Pontificia Universidad Católica de ChileFacultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas Segundo Semestre 2017 Introducción al Cálculo ⋆ MAT1000 Ayudantı́a clases 20, 21 y 22 1. Objetivos Calcular operaciones entre números complejos, expresando su resultado en forma cartesiana. Identificar al conjunto de los números complejos como una extensión algebraica de los números reales. Calcule las siguientes operaciones entre números complejos, expresando su resultado en forma a + i b. (a) (5 − 6i) + (3 + 2i) (b) (−4 + i) − (2 − 5i) (c) (2 + 5i)(4 − i) 5−i (d) 3 + 4i Solución. Es importante hacer notar que la operación entre números complejos es cerrada, vale decir suma, res- ta, multiplicación y división entre números complejos resulta ser también un números complejo. Estas operaciones son una extensión de las mismas sobre los números reales, por lo que sus propiedades se mantienen. (a) (5 − 6i) + (3 + 2i) = (5 + 3) + (−6 + 2)i (Asociar partes reales y partes imaginarias) = 8 − 4i (Sumar o restar) (b) (−4 + i) − (2 − 5i) = (−4 − 2) + (1 + 5)i (Asociar partes reales y partes imaginarias) = −6 + 6i (Sumar o restar) (c) (2 + 5i)(4 − i) = (2) · (4) + (2) · (−i) + (5i) · (4) + (5i) · (−i) (Distribuir los factores) = 8 − 2i + 20i + 5 (Multiplicar los términos, usando que i2 = −1) = 13 + 18i (Sumar o restar) (d) 5−i 5 − i 3 − 4i = · (Racionalizar: 1 a+i b · a−i b a−i b ) 3 + 4i 3 + 4i 3 − 4i 11 − 23i = (Multiplicar los numeradores y denominadores) 25 11 23 = − i (Multiplicar los numeradores y denominadores) 25 25 Nota. las raı́ces de la ecuación 2x2 − 2x + 1 = 0 son 1 2 − i 2 y 1 2 + 2i . siendo ambos métodos válidos para determinar las raı́ces (obviamente entregan el mismo resultado). las raı́ces de la ecuación x2 − 2x + 2 = 0 son 1 − i y 1 + i. Este mismo resultado se obtiene se se aplica la fórmula de las raı́ces para una ecuación cuadrática. √ √ √ p √ √ Nota. √ 2 −b ± b2 − 4ac (b) La ecuación 2x − 2x + 1 = 0 será resuelta usando la fórmula: x = . Completación de cuadrados. Para determinar las raı́ces de una ecuación cuadrática se pueden usar dos métodos: 1. Calcule las raı́ces de las siguientes ecuaciones: (a) x2 − 2x + 2 = 0 (b) 2x2 − 2x + 1 = 0 Solución. . Representar la raı́z cuadrada de un número negativo como número complejo. Fórmula de las raı́ces de una cuadrática. 2a p −(−2) ± (−2)2 − 4 · (2) · (1) x= 2 · (2) √ 2± −4 = 4√ √ 2±4· −1 = 4 2±2i = 4 1 i = ± 2 2 Por lo tanto.2. La propiedad ab = a b sólo es válida si a lo más uno de los factores a o b es negativo. 2. Ejemplo: (−4) · (−9) 6= −4 · −9. (a) La ecuación x2 − 2x + 2 = 0 será resuelta por completación de cuadrádos: x2 − 2x + 2 = 0 ⇔ (x − 1)2 + 1 = 0 (Sumar −1) ⇔ (x − 1)2 = −1 (Resolver y 2 = −1) √ √ ⇔ x − 1 = ± −1 (Representar −1 = i) ⇔ x= 1±i (Sumar 1) Por lo tanto. Objetivos Calcular las raı́ces complejas de una ecuación cuadrática. Determine todos los número complejo z = a + i b que satisfacen la ecuación 1+i + i = 1 + 3i z−i Solución. . y que se reduzca a resolver ecuaciones lineal.3. el número complejo que satisface la ecuación z−i + i = 1 + 3i es z = 5 − i 65 . Conocer las propiedades de la operación conjugado. Objetivos Resolver una ecuación con variable compleja que involucre la variable conjugada. Determinar el conjugado de un número complejo. Esta es una ecuación racional en la variable z que se reduce a una ecuación lineal: 1+i + i = 1 + 3i (Sumar −i) z−i 1+i = 1 + 2i (Multiplicar cruzado) z−i 1+i =z−i (Calcular la división 1+i 1+2i ) 1 + 2i 3 1 +i =z−i (Sumar i) 5 5 3 6 +i =z (Conjugar) 5 5 3 6 −i =z 5 5 1+i 3 Por lo tanto. Determine todos los número complejo z = a + i b. el sistema anterior queda dado por a2 − b2 = a y 2a = −1 y por tanto √ 1 3 a=− y b=± 2 2 De este modo. la ecuación estará dada por (a + ib)2 = a + ib ⇐⇒ a2 − b2 + 2iab = a − ib Igualando parte real y parte imaginaria tendremos a2 − b2 = a y 2ab = −b Dado que b 6= 0. y que se reduzca a resolver ecuaciones cuadráticas en variable real. Objetivos Resolver una ecuación con variable compleja que involucre la variable y su conjugada. Determinar el conjugado de un número complejo. Resolver ecuaciones cuadrática en una variable real. con b 6= 0.4. Identificar la parte real y la parte imaginara de un número complejo. que satisfacen la ecuación z2 = z Solución. los números complejos que satisfacen la ecuación z 2 = z son: √ √ 1 3 1 3 − −i y − +i 2 2 2 2 . Si z = a + ib es una solución a nuestra ecuación. c+id es un número real.5. Para que el número complejo sea un número real. c y d números reales. demuestre que el número a + ib c + id es un número real. su parte imaginaria debe ser cero. Objetivos Demostrar una propiedad de un número complejo usando el álgebra de números complejos. Para ello debemos representar el número complejo en la forma cartesiana (A + i B) y verificar que su parte imaginaria es cero. Si ad − bc = 0. Sean a. Comenzaremos racionalizando el número: a + ib a + ib c − id = · c + id c + id c − id ac + bd + i bc − i ad = c2 + d 2 ac + bd bc − ad = 2 2 +i 2 (ad − bc = 0) c +d c + d2 ac + bd = 2 c + d2 a+ib siendo la última expresión un número real. Solución. b. Por lo tanto. . una factorización completa de P es: 1 − 32 i 1 + 23 i P (x) = 2(x + 1) x − 2 x− 2 . Determine una factorización completa para el polinomio P (x) = 2x3 + 3x + 5. ±5. en caso de existir. entonces x + 1 es factor de P . . En nuestro caso a = 2 y el polinomio tiene tres raı́ces (dado el grado del polinomio). ya que P (−1) = 2 · (−1)3 + 3 · (−1) + 5 = 0 Dado que c = −1 es raı́z de P . Aplicar el algoritmo de la división para dividir un polinomio en un factor. . siendo a el coeficiente principal del polinomio y c1 . ± . . . Determinar las raı́ces de un polinomio. Determinar las raı́ces de una ecuación cuadrática. Usar el criterio de las raı́ces racionales para determinar una raı́z de un polinomio. .6. Objetivos Determinar una factorización completa de un polinomio. . Una factorización completa de un polinomio P es P (x) = a(x − c1 ) · . Solución. cn sus raı́ces. Ahora aplicamos el algoritmo de la división entre P y x + 1: 2x3 + 3x + 5 : x + 1 = 2x2 − 2x + 5 − 2x3 + 2x2 −2x2 + 3x + 5 − −2x2 − 2x 5x + 5 − 5x + 5 0 Por lo tanto. una raı́z racional de P : 1 5 c = ±1. P (x) = (x + 1)(2x2 − 2x + 5). ± 2 2 De esta colección de posibles raı́ces. Usemos el teorema de las raı́ces racionales para determinar. sólo c = −1 es raı́z de P . · (x − cn ). Las dos raı́ces faltantes del polinomio P corresponden a las raı́ces de Q(x) = 2x2 − 2x + 5 que se obtienen de usar la fórmula para una ecuación cuadrática: p −(−2) ± (−2)2 − 4 · (2) · (5) 1 3 x= = ± i 2 · (2) 2 2 Finalmente. 7. Por ello será necesario conocer los primeros cuatro término de la sucesión para determinar el quinto término: a2 = 3a1 − 1 = 3 · (2) − 1 = 5 (a1 = 2) a3 = 3a2 − 1 = 3 · (5) − 1 = 14 (a2 = 5) a4 = 3a2 − 1 = 3 · (14) − 1 = 41 (a3 = 14) a5 = 3a2 − 1 = 3 · (41) − 1 = 122 (a4 = 41) . donde el término siguiente depende del término anterior. n+1 Solución. n (a) an = (−1)n · (b) an+1 = 3an − 1. por lo que su quinto término se deduce se evaluar n = 5. con a1 = 2. Objetivos Calcular un término de una suecsión dada mediante una fórmula o mediante una relación de recursiva. vale decir 5 5 a5 = (−1)5 · =− 5+1 6 (b) Esta sucesión está dada mediante una relación recursiva. (a) Esta sucesión está dada mediante una fórmula. Calcule el quinto tértmino en cada una de las siguientes sucesiones. para una cantidad ≤ 5 de sumandos. Calcule las siguientes sumas. Objetivos X Calcular el valor de una suma expresada mediante el sı́mbolo sigma . representaremos ambas sumas de forma extensiva y calcularemos la operación. Para estas sumas no tenemos una fórmula que nos permita evaluar de forma inmediata su valor. en función de la cantidad de términos que se suman. (a) En este caso la suma está compuesta de 4 sumandos: 4 X k · 2k = 1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23 + 4 · 24 k=1 = 2 + 8 + 24 + 64 = 98 (b) En este caso la suma está compuesta de 5 sumandos: 5 X (−1)k (−1)1 (−1)2 (−1)3 (−1)4 (−1)5 = + + + k=1 k 1 2 3 4 5 1 1 1 1 = −1 + − + − 2 3 4 5 47 =− 60 . X Expresar en forma extensiva una suma expresada mediante el sı́mbolo sigma .8. 4 5 X k X (−1)k (a) k·2 (b) k=1 k=1 k Solución. Por ello. Calcule las siguientes sumas. sumas conocidas y/o suma telescópica. Para calcular estas sumas tenemos las siguientes herramientas: 1. Suma telescópica n X n X (ak+1 − ak ) = an+1 − a1 (ak − ak+1 ) = a1 − an+1 k=1 k=1 (a) n X n X n X (4k − 3) = 4k − 3 Propiedades k=1 k=1 k=1 Xn Xn =4 k−3 1 Propiedades k=1 k=1 n(n + 1) =4· −3·n Sumas conocidas 2 = 2n2 − n .9. Sumas conocidas n n n X X n(n + 1) X n(n + 1)(2n + 1) 1=n k= k2 = k=1 k=1 2 k=1 6 3. Propiedades n X n X n X n X n X c an = c an (an + bn ) = an + bn k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 2. 1 1 1 1 Conocer la fórmula (k+a)(k+b) = b−a k+a − k+b . Objetivos X Calcular sumas expresadas con el sı́mbolo sigma usando las propiedades. n 50 n 1 X X 1 1 X (a) (4k − 3) (c) − (e) k + 1 k k2 + 3k + 2 k=1 k=1 k=1 n 97 624 X 2 X 1 X 1 (b) (k − 2k + 5) (d) (f) √ √ k=1 k=1 (k + 2)(k + 3) k=1 k+1+ k Solución. (b) n X n X n X n X (k 2 − 2k + 5) = k2 − 2k + 5 Propiedades k=1 k=1 k=1 k=1 n X Xn Xn = k2 − 2 k+5 1 Propiedades k=1 k=1 k=1 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) = −2· +5·n Sumas conocidas 6 2 2n3 − 3n2 + 25n = 6 (c) 50 X 1 1 1 1 − = − Telescópica con ak = 1 k k+1 k 50 + 1 1 k=1 60 =− 61 (d) 97 97 X 1 X 1 1 = − 1 (k+a)(k+b) = 1 b−a 1 k+a − 1 k+b k=1 (k + 2)(k + 3) k=1 k+2 k+3 1 1 = − Telescópica con ak = 1 k+2 1 + 2 97 + 3 97 = 300 (e) n n X 1 X 1 2 = k=1 k + 3k + 2 k=1 (k + 1)(k + 2) n X 1 1 = − 1 (k+a)(k+b) = 1 b−a 1 k+a − 1 k+b k+1 k+2 k=1 1 1 = − Telescópica con ak = 1 k+2 1+1 n+2 n = 2n + 2 (f) 624 624 √ √ X 1 X 1 k k+1− √ √ = √ √ ·√ √ Racionalizar k=1 k+1+ k k=1 k+1+ k k+1− k 624 X √ √ = k+1− k k=1 √ √ √ = 624 + 1 − 1 Telescópica con ak = k = 24 . k=1 Calcule el producto de los números 101/10 . . 103/10 . . n X Reconocer la suma de k: k.. Objetivos X Representar un problema en términas de sumas. k=1 n X Calcular k para un número natural n dado..+ 10 1 P19 k = 10 10 k=1 1 19·(19+1) = 10 10 · 2 = 1019 . · 1019/10 = 10 10 + 10 + 10 +. . . usando el sı́mbolo sigma y calcular la suma. 102/10 . El producto está dado por 1 2 3 19 101/10 · 102/10 · 103/10 · .10. 1019/10 Solución. . . (a) Es claro que los primeros términos de la sucesión Sn son: S1 = 15 (sueldo durante el 1er año en millones) S2 = S1 + 0. .3 = 15 + 3 · 0. Si Sn es su salario durante el n-ésimo año de trabajo. Objetivos Formular un problema en término de sucesiones.1 millones. Sn = 15 + (n − 1) · 0.3 = 17. Solución..3 millones al inicio de cada año.3 (sueldo durante el n-ésimo año en millones) (b) El sueldo durante el octavo año es S8 = 15 + (8 − 1) · 0. (a) Determine una fórmula para Sn .3 (sueldo durante el 2do año en millones) S3 = S2 + 0.3 (sueldo durante el 3er año en millones) S4 = S3 + 0.3 = 15 + 2 · 0. Determinar el valor de un término de una sucesión.11.3 = 15 + 0. . Un vendedor recientemente contratado le ofrecen un salario inicial de 15 millones al año con un aumento de 0. (b) Determine que sueldo tendrá durante el octavo año.3 (sueldo durante el 4to año en millones) . 06)9−1 · 2. Objetivos Formular un problema en término de sucesiones.6 · P3 = (1 + 0.6 · P2 = (1 + 0.000 (precio durante el 2do año en UF) P3 = P2 + 0.6) · P3 = (1 + 0.6 · P1 = (1 + 0.06) · 2.000 (precio durante el 1er año en UF) P2 = P1 + 0. (b) Determine el precio promedio durante el año 2011. el precio promedio era de 2.6) · P2 = (1 + 0.000 = (1 + 0. Pn = (1 + 0. (a) Determine una fórmula para la sucesin Pn .000 UF. Determinar el valor de un término de una sucesión. Solución. Sea Pn el precio promedio n años después de 2002.. El precio promedio de una casa en la ciudad de santiago incrementa en alrededor de 6 % al año.000 (precio durante el n-ésimo año UF) (b) El precio promedio durante el año 2015 es P9 = (1 + 0. .06)2 · 2.12.06)8 · 2.000 UF. (a) Es claro que los primeros términos de la sucesión Pn son: P1 = 2. .06)n−1 · 2. En 2002.000 (precio durante el 3er año en UF) P4 = P3 + 0.06)3 · 2.6) · P1 = (1 + 0.000 (precio durante el 4to año en UF) .