la base sin aletas. el cual se alcanza cuando L se aproxima al infinito.51) Varias tendencias importantes pueden inferirse de éste resultado. De aquí. reduciendo el coeficiente convectivo. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento el uso de aletas. Esta ecuación (1. Esto se define como la relación de la transferencia de calor desde la aleta a la transferencia de calor que existiría sin la aleta. Aleaciones de aluminio y cobre vienen a la mente.48) nos da además un límite mayor para la efectividad.5 (1. Un aseguramiento de ésta situación puede hacerse evaluando la eficacia de la aleta. se sigue de la aproximación de la aleta infinita (ecuación (1.54 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Es evidente que la necesidad de aletas es mayor cuando el fluido es un gas que cuando es un líquido y particularmente cuando la superficie transfiere calor por convección libre. con la previsión de que el espacio entre las aletas no se reduzca a un valor para el cual el flujo entre las aletas es severamente impedido.3/m. Obviamente. este efecto normalmente se desprecia. aunque el cobre es superior desde el punto de vista de la conductividad térmica. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento .55 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 49) nos da la eficiencia para una aleta de sección transversal uniforme y borde adiabático. es decir w >> t.0625 = (1/16). y usando un área corregida para el perfil AP = LCt: ⎛ Ph mLC = ⎜⎜ ⎝ kAz ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1/ 2 ⎛ 2h ⎞ LC = ⎜ ⎟ ⎝ kt ⎠ 1/ 2 ⎛ 2h LC = ⎜⎜ ⎝ kAP ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1/ 2 L3C/ 2 Con frecuencia. Esta expresión es suficientemente aproximada para extremos convectivos si corregimos la longitud usando LC = L + t/2 en aletas rectangulares y para aletas en forma de clavo o espina LC = L + D/4. Si el ancho de una aleta rectangular es mucho mayor que su espesor.22.7. se expresa la eficiencia de una aleta recta con convección en el extremo como función del parámetro LC3/2(h/kAP)1/2. .2. el perímetro puede aproximarse por P = 2w. cuando L se aproxima a 0 e ∞ respectivamente. La expresión (1. El error asociado con esta aproximación es despreciable si ht/k o hD/2k ≤ 0. Este valor se aproxima a sus máximo y mínimo valores de 1 y 0.2. como se observa en la figura 1. Eficiencia de las aletas.56 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1. decreciendo a medida que la longitud aumenta.57 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1.54) Debido a que la temperatura de la aleta debe permanecer en un valor finito cuando z = 0 la constante de integración C2 debe ser cero pues K0(0) → ∞ mientras I0(0) = 1. Al tratar de encontrar la aleta óptima se puede preguntar si se gana algo cambiando el área seccional de la aleta.3. r = 0.7. La ecuación (1. y el área de la superficie en contacto con el aire dS = 2wdz/cosγ. d = − ξ.52) El área transversal puede expresarse en cualquier punto como el producto ew siendo e el espesor que varía linealmente con z desde cero hasta t: e = (tz/L) y Az = tw (z/L). c = 0. La solución es entonces θ = C1 I0[(2 (ξz)½] + C2 K0[(2 (ξz)½] (1.53) 2 dz z dz z donde ξ = 2hL/ktcosγ. Aletas rectas de perfil triangular. b = 0.1. s = 1/2.3. la ecuación (1. El tratamiento matemático es similar al de las aletas rectangulares excepto en que el área perpendicular al flujo de calor es función de la distancia a lo largo de la aleta. Considerando conductividad y coeficiente convectivo constantes. de rectangular. Aletas de área transversal variable.33) se escribe: d ⎡ dT ⎤ hdS = (T − T∞ ) Az dz ⎢⎣ dz ⎥⎦ kdz (1. Introduciendo en la ecuación (1. y θ = (T − T∞). 1. Vamos a considerar aletas rectas de perfil triangular (figura 1.7.52): θ d 2θ 1 dθ + −ξ = 0 (1.23). p = 0. a otra forma. Reemplazando en (1. La otra condición límite se refiere a la temperatura en la base de la aleta: θ = θs para z = L.54) podemos determinar la otra constante: .53) es una ecuación de Bessel modificada. Para compararla con la ecuación generalizada que se presenta en el apéndice correspondiente la escribimos como: d 2θ dθ z +z − ξ zθ = 0 2 dz dz 2 Encontramos que a = 1. siendo γ la mitad del ángulo subtendido por la aleta. 3.55) El flujo de calor se determina de la ley de conducción de Fourier y la primera derivada de la ecuación (1. recordando que la derivada de la función modificada de Bessel de orden cero y primera clase I0(z) es I1(z): QS = ktw dθ dz = w 2hktθ S z =L I1 ( 2 ξ L ) I 0 (2 ξ L ) (1. R el radio de su base y L la altura . El peso ahorrado usando aletas triangulares es del 44 %.7.277 θs. t/2 ⎝ ht ⎠ La temperatura de exceso en el borde del alabe es θL = 0.58 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la distancia desde su ápice hacia la base: r = Rz/L.55).33): d ⎡ dT ⎤ dS + h (T − T∞ ) = 0 − kAz ⎢ ⎥ dz ⎣ dz ⎦ dz Az = πr2. Sin embargo. El área lateral dS = 2πr(dz/cosγ) = 2π(Rz/L)(dz/cosγ) con γ igual a la mitad del ángulo subtendido por el cono. 1. Se encuentra en la literatura (Eckert y Drake) que las aletas de mínimo peso deben tener perfiles construidos con arcos de circunferencia. Aletas cónicas. Son aletas tipo clavo de sección transversal variable. Partiendo de la ecuación (1. la diferencia en peso con respecto a los alabes de perfil triangular es muy pequeña y como la forma triangular es más sencilla de manufacturar. se puede considerar la mejor forma.309⎜ ⎟ .56) La máxima transferencia se obtiene cuando: 1 ⎛ 2k ⎞ = 1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento C1 = θS I 0 [2 ξ L ] La expresión final para la distribución de temperaturas se convierte en: θ I 0 [2 ξ z ] = θ S I 0 [2 ξ L ] (1.2. r varía linealmente con z. θ = θS.59 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. c = 0. En la base de la aleta. b = 0. cuando z = L. Comparando con la solución generalizada de la función Bessel (ver apéndice) observamos que se satisface si a = 2.Y . Reemplazando estos valores obtenemos p = 1. Con esta condición C1 = θS L I1 2 ξL ( θ ⎛L⎞ =⎜ ⎟ θS ⎝ z ⎠ 1/ 2 ) y el perfil de temperatura viene dado por ( I (2 ) ξ L) I1 2 ξ z 1 Para hallar el flujo de calor desde la aleta y posteriormente su eficiencia nos basamos en ⎧⎪− αx − p Z p +1 (αx) d −p x Z p (αx) = ⎨ − p dx ⎪⎩αx Z p +1 (αx) [ ] Z = J . encontramos la eficiencia de la aleta cónica: .5/s imaginario por lo cual la solución será θ = z−1/2´{C1 I1[(2 (ξz)½] + C2 K1[(2 (ξz)½]} Como K1(0) → ∞ y la temperatura debe tener valores finitos en todos sus puntos C2 = 0. Reemplazando en la ecuación del balance. diferenciando el producto y simplificando z2 d 2θ dθ + 2z − ξ zθ = 0 2 dz dz donde ξ = 2hL/kRcosγ y θ = (T − T∞). s = 1/2. r = 0. K Z=I Haciendo α = 2ξ1/2 y x = z1/2 ⇒ dx/dz = (1/2)z−1/2 y: ( ) z −1/ 2 I1 2 ξ z = x −1 I1 (αx ) dθ ⎛L⎞ = 2θ S ξ ⎜ ⎟ dz ⎝z⎠ 1/ 2 ( ( ) ) I2 2 ξ z ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ I1 2 ξ L ⎣ 2 z ⎦ Teniendo presente que el calor disipado por una aleta ideal (que tiene la temperatura de su superficie a la temperatura de la base TS) es Qif = hAfθS y aplicando la ley de Fourier para determinar el calor QS disipado desde la aleta real a través de su base ubicada en z = L. d = −ξ. d0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento del mismo. Aleta de enfriamiento por convección natural. Se hallan otras formas de aletas.4. por ejemplo por un ventilador. Para una aleta de enfriamiento esto significa que h en la ecuación (1. pero en general el calor transferido se puede calcular usando diagramas de eficiencias. es decir.34) no será constante. su movimiento será por convección natural.34) todavía es válida puesto que el balance de . pues los gradientes de temperatura cerca a la base serán mayores que en el extremo de la aleta donde la temperatura de ésta está más cercana a la del aire. Si volvemos a analizar el comportamiento de la aleta considerando h variable observamos que la ecuación (1.60 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. será función de los gradientes de densidad o indirectamente de ∆T. Existen muchas correlaciones que proveen h en función de ∆Tn. Si el aire en contacto con la aleta no está forzado a moverse. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛ ⎞ 2h ⎜2 ⎟ I L 2 QS 2kπR 2θ S 2hL / Rk cos γ ⎜⎝ Rk cos γ ⎟⎠ = η= Qif ⎛ ⎞ 2 L hπR(L / cos γ )θ S 2h I1 ⎜⎜ 2 L ⎟⎟ ⎝ Rk cos γ ⎠ ( ) Simplificando η= ⎛ ⎞ 2h I 2 ⎜⎜ 2 L ⎟⎟ 2 ⎝ Rk cos γ ⎠ ⎛ ⎞ 2h 2h L I1 ⎜ 2 L ⎟⎟ ⎜ Rk cos γ ⎝ Rk cos γ ⎠ Debe notarse que si L >> R. La transferencia de calor total desde una superficie con aletas se encuentra sumando el calor transferido desde la superficie de las aletas y el calor transferido desde la superficie libre de aletas AS así: QT = NηfhAfθS + hASθS. h. Entonces. comunes en los libros de transferencia de calor y en manuales. En la tabla 6 del apéndice sobre coeficientes convectivos. cosγ → 1. el coeficiente de proporcionalidad en la “ley de Newton del enfriamiento” que depende de las propiedades y dinámica del fluido. su movimiento se originará en las diferencias de densidad causadas por las diferencias de temperatura.7. Aquí se supone que el coeficiente convectivo es igual para la superficie con aletas que para la sin aletas. 1. N es el número de aletas y ηf y Af es la eficiencia y el área superficial de una aleta respectivamente. se observa que un valor típico para convección natural laminar es de n = ¼. La conductividad térmica puede suponerse constante en 380 W/m. y el extremo inferior a 0 °C.6 °C. Uno de sus extremos se mantiene al punto de ebullición normal del tolueno. EJERCICIOS. El otro extremo se fija a un bloque de hielo. La conducción longitudinal en la barra es de estado estable. El número de gramos de hielo que se funden en 30 minutos. Existen paquetes de software poderosos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales como esta.T∞)0.K. La cantidad de calor transferido en J/s. El trabajador mantuvo el extremo superior del tubo a 10 °C. La conductividad térmica del vidrio es 0. Sin embargo. De New Brunswick. Este Software. Un trabajador desea medir la conductividad térmica de la tubería utilizada en un proceso. Tenemos un cilindro de vidrio de 1. como herramienta de productividad y aprendizaje denominado Interactive Heat Transfer (IHT).2 Btu/h desde la parte superior a la parte .7 cal/g. desarrollado en colaboración con Intel. Encontró que se transfirieron 3.K. 1.61 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. b. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento energía se tomó alrededor de un elemento de volumen diferencial donde las propiedades son constantes. Otro es el paquete de cómputo basado en Windows desarrollado para los textos “Fundamentals of Heat and Mass Transfer” e “Introduction to Heat Transfer” de Incropera y De Witt (cuarta y tercera edición respectivamente). Calcule el flujo de calor en estado estable a través de un bloque de cobre de 10 cm de espesor. Una pequeña muestra de la tubería se aisló tanto en su interior como en su exterior. New Jersey.25 donde C es la constante de proporcionalidad. Encuentre: a. 2. d 2T Ph − (T − T∞ ) = 0 dz 2 kAz Tomando h = C(T . Uno fácilmente disponible es el ODE en Matlab. está integrado con estos textos. Pro. 3. 110. d 2T PhC − (T − T∞ )1. Inc. al resolverla debemos tener en cuenta la variación de h.3 mm de diámetro y 1 m de longitud.86 W/m. El calor de fusión del hielo es 79. un lado del cual se mantiene a 0 °C mientras el otro se mantiene a 100 °C. Suponga que no se pierde calor desde la superficie expuesta de la barra. usando la misma metodología y nomenclatura.25 = 0 kAz dz 2 Esta ecuación diferencial ya no es lineal y generalmente será necesario usar técnicas numéricas para resolverla. m2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento inferior midiendo la cantidad de hielo que se derritió en un tiempo determinado. se aplica una capa plana de un material aislante cuya conductividad calorífica es k = 0.m2 y las temperaturas de las caras interna y externa del aislante son de 1225 y 345 K. El flujo de calor en la superficie interna. Coeficiente externo h = 41. y mejorar así su rendimiento. b.87 kJ/h. La distribución de temperatura en el mismo. y la temperatura de los alrededores permanece constante e igual a 293 K. determinar: a. Determinar: a.067 pl. El espesor del aislante utilizado.K. Se desea aislar térmicamente un tubo por el que circula vapor de agua saturado. Datos: Tvap H2O = 393 K.m. Una varilla de estaño de 100 mm de longitud y 5 mm de diámetro se extiende horizontalmente de un molde a 200 °C. La distribución de temperaturas en la pared cerámica (analítica y gráficamente).418 kJ/h. 50 y 100 mm del molde? kSn = 59 W/m. Las características de esta tubería son: diámetro interior 2. La varilla está en un aire ambiental con T∞ = 20°C y h = 30 W/m2 K. cédula 40. Las paredes de un horno esférico de un metro de diámetro interno están formadas por una capa de material cerámico de 10 cm de espesor. respectivamente. Determine la conductividad térmica. Las temperaturas de las superficies interna y externa de la pared se mantienen constantes a 373 y 353 K. El caudal de calor transferido. El tubo era de 2 plg. espesor de la pared 0. Grafíquela.435 kJ/h m K.154 pl. con objeto de evitar en lo posible pérdidas de calor y condensaciones.. En caso afirmativo determine: a. ¿Cuál es la temperatura de la varilla a 25. Diámetro externo del tubo 0. Desprecie la resistencia de la pared del tubo. 8. Considere una pared de cobre (k = 375 W/m. b.K 5.m. A fin de reducir las pérdidas de calor a través de la pared vertical de la cámara de combustión de un horno.01 m. respectivamente. bajo condiciones de estado estable.) de 1 cm de espesor la cual está expuesta por una de sus superficies a vapor de agua condensándose (h = 10000 W/m2K) . 7.62 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Si estas pérdidas de calor se reducen a 7550 kJ/h.K. Datos: Conductividad calorífica de la pared de cerámica k = 8. 4.4 kJ/h. 6.K. y 5 pl. El caudal de calor máximo perdido con el espesor crítico. El material aislante tiene conductividad calorífica k = 0. b. c.K. Si el coeficiente de transmisión de calor externo para todo el tubo aislado puede suponerse independiente del diámetro externo del mismo. Haga un gráfico de espesor contra flujo de calor. ¿es posible que en algún momento el incremento de espesor del aislante aumente las pérdidas de calor?. de longitud. El espesor crítico del aislante. cobre plástico -1 k (cal/s.60 m de espesor se mantienen constantes a 773 K y 323 K. Las dimensiones del cono trunco son 0. Se instaló una cuña cónica de cobre en una pared aislada.cm) 0. 10.42[0. b. respectivamente. Un alambre de cobre de 1.454 + 0.1 pie.°F.1x10 0.s. La otra superficie está en contacto con aire ambiente (h = 5 W/m2K) a una temperatura de 25 °C. El calor disipado. El coeficiente de transferencia de calor desde la superficie exterior del plástico hacia los alrededores es 2. Si se invierten los valores anteriores. Determine las pérdidas de calor a través de esta cuña si a. La distribución de temperaturas en la barra. Demuestre que en este caso q = kma (T1 . 9. determine el flujo de calor en la superficie del mismo así como su temperatura máxima.5 pie de diámetro menor y 1 pie de diámetro mayor.cm. el perímetro es P. siendo kma la conductividad térmica calculada a la temperatura media aritmética de la pared.K. El material de la pared tiene conductividad calorífica que varía linealmente con la temperatura.04x10−4 cal/cm2. Si el área de sección transversal de la barra es A. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento a una temperatura de 200 °C. Determinar: a.°C. de acuerdo con la expresión k = 0. La temperatura de su cara menor es 70 °F y la de su cara mayor 140 °F.m. Hágalo analítica y gráficamente.5 mm.°C) ke (Ω.0 5 -4 8.T2). en amperios. La diferencia entre ambos valores en dicho punto. Una barra delgada de longitud L tiene sus extremos conectados a dos paredes cuyas temperaturas son T1 y T2 respectivamente. b. b. La barra disipa calor hacia un fluido cuya temperatura es T∞. La distancia entre bases es 1.002T] kJ/h. 12. determine: a. de forma que el diámetro externo del conductor aislado es de 3. a.42 kJ/h. El punto en que diferirá más el perfil real de temperaturas del que existiría si la pared fuera de conductividad calorífica constante e igual a 0.90 5.pie.K. Las temperaturas de las superficies interior y exterior de una pared plana de 0. 11.63 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. b. Calcule el calor por unidad de área transferido a través de la placa. El conductor está expuesto a un ambiente a 18 °C.27x10 A partir del perfil de temperatura en el conductor.5 mm de diámetro está uniformemente aislado con un material plástico.m. Asuma conductividad constante en 15 Btu/hr. su conductividad k y el coeficiente de transferencia de calor es h. . ¿Cual es la máxima corriente. que en régimen estacionario puede conducir este alambre sin que se sobrepase en ninguna parte del plástico el límite de operación de 93 °C? Las conductividades caloríficas y eléctricas pueden considerarse constantes siendo sus valores. Determinar la temperatura en ambas superficies de la pared. 001 W/cm de longitud. El aire fluye a una velocidad tal que el coeficiente convectivo vale 20 Btu/hr. Si la cuña es cilíndrica con diámetro 1. 13. determine la temperatura de estado estable de la ventana cuando la luz del sol llega a la ventana en un ángulo de 45° sexagesimales. Considere un recipiente aislado térmicamente que contiene una pequeña cantidad de agua.96) está inserto en un conducto circular grande. ¿Cuál es la temperatura del gas? b) Si una laminilla de plata (ε = 0. Un termopar de 0. La lectura del termopar es de 150 °C. La constante de Stefan Boltzmann puede tomarse como0. 16. a) Si la temperatura de la superficie es 800 °F y el termómetro marca 300 °F. La luz del sol pasa a través de una ventana de vidrio vertical para la cual la transmisividad es 0. calcular: a. 15. El coeficiente de transferencia de calor en el termopar es igual a 5 W/m2K. que la temperatura efectiva del espacio es del orden de 0 K y que tanto el agua como el espacio se comportan como cuerpos negros. sin embargo. En un lado de la ventana la temperatura del aire es 80°F y en el otro lado es de 30°F.°R4.25 pie.16(∆T)0.pie2. El bulbo del termómetro tiene 0. Estime la temperatura correcta del aire en el horno. Desprecie los efectos bidimensionales y asuma flujo de calor constante. Despreciando todos los efectos térmicos debidos a la rerradiación. Suponga que el coeficiente de transferencia de calor en la superficie del agua es igual a 5 W/m2K. de diámetro y está en el centro del conducto.25 plg.pie2°F. La constante solar es 442 Btu/hr. Un termómetro de vidrio (ε = 0.02.03) se envuelve alrededor del termómetro. calcule la temperatura de equilibrio que alcanza el agua en el recipiente. Los coeficientes convectivos para cada lado de la ventana pueden determinarse a partir de la ecuación simplificada h = 0. que el flujo de calor por radiación que recibe el termopar de las paredes del horno es igual a 0.18 y la reflectividad 0. Determine los perfiles de temperatura en todos los casos. .3 donde ∆T es la diferencia de temperatura en °F entre la ventana y el aire.64 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Se sabe.1714x10−8 Btu/hr. Sabiendo que la temperatura en la superficie exterior del aislante es de 303 K.°F. ¿cuál es la nueva lectura del termómetro? 14. la absortividad 0.pie2 normal a la radiación y de esta energía el 80% alcanza la superficie de la tierra y da sobre la ventana.8 mm de diámetro se emplea para medir la temperatura del aire en un horno eléctrico. Los perfiles de temperatura en el conductor y en el aislante. Si la superficie libre del agua queda expuesta al aire libre durante una noche despejada y la temperatura ambiente es de 40 °C. Por un conductor eléctrico de cobre de 2 cm de diámetro. recubierto por un material aislante de 9 cm de espesor. Suponga que el vidrio de la ventana tiene la misma temperatura en todos los puntos.pie2. y h es el coeficiente convectivo expresado en Btu/hr. 17. circula una corriente eléctrica de 1280 amperios de intensidad.8. en ángulo recto con la pared. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento c. 65 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento b. La temperatura máxima del conductor. El caudal de calor disipado a través de la superficie del conductor por metro de longitud del mismo. Datos: Resistividad eléctrica del conductor ρe = 6.1311x10−6 Ω.m.; Conductividad calorífica del conductor km =1380 kJ/h.m.K.; Conductividad calorífica del aislante ka = 0.60 kJ/h.m.K. 18. Un cono truncado de aluminio mide 2 cm de diámetro en su parte más pequeña, 3 cm de diámetro en su parte más ancha y 10 cm de altura. Si la superficie lateral se encuentra aislada, la temperatura en la superficie de diámetro menor es igual a 300 °C, y la temperatura en la superficie de diámetro mayor es igual a 100 °C, calcule el calor transferido por conducción a través del cono. Suponga que la conductividad térmica del aluminio es igual a 215 W/m.K. 19. Las paredes exteriores de una casa están construidas con una capa de 4 pl. de ladrillo, ½ plg. de celotex, un espacio de aire de 29/8 de plg. y ¼ de pl. de recubrimiento de madera. Si la superficie exterior del ladrillo se encuentra 30 °F y la superficie interior del enchape a 75 °F, cual es el flujo de calor si: a. El espacio de aire se supone transfiere calor solo por conducción?. b. La conductancia equivalente del espacio de aire se toma como 1.8 Btu/hr.pie.°F?. c. El espacio de aire se llena con lana de vidrio?. Las propiedades de los diferentes materiales son: kladrillo= 0.38; kcelotex= 0.028 Btu/hr.pie.°F; kaire= 0.015 Btu/hr.pie.°F; kmadera= 0.12 Btu/hr.pie.°F; klana= 0.025 Btu/hr.pie.°F. Vuelva a resolver este problema si en lugar de conocer las temperaturas superficiales sabemos que las temperaturas del aire afuera y adentro son 30 °F y 75 °F, y los coeficientes convectivos de transferencia de calor son 7 Btu/hr.pie2.°F y 2 Btu/hr.pie2.°F, respectivamente. Cuales son ahora las temperaturas en las superficies exteriores? 20. Una tubería de 1.5 plg de diámetro externo está cubierta con dos capas de aislante, cada una de una pulgada de espesor. La conductividad térmica de uno de los materiales es 5 veces la del otro. Suponiendo que estos valores no cambian con la temperatura, ¿qué diferencia en transferencia de calor habrá porcentualmente si se coloca el material mejor aislante mas cerca o más lejos de la pared? Tome k2 = 5k1 donde el material con k1 es el mejor aislante. La longitud del conducto es L. Deberá hallar[(Qb − Qa)/Qb]x100. Saque conclusiones. 66 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 21. Un alambre metálico no aislado conduce 900 amperios de electricidad. El diámetro del alambre es 0.50 plg y su conductividad térmica es 10 Btu/hr.pie.°F. La resistencia al flujo de la electricidad es 0.00015 ohmio por cada pie de longitud. Si el coeficiente convectivo en la superficie es 6.0 Btu/hr.pie2.°F y la temperatura ambiente es 65 °F, calcule la temperatura en el centro del alambre. 22. Una chimenea de 3 pies de diámetro contiene un gas con 5% de CO2 a 2000 °F y una atm de presión total. El coeficiente convectivo entre el gas y la superficie refractaria es 1.5 Btu/hr.pie2.°F. Si la superficie está a 1900 °F y tiene emisividad 0.8, calcule el calor transferido por radiación y convección entre el gas y la superficie. 23. Una barra larga pasa a través de la abertura de un horno con temperatura 400 °C y está presionada firmemente contra una superficie sólida. Termocuplas colocadas a 25 y 120 mm de ésta superficie registran temperaturas de 325 y 375 °C respectivamente. Cuál es la temperatura de la superficie? Asuma coeficiente convectivo h = 10 W/m2.K. La conductividad térmica de la barra es 200 W/m.K. 24. Considere una superficie extendida de sección transversal rectangular con las siguientes dimensiones: longitud igual a 3.5 cm, ancho igual a 3.0 cm y espesor igual a 0.2 cm. Si la aleta es de aluminio (k = 205 W/m.K.), el coeficiente promedio de transferencia de calor es igual a 600 W/m2K, la temperatura en la base es igual a 135 °C y la temperatura del aire ambiente es igual a 40 °C, calcule el calor disipado por la aleta. 25. Un extremo de una barra de cobre muy larga se conecta con una pared que tiene temperatura de 400 °F, mientras que el otro extremo asoma hacía un cuarto cuya temperatura es de 70 °F. a. Estime el calor perdido por la barra si ésta tiene 1/4 de pulgada de diámetro y si el coeficiente de transferencia de calor entre su superficie y el aire que la rodea es igual a 5 Btu/h.pie2 °F. b. Trabaje de nuevo el problema anterior para el caso de la aleta con extremidad aislada. Considere que la longitud de la aleta es de 6 pulgadas. c. Determine la eficiencia la aleta descrita inicialmente, si su longitud fuera de 6 pulgadas. 26. La temperatura de un gas caliente que fluye en una tubería se mide por una termocupla fija al fondo de un portatermómetros colocado perpendicularmente a la pared del tubo. Este portatermómetros penetra 2.5 plg al interior de la tubería y el espesor de su pared es de 0.035 plg. Encuentre la temperatura del gas si la termocupla marca 375 °F cuando la temperatura de la pared es 175 °F. La conductividad térmica del material del portatermómetros es 200 Btu/hr.pie.°F y el coeficiente convectivo con el gas es 24 Btu/hr.pie2.°F. Nota: Observe que la termocupla no indica la temperatura correcta del gas debido a la conducción de calor a lo largo del portatermómetro hacia la pared del tubo más fría. 67 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 27. Compare las velocidades de transferencia de calor a través de una muestra de madera de pino blanco cuando la transferencia es transversal a la fibra y cuando es paralela a la fibra. La conductividad térmica para el primer caso es 0.087 Btu/h.pie.°F y para el segundo caso 0.20 Btu/h.pie.°F. 28. Una varilla cilíndrica muy larga, de 3 cm de diámetro, está parcialmente inserta en un horno con uno de sus extremos expuesto al aire de los alrededores, el que se encuentra a 300 K. Las temperaturas medidas en dos puntos distanciados 7.6 cm son 399 K y 365 K, respectivamente. Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor es h = 17 W/m2.K, determine la conductividad térmica del material de la varilla. 29. El elemento combustible de un reactor nuclear de fisión está formado por barras cilíndricas de 0.1 m de diámetro recubiertas por una vaina de una aleación de aluminio de 0.01 m de espesor. La energía producida por unidad de volumen y tiempo en el interior de la barra combustible se puede expresar de forma aproximada mediante la ecuación: 2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ 7 Φ HN = 5 x10 ⎢1 − 0.5⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 0.05 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ siendo ΦΗΝ la energía producida por unidad de volumen y tiempo en kJ/h.m3, y r la distancia al centro de la barra combustible en metros. Calcular la temperatura máxima que se alcanza en la barra combustible, si la superficie externa de la barra de aluminio está en contacto con un líquido refrigerante a 573 K. El coeficiente convectivo hacia el líquido refrigerante es h = 2.1x104 kJ/h.m2.K, la conductividad calorífica del elemento combustible kf = 84 kJ/h.m.K y la conductividad calorífica de la vaina que rodea el elemento combustible cilíndrico es km = 750 kJ/h.m.K. 30. Se genera calor en el interior de una partícula esférica de catalizador debido a una reacción química. La partícula, de 8 mm de diámetro, tiene conductividad térmica igual a 0.003 cal./cm.s.K., y tiene temperatura superficial de 300 °C. La generación de calor decrece linealmente hacia el centro de la partícula debido al decrecimiento en la cantidad de material que reacciona (mayor camino de difusión). La generación está dada por ΦΗ = [(67.5) (r/R)] cal/s.cm3. Suponga que la generación de calor se balancea exactamente con las pérdidas convectivas en la superficie. Determine la distribución de temperaturas y la temperatura máxima. El catalizador tiende a perder actividad por encima de los 700 °C; ¿Se excede esta temperatura? 31. Un conducto circular de 2 pie de longitud y 2 plg de diámetro tiene en su centro una termocupla con superficie 0.3 plg2. Las paredes del conducto están a 200 °F, y la termocupla indica 310 °F. Si el coeficiente convectivo entre la termocupla y el gas del conducto es de 30 Btu/hr.pie2.°F, estime la temperatura real del gas. La emisividad de las paredes del conducto es 0.9 y la de la termocupla 0.6. 68 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 32. Un termopar alojado en el interior de una vaina cilíndrica de acero de 1.3 cm de diámetro externo, 0.25 cm de espesor y 5 cm de longitud, se encuentra instalado en una conducción tal como se ve en la figura. En régimen estacionario la lectura de dicho termopar es 423 K mientras que la de otro fijo a la pared del conducto es de 338 K. Suponiendo que el coeficiente de transmisión de calor entre el vapor y la vaina del termopar es hG = 340 W/m2.K y que la conductividad térmica del acero es km = 45 W/m.K calcule la temperatura del vapor de agua. 33. Se quiere diseñar un calentador de 10 kW usando alambre de Ni - Cr (Nicrom). La temperatura máxima de la superficie del Nicrom será 1650 K. Otros criterios de diseño para el calentador son: mínimo coeficiente convectivo h = 850 W/m2.K; temperatura mínima del aire circundante: 370 K. La resistividad del Nicrom es 110 µΩ.cm y la energía para el calentador está disponible a 12 voltios. a. ¿Qué diámetro de alambre se requiere si el calentador usa un solo trozo de 0.6 m de longitud?. b. ¿Qué longitud de alambre de calibre 14 (BWG 14 ⇒ d = 0.083 plg) se necesita para satisfacer estos criterios de diseño?. c. ¿Cómo se modifican las respuestas anteriores si h = 1150 W/m2.K?. 34. Una pared de un horno (k = 0.5 Btu/h.pie.°F) de 2 pies de espesor se debe aislar con un material aislante (k = 0.05 Btu/h.pie.°F). La temperatura de la superficie interior del horno es de 2600°F. Si la temperatura de la superficie exterior no debe exceder de 100°F para que las pérdidas admisibles de calor sean de 250 Btu/h.pie2, ¿cuál debe ser el espesor requerido del aislante? 35. ¿Cuál es la tasa total de pérdida de calor en Btu/h de un refrigerador de dimensiones interiores 2 por 4 pies, con una capa de 3 pulg. de aislante (k = 0.03 Btu/h.pie.°F) cuando la diferencia de temperatura entre el interior y el exterior es de 50°F? Despreciar las resistencias térmicas del interior y del exterior. Determinar la pérdida de calor por pie cuadrado de la pared de un horno formada por ladrillo refractario (k = 0.6 Btu/h.pie.°F) de un pie de espesor, ladrillo aislante de 1/4 de pie (k = 0.05 Btu/h.pie.°F) y una capa externa de 1/2 pie de ladrillo común (k = 0.4 Btu/h.pie.°F) cuando la diferencia de temperatura entre el interior y el exterior es de 2500°F. Despreciar las resistencias térmicas del interior y del exterior. 36. Los dos extremos de una varilla circular delgada de diámetro D, situados en x = 0 y x = L se mantienen respectivamente a las temperaturas T0 y TL, en tanto que en la varilla se genera calor a una tasa uniforme de Φ0 Btu/h pie3. Obtener una expresión de la distribución de temperatura en la varilla, en el estado estable, para los casos en que a. La superficie lateral de la varilla está aislada. b. La superficie lateral disipa calor por convección hacia un medio a temperatura TL y coeficiente de transferencia de calor h. 69 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 37. Las dos caras de una placa en x = 0 y x = L se mantienen respectivamente a 1as temperaturas uniformes Tl y T2; la conductividad térmica del material varía con la temperatura en la forma k (T ) = k 0 (T 2 − T02 ) en donde k0 y T0 son constantes. a. Encontrar una expresión de la tasa de flujo de calor por unidad de área de la placa. b. Encontrar una expresión de la conductividad térmica media km de la placa. 38. En una varilla circular delgada de longitud L y diámetro D se genera calor a una tasa constante de ΦH Btu/h pie3. Los dos extremos en x = 0 y x = L se mantienen respectivamente a las temperaturas constantes T0 y cero, en tanto que la superficie lateral disipa calor por convección hacia un medio de temperatura cero y coeficiente de transferencia de calor h. a. Deducir la ecuación de energía en estado estable en una dimensión que permita determinar la distribución de temperatura T(x) en la varilla. b. Hallar la expresión de la distribución de temperatura T(x) en la varilla resolviendo la ecuación diferencial anterior. 39. La superficie lateral de una varilla está perfectamente aislada en tanto que sus extremos en x = 0 y x = L se mantienen respectivamente a las temperaturas constantes T1 y T2. El área A de la sección transversal de la varilla es uniforme y la conductividad térmica del material varía con la temperatura de la siguiente forma k(T) = k0(1 + aT) Hallar la expresión de la tasa de transferencia de calor Q a través de la varilla. Calcular la tasa de transferencia de calor por unidad de área cuando k0 = 50 Btu/h.pie.°F, L = 1 pie, α = 2x10−3°R−l, T1 = 700°F y T2 = 100°F. 40. De una pared sobresale una varilla de cobre larga y delgada de k = 220 Btu/h.pie.°F y diámetro D = 1/2 pulg. El extremo de la varilla que está en contacto con la pared se mantiene a 500°F. La superficie lateral de la varilla disipa calor por convección al aire que se encuentra a 100°F y cuyo coeficiente de transferencia de calor es h = 5 Btu/h.pie2.°F. Determinar la tasa de pérdida de calor desde la varilla hacia el aire que la rodea. 41. Un recipiente a presión de un reactor nuclear se puede tratar en forma aproximada como una gran placa plana de espesor L. La superficie interior de la placa en z = 0 está aislada, la superficie exterior en z = L se mantiene a una temperatura uniforme T2; el calentamiento de la placa por rayos gama se puede representar por un término de generación de calor de la forma Φ H ( z ) = Φ 0e −γz en donde Φ0 y γ son constantes y z se mide desde la superficie aislada interior. c. Hallar una expresión de la distribución de temperatura en la placa. d. Determinar la temperatura de la superficie aislada (es decir z = 0) de la placa. e. Determinar el flujo de calor en la superficie exterior, z = L. 70 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 42. En un contenedor cilíndrico largo de pared delgada se empacan desechos radiactivos. Estos generan energía térmica de manera no uniforme de acuerdo con la relación Φ H = Φ 0 1 − (r / R ) 2 donde ΦH es la velocidad local de generación de energía por unidad de volumen, Φ0 es una constante, y R es el radio del contenedor. Las condiciones de estado estable se mantienen sumergiendo el contenedor en un líquido que está a T∞ y proporciona un coeficiente de convección h uniforme. Obtenga una expresión para la velocidad total a la que se genera energía por unidad de longitud del contenedor. Con este resultado obtenga una expresión para la temperatura TS de la pared del contenedor. [ ] 43. Dos varillas de cobre largas de diámetro D = 10 mm se sueldan juntas extremo con extremo; la soldadura tiene un punto de fusión de 650°C. Las varillas están en aire a 25°C con un coeficiente de convección de 10 W/m2 K. ¿Cuál es la potencia mínima de entrada necesaria para efectuar la soldadura? 71 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Capítulo 2. TRANSFERENCIA DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO. 2.1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE MASA. La transferencia de masa por difusión molecular es el tránsito de masa como resultado de una diferencia de concentración en una mezcla. Existen numerosos ejemplos cotidianos de transporte de materia: la difusión de humo y otros contaminantes en la atmósfera; la transferencia de soluto entre las fases de un absorbedor de gas, un extractor o en una torre de enfriamiento; la mezcla del azúcar en un pocillo de tinto; el secado de la ropa (difusión del vapor de agua en el aire); el intercambio de oxígeno - gas carbónico en los pulmones. Supongamos un cristal de permanganato de potasio en un vaso con agua. Las moléculas disueltas del cristal difunden lentamente desde la región de alta concentración en el fondo, tendiendo a convertir uniforme la concentración (Proporcional a la intensidad del color) con el tiempo. Este tipo de difusión se debe al movimiento errático de las moléculas y se denomina difusión molecular. De otra parte, la corriente de humo que sale desde una chimenea en un día con mucho viento, el humo se dispersa en la atmósfera debido a las fluctuaciones de velocidad y dirección del viento: se llama Dispersión o Difusión Turbulenta. Ahora, así como en el transporte de calor, el transporte de masa puede ocurrir tanto por difusión como por convección, esta última representa el transporte de masa que resulta del movimiento global del fluido y la primera el transporte debido a gradientes de concentración. De nuevo, como en transporte de calor, el transporte convectivo de masa consiste de dos tipos: convección forzada, en la que el movimiento es generado por una fuerza externa, y convección libre, un efecto de flotación en el cual el movimiento global se desarrolla naturalmente como consecuencia de cambios de densidad originados en las diferencias de concentración del medio. 2.1.1. Definiciones básicas. La difusión es más compleja que el flujo viscoso o la transmisión de calor debido a la innovación de tener que operar con mezclas. En una mezcla que difunde las velocidades de los componentes individuales son distintas y existen varios métodos adecuados para promediar las velocidades de los componentes con el fin de obtener la velocidad local de la mezcla. La elección de esta velocidad local es necesaria para poder definir las velocidades de difusión. Por lo tanto debemos estudiar con detalle las definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo (no se exponen conceptos físicos nuevos pero se trata de familiarizarnos con estas definiciones). 72 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Adoptamos una regla de notación: cuando se consideran sistemas de dos componentes se especifican las especies A y B. En sistemas de varios componentes se especifican las especies 1, 2, 3, etc., o bien en las discusiones generales se utiliza un subíndice supuesto tal como i, j, k para referir las diferentes especies. Las fórmulas cuya validez se limita a sistemas binarios se identifican fácilmente porque intervienen los subíndices A y B. 2.1.1.1. Concentraciones. La concentración de las especies en un sistema de varios componentes puede expresarse de diversas formas pero nosotros consideramos sólo las cuatro siguientes: Concentración másica volumétrica ρi que es la masa de la especie i por unidad de volumen de solución. Concentración molar ci = ρi/Mi (densidad molar) que es el número de moles de la especie i por unidad de volumen de solución. Mi, peso molecular de la especie i. Fracción másica wi = ρi/ρ es la concentración de masa de la especie i dividida por la densidad total de la solución. Fracción molar xi = ci/c que es la concentración molar de la especie i dividida por la concentración molar de la solución. Frecuentemente usaremos yi en el caso de gases. Para el caso que sea aplicable la ley de los gases perfectos, las presiones parciales son también una medida de la concentración: PT = pA + pB; PTV = nRT; pAV = nART; pBV = nBRT; pA/PT = nA/ (nA + nB) = yA. Aquí n indica número de moles. Mediante la palabra solución se designa una mezcla gaseosa, líquida o sólida que forma una sola fase. Para el caso de sistemas binarios la mutua relación de estas unidades de concentración es ρ = ρA + ρB = densidad de la solución (masa/volumen de solución) ρA = cAMA (masa de A/volumen de solución) wA = ρA/ρ = fracción de masa de A. M = ρ/c peso molecular medio de la mezcla xA + xB = 1; wA + wB = 1; xAMA + xBMB = M = c A M A cB M B ρ A + ρ B ρ + = = c c c c wA /MA + wB /MB = 1/M = (ρA/ρMA) + (ρB/ρMB) = (cA+cB)/ρ = c/ρ la propiedad de transporte.1. pequeña en comparación con las otras dimensiones de la placa.73 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento xA = (wA/MA)/(wA/MA + wB/MB).1b). deben incluirse los gradientes de las otras especies en la ecuación. Dos placas grandes se colocan a una distancia b.1) Aquí DAB. dxA/dwA = [MAMB(wA/MA + wB/MB)2]−1 wA = (xAMA)/(xAMA + xBMB). y que nos dice que la difusión molecular es proporcional al gradiente de concentraciones y que ocurre en el sentido en el cual decrece este. Un análisis riguroso basado en la termodinámica de los procesos irreversibles muestra que el gradiente de potencial correcto no es el gradiente de concentraciones sino el gradiente de potencial químico y que. para mezclas multicomponentes. que mantiene su validez para soluciones binarias diluidas de densidad constante. En el momento t = 0 la placa inferior se humedece completamente en un líquido (digamos agua) y así se mantiene para asegurar que la película de fluido adyacente a la misma conserve una concentración uniforme de vapor del líquido e igual al de saturación a la temperatura y presión del sistema. A medida que transcurre el tiempo la humedad penetra en la película gaseosa hasta que alcanza la placa superior y eventualmente pasado un espacio de tiempo suficientemente grande alcanza el estado estacionario donde el perfil de concentraciones no cambiará más con el tiempo (ver figura 2. es la difusividad másica de la especie A a través de la especie B. Para definir algunos de los términos usados en el estudio de la difusión consideremos un ejemplo simple y de geometría similar al usado en las otras formas de transporte. Primera ley de Fick. . En el experimento que nos ocupa para la película gaseosa completamente estancada se ha encontrado que * J Az = − D AB ∂c A ∂z [moles de A/tiempo. dwA/dxA = MAMB(xAMA + xBMB)−2 2. Esta ecuación es una forma simplificada de la primera ley de Fick de la difusión.2. Sin embargo se acostumbra asumir para mezclas multicomponentes que la especie B representa todos los componentes diferentes de A.área] (2.gel si el vapor es de agua) que garantice que la película de fluido vecina a la placa superior permanece a concentración cero. La placa superior está constituida de un material fuertemente adsorbente (sílica . El aire entre ambas está inicialmente seco y permanece libre de corrientes. la velocidad másica media para una especie de la mezcla de dos componentes podría definirse como: vA = nA /ρA = NA/cA donde NA = nA/MA es la densidad de flujo molar de la especie A. En resumen: n = nA + nB = ρAvA + ρBvB = ρv y también: v = n/ρ = (nA + nB)/(ρA + ρB) = (ρAvA + ρBvB)/ρ = wAvA + wBvB Si consideramos el flujo de las moles más bien que el de la masa podemos definir similarmente una velocidad molar media para la mezcla: . que es lo que ocurre en una mezcla que presenta gradientes de concentración o sea que difunde.área] Si pensamos ahora que el fluido está constituido por dos especies A y B. Su caudal puede expresarse como Q’ = vA en unidades de longitud al cubo por unidad de tiempo. El caudal másico se expresa como m' = ρQ’ con dimensiones de masa por unidad de tiempo. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para el caso en el cual se presentan gradientes de concentración en más de una dirección podemos expresar la ley de Fick haciendo uso del operador nabla (ecuación 1. Si llamamos vA a la velocidad de la especie A con respecto a ejes coordenados estacionarios (la palabra velocidad no expresa aquí la velocidad de una molécula individual de la especie A sino la suma de las velocidades de las moléculas de esta especie comprendidas en un pequeño elemento de volumen.3. Podemos definir entonces la densidad de flujo másico referido a ejes estacionarios como: n = m’/A = ρv [masa/tiempo. donde v es la velocidad másica promedio y A es el área seccional del conducto.1. Por lo tanto.4): JA* = − DAB∇(cA) 2. La velocidad de un conjunto de partículas que se mueven pero mantiene la misma posición relativa entre ellas es la misma de cualquier partícula individual. dividido por el número de dichas moléculas). Pero la velocidad de este conjunto se vuelve confusa si las partículas se mueven con velocidades diferentes. Supongamos un fluido puro que es transportado por un conducto circular de área transversal A. la densidad de flujo másico de la mezcla podría definirse simplemente como n = nA + nB La velocidad de un objeto único es intuitivamente clara.74 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Densidades de flujo. NA = cAvA . Cómo están relacionados JA* y NA?. v* = xAvA + xBvB JA* = cAvA − (cA/c)(cAvA + cBvB) = NA − xA(NA + NB) O sea: NA = JA* + xAN (2. pero también puede estar referido a un plano que avance a la velocidad media local molar v* o másica v.1a) . muy usado en la difusión térmica. y jA = ρA(vA − v) conocida como la densidad de flujo de masa del componente A con respecto a unos ejes que se mueven a la velocidad v. EJEMPLO 2.75 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. También podemos definir jA* = JAMA o densidad de flujo másico referida a la v*. muy usada en difusión ordinaria. JA* = cA(vA − v*) . Estas últimas pueden definirse como densidades de flujo superpuestas al flujo global o densidades de flujo difusionales: JA* = cA(vA − v*) que es la densidad de flujo molar relativa a la v*. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento v* = N/c = (NA + NB)/(cA + cB) = (cAv + cBv)/c = xAvA + xBvB otras relaciones son: (v − v*) = wA(vA − v*) + wB(vB − v*) (v* − v) = xA(vA − v) + xB(vB − v) Observamos pues que las densidades de flujo son magnitudes vectoriales que representan la masa (o los moles) de una especie que cruzan la unidad de área por unidad de tiempo. El movimiento puede estar referido a unas coordenadas estacionarias. y JA = jA/MA denominada densidad de flujo molar referido a la v. Solución.1. En general tratándose de difusión en líquidos sin flujo convectivo neto. (1. No así en gases estancados donde omitirlo puede introducir serios errores en la estimación de los perfiles y las densidades de flujo. ji = ni — win ∑Ni = cv* = N . o en sólidos. existirá una contribución por arrastre cAv* o ρAv según el caso. Recordemos que el balance general para un sistema es: [Velocidad de salida ] − [Velocidad de entrada] + [Velocidad de acumulación = [Velocidad de generación] o abreviadamente: Salida − Entrada + Acumulación = Generación. Podemos observar también que: JA* = NA − xAN. sea diferente de cero.1. Ji* = Ni − xiN Hacemos resaltar el hecho de que en general una densidad de flujo tiene un aporte difusional y uno convectivo.7) El sistema se define como la porción de universo bajo estudio. El resto del universo son los alrededores. JB* = NB − xBN JA* + JB* = N − (xA + xB)N = 0 es decir JA* = − JB* lo que nos indica que la suma de las densidades molares de difusión relativas a la velocidad media molar en cualquier mezcla es cero. Balances de materia. mientras la densidad de flujo total N. El sistema puede ser una cantidad específica de materia o de volumen .76 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. concentración y/o velocidad dentro de un medio. ∑Ji* = 0 . En general: ∑ni = ρv = n . El tema de fenómenos de transporte está íntimamente ligado con la predicción de variaciones de temperatura. este término puede despreciarse. Para obtener estos perfiles se utilizan dos conjuntos de ecuaciones: (1) Ecuaciones de balance o conservación y (2) Ecuaciones de velocidades o de densidades de flujo. 2.4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Esto implica que el flujo molar de A con respecto a los ejes fijos es el flujo con respecto a la velocidad molar promedio más el flujo de A causado por el flujo global relacionado a v* o sea N. y que en el caso de la transferencia de masa. ∑ji = 0 . 77 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y la velocidad de acumulación se refiere a la velocidad de cambio con el tiempo de la cantidad total de masa. o a un elemento diferencial (balance diferencial). Se está llenando un tanque con un líquido que fluye con caudal másico m1’. La velocidad de generación se refiere a toda producción dentro del sistema. a un incremento (balance incremental). kg/s.2. pero la velocidad de acumulación no será cero a menos que m1’ = m2’ o sea que las magnitudes de los caudales hacia y desde el tanque sean iguales. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento (frecuentemente llamado volumen de control). La velocidad de entrada se refiere a todo el flujo dentro del sistema (de la cantidad involucrada) a través de los límites del sistema.2). Si tal fuera el caso tendríamos una situación de estado estable puesto que no hay cambio en la cantidad de líquido en el tanque con el tiempo. Las ecuaciones de balance pueden aplicarse al sistema como un todo (balances globales o macroscópicos).7) son también denominadas leyes de conservación. El área transversal del tanque es S y la altura del nivel del líquido en el tanque en cualquier momento t es z (ver figura 2. Si la masa total del sistema es M y la densidad de líquido es ρ. y la velocidad de salida se refiere a todo flujo que deje el sistema a través de sus límites. si suponemos que la cantidad entrando m1’ es mayor que la cantidad que sale m2’. La diferencia de la segunda menos la primera es la velocidad neta de salida. el nivel del líquido en el tanque cambiará con el tiempo a medida que el tanque se llena y la velocidad de acumulación será mayor que cero. Sin embargo. la velocidad de acumulación es: dM d dS = (ρSz ) = ρS dt dt dt y el balance global es entonces: m2' − m1' + dM =0 dt . Las ecuaciones como la (1. energía o cantidad de movimiento en el sistema y puede ser positivo o negativo. Podemos apreciar mejor el significado de los términos de la ecuación (1. kg/s. Al mismo tiempo el líquido sale a razón de m2’.7) analizando el siguiente caso: EJEMPLO 2. Al aplicar la ecuación de balance al líquido dentro del tanque observamos que la velocidad de generación es cero puesto que no se produce masa dentro del tanque. de tal manera que puede considerarse velocidad de reacción uniforme dentro del mismo. pero si una reacción química está ocurriendo dentro del líquido y produciendo la especie A la generación no es cero y la masa de A no se conserva. Fluye agua dentro de un tanque bien agitado a 150 lb. 1 = entrada. debido a la agitación la concentración de la solución de salida es igual a la del tanque. Supongamos que la corriente que entra contiene una pequeña cantidad de A de tal manera que la velocidad másica de entrada de A es m’A1. la ley de conservación para la especie A será: m 'A2 − m 'A1 + dM A = Φ A ⋅V dt salida − entrada + acumulación = generación. EJEMPLO 2. se agrega cloruro de sodio a 30 lb/hr. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento EJEMPLO 2.4. Entonces la velocidad de generación será ΦA⋅V. Solución.78 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Un balance para el componente A: m 'A2 − m 'A1 + dM A =0 dt (i) Donde MA = M⋅wA siendo M la masa total dentro del tanque en cualquier momento t. La solución resultante deja el tanque a 120 lb/hr.3. En el ejemplo 2. Si m’A2 representa la velocidad de salida de la especie A. y su velocidad de producción por unidad de volumen es ΦA (masa de A por unidad de volumen y unidad de tiempo). donde V es el volumen de fluido en el tanque. de agua pura en el tanque al comenzar la operación. NaCl = A./hr. 2 = salida. Hay 100 lb.2 no podía haber generación puesto que la masa total debe conservarse. En este último caso debemos distinguir entre el término de generación y el término de entrada siendo éste la cantidad que atraviesa los límites del sistema y el otro la generación de A ocurriendo en cada punto dentro del sistema. Denominemos A la especie producida en la reacción. Supongamos ahora que ocurre una reacción química homogénea dentro del tanque el cual permanece bien agitado. Calcule la concentración de salida (fracción másica de sal) después de una hora. y m’A = m’⋅wA: d ( M ⋅ wA ) m2' wA2 − m1' wA1 + =0 dt . y los caudales de entrada y salida se mantienen constantes posteriormente. En el instante cero. M0 = 100 lb.79 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. kV [t−1] Con el fin de reducir la contaminación.6 % en peso de NaCl.126 = 12.5. L3] . La corriente contiene un material residual A de concentración cA0. Para t ⇒ ∞. de volumen V. Tratamiento de una corriente residual. antes de verterlo al río. Una corriente fluida de velocidad volumétrica de flujo constante Q’ se vierte en un río. wA2 = 0. de acuerdo con la expresión ΦA = − kV⋅cA [mol A /t. se ha decidido hacer pasar el fluido a través de un tanque de retención. wA2 ⇒ 1/6. que es inestable y se descompone con una velocidad proporcional a la concentración. Remplazando en (i) y separando variables t A2 ⌠ dt dwA2 ⌠ ⎮ =⎮ ⎮ 60t + 100 ⌡ 180wA2 − 30 ⌡ 0 w 0 ⎞ 1 ⎛ 60t + 100 ⎞ 1 ⎛ 30 ⎟ ln⎜ ln⎜⎜ ⎟= 60 ⎝ 100 ⎠ 180 ⎝ 30 − 180wA2 ⎟⎠ despejando y simplificando: wA2 = 1 ⎡ ⎛ 10 ⎞ ⎟ ⎢1 − ⎜ 6 ⎢⎣ ⎝ 6t + 10 ⎠ 3 ⎤ ⎥ ⎥⎦ para t = 1 hr. EJEMPLO 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 120 wA − 30 + M dwA dM + wA =0 dt dt usando un balance total: m2' − m1' + dM =0 dt ⇒ 120 − (150 + 30) + dM =0 dt dM = 60 (tasa de acumulación) dt de donde M = 60t + M0 se obtiene: . el fluido . Vt = Q’t es el volumen en el tanque en cualquier t. dM A = Q '⋅c A0 − k v ⋅ c A ⋅ Q '⋅t = Q '⋅c A0 − k v ⋅ M A dt MA t ⌠ ⎛ 1 ⎞ ⎡ Q'⋅c A0 − k v ⋅ M A ⎤ ⌠ dM A ⎮ = ⎮ dt = t = −⎜⎜ ⎟⎟ ln ⎢ ⎥ ⎮ Q '⋅c A0 − kv ⋅ M A ⌡ Q '⋅c A0 ⎝ kv ⎠ ⎣ ⎦ ⌡ 0 0 de donde MA = (Q’⋅cA0/kv) [1 − exp(−kv⋅t)] y (cA/cA0) = MA [1 − exp(−kv⋅t)]/(kv⋅t) para t ≤ V/Q’ Q' tc A0 Cuando t = V/Q’.El líquido en el tanque puede considerarse que está perfectamente agitado. Solución. En el período 0 ≤ t ≤ V/Q’ durante en el cual el tanque se está llenando. Deduzca una expresión para la concentración de A en el tanque. cA = cAf que es la concentración para el instante en que el tanque se llena: (cAf/cA0) = [1 − exp(−kv⋅V/Q’)]/(kv⋅V/Q’) Luego de que el tanque se llena tendremos: d (c A ⋅ V ) = Q '⋅c A0 − Q '⋅c A − k v ⋅ c A ⋅ V dt cA t V ⋅ dc A ⌠ = dt ∫ ⎮ Q'⋅c − (Q'+ k ⋅ V )c V / Q' ⌡ A0 v A c Af ⎛ dc ⎞ ⇒ V ⎜ A ⎟ = Q'⋅c A0 − (Q'+ kv ⋅ V )c A ⎝ dt ⎠ . dt MA = Q’⋅t⋅cA: cantidad de moles totales de A en el tanque en cualquier instante. y no sale de él hasta que el tanque está totalmente lleno. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento entra en el tanque vacío con caudal volumétrico Q’.80 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y en la corriente que sale de él en función del tiempo. un balance molar macroscópico de la especie A da: m A 2 − m A1 + dM A = Φ AVt . Inicialmente cada tanque contiene V0 m3 de solución con concentración cA0. Solución.6. Considere un conjunto de tres tanques en serie. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎤ ⎡ Q'⋅c A0 − (Q'+ kv ⋅ V )c A V ⎥ ln ⎢ ⎣ (Q'+ kv ⋅ V ) ⎦ ⎢⎣ Q'⋅c A0 − (Q'+ kv ⋅ V )c Af ⎡ [t − (V / Q')] = ⎢ ⎤ ⎥ ⎥⎦ Cuando t ⇒ ∞. Considere mezclado perfecto en cada tanque. Si una solución de concentración cAi entra al primer tanque a razón de L m3/h y la solución sale de cada tanque con la misma rapidez. Balance para la especie A en el tanque número 1: Lc A1 − Lc Ai + V0 dc A1 =0 dt Separando variables e integrando c A1 t ⎛ − Lt ⎞ c − c A1 V0 ⌠ dc A1 ⎟⎟ = exp⎜⎜ = ∫ dt ⇒ Ai ⎮( c Ai − c A0 V L ⌡ c Ai − c A1 ) 0 ⎝ 0 ⎠ c Ao ⎛ Lt ⎞ c A1 = c Ai − (c Ai − c A0 ) exp⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ V0 ⎠ Balance para la especie A en el tanque número 2: Lc A 2 − Lc A1 + V0 dc A 2 =0 dt .81 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. cA = cA∞ = constante y [QcA0 − (Q + kv⋅V)cA∞] ⇒ 0 En el límite cA∞ = [Q’cA0 / (Q’ + kv⋅V)] ⎧ ⎡ Q'+ kvV ⎤ ⎡ V ⎤ ⎫ c A − c A∞ = exp⎨− ⎢ ⎥ ⎢t − ⎥ ⎬ c Af − c A∞ ⎩ ⎣ V ⎦ ⎣ Q' ⎦ ⎭ EJEMPLO 2. determine una ecuación que nos permita calcular la concentración del soluto A en la solución que sale del último tanque como una función del tiempo. cA2 = cA0 = cAi + C ⇒ C = cA0 – cAi obteniendo entonces c A 2 = c Ai − (c Ai − c A0 )e − ( Lt / V0 ) [(Lt / V0 ) + 1] Balance para la especie A en el tanque número 3: . (1) dx ) d dy ye ∫ Pdx = yPe ∫ Pdx + e ∫ Pdx dx dx entonces podemos multiplicar ambos lados de (1) por el factor integrante e ∫ Pdx obteniendo entonces ye∫ Pdx = ∫ Qe ∫ Pdxdx + C Aplicando este método a nuestro caso ⌠ ⎡ ⎛ Lt ⎞⎤ c A 2 e ∫ ( L / V0 )dt = ⎮ (L / V0 )⎢c Ai − (c Ai − c A0 ) exp⎜⎜ − ⎟⎟⎥ e ∫ ( L / V0 )dt dt + C ⎝ V0 ⎠⎦ ⌡ ⎣ c A2 = Lt V0 c Ai e − (c Ai − c A0 )(Lt / V0 ) + C e Lt V0 c A 2 = c Ai − (c Ai − c A0 )(Lt / V0 )e − ( Lt / V0 ) + Ce − ( Lt / V0 ) Para t = 0.82 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Q constantes o funciones de x. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡ ⎛ Lt ⎞⎤ dc Lc A 2 − L ⎢c Ai − (c Ai − c A0 ) exp⎜⎜ − ⎟⎟⎥ = −V0 A2 dt ⎝ V0 ⎠⎦ ⎣ ⎛ Lt ⎞ V0 dc A2 + (c A2 − c Ai ) + (c Ai − c A0 )exp⎜⎜ − ⎟⎟ = 0 L dt ⎝ V0 ⎠ ⎡ ⎛ Lt ⎞⎤ dc A2 L + c A 2 = (L / V0 )⎢c Ai − (c Ai − c A0 ) exp⎜⎜ − ⎟⎟⎥ dt V0 ⎝ V0 ⎠⎦ ⎣ Esta expresión es de la forma Conociendo que ( dy + Py = Q con P. 9 en transferencia de calor.1.1. Película plana estancada. Transferencia de masa por difusión unidireccional. ecuación (1.5. encontramos una situación en la cual hay flujo por difusión molecular. La geometría corresponde claramente a la de la figura 1. las concentraciones entre los dos planos opuestos no cambiaran más con el tiempo. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Lc A3 − Lc A 2 + V0 dc A3 =0 dt [ ] Lc A3 − L c Ai − (c Ai − c A0 )e −( Lt / V0 ) [(Lt / V0 ) + 1] + V0 dc A3 =0 dt Procediendo como en el caso anterior obtenemos ⎛ Lt ⎞ c A3 − c Ai ⎡ L2t 2 Lt ⎤ =⎢ + + 1⎥ exp⎜⎜ − ⎟⎟ c A0 − c Ai ⎣ 2V0 V0 ⎦ ⎝ V0 ⎠ el exponente y divisor 2 en el paréntesis cuadrado parece sugerir una secuencia para n tanques como (n – 1). entre los planos ubicados en z = 0 y z = b. Sabiendo que mAz = NAz.83 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. de la especie A. 2. Será válida?.7) en términos de flujos molares por tratarse de una mezcla gaseosa a presión y temperatura constantes. El análisis de este sistema puede hacerse retomando la ecuación de continuidad para la especie A. 2.1. Para determinar perfiles de concentración y/o densidades de flujo el balance se hace en un elemento diferencial de volumen. Si ha transcurrido suficiente tiempo.Az [mol A/t]: m Az z + dz − m Az z + ∂c A dV = Φ D dV ∂t z + dz = m Az z + ∂m Az dz ∂z con m Az obtenemos ∂m Az ∂c dz + A dV = Φ D dV ∂z ∂t teniendo presente que en este caso dV = Azdz con Az constante: ∂N Az ∂c A + = Φ D [moles de A/volumen⋅tiempo] ∂z ∂t (2.2) (2.2a) .5. Retornando a la figura 2.1. 3) Para gases ideales c es constante a PT y T dadas y DAB puede considerarse independiente de la concentración. NB = 0.difusión de B y despejando NA obtenemos: NA = − cDAB dy A 1 − y A dz (2. puesto que yA + yB = 1 para cualquier valor de z). yBS = (1 – yAS) Para z = b: yA = yAG. yA es mayor que yA en z = b. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Haciendo cero los términos que no intervienen de acuerdo con las condiciones del sistema (estado estable ∂cA/∂t = 0. o sea que la velocidad con que es transportado por arrastre global en la dirección z positiva iguala la velocidad de difusión en sentido contrario. Recordando que la densidad de flujo de la especie A en un medio donde hay gradientes de concentración consta de dos términos NAz = J*Az + cA vz* donde el primero representa la cantidad de A que se desplaza por unidad de área y unidad de tiempo en la dirección que decrece la concentración y el segundo término indica la cantidad de A desplazado por unidad de área y unidad de tiempo gracias al movimiento general del fluido. yBG = (1 − yAG) Integrando: . no hay reacción química homogénea: ΦD = 0. En este caso. Se reduce a dNAz/dz = 0 o sea NAz constante. Analizando el modelo físico que estamos estudiando observamos que B no puede cruzar a través del plano ubicado en z = 0. aunque existe gradiente de concentración de B (porque si en z = 0. entonces en z = 0. o dicho de otra manera. yB deberá ser menor que yB en z = b. queda NAz = − DAB(dcA/dz) + yA(NAz + NBz). Reemplazando en el balance y dividiendo por −cDAB: d ⎡ 1 dy A ⎤ ⎢ ⎥=0 dz ⎣1 − y A dz ⎦ Las condiciones límite son: Para z = 0: yA = yAS. solo hay gradientes de concentración en la dirección z). su gradiente de concentración se mantiene por la fricción intermolecular entre A y B. Necesitamos información adicional sobre la relación entre NA y NB (podemos suprimir el subíndice z sabiendo que sólo hay transporte en esta dirección). Reemplazando la ley de Fick y la definición de v*. Reemplazando esta condición de no .84 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 85 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.4) Usando (2. Para z = 0: NA z =0 ⎡ − cD AB dy A ⎤ cD AB 1 − y AG = N AS = ⎢ ln ⎥ = b 1 − y AS ⎣ 1 − y A dz ⎦ z =0 (2.5) . y BG ⎛ ⎞ ln⎜ y BS ⎟⎠ ⎝ Ahora para saber la velocidad a la que la especie A es transferida a través de un plano dado perpendicular a z basta con calcular NA en un plano cualquiera.4) podemos hallar la concentración media de A o de B entre 0 ≤ z ≤ b. Por ejemplo la concentración media de B será: b b ∫ cB Az dz y Bmed ∫ y B dz b y ⌠⎡y ⎤ moles de B = = 0b = 0b = BS ⎮ ⎢ BG ⎥ moles totales b ⌡ ⎣ y BS ⎦ ∫ cAz dz ∫ dz 0 0 ( z / b) dz 0 Dado que [ ] da x = a x ln a ⇒ ∫ a x dx = a x / ln a + C1 dx y Bmed = y BG − y BS = y BML promedio logarítmico de yBG e yBS. De lo anterior: 1 − y A ⎡1 − y AG ⎤ =⎢ ⎥ 1 − y AS ⎣ 1 − y AS ⎦ ( z / b) (2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡ 1 dy A ⎤ ⎢ ⎥ = C1 y − ln(1 – yA) = C1z + C2 − 1 y dz A ⎣ ⎦ Para evaluar C1 y C2 con las condiciones límite: − ln(1 – yAS) = C1 (0) + C2 − ln(1 − yAG) = C1 b + C2 Realizando las transformaciones necesarias hallamos que C2 = − ln yBS C1 = [1/b][ln(yBS/yBG)] . 86 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. El nivel del líquido A dentro de la celda se mantiene artificiosamente constante. Esta misma situación física se puede obtener con un modelo denominado la "celda de Arnold". separamos variables e integramos entre los límites. yAs.4 se presenta un gas fluyendo a lo largo de la superficie . Inmediatamente sobre la superficie líquida se puede tomar la concentración de la especie A en la fase gaseosa. aprovechando que NA es constante. y el tratamiento matemático será el mismo. que es la relación entre la presión de vapor de A a la temperatura del sistema y la presión total. sobre la presión total de sistema. suponiendo que A y B forman una mezcla gaseosa ideal. El sistema a considerar es la película gaseosa comprendida entre la superficie del líquido y la boca del tubo.3).1. El líquido A pasa a la fase vapor y difunde a través de la columna de B que permanece estancado por no ser soluble en A. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Esta expresión hubiera podido obtenerse sin determinar el perfil de concentraciones si en la ecuación (2. En la figura 2. Con el tiempo se alcanza un perfil de concentraciones constante y la situación es en todo concordante con la contemplada en la figura 2. como la de equilibrio con el líquido de la interfase. consistente en un tubo estrecho lleno parcialmente con un líquido puro A. e igual a la presión parcial de la sustancia A en dicha corriente. Por el extremo superior del tubo se hace fluir un gas B. que ya dijimos es constante. De otra parte estos resultados se aplican también en la "teoría de película" para la transferencia de materia. prácticamente insoluble en el líquido A e inerte químicamente con respecto a los vapores de A. y mantenido a presión y temperaturas constantes. Los resultados anteriores se han utilizado para la determinación experimental de difusividades gaseosas. es decir. Para z = b la composición de la corriente gaseosa se mantiene constante para que yAG se mantenga constante y conocida. obtenemos nA = kρ(ρAS − ρAG).6) Obsérvese que hemos reemplazado b = zF. La ecuación (2. al reemplazar en la primera ley de Fick (2. si por analogía con la llamada ley de Newton del enfriamiento. Se puede concluir fácilmente que kC = kρ. separamos variables e integramos a lo largo del camino de dz difusión zF para obtener: N A = − D AB c . MA. Observamos entonces que ckC = ky. tendremos NA = kC(cAS − cAG) = ckC⋅(yAS – yAG) siendo c la concentración molar total.4) en términos de una fuerza motriz característica de concentración (yAS – yAG) multiplicándola y dividiéndola por (yAS – yAG) = [(1 – yAG) − (1 – yAS)] y reconociendo que: y ⎞ ln⎛⎜ BG ⎟ y 1 BS ⎠ ⎝ = (1 − y AS ) − (1 − y AG ) y BML Obtenemos entonces: N Az = cDAB ( y AS − y AG ) = k y ( y AS − y AG ) y BML z F (2. donde ky sería el coeficiente convectivo de transferencia de masa. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento de un sólido o de un líquido. respectivamente. sus dimensiones y unidades. y la fuerza guía es (yAS – yAG). la transferencia de calor por convección desde una superficie caliente a temperatura TS hacia sus alrededores a temperatura Tf se puede expresar como q = h(TS – Tf) podríamos reescribir la ecuación (2. Aunque este modelo no es real desde el punto de vista físico. ha resultado. en esta teoría o modelo se supone que existe una transición brusca entre una película estancada y un fluido totalmente mezclado en el que los gradientes de concentración son despreciables.6) tiene la forma característica de la ley de Newton del enfriamiento. NAz + NBz = 0. según la cual. Para el caso en el que se presente contradifusión equimolecular. Por lo tanto toda la resistencia a la difusión desde la superficie hasta la corriente principal de gas se asume que está en una película estancada de espesor constante. Así por ejemplo si la fuerza guía se expresa en función de concentraciones molares. zF ficticio. sin embargo.1a) obtenemos: dy A . para NA constante. Dependiendo de si esta fuerza guía se encuentra en otras unidades de concentración cambiará el subíndice del coeficiente convectivo y. De hecho. densidad de flujo másica con fuerza guía expresada en concentraciones másicas volumétricas. la longitud del camino de difusión. Si multiplicamos la ecuación anterior para NA por el peso molecular de A.87 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. En las proximidades de la superficie existe una capa que se mueve lentamente (efecto de frenado) a través de la cual difunde A. muy útil como base de correlación de los coeficientes de transferencia de materia convectivos a partir de una representación física sencilla. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento NA = D AB c ( y AS − y AG ) = k ′y ( y AS − y AG ) zF k’y es el tipo de coeficiente que se usa en este caso. Deseamos encontrar una expresión para la velocidad local de conversión de A en B cuando se conoce el espesor efectivo de la película gaseosa δ. y las composiciones globales yA1 e yB1 en la corriente. El componente A difunde a través de una película estancada hasta la superficie del catalizador en la cual se convierte instantáneamente en B según la reacción A ⇒ 3B.7.5 muestra la difusión en la fase gaseosa en la vecindad de una superficie catalítica.7) Aquí RA es la relación entre NA/(NA + NB) y se hace uno para NB = 0. manipulando la ley de Fick de la siguiente manera: NA = − DABc(dyA/dz) + yA(NA + NB) ⇒ [NA − yA(NA + NB)]dz = − DABc⋅dyA y AG dy A −1 F ⌠ = ⎮ N − y ( N + N ) D c ∫ dz . El gráfico 2. aunque para muchas reacciones catalíticas no se puede despreciar el calor que se genera durante la reacción.2a). EJEMPLO 2. Difiere claramente de ky que resulta fuertemente dependiente de la concentración a través de yBML.88 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Un tipo de coeficiente independiente de la concentración se obtiene para casos generales en estado estable. Asumimos que la película gaseosa es isotérmica. nos da. Aplicando un balance para la especie sobre una película de espesor dz tal como se hizo para llegar a la ecuación (2. Difusión con reacción química heterogénea. El producto B se difunde alejándose de la superficie en contracorriente con el reactivo A a través de la película gaseosa estancada hasta alcanzar la corriente principal de gas conformado por reactivos y productos A y B. utilizado cuando las concentraciones son altas. Tanto F como zF requieren de análisis posteriores para su determinación. integrando y reorganizando obtenemos ⌡ A AB A A B 0 z y AS ⎛ D c ⎞ R − y AG R − y AG N A = R A ⎜⎜ AB ⎟⎟ ln A = R A F ln A R A − y AS ⎝ z F ⎠ R A − y AS (2. Esta expresión sirve para introducir la definición del coeficiente tipo F. para estado estable y ausencia de reacción química homogénea . dz ⎣1 + 2 y A dz ⎦ 1 dy A = C1 1 + 2 y A dz Integrando una vez ln (1 + 2 y A ) = C1 z + C 2 2 ln (1 + 2 y A1 ) Aplicando las condiciones límite.89 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Para el caso presentado. = C 2 y 0 = C1δ + C2 2 Integrando nuevamente Reemplazando ln (1 + 2 y A ) ln (1 + 2 y A1 )z ln (1 + 2 y A1 ) =− + 2 2δ 2 ( ) ⎡ 1 + 2 yA ⎤ 1 ln(1 + 2 y A ) = ln ⎢ z /δ ⎥ ⎥⎦ ⎣⎢ 1 + 2 y A1 ( ) [( Reorganizando y A = 12 1 + 2 y A1 )( δ − z )/ δ ] −1 A partir de este perfil de concentraciones y usando la correlación (ii) podemos calcular NAz. se mueve un mol de A en la dirección z positiva por cada tres moles de B que se mueven en la dirección z negativa como se deduce de la estequiometría de la reacción. Por consiguiente. Es sin embargo de anotar que de (i) se desprende que en el caso presente NAz es constante y por tanto en la ecuación (ii) hubiéramos podido separar variables e integrar sin necesidad de hallar el perfil de concentraciones. en estado estacionario NBz = − 3NAz. Reemplazando en la ley de Fick N Az (1 + 2 y A ) = J Az = −cD AB dy A dz (ii) reemplazando la expresión para NAz en (i) considerando cDAB constante d ⎡ 1 dy A ⎤ ⎢ ⎥ = 0 con yA = yA1 en z = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento dN Az =0 dz (i) De la ley de Fick NAZ = JAz + yA (NAz + NBz). yA = 0 en z = δ. Por cualquiera de los dos caminos obtenemos ⎛D c⎞ N A = ⎜ AB ⎟ ln(1 + 2 y A1 ) ⎝ 2δ ⎠ . yAG = 0. la conversión de A en B procede con velocidad finita debido a que el proceso difusional está en serie con el proceso de reacción. la condición límite en z = δ deberá reemplazarse por yAδ = NAδ/ck” donde k” es alguna constante de velocidad de reacción y NAδ es la velocidad de desaparición de A en la superficie catalítica. Cuando la velocidad de reacción en la superficie catalítica no es instantánea.3 . Reacción química heterogénea no instantánea.5. y por cada dos moléculas de A que se mueven en la dirección positiva del eje de las zetas contradifunde una molécula del dímero A2. Se dice entonces que la conversión de A en B está controlada por la difusión. NAz = −2NA2z y aplicando la primera ley de Fick a este sistema binario obtenemos N Az = −cDAA2 dx A N ⎞ ⎛ + x A ⎜ N Az − Az ⎟ dz 2 ⎠ ⎝ Reorganizando N Az = − cDAA2 dx A 1− 12 x A dz Realizando un balance de materia para un elemento diferencial de espesor dz encontramos que dN Az d ⎛ − cDAA2 dxA ⎞ d ⎛ 1 dxA ⎞ ⎟⎟ = 0 = ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ dz dz ⎝ 1 − 12 x A dz ⎠ dz ⎝ 1 − 12 x A dz ⎟⎠ Integrando una vez . Por tanto. supuesta proporcional a su concentración yAδ allí. En la superficie NAS = k1'' cA = c k1'' xA siendo k1'' la constante de velocidad de reacción (Ejemplo 17. la ecuación (2. en el estado estable.1.2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Reconociendo que yAS = yA1. 2. Vale la pena hacer notar que aunque la reacción química ocurre de manera instantánea en la superficie catalítica. La reacción en la superficie catalítica no es instantánea sino proporcional a la concentración de A en esa superficie. Halle el flujo molar de A.90 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Stewart y Lightfoot ampliado) A debe difundir a través de una película de fluido que rodea la partícula de catalizador. Considere la reacción 2A → A2 en un reactor catalítico. RA = − (1/2) y zF = δ.1 del Bird.7) nos proporciona exactamente el mismo resultado. 91 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛ 1 dx A ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = C1 1 1 x dz − A ⎝ 2 ⎠ Integrando nuevamente − 2 ln(1 − 12 x A ) = C1 z + C2 Las constantes de integración se hallan usando las siguientes condiciones límite: CL2: En z = δ, CL1: En z = 0, xA = xAG; xA = NAz/c k1'' Substituyendo la primera, − 2 ln(1 − 12 x AG ) = C2 ⎛ N ⎞ Substituyendo la segunda, − 2 ln⎜⎜1 − 12 Az'' ⎟⎟ = C1δ − 2 ln(1 − 12 x AG ) ck1 ⎠ ⎝ Despejando: C1 = − ( 2 ⎡ ⎛ 1 − 12 N Az / ck1'' ⎢ln⎜ δ ⎣⎢ ⎜⎝ 1 − 12 x AG )⎞⎟⎤ ⎟⎥ ⎠⎦⎥ Reemplazando los valores de las constantes obtenemos ( ) 2 ⎡ ⎛ 1 − 12 N Az / ck1'' ⎞⎤ ⎟⎟⎥ z − 2 ln (1 − 12 x AG ) ⎢ln⎜⎜ 1 δ ⎢⎣ ⎝ 1 − 2 x AG ⎠⎥⎦ Multiplicando todos los términos por − 12 y utilizando las propiedades de los logaritmos llegamos a − 2 ln (1 − 12 x A ) = − ( ) (1 − '' ⎡ 1 ⎤ (1 − x A ) = ⎢1 − 2 N1 Az / ck1 ⎥ ⎣ 1 − 2 x AG ⎦ 1 2 z /δ 1 2 [ ( x AG ) = 1 − 12 N Az / ck1'' Extrayendo Logaritmos nuevamente para obtener dxA/dz [ )] ( ln (1 − 12 x A ) = δz ln 1 − 12 N Az / ck1'' + (1 − δz ) ln (1 − 12 x AG ) − dx A = 2(1 − 12 x A ) { ln[1 − (N 1 δ 1 2 Az )] } / ck1'' − δ1 ln(1 − 12 x AG ) dz )] (1 − z /δ 1 2 x AG ) 1− z / δ 92 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡1 − 1 (N / ck1'' )⎤ dx A = − δ2 (1 − 12 x A ) ln ⎢ 2 1 Az ⎥ dz ⎣ 1 − 2 x AG ⎦ Reemplazando en la expresión para NAz: N Az = ( ) ( ) ⎡1 − 12 N Az / ck1'' ⎤ ⎫ 2cDAA 2 ⎡1 − 12 N Az / ck1'' ⎤ − cDAA 2 ⎧ 2 1 ( ) 1 ln x ln ⎢ = − − ⎥ 1 (1 − 12 x A ) ⎨⎩ δ 2 A ⎢⎣ 1 − 12 x AG ⎥⎦ ⎬⎭ δ ⎣ 1 − 2 x AG ⎦ ( ) Si y = − 12 N Az / ck1'' con −1 < y ≤ 1 entonces (Taylor y Wade en “University Calculus”) n y 2 y3 y 4 n +1 y + − + + (− 1) + 2 3 4 n Para y suficientemente pequeño puede tomarse solo el primer término de esta serie de Taylor así: 2cDAA2 ⎡ N Az ⎤ − ln(1 − 12 x AG )⎥ N Az = ⎢− '' δ ⎣ 2ck1 ⎦ ln(1 + y ) = y − Que finalmente nos permite una expresión explícita para la densidad de flujo de A: N Az = ⎛ 1 ln⎜⎜ 1 /δ k ⎝ 1 − 2 x AG 2cDAA2 δ (1 + D AA 2 '' 1 ) ⎞ ⎟⎟ ⎠ Otras Condiciones Límite: En el caso anterior la relación entre las densidades de flujo NA y NB fueron obtenidas a partir de la estequiometría de la reacción. En otros casos es necesario analizar cuidadosamente el modelo físico para determinar esta relación. EJEMPLO 2.8. Consideremos la difusión de sal común (NaCl) a través de agua en un aparato similar a un balón de fondo plano (ver figura 2.6). El sistema se mantiene a 68 °F, y el bulbo contiene cristales de sal. Suponemos que el líquido dentro del bulbo tiene concentración uniforme e igual a la de saturación y que no hay mezcla convectiva en el tubo de difusión. De esta manera, la concentración en el extremo inferior del tubo se puede considerar constante e igual a la de una solución saturada de sal en agua a 68 °F. El agua que rodea el tubo y en la cual está inmerso el balón tiene una concentración despreciable de sal. Solución. 93 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El mecanismo de la difusión de electrolitos en solución es complicado y se ha estudiado en forma profusa. Sin embargo, aunque los diferentes iones puedan tender a avanzar a velocidades diferentes, el requerimiento de neutralidad eléctrica permite analizar la difusión de una sola sal como la difusión de moléculas de sal. La difusividad es una función de la concentración; Reid y Sherwood dan valores donde se observa que la variación es pequeña. Seleccionamos un valor de DAB = 1.35x10−5 cm2/s = 5.22x10−5 pie2/hr. A medida que la sal sólida se disuelve para reemplazar la sal que sale del tubo, el volumen de la fase sólida disminuye. Por lo tanto deberá existir un flujo de solución hacia adentro (cruzando el plano z = 0) para reemplazar este volumen. De esta forma en la salida del tubo (z = zf) habrá un flujo neto de sal disuelta hacia afuera y un flujo neto de agua hacia adentro. La solución del problema comienza considerando diversos balances de materia que provean la relación necesaria entre NA (sal) y NB (agua). Primero realizamos un balance global de materia alrededor del bulbo, el cual contiene sal sólida (Ms) y solución saturada (ML; wAS = 0.265 a 68 °F). MS + ML = M (i) Estos tres términos varían con el tiempo, pero el volumen V del bulbo es constante: MS ρs + ML ρL =V (ii) de donde: − 1 dM S 1 dM L = ρ s dt ρ L dt (iii) El balance para la sal (especie A): M S + M L wAS = M A (iv) Diferenciamos las ecuaciones (i) y (iv) para obtener la velocidad de cambio de la masa de los diferentes componentes en el bulbo: dM S dM L dM + = dt dt dt (v) dM S dM L dM A + w AS = dt dt dt (vi) 94 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Usando (iii) para eliminar dMs/dt: ⎡ ρ s ⎤ dM L dM = ⎢1 − ⎥ dt ⎣ ρ L ⎦ dt (vii) ⎡ ρ s ⎤ dM L dM A = ⎢ wAS − ⎥ ρ L ⎦ dt dt ⎣ (viii) La relación ρ dM A wAS − s ρL 1 dt = n A = = ρs dM n A + nB H 1− dt ρL La primera ley de Fick se transforma para este caso en: dw A n A = j A + w A n = − D AB ρ A + Hn A w A dz (ix) (x) Reorganizando, separando variables e integrando a lo largo del tubo: AL ρ dw A ⌠ n A ∫ dz = − D AB ⎮ 0 ⌡wAS 1 − Hw A (xi) D ⌠ AL ρ dw A n A = − AB ⎮ z F ⌡wAS 1 − HwA (xii) w zF w Conociendo la relación experimental entre la densidad de la solución ρ y la fracción másica de la sal wA permite evaluar la integral en forma gráfica o numérica. Sin embargo, de Perry observamos que la gravedad específica de las soluciones de NaCl en agua varía entre 1.0 y 1.2, así que asumiendo un valor constante ρmed = 1.1 g/cm3, la integral se evalúa como nA = DAB ρ med ⎡1 − HwAL ⎤ ln ⎢ ⎥ H zF ⎣1 − HwAS ⎦ (xiii) El flujo de la sal hacia afuera del bulbo se puede ahora calcular usando los siguientes valores para los parámetros: 95 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ρL = 1.20 g/cm3 ; ρs = 2.16 g/cm3 ; wAS = 0.265 ; H = 0.521 ; zf = 0.5 pie ; wAL = 0 ; ρmed = (1.1)(62.4) = 68.6 lb/pie3 ; DAB = (1.35x10−5) (3.875) = 5.22x10−5 pie2/hr. El resultado es nA = 2.03x10−3 lb/hr.pie2. También n = nA H = (2.03x10−3) (0.521) = 1.058x10−3 lb./hr.pie2 nB = 1.058x10−3 − 2.03x10−3 = − 0.97x10−3 lb/hr.pie2 Anotamos que si ρS es mucho mayor que ρL (como ocurriría en la sublimación de un sólido), H tiende a la unidad y NB es igual a cero, es decir, que el cambio de volumen del sólido causa un flujo despreciable de B reduciéndose al caso de la celda de Arnold. 2.1.5.3. Sistemas con área seccional variable. EJEMPLO 2.9. Un recipiente termina en forma de cono truncado invertido en su parte superior, tal como lo muestra la figura 2.7. El cuerpo del tanque es cilíndrico con diámetro de 2 pie, el nivel del líquido se mantiene dos pie por debajo del tope. (a) ¿Cuales serán las pérdidas horarias si el aire en la parte superior es seco a 100 °F y una atmósfera? (b) ¿Qué diferencia habría si el tanque terminara en forma de cilindro recto? Solución. (a) Por geometría, los triángulos abe y gbf son semejantes. Podemos establecer entonces que d −d z − z1 gb gf = o 1 = z 2 − z1 ab ae d 1 − d 2 En otras palabras d varía linealmente con z: d = az + b donde a y b son constantes que se obtienen a partir de las condiciones para z = z1 d = d1 y para z = z2 d = d2. Por cualquiera de los dos métodos 96 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡ z − z1 ⎤ d = d1 − ⎢ ⎥ [d 1 − d 2 ] ⎣ z 2 − z1 ⎦ (i) Suponemos que ha transcurrido suficiente tiempo para que se halla establecido el estado estable ya que las concentraciones en z = z1 y z = z2 permanecen constantes con el tiempo. Habrá difusión unidireccional pues B es insoluble en A líquido, o sea NB = 0. Si mA es la velocidad de transporte del vapor de agua (componente A) en la dirección z en moles por unidad de tiempo, mA = NA S donde S es el área perpendicular a la dirección de flujo z y varía con la posición, en forma opuesta a como lo hace NA pues mA es constante en estado estable. ⎛p ⎞ N A = J A + ⎜ A ⎟( N A + N B ) ⎝ P ⎠ D dp A J A = − AB RT dz De la primera ley de Fick para NB = 0 NA = − y D AB P dp A ℜT (P − p A ) dz (ii) mA = NA S = NA (πd2/4) = constante De (i) e (ii), para z1 = 0 2 ⎤ dp A D AB P π ⎡ z mA = − ⎢d1 − [d1 − d 2 ]⎥ ℜT ( p − p A ) 4 ⎣ z2 ⎦ dz al separar variables: 2 dp dz π D AB P ⌠ ⌠ mA = ⎮ =− ⎮ ( 2 4 ℜT ⌡ p AS p − p A ) ⌡0 [d 1 − ( z z 2 )[d 1 − d 2 ]] z 0 (iii) Obsérvese que si hacemos (a − bz) = u, entonces du = − bdz, y por lo tanto z2 u2 z1 u1 1 du 1 dz ⌠ =− ⌠ ⎮ 2 = ⎮ 2 b⌡ u bu ⌡ (a − bz ) u2 u1 Entonces (iii) se transforma en: 97 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento z2 ⎤ ⎡ z2 DAB P π [− ln(P − p A )]0p AS mA ⎢ ⎥ =− ℜT 4 ⎣ (d1 − d 2 )[d1 − ( z z2 )[d1 − d 2 ]]⎦ 0 mA z2 D Pπ ⎡ P ⎤ ln ⎢ = AB ⎥ d1d 2 ℜT 4 ⎣ P − p AS ⎦ La velocidad molar de evaporación será entonces: mA = π d1 d 2 D AB P ⎡ 4 z2 P ⎤ ln ⎢ ⎥ ℜT ⎣ P − p AS ⎦ (iv) Para las condiciones del problema, suponiendo que el recipiente no está aislado del medio, razón por la cual la temperatura será aproximadamente igual a la del medio circundante y no la de saturación adiabática: Presión de vapor del agua a 100 °F, pAS = 1.9325 plg Hg = 49.086 mm Hg. (1.46 *10−4 )(560) 0.000146 T 2.5 = = (1)(560 + 441) P T + 441 2.5 DAB = 1.0824 pie 2 / hr. (ecuación 3.14a) (1)(359) atm. pie = 0.7297 ⎡ PV ⎤ ℜ=⎢ = o ⎥ ⎣ nT ⎦ o (1)(492 ) lbmol . R mA = π (2)(1) 4 (1.08)(1) ln ⎡ 760 ⎤ lbmol (2) (0.7297)(560) ⎢⎣ 760 − 49.09 ⎥⎦ hr O sea mA = 1.386x10−4 lbmol/hr, que equivale a 1.13 cm3 evaporados por hora. (b) Este es un caso análogo al de la celda de Arnold, con NA y c constantes para toda z. mA = mA = π d 2 DAB P ⎡ P ⎤ ln ⎢ ⎥ 4 ℜT z2 ⎣ P − p AS ⎦ π 22 4 (1.08)(1) ln ⎡ 760 ⎤ (0.7297 )(560 )(2) ⎢⎣ 760 − 49.09 ⎥⎦ lbmol / hr. Entonces mA = 2.772x10−4 lbmol/hr, que es mas del doble de la velocidad de evaporación calculada para el primer caso. 98 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento EJEMPLO 2.10. Un recipiente esférico tiene diámetro de 2 pies y está abierto a la atmósfera a través de un agujero de tres pulgadas de diámetro en su parte superior. Si este recipiente está lleno hasta la mitad con tolueno líquido, ¿cual será la pérdida instantánea de tolueno a los alrededores por evaporación? La temperatura es 18.4 °C, la presión es atmosférica normal. Bajo estas condiciones la presión de vapor del tolueno es 20 mm. Hg, su densidad es 54.1 lb/pie3, y la difusividad del sistema aire - vapor de tolueno es 0.326 pie2/hr. Solución. Suponemos que se ha alcanzado el estado estable, es decir, mA = NA S es constante con z. Refiriéndonos a la figura 2.8, observamos que 0 < z < R = d/2. El área vale S = π r2; r2 = (R2 – z2). Sólo hay flujo de A en la dirección z. NB = 0. ⎡ DAB P dp A ⎤ m A = ⎢− π R 2 − z 2 = constante ⎥ ⎣ ℜT (P − p A ) dz ⎦ [( )] ℜ: Constante universal de los gases. Separando variables e integrando: z2 dz dp A π DAB P ⌠ =− mA ⌠ ⎮ 2 ⎮ 2 ⌡0 R − z ℜT ⌡pAS P − p A 0 (a + b )R + (b − a )z 1 a b = + = 2 R+z R−z R −z R2 − z2 (b − a ) = 0 ; (a + b )R = 1 ; a = b = 1 2R 2 1 1 ⎡ 1 1 ⎤ = + 2 2 R ⎢⎣ R + z R − z ⎥⎦ R −z 2 La ecuación (i) se resuelve entonces como: ⎡ P ⎤ 2π R D AB P ln ⎢ ⎥ ⎣ P − p AS ⎦ mA = ⎡ ⎡ R + z2 ⎤ ⎡ R − z2 ⎤⎤ ℜT ⎢ln ⎢ − ln ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ R ⎥⎦ ⎦ ⎣ ⎣ R ⎦ (i) 2.55)⎡⎢ln ⎡⎢1 + 0. Son 1. ΦD = − k’cA. la velocidad de evaporación.5 ⎞ 2 ⎤ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ 1 2 = 0.1. Así: . Al aplicar la ley de Fick considerando despreciable el término de arrastre cAvz*.15) [ z2 = R 2 − r12 ] 1 2 ⎡ ⎛ 1.99 ⎤⎥ ⎤⎥ ⎣ 1 ⎦⎦ ⎣ ⎣ 1 ⎦ donde (1)(359) = 1.99 ⎤⎥ − ln ⎡⎢1 − 0.1.24 cm3/hr. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Reemplazando los valores numéricos: ⎡ 760 ⎤ 2π (1)(0.076 g/hr ó 1. por tratarse de fase líquida diluida. Supongamos que la concentración en el límite de la película.3143 atm.326)(1) ln ⎢ ⎥ lb mol ⎣ 760 − 20 ⎦ mA = hr (1.1a) para condiciones de estado estable obtenemos (dNA/dz) = ΦD.99 pie mA = 2. 2. pie3 ⎡ PV ⎤ ℜ=⎢ = lbmol.6.3143)(291.1.99 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. El sistema es claramente unidimensional. Dentro de la película líquida A desaparece por reacción química homogénea. obtenemos DAB d 2c A + ΦD = 0 dz 2 Si la reacción es de primer orden e irreversible.5745x10−5 lbmol/hr.K ⎣ nT ⎥⎦ o (1)(273. en la corriente principal de fluido es cAm. Difusión con generación interna.líquido donde z = 0. Reacción química homogénea. Allí la concentración es la de equilibrio cAS. Aplicando el balance de materia (2. Consideremos una película líquida de espesor zF a través de la cual difunde un gas A disuelto en la interfase gas .6. esta ecuación 2 D AB dz es de la misma forma de la ecuación (1. con cA = cAS en z = 0 y cA = cAm en z = zF.100 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Con k’/DAB = m2. senh(mz F ) El flujo molar en la interfase: NAS = − DAB(dcA/dz)z = 0 N AS = − D AB dc A dz = z =0 D AB c AS B cosh B D AB c AS = B coth B zF senh B zF Observemos que el coeficiente de masa convectivo se asimila a: kcR = NAS/cAS = (DAB/zF)Bcoth(B) Si no hubiera reacción química se encontraría: NAS = (DAB/zF) cAS = kc cAS. Aplicándola con x = mzF e y = mz: cA = c Am senh(mz) − c As [senh(mz − mz F )] senh(mz F ) (2. y de la segunda: cAm = C1 senh(mzF) + cAS cosh(mzF) resolviendo para C1 y reemplazando obtenemos: cA = c Am senh( mz ) − c As [cosh( mz F ) senh( mz ) − cosh( mz ) senh( mz F )] senh( mz F ) De las propiedades de las funciones hiperbólicas sabemos que: cosh(x) senh(y) . .37): cA = C1 senh(mz) + C2 cosh(mz) De la primera condición límite C2 = cAS.cosh(y) senh(x) = senh(y .x).8) Hatta demostró que para mzF = B > 0.35) con la condición límite (iv). cAm ≈ 0. entonces cA = c As [senh(mz F − mz)] . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento d 2cA k' − c A = 0 . Tomamos la solución de la forma (1.3. pues senh(−x) = −senh(x). 7. el flujo molar de la especie a en la dirección radial será constante aunque no la densidad de flujo por estar referida a un área variable. ΦD será negativo y puede estar dado por una expresión cinética de primer orden como ΦD = − k’cA donde k’ es la constante . Solución. La cantidad adimensional B es llamada número de Hatta. Se puede utilizar a veces el concepto de reacción química homogénea habiendo realmente reacción heterogénea. y reconociendo que mAr = 4πr2NAr obtenemos: [ ] ∂c 1 ∂ 2 r N Ar + A = Φ D 2 ∂t r ∂r (2. Para reacción rápida con difusividad pequeña.9) donde ΦD será en este caso la velocidad molar de producción de la especie A por unidad de volumen del catalizador. La concentración cAS de A en la superficie de una partícula de catalizador se asume constante. en comparación con la absorción física cuando cAm = 0. k’ y kc se conocen. como el factor por el cual la reacción química incrementa la velocidad de absorción. Como solo habrá gradientes radiales. la reacción ocurrió en la superficie de un catalizador sólido no poroso y se describió por el empleo de una condición límite apropiada.7) a un cascarón esférico de espesor dr obtenemos una expresión similar a la (2. El coeficiente de transferencia de masa es entonces kcR = (k’DAB)1/2. tiene una superficie interna muy grande la reacción química se puede describir como si estuviera distribuida en forma uniforme por toda la partícula. O sea E = kcR/kc = B coth(B). Como A es el reactivo. B es grande y coth(B) tiende a la unidad. Consideremos una corriente gaseosa compuesta de un reactivo A y un producto B que fluye a través de esferas de catalizador en un reactor químico. por lo común.1.6. En el ejemplo 2.101 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 2. De acá se puede obtener kcR si DAB. y NAS = (cASDAB/zF)(k’zF2/DAB)1/2 = cAS(k’DAB)1/2. Difusión con generación. mAr. Observamos que es independiente de zF puesto que la molécula reacciona antes de alcanzar zF. E. El producto B se forma y contra difunde hasta la superficie externa del catalizador y desde allí hacia la corriente gaseosa. El reactivo A difunde desde la superficie a través de los poros del catalizador y reacciona dentro de la esfera. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Danckwertz definió el "Factor de ensanchamiento".2).2. Debido a que una partícula de catalizador poroso. Simetría esférica. La simetría es esférica. a saber: ∂c ∂m Ar dr + A dV = Φ D dV ∂t ∂r con dV = 4πr2dr. Dividiendo por dV. Aplicando nuevamente la ecuación (1. Hallar la distribución de concentraciones en la partícula y la transferencia total de A en la superficie. Aquí E = B. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento específica de velocidad con dimensiones de [t−1]. La segunda condición nos da : C2 = Rc AS senh(mR) cA = c AS R senh(mr ) r senh(mR) o sea: El transporte total en la superficie es: (2. la ecuación (2. Para estado estable y despreciando el término de arrastre en NAr.9) queda: 1 d ⎡ 2 dc A ⎤ k' r − cA = 0 2 ⎢ ⎥ r dr ⎣ dr ⎦ D AC (2.8) se convierte en: d 2 f (r ) − m 2 f (r ) = 0 dr 2 Ecuación similar a la (1. La primera hace que C1 = 0.35) cuya solución ya conocemos (1.10) donde DAC es la "Difusividad Efectiva" de A a través de los poros del catalizador. cA = cAS en r = R donde R es el radio de la partícula esférica de catalizador. Esta debe establecerse empíricamente por ausencia de información referente al mecanismo de transporte de a en los poros del catalizador y de la longitud de los mismos. f(r) = RcAS .102 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la ecuación (2. La solución se puede simplificar haciendo cA = f(r)/r: dc A 1 df (r ) f ( r ) por tanto = − 2 dr r dr r d ⎡ 2 dc A ⎤ d ⎡ df (r ) d 2 f (r ) df (r ) df (r ) d 2 f (r ) ⎤ r r = − f (r )⎥ = r + − =r dr ⎢⎣ dr ⎥⎦ dr ⎢⎣ dr dr dr dr 2 dr 2 ⎦ Con esto y haciendo m2 = k’/DAC.11) .37): rcA = f(r) = C1 cosh(mr) + C2 senh(mr) Las condiciones límite son: f(r) = 0 o sea cA finito en r = 0. 2. La relación entre la velocidad de transporte de un catalizador real y de uno perfecto es el llamado factor de eficacia. nos encontramos en mejores condiciones para comprender el tema de transporte de impulso. Imaginémonos un catalizador perfectamente efectivo en el cual todos sus poros interiores alcanzan cAS. Para partículas no esféricas. en función de los procesos difusionales que tienen lugar.2. La eficiencia tiene en cuenta la resistencia difusional del proceso global de conversión. El transporte total en la superficie sería igual entonces a la producción total en el interior. o sea mAP = α[4πR3/3][−k’cAS]. Para una esfera viene dado por: η= m AS = m AP ( 3 (k ' / D AC )R ) 2 [ (k ' / D AC )R coth ( (k ' / D AC )R ) − 1] (2. INTRODUCCIÓN AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DINÁMICA DE FLUIDOS.12) Esta ecuación expresa la velocidad de conversión (moles/tiempo) de A a B en una partícula catalítica de radio R. se define como el producto de su masa por su velocidad. Dado que el impulso o la cantidad de movimiento de un cuerpo. donde Vp y Ap son el volumen y la superficie de la partícula respectivamente. se puede usar un radio equivalente definido por: Req = 3Vp/Ap. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento mAS = α N Ar S r = R = −α 4π R 2 DAC dc A dr r=R Volumen de poros = fracciónde bocas de poros en la superficie Volumen de partícula Diferenciando (211) y reemplazando: α= ( k '/ DAC ) R coth ( ( k '/ DAC ) R )⎤⎦⎥ mAS = 4απ RDAC c AS ⎡⎢1 − ⎣ (2.12a) (k’/DAc)½ R es un grupo adimensional llamado número de Thiele. se puede pensar en la velocidad de un fluido en un punto dado como su .103 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ahora que se han visto algunos ejemplos elementales de transporte de calor y masa. Como el concepto de transporte de cantidad de movimiento generalmente no se enfatiza. En el tiempo t = 0 la placa inferior se pone en movimiento con velocidad constante vx1 = V aplicando una fuerza F en la dirección x mientras la placa superior se deja estacionaria (vx = 0). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento impulso por unidad de masa. En t = t2. la placa superior comienza a percibir el movimiento de la placa inferior. Como la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad.9b se grafican los perfiles de velocidad para varios tiempos. Esta es la condición de frontera denominada de “no deslizamiento” fundamentada experimental y teóricamente. Como la placa superior está estacionaria. la velocidad del fluido allí es cero. O sea que.2. La descripción matemática de este transporte forma una parte importante de la ciencia de la mecánica de fluidos. En otras palabras. La distancia entre las placas es b. Para t = 0 hay un cambio brusco en z = 0 desde vx = V hasta vx = 0. la que se mueve a la misma velocidad de la superficie.9a). Consideremos un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas (figura 2. con la velocidad decreciendo continuamente desde V en la placa inferior hasta cero en la placa superior. la cantidad de movimiento x se transporta en la dirección z desde la placa hasta el fluido y allí desde una capa de fluido a la siguiente. En la figura 2.1. Finalmente en t = ∞ se . El movimiento de la placa inferior por tanto causa un aumento en vx. En t = t1 la velocidad aumentó cerca del plano inferior. la velocidad del fluido en la dirección x. que es pequeña comparada con las otras dimensiones de las placas. Transporte de cantidad de movimiento entre placas paralelas. los cambios en la velocidad de un fluido pueden originar transporte de cantidad de movimiento.104 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. De esta manera el movimiento de la placa inferior hace aparecer un campo de velocidades en el líquido. Pero la capa de fluido vecina a la placa inferior se mueve con respecto a la capa de fluido inmediatamente superior que inicialmente se encontraba en reposo y a su vez le imprime movimiento. debemos revisar algunas definiciones básicas. así como los cambios de temperatura originan transporte de calor. Flujo de Couette. pero el impulso todavía no ha penetrado en el fluido cercano al plano superior. 2. habrá un correspondiente aumento en la cantidad de movimiento x. Al moverse la placa inferior arrastra consigo la capa de fluido inmediatamente adyacente. desde cero hasta algún valor positivo. de la naturaleza del fluido. 2.9b). τzx es el esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido situada a una distancia z. Los fluidos que obedecen la ecuación (2. Al tomar el límite cuando (z tiende a 0 nos aproximamos a la verdadera pendiente en z. la que está dada por la derivada parcial ∂vx/∂z.13) Es decir.2. Ley de Newton de la viscosidad. Considerando una región de espesor ∆z en la cual la velocidad cambia en una cantidad ∆vx. Continuemos considerando el flujo entre dos placas. que la fuerza por unidad de área es proporcional a la disminución de la velocidad con la distancia z. de la distancia b entre las placas y del área de contacto S de las mismas con el líquido.14) ∂z llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. Luego de un cierto periodo de tiempo el perfil alcanza su estado final estacionario (figura 2.9b antes de alcanzar el estado estacionario y la graficamos como vx contra z a t constante (figura 2. τ zx = − µ .2. Para desarrollar una expresión más general consideremos una de las curvas de la figura 2. por el fluido existente en la región donde z es menor. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento obtiene estado estable en el cual la velocidad no vuelve a cambiar con el tiempo. la cual. La ecuación básica resultante para el transporte de impulso unidireccional inestable es: ∂v x (2. Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento es preciso aplicar una fuerza Fx constante para conservar el movimiento de la lámina inferior. Para fluidos muy viscosos se puede requerir solo una fracción de segundo para alcanzar el 99 % de la condición de estado estable. usando la definición del operador diferencia se escribe como ∆v x = v x ( z + ∆z .14) se denominan newtonianos. El coeficiente de proporcionalidad µ se denomina viscosidad del fluido.10).105 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Para este caso especial viene dada por: Fx V (0 − V ) = µ = −µ S b (b − 0) (2.t ) Una ecuación consistente con la (2.t ) − vx ( z .13) será: Fx ∆v = −µ x S ∆z Donde la pendiente de la curva vx contra z es ∆vx/∆z. El concepto de tiempo infinito es claramente una abstracción matemática. Esta fuerza claramente depende de la velocidad V. entre ellos el aire y el agua son fluidos newtonianos. Las demás curvas de la figura 2. La curva B es un ejemplo de este comportamiento. Todos los gases y la mayoría de los líquidos simples. o sea que son unidades de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de área) en la dirección z.01P. El látex del caucho es un ejemplo de un fluido de éste tipo.11). La arena movediza y algunas emulsiones de arena presentan éste comportamiento.2. La curva D representa un fluido diletante. es cóncava hacia abajo para bajos esfuerzos cortantes haciéndose recta para esfuerzos cortantes elevados. Según las consideraciones del numeral anterior τzx puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad de área. que se representa por τ0. Fluidos no newtonianos.3. Una gráfica de τzx contra -∂vx/∂z a presión y temperatura constantes. o en unidades de 0. . La curva pasa por el origen. es decir. que es una recta que pasa por el origen de coordenadas. En el sistema internacional de unidades (SI) la viscosidad está dada en pascal segundo (Pa. Según la ecuación (2. Anteriormente se expresó en g/cm. La línea C representa un fluido seudoplástico.s) donde 1 Pa. Los líquidos que se comportan de esta forma reciben el nombre de Plásticos de Bingham. tal como ocurre con la densidad de flujo de calor que es proporcional al gradiente negativo de temperatura o al de masa que es proporcional al gradiente negativo de concentración. o poise (P). Un fluido newtoniano se describió como uno en el cual el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la velocidad de deformación. Examinando la ecuación también vemos que µ tiene las dimensiones de masa por unidad de longitud y unidad de tiempo. La curva es cóncava hacia arriba para bajos esfuerzos cortantes y se hace lineal para esfuerzos cortantes elevados.11 representan el comportamiento reológico de líquidos llamados no Newtonianos.14) se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad.106 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. plásticos fundidos y soluciones poliméricas. conocidas como centipoises (cP). Algunos líquidos como lodos. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Muchos fluidos de importancia industrial y biológica no obedecen esta ley y se llaman no newtonianos. y después fluyen linealmente para esfuerzos cortantes superiores. Este comportamiento más sencillo es el correspondiente a la curva A.s 2. o sea la viscosidad es constante e independiente de la velocidad de deformación. no fluyen hasta que se alcanza un esfuerzo cortante mínimo. Algunos de ellos son la pasta dental.s = 10 P = 1000 cP = 1 Kg/m. nos dará una línea recta para un fluido newtoniano pero se desviará de la línea recta para un fluido no newtoniano (figura 2.s. la dirección de velocidad decreciente. 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2. donde n = 1 para fluidos newtonianos.2. Sin embargo éste no es el caso de algunos fluidos no newtonianos cuyas curvas de esfuerzo cortante contra velocidad de cizalladura dependen del tiempo que ha actuado el esfuerzo cortante.107 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. τ yx dv = −m x dy n −1 dv x dy Esta ecuación es llamada también modelo de Ostwald de Waele.11 depende de la historia del fluido de tal forma que una determinada muestra de material presenta el mismo comportamiento independientemente del tiempo que se le haya aplicado el esfuerzo cortante. Ninguna de las curvas de la figura 2. Los plásticos de Bingham como los representados por la curva B siguen una ecuación reológica del tipo dv dv τ yx = − µ 0 x ± τ 0 … si … τ yx > τ 0 . Esfuerzo cortante frente a gradientes de velocidad para fluidos no newtonianos. Los líquidos tixotrópicos se desnaturalizan bajo la acción continuada de un esfuerzo cortante y.1. Flujo dependiente del tiempo. . dan lugar a un menor esfuerzo cortante al aplicar una velocidad de cizalladura dada. respectivamente.… x = 0… si … τ yx < τ 0 dy dy Los fluidos diletantes y pseudoplásticos siguen con frecuencia la ecuación de la ley de la potencia n. las estructuras originales se recuperan con el tiempo. n > 1 para un fluido diletante o que aumenta la viscosidad con el esfuerzo. al mezclarlos de nuevo. Los parámetros m y n son constantes que reciben el nombre de índice de consistencia de flujo e índice de comportamiento de flujo.3.2. En general. de forma que para una velocidad de cizalladura constante el esfuerzo cortante aumenta con el tiempo. Las sustancias reopécticas se comportan de manera contraria.3. y n < 1 para fluidos pseudoplásticos o sea que el coeficiente disminuye al aumentar el gradiente. 2. 4. Transporte de cantidad de movimiento unidireccional estacionario. Puesto que los fluidos no Newtonianos no tienen un único valor de la viscosidad independiente del esfuerzo cortante.2. teniendo presente que se supone alcanzado el estado estacionario y que vx es sólo función de z. Flujo de Couette. además de las anteriores consideraciones sobre presión y fuerza obtenemos: τ zx z + dz − τ zx z = 0 pero τ zx z + dz = τ zx z + dτ zx dv x ⎞ d 2vx d ⎛ = ⎜− µ =0 ⎟ = −µ dz dz ⎝ dz ⎠ dz 2 d (τ zx )dz por lo cual dz (2. 2.2.2. Número de Reynolds para fluidos no newtonianos.7) para el caso de fluidos newtonianos de densidad y viscosidad constantes. se ha propuesto la siguiente ecuación n 3− n Re = 2100 (4n + 2)(5n + 3) 3(3n + 1) 2 que está de acuerdo con las observaciones de que la iniciación de la turbulencia ocurre para números de Reynolds superiores a 2100 con fluidos seudoplásticos (n < 1).3. (1. Aplicando el balance generalizado. Nótese que no existen otras fuerzas netas actuando en la dirección x pues la presión no varía con x y la gravedad no varía en esta dirección.1 y al cual hacen alusión las figuras 2.15) . En este caso no hay flujo neto de cantidad de movimiento convectivo en la dirección x debido a que vx no depende de x.9b. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2. La acción de los esfuerzos cortantes en un elemento de volumen de altura dz puede incluirse tanto como fuerzas en un balance de fuerzas como un flujo de cantidad de movimiento en un balance de cantidad de movimiento. no puede utilizarse la ecuación para el número de Reynolds.3. una definición ampliamente utilizada para fluidos de la ley de la potencia es n 2− n ⎛ n ⎞ D ρV Re = 2 ⎜ ⎟ m ⎝ 3n + 1 ⎠ Para el número de Reynolds crítico correspondiente a la transición a flujo turbulento.9a y 2. La definición del número de Reynolds para tales fluidos es algo arbitraria.108 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Este es el caso que se presenta en la sección 2. 16) τ rz = − µ z ∂r que es similar a la ecuación de τzx para transporte de la cantidad de movimiento x en la dirección z. puesto que la cantidad de movimiento es un vector y la temperatura un escalar. . y aún en sistemas monodimensionales cuando se usan sistemas coordenados diferentes al cartesiano. Esta diferencia generalmente se evidencia en el flujo bidimensional. Se desea hallar la fuerza Fz requerida para mover el pistón a través del aceite con velocidad constante V.5.109 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. O sea hay distribución de flujo de cantidad de movimiento constante. Advertimos que la analogía entre el transporte de calor y cantidad de movimiento no es completa en general. si. τzx = τS es una constante. 2. el transporte de cantidad de movimiento en la dirección r está descrito por: ∂v (2.5.9). 2. Transporte de cantidad de movimiento en un anillo. no habiendo diferencias de presión o fuerzas gravitacionales. Simetría radial. ecuación (2.12). Separando variables en la ley de newton e integrando entre los límites dados por las condiciones límite: z vx µ (V − v x ) 0 V z (τ S ) ∫ dz = − µ ∫ dv x ⇒ τ S = ( b) =µV De acá el perfil de velocidad es vx ⎛ z ⎞ = ⎜1 − ⎟ V ⎝ b⎠ Este perfil lineal es análogo al obtenido para el transporte de calor en una pared plana sin generación haciendo T2 = 0 (ecuación 1. Sin embargo.2.1. moviéndose axialmente a través de un aceite lubricante contenido en el espacio anular comprendido entre el pistón y un cilindro concéntrico de radio R2.2. (Figura 2. Desprecie los efectos de borde.14). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Es decir. vz = f(r) y vr = vθ = 0. hablando de simetría cilíndrica. Consideremos un pistón metálico horizontal de radio R1 y longitud L. Como el pistón se mueve en la dirección z el fluido tendrá una componente de velocidad vz. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Solución: Sea r la distancia desde el centro del pistón y z la distancia a lo largo del eje del mismo. la velocidad del fluido en la superficie del cilindro externo debe ser cero ya que el cilindro externo está fijo. el pistón es horizontal y no habrá fuerzas gravitacionales ni de presión en la dirección z. con Sr = 2πrL: d τ rz r + dr − τ rz r (2πrL ) = 0 ⇒ (rτ rz ) = 0 dr ( ) (1. En este momento. Así en el estado estable. Por igual razón. vz = 0 en r = R2. De esta manera la velocidad del fluido variará con la posición radial desde vz = V hasta vz = 0. Esta variación radial significa que el pistón está impartiendo cantidad de movimiento z al fluido y esta cantidad de movimiento se transporta radialmente a través de capas sucesivas de fluido hasta el cilindro exterior. C 2 = − µV − µv ln R1 ln R2 R1 y el perfil de velocidades es V − v z ln r R1 = R V ln 2 R1 despejando v z ln r R2 = V ln R1 R2 (2. la distribución de densidad de flujo es: C1 dv = − µ z ⇒ − µv z = C1 ln r + C 2 r dr Las condiciones límite τ rz = i.110 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. ii. C1 = (2. µV ln R2 R1 . tenemos una situación similar al ejemplo de las placas paralelas excepto que debemos trabajar en coordenadas cilíndricas.18) vz = V en r = R1. Aplicando la ecuación de balance (1.7) (2.17) Integrando rτrz = C1. el problema es análogo al problema de transferencia de calor a través de la pared de un tubo ya discutido.19) . Ahora.7)en la dirección radial: SALIDA − ENTRADA + ACUMULACION = GENERACION a un cascarón cilíndrico de espesor dr. Las condiciones físicas simplificantes de la ecuación general son: la presión es constante. la velocidad en la superficie del pistón (r = R1) debe ser igual a V puesto que el fluido se adhiere a la superficie del pistón. La velocidad en la dirección z positiva es vz. para valores del número de Reynolds inferiores a 2100. podemos aplicar las ecuaciones obtenidas reemplazando T por vz.6. permanece en la misma posición radial y angular a medida que avanza axialmente con el fluido. Esto significa que una partícula trazadora colocada en una posición cualquiera. ambos evaluados en r = R1.13).2. Ti por V y To por 0. que las ecuaciones diferenciales. Seleccionando r = R1 y usando la ley de Newton de la viscosidad. r = R2 o cualquier r arbitrario.111 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Adicionalmente suponemos que el fluido está en flujo laminar. Consideremos una sección del tubo alejada de los extremos del mismo (figura 2. ⎡ ⎤ ⎡ 2πR1 LV ⎤ dv 2πLVµ [ = F1 = τ rz S r r = R = ⎢− µ z 2πR1 L] = µ ⎢ ⎥ ⎥ 1 dr r = R1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎣ r ln( R2 / R1 ) ⎦ r = R1 ln⎛⎜ R2 ⎞⎟ ⎝ R1 ⎠ 2. Un fluido newtoniano fluye hacia arriba en estado estable en el interior de un conducto circular largo de longitud L. Sin embargo. En estas condiciones se dice que el flujo está completamente desarrollado. no cambiando con z. en z = L es PL. o sea que hablamos de un fluido incompresible. la que depende de la posición radial. Tomemos como z la dirección hacia arriba. El número de Reynolds es una cantidad adimensional definida. para el caso de conductos circulares por la expresión Re = ρvd/µ. La distribución de velocidades es entonces similar a (1. radial y angularmente hablando. Como problema de diseño podríamos pensar en la necesidad de determinar la diferencia de presiones P0 − PL requerida para bombear un fluido con determinada viscosidad a través de un conducto de radio R y longitud L a una . leyes de flujo y condiciones límite son análogas al caso de transporte de calor en la pared de un tubo siempre que To = 0. La densidad ρ del fluido se asume constante. indicando que la velocidad vz es sólo función de r.25). y r la distancia desde el centro. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Si observamos sin embargo.23) La velocidad de flujo de cantidad de movimiento se obtiene multiplicando el flujo de cantidad de movimiento por el área de flujo. En z = 0 la presión que actúa uniformemente sobre el área transversal πR2 es P0. lo realizaremos para enfatizar el procedimiento: Como el flujo de cantidad de movimiento es constante puede evaluarse en r = R1. Transporte de cantidad de movimiento con generación. Para un fluido newtoniano fluyendo en un conducto circular el flujo laminar existe. Es similar al flujo de calor Qr calculado en r = Ri y podría obtenerse por similitud con la ecuación (1. y del cuerpo o que actúan a través del fluido como las gravitacionales.13. como se indica en la figura 2. Para hallar vmed a partir de la distribución de velocidad para tubos vz(r). Para esto es necesario realizar un balance de cantidad de movimiento en la dirección z sobre el elemento de volumen ∆V = 2πrL∆r (figura 2. para un fluido incompresible y newtoniano no hay esfuerzos viscosos normales como τzz puesto que éstos dependerían de ∂vz/∂z. En el ejemplo anterior dAz = d(πr2) = 2πrdr. con el fin de determinar el tamaño de la bomba necesaria. . Para hallar el caudal volumétrico para el tubo completo integramos sobre el área transversal.13) Como se supuso estado estable no hay aceleración neta y la suma de fuerzas actuando en la dirección z es cero. Estas son fuerzas superficiales como la presión.112 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Observando la ecuación (2.20) 0 Az 1 R Q' = 2 ∫ v z 2πrdr Az πR 0 (2. que es cero en flujo completamente desarrollado (vz no es función de z). la velocidad promedio vmed se define en términos del caudal volumétrico Q’ [m3/s] por: Q’ = Azvmed. z = 1 ∫ v z dAz Az Az (2. normal a la dirección del flujo. en la que Az es el área transversal (πR2 para el tubo). Si la densidad es constante. En general las fuerzas viscosas pueden actuar ya sea perpendicularmente a las superficies del fluido (fuerzas normales) o tangencialmente a las mismas (fuerzas cortantes). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento velocidad promedio V. haciendo tender ∆r a cero: R Q' = ∫ dQ' = ∫ v z 2πrdr vmed = (2.2. se debe encontrar primero una ecuación para Q’ en términos de vz. Sin embargo.7. 2.22) donde dAz es un elemento diferencial de área. Para hacerlo.22) es claro que el cálculo de vmed requiere el conocimiento de vz en cada posición radial. consideremos un elemento de área dAz = 2πr∆r. El caudal volumétrico para este elemento de área para cualquier z es ∆Q’= vz(2πr∆r).21) En forma general para un conducto de área seccional arbitraria Az: vmed . Velocidad promedio. Las condiciones límite para (2. el segundo término del lado izquierdo. rτrz = 0. capítulo 1). Aquí τS es el flujo de cantidad de movimiento en r = R. es decir ΦM = P0 − PL − ρg L (2. Obtenemos: rτ rz ⌠ d (rτ ) = r Φ rdr ⇒ rτ = Φ (r2/2) y Rτ = Φ (R2/2) ∫ M rz M S M ⎮ rz ⌡ 0 0 de donde: τrz = ΦM (r/2) = τS (r/R). a saber: τ rz S r r + ∆r − τ rz S r r + ( ρv z v z z=L − ρv z v z z =0 )(2πrdr ) = ( P0 − PL )(2πrdr ) + ρg z ∆V Como la velocidad en la dirección z no cambia sobre la misma línea de corriente. Recordando que Sr = 2πrL y ∆V = 2πrLdr. ii. Separando variables e integrando entre r y R obtenemos: 2 ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ ⎛ Φ M R 2 ⎞⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ ⎟⎟⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = vmax ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ v z = ⎜⎜ ⎝ 4µ ⎠⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ (2.23a) que tiene dimensiones de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de volumen (o fuerza por unidad de volumen). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El balance de cantidad de movimiento viscoso en la dirección r y convectivo en la dirección z debe equilibrarse con la suma de fuerzas de presión y gravitatorias que actúan sobre el elemento de volumen.20) y (2.23) son: i. y como por la disposición de los ejes gz = − g: 1 d [rτ rz ] = P0 − PL − ρg L r dr (2. escrita de esta forma la solución tiene analogía con la situación de análisis de un reactor nuclear cilíndrico cuya temperatura superficial se mantiene constante gracias al flujo de un refrigerante (Simetría cilíndrica con generación. correspondiente al cambio de cantidad de movimiento convectivo en la dirección z es cero.23) Al observar el paralelismo entre las ecuaciones (1. r = R. Esta expresión indica que la distribución de flujo es lineal.113 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. dividimos por ∆V ⇒ 0.24) . r = 0. Usando la ley de Newton de la viscosidad: − µ(dvz/dr) = ΦM (r/2). vz = 0. nos lleva forzosamente a concluir que el término de generación de cantidad de movimiento es la suma de fuerzas.23). Ecuación de Hagen Poiseuille. de tal forma que ℘0 = Po.8. consistentemente con el hecho de que los perfiles tengan su máximo en el eje de simetría.22) para obtener la velocidad promedio según (2.21): R v med ⎛ 2v = ⎜ max 2 ⎝ R ⎞⌠ ⎡ ⎛ r ⎞ ⎟⎮ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎠⎮ ⌡ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ 2 ⎤ ⎛ 2v max ⎥rdr = ⎜ 2 ⎝ R ⎥⎦ R v r4 ⎤ ⎞⎡ r 2 = max ⎟⎢ − 2 ⎥ 2 ⎠⎣ 2 4R ⎦ 0 0 Es decir que la velocidad máxima es el doble de la promedia. primero integramos (2. ℘L = (PL − ρgzL). la solución a un problema análogo se puede escribir por éste procedimiento. Regresando a nuestro objetivo de obtener una expresión para la caída de presión en el tubo en términos de la velocidad promedio. Y aún en problemas más complejos. Reemplazando las equivalencias: vmed = ( P0 − PL ) + ρg z L 2 R 8µL (2. (2. por ejemplo de la literatura. ℘0 −℘L = 8µLv m R2 que es la ecuación de Hagen Poiseuille.2. definida como: ℘ = (P − ρgzz). en los cuales no es posible obtener la solución analítica. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Comparando con el reactor cilíndrico (1. es posible hacer uso de la analogía midiendo experimentalmente una cantidad y usando este resultado para obtener otra.114 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Por ejemplo en la estimación de la temperatura máxima en un reactor nuclear más complejo que el descrito. puede ser más fácil y seguro medir la velocidad máxima en un experimento análogo de flujo de fluidos y entonces usar la analogía para calcular la temperatura en el reactor en lugar de medirla directamente. teniendo su máximo en la pared y cero en el centro.26) .22) se podrá observar que tanto la distribución de velocidades como la de temperaturas son parabólicas al tiempo que las densidades de flujo son lineales. 2. Así: P0 − PL + ρgzL = ℘0 − ℘L.25) Algunos textos usan la llamada presión dinámica o modificada. En general si la solución a un problema de transporte se puede obtener. es la fuerza guía que provoca el flujo. Algunos ingenieros definen la presión dinámica como ℘ = P + ρgh . dependiendo del signo de (PO − PL) y de gz. llamada la cabeza hidrostática.27) . negativa o cero. Entonces vm = 0. ℘o − ℘L valdrá cero. por tanto: PO + ρgzL = PL. el término (℘0 − ℘L)/ρ sería la diferencia total de cabeza. vz < 0. Retornando a la expresión para ΦΜ: ΦM = ( P0 − PL ) + ρg z L ℘0 −℘L − ∆P = = + ρg z L L L Esta representa la velocidad de generación de cantidad de movimiento por unidad de volumen. donde h es la distancia por arriba de un punto de referencia. Es algunas veces conveniente tener la ecuación de Hagen Poiseuille (2. y de la ecuación (2. denominada la diferencia dinámica de presiones. Multiplicando por el área transversal Az para obtener el balance de fuerzas: POAz + ρgzLAz = PL Az Esta ecuación establece que la fuerza de presión actuando hacia abajo en z = L es mayor que la fuerza de presión actuando hacia arriba en z = 0 por la fuerza debida a la gravedad ρgzAzL cuando el fluido está en reposo. Hagamos un paréntesis para considerar el caso en el cual no hay flujo. Si el fluido no estuviera en reposo.26). En el ejemplo anterior h = L en z = L y no hay diferencia con la definición inicial puesto que gz = −g.115 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Notamos que es positiva. Si el término de generación es negativo. y g siempre es positiva. Para ΦΜ = 0 no hay flujo. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La cantidad ℘0 − ℘L. la interpretación física es que el flujo ocurre en la dirección z negativa y se genera cantidad de movimiento negativo. es decir.26) en términos del caudal volumétrico de flujo para lo cual multiplicamos vm por el área seccional de flujo: ℘0 −℘L = 8µLQ' 8µLm' 128µLm' = = πR 4 ρπR 4 ρπD 4 m’ es el caudal másico y D el diámetro interno de la tubería. es decir el fluido está estático en el tubo. Si dividimos la fuerza gravitatorio por ρgzAz obtenemos la cantidad L. (2. La cabeza hidrostática frecuentemente se mide en unidades tales como pies de agua. cA y vx son los potenciales. llamada también viscosidad cinemática. ρC p Difusividad de cantidad de movimiento: υ = µ . ANALOGÍAS ENTRE LOS TRES FENÓMENOS DE TRANSPORTE.3. DAB y µ se llaman las propiedades de transporte moleculares. donde Cp es capacidad calorífica a presión constante. Notando que las dimensiones de la difusividad másica son [longitud al cuadrado/tiempo]. En cada caso las ecuaciones toman la forma: Densidad de Flujo = (Propiedad de Transporte)x(Gradiente de Potencial) Donde k. Hasta ahora se han usado los mismos modelos básicos para desarrollar las siguientes leyes de flujo (ecuaciones constitutivas o expresiones fenomenológicas) para el transporte de energía. ρ Suponiendo que Cp y ρ son constantes reescribimos las leyes de flujo como: ∂ ( ρC P T ) ∂z Energía Térmica q z = −α Masa de A J Az = − D AB ∂c A ∂z o similarmente j Az = − D AB ∂ρ A ∂z Cantidad de Movimiento τ zx = −ν ∂ ( ρv x ) ∂z .116 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ley de Fick Ley de Newton de la viscosidad. masa y cantidad de movimiento: Energía Materia Cantidad de movimiento unidireccional qz = − k (∂T/∂z) JAz = − DAB (∂cA/∂z) τzx = − µ (∂vx/∂z) Ley de Fourier. Aunque estas ecuaciones son similares ellas no son completamente análogas debido a que las propiedades de transporte tienen unidades diferentes. y T. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2. podemos definir difusividades para calor y cantidad de movimiento como Difusividad Térmica: α = k . su relación nos dará cantidades adimensionales: Número de Prandtl: Pr = ν/α Número de Schmidt: Sc = ν/DAB Número de Lewis: Le = α/DAB = Sc/Pr.1. 2. Además ρvx tiene dimensiones de cantidad de movimiento por unidad de volumen y puede interpretarse como concentración de cantidad de movimiento. contribuciones al balance de materia son (ver figura 2. Dentro de este elemento se puede producir A por reacción química con una velocidad ΦΑ Las distintas (masa/tiempo·volumen). Estas cantidades aparecen en situaciones donde hay transporte simultáneo de calor e impulso.117 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Podemos extender la analogía para cubrir esta situación diciendo entonces que las densidades de flujo pueden tener componente difusiva Πm y componente convectiva ΠCz = Ψvz.3. Aunque en este capítulo no vimos transferencia convectiva neta de calor ni de cantidad de movimiento. o calor y masa respectivamente. Apliquemos la ley de la conservación de la materia de la especia A a un elemento de volumen ∆x∆y∆z fijo en el espacio. Podemos generalizar esta similitud y escribirla como Πmz = − β(∂Ψ/∂z). Esto lo podemos extender para un sistema multidireccional y nos será de mucha utilidad en los balances generalizados. siendo Πmz cualquiera de las densidades de flujo difusivas. β cualquiera de las difusividades y Ψ cualquiera de las concentraciones. este hecho puede generar una densidad de flujo convectiva neta que representamos por ρAvz. Como las difusividades poseen las mismas dimensiones.14): Velocidad de variación de la masa de A con el tiempo en el elemento de volumen: . Ecuaciones de continuidad para una mezcla binaria. a través del cual fluye una mezcla binaria de A y B. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Notemos que (ρCPT) tiene unidades de energía por unidad de volumen o concentración de energía por analogía con cA (moles de A por unidad de volumen) o ρA (masa de A por unidad de volumen). masa e impulso. observamos que cuando hay transferencia de masa. Aquí las leyes de flujo están escritas en la forma difusional: Flujo = − Difusividad x Gradiente de Concentración. La ecuación de continuidad. nAy.3. y.29) ∂z ∂y ∂x ex. z. El vector densidad de flujo en coordenadas rectangulares es nA = nAx + nAy + nAz. y (2. Este operador puede mirarse como una notación taquigráfica de la sucesión de vectores unitarios y de derivadas parciales mostrados. la masa total es la cantidad total de todos los materiales en el sistema. ey. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ∂ρ A ∆ x ∆y ∆ z ∂t Velocidad de producción de A por reacción química homogénea: ΦA∆x∆y∆z Entrada de A a través de la cara situada en x: ( n Ax x ∆y∆z ) Salida de A a través de la cara situada en x + ∆x: ( n Ax x + ∆x ∆ y ∆z ) También existen términos de entrada y salida en las direcciones y e z. ya definido. Este operador puede ser aplicado a un escalar tal como la temperatura o la concentración: ∂c ∂c ∂c A + e y A + ez A (2. Esta variación resulta del movimiento de A y de las reacciones químicas que dan lugar a A.28) Esta es la ecuación de continuidad para el componente A de una mezcla binaria.28) será: ∇n A + ∂ρ A = ΦA ∂t (2. Naturalmente.2. Escribiendo el balance completo de materia y dividiendo por ∆x∆y∆z y haciendo tender a cero el elemento de volumen. ez son los vectores unitarios en las direcciones x. La masa total debe distinguirse de la cantidad (o concentración) de alguna especie . se obtiene: ⎡ ∂n Ax ∂n Ay ∂n Az ⎤ ∂ρ A ⎢ ∂x + ∂y + ∂z ⎥ + ∂t = Φ A ⎣ ⎦ (2.118 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La introducción del operador ∇ (nabla) permite simplificaciones considerables. El término ∇cA se llama el gradiente de cA. que describe la variación de la concentración de A con respecto al tiempo para un punto fijo en el espacio. Las magnitudes nAx. Como se indicó anteriormente una de las propiedades más importantes que se conservan en un sistema es la masa total.28a) 2. nAz son los componentes rectangulares del vector densidad de flujo de materia nA = ρΑvA. ∇c A = ex El operador ∇ puede también aplicarse a un vector tal como la densidad de flujo. Si el sistema tiene solo dos componentes. idéntica a la que se obtendría para un fluido puro. Para obtenerla aplicamos ρA + ρB = ρ.28b) La suma de estas dos ecuaciones (2.28) y (2. el balance para la especie B viene dado por ∇n B + ∂ρ B = ΦB ∂t (2. En problemas de transferencia de calor o de cantidad de movimiento es vital contabilizar la masa que entra o que sale. por ejemplo. la ecuación (2. aún si un sólo componente está presente en el sistema o si la composición es invariable en un sistema multicomponente (tal como el aire). Esta ecuación es extremadamente importante y tiene amplia aplicación. puesto que ∂ρ/∂t debe ser 0 si la densidad es constante. tal como el flujo sanguíneo desde el corazón sigue siendo descrito por ésta ecuación.28c) que es la ecuación de continuidad para la mezcla. que la forma correcta de la ecuación de continuidad para un problema de flujo en estado transitorio.119 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Debemos además enfatizar que es cierta para cualquier sistema de densidad constante y no es necesario suponer estado estable. es decir el flujo es incompresible.v) = 0.28b) conduce a: ∇ ⋅ ρv + ∂ρ =0 ∂t (2. La suposición de incomprensibilidad es cierta aún para flujos gaseosos cuando los cambios en presión son modestos. Esto significa. nA + nB = ρv así como la ley de la conservación de la materia expresada como ΦΑ + ΦΒ = 0. Aquí la propiedad de concentración es ahora la masa total por unidad de volumen y es la densidad. Si la densidad es constante. .28d) Coordenadas Cilíndricas: 1 ∂ ( ρrv r ) + 1 ∂ ( ρvθ ) + ∂ ( ρv z ) + ∂ρ = 0 ∂z r ∂r r ∂θ ∂t Coordenadas Esféricas 1 ∂ 1 ∂ ( ρvθ senθ ) + 1 ∂ (ρvφ ) + ∂ρ = 0 ρr 2 vr + 2 r senθ ∂θ r senθ ∂φ ∂t r ∂r ( ) En muchos problemas ingenieriles la densidad puede asumirse constante.28d) se reduce a (∇. Permítanos suponer que no se crea o se destruye materia por medios nucleares (no hay generación). Su expansión en los diversos sistemas coordenados es como sigue: Coordenadas rectangulares: ρ∇⋅v + v⋅∇ρ + ∂ρ/∂t = 0 (2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento individual que pueda difundir adentro o afuera del sistema. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Un desarrollo similar puede hacerse en función de unidades molares: ∇N A + ∂c A = Φ *A .120 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. El resultado es (∇⋅Ψv) = Ψ(∇⋅v) + (v⋅∇)Ψ. Podemos usar la analogía para extender este balance a transferencia de calor o de cantidad de movimiento. a concentración molar total constante y estado estable se reduce a (∇⋅v*) = 0. ∂t ∇cv * + ∂c = Φ *A + Φ *B ∂t donde NA + NB = cv* y cA + cB = c. Esta ecuación no es tan útil. como en general el numero de moles no se conserva. debido a que la mayoría de los problemas involucran densidad constante pero no concentración molar constante.28a) puede escribirse entonces como ∇Π + ∂Ψ =Φ ∂t (2.28e) La aplicación del operador ∇ a un vector se llama la divergencia de ese vector. Si los moles que desaparecen son iguales a los que se generan. o más simplemente el producto punto. ∂t ∇N B + ∂c B = Φ *B . no podemos tomar ΦA* + ΦB* = 0. La ecuación (2. uno difusional y uno convectivo: Π = Πm + Πc. recordando que la densidad de flujo es la suma de dos términos. Para coordenadas rectangulares: ∇⋅Π = ∂Π x ∂Π y ∂Π z + + ∂x ∂y ∂z (2. Sin embargo.Ψv = ∂( Ψvx ) ∂( Ψv y ) ∂( Ψvz ) + + ∂z ∂x ∂y Esto puede expandirse usando la relación general ∂(xy) = x∂y + y∂x.30) Al aplicar el operador ∇ a la densidad de flujo convectiva Π c = Ψv obtenemos ∇. El producto (v⋅∇) operando en Ψ es ( v ⋅ ∇) Ψ = v x Similarmente ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ + vz + vy ∂z ∂y ∂x . 31) Coordenadas Esféricas: ∂Π φ ⎤ ⎡1 ∂ 2 1 ∂ (Πθ senθ ) + 1 r Πr + ∇⋅Π = ⎢ 2 ⎥ r senθ ∂θ r senθ ∂φ ⎦ ⎣ r ∂r ( ) (2.32) Las ecuaciones deben dejarse en términos de concentración de la propiedad mejor que en densidad de flujo.28a). la ecuación vectorial correspondiente es la divergencia de la densidad de flujo (∇⋅Π) = (∇⋅Πm) + (∇⋅Πc) = [∇⋅(−β∇Ψ)] + (∇⋅Ψv)] (2. el producto resultante es un escalar. ∇Π + ∂Ψ/∂t = Φ. Anteriormente la densidad de flujo fue presentada como la suma de términos moleculares y convectivos.121 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La divergencia en coordenadas cilíndricas y esféricas es Coordenadas Cilíndricas: ⎡1 ∂ (rΠ r ) + 1 ∂Πθ + ∂Π z ⎤⎥ ∇⋅Π = ⎢ ∂z ⎦ r ∂θ ⎣ r ∂r (2.33) Incluyendo esta expresión en el balance generalizado (2. Esto es posible ya que una ecuación vectorial escrita en notación vectorial se aplica a todos los sistemas coordenados. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛ ∂v ∂v ∂v ⎞ Ψ (∇ ⋅ v ) = Ψ ⎜ x + y + z ⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂v ∂v ∂v ⎞ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ + vz + vy ∇ ⋅ Ψv = Ψ⎜⎜ x + y + z ⎟⎟ + v x ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x El producto (∇. Esto será de gran ayuda cuando las ecuaciones de balance deban ser expresadas en sistemas coordenados alternos. obtenemos: (∇⋅Ψv) + (∂Ψ/∂t) = ∇⋅(β∇Ψ) + Φ (2.Ψv) es llamado la divergencia de Ψv o el producto punto de ∇ y Ψv. Nótese que el gradiente (un vector por un escalar) da un vector. O sea que una ecuación escrita en notación vectorial puede transformarse a cualquier sistema coordenado. El operador ∇ tiene la ventaja adicional de que puede ser expresado en coordenadas curvilíneas. Para el problema tridimensional.34) . energía calorífica o cantidad de movimiento) puede.1.3. La derivada substancial.4. El gradiente y el laplaciano de un escalar.122 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. ∇Ψ = e r 1 ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ + ez + eθ r ∂θ ∂z ∂r (2. θ. y un nombre especial. ez son vectores unitarios en r. eφ son vectores unitarios en r.37) (2.35) 1 ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ 1 ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ (2.3. θ.40) 2. El producto punto (∇⋅∇) operando sobre un escalar ocurre tan frecuentemente que se le ha dado un símbolo especial ∇2. φ respectivamente). lo que en coordenadas rectangulares nos lleva a: dΨ ∂Ψ dx ∂Ψ dy ∂Ψ dz ∂Ψ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t .36) + ⎜r ⎟+ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ 2 ∂z 2 Coordenadas Esféricas (er. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para difusividad β constante e isotrópica. el de operador Laplaciano. Coordenadas Cilíndricas (er. eθ. en un caso general. La concentración (de masa. Balance generalizado para fluido incompresible y propiedades de transporte constantes.34): (∇⋅Ψv) + (∂Ψ/∂t) = ∇⋅(β∇Ψ) + Φ con (∇⋅Ψv) = Ψ(∇·v) + (v⋅∇)Ψ y (∇·v) = 0 se reduce a (v⋅∇)Ψ + ∂Ψ/∂t = β∇2Ψ + Φ (2. ser función de la posición y/o del tiempo. z respectivamente). Se puede incluir una simplificación adicional en la escritura definiendo de la siguiente forma la derivada sustancial. nos aparece al lado derecho el término β (∇⋅∇Ψ).3.38) 2.4. ∇2Ψ = ∇Ψ = er ∇2Ψ = ∂Ψ 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sen φ ∂φ 1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎞ 1 1 ∂ 2Ψ ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ sen θ + + r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ r 2 sen 2 θ ∂φ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sen θ ∂θ ⎝ (2. 2. eθ.3. En este caso el balance (2. < r < R2). dy/dt. ¿Es posible mantener una distribución de temperaturas radial lineal en la pared? Si es así. o en ocasiones la derivada de Lagrange. Si el detector está fijo en el espacio dΨ/dt = ∂Ψ/∂t. la densidad puede considerarse constante y v = 0 por lo cual ρC P ∂T = k∇ 2T + Φ H ∂t EJEMPLO 2. Vemos que DΨ/Dt = (v⋅∇)Ψ + ∂Ψ/∂t. ¿qué condiciones especiales deben existir? Solución. si se mantienen temperaturas uniformes T1 y T2 en las superficies interna y externa. Si el elemento detector sigue el flujo.41) El balance general de masa o de calor es fácilmente obtenido haciendo la sustitución adecuada de concentraciones. El balance (2. Considere condiciones de estado estable para las que T1 > T2. Para sólidos. el volumen de esta masa de fluido puede cambiar con el tiempo mientras se mueve.42) Se aplica para gases a presión constante y para fluidos incompresibles (ρ constante). Las cantidades dx/dt. El balance generalizado en coordenadas cilíndricas y v = 0 . Determine la distribución de temperaturas en la pared de un tubo circular largo de radios interno y externo R1 y R2 respectivamente. Para transferencia de calor con k constante la ecuación es: ρC P DT = k∇ 2T + Φ H Dt (2.123 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. dz/dt son las componentes de velocidad del elemento detector y dΨ/dt será una derivada total. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El significado físico de esta derivada puede entenderse si imaginamos un instrumento que lea Ψ y pueda moverse en el fluido. mientras la generación de energía térmica ΦH ocurre dentro de la pared del tubo (R1. Representa la velocidad de cambio de Ψ para una masa constante de fluido que se mueve. sus componentes de velocidad serán las mismas del fluido y nosotros tenemos DΨ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ + + vz + vy = vx Dt ∂t ∂z ∂y ∂x Esta nueva derivada se denomina la derivada substancial o material.11.40) se reduce entonces a: DΨ = β∇ 2 Ψ + Φ Dt (2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ( kr )+ 2 (k ) + (k ) + Φ H = ρc p r ∂r r ∂φ ∂φ ∂z ∂z ∂t ∂r Como T es solo función de r dT 1 d (kr ) + ΦH = 0 r dr dr Integrando una vez con k constante ΦH r2 dT =− + C1 r 2k dr Integrando nuevamente ΦHr2 T =− + C 1 ln r + C 2 4k Aplicando las condiciones límite T1 = − Φ H R12 + C1 ⋅ lnR1 + C2 4k T2 = − Φ R22 + C 1 ⋅ ln R 2 + C 2 4k H (T1 − T2 ) = ( R2 2 − R12 ) R ΦH + C1 ⋅ ln 1 4k R2 (T1 − T2 ) − ( R2 − R1 ) 2 C1 = ln 2 ΦH 4k R1 R2 Φ R Φ R C2 = T1 + H 1 − C1 ln R1 o también C2 = T2 + H 2 − C1 ln R2 4k 4k 2 2 Reemplazando y reorganizando (T − T2 ) = Φ H (R2 − r 2 4k 2 ) + ln(r / R ) ⎡(T − T ) − Φ (R 2 ln(R1 / R2 ) ⎢⎣ H 1 2 ) − R12 ⎤ ⎥ 4k ⎦ 2 2 .124 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y el semiespesor de los discos L. de tal forma que puede despreciarse la difusión por dichos bordes. La ecuación 2. la rapidez de reacción k1'' a.12. la concentración cAS de A sobre la superficie exterior de los discos (z = ± L). El área superficial del borde de los discos es pequeña en comparación con la de las dos caras circulares. (ii) el flujo molar a través de la superficie total de un disco (z = ± L) Solución. desarrolle expresiones para (i) el perfil de concentración dentro del catalizador.41). EJEMPLO 2. En términos del “coeficiente de difusión efectivo” DAB.28).28: ∇N A + ∂c A = ΦA ∂t con N A = − N B y estado estable. es preferible partir de la más general (2. El compuesto A se convierte en el compuesto B en los “sitios activos” en el interior de una partícula porosa de catalizador que se fabrica en forma de discos delgados de radio R. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento b) Varía parabólica y logarítmicamente en forma simultánea.ef.s] donde a es la superficie catalítica por unidad de volumen del catalizador (sólido + poros). Simetría plana con generación. constante. Para transferencia de masa el resultado en términos de concentraciones másicas se obtiene similarmente de la ecuación (2. El coeficiente k1'' [m/s] es la constante de reacción. La rapidez de desaparición de A se relaciona con la concentración dentro del catalizador por la expresión: Φ A = −k1''acA [mol A/m3. Φ A = −k1'' ac A . gradientes solo en z: dc d (− D AB A ) = −k1" ac A dz dz Para propiedades constantes . pero cuando debe tenerse presente la relación (ni/Σni) entre las diferentes densidades de flujo.125 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento d 2 c A k1" a − cA = 0 D AB dz 2 dc A =0 dz CL1 : z = 0 CL 2 : z = L c A = c AS Solución similar a la aleta aislada: c A = C1 cosh(mz) + C 2 senh(mz) m= k1"a DAB dc A = C1 msenh(mz ) + C 2 m cosh(mz ) dz En z = 0 C2 m = 0 ⇒ C2 = 0 En z = L cAS = C1 cosh(mL) C1 = c AS cosh(mL) cA cosh(mz ) e mz + e − mz = = c AS cosh(mL) e mL + e − mL N AS = − D AB dc A dz N AS = − D AB c AS =− z=L c AS mD AB senh(mL) cosh(mL) k 1" a ⎛ molA ⎞ tgh ( mL ) ⎜ 2 ⎟ D AB ⎝ cm s ⎠ El signo menos indica que el reactivo A penetra al catalizador desde la cara ubicada en z + L avanzando en sentido negativo del eje z. La cantidad entrando por la cara opuesta es la mima de tal forma que el flujo total hacia la partícula de catalizador es mAS = 2πR2DABef CAS m tgh(mL) El balance de transferencia de cantidad de movimiento es complicado por el hecho de que (ρv) es un vector compuesto de tres componentes ρvx.126 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. ρvz. Sin embargo la ecuación adecuada para . ρvy. . τxz. etc. ρvxvz. son las nueve componentes de τ que es el tensor esfuerzo. son las nueve componentes de la densidad de flujo convectivo de cantidad de movimiento ρv⋅v que es el producto diádico de ρv y v (díadas son los tensores que resultan de multiplicar entre si dos vectores). Por tanto τzz es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara en z. el componente x de la cantidad de movimiento es ∂ ( ρv x ) D ( ρv x ) = (v ⋅ ∇)( ρv x ) + = [∇ ⋅ (µ / ρ )∇( ρv x )] + Φ M ∂t Dt (2.43) que puede escribirse ⎡∂ ⎤ ⎡∂ ⎤ ∂p ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρv x = − ⎢ ρv x v x + ρv y v x + ρv z v x ⎥ − ⎢ τ xx + τ yx + τ zx ⎥ − + ρg x ∂t ∂y ∂z ∂y ∂z ⎦ ∂x ⎣∂ x ⎦ ⎣∂ x La componente z de la ecuación de movimiento aparecerá: ⎤ ∂p ⎤ ⎡∂ ⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρv z = − ⎢ ρv x v z + ρv y v z + ρv z v z ⎥ − ⎢ τ xz + τ yz + τ zz ⎥ − + ρg z ∂t ∂y ∂z ∂y ∂z ⎦ ∂x ⎦ ⎣∂ x ⎣∂ x La componente y puede obtenerse de una manera análoga: ⎤ ∂p ⎤ ⎡∂ ⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρv y = − ⎢ ρv x v y + ρv y v y + ρv z v y ⎥ − ⎢ τ xy + τ yy + τ zy ⎥ − + ρg y ∂t ∂y ∂z ∂y ∂ z ⎦ ∂y ⎦ ⎣∂ x ⎣∂ x Las magnitudes ρvx. . ρvz son las componentes del vector ρv. Obsérvese que estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse como esfuerzos. τxz es el esfuerzo tangencial (o cortante) que actúa sobre la cara en x en la dirección z. τxy. son las componentes del vector ∇p ∂x ∂y ∂z Los términos ρvxvx. ρvxvy. Por ejemplo. gz son las componentes de la aceleración gravitacional g. etc. ρvy.127 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. . ρvyvz. Por otra parte ∂ p ∂ p ∂ p . Ahora. y que resultan como consecuencia de las fuerzas viscosas. las más usuales e importantes son las originadas en la presión p del fluido y la fuerza gravitacional por unidad de masa. Análogamente. . Tenga presente que τyz es la densidad de flujo de cantidad de movimiento z a través de una cara perpendicular al eje y. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento coordenadas rectangulares puede obtenerse simplemente considerando cada componente de manera separada como un término escalar. gy. τxx. de igual forma gx. τyz. hablando de las fuerzas que actúan sobre el elemento. 39) reconocemos que el primer paréntesis es − ∂ρ/∂t = ∇·ρv. y podemos escribir ρ ∂τ ⎡ ∂τ Dvx ∂τ ⎤ ∂p = − ⎢ xx + yx + zx ⎥ − + ρg x Dt ∂y ∂z ⎦ ∂x ⎣ ∂x Para las componentes y e z pueden obtenerse expresiones análogas. <2> Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por convección.τ ] no son divergencias simples debido a la naturaleza tensorial de ρvv y τ e indican velocidad de pérdida de cantidad de movimiento por unidad de volumen debido al flujo del fluido.ρvv] − [∇. por unidad de volumen. p ] − [∇.128 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Sumando vectorialmente los tres componentes se llega a: ρ Dv = −[∇. <3> Fuerza de presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen. <4> Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso por unidad de volumen. p] − [∇. Las expresiones [∇.τ ] + ρg ∂t <1> <2> <3> <4> <5> Cada término de la expresión anterior significa: <1> Velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen. Haciendo la operación indicada en el caso de la componente x de la ecuación de movimiento: ∂ρv y ⎡ ∂ρv x ∂ρv y ∂ρvz ⎤ ⎡ ∂ρv x ∂v x ∂ρ ∂ρvz ⎤ + vx = −v x ⎢ + + − ρ ⎢v x + vy + vz − ⎥ ∂t ∂t ∂y ∂z ⎦ ∂y ∂ z ⎥⎦ ⎣ ∂x ⎣ ∂x ρ ⎡ ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx ⎤ ∂p ⎢ ∂ x + ∂ y + ∂ z ⎥ − ∂ x + ρg x ⎣ ⎦ A partir de la ecuación de continuidad (2. <5> Fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento por unidad de volumen.ρvv] y [∇.τ ] + ρg Dt <1> <2> <3> <4> . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Combinando las ecuaciones de las tres componentes en forma de ecuación vectorial: ∂ ρv = −[∇. 44) Esta ecuación muestra que el tensor esfuerzo es una función del tensor deformación por cizallamiento [∇v] y su transpuesta [∇v]T. la ecuación de cantidad de movimiento en tres dimensiones es una relación tensorial. hay tres componentes tomando tres caminos. Consecuentemente. la cual para un fluido incompresible es τ = −µ [∇v + ∇vT ] (2.129 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. En lugar de una simple ecuación vectorial. ∇v es un tensor de segundo orden. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento <1> Masa por unidad de volumen multiplicada por aceleración. Similarmente. el flujo de cantidad de movimiento o esfuerzo cortante es también un tensor de segundo orden. cantidad vectorial. tiene tres componentes y cualquiera de estas componentes puede variar en tres direcciones. <2> Fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen. <3> Fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen. Con el fin de utilizar estas ecuaciones para determinar las distribuciones de velocidad hay que expresar los distintos esfuerzos en función de los gradientes de velocidad y las propiedades del fluido: La velocidad misma es un vector y el gradiente de esta. En forma de arreglo estos términos son ⎡ ∂v x ⎢∂ x ⎢ ∂v ∇v = ⎢⎢ x ∂y ⎢ ⎢ ∂v x ⎢⎣ ∂ z ∂v y ∂x ∂v y ∂y ∂v y ∂z ∂v z ⎤ ∂ x ⎥⎥ ∂v z ⎥ ∂ y⎥ ⎥ ∂v z ⎥ ∂ z ⎥⎦ [∇v] T ⎡ ∂v x ⎢∂x ⎢ ∂v y =⎢ ⎢∂x ⎢ ∂v ⎢ z ⎢⎣ ∂ x ∂v x ∂y ∂v y ∂y ∂v z ∂y ∂v x ⎤ ∂z⎥ ⎥ ∂v y ⎥ ∂z⎥ ∂v z ⎥⎥ ∂ z ⎥⎦ Como la ecuación para el tensor esfuerzo debe ser homogénea. Vemos por lo tanto que el balance de cantidad de movimiento es totalmente equivalente a la segunda ley del movimiento de Newton. <4> Fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen. La velocidad. el lado izquierdo será también un tensor de segundo orden ⎡τ xx τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ = ⎢τ yx τ yy τ yz ⎥ ⎢τ zx τ zy τ zz ⎥ ⎣ ⎦ . o nueve posibles términos. En la primera fila hay un esfuerzo normal τxx y dos esfuerzos tangenciales. y. Los tres esfuerzos normales (los elementos de la diagonal) actúan en las direcciones x.v ) ∂ y ⎣3 ⎦ ∂ v ⎡2 ⎤ τ zz = −2 µ z + ⎢ µ − k ⎥ ( ∇.v es cero. τ yy = −2 µ y . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Cada fila del tensor tiene tres términos. y cada uno es la fuerza por unidad de área en un plano perpendicular a la dirección en la cual actúan. de las nueve ecuaciones representadas taquigráficamente solo dos permanecen diferentes de cero las cuales son τzx e τxz: ⎡ ∂vx ⎤ ⎥ ⎣∂ z ⎦ τ xz = τ zx = − µ ⎢ . τxy y τxz.44). ∂z ⎡ ∂ v y ∂ vz ⎤ + ⎥ ⎣∂ z ∂ y⎦ τ yz = τ zy = − µ ⎢ ⎡ ∂ vz ∂ vx ⎤ + ⎥ ⎣∂ x ∂ z ⎦ τ zx = τ x z = − µ ⎢ Para flujo compresible los esfuerzos normales deberían tener un término adicional: ∂ vx ⎡ 2 ⎤ + ⎢ µ − k ⎥ ( ∇. Para fluidos de densidad constante ∇. cuando el fluido circula en la dirección x entre dos láminas perpendiculares a la dirección z de forma que vx es función exclusiva de z. y tanto vy como vz son cero. la mayoría de las derivadas en ∇v son cero en (2. Para el problema unidimensional.v ) ∂ z ⎣3 ⎦ τ xx = −2 µ k es en estas ecuaciones la viscosidad de conjunto que es cero para los gases monoatómicos a baja densidad y tiende a cero para gases densos y líquidos (Hirschfelder). e z. y solamente cuando existen gradientes de velocidad muy grandes en la dirección del esfuerzo los esfuerzos normales van a diferir apreciablemente de cero.v ) ∂ x ⎣3 ⎦ ∂ v ⎡2 ⎤ τ yy = −2 µ y + ⎢ µ − k ⎥ ( ∇.130 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. ∂x ∂y ⎡∂ v ∂ v ⎤ τ xy = τ yx = − µ ⎢ x + y ⎥ ⎣∂ x ∂ x ⎦ τ xx = −2µ τ zz = −2 µ ∂v z . La ecuación del tensor esfuerzo es realmente una representación abreviada o taquigráfica para nueve ecuaciones. El análisis de una onda de choque normal es un ejemplo donde todos los términos tienen valores significativos. Ellas son ∂v ∂v x . La ecuación (2.45) Esta expresión se conoce como la ecuación de Navier – Stokes y al expandirla resultan 27 términos. Si consideramos el espacio entre dos placas paralelas. que como un esfuerzo cortante. Suele interpretarse como una forma de la segunda ley de Newton del movimiento: masa por aceleración = Suma de fuerzas (viscosas. Se reconoce confusión pues el mismo símbolo se usa para denotar el flujo de impulso y el esfuerzo cortante. Coordenadas cilíndricas. Sumando vectorialmente las tres componentes y recordando que ΦM = − ∇P + ρg el balance generalizado de cantidad de movimiento queda (coordenadas rectangulares únicamente): ρ Dv ∂v = ( v ⋅ ∇)v + = µ∇ 2 v − ∇ P + ρ g Dt ∂t (2. ⎛ ∂vr vθ ∂vθ vθ 2 ∂v ∂v ⎞ + − + v z r + r ⎟⎟ = Componente r: ρ ⎜⎜ vr r ∂θ r ∂z ∂t ⎠ ⎝ ∂r . la inferior de las cuales está en movimiento con velocidad constante gracias a una fuerza. de presión y gravitatorias) que actúan sobre el sistema. el conjunto de expresiones que determinan completamente la presión. especialmente cuando hay igualdad en magnitud pero diferencia en direcciones. Reemplazando estas ecuaciones en las de movimiento hacen. densidad y las componentes de velocidad para el flujo isotérmico de un fluido. la de variación de la viscosidad con la densidad. junto con las de continuidad. El esfuerzo cortante. es en la dirección x como resultado de la fuerza en la dirección x. y las condiciones iniciales y límite.3. hay un flujo de cantidad de movimiento actuando en la dirección z. la dirección perpendicular al plano xy que se mueve. se puede expandir así: ⎡ ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ⎤ ⎛ µ ⎞⎡ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2 vx ⎤ Φ M + + + =⎜ ⎟ + 2 + 2 ⎥+ v v v y z ⎢ x ∂x ∂y ∂z ∂t ⎥⎦ ⎜⎝ ρ ⎟⎠⎢⎣ ∂x 2 ∂y ∂z ⎦ ρ ⎣ Las ecuaciones para los componentes y e z se obtienen de manera similar.131 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. por otra parte.43) para ρ y µ constantes. se causa un gradiente de velocidad vx en el fluido como función de z. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La interpretación física de τ es complicada por el hecho de que es usado comúnmente tanto como flujo difusivo o molecular de cantidad de movimiento.2. la de estado para la presión. Para aplicarla a coordenadas diferentes a las rectangulares usamos: 2. Por esto último se le llama el tensor de esfuerzos. Todo por unidad de volumen.4. 3. ∂v ⎞ ∂v v ∂v vv ⎛ ∂v Componente θ: ρ ⎜ v r θ + θ θ + r θ + v z θ + θ ⎟ = ∂t ⎠ ∂z r ∂θ r ⎝ ∂r 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ 2 ∂vr ∂ 2 vθ ⎤ 1 ∂p ⎞ 1 ∂ vθ (rvθ )⎟ + 2 2 + 2 + 2 ⎥− µ⎢ ⎜ + ρgθ r ∂θ ∂z ⎦ r ∂θ ⎠ r ∂θ ⎣ ∂r ⎝ r ∂r El término ρvrvθ/r es la fuerza de Coriolis. v ∂v ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v Componente z: ρ ⎜ v r z + θ z + v z z + z ⎟ = r ∂θ ∂z ∂t ⎠ ⎝ ∂r ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂v z ⎞ 1 ∂ 2 v z ∂ 2 v z ⎤ ∂p + 2 ⎥ − + ρg z µ⎢ ⎜r ⎟+ 2 2 ∂z ⎦ ∂z ⎣ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ 2. Este término aparece también automáticamente en la transformación de sistemas coordenados. Corresponde a la fuerza efectiva en la dirección r que resulta del movimiento del fluido en la dirección θ.132 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La fuerza de coriolis interviene en el análisis del flujo sobre un disco que gira. Es una fuerza efectiva en la dirección θ cuando existe flujo en ambas direcciones r y θ.4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ ⎞ 1 ∂ vr 2 ∂vθ ∂ vr ⎤ ∂p ( ) − + − + ρg r + rv ⎜ r ⎟ 2 2 2 2 ⎥ ∂ θ ∂ ∂ r r r ∂ ∂ z θ r r ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∂r µ⎢ El término ρvθ2/r es la fuerza centrífuga. Este término aparece automáticamente en la transformación de coordenadas rectangulares a cilíndricas.3. ⎛ ∂v v ∂v vφ ∂vr vθ2 + vφ2 ∂vr ⎞ ⎟= − + Componente r: ρ ⎜ vr r + θ r + ⎟ ⎜ ∂r θ sen θ φ r ∂ r ∂ r ∂ t ⎠ ⎝ ⎡ µ ⎢∇ 2 vr − ⎢⎣ 2 r2 ⎛ ∂v 1 ∂vφ ⎞⎤ ∂p ⎟⎥ − ⎜⎜ v r + θ + vθ cot θ + + ρg r sen θ ∂φ ⎟⎠⎥⎦ ∂r ∂θ ⎝ ⎛ ∂vθ vθ ∂vθ vφ ∂vθ vr vθ vφ2 cot θ ∂vθ ⎞ ⎟= ⎜ + + + − + Componente θ: ρ vr ⎟ ⎜ ∂r sen θ θ φ r ∂ r ∂ r r ∂ t ⎠ ⎝ ⎡ µ ⎢∇ 2 vθ + ⎣ vθ 2 ⎛ ∂vr cosθ ∂vφ ⎞⎤ 1 ∂p ⎜ ⎟⎥ − − − + ρgθ r 2 ⎜⎝ ∂θ 2 sen 2 θ sen 2 θ ∂φ ⎟⎠⎦ r ∂θ . Coordenadas esféricas. 23b) Integrando dos veces con respecto a r. La ecuación del movimiento escrita en coordenadas cilíndricas tiene componente radial. vθ. 2. y utilizando las condiciones límite vz = 0 para r = R y vz = finito para r = 0. Teniendo esto presente.38). En este caso sencillo solo tenemos componente axial de la velocidad y esta solo es función de la posición radial. ℘ = p − ρg z L (2. la ecuación se reduce al componente z que para ρ y µ constantes. Rara vez se utilizan estas ecuaciones en su forma completa para el planteamiento de problemas.5. vφ según sea el caso. reemplazando Ψ por vr. 2. Resulta evidente que también ∂2vz/∂z2 es cero.1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento vφ ∂vφ vr vφ vθ vφ cotθ ∂vφ ⎞ ⎛ ∂vφ vθ ∂vφ ⎟⎟ = + + + + + Componente φ: ρ ⎜⎜ vr sen θ θ φ ∂ r r ∂ r ∂ r r ∂ t ⎠ ⎝ ⎡ µ ⎢∇ 2 vφ − ⎣ 2 ⎛ vφ 1 ∂vr cosθ ∂vθ ⎞⎤ 1 ∂p ⎜ ⎟⎟⎥ − + ρg φ − − 2 ⎜ 2 2 sen θ ∂φ ⎠⎦ r sen θ ∂φ r ⎝ 2 sen θ sen θ φ En las ecuaciones anteriores se usa la expresión de ∇2 que se dio anteriormente. Utilización de las ecuaciones de variación para el planteamiento de problemas de estado estacionario (Ψ no es función del tiempo). Flujo axial de un fluido incompresible en un tubo circular. con vr y vθ en cero. vz 2 ( ℘o −℘L )R 2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ = 1− 4µL ⎢ ⎢⎣ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ . componente angular y componente axial. se simplifica: ρvz ⎡ 1 ∂ ⎡ ∂ vz ⎤ ∂ 2vz ⎤ ∂ p ∂ vz = µ⎢ ⎢r ∂ r ⎥ + ∂ z 2 ⎥ − ∂ z + ρg z ∂z r ∂ r ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Esta ecuación puede simplificarse haciendo aplicación de la ecuación de continuidad. sino que generalmente es más conveniente emplear formas restringidas de las mismas.5.24a) . (2. que en este caso se reduce a ∂vz/∂z = 0.3. con lo que la ecuación anterior se transforma en: ⎡ 1 ∂ ⎡ ∂v z ⎤ ⎤ ∂p 0 = µ⎢ + ρg z ⎢r ⎥⎥ − ⎣ r ∂ r ⎣ ∂ r ⎦⎦ ∂ z (2.3.133 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 2.5. Las paredes interna y externa del elemento de combustible se mantienen a TS. la velocidad promedia (integrando sobre el área y dividiendo por la misma.27). o sea para valores del parámetro de Reynolds.22). Re = (ρvd/µ). El primer término de la derecha. Calcularemos el perfil de temperatura y las pérdidas totales de calor desde ambas superficies.23. ecuación (2.134 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ambas situaciones se ilustran en la figura 2. 2. 2. ver ecuación 2.5. la fuerza neta que actúa sobre el cilindro de fluido en el sentido de la corriente debido a la diferencia de presión y la aceleración gravitacional. En uno se estudia el flujo laminar de un fluido newtoniano en el anillo. 2. se escribe en función de coordenadas cilíndricas. que se equilibra por la fuerza viscosa que se opone al movimiento del fluido. La ecuación (2. El término de la izquierda es cero por condición de estado estable.36). Vamos a considerar a continuación dos problemas de transporte similares. y la velocidad del fluido en R1 y R2 es cero por la condición límite de no resbalamiento.3. Transporte de calor. etc. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento A partir de esta ecuación podemos determinar cantidades tales como la velocidad máxima (en el eje de simetría).42) modificada para transferencia de calor en sólidos donde vx =vy = vz = 0: ρC P ∂T = k∇ 2T + Φ H ∂t (2.3.16. λ = R1/R2 es la relación de radios. Estos resultados presentan validez para flujo laminar del fluido.42a) es la adecuada. involucrando geometría anular.3. Transporte en un anillo con generación interna. 2. Los radios interior y exterior de las regiones anulares son R1 y R2. menores de 2100. mientras que en el segundo tratamos con transferencia de calor desde un elemento de combustible nuclear con forma anular.25. Se trata de simetría cilíndrica y transferencia en estado estable dentro de un sólido.2. . el caudal volumétrico de flujo (ecuación de Hagen Poiseuille. T = TS. Así la ecuación diferencial que describe nuestro sistema es: ⎡ 1 d ⎛ dT ⎞⎤ k⎢ ⎜r ⎟⎥ + Φ H = 0 ⎣ r dr ⎝ dr ⎠⎦ (2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento descontando los términos que contienen a θ y z puesto que T es sólo función de r. Integrando con respecto a r: rΦ C dT =− H + 1 dr 2k r T =− ΦH r2 + C1 ln r + C 2 4k Aplicando las condiciones límite: TS = − (ΦHR12/4k) + C1⋅ln R1 + C2 en r = R1 TS = − (ΦHR22/4k) + C1⋅ln R2 + C2 en r = R2 Restando la segunda de la primera y despejando para C1: ( ) Φ H R22 − R12 C1 = 4k ln( R2 / R1 ) Reemplazando en la primera C 2 = TS + ( ) Φ H R12 Φ H R22 − R12 ln R1 − 4k 4k ln( R2 / R1 ) se obtiene el perfil de temperatura: ( ) 2 Φ H R12 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ Φ H R22 − R12 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + T − TS = ln(r / R1 ) 4k ⎢ ⎜⎝ R1 ⎟⎠ ⎥ 4k ln( R2 / R1 ) ⎣ ⎦ Aplicando la ley de Fourier encontramos la densidad de flujo de calor como función de r: . Para r = R2. Las condiciones límite son: i. Para r = R1. T = TS. ii.135 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.42b) Usamos derivadas totales pues T es solo función de r. recordando que la magnitud del flujo de calor en cada superficie es el producto de la densidad de flujo qr por el área 2πrL. así como relaciones entre el caudal de flujo y la caída de presión. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento q r = −k ( ) dT rΦ H Φ H R22 − R12 − = 2 4r ln( R2 / R1 ) dr 2.4. a partir de las densidades de flujo en R1 y R2. Es decir el calor total transferido al medio enfriante es QTotal = ΦH[πR22 − πR12]⋅L. A partir de un balance de cantidad de movimiento usando la ecuación de Navier Stokes en coordenadas cilíndricas como en el caso de flujo en el interior de un conducto circular. qr es negativo puesto que dT/dr es positivo (observar los perfiles de temperatura en el gráfico). evaluadas en cada superficie.3.5.5. pero en r = R1. qr será positivo pues allí dT/dr es negativo.5.3. Ahora podemos calcular. Velocidad neta de pérdida de calor. Transporte de cantidad de movimiento. Sin embargo en r = R2. Ahora debemos obtener expresiones para el perfil de velocidad y la fuerza resultante en la pared. Como no hay entrada de calor al sistema.23b) .136 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. donde [πR22 − πR12]⋅L es el volumen total del elemento de combustible. tanto interna como externa. la misma ecuación diferencial describe ambos procesos: ⎡ 1 ∂ ⎡ ∂v z ⎤ ⎤ ∂p 0 = µ⎢ + ρg z ⎢r ⎥⎥ − ⎣ r ∂ r ⎣ ∂ r ⎦⎦ ∂ z (2. Teniendo esto presente: Flujo de calor a través de la superficie exterior Qr r = R2 = (2πR2 L )⋅ qr ( r = R2 ) ⎡ R2 Φ H Φ H R22 − R12 ⎤ =⎢ − ⎥(2πR2 L ) 4 R2 ln(R2 / R1 ) ⎦ ⎣ 2 Flujo de calor a través de la superficie interior Qr r = R1 = (2πR1 L ) ⋅ qr ( r = R1 ) ⎡ R1Φ H Φ H R22 − R12 ⎤ = ⎢− + ⎥(2πR1 L ) 2 4 R1 ln( R2 / R1 ) ⎦ ⎣ Sumando ambos términos obtenemos QTotal = ΦH[πR22 − πR12]⋅L = Qr r = R1 + Qr r = R2 como se había previsto. todo el calor generado por el combustible debe eliminarse por las paredes. 2. Determinamos la velocidad promedia en el anillo: R2 vm = ∫v z R1 (πR 2 2 ⋅ 2πrdr ) = [( P0 − PL ) + ρg z L]R22 ⎡1 − λ4 − − πR12 (2.1. para flujo laminar en conductos anulares. y podemos simplemente usar el resultado obtenido en el problema de transferencia de calor. intercambiando ΦH por ΦM y k por µ.16.137 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. O sea que los problemas son análogos. .3.5. También las condiciones límite se hacen similares si reemplazamos (T − TS) por vz. Caída de presión en un anillo.5.23b) difieren sólo en la notación. La relación más útil es esa entre la velocidad promedio y la diferencia dinámica de presiones. Observamos que las ecuaciones diferenciales para los casos de transferencia de calor (2. Esto se hace más claro si recordamos que ΦM = − dp/dz + ρgz. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento pero con diferentes condiciones límite: vz = 0 para r = R1 y para r = R2.46) 8µL ⎢ 2 ⎣1 − λ 1 − λ2 ⎤ ⎥ ln(1 / λ ) ⎦ con λ = R1/R2. La pérdida total de cantidad de movimiento en la pared (o fuerza resistente ) es: FTotal = (2πR2 L) ⋅ τ rz r = R2 − (2πR1 L) ⋅ τ rz r = R1 ( ) = πR22 − πR12 [(P0 − PL ) / L + ρg z ] ⋅ L Se observa que la fuerza viscosa neta en las paredes iguala a la suma de las fuerzas de presión y las fuerzas gravitacionales. Esta ecuación tiene una utilidad similar a la de Hagen – Poiseuille. El perfil de velocidad es entonces: ( ) 2 Φ M R12 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ Φ M R22 − R12 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + vz = ln(r / R1 ) 4 µ ⎢ ⎜⎝ R1 ⎟⎠ ⎥ 4 µ ln( R2 / R1 ) ⎣ ⎦ Igualmente el flujo de cantidad de movimiento se obtiene por analogía o aplicando la ley de Newton de la viscosidad: τ rz ( ) dv z rΦ M Φ M R22 − R12 − = −µ = 2 4r ln( R2 / R1 ) dr Ambos se representan en el gráfico 2.42b) y de cantidad de movimiento (2. pero en esta ocasión. 2. de forma que gr = gθ = 0. puede escribirse . Hallar la forma de la superficie libre. y la ecuación de movimiento se reduce a: componente r: ρvθ 2 componente θ: µ ⎤ ∂ ⎡1 ∂ (rvθ )⎥ = 0 ⎢ ∂ r ⎣r ∂ r ⎦ componente z: − ∂ p − ρg = 0 ∂z r = ∂ p ∂r La ecuación para el componente θ puede integrarse de forma inmediata para obtener vθ = C1 r/2 + C2/r en la que C1 y C2 son constantes de integración. y de z. Forma de la superficie de un líquido que gira. Solución.138 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Este sistema se describe más fácilmente en coordenadas cilíndricas. El eje del cilindro es vertical. Un fluido de densidad y viscosidad constante está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R. que la presión dependerá de r. y gz = − g. la constante C2 ha de ser cero. no hay contribución de la ecuación de continuidad. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular Ω. De acuerdo con esto puede evaluarse C1 y llegar a vθ = rΩ lo que establece que cada elemento del fluido que gira se mueve de igual forma que los elementos de un cuerpo rígido. debido a la fuerza gravitacional. Sabemos que en el estado estacionario vz = vr = 0. De esta forma se obtienen dos expresiones para los gradientes de presión: ∂ p = rρΩ 2 ∂r ∂ p = − gρ ∂z Como p es una función analítica de la posición.5. Como vθ no puede ser infinito para r = 0. también. una vez alcanzado el estado estacionario. 2. Sabemos. y por lo tanto vamos a utilizar las ecuaciones de variación en este sistema coordenado.5. Sabemos además que para r = R la velocidad vθ es RΩ. Este resultado puede substituirse en el componente r de la ecuación de movimiento. a causa de la fuerza centrífuga.3.2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El caudal será Q´=πR2(1-λ2)vm. Al igual que en el ejemplo anterior. y que vθ es una función exclusiva de r. un programa de experimentos es generalmente más costoso que un análisis teórico. y por lo tanto su ecuación es ρΩ 2 r 2 0 = − ρg ( z + z 0 ) + 2 2 2 Ω r z − z0 = 2g Este resultado nos indica que la superficie libre de un líquido que gira. En forma similar.139 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Sin embargo. En el caso de flujo laminar completamente desarrollado podemos usar la ecuación de Hagen . De aquí p − p0 = − ρg ( z − z 0 ) + ρΩ 2 r 2 2 La superficie libre es el lugar geométrico de los puntos en los que p = p0. Transferencia de cantidad de movimiento. Factor de fricción.23) para calcular la caída de presión a determinada velocidad de flujo. Esto puede hacerse usando variables adimensionales.46) para el mismo propósito.6. que puede determinarse teniendo en cuenta que p = p0 para r = 0 y z = z0. toma la forma de un paraboloide de revolución. para flujo laminar en un anillo podemos usar (2. se llega a p = − ρgz + ρΩ 2 r 2 2 +C siendo C una constante de integración.Poiseuille (2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛∂ p⎞ ⎛∂ p⎞ ⎟⎟dr + ⎜⎜ ⎟⎟dz dp = ⎜⎜ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂z ⎠ Substituyendo en esta expresión e integrando.5.3. . Para flujo turbulento no existe una teoría aceptada que pueda usarse para predecir el flujo de cantidad de movimiento turbulento. 2. Pero ambas ecuaciones se derivan aplicando la ley de Newton de la viscosidad la cual se aplica solamente en flujo laminar. En general los ingenieros han debido referirse a correlaciones empíricas de datos experimentales. por lo que es deseable reducir la cantidad de datos requeridos en la medida de lo posible. Consideremos el flujo a través de una tubería o conducto circular como ya se discutió. de forma que p0 = − ρgz0 + C. Como para flujo completamente desarrollado la caída de presión aparece directamente proporcional a la longitud podemos simplificar el problema usando una cantidad independiente de la longitud: ℘0 −℘L ∆℘ =− = f ( D. El factor de fricción puede definirse entonces como el factor de proporcionalidad entre la fuerza resistente por unidad de área y la energía cinética del fluido por unidad de volumen: FC = f ⋅ KC S (2. Para ello nos referimos al apéndice sobre Análisis Dimensional. Como dijimos antes. Por esta razón es conveniente escribir ecuaciones como la (2.47) Para determinar la naturaleza de esta relación sin usar análisis dimensional.3. para el flujo pasando . 2. como el flujo externo. Aparece conveniente usar el número de Reynolds como la velocidad adimensional.6.48) Donde FC es la fuerza ejercida por el fluido en virtud de su movimiento. el diámetro del mismo. para el flujo en conducciones (o interno).13) se puede esperar que la caída de presión dinámica (℘0 − ℘L) dependa de variables tales como la longitud del tubo. experimentalmente se ha encontrado que existe flujo laminar en conductos circulares cuando la cantidad adimensional denominada número de Reynolds es menor que 2100. Luego debemos hacer mediciones similares con tubos de distintos diámetros y longitudes. es la superficie mojada. v m ) L L (2. Se evidencia que el número total de ensayos sería bastante grande debido al número de parámetros y variables involucradas y que la correlación de los datos obtenidos así como su extensión a condiciones diferentes se haría difícil. Usando los procedimientos allí descritos se determina el que sólo dos grupos adimensionales son necesarios para describir el fenómeno: una caída de presión dinámica adimensional y una velocidad adimensional. ρ . Deseamos una definición general. deberíamos medir la caída de presión como función de la velocidad promedio del fluido vm. Análisis dimensional. nuevamente para diferentes diámetros y longitudes.3. Para este caso se utiliza el nombre de coeficiente de arrastre (o de resistencia).47) en términos de grupos adimensionales. Para el flujo en un conducto circular (figura 2. S es el área característica que. la viscosidad µ del fluido. la velocidad promedio vm y la densidad del fluido ρ. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2. Definición general del factor de fricción. y la fuerza de fricción o arrastre del sólido actuando en el fluido es la variable deseada en lugar de la caída de presión por unidad de longitud. en lugar de factor de fricción.5. Posteriormente debemos efectuar ensayos con fluidos de diferentes viscosidades y densidades. que incluya tanto el flujo interno. o sea pasando al rededor de un objeto (tal como alrededor de una partícula de catalizador o del ala de un aeroplano).7.140 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. µ . La fuerza boyante es. El volumen de la partícula será m/ρp.3. La fuerza resultante sobre la partícula es: m dv = Fe − Fb − FD dt (1) La fuerza externa será el producto de la masa de la partícula por la aceleración externa ae. Este se define análogamente al coeficiente de fricción pelicular (interno o externo) como un coeficiente de proporcionalidad entre la fuerza resistente y la energía cinética media del fluido: FD = CD (½ ρv∞2S) (2. Coeficiente de forma. La velocidad de la partícula con respecto al fluido es ν. Ecuaciones para el movimiento unidimensional de una partícula a través de un fluido.2. Consideremos una partícula de masa m moviéndose a través de un fluido bajo la acción de una fuerza externa Fe.6. el producto de la masa del fluido desplazado por la partícula y la aceleración debida a la fuerza externa. donde ρ es la densidad del fluido.141 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. por el principio de Arquímedes. y éste es el volumen de fluido desplazado por la partícula. La fuerza resistente viene dada por FD = CD (ρν∞2 S/2) donde .6.1. La masa de fluido desplazada será (m/ρP)ρ. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento objetos sumergidos (o externo) es el área proyectada en un plano perpendicular a la velocidad de aproximación del fluido. La fuerza boyante o de flotación en la partícula es Fb.3. y KC es la energía cinética característica por unidad de volumen K C = 12 ρv m2 Siendo vm la velocidad promedio del fluido para flujo interno y la velocidad de aproximación del mismo para flujo externo: Fuerza resistente Energía cinética = f⋅ Area característica Volumen Recuérdese que esto no es una ley sino la definición del factor de fricción y que según se defina el área característica puede tener un valor numérico distinto por lo que se debe tener gran atención cuando se use. S: Área frontal (proyección perpendicular al sentido de flujo del fluido) 2. La fuerza resistente es FD. 2.47a) FD: Fuerza resistente por unidad de área frontal. siendo ρp la densidad de la misma. 2.3. Para esferas se obtienen curvas de CD contra Re. Para sedimentación gravitacional.9 CD = 24/Re FD = 3πµνtDp (4) Se denomina rango de la ley de Stokes y corresponde al flujo reptante sobre la esfera: no hay separación de la capa límite.5 ⎡ 4 g ( ρ P − ρ )d P ⎤ vt = ⎢ ⎥ ρ CD ⎣3 ⎦ (3) 0. ω : Velocidad angular.6. haciendo dv/dt = 0 en (2) tenemos: ⎡ 2 g ( ρ P − ρ )m ⎤ vt = ⎢ ⎥ ⎢⎣ S P ρ P C D ρ ⎥⎦ Si la partícula es esférica de diámetro dP. la cual es la máxima obtenible bajo las circunstancias. Velocidad terminal. se reduce a 0. dv/dt disminuirá con el tiempo tendiendo a cero en (2). g es constante. ν es la velocidad de la partícula relativa al fluido. Además la fuerza resistente aumenta con la velocidad.142 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.3. Reemplazando en (1) y dividiendo por m: 2 ρp − ρ CD v 2 ρS p dv ρae CD v ρS p = ae − − = ae − dt ρp ρp 2m 2m (2) Si la fuerza externa es la gravedad ae = g Si se tratara de un campo centrifugo ae = rω2. Cuando ocurre sedimentación por gravedad. .5 Para usar cuantitativamente las ecuaciones (1) a (3) se requieren los valores numéricos del coeficiente de arrastre CD. S : Área frontal (proyección perpendicular al sentido de flujo del fluido) CD es el coeficiente de forma que se define análogamente al coeficiente de fricción pelicular (interno o externo) como un coeficiente de proporcionalidad entre la fuerza resistente y la energía cinética media del fluido. r : radio de la trayectoria de la partícula. rápidamente alcanzará una velocidad constante. y la cual se denomina velocidad terminal. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento FD : Fuerza resistente por unidad de área frontal. y está dirigida hacia afuera a lo largo de un radio. En este caso. que pueden aproximarse por las siguientes expresiones: Re < 1. La partícula. K se calcula de (7). Para Re menores los discos se comportan prácticamente igual a las esferas.6 ρ0. válido para 1. aumentándose. Para valores de Re mayores que 80. allí: CD = 0. la siguiente ecuación provee un criterio: ⎡ gρ( ρ P − ρ ) ⎤ K = dP ⎢ ⎥ µ2 ⎢⎣ ⎥⎦ 1 3 (7) Si el tamaño de las partículas es conocido.3 se aplica la ley de Stokes. Fuerza resistente adicional será necesaria para suministrar la energía requerida para mantener estos movimientos de la gota (burbuja) misma.5/Re0. . Si K cae entre 3. y oscilaciones o cambios de forma. si las partículas son gotas líquidas (o burbujas). Si la velocidad terminal de la partícula se requiere.0 y 2360 deberá escogerse la ley de Newton. el proceso se denomina sedimentación libre.0. no siendo impedidas en su movimiento por otras partículas o las paredes del recipiente. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El rango siguiente o intermedio. moviéndose a velocidad constante.4 µ0. Si el movimiento de la partícula es influido por otras partículas. mientras que los cilindros presentan factores de arrastre menores.31 π(νtDp)1. Para identificarlo. el proceso se denomina sedimentación impedida.6 FD = 2.143 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. de tal manera que su caída no es afectada por ellas.055 π(νtDp)2ρ (6) Es denominado rango de Newton. y si está entre 44. Cuando se trata de esferas m: masa de la partícula = (π dp3ρp)/6. En este caso el coeficiente de arrastre es mayor que en la sedimentación libre. se generan corrientes circulantes.0 deberá usarse la ley intermedia. Las ecuaciones (4) a (7) se aplican a esferas sólidas. Si la partícula está acelerada (velocidad variable).9 ≤ Re ≤ 500 CD = 18. Si es menor de 3. la resistencia se ve influenciada por los cambios en los gradientes de velocidad cerca a la superficie de la partícula. se desconoce Re y no es posible determinar el rango de la ley. Sp: área proyectada perpendicular a la dirección del flujo = πdp2/4 Otras formas que aparecen frecuentemente son los discos y los cilindros. no deben ser demasiado pequeñas y moverse a través de líquido estancado. FD = 0. se puede considerar su factor de forma constante en aproximadamente 2.4 (5) El último rango está comprendido entre: 500 < Re < 200000. lo cual puede ocurrir cuando las partículas están cerca unas de otras aunque no colisionen. También.44.3 y 44. Cuando la partícula se encuentra a suficiente distancia de los límites del contenedor y de otras partículas. La aplicación de fuerza centrífuga. reduce el efecto relativo del movimiento browniano. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Si las partículas son muy pequeñas.46).47) se convierte en: f = f(Re). en flujo turbulento podría ser suficiente variar la velocidad promedio y medir la caída de presión para el flujo de un fluido como por ejemplo agua. El movimiento al azar de la partícula. La definición de f varía de unos libros a otros por lo que se debe tener cuidado al utilizar fórmulas y tablas en las que intervengan factores de fricción. En la práctica las relaciones empíricas se comprueban con más de un fluido para asegurar el haber escogido los grupos adimensionales adecuados.50) Y la forma adimensional de la expresión (2. aparece el movimiento browniano. τS no depende de la longitud. así f estará definido por: f = τS 2 1 2 ρv m Relacionando τS a la caída de presión a través de un balance de fuerzas: [ ( ) ( )] ( FC = (P0 − PL ) πR 2 + ρg z πR 2 L = −(∆℘) πR 2 f = 1 D ⎛ − ∆℘ ⎞ ⎜ ⎟ 4 L ⎜⎝ 12 ρvm2 ⎟⎠ ) y (2. Flujo en conductos. .6.4. tiende a suprimir el efecto de la fuerza gravitacional y la sedimentación no ocurre.144 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Este efecto se vuelve apreciable para partículas de dos a tres micrómetros. Aún así. y predomina sobre las fuerzas gravitacionales para partículas de 0. a través de un tubo (un D y una L).49) S donde S es el área de la pared del conducto (2πRL para un tubo circular) y τS es el esfuerzo cortante (o flujo de cantidad de movimiento) evaluado en la pared. El uso de las variables adimensionales f y Re hace que necesitemos menos datos para correlacionarlas que si tratáramos de hacer variar independientemente las cantidades incluidas en la ecuación (2. Este es un movimiento aleatorio impartido a la partícula por colisiones entre la partícula y las moléculas del fluido que la rodea. O sea. 2. Para flujo desarrollado en un conducto de sección transversal constante. la cantidad de experimentación se reduce enormemente al usar el método de grupos adimensionales.1 micrómetros o menos. donde f es llamado el factor de fricción de Fanning.3. En estos la fuerza resistente será: FC = ∫ τ S dS (2. a través de la ecuación de Hagen . Estos valores están. Las ecuaciones son más convenientes que las tablas o las correlaciones gráficas en diseño y operación ayudadas por computador.5. debido a la inestabilidad física inherente en esta región.3.145 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Aplicación a secciones transversales arbitrarias.27(ε / D) ⎦ ⎪⎭ ⎛ 37530 ⎞ B=⎜ ⎟ ⎝ Re ⎠ 16 (ε/D) es la rugosidad relativa de la tubería.9 ⎪⎩ ⎣ (7 / Re ) + 0. sujetos a alguna incertidumbre. naturalmente.Poiseuille podríamos determinar la caída de presión en forma directa.52) 16 ⎧⎪ ⎤ ⎫⎪ ⎡ 1 A = ⎨2. La ecuación (2.457 ln ⎢ ⎥⎬ 0. Pero es conveniente tener un manejo unificado de cálculo tanto para flujo laminar como para flujo turbulento y en este último no es posible obtener una expresión analítica exacta sino que es necesario obtener relaciones empíricas entre f y Re. .6. 2. Sin embargo. Prueba y error es necesario si en lugar de la velocidad de flujo se especifica la caída de presión.26) al ser sustituida en (2.51) Esta expresión nos indica que para flujo laminar basta conocer Re para conocer f. Combinando ecuaciones para tuberías rugosas en regímenes de flujo laminar y turbulento Churchill desarrolló una sola ecuación para el factor de fricción en flujo laminar.52) no sólo reproduce el gráfico del factor de fricción (o de Moody) sino que evita interpolaciones y da valores únicos en la región de transición. de transición o turbulento. nos da: f = 1 D ⎛ − ∆℘ ⎞ 16 16 ⎜ ⎟= = 2 4 L ⎜⎝ 12 ρvm ⎟⎠ ρvm D / µ Re (2.50). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para el caso particular de flujo a través de una tubería en flujo laminar la ecuación de Hagen Poiseuille: − ∆℘ 8µvm = L R2 (2. y para tuberías tanto lisas como rugosas: 1 / 12 12 3/ 2 f ⎧⎪⎛ 8 ⎞ ⎡ 1 ⎤ ⎫⎪ = ⎨⎜ ⎟ + ⎢ ⎬ 2 ⎩⎪⎝ Re ⎠ ⎣ A + B ⎥⎦ ⎪⎭ (2. El área de la pared será S = PH⋅L donde PH es el perímetro húmedo. Factor de fricción para un anillo.146 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Para el anillo. La conocida ecuación de Darcy – Weisbach para pérdidas por fricción en tuberías frecuentemente se basa en fD por lo que se debe tener precaución al usar gráficos y ecuaciones en los que intervenga el factor de fricción.6. PH = 2π(R1 + R2) (figura 2. la definición del factor de fricción y la aplicación del balance de fuerzas da: f = − ∆℘ RH 2 1 L 2 ρv m . Un balance de esfuerzos nos da: FC = [(P0 − PL )( A ) + ρg z ( AL )] = f ⋅ 12 ρv m2 S o sea: f = (℘0 −℘L ) A − ∆℘ A − ∆℘ RH =1 2 =1 2 2 1 2 ρv m S 2 ρv m LP 2 ρv m L Donde RH = A/PH = Radio hidráulico = (área sección transversal)/(Perímetro húmedo) Para un tubo: RH = πR 2 R D = = 2πR 2 4 donde D es el diámetro del tubo.3. mientras que f es llamado factor de fricción de Fanning. Por esto frecuentemente se define el diámetro equivalente como Deq = 4⋅RH = 4A/PH.6.16). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Consideremos flujo a través de un conducto de longitud L y área de sección transversal A. Definir el factor de fricción para un anillo y relacionarlo con el número de Reynolds en el caso de flujo laminar. Así para un anillo. o sea el perímetro de la superficie de la pared que se halla en contacto con el fluido. 2. En algunos textos se define un factor de fricción diferente fD: (℘ −℘ ) Deq f D = 4 f = 10 2 L L ρv m 2 Este se denomina factor de fricción de Blasius. con frecuencia necesitamos calcular el transporte de calor.46). Relación con los coeficientes de transferencia de calor y masa. Para el anillo este empirismo puede conllevar a errores de hasta el 50 %. Para transferencias de calor en conductos de sección transversal anular.147 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. el diámetro equivalente que se usa en las correlaciones para el coeficiente convectivo o pelicular de transferencia de calor considera como perímetro húmedo solo el del tubo interno. Sin embargo. O sea que la relación entre f y Re para un anillo no es la misma como para un tubo aunque la última se modifique usando el diámetro equivalente. En transferencia de calor se ha usado históricamente la ley de Newton del enfriamiento: qS = h (TS − TG) donde TG representa la temperatura promedio del fluido y h es el coeficiente de transferencia de calor. . reemplazamos (−∆℘/L) en la expresión para f: 8µvm RH 16 4 RH2 16 (1 − λ ) = = 2 2 2 1 [(4RH ρvm ) / µ ] R2 ⋅ φ (λ ) Reeq φ (λ ) 2 ρvm R2 ⋅ φ (λ ) 2 f = ρvDeq 4 RH v ⎡1 − λ4 1 − λ2 ⎤ − y Re eq = donde: φ (λ ) = ⎢ = ⎥ 2 µ µ ⎣1 − λ ln(1 / λ ) ⎦ Se debe recordar que para flujo laminar en un tubo f = 16/Re. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento donde: RH = ( ) π R22 − R12 R − R1 A = = 2 2 PH 2π (R1 + R2 ) A partir de la ecuación (2.3. 2.7. esta regla empírica presenta mejores resultados con otras secciones transversales y para flujo turbulento. En general el problema se reduce a determinar las densidades de flujo en la pared (o interfase). A falta de otra información puede usarse como aproximación. es decir un límite entre fases. En los problemas de dimensionamiento de equipos de ingeniería. masa o cantidad de movimiento hacia o desde una superficie o interfase. k es la conductividad térmica. cAG es la concentración promedio en un punto en el fluido y cAS es la concentración de A en la interfase. Para flujo en tuberías la longitud característica es el diámetro del tubo.18). 2. Esto . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento En forma similar hemos definido un coeficiente de transferencia de masa como: NAS = kc (cAS − cAG) Donde NAS es el flujo molar de A en la interfase. Este factor de fricción tiene la característica de ser adimensional. Notemos que para cantidad de movimiento podríamos análogamente definir un coeficiente de transporte a saber (de la definición del coeficiente de fricción): τS = ½fvm (ρvzG − ρvzS) = ½fvm (ρvm − 0) = (f/2)ρvm2 O sea el coeficiente sería ½ f vm pero en la práctica se usa el factor de fricción. En algunos textos lo denominan Nusselt para transferencia de masa y lo simbolizan (Nu)AB. Podemos adimensionalizar así: Nu = h D / k Coeficiente adimensional de transferencia de calor o número de Nusselt. Sh = kc D /DAB Coeficiente adimensional de transferencia de masa o número de Sherwood. kc es un coeficiente convectivo de transferencia de masa que actúa sobre fuerzas guías expresadas en concentraciones molares y DAB es la difusividad másica de A a través de B. Teoría pelicular.3. para flujo en otros conductos se toma generalmente el diámetro equivalente. Aquí D es una longitud característica para el sistema. Para flujo pasando esferas la longitud característica es el diámetro de la esfera al igual que para flujo perpendicular a cilindros.1.7. para objetos no esféricos se usa el diámetro equivalente. lo que no ocurre con los coeficientes de transferencia de calor y masa. En forma similar a como lo describiéramos para transferencia de masa.148 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. se ha encontrado experimentalmente que el perfil de temperatura en flujo turbulento aumenta rápidamente cerca a la pared y es bastante plano al alejarse de la pared (figura 2. También puede mejorarse si la conductividad térmica (o la difusividad másica) aumentan. y el coeficiente de transferencia convectivo es frecuentemente denominado coeficiente pelicular.2. Derivar ecuaciones diferenciales para el flujo en cada fase. 2.7.149 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Si consideramos la transferencia de calor desde una interfase hacia un fluido de acuerdo con este modelo. La distancia zF se denomina espesor efectivo de película. el transporte total de calor por conducción a través de la película estancada estaría dado por: kS (TS −T m ) = qS S zF QS = por definición: qS = h (TS – Tm) o sea: k (TS − Tm ) = h(TS − Tm ) ⇒ h = k/zF zF Análogamente. Las condiciones límite corresponderán entonces a (1): igualdad de potenciales y/o (2): igualdad de flujos. se debe ser cauteloso pues zF puede ser función de k. y se acostumbra en la práctica ingenieril postular el que toda la resistencia al transporte ocurre en una delgada película de fluido cercana a la pared. si desde una superficie difunde soluto hacia un fluido. Al resolver un problema de esta clase el procedimiento a seguir es: 1. En muchas aplicaciones de Ingeniería debemos tratar con sistemas compuestos que constan de dos o más fases.3. Resolver las ecuaciones anteriores utilizando las condiciones límite. 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento indica que el mayor porcentaje de la resistencia a la transferencia ocurre cerca a la pared. Dentro de la película se asume flujo laminar aunque fuera de ella sea turbulento. En general podemos despreciar la resistencia al transporte en la interfase. Esto puede lograrse aumentando la velocidad del fluido que pasa sobre la superficie. Sin embargo. Condiciones límites generales en una interfase. 3. Escribir las leyes de flujo para cada fase. Usando el . En realidad la teoría pelicular sólo nos deja un parámetro empírico en función de otro pero nos permite un análisis cualitativo más sencillo del fenómeno. D (c − c Am ) N AS = AB AS = kc (c AS − c Am ) ⇒ kc = DAB/zF zF Estos resultados nos dicen que para aumentar los coeficientes peliculares debemos reducir el espesor de la película. Fuera de esta película la temperatura se supone igual a la de la masa principal del fluido. el potencial químico en un estado y concentración de referencia según la relación: GαA = GAoα + ℜT ln aαA Donde aαA es la actividad de A en la fase α: aαA = γ αA cαA . N αA = N Aβ i i i Donde m está dada por condiciones de equilibrio termodinámico y puede ser función de la concentración.150 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Similarmente obtenemos: GAβ = GAoβ + ℜT ln γ Aβ c Aβ Al igualar los potenciales químicos en cada fase: ℜT ln γ αA cαA = GAoβ − GAoα + ℜT ln γ Aβ c Aβ . el potencial químico de la especie A en la fase α a concentración cαA . En realidad en la interfase los potenciales químicos o energías libres parciales molares son los que son iguales: G αA i = G Aβ i De la termodinámica conocemos que GαA . τ αzx = τ zxβ i i i Masa de A: cαA = mc Aβ i . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento superíndice (α) para referirnos a la fase α y el superíndice (β) para referirnos a la fase β y el subíndice (i) para referirnos a la interfase. las condiciones límite para transporte en la dirección z son: Energía: Tα = T β i . qαz = q zβ i i i Cantidad de movimiento x en la dirección z (despreciando variaciones de la tensión interfacial): vαz = v zβ i . donde γ αA es el coeficiente de actividad de A en α. se puede relacionar con G Aoα . Si el valor K es alto. El valor de K puede entonces mirarse como una función de presión y composición. (6) De las ecuaciones anteriores y la definición del valor K se obtiene Ki = yi Pi T = xi P Ki = Fracción molar del componente i en la fase vapor Fracción molar del componente i en la fase líquida (7) El valor K es una medida de la tendencia del componente i a vaporizarse. o temperatura y presión. Otras condiciones límite en la interfase.7. la tercera también. si dos cualquiera de estas tres variables se fija. En el equilibrio. Un sistema ideal es aquel donde el vapor obedece la ley de los gases ideales y el líquido obedece la ley de Raoult. El valor K es una función de la temperatura presión y composición. las fugacidades del componente i en el vapor y en el líquido tienen la misma función como la presión parcial del componente en el vapor y la presión de vapor del componente en el líquido. Para interfases gas-líquido es necesario diferenciar entre sistemas ideales y no ideales.3. Para sistemas no ideales. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento de donde m = γ Aβ G Aoβ − G Aoα exp γ αA ℜT Si hacemos: GAoα = GAoβ ⇒ a αA = a Aβ ⇒ m = γ Aβ γ αA i i 2. pi = xi Pi T En ocasiones es válida la ley de Henry: HA xA = P yA HA constante de Henry para la especie A. pi = yiP (5) Una solución ideal obedece la ley de Raoult. si bajo.151 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. En el equilibrio la fugacidad en el vapor es igual a la fugacidad en el líquido. el componente tiende a concentrarse en el vapor. tiende a concentrarse en el líquido. Una mezcla de gas ideal obedece la ley de Dalton. temperatura y composición. la cual establece que la presión parcial de un componente en solución es igual al producto de su fracción molar y de la presión de vapor del componente puro. La fugacidad puede mirarse como una presión termodinámica. .3. Su valor depende de qué tan similares son los componentes. Orye y O’Conell: Computer Calculation for Multicomponent Vapor – Liquid Equilibrium. pero se basa en la temperatura del sistema y en la presión de vapor del componente puro. Los diferentes coeficientes de estas ecuaciones tienen el siguiente significado: Coeficiente de la fugacidad en el vapor. presión y fracción molar del vapor. ψi se usa para considerar la diferencia entre la presión de vapor del componente puro y la presión de la mezcla.152 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Así como φiL se evalúa a la presión de vapor del componente puro. Considera el efecto de la no idealidad del vapor φiL en la fugacidad líquida. Prentice Hall. Wiley Interscience. J.Ch..E. Este considera el efecto de la no-idealidad en la φ iV fugacidad del vapor. N. Usualmente se estima a partir de una ecuación de estado y se basa en la temperatura del sistema. 1967. Si los componentes de la mezcla son diferentes. A. Coeficiente de la fugacidad en el líquido. Corrige la fugacidad líquida por el efecto de la composición. Tiene en cuenta el efecto de la presión en la fugacidad líquida.) Stagewise and Mass Transfer Operations. Este efecto es pequeño y puede ser despreciado a bajas presiones. Englewood Cliffs. Para dos componentes similares. tales como una mezcla de isobutano – normal butano. γi El coeficiente de actividad para el líquido. 1980. pero es importante a presiones altas (Mathur y Powley en Henley (ed. N. 1. el coeficiente de actividad líquido es cercano a la unidad. el coeficiente de actividad se desvía de la unidad. Este coeficiente se determina de una manera similar al coeficiente de fugacidad en la fase vapor. ψi El factor de corrección de Poynting. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento f iV = f i L (8) La fugacidad del vapor puede mirarse como una presión parcial corregida dada por la ecuación f iV = φ iV (Pyi ) (9) Similarmente la fugacidad en la fase líquida puede mirarse como una presión de vapor corregida dada por ( f iV = φiLγ iψ i xi Pi T ) (10) Para ver la derivación detallada de estas ecuaciones se puede referir a algún texto de termodinámica tal como Prausnitz. 1970. o Null: Phase Equilibrium in Process Design.I. vol. Y. . Modular Instruction. Eckert. Cada posibilidad se examinará a su turno.3. Para reacciones químicas heterogéneas ocurriendo en la interfase.3.8. 2. Puede ocurrir transferencia de masa. La situación a analizarse consiste en una película líquida de propiedades constantes que desciende con flujo estacionario.1. tanto entre la superficie sólida y la película como entre la película y la fase gaseosa. para condiciones de baja concentración de soluto y bajas . la densidad de flujo superficial se puede especificar: N Ai = k R1 c An Donde kR1 es la constante específica de reacción y n es el orden.153 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 9 y 10. La superficie libre de la película que desciende es adyacente a una fase gaseosa. por una superficie sólida plana y lisa. Transferencia de calor en una interfase aislada: qz i = 0 ⇒ dT =0 dz i 2. Transferencia de masa en una película liquida descendente. Para flujo turbulento en la fase gaseosa puede no ser cierto. Transferencia de impulso en una interfase gas-líquido: τ zx i = 0 ⇒ dv x =0 dz i pues µG /µL ≅ 0. 8. obtenemos yi φiL PT = V γ iψ i i xi φi P Las condiciones límite a tener en cuenta son: Ki = (11) Para interfases impermeables el flujo se hace cero: 1.8. Transferencia de calor o masa superpuesta a un campo de flujo 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Combinando las ecuaciones 1. Transferencia de masa en una interfase impermeable: * J Az =0 ⇒ i dc A =0 dz i 3. Balance para la especie A: ∂n Ax ∂n Ay ∂n Az ∂ρ A + + + = ΦA ∂x ∂y ∂z ∂t n Ax = j Ax + ρ Av x (2.60) Esta ecuación diferencial parcial no puede resolverse sin resolver la ecuación de cantidad de movimiento para encontrar el perfil de velocidades vx.3. en forma tal que la velocidad de arrastre debida a la difusión pueda despreciarse. para un sistema en el cual la resistencia controlante se encuentra en la fase líquida. Componente de velocidad y despreciable.28) obtenemos: ∂ρ A ∂2ρA vx − DA B =0 ∂x ∂y 2 (2. la solubilidad del gas en el líquido. J Ax << ρ Avx .1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento velocidades de transferencia de masa. y que la difusión en la dirección x es despreciable comparada al transporte por movimiento convectivo. Se supone además que las concentraciones de A son bajas de tal forma que las velocidades difusionales perpendiculares a la pared son efectivamente cero.154 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Para éste caso se puede asumir que la concentración de soluto en la superficie es constante en ρAs. Es conveniente ubicar el origen del . Transferencia de masa entre una fase gaseosa y una película liquida descendente.28) n Ay = j Ay + ρv y n AZ = 0 (no hay gradientes en la dirección z) ∂ρ A = 0 (estado estable) ∂t Φ A = 0 (no hay reacción química homogénea) ρ A v y = 0 . 2.1. Esta es una situación que se presenta por ejemplo en absorción gaseosa en una columna de pared húmeda.8. El transporte convectivo de A en la dirección x es mucho mayor que el transporte difusional en tal dirección. Reemplazando en (2. donde H es el ancho de la placa en dirección z. 3µ 0 b O sea.16. A partir de Navier Stokes: µ d 2vx + ρg x = 0 dy CL 1: y = 0. dvx/dy = 0 CL 2: y = b.61) . que el espesor de la película es ⎡ 3µ Q ⎤ b=⎢ ⎥ ⎣ Hρ g x ⎦ 1/ 3 La velocidad promedio en la película Q' ρ g xb 2 2 vm = = = vmax bH 3µ 3 Definimos un número de Re para la película como: (2.155 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento sistema coordenado en la superficie de la película descendente como se indica en la figura 2. ρg x b 2 + C2 vx = − 2µ ρg x b 2 = C2 2µ CL 2 : 2 ⎛ ρg b 2 ⎞ ⎡ ⎛ y ⎞ ⎤ ⎛ ρg ⎞ vx = ⎜⎜ x ⎟⎟(b 2 − y 2 ) = ⎜⎜ x ⎟⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 2µ ⎠ ⎝ 2µ ⎠ ⎣⎢ ⎝ b ⎠ ⎦⎥ El caudal líquido en la película será: Hρ g x b3 Q' = H ∫ vx dy = . vx = 0 ρg y dv x = − x + C1 µ dy CL 1: C1 = 0 . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Re f = ρ vm Deq .3.1. El número de Reynolds es un indicador de las condiciones de flujo. de espesor infinito.2. Además. Re f = Reemplazando (2. la sustancia A penetrará poco en la película. y podemos asumir perfil de velocidad uniforme e igual a vmax.61) en (2.61) .60). Hasta Ref = 1800 se forman rizos u ondas sobre la película. desde el punto de vista del soluto A. todo x.156 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Cuando el tiempo de exposición texp = L/vmax es corto. ∂y 2. la película será. y a Ref ≈ 1800 la transición de flujo laminar a turbulento es completa. como no alcanza a enterarse de la existencia de la pared. Tiempos cortos de exposición. µ Deq = 4 RH = 4 A 4bH ≈ = 4b PH H es decir : 4 ρ Q' 4Γ = Hµ µ Donde Γ es el caudal másico por unidad de ancho de la película. la ecuación diferencial que describe este proceso es: ⎛ ρg xb 2 ⎞ ⎡ ⎛ y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎝ 2µ ⎠ ⎢⎣ ⎝ b ⎠ 2 ⎤ ∂ρ A ∂2 ρ A D = ⎥ AB ∂y 2 ⎥⎦ ∂x Con las siguientes condiciones límite: x=0 0≤ y≤b ρ A = ρ AO concentración uniforme a la entrada para todo x. Por tanto: vmáx ∂ρ A ∂2ρ A = DAB ∂x ∂y 2 (2. y = 0. ρ A = ρ AS en la interfase existe equilibrio ∂ρ A = 0 la placa es impermeable al soluto A y = δ. Para Ref ≤ 30 la película es laminar y libre de ondas.8. 157 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.61) se convierte en una ecuación diferencial ordinaria: Asumimos ρA = f(n) con n = ∂ρ A ∂f dn entonces = ∂x ∂n dx y DAB x 2 vmax ∂ρ A ∂f dn = . . Haciendo un cambio de variable. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛ ρg b 2 ⎞ 3 vx ≈ vmáx = ⎜⎜ x ⎟⎟ = vmed = Constante ⎝ 2µ ⎠ 2 Condiciones límite: x ≤ 0 ρA = ρAo Condición de entrada y=0 ρA = ρAs Superficie libre. y→∞ ρA = ρAo Poca penetración. la ecuación (2.61) 2 ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ D AB ⎜⎜ ⎟⎟ f " (n ) + vmax ⎜ ⎟ f ' (n ) = 0 ⎝ 2x ⎠ ⎝ y⎠ Reconociendo que f " (n ) + 2nf ' (n ) = 0 y 2 vmax = 2n 2 obtenemos 2 xD AB ∂ 2 ρ A ∂ 2 f ⎛ dn ⎞ = 2⎜ ⎟ ∂y 2 ∂n ⎝ dy ⎠ 2 . ∂n dy ∂y dn n dn n = . =− dy y dx 2x Reemplazando en (2. 158 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. que no puede resolverse en forma ilimitada. Si se cambiase el límite inferior por otro valor se alteraría simplemente el valor de las constantes de integración. dn = (1/2) u-½ du ∞ ( ) 2 ∫ exp − n dn = 0 ∞ 1 ( 12 −1) u exp(− u )du 2 ∫0 por definición de la función Gama: ∞ Γ(α ) = ∫ uα −1 exp(− u )du 0 entonces: ∞ ∫ exp(− n )dn = ( )Γ( ) = 2 0 1 2 1 2 π 2 . Aplicando las condiciones límite se obtiene: CL 1 : C2 = ρAS CL 2: C1 = − ∞ ρ A0 − ρ AS ∫ exp(− n )dn 2 0 2 Haciendo u = n . ρA = ρAo Substituyendo f' por γ se llega a una ecuación de primer orden de variables separables que se puede resolver para dar: dγ γ = −2ndn ⇒ lnγ = −n 2 + ln C1 ⇒ γ = ( n ) f (n ) = ρ A = C1 ∫ exp − n 2 dn + C2 ( df = C1 exp − n 2 dn ) (2. ρA = ρAs CL2: para y → ∞ o para x = 0 . n → ∞ .62) 0 Aquí se elige arbitrariamente el límite inferior de la integral indefinida. n= 0 . no determinadas aún. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Con las condiciones límite: CL1: para y = 0 . Obsérvese que es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo de exposición. el soluto. δ.005 ⇒ n = 2 y la profundidad penetrada por el soluto será ypenetración ⎡D x⎤ = 4⎢ AB ⎥ ⎣ vmáx ⎦ 1 2 (2. La función complementaria de error es: [1 . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Por tanto: n ρ A − ρ AS 2 = exp(− n 2 )dn ∫ ρ A0 − ρ AS π 0 (2.159 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. en la parte inferior de la placa habrá entrado hasta capas donde la velocidad del fluido es todavía el 99% de la velocidad máxima. Podemos utilizar este hecho para definir una especie de profundidad de penetración del soluto. y se abrevia "erf" (ver apéndice). como la distancia y para la cual (ρA − ρAo) ha disminuido hasta un valor de (0.erf(n)] = erfc(n) Podemos expresar la solución como: ⎡ ⎛D x⎞ ⎤ ρ A − ρ A0 = erfc ⎢ y 2⎜⎜ AB ⎟⎟ ⎥ ρ As − ρ A0 ⎢ ⎝ vmax ⎠ ⎥ 1 2 (2.65) Esta distancia es una medida de la cantidad de masa de A que ha penetrado en la película de fluido. ρAo). erfc(n) = 0.005)(ρAs.64) ⎣ ⎦ La función de error es una función monótona creciente cuyo intervalo va de cero a uno y alcanza el valor de 0. es decir. Para valores típicos de tiempo de exposición de 2 segundos y de difusividades en líquidos del orden de 10−5 cm2/s.63) La relación: ∫ exp(− n )dn n 2 0 ∞ ∫ exp(− n )dn 2 = 2 π ∫ exp(− n )dn = erf (n ) n 2 0 0 Se denomina función error.99 cuando n vale 2. La densidad de flujo de materia a través de la interfase en un punto x: . .5. absorbida por la película será el producto de nAS por el área de la superficie. nAS = kρ(ρAS − ρA0).66) La masa total de A. como puede comprobarse sus dimensiones son las de una velocidad (L/t). nos aparece definido un coeficiente de transferencia de materia que usa como fuerza guía un valor constante e igual a la máxima diferencia de concentraciones entre la superficie y el fluido y que además es proporcional a DAB½.64): y =0 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ∂ρ A ∂n ⎡ − 2( ρ As − ρ A0 ) ⎤ ⎢ exp − n 2 ⎥ = = 1 ⎥⎢ ⎥ ∂n ∂y ⎢⎣ π ⎦ ⎢ ⎛ DAB x ⎞ 2 ⎥ ⎟⎟ 2⎜⎜ ⎢ ⎝ vmax ⎠ ⎥ ⎦ y =0 ⎣ ( y =0 1 n Ay y =0 ) ⎡D v ⎤ = ⎢ AB máx ⎥ [ρ As − ρ A0 ] ⎣ πx ⎦ 2 Idéntico resultado se obtiene a partir de la ecuación (2. es decir cuando aumenta el valor penetrado que es una medida del camino de difusión. ⎡ 6D v ⎤ k ρ = ⎢ AB med ⎥ ⎣ πL ⎦ 1 2 (2. Un valor promedio de la densidad de flujo lo encontramos integrando nAy a lo largo de x y dividiendo por la longitud L de la placa: (ρ − ρ A0 ) ⎡ DAB vmáx ⎤ 1 = ∫ n Ay dx = As ⎥⎦ ⎢⎣ π L0 L L n AS 1 2 ⎡D v ⎤ ∫0 x dx = 2⎢⎣ ABπLmáx ⎥⎦ L − 12 1 2 (ρ As − ρ A0 ) O en términos de la velocidad promedio n AS ⎡ 6D v ⎤ = ⎢ AB med ⎥ ⎣ πL ⎦ 1 2 (ρ As − ρ A0 ) (2.67) Este coeficiente tiene subíndice ρ porque actúa sobre diferencias de concentración expresadas en unidades de concentración másicas volumétricas y. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento n Ay y =0 ∂ρ A ∂y = − DAB ∂ρ A ∂y . partiendo de (2. Usando la definición del coeficiente convectivo. Esto es característico de la "Teoría de la Penetración" propuesta por Higbie en 1935.160 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.63). Esta es una densidad de flujo local que varía inversamente con x0. 3.5 >3 (2. lo que ocurre para números de Goucher mayores que tres: ⎡ ρg ⎤ Go = R ⎢ ⎥ ⎣ 2σ ⎦ 0.1.161 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Los problemas de transferencia de calor que más frecuentemente se encuentran están relacionados con calentamiento y enfriamiento de fluidos en tuberías. pueden tratarse con las mismas expresiones que la película líquida descendente plana. Del balance de cantidad de movimiento (ecuación de Navier-Stokes) obtenemos: ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ vz = vmax ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ (2. aplicado al sistema en estado estable y con simetría axial es: vz ⎡ ∂ 2T 1 ∂T ∂ 2T ⎤ ∂T =α⎢ 2 + + ∂z r ∂r ∂z 2 ⎥⎦ ⎣ ∂r (2. 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Las expresiones para películas líquidas descendiendo por el interior o exterior de tubos (columnas de pared húmeda). Las complicaciones que resultan hacen que sólo se obtengan soluciones aproximadas. Para flujo isotérmico laminar desarrollado el perfil de velocidad es parabólico.9.9. cuando son hidrodinámicamente equivalentes. el perfil de velocidad puede alterarse bastante debido al efecto de la temperatura sobre la viscosidad.68) Donde σ es la tensión superficial.69) . Este último tipo de flujo se denomina flujo pistón. Transferencia simultanea de calor y cantidad de movimiento.3. El balance de energía en coordenadas cilíndricas. Graetz (1883 y 1885) desarrolló soluciones para dos casos: uno en el que se supone despreciable la distorsión del perfil de velocidad y otra en la cual se supone que la distorsión es tan grande que el perfil de velocidad es plano para toda el área transversal de la tubería. Suponemos que la temperatura del fluido a la entrada es constante para toda la sección de la tubería. Despreciaremos los efectos de entrada. Perfil de velocidad parabólico con temperatura uniforme de pared.24) Si el fluido se calienta o enfría. 2. 3.2. Detalles de la solución están dados en Jakob. Si se supone flujo pistón. Perfil de velocidad plano. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Si además asumimos el que la conducción en la dirección de flujo es despreciable en comparación con los otros términos de transporte. energía y cantidad de movimiento (2. Reemplazando la ecuación para la distribución de velocidades y haciendo esta última simplificación: 2 1 ⎛ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎞ vmax ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ ∂T ⎜ ⎜r (2. todo z. al separar las variables nos da dos ecuaciones diferenciales ordinarias que pueden resolverse por métodos estándar.69) se simplifica a: ∂ 2T 1 ∂T ⎛ vm ⎞ ∂T + =⎜ ⎟ ∂r 2 r ∂r ⎝ α ⎠ ∂z La solución de esta ecuación es algo más simple que la solución de la ecuación que involucra el perfil parabólico. La solución de la ecuación que relaciona T y r es una serie. T = TS.70) ⎟⎟ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ α ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ ∂z r ⎜⎝ ∂r ⎝ ∂r ⎠ ⎟⎠ Esta ecuación diferencial parcial puede resolverse por la técnica de separación de variables. el último término puede suprimirse. obteniéndose dos ecuaciones diferenciales ordinarias. todo z. Su combinación da T como una función de z y r.162 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. . vz = vm en todos los puntos y la ecuación combinada de continuidad. 2. Una solución es una ecuación exponencial simple y la otra involucra funciones de Bessel. para r = R. Las condiciones límite son: Para z = 0. ∂T/∂r = 0 . Este lleva a ecuaciones complejas que expresan el grupo de Nusselt local como una función del número de Graetz: m' Cp ⎛ π ⎞⎛ D ⎞ = Pe⎜ ⎟⎜ ⎟ kz ⎝ 4 ⎠⎝ z ⎠ (2. Esto ocurre debido a que la ecuación diferencial parcial. La solución de la ecuación que relaciona T y z es una relación exponencial simple. Pe = (Re⋅Pr) es el número de Peclet y D es el diámetro del conducto. para r = 0.71) Aquí.9. T = T0 todo r. pero estos resultados pueden aplicarse fácilmente a tubos circulares. D Consideramos. Este análisis se aplica directamente a la transferencia de calor laminar sobre una placa plana. lo que ocurre para m’CP/kL > 20. El número de Schmidt para varios materiales en agua es substancialmente dependiente del soluto. Como criterio tenemos que: El perfil de velocidad se halla completamente desarrollado a una distancia LeM ≈ 0.9. como en los casos donde el caudal másico es alto y la longitud del tubo no es grande. .163 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. térmica e hidrodinámica son respectivamente: Lec = 6000 D LeT = 35 D Le =5 D Esto nos indica que el perfil de concentraciones completamente desarrollado puede no obtenerse en fluidos con Schmidt grande y cuando la zona de calentamiento empieza luego de que se ha desarrollado el perfil de velocidades podemos encontrar esta situación válida en transferencia de calor con flujos grandes y poca longitud de conducto.3.05 Re Sc . A esta temperatura Pr = 7. Entonces las longitudes de entrada de concentraciones. por ejemplo el caso de agua fluyendo a través de un tubo a Re = 100 y 68°F.05 Re. Solución de Lévêque. Transferencia de calor con flujo laminar en tubos circulares.3.05 Re Pr . pero un valor típico es del orden de 1200. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2. D El perfil de temperatura se desarrolla completamente a LeT ≈ 0. Esta solución se desarrolla matemáticamente asumiendo que el perfil de temperaturas está confinado a una estrecha zona cercana a la pared del tubo. Una de las soluciones más sencillas para el coeficiente de transferencia de calor con flujo laminar en tubos circulares es la de Lévêque. D y el perfil de concentraciones a Lec ≈ 0. donde ß es el gradiente de velocidad en la pared. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para este caso. y.72) Consideramos un fluido fluyendo sobre una superficie plana bajo las siguientes condiciones: • • • • • Las propiedades del fluido son constantes. La temperatura en la superficie es uniforme TS. y debido a la poca penetración de la honda térmica podemos asimilar el sistema al de una placa plana. despreciando los efectos térmicos debidos a la fricción viscosa es. r) = ßy.73) T = T0 T = TS T = T0 Esta ecuación puede transformarse a una ecuación diferencial ordinaria introduciendo el cambio de variable ⎡ β ⎤ n = y⎢ ⎥ ⎣ 9α z ⎦ Así: 1/ 3 y suponiendo T = f(n). . La temperatura del fluido fuera de la capa límite es T0 (igual a la temperatura uniforme a la entrada del conducto).164 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La transferencia en la dirección y (radial) ocurre por difusión exclusivamente. Se asume distribución lineal de velocidades o sea: vz = ß(R.72) se reduce a: ∂T ∂ 2T =α 2 βy ∂z ∂y Con las siguientes condiciones límite: CL1: CL2: CL3: z=0 z>0 Todo z y>0 y=0 y→∞ (2. en estado estable: vx ⎡ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎤ ∂T ∂T ∂T + vy + vz = α⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ⎦ ⎣ ∂x (2. ∂x 2 Si el fluido no es un metal líquido ⎡ ∂ 2T ∂ 2T ⎤ << ⎢ ∂z 2 ∂y 2 ⎥⎦ ⎣ La ecuación (2. La temperatura del fluido T es una función de z e y o sea ∂ 2T es cero. ( dT = C1 exp − n 3 dn ) . = = ⎢ ⎥ ∂y ∂n ∂y ∂y 2 ∂n 2 ⎣ ∂y ⎦ Reemplazando en (2. entonces lnθ = −n3 + ln C1 dn θ = C1 exp(− n 3 ) .74) donde las comillas indican derivadas con respecto a n.165 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Las tres condiciones límites originales se reducen a dos (la condición límite 1 y 3 se hacen iguales): CL1: n → ∞ T = T0 CL2: n = 0 T = TS Haciendo f ' = θ ⇒ (z = 0 ó y → ∞) ( y = 0) f ''= dθ la ecuación (2.72) obtenemos: 2 β yn ⎛n⎞ − f ' (n ) = α ⎜⎜ ⎟⎟ f ' ' (n ) 3z ⎝ y⎠ Observando que ⎡ β ⎤ y3 ⎢ = 3n 3 ⎥ ⎣ 3αz ⎦ y reorganizando: f ' '+3n 2 f ' = 0 (2. =− = 3z ∂z ∂z ∂n ∂z 2 ∂n n = ∂y y ∂T ∂f ∂n ∂ 2T ∂ 2 f ⎡ ∂n ⎤ .74) queda: dn dθ + 3n 2θ = 0 dn dθ = −3n 2 dn . . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1n ∂n ∂T ∂f ∂n . 8934 (o por integración numérica) ⎝3⎠ . C1. usamos las condiciones límite así: ∞ T0 ∫ dT = C ∫ exp(− n )dn 3 1 TS 0 ∞ ( ) Llamemos I = ∫ exp − n3 dn 0 1 Sea u = n3 . si n → ∞ .75) 1 0 TS Para evaluar la constante de integración. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ∫ dT = C ∫ exp(− n )dn T n 3 (2. por esto: 1 ⎛1⎞ ⎛4⎞ ⎛1 ⎞ I = Γ⎜ ⎟ = Γ⎜ + 1⎟ = Γ⎜ ⎟ 3 ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3 ⎠ ⎛4⎞ De una tabla: Γ⎜ ⎟ ≈ 0.166 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. entonces n = u1 / 3 y así dn = u − 2 / 3 du 3 Si n = 0. u = 0 . luego : ∞ 1 −2 / 3 u exp(− u ) du 3 ∫0 Por definición: I= ∞ Γ(α ) = ∫ uα −1 exp(− u ) du 0 En consecuencia: ∞ 1 1 ⎛1⎞ I = ∫ u 1 / 3−1 exp(− u )du = Γ⎜ ⎟ 30 3 ⎝ 3⎠ Utilizando integración por partes se demuestra la siguiente propiedad de la función gama: Γ( p + 1) = pΓ( p ) . u → ∞. 8934 ( y =0 ) 1 3 y =0 .74) se transforma en: n T − TS 1 = exp − n 3 dn (2. reemplazando en (2. (2.8934 0 La integral de esta expresión puede evaluarse mediante el uso de series u otro método numérico y tiende rápidamente a su valor asintótico variando entre 0 y 0.8934 ( ) Pues la derivada de una integral con respecto al límite superior es el integrando. ∂T ∂y ⎤⎡ β ⎤ ⎡ T − TS exp − n 3 ⎥ ⎢ =⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎣ 9αz ⎦ ⎣ 0.8934 de donde. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛4⎞ Γ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ ∫ exp(− x )dx 4/3 3 0 Por esto. ( ) Podemos usar el perfil de temperaturas para determinar el coeficiente de transferencia de calor en función de z: q S = h(TS − T0 ) = − k dT dy y =0 para z constante: ∂T ∂T ∂n = ∂y ∂n ∂y ∂n ⎡ β ⎤ = ∂y ⎢⎣ 9αz ⎥⎦ 1/ 3 ∂T T0 − TS = exp − n 3 ∂n 0.167 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.76) ∫ T0 − TS 0.8930 para n variando entre 0 y 2.75) C1 = (T0 − TS ) 0. 8934 ⎢⎣ 9αDz ⎥⎦ 1/ 3 1 ⎛ v ⎞3 = 1. o sea: ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ v z = 2v m ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ ∂v z ∂r =− r =R con 4v m R r=R− y ∂v z ∂v =− z ∂r ∂y O sea: k ⎡ 8v m ⎤ hz = 0. La suposición del gradiente de velocidad ß constante no es válida en la inmediata entrada del tubo donde el gradiente es infinito. suponiendo que el perfil de velocidades está completamente desarrollado. El coeficiente convectivo promedio lo hallamos integrando sobre z y dividiendo por la longitud L del conducto: .168 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la región donde coinciden ambas soluciones puede tomarse como una medida de la longitud de la entrada térmica.8934 ⎢⎣ 9αz ⎥⎦ 1/ 3 Este es el coeficiente convectivo de transferencia de calor a una distancia z del sitio donde comienza el calentamiento. Como ß es la pendiente del perfil de velocidades en la superficie. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento k ⎡ β ⎤ hz = 0.076 Re 3 Pr 3 (D z ) 3 k Esta ecuación da los mismos valores que los obtenidos por Graetz para flujo parabólico desarrollado en el rango RePr(D/z) > 100. los gradientes de velocidad junto a la pared se desarrollan rápidamente y pronto se aproximan al utilizado en el desarrollo anterior. pero sin embargo. Como la ecuación de Lévêque no es válida en la región más allá de donde el perfil de temperaturas alcanza el centro de la tubería.076 k ⎜ m ⎟ ⎝ α zD ⎠ o en modo adimensional Nu z = 1 hz D 1 1 = 1. 3. Es conservativa según McAdams por suponer perfil desarrollado en tubos cortos. ⎡ 2 y ⎛ y ⎞2 ⎤ = −⎜ ⎟ ⎥ . El termino µb/µs es una corrección empírica para la distorsión del perfil de velocidad resultante del efecto de la temperatura en la viscosidad. El coeficiente obtenido con esta ecuación. Transmisión de calor desde una pared a una película descendente: tiempos de contacto cortos. ejerce un considerable efecto de refrigeración sobre la superficie del sólido.77) es la base de la correlación de Sieder y Tate (1936) quienes. 2. usa como fuerza guía el promedio logarítmico de las diferencias de temperatura en los extremos. tal como se indica en la figura.78) donde µ es la viscosidad del fluido a la temperatura promedio global y µs es la viscosidad a la temperatura de pared.14 (2.614 Re 3 Pr 3 (D / L ) 3 k (2.86 Re 1/ 3 Pr 1/ 3 ⎛D⎞ ⎜ ⎟ ⎝L⎠ 1/ 3 ⎛ µb ⎜⎜ ⎝ µs ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0. Estimar la velocidad de transmisión de calor desde la pared al fluido para tiempos de contacto tan cortos que la temperatura del fluido sólo varía apreciablemente en la región inmediata a la pared.8934L ⎝ 9α D ⎠ 0 ⎝ DLα ⎠ 1 3 El valor promedio para el coeficiente adimensional es: Nu m = 1 hm D 1 1 = 1.9. Demostrar que z max ⎢ δ ⎝ δ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ siendo vmax = δ 2 ρg 2µ .614 k ⎜ m ⎟ 0. Una película de un líquido frío que desciende por una pared sólida vertical o inclinada. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento L hm = ∫ hz dz 0 L 1 3 k ⎛ 8v m ⎞ L − 13 ⎛ v ⎞ = ⎜ ⎟ ∫ z dz = 1. para transferencia de calor con flujo laminar en tubos propusieron: Nu = 1.4.77) La ecuación (2.169 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. v v a. Transferencia simultanea de calor y masa.med y =0 k (TS − T0 ) ⎛ γ ⎞ = ⎜ ⎟ 2Γ( 43 ) ⎝ 9 L ⎠ 1 3 2. de nuevo utilizando las condiciones límite con el fin de obtener Θ= 1 ∞ −η3 ∫ e dη Γ( 43 ) η e. 1: T = T0 para C.10. Demostrar que la densidad media de flujo de calor transmitido al fluido es q y . Escribir de nuevo la ecuación diferencial y las condiciones límite anteriores en función de las variables reducidas Θ= T − T0 TS − T0 .L. 3: T = TS para z=0 e y=∞ y y=0 y y>0 z finita z>0 d. γ = =γ 2 ρCP gδ ∂y ∂z c. .L.L. Demostrar que para cortos tiempos de contacto pueden tomarse las siguientes condiciones límite y C. 2: T = T0 para C. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎞ ⎛ dv ⎟ y = ρgδ y vz ≈ ⎜ z ⎟ ⎜ dy µ y =0 ⎠ ⎝ b. Demostrar que la ecuación de energía se reduce a Por tanto en la vecindad de la pared ρC P v z ∂T ∂ 2T = ∂z ∂y 2 (¿Qué suposiciones simplificantes se necesitan para obtener este resultado?) Combinar los resultados anteriores para obtener la ecuación diferencial aproximada µk ∂ 2T ∂T . η= 3 y 9γz Integrar una vez para obtener dΘ/dη = Cexp(−η3).3.170 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Integrar. siendo C una constante de integración. el otro es el flujo de entalpía debido a la difusión: N A M ACpA (T − T0 ) + N B M BCpB (T − T0 ) donde To es una temperatura de referencia que analizaremos luego. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La transferencia de masa afecta al mismo coeficiente de transferencia de materia. restando miembro a miembro y reorganizando: C1 = (TS − TG ) (k H )⎡⎢⎣1 − exp⎛⎜⎝ Hz F ⎞⎤ k ⎟⎠⎥⎦ . el límite de la película. Una es el calor que llega por conducción y gracias a una diferencia de temperaturas. observamos que el flujo total de entalpía hacia un elemento de volumen de espesor dz consta de dos partes. al factor de fricción y a los coeficientes de transferencia de calor. Generalmente. encontramos que la distribución de temperaturas debe satisfacer: d 2T dT k 2 − ( N A Cp A + N B Cp B ) =0 dz dz (2. Aplicando el balance para estado estacionario. T = TS para z = 0 .79) haciendo dT/dz = θ: dθ θ = 1 (N A M A Cp A + N B M B Cp B )dz = Hdz k k donde hemos abreviado haciendo H = NA MA CpA + NB MB CpB dT ⎛ Hz ⎞ = C1 exp⎜ ⎟ . Refiriéndonos a la figura 2. Veamos el efecto del flujo másico sobre el flujo de energía. dz ⎝ k ⎠ T = C1 k ⎛ Hz ⎞ exp⎜ ⎟ + C2 H ⎝ k ⎠ Con las condicione límite a saber. obtenemos. ⎛k ⎞ TS = C1 ⎜ ⎟ + C2 ⎝H⎠ ⎛ Hz ⎞ TG = C1 exp⎜ F ⎟ + C 2 ⎝ z ⎠ .171 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. T = TG para z = zF.12. un proceso difusional está acompañado por transporte de energía aún dentro de un sistema isotérmico. -k dt/dz. la entalpía total.Co)] se conoce como el factor de corrección de Ackerman.82) Co/[1– exp(. o sea haciendo TG = T0.80) A partir de esta distribución de temperaturas hallamos la densidad de flujo de calor debido al gradiente de temperatura en la interfase: qS = −k qS = − dT dz z =0 ⎡ Hz ⎤ = −kC1 exp⎢ ⎥ ⎣ k ⎦ z =0 hCo (TS − TG ) 1 − exp(Co ) (2. y corrige el coeficiente de transferencia de calor por la transferencia de masa simultánea.172 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y HzF/k = H/h = Co ⎛ Co * z ⎞ ⎟ −1 exp⎜⎜ z F ⎟⎠ T − TS ⎝ = exp(Co ) − 1 TG − TS (2. el cual se evapora creando una transferencia de masa opuesta (enfriamiento pelicular o por . qH. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento C 2 = TS − (TS − TG ) ⎡ ⎛ Hz F ⎞⎤ ⎢⎣1 − exp⎜⎝ k ⎟⎠⎥⎦ haciendo h = k/zF . Si las entalpías se calculan relativas a un estado de referencia tomado como la temperatura del gas. a menos que To sea igual a TS. una superficie expuesta a un gas caliente puede protegerse parcialmente del calentamiento rápido si la superficie se mantiene húmeda con un líquido volátil. es igual a q S + ( N A M A Cp A + N B M B CpB )(TS − T0 ) donde los CP son calores específicos másicos. el flujo de entalpía total desde la superficie es. haciendo H = h Co: ⎡ ⎤ ⎡ exp(Co ) ⎤ 1 q H = hCo(TS − TG )⎢ + 1⎥ = hCo(TS − TG )⎢ ⎥ ⎣ exp(Co) − 1 ⎦ ⎣ exp(Co) − 1⎦ ⎛ ⎞ Co ⎟⎟ q H = h(Ts − TG )⎜⎜ ⎝ 1 − exp(− Co ) ⎠ (2. Será mayor que la unidad si la transferencia de masa se efectúa en el mismo sentido que la transferencia de calor y más pequeño si las dos van en sentidos opuestos así.81) Observamos que qs no es igual al flujo total de entalpía en la interfase. En general. C0 negativo) o a mezclas de varios componentes para los cuales (NA CpA + NB CpB) se substituye por ∑ N Cp . qT incluirá adicionalmente. la energía necesaria para el paso de la fase líquida a la fase vapor inicialmente es suministrado por las moléculas restantes en la fase líquida. o sea: hG (TG − TS ) 1 − y AG Co = λ AS M A FG Ln 1 − exp(− Co ) 1 − y AS (2. En otros casos el calor sensible transferido por conducción iguala al calor acarreado desde la interfase hasta el fluido. Así ⎡ ⎤ Co hG (TG − TS )⎢ ⎥ = λ AS M A k y ( y AS − y AG ) ⎣1 − exp(− Co ) ⎦ (2. iguala la velocidad con que se consume calor latente para mantener la velocidad de evaporación causada por la diferencia de concentración entre la capa de gas adyacente al líquido (saturado) y las capas del gas más alejadas. donde n es un . lo que origina transferencia de calor sensible desde los alrededores hacia la gota.83) Si la velocidad de evaporación es pequeña y la concentración de vapor de A en la fase gaseosa es baja. En este caso el calor total vale cero. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento sudor). En algunos casos. i i El calor total disipado en la interfase. podemos expresar la velocidad de evaporación utilizando coeficientes tipo ky en lugar de FG. Puede aplicarse a la condensación de un componente A en presencia de un componente B incondensable (NB = 0 .18. El caso de una pequeña gota evaporándose en una gran masa de gas no saturado es una situación en la cual.173 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Entonces: qT = q H + λ A N A + λ B N B donde λA y λB son los calores latentes másicos a TS. son generalmente proporcionales a los números de Prn y de Scn respectivamente. Eventualmente la velocidad con que llega calor sensible a la superficie. Esta disminución de la energía cinética promedio se refleja en una disminución de temperatura. Dicho efecto puede ser un calor latente de vaporización. el efecto producido cuando la masa transferida pasa a través de la interfase. y de masa Sh. un calor de solución o ambos según las circunstancias.84) Los coeficientes convectivos adimensionales de transferencia de calor Nu. debido a una temperatura inferior de la fase adyacente. no entrando calor a la fase adyacente. el calor liberado en la interfase sigue fluyendo hacia la izquierda en la figura 2. 2.10.84) permite determinar la diferencia de temperaturas. uno de los cuales está cubierto con una gasa humedecida en el líquido y al estabilizarse proveerá la temperatura TS y. También puede utilizarse para determinar la composición del gas si las temperaturas del gas. La línea de conexión tiene 5 cm de diámetro y 30 cm de longitud.13332277 ⎠ EJERCICIOS 1. mol /pie3. el cual consta de dos termómetros. El otro termómetro da la temperatura TG. encuentre la masa de cada solución concentrada que debe agregarse.91 2. entre el gas y el líquido cuando la composición del gas y la de saturación a la temperatura de la superficie se conocen. De la respuesta en lb. Esta es la base del psicrómetro de bulbo húmedo. Un tanque que contiene 15% molar de C02 en aire se conecta a un segundo tanque que contiene solo aire. el numero de Lewis. y de aquí yAS. Si 1500 kg de producto final se requieren. y 40% de H20 en peso. Suponga que se puede aplicar la Ley de los gases ideales. en estado estable. De esta manera 1 k 1 kC D ⎛ Sc ⎞ 3 = y = AB ⎜ ⎟ = 2 hG chG k ⎝ Pr ⎠ ρG CPG Le 3 Por la definición de α. Para ello se dispone de soluciones concentradas de ácido en agua. El ácido residual de un proceso de nitración contiene 15% HNO3. Una forma de expresar esta última es a través de la así llamada humedad relativa definida por la relación entre la presión parcial del vapor en el gas y la presión de saturación a la temperatura del mismo. 50% H2S04. el coeficiente de difusión térmica. 45% de H2S04. Este ácido debe ser concentrado hasta 25% HNO3.9566 − ln ⎜ ⎟ T ⎝ 0. 3. Ambos . del líquido y la concentración de saturación a la temperatura de este último se conocen.174 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. se obtienen λAS y pAS la presión de vapor a TS. Con la ecuación se calcula la concentración o humedad del gas. Para aire húmedo a presión y temperaturas moderadas Le ≈ 0. reemplazando la relación α/DAB por Le. Calcule la concentración molar de N2 en un tanque de 16 m3 que se encuentra a 2 atm y 300 K y contiene una mezcla 50% de N2 y 50% O2. y 25% H20.3. El psicrómetro de bulbo húmedo La ecuación (2.1. una de 95% de H2S04 y otra de 85% de HN03.1 ⎛ ⎞ = 30. de la literatura. Una correlación sencilla que permite hallar la presión de vapor del agua en pascales en función de su temperatura en kelvin es: p 6153. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento exponente positivo menor que 1. Para la mayor parte de las aplicaciones es razonable suponer un valor de n = 1/3. Considere un recipiente de forma cilíndrica de dos pies de diámetro y dos de longitud. en todos sus puntos.15 K. cuando la concentración de CO2 al lado del diámetro mayor es 30% y al lado del diámetro menor es 3%. de diámetro mayor 10 cm y diámetro menor 5 cm.79. Si este recipiente está lleno hasta la mitad con tolueno líquido. cual será la pérdida instantánea de tolueno a los alrededores por evaporación? La temperatura es 18. Determine la velocidad de Transferencia de Masa para una sección cónica de 30 cm de altura. (c) una placa plana de longitud L y espesor W. la presión de vapor de etanol es de 53 mm Hg y su gravedad específica es 0. Difunde el aire? En qué cantidad? 4. que tiempo se demoraría para desaparecer a 85 °C? Asuma que el aire en el bulbo está saturado de yodo.4 °C.164x10−4 m2/s. El producto B difunde de retorno a través de la película estancada hasta la corriente principal. de ancho por toda su longitud sobre su parte superior. Un gas A difunde a través de una película estancada de gas que rodea una partícula esférica de catalizador no poroso. Desprecie cualquier posible efecto bidimensional. Si el resultado coincide con el valor reportado en la literatura. la presión es la atmosférica normal. ¿Qué caudal de etanol debe suministrarse a la celda para mantener un nivel de líquido constante? A 297 K. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento tanques se encuentran a una atm de presión y 298. de las concentraciones de A y An en la fase fluida global y del espesor de la película estancada si el catalizador es: (a) esférico de radio R (b) un cilindro de radio R y longitud L. La isomerización de nA para formar An por medio de la reacción nA ⇒ An ocurre en una partícula catalizadora con una rapidez tan grande que la difusión en la película estancada alrededor del catalizador controla la rapidez de descomposición. de diámetro. ¿Qué ocurre si se invierten las concentraciones? ¿Qué si se usa un conducto con diámetro igual al promedio aritmético? ¿al promedio geométrico?¿al promedio logarítmico? 7. La mezcla gaseosa se encuentra a una atmósfera de presión y 25 °C. de largo y 1/16 pl. y la celda tiene área transversal 0. Bajo estas condiciones la presión de vapor del tolueno es 20 mm Hg y su densidad como líquido es 54. Asumiendo operación isotérmica. El otro componente es aire. (a) encuentre la densidad de flujo molar de CO2 y (b) encuentre el número de libras de CO2 que pasa por el conducto en una hora. Obtenga una expresión correspondiente a la rapidez de isomerización en función de las propiedades del flujo.82 cm2 y trayectoria de difusión de 15 cm. 6. Un gramo de yodo se coloca en un balón de fondo plano. dispuesto horizontalmente el cual se encuentra abierto a la atmósfera a través de una ranura de 3 plg. En la superficie de este ocurre la reacción instantánea 3A ⇒ B. El volumen de cada tanque es muy grande comparado con el volumen del gas en la línea de conexión de forma tal que los cambios en la concentración de cada tanque son despreciables durante mucho tiempo. obtenga una expresión para la velocidad de reacción en .1 lb/pie3 5.175 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y que la concentración de yodo en la atmósfera circundante es cero. 9. Una celda de Arnold en estado estable se usa para determinar la difusividad de alcohol etílico en aire a 297 K y 1 atm. Si el tubo a través del cual toma lugar la difusión tiene 3 plg. 8. La difusividad másica del C02 en aire a una atm y 25°C es 0. son 54. 12. (a) Aplicar un balance de energía por unidad de área del bulbo seco con el fin de obtener una ecuación de la temperatura del gas T∞. a través de un capilar de 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento términos del espesor de la película estancada.5 m3/h. en función de Tbs.5 °C y 26.93. hbs (coeficiente convectivo para el termómetro de bulbo seco). es 4. Un tubo de vidrio aislado y un condensador se montan sobre un rehervidor que contiene benceno y tolueno. el vapor tiene una concentración de 30 % en volumen de tolueno y el reflujo líquido tiene fracción molar xAL = 0. y de la composición de la corriente gaseosa. Calcule la viscosidad del aire a 20 °C. y αbs (siendo estos dos últimos términos la emisividad y el coeficiente de absorción del bulbo seco). En un punto en el tubo. (b) Aplicar un balance de energía por unidad de área del bulbo húmedo con el fin de obtener una expresión de la velocidad de evaporación.5 m3/hr. εbs. respectivamente. que se puede despreciar la conducción de calor a lo largo de las varillas de vidrio. 10. Para simplificar. Determine el tiempo requerido para que la corriente que sale del segundo tanque alcance una concentración de NaOH del 5% si la velocidad de flujo de salida de ambos tanques es 4. yAG. y diámetro del bulbo húmedo incluyendo la muselina o gasa humedecida que lo envuelve = 0. donde la temperatura es de 170 °F. Por consiguiente. hay que corregir las temperaturas del termómetro seco Tbs y del termómetro húmedo Tbh debido a los efectos de radiación. medidas a una elevada velocidad de aire y a la presión total de 800 mm Hg. El condensador retorna reflujo líquido de tal forma que desciende por la pared interior del tubo. El espesor efectivo de la película estancada de vapor se estima .6x10−3 m. Agua pura entra al primero de dos tanques conectados en serie a una velocidad de flujo de 4. ρm = 901. Los datos son: ρaire = 1. Asuma mezclado perfecto. yBG.0025 m de diámetro y 0.7 kg/m3. Para mayor sencillez. Cuando el caudal volumétrico de aire a 20 °C.40 de tolueno.176 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. supóngase también que los termómetros están instalados de tal forma. la diferencia de alturas en las dos ramas de un manómetro de dibutil ftalato es 9.7 °C. Tome la densidad del NaOH como 1220 kg/m3. εbs = αbs = εbh = αbh = 0. 14.38 cm.. Las temperaturas de los termómetros seco y húmedo de una corriente de aire húmedo. al estimar las propiedades de la película considérese que el aire sólo contiene trazas de agua (A) 13. 11. En un principio el primer tanque contiene 1. es decir el factor de corrección de Ackerman es aproximadamente la unidad.25 cm.5 °C. TS. (c) Calcular yA∞ para 1 atm de presión total y si las lecturas termométricas son Tbh = 21 °C y Tbs = 60 °C. diámetro del bulbo seco = 0. Suponga que un termómetro de bulbo seco y otro de bulbo húmedo están instalados en una larga conducción en la que la temperatura TS de la superficie interior es constante y la velocidad del aire es pequeña. Calcular la fracción molar del vapor de agua en la corriente de aire. y los siguientes datos adicionales: v∞ = 457 cm/seg.45x10−5 m3/s. TS = 54.21 kg/m3.15 m3 de NaOH al 40%.9 m3 de NaOH al 20% y el segundo 1. Asuma estado estable y baja velocidad de evaporación.1 m de longitud. calcular: (a) la velocidad de descenso de la gota. Un lecho de poco espesor constituido por sólidos granulares saturados de agua se somete a secado haciendo pasar a través de él aire seco a la presión de 1. Calcular la velocidad inicial.xAL.177 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La presión de vapor del tolueno a 170 °F es PA = 400 mm Hg.286 g/cm3 y su viscosidad 56. de salmuera del 10 % en masa y la solución resultante deja el tanque con caudal másico de 10 Kg.8 °C. En un tanque esférico de 100 mm de diámetro externo. Mediante una bomba se hace circular a través del conducto anular una solución acuosa de sacarosa (C12H22O11) al 60% a 20 °C.50 kmol/m3 en la superficie interna e insignificante en la superficie externa. 20. ¿Cuál es el flujo inicial de pérdida de masa del hidrógeno por difusión a través de la pared del tanque? ¿Cuál es la razón inicial de pérdida de presión dentro del tanque? 17.5 mm. Observe que este no es el caso. entra a un tanque agitado a razón de 20 Kg.5 °C? Despréciese la radiación 18. con la que se elimina agua en la operación de secado descrita en el problema 17. Suponga que las «propiedades de película» son las del aire seco a 26. 15. La concentración molar de hidrógeno en el acero 1. expresada en kgmol/hr m3. Determine la velocidad con la cual se están intercambiando tolueno y benceno en este punto del tubo como moles por unidad de tiempo y de área. ¿Cuál ha de ser la temperatura del aire para que la temperatura de la superficie del material sólido se mantenga a 15. se almacena hidrógeno gaseoso a 10 bar y 27 °C. que tiene una pared de acero de 2 mm de espesor. Halle una expresión que nos permita conocer la masa de sal presente en el tanque en función del tiempo 16. El radio externo del cilindro interior es de 1.257 cm y el radio interno del cilindro exterior es de 2.3x10−12 m2/s. La densidad del fluido es 1. Los calores latentes molares de tolueno y benceno son iguales.794 cm. La presión total en el sistema es de una atmósfera.5 cP.¿Como define usted el factor de fricción para el flujo a través de un anillo y para el flujo transversal alrededor de un cilindro? Nota: Para conductos de sección transversal diferente a la circular. puede trabajarse como circular usando como longitud característica el diámetro equivalente cuando el flujo es turbulento.23 m. (b) la temperatura de la superficie de la gota. mientras que la difusividad del hidrógeno en acero es aproximadamente 0.00 mm de diámetro cae libremente a través de aire seco en reposo a 1 atm y T = 37.379 kg/cm2. siendo a = 590 m2/m3 19. Calcule la difusividad tolueno – benceno por cualquiera de las correlaciones basadas en la teoría cinética de Chapman – Enskog./min. (c) la velocidad de variación del diámetro de la gota en cm/seg. Salmuera con un contenido de sal del 20 % en masa. Un anillo circular horizontal tiene una longitud de 8.1 atm con una velocidad superficial de 457 cm/seg. Evaporación de una gota que cae libremente: Una gota de agua de 1. El tanque contiene inicialmente 1000 Kg. Asuma válida la ley de Raoult para determinar la presión parcial del tolueno en la interfase: pAi = PA. si el material sólido está constituido por escamas. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento en zF = 2.7 °C . Cual es la velocidad volumétrica de flujo cuando se le comunica una diferencia de presión de 0./min. Suponiendo un comportamiento de seudo-estado estacionario y una pequeña velocidad de transferencia de materia. de radio R2. demostrar que. Calcular la fracción molar del vapor de agua en la corriente de aire. 24. La concentración de A en la fase gaseosa es yAS para r = R1 y para r = R2 es yAG. Para mayor sencillez. medidas a una elevada velocidad de aire y a la presión total de 800 mm Hg. Una gota esférica está suspendida en una corriente de gas B. DpBML Discuta el significado de este resultado aplicado a al evaporación de una gota en una gran masa de gas que no está en movimiento.178 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 21. y si la densidad de flujo de cantidad de movimiento se mantiene. b) Si se reemplaza el agua con un fluido de viscosidad 10 cP.7 °C. Determine el perfil de velocidad.5 °C y 26. Las temperaturas de los termómetros seco y húmedo de una corriente de aire húmedo. al estimar las propiedades de la película considérese que el aire sólo contiene trazas de agua (A) 22. 23. (b) Sobre la superficie libre. son 54. a) Calcule la densidad de flujo de cantidad de movimiento y la fuerza por unidad de área necesaria para mantener una placa en movimiento con velocidad de 30 cm/s. La placa inferior es estacionaria. se cumple kG = . respectivamente. halle la nueva velocidad de la placa superior. El fluido entre las placas es agua la cual tiene una viscosidad de 1 cP. Dos placas paralelas están apartadas 10 cm. (a) Demuestre que para la difusión en estado estacionario NAr r2 es una constante. la cual está inclinada un ángulo α con la horizontal. cuando R2 → ∞. (a) Seleccione el origen coordenado sobre la superficie de la placa. (b) Demuestre a partir de la forma adecuada de la primera ley de Fick y del resultado anterior que esta constante vale para la superficie de la gota: cDAB 2 dy A R12 N Ar r = R = − r 1 1 − yA dr c) Integrar entre R1 y R2 con el fin de obtener cDAB ⎛ R2 ⎞ y BG ⎜ ⎟ ln N Ar r = R = 1 R2 − R1 ⎜⎝ R1 ⎟⎠ y BS d) Si se define un coeficiente de transferencia kG que trabaja con concentraciones de la fase gaseosa expresadas como presiones parciales mediante la ecuación N Ar r =R = kG ( p AS − p AG ) . Demuestre si es o no cierto que δ = Γ/ρ. El radio de la gota es R1. Se admite que existe una película esférica de gas estancado que rodea la gota. 1 2cDAB en la que D es el diámetro de la gota. Sobre una placa plana de ancho W fluye una película de líquido de forma laminar y estable hacia abajo de la placa.vm (espesor película). consideremos una mezcla de los gases A y B en equilibrio. µ. y dado que todas las direcciones son posibles para el movimiento molecular V será el mismo para todas las direcciones y orientaciones de los ejes coordenados. Para obtener una visión simplificada del mecanismo de transporte difusional en gases. DAB. Habrá una distribución de velocidades que oscilará entre 0 e ∞. En un momento y lugar dado cada molécula tendrá su propia velocidad.1. También pueden ser útiles para predecir cualitativa y/o cuantitativamente la dependencia de los coeficientes de transporte. el número de moléculas que lo atraviesan en la unidad de tiempo y que se originan por debajo del plano. PROPIEDADES DE TRANSPORTE A PARTIR DE LA TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES SIMPLIFICADA. V y λ no variarán con la posición. 3. Las teorías moleculares son útiles para mejorar la comprensión de los varios procesos de transporte. una teoría molecular permitiría predecir estos coeficientes para una sustancia dada sin necesidad de recurrir a mediciones experimentales. es decir. será igual al que lo atraviesan teniendo origen por encima del mismo.1. es un escalar. Si la concentración de A es mayor a menores valores de z. y k. λ.1. o sea. ESTIMACION DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE. y puede atravesar una cierta distancia antes de chocar con otra. de la temperatura y la presión. Sin embargo. Idealmente. o sea que dcA/dz es negativa habrá más moléculas de A . pero no en la dirección x o y. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Capítulo 3. Supongamos ahora que xA es la fracción molar de A en la mezcla y que existe un gradiente de A en la dirección z. Conociendo esta distribución podemos calcular una velocidad promedio V y una distancia media entre colisiones. No habrá un flujo neto o difusión molecular de A en la dirección z. llamada la "Trayectoria libre media" Como las condiciones son uniformes dentro del gas. a temperatura. 3. presión y concentración uniformes. Según la teoría cinética las moléculas estarán en movimiento caótico colisionando unas con otras a razón de aproximadamente 1021 choques por segundo. Transporte de masa en gases a baja presión.179 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. este objetivo solo se ha logrado para los gases. dcA/dz o dxA/dz. Considerando un plano arbitrario en z = z. Se supone en este modelo simplificado que la tercera parte de las moléculas totales se mueven a lo largo de cada uno de los tres ejes coordenados. N = 6. dxA/dz es constante sobre el espacio 2λ. o sea que en la dirección positiva del eje z se mueven 1/6. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento que atraviesan el plano desde abajo que desde arriba simplemente porque hay más moléculas de A por unidad de volumen en la región inferior. Si n es el número de moléculas por unidad de volumen. Para calcular este flujo difusivo suponemos que las moléculas que llegan desde abajo tienen su última colisión en z − λ y las que llegan desde arriba la tienen en z + λ. Entonces. c también lo es. si no hay flujo convectivo de A o B en la dirección z.023x1023 partículas por mol gramo es el número de Avogadro J Az = − Vc∆x A ∆(nVx A ) Vc(2λ ) dx A λV dc A =− =− =− 6N 6 6 dz 3 dz Aquí se ha supuesto que. y de estas xA (1/6) (nVSz) son moléculas de A. como λ es pequeño. y gas ideal: ⎛ 8k T ⎞ V =⎜ B ⎟ ⎝ πm ⎠ 1 2 y λ= V 1 = 2 Θ πd n 2 . Habrá pues un flujo neto de A en la dirección z. de aproximadamente la misma masa y tamaño. Comparando con la ley de Fick obtenemos finalmente D AB = λV 3 Utilizando la teoría cinética simplificada de los gases que asume la no existencia de gradientes de concentración. las moléculas A y B como esferas rígidas sin fuerzas atractivas.180 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. el número de moléculas de A y B que pasan hacia arriba por unidad de tiempo a través de un plano de área Sz es (1/6) nVS. Como T y P son constantes. el flujo neto de las moléculas de A es la diferencia entre el flujo debido a las moléculas de A que se mueven hacia arriba y hacia abajo: moléculas de A = (S z 6)(nVx A ) z −λ − (S z 6)(nVx A ) z +λ unidad de tiempo Para obtener la densidad de flujo difusivo de A debemos dividir por Sz y por el número de Avogadro para convertir de moléculas a moles pues n = cN. Por lo tanto cuando colisionan las moléculas de abajo con mayor impulso tenderán a acelerar las moléculas más lentas de arriba y similarmente las moléculas más lentas de arriba tenderán a frenar las moléculas más rápidas del lado inferior. También como el impulso es masa por velocidad. Habrá entonces un transporte neto de impulso x desde un z menor hasta un z mayor (o en la dirección z positiva). Así el resultado del movimiento aleatorio de las moléculas es simultáneamente una fuerza cortante y un flujo de cantidad de movimiento. Entonces la velocidad de flujo del impulso x hacia arriba de (z − λ) será: . La fuerza cortante se relaciona a través de la ley de Newton del movimiento con la velocidad de flujo de la cantidad de movimiento. Supongamos ahora que el fluido está en movimiento en la dirección x. Transporte de cantidad de movimiento. Entonces las moléculas que atraviesan el plano ubicado en z originándose desde abajo tendrán una velocidad mayor que aquellas que se originan por encima. y que hay un gradiente de velocidad − dvx/dz mientras que vy = vz = 0. Si m es la masa de una molécula. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento donde kB = Constante de Boltzman = 1.1. el frenado del fluido inferior equivale al efecto de una fuerza cortante igual y opuesta. d = (1/2)(dA + dB) D AB 2⎛ k3 ⎞ = ⎜⎜ 3B ⎟⎟ 3 ⎝π m ⎠ 1 2 1/m = 1/mA + 1/mB m = Masa reducida 3 T 2 pd 2 3. La aceleración del fluido superior por el fluido inferior tiene el efecto de una fuerza actuando tangencialmente al área Sz (perpendicular al eje z).181 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. tendrán un mayor impulso x. Θ = Frecuencia de colisiones [s−1] Así el coeficiente de autodifusión.2. frecuentemente llamada fuerza de arrastre o sea una fuerza de fricción. esta es la fuerza cortante τzxSz.38062*10−23 J/K = ℜ /N m = Masa de la molécula = M/N M = Peso molecular n = Moléculas por unidad de volumen = n = p/kBT = CN N = Número de Avogadro ℜ = Constante de los gases. su cantidad de movimiento será mvx. DAA*: D AA* 2 ⎛ k B3 ⎞ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 3 ⎝ π mA ⎠ 1 2 3 T 2 pd A2 Si A y B tienen diferente masa y tamaño. d = Diámetro molecular. Similarmente. Asumiendo que el gas es monoatómico y despreciando las contribuciones vibracionales y rotacionales a la energía. dividimos por Sz para obtener: τ zx = 16 nVmv x z −λ − 16 nVmv x z +λ = − 16 nVm∆v x = − 13 ρVλ dv x dz Aquí nuevamente asumimos gradiente lineal sobre la distancia 2λ y usamos n⋅m = ρ.182 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Transporte de energía. Substituyendo λ y V de la teoría cinética de los gases obtenemos: ⎛ 2 ⎞⎛ mk T ⎞ µ = ⎜ 2 ⎟⎜ B3 ⎟ ⎝ 3d ⎠⎝ π ⎠ 1 2 Nótese que µ aumenta con la temperatura y es independiente de la presión o.3. 3. . Supongamos ahora que existe un gradiente negativo de temperatura en el plano ubicado en z. Al comparar con la ley de Newton de la viscosidad obtenemos para la viscosidad cinemática o difusividad de cantidad de movimiento ν= µ Vλ = ρ 3 que es la misma expresión para DAB siendo en este caso Sc = 1. es independiente de la densidad a temperatura constante. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛ moléculas ⎞⎛ impulso ⎞ ⎟⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ = (S z nV 6)(mv x ) z −λ ⎝ tiempo ⎠⎝ molécula ⎠ y la velocidad neta de flujo de cantidad de movimiento será (S z nV 6)(mv x ) z −λ − (S z nV 6)(mv x ) z +λ Para obtener la densidad de flujo del impulso x en la dirección z.1. cada molécula tendrá una energía interna de e = (1/2) m V2 = (3/2) kB T Como antes. las moléculas se encuentran en movimiento aleatorio. equivalentemente. pero las que se originan en z − λ tienen más energía (mayor temperatura) que las que se originan en z + λ. el modelo simplificado nos predice que k varía aproximadamente con T½ y debería ser independiente de la presión. De la ley de Fourier y del desarrollo anterior obtenemos la siguiente expresión para la conductividad térmica de un gas monoatómico. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Siguiendo el anterior procedimiento dividimos el flujo neto de energía por el área para obtener la densidad de flujo de calor o flujo neto de energía ⎛ Vne ⎞ ⎛ Vne ⎞ qz = ⎜ = −(1 / 6)nV∆e = −(1 / 6)nV∆(3k BT / 2) ⎟ ⎟ −⎜ ⎝ 6 ⎠ z −λ ⎝ 6 ⎠ z + λ Ahora.temperatura). Aquí. 1 ⎛ k B3T ⎞ k = 2 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ d ⎝π m ⎠ 1 2 En consecuencia.183 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Tomando α = k/ρCp q z = −α C d d ρCPT = − 13 Vλ V ρCPT dz C P dz o sea α = C 1 Vλ donde γ = P 3 γ CV para un gas monoatómico Pr = 1 Vλ µ 5 = 13 =γ = ρα 3 Vλ / γ 3 En la realidad Prandtl tiende más a 2/3. suponiendo dT/dz lineal y n constante sobre el intervalo 2λ ⎛ 1 ⎞⎛ d ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ d ⎞⎛ 3nk BT ⎞ q z = −⎜ V ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟(2λ ) = ⎜ V ⎟⎜ ρCV T ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ dz ⎠ ⎝ 6 ⎠⎝ dz ⎠⎝ 2 ⎠ dado que (3/2) nkBT = (3/2) (ρN/M) ( ℜ /N) T = ρCVT pues CV = 3 ℜ /2M para un gas monoatómico. . CV es el calor específico a volumen constante (energía/masa. que podría denominarse difusividad térmica. Las unidades de ρCVT son energía por unidad de volumen y Vλ es longitud al cuadrado sobre tiempo. (3.ENSKOG PARA GASES DILUIDOS. Esta ecuación fue propuesta inicialmente por Mie e investigada extensivamente por Lennard y Jones. las fuerzas intermoleculares tienden a cero. TEORÍA RIGUROSA DE CHAPMAN . y ha sido usada especialmente para calcular propiedades termodinámicas y de transporte en gases diluidos no polares. Realmente las moléculas son compresibles. EP es un mínimo.1) Donde A. y a valores aún mayores de r. Un resultado acorde con los experimentos se obtiene dejando n como un parámetro ajustable: . La forma de la energía potencial EP es una función de la separación: para pequeños valores de r.2.1) se hace evidente que para alguna distancia r mínima. Esta fuerza de acción intermolecular varía con su separación r y se relaciona a la energía potencial de interacción EP por F = − dEP/dr. pero no se dispone de un valor teórico para n. las moléculas se repelen y la energía es grande y positiva. se acostumbra a asumir que la energía potencial total es la suma de dos potenciales separados: EP Total = EP repulsivo + EP atractivo = A/rn – B/rm. London demostró a partir de la teoría de las fuerzas de dispersión que m = 6. Reorganizando: ( ) ⎡ ε n n / m m 1n− m ⎤ ⎡⎛ σ ⎞ n ⎛ σ ⎞ m ⎤ ⎥ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ EP = ⎢ n−m ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎦⎥ Donde ε = − EPmínimo y σ es la distancia intermolecular cuando EP = 0.184 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 3. para valores mayores las moléculas se atraen. Las ecuaciones anteriores dan solo una vaga estimación de las propiedades de transporte. Para tener en cuenta tanto las fuerzas repulsivas como las atractivas entre moléculas no polares. Al analizar la ecuación (3. La principal fuente de error surge en la suposición de que las moléculas se comportan como esferas rígidas sin interacción. y existen fuerzas entre ellas. n y m son constantes positivas y n > m. B. s.2. Viscosidad. T en K.185 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.2) Esta ecuación es válida para gases no polares. También .Jones.6693 × 10 −8 ⎢ (3. Ella relaciona la energía potencial de dos moléculas a su distancia de separación en términos de dos parámetros característicos de la molécula ya mencionados: un parámetro energético ε. el cual es el negativo de la energía mínima correspondiente a la separación de equilibrio. Aquí M es peso molecular. σ en nanómetros y Ωµ es la integral de colisión. ⎡ MT ⎤ ⎥ 2 ⎣⎢σ Ω µ ⎦⎥ µ = 2. µ está en Pa. el que es igual a la separación intermolecular cuando la energía potencial es cero (ver figura 3. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛n⎞ EP = ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 6 n −6 6 n ⎛ n ⎞ ⎡⎛ σ ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ n − 6 ⎠ ⎣⎢⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎦⎥ Se halla conveniente para los cálculos hacer n = 12 obteniendo ⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ 6 ⎤ E P = 4ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ r ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ r ⎠ Esta expresión se denomina potencial 6-12 de Lennard . y un parámetro de distancia σ.2). En una mezcla de moléculas A y B habrá interacción entre ellas ⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ 6 ⎤ E PAB = 4ε AB ⎢⎜ AB ⎟ − ⎜ AB ⎟ ⎥ ⎝ r ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ r ⎠ Los parámetros σAB y εAB característicos de la mezcla pueden estimarse a partir de los parámetros para los componentes puros por las ecuaciones aproximadas: σAB = (1/2)(σA + σB) y εΑΒ = (εAεB)1/2. Chapman y Enskog desarrollaron ecuaciones para gases no polares a baja presión: 3.1. δ momento dipolar adimensional −25 ½ 2 −18 −30 1 debye = 3.4c) Vb es el volumen molecular como líquido en el punto de ebullición en cm3/gmol. Por ejemplo para el tolueno. Brokaw recomienda modificar Ωµ usando 2 Ωµ polar = Ωµ no polar + (0. Para moléculas polares un potencial diferente (Stockmayer) deberá usarse.m y σ en m.186 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.52487 2.064% para valores de T* entre 0. Tb es la temperatura del punto de Coulomb = 3.94x103U2/VbTb (3. = 3.6693 × 10 −5 ⎢ (3. Para usarla se suman las contribuciones de los átomos constituyentes de la molécula.4) δ = U2/2εσ3 = 1.43787T * ( ) ( ) (3. Una forma más exacta de calcular la integral de colisión es: Ωµ = 1. Para este caso σ = [1. C7H8.604/(T*) 1/2 0.3) Esta expresión puede darnos errores menores al 0.4 con donde T* = kBT/ε es una temperatura adimensional y kB es la constante de Boltzman.cm.3δ2)Tb en K (3. T [K]. Vb = 7x14.585Vb/(1+1.0 x 10 esu.4b).162 x 10 N m = 10 esu.4 ≤ T* ≤ 1.4a) U es el momento dipolar en Debyes. ε/kB = 1.2a) Esta ecuación se diferencia de la (3.16145 (T ) * 0. la integral de colisión puede aproximarse por Ωµ = 1. que puede ser estimado a partir de la tabla siguiente. σ [Å] y Ωµ.16178 + * exp 0.3 y 100.3δ2)]1/3 en Å (3.2 .2) solo en las unidades a saber: µ [g/cm.8 + 8x3.18(1+1.14874 + 0.m.s].2 δ /T*) (3.7732T exp 2.7 − 15 = 118. ebullición normal en Kelvin. 9 ε está en N. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡ MT ⎤ ⎥ 2 ⎣⎢σ Ω µ ⎦⎥ µ = 2.333 x 10 C. µj = Viscosidades de i. yi.6 Cloro (R-CHCl-R) 24.0 I2 71.0 COS 51. Green & Co. 1915.4 Oxígeno en éteres mayores 11. Mj = Pesos moleculares.7 Azufre 25. Long Mans.0 Aire 29.5) ij siendo φij según Wilke ⎡ ⎛ ⎞ 12 M 14 ⎤ ⎢1 + ⎜ µ i ⎟ ⎛⎜ j ⎞⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎝ µ j ⎟⎠ ⎜⎝ M i ⎟⎠ ⎥ ⎦ φ ij = ⎣ 1 2 ⎡ ⎛ M ⎞⎤ ⎢8⎜⎜1 + i ⎟⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ M j ⎠⎦⎥ 2 Donde n = Numero de especies en la mezcla.7 O2 25.2 Bromo 27.5 Anillo nafténico: substraer 30.1: Volúmenes atómicos y moleculares en cm3/gmol según Le Bas*. Le Bas. Mi.5 Oxígeno en éteres metílicos 9.6 SO2 44. Londres.0 * G.6 CO2 34. Para mezclas gaseosas se usan ecuaciones semiempíricas (Wilke. .4 Oxígeno 7. j puros a la temperatura y presión de la mezcla. 1950).4 NH3 25.0 Nitrógeno (doble enlace) 15. yj = Fracciones molares de i.8 Nitrógeno en aminas primarias 10.2 Anillo bencénico: substraer 15. cetonas 9.9 Oxígeno en ésteres mayores y éteres 11.9 Cl2 48. Volumen Atómico Volumen Molecular Carbón 14.5 NO 23. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Tabla 3.1 H2O 18. The Molecular Volumes of Liquid Chemical Compounds.187 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.0 H2S 32.3 Hidrógeno (en compuestos) 3.0 CO 30.9 Yodo 37.8 Oxígeno en ésteres metílicos aldehídos. j.0 Br2 53.8 H2 14. µi. n µ mezcla = ∑y µ i =1 n i ∑y φ j =1 j i (3.9 Oxígeno en ácidos 12.6 Nitrógeno en aminas secundarias 12.0 N2O 36..6 N2 31. 00 CH3CN (Acetonitrilo) CH3NO2 3.217 3.3 396.m Molécula Nombre del compuesto σx1010.70 2.55 C2H5SH (Etanotiol) SO2 1.8 231.90 1. K Isobutano Eter Etílico Acetato de Etilo n-Pentano 2.2-Dimetilpropano Benceno Ciclohexano n-Hexano Cloro Fluor Acido Bromhídrico 5.357 3.947 322.50 7.6 449 Acido Cianhídrico 3.94 1.55 C6H5NH2 (Anilina) C6H5Cl 1.551 * 3.9 iso-C4H10 C2H5O C2H5 CH3COOC2H5 n-C5H12 C(CH3)4 C6H6 C6H12 n-C6H14 Cl2 F2 HBr 5.655 2.67 C2H5OH (Etanol) C2H5F 1.22 178.05 3.70 CsCl CsF 7.1 313.m εµ/kB.40 1.4 412.542 2. en especial para hidrocarburos gaseosos de peso molecular similar: n µ mezcla = ∑µ y i =1 n i ∑y i =1 i Mi (3.91 HCl HBr 0.88 3.00 C2H5NO2 CO(NH2)2 (Urea) 4.145 5.9 32.349 6.35 C6H5CH3 (Tolueno) PH3 0.84 1.949 4.6 259.296 εµ/kB.60 H2S Una extensa compilación de momentos dipolares es dada por Nelson 1967.198 5.30 9.92 Tabla 3.503 4.7 HCN σx1010.5a) i Mi Tabla 3.205 5.820 4.70 0.464 5.61 CH3I CH3COOCH3 1.3 10.16 10.3 Constantes del potencial 6 – 12 de Lennard – Jones Molécula A He Kr Ne Xe Aire AsH3 BCl3 BF3 B(OCH3)3 Br2 CCI4 Nombre del compuesto Argon Helio Krypton Neón Xenón Aire Arsina Cloruro de Boro Fluoruro de Boro Metil borato Bromo Tetracloruro de Carbono 3.0 112.678 5.711 4.784 6.1 193.8 337.0 78.353 330.37 1.00 0.47 CH3Cl CH2Cl2 1.1 399.127 4.56 1. que es simple y suficientemente exacta.188 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.7 186.60 CHCl3 (Cloroformo) HCN 3. U (debye) 1.80 HI CO 0.64 1.90 KF KCl 10.50 (C2H5)2O (Eter) CH3OH 1.10 H2O NH3 1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El cálculo de la viscosidad de una mezcla gaseosa de composición conocida se puede hacer también con la expresión siguiente. K 93.7 507.1 .07 0.92 (CH3)2CO (Acetona) C2H5COCH3 (MEK) 3.3 316.8 521.48 1.278 5.047 3.2: momentos dipolares de algunas substancias gaseosas SUBSTANCIA U (debye) SUBSTANCIA HF 1.3 341.40 KBr C3H6 0.182 5.630 569.3 297. 0 HgBr2 Bromuro de Mercurio 5.080 3.880 171.189 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.9 SO2 4.443 4.4 C3H8 Propano 5.196 289.8 H202 CH4 3.92 Tm [K] (3.118 4.0 HCl Acido Clorhídrico 3.084 6.1 C3H6 Ciclopropano 4.483 467 HgI2 Yoduro de Mercurio 5.7 300 362.967 236.163 4.033 4.6a) σ = 0.6 H2S 3.549 4.600 576.8 224.6 C2H2 C2H4 C2H6 C2H5Cl C2H5OH C2N2 CH30CH3 CH2CHCH3 Metano Monóxido de Carbono Sulfuro de Carbonilo Dióxido de Carbono Disulfuro de Carbono Acetileno Ethileno Etano Cloruro de Etilo Etanol Cianógeno Eter Metílico Propileno Acido Fluorhídrico Acido Yodhídrico Hydrógeno Agua Peróxido de Hidrógeno Acido Sulfhídrico 4.4 Tomado de Svehla.211 2.841 Vc1/3 = 2.662 134.389 4.898 4.2 350 HF HI H2 H20 3.6b) Donde ε/kB y T están en Kelvin.6 563. Debe anotarse que como log Ωµ es una función casi lineal de log T*.2 n-Butano n-C4H10 4.112 3.0 298.15 Tb = 1.1 2.623 301.128 222.361 4.307 4. Estos valores se determinaron de datos de viscosidad.758 148.44 (Tc/Pc)1/3 = 1.3 116.4 232.690 91.827 2.7 809.807 248.7 59. Si no se conocen los valores de σ y ε. excepto el marcado * que se determinó por fórmulas de la mecánica cuántica.2 356. V en cm3/gmol y Pc en atm.7 215.160 2.339 344.761 251.3 449. pueden calcularse a partir de las propiedades del fluido en el punto crítico (c).388 207.898 4.625 695.6 348.6 395.222(Vmsol)1/3 [Å] (3.3 3. por lo cual es muy importante usar valores consistentes de estos parámetros sin asombrarse por las diferencias que puedan surgir entre diversos investigadores.492 4.550 750 4.112 335.7 395.530 4.166 (Vbliq)1/3 = 1.936 469.8 SF6 5. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento CHCI3 CH2CI2 CH3Br CH3CI Tetrafluoruro de Carbono Cloroformo Dicloruro de metilo Bromuro de metilo Cloruro de metilo CH3OH Metanol 3.148 4. reporte técnico R – 132 NASA 1962.77 Tc = 1.118 237.182 340.7 560.8 CF4 CO COS CO2 CS.626 481. .1 SiF4 4. CH3COOCH3 Acetato de Metilol 4. mediante las siguientes ecuaciones empíricas: ε/kB = 0.969 750 686.7 5.828 3.678 231. EJEMPLO 3.9 I2 NH3 NO NOCl N2 N2O O2 PH3 5.2 SiH4 SnBr4 4.798 3.8 UF6 Yodo Amoníaco Oxido Nítrico Cloruro de Nitrosilo Nitrógeno Oxido Nitroso Oxígeno Fosfina Hexafluoruro de azufre Dióxido de Azufre Tetrafluoruro de Silicio Hidruro de Silicio Bromuro estánico Hexafluoruro de Uranio 5.641 330 288.1 4.5 CH3CCH Metilacetileno 4. el conjunto de parámetros de Lennard Jones para un compuesto dado no es único.9 n-C3H70H CH3COCH3 Alcohol n-Propílico Acetona 4.7 4.4 106.2 HgCI2 Cloruro de Mercurio 4.2 558.941 195.467 3.7 Hg Mercurio 4. σ en unidades Amstrong (1 Å = 10−10 m).900 3.130 336. de la temperatura normal de ebullición del líquido (b) o del punto de fusión del sólido (m).1.981 474.3 71.7 251.687 531. Ahora. Experimentalmente se ha determinado una viscosidad de 10.4 °C (240 K).589 = kBT/ε.13x10−5 poise a 308 K. Esto nos da una buena indicación sobre el tipo de predicción que podemos hacer sin información experimental.6693 × 10 −5 ⎢ ⎥ = 9.18(1 + 1. El punto de ebullición normal del amoníaco es −33. calculamos σ3 y ε/ kB de la siguiente expresión obtenida de (4a) ε/ kB = (1/2)(U2/kBδσ3).682 = 25 cm3/gmol. δ = (1. que del parámetro de energía ε.7 ⎥⎦ 2/3 = 8.27.2) podría utilizarse en lugar de una de las ecuaciones para ε /kB o para σ. Solución.682 g/cm3.3δ )Tb = 1.03/0. Sin embargo.3 × δ ⎦ 2 2 2/3 ⎡ 1.59 × 10 poises ⎣ 8. se puede lograr una mejor predicción si se dispone de un dato experimental. ε/kB = 1. T*= 273/464 = 0.P = 2. En su lugar suponemos un valor de δ. De esta manera se obtuvieron las siguientes constantes de fuerza revisadas: δ = 0.10 + (0.585 × Vb ⎤ de la ecuación (4b) para σ. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Calcule la viscosidad del amoníaco a 0° C. ε/ kB = 406 K . σ = 3. el vapor de metanol está parcialmente asociado en el punto de ebullición (existe una concentración apreciable de tetrámeros).4) y subsiguientes nos predicen δ = 0.18(1 + 1.51 . hasta que las viscosidades calculada y experimental coincidan.84 Å y ε/ kB = 477 K. De la ecuación (3).03 × 273 ⎤ −5 Finalmente de (2a) µ = 2.94x103U2)/(VbTb) = 0.36 × 2. Por la correlación (4a). El momento dipolar es 1. Por esta razón en este caso se puede suponer que el punto de ebullición no da un valor correcto de ε /kB y descartamos la ecuación correspondiente. La densidad en su punto de ebullición es 0. Estos valores se usan en la ecuación (3.3x0. Tomemos por ejemplo el metanol gaseoso.2) para calcular una viscosidad.47 debye. Normalmente la ecuación para σ deberá descartarse dado que la viscosidad depende más fuertemente del parámetro de tamaño σ. Las ecuaciones (3. El procedimiento se repite escogiendo otros valores de ε/ kB.39 .585 × 25 ⎤ =⎢ 2 ⎣1 + 1.7 Å. σ = 3.36 Å2 2 y por (4c).8% y el máximo es del orden del 14%. Teniendo disponible un dato experimental. σ = ⎢ 2⎥ ⎣1 + 1.2 %).7 ⎡ 1. ⎡ 17.10 y de la (4) Ωm. Ωµ = 2.190 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. es decir Vb = 17. El error promedio hallado al aplicar estas expresiones es de 5.70 )240 = 464 K es decir que a 0 °C (273 K).2)(0.589) = 2.3 × 0.27 ⎦ El valor experimental dado en la literatura es 9. la ecuación (3.72)/(0.20 x10−5 poise (error de + 4. 1.1.093324ρ r4 . Una forma más sencilla de predecir el cambio de la viscosidad con la temperatura es observar que.7 °C = 337. µ es directamente proporcional a (T0. Thodos y colaboradores proponen la siguiente correlación para gases no polares: ⎡ ⎤ Tc 6 ⎢(µ − µ 0 ) 12 2 3 + 1⎥ M Pc ⎣ ⎦ 1 0.9x10−5 poise. Childs y Hanley establecieron un criterio para saber si debe corregirse o no el efecto de la presión sobre la viscosidad de los gases. Tc en K y Pc en atm.2x10−5 poise. se habría obtenido 16. T1* = 308/477 = 0.13x10 )(585/308)½(2.4x10−5 poise.006 −5 µ2 = (10.023 + 0.191 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.18(1+1. Al graficar P/PC = 0.7 M 0.6457 −5 3.3 permite obtener una estimación aproximada de la viscosidad de los gases densos.439) = 19.5/Ωµ) o sea: µ2/µ1 = [T2/T1]0. Habitualmente estas variaciones no son significativas a temperatura reducida muy elevada o a presión reducida muy baja. La figura 3.184(T/TC) − 0.3δ2)Tb Tb = 64. Gases puros a presiones elevadas.5 PC2 / 3 TC1 / 6 µc en micropoises (µP).46x10 poise.25 = 1.85 K y ε/ kB = 477 K Ω = 1.2.0194 se obtiene una línea recta por debajo de la cual se puede considerar que el gas es diluido y por encima de la misma será denso. muy buena aproximación al obtenido basándonos en el dato experimental. Si no se hubiera tenido en cuenta el valor experimental. El valor experimental para T = 585 K es 19. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Con estos nuevos valores se predice la viscosidad a 585 K como 19.5 [Ωµ1/Ωµ2] Por ser molécula polar ε/ kB se calcula de (4c) como ε/kB = 1. La viscosidad crítica se estima mediante la correlación µC = 7.226 2 µ2 Ωµ1 = 2.58533ρ r2 − 0. a partir de la ecuación (2) o (2a).40758ρ r3 + 0.006/1. a 308 K.23364 ρ r + 0.439 T * = 585/477 = 1. . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento válida para 0. donde ρr = ρ/ρc = Vc/V (V es el volumen específico). El término µ0 es la viscosidad a baja presión expresada en µP.192 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1 ≤ ρr ≤ 3. TC en K. PC en atmósferas. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento .193 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. los cuales pueden transferir energía en las colisiones como energía vibracional. Las ecuaciones anteriores no se aplican a gases poliatómicos.194 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.s] . El factor de Eucken se define como el grupo adimensional Eu = k k CP γ 5 = = = µCV µC P CV Pr 2 Este valor coincide con los hallados experimentalmente para gases monoatómicos. . para los cuales ambas son altas.47/µCv] La ecuación modificada de Eucken k ⎡ 7.a) k= 15 ℜ 5 3 µ = Cv µ = C P µ 4 M 2 2 dado que Cv. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 3. µ [kg/m. Conductividad térmica.5) cambiando µ por k.2. CV [J/kg.s.032γ − 1.2.9891× 10 ⎢ 2 M ⎢σ Ωk ⎣⎢ −4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥ (3. Para gases monoatómicos ⎡ T k = 1.3). k [W/m. σ en Å.7) donde k es la conductividad térmica en cal/cm. La ecuación para estimar k en mezclas es la misma (3. Este hecho puede tenerse en cuenta por medio de la correlación de Eucken: Eu = (k/µCv) = [(9/4)γ .2. Ωk = Ωµ (ver ecuación 3. CP.K.K] µCV ⎣ 4 predice valores de k muy altos mientras que la primera predice valores muy pequeños excepto para gases polares.720 ⎤ =⎢ ⎥⎦ .5/4] = [1+ 4.K] . y. Esta ecuación es aplicable a gases compuestos por moléculas esféricas y simétricas que solo tienen energía traslacional. la capacidad calorífica a volumen constante es (3/2)( ℜ /M) para gases monoatómicos. Combinando con la ecuación para viscosidad (3. 19300 1.K usando T en K. suponiendo que se cumple la ley de los gases perfectos.89411T * ( ) ( ) ( ) (3. T en K. σ en nm.10) También D AB = 1.0018583 2 Pσ AB ΩD 1/ 2 (3.322 × 10 ⎢ 2 M ⎢ σ Ωk ⎣⎢ −4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥ (3.52996T exp 3.47635T exp 1.3. y Ωk = Ωµ es: ⎡ T k = 8. P en N/m2 y σΑΒ en nm (nanómetros).76474 + + + *0.258 cm2/s) . Si conocemos la difusividad a T1.03587 1.10 y 3. cD AB = 2.8) Para la difusión del gas A en el gas B a bajas densidades.11) donde DAB está en m2/s. la difusividad para el mismo sistema a T2 puede estimarse: DAB2 = DAB1 [T2/T1]3/2 [ΩD1/ΩD2] ≈ DAB1 [T2/T1]n Para el sistema aire .7a) 3. la difusividad es: D AB ⎡ 3⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎢⎣T ⎜⎝ M A + M B ⎟⎠⎥⎦ = 0.195 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y ΩD es una función de kBT/εΑΒ = T* dada por (3. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Una expresión válida para gases monoatómicos que nos da la conductividad térmica en W/m. Difusividad másica.2.2646 × 10 −5 ⎡ ⎛1 ⎞⎤ 1 ⎢⎣T ⎜⎝ M A + M B ⎟⎠⎥⎦ 2 σ AB ΩD 1/ 2 (3.9) En las ecuaciones anteriores DAB está en cm2/s.vapor de agua entre 14.8829 × 10 −4 ⎡ 3⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎢⎣T ⎜⎝ M A + M B ⎟⎠⎥⎦ 2 ΩD Pσ AB 1/ 2 (3. σΑΒ = ½(σA + σB) en Å.1561 * * T exp 0.06036 0. ΩD = 1.62 °C (nueva) y 25. c = P/ ℜ T.12b) para moléculas no polares. P en atm.9 °C (DAB conocida = 0. (3.94x103U2/VbTb = (1/2)(U2/εABσAB3) El momento dipolar (Tabla 3.422 La difusividad buscada será entonces 3/2 DAB = (0.1)/[(809.1)(97)]1/2 = 1.3 . P en atm.2) U en debye (10−18 esu. como ΩD es función decreciente de la temperatura.. Schettler y Giddings considerando solo los datos más modernos y confiables es: T 1.cm).12a) εAB/kB = [(εA/kB)(εB/kB)]1/2 en K.12c) 3. Tb en Kelvin. Para moléculas polares Brokaw introduce el potencial de Stockmayer modificando la integral de colisión 2 ΩD polar = ΩD no polar + 0.12) δ = 1.4. Correlaciones empíricas para gases. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento kT1/εAB = (299. Para cada especie. y Tb es el punto de ebullición normal.395)/(1.068 ⇒ ΩD1 = 1. Vb (Tabla 3.65.027 ⇒ ΩD2 = 1.75 [(1 / M A ) + (1 / M B )] 1/ 2 D AB = 10 −7 [ P (∑ V ')A + (∑ V ')B 1/ 3 ] 1/ 3 2 (3. σAB = (σAσB)1/2 en Å (3. DAB varía aproximadamente con Tn donde 1. En el caso anterior n resulta ser 1.1)(97)]1/2 = 1.1)] [(1. Una excelente correlación propuesta por Fuller.8)/[(809.422)] = 0.258)[(287.1) en cm3/gmol. el término ΣV’ se encuentra sumando los volúmenes atómicos de difusión dados en la tabla 3.395 kT2/εAB = (287.196 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.13) Aquí DAB está en m2/s.8)/(299.65 ≤ n ≤ 2. Vb es el volumen molar del líquido en su punto de ebullición normal.239 cm2/s Anotamos que.986 (vapor de agua en un gas no polar) aunque para gases no polares el valor está usualmente mas cerca de 1.12b) δAB = (δAδB)1/2 (3.19δ /T* (3. T en K.2. requiere menos información suplementaria que las otras ecuaciones anteriores (3.9 N2 17.695 × 10−3 ⎢ [Pa.2 −20.6378 × 10−8 ⎢ [atm.98 5.69 (Cl)* (S) Anillo Aromático Anillo Heterocíclico 19.9 O2 16.8.5 ⎤ PDAB = 1. H2 7.4: Volúmenes Atómicos Difusionales para la Correlación (FSG) Incrementos difusionales a los volúmenes atómicos estructurales V’.98 +1x5.pie /h] .9 NH3 14.000146⎢ ⎥ [atm.2.1 (SF6) 69.14.5 1. con fórmula química C3H8O la sumatoria (ΣV’)A = 3x16.8 (Cl2) 37.5 + 8x1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento TABLA 3.2 Ne 5.11). y 3.82.2 = 111.5 ⎤ 2 o PDAB = 0. sistema que aparece con mucha frecuencia puede usarse: ⎡ T 2.59 (SO2) 41.0 −20.9 (Br2) 67. T [K] ⎥ ⎣1. De otra forma se recomienda el uso de la correlación FSG.98 – 20.9 D2 6.14a) ⎡ T 2. La correlación FSG (3.07 CO 18.14b) ⎡ T 2. Para vapor de agua en aire. C H O (N) 16. Para el tolueno C7H8 la sumatoria tomaría un valor de (ΣV’)A = 7x16.7 (Xe) 37.5 ⎤ PDAB = 1. T [K] ⎥ ⎣1.8T + 441⎦ (3.2 Volúmenes Difusionales para moléculas simples. basadas en la teoría de Chapman – Enskog y se recomienda para uso general.m2/s] .14c) .7 Kr 22.13).8 Ar 16.48 5. para el 1-propanol.5 17.8T + 441⎦ (3. 3. Estas son más rigurosas y dan resultados comparables cuando las constantes de fuerza se leen de una tabla confiable.9 He 2.6 H2O 12. T [ R] ⎣ T + 441⎦ (3. Como un ejemplo del uso de la tabla 3.9.88 N2O 35.197 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1 * Los paréntesis indican que los valores están basados en pocos puntos experimentales.5 + 8x1.m2/s] . aunque estrictamente empírica.1 (CCl2F2) 114.70 CO2 26.48 = 70.7 Aire 20. 818) = 3.435 ½ de (3.833x3. Se observa que DAm está influenciado por la composición y puede variar fuertemente desde un extremo al otro del camino de difusión. se maneja generalmente usando una "difusividad efectiva".198 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.4a). TbB = −10 °C. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 3.61 debye.1.4.Estos son: TbA = −24 °C.2. EJEMPLO 3.2. δΒ = 0.5 cm3/gmol. εΒ / kB = 387 K . Solución. εΑ / kB = 404 K . (3. (3.833 Å.485 .8 cm3/gmol. σΑ = 3.4c). Cuando todos los componentes están estancados y solo A difunde (o todos se mueven con la misma velocidad).435 ) = 0. Llamemos el cloruro de metilo A y el dióxido de azufre B.16) Aquí Yi es la fracción molar del componente i en base libre de A o relación molar.15) Ni es positivo si va en el mismo sentido de A y negativo si difunde en la dirección opuesta.818 Å.85 Å εΑΒ / kB = [(εΑ/kB)(εΒ/kB)]½ = (404x387)½ = 395 K δΑΒ = (δA δB)½ = (0. UA = 1.12a) σΑΒ = (σΑσB)1/2 = (3. δΑ = 0. la expresión para DAm se reduce a D Am (1 − y ) ⎡ n Y ⎤ = n A = ⎢∑ i ⎥ yi ⎣ i = B D Ai ⎦ ∑ i = B D Ai −1 (3. Esta situación. Calcular el coeficiente de difusión entre el cloruro de metilo y dióxido de azufre a 50 °C y 1 atm. Difusión en mezclas multicomponentes. VB = 44. DAi son las difusividades binarias. UB = 1.4b). En la práctica se supone variación lineal de la composición. VA = 47.54 σΒ = 3.54 x 0. cuando se tiene estado estable. A partir de las propiedades en el punto de ebullición y los momentos dipolares calculemos las constantes de fuerza para cada sustancia según las ecuaciones (3.90 debye. del componente en la mezcla: n ⎤ ⎡n 1 1 ( yi N A − y A N i )⎥ ÷ ⎡⎢ N A − y A ∑ N i ⎤⎥ = ⎢∑ D Am ⎣ i = A D Ai i= A ⎦ ⎦ ⎣ (3. 3. V es Volumen molar.3.1 respectivamente. a partir de la ecuación (3.426 Å. Usando la ecuación (3.199 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. εΒ / kB = 113 K σAB= 3.P = 1. ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR PROPIEDADES DE TRANSPORTE EN LÍQUIDOS.649 Los pesos moleculares del CH3Cl y SO2 son 50. σΑ = 3. y de (3.083 cm2/s.8 Tb/T). εΑΒ / kB = 118.004 [293. Tb = Temperatura de ebullición normal.5 = 0.19)(0. En general los errores son ligeramente mayores que para los cálculos de viscosidad y algo menores que para las estimaciones de conductividad térmica.594 .12) ΩD.2 y 64. Solución.4 K respectivamente y presiones críticas 48 y 49. .85 × 1. o sea. 3.7 atm.9) [ )] +1 323 ( 1 50 .44 + 132)] = 0. 5 64. 1× 3.1.0769 cm2/s (error +7.818 A partir de la ecuación (3. Viscosidad.004 1/ 2 = 0. kB T/εΑΒ = 2.818) = 1.649 2 El valor experimental reportado es 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento a 50 °C = 323 K . h = Constante de Planck. los que tienen temperaturas críticas 151.188 cm2/s. EJEMPLO 3. ΩD = 1.944 .9 %).3. La ecuación de Eyring es µ = (Nh/V) e(3. σΒ = 3.0018583 3 DAB 0. Calcular la difusividad Argón .0018583 3 DAB 1× 3.2 cm2/s.426 2 × 1. 3.485)2/(0.2 (139.418 Å. donde N = Número de Avogadro.594 + (0. T*= 232/395 = 0.1 = 0.Oxígeno a 293 K y 1 atm. Experimentalmente se ha encontrado un valor de 0.10) ΩD = 1.47 .2 K y 154.433 Å.9) MA = 39.5 K . εΑ / kB = 124 K MB = 32 . 3. Aquí el subíndice b se refiere a condiciones en el punto normal de ebullición.200 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. gmol/cm3 T = Temperaturas absolutas en Kelvin.Einstein da buenos resultados DAB µ B 1 = κ BT 6πR A donde RA es el radio de la molécula difundente A. Sin embargo es muy útil para interpolar entre datos experimentales si se escribe en la forma B µ = Ae T conocida como correlación de Andrade. Para la difusión de moléculas de tamaño normal no existe teoría que provea una concordancia razonable con la experimentación.05 × 10 −3 C P Tb ⎛ C ⎜⎜ k= 1 ⎝ Cb M 2 C PbT ⎞ ⎟⎟ ⎠ 4 3 k = Conductividad térmica W/m.3. la ecuación de Stokes . A y B deben obtenerse a partir de al menos 2 datos experimentales.3. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Esta ecuación se limita a líquidos Newtonianos y no se comporta bien para moléculas largas o cerca al punto crítico. Cp = Capacidad calorífica molar. Para la difusión de moléculas grandes y esféricas o partículas en líquidos. J/gmol.3..2. Difusividad. C = Concentración molar total. en la cual las moléculas no están asociadas se hace: µ 1 3 n = ∑ µ i 3 xi 1 i =1 xi : Fracción molar de los componentes en la mezcla.K. 3.K. como decir moléculas de polímeros o partículas coloidales. Para predecir la conductividad térmica de los líquidos Sato (Reid y Sherwood) recomienda la ecuación 11. Generalmente predice valores dentro de un margen de error del 40 %. Conductividad térmica. El cálculo de la viscosidad de una mezcla de composición conocida. . Los efectos de difusión en sólidos son muy importantes en metalurgia así: La profundidad a la cual el carbón puede penetrar en un tiempo dado desde la superficie de un acero sometido a endurecimiento es gobernado por las leyes de difusión. φB = parámetro de asociación para el solvente.6 −8 DAB = Difusividad. La velocidad de reacción en algunos procesos químicos está determinada por la difusión en sólidos. µ = Viscosidad de la solución cP. Vale 75. El parámetro φΒ toma el valor de 1 para solventes no asociados como benceno. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Hay relaciones empíricas que dan buenas predicciones. VA se obtiene por el método aditivo de Le Bas. en cm3/gmol. 1. 1. octano. La más conocida es la de Wilke Chang 1 D AB (φ B M B ) 2 T = 7.201 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.9 para metanol.6 para agua como solvente. Para la mayoría de las soluciones DAB varía con la concentración y no existen ecuaciones que predigan esta variación satisfactoriamente.6 para agua como soluto.40 × 10 µV A0. cm2/s.. La ecuación de Wilke Chang provee estimaciones que generalmente están dentro del 10 al 20 % de los valores experimentales. T = Temperatura en grados kelvin.4.5 para etanol. y no es simétrica (DAB ≠ DBA). éter etílico. DIFUSIVIDAD EN SÓLIDOS. nos permite predecir la variación con la temperatura el notar que para los mismos componentes ⎛ D AB µ ⎞ ⎛ D AB µ ⎞ ⎟ ⎟ =⎜ ⎜ ⎝ T ⎠1 ⎝ T ⎠ 2 3. heptano. y 2.1. La ecuación anterior da valores de DAB cuando A está presente en bajas concentraciones. VA = Volumen molar del soluto como líquido a la temperatura normal de ebullición. pero el número de aplicaciones de importancia en Ingeniería Química es menor que las . Sin embargo. tal como se explica para la tabla 3. Un componente en una mezcla sólida puede difundirse a través de otro a una velocidad medible. etc. MB = peso molecular del solvente. si hay un gradiente de concentración conveniente y la temperatura es suficientemente alta. 66x10−5 m2/s a 323 K y 1 atm. .s.219x10−4 m2/s.9391x10−5 Pa. 900 K. Un intercambio de átomos ocurre en la estructura de un sólido cuando los átomos de un plano dado vibran al rededor de sus posiciones de equilibrio. µ = 1. para agua a 273 K. compare la respuesta con el valor experimental de 19.75 y 1. la velocidad de transferencia de masa es directamente proporcional a ⎛ − ∆U ⎞ DAB = D0 exp⎜ ⎟ ⎝ ℜT ⎠ que es una forma típica de describir un proceso activado y que nos indica que la difusividad aumenta rápidamente con la temperatura. 2.s/m2. Prediga el coeficiente de difusión del vapor de agua en aire a 2 atm y 75 °C si el coeficiente de difusión a 1 atm y 0 °C es 0.202 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. (d) Compare todas las respuestas con el resultado experimental. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento relacionadas a la difusión en líquidos y gases.s 3. Una fracción estadística de éstos vibra con energías mayores que la de activación y saltan a nuevas posiciones de equilibrio. EJERCICIOS 1.11x10−6 N. (a)Use la ecuación basada en la teoría de Chapman-Enskog (3. 600 K. Calcule la conductividad térmica de aire y de argón a 40 °C y 1 atm usando la ecuación de Chapman-Enskog. en la cual se postula que la difusión es un proceso activado.79x10−3 Pa. Estime la viscosidad de aire a 40 °C y 1 atm usando una correlación adecuada. La difusividad másica del sistema Helio-Nitrógeno es 7. Estime la viscosidad del aire y del agua a 53 °C a partir de los siguientes datos experimentales: para aire a 320 K. µ = 1.8 para corregir las temperaturas. a "agujeros" adyacentes en la red estructural. se puede hacer una estimación cualitativa usando la teoría de Eyring. 4. 5. conociendo que la capacidad calorífica Cp es 1005 J/kg.9) para encontrar la difusividad a 413 K. El orden de magnitud está entre 10−9 cm2/s y 10−1 cm2/s según el sistema. Calcule la conductividad térmica del aire a las mismas condiciones. y 1200 K. (b) Use el dato experimental y la integral de colisión para estimar los coeficientes de la parte (a). Los coeficientes de difusión para una pareja de sólidos no pueden ser predichos exactamente por la teoría. (c) Repita (b) por el método simplificado usando exponentes 1.K. El valor experimental es 1. y la celda tiene área transversal 0.82 cm2 y trayectoria de difusión de 15 cm. Compare este resultado con el predicho por la teoría de Chapman-Enskog.14 cP y 18.s. Compare el coeficiente de difusión del agua a través de 1 Propanol (CH2CH2CH2OH) con ese del 1 Propanol difundiendo a través del agua. son 1. El valor experimental es 0.s respectivamente). a 288 K. Schettler y Giddings. cada uno a dilución infinita. Si el resultado coincide con el valor obtenido a partir de la ecuación de Hirschfelder et al (3.203 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 6. Una celda de Arnold en estado estable se usa para determinar la difusividad de alcohol etílico en aire a 297 K y 1 atm.2 K y 5 atm usando la correlación Fuller.9). Para 1 Propanol.Dióxido de Azufre es 7.185x10−3 Pa.7x10−6 m2/s a 1 atm y 323 K.79x10−3 y 0. 7. El punto de ebullición normal en K es 249 y 263 respectivamente. ¿Qué caudal de etanol debe suministrarse a la celda para mantener un nivel de líquido constante? A 297 K. Halle la difusividad másica del sistema Helio .09.1-Propanol a 423. Prepare un gráfico de la viscosidad del agua entre 273 K y 373 K a partir de datos de la literatura (1.352x10−5 m2/s.79. El coeficiente de difusión del sistema Cloruro de Metilo . . la viscosidad a 288 K y su peso molecular son 2.6 cP y 60.015 respectivamente. 10.282x10−3 Pa. 9. Para el agua. la presión de vapor de etanol es de 53 mm Hg y su gravedad específica es 0. Use la correlación de Andrade para extrapolar a 420 K. 8. 4. gradientes radiales 1 ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ ⎜r ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ Coordenadas esféricas.203 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. masa. y cantidad de movimiento. En ausencia de generación la ecuación anterior se reduce a ∂Ψ/∂ t = β∇ 2Ψ El operador Laplaciano tomará la forma acorde con la simetría. el tiempo de curado de objetos hechos de plástico . Para gradientes unidimensionales tendremos: Coordenadas rectangulares ∇2Ψ = ∂ 2Ψ ∂z 2 Coordenadas cilíndricas. gradientes radiales ∇2Ψ = ∇2Ψ = 1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎞ ⎜r ⎟ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ El transporte molecular en estado inestable. El estado inestable aparece también en la determinación del tiempo de procesado de muchos artículos sólidos. El balance generalizado para fluido incompresible y propiedades de transporte constantes (v⋅∇)Ψ + ∂Ψ/∂t = β∇2Ψ + Φ (2.1.40) Solamente analizaremos casos de difusión y conducción. Estudiaremos el mecanismo de transferencia que surge cuando el campo de temperaturas (concentraciones) en la región de conducción depende del tiempo. Por ejemplo. ya sea transitorio o periódico. El estudio de los fenómenos transitorios de todo tipo es de interés en los problemas de puesta en marcha y control. es importante en muchas aplicaciones de transferencia de calor. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Capítulo 4. PROCESOS EN ESTADO INESTABLE. SOLUCIONES ANALÍTICAS. etc. involucran transferencia entre dos fases una de las cuales está dispersa como gotas o burbujas en la otra. Este tipo de sistema alcanza un perfil límite de concentraciones (temperatura o velocidad) cuando el tiempo tiende a infinito. concentración o velocidades. para una frecuencia de 1000 rpm. Otro ejemplo es el efecto de las variaciones diurnas de la temperatura atmosférica en estructuras grandes como puentes o pequeñas como plantas en crecimiento. series de Fourier. las armas automáticas. este procedimiento solamente es posible cuando dos condiciones límite pueden reunirse en una sola. la variable compleja. El otro proceso común es uno periódico en el cual la temperatura en cada punto de la región sigue variando periódicamente con el tiempo. la transformada de Laplace. dos clases diferentes de procesos no estables. Las máquinas de combustión interna. El componente periódico anual tiene 365 días mientras que el diario tiene 24 horas. Un tipo de problema ligeramente diferente se caracteriza por la variación periódica de la temperatura. Los procesos de transporte en estado no estable se caracterizan por que la concentración varía con el tiempo. Uno es un transitorio. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 204 moldeado o de caucho. las transformadas integrales. generan calor periódicamente. El método de combinación de variables permite reducir la ecuación diferencial en derivadas parciales a una simple ecuación diferencial ordinaria. Es preciso tener en cuenta que éste tipo de sistema jamás tiende a un estado estacionario límite. donde el campo de temperatura. desde una condición inicial. una alta fracción de las operaciones ingenieriles de transferencia de masa. aunque sea flujo unidimensional debamos tener más de una variable independiente. es . la disipación de éste calor causa fluctuaciones periódicas de temperatura en los alrededores. De otra parte. Este es el caso aproximado en las capas superficiales de la tierra. hacia un eventual estado estable. El período es de 10−3 min. debido a las variaciones diarias y anuales de las condiciones atmosféricas. Para hallar la solución analítica se dispone de varias técnicas matemáticas tales como la separación de variables. Un acercamiento al análisis teórico de estos procesos asume que las gotas o burbujas de la fase dispersa pueden mirarse como esferas. los compresores. La teoría de la conducción no estable tiene también aplicación en el tratamiento térmico y templado de metales.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Existen pues. Algunos problemas de secado presentan también esta geometría. lo que hace que. Otro ejemplo es la pared del cilindro de un pistón durante la operación cíclica de una máquina de combustión interna. en las cuales la transferencia ocurre por difusión molecular no estacionaria. El método de separación de variables permite reducir la ecuación diferencial en derivadas parciales a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. la combinación de variables. dependen frecuentemente del tiempo requerido para que el centro alcance alguna temperatura especificada sin causar daño térmico al material de la superficie. en general. cambia con el tiempo. las cuales convergen más satisfactoriamente para valores grandes del tiempo.1. El método más directo para resolver problemas de conducción de calor (o transferencia difusiva de masa) que presenten mas de una variable independiente es el de separación de variables o método del producto. tienen una de dos formas estándar: series de la función de error o sus integrales relacionadas. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento decir. Método de separación de variables. el sistema tiende a estado estacionario. Cuando la difusión ocurre en geometría cilíndrica las series trigonométricas son reemplazadas por series de funciones de Bessel.42a) se reduce a la llamada ecuación de Fourier: ∇ 2T = 1 ∂T α ∂t En un proceso unidimensional. por esta razón los problemas de valor propio se llaman algunas veces problemas de Sturm Liouville. Dependiendo de las condiciones límite y el método utilizado. siempre y cuando sea aplicable.t) = F(z)G(t) = ∂z 2 β ∂t (4. La solución completa del problema de conducción de calor es entonces la suma lineal de todas las soluciones elementales apropiadas de los problemas auxiliares. o en la forma de series trigonométricas. la forma de esta ecuación según la geometría del sistema es: • Simetría plana.205 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1) . Es el más poderoso de éstos tres. el balance generalizado en sólidos. ecuación (2. ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ para Ψ(z. las que son más útiles en la evaluación numérica para tiempos cortos o sea en las etapas iniciales de la difusión. Este método de solución de ecuaciones diferenciales parciales da lugar a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias y al menos uno de estos problemas auxiliares es el llamado problema del valor propio y sus soluciones son las funciones propias. La propiedad de ortogonalidad de las funciones propias juega un papel importante en la determinación de estos coeficientes de expansión desconocidos. La ortogonalidad de las funciones fue investigada originalmente por Sturm y Liouville en 1536.1. El método de la transformada de Laplace es esencialmente un método de operador. 4. Para la conducción de calor en estado no estable sin generación. Los coeficientes de expansión asociados con esta sumatoria no se conocen y se determinan restringiendo la solución para que satisfaga la condición de frontera no homogénea (o condición inicial) del problema original. particularmente para los problemas más complicados. 3) se transforma en ∂ f (r ) ∂ 2 f (r ) =β ∂t ∂ r2 • Simetría plana: Reemplazando Ψ(z.t) = FC(r)G(t) ∂r 2 r ∂r β ∂t • (4. ambos lados son iguales a una constante γ2 o −γ2. f (r ) 1 ∂ f (r ) ∂Ψ =− 2 + ∂r r r ∂r ∂ ⎡ 2 ∂ Ψ⎤ ∂ ⎡ ∂ f (r )⎤ ⎡ ∂ f (r ) ∂ 2 f (r ) ∂ f (r )⎤ r = − f (r ) + r = − +r + ∂ r ⎢⎣ ∂ r ⎥⎦ ∂ r ⎢⎣ ∂ r ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ r ∂ r2 ∂ r ⎥⎦ por lo tanto ∂ ⎡ 2 ∂ Ψ⎤ ∂ 2 f (r ) =r r ∂ r ⎢⎣ ∂ r ⎥⎦ ∂ r2 Además ∂ Ψ 1 ∂ f (r ) = ∂t r ∂t La ecuación (4.206 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. llámese T o cA se modifique: Ψ = f(r)/r. haciendo que la variable dependiente.t) en (4.t) = FS(r)G(t) 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂r r ∂r β ∂t (4.1) nos lleva a la relación: ( 1 d 2F 1 dG = = ±γ 2 2 F dz βG dt ) Como resultado de la definición de F y de G. Como z y t son independientes. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento • Simetría cilíndrica.2) Simetría esférica.3) En esta simetría. el lado izquierdo de la igualdad será función solo de z y el lado derecho solo de t. ningún lado de la ecuación será función ni de z ni de t. así: . es decir. 1 ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ ∂ 2 Ψ 2 ∂Ψ 1 ∂Ψ = 2 ⎜r2 + = ⎟ para ΨS(r. ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ + = para ΨC(r. FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 207 F’’= ± γ2F ; G’= ± αγ2G. Las soluciones son: para +γ2: F ( z ) = C1eγz + C2 e −γz para −γ2 F ( z ) = C 3 e iγz + C 4 e iγz = C 3 cos(γz ) + C 4 sen(γz ) para ±γ2 G (t ) = C5 e ±αγ 2 t Las formas anteriores anticipan las diferentes clases de procesos a encontrar. La variable de separación γ2 puede ser real, imaginaria o compleja. La selección se basa en las condiciones que deben ser satisfechas en una circunstancia dada. Para γ2 real, la dependencia de z puede ser exponencial (+γ2) o periódica (−γ2), esta última permite una expansión por series de una condición inicial. El término acompañante indica la dependencia de t que puede ser el crecimiento o decrecimiento exponencial del campo de temperaturas (concentraciones) para una condición límite impuesta. Para γ2 imaginario, la dependencia con el tiempo será puramente periódica, y la dependencia con z para esta selección resulta en una combinación de comportamientos periódicos y exponenciales en z. Para γ2 complejo, los comportamientos dependientes de z y de t tienen ambos efectos periódicos y exponenciales. En conclusión ±γ2 se selecciona de acuerdo al proceso de interés como se verá más adelante. • 1 FC Simetría Cilíndrica: El reemplazo de ΨC(r,t) en (4.2) nos da la siguiente relación: ⎛ d 2 FC 1 dFC ⎜⎜ + 2 r dr ⎝ dr ⎞ 1 dG ⎟⎟ = = ±γ 2 ⎠ βG dt siendo nuevamente ±γ2 la constante de separación o valor propio. • 1 FS Simetría Esférica: La ecuación (4.3) en términos de TS(r,t) se convierte en ⎛ d 2 FS 2 dFS ⎜⎜ 2 + r dr ⎝ dr ⎞ 1 dG ⎟⎟ = = ±γ 2 ⎠ βG dt Las formas de FS dependerán, como en los casos anteriores, de los procesos particulares. 4.1.2. Transformada de Laplace. Este método ha sido usado en la solución de mucha clase de transitorios. Para usarlo en la solución de la ecuación de Fourier asumimos que las propiedades k/ρCP = α permanecen FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 208 constantes en la región. Si trabajamos en coordenadas cartesianas, T = T(x,y,z,t). Este método ofrece con frecuencia análisis simples para muchos mecanismos físicos que se hacen difíciles de analizar a partir de la separación de variables. La ventaja inicial de una transformada de Laplace en cualquier circunstancia particular es que remueve la derivada respecto al tiempo. El resultado es una ecuación diferencial ordinaria en términos de T (x,y,z), llamada la transformada de T(x,y,z,t). Las condiciones iniciales y de contorno se aplican a la solución de la ecuación diferencial resultante en términos de la función T . La solución de la formulación original se recupera entonces por inversión de la solución transformada T (x,y,z) de nuevo hacia T(x,y,z,t). Esta transformación generalmente se hace usando las tablas existentes en la literatura. La transformada de Laplace L[T(x,y,z,t)] de T(x,y,z,t), escrita en cuatro notaciones usuales es ∞ L[T ( x, y, z , t )] = L(T ) = T ( x, y, z ) = ∫ e − pt T ( x, y, z , t )dt = T ( p ) 0 Aquí p puede ser complejo y su parte real es positiva y suficientemente grande para que la integral converja. Así, si f(t) = e2⋅t, p debe ser mayor que 2. Debemos tener siempre presente que así como la función original es función de t, su transformada será función de p. La integral, una función de p, es la transformación de T(x,y,z,t) a T (x,y,z). Así, las transformadas de funciones corrientes son construidas fácilmente efectuando la integral tal como en los siguientes ejemplos: si T = 1, ∞ T = ∫ e − pt dt = 1/p; 0 si T = e at , si T = sen(wt), ∞ ∞ 0 0 T = ∫ e − pt e at dt = ∫ e −( p − a )t dt = ∞ T = ∫ e − pt sen(wt )dt = o 1 p−a w p + w2 2 4.1.2.1. Propiedades. Algunas de las propiedades más corrientemente utilizadas de la transformada de Laplace son: i. L[T1 + T2] = L(T1) + L(T2). Esto es, la transformada de una suma de funciones es una suma de transformadas. FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 209 ⎛ ∂T ⎞ + ii. L⎜ ⎟ = pL(T ) − T0 = pT ( x, y, z ) − T ( x, y, z,0 ) ⎝ ∂t ⎠ donde T(x,y,z,0+) = límite de T cuando t tiende a 0+. ⎛ ∂ nT ⎞ ∂ n T L iii. ⎜⎜ n ⎟⎟ = n se aplica también para y e z. En términos de la integral es ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∞ n ∂ n ∞ − pt ⌠ − pt ∂ T = e dt ∫ e Tdt . ⎮ ∂x n ∂x n 0 ⌡ 0 Para T tal que se puedan intercambiar el orden de integración y diferenciación. T ⎤ 1 ⎡t iv. L ⎢ ∫ T ( x, y, z, t )dt ⎥ = L(t ) = . p ⎦ p ⎣0 Esto es, la transformada de la integral de T sobre un intervalo de tiempo entre 0 y t es T /p. v. Dada una función T(x,y,z,t), donde t se reemplaza por Kt y K es una constante positiva múltiplo del tiempo t, 1 1 L[TK ( x, y , z , Kt )] = TK = T ( p / K ) K K ∞ Aquí T K [ ⌠ 1 ⎛ pt ' ⎞ = ⎮ exp⎜ − ⎟T ( x, y, z , t ' )dt ' ⌡K ⎝ K ⎠ 0 ] ∞ vi. L e −bt T = T ( p + b ) = ∫ e −( p +b )t T ( x, y, z , t )dt 0 4.1.2.2. Transformación e inversión. Como ejemplo para T(z,t) aplicamos las reglas iii e ii anteriores: ∞ ⎛ ∂ 2T ⎞ ∂ 2 ∂2T − pt ( ) L⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 2 ⌠ e T z t dt = , ⎮ ∂z 2 ⎝ ∂z ⎠ ∂z ⌡0 ∞ ⎛ ∂T ⎞ − pt ∂T L⎜ ⎟ = ⌠ dt = pL(T ) − T z ,0 + = pT ( z ) − T z,0 + ⎮e ∂t ⎝ ∂t ⎠ ⌡ ( ) ( ) 0 La ecuación subsidiaria a la de Fourier, en términos de T (z) será: ∂ 2 T ( z) p T ( z,0 + ) − T z = − ( ) α α ∂z 2 210 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento T(z,0+) es la condición inicial tal como se especifica en el teorema ii. Las condiciones de frontera también deben transformarse para formular completamente la solución de la función de transformación T (z). Esta transformada se invierte entonces para dar la solución T(z,t). La relación inversa, en términos de T (z), es γ + i∞ 1 λt T ( z, t ) = ⌠ ⎮ e T ( λ ) dλ ⌡ 2i γ − i∞ Aquí λ es la variable compleja de integración y γ debe ser suficientemente grande para que todas las singularidades de T (λ) caigan a la izquierda de la línea (γ − i∞, γ + i∞). 4.1.2.3. Sólido semiinfinito – Método de la transformada de Laplace. Como un ejemplo de la aplicación de la transformada de Laplace, consideremos el problema de la difusión en un medio semiinfinito, z > 0, cuando el límite se mantiene a concentración constante cAS, y la concentración inicial es cero a través de todo el medio. Debemos pues resolver el siguiente modelo: ∂ cA ∂ 2c A = DAB ∂t ∂ z2 (i) cA = cAS para z = 0, t > 0 ; cA = 0 para z > 0, t = 0; cA = 0 para t > 0 y z → ∞ Sabiendo que ∞ L[T ( x, y, z , t )] = L(T ) = T ( x, y, z ) = ∫ e − pt T ( x, y, z , t )dt = T ( p ) 0 Multiplicamos ambos lados de la ecuación (i) por e−pt e integramos con respecto a t entre 0 e ∞; obtenemos: ∞ ∞ 2 ⌠ e − pt ∂ c A dt = D ⌠ e − pt ∂ c A dt ⎮ AB ⎮ ⌡0 ∂t ∂ z2 ⌡0 Asumiendo que el orden de la integración y la diferenciación pueden intercambiarse, y esto se justifica para las funciones que tratamos, la segunda integral será: ∞ ∞ 2 ∂ 2cA ∂ 2 ⌠ − pt ⌠ − pt ∂ c A dt = ⎮ e ⎮ e c A dt = ∂ z2 ∂ z 2 ⌡0 ∂ z2 ⌡0 211 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La otra integral la hacemos por partes: u = e−pt ; du = −pe−pt ; dv = dcA , v = cA ∞ ⌠ e − pt ∂ c A dt = e − pt c ∞ + p ∞ c e − pt dt = pc ∫0 A ⎮ A 0 A ⌡0 ∂t [ ] El primer sumando se cancela pues la condición inicial hace cero a cA en t = 0, y el término exponencial se hace cero para t → ∞. La ecuación diferencial se transforma entonces en: pc A = D AB ∂ 2cA ∂ 2 c A pc A o − =0 ∂ z2 ∂ z 2 D AB Esta ecuación tiene como solución: c A = C1e mz + C2 e − mz ; m = (p/DAB)1/2 El hecho de que para z → ∞ se debe mantener la condición inicial hace C1 = 0. La condición límite para z = 0 la transformamos también: ∫ ∞ 0 c AS e − pt dt = por tanto c A = c AS = C2 p c AS −mz e p La tabla 2.2 del Crank, numeral 8, nos da la transformada inversa: c A = c AS erfc z 2 D AB t Si inicialmente la concentración no fuera 0 sino cAo, constante, un cambio de variable tal como hacer C = cA − cAo nos produce el resultado c A − c Ao z = erfc c AS − c Ao 2 D AB t (4.51) 212 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4.2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES. 4.2.1. Transporte de calor en estado transitorio a través de una placa plana. Consideremos una placa plana sólida que tiene espesor L, y en el tiempo t = 0 está a temperatura uniforme T0. Para t > 0, la superficie en z = 0 se mantiene a una temperatura constante T1 mientras que la superficie contraria permanece a temperatura constante T2. En cualquier punto z el flujo de calor y la temperatura dentro de la placa dependerán del tiempo. A partir de un balance de energía térmica se obtiene la siguiente ecuación generalizada de energía en función de la temperatura T del fluido (2.42). Esta ecuación es útil para calcular los perfiles de temperatura en un sistema tridimensional con o sin generación (originada en manantial químico, nuclear, eléctrico, viscoso, etc.), en estado estable o transitorio: ρC P DT = k∇ 2T + Φ H Dt donde DT/Dt es la derivada substancial de la temperatura, que es la derivada total con respecto al tiempo para un recorrido que sigue el movimiento del fluido, es decir cuando dx/dt; dy/dt; dz/dt; son simultáneamente vx; vy; vz, las componentes de la velocidad del observador y, respectivamente, del fluido. Esta ecuación se toma como punto de partida para la mayor parte de los tratamientos de transmisión de calor. Para sólidos, la densidad puede considerarse constante y además v = 0: ∂T ρC p = k∇ 2 T + Φ H (4.4) ∂t La ecuación diferencial asociada a este problema unidimensional será, teniendo presente que aquí el término de acumulación no desaparece, pero sí el de generación y los gradientes en x e y ∂T ∂2T ρC p =k 2 ∂t ∂z Sabiendo que la difusividad térmica se define como α = k / ρ.Cp: ∂T ∂2T =α ∂t ∂ z2 (4.5) 213 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Esta ecuación se conoce como la ecuación unidimensional de difusión y reconocemos en ella una ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal no homogénea. Para resolver ecuaciones diferenciales parciales por el método de separación de variables, generalmente es conveniente usar variables adimensionales definidas en forma tal que sean cero o la unidad en los límites del sistema. Así, al elegir θ= T − T2 T1 − T2 (4.6) el valor de θ será uno en z = 0 y cero en z = L. Resultados comparables se obtendrían definiendo η=1 − θ, pero la solución matemática es más sencilla si usamos θ pues el problema cae en una clase para la cual hay procedimientos generales de prueba y solución. La primera etapa es transformar la ecuación diferencial de la variable T a la variable θ con T = T2 + θ (T1 − T2). ∂ T ∂ θ (T1 − T2 )… ∂ T = 0 + ∂ θ (T1 − T2 ) = 0+ ∂ t ∂ t ∂ z ∂ z ∂ 2T ∂ 2θ (T1 − T2 ) = ∂z 2 ∂z 2 Y de la ecuación (4.5): α (T1 − T2 ) ∂ 2 θ ∂θ = (T − T ) ∂ z2 ∂t 1 2 ∂ 2 θ ∂θ α 2 = ∂t ∂z (4.7) Si el flujo de calor fuera estable (lo que ocurrirá en un espacio de tiempo suficientemente largo) el balance se reduce a ∂ 2θ ∞ =0 (4.8) α ∂z 2 la cuál fácilmente se resuelve para dar: T = C1z + C2. Las constantes C1 y C2 pueden evaluarse a partir de las condiciones límite que nos indican las temperaturas de las superficies en z = 0 y z = L. Aplicando estas condiciones se obtiene una expresión para la distribución de temperaturas en la placa: 214 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento T − T1 z = = 1−θ∞ T2 − T1 L (4.9) que podemos escribir como θ∞ = 1 − z , independiente del tiempo. L La solución general puede escribirse en la forma θ = θ∞ − θt (4.10) Donde θt es la contribución transitoria a θ; se hace cero cuando t tiende a infinito y al comienzo. La ecuación (4.10) se puede reescribir como θt = θ∞ − θ (4.10a) Donde observamos que θt es una medida del cambio de temperatura faltante para alcanzar el estado estable. En la figura 4.2 vemos que θt es la diferencia entre las curvas para θ y θ∞. Condiciones límite: Condición inicial: t = 0 ; T = T0; 0<z<L θ = θ 0= T0 − T2 T1 − T2 ; θt = θ∞ − θ0 T0 puede o no ser función de z. En este caso es constante y diferente de cero. Condición límite 1: z = 0 ; T = T1; t ≥ 0 ; θ = 1 = θ∞ ; θt = 0 Condición límite 2: z = L ; T = T2; t ≥ 0 ; θ = 0 = θ∞ ; θt = 0 Substituyendo (4.10) en (4.7): Cada igualdad nos da una ecuación diferencial ordinaria: G ′( t ) − αKG( t ) = 0 (4. y la otra.16) .12) αF ′′( z ) G( t ) = F ( z ) G ′( t ) Al dividir por αF(z)G(t). Como solo una variable independiente está involucrada. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡ d 2θ∞ ∂ 2 θt ⎤ ∂θ α⎢ 2 − 2 ⎥ = 0 − t ∂t ∂z ⎦ ⎣ dz (4.8) obtenemos ∂ 2θt ∂θt α 2 = ∂t ∂z (4. Similarmente ∂ 2 θt d 2 F ( z ) G( t ) = F " ( z ) G( t ) 2 = 2 ∂z dz Reemplazando en (4. depende sólo de t. una de las cuales.12) puede escribirse como el producto de dos funciones.215 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.12) Podemos reducirla a dos ecuaciones diferenciales ordinarias que se resuelven por los métodos usuales.11) Restando (4. depende solo de z. pues las variables z y t son independientes entre si: F " ( z) G ′( t ) = = constante = K F ( z ) αG( t ) (4.14) donde K es una constante por determinar. F(z). θt(z. se usan derivadas totales. G (t).t) = F(z)⋅G(t) (4.11) de (4.15) F " ( z) − KF ( z) = 0 (4. el lado izquierdo será solo función de z y el derecho será solo función de t.13) ∂θt dG( t ) = F ( z) = F ( z ) G ′( t ) ∂t dt Donde la prima indica diferenciación con respecto a la variable independiente. Para ello postulamos que una solución de la ecuación (4. Para que se mantenga la igualdad es necesario que los dos términos sean iguales a una misma constante. como θt(L.λ2F = 0 F = A exp(λz) + B exp(−λz) = C cosh(λz) + D senh(λz) F(0) = 0 = C pues cosh(0) = 1 y senh(0) = 0. F'= A. Sería una solución trivial. Si F(λm. en donde los λn son los valores propios (o números característicos) y tiene soluciones triviales (esto es F ≡ 0) cuando λ no es un valor propio. ii) Suponemos K > 0 . con n = 1. pues de lo contrario se requeriría que G(t) = 0.z) y F(λn. entonces F = D senh(λz).t) = 0 entonces.z) representan las dos funciones propias diferentes correspondientes a los valores propios λm y λn respectivamente.t) = 0 para todo valor de z y t. z) ⋅ F (λn .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.z) son las llamadas funciones propias. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 216 Además. entonces F(L) = 0. .. lo que implica que θt(z. F(z) = Az +B. F(0) = 0 = B F(z) = Az.t) = 0 = F(L)⋅G(t). En este caso T1 = T2 = T0 no ocurriendo transferencia de calor. F(0) = 0 . z) ⋅ dz = { 0 0 cuando λm diferente de N cuando λm igual a λn λn donde N es la integral de normalización definida como 2 ∫ [F (λ n ... F(L) = 0 configura así un problema de valor propio o problema de Sturm Liouville que tendrá solución no trivial solamente para ciertos valores de un parámetro que llamamos λn. K = λ2 : λ un número real Ahora F" .3. z )] dz = N L 0 Analizamos a continuación el valor de K. i) Suponemos K = 0 En ese caso entonces F" = 0. se puede establecer la propiedad de ortogonalidad de las funciones propias en la región 0 ≤ z ≤ L por la relación L ∫ F (λm . como θt(0.2. La ecuación (4. F(1) = 0 =A y F(z) ≡ 0 Por tanto K = 0 no es un valor propio de esta ecuación. Por razones similares. Las soluciones no triviales F(λn. F(L) = 0 = D senh(λL).16) con estas condiciones límite homogéneas: F"(z) − K F(z) = 0 F(0) = 0 . Esta propiedad se mantiene para una suma infinita de todas las soluciones: ∞ ∞ 1 1 [ ][ θt = ∑ An Fn Gn = ∑ An sen( λn z) exp( − λn2 α t ) ] (4.17) Observamos que el valor de Kn concuerda con la experiencia física de que θt tiende a cero (θ tiende a θ∞) cuando el tiempo crece.19) . En conclusión hay una solución de la ecuación (4. n = 1. senh(λL) es diferente de cero y D = 0 lo que hace F(z) ≡ 0..θ0 . iii) Resta estudiar K < 0. n = 1. No hay valores propios positivos para esta ecuación. Por tanto sen(λL) = 0.217 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La ecuación (4..3. las funciones propias son. La enésima raíz es λnL donde λnL = nπ .. F(λn.2.. Gn (0) = 1 . entonces: ∞ ∞ ⎛ z⎞ θt ( z.18) Para encontrar la constante An usamos la condición inicial: en t = 0.. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Como λL es diferente de cero por planteamiento. entonces.12) para cada valor de n. 2. Sabemos que la función seno es cero a intervalos de π y habrá un número infinito de estos puntos. es decir λn = nπ/L. la cual tiene la forma: [ ][ ] [ ][ ] θtn = D sen(λn z ) C exp( − λn2 α t ) = An sen(λn z ) exp( − λn2αt ) Donde An = D⋅C.. F = A exp(iλz) + B exp(−iλz) = C cos(λz) + D sen(λz) F" + λ2F = 0 F(0) = 0 = C pues sen 0 = 0 y cos 0 = 1. 3 . F(z) = D sen(λz) F(L) = 0 = D sen(λL) D no puede ser cero pues θt varía con z.15) se resuelve con los mismos valores de Kn = −λn2: G( t ) = C exp( − λn 2 ⋅α t ) (4. K = −(λ2). omitiendo la constante D que no es necesaria. .z) = sen(λnz). λ es un número real. θt = θ∞ − θ0 = 1 − z/L .0) = θ∞ − θ0 = ⎜1 − ⎟ − θ0 = ∑ An Fn = ∑ An sen( λn z) ⎝ b⎠ 1 1 [ ] (4. Es propiedad de las ecuaciones diferenciales lineales el que cualquier combinación de soluciones es también una solución. y el conjunto de valores propios λn son las raices de sen(λnL) = 0. .20) lo podemos descomponer en la suma de tres integrales a saber: La primera es ∫ sen(λn z ) ⋅ dz = − λ1 [cos(λn L) − 1] = − λ1 [cos(nπ ) − 1] pues λn = nπ L L n 0 n La segunda la hacemos por partes: L 1⌠ 1 ⎡ z cos(λn z ) sen(λn z ) ⎤ cos(nπ ) +0 − ⎮ zsen(λn z )dz = − ⎢− + ⎥ = 2 ⎮ λn λn L⌡ L⎣ λn ⎦ 0 L 0 La suma de estas dos da pues 1/λn = L/nπ. Para usar sus propiedades multiplicamos ambos lados de la ecuación 4..+ An ∫ Fn2 dz +. La tercera es idéntica a la primera multiplicada por la constante −θ0 y nos da −2θ0/nπ pues cos(nπ) es −1 para n impar y 1 para n par.218 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.20) obtenemos .20) Resolviendo el lado derecho da ∞ L 1 0 ∑ An ∫ Fn Fm ⋅ dz = 0+.+0 = An ⋅ ( L / 2) L 0 esto dado que la propiedad de ortogonalidad de estas funciones propias se expresa así L ∫ sen( λn z) sen( λm z) ⋅ dz = { 0 0 si n es diferente de m L / 2 si n es igual a m puesto que la integral de normalización L 1 ⌠ 1 − cos( 2λn z ) N = ∫ sen (λn z ) ⋅ dz = ⎮ ⋅ dz = λn ⌡ 2 2 0 L L 2 0 El lado izquierdo de (4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Tenemos pues que F(z) se puede expresar como una combinación lineal infinita de funciones sen(nπz/L) las cuales.19 por Fm = sen( λm z) e integramos de 0 hasta L: L ∞ [∫ (1 − z L) − θ0 ] Fm ( z) ⋅ dz = ⌠⎮⌡ ∑ An Fn Fm dz 0 1 L 0 Invirtiendo el orden de la suma y la integral tendremos L ∞ L 0 1 0 ∫ [(1 − z L) − θ0 ] sen(λm z)dz = ∑ An ∫ sen(λn z) sen(λm z)dz (4.. son las funciones propias de un problema de Sturm Liouville y por tanto forman un sistema ortogonal en la región 0 ≤ z ≤ L. Al despejar An de la ecuación (4. como ya se vio.. vx V . y que vy = vz = 0. se obtiene (flujo de Couette): ⎡ ∂ vx ⎤ µ ⎡ ∂ 2 vx ⎤ ⎢ ∂ t ⎥ = ρ ⎢ ∂ z2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4. sabiendo que vx es solo función de z. Las ecuaciones diferenciales resultantes para el problema análogo de transferencia de materia. Transporte de masa y/o cantidad de movimiento. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2 ⎡ L 2θ 0 L ⎤ − = (2 / nπ )[1 − 2θ 0 ] L ⎢⎣ nπ nπ ⎥⎦ Así la solución de este problema de conducción de calor dependiente del tiempo es: An = ∞ ∞ 1 1 ⎡ ⎛ nπ z ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ n 2 π 2α t ⎞ ⎤ ⎛ 2 ⎞ ⎟⎥ ⎟ [1 − 2θ0 ]⎢sen⎜ ⎟ ⎥ ⎢exp⎜ − ⎝ nπ ⎠ L2 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ L ⎠ ⎦⎣ ⎝ θt = ∑ An Fn Gn = ∑ ⎜ (4. Para el caso de transferencia de cantidad de movimiento x en su componente z. sin reacción química homogénea. y despreciando el término de arrastre o flujo global (o considerando contradifusión) ∂ cA ∂ 2cA = D AB (4.21) Y la solución completa θ = θ∞ − θt: ⎡ ⎛ nπ z ⎞⎤ ⎡ ⎛ n 2π 2α t ⎞⎤ T − T2 z ∞ ⎛ 2 ⎞ ⎟⎥ =1− − ∑⎜ ⎟[1 − 2θ 0 ]⎢ sen⎜ ⎟⎥ ⎢exp⎜⎜ − T1 − T2 L n=1 ⎝ nπ ⎠ L2 ⎟⎠⎦ ⎣ ⎝ L ⎠⎦ ⎣ ⎝ (4.24) Podemos hacer similitud entre los varios procesos de transporte usando las variables adimensionales: θH = T − T2 T1 − T2 θD = c A − c A2 c A1 − c A 2 θM = V es la velocidad de la placa inferior.219 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 4.2.2.23) ∂t ∂ z2 Denominada la segunda ley de Fick.22) El método usado para determinar An es llamado una expansión de la función θ(z) en una serie de senos de Fourier con coeficientes An. considerando gradiente de concentración solo en la dirección z. que no hay fuerzas de volumen sobre el fluido. la de flujo unidireccional. con z* = z/L es: ∞ [ ( )][ ( ⎛ 2 ⎞ * 2 2 ⎟[1 − 2θ 0 ] sen nπz exp − n π Fo n =1 ⎝ nπ ⎠ θ (ξ . con c.5 pie. ∂ cA ∂ 2cA = D AB ∂t ∂ z2 que en términos de la fracción molar de A: yA = cA/c. En el extremo izquierdo. Los extremos del tubo se encuentran inicialmente cerrados.1. con concentraciones constantes en los dos extremos y concentración inicial constante en toda la película. El diámetro interno de un tubo de estas características es 3. Fo ) = 1 − z * − ∑ ⎜ )] (4. Debemos notar que la transferencia de masa ocurrirá solamente en la dirección axial no habiendo gradientes ni en la dirección radial ni en la angular. aplicable a los tres procesos. Solución. Una estimación de la difusividad másica del He en aire a estas condiciones es DHe-Aire = 0. los extremos se abren. la concentración molar constante (presión y temperatura constantes) es: ∂ yA ∂ 2 yA = D AB ∂t ∂ z2 . Un tubo de diámetro nominal 3 pl. la corriente tiene 10% (en volumen) de He mientras que en la derecha tiene 20%. La ecuación para este caso de difusión unidimensional transitoria con contradifusión equimolecular es la misma (4. FoH = αt 2 FoD = La solución general. Podemos suponer que el flujo mantiene estos valores constantes en los extremos del tubo.068 pl. sin generación a través de una película plana estancada de espesor L = 3 pies.7652x10-4 m2/s. y los extremos del tubo quedan en contacto con corrientes de mezclas de aire y helio a la misma temperatura y presión. use series de Fourier para calcular el perfil de composiciones (a cuatro decimales) después de que han transcurrido 600 y 3600 s. cédula 40. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento µt DAB t FoM = 2 2 L L ρL Este es un tiempo adimensional denominado número de Fourier (Fo).9652 pie2/h)..220 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y no hay efectos terminales asociados con las corrientes de los extremos del tubo. (2. con incrementos de espacio de 0.a) EJEMPLO 4. En el tiempo cero.2 K (44 °C).22. Si se mantienen las condiciones isotérmicas e isobáricas.23). de 3 pie de longitud contiene helio a una atm y 371. La situación es pues.. 10000 0.22) o la (4.10000 0.0 pie 1.22a) con θD = y A − y A2 y A1 − y A 2 será la solución. 600.0000 1.2000 0.1500 2. Tiempo. Observamos que la situación es idéntica a la planteada para la ecuación (4.5 pie 1.1000 0.2043 0.1833 3. ya sea explícito como totalmente implícito.7767 0.0000 0.0 pie 1. Resultados: Fracción Molar yA como función de la distancia z.0000 0. ∞ 0 pie 1.1376 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento con condición inicial yA = yA0 para t = 0.2000 0. y condiciones límite yA = yA1 para z = 0 : yA = yA2 para z = L. teniendo en cuenta que se trata de funciones trigonométricas de números reales por lo cual los cálculos deben hacerse en radianes.1167 1.0000 0.0 s. Reemplazando los valores numéricos.2000 0.0000 0.7087 0.1000 0.1333 1.Nicolson se obtienen buenas aproximaciones.0000 1.0000 0.0 pie 1.0000 0.4373 0.1667 2.5 pie 1.0000 1.4977 0. s 0.1696 0. obtenemos la siguiente tabla de resultados. Con estos ajustes la ecuación (4.5 pie 1.2030 0.0000 0. o el intermedio de Crank .221 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.0.0 3600.0000 1. 1.0 s.0000 1.6816 0.1919 0.5) intercambiando T por yA y las difusividades térmica y másica α por DAB. .2000 Es de anotar que usando métodos numéricos tales como diferencia finita. Distribución inicial no uniforme.t) = F”(z)G(t) Reemplazando en (1) F”(z)G(t) = (1/α)F(z)G’(t). ∂ 2T 1 ∂T = Ecuación de Fourier ∂z 2 α ∂t Condición inicial: t = 0. θ(z. z = 0. T = T2.K. pueden tratarse con el mismo tipo de solución analítica o numérica.2. z = L. T = T0(z) = T1 + (TS – T1)(z/L) Condiciones límite: z = 0. F’(z) = C2cos(λz) – C3sen(λz) .t) = F(z)G’(t). ∂θ/∂z = 0. F ( z ) αG (t ) G(t) = C1exp(-αλ2t) F(z) = C2sen(λz) + C3cos(λz). Dividiendo por F(z)G(t) F " ( z ) G' (t ) = = −λ2 .222 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.K . Tome las siguientes propiedades para el metal: ρ = 7820 kg/m3.t) = F’(z)G(t). Calcule el perfil de temperatura después de 0. radiación ni convección.27 Ms. Cambio de variable para homogenizar la segunda condición límite: θ = T – T2 ⇒ ∂ 2θ 1 ∂θ = . Estado transitorio unidimensional sin generación. z = L. Los lados y el otro extremo de la barra se mantienen aislados. TS = 600 °C. L = 1m. CP = 465 J/kg. ∂T/∂z = 0. T1 = 300°C. descritos por modelos matemáticos análogos. La constante de separación λ. T2 = 100 °C. EJEMPLO 4. θ’z(z. θ”z(z. Se calienta una barra de acero de 1 m de longitud hasta que la barra tiene un gradiente lineal que va desde 300 °C en un extremo hasta 600 °C en el otro. k = 16 W/m. Solución analítica. (Sugerencia: debido a que los lados y un extremo están aislados es posible considerar a la barra como la mitad de una placa plana con el extremo de 600 °C en la superficie de la placa).t) = F(z)G(t) θ’t(z. La temperatura en el extremo de 600 °C disminuye súbitamente hasta 100 °C. θ = 0 ∂z 2 α ∂t (1) Por separación de variables. es un número real. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Debemos resaltar el hecho de que dos fenómenos físicos diferentes. F(L) = C3cos(λL) = 0 ⇒ λn = [(2n – 1)π/2L] Función propia cos(λz).0) = ∑ An [cos(λ n z )] = θ 0 = T0 − T2 = T1 + (TS − T1 ) z L − T2 1 Para hacer uso de las propiedades de ortogonalidad de las funciones propias multiplicamos ambos lados por cos(λz) e integramos entre 0 y L. hacemos uso de la condición inicial: [ ∞ ( ) ] θ ( z. La solución general será θ ( z. t ) = T2 + ∑ ⎢ (TS − T2 )⎜⎜ cos(λ n z ) exp − λ2αt 2 2 ⎥ ⎟ ( ) − π 2 n 1 1 ⎢ ⎝ ⎠ (2n − 1) π ⎥⎦ ⎣ ∞ ( ) .223 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. t ) = ∑ An Fn Gn = ∑ An [cos(λ n z )][exp(− λ2n α t )] ∞ ∞ 1 1 (2) Para determinar An que engloba C1 y C3. De la otra condición límite. ⇒ C2 = 0. intercambiando la sumatoria y la integral donde es preciso. valores propios λn. Obtenemos ∫ [T + (T L 0 1 S ( L) − T ]cos(λ z )dz = A ∫ [cos (λ z )]dz − T1 ) z L 2 n n 0 2 (3) n (TS − T1 ) L ⎡ − 1 (− 1)n −1 ⎤ ( ) ( ) λ cos z z dz T T = − + ∫ ⎥ n S 1 ⎢ 2 λ n ⎥⎦ 0 ⎢⎣ Lλ n L (T1 − T2 )∫ cos(λz )dz =(T1 − T2 )⎡⎢(− 1) λ ⎤⎥ n⎦ 0 ⎣ n −1 L ∫ cos 2 (λ n z )dz = L / 2 L 0 Reemplazando en (3) y reorganizando: n −1 n −1 8(T − T ) 2 ⎡ (− 1) (TS − T2 ) (TS − T1 ) ⎤ (− 1) 4 (TS − T2 ) − S 2 1 2 − An = ⎢ ⎥= 2 λn L ⎢⎣ (2n − 1) π Lλ n ⎥⎦ (2n − 1) π Reemplazando en (2) ⎡4 ⎛ (− 1)n−1 ⎞ 8(TS − T1 ) ⎤ ⎟− T ( z. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Como F’(z) = 0 para z = 0. En el resto de los casos la aproximación con el primer término de la serie fue exacta hasta la sexta cifra decimal o superior.6 134.8 137.0 T1 375 301.005) aún afecta la tercera cifra decimal.3. en toda la placa. A5 = 67. Así para estimar un máximo de temperatura (383.6. A2 = − 239.9 126.8 T3 525 184. o la relación entre el contenido promedio de humedad de la placa y la duración del secado. Para propósitos de aná0lisis puede suponerse que los extremos delgados de la placa están sellados a la transferencia. Esta serie converge lentamente para valores de Fo menores que 0.7 221. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Dando valores numéricos A1 = 393. por ejemplo. ∆t 0 1 2 3 4 5 t [h] 0 15 30 45 60 75 T0 300 317.4°C) que se presenta en el extremo aislado al cabo de 18600 s (5. A6 = −59.8 212. donde es necesario conocer la distribución de la humedad en la placa como una función de la posición y el tiempo.88.1. En los valores encontrados para t = 54000 s (15 h) se debió tener en cuenta el segundo sumando. es decir para tiempos menores que 46000 s.9 114. difusión ocurriendo solo normal a las dos superficies mayores las cuales son permeables al soluto A.7 186. 23. A3 = 117.53. el cuarto sumando (−0.4 108. concentración constante cAS en las dos superficies mayores.45. TRANSFORMADA DE LAPLACE.17 h). A7 = 47. Se toma el origen de coordenadas en el plano central o de simetría el cual tiene área S normal a z. en operaciones de secado de materiales coloidales o gelatinosos.224 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. propiedades físicas constantes. .4 T2 450 255. En forma alterna.7 114. El problema de la difusión transitoria en una placa es de importancia.5 162.3.2. la placa o losa puede imaginarse lo suficientemente delgada como para que los efectos de borde puedan despreciarse y tendremos difusión a través de dos caras opuestas. 4.9 146. Difusión transitoria en una placa simétrica.8 167.7 121.6 125.1 147.0 T4 600 100 100 100 100 100 4.8 119. A4 = −95. Consideremos concentración inicial uniforme en cA0. t = 0. ∂cA/∂z = 0. cualquier t.26) Condiciones límite: z = a. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La ecuación (2. La ecuación (4. En el plano intermedio siempre habrá un máximo (o mínimo) de concentraciones. ∂Y/∂z = 0 La última de las condiciones de frontera surge del hecho de la simetría del sistema.26) podría resolverse por el método de separación de variables de forma análoga al problema anterior. cA = cAS.25) Haciendo Y = (cA − cAS) ∂Y ∂ 2Y = D AB ∂t ∂ z2 (4. Estos resultados son útiles para tiempos largos de difusión ya que la serie converge rápidamente en tales condiciones. z = 0. Y = Y0 cualquier t. Y = 0 Cualquier z. Este da resultados útiles para pequeños tiempos de difusión (Fo < 0. Un método alterno de solución lo da el uso de la transformada de Laplace.23) se reduce a ∂ cA ∂ 2 cA = D AB ∂t ∂ z2 (4. La ecuación (4. Esta condición equivale también a que no haya flujo a través de tal plano.24) Puesto que ser trata de difusión en sólidos.23) NAZ = JAZ + c A v Z* ≈ J AZ (4.2). es decir que estuviese sellado a la transferencia. . cA = cA0.24a) en concentraciones molares y sin generación es: ∇N A + ∂c A =0 ∂t Teniendo presente que solo hay gradientes en la dirección z ∂ c A ∂ N Az + =0 ∂t ∂z (4.225 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. t) con respecto a t es definida por: f ( z.26) con respecto a t: ⎡ ∂ 2Y ⎤ ⎡∂ Y ⎤ Lt ⎢ ⎥ = pY − Yo = DAB Lt ⎢ 2 ⎥ ⎣ ∂t ⎦ ⎣∂ z ⎦ (4.0) ⎣ ∂t ⎦ (4.30) aquí p se mira como un parámetro. p ) = Lt [ f ( z.29) Y d 2Y pY − =− o 2 D AB D AB dz (4. p) Reorganizando (4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Como ya vimos. que para satisfacer la ecuación original debe cumplir 0− Y pC = − o ⇒ C = − Y0/p DAB DAB La solución general es la suma de ambas . t )dt ∞ 0 (4. t )⎤ ∂ f (z. p ) − f (z. t )] = Y ( z.28) ⎡ ∂ f (z. Esta ecuación diferencial ordinaria no homogénea tiene por solución la suma de la homogénea y la particular. p ) Lt ⎢ ⎥= ∂z ⎣ ∂z ⎦ (4.226 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La primera es de las mismas características de la ecuación de la aleta.27) El subíndice t denota transformación con respecto a t. t )⎤ Lt ⎢ ⎥ = p f (z.29) Y = Lt [Y ( z.28a) Hemos supuesto que el orden de diferenciación y de integración con respecto a z pueden intercambiarse. La segunda será una constante C. para una función f(z. Tomando transformadas de Laplace a ambos lados de la ecuación (4. Las propiedades de la transformadas de Laplace que más nos interesan para el problema son: ⎡ ∂ f ( z.t) de dos variables independientes z e t. t )] = ∫ exp(− pt ) f (z. la transformada de Laplace (parcial) de f(z. por ejemplo.32): ∞ [1 + exp(− 2ma)]−1 = ∑ (− 1)n exp(− 2nma) n =0 por lo cual ∞ ⎡ 1 ∞ (− 1)n (− 1)n exp{− m[(2n + 1)a + z ]}⎤ Y = Yo ⎢ − ∑ exp{− m[(2n + 1)a − z ]} − ∑ ⎥ p n=0 ⎣ p n=0 p ⎦ La transformada inversa de cada término en estas dos series se encuentra en tablas.227 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. dY = −C1m exp(− mz ) + C 2 m exp(mz ) = 0 dz entonces C1 = C2 ahora para z = a Y = C1 [exp(− mz ) + exp(mz )] + o sea: Y =− Yo p Yo − Y0 = 0 ⇒ C1 = p p[exp(−ma) + exp(ma)] ⎡ exp(− mz ) + exp(mz ) ⎤ Yo ⎢ exp(− ma ) + exp(ma ) ⎥ + p ⎣ ⎦ Dividiendo numerador y denominador por exp(ma): Y =− Yo ⎡ exp[− m(a + z )] + exp[− m(a − z )]⎤ Y ⎥+ p p ⎢⎣ exp(− 2ma ) + 1 ⎦ (4.31) condiciones límite para z = 0.2 p. el ítem 8 en la tabla de transformadas de Laplace dada por Crank tabla 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Yo p Y = C1 exp(− mz ) + C2 exp(mz ) + con m2 = p/DAB (4. El resultado puede escribirse como: .32) El n – ésimo polinomio de Taylor en x0 = 0 o fórmula de Maclaurin de la función 1/(1 + x) es 1 = 1 − x + x2 − x3 + 1+ x + (− 1) n −1 ∞ x n−1 = ∑ (− 1) x n n 0 aplicándolo al denominador del término entre paréntesis de la ecuación (4. 327 o item 83 p.316 de Mickley Sherwood y Reed. 8920 c AS − c A0 y cuando Fo = 0. una solución que converge más rápidamente es obtenida por el método de separación de variables: n ⎡ − D AB (2n + 1)2 π 2t ⎤ c A − c As 4 ∞ (− 1) ⎡ (2n + 1)π z ⎤ = ∑ cos ⎢ exp ⎢ ⎥ ⎥⎦ 4a 2 c Ao − c As π 0 2n + 1 2a ⎣ ⎣ ⎦ (4. valores de Fo = DABt/a2 > 0.2. cuando Fo = 1: c A − c A0 = 0.228 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.25 c A − c A0 = 0.0678 + 0. en el momento t será: ⎡∂ c ⎤ 2SN AS (t ) = −2SDAB ⎢ A ⎥ = m AS (t ) ⎣ ∂ z ⎦ z =a .3145 c AS − c A0 Para valores de Fo = DABt/a2 > 0. También se usa la llamada función complementaria de error: ∞ 2 erfc( x) = 1 − erf ( x) = ⌠ exp(− β 2 )dβ ⎮ ⌡ π x La serie (4. Por ejemplo.0001 = 0.34) La velocidad de transferencia de materia a través de la superficie de la placa. para la concentración en el centro. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ∞ c A − c Ao (2n + 1)a − z + ∞ (− 1)n erfc (2n + 1)a + z n = ∑ (− 1) erfc ∑ c AS − c Ao n=0 2 D AB t 2 D AB t n =0 (4.33) Aquí erfc es la abreviatura para función complementaria de error. erf(0) = 0.9590 − 0.0008 = 0. z = 0 .2.3146 − 0. Definimos la función de error como x ∞ 0 0 2 π 2 erf ( x) = ⌠ exp(− β 2 )dβ y dado que ⌠ ⎮ ⎮ exp(− β )dβ = 2 ⌡ π ⌡ se sigue que erf(∞) = 1 .33) converge rápidamente para todos menos. erf(−x) = −erf(x) . 5 ⎥⎦ ⎝ a ⎠ ⎣π n =1 (4.229 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.36) Algunas veces se encuentra difusión en una placa en la que las dos caras opuestas se mantienen a sus respectivamente constantes pero diferentes concentraciones cA1 y cA2.5 + 2∑ (− 1) ierfc c Ao − c AS (DABt )0.22) ó (4.. El interior de la placa se encontraba inicialmente a concentración cA0. x i 0 erfc( x) = erfc( x) integrando por partes obtenemos i 1erfc ( x ) = ierfc ( x) = ( exp − x 2 π ) − xerfc( x) La expresión correspondiente para valores grandes de Fourier c Am − c Ao c − c As 8 = 1 − Am = 1− 2 c As − c Ao c Ao − c As π ⎡ − D AB (2n + 1)2 π 2 t ⎤ 1 exp ⎥ ∑0 (2n + 1)2 ⎢ 4a 2 ⎣ ⎦ ∞ (4.35) En problemas de conducción de calor y transferencia de masa difusional.5 ∞ c Ao − c Am na ⎤ ⎛D t⎞ ⎡ 1 n = 2⎜ AB2 ⎟ ⎢ 0. La extracción promedio desde la placa puede definirse como la relación entre lo que se ha extraído y lo máximo que se podría extraer: c A0 − c Am m At = c A0 − c AS 2aS (c A0 − c AS ) La expresión pues para la concentración promedio cA a través de la placa en el tiempo t es: 0 . La distribución de concentraciones está dada por la ecuación (4. son importantes las integrales repetidas de la función de error. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La masa total transferida hasta el tiempo t: m At = ∫ m AS (t )dt = (c Ao − c Am )(S )(2a ) t 0 Donde cAm es la concentración promedio a través de toda la placa en el instante t.22a). 2.. La concentración promedio en cualquier tiempo .. 3. Es el caso de difusión a través de una membrana. Escribimos: ∞ i n erfc ( x) = ∫ i n −1erfc( β )dβ n = 1. y despreciando el término de arrastre cAvr*. El gradiente de concentración ∂cA/∂z es cero en una superficie impermeable.230 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 4.37) . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento c Ao c Ao − c Am 8 = 1− 2 − 0. DIFUSION EN ESTADO TRANSITORIO EN UN CILINDRO. La difusión puede ocurrir a través de sólo una de las superficies mayores de una placa. La ecuación (2. lo que ocurriría también si el cilindro fuera de longitud infinita.28a) escrita en términos molares ∂c A = Φ *A ∂t Escrita en coordenadas cilíndricas con ayuda de (2. Esta situación surge por ejemplo en los secadores de bandejas.5(c A1 − c A 2 ) π ⎡ − D AB (2n + 1)2 π 2 t ⎤ 1 exp ⎢ ⎥ ∑ 2 4a 2 n = 0 (2n + 1) ⎣ ⎦ ∞ (4. O sea que la cara impermeable equivale al plano medio de la placa y por lo tanto la solución para el caso de la difusión simétrica se aplica en esta ocasión en la superficie permeable en z = a y la impermeable en z = 0. siendo la otra impermeable a la transferencia.31) ∇N A + (2.2.6). Para cálculos rápidos esta función como las de esferas y cilindros se hallan graficadas por Newman (Figura 4.28a’) ⎡1 ∂ (rN Ar ) + 1 ∂N Aθ + ∂N Az ⎤⎥ ∇ ⋅ NA = ⎢ r ∂θ ∂z ⎦ ⎣ r ∂r teniendo presente que NAθ y NAz son cero. lo que coincide también para el plano central de la placa estudiada anteriormente. no hay reacción. (2. Se sellan los extremos planos del cilindro para que la difusión ocurra sólo en dirección radial. 4.3.36a) Donde 2a = b es el espesor de la placa.28a’)se reduce a: ⎡∂ 2c ∂ cA 1 ∂ cA ⎤ = D AB ⎢ 2A + ⎥ ∂t r ∂r ⎦ ⎣ ∂r cA = cA0 cA = cAS ∂cA/∂r = 0 para t = 0 todo t todo t todo r r=R r=0 (4.4. Difusión a través de una sola superficie de una placa. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Haciendo θ = c A − c AS c A0 − c AS ⎡ ∂ 2θ 1 ∂θ ⎤ ∂θ = DAB ⎢ 2 + r ∂ r ⎥⎦ ∂t ⎣∂ r (4. 1960. donde J0(λnr) es una serie denominada función de Bessel de primera clase y orden cero. λ numero real. R 0 J1 es una función de Bessel de primera clase y orden uno. 328 . ⎥ DABG dt F ⎣ dr r dr ⎦ 1 Resultan dos ecuaciones diferenciales ordinarias. t ) = c A − c As 2 ∞ J (λ r ) = ∑ 0 n exp − D AB λ2n t c Ao − c As R n=1 λn J 1 (λn R ) ( Para la concentración promedio en el tiempo t: θ m (t ) = 1 R ∫ θ (r . Al reemplazar en (4. Engineering Analysis.38) . Las constantes λn deben satisfacer J0(λnR) = 0. t )2πrdr πR 2 0 ) (4.t) = F(r)·G(t).330): 2 2 ∫ rJ 0 (λn r )J 0 (λm r )dr = 12 R J1 (λn R ) si m = n y cero en los otros casos.231 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. La que es función de la posición radial es una ecuación de Bessel de orden cero. Los coeficientes An se determinan a partir de las condiciones iniciales y las propiedades de ortogonalidad de las funciones propias (Li Wen Hsiung. R ⎛ ⎞ Por definición ⌠ ⎮ rJ 0 (λn r )dr = ⎜ R λ ⎟ J1 (λn R ) ⌡ ⎝ n⎠ 0 Combinando las soluciones anteriores obtenemos θ (r . pp. Prentice Hall.37a) θ = 0 en r = R.37a) y reorganizar dG 1 ⎡ d 2 F 1 dF ⎤ = ⎢ 2 + = −λ2 . Para las condiciones límite (∂θ/∂r)r=0 = 0 = (dF/dr)r=0 y θ = 0 = F en r = R la solución particular es F = ∑AnJ0(λnr). θ = 1 en t = 0 y ∂θ/∂r = 0 en r = 0 Seguimos el procedimiento convencional para la separación de variables asumiendo que existe una solución de la forma θ(r. 83171 7.82693 .40941 7.95982 6.49779 8.63938 11.01559 10. ρss. J p (x) ≈ o sea ∞ J0 ( x) = ∑ ( −1) k ( x 2 )2 k k =0 ( 2 cos x − π 4 − pπ 2 πx ) ( k !)2 y si x → 0. Si no se dispone del programa que genera estos valores.79595 17.41724 11.61597 20. WA = wA 1− w A wA = WA 1+ WA Las cantidades J0 y J1 son funciones de Bessel de primera clase y orden cero y uno respectivamente. puede considerarse constante.93092 p=0 (4n – 1)(π / 4) 2.40483 5.37254 17.79153 14.52008 8.6. para p cero o un entero positivo.78097 14. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento c Am − c Ao c − c As 4 = 1 − Am = 1− 2 c As − c Ao c Ao − c As R ∞ 1 ∑λ n =1 2 n ( exp − D AB λ2n t ) (4.35619 5.65373 11.38016 9.13562 8. Para la última igualdad se supone que el volumen del sólido no se altera durante el proceso y por tal la densidad del sólido seco. c Ao − c As ρ Ao − ρ As y Ao − y As WAo − WAs WA = relación en peso de A en el sólido = masa de humedad/masa sólido seco.06471 14.47063 5. J 0 (0) = 1 J p (x) ≈ xp 2 p p! además J 0 ( x ) ≈ 0 para x ≅ (4n − 1)(π/4) con x suficientemente grande.92257 p=1 p=2 p=3 p=4 3. . diferente de la fracción en peso wA.61984 14. La función Bessel de primera clase de orden p se define. y basta dividir numerador y denominador del segundo término por ρss.76102 13. Damos a continuación algunos valores de las raíces de J p ( x ) = 0 .22346 19.58834 11.39) Podemos usar otras unidades de concentración: c Am − c As ρ Am − ρ As y Am − y As WAm − WAs = = = = Ei de la figura 4. se pueden buscar tabulados. por la serie ( −1) k ( x 2 )2 k + p J p(x) = ∑ k = 0 k !( k + p )! ∞ Si x → ∞.32369 16.01520 16.232 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Orden Raíz 1 2 3 4 5 p=0 2.17347 13. T = T0.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Problemas de conducción radial en cuerpos esféricos pueden reducirse a problemas de flujo lineal en placas haciendo la transformación u = Tr. r = R. obtenemos: ∂θ ∂ 2θ =α ∂t ∂ r2 θ0 = 0 θ = YsR = θs 0≤r≤R r=R t=0 t > 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 233 4.5. Un balance térmico. 4.1. ESFERA. T = TS ⎥⎥ ⎢r ∂t ⎣ r ∂ r ⎣ ∂ r ⎦⎦ ó haciendo Y = T − T0 ⎡∂ 2 Y 2 ∂ Y ⎤ ∂Y = α⎢ 2 + ⎥ ∂t r ∂r⎦ ⎣∂ r Condiciones de frontera : T0 − To = Y0 = 0 0≤r≤R t=0 Condición inicial Y = Ys = TS − T0 r=R t>0 Condición de borde Haciendo θ = Y⋅r.5. Para t > 0 la temperatura en la superficie se mantiene a una temperatura constante Ts > To. . la ecuación gobernante ⎡ 1 ∂ ⎡ 2 ∂ T ⎤⎤ ∂T ρ Cp = k⎢ 2 t = 0. Esfera con temperatura inicial constante. sin generación escrito en coordenadas esféricas y sabiendo que T sólo depende de r. Consideremos un cuerpo esférico de radio R con temperatura inicial constante To y sin fuentes de calor. θ = 0 en r=0 La solución es: − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ θ = C1 exp ⎢− r p α ⎥ + C2 exp ⎢r p α ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y al evaluar las constantes: ⎡ ⎤ senh⎢r p ⎥ α θ ⎣ ⎦ θ = s p ⎡ ⎤ senh⎢ R p ⎥ α⎦ ⎣ La transformada inversa es: ⎡ ⎤ senh⎢r p ⎥ α RY S ⎣ ⎦ Y = pr ⎡ ⎤ senh⎢ R p ⎥ α⎦ ⎣ T − To R ∞ ⎡ [(2n + 1)R + r ] − erf [(2n + 1)R − r ]⎤ = ∑ ⎢erf Ts − To r n=0 ⎣ (4α t )12 (4α t )12 ⎥⎦ (4. respectivamente TC − T0 R = TS − T0 απt ∞ ⎛ (2n + 1)2 R 2 ⎞ ⎛ αn 2π 2t ⎞ n ⎜ ⎟ ⎜⎜ − ⎟ ( ) − = + − 1 2 1 exp exp ∑ ∑ ⎜ ⎟ 4αt R 2 ⎟⎠ n=0 n =1 ⎝ ⎝ ⎠ ∞ La temperatura promedio de la esfera Tm en cualquier tiempo será: Tm − T0 6 αt 3αt 12 αt = − + TS − T0 R π R 2 R 6 ⎛ nR ⎞ ierfc⎜ ⎟ = 1− 2 ∑ π ⎝ αt ⎠ n =1 ∞ ⎛ αn 2π 2t ⎞ 1 ⎜⎜ − ⎟ exp ∑ 2 R 2 ⎟⎠ n =1 n ⎝ ∞ El contenido de calor de la esfera en cualquier instante es (4/3)πR3ρCPTm.40b) La temperatura TC en el centro. dada por el límite cuando r → 0. . El contenido inicial de calor en exceso. es. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La transformada de Laplace y las condiciones límite son d 2θ p − θ =0 dr 2 a _ _ θ = θs/p en r = R . de la esfera es Qo = (4/3)πR3ρCP(T0 − TS).40a) Por el método de separación de variables obtenemos n ⎡ − αn 2π 2t ⎤ 2 R ∞ (− 1) 1 T − T0 ⎡ nπ r ⎤ = 1+ exp⎢ sen⎢ ∑ ⎥ 2 TS − T0 π n=1 n r ⎣ R ⎥⎦ ⎣ R ⎦ (4.234 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la difusividad molecular se .40c) Esta converge rápidamente sólo para altos valores de Fo = DABt/R2 (ó αt/R2 si es transferencia de calor).41) puesto que la velocidad instantánea de flujo a través de la superficie es mA(t) = −4πR2DAB(∂cA/∂r)r=R y el total transferido hasta el tiempo t es ∫tmA(t)dt = (4/3)πR3(cAm − cA0) donde cAm es la concentración promedia en la esfera en el instante t. La concentración promedio con el tiempo es: c Am − c Ao 6 = 1− 2 c As − c Ao π ⎡ − D AB n 2 π 2 t ⎤ 1 ∑ ⎥ 2 exp ⎢ R2 n =1 n ⎦ ⎣ ∞ (4. Se reemplaza entonces el diafragma y los gases de cada mitad del cilindro son bien mezclados y analizados.6. pero resuelta por separación de variables es: c A − c As 2 R ∞ ( − 1) = ∑ π n =1 n c Ao − c As n +1 ⎡ − D AB n 2 π 2 t ⎤ 1 ⎡nπ r ⎤ sen ⎢ ⎥ ⎥ exp ⎢ r R2 ⎣ R ⎦ ⎦ ⎣ (4. En ausencia de efectos convectivos.41a) 4. se remueve repentinamente y se permite que los gases se mezclen durante un tiempo medido. INTERDIFUSION DE DOS GASES. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El flujo de calor hacia o desde la esfera es el flujo de calor a través de la superficie en r = R: ⎡∂ T ⎤ Q = −4π R 2 k ⎢ ⎥ ⎣ ∂ r ⎦ r =R La situación análoga en transferencia de masa. La difusividad para una mezcla binaria gaseosa se ha obtenido experimentalmente midiendo la velocidad de interdifusión de dos gases originalmente confinados en los dos extremos de un cilindro hueco. Cuando r ⇒ 0. Un diafragma delgado que separa los gases en el centro. Una expresión que converge rápidamente para bajos valores de Fo: ∞ c Am − c Ao DAB t ⎡ 1 nR ⎤ D t =6 + ierfc 2 ⎢ ⎥ − 3 AB2 ∑ 2 c As − c Ao R ⎣⎢ π R DAB t ⎥⎦ n =1 (4. {[sen(nπr/R)]/r} ⇒ nπ/R aplicando L’Hopital.235 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Usando presiones parciales como medida de concentración: ∂ pA ∂ 2 pA = D AB ∂t ∂ z2 (4. NAz = − NBz. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento obtiene comparando los resultados con una solución de la ecuación diferencial básica. es decir. Según la descripción de la situación. N Az = J Az + y A ( N Az + N Bz ) ∂t ∂z yA = fracción molar de A.43) La constante desaparece en la diferenciación y (4.42) Para sustituir pA por una variable que varíe de 1 a 0 mientras t aumenta de cero a infinito.42) queda: ∂X ∂ 2X = D AB ∂t ∂ z2 (4. consideramos que si las dos mitades del cilindro son iguales.44) . Por lo tanto tenemos: ∂ c A ∂ N Az + = 0 . pA variará entre P y P/2. Escogemos una nueva variable X. Partiendo de (2.236 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.28a’) ∂ cA + ∇N A = Φ A ∂t (2. tal que: 1⎤ ⎡p X = 2⎢ A − ⎥ ⎣ P 2⎦ (4. Así que finalmente llegamos a la expresión: ∂ cA ∂ 2 cA = DAB ∂t ∂ z2 Sabemos que cA = pA/ℜT . es claro que habrá contradifusión equimolecular pues la presión total sobre el sistema y su temperatura permanecen constantes.28a’) no hay reacción química homogénea y siendo el cilindro suficientemente estrecho podemos aceptar que sólo hay difusión en la dirección axial. donde pA es la presión parcial ejercida por el gas A en la mezcla: pA + pB = P. recordando la propiedad ortogonal de las funciones propias ∫ sen(λm z )sen(λn z )dz = 0 para m ≠ n: a 0 a ⌠ sen(λ z )dz = A a sen2 (λ z )dz ⎮ n n∫ n ⌡ 0 0 a ⎤ ⎡z 1 − cos(λn z )] = An ⎢ − sen(λn z ) cos(λn z )⎥ λn ⎦0 ⎣ 2 2λn 1 a 0 An = 4/[(2n − 1)π] La solución resultante es: .45) multiplicamos ambos lados por la función propia e integrando. 2a 2a (4.. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Siendo los gases puros y a la misma presión P en las dos mitades al comenzar.3.... cos(λa) = 0 y λn = (2n − 1)π/2a.5 P X = 0 0 ≤ z ≤ a todo t pA = 0. Si A está al lado derecho. Coloquemos el origen en el centro y hagamos que la longitud del cilindro sea 2a. . Aplicando la condición inicial 1 = A1sen πz 2a + A2 sen 3π z 5π z + A3 sen + .. las condiciones de frontera son: X=1 0≤z≤a t = 0 pA = P t = ∞ pA = 0. Como antes.2. por separación de variables obtenemos: ( ) X = C3 exp − λ2t [C1 cos (λz ) + C 2 sen (λz )] Como X = 0 en z = 0 ⇒ C1 = 0 De la última condición.5P X = 0 z = 0 todo t ∂X/∂z = 0 z = a Esta última indica que no habrá flujo a través de la pared ubicada en z = a.. entonces las concentraciones serán simétricas alrededor del punto medio y será necesario obtener una solución sólo para la mitad.237 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. con n = 1. . Si yAm representa la fracción de gas original que aún permanece en la mitad del cilindro. con helio en un compartimento y metano en el otro.5 hr para que la concentración media del helio baje a 0.3. 1a 1 1 a y Am = ∫ y A dz = + X dz 2 2a ∫0 a0 y Am = 1 4 + 2 π2 2 ⎡ ⎡⎛ π ⎞ 2 ⎤ 1 ⎤ ⎡ ⎛ π ⎞2 ⎤ 1 ⎡ ⎤ ⎛π ⎞ ⎢exp⎢⎜ − ⎟ Fo⎥ + exp⎢− 9⎜ ⎟ Fo⎥ + exp⎢− 25⎜ ⎟ Fo⎥ + . que en esas condiciones el plano de simetría está en z = a..43) X = (2yA − 1). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento X = 2 2 ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎛ π ⎞2 ⎤ πz 1 3π z 1 5π z 4 ⎡ ⎡⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ + . La situación encaja exactamente en el desarrollo seguido para obtener la ecuación (4. Solución.⎥ + exp ⎢− 25⎜ ⎟ Fo ⎥ sen + exp ⎢− 9⎜ ⎟ Fo ⎥ sen ⎢exp ⎢⎜ − ⎟ Fo ⎥ sen π ⎢⎣ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ 2a 3 2a 5 2a ⎝2⎠ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ Fo = DABt/a2 Esta expresión es idéntica a la que se obtiene para la difusión en una placa infinita enfriada (o calentada) desde sus caras si el origen de los ejes coordenados se coloca en una de sus caras de tal manera que la otra está en z = 2a.⎥ ⎝2⎠ ⎢⎣ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎥⎦ 9 ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 25 ⎢⎣ ⎥⎦ (4. exp(− b ) = ⎜ y Am − ⎟ 2 π 4 ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎝ a ⎠ . Si esto ocurre en un cilindro de 120 cm de longitud.46) Esta función puede usarse en la estimación del tiempo de residencia necesario para preparar una mezcla gaseosa en un cilindro a presión para obtener diversos grados de uniformidad. EJEMPLO 4. a presión total de 5 atm y 20 °C de temperatura.. b = ⎜ ⎟ ⎜ AB2 ⎟ . Un gas A llena inicialmente la cavidad del lado de la partición y un gas B el otro lado. O sea. calcule la difusividad para este sistema.238 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. se requieren 2.46).. 2 y Am = π2 ⎛ 1⎞ 1 4 ⎛π ⎞ ⎛ D t ⎞ + 2 exp(− b ) . De (4. Se remueve el separador y se permite que ocurra la difusión a temperatura y presión constantes.. Un procedimiento experimental común para la medición de la difusividad en sistemas gaseosos binarios emplea una cavidad cilíndrica dividida por una separación que puede removerse. Tomando solamente el primer término de la serie. sin convección tal como se especifica en la sección "Interdifusion de Gases".7 c0 en una mitad y aumente a 0.3 c0 en la otra.. 7793) = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎛ π 2 ⎞⎛ DABt ⎞ 8 ⎜⎜ ⎟⎟⎜ 2 ⎟ = ln 2 π (2 y Am − 1) ⎝ 4 ⎠⎝ a ⎠ . P = 5 atm.46) es: ⎡ − 9π 2 (0.36).5(0.infinito. Si repentinamente cambian las condiciones en esta superficie.1145)(2.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1312 cm2/s 4. se caracteriza por tener una sola superficie identificable.08 *10 ⎢ 4 ⎥⎥ 2 2 2 4 9 π 2 ⎣9 π a (60) ⎝ ⎠⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ Cantidad suficientemente pequeña como para justificar el que en el paso inicial hubiéramos tomado sólo el primer término de la serie en (4. Nuevamente la ecuación que describe transferencia unidimensional transitoria es: esta . ocurrirá transporte transitorio unidimensional al interior del sólido.6 (ó 4. Sherwood.675 cm2/s. Ea = 0.46).4 . D AB = 239 ⎤ 4a 2 ⎡ 8 ln ⎢ 2 ⎥ 2 π t ⎢⎣π (2 y Af − 1)⎥⎦ Los valores de los parámetros son: a = 60 cm . Otra geometría simple para la cual pueden hallarse soluciones analíticas es el sólido semi .46) con la ecuación (4.28 (de la gráfica) y DAB = 0. t = (2.112 cm2/s.5)(3600) ⎤ ⎡ 9π 2 ⎛ D AB t ⎞⎤ ⎤ 4 ⎡1 4 −13 − exp exp = ⎜ ⎟ ⎢ ⎢ ⎥ = 4. Para yAm = 0.7 Reemplazando obtenemos: DAB = 0.7.35) y (4. T = 293 K .1145 cm2/s El término siguiente de la expresión (4. DABt/a2 = 0. yAm= 0. .2 de Treybal) vale Ea = (2yAm − 1). Para cálculos rápidos comparando la ecuación (4. Dado que tal sólido se extiende hasta el infinito en todas menos una dirección.5)(3600)s . Corrigiéndola para las condiciones del experimento tenemos: DAB = (0.7769/0.675/5)(293/298)1. Pigford y Wilke dan un valor experimental para la difusividad Helio Metano a 298 K (DAB) = 0.7. observamos que la ordenada de la figura 4. EL SÓLIDO SEMI – INFINITO. Si analizamos la figura 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ∂T ∂ 2T =α si se trata de transferencia de calor. de la ecuación diferencial parcial que describe el fenómeno: α ∂ 2θ ∂ θ = ∂ z2 ∂ t (4. La solución para el caso 1 puede obtenerse reconociendo la existencia de una variable de similitud η. pero difieren en que en t2 el calor ha penetrado más profundamente en la pared que en t1. y exposición de la superficie a un fluido caracterizado por T∞ ≠ T0 y un coeficiente convectivo h. Son: temperatura constante en la superficie TS ≠ T0 . digamos η = z/ξ(t) . pero a la profundidad z2 sólo se alcanza después de un tiempo t2.0) = T0 y la condición límite interna será de la forma T(∞.240 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. En ese caso.t) = T0. y ∂t ∂ z2 ∂ cA ∂ 2c A = DAB para transferencia de masa. Si definimos ξ(t) de manera tal que: z1 ξ1 (t1 ) = z2 ξ2 (t 2 ) = ηp ambos puntos (y todos los puntos en los que se tiene TP o θP) como se muestra en la figura 4. ∂t ∂ z2 La condición inicial estará dada por T(z. Analicemos que la temperatura Tp correspondiente al punto θp se alcanza a la profundidad z1.8 coincidirán.47) . flujo constante de calor en la pared qS. Se usan principalmente las soluciones obtenidas para tres condiciones de superficie. mediante la cual la ecuación diferencial parcial. t) puede transformarse en una ecuación diferencial ordinaria expresada en términos de una sola variable de similitud. después de un tiempo t1.7 observamos que las curvas para θ contra z en t1 y t2 muestran similitud en la forma. y podemos preguntarnos si existe una variable. aplicadas instantáneamente para t = 0. que pueda unificar todas las curvas en una sola. involucrando dos variables independientes (z. Así parece que cada curva puede caracterizarse por un espesor de penetración ξ(t) diferente. 50) . donde: θ= T − T0 es la temperatura adimensional. TS − T0 Para determinar si la transformación es posible reemplazamos η en la ecuación diferencial usando la regla de la cadena : ∂ θ dθ dη dθ ⎡ z dξ ⎤ = = − ∂ t dη dt dη ⎢⎣ ξ 2 dt ⎥⎦ . reduciéndola a una ecuación diferencial ordinaria de la forma θ(η). pero si hacemos ξ dξ = constante = a α dt (4.241 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. ξ = (2aα t ) 1 2 La ecuación diferencial ordinaria (4.48) Esta ecuación todavía contiene t.47) se convierte en: α d 2θ z dθ dξ 2 2 = − 2 ξ dη ξ dη dt Usando la definición de η para eliminar z: d 2θ ηξ dξ dθ + ⋅ ⋅ =0 dη 2 α dt dη (4.48) se transforma en: d 2θ dθ =0 2 + aη dη dη (4.49) Como ξ = 0 en t = 0 (por principios físicos) ξ t 0 0 ∫ ξ dξ = aα ∫ dt . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento se podrán eliminar z y t. ∂ θ dθ dη dθ 1 = = ∂ z dη dz dη ξ ∂ 2θ ⎡ d ⎡ ∂ θ ⎤ ⎤ ∂ η ⎡ d 2θ 1 ⎤ 1 1 d 2θ =⎢ = = ⎥ ∂ z 2 ⎣ dη ⎢⎣ ∂ z ⎥⎦ ⎦ ∂ z ⎢⎣ dη 2 ξ ⎥⎦ ξ ξ 2 dη 2 La ecuación (4. Si se cambiase el límite inferior por otro valor se alteraría simplemente el valor de las constantes de integración. ln β = −η 2 + ln C1 ⇒ = C1 exp − η 2 dη dη β ( ) θ = C1 ∫ exp(− η 2 )dη + C2 η 0 Aquí se elige arbitrariamente el límite inferior de la integral indefinida.51) . que no puede resolverse en forma ilimitada. dη = (1/2) u−½ du. = −2ηdη . y por definición de la función Gama: ∞ Γ(α ) = ∫ u α −1 exp(− u )du 0 ∞ ∞ ⌠ π 1 ⌠ 12 −1 1 2 ⎮ exp − η dη = ⎮ u exp(− u )du = Γ( 1 2 ) = ⎮ 2⌡ 2 2 ⌡ 0 ( ) 0 entonces: θ= ⎡ z ⎤ T − T0 2 n 2 =1− ∫ exp − η dn = erfc(η ) = erfc⎢ 1/ 2 ⎥ TS − T0 π 0 ⎣ 2(αt ) ⎦ ( ) (4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento con: θ = 0 para η = ∞ θ=1 para η = 0 sí ξ = (4αt)½ haciendo a = 2 por conveniencia: Substituyendo dθ/dη por β se llega a una ecuación de primer orden de variables separables que se puede resolver para dar: dβ dβ dθ + 2ηβ = 0 . para evaluar el denominador hacemos u = η2 . no determinadas aún. Aplicando las condiciones límite se obtiene: 2 ∫ exp(− η )dη η C2 = 1 . C1 = − ∞ 1 2 ∫ exp(− η )dη ⇒ θ = 1 − ∞0 2 ∫ exp(− η )dη 0 o Este valor cambiará entre uno y cero según η cambie de cero a infinito.242 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Donde erfc(η) es la función complementaria de error. Significando por T0 la temperatura uniforme inicial del cuerpo y TS la temperatura a la que se somete su superficie a partir de t = 0. erfcη = 0. considerando como criterio el que L ≥ zp.5 % del cambio máximo total TS − T0. .9) = 0. De los valores de la función de error observamos que. erfη = 0. según nuestro modelo.0.243 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. sería infinita. Usando la ley de Fourier : qs = q z qs = qS = z =0 = −k ∂T ∂z = −k (Ts − To ) z =0 − k (Ts − To ) dT (4α t )1/ 2 dη k (TS − T0 ) παt n =0 dT dη dT dη = n =0 ⎡ dη ⎤ ⎢ dz ⎥⎦ n =0 ⎣ ( − 2 exp − η 2 π ) =− n =0 2 π (4. Sin embargo. Si definimos zP como la distancia a la cual el cambio de temperatura T − T0 es 0. Por esto.5.995. entonces zp = 4(αt)0. al reemplazarla en (4.52) La cantidad (παt)1/2 se toma con frecuencia como la profundidad de penetración (en lugar de zp = 2(4αt)1/2) por analogía con la expresión para la densidad de flujo de calor en placa plana en astado estable.20).005. Es de importancia calcular la velocidad de transporte dentro del medio.51) se encuentra que es la distancia a la cual la diferencia de temperatura ha disminuido al 20% de su valor total Ts − To (erfc(0. para determinar cuando el espesor de un objeto finito permite hacer el análisis de cuerpo semi − infinito. Esta cantidad se conoce como la profundidad de penetración y se toma como criterio para considerar un sólido real como semiinfinito. Como ejercicio solucionaremos este mismo caso usando el método de la transformada de Laplace. parece más conservador zP = 4(αt)½ que zp = (παt)½. Obsérvese que no podemos definir esta distancia como aquella a la cual T = T0 puesto que. para η = 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Método de Transformada de Laplace La ecuación a resolver es como antes ∂T ∂ 2T =α ∂t ∂ z2 Definiendo Y = T − TS.0) ⎣ ∂t ⎦ ⎡ ∂ f (z.53) se escribe como ⎡ d 2Y ⎤ ⎡ dY ⎤ Lt ⎢ ⎥ = Lt ⎢α 2 ⎥ ⎣ dt ⎦ ⎣ dz ⎦ Y d 2 Y pY Y − = − o . p ) = 0 . t )⎤ ∂ f (z. p ) = 0 2 p dz α α Yo . p ) = C1 exp(− m∞ ) + C2 exp(m∞ ) + Yo Y0 = ⇒ C2 = 0 p p . 0 ≤ z ≤ ∞ t >0. Y = 0. Y (∞. z = 0 . Y = Y0 = T0 − TS . m = (p/α)1/2 p Aplicando la segunda condición límite Y = C1 exp(− mz ) + C2 exp(mz ) + Y (∞. p ) − f (z. p ) Lt ⎢ ⎥= ∂z ⎣ ∂z ⎦ Usándolas la transformada de (4.53) Con las siguientes condiciones límite: t = 0.t )⎤ Lt ⎢ ⎥ = p f (z. con TS constante obtenemos ∂Y ∂ 2Y =α ∂t ∂ z2 (4. z = ∞ Recordemos las transformadas estándar implicadas ⎡ ∂ f ( z.244 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Y = Y0 . Y (0. según el caso. Esta condición límite sin embargo se aplica solamente en la circunstancia especial en la cual no hay resistencia en la superficie. cuyo recíproco es una medida de la resistencia a la transferencia de calor en la película externa. era conocida y constante. Para esto se usa la condición: qs = h(Ts . y la resistencia de la película vecina al sólido debe considerarse. p) = C1 exp(− m0) + Yo = 0 ⇒ C1 = − Y0/p p La solución será Y ( z .54) z= L Podría hacerse otro tanto en la superficie z = 0. si h tiende a infinito (Ts − T∞) tiende a cero. Pero si h tiende a cero. es decir. Así. En la práctica no es siempre esa la situación. Si la temperatura y los coeficientes convectivos de transferencia son iguales a ambos lados de la placa. para z = L −k ∂T ∂z = h(TL − T∞ ) (4. DIFUSIÓN Y CONDUCCIÓN NO ESTABLE CON CONVENCIÓN. En los casos anteriores se usaron como condiciones límite unas en las que la temperatura o la concentración. o Ts tiende a T∞. p ) 1 exp(− mz ) = − Y0 p p Aplicando la transformada inversa obtenemos T − TS ⎡ z ⎤ ⎡ z ⎤ = 1 − erfc ⎢ = erf ⎢ ⎥ ⎥ T0 − TS ⎣ 2 αt ⎦ ⎣ 2 αt ⎦ ver (4. cuando la temperatura en la superficie es igual a la temperatura del medio ambiente.245 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. qs tiende a cero y estamos en el caso de un aislador perfecto. y la distribución inicial .8. la solución se reduce a Y = C1 exp(− mz ) + Yo p Aplicando la otra condición límite Y (0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Ahora. La condición límite es pues.T∞) Donde qs es la densidad de flujo de calor en la superficie y h un coeficiente de transferencia de calor.51a) 4. su solución con el fenómeno convectivo será de la forma θ = θ(z∗.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Plantee una ecuación diferencial para el caso de una placa plana con generación en estado inestable intercambiando calor con un medio a T∞. Solución. en este caso el semiespesor de la placa. Aunque la ecuación diferencial parcial que describe el fenómeno no varía. Esta es una relación entre la resistencia a la conducción en el sólido (L/k) y la resistencia a la convección en la película externa (1/h).Fo. La ecuación (4. Su distribución de temperatura inicial es parabólica.54) y las condiciones límite quedan: −k − To − T∞ ∂ θ = h(TL − T∞ ) L ∂ z * z*=1 ∂θ + Biθ L = 0 ∂ z * z*=1 − ∂θ =0 ∂ z * z*=0 donde Bi = hL/k . z* = z/L θ= To − T∞ Donde T0 es la temperatura inicial uniforme de la placa y T∞ es la temperatura del medio adyacente a la cara en z = L. L es la longitud característica. La ecuación que modela este caso es nuevamente la ecuación: . Obsérvese que el número de Biot es aparentemente igual al número de Nusselt. la situación es simétrica y en el plano de simetría existirá un máximo o un mínimo. Tomando el origen en el plano central tendremos allí una condición límite de segunda especie (similar a un plano aislado): −k ∂T ∂z =0 z=0 Para adimensionalizar la condición límite debemos redefinir θ pues la temperatura de la superficie ya no es constante: T − T∞ . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 246 de temperaturas es uniforme. Bi es el número de Biot.Bi).4. pero difiere en forma fundamental pues Nusselt se basa en la conductividad del fluido en la película exterior y no en la conductividad del sólido. EJEMPLO 4. Sugerencia: Use el método de superposición para resolver la ecuación diferencial parcial resultante. (iv) absorción de radiación. Utilizando coordenadas rectangulares y sabiendo que solo existen gradientes de temperatura en la dirección z. (iii) descomposición radioactiva. o constante como se presenta en el calentamiento dieléctrico.t) + F(z). incluyéndose aquí situaciones tan diversas como el fraguado del cemento y la maduración de las manzanas. El calor puede generarse por (i) el paso de una corriente eléctrica. (vi) reacción química. z = L superficie convectiva ∂z Se resuelve la ecuación por el método de superposición para lo cual introducimos el siguiente cambio de variables: T = Ω(z. colocando el origen coordenado en el plano de simetría se obtiene el modelo matemático que describe esta situación: ∂ 2T Φ H 1 ∂T + = k α ∂t ∂z 2 (1) donde k: conductividad térmica [W/m. La ecuación (1) y sus condiciones límite toman la forma ∂ 2 Ω ∂ 2 F Φ H 1 ∂Ω = + 2 + k α ∂t ∂z ∂z 2 t = 0 : 0 ≤ z ≤ L . ∂T = 0 . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ρC p ∂T = k∇ 2 T + Φ H ∂t Los casos en los que se genera calor en un sólido tienen importantes aplicaciones técnicas. Ω = T0  F . −k ∂T = h(T − T∞ ) . z = 0 plano de simetría o superficie adiabática ∂z t>0 . Con las siguientes condiciones límite o de contorno: t>0 . entre otros.K]. (ii) Calentamiento dieléctrico o inductivo. (v) generación mecánica en flujo viscoso o plástico. α: difusividad térmica [m2/s]. 0 ≤ z ≤ L ⎝L⎠ ⎣⎢ ⎝ L ⎠ ⎦⎥ b = a + TS0 . El término de generación puede ser función de la temperatura y/o de la posición. T = T0 = a ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + TS 0 = b − a⎜ ⎟ . Condición inicial 2 ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ ⎛z⎞ t = 0 . TS0 es la temperatura inicial en la superficie.247 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 248 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Para ello se supone que existen dos funciones Θ(z) y G(t). −k(dF/dz)z = L = h(FL − Τ∞) ⎡ Φ H L2 ⎤ Φ Φ L ⎛ ΦH L ⎞ + C 2 − T∞ ⎥ F = H (L2 − z 2 ) + H + T∞ − k⎜ − ⎟ = h ⎢− 2k k ⎠ 2k h ⎝ ⎣ ⎦ (4) La función Ω(z. la primera función exclusiva de la posición y la segunda función exclusiva del tiempo. Integrando una vez: Φ dF = − H z + C1 dz k CL1: z = 0 . Integrando nuevamente ΦH z2 F =− + C2 2k CL2: z = L . − k⎢ ⎥ = h(Ω + F − T∞ ) ⎣ ∂z ∂z ⎦ Se puede decir: − k ∂Ω ∂z z=L = hΩ z = L . z = L . ∂Ω ∂F ∂Ω ∂F + = 0 que es satisfecha por = =0 ∂z ∂z ∂z ∂z ⎡ ∂Ω ∂F ⎤ + t > 0 . z=0 . dF/dz = 0 ⇒ C1 = 0. t ) = Θ( z ) * G (t ) Reemplazando en (3) y reorganizando se tiene 1 dG 1 d 2 Θ = = −γ 2 2 αG dt Θ dz . tales que: Ω( z . − k ∂F ∂z = h(FL − T∞ ) z=L ∂2F ΦH + =0 k ∂z 2 ∂ 2 Ω 1 ∂Ω = Esto implica ∂z 2 α ∂t Haciendo que F cumpla: (2) (3) F se obtiene mediante integración repetida de (2) y las constantes de integración se hallan a partir de las condiciones límite ya discutidas.t) se obtiene resolviendo (3) por separación de variables pues se trata de una ecuación diferencial parcial con condiciones de contorno homogéneas (permanecen idénticas al multiplicar por una constante la variable dependiente Ω). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento t>0 . dΩ/dz = 0 ⇒ dΘ/dz = 0 para solución no trivial. Condición límite 2: −k ∂Ω ∂z z=L = hΩ z = L ⇒ − k ∂Θ ∂z z=L = hΘ z = L ya que G no depende de z.249 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. De otra parte este valor es lógico pues la temperatura debe tener un valor finto cuando t aumenta indefinidamente. Tenemos entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes. dΘ dz z =0 = C 2γ cos(γz ) − C 3 sen (γz ) z =0 = γC 2 = 0 ⇒ C2 = 0. de primer orden se resuelve por separación de variables: dG = −αγ 2 dt ⇒ G = C1 exp(−γ 2αt ) G (5) La segunda. de segundo orden d 2Θ + γ 2Θ = 0 2 dz Representando D = d/dz. i la unidad imaginaria (-1)1/2. Se iguala a esta constante pues siendo cada lado función de una variable diferente debe ser una constante. La primera. Entonces Θ = Ae iγz + Be − iγz = C 2 sen (γz ) + C 3 cos (γz ) (6) CL1: t > 0 . Se puede demostrar que esta constante es un número real y debe ser una cantidad negativa para que no produzca soluciones triviales. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento donde γ es un número real. Reemplazando − kC3 [− γ sen(γz )]z = L = hΘ L ⇒ C3 = hΘ L kγ sen(γL ) Calculando la ecuación para Θ en z = L con los valores hallados para C2 y C3: ΘL = hΘ L cos (γL ) ⇒ γtan(γL) = h / k ⇒ (γL )tan(γL ) = Bi kγ sen (γL ) (7) . z = 0 . tendrá por ecuación auxiliar D2 + γ2 = 0 con solución D = ± iγ. An = C1C3. La solución más general se obtiene por superposición de las soluciones particulares. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Todos los valores de γ que satisfagan la ecuación trascendental (7) constituyen solución particular de (6).0) por cos(λnz/L) e integrando: L L ⌠ z λ ⎛ ⎞ ⌠ 2⎛ λ z ⎞ n ⎮ (T0 − F ) cos⎜ ⎟ dz = An ⎮ cos ⎜ n ⎟ dz ⎮ ⎝ L ⎠ ⌡ ⎝ L ⎠ ⌡ 0 (9) 0 reemplazando los valores de T0 y F. a saber: ∞ ⎛ − λ2αt ⎞ ⎛λ z⎞ Ω ( z .250 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. multiplicamos ambos lados de Ω(z. engloba las dos constantes de integración a determinar. Aplicando la condición inicial (t = 0) y utilizando las propiedades de ortogonalidad que presentan las funciones propias. con Bi = hL/k.t ) = ∑ An cos⎜ n ⎟ exp⎜⎜ n2 ⎟⎟ ⎝ L ⎠ 1 ⎝ L ⎠ (8) donde los valores propios λn = γL son las raíces de la ecuación trascendental λntanλn = Bi. la integral de la izquierda es L L ⌠ ⎛ ⎞ ⎛λ z⎞ ⌠ z λ az 2 Φ L2 Φ z 2 Φ L ⎛ ⎞ n ⎮ (T − F ) cos⎜ ⎟dz = ⎮ ⎜⎜ b − 2 − H + H − H − T∞ ⎟⎟ cos⎜ n ⎟dz 0 ⎮ L 2 k 2 k h L ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ L ⎠ ⌡⎝ ⌡ 0 0 L ⎛ ⎞⌠ ⎛ λ z ⎞ Φ L2 Φ L a ⎛Φ = ⎜⎜ b − H − H − T∞ ⎟⎟⎮ cos⎜ n ⎟dz + ⎜ H − 2 2k h ⎝ 2k L ⎝ ⎠⌡ ⎝ L ⎠ 0 ⎛λ z⎞ ⎞⌠ 2 ⎟⎮ z cos⎜ n ⎟dz ⎠⌡ ⎝ L ⎠ Se estiman a continuación las diferentes integrales involucradas en (9) λn L λ n λ ⌠ ⎛ L ⎞ ⎡ sen (2u ) u ⎤ n cos( 2u ) + 1 ⌠ 2 ⎛ λn z ⎞ 2 ⌠ ⎮ ( ) ( ) dz L udu L du = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ cos / λ cos / λ = + ⎥ = ⎜ ⎟ n n ⎮ ⎮ ⌡ ⎮ 2 2⎦0 ⌡ ⎝ L ⎠ ⎝ λn ⎠⎣ 4 ⌡ 0 0 0 ⎛ L ⎞ ⎡ sen (2λ n ) λ n ⎤ sen λ n cos λ n + λ n ⎟⎟ ⎢ + ⎥= 4 2⎦ 2(λ n / L ) ⎝ λn ⎠⎣ = ⎜⎜ . La función propia de este problema de valor propio es la función cos(λnz/L). FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. En operación normal genera ΦH1 = 107 W/m3. determine la nueva distribución de temperaturas en la placa después de alcanzar nuevamente el estado estable.t ) = ∑ An cos⎜ n ⎟ exp⎜⎜ L − z 2 + H + T∞ 2 h ⎝ L ⎠ 1 ⎝ L ⎠ 2k ( ) (10) Aplicación numérica. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 251 La integral de cos(cz) es (1/c)sen(cz). Un elemento combustible de un reactor nuclear tiene la forma de una placa plana de espesor 2L = 20 mm y está enfriado desde sus dos superficies con coeficiente convectivo 1100 W/m2.K. las constantes An son: ⎡ Φ L Φ L2 2a ⎤ 4 L2 2 ⎢(TS 0 − T∞ ) − H − H 2 + 2 ⎥ sen (λ n ) + h λn kλ n λn ⎦ An = ⎣ sen (λ n ) cos(λ n ) + λ n a⎤ ⎡Φ H ⎢ 2k − L2 ⎥ cos(λ n ) ⎣ ⎦ Finalmente la expresión para el perfil de temperaturas es ∞ ⎛ − λ2nαt ⎞ Φ H 2 Φ L ⎛λ z⎞ ⎟⎟ + T( z . La integral restante deberá hacerse por partes y de manera recurrente: L L ⌠ 2 ⎛ ⎞ z ⌠ ⎮ z 2 cos(cz )dz = ⎜ ⎟ sen(cz ) − ⎮ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ z sen(cz )dz ⎜ c ⎟ ⎮ ⌡⎝c⎠ ⎝ ⎠ ⌡ 0 0 L L ⌠ ⎛1⎞ ⎮ z sen(cz )dz = −⎛⎜ z ⎞⎟ cos(cz ) + ⌠ ⎮ ⎜ a ⎟ cos(cz )dz a ⎮ ⎝ ⎠ ⌡⎝ ⎠ ⌡ 0 0 Se obtiene entonces que: L ⎛ 2 L3 ⎞ ⎛ 2 L3 ⎞ ⎛ L3 ⎞ ⌠ 2 ⎛ λn z ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ sen λ n ⎜ ⎟ z cos sen λ cos λ = + − dz ⎜ ⎟ n n ⎮ ⎜λ ⎟ ⎜ λ2 ⎟ ⎜ λ ⎟ ⌡ ⎝ L ⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 0 ⎡ L3 2 L3 ⎤ ⎛ 2 L3 ⎞ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ cos λ n + ⎢ − 3 ⎥ sen λ n ⎣ λn λn ⎦ ⎝ λn ⎠ Teniendo en cuenta los valores de las integrales anteriores. . y T∞ = 250 °C. Las propiedades térmicas del elemento de combustible nuclear son k = 30 W/m. Si repentinamente esta potencia aumenta a ΦH2 = 2x107 W/m3.K y α = 5x10−6 m2/s. en la situación inicial la distribución de temperaturas es: ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ T1 = 16.667 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 340. TS. 01 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎣⎢ (11) .91 °C 0 . la temperatura de la superficie z = L. tiende a T∞ la temperatura del medio.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 252 En estado estable la ecuación (1) se reduce a ∂ 2T Φ H + =0 k ∂z 2 Con las condiciones límite CL1: ∂T = 0 . reemplazando los valores numéricos. Para el caso presente. Integrando nuevamente T =− ΦH z2 + C2 2k ⎞ ⎛ Φ L2 ⎛ Φ L⎞ CL2: − k ⎜ − H ⎟ = h⎜⎜ − H + C 2 − T∞ ⎟⎟ 2k k ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ C2 = Φ H L Φ H L2 + + T∞ h 2k 2 Φ H L2 ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤ Φ H L T= + T∞ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 2k ⎣⎢ ⎝ L ⎠ ⎦⎥ h Se observa que cuando h tiende a infinito. z = 0 plano de simetría o superficie adiabática ∂z CL2: − k ∂T = h(T − T∞ ) ∂z z = L superficie convectiva Integrando una vez Φ dT = − H z + C1 dz k aplicando la primera condición límite C1 = 0. λ2 = 3. después de 300 s. λ3 = 6.58 T1 = 353.82 T(0.216.58 T(0.005.66 cos λn ) / λn ⎤⎦ − ⎡⎣181.66 / λn2 ) ⎤⎦ ( sen λn ) con An = sen λn cos λn + λn Para apreciar la rápida convergencia de esta serie haremos evaluaciones en diferentes posiciones y tiempos. El estado estable T1 corresponderá a t = 0 y el T2 a t = ∞.00304. A3 = − 0.3410.253 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.15 T(0.0) = 357.005.15 ⎝ 0.∞)=456.300) difiere menos de un grado centígrado respecto a la de estado estable T2.01 ⎠ 2 ⎤ ⎥ + 431.367 ⇒ tanλ n = λn k 30 Utilizando el método de Newton de convergencia obtenemos λ1 = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Y cuando nuevamente se alcanza la condición de estado estable: ⎡ ⎛ z ⎞ T2 = 33. A4 = 0. A2 = 0.∞) = 431.334⎢1 − ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ 0.0167.82 °C ⎥⎦ (12) Se observa que el origen coordenado se toma en el plano de simetría por lo cual la longitud característica L es el semiespesor (10 mm).367 hL (1100)(0.92 Ecuación (12) T2 = 465.15 T2 = 456. la temperatura en el centro T(0.4635.82 En la tabla anterior las longitudes están en metros y las temperaturas en °C. Es de anotarse que para este sistema.1 °C. y.2539. y después de 500 s difiere en menos de 0.05λ 2n t − 3.82 T2 = 431. .01 ⎠ n =1 ( ) (13) ⎡⎣( 66.0)=353.91 Ecuación (13) T(0. λ4 = 9. Evaluamos Biot: Bi = 0.333 x10 5 z 2 + 465 .∞) = 465. Tomando solo los dos primeros términos de la sumatoria obtenemos: z=0 z = L/2 z=L Ecuación (11) T1 = 357. Reemplazando los valores numéricos anteriores.82 Ecuación (13) T(0.01.82 + (66. respectivamente A1 = − 107. la expresión (10) toma la forma ∞ ⎛λ z⎞ T ( z .01.0) = 340.38 T(0.005.5711.41 T1 = 340.01) = = 0.79. t ) = ∑ An cos⎜ n ⎟ exp − 0. coordenada adimensional. CONDICION INICIAL UNIFORME.9. Las condiciones de frontera: para z = 0 (plano de simetría) ∂Ψ/∂z = 0 En la superficie.9. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 254 4.55) = ∑ Cn exp( −λ2n Fo) cos(λn z * ) Ψ0 − Ψ∞ n=1 z* = z/L.5 pero para transferencia generalizada y con condiciones de frontera diferentes. Partiendo de la ecuación (4.1. Su espesor es 2L. Pared plana infinita con convención simétrica.1): ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ = ∂z 2 β ∂t La condición inicial: Ψ = Ψ0 para t = 0 y todo z. L es el semiespesor de la pared. 4. La situación es semejante a la ilustrada la figura 4.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. El coeficiente Cn es 4 senλ n Cn = 2λ n + sen(2λ n ) θ= y los valores discretos (propios o valores eigen) de λn son las raíces positivas de la ecuación trascendental λn tan λn = Bi Bi = hL para transferencia de calor k Bi = kc L DAB para transferencia de masa . CONDUCCION NO ESTACIONARIA CON CONVECCION. ubicada en z = L (o en −L) el calor (o la materia) que llega por conducción se transfiere por convección hacia un medio de concentración Ψ∞: −k(∂Ψ/∂z) = h(Ψ − Ψ∞) La solución por el método de separación de variables es: ∞ Ψ − Ψ∞ (4. y Cn = 4[sen(λn ) − λn cos(λn )] 2λn − sen(2λn ) (4. posición adimensional.9.255 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4. ahora. para la esfera con resistencia convectiva θ= ∞ Ψ − Ψ∞ 1 = ∑ Cn exp( −λ2n Fo) sen(λn r * ) * Ψ0 − Ψ∞ n=1 λn r Donde r* = r/R.57) .40). Para temperatura inicial uniforme y convección en la superficie la solución es θ= ∞ Ψ − Ψ∞ = ∑ Cn exp( −λ2n Fo) J 0 (λn r * ) Ψ0 − Ψ∞ n=1 (4.2. y Cn = ⎤ 2 ⎡ J1 (λn ) ⎢ 2 2 λn ⎣ J 0 (λn ) + J1 (λn ) ⎥⎦ y los valores discretos de λn son las raíces positivas de la ecuación trascendental λn J 1 ( λn ) = Bi J 0 ( λn ) Bi = hR k para transferencia de calor Bi = kc R DAB para transferencia de masa Las cantidades J0 y J1 son funciones Bessel de primera clase y orden cero y uno respectivamente (véase definición después de la ecuación (4.38). posición adimensional. Las condiciones son similares a las discutidas para obtener la ecuación (4. Cilindro infinito con convención. De forma similar a como obtuvimos las ecuaciones (4.56) Donde r* = r/R.9. Esfera con temperatura inicial constante.3.39) 4. Soluciones aproximadas. por L’Hopital se demuestra que: sen(λnr*)/(λnr*) → 1. 4. Integrando sobre el volumen de la pared la ecuación (4. Los valores de Cn y λn para una gama de valores del número de Biot se dan en la tabla 1. Para valores de Fo ≥ 0.10. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento y los valores discretos de λn son las raíces positivas de la ecuación trascendental 1 − λn cot λn = Bi Bi = hR k para transferencia de calor Bi = kc R DAB para transferencia de masa Cuando r = 0.1. (4.10.56) y (4.2. la cantidad de materia (energía) que ha entrado o salido del sistema en un lapso dado.55a) 0 Estos valores promedio son de utilidad para averiguar entre otras. VALORES PROMEDIO. 4. Integrando con respecto al volumen y dividiendo por el mismo obtenemos el valor promedio de la variable independiente en el sistema con función del tiempo. .9. las series infinitas de las ecuaciones (4.55).55) L ∞ Ψ m − Ψ∞ senλ n 1 ⌠ Ψ − Ψ∞ dz = = C n exp( −λ 2n Fo) ∑ ⎮ L ⌡ Ψ 0 − Ψ∞ Ψ0 − Ψ∞ n =1 λ n (4.4.256 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. es decir θC = ΨC − Ψ∞ = C1 exp(−λ12 Fo) Ψ0 − Ψ∞ 4. Placa plana infinita.57) se puede aproximar por el primer término de la serie. Partiendo de (4. MA0 = V(cA0 − cA∞) sería la máxima cantidad de la especie A que podría extraerse del (o transferirse al.11. flujo constante en la pared ΠmS. EL SÓLIDO SEMI – INFINITO.10. 4. la condición inicial estará dada por Ψ(z.57a) Los valores de Cn y λn se toman de la tabla 4.56) y sabiendo que por definición ⌠ ⎮ rJ 0 (λn r )dr = ⎜ R λ ⎟ J1 (λn R ) ⌡ ⎝ n⎠ 0 R ∞ Ψm − Ψ∞ Cn exp(−λ2n Fo) J1 (λn ) 2 ⌠ Ψ − Ψ∞ = rdr = 2 ∑ R2 ⎮ Ψ0 − Ψ∞ λn ⌡ Ψ0 − Ψ∞ n =1 (4. Son: concentración constante en la superficie ΨS ≠ Ψ0 . También es la máxima cantidad de energía que se podría transferir si el proceso se continuara por tiempo infinito. y exposición de la superficie a un fluido caracterizado por Ψ∞ ≠ Ψ0 y un coeficiente convectivo h o kc que en forma general denominaremos H.2.57) ∞ Ψm − Ψ∞ Cn exp(−λ2n Fo) 3 R 2 θ = r dr = 3 [sen(λn ) − cos(λn )] ∫ ∑ R3 0 Ψ0 − Ψ∞ λ3n n =1 (4.257 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Como ya vimos. si negativo) sistema. Se usan principalmente las soluciones obtenidas para tres condiciones de superficie.t) = Ψ0. Comparablemente. R ⎛ ⎞ Partiendo de (4.0) = Ψ0 y la condición límite interna será de la forma Ψ(∞. Esfera. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La cantidad Q0 = ρCPV (T0 − T∞ ) puede ser interpretada como la energía interna inicial de la pared relativa a la temperatura del fluido. Cilindro infinito. 4. aplicadas instantáneamente para t = 0.56a) 0 4.3.1 usando los coeficientes del sistema correspondiente.10. Hallamos las siguientes soluciones: . t) = ΨS. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4. Caso 2 .2. Ψ ( z .11.Flujo constante en la superficie: ΠmS = − β(∂T/∂z)z = 0 = constante.11.Concentración constante en la superficie: Ψ(0.52b) 4.51b) η 2 ∫ exp( −u )du es la función de error gaussiana que se encuentra tabulada o se o puede calcular directamente con la ayuda de una calculadora que tenga la función integral. t ) − Ψ0 = 2Π mS β t β ⎞ π exp⎛ − z 2 ⎞⎟ − Π mS z erfc⎛⎜ z ⎟⎟ ⎜ ⎜ β 4 t ⎠ ⎝ β ⎝ 2 βt⎠ erfc η ≡ 1 − erf η función complementaria de la función de error. . t ) − ΨS = erf ⎢ 1/ 2 ⎥ Ψ0 − ΨS ⎣ 2(β t ) ⎦ erfη ≡ 2 π (4.258 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1. Π mS = β (ΨS − Ψ0 ) πβ t (4. ⎤ ⎡ z Ψ ( z. Caso 1 . t ) z=0 ] ó − D AB ∂ cA ∂ z = k c [c A∞ − c A (0. Q/Q0 = f4(Bi. Al analizar los tres casos podemos obtener algunas conclusiones: para el caso 1. Fo.Convección en la superficie. θ = f2(Bi. TS (cAS) ya no es constante sino que varía con el tiempo y la temperatura del medio. se observa que T(0. −k ∂T ∂z [ = h T∞ − T ( 0.cA∞) donde h o kc es el coeficiente convectivo calculado para las condiciones del fluido circundante. eje o centro de simetría. Debe notarse que para el caso (3) el resultado de hacer h = ∞ es equivalente al caso (1). z/L) tales como los gráficos de Gurney . t ) − T∞ = erf To − T∞ ⎡ z ⎤ ⎡ hz h 2α t ⎤ ⎡ + exp ⎢ ⎢ + 2 ⎥ ⎢1 − erf 1/ 2 ⎥ k ⎦⎢ ( ) t 2 α ⎣k ⎣ ⎦ ⎣ ⎡ h(α t ) 1/ 2 ⎤⎤ z ⎢ ⎥⎥ + 1/ 2 ⎢⎣ k 2(α t ) ⎥⎦ ⎥⎦ (4.259 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. para el caso de flujo constante en la interfase. θ = f3(Bi. decrece como t−0. f2 y f3 son denominados de Heisler.Erk.5. la temperatura superficial y la temperatura dentro del sólido se aproximan a la temperatura T∞ del fluido a medida que transcurre el tiempo. Caso 3 . qS(t) = h[ TS(t) − T∞ ]. t )] z=0 Para este caso en la superficie z = 0 hay una resistencia finita. la temperatura del medio se aproxima monótonamente a TS a medida que transcurre el tiempo. Para el caso de convección en la superficie. 1) o de temperatura (concentración) en la superficie. mientras que la magnitud del gradiente de temperatura superficial así como el flujo de calor en la superficie. En contraste. . La solución es entonces: T ( z . es decir que la superficie alcanza instantáneamente la temperatura del medio (TS = T∞). El fenómeno puede analizarse como si se agregara un espesor adicional de sólido del tamaño k/h = ∆z* o DAB/kc = ∆z*. Los anteriores resultados analíticos se presentan en forma gráfica en las siguientes formas funcionales: θ = f1(Bi. 0) o de temperatura (concentración) en el plano.11.t) = TS(t) aumenta monótonamente con t1/2. Fo. Ocurre por lo tanto un decrecimiento en el flujo de calor en la interfase.51d) La temperatura (concentración) de la superficie la encontramos para z = 0 y la densidad de flujo puede determinarse como q = h(TS − T∞) ó NA = kc(cAS . Fo) o de calor (masa) total transferida. t ) − c A∞ z z ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎥ = erf ⎢ + exp + 1 − erf k + c⎜ ⎢ ⎥ 1/ 2 ⎥ 1/ 2 ⎟ c Ao − c A∞ 2(DAB t ) ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎝ DAB ⎠ ⎣ DAB DAB ⎦ ⎢⎣ ⎣ 2(DAB t ) ⎦ ⎦ (4. Fo.Lurie o los de Gröber . T∞ (o la concentración cA∞) es la que se considera constante.51c) ⎡ ⎛ t ⎞1/ 2 ⎤⎤ ⎡ ⎤ ⎡ kc z kc2 t ⎤ ⎡ c A ( z.3. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4. ambas superficies deben tomar la misma temperatura TS. obtenemos: TS = TA 0 ( kρC P ) A + TB 0 ( kρC P ) B ( kρC P ) A + ( kρC P ) B Aquí. 4. se coloca en contacto íntimo con otro extremo de un bloque semiinfinito de acero puro y el carbón difunde hacia el acero puro.5. Un caso similar en transferencia de masa podría visualizarse cuando un extremo de un bloque semiinfinito de acero conteniendo concentración uniforme de carbón cA0. Como TS no cambiará con el tiempo. Sólido infinito compuesto. la cual será TB0 < TS < TA0 (suponiendo TB0 < TA0). el cual requiere que qSA = qSB. implica que tanto la historia de la temperatura como la del flujo de calor en la interfase para cada uno de los sólidos vienen dadas por las ecuaciones del caso (1). la cantidad m ≡ ( kρC P ) es un factor que determina si TS está más próxima TA0 (mA > mB) o a TB0 (mA < mB). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 260 4. el momento del contacto.11. Reemplazando la ecuación para flujo de calor. el requisito de equilibrio térmico indica que para t = 0.11. se ponen en contacto a través de sus superficies libres. Una permutación interesante del caso (1) resulta cuando dos sólidos semi .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Si analizamos en general y llamamos cA2 la concentración para z < 0 y cA1 para z > 0 las condiciones límite en z = 0 pueden escribirse como cA2/cA1 = γ . a temperaturas iniciales TA0 y TB0. reconociendo que si tomamos el origen coordenado en la interfase qSA debe cambiar de signo. Si la resistencia de contacto es despreciable.4.infinitos. La temperatura de equilibrio en la interfase puede determinarse a partir de un balance de energía. Acoplamiento infinito de difusión. DAB1(∂cA1/∂z) = DAB2(∂cA2/∂z) donde γ es la relación entre la concentración que se tendría en la z < 0 y la de la región z > 0 cuando el equilibrio se alcance. Observando las soluciones (4.51) nosotros buscaremos soluciones de la forma z z>0 c A1 = A1 + B1erf 2 D AB1t . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento c A 2 = A2 + B2 erf z 2 D AB 2 t 261 z<0 A partir de las condiciones iniciales A1 + B1 = cA0 . Despejando las constantes y reemplazando obtenemos c A1 1 = c A0 1 + γ (D AB 2 / D AB1 )1 / 2 ⎡ ⎤ z 1/ 2 ⎢1 + γ (D AB 2 / D AB1 ) erf ⎥ 2 D AB1t ⎥⎦ ⎢⎣ c A2 γ = c A0 1 + γ (D AB 2 / D AB1 )1 / 2 ⎡ ⎤ z ⎢1 − erf ⎥ 2 D AB 2 t ⎥⎦ ⎢⎣ Se puede observar que cuando la difusión ocurre los valores en la interface permanecen constantes e iguales a c A2 γ = c A0 1 + γ (D AB 2 / D AB1 )1 / 2 c A1 1 = c A0 1 + γ (D AB 2 / D AB1 )1 / 2 Para el caso que nos ocupa la difusividad en las dos barras será igual y γ = 1 por lo que ⎞ c A1 1 1 ⎛⎜ z ⎟ . A2 + B2 = 0. A partir de las condiciones de frontera γA1 = A2 .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. B1(DAB1)1/2 = − B2(DAB2)1/2. = + erf c A0 2 2 ⎜⎝ 2 D AB t ⎟⎠ ⎞ c A2 1 1 ⎛⎜ z ⎟ = − erf c A0 2 2 ⎜⎝ 2 D AB t ⎟⎠ El flujo de carbón a través del plano en z = 0 es J Az = − D AB ∂ cA ∂z = z =0 c A0 2 D AB t π La masa de carbón que ha cruzado el plano z = 0en el tiempo t es t M = ∫ J A dt = −c A0 0 D AB t π La difusividad másica del carbón en el acero a 1000 °C es 3x10−11 m2/s. . donde tenemos un paralelepípedo rectangular de lados 2a. Newman demostró (1931) que es posible expresar la distribución de temperatura adimensional como un producto de las soluciones para las dos placas de espesor 2a y 2b respectivamente: ⎡ T − T∞ ⎤ ⎡ T − T∞ ⎤ ⎡ T − T∞ ⎤ =⎢ =⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ To − T∞ ⎦ barra ⎣ To − T∞ ⎦ placa2 a ⎣ To − T∞ ⎦ placa2b (4.262 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. CILINDROS Y PLACAS FINITAS. 2b y 2c. ∂x ∂T = h(T − T∞ ) ∂y x=0 ∂T =0 ∂x y=0 ∂T =0 ∂y y=±b Para resolver este problema consideremos que la barra rectangular infinita de la figura 6 está formada por la intersección de dos placas infinitas de espesor 2a y 2b. los extremos en z = ± c están sellados a la transferencia lo que es equivalente a tener un paralelepípedo de longitud infinita. La ecuación ( 3. .9.41 ) se reduce en esta ocasión a: ρC p ⎡ ∂ 2T ∂ 2T ⎤ ∂T = k⎢ 2 + ∂t ∂ Y 2 ⎥⎦ ⎣∂ x (4. Sin embargo.59) Donde T0 es la temperatura inicial de la barra y T∞ es la temperatura ambiente que para h tendiendo a infinito se convierte en TS. y sólo habrá gradiente en las direcciones x e y.a < x < a t=0 −k −k -b<y<b ∂T = h(T − T∞ ) x = ± a.12. Analizamos el caso presentado en la figura 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4.58) Condiciones de frontera: t < 0 T = T0 . t) ∂ 2T ∂ 2F = G . ∂ x2 ∂ x2 (4. .61) ∂ 2 Tb ∂ 2 Ta ∂T = Fα + G α ∂t ∂ y2 ∂ x2 Reemplazando en (4. Podrían combinarse las soluciones de cilindro infinito y el sólido semiinfinito para obtener distribuciones de temperatura en cilindros y barras semi-infinitos.60) ∂ 2T ∂ 2G = F ∂ y2 ∂y 2 ∂T ∂G ∂F =F +G ∂t ∂t ∂t Para placas infinitas suponiendo soluciones Ta = F(x.G(y.t) = F(x. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para usar el método de separación de variables para solucionar la ecuación (4. En forma semejante.263 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Así mismo una solución para un cilndro de longitud finita podría expresarse como un producto de soluciones de un cilindro infinito y una placa infinita de espesor igual a la longitud del cilindro.t) .58) suponemos una solución producto de la forma: T(x.58): ⎡ ∂ 2 Tb ⎡ ∂ 2 Tb ∂ 2 Ta ⎤ ∂ 2 Ta ⎤ G + F α G = + ⎢ 2 2 ∂ x 2 ⎥⎦ ∂ x 2 ⎥⎦ ⎣ ∂y ⎣ ∂y α ⎢F Esto significa que la distribución de temperatura adimensional para la barra rectangular infinita puede expresarse como un producto de las soluciones para las dos placas de espesor 2a y 2b como se indica en (4.59).t). la solución para un bloque tridimensional (como por ejemplo un ladrillo) puede expresarse como un producto de las soluciones de las tres placas infinitas que tienen por espesores las tres aristas del bloque.y. Se podrá escribir: ∂ 2Ta ∂Ta = α ∂ x2 ∂t ∂ 2Tb ∂Tb = α ∂ y2 ∂t (4. Tb = G(y.t) . Como la forma geométrica no tiene importancia el análisis se simplifica. volumen V. Hay transferencia de calor por convección entre el sólido y el líquido con coeficiente de transferencia de calor h. calor específico Cp y temperatura uniforme T0 que en el instante t = 0 se sumerge en un fluido bien agitado que se mantiene a temperatura T∞. . SISTEMAS CON BAJA RESISTENCIA INTERNA Y ALTA RESISTENCIA EXTERNA. Se supone que en cualquier instante la distribución de temperatura dentro del sólido es suficientemente uniforme. Al analizar las expresiones que correlacionan el perfil de temperatura con el tiempo y la posición cuando hay resistencia externa. Reorganizando e integrando con T = To en t = 0 : θ= ⎡ hSt ⎤ ⎡ t⎤ T − T∞ = exp ⎢− ⎥ = exp ⎢− ⎥ To − T∞ ⎢⎣ ρ C pV ⎥⎦ ⎣ to ⎦ (4.63) El grupo (ρCpV/hS) es una constante de tiempo tC. densidad ρ.62) .1 .632 .264 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.13. área superficial total S. Consideremos un sólido de forma arbitraria. Se define como el tiempo necesario para que θ valga exp(−1) = 0.Velocidad de disminución de entalpía. Si el sólido está siendo enfriado T > T∞_ y el balance macroscópico da: dT = h(T − T∞ ) dt -1-2- − ρ C pV (4. Definimos la longitud característica L del sólido como el volumen dividido por el área superficial. o sea L = V/S.1 (para el inverso mayor que 10).368 ó 1 − θ valga 0. la temperatura en el sólido es esencialmente uniforme en cualquier instante (diferencias de temperatura menores al 5%).Velocidad de pérdida de calor en la superficie. se observa que para valores del parámetro Bi = hL/ks (ks conductividad térmica del sólido) menores de 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4. conductividad térmica k.2 . de tal modo que se puede considerar que la temperatura del sólido es función solamente del tiempo. En tales casos se puede despreciar la variación de la temperatura con la posición considerando que ésta sólo varía con el tiempo. 693 (αtm/L2) = 0.59) es 0. El coeficiente de transferencia de calor en la corriente de aire se estima en h = 10 Btu/h. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1−θ = 265 T − To T∞ − To que es el tiempo necesario para que ocurra el 63.693.178 pie2/h. El equivalente al número de Bi en transferencia de masa es BiD = (kρa/DAB) ó (kρR/DAB) según el caso.01. Despreciamos la resistencia térmica de la pequeña pared de vidrio. Entonces la ecuación para la determinación del tiempo de valor medio tm es: (αtm/L2)(hL/k) = 0. EJEMPLO 4. Observemos que la cantidad hSt ⎛ hL ⎞ k t ≡⎜ ⎟ = Bi Fo ρ C pV ⎝ k ⎠ ρ C p L2 La longitud característica para una esfera se convierte en R/3.°F. La conductividad térmica del mercurio es k = 5 Btu/h. para un cilindro infinito es R/2 y para una placa infinita de espesor 2a es a.01 = 69.5. se reduce a la mitad después de un cambio repentino de la temperatura verdadera. kρ es el coeficiente de transferencia de masa. Con estos datos Bi = hL/k = (10)(0.5 cuando el exponente vale 0.3 .pie2. su difusividad térmica es α = 0. La relación de temperatura en la ecuación (4.2 % del cambio de temperatura total. DAB es la difusividad dentro del sistema. El bulbo de mercurio tiene forma cilíndrica de 0.10 vemos que la temperatura decrece exponencialmente con el tiempo y el valor de m en el exponente determina la forma de la curva.01)/((5)(2)) = 0. Si se desea medir una temperatura inestable con un termómetro es importante conocer la velocidad con la cual el termómetro sigue el proceso.°F. Debemos calcular este tiempo de valor medio para un termómetro de mercurio que está instalado en una corriente de aire.693/0.01 pie de radio. Observando la figura 4.pie. El "tiempo del valor medio" es el tiempo dentro del cual la diferencia inicial entre la temperatura verdadera y la temperatura indicada por el termómetro.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento tm = (1.178) Solamente para cambios inestables de temperatura mucho más lentos (por ejemplo si el cambio de temperatura es de forma sinusoidal. o sea la temperatura del fluido obedece a la siguiente expresión: T∞ = T0 + βt La ecuación (4.0098 hr = 35 s.266 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la duración del período debe ser del orden de diez veces mayor). CONDICIONES LÍMITE EN FUNCION DEL TIEMPO.14. 4.58) queda de la forma: hS (T − T0 − β t ) ∂ T hS (T∞ − T ) ρC p = =− ∂t V V de donde: dT hS hSβ hST0 + T= t+ dt ρ C pV ρ C pV ρ C pV haciendo: m= hS ρCpV dT + mT = mβt + mT0 dt (4.3) hr =0. Reemplazando en (4. A1 + m(A1t + A0) = mβt + mT0 Para que se cumpla esta igualdad: A1mt = mβt .64) La solución particular tiene la forma: T = A1t + A0. A0 = T0 −β/m . podemos esperar que el termómetro indique la marcha de la temperatura en forma adecuada.0 x10 − 4)(69. A1 = β A1 + mA0 = mT0 .64). Supongamos que el sólido que analizamos está sumergido en un fluido cuya temperatura cambia linealmente con el tiempo. (4)(0. es interesante calcular el retraso del termómetro mientras el horno se calienta a una velocidad de 400 °F/h.267 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.0705 k R = αh 2 (2)(0. Supongamos que el coeficiente de transferencia de calor vale h = 2 Btu/h. Se puede observar que la temperatura del sólido siempre está rezagada con respecto a la temperatura del fluido.11.6. T = T0 ⇒ C1 = β/m O sea: T = T0 + βt − ρ C pV hS ⎡ hSt ⎤ ⎤ ⎥⎥ ⎣⎢ ρ C pV ⎦⎥ ⎥⎦ ⎡ β ⎢1 − exp⎢− ⎢⎣ (4.7 °C EJEMPLO 4.0705)(400) = 28. Temperatura con variación sinusoidal.7. Compare la respuesta temperatura . La temperatura del fluido cambia según T = (100 + 50sen2πt) °F. el retraso permanece constante.°F.tiempo para ambos equipos.pie2. Suponga que los dos dispositivos tienen inicialmente 60 °F y para ambos el coeficiente convectivo es 5 Btu/hr. Su valor se obtiene de la ecuación (4.01)(5) = 0.°F.65) para un tiempo t suficientemente grande. Uno de estos dispositivos es un termómetro de mercurio construido en vidrio. Se dispone de dos dispositivos para medir la temperatura de un fluido que pasa por el interior de un tubo. t en horas. cuyo bulbo tiene 1/4 de plg de diámetro y 1 plg de longitud. .2 °F = 15.65) La ecuación (4. ρCPV hS = (0.65) se grafica en la figura 4.178)(2) ∆Tretraso = (0. Si el termómetro que se usó en el ejemplo 4. EJEMPLO 4.pie2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La solución de la ecuación reducida dT + mT = 0 es dt T = C1 exp(− mt) La solución general es: T = βt +T0 − (β/m) + C1 exp(− mt) Para evaluar C1 aplicamos la condición límite: t = 0 .5 se emplea para monitorear la temperatura de un horno de cocina. Tan pronto como la transición inicial termina. El otro dispositivo es una termocupla de hierro constantano de 1/32 de plg de diámetro y 2 plg de longitud inmersa en el fluido. Un balance alrededor de cualquiera de los dispositivos iguala velocidad de cambio de temperatura con la ganancia de calor por convección: ρC PV dT = hS (T∞ − T ) dt Tanto T∞ como T son función del tiempo. a la cual debe satisfacer: (2πC2 + mC3 ) cos 2πt + (mC2 − 2πC3 )sen2πt + mC4 = 100m + 50m sin 2πt Los coeficientes de de los términos análogos son iguales a cada lado de la ecuación: 2πC2 + mC3 = 0 mC2 − 2πC3 = 50m C4 = 100 coeficientes de los cosenos coeficientes de los senos término independiente Resolviendo simultáneamente las dos primeras obtenemos: C2 = 50 2 1 + (2π / m ) C3 = − 50(2π / m) 2 1 + (2π / m ) . donde m = (hS/ρCPV). Particular: Siendo que T∞ varía sinusoidalmente la solución particular tendrá un componente trigonométrico y un término constante.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. a saber: T2 = C2sen2πt + C3cos2πt + C4 Los coeficientes los determinamos reemplazando esta solución en la ecuación diferencial heterogénea. Se presenta una ecuación diferencial heterogénea cuya solución se plantea como la solución de una homogénea (la ecuación complementaria) mas una solución particular: dT hS hS T= + T dt ρCPV ρCPV ∞ Homogénea dT hS + T =0 dt ρCPV Su solución es T1 = C1exp(−mT). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 268 Solución. con C2 y B como catetos. si el ángulo entre la hipotenusa y C2 lo denominamos δ. La solución total a la ecuación heterogénea será entonces T = 100 + 100 2 1 + (2π / m ) sen(2π t − δ ) + C1 exp(− mt ) 2 1 + (2π / m ) Procedemos ahora a calcular la constante de integración C1 a partir de las condiciones iniciales es decir para t = 0. entonces C2/ C22 + B 2 = cos δ. B/ C22 + B 2 = senδ. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 269 Para expresar T2 en forma compacta aprovechamos las propiedades trigonométricas de la siguiente manera: ⎛ ⎞ C2 B C2 sen2πt − B cos 2πt = C22 + B 2 ⎜ sen2πt − cos 2πt ⎟ ⎜ C 2 + B2 ⎟ C22 + B 2 2 ⎝ ⎠ con B = − C3.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la historia temperatura tiempo para los dispositivos es . T = 60 °F: 60 = 100 + 50 1 + (2π / m ) 2 sin (− δ ) + C1 Utilizando la identidad trigonométrica para sen (− δ) = − sen δ C1 = 100π / m − 40 2 1 + (2π / m ) Así. Al construir un triángulo rectángulo con C22 + B 2 como hipotenusa. Ahora. sabiendo que sen(α − β) = senα⋅cosβ − cosα⋅senβ obtenemos C2sen2πt − B cos2πt = C22 + B 2 sen(2πt − δ) donde δ = arctan (B/C2) representa el retraso del dispositivo para responder al cambio de temperatura. respuesta tiempo temperatura para el termómetro es THg = 100 + 49.3 sen(2πt − 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡ 100π / m ⎤ 50 T =⎢ sen(2πt − δ ) + 100 − 40⎥ exp(− mt ) + 2 2 1 + (2π / m ) ⎣1 + (2π / m ) ⎦ T ( °F ) Temperatura Variable 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 0 10 20 30 Termómetro 40 Termocupla 50 60 Fluido 70 Tiempo (min) El tiempo de retraso δ en horas se obtiene dividiendo el retraso en radianes por el numero de radianes correspondientes al tiempo incremental unitario.2 hr−1 Para la termocupla.0325 Btu/lb. D = 0. CP = 0.178) − 31. m = 35.021 pie . D = 0.°F .35 exp (− 35. o sea 2π radianes.270 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.12 Btu/lb.0026 pie .°F . m = 135 hr−1 Así. CP = 0. usando las propiedades del hierro como aproximación ρ = 475 lb/pie3 . El valor numérico de m se determina así: m= hS hπDL 4h = = 2 ρCPV (π / 4)πD L ρC P D El valor de m usando las propiedades físicas del mercurio ρ = 849 lb/pie3 . respectivamente para la termocupla .2 t) y. 11 Btu/lb. Aplicando el método de parámetros concentrados: ρVC P dT = hS (T∞ − T ) + Φ H V dt Haciendo θ = T − T∞.0465) − 37. La plancha consume 500 W y originalmente está a la temperatura de su medio ambiente que es 65 °F.5 pie2 y está fabricada en acero inoxidable con un peso total de 3 lb. k = 13 Btu/hr. La placa de una plancha doméstica tiene un área superficial de 0.pie2.00284 < 0.5 pie2 .413 Btu/hr.°F . Datos: S = 0. Tf = 240 °F. Nota: 1 W = 3.pie. Cp = 0.°F La ecuación general de conducción de calor en sólidos es: ρC p ∂T = k∇ 2T + φ H ∂t Calculamos el número de Biot para saber criterios de trabajo Bi = h(V / S ) (3)(3 / 488) = = 0. T0 = T∞ = 65 °F .0 Btu/hr. Si el coeficiente convectivo entre la plancha y el medio ambiente es de 3 Btu/hr.pie2 °F. llamando a = ΦΗ /ρCp t θf 0 θo ∫ dt = ∫ y b = (hS)/(ρCpV) 1 ⎡ a − bθ f ⎤ 1 ⎡ a − bθ o ⎤ dθ = − ln ⎢ ⎥ ⎥ = ln ⎢ a − bθ b ⎣ a − bθ o ⎦ b ⎣⎢ a − bθ f ⎦⎥ .7 exp (− 135 t) EJEMPLO 4. Solución. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 271 TFe = 100 + 50 sen(2πt − 0.°F .1 (3)(0. h = 3.5) k Para este valor los gradientes de temperatura son despreciables dentro del sólido.8. ¿Cuánto tarda la plancha en llegar a 240 °F?. Para el acero: ρ = 488 lb/pie3 . la ecuación de conducción queda: dθ Φ H hSθ = − dt ρ C p ρ C p V Separando variables e integrando.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. SISTEMAS EN ESTADO SEUDOESTACIONARIO. θ f = 240 − 65 = 175 oF t= ⎡ ⎤ 1 5171 ln ⎢ = 0.55 ⎣ 5171 − (4. 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento a= o Φ H V (500 )(3.11)(3.3seg 4. pAS.5) = 4.0)(0. El gas B puro se pasa lentamente sobre el extremo superior del tubo. uno de los límites se mueve con el tiempo. El tubo de Stefan.55 hr −1 hS = C p m (0. Aunque este es claramente un caso de difusión en estado transitorio. en este punto. La presión parcial de A en el gas adyacente a la superficie líquida. Si la longitud de la trayectoria de difusión cambia en una cantidad pequeña durante un período largo de tiempo (comparado con el tiempo necesario para alcanzar el estado estable). pAG.0) Cpm hr b= (3.0 ) 272 θ o = T∞ − T∞ = 0 . los datos obtenidos se interpretan generalmente igualando el flujo en estado estacionario (película plana estancada . manteniendo la presión parcial de A.11)(3. La velocidad de difusión se determina a partir de la velocidad de caída del nivel del líquido cuya densidad es conocida y constante ρAL. se puede utilizar un modelo de estado seudoestacionario en el que las ecuaciones de estado estable para la difusión molecular se usan para describir el proceso.1. En muchas operaciones de transferencia de masa.15.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. colocándolo en contacto con un gas B.413) F = = 5171 (0. igual a cero (u otro valor conocido). La difusión de A a través de B ocurre en la parte del tubo llena de fase gaseosa.15.03675 hr = 2min 12. se supone igual a la presión de vapor de A a la temperatura del experimento.55)(175) ⎥⎦ 4. de longitud variable zF. Un método experimental para medir la difusividad másica DAB en sistemas binarios gaseosos consiste en colocar un líquido A llenando la parte inferior de un tubo de diámetro pequeño (en la práctica es casi un capilar). Suponiendo estado estacionario y que A difunde en B estancado (B no es soluble en A líquido): d N Az = 0. integrando y reorganizando D AB = [ ] [ c z2 − z2 ℜT p BML ρ AL z F2 2 − z F2 1 = AL F 2 1− y AGF1 2 P M A ( p AS − p AG )t 2ct ln 1− y AS ( ) ] (2) zF1 y zF2 son los espesores del espacio gaseoso sobre el líquido en los momentos t = 0 y t = tf respectivamente. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 273 o celda de Arnold) a la velocidad de evaporación calculada a partir de la velocidad de descenso de la superficie líquida.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. zF ⎣ 1 − y AS ⎦ Análisis estado seudoestacionario: N Amed . = [z F 2 − z F 1 ]ρ AL . Un error obvio en el análisis es que la distribución inicial de concentraciones en el tubo puede ser bastante diferente del perfil de concentraciones en el estado estable. N M A ∆t Ains tan t = ρ AL d z F M A dt igualando estas densidades de flujo. . Separando variables. usando como medida de la concentración del vapor A en la fase gaseosa su presión parcial pA en lugar de la fracción molar yA = pA/P: N AS = D AB P [ p AS − p AG ] ρ AL d z F = ℜT z F p BML M A dt (1) Aquí se ha supuesto válida la ley de los gases perfectos c= P . dz (1 − y A ) Integrando: N Ains tan táneo = c D AB ⎡1 − y AG ⎤ ln ⎢ ⎥ válido para estado estable. dz N Az = − c D AB d y A = constante. ℜT p BML = p BG − p BS Ln ppBG BS ( ) P = pA + pB = presión total igual a la suma de las presiones parciales en cualquier punto de la fase gaseosa. Parece entonces importante determinar el tiempo requerido para establecer las condiciones suficientemente cercanas al estado estable para que la ecuación (1) pueda usarse con error despreciable. a la velocidad de evaporación cuando el tiempo tiende a infinito.t =t = (N A )t =∞ ( ∂∂hz )z= z . Asumimos adicionalmente que pAS es suficientemente pequeña como para que el proceso difusional pueda representarse satisfactoriamente por la segunda ley de Fick: ∂p A ∂2 pA = D AB ∂t ∂z 2 Si definimos una variable h = pA/pAs sabiendo que pAS es constante a temperatura constante. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 274 4. diferentes.2. obtenida por el método de separación de variables es: h= 2 zF ⎛ − DAB n 2π 2t ⎞ z 2 ∞ cos nπ nπz ⎟⎟ + + ∑ × sen × exp⎜⎜ z F π z =1 n zF z F2 ⎝ ⎠ ∞ ∑ sen n =1 ⎛ − DAB n 2π 2t ⎞ F nπz nπz ⎟⎟ × ∫ sen × exp⎜⎜ dz 2 zF zF zF ⎝ ⎠ 0 z La relación entre la velocidad de evaporación en cualquier instante t.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. a su presión de vapor pAS. es decir cuando se alcanza el estado estable viene dada por (N A )t =t ( ∂∂hz )z= z .t =∞ F F . La solución. Establecimiento del estado estable. la ecuación anterior se transforma en ∂h ∂2h = D AB 2 ∂t ∂z con las siguientes condiciones límite: h = 1 en z = zF para todo t h = 1 en t = 0 para toda z h = 0 en z = 0 para todo t > 0 Este conjunto de ecuaciones es idéntico al que surge cuando se plantea la transferencia de calor en estado transitorio en una placa plana infinita con distribución inicial uniforme de temperatura y condiciones límite de primera especie (constantes y conocidas).15. Podemos obtener un buen resultado haciendo las siguientes aproximaciones: Primero suponemos que el espacio gaseoso en el tubo de difusión se encuentra inicialmente saturado con vapores de la especie A. un centímetro.1 pulgadas. Solución. Si este grado de aproximación se considera aceptable. Si se evapora el 5 % del tolueno la columna líquida tendrá al final una altura de (0. A : Tolueno . quinta edición.3 se ha alcanzado el 90% del estado estable. y la difusividad del sistema aire .9 = 6.9 pulgadas.1) = 0. la velocidad con la que aumenta el camino de difusión se incrementa.223). Un recipiente cilíndrico delgado. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Diferenciando la ecuación para h con respecto a z en z = zF. . usando valores típicos de 10 cm para zF y 0. la presión de vapor del tolueno es 20 mm Hg.1 cm2/s para la difusividad.9 pulgadas más que al comienzo. este valor de Fo se alcanza en 5 minutos. 3.9 plg. pero la corriente de aire sobre el extremo superior asegura concentración cero para el tolueno allí. Si el recipiente está abierto. su densidad (como líquido) es 54.275 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. . EJEMPLO 4. de dos pies de altura se llena con tolueno hasta una altura de 18 pulgadas. Pero si reducimos zF a.vapor de tolueno a 0 °C y 1 atmósfera es 0. o sea que la trayectoria de difusión al final valdrá (18 − 17. el tiempo disminuye dramáticamente a 3 segundos. zF2 = 6. B : Aire. tabla 3-299. evaluamos el lado derecho y obtenemos (NA )t=t = 1− 2exp(−12π 2 Fo) + 2exp(− 22π 2 Fo) − 2exp(− 32π 2 Fo) + (NA )t=∞ ( ) ( ) 2 exp − 4 2 π 2 Fo − 2 exp − 52 π 2 Fo + ⋅ ⋅ ⋅ Fo = (3) DABt z F2 Fo es un tiempo adimensional conocido como numero de Fourier. por ejemplo.15 o sea del 15 %. El aire en el interior del recipiente está inmóvil. .p. T = 18 °C = 291.1 lb/pie3. que tiempo se necesitará para que se pierda el 5 % del tolueno por evaporación hacia los alrededores cuando la presión total es 540 mm de Hg?.95)(18) = 17. Pero la otra escala de tiempo involucrada.076 cm2/s (Perry.15 K zF1 = 24 -18 = 6 plg.9. El incremento en la longitud de la trayectoria de difusión es 0. Bajo las condiciones del problema. La temperatura es de 18 °C. zF2 = 6 + 0. Calculando observamos que para valores de Fourier tan pequeños como 0. p.9/6 = 0. 13)(540 )ln ⎡⎢ 540 ⎤⎥(0. = [z F 2 − z F1 ]ρ AL . (1)(2)(273.15 ⎤ ⎡ 760 ⎤ ≈ (0. . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Análisis suponiendo estado estacionario con NB = 0: d N AZ = 0.465) ⎣ 540 − 20 ⎦ ó.45hr. un mes.9 2 − 6 2 )(1 144 ) = 726.465 s s ⎣ 273.15)(6. en otras palabras.15 ⎥⎦ ⎢⎣ 540 ⎥⎦ (54.276 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.15)(92. M A ∆t N Ainstantáneo = ρ AL d z f M A dt (2) Análisis pseudoestacionario (1) = (2) zF 2 ⌠ ρ AL z F dz F t = ∫ dt = ⎮ 0 ⎮ ⎛ 1 − y AG ⌡ cM A DAB ln⎜⎜ zF 1 ⎝ 1 − y AS t t= ⎞ ⎟⎟ ⎠ ρ AL [z F2 2 − z F2 1 ] 2cM A DAB ln ( ) 1− y AG 1− y AS Para gases perfectos c = P/ℜT .8 DAB t= cm 2 pie 2 ⎡ 291. dz NA = − c D AB d y A = constante (1 − y A ) d z Integrando: NAistantáneo = c DAB ⎡1 − y AG ⎤ ln ⎢ ⎥ válido para estado estable zF ⎣ 1 − y AS ⎦ (1) Análisis experimental: N Amed .12 = 0. 1.1)(760 )(359 )(291.076)⎢ = 0. ℜ = (P0 V0) / (n T0) donde el subíndice 0 indica condiciones estándar. i) Hasta reducir su diámetro hasta 0. ii) Hasta evaporarse completamente. O sea que el balance de materia aplicado a cualquier envolvente esférico nos lleva a la expresión [ ] d 2 r N Ar = 0 dr NAr es la densidad de flujo radial de la especie A. Podemos reducir inicialmente nuestra situación al análisis de la difusión en estado estacionario a través de una película esférica isotérmica. y la temperatura del aire seco es 100 °F. Difusión desde una gota hacia un gas estancado. En estado estacionario podemos observar que: [ ] [ ] [ N A1 4π R12 = N A 2 4π R22 = N A r 4π r 2 ] puesto que no hay acumulación de sustancia en ningún elemento de volumen ni tampoco reacción química. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 277 EJEMPLO 4. Asuma que la presión es 1.2 mm. N Ar = y A [N Ar + N Br ] − cDAB d yA dr .0 mm de diámetro inicial. El envolvente esférico contiene un gas B en reposo en el cual la difusividad del componente A es constante Los alrededores de la envolvente esférica se mantienen a otra concentración constante yA2 < yA1. Consideremos una esfera de radio R1 localizada dentro de una envoltura esférica concéntrica de radio R2. También que la gota permanece esférica y que está suspendida de alguna forma (de un finísimo hilo) en aire estancado.10.0 atm. Calcule el tiempo para que se evapore una gota de agua de 1. Solución. En la superficie de la esfera se mantiene la concentración del componente A constante e igual a yA1.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. separando variables e integrando entre los límites conocidos yA = yA1 en r = R1 .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 278 que para NBr = 0 nos lleva a: N A r = −c DAB d y A 1 − yA d r Reemplazando en la ecuación del balance de materia: d ⎡ 2 cDAB d y A ⎤ ⎢r ⎥=0 d r ⎣ 1 − yA d r ⎦ A temperatura y presión constantes c DAB es constante y ésta ecuación puede integrarse para obtener la distribución de concentración: ⎡ R11 − 1r ⎤ 1 − y A ⎡1 − y A2 ⎤ =⎢ ⎥ exp⎢ 1 1 ⎥ 1 − y A1 ⎣ 1 − y A1 ⎦ ⎣⎢ R1 − R2 ⎦⎥ La velocidad de transferencia en la superficie 1 puede obtenerse a partir de esta ecuación sabiendo que: N Ar r = R! = c D AB ⎡ d y A ⎤ 1 − y A ⎢⎣ d r ⎥⎦ r = R 1 o. sin necesidad de conocer el perfil de concentración. dado que r 2 c DAB d y A − = N A1R12 1 − yA d r es un valor constante para cualquier r. yA = yA2 en r = R2: ⎡1 ⎡1 − y A2 ⎤ 1⎤ R12 N A1 ⎢ − ⎥ = cDAB ln ⎢ ⎥ ⎣ R1 R2 ⎦ ⎣ 1 − y A1 ⎦ N A1 = cDAB ⎡ R2 ⎤ ⎡1 − y A2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ln ⎢ R2 − R1 ⎣ R1 ⎦ ⎣ 1 − y A1 ⎦ . o sea 58 °F. yA1 = 1. la temperatura de saturación adiabática.624x10−2 . el sistema se acepta en estado estacionario no siendo esto completamente cierto.06)(287.01624 atm. y los últimos serán discutidos más adelante. debemos buscar el límite cuando R → ∞.8) = 4. De la primera de estas dos expresiones es obvio que N A1 = − cDAB ⎡ y B 2 ⎤ ln ⎢ ⎥ R1 ⎣ y B1 ⎦ Llamando ahora R1 como R el radio de la gota. como en el caso del tubo de Stefan. y a la difusión por convección natural debido a la diferencia de densidad entre la vecindad a la superficie de la gota y la masa global de aire son despreciables.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. considerando el aire completamente seco. separando variables e integrando obtenemos: Rf ( ) ρ AL R12 − R 2f ρ AL RdR ⌠ t = ∫ dt = −⎮ = y 0 2M A cDAB ln yyBB12 ⌡ M A cDAB ln yBB12 t ( ) ( ) R1 La evaporación de la gota hace que su temperatura baje hasta un valor estable denominado temperatura de bulbo húmedo.23510−5 gmol/cm . Así mismo. N A 4π R 2 = − dmA dt es la velocidad instantánea de evaporación de la gota: mA = 4π R 3 ρ AL 3M A dm A 4π ρ A R 2 = dR MA 4π ρ AL R 2 dR N A 4π R = − MA dt 2 Substituyendo valores. como la del agua. (14. Del diagrama psicrométrico podemos tomar. Los efectos debidos al cambio de presión de vapor por la curvatura. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 279 Si queremos aplicar este resultado a la evaporación de nuestra gota que se halla en una gran masa de aire que no está en movimiento. yA2 = 0 .62°C) a la que corresponde una presión de vapor de 0. MA = 18 c = P/ℜT = 1/(82. 258) ln(1 / 0.05 cm.235 x10 −5 )(0.56 min.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. ρAL = 0. EJEMPLO 4.1 de Treybal).9988 g/cm3 a 58 °F. (0.11.9838) t = 373. derive Sh0 para la difusión molecular y evalúe qué suposiciones se deben hacer para que sea igual a 2.0 t = 393. ii) Rf = 0. Un balance de materia nos lleva a: [ ] d 2 r N Ar = 0 dr y la ley de Fick: N AS = DAB P dp A ℜT (P − p A ) dr El flujo molar: m A = 4π r 2 N Ar = Integrando: 4π r 2 D AB P dp A = constante ℜT (P − p A ) dr .9988)(0. (de la tabla 2. R1 = (1. = 6. = 0. Consideremos una esfera de radio R en una envoltura de gas estancado de radio R + δ.01 cm. Considerando la difusión desde una esfera de diámetro fijo.13 seg.012 ) (2)(18)(4.22 min.0 representa la contribución por difusión molecular en un gran volumen de aire estancado. i) t= Rf = (0.9 °C (299.1037 hr. = 6.1093 hr. donde pAS > pAG.052 − 0. pAS :Presión parcial del componente A en la superficie de la esfera. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 280 Conocemos DAB a 25. DAB constante. que es prácticamente la temperatura promedio. pAG:Presión parcial del componente A en el límite de la envoltura de gas estancado. . Solución.1 K) y 1 atm.2mm)/2 = 0.258 cm2/s . = 0.58 seg.0mm)/2 = 0.0. Los investigadores han estudiado la transferencia de masa desde esferas únicas correlacionando el número de Sherwood como Sh = Sh0 + C Rem Sc1/3 El valor Sh0 = 2. DAB = 0. Sh0 varía: (R + δ)/R 2 5 10 15 ∞ Sh0 4.00 12.00 2. .00 1. Observemos que según la relación entre δ y R. que es valor límite para una esfera en un medio estancado.20 2.80 Una gota de agua de diámetro inicial 1.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.12.30 0. está dada por Sherwood y Pigford según la siguiente tabla de datos Diámetro mm Velocidad pie/s 0.00 19. el número de Sherwood tiende a 2. La velocidad terminal en caída libre para gotas de agua en aire a presión atmosférica.50 2. 100 °F.0 atm. a) Calcule la velocidad inicial de evaporación.00 EJEMPLO 4.00 mm.05 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4π D AB P ⎡ R(R + δ ) ⎤ ⎡ p − p AG ⎤ ⎥⎦ ln ⎢ p − p ⎥ ℜT ⎢⎣ δ AS ⎦ ⎣ se define kG como: 281 4π r 2 N Ar = (i) 4π r 2 N Ar = kGπ d s2 ( p AS − p AG ) (ii) dS = 2R pBML = p AS − p AG p ln AS p AG Combinando (i) y (ii) tenemos: 2 kG pBMLℜTd S 2(R + δ ) = = Sh = δ δ (R + δ ) PDAB Cuando δ tiende a infinito.50 7. suponga que la gota permanece esférica y que la presión atmosférica permanece constante e igual a 1. cae en aire estancado a 1. Tome la temperatura del líquido como 58 °F.22 2..70 2.0 atm.04 2.00 23.18 0.20 3. 0001692) = 2. ρAS = (pAS M/ℜT) = (12.70 < 108 .5 ) 0.020 pie2/hr d = 1/(25.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Solución.003283)(0.169x10−3 pie2/s .5 entre 1.07625 lb/pie3 Para las mismas condiciones de película: νB = 0.597 GrD Sc = 1.0735 lb/pie3 DAB = 1.34)(29x492)/(760x359x518) = 0.244 a) GrD = g d3 (∆ρ/ρ)(ρ/µ)2 es el número de Grashof para transferencia de masa.2x0.20 mm.4x12) = 0.62 donde para Gr Sc < 108 . pAS = 12.4)2.000773 lb/pie3.0735x0.34 mmHg (presión de vapor del agua a 58 °F).0755 lb/pie3.07625 − 0.25 Gr Sc > 108 .0 + 0.347 Re" Sc 0.020) = 0. ρaire = ρG100 = (PM/ℜT) = (1x29x492)/(1x359x560) = 0.8 y 600000.84 Sc = (1. c) Calcule el tiempo para la evaporación anterior.6 y 3200 y Re"Sc0.0254 (GrD Sc)1/3 Sc0.0710)/(0. Sh0 = 2.0 + 0.34x18x492)/(760x359x518) = 0. ρBS = (760 − 12. suponiendo que la gota está suspendida en aire quieto.00328 pie GrD = (32.569 (GrD Sc)0. Las propiedades deben ser calculadas a la temperatura media de película. Tf = (TG + TS)/2 = 79 °F = 539 °R.0075 (539/536.334 = 1. Treybal y Steinberger recomiendan la siguiente expresión para el coeficiente de transferencia de masa: ( Shm = Sh0 + 0. Para flujo alrededor de esferas únicas con Sc entre 0.0710 lb/pie3. ρB = 0. Sh0 = 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 282 b) Calcule el tiempo y la distancia de caída libre para que la gota se evapore hasta un diámetro de 0.69x10−4)(3600)/(1. ρS = ρAS + ρBS = 0. 28x12.569(1.1006 3080 t = (20.34 )) kG = (FG/pBML) = 9.atm/lbmol v/kG./lb mol.20/0.0276 hr. d2 = 0. hr.atm) NA = 9.1088 4970 unidad 0.00254 lbmol/pie3 .20 lbmol/hr pie2 p BML = (12.00328 pie . d. = 99. pie 1/kG. Volumen de la gota = (4/3)π(d/2)3 = πd3/6 = MMA/ρL M= ρL π d 3 dM ρ πd2 = L dd M A 2 MA 6 − d M = k G ∆ pπ d d t = − 2 t t = ∫ dt = 0 ρL π d 2 MA 2 d (d ) d 2 d (d ) 0.0952 1850 0.70)0.000656 pie.1053 4095 de [hr ] área 0.25x10−5 hr.151 lbmol/hr. Similarmente vale (0.4 s. Área de la gota = 4π (d/2)2 = πd2 = S NA⋅S=kG ∆pA (πd2)= −(dM/dt) moles transferidos/hora.atm.000656 0.65 = (FG d)/(c DAB) c = P/ℜT = 0.pie2.34 / 760 ) = 0.28 (lbmol/hr. 8 ∫0.283 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.pie3.14 cada 1.992 atm. FG = 9.003280 0.0761 630 .250 = 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento v = 12.5x10−3) = 0. b) d1 = 0. ln (760 (760−12.0 + 0.00328 d (d ) − ρL = 106 .002624 0.7 pie/s .000666 kG 2M A ∆ p A ∫d1 kG En la figura 4.25x10−1)(0.650 .000169) = 247 Sh0 = 2.atm/lbmol 0.7)(106. ft.7x0. Sh = 11. En el momento t la gota tiene M moles.34/760 = 0.00328)/(0.pie2.25x10−5) = 0.992 = 9. Re" = (12.001968 0.001312 0.ft2.8)(1. 280 1/kG dx103 0. con densidad de 80 lb/pie3 (1. = 5 min 11. Solución.8(0.0 pie2/hr (1.00328 0.402 2. c) Re" = 0 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento z = vmed ⋅ t = ∫ 0. El oxígeno (A) del aire debe difundirse a través del gas circundando la partícula hasta la superficie donde ocurre una reacción heterogénea instantánea (proceso controlado por la difusión).55 cm2/s). estime el tiempo requerido para que la partícula se consuma completamente partiendo de un diámetro inicial de 0.8 seg.656 t = 106. El gas carbónico producido en la reacción (B) difunde radialmente y en sentido opuesto hacia el medio circundante. r 2 dr a partir de la ley de Fick: o sea [ ] d 2 r N Ar = 0 dr (i) .).010 pulg.968 0.13.000656 v d (d ) kG Area = 7765 (no se muestra la gráfica) z = 830 pies (253 m). suponga que el carbón es puro.0276 0 vdt = ∫ 0. Si la reacción C + O2 → CO2 ocurre muy rápidamente en la superficie de la partícula. Compare con la solución dada en el ejemplo anterior (no se consideraba la convección natural). De la estequiometría de la reacción observamos NA = − NB. Una partícula esférica de carbón pulverizado arde en aire a 2000 °F (1093 °C). (0.312 0. EJEMPLO 4. y al no haber generación o desaparición de O2 por reacción química homogénea dentro del volumen de control. la difusividad másica del O2 en la mezcla es de 6. por lo tanto la expresión general se reduce a: [ ] 1 d 2 r N A r = 0. ΦA = 0.0866 hr.284 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.117 0. Considerando la ecuación diferencial general para transferencia de masa en coordenadas esféricas: ΦA = ∂ N Aφ ⎤ 1 ∂ ∂ cA ⎡ 1 ∂ 2 [ [N Aθ senθ ] + 1 +⎢ 2 r N Ar ] + r senθ ∂ θ r senθ ∂ φ ⎥⎦ ∂ t ⎣r ∂ r Para estado estable.3145 1.220 1.0008115) = 0.254 mm. ∂cA/∂t = 0 .642 0. El flujo de materia es sólo en dirección radial por lo que NAθ = NAφ = 0.28 g/cm3).485 3. yAS vale cero. NA = −NB . podemos igualar la velocidad de transferencia instantánea con la velocidad de desaparición de la materia de la esfera: − m A = mB = − dM c dt ⎛ ρ ⎞⎛ 4π R 3 ⎞ ⎟⎟ M c = ⎜⎜ c ⎟⎟⎜⎜ ⎝ M c ⎠⎝ 3 ⎠ mA es negativo pues ocurre en la dirección negativa del eje radial. separando variables y aplicando condiciones límite: . Integrando: mA = 4π cD Am ( y AG − y AS ) ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ r R⎠ Siendo yAG la composición del gas circundante varios diámetros afuera de la superficie. r puede ser grande comparativamente con R. y la concentración en la superficie estaría dada por yAS = − NAS/(kS c) .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Entonces dy (ii) N Ar = − cD Am A dr De (i) observamos que r2 NAr es constante y lo será también mA = 4πr2 NAr. NN2 = 0 pues en este caso no difunde el nitrógeno. Ahora ⎛ ρ ⎞⎛ dR ⎞ 4π cDAm R( y AG − y AS ) = −4π R 2 ⎜⎜ c ⎟⎟⎜ ⎟ ⎝ M c ⎠⎝ dt ⎠ Simplificando. NAS = − kS cAS donde kS es la constante de reacción superficial. pues la reacción ocurre muy rápidamente en la superficie. Si la reacción no se pudiera considerar instantánea sería necesario conocer la velocidad de reacción química para obtener la condición límite: en r = R. Haciendo la suposición de que se cumplen las condiciones para aplicar el análisis de estado estacionario. la velocidad de transferencia de masa en cualquier punto. por tanto : dy ⎤ ⎡ mA = 4π R 2 N AS = 4π r 2 ⎢− cDAm A ⎥ dr ⎦ ⎣ separando variables e integrando N A r = − cD Am y AG dr = − 4 π cD Am ∫y AS dy A R r2 mA ∫ r Acá. mA sería la velocidad instantánea de transferencia pues R varía al consumirse la partícula. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 285 dy A + yAN dr N = NA + NB + NN2 . µB = 2.) y cae una distancia de 10 pies (3. ρc ( ) R12 − R22 Mc t= 2 DAm c( y AG − y AS ) Reemplazando valores: 2 ( [ 80)( 0.57 x10 −4 )(0. ¿Como se modifica la ecuación (ii) si la reacción que ocurre instantáneamente en la superficie puede representarse por 3C + 2O2 → 2CO + CO2 ? RESPUESTA.) a través de una columna de agua estancada.24 lb/pie3 . Ya hemos visto que en nuestro caso yAS = 0. Solución. ¿Cuánto ácido se disuelve durante ésta caída?.005 / 12 ) − 0](3600 ) = 2. t= (12)(2)(6)(5. .14. N Ar = cD AB dy A (1 + 0.º R PREGUNTA.03 lb/pie3 .7 mm. ρAS = solubilidad de saturación = 0.729 atm.695x10−5 pie2/hr. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento DAmc[ y AG − y AS ]∫ dt = − t 0 ρc MC ∫ R2 R1 286 RdR Para aire a nivel del mar yAG = 0. ℜ= (1)(359 ) = 0.hr . El sistema se encuentra a 77 °F (25 °C).7297)(2460) = 5.048 m.21 − 0) Aquí c = P/ℜT = (1)/(0.57x10−4 lbmol/pie3. Las propiedades físicas correspondientes a esta temperatura son ρB = 62. B : Agua.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. DAB = 4.21.5 y A ) dr EJEMPLO 4. Una esfera de ácido benzóico sólido tiene un diámetro de 1/2 pulgada (12.97 s. ρA = 79.16 lb/pie.213 lb A/pie3 (solución acuosa) A : Acido benzoico . pie 3 (1)(492 ) lbmol . 60 Re0.047 pie / s (62. incrementándose hasta que la suma neta de las fuerzas se anula.047 )(3600 )⎛⎜ 0.24 )62.5 ρP : densidad de la partícula.5 ⎡ 32(79. 5 = 1.7 adoptamos para el presente cálculo Sh = 368.agua: 1 Sh = 2.5 Sc 3 = 367.44 ⎡ gd ( ρ − ρ ) ⎤ vt = 1.16 ) ⎝ 12 ⎠ = 4540 La expresión sencilla dada por Ramz y Marshall para casos en que la convección natural es despreciable y que según Sherwood se ajusta bien a datos tomados para el sistema ácido benzóico . a saber la fuerza gravitacional.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. m : masa de la partícula = (π dP3 ρP)/6 AP: área proyectada perpendicular a la dirección del flujo = πdP2/4 Determinamos ⎡ gρ ( ρ P − ρ ) ⎤ K = dP ⎢ ⎥ µ2 ⎦ ⎣ 1 3 2 0. alcanzando la partícula una velocidad constante denominada velocidad terminal: ⎡ 2 g( ρP − ρ )m ⎤ ⎥ vt = ⎢ ⎢⎣ AP ρP cD ρ ⎥⎦ 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 287 La densidad y la viscosidad pueden considerarse constantes dada la baja solubilidad del ácido benzoico en el agua.16)2 ⎦ Estando este valor entre 44. Esta última depende de la velocidad.74 ⎢ P P ⎥ ρ ⎦ ⎣ 0. Como ya estudiamos. la esfera al final tendrá una velocidad tal que debemos usar la ley de Newton para calcular el coeficiente de fricción : CD = 0.4(3600 ) ⎤ K= ⎢ ⎥ = 189 12 ⎣ (2.0 .5 ⎞⎟ Re t = (2.0 + 0.24 )(1.0 y 2360. la fuerza de flotación y la fuerza viscosa.03 − 62. el movimiento de la partícula se determina haciendo un balance de las fuerzas que actúan sobre ella. y φ es el ángulo que su proyección en el plano xy hace con el eje x. o su diámetro ha disminuido en 0.043 % de su masa.415)(0. EJEMPLO 4.213 − 0. o sea el de una esfera disolviéndose.15. El balance de materia en coordenadas esféricas es: ∂ cA ⎡ 1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂ N Aφ ⎤ ( ( +⎢ 2 = ΦA r N Ar ) + N Aθ Senθ )+ ∂ t ⎣r ∂ r r Senθ ∂ θ r Senθ ∂ φ ⎥⎦ donde θ es el ángulo que hace el radio vector con el eje z.0 *10 lb ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ es decir.3 *10 −6 lbde A (3600) La esfera pesa inicialmente 3 ⎡ π d P3 ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 79. Solución. de tal forma que es correcto suponer dP constante al igual que vt constante. ¿Cuanto tiempo será necesario para que el flujo en la superficie alcance 99 % de su valor de estado estable?.03 ⎞ −3 ⎢ 6 ⎥ ρ P = (π )⎜ 24 ⎟ ⎜ 6 ⎟ = 3. pie 2 La esfera cae 10 pies en 9. evaporándose o quemándose por difusión molecular en un medio estancado de infinito volumen.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. esta ecuación se reduce a ∂ cA 1 ∂ 2 [r N Ar ] = 0 + ∂ t r2 ∂ r .A 2 1 ⎞ ⎟ (9. pero con radio R constante.0143 %. o sea que la cantidad disuelta durante la caída es: (0. que pierde el 0. Para casos como el considerado en los ejemplos anteriores.62 segundos.088lb A / hr. k ρ = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Sh = 288 k ρdP .415 pie / hr DAB n AS = k ρ ( ρ As − ρ A∞ ) = (0. Como solamente se presentan gradientes radiales de concentración.088)(π )⎛⎜ m .62) ⎝ 24 ⎠ = 1.0 ) = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para simplificar podemos considerar que el movimiento global radial neto o velocidad de arrastre es prácticamente nulo.5 ⎥ c AS r ⎣⎢ 2 DAB t ⎦⎥ ( ) . sección 9. (i) ∂ cA f (r ) 1 ∂ f (r ) =− 2 + ∂r r r ∂r ∂ ⎡ 2 ∂ cA ⎤ ∂ ⎡ ∂ f (r )⎤ ⎡ ∂ f (r ) ∂ 2 f (r ) ∂ f (r )⎤ ( ) = − +r + = − + f r r r ∂ r ⎢⎣ ∂ r ⎥⎦ ∂ r ⎢⎣ ∂ r ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ r ∂ r2 ∂ r ⎥⎦ ∂ ⎡ 2 ∂ cA ⎤ ∂ 2 f (r ) r r = ∂ r ⎢⎣ ∂ r ⎥⎦ ∂ r2 Además ∂ c A 1 ∂ f (r ) = ∂t r ∂t Con esto la ecuación (i) se transforma en: ∂ f (r ) ∂ 2 f (r ) = D AB ∂t ∂ r2 (ii) Las condiciones límite son los de una región limitada internamente por una esfera de radio R y con concentración inicial cero y concentración superficial constante: r=R cA = cAS f(r) = R cAS todo t r = b >> R cA = 0 f(r) = 0 = bcA todo t r>R cA = cA0 = 0 f(r) = r cA0 = 0 t = 0 La solución. pag 247). está dada por: cA R ⎡ r−R ⎤ = ⎢erfc (iii) 0.289 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.10(2). similar a la del sólido semiinfinito (Carslaw y Jaeger. La primera ley de Fick se reduce a: ⎛∂c ⎞ N Ar = J Ar + 0 = − DAB ⎜⎜ A ⎟⎟ ⎝ ∂r ⎠ ∂ c A DAB ∂ ⎡ 2 ∂ c A ⎤ r =0 = 2 ∂t r ∂ r ⎢⎣ ∂ r ⎥⎦ haciendo cA = f(r)/r. (iv) diferirá del estado estable en 1.290 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Nos interesa NAr en la solución adyacente a la superficie N AS = N Ar r =R = − DAB ∂ cA ∂r r =R Diferenciando (iii): ⎤ ⎡ − (r − R )2 ⎤ Rc AS ∂ c A c AS R ⎡ r−R exp⎢ = 2 ⎢erfc − 1⎥ − ⎥ 0. o sea en un tiempo t= 10000 R 2 π D AB (v) Para el caso de la gota de agua evaporándose en aire estancado : 10000(0.01 = estable (π DAB t )0.258) 2 esto es un 7. reconocemos que el primer término de la parte derecha en la ecuación (iv) corresponde a la solución para el estado estable. Además al disminuir el diámetro.8 % del tiempo que demora la gota en evaporarse completamente.5 ∂r r ⎣⎢ 2(DAB t ) ⎥⎦ r (π DAB t ) ⎣ 4DAB t ⎦ calculando en r = R: N AS = D AB c AS D AB c AS + R (π DAB t )0.5 (iv) Comparando con la ecuación para mA del ejemplo 4. el tiempo para alcanzar estado estacionario disminuye sensiblemente.5 0.12.0 % cuando inestable − estable R = 0.5 sea 100 R. Por tanto.05) t= = 30. Para la esfera de carbón quemándose a CO2.8 s π (0. .5 equivalente a que (πDABt)0. EJEMPLO 4. La ecuación de Steinberger es adecuada : Sh0 = 31. pues será inversamente proporcional a los coeficientes de transferencia.14 es: 2 ⎛ 1 ⎞ 10000⎜ ⎟ ⎝ 48 ⎠ = 29426horas = 106. libre de convección forzada. por ejemplo.7) = 111.0 % del tiempo necesario para que se consuma completamente. La lentitud con la que este sistema se aproxima a las condiciones de estado estable se debe al pequeño valor de DAB y al hecho de que la concentración molar de ácido en solución es relativamente grande (mucho mayor que. Para este caso la esfera está suspendida en agua. Para este caso.7 t = 9. tiempo en el que la esfera se ha disuelto unas diez veces.005) (3600 ) = 0. Al irse disolviendo la esfera se presentarían dos transitorios tal como ocurre en el tubo de Stefan: el cambio radial en la distribución de concentraciones. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 291 10000 ( 0.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.16.0 *106 s t= π 4. la concentración de vapor de A en el espacio gaseoso en el tubo de Stefan). Esta última conlleva el reemplazo del sólido . Hay claramente mayor velocidad de dilución que si supusiéramos sólo difusión molecular sin tener presente la convección natural.3316 seg. el uso de la aproximación de estado seudoestacionario conduciría a un grave error. el tiempo que demoraría la transferencia para alcanzar el estado estable de acuerdo con el análisis que nos lleva a la ecuación (v) del ejemplo 4. π ( 6)(144) 2 t= Este es el 11.62(368/31. Retomando la esfera de ácido benzoico considerada anteriormente. ¿Qué tiempo demoraría la disolución de la misma cantidad de ácido si la esfera estuviera suspendida en agua completamente libre de convección forzada? Solución.6 s.695 *10−5 ( ) Casi tres y medio años. Es bueno anotar que para este caso. y el cambio del radio y superficie de disolución de la esfera. pierde calor (o gana) desde la superficie libre. tal como se esquematiza en la figura 4. El método tiene la virtud de ser simple.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. comparada con las soluciones exactas. Una de estas aproximaciones es la forma integrada de la ecuación de conducción de calor presentada por Goodman en 1958. La ecuación diferencial para el caso del sólido semiinfinito con propiedades constantes es. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 292 por solución aproximadamente saturada. aún si la distribución inicial de concentraciones correspondiera exactamente a la del estado estable para el radio original. CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO. 4. y su precisión es razonable. La técnica y las ecuaciones resultantes son similares a las de Von Karmán usadas en la capa límite térmica e hidrodinámica. El análisis exacto de la situación descrita presenta un problema matemático difícil que parece no haber sido resuelto aún. Este campo de temperaturas comprende la región dentro del cuerpo donde la temperatura local difiere de T0. pero satisfacen exactamente el balance de energía. como ya lo hemos visto ∂T ∂ 2T =α ∂t ∂ z2 Esta se puede integrar desde z = 0 hasta z = H con H > δ: . La cantidad de soluto contenido en la esfera originalemte ocupada por el sólido es evidentemente significativo.15. un gradiente de temperatura aparece. MÉTODOS APROXIMADOS. se puede recurrir a formulaciones aproximadas de las ecuaciones de conducción de calor. Haremos el análisis para el caso de estado transitorio en una dimensión en un cuerpo semiinfinito: Cuando un cuerpo semiinfinito el cual se halla inicialmente a una temperatura T0. Además una superficie esférica de cero transporte volumétrico neto se mueve con respecto al centro de la esfera.16. Estas ecuaciones son aproximadas en el sentido de que no dan el perfil real de temperaturas o los flujos de calor locales exactos. Para problemas de geometría compleja o con condiciones límite no lineales o con otras complicaciones. y el uso de la ecuación de estado estable introduciría un error considerable. rápido. Esta es función del tiempo. La profundidad a la cual son sentidos los efectos del gradiente de temperatura se llama la profundidad de penetración δ. 68) z =0 Observamos que ρCP ∂T d δ dδ = −k T ( z. 4. Este se tiene inicialmente a temperatura uniforme T0. t )dz ⎤ = α ⎢ ∫ ⎥⎦ δ dt ⎢⎣ 0 ⎢⎣ ∂ z − z=H ∂T ∂z ⎤ ⎥ z =0 ⎥ ⎦ (4.0) = T0 . La ecuación diferencial y las condiciones límite que describen el problema son: ∂T ∂ 2T =α ∂t ∂ z2 t=0 T(z.66) 0 ⎡∂ T H d ⎡ δ T ( z . t > 0 T(0.67) En esta ecuación T(z. t )dz − T0 = −α ∫ 0 dt dt ∂z (4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento H H ⌠ ∂ 2T ⌠ ∂T dz =⎮ α dz ⎮ 2 ⌡ ∂t ⌡ ∂z 0 (4.t) = T0. t )dz − ρCPT0 ∫ 0 dt dt ∂z = qS (4.16. Estas ecuaciones producen soluciones aproximadas para conducción en estado transitorio en cuerpos semi-infinitos y placas gruesas teniendo propiedades físicas constantes o variables.1. Sólido semiinfinito con propiedades físicas constantes.68) o (4. constante.t) = TS . En la forma integrada de la ecuación de conducción de calor es necesario describir la distribución de temperatura por medio de una expresión analítica apropiada para evaluar las integrales y derivadas de (4.69) z =0 el flujo de calor en la superficie. t )dz + ∫ T ( z .293 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.69). no sólo ser físicamente representativo del perfil real de temperatura (o concentración) sino además satisfacer las condiciones límite bajo consideración. para δ ≤ z ≤ H. El perfil analítico de temperaturas así seleccionando debe. En el tiempo cero. Por lo tanto: ∂T d δ dδ T ( z. la temperatura superficial se reduce a una nueva temperatura TS que se mantiene constante de allí en adelante. Consideremos el caso de un sólido semiinfinito de propiedades físicas constantes. Derivando una vez. T = T0 .t) puede representarse por un polinomio de tercer grado. T = TS .05 % de la máxima diferencia (T0 – TS). se sigue de la ecuación diferencial qu en z = 0 ∂2T/∂z2 = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Suponiendo que T(z. El flujo de calor en la superficie se obtiene como: . ∂T/∂z = 0. en z = δ. T = az3 + bz2 + cz + d (4. d = TS.Finalmente T0 = aδ3 + cδ + TS con lo cual hallamos los coeficientes buscados: T − TS 3 ⎛ z ⎞ 1 ⎛ z ⎞ = ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ T0 − TS 2 ⎝ δ ⎠ 2 ⎝ δ ⎠ 3 Reemplazando este perfil en la ecuación integral δ ⌠ ⎡ 3 ⎛ z ⎞ 1 ⎛ z ⎞3 ⎤ dδ 3 α (T0 − TS ) (T0 − TS ) d ⎮ =− − ⎜ ⎟ + TS ⎥dz − T0 ⎜ ⎟ ⎢ dt ⎮ dt 2 δ ⎥⎦ ⌡ ⎢⎣ 2 ⎝ δ ⎠ 2 ⎝ δ ⎠ 0 Resolviendo y simplificando obtenemos δ t 0 0 ∫ δdδ = 4α ∫ dt ⇒ δ = 8αt El perfil será T − TS 3 ⎛ z ⎞ 1 ⎛ z ⎞ = ⎜ ⎟ ⎟− ⎜ T0 − TS 2 ⎝ 8αt ⎠ 2 ⎝ 8αt ⎠ 3 La solución exacta para este problema fué T − Ts z = erf 1/ 2 To − Ts 2(α t ) En z = (8αt)1/2 . Si la temperatura en la superficie es constante. De la primera condición límite.70) sujeta a las condiciones físicas siguientes: En z = 0. 3aδ2 + 2bδ = − c.294 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la diferencia (T0 − T) es 0. Derivando nuevamente 6az + 2b = 0 para z = 0 por lo cual b = 0. la superficie en z = 0 se somete a un flujo de calor variable con el tiempo. 4. Esto origina temperaturas de superficie variables. luego a partir de un momento dado. el flujo de calor predicho en la interfase será 2. Consideremos nuevamente un sólido semiinfinito.71) al comparar (4. Para este caso debemos agregar la condición límite que para z = δ . Si θ = T – T0 ∂θ ∂ 2θ =α ∂t ∂ z2 z = 0 t>0 q = qS(t) varía con el tiempo. θ = 0 Asumimos perfil de temperatura cúbico : θ(z. pero donde el flujo de calor en la superficie puede variar arbitrariamente con el tiempo.t) = az3 + bz2 + cz + d Son cuatro constantes.295 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Sólido semiinfinito con temperatura de superficie variable con el tiempo.72) . Supongamos que el cuerpo está inicialmente a una temperatura T0 constante.3% mayor. Si se selecciona un perfil parabólico (polinomio de segundo grado) para describir el perfil de temperatura.16.2.67) con el valor exacto qs = k (TS − T0 ) παt se puede observar que existe una pequeña diferencia entre los resultados de la solución exacta y la solución aproximada. Requerimos cuatro condiciones límite a saber: z=0. z > 0 t = 0 T = T0 . q ∂θ =− s ∂z k (4. Mayor grado de aproximación se obtiene seleccionando un polinomio de cuarto grado. ∂2T/∂z2 = 0. De hecho esta última es 6 % menor. con propiedades físicas constantes. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡∂ T ⎤ 3k (TS − T0 ) k (TS − T0 ) qs = − k ⎢ ⎥ = = (32 9 )αt 2 8αt ⎣ ∂ z ⎦ z =0 (4. d = S 2 kδ k 3kδ 3k Haciendo η = z/δ: θ= q sδ 1 − 3η + 3η 2 − η 3 3k ( ) = q sδ (1 − η )3 3k (4. ∂z z = δ .76) para z = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ∂θ = 0. Sólido semiinfinito con pérdidas convectivas de calor en la superficie.16. c=− S .77) La solución exacta dada por Carslaw y Jaeger (p-75) es: q ⎡ 4α t ⎤ θs = s ⎢ k ⎣ π ⎥⎦ 1/ 2 (4.75) ⎡4 ⎤ ⎢⎣ 3 α t ⎥⎦ 1/ 2 ⎡ ⎤ z ⎢1 − 1/ 2 ⎥ ⎣ (12α t ) ⎦ 3 (4. t ) = 0.3.77) es sólo 2. d ⎡1 ⎤ q sδ 2 ⎥ = α q s ⎢ dt ⎣12 ⎦ (4.78) El resultado (4. b= S . δ = 12α t q θ (z. t ) = s k (4. ∂ 2θ =0 ∂ z2 Resolviendo: a=− qS q q qδ . θs = qs k ⎡4 ⎤ ⎢⎣ 3 α t ⎥⎦ 1/ 2 (4.33 % mayor 4.74) Así cuando se resuelve suponiendo qS como constante.296 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.73) Al reemplazar obtenemos una ecuación diferencial ordinaria. θ (δ . . Sea θ = (T – T0). La superficie libre en z = 0 está en contacto con un fluido a temperatura constante T∞.81) como qS/k es función de θS por (4. evaluado en z = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Se pueden usar los resultados anteriores para determinar el flujo de calor en la superficie por pérdidas convectivas hacia un fluido. es posible separar las variables para obtener una solución analítica.t) = (TS – T0) es función del tiempo. Introduciendo (4.74) obtenemos : d ⎡ kθ s2 ⎤ 4 qs ⎢ ⎥= α dt ⎣ qs ⎦ 3 k (4. Nuevamente consideremos que el sólido se encuentra inicialmente a temperatura uniforme T0.80) donde θS = θ(0.69).74).81) como : ⎛ θ s2 ⎞ 4 ⎟ = α dt d⎜ f (θ s ) ⎜⎝ f (θ s ) ⎟⎠ 3 1 que se puede expandir como: 2θ s f (θ s ) − θ s2 f ' (θ s ) 4 dθ s = α dt 3 f (θ s ) 3 Goodman halló la solución para la variación de la temperatura en la superficie z = 0: .79) en (4.297 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.79) Donde θ∞ = (T∞ − T0) es constante y qS es función del tiempo. t ) − θ ∞ ] ⎣ ⎦ z =0 (4. Podemos reescribir (4. Tomando el mismo perfil de temperatura (4. nos da: δ= 3kθ s qs (4. El problema queda descrito por las siguientes ecuaciones y condiciones límite: ∂ θ ∂ 2θ = ∂ t ∂ z2 ⎡∂ θ ⎤ qs h ⎢ ∂ z ⎥ = − k = k [θ (0. Fuente de calor uniformemente distribuida. no se aprecia diferencia entre ambas curvas. 1 t Φ H 1 ∂θ o θ= = ∫ Φ dt ρCP 0 H k α ∂t Integrando (4.83) Evaluando esta expresión para z = 0 y graficando θS/θ∞ en las ordenadas contra ln [(h/k)(αt)½] en las abscisas.84) en z = 0.16. 72): ⎡ z ⎤ ⎡ z ⎡ hz h 2α t ⎤ θ h 1/ 2 ⎤ ( ) = erfc⎢ − + + erfc α exp t ⎥ ⎢ ⎥ ⎢k 1/ 2 1/ 2 θ∞ k ⎥⎦ k ⎣ ⎣ 2(α t ) ⎦ ⎣ 2(α t ) ⎦ (4.84) resulta ∂θ −α ∂z z =0 t ⎡ ⎤ d ⎢δ ⌠ ΦH ⎥ = dt ∫ θdz + δ ⎮ dt ⎢ 0 ⌡ ρC P ⎥ 0 ⎣ ⎦ La siguiente relación satisface todas las condiciones θ= [ tΦ H 3 1 − (1 − X ) ρCP ] X = z/δ La ecuación resultante que relaciona δ y ΦH es . t = 0. puesto que para esta circunstancia ∂2θ/∂z2 = 0. se deduce de la ecuación (A). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento −2 2 ⎤ ⎡ θ ⎤ 4 ⎡h⎤ 1 ⎡⎛ θ s ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ + ln ⎢1 − s ⎥ = − − 1 1 t α ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 3 ⎣k ⎦ 2 ⎢⎝ θ ∞ ⎠ ⎥⎦ ⎣ θ∞ ⎦ ⎣ (4.4.298 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. θ = 0.82) Carslaw y Jaeger dan la solución exacta (p. Otra condición para z > δ. En términos de θ = T – T0 la situación se describe por ∂ 2θ Φ H 1 ∂θ + = α ∂t ∂z 2 k (4. t ≥ 0. 4. θ = 0. en z > 0. También permite tener presentes las variaciones de las propiedades espaciales y termofísicas de región de conducción. δ se encuentra cuando se da ΦH. Método explícito. los coeficientes convectivos o las difusividades pueden variar.17.1. John Wiley and Sons.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Generalmente. En muchos procesos que dependen del tiempo. Estos casos complejos pueden evaluarse empleando técnicas numéricas. Cuando no pueden obtenerse soluciones analíticas se puede recurrir a métodos alternativos tales como análisis numérico o gráfico. el flujo de calor en la superficie qS es 6% menor que el hallado por la solución exacta qS = ΦH(4αt/π)1/2. Más información en “Heat Conduction”. 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 299 d [tδ Φ H ] = 12αtΦ H dt δ De esta manera. Métodos de diferencias finitas.17. En muchas ocasiones aparecen problemas. 1980 por M. 4. tanto en estado estable como en estado inestable que son difíciles de resolver analíticamente. El hecho de que los resultados anteriores concuerden aceptablemente con los cálculos analíticos. las condiciones de operación actual no corresponden a las condiciones límite e iniciales estipuladas en las soluciones analíticas estudiadas con anterioridad. si el sistema no posee algún tipo de simetría de forma o de distribución. Özizik. a pesar de que la ecuación diferencial basada en el balance de energía diferencial sea obtenida. ya sea de temperaturas o de concentraciones. Las ecuaciones fundamentales pueden obtenerse por dos vías: matemáticamente. Cuando ΦH es constante. o la temperatura ambiente. reemplazando en las ecuaciones diferenciales básicas las derivadas por sus expresiones en . es difícil conseguir una solución analítica. o se puede construir un análogo eléctrico o hidráulico del sistema. N. Este método presenta también en ocasiones ventajas sobre los métodos numéricos por indicar más claramente los parámetros relevantes de un proceso y su dependencia funcional. nos indica que el uso de este método aproximado es adecuado para muchos casos en los que no es posible un desarrollo exacto. METODOS NUMERICOS EN PROCESOS NO ESTABLES. La distribución inicial de concentraciones (o de temperaturas) puede presentar características no uniformes. t ) − (∆z ) + − + 2 ∂z 2 6 ∂z 3 24 ∂z 4 ∂z Sumando miembro a miembro y despreciando los términos de orden (∆z)4 y superiores la así llamada aproximación central en diferencias finitas a la segunda derivada es: ∂ 2T T ( z + ∆z .87) .300 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. t ) + (∆t ) ∂T (∆t ) 2 ∂ 2T (∆t ) 3 ∂ 3T (∆t ) 4 ∂ 4T + ⋅⋅⋅ + + + 2 ∂t 2 6 ∂t 3 24 ∂t 4 ∂T En la medida que ∆t sea suficientemente pequeño.1. los términos del orden de (∆t)2 y superiores.t).17. unidireccional.1. t ) − 2T ( z . t ) + T ( z − ∆z . Formulación matemática de las ecuaciones de diferencias finitas. y el superíndice el momento en el cual se hace tal medición. La reducción de una ecuación diferencial parcial a una aproximación adecuada en diferencias finitas se puede hacer fácilmente por medio de las series de Taylor. t + ∆t ) = T ( z. Para ilustrar el método consideremos la ecuación diferencial parcial que caracteriza los procesos de transferencia de calor (masa) en estado no estable. t + ∆t ) − T ( z . o por balances de energía (o de materia) en cada punto del sistema en el que se desea conocer la temperatura (o concentración). puede expandirse alrededor de t para un valor fijo de z: T ( z . pueden ser despreciados. t ) Tmt +1 − 2Tmt + Tmt −1 = = (∆z ) 2 (∆z ) 2 ∂z 2 (4. Para obtener la primera aproximación a ∂2T/∂z2 se necesitan dos expansiones de la serie: T ( z + ∆z.85) α ∂t ∂z 2 Como T = T(z.86) Aquí hemos introducido una notación abreviada donde el subíndice indica el punto o nodo donde se mide la variable. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento función de diferencias finitas. t ) = T ( z . t ) Tmt +1 − Tmt = = ∂t ∆t ∆t (4. t ) = T ( z . 4. sin generación: 1 ∂T ∂ 2T = (4. t ) + (∆z ) ∂T (∆z ) 2 ∂ 2T (∆z ) 3 ∂ 3T (∆z ) 4 ∂ 4T + ⋅⋅⋅ + + + 2 ∂z 2 6 ∂z 3 24 ∂z 4 ∂z ∂T (∆z ) 2 ∂ 2T (∆z ) 3 ∂ 3T (∆z ) 4 ∂ 4T − ⋅⋅⋅ T ( z − ∆z. y una primera aproximación a ∂T/∂t es ∂T T ( z . habrá acumulación de masa en la capa ab.85) 1 Tmt +1 − Tmt Tmt +1 − 2Tmt + Tmt −1 = α ∆t (∆z ) 2 (4. Dividimos la pared en capas. A continuación ilustramos la manera de obtener estas mismas ecuaciones a través de balances de materia o de energía. la que se extiende ∆z/2 a izquierda y derecha del plano -1-. fluirá masa hacia el plano -1.al fin del intervalo de tiempo ∆t. con el área perpendicular a la dirección z como S: Salida − Entrada + Acumulación = Generación. La concentración inicial dentro de la pared es cA0. Escribiendo un balance de masa para el intervalo ∆t. reescribimos Tmt +1 = FoTmt −1 + (1 − 2 Fo)Tmt + FoTmt +1 (4.y -2. cada una de ellas de espesor ∆z. Luego de un corto intervalo de tiempo ∆t. Dividiendo todos los términos entre (∆z)S/∆t y reorganizando . a partir de las temperaturas de los 3 nodos adyacentes en el momento presente t.permanece en cero (cA0 − cA0).87) anteriores en diferencias finitas en la ecuación (4. Reemplazando las aproximaciones (4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El error de truncamiento involucrado al omitir el resto de la serie es del orden de (∆z)4.86) y (4. Estas son líneas de referencia de concentración.debido a la fuerza guía de concentraciones (cAS − cA0). Si en este intervalo la fuerza guía entre los planos -1. explícitamente hallamos la temperatura del nodo m en un momento futuro t+1. t t t t D AB S c AS − c A1 (∆z ) S c tA+11 − c tA1 D AB S c A1 − c A 2 − + =0 ∆z ∆z ∆t ( ) ( ) ( ) Donde c tA+11 es la nueva concentración en el plano de referencia -1. Consideremos un sólido semiinfinito en cuya superficie la concentración del componente A es cAS.301 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.88) Notando que α∆t/(∆z)2 es un número de Fourier en términos de la distancia incremental ∆z y el intervalo de tiempo ∆t. Cada división se numera a partir de 0 en la superficie.89) Aquí. 91) La ecuación (4. 4. Es importante que valores constantes de ∆z y ∆t se usen a lo largo de la solución. El mismo procedimiento puede continuarse para intervalos de tiempo adicionales.90) Obsérvese la similitud con la ecuación (4. Si seleccionamos ∆z y ∆t en forma tal que: D AB ∆t 1 = 2 ∆z 2 (4. y una entre este punto y cA0 en la línea nodal -4.92) Al seleccionar en esta forma ∆t y ∆z. eliminamos c tA1 y la nueva concentración c tA+11 es simplemente el promedio aritmético de la concentración en el momento t en los planos adyacentes.se dibuja entre c tA+11 en la línea nodal -1. que no varía con el tiempo. la línea -2.16.en la concentración para después de dos intervalos de tiempo.17. . La relación adimensional DAB∆t /(∆z)2 recuerda el número de Fourier y es importante en la solución del problema pues relaciona el incremento de tiempo y el tamaño del nodo ∆z.(hasta el momento no se ha cambiado la concentración en este plano de referencia). Esta línea intersecta la línea nodal -2. la concentración en cualquier plano de referencia en el tiempo (t + 1) es el promedio aritmético de las concentraciones de los planos adyacentes en el tiempo (t): +1 c tAm = c tA( m −1) + c tA( m +1) (4.93) 2 Refiriéndonos a la Figura 4.90) se simplifica a: c tA+11 = c tAS + c tA2 2 (4. una entre cAS. Estas líneas indican que las concentraciones en los nodos -1.2.y cA0 en la línea nodal -3-. y el nuevo c tA+22 de la línea nodal -2-. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento c tA+11 = c tA1 + D AB ∆t t (c As − 2c tA1 + c tA2 ) 2 ( ∆z ) (4. La línea recta -1. Para el tercer intervalo de tiempo ∆t3 se dibujan dos líneas -3-.que conecta cAS y c tA 2 localiza c tA+11 en el punto donde la línea intersecta al plano nodal 1. Método gráfico de Schmidt.302 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1. De la misma manera.y -3.88).son aproximadamente c tA+13 y c tA+33 al final del tercer intervalo de tiempo. Así las líneas que crucen la superficie tendrán la pendiente prevista. pero partiendo de esta nueva línea de referencia se puede efectuar el procedimiento sin más modificaciones. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La densidad de flujo molar por unidad de área dentro de la pared en cualquier instante puede obtenerse a partir de la pendiente del perfil de concentraciones entre la superficie y la línea nodal -1-. .94) Esta técnica gráfica se basa en la suposición de que el coeficiente difusional sea constante.303 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Aquí la concentración que permanecerá constante será cA∞. La expresión algebraica es: N t Az ( D AB c AS − c tA1 = ∆z ) (4. Cuando la concentración superficial no es constante debido a la transferencia de masa convectiva el gradiente de concentración (temperatura) en la superficie en cada instante está definido por las condiciones de la superficie: N AS = − DAB dc A dz = kc (c As − c A∞ ) z =0 Gráficamente esto significa que la tangente al perfil de concentraciones (temperaturas) en la superficie debe pasar a través de un punto de referencia cuya distancia desde la pared es DAB/kC (o k/h) y cuya ordenada es la concentración del fluido cA∞ (o T∞). El método de Schmidt puede aplicarse a cualquier condición inicial.95) Bastará entonces agregar una línea de referencia a la izquierda del plano nodal -0. aunque alguna precisión adicional se logra desplazando los planos nodales ½∆z a la izquierda de tal manera que la superficie de la pared corresponda a la mitad del primer incremento.a una distancia ∆z* = DAB/kC (k/h para transferencia de calor). dc A dz = z =0 c A∞ − c As c A∞ − c As = D AB / k C ∆z* (4. La precisión puede mejorarse en la medida en que ∆z se haga más y más pequeño. y que el cuerpo al comienzo tiene un perfil de concentraciones conocido. El grado en el cual la solución aproximada se acerca a la exacta al decrecer los intervalos de espacio y tiempo se denomina convergencia del método. del esquema de desarrollo del método de incrementos finitos y de la magnitud del número de Fourier. los valores obtenidos para los nodos en tiempos sucesivos oscilan con amplitud creciente cambiando incluso de signo. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 304 4. . Resulta entonces que no se pueden seleccionar arbitrariamente las magnitudes de los intervalos de espacio ∆z y de tiempo ∆t sino que deberán elegirse de forma que satisfagan ciertas condiciones de estabilidad. el término error se refiere generalmente a la diferencia entre una solución aproximada y la solución exacta de la ecuación original en derivadas parciales. Exactitud. El segundo tipo de error se origina en la imposibilidad de arrastrar un número infinito de decimales en los cálculos. convergencia y estabilidad. Existen dos tipos de errores que afectan dicha diferencia. como es el problema de la estabilidad. En ocasiones al progresar el cálculo. En los cálculos numéricos.17. de las condiciones límite. Al redondear los números fraccionarios se introduce el error de redondeo. del que dependen los incrementos de espacio y tiempo elegidos para el cálculo.3. y sin responder nunca a los valores reales correspondientes.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1. Independientemente de los errores de truncamiento y redondeo se presenta un problema más serio asociado a ciertos métodos de incrementos finitos como el que acabamos de introducir. Los errores de redondeo tienden a crecer cuando el sistema es inestable y disminuyen cuando es estable. El primero de ellos es el debido a la sustitución de las derivadas por incrementos finitos y se denomina error de truncamiento el cual depende de la distribución inicial de temperaturas en el sólido. 2. permite encontrar un resultado con la cuarta parte de los pasos necesarios si usáramos el máximo Fo = ½ en el método explícito. 4. Sin embargo el ser incondicionalmente estable le da ventaja sobre el método explícito.17. denominado de Crank – Nicolson.305 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.96) A diferencia del método explícito. modificando la ecuación (4. al reducirse los errores de truncamiento y redondeo. Explicaremos a continuación uno basado en la media aritmética de ambos. o el de inversión de matrices. a diferencia del anterior.1. 4.96) pero en el lado derecho se toma el promedio de los lados derechos de ambas: . llámese temperatura o concentración. aunque los valores serán tanto más precisos cuanto menores sean dichos intervalos. El método se diferencia del explícito en que el balance de energía se establece en el instante (t + ∆t) en lugar del (t). 4.17. Métodos mixtos. la temperatura del nodo m en el tiempo (t + 1) queda expresada en función de las de los nodos vecinos pero también en el futuro. Se encuentran también métodos de incrementos finitos basados en los dos anteriores.3. Este método de incrementos finitos para régimen no estacionario es. Método de Crank – Nicolson. Se debe advertir que al analizar nodos de frontera pueden aparecer requisitos de estabilidad aún más restrictivos.3.90) esto se cumple si (1 − 2Fo) ≥ 0 ⇒ Fo ≤ ½. es decir para todos los valores de los números de Fourier y Biot.88) así: 1 Tmt +1 − Tmt Tmt ++11 − 2Tmt +1 + Tmt +−11 = α ∆t (∆z ) 2 (4. pues al seleccionar por ejemplo un valor de 2 para Fo. Se hace entonces necesario resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones de todos los nodos simultáneamente.89) o (4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Un criterio de estabilidad sencillo y útil es el siguiente: en cualquier ecuación en diferencias finitas el coeficiente de la variable. del nodo m en el tiempo t actual debe ser mayor o igual a cero. Para el caso de las ecuaciones (4.88) o (4. Esto se puede hacer usando el método de Gauss – Seidel. estable para prácticamente todas las magnitudes de los intervalos de espacio y tiempo ∆z y ∆t.17. Método implícito. En este caso se retiene el lado izquierdo de la ecuación en diferencia finita dada en las ecuaciones (4. 4.. 2. ..88) Φ Hα ⎛ α∆t ⎞ Φ H Fo(∆z ) 2 ΦH ⎟ ⇒ = = Fo = ⎜⎜ 2 ⎟ k∆t k ρC P ⎝ ( ∆z ) ⎠ .1.. 4. Nodo interno (m) con generación. Método explícito.4. N − 1. 1. N. 1. se presentan N + 1 ecuaciones algebraicas acopladas de las N + 1 temperaturas desconocidas Tmt +1 (m = 0. . 1. A continuación obtenemos ecuaciones por los tres métodos para diferentes condiciones de frontera y con generación usando el método de balances de energía por ser más ilustrativo.. Podemos desarrollar la ecuación en diferencias finitas aplicando un balance de energía (salida menos entrada más acumulación igual generación) alrededor del nodo m.17.. Las temperaturas para m = −1 y m = N +1 se obtienen de las condiciones de frontera. N) de los puntos nodales. 2.. m − 1. N. En resumen..306 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Sin embargo al poder seleccionar intervalos de tiempo ∆t mayores se puede obtener una respuesta más rápidamente. Los cambios para adaptar las ecuaciones superficiales a otra situación son obvios si tenemos presente que los nodos se numeran de izquierda a derecha como 0. . (T kS t m ) ( ) ( ) − Tmt +1 Tmt −1 − Tmt Tmt +1 − Tmt − kS + ρCP S∆z = Φ H S∆z ∆z ∆z ∆t Dividiendo por ρCPS∆z y reorganizando obtenemos (T t +1 m ) − Tmt Φ k = Tmt −1 − 2Tmt + Tmt +1 + H 2 ∆t ρC P ( ∆z ) ρC P Reconociendo que α = ( k ρC P ) (4. m.17. el método implícito produce un grupo de ecuaciones acopladas que se deben resolver en cada intervalo de tiempo mientras que las ecuaciones del método explícito no son acopladas. 4. . . . . m +1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Tmt +1 − Tmt α ⎡ Tmt +1 − 2Tmt + Tmt −1 Tmt ++11 − 2Tmt +1 + Tmt +−11 ⎤ = ⎢ + ⎥ 2⎣ ∆t (∆z ) 2 (∆z ) 2 ⎦ que se puede reorganizar como − FoTmt +−11 + (2 + 2 Fo )Tmt +1 − FoTmt ++11 = FoTmt −1 + (2 − 2 Fo )Tmt + FoTmt +1 Si m = 0. .. 2.4. Método implícito.307 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.96) y dividiendo por dos obtenemos la expresión para Crank – Nicolson: (T t +1 m (T ) − Tmt Φ k = Tmt −1 − 2Tmt + Tmt +1 + Tmt +−11 − 2Tmt +1 + Tmt ++11 + H 2 2 ρC P (∆z ) ∆t ρC P t +1 m − Tmt ) = ( ) (4.88a) Para estabilidad el coeficiente de Tmt debe ser mayor o igual a cero.17.88) y (4. es decir (2 − 2Fo) ≥ 0 ⇒ Fo ≤ 1. es decir Fo ≤ ½.4.97a) Para estabilidad termodinámica y matemática el coeficiente del nodo m en el momento actual t. Método mixto.96) Φ H ∆t (4.17. − FoTmt +−11 + (1 + 2 Fo)Tmt +1 − FoTmt ++11 = Tmt + 4. Puede observarse que el nodo aislado o adiabático se puede obtener también de estas ecuaciones haciendo el subíndice m +1 = m − 1 según convenga. es decir las temperaturas de los nodos en el tiempo (t + 1) y colocando las temperaturas de los nodos con sus respectivos coeficientes queda − FoTmt +−11 + (2 + 2 Fo )Tmt +1 − FoTmt ++11 = FoTmt −1 + (2 − 2 Fo )Tmt + FoTmt +1 + 2 Φ H α∆ t k (4. Sumando miembro a miembro las ecuaciones (4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Tmt +1 = FoTmt −1 + (1 − 2 Fo)Tmt + FoTmt +1 + Φ H ∆t ρCP (4. 4.97) Φ ∆t Fo t ( Tm −1 − 2Tmt + Tmt +1 + Tmt +−11 − 2Tmt +1 + Tmt ++11 ) + H 2 ρC P Separando las incógnitas.96a) ρCP El coeficiente de Tmt es la unidad por lo que este sistema es incondicionalmente estable. Esto dado que un nodo adiabático representa matemáticamente la misma situación que un plano de simetría. debe ser mayor o igual a cero. (T t +1 m ) − Tmt Φ k = Tmt +−11 − 2Tmt +1 + Tmt ++11 + H 2 ∆t ρC P (∆z ) ρC P ( ) (4.3. . Método explícito.17.6.3.308 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.5. Método explícito.98a) 4.6.5.98b) 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4.17. Método Crank – Nicolson. 4. ( ) hS TNt − T∞ − ( ) ( ) t +1 t kS TNt −1 −TNt ⎛ ∆z ⎞ ⎡ T − TN ⎤ ⎛ ∆z ⎞ + ρC P S ⎜ ⎟ ⎢ N ⎥ = Φ H S⎜ ⎟ ∆z ∆t ⎝ 2 ⎠⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ TNt +1 = 2 FoTNt −1 + (1 − 2 Fo − 2 BiFo)TNt + 2 BiFoT∞ + Φ H ∆t ρCP Para estabilidad (1 − 2Fo – 2BiFo) ≥ 0 ⇒ Fo ≤ 1/[2(1 + Bi)] (4.99) (4. Nodo convectivo derecho (n). Método implícito. Tmt +1 = (1 − 2 Fo)Tmt + 2 FoTmt +1 + Φ H ∆t .17.17.5. Fo ≤ ½ ρCP (4.5.1.17. En el caso de los nodos internos se utiliza medio incremento anterior y medio incremento posterior como se observa en la figura 1. Incondicionalmente estable (4.98c) La condición de estabilidad en esta ocasión es nuevamente Fo ≤ 1.99a) .17.1. (1 + 2Fo)Tmt +1 − 2FoTmt ++11 = Tmt + Φ H ∆t ρCP . Nodo adiabático izquierdo (0) con generación. Hacemos resaltar que en los casos siguientes se establece el balance de energía alrededor del nodo del borde con acumulación y/o generación en la mitad del último incremento ∆x/2.2. (1 + Fo )T0t +1 − FoT1t +1 = (1 − Fo )T0t + FoT1t + Φ H α∆t k (4. Siguiendo la recomendación anterior obtenemos 4. con generación. 4. 309 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.102a) . Método implícito. Nodo izquierdo (0). BiFo = ⎜ 2 ⎟ ρC P ρC P ⎝ k ⎠ ⎝ k∆z ⎠ ⎝ ρC P ∆z ⎠ ⎝ ( ∆z ) ⎠ (BiFo + Fo + 1)TNt +1 − FoTNt +−11 = 2 BiFoT∞ + (1 − BiFo − Fo )TNt + FoTNt −1 + Φ H ∆t / ρC P (4.7. ⎞ ∆z ∆z ⎛ T t +1 − T0t ⎞ ⎟ = Φ H ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ − q S + ρC P ⎛⎜ ⎞⎟⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ ∆t ⎠ ⎠ 2∆tqS Φ H ∆t + T0t +1 = (1 − 2 Fo)T0t + 2 FoT1t + .99) y (4.17. ( ) hS TNt +1 − T∞ − ( ) ( ) t +1 t kS TNt +−11 − TNt +1 ⎛ ∆z ⎞ ⎡ T − TN ⎤ ⎛ ∆z ⎞ + ρCP S ⎜ ⎟ ⎢ N ⎥ = ΦH S⎜ ⎟ ∆z ∆t ⎝ 2 ⎠⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ − 2 FoTNt +−11 + (1 + 2 Fo + 2 BiFo)TNt +1 = TNt + 2 BiFoT∞ + Φ H ∆t ρCP (4. 4. Dividiendo las ecuaciones (4.101) Para estabilidad el coeficiente del nodo N en el momento actual debe ser mayor o igual a cero.17.2.100) por ρCPS(∆z/2). Generación uniforme dentro del sólido. con α = ⇒ Fo = ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ . 4.100) (4. 4. Método explícito (por unidad de área). Método Crank – Nicolson.17. Bi = ⎜ .102) (4. Flujo constante en la pared.1.7. sumando y reorganizando: ⎞ t ⎛ 2h ⎞ t ⎡ TNt +1 − TNt ⎤ ⎛ 2k t t +1 t +1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ TN − T∞ + TNt +1 − T∞ + T T T T 2⎢ − + − − − − 1 1 N N N N ⎥ = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎣ ∆t ⎦ ⎝ ρCP (∆z ) ⎠ ⎝ ρCP ∆z ⎠ ( +2 ) ( ) k ⎛ α∆t ⎞ ΦH ⎛ h∆z ⎞ ⎛ hα∆t ⎞ ⎛ h∆t ⎞ ⎟⎟ ⎟ . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4.100a) Como el coeficiente de TNt es independiente de Bi o Fo será incondicionalmente estable. es decir [1 − Fo(Bi +1)] ≥ 0 ⇒ (Bi +1)Fo ≤ 1.3.17.6. Fo ≤ ½ ρCP ∆z ρCP ⎛ T t − T1t k ⎜⎜ 0 ⎝ ∆z (4.6. EJEMPLO 4. CP = 0.173x10−8 Btu/hr.17. ⎛ T t +1 − T1t +1 ⎞ ∆z ⎛ T t +1 − T0t ⎟ − q S + ρC P ⎛⎜ ⎞⎟⎜ 0 k ⎜⎜ 0 ⎟ ∆z ⎝ 2 ⎠⎜⎝ ∆t ⎠ ⎝ (1 + 2Fo)T0t +1 − 2FoT1t +1 = T0t + ⎞ ∆z ⎟ = Φ H ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎠ (4.17. Método Crank Nicolson. colocando las incógnitas a la izquierda y los valores conocidos a la derecha (con sus respectivos coeficientes) se encuentra: (Fo + 1)T0t +1 − FoT1t +1 = ⎛⎜ 2q S Fo∆z ⎞⎟ + (1 − Fo)T0t + FoT1t + Φ H Fo⎜⎜ (∆z ) ⎛ ⎝ k ⎠ ⎝ k 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (4.7. T∞ = Talrr = 530 R.16) hr = σε(TS4 − T∞4)/( TS − T∞).2.7. α = 0.°F.pie.°R4. Las propiedades asumidas constantes son ε = 0.310 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 4. Las operaciones posteriores se inician 4 horas más tarde.102) y (4.70. Molduras de hierro en forma de placas de 10 plg de grueso se mantienen al rojo (1100 °F) antes de colgarse verticalmente al aire a 70 °F para enfriarse. de acuerdo a la ecuación (1.103) por ρCP∆z/2 y promediando ⎛ T0t +1 − T0t ⎜ ⎜ ∆t ⎝ ⎞ Φ H α ⎛ 2 q S α ⎞ Fo t ⎟= +⎜ T0 − T1t + T0t +1 − T1t +1 ⎟− ⎟ k k ∆ z ∆ t ⎝ ⎠ ⎠ ( ) Multiplicando por ∆t.14 Btu/lb. Enfriamiento rápido (Quenching). el coeficiente convectivo o el efecto radiante se ven afectados por la temperatura de la superficie y algún tipo de método interactivo debe usarse para cada intervalo de tiempo.3.°F. ¿Cuáles son la temperatura de la superficie y la del centro después de este tiempo? El coeficiente convectivo varía como hc = (TS − T∞)0.103) 2qS ∆t Φ H ∆t + ρCP ∆z ρCP (4. TS0 = 1560 °R.25 y el coeficiente por radiación. la constante σ = 0.pie2. Dividiendo (4. Método Implícito (por unidad de área).103a) Siempre estable 4.104) Para estabilidad (1 − Fo) ≥ 0 ⇒ Fo ≤ 1 Cuando existe convección natural o radiación. ρ = 490 lb/pie3.17.394 pie2/h. k = 27 Btu/hr. Del capítulo 1 tenemos tomando como origen coordenado el plano central de la placa. nos representa seis nodos.pie2.°R. obtenemos Fo = 56. Bi2= 0. Para placa plana con generación.pie2.7 Btu/hr. hr3 = 2.pie2. h1 = 5.pie2.35 Btu/hr.pie2.18.32.0164 TS2 = 1061 °R. hr2 = 2.°R.44 Btu/hr.15.K y α = 5x10−6 m2/s.K.74.105) . Con estos valores h0 = 8. determine la distribución de temperaturas en la placa después de 3 s. y el resto internos.pie2. Solución.41. hc2 = 1. Seleccionamos ∆z = 1 plg. Para comenzar. Es claro que estamos trabajando durante cada intervalo de tiempo con los coeficientes estimados para el comienzo de este período.5 °R = 377. dT/dz = 0.°R.0265 lo que para un cálculo manual implica usar el método implícito y cuatro iteraciones. hc3 = 1.pie2. Bi3= 0. Bi0 = 0.pie2.°R. Las propiedades térmicas del elemento de combustible nuclear son k = 30 W/m. simétrica y en estado estable.0128 TS3 = 937 °R.°R. el cero adiabático por simetría. la distribución inicial de temperaturas debe conocerse. y T∞ = 250 °C.°R.pie2. EJEMPLO 4. hc1 = 1. Para resolver este ejercicio usaremos el método de diferencias finitas según Crank – Nicolson. Un elemento combustible de un reactor nuclear tiene la forma de una placa plana de espesor 2L = 20 mm y está enfriado desde sus dos superficies con coeficiente convectivo 1100 W/m2. Bi1= 0.°R. En operación normal genera ΦH1 = 107 W/m3.0105 TS4 = 837. h2 = 4.5 °F.°R.80 Btu/hr.311 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.54 Btu/hr. pared plana simétrica sin generación.6 Btu/hr. Si repentinamente esta potencia aumenta a ΦH2 = 2x107 W/m3. 2 ⎛ Φ L2 ⎞ ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤ T = ⎜⎜ H 1 ⎟⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + TS ⎝ 2k ⎠ ⎣⎢ ⎝ L ⎠ ⎥⎦ TS se obtiene por la condición límite para z = L (4. h3 = 3. Por la simetría del sistema. Mejor precisión se obtendría entonces si se trabajara con coeficientes calculados a la temperatura promedio de la superficie en cada intervalo lo que requeriría al menos una iteración adicional en cada intervalo de tiempo. Procediendo secuencialmente obtenemos: TS1 = 1224 °R.06 Btu/hr. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Solución. Para las condiciones iniciales hc0 = 1. de donde para z = 0. hr0 = 6. TC4 = 845 °R = 385.71 Btu/hr.9 Btu/hr.3 °F. hr1 = 3.°R. el cinco convectivo – radiativo. ∆t = 1 hr. 916 ⎟= 30 1. después de cuatro incrementos de tiempo alcanzaremos el tiempo requerido de 3 s y Fo = (5x10−6)(0. igualando el calor generado en la mitad del volumen al perdido por convección Φ H Az L = hAz (TS − T∞ ) ⇒ TS = 250 + (10 7 )(0.01) = 340.4)T0t + (0.916)(0.916. Tomando ∆z = 10/4 = 2.75) 30 .91 ⎢⎣ ⎝ 0. en estado estable.6)T1t +1 = (0. reemplazamos en las respectivas correlaciones: nodo cero (ecuación 4. El espesor a analizar es entonces de 10 mm.0025) Calculamos Bi = ⎜ = 0.0917 ⎝ k ⎠ entonces ∆tmax = (0.6)T0t +1 − (0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento −k dT dz = h(TS − T∞ ) ⇒ TS = T∞ + z=L 312 Φ H1L h También la podemos obtener.6)T1t + (2 x10 7 )(5 x10 −6 )(0.145 s.6 < 0. 1100 Para cualquier punto entre 0 ≤ z ≤ L.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Todos ellos con generación. los nodos 1.91 °C.67 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 340. 2. Observando las respectivas ecuaciones se aprecia que la condición de estabilidad más restrictiva es la del nodo convectivo: (Bi + 1)Fo ≤ 1.75 s < ∆tmax.75)/(0.0025) 2 = 1. El nodo cero adiabático.5 mm tendremos 5 nodos para analizar (9 para la placa completa). la distribución inicial de temperaturas será: ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ T ( z ) = 16.01 ⎠ ⎥⎦ 0 Debido a la simetría podemos considerar la mitad de la placa sabiendo que el perfil se reflejará en la otra mitad como en un espejo. 1 ⎛ h∆z ⎞ (1100 )(0. y 3 internos y el 4 es convectivo. Con estos valores.98c): (1.0025)2 = 0. 5 x10 −6 Si seleccionamos ∆t = 0. Con esto en mente seleccionamos nuestro origen coordenado en el plano de simetría que equivale entonces a una superficie adiabática.0917 ⇒ Fo ≤ = 0. 6 3.6 3.4T0t + 0.6T1t + 0.105) para estado estable haciendo z = 0.655)T4t +1 − (0.6)T3t +1 = 27.97a): − (0.2)T3t +1 − (0. 7.5 Este sistema de ecuaciones simultáneas puede resolverse por el método de inversión de matrices.6T t + 2. Se obtienen los siguientes valores: . nodo uno (ecuación 4.6⎥ 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 0 − 0.6T4 + 5 ⎥ ⎢27.2)T1t +1 − (0.97a): − (0.2 − 0. 5.8)T2t + (0.2 − 0.6 − 0.5 + (0.8)T3t + (0.5 °C. 2.6T2 + 0.6)T0t +1 + (3.2)T2t +1 − (0.6)T2t + (0.97a): − (0.6)T1t + (0.6)T2t + 5 nodo dos (ecuación 4.101): (1.5⎥ 4 3 ⎦ ⎣ La matriz [C] se calcula en el tiempo (t) y provee las temperaturas de los diferentes nodos en el tiempo (t+1). o sea t = 0 los valores de las Tm0 temperaturas las obtenemos de la ecuación (4.8T1 + 0.5 + 0.6T0 + 0. Para la distribución inicial de temperaturas.6T1t + 2.6 1.6)T3t + 5 nodo tres (ecuación 4.8T3 + 0.5 ⎥ ⎢ t t t ⎢0.6)T2t +1 + (3.6)T1t +1 + (3.345 )T4t + (0.6)T0t + (0.5 y 10 mm respectivamente. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 313 ΦHα∆t/k = 2.6 ⎢− 0.2 − 0.6)T3t +1 = (0.66 ⎥⎦ 0 0 [C ] t ⎡T0t +1 ⎤ ⎢ t +1 ⎥ ⎢T1 ⎥ [T ] = ⎢T2t +1 ⎥ ⎢ t +1 ⎥ ⎢T3 ⎥ ⎢T t +1 ⎥ ⎣ 4 ⎦ ⎤ ⎡0.6)T2t +1 = (0.6)T4t + 5 nodo cuatro (ecuación 4.5.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Expresando la ecuación en la forma [A][T] = [C] donde 0 0 0 ⎤ ⎡ 1.6 0 ⎥ ⎥ ⎢ − 0.6 0 0 ⎥⎥ ⎢ [A] = ⎢ 0 − 0.6T2 + 5 ⎥ = ⎢0.6)T4t +1 = (0.345T t + 0.8)T1t + (0.6T3t + 5 ⎥ ⎥ ⎢ t t t ⎢0.8T2t + 0.6)T3t + 2.6 3. 314 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento [T ]0 ⎡357.58⎤ ⎢356.54⎥ ⎢ ⎥ = ⎢353.41⎥ ⎢ ⎥ ⎢348.20⎥ ⎢⎣340.91⎥⎦ [C ]0 ⎡359.46⎤ ⎢716.83⎥ ⎢ ⎥ = ⎢710.57⎥ ⎢ ⎥ ⎢700.15⎥ ⎢⎣356.53⎥⎦ Multiplicando [A]−1 (la matriz inversa de [A]) por [C]0 se obtienen las temperaturas Tm1 de los diferentes nodos las que a su vez nos generan [C]1 que al multiplicarse por [A]−1 genera los Tm2 y así sucesivamente se continúa tantos incrementos de tiempo como se requiera. Obtenemos finalmente: ∆t t[s] T0∆t T1∆t T2∆t T3∆t T4∆t 0 1 2 3 4 0 0.75 1.50 2.25 3.00 357.58 358.83 360.06 361.36 362.63 356.54 357.78 358.99 360.43 361.52 353.41 354.62 355.73 357.13 358.09 348.20 349.23 350.07 351.23 352.11 340.91 341.00 341.70 342.57 343.49 La solución analítica de este caso fue dada ya en este capítulo (Ejemplo 4.3). EJEMPLO 4.19. Se calienta una barra de acero de 1 m de longitud hasta que la barra tiene un gradiente lineal que va desde 300 °C en un extremo hasta 600 °C en el otro. La temperatura en el extremo de 600 °C disminuye súbitamente hasta 100 °C. Los lados y el otro extremo de la barra se mantienen aislados. Calcule el perfil de temperatura después de 0.27 Ms. (Sugerencia: debido a que los lados y un extremo están aislados es posible considerar a la barra como la mitad de una placa plana con el extremo de 600 °C en la superficie de la placa). Nota: Debido a lo prolongado del tiempo (75 h) parece indicado usar el método de diferencias finitas completamente implícito, con incrementos de tiempo del orden de 15 h y ∆z de 20 o 25 centímetros. Comparar con la solución analítica dada en el ejemplo 4.2. Datos: Tome las siguientes propiedades para el metal: ρ = 7820 kg/m3; CP = 465 J/kg.K ; k = 16 W/m.K. Otros valores dados en la literatura son ρ = 7823 kg/m3 ; CP = 434 J/kg.K ; k = 63.9 W/m.K. ρ = 7820 kg/m3; CP = 473.3 J/kg.K ; k = 39 W/m.K. ρ = 7820 kg/m3; CP = 460.8 J/kg.K ; k = 23 W/m.K. 315 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Solución. Para realizar el cálculo en forma manual procedemos a trabajar por el método completamente implícito de diferencias finitas con ∆z = 0.25 m y ∆t = 15 h = 54000 s. El número de Fourier, con α = 0.44x10-5 m2/s es 3.8. Sacrificamos exactitud pero reducimos la cantidad de operaciones a realizar. Necesitaremos 5 incrementos de tiempo y el enmallado tendrá solo 4 nodos a saber: Nodo (0), adiabático: (1 + 2 Fo )Tmt +1 − 2 FoTmt ++11 = Tmt ⇒ (8.6 )T0t +1 − 7.6T1t +1 = T0t Nodos internos: − FoTmt +−11 + (1 + 2 Fo )Tmt +1 − FoTmt ++11 = Tmt Nodo (1) − 3.8T0t +1 + 8.6T1t +1 − 3.8T2t +1 = T1t Nodo (2) − 3.8T1t +1 + 8.6T2t +1 − 3.8T3t +1 = T2t Nodo (3) − 3.8T2t +1 + 8.6T3t +1 = T3t + 3.8T4 con T4 = 100 °C, constante y conocido. Las matrices iniciales son: 0 0 ⎤ ⎡ 8.6 − 7.6 ⎡300 ⎤ ⎥ ⎢− 3.8 8.6 − 3.8 ⎢375 ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ A= Tm = ⎢ ⎢ 0 ⎢450⎥ − 3.8 8.6 − 3.8⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 − 3.8 8.6 ⎦ ⎣ 0 ⎣525 ⎦ ⎡ 300 ⎤ ⎢ 375 ⎥ 0 ⎥ C =⎢ ⎢ 450 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣525 + 380⎦ Invirtiendo A obtenemos Tt+1 = A−1C0 ; Ct+1 se diferencia de Ct solamente en el último término que se va modificando en la medida que se modifique T3 ; A−1 permanece inmodificable. Obtenemos las siguientes distribuciones de temperatura: ∆t 0 1 2 3 4 5 t [h] 0 15 30 45 60 75 T0 300 307.7 245.0 196.0 161.3 138.9 T1 375 308.7 239.0 189.3 156.8 136.0 T2 450 292.3 212.7 169.5 143.7 127.6 T3 525 234.4 165.4 138.3 123.8 114.9 T4 100 100 100 100 100 100 Para observar la eficiencia del sistema en función del número de Fourier, presentamos los valores obtenidos con ∆z = 0.05 m (21 nodos) y ∆t = 600 s (450 iteraciones), Fo = 1.06, verificado usando el paquete I. H. T. ∆t 0 1 2 3 4 5 t [h] 0 15 30 45 60 75 T0 300 317.8 222.3 168.2 138.0 121.2 T1 375 302.0 2113.0 163.0 135.1 119.6 T2 450 256.1 186.5 148.2 126.9 115.3 T3 525 185.3 146.8 126.1 114.6 108.3 T4 100 100 100 100 100 100 316 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Al observar los resultados calculados por los tres métodos descritos las curvas para Fo = 1 y el análisis exacto se confunden, pero la diferencia respecto a Fo = 3.8 es notable. 4.17.8. Difusión con reacción química homogénea. La ecuación (Costa Novella # 5 pg 83; Bird et al pg 19 – 32; Incropera De Witt pg 822, 14.32 y 14.33) ∂ 2c A ∂c A − k ' cA = DAB ∂z 2 ∂t (I) con las condiciones t = 0 , ∀z , cA = cAo = 0 t > 0 , z = 0 : cA = cAs = constante t > 0 , z = ∞ : cA = 0 describe un proceso de absorción con reacción química en un medio semi-infinito, siendo k’ la constante de velocidad de reacción de primer orden. Consideremos un medio semiinfinito que se extiende desde el plano límite z = 0 hasta z = ∞. En el instante t = 0 la sustancia A se pone en contacto con este medio en el plano z = 0, siendo la concentración superficial cAs (para la absorción del gas A por el líquido B, cAs sería la concentración de saturación). A y B reaccionan para producir C según una reacción homogénea irreversible de primer orden A + B → C. Se supone que la concentración de A es pequeña. Esta situación corresponde a muchas situaciones reales entre las que mencionamos la contaminación atmosférica con NO2 y su destrucción por reacción fotoquímica, o el consumo de CO2 en el seno de un cuerpo de agua por fotosíntesis. 4.17.9. Conducción transitoria en una aleta. La ecuación (Adams y Rogers pg 210; Holman pg 176, REA’S Heat pg 155 y pg 120) ∂ 2T Ph(T − T∞ ) 1 ∂T − = ∂z 2 kAz α ∂t con condiciones (ii) 317 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento t = 0 , ∀z : T = To = T∞ t > 0 , z = 0 : T = Ts = constante t > 0 , z = ∞ : T = T∞ describe una aleta de enfriamiento infinita en un medio de temperatura T∞ y coeficiente convectivo h, en sus momentos iniciales Haciendo θ = (T – T∞), con T∞ constante, las condiciones límite para las ecuaciones (i) y (ii) se hacen idénticas: 4.17.10. Diferencias finitas. Las ecuaciones (i) y (ii) pueden expresarse en términos de diferencias finitas de manera sencilla: 4.17.10.1. Método implícito. Aleta unidimensional transitoria sin generación. Nodo interno (m). ( ) Tmt ++11 − 2Tmt +1 + Tmt +−11 Ph Tmt +1 − T∞ 1 Tmt +1 − Tmt − = kAz α ∆t (∆z )2 Reorganizando ( ) − FoTmt +−11 + 1 + 2 Fo + BiFoL* Tmt +1 − FoTmt ++11 = BiFoL*T∞ + Tmt donde Fo = α∆t (∆z ) 2 ; Bi = h(∆z ) ; L* = S / Az ; S = P(∆z ) k P es perímetro, Az área perpendicular a z, z coincide con el eje de la aleta. Por un balance obtenemos el nodo convectivo: ( ) hAz TNt +1 − T∞ + ( ) ( ) kA T t +1 − T t +1 ρCP Az (∆z ) TNt +1 − TNt Ph(∆z ) t +1 TN − T∞ − z N −1 N + =0 2 ∆z 2 ∆t ( ) Reorganizando (1 + 2 Fo + 2 BiFo + BiFoL )T * t +1 N ( ) − 2 FoTNt +−11 = 2 BiFo + BiFoL* T∞ + TNt Para transferencia de masa T se sustituye por cA, α por DAB y (αhP/kAz) por k’. FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 318 4.17.10.2. Método explícito. Aleta unidimensional transitoria sin generación. Nodo interno (m). ( ) Tmt +1 = 1 − 2Fo − 2BiFo − BiFoL* Tmt + FoTmt −1 + FoTmt +1 + BiFoL*T∞ Nodo Convectivo derecho (N) ( ) ( ) TNt +1 = 1 − 2Fo − 2BiFo − BiFoL* Tmt + 2FoTNt −1 + BiFo 2 + L* T∞ EJEMPLO 4.20 Una varilla de acero (k = 50 W/m.K) de 3 mm de diámetro y 10 cm de largo, se encuentra inicialmente a 200 °C. En el tiempo cero, se sumerge en un fluido con h = 50 W/m2.s y T∞ = 40 °C, mientras que uno de sus extremos se mantiene a 200 °C. Determine la distribución de temperaturas en la varilla después de 40 s. Las propiedades del acero son ρ = 7800 kg/m3 y CP = 470 J/kg.K. Tome ∆z = 2.5 cm, ∆t = 10 s. Use el método implícito. ¿Cuál será el flujo de calor a los 40 s? Solución. Para el caso numérico que nos ocupa ⎡50.88 + T1t ⎤ 0 0 ⎤ ⎡ 1.618 − 0.218 ⎥ ⎢ ⎢− 0.218 1.618 − 0.218 0 ⎥⎥ 7.28 + T2t ⎥ t ⎢ ⎢ C = A= ; ⎢ 7.28 + T3t ⎥ ⎢ 0 − 0.218 1.618 − 0.218⎥ ⎢ ⎥ ⎢ t⎥ 0 − 0.436 1.629 ⎦ ⎣ 0 ⎣⎢7.716 + T4 ⎥⎦ ⎡178.74⎤ ⎡162.61⎤ ⎡150.76⎤ ⎡141.65⎤ ⎢175.81⎥ ⎢155.88⎥ ⎢139.62⎥ ⎢126.38⎥ 1 2 3 4 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ T = ;T = ;T = ; T =⎢ ⎢175.30⎥ ⎢154.48⎥ ⎢137.04⎥ ⎢122.48⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣174.44⎦ ⎣153.18⎦ ⎣135.46⎦ ⎣120.69⎦ El flujo de calor en cualquier instante debe evaluarse aplicando la “Ley del enfriamiento” a cada nodo, teniendo en cuenta que para el nodo cero el área para convección es P(∆z)/2 y para el nodo cuatro es P(∆z)/2 + Az. Para el resto será P(∆z). EJERCICIOS. FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 319 1. Un método para preparar una mezcla gaseosa con un cierto grado de uniformidad usa la interdifusión de dos gases inicialmente confinados a las dos mitades de un cilindro hueco. Un diafragma delgado que separa los gases en el centro, se retira repentinamente y se permite que los dos gases se mezclen durante un cierto tiempo. Se reemplaza entonces el diafragma y se permite que las mezclas en las dos mitades se uniformicen. Si en ambas mitades tenemos inicialmente O2 y N2 puros, cuanto tiempo debe removerse el diafragma si queremos que en uno de los compartimentos se tenga al final una mezcla de composición similar a la del aire estándar (21% O2 y 79% N2) ? La presión total es una atm y la temperatura 20 °C. El cilindro tiene 20 cm de longitud y 10 cm de diámetro. 2. En el curado del caucho, este es moldeado en esferas y calentado hasta 360 K. A continuación se le permite enfriarse a temperatura ambiente. Qué tiempo deberá transcurrir para que la temperatura superficial sea 320 K si el aire de los alrededores está a 295 K ? La esfera es de 7.5 cm de diámetro. Para el caucho k = 0.24 W/m.K.; ρ = 1120 kg./m3; Cp =1020 J/kg.K. ¿Cuando alcanzará el centro esta temperatura? ¿Cual será entonces la temperatura de la superficie? ¿Cuál la temperatura promedio? 3. Una barra larga de madera con diámetro externo igual a 12 mm se expone a aire de temperatura 1400 °C. Si la temperatura de ignición de la madera es de 425 °C, determine el tiempo requerido para iniciar la combustión dado que la temperatura inicial de la barra es de 10 °C. Tome k = 0.15 W/m.K; h = 16 W/m2.K; ρ = 730 kg/m3, y Cp = 25 kJ/kg.K. 4. Una bombilla de 60 W tiene filamento cilíndrico de tungsteno de 0.03 pl. de diámetro y 1.5 pl. de longitud. a) Suponiendo que las pérdidas por conducción y convección y la rerradiación desde los alrededores son despreciables, encuentre la temperatura de operación del filamento. Suponga que esta temperatura es uniforme para todos los puntos del filamento en cualquier momento. b) Si el límite inferior de radiación visible desde el filamento ocurre a temperatura de 2000 °F, cuanto se demora el filamento para comenzar a “alumbrar”? Para el filamento tome la emisividad ε = 0.39; densidad ρ = 1192 lb/pie3; calor específico Cp = 0.037 Btu/lb.°F. 5. Esferas de cobre de 0.01 m de diámetro a temperatura inicial uniforme de 360 K, se dejan caer en un tanque de agua a 300 K. La profundidad del agua es de 1 m. Suponiendo que las esferas alcanzan su velocidad terminal tan pronto como entran al agua, determine qué temperatura tienen las esferas al llegar al fondo del tanque. Para agua a 300 K, ρ = 997 kg/m3; ν = 8.6x10-7 m2/s; k = 0.608 W/m.K.; Pr = 5.88; µ = 8.57x10-4 Pa.s (a 300K); µS =3.2x10−4 Pa.s (a 360 K); para el cobre ρ = 8933 kg/m3; k = 410 W/m.K.; α = 11.6x10−5 m2/s. ¿Cuanto demora realmente la esfera en alcanzar la velocidad terminal? ¿Cuanto espacio recorre en este lapso? FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 320 6. La cara libre de una barra semi-infinita de acero de k = 42 W/m.K. y α = 1.2x10-5 m2/s, la cual se halla a una temperatura uniforme inicial de 25 °C se coloca en contacto con una corriente de fluido a 400 °C y h0 = 100 W/m2.K. Grafique los perfiles de temperatura luego de transcurridos 1, 5,10 y 30 minutos (abscisas entre 0 y 0.20 m.; ordenadas entre 25 y 150 °C), y la historia de la temperatura en puntos colocados a 0, 0.05 y 0.10 m de la superficie dentro del sólido (abscisas entre 0 y 60 min.; ordenadas entre 25 y 170 °C). 7. Se ha demostrado que la eliminación del aceite de soya que impregna una arcilla porosa por contacto con un disolvente del aceite, es ocasionada por difusión interna del aceite a través del sólido. La placa de arcilla, de 1/16 pl. de espesor, 1.80 pl. de longitud y 1.08 pl. de grosor, con los lados estrechos sellados, se impregnó con aceite de soya hasta una concentración uniforme de 0.229 kg de aceite/kg de arcilla seca. Se sumergió en una corriente en movimiento de tetracloroetileno puro a 120°F, en donde el contenido de aceite en la placa se redujo a 0.048 kg de aceite/kg arcilla seca en una hora. La resistencia a la difusión puede considerarse que reside completamente en la placa; el contenido final de aceite en la arcilla puede considerarse como 0 cuando se pone en contacto con el solvente puro durante un tiempo infinito. (a)Calcule la difusividad efectiva. (b)Un cilindro de la misma arcilla, 0.5 pl. de diámetro, 1 pl. de longitud, contiene concentración inicial uniforme de 0.17 kg aceite/kg arcilla. Cuando se sumerge en una corriente en movimiento de tetracloroetileno puro a 49 °C, a que concentración descenderá el contenido de aceite después de 10 h?. (c)En cuánto tiempo descenderá la concentración hasta 0.01 kg aceite/kg arcilla para el caso anterior cuando ninguno de los extremos está sellado?. 8. Un tanque de 2 m de diámetro, provisto de un agitador de turbina, contiene 6200 kg de una disolución acuosa diluida. El agitador tiene 2/3 m de diámetro y gira a 140 R.P.M. El tanque está provisto de una camisa en la que condensa vapor de agua a 110 °C y el área de transmisión de calor es de 14 m2. Las paredes del tanque son de 10 mm de espesor. Si la dilución está a 40°C y el coeficiente de transmisión de calor del vapor de agua condensante es de 10 kW/m2 °C, ¿Cual es la velocidad de transferencia de calor entre el vapor de agua y el líquido? ¿Cuanto tiempo se necesitará para calentar el contenido del tanque desde 20 °C hasta 60 °C ? ¿Desde 60 hasta 100 °C?. Para transmisión de calor hacia o desde el encamisado de un tanque con placas deflectoras se aplica la siguiente ecuación cuando se utiliza una turbina normal de palas rectas: 2 2/3 1/3 0.24 (h Dt/ k) = 0.76 (Da N ρ / µ) (CP µ / k) (µ / µS) . Aquí Dt es el diámetro del tanque, Da es el diámetro del agitador, y la frecuencia de rotación N debe estar en revoluciones por segundo (o por minuto si fuera el caso para adimensionalizar). 9. Una partícula de carbón pulverizado arde en aire a 2200 °F. Suponga que la partícula es C puro con ρ = 80 lb/pie3 y que la partícula es esférica con diámetro inicial 0.06 pl. Bajo las condiciones descritas la difusividad del oxígeno en la mezcla gaseosa puede FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 321 tomarse como 4.0 pie2/hr. Cuanto tiempo se requerirá para reducir el diámetro de la partícula hasta 0.001 pl. ? En la superficie ocurre la siguiente reacción heterogénea instantánea: 3C + 2O2 ⇒ 2CO + CO2 Es válido el análisis de estado pseudoestacionario? Porqué si o porqué no. 10. Estime que tiempo demorará para reducirse el diámetro de una gota hemisférica de agua, que reposa sobre una superficie plana, desde 0.6 cm hasta 0.025 cm, si el agua se evapora por difusión molecular a través de una "película efectiva" de nitrógeno, de 0.05 cm de espesor, la cual rodea la gota. La masa principal de nitrógeno mas allá de la película efectiva se puede suponer libre del vapor de agua. El agua en la gota se mantiene a una temperatura tal que la presión del vapor de agua es siempre 1.013x104 Pa. La presión del sistema es 1.013x105 Pa. Desprecie inicialmente el efecto del movimiento de la fase gaseosa requerido para reemplazar el líquido evaporado. ¿Como se modificaría su cálculo para considerar el movimiento global de la fase gaseosa requerido para reemplazar el líquido que se evapora? Con esta película efectiva puede usted calcular un coeficiente de transferencia. ¿Cuanto vale? 11. En la oxidación de muchos metales, una película de óxido se forma en la superficie del metal. Para que la oxidación prosiga el oxígeno debe difundir a través de la película de óxido hasta la superficie del metal. El óxido producido tiene volumen mayor al del metal consumido; por lo tanto, el camino de difusión aumenta con el tiempo. Eventualmente, la oxidación se vuelva controlada por la difusión y la concentración del oxígeno disuelto en la interfase óxido metal se hace esencialmente cero. Si se asume una condición de estado pseudoestacionario desarrolle una expresión para la profundidad de la película de óxido como función del tiempo, de la concentración de oxígeno en la superficie libre (O2-aire) y la difusividad del O2 a través del óxido. 12. Un estudiante planea usar el tubo de Stefan para comprobar los valores de la difusividad másica de benceno en nitrógeno a 26.1 °C. A esta temperatura la presión de vapor de benceno es 100 mm de Hg. El error en la lectura del nivel del líquido con un catetómetro es tal que el nivel debería caer al menos 1.0 cm durante el experimento. El estudiante quiere hacer sus mediciones del nivel inicial y final en un período de 24 horas. ¿ A qué nivel deberá el llenar el tubo con benceno líquido? Si el estudiante mide el nivel del benceno a diferentes intervalos de tiempo, ¿Cual debería ser el análisis de sus datos? Desprecie la acumulación de vapores de benceno en el tubo. La presión total es tal que el agua destilada hierve a 91 °C y el nitrógeno es puro. Tome la gravedad específica del benceno líquido como 0.8272 g/cm3. Si el dispositivo anterior está lleno con metanol hasta la salida del tubo, cuánto tiempo demoraría el nivel de metanol para bajar a la base del tubo (3 pl.)?.El aire de los alrededores es aire a 25°C. 13. Una pared de hormigón de espesor b = 1 pie, conductividad térmica k = 0.5 Btu/h.pie.°F, difusividad térmica α = 0.02 pie2/h, tiene inicialmente temperatura uniforme T0 = 100 °F. Para un tiempo t > 0 la superficie límite en z = 0 alcanza y se FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. CP = 765 J/kg.24 W/m.5x10−6 m2/s está inicialmente a una temperatura uniforme de 85°C. b) Determinar el tiempo que se requiere para que las pelotas de hule descritas lleguen a la condición en que la temperatura del centro sea de 320 K. 16. determine la distribución de temperaturas a t = 45 min. . ºF. pero el lado opuesto de la pared se mantiene a T2 = To = 100 °F. la varilla se envuelve en un aislante y no experimenta pérdidas de calor.12 m de espesor que tiene una difusividad térmica de 1. Resuelva el ejemplo 4. la pared protege la zona de combustibles). a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura en la superficie de una pelota sólida de hule llegue a 320 K cuando la temperatura del aire circundante es de 295 K? Considere que las pelotas tienen diámetro de 7.5 cm. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 322 mantiene a temperatura T1 = 1100 °F (estalló un incendio.K. respectivamente. ¿Cuál será la temperatura de la varilla después de un largo tiempo? ¿Cuál la temperatura de la superficie y la del centro en el momento de terminar el enfriamiento?.K.1) determine la temperatura de la placa 5 minutos después de haber aplicado el flujo de calor. ρ = 3970 kg/m3. 5 y 20 horas después de haber comenzado el calentamiento.pie2.1x10−6 m2/s. ρ = 560 lb/pie3. trace las historias de la temperatura para cada cara y para el plano medio.K.pie2. ºF) está inicialmente a temperatura uniforme de 70 ºF. De pronto una cara se baja a una temperatura de 20°C mientras la otra cara queda perfectamente aislada. Después de esta operación se dejan enfriar a temperatura ambiente.ºF. 15. por el método explícito y por el método completamente implícito. Determine también la temperatura de la placa en estado estable. ¿Cuál será la temperatura de la superficie cuando la temperatura en el centro llegue a 320 K?. se enfría de súbito con un fluido a 300 K que tiene un coeficiente de transferencia de calor de 1600 W/m2. ρ = 1120 kg/m3 y Cp = 1020 J/kg. 17. (a) Con la técnica de diferencias finitas implícita y con incrementos de espacio y tiempo de 30 mm y 900 s. k = 46 W/m.1 Btu/lb. fabricada de zafiro (óxido de aluminio) e inicialmente a una temperatura uniforme de 800 K. (b) Dibuje el resultado y compárelo con la solución analítica. Una pared de 0. en tanto que la otra cara disipa calor por convección hacia un medio de 70 ºF y coeficiente de transferencia de calor h = 10 Btu/h. Después de 35 s.1 usando el método de Crank Nicolson. Repita por el método gráfico de Schmidt. 14.K. Unas pelotas de hule se moldean en forma de esferas y se vulcanizan a 360 K. Repentinamente se aplica a una de sus caras un flujo de calor q = 1500 Btu/h. Compare la exactitud de los resultados con la solución analítica.K. Una placa de cobre (k = 220 Btu/h. Determinar la temperatura en el plano central de la pared 1. ¿Cuantos grados difiere cada nodo de la temperatura de estado estable? Para cada valor de ∆t. Las propiedades del hule que pueden usarse son las siguientes: k = 0. Usando el método de parámetros concentrados (Bi < 0. α = 15. 18. CP = 0.pie. Una varilla larga de 40 mm de diámetro. Se fabrica un catalizador de platino sumergiendo píldoras esféricas de alúmina (Al2O3) en una solución de ácido cloroplatínico (H2PtCl6) hasta que se difunde cierta cantidad de ácido hacia el interior de la píldora. (b) calcule el tiempo que se requiere para alcanzar una concentración de ácido 40% molar en el centro. de media pulgada de diámetro.91x104 atm/(kgmol O2/kgmol de solución) 23. Use la ley de Henry para determinar la concentración superficial: pO2 = HxO2 con H = 2. Al principio. 21.K. de tal manera que la temperatura del agua aumentará a medida que la esfera se enfría. el elemento está a temperatura uniforme de 250 °C sin generación de calor. Al final del invierno.06 m debida a la difusión después de (a) un día y (b) tres días.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Cuando el elemento se inserta en el reactor comienza a generar de manera uniforme a razón de ΦH = 108 W/m3. se sumerge súbitamente en un m3 de agua cuya temperatura es de 40 °C para la cual el coeficiente convectivo de transferencia de calor es 300 W/m2K. se encuentra a una temperatura inicial de 200 °C. (a) calcule la concentración de ácido a 1/8 plg del centro después de 3 h de inmersión. Una esfera de cobre puro. Entonces. cuyo diámetro es 60 cm. (c) ¿Cuales son las concentraciones promedio en los casos anteriores? Use correlaciones.4. determine la concentración de oxígeno en el agua a una profundidad de 0. en la primavera. Suponga que la concentración de oxígeno en el agua de la superficie está en equilibrio con el aire. Inicialmente. La muerte invernal de peces en lagos montañosos se atribuye en parte a la reducción de oxígeno en el agua debido a la superficie congelada.58x10−9 m2/s). Dibuje los resultados. 22. La transferencia del ácido se obtiene por transporte molecular y DAB = 5x10−5 pie2/h. con agua pura. el agua es otra vez oxigenada como consecuencia de su contacto con el aire.769 atm) y es muy profundo. Repita usando el método explícito con Fo = 0. (c) Determine la distancia de penetración del oxígeno después de 30 días. e incrementos ∆z = 2. 20. Las superficies se enfrían por convección hacia un medio con T∞ = 250°C y h = 1100 W/m2. Sin embargo. Compare con el resultado analítico. Luego se sumergen en una solución ácida de manera que la concentración en la superficie se mantiene 50% molar de ácido y 50% molar de agua. Considere el elemento de combustible nuclear del que trata el ejemplo 4. enseguida del descongelamiento se halló que la concentración de oxígeno en uno de los casos era de 3. se reduce el ácido para obtener platino finamente dividido sobre la alúmina.0x10−5 kgmol/m3..5. La temperatura del lago es uniforme a 5 ºC (DAB = 1. Si el lago está a una elevación de 2133 m sobre el nivel del mar (P = 0. se humedecen las píldoras. ¿Cual será la temperatura de la esfera después de haber transcurrido 10 minutos? Observe que las capacidades caloríficas de la esfera y el agua son del mismo orden de magnitud.5 mm. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 323 19. determine la distribución de temperaturas 3 s después de que se inserta el elemento en el reactor. Un conducto vertical de 10 pulgadas de diámetro interior tiene una conexión horizontal de prueba . Utilizando el método de Crank Nicolson. 86. En ángulo recto con el cilindro circula aire seco a 110 °F y 600 mm Hg con velocidad de 22 pie/s. asumiendo que el gas en la pequeña línea de prueba ha permanecido completamente estancado. Estime la composición del primer pequeño incremento de gas retirado. un poco de gas de prueba es removido para análisis. dada por: PA = a. El coeficiente de transferencia de calor para el aire que fluye alrededor de una esfera se determinará mediante la observación de la historia de temperatura de una esfera fabricada con cobre puro.1832x109 y b = −9524.01876 cP = 0. ¿A qué presión y temperatura deberán calcularse estas propiedades? La presión de vapor del agua puede considerarse. (a) Determine la temperatura del agua. Para determinar el coeficiente de difusión. 27. y calcule el coeficiente de transferencia de calor. está a 66°C antes de colocarla en un flujo de aire que tiene una temperatura de 27°C. tome como constantes las siguientes propiedades del aire: viscosidad dinámica µ = 0.h.34) tomando el origen en la cara izquierda de la placa. Para agilizar. Considere un cilindro vertical de 3 plg de diámetro y 5 pie de longitud. y la línea de prueba es purgada y la válvula cerrada. El agua no debe gotear por abajo del cilindro. Obtenga una expansión equivalente a la (4. La esfera.021 pie2/h. (b) Determine el caudal al cual debe suministrarse el agua en la parte superior del tubo. Un termopar en la superficie externa de la esfera indica 55°C 69 s después de que se inserta la esfera en el flujo de aire.5 pulgadas de diámetro interior terminada en una válvula 2 pies fuera de la línea grande. para el intervalo de interés. ambas a la misma presión y temperatura. El volumen del capilar se puede despreciar en comparación con el del bulbo. y de las dimensiones del aparato. 26. Tome el origen en el plano de simetría.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 28.7 mm de diámetro. que tiene 12. se llena inicialmente la celda I con helio puro y la celda II con argón puro. 24.Armistead consta de dos bulbos de igual volumen conectados por un capilar como se ve en la figura. abriendo la válvula. Suponga y después justifique que la esfera se comporta como un objeto de resistencia interna despreciable.0454 lb/pie.exp [b/(T + 460)] en mm Hg si T en °F. DAB = 1. Una hora más tarde. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 324 de 0. Demostrar como se puede calcular DAB a partir del conocimiento de como varía la fracción molar de helio en un bulbo como función del tiempo. El gas que fluye se cambia de hidrógeno a un gas reformado que contiene 70 % molar de hidrógeno y 30 % molar de metano y el flujo continúa a 100 psia y 15 °C. Una celda de difusión de Ney . 25. Hidrógeno fluye a través de la línea grande a 100 psia y 15 °C por varios días. Demuestre la ecuación (4. con a = 1. componente de un aparato de humidificación. por cuya superficie exterior desciende una delgada película de agua.34). . . Para una temperatura inicial de 100 °F.3 Btu/hr. La difusividad térmica del material es α = 1. Determine el espesor de asbesto necesario para proteger el contenido de una caja fuerte de gran tamaño.38 Btu/hr. k = 100 Btu/hr.25 pie y Fo = 1/3. ¿Cuanto tiempo después de que sus superficies se ponen en contacto con aire a 350 y 650 °F respectivamente.1/min.092 Btu/lb. oF hfg 32 1075.5 °F si la temperatura inicial T0 es 70 °F? El coeficiente convectivo es h = 5 Btu/hr.°F. 33.9 29.°F.°F. ¿Cuál será la temperatura de las superficies en ese momento? 32. Tome ∆z = 0. 31. k = 22.016 pie2/hr) con espesor de 1. 34. Luego de 30 s la temperatura promedio del alambre cambió desde 50 °F hasta 80 °F.6 90 1042.pie2. Un tanque bien agitado contiene 100 pie3 de un líquido que tiene concentración inicial de la especie A. ρAo = 5 lb/pie3.3 80 1048.006 plg y los alambres conectores tienen diámetro de 0.3 min utilizando el método explicito.002 plg. 30. Una placa plana infinita de espesor 1 pie tiene una distribución inicial de temperatura dada por la expresión T = 300sin(πz) + 150 (T en °F si z en pies) gracias a un sistema de generación interna.pie.°F. la temperatura en el centro de la pared alcanza 300 °F? k = 0.325 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.pie2. Entra una corriente líquida a razón de 10 pie3/min con concentración ρA1 = 15 lb/pie3. Asuma y compruebe baja resistencia interna. Determine la distribución de temperatura en la placa después de 3. Una pared de ladrillo (α = 0.3 50 1065. Estime el coeficiente convectivo. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Algunos valores del calor latente de vaporización del agua en Btu/lb son: T. ¿Cuál es el tiempo necesario para que una termocupla de cobre que está expuesta a una corriente de aire a 250 °F alcance la temperatura de 249. ¿cómo varía la concentración de A en el tanque con el tiempo? La corriente de salida es igual que la de entrada de 10 pie3/min pero su concentración será ρA2.6 60 1059. la temperatura de la superficie interior deberá permanecer inferior a 300 °F por al menos una hora después de que la temperatura exterior aumente bruscamente y se mantenga en 1500 °F. La placa se pone súbitamente en contacto con un medio que mantiene sus superficies a 100 °F al tiempo que la generación se suspende. ρA. ρ = 555 lb/pie3.19 ∆T1/3 Btu/hr. El asbesto se coloca entre dos placas de acero de 1/16 plg de espesor. El diámetro del termopar es de 0. Desprecie los efectos de borde.°F. y por ser un tanque perfectamente agitado su concentración variará con el tiempo lo mismo que la del tanque.pie.5 pie. h∞ = 0.pie.138 pie2/hr.9 70 1054. está inicialmente a temperatura uniforme de 80 °F. CP = 0.°F. Si la reacción A → B ocurre a una velocidad ΦA = −k’ρA con k’ = 0.8 40 1071. Un alambre de cobre de ¼ de plg de diámetro se somete a una corriente de aire con temperatura T∞ = 100 °F. 0 1. determinar la profundidad a la cual es probable que se destruya la vida vegetal y los insectos si una concentración de 0.1 % en peso destruirá la mayor parte de la vida. Esto dio como resultado un proceso de secado en donde la relación de la resistencia superficial a la resistencia interna y a la difusión era igual a 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 35. Determinar el tiempo de secado para cada uno de los procesos descritos.0 % en peso 46. b) 1 hr. se incrementó la velocidad del viento para el secado hasta que la relación de las resistencias se aproximó a cero.8 2.6 0. plg 0. Puede suponerse que la difusividad del agua a través del pino blanco es de 1x10−9 m2/s. Trazar una curva que muestre la relación de concentración para el hidrógeno. de 2 pulg de espesor. Si las condiciones de secado mantienen una humedad superficial constante de 13 % en peso en ambas . Una tabla de pino blanco.0 0.2 0.326 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.8 1. Se expusieron muestras de la hoja de acero al hidrógeno a una atmósfera de presión y 500 °C durante periodos de a) 10 min. El contenido de humedad en el equilibrio es de 14% en peso para las condiciones de humedad en el aire de secado. se utilizaron valores bajos de la rapidez de flujo de aire.0 50.5 50.0 49.0 donde z es la distancia desde una de las superficies planas grandes. Una tabla de madera de pino blanco de 5 cm de grueso tiene un contenido de humedad de 45 % en peso al principio del proceso de secado. 38. tiene el siguiente contenido de humedad inicial al principio del proceso de secado: z. Si la difusividad en masa del fluido en el suelo es 1x10−8 m2/s y el fluido permanece sobre el suelo durante 1800 s antes de evaporarse en el aire.0 50. 39.6x10−2exp(−9200/ℜT)] cm2/s.5 49. Los extremos y las orillas se cubren con un acabado resistente a la humedad para evitar la evaporación.0 49.0 48. Un camión cisterna de gran tamaño se vuelca y derrama un herbicida sobre un campo.6 l.4 0. c A − c AS c A0 − c AS en función de la distancia a medida que difunde en una hoja de acero dulce que tiene 6 mm de grueso. donde T está en K y ℜ = 1. 37. La difusividad del H2 en el acero es igual a [1.0 48. Se encontró que el tiempo necesario para reducir el contenido de humedad en la línea central a 25% en peso era demasiado grande De acuerdo con esto.0 46.2 1. Un gran bloque de concreto aislante de dos pies de espesor protege un compresor en una fábrica de pinturas que arde sometiendo una de las caras del bloque a una temperatura uniforme de 2000 °F. Los extremos y los bordes estarán cubiertos con un sellador para evitar la evaporación.K.4 1. Todo el sistema se encontraba inicialmente a 70 °F. ¿cuanto tiempo se requiere para que el bloque alcance 1000 °F en su centro? ¿hasta qué momento puede considerarse como sólido semiinfinito? 36.0 49.Inicialmente.987 cal/molg. c) 10 hr.25. cA. Un aglomerado de carbón. Se coloca en un secador con circulación forzada de aire. bajo condiciones de resistencia superficial despreciable.2 kgmol/m3 en el centro de la hoja? . Si la difusividad másica del hidrógeno es 9x10−7 m2/s. que produce una concentración de humedad en la superficie de 10 kg/m3. se describe por la ecuación adecuada. tiene un contenido de humedad inicial de 400 kg/m3. estimar el tiempo que se requiere para secar el centro del aglomerado de carbón hasta una concentración de humedad de 50 kg/m3. 42. 41. Una hoja grande de material de 40 mm de espesor contiene hidrógeno disuelto (H2) que tiene una concentración uniforme de 3 kmol/m3. 43. 40. de profundidad media. ¿cuánto tiempo se requiere para llevar la densidad del hidrógeno disuelto a un valor de 1. La tabla de pino blanco que se describió en el problema 27. Fo.3 x 10−6 m2/s y la resistencia de la superficie es despreciable.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. determinar el tiempo necesario para disminuir el contenido de humedad en la línea central hasta 35 % en peso. Esta condición superficial se mantiene constante de allí en adelante. Determinar el tiempo necesario para disminuir el contenido de humedad en la línea central hasta 30 % en peso. El perfil de concentraciones que se obtiene por la difusión transitoria en una hoja de madera grande.0 plg a 15 % en peso. 44. al principio tenía un valor uniforme de 1. con un radio de 2 cm.5 kg/m3. cAm. repentinamente. b) una gráfica de Schmidt modificada con un valor del incremento igual a 3 mm. la concentración en su superficie se eleva hasta 8 kg/m3 y se mantiene a este nivel. Trazar un perfil de concentraciones. para el período de 3600 utilizando a) la ecuación para sólido semiinfinito. La concentración de oxígeno en un lago grande. aproximadamente esférico. Si la difusividad del agua en el carbón es 1. en función de la profundidad. (cAm – cAS)/(cA0 − cAS) en función de la relación de tiempo adimensional relativa. El lago se encuentra a 283 K. Utilizar esta ecuación para desarrollar una ecuación que prediga la concentración promedio. z. evaluar y graficar el perfil de concentraciones promedio adimensional.12 se secará en otro secador que mantiene el contenido de humedad en z = 0 plg a 13 % en peso y el contenido de humedad en z = 2. La hoja se expone a un chorro fluido que ocasiona que la concentración del hidrógeno disuelto se reduzca súbitamente a cero en ambas superficies. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 327 superficies y la difusividad del agua a través del pino es 4x10−5 pies2/hr. 0 1.0268 0.7506 1.02 0.4417 1.0025 0.9408 1.0737 0.1490 1.2488 0.1539 1.0 1.1987 1.3111 1.1346 1.0580 0.1995 1.2889 1.1725 1.1656 1.0528 1.4149 1.5552 1.2791 1.9208 1.5253 2.3779 1.9106 9.4328 1.1732 1.0066 0.5707 1.9857 1.2620 2.2445 1.0289 1.5526 2.5411 2.3766 1.0148 0.0 1.8921 8.08 0.0149 0.2102 1.0 1.1143 1.0017 0.06 0.0060 0.2402 1.07 0.9990 100 1.6015 3.6537 1.0049 0.0173 0.0814 1.0030 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 328 Anexo A.9942 40.3572 1.8674 7.5973 3.2532 2.2439 1.0130 0.1441 0.3261 1.0701 0.1566 1.2558 1.2646 1.0298 0.5044 1.1902 1.3809 1.7593 1.0179 0.0209 0.0124 0.3455 1.9081 1.2733 2.0 1.9898 1.8516 1.0185 1.8363 1.0222 0.20 0.3852 1.0 1.9962 50.2699 2.9898 30.0632 1.0365 0.1713 0.4320 1.3960 1.1978 0.7910 1.6002 3.7 0.0880 0.8 0.5150 1.05 0.7870 5.0 1.5 0.6227 3.4793 2.9249 10.0998 1.3993 3.0450 0.0082 0.6608 1.2236 0.6856 1.8603 1.0099 0.1286 1.2644 1.7654 1.6533 1.0160 0.0033 0.2598 2.6170 1.4550 1.0483 0.3708 1.6018 2.1730 1.5677 2.0 ∞ π Bi = ∞ implica que la concentración en el medio (Ψ∞) es igual a la de la superficie (ΨS).25 0.4698 2.9781 20.03 0.2731 2.1795 1.5932 1.10 0.0919 1.1164 0.0592 0.5218 1.1795 1.0712 0.0145 0.1107 1.1102 1.6 0.5400 1.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1412 1.0788 1.0 1.04 0.0 1.0372 1.5708 1.0197 0.7887 11.0 1.0 1.0311 0.5995 1.7051 1.0239 0.4801 1.0075 0.8274 1.09 0.2048 1.4 0. Bi = hL/k para la pared plana simétrica y hR/k para el cilindro infinito y la esfera (kcL/DAB y kcR/DAB en transferencia de masa).4217 1.2814 1.0769 1.9 0.1925 1.0114 0.2570 2.0237 0.0098 0.7165 1.7201 4.4556 1.3438 1.3384 2.0445 0.5325 1.0937 1.7465 1.0873 1.0 1.3496 1.0090 0.4191 2.5919 2.5704 1.5611 2.30 0.3978 1.2732 1.0 1.01 0.0932 1.2881 1.5376 1.2989 1.2723 2.2479 2.3450 1.0598 0.0246 0.2727 2.1410 1.0382 0.5423 1. Pared Plana Cilindro Esfera Infinito C1 C1 C1 Bi λ1 (rad) λ1 (rad) λ1 (rad) 0.8448 1.1191 1.8334 6.2425 1.5202 1.5029 2.0120 0.3142 1.4289 1.2071 1.3138 1.0490 1. Coeficientes usados en la aproximación a un término de la solución en series de Fourier para la conducción transitoria unidimensional con convección. .15 0.2287 1.2717 2.4050 1.0 1.4195 1.2615 1.4961 1.1016 1.0050 0.8044 1.2217 l.3525 1.4860 1.2956 1. 1735 10.7039 7.0241 7.6537 α4 10.1754 10.0 5.3611 13.9344 3.0 40.1004 7.9569 8.4712 16.0298 7.8369 3.3686 13.0213 7.0 50.5348 17.3761 13.1143 7.8 0.4566 10.0369 7.3261 2.0 15.7915 α5 13.9580 14.3572 2.2516 10.4652 5.0937 2.8271 10.3410 5.0085 4.1558 7.0723 7.2814 0.2225 10.8577 3.2008 17.3297 13.8525 3.2509 2.3349 13.2127 10.0270 7.4417 0.4 0. de αJ 1 (α ) − CJ 0 (α ) = 0 .8706 3.4748 14.0156 7.1995 0.5994 1.1286 2.4221 11.1576 14.02 0.3658 10.2048 1.9309 α6 16.6499 16.4767 18.6964 10.4048 α2 3.5621 11.3312 13.2710 10.3244 13.01 0.0 6.9090 13.4731 16.3252 13.3984 13.6125 13.06 0.6508 17.7630 16.2029 10.8516 0.9897 5.2 0.4103 7.6223 10.3455 2. C 0 0.7 0.8421 3.6786 13.0 60.6433 14.2910 4.8835 3.4888 16.0 1.04 0.5116 8.8566 13.5434 13.1931 10.4718 16.0099 17.2322 10.6018 4.7131 4.1490 1.2983 14.1902 4.3267 13.5910 16.8168 16.5312 16.0795 4.1882 10.5612 18.6889 14.0 20.7797 7.8502 17.7887 1.0 8.8317 3.5010 16. Primeras seis raíces αi.5376 0.5081 11.0332 5.9363 11.0 ∞ α1 0 0.2233 7.1422 8.3750 2.15 0.7646 10.9081 1.3846 5.2613 10.7475 14.4797 16.1745 10.3960 0.9051 7.8343 3.5201 7.0864 7.2558 1.0 4.7807 17.8033 4.0 10.2568 5.7834 14.0184 7.1282 7.0582 7.9179 16.3 0.9 1.3809 2.4949 16.0 100.8 0.9841 4.7272 17.5 2.3237 13.9384 4.1774 10.0170 7.9650 17.4743 16.5201 α3 7.1773 5.1 0.3442 17.7414 13.9898 2.3651 2.3462 13.5251 16.6177 7.4432 8.0 3.0 30.9091 3.3438 0.4828 16.3188 10.0562 4.1412 0.1794 10.8008 13. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Anexo B.5678 8.4840 8.0 9.0184 1.4353 13.8473 3.9408 1.5090 11.8842 10.4704 16.0440 7.5131 16.0490 2.3282 13.3771 8.2677 11.0711 .5423 10.0873 1.5 0.7073 16.2884 7.6170 0 7465 0.2880 2.1566 2.4569 1.0325 4.1421 7.4516 5.329 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1833 10.5070 16.6747 11.4719 13.4291 5.8464 7.5466 8.2534 8.5774 14.3387 13.4112 5.8931 18.1795 2.8684 16.2419 10.5191 16.3537 13.3910 13.4634 4.1813 10.9594 3.6461 11.8772 4.3835 13.08 0.0 7.0 80.1367 11.4755 16. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Anexo C.2 0.1410 0.0 15.7764 7.2281 7.8871 10.8606 10.0998 0.4255 4.1116 4.7240 9.4289 1.1448 3.5672 12.5680 12.1 0.4729 1.6296 9.7713 15.1419 3.6 0.0640 7.5615 4.2991 6.9644 13.3138 1.7587 15.0026 17.1806 7.006 0.3616 6. Primeras seis raíces βn de β tan β = C Las raíces son todas reales si C > 0.7524 15.5293 9.4078 13.7691 16.5667 12.4670 9.3148 6.0 10.08 0.4328 0.3111 0.2147 16.01 0.004 0.8048 13.2594 16.0 3.7051 0.5670 12.0 4.9519 17.3978 1.5190 9.5218 0.0893 0.9882 1.0774 0.1925 1.7506 0.6658 4.0504 13.9981 14.5422 3.0 8.5902 12.5743 12.2142 13.4254 9.4311 9.9352 12.2895 6.4775 9.3744 3.4248 9.5864 16.6218: 12.4250 9.5668 12.4333 9.5708 β2 3.4373 6.2838 6.8088 3.3766 1.2003 10.7012 7.0949 10.06 0.6202 4.3923 6.6647 7.4354 9.7124 β3 6.1422 3.02 0.7460 15.5420 13.5665 12.0 1.1177 16.8618 12.5665 12.0 30.1660 13.6841 12.2636 3.7092 15.7270 15.7080 15.1502 10.0 50.6O57 7.4565 9.1372 β6 15.3451 1.1675 16.1141 13.7083 15.5981 12.1543 3.9096 6.3959 7.7105 15.5932 0.6060 12.5552 1.7131 15.7573 7.4954 7.2833 6.9536 16.5 0.5801 9.0686 17.7143 15.0 60.7334 15.0654 16.7910 0.4459 9.0 ∞ β1 0 0.1668 3.8026 15.0 5.8928 9.5727 12.8140 6.2841 6.4269 9.6453 12.3204 3.0 100.6375.8603 0.0336 4.1731 3.5783 6.2959 6.5325 1.04 0.2646 1.3305 6.5087 9.5664 12.2788 .9938 13.4249 9.7082 15.2927 6.7086 15.4879 9.2848 4.8794 16.3770 6.4290 9.7118 15.7081 15.8945 15.1093 17.5696 12.3 0.9924 7.1987 0.3477 3.4961 1.6436 3.9 1.4074 6.1441 3.2423 0.8 0.5711 12.2694 4.0316 0.1435 3.1746 4.5097 6.4474 16.6139 12.5823 12.7223 12.4149 1.9094 13.7832 10.2832 6.0 20.0447 0.330 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.2264 4.7040 6.6343 4.5400 1.7259 7.7207 15.7080 15.6543 10.9352 4.4003 3.3461 6.0339 10.7085 15.7650 15.8666 13.4915 4.4252 9.0 80.2835 6.4258 9.7 0.8540 β4 9.8274 0.2923 3.5979 4.5117 10.008 0.5202 1.4224 6.1606 3.4 0.7397 15.2845 6.0769 1.0 6.6533 0.4983 9.7966 12.0 40.8336 15.1416 3.9956 β5 12.5514 1.6353 4. 12.8119 9.3898 10.1479 3.0 9.9667 10.2864 4.6296 12.002 0.1263 7.2791 0.2039 3.0107 16.8172 10.3058 4.0632 0.2341 3.3496 1.0 7.7334 10. C 0 0.5 2.001 0.4256 9.1429 3.4256 3.7085 13. Primeras seis raíces de αctgα + C = 0 (radianes).0 100.90 -0.0037 5.2788 17.8 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Anexo D.2421 14.8798 1.4559 15.3525 1.5601 4.4090 15.9408 10.3349 11.2845 17.2 -0.0385 8.6261 4.9060 10.3914 8.0683 14.7369 7.2058 6.9096 10.8028 7.0831 6.0288 2.0804 14.0228 11.2764 14.7770 7.5497 18.0677 11.0962 8.3134 17.9295 7.9 1.0409 11.0 5.0 80.4773 11.0047 11.7259 7 7265 7.0318 11.3 -0.4953 18.7343 7.0705 14.4956 4.995 -0.2 03 0.4557 2.99 -0.0875 14.0697 14.2242 17.7330 7.1301 14.0588 11.5723 4.1513 14.0870 5.7382 7.6911 4.9050 10.0528 1.4699 14.2237 17.2329 5.95 -0.8794 7.8667 7.9115 10.6870 14.6587 8.0 15.1584 14.5994 11.0 -0.4 -0.1795 14.9087 10.5268 4.4124 12.0 50.0769 14.2231 17.2445 0.0 60.3029 8.5112 4.3932 17.9069 10.2005 14.97 -0.7253 7.7291 7.7335 4.0856 11.1987 9.2991 0.3089 9.5150 0.9586 1.2556 17.4979 4.1724 14.4945 4.5537 5π α6 17.1807 12.2903 17.2208 17.6669 5.3450 0.5 -0.2730 17.3417 15.0767 11.2045 8.9930 3 0406 3.9542 7.3317 3π α4 10.3364 17.91 -0.4080 14.0 7.0 10.4180 18.8412 7.9742 18.1654 14.041 10.8751 4.0801 3.2382 17.0719 14.5023 4.7481 17.4217 0 4551 0.8363 2.9046 7.7335 14.4703 8.96 -0.0 6.1136 18.7606 5.9133 10.2672 17.3247 12.5704 2.1088 14.0712 14.2644 1.5562 17.331 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.4860 0.2213 17.0 ∞ α1 0 0.0 40.4934 4.9419 7.5847 14.6320 1.6374 14.0019 9.0946 14.7165 2.6537 2 7165 2.2248 17.1 0 0.4320 1.9316 10.9132 5.2295 17.7899 7.2380 15.9947 2.7414 1.6479 4.8959 12.2324 17.2210 17.3249 17.9225 10.9665 7.0726 14.8540 7. C -1. 14.0137 11.2254 17.5423 0.2260 17.8044 2.8898 9.1296 11.98 -0.6042 4.2715 9.1372 14.7641 7.5034 17.2961 17.6078 5.4490 17.5378 5.2688 12.1656 1.2498 17.9105 10.5708 1.6696 4.8920 7.2075 14.0690 1 4.0498 11.0625 15.7511 7.1224 0.0 20.5090 4.93 -0.9956 11.7593 0.7172 5.3192 17.9682 10.5408 11.0901 3.0733 14.5822 4.7908 17.5288 14.8366 1.4086 11.9208 1.0666 14 0669 14 0676 14.6532 11.5157 4.1606 6.7 -0.1727 11.0 8.8158 4.8943 4.4 05 0.9124 10.2219 17.2889 2.8628 2.1935 14.7124 4.1311 6.7751 4.7317 7.1017 14.2266 17.8556 4.7278 7.3306 17.9251 15.2211 2π α3 7.7032 17.0 1.1 0.7356 7.4544 5.3076 17.7447 7.2420 9.0 30.1230 14.9203 1.9179 10.0 9.8284 7.7906 1.2614 17.2440 17.1805 6.8358 4.1443 14.1294 9.9774 10.5044 1.3649 17.9171 7.8156 7.4426 4π α5 14.9787 8.0250 12.6209 18.7304 7.1730 0.7083 8.0651 3.6 -0.9865 10.3434 14.3019 17.92 -0.7544 4.0662.9046 10.7 0.6 0.1028 3.6072 17.8 -0.5045 4.0 30 4.6887 1.3018 18.1159 14.85 -0.1746 2.3854 0.5134 4.5406 8.9080 5.5 2.94 -0.3540 5.2560 11.1865 14.5001 4.1105 π α2 4.6562 17.5164 15.5068 4.9078 10.6650 6π .6031 8.3632 1.9476 2.2225 17.7956 4.9921 6.7027 11.6609 0.9499 10 9591 10. 332 Re x2 Sc 1 1 3 kρx es un coeficiente convectivo másico local 332 . E. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Anexo E. E. COEFICIENTES CONVECTIVOS. Placa plana horizontal.45) para esta geometría se reduce a: ⎡ ∂v x ∂v x ⎤ µ ⎡ ∂ 2 v x ⎤ v v = + y ⎢ x ∂x ∂y ⎥⎦ ρ ⎢⎣ ∂y 2 ⎥⎦ ⎣ La ecuación de continuidad: ⎡ ∂v x ∂v y ⎤ ⎢ ∂x + ∂y ⎥ = 0 ⎣ ⎦ El balance de energía calorífica ⎡ ∂ 2T ⎤ ⎡ ∂T ∂T ⎤ ⎢v x ∂x + v y ∂y ⎥ = α ⎢ ∂y 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ El balance para la especie A: ⎡∂2ρ A ⎤ ⎡ ∂ρ A ∂ρ A ⎤ v v D + = y AB ⎢ ⎢ x ∂x 2 ⎥ ∂y ⎥⎦ ⎣ ⎣ ∂y ⎦ Resolviendo para capa límite laminar (L ≤ xC) fx = 0. FLUJO EXTERNO. Re x Nu x = L f L = 1L ∫ f x dx = 0 1 1 hx x = 0.664 Re L2 Pr 3 k L hL = L1 ∫ hx dx 0 Shx = k ρx x DAB = 0.1.328 Re L Nu L = . Re x = ρv∞ x µ 1 1 hL L = 0.664 . La ecuación de Navier – Stokes (2.332 Re x2 Pr 3 k 1.1.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.1. si L ≤ xC use solamente la primera parte del paréntesis cuadrado tal como se desprende de Nu m = . Podemos encontrar un coeficiente promedio para este flujo en régimen mixto así: ⎡ xC ⎤ L 1 ⎢⌠ k Re 0.5 dx + ∫ 0.332 1. 332 ⎮ x x x x ⎥ L ⎢⌡ xc ⎣0 ⎦ ( ) [ ( ) ( )] 1 hm L = 0.8 − Re C0. vS = (nAS wAS/ρAS) = nAS/ρS Para tener en cuenta este componente “y” de la velocidad en la superficie.60 0.6 ≤ Pr ≤ 60.64 El valor del coeficiente se puede aproximar en el intervalo por mS ≅ 0.8 Pr 1 Shx = 0.0292 Re 0x.664 Re C0. fL = 0. es decir.333 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.8 dx ⎥ Pr 1 / 3 hm = 0 .0292 Re 0x.50 0.5: TABLA 1.332 – 0.528 (vS / v∞ ) Re x Para (vS / v∞ ) Re x > 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Esta expresión tiene validez para vs = 0. algún componente de velocidad habrá allí.058(Rex)−0.8 Pr 3 (1) k 0. ReL es el Reynolds para toda la placa.17 0. vS aumenta el espesor de la capa límite decreciendo nAS y τS. Sin embargo si hay transferencia de masa.2 Nu x = 0.06 0. (vS / v∞ ) Re x 0.8 Sc 3 1 3 En la práctica una parte de la placa se hallará en régimen laminar y la otra en régimen turbulento. fx = 0.5 + 0.01 0.25 0.332 de la ecuación para Shx se modifica según sea el parámetro (vS/v∞)(Rex)0. Si asumimos que la capa límite es turbulenta desde el borde de ataque (xC << L).0292 k Re 0.072(ReL)−0. ReC es el Reynolds crítico. el coeficiente 0.2 .62 la capa límite se desprende y dejan de ser aplicables las ecuaciones. cuando la componente “y” de la velocidad en la superficie de la placa vale cero.0365 Re 0L. ReL ≤ 108.00 -2.50 (Coeficiente) mS 0. pues analizando la ley de Fick: nAS = jAS + ρASvS = jAS + (nAS + nBS)wAS Como nBS = 0. lo demás como para (1).6 ≤ Sc ≤ 3000. el coeficiente local adimensional Nux para flujo laminar sobre la placa está dado por Nu x Nu x = x0 = 0 ⎡ ⎛ x0 ⎞ ⎢1 − ⎜ x ⎟ ⎠ ⎣ ⎝ (2) 3 / 4 1/ 3 ⎤ ⎥ ⎦ y para flujo turbulento Nu x Nu x = x0 = 0 ⎡ ⎛ x0 ⎞ 9 / 10 ⎤ ⎢1 − ⎜ x ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ (3) 1/ 9 También es posible tener Flujo uniforme de calor en la pared en lugar de temperatura uniforme. 1980): Nu x = 0. Crawford. 1 3 (7) . Mac Graw – Hill.664 Re C0.0308 Re 0x. E. El anterior es un coeficiente promediado para toda la placa. Cuando el calentamiento no comienza en el borde de ataque sino a una distancia x0. Para números de Pr grandes el coeficiente 0.678. Para flujo laminar (Kays.6 (4) Nu x = 0.453 Re 0x. W. y M.5 Pr 1 / 3 Pr ≥ 0. Si se conoce el flujo de calor podemos determinar la variación de la temperatura con la posición.664 se convierte en 0.5 + 0.6 ≤ Pr ≤ 60 (5) La presencia de una zona sin calentar puede nuevamente predecirse usando las ecuaciones (2) y (3). Aquí parece importante determinar una temperatura promedia mas bien que un coeficiente promedio: L L ⌠ qS ⌠ x q L 1⎮ (TS − T∞ ) m = (TS − T∞ )dx = dx = S ⎮ L⎮ L ⌡ kNu x kNu L ⌡ 0 (6) 0 Para transferencia de masa cambiamos Nu por Sh y Pr por Sc. New York.0365 Re 0L.8 Pr 1 / 3 0. Convective Heat and Mass Transfer. a saber: [ ( )] ShL = 0.8 Sc 0.8 − Re C0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento las correlaciones ya mostradas para capa límite en régimen laminar. M.334 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. TABLA 3:Constantes para la ecuación (10) con barras cilíndricas. El número de Nusselt para convección forzada entre un cilindro y un fluido que se desplaza perpendicularmente al eje del cilindro está correlacionado con los números de Reynolds y Prandtl según Hilpert por NuD = C ⋅ Re mD ⋅ Pr 1 3 (10) TABLA 2: Constantes para la ecuación (10) con barras no cilíndricas y gases.385 0.330 0. (9) Pe = Re.102 0.683 0.193 0.160 0.989 0.228 0. Flujo laminar de metales líquidos sobre placas planas.0385 0.805 .564 Pex0.638 4×103 – 108 0.588 5×103 – 108 0.05. E.1.153 0.4 — 4 4 — 40 40 — 4000 4000 — 40000 40000 — 400000 C 0.638 0.782 5×103 – 1.1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento E.3. Flujo transversal a cilindros.335 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Geometría ReD C m Cuadrado 5×103 – 108 0.2.95×104 1.466 0.618 0.5×104 0.911 0. Rango de ReD 0.Pr es el número de Peclet. Nu x = 0.246 0.675 5×103 – 1.5 Pr ≤ 0.027 m 0. Pex ≥ 100.731 Hexágono Placa Vertical Los valores de C y m dependen del numero de Reynolds como se indica en la tabla 3.95×104 – 108 0. W.2: 5/8 0.4 (µ / µ S ) 0. Lechos empacados. E. 141.06 Re 2D/ 3 Pr 0.0 ≤ (µ/µS) ≤ 3..62 Re 0D.575 Pr = 0.6x104 0. Whitaker.18..2 Todas las propiedades menos µS se evalúan a T∞ y los resultados pueden aplicarse a problemas de transferencia de masa simplemente reemplazando NuD y Pr por ShD y Sc respectivamente.1.7 90 ≤ ReD ≤ 4000 (16) .4 / Pr ) [ 4/5 ] (11) E. y W.1. La ecuación (10) puede también usarse para flujo gaseoso alrededor de barras de sección transversal no circular con D y las constantes de la tabla 2. Prog.3 + ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ 2 / 3 1/ 4 ⎢⎣ ⎝ 282000 ⎠ ⎥⎦ 1 + (0. reacción catalítica heterogénea y secado.5 ≤ ReD ≤ 7. (AIChEJ. 48.5 Pr 1 / 3 ⎡ ⎛ Re D ⎞ ⎤ + 1 Nu D = 0. εjH = εj AB = 2. 361.4.71 ≤ Pr ≤ 380 3. Esferas.5.5 + 0. S. Un caso especial de transferencia convectiva de calor y/o masa desde esferas está relacionado a la transferencia desde gotas líquidas descendiendo libremente y la correlación de Ranz. estas dos ecuaciones tienden a NuD = 2. Churchill y Bernstein proponen una ecuación que cubre todo el rango de ReD y se recomienda para ReDPr > 0. Eng. valor que corresponde a la transferencia de calor por conducción (en ausencia de convección natural) desde una superficie esférica. Marshall (Chem.6 Re 0D. El flujo de gases (o líquidos) a través de lechos empacados de partículas sólidas tiene importancia en muchos procesos industriales que incluyen transferencia y almacenamiento de energía térmica.06 Re −D0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Todas las propiedades deben calcularse a la temperatura de película.4 Re 0D.25 (12) 1. 1952) se usa frecuentemente: Nu D = 2 + 0. 1972) recomienda la siguiente expresión: ( ) Nu D = 2 + 0.5 Pr 1 / 3 (13) En el límite cuando ReD → 0. Se han propuesto numerosas correlaciones.336 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 0016 ≤ ReD ≤ 55 εjH = εj AB = 0. Pierce. (Chemical Engineering 86. Tate (Ind. N. E.31 0.48 ≤ Pr ≤ 16700. Otras expresiones que tradicionalmente se han usado se mencionan a continuación. propone una sola ecuación que correlaciona el factor de Colburn con todos los números de Reynolds.36 + ⎨⎢ + ⎜⎜ −14 Re Re ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎥ ⎝ ⎪⎩⎢⎣ 7.2. Chem.86⎜ Pe ⎟ L⎠ ⎝ 1/ 3 ⎛ µb ⎜⎜ ⎝ µS ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0. TS .14 (17) Todas las propiedades excepto µS se evalúan a la temperatura media global. 1979).337 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. p 113. FLUJO INTERNO.986 × 10 ⎞ Re ⎪ ⎪ ⎥ ⎢ 1 ⎟⎟ ⎥ ⎬ ⎥ = ⎢ 9. 1429. Una correlación de datos experimentales fue hecha por F. 1936): ⎛ D⎞ Nu D = 1. JH = St Pr2/3 = (h/ρCPvm)Pr2/3 La extensión a transferencia de masa es obvia haciendo JH = JAB = StAB Sc2/3 = (kC/vm)Sc2/3 y haciendo igual a la unidad la corrección por viscosidad. Wilson y Geankopolis (1966) recomiendan para flujo de líquidos εjH = εj AB = 1. Esta ecuación produce una curva continua y suave conveniente para utilizar en los análisis y diseños ayudados por computador o calculadora.2. E. y 0. Flujo laminar en tubos.14 (23) Es aplicable para 0.1.09 Re −D2 / 3 0. Eng. Válida para 0. 27. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El numero de Reynolds se define con base en la velocidad que existiría si el lecho estuviera vacío y la dimensión característica de las partículas. Sieder y G.35 ≤ ε ≤ 0.55 ≤ ReD ≤ 1500 En ambos casos 168 ≤ Sc ≤ 70600.250 Re −D0. El último paréntesis de la ecuación (17) tiene en cuenta la distorsión del perfil de velocidades por el gradiente de temperatura entre le pared y el fluido..831 × 10 ⎢ ⎭ ⎦ ⎣ 1 12 ⎛ µb ⎜⎜ ⎝ µS ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0.6 6 8⎤ ⎛ 1.7 ≤ Pr ≤ 16700. JH 3 / 2 −1 ⎤ ⎡ ⎧⎡ ⎫ 1.75 E. resultando tres rectas paralelas.8. Condición en la superficie Ts constante Ts constante qs constante qs constante Perfil de velocidad Pr Nu Nu∞ C1 C2 n Parabólico Plano Parabólico Plano Todos 0. Hausen. Flujo turbulento en tubos circulares lisos.75.36 4. H.04 0.0012 0. E.14 (18) Según los valores de C1.7 Todos 0.338 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. por experimentación se encuentra que el coeficiente convectivo de transferencia de calor h = φ(D.0 La extensión a transferencia de masa es sencilla si tenemos presente que JD = JH. A partir del análisis dimensional encontramos el siguiente agrupamiento de tales variables: ⎛ ρvD C P µ ⎞ hD ⎟ .016 0. ρ. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento constante. gas carbónico y gas natural). Para tubos lisos y longitudes superiores a sesenta diámetros.7 Medio Medio Local Local 3. pues para valores menores se presentan condiciones de perfiles completamente desarrollados.0668 0.36 0.0044 ≤ (µ/µS) ≤ 9. (1943) presentó la siguiente fórmula del numero medio de Nusselt en la región térmica de entrada en el caso perfil parabólico de velocidad y pared de temperatura constante: ⎧ C1 ( D / z ) Re Pr ⎫⎛ µ b ⎜ Nu = ⎨ Nu ∞ + n ⎬ 1 + C 2 [( D / z ) Re Pr ] ⎭⎜⎝ µ S ⎩ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0.66 3. v). Estos resultados se explican si la función φ de la ecuación (19) puede expresarse de manera potencial.. = φ ⎜⎜ k k ⎟⎠ ⎝ µ (19) Nusselt experimentó con tres gases (aire.0011 2/3 0.8 1.2. µ.036 0. k.0. Whitaker recomienda su uso cuando Nu ≥ 3.023 0. El hecho de que para valores de la velocidad másica inferiores a la crítica fueran superiores a los correspondientes por extrapolación de las rectas de pendiente 0. A partir de la pendiente de las rectas en el gráfico doble logarítmico encontramos el valor del exponente del número de Reynolds como a = 0. encontró que para cada uno de los gases se alineaban sobre una recta por encima de un cierto valor crítico de ρv. la ecuación (18) tiene diferentes aplicaciones: TABLA 4. a saber: Nu = CReaPrb.66 4.1040 0.2.8. fue explicado por Nusselt como debido a la contribución de la convección . CP.0 1. C2 y n.72. Al representar en coordenadas doble logarítmicas h contra la velocidad másica (ρv). 4. Ecuación de Sieder y Tate (1936) Nu = 0.7 ≤ Pr ≤ 160.339 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.7 f / 2 Pr 2 / 3 − 1 ( ) (25) 0. siendo más apropiado el valor 0.3 para enfriamiento. De experimentaciones posteriores con otros gases y líquidos se obtuvo el valor de 0.027 Re0.023Re0.5 ≤ Pr ≤ 2000.7 ≤ Pr ≤ 16700.3 y 0. Gnielinski (1976) modificó la expresión así: Nu D = ( f / 2)(Re D − 1000) Pr 1 + 12. 0.2 (22) Se recomienda esta relación para la transferencia de calor en fluidos cuya viscosidad cambie marcadamente con la temperatura y es aplicable para 0.8Pr1/3 ⇒ StPr2/3 = JH = 0. Ecuación de Colburn (1933) Nu = 0.8 Pr1/3 (µm/µS)0. Teniendo en cuenta todas estas circunstancias. Las propiedades se evalúan a la . L/D > 60 y Re > 10000.5 ≤ Pr ≤ 2000.4 para calefacción y n = 0. Las ecuaciones (24) y (25) se aplican tanto a temperatura constante como a flujo constante en la pared. 0.14 ⇒ JH (µm/µS)−0. Las propiedades del fluido deben calcularse a la temperatura media aritmética de las másicas extremas del fluido. se propusieron tres ecuaciones concretas: Ecuación de Dittus . Re >10000.14 = 0.023 para C.07 + 12.023Re−0.4 cuando se calentaba. (20) con n = 0. L/D > 60. 3000 ≤ Re ≤ 5x106.Boelter (1930) Nu = 0. Re > 10000.023Re0.8Prn. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento natural a los flujos gaseosos a baja velocidad. Una correlación que se atribuye a Petukhov (1970) es de la forma ( f / 2) Re D Pr Nu D = 1. 10000 ≤ Re ≤ 5x106.3 cuando el fluido se enfriaba y 0.2 (21) Las propiedades del fluido excepto CP en el número de Stanton (h/ρCPv) se evalúan al valor medio de la temperatura de película Tf.7 ≤ Pr ≤ 100. Todas las propiedades excepto µS se determinan a la temperatura media del fluido. y se encontró que b estaría entre 0.027 Re−0. Para obtener concordancia con valores a menor Re. L/D > 60.7 f / 2 Pr 2 / 3 − 1 ( ) (24) 0. L/D > 25. (1965) recomendaron la siguiente correlación: NuD = 4. Estos valores están.88 − 0.3. La ecuación (26) no sólo reproduce el gráfico del factor de fricción sino que evita interpolaciones y da valores únicos en la región de transición. de transición o turbulento.1 ≤ Pr ≤ 104.27(ε / D) ⎦ ⎪⎭ ⎛ 37530 ⎞ B=⎜ ⎟ ⎝ Re ⎠ 16 Las ecuaciones son más convenientes que las tablas o las correlaciones gráficas en diseño y operación ayudadas por computador. b = 0.055. Combinando ecuaciones para tuberías rugosas en regímenes de flujo laminar y turbulento Churchill desarrolló una sola ecuación para el factor de fricción en flujo laminar. 104 ≤ Re ≤ 106 .457 ln ⎢ ⎥⎬ 0. naturalmente.016 Rea Prb.33 + 0. y para tuberías tanto lisas como rugosas: 1 / 12 12 3/ 2 f ⎧⎪⎛ 8 ⎞ ⎡ 1 ⎤ ⎫⎪ = ⎨⎜ ⎟ + ⎢ ⎬ 2 ⎪⎩⎝ Re ⎠ ⎣ A + B ⎥⎦ ⎪⎭ (26) 16 ⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎫⎪ 1 A = ⎨2. Ecuación de Notter y Sleicher Nu = 5 + 0. a = 0. sujetos a alguna incertidumbre. Para flujo de calor constante en la pared Skupinski et al.0185 Pe0.5e−0. Región de entrada térmica Nu = 0. Prueba y error es necesarios si en lugar de la velocidad de flujo se especifica la caída de presión. 10 ≤ L/D ≤ 400 (28) Las propiedades del fluido a la temperatura media. Aquí f es el factor de fricción de Fanning que puede obtenerse del diagrama de Moody o de la ecuación (26). debido a la inestabilidad física inherente en esta región.24/(4 + Pr). Flujo turbulento de metales líquidos dentro de tubos lisos.82 + 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Temperatura global media.036 Re0.9 ⎪⎩ ⎣ (7 / Re ) + 0.8 Pr1/3 (D/L)0.2.827 (29) .340 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. E.6Pr (27) 0. Para valores del producto GrLPr entre 104 y 1013 C y n se leen en la tabla 5. el perímetro “húmedo” para transferencia de calor es solamente el perímetro del tubo interno. 100 ≤ Pe ≤ 104 Para temperatura constante en la pared Seban y Shimazaki (1951) recomiendan: Nu = 5. Gr es el numero de Graetz para transferencia de calor. Para temperatura uniforme en la superficie McAdams recomienda para placa o cilindro vertical (si el radio es mucho mayor que el espesor de la capa límite) Num = C (GrL Pr ) n Num = hm L k GrL = gβρ 2 L3 TS − T∞ µ2 L es la altura de la placa o cilindro vertical.05x105 . Por lo tanto ⎜ V ⎝ ∂T ⎠ P β =− 1 ⎛ ∂ρ ⎞ 1 (ρ ∞ − ρ ) ⎟ ≈− ⎜ ρ ⎝ ∂T ⎠ P ρ (T∞ − T ) Si este fluido puede considerarse gas ideal β = 1/T∞. TABLA 5. CONVECCION NATURAL EN PLACA VERTICAL.8 . A es el área de flujo para el fluido y PH es el perímetro húmedo.0 + 0.4.3.59 0. Pe > 100 (30) E.6x103 ≤ Re ≤ 9. a diferencia de perímetro húmedo para transferencia de cantidades de movimiento que es la suma de los perímetros de los dos tubos.2. β es el coeficiente de expansión volumétrica para el fluido: β= 1 ⎛ ∂V ⎞ ⎟ V = volumen específico ⇒ ρV = 1 ⇒ ρdV + Vdρ = 0.341 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.025 Pe0. Tipo de flujo Laminar Turbulento Rango de GrLPr 104 a 109 109 a 1013 C 0. Se debe tener presente que para flujo laminar el error es grande y que para flujo en el espacio anular de un intercambiador de tubos concéntricos.10 n ¼ 1/3 . Flujo Turbulento en conductos lisos no circulares. Se pueden usar las correlaciones para flujo en conductos circulares utilizando el diámetro equivalente Dh = 4A/PH . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 3. Las propiedades del fluido se calculan a la temperatura de película. E. 53(GrDPr2)1/4 Para convección libre hacia aire a presión atmosférica y temperaturas moderadas (37 °C a 815 °C) TABLA 7. pero la longitud característica es el radio. Se pueden adaptar para presiones diferentes a la atmosférica así: unidades inglesas y flujo laminar.31(∆T)1/3 1. TABLA 6.7)0.pie2. Geometría L Placas verticales Cilindros horizontales Altura Diámetro externo Tipo de flujo Laminar Turbulento Laminar Turbulento Rango de GrLPr 104 a 109 109 a 1013 104 a 109 109 a 1012 hm[Btu/hr.0132)0.342 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. multiplicar por (P/14. C y n de la tabla 6.32(∆T/L)1/4 1. La analogía con transferencia de masa puede mantenerse para geometrías similares si definimos un “coeficiente de expansión” originado en los gradientes de concentración: β AB ≈ − 1 (ρ ∞ − ρ ) ρ (ρ A∞ − ρ A ) . Tipo de flujo Laminar Turbulento Rango de GrLPr 104 a 109 109 a 1012 C 0.0132)2/3. SI y flujo laminar multiplicar por (P/1.29(∆T/L)1/4 0.7)2/3.°F] hm[W/m2. Para la última columna se usan unidades del SI y para la penúltima del sistema inglés. P en psia.13 n ¼ 1/3 Para cilindros horizontales de temperatura superficial constante en metales líquidos Num = 0. para flujo turbulento multiplicar por (P/1. P en bar.24(∆T)1/3 Para esferas pueden usarse las mismas correlaciones que para los cilindros horizontales.K] 0.68(GrLPr2)1/4 Cilindros horizontales h D Num = m k Num = C (GrD Pr ) n GrD = gβρ 2 D 3 TS − T∞ µ2 D es el diámetro externo del cilindro.19(∆T)1/3 0.42(∆T/L)1/4 1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento En el caso de metales líquidos (Pr < 0.53 0.03) para placa plana isotérmica vertical Num = 0.5 para flujo turbulento por (P/14.5.18(∆T)1/3 1.27(∆T/L)1/4 0. La convección natural puede jugar papel importante en los casos de transmisión de calor durante el flujo interno y laminar de los fluidos.93 F2 = 5. En ambos casos las velocidades de los fluidos en las proximidades de las paredes se incrementan por la convección natural originada en las variaciones de densidad surgidas por los gradientes de densidad por diferencia de temperaturas.1. Se acostumbra correlacionar los coeficientes para convección combinada. Calif.. mientras que el signo (−) se usa para flujo opuesto. F1 = (TS − T)ML/(TS − T)MA. F2 prevé la disminución de la fuerza convectiva cuando la temperatura del fluido se aproxima a la de la pared. Martinelli y Boelter (Univ. aunque valores como 3.75F1[Gz+0. los valores de NuF y NuN se determinan a partir de las correspondientes expresiones para convección forzada y natural.343 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. E.4. Conducto vertical. Temperatura de pared constante.7143 − 2.93 . 5.857(πNu/Gz) si (πNu/Gz) > 1. y se puede aproximar por la correlación: F2 = 1 − 0. La convección libre es despreciable si Gr/Re2 << 1 y la convección forzada es despreciable cuando Gr/Re2 >>1.84]1/3 (31) Aquí. El signo (+) se utiliza para flujo asistido y transversal.4. CONVECCIÓN NATURAL Y CONVECCIÓN FORZADA COMBINADAS.Publis. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento y consecuentemente definimos un numero de Grashof para transferencia de masa: GrAB = gL3 ρ 2 ρ ∞ µ2 ρS −1 E. si los perfiles de velocidad y temperatura se alteran suficientemente por este tipo de convección. investigaron la calefacción de fluidos en flujo interno vertical ascendente y el enfriamiento de los mismos en flujo interno vertical descendente.5 y 4 se adaptan mejor para flujo transversal involucrando placas y cilindros o esferas. Influencia de la convección natural. – Berkeley . Proponen la siguiente ecuación: Nu = 1. respectivamente.4145(πNu/Gz) para (πNu/Gz) ≤ 1. Engr. La mejor correlación de los datos se obtiene para n = 3. La convección combinada se puede presentar cuando Gr/Re2 ≈ 1. Para la geometría específica que interese. 23 (1942)).0722F2(GrSPrSD/L)0. tanto para flujo interno como para externo por una expresión de la forma Nun = NunF ± NunN. 25 y Gr. 4. el aumento de temperatura del fluido en las vecindades de la pared determina una circulación periférica ascendente complementada con una descendente por la parte central. of Chem.4.344 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. con la consiguiente mezcla adicional y aumento del coeficiente de transmisión de calor individual. Gz se evalúa con las propiedades del fluido correspondientes a la temperatura másica media del mismo (T1 + T2)/2. Eng. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento (πNu/Gz) = (T2 − T1)/(TS − T)MA.(d/L) ≤ 1x105 Re < 177. Estos efectos superpuestos al flujo forzado ocasionan el avance en espiral del fluido.875 y Gr. Conductos horizontales. La ecuación (31) se aplica para las siguientes condiciones: 1.0722 por −0. Para este flujo Eubank y Proctor (Thesis.Pr.d/L)0.04(Gr. Para calefacción y flujo descendente o enfriamiento y flujo ascendente se cambia +0. Gz es el número de Graetz.Pr. Para Gr. . MIT 1951) proponen Nu = 1. Gr y Pr se evalúan con las propiedades del fluido correspondientes a la temperatura másica media del mismo (T1 + T2)/2. E. Calefacción en flujo ascendente o enfriamiento en flujo descendente. Dep. El número de Grashof. 5.75[Gz + 0. Gz = m'Cp/kz = (π/2)PeR/z.8(Gr. 3.D/L)0. 2.14 (32) Gz. Gr = gρ2D3β∆T/µ2.0722. β es el coeficiente de expansión térmica del sistema. Para GrS: ∆T = TS − T1. GrS y PrS se evalúan con las propiedades del fluido correspondientes a la temperatura TS de la pared.75]1/3[µ/µS]0. En el flujo interno de fluidos por tubos horizontales con temperaturas de pared TS constante. se basa en el diámetro de los tubos y la diferencia entre la temperatura de sus paredes y la temperatura másica o media del fluido.Pr. El efecto de la convección natural en tuberías verticales u horizontales con régimen laminar se vuelve importante cuando se cumple: Re ≤ 0. ∆T = (TS − T)MA.d/L > 1x105 ambas condiciones deben además cumplir 102 > Pr(D/L) >1. siendo Pe = RePr el número de Péclet y R el radio del conducto.2. característico en convección natural.Pr.d/L)0.1334(Gr.Pr. I.715 272 2. (1951)): Nu = 1.33⎜⎜ o máx ⎝ k ⎠T f ⎝ µ 0. Eng.270 308 0.1. 4. 3. of Chem. E. M. (“Heat Transfer and Presure Drop for Air Flowing in Small Tubes”.083 288 0. 10 ≤ Re ≤ 40000 2. 5.5 kJ/kg. Calcular la temperatura de la glicerina en función de la distancia recorrida en el tramo inicial de la conducción si la temperatura de la superficie se mantiene a temperatura constante de 373 K.4.5 Gz0. 44. .345 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.5(T + T0).5. puede utilizarse con suficiente aproximación simplificada propuesta por Cho lette (Chem.T. k = 0. Las propiedades se evalúan a la temperatura másica media. Las dos disposiciones posibles de estos bloques son o alineadas o al tresbolillo como se ve en la figura. 6 1 ⎞ ⎛ CP µ ⎞ 3 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎠T f ⎝ k ⎠T f Condiciones: 1. cualquiera que sea su posición. β = 0. ρ = 1217 kg/m3. En 1933 Colburn (37) con los datos experimentales disponibles hasta entonces.. 81 (1948)) y Kroll.K. Eng. Disposición de los tubos alternada al tresbolillo.54x10−3 K−1. µ (kg/m.286 W/m.K. Prog. Ejercicio: Por un conducto vertical de tres cm de diámetro interno asciende glicerina con caudal másico de 100 kg/hr. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para el flujo laminar de gases por el interior de tubos cilíndricos. Propiedades del fluido evaluadas a Tf = 0.893 300 0. Velocidad másica superficial máxima ρvmáx = Gmáx basada en la mínima sección versal de flujo.150 311 E. Las propiedades físicas de la glicerina son: CP = 2. Bloques con al menos diez filas de tubos.s) T (K) 10. La viscosidad varía según la siguiente tabla: TABLA 8.5. Thesis Dep. cuya temperatura inicial es de 308 K. dedujo la ecuación: ⎛D G ⎛ hDo ⎞ ⎜ ⎟ = 0. FLUJO DE FLUIDOS SOBRE BLOQUES DE TUBOS. Flujo perpendicular a bloques de tubos sin tabiques deflectores. 323 0.453 0. Grimison. teniendo en cuenta otros datos de la bibliografía y los suyos propios.568 2.25 c 1.601 0.50 0.393 0. basada en la mínima sección transversal de flujo.755 2.0 0.259 0. propuso una ecuación concreta para el caso de que el gas fuera aire.585 0. 4.552 1. Bloques con al menos 10 filas de tubos.224 0.556 0.544 0. 2. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento En el caso de bloques de tubos alineados. a partir de datos experimentales.456 0. Velocidad másica superficial máxima Gmáx.50 n c 2.282 0.26.704 0. que generalizaba para cualquier otro gas de la siguiente forma: n 1 ⎛ DoGmáx ⎞ ⎛ C P µ ⎞ 3 ⎛ hDo ⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ c = ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ k ⎠T f ⎝ µ ⎠T f ⎝ k ⎠T f Condiciones: 1.581 0.554 0.540 0.0 0.9 1.346 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.5(T + T0).560 0.568 0.6 1.476 0.591 0.310 0.586 0.271 0.570 0.702 0.0 Alternada Alineada 0. En líneas generales.556 0.632 0.402 0.570 3.414 0.562 0.25 0.568 0.570 0.337 0.507 0.636 0.558 1.125 1. sobre los que perpendicularmente fluía aire.561 c 3.114 0.509 0.33 por 0.608 Snyder midió coeficientes de transmisión de calor individuales medios de tubos correspondientes a distintas filas de bloques de ellos alternados.50 0. 2000 ≤ Reo ≤ 40000.592 0.241 0.592 0.250 0. 5.470 0.00 n 0.00 n c n 0.562 1.519 0. 3.580 0.504 0. b/Do Disposición a/Do 0.586 0.568 0.574 1.113 0.620 0. indica que debe sustituirse la constante de proporcionalidad (factor de forma) 0.585 0.620 0.608 0.511 0.497 0.071 0. TABLA 9.472 0.572 0.423 0.562 0. Propiedades del fluido evaluadas a Tf = 0.0 0.648 3. sus resultados coincidieron con los alcanzados previamente por otros investigadores al determinar los coeficientes locales .581 0.589 0. Valores de c y n de la tabla 9.076 0. Colburn.0 0.327 0. En 1937.403 0.565 0.556 0.350 0.584 0. pero con los valores de c y n que se indican en la tabla 10.97 8 0.98 9 0.215 0. los valores de h calculados con las ecuaciones anteriores deberán multiplicarse por los factores que se indican en la tabla 11.83 4 0.92 0. Fila número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c n 0. disposición alternada al tresbolillo.234 0.99 1.347 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Los valores de h que se encuentran con esta última ecuación para las filas 5 a 10 de un bloque de tubos son aproximadamente 80 por 100 superiores a los coeficientes medios de los tubos de las primeras filas.622 0.96 0.240 0. decreciendo luego ligeramente y permaneciendo prácticamente constantes a partir de la quinta fila. El estudio más completo sobre pérdidas de carga y transmisión de calor en este tipo de flujo se debe a Tinker.608 0.624 0.80 0.625 0.92 6 0. Los números de Nusselt medios aumentan hasta la tercera fila. Flujo sobre bloques de tubos con tabiques deflectores.191 0. para 8000 ≤ Re0 ≤ 20000.2.638 0. Número de filas Tresbolillo 1 0.99 10 1. externamente a los tubos de los cambiadores de calor multitubulares. Pudo expresar sus resultados mediante la misma ecuación. En el caso de bloques de menos de diez filas de tubos. TABLA 10.64 0.98 0.75 3 0.0 Alineadas 0. por la parte de la carcasa.640 0.252 0. Los valores de h calculados con la ecuación de Colburn resultan algo menores que los calculados con la ecuación de Grimison que se considera de mayor precisión.87 0. Se da este caso en el flujo de fluidos. Donohue.588 0.94 0.654 0.68 2 0.620 TABLA 11.640 0. propuso las siguientes correlaciones para los cambiadores multitubulares: .226 0.244 0.8 = b/Do.169 0.201 0. basándose en sus datos y en los de otros investigadores.89 5 0.183 0.0 E.5.95 7 0. a/Do = 1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento sobre la periferia de los indicados tubos de filas distintas del bloque.90 0. 14 Condiciones: 1. 0.6 ⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0.005842)De0. 2. libre de tabiques deflectores. De= 4(área sección transversal / perímetro mojado) = 4(ab − πDo/4)/πD0 expresado en metros. 2.6 ⎜⎜ o c ⎟⎟ ⎜ P ⎟ k ⎝ µ ⎠ ⎝ k ⎠ 0. referida a la superficie libre de flujo. Gc velocidad másica del fluido en la carcasa. 0.6 ⎜⎜ o e ⎟⎟ ⎜ P ⎟ k ⎝ µ ⎠ ⎝ k ⎠ 0. 4. Ge = (GcorGcarc)0.6 ⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 348 Parte de la carcasa de un cambiador multitubular sin tabique deflector alguno.33 ⎛ µ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ µo ⎠ 0.5 ≤ De (DoGc/µ) ≤ 500. 3.33 ⎛ µ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ µo ⎠ 0. 2. De como antes. Parte de la carcasa de un cambiador multitubular con tabiques deflectores de discoscoronas.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. excepto µ0 (a la temperatura de las paredes de los tubos).33 ⎛ µ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ µo ⎠ 0. excepto µ0.5 ≤ De (DoGe/µ) ≤ 700. 0. 0.14 Condiciones: 1.5·siendo Gcor la velocidad másica referida a la abertura de las coronas y Gcarc la velocidad másica referida a la sección transversal de la carcasa.25)⎜⎜ o e ⎟⎟ ⎜ P ⎟ k ⎝ µ ⎠ ⎝ k ⎠ 0. Do el significado de la figura 1 para el bloque de tubos en el interior de la carcasa. Propiedades físicas del fluido evaluadas a su temperatura másica. 4. Propiedades físicas del fluido a su temperatura másica. 3.6 ⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0. b.00825)De0.14 . Parte de la carcasa de un cambiador multitubular con tabiques deflectores de segmentos circulares. teniendo los parámetros a. 3.14 en Karlekar y Desmond.5 siendo Gseg la velocidad másica referida a la abertura del segmento. Los subíndices “l” indican que la propiedad es para la fase líquida.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. A partir de la teoría de Nusselt modificada por McAdams. hfg es el calor latente de condensación.13 en Manrique. es decir (ρl . 74.18 en Necati Ösizik. en función del numero de Reynolds para la película. 1307 (1952)) llegaron a una ecuación similar a la anterior con valores distintos de la constante de proporcionalidad o factor de forma. ASME. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 349 Condiciones: 1.30 en Welty Wicks y Wilson. el coeficiente promedio de transferencia de calor para la condensación sobre placas verticales se obtiene de ⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg k l3 ⎤ hm = 1.13⎢ ⎥ ⎢⎣ µ l (Tv − Tw ) L ⎥⎦ 1/ 4 También. 10.725⎢ ⎥ ⎣⎢ µ l (Tv − Tw ) D ⎦⎥ 1/ 4 donde D es el diámetro exterior del tubo. despreciando ρv respecto a ρl 1/ 3 ⎛ µ 2f ⎞ hm ⎜ 3 2 ⎟ ⎜k ρ g⎟ ⎝ f f ⎠ ⎛ 4Γ ⎞ ⎟ = 1. Gcarc la velocidad másica referida a la sección transversal de la carcasa.ρv) ≈ ρl podemos escribirla como 1/ 3 ⎛ µ 2f ⎞ hm ⎜ 3 2 ⎟ ⎜k ρ g⎟ ⎝ f f ⎠ ⎛ 4Γ ⎞ ⎟ = 1. 10 ≤ (DoGe/µ) ≤ 5000. 10.76⎜ ⎜µ ⎟ ⎝ f ⎠ −1 / 3 Ref ≤ 1800 La ecuación para el coeficiente promedio de transferencia de calor para condensación en el exterior de tubos horizontales (7. Tw son las temperaturas del vapor y de la superficie de la pared respectivamente.514⎜ ⎜µ ⎟ ⎝ f ⎠ −1 / 3 . CONDENSACIÓN TIPO PELÍCULA DE VAPORES PUROS. Ge = (GsegGcarc)0. 2. E. Si despreciamos la densidad del vapor frente a la del líquido. 21. Tv. William y Katz (Trans. Propiedades físicas del fluido a su temperatura másica excepto µ0. incluso cuando las paredes de los tubos del cambiador están extendidas con aletas. etc.6.) es: ⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg kl3 ⎤ hm = 0. que precisan para cada caso concreto. 14.41 en Incropera DeWitts. Esto equivale a escribir la ecuación (12 .725⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 µ l (Tv − Tw ) D ⎥⎦ 1/ 4 Para hacerlo desprecie la densidad del vapor frente a la del líquido.primera edición) recomienda utilizar la misma correlación usada para determinar el coeficiente pelicular para condensación en el exterior de tubos horizontales tomando un caudal másico de condensado por unidad de longitud. es decir (ρl . y) satisfacen las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento de una capa límite. Para determinar el coeficiente convectivo de transferencia de calor por condensación en película en el interior de tuberías horizontales. E. y) y v(x. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 350 Γ es caudal másico de condensado por unidad de longitud del tubo.ρv) ≈ ρl. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA VELOCIDAD Y DEL ARRASTRE EN EL FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA Consideremos el flujo estable en dos dimensiones de un fluido incompresible de propiedades constantes sobre una placa plana. . Γ. ⎜⎜ ⎝µf ⎠ −1/ 3 Aquí Γ es el caudal másico actual por unidad de longitud. y) y v(x.7. y) las componentes de la velocidad en las direcciones x y y respectivamente. EJERCICIO. Sean u(x. u∞ la velocidad libre del flujo y δ(x) el espesor de la capa límite de velocidad. Las componentes de la velocidad u(x. tal como se ilustra en la figura. Kern (página 269 .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Demuestre que esto es equivalente a escribir la ecuación para condensación en el exterior de tubos horizontales en la siguiente forma: ⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg k l3 ⎤ hm = 0. doble del real.40) del texto en cuestión de la siguiente manera: ⎛ µ 2f ⎞ hm ⎜⎜ 3 2 ⎟⎟ ⎝ k f ρ f g⎠ 1/ 3 ⎛ 8Γ ⎞ ⎟⎟ = 1514 . El eje x se toma a lo largo de la placa con el origen x = 0 en la arista de entrada y el eje y perpendicular a la superficie de la placa. u → u∞ en y = δ(x) Las condiciones de frontera establecen que en la superficie de la placa las componentes de la velocidad son cero (es decir. en el caso de flujo a lo largo de una placa de velocidad del flujo externo u∞ es constante. Los métodos aproximados son útiles para resolver analíticamente problemas más complicados los cuales no se pueden resolver fácilmente por métodos exactos.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Las condiciones de frontera de estas ecuaciones son u = 0. Encontramos que − du ( x ) dp = ρu ∞ ( x ) ∞ dx dx puesto que se considera que u∞(x) es sólo función de x. v = 0 en y = 0. en consecuencia se considera que el término dp/dx es conocido. la exactitud de un . sin embargo. El propósito de presentar aquí este método aproximado de análisis es el de ilustrar la aplicación de esta poderosa técnica matemática para obtener una solución analítica del problema de velocidad y por lo tanto proporcionar alguna idea del significado de los diferentes parámetros. En el análisis de la capa límite se supone que se conoce la velocidad del flujo externo u∞(x) la cual se halla al resolver el problema de velocidad del flujo por fuera de la capa límite. Por ejemplo. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 351 Continuidad ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y Cantidad de movimiento en x ∂u ∂u dp µ ∂ 2 u +v =− + u ∂x ∂y dx ρ ∂ y 2 El término de presión en la ecuación de cantidad de movimiento se puede relacionar con la velocidad de flujo externo u∞(x) evaluando la ecuación en el borde de la capa límite de velocidad. Ahora resolveremos el problema de velocidad descrito por el método integral aproximado que fue desarrollado originalmente por von Kármán. entonces dp =0 dx Por lo tanto el gradiente de presión dp/dx no aparece en la ecuación de cantidad de movimiento en x para flujo a lo largo de una placa plana. la superficie es impermeable al flujo) y que la componente axial de la velocidad en el borde de la capa límite en y = δ (x) es casi igual a la velocidad del flujo externo u∞. en donde u ~ u∞(x). La ecuación resultante recibe el nombre de ecuación integral de cantidad de movimiento.y) de la velocidad.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. el coeficiente de arrastre determinado por este método es en la mayoría de los casos prácticos bastante aproximado a los resultados exactos. y) de la velocidad por medio de la ecuación de continuidad. Generalmente se selecciona un perfil polinomial y la experiencia ha demostrado que no se aumenta apreciablemente la exactitud de la solución si se escogen polinomios mayores del cuarto grado. Se sustituye el perfil de velocidad u(x. sobre el espesor de la capa límite δ(x) y se elimina la componente v(x. Se integra la ecuación de cantidad de movimiento con respecto a y. entonces el perfil de velocidad es una función de y y de δ(x) de la forma u ( x. El método integral que se acaba de describir proporciona un método de solución muy directo de las ecuaciones de la capa límite. Solución del problema de velocidad por el método integral Paso 1. el espesor de la capa límite se determina resolviendo la ecuación diferencial ordinaria sometiéndola a la condición de frontera δ(x) = 0 para x = 0 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 352 método aproximado no se puede conocer antes de comparar la solución aproximada con la solución exacta. Aunque el análisis es aproximado. Los pasos básicos de este método son los siguientes: 1 Se integra la ecuación de cantidad de movimiento en x con respecto a y. sobre el espesor de la capa límite δ(x). y) El coeficiente-de arrastre se obtiene rápidamente a partir de su definición por medio de la distribución de velocidad encontrada en el paso 4. Los coeficientes se determinan en función del espesor de la capa límite δ(x) haciendo uso de las condiciones en y = 0 y y = 8(x). δ ( x )] 3. Una vez que se conoce δ(x) se puede determinar la distribución de velocidad u(x. 2 Sobre el espesor de la capa límite 0 ≤ y ≤ δ(x) se escoge un perfil adecuado para la componente u(x. y ) = f [ y. y) en la ecuación integral de cantidad de movimiento que se obtuvo en el paso 1 y se integra con respecto a la variable y La expresión resultante es una ecuación diferencial ordinaria de δ(x). obtenemos . Los términos del lado derecho de esta relación se determinan de la siguiente manera: de la ecuación de continuidad se obtiene inmediatamente dv/dy − ∂u ∂v = ∂x ∂y e integrando esta ecuación desde . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento δ (x ) ⌠ ⎮ ⌡0 δ (x ) ∂u ⌠ u dy + ⎮ ∂x ⌡0 v 353 µ ⎛∂u µ ∂u ∂u ∂ u ⎞⎟ dy = ⎜ =− − ρ ⎜⎝ ∂ y y =δ ∂ y y = 0 ⎟⎠ ρ ∂ y y=0 ∂y puesto que por el concepto de capa límite (du/dy) y=δ = 0.y = 0 hasta y = δ se obtiene δ ∂u ⌠ v 0 = v δ = −⎮ dy ⌡0 ∂x δ ya que v|y = 0 = 0.Al sustituir estas dos ecuaciones se encuentra δ δ δ ∂u ∂u ⌠ ∂u ⌠ ⌠ dy + ⎮ u dy ⎮ v dy = −u∞ ⎮ ⌡0 ∂x ⌡0 ∂x ⌡0 ∂y Cuando se sustituye este resultado en la ecuación inicial se llega a δ (x ) ⌠ ⎮ ⌡0 2u δ (x ) ∂u ∂u µ ∂u dy − u∞ ⌠ dy = − ⎮ ⌡0 ∂x ∂x ρ∂y y =0 o puesto que du2 = 2udu δ (x) ⌠ ⎮ ⌡0 δ (x) ∂u 2 ∂ (uu∞ ) µ ∂u dy − ⌠ dy = − ⎮ ⌡0 ∂x ∂x ρ∂y y =0 . La segunda integral del lado izquierdo se hace por partes δ (x ) ⌠ ⎮ ⌡0 δ v δ ∂u δ ⌠ ∂v ⌠ ∂v dy = uv 0 − ⎮ u dy = u∞ v δ − ⎮ u dy ∂y ⌡0 ∂y ⌡0 ∂y puesto que u = u∞ en y = δ y u = 0 en -y = 0. De esta ecuación se elimina la componente y de la velocidad haciendo uso de la ecuación de continuidad.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. El eje x se toma a lo largo de la placa en la dirección del flujo con el origen x= 0 en la arista de entrada y el eje y es perpendicular a la placa. E. y) como θ ( x. Una vez que se conoce la distribución de temperatura.8. En la figura observamos que la capa límite de velocidad de espesor d(x) se comienza a desarrollar en x = 0. pero la capa límite térmica de espesor dt(x) se empieza a desarrollar en x = x0 en donde comienza a tener lugar la transferencia de calor entre la placa y el fluido. y ) = T ( x.y) la temperatura del fluido dentro de la capa límite térmica. Se supone que la transferencia de calor entre el fluido y la placa sólo ocurre desde la posición x = x0 . Entonces del balance de energía térmica se obtiene la ecuación de energía del flujo estable de la capa límite en dos dimensiones de un fluido incompresible de propiedades constantes. Consideremos que un fluido a temperatura T∞ fluye con una velocidad u∞ sobre una placa plana como se muestra en la figura. la placa se mantiene a la temperatura uniforme T∞ en la región 0 ≤ x ≤ x0 y a una temperatura uniforme Tw en la región x > x0. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA A continuación se utilizará el método integral aproximado para determinar la distribución de temperatura en flujo laminar sobre una placa plana que se mantiene a temperatura uniforme. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 354 Reagrupando e invirtiendo el orden de diferenciación e integración [ ] d δ µ du ∫0 u (u∞ − u )dy = dx ρ dy y =0 que es la ecuación integral de cantidad de movimiento para placa plana horizontal. esto es. Sea T(x. Balance de energía térmica ⎛ ∂T ⎛ ∂u ⎞ ∂T ⎞ ∂ 2T ⎟⎟ = k 2 + µ ⎜⎜ ⎟⎟ +v ρCP ⎜⎜ u ∂y ⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎝ ∂y ⎠ 2 Por conveniencia definiremos la temperatura adimensional θ(x. a partir de la definición. y ) − Tw T∞ − Tw . el coeficiente de transferencia de calor entre el fluido y la superficie de la placa. se puede determinar rápidamente. La función ∆(x) se puede determinar al resolver esta ecuación diferencial sometiéndola a la condición de frontera ∆ = 0 cuando x = x0 .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. tanto para la distribución de temperatura como para la componente u(x. se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de una función ∆(x) = δt/δ. que es el caso que se considera aquí. θ = 1 en y = δt(x) Ahora se utilizará el método integral discutido previamente en la solución del problema de velocidad para resolver en forma aproximada la ecuación de energía sometiéndola a las condiciones de frontera mencionadas. Generalmente estos perfiles dentro de la capa límite se representan por polinomios. y). Los siguientes son los pasos básicos de este método de solución: 1 Se integra la ecuación de energía con respecto a y entre 0 y H que sea mayor que el espesor de las capas límites de velocidad y térmica. δt < δ). Se calcula luego el espesor de la capa límite térmica a partir de δt = δ∆. .y) varía desde el valor cero en la pared de la placa hasta la unidad en el borde de la capa límite térmica. ya que del análisis anterior se encontró el espesor de la carga límite de velocidad δ. y por medio de la ecuación de continuidad se elimina la componente v(x. y) de la velocidad. y) de la velocidad. La ecuación resultante es Inecuación integral de la energía. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 355 en donde θ(x. Si el espesor de la capa límite térmica es menor que el de la capa límite de velocidad (es decir. 2 Se escoge un perfil adecuado. Entonces la ecuación de energía en función θ(x. en la que se desprecia el término de disipación por viscosidad es ⎛ ∂θ ∂ 2θ ∂θ ⎞ ⎜⎜ u + v ⎟⎟ = α 2 ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂x y las condiciones de frontera son: θ = 0 en y = 0 . 3 En la ecuación integral de la energía obtenida en el paso 1 se sustituyen los perfiles de temperatura y de velocidad determinado sen el paso 2 y luego se integra con respecto a la variable y. Los términos v y se obtienen de la ecuación de continuidad − ∂u ∂v = ∂x ∂y y H ∂u v y = H = −⌠ dy ⎮ ⌡0 ∂x al sustituir se obtiene H H H ⌠ ∂θ ⌠ ∂u dy + ⌠ θ ∂u dy v dy = − ⎮ ⎮ ⎮ ⌡0 ∂x ⌡0 ∂x ⌡0 ∂y Al remplazar en la ecuación inicial se llega a H ⌠ ⎮ ⌡0 ∂u ∂u ⎞ ∂θ ⎛ ∂θ +θ − ⎟dy = −α ⎜u ∂x ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x o puesto que d(uθ) = udθ + θdu y =0 =H y ∂v/∂y que aparecen en esta ecuación . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 356 4 Mediante el paso 2 se determina la distribución de temperatura en la capa límite puesto que ya se conoce δt. La segunda integral del lado izquierdo de la ecuación se hace por partes H ⌠ ∂θ dy = vθ ⎮ v ⌡0 ∂y H 0 H H ⌠ ∂v ⌠ ∂v − ⎮ θ dy = v y = H − ⎮ θ dy ⌡0 ∂y ⌡0 ∂y puesto que v|y=0 = 0 y θ|y = H = 1. Solución del problema de temperatura por el método integral Por el método integral se resuelve la ecuación de energía y la distribución de temperatura se define como sigue. Paso 1 Se integra la ecuación de energía con respecto a y sobre una distancia H que sea mayor que el espesor de ambas capas límites H H ⌠ u ∂θ dy + ⌠ v ∂θ dy = α ⎛⎜ ∂ θ ⎮ ⎮ ⎜∂ y ⌡0 ∂x ⌡0 ∂y ⎝ − y=H ∂u ∂y ⎞ ⎟ = −α ∂ θ ⎟ ∂y y =0 ⎠ y =0 puesto que por la definición de la capa límite (∂θ/∂y)y = H = 0 Mediante la ecuación de continuidad se elimina la componente v de la velocidad en la ecuación anterior.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. a saber: vx = ay2 + by + c. Para el caso de flujo laminar en la capa límite deducir las expresiones para el espesor de la capa límite hidrodinámica δ(x). CL3: ⇒ 2aδ = − b ⇒ a = − v∞/δ2. . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ∂θ ⌠ ⎛ ∂ (uθ ) ∂u ⎞ ⎮ ⎜ u ∂x − ∂x ⎟dy = −α ∂ y ⌡0 ⎝ ⎠ 357 H y =0 Reagrupando e invirtiendo el orden de diferenciación e integración [ ] d H =δ dθ ∫0 u (1 − θ )dy = α dx dy y =0 que es la ecuación integral de energía. el coeficiente promedio de arrastre sobre la longitud 0 ≤ x ≤ L con L ≤ xC.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y ) − ρ A w ρ A∞ − ρ A w E. vx = v∞ en y = δ. Las dos primeras condiciones límite son inherentes a la descripción del problema. dvx/dy = 0 en y = δ. De forma similar se trata la situación cuando existen perfiles de concentración donde la variable adimensional θ se interpretará como (usando las unidades de concentración que sean adecuadas) θ ( x. y ) = ρ A ( x. Aplicándolas: CL1: ⇒ c = 0. y el coeficiente de transferencia de calor. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y TÉRMICA SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARMÁN Y SUPONIENDO PERFILES PARABÓLICOS. CL2: ⇒ v∞ = aδ2 + bδ. la tercera proviene de la misma definición de capa límite. La ecuación integral de cantidad de movimiento es d ⎡δ ⎤ µ dv x ∫ v x (v∞ − v x )dy ⎥ = ⎢ dx ⎣ 0 ⎦ ρ dy para 0 ≤ y ≤ δ. b = 2v∞δ.9. y =0 Asumimos a continuación un perfil de velocidades parabólico.y). δ = δ(x). con vx = 0 en y = 0. con vx = vx(x. Aquí se restringe el límite superior de la integral a H = δt. debido a que θ = 1 cuando H > δt y el integrando desaparece cuando H > δt. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento obtenemos el perfil de velocidad vx ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ = 2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ v∞ ⎝δ ⎠ ⎝δ ⎠ 2 (i) A continuación sustituimos el perfil de velocidad en la ecuación integral de cantidad de movimiento: δ δ 0 0 2 ⌠ ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞2 ⎤ ⎡ vx ⎤ 2 µv∞ ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎤ 2 d ⌠ vx ⎡ 2 d v∞ ⎢2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 − 2⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥dy = ⎮ ⎢1 − ⎥dy = v∞ ⎮ ⎮ ρδ dx ⌡ v∞ ⎣ v∞ ⎦ dx ⌡ ⎣⎢ ⎝ δ ⎠ ⎝ δ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ δ ⎠ ⎝ δ ⎠ ⎦⎥ El lado derecho de esta ecuación se obtiene derivando vx: (µ/ρ)(dvx/dy)y=0 = b(µ/ρ) = 2µv∞/ρδ. a saber: τ x = fx ρv∞2 2 =µ dv x dy esfuerzo cortante local.48 Re x (iia) Reemplazando (ii) en (i) podemos determinar el perfil de velocidad. y =0 El gradiente de velocidad lo obtenemos del perfil de velocidad. Reemplazando obtenemos el coeficiente local de arrastre para flujo laminar sobre una placa plana: . que nos correlaciona el esfuerzo cortante con la energía cinética promedia del fluido. reuniendo términos semejantes e integrando con respecto a y obtenemos x δ µ 1 dδ 15µ ⌠ 30µx = ⇒ ∫ δdδ = dx ⇒ δ = ⎮ ρ v∞ ⌡ ρv∞ 15 dx ρv∞δ 0 (ii) 0 Este espesor de capa límite se acostumbra a expresar en forma adimensional recordando que Rex = ρv∞x/µ: δ x = 5. Rompiendo paréntesis. en la práctica tiene mayor interés el coeficiente de arrastre.358 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Sin embargo. 0* = 4.359 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. .454 Re L +9.64 Re x fL = 1.49 = 5.50 Re x fL = 1.730 fL = f x dx = L⎮ L ⌡ L ⎛ µ ⎞ ⌠ − 12 ⎟⎟ ⎮ x dx = 2 f x ⎜⎜ ⎝ ρv∞ ⎠ ⌡ 0 0 x= L = 1.46 Re L Entonces el valor medio del coeficiente de arrastre en la longitud que va desde x = 0 hasta L es el doble del valor local del coeficiente de arrastre calculado en x = L.41 = 5.310 Re L −1.31 * Este valor se toma como referencia. Conociendo el coeficiente medio de arrastre se puede determinar la fuerza F que actúa sobre una cara de la placa de ancho w como F = wLfLρv∞2/2.80 Re x fL = 1. Forma de la curva del perfil de velocidad Solución de Blassius y Howarth Espesor de la capa límite 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento fx = 4µ 0.83 Re x fL = 1.36 = 4.296 Re L −2.730 = 30νx Re x ρv∞ v∞ Se define el valor medio del coeficiente de arrastre en la longitud que se extiende desde x = 0 hasta L como L ⌠ 1⎮ 0.96 δ = x Re x δ Perfil Sinusoidal x Polinomio grado de tercer δ x Polinomio de segundo grado δ Polinomio grado δ de cuarto x x Coeficiente de fricción total 1.372 Re L +3. Propiedades De La Capa Limite Laminar Sobre Una Capa Plana Determinados Por Diferentes Métodos.328 fL = Re L Porcentaje de error 0. ANÁLISIS APROXIMADO DEL FLUJO DE CALOR EN FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento E. integrando con respecto a y. en y = δ. T = TS. en y = 0. el coeficiente convectivo de transferencia de calor entre el fluido y la superficie de la placa. se puede determinar a partir de la definición.360 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.10. T = T∞. La ecuación integral de energía calorífica para este sistema es δt d ⌠ dT ⎮ v x (T∞ − T )dy = α dx ⌡ dy 0 (iii) y =0 Seleccionando un perfil parabólico para el perfil de temperaturas tenemos: T = ay2 + by + c. Procediendo como en el caso del perfil de velocidades obtenemos ⎛ y T − TS = 2⎜⎜ T∞ − TS ⎝δt ⎞ ⎛ y ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎠ ⎝δt 2 ⎞ ⎟⎟ = θ ⎠ (iiia) Observando que 1− T − TS T −T = ∞ = 1−θ T∞ − TS T∞ − TS reemplazamos el perfil de temperatura y el de velocidad en la ecuación del balance integral de energía (iii): δt 2 ⎛ y d ⌠ ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ ⎤⎡ v∞ (T∞ − TS ) ⎮ ⎢2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 − 2⎜⎜ dx ⎮ ⎝δt ⌡ ⎢⎣ ⎝ δ ⎠ ⎝ δ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎞ ⎛ y ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝δt ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ⎤ 2α (T∞ − TS ) ⎥ dy = δt ⎥⎦ Descomponiendo paréntesis. Una vez que se conoce la distribución de temperatura. dT/dy = 0. en y = δ. A continuación utilizaremos el método integral aproximado para determinar la distribución de temperatura en flujo laminar sobre una placa plana que se mantiene a temperatura uniforme TS. reorganizando obtenemos: d ⎡ δ t2 4 δ t2 1 δ t2 δ t3 1 δ t3 1 δ t3 ⎤ 2α = + − 2 + − ⎢ − 2 2 ⎥ dx ⎣ δ 3 δ 2 δ 2δ 5 δ ⎦ v∞ δ t 3δ (iv) . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Definimos ahora una nueva variable. ⎡ ⎣ φδ ⎢2φδ 2φ 2δ 2 dφ dδ ⎤ 12α = +φ2 dx dx ⎥⎦ v∞ dφ dδ 12α + φ 3δ = dx dx v∞ reconociendo que d 3 dφ φ = 3φ 2 . despreciamos el término φ2/30 frente a φ/6. φ(x) como el cociente entre el espesor de la capa límite térmica con el de la capa límite de velocidad: φ ( x) = δ t ( x) δ ( x) Reemplazando en (4) obtenemos: d 2α φδ t − 43 φδ t + 12 φδ t − 13 φ 2δ t + 12 φ 2δ t − 15 φ 2δ t = dx v∞ δ t [ ] d ⎡ ⎛ φ φ 2 ⎞⎤ 2α ⎢δ t ⎜⎜ − ⎟⎟⎥ = dx ⎣ ⎝ 6 30 ⎠⎦ v∞ δ t (v) Si suponemos que el espesor de la capa límite térmica δt es menor que el espesor de la capa límite hidrodinámica δ. reorganizamos para obtener dx dx dδ 12α 2 2 d 3 δ φ + φ 3δ = dx dx v∞ 3 .361 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y con el fin de simplificar la ecuación (v). recordando que δt = φδ obtenemos δt 12α d ⎡ ⎛ φ ⎞⎤ 2α d 2 " ⇒ "φδ ( δ t ⎜ ⎟⎥ = φ δ )= ⎢ dx ⎣ ⎝ 6 ⎠⎦ v∞ dx v∞ Derivando con respecto a x. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 362 Según (ii) δ2 = 20 x 30 xµ ρ v∞ δ y dδ 15µ = dx ρv∞ por lo cual µx d 3 µ φ + 15 φ 3 = 12α . justificando las suposiciones hechas. Esta expresión muestra que la relación entre los espesores de las capas límite de velocidad y térmica en el flujo laminar sobre una placa plan es proporcional a la raíz cúbica del número de Prandtl. Haciendo φ3 = Y. C1 = − 3 5 Pr 5 Pr xo− 4 4 ⎡ ⎛ x ⎢1 − ⎜ φ = 5 Pr ⎢ ⎜⎝ x0 ⎣ 3 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 3 4 ⎤ ⎥ ⎥⎦ Para x0 = 0. tenemos x d 3 3 1 Y+ Y= dx 4 5 Pr Tiene una solución particular Y = C ⇒ 0 + 3C/4 = 3/5Pr Y = [3/(5Pr)]/(3/4) = 4/(5Pr). . δt/δ = 0. Resolviendo la homogénea x 3Y 3 dx dY dY = − "⇒" =− 4 4 x dx Y ln Y = − 34 ln x + ln C1 " ⇒ "Y = C1 x − 4 .93Pr−1/3 ⇒ δ/δt ≅ Pr1/3. la solución general es la suma de ambas: 3 φ 3 = C1 x − + 3 4 4 4 haciendo δt = 0 = φ en x = x0. la capa límite térmica será menor o igual a la capa límite hidrodinámica.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. con Pr = µ/ρα numero de Prandtl: ρ dx ρ d 3 3 3 3 1 φ + φ = dx 4 5 Pr Ecuación diferencial ordinaria de primer orden para φ3. Como este es del orden de la unidad para gases y mayor que esta para líquidos (diferentes de metales líquidos). 1.10. Coeficiente de transferencia de calor Se define el coeficiente local de transferencia de calor h(x) entre el fluido y la superficie de la pared como q(x) = h(x)(TS − T∞).FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. se puede determinar por la expresión q ( x) = −k ∂T ( x.6 ≤ Pr ≤ 10.339 Re1x/ 2 Pr 1 / 3 Definimos un coeficiente promedio de transferencia de calor sobre la longitud de la placa que se extiende desde x = 0 hasta x = L con L < xC. Cuando el número de Prandtl es muy grande. El flujo de calor al fluido en la región inmediatamente adyacente a la pared. Sin embargo en la práctica es más importante hallar el coeficiente de transferencia de calor entre el fluido y la superficie de la placa como veremos a continuación. E. gracias a que en la pared la velocidad de flujo se reduce a cero y el calor entonces se transfiere por conducción.392 Re1x/ 2 Pr 1 / 3 δt x 2 Esta solución aproximada es 18 % mayor a la solución exacta del problema dada por Polhausen (1921): Nu x = h( x ) x = 0. obtenemos δ t = 5.332 Re1x/ 2 Pr 1 / 3 k (exacta) Esta ecuación tiene validez para 0. . y ) ∂y = k (TS − T∞ ) y =0 ∂θ ∂y y =0 Obtenemos entonces h( x ) = k ∂θ ∂y =k y =0 k = 0.1 x Re Pr 1 / 3 12 x Con este valor de δt(x) podemos obtener el perfil de temperaturas a partir de (3a). los cálculos exactos de Polhausen demuestran que el coeficiente local adimensional viene dado por Nu x = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 363 Reemplazando δ de (2a). y = δc ρA = ρA∞ Entonces b = ρ A∞ − ρ AS ρ A − ρ AS y ⇒ = δc ρ A∞ − ρ AS δ c . así como la ecuación integral de Von Karmán de la concentración. E. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y DE CONCENTRACIONES SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARMÁN Y SUPONIENDO PERFILES LINEALES. Suponiendo que existen una distribución lineal de la velocidad y un perfil lineal de la concentración en la capa límite laminar. es decir a la temperatura media aritmética entre la de la pared TS y la del fluido externo T∞. b) Demostrar. y = δ vx = v∞ De aquí a = 0 . el grosor de la capa límite de concentración.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. δ. a) Perfiles: De velocidad: vx = a + by condiciones límite: y = 0 vx = 0 .664 Re1x/ 2 Pr 1 / 3 k Para calcular el coeficiente de transferencia de calor por medio de las relaciones anteriores se recomienda determinar las propiedades del fluido a la temperatura de película. δc y el número de Schmidt. para obtener una relación entre el espesor hidrodinámico de la capa límite. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento hm = 364 1L ∫ h( x)dx = 2h( x) x = L L0 De tal forma que Nu m = hm L = 0. que el esfuerzo cortante en la pared es: τ s v∞2 dδ = ρ 6 dx Use esta relación. aplicando la ecuación integral de Von Karmán de cantidad de movimiento.11. v∞ = bδ ⇒ (vx/v∞) = (y/δ) De concentración: ρA = a + by condiciones límite: y = 0 ρA = ρAS = a . sobre una placa plana: a) Obtenga las ecuaciones de los perfiles de velocidad y de concentración. 365 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 1− A = A∞ = ⎜⎜1 − ⎟⎟ δc ρ A∞ − ρ AS ρ A∞ − ρ AS ⎝ δ c ⎠ d ⌠ y⎛ y ⎜⎜1 − ⎮ dx ⎮ ⌡ δ ⎝ δc δc ⎞ d ⎡ y2 y3 ⎤ d ⎡ δ c2 ⎤ D AB ⎟⎟ = = − ⎢ ⎥= ⎥ ⎢ dx ⎣ 6δ ⎦ v∞ δ c ⎠ dx ⎣ 2δ 3δδ c ⎦ 0 0 Haciendo δc = nδ d ⎡ δ c2 ⎤ d 2 dδ dn 6 D AB + 2 nδ = n δ = n2 ⎢ ⎥= dx ⎣ δ ⎦ dx dx dx v∞ nδ [ ] (i) .464 ⌠ ⎮ δ dδ = ⎮ = dx ⇒ = o sea 2 ρv∞ x Re x ⎮ ⌡ ρv∞ ⌡ 0 0 Ecuación integral para la especie A δc dρ A d ⌠ ⎮ v x ( ρ A∞ − ρ A )dy = − n AS = D AB dx ⌡ dy 0 dρ A dy δc = y =0 y =0 ρ A∞ − ρ AS ρ − ρ AS ρ − ρA ⎛ y ⎞ . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento b) Ecuación integral de cantidad de movimiento τ S µ dv x d ⎡δ ⎤ = ∫ v x (v∞ − v x )dy ⎥ = − ⎢ ρ ρ dy dx ⎣ 0 ⎦ para 0 ≤ y ≤ δ. δ = δ(x) y =0 Reemplazando el perfil de velocidad δ d ⌠ vx v∞2 dx ⎮ ⌡ v∞ 0 ⎡ vx ⎤ µ v∞ ⎢1 − ⎥dy = ρ δ ⎣ v∞ ⎦ δ µ d ⌠ y⎛ y⎞ d ⎡ y2 y3 ⎤ 1 dδ − = − 1 = = dy ⎜ ⎟ ⎮ ⎢ 2 ⎥ dx ⌡ δ ⎝ δ ⎠ dx ⎣ 2δ 3δ ⎦ 0 6 dx ρv∞ δ δ x ⌠ δ 2 6 µx 6µ δ 3.y). con vx = vx(x. Sean u(x. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento n3 366 dδ dn 6 D AB + 2n 2δ 2 = dx dx v∞ de la ecuación (i) δ 6µ 12 µx dδ y δ2 = = ρv∞ dx ρv∞ Reemplazando y simplificando con Sc = µ/ρDAB n 3 + 4n 2 x dn 1 = . separando variables y haciendo u = n3 − 1/Sc dx Sc ⌠ du 3 3 dx ⎮ =− ⌠ ⇒ ln u = − 34 ln x + ln C ⇒ u = Cx − 4 ⎮ 4⌡ x ⎮ u ⌡ δ = Sc − Para x = x0. Así mismo. δ = Sc δc ⎡ ⎛ x0 ⎞ 4 ⎤ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎥⎦ 3 1 3 1 3 1 3 Este resultado es comparable al de Polhausen para transferencia de calor y prevé que para sistemas gaseosos. y) las componentes de la velocidad en las direcciones x y y respectivamente. en los cuales Sc > 1. E. la capa límite de concentraciones estará embebida en la capa límite de velocidades. Las componentes de la velocidad . la capa límite hidrodinámica y la de concentraciones son del mismo orden de magnitud.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA VELOCIDAD Y DEL ARRASTRE EN EL FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA. donde Sc es del orden de la unidad.12. tal como se ilustra en la figura. δc = 0 = n. El eje x se toma a lo largo de la placa con el origen x = 0 en la arista de entrada y el eje y perpendicular a la superficie de la placa. por lo cual n = δc Para x0 = 0. y) y v(x. Consideremos el flujo estable en dos dimensiones de un fluido incompresible de propiedades constantes sobre una placa plana. para la mayoría de los sistemas. u∞ la velocidad libre del flujo y δ(x) el espesor de la capa límite de velocidad. Las condiciones de frontera de estas ecuaciones son u = 0. Continuidad ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y Cantidad de movimiento en x u ∂u ∂u dp µ ∂ 2 u +v =− + ∂x ∂y dx ρ ∂ y 2 El término de presión en la ecuación de cantidad de movimiento se puede relacionar con la velocidad de flujo externo u∞(x) evaluando la ecuación en el borde de la capa límite de velocidad. Los métodos . y) satisfacen las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento de una capa límite. El propósito de presentar aquí este método aproximado de análisis es el de ilustrar la aplicación de esta poderosa técnica matemática para obtener una solución analítica del problema de velocidad y por lo tanto proporcionar alguna idea del significado de los diferentes parámetros. u → u∞ en y = δ(x) Las condiciones de frontera establecen que en la superficie de la placa las componentes de la velocidad son cero (es decir. y) y v(x. v = 0 en y = 0. Por ejemplo. entonces dp =0 dx Por lo tanto el gradiente de presión dp/dx no aparece en la ecuación de cantidad de movimiento en x para flujo a lo largo de una placa plana. en donde u ~ u∞(x). en consecuencia se considera que el término dp/dx es conocido.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la superficie es impermeable al flujo) y que la componente axial de la velocidad en el borde de la capa límite en y = δ (x) es casi igual a la velocidad del flujo externo u∞. Ahora resolveremos el problema de velocidad descrito por el método integral aproximado que fue desarrollado originalmente por von Kármán. Encontramos que − dp du ( x ) = ρu ∞ ( x ) ∞ dx dx puesto que se considera que u∞(x) es sólo función de x. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 367 u(x. En el análisis de la capa límite se supone que se conoce la velocidad del flujo externo u∞(x) la cual se halla al resolver el problema de velocidad del flujo por fuera de la capa límite. en el caso de flujo a lo largo de una placa de velocidad del flujo externo u∞ es constante. δ ( x )] 3. y ) = f [ y. Generalmente se selecciona un perfil polinomial y la experiencia ha demostrado que no se aumenta apreciablemente la exactitud de la solución si se escogen polinomios mayores del cuarto grado. sin embargo.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Aunque el análisis es aproximado. Solución del problema de velocidad por el método integral Paso 1. 2. el coeficiente de arrastre determinado por este método es en la mayoría de los casos prácticos bastante aproximado a los resultados exactos.y) de la velocidad. Los pasos básicos de este método son los siguientes: 1. El método integral que se acaba de describir proporciona un método de solución muy directo de las ecuaciones de la capa límite. Sobre el espesor de la capa límite 0 ≤ y ≤ δ (x) se escoge un perfil adecuado para la componente u(x. Se sustituye el perfil de velocidad u(x. El coeficiente-de arrastre se obtiene rápidamente a partir de su definición por medio de la distribución de velocidad encontrada en el paso 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 368 aproximados son útiles para resolver analíticamente problemas más complicados los cuales no se pueden resolver fácilmente por métodos exactos. obtenemos . La ecuación resultante recibe el nombre de ecuación integral de cantidad de movimiento. sobre el espesor de la capa límite δ(x). el espesor de la capa límite se determina resolviendo la ecuación diferencial ordinaria sometiéndola a la condición de frontera δ(x) = 0 para x = 0 4. entonces el perfil de velocidad es una función de y y de δ(x) de la forma u ( x. Los coeficientes se determinan en función del espesor de la capa límite δ(x) haciendo uso de las condiciones en y = 0 y y = 8(x). y) de la velocidad por medio de la ecuación de continuidad. Se integra la ecuación de cantidad de movimiento con respecto a y. y) en la ecuación integral de cantidad de movimiento que se obtuvo en el paso 1 y se integra con respecto a la variable y La expresión resultante es una ecuación diferencial ordinaria de δ(x). y). Se integra la ecuación de cantidad de movimiento en x con respecto a y. sobre el espesor de la capa límite δ(x) y se elimina la componente v(x. Una vez que se conoce δ(x) se puede determinar la distribución de velocidad u(x. la exactitud de un método aproximado no se puede conocer antes de comparar la solución aproximada con la solución exacta. Al sustituir estas dos ecuaciones se encuentra δ δ δ ∂u ∂u ⌠ ∂u ⌠ ⌠ dy + ⎮ u dy ⎮ v dy = −u∞ ⎮ ⌡0 ∂x ⌡0 ∂x ⌡0 ∂y Cuando se sustituye este resultado en la ecuación inicial se llega a δ (x ) ⌠ ⎮ ⌡0 2u δ (x ) ∂u ∂u µ ∂u dy − u∞ ⌠ dy = − ⎮ ⌡0 ∂x ∂x ρ∂y y =0 o puesto que du2 = 2udu δ (x) ⌠ ⎮ ⌡0 δ (x) ∂ (uu∞ ) µ ∂u ∂u 2 dy − ⌠ dy = − ⎮ ⌡0 ∂x ρ∂y ∂x y =0 . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento δ (x ) ⌠ ⎮ ⌡0 δ (x ) ∂u ⌠ u dy + ⎮ ∂x ⌡0 v 369 µ ⎛∂u µ ∂u ∂u ∂ u ⎞⎟ dy = ⎜ =− − ρ ⎜⎝ ∂ y y =δ ∂ y y = 0 ⎟⎠ ρ ∂ y y=0 ∂y puesto que por el concepto de capa límite (du/dy) y=δ = 0. La segunda integral del lado izquierdo se hace por partes δ (x ) ⌠ ⎮ ⌡0 δ v δ ∂u δ ⌠ ∂v ⌠ ∂v dy = uv 0 − ⎮ u dy = u∞ v δ − ⎮ u dy ∂y ⌡0 ∂y ⌡0 ∂y puesto que u = u∞ en y = δ y u = 0 en -y = 0. Los términos del lado derecho de esta relación se determinan de la siguiente manera: de la ecuación de continuidad se obtiene inmediatamente dv/dy − ∂u ∂v = ∂x ∂y e integrando esta ecuación desde . De esta ecuación se elimina la componente y de la velocidad haciendo uso de la ecuación de continuidad.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.y = 0 hasta y = δ se obtiene δ ∂u ⌠ dy v 0 = v δ = −⎮ ⌡0 ∂x δ ya que v|y = 0 = 0. ANÁLISIS APROXIMADO DE CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y TÉRMICA SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARMÁN Y SUPONIENDO PERFILES PARABÓLICOS. E. a saber: vx = ay2 + by + c. el coeficiente promedio de arrastre sobre la longitud 0 ≤ x ≤ L con L ≤ xC. y =0 Asumimos a continuación un perfil de velocidades parabólico. con vx = vx(x. y el coeficiente de transferencia de calor. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Reagrupando e invirtiendo el orden de diferenciación e integración [ ] d δ µ du ∫0 u (u∞ − u )dy = dx ρ dy y =0 que es la ecuación integral de cantidad de movimiento para placa plana horizontal. con vx = 0 en y = 0. Para el caso de flujo laminar en la capa límite deducir las expresiones para el espesor de la capa límite hidrodinámica δ(x). CL2: ⇒ v∞ = aδ2 + bδ.370 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. la tercera proviene de la misma definición de capa límite. vx = v∞ en y = δ. dvx/dy = 0 en y = δ. Las dos primeras condiciones límite son inherentes a la descripción del problema. obtenemos el perfil de velocidad vx ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ = 2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ v∞ ⎝δ ⎠ ⎝δ ⎠ 2 (i) A continuación sustituimos el perfil de velocidad en la ecuación integral de cantidad de movimiento: . CL3: ⇒ 2aδ = − b ⇒ a = − v∞/δ2. La ecuación integral de cantidad de movimiento es d ⎡δ ⎤ µ dv x ∫ v x (v∞ − v x )dy ⎥ = ⎢ dx ⎣ 0 ⎦ ρ dy para 0 ≤ y ≤ δ.13. b = 2v∞δ. Aplicándolas: CL1: ⇒ c = 0.y). δ = δ(x). 46 Re L . Rompiendo paréntesis. reuniendo términos semejantes e integrando con respecto a y obtenemos x µ 1 dδ 15µ ⌠ 30µx = ⇒ ∫ δdδ = dx ⇒ δ = ⎮ 15 dx ρv∞δ ρ v∞ ⌡ ρv∞ 0 δ (ii) 0 Este espesor de capa límite se acostumbra a expresar en forma adimensional recordando que Rex = ρv∞x/µ: δ x = 5. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento δ δ 0 0 2 ⌠ ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞2 ⎤ ⎡ vx ⎤ 2 µv∞ ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎤ 2 d ⌠ vx ⎡ 2 d v∞ ⎢2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 − 2⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥dy = ⎮ ⎢1 − ⎥dy = v∞ ⎮ ⎮ ρδ dx ⌡ v∞ ⎣ v∞ ⎦ dx ⌡ ⎢⎣ ⎝ δ ⎠ ⎝ δ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ δ ⎠ ⎝ δ ⎠ ⎦⎥ El lado derecho de esta ecuación se obtiene derivando vx: (µ/ρ)(dvx/dy)y=0 = b(µ/ρ) = 2µv∞/ρδ. en la práctica tiene mayor interés el coeficiente de arrastre.730 f L = ⎮ f x dx = L⎮ L ⌡ 0 L ⎛ µ ⎞ ⌠ − 12 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎮ x dx = 2 f x ⎝ ρv∞ ⎠ ⌡ 0 x= L = 1.48 Re x (iia) Reemplazando (ii) en (i) podemos determinar el perfil de velocidad. que nos correlaciona el esfuerzo cortante con la energía cinética promedia del fluido.730 = 30νx Re x ρv∞ v∞ Se define el valor medio del coeficiente de arrastre en la longitud que se extiende desde x = 0 hasta L como L ⌠ 1 0. a saber: τ x = fx ρv∞2 2 =µ dv x dy esfuerzo cortante local. y =0 El gradiente de velocidad lo obtenemos del perfil de velocidad. Sin embargo. Reemplazando obtenemos el coeficiente local de arrastre para flujo laminar sobre una placa plana: fx = 4µ 0.371 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 31 * Este valor se toma como referencia. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y DE CONCENTRACIONES SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARMÁN Y SUPONIENDO PERFILES LINEALES. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Entonces el valor medio del coeficiente de arrastre en la longitud que va desde x = 0 hasta L es el doble del valor local del coeficiente de arrastre calculado en x = L.372 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. δ. para obtener una relación entre el espesor hidrodinámico de la capa límite.454 Re L +9.41 = 5. . Suponiendo que existen una distribución lineal de la velocidad y un perfil lineal de la concentración en la capa límite laminar.328 Re L 0. E.50 Re x fL = 1.14.372 Re L +3.96 Re x fL = 1.49 = 5.0* = 4.36 = 4. Propiedades de la capa limite laminar sobre una capa plana determinados por diferentes métodos.64 Re x fL = 1. Conociendo el coeficiente medio de arrastre se puede determinar la fuerza F que actúa sobre una cara de la placa de ancho w como F = wLfLρv∞2/2. aplicando la ecuación integral de Von Karmán de cantidad de movimiento. así como la ecuación integral de Von Karmán de la concentración.83 Re x fL = 1.310 Re L −1. b) Demostrar.80 Re x fL = 1. que el esfuerzo cortante en la pared es: τ s v∞2 dδ = 6 dx ρ Use esta relación. el grosor de la capa límite de concentración. Forma de la curva del perfil de velocidad Solución de Blassius y Howarth Espesor de la capa límite δ x δ Perfil Sinusoidal x δ Polinomio de tercer grado x δ Polinomio de segundo grado x δ Polinomio de cuarto grado x Coeficiente de fricción total Porcentaje de error = 4. δc y el número de Schmidt. sobre una placa plana: a) Obtenga las ecuaciones de los perfiles de velocidad y de concentración.296 Re L −2. v∞ = bδ ⇒ (vx/v∞) = (y/δ) De concentración: ρA = a + by condiciones límite: y = 0 ρA = ρAS = a .464 6µ ⎮ δ dδ = ⌠ = ⇒ = o sea dx ⎮ 2 ρv∞ x Re x ⎮ ⌡ ρv∞ ⌡ 0 0 Ecuación integral para la especie A δc dρ A d ⌠ ⎮ v x ( ρ A∞ − ρ A )dy = − n AS = D AB dx ⌡ dy 0 y =0 (i) . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento a) Perfiles: De velocidad: vx = a + by condiciones límite: y = 0 vx = 0 . δ = δ(x) y =0 Reemplazando el perfil de velocidad δ d ⌠ vx v dx ⎮ ⌡ v∞ 2 ∞ 0 ⎡ vx ⎤ µ v∞ ⎢1 − ⎥dy = ρ δ ⎣ v∞ ⎦ δ µ d ⌠ y⎛ y⎞ d ⎡ y2 y3 ⎤ 1 dδ − = = ⎮ ⎜1 − ⎟dy = ⎢ 2 ⎥ dx ⌡ δ ⎝ δ ⎠ dx ⎣ 2δ 3δ ⎦ 0 6 dx ρv∞ δ δ x ⌠ δ 2 6 µx δ 3. con vx = vx(x. y = δ vx = v∞ De aquí a = 0 . y = δc ρA = ρA∞ Entonces b = ρ A∞ − ρ AS ρ A − ρ AS y ⇒ = δc ρ A∞ − ρ AS δ c b) Ecuación integral de cantidad de movimiento τ S µ dv x d ⎡δ ⎤ = ∫ v x (v∞ − v x )dy ⎥ = − ⎢ ρ ρ dy dx ⎣ 0 ⎦ para 0 ≤ y ≤ δ.y).373 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. δ = Sc δc ⎡ ⎛ x0 ⎞ 4 ⎤ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎥⎦ 3 1 3 1 3 1 3 Este resultado es comparable al de Polhausen para transferencia de calor y prevé que para sistemas gaseosos. Así mismo. la capa límite de concentraciones estará embebida en la capa límite de velocidades. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento dρ A dy = y =0 374 ρ A∞ − ρ AS ρ − ρ AS ρ − ρA ⎛ y ⎞ . en los cuales Sc > 1. δc = 0 = n.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 1− A = A∞ = ⎜⎜1 − ⎟⎟ δc ρ A∞ − ρ AS ρ A∞ − ρ AS ⎝ δ c ⎠ δc d ⌠ y⎛ y ⎜⎜1 − ⎮ dx ⎮ ⌡ δ ⎝ δc δc ⎞ d ⎡ y2 y3 ⎤ d ⎡ δ c2 ⎤ D AB ⎟⎟ = − = ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ dx ⎣ 6δ ⎦ v∞ δ c ⎠ dx ⎣ 2δ 3δδ c ⎦ 0 0 Haciendo δc = nδ n3 d ⎡ δ c2 ⎤ d 2 dδ dn 6 D AB + 2 nδ = n δ = n2 ⎢ ⎥= dx ⎣ δ ⎦ dx dx dx v∞ nδ [ ] dδ dn 6 D AB + 2n 2δ 2 = dx dx v∞ de la ecuación (i) δ 6µ 12 µx dδ y δ2 = = ρv∞ dx ρv∞ Reemplazando y simplificando con Sc = µ/ρDAB n 3 + 4n 2 x dn 1 = . . por lo cual n = δc Para x0 = 0. para la mayoría de los sistemas. separando variables y haciendo u = n3 − 1/Sc dx Sc ⌠ du 3 dx 3 ⎮ =− ⌠ ⇒ ln u = − 34 ln x + ln C ⇒ u = Cx − 4 ⎮ 4⌡ x ⎮ u ⌡ δ = Sc − Para x = x0. donde Sc es del orden de la unidad. la capa límite hidrodinámica y la de concentraciones son del mismo orden de magnitud. 49x106 (°F. cédula 40.21. mientras fluye aire a través del pasaje anular a razón de m’ = 2. de diámetro nominal. K. cuál es la temperatura de salida T2?.05 m. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 375 PROBLEMAS. Para determinar el coeficiente convectivo externo por convección natural puede utilizar las ecuaciones simplificadas de la convección libre para aire a la presión atmosférica y temperaturas moderadas recomendadas en la tabla 6: (1/4) 4 9 para 10 < Gr Pr < 10 . tiene diámetro Do = 2. 1.25x105 W/m. y Pr = 0. ρv = 0.pie. Un dispositivo comúnmente usado para éste propósito es un arreglo de tubos concéntricos en el cual los gases de salida pasan a través del tubo interior.041 W/m.396 Btu/hr.5 pl. El tubo interior de pared delgada (resistencia térmica despreciable) tiene diámetro Di = 2 m.pie2.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.68. La línea tiene 200 pie de longitud y no se encuentra aislada. Datos y Notas: La emisividad de la superficie .1 kg/s. El diámetro externo del tubo en cuestión es 3. hm = 0.27(∆T/D) hm = 0. El aire de los alrededores está a 80°F.7 °F. kl = 0.74 y los alrededores como negros.199 cP.068 pl. Para determinar el coeficiente interno puede usar una de las correlaciones adecuadas asumiendo que las propiedades físicas a la temperatura de película son: ρl = ρ = 57.K. cuál será la temperatura del tubo interior a la entrada (TS1) y a la salida (TS2).1714x10−8 Btu/hr.pie. conduce vapor de agua a 90 psig.18(∆T) (1/3) 9 D 12 para 10 < GrDPr < 10 . hfg = 924. mientras que el tubo exterior. ¿ Cuántas libras de vapor condensarán por hora ? ¿Qué porcentaje de las pérdidas se originan en la radiación ?.°F.7 Btu/lb. y cuál la temperatura del tubo exterior a la entrada (TSO1) ?. usando los gases de salida para precalentar el aire de combustión.no pulida . σ = 0. Consideremos la situación para la cual existe una transferencia uniforme de calor por unidad de longitud. el cual se halla perfectamente aislado de los alrededores. Las propiedades del aire pueden tomarse como: Cp = 1030 J/kg. (a) Si el aire entra a T1 = 300 K y L = 7 m. k = 0. Gr = gß(TS − T∞)D3ρ2 / µ2.°F. Q/L = 1. desde los gases calientes hacia la superficie interior del anillo.pie3)−1.70 2.°R4. Es una práctica corriente recuperar el calor residual de un horno a gas o aceite.pie2. µl = 0. (b) Si el flujo de aire está completamente desarrollado en la región anular (coeficiente convectivo constante).del tubo puede tomarse como ε = 0. y el interior 3. Tome como propiedades para el aire a temperatura de película los siguientes valores: gßρ2/µ2 = 1. A 90 psig (104.236 lb/pie3. Pr = 0.°F.7 psia) la temperatura de saturación es 331. . La conductividad térmica del material a la temperatura de operación es 30 Btu/hr. Una tubería de hierro de 3 pl.94 lb/pie3. µ = 270x10-7 N. (kl3ρ2g/µ2)1/3 = 7. ambos en Btu/hr. mientras que el aire frío fluye en paralelo a través del espacio anular.s/m2. (a) Estime el coeficiente de transferencia de masa para la evaporación del agua. Los gases de salida de un horno de procesado de alambre se descargan a una chimenea alta.338x105 J/kg.1614 kg/m3. El aire se encuentra seco cuando entra al agua. fase gaseosa.130 cm2/s).86. ρagua = 1000 kg/m3.5 m de diámetro interno y 6 m de altura. Algunos datos que pueden (o pueden no) serle útiles son: DAB = 0. El conocimiento de la temperatura de la salida del gas es útil para predecir la dispersión de efluentes en la corriente térmica. Considere una delgada capa de agua reposando sobre el suelo en una noche clara con temperatura ambiente 20 °C. ρaire = 1. Estime la altura necesaria para que aire puro a 2 atm y 25°C. Suponiendo que las burbujas alcanzan su velocidad terminal de forma instantánea. Su pared esta construida por ladrillo refractario de 10 cm de espesor cuya conductividad térmica es 1. 298 K. estime la temperatura de salida del gas y de la superficie interna de la chimenea para las condiciones dadas.21 W/m. µagua = 855x10-6 Pa.26x10-4 m2/s. Tomando las propiedades termofísicas del gas como las del aire. La temperatura ambiente y la velocidad del viento son 4 °C y 5 m/s.5 kg/s.K. ¿Cuanto tiempo deberán permanecer las burbujas en el agua para alcanzar una concentración de vapor en el centro que sea 99% de la máxima posible (saturación)?. dada por: PA = a. Un procedimiento común para aumentar el contenido de humedad del aire es burbujearlo a través de una columna de agua.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Asuma que no hay transferencia de calor por conducción hacia el piso. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 376 Nota: Recuerde que el coeficiente convectivo para conductos anulares se calcula con las mismas ecuaciones que para los conductos circulares pero usando el diámetro equivalente De adecuado a transferencia de calor tal como lo recomienda Kern. 4. 6. La temperatura efectiva del firmamento es -50 oC. a) Una columna de pared húmeda constituida por una película de agua que desciende por la pared interior de un tubo . (b) Calcule la temperatura del aire por debajo de la cual el agua se congelará. con flujo másico 710 kg/h. y su temperatura de entrada es 600 °C.exp [b/(T + 460)] en mm Hg si T en °F. resulte 70% saturado en los equipos siguientes: (Tome la difusividad del vapor de agua en aire para el sistema DAB = 0. qué distancia habrán recorrido en este tiempo?. El caudal de gases es 0. para el intervalo de interés.1832x109 y b = −9524. y las temperaturas del gas y de la superficie interna a la salida de la chimenea se deben estimar. La presión de vapor del agua puede considerarse. La chimenea cilíndrica tiene 0. y que el aire está seco. con a = 1. La presión de vapor del agua a 0 oC es 614 Pa y su calor latente de evaporación es 3. 3.0 y el coeficiente convectivo de transferencia de calor entre aire y agua es 30 W/m2.K. 5.s. la emisividad de la superficie del agua es 1. respectivamente. mientras que el conocimiento de la superficie interna de la chimenea a la salida indica si puede ocurrir condensación de productos gaseosos. Suponga que las burbujas de aire son esferas de radio R = 1 mm y se encuentran en equilibrio térmico con el agua a 25 °C. El aire está seco y a temperatura igual a la de las placas.h. ¿A qué presión y temperatura deberán calcularse estas propiedades? 9. está inmersa por su parte inferior en un recipiente con tetracloruro de carbono. tome como constantes las siguientes propiedades del aire: viscosidad dinámica µ = 0. cuya temperatura se mantiene igual a la de la interfase del plato y el aire. La velocidad del aire es v∞ = 9. No asuma baja velocidad de transferencia. Si la presión del aire es 460 mm Hg y la temperatura de la corriente de aire es 262 °F.m.0454 lb/pie. componente de un aparato de humidificación.25 m en la dirección de flujo de aire. (b) ¿Cuál de las placas se secará primero? Calcule la velocidad de secado por metro de ancho para esta placa en kg/s.01876 cP = 0.1 m/s. La superficie exterior del aislamiento está a 38 °C y las paredes que lo rodean y el aire ambiente están a 27 °C. DAB = 1. En este caso la porosidad del lecho puede tomarse como ε = 0. Para agilizar. b) Un lecho empacado con esferas de 1 cm de diámetro saturadas de agua siendo el área específica a = 328 m2/m3. 7. Prediga la velocidad total de pérdida de calor por radiación y convección libre.5x105. . En ángulo recto con el cilindro circula aire seco a 110 °F y 600 mm Hg con velocidad de 22 pie/s. así como la difusividad del sistema a las condiciones de la interfase y la corriente principal de aire para poder obtener valores promedio adecuados para la capa límite. por cuya superficie exterior desciende una delgada película de agua. El diámetro externo del aislamiento es 15 cm. ¿Cómo varía el coeficiente local de transferencia de masa con la distancia desde el borde inicial?. Considere un cilindro vertical de 3 plg de diámetro y 5 pie de longitud. Una corriente de aire a 600 mm Hg se usa para secar una serie de placas fotográficas cada una de longitud Li = 0. la velocidad de evaporación en un punto ubicado a 6 pulgadas del borde de ataque y la velocidad de evaporación total si la placa mide 5x5 pie y la transición a flujo turbulento se estima para ReC = 3. El agua no debe gotear por abajo del cilindro. 10. estime la temperatura de la superficie. Use las correlaciones adecuadas para estimar la viscosidad del vapor de CCl4 y para estimar la viscosidad de la mezcla aire vapor.021 pie2/h. (a) Determine la temperatura del agua. en la unidad de longitud de una tubería horizontal recubierta con cartón de amianto. (c) ¿A qué velocidad deberá suministrarse calor a la placa que se seca más rápidamente para mantenerla a TS = 50 °C constante durante el proceso de secado?.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Esta interfase permanece humedecida con CCl4 gracias a la acción capilar a través de la placa. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 377 vertical de 15 cm de diámetro interno. Una placa porosa colocada paralelamente a una corriente de aire puro que fluye con velocidad de 30 pie/s. la conductividad térmica. 8. el calor específico.44. (b) Determine el caudal al cual debe suministrarse el agua en la parte superior del tubo. T∞ = TS = 50 °C. FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. (Nos referimos a aire saturado a la temperatura del líquido).0 pie/s. Datos: Puede usarse ρ y µ del aire seco a 20 °C. con DAB = 0. Suponga que la evaporación ocurre en la superficie de las esferas húmedas a temperatura uniforme y constante que es esencialmente la de bulbo húmedo.41. Suponga flujo pistón y estime la altura de empaque requerido para que el aire llegue a estar 90% saturado con agua.233cm 2/s.La fracción vacía en el lecho de esferas es ε = 0. y velocidad superficial de 1. . A través de un lecho empacado con esferas porosas de 5 mm de diámetro humedecidas con agua fluye aire seco a una atm. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 378 11. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD HIDRAULICA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 379 Anexo F. Ln. Los procesos físicos pueden describirse por ecuaciones correlacionando cantidades físicas dimensionales o variables. SIMILITUD GEOMETRICA. el sistema puede definirse por: L1. .rn. Se dice que existe similitud geométrica entre un modelo y el correspondiente prototipo si las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes en modelo y prototipo son iguales: Lm = Lr = Relación de Longitudes. SIMILITUD CINEMATICA. donde r2 = L L2 . Por medio del análisis dimensional estas cantidades se reorganizan en forma de grupos adimensionales. digamos L1. . Lp Am L2m = 2 = L2r Ap L p También. Esta se refiere al movimiento que ocurre en el sistema y considera las velocidades existentes. L2. . Los límites físicos de cualquier sistema de flujo pueden describirse adecuadamente por un número de medidas de longitud L1. F.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. . Los subíndices m y p se refieren a modelo y prototipo respectivamente. al dividir las diferentes dimensiones de un sistema por una arbitraria de ellas. o sea rim = rip. El análisis dimensional es aplicable en todos los campos de la ingeniería. .2.1. . F. Para que exista similitud cinemática en dos sistemas geométricamente similares. r2. rn = n L1 L1 La similitud geométrica para los dos sistemas se cumplirá si las relaciones de longitud son las mismas para cada sistema. Los grupos adimensionales obtenidos no nos dan información acerca del mecanismo del proceso pero nos ayudan a correlacionar los datos experimentales y a desarrollar relaciones funcionales entre las variables dimensionales. . normales. cortantes y de campo que actúan sobre el sistema. los gradientes de velocidad en cada sistema deben mantener una relación similar en cada uno. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 380 las velocidades en los mismos puntos relativos en cada sistema deben mantener las siguientes relaciones v xm v xp = v ym v yp v vm = p. Otras relaciones útiles son: vm Lm t m Lr = = v p Lp t p tr Velocidades. mm m p Así mismo. En sistemas geométrica y cinemáticamente similares. 3 M m am ρ m Lm Lr 2 ⎡ Lr ⎤ = = Fr = L ρ r r ⎢t ⎥ M p a p ρ pL p 3 tr 2 ⎣ r⎦ 2 . SIMILITUD DINAMICA. la similitud dinámica existe en los mismos puntos relativos de cada sistema si: Fuerza Inercial del Modelo Fuerza Inercial del Prototipo = Fuerza Viscosa del Modelo Fuerza Viscosa del Prototipo Fuerza Inercial del Modelo Fuerza Inercial del Prototipo = Fuerza Gravitacional del Modelo Fuerza Gravitacional del Prototipo A partir de la segunda ley de Newton se obtienen las siguientes correlaciones: Relación de Fuerzas Inerciales. am Lm t m2 Lr = = a p L p t p2 t r2 Aceleraciones.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Esta considera las relaciones entre las fuerzas inerciales. F.3. Qm L3m t m Lr = = Q p L3p t p tr 3 Caudales. . Relación entre las fuerzas elásticas y las inerciales Ma ρL2 v 2 ρv 2 = = EA E EL2 aquí E es el módulo de elasticidad dado como fuerza por unidad de área. σ es la tensión superficial expresada como fuerza por unidad de longitud.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Relación de fuerzas de tensión superficiales e inerciales. Relación entre las fuerzas viscosas e inerciales: Ma Ma ρ L2 v 2 ρ vL = = = 2 τ A µ ( dv dy ) A µ ( v L ) L µ Número de Reynolds (Re). Relación entre las fuerzas de presión y las fuerzas inerciales: 3 2 Ma ρ L ( L t ) ρ L2V 2 ρV 2 = = = pA pL2 pL2 p Número de Euler (Eu). Relación entre fuerzas gravitacionales e inerciales: Ma ρL2 v 2 v 2 = = Mg ρL3 g Lg La raíz cuadrada de esta expresión v/(Lg)1/2 se conoce como Numero de Froude (Fr). La raíz cuadrada de esta relación v/(E/ρ)1/2. se conoce como Número de Mach Ma = Velocidad / Velocidad del sonido. . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento o sea: 381 Fr = ρ r Lr 2Vr 2 = ρ r ArVr 2 Esta ecuación expresa la ley general de la similitud dinámica entre modelo y prototipo y es frecuentemente llamada la ecuación newtoniana. Ma ρL2 v 2 ρLv 2 = = σL σL σ Número de Weber (We). quien en 1914 estableció el llamado teorema π (pues por la letra griega pi denomina los diferentes grupos adimensionales). ⎛L t r = ⎜⎜ r ⎝ gr ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1 2 ⎡ Lr 3 ρ r ⎤ tr = ⎢ ⎥ ⎣ σr ⎦ tr = 1 2 Lr (Er ρ r )1/ 2 F.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. viscosas y/o elásticas aunque no necesariamente en forma simultánea. todos los cuales rinden resultados idénticos. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 382 En general. Las relaciones de tiempo establecidas para patrones de flujo gobernados esencialmente por la viscosidad. Una ecuación que contiene variables dimensionales es dimensionalmente homogénea si cada término de la ecuación tiene las mismas dimensiones. la gravedad. METODOS DE ANALISIS DIMENSIONAL. Hay tres métodos principales de análisis dimensional. puede reducirse a una relación entre un conjunto de productos adimensionales. que es la base del análisis dimensional. y establece que si una ecuación es dimensionalmente homogénea. Si hay n cantidades físicas (tales como velocidad. Relaciones de tiempo.4. Este principio se aplica a relaciones entre variables dimensionales.5. En la mayoría de los problemas de flujo predominan las fuerzas gravitacionales. aquí ν es la viscosidad cinemática. F. el ingeniero está interesado en el efecto causado por la fuerza dominante. por la tensión superficial y por la elasticidad son respectivamente: tr = L2r νr . . • El método de Buckingham. πi = Q1ai Q2bi ... ... .383 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. . Sean Q1.. etc.. .. . . rn las relaciones adimensionales de longitud requeridas para describir geométricamente los límites sólidos del sistema. .. . . El método de Buckingham. .5. . Qn. . . Qkk1 Qk+1 π2 = Q1a2 Q2b2 . . . presión. Qkki Qk+i . . la relación se reduce a: f 2 ( Q 1 .1. . ... Q2.. . Qkk2 Qk+2 . . Sean r2..) y k dimensiones fundamentales (tales como masa. . . . Cada ecuación dimensional homogénea tal como (A) puede reducirse a: f 3 (π 1. Q n ) (A) El número de productos adimensionales independientes será i = n − k. . siendo k el número de dimensiones fundamentales que intervienen. . π i ) = 0 Los grupos adimensionales se expresan así: π1 = Q1a1 Q2b1 . . . n variables dimensionales de las cuales depende un proceso físico. . quien en 1899 aplicó por primera vez el método del análisis dimensional como se usa generalmente en la actualidad. longitud. . Las relaciones funcionales entre las tres variables pueden expresarse como: f 1 (Q 1 . . • El método de Rayleigh. . . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento densidad. r 2 . viscosidad. tiempo) la correlación final estará en función de (n  k) grupos adimensionales. • El uso de ecuaciones diferenciales. . . . F.. Q n .. r n )= 0 Considerando que nos limitamos a sistemas geométricamente similares. µ. Q1. contener las k dimensiones fundamentales y ser preferiblemente representativas de variables geométricas. ∈) = 0 donde ∈ es la rugosidad relativa o relación del tamaño de las irregularidades superficiales λ al diámetro d del conducto.Qk deben. bi. Longitud y Tiempo son: Caída de presión ∆p : FL−2 Diámetro d : L Viscosidad absoluta µ : FtL−2 Densidad ρ : Ft2L−4 Longitud L : L Velocidad v : Lt −1 Rugosidad relativa ∈ : L1/L2 . la longitud de la tubería.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Este problema puede escribirse matemáticamente como: f(∆p. Las cantidades físicas con sus dimensiones en el sistema Fuerza.k1. y la rugosidad ∈ del tubo. de la viscosidad y la densidad del fluido. cinemáticas y dinámicas en su conjunto. ai. b1. L. deben tener valores tales que los productos de EJEMPLO F. Q2. ρ. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 384 Aquí las cantidades dimensionales que se repiten. πi sean adimensionales.ki. Solución. la pérdida de cabeza se representa por la disminución en el gradiente de presión y es una medida de la resistencia al flujo a través de la tubería. entre ellas. Determine los grupos adimensionales en los que pueden agruparse las variables dimensionales en el caso de la pérdida de cabeza en un tubo horizontal para flujo turbulento incompresible. . . Para cualquier fluido.. Los exponentes a1. v. . La resistencia es una función del diámetro de la tubería. .1.. . . .. la velocidad del fluido. d. 4c . 0 = a + b − 4c + 1 . Seleccionando el diámetro.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 0 = a + b .ó ρ vd µ Número de Reynolds π3 : 0 = c . los términos π son: π1 = [La1] [Lb1 t −b1] [Fc1 t 2c1 L−4c1] [F L−2] π2 = [La2] [Lb2 t −b2] [Fc2 t 2c 2 L−4c2] [F t L−2] π3 = [La3] [Lb3 t −b3] [Fc3 t 2c3 L−4c3] [L] π4 = ∈ = L 1 / L 2 Se evalúan los exponentes término a término: π1 : 0 = c1 + 1 . En adelante omitimos los subíndices de los exponentes por sencillez: π2 : 0 = c + 1 . 0 = −b1 + 2c1 . 0 = -b + 2c + 1 entonces: a = −1 . entonces : a1 = 0 . c1 = −1 π 1 = d 0 v −2 ρ −1∆p = ∆p ρv 2 Número de Euler. b = 0 . la velocidad y la densidad (geométrica.2 . 0 = −b + 2c entonces : a = − 1 . cinemática y dinámica) como las variables repetitivas con exponentes desconocidos. c = − 1 π 2 = µ ρ vd . c = 0 π3 = d−1 v0 ρ0 L = L / d π4 = L1/L2 = λ /d . 0 = a1 + b1 − 4c1 − 2 . b = − 1 . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 385 Hay siete cantidades físicas y tres unidades fundamentales o sea 7 − 3 = 4 términos adimensionales. b1 = −2 . denominado el número de Froude. . otra cantidad física debería incluirse: el módulo de compresibilidad E y un quinto término adimensional. L . Si U = ρg ∆p v 2 (2) f 2 ⎡⎢Re. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 386 Podemos escribir ahora la nueva relación: ⎡ ∆p ρ vd f1 ⎢ . Debemos anotar que: i) Si el flujo fuera compresible. el séptimo término adimensional toma la forma v2Lρ/σ . ii)Si la gravedad interviniera en el problema general de flujo. la fuerza gravitacional sería otra cantidad física y tendríamos un sexto término adimensional v2/gL . E/ρv2 equivalente al número de Mach v/(E/ρ)1/2. 2 µ ⎣ ρv . = 0 d d ⎥⎦ También podemos despejar ∆p. aparecería. λ ⎤⎥ = U 2g d d⎦ ⎣ que puede expresarse como: ∆p = (factor de fricción) (L/d) (v2/2g) U El factor de fricción es una función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa. iii)Si fuera necesario considerar la tensión superficial σ. llamado el número de Weber. L λ ⎤ . λ ⎤⎥ = U 2g d d⎦ ⎣ Por métodos experimentales se deduce que la caída de presión es función de L/d a la primera potencia: ∆p v 2 L (2) f 3 ⎡⎢Re.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. b. y c en términos de d (que además está en las tres ecuaciones): a = 1−d . la densidad ρ del fluido. . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 387 F. Parece ser conveniente resolver a. EJEMPLO F.2. la viscosidad µ y una longitud característica del cuerpo L. Qni. . Este método de análisis dimensional expresa como Q1 varía con Q2a Q3b.2. entre ellas. todas las dimensiones fundamentales.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. por lo que debemos resolver tres incógnitas en función de una cuarta.5. Por el método de Rayleigh F = α ρa vb Lc µd Para que esta relación sea dimensionalmente homogénea ρa vb Lc µd debe tener las mismas unidades dimensionales de F. Las cantidades dimensionales a considerar son F. Las tres a ser determinadas deben contener. El método de Rayleigh. Determine los grupos adimensionales en los cuales las variables dimensionales pueden organizarse. L y µ si usamos un sistema absoluto de unidades donde gc = 1. v. Los grupos adimensionales se obtienen evaluando los exponentes en forma tal que la relación sea dimensionalmente homogénea. ρ. o sea la expresión [M/L3]a [L/t]b [L]c [M/Lt]d debe tener las dimensiones [ML/t2] Así: M: 1=a+d L : 1 = −3a + b + c − d t : −2 = −b − d Tenemos cuatro incógnitas y tres ecuaciones. Solución. La fuerza F ejercida sobre un cuerpo sumergido en un fluido en movimiento es una función de la velocidad del fluido v. Sólo los términos que se apliquen al problema particular se incluyen en el análisis dimensional (Klinkenberg y Mooy en Chemical Engineering Progress. describe el movimiento de un fluido incompresible de viscosidad constante..3. los números de Reynolds son iguales. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 388 b = 2−d c = 1 + d − b + 3a = 2 − d F = α ρ1−d v2−d L2−d µd por tanto: ⎡ µ ⎤ p F = = α ⎢ ⎥ ρv2 ρ v 2 L2 ⎣ ρ vL ⎦ d Este resultado implica una relación funcional entre F/ρ v2 L2 que es el número de Euler y µ/ρvL que es el inverso del número de Reynolds.5. La ecuación de Navier Stokes (2. 44: 17 (1948)). El lado izquierdo representa las fuerzas inerciales y puede interpretarse en términos de ρv2/L. siendo L una longitud característica del sistema. ρ Dv ∂v = ( v ⋅ ∇) v + = µ∇2v − ∇P + ρg Dt ∂t Limitándonos a la cantidad de movimiento en la dirección x: ⎡ ∂v ∂v x x ρ ⎢ + vx + v ∂ t ∂ x ⎣ y ∂vx ∂vx ⎤ = + vz ∂y ∂ z ⎥⎦ ⎡ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ⎤ ∂p + + =− + µ⎢ ⎥ + ρg x 2 ∂z 2 ⎦ ∂y 2 ∂x ⎣ ∂x (B) La ecuación (B) es dimensionalmente homogénea y la división por uno de los términos nos dará grupos adimensionales. el siguiente son . Este resultado puede interpretarse también como que si en dos sistemas geométricamente similares.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.45). Uso de ecuaciones diferenciales. El primer término de la derecha representa las fuerzas de presión y se identifica con las dimensiones de p/L. Los valores de exponentes y coeficientes deberán (por lo general) determinarse experimentalmente. también lo serán los números de Euler. F. F. pero su significado físico no es evidente. Se incluyó una dimensión más. y dividiendo el lado de la izquierda entre el último de la derecha se obtiene Fr = v2/gL el número de Froude. π2 = DekfµgvhCP . Capacidad calorífica del fluido CP [Energía/M. velocidad v [L/t]. Aunque la ecuación diferencial sea demasiado complicada de resolver. π3 = Dikjµkvlh Al escribir π1 en forma dimensional M0L0t0T0 = 1 = (L)a(M.L/t4. Si se escogen como variables repetitivas D./t4. la temperatura T para describir los efectos calóricos. El uso de los métodos de Buckingham y Rayleigh nos proveen los grupos adimensionales.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. D [L]. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 389 las fuerzas viscosas de dimensiones equivalentes a µv/L2 y el último corresponde a las fuerzas gravitacionales.T] = [L2/t3.L.T].L2. µ y v se encontrará que los tres grupos adimensionales (7 − 4 = 3) son π1 = Dakbµcvdρ . Además el análisis dimensional de cualquier proceso es inválido si cualquier variable significativa se deja sin incluir.T] = [M.T]. COMENTARIOS SOBRE EL ANALISIS DIMENSIONAL.T]. relación entre fuerzas inerciales y viscosas Re = (ρvL/µ). sirve para obtener los grupos adimensionales para el sistema. Las variables a tener en cuenta y sus dimensiones son: Diámetro del conducto.T)b(M/L. Anotamos que el análisis dimensional no da indicación sobre el mecanismo fundamental del proceso. Convección Forzada. Coeficiente de transferencia de calor h [Energía/t. pero tampoco nos da información sobre el mecanismo fundamental del proceso. dividiendo el primero de la derecha entre el lado izquierdo se obtiene Eu = p/ρv2 el número de Euler. lo que es muy útil para correlacionar los resultados experimentales y en la programación del estudio básico de cualquier proceso. Se estudia el caso de un fluido que circula por el interior de un conducto con velocidad promedia v y que existe diferencia de temperatura entre el fluido y la pared del tubo. Dividiendo el lado izquierdo entre el segundo del derecho se obtiene el número de Reynolds. La energía es una cantidad derivada como fuerza por velocidad. Viscosidad del fluido µ [M/L. El uso de ecuaciones diferenciales nos permite interpretar físicamente los grupos adimensionales así obtenidos.3a.L/t4. k. aunque disminuye las posibilidades de olvidar alguna de las variables. relación entre fuerzas de presión y fuerzas viscosas. Densidad del fluido ρ [M/L3].t)c(L/t)d(M/L3) Se igualan los exponentes de las dimensiones fundamentales a ambos lados de la ecuación: L: 0 = a +b − c +d − 3 .t]. relación entre fuerzas inerciales y gravitacionales. Conductividad térmica del fluido k [Energía/t. EJEMPLO F.6.T] = [M. habrá números de Euler idénticos. EJEMPLO F. a = 1 π1 = ρvD/µ = Re (Reynolds).3b. π3 = hD/k = Nu (Nusselt). d = 1. y h/ρvCP = St (Stanton). µCP/k = Pr. π2 = µCP/k = Pr (Prandtl). .Pr). en sistemas geométricamente similares.Pr. de la misma forma. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 390 M: 0 = b + c + 1 T: 0 = − b t: 0 = − 4b -c − d Despejando.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Derecha : p/L Dividiendo el término de la derecha por el de la izquierda obtenemos el número de Euler: p/L p = 2 2 ρv / L ρv Se puede interpretar este resultado como que en la misma posición relativa. La ecuación diferencial que describe este flujo es: ⎡ ρ ⎢v x ⎣⎢ ∂vx ∂vx ∂vx ⎤ ∂p + vy + vz ⎥ = − ∂x ∂x ∂ y ∂ z ⎥⎦ Las dimensiones de los términos son: Izquierda : ρv2/L . Este se obtiene combinando Nu/Re. Si en el caso anterior se hubiera seleccionado como repetitivas ρ. Pr). CP y v. el análisis hubiera producido los grupos ρvD/µ = Re. µ. el flujo en estado estacionario de un fluido no viscoso en ausencia de efectos gravitacionales será considerado. Como ejemplo del uso de ecuaciones diferenciales para obtener grupos adimensionales. c = − 1. Entonces una relación alterna correspondiente a la convección forzada en un conducto circular será St = f2(Re. El resultado del análisis dimensional correspondiente a la transferencia de calor con convección forzada en un conducto circular indica que existe una posible correlación entre las variables que es de la forma Nu = f1(Re. 048 m) a través de una columna de agua estancada. la fuerza de flotación y la fuerza viscosa. En estos casos las expresiones que permiten hacer el cálculo tienen solo una variable independiente. incrementándose . densidad del agua ρB= 62.213 lb de ácido/pie3 de solución acuosa (3. a saber la fuerza gravitacional.695x10-5 pie2/hr. mostrando la manera de determinar si es o no correcta esta suposición. Para ilustrar esta inquietud analizaremos uno de estos ejercicios típicos (Skelland. El diámetro y la difusividad también si se disuelve una mínima parte del ácido. La solubilidad o concentración de saturación ρAS = 0. ¿Cuánto ácido se disuelve durante ésta caída?. DETERMINACION DEL TIEMPO NECESARIO PARA QUE UNA PARTICULA ESFERICA CAYENDO EN UN FLUIDO ALCANCE SU VELOCIDAD TERMINAL. Con esto generalmente se logran sobresimplificaciones de la realidad física con el fin de hacer más sencillo el manejo matemático. La difusividad en la fase líquida circundante a la esfera DAB se estima en 4. El sistema se encuentra a 77 °F (25 °C).03 lb/pie3. La velocidad podrá considerarse constante si la velocidad terminal se alcanza en una fracción de tiempo pequeña comparada con la duración del proceso. Cuestionamientos El ejercicio está resuelto suponiendo propiedades físicas constantes y velocidad uniforme e igual a la velocidad terminal de una partícula de diámetro constante. INTRODUCCION Es corriente observar que en los ejercicios planteados con fines didácticos se asuma que se ha alcanzado el estado estable. El movimiento de la partícula se determina haciendo un balance de las fuerzas que actúan sobre ella. Solución Comenzamos por determinar el tiempo que se demora la esfera para hacer el recorrido. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 391 Anexo G.) cae una distancia de 10 pies (3.7 mm. pp 281)[1].16 lb/pie.24 lb/pie3.hr.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Esta última tiene sentido contrario al movimiento y depende de la velocidad. Análisis La densidad y la viscosidad pueden considerarse constantes dada la baja solubilidad del ácido benzoico en el agua y suponiendo sistema isotérmico.412 miligramos/cm3). Las propiedades físicas pertinentes a esta temperatura son: densidad del ácido benzoico sólido ρA= 79. Problema Una esfera de ácido benzoico sólido que tiene un diámetro de 1/2 pulgada (12. viscosidad del agua µB=2. 16) ⎝ 12 ⎠ = 4540 Partiendo del reposo.24)(1.5 (1) ρP : densidad de la partícula.5 ⎡ 32(79.16 ) ⎦ Estando este valor entre 44. luego la ley intermedia y posteriormente la ley de Newton. .047 pie / s (62. Debemos tener en cuenta que el flujo obedecerá primero la ley de Stokes.44 ⎡ gd ( ρ − ρ ) ⎤ vt = 1. AP : área proyectada perpendicular a la dirección del flujo = (πdP2)/4. Partimos del balance de fuerzas: fuerza resultante = fuerzas gravitatorias − fuerza resistente o de rozamiento. alcanzando la partícula una velocidad constante denominada velocidad terminal (Mc Cabe. m : masa de la partícula = (π dP3ρP)/6.0 y 2360.74 ⎢ P P ⎥ ρ ⎣ ⎦ 0 .047)(3600)⎛⎜ 0.5 ⎞⎟ Re t = (2.4(3600 ) ⎤ ⎢ ⎥ = 189 2 12 ⎣ (2. la partícula acelerará hasta alcanzar esta velocidad.392 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Para saber en qué rango está determinamos: ⎡ g ρ (ρ P − ρ )⎤ K = dP ⎢ ⎥ µ2 ⎣ ⎦ K= 1 3 2 0. pp163)[2]: Re = ρvd P µ ⎡ 2 g ( ρ P − ρ )m ⎤ vt = ⎢ ⎥ ⎣ AP ρ P C D ρ ⎦ 0 .5 = 1. ρ : densidad del medio. CD : coeficiente de rozamiento.03 − 62. Este cambia con la velocidad y está aproximado por una ecuación diferente dependiendo del rango del número de Reynolds (Re).24 )62. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento con la misma hasta que la suma neta de las fuerzas se anula. la esfera al final tendrá una velocidad tal que debemos usar la ley de Newton para calcular el coeficiente de rozamiento: CD = 0. 393 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ret2 observamos que ø es el máximo valor de CD·Re2 posible para una partícula de tamaño dP cayendo libremente en un campo gravitatorio de magnitud g. Siendo las partículas esféricas: φ = Re t2 C D = 4 ρg (ρ P − ρ )d P3 3µ 2 (5) Integrando (4) entre Re0 y Re. y t = 0 y t: µ AP t 2d P m d Re Reo φ − C Re 2 D =∫ Re (6) . µ φ = CD . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ⎡ ρ − ρ ⎤ ⎡ ρC D AP v 2 ⎤ dv = g⎢ P ⎥ ⎥−⎢ dt ⎣ ρ P ⎦ ⎣ 2m ⎦ (2) De la definición del numero de Reynolds[3]: v= µ Re ρd P (2a) ρd P d Re = dt 2µ mρ P ⎡ ⎡ Re 2 µ 2 ⎤ ⎤ ( ) − − 2 mg C A ρ ρ ρ ρ ⎢ P P D P⎢ 2 2 ⎥⎥ ⎣ ρ d ⎦⎦ ⎣ Multiplicando y dividiendo por ρP AP µ2: A µ ⎡ 2mg (ρ P − ρ )ρd P2 − ρ P C D AP Re 2 µ 2 ⎤ d Re = P ⎢ ⎥ 2md P ⎣ dt ρ P AP µ 2 ⎦ Hacemos 2mg ( ρ P − ρ )ρd P2 ρ P AP µ 2 (3) A µ d Re = P dt 2 φ − CD Re 2 md P (4) φ= de (1) y m/ρPAP=2dP/3 Ret = ρvt d P . Para la zona donde es válida la ley de Stokes CD·Re es constante y la ecuación (6) puede integrarse directamente: µ AP t 2d P m = 1 ⎡φ − F Re o ⎤ ln ⎢ ⎥ F ⎣ φ − F Re ⎦ Re < 1.9 (7) F = CD·Re Eliminando Re y ø por medio de las ecuaciones (3) y (2 a). o sea movimiento hacia abajo. o sea si en t = 0 v0 = 0.a) g (ρ P − ρ )ρd P2 18µ v = vt − (9) (9.9 (8.9 Para partículas esféricas F = Re CD= 24 t= ρ P d P2 ⎡ vt − vo ⎤ ln ⎢ ⎥ 18µ ⎣ vt − v ⎦ vt = Re<1.394 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. entonces Re0 = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Si la partícula parte del reposo. que es. en términos de velocidad: . podemos expresar el tiempo en función de la velocidad directamente: 2d P m ⎡ vt − vo ⎤ ln µ FAP ⎢⎣ vt − v ⎥⎦ t= (8) En este caso vt = 2 g (ρ P − ρ )ρd P m Fρ P µ AP Re < 1.a) vt − v 0 ⎛ 18 µt ⎞ ⎟ exp⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ ρPdP ⎠ Para 500 < Re < 200000.5 ( ( ⎡ φ + Re C D ln ⎢ ⎢⎣ φ − Re C D )( φ − Re )( φ + Re ) ) CD ⎤ ⎥ C D ⎥⎦ (10) Esta ecuación se usa para Re y Re0 positivos. CD es constante y la ecuación (6) puede integrarse directamente: µ AP t 2 DP m = (4C D φ ) −0. 05) 6.9 = (ρvdP)/µ vf = .015x106 De (7) y (5): 2 t= (79.43 *10 −5 ) (12) ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ −5 ⎡ (79. Zona de la ley de Stokes Reo = 0 .16 ) ⎦ ⎢⎢ ⎢ (3600 )(79. vo = 0 . Ref = 1.8964 *10 −10 pie=1.015 *106 −5 ln ⎢ ⎥ = 6.24)⎛⎜⎝ 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento µ AP t 2DP m = (4C D φ ) −0.5⎞ ⎟ ( 3600) 12 ⎠ = 4.03)(3600 ) ⎤ ⎢ ⎢ (− 18)(2.5Re ⎦ (13) . la integración gráfica de la ecuación (6) permite la solución numérica directa: CD=18.4924 *10 −7 mm (Lo único seguro es que tiende a cero) Para la región intermedia (en el rango de Reynolds entre 1.6 Por lo tanto: µ AP t Re ⎡ ⎤ d Re =∫ ⎢ 1.03)⎛⎜ 0.a) y (9. 015 * 10 − 24 * 1 .5 ⎡ (v + v )(vt − vo ) ⎤ ln ⎢ t ⎥ ⎣ (vt − v )(vt + vo ) ⎦ (11) Apliquemos ahora las ecuaciones anteriores a nuestro caso numérico. el espacio recorrido será t ⎡ ρ d 2 ⎤⎡ ⎡ 18µ t ⎤ ⎤ e = ∫ vdt = vt t − (vt − vo )⎢ P P ⎥ ⎢1 − exp ⎢− 2 ⎥⎥ 0 ⎣ 18µ ⎦ ⎣ ⎣ ρ P d P ⎦⎦ ( e1 = (1.395 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.43 *10 s 6 9 . ) (2.042 % de la velocidad terminal φ = 9.03)⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ ⎣ ⎣⎢ ( ⎤⎤ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎦⎥ ) e1 = 4.5/Re0.a).16 ) 6.43 *10 − (1.05)⎢ − 1 exp ⎥ 2 2 ⎢ ⎛ 1 ⎞ ⎣ (24 ) (18)(2.396 * 10 −4 pie / s o sea 0.4 ⎥ Re o 2DP m ⎣φ − 18.5 ⎞⎟ (3600 ) ⎝ 12 ⎠ (18)(2.9 y 500).16)(19 (62.16) ⎡ ⎤ 9. 9 ⎣ ⎦ partiendo de (8. 116 0.116 ⎦ ⎦ Este es el tiempo necesario para alcanzar el 99.9 *10 −3 −2 2 −4 pie=0. 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎥ 79.05)(0.120*10-7 1.03 * ⎥⎦ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎢⎣ 24 e3 = 3.94*10-2 9.109*10-7 1.66 − 62.03 1.26*10-2 1.66 − 62.72*10-3 1.63*10-2 6.66 ρ vt ⎦ ⎣ ⎣ vt − v ⎦ ⎣ vt + v o ⎦ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎡1. Para Reynolds entre 500 y 200000 podemos usar la ecuación (11) ⎡ ρ d ⎤ ⎡ ⎡ v + v ⎤ ⎡ vt − v o ⎤ ⎤ t = ⎢ P P ⎥ ln ⎢ ⎢ t ⎥⎢ ⎥⎥ ⎣ 0 .705*10-2 Una gráfica de v contra t muestra variación lineal en este rango.66)(62.24 ⎢ 2.33ρ ⎢ 2vt ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎤ ⎢ ⎢ ⎢ 79.99) ⎤ ⎡1.0 200.110*10-7 1.24)(1.05 − 0.39 * 12 1 0.79 pu lg adas = 9. El espacio recorrido bajo éste régimen es: ⎡ ⎤ ⎡ 0.08 % de la velocidad terminal.5Re1.30mm Al fin de este período se ha alcanzado el 11.113*10-7 1.01*10-2 1.03) t=⎢ ⎥ ln ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ = 0.05 ⎥ ⎥ ⎥ ln ⎢ e3 = ⎢exp ⎢ ⎥ + 1⎥ ⎥ − 1. El área bajo la curva nos da el espacio recorrido en este lapso e2 = (17.32*10-3 6.0 v (pie/s) 4.0 400.05 * 0.3872s ⎣ (24)(0.9 100.05 + (1.115*10-7 1.16*10-1 1/(φ .6 *10 ) = 9.36*10-2 1.05)(0.05) ⎦ ⎣ ⎣1.66 ρvt t ⎤ ⎢ (vt + v o ) exp ⎢ ⎥ + (vt − vo ) ⎥ ρ d ⎣ ρP dP ⎦ ⎥−v t e3 = P P ln ⎢ ⎥ t 0.18.123*10-7 396 t (s) 0.05 + 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Re 1.40*10-4 2.116 ⎤ ⎤ (79.05 − (1.31*10-2 4.05 *10 )(11.24 * 0.00 3.0 % de la velocidad terminal.0 500.4) 1.05 + 0.99) ⎦ ⎣1.39 * 1.0 300.63cm .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. 66 cm.5 ⎞ 2 8 ⎟ 4.4 ⎠ GrD = ⎝ = 1.025)(62.8 12 + 0. Esto se ajusta a valores de Reynolds que satisfagan la siguiente condición: Re ≥ 0.16 = 740 (62.025 lb/pie ⎤ gd P3 ∆ ρ ρ ∞2 gd P3 ⎡ ρ ∞ GrD = 2 ⎢ − 1⎥ = ν ⎣ ρS µ 2 ρs ⎦ ( ) ⎛ 0.008 *10 4 1 (740 )6 = 13. La diferencia entre las densidades de una solución acuosa saturada de ácido benzoico y 3 agua pura a 77 °F es 0.05 10 − Ahora.5 Sc − 1 6 = (0.16) Sc = µ ρ DAB = 2.695 *10 −5 ( ) Reemplazando en (15): 0.4 = 9.24) 4. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El espacio total recorrido es entonces 9.22 + 0. lo que indica que los efectos de la convección natural son despreciables.17 *10 (0. o 3.4Gr 0.265)(2.404 segundos. Los diez pies se atraviesan en: 3. .4 Esta cantidad es mucho menor que Reynolds (4540).24) ⎜ 12. Los efectos de convección natural están prácticamente ausentes cuando el número de Sherwood obtenido por convección forzada iguala al obtenido por convección libre o natural. relación entre fuerzas gravitatorias y viscosas.008 *10 4 2 (62.397 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.62segundos 1.5 − 1 6 (14) Gr numero de Grashoff.4 Gr Sc 0.4 = 9. aplicamos el criterio de Garner y Keey[4] para saber si son importantes los efectos de la convección natural en este caso.80 pulgadas en un tiempo de 0.4) 1. por la información de Sherwood y por ser un valor más conservador adoptamos para el presente cálculo Sh = 368.5 ) 0.250 ( Sh = Sho + 0.347 ReSc 0. pie 2 La esfera cae 10 pies en 9.60 Re 0.7 1 (16) Al hacer cálculos con otras expresiones se hallan valores que oscilan entre 332 y 580.736 = 529.415 pie / hr n AS = k ρ ( ρ As − ρ A∞ ) = (0.0 Sin embargo.088lb A / hr .agua: Sh = 2.213 − 0.398 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Sherwood también informa que la expresión de Williams. correlaciona adecuadamente los datos de transferencia de masa: Sh = 0.3 *10 −6 lb de ácido.46 * 106 < 108 (15) Por lo tanto Sho = 2.0 ) = 0. Usando la expresión recomendada por Steinberger y Treybal.34 1 Este valor se aproxima al promedio de los tres calculados que es 444.415 )(0. dada en McAdams para transferencia de calor en aire a esferas.66 La expresión más sencilla dada por Ramz y Marshall para casos en que la convección natural es despreciable y que según Sherwood se ajusta bien a datos tomados para el sistema ácido benzoico .088)(π )⎛⎜ m A' = 2 1 ⎞ ⎟ (9.56 Sc − 3 = 434.62 segundos. o sea que la cantidad disuelta durante la caída es: (0.43 Re 0.62 ) ⎝ 24 ⎠ = 1.5 Sc − 3 = 367.569(GrD Sc ) 0. Sería importante que en las experiencias se pudiera informar la intensidad de la turbulencia.008 * 10 4 (740) = 7.0 Sh = k ρρ dP DAB . debemos determinar primero ( ) GrD Sc = 1. (3600 ) .0 + 0.62 = 31.0 + 0. k ρ = 0. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para determinar el coeficiente de transferencia se puede escoger entre una gran cantidad de expresiones dadas en la literatura. 617 (1940). En este caso los efectos de aceleración iniciales son realmente despreciables (ocupan el 4. este efecto aumenta. E. H. TREYBAL.16 % del tiempo total). C. 1980 4. Eng. J. Smith y P. a medida que la diferencia de densidades entre partícula y fluido disminuyen. 1974. . Tercera Edición (segunda en español). "Operaciones de Transferencia de Masa".0143 %. P. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 399 La esfera pesa inicialmente 3 ⎡ π d P3 ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 79. LAPPLE. L. 605 . E. W. SKELLAND. 32 : 5. Chem. Sin embargo.0 *10 lb ⎢ ⎥ ρ P = (π )⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 24 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎣ 6 ⎦ Conclusión. Harriott "Operaciones básicas de Ingeniería Química" McGraw Hill 1991. Observamos que la esfera pierde el 0. de tal forma que es correcto suponer dP constante al igual que vt constante. B. 3.03 ⎞ −3 ⎟ = 3. con lo que su diámetro disminuye en 0. McGraw Hill Inc. A. R. "Diffusional Mass Transfer" Joh Wiley Sons Inc. REFERENCIAS 1. McCABE. "Calculation of Particle Trayectories" Ind. and C.043 % de su masa.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA... 2. Shepherd. C. Para valores pequeños de x se usa la serie para exp(−β2) en (A) y obtenemos: erf ( x ) = n 2 ⌠ ⎡ ∞ (− 1) β 2 n ⎤ ⎥dβ ⎮ ⎢∑ n! π ⌡ ⎣ n =0 ⎦ (D) Como la serie converge uniformemente puede integrarse término a término y así: ⎡ (− 1)n x 2 n +1 ⎤ erf ( x) = ⎥ ∑⎢ π n =0 ⎣ (2n + 1)n! ⎦ 2 ∞ Para valores grandes de x se procede así: Una integración por partes da ∞ ∞ ⌠ 2 − exp x 1 exp(− β 2 )dβ ( ) ⌠ ⎮ exp(− β 2 )dβ = − ⎮ 2x 2⌡ ( β2) ⎮ ⌡ x x Y repitiendo el proceso n veces. Definimos la función de error como: x 2 erf ( x) = ⌠ exp(− β 2 )dβ ⎮ ⌡ π (A) o sea que erf(∞) = 1.400 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. erf(−x) = −erf(x). erf(0) = 0 (B) 0 También se usa la llamada función complementaria de error: ∞ ( ) 2 erfc( x) = 1 − erf ( x) = ⌠ exp − β 2 dβ ⎮ ⌡ π (C) x Se pueden obtener aproximaciones para valores grandes y pequeños de x. LA FUNCION ERROR Y OTRAS FUNCIONES RELACIONADAS. encontramos: (D.1) . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Anexo H. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ∞ ( ) ⌠ exp − x 2 ⎡ 1 1 1⋅ 3 n −1 ⎛ 1 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 3) ⎞ ⎤ 2 exp d β β − = − 3 + 2 5 − ⋅ ⋅ ⋅ + (− 1) ⎜ ⎟⎥ + ⎢ n −1 2 n −1 ⎮ 2 2 x ⎝ 2 x ⎠⎦ ⌡ ⎣ x 2x ( ) x ∞ ( ) 2 ⎛ 1 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1) ⎞⌠ exp − β dβ (− 1) ⎜ ⎟⎮ β 2n 2n ⎠⌡ ⎝ n x Esta serie no converge porque la relación entre el término n a el término (n − 1) no se mantiene menor que la unidad cuando n aumenta.401 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. que aparece en esta discusión. a partir de la formula: erfc( x) = exp(− x 2 ) ⎡ 1 1 1* 3 1* 3 * 5 ⎤ − 3 + 2 5 − 3 7 + .. surge frecuentemente en problemas de conducción de calor y difusión molecular. o sea: ∞ ( ) 2 ⎛ 1 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1) ⎞⌠ exp − β dβ ⎜ ⎟⎮ β 2n 2n ⎝ ⎠⌡ x son menos que el término enésimo puesto que ∞ ( ) ∞ ⌠ exp − β 2 dβ ⌠ dβ < exp(− x )⎮ 2 n ⎮ 2n β ⌡β ⌡ x x Podemos de esta manera parar en cualquier término y tomar la suma de los términos hasta allí como una aproximación para la función. si se toman n términos de la serie. Sin embargo. Otras integrales importantes que llevan a funciones de error son: ∞ π ⌠ 2 sen( 2 βy ) dβ = erf ( y ) ⎮ exp(− β ) 2 β ⌡ 0 . menor que el último término que retuvimos.. erfc(x) puede calcularse. De esta forma. para valores grandes de x.2) La función erf(x). siendo el error en valor absoluto.⎥ ⎢ 2 x 2 x π ⎣ x 2x ⎦ (D. los restantes. numéricamente. DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES DE ERROR. Integrando por partes tenemos : ierfc( x) = exp(− x 2 ) π − xerfc( x) También : i 2 erfc( x) = 1⎡ 2 ⎤ 1 (1 + 2 x 2 )erfc( x) − x exp(− x 2 )⎥ = [erfc( x) − 2 xierfc( x)] ⎢ 4⎣ π ⎦ 4 (E) ..3.1.2.402 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA... 0 donde i0 erfc(x) = erfc(x) También se abrevia i erfc(x) en lugar de i1 erfc(x). Por derivación sucesiva de la función de error: Φ n ( x) = dn erf ( x) dx n así : ⎤ exp(− x 2 ) Φ 1 ( x) = ⎡⎢ 2 ⎥⎦ π ⎣ ⎤ x exp(− x 2 ) . n = 1. etc. son más importantes las integrales repetidas de la función de error. Φ 2 ( x) = ⎡⎢− 4 π ⎥⎦ ⎣ En problemas de conducción de calor y transferencia de masa difusional. Escribimos : ∞ i n erfc( x) = ∫ i n−1erfc( β )dβ . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ∞ π ⌠ 2 exp(− y 2 )erf ( y ) ⎮ exp(− β ) sen(2 βy )dβ = 2 ⌡ 0 H.. FUNCION DE ERROR DEL ARGUMENTO COMPLEJO. FUNCION GAMMA. k > 0 0 Llamada Integral de Euler Γ( z ) = Lim ∞ n n!n z z ( z + 1)..2 x i n-1erfc(x) (F) de la que ( E ) es el caso para n = 2. Esta función. y ) = exp(− z 2 ) ⎢1 + π ⎣ ⎤ 2 exp( t ) dt ⎥ ∫0 ⎦ z donde z = x + iy.. . De ( F ) se deduce que : i n erfc(0) = 1 2 n Γ( 1 n + 1) 2 Así mismo sigue de ( F ) que y = i³ erfc(x) satisface la ecuación diferencial d2y dy + 2 x − 2ny = 0 2 dx dx H. H. 0 z. que es de gran importancia en conducción de calor.( z + n Llamada Fórmula de Euler.. está definida por : ⎡ 2i w( z ) = u ( x..2.. Los resultados ( D. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento y por inducción la formula de recurrencia general es entonces: 2 n i n erfc(x) = i n-2erfc(x). -1. y ) + iv( x. o sea w(iz) = exp(z2) erfc(z).403 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.3. Aqui z es distinto de 0. demostrados para z real.1 ) y ( D.2 ). -2.. ∞ ∞ Γ( z ) = ∫ t z −1 exp(−t )dt = k z ∫ t z −1 exp(−kt )dt . . se cumplen también si z es complejo. 11..6789385347. 3n Γ (2/3) = 1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento [ ] ∞ 1 = z exp(rz ) π (1 + z ) exp(− z .... .5772156649 m − >∞ Llamada Constante de Euler. 4n Γ (1/4) = 3.)(3n − 1) Γ(2 / 3).11..7. Γ(n + 3 / 4) = 3.9.15.. .10.)(2n − 1) Γ(1 / 2). n n n =1 Γ( z ) z <∞ Llamada Producto Infinito de Euler. 2n 2..4.8... 4n Γ(3/4) = 1.2254167024. Γ(n + 1 / 3) = 1.)(3n − 2) Γ(1 / 3)..7..... Γ(n + 1 / 2) = Γ(n + 2 / 3) = 1..)(4n − 1) Γ(3 / 4). 3n Γ (1/3) = 2.5.13. Γ(z) = z! = Γ(z+1) Γ (z+1) = zΓ(z) = z! = z(z-1)! ∞ Γ(1 / 2) = 2 ∫ exp(−t 2 )dt = π = (−1 / 2)! 0 Γ (3/2) = (1/2) √π = (1/2)! Γ(n + 1 / 4) = 1. 404 .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. + 1 / m − 1nm] = 0.6256099082. r = Lim[1 + 1 / 2 + 1 / 3 + .5.3.7.3541179394.5...)(4n − 3) Γ(1 / 4). FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. etc. i3 = −i. EXPONENTES DE e Los exponentes de e pueden expandirse en series de Maclaurin para dar: u2 u3 u4 exp(u ) = 1 + u + + + + ⋅⋅⋅ 2! 3! 4! exp(α + iβ) puede escribirse como exp(α)exp(iβ). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Anexo I. y cuando u = iβ: exp(iβ ) = 1 + iβ + i2β 2 i3β 3 i4 β 4 + + + ⋅⋅⋅ 2! 3! 4! Con base en que i2 = −1.exp(ißx) = exp(αx)[cos(βx) + isen(βx)] En forma similar se puede demostrar que: exp(−iβ) = cos(β) − isen(β) o sea que exp(α − iβ)x = exp(αx). podemos escribir : exp(iβ ) = 1 + iβ − β2 2! −i β3 3! + β4 4! +i β5 5! − β6 6! − ⋅⋅⋅ Agrupando partes reales e imaginarias: exp(iβ ) = 1 − β2 2! + β4 4! − β6 ⎡ ⎤ β3 β5 β7 + ⋅ ⋅ ⋅ + i⎢β − + − + ⋅ ⋅ ⋅⎥ 6! 3! 5! 7! ⎣ ⎦ Pero también por series de Maclaurin: sen( β ) = β − Por lo tanto β3 3! + β5 5! − β7 7! y cos( β ) = 1 − β2 2! + β4 4! − β6 6! + ⋅⋅⋅ exp(iβ) = cos(β) + isen(β) exp(αx). i4 = 1.exp(−iβx) = exp(αx)[cos(βx) − isen(βx)] También: 405 . FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento sen( βx) = exp(iβx) − exp(−iβx) 2i cos( βx) = exp(iβx) + exp(−iβx) 2i La correspondencia con las funciones hiperbólicas surge lógicamente: exp(αx) = cosh(αx) + senh(αx) exp(−αx) = cosh(αx) − senh(αx) senh(αx) = exp(αx) − exp(−αx) 2 cosh(αx) = exp(αx) + exp(−αx) 2 sen(x) = −isenh(ix) senh(ix) = isen(x) cos(x) = cosh(ix) cosh2(x) = 1 + senh2(x) senh(x ± y) = senh(x)cosh(y) ± cosh(x)senh(y) cosh(x ± y) = cosh(x)cosh(y) ± senh(x)senh(y) senh(2x) = 2senh(x)cosh(x) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x) 2senh2(x/2) = cosh(x) − 1 2cosh2(x/2) = cosh(x) + 1 1/senh(x) = ln[x + (x2 + 1)½] 1/cosh(x) = ln[x + (x2 − 1)½] d[senh(x)] = cosh(x)dx d[cosh(x)] = senh(x)dx d[cos(x)] = −sen(x) d[sen(x)] = cos(x) 406 . y. La definición anterior se aplica cuando x representa una distancia lineal en coordenadas cartesianas. z.407 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. y x2 ∫ ydx = área bajo la curva y = f (x) x1 Es decir ym se define como el valor de y para el cual estas áreas son iguales. De esta manera el promedio volumétrico puede definirse como: Tm = 1 T ( x. con Sz constante y (C) se reduce a (B). dV = Szdz. la temperatura promedio de una placa L Tm = 1 x T ( x )dx Lx ∫0 (B) En general la temperatura en un cuerpo rectangular varía con todas las coordenadas espaciales x. Para el caso de un cilindro en el que podemos considerar que sólo hay variación radial de temperatura. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Anexo J. Nótese que ym*(x2 − x1) = área bajo el rectángulo de altura y = ym y ancho x2 − x1. R R 1 2 (D) T= πT (r )Lz (2rdr ) = 2 ∫ T (r )rdr R 0 πLz R 2 ∫0 .dz. Por ejemplo. Si se trata de la placa plana con T variando sólo en la dirección z. z )dV V∫ (C) En coordenadas cartesianas dV = dx. el valor medio o promedio de y puede definirse como: x2 ym = ∫ f ( x)dx x1 (A) x2 − x1 En (A) el numerador es el área bajo la curva entre x1 y x2. DEFINICION DE UN VALOR MEDIO En general si y = f(x) (ver figura). y.dy. tendría un mejor sentido físico definir un promedio global de temperatura Tm como la temperatura que nos permitiera calcular el flujo de entalpía (contenido de calor) a través de la sección transversal. DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA MEDIA GLOBAL. Podríamos definir una temperatura media volumétrica como R Tm = ∫ T (r )rdr 0 (F) R ∫ rdr 0 Pero si la velocidad también variara en la sección transversal.408 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. para un fluido con ρCP constante. J. DE MEZCLA O PROMEDIA DE BLOQUE. e integrando sobre la sección transversal: Q' = ∫ dQ' = ∫ vz dAz Az R 1 vm = vz dAz = Az ∫ ∫ v (2πrdr ) z 0 R (E) ∫ 2πrdr 0 Supongamos ahora que la temperatura varía con la posición radial pero que la velocidad no. Para un fluido incompresible. Como vz varía sobre el área transversal. el flujo total de entalpía en la sección transversal es: R ∫ ρ Cp(T − T R )v z dAz que debe ser igual a ρCp (Tm – TR) vmAz 0 igualando. En el texto se define la velocidad promedia de flujo en un conducto circular de área seccional Az = πR2 como la velocidad vm que nos permite calcular el caudal volumétrico de flujo multiplicándolo por Az. el caudal volumétrico se determina considerando el flujo a través de un elemento de área dAz = 2πrdr. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Este promedio volumétrico nos da el resultado más significativo desde el punto de vista físico. a partir de la velocidad promedio y el área total. Q’ = vmAz. o sea. obtenemos: .1. 409 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. . se aplica a flujo interno y representa la temperatura que tendría el fluido comprendido en un sector del conducto de longitud diferencial. Difiere de la temperatura local que es la temperatura en cualquier punto del sistema en un momento dado. después de homogeneizarse. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento R Tm − TR = ∫ ρ Cp(T − TR )vz dAz 0 ρ CP vm Az R ∫ (T − T R = )vz rdr 0 R ∫ v rdr z 0 Como TR es constante: R Tm = ∫ (Tvz )(2πrdr 0 R ∫ v (2πrdr ) z 0 R ∫ Tv rdr z = 0 R (G) ∫ v rdr z 0 Esta expresión difiere de la temperatura promedio (F) porque se incluye la velocidad como factor. El promedio global de concentraciones cAm se define en forma similar. Este promedio se conoce también como temperatura másica. Nótese que serán diferentes a menos que el perfil de velocidad sea plano. reemplazando T por cA o ρA. Los valores T que aparecen en (G) son valores puntuales de la temperatura en el elemento de longitud diferencial de superficie dAz o si el conducto es cilíndrico 2πrdr. Esta ecuación se conoce como “ecuación de Bessel (Friedrich Wilhelm Bessel. LA FUNCIÓN GAMMA. x = 0. K. Como resultado los valores numéricos de la solución por series de esta ecuación se han calculado y tabulado como función de x. o sea que primero debemos comprobar si converge lo cual se cumple si p > 0 (la única fuente de dificultad es el infinito). 1784-1846) y sus soluciones como “funciones de Bessel”. El origen. FUNCIONES BESSEL Y GAMMA K. por lo que el método de Frobenius puede utilizarse para encontrar dos soluciones linealmente independientes que se colocan en la forma más frecuentemente usadas introduciendo la función Gamma (tercera letra del alfabeto griego). ECUACIÓN DE BESSEL. p. La integral implicada es impropia. Γ(p). Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 410 Anexo K. Las propiedades fundamentales de la función gamma son Γ(p + 1) = pΓ(p) p>0 Si n es un entero positivo Γ(n + 1) = n! Γ(1) = 0! = 1 Se puede extender esta definición para el factorial de reales positivos no enteros . es un punto singular de ésta ecuación.2. sin considerar valores complejos.1. La ecuación lineal de segundo orden x2 dy d2y + y + (x 2 − p 2 ) y = 0 2 dx dx ocurre con mucha frecuencia en problemas prácticos. Se define para números complejos p con parte positiva real como ∞ Γ( p ) = ∫ e − x x p −1 dx 0 Nos referiremos solo números p reales mayores que 0.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Si d s es imaginario y p es cero o un entero Zp es Ip. Z−p es Kp. Si d s es imaginario y p no es ni cero ni un entero. . Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 411 Γ(p + 1) ≡ p! Así ∞ ( ) Γ( 1 2 ) = 2 ∫ e − x dx = 2 π / 2 = π 2 0 . Γ(3 2 ) = ( 1 2 )Γ( 1 2 ) = ( π / 2) Cambiando variables en la integral podemos evaluar muchas integrales impropias ∞ − ax ∫ xe dx = 0 1 π 2a a K. FORMA GENERALIZADA DE LA ECUACIÓN DE BESSEL: La ecuación diferencial que se escribe a continuación puede reducirse a la forma de la ecuación de Bessel haciendo las transformaciones de variables a las que halla lugar: [ ] d2y dy x + x(a + 2bx r ) + c + dx 2 s − b(1 − a − r ) x r + b 2 x 2 r y = 0 2 dx dx 2 Usando las propiedades de la función gamma y sujeto a los valores de p su solución puede obtenerse en términos de funciones de Bessel. c. Zp es Ip. La solución generalizada es y=x (1− a ) 2 e −( bx r r ) ⎡ ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞⎤ ⎢c1Z p ⎜ x s ⎟ + c2 Z − p ⎜ x s ⎟⎥ ⎜ s ⎟ ⎜ s ⎟⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ 2 1 ⎛1− a ⎞ p = ⎟ −c ⎜ donde s ⎝ 2 ⎠ Aquí Z±p representa una de las funciones de Bessel: a.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Z−p es I−p d. Si d s es real y p es cero o un entero Zp es Jp.3. Zp es Jp. Z−p es J−p b. Z−p es Yp. Si d s es real y p no es ni cero ni un entero. (−1) k ( x 2 ) 2 k − p k!(k − p )! k =0 ∞ J − p ( x) = ∑ La función Bessel de segunda clase y orden n: 2 ⎧⎛ x 1 n−1 (n − k − 1)!(x / 2) ⎞ Yn ( x) = ⎨⎜ ln + γ ⎟ J n (x) − ∑ 2 k =0 k! π ⎩⎝ 2 ⎠ γ = 0..FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Para valores pequeños de x (x < 0.. I − p (x ) ≅ 2 p x− p (− p )! p≠0 . la constante de Euler 2k −n k 1 1 1 = 1+ +"+ 2 k m =1 m φ (k ) = ∑ k ≥ 1. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 412 La función de Bessel de primera clase y orden p ( −1) k ( x 2 )2 k + p J p(x) = ∑ k = 0 k !( k + p )! ∞ . 2 k +n ( 1 ∞ x / 2) ⎫ k +1 + ∑ (− 1) [φ (k ) + φ (k + n)] ⎬ 2 k =0 k!(n + k )! ⎭ φ(0) = 0 La función de Bessel modificada de primera clase y orden p (x / 2)2 k + p k =0 k!(k + p ) ! ∞ I p ( x ) = i − p J p (ix ) = ∑ La función Bessel modificada de segunda clase y orden n K n (x ) = π 2 i n+1 [J n (ix ) + iYn (ix )] Los valores hacia los cuales tienden las funciones de Bessel cuando x → 0 o cuando x → ∞ son importantes en la solución de problemas prácticos.5) son útiles las siguientes aproximaciones: J p (x ) ≅ xp 2 p p! Yp (x ) ≅ − I p (x ) ≅ 2 p ( p − 1)! x − p π xp 2 p p! K p ( x ) ≅ 2 p−1 ( p − 1)! x − p J − p (x ) ≅ 2 p x− p (− p )! p≠0 . Y0 ( x ) ≅ 2 ln x π K 0 ( x ) ≅ − ln x .5772157. La amplitud de las oscilaciones alrededor de cero decrece a medida que x aumenta. Los ceros de Jp+1(x) separan los ceros de Jp(x). I Z=K Z = J . π 2x π pπ ⎞ 2 ⎛ cos⎜ x − − ⎟ 4 2 ⎠ πx ⎝ e−x Tanto Jp como Yp oscilan como una onda sinusoidal amortiguada y se aproximan a cero cuando x → ∞.FENÓMENOS DE TRANFERENCIA.Y . entre dos valores de x que hacen Jp+1 igual a cero existe un y solo un valor de x que hace Jp igual a cero. se pueden usar las siguientes aproximaciones: J p (x ) ≅ π pπ ⎞ 2 ⎛ cos⎜ x − − ⎟ 4 2 ⎠ πx ⎝ I p (x ) ≅ ex 2πx . Las relaciones siguientes son de notable utilidad: ⎧⎪αx p Z p−1 (αx) d p x Z p (αx) = ⎨ p dx ⎪⎩− αx Z p−1 (αx) [ Z = J . es decir. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 413 Se observa que solamente Jp e Ip son finitas en x = 0.Y .Y . Para valores grandes de x (x → ∞). K Z=I . I ] Z=K ⎧⎪− αx − p Z p +1 (αx) d −p x Z p (αx) = ⎨ − p dx ⎪⎩αx Z p+1 (αx) [ Z = J . Por su parte Ip aumenta continuamente con x y Kp decrece en forma continua. Esto mismo se aplica para Yp+1 y Yp.Y . K p (x ) ≅ Yp (x ) ≅ . K ] Z=I p ⎧ αZ p−1 (αx) − Z p (αx) ⎪ d ⎪ x Z p (αx) = ⎨ dx ⎪− αZ (αx) − p Z (αx) p −1 p ⎪⎩ x [ ] p ⎧ − αZ p+1 (αx) + Z p (αx) ⎪ d ⎪ x Z p (αx) = ⎨ dx ⎪αZ (αx) + p Z (αx) p ⎪⎩ p+1 x [ 2 ] [ d I p (αx) = α I p−1 (αx) + I p+1 (αx) dx ] Z = J . Y ] [K n+1 (αx) + K n−1 (αx)] J −n (αx) = (−1) n J n (αx)⎫ ⎪ I −n (αx) = I n (αx) ⎬ cuando n es cero o entero ⎪ K −n (αx) = K n (αx) ⎭ 414 .FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2 d K n (αx) = −α [K n−1 (αx) + K n+1 (αx)] dx Z p (αx) = I p (αx) = K n (αx) = αx 2p [Z p +1 (αx) + Z p−1 (αx) − αx I p+1 (αx) − I p−1 (αx) 2p [ αx 2p ] Z = J . CARSLAW. G. and J. y B.1959. 1961. COSTA NOVELLA (editor): Ingeniería Química. H. A Unified Approach. W." Oxford University Press. B. McGraw 1988 BROKAW. S. "The Mathematics of Diffusion. W. BIRCHENALL." 84 : 24. 1941. 1964. M. Inc. BIRD.C. 415 . "Momentum. Metalurgical Reviews 3 : 235 . Drake. BRODKEY. E. U. S. 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