Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika.doc

-1- BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret. Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan Geometri. 1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG) 1.1 BARISAN ARITMETIKA Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b. Contoh-contoh barisan Aritmetika : 1) 1,3,5,.... bedanya b = ... 2) 0,5,10,... bedanya b = ... 3) 100,97,94,... bedanya b = ... 4) 3 2 , 7 2 , 11 2 ,... bedanya b = ... . Suku ke-n barisan aritmetika Jika suku pertama = U 1 = a dan beda = b, maka : U n  a + (n – 1) b U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih b = U n  U n 1 Contoh 1 : Tentukan beda dari : 1 a) 1,5,9 b) 10, 8 ,7,... 2 Jawab : a) …………. b) …………. Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... ! Jawab : …………… Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 ! Jawab : ………….. Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... ! Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika x+7 membentuk barisan aritmetika ! 6.. 100. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan ! 1.... U 6  21 . Jumlah n suku pertama deret aritmetika S n  U1  U 2  U 3  ... b = -2..25. b = ... 1 e) U 3  7 . 2 4. LATIHAN SOAL 1.....7. 1 . n = ... c) a = 9. U 7  8 . Tentukan suku yang diminta ! a) 4.. a = .  (U n  2b)  (U n  b)  U n S n  U n  (U n  b)  (U n  2b)  .” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika.... suku ke-25 b) 20 3 . maka : 2 Barisan dan Deret. d) 5 2 .. c) 20.5.. karena U n  a  ( n  1)b .. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.000.  (a  2b)  (a  b)  a + 2 S n  (a  U n )  (a  U n )  ( a  U n )  .... . 2x. maka tentukan ketiga bilangan itu ! 5..14. 1 b) 1. Tentukan U 15 ! Jawab : …………….. 18 3 .... 4 2 .. Tentukan x jika x+1... U 20  33 . 3 2 .. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280. 2 2...... U 6  15 ..2.10. U 10 .  U n 1  U n S n  a  ( a  b)  ( a  2b)  .16. a = . Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika.. Notasi Sigma.. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut : a) b = 4.. -2- Jawab : ……………. b = . suku ke-40 3... Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.000....2 DERET ARITMETIKA Jika pada barisan aritmetika tanda “. d) U 4  1 . Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U 5  21 dan U 10  41 . Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp..... Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut ! a) 3.  ( a  U n )  (a  U n )  (a  U n ) 2 S n  n(a  U n ) 1 Sn  n( a  U n ) ..U n  19 ..... dan Induksi Matematika .17. b) a = -5. 16 3 .. U10  46.. Notasi Sigma.. -3- 1 Sn  n[2a  (n  1)b] S n : jumlah n suku pertama 2 U n  S n  S n1 Contoh 1: Hitunglah jumlahnya ! a) 1+3+5+. Barisan dan Deret. + 1 2....100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5! Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ………. S15  . Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192 Jawab : …………… Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 . sampai 20 suku b) 18+14+10+ . + x = 561 3.S 2 = ……. + 53 d) 25+21+17 + .. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut : a) a = 2. sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = S 2 = …… Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = S1 ... dan Induksi Matematika ... Tentukan jumlah dari : a) 3+6+9+ . b . Tentukan x jika ... S22  737 ... b) b=5.. b) ……………. Contoh 4: Tentukan U10 jika Sn  n 2 Jawab : ………… LATIHAN SOAL 1..sampai 50 suku b) 2+5+8+....+272 Jawab : a) …………….. a) 1+3+5+ . + x = 441 b) 1+5+9+ . + 100 = S1 =……... ..4. Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jawab : ……………… Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U 3  4 dan U 5  16 .. Jawab : …………... Suku ke-n barisan geometri Jika suku pertama u1  a dan rasio = r.12.x.. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27.. Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1. 4.. xr maka .4. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR) 2. Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3. dan Induksi Matematika .. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. x.. Notasi Sigma.2. -4- c) U 4  9 .xr  27  x 3  27  x  3 r r Barisan dan Deret. jika bola pantulannya 1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6 2.8. Tentukan U 8 jika Sn  n 2  2n 6. tentukan ketiga bilangan itu ! x x Jawab : Misal ketiga bilangan itu ..U 7  18. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m. maka : U n  ar n 1 Un Dimana r U n 1 Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3 5. Tentukan U 8 ! Jawab : ………………. Jawab : …………….1 BARISAN GEOMETRI Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya.. S10 .6.2.. ” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri. 9 Contoh 5: Tentukan x jika x-1. . 3 c) U 3  8.. d) U 3  1...suku ke-8 c) 16. Tentukan x jika x-4.12.U 4  32 .1.20 ! 2.... 3. x.. 1 b) b  .....U 5  25. Tiga bilangan membentuk barisan geometri..00 jumlahnya 4.U 6  64 .. dan Induksi Matematika .. 4.8.. tentukan ketiga bilangan itu ! 5. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut : a) a  4 . 3...U 6 .9.. Notasi Sigma. Jumlah n suku pertama deret geometri Barisan dan Deret. 3. suku ke-7 b) 3.2 DERET GEOMETRI Jika pada barisan geometri tanda “.. -5- 3  3  3 r  13 x r  3r 2  10r  3  0  (3r  1)(r  3)  0 r Jadi 1 r  bilangannya 9... x+2 dan 3x membentuk barisan geometri ! Jawab : …………….3..4 . 2x membentuk barisan geometri ! 6... 1 3 r  3  bilangannya 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : 1 1 a) . Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21. a .4.. Tentukan suku yang diminta dari barisan : a) 1. . LATIHAN SOAL 1.. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2..U 2 .2 2 . Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216. Suatu bakteri pada pukul 20.U 5  3.6.. 4 2 b) 2 .U 5 . suku ke-10 2. .. Jawab : …………… Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+. r  3. S5 ......... 4 2 b) 36+18+9+... 5 1 c) S8  15 ..U 3  200. 2. Tentukan n jika : a) 3  32  33 . S8  .  ar 2 3  ar  ar n - S n  rS n  a  ar n a (1  r n ) a (r n  1) Sn   ... dan Induksi Matematika . Hitung jumlah penduduk semula ! 2... r 1 dimana U n  Sn  Sn 1 1 r r 1 Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+. Notasi Sigma... r  ..2 n  1  1022 4. S10 .......3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA Barisan dan Deret.. n .......... a ... Sn  29524 .. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a) U1  50...3n  363 b) 2  2 2  2 3 .  ar n  3  ar n  2  ar n 1 x r n2 n 1 rS n  ar  ar  ar  ... -6- S n  a  ar  ar 2  . Tentukan jumlah dari : 1 1 a)   1. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. b) a  1. S6 .....+81 b) 32+16+8+.....4 juta jiwa...+243 Jawab : ……………… Contoh 3: Tentukan n jika 1  2  2 2 .. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6...... c) 2  2  2 2 ..2 n  255 Jawab : ……………… LATIHAN SOAL 1. Tentukan jumlah dari : a) 1/3+1+3=.. 6 2 5...+1/8 3. Barisan dan Deret. Notasi Sigma.. d. 12+8+16/3+…. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm. LATIHAN SOAL 1. 27 9 1 d. 1+1+1+…. 125+5+1+…. U 2  9. 8 1 c. U 3  maka S   …. b. 1 b. maka tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.1+0. g. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a. Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. (Beri alasannya !) Jawab : ………………. maka tentukan rasionya ! Jawab : …………………….. Hitunglah jumlahnya dari : a.01+0. 2 4 Jawab : ……………… Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9. 0. a = 2. S   15 maka a = ….. Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. 2  2  1  .001+…. 8+2+1/2+…. h. 2 8 3. e.. c. U1  U 3  .. U 5  maka S   …. 2. r = -2/5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . U 7  maka S   …. 1/2+1/3+2/9+…. dan Induksi Matematika .. -7- a (1  r n ) a rn Sn    1 r 1 r 1 r Untuk n maka : Lim a rn S  (  ) n   1 r 1 r Untuk –1 < r < 1 maka : a 0 a S   sehingga S  syarat –1 < r < 1 1 r 1 r 1 r Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1 1 1 Contoh 1: Hitung 1    . f. 32+16+8+…. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti 4. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik. Notasi Sigma. -8- 3. Indeks menggunakan huruf kecil. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari : Barisan dan Deret. Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. b x ia 1 dibaca “sigma dari xi untuk harga i dari a sampai b”. NOTASI SIGMA Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan dimana I sebagai b "  x " i i  a indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan xi adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan.. dan Induksi Matematika . k k c x n0 n  x nc nc 5 Contoh 3 : Ubahlah  (4k  3) menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 ! k 0 5 5 7 12 Jawab :  (4k  3)   4(k  7)  3   (4k  25) k 0 k 7 k 7 LATIHAN SOAL 1. 5 Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari  (2k  1) k 1 5 Jawab :  (2k  1) k 1 = ………………… = ………… Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28 Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = ………….  41 c..  2x k 1 k 2. Pn benar untuk n = 1 2.. i i 3 2 10 c.. 2  5  8  ..  1  4  9  . 1  2  4  ........ Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula..  74 b.  (5k  4) k 1 7 b. 2    . -9- 7 a.. 10  17  26  .  1  5  9  . INDUKSI MATEMATIKA Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli...  101 3 4 21 d . 2 Barisan dan Deret.. Misal Pk benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan Pk 1 benar pula... 2  4  6  .  (3k  4) k 0 10 b... n2 n0 n e.......  256 f . 2 x 7 x n i 1 d....  (10  2n) n 3 10 c.....  144 3.  2 3 20 e. Notasi Sigma. maka Pn benar untuk n  Asli..  56 g . Misalkan Pn suatu pernyataan dan n  Asli sedemikian sehingga : 1... dan Induksi Matematika ...  (1) k 1 ki 3k 6 n d. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut : a..  n  (n  1) dengan menggunakan induksi matematika ! 2 1 Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = (1  1) benar... i 2 i 0 4. n Contoh 1 : Buktikan 1  2  3  ...... Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5 8 a. .  2n  n( n  1) 2..  2 n  2 2 n  1  7.. 2 faktor dari n 2  n 8..... 2 2 2 2 n Jadi 1  2  3  .  k  (k  1)  (k  1)  (k  1)  (k  1)   ( k  2) benar.........  (5n  3)  2 4..  n  (n  1) benar untuk n  Asli.  2  2 2  23  .. 2  7  12  ....  k  (k  1) benar. 2 LATIHAN SOAL Buktikan dengan induksi matematika ! 1.. dan Induksi Matematika . 25  20  15  .. 2  4  6  ... 8 faktor dari 32 n  7 Barisan dan Deret......  ( 2n  1)  n 2 n(5n  1) 3.  (12  2n)  11n  n 2 5 5.... 3 faktor dari n 3  n  3 9......... 1  3  5  ..... -10- k Misal untuk sembarang n = k maka 1  2  3  .. 10  8  6  .. Notasi Sigma. 2 Sehingga untuk n = k+1 : k k 2(k  1) k  1 1  2  3  .  (30  5n)  n(11  n) 2 6.