Autovalores e Autovetores

62Unidade 03 Autovalores e Autovetores 3.1 AUTOVALOR E AUTOVETOR DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Dado um operador linear T: V → V, estaremos interessados, nesse capítulo, em saber quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmo, isto é, procuraremos um vetor v ∈ V e um escalar λ ∈ R tais que T(v) = λv. ( I ) Neste caso T(v) será um vetor de mesma “direção” que v, ou melhor, T(v) e v estão sobre a mesma reta suporte. Como v = 0 satisfaz a equação ( I ) para todo λ, estaremos interessados em determinar v ≠ 0 que satisfaça a condição acima. Tentaremos elucidar o exposto através dos exemplos que seguem. 3.1.1 Exemplos. Exemplo 1. I: R 2 → R 2 (aplicação identidade) (x, y) a(x, y) Neste caso, todo v = (x, y) ∈ R 2 é tal que I(v) = 1. v.♦ Exemplo 2. T 1 : R 2 → R 2 (reflexão no eixo Ox) (x, y) a(x, – y) Aqui, u = (x, 0) é tal que T 1 (u) = 1. u e v = (0, y) é tal que T 1 (v) = – 1. v.♦ Ou seja, vetores que possuem uma componente nula são levados em um múltiplo de si mesmo. Exemplo 3. T 2 : R 2 → R 2 / T 2 (x, y) = (4x + 5y, 2x + y). a) T 2 (5, 2) = (30, 12) = 6(5, 2) b) T 2 (2, 1) = (13, 5) c) T 2 (– 5, – 2) = (– 30, – 12) = 6(– 5, – 2) d) T 2 (10, 4) = (60, 24) = 6(10,4) e) T 2 (– 5/2, – 1) = (– 15, – 6) = 6(– 5/2, – 1) f) Quais vetores dos itens anteriores são levados por T 2 a um múltiplo de si mesmo? (a), (c), (d) e (e).♦ A fim de encontrarmos os vetores v ∈ V e os escalares λ ∈ R citados em ( I ), bem como denominá-los, seguimos com a definição: 63 3.1.2 Definição. Seja T: V→ V um operador linear. Um vetor v ∈ V, v ≠ 0, é um autovetor de T se existe λ ∈ R tal que T(v) = λv. O número real λ é denominado autovalor de T associado ao autovetor v. 3.1.3 Exemplo. No exemplo 2, do item 3.1.1, um vetor do tipo u = (x, 0) é um autovetor de T 1 associado ao auto- valor λ 1 = 1, pois T 1 (x, 0) = 1. (x, 0). Também é verdade que v = (0, y) é um autovetor de T 1 associado ao auto- valor λ 2 = – 1, pois T 1 (0, y) = – 1. (0, y).♦ Observação. Sempre que um vetor v é autovetor de um operador linear T associado ao autovalor λ, isto, é T(v) = λv, o vetor kv, para qualquer real k ≠ 0, é também um autovalor de T associado ao mesmo λ. De fato: T( kv )= k T(v) = k. (λv) = λ (kv). Isto pode ser visto, por exemplo, nos itens (a), (c), (d) e (e) do exemplo 3, item 3.1.1. É comum tomarmos um representante de cada conjunto de autovetores associados ao um único valor de λ. Por exemplo, se temos T(x, 0) = 1. (x, 0), isto é, u = (x, 0) é autovetor associado ao autovalor λ 1 = 1, tomamos v 1 = (1, 0) , ou outro, para representar o conjunto W, onde W = {(x, y) ∈ R 2 / y = 0}. A interpretação geométrica, em R 2 , de autovetores de um operador linear T é dada a seguir: • u é autovetor de T pois ∃λ ∈ R / T(u) = λu. • v não é autovetor de T pois λ ∈ R / T(v) = λv. 64 3.2 DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES Para determinar os autovalores e autovetores de um operador linear T:V→ V usamos a sua representação matricial. Seja A a matriz canônica de T, de forma que T A (v) = Av. Então, autovalores λ de A e autovetores v λ λλ λ de V são soluções da equação Av = λv. Ou seja: Av = λv ⇔ Av – λIv = 0 ⇔ (A – λI)v = 0, onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A. Observamos que a última equação, (A – λI)v = 0, representa um sistema homogêneo, que é sempre compatível, cuja solução desejada, conforme definição, é a não-trivial, ou seja, v ≠ 0. Assim, devemos ter o sistema em questão como compatível e indeterminado, de forma que det(A – λI) = 0 . As raízes da equação det(A – λI) = 0, chamada equação característica de A (ou de T), são os autovalores de A (ou de T). Para cada autovalor λ, corresponde um conjunto W = {v ∈ V / Av = λv} de autovetores, que é obtido pela solução da equação Av = λv ou, equivalentemente, da equação (A – λI)v = 0. 3.2.1 Exemplo. Consideremos o operador linear definido no exemplo 3, item 3.1.1: T: R 2 → R 2 (x, y) a(4x + 5y, 2x + y) • autovalores de = 1 2 5 4 A , matriz canônica de T. Resolvemos a equação característica det (A – λI) = 0: λ − λ − = λ − = λ − 1 2 5 4 1 0 0 1 1 2 5 4 I A det (A – λI) = 0 ⇔ (4 – λ) (1 – λ) – 10 = 0 ⇔ λ 2 – 5λ – 6 = 0 ⇒ λ 1 = – 1 e λ 2 = 6. • autovetores de A ou de T: Para cada autovalor λ encontrado, resolvemos o sistema linear (A – λI)v = 0: -y x y x y x y x y x = ⇔ ¹ ´ ¦ = + = + ⇔ = − − − − ⇔ = λ − = − = λ 0 2 2 0 5 5 0 0 ) 1 ( 1 2 5 ) 1 ( 4 0 ) ( ; 1 1 1 v I A v Então, v λ 1 = (– y, y) sendo um de seus representantes o vetor v 1 = (– 1, 1). Resumindo: Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos: • autovalores λ de T ou de A: são as raízes da equação det(A – λI) = 0, • autovetores v de T ou de A: para cada λ, são as soluções da equação Av = λv ou (A – λI)v = 0. 65 . 2 5 0 5 2 0 5 2 0 0 6 1 2 5 6 4 0 ) ( ; 6 2 y x y x y x y x y x = ⇔ ¹ ´ ¦ = − = + − ⇔ = − − ⇔ = λ − = = λ I A v Então v λ 2 = ( 2 5 y, y) sendo um de seus representantes o vetor v 2 = ( 2 5 , 1). Observe que: T ) ( 1 λ v = T(– y, y) = – 1. (– y, y) e T ) ( 2 λ v = T( 2 5 y, y) = 6. ( 2 5 y, y). ♦ 3.2.2 Exemplo. − = 3 1 1 3 A • equação característica: det(A – λI) = 0. 0 4 3 2 0 1 ) 3 ( 0 3 1 1 3 2 2 = + λ − λ ⇒ = + λ − ⇒ = λ − − λ − i i ± = ± = λ 3 2 2 3 2 • autovalores de A: os valores i i − = + = 3 e 3 2 1 λ λ não são reais, e dizemos que A não possui autovalores reais. • autovetores de A: segundo a definição, os autovetores devem estar associados a autovalores reais. Dizemos que A não possui autovetores.♦ Observação. Se estivéssemos trabalhando com espaços vetoriais complexos, e não somente em espaços vetoriais reais como definimos no início de nosso estudo, todos os operadores teriam autovalores e autovetores, uma vez que todo polinômio sempre admite raiz. 3.2.3 Exemplo. − − = 1 0 0 5 3 0 4 0 3 A • equação característica: det(A – λI) = 0. λ − − λ − − λ − = λ − 1 0 0 5 3 0 4 0 3 I A Então, . 0 ) 1 ( ) 3 ( 2 = λ − − λ − • autovalores de A: λ 1 = 3; λ 2 = 3; λ 3 = – 1. Observe que um autovalor é duplo. 66 • autovetores de A: 0). 1, (0, e ) 0 0, 1, ( ntes representa dois retiramos daqui e ) 0 , , ( 0 e , Daí, . 0 4 0 5 0 4 0 0 0 3 1 0 0 5 3 3 0 4 0 3 3 0 ) ( . ; 3 2 , 1 1 2 = = = ⇒ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = = − = = − ⇒ = − − − − − ⇒ = λ − = = λ = λ λ 2 1 v v v v I A v y x z y y x x z z z z y x z y x λ 3 = – 1; origina o autovetor v λ 3 = (z, 4 5 z, z), sendo um de seus representantes o autovetor v 3 = (1, 4 5 , 1). • O conjunto dos autovetores {v 1 , v 2 , v 3 } é l.i. e forma uma base de R 3 .♦ 3.2.4 Exemplo. − − − − − − = 7 3 2 18 9 8 9 5 5 A • equação característica de A ou de T: λ − − − − λ − − − λ − − = λ − 7 3 2 18 9 8 9 5 5 I A 0 1 3 3 0 ) 7 ( 40 ) 5 ( 54 ) 9 ( 18 216 180 ) 7 )( 9 )( 5 ( 0 ) det( 2 3 = + λ + λ + λ ⇒ = λ − − + λ − − + λ − − + + λ − − λ − λ − − ⇒ = λ − I A • autovalores de A: são as raízes da equação λ 3 + 3λ 2 + 3λ + 1 = 0. Para resolver tal equação e procurando soluções inteiras, na expectativa de que existam, usamos um importante teorema da álgebra que diz: “ Se equação polinomial λ n + c n-1 λ n-1 + .. + c 1 λ + c 0 = 0, com coeficientes inteiros e coeficiente do termo de maior grau valendo 1, tem uma raiz inteira então essa raiz é um divisor do termo independente c 0 .” Na equação em questão, o coeficiente de λ 3 é 1 e os divisores do termo independente são ±1. Verifiquemos, por Ruffini, se um desses valores é solução da equação. Comecemos com λ = – 1. 1 3 3 1 – 1 ↓ 1 2 1 0 λ 2 + 2λ + 1 = 0 λ 1 = – 1 é uma das raízes e as outras são raízes da equação λ 2 + 2λ + 1 = 0, que são λ 2 = – 1 e λ 3 = – 1. Os valores λ 1 , λ 2 e λ 3 são os autovalores de A. 67 • autovetores de A: λ 1 = λ 2 = λ 3 = – 1; ( ) ( ) ( ) ( ) . . , , , , A I v v − = ⇒ − − − − − − − − − − − − = ⇒ − − − = + + = − − − = ¦ ´ ¦ ¹ ¦ ⇒ = − = − ⇒ = − − | \ | ¹ | ∈ λ λ 0 5 1 5 9 8 9 1 18 2 3 7 1 0 0 0 4 5 9 0 8 10 18 0 2 3 6 0 3 2 3 3 2 3 1,2 3 x y z x y z x y z x y z x z y z z z z z e com cujo representante pode ser R; v 1,2,3 = (-3/ 2, - 3, 1). Observemos que apenas um vetor l.i. é encontrado. Dessa forma, não é possível formar uma base de autovetores de A (ou de T) para R 3 .♦ 3.2.5 Exemplo. T: R 3 → R 3 linear / T(a, b, c) = (a + 2c, – a + c, a + b + 2c). • matriz canônica de T: − = 2 1 1 1 0 1 2 0 1 A • equação característica de A (ou de T): λ − λ − − λ − = λ − 2 1 1 1 1 2 0 1 I A . 0 3 3 0 ) 1 ( 2 2 ) 2 ( ) 1 ( 0 ) det( 2 3 = + λ − λ − λ ⇒ = λ − − λ + − λ − λ − λ − ⇒ = λ − I A • autovalores de A (ou de T): são as raízes da equação λ 3 – 3λ 2 – λ + 3 = 0. Temos λ 1 = – 1, λ 2 = 1 e λ 3 = 3. • autovetores de A (ou de T): para cada λ, a solução da equação (A – λI) v = 0 fornece λ 1 = – 1; 1 λ v = (x, 2x, – x); um deles: v 1 = (1, 2, – 1) λ 2 = 1; 2 λ v = (– y, y, 0 ); um deles: v 2 = (– 1, 1, 0) λ 3 = 3; 3 λ v = ( x, 0, x ); um deles: v 3 = (1, 0, 1).♦ Observemos que, também nesse caso, é possível escrever uma base para o R 3 de autovetores de A (ou de T). pois T1(0. 0) . pois T1(x. Isto pode ser visto. tomamos v1 = (1. 0) é autovetor associado ao autovalor λ1 = 1. em R2. y) = – 1.3 Exemplo. 3.2 Definição.1. um vetor do tipo u = (x. nos itens (a).1. é um autovetor de T se existe λ ∈ R tal que T(v) = λv. é T(v) = λv. para representar o conjunto W. De fato: T( kv )= k T(v) = k. 0). Seja T: V→ V um operador linear. No exemplo 2. (x. onde W = {(x.♦ Observação. por exemplo. y) é um autovetor de T1 associado ao autovalor λ2 = – 1.1. v não é autovetor de T pois λ ∈ R / T(v) = λv. (0. y) ∈ R2 / y = 0}. se temos T(x.1. 0) é um autovetor de T1 associado ao autovalor λ1 = 1. do item 3. Um vetor v ∈ V. y). Sempre que um vetor v é autovetor de um operador linear T associado ao autovalor λ. A interpretação geométrica. 0). isto é. O número real λ é denominado autovalor de T associado ao autovetor v. (λv) = λ (kv). (x. É comum tomarmos um representante de cada conjunto de autovetores associados ao um único valor de λ. u = (x. o vetor kv. 0) = 1.1. 63 . v ≠ 0. (d) e (e) do exemplo 3. (c). é também um autovalor de T associado ao mesmo λ. para qualquer real k ≠ 0. 0) = 1. Por exemplo.3.1. item 3. isto. Também é verdade que v = (0. de autovetores de um operador linear T é dada a seguir: • • u é autovetor de T pois ∃λ ∈ R / T(u) = λu. ou outro. resolvemos o sistema linear (A – λI)v = 0:  x λ1 = −1.1 Exemplo. Então. equivalentemente. são as soluções da equação Av = λv ou (A – λI)v = 0. v λ 1 = (– y. que é sempre compatível. temos: • autovalores λ de T ou de A: são as raízes da equação det(A – λI) = 0. 3. As raízes da equação det(A – λI) = 0. Para cada autovalor λ.3. item 3. • autovetores de A ou de T: Para cada autovalor λ encontrado. cuja solução desejada. corresponde um conjunto W = {v ∈ V / Av = λv} de autovetores. ou seja. conforme definição. de forma que det(A – λI) = 0 . • autovetores v de T ou de A: para cada λ. autovalores λ de A e autovetores vλ de V são soluções da equação Av = λv. 2x + y)  4 5 • autovalores de A =   .1. y) a (4x + 5y. Resumindo: Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T. Ou seja: Av = λv ⇔ Av – λIv = 0 ⇔ (A – λI)v = 0.2 DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES Para determinar os autovalores e autovetores de um operador linear T:V→ V usamos a sua representação matricial.  2 1 Resolvemos a equação característica det (A – λI) = 0: 5  4 5 1 0   4 − λ A − λI =   − λ =  1 − λ  2 1 0 1   2 det (A – λI) = 0 ⇔ (4 – λ) (1 – λ) – 10 = 0 ⇔ λ2 – 5λ – 6 = 0 ⇒ λ1 = – 1 e λ2 = 6. Observamos que a última equação. devemos ter o sistema em questão como compatível e indeterminado. Consideremos o operador linear definido no exemplo 3.1: T: R2 → R2 (x. v =    y 5   x  0  4 − (−1) ( A − λ1I ) v = 0 ⇔  = 1 − (−1)  y  0  2     5 x + 5 y = 0 ⇔ 2 x + 2 y = 0 ⇔ x = -y Então. representa um sistema homogêneo. onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A.2. matriz canônica de T. Seja A a matriz canônica de T. 1). Assim. 64 . v ≠ 0. (A – λI)v = 0. chamada equação característica de A (ou de T). são os autovalores de A (ou de T). é a não-trivial. de forma que TA(v) = Av. da equação (A – λI)v = 0. que é obtido pela solução da equação Av = λv ou. y) sendo um de seus representantes o vetor v1 = (– 1. 3 −λ 1 −1 = 0 ⇒ ( 3 − λ) 2 + 1 = 0 ⇒ λ2 − 2 3λ + 4 = 0 3 −λ λ= • • 2 3 ± 2i = 3 ±i 2 autovalores de A: os valores λ1 = 3 + i e λ2 = 3 − i não são reais. y) e T ( v λ2 ) = T( 5 5 y. ♦ 2 2  3 3. 1). y) = – 1. Dizemos que A não possui autovetores. ( y. v =    y 5   x  0  4 − 6 ( A − λI ) = 0 ⇔  = 1 − 6   y  0   2     − 2 x + 5 y = 0 ⇔  2x − 5 y = 0 ⇔ x= 5 y. 0 −4  3 − λ  0 A − λI =  3−λ 5    0 0 − 1 − λ   Então.2 Exemplo. y). λ3 = – 1. 65 . λ2 = 3.  3 0 − 4 3. Se estivéssemos trabalhando com espaços vetoriais complexos. uma vez que todo polinômio sempre admite raiz. e dizemos que A não possui autovalores reais.♦ Observação. Observe que um autovalor é duplo. 2 2 Observe que: T ( v λ1 ) = T(– y. • autovalores de A: λ1 = 3. autovetores de A: segundo a definição. e não somente em espaços vetoriais reais como definimos no início de nosso estudo. y) sendo um de seus representantes o vetor v2 = ( .2. (– y. y) = 6. A = 0 3 5   0 0 − 1   • equação característica: det(A – λI) = 0. (3 − λ) 2 (−1 − λ) = 0.2.3 Exemplo. A =  1  • − 1  3  equação característica: det(A – λI) = 0. todos os operadores teriam autovalores e autovetores. x λ 2 = 6. 2 Então v λ 2 = ( 5 5 y. os autovetores devem estar associados a autovalores reais. 66 .♦  − 5 − 5 − 9 3. + c1λ + c0 = 0. y . Os valores λ1. x = x. 4 4 λ3 = – 1. Para resolver tal equação e procurando soluções inteiras. tem uma raiz inteira então essa raiz é um divisor do termo independente c0. 2 = ( x. por Ruffini. λ2 e λ3 são os autovalores de A. Comecemos com λ = – 1. . e forma uma base de R3. v2. v3} é l. 5 5 z.   z   0 − 4   x  0  3 − 3  0 ( A − λI ) v = 0 ⇒  3−3 5   y  = 0       0 − 1 − 3  z  0  0     − 4 z = 0  ⇒  5 z = 0 . se um desses valores é solução da equação. 1. 1 ↓ 1 3 2 3 1 1 0 –1 λ2 + 2λ + 1 = 0 λ1 = – 1 é uma das raízes e as outras são raízes da equação λ2 + 2λ + 1 = 0. 1). sendo um de seus representantes o autovetor v3 = (1. 0. Daí.. o coeficiente de λ3 é 1 e os divisores do termo independente são ±1. origina o autovetor v λ 3 = (z. usamos um importante teorema da álgebra que diz: “ Se equação polinomial λn + cn-1λn-1 + . 0) e v 2 = (0. 0) e daqui retiramos dois representantes v1 = (1. que são λ2 = – 1 e λ3 = – 1.• autovetores de A:  x λ 2 = λ1 = 3. v =  y . na expectativa de que existam.2. A =  8 9 18   − 2 − 3 − 7   • equação característica de A ou de T: −9  − 5 − λ − 5  8 A − λI =  9−λ 18    −2 − 3 − 7 − λ   det( A − λI ) = 0 ⇒ (−5 − λ)(9 − λ)(−7 − λ) + 180 + 216 − 18(9 − λ) + 54(−5 − λ) + 40(−7 − λ) = 0 ⇒ λ3 + 3λ2 + 3λ + 1 = 0 • autovalores de A: são as raízes da equação λ3 + 3λ2 + 3λ + 1 = 0. • O conjunto dos autovetores {v1.4 Exemplo.i. Verifiquemos. com coeficientes inteiros e coeficiente do termo de maior grau valendo 1. y = y e z = 0  − 4 z = 0 ⇒ vλ 1. z). 0).” Na equação em questão. λ2 = 1 e λ3 = 3. 3 =  − . é encontrado.♦ 3.  −2 x − 3y − 6z = 0  3z ⇒ x=− e y = −3z. com z ∈ R. b. 2. v λ 3 = ( x.  2  Observemos que apenas um vetor l. autovetores de A (ou de T): para cada λ. 0.3 = (-3 / 2.2.2. y. um deles: v2 = (– 1. também nesse caso. 2x. Temos λ1 = – 1. – a + c. T: R3 → R3 linear / T(a.3. − 3z .5 Exemplo. – x). c) = (a + 2c. cujo representante pode ser v 1. é possível escrever uma base para o R3 de autovetores de A (ou de T). 0 ). não é possível formar uma base de autovetores de A (ou de T) para R3.♦ Observemos que. 1. 0) λ3 = 3.• autovetores de A: λ1 = λ2 = λ3 = – 1. • matriz canônica de T:  1 0 2 A = − 1 0 1    1 1 2   • equação característica de A (ou de T): 2  1 − λ 0  −1 − λ A − λI =  1    1 1 2 − λ   det( A − λI) = 0 ⇒ − λ (1 − λ ) (2 − λ) − 2 + 2λ − (1 − λ) = 0 ⇒ • • λ3 − 3λ2 − λ + 3 = 0. x ). a solução da equação (A – λI) v = 0 fornece λ1 = – 1. −5 −9   −5 − ( −1)  ( A − λI ) v = 0 ⇒  8 9 − ( −1) 18    −2 −3 −7 − ( −1)     x   0  y =  0      z   0      −4x − 5y − 9z = 0  ⇒ 8x + 10y + 18z = 0 . um deles: v1 = (1. Dessa forma. v λ 2 = (– y. 1). v λ1 = (x. . – 1) λ2 = 1. z . 2  3z  ⇒ v λ 1. 0.2 . a + b + 2c). 67 .i. 1). autovalores de A (ou de T): são as raízes da equação λ3 – 3λ2 – λ + 3 = 0. um deles: v3 = (1. 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