Aula_2_CS

March 24, 2018 | Author: Tábata Pedaes | Category: Velocity, Kinematics, Euclidean Vector, Acceleration, Euclidean Geometry


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Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S.Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre  Movimento Plano Geral Um movimento plano geral pode ser considerado como a soma de uma translação e de uma rotação: Movimento geral = Translação + Rotação 1 Observe que: Movimento de um corpo decomposto em uma translação e uma rotação:  Velocidade absoluta e relativa: vB  vA  vB / A v vB  vA  tg  vB / A    l    B / A l vA vA cos    vB / A  vB / A cos  vA  l  cos  Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura), teremos: vB : velocidade absoluta do ponto B. v A : translação da placa com A. vB / A : velocidade relativa associada à rotação da placa ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em A e de orientações fixas. Denotando por : rB / A : vetor de posição de B em relação a A: rB / A  B  A   kˆ : velocidade angular em relação aos eixos de orientações fixas. Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B. vB / A    kˆ  rB / A vB  vA    kˆ  rB / A vA  vB  vA/ B Observe que: vA/ B  vB / A  vA/ B  vB / A  l   Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A. O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que a velocidade angular  da barra em sua rotação ao redor de B é a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos é medida pela derivada temporal do ângulo :  d    dt Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade angular  de um corpo rígido animado de movimento plano é independente do ponto de referência. A maior parte dos mecanismos mecânicos constam não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo, esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade relativa das partes em contato.  Análise do movimento z a dvQ dt  dr d  rQP    QP dt dt Identificando os termos: dv dvP  aQ  Q dt dt d d   eˆ  d d deˆ    eˆ   dt dt dt dt dt deˆ  0 . Assim: Se eˆ for um vetor constante: dt 2 d  dt dr aP  aQ    rQP    QP dt aP   Ou O y aP  aQ     P  Q     d  P  Q dt Aplicando o Teorema de Poisson: P Q d  P  Q     P  Q dt aP  aQ     P  Q        P  Q  x rQ  OQ  Q  O rP  OP  P  O rQ P  QP  P  Q OQ  QP  OP rQ  rQ P  rP  rP  rQ  rQ P Aplicando a derivada em relação ao tempo: drP drQ drQ P   dt dt dt vP  vQ  vQ P  vQ P    rQP  Vetor aceleração: O vetor aceleração pode ser obtido como a derivada a d  eˆ      eˆ dt d  eˆ      eˆ dt 5. O vetor velocidade instantânea do ponto P do sólido, em função da velocidade do ponto Q, também do sólido, é dada por: vP  vQ    rQP  vP  vQ     P  Q  Logo: vP  vQ    rQP a v a   4. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular; e esta tem a direção do eixo de rotação: Suponha que o corpo rígido gira em torno de um eixo que passa perpendicularmente ao ponto Q. Então: temporal do vetor aceleração:  Resumo: Movimento no plano: 1. Todos os pontos do sólido pertencem ao plano do movimento. 2. O eixo de rotação, quando existir, será sempre ortogonal ao plano de movimento. 3. todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta, tem a direção do eixo de rotação: dv dt dvP d  a   vQ    rQP  dt dt dvQ d a    rQP dt dt 6. O vetor aceleração instantânea do ponto P do sólido, em função da aceleração do ponto Q, também do sólido, é dada por: aP  aQ    rQP      rQP   rQP  P  Q  rP Q aP  aQ     P  Q        P  Q  Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Centro Instantâneo de Rotação (CIR ou IC) Para calcular a velocidade dos pontos de um sólido, podese utilizar de um método gráfico que se baseia no conceito de Centro instantâneo de rotação (CIR ou IC). Considera-se a existência de um eixo de rotação num dado instante, e a interseção deste, com o plano de movimento é o ponto denominado CIR – Centro instantâneo de rotação. Todos os pontos do sólido, no instante considerado, descrevem trajetórias circulares com centro no CIR. A propriedade fundamental do CIR é de possuir velocidade nula: rA IC  vA  Note que o IC está a direita de A e vA causa uma rotação com velocidade angular  horária em torno de IC.  As direções de vAe vB são conhecidas. Constroem-se duas linhas a partir de A e B, perpendiculares às direções de vAe vB , respectivamente. O cruzamento dessas linhas fornece o IC. vIC  0 3 O CIR é um ponto geométrico imaginário que pode ser associado ao sólido sem alterar ou interferir no movimento do mesmo. Utilizando a relação de velocidades: vP  vQ    rQP  rQP  P  Q Se utilizarmos o ponto Q pelo CIR, teremos: 0 vP  vCIR     P  CIR  vP     P  CIR   Norma: A norma da velocidade em P será dada por: vP    P  CIR  sen P  CIR  d : é a distância entre o ponto P o CIR.  : é ângulo entre o plano do movimento e o eixo de rotação. Se  = 90° → sen90°=1. Logo: vP    d  A magnitude e a direção das velocidades de dois pontos vAe vB são conhecidas: Nesse caso, determina-se por semelhan;Ca de triângulos. Se d é a distância entre os pontos A e B, então: rA IC  vA rB IC  vB   : distância de A ao IC. : distância de B ao IC. Podem ocorrer dois casos:  Direção: Ortogonal ao plano que contem os vetores do produto vetorial: vP    vP  (reta que une P e CIR) Para localizar o IC de um corpo, utilizamos o fato que a velocidade de um ponto no corpo é sempre perpendicular ao vetor posição relativa, dirigido de IC ao ponto. Possibilidades:  A velocidade angular  e a velocidade do ponto v A são conhecidas rA IC  rB IC  d d  rB IC  rA IC Exemplo: Viga apoiada na parede escorregando. Nesse caso, o IC do corpo está localizado através de uma linha perpendicular a v A em A, onde a distância de A para o IC é dada por: Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre  Exemplos resolvidos:  Livro Unip rAB  B  A  0.4  ˆj  4. yB  xA  0.7   0.375 0.38  kˆ  4.4     iˆ   7.5  0.5 rad    4.4    3.4    kˆ  ˆj ˆj  iˆ vB   3.7    kˆ  iˆ  0.8  cos300  xA  0. yA  e B   xB . Cláudio S. desloca-se para a direita.8 s m  vB  3.7    ˆj  13.375 0.5  0. 64) A barra AB.Cinemática dos Sólidos – Prof.38 1.38  kˆ  3. ilustrada abaixo.692.7  iˆ  0.54 0 0 sen60 sen60 s  A 4     aB    kˆ  0.4   0 sen60 0.4     0. com velocidade constante vA = 3.7  iˆ  0. quando o ângulo entre a barra e o plano é de 300.7    k  iˆ  0.8 m.4     iˆ  0.4    iˆ  0.4  dvA  aA  0 dt d d     eˆ dt dt d ˆ   k      kˆ dt aA  y 1200 Cálculo da aceleração em B: aP  aQ     P  Q        P  Q  vB 300 300 3.43  0.8 m aB  aA     B  A       B  A 600 Como a velocidade é constante: 600 600 vA vA    rA CIR    z vA rA CIR   vB    rB CIR x 3.7    j  0.67  0.7  4. (b) a aceleração do ponto B. No instante ilustrado.4  ˆj  vB  3. vB  cos 600  3.43  iˆ  7.7    vB   0 sen600  vB  sen60  0.0.692m .67  ˆj aB   13.5 m/s.7  iˆ  0. pedem-se: (a) a velocidade do ponto B.375 m  vB   vB  3.5  0.752  kˆ  iˆ  iˆ aB  0.4  kˆ  ˆj  ˆj   iˆ   ˆ ˆ aB  0.7     ˆj Porém.01– pag. vB  vA    rAB  vB  3.7    ˆj  4.5  0.4  ˆj     kˆ 1.38  3. yB  0.404    3. conforme ilustrado.38  kˆ   4.066  kˆ  ˆj  4. (3.5  iˆ  0.752  iˆ  aB  0.4  ˆj    ˆ ˆ aB  0. y A  0m xB  0m .7  kˆ  iˆ  4. O extremo A da barra.7  iˆ  0.38  kˆ  0.4m 0 A   0.5 CIR  vB  B 0.4   0.8 s 0.5 rad    4.4    k  ˆj  ˆj  iˆ   4.4    iˆ  0.066  ˆj  1. sabemos que: ˆj .7    ˆj B Decompondo a velocidade vB : vB  vB  cos 600  iˆ  vB  sen600  ˆj 0.4    i  4.5  iˆ    kˆ  0.38  0. e desloca-se com as extremidades apoiadas em duas superfícies.38  0.8 m Comparando as relações: y A 600 300 x z  Método 1 – Uso do conceito do Centro Instantâneo de rotação: CIR ou IC.7   0.7    cos 600  3.404  0. tem comprimento 0.8  sen30  yB  0.5 s  Método 2 – Relacionando 2 pontos do corpo rígido: vP  vQ    rQP  vP  vQ     P  Q  vB  vA    rAB  vB  vA     B  A Achando as coordenadas dos pontos: A   xA .0 e B   0. 12 7.69  4.02 –pag.24  d   7. teremos:  Velocidade do ponto P: 1. 70) As engrenagens ilustradas.56  vB  7. entretanto.95  13.28  Engrenagem e1: 1.43  0. pois este ponto permanece fixo. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre aB  aB  cos 600  iˆ  aB  sen600  ˆj CIRe1=A.2 2 0.4 0.4  13.7   vP  e1  R1  vP  16  0. pois as linhas ortogonais à essas velocidades são coincidentes e não definem o CIRe2. tem intensidade dada por:  0. A velocidade do ponto B: 1.35  aB  0.4 8. A haste AB gira no sentido horário com velocidade angular constante AB = 13 rad/s.5   17.56m 2.569m 7. 2.Cinemática dos Sólidos – Prof. (b) a aceleração do ponto de contato entre as engrenagens do ponto que pertence à engrenagem e2.12 m s  CIR de e2: A determinação do CIRe2 de e2 pode ser feita com oas velocidades dos ponto B e P .12 Resolvendo o sistema: 0.56m vB  13  0. com velocidade angular constante 1= 16 rad/s. As velocidades dos pontos de contato das duas engrenagens são iguais.28  d  5.3464  aB  9.67  0. pois a rotação de e1 é horária. 3.32  0.24m d e2 CIRe2 B A y y z x  Aqui CIR=A. A velocidade do ponto P pode ser expressa por: vP  e2  PCIRe2 A velocidade do ponto B pode ser dada por: vB  e2  BCIRe2 0.866  aB  7.469  aB  12.866  aB  ˆj Comparando.12 d vB  7.5  aB  iˆ  0.48 rad      11.9 2 0.12 2 m s  Aceleração do ponto P: .4    0.4 0.24 rad s e2  9  kˆ e  9 AB  0.28  e2   0.4 s 2. tem direção ortogonal à reta que liga os pontos A e P. s  Seu centro:  Do ponto de engrenamento: vP  5.24 m.16 AB  R1  R2  AB  0.28    0.32  vP  5.7  aB  0.43 0.866  aB  0.5  0.6964  aB  12. e1 e e2.2288 A 5. 2.7  7. tem sentido para baixo.43  0. pois este ponto pertencem ao eixo fixo de rotação. é mais trabalhoso que o usual.4      0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem e2.43  0.28 m . tem respectivamente raios R1 = 0.43  0. m s  Engrenagem e2: Com o engrenamento dos dentes: não há escorregamento.12  e2  d  e2  vB  AB  AB 1.469 m  aB  17.12  d d B d vB CIR 0.24  d  vP  5. 3.67  0.24  5. Cláudio S.6964 s 13. A engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário.5  aB  13.401  3.12  0. Possui sentido para baixo.28  5.068 0.32 m e R2 = 0. aB  0. Velocidades dos pontos da engrenagem e2: 5 vB  7. (3. pois a rotação da barra AB é horária. Possui direção ortogonal à reta que liga os pontos A e B.5  aB 0. Possui intensidade dada por: B vP vB z x 5.2288  d  0.5  aB  13. direção do eixo x: iˆ sentido é de B para P: P  B  0.64  iˆ  9  kˆ  9   0.Cinemática dos Sólidos – Prof.96 rpm no sentido horário. Utilizando: aP  aQ     P  Q        P  Q  aB  aA   AB   B  A  AB  AB   B  A aP  94. Cláudio S.76) – A barra AB.56  iˆ      aB  13  kˆ   13  0.24   kˆ  iˆ   ˆj  2. (pag.64  iˆ  19.56  kˆ  iˆ  ˆj    m aB  13   7.56mDireção: eixo x: Fazendo o cálculo da aceleração do ponto P da engrenagem e2: e2 C 300 mm 150 mm B  Barra AB: CIR vB B y A 90 mm z O vetor velocidade angular da barra AB:  Tem intensidade:  AB  2    f   AB  100 y 954 60 x P B z aP  aB  e2   P  B   e2  e2   P  B  m aB  94. O cursos C está 6 vinculado a uma haste horizontal fixa.56  iˆ aB  0  0   B  A  13  kˆ  13  kˆ  0.16   ˆ aP  94.24m.16  k  ˆj  iˆ m aP  94.64  iˆ   e2   P  B   9  kˆ  9  kˆ  0. AB  13  kˆ Vetor aceleração angular da barra AB:  AB  d AB   AB  0 dt A 90 mm Vetor B-A: iˆ Sentido: de A para B: B  A  0.44  iˆ  aP  75.64  iˆ  2  s   iˆ Módulo: 0. (c) a aceleração do cursor C. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre A aceleração do ponto P será expressa em função da aceleração de outro ponto da engrenagem e2: o ponto B (pertence à barra AB). pedem-se: (a) a velocidade angular da barra CB.2  iˆ  2  s  B y A x z vB 0.  rad   s   AB  100  kˆ   O ponto A é o CIR:  A velocidade do ponto B é: m vB   AB  r  vB  100  0. Para o instante considerado.64  iˆ  9  2.24  iˆ x rad s  Direção: Ortogonal ao plano de movimento: com sentido dado pela regra da mão direita (horário: negativo).56m Como o ponto A é fixo: aA  0 Vetor velocidade angular da barra AB: Horário e constante: 3. (b) a velocidade do cursos C.09  vB  9  ˆj   s  A aceleração do ponto B é: aB  aA   AB   B  A  AB  AB   B  A aA  0  CIR  . gira com freqüência constante f = 954.28  kˆ  ˆj  aB  94.64  iˆ  2  s  d e2  9  kˆ   e2  e2   e2  0 dt O vetor P-B: possui módulo igual à distância de P e B: 0.24  iˆ    0   aP  94. 196  kˆ  iˆ   aB  100  kˆ   100   0.15  ˆj    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aC  900  i  0.196  iˆ  aC  900  iˆ  0.09  iˆ  100  kˆ  100  kˆ  0.26   BC  ˆj  0.26   BC  0 vB 300 mm y 150 mm aC  588. No instante ilustrado. aC  588.31  aC  484.2  iˆ   s vB  BC  BCIR  BC   Aceleração no ponto C:  Vetor aceleração angular:  Vetor: Ponto A aC  aB   BC   C  B   BC  BC   C  B   BC   BC  kˆ C  B   0.15   BC 180 rad   BC    BC  692.26 s  180  0.09  iˆ    0 aC  900  iˆ  0.0. a velocidade do auto é v = 140 km/h.76) – Um carro apresenta rodas traseiras com diâmetro 0.64  kˆ   9  ˆj  5. e tem movimento acelerado com aceleração a = 6.26   BC   ˆj Barra BC: C aC  aC  iˆ vC aC  588.64  kˆ   34.152  0.24  0.0 C  B  0.0225  BCIR  0.09  iˆ aB  aA   AB  0.31 2  0.64   9   kˆ  ˆj  34.26   BC  ˆj  0. (b) a velocidade do ponto B.09   kˆ  iˆ  ˆj    m aB  900  kˆ  ˆj  aB  900  iˆ  2  s   ˆj  iˆ 0 aC  900  iˆ  0.15   BC  iˆ 311.26   BC  k  i  0.15 B x 90 mm z CIR 2 BCIR  0.84 4.26  iˆ  0.15   BC  iˆ 34.15   BC   iˆ   180  0.Cinemática dos Sólidos – Prof.15   BC  iˆ 34.26   BC  ˆj  0.26   BC   ˆj 7 aC   588.15  692.15  ˆj  Vetor BC  34.09  0.64  5.26  kˆ  iˆ  34. (c) a aceleração do ponto A.76  0.15  vC  5. (pag.64  0.75 m.15   0.64  0.24  0. Sabendo que não ocorre escorregamento entre as rodas e o piso.64  kˆ  0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre  AB  0  CIR    AB  d AB dt B  A  0.15   BC   iˆ   180  0.5 m/s2.24  0.15  kˆ  ˆj  ˆj   iˆ   A y .26 s m vC  BC  CCIR  vC  34.26  iˆ  0.2 s m vC  5.26  iˆ  0.15   BC  k  j ˆj Ponto B  iˆ   34.64  0.26. Cláudio S.64  kˆ   34.76  iˆ  180  ˆj aC   900  311.24  0. pedem-se: (a) a velocidade do ponto A.32  BCIR  0.26m 9 rad  BC  34.15   BC A m s2 103.64 0.15  ˆj  y x z    34.64  kˆ aC  900  iˆ   BC  kˆ  0. 7  0. é onde o ponto da borda inverta o seu movimento e desta forma pode-se garantir que possua apenas aceleração vertical.6 rad     103.5  iˆ  0.89  ˆj m vB  38.7  kˆ 0.375  ˆj CIR aC  6.7  kˆ  0.375    iˆ  103.375  ˆj 103.5  iˆ   AC   AC  kˆ A  C  0.375   AC   iˆ CIR 103.7  kˆ  103.5  iˆ    kˆ  0.7  kˆ   103.375  iˆ   vB  38.375   AC   iˆ  4032.375  iˆ m vA  77.375   AC  kˆ  ˆj CIR: a origem do sistema de coordenadas como o ponto C de contato da roda.75 2 s aN aT Buscando outro ponto para completar a aceleração do ponto A: (CIR).375  kˆ  iˆ ˆj vB  38.  iˆ   103.375  kˆ  ˆj aCIR y z x  iˆ vA   38. e apresenta aceleração vertical: aCIR  aCIR  ˆj Assim: aCIR  aC     CIR  C        CIR  C    103.5  iˆ  0.5  iˆ  0.5  iˆ      kˆ CCIR  CIR  C  0. vA  vC    OA vA  38. transforma-se no CIR.7  kˆ aC  6. pára instantaneamente e torna-se o CIR. ou seja.78  iˆ   s vB  vC    CB vB  38.8875  iˆ  vB a A   6.7  0.89  2 2 m km  vB  55  vB  198 s h Observe que no instante que o ponto da borda toca o solo.89    0.7  kˆ   103.89  iˆ  103.89   38. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre a A  6.375   AC  iˆ vA vC B 103.5  0.375  kˆ  ˆj    iˆ   a A  6.7  kˆ  0.6  ˆj .8875  kˆ  iˆ 8 ˆj  0.5  iˆ    0.7  0.7    103.5  iˆ   AC  kˆ  0.7  38.375  ˆj vA  38.375  kˆ  ˆj    iˆ    6.7  kˆ   103.89  iˆ  103.7  kˆ  0. 0  v  vC    OCIR  0    O R vCIR aA   6.8875  kˆ  iˆ ˆj aCIR   6.63  ˆj x 140 3.375  ˆj a  6.375  ˆj    aCIR  6. Cláudio S.Cinemática dos Sólidos – Prof.5  0.375     iˆ  4032.5  0.375  kˆ  ˆj aC  aC   AC   A  C   AC  AC   A  C   iˆ a A  6.375  ˆj 103.89  iˆ    0.89  ˆj   s vB  38. no instante que o ponto toca o solo.7  kˆ  38.7  38.89  iˆ  38.375  ˆj    aCIR   103.89  iˆ    kˆ  0. Nessa posição a trajetória é onde ocorre a inversão da velocidade do ponto da borda.89  iˆ  38. 025  BC   iˆ  BC  0.20 m D x C y z 0.875  0. pedem-se: (a) a velocidade do pistão. No instante ilustrado.08  kˆ  iˆ  0. A 0.025  ˆj  75  kˆ  75  kˆ  0.025 1757. O eixo manivela AB.33 2 0. Pela articulação A passa eixo fixo. (b) a velocidade angular da barra CD.08. Cláudio S.Cinemática dos Sólidos – Prof.025  ˆj  0  0   C  B  A aC  140. Pelas articulações A e D passam eixos fixos.625  0 x z A vB  vA    AB vB  0  75  kˆ  0.025  ˆj vC  1.08  ˆj vC  vC  iˆ  0  ˆj v  1.625  ˆj y 80 mm B  iˆ z vB C 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC.08  iˆ  0.63  ˆj 6.375 s aA   6. vC  1.875  iˆ   aB  75 1.025  kˆ  ˆj  vB  1. As barras AB.625    1757.025  BC  C  BC  0.5  0.875  0.625  ˆj vB B y aC  aC  iˆ  0  ˆj 25 mm  aC  0.875  iˆ 9 vC  1.325 17.875  iˆ  ˆm aC  0.81  aC  43. Para o instante ilustrado.08  kˆ  iˆ  0.875  iˆ  BC  kˆ  0.81 rad BC  BC 0.025   BC  0. (b) a aceleração do pistão.5  0.08   BC  140.025  BC  iˆ 5.08 s2  iˆ aB  aA   AB   B  A  AB  AB   B  A  AB  0  AB é cte aB  0  0  0. a barra AB gira com velocidade angular AB = 5 rad/s. gira com velocidade angular constante  = 75 rad/s.025 6.025  BC  kˆ  ˆj vC  1. no sentido horário.025  ˆj      aB  75  kˆ   75  0.33  iˆ  4032.625  ˆj   BC  0.945  i s 2      140.375    0    BC  0.025  ˆj vB  0  75  0.0    0.12 m x BC  BC  kˆ vC  vB  BC  BC 0.875  iˆ  BC  0.5 rad    17.08   BC  140. do motor ilustrado.875  iˆ  BC  0.025  ˆj  m aA  13  iˆ  4033  ˆj  2  s  vC  1. BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado.025   BC  iˆ   0.12 m vC  Barra AB: Colocando o eixo 0 em A: y z x .08  iˆ  0.025   BC  iˆ aC  0.025  kˆ  ˆj   1.08  0  BC  0  aC  aB   BC   C  B   BC  BC   C  B  80 mm B  C 25 mm   aC  140.08   BC  ˆj  0.025   BC  kˆ  ˆj ˆj AB  75  kˆ aC  140. no sentido horário.18 m B aB  140.625  ˆj   BC  kˆ  0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre BC  C  B   0.625  ˆj  0.08  iˆ  0.0.08  ˆj  0.875  kˆ  iˆ 6. 12.9  iˆ  BC  0.24  BC A 0.35 CD  D  C   0.24  iˆ vC  0.24.10 m C D C 0.9   CD  0. No instante ilustrado.24.12 m vC  vB  BC  BC y BC  C  B   0.35  8  iˆ  vB  2.18 m B 0.18  ˆj vB  0  5  kˆ  0.8  iˆ  0. 0.12.12      0.1 BC  kˆ  ˆj ˆj vC   2.24  kˆ  iˆ x z  Barra AB: AB  B  A  AB  0. 0.1 BC   iˆ  0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 0. Cláudio S. 0.5  k  s        2.12  iˆ  0.12  ˆj Logo: 0.5 CD BC  BC 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC. (b) a velocidade angular da barra CD. x B 0.2  CD  0.38   0.12  iˆ  0.18 CD  0. 0.1 ˆj  vC  2.12  4.9  iˆ  BC  kˆ  0.24 B vB AB  AB  kˆ vB  vA  AB  AB  ˆ  rad  CD  4.12  BC  ˆj  iˆ  Barra CD: vC  vD  CD  CD  iˆ .2  CD  iˆ  CD  0.0  AB  0.8  0.1 ˆj  vC  2.25   0.24  BC  ˆj  Barra BC: vC  vB  BC  BC Barra DC: vC  vD  CD  CD BC  C  B   0.12  iˆ  0.8  iˆ vC  0.12 m vB  vA  AB  AB ˆj  A BC  0.24 0.2  kˆ  ˆj ˆj vC  0. 0.18 BC  0.2     0.35  ˆj  vB  0.8  iˆ  BC  kˆ  0.9  iˆ ^  y Barra BC: A z 10 7.9  iˆ  0.12  0. BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos fixos.18  ˆj  vB  0.24  iˆ BC  BC  kˆ vC  0.20  ˆj vC  0  CD  kˆ  0.20  ˆj   vC  CD  0. no sentido horário.12  kˆ  iˆ  CD  0.12  iˆ  0.9  CD   0. a barra AB gira com velocidade angular AB = 8 rad/s.0.25 m 0.12 m 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.12  BC  kˆ  iˆ  0. As barras AB.25  kˆ  rad   s   BC AB  B  A   0.18 m 0.18   0.35  ˆj vB  0  AB  kˆ  0.20 m D 0.25 m 0.18   0.0. 12  ˆj  0.2    0.5  iˆ  0. no sentido horário.96 ˆ  rad   BC  0.96  0.25.0. As barras AB.25.25 m Barra AB: AB  Barra BC: BC  0  iˆ  0.08  BC  12  k  s        2    10  kˆ  rad  CD  s   CD 0.Cinemática dos Sólidos – Prof. Pelas articulações A e D passam eixos fixos.96  0.12  Barra CD: B  A  AB  0.37.08  BC   iˆ  2  ˆj vC  vD  CD  CD  0.44  kˆ  rad  CD  s   CD 0.25 CD  D  C   0.12  CD  0.25  iˆ vC  0  CD  kˆ  0.12 m  vB  8  0. (b) a velocidade angular da barra CD.1 ˆj  vC  3. y A z 11 9.8  0.12    0.08  ˆj vC  0.35  ˆj BC  C  B   0. 0.25  CD  ˆj CD  0.25  CD 2. y A x 0. 0.12  BC  kˆ  iˆ  0.8  rad    BC  28  kˆ  0.25  iˆ  0. 0. BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado.2  CD  ˆj  2. 0.1 ˆj  vC  3.0  vB  0  8  kˆ  0.35  ˆj  0.2  iˆ vC  0  CD  kˆ  0.25  iˆ  0. BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado.5  iˆ  BC  kˆ  0.0.08 m D C 0.10 m vB  vA  AB  AB  iˆ vB  0.45   0.2  iˆ  vC  0  iˆ  0.1  s  0. (b) a velocidade angular da barra CD.96  iˆ  2  ˆj  D   vB  3. 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre CD  D  C   0.25  iˆ  vC  0  iˆ  0.0.45. a barra AB gira com velocidade angular AB = 8 rad/s.35 m 0.2  CD  2   BC      0.1 BC  0  0.08  BC  kˆ  ˆj  iˆ vC   0.12  0.2 8. No instante ilustrado. As barras AB.0   vB  0  10  kˆ  0.35 BC  0.12 m x z B 0. a barra AB gira com velocidade angular AB = 10 rad/s.25 m  0.08  ˆj 0.12   28     13.1 BC  kˆ  ˆj ˆj  iˆ .96  iˆ  2  ˆj  0.12  iˆ  0.0.25  0. no sentido anti-horário.12  BC  0.12. No instante ilustrado.12.25. Cláudio S.96  iˆ  2  ˆj  BC  kˆ  0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC.20 m Barra AB: B vB  vA  AB  AB AB  C  A  AB  0.12  kˆ  ˆj ˆj  vC  0. Pelas articulações A e D passam eixos fixos.12  iˆ  0.25   0.25  kˆ  iˆ  8  0.08  BC  0  0. 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC.35 vC  vB  BC  BC  0.5  iˆ  Barra BC: vC  vB  BC  BC BC  C  B   0.12  ˆj B  0.25. 32   BC  j  0. 0.875  0.84  iˆ  m  C  s   C aB  aA   AB   B  A  AB  AB   B  A  AB  0  f é constante. Para o instante ilustrado.45 CD  0.1 BC   iˆ  0.19  21.p.12    0.19   BC  kˆ  ˆj ˆj  iˆ   21.07   vC  7  iˆ  7  ˆj  BC  kˆ  0.19  BC  kˆ  ˆj ˆj  iˆ vC   7  0.875  kˆ    21.32  BC  7  0 7  rad    BC  21.25 10. a barra BC encontra-se articulada à barra AB e ao curso C.25.19  kˆ  ˆj  ˆj  7 4. deslocase apenas na horizontal.07.25  iˆ  vC  0  iˆ  0.875  0.5  0.12  BC  ˆj  BC  C  B   0. Cláudio S.Cinemática dos Sólidos – Prof.0   15.19  ˆj 0.19  BC   0. 0.32  iˆ  0. No sentido horário.07  ˆj       aB  100  kˆ  7   kˆ  iˆ  kˆ  ˆj      ˆj  iˆ     aB  700  kˆ   ˆj  iˆ   aB  700   kˆ  ˆj  kˆ  iˆ  ˆj   iˆ  aB  700  iˆ  700  ˆj  f  954.07 m B vC  vB  BC  BC    21.32  iˆ  0.32  s  12   BC   v  7  0. pedem-se: (a) a velocidade angular da barra CB.12  35     16.32   BC  k  iˆ  0.96rpm   0.25  iˆ vC  0  CD  kˆ  0.12 m Ay x z Barra AB: 954.5  rad    BC  35  kˆ  0.19  BC   iˆ   0.96 r.875  0.07.875  kˆ  21. gira com frequência constante f =954.32  BC  7   ˆj vC  7  0.m.875  4. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre vC   3.19  ˆj    ˆ aC  700  iˆ  700  ˆj  0.875  0.875  kˆ    21.96 Hz 60  rad    2  f    100  kˆ   s  vB  vA  AB  AB AB  B  A  AB  0.32   BC   j 153. que está vinculado à uma haste horizontal fixa.07  iˆ  0.32  BC  kˆ  iˆ  0.07  ˆj vB  7  iˆ  7  ˆj  Barra BC: vC  7  iˆ  7  ˆj  0.875  kˆ  0. A barra AB.   aB  100  kˆ  100  kˆ  0.8  kˆ  rad  CD  s   CD 0.32  kˆ  iˆ  21.25  CD  0.45   0. 0.07  iˆ  0.5  0.15625  iˆ   ˆ ˆ aC   700  0. (b) a velocidade do cursor C.1  s    BC     0. 0.1 BC  0  0.19  ˆj aC  700  iˆ  700  ˆj   BC  kˆ  0.15625  kˆ  iˆ  iˆ ˆj .12  BC 3.07  ˆj  vB  0  100  kˆ  0.25 m 450  BC  0.0.0.875  v  2.875  kˆ  0.32  iˆ  0. e desta forma.32  kˆ  iˆ  21.19   BC  i   21. (c) a aceleração do cursor C.32  iˆ  0.916  0.07  iˆ  0.19  ˆj aC  aB   BC   C  B   BC  BC   C  B  0.19   BC   i   700  0.32 m C 0.07  Barra CD: vC  vD  CD  CD CD  D  C   0. Pela articulação.15625  iˆ   ˆ ˆ ˆ ˆ aC  700  i  700  j  0.19  kˆ  ˆj  ˆj  7 4.125  kˆ  ˆj  21.25  CD  ˆj  3.12.37. 24   e2  ˆj 2 0 ah  aO     h  O        h  O     0.045 0.24  iˆ    2 aP  aB  0.56    0.32   BC   ˆj 0.35  ˆj  0. com aceleração constante ah = 45 mm/s2.35    iˆ     0. por uma haste que desloca-se horizontalmente a partir do repouso.43  kˆ  0.24   e  ˆj  220.28  ˆj  e2  k  0.28  0.25  iˆ  vO    kˆ  0. A esteira desloca-se com velocidade constante ve = 100 mm/s. A engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário com velocidade angular e1 constante.35 s 153.28  ˆj vPe  vPe Ponto de engrenamento.24   e2  ˆj 2   aPe  126.19   BC   iˆ   700  0.15 0.28 rad  e2  30.33 0.125  iˆ  90. Para o instante em que a haste alcança a velocidade vh = 250 mm/s. (b) a aceleração do ponto P.56    0.56  iˆ    aB  94.082  0.13  iˆ  0.1 iˆ  0.9179  0.19   BC  609.35  ˆj     aPe  aB   e2  kˆ  0. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem respectivamente raios RA = 0.875  0.64  220. pedem-se: (a) a velocidade angular da polia.56    ˆj  0. Uma polia com raio R = 350 mm.875  0.19  1903.778  iˆ 2   aPe   94. é arrastada através de seu centro A.33  kˆ  0.38  k  s 2      a  546.64  iˆ  0.5 m C  C s2 361.56  iˆ B vB  7.35    iˆ   7.082  0.045  iˆ  0    kˆ  0.125  0. gira no sentido horário com velocidade angular AB = 13 rad/s.1 iˆ  0.1505 k  i  2 aB  aA    AB  AB   AB  AB  0.875 0.32   BC  0  aC  546.778  iˆ ae  aO    kˆ  0.43   0.24 s aB  0    kˆ  0.24 m.19   BC   iˆ   700  90.24  iˆ  vPe  7. A polia apoia-se em uma esteira e não escorrega em relação à mesma.38  a  908.35  ˆj    ˆ ˆ ˆ 0  a  0. A haste AB.64  iˆ  0. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem respectivamente raios RA = 0.25  iˆ  0. A engrenagem .32   BC  1903.35    iˆ  0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem e2. 1 ah 2 vPe  vB  e2  BPe2 2 R y vPe 2 x z  vh  vO    Oh  0.35    iˆ   2  0.25  iˆ  0.082 ˆ  rad    BC   0.24   e2  ˆj  220.045  iˆ  0.642 13 y 11.32   BC   ˆj 12.064715  ˆj aO  0. gira no sentido horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. de contato entre as engrenagens que pertence à engrenagem e2. (b) a aceleração angular da polia.33  kˆ  30. A haste AB.35    iˆ  0.045 rad     0.43  kˆ  0.9179  ˆj aC   700  153.Cinemática dos Sólidos – Prof.064715  ˆj  e2   2 aPe  94.35    i  0.1285 2 0.24  e2  ˆj O  x z 13. aC  aC  iˆ  0  ˆj  609.43  k ae  aO     e  O        e  O    aPe  aB   e2  BPe2  e2  e2  BPe2  2 O 0  aO  0.32 m e RB = 0.56  iˆ  13  kˆ  13  kˆ  0.56    ˆj  aPe  aA    APe1      APe1  1 0.19   BC   i   609.35 ˆ   0. Cláudio S.778  iˆ  0.35    0.28  0.35  ˆj  0.32 m e RB = 0.24  iˆ  30.35  ˆj    kˆ    kˆ  0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre aC   700  0. A ˆ ˆ aC   546. vB  vA  AB  AB v  0  13  kˆ  0.32   BC   j engrenagem e1é fixa e permanece parada.24 m.24  e2  0  e2  ve vO  ve   7.35  ˆj   7. Fixado ao disco. No instante ilustrado. que desloca-se apenas na horizontal. no sentido horário.56  iˆ    aB  94. No instante ilustrado.56    ˆj /2 y v x v  cos  90     v  sen30  5  0. e o ângulo é  = 300.56  iˆ  13  kˆ  13  kˆ  0. (b) a velocidade do ponto B da haste.32 s aB  aA    AB  AB   AB  AB  aB  0    kˆ  0. ou seja.167 m vB  3. 15. para a esquerda.Cinemática dos Sólidos – Prof.5 2.32  iˆ 1 A z  vPe  0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem e1. apresenta-se em translação. Cláudio S.32  e1  ˆj 1 vPe  vB  e2  BPe2  vPe  7.5 rad  AC    AC  0.28  ˆj 2 vPe  vPe  0.75  kˆ  0. limitado por uma guia fixa. (b) a aceleração do ponto P. a velocidade angular do disco é  = 2  rad/s.92 s vB  L  AB  vB  20  0.349 s vC   AC  AC   AC  aPe  aA   e1  APe1  e1  e1  APe1  1 e  0  e é constante 1 1 aPe  22.32  e1  ˆj  7. com aceleração angular constante  =  rad/s2. pedem-se: (a) a velocidade angular da haste.167 14. A barra AB é empurrada pelo disco de raio R = 4 m. O movimento deste .62  iˆ   1 1 14. definido pela articulação A.75  kˆ  22. é articulada em A por onde passa eixo fixo e apresenta inclinada de 300 em relação ao horizonte.28  ˆj  0 2 2 vPe  7.92 tg15 0. que se move em translação com velocidade constante v = 5 m/s.5 R  30  R tg   AC   tg15  2  AC 4 AC   AC  14. Na figura ilustrada. o disco gira em torno do eixo fixo. desliza na ranhura vertical de um dispositivo.2679 vC AC 2.28 rad e1   e1  22. de contato entre as engrenagens que pertence à engrenagem e2. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre B não gira em torno de si mesma.32  iˆ   aPe  165.28  ˆj 1 2 7. um pino P.56  iˆ v  cos  90    L R B vB  7.64  iˆ  0.75 0. A barra AB de comprimento L = 20 m.28  ˆj vPe  vA  e1  APe1 1  vPe  0  e1  kˆ  0. y B z x L A R v  Colocando a origem em A: y B z x 14 C vB  vA  AB  AB v  0  13  kˆ  0. 2  aNP  7.866 vPistão Pi m s2 m  1.712  ˆj  4.2 m.2  vP  1.712  ˆj A velocidade do ponto Pi da esfera de rolamento com a esfera interna é a mesma pois ela rola sem escorregar.99 vPi  v0    k   R  iˆ P  vA    Ri  vA  2    f  Ri 3600 m vA  2     0. (b) a aceleração do pistão.256 aNP   2  R  aNP   2   0.6283  cos30  7.9475 aPistão 376. teremos: 4.712  ˆj    R  ˆj    R  ˆj 4. aTP  cos  aNP  cos  90 aN P x  vA  4. com freqüência f = 3600 rpm.16 O rolamento ilustrado.2  aTP  0.0125 m. (b) a velocidade angular das esferas.0125  vA  4. rolam sem escorregar. apoiadas em ambas as pistas. As esferas do vPi  vA  4. sua velocidade é nula: vPe  v0    OPe vPe  v0    kˆ  R  iˆ  0  v0    R  kˆ  iˆ ˆj v0    R  ˆj Substituindo {2} em {1}.6283 2 s vP    R  vP  2  0.0877 s O ângulo entre as acelerações tangencial e normal é 90°.Cinemática dos Sólidos – Prof. que está em contanto com a esfera fixa. Para o instante ilustrado. A pista interna possui raio Ri = 0. Pedem-se: (a) a velocidade linear do centro das esferas. y  P R z R x Ri 15 A O  P R y B R y z x  z A x A Pe Ri vP m s m aTP    R  aTP    0. enquanto que sua capa interna gira solitária a um eixo também fixo. A distância do ponto A ao pino P é.712  ˆj  v0    R  ˆj 4. apresentam raio R = 0.712  ˆj  2    R  ˆj  2    R  4.403  iˆ 2 s 3. R = 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre dispositivo é transmitido a um pistão.712 . Cláudio S.712  ˆj  v0    R  ˆj Já no ponto externo da esfera de rolamento.712 60 s m  3.0025 me.895 2 vPistão  vP  cos30  vPistão  1. Logo: vPi  v0    OPi vPi  v0    R  k  iˆ  vPi  v0    R  ˆj ˆj aTP   180  90      90     30    60 Como a aceleração do pistão está na direção x: aPistão  aTP  cos   aNP  cos  aPistão  0. tem sua capa externa fixa. pedem-se: (a) a velocidade do pistão.895  cos 60 aPistão  0.544123  3.256  0. rolamento são idênticas entre si. 172    kˆ  ˆj  iˆ 0. de comprimento L = 0.2325  0.Cinemática dos Sólidos – Prof.0866  kˆ  ˆj ˆj  iˆ vB  0. pedem-se: (a) a velocidade angular da barra AB. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre  4. apresenta velocidade constante vC  0. e seu centro C.0025 s  rad    942.0866  ˆj    vB  0.1 cos30. do centro C do disco.1495  0.3 m 0. A barra AB. apoiado em superfície horizontal. Para o instante ilustrado.04  iˆ  0. Ay    0.712 4.04  iˆ  0. Cláudio S.2325 0.3  cos 60  0.05  kˆ  iˆ  0. em contato permanente com a superfície horizontal.01162  ˆj  0.3 m 0.4  0.1495  B C 0.1 cos30  CB  0.0995 1.0995 CP R tg  90      tg  90  30   OP OP R tg 60   R  OP  tg 60  R  0.1645 A   Ax .172 s vB  vC    CB vB  0.1 m.259 0. através da articulação B. dista 0. 0.356  ˆj   s A 17. (b) a velocidade do ponto A da barra. 0.172 vP  vC    CP 0  0.04  iˆ  0.3 AB BH 0.1 sen30. Ay   Ax    AB  cos   PH   Ay   R CBsen   A   Ax .0025  ˆj C 0.04 rad    0. α 90°- O Da figura: H P   90      90  30   60 16 BH BH  sen60   BH  0.1 sen30 OP  0.3 m. O disco ilustrado rola sem escorregar.732 OP R  0.0866  ˆj vB  vC    CB OP  OH  PH  OP  OH  CB  sen OP  0.0.05  iˆ  0.060135  iˆ  0.020135  iˆ vB  0.712 rad      942.1 m m v0  2. A articulação B.05  iˆ  0.04 m s .4 2 R 2  0. Ay    0.172  ˆj 0  0. quando  = 300.259 tg   tg 60   OH  tg 60 OH OH sen  0. e mantém seu extremo A.1 m A vB  vC    CB  B  CB  sen .259 0.04  iˆ    kˆ  0.2325  kˆ  0.04  iˆ  0.01162  ˆj   A   Ax . CB  cos   B   0.063.4  kˆ   s  v0    R  ˆj α  B v0  942.1645 . é acionada pelo disco.2325  0. 1  vA  0. (b) a aceleração do ponto B.12  CB  B  C  CB   0.45 rad  5 2 0. que a velocidade no ponto B do carretel. Um carretel constituído por cilindros de raios R1 = 90 mm e R2 = 120 mm.2511 ˆj  0.12  CB  0.Cinemática dos Sólidos – Prof.01162  ˆj  BA  kˆ  0.09 rad 0.81 ˆj  2  s  AB  B  A  AB   0.12  0.113  BA   ˆj vA  vA  iˆ  0  ˆj vA  0.060135  0. pedem-se: (a) a aceleração do ponto A.113 s 18.060135  0.09   C   0. 0. no instante considerado.0  B   0. desloca-se a partir do repouso. aB    R1  iˆ   2  R1  ˆj m aB  0. O carretel não escorrega em relação ao piso.09  0.2511 BA   0.0  17 AB  0. pois o fio não escorrega. O ponto D. 0.09 aA 0. com aceleração constante à aD = 450 mm/s2.060135  0. Para o instante que este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s. a aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D.09  iˆ  0    kˆ  0.2511 ˆj vA  vB  BA  BA  vA  0.113  BA  0 m  vA  0.09  ˆj Aplicando a semelhança entre os triângulos: R2 R1 R2  R1 aA aBT CIR aA R2 a 0.03          3 0. 0. é acionado por um fio enrolado ao mesmo.8  iˆ y z R2 A R1 x D B C A velocidade no ponto D é a mesma.45    vA  0.09  iˆ  0. Um carretel constituído por cilindros de raios R1 = 90 mm e R2 = 120 mm.09   0. A velocidade no ponto C é nula. O fio não escorrega em relação ao carretel. 0.1645   0.2511 BA   iˆ   0.09 s aB  aBT  aBN   R1  0.03 s aBT  aD BA   0. do carretel.113  iˆ  0.2511 BA  iˆ vA   0. da extremidade do fio.01162  ˆj  0.2511 BA  0.12   A  aBT R2  R1 aBT 0.01162  0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre BA  A  B   0.100  0.03  ˆj  0. do carretel.113  BA  ˆj  0.12   aA  4  aBT  aA  4  0.05.45 aBT 0.09    0.060135  iˆ  0.035 s  0. é acionado por um fio enrolado ao mesmo.113. Para o instante que este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s.45  iˆ  0.pois o carretel não desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A: vB  vC    CB A   0. O ponto D. 0. da extremidade do fio. Cláudio S.03 aA  1.0.01162  0. com aceleração constante à aD = 450 mm/s2. 0. desloca-se a partir do repouso. pedem-se: . 0. conforme ilustrado.03    iˆ 0. conforme ilustrado.01132 rad  BA    BA  0. O fio não escorrega em relação ao carretel.03  ˆj 19.113  iˆ  0.0866 0. O carretel não escorrega em relação ao piso.063.060135  iˆ  0.2511  0. (b) a velocidade angular da roda traseira. (e) a aceleração do ponto superior da roda traseira.0.12 4 4   aA   aBT  aA   0.09   0.12   A  18 aBT R2  R1 aBT 0. do carretel. (d) a velocidade do ponto superior da roda traseira. A velocidade no ponto C é nula. 0. no instante considerado. (c) a velocidade do ponto superior da roda dianteira.21 s aBT  aD 0.45  iˆ  0.12  CB  B  C  CB   0.45    R aB    R1  iˆ   2  R1  ˆj a v  20  iˆ 0. que a velocidade no ponto B do carretel.428 0.09  0. 0.09  iˆ  0    kˆ  0.09 R2 A aA 0.09  iˆ  0.09 rad    0.45 aBT 0.60 m e desloca-se em translação com aceleração constante a = 4. No instante considerado. tem rodas dianteiras com diâmetro 0. vB  vC    CB A   0.4282 0. pois o fio não escorrega. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre (a) a aceleração do ponto A.017  ˆj  2  s  R CIR R2 vs 2 R   vs  2  v v R m vs  40 s as 2 R   as  2  a a R .21   iˆ 0.pois o carretel não desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A: 20.21 ˆj  0.09 s aB  aBT  aBN vs   R1  0. Aplicando a semelhança entre os triângulos: aBT R1 aA R2  R1 y CIR z R2 x D B aA R2 a 0.12  0.21 7 7 R1 C aA  0.7 m/s2.0  B   0.26  iˆ A velocidade no ponto D é a mesma. a aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D.21 ˆj 0.12  CB  0. Um pequeno automóvel. (b) a aceleração do ponto B. Considerando-se que não ocorra escorregamento entre as rodas e o piso.Cinemática dos Sólidos – Prof.0. a velocidade do mesmo é 20 m/s (72 km/h). Cláudio S.09   C   0.09 m aB  0. para o instante descrito. pedem-se: (a) a velocidade angular da roda dianteira.45 rad  5 2 0.21      aT 0. do carretel.45 m e traseiras com diâmetro 0. Cinemática dos Sólidos – Prof. (b) a velocidade angular da barra AB. (c) a velocidade do cursor B.42  1333.15 rad     0. pedem-se: (a) a velocidade angular do tambor. O cursor A. desloca-se na vertical.45 2 s v 20 rad   RT   RT  66. gira com velocidade angular  = /2 rad/s no sentido horário e seu .444 0.67 RT 0.: vCIR  0  v    R    v R v 20 rad  RD   RD  88.67 vC vC    rCP     rCP 0.4031 cos   10m CIR = B vA rAB 2 rad      0.196 0.45 m. ao cursor A só é permitido deslocamento vertical e ao cursos B só é permitido deslocamento na direção inclinada de 45 0 em relação à vertical.7648 s m v    R  v  0.45  0.764 SP 0. (b) a velocidade do centro do tambor. subindo.65 SC   arctg 0. No arranjo ilustrado. Um tambor de raio R = 0.61 SP sen   SP  R  sen R SP  0. com velocidade constante vA = 2 m/s.4  iˆ  1333.45   arccos0.4 m s2 No C.25 m. desta forma. Para estas condições. F R h vC 2 CP  SC  SP 2 CP  0. e desta forma fica garantido que a distância entre os mesmos não se altera. Cláudio S. estão articulados aos extremos A e B de uma barra. os cursores A e B.R. A roda ilustrada possui raio R = 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre aT  2  4.25  SC  0. o centro instantâneo de rotação é o ponto P: logo: SC  2R  h  SC  2  0. y  C h 0.89 RD 0.45  sen63.6169    31.652  0.2 10 s vA    rAB    vB  0 23. Para o instante descrito.45  0.I.2 m.3  ˆj a  9.25  cos   0.09 s  O R  S z F A P 450 Nesse instante.401 tg    tg    tg   0.45  v  0.65 2 2 CP  SC  SP OS Rh cos    cos   R R x vA B B 19 22.40312 CP  0. é acionado através de uma corda enrolada no mesmo.6169 0. com o intuito de fazê-lo subir um degrau de altura 0. No instante em que o tambor perde contato com o plano horizontal.444    63. 4 m s2 21.72  0.196  0.3  ˆj a  9. Os cursores deslizam livremente encaixados em sulcos que limitam seus movimentos.15 m/s.4  iˆ  66.32  a  1333.7  aT  9. Não ocorre escorregamento entre o tambor e o degrau. pedemse: (a) o CIR – Centro instantâneo de rotação da barra AB.60 2 s R  D R T a  aN  aT a  9.612 SP  0. o topo do tambor tem velocidade vC = 0. (b) a velocidade angular da engrenagem E3.66  kˆ  0. B e C. que faz contato com a engrenagem E2. vPE 2 vPE E vB 2 3 vC m s vB  ABC   rA  rB   vB  30  0.192  iˆ 41.66  kˆ 0.64  E2  71. Pedem-se: (a) o CIR da roda.638  ˆj  vPE E  41.288 vPE E  vB  E2  BPE2 E3 2 3 vPE E  20.288  iˆ  20.192 0. (c) a velocidade do ponto de contato com o piso.2  0.192  E3  ˆj E  3 41.04  ˆj  0.Cinemática dos Sólidos – Prof. ou seja.28  ˆj  vC  35.64  ˆj  E2  kˆ  0.28  ˆj  vC  35. 24. em torno de seu eixo fixo que passa pelo ponto A.688 m 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre centro se desloca com velocidade vC = 0. sem derrapar: vC 0.073m vC    r    rCIR Como 1 < .64   vC   ABC  rE1  2  rE2  rE3  vC  30 1.288  E2 E   2 20.288  0. (c) a velocidade do ponto da engrenagem E3.5 0. A engrenagem E1 é fixa..480 m R 20 vC    r  r  r vC  0. a roda irá derrapar.192  rad  E3  32. que faz contato com a engrenagem E2.1273  rCIR  0. (b) determinar se a roda escorrega ou não. Cláudio S.04  E3  32. três engrenagens estão engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos A. Para o instante ilustrado. mantém-se estacionária. no sentido horário. No arranjo ilustrado. (d) a aceleração do ponto da engrenagem E3.28  35.688  vB  20.688  vB  20. pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem E2.4  0. A barra ABC gira. com velocidade angular  = 30 rad/s. y  y z x vC C B A x z   30 CIR 0.28  ˆj 2 3 2 3 vPE E  vC  E3  CPE2 E3 2 3 41.64  ˆj  20.288 0.64  ˆj  71.2 rad     1 r 0.1273  R  r  0.64  ˆj  0..2  2 Para o CIR no ponto de contato.04  ˆj  E3  kˆ  0.288  iˆ 2 3 vPE E  20.168  vC  35.2 s r  0.64  ˆj m s vPE  vB  E2  BPE2 2 0  20.5  kˆ   s  .04  ˆj A  0  vA  0  ve  0 m s P2 vB   AB  rAB  vB  30  0.2 m/s para a direita. que faz contato com a engrenagem E2.192 aPE E  1051.176  iˆ 2 3 m aPE E  849.288  kˆ  iˆ 2 1 ˆj vPE E  20. que faz contato com a engrenagem E2.04 14.288  E2  35. apresenta movimento de translação. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre vPE  vB  E2  BPE2 2 aC  aA   ABC  AC  ABC  ABC  AC    30 CIR aC  0  0  30  kˆ  30  kˆ 1.2  iˆ y z x aPE E  aC   E3  CPE2 E3  E3  E3  CPE2 E3  A 2 3 C B 0.624  iˆ  2  2 3 s  25. três engrenagens estão engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos A. com velocidade angular  = 30 rad/s. (d) a aceleração do ponto da engrenagem E3.24  ˆj  2 3 aPE E  1051.288 x m s  vB  E2  BPE2 E3 vB  20.Cinemática dos Sólidos – Prof.4  E2   0.288  iˆ 2 1 vPE E  20.5  kˆ  6.04  ˆj  20. (b) a velocidade angular da engrenagem E1.64  ˆj vPE E 2 3 vPE E  20. ou seja.64  ˆj  E2  kˆ  0.688 m 0. em torno de seu eixo fixo que passa pelo ponto A. B e C.1618 vC  35. no sentido horário.288  iˆ 2 3 vPE E  35.64  ˆj  50  0.64  ˆj  14.288  0.480 m 21 aPE E  1051.04  ˆj E  0  vP 3 E3E2 m s  vC  E3  PE3E2 vPE E  vC 3 2 vB  ABC  rAB  vB  ABC   rA  rB  y z vB  30   0.192  iˆ    2 3 0.8  iˆ  202.04 2 3 E  2 20.2  iˆ  32.5  kˆ  0.64  35.8  iˆ  32.288  0.04 1.4  0.192   vC  35. No arranjo ilustrado.4  ˆj 2 1 . A barra ABC gira. pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem E2.64  0. Cláudio S. Para o instante ilustrado.288 rad E2  50  kˆ s vPE E  vB  E2  BPE2 E1 2 1 vPE E  20.288 0.288 0. vC  ABC  rAC  vC  ABC   rA  2  rB  rC  vC  30   0.4  2  0.64  ˆj  50  kˆ  0.4  0. A engrenagem E3 não gira sobre si mesmo.5  kˆ  32. (c) a velocidade do ponto da engrenagem E3.168  iˆ    aC  1051. 6  kˆ 1 rad s 0 aPE E  aB   E2  BPE2 E3  E2  E2  BPE2 E3  2 3 2 3  619.77  ˆj  0.24  ˆj  0  E1  kˆ  0. com velocidade angular  = 2 rad/s.1m 0.0137  ˆj  3.4 0 aPE E E1 A 6.1 iˆ 2 '1 0  2.4  kˆ  ˆj E2E3 B C   2 0. B e C. m vPE E  5.2  iˆ aPE E E3 22 0. Para o instante ilustrado.Cinemática dos Sólidos – Prof.2  iˆ  50  kˆ  50  0.1 0. No arranjo ilustrado.1 kˆ   s  E   2  iˆ m aPE E  1339.5137  ˆj vPE E 2 1 vPE E  0  2. três engrenagens estão engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos A.3  2  0.1 E2  ˆj 2.0137  ˆj   2 3 s vPE E  vPE E 2 3 3 2 vPE E  vC  E3  CPE3E2 3 2 5.1 iˆ 5.1  rad  E2  25.4  E1  ˆj  E1   x vPE E  vC  E3  CPE3E2 3 2 vC  ABC   rA  2  rB  rC  vC  2   0.2  iˆ  50 14.5137 0.24  ˆj 2 1 m s y m  vPE E 1 2 s  vA  E1  APE1E2 vPE E  6. (b) a velocidade angular da engrenagem E3.288  iˆ       619.1  vC  3.5137  ˆj  E2  kˆ  0.5137  ˆj  0.77  ˆj   s vPE E  vB  E2  BPE2 E3 2 3 vPE E  2. no sentido horário.5  ˆj 2 3 26.24 0. Cláudio S.77 m s m vC  3.2  iˆ  50  kˆ  50  kˆ  0. em torno de seu eixo fixo que passa pelo ponto A.77  ˆj  E3  kˆ  0.1m m s  vB  E2  BPE2 E1 vB  2.5137 aB  30  kˆ  30  kˆ  0. A engrenagem E1 é fixa e permanece estacionária. pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem E2.1 kˆ  0.4  iˆ 6.5137  ˆj  25.4  vB  2. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre vPE E  6.688  iˆ    aB  619.24  ˆj  0.1 E3  ˆj m s .1  0.0137  ˆj  3.1 iˆ 2 3 vPE E  2. A barra ABC gira.3m aB  aA   ABC  AB   ABC   ABC  AB  2 3 E2 6.5137  ˆj  2.1m vB  ABC   rA  rB   vB  2  0.288  kˆ  iˆ  ˆj    aP  619.24  ˆj 2 1 vPE E 1 2 z E  15.2  iˆ 2 2 3 s 0. Cinemática dos Sólidos – Prof. e cada extremidade é desacelerada de forma diferente.0 m/s2 enquanto a extremidade B desacelera com aB = 5.0 m.34 0.0 m/s2. No instante em que se aplicam os freios ocorre um problema. desta forma.77 rad  E3  12.34  kˆ   s  27. Uma viga de comprimento 4. 23 4m aA A B y v z x aA  aC    CA      CA aA  ac  ˆj    kˆ  2  iˆ    kˆ    kˆ  2  iˆ    2 ˆ aA  2    i   ac  2     ˆj 3 ˆj aB  aC    CB      CB  aB  ac  ˆj    kˆ  2  iˆ    kˆ    kˆ  2  iˆ    2 ˆ aB  2    i   aC  2     ˆj 5 ˆj   0 m rad  aC  2    5  ac  4 2    0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre E  3 5. (b) a aceleração do ponto médio da barra. Cláudio S.1 s  rad  E3  12.5  kˆ  2  s   s  aB . a extremidade A desacelera com aceleração aA = 3. é abaixada por intermédio de dois cabos presos em suas extremidades A e B.5 2 s s a  2   3  C m  rad  ac  4  ˆj  2     0. Pedem-se: (a) a aceleração angular da viga.0137  3. B.  ˆj   iˆ vB    0. determine a velocidade de B no instante que  = 450.J.1 2  kˆ  ˆj y  s  r  cos   y  r    cos   Para obter as velocidades.1 2  ˆj v  v    kˆ  r rAB  0. Determine as relações entre as grandezas angulares do movimento de uma roda de raio r que gira sem escorregar no chão em termos de suas grandezas lineares. faremos as derivadas com respeito ao tempo: dx dr d   d  x     sen   r    cos    dt dt dt   dt  x  r    sen   r    cos   x  r    sen   r  1  cos   0 v0 x  v0  1  cos   Analogamente: Para Encontra-se: rAB  B  A  rAB   0.2  sen450 . velocidade e aceleração do seu centro.1 2  0       10 2   0. vC  0  aC  r   2  ˆj 2. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre No instante de contato (demonstre):  Exercícios – Livros: Kraige. Cláudio S.1 2  kˆ  iˆ    0.1 2  iˆ  0.2  a0  r   Da figura. 24 vB  vA    rAB Observe que o deslocamento linear s do centro O da roda é igual ao arco de comprimento C A .1 2  ˆj Mas: vB  vb  iˆ m  vb  10 2  0.1 2  vb  2 s   vb    0.1 2  iˆ  2    0.  = 0.2  j 2 2 rAB  0.  Relações: x  r  v0  r   2 ˆ 2 ˆ  i  0.1 2   2  rad  2    0.2  cos 450  a y  v0  sen aceleração. o ponto O indicado na figura. Os pontos A e B da barra movem-se sobre os guias mostrados.0   0.1 2  ˆj r  vB  2  ˆj    0. observe que: x  s  r  sen  x  r    sen  B A AB   r  vB  2  ˆj    kˆ  0.1 2  iˆ  0.0. derivamos as x  a0  1  cos    r   2  sen y  a0  sen  r   2  cos vC  x  iˆ  y  ˆj aC  x  iˆ  y  ˆj velocidades.Cinemática dos Sólidos – Prof.1 2  s   . Adotamos a origem do sistema de coordenadas como o ponto C de contato da roda com o chão. Se vA = 2 m/s para baixo. e Hibbeler 1. 0.1   s  vA   7.5    arctg  y     arctg      38.5  ˆj   s  ft  vA  9.5  ˆj   15  kˆ vA  2  iˆ  15  kˆ  0. Cláudio S.5  iˆ vA  2  iˆ  7.0    0.1   s 38. Determine a velocidade angular da barra CB nesse instante. O cilindro possui uma velocidade angular no sentido horário de 15 rad/s.6  sen450  vAy  7.52  vA  12.6 vAy  vBy   vBA  y  vAx  0  10.5  ˆj   vA  2  iˆ   15   0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 2.2  ˆj .2.5  iˆ  0.5  iˆ  0.6  cos 450  vAx  9. O colar C está se movendo para baixo com uma velocidade de 2 m/s.5  iˆ  7.5   vAx   ft  vA  12.2  iˆ  0.5  iˆ  ft  vA  9.2  Solução: Análise escalar: rCB  0.5.0   0. vB  vC  CB  rCB rCB  B  C   0. Determine a velocidade do ponto A do cilindro.5  ˆj  7.5  kˆ  iˆ   15  0.5  ˆj  7.6 0 sen45 s vA  vB  vBA vA B    rBA  sen450  vA B vAx  vBx   vBA  x  vAx  2  10.Cinemática dos Sólidos – Prof.2  9. horizontal.5 rBA  0.20 O movimento de C para baixo causa uma rotação no sentido anti-horário da barra CB. r r  rBA  rBA sen450 r ft  15   vA B  10.5 25 3. O cilindro da figura rola sem escorregar sobre a superfície da esteira que possui velocidade vC = 2 ft/s. vA  vB    rBA vB  vC  2  iˆ rBA  BA  A  B  rBA   0.0.5  kˆ  ˆj   vA  2  iˆ  7.52  7. 1732   kˆ  iˆ  10  0.7322  vA  19 s m vA  19 23.2  iˆ  0.1732.2  2 2 rad      10  0.1732  iˆ  0.732  ˆj m vA  42  1.2  kˆ  ˆj vB    0.0.2  O   0.1732  iˆ  0.2 10  vA O  2 s vA2  vO2  vA2 O  2  vO  vA O  cos 60 vA  3  iˆ  1.3 s vA  3  iˆ  10   0. com velocidade de seu centro O dada por: v0 = 3 m/s. Uma roda de raio 300 mm rola para a direita sem escorregar.2  ˆj vB ˆj Veja como foi aplicada a lei dos co-senos:  iˆ vB  2  ˆj    0.0  A  O  0.1 ˆj   10  kˆ  vA  3  iˆ  10  kˆ  0. r0  sen30   A   0.1 ˆj  3 rad v0  r         10 0.1    0.2  2  0 α c b   a a2  b2  c2  2  b  c  cos  b2  a 2  c2  2  a  c  cos  26 c  a  b  2  a  b  cos  2 4. Cláudio S.2  ˆj  vB  2  ˆj    kˆ  0. Calcule a velocidade do ponto A da roda no instante representado.4 s 1 m vA2  32  22  2  3  2   vA2  19  vA  19 2 s ˆj  iˆ .2  iˆ    0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre    2  ˆj    kˆ   0.1 kˆ  ˆj m vA O  r0    vA O  0.2  kˆ  iˆ    0. 2 2 b c 180°-  b2a  a 2  c2  2  a  c  cos 180    cos      cos   cos   sen  sen cos 180     cos180 cos   sen180 sen 1 cos 180      cos   Solução 1: Geométrica-escalar: 0 b  a 2  c2  2  a  c  cos  2  Solução 2: Vetorial: vA  vO  vA O vA  3  iˆ     A  O  vA  vO  vA O A velocidade angular no ponto A é a mesma que no ponto C da periferia:   A    r0  cos 30.2  iˆ  0.2 s   0.Cinemática dos Sólidos – Prof.732  ˆj  1 iˆ  vA  4  iˆ  1.2  2   ˆj  vB  2  iˆ    0. 8  kˆ  ˆj m vB  1. (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem.8  iˆ  vB  2  iˆ s vD  vA    AD vD  1.2  iˆ  1.0  iˆ    s Velocidade do ponto D: vD  vA    rAD  (c) Se a aceleração do ponto A vale 3 m/s2 para a direita e sua velocidade 1.15  iˆ 5. Na translação. todos os pontos da engrenagem deslocam-se com a mesma velocidade va. Assim.1 ˆj m vR  vB  1.2  ˆj   vP    rAP  rAP  P  A Aqui rPA é o vetor de posição de P em relação a A.22  vD  2.2 m/s para a direita. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre   vD  1. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionária. Determinar: (a) a velocidade angular da engrenagem.1 ˆj    iˆ vB  1. cada ponto P da engrenagem se desloca ao redor de A com velocidade: Resumindo: vC  vA    AC    0 vA 1.2  iˆ  8  kˆ  0.15 8 rad / s vR  vB  vA    AB vR  vB  1. 2r1. a velocidade do seu centro A é de 1.7   s tan   1    45 m m vD  1. determine a aceleração angular da engrenagem e as acelerações dos pontos B.Cinemática dos Sólidos – Prof.2  iˆ  8  kˆ  0. Cláudio S. Na rotaça.2  iˆ  8  kˆ  0.7    4527 s s Como a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior.2  iˆ  8  kˆ  0.8  iˆ  vB  2. C e D da engrenagem.2 m/s para a direita.2  iˆ  1.15  iˆ  vD  1.150 s rad     kˆ    8  kˆ s O rolamento é decomposto em dois movimentos: um de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste centro.2  iˆ  1. escrevemos: xA  r1  dxA d  r1   vA  r1   dt dt v 1. seu centro A percorrerá uma distância igualao comprimento da circunferência exterior. para cada rotação completa da engrenagem. (xA > 0). Como 1 ver = 2 rade.88  1. quando A rola para a direita.2 rad   A      8 r1 0. . a velocidade da cremalheira superior é a velocidade do ponto B: vR  vB  vB  vA  vAB vB  vA    rAB vB  1.2  ˆj   s m vD  1.2  ˆj    vD  1.2  iˆ  0.2  iˆ  0.22  1.2  iˆ  0. a engrenagem gira em sentido horário ( < 0).2   R 0.15   kˆ  iˆ m vD  1.2  iˆ  8  0.  ˆj vD  1. 0762  209. Cálculo das acelerações nos pontos.203 0.15  iˆ  8  kˆ  8  kˆ  0.4   aB  8.15  rad    20    20  kˆ  2   s  aCT  3  0.8  iˆ    aB  5  iˆ  6.1 -0.15  ˆj B  A  0. No sistema esboçado. aD  aA     D  A       D  A       3  iˆ  3  ˆj   8  kˆ   1. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Ponto A B C D x(m) 0 0 0 -0.6  ˆj m aC  9. (b) a velocidade do pistão P.1 ˆj  aB y 28 6.1 ˆj  8  kˆ  8  kˆ  0.15  ˆj  8  kˆ  8  kˆ  0.0762  0. Cláudio S.6  iˆ aD  12.15  iˆ aD aD  3  iˆ  3  ˆj  9.40 12.45 3 s s ⦨13.203 .0762 0.45 m vAB  15.4    520 5 aC  aA     C  A       C  A  D  A  0.95  500  s Movimento da Biela BD: Aplicando a lei dos senos: sen sen40 sen40   sen  0.15  ˆj aC      3  iˆ  0.6  ˆj  m s2 6.95   arctg aD y    arctg aDx aD  12.Cinemática dos Sólidos – Prof.95 m s2 m s2 200 rad rad    209.6 2  90 s  aC   3  0. a manivela AB possui uma velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no sentido horário.4  ˆj aB  52   6.2  ˆj     aD  3  iˆ  20  kˆ  0. Determinar para a posição da manivela indicada na figura: (a) a velocidade angular da biela BD.15  ˆj 3 0.6  iˆ  3  ˆj aD  12.15 Vetores   arctg y(m) 0 0.6 aB  3  iˆ  20  kˆ  0.62  32  aD  12.2  iˆ     aC  3  iˆ  20  kˆ  0.40      3  iˆ  2  iˆ   8  kˆ    0.15    iˆ   8  kˆ    1.2  iˆ    aC  3  iˆ    kˆ  0.15 0 aBx ⦫52 0      3  iˆ  3  iˆ   8  kˆ    1.15  iˆ aC  aA     C  A       C  A  aC    arctg aB  8.6 2 s   900 0 m aC  9.12 C  A  0.1 ˆj aB f  2000rpm  f  2000   2 f    aB  aA     B  A       B  A    m s2  vAB  r  AB  vAB  0.15  ˆj  8  kˆ  8  kˆ  0.15     iˆ  9.12 2 1 100 Hz  f  Hz 60 3 3    13.15    0      aC  9. 1 m de raio que gira no sentido horário a 30 rad/s quando  = 600.9 sen50 sen76.2  sen600  ˆj  B  40    D  90     13.2  sen76.14  BD BD  62 rad s Observe que a velocidade vD do ponto D.95 sen50 BC  10.9  DB   vDB  sen50 sen53.196  iˆ 8 BC CD BD   sen76.2  BC  3  ˆj .2  cos 600  kˆ  iˆ  30  0.5   76. vD  vB  vDB 29 Fazendo o diagrama vetorial dessa relação: vD v vB  DB  sen53.6 m s  7.9 sen50 sen76.1 s  Utiizando o CIR:  vB  AB  rAB vB  30  kˆ  0.95  B  53.9 m vD  sen53.196  iˆ  3  ˆj  BC  kˆ  0. Decompondo o movimento de BD: Movimento plano de BD= Translação + rotação vD  CD  BD  vD  43. onde a biela se une ao pistão.2  cos 600  iˆ  0. Determine a velocidade angular da barra BC e da roda nesse instante.196  iˆ   0.2  iˆ vC  5.1 m vDB  12.9 15.14  CD  8.05  vB  30  0.2 m de comprimento está presa a uma roda de 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.96 vB  BC  BD  628.241    13. Cláudio S.196  iˆ  3  ˆj vC  vB  BC  rBC vC  5.241    arcsen0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre sen  0.05 sen53.1° s 15.13  10. A barra AB de 0.9  vD  13.1 sen76. deve ser horizontal.95  D  76.1 vD v 15.44 vB  5.2  sen600  kˆ  ˆj   vB  3  ˆj  5. 1 D  kˆ  ˆj  5.196  iˆ  0.196  iˆ   0.196  iˆ  D  kˆ  0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre m   vC  5.1 ˆj   iˆ 5.Cinemática dos Sólidos – Prof.1 D  iˆ 5.196  iˆ  0.196 s  15 vC  iˆ  5.96 0.196  D   D  51.1 D  5.2  BC  3  ˆj    3 rad BC  0.1 s 30 .2 s  Na polia com centro em D:  vC  D  rC  5. Cláudio S.196 rad 0. Determinar (a) a velocidade angular da haste.32  10  vD  38. .55 r 0.57 sen50 sen50 s vAB    l v 7.63 s  10  D  arctg   D  15  37. 4. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos ligados a A e a B (figura anterior) que deslizam nas ranhuras mostradas. Se o diâmetro da roda é 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre  Exercícios 1. Um automóvel se desloca para a direita a uma velocidade constante de 72.378 s sen      sen  cos   sen  cos  sen      sen  cos   sen  cos  2 2. Pequenas rodas foram colocados nas extremidades da haste AB e rolam livremente ao longo das superfícies mostradas. determine as velocidades dos pontos A. 3.559 r  r  0. Determinar: (a) a velocidade angular da haste.32  iˆ  10  ˆj m vD  v  v  vD  37.412 sen50 sen50 s sen75 sen75 in vAB  vB  vAB  6  vAB  7.Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. (b) a velocidade do pino no final B. (b) a velocidade do pino A. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos ligados a A e a B que deslizam nas ranhuras mostradas.2795m 2 2 20 rad  r         71. vR  vB  vB  vA  vAB km m  vA  20 h s  vB| A  vD| A  vE| A    r vA  72 vC| A r vC| A 75° vA D 0.  = 30 ° e o pino em A se move para baixo com uma velocidade constante de 9 pol/s.57   AB    l 20 rad   0.2795 s vC  vA  vC| A  vC  20  20  vC  0 30° vD  vA  vD| A  vD  20  iˆ  20  cos30 iˆ  sen30 ˆj  vD   20  20  cos30  iˆ  20  sen30 ˆj vD  37. com uma velocidade constante de 6 polegadas/s.  = 40° e o pino em B se move para cima e para a esquerda. No instante mostrado.4 km/h. B C D e E à margem da roda.32  2 x 2 y 2 90    vC| A 15 31 vB  v AB vB v vA  AB  sen  90    sen75 sen 15    vB v vA  AB  sen  90  40  sen75 sen 15  40  vB v vA  AB  sen50 sen75 sen55 sen55 sen55 in vA  vB  vA  6  vA  6. No instante mostrado.559 m. determinar: (a) a velocidade angular da haste. O Colar B se move para baixo para a esquerda com uma velocidade constante de 1. C e D valem 30 mm e o raio da engrenagem externa E vale 90 mm. 32 5. C e D conectadas entre si. B vB B rB  30mm H vH vH  vE  B  BE 240  iˆ  540  iˆ  B  kˆ  60  ˆj    240  540   iˆ  60  B  kˆ  ˆj  iˆ 300  iˆ  60  B  iˆ  60  B  300 .2 m/s no instante mostrado quando  =25°.Cinemática dos Sólidos – Prof. No instante indicado quando  = 40 °. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo dispositivo está esquematizado. (b) a velocidade angular da aranha formada pelas engrenagens B. Um colar se move para cima. determinar: (a) a velocidade angular da haste AB.5 m/s. os raios das engrenagens A.6 m/s. Gola. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Sabendo que uma roda se move para a esquerda. E  2  f E  E  2 180 rpm  A  2  f A   A  8 240 rpm  rad s rad s Engrenagem E: (externa) vE  E  rE  vE  6  90  vE  540  mm  s Engrenagem A: vH   A  rA  vH  8  30  vH  240 H A rA  30mm mm  s vH A  Engrenagem B: E rB  30mm 6. (b) a velocidade de A. B. (b) a velocidade de B. determine: (a) a velocidade angular de cada engrenagem. 6. com uma velocidade constante de 1. Determinar: (a) a velocidade angular da haste AB. (b) a velocidade da extremidade B da haste. Cláudio S. Sabendo que a engrenagem E tem freqüência 120 rpm no sentido horário e a engrenagem interna central A possui freqüência 150 rpm no sentido horário. com uma velocidade constante de 1. AB = 7 rad/s. No instante ilustrado. determine a aceleração do dente da polia E em contato com: (a) a engrenagem A. A barra AB. (b) a engrenagem E. a barra AB gira com velocidade angular. BC e CD.Cinemática dos Sólidos – Prof. em m/s ? (b) qual a aceleração do ponto B. O cursor C desloca-se sobre barra horizontal fixa. e aceleração angular nula. C e D são iguais a 3 in (3 polegadas). Para o instante ilustrado. 9.5  kˆ  7. O cursor C tem seus movimentos limitados por haste fixa. no sentido horário. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre B  300  rad   B  5  kˆ  60  s  vB  vH  B  HB vB  240  iˆ  5  kˆ  30  ˆj   vB  240  iˆ  150  kˆ  ˆj vB  240  iˆ  150  iˆ  rad   s  f B  150  rpm  B v2  v1  B  b  v3  v2  B  b  v3   a  2b   E   rad   C  5   s   fC  150  rpm  rad   D  5   s   f D  150  rpm Spider: vB S rS  60mm vB  S  rS  S  S  390 60  a  2b   E  a  A 2  a  2b   E  a  A B  Velocidade angular das engrenagens planetárias: B  5  v1  A  a  v2  s   a  b   v2  m vB  390  iˆ    s Velocidade Spider E  iˆ  Engrenagem A vB rS S  2b  a  2b   E  a  A 33 2  a  b 1  E  0  S   A 5 8. em m/s² ? (c) qual a velocidade do ponto C. no instante ilustrado: (a) qual a velocidade do ponto B. no sentido horário. os raios das engrenagens A. Qual a velocidade angular da barra CD. As barras ilustradas. em m/s² ?  rad   s  f s  195 rpm S  6. gira com velocidade angular constante  = 7 rad/s. em m/s. A barra AB gira no sentido horário com velocidade angular AB = 15 rad/s. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo dispositivo está esquematizado na figura do problema anterior. . são articuladas entre si. Cláudio S. em rad/s ? E A B 3 a 0 A 1 b 2 v2 B E 10. AB. encontre: (a) a velocidade do ponto B. B. Sabendo que a engrenagem A tem uma frequência constante de 150 rpm no sentido horário e a engrenagem E está estacionária. ilustrada. (1 in = 2. em m/s ? (d) qual a aceleração do ponto C.54 cm = 1 feet/33). Sabendo-se que a velocidade angular do braço AB é 90 rpm no sentido horário. no sentido horário. conforme ilustrado.m. em rad/s. no sentido horário. tem velocidade angular constante  = 3 rad/s. em rad/s ? (b) qual a velocidade do cursor C. A barra AB. As barras AB. BC e CD. 12. Para o instante ilustrado. são articuladas entre si conforme ilustrado. em rad/s. (b) a velocidade angular da barra BC. (b) a velocidade angular da barra CD. 34 14. Cláudio S. 11. gira com freqüência constante f = 954. A barra AB. determinar a velocidade angular correspondente da engrenagem B. no sentido horário. encontre: (a) a velocidade angular da barra AB. no sentido horário.p. A barra AB gira com velocidade angular constante AB = 6 rad/s. são articuladas entre si. em rad/s ? 16. para o instante configurado: (a) qual a velocidade angular da barra BC. em m/s². O cursor C está vinculado a uma haste horizontal fixa. No arranjo ilustrado. O braço AB do sistema anterior gira com 42 rpm no sentido horário. (a) Qual a velocidade do cursor C. no sentido horário. As barras AB. em rad/s ? (b) qual a aceleração do ponto B. O cursor C tem seus movimentos limitados por haste fixa.96 r. (d) a aceleração do ponto CB. A barra CD. Para o instante ilustrado: (a) qual a velocidade angular da barra BC. conforme ilustrado. Determinar a velocidade angular necessária de engrenagem A para os quais . são articuladas entre si. BC e CD. em m/s². em rad/s. As barras AB. em m/s² ? 13. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre (b) a aceleração do ponto B. em m/s ? (b) Qual a velocidade angular da barra BC. 12. (c) a velocidade angular da barra BC. BC e CD. AB = 9 rad/s. em rad/s. em m/s ? 15. Para o instante ilustrado. o disco AB gira com velocidade angular constante. tem velocidade angular constante  = 5 rad/s. encontre: (a) a velocidade angular da barra BC. A engrenagem A gira com uma 120 rpm no sentido horário.Cinemática dos Sólidos – Prof. (b)  = 90 °. (b) a velocidade do dente de engrenagem localizado no ponto D. Sabendo que a manivela AB gira com frequência de 160 rpm. . determine expressões para a velocidade do bloco B e para a a velocidade angular da cremalheira em termos de r. determinar as velocidades dos pontos B. a velocidade angular de (a) do disco A. determinar: (a) a velocidade angular da engrenagem B. Se o diâmetro de uma roda é de 22 cm. determinar a velocidade do pistão P e a velocidade angular da haste de ligação quando (a)  = 0°. (b) o movimento da engrenagem B é uma translação curvilínea. e D. determinar a velocidade angular da haste e o BD e a velocidade de gola D quando: (a)  = 0°. como mostrado. Um automóvel viaja para a direita a uma velocidade constante de 48 km /h. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre (a) a velocidade angular da engrenagem B é de 20 rpm horário. no sentido anti-horário. Sabendo que os discos rolam sem escorregar em superfícies de contato. D e E do aro da roda. (b) do disco B. Sabendo-se que a engrenagem exterior C é estacionário. 35 20. C. 18. 17. O Braço AB gira com  = 20 rad/ s no sentido horário. O Braço ACB gira sobre o ponto C com uma angular velocidade de 40 rad / s para a esquerda. l = 160 mm e b = 60 mm. 19. . determinar. Sabendo que a manivela AB gira com uma frequência constante de 1000 rpm no sentido horário. Cláudio S. Uma cremalheira reta repousa sobre uma engrenagem de raio r e está ligada a um bloco B. Denotando por D velocidade angular da engrenagem D e por  o ângulo formado pela cremalheira e a horizontal. tal como mostrado. Caso 2: 22. Dois discos de fricção A e B estão presos em seus centros de ACB braço. No sistema de motor mostrado. para cada caso. (b)  = 90°. Caso 1: 21.Cinemática dos Sólidos – Prof. O rolete A move-se com velocidade contante vA = 3 m/s. determinar a velocidade da gola e a velocidade angular da haste AB quando (a)  = 0°. Num dado instante. Sabendo-se que a distância AD é de 50 mm. (b)  = 90 °. derivar uma expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e 26. 22. O cabo está preso no núcleo interior e o carretel não escorrega na plataforma P. respectivamente. um cilindro de raio r possui velocidade angular  e aceleração angular . Determine a velocidade do ponto B no instante mostrado. 28.Cinemática dos Sólidos – Prof. A roda rola sem escorregar com uma velocidade angular de  = 10 rad/s. 24. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Mostre que a aceleração e a velocidade no ponto G são dadas por ( o cilindro não escorrega): aG  aG    r  iˆ vG    r  iˆ 25. Se a manivela OA gira com velocidade angular de  =12 rad/s.determine a velocidade do pistão B e a velocidade angular da barra AB no instante mostrado. Suponha que o ponto A é fixo e denotam as velocidades angulares da haste ABC e da haste A por ABC e A. Para a engrenagem mostrada. 23. Cláudio S. ambas no sentido horário. A roda de 80 mm de raio mostrado rola para a esquerda com uma velocidade de 900 mm /s. Determine a velocidade angular do carretel. determine a velocidade angular da barra AB e a velocidade do rolete B. 36 Para a engrenagem mostrada. derivar uma expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e mostrar que C é independente do raio da engrenagem B. vB. 27. como mostra a figura: . 32.Cinemática dos Sólidos – Prof. . Uma corda é amarrada no núcleo da engrenagem e num dado ponto A. A cavilha move-se ao longo da fenda. considere o caso que a engrenagem R é fixa. Determine a velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu centro. Determine a velocidade do centro da engrenagem C. Uma engrenagem repousa numa cremalheira horizontal. Determine a velocidade angular do virabrequim AB no instante considerado. O ponto A tem uma valocidade de vA = 3 m/s. 31. 34. Determine a velocidade da cremalheira C. com R = 0. utilizado num sistema de transmissão automática de um automóvel. no problema anterior. ela é puxada para a direita com velocidade constante de 2 ft/s. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 29. Suponha. e a engrenagem S está girando com velocidade angular S = 5 rad/s. A engrenagem A rola sobre uma cremalheira fixa B com uma velocidade angular  = 4 rad/s. Determine a velocidade do ponto A mostrado no instante considerado. Determine a velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu centro no instante mostrado. Determine a velocidade da cavilha em B nesse instante. 37. 37 35. Se a barra AB desliza ao longo da ranhura horizontal com velocidade de 60 ft/s. A cremalheira B se move para a direita com velocidade 8 ft/s e a cremalheira C move-se para a esquerda com velocidade 4 ft/s. v C vB 33. determine a velocidade angular da barra BC no instante mostrado. O pistão P move-se para cima com velocidade de 300 in/s. No sistema de engrenagens mostrado. 30. 36. que a engrenagem A rola sobre as cremalheiras B e C. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e do eixo A. Cláudio S. Encontre a velocidade do centro de gravidade G. tangente ao núcleo. determine a velocidade do bloco deslizante C no instante considerado. 40. Uma bicicleta possui velocidade 4 ft/s e no mesmo instante a roda traseira possui velocidade angular de 3 rad/s. com velocidade angular D = 20 rad/s enquando a engrenagem F gira no sentido horário com velocidade angular F = 10 rad/s. o que causa escorregamento do ponto A da roda traseira da bicicleta com o solo. a transmissão automática pode alterar a velocidade do carro e a direção.Cinemática dos Sólidos – Prof. conectados com a engrenagem interna E e a engrenagem externa F (Sol). B e C. 38 . Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 38. O raio das engrenagens planetas (A. B e C) são 45 mm e da engrenagem Sol 75 mm. Determine a velocidade do ponto A. Um sistema de transmissão automática consiste de 3 engrenagens A. 41. Se o portador está girando no sentido anti-horário. determine a velocidade angular das engrenagens e da engrenagem externa (Sol). determine a velocidade angular da engrenagem C. A engrenagem D gira no sentido anti-horário com velocidade angular D = 5 rad/s. enquando a barra AB gira com velocidade angular no sentido horário de AB = 10 rad/s. montados num portador D. Cláudio S. 39. Pelo controle ao qual o sistema gira e quais engrenagens recebem a potência. Se a barra AB possui velocidade angular AB = 4 rad/s.
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