El autor de este libro es profesor de matemáticas y estadística de la Universidad de Sussex.Su interés por la probabilidad nació a raíz de algunos juegos de naipes, y desde entonces ha realizado diversos estudios sobre loterías, cartas y dados. Miembro de la Royal Statistical Society, Haigh actúa como portavoz en asuntos de probabilidad, temas combinatorios y loterías. Es autor también de Probability Models, que acaba de aparecer en Estados Unidos Como ocurre con la gran mayoría de matemáticos, su interés por la ruleta y sus sistemas de apuestas es casi nulo, el autor se entretiene muchísimo en temas relacionados con las apuestas deportivas, las quinielas y loterías, lo poco que hay sobre la ruleta es lo que escribiré en este archivo de Word. La perspectiva de este juego de la ruleta para los matemáticos es siempre negativa, pero en esta serie de archivos que estoy transcribiendo, no solo es bueno ver la parte positiva o esperanzadora, no está de más que también escuchemos la opinión de los matemáticos profesionales, para después poder seguir opinando lo que nos venga en gana. Dado que ya comenté que no era mucho lo que el autor dedicaba a la ruleta, complementaré la opinión de este autor con otros autores y libros sobre probabilidades y juegos, también publicados por expertos en matemáticas y probabilidades, entre ellos, Martín Gardner, un autor bastante conocido por sus muchos libros de entretenimientos matemáticos. Como suele ser inevitable, uno no puede resistir a veces la tentación de opinar o añadir algún comentario que ofrece el autor del libro, por ello, en la siguiente colección de archivos de Word sobre ruleta, todo lo que yo añada como opinión o comentario personal estará escrito en letra azul, mientras que el texto original del libro se mantendrá en negro. Espero que la colección de textos que les voy a ofrecer les guste y entretenga. Atentamente: Namor. www.grupojoker.com 1 Este tercer volumen de Word corresponde al siguiente libro: MATEMÁTICAS Y JUEGOS DE AZAR John Haigh Título original: Taking chances. Winning with probability Edita: Tusquets Editores, S.A. ¿Qué es la probabilidad? Sea lo que sea, no es algo que se pueda ignorar. Un seguro de vida, de vivienda o de automóvil dependen de una probabilidad que los asegurados tendrán que asumir, y pagar. ¿Tiene usted que vacunarse contra la gripe este invierno? Deberá empezar contraponiendo el riesgo de efectos secundarios o de una posible reacción a las consecuencias derivadas de no vacunarse. Los miembros de un jurado sólo pueden condenar a un acusado cuando “no hay ninguna duda razonable” de su culpabilidad. En el sistema judicial, uno de los criterios más adecuados puede basarse en un “balance de probabilidades”. Una persona decide comprar, o no, participaciones de lotería por un impulso o por diversión, pero también pueden entrar en juego factores como creer, aunque sea vagamente, en la posibilidad de ganar una suma considerable. En los juegos de naipes, como el póquer o el bridge, se espera jugar mejor si se logra tener una idea realista de la posibilidad de que otro jugador tenga una determinada mano de cartas. Muchos problemas de decisión, ya sean serios o frívolos, pueden afrontarse en mejores condiciones si se comprende el concepto de probabilidad. En mi opinión, siempre es preferible conocer que ignorar, y una buena manera de llegar a conocer la probabilidad consiste en familiarizarse con una serie de juegos en los que ésta desempeña un papel relevante. El objetivo de este libro es proporcionar formas de evaluar y, en ocasiones, incrementar la probabilidad de éxito. Ser un experto en probabilidad puede no bastar para tomar decisiones acertadas. A veces, lo único que se consigue saber es en qué nos hemos equivocado. No obstante, por término medio, tanto en el juego como en la vida real, el proceso de toma de decisiones mejora si somos capaces de evaluar la probabilidad de los distintos resultados posibles. Este libro no es un tratado sobre la teoría de la probabilidad, sino www.grupojoker.com 2 un conjunto de planteamientos en cuya resolución intervienen argumentos probabilísticos. Las lenguas poseen una capacidad considerable de decir la misma cosa de distintas formas. Después de mezclar bien las cartas de una baraja y escoger la primera, por ejemplo, se puede afirmar “La probabilidad de que sea una pica es un cuarto”. Las siguientes frases tienen exactamente el mismo significado que la anterior: La probabilidad de que no sea una pica es de tres a uno. Es tres veces más probable que salga una carta que no sea una pica. Existen formas más elípticas de decir lo mismo: se puede recurrir a las palabras “riesgo” o “posibilidad”, pero al margen de su formulación, ¿qué significa esa premisa? ¿Qué nos induce a hablar de un cuarto y no de cualquier otro valor? Sólo en un modelo ideal se puede afirmar que la probabilidad es “un cuarto”. Mi modelo ideal es una baraja de 52 cartas de composición idéntica, 13 de ellas picas, y tal que todas las combinaciones posibles que se pueden dar después de barajar las cartas son igualmente probables. Si se cumpliesen estas condiciones, entonces la primera carta sería una pica en una de cada cuatro de esas combinaciones igualmente probables, lo cual explica la elección de “un cuarto”. Me consta que mi modelo no puede ser exactamente correcto a todos los efectos, pero espero que se acerque lo suficiente a la realidad como para no dar una respuesta equivocada. Tampoco se necesitó un modelo perfecto del mundo físico para depositar vehículos espaciales sobre las superficies de la Luna y Marte. El experimento con las cartas puede repetirse tantas veces como se quiera. En este caso, se puede comprobar la validez de una afirmación acerca de la probabilidad recurriendo a un gran número de experimentos del mismo tipo. Si la probabilidad de un suceso es un cuarto, entonces es de esperar que se produzca, por término medio, una vez de cada cuatro. De hecho, eso no significa que tiene que producirse exactamente una vez en cada bloque de cuatro repeticiones: puede ocurrir varias veces seguidas y puede que no se produzca en una docena de experimentos. El problema de este enfoque reside en saber qué entendemos por término medio y gran número. ¿Bastan 100 experimentos? ¿Tal vez 10.000? Desgraciadamente, no hay forma de saber hasta qué punto es grande un gran número. www.grupojoker.com 3 También se suele hablar de probabilidad cuando nos referimos a acontecimientos únicos, irrepetibles, como el hecho de que el índice bursátil aumente por lo menos un 10% en el próximo año o que Brasil gane el próximo campeonato mundial de fútbol. La idea de una frecuencia media a largo plazo carece de importancia cuando es imposible reconstruir las circunstancias reales. Tampoco estamos limitados a ocuparnos del futuro: una afirmación del tipo “La probabilidad de que Shakespeare escribiese Macbeth es del 80%” tiene sentido, pues expresa la opinión de un especialista. Considerar la “probabilidad” como un nivel de certeza permite reconciliar ambos enfoques. Cuanto mayor sea el nivel de certeza de un acontecimiento, mayor será la probabilidad que se le asocia. Si deseo evaluar mi nivel de certeza de que el índice bursátil aumentará cierta cantidad, puedo preguntar a un experto en bolsa. Tal vez me diga que puedo apostar dos a uno, es decir, que si apuesto una libra y gano, recibiré tres libras (la libra que he apostado y otras dos que habré ganado). Mi reacción a su oferta me da una idea de la probabilidad que puedo asignar al acontecimiento en cuestión. Si tengo la impresión de que apostar en esas condiciones es favorable, estoy asignando una probabilidad superior a un tercio. Si, en cambio, considero que no es una buena apuesta, entonces mi nivel de certeza es inferior a un tercio. Todo el mundo puede hacer este tipo de consideraciones, pero es fácil que las opiniones difieran. La probabilidad es algo muy personal. En el ejemplo de la pica es una baraja de cartas, posiblemente coincidamos en evaluar nuestras probabilidades en un cuarto, porque los modelos de nuestro experimento son prácticamente idénticos. En otras circunstancias, especialmente cuando disponemos de informaciones muy distintas, la evaluación de la probabilidad puede variar enormemente. El propietario de un caballo de carreras tendrá una opinión de las posibilidades de su caballo muy distinta a la de un lector de periódicos o a la del simple aficionado a las carreras de caballos. En los ejemplos en los que intervienen los dados, monedas, cartas, etc., se da un consenso generalizado en cuanto al modelo adecuado y, por tanto, el desacuerdo en las probabilidades es mucho menor. La gente puede tener razones muy distintas para creer que la rueda de una ruleta determinada funciona adecuadamente, pero todos aquellos que coincidan en considerar que sus 37 números son igualmente probables utilizarán el mismo modelo para analizar las posibles apuestas. A lo largo de este libro, mantendremos esta posición en lo esencial. Sin embargo, en algunos casos, los www.grupojoker.com 4 expertos pueden manifestar opiniones diferentes. Descubrir si estas diferencias tienen grandes repercusiones en las decisiones que tomamos o las conclusiones que sacamos es una parte crucial de cualquier análisis. Reflexionar con lógica. Debemos al erudito victoriano Francis Galton un magnífico ejemplo de los peligros de no reflexionar cuidadosamente. Si se lanzan tres monedas iguales al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras o tres cruces? Consideremos un razonamiento carente de sentido como el siguiente: Por lo menos dos de las tres monedas han de dar el mismo resultado, ya sea dos caras o dos cruces. La tercera moneda tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz, con lo cual la mitad de las veces saldrá como las otras dos y la otra mitad saldrá distinta. Por consiguiente, la probabilidad de que las tres sean iguales es de la mitad. Para detectar el error de este razonamiento, se requiere un enfoque lógico. Una forma consiste en colorear las monedas de rojo, azul y verde, y hacer un listado de todos los resultados posibles lanzando las monedas en ese orden. Al distinguir las monedas, se evita el error que Galton nos presenta de forma provocadora. Los ocho posibles resultados son {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, + + +}, de los que sólo dos son iguales. Por tanto, la respuesta es muy distinta. La probabilidad de que las tres monedas caigan del mismo lado es de dos de ocho o, lo que es lo mismo, un cuarto. El error en este razonamiento se encuentra en la expresión “la tercera moneda”, al comienzo de la segunda frase. Si no estamos distinguiendo las monedas entre sí, ¿cómo podemos saber cuál de ellas es la tercera? Si en dos de las monedas han salido cara, entonces está claro que la otra es la tercera, pero también se deduce que en esa moneda ha salido cruz; no es cierto, por tanto, que tenga “la misma probabilidad de salir cara o cruz”. Y si las tres monedas salen cara, cualquiera de ellas a la que se considere la tercera tendrá que haber salido cara. Por tanto, la probabilidad de salir cara o cruz no es exactamente la misma. Este tipo de pensamiento poco lógico puede costar dinero. Supongamos que Andrés considera que la probabilidad es de un cuarto y que está dispuesto (siendo muy poco generoso) a pagar la apuesta a dos a uno si las tres monedas salen cara o cruz. Espera ganar dinero en la operación. Si apuesta una libra, supone que ganará en tres de cada www.grupojoker.com 5 y puede diferir de lo que pueda pensar otra persona. “probable”. Desgraciadamente. una consecuencia de mi solución era que ¡otras dos probabilidades violaban esa regla! La situación se aclaró gracias a la intervención de un colega con más experiencia que yo. usaremos los números. obtendrá un beneficio. Considero que es seguro que Elvis Presley está muerto. Por mi parte. que se cree el falaz argumento anterior. obtendrá un beneficio de una libra después de cuatro juegos. más perderá y. Creerá que la mitad de las veces perderá una libra. como www. Para entendernos. decimales o porcentajes comprendidos entre 0% y 100%. Cuanto más juegue. tarde o temprano. Depende de cada cual. perseguido por el monstruo). por tanto. En cambio. Tal vez haya quien esté dispuesto a apostar que resucitará dentro de diez años (seguramente haciendo esquí náutico en el lago Ness. “probabilidad uno” equivale a “seguridad”.com 6 . Sean cuales sean las opiniones de cada cual sobre los acontecimientos reales o hipotéticos. Se podía resolver con facilidad. La regla inviolable. deberá reconsiderar la situación. aceptará gustosamente la apuesta. Bernardo.cuatro juegos y perderá dos libras en el juego restante. y las respuestas parecían sensatas. carece de sentido hablar de probabilidad fuera del intervalo entre cero y uno. pero lo que se entiende por “muy probable” puede variar de un día a otro. propuse en un examen una pregunta “inteligente” sobre la relación entre dos probabilidades. Por término medio. Las probabilidades se miden en una escala del cero al uno. asigno probabilidad nula a un viaje atrás en el tiempo hasta la época de Mozart. Por otra parte. pero el análisis de Bernardo es erróneo. etc. “con casi toda seguridad”. Sin embargo. Las palabras “imposible” y “probabilidad nula” significan lo mismo. debo confesar que algo me ha incomodado en todo esto. pero cada uno puede tener su opinión. pero que ganará dos libras las veces restantes y que. Las fracciones aparecen de forma natural si todos los resultados son igualmente probables. Las probabilidades se pueden expresar en forma de cocientes.. fracciones. Es una regla inviolable. En mi primera época de profesor universitario.grupojoker. En el vocabulario de la probabilidad aparecen palabras y expresiones como “posible”. que consiguió que la pregunta no saliera de su despacho. Ambos están dispuestos a jugar de buen grado. se puede sacar un corazón o un diamante. La otra idea básica es la de independencia. Si se desea comparar diversas probabilidades. La probabilidad de sacar un seis en el lanzamiento de un dado es 1/6. En esos casos. se pueden utilizar tanto los porcentajes como los decimales o las fracciones con un denominador común. Normalmente. si lanzo al aire una moneda mientras usted lanza otra. Conviene tener siempre presente dos ideas básicas. es poco conveniente. para obtener la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos basta con sumar las probabilidades individuales. los resultados no serán independientes. la probabilidad de sacar dos seises es (1/6) x (1/6) = 1/36. pues puede tratarse del rey de tréboles. saber que mi carta es un as reduce la proporción de ases de la baraja y. en una primera fase. resulta evidente cuándo dos sucesos pueden considerarse independientes.ocurre cuando se lanza un dado o en los juegos de cartas o al hacer girar una ruleta. los cálculos suelen ser más fáciles si se representan las probabilidades en forma de fracciones. los posibles resultados pueden considerarse independientes. Según la definición más habitual. afecta a la probabilidad de sacar un segundo as.com 7 . Supongamos que cada tres años algún petrolero vierte www. Algunos métodos de trabajo. la probabilidad de que se produzcan ambos es el producto de sus probabilidades individuales. Si la probabilidad de que salga un corazón es un cuarto y la de un diamante es un cuarto.grupojoker. Pero si extraigo una carta de una baraja y usted saca una carta de las restantes. Puede ser un trébol o un rey: no son excluyentes. Cuando los sucesos son excluyentes. cuando dos sucesos son independientes. entonces son excluyentes. Por ejemplo. Por ejemplo. si se extrae una carta de una baraja. La primera se refiere a los llamados sucesos excluyentes: si es imposible que dos cosas sucedan al mismo tiempo. Dos sucesos son independientes cuando el conocimiento de que uno se produzca o no se produzca no influye sobre la probabilidad del otro. pero no ambas cosas al mismo tiempo: los sucesos son excluyentes. por tanto. transformar las probabilidades en decimales. en general. Si a continuación hacemos otro lanzamiento independiente. Por ejemplo. entonces la probabilidad de que salga una carta roja es un medio. Consideremos los dos sucesos siguientes. Obtener un múltiplo de tres. la probabilidad de que salga un número par sigue siendo 1/2 (dos números pares de los cuatro posibles). ya que la probabilidad de que se produzcan ambos es igual al producto de ambas probabilidades. Por tanto. cuya probabilidad también es 1/6. Consideremos ahora un dado que no sea de seis caras.com 8 . pero la probabilidad de obtener un múltiplo de tres pasa a ser ¼. los dos sucesos no son independientes. Al multiplicar ambas probabilidades se obtiene (1/2) x (1/4) = 1/8. Pero la única manera de que se produzcan ambos sucesos es que salga un seis. Cada una de las seis caras distintas del dado tiene una probabilidad de 1/6 y. la probabilidad de que se produzca un vertido y que aquel equipo concreto gane la copa es (1/3) x (1/4) = 1/12. los sucesos son independientes. 3. puede parecer sorprendente que algunos sucesos sean independientes. o viceversa. los números pares aparecen una de cada dos www. cuyos cuatro lados. Pero en este dado no es posible que el resultado sea a la vez par y múltiplo de tres. la probabilidad de que se produzcan ambos es cero y no 1/8.grupojoker. es decir. designados por {1. para un año cualquiera. si se utiliza la definición de independencia anterior. en los que interviene un dado corriente. Es difícil pensar que ambos sucesos interfieran entre sí. En este caso. Al multiplicar ambas probabilidades se obtiene 1/6. Formalmente. Los sucesos son independientes. la probabilidad total de que salga un número par (sumando las tres probabilidades individuales) es 3/6 = 1/2. Por tanto. 2. por ejemplo un tetraedro. Del mismo modo. por lo que parece razonable pensar que son independientes entre sí. 4}. 4 o 6. dado que hay tres números pares. Obtener un número par. ya que el dado no tiene ningún múltiplo de seis. Si el resultado es un número par.al mar una cantidad considerable de petróleo y que cada cuatro años un determinado equipo gana la copa de fútbol. la probabilidad de que salga un múltiplo de tres es 2/6 = 1/3. 2. ya que sólo uno de los cuatro posibles resultados es múltiplo de tres. A veces. entonces es imposible que sea también un múltiplo de tres (y viceversa). ¡incluso en la misma tirada! Por tanto. Si utilizamos un dado en forma de diamante de ocho caras. tengan la misma probabilidad de salir. ¡los dos sucesos vuelven a ser independientes! En esta ocasión. el hecho de que el resultado sea un número par no influye en la probabilidad de que sea un múltiplo de tres. Por tanto. es decir. 3 o 6. es necesario especificar el modelo en su totalidad. hay que plantearse la siguiente pregunta: si se sabe con certeza que uno de ellos ha ocurrido. Y dado que (1/2) x (1/4) = 1/8. Igualmente. si se nos dice que el resultado es un número par. En estos ejemplos se han considerado dos sucesos (obtener un número par y obtener un múltiplo de tres) que pueden ser o no independientes en función del número de caras del dado. se necesita un múltiplo de seis. ello significa que sólo puede haber salido el tres o el seis. Aunque he afirmado que la probabilidad sólo expresa el grado de certeza que uno puede tener sobre algo. que el resultado sea un número par no influye en la probabilidad de que salga un múltiplo de tres. la respuesta es afirmativa. y los múltiplos de tres una vez de cada cuatro. entonces hay cuatro posibilidades {2. sólo hay un múltiplo de seis. Para obtener al mismo tiempo un número par y un múltiplo de tres. pero vale la pena plantearse el caso con más detenimiento. al margen de que el resultado sea un múltiplo de tres. con o sin dicha información. www. de acuerdo con la definición que hemos adoptado. Veamos el caso del lanzamiento de una moneda: la probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es 1/2. es útil saber qué puede suceder cuando el número de repeticiones es muy grande. ésta es 1/4.veces. si el resultado es un múltiplo de tres. pero ¿qué cabe esperar cuando se lanza la moneda miles o millones de veces? ¿Se acercará la proporción de caras a un medio? En principio. Así.com 9 . seis. Así pues. la mitad de las veces. 4. el resultado será un número par. entonces los sucesos son independientes. entre las que sólo se encuentra un múltiplo de tres. Para decidir intuitivamente si dos sucesos son independientes. Cuando se trabaja con probabilidades. 8}. 6. La probabilidad de obtener un número par es un medio.grupojoker. Grandes números. ¿modifica esta situación la probabilidad de que se produzca el otro? Si la respuesta es negativa. En este dado de ocho caras. por lo cual la probabilidad de que salga un múltiplo de seis es 1/8. En este dado octaédrico. el propio seis. los sucesos son independientes. Al extraer una carta de la baraja bien mezclada.Esperar que en un millón de lanzamientos se produzcan 500.com 10 . el intervalo es www. la respuesta depende del número de veces que se seleccione una carta. se obtendrá que la proporción de caras se sitúa en ese intervalo estrecho alrededor del 24% de las veces.6 picas!). la familia Romanov recuperará su poder absoluto en Rusia antes de que la proporción de caras caiga fuera del intervalo entre el 49% y el 51%. 50 o 51 caras. Todo cambia.000 lanzamientos. Si sólo se realiza diez veces el experimento. Tal vez sea excesivo pedir que la proporción de caras se sitúe entre el 49. Lo que no cabe esperar es que el número de caras sea exactamente igual al de cruces. Si se repite este experimento un gran número de veces.1% cuando se hacen 1. En un experimento consistente en 100 lanzamientos. Lo mismo ocurre con probabilidades distintas de 1/2. Vamos a aumentar el tamaño del experimento hasta 1.900 y 5.000 lanzamientos. Se trata ahora de que salgan entre 490 y 510 caras.9% y el 50. 25 o 26 picas. o que el número de caras se encuentre siempre dentro de un intervalo definido por un número fijo. la diferencia absoluta entre los números de caras y cruces tenderá a superar cualquier número que se pueda pensar. el intervalo aceptable se sitúa entre 4.000 cruces parece poco razonable. 500 o 501 caras). cuando se lanza al aire una moneda millones de veces. es decir.100.000 lanzamientos (los únicos resultados posibles son 499. sin embargo. La proporción de caras puede llegar a ser tan próxima a 1/2 como se quiera. El mismo principio es válido cuando se endurecen las condiciones. se cumplo lo contrario: si se lanza al aire una moneda un gran número de veces. una vez de cada cuatro se sacarán 24. Con un millón de lanzamientos. Con 10. la probabilidad de sacar una pica es un cuarto. Con 100 extracciones.4 y 2. cuando hablamos más bien de un porcentaje fijo alrededor del valor central. Con un millón de experimentos. de que salgan 49. por ejemplo 20. ¿con qué frecuencia saldrá una pica entre el 24% y el 26% de las veces? Como ocurre con las monedas. De hecho. lo cual sucede en un 50% de los casos. Supongamos que queremos que el número de caras esté comprendido entre el 49% y el 51% del total. Lo que se estabiliza es la proporción de caras. y el éxito nos acompaña en más del 95% de los casos.grupojoker. Si se repite el experimento un gran número de veces. nunca tendrá una pica entre el 24% y el 26% de las veces (¡tendrían que salir entre 2. se trata.000 caras y 500. pero nos quedaríamos muy sorprendidos si no tuviésemos éxito al hacer 10 millones de lanzamientos. por tanto. el 25%. alrededor de su media. Dispone de algún modelo que le permite hacer predicciones. sino que permanecerá en él a partir de entonces. y en condiciones idénticas. Consideremos un intervalo fijo. cuantas más repeticiones se hagan. Las frecuencias de caras y cruces se acercarán a sus medias. Repitamos el experimento.com 11 . pero será correcta en media. Sea cual sea el comportamiento inicial. supongamos que un experimento se puede repetir independientemente tantas veces como se quiera. Basta con hacer un seguimiento de la proporción de casos en que se produce un suceso en tantas repeticiones como sea posible. en el que lloverá o no. Dicha proporción puede considerarse como una estimación de la probabilidad subyacente. la estimación será excesiva o insuficiente.000) que la probabilidad de quedar fuera de él es comparable con la de que un poni de las Shetland gane la carrera del Grand National. Si existe una “ley de las medias”. Algunos experimentos sólo pueden hacerse una vez. en el que se encuentre la probabilidad x. llegará un momento en que la proporción no sólo caerá dentro del intervalo.grupojoker. Seguramente se ha basado en el estudio de mapas del tiempo. Se refiere a algo que sucederá en el futuro lejano y que no puede inferirse de los sucesos a corto plazo. Falso. ni siquiera sobre los cien lanzamientos siguientes. Algunas veces se utiliza la expresión “por la ley de las medias”. datos enviados por satélites y otras situaciones meteorológicas en la misma época del año. pero lo que interesa es su comportamiento a largo plazo. Mañana es un día concreto. acabo de describirla. En ocasiones. En resumen. y observemos si la proporción en cada caso cae dentro o fuera del intervalo. conocer el comportamiento a largo plazo nos ayudará a evaluar las probabilidades. La meteoróloga puede señalar que la probabilidad de que mañana llueva es del 50%. anotando cada vez la proporción de casos en que se produce dicho suceso.tan grande (de 240. tan pequeño como se quiera. pero sólo a su debido tiempo.000 a 260. pero no puede verificar su afirmación de la misma manera que lo haría para comprobar su presentimiento de que una moneda saldrá cara. Sin embargo. Esta “ley” no dice nada sobre el siguiente lanzamiento. Dicha proporción puede oscilar ampliamente al principio. podrían empezar a serlo en el siguiente lanzamiento. para indicar que si los números de caras y cruces terminarán siendo iguales a largo plazo. normalmente con muy poca precisión. mejor será la estimación. y que la probabilidad de un determinado suceso sea x. entre otros elementos. nunca podrá saber si www. Si se puede repetir un experimento de este tipo tantas veces como se desee. del cual veremos más adelante algunos ejemplos. Si sólo juega una vez. En un juego. mayor es el número de veces que hay que jugar en más ocasiones para que se imponga el promedio. las ideas más útiles son también las más sencillas. el problema de manejar datos estadísticos con la “esperanza” de encontrar algo en particular puede fácilmente caer en resultados inexactos o en lo que se suele llamar “la falacia del jugador”. Promedios y variabilidad. sus probabilidades o porcentajes de www. Aprovecho la ocasión del autor al hablar sobre lo que es la probabilidad para indicar que los resultados que pueden dar las estadísticas. resulta importante conocer las cantidades que se pueden ganar y la probabilidad de hacerlo. Lo que sí puede es llevar un registro acumulativo de sus predicciones durante varios años. En muchas situaciones en el campo de la estadística. es mucho más útil disponer de un promedio que de cualquier otra cantidad.com 12 . la variabilidad de los resultados puede desempeñar un papel mucho más importante. Comentario: de lo dicho por el autor se desprende el hecho de que precisamente la mayoría de sistemas fueron realizados según las opiniones de quienes los crearon basándose en datos estadísticos. Así ocurre también con la probabilidad en el ámbito de la estadística. En la mayoría de las ciencias. Cuanto más variable es el resultado. pero la cruda realidad de si el juego favorece a uno o a su oponente tiene normalmente más que ver con un promedio.su estimación era precisa. Contrastar el tiempo atmosférico real con sus predicciones agrupadas de esta forma no varía finalmente de repetir el experimento un buen número de veces (siempre y cuando su capacidad de hacer previsiones mantenga su coherencia). Pero si el número de veces que juega es muy elevado. aunque sea en pocas ocasiones. y así sucesivamente. Aun cuando no es posible analizar su pretensión sobre la probabilidad de que llueva de la misma manera como lo haríamos en el caso de experimentos repetibles. siempre es posible emitir juicios sobre la precisión global del conjunto de sus predicciones.grupojoker. Tal vez de él se desprenda que de 100 ocasiones creyó que la probabilidad de lluvia era del 50%. el promedio se impone. que en otras 80 ocasiones la probabilidad era del 25%. en una misma mesa. Cada jugador adquiere la cantidad de fichas de colores que desea. Todos los casinos ingleses funcionan como club privado. Ruleta La ruleta es. En un tramo corto de juego. teniendo siempre presente lo que suele suceder cuando se produce una enorme cantidad de jugadas. el cálculo de probabilidades nos indica las opciones posibles. Estas “condiciones” suelen producirse acertadamente después de muchas. La apuesta máxima permitida suele ser 100 veces la apuesta mínima.com 13 . ya que “según ellos” debería producirse tal o cual condición. pero siempre a la larga. La ruleta estándar del Reino Unido tiene 37 números. El cero es de color verde y los demás números son rojos o negros. Las estadísticas son una aproximación. en ningún momento el cálculo de probabilidades nos dará nunca la seguridad de lo que se producirá en una sola jugada. muchísimas jugadas o intentos (promedios). puede pasar absolutamente cualquier cosa. con gran diferencia. En un mismo casino. porque cuando apostamos lo hacemos siempre sobre un tramo corto de tiempo. y nunca. Son círculos muy www. el pasatiempo más popular de los casinos. los sucesos de probabilidades se cumplen. ¿cien veces?. y en las apuestas dependemos más de las certezas que de las aproximaciones. Certeza imposible de descubrir “a priori”.acierto. ningún sistemista o jugador puede estar constantemente apostando durante diez mil o más jugadas. Y esto es lo que hacen los sistemistas generalmente. No es posible equivocarse sobre la identidad del ganador. y eso es lo malo. cuál de esas opciones probables va a tener lugar. ya que. pero en ningún caso puede predecir. se basan siempre en situaciones teóricas. pero nunca son una certeza. los colores de las fichas de cada participante son distintos. y supone alrededor del 60% de las apuestas totales. creen que a través de varios sucesos analizados suponen la “probabilidad” de acertar la siguiente jugada. es la ley del azar. en algunas mesas se admiten apuestas bajas y en otras pueden ser más elevadas. Y en una jugada única. del 0 al 36.grupojoker. Los casinos en el Reino Unido funcionan de forma muy diferente a los del resto del mundo. en un tramo corto del juego (variabilidad). en lugar de las 9 o 10 veces como aquí en España.000 Libras. el margen de la casa se reduce al 1. En las posturas. en las que el premio es igual a la apuesta. Los jugadores pueden hacer apuestas múltiples. dejar pasar su turno. Las bebidas alcohólicas están prohibidas en la sala de juego y no hay espectáculo en directo. cuando sale el cero. Para simplificar. con lo cual. la ruleta es el juego más popular. en los casinos de Triangle (Bristol) o Westcliff (Essex) de 50 Peniques a 100 Libras. etc. el margen de la casa es la mitad de esa cantidad. De cada 37 unidades apostadas. seguimos con John Haigh: Supondremos que los 37 resultados posibles son igualmente probables: los casinos tienen mucho interés en que así sea. En ese tipo de apuestas. Para ser socio hay que tener un mínimo de 18 años. con la expresión “apostar al rojo” nos referiremos a cualquiera de www. y después de esta información complementaria. estilo americano con un solo cero (como en España). En las apuestas a “rojo” y “negro”.com 14 . los aspirantes. independientemente de su categoría.35%.cerrados donde sólo pueden jugar los socios y sus invitados. que pueden ir desde los 50 Peniques a las 50 Libras (para los plenos). Cada casino. le siguen el blackjack. al cabo de 48 horas les es concedido el carné de socio (de 2 a 25 libras). por ejemplo. donde puede apostarse desde 2 Libras y hasta 1. La razón es la regla según la cual. lo que por término medio recuperan los jugadores son 36 unidades de cada 37 apostadas. y en el casino Rendezvous de Londres. En cualquier apuesta que no sea aquellas en que se paga tanto como se ha apostado.grupojoker. pero el promedio permanece constante. se puede progresionar hasta 14 veces la apuesta inicial. se pierde una: una ventaja para la casa del 2.7%. [información proporcionada por Joker y de la Guía del Juego de David Spanier]. la mesa se queda la mitad de la apuesta. en una martingala simple. el baccarat (punto banco) y el craps. pues su margen de beneficios es tan pequeño que cualquier sesgo apreciable puede desviar la ventaja en favor de algún jugador que tenga conocimiento del mismo. modificar el volumen de sus apuestas o variar su juego de muy diversas formas. deben cursar una solicitud y firmar una declaración comprometiéndose a observar en el juego las reglas establecidas por el club. y la otra mitad se devuelve al jugador. por lo que algunos dejan un amplio margen de juego. cada club establece sus propios límites (con permiso de la Junta del Juego). no puede tener más de dos máquinas tragaperras. La devolución media que recibe cuando sale el cero es una unidad (tiene una probabilidad de un cuarto de recibir cuatro unidades y de tres cuartos de no recibir nada). jugar con audacia es bueno. Pero supongamos que se modifica la regla del cero. Pero en una de cada 37 veces. sólo cabe un consejo: en los juegos desfavorables. el jugador que ha apostado al rojo tiene la posibilidad. cuando sale el cero. ¿Le puede ser de alguna utilidad el casino? Ante este tipo de problemas. pero está dispuesto a quedarse sin nada. se le devolverá sólo una unidad.grupojoker. www. mientras que 215 libras sirven tan poco como una tarjeta caducada. Pero en este caso.com 15 . Para ayudar realmente a Pablo. Por tanto. una o cuatro unidades. toda apuesta de dos unidades sólo daría lugar a dos resultados posibles: cuatro unidades o nada. de forma que cuando salga éste. Sólo dispone de la mitad de esa cantidad. también pierden las apuestas en las que el premio es igual a la cantidad apostada. Cuando analicemos este tipo de apuestas. el margen de la casa no varía sea cual sea la apuesta realizada. una de cada cuatro veces. 216 libras representa el nirvana. Para él. hay tres resultados posibles: el jugador recibe cero. de forma que el margen del casino sigue siendo el mismo. jugar con timidez.las seis apuestas en las que el premio es igual a la cantidad apostada (las chances simples). De este modo se simplifica considerablemente el análisis. cuando salga el cero. 108 libras. este cambio equivale a que si se apuesta al rojo se gane con una probabilidad de 73/148 y se pierda con una probabilidad de 75/148. malo. Teniendo en cuenta la frecuencia de aparición del cero. En ese caso. Esto se podría lograr fácilmente lanzando al aire dos monedas para ver si salen dos caras o haciendo girar de nuevo la ruleta. sin introducir ninguna modificación sustancial en las conclusiones. Objetivos Pablo necesita 216 libras para comprar un billete de avión que le permita asistir a la final de la Copa de Europa de fútbol. actuaremos como si los casinos utilizasen este sistema modificado. empecemos simplificando un poco la situación y supongamos que. Esta regla significa que cuando un jugador apuesta dos unidades al rojo. lo normal será que pierda su apuesta o disponga de cuatro unidades. de doblar la apuesta o perderlo todo. Pablo pierde 36 veces de cada 37.7%. si consigue ganar con una apuesta de cuatro libras en su primera apuesta (tres libras no bastan). habrá logrado su objetivo. Con cualquier apuesta. habrá alcanzado su objetivo. la probabilidad de perder en todas las apuestas es (36/37)18 = 0. Para determinar su probabilidad de éxito calculemos primero la probabilidad de perder en todas las apuestas. Pablo tiene una probabilidad del 49. mientras disponga de 76 libras. En el caso contrario. si pierde. una apuesta de cuatro libras puede proporcionarle el dinero que necesita.grupojoker. Teniendo todo en cuenta. En 18 de cada 37 ocasiones. Su última oportunidad es apostar esa libra a 5:1 y luego las seis libras a 35:1. Las apuestas a un solo número se pagan a 35:1. Su paso por el casino será muy breve. de las que podrá apostar 54 al rojo.com 16 . pero no tan buena como apostar todo de golpe al rojo. Su probabilidad total se eleva sólo al 45. esta estrategia es mejor que la de intentar 18 apuestas de seis libras.3% de las veces. Ya dispone de 108 libras y. tendrá que subir la apuesta hasta seis libras. Todas estas alternativas tienen probabilidades inferiores a la inicial. esa apuesta es más favorable de lo que hemos dicho. si dispone de menos. siete de cinco y seis de seis libras). una cantidad inferior a la correspondiente a una única apuesta al rojo. Si gana. pero en el caso contrario su fortuna se habrá reducido a una libra. perderá todo su dinero y tendrá que ver el partido por televisión. consistente en una única apuesta cuyo premio sea igual a la cantidad apostada. si gana con alguna de ellas.6% de las veces. Con esta estrategia. De hecho. y con menos de 41 libras. debido a la regla del cero en las apuestas al rojo. puede planificar hasta un total de 22 apuestas si es necesario (nueve de cuatro libras. Pablo puede utilizar las apuestas a 35:1 de una manera alternativa. la probabilidad de que gane por lo menos una de las apuestas es del 39%.3% de ver el partido en vivo. Esta estrategia sólo permite ganar el 47.61. vuelve a encontrarse con 108 libras y puede volver a empezar de nuevo. En realidad. De esta forma. En conjunto. Podría dividir su dinero en 18 partes iguales de seis libras y apostar sucesivamente a un único número hasta que se quede sin dinero o acierte. Pablo dispondrá inmediatamente de 216 libras y podrá ver el partido de su equipo en directo. Existen otros enfoques audaces. necesitará apostar cinco libras. con lo que basta ganar una vez. por tanto. el 48. Un último intento: colocar toda su fortuna en una apuesta a doble columna. dispondrá de 162 libras.Una apuesta atrevida es jugárselo todo al rojo. pero tampoco tiene interés www. si gana entonces. objetivo logrado. www. 4. pero siga deseando tener 216 libras. Sea cual sea su decisión. de una libra cada vez. que son marginalmente más favorables. etc). ¿Cuál es la probabilidad de que vaya ganando cuando acabe su visita?. también dispone de 108 libras. pero tiene alguna posibilidad. una forma audaz de utilizar la apuesta al rojo es apostarlo todo. ¿Estará ganando cuando deje de jugar? El hermano de Pablo. con la esperanza de doblar la cantidad. Con un capital inicial de 24 libras. caballo. Fijémonos en el caso en que Pablo disponga de 24 libras. sino que apostará por cualquier conjunto de m números. Su esperanza es pequeña. en lugar de 108. o utilizar lo justo para conseguirla cuando ha acumulado más de 108 libras. Pablo tiene que hacer tantas apuestas que irá perdiendo esa ventaja y la apuesta al cuadrado seguirá siendo mejor. la probabilidad de cuadruplicar su dinero es algo superior al 24%. seisena. 3. estaría más cerca de su objetivo y no existiría prácticamente diferencia entre hacer dos apuestas al rojo en dos partidas sucesivas y cubrir nueve veces seguidas un único número con seis libras en cada ocasión. A modo de comparación. las menos posibles. Si Pablo dispone de 24 libras en un principio. Una alternativa consiste en dividir el dinero en dos partes iguales y hacer dos apuestas a caballo a 17:1 en tiradas sucesivas. En esta ocasión. 2. Su probabilidad es de 4/37. Una apuesta audaz consiste en jugárselo todo a un cuadrado. La respuesta depende el número y la naturaleza de las apuestas que haga. aproximadamente un 11%.alguno en ver cómo fluctúa su fortuna. Hemos elegido unos números que facilitasen los cálculos. pero un juego audaz implica que se hacen pocas apuestas. Supongamos que Miguel se limita a un tipo de apuesta. pero quiere ver el partido por televisión. En ambos casos. línea. Miguel. 12 o 24 (pleno. cuadro. no utilizará las apuestas al rojo.5% de las veces. Ninguna otra apuesta que no sea al rojo supera la apuesta al cuadrado. siendo m = 1. cuando ya ha acumulado 108 libras. ganará si sale cualquiera de los cuatro números. 6. los resultados de la comparación con la apuesta al cuadrado son algo ambiguos.com 17 .grupojoker. El objetivo de su visita es la pura diversión. su planteamiento sólo está pendiente en salir volando a presenciar la final. se marchará del casino a las seis. Como el margen de la casa es menor en las apuestas al rojo. Si tuviese 54 libras. tendrá éxito el 10. Si le llega el dinero hasta entonces. su pérdida media sería de 10 libras. por término medio. basta con haber www. es decir. Desde entonces hasta la 107ª tirada. su fortuna aumentará en 35 libras. mayor será la probabilidad de que el resultado real se aleje de la media. pero aquí el planteamiento es otro. pero cuando gane. Vamos a seguir paso a paso las apuestas de Miguel y a calcular las probabilidades de que vaya ganando a medida que avanza la sesión. Como es evidente. la variabilidad con respecto a este promedio será mayor que si se decanta por cualquier otra apuesta. La variabilidad será menor si apuesta a la doble columna de 24 números. En 37 tiradas. En ese momento. necesita haber ganado por lo menos tres veces para ir ganando después de 73 tiradas. La probabilidad de que pierda en las 35 35 primeras tiradas es (36/37) = 0. Por tanto. para conseguir ganar al final de su visita es necesario que la variabilidad sea grande.com 18 . Debería hacer apuestas a 35:1 a un solo número. Pero a parte de ese momento. Es muy probable que empiece con una serie de pérdidas. la probabilidad de haber ganado por lo menos dos veces después de la 37ª tirada es 1(36/37)37-(36/37)36. El objetivo de Miguel es aumentar la probabilidad de ir ganando cuando el reloj marque las seis. Desde una probabilidad de 1/37 después de la primera tirada. hasta el 27%. su probabilidad de ir ganando ha vuelto a disminuir.3833. tendrá que haber ganado por lo menos dos veces en ese período. Si sus apuestas son siempre a un solo número. Esta decisión también hace aumentar la probabilidad de que sus pérdidas sean muy superiores a la media.la pérdida media resultante es de 1/37 libras en cada tirada y. y la probabilidad de ganar exactamente una vez es (36/37)36. ya sea por exceso o por defecto. su probabilidad se ha situado alrededor del 58%. de golpe estará ganando. y su probabilidad irá en aumento.grupojoker. hasta la 71ª tirada. Como. solo irá perdiendo si en todas ellas ha perdido. Pero para ir ganando después de 37 tiradas. la probabilidad de no haber ganado nada es (36/37)37. Cuanto mayor sea la variabilidad de los resultados. Así pues. irá ganando si ha ganado por lo menos dos partidas en total. pierde en cada jugada. Miguel tiene una probabilidad del 62% de ir ganando después de la 35ª tirada. siempre que haya tenido suerte en cualquiera de las 35 primeras tiradas. Tras exactamente 71 tiradas. hasta menos del 32%. lo cual equivale a una disminución considerable. su probabilidad de ir ganando aumenta continuamente hasta la 35ª tirada. si tuviera tiempo de hacer 370 apuesta. y así sucesivamente. La situación es clara. se produce una caída abrupta hacia las 36 tiradas.ganado tres veces. seguida de un aumento análogo durante otras 35 tiradas. Si se construyese una sierra según ese modelo. la probabilidad aumenta. la probabilidad de que Miguel vaya ganando depende en gran medida del lugar en el ciclo de 36 tiradas en que el destino le haya colocado. entonces la discusión puede centrarse en si ir ganando incluye o no estar a la par. la probabilidad será bastante pequeña. Sin embargo. debería pensar en 179 apuestas. 108. basta haber ganado cinco veces. pero si ese número es algo mayor que un múltiplo de 36. Miguel puede haber hecho unas 180 apuestas en dos horas. menudo crupier!). por lo menos. se necesita haber ganado por lo menos seis veces. pues en esos casos es posible que Miguel se encuentre exactamente en la misma situación que el comienzo. la probabilidad de que vaya ganando cuando termine la sesión es bastante elevada. nos limitaremos a números de tiradas que no son múltiplos de 36). estos cálculos contienen una pequeña inconsistencia. siendo la probabilidad de ese suceso del 53%. pues cada máximo sucesivo. etc. (He tenido mucho cuidado en no mencionar las tiradas números 36. Para ir ganando después de 179 tiradas. con una probabilidad del 62%. es algo menor que el anterior. con una nueva caída a ambos lados de la 108ª tirada. con otra caída alrededor de las 72 tiradas. resultaría muy poco eficaz. La probabilidad que tiene Miguel de ir ganando en distintos momentos de la sesión responde a una gráfica en dientes de sierra. pero vuelve a disminuir en la 109ª tirada. Supusimos que era www. Para evitar esa cuestión semántica. justo antes de la caída abrupta. tal vez para poder completar 180 tiradas.com 19 . pero no exactamente hasta el mismo nivel. A un ritmo de 90 tiradas por hora (¡toma castaña. es muy posible que quiera quedarse más tiempo. para que su probabilidad sea máxima. Vuelve a aumentar de nuevo. Miguel debería olvidarse del reloj y prever una sesión de 35 tiradas como máximo (basta con ganar una partida). 72. Si su único objetivo fuese tener la probabilidad más alta de terminar la sesión con ganancias después de una serie de apuestas a un solo número. Tras un continuo aumento. siendo la probabilidad correspondiente de sólo el 37%. Si el número total de tiradas es algo menor que un múltiplo de 36. Pero para ir ganando después de 181 tiradas. Cuando dan las seis. En realidad. ya que inicialmente dijimos que el capital con que contaba Miguel era de 108 libras. En este caso.grupojoker. las cifras serían del 40. es más probable que vaya ganando si se limita a apostar a 35:1. 3. 12...5%. la cantidad que recibirá la primera vez que gane siempre será una unidad mayor que la que tenía al comienzo. La limitación de su capital reduce las probabilidades citadas en unos 0.5 puntos porcentuales. y los casinos (todavía) no prestan dinero. al tener un margen de la casa menor. Por término medio. Si apuesta a 2:1 a una columna de 12 números. y no alrededor de los múltiplos de 36. Ilusiones Si los casinos admitiesen apuestas ilimitadas y prestasen dinero. Vuelve a producirse una gráfica de dientes de sierra. con cualquier número de apuestas al rojo. una fila de tres números. vuelva a empezar.capaz de hacer 180 apuestas. Después de 179 o 181 tiradas. Independientemente de las pérdidas al comienzo. Miguel mejorará apostando al rojo. tendría una probabilidad de casi un cuarto de perderlo todo antes de ganar algo. existiría una forma segura de obtener algún tipo de beneficio. en la que como mucho podrá hacer varios centenares de apuestas. Por otra parte. Los resultados son menos contrastados y las caídas menos pronunciadas. para incrementar la probabilidad de terminar la sesión siendo aún más rico? No.com 20 . ¿Podría Miguel utilizar las apuestas al rojo.grupojoker. Puede repetir la secuencia varias veces. 6 o 12 números. Pero se mantiene la diferencia entre finalizar la sesión después de 179 o de 181 tiradas. pero en este caso las caídas se producen alrededor de los múltiplos de 18. Supongamos que se concentra apostando 11:1 a una transversal.5% y del 38. Miguel podría tentar la suerte y apostar a bloques de 2. En lugar de apostar a un solo número. Todo lo que uno tiene que hacer es apostar repetidas veces al rojo y doblar la apuesta cada vez. y si Miguel dispone de 181 libras. irá ganando el 53% de las veces. www. Si sólo apuesta al rojo. todo encaja. su probabilidad de ir ganando nunca superará el 50%. y después de 179 apuestas del 44%. Después de 179 apuestas. 4. pero puede darse la situación de que sus pérdidas iniciales sean tan cuantiosas que agote su capital antes del instante en que ha decidido poner fin a la sesión. pero los resultados no son lo suficientemente variables como para proporcionarle una buena posibilidad de terminar la sesión siendo más rico. respectivamente. Cuando salga rojo y gane. si Miguel sólo tuviese 54 libras al inicio de la sesión. En una única sesión. 9. las probabilidades de ir ganando son del 49% y del 40%. su probabilidad después de 35 tiradas es del 47%. excepto si está dispuesto a apostar en miles de tiradas. 6 o 3 tiradas. Incluso el más rico de los jugadores puede alcanzar el límite fijado por el casino antes de que le sonría la fortuna. supone una desventaja para el apostante. Después de leer la historia de Graham Greene El que pierde gana. por lo que extraigo aquí también la opinión de Richard A. Los sistemas de apuestas tienen en el www.grupojoker. No puede existir un “sistema” en el que el apostante tenga ventaja. a menos que la ruleta presente algún desperfecto.Sin embargo.com 21 . una cantidad inferior a una centésima. 32. Pero para mitigar el posible entusiasmo ante una estrategia tan favorable. tendrá que disponer de suficiente capacidad económica para apostar lo que haga falta para poder seguir. Epstein: “El número de ‘sistemas garantizados de apuesta’. De promedio. siendo la probabilidad de ese suceso (19/37)7. La combinación de un margen de la casa en cualquier apuesta y un límite impuesto por la casa garantiza que cualquier secuencia de apuestas. (En realidad el “matemático” de Greene no era sino un ayudante de contable que se presentaba como matemático. sus posibilidades mejoran y la probabilidad de ganar supera el 99%. veneran. todos los matemáticos (y contables) tienen la misma opinión. Su probabilidad de éxito es considerable: ganará una unidad si en cualquiera de las siete primeras partidas sale rojo. 64 cuando todas las apuestas pierden. 16. Sobre lo anterior. Las matemáticas demuestran precisamente lo contrario: ese sistema no existe. El límite fijado por el casino sólo interviene cuando en ninguna de ellas sale rojo. y juran por esos sistemas conforman una legión. pero no es cierto. este “sistema” tiene dos fallos que lo hacen inviable: Los casinos no conceden crédito. se puede tener la idea de que un matemático con suficiente experiencia es capaz de construir un sistema que permita ganar siempre. 2. la proliferación de mitos y falacias envueltas en esos sistemas y la innumerable cantidad de personas que propagan. protegen. Su objetivo es ganar una unidad y marcharse. 8. y si usted se embarca en esa línea. usted pierde. 4. pero incluso los contables saben que es imposible). Supongamos que el límite es de 100 unidades y que Jorge se embarca en el “sistema”. Como el cero también puede haber salido en una de esas siete apuestas. conviene comparar ese beneficio de una unidad con la pérdida de 127 unidades en apuestas de 1. ya sea una única tirada o en varias. Lo siento. Sume entonces el primero y el último (el 1 y el 9) para saber cuánto tiene que apostar la primera vez.grupojoker. su siguiente apuesta será de 11 unidades al rojo (o al negro. Una vez eliminados todos los números. Para perder. 45 unidades. no elimine ningún número y escriba sus ganancias. por ejemplo. En este sentido. Los nuevos números situados en primer y último lugar son 1 y 10. diez. Continúe de esta guisa. Cualquiera que empiece su sesión de juego con la equivocada idea de abandonar cuando vaya ganando o haya alcanzado algún objetivo positivo. tal vez se necesite más dinero del que se dispone o una apuesta más elevada de lo que permite la casa. De hecho. por supuesto). elimine los dos números de la lista y vuelva a sumar el primero y el último (el 2 y el 8). Si no gana. Pero si gana en la primera apuesta. Ninguna ley le impide cambiar de opinión si encuentra que perder es demasiado difícil. tendrá que afrontar el dilema planteado en la sección anterior. Para garantizar el éxito. Apueste una cantidad igual a la suma de los números situados en primera y última posición. en la parte inferior. www.fondo un paralelismo con los que proponen las ‘máquinas de movimiento perpetuo’ que constantemente se dan golpes en la cabeza contra la segunda ley de la termodinámica”. La ventaja de jugar hasta perder una cantidad determinada es que las pérdidas tienen un límite y queda descartada la posibilidad de arruinarse. ya se le puede felicitar. Una forma muy conveniente de seguir esa estrategia es el llamado sistema (inverso) de Labouchere. es poco frecuente interesarse por los trucos que ayudan a perder. ésa es su apuesta. La mayoría de los jugadores de un casino consiguen perder con facilidad y no necesitan mis consejos. Ha conseguido su propósito: ha perdido 45 unidades. Sea pesimista: decida desde el comienzo que abandonará el juego cuando haya logrado perder una cantidad previamente estipulada. De vez en cuando. Si se queda con un solo número. las diez unidades se apuestan al rojo. las experiencias de Dostoievski (véase más adelante) pueden servir de advertencia. escriba los números del 1 al 9 en una columna (suman 45). los iniciales y los que ha ido añadiendo. eliminando un número cuando pierda y escribiendo un número cuando gane. Cómo perder. la suerte puede no ayudarle a lograr su objetivo.com 22 . pero no más. Resultaría temerario utilizar este sistema en sentido contrario: pretender dejar de jugar cuando haya alcanzado su objetivo. ¡Tal vez su sistema requiera una apuesta más elevada de lo que la casa permite! La única forma de que pase esto es cuando ya ha ganado mucho dinero. y su suma. y puede dejar de jugar en cualquier momento. nadie ha firmado un compromiso para seguir jugando eternamente. Tendría mucha suerte si le saliese bien. predispóngase a cambiar de opinión y deje de jugar mientras vaya ganando. a base de modificar las reglas de escribir y eliminar números. www. El desastre o la seguridad dependen del azar. que encuentre que no tiene demasiado éxito y que no pierde demasiado a menudo. sino cualquier cantidad (positiva) que se ajuste a su bolsillo. El sistema garantiza una pérdida eventual de 45. y que el bar se encuentra a 50 pasos del canal y 150 de su hogar.com 23 . no es necesario utilizar los números del 1 al 9. Como es evidente.Pero en sus esfuerzos por perder su capital es posible. Nuestro protagonista está tan ebrio que el camino que va a seguir no depende de los pasos que ya haya dado. pero lo más frecuente es que fuese un fracaso total. Seguir los avatares de la fortuna de un jugador en un casino guarda cierto paralelismo con observar la marcha de un borracho por una calle estrecha. o cuando llegue la hora de cenar. Su recorrido finalizará o bien desastrosamente en un canal al cabo de la calle o bien en la seguridad del hogar. De todos modos. CANAL BAR HOGAR Consideremos el caso de que es igualmente probable que vaya a la izquierda o a la derecha al dar un paso cualquiera.grupojoker. Controle su montón de fichas. El recorrido del borracho o la conservación de la fortuna. sólo posible. 45. Por tanto. la probabilidad de alcanzar la seguridad es n/L. la probabilidad asociada es tres veces más pequeña. Para este tipo de cálculo. Si se encuentra en el canal. es El recuadro anterior nos lleva a dos conclusiones: (**) • Las probabilidades de llegar primero al canal o primero a casa son 3/4 y 1/4. Si se empieza en cualquiera de los extremos. si empieza en una posición n. Prescindiendo de los detalles. el canal se encuentra en la posición 0 y la casa en la posición L. y da lugar al mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Si se encuentra en casa.El recorrido del borracho: Consideremos que todos los pasos tienen la misma longitud y que es igualmente probable que vaya a la izquierda o a la derecha. es imposible que llegue antes a su casa. • Por término medio. da 50 x 150 = 7. donde k = L. Consideremos ahora un punto intermedio. la respuesta es p(k) = k/L (puede comprobarse muy fácilmente). sea p(k) la probabilidad de que llegue a casa antes que al canal. T(0) y T(L) son ambos nulos. k. que se obtiene haciendo un paso desde la posición intermedia K. www. (*) Esta expresión es válida para todo valor de k intermedio.com 24 . La expresión análoga a (*). respectivamente. es seguro que llega primero a casa. Así pues. desde el que el borracho da un paso. La calle mide L pasos. a N pasos del canal y L –n pasos de su casa. donde k = 0. Una expresión del tipo (*) se llama ecuación diferencial y existen métodos harto conocidos para resolverlas. Dado que su casa está tres veces más lejos. basta con multiplicar las respectivas distancias entre sí. el recorrido ya ha finalizado y.grupojoker. con lo cual p(0) = 0. El razonamiento para determinar el número medio de pasos en todo el recorrido es muy similar. la mitad de las veces se desplazará hasta k + 1 y la otra mitad hasta k –1. El borracho inicia su recorrido en el bar. Sea T(k) dicho número medio. por tanto.500 pasos antes de finalizar el recorrido. empezando en el punto k. con lo cual p(L) = l. Cuando se encuentra a k pasos del canal. Evidentemente. la probabilidad de aumentar el capital en un factor diez antes de arruinarse es un www. si no fija ningún límite superior para abandonar el juego. el juego dura. usted ganará la mitad de sus apuesta y perderá la otra mitad.000 si existiese una posibilidad real a muy largo plazo de incrementar su fortuna. La duración media del juego se obtiene multiplicando las apuestas iniciales. con toda seguridad llegará un momento en que se arruinará. pueden darnos una buena idea de qué ocurre en un casino real. Usted desea incrementar su fortuna de una libra a 1. el juego durará. Supongamos que usted dispone de una libra y su amigo de 1. tanto el capital inicial como la cantidad que se desea ganar son la mitad que antes y. Es decir. y el cociente entre ambos sigue siendo el mismo. a/1. el canal es la bancarrota y el hogar es el momento de dejar de jugar. la probabilidad de conseguirlo es algo reducida. entonces las apuestas de una unidad como la que hemos analizado se ajustarían exactamente a este análisis.com 25 . Este ejemplo indica que la duración media de un juego puede no ser un buen indicador de su duración típica.Si en la ruleta no existiese margen para la casa. doblar la apuesta no modifica en absoluto el proyecto de alcanzar un objetivo determinado. su capital inicial queda reducido a la mitad. Como la mitad de los juegos finalizan después del primer lanzamiento. un número sorprendentemente elevado. A pesar de que los cálculos anteriores se basan en un juego poco realista. el juego tendrá tendencia a ser mucho más corto.001 libras. La longitud media del recorrido es el número medio de apuestas hasta que se decide su suerte. pero también el objetivo. de media. ¿Qué sucede si se dobla la cantidad apostada? En esta situación. aun cuando no exista un margen de la casa. La posición del bar es el capital inicial.000 libras. Sin el margen que se lleva la casa. Por tanto. Es decir.001. Supongamos también que en cada lanzamiento se apuesta una libra y que el juego finaliza cuando uno de los dos se arruina. por consiguiente. por término medio: 1 x 1. Ésta no sólo disminuye. sino que se reduce hasta anularse.000 lanzamientos. ese promedio sólo puede ser de 1. pero usted y un amigo podrían elaborar un juego justo a base de lanzar unas monedas al aire. Cuanto más ambicioso sea el objetivo. En esta situación. menor será la probabilidad de alcanzarlo antes de arruinarse.grupojoker. En un juego justo.000 = 1. una cuarta parte del anterior. Los casinos no ofrecen apuestas justas. Como las apuestas siempre favorecen a la casa. la tabla siguiente mostraría sus escasas probabilidades de éxito. Volvamos al prudente jugador que apuesta una unidad al rojo. El razonamiento del recuadro anterior puede modificarse sustituyendo las probabilidades iguales de desplazarse hacia la izquierda Un casino real: Antes dijimos que al apostar al rojo era útil modificar la regla del cero. las dos respuestas pueden escribirse: La probabilidad de alcanzar la seguridad es y el número medio de partida es x –1 L x –1 n La mejor manera de comprender estas expresiones es asignándoles algunos valores determinados. x es mayor que 1 e y es mayor que cero. Cuando hay un margen de la casa. se le hubiese aconsejado mal y se le hubiera recomendado apostar una unidad al rojo en partidas sucesivas hasta convertir su capital inicial en 216 libras. estas probabilidades se convierten en 18/37 y y hacia la derecha por cantidades que reflejen ese sesgo. Para los casinos del Reino Unido. Las cantidades clave son la razón y la diferencia de estos dos valores. Esta situación corresponde a la de un borracho que se escora un poco a la izquierda. cero es simplemente una apuesta perdida y. www. donde L = 216. Sean ahora x = q/p e y = q –p. En esta tabla. Un análisis válido para cualquier casino se basaría en lo siguiente: sea p la probabilidad de ganar la apuesta y.décimo. Pablo. por tanto. Las dos ecuaciones que corresponden a (*) y (**) se resuelven de la misma manera y las respuestas finales son las del siguiente recuadro. de forma que x = 75/73 e y = 1/74. y modificando (*) y (**) como corresponde. independientemente de cómo se apueste. se dan los resultados para distintos valores del capital inicial. de tal forma que las probabilidades de ganar o perder la apuesta eran 73/148 y 75/148. tomaremos p = 73/148 y q = 75/148. Si a nuestro aficionado al fútbol. Con la misma notación que en el recuadro anterior. q es mayor que p y.com 26 . con la esperanza de alcanzar algún objetivo antes de arruinarse. por tanto. independientemente de lo que haga el jugador. con la esperanza de llegar primero a su casa. por tanto. la probabilidad será inferior a un décimo. En algunos países.grupojoker. sea 1 –p = q la probabilidad de perderla. a pesar de su sesgo hacia el canal. Algunos jugadores han intentado utilizar estas observaciones para calcular. 10. las velocidades de la bola y la ruleta e intentar determinar en qué punto se parará la bola sobre la ruleta. y el crupier grita “No va más” antes de que la bola haya disminuido en exceso su velocidad.200 7. 5. Su enfoque consiste en dividir la ruleta en segmentos.200 8. Cuando va girando la ruleta y el crupier ha lanzado ya la bola de marfil en la dirección opuesta.. pues tendría que trabajar. El juego timorato le permite a un jugador pasar más tiempo jugando a la ruleta. Los casinos no permiten que los jugadores dispongan de ordenadores. por término medio. en las que la probabilidad del jugador es mayor.300 4. las leyes de la física determinan dónde se parará la bola. con la ayuda de ordenadores ocultos.300 7.Probabilidad de alcanzar el objetivo de 216 unidades y duración media correspondiente del juego. Pablo reduciría su probabilidad de doblar sus 108 libras iniciales del 49% (juego audaz) al 5%. Un poco de física. Esa apuesta podría llamarse “diez y sus cuatro vecinos”. habría que apostar las mismas cantidades a los números 24. Capital inicial Probabilidad de éxito (%) Duración media (partidas) 54 90 108 144 162 180 198 1 3 5 14 23 38 61 3. Por ejemplo.400 8.850 La tabla muestra los resultados de un juego timorato.. durante 7. 23 y 8. por ejemplo. cuando se hacen apuestas sucesivas de una unidad al rojo para distintos valores del capital inicial. y mucho más deprisa. utilizar los cálculos para predecir el segmento más probable y cubrir todos los números correspondientes con apuestas a un solo número. si el ordenador indica que el 10 es el destino más probable.grupojoker. El único consuelo es que obliga al casino a emplearse a fondo para sacar beneficios.200 tiradas. El margen de la casa es tan reducido que quedaría fácilmente contrarrestado si algún jugador fuese capaz de identificar algunos números con mayor probabilidad que www. incluso en las apuestas al rojo.800 6. pero el margen de la casa devora el capital de los jugadores con la misma certeza que las mareas frenan la rotación de la Tierra.com 27 . . Los demás requisitos necesarios son disponer del capital suficiente para hacer frente a una mala racha y tener grandes dosis de paciencia. Pero el jugador no necesita una respuesta precisa. No obstante.grupojoker. 32. pero la realidad misma a veces supera a la ficción.S. 15. pues parece un texto más propio de las películas de James Bond que de la realidad. La banca disponía sobre una mesa cinco cartas boca abajo y los jugadores apostaban un ana a alguna de www. Los casinos comerciales son angelitos si se les compara con el juego practicado en Adén en 1930 y descrito por Evelyn Waugh en Remote People. por ejemplo. Los estudiantes de The Newtonian Casino escondían sus ordenadores en zapatos especiales. precisamente en el 2005 se capturó a un grupo de rumanos en el casino de Madrid. Hay que tener en cuenta los pequeños obstáculos que encuentra la bola mientras se desliza por el cilindro interno. Este hecho ya basta para que un conjunto de apuestas de un solo número a cada uno de los otros 33 números suponga un margen del 3.otros. hay que atenerse a las reglas y no intentar ocultar nada. Le basta con una indicación general sobre el lugar más o menos probable. Tuvieron algún éxito. Sus métodos fueron prohibidos. Parece increíble la técnica y la inventiva humana. pero se divirtieron mucho. Se necesitaría una secuencia de lecturas para poder determinar las velocidades de rotación de la ruleta y de la bola. Supongamos. No hay que subestimar la complejidad de los cálculos que intervienen en estos problemas de física. La obra de Thomas Bass The Newtonian Casino marca el camino en estos temas. que un segmento de cuatro números como {0. con zapatos especiales que enviaban la información a un portátil. seguramente heredado de la tecnología de los U. y modificar así el juego en su favor. Desde el otro lado. 19} tuviese sólo la mitad de su probabilidad habitual. que es como mas o menos fue descrito en la noticia publicada en los periódicos después de desmantelar a dicha organización.A. y lograban calcular las velocidades de la ruleta y las bolas tecleando los datos con los dedos de los pies. tiene todavía algunos practicantes. si desea seguir siendo aceptado en el casino. los cuales aplicaban precisamente la técnica descrita por el autor. este método descrito y actualmente poco empleado. La teoría del caos indica que incluso unas modificaciones muy pequeñas de las velocidades iniciales de la ruleta y la bola pueden tener grandes repercusiones en el resultado.1% para el apostante.com 28 . pero no se hicieron ricos. Cuando había apuestas sobre todas las cartas. El establecimiento de una apuesta máxima impone un límite a las posibles pérdidas del casino. www. La casa se queda el 2. Su pesadilla es aquel jugador que apuesta mucho a unos pocos números y que puede hacer perder los beneficios de un mes en unas pocas tiradas afortunadas. se engrasan periódicamente y se trasladan a menudo a otras mesas para que los resultados de cualquier mesa sean completamente imposibles de predecir.7% de todas las apuestas y redistribuye el resto a los apostantes. De la misma manera que las compañías de seguros se reservan el derecho de retener el pago de una posible indemnización a aquellos clientes que ocultan información relevante. pero un casino necesita disponer de suficiente dinero para poder hacer frente a algún revés momentáneo. No se permiten las situaciones de connivencia ni los juegos malabares consistentes en “ajustar” la apuesta después de conocer el número ganador. de forma que si considera dicha información le puede ayudar a mejorar su juego. Las ruedas de las ruletas están sujetas a unas especificaciones muy estrictas.grupojoker. en función de la apuesta máxima aceptada.com 29 . la banca anunciaba el vecedor ¡y le pagaba la misma cantidad que había apostado! Todos los premios garantizaban a la banca un margen del 60%. ya que se supone que los casinos pagan de inmediato a los jugadores. Los casinos no llevan un registro de las secuencias de los números que salen.las cartas. los casinos esperan que los jugadores actúen con honestidad. Este fondo de salvaguardia sólo se utiliza en caso de emergencia. El Consejo del Juego insiste en que los casinos depositen cantidades importantes en una reserva. tendrá que hacer sus propias observaciones o comprar una de las listas no oficiales. correría el riesgo de generar un sesgo de resultados que alguien podría explotar. con la esperanza de que vuelvan a jugar. Un casino poco cuidadoso. El sueño de un propietario de casino consiste en que varios jugadores distribuyan uniformemente sus apuestas sobre el tapete y apuesten las mismas cantidades a todos los números. pero las normas de los casinos prohíben explícitamente actuar de este modo. Los promedios se imponen. con una ruleta que no estuviese en perfectas condiciones. En algunas ocasiones se han confabulado diversos jugadores y cada uno de ellos ha apostado el máximo permitido al mismo número. a la larga. no son especialmente populares. pero suma 35.y la banca le acerca una pila del mismo tamaño. por la rampa). 8 y 8 para cerciorarse de su instinto. Cuando aparece el número ganador. De la misma manera que los jugadores de dados no necesitan detenerse para identificar los dobles. además de las apuestas. Supongamos que el número ganador es el 15 y que un jugador ha colocado apuestas de una unidad en dicho número. 11. una entre 1.Los crupiers son unos expertos en aritmética. A pesar de que las apuestas al rojo ofrecen mejor rendimiento económico que las demás. Pero cuando gana una de las apuestas a un solo número. www. pero es siete veces más favorable que la que se tiene al compartir un premio gordo de la Lotería Nacional que haya sido agraciado con dos millones de libras.9 millones. Pero fijémonos en la psicología: si gana una apuesta de 18 al rojo.grupojoker. la regla del cero hace que una apuesta de 18 unidades al rojo sea mejor que 18 apuestas a un solo número. Fiódor Dostoievski. la banca le acerca una pila de 35 fichas (mientras que otras 17 fichas perdidas se van. podrían basarla en una información como la siguiente. el crupier sabe que el total que hay que pagar son 62 fichas.7 millones de libras.com 30 . agrupan todas las apuestas que han perdido y las empujan hacia una rampa donde se seleccionan automáticamente las fichas por colores. para pasar a otros más salubres. sin darnos casi cuenta. La probabilidad es pequeña. los crupieres ven tan a menudo las mismas situaciones que el número de fichas les viene a la cabeza inmediatamente. cuatro apuestas ganadoras a un solo número transformarían una libra en 1. dispuestos a pagar premios de hasta dos millones de libras. Desde un punto de vista puramente aritmético. Si coloca las apuestas acumuladas en el número siguiente. Un jugador podría empezar su recorrido en un casino que admite apuestas de una libra. Si los casinos tuviesen más posibilidades de hacer publicidad. usted conserva esa pila de fichas –tal vez dejándola en el mismo sitio para la siguiente tirada. la transversal adecuada y dos cuadrados también adecuados. Se desconoce la explicación de dicho error. Es seguro. pues el pago de 12 números. lo cual es coherente con un pago de tres por cada dos. es decir. En sus cartas de ese período explicó que el secreto para ganar no cosiste en entusiasmarse. en cualquier casino es de 2 a 1.. y si se sigue esa regla es imposible perder. describe una apuesta a la docena de números centrales. www. pero la probabilidad es de dos a uno”.). Todo aquel que juega sin calcular. pero curiosamente sostiene que esa apuesta “se paga a tres a uno. En 1866 escribió El jugador. o la columna central. ya no estaba tan seguro de ganar inevitablemente si seguía un sistema. ¡Todavía está por construirse el casino que pague tres a uno una apuesta que gana 12 veces de cada 37! Alexis continúa diciendo que la apuesta que acaba de ganar ha transformado sus 80 friedrichs d’or en 200.. pero contiene un pequeño error en el capítulo 14. sólo se puede ganar. en mayo de 1867. consiguió arruinarse muchas veces. entonces es seguro que puede ganar tanto como desee.. confiando en la suerte. es un loco (. Si uno apuesta poco cada vez. jugó a la ruleta con el propósito de ganar mil francos que le permitiesen resistir durante los tres meses siguientes: no sorprenderá saber que perdió todo su capital en cinco días. su convicción era total: “Si uno es prudente. cada día.. Al final de su época de jugador. Nunca se sabrá hasta qué punto su renuncia al juego se debió a su propia voluntad o al hecho de que un decreto oficial clausuró todos los casinos alemanes. “Eso es. Dostoievski describe con acierto el funcionamiento de la ruleta. si uno actúa fríamente. sino en mantener fría la cabeza. Alexis. En una visita a Wiesbaden. El álter ego del autor.com 31 . en abril de 1871. como si fuese de mármol y dispusiera de una cautela inhumana. y contentarse con poco si la suerte no le acompaña (.). obligando al escritor a regresar a San Petersburgo. En El jugador. Parece ser que finalmente comprendió que si lo que buscaba era ganar determinadas cantidades de dinero para pagar sus deudas o garantizar su supervivencia. basándose en gran parte en su propia experiencia. durante muchos días. era mucho más probable que encontrase la ruina. pero era capaz de racionalizar sus pérdidas y achacarlas a un exceso de entusiasmo. Con ese convencimiento.grupojoker.Dostoievski era un jugador compulsivo. habitual de la ruleta en las ciudades de veraneo alemanas entre 1863 y 1871. es imposible no ganar. Pero es necesario jugar durante mucho tiempo. seguro”. en una carta escrita desde Hamburgo.” Repitió esa idea en diversas ocasiones. . para seguir en los siguientes capítulos con loterías y apuestas deportivas.1936. Se podrían apostar tres libras al cero.2 que es la probabilidad de ganar en un juego justo. ¿qué probabilidad tiene de ganar?. x [ 1 –p2 (1 –p )2 ] = p3 (2 –p ) con lo cual x = 0. encontramos la siguiente respuesta: La “jugada atrevida” consiste en lo siguiente: cuando se dispone de 50 libras o menos. si se limita a apostar a rojo. Con esto. hay que apostarlo todo. una cantidad muy parecida a x = 0. ganará exactamente 100 libras.com 32 . Por consiguiente. entonces puede ganar. a partir de este punto el autor sigue con el póquer y el bacará.. o perder y luego ganar. La probabilidad de ganar dos veces seguidas y conseguir 80 2 libras es p .. apueste lo suficiente para conseguir 100 libras. Si empieza con 20 libras. www. apostar las 4 libras restantes al cero. En el apartado de las soluciones. si se pierde la primera apuesta.1848. Si apuesta 16 libras a 5:1.grupojoker.0088. se puede mejorar. sea p = 73/148 la probabilidad de ganar apostando al rojo. con más de 50 libras. Sí. por tanto. x = p2 [ p + (1 –p ) p + (1 –p )2 X ] y. Entonces. La probabilidad de ganar es 6/37. o perder dos veces y volver a encontrarse en la situación inicial. Sea x la probabilidad de conseguir el objetivo. en caso de perder.Aquí termina el tema de la ruleta. Si pierde (probabilidad 31/37). apueste a tres números (apuesta a 11:1) y luego a cuatro números (8:1) si ha ganado en la primera apuesta. El autor presenta también el siguiente problema para que el lector lo resuelva: Supongamos que dispone de 20 libras para jugar en el casino y desea transformarlas en 100 libras con la máxima probabilidad. Compare esta estrategia con la consistente en apostar 16 libras a un bloque de seis números (que se pagan 5 a 1) y. y la probabilidad total se eleva a 0. Con esta última libra. lo cual permite alcanzar el objetivo cuando se gana. la probabilidad global es 0. Describa exactamente en qué consistirá su “jugada atrevida”. la apuesta de cuatro libras al cero tiene una probabilidad de 1/37 de hacer que usted consiga 144 libras.19286. algo mejor que apostar al rojo. consigue otros (3/37) x (4/37) = 0. y queda una libra cuando se pierde. los operadores de casinos son muy felices cuando se promueven estos sistemas y explotan cualquier resistencia de los jugadores a entender la realidad de las leyes de probabilidad y las posibilidades independientes. Título original: Aha! Gotcha. sino también en las biológicas y sociales-. por dar un nombre). Los siguientes textos están extraídos del libro: ¡ajá! PARADOJAS Del matemático: Martín Gardner. con lo cual se aprende y se entretiene al mismo tiempo.com 33 . incluyo en este momento. que a buen seguro los años venideros pondrán en ella cada vez más fuerte acento en la enseñanza de matemáticas de nivel elemental. El obispo Joseph Butler. Un gran número de “sistemas” han sido inventados basados mayormente en esta falacia. De la mañana a la noche vivimos a base de hacer inconscientemente miles de www. veremos lo mismo. Edición española: Editorial Labor. pero desde un punto de vista menos serio y más divertido. veremos a continuación las leyes de la “probabilidad blanda”. lo que la Enciclopedia Británica define en la palabra “gambling”: Un mito común de jugadores llamado “la doctrina de la madurez de las posibilidades” (o la Falacia de Monte Carlo) asume erróneamente que cada jugada en un juego de azar no es independiente de las otras posibilidades. Con este autor hemos descubierto las leyes de la “probabilidad dura”. y otros antes que él (Cicerón.Aquí finaliza todo lo referente a la ruleta que cuenta el autor John Haigh. 1983 Paradojas acerca del azar. las apuestas y las creencias: La teoría de probabilidad ha llegado a ser tan esencial en todas las ramas de la ciencia –no sólo en las ciencias físicas. me explico. han dicho que la probabilidad es guía de la vida misma. S.grupojoker. Paradoxes to puzzle and delight. como cierre. A. Aunque esta resolución directa sea más larga. 4. En una familia con cuatro hijos podríamos esperar como lo más verosímil que en ella hubiera dos niños de cada sexo. La probabilidad clásica. Siempre que ha sido posible. 4. el sustrato de las leyes fundamentales de la naturaleza será el azar puro. Aunque en último extremo tal vez haya solamente una clase de probabilidad. pero también esto es falso. Suponemos aquí que todos los resultados del experimento son igualmente probables. aun cuando el problema pudiera resolverse más rápidamente con auxilio de teoría de probabilidad. es costumbre por ahora distinguir al menos tres tipos principales: 1. esto es falso. Paradójicamente.grupojoker. y porque muchas de ellas admiten modelos con materiales tan fácilmente disponibles como barajas y monedas. si el dado está correctamente construido. hay tres que son pares (2.com 34 . 3. por lo común. Las paradojas de este capítulo han sido seleccionadas por ser fáciles de comprender. 5. En una planta de un edificio podríamos confiar en que las probabilidades de que la primera vez que el ascensor se detiene en ella son iguales para subir y bajar. Sabiendo que cierto fenómeno de azar puede admitir n resultados con igual posibilidad. puede mostrar con iguales posibilidades cualquiera de sus seis caras.pequeñas apuestas sobre resultados probables. Las ideas sencillas que sobre probabilidad presentamos aquí le ayudarán a comprender por qué apuestas que parecen favorables en el juego de dados son en realidad desfavorables. la paradoja es explicada enumerando todos los casos equiprobables. se adquiere con ella una comprensión más profunda de la estructura del problema. al lanzar un dado. 6). Y si la mecánica cuántica resulta ser en física la palabra definitiva. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par? De los seis resultados equiprobables (1. Por ejemplo. y. para conocer la probabilidad de que se presente alguno de los k casos de un subconjunto dado basta calcular el cociente k/n. 2. en teoría de probabilidad bulle y pulula un enjambre de resultados fuertemente contrarios a la intuición. de problemas cuyos resultados parecen absolutamente contrarios al sentido común. Más que en la mayoría de las ramas de la matemática. la probabilidad de sacar puntuación www. o probabilidad a priori. 6). por tanto. que no podría conseguirse de otras formas. Señora Buenafé: ¡Cuánto espero que nuestro próximo bebé no sea otra niña! Señor Buenafé: Querida. Llevando el registro de las puntuaciones podríamos concluir. La probabilidad inductiva. La frecuencia relativa. La apuesta es justa. 2. equiprobables. Lo lanzamos cientos de veces. e ir anotando la frecuencia de aparición de ciertos resultados. al examinar todas las pruebas importantes fundadas en los conocimientos científicos de su tiempo. por otra parte. forzosamente tiene que ser un niño. pongamos por caso. Esta probabilidad se aplica a fenómenos cuyos resultados no parecen. A causa del conocimiento insuficiente de la naturaleza puede ser imposible dar una solución clásica. que la probabilidad de sacar un 6 es 7/10. necesariamente imprecisas. Por ejemplo. en lugar del familiar 1/6 del dado equilibrado. ¿Servirá de algo este sistema? www.par al lanzar un dado es 3/6 = 1/2. Tendremos un ejemplo cargando un dado de manera que no pueda determinarse fácilmente por inspección. pares e impares están a la par.grupojoker. después de cinco niñas. o probabilidad estadística. Tenemos aquí el grado de verosimilitud y credibilidad que los científicos atribuyen a leyes y teorías. Lo mejor que podemos hacer es repetir el experimento el mayor número posible de veces. un astrónomo. en principio. Dicho de otra forma. La falacia del jugador. 3. Los señores Buenafé tienen cinco niñas y ningún niño. ¿Tendrá razón el buen señor? Hay muchos jugadores convencidos de que podrán ganar a la ruleta esperando a que se produzca una larga racha de rojos y apostando entonces al negro. van constantemente cambiando conforme se van descubriendo nuevas evidencias relacionadas con la hipótesis. los experimentos y observaciones pueden ser demasiado infrecuentes y ambiguos como para impedir el cálculo preciso de las frecuencias. Semejantes estimaciones de probabilidad. puede llegar a concluir que la existencia de agujeros negros es más verosímil que su inexistencia.com 35 . la probabilidad de sacar otro dos en la siguiente tirada es menor que un sexto. La probabilidad de que el siguiente número de la ruleta sea rojo es idéntica a la de que lo fuera el precedente. La probabilidad de que en un nuevo lanzamiento la moneda salga otra vez cara es idéntica a la de antes: un cincuenta por ciento. Los sucesos que en lenguaje ordinario decimos “no tienen nada que ver uno con otro” se llaman sucesos “independientes”. los soldados del frente buscaban para guarecerse embudos de artillería recién formados. Para mejor aclararlo. y saca cinco caras seguidas. al ser ya hora de que nuevos proyectiles cayeran por segunda vez en ellos. convencidos de que los antiguos eran más peligrosos. La probabilidad de que mañana salgamos con gabardina es independiente de la probabilidad de que el presidente del Gobierno desayune tostadas con mantequilla. o (más directamente) de cómo y en cuánto estima el lector tal probabilidad. la probabilidad de que el lector salga mañana con gabardina depende claramente de la probabilidad de que mañana llueva. se dice que B es “dependiente” de A. supongamos que el señor Buenafé va lanzando una moneda equilibrada. Y la probabilidad de sacar todavía un dos en el sexto lanzamiento sigue siendo un sexto. La probabilidad de que los Buenafé tengan otra niña es la misma que la de que su primer hijo ya lo fuera. www.com 36 . Cuando el resultado del acontecimiento A tiene influencia sobre el acontecimiento B. Durante la primera guerra mundial.Edgar Allan Poe argumentaba que si al lanzar un dado se sacan cinco doses seguidos. los soldados razonaban que los cráteres recién formados serían seguros por algún tiempo. ha caído usted en la trampa conocida como “falacia del jugador”.grupojoker. A casi todo el mundo le cuesta creer que la probabilidad de sucesos independientes no se vea influida en forma alguna por su proximidad a otros sucesos independientes de la misma naturaleza. Como parece inverosímil que dos granadas caigan una tras otra en el mismo punto. ¿Tenía razón Poe? Si ha contestado usted afirmativamente a cualquiera de estas preguntas. En todos los casos anteriores el resultado del siguiente acontecimiento no depende de los precedentes. Por ejemplo. La moneda no tiene memoria de lo que hizo en lanzamientos anteriores. El problema que tiene este sistema tan conocido es que las rachas negativas siempre tienen tendencia a prolongarse bastante.grupojoker. incrementando las cantidades tras cada pérdida. sería mucho más improbable –razonaba él. estamos apostando 1.com 37 . su propia bomba. si volvemos a ganar la apuesta. en la siguiente apuesta son 4 fichas (una menos) sobre el tapete. de alguna forma “se acordará” de ello y estará menos dispuesta a dejarle ganar la siguiente vez. por lo que la tendencia o el www.Hace muchos años se contaba una historieta acerca de un tipo que viajaba mucho en avión. y reduciéndolas tras cada ganancia. habremos obtenido en total 5+4+3 = 12 fichas. tenemos siempre una mayor cantidad de números en contra que a favor. si ganamos obtenemos 4 fichas más. cae de lleno en la “falacia del jugador”: no reconocer la independencia de sucesos independientes. Como sabía que era muy improbable que el avión transportase un pasajero bombista. Resumiendo: antes perdimos 4 apuestas. 18 contra 19 y en las ruletas con doble cero 18 contra 20. sin embargo con solo 3 apuestas ganadas recuperamos las diez fichas perdidas y todavía ganamos dos de beneficio. El sistema presume que si la bolita de marfil acaba de otorgarle una ganancia al jugador. Evidentemente. que en cada apuesta individual. él llevaba siempre en un maletín. 2. pues este sistema para nada modifica la independencia de los sucesos o de los resultados.que llevase dos. realizamos otra apuesta de 3 fichas (vamos decreciendo la apuesta en una ficha cada vez que ganamos). 4 fichas (en total 10 fichas gastadas). 3. conocido como “sistema de D’Alembert”. desactivada. Está claro que el autor no tiene la mas mínima idea de cómo opera el sistema D’Alambert. El jugador apuesta al rojo o al negro (o hace cualquier otra apuesta que pueda reportarle la misma cantidad que arriesga). Temeroso de que algún día un pasajero pudiera traer a bordo una bomba escondida. simplemente se trata de una estrategia en el manejo de la caja (las fichas). sentirá compasión del pobre jugador y se mostrará más complaciente en las próximas vueltas de la rueda. Mientras que si la bolita le hace perder. lo que correspondería a la igualdad de aciertos y fallos. El más popular de todos los sistemas de jugar a la ruleta. ahora apostamos 5 fichas en la siguiente apuesta y ganamos. como tampoco el lanzamiento de una moneda puede ser influido lanzando otra. por último. hay que tener en cuenta. incluso antes de llegar a retroceder hasta la apuesta inicial de 1 ficha. no por llevar su propia bomba modificaba en lo más mínimo la probabilidad de que otro pasajero la llevase también. si perdemos cuatro veces seguidas. Nuestra oportunidad de ganancia tiene “esperanza negativa”. podría ofrecernos pagos de 4 pesetas contra apuestas nuestras de 5 al jugar a cara o cruz. lo que sucede sin excepción en toda forma de juego organizado. es un juego justo. El pago que nos ofrece es inferior al justo. Precisamente porque cada una de las puntuaciones de una ruleta bien equilibrada es independiente de todas las puntuaciones anteriores tendremos una demostración muy sencilla de que ningún sistema de juego podrá dar al apostante ventaja sobre el casino.com 38 .grupojoker. John Scarne nos dice: Siempre que apostamos por menos de nuestra suerte a favor. un apostador profesional. buscando su beneficio. lo que hacemos es una serie de apuestas. Empero. Si el lector se siente inclinado hacia alguna forma de la “falacia del jugador”. Un dado. Este sistema lleva al que lo aplica hasta un punto en donde termina por perder todas las fichas. o matemáticamente equilibrado. como dicen los matemáticos. En su Complete Guide to Gambling (Guía completa del jugador).. al final. en sus acepciones de “a favor” y “en contra”. estamos abonando al operador un porcentaje de recargo a cambio del privilegio de dejarnos apostar. donde se juegue con algún www. engendra una sucesión de acontecimientos independientes. La palabra ventaja. diciéndonos como explicación “que las apuestas están 4 contra 5”.promedio del total de las apuestas siempre tenderá hacia el lado de los fallos. ocurre que la secuencia se vuelve demasiado larga como para que pueda recuperarse. El misterio de Marie Roget. una ruleta o cualquier otro dispositivo de generación del azar.. El gazapo de Edgar Allan Poe al hablar de dados aparece en el epílogo de una de sus narraciones detectivescas. no influidos en modo alguno por el comportamiento pasado del dispositivo. Cuando usamos un sistema. todas con esperanza negativa. No hay forma de que sumando “signos menos” nos salga al final un “signo más”. ponga a prueba su creencia simulando una verdadera partida. tiene que usarse con cuidado. ya que para ello se precisaría una gran cantidad de aciertos en un juego donde las mayores probabilidades se acercan más al lado contrario. lo mismo que una moneda. Al lanzar una moneda bien equilibrada hay un caso a favor de que salga “cara” por cada caso en contra. Todavía no te lo puedo decir. Apueste siempre a favor del cambio de resultado. Señor Gatos: Calculando no es muy difícil. apostando una ficha de póquer (con pagos iguales) solamente si acaba de producirse una tanda de tres resultados iguales. ¿Ha razonado correctamente el señor Gatos? Comprobemos su teoría. Veamos aquí a un gato y una gata que se fueron de picos pardos. Denotando H a las hembras y M a los machos. El que un gatito sea macho o hembra es cosa de cara o cruz. Cuatro gatitos Al calcular probabilidades es fácil despistarse. ¿cuántos gatitos hemos tenido de la última lechigada? Señora de Gatos: ¡Pero qué zángano eres! ¿No sabes contar? ¡Pues cuatro! Señor Gatos: ¿Cuántos han sido machos? Señora de Gatos: Es difícil de saber.grupojoker. Señor Gatos: No es muy probable que los cuatro hayan sido machos. pongamos por caso. iguales. pero sí debería ser un número cercano. Señor Gatos: A lo mejor sólo hay un gatito macho.sistema inspirado en la falacia. Así pues. Las probabilidades de ir con ventaja o con desventaja. Al cabo de. salada. Señora de Gatos: Y tal vez haya solamente una hembra. lancemos repetidamente una moneda. son. esto es. por ejemplo. ir perdiendo o ganando. Señor Gatos: Oye. es evidente que lo más verosímil es que haya dos machos y dos hembras. MMMM MHMH HHHH HMHM MHHM MMMH HHHM MMHH HHMM MHMM HMHH MMHM HHMH HMMH MHHH HMMM www. podemos dar la lista de todos los casos igualmente posibles. por supuesto. apueste por cara. que son 16. y después de tres cruces. 50 de estas apuestas será muy improbable que tengamos exactamente el mismo número de fichas que al empezar. Concretamente. después de tres caras seguidas. Señora de Gatos: Y tampoco lo es que las cuatro sean gatas. Por ejemplo. apueste por cruz.com 39 . Podemos hallarlas enumerando todas las combinaciones. www. Así sucede (2+6+8= 16/16). la probabilidad de que así ocurra es de 2/16. Tal vez sienta usted curiosidad por las probabilidades de las diferentes reparticiones de sexos de 5 o 6 hijos. a saber. MMMM MHMH HHHH HMHM MHHM MMMH HHHM MMHH HHMM MHMM HMHH MMHM HHMH HMMH MHHH HMMM Analicemos ahora la descomposición 2 machos – 2 hembras que el señor Gatos había considerado como más probable. Experimentalmente podemos corroborarlo lanzando repetidas veces cuatro monedas. 3 de un sexo y 1 del otro. Así sucede en ocho casos. Después de cien lanzamientos. por tanto. Llevemos registro de cada lanzamiento. y su probabilidad es mayor que la del caso 2-2. 6/16. Esta descomposición se presenta 6 veces.Solamente en dos de los 16 casos son todas las crías del mismo sexo. 3/8 es más que 1/8. sino el de 3 de un sexo y 1 del otro. lo que nos dice que con certeza tendrá que darse uno de estos tres casos (4-0. ¿No podrás ser que nos hayamos equivocado? Si nuestras probabilidades fuesen correctas deberían sumar 1.grupojoker. MMMM MHMH HHHH HMHM MHHM MMMH HHHM MMHH HHMM MHMM HMHH MMHM HHMH HMMH MHHH HMMM Pero nos queda otra descomposición más por considerar. pero ello es tedioso. aproximadamente 50 deberían mostrar la partición 31. Su probabilidad es. A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos lo más probable es que haya tres de un sexo y uno del otro.com 40 . y alrededor de 33 la partición 2-2. de 1/8. El señor Gatos estaba en lo cierto al pensar que este resultado tenía una probabilidad pequeña. o sea. Tal vez el señor Gatos esté en lo cierto. La estimación del señor Gatos fue errónea. Por tanto. 3-1). 2-2. o sea. El caso más verosímil no es el 2-2. Pudiera convenirle más valerse de los métodos abreviados que explican los libros de probabilidad. que con casi absoluta certeza la historia es una bola. Puede verse una tabla que da todas las probabilidades en How to Figure the Odds.3. de Oswald Jacobi.Otro problema parecido. cuya solución también contraria a la intuición se refiere a la forma más probable de distribuirse los palos de la baraja en una mano de bridge. desde luego. Gracias a un espejo es fácil comprender cómo son los naipes.3. La mano más probable tiene la distribución 4.3. (La probabilidad de que tal ocurra al repartir una baraja bien mezclada es de 158. en cambio. es que la mano contenga las 13 cartas de un mismo palo. En las barajas nuevas los palos vienen separados. De vez en cuando leemos en la prensa que en una partida de bridge algún jugador recibió una mano perfecta. El timo de las tres cartas En muchos juegos de azar puede resultar desastroso fiar en la intuición para estimar las probabilidades de éxito.grupojoker.4.389. o bien alguno de los jugadores quiso gastar una broma pesada y secretamente preparó las cartas. Incluso es de esperar que salga una 5.com 41 .3. El último.2 cada seis repartos. www.3.3. Un peinado perfecto es el que divide la baraja en dos partes exactamente iguales y después intercala alternativamente una de cada mitad con otra de la otra. El primero tiene una pica por ambos lados. la distribución de palos más probable?.3. Un sencillo juego de apuestas con tres naipes y un sombrero así nos lo demuestra. Al darles dos peinados perfectos más un corte cualquiera el mazo queda preparado para que al repartir se produzcan cuatro manos perfectas de bridge. Incluso jugadores de bridge avezados suelen conjeturar que es la 4. o tal vez lo que pasó es que se abrió una baraja nueva y el repartidor le dio casualmente dos “peinados” perfectos.3. Esto es erróneo.3. La carta central muestra una pica en el anverso y un diamante en el reverso. Las probabilidades en contra son tan astronómicas.899 contra 1) ¿Cuál es. Puede esperarse obtener una distribución de estas características aproximadamente una de cada cinco manos. La menos probable.2. frente a las nueve o diez que por término medio requiere la 4. diamantes por ambas caras.753. He aquí otra. iguales para ambos.de que se saque una de estas dos cartas. Para hacerle picar y convencerle de que el juego es justo. una moneda de oro y otra de plata. con la cara A hacia arriba. el banquero gana dos de cada tres juegos. Hay dos cartas que tengan igual color por ambos lados. y deja que usted tome una y la coloque sobre la mesa. La carta extraída puede ser una pica-diamante. o bien es diamante-pica. Weaver presentó este juego en su artículo “Probabilidad”. una pica. él lleva ventaja de dos contra uno. distinguido matemático. ¿cómo es que el banquero está desplumándonos tan rápidamente? Su razonamiento es falaz.com 42 . casos igualmente probables. Se elige al azar una de las cajas. Supongamos que la carta elegida presente a la vista un diamante. Si el juego es justo. y no sólo dos. el banquero argumenta que el naipe extraído no puede ser el doble pica-pica. pues. O bien puede ser el diamante-diamante. o diamantediamante. hay una probabilidad 2/3 –es decir. en el otro. escrito en 1889. en Scientific American.grupojoker. o bien. El banquero le apuesta peseta por peseta a que el palo de la cara oculta es igual que el visible. hay probabilidad 2/3 de que las dos monedas de esa caja sean iguales. dos casos de cada tres. la cara oculta es un diamante. Las posibilidades de ganar son. las agita. Por consiguiente. En estos dos últimos casos ambas caras son iguales. matemático francés que la presentó en un libro sobre probabilidad. En un caso. así llamada en recuerdo de J. Una contenía dos monedas de oro. con la cara B a la vista. Por consiguiente. www. dos de plata. Como es obvio. octubre de 1950.El banquero echa las cartas en su sombrero. y uno de los cofundadores de la teoría de la información. otra. diamante-diamante. En realidad. El truco está en que hay tres. Antes dimos una explicación de las verdaderas probabilidades de este juego. Bertrand. y una tercera. hay probabilidad 2/3 de que la cara oculta de la carta extraída se igual que la visible. Bertrand imaginaba tres cajas. Por tanto. Este juego de apuestas fue ideado por Warren Weaver. Tomando al azar una carta del sombrero. Este juego es variante de la paradoja conocida por “cajas de Bertrand”. Como “cara” (C) y “cruz” (X) tienen iguales probabilidades de aparición. por consiguiente.grupojoker. ¡no se acerque al tragasuertes! Muchos son los engatusados que juegan a él. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas muestren las tres la misma cara? Es seguro que al menos dos tendrán que salir iguales. habrá el cincuenta por ciento de probabilidades de que al caer muestre igual cara que las otras dos. El mismo razonamiento serviría si la moneda extraída hubiese sido de plata. Ello nos dice que la caja no puede ser la que contiene “plata-plata”. bien la “oro-plata”. Siendo igualmente probable que la elegida haya sido una cualquiera de estas dos. que de la caja elegida sacamos una moneda. Los jugadores apuestan por cualquier www. Las ocho ordenaciones son equiprobables. parece como si la probabilidad de elegir una caja con monedas iguales hubiera bajado a 1/2. la probabilidad de que las tres monedas presenten la misma cara parece ser de 1/2. que son agitados volteando repetidamente la jaula. bien cara distinta. Por consiguiente. la probabilidad correcta es 2/8 = 1/4.Supongamos. empero. observándose que es de oro. He aquí otra paradoja del mismo estilo. imaginando que nunca podrán perder. de ninguna. El bombo del tragasuertes tiene en su interior tres dados. La tercera podrá mostrar bien la misma cara que las otras. ¿De qué forma puede alterarse la probabilidad de que la caja contenga monedas iguales por la observación de una de sus monedas? Como es obvio. Tragasuertes La próxima vez que vaya usted al parque de atracciones. tiene que ser. bien la “oro-oro”. Podemos hacer ver la falacia de tal razonamiento enumerando los ocho casos posibles: CCC XCC CCX XCX CXC XXC CXX XXX Observemos que sólo en dos de los ocho casos muestran iguales caras las tres monedas. Por consiguiente.com 43 . que en Estados Unidos llaman chuck-a-luck. ganaré 200 pesetas. Así estaríamos a la par. Tras cada vuelta del bombo. Con linces así.número del 1 al 6. Y si la repetición fuese triple. por cada 500 pesetas que cobre pagará 300.com 44 . ¡entonces serían 300! ¡Seguro que el juego va a mi favor!. el feriante recaudaría 300 pesetas (admitiendo que las apuestas sean a 100 pesetas) de los tres perdedores y pagaría 300 pesetas a los tres ganadores. y el 5 sale en dos dados. porque si apuesto. cuyas caras llevan una pica. Y si saliera en los tres. La paradoja del ascensor Quienes hacen uso frecuente de ascensores quedan perplejos a menudo ante otra extraña paradoja de la teoría de probabilidad. un fuerte porcentaje a la casa?. El tragasuertes. En los pubs ingleses y australianos suele jugarse con tres dados. ingresa 400 y paga 300. por ejemplo. para atraer parroquia. el operador suele gritar: “¡Tres ganan y tres pierden en cada partida!”. en realidad. soy yo quien lleva ventaja. no es milagro que los dueños de casinos sean millonarios. embolsándose 100 pesetas. En las ferias. habrá de salir tres veces de cada seis. Señor Pánfilo: Pero en realidad. Vamos a suponer que en un edificio www. Los jugadores suelen razonar así: Señor Pánfilo: Si el juego tuviera un solo dado. un diamante. a principios del siglo pasado se hizo popular con el nombre de sweat-cloth. dando así la impresión de que el juego es justo. logrando una ganancia de 200. Si el bombo tuviera dos dados. Como tiene tres. Gracias a estos dobletes y tripletes gana la casa su porcentaje. un trébol. un corazón. mi número saldría una vez de cada seis juegos. Si la repetición se produce en dos. y por eso es llamado “corona y áncora” [crown and anchor]. Más recientemente ha sido conocido como bird cage. una corona y un áncora. y reciben de premio la misma cantidad que apuesten por cada dado que salga con su número. saldría dos veces de cada seis. El juego sería verdaderamente justo si los dados mostrasen siempre tres números distintos. 100 pesetas al 5. con mucha frecuencia se repite un número en dos o tres dados. En Inglaterra. ¿Por qué el tragasuertes le da. Por fortuna para el operador. se juega allí en muchos casinos.grupojoker. los ascensores se mueven independientemente unos de otros. a horas elegidas al azar. así que la probabilidad de que se encuentre el ascensor debajo de él es muy grande. Señorita Ayuso: ¡Es que no lo entiendo! ¡Siempre que necesito ascensor. a la inversa. Esta región es pequeña comparada con la de color claro. se los llevan por helicóptero desde el terrado!. Señor Arribas: ¡Condenación! ¡El primer ascensor que se detiene aquí está subiendo! ¡Siempre pasa lo mismo! ¡Claro! ¡A lo mejor en la planta baja fabrican ascensores. Los trenes. Y está muy molesto.grupojoker. El mismo razonamiento. su tiempo de parada en cada planta sea el mismo. Una vivía al este. Westy: ¡Ya está bien! ¡Sólo se te ve el pelo cada diez días!. La señora Ayuso trabaja en una de las primeras plantas. Para almorzar tiene que subir hasta el ático. la chica “este” le dijo: Esther: ¡Qué contenta estoy! ¡Por término medio vienes a verme nueve de cada diez días!. tanto los de dirección este como los del oeste. Y también está que trina.alto. Cada día. vale para la señora Ayuso. al oeste. y que por término medio. El señor Arribas tiene su oficina en uno de los pisos más altos. pasaban a intervalos de diez minutos. ni que los trajeran por el tejado para almacenarlos en el sótano! Un sencillo diagrama aclara el misterio. Tren próximo hacia el este hacia el oeste 12:00 12:01 12:10 12:11 12:20 12:21 Una tarde. la otra.com 45 . el primero en llegar está bajando! ¡Vamos. la chica “oeste” le sacó las uñas. el muchacho iba a su estación de metro y tomaba el tren que antes llegara. Romeo indeciso ¿Conoce usted el caso del donjuán irresoluto? Romeo no lograba nunca decidir a cuál de sus chicas quería visitar. Para el señor Arribas sólo descienden los ascensores de la zona oscura del pozo correspondiente. www. y para sacarlos. Pero otra tarde. donde está la cafetería. La línea trazada al azar viene a ser como la llegada del mozo al andén. Buscamos las caras más cercanas por arriba y debajo de la traza. el tiempo medio de espera del joven para tomar trenes de dirección este es de 4 ½ minutos. incluyendo como antes la de abajo. Intuitivamente parece que la respuesta debería ser: dos lanzamientos. Las monedas no tienen recuerdo de su conducta pasada. el tiempo medio de espera de “cara” (o de “cruz”) es de dos lanzamientos. los tiempos de espera entre dos trenes están fijados por el horario. En esta paradoja. Aunque los trenes pasan a intervalos regulares de 10 minutos. Imaginemos una larga columna de resultados de lanzamientos. cerrando los ojos y trazando a través de la lista una raya horizontal). mientras la de ir hacia el este es de nueve décimas. pero no la de arriba. Hay otras muchas paradojas sobre el tiempo de espera. el “tramo” medio (sin contar la primera. www. En una sucesión de acontecimientos aleatorios. el “tiempo medio de espera” entre acontecimientos se calcula sumando n tiempos de espera consecutivos. Para tomar un tren hacia el este. los trenes de dirección oeste llegan siempre un minuto después de haber salido de la estación uno de dirección este. otras. pero sí la segunda) es de dos lanzamientos. He aquí una demostración sencilla de que la solución es tres lanzamientos. Es más probable que nuestra raya atraviese una racha larga que una corta. En realidad son tres. Por ejemplo. Algunas rachas entre caras son cortas. Al lanzar una moneda. le basta llegar en alguno de los intervalos de 9 minutos que vemos en blanco. largas. y dividiendo por n. Tal vez le agrade vérselas con ésta. y contamos la separación entre ambas. La probabilidad de ir hacia el oeste es una décima.com 46 . El muchacho sólo tomará el tren de dirección oeste si llega en alguno de los intervalos de 1 minuto sombreados en el reloj. ¿Cuál será el intervalo medio entre caras?. Esto significa que al tomar una larga lista de resultados de lanzamientos y contar cuántos lanzamientos separan una cara de la siguiente. mientras su tiempo de espera para trenes de dirección este es de medio minuto. Seleccionemos al azar un espacio entre dos anotaciones consecutivas (por ejemplo. así que doquiera demos el corte.grupojoker. La razón es la misma por la cual el joven toma normalmente el tren de dirección este.Esta curiosa situación recuerda el problema de los ascensores. que se produce en momentos al azar. tenemos todo lo que Martin Gardner nos cuenta sobre azar. Por tanto. www. contadas ambas caras.grupojoker. al tomar una larga lista de resultados de la ruleta y elegir en ella al azar un espacio de separación. el intervalo medio que selecciona. o sea 4. resbaladizos: POSIBLE PUEDE OCURRIR O HABER OCURRIDO Algo puede o no puede ocurrir No me parece posible que pueda ser poco o muy posible. Puesto que al definir el tramo hemos convenido en incluir una de las caras. el problema correspondiente nos deja más perplejos todavía. desde un 7 hasta el siguiente. Sin embargo. sino (2 x 38) – 1 = 75. pero no la otra. Debido al uso constante de los términos de “probabilidad” vamos a ver unas definiciones similares. Una rueda de ruleta suele tener 38 números. el número medio de lanzamientos de espera para un número dado.el tiempo medio de espera hasta la primera cara habrá de ser dos lanzamientos. digamos. pues incluye un 0 y un 00. no mide 38. probabilidades y juegos. Las siguientes definiciones están extraídas del siguiente libro: MATEMÁGICAS Ignacio Soret los Santos Editorial ESIC. y contamos “hacia atrás”. el tramo medio entre caras es dos veces 2. la longitud del intervalo es 4 – 1 = 3. es de 38. Y hasta aquí. Con la ruleta.com 47 . el 7 por ejemplo. Otro tanto es cierto si “damos marcha atrás” al tiempo. Madrid 2003 Ciertos conceptos. O era posible o no era posible llegar a la luna. tenemos un pequeño problema. Se suele asignar un grado de probabilidad a que un partido político gane las elecciones o no. seguro que gana o pierde en el supuesto de no retirarse. ente la duda. Si deseo saber con qué probabilidad saldría el 5 (caso favorable) puedo repetir el experimento lanzar el dado www. por el momento. pocos fenómenos sociales cumplen con esta circunstancia. 3. El probabilismo es la doctrina por la que cualquier opinión tiene cierto grado de probabilidad (de que suceda o no) y no es nunca totalmente verdadera ni totalmente falsa. Sea el dado: es posible que salga 1. PROBABILIDAD A PRIORI (Concepto matemático) Cuando conozco todos los casos posibles de un fenómeno. 2. casi todo nos parece posible.grupojoker.com 48 . pero no podemos probar un suceso que está por ocurrir. de que creo que nadie puede decir que no con cierta rotundidad. 4. es más. sugiere que algo se puede probar. al menos. Esto hace que. si no tenemos datos para intuir una cosa u otra. además. se puede establecer la probabilidad de que suceda un caso u otro. era poco probable o muy probable. ¿Quién puede decir si es posible o no que haya vida en Júpiter? Aún más: ¿quién puede cuantificar la probabilidad de que eso ocurra? PROBABLE En principio. no pueda demostrarse pero tampoco refutarse. Del fenómeno lanzar una moneda o un dado conozco todos los casos posibles de ocurrencia. ¿es probable? Desde luego.Nuestra capacidad de asombro disminuye con el tiempo. en todo caso. 5 ó 6: seis casos posibles. ¿Habrá vida extraterrestre?: es posible en el sentido. Si admitimos la acepción de susceptible de ser probado. decimos que la probabilidad es del 50% (o gana o no gana). admitimos que es posible que las gane. es posible ya que puede ganar o perder. Lamentablemente. y. salvo en juegos. La probabilidad no nos asegura pero nos orienta. Se obtiene un 2 si salen (1. 5+5. 3+3.= 0’1666. ¿Qué prefiere. 2+6 3+1. 3+4. siendo (resultado de dado 1º. 5+4. No olvidemos que esto es rigurosamente cierto si lanzamos el dado un número infinito de veces (cosa que nunca se ha hecho todavía y que. La tabla de posibilidades se construye así: 1+1. 5+2. 1+6 2+1. Veremos entonces que cada número ocurre el mismo número de veces. 4) ó (5.. es imposible). 1+5. 4+4.. 4+6 5+1. 6+2.000 euros a que al lanzar dos dados la suma sea 6 o que sea 2 ó 10? Un ejercicio mental para conocer todos los casos posibles puede ser difícil. 6+5.grupojoker. 6+3.% de las veces que tiremos el dado saldrá un 5 (y cualquier otro número. y formulamos: Casos favorables Probabilidad = -------------------Casos posibles 1 p = --. entonces. 1+4. 1+3. jugarse 1. Hagamos. 2+4. una tabla con todas las posibilidades. 3+5. 4+2.. 1+2. 6+6 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 7 8 9 10 49 www. 6) ó (6. 4+5. 1) y un 10 si sale (4. 2+5. 5+6 6+1. 6+4. 2+3. 2+2. 4+3. 5). 3+2.hasta la saciedad (hasta el infinito). 3+6 4+1. 5+3.. además. 6 El 16’66. ya que todos tienen la misma probabilidad de salir). resultado de dado 2º).com . Las sumas correspondientes a los dos dados pueden verse así cómodamente. A lo largo de nuestra vida. aunque eso no pueda darse. salir una suma superior o igual a 6.6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 Casos posibles = 36 Casos favorables (favorables a nosotros por los que apostamos): De salir un 6 = 5 De salir un 2 ó 10 = 4 Probabilidad a priori: 5 P (6) = ---. pero que se puede aplicar a cualquier tema de probabilidad: “Curiosamente hay mucha gente que no cree en los cálculos de probabilidades porque una vez les dijeron que con una determinada jugada tenían el 80% de probabilidades de ganar. Claro. Lo cierto es aunque la probabilidad de ocurrencia de un suceso sea alta (por ejemplo... Cualquier apuesta probabilística implica riesgo. la probabilidad sólo se convierte en certeza con un número infinito de sucesos pero.com 50 .= 0’1388 == 13’88% 36 4 P (2 ó 10) = -----.”.= 0’1111 == 11’11% 36 Yo apostaría (si no tengo más remedio que hacerlo) por “salir 6”. por definición. aun a sabiendas de que es poco probable (13’88%). si somos www. viene a cuento un párrafo del libro de José María Silleras “El juego y. ¡y lo mismo podía haber ocurrido con una cifra del 99%! Como venimos diciendo en numerosas ocasiones. P ( ) = 26/36 = 0’7222 72’22%) puede no suceder. no invalida que intentemos aprovechar al máximo las probabilidades cuando juegan a nuestro favor. con referencia al Mus. Precisamente.grupojoker. y sin embargo perdieron. No obstante. La probabilidad de que usted tenga un accidente hoy es pequeña.” Y sigamos con las Matemágicas: PROBABILIDAD PUÑETERA La probabilidad de que le toque la lotería primitiva es muy pequeña. La probabilidad de que hoy se queme una casa es elevadísima.. y. la probabilidad de sacar nuevamente cara en el noveno lanzamiento?: no nos equivoquemos. lo que da un uno seguido de muchos ceros (0’00000007). concretamente de 1 sobre casi 14 millones si juega una sola combinación. siempre impredecible. PLAUSIBLE Admisible. entendiendo matemáticamente “raro” como el suceso de muy poca frecuencia). sigue www.. Pero ¿se ha dado cuenta de que “casi siempre” le toca a alguien que tiene esa misma probabilidad birriosa que usted?. sí. podremos estar seguros de haber sacado la máxima ventaja de un azar. Casi imposible. pero no apostaría por que fuese la suya. en esta última situación. no tiente al azar y no cometa imprudencias. ya que así lo dice la experiencia (todos los días hay accidentes). Le pondré un ejemplo: ya sabemos que la probabilidad de que al lanzar una moneda no trucada salga cara o salga cruz es 0’5.grupojoker. se preguntará por qué juega ya que “casi seguro que no me toca”. ¿cuál es. La probabilidad es “casi cero”. se lo aseguro. es decir. si así hacemos.com 51 . Admisible es el mejor sinónimo que he encontrado para plausible. Lo mismo sucede con otros fenómenos. también sabemos usted y yo que puede ocurrir que salgan ocho caras seguidas en los primeros ocho lanzamientos.jugadores. habrá infinidad de ocasiones de aplicarlo. esto es posible (aunque a alguien le parezca raro. Pero alguien tendrá hoy un accidente o se le quemará su casa. suceso casi imposible (diríamos los matemáticos). y quizá más pequeña de que se le queme la casa (con las pocas que se queman. al 50%.). Kemeny). apostarían fuertemente a “cruz en el noveno lanzamiento” después de haber salido ya ocho caras seguidas. ¿Por qué? Sigue siendo un misterio.. Ahora bien. Evidentemente. o lo que es lo mismo.com 52 . ante una probabilidad tan grande 50% de las opciones posibles.. Hora de explicar el porqué se suele apostar a cruz después de ocho caras.. por tanto.siendo 0’5.. el ser humano es observador y si algo “no sucede muy a menudo” es precisamente ver series muy largas del mismo color. Si alguna vez ha estado ante la ruleta de un casino. sigue siendo del 50%. tiene su razonamiento en el juego. Y no olvidemos que la probabilidad de salir cruz también es 0’5. Creemos que en infinitas tiradas saldrá el mismo número de veces el rojo y el negro (supongámoslos equiprobables) pero no sabemos en qué orden. lo usual no es precisamente apostar fuerte después de 12 negros www. Pero por otra parte. según el estadístico John G. porque apostar a rojo después de 12 negros seguidos en la ruleta (o a la inversa): La probabilidad de que después de 12 negros salga otro negro o se rompa el color. No es un misterio... no somos adivinos y no podemos precisar el punto exacto en que se va a romper...... muchas personas con las que he hablado del tema. tanto puede salir uno como el otro. Y aquí terminan las matemágicas. por resumir: es posible cualquier secuencia con cierto grado de probable pero ciertas secuencias no son plausibles (plausibilidad = probabilidad práctica. sabemos que de un momento a otro se romperá esa serie consecutiva de dicho color.? En esta secuencia hay el mismo número de caras que de cruces (+) pero una cierta intuición nos dice al oído que no parece “probable” que lo haga en ese orden. Lo más cercano a esclarecer este misterio es la plausibilidad.grupojoker. ¿Quién apostaría a que en infinitas tiradas saldrá la secuencia c+c+c+c+c+c+c+c+c+c. es posible que vuelva a salir cara. De otro modo. por ello. ya que muchas personas admiten un suceso venidero aun en contra de la probabilidad. cosa que explicaré en breve. es más. siempre encontrará a alguien apostando con “seguridad” (probabilidad 100%) a rojo después de una racha de varios negros. por ello no es conveniente apostar demasiado.com 53 . Lo que sí es seguro. pero si buscamos repetidamente estas secuencias por todas las mesas y todos los días. puede ocurrir dos cosas. ya que el riesgo a asumir es alto. si se juega ocasionalmente. en un porcentaje aproximado al famoso 2. ocurrirá que lo que prevalecerá a la larga serán siempre los promedios. pues no tenemos ninguna certeza de que se va a romper muy en breve. es que si en lugar de hacerlo ocasionalmente lo realizamos habitualmente. En general. que ganaremos 3 fichas en seis ocasiones y perderemos 21 fichas en la séptima ocasión.7%. ninguna. cosa que es posible en el azar. es un error). de forma que a la larga terminaríamos perdiendo poco a poco. es por eso. que la mayoría de jugadores aprovechan la ocasión. Resumiendo. 13 o 14 jugadas. posibilidades sí las tenemos. si ganamos en cualquier punto (se rompe la serie). terminamos ganando 3 fichas. es decir. pero certezas. El problema real surge si intentamos aplicar “este sistema” de forma fija y prolongadamente. sería un método que por sí mismo se iría equilibrando con varias series ganadas y algunas perdidas. y generalmente sale bien. pero no porque tengan “la seguridad absoluta” de que se romperá justo en ese punto en que realizan su apuesta. como estas series las veremos muy pocas veces. sería un ejemplo real de “mala suerte”. o tenemos suerte y en las pocas ocasiones que lo aplicamos nos sale estupendamente. de forma que esperamos que esa serie se rompa en 12. o bien.(puede que haya quien lo haga. si fallamos apostamos 6 y si volvemos a fallar. Por este motivo no es de extrañar que la mayoría de jugadores realicen este tipo de apuestas. por ello mismo. www. si la serie se prolonga más de 14 negros perdemos en total 21 fichas (no es demasiado). ya que una serie se puede alargar e incluso superar los 20 giros del mismo color. insisten en el mismo tipo de apuesta para la próxima ocasión que ocurra.grupojoker. por ejemplo apostando 3 fichas a que rompe el color. la ventaja será para el casino. se trata de equilibrar el riesgo con el beneficio. pero no es la opción correcta. si se juega ocasionalmente podemos acertar tres o cuatro ocasiones. apostar demasiado puede resultar contraproducente. fallamos en casi todos los intentos. apostamos por última vez 12 fichas. lo más sensato es realizar 3 apuestas a ruptura. Se puede romper en cualquier punto “futuro”. com 54 . premeditación y periodicidad. Otras personas están en prisión por haber ido demasiado lejos en este asunto. infinitamente más pequeño que la mayoría y mucho más pequeño que la población penitenciaria que logra. S. son legión las personas que periódicamente juegan a algún juego de azar con la esperanza. Consejos matemáticos para dejar de apostar La mayoría de personas tienen unas determinadas posibilidades económicas y saben adecuar su ritmo de vida (es decir. de perder poco. es la selección de textos que muestro a continuación y que pertenecen al siguiente libro: CONTAR BIEN PARA VIVIR MEJOR Autor: CLAUDI ALSINA Edición: Junio 1998. mediante el azar. Su solitario. su parchís o su dominó tienen una pequeña intriga de azar y lo único que apuesta usted es un rato de su vida. pero en alguna ocasión “ganar mucho”. diez décimos de Navidad. Pero hay un dichoso grupito. Es el aliciente de la incertidumbre cuando no sucede nada. Es un atraco a sus bolsillos realizado con los agravantes de publicidad. divertido. entre otras). Rubes Editorial. diurnidad. desde el punto de vista de los matemáticos. los Estados han estudiado concienzudamente los juegos involucrando azar y dinero y se han otorgado el papel de banca.Otro libro donde podemos encontrar algunas recomendaciones o consejos sobre el juego y las apuestas. que actúa de reclamo. lo vigilan y lo recaudan. El azar como compañero de juego en tediosas tardes es. www.grupojoker. Este negocio nunca es motivo de privatización. Por culpa de este dichoso grupito. A usted no le dejarán montar un casino o vender “su lotería”. siempre renovada. un bote de bonoloto.L. sus gastos) a dichas posibilidades. evidentemente. dar un salto cuantitativo en alguna ocasión (una quiniela al 15. sin embargo. Saben muy bien que la banca no arriesga nada y tiene ganancias seguras. Ellos lo montan. Desde hace siglos. la práctica (las frecuencias) se aproximará siempre a la previsión teórica (la probabilidad). un tres (28 veces en 100 tiradas. En juegos de azar debe tener en cuenta la probabilidad de lo que puede ocurrir. si extrae una carta de una baraja de 48 cartas la probabilidad de que el as de corazones llegue a sus manos es 1/48 = 0. el jugador arriesgue un poco más para ver si en “la siguiente” al menos recupera algo.grupojoker. puede surgir una autoanimación (“hoy es mi día”) que desencadena un ataque de ambición (“a ver si doblo”) y una decisión extrema (“venga. etc. El final también está cantado. a las cartas o frente a una máquina tragaperras. Como los juegos de apuestas ya han sido inventados para que gane la banca.).020833. La otra alternativa es que.. la probabilidad de sacar un tres es 1/6 = 0. pongamos por caso.com 55 ..166. la banca nunca pierde. estas frecuencias tenderán siempre a la probabilidad 0. pueden ocurrir dos cosas. la ganancia incluso está programada en función de los ingresos de la misma. La siguiente vez será favorable. ante una www. Pero. En muchas situaciones relacionadas con juegos de apuestas habrá observado la irresistible tentación que tienen muchos jugadores de “esperar un momento favorable” y retirarse.1666. 170 en 1000. Si tira un dado. “Una tirada más y basta”. más segura estará la banca de ganar y más seguro será que usted pierde. cuantas más “siguientes jugadas” encadene. me lo juego todo”). La teoría de la probabilidad dice que. cuanto más juegue. Si la ganancia ha sido notable. cuando ya se ha jugado mucho. El final lo puede suponer: la velada acaba con las manos en los bolsillos vacíos. Una vez más.. Así. superando este demonio del color de billete de lotería que nos guiña el ojo y nos repite que nosotros podemos ser los afortunados ganadores. En las primeras jugadas.Los apartados que siguen tienen como único objetivo intentar convencerle de que no apueste absolutamente nada a juego oficial alguno. ante la debacle. En juegos con sólo apariencia de azar. el jugador puede vivir momentos de euforia o contrariedad. si usted tira el dado muchas veces consecutivamente y anota las frecuencias con que sale. es decir. como las máquinas tragaperras. Por tanto. de cada 100 tiradas unas 16-17 veces saldrá un tres. Su experiencia ciudadana le dice que a la mayoría de transeúntes. Yo puedo ser el ganador.máquina de un bar lo inteligente es no jugar. Pues. y a pasear. Las frecuencias con que las cosas ocurren no son números locos e imprevisibles. entre otros sucesos posibles. y va al trabajo. Pero si no puede resistir la tentación. Si usted creyera firmemente en que es una de esas víctimas. Habrá ganado (¡seguro!) lo que no ha perdido. lo último que se pierde. aunque los periódicos siempre le recuerdan que hay “alguien” a quien sí le ocurre. Y si puede. sino que siempre tenderán a los valores esperados: la pérdida por su parte y la ganancia de la banca. La esperanza. que no será secuestrado por unos atracadores que huyen. alejándose del mundanal ruido. Usted no debe pensar en que será ese “alguien”. Asegúrese de ser el ganador: no juegue. intente que no haya ni tan sólo una primera vez. trabajadores y visitantes todo esto no les pasa.grupojoker. Usted sale a la calle. sino que será de los “otros”. con la certeza personal de que no será la víctima de un asesino suelto. lo mejor es aplicar el principio del “barman deshonesto”: sólo empezar a jugar cuando ya haya visto a muchos otros perder. Y esto le permite hacer su vida. Simplemente medite lo siguiente: en todas las acciones de su vida usted da gracias por ser de los “otros” y no el “alguien”. bien. Sin este “alguien” no lograría exaltarse la codicia y la participación de muchos “otros”. vivirá encerrado en su casa. Consejo: Lo excepcionalmente bueno o malo sólo afecta. Reténgase. ¿por qué piensa que puede ser el ganador de algo excepcional?. “¿Verdad que le tocará a alguien? Pues este alguien puedo ser yo” Claro que le tocará a alguien.com 56 . que no le caerá un balcón en la cabeza. No quiera estar en este grupo porque el estar en él no depende de usted. www. a unas pocas personas. No dé a ganar dinero a los organizadores alineándose con el numerosísimo grupo de los perdedores. si cree que no le va a pasar lo que es negativo. afortunadamente. Consejo: La “siguiente vez” únicamente empeorará su situación. Pero aquí nos referimos a la esperanza matemática que consiste en evaluar aquello que es esperable ganar en un juego. es decir. gana 100 pesetas y. Como la probabilidad de salir seis es 1/6 y de que no salga seis es 5/6 la esperanza de este juego sería: Lo que indica qué cantidad es esperable ganar en promedio por jugada. Que salga un solo seis.“Al final. que salga en un dado y no en el otro.. gana –100 pesetas). algo ganaré” La esperanza es una virtud humana totalmente necesaria para vivir. que no salga ningún seis tiene la probabilidad www. Suponga ahora otro juego. Imagine que jugando a tirar un dado.grupojoker. usted paga 100 (o si lo quiere en forma más sofisticada. si sale sólo uno. si sale seis. que una de cada 36 veces se ganan 200 pesetas.. Finalmente. Nadie le ofrecerá un juego así. La probabilidad de que salgan los dos dados con seis será O sea. tiene la probabilidad Lo que significa que en diez ocasiones de cada 36 gana 100 pesetas. en caso contrario. si no sale ningún seis. usted gana 1000 pesetas y. Si sale un seis en cada uno. gana 200 pesetas.com 57 . Se tiran dos dados. paga 100 pesetas. La esperanza de este juego será pues: Lo que indica la necesidad de no jugar pues.. No le dejarán. Consejo: Evalúe la esperanza teórica de un juego-apuesta. “la esperanza” era calculable haciendo la suma de los productos de ganancias o pérdidas por sus respectivas probabilidades. estos promedios reales tenderán a la esperanza matemática. Si algo debería interesarle es ser usted “la banca”. en 25 ocasiones de cada 36 pagará 100 pesetas. La banca. y otro. “¿No será muy arriesgado?” Después de todo lo dicho usted ya debería haber llegado a la conclusión de que no le conviene jugar su dinero a nada.Es decir.com 58 . Si es negativa. a la larga..grupojoker. con montar un bar y poner una máquina tragaperras o sortear una cesta de Navidad con alguna excusa creíble. usted inicia el juego. en promedio. tendrá su cuenta en números rojos. esta esperanza es siempre positiva. La ley de los grandes números asegura que los promedios de las jugadas tenderán siempre a la esperanza teórica. El negocio es demasiado apetitoso para dejarlo en manos privadas. de lo www.. gana 200 pesetas y se va. a lo sumo.11 pesetas por jugada realizada. etc. salen dos seis. es decir. el dueño de un casino. etc. Deberá conformarse. “la banca” tenderá a una ganancia media de 36. no juegue. Absolutamente falso. las loterías. si usted realiza experiencias aleatorias y va calculando los resultados medios globales. Pero después vendrá otro y hará varias apuestas. Para acabar este análisis del juego. piense por un momento en la banca. el promotor de un sorteo. En los ejemplos anteriores. No lo piense más. sea usted la banca. Para la banca. el organizador de una lotería. En promedio. de acuerdo con las frecuencias en que dichos resultados salen. el casino. Un primer pensamiento totalmente ingenuo podría ser del tipo “¡oh! la banca también se la juega”. En el juego con los dos dados que hemos expuesto antes. y otro. ¿Qué ocurre en la práctica? La ley de los grandes números asegura que. monte un casino o venda lotería emitida por usted: ganará dinero. regalar copas o puros. una vez pagadas las ganancias. Si tiene oportunidad.000 y 62. retírese inmediatamente.000 de pesetas apostadas. tendrá un buen recuerdo y lo podrá explicar. Si juega a la ruleta americana (¡Dios no lo quiera!). imaginemos que hace 50 apuestas a rojo o negro. Y esto es todo.000. Cuantas más apuestas se hagan. éstas deben ser las grandes preocupaciones e inversiones para difundir el juego y mantener el interés por él. hacer anuncios. la distribución (normal) de las ganancias medias se concentrará entre + 3670 y – 4730. pierden. de 1. otros ganan algo. es decir. ¿Qué le ocurrirá al casino? El casino está apostando contra “todos los jugadores a la vez” y su ganancia media en 1000 apuestas de 1. sólo conseguirá perder. el casino tendrá limpias entre 44. Consejo: Los apostantes.000 pesetas. cortando o lo que sea).000 pesetas cada una tenderá a oscilar entre el 4.4% y el 6.único que deben preocuparse es de que sus clientes jueguen mucho rato o compren muchos boletos o décimos. es decir. Cerramos este tema con el comentario de Patrick Billingsley: “Ningún sistema puede convertir un juego desfavorable en un negocio rentable”. El teorema del límite central asegura que para un gran número de repeticiones de un fenómeno aleatorio. mejor.2%.grupojoker. la inmensa mayoría de resultados se acumulará en valores próximos a uno central. www.000. Abrir muchas sucursales o puntos de venta. Su pérdida global es la ganancia segura de los organizadores. La teoría de la probabilidad es la que asegura a la banca la tranquilidad más absoluta. Si persiste. colectivamente. las medias de las distribuciones de valores que van saliendo siempre tenderán a una “distribución normal”. Si por casualidad juega y gana algo. con 49. de las cuales gana en 30 y pierde en 20. su ganancia media habrá sido ¡Ha sido una buena noche! Si repite estos resultados muchas noches. Si en cada apuesta invierte 1. El casino puede predecir sus ganancias. rascando. emitir nuevos sorteos que capten la atención (con sólo tres dígitos. pero el casino siempre ingresa.com 59 . Muchos pierden.
Report "Azar Y Matematicas - John Haigh, Martin Gardner, Claudi Alsina"