Banco de exercícios gerais de matematica todo EM

Matemática Prof.Júlio 593 EXERCÍCIOS CONJUNTOS 01. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 6}, B = {1 , -2 , -3 , 4, 5, 6} e C = {0, - 2, 4}, calcule: a) A – B= b) A ∪ B = c) (A ∩ B) – C= 02. (F.I. Anápolis-GO) – Dados os conjuntos: A = {0, 1, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, o conjunto M = B – (A ∪C) é: a) {1, 3, 5} b) {0, 8, 9} c) {7} d) {1, 5, 7} e) {7, 5, 8, 9} 03. Sendo A = {1, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5, 7, 8} e C = {4, 5, 6, 7, 8}, calcule o valor de: a) (A – B) ∩ C b) (C ∪ A) ∩ (B – A) c) [(A – B) ∩ (A ∪ C)] – (A – C) 04. Sendo A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, {1, 2}}, assinale V ou F: ( ) A ∪ B = A ( ) A ∩ B = B ( ) {1} = B ( ) {1} ⊂ B ( ) {1, 2, 3} ⊂ B ( ) 1, 2 ∈B ( ) φ ∈ A ( ) φ ⊂ A ( ) {1,2} ⊂ A ( ) {{1, 2}} ⊂ B 05. (ITA 2005) – Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações: I. {0} ∈ S e S ∩ U ≠ φ. II. {2} ⊂ S \ U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}. III. Existe uma função f : S → T injetiva. IV. Nenhuma função g : T → S sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV. 06. (FATEC – SP) Se A={2;3;5;6;7;8}, B={1;2;3;6;8} e C={1;4;6;8}, então: a) (A – B) ∩ C={2} b) (B – A) ∩ C={1} c) (A – B) ∩ C={1} d) (B – A) ∩ C={2} e) nda 07. (ITA/2004) - Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto { } 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 U = : I. U ∅∈ e ( ) 10 n U = . II. U ∅⊂ e ( ) 10 n U = . III. 5 U ∈ e { } 5 U ⊂ . IV. { } { } 0, 1, 2,5 5 5 = I . Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações. 08. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}, B = {2, - 1, 6, 3} e C = {3,- 4, 6, 9} e D={ x ∈ Z / 1 < x < 4}, coloque V ou F: ( ) 2 ∉ A ( ) A ⊄ C ( ) A∩B∩C∩D = {2, 3} ( ) {3}∈ B ( ) 3 ∈ C ( ) {9, - 4} ⊄ C ( ) 2 ∈ C ( ) 7 ∈ A ( ) 2 ⊂ D ( ) D ⊂ A ( ) A – B = {4, 5} ( ) A – D = φ 09. (OSEC – SP) – Dados os conjuntos A={a; b; c}, B={b; c; d} e C={a, c, d; e}, o conjunto (A – C) ∪ (C – B) ∪ (A ∩ B ∩ C) é: a) {a;b;c;e} b) {a;c;e} c ) A d) {b;d;e} e) nda 10. Se um conjunto possui 32 subconjuntos, quantos elementos ele tem? 11. (FGV - SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A : a) 8 b)6 c) 256 d) 128 e) 100 12. (CEFET – PR) – Sendo A={0;1;2;3}, B={2;3;4;5} e C={4;5;6;7}, então o conjunto (A – B) ∩ C é: a) {0;1} b) {2;3} c) {6;7} d) {4;5} e) ∅ 13. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 5, 7, 9}, B = {3, 4, 5, 6} e C = {5, 8, 9}, determine (B – A) ∩ (C – A). 14. Dados os conjuntos A = {- 2, 3, 4, 5}, B = {2, - 1, 6, 3} e C = {3, 4, 6, 9}, coloque V ou F: ( ) 2 ∈ A ( ) A ⊄ C ( ) {3}∈ B ( ) 3 ∈ C ( ) 2 ∉ C ( ) 7 ∈ A ( ) C ⊂ A ( ) A ∩ B = 3 15. Quantos são os subconjuntos do conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}? 16. (USS – RJ) – Se A e B são conjuntos, A ∪ B = A se e somente se: a) A = B b) A ⊂ B c) B ⊂ A d) A = φ e) B = φ 17. (UFPI) – Considerando os conjuntos A, B e C na figura abaixo, a região hachurada representa: a) B – (A – C) b) B ∩ ( A – C) c) B ∪ (A ∩ C) d) B ∩ (A ∪ C) e) B – (A ∪ C) Matemática Prof. Júlio 594 18. (F.M. Itajubá-MG) – Com relação a parte sombreada do diagrama, é correto afirmar que: a) A – (B – C) b) A – (B ∪ C) c) A – (B ∩ C) d) A – (C – B) e) Nenhuma das respostas anteriores. 19. (PUC-RS) Com relação à parte hachurada do diagrama, é correto afirmar que: a) C – (A ∩ B) b) (A ∩ B) – C c) A – (B ∩ C) d) (B ∩ C) – A e) (A ∩ B) – (B ∪ C) 20. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6}, analise os itens a seguir: (I) 3 ⊂ A (II) A ∩ B = {2, 4, 6} (III) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A Pode-se afirmar que: a) apenas I está correto b) apenas II está correto c) apenas III está correto d) II e III estão corretos e) I e III estão corretos 21. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {1, 3, 4, 5} e C = {1, 2, 3,7}, analise os seguintes itens: I – (A ∪ B) ∩ C = C II – A tem 16 subconjuntos III – A ∩ B = 3 IV – A ⊂ B Podemos afirmar que: a) Somente I é verdadeiro b) Somente II é verdadeiro c) Somente IV é verdadeiro d) e) I e III são verdadeiros e) II e III são verdadeiros 22. (UFV/PASES) – A escola Cantinho Feliz possui 1200 alunos e oferece dança e futebol como atividades extracurriculares. Sabendo que neste ano há 590 alunos inscritos em dança, 570 inscritos em futebol e 270 alunos inscritos em ambas as atividades, o número de alunos que NÃO se inscreveram em qualquer destas atividades é: a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 23. (UEL) – Uma universidade está oferecendo três cursos de extensão para a comunidade externa com a finalidade de melhorar o condicionamento físico de pessoas adultas, sendo eles: Curso A: Natação Curso B: Alongamento Curso C: Voleibol As inscrições dos cursos se deram de acordo com a tabela seguinte: Curs o Apenas A Apenas B Apenas C A e B A e C B e C A, B e C Aluno 9 20 10 13 8 18 3 Analise a s afirmativas seguintes com base nos dados apresentados: I – 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos. II – 52 pessoas não se inscreveram no curso A. III – 48 pessoas se inscreveram no curso B. IV – O total de inscritos no curso foi de 88 pessoas. As afirmações corretas são: a) I e II b) I e III c) III e IV d) I, II e III e) II, III e IV 24. Em uma pesquisa sobre programas de TV que habitualmente assistem, as pessoas responderam sobre a preferência de três programas A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 400 assistem ao programa A. • 350 assistem ao programa B. • 250 assistem ao programa C. • 20 aos três programas. • 70 assistem aos programas A e B. • 50 assistem aos programas A e C. • 60 assistem aos programas B e C. Pergunta-se: a) Quantas pessoas foram entrevistadas? b) Quantas pessoas assistem somente ao programa B? c) Quantas pessoas assistem dois programas? d) Quantas pessoas não assistem ao programa A? 25. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 210 compram o produto A. • 210 compram o produto B. • 250 compram o produto C. • 20 compram os três produtos. • 60 compram os produtos A e B. • 70 compram os produtos A e C. • 50 compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas? 26. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 200 compram o produto A. • 200 compram o produto B. • 250 compram o produto C. • 10 compram os três produtos. Matemática Prof. Júlio 595 • 50 compram os produtos A e B. • 70 compram os produtos A e C. • 30 compram os produtos B e C. Pergunta-se: a) Quantas pessoas foram entrevistadas? b) Quantas pessoas compram somente o produto A? c) Quantas pessoas compram os produtos C ou B? d) Quantas pessoas compram os produtos A e B? 27. (UNIFAL/2006) – Em uma cidade com 40.000 habitantes há três clubes recreativos: Colina, Silvestre e Campestre. Feita uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 20% da população freqüenta o Colina; 16% o Silvestre; 14% o Campestre; 8% o Colina e o Silvestre; 5% o Colina e o Campestre; e 4% o Silvestre e o Campestre. Somente 2% freqüentam os três clubes. O número de habitantes que não freqüentam nenhum destes três clubes é: a) 26000 b) 30000 c) 28000 d) 32000 e) 34000 28. Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba, nem de rock? a) 430 d) 450 c)330 d)250 e) 470 29. (PUC_PR) – Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: - têm casa própria: 38 - têm curso superior: 42 - têm plano de saúde: 70 - têm casa própria e plano de saúde: 34 - têm casa própria e curso superior: 17 - têm curso superior e plano de saúde: 24 - têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma das situações anteriores? a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e)45% 30. (UFPA) – A Câmara dos Deputados reuniu-se extraordinariamente para decidir sobre a instalação de duas Comissões Parlamentares de Inquéritos (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos 320 deputados presentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da instalação das duas comissões e X deputados foram contrários à instalação das CPIs. O número X de deputados que votaram contra a instalação das CPIs é: a) 160 b) 90 c) 70 d) 50 e) 20 31. (UERJ) – Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi visto que: Diarréia: 62 casos Febre: 62 casos Dor no corpo: 72 casos Diarréia e febre: 14 casos Diarréia e dor no corpo: 8 casos Febre e dor no corpo: 20 casos Diarréia, febre e dor no corpo: x casos Nos dados, x corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo os três sintomas. Pode-se concluir que X é igual a:__________. 32. (UFF) – Dentre as espécies ameaçadas de extinção na fauna brasileira, há algumas que vivem somente na Mata Atlântica, outras que vivem somente fora da Mata Atlântica e, há ainda, aquelas que vivem tanto na Mata Atlântica como fora dela. Em 2003, a revista Terra publicou alguns dados sobre espécies em extinção na fauna brasileira: havia 160 espécies de aves, 16 de anfíbios, 20 de répteis e 69 de mamíferos, todas ameaçadas de extinção. Dessas espécies, 175 viviam somente na Mata Atlântica e 75 viviam somente fora da Mata Atlântica. Conclui-se que, em 2003, o número de espécies ameaçadas de extinção na fauna brasileira, citadas pela revista Terra, que vivem tanto na Mata Atlântica como fora dela, corresponde a: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 33. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é: a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) 210 34. (PUC – PR) – Em uma pesquisa com um turma de alunos, apurou-se o seguinte: 45% dos alunos são homens. Sabe-se também que 60% dos alunos jogam futebol e que destes 70% são homens. Que percentual de alunos, que não jogam futebol, são mulheres? a) 42% b) 37% c) 16% d) 45% e) 60% 35. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 36. (UF-BH) – Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês? Matemática Prof. Júlio 596 37. (UPF/2002) – Feita uma pesquisa com 600 estudantes sobre as universidades em que pretendem prestar vestibular, observou-se que 245 pretendem prestar vestibular na universidade A; 270, na universidade B; 285, na universidade C; 130, nas universidades A e B; 120, nas universidades A e C; 110, nas universidades B e C; e 50, nas três universidades citadas (A, B e C). Com base na pesquisa, é incorreto o que se afirma na alternativa: a) 230 estudantes pretendem prestar vestibular apenas em uma universidade. b) 110 estudantes não pretendem prestar vestibular nas três universidades. c) 80 estudantes pretendem prestar vestibular apenas na universidade B. d) 70 estudantes pretendem prestar vestibular apenas na universidade C. e) 210 estudantes pretendem prestar vestibular em duas das três universidades citadas. 38. (ESPM/2004) – Uma pesquisa envolvendo 800 habitantes de uma cidade revelou que 35% deles lêem diariamente o jornal A; 60% lêem o jornal B e que 120 entrevistados não lêem nenhum dos dois jornais. O número de pessoas entrevistadas que lêem os dois jornais é: a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 39. Um levantamento efetuado entre 600 filiados do INPS, mostrou que muitos deles mantinham convênio com 2 empresas particulares de assistência médica, conforme o quadro: A B INPS 430 160 60 Quantas pessoas são filiadas simultaneamente às duas empresas? 40. Numa sociedade existem: - 35 homens; - 18 pessoas que usam óculos; - 15 mulheres que não usam óculos; - 7 homens que usam óculos. Qual é o número de pessoas que compõe a sociedade? 41. (FGV - SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A : a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100 42. O número dos conjuntos X que satisfazem {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 43. (UDESC) Uma pesquisa foi realizada junto a 930 pessoas a respeito da prática dos esportes futebol e vôlei: foi constatado que o vôlei era praticado por 340 pessoas e que 65 praticavam ambos os esportes. Foi constatado ainda que 15 pessoas não praticavam nenhum desses esportes. O número de pessoas que praticavam apenas o futebol é: a) 565 b) 525 c) 535 d) 510 e) 575 44. Se A, B e C são conjuntos tais que: n[A - (B ∪ C)] = 15, n[B - (A ∪ C)] = 20, n[C - (A ∪ B)] = 35 e n(A ∪ B ∪ C) = 120 então n[(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] é igual a: a) 14 b) 50 c) 35 d) 56 e) 26 45. Dado o conjunto A = {1, 4, 7, 9}, quantos são seus subconjuntos? 46. (FCC - BA) Consultadas 500 pessoas sobre emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 pessoas assistem ao canal B e 70 assistem aos outros canais, distintos de A e B. O número de pessoas que assistem a A e não assistem a B é? 47. (PUC - PR) Em um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de Matemática (M), Física (F) e Português (P) foi o seguinte: M - 47, F- 32, P - 21, M e F - 7, M e P - 5, F e P – 6, M, F e P - 2. Quantos, dos 100 alunos incluídos no levantamento, não estudaram nenhuma das matérias? 48. (PUC – PR) – Sejam A, B e C 3 conjuntos finitos. Sabendo-se que A ∩ B tem 20 elementos, B ∩ C tem 15 elementos e A ∩ B ∩ C tem 8 elementos, então o número de elementos de (A ∪ C) ∩ B é: a) 28 b) 35 c) 23 d) 27 e) 13 49. (UEL – PR) – Em um certo concurso vestibular, na prova de Língua Estrangeira, o candidato pode optar por Inglês, francês ou Espanhol. Sabe-se que 5% do total de inscritos optaram por Espanhol e, do número restante, 20% escolheram Francês. Se 15 200 candidatos optaram por Inglês, o total de candidatos inscritos nesse concurso é: a) 17 800 b) 18 000 c) 20 000 d) 20 800 e)21 000 50. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: • choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; • quando chove de manhã não chove à tarde; • houve 5 tardes sem chuva; • houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 51. Escreva os intervalos abaixo na forma de conjuntos (usando os símbolos <, >, ≤ ou ≥) a) [1, 2] b) ]-1, 3] c) ]2, 5] ∪ [6, + ∞[ d) ] - ∞, 2[ ∪ [5, 8] 52. Use os símbolos ∈ ou ∉ para relacionar as alternativas abaixo: a) – 3 N b) ¾ Z c) - 2 Z d) √3 Q Matemática Prof. Júlio 597 e) 10/2 N f) 0,333... Q g) 5,6 R 53. Coloque V ou F conforme a sentença seja verdadeira ou falsa, respectivamente: ( ) 4 é um número natural ( ) –1 é um número irracional ( ) √64 é um número inteiro ( ) 2/7 é um número racional ( ) –0,6666... é um número irracional ( ) 7 ∈ Z ( ) 1 ∈ Q ( ) √3 ∈ R ( ) 2 ∉ Z ( ) – 1 ∉ I ( ) √8 ∉ N ( ) 6/2 ∈ N ( ) 7 2 ∈ N ( ) 0,7777... ∈ Z 54. Dados os conjuntos: A = [- 1, 3] e B = ]2, 7], calcule A ∪ B e A ∩ B. 55. (EPCAR) Qual das proposições abaixo é falsa? a) Todo número real é racional. b) Todo número natural é inteiro. c) Todo número irracional é real. d) Todo número inteiro é racional. e) Todo número natural é racional. 56. (UEMT) – Dados os intervalos A = (-2, 1] e B = [0, 2], então A ∩ B e A ∪ B, são, respectivamente; a) (0, 1) e (-2, 2) b) [0, 1] e (-2, 2] c) [0, 1) e [-2, 2] d) (0, 1] e (-2, 2] e) [0, 1) e [-2, 2) 57. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}, B = {1, 3, 7, 8} e C = {4, 6, 9, 10} e D={ x ∈ Z / - 1 < x < 3}, Calcule: a) A – B b) (B – C) ∪ D c) (D ∩ A) – C d) (A – D) ∪ B 58. Escreva os intervalos abaixo em forma de colchetes: a) {x ∈ R / x > 3} b) {x ∈ R / x < 12} c) {x ∈ R / x ≥ 5} d) {x ∈ R / 1 < x < - 5}. 59. Escrever os intervalos abaixo em forma de colchetes: a) {x ∈ R / x ≥ - 5} b) {x ∈ R / x < - 8} c) {x ∈ R / x ≤ 13} d) {x ∈ R / - 3 < x < 0} e) {x ∈ R / 2 ≤ x < 0} f) {x ∈ R / 2 < x < 7 ou x > 10 e x ≠ 13} 60. Analise a veracidade das proposições abaixo: ( ) - 3 √-64 ∉ I ( ) 0 / -5 ∈ (Z - N) ( ) √-25 ∈ R 61. (CEFET) - Se A = ]7/2 , √40] ∩ [π, 16/3[, o número que pertence ao conjunto A é: a) 7/2 b) √40 c) π d) 19/4 e) 25/4 62. (FUVEST) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy: a) à esquerda de 0 b) entre 0 e x c) entre x e y d) entre y e 1 e) à direita de 1 63. Observe os seguintes números. I. 2,212121... II. 3,212223... III. π / 5 IV. 3,1416 V. 4 − Assinale a alternativa que identifica os números irracionais. a) I e II c) I e IV e) II e III b) II e V d) III e V 64. (UNIOESTE) Considere os conjuntos: A = {x ∈ R / -1 < x < 4 } e B = {x ∈ R / -4 < x < 1}. É correto afirmar que: 01) √5 ∈ A 02) 6 -2 ∈ A 04) 5 0 ∈ B 08) - 7 / 3 ∈ B 16) 3,2 x 10 -3 ∉ B 32) A ∩ B = { x ∈ R / -1 < x < 1} 64) A ∪ B = { x ∈ R / x < 4} 65. Do número α sabe-se que: I - é raiz da equação x 4 - 5x 2 + 4 = 0 II- α ∈ (R - Z-) III - α ∉ ]-7, 3/2] ∩ [0, 5[ Nessas condições, determine α. 66. (UFSM) Dados os conjuntos A = {x ∈ N/ x é ímpar} B = {x ∈ Z/ -2 < x ≤ 9} C = {x ∈ R/ x ≥ 5}, O produto dos elementos que formam o conjunto (A ∩ B) – C é igual a: a) 1 b) 3 c) 15 d) 35 67. (UFC) – Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto M ∪ N é: a) o triplo do número de elementos de M. b) o triplo do número de elementos de N. c) o quádruplo do número de elementos de M. d) o dobro do número de elementos de M. e) o dobro do número de elementos de N. 68. Dados os intervalos A = [1, 4[, B = [3, 7] e C = ]- 3, 6[, calcule: a) (A ∪ B) ∩ C b) C – A Matemática Prof. Júlio 598 69. (UFS-2004/Seriado) – Considere os conjuntos: A = {x ∈ R / 1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6} B = { x ∈ R / 1 ≤ x < 5 e x ≠ 3} C = { x ∈ R / 2 < x ≤ 4} Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. ( ) A ∩ C = ]2, 3] ( ) C ⊂ B ( ) B – C = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x < 5} ( ) A ∪ B = [1, 6] 70. Assinale a alternativa incorreta: a) 2 é racional e inteiro b) –3 é inteiro e real c) 5/2 não é irracional d) 4,5 não é inteiro mas é racional e real e) –7,3 é negativo e irracional. GABARITO 01. a) {3} b) {-2, -3, 1, 3, 4, 5, 6} c) (1, 5, 6} 02. C 03. a) {6} b) {7. 8} c) {6} 04. (F) (F) 05. B 06. B 07. C (F) (V) 08. F,V,F,F,V,F.F.F,F,V,F,F 09. A (F) (V) 10. 5 11. C 12. E 13. ∅ (F) (V) 14. (F) (V) 15. 128 (V) (V) (F) (V) 16. C 17. E 18. E (F) (F) 19. B 20. C 21. B (F) (F) 22. B 23. B 24. a) 840 b) 240 c) 140 d) 440 25. 510 26. a) 510 b) 90 c) 420 d) 50 27. A 28. A 29. A 30. E 31. 6 32. D 33. B 34. B 35. 1 36. 36 37. D 38. B 39. 50 40) 61 41. B 42. B 43. E 44. B 45. 16 46. 180 47. 16 48. D 49. C 50. C 51. a) { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2} b) { x ∈ R / - 1 < x ≤ 3} c) { x ∈ R / 2 < x ≤ 5 ou x ≥ 6} d) { x ∈ R / x < 2 ou 5 ≤ x ≤ 8} 52. ∉,∉,∈,∉,∈,∈,∈ 53. V,F,V,V,F,V,V,V,F,V,V,V,V,F 54. A∪B=[-1,7] A∩B=]2,3] 55. A 56. B 57. a) {3,4} b) {0,1,2,3,7,8} c) {2} d) {1,3,4,7,8} 58. a) ]3, ∞[ b) ] -∞, 12[ c) [5, ∞[ d) ]1,5[ 59. a) [-2,∞[ b) ]-∞,-8[ c) ]-∞,13] d) ]-3,0[ e) ]-2,0[ f) ]2,7[ ∪ ]10, ∞[ - {13} 60. V,F,F 61. D 62. B 63. E 64. 01,02,08,32 65. 2 66. B 67. E 68. a) [1,6[ b) ]-3,1[ 69. F,V,V,V 70. E FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS 01. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (1 – x) 3 = b) (1 + 3x) 2 = c) (3x – 4)(3x + 4) = d) (3 + x) 2 + (3 – x) 2 = 02. Desenvolvendo a expressão: (x – 3) 2 + (x + 3) 2 , obteremos o seguinte resultado: a) x 2 + 12x + 18 b) x 2 – 9 c) 2x 2 + 18 d) x 2 + 18 e) 14x + 18 03. Fatore a expressão 4x 3 y 4 + 12x 2 y – 20ax 5 y 7 – 16x 3 y 2 . 04. Fatore as expressões: 4x 2 – 12xy + 9y 2 = 100x 2 y 2 – 4 = 25x 2 + 4x 2 y 2 = 2x – 4xy + 6x 2 y = 2xa 2 – 6x 2 a + 10x 3 a 4 = 3abc – 15a 2 b 2 c 3 + 9ab 5 = 05. Assinale quais as expressões abaixo são trinômios quadrados perfeitos e em seguida, fatore-os. ( ) x 2 + 2xy + y 2 = ( ) x 2 + 4xy + 4 = ( ) 9x 2 – 12xa + 4a 2 = ( ) a 2 – 14a + 49 = ( ) 25x 2 + 30x + 9 = 06. Sendo x - y = 40 e xy = 10 , calcule o valor de x 2 + y 2 . 07. Sendo x + y = 70 e xy = 500 , calcule o valor de x 2 + y 2 . 08. Sendo x + y = 50 e x 2 + y 2 = 20 , calcule o valor de x . y. 09. Sendo 8 2 = + x x , calcule o valor de 2 2 4 x x + . 10. Sendo x + y = 20 e xy = 50 , calcule o valor de x 2 + y 2 . 11. Sendo xy = 40 e x 2 + y 2 = 10 , calcule o valor de (x + y) 2 . 12. Sendo x + y = 30 e x – y = 60, calcule o valor de x 2 – y 3 13. Sendo x + y = 130 e x – y = 20, calcule o valor de x 2 – y 2 14. Sendo x + y = 200 e x 2 + y 2 = 150 , calcule o valor de 2xy. 15. Sendo 12 3 = + x x , calcule o valor de 2 2 9 x x + . 16. Sendo x + y = 40 e x – y = 50 e xy = – 225 , calcule o valor de (x 2 – y 2 ) + (x 2 + y 2 ). 17. A expressão 9x 2 – 12xya + 4y 2 a 2 é equivalente à: a) (3x – 4) 2 b) (3x + 4ya) 2 c) (3x – 2ya) 2 d) (3x 2 – 4y 2 a 2 ) 2 e) (3x + 2y) 2 18. Fatore: a) 27 – x 3 = f) 1 + t 3 = b) 8a 3 + 125x 3 = g) 1 + x 3 = c) 1 – t 3 = h) 27a 3 + x 3 = d) 8 – x 3 = i) 1 + 8t 3 = e) a 3 + 64x 3 = 19. Simplifique as frações abaixo: Matemática Prof. Júlio 599 a) = − + − ⋅ − − 6 2 1 2 2 2 9 2 2 x x x x x b) = + − x x 2 16 64 2 20. Fatore as expressões: a) x 2 – 6xy + 9y 2 = b) 81x 2 y 2 – 16 = 21. Dois números x e y são tais que x 2 + y 2 = 92 e que x + y = 19. Então o valor de xy é: a) 271/2 b) 453/2 c) 269/2 d) 269/4 e) 227/2 22. Fatore e simplifique cada expressão abaixo: a) = − − 6 6 1 x x b) = − − 1 9 1 3 2 x x c) = − − x x x 4 2 d) = + − + 8 2 4 3 2 x x x e) = − + + 4 4 4 2 2 x x x f) = + − − 100 100 25 10 5 2 x x x 23. Simplifique as frações abaixo: a) = − + − ⋅ − − 8 2 1 2 2 2 16 2 2 x x x x x b) = − − x x 2 18 81 2 = − − ⋅ + − ⋅ + − − ⋅ − − 2 25 3 2 2 5 4 25 9 12 4 3 2 6 2 3 ) 2 2 x x x x x x x x x c 24. Fatore e simplifique cada expressão abaixo: a) = − − 3 6 1 2 x x b) = − − 1 4 1 2 2 x x c) = − + + 9 9 6 2 2 x x x d) = − − 1 1 3 x x e) = − − 32 8 4 x x f) = − − 125 25 3 2 x x g) = + − − 9 12 4 3 2 2 x x x h) = − + 4 9 2 3 2 x x i) = − − 9 9 9 9 2 x x j) = + − 2 16 64 2 x x k) = − − 2 2 1 x x l) = − − 3 6 9 36 2 x x m) = − + − ⋅ − − 2 6 1 2 2 2 9 2 2 x x x x x n) = − − ⋅ − − 1 8 24 12 3 6 1 2 3 x x x x o) = + − − 2 4 4 2 x x x 25. Com relação à expressão 2 2 . 2 2 2 2 2 2 + − + − + ⋅ + − b ab a b ab a a ab b a b a : b) Dê sua forma mais simples. c) Calcule seu valor numérico para a = 20 e b = 9,12. 26. Fatore as seguintes expressões algébricas: a) 7a - 7b = d) a 3 - a 2 = b) 3x 2 + 12x 5 - 15x 3 = e) 64 - a 2 = c) 9x 2 - 1 = f) m 2 n 2 - 2mnpz + p 2 z 2 = 27. Simplifique: a) _x 2 - x_ b) ___a + 2___ c) (x + y) 2 _ x - 1 a 2 + 4a + 4 x 2 - y 2 28. (FAAP - SP) Simplificando a expressão a seguir: ______ax - ay______ , obtemos: x ( x - y) - y (x - y) a) a b) 1 / (x - y) c) a / (x - y) d) a / (x + y) e) nda 29. (UNICAMP) A expressão que segue abaixo: _a 2 + 2ab + b 2 _ ÷ _a - b_, para a ≠ ± b, é igual: a 2 – b 2 a + b a) 1 / (a + b) 2 c) (a + b) 3 / (a 2 + b 2 ) b) [(a + b) / (a – b)] 2 e) (2a 2 b + 2ab 2 ) / (a – b) c) d) 1 / (a – b) 30. (MED. SANTOS) Calculando o valor da expressão 934287 2 – 934286 2 , obtemos: a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 e) nda 31. (UNIMEP – SP) Se m + n + p = 6 ; mnp = 2 e mn + mp + np = 11, podemos dizer que o valor de _m 2 + n 2 + p 2 _, é:______. mnp 32. (FGF – SP) Simplificando-se obtemos: a) 1/ (ab) b) ab c) (a +b) / (– a – b) d) – ab e) nda 33. Dê o valor numérico da expressão 4 4 2 2 4 2 2 2 + − − ⋅ + − x x x x x x para x = 12,5. 34. Simplificando a expressão x y y x y xy x y x y x − + ⋅ + + ⋅ | | ¹ | \ | − 2 2 3 3 2 2 2 1 1 , obtém-se: a) xy b) 1 c) 0 d) – x e) 1/x 35. A expressão que segue ) ( 1 ) 2 )( ( 4 2 4 4 2 2 4 4 y x x y x x y x y x − ⋅ + + + ⋅ + − é equivalente a: a) 2 b) x + y c) ½ d) x – y e) 1 Matemática Prof. Júlio 600 GABARITO 01. a) 1 – 3x + 3x 2 + x 3 b) 1 + 6x + 9x 2 c) 9x 2 – 16 d) 18 + 2x 2 02. C 03. 4x 2 y (xy 3 + 3 – 5ax 3 y 6 – 4xy) 04. a) (2x + 3y) 2 05. (x) b) (10xy + 2)(10xy – 2) ( ) c) (5x + 2xy)( 5x – 2xy) (x) d) 2x(1 – 2y + 3xy) (x) e) 2xa(a – 3x + 5x 2 a 3 ) (x) 06. 1620 07. 3900 08. 1240 09. 60 10. 300 11. 90 12. 1800 13. 2600 14. 39850 15. 138 16. 3150 17. C 18. a) (3 – x)(9 + 3x + x 2 ) b) (2a + 5x)(4a 2 – 10ax + 25x 2 c) (1 - t)(1 + t + t 2 ) d) (2 – x)(4 + 2x + x 2 ) e) (a + 8x)(a 2 – 8xa + 64x 2 ) f) (1 + t)(1 – t + t 2 ) g) (1 + x)(1 – x + x 2 ) h) (3a + x)(9a 2 - 3ax + x 2 ) i) (1 + 2t)(1 – 2t + 4t 2 ) 19. a) (x+3)(x-1)/4 b) (8 – x)/2 20. a) (x – 3y) 2 b) (9xy + 4)(9xy – 4) 21. C 22. a) 1/6 b) 1/(3x + 1) c) 1/(2 + x) d) 1/(x + 2) e) (x + 2)/(x – 2) f) 1/(5x – 10) 23. a) (x + 4)(x – 1)/4 b) (9 + x)/2 c) ½ 24. a) 1/3 b) 1/(2x + 1) c) (x + 3)/(x – 3) d) 1/(x 2 + x + 1) e) 1/8 f) (x + 5)/(x 2 + 5x + 25) g) 1/(2x – 3) h) 1/(3x – 2) i) x + 1 j) (8 – x)/2 k) 1/2 l) 6x + 3 m) (x + 3)(x – 1)/4 n) 1/3 q) 1/(2 – x) 25. a) a 2 /2 b) 200 26. a) 7(a – b) b) 3x 2 (1 + 4x 3 – 5x) c) (3x + 1)(3x – 1) d) a 2 (a – 1) e) (8 + a)(8 – a) f) (mn – pz) 2 27. a) x b) 1/(a + 2) c) (x + y)/(x – y) 28. C 29. B 30. C 31. 7 32. B 33. 12,5 34. A 35.C POTENCIAÇÃO 01. Calcule o valor das seguintes potências: a) 2 4 = b) 3 – 2 = c) = 2 1 16 d) = | | ¹ | \ | 4 2 1 7 e) = | ¹ | \ | −3 5 1 02. Calcule o valor das expressões: a) E = ( ) 2 1 2 5 0 8 5 8 1 2253 1125 − + + − + | ¹ | \ | − b) E = 3 2 1 4 125 2 27 3 2 5 0 1 2 1 + | ¹ | \ | − + − + | ¹ | \ | − 03. O valor numérico da expressão 4 1 0 2 1 2 3 12 5 4 + ⋅ + − = − E é: a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 04. Calcule o valor das expressões abaixo: a) = + + −2 2 3 2 2 , 0 27 12 b) = − + − − 4 2 1 16 16 2 3 05. Dada a expressão abaixo, seu valor é: a) – 38/5 b) 52/5 c) 26/5 d) 41/5 e) – 34/5 06. Passe os número abaixo para notação científica a) sobre o planeta Terra: - velocidade de translação: 29,79 km/s = _______________ - volume: 1083 000 000 km 3 = _________________ - circunferência polar: 40 009m = _______________ b) 12,5 . 10 7 = ______________ 0,00032 . 10 9 = _____________ 3140,3 . 10 –7 = ____________ 0,0035 . 10 –10 = ______________ 07. O Número 0,000 000 0045, escrito na forma científica, é: a) 4,5 x 10 -9 b) 4,5 x 10 9 c) 4,5 x 10 - 8 d) 4, 5 x 10 -10 e) 0,45 x 10 -9 08. Qual é o valor numérico da expressão: a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 20 09. Calcule o valor da expressão abaixo, deixando da forma mais simples possível. 10. Qual é o valor numérico da expressão: (mostrar resolução) a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 20 11. Calcule o valor da expressão abaixo, deixando da forma mais simples possível. 3 2 1 8 1 3 1 2 16 , 0 + | ¹ | \ | − + = − − E 2 3 1 2 1 64 2 1 4 64 + | ¹ | \ | − + − ( ) ( ) ( ) 1 2 2 5 , 0 4 , 0 2 , 0 81 − − − + 3 2 12 64 2 1 4 64 3 1 2 1 − + + | ¹ | \ | − + − ( ) ( ) ( ) 1 2 2 09 , 0 2 , 0 1 , 0 − − − Matemática Prof. Júlio 601 12. Resolva as expressões abaixo: a) = + + −1 5 9 2 , 0 81 b) = + − + + − − 5 2 1 32 2 2 , 5 4 6 , 0 25 c) 2 2 3 3 , 0 2 4 008 , 0 − − + − + 13. Se 10 m = 64, então o valor de 10 m/3 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 14. (FATEC – SP) Se A = (-3) 2 - 2 2 , B = -3 2 + (-2) 2 e C = (-3 – 2) 2 , então C + A x B é igual a: a) –150 b) –100 c) 50 d) 10 e) 0 15. (CESCEM – SP) Simplificando a expressão [2 9 : (2 2 . 2) 3 ] -3 , obteremos: a) 2 -30 b) 1 c) 2 -6 d) 2 36 e) 2 16. (S.ANDRÉ – SP) Simplificando a expressão obtém-se: a) 2 n + 1 – 1/8 b) 7/8 c) –2 n + 1 d) 1 – 2 n e) 7/4 17. Classifique como verdadeiro ou falso: ( ) 2 7 . 2 2 = 2 9 ( ) 3 9 : 3 4 = 3 5 ( ) 4 5 : 4 -3 = 4 2 ( ) 7 5 – 7 3 = 7 2 ( ) 5 x – 3 = 5 x : 5 3 ( ) (7 3 ) 2 = 7 5 ( ) (5 + 2) 2 = 5 2 + 2 2 ( ) 10 3 / 10 5 = 10 -2 18. Sendo 2 3x = 27 calcule o valor de y na expressão y = 2 2x + 2 -x 19. (UFSM – RS) Efetuando a divisão e x : e x – 2 , teremos: a) e 2 b) e -2 c) e 2x d) e 2x – 2 e) nda 20. (PUC – SP) (0,5) 4 é igual a: a) 0,125 b) 0,625 c) 0,00625 d) nda 21. (FGV – SP) A expressão (1/2) -3 + (1/2) -5 é igual a: a) (1/2) -8 b) 40 c) 1/40 d) –40 e) nda 22. (EFOA – MG) Qual dos números abaixo é igual a 0,000000375? a) (0,175 + 0,2) . 10 -7 b) (3/8) . 10 -5 c) (3 + 3/4) . 10 -7 d) 375 / 10 -6 e) (375 . 10 9 ) 23. (STA. CASA – SP) Para x = 0,1, o valor da expressão _x 3 - 1_ é: 1 - x a) –11,11 b) –1,11 c) –0,111 d) 1,11 e) 11,1 24. (ACAFE – SC) Sendo a = 1, b = ½ e c = -2, calcule e valor numérico da expressão que segue:_c 2 + b_ _ _2a – c 2 _ b – a 2 b 3 a) –25 b) –7 c) 7 d) 11 e) 25 25. Se x = 10 -3 , então calcular a expressão abaixo em função de x. _(0,2) . (0,001) . 10 -1 _ 10 . (0,0001) 26. (OSEC – SP) Sabendo-se que a 2 = 5 6 , b 3 = 5 7 e c 4 = 5 8 e que a e c são dois números reais de mesmo sinal, ao escrever (a b c) 9 como potência de base 5, qual o valor do expoente? 27. (CESCRANRIO – RJ) O número de algrismos do produto 5 17 x 4 9 é igual a: a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) 35 28. (UNOPAR – PR) A expressão é igual a: a) 1 b) 3 c) 5 d) 3 √2 e) 5 √2 GABARITO 01. a) 16 b) 1/9 c) 4 d) 49 e) 125 02. a) 11/5 b) 113/9 03. B 04. a) 2500/29 b) 5/12 05.A 06. a) 2,979x10 - 1,083x10 9 - 4,0009x10 4 b) 1,25x10 8 – 3,2x10 5 – 3,1403x10 - 4 – 3,5x10 - 13 07. A 08. A 09. -425/23 10. A 11. - 7500/243 12. a) 1 b) 117/139 c) 189/6560 13. C 14. E 15. B 16. B 17. V, V, F, F, V, F, F, V 18. 28/3 19. A 20. E 21. B 22. C 23. B 24. C 25. 200x 26. 66 27. B 28. A RADICIAÇÃO 01. Resolva as expressões abaixo: = + − = = + = + − 9 2 3 5 , 0 25 ) 5 ) 20 5 18 5 ) 2 3 2 8 2 4 ) 3 6 d c b a Matemática Prof. Júlio 602 3 4096 3 x y y x 5 4 9 + 02. (Fuvest) (a) (b) (c) (d) (e) 03. Marque a alternativa INCORRETA: 04. Racionalizando a fração , encontraremos: a)√7 b) 2 + √7 c) 2√7 + 2√5 d) √5 e) √7 + √5 05. Simplificar os radicais, fatorando-os. 06. Resolvendo a expressão abaixo, obtém-se o valor: a)¾ b) 7 c) 7/4 d) 2√30 e) √30 07. Simplifique os radicais abaixo: a) = 3600 b) = 3 648 c) = 5 3200 08. Resolva: 09. (CESULON – PR) Qual o valor de x, se x é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) –2 10. (SANTA CASA) A diferença 8 0,666... – 9 0,5 é igual a: a) 2 b) 1 c) √2 – 3 d) –2 e) -2√2 11. (UFMG) O valor da expressão algébrica x –2 - __1__ + x 3/2 + √ x, para x = 4 é: x – 1 a) 23 / 3 b) 35 / 3 c) 3 √16 + 91 / 48 d) 457 / 48 e) 467 / 48 12. (UFBA) – A expressão é igual a: a) 3 √x / y b) 6 √x / y c) 6 √y / x d) √ y / x e) √xy 13. (UFCE) Simplificando a expressão : 3√2 - 2√18 + 3√72, obteremos: a) 3√2 b) 24√2 c) 15√2 d) - 15√2 14. (UFMG) O quociente (7√3 - 5√48 + 2√192) : 3√3 é igual a: a) 2 b) 1 c) 3√3 d) 2√3 15. (UECE) – O valor da expressão 12[(√2) -2 – (√3) -2 ] é igual a: a) 2 b) √3 c) 3 d) √2 e) 6 16. (UI) – Simplificando a expressão obtém-se: a) 2 + 3√5 b) 3 + √5 c) 3 + 2√5 d) 2 + √5 e) 2 + 2√5 17. (UFRGS) – A expressão √(3/5) + √(5/3) é igual a: a) 8/15 b) 3/5 c) 1 d) √(34/15) e) (8√15)/15 18. Racionalize as frações abaixo: a) = 5 3 2 b) = + 2 4 3 c) = 5 3 2 d) = + 2 4 3 e) = 7 2 f) = + 5 3 3 8 g) 3 3 2 4 3 = h) 2 1 = i) 3 2 2 − = GABARITO 01. a) - √2 b) 15√2 + 10√5 c) 36 5 d) 1 02. 1 03. C 04. E 05. a) 3 18 10 b) 4 10 2 c) 105 2 d) 3 200 2 e) 4 60 2 f) 362 2 06. C 07. a) 60 b) 3 3 6 c) 5 10 2 3 4 3 3 2 4 3 3 3 3 9 3 ) 8 32 ) 5 4 ) 10 7 3 ) 8 5 2 ) = = < < < < < e d c b a 5 7 2 − 420 ) 160 ) 18000 ) 4 3 c b a 1448 ) 960 ) 1600 ) 4 3 f e d 30 2 120 480 2 16 2 − − + − − 2 1 4 2 4 81 3 16 + − + − Matemática Prof. Júlio 603 08. 10/9 09. B 10. B 11. C 12. A 13. C 14. B 15. A 16. D 17. E 18. a) 2√15/5 b) (4√3 - √6)/14 c)2√5/15 d) (4√3 - √6)/14 e) 2√7/7 f) 4√15 – 12 g) 3 2 3 h) √2/2 i) 4 + 2√3 EQUAÇÃO DO 1º GRAU 01. (FUVEST – SP) – A soma de um número com sua quinta parte é 2. Qual é o número? 02. Resolva as equações abaixo: a) b) c) 5 2 3 3 4 3 2 = + − − x x . 03. Resolva as equações abaixo: a) 3(x – 4) + 5(x + 3) = 2(3x – 5) – 6 b) (x – 4) + 5(x – 3) = 2(3x – 5) 04. Resolva as equações abaixo e responda qual a condição de existência dec cada uma delas. a) 3 2 1 2 4 = + − x x b) x x x x 2 5 2 2 4 2 − = + − c) 3 2 2 = − x x d) x x x 3 1 2 1 4 = + − e) 3 2 1 2 = + − x x f) x x x 3 5 2 2 4 = + − g) 2 4 3 1 2 2 − + = + − x x x x 05. O acionista de uma empresa vendeu, no início de janeiro, 1/3 das ações que possuía. Np início de fevereiro, vendeu 1/3 das ações que restaram após a venda feita em janeiro. Repetiu o mesmo procedimento em março, abril, maio e junho, quando, após a venda, possuía 256 ações. Calcule quantas ações este acionista vendeu no início de abril .05. 06. (Unicamp/2004) – Em uma empresa, 1/3 dos funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários têm mais de 40 anos. a) Quantos funcionários têm a referida empresa? b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos? 07. Dois ciclistas partem simultaneamente de uma cidade em direção reta. Sabendo que: I – o primeiro parte na direção leste com velocidade de 15 km/h; II – o segundo parte na direção norte com velocidade de 22,5 km/h. Então, duas horas após a partida, a distância, em km, que os separa é: a) 32 b) 15√13 c) 75 d) 225√13 e) 2925 08. A diferença entre um número e os seus 3 / 5 é igual a 10. Qual é esse número? 09. A soma de dois números ímpares consecutivos é 244. Quais são esses números? 10. Em um colégio, 20% dos professores ensinam Matemática. Sabendo que o colégio ainda tem 24 professores que ensinam as outras matérias, quantos professores há, ao todo, nesse colégio? 11. (UEL – PR) O número que satisfaz a igualdade _x_ _ _5x - 7_ = _x - 4_ é: 3 2 6 a) – 9/4 b) – 3/4 c) – 1/4 d) 25/14 e) 9/4 12. (UNESP – SP) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada um trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar dois quintos da estrada e a outra os 81 km restantes, a extensão dessa estrada é de: a) 125km b) 135km c) 142km d) 145km e) 160km 13. (FGV – SP) A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Assinale a afirmação verdadeira: a) O quociente do maior pelo menor é 2 b) O produto dos três números é 8000 c) Não existem números nessa condição d) Falta informação para encontrar os 3 números e) O produto dos três números é 7980 14. Sejam N um número natural de dois algarismos não-nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N – M = 45. Então, quantos são os possíveis valores de N? a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3 15. (UPF/2004) – Se for adicionado um número inteiro b a sua quarta parte e o resultado for igual a 15, pode-se dizer que b é um número a) múltiplo de 2 e de 3. b) múltiplo de 2 apenas. c) múltiplo de 5 apenas. d) primo. e) múltiplo de 3 e de 5. 16. (UNICAMP) - Em uma sala há uma lâmpada, uma televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado [AC]. O consumo da lâmpada equivale a 2/3 do consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. Se a lâmpada, a TV e o AC forem ligados simultaneamente, o consumo total de energia será de 1,05 quilowatts hora [kWh]. Pergunta-se: a) Se um kWh custa R$0,40, qual será o custo para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados por 4 horas por dia durante 30 dias? b) Qual é o consumo, em kWh, da TV? 6 2 4 5 3 3 2 x x x − = + + − 1 2 5 2 5 3 = + + − x x Matemática Prof. Júlio 604 17. (UFPB) - Dois amigos, Paulo e Elmiro, desejam, juntos, comprar um terreno. Paulo tem 1 5 do valor do terreno e Elmiro 1 7 . Se juntarem, ao que possuem, R$ 3.450,00, teriam o valor exato do terreno. Quanto custa o terreno? 18. (ACAFE) – Dois tonéis, A e B, contêm juntos 1400 litros de vinho. Se fossem acrescentados 250 litros de vinho ao reservatório A, este ficaria com a metade do vinho contido em B. A quantidade de vinho no reservatório B, em litros, é: a) 850 b) 1150 c) 575 d) 950 e) 1100 19. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular, um usuário escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 68,00 mensais, com direito a utilizar 100 minutos em ligações, assumindo o compromisso de pagar R$ 1,02 por minuto excedente. No mês passado, o usuário pagou, nesse plano, R$ 113,90. Quanto tempo o telefone foi utilizado nesse mês? a) 1 h 52 min b) h 25 min c) 2 h 35 min d) 2 h 45 min e) 2 h 52 min GABARITO 01. 5/3 02. a) -21/8 b) -1/5 c) 129/10 03. a) -19/2 b) ∅ 04. a) 10/7 b) 3/2 c) 6/5 d) 5/17 e) 4/5 f) 2/13 g) 1 05. 288 06. a) 96 b) 64 07. B 08. 25 09. 121 e 123 10. 30 11. D 12. B 13. E 14. B 15. A 16. a) 50,4 b) 0,09kwh 17. R$ 5520,00 18. E 19. B SISTEMAS DE EQUAÇÕES 1º GRAU COM 2 INCÓGNITAS 01. Resolva os sistemas abaixo: ¹ ´ ¦ = − = + 5 2 4 ) y x y x a ¹ ´ ¦ = − = − ¹ 4 14 3 ) y x y x b 02. Resolva os sistemas abaixo: ¹ ´ ¦ = − = + ¹ ´ ¦ = − = + 8 1 ) 8 10 2 ) y x y x b y x y x a 03. Resolva o sistema ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + 5 2 11 2 y x y x 04. (EFOA/2005) – Em determinado concurso, os candidatos fizeram uma prova contendo 25 questões. Pelas normas do concurso, os candidatos não poderiam deixar questões em branco e, na correção da prova, seriam atribuídos (+2) a cada resposta certa e (- 1) a cada resposta errada. A nota da prova seria a soma dos valores atribuídos às questões. Se um candidato obteve nota 17, o número de questões que ele acertou foi: a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) 14 05. (EFOA/2004) – No Parque de Diversões Dia Feliz, os ingressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 6,00 para crianças. No último domingo, com a venda de 400 ingressos, a arrecadação foi de R$ 3.000,00. A divisão entre o número de adultos e crianças pagantes foi: a) 5 2/ b) 4 3 / c) 5 3 / d) 3 2/ e) 5 4 / 06. Resolva o sistema ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + 2 15 2 9 2 y x y x 07. No terreiro de uma fazenda havia 65 animais entre galinhas e porcos. Sabendo que o total de pés eram 180, quantos porcos e quantas galinhas havia neste terreiro? 08. Resolva o sistema ¹ ´ ¦ = + = − 25 5 2 y x y x 09. (UNESP/1999) – Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram o ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi de R$ 10,00 e que cada sócio pagou a metade desse valor, o número de sócios presentes ao show é: a) 80 b) 100 c) 160 d) 140 e) 120 10. (UNITAU – SP) A solução do sistema de equações algébricas lineares ¹ ´ ¦ = + = − 1 2 2 y x y x é dada por: a) x = 1 e y = 1 b) x = -1 e y = 1 c) x = y = 0 d) x = 1 e y = -1 e) x = -1 e y = -1 11. A soma de dois números é igual a 45 e a diferença entre eles é 37. Quais são estes dois números? 12. (PUCCAMP – SP) – Um artesão está vendendo pulseiras ( a x reais a unidade) e colares ( a y reais a unidade). Se 3 pulseiras e 2 colares custam R$ 17,50 e 2 pulseiras e 3 colares custam R$ 20,00, o preço de cada pulseira é: a) R$ 3,20 b) R$ 3,00 c) RS 2,70 d) R$ 2,50 e) R$ 2,00 13. Responda: a) No sítio de Paulo há gatos e gansos. Sabendo que a soma de gatos e gansos é 16 e que a soma das patas Matemática Prof. Júlio 605 desses animais é 42, quantos gatos e quantos gansos há no sítio de Paulo? b) Se morressem 2 gatos e 2 gansos, ao somar a quantidade de patas desses animais, que número Paulo obteria? 14. (EFEI – MG) Dois números naturais são tais que a sua soma é igual a 209 e o quociente do maior deles pela diferença entre eles é igual a 6. Encontre esses números. 15. (PUC – SP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era: a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 16. (UNI-RIO – RJ) Num concurso, a prova de Matemática apresentava 20 questões. Para cada questão respondida corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e, para cada questão respondida erradamente ou não respondida, perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado deveria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 pontos, o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 17. (ESPM – SP) – José, João e Pedro foram juntos à padaria. José tomou duas médias e comeu três pães com manteiga, pagando R$ 1,74. João tomou três médias e comeu dois pães com manteiga, pagando R$ 1,96. Pedro tomou uma média e comeu dois pães com manteiga. Quanto pagou Pedro? a) R$ 1,00 b) R$ 1,04 c) R$ 1,08 d) R$ 1,12 e) R$ 1,16 18. (UEL – PR) Num bar paga-se R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante custa: a) R$ 0,70 b) R$ 0,50 c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel e) R$ 0,20 a menos de que o preço de cada pastel 19. (FUVEST – SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 20. (UFF – RJ) Um baleiro vende n balas, por R$ 0,30 cada uma, e obtém L reais. Se vender 15 balas a menos, por R$ 0,45 cada uma, obterá os mesmos L reais. Determine o valor de n. 21. (UNICAMP – SP) Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal, o grupo gastou R$ 56,00 e com a sobremesa, R$ 35,00; cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato principal. a) Encontre o número de pessoas neste grupo b) Qual o preço do prato principal? 22. (MÉD. CATANDUVA – SP) Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 72 anos. A minha idade é: a) 24 anos b) 32 anos c) 8 anos d) 40 anos e) 16 anos GABARITO 01. a) {(3,1)} b) {(5, 1)} 02. a) {(6,2)} b) {(9/2, -7/2)} 03. {(4,3)} 04. E 05. C 06. {(1,7)} 07. 25 porcos e 40 galinhas 08. {(10,15)} 09. E 10. D 11. 41 e 4 12. D 13.a) 5 gatos e 11 gansos b) 30 14. 95 e 114 15. C 16. A 17. A 18. E 19. E 20. 45 21. a) 7 b) R$ 8,00 22. B EQUAÇÕES DO 2º GRAU 01. Dê o conjunto solução de cada uma das equações abaixo, sendo os reais o conjunto universo. a) x 2 – 20x = 0 b) x 2 – 16 = 0 c) 2x 2 – 3x – 2 = 0 d) 3x 2 – 10x + 3 = 0 e) x 2 – 7x + 12 = 0 f) x 2 – 225 = 0 g) x 2 + 3x = 0 h) x 2 + 6x + 8 = 0 i) 2x 2 – 8 = 0 j) x 2 + 8x = 0 k) 2x 2 – x – 1 = 0 l) 2x 2 – 10 = 0 m) 3x 2 – 5x + 9 = 0 n) 3x 2 + 8x = 0 o) 2x – 4 = 20 p) 5x – 8 = 32 q) x 2 – 10x + 21 = 0 r) 4x 2 – 8x = 0 02. Calcular o discriminante de cada equação e dizer quantas soluções diferentes cada equação possui. a) x² + 9 x + 8 = 0 b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 c) x² - 2 x + 4 = 0 d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 03. O produto de um número inteiro positivo pelo seu consecutivo é 20. Qual é o número? 04. A diferença entre o quadrado de um número e o seu triplo é igual a 4. Qual é esse número? 05. (CESGRANRIO-RJ) - A maior raiz da equação – 2x 2 + 3x + 5 = 0 vale: Matemática Prof. Júlio 606 a) -1 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) (3 + √9)/4 06. A equação de segundo grau 2x 2 – 5x + 7 = 0: a) Não possui solução real; b) Possui duas soluções reais iguais; c) Possui duas soluções reais diferentes; d) Tem o discriminante positivo. e) Tem uma solução igual a 2. 07. (PUC – SP) – Quantas raízes tem a equação 2x 2 –2x + 1 = 0 ? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nda 08. Resolvendo a equação x 2 – 8x + 12 = 0, encontraremos como solução: a) S = {2, 6} b) S = {- 2, 6} c) S = {2, - 6} d) S = {- 2, - 6} e) S = {1/2, 1/6} 09. Resolvendo a equação , encontraremos como solução os números: a) 1/7 e – 2 b) 6 e 2 c) 7 e – 2 d) 1/7 e 2 e) -3 e 1/7 10. Resolver a equação (x – 1) 2 + (x + 2) 2 = 9 11. (UFOP) – Resolva a equação fracionária: 12. (UFV)- Dada a equação (m – 1) x 2 + 2mx – (m+1) = 0, determine “m” de forma que a equação tenha uma raiz real dupla. 13. Calcule o valor de “a” de forma que a equação ax 2 + (a+1)x = 0 tenha duas raízes reais iguais. 14. A diferença entre o quadrado de um número e o seu nônuplo é igual a 10. Estes números podem ser: a) 1 e 10 b) – 2 e – 10 c) 2 e 10 d) – 1 e 10 e) 1 e – 20 15. O quadrado de um número somado com seu quádruplo é igual a 5. Qual é este número? 16. Sabendo que x’ e x” são as raízes da equação do 2º grau 2x 2 + 10x – 8 = 0, calcule o valor de: x’. x” + 3(x’+ x”) 17. Resolva as equações: a) (x – 3) 2 = 5x + 9 b) x 2 – 6x + 9 = 0 18. Sabe-se que uma equação do 2º grau, depois de resolvida, resultou no seguinte conjunto-solução: S = {3, -1}. Qual foi a equação que deu origem à este conjunto- solução? 19. Resolva: 20. Em um terreno retangular foi construída uma casa que mede 50m por 30m. Em volta desta casa foi plantada grama ocupando uma largura de x metros, conforme a figura. Calcule esta largura sabendo que o terreno tem área igual a 2400m 2 . a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) 6m 21. A diferença entre o quadrado de um número e o seu quíntuplo é igual a – 4. Qual é esse número? 22. Calcule dois números naturais e consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja 85. 23. Resolva: a) _x - 2_ + _x - 3_ = 1 x + 1 x – 1 b) 6x -2 – 17x - 1 + 12 = 0 c) (2 – x) 2 = 2 – x 24. Sabe-se que o número 2 é raiz da equação ax 2 – 6x = 0. Obtenha a outra raiz. 25. Em um quadrado, o número que expressa a área é igual ao número que expressa o perímetro. Sendo x, a medida do lado desse quadrado, determine o valor de x. 26. (PUC – SP) – Uma das raízes da equação 0,1 x 2 – 0,7x + 1 = 0 é: a) 0,2 b) 0,5 c) 7 d) 2 e) nda 27. (FUVEST – SP) – Se x . (1 – x) = 1 / 4, então x é igual a: a) 1 b) 1/2 c) 0 d) 1/4 e) 3 28. (UFSE) – A equação _x – 3_ + _1_ = - 3 em R, 2 x é verdadeira, se x 2 for igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4 e)nda 29. Calcule os valores de m na equação x 2 –mx + 9 =0 para que esta equação tenha uma raiz dupla. 30. Obtenha a soma dos itens associados a afirmações corretas: 01) A equação x 2 + x = 0 possui duas raízes reais distintas. 02) A equação x 2 + 4 = não possui raiz real. 04) As raízes da equação - x 2 + 25 = 0 são números opostos. 08) Para m = 2 a equação x 2 +3x – 4m = 0 possui duas raízes reais distintas. 31. (UFRGS) – Um valor de x na equação ax 2 –(a 2 + 3)x + 3a = 0 é: a) 3a b) a/3 c) – a/3 d) 3/a e) - 3/a 32. (PUC – SP) – Considere o seguinte problema: “Achar um número que, somado com 1, seja igual ao seu inverso”. Qual das equações representa este problema? a) x 2 – x + 1 = 0 b) x 2 + x – 1 = 0 c) x 2 – x – 1 = 0 d) x 2 + x + 2 = 0 e) nda 33. Calcule a soma e o produto das raízes das equações abaixo: a) x 2 – 5x + 6 = 0 b) x 2 + 7x + 40 = 0 c) x 2 – 8x + 4 = 0 d) 3x 2 - 27x -3 √5 = 0 x x − = + 3 5 3 1 2 1 1 1 1 1 2 2 = + − + − − + x x x x x Matemática Prof. Júlio 607 e) 2x 2 – x – 1 = 0 f) x 2 – 2x = 0 g) 4x 2 – 7x + 1 = 0 34. Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes da equação 2x 2 – 10x + 6 = 0, calcule o valor de S – P. 35. Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes da equação 3x 2 – 12x + 6 = 0, calcule o valor de S – 2P. 36. A soma e o produto das raízes da equação 10x 2 + x - 2 = 0 são, respectivamente: a) 10 e – 5 b) 1/10 e 1/5 c) – 1/10 e – 1/5 d) 1/10 e – 1/5 e) 1/5 e – 5 37. (FEI)- Na equação do 2º grau 4x 2 + px +1 = 0, a soma dos inversos das raízes é –5. Calcule o valor de p. 38. (Fuvest) – Sejam x’e x”as raízes da equação 10x 2 + 33x – 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5 . x’. x” + 2(x’+ x”) é: a) – 33 b) – 10 c)– 7 d) 10 e) 33 39. Determine mentalmente as raízes das equações: a) x 2 – 9x + 8 = 0 b) x 2 + 7x – 8 = 0 c) x 2 + 4x + 4 = 0 d) x 2 + 9x – 10 = 0 40. Sendo α e β as raízes da equação 7x 2 – 13x + 5 = 0, calcule o valor de: a) α + β b) α . β c) α 2 + β 2 c) 1 / α + 1 / β 41. Determine a correspondente equação do 2º grau, com coeficientes inteiros e irredutíveis, a partir das raízes: a) raízes 2 e –3 b) raízes –4 e 4 c) raízes 0 e 1 42. (PUC – PR) – A soma e o produto das raízes da equação x 2 + x – 1 = 0 são respectivamente: a) –1 e 0 b) 1 e –1 c) –1 e 1 d) –1 e –1 e) nda 43. (CESESP) – Qual deve ser o valor de m na equação 2x 2 – mx – 40 = 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 8 ? a) 8 b) – 8 c) 16 d) – 16 e) nda 44. (UFAM) – Quais os valores de b e c para que a equação x 2 + bx + c = 0 tenha como raízes 5 e –3 ? a) - 2 e – 15 b) 5 e –3 c) 15 e 3 d) –5 e 3 e) nda 45. (UFG – SP) – Para que a soma das raízes da equação (k – 2)x 2 - 3kx + 1 = 0 seja igual ao seu produto, devemos ter: a) k = ± 1/ 3 b) k = - 1/3 c) k = 1/3 d) k = √3 e) k = √3/3 46. (ESAL – MG) – A soma e o produto das raízes da equação (m – 1)x 2 + 2nx + n – 8 = 0 são – 6 e – 5 respectivamente. Os valores de m e n são: a) m = 3 e n = 2 b) m = 4 e n = 1 c) m = 1 e n = 4 d) m = 2 e n = 1 e) m = 2 e n = 3 47. (PUCCAMP – SP) – Se v e w são as raízes da equação x 2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v 2 + w 2 é igual a: a) a 2 – 2b b) a 2 + 2b c) a 2 – 2b 2 d) a 2 + 2b 2 e) a 2 – b 2 48. (FEI – SP) – Sendo a e b as raízes da equação 2x 2 - 5x + m = 3 então, se 1/a + 1/b = 4/3, o valor de m é: a) 3/4 b) – 4/3 c) 27/4 d) 0 e) nda 49. (UFPR) – Se as raízes da equação x 2 + bx – 29 = 0 são inteiros, calcular b|. 50. (ESAAP – SP) – A soma dos quadrados de dois números positivos é 27 e a soma dos inversos de seus quadrados é 3. Determine o produto dos dois números. a) 81 b) 27 c) 9 d) 3 e) 1 51. (PELOTAS – RS) – A soma de dois números consecutivos é igual ao oito quintos do primeiro mais os três sétimos do segundo. Os números são: a) 160 e 161 b) 90 e 91 c) 125 e 126 d) 20 e 21 e) 55 e 56 52. Calcule o valor de β, para o qual a soma dos quadrados das raízes da equação x 2 + (β ββ β - 2)x + β ββ β - 3 = 0 seja igual a 10: 53. Se a e b são raízes da equação 2x 2 – 5x + 4 = 0, então o valor de a 3 + b 3 é: a) 3/8 b) 5/8 c) 7/8 d) 2 e) 3 54. A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos dos seus quadrados é 1. Determine: a) o produto dos dois números; b) a soma dos dois números. GABARITO 01. a) {0,20} b) {-4,4} c) {2,-1/2} d) {3,1/3} e) {3,4} f) {-5,5} g) {0,-3} h) {-2,-4} i) {-4,4} j) {0,-8} k) {1,-1/2} l) {-√5,√5} m) ∅ n) {0,-8/3} o) {12} p) {8} q) {3,7} r) {0,2} 02. a) 49, duas raízes distintas b) 0, duas raízes iguais c) -12, não tem raiz real d) 81, duas raízes distintas e) 3856, duas raízes distintas 03. 4 04. 4 05. D 06. A 07. A 08. A 09. A 10. {-2,1} 11. 3 ± √6 12. ±√2/2 13. – 1 14. D 15. -5 e 1 16. – 19 17. a) {0,11} b) {3} 18. x 2 – 2x – 3 = 0 19. ± 2 20. D 21. 1 e 4 22. 6 e 7 23. a) {0,5}b) {2/3,3/4} c) {1,2} 24. 3 25. 2 26. D 27. B 28. D 29. m = ± 6 30. V,V,V,V 31. B 32. A Matemática Prof. Júlio 608 33. a) S = 5 e P = 6 b) S = -7 e P = 40 c) S = 8 e P = 4 d) S = 9 e P = -√5 e) S = 1/2 e P = -1/2 f) S = 2 e P = 0 g) S = 74 e P = ¼ 34. 2 35. 0 36. C 37. 5 38. B 39. a) {1,8} b) {-8,1} c) {-2} d) {-10,1} 40. a) 13/7 b) 5/7 c) 99/49 d) 13/5 41. a) x 2 + x – 6 = 0 b) x 2 – 16 = 0 c) x 2 – x = 0 42. D 43. C 44. A 45. C 46. E 47. A 48. C 49. 28 50. D 51. D 52. {0,6} 53. B 54. a) 2 b) √6 FUNÇÃO 01. Na função f: A → B representada abaixo escrever seu domínio, sua imagem e seu contra-domínio. 02. (UFMG) – Das figuras abaixo, a única que representa o gráfico de uma função real y = f(x), x ∈ [a, b], é: a) b) c) d) e) 03. (UFRGN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E em P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: a) f não pode ser uma função bijetora. d) f não pode ser uma função injetora b) f é uma função sobrejetora. e) f é necessariamente uma função injetora. c) f é necessariamente uma função bijetora 04. Se f(x) = 3x + 5, o valor de f(2) + f(4) é: a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 05. (PUC – MG) – Considere as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = x + m. Se f(2) + g(- 1) = 7, o valor de m é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 06. Sendo f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x – 3, calcule o valor de: a) f(3) b) f(1) c) f(5) d) g(6) e) f(- 2) f) g(3) g) f(1) – g(1) h) 3f(4) – g(- 5) i) g(3) – f(- 6) j) f(1/3) – g(1/2) 07. (FUVEST) - Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a: a) 1/2 b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10 08. (UDF) – Sabendo que f(x) = x/2 - 2/3, determinar o valor de f(1/2) + f(-2/3): a) -17/12 b) 0 c) -5/12 d) -1 e) nda 09. Seja f uma função de R em R tal que f(x) = 3x 2 – 5, o valor de f(3) é: a) 17 b) – 17 c) 22 d) 34 e) 32 10. Seja f uma função de A em B tal que f(x) = x + 2. Se A = {-1, 2, 3, 5}, podemos concluir que o conjunto imagem desta função é: a) Im(f) = {1, 4, 5, 7} b) Im(f) = {0, 2, 5, 7} c) Im(f) = {- 1, 2, 3, 5} d) Im(f) = {2, 3, 4, 5} e) Im(f) = {1, 4, 5, 7, 8} 11. (UEL - PR) Seja a função f(x) = ax 3 + b. Se f(-1) = 2 e f(1) = 4, então a e b valem, respectivamente: a) -1 e -3 b) -1 e 3 c) 1 e 3 d) 3 e -1 e) 3 e 1 12. (INATEL) – Seja f a função definida por f(x) = 4x 2 . O valor de f(x + h) – f(x) é: a) 8x + 4h 2 b) 8x + h 2 c) 2xh + 4h 2 d) 8xh + 4h 2 e) NRA 13. (UFV/2003) – O gráfico abaixo ilustra a evolução da temperatura ) ( C T o , em uma região, ao longo de um período de 24 horas. Determine: Matemática Prof. Júlio 609 a) os horários em que a temperatura atinge C o 0 . b) o intervalo de variação da temperatura ao longo das 24 horas. (Dizer quais são os intervalos em que a temperatura cresce e quais são os intervalos que ela decresce) c) os intervalos de tempo em que a temperatura é positiva. 14. (UFJF) – O consumo de combustível de um automóvel é medido pela quantidade de quilômetros que percorre gastando 1 litro do combustível (km/L). O consumo depende, dentre outros fatores, da velocidade desenvolvida pelo automóvel. O gráfico abaixo indica o consumo, em km/L, em função da velocidade desenvolvida por certo automóvel, em km/h, em um determinado percurso. A análise do gráfico mostra que, para velocidades entre 40 e 100 km/h: a) o maior consumo se dá aos 60km/h; b) quanto maior a velocidade menor é o consumo; c) o consumo é diretamente proporcional à velocidade; d) o menor consumo se dá aos 60km/h; e) o consumo é inversamente proporcional à velocidade. 15. (UFLA/2006) – Seja a função ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < ∈ ≥ ∈ − ∉ + = 1 , 3 1 , 1 , 1 ) ( 2 x e Q x se x e Q x se x Q x se x x f , o valor de f(5) + f( 2 − ) + f(- ½) é o mesmo de: a) f(11) b) f(3) c) f(-5) d) f(0) 16. Sendo uma função f: R → →→ → R definida por f(x) = 2 - x, assinale a alternativa correta: a) f(-2) = 0 b) f(-1) = -3 c) f(0) = -2 d) f(1) = 3 e) f(-3) = 5 17. (UFPA) – Dada a função f: A → B onde A = {1, 2, 3} e f(x) = x - 1, o conjunto-imagem de f é: a) {1, 2, 3} b) {0, 1, 2} c) {0, 1} d) {0} e) nda 18. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a alternativa que define uma função de A em B: a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)} 19. (PUC - MG) Suponha-se que o número F(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função: f(x) = (300x) / 150 – x. Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50 20. Obtenha a soma dos itens que são corretos: 01) O conjunto-imagem da função f: A → A, onde A = {0, 1, -1, -2} definida por f(x) = -x 2 possui apenas dois elementos. 02) Se f(x) = 1 - x 2 , então f(0) > f(1). 04) Se f(x) = x|, a soma f(-10) + f(10) = 4 f(-5). 08) Se f(x) = x| + √x 2 , então f(-2) + f(2) = f(0). 16) f(4) = 5 quando a função f é definida por f(x) = √5 + 2√x. 21. (FUVEST – SP) – A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = – 3 x e) f(x) = 1,03x 22. (UFF) - Uma função real de variável real f é tal que f(1/2) = √π e f(x+1) = x.f(x) para todo x ∈R. O valor de f(7/2) é: a) π b) 7 √π c) π/2 d) (15 √π)/8 e) (π√7)/15 23. Seja a função f(x – 4) = x 3 + 1, calcule o valor de f(- 3) + 4.f(5) – f(0). 24. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. Calcule o valor de f(0). 25. (UI – MG) – Observe o gráfico: Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, exceto: a) D = { x ∈ R / - 2 ≤ x ≤ 5} b) f(x) é crescente ∀x ∈ R/ 2 ≤ x ≤ 3 c) Im = { y ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 2} d) f(x) é decrescente ∀x ∈ R/ -1 ≤ x ≤ 2 e) Para 3 ≤ x ≤ 5, y ≥ 0. 26. Seja a função f(x + 2) = x 3 + 3f(x) e f(1) = 3, calcule o valor de f(5). 27. Coloque (S) se a função for sobrejetora, (I) se for injetora, (B) se for bijetora e (N) se for nem sobrejetora, nem injetora: ( ) f: R em R tal que f(x) = 2x + 5 ( ) f: R em R tal que f(x) = x 2 – 3x + 4 ( ) f: {1, 2, 3} em {2, 6}, tal que f(1) = 2, f(3) = 6, f(2) = 6 ( ) Matemática Prof. Júlio 610 ( ) f: [a, b] em [c, d], tal que: 28. Dadas as funções f(x) = 3x + 5; g(x) = x 2 - 2 e h(x) = 3 x , calcule: a) f(2) b) g(5) - h(3) c) 2.f(0) - g(8) 29. (UFF-RJ) – O gráfico da função f está representado na figura abaixo. Sobre a função f é falso afirmar que: a) f(1) = f(2) = f(3) b) f(2) = f(7) c) f(3) = 3f(1) d) f(4) – f(3) = f(1) e) f(2) + f(3) = f(5) 30. (Cefet-RJ) – Uma função f(x), de domínio |R, está representada no plano XOY, como mostra a figura. Então: a) f(–3) = f(2) b) f(x) = x, para x < –3 c) a função é inversível d) f(x) = x + 6, para x < – 4 e) f(0) = 3 GABARITO 01. D=A, CD=B e Im={3,4,-7,9,-1} 02. B 03. B 04. C 05. A 06. a)8 b)2 c)14 d)9 e)-7 f)3 g)3 h)46 i)22 j)2 07. C 08. A 09. C 10. A 11. E 12. D 13. a)2h,8h e 24h b) T cresce: 4<t<12 e T decresce: 0<t<4 ou 12<t<24 c) 0<t<2 ou 8<t<24 14. A 15. A 16. E 17. B 18. C 19. B 20. 02 e 04 21. B 22. D 23. 2857 24. 2 25. D 26. 57 27. B,N,S,I,I 28. a) 11 b) – 4 c) -52 29. E 30. D FUNÇÃO DO 1º GRAU 01. Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(-1). 02. Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5? 03. Calcule a(s) raiz(es) das funções abaixo: b) f(x) = 3x + 4 c) f(x) = 3x + 6 d) f(x) = - 2x +8 e) f(x) = - x - 48 f) f(x) = x + 43 g) f(x) = 5x – 40 h) f(x) = - 3x + 20 i) f(x) = - 6x + 44 04. Para cada função do 1º grau abaixo, diga quem é o coeficiente angular e o coeficiente linear. a) f(x) = 3x – 6 b) f(x) = - x + 3 05. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado abaixo. O coeficiente linear e a raiz da função são, respectivamente: a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5 06. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de m. 07. (UNAMA) – O ATAQUE DOS ALIENS “Caramujos africanos, medindo 12 centímetros de comprimento e pesando 200 gramas na fase adulta, trazidos para substituir o caro e requintado escargot, viraram praga em 23 Estados do Brasil. Donos de uma capacidade reprodutiva impressionante, pois são hermafroditas e botam 2 400 ovos por ano cada um. Em Casimiro de Abreu, no estado do Rio, onde também se tentou criar o caramujo para fins alimentícios, a prefeitura chegou a oferecer 1 real para cada quilo de molusco recolhido. O alienígena da vez é o caramujo africano.” Veja, São Paulo: Abril, 22 set. 2004. Adaptação. Matemática Prof. Júlio 611 Se dois moradores de Casimiro de Abreu ganharam juntos R$ 90,00 num dia, recolhendo caramujos africanos adultos e a razão entre o número de caramujos recolhidos por esses dois moradores é de 5 para 4, então o morador que mais recolheu conseguiu: a) 35 b) 45 c) 50 d) 60 e) 65 08. (FATEC – SP) – Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de quantas semanas? a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 09. (PUC-PR) – Sejam as funções reais definidas por f(x) = x-1, g(x) = ax + b e f(g(x)) = -2x, o gráfico de g(x) é: a) b) c) d) 10. (CEFET-PR) – Newton quer imprimir folhetos com a propaganda de sua empresa. Na gráfica A, o custo para a montagem deste folheto é de R$ 120,00 e o valor da impressão por unidade é R$ 0,20. A gráfica B cobra R$ 80,00 para a montagem e R$ 0,25 para impressão de cada unidade. Após análise cuidadosa, Newton concluiu que: a) é vantagem fazer a encomenda na gráfica B para qualquer quantidade de folhetos. b) a gráfica A oferece um custo menor que a B para um número de folhetos menor que 800. c) se encomendar 1.000 folhetos da gráfica B, irá gastar R$ 320,00. d) se desejar 1.000 folhetos gastará menos se encomendar da empresa A. e) para a quantidade de 800 folhetos, o custo de qualquer das empresas é igual a R$ 290,00. 11. (UFF/2004) - Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido deenxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista “ Science” em 1972 concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação de SO2 , estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m3, do SO2 conforme o gráfico abaixo: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura.Com base nos dados apresentados, a relação entre e C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser dada por: a) N = 100 – 700 C d) N = 94 + 0,03 C b) N = 97 + 0,03 C e) N = 115 – 94 C c) N = 97 + 600 C 12. (UFMG/2008) – Uma concessionária de energia elétrica de certo estado brasileiro possui dois planos de cobrança para consumo residencial: • o Plano I consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 24,00, que permite o consumo de até 60 kWh, e, a partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 0,90; • o Plano II consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 40,00, que permite o consumo de até 80 kWh, e, a partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 1,10. a) ESBOCE, no sistema de coordenadas abaixo, os gráficos das funções que representam o custo para o consumidor, em função do consumo de energia elétrica, no Plano I e no Plano II. b) Determine a faixa de consumo em que o Plano II é mais vantajoso para o consumidor. 13. (UNICAMP – SP) – O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e dada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: a) o preço de uma corrida de 11km; b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. 14. (UI - MG) – O gráfico da função f(x) = ax + b) passa pelos pontos (1, 2) e (0, -1). Pode-se afirmar que a 2 . b 1/3 é: a) – 4 b) 4 c) – 9 d) 9 e) 5 15. (UFPE) – Sabendo que os pontos (2, - 3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico da função f: R em R definida por f(x) = ax + b, determine o valor de b - a. Matemática Prof. Júlio 612 16. (UEL – PR) - Se f é uma função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a: a) 400 b) 590 c) 760 d) 880 e) 920 17. (FAAP – SP) – Admitindo que em uma determinada localidade uma empresa de táxi cobra R$ 2,00 a bandeirada e R$ 2,00 por km rodado, e outra empresa cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada, determine o número de km rodados num táxi da empresa que não isenta a bandeirada, sabendo-se que o preço da corrida apresentado foi de R$ 30,00: a) 10km b) 18km c) 16km d) 14km e) 22km 18. (FAAP)– Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura é de 25ºC. Nessas condições, podemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade é: a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC 19. (FAAP – SP) – Considerando o mesmo enunciado acima, encontrando-se uma fonte de água mineral a 46ºC, a profundidade dela será igual a: a) 700m b) 600m c) 800m d) 900m e)500m 20. (UEL – PR) – Se uma função f, do primeiro grau, é tal que f(1) = 190 e f(50) = 2 052, então f(20) é igual a: a) 901 b) 909 c) 912 d) 937 e) 981 21. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular, um usuário escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 68,00 mensais, com direito a utilizar 100 minutos em ligações, assumindo o compromisso de pagar R$ 1,02 por minuto excedente. No mês passado, o usuário pagou, nesse plano, R$ 113,90. Quanto tempo o telefone foi utilizado nesse mês? d) 1 h 52 min d) 2 h 25 min e) 2 h 35 min e) 2 h 45 min f) 2 h 52 min 22. Num posto de gasolina, a lavagem de um carro médio custa R$ 10,00 e cada litro de gasolina custa R$ 1,90. Responda: a) Qual é a equação que representa a quantia paga por uma pessoa, dona de um carro médio) em função da quantidade de gasolina que irá comprar no mencionado posto? (Considere que será feita também a lavagem do automóvel). b) Calcule quanto pagará a pessoa se lavar seu carro e colocar 15 litros de gasolina no seu automóvel. 23. A respeita da função f(x) = ax + b representada no gráfico abaixo, assinale a alternativa correta: a) a > 0 b) b < 0 c) f não tem raiz d) f possui valor mínimo e) a . b < 0 GABARITO 01. 1 02. 1 03. a)-4/3 b)-2 c)4 d)-48 e)-43 f)8 g)20/3 h)22/3 04. a) CA=3 e CL=-6 b) CA=-1 e CL=3 05. C 06. 4 07. C 08. D 09. B 10. D 11. D 12. a) b) 77<x<90 13. a)$12,9 b) 21km 14. C 15. 6 16. C 17. D 18. E 19. A 20.C 21. D 22. a)P=1,9x b) 26,9 23. E FUNÇÕES DO 2º GRAU 01. Calcule as raízes das funções abaixo: j) f(x) = x 2 – 4x + 3 k) f(x) = x 2 + 6x + 5 l) f(x) = 2x 2 – 6x m) f(x) = x 2 – 16 n) f(x) = x 2 – 5x + 8 o) f(x) = x 2 – 5x + 9 p) f(x) = 2x 2 – 7x + 3 02. A função real f, dada por f(x) = 2ax 2 – 4x + 2a, tem um valor máximo e admite duas raízes reais iguais. Assim, o valor de f(- 1) é: a) 0 b) c) d) 3 e) 4 03. (UFMG) O trinômio y = ax 2 + bx + c está representado na figura. A afirmativa certa é: a) a > 0; b > 0; c < 0 b) a < 0; b < 0; c < 0 c) a < 0; b > 0; c < 0 d) a < 0; b > 0; c > 0 e) a < 0; b < 0; c > 0 04. (UFCE) – Considere a função f: R → R, definida por f(x) = x 2 – 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4); b) f possui dois zeros reais e distintos; c) f atinge um máximo para x = 1; d) f é tangente ao eixo das abscissas. Matemática Prof. Júlio 613 e) O gráfico de f é uma reta. 05. Determine, em cada função do 2º grau a seguir, as coordenadas dos vértices das parábolas correspondentes: a) y = 2x 2 – 4x + 1 b) f(x) = - 2x 2 + 4x c) f(x) = 2x 2 – 32x + 6 d) f(x) = x 2 + 10x – 40 e) f(x) = x 2 – 4x + 5 f) f(x) = - x 2 – 8x + 4 06. Seja f(x) = x 2 – 4x + 5, calcule: a) f(3) b) f(6) c) f(- 4) d) f(0) e) f(√5) 07. Se a função f(x) = x 2 – mx + 4n possui o vértice formado pelo ponto (2, 5), calcule os valores de m e n. 08. Desenhe o gráfico das funções f(x) = 5x + 10 e g(x) = x 2 + 2x – 3 e responda num mesmo plano cartesiano e responda: em quantos pontos estes gráficos se cruzam? 09. (PUC – MG) – O ponto V (vértice) da função quadrática f(x) = x 2 – 6x + 8 é: a) um máximo, sendo V = (3, - 1) b) um mínimo, sendo V = (- 3, 1) c) um máximo, sendo V = (- 3, 1) d) um mínimo, sendo V = (3, 1) e) um mínimo, sendo V = (3, -1) 10. (UEL – PR) – Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y = 3x 2 – 5x + 9, então x + y é igual a: a) 5/6 b) 31/14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/12 11. Seja a função do segundo grau f(x) = x 2 - 8x + 7. Sobre f(x) coloque V se verdadeiro e F se falso: ( ) f(x) tem a parábola voltada para cima; ( ) f(x) tem ponto máximo; ( ) f(x) não possui raízes reais; ( ) f(x) corta o eixo x em dois pontos diferentes; ( ) O vértice tem abscissa igual a 4; ( ) Seu gráfico é uma reta; ( ) Seu gráfico não corta o eixo y. ( ) Seu gráfico corta a eixo y no ponto – 8. 12. Se f(x) = x 2 – 3x e g(x) = 3x – 6 calcule o valor de f(2) – g(5). 13. (UFLA 2005) – Ao adicionar certa quantidade x de fertilizante nitrogenado ao solo, plantas de uma determinada espécie reagem a esse fertilizante, apresentando um desenvolvimento em altura y, conforme representado ao lado. O valor p corresponde à altura das plantas quando nenhuma quantidade de fertilizante é adicionada, e m é a quantidade de fertilizante com a qual as plantas atingem altura máxima. Acima de m, o fertilizante passa a ter ação tóxica, sendo que em n, as plantas não chegam a crescer. Supondo que a relação entre y e x se dá através da função y = - 0,02x 2 + 0,2x + 1,5, sendo y expresso em metros e x, em dezenas de quilos por hectare, então, os valores de p, m e n são, respectivamente: a) –5 ; 5 ; 15 b) 0 ; 10 ; 20 c) 1,5 ; 5 ; 15 d) 0 ; 7,5 ; 15 e) 1,5 ; 5 ; 20 14. A respeito da função f(x) = x 2 – 6x + 9, assinale V ou F: ( ) o gráfico é uma reta ( ) o gráfico não toca no eixo y ( ) o gráfico toca no eixo x apenas uma vez ( ) tem x do vértice igual a – 3 ( ) não possui y do vértice ( ) o gráfico é uma parábola voltada para cima 15. A função f: R em R definida por f(x) = x 2 + 5x + 6: a) é uma reta; b) é uma parábola de concavidade para baixo; c) possui coeficiente angular igual a 5; d) não possui raiz real; e) é uma parábola que intercepta o eixo x em dois pontos. 16. Obtenha os valores de x para os quais f(x) = 2x 2 – 5x + 3 se anula. 17. Seja a função f(x) = ax + b e a função g(x) = cx 2 + dx + t, ambas representadas abaixo: Analisando os gráficos é possível afirmar que: a) b + c < 0 b) a = b = c = d = t c) a / c > 0 d) a.b.c.d.t < 0 e) a, b e t são negativos 18. (UFMG/2001) a) DETERMINE o vértice da parábola de equação e os pontos onde ela intercepta os eixos coordenados. b) Num plano cartesiano, TRACE essa parábola e INDIQUE todos os pontos determinados no subitem A. Matemática Prof. Júlio 614 19. (PUC – MG) – O lucro L, em reais, de uma fábrica de autopeças é dado pela função abaixo em que p é o número de peças fabricadas por dia. Então, pode-se afirmar que o lucro máximo ocorre quando p é igual a: a) 16 b) 20 c) 22 d) 32 20. (UFOP/2003) - Os valores de b e c para que o gráfico de f (x) = x 2 + 2bx + (4c – 8) seja tangente ao semi-eixo positivo das abscissas e corte o eixo das ordenadas no ponto 8 são: a) b = – 2 e c = 4 c) b = 2 e c = 4 b) b = – 2 e c = 8 d) b = 2 e c = 8 21. (UFV) – Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ < + − ≤ ≤ − + = 20 10 40 2 3 10 0 12 5 x x x x x x C se se ) ( ) ( a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo de produção das 24 unidades. b) Determine a produção que corresponde a um custo máximo. 22. (UNRGS) - O gráfico da função f(x) = x² + px + 1 intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos, se e somente se: a) p < -2 b) p > 0 c) – 2 < p < 2 d) p < 0 ou p > 2 e) p < - 2 ou p > 2 23. (UFOP/2006/2) – O gráfico abaixo representa uma função f definida por partes. A primeira parte, restrita ao intervalo [-4,-2], é um segmento de reta, e a segunda parte, para o intervalo [2,+ ∞[ é um arco de parábola de eixo vertical cujo vértice é (0, 2) . Escreva, na notação abaixo, as equações das partes que definem esta função. 24. (CRA) – Seja f: R em R uma função do 2º grau dada por f(x) = ax 2 + bx + c, representada pelo gráfico: Pode-se afirmar que: a) a função não possui raízes. b) o discriminante da função é nulo. c) a . c < 0 d) a função possui um ponto mínimo. e) A função possui duas raízes positivas. 25. (MACK) – O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x 2 – 2x + k, então k pode ser: a) –2 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4 26. Obtenha o conjunto-imagem das seguintes funções do 2º grau, na variável x: a) y = = x 2 – 4 b) y = f(x) = - 2x 2 + x – 1 c) f(x) = x 2 + 2x + 1 d) f(x) = - x 2 + 7x – 1 e) f(x) = x 2 27. (ACAFE – SC) – A função f(x) = x 2 – 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 28. (UFCE) – Considere a função f: R → R, definida por f(x) = x 2 – 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4); b) f possui dois zeros reais e distintos; c) f atinge um máximo para x = 1; d) f tangente ao eixo das abscissas. 29. (UFGO) – Se f(x) = x – 3, o conjunto de valores de x tais que f(x 2 ) = f(x) é: a. {0; 1} d) {–1; 0} b. {1} e) {-2; 3} c. {3; 4} 30. (UEM – PR) – A trajetória de um corpo obliquamente, desprezados os efeitos do ar, é uma parábola. O corpo é lançado a partir do solo (figura) descreve uma parábola de equação y = 120x – 4x 2 , x e y em metros. O alcance e a altura máximos atingidos pelo corpo são: a) alcance 10m e altura 30m; Matemática Prof. Júlio 615 b) alcance 30m e altura 10m; c) alcance 15m e altura 900m; d) alcance 30m e altura 900m. 31. (UFV – Modificado) – Seja a função real f definida por : ¹ ´ ¦ > + ≤ − = 1 se , ) 1 ( 2 1 se , 4 ) ( 2 x x x x x f a) Esboce o gráfico de f . b) Determine 2 ) 1 ( ) 3 ( f f − . 32. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, a reta intercepta a parábola y = x 2 nos pontos A e B. a) Determine as coordenadas dos pontos A e B. b) Seja C = (a, b) um ponto da parábola distinto de A e B. Calcule a área do triângulo ABC, comprovando que seu valor é unidades de área. c) Calcule os valores de a para os quais a área do triângulo ABC seja igual a 15 unidades de ar GABARITO 01. a){1,3} b){-1,-5} c) {0,3} d){-4,4} e)∅ f)∅ g){3,1/2} 02. A 03. B 04. A 05. a)(1,-1) b)(1,2) c) (8,-122) d)(-5,-65) e)(2,1) f)9- 4,20) 06. a)2 b)17 c)37 d)5 e)10-4√5 07. m=4 e n=9/4 08. Se cruzam em dois pontos 09. E 10. E 11. V,F,F,V,V,F,F,F 12. -11 13. C 14. F,F,V,F,F,V 15. E 16. {3/2,1} 17. D 18. a) V=(1/2,25/4} e as raízes são 3 e -2 b) 19. A 20. A 21. a)49,5 b)41 22. D 23. 3x/2 + 6 e x 2 /4 + 2 24. C 25. E 26. a) Im={y∈R/y≥-4} b) Im={y∈R/y≤7/8} c) Im={y∈R/y≥-1} d) Im={y∈R/y≤-43/4} e) Im={y∈R/y≥0} 27. B 28. A 29. A 30. D 31.a)grafico b) 52 32. a)A=(-3,9) e B=(2,4) b) demonstracao c)-4,0,1,3 INEQUAÇÕES E CÁLCULO DO DOMÍNIO 01. Resolva as inequações abaixo apresentado o conjunto-solução: a) x 2 – 3x + 2 < 0 b) – 3x 2 – 6x < 0 c) x 2 – 5x – 50 ≥ 0 d) 2x – 4 > 0 02. Resolvendo a inequação x 2 – 5x + 4 > 0, obtemos o seguinte conjunto solução: a) S = {x ∈ R / x < 1 ou x > 4} b) S = {x ∈ R / x < - 1 ou x > 4} c) S = {x ∈ R / 1 < x < 4} d) S = {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 4} e) S = {x ∈ R / x < 2 ou x > 3} 03. A solução do sistema de inequações 3 – 2x ≤ 3x – 1 ≤ 5 é: a) {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 2} b) {x ∈ R / 4/5 ≤ x ≤ 2} c) {x ∈ R / x ≤ 2} d) {x ∈ R / x ≤ 1} e) {x ∈ R / x ≥ 1} 04. Calcule α para que a função f(x) = 2x 2 - αx + 1 seja positiva para todo x ∈ R. 05. (CESGRANRIO) – O conjunto-solução da inequação x 2 – 3x – 10 < 0 é: a) ( - ∞; - 2) b) ( - ∞,; -2) ∪ (5, ∞) c) (- 2; 5) d) (0; 3) e) (3; 10) 06. (UEL – PR) – O conjunto dos valores reais de x, que tornam verdadeira a sentença 2x 2 – x < 1 é: a) {x ∈ R / - 1/2 < x < 1} b) {x ∈ R / x > 1 ou x < - 1/2} c) {x ∈ R / x < 1} d) {x ∈ R / 1/2 < x < 1} e) {x ∈ R / x < - ½} 07. (CESCEM) – A solução do sistema de inequações é: Matemática Prof. Júlio 616 a) 0 < x < 5 b) – 5 < x ≤ - 4 c) - 4 ≤ x ≤ - 2 d) x ≤ - 2 e) x < - 5 08. (UNESP) – Os valores de x ∈ R que satisfazem o sistema: são tais que: a) 1 < x < 3 b) – 3 < x < - 2 c) 0 < x <2 d) 5 < x < 7 e) - 2 < x < 0 09. (CESCEM – SP) A solução do sistema de inequações é: a) 0 < x < 2 b) –1 < x ≤ 0 ou 2 ≤ x < 3 c) x < - 1 ou x > 3 d) nenhum x e) qualquer x 10. (UFV – MG) A solução do sistema de desigualdade: a) 2 < x < 6 b) 0 < x < 5 c) 1 < x < 5 d) 5 < x < 7 e) 2 < x < 5 11. Quais são os valores de p de modo que a equação 2x 2 – px + 8 = 0 tenha raízes reais e distintas? 12. (PUC – MG) – A solução da inequação x 2 ≤ x é o intervalo real: a) (- ∞, - 1) b) [- 1, ∞) c) [- 1, 0] d) [- 1, 1] e) [0, 1] 13. (UEL – PR) – Considere o seguinte problema: “ Em um cofre, existem apenas moedas de 50 centavos e de 10 centavos, num total de 60 unidades. Se a quantia T (em reais) existente no cofre é tal que R$ 24,00 < T < R$ 26,00, quantas são as moedas de 50 centavos?”. O número de soluções que esse sistema admite é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 14. O conjunto solução da desigualdade abaixo é S = {x ∈ R / x < a}. O valor de a é: a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 15. (UFJF/2006) – Os valores de x que satisfazem à inequação pertencem a: 16. (UFMG) – O número real x satisfaz Assinale a alternativa em que estão incluídas todas as possibilidades para x.. a) – 1 < x < 5/2 b) x < - 1 ou x > 5/2 c) x > 5/2 d) x < -1 17. Encontrar os valores de x que satisfazem a inequação (2x – 4) ( x 2 – 5x + 6) < 0 18. (PUC – PR) – A solução da inequação (x – 2) (- x 2 + 3x + 10) > 0 é: a) x < - 2 ou 2 < x < 5 b) – 2 < x < 2 ou x > 5 c) – 2 < x < 2 d) x > 2 e) x < 5 19. (PUC – BA) – O conjunto-solução da inequação ( )( )( ) 0 4 2 2 1 2 > − + − + x x x x é a) {x ∈ R / x > - 1} b) {x ∈ R / x > 2} c) {x ∈ R / x > -1 e x ≠ 2} d) {x ∈ R / - 1 < x < 2} e) {x ∈ R / x < - 2 ou x > 2} 20. Resolva as seguintes inequações do tipo produto: a) (2x – 4) (- x + 5) ≥ 0 b) (- x 2 + 4) (x 2 – 16) < 0 c) (x 2 – 2x + 1) ( -x 2 + 4x – 4) ≥ 0 d) (x 2 – x + 9) (- x 2 + 4x) ≤ 0 e) (x 2 – 6x + 9) ( - 2x + 6) ≥ 0 21. Determine o conjunto-solução de cada inequação a seguir na variável x: a) x – 1 ≤ 0 -2x + 6 b) - x 2 + 4x – 3 > 0 x – 2 c) - x 2 + 2x + 15 < 0 x 2 – 6x + 5 d) 2 – x ≤ 0 x 2 – 6x + 9 0 ) 1 ( ) 2 )( 6 3 ( > − − − x x x Matemática Prof. Júlio 617 22. (MACK – SP) – O conjunto-solução da inequação (x 2 + 1) ( - x 2 + 7x – 15) < 0 e: a) φ b) [3, 5] c) R d) [- 1, 1] e) R+ 23. (FGV – SP) – A inequação x(x + 2) > 0 tem como solução: x 2 + 1 a) x < -2 ou x > 1 ou –1 < x < 0 b) x < - 2 ou x ≥ 1 c) x ≤ - 2 ou x > 1 d) x ≤ - 2 ou x ≥ 1 24. (PUC – SP) – Os valores de x que verificam a inequação 0 2 6 5 2 < − + − x x x são expressos por : a) x < 3; b) 2 < x < 3 c) x < 2 ou x > 3 d) x ≠ 2 e) x < 3 e x ≠ 2 25. (CESGRANRIO) – Resolvendo a inequação (4x 2 + 1) x 3 (5 – 3x) > 0, obtemos: a) 0 < x < 4 b) 5/3 < x < 4 c) 0 < x < 5/3 d) x < 0 ou x > 5/3 e) x = 0 ou x > 5/3 26. (CESGRANRIO) – O conjunto de todos os números reais x que satisfazem a inequação 2 / (x – 1) < 1, no universo R é: a) {0} b) – 1 < x < 1 c) x < 1 ou 3 < x < 2 d) x < 0 e) nda 27. (UFMG) – A solução da inequação 2 1 ≤ + x x é: a) x ≤ - 1 ou x = 1 b) x < 0 ou x = 1 c) x = 1 d) x ≤ 1 e) x < 0 28. (UNIFOR – CE) – A solução da inequação Q + 1 > 0 é: Q - 1 a) Q < - 2 ou Q > 0 b) Q > - 1 ou Q < -2 c) Q > 1 ou Q < - 1 d) Q < - 2 ou Q > 1 e) Q < 0 ou Q > 1 29. (FGV – SP) – O conjunto-solução da inequação 0 3 2 2 2 ≥ − + − x x x x é: a) x < - 3 ou x ≥ 0 e x > 1 b) x < - 3 ou x > 1 c) – 3 < x < 1 d) – 3 < x ≤ 0 e) – 3 < x ≤ 0 ou x ≥ 1 30. (UNICAMP) – A solução da inequação (x 2 – 4) ( 5x 2 + x + 4) ≥ 0 é: a) x ≥ 0 b) qualquer número real c) – 2 ≤ x ≤ 2 d) x ≤ - 2 ou x ≥ 2 e) 1 ≤ x ≤ 2 31. Sendo A e B os conjuntos-soluções das inequações (I) e (II), onde Determine A ∩ B. 32. (ACAFE – SC) – Os valores de x para os quais a desigualdade 4 4 8 2 3 3 x x − > − é satisfeita são: a) x > 2 b) x < 2 c) x < 5/13 d) x > 5/13 e) x > 13/3 33. (CEFET – PR) O domínio da função y = 1 / √(x 2 + x + 1) é: a) φ b) R* c) R*+ d) R+ e) R 34. (OSEC – SP) – O domínio de definição da função 3 2 ) ( 2 + + − = x x x f , com valores reais é um dos conjuntos abaixo. Assinale-o: a) {x ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ R / - 1 < x < 3} c) {x ∈ R / x ≤ - 1 ou x ≥ 3} d) {x ∈ R / - 3 ≤ x ≤ 1} e) {x ∈ R / x ≤ - 3 ou x ≥ 1} 35. (CEFET – PR) – O domínio da função real de variável real f(x) = (x 2 + 2x – 15) – 1 / 2 é dado pelo conjunto: a) {x ∈ R / x < - 5 ou x > 3} b) {x ∈ R / x ≤ - 5 ou x ≥ 3} c) {x ∈ R / - 5 < x < 3} d) {x ∈ R / x ≤ - 3 ou x ≥ 5} e) {x ∈ R / x < - 3 ou x > 5} 36. (PUC – MG) – O valor de y na função 3 2 8 2 − − = x y é real se: a) x ≤ 4 b) x < 4 c) 0 ≤ x ≤ 5 d) – 5 ≤ x ≤ 3 e) – 4 ≤ x ≤ 4 37. (CEFET – PR) – A função f(x) = ax 2 + 5x – 10 possui concavidade voltada para cima. O valor de f(1), sabendo que “a” é um número inteiro pertencente ao domínio da função ( ) 8 2 / 1 ) ( 2 + − − = x x x g é: Matemática Prof. Júlio 618 a) 10 b) – 10 c) 4 d) –6 e) – 4 38. (UFOR – MG) – O domínio da função real definida por x x x f + + = 4 2 ) ( é: a) [-2, ∞) b) (- 2, ∞) c) (0, ∞) d) [0, ∞) 39. O Domínio da função abaixo é: a) x > 5 e x ≠ 11 b) x > 5 e x ≠ 1/3 c) x < 11 d) x > 1/3 e x ≠ 11 e) x ≥ - 1/3 e x ≠ 11 40. (UEMG) – O domínio da função é o intervalo real: 41. (INATEL) – Sabendo-se que o domínio da função f(x) representada abaixo é o conjunto D = {x ∈ R / x ≠ 1}, o valor de a é: a) 0 b) 2 c) 1 d) –1 e) –2 GABARITO 01. a){x∈R/1<x<2} b) {x∈R/x<-2 ou x>0} c){x∈R/-5≤x≤10} d){x∈R/x>2} 02. A 03. B 04. α<-2√2 ou α>2√2 05. C 06. A 07. E 08. C 09.B 10. E 11. p<-8 ou p>8 12. E 13. E 14. D 15. A 16. B 17. {x∈R/x>3} 18. A 19. A 20. a){x∈R/2≤x≤5} b){x∈R/x<-4 ou -2<≤x<≤2 ou x>4} c){1,2} d){x∈R/x≤0 ou x≥4} e){x∈R/x≤3} 21. a){x∈R/x≤1 ou x>3} b){x∈R/x<1 ou 2<x<3} c){x∈R/x<-3 ou x>5} d){x∈R/2≤x≤3} 22. C 23. A 24. C 25. D 26. E 27. C 28. C 29. D 30. D 31. [2,4] 32. B 33. E 34. B 35. A 36. E 37. E 38. E 39. C 40. D 41. E FUNÇÃO COMPOSTA 02. Sendo f(x) = 3x e g(x) = 2x – 6. obtenha: a) fog(x) = b) gof(x) = c) g(f(g(x))) = 03. Sendo f(x) = 3x + 2 e g(x) = x – 1, obtenha as seguintes funções compostas: a) gof(x) = d) fog(x) = g) gog(x) = b) fof(x) = e) g(f(2)) = h) f(g(1)) = c) f(f(2)) = f) g(f(3)) = 04. Sendo f(x) = 2x – 4 e g(x) = 3x + 1, obtenha as seguintes funções compostas: a) gof(x) = b) fog(x) = c) gog(x) =] d) fof(x) = e) g(f(0)) = f) f(g(- 4)) = g) f(f(5)) = h) g(f(2)) = 05. Sendo f(x) = x 2 + 3 e g(x) = 5x – 1, obtenha: a) gof(x) = c) g - 1 (x) = b) f(g(2)) = d) g(f(-3)) = 06. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x, qual o valor numérico da expressão f - 1 (3) + g(f(2). 07. (UERGS) – Sejam f e g funções definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 x+1 . O valor de g[f(1)] + f[g(0)] é: a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 08. Dadas as funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x – 1, a lei de formação da função fog(x) e gof(x) são respectivamente: a)fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 5x b) fog(x) = 2x + 2 e gof(x) = 2x + 3 c) fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 2x d) fog(x) = 2x + 4 e gof(x) = 3x + 3 e) fog(x) = 3x + 3 e gof(x) = 2x + 3 09. (EFOA 2005) – Considere as funções f : IR em IR e g : IR em IR, definidas por f(x) = x 2 + a e g(x) = f (2x + 1), onde a é um número real. Encontre os valores de a , tais que ( f o g)(2) = −13. 10. Dada a função f(x) = 4x – 1 e g(x + 5) = x 2 – 8, calcule: a) f(2) – 3f(1). b) g(3) c) f(f(2)) d) a domínio do número 7, na função f(x). 11. Dadas as funções f(x) = 6x – a e g(x) = 2x e sabendo que g(f(2)) = 8, o valor de a é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) – 20 12. (UNIFAL/2006) – Sejam onde a e b são números reais. a) Determine fog(x). b) Calcule os valores de a e b para os quais os números 0 e 1 sejam raízes da equação fog(x) = 0 x x fx − + = 11 1 3 ) a x x x f + − = 2 1 4 ) ( Matemática Prof. Júlio 619 c) Esboce o gráfico da função fog para os valores não-nulos de a e b encontrados no item anterior. 13. (UFU/Julho2007) – Sejam f: [0, 6] em R a função quadrática definida por f(x) = x 2 – 6x + 5 e g: [- 5, 5] em R a função cujo gráfico está esboçado abaixo. Sabendo-se que gof denota a composição da função g com f, resolva a equação (gof)(x) = 0, na variável x. 14. Sendo f(x) = 4x e g(x) = 3x 2 , obtenha: a) (fog)(x) b) (gof)(x) c) (fof)(x) d) (gog)(x) 15. (UFMS) – Dada a função f(x) = x 2 -3, determine f(f(3)). 16. (INATEL) – Sendo f(x) = x 2 + 2x e g(x) = 3x + 4, a função fog é: a) 9x 2 + 20x + 24 b) x 2 + 30x + 24 c) 9x 2 + 30x + 24 d) x 2 + 20x + 24 e) x 2 + 10x 17. Considere as funções f, g: R → R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x))= 2x 2 + 2x + 1. Calcule f(7). 18. (UFPR) – Para cada valor real de x, sejam f(x) = x 2 e g(x) = f(f(x)). Calcule o valor de [f(g(3))]/g(3). 19. Sendo f(x) = 5x 2 e g(x) = 5 – x, obtenha: a) (fof)(2) c) (gof)(3) b) (fog)(-1) d) (gog)(1) 20. (ESAL – MG) – Se f(x) = x 2 + 1 então f(f(x)) é igual a: a) x 4 + 2x 2 + 2 b) x 4 + 2 c) x 4 + 1 d) x + 1 e) 1 21. (PUC – PR) – Sejam f: R → R e g: R → R duas funções dadas por f(x) = x 2 – 1 e g(x) = x – 1. A diferença entre as funções compostas (gof)(3) – (fog)(3) é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 22. (UECE) – Sejam f e g funções de R em R tais que f(x) = 3x – 2 e g(x) = - 2x + 1. Se f(g(m – 1)) – 1 = 3m – g(f(m + 1)), então f(m) + g(m) é igual a: a) – 2/3 b) – 1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) - 4/5 23. (UFSC) – Dadas as funções x x f − = 5 ) ( e g(x) = x 2 – 1, o valor de (gof)(4) é: 24. (UFMG) – Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e f: A → A uma função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f(4) = 1. O número x ∈ A tal que (f o f o f o f)(x) = 2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 25. (CESGRANRIO) – Sejam A = {1, 2, 3} e f: A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f(3) = 2. O conjunto-solução da f(f(x)) = 3 é: a) {1} b) {2} c) {3} d) {1, 2, 3} e) φ 26. Sendo f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x 2 , calcule: a) f(2). b) g(f(2)) c) A função composta f(fx)). d) f(g(f(1))). 27. (UFU – MG) – Sejam as funções fog(x) = x 2 + 2 e f(x) = 2x + 4. Qual o valor de g(2)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 28. Dadas as funções reais f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b, se f[g(x)] = 8x + 7, o valor de a + b é: a) 13 b) 12 c) 15 d) 6 e) 5 29. Seja a função f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x – 4. O valor de g(f(2)) – f(g(3)) é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 30. (FAVIC) – Sendo f(x) = x 4 e g(x) = x - 1, a função composta (fog)(x) é definida por: a) x 4 + x – 1 b) x 5 - x 4 c) x 4 – 1 d) x 4 + 4x³ - 6x 2 + 4x – 1 e) x 4 - 4x³ + 6x² - 4x + 1 31. Sejam f e g funções definidas em R por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x - 3. O valor de g[f(3)] é: a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 GABARITO 01. a)fog(x)=6x-18 b)gof(x)=6x-6 c)g(f(g(x)))=12x-42 02. a)gof(x)=3x+1 b)fof(x)=9x+8 c)f(f(2))=26 d) d)fog(x)=3x-1 e)g(f(2))=7 f)g(f(3))=10 g)gog(x)=x-2 h)f(g(1))=2 03. a)gof(x)=6x-11 b)fog(x)=6x-2 c)gog(x)=9x+4 d)fof(x)=4x-12 e)g(f(0))=-11 f)f(g(-4))=-26 04. a)gof(x)=5x 2 +14 b)f(g(2))=84 Matemática Prof. Júlio 620 c)g - 1 (x)=(x-1)/5 d)g(f(-3))=59 05. 15 06. C 07. B 08.-29 ou -22 09. a)-2 b)-4 c) 27 d)2 10. D 11. a)fog(x)=(ax+b) 2 -2(ax+b) b)b={0,2} e a={0,2,-2} c)Parábola para cima passando o eixo x no pontos 0 e 1. 12. S={0,2,4,6} 13. a)12x 2 b)48x 2 c)16x d)27x 4 14. 33 15.C 16. 56 17. 81 18. a)2000 b)180 c)-40 d)1 19. A 20. D 21. E 22. 0 23. x=2 24. A 25. a)11 b)242 c)9x+20 d)389 26. A 27. D 28. D 29. E 30. E FUNÇÃO INVERSA 01. Se f(x) = 2x + 3, calcule o valor de f – 1 (7). 02. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x, qual o valor numérico da expressão f - 1 (3) + g(f(2)). 03. Obtenha a função inversa das seguintes funções: a) f(x) = 3x – 2 b) f(x) = x – 7 c) f(x) =3x – 6 d) f(x) = 2x – 1 e) f(x) =5x + 3 04. Se f(x) = 3x + 6, calcule o valor de f – 1 (3). 05. Se f(x) = 5x – 2, calcule o valor de f – 1 (8). 06. Seja f(x) = x 3 e g(x) = 2x. Calcule o valor de f – 1 (27) + g – 1 (10) 07. (UFRRJ) – Seja f: R em R uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, 3), a função f -1 é: a) f -1 (x) = x + 1 b) f -1 (x) = - x + 1 c) f -1 (x) = x – 1 d) f -1 (x) =x + 2 e) f -1 (x) = - x + 2 08. Seja f –1 (x) a função inversa de f(x) = 2x – 3. O valor de x para que seja verdadeira a igualdade 2f –1 (x) + f(- 2) = 0, é: a) 4 b) c) 0 d) –2 e) –4 09. (UFV) – Seja f a função real tal que f(2x – 9) = x para todo x real. A igualdade f(c) = f -1 (c) se verifica para c igual a: a) 5 b) 7 c) 3 d) 9 e) 1 10. (UERGS) – Seja a função definida abaixo, o domínio da função inversa de f(x) é: a) {x ∈ R / x ≠ 2}. b) {x ∈ R / x > 2}. c) {x ∈ R / x < 2}. d) {x ∈ R / x ≤ 2}. e) {x ∈ R / x ≥ 2}. 11. Dada a função f(x) = (3x – 2)/3, encontre f -1 (x) e em seguida calcule o valor de f(3) – f -1 (4). 12. (ESPM) – Sendo f(x) = 2x -1, f: R em R, então calcule f -1 (x). 13. (FESO – RJ) – Se f -1 é a função inversa de f e f(x) = 2x + 3, o valor de f -1 (2) é de: a) 1/2 b) 1/7 c) 0 d) – 1/7 e) -1/2 14. (UNIFOR – CE) – Calcule a função inversa da função bijetiva definida por f(x) = 2x/3–1. 15. (AMAN – RJ) Dê a função inversa da função y = 5x + 3. 16. (ACAFE – SC) – Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) - x 2 – x, o valor de f(g(-1)) – f -1 (-5) é: a) – 3 b) – 2 c) 2 d) 8 e) 4 17. (PUCCAMP- SP) – Seja f a função R em R, dada pelo gráfico a seguir: É correto afirmar que: a)f é sobrejetora e não injetora b) f é bijetora c) f(x) = f( -x) para todo x real d) f(x) > 0 para todo x real e) o conjunto-imagem de f é ]- ∞; 2]. 18. (UFSC) – Dada a função f: R → R+, definida por f(x) = x 2 + 1, determine a soma dos números associados às afirmações verdadeiras: 01) a função é sobrejetora 02) a imagem da função é R+ 04) a função é bijetora 08) para x = √5, temos f(x) = 6 16) o gráfico da função é uma reta 32) a função é par. 19. (MACKENZIE) - Dada a função f:R em R, bijetora definida por f(x) = x 3 + 1, sua inversa f -1 : R em R é definida por: a) 3 3 1 1 ) ( + = − x x f Matemática Prof. Júlio 621 b) 3 3 1 1 1 ) ( + = − x x f c) 1 1 ) ( 3 1 + = − x x f d) 3 1 1 ) ( − = − x x f e) nda GABARITO 01. 2 02. 15 03. a)(x+2)/3 b)x+7 c)(x+6)/3 d)(x+1)/2 e)(x-3)/5 04. -1 05. 2 06. 8 07. C 08. A 09. D 10. A 11. 7 12. (x+1)/2 13. E 14. (3x+3)/2 15. (x-3)/5 16. B 17. A 18. F,F,V,F,V 19. D MÓDULO 01. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: a) 2| b) |- 4 c) 2 - √5| d)|3 - √5 e) - 3 | 02. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: a) - 2| = b) 2 - √3| = c) - 13 | = d) |6 - √2 = e) | 74 = f) |3 - √3 = g) |13 + √5 = 03. Qual é o valor da soma das raízes da equação. 04. Se f(x) = 2x – 4 –2 x+3, calcule o valor de f(5) – f(–3). 05. Resolva as seguintes equações modulares: a) - 3x – 5| = 7 b) 2x - 1| = 2 c) 2x - 3| = |x – 5 06. Resolva as seguintes equações modulares: a) - 4x – 5| = 17 b) 2x - 2| = 10 c) x - 4| = | x + 5 07. Seja a função f(x) = 3x – 5|, calcule o valor de f(0) – f(4) + f(1). 08. (UNIPA) – Seja a função definida no intervalo ]-1, 1[ por x x f − = 1 1 ) ( então f(-1/2) é: a) ½ b) ¼ c) – ½ d) – 1 e) 2 09. Resolva as equações abaixo: 2 1 5 ) 6 3 3 ) + = − = − x x b x a 10. A solução da equação abaixo está no intervalo: 5 4 7 2 − = − x x a) [-2, 0 ] b) [0, 5] c) [3, 10] d) [-5, -2] e) [6, 13] 11. Resolva as seguintes equações modulares: a) x 2 – 4x – 1 = 4 d) 4x - 3 = 3x – 4 b) x 2 - 2 x - 8 = 0 e) x - 3 = 0 c) x - 1 = 2 12. (ACAFE – SC) – Se a - b = 6 e a + b = 2, o valor de a 4 – 2a 2 b 2 + b 4 é: a) 8 b) 12 c) 24 d) 64 e) 144 13. Resolva as inequações modulares a) 2x - 4 < 6 b) x - 1 > 2 c) 2x + 5 > 1 14. (UPF – RS) – A soma das raízes da equação 2x + 5 = 6 é: a) –5 b) 9 c) 4,5 d) 6 e) 0,5 15. (UEL – PR) O conjunto solução da inequação x < 3, tendo como universo o conjunto dos números inteiros, é: a) {-3, 3} b) {-1, 0, 1} c) {-2, -1, 0; 1, 2} d) {-3, -2, -1, -, 1, 2, 3} e) {0, 1, 2, 3} 16. (ACAFE – SC) A equação modular abaixo admite, como solução, somente: a) uma raiz positiva e uma negativa; b) duas raízes negativas; c) duas raízes positivas; d) uma raiz positiva; e) uma raiz negativa. 17. (UEPG – PR) – No conjunto R, a desigualdade x - 5 < 7 é verdadeira para: a) {x ∈ R / x < 12} b) { x ∈ R / x > - 12} c) {x ∈ R / - 2 < x < 12} d) {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 12} e) nda. 18. (PUC – MG) – O par ordenado (5/2, b) pertence ao gráfico de f(x) = x – 1 – x |. O valor de b é: a) – 4 b) – 1 c) 1 d) 4 e) 6 4 5 3 = − x Matemática Prof. Júlio 622 19. (UFGO) – Os zeros da função 3 5 1 2 ) ( − − = x x f são: a) – 7 e – 8 b) 7 e – 8 c) 7 e 8 d) – 7 e 8 e) – 7 e 11 20. (ULBRA) – A função representada no gráfico abaixo é: a) f(x) = x – 4 b) f(x) = x - 4 c) f(x) = x 2 – 4 d) f(x) = x 2 - 4 e) f(x) = 1/x 21. (PUC – BA) a figura abaixo pode representar o gráfico da função f: R em R, definida por: a) f(x) = x + 2 b) f(x) = x - 2 c) f(x) = x + 2 d) f(x) = x - 2 e) f(x) = x + 2 22. Seja a função f: R em R representada abaixo, calcule f(3) – f(-2). GABARITO 01. a)2 b)4 c)-2+√5 e)3 02. a)2 b)2-√3 c)13 d)6-√2 e)74 f)3-√3 g)13+√5 03. 10/3 04. 0 05. a){-4,2/3} b){3/2,-1/2} c){-2,8/3} 06. a){-11/2,3} b){-4,6} c){-1/2} 07. -10 08. E 09. a){-1,3} b){3/4} 10. B 11. a){-1,1,3,5} b){-2,2} c){-3,3} d)∅ e){-3,3} 12. E 13. a){x∈R/-1<x<5} b){x∈R/x<-1 ou x>3} c){x∈R/x<- 3 ou x>-2} 14. A 15. C 16. D 17. C 18. C 19. D 20. B 21. D 22. -1 EXPONENCIAL 01. Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 8 2 = x b) 4 2 2 = x c) 5 1 5 3 = − x d) 4 2 4 4 − = x x 02. (CESGRANRIO – RJ) Se 8 x = 32, então x é igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4 03. Marque com D as funções que têm gráfico crescente e com C as funções que têm gráfico decrescente: ( ) f(x) = 3 X ( ) f(x) = (1/3) X ( ) f(x) = (4/3) X ( ) f(x) = 0,3 X ( ) f(x) = π X ( ) f(x) = (2/7) X ( ) f(x) = 0,999 X ( ) f(x) = (0,999...) X 04. Resolva a equação 9 27 81 1 3 2 4 x x x = | ¹ | \ | ⋅ − − . 05. (PUC) – Sendo 2 3 2 3 3 2 2 = | ¹ | \ | ⋅ | ¹ | \ | k k , qual o valor de k − | ¹ | \ | 3 1 ? 06. (ESPM) – Uma empresa de publicidade estima que o número N de visitantes diários a uma exposição varia com o número x de dias em que sua propaganda é veiculada pela TV segundo a equação N = k.2 0,4x , na qual k é uma constante. Os organizadores verificaram que,s em nenhuma propaganda de TV, cerca de 200 pessoas visitam diariamente essa exposição. Se a agência de publicidade estiver correta na sua estimativa, com 5 dias de propaganda o número de visitantes diários será de: a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200 e) 1600 07. Resolver: a) 5 (3x – 1 ) > 1 b) (1/5) 2x – 3 ≤ 1/5 08. (PUC – SP) Se 3 x 2 – 3x = 1 / 9, então os valores de x são: a) 1 e 3 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 1 e 4 e) 2 e 4 09. (PUC – MG) O valor de x que satisfaz a equação 3 3x – 1 . 9 2x + 3 = 27 3 – x é: a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5 10. (PUC – RS) – Se 3 x - 3 2 – x = 2 3 , então 15 – x 2 vale: a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 6 11. (UFRN) – Se 2 x = 2048, então, x vale: a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19 12. (UEPG – PR) – Se 8 x – 9 = 16 x / 2 , então 3 √x é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) nda 1 4 ) ( − − = x x x f Matemática Prof. Júlio 623 13. (UEPG – PR) – A soma das raízes da equação 3 2x – 12.3 x + 27 = 0 pertence ao intervalo: a) [10,12] b) [0,3] c) [1,2] d) (10,12] e) (1,3) 14. Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 256 2 = x b) 8 2 1 3 2 = − + x x c) 25 1 5 2 = − x d) 4 2 27 9 − = x x 15. Resolvendo a equação 4 4 3 3 3 3 = − x , encontraremos um certo valor para x. Calcule o valor de | 3x -6 . 16. Resolva a equação 4 8 16 1 2 2 2 x x x = | ¹ | \ | ⋅ − − . 17. (UFJF/2006) – Dada a equação 1 1 2 3 4 8 2 − + − = ⋅ x x x , podemos afirmar que sua solução é um número: a) natural. d) maior que 1. b) de módulo maior do que 1. e) par. c) de módulo menor do que 1. 18. Resolver a inequação 6 8 8 9 1 3 1 + − | ¹ | \ | ≤ | ¹ | \ | x x . 19. Resolva a equação e a inequação propostas abaixo: a) b) 20. Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula abaixo. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente é: a)inferior a 15 minutos b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos 21. (UFPB) – Em uma comunidade de bactérias, há inicialmente 10 6 indivíduos. Sabe-se que após t horas (ou fração de hora) haverá Q(t)= 10 6 x 3 2t indivíduos. Neste caso, para que a população seja o triplo da inicial, o tempo, em minutos, será: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 22. (FUVEST) – Seja f(x) = 2 2x+1 . Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que: a) a + b = 2 b) a + b = 1 c) a – b = 3 d) a + b = 3 e) a – b = 1 23. (PUC-RJ/2004) - Uma das soluções da equação é: a) x = 1 b) x = 0 c) d) x = -2 e) x = 3 24. (UFJF 2005) – As raízes da equação 2 x + 1/2 x = 17/4 são: a) iguais em módulo. b) ambas negativas. c) ambas positivas. d) quaisquer números reais. e) nulas. 25. (UFOP/2005) – A curva c, a seguir, é gráfico da função f (x) = 2 x . A equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é: 26. (UFOP/2005) – Com relação à equação exponencial: pode-se afirmar que ela admite: a) duas raízes inteiras e positivas. b) duas raízes irracionais e positivas. c) duas raízes racionais e duas irracionais. d) duas raízes inteiras e positivas e duas raízes irracionais e negativas. 27. (UCSal) - Se 12 n+1 = 3 n+1 . 8 , então log2 n é igual a: a) -2 b) -1 c) 1/2 d) 1 e) 2 2 1 2 3 125 25 5 + − − = x x x 3 2 1 2 9 4 3 2 − − | ¹ | \ | > | ¹ | \ | x x 108 3 3 1 2 + − − = + t t m Matemática Prof. Júlio 624 − = − − = = 4 0 2 2 , 1 5 2 3 , 3 4 5 1 C B A 28. Dar o domínio da função real definida por: 29. (FUVEST – SP) – S endo x = (2 2 ) 3 , y = 2 2 3 e z = 2 3 2 , calcule x . y . z: a) 2 21 b) 2 10 c) 2 23 d) 2 4 e) 2 20 30. (FCC) – A solução da equação 0,5 2x = 0,25 1 – x é um número tal que: a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0 31. (FIC/FACEM) – A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9) x . O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 32. (MAUÁ) Resolver o sistema: 33. Se 0,5 x 2 – 4x > 0,5 x , então seu conjunto verdade, em R, é: a)V = { x ∈ R / 0 < x < 5} b) V = { x ∈ R / x < -1 ou x < 5} c) V = { x ∈ R / x > -1 e x > 5} d) V = { x ∈ R / x > 5} e) V = φ 34. (UFPA) – A raiz da equação (7 x - 2√10) . (7 x + 2√10) = 9 é um número: a)irracional negativo b) irracional positivo c) par d) inteiro negativo e) inteiro positivo 35. (UFBA) O conjunto solução da equação 2 x - 2 – x = 5(1 - 2 – x ) é: a) {1, 4} b) {1, 2} c) {0, 1} d) {0, 2} e) φ 36. (UFCE) a soma das raízes da equação x f (x) = 1, onde x > 0 e f(x) = x 2 – 7x + 12, é igual a: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 37. (PUCCAMP) Considere a sentença a 2x + 3 > a 8 , na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo, a)x = 3 e a = 1 b) x = -3 e a > 1 c) x = 3 e a < 1 d) x = -2 e a < 1 e) x = 2 e a > 1 38. (Cefet-PR) – O produto das raízes da equação 3 2x + 1 – 10.3 x + 3 = 0 é: a) 2 b) 2 c) 1 d) –1 e) 0 GABARITO 01. a)3 b)-√2 ou √2 c)2 d)-4 02. B 03. D, C, D, C, D, C, C, * 04. 5 05. 3 06. B 07. a){x∈R/x>1/3} b) {x∈R/x ≥ 3/2} 08. C 09. E 10. D 11. B 12. E 13. B 14. a)7 b)-4 ou 1 c)0 d)-12 15. 3 16. 4 17. C 18. 3 19. a)-3/2 b) {x∈R/x>5/2} 20. D 21. C 22. E 23. A 24. A 25. A 26. C 27. C 28. {x∈R/x<-2 ou x>2} 29. E 30. A 31. D 32. x=-1 e y=1 33. A 34. E 35. D 36. C 37. D 38. D MATRIZES INTRODUÇÃO – SOMA E INGUALDADE DE MATRIZES 01. Se = 3 5 1 2 A e − = 1 4 3 2 B , calcule: a) A + B = b) A . B = c) 2A – B = 02. Dadas as matrizes obtenha: a) A + B – 2C b) A +2B t +I2 c) Encontre X tal que 2X – A – B = C 03. Dadas as matrizes obtenha: a) A + B – 2C b) A . B t – I2 c) Encontre X tal que X – A + B = C t 04. Dada a igualdade abaixo, calcule x + y + z + t. = − + − + 1 8 4 2 1 3 2 4 2 1 t z y x 05. Dadas as matrizes obtenha: a) 4A + B – 2C − = − − = − = 4 10 2 1 , 7 5 2 1 , 3 0 5 3 C B A − = − − = = 4 0 2 5 , 2 5 2 1 , 0 4 2 1 C B A Matemática Prof. Júlio 625 = − = − = 1 3 4 2 5 0 2 7 2 1 3 4 , 6 1 4 5 1 2 C B A = − = − = 1 3 4 2 5 0 2 7 2 1 3 4 , 6 1 4 5 1 2 C B A | | ¹ | \ | − = | | ¹ | \ | = 3 2 3 7 , 9 1 1 1 B A | | ¹ | \ | − − = | | ¹ | \ | = 1 5 2 1 , 1 3 0 1 B A ¹ ´ ¦ = − = + B Y X A Y X a) ¹ ´ ¦ + = − ⋅ ⋅ − ⋅ = + B A Y X B A Y X b 2 4 5 ) − = − = − = 1 2 1 4 , 0 1 2 1 , 1 3 1 2 C B A C X B A X + + = − 3 2 | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | 3 22 1 28 ) 3 30 1 28 ) 3 25 1 28 ) 3 23 1 28 ) 3 24 1 28 ) e d c b a = − + t z y x 2 3 1 0 2 2 1 1 d) A – B t +I2 e) Encontre X tal que 2X – A + B = C t 06. Seja A = (aij)2 x 2 uma matriz quadrada tal que aij = i 2 + j 2 . A soma de todos os elementos da matriz A é igual a: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 07. Sendo A uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos são dados pe função ¹ ´ ¦ ≠ + = − = j i se j i j i se j i a ij , 2 , , a soma dos elementos da diagonal principal é: a) 5 b) 6 c) – 6 d) 4 e) 0 08. Dadas as Matrizes Calcule: a) A + B – C b) A + 2 . B – 3 . C c) (A + B) t 09. O elemento a23 da matriz A, tal que 3A + | | ¹ | \ | − − − = | | ¹ | \ | − 2 2 1 1 0 2 1 2 0 3 1 1 , é: a) 3 b)2 c) 0 d) -1 e) –3 10. Dada a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = i – 2j se i = j e aij = 3i + j se i ≠j, calcule e valor de a14 + a22 – a34. 11. Dadas as Matrizes Calcule: a) A + B – C b) A + 2 . B – 3 . C c) A + B d) (A + B) t e) A t + B t 12. Dadas as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij = i + j e B = (bij)2x2 tal que bij = i – j, calcule o valor de a21 + b21 – a22 – b22 13. Determine X na equação 2 . A – 5 . X = B t sabendo-se que 14. Dadas as matrizes Determine X e Y em cada sistema: 15. (PUC) Se então a matriz X, de ordem 2, tal que é igual a: 16. Dada a equação matricial abaixo, encontre x, y, z e t: . 17. 20.Calcule os números a, b, x e y que tornam verdadeira a igualdade 18. (FGV) – A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares. então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foram, respectivamente: a) 1 e 2 c) 2 e 2 b) 3 e 2 d) 3 e 1 c) 2 e 3 | | ¹ | \ | − = | | ¹ | \ | − − ⋅ + | | ¹ | \ | ⋅ 2 1 1 0 1 1 0 1 x y b y x a Matemática Prof. Júlio 626 = − = 13 9 , 3 1 1 2 B A = 4 3 1 2 A = − = 0 5 2 1 1 4 3 4 2 3 1 1 4 5 2 1 B e A = = 1000 log ) 18 , 12 ( ... 222 . 0 81 ) 12 , 8 ( 216 ... 777 , 0 16 log 2 1 3 2 mdc B e mmc A = = 2 6 2 5 1 3 1 2 B A = 4 3 1 2 A = 1 2 1 1 A 19. Sejam as matrizes onde mmc(a,b) indica a mínimo múltiplo comum entre a e b e mdc(a,b) indica o máximo divisor comum entre a e b. Se C = A + B, podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz C é igual a: a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56 20. Determine o elemento c22 da matriz C = A . B sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal que bij = j. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 21. Sejam as matrizes A e B representadas abaixo. Sendo A = B, qual o valor da expressão E = 2x – 3y + z? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 22. 23. Considere as matrizes A, B e C abaixo com x, y e z reais. Se A . B = C, calcule a soma dos elementos da matriz A. = = = 45 36 5 4 , 1 1 2 1 , 1 C B z y x A 24. Uma matriz quadrada A é denominada matriz ortogonal se I = = A A A A t t onde t A denota a transposta da matriz A e I é a matriz identidade de ordem n. Verifique se | | ¹ | \ | = 3 1 5 2 B é ortogonal. 25. Dadas as matrizes Obtenha a matriz X tal que A.X = B. 26. Sejam as matrizes ¹ ´ ¦ = = = = i x j x j bij bij B i aij aij A , ) ( , ) ( 4 3 3 4 Se C = AB, então c22 vale: a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258 27. Dada a matriz A, calcule A 2 : 28. Dadas as matrizes A e B abaixo e seja C = A x B, então pode-se afirmar que o elemento c23 é igual a: a) 30 b) 40 c) 50 d) 55 e) 60 29. O elemento b21 da matriz B = A 2 sendo é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1 30. Determine a matriz X dadas as matrizes sabendo que A . X + B = 0 31. Dada a matriz A, calcule A 2 : 32. Se | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | = y x X e B A 1 2 , 1 0 2 1 , determine X, tal que AX = B. 33. Sejam as matrizes ¹ ´ ¦ = = = = i x j x j bij bij B i aij aij A , ) ( , ) ( 4 3 3 4 Se C = AB, então c22 vale: a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258 34. Determine o elemento c22 da matriz C = A . B sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal que bij = j. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 − = − − = 4 5 2 1 , 4 3 3 5 2 z B x y A Matemática Prof. Júlio 627 ¹ ´ ¦ ≠ ⇔ − = = ⇔ − = j i j i a j i j i a ij ij 2 3 2 5 3 2 3 2 1 0 3 2 2 2 x x x x = − − | | ¹ | \ | − = | | ¹ | \ | + = x y z B z y x A 4 , 2 0 2 | | | ¹ | \ | − 2 5 4 1 1 1 z y x c c b d c a b b a b a 1 1 1 1 1 1 ) 1 2 1 1 3 2 1 1 3 ) ) 3 1 2 5 ) − − 1 1 3 ) 1 3 1 5 ) = − = x x x b x a 0 2 6 3 1 2 1 1 = x x 1 1 1 1 0 0 1 1 1 x x x x − = = x B e x A 1 1 2 1 1 1 35. O elemento c32 da matriz C = A . B sabendo-se que A = (aij)3x3 tal que aij = i + j e B = (bij)3x2 tal que bij = 1 – i, é: a) – 10 b) 2 c) 15 d) – 17 e) 9 DETERMINANTES 01. Calcule os seguintes determinantes: 02. Resolva as seguintes equações: 03. Calcule o valor real de x em: 04. Simplifique: 05. (PUC) A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2 com: O determinante de A é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 9 06. Resolver em R, a equação: 07. Dadas as matrizes | | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − 0 1 0 3 5 6 0 1 0 3 2 1 B e A , o determinante da matriz produto A . B é: a) 5 b) -5 c) 15 d) -15 e) 10 08. (UNICENTRO) – Sendo A e B duas matriz 2x2 dadas abaixo, pode-se afirmar que o maior valor do determinante matriz AB é igual a: a) 2 b) 1 c) 1/2 d) 1/8 e) 0 09. (UNIFEI – 2003) – O determinante abaixo é múltiplo de: a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 2 10. Seja A uma matriz de ordem 3x3 tal que aij = i – j. Calcule o determinante da matriz A. 11. (UFOP 2005/2) –A matriz A, , dada a seguir, é igual à oposta da sua transposta, ou seja, A = - A t . Seu determinante vale: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) – 1 12. (UNESP) Considere as matrizes reais Se A = B t (transposta de B), o determinante da matriz: É igual a: a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 13. Calcule x na equação 0 1 0 1 1 4 2 0 0 0 0 4 2 1 2 0 1 = − − − + − x x é: Matemática Prof. Júlio 628 2 0 0 0 3 2 0 2 2 1 2 1 0 0 0 1 16 2 0 0 0 3 0 2 2 1 1 0 0 0 = x x x 16 2 0 0 0 3 0 2 2 1 1 0 0 0 = x x x − 0 0 1 2 1 1 4 1 0 4 1 2 0 5 1 2 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 1 2 0 1 0 1 = 1 1 4 2 3 1 1 3 2 A 1 0 0 2 2 0 1 3 4 3 2 1 1 1 1 1 ) , 0 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 2 2 0 0 3 ) b a 0 0 0 0 4 1 1 2 3 1 1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 b a z y x A = 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 + − − = 4 2 3 0 2 1 4 3 1 A 14. (FEI) - O valor de x que satisfaz a equação 0 1 0 3 1 2 2 1 0 2 0 4 3 1 2 0 1 = − − − + − x x é: a) -4/7 b) -2 c) 4/7 d) 5 e) 2 15. Obtenha o co-fator do elemento a12 da matriz 16. Obtenha o co-fator do menor elemento da matriz: 17. Calcule os determinantes: 18. Calcule o valor do determinante: 19. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i 2 + j 2 : a) Calcule o valor do co-fator do elemento a31 da matriz A. b) Calcule o co-fator do elemento a11 da matriz A. 20. Dada a matriz Sabe-se que os co-fatores de x, y e a são respectivamente iguais a 3, 5 e –8, então podemos afirmar que a soma a + b é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 3 e) – 3 21. Resolva a soma abaixo: 22. Somando-se Obtém-se: a) 840 b) – 840 c) 600 d) - 600 e) 0 23. Resolva o determinante 24. Calcule o determinante 25. (MACK) – O valor de 1 1 1 1 3 3 5 2 2 3 3 1 1 3 1 1 é: 26. Calcule o determinante da matriz abaixo: 27. Calcular o valor do determinante abaixo: 2 4 8 1 3 2 0 2 2 4 1 6 5 1 3 2 − − 28. Se a é a raiz da equação, então o valor de a 2 é: a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64 = − − − + − − 2 0 0 0 0 0 9 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 6 4 5 2 0 0 9 8 5 4 12 0 6 5 4 3 2 1 4 0 2 1 3 2 0 1 1 1 1 3 2 0 0 0 Matemática Prof. Júlio 629 d c b a D = 2 2 2 2 2 ) ) ) ) 1 1 1 ) D d c b a e D a b c d d D c d a b c D b a d c b D c a a = = = = − = Q Q 1 0 0 0 0 2 4 1 2 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x 2 2 2 ) 700 (log ) 70 (log ) 7 (log 700 log 70 log 7 log 1 1 1 29. Sabendo-se que f(x) é igual a Podemos afirmar que f(-2) é: a) – 8 b) - 16 c) 16 d) 8 e) 4 30. Sendo A uma matriz de ordem 3x3 e det(A) = 2, calcule o valor da expressão det(A) + det(3A) – det(A t ). 31. (ITA) – Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação det(2A . A t ) = 4x. 32. Sendo X e Y duas matrizes de ordem 2 e detX = 3, calcule detY sendo det(X.X t ) = det(2Y) 33. (UNIFAL/2006) – Sejam X e Y matrizes de ordem 2 que satisfazem a equação X 3 Y = 2X , sendo X 3 = X.X.X . Se o determinante de X é igual a 3, é CORRETO afirmar que o determinante da matriz Y é igual a: a) 4/9 b) 2/9 c) 1/9 d) 1/3 e) 5/9 34. (UEL) Seja o determinante É verdade que: 35. (UEL) – Se A é a matriz | | ¹ | \ | − − 6 3 12 6 o determinante da matriz A 2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d)9 e) 25 36. Se a é uma matriz 3x3 de determinante 5, então calcule o valor do det (A + A). 37. 38. Sendo , calcule: 38. Sejam duas matrizes quadradas A e B de ordem 2. Sendo 3.det(A) = 15 e que det(A t ) + det(2A) = 4.det(B), podemos afirmar que o det(B) é igual a: a) 25/4 d) 25/2 b) 13/4 e) 15/4 c) 15/2 39. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 2i - j: a) Calcule o valor do co-fator do elemento a22 da matriz A. b) Calcule o co-fator do maior elemento da matriz A. c) Calcule o determinante da matriz. 40. (UNIFAL/2006) – Seja definida por , então o maior valor de f é: a) – 11 b) – 10 c) – 13 d) – 12 e) – 15 41. (UFOP/2005) – Considere a matriz A = [aij ]2x2 com a) Calcule det A . b) Calcule AB , sendo 42. Calcule o determinante abaixo: GEOMETRIA PLANA Ângulos e Triângulos 01. Em cada figura, calcule o valor de x, y e dos demais ângulos. 3 = f e d c b a z y x = − − − = = f c z e b y d a x c c b a f e d z y x b f e d z y x c b a a ) 3 3 3 2 2 2 ) ) Matemática Prof. Júlio 630 02. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos representados por 6x e 3x. Calcule x. 03. Dois ângulos colaterais internos  e Ê são tais que  = 3x + 70º e Ê = 2x + 35º. Calculando os valores de  e Ê, concluímos que  – Ê é: a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º 04. Dois ângulo alternos internos são dados por 4x – 70º e 2x + 50º. Calcule x e o valor dos dois ângulos. 05. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulo alternos externos dados por 4x – 70 e – 5x + 280º. Calcule x. 06. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos iguais a 3x + 70º e 2x + 30º. Calcule o valor de 5x. 07. Analise as afirmações abaixo: I - a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. II - ângulos colaterais têm a mesma medida. III – ângulos alternos têm a mesma medida. IV – a soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360º. Sendo V as afirmativas verdadeiras e F as alternativas falsas, a seqüência correta é: a) I – V, II – V, III – V, IV – V. b) I – V, II – V, III – F, IV – V. c) I – V, II – F, III – V, IV – F. d) I – V, II – V, III – F, IV – F. e) I – V, II – F, III – V, IV – V. 08. Calcule x e a em cada caso: a) b) c) 09. Considere as retas r, s, t e u todas num mesmo plano, r//u. O valor em graus de x é: 10. A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 2/7. Determine o complemento do menor ângulo. 11. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu complemento dá 210º. 12. Determine o valor de x, sendo r//s 13. Determine o valor de α 14. Se então β + α vale: a) 30º b) 50º c) 150º d) 80º e) nda 15. (PUC) – Se r//s, então α vale: a) 90º b) 100º c) 110º d) 120º e) nda r s 50 30 x a+x a r//s x x 20° 120° r u 60 ° x t s r 3α t s r 2α r//s 150° 160° α β 10° α r s Matemática Prof. Júlio 631 72° A B C M N P 30° 30° A B C E D A B D F E C 16. Na figura abaixo, tem-se r//s e t//u. Calcule o valor de a. 17. Calcule o suplemento de (90º- x). 18. O dobro da medida do complemento de um ângulo aumentado de 40º é igual à medida de seu suplemento. Qual a medida do ângulo? 19. Da medida de um ângulo tira-se sua terça parte e depois a metade da medida do suplemento do que restou e obtém-se 60º. Qual a medida do ângulo? 20. (STA CASA) – Os triângulos ABC e DEC são congruentes. Os lados do último medem 5cm, 4cm e 3cm, respectivamente. O perímetro da figura ABDECA mede: a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 21. Na figura AB ≡ AC,  = 80º. Calcular o ângulo BÊC. 22. Na figura AB = AC, O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo A, então a medida de  é: a) 18º b) 12º c) 24º d) 36º e) 15º 23. Na figura seguinte, o triângulo MNP é equilátero e BM = BN. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo ABC. 24. Calcule o ângulo  indicado na figura, sabendo que as bissetrizes internas dos ângulos de vértice B e C formam um ângulo de 110º. 25. ABC é um triângulo eqüilátero de lado 18 cm e C é ponto médio do segmento BD. Sejam E um ponto sobre o lado AC e F ponto médio de AB, de tal forma que F, E e D estejam alinhados. Determine a medida do segmento CE. 26. Num triângulo ABC, onde AC = 10 e AB = 12, tomou-se os pontos D e E sobre os lados AB e AC, respectivamente, de tal forma que DE//BC. Seja O o incentro do triângulo ABC, de tal forma que O, D e E estejam alinhados. Calcule o perímetro do triângulo ADE. 27. (UEL – PR) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas: A medida de y é igual a: a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º 28. (VUNESP) – Os ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética e o menor deles é a metade do maior. O maior ângulo do triângulo mede: a) 60º b) 75º c) 80º d) 90º e) 120º 29. (FUVEST/98) – As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é: a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º A C B O  α α 110° B C θ θ Matemática Prof. Júlio 632 60 30º 40 α αα α r s A B d) 70º 30. Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. Assinale o valor de α αα α. a) º 30 b) º 50 c) º 40 d) º 70 e) º 60 31. Num retângulo, uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 17º. Calcular a medida do ângulo obtuso formados pelas diagonais. 32. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e ABM é um triângulo equilátero. Então quanto mede o ângulo CMD? Semelhança de Triângulos 33. Calcule x e y nas figuras abaixo: 34. Calcule x e y nas figuras abaixo: 35. Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura: Calcule sua medida, em metros. a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 15 36. Nas figuras abaixo, calcule o valor de x (as retas a, b e c são paralelas). 37. Encontre x e y na figura: 38. A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas de suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é 90 metros. 39. Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o comprimento da ponte. Matemática Prof. Júlio 633 40. Na figura, a medida do ângulo B é igual à medida do ângulo D, BC = 10 m e DE = 5 m, calcular valor de x. 41. (UFJF/MG) Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a: a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 42. (PUC-MG 2005) – Uma lâmpada colocada da no alto de um poste, de altura AB = 5m, projeta no solo a sombra de um homem. Esse homem está de pé a uma distância AD = 2,56m do poste e sua sombra projetada é DC = 1,44m. Então, pode-se afirmar que a altura DE desse homem, em metros, é igual a: a) 1,80 b) 1,82 c) 1,84 d) 1,85 43. (PUC-MG) - Na figura, as medidas de comprimento são indicadas em metros e os triângulos são retângulos. Então, o comprimento do segmento DE, em metros, é: a) 2,10 b) 2,25 c) 2,50 d) 2,65 44. (VUNESP) – Na figura, a medida do ângulo ABC é igual à medida do ângulo ADE. Calcule o valor de y, em metros. 45. (UNEB) – Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e MC = 3. Se MN é paralelo a AB, calcule a medida real do segmento BM. 46. (UNOPAR) – Um homem caminha em direção a um prédio vertical de 18m de altura, que projeta uma sombra de 12m. Quando o homem se encontra a 10,8m do prédio, verifica que nesse momento se encontra totalmente dentro da sombra do prédio. Então, a altura do homem é igual a: a) 1,80m b) 1,75m c) 1,70m d) 1,65m e) 1,60m 47. (UFSM – RS) - Na figura, a reta r é paralela ao lado AB do triângulo retângulo ABC. O comprimento do lado AB, em centímetros é: a) √5/5 b) √5 c) 3√5 d) √55 e) 4√5 48. Nas figuras abaixo, determine os valores de x e y: 49. (FURG – RS) – O valor do segmento AD na figura abaixo é: (mostrar resolução) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 50. (Unicamp/2004) – Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30º, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para: a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima. Matemática Prof. Júlio 634 b) Calcular a área do triângulo ABC. 51. (UFV/PASES) – Para se deslocar para o trabalho, uma pessoa que reside em uma cidade, cuja disposição das ruas está representada na figura abaixo, percorre o menor trajeto de A até E , passando por D. Sabendo que é CORRETO afirmar que a distância percorrida, em metros, foi de: a) 120 b) 125 c) 130 d) 135 140 52. (UFMG/2003) - Nesta figura, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem, respectivamente, m e n. Então o lado do quadrado mede: 53. (Unifei/2003) No retângulo ABCD da figura ao lado os lados medem cm AB 12 = e cm AD 16 = . Toma-se um ponto P sobre o lado AD , de modo que cm x AP = . Por esse ponto P traça-se o segmento PQ , paralelo à diagonal AC . Calcule a medida de PQ em função de x. Triângulo Retângulo 54. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10cm e um dos catetos é duas unidades maior que o outro. O perímetro do triângulo é: a) 22cm b) 24cm c) 26cm d) 28cm e) 30cm 55. Determine o valor de x na figura: 56. (PUC – BA) – Na situação abaixo deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Essa estrada medirá, em quilômetros: a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 40 57. (Unesp-SP) – A área de um triângulo retângulo é de 12 dm 2 . Se um dos catetos é 2/3 do outro, a medida da hipotenusa desse triângulo é: a) 2√ 3 b) 3√5 c) 4√6 d) 2√13 e) √15 58. (UFMA) – Num triângulo retÂngulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e 1cm respectivamente. A área desse triângulo mede: a) 2cm 2 b) 5√2cm 2 c) 4cm 2- d) 5cm 2 e) 10cm 2 59. (UEPG) – Num triângulo retângulo com um ângulo agudo igual a 45º e a hipotenusa igual a 6√2 cm tem como área, em cm 2 , um valor igual a: a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24 60. Encontre o valor de x nas figuras a seguir: 2 ) 4 ) 8 ) ) 2 2 mn d n m c n m b n m mn a + + + Matemática Prof. Júlio 635 61. Quanto mede a diagonal de um quadrado se um de seus lados mede √2 m? 62. Calcule o valor de x na figura: 63. (ENERJ) – Entre duas torres de 13m e 37m de altura existe na base uma distância de 70m. Qual a distância entre os extremos sabendo-se que o terreno é plano? 64. O triângulo representado abaixo tem medidas dadas em centímetros. Ache as medidas dos lados deste triângulo. 65. Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12 (h=10) e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 4 (n = 4). Calcule o menor cateto deste triângulo. (Ver figura) 66. Dada a figura: Calcule: 67. Calcule o valor de x e de y na figura, no tamanho do desenho, dando a resposta na formas mais simplificada possível. 68. Uma árvore foi partida pelo vento conforme mostra a figura abaixo. Sabendo que a distância da base da árvore até o topo é de 24m e que a parte quebrada mede 26m, qual era o tamanho total, em m, da árvore antes de ser partida pelo vento? 69. Calcule x na figura abaixo e o valor de ângulo a na figura abaixo: 70. (UFMG/2006) – Esta figura representa o quadrilátero ABCD: Sabe-se que AB = 1cm e AD = 2cm ; o ângulo ABC mede 120º ; e o segmento CD é perpendicular aos segmentos D e BC. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é a) √3 cm b) √5/2 cm c) √6/2 cm d) √2 cm 71. (UFJF) – Considere o quadrado ABCD de lado √2 cm , na figura abaixo. Determine a área do triângulo ABP, sabendo-se que a medida do segmento CP é √2 cm. Matemática Prof. Júlio 636 72. (F.I. Vitória-ES) – Num retângulo cuja medida da base é o dobro da medida da altura, foram diminuídos 5 cm da altura e 10 cm de base, obtendo-se assim uma redução de 350 cm 2 na sua área inicial. A área do retângulo original era: a) 800 cm 2 d) 750 cm 2 b) 700 cm 2 e) 650 cm 2 c) 400 cm 2 Polígonos 73. Calcule o número de diagonais dos polígonos abaixo: a) Pentágono b) Heptágono b) Dodecágono c) Hexágono 74. (ACAFE) – Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um convexo tem 9 lados, qual o número total de diagonais? a) 18 b) 20 c) 24 d) 27 e) 36 75. (PUC – SP) – Qual é o polígono em que o número de diagonais é o dobro do número de lados? a) Dodecágono d) pentágono b) Octógono e) heptágono c) hexágono. 76. (PUC – SP) – Cada ângulo interno de um decágono regular mede: a) 36º b) 60º c) 72º d) 120º e) 144º 77. (PUC – PR) – A soma dos ângulos internos de um hexágono regular é: a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º 78. O número de diagonais e a soma dos ângulos internos de um decágono convexo valem, respectivamente: a) 35 e 1440º d) 70 e 1440º b) 40 e 1260º e) 45 e 1860º c) 35 e 1480º 79. O polígono convexo cuja a soma dos ângulos internos mede 1440º tem, esatamente: a) 15 diagonais d) 20 diagonais b) 25 diagonais e) 30 diagonais c) 35 diagonais 80. (MACK - SP) – Os ângulos externos de um polígono regular medem 20º. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 81. (FUVEST – SP) – Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e)17 82. (ITA) – A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 2 160º. O número de diagonais desse polígono que não passa pelo seu centro é: a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 83. O número de diagonais de um polígono que possui a soma dos ângulos internos igual a 3240º é: a) 140 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180 84. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 720, então calcule o valor de n. 85. Calcule a soma dos ângulo assinalados na figura: Área de Polígonos 86. A área, em cm 2 , de um triângulo equilátero de lado 10cm é: a) 25√3 b) 25 c) 100√3 d) 20√3 e) 10 87. Calcule a área do desenho e a real das seguintes figuras: (Escala: 1:3) 88. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que tem altura cm h 3 2 = . 89. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que tem altura cm h 3 8 = . 90. Se um retângulo possui os lados representados por x + 4 e x – 6 e tem área igual a 56, calcule o valor de x. 91. Um triângulo ABC tem lados AB = 10 cm, AC = 8 cm e BC = 7 cm. Determine a sua área e a medida da altura relativa ao maior lado. 92. (UFRGN) - Um terreno de 72m 2 de área é formado por 8 quadrados congruentes (veja figura abaixo). Matemática Prof. Júlio 637 A cerca que delimita o terreno (em negrito na figura) mede: a) 51m b) 36m c) 48m d) 27m e) 62m 93. (VUNESP – SP) – O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km 2 . Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida dos seus lados estaria entre: a) 200m e 201m d) 220m e 221m b) 401m e 402m e) 632m e 633m c) 802m e 803m 94. (UFCE) – Quantos azulejos quadrados, medindo 15cm de lado, são necessários para revestir uma área retangular que mede 90cm de comprimento e 120cm de largura? 95. Um triângulo ABC tem lados AB = 13 cm, AC = 12 cm e BC = 15 cm. Determine a sua área e a medida da altura relativa ao maior lado. 96. (FUVEST) – Aumentando-se os lados a e b de um quadrado de 15% e 20% respectivamente, a área do quadrado é aumentada em: a) 35% b) 30% c) 3,5% d) 3,8% e) 38% 97. (FUVEST) Aumentamos a altura de um triângulo em 10% e diminuímos a sua base em 10%. Então a área do triângulo a) aumenta 1% d) aumenta 0,5% b) decresce 0,5% e) decresce 1% c) não se altera 98. (UFSC) – A base de um triângulo mede 132 m e sua altura, em metros, é h. Se a base for aumentada em 22 m e a altura, em 55m, obtém- se um novo triângulo cuja área á o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h. 99. (UNICAMP – SP) – Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8cm. Calcule em m 2 a área real da sala projetada. 100. (FUVEST – SP) – Os lados de um retângulo de área 12 m 2 estão na razão 1 : 3. Qual o perímetro do retângulo? a) 8m b) 12m c) 16m d) 20m e) 24m 101. (UEL) – Dois quadrados, com os lados respectivamente, paralelos, interceptam-se como mostra a figura a seguir. Se AM = MD, HM = ME e as áreas desses quadrados são 100 m 2 e 144 m 2 , a área do quadrilátero MDNE, em centímetros quadrados, é igual a: a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) 120 102. (FUVEST ) – Dos irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e as seguintes dimensões: AD = 20 m AB = 60 m BC = 16 m Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a AB. Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metro, deverá ser: a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 103. Calcule a área de um hexágono regular que possui o lado igual a 2 m. 104. Calcule a área da região hachurada na figura: 105. (INATEL – MG) – A figura abaixo é a planta de um salão na escala 1 : 20. A área deste salão é: a) 5 600 cm 2 b) 56 m 2 c) 72 m 2 d) 36 m 2 e) 24 m 2 106. (UFJF 2005) – Considere um outdoor de uma propaganda publicitária, construído em formato retangular, com área de 104 m² e com um dos lados 5m maior do que o outro. Sobre a medida x do maior dos lados deste outdoor, pode-se afirmar: a) 9 ≤ x ≤ 11. b) 6 ≤ x ≤ 8. c) 12 ≤ x ≤ 14. c) x ≥ 26. Matemática Prof. Júlio 638 e) x ≤ 6. 107. Calcule a área da figura abaixo, sendo as medidas dadas em cm. 108. (PUC – PR) A área do retângulo DEFB é: a) 120 b) 20 c) 180 d) 24 e) 160 109. Determine a área do trapézio retângulo abaixo: a) 696 b) 576 c) 466 d) 786 e) 236 110. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos um retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, e duas faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e JK de mesma medida. Se a área da região sombreada e a da região do retângulo ABCD exterior à área sombreada são iguais, qual a medida de EF? a) 1,8 b) 1,9 c) 2,0 d) 2,1 e) 2,2 111. (UECE) – Na figura o retângulo ABCD foi divido em quatro regiões X, Y, Z e W Se X e Y são quadrados de 81m 2 e 144m 2 , respectivamente, e Z é um triângulo com 102m 2 de área, então a área da região W é: a) 327m 2 d) 319m 2 b) 309m 2 e) 282m 2 c) 331m 2 112. (Fatec-SP) – Comprei um terreno de forma retangular que tem 15 m de frente por 40 m de profundidade. Nesse terreno, construí uma casa que tem a forma de um losango, com diagonais medindo respectivamente 12 m e 24 m, uma piscina de forma circular com 4 m de raio e um vestiário, com a forma de um quadrado, com 3,5 m de lado. Todo o restante do terreno será gramado. Se o metro quadrado da grama custa R$ 2,40, a quantia gasta para comprar a grama será, aproximadamente: a) R$ 645,10 b) R$ 1005,50 c) R$ 795,60 d) R$ 1376,20 e) R$ 944,40 113. Num retângulo, cuja área é 65 m 2 , a base é 3 metros menor que o dobro da sua altura. A sua base mede: a) 5 b) 10 c) 15 d) 8 e) 4 114. (UNIFAL/2006) – Na geometria plana, quando são conhecidos os lados a , b e c de um triângulo qualquer, é possível calcular a área S , sem necessidade da determinação de qualquer ângulo, através da fórmula , onde 2p = a + b + c. Considere um terreno triangular de lados 2x – 1, x + 1, x , conforme a figura abaixo, cuja área e perímetro são iguais em valor numérico. É correto afirmar que a área do terreno é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 38 e) 36 115. (USF) – Um terreno na forma abaixo foi deixando como herança para duas pessoas. Matemática Prof. Júlio 639 Deverá, portanto, ser dividido em duas partes de áreas iguais por uma reta EF, paralela ao lado AB. Sendo AD = 60m, BC = 100m e CD = 50m, DE medirá, em metros a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 116. (UFMG) – Um mapa está desenhado em uma escala em que 2 cm correspondem a 5 km. Uma região assinalada nesse mapa tem a forma de um quadrado de 3 cm de lado. A área real dessa região é de: a) 37,50 km 2 b) 56,25 km 2 c) 67,50 km2 d) 22,50 km 2 117. (UFMG) – O comprimento de uma mesa retangular é o dobro de sua largura. Se a mesa tivesse 45cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. Assim sendo, a área da mesa é de: a) 1,62m 2 b) 1,45m 2 c) 1,58m 2 b) 1,82m 2 e) 1,94m 2 118. (UFJF/2006) – Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a: a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 119. (UFJF/2006) – Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a x + 3 e 2x – 4 metros. a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12 m 2 a 28 m 2 . b) Determine as medidas dos lados da placa de 28 m 2 . Círculo e Circunferência 120. Dada uma circunferência de raio igual a 3cm, Calcule o seu comprimento. (Usar π = 3,14). 121. Um círculo de diâmetro igual a 16cm, Calcule a sua área. (Usar π = 3,14). 122. Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo equilátero de lado 3cm. 123. Uma praça circular tem 200 m de raio. Quantos metros de grade serão necessários para cercá- la? 124. Calcule a área e o comprimento de uma circunferência que tem um diâmetro igual a 10cm. (Considere π = 3,1) 125. Num círculo de raio 4cm inscreve-se um quadrado e circunscreve-se um triângulo equilátero. Calcule a razão entre a diagonal do quadrado e o lado co triângulo. 126. (UEL 2004) – Dois círculos concêntricos têm raios 3 e 5 centímetros. Desenha-se um segmento de reta, com maior comprimento possível, inteiramente contido na região interna ao círculo maior e externa ao círculo menor. Qual o comprimento desse segmento? 127. O comprimento da linha do equador da Terra tem aproximadamente 40.000 km. Qual é o raio da Terra? Qual é o diâmetro da Terra? Uma pessoa que anda na linha do equador percorrendo 10 km por dia, quantos séculos demoraria para dar uma volta completa no planeta Terra? 128. Na figura abaixo tem-se um quadrado de lado 4m e uma parte de um círculo nele inscrito. Determinar a área da superfície pintada. (Considere π = 3,1). 129. a) Calcule a área de um triângulo eqüilátero que tem altura cm h 3 6 = . b) Se o triângulo do item a) for inscrito em um círculo, qual será o diâmetro desse círculo? c) Se o círculo do item b) inscrito num quadrado qual será a medida da diagonal desse quadrado? 130. Se a roda juntamente com o pneu de uma motocicleta tem um diâmetro de 50cm, calcule quantas voltas completas ela dará se esta motocicleta percorrer 150km. 131. Determine a área hachurada em função de r. 132. Uma pista de ciclismo tem formato circular de raio 25m. Numa determinada competição Paulo dará 40 voltas completas nesta pista. Sabendo que sua bicicleta tem pneus circulares iguais de raio 40cm, quantas voltas completas terá dado o pneu da bicicleta de Paulo quando ele terminar a prova? (Use π = 3). 133. Considerando um triângulo eqüilátero de lado igual a 8cm. Calcule: a) sua área; b) sua altura; r r Matemática Prof. Júlio 640 c) o raio da circunferência inscrita no triângulo. 134. Joaquim comprou um terreno que tem a forma de um círculo de diâmetro igual a 120m. Joaquim deseja plantar gramas em seu terreno e, fazendo um pesquisa de preço constatou que gastará R$ 10,50 por m 2 de grama. Qual a quantia total, em reais, que Joaquim gastará para gramar seu terreno? 135. (UEL-PR) - Calcular o perímetro, em centímetros, de um hexágono regular, sabendo que nele está inscrito um círculo de 5cm de raio. 136. João comprou um terreno que tem a forma de um círculo de diâmetro igual a 20m. Para cercar seu terreno, João precisava comprar arames afim de montar a cerca. Na loja, cada metro do arame custa R$ 2,00. Sabendo que João deverá dar duas voltas completas de arame no seu terreno, quanto gastará na loja? 137. Calcule a área do círculo nas figuras abaixo. 138. Calcule a área da região indicada, sendo as medidas dadas em cm: 139. Calcule o valor da área pintada nas figuras abaixo: 140. Calcule o valor da área pintada nas figuras abaixo: 141. (Unifor-CE) – Na figura abaixo têm-se dois círculos concêntricos, de raios iguais a 4 cm e 8 cm, e a medida de um ângulo central, em radianos, igual a π/10. A área da superfície sombreada, em centímetros quadrados, é igual a: 142. (UNICAMP 2005/2ªFase) – Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 10cm cada. Suponha que a circunferência C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB. a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M. b) Calcule o raio da circunferência C. 143. (UNESP) A figura representa um canteiro de forma circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, sombreada na figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros. a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores. b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2). 144. Na figura a seguir, tem-se 3 círculos concêntricos em O. Sabendo-se que o diâmetro do círculo maior é o triplo do diâmetro do círculo menor, que o diâmetro do círculo do meio vale 6m e que soma desses diâmetros é 18m, calcular a área da região hachurada, em cm 2 . Matemática Prof. Júlio 641 A B D C O 145. (UFLA 2005/2ª Fase) – Uma das faces de uma medalha circular tem o desenho ao lado. A região hachurada é de ouro e a não-hachurada é de prata. Sabendo que os contornos das áreas hachuradas são semicírculos, as áreas das superfícies de ouro e de prata são, respectivamente, em cm 2 :_________ e __________ 146. Um retângulo de 28cm de perímetro está inscrito em uma circunferência de 10πcm de perímetro. A área do retângulo, em cm 2 , mede: a) 48 b) 96 c) 100 d) 171 147. Calcule a área, em cm 2 , de um hexágono regular circunscrito numa circunferência de área igual a 8π cm 2 . 148. (UFJF/2006) – Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185.600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente: a) 93 km. b) 196 km. c) 366 km. d) 592 km. e) 291 km. 149. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, tem-se um círculo de 3 cm de raio e quatro triângulos equiláteros com vértices no centro desse círculo. A área da região hachurada, em cm 2 é: a) 4π b) 6π c) 2π d) 5π e) 3π 150. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, as três circunferências têm 1 cm de raio e são tangentes entre si e aos lados do triângulo ABC. a) O triângulo ABC é eqüilátero? Justifique sua resposta. b) Determine as medidas do lado e da altura do triângulo ABC. c) Girando o triângulo ABC de um ângulo de ° 180 em torno da altura relativa ao lado BC , obtém-se um cone. Calcule o volume desse cone. 151. (EFOA/2004) – Suponha que uma mancha de óleo sobre a superfície da água tenha a forma de um disco de raio r (em cm). Se o raio cresce em função do tempo t(em min), obedecendo à relação r(t) = 15t + 0,5, a área ocupada pela mancha, depois de 2 minutos, em cm 2 , será: a) 940,25π d) 420,25π b) 450,25π e) 930,25π c) 910,25π 152. (FMTM/2003) - Um círculo tem seu centro em um vértice de um triânguloeqüilátero de lado 2 de tal maneira que metade da área do triângulo está no interior do círculo. A área desse círculo vale: Dados: ATriângulo Equilátero = L 2 √3/4 L – lado do triângulo a) 3√3 b) 2π c) 6√3 d) 4π e) 9√3 153. (UFMG 2005) – Observe esta figura: Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como vértices os pontos médios dos lados do retângulo EFGH, que, por sua vez, está inscrito em uma Matemática Prof. Júlio 642 circunferência. O segmento AC e o raio dessa circunferência medem, respectivamente, 12 cm e 7 cm . Assim sendo, é CORRETO afirmar que a área do quadrilátero ABCD, em cm 2 , é a) 6√13 b)8 √13 c)12√13 d)4√13 154. (UNESP/2005) - Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é: a) π - 1 b) π + 1 c) 2π - 1 d) 2π e) 2π + 1 155. (Fuvest-SP/2000) - Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então, a área da região hachurada é: a) π + 2 2 b) π + 2 c) π + 3 d) π + 4 e) 2π + 1 156. (FUVEST) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero de lado igual a 2. MN, NP e PM são arcos de circunferência com centro nos vértices A, B e C, respectivamente e, de raios todos iguais a 1. A área da região sombreada é: 157. (UFMG/2003) - Nesta figura, o triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2: Então, a área da região hachurada é: 158. (FAAP – SP) – Na campanha eleitoral para as recentes eleições realizadas no país, o candidato de um determinado partido realizou um comício que lotou uma praça circular com 10 metros de raio. Supondo que, em média, havia 5 pessoas/m 2 , uma estimativa do número de pessoas presentes a esse comício é de, aproximadamente: a) 78 500 d) 100 000 b) 127 000 e) 10 000 c) 157 000 159. (PUC-PR) Um setor circular com arco de 36º e raio igual a 1m tem como área: a) π/2 m 2 b) πm 2 c) π/10m 2 d) 2πm 2 e) π/5m 2 160. (CEFET-PR) Se um setor circular tem raio α e área S, o ângulo do setor vale: a) 2S b) S_ c) πa 2 a 2 a 2 d) 2πa 2 e) 2πSa 2 S 161. (UFV – MG) Aumentando-se 1 m no raio r de uma circunferência o comprimento e a área, respectivamente, aumentam: a) 2π m e 2 (r + 1)π m 2 d) 2π m e (2r + 1)π m 2 b) 2π 2 m e (2r + 1)π m 2 e) 2π m e (2r 2 + 1)π m 2 c) 2π m 2 e (r 2 + 1)π m 2 162. (FEI – SP) Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de outra circunferência de raio R, conforme a figura a seguir. Qual o valor da razão K = R/r? a) 2√3 b) 1 + 2√3 c) 2 + 2√3 3 3 3 d) 3 + 2√3 e) 1 + 3√3 3 3 163. (UNIJUÍ – SP) O comprimento da circunferência representada na figura é: a) 49π unidades de comprimento; b) 2π√3 unidades de comprimento; c) 14π unidades de comprimento; d) 7π√3 unidades de comprimento; e) 14π√3 unidades de comprimento. 3 3 2 3 ) 3 3 4 3 ) 3 3 3 2 ) 3 3 3 4 ) − − − − π π π π d c b a Matemática Prof. Júlio 643 164. (UFPE) Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7 cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semicircunferência exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5 cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada: 165. (UFMA) O comprimento da curva representada pela figura é: a) 53π b) 60π c) 120π d) 43π e) 96π 166. (UFMT) – A etiqueta do CD mostrado na figura tem a forma de uma coroa circular cujo diâmetro da circunferência externa mede 11,8 cm e da circunferência interna 3,6 cm. Considerando π = 3,14, determine o número inteiro mais próximo da medida (em cm 2 ) da área da etiqueta. 167. (PUC-PR) – Sendo O o centro da circunferência de raio unitário, a área do triângulo retângulo ABC que tem o cateto AC no diâmetro, vale: 168. Calcular o comprimento, em cm, de um arco de 36º e de raio igual a 40cm Ângulos na Circunferência 169. Calcule o valor de x na figura a seguir: 170. Calcule x na figura abaixo: a) 110º b) 65º c) 70º d) 50º e ) 55º 171. Complete os valores indicados em cada figura abaixo: Matemática Prof. Júlio 644 172. (CESGRANRIO – RJ) Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. A soma, em radianos, dos ângulos a e b mostrados na figura é: a) π/4 b) π/2 c) π d) 3π/2 e) 2π 173. Calcule o valor de x na figura abaixo: a) 70º b) 35º c) 50º d) 55º e) 65º 174. (CESGRANRIO – RJ) – Em um círculo está inscrito um quadrilátero ABCD. Sobre a soma cos ângulos opostos BAD e BCD, podemos afirmar que vale: a) 5x180º b) 3x180º c) 2x180º d) 180º e) 90º 175. (UFG – GO) – Se a corda AB da figura é um lado de um triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro C, a medida do ângulo a, em radianos, é: a) 2π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/3 e) π/6 176. Na figura abaixo, a valor de x, em graus, é: a) 150 b) 30 c) 120 d) 130 e) 160 177. Calcule o valor de x na figura a seguir: 178. Dê a medida, em graus, dos ângulo x e y assinalados na figura, sendo AB o diâmetro da circunferência. x = y = 179. Dê a medida, em graus, dos ângulo x e y assinalados na figura, sendo AB o diâmetro da circunferência. x = y = Potência de Pontos na Circunferência 180. Calcule x: 181. Na figura abaixo, temos os segmentos PA e PB ambos tangentes à circunferência. Pode-se dizer que o valor de x é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13 182. Determine o valor de x na figura: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Matemática Prof. Júlio 645 183. Determine x nos casos a seguir, onde os segmentos são tangentes às circunferências: 184. Na figura abaixo, AT é tangente ã circunferência de raio r. Sabendo-se que AT = 2r, então o valor de AC é: a) (√5 + 1) r b) 1 + 2r c) r 2 d) √5r e) (√5 – 1) r 185. Na figura abaixo, são dadas AE/EC = 1/3, BE = 8 cm e ED = 6 cm. O comprimento de AC, em cm, é: a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 186. (UFG – GO) – Uma corda AB de um círculo mede 6 cm e a distância desse coda ao centro do círculo é de 3 cm. O raio do círculo, em cm, é: a) 5√3 b) 3√2 c) 8 d) 3√5 e)6 187. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD, de uma circunferência, se interceptam num ponto P sendo PB o dobro de AP, CP igual a AB e DP = 4cm. A medida de CD, em cm, é: a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22 188. (MACK – SP) – A área do trapézio da figura é 12√2. A área da parte sombreada é: a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π 189. Calcule x na figura a seguir: 190. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD, de uma circunferência, se interceptam num ponto P sendo PB o dobro de AP, CP igual a AB e DP = 4cm. A medida de CD, em cm, é: a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22 GABARITO 1) a) x = 36º e y = 108º b) x = 10º e y = 35º c) x = 30º e y = 20º d) x = 10º e y = 5º e) x = 50º e y = 150º f) x = 18º e y = 27º 2) 20º 3) B 4) x = 60º e cada ângulo é 170º 5) 38,88...º 6) 80º 7) C 8) a) 140º b) 39,5º c) 80º 9) 100º 10) 50º 11) 30º 12) 120º 13) 36º 14) B 15) B 16) 130º 17) 90+x 18) 40º 19) 150º 20) C 21) 100º 22) D 23) A=C= 48º e B=84º 24) 40º 25) 6cm 26) 22cm 27) C 28) A 29) E 30) D 31) 146º 32) 150º 33) a) x = 4/7 b) x = 1/2 e y = 90 34) y = 6 e x = 8/3 b) x = 5/2 e y = 13 35) D 36) a) 2,8 b) 16/5 37) x = 2/3 e y = 16 38) x = 36 e y = 54 39) 20m 40) 6m 41) A 42) B 43) B 44) 3m 45) 45 46) A 47) C 48) x = 2 e y = 8 49) C 50) a) 2,25m b) 13,8 m 2 51) C 52) A 53) 5(16 – x)/3 54) B 55) 4 56) A 57) D 58) D 59) C 60) a) 5 b) 5√5 c) 4√11 d) √105 61) 2m 62) 2√15 63) 74m 64) 6, 8 e 10 65) 4√10 66) a) 3√34/34 b) 5√34/34 67) 20√2 68) 36m 69) x = 1 e α = 30º 70) A 71) 2 - √2 72) A 73) a) 5 b) 54 c) 14 d) 9 74) D 75) E 76) E 77) E 78) A 79) C 80) D 81) B 82) D 83) D 84) 6 85) 360º 86) A 87) a) 10cm 2 e 90 cm 2- b) 14 cm 2 e 126 cm 2 c) 6 cm 2 e 54 cm 2 88) 4√3cm 2 89) 64√3cm 2 90) 10 91) A = 15√55/4 e h = 3√55/4 92) C 93) E 94) 48 95) A = 20√14 e h = 8√14/3 96) E 97) E 98) 77m 99) 20m 2 100) C 101) A 102) D 103) 6√3cm 2 104) 56u.a. 105) C 106) C 107) 16 108) A 109) A 110) C 111) E 112) E 113) B 114) E 115) C 116) B 117) A 118) A 119) a) 3 ≤ x ≤4 b) 4 e 7 120. 12,84 121. 200,96 122. √3/2 123. 400m 124. A=77,5cm; C=31cm 125. √3/3 126. 8 127. R=20.000/ π; D = 40.000/ π; 0,109 século 128.16-4π 129. a) 62√3;b)8√3; c)8√6 130) 300.000/π 131. r 2 (2- π/2) 132. 62,5 133. a)16√3 b)4√3 c) R=(4√3)/3 134. 37.800π 135. 20√3 136. 80 π 137. a) 2 π; b) 25 π/4 138. 42 - 4 π 139. a)2 π; b) 50π;c) 2π-1 Matemática Prof. Júlio 646 140. a) 64(4-π); b) 50 π;c)128 π 141. C 142. a)50;b)25/3 143. a) BD=3;A=24; b) 168 144. 81 π/2 145. 1,47;294 146. A 147. 32√3 148. A 149. E 150. a)demonstração; h=r(3+√3). l= 2(1+√3) c) v= (18+10√3) πR/3 151. E 152. A 153. C 154. C 155. B 156. √3-π/2 157. A 158. C 159. C 160. A 161. D 162. D 163. C 164. A=39 165. A 166. 99 167. E 168. 8π 169. 75° 170. C 171. a) 75/;b)60;c)24e48;d)66;f)90;g)30 172. C 173. B 174. D 175. E 176. A 177. 75 178. x=55°;y=35° 179. x=140°;y=20° 180. 15/4 181. C 182. E 183. a)15;b)2 184. E 185. c 186. B 187. E 188. D 189. 10/3 190. E TRIGONOMETRIA Trigonometria no Triângulo Retângulo 01. (UFPR) Considerando o triângulo retângulo a seguir, pode-se afirmar que sen β vale: (mostrar resolução) a) 0,4 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,7 e) 0,6 02. Considerando o triângulo retângulo abaixo, calcule senx, cosx e tgx. 03. Uma escada deverá ser apoiada no topo de um prédio de 60 m de altura formando com o solo um ângulo de 60º. Determine quantos metros de comprimento precisa ter a escada. 04. (UFSC) – Uma escada de 8 m de comprimento forma um ângulo de 30º com um muro vertical em que se apoia (no topo). Sendo o solo plano, então a altura do muro em que a escada está apoiada vale: (Dado: sen 30º = 1/2, cos 30º = √3/2, tg 30º = √3/3) a) 2√3m b) 3√2m c) 4√3m d) 5m e) nda 05. Num triângulo ABC, retângulo em a, a hipotenusa mede 4 e o ângulo C vale 30º. Calcule a medida dos catetos deste triângulo. 06. Um foguete é lançado sob um ângulo constante de 30º. Quantos metros terá percorrido, em linha reta, quando atingir a altura de 3km? 07. Um pessoa de 1,50m de altura, situada a 100m de uma torre, avista seu topo sob um ângulo de 60º com a horizontal. Então a altura da torre é igual a: (Dados: sen 60º = 0,86, cos 60º = 0,50 e tg 60º = 1,73) a) 174,5 b) 173,2 c) 86,6 d) 50,0 e) 17,45 08. Na figura abaixo calcule a medida do lado AB, sabendo que AC = 6cm e o ângulo B = 15º. (sen15º = 0,26; cos 15º = 0,96; tg 15º = 0,27). 09. (EFOA 2005/2) – Uma maneira rudimentar e eficiente para se medir o ângulo de inclinação de uma rua R, em relação à horizontal H , é construir um triângulo retângulo, como mostra a figura abaixo, onde e o segmento OA é perpendicular ao segmento AB . A tangente do ângulo α vale: (mostrar resolução) a) 0,95 b) 0,85 c) 0,75 d) 0,65 e) 0,55 10. (UFMG/2001) - No triângulo ABC, o ângulo ABC é reto, BC = 5√6 e cos ( BÂC ) = 15 3 . Considerando esses dados, CALCULE o comprimento do cateto AB. 11. (CESGRANRIO) – Na figura acima está representado o retângulo ABCD. Sobre o lado DC foi marcado o ponto P, de modo que a medida de DP corresponde ao triplo do lado AD, enquanto a medida de CP vale o dobro de BC. O ângulo APB mede, em radianos: a) π/2 b) 2π/3 c) 3π/4 d) 5π/6 e) 8π/9 12. Determinar, na figura, a medida do segmento BD: Matemática Prof. Júlio 647 13. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 5m do solo, forma com essa parede um ângulo de 30º. Qual é o comprimento da escada, em metros? 14. Na figura abaixo, calcule x em função de R e α 15. (UNIFAL/2006) – Um passageiro em um avião avista duas cidades A e B sob ângulos de 15º e 30º, respectivamente, conforme a figura abaixo. Se o avião está a uma altitude de 3 km, a distância entre as cidades A e B é: a) 7 km b) 5,5 km c) 5 km d) 6,5 km e) 6 km 16. (UNESP) - Três cidades, A, B e C, são interligadas por estradas, conforme mostra a figura. As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30º, e que o triângulo ABC é retângulo em C, a quantidade de quilômetros da estrada que será asfaltada é: a) 30√3 b) (10√3)/3 c) 10√3 d) 8√3 e) (3√3)/2 17. Uma árvore partida pelo vento, mantém seu tronco perpendicular ao solo formando com ele um triângulo retângulo. Se a parte quebrada faz um ângulo de 60º com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 10 m de sua base, qual era aproximadamente a altura original da árvore? Arcos e Ângulos 18. (USP) Convertendo-se 30º15’ para radianos, (π = 3,14) obtém-se: a) 0,53 b) 30,15 c) 1,10 d) 3,015 e) 0,26 19. (ITA) Transformar 12º em radianos. 20. (FUVEST) Quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 0,105 rad. 21. (PUC) Dar o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 12h e 15 min. 22. Obter o ângulo formado pelos de um relógio às 8h e 20min 23. (MAUÁ) Quantos radianos percorre o ponteiro das horas de um relógio de um relógio de 1h e 5min até 2h e 45min. 24. (OSEC) Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às duas horas e 15 min. 25. (FUVEST) O ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1h e 12 min é: a) 27º b) 30º c) 36º d) 42º e) 72º 26. Quais são os arcos positivos menores que 1500º, côngruos (mesma extremidade) de – 60º. 27. Determinar o comprimento do arco AB, tomando na circunferência de centro O. (adotar π = 3,14) 28. Qual é o raio da circunferência, sabendo que o comprimento do arco AB indicado é igual a 12cm? Lei do Senos e Lei dos Cossenos 29. Na figura abaixo, calcule o valor de BC sabendo que O ângulo A = 45º o ângulo B = 30º e AC = 10cm. Matemática Prof. Júlio 648 30. Na figura abaixo, calcule o valor do lado AB sabendo que AB = 8, BC = 7 e o ângulo B = 60º. 31. (UNICAMP – SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio pra uma caixa- d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água-bomba e caixa- d’água-casa é de 60º. Se a idéia é bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? a) 80m b) 70m c) 50m d) 90m e) 60m 32. Num triângulo ABC, o ângulo BCA mede 60º e o lado AC mede 12cm. Calcule a altura referente ao lado BC. 33. (FEI – SP) No triângulo da figura seguinte, a = 4, b = 3√2 e C = 45º. Então a medida c vale: a) 10 b) 2√10 c) √10 d) 2√5 e) nda 34. (FGV – SP) No triângulo da figura abaixo, a medida de x é igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 35. (CESCEA – SP) Num triângulo ABC onde AB = 2cm, AC = 3cm e o ângulo A é 60º, o quadrado do lado BC, em cm 2 , vale: a) 7 b) √7 c) 7√7 d) 7 2 e) 0,7 36. (UEPG – PR) Na figura abaixo o valor de b é: a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) 1/4 37. O raio da circunferência que contém três pontos A, B e C, sabendo que BC = 15 m e BÂC = 150º, vale: (sen 150º = sen 30º) a) 25 b) 15 c) 30 d) 45 e) 35 38. (UFSC) Num triângulo ABC, o ângulo A mede 85º e a medida do ângulo B é 2 / 5 da medida do ângulo A. A medida do ângulo C é igual a: a) 34º b) 61º c) 119º d) 13º e)59º 39. (PUC – SP) A diagonal de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, um de 60º e outro de 45º. A razão entre os lados menor e maior do paralelogramo é: a) √3 / 6 b) √2 / 2 c) 2√3 / 9 d) √6 / 3 e) √3 / 3 40. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando o navio está em A, o comandante observa o farol em L, e calcula o ângulo LAC = 30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica-se o ângulo LBC = 75º. Quantas milhas separa o farol do ponto B? 41. (UFPR) De um triângulo, dá-se um lado de comprimento igual a 2 e os ângulos adjacentes a esse lado que valem 30º e 135º. Os comprimentos dos outros dois são: (sen 135º = sen 45º) a) 2(√3 + 1) e √3 + 1 b) √2 (√3 – 1) e 2 (√3 + 1) c) √2 (√3 + 1) e 2 (√3 + 1) d) √ (√3 – 1) e 2 (√3 – 1) e) nda [Obs.: sen 15º = √2(√3 – 1) / 4] 42. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB=80km e AC=120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura acima. Logo, à distância entre B e C, em km, é: a) menor que 90 b) maior que 90 e menor que 100 c) maior que 100 e menor que 110 d) maior que 110 e menor que 120 e) maior que 120 43. (UFJF 2005) – Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m, e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede: a) 2 √21 m. b) 2 √31 m. c) 2 √41 m. d) 2 √51 m. e) 2 √61 m. 44. (UFV/PASES) – Em um triângulo isósceles obtusângulo, o lado oposto ao ângulo de 120º mede 6 cm. A área desse triângulo, em cm 2 mede: a) 2√3 b) 6√3 c) 4√3 d) 3√3 e) 5√3 Relações Trigonométricas Principais e Secundárias – Funções Trigonométricas 45. (UFGO) Simplificando a expressão tg a + tg b_; obtém-se: cotga + cotgb a) tg a . tg b b) b) cotg a . cotg b c) c) tg (a + b) d) b) cotg (a + a) e) e) tga . cotg b 46. (MACK-Modificado) O valor da expressão: M = _cos 45º_ + _cos 45º_ . _sen 0º_ é: sen 45º sen 60º cos 15º a) par Matemática Prof. Júlio 649 b) divisível de 2 c) divisor de 3 d) primo e) negativo 47. Calcule o valor numérico da expressão abaixo: 48. (FATEC – SP) – Sejam x, y ∈ R. encontre o valor de y sabendo que: a) sec 2 x b) tgx c) 0 d) 1 e) cossec 2 x 49. (UFLA/2003) – O valor da expressão 1 ) x ( cos - 1 1 - ) x ( tg 1 2 2 + | | ¹ | \ | é de a) sen 2 (x) b) cos 2 (x) c) 0 d) 1 e) sec(x) 50. (FAENQUIL – SP) – Simplificando a expressão abaixo, obtém-se: a) tga b) cotga c) seca d) cosseca e) sena 51. (UFSJ 2005) – Se em que a, b e q são as respectivas medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo, então E 2 é igual a: a) 1/4 b) c) 1 d) 52. A expressão abaixo, é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 53. (VUNESP) Se x, y são números tais que: a) y = sec 2 x b) y = tg 2 x c) y = cos 2 x d) y = cossec 2 x e) y = sen 2 x 54. (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que A = (cosx - cosy) 2 + (senx + seny) 2 é igual a: a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2 55. Sendo cos = 1 / 3, calcular y=cossecx – sec x_ cotg x – 1 56. Os quadrantes que se encontram os ângulos 2040º, 2170º e – 2920º são respectivamente: _____, ____ e ____. 57. Coloque V para verdadeiro e F para falso: ( ) sen 315º = 1/2 ( ) cos 120º = - 1/2 ( ) tg 210º = -√3/3 ( ) tg 45º + tg 135º = 0 ( ) sem 120º > cos 120º 58. Coloque V se verdadeiro ou F se falso justificando sua resposta. ( ) sen 55º > sen 45º ( ) cos 135º > 0 ( ) cos 1400º < 0 ( ) sen 2π + cos 2π = 4π ( ) (sen 20º).(cos200º) < 0 ( ) Se cos x = 0, então x = 0º ou x = 180º, considerando uma volta no ciclo trigonométrico. ( ) cos 1 = cos 1º 59. Calcule o valor numérico da expressão E = sen 90º - cos 120º + tg225º 60. Qual o valor numérico da expressão π π π π π 2 cos 8 2 3 4 2 cos 3 cos − + − sen sen 61. Se sen x = 1/4 e x é do 2º quadrante, qual o valor de cos x? 62. Sendo cosx = 1/3 e x é um arco do 4º quadrante, calcule o valor de secx – 4cossecx. 63. Se senx = 3/7 e x é um arco do 1º quadrante, ache o cosx. 64. Considerando que a tgx = 1/3 e que x é um arco do 1º quadrante, ache o valor da sec x – 3.cosx. 65. Se sen x = ½ e x é do 2º quadrante, ache o valor da expressão cos 2 x . tgx. 66. Calcule o valor numérico da expressão º 1650 º 0 º 330 º 1920 cos sen tg sen − − + . 67. (FUVEST) – A soma das raízes da equação sen 2 x – 2 cos 4 x = 0, que estão no intervalo [0, 2π ], é: a) 2π b) 3π c) 4π* d) 6π e) 7π = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x x x x x x gx tgx 2 2 2 2 2 2 sec 2 ). cos (sen cos 2 sen sec cos cot 4 2 1 sec cot cos sec cos sen | | ¹ | \ | ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a ga a a tga a . sec sec cos . cos 1 2 2 2 2 x x x y − + = º 180 cos º 30 sen º 180 sen 5 º 270 cos º 90 sen − + − Matemática Prof. Júlio 650 68. (UFSJ 2005) - No intervalo [0, 2π], a soma de todos os valores de x, tais que sen 2x = cos x, é igual: a) 2π b) π c) 3π d) 4π 69. (UFJF/2006) – Dois ângulos distintos, menores que 360º, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a: a) 45º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º 70. (UFJF/2006) – Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 12/13. O cosseno desse ângulo é igual a: a) 5/13 b) 1/13 c) – 5/13 d) – 1/13 e) – 12/13 71. Resolver a equação 2cosx – 3secx = 5, para 0º < x < 360º 72. (CRA) – Resolva a equação tg x = -1 sendo 0 < x < π. a) π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/4 e)5π/4 73. Esboçar o gráfico da função y = sen x, dar seu domínio, imagem e período. 74. (UNIMEP) Os valores de x que satisfazem a equação sen(3x – 30º) = 1 são: a) 90º + n . 120º, n ∈ Z b) 40º + n . 180º, n ∈ Z c) 40º + n . 120º, n ∈ Z d) 120º + n . 360º, n ∈ Z e) 40º + n . 90º, n ∈ Z 75. Resolver as equações abaixo, no intervalo 0º ≤ x ≤ 360º: a) 2 sen x = 1 b) 2 sen x = -1 c) 2 sen x = √ 2 76. (USP) Calcular sen 1920º. 77. (F. CARLOS CHAGAS) O menor valor que assume a expressão (6 – sen x); para “x” variando de 0º a 360º é: a) 7 b) 6 c) 5 d) 1 e) –1 78. Se x = π / 3, então achar o valor da expressão: E = sen 2 x – sen x + 3 sen 3x – sem 3 x 79. Esboçar o gráfico da função y = cos x, dar seu domínio, imagem e período. 80. Para que valores de m é possível a igualdade: cos x = 1 – 3m. 81. Considere a equação 2 . sen 2 x = 3 . cos x. Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao intervalo [0, 4π] é: a) 10π b) 8π c) 6π d) 4π e) 2π 82. (FAAP) Resolver, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, a equação 1 – sen x + cos 2 x = 0. 83. (FUVEST) Quais as raízes da equação do 2º grau x 2 sen α αα α - 2x cos α αα α - sen α αα α = 0 , onde 0 < α < π/2. 84. (FEI) Calcular sen (7π ππ π/2) . cos (31π ππ π) 85. (MACK) O menor valor positivo de x, para o qual 9 -cos x = 1 / 3, é: a) π / 6 b) π / 4 c) π / 3 d) π / 2 e) 2π / 3 86. Simplificar a expressão: _3 sen 0º + 5 cos 180º - 7 sen 270º_ sen 2 90º + cos 2 180º 87. Obter o valor da expressão: _sen 3x + cos 5x_ sen 4x para x = 30º. 88. Calcular o valor de y = _sen 155º - sen 205º_ cos 65º 89. (MACK) O menor valor positivo de x, para o qual 9 - cosx = 1 / 3 é: a) π/6 b) π/4 c) π/3 d) π/2 e) 2π/3 90. Calcular o valor de cos 2850º 91. Sabendo que cos x = - 1 / 3 e π < x < 3π/2, determinar sen x. 92. Resolver a equação 2 cos x = 1, com: √ √√ √3 a) 0 ≤ x ≤ 180º; b) x ∈ R. 93. Esboçar o gráfico da função y = tg x, dar seu domínio, imagem e período. 94. Sendo 0º < x < 90º, determinar um dos valores de x para o qual a função y = tg (2x – 30) não é definida. 95. Resolver as equações, em R. a) sen x = 1 / 2 b) cos x = - √3 / 2 c) sen x . cos x = 0 d) cos 2 x = 1 / 2 e) tg x = √ 3 96. (PUC) Determinar m para que π / 3 seja raiz da equação tg 2 x – m . cos 2 x + sen 2 x = 0. 97. (F.CARLOS CHAGAS) Os quadrantes onde estão os ângulos α, β e γ tais que: sen α < 0 e cos α < 0 cos β < 0 e tg β < 0 sen γ > 0 e cotg γ > 0 são respectivamente: a) 3º, 2º, 1º b) 2º, 1º, 3º c) 3º, 1º, 2º d) 1º, 2º, 3º e) 3º, 2º, 2º 98. (FATEC) A expressão Matemática Prof. Júlio 651 tem valor igual a: a) – 5√2 / 3 b) - 5 / 6 c) – 1 / 3 d) 1 / 2 e)1 99. Sendo sem x + cos x = a, obter o valor de: _sec x + cossec x_ tg x + cot x 100. Determinar o valor de tg (-A), sabendo que tg A = t. 101. Se tg x + cotg x = 3 então sen x . cos x, vale: a) 1 b) 1 / 2 c) – 1 d) 1 / 3 e) – 1 / 2 102. (CRA) – Considere f: R em R uma função dada por f(x) = 2.sen x – 3. Qual é o maior valor que esta função pode assumir? a) –1 b) –2 c) 1 d) – 4 e) – 5 Variações de Período e Imagem das Funções Trigonométricas 103. Esboçar o gráfico da função y = 2 . sen (x / 2). 104. Esboçar, em um período, o gráfico da função y = sen (x - π ππ π / 4). 105. Estudar a variação da função f, tal que f(x) = 3 sen (x / 2). 106. Esboçar, de 0 a 2π, o gráfico da função y = sen 2x . 107. Esboçar, de - 2π a 2π, o gráfico da função y = sen x . 108. (F. CARLOS CHAGAS) A função que melhor se adapta ao gráfico abaixo é: a) y = sen (x / 2) b) y = cos (x / 2) c) y = sen (2x) d) y = cos (2x) e) y = sen x 109. (UFES/2004) – O período e a imagem da função abaixo, com x ∈ R, são, respectivamente, a) 2π e [- 1, 1] b) 2π e 2, 8] c) 2π 2 e [2, 8] d) 2π e [- 3, 3] e) 2π 2 e [- 3, 3] Soma de Arcos e Inequações 110. Calcule o valor de: a) sen 75º b) cotg 150º 111. Sendo sec x = 3 e 0 < x < 90º, calcule o valor numérico da expressão sen (x + 180º) + cos (x – 90º). 112. Se cosx = - 1/9 e 450º < x < 540º, calcule o valor numérico da expressão sen(π + x) – cos(3π/2 –x). 113. Sendo cosx = 1/3, calcule o valor de cos(x + 30º). 114. Sendo tga = 2 e tgb = 3, calcule a tg(a + b) e a tg(a – b). 115. O valor de sen 55º cos 35º + sen 35º cos55º é: a) –1 b) – 0,5 c) 0 d) 0,5 e) 1 116. Resolva a equação trigonométrica 117. (VUNESP) Para todo x ∈ R, a expressão cos (π ππ π/2 + x) – sen (π ππ π - x) é equivalente a: a) cos x b) 0 c)- sen x – cos x d) 2 sen x e) – 2 sen x 118. Simplificar a expressão: sen π ππ π/2 + sen (π ππ π - x) . cos (π ππ π/2 + x). 119. (POLI) Calcular y = sen 105º - cos 75º. 120. Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg de y é igual a: a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6 121. Resolver as inequações com 0 < x < 2π a) sen x ≥ 1 / 2 b) sem x ≤ √ 2 / 2 c) cos x < √ 3 / 3 d) tg x < 1 122. Resolver (sen x + cos x) 2 < 1, para 0 < x < 2π. 123. Dar a expressão (em 0 ≤ x ≤ 2π) que contém as respostas abaixo: 2 2 4 sen 4 sen = | ¹ | \ | − + | ¹ | \ | + π π x x Matemática Prof. Júlio 652 a) b) Arco Duplo 124. Sabendo que cos x = 3/5, calcule o valor de sen(2x). 125. Sabendo que senx = -4/7 e x é do quarto quadrante, calcule sen(2x) e cos(2x). 126. Determinar o período da função y = sen x . cos x. 127. A expressão y = sen a . cos 3 a + sen 3 a . cos a, para todo a real é igual a: a) sen 3a b) cos 3a c) sem(2a)/2 d) 1 e) cos 2a 128. Provar que: 4 . sen a . sen (a + π ππ π/3) . sen (a + 2π ππ π/3) = sen 3a 129. (FATEC) Se cos x = 3 / 4, calcular cos (4x) 130. Determinar o conjunto solução, com 0 < x < 360º da equação cos 2x + 4 cos x + 3 = 0. 131. (PUC) Calcular: E = sen (-x) + sen (π + x) – sen (π/2 – x) + cos x 132. (MACK) A expressão y = sen(123º + a) – sen (57º - a). 133. (F. CARLOS CHAGAS) Calcular: E = sen (150º + a) + sen (150º - a) 134. (POLI) Calcular y = sen 105º - cos 75º 135. (FUVEST) Calcular o valor de y = ( sen 22º30’+ cos 22º30’) 2 . 136. Calcular cos (1920º + 3690º). 137. (MACK) Se tg x = m e tg 2x = 3m (m > 0), determinar o ãngulo x. 138. (FUVEST) O valor aproximado da tangente do ângulo de 22º30’ é: a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00 GABARITO 01. E 02. sen x = 5/13 cos x = 12/13 tg x = 5/12 03. 40√3m 04. C 05. 2√3 e 2 06. 6km 07. A 08. 200/9 09. C 10. 15 11. C 12. 20(3 - √3)/3 13. 10√3/3 14. R(1-senα)/senα 15. E 16. C 17. 37m 2 18. A 19. π/15 20. 6,02º 21. 82,5º 22. 130º 23. 5π/18 24. 22,5º 25. C 26. 300º, 660º, 1020º, 1380º 27. 1,57m 28. 10cm 29. 10√2 30. √57 31. B 32. 6√3 33. C 34. B 35. B 36. C 37. B 38. B 39. D 40. 2√2milhas 41. B 42. C 43. A 44. D 45. A 46. C 47. 2/3 48. D 49. C 50. A 51. A 52. A 53. A 54. E 55. 3 56. 3°, 1° e 4° 57. F, V, F, V, V 58. V, F, F, F, V, F, F 59. 5/2 60. -1/12 61. -√15/4 62. 3 + 3√2 63. 2√10/7 64. -17√10/30 65.-√3/4 66. -2 67. C 68. C 69. C 70. C 71. {120°, 240°} 72. C 73. feito em aula 74. C 75. a) {30°, 150°} b) {210°, 330°} c) {45°, 135°} 76. √3/2 77. C 78. (6 - 7√3)8 79. feito em aula 80. 0 ≤ m ≤ 2/3 81. B 82. π/2 83. ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − + = α α α α sen sen S 1 cos , 1 cos 84. 1 85. C 86. 1 87. (2√3 – 3)/3 88. 2 89. C 90. √3/2 91. -2√2/3 92. a) 30° b) ±30º + n360°, n ∈ Z 93. feito em aula 94. 60º 95. a) {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π, n ∈ Z} b) {x ∈ R/ x = 5π/6 + n2π ou x = 7π/6 + n2π, n ∈ Z} c) {x ∈ R/ x = π/2, n ∈ Z} d) {x ∈ R/ x = ± π/4 + nπ, n ∈ Z} e) {x ∈ R/ x = π/3 + nπ, n ∈ Z} 96. 15 97. A 98. D 99. a 100. – t 101. D 102.B 103. gráfico 104. gráfico 105. gráfico 106. gráfico 107. gráfico 108. A 109. C 110. a) (√2+√6)/4 b)-√ 3 111. 2√2/3 112. 8√5/9 113. (√3 - 2√2)/6 114. tg(a+b) = -1 e tg(a – b) = -3/7 115. E 116. {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π, n ∈ Z} 117. E 118. 1 + sen 2 x 119. √6/2 120. B 121. a) {x ∈ R/ π/6 ≤ x ≤ 5π/6} b) {x ∈ R/ 3π/4 ≤ x ≤ 2π ou 0 ≤ x ≤ π/4} c) {x ∈ R/ π/6 < x < 11π/6} d) {x ∈ R/ 0 ≤ x < π/4 ou π/2 < x < 5π/4 ou 3π/2 < x ≤ 2π} 122. {x ∈ R/ π/2 < x < π} 123. a) x = 30° ou 210° ≤ x < 270° b) x ≠ 90° e x ≠ 270° 124. 24/25 125. sen(2x) = -8√33/49 e cos(2x) = 17/49 126. π 127. C 128. demonstração 129. -37/32 130. 180° 131. - 2senx 132. 0 133. cosa 134. (√2-√6)/2 135. (2+√2)2 136. - √3/2 137. 30° + n360°, n ∈ Z 138. B Matemática 18. (F.M. Itajubá-MG) – Com relação a parte sombreada do diagrama, é correto afirmar que: Prof. Júlio 23. (UEL) – Uma universidade está oferecendo três cursos de extensão para a comunidade externa com a finalidade de melhorar o condicionamento físico de pessoas adultas, sendo eles: Curso A: Natação Curso B: Alongamento Curso C: Voleibol As inscrições dos cursos se deram de acordo com a tabela seguinte: Curs o Aluno Apenas A 9 Apenas B 20 Apenas C 10 A e B 13 AeC 8 BeC 18 A, B e C 3 a) b) c) d) e) A – (B – C) A – (B ∪ C) A – (B ∩ C) A – (C – B) Nenhuma das respostas anteriores. 19. (PUC-RS) Com relação à parte hachurada do diagrama, é correto afirmar que: Analise a s afirmativas seguintes com base nos dados apresentados: I – 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos. II – 52 pessoas não se inscreveram no curso A. III – 48 pessoas se inscreveram no curso B. IV – O total de inscritos no curso foi de 88 pessoas. As afirmações corretas são: a) I e II b) I e III c) III e IV d) I, II e III e) II, III e IV a) b) c) d) e) C – (A ∩ B) (A ∩ B) – C A – (B ∩ C) (B ∩ C) – A (A ∩ B) – (B ∪ C) 20. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6}, analise os itens a seguir: (I) 3⊂A (II) A ∩ B = {2, 4, 6} (III) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A Pode-se afirmar que: a) apenas I está correto b) apenas II está correto c) apenas III está correto d) II e III estão corretos e) I e III estão corretos 21. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {1, 3, 4, 5} e C = {1, 2, 3,7}, analise os seguintes itens: I – (A ∪ B) ∩ C = C II – A tem 16 subconjuntos III – A ∩ B = 3 IV – A ⊂ B Podemos afirmar que: a) Somente I é verdadeiro b) Somente II é verdadeiro c) Somente IV é verdadeiro d) e) I e III são verdadeiros e) II e III são verdadeiros 22. (UFV/PASES) – A escola Cantinho Feliz possui 1200 alunos e oferece dança e futebol como atividades extracurriculares. Sabendo que neste ano há 590 alunos inscritos em dança, 570 inscritos em futebol e 270 alunos inscritos em ambas as atividades, o número de alunos que NÃO se inscreveram em qualquer destas atividades é: a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 594 24. Em uma pesquisa sobre programas de TV que habitualmente assistem, as pessoas responderam sobre a preferência de três programas A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 400 assistem ao programa A. • • 350 assistem ao programa B. • 250 assistem ao programa C. • 20 aos três programas. • 70 assistem aos programas A e B. • 50 assistem aos programas A e C. 60 assistem aos programas B e C. • Pergunta-se: a) Quantas pessoas foram entrevistadas? b) Quantas pessoas assistem somente ao programa B? c) Quantas pessoas assistem dois programas? d) Quantas pessoas não assistem ao programa A? 25. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 210 compram o produto A. • 210 compram o produto B. 250 compram o produto C. • • 20 compram os três produtos. • 60 compram os produtos A e B. • 70 compram os produtos A e C. • 50 compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas? 26. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 200 compram o produto A. • 200 compram o produto B. • 250 compram o produto C. • 10 compram os três produtos. Matemática • 50 compram os produtos A e B. • 70 compram os produtos A e C. • 30 compram os produtos B e C. Pergunta-se: a) Quantas pessoas foram entrevistadas? b) Quantas pessoas compram somente o produto A? c) Quantas pessoas compram os produtos C ou B? d) Quantas pessoas compram os produtos A e B? 27. (UNIFAL/2006) – Em uma cidade com 40.000 habitantes há três clubes recreativos: Colina, Silvestre e Campestre. Feita uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 20% da população freqüenta o Colina; 16% o Silvestre; 14% o Campestre; 8% o Colina e o Silvestre; 5% o Colina e o Campestre; e 4% o Silvestre e o Campestre. Somente 2% freqüentam os três clubes. O número de habitantes que não freqüentam nenhum destes três clubes é: a) 26000 b) 30000 c) 28000 d) 32000 e) 34000 28. Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba, nem de rock? a) 430 d) 450 c)330 d)250 e) 470 29. (PUC_PR) – Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: - têm casa própria: 38 - têm curso superior: 42 - têm plano de saúde: 70 - têm casa própria e plano de saúde: 34 - têm casa própria e curso superior: 17 - têm curso superior e plano de saúde: 24 - têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma das situações anteriores? a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e)45% 30. (UFPA) – A Câmara dos Deputados reuniu-se extraordinariamente para decidir sobre a instalação de duas Comissões Parlamentares de Inquéritos (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos 320 deputados presentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da instalação das duas comissões e X deputados foram contrários à instalação das CPIs. O número X de deputados que votaram contra a instalação das CPIs é: a) 160 b) 90 c) 70 d) 50 e) 20 31. (UERJ) – Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi visto que: 595 Prof. Júlio Diarréia: 62 casos Febre: 62 casos Dor no corpo: 72 casos Diarréia e febre: 14 casos Diarréia e dor no corpo: 8 casos Febre e dor no corpo: 20 casos Diarréia, febre e dor no corpo: x casos Nos dados, x corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo os três sintomas. Pode-se concluir que X é igual a:__________. 32. (UFF) – Dentre as espécies ameaçadas de extinção na fauna brasileira, há algumas que vivem somente na Mata Atlântica, outras que vivem somente fora da Mata Atlântica e, há ainda, aquelas que vivem tanto na Mata Atlântica como fora dela. Em 2003, a revista Terra publicou alguns dados sobre espécies em extinção na fauna brasileira: havia 160 espécies de aves, 16 de anfíbios, 20 de répteis e 69 de mamíferos, todas ameaçadas de extinção. Dessas espécies, 175 viviam somente na Mata Atlântica e 75 viviam somente fora da Mata Atlântica. Conclui-se que, em 2003, o número de espécies ameaçadas de extinção na fauna brasileira, citadas pela revista Terra, que vivem tanto na Mata Atlântica como fora dela, corresponde a: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 33. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é: a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) 210 34. (PUC – PR) – Em uma pesquisa com um turma de alunos, apurou-se o seguinte: 45% dos alunos são homens. Sabe-se também que 60% dos alunos jogam futebol e que destes 70% são homens. Que percentual de alunos, que não jogam futebol, são mulheres? a) 42% b) 37% c) 16% d) 45% e) 60% 35. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 36. (UF-BH) – Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês? não estudaram nenhuma das matérias? 48. Foi constatado ainda que 15 pessoas não praticavam nenhum desses esportes. 250 pessoas assistem ao canal B e 70 assistem aos outros canais. F e P – 6. Se A. Dado o conjunto A = {1. O número de pessoas que assistem a A e não assistem a B é? 47. . 110. Podemos afirmar então que n é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 51. • houve 5 tardes sem chuva. (PUC – PR) – Sejam A. nas universidades B e C. 4} é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 43.(B ∪ C)] = 15. na universidade C. 2} ⊂ X ⊂ {1. nas universidades A e B. 285. M. Escreva os intervalos abaixo na forma conjuntos (usando os símbolos <. é incorreto o que se afirma na alternativa: a) 230 estudantes pretendem prestar vestibular apenas em uma universidade. na universidade B.PR) Em um levantamento com 100 vestibulandos da PUC. e) 210 estudantes pretendem prestar vestibular em duas das três universidades citadas. (UPF/2002) – Feita uma pesquisa com 600 estudantes sobre as universidades em que pretendem prestar vestibular.7 homens que usam óculos. >. o total de candidatos inscritos nesse concurso é: a) 17 800 b) 18 000 c) 20 000 d) 20 800 e)21 000 50. mostrou que muitos deles mantinham convênio com 2 empresas particulares de assistência médica. o candidato pode optar por Inglês.(A ∪ B)] = 35 e n(A ∪ B ∪ C) = 120 então n[(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] é igual a: a) 14 b) 50 c) 35 d) 56 e) 26 45. Júlio 44.47. . Numa sociedade existem: .Matemática 37. francês ou Espanhol. 9}. F. .2 d) √3 Q 596 . ≤ ou ≥) a) [1. • houve 6 manhãs sem chuva. n[B .7. F e P . 2] b) ]-1. c) 80 estudantes pretendem prestar vestibular apenas na universidade B.35 homens. O número de pessoas entrevistadas que lêem os dois jornais é: a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 39. M e F . na prova de Língua Estrangeira. (ESPM/2004) – Uma pesquisa envolvendo 800 habitantes de uma cidade revelou que 35% deles lêem diariamente o jornal A.21. O número total de subconjuntos de A : a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100 42. então o número de elementos de (A ∪ C) ∩ B é: a) 28 b) 35 c) 23 d) 27 e) 13 49. dos 100 alunos incluídos no levantamento. Use os símbolos ∈ ou ∉ para relacionar as alternativas abaixo: N a) – 3 Z b) ¾ Z c) . Qual é o número de pessoas que compõe a sociedade? 41. Física (F) e Português (P) foi o seguinte: M . obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A. + ∞[ d) ] .32. 270.15 mulheres que não usam óculos. distintos de A e B.2. Se 15 200 candidatos optaram por Inglês. 60% lêem o jornal B e que 120 entrevistados não lêem nenhum dos dois jornais. B e C são conjuntos tais que: n[A . 8] de 52. observou-se que 245 pretendem prestar vestibular na universidade A. nas três universidades citadas (A. e 50.SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. M e P 5. Sabendo-se que A ∩ B tem 20 elementos. Sabe-se que 5% do total de inscritos optaram por Espanhol e.∞. d) 70 estudantes pretendem prestar vestibular apenas na universidade C. 38. O número de pessoas que praticavam apenas o futebol é: a) 565 b) 525 c) 535 d) 510 e) 575 Prof. b) 110 estudantes não pretendem prestar vestibular nas três universidades.(A ∪ C)] = 20.Depois de n dias de férias. nas universidades A e C.BA) Consultadas 500 pessoas sobre emissoras de TV a que habitualmente assistem. 20% escolheram Francês. (FCC . 4. um estudante observa que: • choveu 7 vezes. 120. n[C . Um levantamento efetuado entre 600 filiados do INPS. conforme o quadro: A B INPS 430 160 60 Quantas pessoas são filiadas simultaneamente às duas empresas? 40. de manhã ou à tarde. O número dos conjuntos X que satisfazem {1. quantos são seus subconjuntos? 46. 7. (FGV . verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de Matemática (M). 3. B e C 3 conjuntos finitos. Com base na pesquisa. (UEL – PR) – Em um certo concurso vestibular. B e C). do número restante. (UDESC) Uma pesquisa foi realizada junto a 930 pessoas a respeito da prática dos esportes futebol e vôlei: foi constatado que o vôlei era praticado por 340 pessoas e que 65 praticavam ambos os esportes. USP-SP . 130. • quando chove de manhã não chove à tarde. 2. Quantos. 3] c) ]2. 2[ ∪ [5. P . B ∩ C tem 15 elementos e A ∩ B ∩ C tem 8 elementos.18 pessoas que usam óculos. (PUC . 5] ∪ [6. π / 5 IV.Matemática e) 10/2 f) 0. determine α.5}. Escreva os intervalos abaixo em forma de colchetes: a) {x ∈ R / x > 3} b) {x ∈ R / x < 12} c) {x ∈ R / x ≥ 5} d) {x ∈ R / 1 < x < .. b) Todo número natural é inteiro. calcule: a) (A ∪ B) ∩ C b) C – A . II. c) o quádruplo do número de elementos de M. 7] e C = ].N) 597 61. É correto afirmar que: 01) √5 ∈ A 02) 6-2 ∈ A 04) 50 ∈ B 08) .5x2 + 4 = 0 II. 59. (FUVEST) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0. Do número α sabe-se que: I . (UFSM) Dados os conjuntos A = {x ∈ N/ x é ímpar} B = {x ∈ Z/ -2 < x ≤ 9} C = {x ∈ R/ x ≥ 5}. 1] e (-2. 10} e D={ x ∈ Z / 1 < x < 3}.3 < x < 0} e) {x ∈ R / 2 ≤ x < 0} f) {x ∈ R / 2 < x < 7 ou x > 10 e x ≠ 13} 60. Coloque V ou F conforme a sentença seja verdadeira ou falsa. 3.3√-64 ∉ I ( ) 0 / -5 ∈ (Z . x.6666. b) o triplo do número de elementos de N. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N. 8} e C = {4. 2] d) (0. respectivamente: ( ) 4 é um número natural ( ) –1 é um número irracional ( ) √64 é um número inteiro ( ) 2/7 é um número racional ( ) –0.333. d) Todo número inteiro é racional. 16/3[. 1) e [-2. Júlio 53.Se A = ]7/2 .1416 V. 66. 1] e (-2. é um número irracional ( )7∈Z ( )1∈Q ( ) √3 ∈ R ( )2∉Z ( )–1∉I ( ) √8 ∉ N ( ) 6/2 ∈ N ( ) 72 ∈ N ( ) 0. Analise a veracidade das proposições abaixo: ( ) .2 x 10-3 ∉ B 32) A ∩ B = { x ∈ R / -1 < x < 1} 64) A ∪ B = { x ∈ R / x < 4} 65. o número de elementos do conjunto M ∪ N é: a) o triplo do número de elementos de M.. I. g) 5.7777. 7. 2.5} b) {x ∈ R / x < . B = {1. III.. 2) 57. y e 1. e) Todo número natural é racional. 1) e [-2...7 / 3 ∈ B 16) 3. −4 Assinale a alternativa que identifica os números irracionais. 56.. (CEFET) .6 N Q R ( ) √-25 ∈ R Prof..é raiz da equação x4 . (EPCAR) Qual das proposições abaixo é falsa? a) Todo número real é racional. 7]. 2] e) [0. então A ∩ B e A ∪ B. B = [3. respectivamente.8} c) {x ∈ R / x ≤ 13} d) {x ∈ R / .Z-) III .α ∈ (R . 4[. 68.1. 3. 1] e B = [0. o número que pertence ao conjunto A é: a) 7/2 b) √40 c) π d) 19/4 e) 25/4 62. 2) b) [0. √40] ∩ [π. calcule A ∪ B e A ∩ B. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}. d) o dobro do número de elementos de M. (UEMT) – Dados os intervalos A = (-2. Dados os conjuntos: A = [.α ∉ ]-7. c) Todo número irracional é real. 2].. Escrever os intervalos abaixo em forma de colchetes: a) {x ∈ R / x ≥ . são. 5[ Nessas condições.. 6. 6[. Calcule: a) A – B b) (B – C) ∪ D c) (D ∩ A) – C d) (A – D) ∪ B 58. Qual a posição do número xy: a) à esquerda de 0 c) entre x e y e) à direita de 1 b) entre 0 e x d) entre y e 1 63. O produto dos elementos que formam o conjunto (A ∩ B) – C é igual a: a) 1 b) 3 c) 15 d) 35 67. Observe os seguintes números. 3/2] ∩ [0. Dados os intervalos A = [1. (UFC) – Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. (UNIOESTE) Considere os conjuntos: A = {x ∈ R / -1 < x < 4 } e B = {x ∈ R / -4 < x < 1}. 55. 3. ∈ Z 54. 9.212223. 3] e B = ]2. 1) e (-2.212121. a) (0.3.. e) o dobro do número de elementos de N. 2] c) [0. a) I e II c) I e IV e) II e III b) II e V d) III e V 64. V 70. B 23.V.1 < x ≤ 3} c) { x ∈ R / 2 < x ≤ 5 ou x ≥ 6} d) { x ∈ R / x < 2 ou 5 ≤ x ≤ 8} 52.1[ 69. 08. B 06. calcule o valor de x . ( ) A ∩ C = ]2.4. 09. Sendo x + y = 130 e x – y = 20. a) [-2. A (F) (V) 10. calcule o valor de x2 – y2 14. 17. 6] 70. 15.4} b) {0. ∅ (F) (V) 14. Sendo x + y = 50 e x2 + y2 = 20 .32 65. Sendo x + y = 70 e xy = 500 . Fatore as expressões: 4x2 – 12xy + 9y2 = 100x2y2 – 4 = 25x2 + 4x2y2 = 2x – 4xy + 6x2y = 2xa2 – 6x2a + 10x3a4 = 3abc – 15a2b2c3 + 9ab5 = 05. ∉. E Prof. 5 11.F 09. calcule o valor de x2 + y2 . E 31. 11.F 54. 01. D 62. Fatore: a) 27 – x3 = b) 8a3 + 125x3 = c) 1 – t3 = d) 8 – x3 = e) a3 + 64x3 = 19.V. Simplifique as frações abaixo: f) 1 + t3 = g) 1 + x3 = h) 27a3 + x3 = i) 1 + 8t3 = FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS 01. E (F) (F) 19.∈ 53.V.F 61. A 28.-8[ c) ]-∞. E 44.{13} 60. B 35. Júlio 03. A expressão 9x2 – 12xya + 4y2a2 é equivalente à: b) (3x + 4ya)2 a) (3x – 4)2 2 c) (3x – 2ya) d) (3x2 – 4y2a2)2 e) (3x + 2y)2 18. a) {6} b) {7. a) { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2} b) { x ∈ R / . B 45.5[ 59. 04. calcule o valor de x 2 + 2 x x . obteremos o seguinte resultado: a) x2 + 12x + 18 b) x2 – 9 d) x2 + 18 e) 14x + 18 c) 2x2 + 18 598 .V. Assinale a alternativa incorreta: a) 2 é racional e inteiro b) –3 é inteiro e real c) 5/2 não é irracional d) 4.∈. GABARITO 01. 36 37.V. (UFS-2004/Seriado) – Considere os conjuntos: A = {x ∈ R / 1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6} B = { x ∈ R / 1 ≤ x < 5 e x ≠ 3} C = { x ∈ R / 2 < x ≤ 4} Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. E 64. B 43. B 67. C 03. a) ]3. B 42. 6 32. a) {3} b) {-2. calcule o valor de x2 – y3 13.3. 180 47.F.V.1.6[ b) ]-3. 2 66. V.F. 10. calcule o valor de (x + y)2. C 17. B (F) (F) 22.0[ f) ]2. V.V. 3. Desenvolvendo a expressão: (x – 3)2 + (x + 3)2.F. Fatore a expressão 4x3y4 + 12x2y – 20ax5y7 – 16x3y2. B 07. Sendo x+ 2 4 = 8 . A 56. D 38.V. 5.7] A∩B=]2.V. a) 840 b) 240 c) 140 d) 440 25.F. a) 510 b) 90 c) 420 d) 50 27. Sendo x+ 3 9 = 12 . fatore-os.∈. (F) (F) 05. 16 46. Sendo xy = 40 e x2 + y2 = 10 . 510 26. Sendo x .V. ∞[ d) ]1. 6} 02. Assinale quais as expressões abaixo são trinômios quadrados perfeitos e em seguida. E 18. calcule o valor de (x2 – y2) + (x2 + y2). 1.∈. 12. C 50. A 29. F. B 57.5 não é inteiro mas é racional e real e) –7. 5.7. ∞[ . calcule o valor de x2 + y2. 6} c) (1.V. 4. calcule o valor de x2 + y2. 50 40) 61 41.y = 40 e xy = 10 . (F) (V) 15. Sendo x + y = 200 e x2 + y2 = 150 . D 49.3 é negativo e irracional. 1 36. y. E 13. C 12. C 51.∉.8} 58. ( ) x2 + 2xy + y2 = ( ) x2 + 4xy + 4 = ( ) 9x2 – 12xa + 4a2 = ( ) a2 – 14a + 49 = ( ) 25x2 + 30x + 9 = 06. 07.3.3] 55. C 21.8} c) {2} d) {1.V. -3.V.F. F.F.Matemática 69. C (F) (V) 08. A∪B=[-1. E 68.F.02.13] d) ]-3. 3] ( )C⊂B ( ) B – C = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x < 5} ( ) A ∪ B = [1. B 20.F. a) {3. B 39.F. B 63. Sendo x + y = 20 e xy = 50 . Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (1 – x)3 = b) (1 + 3x)2 = c) (3x – 4)(3x + 4) = d) (3 + x)2 + (3 – x)2 = 02. A 30.F. 8} c) {6} 04.7[ ∪ ]10. B 24. D 33.F.∞[ b) ]-∞. B 34.2. 16. calcule o valor de 2xy.V. 128 (V) (V) (F) (V) 16.0[ e) ]-2. ∞[ b) ] -∞. 16 48. Sendo x + y = 30 e x – y = 60. 12[ c) [5.7. a) [1. Sendo x + y = 40 e x – y = 50 e xy = – 225 . calcule o valor de x 2 + 2 x x .∉.08. SANTOS) Calculando o valor da expressão 9342872 – 9342862. (MED. Simplifique: a) _x2 . a expressão 1 1  x3 y 3 x+ y  2 − 2 ⋅ 2  x + 2 xy + y 2 ⋅ y − x .y) d) a / (x + y) e) nda 29.y) . Simplifique as frações abaixo: a) x 2 − 16 x 2 − 2 x + 1 ⋅ = 2x − 2 2x − 8 b) 81 − x 2 = 18 − 2 x c) x−3 2x − 3 25 x 2 − 4 2 x − 3 = ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 x − 6 4 x − 12 x + 9 5 x + 2 25 x − 2 2x − 1 2x − 1 = b) = 6x − 3 4 x2 − 1 x2 + 6x + 9 x3 − 1 d) c) = = x2 − 9 x −1 x 2 − 25 x−4 e) = f) 3 = 8 x − 32 x − 125 2x − 3 3x + 2 g) = h) = 2 4 x − 12 x + 9 9x2 − 4 9x2 − 9 64 − x 2 x −1 i) = j) = k) = 9x − 9 16 x + 2 2x − 2 36 x 2 − 9 x2 − 9 x2 − 2x + 1 l) ⋅ = m) = 6x − 3 2x − 2 6x − 2 2 x − 1 12 x − 24 2− x n) ⋅ = o) = 3 6 x − 3 8x − 1 4 − 4x + x2 a) 24. Com 2 2 relação à 2 expressão x −y 2x + 4 1 ⋅ ⋅ 2 2 4 x + 4 y ( x + y )( x + 2) ( x − y ) equivalente a: a) 2 b) x + y 599 c) ½ d) x – y e) 1 a −b ab + a a − ab : ⋅ 2 .y (x .b_. 2 a + b a − 2ab + b 2b + 2 . Simplificando para x = 12. Fatore e simplifique cada expressão abaixo: a) c) (x + y)2_ x2 . podemos dizer que o valor de _m2 + n2 + p2_.x_ b) ___a + 2___ x-1 a2 + 4a + 4 algébricas: d) a3 . mnp = 2 e mn + mp + np = 11.5.SP) Simplificando a expressão a seguir: ______ax . obtém-se: x y   a) xy 35. (FAAP . Fatore e simplifique cada expressão abaixo: 32. Dê o valor numérico da expressão x2 − 4 x2 − 2 x ⋅ x + 2 x2 − 4 x + 4 34. A 4 4 b) 1 expressão c) 0 d) – x que e) 1/x segue é 25. Dois números x e y são tais que x2 + y2 = 92 e que x + y = 19.12.Matemática a) Prof. Júlio 2 b) x − 9 x − 2x + 1 ⋅ = 2x − 2 2x − 6 64 − x 2 = 16 + 2 x 2 b) Dê sua forma mais simples.y) a) a b) 1 / (x . para a ≠ ± b.y2 x −1 3x − 1 2−x = b) = c) = 2 6x − 6 9x − 1 4 − xx x2 + 4 − 2 x x2 + 4x + 4 d) e) = = x3 + 8 x2 − 4 5 x − 10 = f) 2 25 x − 100 x + 100 28.y) c) a / (x . é igual: a2 – b2 a+b c) (a + b)3 / (a2 + b2) a) 1 / (a + b)2 2 b) [(a + b) / (a – b)] e) (2a2b + 2ab2) / (a – b) c) d) 1 / (a – b) 30. é:______. Fatore as expressões: a) x2 – 6xy + 9y2 = b) 81x2y2 – 16 = 21. obtemos: a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 e) nda 31. mnp 23. (UNICAMP) A expressão que segue abaixo: _a2 + 2ab + b2_ ÷ _a .a2 = e) 64 . (UNIMEP – SP) Se m + n + p = 6 . 26.7b = b) 3x2 + 12x5 . obtemos: x ( x .15x3 = c) 9x2 .1 = + p2z2 = 27. Então o valor de xy é: a) 271/2 b) 453/2 c) 269/2 d) 269/4 e) 227/2 22. Fatore as seguintes expressões a) 7a . (FGF – SP) Simplificando-se obtemos: a) 1/ (ab) b) ab c) (a +b) / (– a – b) d) – ab e) nda 33. c) Calcule seu valor numérico para a = 20 e b = 9.ay______ .a2 = f) m2n2 .2mnpz 20. C 22. 39850 15. 107 = ______________ 0. a) a2/2 b) 200 26.09)−1 .4)2 − (0.t)(1 + t + t2) d) (2 – x)(4 + 2x + x2) e) (a + 8x)(a2 – 8xa + 64x2) f) (1 + t)(1 – t + t2) g) (1 + x)(1 – x + x2) h) (3a + x)(9a2 . seu valor é: a) – 38/5 −2 b) 52/5 1 −1 E = 0. 2600 14. a) 7(a – b) b) 3x2(1 + 4x3 – 5x) c) (3x + 1)(3x – 1) d) a2(a – 1) e) (8 + a)(8 – a) f) (mn – pz)2 27. 60 10.16 + 2 −   c) 26/5 d) 41/5  3 e) – 34/5 +3 1 8 06. Calcule o valor da expressão abaixo.5 34.79 km/s = _______________ volume: 1083 000 000 km3 = _________________ circunferência polar: 40 009m = _______________ b) 12.5 x 10-9 d) 4. C 31. 1 64 + 4 −   + 2 2 1 2 −1 3 64 81 + (0. 300 11.5 . Júlio 1   2 1 2 −2 +1 125 2 − 0 + 5 −   + 3 27 3 4 1 2 03. 1800 13. 10 –10 = ______________ 07. 5 x 10-10 e) 0.2 2 + 2 − 2 b) 3 −1 + 2 −2 16 − 4 16 = 05. C 03. 12. B 33.Matemática GABARITO 01.5 x 109 a) 4.00032 .3 . 4x2y (xy3 + 3 – 5ax3y6 – 4xy) 04. C 29.5 x 10-8 08. Dada a expressão abaixo. O valor numérico da expressão E = 4 − 5 0 + 12 ⋅ 3 −1 + 2 4 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 é: e) 24 04. Calcule o valor das expressões abaixo: a) 12 + 3 27 = 0.2 ) −2 = c) 16 = −3 1 2 (0. escrito na forma científica. 90 12. a) 1 – 3x + 3x2 + x3 b) 1 + 6x + 9x2 c) 9x2 – 16 d) 18 + 2x2 02. 7 32.45 x 10-9 c) 4. A 35.C b) E = Prof.000 000 0045. Calcule o valor das expressões: a) E = 3  1125  5 2 2 −1   + 1 − 8 + 5 + (− 8)  2253  0 11. a) (2x + 3y)2 05. Calcule o valor da expressão abaixo. 1240 09. a) (x – 3y)2 b) (9xy + 4)(9xy – 4) 21.1)−2 (0. Qual é o valor numérico da expressão: a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 20 POTENCIAÇÃO 01. a) 1/3 b) 1/(2x + 1) c) (x + 3)/(x – 3) d) 1/(x2 + x + 1) e) 1/8 f) (x + 5)/(x2 + 5x + 25) g) 1/(2x – 3) h) 1/(3x – 2) i) x + 1 j) (8 – x)/2 k) 1/2 l) 6x + 3 m) (x + 3)(x – 1)/4 n) 1/3 q) 1/(2 – x) 25. 600 (0. Passe os número abaixo para notação científica a) sobre o planeta Terra: velocidade de translação: 29.5)−1 10. C 18. Qual é o valor numérico da expressão: (mostrar resolução) a) 10 −1 1 b) 12  1 64 + 42 −   + 3 64 + 12 − 2 c) 13  2 d) 14 e) 20  1 7 2  =     4 e) 1   5 = 02. a) 1/6 b) 1/(3x + 1) c) 1/(2 + x) d) 1/(x + 2) e) (x + 2)/(x – 2) f) 1/(5x – 10) 23.3ax + x2) i) (1 + 2t)(1 – 2t + 4t2) 19. é: b) 4. a) (x + 4)(x – 1)/4 b) (9 + x)/2 c) ½ 24. 109 = _____________ 3140. 3900 08. deixando da forma mais simples possível.0035 . 138 16.2)2 − (0. O Número 0. (x) b) (10xy + 2)(10xy – 2) () c) (5x + 2xy)( 5x – 2xy) (x) d) 2x(1 – 2y + 3xy) (x) e) 2xa(a – 3x + 5x2a3) (x) 06. deixando da forma mais simples possível. 10 –7 = ____________ 0. a) (3 – x)(9 + 3x + x2) b) (2a + 5x)(4a2 – 10ax + 25x2 c) (1 . B 30. Calcule o valor das seguintes potências: a) d) 24 = b) 3 –2 09. 3150 17. 1620 07. a) (x+3)(x-1)/4 b) (8 – x)/2 20. a) x b) 1/(a + 2) c) (x + y)/(x – y) 28. (UNOPAR – PR) A expressão 12. (ACAFE – SC) Sendo a = 1. d) nda 21. .2 = 9 + 5−1 b) 25 + 0. então C + A x B é igual a: a) –150 b) –100 c) 50 d) 10 e) 0 15. C 14.13 07.Matemática Prof. (0.083x109 .175 + 0. B 17.5)4 é igual a: a) 0.6 + 4 −1 = 5. Resolva as expressões abaixo: a) 3 81 + 0. então calcular a expressão abaixo em função de x. 2)3]-3. F. B = -32 + (-2)2 e C = (-3 – 2)2. então o valor de 10m/3 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 14. A 11. Júlio 23. A 20. V.2) . -425/23 10. Se 10m = 64.979x10 . qual o valor do expoente? 27. Classifique como verdadeiro ou falso: ( ) 27 . B 04. a) 1 b) 117/139 c) 189/6560 13. E 21.1. F.625 c) 0. Se x = 10-3. 28/3 19. F. F. a) 2500/29 b) 5/12 05. (PUC – SP) (0.11 c) –0. (FATEC – SP) Se A = (-3)2 .2 − 2− 2 + 5 32 c) 0. o valor da expressão _x3 . A 08.25x108 – 3. (CESCRANRIO – RJ) O número de algrismos do produto 517 x 49 é igual a: a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) 35 28. b3 = 57 e c4 = 58 e que a e c são dois números reais de mesmo sinal. ao escrever (a b c)9 como potência de base 5.001) . calcule e valor numérico da expressão que segue:_c2 + b_ _ _2a – c2_ b3 b – a2 a) –25 b) –7 c) 7 d) 11 e) 25 25.1_ é: 1 -x a) –11.008 + 4−2 − 2 + 0.5x10.00625 – 2 .11 b) –1. V 18. _(0.5 = 3 + 9 2 .4 – 3. a) 16 b) 1/9 c) 4 d) 49 e) 125 02. (OSEC – SP) Sabendo-se que a2 = 56. a) 11/5 b) 113/9 03. 10-5 d) 375 / 10-6 c) (3 + 3/4) . Resolva as expressões abaixo: a) 4 2 − 8 2 + 3 2 = b) 5 18 + 5 20 = c) 601 3 6 5 = d) 25 − 0. V.111 d) 1. A 09. (S. (STA. C 25. B 24. A RADICIAÇÃO 01.7500/243 12.11 e) 11. obteremos: b) 1 c) 2-6 d) 236 e) 2 a) 2-30 16.125 b) 0.2x105 – 3.A 06. (0. CASA – SP) Para x = 0. B 16.0001) 26. B 28. B 22.1.22. 66 27. 10-7 9 e) (375 .3− 2 13. (CESCEM – SP) Simplificando a expressão [29 : (22 .0009x104 b) 1. E 15. C 23. 10 ) 01. b = ½ e c = -2.1 24. Sendo 23x = 27 calcule o valor de y na expressão y = 22x + 2-x 19. V.1403x10. a) 2. (EFOA – MG) Qual dos números abaixo é igual a 0. (FGV – SP) A expressão (1/2)-3 + (1/2)-5 é igual a: a) (1/2)-8 b) 40 c) 1/40 d) –40 e) nda 22. 200x 26. 22 = 29 ( ) 39 : 34 = 35 ( ) 45 : 4-3 = 42 ( ) 75 – 73 = 72 ( ) 5x – 3 = 5x : 53 ( ) (73)2 = 75 ( ) (5 + 2)2 = 52 + 22 ( ) 103 / 105 = 10-2 18. 10-7 b) (3/8) .2) .ANDRÉ – SP) obtém-se: Simplificando a expressão a) 2n + 1 – 1/8 d) 1 – 2n b) 7/8 e) 7/4 c) –2n + 1 é igual a: a) 1 b) 3 GABARITO c) 5 d) 3√2 e) 5√2 17.000000375? a) (0. 10-1_ 10 .4. (UFSM – RS) Efetuando a divisão ex : ex teremos: a) e2 b) e-2 c) e2x d) e2x – 2 e) nda 20. (Fuvest) 11. C 04. C b) 63 3 25 10 . a)3 18000 b) 4 160 c ) 420 06. valor: d )3 1600 e) 4 960 f ) 1448 17. se x é igual a: 103 18 b) 24 10 24 60 f) 2 362 07.5 é igual b) 1 c) √2 – 3 d) –2 e) -2√2 (UFMG) O valor da expressão algébrica ..5√48 + 2√192) : 3√3 é igual a: a) 2 b) 1 c) 3√3 d) 2√3 3 =3 4 9 04. a) (CESULON – PR) Qual o valor de x. 7− 5 15.666. 09. a) 2 b) 3 c) 3 d) 2 e) 2 (UI) – Simplificando a expressão obtém-se: 3√5 √5 9+4 5 2√5 √5 2√5 + + + + + Simplificar os radicais. obtém-se o d) 3 4+ 2 33 4 = 3 2 = e) 16 − 2 − 2 + 480 − 120 − 2 30 a)¾ 07. Júlio b) 2 c) 3 d) –1 e) –2 (SANTA CASA) A diferença 80. E c) 36 08. obteremos: a) 3√2 b) 24√2 c) 15√2 d) . a) 60 2 105 c) d) 23 200 e) 4096 602 06. (UFCE) Simplificando a expressão : 3√2 . a) .2√18 + 3√72. Racionalizando a fração encontraremos: a)√7 2 + √7 b) c) 2√7 + 2√5 d) √5 e)√7 + √5 05. 1 b) 15√2 + 10√5 c) 5 d) 1 03. x –2 Prof. (UECE) – O valor da expressão 12[(√2)-2 – (√3)-2] é igual a: a) 2 b) √3 c) 3 d) √2 e) 6 16.Matemática a) 1 10.__1__ + x 3/2 + √ x. a) b) 7 c) 7/4 d) 2√30 e) √30 g) Simplifique os radicais abaixo: 8 3 = 3+ 5 2 2− 3 = h) i) 3600 = b) 3 648 = c) 5 3200 = GABARITO 01. (d) (e) x3 y y x a) 3√x / y d) √ y / x b) 6√x / y e) √xy c) 6√y / x Marque a alternativa INCORRETA: a) 2 < 5 < 8 b) 3 3 < 3 7 < 3 10 c) 3 4 < 4 5 d ) 2 32 = 3 8 e) 3 13.√2 02. (UFRGS) – A expressão √(3/5) + √(5/3) é igual a: a) 8/15 b) 3/5 c) 1 d) √(34/15) e) (8√15)/15 18. 2 .. fatorando-os. para x = 4 é: x–1 a) 23 / 3 b) 35 / 3 c) 3√16 + 91 / 48 d) 457 / 48 e) 467 / 48 (UFBA) – A expressão é igual a: 12. Resolva: 16 + 3 3 −2 − 81 + 4 4 1 2 05. (a) (b) (c) 03.15√2 14. a) Racionalize as frações abaixo: 2 3 5 = b) 3 4+ 2 2 = 7 1 2 = = f) c) 2 3 5 = Resolvendo a expressão abaixo. (UFMG) O quociente (7√3 . – 90. a: a) 2 02. 18. após a venda. maio e junho. 11. 1/3 das ações que possuía. a extensão dessa estrada é de: a) 125km b) 135km c) 142km d) 145km e) 160km 13. abril. possuía 256 ações.40. quando. A 10. (FGV – SP) A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. vendeu 1/3 das ações que restaram após a venda feita em janeiro. Assinale a afirmação verdadeira: a) O quociente do maior pelo menor é 2 b) O produto dos três números é 8000 c) Não existem números nessa condição d) Falta informação para encontrar os 3 números e) O produto dos três números é 7980 14. c) múltiplo de 5 apenas. a) 4 2 5 4− x 2 b) = + = 2x + 1 3 x−2 x x 2 − 2x 2−x 2 4 2 1 c) d) = + = x 3 x − 1 x 3x 2−x 2 4 2 5 f) e) = + = x +1 3 x − 2 x 3x 2 1 3 4 g) + = + x−2 x x x−2 05. A diferença entre um número e os seus 3 / 5 é igual a 10. nesse colégio? 11. a TV e o AC ligados por 4 horas por dia durante 30 dias? b) Qual é o consumo.Matemática 08. quantos são os possíveis valores de N? a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3 15. Sabendo que: I – o primeiro parte na direção leste com velocidade de 15 km/h. uma televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado [AC]. 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários têm mais de 40 anos. Júlio e) 2925 08. e) múltiplo de 3 e de 5. O consumo da lâmpada equivale a 2/3 do consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. B 12. em kWh. 4 3 5 03. 20% dos professores ensinam Matemática. A 15. Resolva as equações abaixo: a) 3(x – 4) + 5(x + 3) = 2(3x – 5) – 6 b) (x – 4) + 5(x – 3) = 2(3x – 5) 04.4_ é: 3 2 6 a) – 9/4 b) – 3/4 c) – 1/4 d) 25/14 e) 9/4 12. quantos professores há. 10/9 C B E a) 2√15/5 09. Então. a distância. (FUVEST – SP) – A soma de um número com sua quinta parte é 2. da TV? 603 EQUAÇÃO DO 1º GRAU 01.√6)/14 f) 4√15 – 12 √6)/14 e) 2√7/7 i) 4 + 2√3 3 2 3 09. Qual é o número? 02. no início de janeiro. ao todo. (UEL – PR) O número que satisfaz a igualdade _x_ _ _5x . Pergunta-se: a) Se um kWh custa R$0. Repetiu o mesmo procedimento em março.5 km/h. Qual é esse número? b) (4√3 . A soma de dois números ímpares consecutivos é 244. D c)2√5/15 g) d) (4√3 h) √2/2 a) 32 b) 15√13 c) 75 d) 225√13 Prof. Quais são esses números? 10.05. 1/3 dos funcionários tem idade menor que 30 anos. 14. Np início de fevereiro. duas horas após a partida.05 quilowatts hora [kWh]. qual será o custo para manter a lâmpada. Se a lâmpada. B 13. pode-se dizer que b é um número a) múltiplo de 2 e de 3. b) múltiplo de 2 apenas. cada um trabalhando a partir de uma das extremidades.7_ = _x . Sabe-se que N – M = 45. a) Quantos funcionários têm a referida empresa? b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos? 07. (Unicamp/2004) – Em uma empresa. 16. em km. a TV e o AC forem ligados simultaneamente. Calcule quantas ações este acionista vendeu no início de abril . O acionista de uma empresa vendeu. Sejam N um número natural de dois algarismos não-nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. d) primo. II – o segundo parte na direção norte com velocidade de 22. o consumo total de energia será de 1. Então. Resolva as equações abaixo e responda qual a condição de existência dec cada uma delas. (UNICAMP) . Dois ciclistas partem simultaneamente de uma cidade em direção reta. 06. Resolva as equações abaixo: a) c) 3 − x 2x + 5 x − 2 3x + 5 2 − x + = 1 b) + = 5 2 3 4 6 2x − 3 x + 3 2 − = . (UNESP – SP) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada. C 16. 17. Sabendo que o colégio ainda tem 24 professores que ensinam as outras matérias. (UPF/2004) – Se for adicionado um número inteiro b a sua quarta parte e o resultado for igual a 15. Se uma delas pavimentar dois quintos da estrada e a outra os 81 km restantes.Em uma sala há uma lâmpada. que os separa é: . Em um colégio. 19. com direito a utilizar 100 minutos em ligações. (PUCCAMP – SP) – Um artesão está vendendo pulseiras ( a x reais a unidade) e colares ( a y reais a unidade). 5/3 a) -21/8 b) -1/5 c) 129/10 a) -19/2 b) ∅ a) 10/7 b) 3/2 c) 6/5 d) 5/17 e) 4/5 f) 2/13 g) 1 288 06. (UNESP/1999) – Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas. o usuário pagou. 07. Paulo tem Prof. Se 3 pulseiras e 2 colares custam R$ 17. Pelas normas do concurso. nesse plano. R$ 3. teriam o valor exato do terreno. Paulo e Elmiro. No total. entre sócios e não sócios. este ficaria com a metade do vinho contido em B. ao que possuem.50 e) R$ 2.Matemática 17. 30 D 12. é: a) 850 b) 1150 c) 575 d) 950 e) 1100 19. os ingressos custam R$ 10.Dois amigos. Se um candidato obteve nota 17.70 d) R$ 2. quantos porcos e quantas galinhas havia neste terreiro? 08. Sabendo que o preço do ingresso foi de R$ 10.00 e todas as pessoas pagaram o ingresso. 05.90. A e B.00. os candidatos não poderiam deixar questões em branco e.1) a cada resposta errada. a) 96 b) 64 B 08. A soma de dois números é igual a 45 e a diferença entre eles é 37.450. Se fossem acrescentados 250 litros de vinho ao reservatório A.000. (ACAFE) – Dois tonéis. Resolva os sistemas abaixo: 11.00 c) RS 2. (UNITAU – SP) A solução do sistema de equações algébricas lineares  a) x = 1 e y = 1 c) x = y = 0 e) x = -1 e y = -1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES 1º GRAU COM 2 INCÓGNITAS 01. seriam atribuídos (+2) a cada resposta certa e (. Resolva o sistema 2 x − y = 5   x + y = 25 09. Sabendo que o total de pés eram 180. o número de questões que ele acertou foi: a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) 14 05. A nota da prova seria a soma dos valores atribuídos às questões. (EFOA/2004) – No Parque de Diversões Dia Feliz. A quantidade de vinho no reservatório B.20 b) R$ 3.00. o número de sócios presentes ao show é: a) 80 b) 100 c) 160 d) 140 e) 120 10. 25 121 e 123 10. 17. um usuário escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 68. contêm juntos 1400 litros de vinho. Júlio 04.00. R$ 113. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular. 09.00 para adultos e R$ 6. No último domingo. desejam. com a venda de 400 ingressos. o valor arrecadado foi R$ 1 400. em litros.00 mensais. Responda: a) No sítio de Paulo há gatos e gansos. juntos. a arrecadação foi de R$ 3. 13.09kwh R$ 5520. (EFOA/2005) – Em determinado concurso. assumindo o compromisso de pagar R$ 1. Resolva o sistema x + y =1 b)  x − y = 8 2 x + y = 11   x + y=5  2  12. 7 Se juntarem. 11.4 b) 0. comprar um terreno. 03. B E 14. Quais são estes dois números? 2 x + y = 10 a)  x− y =8 03. Resolva os sistemas abaixo:  x− y =2 é dada por: 2 x + y = 1 b) x = -1 e y = 1 d) x = 1 e y = -1  x+ y =4 a)  2 x − y = 5 3 x − y = 14 b)   x− y =4 02. 02. na correção da prova. Resolva o sistema 1 5 do valor do terreno e Elmiro 1 . A divisão entre o número de adultos e crianças pagantes foi: a) 2 / 5 b) 3 / 4 c) 3 / 5 d) 2 / 3 e) 4 / 5 06.00 e que cada sócio pagou a metade desse valor. No terreiro de uma fazenda havia 65 animais entre galinhas e porcos. Quanto tempo o telefone foi utilizado nesse mês? a) 1 h 52 min b) h 25 min c) 2 h 35 min d) 2 h 45 min e) 2 h 52 min GABARITO 01. B A 16. (UFPB) . No mês passado. E B  2x + y = 9   x + y = 15 2 2  07. Sabendo que a soma de gatos e gansos é 16 e que a soma das patas 604 . o preço de cada pulseira é: a) R$ 3. os candidatos fizeram uma prova contendo 25 questões.50 e 2 pulseiras e 3 colares custam R$ 20.00 13.00 18. Quanto custa o terreno? 18. 15.02 por minuto excedente. a) 50. 04.00 para crianças. que número Paulo obteria? 14. por R$ 0. o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 17. 18. a) {(3. (FUVEST – SP) Um casal tem filhos e filhas. perdia 1 ponto.00 e com a sobremesa. (MÉD.Matemática desses animais é 42. Em seguida. C A 17. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 20.A maior raiz da equação – 2x2 + 3x + 5 = 0 vale: .2)} b) {(9/2. 10. E D 11. a prova de Matemática apresentava 20 questões.00 b) R$ 1. José tomou duas médias e comeu três pães com manteiga. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. O total de alunos que fazia prova nessa sala era: a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 16. a soma das nossas idades será 72 anos.00 22. Júlio Encontre o número de pessoas neste grupo Qual o preço do prato principal? 22. 03. ao somar a quantidade de patas desses animais.30 a menos do que o preço de cada pastel d) R$ 0. Quando você tiver a idade que eu tenho. O produto de um número inteiro positivo pelo seu consecutivo é 20. 21. E C 06. o candidato ganhava 3 pontos e. Para cada questão respondida corretamente. (UFF – RJ) Um baleiro vende n balas. A E 19. Qual é o número? 04.7)} 25 porcos e 40 galinhas {(10. retiraram-se 31 rapazes. (EFEI – MG) Dois números naturais são tais que a sua soma é igual a 209 e o quociente do maior deles pela diferença entre eles é igual a 6.00. Qual é esse número? 05. 41 e 4 D 13.96. Em um dado momento.64 = 0 03. Com o prato principal. (PUC – SP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala.2 x + 4 = 0 d) 3 x² . retiraram-se da sala 15 moças. B EQUAÇÕES DO 2º GRAU 01. Dê o conjunto solução de cada uma das equações abaixo. (UNI-RIO – RJ) Num concurso. 3 pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$ 3. 05. a) x2 – 20x = 0 b) x2 – 16 = 0 c) 2x2 – 3x – 2 = 0 d) 3x2 – 10x + 3 = 0 e) x2 – 7x + 12 = 0 f) x2 – 225 = 0 g) x2 + 3x = 0 h) x2 + 6x + 8 = 0 i) 2x2 – 8 = 0 j) x2 + 8x = 0 k) 2x2 – x – 1 = 0 l) 2x2 – 10 = 0 m) 3x2 – 5x + 9 = 0 n) 3x2 + 8x = 0 o) 2x – 4 = 20 p) 5x – 8 = 32 q) x2 – 10x + 21 = 0 r) 4x2 – 8x = 0 02. Se vender 15 balas a menos. um mínimo de 28 pontos. João e Pedro foram juntos à padaria.3)} 04. ficando na sala igual número de moças e rapazes. cada sobremesa custou R$ 3. Nesse caso. No mesmo local. 605 a) b) Prof.30 cada uma.a) 5 gatos e 11 gansos b) 30 95 e 114 15. nessa prova.08 d) R$ 1. Sabendo-se que para ser aprovado deveria totalizar.20 a mais do que o preço de cada pastel e) R$ 0. E 45 21. A minha idade é: a) 24 anos b) 32 anos c) 8 anos d) 40 anos e) 16 anos GABARITO 01. 15.60.45 cada uma. R$ 35. pagando R$ 1.12 e) R$ 1. (UNICAMP – SP) Em um restaurante.70 b) R$ 0. 12. Encontre esses números. todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. pagando R$ 1. por R$ 0.80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante.50 c) R$ 0. ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças.15)} 09. 20.24 x + 16 = 0 c) x² . o grupo gastou R$ 56. sendo os reais o conjunto universo. -7/2)} {(4. 07. a) x² + 9 x + 8 = 0 b) 9 x² . Quanto pagou Pedro? a) R$ 1. quantos gatos e quantos gansos há no sítio de Paulo? b) Se morressem 2 gatos e 2 gansos. a) 7 b) R$ 8. 16. CATANDUVA – SP) Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. cada copo de refrigerante custa: a) R$ 0. (ESPM – SP) – José. 1)} a) {(6.74. Pedro tomou uma média e comeu dois pães com manteiga. A diferença entre o quadrado de um número e o seu triplo é igual a 4. obterá os mesmos L reais. 08. 14.16 18.1)} b) {(5.00 a menos do que o prato principal. Determine o valor de n. (CESGRANRIO-RJ) . Calcular o discriminante de cada equação e dizer quantas soluções diferentes cada equação possui.15 x + 12 = 0 e) 10 x² + 72 x . (UEL – PR) Num bar paga-se R$ 5. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs.20 a menos de que o preço de cada pastel 19.04 c) R$ 1. {(1. e obtém L reais. João tomou três médias e comeu dois pães com manteiga. 02. para cada questão respondida erradamente ou não respondida. Calcule esta largura sabendo que o terreno tem área igual a 2400m2. depois de resolvida.Dada a equação (m – 1) x2 + 2mx – (m+1) = 0. 26. Qual é esse número? 22. Sabe-se que uma equação do 2º grau. 1/6} 09. 23. Qual das equações representa este problema? b) x2 + x – 1 = 0 c) x2 – x a) x2 – x + 1 = 0 2 e) nda – 1 = 0 d) x + x + 2 = 0 33. Sabe-se que o número 2 é raiz da equação ax2 – 6x = 0. (UFOP) – Resolva a equação fracionária: 12.3_ = 1 x+1 x–1 b) 6x -2 – 17x .27x -3 √5 = 0 606 x+3= 5 3− x 20. conforme a figura. Possui duas soluções reais iguais. 2 x é verdadeira. . (UFV). Sendo x. A diferença entre o quadrado de um número e o seu quíntuplo é igual a – 4. x” + 3(x’+ x”) 17. somado com 1. 08) Para m = 2 a equação x2 +3x – 4m = 0 possui duas raízes reais distintas. determine “m” de forma que a equação tenha uma raiz real dupla. a) 2m b) 3m .2_ + _x . se x2 for igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4 e)nda 29. -1}. Resolvendo a equação x2 – 8x + 12 = 0.1 + 12 = 0 c) (2 – x)2 = 2 – x 24. Júlio c) 4m d) 5m e) 6m 21.3 em R. 6} c) S = {2. (UFSE) – A equação _x – 3_ + _1_ = . Qual foi a equação que deu origem à este conjuntosolução? 19. Estes números podem ser: a) 1 e 10 b) – 2 e – 10 c) 2 e 10 d) – 1 e 10 e) 1 e – 20 15. seja igual ao seu inverso”.6} e) S = {1/2. Obtenha a soma dos itens associados a afirmações corretas: 01) A equação x2 + x = 0 possui duas raízes reais distintas.2 b) 0. calcule o valor de: x’. Em volta desta casa foi plantada grama ocupando uma largura de x metros. 25. Calcule o valor de “a” de forma que a equação ax2 + (a+1)x = 0 tenha duas raízes reais iguais. 14. O quadrado de um número somado com seu quádruplo é igual a 5. então x é igual a: a) 1 b) 1/2 c) 0 d) 1/4 e) 3 28. determine o valor de x. (UFRGS) – Um valor de x na equação ax2 –(a2 + 3)x + 3a = 0 é: a) 3a b) a/3 c) – a/3 d) 3/a e) . Resolvendo a equação encontraremos como solução os números: a) 1/7 e – 2 b) 6 e 2 c) d) 1/7 e 2 e) -3 e 1/7 .5 e) (3 + √9)/4 Prof. 07.2. 13. 02) A equação x2 + 4 = não possui raiz real. Obtenha a outra raiz. Em um terreno retangular foi construída uma casa que mede 50m por 30m. Em um quadrado. (PUC – SP) – Considere o seguinte problema: “Achar um número que. .7x + 1 = 0 é: a) 0. (PUC – SP) – Uma das raízes da equação 0. a) b) c) d) e) b) 1 c) 2 d) 2. Sabendo que x’ e x” são as raízes da equação do 2º grau 2x2 + 10x – 8 = 0. o número que expressa a área é igual ao número que expressa o perímetro.5 c) 7 d) 2 e) nda A equação de segundo grau 2x2 – 5x + 7 = 0: Não possui solução real. (FUVEST – SP) – Se x . Resolva as equações: a) (x – 3)2 = 5x + 9 2 b) x – 6x + 9 = 0 18. números 04) As raízes da equação . Tem uma solução igual a 2.6} d) S = {. 30. Possui duas soluções reais diferentes. Calcule os valores de m na equação x2 –mx + 9 =0 para que esta equação tenha uma raiz dupla.1 x2 – 0. Resolva: a) _x . Resolver a equação (x – 1)2 + (x + 2)2 = 9 11. 31.x2 + 25 = 0 são opostos. resultou no seguinte conjunto-solução: S = {3. (PUC – SP) – Quantas raízes tem a equação 2x2 –2x +1=0? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nda 08. (1 – x) = 1 / 4. Calcule a soma e o produto das raízes das equações abaixo: a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 + 7x + 40 = 0 c) x2 – 8x + 4 = 0 d) 3x2 .2. Calcule dois números naturais e consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja 85. encontraremos como solução: a) S = {2.3/a 32. Resolva: 1 x 2x 1 − + 2 + =1 x + 1 x −1 x −1 2 27. Tem o discriminante positivo. 6} b) S = {. A diferença entre o quadrado de um número e o seu nônuplo é igual a 10. a medida do lado desse quadrado. Qual é este número? 16. 7 e – 2 10.Matemática a) -1 06. (UFG – SP) – Para que a soma das raízes da equação (k – 2)x2 . Os números são: a) 160 e 161 b) 90 e 91 c) 125 e 126 d) 20 e 21 e) 55 e 56 52. a soma dos inversos das raízes é –5. B 32.1/3 c) k = 1/3 d) k = √3 e) k = √3/3 46. a) {0. não tem raiz real d) 81. Sendo S a soma da equação 2x2 – 10x 35.2)x + β .4} f) {-5. (UFPR) – Se as raízes da equação x2 + bx – 29 = 0 são inteiros. A 09. x2 – 2x – 3 = 0 19. 3 25. o valor de m é: a) 3/4 b) – 4/3 c) 27/4 d) 0 e) nda 49. O número inteiro mais próximo do número 5 . 4 04. ±√2/2 13. e) m = 2 e n = 3 Prof.-3} h) {-2. b) a soma dos dois números. D 29. -5 e 1 16. a) {0.-8} k) {1. com coeficientes inteiros e irredutíveis. Calcule o valor de β. (CESESP) – Qual deve ser o valor de m na equação 2x2 – mx – 40 = 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 8 ? a) 8 b) – 8 c) 16 d) – 16 e) nda 44. A soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x 2 = 0 são.-8/3} o) {12} p) {8} q) {3. Determine a correspondente equação do 2º grau. (FEI – SP) – Sendo a e b as raízes da equação 2x2 5x + m = 3 então. (Fuvest) – Sejam x’e x”as raízes da equação 10x2 + 33x – 7 = 0.20} b) {-4.√5} m) ∅ n) {0. duas raízes distintas b) 0. 50. 2 26.3 = β 0 seja igual a 10: 53. 6 e 7 23. x” + 2(x’+ x”) é: a) – 33 b) – 10 c)– 7 d) 10 e) 33 39. A 10.4} c) {2. raízes e P o produto das raízes = 0. ± 2 20. Sendo α e β as raízes da equação 7x2 – 13x + 5 = 0.2} 02. m = ± 6 30.V. se 1/a + 1/b = 4/3. a) 81 b) 27 c) 9 d) 3 e) 1 51. (ESAAP – SP) – A soma dos quadrados de dois números positivos é 27 e a soma dos inversos de seus quadrados é 3. então v2 + w2 é igual a: a) a2 – 2b b) a2 + 2b c) a2 – 2b2 d) a2 + 2b2 e) a2 – b2 48. duas raízes distintas 03. calcule o valor de S – 2P. (UFAM) – Quais os valores de b e c para que a equação x2 + bx + c = 0 tenha como raízes 5 e –3 ? a) . Os valores de m e n são: a) m = 3 e n = 2 b) m = 4 e n = 1 c) m = 1 e n = 4 d) m = 2 e n = 1 607 47. D 21.3kx + 1 = 0 seja igual ao seu produto.1/3} e) {3. (FEI). GABARITO 01.V 31.1} 11. A . Calcule o valor de p. respectivamente: a) 10 e – 5 b) 1/10 e 1/5 c) – 1/10 e – 1/5 d) 1/10 e – 1/5 e) 1/5 e – 5 37. 3 ± √6 12. (PUC – PR) – A soma e o produto das raízes da equação x2 + x – 1 = 0 são respectivamente: a) –1 e 0 b) 1 e –1 c) –1 e 1 d) –1 e –1 e) nda 43. {-2. x’. para o qual a soma dos quadrados das raízes da equação x2 + (β .-1/2} l) {-√5. Júlio 34. calcule o valor de: a) α + β b) α . D 06. A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos dos seus quadrados é 1. D 27. Se a e b são raízes da equação 2x2 – 5x + 4 = 0. 4 05. duas raízes iguais c) -12.11} b) {3} 18. V. calcule o valor de S – P. a) 49. onde a e b são coeficientes reais. a partir das raízes: a) raízes 2 e –3 b) raízes –4 e 4 c) raízes 0 e 1 42.2} 24. (PELOTAS – RS) – A soma de dois números consecutivos é igual ao oito quintos do primeiro mais os três sétimos do segundo. duas raízes distintas e) 3856.Matemática e) f) g) 2x2 – x – 1 = 0 x2 – 2x = 0 4x2 – 7x + 1 = 0 das +6 das +6 raízes e P o produto das raízes = 0. 1 e 4 22. D 15.-1/2} d) {3.3/4} c) {1. então o valor de a3 + b3 é: a) 3/8 b) 5/8 c) 7/8 d) 2 e) 3 54. Sendo S a soma da equação 3x2 – 12x 36.4} j) {0. β c) α2 + β2 c) 1 / α + 1 / β 41.V. devemos ter: a) k = ± 1/ 3 b) k = .5}b) {2/3.5} g) {0. (ESAL – MG) – A soma e o produto das raízes da equação (m – 1)x2 + 2nx + n – 8 = 0 são – 6 e – 5 respectivamente.2 e – 15 b) 5 e –3 c) 15 e 3 d) –5 e 3 e) nda 45. 38. Determine o produto dos dois números. a) {0. A 08. B 28. – 19 17. (PUCCAMP – SP) – Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0.Na equação do 2º grau 4x2 + px +1 = 0. Determine: a) o produto dos dois números.7} r) {0. A 07. calcular b. Determine mentalmente as raízes das equações: b) x2 + 7x – 8 = 0 a) x2 – 9x + 8 = 0 d) x2 + 9x – 10 = 0 c) x2 + 4x + 4 = 0 40. – 1 14.-4} i) {-4. (INATEL) – Seja f a função definida por f(x) = 4x2. sua imagem e seu contra-domínio. podemos concluir que o conjunto imagem desta função é: a) Im(f) = {1.1} c) {-2} d) {-10. calcule o valor de: a) f(3) b) f(1) c) f(5) d) g(6) e) f(. Se f(2) + g(. 51. então a e b valem. a) S = 5 e P = 6 b) S = -7 e P = 40 c) S = 8 e P = 4 d) S = 9 e P = -√5 e) S = 1/2 e P = -1/2 f) S = 2 e P = 0 g) S = 74 e P = ¼ 35. 5} e) Im(f) = {1. B {1. 5. (FUVEST) . qualquer que seja o valor da variável x.PR) Seja a função f(x) = ax3 + b. o valor de f(2) + f(4) é: a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 Determine: 608 . b]. (UEL . necessariamente uma função injetora.1} 13/7 b) 5/7 c) 99/49 d) 13/5 x2 + x – 6 = 0 b) x2 – 16 = 0 c) x2 – x = 0 43. 28 50. 5}. então: f não pode ser uma função bijetora. B 2 b) √6 Prof. 40. Sabendo-se que f(2) = 1. (PUC – MG) – Considere as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = x + m. a única que representa o gráfico de uma função real y = f(x). em uma região. Se f(-1) = 2 e f(1) = 4. 4. ao longo de um período de 24 horas. 3. 5. (UFMG) – Das figuras abaixo. Sendo f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x – 3.8} b) {-8. 3.6) j) f(1/3) – g(1/2) 07. 0 36. f é necessariamente uma função bijetora 04. (UFRGN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. 54. 4. 2. Se A = {-1.2/3. A 49. A 46. 3.Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1).1) = 7. Na função f: A → B representada abaixo escrever seu domínio. 2. 41. Seja f uma função de R em R tal que f(x) = 3x2 – 5.2) f) g(3) g) f(1) – g(1) h) 3f(4) – g(. 42. 02. 7} b) Im(f) = {0. 5. não pode ser uma função injetora T ( o C ) . x ∈ [a. O valor de f(x + h) – f(x) é: b) 8x + h2 c) 2xh + 4h2 a) 8x + 4h2 d) 8xh + 4h2 e) NRA 13. Se f: E em P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores. 2 5 a) a) a) D C C D a) FUNÇÃO 01. 45. Júlio 05. 48. D 52. 2. C 38. podemos concluir que f(5) é igual a: a) 1/2 b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10 08. {0. 8} 11.6} 53. (UDF) – Sabendo que f(x) = x/2 . 7. 5} d) Im(f) = {2. a) d) e) f fé b) c) f é uma função sobrejetora. Seja f uma função de A em B tal que f(x) = x + 2. 4. C 44. E 47. Se f(x) = 3x + 5. (UFV/2003) – O gráfico abaixo ilustra a evolução da temperatura 34.1. o valor de m é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 06. 7} c) Im(f) = {. 39. respectivamente: a) -1 e -3 b) -1 e 3 c) 1 e 3 d) 3 e -1 e) 3 e 1 12.5) i) g(3) – f(. determinar o valor de f(1/2) + f(-2/3): a) -17/12 b) 0 c) -5/12 d) -1 e) nda 09. é: a) b) c) d) e) 03. o valor de f(3) é: a) 17 b) – 17 c) 22 d) 34 e) 32 10. 37.Matemática 33. Matemática a) os horários em que a temperatura atinge Prof. Júlio 0 C. o b) o intervalo de variação da temperatura ao longo das 24 horas. (Dizer quais são os intervalos em que a temperatura cresce e quais são os intervalos que ela decresce) c) os intervalos de tempo em que a temperatura é positiva. 14. (UFJF) – O consumo de combustível de um automóvel é medido pela quantidade de quilômetros que percorre gastando 1 litro do combustível (km/L). O consumo depende, dentre outros fatores, da velocidade desenvolvida pelo automóvel. O gráfico abaixo indica o consumo, em km/L, em função da velocidade desenvolvida por certo automóvel, em km/h, em um determinado percurso. A análise do gráfico mostra que, para velocidades entre 40 e 100 km/h: contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função: f(x) = (300x) / 150 – x. Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50 20. Obtenha a soma dos itens que são corretos: 01) O conjunto-imagem da função f: A → A, onde A = {0, 1, -1, -2} definida por f(x) = -x2 possui apenas dois elementos. 02) Se f(x) = 1 - x2, então f(0) > f(1). 04) Se f(x) = x, a soma f(-10) + f(10) = 4 f(-5). 08) Se f(x) = x + √x2, então f(-2) + f(2) = f(0). 16) f(4) = 5 quando a função f é definida por f(x) = √5 + 2√x. 21. (FUVEST – SP) – A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = – 3 x e) f(x) = 1,03x 22. (UFF) - Uma função real de variável real f é tal que f(1/2) = √π e f(x+1) = x.f(x) para todo x ∈R. O valor de f(7/2) é: a) π b) 7 √π c) π/2 d) (15 √π)/8 e) (π√7)/15 a) b) c) d) e) o maior consumo se dá aos 60km/h; quanto maior a velocidade menor é o consumo; o consumo é diretamente proporcional à velocidade; o menor consumo se dá aos 60km/h; o consumo é inversamente proporcional à velocidade. – Seja a função 23. Seja a função f(x – 4) = x3 + 1, calcule o valor de f(3) + 4.f(5) – f(0). 24. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. Calcule o valor de f(0). 25. (UI – MG) – Observe o gráfico: 15. (UFLA/2006) 2  x + 1, se x ∉ Q  f ( x) =  x − 1, se x ∈ Q e x ≥ 1 ,  3, se x ∈ Q e x < 1  f( − 2 ) + f(- ½) é o mesmo de: a) f(11) b) f(3) c) f(-5) o valor de f(5) + d) f(0) 16. Sendo uma função f: R → R definida por f(x) = 2 - x, assinale a alternativa correta: a) f(-2) = 0 b) f(-1) = -3 c) f(0) = -2 d) f(1) = 3 e) f(-3) = 5 17. (UFPA) – Dada a função f: A → B onde A = {1, 2, 3} e f(x) = x - 1, o conjunto-imagem de f é: a) {1, 2, 3} b) {0, 1, 2} c) {0, 1} d) {0} e) nda 18. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a alternativa que define uma função de A em B: a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)} 19. (PUC - MG) Suponha-se que o número F(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, 609 Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, exceto: a) D = { x ∈ R / - 2 ≤ x ≤ 5} b) f(x) é crescente ∀x ∈ R/ 2 ≤ x ≤ 3 c) Im = { y ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 2} d) f(x) é decrescente ∀x ∈ R/ -1 ≤ x ≤ 2 e) Para 3 ≤ x ≤ 5, y ≥ 0. 26. Seja a função f(x + 2) = x3 + 3f(x) e f(1) = 3, calcule o valor de f(5). 27. Coloque (S) se a função for sobrejetora, (I) se for injetora, (B) se for bijetora e (N) se for nem sobrejetora, nem injetora: ( ) f: R em R tal que f(x) = 2x + 5 ( ) f: R em R tal que f(x) = x2 – 3x + 4 ( ) f: {1, 2, 3} em {2, 6}, tal que f(1) = 2, f(3) = 6, f(2) = 6 ( ) Matemática 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 29. A 15. A E 17. B C 19. B 02 e 04 21. B D 23. 2857 2 25. D 57 27. B,N,S,I,I a) 11 b) – 4 c) -52 E 30. D Prof. Júlio ( ) f: [a, b] em [c, d], tal que: FUNÇÃO DO 1º GRAU 01. Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(-1). 02. Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5? 28. Dadas as funções f(x) = 3x + 5; g(x) = x2 - 2 e h(x) = 3x, calcule: a) f(2) b) g(5) - h(3) c) 2.f(0) - g(8) 29. (UFF-RJ) – O gráfico da função f está representado na figura abaixo. Sobre a função f é falso afirmar que: 03. b) c) d) e) f) g) h) i) Calcule a(s) raiz(es) das funções abaixo: f(x) = 3x + 4 f(x) = 3x + 6 f(x) = - 2x +8 f(x) = - x - 48 f(x) = x + 43 f(x) = 5x – 40 f(x) = - 3x + 20 f(x) = - 6x + 44 04. Para cada função do 1º grau abaixo, diga quem é o coeficiente angular e o coeficiente linear. a) f(x) = 3x – 6 b) f(x) = - x + 3 a) b) c) d) e) f(1) f(2) f(3) f(4) f(2) = f(2) = f(3) = f(7) = 3f(1) – f(3) = f(1) + f(3) = f(5) 05. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado abaixo. O coeficiente linear e a raiz da função são, respectivamente: 30. (Cefet-RJ) – Uma função f(x), de domínio |R, está representada no plano XOY, como mostra a figura. Então: a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) f(–3) = f(2) f(x) = x, para x < –3 a função é inversível f(x) = x + 6, para x < – 4 f(0) = 3 3e3 5e3 3e5 5e5 5/3 e 3/5 06. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de m. 07. (UNAMA) – O ATAQUE DOS ALIENS “Caramujos africanos, medindo 12 centímetros de comprimento e pesando 200 gramas na fase adulta, trazidos para substituir o caro e requintado escargot, viraram praga em 23 Estados do Brasil. Donos de uma capacidade reprodutiva impressionante, pois são hermafroditas e botam 2 400 ovos por ano cada um. Em Casimiro de Abreu, no estado do Rio, onde também se tentou criar o caramujo para fins alimentícios, a prefeitura chegou a oferecer 1 real para cada quilo de molusco recolhido. O alienígena da vez é o caramujo africano.” Veja, São Paulo: Abril, 22 set. 2004. Adaptação. 610 GABARITO 01. 02. 04. 06. 07. 09. 11. 13. D=A, CD=B e Im={3,4,-7,9,-1} B 03. B C 05. A a)8 b)2 c)14 d)9 e)-7 f)3 g)3 h)46 i)22 j)2 C 08. A C 10. A E 12. D a)2h,8h e 24h b) T cresce: 4<t<12 e T decresce: 0<t<4 ou 12<t<24 c) 0<t<2 ou 8<t<24 Matemática Se dois moradores de Casimiro de Abreu ganharam juntos R$ 90,00 num dia, recolhendo caramujos africanos adultos e a razão entre o número de caramujos recolhidos por esses dois moradores é de 5 para 4, então o morador que mais recolheu conseguiu: a) 35 b) 45 c) 50 d) 60 e) 65 Prof. Júlio 08. (FATEC – SP) – Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de quantas semanas? a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 09. (PUC-PR) – Sejam as funções reais definidas por f(x) = x-1, g(x) = ax + b e f(g(x)) = -2x, o gráfico de g(x) é: a) b) a) b) c) N = 100 – 700 C N = 97 + 0,03 C N = 97 + 600 C d) N = 94 + 0,03 C e) N = 115 – 94 C c) d) 12. (UFMG/2008) – Uma concessionária de energia elétrica de certo estado brasileiro possui dois planos de cobrança para consumo residencial: • o Plano I consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 24,00, que permite o consumo de até 60 kWh, e, a partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 0,90; • o Plano II consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 40,00, que permite o consumo de até 80 kWh, e, a partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 1,10. a) ESBOCE, no sistema de coordenadas abaixo, os gráficos das funções que representam o custo para o consumidor, em função do consumo de energia elétrica, no Plano I e no Plano II. 10. (CEFET-PR) – Newton quer imprimir folhetos com a propaganda de sua empresa. Na gráfica A, o custo para a montagem deste folheto é de R$ 120,00 e o valor da impressão por unidade é R$ 0,20. A gráfica B cobra R$ 80,00 para a montagem e R$ 0,25 para impressão de cada unidade. Após análise cuidadosa, Newton concluiu que: a) é vantagem fazer a encomenda na gráfica B para qualquer quantidade de folhetos. b) a gráfica A oferece um custo menor que a B para um número de folhetos menor que 800. c) se encomendar 1.000 folhetos da gráfica B, irá gastar R$ 320,00. d) se desejar 1.000 folhetos gastará menos se encomendar da empresa A. e) para a quantidade de 800 folhetos, o custo de qualquer das empresas é igual a R$ 290,00. 11. (UFF/2004) - Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido deenxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista “ Science” em 1972 concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação de SO2 , estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m3, do SO2 conforme o gráfico abaixo: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura.Com base nos dados apresentados, a relação entre e C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser dada por: b) Determine a faixa de consumo em que o Plano II é mais vantajoso para o consumidor. 13. (UNICAMP – SP) – O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e dada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: a) o preço de uma corrida de 11km; b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. 14. (UI - MG) – O gráfico da função f(x) = ax + b) passa pelos pontos (1, 2) e (0, -1). Pode-se afirmar que a2 . b1/3 é: a) – 4 b) 4 c) – 9 d) 9 e) 5 15. (UFPE) – Sabendo que os pontos (2, - 3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico da função f: R em R definida por f(x) = ax + b, determine o valor de b - a. 611 c c c c c < < < > > 0 0 0 0 0 a) b) c) d) a>0 b<0 f não tem raiz f possui valor mínimo 612 04. 12. encontrando-se uma fonte de água mineral a 46ºC. 05. dada por f(x) = 2ax2 – 4x + 2a. a 100m de profundidade.00 e cada litro de gasolina custa R$ 1. c) f atinge um máximo para x = 1.b<0 Prof. 0. determine o número de km rodados num táxi da empresa que não isenta a bandeirada. a temperatura é de 25ºC. b) Calcule quanto pagará a pessoa se lavar seu carro e colocar 15 litros de gasolina no seu automóvel. 3ºC a cada 100m de profundidade.00 mensais.90. sabendo-se que o preço da corrida apresentado foi de R$ 30. A afirmativa certa é: a) b) c) d) e) a a a a a > < < < < 0.Matemática 16.1) é: a) 0 b) c) d) 3 e) 4 03. 03. 22. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular. 1 a)-4/3 b)-2 c)4 d)-48 e)-43 f)8 g)20/3 h)22/3 a) CA=3 e CL=-6 b) CA=-1 e CL=3 C 06. (FAAP)– Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta. Quanto tempo o telefone foi utilizado nesse mês? d) 1 h 52 min d) 2 h 25 min e) 2 h 35 min e) 2 h 45 min f) 2 h 52 min 22. (FAAP – SP) – Considerando o mesmo enunciado acima. 0. (FAAP – SP) – Admitindo que em uma determinada localidade uma empresa de táxi cobra R$ 2. a lavagem de um carro médio custa R$ 10. Assim. 19. 0. do primeiro grau.00 por km rodado. o usuário pagou. No mês passado.90. E 15. 0. assumindo o compromisso de pagar R$ 1.00: a) 10km b) 18km c) 16km d) 14km e) 22km 18. D 23. . d) f é tangente ao eixo das abscissas. a profundidade dela será igual a: a) 700m b) 600m c) 800m d) 900m e)500m 20. C 18. b b b b b > < > > < 0. D D a) b) 77<x<90 13. um usuário escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 68. 0. D A 20. podemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade é: a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC 19. e outra empresa cobra R$ 3. (UFCE) – Considere a função f: R → R. 11.00 a bandeirada e R$ 2. definida por f(x) = x2 – 2x + 5. 6 FUNÇÕES DO 2º GRAU 01. 04.Se f é uma função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e f(330) = 1000. E 21.9 14. 0. A respeita da função f(x) = ax + b representada no gráfico abaixo. com direito a utilizar 100 minutos em ligações. assinale a alternativa correta: e) a.C a)P=1. aproximadamente. 0. R$ 113. (UFMG) O trinômio y = ax2 + bx + c está representado na figura. então f(20) é igual a: a) 901 b) 909 c) 912 d) 937 e) 981 21. 16. Nessas condições. 23. b) f possui dois zeros reais e distintos. então f(250) é igual a: a) 400 b) 590 c) 760 d) 880 e) 920 17. dona de um carro médio) em função da quantidade de gasolina que irá comprar no mencionado posto? (Considere que será feita também a lavagem do automóvel). Num certo local. (UEL – PR) – Se uma função f. B 10. 4 07. 0. Júlio GABARITO 01. A função real f. Calcule as raízes das funções abaixo: j) f(x) = x2 – 4x + 3 k)f(x) = x2 + 6x + 5 l) f(x) = 2x2 – 6x m) f(x) = x2 – 16 n) f(x) = x2 – 5x + 8 o) f(x) = x2 – 5x + 9 p) f(x) = 2x2 – 7x + 3 02. 08. tem um valor máximo e admite duas raízes reais iguais.00 por km rodado e não cobra bandeirada. C D 09. (UEL – PR) . Responda: a) Qual é a equação que representa a quantia paga por uma pessoa.02 por minuto excedente.9 b) 21km C 17. Num posto de gasolina.9x b) 26. o valor de f(. 1 02. nesse plano. é tal que f(1) = 190 e f(50) = 2 052. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1. a)$12. 4). em dezenas de quilos por hectare.8x + 7. Seja f(x) = x2 – 4x + 5.0. o fertilizante passa a ter ação tóxica. ( ) Seu gráfico não corta o eixo y. as plantas não chegam a crescer.5 . os valores de p. Seja a função f(x) = ax + b e a função g(x) = cx2 + dx + t. sendo V = (. Sobre f(x) coloque V se verdadeiro e F se falso: ( ) f(x) tem a parábola voltada para cima.5.c. ( ) O vértice tem abscissa igual a 4. assinale V ou F: ( ) o gráfico é uma reta ( ) o gráfico não toca no eixo y ( ) o gráfico toca no eixo x apenas uma vez ( ) tem x do vértice igual a – 3 ( ) não possui y do vértice ( ) o gráfico é uma parábola voltada para cima 15. Se f(x) = x2 – 3x e g(x) = 3x – 6 calcule o valor de f(2) – g(5). 5 . (PUC – MG) – O ponto V (vértice) da função quadrática f(x) = x2 – 6x + 8 é: a) um máximo. 13. ( ) f(x) tem ponto máximo.3. (UEL – PR) – Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y = 3x2 – 5x + 9. 5). 16. O valor p corresponde à altura das plantas quando nenhuma quantidade de fertilizante é adicionada. d) não possui raiz real. calcule os valores de m e n.3.02x2 + 0. 10 .5 . Supondo que 613 2 Analisando os gráficos é possível afirmar que: a) b + c < 0 b) a = b = c = d = t c) a / c > 0 d) a. A função f: R em R definida por f(x) = x2 + 5x + 6: a) é uma reta. b) é uma parábola de concavidade para baixo. sendo que em n. TRACE essa parábola e INDIQUE todos os pontos determinados no subitem A. Obtenha os valores de x para os quais f(x) = 2x2 – 5x + 3 se anula. em cada função do 2º grau a seguir. b) Num plano cartesiano.1) b) um mínimo.2x + 1. plantas de uma determinada espécie reagem a esse fertilizante. 15 e) 1.t < 0 e) a. então. Acima de m. -1) 10. apresentando um desenvolvimento em altura y. ( ) Seu gráfico corta a eixo y no ponto – 8. Seja a função do segundo grau f(x) = x . 12. m e n são. 20 e) f(√5) 14. as coordenadas dos vértices das parábolas correspondentes: a) y = 2x2 – 4x + 1 b) f(x) = . 08. respectivamente: a) –5 . ( ) f(x) não possui raízes reais. ambas representadas abaixo: 07. sendo V = (. ( ) Seu gráfico é uma reta. calcule: a) f(3) b) f(6) c) f(. b e t são negativos 18. A respeito da função f(x) = x2 – 6x + 9. 7.d. Se a função f(x) = x2 – mx + 4n possui o vértice formado pelo ponto (2.Matemática e) O gráfico de f é uma reta. 15 d) 0 . conforme representado ao lado. e m é a quantidade de fertilizante com a qual as plantas atingem altura máxima. . 05. 5 . (UFMG/2001) a) DETERMINE o vértice da parábola de equação e os pontos onde ela intercepta os eixos coordenados. sendo V = (3. . 1) c) um máximo. 20 c) 1. 17. 1) d) um mínimo.4) d) f(0) Prof. c) possui coeficiente angular igual a 5. Determine. sendo V = (3. 1) e) um mínimo.5 . e) é uma parábola que intercepta o eixo x em dois pontos. Desenhe o gráfico das funções f(x) = 5x + 10 e g(x) = x2 + 2x – 3 e responda num mesmo plano cartesiano e responda: em quantos pontos estes gráficos se cruzam? 09. (UFLA 2005) – Ao adicionar certa quantidade x de fertilizante nitrogenado ao solo. Júlio a relação entre y e x se dá através da função y = . sendo V = (3. ( ) f(x) corta o eixo x em dois pontos diferentes. então x + y é igual a: a) 5/6 b) 31/14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/12 11.x2 – 8x + 4 06. 15 b) 0 .b.2x2 + 4x c) f(x) = 2x2 – 32x + 6 d) f(x) = x2 + 10x – 40 e) f(x) = x2 – 4x + 5 f) f(x) = . 5 . sendo y expresso em metros e x. (MACK) – O ponto (k. d) f tangente ao eixo das abscissas. na variável x: a) y = = x2 – 4 b) y = f(x) = . no dia seguinte. O corpo é lançado a partir do solo (figura) descreve uma parábola de equação y = 120x – 4x2. Obtenha o conjunto-imagem das funções do 2º grau.+ ∞[ é um arco de parábola de eixo vertical cujo vértice é (0.Matemática 19. 614 a) alcance 10m e altura 30m. (PUC – MG) – O lucro L. O alcance e a altura máximos atingidos pelo corpo são: Escreva. 3} c. {3. as equações das partes que definem esta função. . c) f atinge um máximo para x = 1. desprezados os efeitos do ar. 2) . e a segunda parte. (CRA) – Seja f: R em R uma função do 2º grau dada por f(x) = ax2 + bx + c. por dia. b) f possui dois zeros reais e distintos. (UNRGS) . (ACAFE – SC) – A função f(x) = x2 – 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 28.Os valores de b e c para que o gráfico de f (x) = x2 + 2bx + (4c – 8) seja tangente ao semi-eixo positivo das abscissas e corte o eixo das ordenadas no ponto 8 são: a) b = – 2 e c = 4 c) b = 2 e c = 4 b) b = – 2 e c = 8 d) b = 2 e c = 8 21. (UEM – PR) – A trajetória de um corpo obliquamente. na notação abaixo. e) A função possui duas raízes positivas. representada pelo gráfico: Pode-se afirmar que: a) a função não possui raízes. A primeira parte. restrita ao intervalo [-4. {0. (UFOP/2006/2) – O gráfico abaixo representa uma função f definida por partes. 25. 4). para o intervalo [2. em um dia. foram produzidas 9 unidades e. calcule o custo de produção das 24 unidades. é uma parábola.-2]. c < 0 d) a função possui um ponto mínimo. então k pode ser: a) –2 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4 26. em reais. 15 unidades. o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é: a. Então. b) o discriminante da função é nulo. 29. Júlio 20. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por: 24. 0} b. se e somente se: a) p < -2 b) p > 0 c) – 2 < p < 2 d) p < 0 ou p > 2 e) p < .x2 + 7x – 1 e) f(x) = x2 seguintes b) 22. 4} 30.O gráfico da função f(x) = x² + px + 1 intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos. Determine a produção que corresponde a um custo máximo. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1. x e y em metros. até 20 unidades de um determinado produto. 1} d) {–1. (UFV) – Uma indústria pode produzir.2 ou p > 2 23. c) a . (UFOP/2003) . definida por f(x) = x2 – 2x + 5. pode-se afirmar que o lucro máximo ocorre quando p é igual a: a) 16 b) 20 c) 22 d) 32 Prof.2x2 + x – 1 c) f(x) = x2 + 2x + 1 d) f(x) = . (UFGO) – Se f(x) = x – 3. (UFCE) – Considere a função f: R → R. de uma fábrica de autopeças é dado pela função abaixo em que p é o número de peças fabricadas por dia. é um segmento de reta. {1} e) {-2. 27. 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k.  5 + x (12 − x) se 0 ≤ x ≤ 10  C ( x) =  3 se 10 < x ≤ 20 − x + 40  2 a) Se. 2. (UEL – PR) – O conjunto dos valores reais de x. Resolva as inequações abaixo apresentado o conjunto-solução: a) x2 – 3x + 2 < 0 b) – 3x2 – 6x < 0 c) x2 – 5x – 50 ≥ 0 d) 2x – 4 > 0 02. V.αx + 1 seja positiva para todo x ∈ R. A 21. (CESCEM) – A solução do sistema de inequações é: . INEQUAÇÕES E CÁLCULO DO DOMÍNIO 01. a)(1. que tornam verdadeira a sentença 2x2 – x < 1 é: a) {x ∈ R / .a)grafico b) 52 32. E 16.V 15.1 ou x > 4} c) S = {x ∈ R / 1 < x < 4} d) S = {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 4} e) S = {x ∈ R / x < 2 ou x > 3} a) b) Determine as coordenadas dos pontos A e B. A 03. a)49. (CESGRANRIO) – O conjunto-solução inequação x2 – 3x – 10 < 0 é: a) ( .V. se x > 1 a) b) Esboce o gráfico de Determine f.4) b) demonstracao c)-4. -2) ∪ (5.9) e B=(2. A 29.25/4} e as raízes são 3 e -2 b) 615 06.1) f)94. 10) da GABARITO 01. b) um ponto da parábola distinto de A e B. a)A=(-3. a){1. Resolvendo a inequação x2 – 5x + 4 > 0. 2 Na figura abaixo. a) V=(1/2. F.F. a)2 b)17 c)37 d)5 e)10-4√5 07. alcance 15m e altura 900m.F 12.1/2} c) {x ∈ R / x < 1} d) {x ∈ R / 1/2 < x < 1} e) {x ∈ R / x < .F.2) b) ( . . A solução do sistema de inequações 3 – 2x ≤ 3x – 1 ≤ 5 é: a) {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 2} b) {x ∈ R / 4/5 ≤ x ≤ 2} c) {x ∈ R / x ≤ 2} d) {x ∈ R / x ≤ 1} e) {x ∈ R / x ≥ 1} 04.V. 05. (UFV – Modificado) – Seja a função real definida por : f 19.∞.F. -11 13.-5} c) {0.3} b){-1. A 30.F.F. comprovando que seu valor é unidades de área. Calcule os valores de a para os quais a área do triângulo ABC seja igual a 15 unidades de ar c) 03.-122) d)(-5. a 2 32.3  4 − x 2 . ∞) c) (. B 28.Matemática b) c) d) alcance 30m e altura 10m. Prof.V. Se cruzam em dois pontos 09. Júlio 31. D 18.∞. D 31. Calcule a área do triângulo ABC. se x ≤ 1 f ( x) =  2 ( x + 1) . {3/2.3} d){-4. 5) d) (0.1/2 < x < 1} b) {x ∈ R / x > 1 ou x < .-65) e)(2.1} 17. m=4 e n=9/4 08. E 11. Calcule α para que a função f(x) = 2x2 .-1) b)(1. A 05. (UNIFAL/2006) – reta nos intercepta a parábola y = x pontos A e B. obtemos o seguinte conjunto solução: a) S = {x ∈ R / x < 1 ou x > 4} b) S = {x ∈ R / x < . alcance 30m e altura 900m. f ( 3 ) − f (1) . 22. 3) e) (3. B 04.F. Seja C = (a.F. E a) Im={y∈R/y≥-4} b) Im={y∈R/y≤7/8} c) Im={y∈R/y≥-1} d) Im={y∈R/y≤-43/4} e) Im={y∈R/y≥0} 27.4} e)∅ f)∅ g){3..20) 06. 3x/2 + 6 e x2/4 + 2 C 25.5 b)41 D 23. C 14. 24. A 20.1.2) c) (8. 26.½} 07. E 10.0.1/2} 02. (PUC – PR) – A solução da inequação (x – 2) (. quantas são as moedas de 50 centavos?”. O valor de a é: a) – 2 (3x − 6)(2 − x) b) – 1 >0 c) 0 ( x − 1) d) 1 616 2 (x + 1)(x − 2)(x + 2) > 0 é x2 − 4 R R R R R / / / / / {x {x {x {x {x ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ a) b) c) d) e) x > . 0] d) [.x2 + 3x + 10) > 0 é: a) x < . (UFJF/2006) – Os valores de x que satisfazem à 08. O número de soluções que esse sistema admite é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 14.x2 + 4x) ≤ 0 e) (x2 – 6x + 9) ( . 1] e) [0..2 ou 2 < x < 5 b) – 2 < x < 2 ou x > 5 c) – 2 < x < 2 d) x > 2 e) x < 5 19. (PUC – MG) – A solução da inequação x ≤ x é o intervalo real: a) (.2x + 6) ≥ 0 21. (PUC – BA) – O conjunto-solução da inequação 11.4 d) x ≤ . Quais são os valores de p de modo que a equação 2x2 – px + 8 = 0 tenha raízes reais e distintas? 12. existem apenas moedas de 50 centavos e de 10 centavos. 1] 13. num total de 60 unidades. O conjunto solução da desigualdade abaixo é S = {x ∈ R / x < a}. Júlio 15.Matemática e) a) 0 < x < 5 c) . a) – 1 < x < 5/2 b) x < .2 d) 5 < x < 7 solução do sistema de 16.x + 5) ≥ 0 b) (.1.4 ≤ x ≤ . Encontrar os valores de x que satisfazem a inequação (2x – 4) ( x2 – 5x + 6) < 0 a) 0 < x < 2 b) –1 < x ≤ 0 ou 2 ≤ x < 3 c) x < .5 b) – 5 < x ≤ .x2 + 4x – 3 > 0 x–2 c) . (UNESP) – Os valores de x ∈ R que satisfazem o sistema: inequação pertencem a: são tais que: a) 1 < x < 3 c) 0 < x <2 e) . . Determine o conjunto-solução de cada inequação a seguir na variável x: a) x – 1 ≤ 0 -2x + 6 b) .2 < x < 0 09. (CESCEM – SP) inequações é: A b) – 3 < x < . (UFV – MG) desigualdade: A solução do sistema de a) 2 < x < 6 c) 1 < x < 5 e) 2 < x < 5 b) 0 < x < 5 d) 5 < x < 7 18.2 ou x > 2} 20. ∞) c) [.x2 + 4) (x2 – 16) < 0 c) (x2 – 2x + 1) ( -x2 + 4x – 4) ≥ 0 d) (x2 – x + 9) (.∞. Resolva as seguintes inequações do tipo produto: a) (2x – 4) (.1 < x < 2} x < .1. Se a quantia T (em reais) existente no cofre é tal que R$ 24.1) b) [.00 < T < R$ 26.1 ou x > 5/2 c) x > 5/2 d) x < -1 17. (UEL – PR) – Considere o seguinte problema: “ Em um cofre.2 e) x < .2 2 Prof.1.00.1} x > 2} x > -1 e x ≠ 2} . (UFMG) – O número real x satisfaz Assinale a alternativa em que estão incluídas todas as possibilidades para x.1 ou x > 3 d) nenhum x e) qualquer x 10.x2+ 2x + 15 < 0 x2 – 6x + 5 ≤0 d) 2–x x2 – 6x + 9 . 5 ou x ≥ 3} c) {x ∈ R / . (CESGRANRIO) – O conjunto de todos os números reais x que satisfazem a inequação 2 / (x – 1) < 1.1 d) Q < .5 ou x > 3} b) {x ∈ R / x ≤ .3 ou x > 5} 36. O valor de f(1). (CEFET – PR) – A função f(x) = ax2 + 5x – 10 possui concavidade voltada para cima.3 ou x ≥ 5} e) {x ∈ R / x < .3 ≤ x ≤ 1} e) {x ∈ R / x ≤ . (CESGRANRIO) – Resolvendo a inequação (4x2 + 1) x3 (5 – 3x) > 0.x2 + 7x – 15) < 0 e: a) φ b) [3. <x<3 < 2 ou x > 3 ≠2 <3ex≠2 Determine A ∩ B. obtemos: a) 0 < x < 4 b) 5/3 < x < 4 c) 0 < x < 5/3 d) x < 0 ou x > 5/3 e) x = 0 ou x > 5/3 26.1 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ R / .1 ou x = 1 < 0 ou x = 1 =1 ≤1 <0 solução da inequação 3− 3x 8 − 4 x > 2 4 é satisfeita são: a) x > 2 b) x < 2 d) x > 5/13 c) x < 5/13 e) x > 13/3 33.3 ou x ≥ 1} 35. (PUC – SP) – Os valores de x que verificam a inequação a) b) c) d) e) x 2 x x x Prof. (CEFET – PR) O domínio da função y = 1 / √(x2 + x + 1) é: d) R+ e) R a) φ b) R* c) R*+ 34. (UFMG) – A solução da inequação a) b) c) d) e) x x x x x ≤ . onde das x 2 − 5x + 6 <0 x−2 são expressos por : < 3. (UNIFOR – CE) – A Q + 1 > 0 é: Q .2 ou Q > 1 e) Q < 0 ou Q > 1 – O valor de y na função 29. sabendo que “a” é um número inteiro pertencente ao domínio da função g ( x) = 1 / (− x 2 − 2x + 8 ) é: .5 < x < 3} d) {x ∈ R / x ≤ . Sendo A e B os conjuntos-soluções inequações (I) e (II).2 ou x ≥ 1 c) x ≤ .2 ou x > 1 d) x ≤ . 5] c) R d) [. 32. (ACAFE – SC) – Os valores de x para os quais a desigualdade 25. (FGV – SP) – A inequação x(x + 2) > 0 tem como solução: x2 + 1 a) x < -2 ou x > 1 ou –1 < x < 0 b) x < . com valores reais é um dos conjuntos abaixo.1 ou x ≥ 3} d) {x ∈ R / .2 ou Q > 0 b) Q > .2 ou x ≥ 2 e) 1 ≤ x ≤ 2 31.2 ou x ≥ 1 24. Assinale-o: a) {x ∈ R / .1 a) Q < . (PUC – MG) 3 2 x+ 1 ≤ 2 é: x 28.3 ou x ≥ 0 e x > 1 < .1 ou Q < -2 c) Q > 1 ou Q < . Júlio 30.Matemática 22.1.3 ou x > 1 3<x<1 3<x≤0 3 < x ≤ 0 ou x ≥ 1 617 37. (CEFET – PR) – O domínio da função real de variável real f(x) = (x2 + 2x – 15) – 1 / 2 é dado pelo conjunto: a) {x ∈ R / x < . no universo R é: a) {0} b) – 1 < x < 1 c) x < 1 ou 3 < x < 2 d) x < 0 e) nda 27. (OSEC – SP) – O domínio de definição da função f ( x) = − x 2 + 2 x + 3 . 1] e) R+ 23.1 < x < 3} c) {x ∈ R / x ≤ . (MACK – SP) – O conjunto-solução da inequação (x2 + 1) ( . (UNICAMP) – A solução da inequação (x2 – 4) ( 5x2 + x + 4) ≥ 0 é: a) x ≥ 0 b) qualquer número real c) – 2 ≤ x ≤ 2 d) x ≤ . (FGV – SP) – O conjunto-solução da inequação y = 2 − x −8 a) x ≤ 4 d) – 5 ≤ x ≤ 3 é real se: c) 0 ≤ x ≤ 5 x−x ≥0 x + 2x − 3 2 2 é: b) x < 4 e) – 4 ≤ x ≤ 4 a) b) c) d) e) x x – – – < . B 35. Sendo f(x) = 2x – 4 e g(x) = 3x + 1.4] 32. C 40. a){x∈R/1<x<2} b) {x∈R/x<-2 ou x>0} c){x∈R/-5≤x≤10} d){x∈R/x>2} 02. A 16. ∞) c) (0. a) Determine fog(x). (EFOA 2005) – Considere as funções f : IR em IR e g : IR em IR.1(3) + g(f(2). ∞) 39. qual o valor numérico da expressão f . calcule: a) f(2) – 3f(1). Dadas as funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x – 1. B 33. E 34. A 24. E 27. o valor de a é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) – 20 12. obtenha: a) gof(x) = c) g . Dadas as funções f(x) = 6x – a e g(x) = 2x e sabendo que g(f(2)) = 8. D 31. 10. D 30. (INATEL) – Sabendo-se que o domínio da função f(x) representada abaixo é o conjunto D = {x ∈ R 4x − 1 / x ≠ 1}. b) Calcule os valores de a e b para os quais os números 0 e 1 sejam raízes da equação fog(x) = 0 618 . O Domínio da função abaixo é: a) x > 5 e x ≠ 11 b) x > 5 e x ≠ 1/3 3x + 1 fx) = c) x < 11 11 − x d) x > 1/3 e x ≠ 11 e) x ≥ . E 38. A 36. ∞) a) [-2.1(x) = b) f(g(2)) = d) g(f(-3)) = 06. a lei de formação da função fog(x) e gof(x) são respectivamente: a)fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 5x b) fog(x) = 2x + 2 e gof(x) = 2x + 3 c)fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 2x fog(x) = 2x + 4 e gof(x) = 3x + 3 d) e)fog(x) = 3x + 3 e gof(x) = 2x + 3 09. O valor de g[f(1)] + f[g(0)] é: a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 08. na função f(x). definidas por f(x) = x2 + a e g(x) = f (2x + 1). B 04. E 37. tais que ( f o g)(2) = −13. a){x∈R/2≤x≤5} b){x∈R/x<-4 ou -2<≤x<≤2 ou x>4} c){1. D 41. 11. {x∈R/x>3} 18.Matemática a) 10 b) – 10 c) 4 d) –6 e) – 4 Prof. A 20.2. (UERGS) – Sejam f e g funções definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = 2x+1. obtenha: a) fog(x) = b) gof(x) = c) g(f(g(x))) = 03. A 03. Sendo f(x) = 3x e g(x) = 2x – 6. E 08. b) g(3) c) f(f(2)) d) a domínio do número 7. Sendo f(x) = 3x + 2 e g(x) = x – 1. [2. obtenha as seguintes funções compostas: a) gof(x) = d) fog(x) = g) gog(x) = b) fof(x) = e) g(f(2)) = h) f(g(1)) = c) f(f(2)) = f) g(f(3)) = é 04. a){x∈R/x≤1 ou x>3} b){x∈R/x<1 ou 2<x<3} c){x∈R/x<-3 ou x>5} d){x∈R/2≤x≤3} 22. (UNIFAL/2006) – Sejam onde a e b são números reais. E 13. obtenha as seguintes funções compostas: a) gof(x) = b) fog(x) = c) gog(x) =] d) fof(x) = e) g(f(0)) = f) f(g(. (UFOR – MG) – O domínio da função real definida por f ( x) = 2 x + 4 + x b) (. Sendo f(x) = x2 + 3 e g(x) = 5x – 1. p<-8 ou p>8 12. B 17. onde a é um número real. ∞) é: d) [0. A 07. α<-2√2 ou α>2√2 05. o valor de a é: f ( x) = a) 0 b) 2 c) 1 2x + a d) –1 e) –2 GABARITO 01. D 15. Dada a função f(x) = 4x – 1 e g(x + 5) = x2 – 8.4)) = g) f(f(5)) = h) g(f(2)) = 05. C 29.B 10. C 09. Júlio FUNÇÃO COMPOSTA 02. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x. C 25. E 11. C 28.1/3 e x ≠ 11 40. Encontre os valores de a . E 07. A 19. D 26. C 23.2} d){x∈R/x≤0 ou x≥4} e){x∈R/x≤3} 21. E 14. (UEMG) – O domínio da função o intervalo real: 41. C 06. 38. E 39. (ESAL – MG) – Se f(x) = x2 + 1 então f(f(x)) é igual a: a) x4 + 2x2 + 2 b) x4 + 2 c) x4 + 1 d) x + 1 e) 1 21. O número x ∈ A tal que (f o f o f o f)(x) = 2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 25. (CESGRANRIO) – Sejam A = {1. 1. 3. Se f(g(m – 1)) – 1 = 3m – g(f(m + 1)). b) g(f(2)) c) A função composta f(fx)). (PUC – PR) – Sejam f: R → R e g: R → R duas funções dadas por f(x) = x2 – 1 e g(x) = x – 1. 13. a)fog(x)=6x-18 b)gof(x)=6x-6 c)g(f(g(x)))=12x-42 02. (INATEL) – Sendo f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x + 4. 27.4x³ + 6x² . Júlio 22. 2.2x + 1. 2. Sendo f(x) = 4x e g(x) = 3x2. calcule: a) f(2). resolva a equação (gof)(x) = 0. A diferença entre as funções compostas (gof)(3) – (fog)(3) é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 . a)gof(x)=6x-11 b)fog(x)=6x-2 c)gog(x)=9x+4 d)fof(x)=4x-12 e)g(f(0))=-11 f)f(g(-4))=-26 04. a função fog é: a) 9x2 + 20x + 24 b) x2 + 30x + 24 c) 9x2 + 30x + 24 d) x2 + 20x + 24 e) x2 + 10x 17. 2. Prof. f(2) = 1 e f(3) = 2. 3} e) φ 26. 14. 18. 5] em R a função cujo gráfico está esboçado abaixo.1. (UFMS) – Dada a função f(x) = x2 -3. Qual o valor de g(2)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 28. (UFMG) – Sejam A = {0. O valor de g[f(3)] é: a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 GABARITO 01. Calcule f(7). 16. (UFPR) – Para cada valor real de x. na variável x.3. sejam f(x) = x2 e g(x) = f(f(x)). a função composta (fog)(x) é definida por: a) x4 + x – 1 b) x5 . (UFU – MG) – Sejam as funções fog(x) = x2 + 2 e f(x) = 2x + 4. (FAVIC) – Sendo f(x) = x4 e g(x) = x . O conjunto-solução da f(f(x)) = 3 é: a) {1} b) {2} c) {3} d) {1. (UECE) – Sejam f e g funções de R em R tais que f(x) = 3x – 2 e g(x) = .x4 c) x4 – 1 d) x4 + 4x³ .Matemática c) Esboce o gráfico da função fog para os valores não-nulos de a e b encontrados no item anterior. obtenha: a) (fog)(x) b) (gof)(x) c) (fof)(x) d) (gog)(x) 15. d) f(g(f(1))). 19. Sendo f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x2. Dadas as funções reais f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b.6x2 + 4x – 1 e) x4 . o valor de a + b é: a) 13 b) 12 c) 15 d) 6 e) 5 29. se f[g(x)] = 8x + 7. a)gof(x)=3x+1 b)fof(x)=9x+8 c)f(f(2))=26 d) d)fog(x)=3x-1 e)g(f(2))=7 f)g(f(3))=10 g)gog(x)=x-2 h)f(g(1))=2 03. g: R → R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x))= 2x2 + 2x + 1. (UFSC) – Dadas as funções 2 f ( x) = 5 − x e g(x) = x – 1. obtenha: a) (fof)(2) c) (gof)(3) b) (fog)(-1) d) (gog)(1) 20. Considere as funções f. então f(m) + g(m) é igual a: a) – 2/3 b) – 1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) .4/5 23. (UFU/Julho2007) – Sejam f: [0. Seja a função f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x – 4. Sendo f(x) = 5x2 e g(x) = 5 – x. 4} e f: A → A uma função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f(4) = 1. Sejam f e g funções definidas em R por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x . 3} e f: A → A definida por f(1) = 3.4x + 1 31. Calcule o valor de [f(g(3))]/g(3). o valor de (gof)(4) é: 24. O valor de g(f(2)) – f(g(3)) é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 30. determine f(f(3)). 6] em R a função quadrática definida por f(x) = x2 – 6x + 5 e g: [5. a)gof(x)=5x2+14 b)f(g(2))=84 619 Sabendo-se que gof denota a composição da função g com f. 14. c)g. –1 –1 06. o valor de f -1(2) é de: a) 1/2 b) 1/7 c) 0 d) – 1/7 e) -1/2 14. 07.∞. c) {x ∈ R / x < 2}.x2 – x. Se f(x) = 2x + 3. x=2 A 25. O valor de x para que seja verdadeira a igualdade 2f –1(x) + f(. 13. d) {x ∈ R / x ≤ 2}. b) {x ∈ R / x > 2}. 30. E E a) {x ∈ R / x ≠ 2}. FUNÇÃO INVERSA 01. (ESPM) – Sendo f(x) = 2x -1. 3). Júlio 12.2} e a={0. (8). 2]. calcule o valor de f –1 (7).1(x)=(x-1)/5 d)g(f(-3))=59 15 06. 20. então calcule f -1 (x). e) {x ∈ R / x ≥ 2}. Seja f –1 (x) a função inversa de f(x) = 2x – 3. 12. (UFV) – Seja f a função real tal que f(2x – 9) = x para todo x real. encontre f-1(x) e em seguida calcule o valor de f(3) – f-1(4). 24.Matemática 05. C B 08. 09. Prof.x + 1 c) f -1 (x) = x – 1 d) f -1 (x) =x + 2 e) f -1 (x) = . o valor de f(g(-1)) – f -1(-5) é: a) – 3 b) – 2 c) 2 d) 8 e) 4 17.-2} c)Parábola para cima passando o eixo x no pontos 0 e 1.2. (UNIFOR – CE) – Calcule a função inversa da função bijetiva definida por f(x) = 2x/3–1. (UFSC) – Dada a função f: R → R+. (AMAN – RJ) Dê a função inversa da função y = 5x + 3. Calcule o valor de f + g – 1 (10) (27) 07. a)11 b)242 c)9x+20 d)389 A 27. calcule o valor de f 05.SP) – Seja f a função R em R. definida por f(x) = x2 + 1. (PUCCAMP. 11. 18.6} a)12x2 b)48x2 c)16x d)27x4 33 15.1(3) + g(f(2)). 11. (ACAFE – SC) – Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) .4. 03. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A(1. Dada a função f(x) = (3x – 2)/3. (UFRRJ) – Seja f: R em R uma função definida por f(x) = ax + b. A D 21. D D 29. (MACKENZIE) . 16. S={0. 18. temos f(x) = 6 16) o gráfico da função é uma reta 32) a função é par. E 0 23. 02.x + 2 08.2) = 0. 28. bijetora definida por f(x) = x3 + 1. 26. (FESO – RJ) – Se f -1 é a função inversa de f e f(x) = 2x + 3.Dada a função f:R em R. sua inversa f-1: R em R é definida por: a) 620 f −1 ( x) = 3 x 3 + 1 .C 56 17. 15.2. o domínio da função inversa de f(x) é: É correto afirmar que: a)f é sobrejetora e não injetora b) f é bijetora c) f(x) = f( -x) para todo x real d) f(x) > 0 para todo x real e)o conjunto-imagem de f é ]. calcule o valor de f (3). 81 a)2000 b)180 c)-40 d)1 19. Seja f(x) = x3 e g(x) = 2x. D a)fog(x)=(ax+b)2 -2(ax+b) b)b={0. Se f(x) = 3x + 6. a função f -1 é: a) f -1 (x) = x + 1 b) f -1 (x) = . f: R em R. qual o valor numérico da expressão f . 19. A igualdade f(c) = f-1(c) se verifica para c igual a: a) 5 b) 7 c) 3 d) 9 e) 1 10. Se f(x) = 5x – 2. dada pelo gráfico a seguir: 04. 13. a) b) c) d) e) Obtenha a função inversa das seguintes funções: f(x) = 3x – 2 f(x) = x – 7 f(x) =3x – 6 f(x) = 2x – 1 f(x) =5x + 3 –1 16. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x. determine a soma dos números associados às afirmações verdadeiras: 01) a função é sobrejetora 02) a imagem da função é R+ 04) a função é bijetora 08) para x = √5. é: a) 4 b) c) 0 d) –2 e) –4 09. (UERGS) – Seja a função definida abaixo.-29 ou -22 a)-2 b)-4 c) 27 d)2 10. 2) e B(2. 22. 04.13  = d) 6 .F.2 = 10 x . tendo como universo o conjunto dos números inteiros.√2 = e)  74 = f) 3 . 2 02. é: a) {-3.V D 12. 0 ] [0. 1. b) pertence ao gráfico de f(x) = x – 1 – x . A solução da equação abaixo está no intervalo: x3 +1 1 f −1 ( x ) = 3 x +1 −1 3 f ( x) = x − 1 2x − 7 = 4x − 5 a) b) c) d) e) 11. (UEL – PR) O conjunto solução da inequação x < 3.4x – 5 = 17 2x . <7 a) b) c) d) e) uma raiz positiva e uma negativa. 7 12. 03. 0. 13. 3x − 5 = 4 04.12} {x ∈ R / . Se f(x) = 2x – 4 –2 x+3. a desigualdade x .1 = 2 2x . 3} b) {-1. 08. uma raiz negativa. -2] [6. 2. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: a) 2 b) .4 < 6 x . (3x+3)/2 15. a) b) c) [-2. (ACAFE – SC) – Se a . A 09.F. 2. 0. Resolva as equações abaixo: 18. 3} e) {0. duas raízes positivas. 15 a)(x+2)/3 b)x+7 c)(x+6)/3 d)(x+1)/2 e)(x-3)/5 -1 05. o valor de a4 – 2a2b2 + b4 é: a) 8 b) 12 c) 24 d) 64 e) 144 13.1 > 2 2x + 5 > 1 MÓDULO 01. Júlio f −1 ( x ) = c) d) 1 3 a) 3x − 3 = 6 b) 5 x − 1 = x + 2 10. (PUC – MG) – O par ordenado (5/2.5 é verdadeira para: {x ∈ R / x < 12} { x ∈ R / x > . (UPF – RS) – A soma das raízes da equação 2x + 5 = 6 é: a) –5 b) 9 c) 4. A 18. 1.b = 6 e a + b = 2. somente: abaixo admite. -1. calcule o valor de f(5) – f(–3). 1. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: a) . 1[ por a) ½ f ( x) = 1 1− x então f(-1/2) é: e) 2 b) ¼ c) – ½ d) – 1 09. D A 11.√5 d)3 . 5] [3.3 = 0 x . a) b) c) 06. (ACAFE – SC) A equação modular como solução.√3 = g) 13 + √5 = 03.3 = 3x – 4 x2 – 4x – 1 = 4 x2 .3 = x – 5 Resolva as seguintes equações modulares: . 14. (x+1)/2 E 14. a) b) c) Resolva as seguintes equações modulares: .√5  e) . 13] Resolva as seguintes equações modulares: d) 4x .4 c) 2 . duas raízes negativas.Matemática b) Prof. calcule o valor de f(0) – f(4) + f(1). (x-3)/5 B 17. uma raiz positiva. 16. 2} d) {-3. O valor de b é: a) – 4 b) – 1 c) 1 d) 4 e) 6 621 . -1.2 x . 2 06. a) b) c) Resolva as inequações modulares 2x . -.3x – 5 = 7 2x . (UEPG – PR) – No conjunto R. 10] [-5. Seja a função f(x) = 3x – 5. 1} c) {-2. 07.1 = 2 e) nda GABARITO 01. (UNIPA) – Seja a função definida no intervalo ]-1. 8 C 08.8 = 0 e) x .3  02.2 = b) 2 .5 15. 19. Qual é o valor da soma das raízes da equação. 07. 3} 16. -2.5 d) 6 e) 0.4 =  x + 5  a) b) c) d) e) 17.√3 = c) .V. 10. F. 05.2 < x < 12} {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 12} nda. C C 19. então os valores de x são: a) 1 e 3 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 1 e 4 e) 2 e 4 09. E a){-1. (UFGO) – Os zeros da função Prof.2 x + 2 22. B a){-1. 05.8/3} a){-11/2.3X ( ) f(x) = πX ( ) f(x) = (2/7)X ( ) f(x) = 0. 2 27 x 9 .999. Júlio f ( x) = 2x −1 − 3 são: 5 b) 7 e – 8 e) – 7 e 11 c) 7 e 8 EXPONENCIAL 01.6} c){-1/2} -10 08. então 15 – x 2 vale: a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 6 11. (ESPM) – Uma empresa de publicidade estima que o número N de visitantes diários a uma exposição varia com o número x de dias em que sua propaganda é veiculada pela TV segundo a equação N = k.1.4 1/x 04. (ULBRA) – A função representada no gráfico abaixo é: 02. C D 17.3} E a){x∈R/-1<x<5} b){x∈R/x<-1 ou x>3} c){x∈R/x<3 ou x>-2} A 15. 05. então.2} c){-3. Resolva a equação 21.)X 1 2x x−4 d) 4 = 4 5 a) b) c) d) e) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) = = = = = x–4 x . 12. (UFRN) – Se 2 x = 2048. 09.5} b){-2. na qual k é uma constante. 06. 14. a)2 b)4 c)-2+√5 e)3 a)2 b)2-√3 c)13 d)6-√2 e)74 f)3-√3 g)13+√5 10/3 04. 07.4 x2 – 4 x2 . (PUC – BA) a figura abaixo pode representar o gráfico da função f: R em R. x vale: a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19 12.3. 06. D B 21. 20. 03.20. (CESGRANRIO – RJ) Se 8x = 32. (UEPG – PR) – Se 8 x – 9 = 16 x / 2.3} b){3/4} 10. Resolver: a) 5(3x – 1 ) > 1 b) (1/5) 2x – 3 ≤ 1/5 2 08. cerca de 200 pessoas visitam diariamente essa exposição. Resolva as seguintes equações exponenciais: a) a) – 7 e – 8 d) – 7 e 8 2 x = 8 b) 2 x = 4 2 c) 5x −3 = 20.2/3} b){3/2. 13. Os organizadores verificaram que. 92x + 3 = 273 – x é: a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5 10.999X ( ) f(x) = (0. 0 a){-4.3} b){-4. definida por: 3 x−4 1 ⋅   81  2k 2− x = = 3 .4x. 16.. 22..3 2 – x = 2 3. (PUC – SP) Se 3x – 3x = 1 / 9.Matemática 19. (PUC – RS) – Se 3 x . (PUC – MG) O valor de x que satisfaz a equação 33x – 1 . (PUC) – Sendo 2 3   ⋅  3 2 k qual o valor de 1   3 −k ? a) b) c) d) e) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) = = = = = x + 2 x . então x é igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4 03.s em nenhuma propaganda de TV. calcule f(3) – f(-2).2 x + 2 x . 11. Seja a função f: R em R representada abaixo.-1/2} c){-2. com 5 dias de propaganda o número de visitantes diários será de: a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200 e) 1600 07. Marque com D as funções que têm gráfico crescente e com C as funções que têm gráfico decrescente: ( ) f(x) = 3X ( ) f(x) = (1/3)X ( ) f(x) = (4/3)X ( ) f(x) = 0. então 3√x é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) nda 622 f ( x) = 4 x − x − 1 GABARITO 01. D -1 .3} d)∅ e){-3. 02. 18. Se a agência de publicidade estiver correta na sua estimativa. x +1 = 4 x −1 . 27. c) duas raízes racionais e duas irracionais. (UFOP/2005) – Com relação à equação exponencial: 21. Resolver a inequação 1    3 8 x −8 1 ≤  9 x+6 . será: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 m = −3 2 t − 3 t +1 + 108 pode-se afirmar que ela admite: a) duas raízes inteiras e positivas. (PUC-RJ/2004) .12] e) (1. 24. o tempo. e) nulas. 19. (UFPB) – Em uma comunidade de bactérias. Assim sendo. b) ambas negativas. encontraremos 15. o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente é: a)inferior a 15 minutos b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos e)superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos 26.Matemática 13. (UFJF 2005) – As raízes da equação 2x + 1/2x = 17/4 são: a) iguais em módulo. c) de módulo menor do que 1. Resolvendo a equação 3 um certo valor para x. (UEPG – PR) – A soma das raízes da equação 32x – 12. (UFOP/2005) – A curva c. em minutos. Calcule o valor de  3x -6 . e) par. Resolva a equação e a inequação propostas abaixo: a) 53x−2 = b) 25 x −1 125 x + 2 2   3 2 x −1 4 >  9 2 x −3 20. Júlio 22. (FUVEST) – Seja f(x) = 22x+1. em gramas.12] b) [0. 18. de acordo com a fórmula abaixo. A equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é: 16. em horas. pode-se afirmar que: a) a + b = 2 b) a + b = 1 c) a – b = 3 d) a + b = 3 e) a – b = 1 23. para que a população seja o triplo da inicial. b) de módulo maior do que 1.3] c) [1. que decresce em função do tempo t. d) maior que 1. Neste caso.Se 12n+1 = 3n+1 .2] d) (10. Resolva as seguintes equações exponenciais: a) b) c) d) Prof. (UCSal) .3) 14. a seguir.Uma das soluções da equação 2 x = 256 é: a) x = 1 d) x = -2 b) x = 0 e) x = 3 c) =8 1 5x−2 = 25 2x 9 = 27 x − 4 2x 3x− 3 4 2 + 3 x −1 4 = 3 . (UFJF/2006) – Dada a equação 2 ⋅8 podemos afirmar que sua solução é um número: a) natural. 25. Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil. Se a e b são tais que f(a) = 4f(b). há inicialmente 106 indivíduos. cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa. 17. d) duas raízes inteiras e positivas e duas raízes irracionais e negativas. 8 .3x + 27 = 0 pertence ao intervalo: a) [10. Resolva a equação 1 2x−2 ⋅    16  2− x 8x = 4 3x−2 . então log2 n é igual a: a) -2 b) -1 c) 1/2 d) 1 e) 2 623 . b) duas raízes irracionais e positivas. Sabe-se que após t horas (ou fração de hora) haverá Q(t)= 106 x 32t indivíduos. d) quaisquer números reais. é gráfico da função f (x) = 2x . c) ambas positivas. 3 06.3x + 3 = 0 é: a) 2 b) 2 c) 1 d) –1 e) 0 GABARITO 29. 18. 20. y = 2 e) 220 23 e z = 30.2 – x ) é: a) {1. E 10. y . D.2 = 5(1 .5x em R. (FIC/FACEM) – A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano.5 x. (PUCCAMP) Considere a sentença a 2x + 3 > a 8.251 – x é um número tal que: a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0 31.Matemática 28. Se 0. Dadas as matrizes obtenha: a) 4A + B – 2C 624 2 − 2 − 3 2  1 5 A =  . (FUVEST – SP) – S endo x = (22) 2 23 . C = 0 4     5 −1 4 3 . 37. 02. C. Júlio 38. (FCC) – A solução da equação 0. (Cefet-PR) – O produto das raízes da equação 32x + 1 – 10. D B 12. Se  2 1 A=  5 3 a) b) c) e 2 3  B=  .2√10) . A C 27. B =  5 − 7. Dadas as matrizes  1 − 2 − 1 2  3 5  A= . E 13. 26. C = 0 4      4 0  obtenha: a) A + B – 2C b) A . Dadas as matrizes 5 − 2  − 1 2  1 2  A=  . A partir daí. 2} e) φ 36. é igual a: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 37. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 32. (UFBA) O conjunto solução da equação 2 . a)-3/2 b) {x∈R/x>5/2} D 21. então seu conjunto verdade. 07. B a)7 b)-4 ou 1 c)0 d)-12 3 16.9) x. Essa sentença é verdadeira se. 33. calcule x + y + z + t. B a){x∈R/x>1/3} b) {x∈R/x ≥ 3/2} C 09. C D 38. 2} c) {0. 08. B =  5 − 2  . D MATRIZES INTRODUÇÃO – SOMA E INGUALDADE DE MATRIZES 2 – 4x > 0. C. C. Num certo ano. C 28. C 3 19. calcule: 4 − 1 A+B= A. * 5 05. D. 23. onde x > 0 e f(x) = x 2 – 7x + 12. 14. A 25. (0. a)x = 3 e a = 1 b) x = -3 e a > 1 c) x = 3 e a < 1 d) x = -2 e a < 1 e)x = 2 e a > 1 x –x 01. a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . C.  x + 1 2 y − 4 2 4  z + 2 3t − 1  = 8 1      05. ela produziu mil unidades de seu principal produto. (MAUÁ) Resolver o sistema: 01. D 36. 4} b) {1. 29. D x=-1 e y=1 33. B =  . Dada a igualdade abaixo. calcule x . Bt – I2 c) Encontre X tal que X – A + B = Ct 04. {x∈R/x<-2 ou x>2} E 30. é: a)V = { x ∈ R / 0 < x < 5} b) V = { x ∈ R / x < -1 ou x < 5} c) V = { x ∈ R / x > -1 e x > 5} d) V = { x ∈ R / x > 5} e)V = φ 34. (UFCE) a soma das raízes da equação x f (x) = 1.B= 2A – B = 02. 15. A 31. 32. 11. C 22. a)3 b)-√2 ou √2 c)2 d)-4 B D. 04. 34. 03. C = 10 4      0 − 3 obtenha: a) A + B – 2C b) A +2Bt +I2 c) Encontre X tal que 2X – A – B = C 03. E A 24. (UFPA) – A raiz da equação (7 x . Dar o domínio da função real definida por: Prof. 4 17. z: a) 221 b) 210 c) 223 d) 24 3 . A E 35. por exemplo. 1} d) {0. na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva.5 2x = 0. (7 x + 2√10) = 9 é um número: a)irracional negativo b) irracional positivo c) par d) inteiro negativo e)inteiro positivo 35. X = Bt sabendo-se que . A soma de todos os elementos da matriz A é igual a: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 07. calcule e valor de a14 + a22 – a34. Dadas as matrizes −1 2  1 0 A=     3 1 .  7 − 3 1 1  A=    1 9 . 11. z e t: 2 1 5 4 3 1  A=  . B =  6  2 2 1  3 7 1  − 2  4 − 1 − 1 2 2 1  A=  . (PUC) Se e) 0 5 4 . tal que Calcule: a) A + B – C b) A + 2 . com 3 linhas e 3 colunas. na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j. A – 5 . encontre x.Calcule os números a. B = 2 7 − 2 4 − 1 6   0 5 2  C=  4 3 1 Calcule: a) A + B – C b) A + 2 . tal que 3A + X −A B+ X = +C 2 3 é igual a:  1 − 1 3  − 2 0 1   . B – 3 . em bilhões de dólares. respectivamente: a) 1 e 2 c) 2 e 2 b) 3 e 2 d) 3 e 1 c) 2 e 3 625 . de ordem 2. calcule o valor de a21 + b21 – a22 – b22 13. (FGV) – A organização econômica Merco é formada pelos países 1. y. Dada a equação matricial abaixo. se i ≠ j da diagonal principal é: a) 5 b) 6 c) – 6 d) 4 08. B =  1 0 . B – 3 . Sendo A uma matriz de ordem 3x3. 20. C c) (A + B)t 09.  x 1   2 y   3 2 1 2 + 0 − 1 =  z t        17. cujos elementos são dados pe função  i − j . 2 e 3. b. Dadas as Matrizes  28 a )  24   28 d )  30  1   28 1   28 1   c) b) 3   23 3   25 3       1   28 1   e) 3   22 3     16. B =  2 3      14. a soma dos elementos aij =  2i + j . se i = j .Matemática d) e) A – Bt +I2 Encontre X tal que 2X – A + B = Ct Determine X e Y em cada sistema: Prof. B =  5 − 1     então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foram. Seja A = (aij)2 x 2 uma matriz quadrada tal que aij = i2 + j2. x e y que tornam verdadeira a igualdade  − 1 y   0 1  1 x    + b⋅ a⋅  − x 1  =  − 1 2        y 0  18. O elemento a23 da matriz A. O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A. C c) A + B d) (A + B)t e) At + Bt 12. Dadas as Matrizes 2 A =  4 0 C =  4 1 − 1 5 3 X + Y = A a) X − Y = B X + Y = 5 ⋅ A − 4 ⋅ B b)  2 ⋅ X − Y = A + B 15. C =  2 1      3 − 1 então a matriz X. é: =       0 2 1  − 1 2 − 2  a) 3 b)2 c) 0 d) -1 e) –3 10. Dadas as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij = i + j e B = (bij)2x2 tal que bij = i – j. Dada a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = i – 2j se i = j e aij = 3i + j se i ≠j. Júlio 06. Determine X na equação 2 . B =   e X =   .. B e C abaixo com x. Sejam as matrizes  A = (aij ) 4 x 3 .18) log1000  216 mmc(8. Sejam as matrizes denota a  A = (aij ) 4 x 3 . Sendo A = B. bij = j c) 39 d) 84 Se C a matriz identidade n. bij = j d) 84 e) 258 Se C = AB.  A= 3 eB=  mdc(12. aij = i j  i B = (bij ) 3 x 4 . calcule A2: 2 A= 3 5 B= 6 1 1  2 2  2 1 A=   3 4 23..b) indica a mínimo múltiplo comum entre a e b e mdc(a. Dadas as matrizes A e B abaixo e seja C = A x B. calcule A2: 2 1 A=   3 4 28. Se 1 A= y x 4 5 1 2 . tal que AX = B. X + B = 0 31. B = 13   − 1 3 onde mmc(a. qual o valor da expressão E = 2x – 3y + z? a) 12 2 y − 5 3 1 z − 2 b) 14 A =   x − 3 4. Dada a matriz A. y e z reais. B = 1 1. B sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal que bij = j.X = B. aij = i j  i B = (bij ) 3 x 4 . B = C. Dadas as matrizes 19.  812 0. Se A . Determine o elemento c22 da matriz C = A .b) indica o máximo divisor comum entre a e b. calcule a soma dos elementos da matriz A. 26. então c22 vale: a) 3 b) 14 c) 39 27..Matemática 25. podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz C é igual a: a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56 20.222. Sejam as matrizes A e B representadas abaixo. Dada a matriz A. Determine a matriz X dadas as matrizes 1 1 2 1   sabendo que A . C = 36 45 z     = AtA = I matriz A e I é t  x  2 1 2 . a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 21. B sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal que bij = j. O elemento b21 da matriz B = A2 sendo é: A= a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1 30.12)   Prof. 32. Uma matriz quadrada A é denominada matriz ortogonal se A A transposta da de ordem onde A t 33. Considere as matrizes A. 9  2 1 A= . Sejam as matrizes 1   log2 16 0. então c22 vale: a) 3 b) 14 e) 258 é ortogonal. Júlio Obtenha a matriz X tal que A. Se C = A + B. Determine o elemento c22 da matriz C = A . 626 34..  A=  y 1      0 1 determine X. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 . então pode-se afirmar que o elemento c23 é igual a: a) 30 1 2  b) 40 5 4  c) 50  e B = 4 3 4 1 A= 1 2 5 0  d) 55 1 − 1   e) 60  3  2 29.777. Verifique se  2 5 B=   1 3   = AB. B = 5 c) 16 4      d) 18 e) 20 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 22. 24. Simplifique: x 1 1 1 x 0 0 1 1 x −1 x 1 05. Calcule o valor real de x em: x 1 1 2 1 3 =0 6 2 x 04. B =      y + z  y − x Se A = Bt (transposta de B). Seja A uma matriz de ordem 3x3 tal que aij = i – j. pode-se afirmar que o maior valor do determinante matriz AB é igual a: a) 2 b) 1 c) 1/2 2 1  1 1 A= d) 1/8  e B = 1 x  e) 0    x 1 09. é: a) – 10 b) 2 c) 15 d) – 17 e) 9 as Prof. . A = At .   1 0   da a) b) c) d) e) matriz produto A . Júlio matrizes DETERMINANTES 01. Calcule o determinante da matriz A. B sabendo-se que A = (aij)3x3 tal que aij = i + j e B = (bij)3x2 tal que bij = 1 – i. Resolva as seguintes equações: 08. (UFOP 2005/2) –A matriz A. B é: 5 -5 15 -15 10 o determinante a) 5 3 2 −1 3 b) a b b a 1 1 1 c 1 c 1 1 c) 2 3 1d ) 1 b 1 −1 2 1 a) b) x 5 1 3 x =1 3 =1 02. dada a seguir. Resolver em R. 11. Calcule os seguintes determinantes:  6 5    1 − 2 3 A   0 1 0 e B =  3 0 .Matemática 07. ou seja. O elemento c32 da matriz C = A . Calcule x na equação x 1 0 0 x 0 2 −1 2 + 2 4 −1 = 0 4 0 0 −1 0 −1 é: 627 . (PUC) A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2 com: Seu determinante vale: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) – 1 12. (UNIFEI – 2003) – O determinante abaixo é múltiplo de: a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 2 10. a equação: e) 9  x2 A= 2  0  4 z  . (UNICENTRO) – Sendo A e B duas matriz 2x2 dadas abaixo. é igual à oposta da sua transposta. Dadas 35. o determinante da matriz: 2x −3 −2 x x =1 2 x2 2 3 0 3 5  x y − 1   z 1 1  4 5 2    c) 1 É igual a: a) –1 b) 0 d) 2 e) 3 13. (UNESP) Considere as matrizes reais  aij = 2i − j ⇔ i = j  a ij = 3i − 2 j ⇔ i ≠ j O determinante de A é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 06. x −1 x 03. Calcule o determinante 18. então podemos afirmar que a soma a + b é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 3 e) – 3 21. Júlio x 1 0 0 x 2 −1 3 + − 2 2 4 0 2 a) -4/7 b) -2 1 1 = 0 é: d) 5 e) 2 − 3 0 −1 c) 4/7 15. Obtenha o co-fator do elemento a12 da matriz 2 3 1  A = 1 3 2    4 1 1    16. 5 e –8. então o valor de a2 é: a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64 x 1 2 0 0 x 0 0 0 1 x 0 0 2 = 16 3 2 628 . Somando-se 27. Calcule o valor do determinante: 3 1 2 1 4 2 1 0 3 0 1 1 0 2 0 3 1 0 1 0 2 1 1 1 0 19.b) 1 3 1 0 0 2 0 0 1 4 2 1 Obtém-se: a) 840 b) – 840 c) 600 d) .Matemática 14. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i2 + j2: a) Calcule o valor do co-fator do elemento a31 da matriz A. 20. b) Calcule o co-fator do elemento a11 da matriz A. Calcular o valor do determinante abaixo: x 1 2 0 0 x 0 0 0 1 x 0 0 2 = 16 3 2 3 −1 1 4 0 2 8 −4 28. Resolva a soma abaixo: 26. Resolva o determinante 17. (MACK) – O valor de 1 1 2 1 1 3 5 1 3 3 3 1 1 2 3 1 é: x y z A= 1 a b 1 1 1 Sabe-se que os co-fatores de x. (FEI) . Calcule os 3 0 0 2 1 1 a) 3 1 1 3 2 1 1 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 2 0 0 1 1 1 2 0 1 2 0 0 1 1 1 0 2 3 2 24. y e a são respectivamente iguais a 3.O valor de x que satisfaz a equação Prof. Dada a matriz 25. Obtenha matriz: o co-fator do menor elemento da 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0+ 0 0 0 0 5 5 6 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0  1 3 4 A =  − 1 2 0    − 3 2 4   determinantes: 2 1 1 1 1 1 2 3 . Calcule o determinante da matriz abaixo: 2 1 2 1  1 4  2 − 1 2 6 2 1 5 4 1 0 0 0  1  0 5 2 3 2 1234 5 6 0 0 0 2 0 124 5 −8 9 31− − 0 0 2 5 4 6 1 1 + = 10 2 3 0 0 0− 2 3 1 12 0 4 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 −2 22. Se a é a raiz da equação.600 e) 0 23. é CORRETO afirmar que o determinante da matriz Y é igual a: a) 4/9 b) 2/9 c) 1/9 d) 1/3 e) 5/9 34.det(A) = 15 e que det(At) + det(2A) = 4. (UEL) matriz  6 12     − 3 − 6 o   1 log 7 (log 7) 2 1 log 70 (log 70) 2 1 log 700 (log 700) 2 determinante da matriz A2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d)9 e) 25 36. calcule detY sendo det(X. b) Calcule o co-fator do maior elemento da matriz A.det(B). Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 2i .Xt) = det(2Y) 33. At) = 4x. sendo X3 = X. (UNIFAL/2006) – Sejam X e Y matrizes de ordem 2 que satisfazem a equação X3Y = 2X . calcule: 629 01. então calcule o valor do det (A + A). Em cada figura. 40.Matemática Prof. Sejam duas matrizes quadradas A e B de ordem 2. então o valor de f é: a) – 11 b) – 10 c) – 13 d) – 12 e) – 15 maior É verdade que: 41. (UFOP/2005) – Considere a matriz A = [aij ]2x2 a) c) e) a 1 c d = D − 1 Q b) =D c 1 a b b d a c2 2 com a) Calcule det A . (UNIFAL/2006) – Seja definida por D= a b c d . Sabendo-se que f(x) é igual a b y e 2y 3e b a b c c z = f 2z 3f = c − d −e = − f a) x d 2x b ) 3d a x c) y z x 0 0 0 0 0 x 1 2 0 0 0 x 1 0 0 0 1 4 0 0 0 1 2 1 d) 8 e) 4 Podemos afirmar que f(-2) é: a) – 8 b) . GEOMETRIA PLANA Ângulos e Triângulos 37. Sendo X e Y duas matrizes de ordem 2 e detX = 3. calcule o valor de x. podemos afirmar que o det(B) é igual a: a) 25/4 d) 25/2 b) 13/4 e) 15/4 c) 15/2 39. Se a é uma matriz 3x3 de determinante 5.X. Sendo x a d y b e z c =3 f . 32. a d = DQ d) c b b = D2 2 d – Se A é a 2 c =D a b) Calcule AB . calcule o valor da expressão det(A) + det(3A) – det(At). Sendo 3. y e dos demais ângulos. Júlio a 29.16 c) 16 30. 38. Calcule o determinante abaixo: 35. (ITA) – Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3. Sendo A uma matriz de ordem 3x3 e det(A) = 2. c) Calcule o determinante da matriz. qual o valor de x na equação det(2A .X . cujo determinante é igual a 4. Se o determinante de X é igual a 3.j: a) Calcule o valor do co-fator do elemento a22 da matriz A. 31. (UEL) Seja o determinante 38. . sendo 42. d) I – V.Matemática b) Prof. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu complemento dá 210º. Calcule x. Dois ângulos colaterais internos  e Ê são tais que  = 3x + 70º e Ê = 2x + 35º. IV – V. t e u todas num mesmo plano. Considere as retas r. IV – F. s. b) I – V. 12. II – V. c) I – V. Analise as afirmações abaixo: I . Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos iguais a 3x + 70º e 2x + 30º. então α vale: a) 90º b) 100º 10° c) 110º d) 120º α e) nda 630 e) nda r s . 05. III – F. Sendo V as afirmativas verdadeiras e F as alternativas falsas. r s 60 ° Determine o valor de α t 2α r//s r s 3α α 150° 160° 14. II – F.a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Calculando os valores de  e Ê. IV – F. Determine o complemento do menor ângulo. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulo alternos externos dados por 4x – 70 e – 5x + 280º. e) I – V. r//u. 03. II – F. Calcule x e o valor dos dois ângulos. IV – V. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos representados por 6x e 3x. IV – V. III – V. III – V. IV – a soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360º. Determine o valor de x. sendo r//s t x 13. Calcule x e a em cada caso: a) a a+x r s 09. II . O valor em graus de x é: 20° x x 120° r u 10. 07. A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 2/7.ângulos colaterais têm a mesma medida. II – V. II – V. 08. Dois ângulo alternos internos são dados por 4x – 70º e 2x + 50º. Júlio r//s c) 30 x 50 02. III – V. (PUC) – Se r//s. 06. III – F. III – ângulos alternos têm a mesma medida. Se vale: β então β + α a) 30º b) 50º c) 150º d) 80º 15. a seqüência correta é: a) I – V. concluímos que  – Ê é: a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º 04. Calcule o valor de 5x. Calcule x. 11. Calcule o ângulo  indicado na figura. Os lados do último medem 5cm. 27. (VUNESP) – Os ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética e o menor deles é a metade do maior. as retas r e s são paralelas: a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 21. de tal forma que O. E e D estejam alinhados. O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo A. O perímetro da figura ABDECA mede: θ θ α α C 25. Determine a medida do segmento CE. Na figura AB ≡ AC. Seja O o incentro do triângulo ABC.  = 80º. Calcule o perímetro do triângulo ADE. respectivamente. A F B E D C 26. A D E B 30° 30° C 22. Júlio 24. Da medida de um ângulo tira-se sua terça parte e depois a metade da medida do suplemento do que restou e obtém-se 60º. é: a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º 631 B M A N 72° P C . Calcule o valor de a. respectivamente. tem-se r//s e t//u. D e E estejam alinhados. 18. sabendo que as bissetrizes internas dos ângulos de vértice B e C formam um ângulo de 110º. o triângulo MNP é equilátero e BM = BN. C 28. 4cm e 3cm. Na figura AB = AC. Na figura abaixo. de tal forma que F.x). de tal forma que DE//BC. então a medida de  é: B A O A medida de y é igual a: a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º a) 18º b) 12º c) 24º d) 36º e) 15º 23. Qual a medida do ângulo? 20. Num triângulo ABC. (UEL – PR) Na figura abaixo.  110° B 17. Calcular o ângulo BÊC. ABC é um triângulo eqüilátero de lado 18 cm e C é ponto médio do segmento BD.Matemática 16. Qual a medida do ângulo? 19. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo ABC. Calcule o suplemento de (90º. onde AC = 10 e AB = 12. O dobro da medida do complemento de um ângulo aumentado de 40º é igual à medida de seu suplemento. em graus. Na figura seguinte. (FUVEST/98) – As retas t e s são paralelas. (STA CASA) – Os triângulos ABC e DEC são congruentes. O maior ângulo do triângulo mede: a) 60º b) 75º c) 80º d) 90º e) 120º 29. Prof. tomou-se os pontos D e E sobre os lados AB e AC. A medida do ângulo x. Sejam E um ponto sobre o lado AC e F ponto médio de AB. Na planta de um loteamento. Num retângulo. A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Na figura. Encontre x e y na figura: Semelhança de Triângulos 33. a) b) c) d) e) 30º 50º 40º 70º 60º 30º r 40 A 60 s B Calcule sua medida. uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 17º. Então quanto mede o ângulo CMD? 37. Assinale o valor de α . 39. os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. 34. Na figura abaixo. Calcule x e y nas figuras abaixo: 632 . Calcule x e y nas figuras abaixo: 38. está faltando a medida do lado dos fundos do lote B. Júlio 35. b e c são paralelas). sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é 90 metros. α 31. a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 15 36. calcule o valor de x (as retas a. conforme a figura: 30. Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o comprimento da ponte. 32. Calcule as medidas de suas frentes.Matemática d) 70º Prof. ABCD é um quadrado e ABM é um triângulo equilátero. Calcular a medida do ângulo obtuso formados pelas diagonais. Nas figuras abaixo. em metros. 44m. Então.25 c) 2.60m 47.65m e) 1. 41. BC = 10 m e DE = 5 m. tendo um lado contido na base do triângulo. conforme mostra a figura.75m c) 1. Quando o homem se encontra a 10.10 b) 2. é igual a: a) 1.84 d) 1. verifica que nesse momento se encontra totalmente dentro da sombra do prédio. igual a: a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 42. 50. projeta no solo a sombra de um homem. de 1.Matemática Prof. a reta r é paralela ao lado AB do triângulo retângulo ABC.80m b) 1. (UNEB) – Na figura abaixo AB = 8.70m d) 1. a altura do homem é igual a: a) 1.82 c) 1. pode-se afirmar que a altura DE desse homem. Então.Na figura.65 46. em metros. O comprimento do lado AB.56m do poste e sua sombra projetada é DC = 1. Pede-se para: a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.85 43. que projeta uma sombra de 12m. a medida do ângulo ABC é igual à medida do ângulo ADE.50 d) 2. (UFJF/MG) Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito. em metros. Nas figuras abaixo. em metros. em centímetros é: a) √5/5 b) √5 c) 3√5 d) √55 e) 4√5 48. Esse homem está de pé a uma distância AD = 2. em metros. Na figura. de altura AB = 5m. (VUNESP) – Na figura. determine os valores de x e y: 44. Então. (UFSM – RS) . MN = 2 e MC = 3.80 b) 1. (PUC-MG 2005) – Uma lâmpada colocada da no alto de um poste.8m do prédio. sobe uma ladeira com inclinação de 30º. (FURG – RS) – O valor do segmento AD na figura abaixo é: (mostrar resolução) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 45. com uma lâmpada no ponto B. (UNOPAR) – Um homem caminha em direção a um prédio vertical de 18m de altura. 49. a medida do ângulo B é igual à medida do ângulo D. (Unicamp/2004) – Um homem. as medidas de comprimento são indicadas em metros e os triângulos são retângulos. o comprimento do segmento DE. O lado do quadrado é. Júlio 40.80m de altura. Se MN é paralelo a AB. é: a) 2. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura. calcule a medida real do segmento BM. 633 . Calcule o valor de y. (PUC-MG) .Na figura. calcular valor de x. Calcule a medida de PQ em função de x.Nesta figura. uma pessoa que reside em uma cidade. Num triângulo retângulo. Essa estrada medirá. de modo que AP = x cm . Se um dos catetos é 2/3 do outro. Prof. passando por D. as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e 1cm respectivamente. (UEPG) – Num triângulo retângulo com um ângulo agudo igual a 45º e a hipotenusa igual a 6√2 cm tem como área. (UFMA) – Num triângulo retÂngulo. percorre o menor trajeto de A até E . 56. O perímetro do triângulo é: a) 22cm b) 24cm c) 26cm d) 28cm e) 30cm 55. em metros. paralelo à diagonal AC . A área desse triângulo mede: a) 2cm2 b) 5√2cm2 c) 4cm2. m e n.d) 5cm2 e) 10cm2 59. (Unifei/2003) No retângulo ABCD da figura ao lado os lados medem AB = 12 cm e AD = 16 cm . o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN. a medida da hipotenusa desse triângulo é: a) 2√ 3 b) 3√5 c) 4√6 d) 2√13 e) √15 58. (UFV/PASES) – Para se deslocar para o trabalho. Júlio Triângulo Retângulo 51. em cm2. (UFMG/2003) . (Unesp-SP) – A área de um triângulo retângulo é de 12 dm2 . Determine o valor de x na figura: Sabendo que é CORRETO afirmar que a distância percorrida. com o menor comprimento possível. Por esse ponto P traça-se o segmento PQ .Matemática b) Calcular a área do triângulo ABC. a hipotenusa mede 10cm e um dos catetos é duas unidades maior que o outro. (PUC – BA) – Na situação abaixo deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC. em quilômetros: a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 40 Então o lado do quadrado mede: 57. um valor igual a: a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24 60. 54. foi de: a) 120 b) 125 c) 130 d) 135 140 52. Toma-se um ponto P sobre o lado AD . cujos lados AM e AN medem. 634 . Encontre o valor de x nas figuras a seguir: a) b) mn m+n m2 + n2 8 m+n c) 4 mn d) 2 53. respectivamente. cuja disposição das ruas está representada na figura abaixo. na figura abaixo. Qual a distância entre os extremos sabendo-se que o terreno é plano? 64. dando a resposta na formas mais simplificada possível. Determine a área do triângulo ABP. 67. Ache as medidas dos lados deste triângulo. o ângulo ABC mede 120º . sabendo-se que a medida do segmento CP é √2 cm. Num triângulo retângulo. O triângulo representado abaixo tem medidas dadas em centímetros. no tamanho do desenho. 68. 4 (n = 4). 635 . e o segmento CD é perpendicular aos segmentos D e BC. Quanto mede a diagonal de um quadrado se um de seus lados mede √2 m? 62. (Ver figura) 70. qual era o tamanho total. Então. a altura relativa à hipotenusa mede 12 (h=10) e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa. em m. Sabendo que a distância da base da árvore até o topo é de 24m e que a parte quebrada mede 26m. Uma árvore foi partida pelo vento conforme mostra a figura abaixo. (UFMG/2006) – Esta quadrilátero ABCD: figura representa o 66. (ENERJ) – Entre duas torres de 13m e 37m de altura existe na base uma distância de 70m.Matemática 61. Calcule o menor cateto deste triângulo. Júlio 63. (UFJF) – Considere o quadrado ABCD de lado √2 cm . é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é a) √3 cm b) √5/2 cm c) √6/2 cm d) √2 cm 71. Calcule o valor de x e de y na figura. da árvore antes de ser partida pelo vento? 69. Calcule x na figura abaixo e o valor de ângulo a na figura abaixo: 65. Calcule o valor de x na figura: Prof. Dada a figura: Calcule: Sabe-se que AB = 1cm e AD = 2cm . 76. 92. (FUVEST – SP) – Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os 636 tem altura Área de Polígonos 86. O número de diagonais de um polígono que possui a soma dos ângulos internos igual a 3240º é: a) 140 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180 84. (F. respectivamente: d) 70 e 1440º a) 35 e 1440º e) 45 e 1860º b) 40 e 1260º c) 35 e 1480º 79. Então. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que 77. (ITA) – A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 2 160º. calcule o valor de x. Determine a sua área e a medida da altura relativa ao maior lado. 89. o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 81. 91.I. obtendo-se assim uma redução de 350 cm2 na sua área inicial. O número de diagonais desse polígono que não passa pelo seu centro é: a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 83. A área do retângulo original era: a) 800 cm2 d) 750 cm2 e) 650 cm2 b) 700 cm2 2 c) 400 cm 73. Calcule o número de diagonais dos polígonos abaixo: a) Pentágono b) Heptágono b) Dodecágono c) Hexágono 74. Se um retângulo possui os lados representados por x + 4 e x – 6 e tem área igual a 56. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que tem altura 90. (PUC – SP) – Cada ângulo interno de um decágono regular mede: a) 36º b) 60º c) 72º d) 120º e) 144º 88. Calcule a soma dos ângulo assinalados na figura: Polígonos 72. O polígono convexo cuja a soma dos ângulos internos mede 1440º tem. então calcule o valor de n. de um triângulo equilátero de lado 10cm é: a) 25√3 b) 25 c) 100√3 d) 20√3 e) 10 87. O número de diagonais e a soma dos ângulos internos de um decágono convexo valem. Calcule a área do desenho e a real das seguintes figuras: (Escala: 1:3) h = 2 3 cm . Um triângulo ABC tem lados AB = 10 cm. Se um convexo tem 9 lados. esatamente: a) 15 diagonais d) 20 diagonais b) 25 diagonais e) 30 diagonais c) 35 diagonais 80. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 720. h = 8 3 cm . Júlio demais ângulos internos medem 128º cada um. (MACK SP) – Os ângulos externos de um polígono regular medem 20º. A área. . (ACAFE) – Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. (UFRGN) .Matemática Prof. Vitória-ES) – Num retângulo cuja medida da base é o dobro da medida da altura.Um terreno de 72m2 de área é formado por 8 quadrados congruentes (veja figura abaixo). AC = 8 cm e BC = 7 cm. em cm2. O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e)17 82. 85. (PUC – PR) – A soma dos ângulos internos de um hexágono regular é: a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º 78. foram diminuídos 5 cm da altura e 10 cm de base. qual o número total de diagonais? d) 27 e) 36 a) 18 b) 20 c) 24 75. (PUC – SP) – Qual é o polígono em que o número de diagonais é o dobro do número de lados? a) Dodecágono d) pentágono e) heptágono b) Octógono c) hexágono. (INATEL – MG) – A figura abaixo é a planta de um salão na escala 1 : 20. em 55m. pode-se afirmar: a) 9 ≤ x ≤ 11.8% e) 38% 97. a área do quadrado é aumentada em: a) 35% b) 30% c) 3. é igual a: a) 5 600 cm2 d) 36 m2 b) 56 m2 e) 24 m2 c) 72 m2 106. são necessários para revestir uma área retangular que mede 90cm de comprimento e 120cm de largura? 95. Qual o perímetro do retângulo? a) 8m b) 12m c) 16m d) 20m e) 24m 101. Calcule o valor de h. Calcule a área da região hachurada na figura: 105. A área deste salão é: 100. AC = 12 cm e BC = 15 cm. é h. Para que a divisão seja feita corretamente. Um triângulo ABC tem lados AB = 13 cm.5% b) decresce 0.Matemática A cerca que delimita o terreno (em negrito na figura) mede: a) 51m b) 36m c) 48m d) 27m e) 62m 93.4km2. (FUVEST) Aumentamos a altura de um triângulo em 10% e diminuímos a sua base em 10%. com os lados respectivamente. Se AM = MD. (VUNESP – SP) – O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano. 96. (UEL) – Dois quadrados. HM = ME e as áreas desses quadrados são 100 m2 e 144 m2. (UNICAMP – SP) – Na planta de um edifício em construção. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado. Calcule a área de um hexágono regular que possui o lado igual a 2 m. em metros. (UFSC) – A base de um triângulo mede 132 m e sua altura.5% d) 3. 99. (UFCE) – Quantos azulejos quadrados. deverá ser: a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 103. as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8cm. obtémse um novo triângulo cuja área á o dobro da área do primeiro. Sobre a medida x do maior dos lados deste outdoor. paralelos. (FUVEST) – Aumentando-se os lados a e b de um quadrado de 15% e 20% respectivamente. com área de 104 m² e com um dos lados 5m maior do que o outro. medindo 15cm de lado. b) 6 ≤ x ≤ 8. Calcule em m2 a área real da sala projetada. construído em formato retangular. Determine a sua área e a medida da altura relativa ao maior lado. (FUVEST ) – Dos irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e as seguintes dimensões: AD = 20 m AB = 60 m BC = 16 m Para dividir o terreno em duas partes de mesma área. c) x ≥ 26. (FUVEST – SP) – Os lados de um retângulo de área 12 m2 estão na razão 1 : 3. em centímetros quadrados. (UFJF 2005) – Considere um outdoor de uma propaganda publicitária. interceptam-se como mostra a figura a seguir. Se a base for aumentada em 22 m e a altura. a distância dessa reta ao ponto A. então a medida dos seus lados estaria entre: a) 200m e 201m d) 220m e 221m b) 401m e 402m e) 632m e 633m c) 802m e 803m 94. Prof. cuja escala é 1 : 50. c) 12 ≤ x ≤ 14. 104. com uma área de 0. eles usaram uma reta perpendicular a AB. a área do quadrilátero MDNE. Júlio a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) 120 102. Então a área do triângulo a) aumenta 1% d) aumenta 0.5% e) decresce 1% c) não se altera 98. em metro. 637 . Y. 107. construí uma casa que tem a forma de um losango. Todo o restante do terreno será gramado. Júlio 108.40.Matemática e) x ≤ 6. a) 120 b) 20 c) 180 d) 24 e) 160 109. b e c de um triângulo qualquer. com medidas AB = 12 e BC = 5.20 e) R$ 944.9 c) 2. (UNIFAL/2006) – Na geometria plana.50 c) R$ 795. (UFPE) Na ilustração a seguir. sendo as medidas dadas em cm. onde 2p = a + b + c. e duas faixas retangulares EFGH e IJKL. cuja área e perímetro são iguais em valor numérico. respectivamente.1 e) 2. (Fatec-SP) – Comprei um terreno de forma retangular que tem 15 m de frente por 40 m de profundidade. temos um retângulo ABCD. e Z é um triângulo com 102m2 de área. com 3. Determine a área do trapézio retângulo abaixo: a) 696 b) 576 c) 466 d) 786 e) 236 110.60 d) R$ 1376. quando são conhecidos os lados a . Calcule a área da figura abaixo. Nesse terreno. através da fórmula .0 d) 2. Num retângulo. conforme a figura abaixo. x + 1. com a forma de um quadrado. (PUC – PR) A área do retângulo DEFB é: Se X e Y são quadrados de 81m2 e 144m2. com EF e JK de mesma medida. (UECE) – Na figura o retângulo ABCD foi divido em quatro regiões X. é possível calcular a área S . uma piscina de forma circular com 4 m de raio e um vestiário. Z e W É correto afirmar que a área do terreno é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 38 e) 36 115.8 b) 1. Se a área da região sombreada e a da região do retângulo ABCD exterior à área sombreada são iguais. sem necessidade da determinação de qualquer ângulo. 638 . A sua base mede: a) 5 b) 10 c) 15 d) 8 e) 4 114. a quantia gasta para comprar a grama será.40 113. então a área da região W é: a) 327m2 d) 319m2 e) 282m2 b) 309m2 2 c) 331m 112. (USF) – Um terreno na forma abaixo foi deixando como herança para duas pessoas. aproximadamente: a) R$ 645. qual a medida de EF? a) 1.5 m de lado.2 111. x .10 b) R$ 1005. Considere um terreno triangular de lados 2x – 1. a base é 3 metros menor que o dobro da sua altura. Prof. Se o metro quadrado da grama custa R$ 2. com diagonais medindo respectivamente 12 m e 24 m. cuja área é 65 m2. a) Calcule a área de um triângulo eqüilátero que tem altura h = 6 3 cm . (UFMG) – Um mapa está desenhado em uma escala em que 2 cm correspondem a 5 km. Sabendo que sua bicicleta tem pneus circulares iguais de raio 40cm. Calcule a área e o comprimento de uma circunferência que tem um diâmetro igual a 10cm. Determinar a área da superfície pintada. 121. Calcule: a) sua área. Desenha-se um segmento de reta.25 km2 a) 37. Se a mesa tivesse 45cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura. ser dividido em duas partes de áreas iguais por uma reta EF. (UFMG) – O comprimento de uma mesa retangular é o dobro de sua largura. paralela ao lado AB.14). (Usar π = 3. inteiramente contido na região interna ao círculo maior e externa ao círculo menor. tendo um lado contido na base do triângulo. (Usar π = 3. O lado do quadrado é. . a) Determine os valores de x. Num círculo de raio 4cm inscreve-se um quadrado e circunscreve-se um triângulo equilátero. Qual o comprimento desse segmento? 127. Calcule o seu comprimento. r r 122. O comprimento da linha do equador da Terra tem aproximadamente 40. A área real dessa região é de: b) 56. Calcule a razão entre a diagonal do quadrado e o lado co triângulo. Se a roda juntamente com o pneu de uma motocicleta tem um diâmetro de 50cm.1). quantas voltas completas terá dado o pneu da bicicleta de Paulo quando ele terminar a prova? (Use π = 3). Deverá. b) Determine as medidas dos lados da placa de 28 m2. Uma praça circular tem 200 m de raio. (UFJF/2006) – Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito. Um círculo de diâmetro igual a 16cm. DE medirá. quantos séculos demoraria para dar uma volta completa no planeta Terra? 128. Círculo e Circunferência 120. Determine a área hachurada em função de r. a área da mesa é de: b) 1. para que a área da placa varie de 12 m2 a 28 m2.50 km2 d) 22. em metros. qual será o diâmetro desse círculo? c) Se o círculo do item b) inscrito num quadrado qual será a medida da diagonal desse quadrado? 130.58m2 a) 1. Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo equilátero de lado 3cm. 123. em metros a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 116. Uma pista de ciclismo tem formato circular de raio 25m. calcule quantas voltas completas ela dará se esta motocicleta percorrer 150km. b) sua altura. (UFJF/2006) – Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares. b) Se o triângulo do item a) for inscrito em um círculo.000 km.50 km2 c) 67. portanto. Uma região assinalada nesse mapa tem a forma de um quadrado de 3 cm de lado. Considerando um triângulo eqüilátero de lado igual a 8cm. Calcule a sua área. Dada uma circunferência de raio igual a 3cm. 133.94m b) 1. (Considere π = 3. (Considere π = 3.50 km2 117.62m2 2 2 e) 1. seria quadrada. Sendo AD = 60m. 126.82m 118. 129. 131. Qual é o raio da Terra? Qual é o diâmetro da Terra? Uma pessoa que anda na linha do equador percorrendo 10 km por dia. Assim sendo. com maior comprimento possível.14). BC = 100m e CD = 50m. Júlio 125. de lados iguais a x + 3 e 2x – 4 metros.45m2 c) 1.1) 639 132.Matemática Prof. (UEL 2004) – Dois círculos concêntricos têm raios 3 e 5 centímetros. Quantos metros de grade serão necessários para cercála? 124. Numa determinada competição Paulo dará 40 voltas completas nesta pista. igual a: a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 119. Na figura abaixo tem-se um quadrado de lado 4m e uma parte de um círculo nele inscrito. e a medida de um ângulo central. tem-se 3 círculos concêntricos em O. em reais. sendo as medidas dadas em cm: 139. (Unifor-CE) – Na figura abaixo têm-se dois círculos concêntricos. 141. que formam o lado CD do quadrado. (UEL-PR) Calcular o perímetro. é igual a: 142. b) Calcule o raio da circunferência C. 143. D e M. A área da superfície sombreada. Calcule a área do círculo nas figuras abaixo. ao lado oposto AB. Qual a quantia total. a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores. Júlio 134. quanto gastará na loja? 137. que Joaquim gastará para gramar seu terreno? 135. use a aproximação π = 3. Na figura. igual a π/10. OB é o raio. Sabendo-se que o diâmetro do círculo maior é o triplo do diâmetro do círculo menor. 144. b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3. que o diâmetro do círculo do meio vale 6m e que soma desses diâmetros é 18m. sombreada na figura. no ponto M. fazendo um pesquisa de preço constatou que gastará R$ 10. B. Para cercar seu terreno. João comprou um terreno que tem a forma de um círculo de diâmetro igual a 20m. em centímetros. (UNICAMP 2005/2ªFase) – Sejam A. Calcule a área da região indicada. O é o centro do círculo. C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 10cm cada. o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros. calcular a área da região hachurada. em cm2. a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C. João precisava comprar arames afim de montar a cerca. 138. 136. e que seja tangente. (UNESP) A figura representa um canteiro de forma circular com 5 metros de raio.Matemática c) o raio da circunferência inscrita no triângulo. de raios iguais a 4 cm e 8 cm. Na loja. sabendo que nele está inscrito um círculo de 5cm de raio. Prof. Suponha que a circunferência C passe pelos pontos C e D. Joaquim deseja plantar gramas em seu terreno e. Calcule o valor abaixo: da área pintada nas figuras 640 . Na figura a seguir. Calcule o valor abaixo: da área pintada nas figuras 140. de um hexágono regular.00. em radianos. Sabendo que João deverá dar duas voltas completas de arame no seu terreno.50 por m2 de grama.2). em centímetros quadrados. Joaquim comprou um terreno que tem a forma de um círculo de diâmetro igual a 120m. cada metro do arame custa R$ 2. determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos.00. O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região. na qual se plantará grama. que. b) 196 km. d) 592 km. A área desse círculo vale: Dados: ATriângulo Equilátero = L2√3/4 L – lado do triângulo a) 3√3 b) 2π c) 6√3 d) 4π e) 9√3 153. será: a) 940. A região hachurada é de ouro e a não-hachurada é de prata. Júlio A área da região hachurada. mede: a) 48 b) 96 c) 100 d) 171 147. obtém-se um cone. e respectivamente.5 m. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo.Matemática Prof. (UFMG 2005) – Observe esta figura: A B O D C c) 366 km. Se o raio cresce em função do tempo t(em min). Um retângulo de 28cm de perímetro está inscrito em uma circunferência de 10πcm de perímetro. em cm2. as áreas das superfícies de ouro e de prata são. em cm2.Um círculo tem seu centro em um vértice de um triânguloeqüilátero de lado 2 de tal maneira que metade da área do triângulo está no interior do círculo. em cm2 é: a) 4π b) 6π c) 2π d) 5π e) 3π 145. tem-se um círculo de 3 cm de raio e quatro triângulos equiláteros com vértices no centro desse círculo. Nessa figura. a área ocupada pela mancha. depois de 2 minutos. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo.5. Calcule o volume desse cone. de um hexágono regular circunscrito numa circunferência de área igual a 8π cm2. as três circunferências têm 1 cm de raio e são tangentes entre si e aos lados do triângulo ABC. e) 291 km. aproximadamente: a) 93 km. A área do retângulo.25π e) 930. em cm2:_________ __________ 150. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0.25π b) 450. 151. Sabendo que os contornos das áreas hachuradas são semicírculos. sem riscos para o piloto. por sua vez.25π c) 910. o quadrilátero ABCD tem como vértices os pontos médios dos lados do retângulo EFGH. (UFLA 2005/2ª Fase) – Uma das faces de uma medalha circular tem o desenho ao lado. Girando o triângulo ABC de um ângulo de ° 180 em torno da altura relativa ao lado BC . 148. c) O triângulo ABC é eqüilátero? Justifique sua resposta. podendo causar riscos à segurança do piloto. obedecendo à relação r(t) = 15t + 0. (EFOA/2004) – Suponha que uma mancha de óleo sobre a superfície da água tenha a forma de um disco de raio r (em cm). a partir de 185. (FMTM/2003) . 149. a) b) 146. está inscrito em uma 641 . ele poderá percorrer.600 voltas. (UFJF/2006) – Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que. Calcule a área. Determine as medidas do lado e da altura do triângulo ABC.25π d) 420. ele passa a se deteriorar.25π 152. em cm2. b) 2π√3 unidades de comprimento. (FUVEST) Na figura abaixo. A área da região sombreada é: 161. (UFV – MG) Aumentando-se 1 m no raio r de uma circunferência o comprimento e a área.Matemática circunferência. Então. (UNIJUÍ – SP) O comprimento da circunferência representada na figura é: a) 49π unidades de comprimento. uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2.Na figura seguinte. Qual o valor da razão K = R/r? a) 2√3 b) 1 + 2√3 c) 2 + 2√3 3 3 3 e) 1 + 3√3 d) 3 + 2√3 3 3 4π − 3 3 3 3π − 4 3 c) 3 a) 158. NP e PM são arcos de circunferência com centro nos vértices A. de raios todos iguais a 1. o candidato de um determinado partido realizou um comício que lotou uma praça circular com 10 metros de raio.Nesta figura. b) 2π − 3 3 3 3π − 2 3 d) 3 (FAAP – SP) – Na campanha eleitoral para as recentes eleições realizadas no país. aumentam: a) 2π m e 2 (r + 1)π m2 d) 2π m e (2r + 1)π m2 b) 2π2 m e (2r + 1)π m2 e) 2π m e (2r2 + 1)π m2 c) 2π m2 e (r2 + 1)π m2 157. d) 7π√3 unidades de comprimento. em cm. é: a) π . Supondo que. respectivamente e. Júlio de pessoas presentes a esse comício é de. (Fuvest-SP/2000) . respectivamente. a área da região hachurada é: 162. como mostra a figura. Assim sendo. o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm. (CEFET-PR) Se um setor circular tem raio α e área S. o triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2: Então. O perímetro do “monstro”. a área da região hachurada é: a) π + 2 2 b) π + 2 c) π + 3 d) π + 4 e) 2π + 1 a2 d) 2πa2 S 156. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”.1 d) 2π e) 2π + 1 Prof. respectivamente. B e C. em média. e) 14π√3 unidades de comprimento. uma estimativa do número 642 163. (PUC-PR) Um setor circular com arco de 36º e raio igual a 1m tem como área: a) π/2 m2 d) 2πm2 b) πm2 e) π/5m2 c) π/10m2 160. é CORRETO afirmar que a área do quadrilátero ABCD.Em um jogo eletrônico. é a) 6√13 b)8 √13 c)12√13 d)4√13 154.1 b) π + 1 c) 2π . o ângulo do setor vale: a) 2S b) S_ a2 e) 2πSa2 c) πa2 155. havia 5 pessoas/m2. (FEI – SP) Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de outra circunferência de raio R. ABC é um triângulo eqüilátero de lado igual a 2. estão representados um quadrado de lado 4. aproximadamente: a) 78 500 d) 100 000 b) 127 000 e) 10 000 c) 157 000 159. e o ângulo de abertura mede 1 radiano. 12 cm e 7 cm . O segmento AC e o raio dessa circunferência medem. (UNESP/2005) . (UFMG/2003) . conforme a figura a seguir. c) 14π unidades de comprimento. em cm2 . . MN. determine o número inteiro mais próximo da medida (em cm2) da área da etiqueta. vale: 164.Matemática Prof. (PUC-PR) – Sendo O o centro da circunferência de raio unitário. Calcule o valor de x na figura a seguir: 165. em cm.6 cm. (UFPE) Num círculo. Calcule x na figura abaixo: 166. considera-se a semicircunferência exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3. a área do triângulo retângulo ABC que tem o cateto AC no diâmetro. (UFMT) – A etiqueta do CD mostrado na figura tem a forma de uma coroa circular cujo diâmetro da circunferência externa mede 11. inscreve-se um quadrado de lado 7 cm. como na figura a seguir.5 cm. Calcule a área da região hachurada: 168.14. de um arco de 36º e de raio igual a 40cm Ângulos na Circunferência 169. Sobre cada lado do quadrado.8 cm e da circunferência interna 3. (UFMA) O comprimento da curva representada pela figura é: a) 53π b) 60π c) 120π d) 43π e) 96π 170. Complete os valores indicados em cada figura abaixo: 643 . Júlio 167. Considerando π = 3. a) 110º b) 65º c) 70º d) 50º e ) 55º 171. Calcular o comprimento. Calcule o valor de x na figura a seguir: a) 1 644 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 .Matemática 172. Júlio 178. em radianos. x= y= 173. em graus. Dê a medida. Pode-se dizer que o valor de x é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13 176. sendo AB o diâmetro da circunferência. é: 182. dos ângulo x e y assinalados na figura. dos ângulo x e y assinalados na figura. em radianos. a medida do ângulo a. em graus. Na figura abaixo. dos ângulos a e b mostrados na figura é: a) π/4 b) π/2 c) π d) 3π/2 e) 2π Prof. sendo AB o diâmetro da circunferência. temos os segmentos PA e PB ambos tangentes à circunferência. Sobre a soma cos ângulos opostos BAD e BCD. (CESGRANRIO – RJ) – Em um círculo está inscrito um quadrilátero ABCD. é: a) 2π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/3 e) π/6 Potência de Pontos na Circunferência 180. em graus. Calcule o valor de x na figura abaixo: 179. Na figura abaixo. Dê a medida. Calcule x: 181. x= a) 70º b) 35º c) 50º d) 55º e) 65º y= 174. (CESGRANRIO – RJ) Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. Determine o valor de x na figura: a) 150 b) 30 c) 120 d) 130 e) 160 177. a valor de x. podemos afirmar que vale: a) 5x180º b) 3x180º c) 2x180º d) 180º e) 90º 175. (UFG – GO) – Se a corda AB da figura é um lado de um triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro C. A soma. 8 b) 16/5 37) x = 2/3 e y = 16 38) x = 36 e y = 54 39) 20m 40) 6m 41) A 42) B 43) B 44) 3m 45) 45 46) A 47) C 48) x = 2 e y = 8 49) C 50) a) 2. em cm.84 121. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD. Na figura abaixo.96 122.º 6) 80º 7) C 8) a) 140º b) 39. CP igual a AB e DP = 4cm. é: a) 5√3 b) 3√2 c) 8 d) 3√5 e)6 187.. 62.b) 14 cm2 e 126 cm2 c) 6 cm2 e 54 cm2 88) 4√3cm2 89) 64√3cm2 90) 10 91) A = 15√55/4 e h = 3√55/4 92) C 93) E 94) 48 95) A = 20√14 e h = 8√14/3 96) E 97) E 98) 77m 99) 20m2 100) C 101) A 102) D 103) 6√3cm2 104) 56u. Determine x nos casos a seguir. 8 e 10 65) 4√10 66) a) 3√34/34 b) 5√34/34 67) 20√2 68) 36m 69) x = 1 e α = 30º 70) A 71) 2 .5º c) 80º 9) 100º 10) 50º 11) 30º 12) 120º 13) 36º 14) B 15) B 16) 130º 17) 90+x 18) 40º 19) 150º 20) C 21) 100º 22) D 23) A=C= 48º e B=84º 24) 40º 25) 6cm 26) 22cm 27) C 28) A 29) E 30) D 31) 146º 32) 150º 33) a) x = 4/7 b) x = 1/2 e y = 90 34) y = 6 e x = 8/3 b) x = 5/2 e y = 13 35) D 36) a) 2.25m b) 13. se interceptam num ponto P sendo PB o dobro de AP.000/π 131. se interceptam num ponto P sendo PB o dobro de AP. b) 25 π/4 138. em cm. √3/3 126. 400m 124. 80 π 137. Na figura abaixo.π/2) 132. 8 127. AT é tangente ã circunferência de raio r. de uma circunferência. 200.√2 72) A 73) a) 5 b) 54 c) 14 d) 9 74) D 75) E 76) E 77) E 78) A 79) C 80) D 81) B 82) D 83) D 84) 6 85) 360º 86) A 87) a) 10cm2 e 90 cm2. (UFG – GO) – Uma corda AB de um círculo mede 6 cm e a distância desse coda ao centro do círculo é de 3 cm. a) 62√3. 37.c) 2π-1 645 . 12. em cm. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD.a. então o valor de AC é: a) b) c) d) e) (√5 + 1) r 1 + 2r r2 √5r (√5 – 1) r 190. Júlio 189. é: a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 186. de uma circunferência. onde os segmentos são tangentes às circunferências: b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π Prof.4 π 139. 20√3 136. a)16√3 b)4√3 c) R=(4√3)/3 134.000/ π. Sabendo-se que AT = 2r.109 século 128. c)8√6 130) 300.b)8√3. O comprimento de AC. CP igual a AB e DP = 4cm. A=77. b) 50π. Calcule x na figura a seguir: 184. √3/2 123. em cm. D = 40. é: a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22 GABARITO 1) a) x = 36º e y = 108º c) x = 30º e y = 20º e) x = 50º e y = 150º b) x = 10º e y = 35º d) x = 10º e y = 5º f) x = 18º e y = 27º 185. A medida de CD.16-4π 129.8 m2 51) C 52) A 53) 5(16 – x)/3 54) B 55) 4 56) A 57) D 58) D 59) C 60) a) 5 b) 5√5 c) 4√11 d) √105 61) 2m 62) 2√15 63) 74m 64) 6.88. a)2 π.. 0. R=20. a) 2 π.Matemática a) π 183.800π 135. BE = 8 cm e ED = 6 cm. r2(2. 105) C 106) C 107) 16 108) A 109) A 110) C 111) E 112) E 113) B 114) E 115) C 116) B 117) A 118) A 119) a) 3 ≤ x ≤4 b) 4 e 7 120. A área da parte sombreada é: 2) 20º 3) B 4) x = 60º e cada ângulo é 170º 5) 38. é: a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22 188. O raio do círculo. C=31cm 125. são dadas AE/EC = 1/3.5cm.5 133. 42 . A medida de CD.000/ π. (MACK – SP) – A área do trapézio da figura é 12√2. pode-se afirmar que sen β vale: (mostrar resolução) a) 0.65 e) 0. então a altura do muro em que a escada está apoiada vale: (Dado: sen 30º = 1/2. 178. (UFMG/2001) . Determine quantos metros de comprimento precisa ter a escada. C 154. a)15. (sen15º = 0. Júlio 06. A 147. é construir um triângulo retângulo.96. retângulo abaixo. (EFOA 2005/2) – Uma maneira rudimentar e eficiente para se medir o ângulo de inclinação de uma rua R. o CALCULE 11. Determinar.73) a) 174.6 09.g)30 172. cosx e tgx. 156.26. E 183. cos 30º = √3/2. C a) 75/.50m de altura.y=20° 180. b) 50 π. A 158.2 c) 86. tg 30º = √3/3) a) 2√3m b) 3√2m c) 4√3m d) 5m e) nda 05. cos 15º = 0.b)2 184. D 175. retângulo em a. Num triângulo ABC. sabendo que AC = 6cm e o ângulo B = 15º. em linha reta. C a)50.y=35° 179.b)25/3 143. TRIGONOMETRIA Trigonometria no Triângulo Retângulo 01. E Prof. 171. quando atingir a altura de 3km? 07. Considerando esses dados. onde o segmento OA é perpendicular ao segmento AB .4 b) 0. Então a altura da torre é igual a: (Dados: sen 60º = 0. (UFPR) Considerando o triângulo retângulo a seguir. Sobre o lado DC foi marcado o ponto P. l= 2(1+√3) c) v= (18+10√3) πR/3 E 152. E 188. 32√3 A 149. (CESGRANRIO) – Na figura acima está representado o retângulo ABCD.0 e) 17.95 b) 0.c)128 π 141. O ângulo APB mede. Calcule a medida dos catetos deste triângulo. B √3-π/2 157. Um foguete é lançado sob um ângulo constante de 30º. A D 162. situada a 100m de uma torre. E 185.5 c) 0. como mostra a e figura abaixo. a) BD=3. Quantos metros terá percorrido. (UFSC) – Uma escada de 8 m de comprimento forma um ângulo de 30º com um muro vertical em que se apoia (no topo). a hipotenusa mede 4 e o ângulo C vale 30º. BC = 5√6 e cos ( BÂC ) = 03. em relação à horizontal H . tg 15º = 0. C 159. 04.Matemática 140. h=r(3+√3). Um pessoa de 1.47. C 160. A=39 165.45 08.86. E 176. E a)demonstração. 142. 8π 169.75 d) 0.7 e) 0.8 d) 0. b) 168 81 π/2 145. x=140°.50 e tg 60º = 1. Na figura abaixo calcule a medida do lado AB. o ângulo ABC é reto. avista seu topo sob um ângulo de 60º com a horizontal. 15/4 C 182. 1. C 155. comprimento do cateto AB.55 10.294 146. 150. A 177.b)60. enquanto a medida de CP vale o dobro de BC. D 189.d)66. 10/3 190. A 153.85 c) 0.A=24. 75° 170.6 d) 50. na figura. 144. E 168.27).No triângulo ABC. Considerando o triângulo calcule senx. C B 174. 161. em radianos: a) π/2 b) 2π/3 c) 3π/4 d) 5π/6 e) 8π/9 12.c)24e48. 02. D 163. C 164. de modo que a medida de DP corresponde ao triplo do lado AD. c B 187. Uma escada deverá ser apoiada no topo de um prédio de 60 m de altura formando com o solo um ângulo de 60º. 3 15 .5 b) 173. cos 60º = 0. A tangente do ângulo α vale: (mostrar resolução) a) 0. 166. a medida do segmento BD: 646 . 151. 186. a) 64(4-π). 173.f)90. 75 x=55°. Sendo o solo plano. A 99 167. 181. 148. Obter o ângulo formado pelos de um relógio às 8h e 20min 23. que o ângulo entre AC e AB é de 30º. (UNESP) . tomando na circunferência de centro O. Qual é o comprimento da escada.5 km e) 6 km 16. forma com essa parede um ângulo de 30º.5 km c) 5 km d) 6. sabendo que o comprimento do arco AB indicado é igual a 12cm? As estradas AC e AB são asfaltadas. calcule o valor de BC sabendo que O ângulo A = 45º o ângulo B = 30º e AC = 10cm.26 19. A. respectivamente. conforme mostra a figura. calcule x em função de R e α 20. um arco de 0. (UNIFAL/2006) – Um passageiro em um avião avista duas cidades A e B sob ângulos de 15º e 30º. 28.Três cidades. Se a parte quebrada faz um ângulo de 60º com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 10 m de sua base. 647 Lei do Senos e Lei dos Cossenos 29. côngruos (mesma extremidade) de – 60º. Quais são os arcos positivos menores que 1500º. mede. Se o avião está a uma altitude de 3 km. A estrada CB é de terra e será asfaltada. B e C. (PUC) Dar o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 12h e 15 min.14) obtém-se: a) 0. conforme a figura abaixo. Uma árvore partida pelo vento. num ponto distante 5m do solo. Determinar o comprimento do arco AB.105 rad. 13. 24. em metros? 14. mantém seu tronco perpendicular ao solo formando com ele um triângulo retângulo. Sabendo-se que AC tem 30 km. e que o triângulo ABC é retângulo em C.53 b) 30. são interligadas por estradas. Na figura abaixo.10 d) 3. 25. (FUVEST) Quantos graus aproximadamente. Uma escada apoiada em uma parede. Qual é o raio da circunferência. (FUVEST) O ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1h e 12 min é: a) 27º b) 30º c) 36º d) 42º e) 72º 26. a distância entre as cidades A e B é: a) 7 km b) 5.15 c) 1. . (π = 3. (adotar π = 3. Júlio qual era aproximadamente a altura original da árvore? Arcos e Ângulos 18.015 e) 0. 22. a quantidade de quilômetros da estrada que será asfaltada é: a) 30√3 b) (10√3)/3 c) 10√3 d) 8√3 e) (3√3)/2 17.14) 15. (MAUÁ) Quantos radianos percorre o ponteiro das horas de um relógio de um relógio de 1h e 5min até 2h e 45min. (ITA) Transformar 12º em radianos. (USP) Convertendo-se 30º15’ para radianos. Na figura abaixo. (OSEC) Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às duas horas e 15 min. 21.Matemática Prof. 27. quantos metros de encanamento são necessários? a) 80m b) 70m c) 50m d) 90m e) 60m 32. (UFSC) Num triângulo ABC. cotg b c) c) tg (a + b) d) b) cotg (a + a) e) e) tga . AC = 3cm e o ângulo A é 60º. Quantas milhas separa o farol do ponto B? 41. calcule o valor do lado AB sabendo que AB = 8. _sen 0º_ é: sen 45º sen 60º cos 15º a) par . em cm2.Matemática 30. é: a) menor que 90 b) maior que 90 e menor que 100 c) maior que 100 e menor que 110 d) maior que 110 e menor que 120 e) maior que 120 35. O terceiro lado desse triângulo mede: a) 2 √21 m. B e C. Quando o navio está em A. o ângulo A mede 85º e a medida do ângulo B é 2 / 5 da medida do ângulo A. (UFV/PASES) – Em um triângulo isósceles obtusângulo. (UFPR) De um triângulo. (UEPG – PR) Na figura abaixo o valor de b é: a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) 1/4 43. Um navio. em cm2 mede: a) 2√3 b) 6√3 c) 4√3 d) 3√3 e) 5√3 Relações Trigonométricas Principais e Secundárias – Funções Trigonométricas 37.7 a) 7 b) √7 c) 7√7 d) 72 36. (FEI – SP) No triângulo da figura seguinte. sem escala. b) 2 √31 m. onde A é uma cidade conhecida. passa sucessivamente pelos pontos A. o comandante observa o farol em L. Se a idéia é bombear água do mesmo ponto de captação até a casa. sabendo que BC = 15 m e BÂC = 150º. à distância entre B e C. (CESCEA – SP) Num triângulo ABC onde AB = 2cm. cotg b 46. Num triângulo ABC. tg b b) b) cotg a . (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa. b = 3√2 e C = 45º. Logo. Os comprimentos dos outros dois são: (sen 135º = sen 45º) a) 2(√3 + 1) e √3 + 1 b) √2 (√3 – 1) e 2 (√3 + 1) c) √2 (√3 + 1) e 2 (√3 + 1) d) √ (√3 – 1) e 2 (√3 – 1) e) nda [Obs. 44. b) c) d) e) √2 / 2 2√3 / 9 √6 / 3 √3 / 3 Prof. dá-se um lado de comprimento igual a 2 e os ângulos adjacentes a esse lado que valem 30º e 135º. (UFJF 2005) – Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m. (FGV – SP) No triângulo da figura abaixo. A razão entre os lados menor e maior do paralelogramo é: a) √3 / 6 648 45. BC = 7 e o ângulo B = 60º. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água-bomba e caixad’água-casa é de 60º. A área desse triângulo. (MACK-Modificado) O valor da expressão: M = _cos 45º_ + _cos 45º_ . 33. a medida de x é igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 40. como mostra a figura acima. Calcule a altura referente ao lado BC. Na figura abaixo. um de 60º e outro de 45º. o lado oposto ao ângulo de 120º mede 6 cm. Sabe-se que AB=80km e AC=120km. Após navegar 4 milhas até B. d) 2 √51 m. (PUC – SP) A diagonal de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros. vale: e) 0. a = 4. navegando em linha reta. Júlio 31.: sen 15º = √2(√3 – 1) / 4] 42. O raio da circunferência que contém três pontos A. B e C. c) 2 √41 m. em km. e) 2 √61 m. (UFGO) Simplificando a expressão tg a + tg b_. e formam um ângulo de 60°. (UNICAMP – SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio pra uma caixad’água a 50m de distância. e calcula o ângulo LAC = 30º. vale: (sen 150º = sen 30º) a) 25 b) 15 c) 30 d) 45 e) 35 38. o ângulo BCA mede 60º e o lado AC mede 12cm. Então a medida c vale: a) 10 b) 2√10 c) √10 d) 2√5 e) nda 34. o quadrado do lado BC. A medida do ângulo C é igual a: a) 34º b) 61º c) 119º d) 13º e)59º 39. obtém-se: cotga + cotgb a) tg a . verifica-se o ângulo LBC = 75º. ____ e ____. Calcule o valor numérico da expressão = cos 1920 º + sen330 º −tg 0º . 63. Sendo cos = 1 / 3. Os quadrantes que se encontram os ângulos 2040º. 57. 66. então x = 0º ou x = 180º.cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a: a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2 55. ache o cosx.1/2 ( ) tg 210º = -√3/3 ( ) tg 45º + tg 135º = 0 ( ) sem 120º > cos 120º 58. 2170º e – 2920º são respectivamente: _____. considerando uma volta no ciclo trigonométrico. ache o valor da expressão cos2x . ( ) cos 1 = cos 1º 59. qual o 62. Se senx = 3/7 e x é um arco do 1º quadrante. que estão no intervalo [0. Qual o valor numérico 47. y são números tais que: 1 π da expressão 3π 4 sen − 8 cos 2π 2 61. então podemos afirmar que A = (cosx . Coloque V para verdadeiro e F para falso: ( ) sen 315º = 1/2 ( ) cos 120º = . 65. (FUVEST) – A soma das raízes da equação sen2x – 2 cos4x = 0. encontre o valor de y sabendo que: a) sec2x b) tgx 1 y=2+ − sec 2 c) 0 2 cos x. (FATEC – SP) – Sejam x. então E2 é igual a: a) 1/4 b) c) d) 52. Considerando que a tgx = 1/3 e que x é um arco do 1º quadrante. (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares.cos 2 ( x )   2 é de a) sen2(x) b) cos2(x) c) 0 d) 1 e) sec(x) 50. y ∈ R. Coloque V se verdadeiro ou F se falso justificando sua resposta. Calcule o valor numérico da expressão abaixo: sen 90º − cos 270º +5 sen 180º sen 30º − cos 180º 48. (FAENQUIL – SP) – Simplificando a expressão abaixo.Matemática b) c) d) e) divisível de 2 divisor de 3 primo negativo Prof. (UFSJ 2005) – senπ − cos π + 3 cos Se em que a.cosx. calcule o valor de secx – 4cossecx.2 sec 2 x e) 5 53. calcular y=cossecx – sec x_ cotg x – 1 56. (VUNESP) Se x. ( ) sen 55º > sen 45º ( ) cos 135º > 0 ( ) cos 1400º < 0 ( ) sen 2π + cos 2π = 4π ( ) (sen 20º). b e q são as respectivas medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo. é: a) 2π b) 3π c) 4π* d) 6π e) 7π 649 .  1  1  +1   tg ( x )  1 . ache o valor da sec x – 3. tgx. cos sec 2 x d) 1 e) cossec2x 49. (UFLA/2003) – O valor da expressão x. Se sen x = ½ e x é do 2º quadrante. − sen1650 º a) y = sec2x d) y = cossec2 x b) y = tg2 x e) y = sen2 x c) y = cos2 x 67. A expressão abaixo. 2π ]. Calcule o valor numérico da expressão E = sen 90º . Se sen x = 1/4 valor de cos x? 2 e x é do 2º quadrante. é igual a: a) 1 b) 2 tgx ⋅ 4 cot gx ⋅ cos sec 2 x ⋅ sen 2 x c) 3 d) 4 2 cos 2 x ⋅ (sen 2 x + cos 2 x). 64. Sendo cosx = 1/3 e x é um arco do 4º quadrante.cos 120º + tg225º 60. obtém-se: a) tga 1 b) cotga  sen a ⋅ tga ⋅ cos sec a  2  c) seca   cos a ⋅ cot ga ⋅ sec a  d) cosseca   e) sena 51.(cos200º) < 0 ( ) Se cos x = 0. Júlio 54. Sabendo que cos x = . (UNIMEP) Os valores de x que satisfazem a equação sen(3x – 30º) = 1 são: a) 90º + n . Obter o valor da expressão: _sen 3x + cos 5x_ sen 4x para x = 30º. no intervalo 0º ≤ x ≤ 360º: a) 2 sen x = 1 b) 2 sen x = -1 c) 2 sen x = √ 2 76. (UFJF/2006) – Dois ângulos distintos. dar seu domínio. 93. (FEI) Calcular sen (7π/2) . Simplificar a expressão: _3 sen 0º + 5 cos 180º . 94. Resolver as equações abaixo. 77. (FAAP) Resolver. (PUC) Determinar m para que π / 3 seja raiz da equação tg2x – m . para o qual 9. Esboçar o gráfico da função y = sen x. cos (31π) π π 85. têm. 2º. tais que sen 2x = cos x. n ∈ Z 75. 1º. 84. (F. no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π. 2º. Resolver a equação 2cosx – 3secx = 5.1 / 3 e π < x < 3π/2. Resolver as equações. cos2x + sen2x = 0. (MACK) O menor valor positivo de x. o mesmo valor positivo. n ∈ Z c) 40º + n . 3º c) 3º.7 sen 270º_ sen2 90º + cos2 180º 87. para 0º < x < 360º 72. determinar um dos valores de x para o qual a função y = tg (2x – 30) não é definida. menores que 360º. Considere a equação 2 . a) π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/4 e)5π/4 73. 80. Se x = π / 3. dar seu domínio. imagem e período. a soma de todos os valores de x. a) sen x = 1 / 2 b) cos x = . cos x = 0 d) cos2x = 1 / 2 e) tg x = √ 3 96. 4π] é: a) 10π b) 8π c) 6π d) 4π e) 2π 82. n ∈ Z b) 40º + n . (CRA) – Resolva a equação tg x = -1 sendo 0 < x < π.sen α = 0 . para “x” variando de 0º a 360º é: a) 7 b) 6 c) 5 d) 1 e) –1 78. (MACK) O menor valor positivo de x. Esboçar o gráfico da função y = cos x. (FATEC) A expressão . para seno. 360º.2x cos α .Matemática 68. 2º 98. n ∈ Z e) 40º + n . (USP) Calcular sen 1920º. Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao intervalo [0.No intervalo [0. é igual: a) 2π b) π c) 3π d) 4π 69. 3º e) 3º. Júlio 83. 90º.sen 205º_ cos 65º 89. 2º. 650 97. 79. 74. Esboçar o gráfico da função y = tg x. CARLOS CHAGAS) O menor valor que assume a expressão (6 – sen x). Calcular o valor de cos 2850º 91. 95. (F. então achar o valor da expressão: E = sen2x – sen x + 3 sen 3x – sem3x Prof. (UFSJ 2005) . Para que valores de m é possível a igualdade: cos x = 1 – 3m. onde 0 < α < π/2. determinar sen x. A soma desses ângulos é igual a: a) 45º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º 70. n ∈ Z d) 120º + n . 1º. 92. para o qual 9-cos x = 1 / 3. com: √3 a) b) 0 ≤ x ≤ 180º.√3 / 2 c) sen x . em R. Calcular o valor de y = _sen 155º . sen2x = 3 . 2º d) 1º. x ∈ R. Resolver a equação 2 cos x = 1. 180º.CARLOS CHAGAS) Os quadrantes onde estão os ângulos α. 120º. a equação 1 – sen x + cos2x = 0. 2π]. imagem e período. O cosseno desse ângulo é igual a: a) 5/13 b) 1/13 c) – 5/13 d) – 1/13 e) – 12/13 71. β e γ tais que: sen α < 0 e cos α < 0 cos β < 0 e tg β < 0 sen γ > 0 e cotg γ > 0 são respectivamente: a) 3º. 1º b) 2º. cos x. 81.cosx = 1 / 3 é: a) π/6 b) π/4 c) π/3 d) π/2 e) 2π/3 90. imagem e período. 120º. 88. é: a) π / 6 b) π / 4 c) π / 3 d) π / 2 e) 2π / 3 86. (UFJF/2006) – Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 12/13. Sendo 0º < x < 90º. dar seu domínio. (FUVEST) Quais as raízes da equação do 2º grau x2sen α . 101. Esboçar o gráfico da função y = 2 . cos (π/2 + x). Sendo sec x = 3 e 0 < x < 90º. Sendo sem x + cos x = a. 120. a expressão cos (π/2 + x) – sen (π . Júlio 100. calcule o valor numérico da expressão sen(π + x) – cos(3π/2 –x). 8] 651 . Sendo tga = 2 e tgb = 3. Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3. CARLOS CHAGAS) A função que melhor se adapta ao gráfico abaixo é: a) y = sen (x / 2) b) y = cos (x / 2) c) y = sen (2x) d) y = cos (2x) e) y = sen x 109. 3] Soma de Arcos e Inequações 110.5 c) 0 d) 0.Matemática tem valor igual a: a) – 5√2 / 3 b) .3 c) 0. sen (x / 2). Resolva a equação trigonométrica 103.4 d) 0. y = sen (x . para 0 < x < 2π. Determinar o valor de tg (-A). Esboçar.5 e) 1 116. 102. 3] e) 2π2 e [.1/9 e 450º < x < 540º.3. Estudar a variação da função f. 1] b) 2π e 2. a) 2π e [.3.2π a 2π. vale: a) 1 b) 1 / 2 c) – 1 d) 1 / 3 e) – 1 / 2 111. em um período. então tg de y é igual a: a) 0. o gráfico da função 105. tal que f(x) = 3 sen (x / 2). 8] c) 2π2 e [2. de . com x ∈ R. Simplificar a expressão: sen π/2 + sen (π .  108. Dar a expressão (em 0 ≤ x ≤ 2π) que contém as respostas abaixo: 107. 104. calcule a tg(a + b) e a tg(a – b). Se tg x + cotg x = 3 então sen x .5 e) 0. Esboçar. 114. (CRA) – Considere f: R em R uma função dada por f(x) = 2.5 / 6 c) – 1 / 3 d) 1 / 2 e)1 99. sabendo que tg A = t. 123. calcule o valor de cos(x + 30º). (UFES/2004) – O período e a imagem da função abaixo. Esboçar. cos x. O valor de sen 55º cos 35º + sen 35º cos55º é: a) –1 b) – 0. (F. π 119. Resolver (sen x + cos x)2 < 1. o gráfico da função sen 2x. 113.6 121.x) π .1. Resolver as inequações com 0 < x < 2π a) sen x ≥ 1 / 2 b) sem x ≤ √ 2 / 2 c) cos x < √ 3 / 3 d) tg x < 1 122. Calcule o valor de: a) sen 75º b) cotg 150º Prof. Se cosx = .cos 75º.sen x – 3.x) é equivalente a: π π a) cos x b) 0 c). Qual é o maior valor que esta função pode assumir? a) –1 b) –2 c) 1 d) – 4 e) – 5 Variações de Período Trigonométricas e Imagem das Funções 115.  y = π π 2   sen  x +  + sen x −  = 4 4 2   117. 112. 106.2 b) 0.π / 4). (POLI) Calcular y = sen 105º . de 0 a 2π. obter o valor de: _sec x + cossec x_ tg x + cot x d) 2π e [. Sendo cosx = 1/3. respectivamente. são. o gráfico da função y = sen x. calcule o valor numérico da expressão sen (x + 180º) + cos (x – 90º). (VUNESP) Para todo x ∈ R.sen x – cos x d) 2 sen x e) – 2 sen x 118. -2√2/3 92. Calcular cos (1920º + 3690º). {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π. B 82. (F. com 0 < x < 360º da equação cos 2x + 4 cos x + 3 = 0. sen x = 5/13 cos x = 12/13 tg x = 5/12 03. (MACK) Se tg x = m e tg 2x = 3m (m > 0). 130º 23. D 45. 3 56. √57 31. 240°} 72. (PUC) Calcular: E = sen (-x) + sen (π + x) – sen (π/2 – x) + cos x 132. calcular cos (4x) 130. 82. C 86. 1 85. F. F. B 652 .7√3)8 79. V. n ∈ Z} 96. 125. √6/2 120. 8√5/9 113. 6. {x ∈ R/ π/2 < x < π} 123. 138. 40√3m 04. 1° e 4° 57.B 103. C 50. – t 101. Provar que: 4 .2senx 132. 330°} c) {45°.a). 131. C 17. a) (√2+√6)/4 b)-√ 3 111. C 78. 15 97. Sabendo que senx = -4/7 e x é do quarto quadrante. Sabendo que cos x = 3/5. Determinar o conjunto solução. feito em aula 74.Matemática a) GABARITO Prof. . C 26. 1. (2+√2)2 136. E 55. π/2 83. π 127. . 2√10/7 64. -√15/4 62. tg(a+b) = -1 e tg(a – b) = -3/7 115. a) {x ∈ R/ π/6 ≤ x ≤ 5π/6} b) {x ∈ R/ 3π/4 ≤ x ≤ 2π ou 0 ≤ x ≤ π/4} c) {x ∈ R/ π/6 < x < 11π/6} d) {x ∈ R/ 0 ≤ x < π/4 ou π/2 < x < 5π/4 ou 3π/2 < x ≤ 2π} 122. B 38. C 12. 136. CARLOS CHAGAS) Calcular: E = sen (150º + a) + sen (150º . gráfico 107.-√3/4 66. C 43. cos x. A 44.2√2)/6 114. 3 + 3√2 63. n ∈ Z} e) {x ∈ R/ x = π/3 + nπ. E 116. C 37. 300º. E 02. F 59. 10√2 30. 60º 95. calcule o valor de sen(2x). B 35. A 52. A 54. 24/25 125. 150°} b) {210°. B 39. gráfico 104. E 16. 200/9 09. n ∈ Z} c) {x ∈ R/ x = π/2. 15 11. Determinar o período da função y = sen x . C 128. C 68. 1380º 27. R(1-senα)/senα 15. C 70. π/15 20.41 c) 0. D 102. 1020º.5º 22. 0 ≤ m ≤ 2/3 81. a) {30°. 2√2milhas 41. 10√3/3 14. sen (a + 2π/3) = π sen 3a 129. 6km 07. 0 133. a) 30° b) ±30º + n360°. 37m2 18. F. √3/2 91. 10cm 29. C 47. (FUVEST) Calcular o valor de y = ( sen 22º30’+ cos 22º30’)2. A 46. cosa 134. C 10. gráfico 108. A 51. para todo a real é igual a: a) sen 3a b) cos 3a c) sem(2a)/2 d) 1 e) cos 2a 128. √3/2 77. V. C 90. A 109. sen(2x) = -8√33/49 e cos(2x) = 17/49 126. Júlio b) Arco Duplo 124. 180° 131. (FUVEST) O valor aproximado da tangente do ângulo de 22º30’ é: a) 0. determinar o ãngulo x. demonstração 129. C 05. (6 . 127.50 d) 0. D 49. B 32. 660º. a) {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π. (FATEC) Se cos x = 3 / 4. V. 5π/18 24. (MACK) A expressão y = sen(123º + a) – sen (57º . gráfico 106. 2√2/3 112. {120°. -17√10/30 65. 135°} 76. n ∈ Z 138. S =  cos α + 1 . C 75. C 34. (√2-√6)/2 135. cos3a + sen3a . 5/2 60. 22. cos a. A 08. C 69.5º 25. 30° + n360°. feito em aula 94. -37/32 130. feito em aula 80. -2 67.72 e) 1. 1 + sen2x 119. D 40.a) 134. cos α − 1   senα   senα 84. F. 2√3 e 2 06. sen a . F. 1 87. 2 89. 126. 133. (2√3 – 3)/3 88. F. C 73. a) x = 30° ou 210° ≤ x < 270° b) x ≠ 90° e x ≠ 270° 124. 2/3 48.57m 28.√3)/3 13. V. a 100. n ∈ Z} d) {x ∈ R/ x = ± π/4 + nπ. n ∈ Z} 117. A 98. calcule sen(2x) e cos(2x).√3/2 137. B 36. C 110. -1/12 61.00 01. A 53. A 19. (√3 .22 b) 0. 137. E 118.02º 21.cos 75º 135. 6√3 33. gráfico 105. (POLI) Calcular y = sen 105º . B 42. n ∈ Z 93. C 71. 20(3 . sen (a + π/3) . 3°. n ∈ Z} b) {x ∈ R/ x = 5π/6 + n2π ou x = 7π/6 + n2π. V 58. D 99. A expressão y = sen a . B 121. 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