Axiomas de Multiplicacion y Adicion

2011SISTEMA DE NÚMEROS REALES AXIOMAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN Demostración de los axiomas y ejercicios aplicativos usando los axiomas de adición y multiplicación POR ELVIS JHORDY MAMANI USCAMAYTA Y ALFREDO ALDAZABAL BALLARTA Universidad Peruana Unión 30/06/2011 Los números reales son parte esencial entre las matemáticas. las matemáticas no solo se basan en la lógica y la razón. a partir de ellos nacen las demás operaciones matemáticas como por ejemplo: la sustracción. entre otros. esperamos su aprendizaje mediante la siguiente producción. Sin embargo.SISTEMA DE NÚMEROS REALES PRÓLOGO En el presente documento tiene la finalidad de dar a conocer conocimientos matemáticos que están basados en afirmaciones desarrollados por personas que tuvieron la voluntad de incursionar en el “mundo de las matemáticas”. sino que también se basa en principios que de no existir las matemáticas serian solamente suposiciones. Los principios del cual se habla son llamados “axiomas”. y es por esa razón que la presente producción es dedicada para su lectura y su aprendizaje mediante la resolución de ejercicios. Con todo. 2 . es así que hoy en día se están aplicando muchos ejercicios en las escuelas. raíces. No obstante es necesario demostrar dichos axiomas. institutos y universidades para el desarrollo de la humanidad. 9 Pag. EJERCICIOS APLICATIVOS DESARROLLADOS.5 pag. EJERCICIOS PROPUESTOS Pag.4 Pag.SISTEMA DE NÚMEROS REALES ÍNDICE CAPITULO I 1.13 3 . Definición de sistema de números reales 2. Definición de axioma 3. Tipos de axioma Axioma de adición Axioma de multiplicación CAPITULO II 1.6 Pag.4 Pag4 Pag. 2. TIPOS DE AXIOMAS. Estos axiomas no son tan usados. entre los cuales mencionamos:  Axiomas de la adición. Los axiomas son operaciones básicas que aseguran cualquier otra operación. Tenemos varios tipos de axiomas.SISTEMA DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO I 1. 2. al cual llamaremos relación de orden. DEFINICIÓN DE SISTEMA DE NÚMEROS REALES. Estos axiomas se encargan de ordenar los números dependiendo de su cantidad o valor en el sistema real.1 AXIOMA DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN. estos son: 1) Axiomas algebraicos. DEFINICIÓN DE AXIOMA. Un sistema de números reales es un conjunto real que se basa en dos operaciones esenciales que son la adición al cual denotaremos mediante el símbolo “+” y la operación de la multiplicación al cual denotaremos con el símbolo de “. Tenemos varios axiomas entre las cuales están: los axiomas de adición y los axiomas de multiplicación. estas operaciones están sujetas a un orden verídico. estas afirmaciones son los axiomas que son aceptadas como verdaderas debido a su trivialidad. 4 . 2. 3. Aquí tenemos solo dos clases de axiomas.  Axiomas de la multiplicación. son procedimientos que respaldan cada paso lógico mediante algunas afirmaciones. 3) Axiomas topológicos. 2) Axiomas de Orden.”. pero son usadas para los números irracionales. Y esta denotado por la siguiente representación: Esto nos quiere decir que: para la suma de números cualesquiera pertenecientes al sistema de números reales nos dará como resultado otro número perteneciente a R. Y esta denotado por la siguiente representación: ( ) ( ) 5 . Y esta denotado por la siguiente representación: Esto nos quiere decir que para la suma de dos números reales siempre dará como resultado el mismo pero en otro orden. es la misma que los mismo pero en otro orden. pertenecientes a R.  Axioma de asociatividad( ) Este axioma denota que la suma un número con la suma de otros dos. Además de ello tienen que cumplir con una ley interna la cual esta denotada por: ( ) ( ) Para esta ley deben cumplirse los siguientes axiomas:  Axioma de cerradura o clausura ( ): Este axioma denota que la suma de dos o más números que pertenecen al Sistema de números reales siempre dará como resultado un número que también pertenezca al sistema de números reales.SISTEMA DE NÚMEROS REALES 1) Axioma de adición: Los axiomas de adición están basados en las operaciones aditivas.  Axioma de conmutatividad( ): Este axioma denota que la suma de dos o más números es siempre igual a la suma de los mismos pero en otro orden. Si sumamos un número real que no es cero con cero dará como resultado el numero que no es cero. Y esta denotado por la siguiente representación: 6 . 2) Axiomas de multiplicación: Los axiomas de multiplicación están basados en operaciones multiplicativas y para ello debe cumplir con la siguiente ley interna la cual esta denotada por: ( ) Y para esta ley deben cumplirse los siguientes axiomas:  Axioma de cerradura( ): Este axioma denota que la multiplicación de dos o más números reales siempre dará como producto otro número real. es cero. Y esta denotado por la siguiente representación: Esto nos indica que existe un cero en el sistema de números reales. Y esta denotado por la siguiente representación: ⁄ ( ) ( ) Esto señala que en el sistema de números reales existe un único número negativo.  Axioma de identidad aditiva( ): Este axioma denota que la suma de un numero real que no sea cero. con el número cero siempre dará como resultado el número real. esto para todo número real.SISTEMA DE NÚMEROS REALES Esto nos quiere decir que la suma de un sistema de operaciones aditivas. con el mismo número real pero con signo negativo.  Axioma de opuesto aditivo( ): Este axioma denota que la suma de un número real. Si sumamos un número real con su negativo dará como resultado el número cero. es la misma cuando este en otro orden.  Axioma conmutativo( ): Este axioma denota que la multiplicación de dos o más números reales es la misma si estuvieran en otro orden. podemos mover los corchetes sin alterar el producto. Y esta denotado por la siguiente representación: ( ) ( ) Esto nos quiere decir que su multiplicamos un conjunto de números que contengan corchetes. Este denotado por la siguiente representación: Esto nos indica que si multiplicamos dos o mas numeros reales.  Axioma de identidad multiplicativa( ): Este axioma denota al multiplicar un numero real con el numero uno. 7 .  Axioma de asociatividad( ): Este axioma denota que la multiplicación de un sistema de operaciones multiplicativas es la misma si estuvieran en otro orden. nos dará como producto el numero que no es uno. Y esta denotado por la siguiente representación: Esto indica que al multiplicar cualquier numero real por uno nos dara como producto el numero que es diferente de uno. nos dará un producto que sería el mismo si estos números estarían en otro orden.SISTEMA DE NÚMEROS REALES Esto nos quiere decir la multiplicación de números reales siempre dará como producto otro número real. 8 .SISTEMA DE NÚMEROS REALES  Axioma de inverso multiplicativo( ) Este axioma denota que la multiplicación de un numero real por su inversa dará como producto el numero uno. Si multiplicamos un numero real con su opuesto dará como producto el numero 1. El cual esta denotado por la siguiente representación: ⁄ Esto indica que existe un opuesto para cada número (excepto 0) real. EJERCICIOS APLICATIVOS DESARROLLADOS.0 = a +(-a) a.0 + a) + (-a) a.0 = 0 Con Por Con Por Por otro axioma Por Por Por 9 .0 = (a.1 + (-a) a.0 = a(0 + 1) + (-a) a.0 = a.0 = 0 a.0 = a.0 + a.a a = a.0 = a.2 a + a= 2.1) + (-a) a. 1) Demostrar que a + a = 2.SISTEMA DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO II 1.1 a + a = a.0 =(a.0 + 0 a.1 a + a=a (1+1) a + a= a.a Con Con otro axioma distributivo Con otro axioma Con Con 2) Demostrar que a.0 + (a +(-a) ) a.1 + a. (-b) = (-1)[(-a)]. b (-a).(-b) = a.b (-a).(-b) = (-1)[(-1)a].b (-a).(-b) = [(-1)(-a)]. debido a que (-1) .SISTEMA DE NÚMEROS REALES 3) Demostrar que –a = (-1)a En este caso podemos demostrarlo mediante: a + (-1)a =0.a = 1.a a + (-1)a = 0 Por axioma de sustiución Por axioma de sustitución Por Mediante el ejercicio 2 4) Demostrar que -(-a) = a a + (-a) = 0 (-a) + (-(-a)) = 0 (-a) + (-(-a)) = a + (-a) -(-a) = a Por Con De 1 y 2 De 3 y teorema de igualdad para la multiplicación. 5) Demostrar que (-a).b Mediante el ejercicio 3 Por Con y Por ejercicio 3 Con Con ejercicio 4 10 . Entonces: a + (-1).(-b) = (-1) [a((-1)b)] (-a). (-b) = [(-1)a] [(-1)b] (-a).a + (-1)a a + (-1)a = (1 + (-1))a a + (-1)a = 0. b (-a).a y –a son inversos aditivos de a… por .(-b) = a. c)=a.(-b) = a.b) a.b – a.SISTEMA DE NÚMEROS REALES 6) Demostrar que a.(-b) = ((-1)a).((-1).b) a.(b-c) = a.(b .b – a.c a.c)) a.(b-c) = a.c Definición de sustracción Axioma de sustitución Mediante el ejercicio 6 Definición de sustracción Mediante el ejercicio 3 Con Con Con Mediante el ejercicio 3 Mediante el ejercicio 3 Con Mediante el ejercicio 3 Usando los pasos 5 y 8 8) Demostrar que a ( 0.b) -(a .b a.(-b) = -(a.(-b) = ((-1)a). entonces ) ( ) = Por Por Definición de división 11 .b -(ab) = (-a).b) a.(-b) = (-1)(a.(b+ (-c)) a.b + a.b a.b)= (-1)(a.(b-c) = a.b) -(a.b 7) Demostrar que a.(-c) a(b – c) = a.b a(-b) = -(ab) = (-a).b + (-(a.b) = ((-1)a).(-b) = -(a. b).b).( (a.( (a.b).( (a.( (a.( (a.( ( ) ) d ) ) ) ) ) ( .b).SISTEMA DE NÚMEROS REALES 9) Demostrar que ( (a.b).b).( (a.7 10) Se tiene Por definición de división ( ( ( ( )( )( )( )( ( ) ) ) ) ( ( ( ( )( )( )( )( )( ) ) ) ) ) Por Por definición de división Por Viendo el ejercicio 9 Por sustitución Por definición de división 12 . )( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ) ) Por Definición de división Por ) Por Por y definición de división ( )( ) Del paso 5 Del paso 2 y 6 De teorema 1.b). SISTEMA DE NÚMEROS REALES 1. Ejercicios propuestos: a) Demostrar la siguiente afirmación: ( ) b) Demostrar la siguiente afirmación: ( ) c) Demostrar la siguiente afirmación: ( )( ) d) Demostrar que : ( e) Demostrar que: ( )( ) f) Demostrar que : ) ( ) ( )( ) g) Demostrar que: h) Demostrar que: i) Demostrar que : ⁄ ⁄ j) Demuestre que: 13 .   14 .wikipedia.SISTEMA DE NÚMEROS REALES REFERENCIAS:   Ricardo Figueroa. wiki pedía matemáticas. 2011.LIMA-PERÚ Enciclopedia en línea.com/matematicas/numerosreales/axiomas de los números reales. 2011. LIMA –PERÚ.LIMA PERÚ. Disponible en : www. Eduardo Espinoza. MATEMÁTICA BÁSICA I. Axiomas en los números reales. 2011. ANALISIS MATEMATICO. Eduardo Espinoza. MATEMATICA BÁSICA I PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA. O3 089E3 -.8:0390705708039.074 /. H { 890 .8/02:95./4 0 3:2074 6:0 34 08 .7 6:0 .248 :3 32074 70.074 . 089.43./.42.424 574/:.43032074.8:2.4308 2:95.080890:3 3.8:0390705708039./0:33:207470.424708:9./9.:.. /0 :3 88902.:.../032074870.074 089./0349./.43 . 6:0 0890 :3 ./0349.6:0..O3 .8 08 .074802570/.7..6:0.7E ..7.4308 .O3 48 .7.9.O3 /0 /48 4 2E8 320748 70./9.:257. 282.547 Ñ 7 {I I{ 7 5. ./0:33207470.6:003088902.074 42./9.4 08.430 28243207470..04/0-0..9.089.94/43207470./0. 089.42.3/4 0890 03 4974 47/03 08945.074 42. /0 320748 70. 8:2.08 $ 8:2../4032074./4 03207470.438: 30.8 /0 2:95.42.077. .42. /0349...424708:9. /0 4507. .9..5074.94 4974 32074 70..074 03 0 88902./4547... 6:0 34 08 .:25780488:03908./4547.8:0390705708039.074 .8:2.O3 I ÈI I I 894 348 3/.4383430./4547.42.8:0390039073.8.4$8:2..08 802570 /.85.7E.424 708:9./48 03 4507.43207430./0/039/.9.4 { 890. 6:0 ../0349.O3 I I I { I{ { I{ I 89480N./0349.8 42.. 2:95.7E .089. 42./0349. { 890. 894 348 6:070 /0.7E.0/0-03./045:0894.6:034 80.4/../0349../:7.248:33207470. . /4547.84.47.090883././0349.94 42. 2:95./4547..303497447/03 890/0349.8:0390705708039.. /0349./0. I I 7 I Ñ I 894 348 6:070 /0..248 /48 4 2.07.O3/0:388902. H { 890 ...42.907.7E.248:3.8 08 .7 ..9449743207470.76:08: 2:95.4308 2:95....07.8:0390705708039.07 48 . 6:0 8 2:95. .7 :3 3:2074 70./0349.2:95.O3 I I I I I I 894 348 3/.8 3:20748 70.7E :3 574/:.7.42. 42..6:0.424574/:.8089:.8:0390705708039. 2:95.4 H { 890 .08 348 /./0 4507.47. 0 2824 8 08948 320748089. .432:9.43 0 3:2074:34 348/./4547.7E.94 6:0 807J..08 802570/.. 6:0 ..6:073:207470..9.7J.O3 /0 /48 4 2E8 32074870./ H { 890.:.9.9. 8 089:.3 . 282.0808.42.0908 54/0248 24.9403:20746:008/1070390/0:34 ..70574/:.424574/:.7.9..2:95.547:34 348/... /0349. 2:95.43:394/0 320748 6:0 ..6:0.282.3 03 497447/03 089./2:95../0349...O3 I I I 8943/.424574/:.43903./0/039/..O3 {I I{ I I {I I{ I I I 8943486:070/0.O3/0 320748 70.9403:20746:03408 :34 089.303497447/03 42. . /. 5478:3..4 H { 890.9403:2074 . ./.9403:2074:34 .. 32074 0. $ 2:95...7.424574/:.0594 70.248 :3 3:2074 70.42./0349.7E.424574/:.2:95.6:0.089./03.8:0390705708039. .43 8: 45:0894/...O3 I I I I I I 894 3/.7E./4547.9.O3/0:33:207470.078.07842:95../0349. 42.:. 6:0 0890 :3 45:0894 5. . . . . . .. . . .. . . . . ! %& # $!%' $$## $ 024897. . . . .. .42. . . ... . .76:0. !47 !47H !47 43H 434974. 43 !47 43 !47H !474974.42. .4 434974. . .. . .76:0. . . . ./897-:9. 43H 43H . .42. . . 024897. . . .3900007.O3 !47. .76:0 . . 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