Solución elástica de Kirsch Ayudante: Diego Acevedo C. Profesor: Cristian Orrego B. 2015 Mecánica de Rocas I Teoría i. ii. iii. iv. v. vi. (conceptos Básicos) Representación de solución elástica de kirsch Ecuaciones de Kirsch Ángulo theta Condición Hidrostática Carga Litoestática Principio de Superposición Ejercicio N°1 Ejercicio N°2 Ejercicio N°3 2015 Mecánica de Rocas I 2 2015 Conceptos Básicos 3 Mecánica de Rocas I 3 σr.( También llamado estado tensional PRE-MINERIA) II semestre 2015 Mecánica de Rocas I . σθ y τrθ: Estado Tensional Inducido por la excavación a: Radio de la Excavación r: Distancia a la cual se desea conocer el estado tensional inducido. σx. σy: Estado tensional in situ. Duvall) II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 5 .(Leonard Obert and Wilbur I. DIMIN. USACH) II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 6 .( Fundamentos de Geomecánica. II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 7 . Define la orientación del punto sobre el cual se desea conocer el estado tensional inducido.Es importante considerar que el ángulo Teta. se mide desde la horizontal y en sentido antihorario positivo. K :es la división entre el esfuerzo Horizontal y Vertical (σ H /σ V ) P. se refiere al esfuerzo vertical pre minería. es dejando las formulas en función de la “Razón de Esfuerzo” ( K). R: Radio de la excavación a: Distancia a la cual se desea conocer el estado tensional inducido. o el estado tensional insitu.Otra forma de expresar este problema. II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 8 . II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 9 . r= a . contorno II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 10 .Se puede apreciar que si el radio de la excavación es igual a la distancia del punto que se quiere analizar. entonces el esfuerzo cortante será igual a cero. el punto analizado se comporta igual como si este punto estuviera sumergido en un recipiente con agua. II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 11 .K=1 Cuando sucede esto. es decir. todas las fuerzas a todas direcciones tendrán la misma magnitud. los esfuerzos deben ser iguales en todas las direcciones. para tener esta condición. K=(Esf. es decir. Horizontal/ Esf. el esfuerzo vertical como el horizontal deben ser iguales.Entonces. vertical)= 1 II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 12 . Es el peso que genera la columna de rocas en el sector a analizar. Este comportamiento es igual al de una columna de agua. por lo tanto su formula es : ρ g h ρ : Densidad (Densidad de la Roca) g: Gravedad h: Altura de la columna ( Profundidad de la excavación) II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 13 . II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 14 . Generalmente el esfuerzo vertical es menor que los esfuerzos horizontales.La carga lito estática siempre se asocia al esfuerzo vertical. el esfuerzo vertical será igualado al sigma 3 (Situación de Chile). por lo tanto. Los esfuerzos horizontales están asociados al movimiento de placas tectónicas (Situación de Chile). se deben obtener los efectos que provoca cada una en la misma orientación (es conveniente en X e Y) y luego sumar al estado in situ inicial con las diferencias entre el estado in situ y el inducido por cada excavación II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 15 .Para evaluar los efectos en un mismo punto producto de una serie de excavaciones. Solución elástica de Kirsch 2015 16 Mecánica de Rocas I . A usted como ingeniero (a) geomecánico se le ha pedido determinar. la distancia “r”. a lo largo de la estructura . ubicada tal como se presenta en la figura 1. se advierte la presencia de una estructura geológica. Figura 1 2015 Mecánica de Rocas I 17 .En el entorno de un túnel circular de radio “R”. considerando un campo de esfuerzos hidrostático. Se sabe que la estructura tiene una resistencia definida por la envolvente Mohr-Coulomb. a la cual esta es activada. se reemplaza la razón de esfuerzos por 1.Utilizando las siguiente expresión matemática. ya que se esta asumiendo que la excavación se encuentra en un campo de esfuerzos hidrostática. la expresión se reduce y en el caso de tau. esta queda igual a cero. II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 18 . En una condición hidrostática. la condición seria P1=P2 II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 19 . entonces al ser un campo hidrostático .O también se puede solucionar con la expresión presentada anteriormente. σϴ = σ n σ r= Τ Si el esfuerzo normal se iguala a sigma thetha. II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 20 . entonces solo queda despejar “r” para obtener la expresión para la distancia en que la falla se activa. indica la presencia de una falla sub-vertical de rumbo N-S y manteo 50°hacia el este.5 .7 ton/ m³ y el estado tensional quedaría definido por las razones de esfuerzo Kns=1. se requiere excavar dos túneles de acceso paralelos considerando rumbo N-S. de 10 m de diámetro cada uno y ubicados a una distancia de 25 m entre sus centros. La activación de esta falla podría generar serios problemas de estabilidad en el sector. (ver figura 2) A Usted como Ingeniero (a) Geomecánico se le solicita calcular los esfuerzos inducidos por ambos túneles sobre la centro entre ambos a una profundidad de 800 m respecto a la superficie.En un macizo rocoso bastante competente y masivo. Asuma g= 10 m/s² II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 21 . que se caracteriza por contener rellenos de salbanda. Estimaciones preliminares indican que el peso unitario del macizo rocoso es 2. La ultima información geológica del sector.1 y Kew= 1. que podrían considerarse de sección circular ya que el proyecto se encuentra en una etapa conceptual. II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 22 . 6= 32. entonces se usa la expresión de carga litostática: σV σV = = σV ρgh 2700 x 10 x 800 = 21. Es por ello que para este caso .5 5m 12. entonces el análisis se realizará en el plano Este.6 MPa= P2 Como los túneles tienen una orientación Norte. para obtener el esfuerzo horizontal insitu se usa Kew= 1.Oeste debido a que se analizará la sección transversal de ambas obras.5 m σH σ H = Kew x σ V = 1.5 x 21.Sur.Para obtener el esfuerzo vertical insitu.4 MPa = P 1 II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 23 . se obtienen lo siguientes valores para ambas excavaciones.505 MPa = σ y Τrϴ= 0 Mpa = Τxy II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 24 . σ r = 25. OJO! Que para este caso. ϴ = 0° =180° Como resultado del reemplazo de las variables. entonces se aplica la expresión matemática siguiente ( derecha) : a = 5 m. distancia y ángulo.5 m.Obteniendo los parámetros de radio.039 MPa = σ x σϴ = 25. el resultado de ambas excavaciones están en el mismo sistema de referencia. por lo tanto no se debe rotar. r = 12. 41 MPa = P Τxy superposición = 0 MPa Como el esfuerzo de corte es cero.4)+(25.21.P 1 ) σ x superposición = 32.21. se calcula a través de la siguiente expresión matemática que depende de P y Q.505 .505 . en consecuencia P y Q serán los esfuerzos de superposición σ y .σ x .6 + (25.4 + (25.6)+(25.67 MPa = Q σ y superposición = 21.034 .6) = 29.32.32. respectivamente .034 .Los esfuerzos que se encuentra en el sector de la falla se obtienen con el principio de superposición σ x superposición = P 1 + Σ(σ x .56 MPa = σ n Τϴ = -5.4) = 17. σϴ = 24.Finalmente para obtener los esfuerzos inducidos en la falla.77 MPa = Τ ϴ II semestre 2015 = 40° Mecánica de Rocas I 25 . 77 MPa = Τ ϴ = 40° 40° Mecánica de Rocas I 26 .σϴ Τϴ II semestre 2015 σϴ = 24.56 MPa = σ n Τϴ = -5. ¿ Que se hace cuando dos excavaciones NO están en el mismo sistema de referencia? R1 II semestre 2015 R2 Mecánica de Rocas I 27 . Domcke) II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 28 . y esta definido por una razón de esfuerzos K=1. el esfuerzo principal mayor también es horizontal.8 ton/m³.8 m/s² * Ejercicio extraído de Fundamento de Geotecnia (M. producido por realizar ambas excavaciones en el punto A. el cual esta definido por la carga lito estática.5.2. Finalmente . los cuales se desean excavar en una riolita bastante competente.La figura (Ver figura 3) muestra la ubicación de dos piques de diámetro cuatro metros cada uno. actúa en dirección norte. la que posee una resistencia a la compresión no confinada para la roca intacta de 117 MPa y una densidad de 2. y esta definido por una razón de esfuerzo K=1. Se desea determinar el estado tensional inducido. actúa en dirección este . Suponga el análisis a 200 m de profundidad y utilice g= 9. El estado tensional pre minería es tal que el esfuerzo principal menor es igual al esfuerzo vertical. El esfuerzo principal intermedio es horizontal. * Figura extraído de Fundamento de Geotecnia (M. Domcke) II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 29 . 5. por lo tanto los esfuerzos actuantes en el plano XY serán los esfuerzos principales mayor (σ₁) e intermedio (σ₂).48 * Kns = 5.49*1. Para este caso el esfuerzo principal menor (σ₃ eje z).5 = 8.59 Mpa esfuerzo principal intermedio P 1 = 5.En este ejercicio.2 = 6. a través del calculo de la carga litostática: σ₃=σ V = ρ g h = 2800 x 9.2 y K= 1.49 Mpa P2 = 5. Para obtener los esfuerzos insitu entonces se utilizaran las razones de esfuerzo K=1. se aprecia que ambas excavaciones son piques.80 x 200 =5.49*1. Recordemos: K= σ H / σ V Primero se obtiene σ₃ .48 * Kew =5.24 Mpa esfuerzo principal mayor II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 30 . esta asociado a la carga lito estática. ϴ = 0° P1= 8.18 MPa = σ y1 Τrϴ= 0 MPa * Figura extraído de Fundamento de Geotecnia (M.Luego. r = 7 m.38 MPa = σ x1 σϴ = 7. se obtiene los esfuerzos inducidos por la excavación 1: σ r = 7.59 Mpa Al evaluar los parámetros anteriores en las ecuaciones de Kirsch. al considerar los siguientes parámetros se procede a ingresar a la formula que esta a continuación: a = 2 m. Domcke) II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 31 .24 Mpa P2= 6. Domcke) II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 32 .Primero se debe obtener la distancia X y su orientación del punto a calcular y la excavación 2 : ᵦ X ᵦ arctg (Beta) = (6.19°) = 6.8 / X X= 7.43 m ϴ = 180°.66.81° Como los ángulos son negativos cuando se miden sentido “horario”.19° Beta = 66.8/3) =66.19° = 113. este valor será -114° * Figura extraído de Fundamento de Geotecnia (M.19° Por lo tanto X es igual a : Sen (66. 51 MPa Τrϴ= -0.69 MPa Resultados Valores que ingresan a Fórmula Como estos esfuerzos inducidos por la excavación 2 están en un sistema de referencia distinto a la excavación 1. Para obtener estos esfuerzos se debe utilizar el siguiente sistema de ecuaciones. r = 7.43 m.Por lo tanto . los esfuerzos inducidos por la excavación 2 deben estar en términos de σ x y σ y . ϴ = -114° P1= 8. II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 33 . y despejar los términos mencionados. para poder hacer esto.59 Mpa Kirsch σ r = 6.47 MPa σϴ = 8. los esfuerzos en ese sistema de referencia son los siguientes: a = 2 m.24 Mpa P2= 6. no se puede realizar la superposición. Por lo tanto. 51 -0.0.74 1 0.74 0.67 -0.29 MPa Τxy2= .Resolviendo el sistema de ecuaciones: 1 -0.29 MPa II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 34 .47 = 8.69 σ x2 = 8.67 σx X σy Τxy 6.69 MPa σ y2 = 6.74 0 -0.67 0. 24 + (7.29 .29 .69 .6.6.59 + (7.P 1 ) σ x superposición = 8.38 .69 MPa σ y2 = 6. utilizando el principio de superposición: σ x1 = 7.0) = -0.18 .24 )+(8.24 ) = 7.59 ) = 6.38 MPa σ y1 = 7.59 )+(6.Finalmente se realiza la superposición con ambas excavaciones.29 MPa II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 35 .8.8.88 MPa Τxy superposición = 0 + (0 -0)+(-0.29 MPa Excavación 1 Excavación 2 σ x superposición = P 1 + Σ(σ x .18 MPa σ x2 = 8.0.29 MPa Τxy1= 0 MPa Τxy2= .83 MPa σ y superposición = 6.