Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S.Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Movimento Plano Geral Um movimento plano geral pode ser considerado como a soma de uma translação e de uma rotação: Movimento geral = Translação + Rotação 1 Observe que: Movimento de um corpo decomposto em uma translação e uma rotação: Velocidade absoluta e relativa: vB vA vB / A v vB vA tg vB / A l B / A l vA vA cos vB / A vB / A cos vA l cos Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura), teremos: vB : velocidade absoluta do ponto B. v A : translação da placa com A. vB / A : velocidade relativa associada à rotação da placa ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em A e de orientações fixas. Denotando por : rB / A : vetor de posição de B em relação a A: rB / A B A kˆ : velocidade angular em relação aos eixos de orientações fixas. Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B. vB / A kˆ rB / A vB vA kˆ rB / A vA vB vA/ B Observe que: vA/ B vB / A vA/ B vB / A l Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A. O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que a velocidade angular da barra em sua rotação ao redor de B é a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos é medida pela derivada temporal do ângulo : d dt Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade angular de um corpo rígido animado de movimento plano é independente do ponto de referência. A maior parte dos mecanismos mecânicos constam não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo, esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade relativa das partes em contato. Análise do movimento z a dvQ dt dr d rQP QP dt dt Identificando os termos: dv dvP aQ Q dt dt d d eˆ d d deˆ eˆ dt dt dt dt dt deˆ 0 . Assim: Se eˆ for um vetor constante: dt 2 d dt dr aP aQ rQP QP dt aP Ou O y aP aQ P Q d P Q dt Aplicando o Teorema de Poisson: P Q d P Q P Q dt aP aQ P Q P Q x rQ OQ Q O rP OP P O rQ P QP P Q OQ QP OP rQ rQ P rP rP rQ rQ P Aplicando a derivada em relação ao tempo: drP drQ drQ P dt dt dt vP vQ vQ P vQ P rQP Vetor aceleração: O vetor aceleração pode ser obtido como a derivada a d eˆ eˆ dt d eˆ eˆ dt 5. O vetor velocidade instantânea do ponto P do sólido, em função da velocidade do ponto Q, também do sólido, é dada por: vP vQ rQP vP vQ P Q Logo: vP vQ rQP a v a 4. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular; e esta tem a direção do eixo de rotação: Suponha que o corpo rígido gira em torno de um eixo que passa perpendicularmente ao ponto Q. Então: temporal do vetor aceleração: Resumo: Movimento no plano: 1. Todos os pontos do sólido pertencem ao plano do movimento. 2. O eixo de rotação, quando existir, será sempre ortogonal ao plano de movimento. 3. todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta, tem a direção do eixo de rotação: dv dt dvP d a vQ rQP dt dt dvQ d a rQP dt dt 6. O vetor aceleração instantânea do ponto P do sólido, em função da aceleração do ponto Q, também do sólido, é dada por: aP aQ rQP rQP rQP P Q rP Q aP aQ P Q P Q Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Centro Instantâneo de Rotação (CIR ou IC) Para calcular a velocidade dos pontos de um sólido, podese utilizar de um método gráfico que se baseia no conceito de Centro instantâneo de rotação (CIR ou IC). Considera-se a existência de um eixo de rotação num dado instante, e a interseção deste, com o plano de movimento é o ponto denominado CIR – Centro instantâneo de rotação. Todos os pontos do sólido, no instante considerado, descrevem trajetórias circulares com centro no CIR. A propriedade fundamental do CIR é de possuir velocidade nula: rA IC vA Note que o IC está a direita de A e vA causa uma rotação com velocidade angular horária em torno de IC. As direções de vAe vB são conhecidas. Constroem-se duas linhas a partir de A e B, perpendiculares às direções de vAe vB , respectivamente. O cruzamento dessas linhas fornece o IC. vIC 0 3 O CIR é um ponto geométrico imaginário que pode ser associado ao sólido sem alterar ou interferir no movimento do mesmo. Utilizando a relação de velocidades: vP vQ rQP rQP P Q Se utilizarmos o ponto Q pelo CIR, teremos: 0 vP vCIR P CIR vP P CIR Norma: A norma da velocidade em P será dada por: vP P CIR sen P CIR d : é a distância entre o ponto P o CIR. : é ângulo entre o plano do movimento e o eixo de rotação. Se = 90° → sen90°=1. Logo: vP d A magnitude e a direção das velocidades de dois pontos vAe vB são conhecidas: Nesse caso, determina-se por semelhan;Ca de triângulos. Se d é a distância entre os pontos A e B, então: rA IC vA rB IC vB : distância de A ao IC. : distância de B ao IC. Podem ocorrer dois casos: Direção: Ortogonal ao plano que contem os vetores do produto vetorial: vP vP (reta que une P e CIR) Para localizar o IC de um corpo, utilizamos o fato que a velocidade de um ponto no corpo é sempre perpendicular ao vetor posição relativa, dirigido de IC ao ponto. Possibilidades: A velocidade angular e a velocidade do ponto v A são conhecidas rA IC rB IC d d rB IC rA IC Exemplo: Viga apoiada na parede escorregando. Nesse caso, o IC do corpo está localizado através de uma linha perpendicular a v A em A, onde a distância de A para o IC é dada por: Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Exemplos resolvidos: Livro Unip rAB B A 0.4 ˆj 4. yB xA 0.7 0.375 0.38 kˆ 4.4 iˆ 7.5 0.5 rad 4.4 3.4 kˆ ˆj ˆj iˆ vB 3.7 kˆ iˆ 0.8 cos300 xA 0. yA e B xB . Cláudio S. desloca-se para a direita.8 s m vB 3.7 ˆj 13.375 0.5 0. 64) A barra AB.Cinemática dos Sólidos – Prof.38 1.38 kˆ 3. ilustrada abaixo.692.7 iˆ 0.54 0 0 sen60 sen60 s A 4 aB kˆ 0.4 0 sen60 0.4 0. com velocidade constante vA = 3.7 iˆ 0. quando o ângulo entre a barra e o plano é de 300.7 k iˆ 0.8 m.4 iˆ 0.4 iˆ 0.4 dvA aA 0 dt d d eˆ dt dt d ˆ k kˆ dt aA y 1200 Cálculo da aceleração em B: aP aQ P Q P Q vB 300 300 3.43 0.8 m aB aA B A B A 600 Como a velocidade é constante: 600 600 vA vA rA CIR z vA rA CIR vB rB CIR x 3.7 j 0.67 0.7 4. (b) a aceleração do ponto B. No instante ilustrado.4 ˆj vB 3. vB cos 600 3.43 iˆ 7.7 vB 0 sen600 vB sen60 0.0.692m .67 ˆj aB 13.5 m/s.7 iˆ 0. pedem-se: (a) a velocidade do ponto B.375 m vB vB 3.5 0.752 kˆ iˆ iˆ aB 0.4 kˆ ˆj ˆj iˆ ˆ ˆ aB 0.7 ˆj Porém.01– pag. vB vA rAB vB 3.7 ˆj 4.5 0.4 ˆj kˆ 1.38 3. yB 0.404 3. conforme ilustrado.38 kˆ 4.066 kˆ ˆj 4. (3.5 iˆ 0.752 iˆ aB 0.4 ˆj ˆ ˆ aB 0. y A 0m xB 0m .7 kˆ iˆ 4. O extremo A da barra.7 iˆ 0.38 kˆ 0.4m 0 A 0.5 CIR vB B 0.4 0.8 s 0.5 rad 4.4 k ˆj ˆj iˆ 4.4 iˆ 0.066 ˆj 1. sabemos que: ˆj .7 ˆj B Decompondo a velocidade vB : vB vB cos 600 iˆ vB sen600 ˆj 0.4 i 4.5 iˆ kˆ 0.38 0. e desloca-se com as extremidades apoiadas em duas superfícies.38 0.8 m Comparando as relações: y A 600 300 x z Método 1 – Uso do conceito do Centro Instantâneo de rotação: CIR ou IC.7 0.7 cos 600 3.404 0. tem comprimento 0.8 sen30 yB 0.5 s Método 2 – Relacionando 2 pontos do corpo rígido: vP vQ rQP vP vQ P Q vB vA rAB vB vA B A Achando as coordenadas dos pontos: A xA .0 e B 0. 12 7.69 4.02 –pag.24 d 7. teremos: Velocidade do ponto P: 1. 70) As engrenagens ilustradas.56 vB 7. entretanto.95 13.28 Engrenagem e1: 1.43 0. pois este ponto permanece fixo. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre aB aB cos 600 iˆ aB sen600 ˆj CIRe1=A.2 2 0.4 0.4 13.7 vP e1 R1 vP 16 0. pois as linhas ortogonais à essas velocidades são coincidentes e não definem o CIRe2. tem intensidade dada por: 0. A velocidade do ponto B: 1.35 aB 0.4 8. A haste AB gira no sentido horário com velocidade angular constante AB = 13 rad/s.5 17.56m 2.569m 7. 2.Cinemática dos Sólidos – Prof. (b) a aceleração do ponto de contato entre as engrenagens do ponto que pertence à engrenagem e2.12 m s CIR de e2: A determinação do CIRe2 de e2 pode ser feita com oas velocidades dos ponto B e P .12 Resolvendo o sistema: 0.56m vB 13 0. com velocidade angular constante 1= 16 rad/s. As velocidades dos pontos de contato das duas engrenagens são iguais.28 d 5.3464 aB 9.67 0. pois a rotação de e1 é horária. 3.32 0.24m d e2 CIRe2 B A y y z x Aqui CIR=A. A velocidade do ponto P pode ser expressa por: vP e2 PCIRe2 A velocidade do ponto B pode ser dada por: vB e2 BCIRe2 0.866 aB 7.469 aB 12.866 aB ˆj Comparando.12 d vB 7.5 aB iˆ 0.48 rad 11.9 2 0.12 2 m s Aceleração do ponto P: .4 0.4 0.24 rad s e2 9 kˆ e 9 AB 0.28 e2 0.4 s 2. tem direção ortogonal à reta que liga os pontos A e P. s Seu centro: Do ponto de engrenamento: vP 5.24 m.16 AB R1 R2 AB 0.28 0.32 vP 5.7 aB 0.43 0.866 aB 0.5 0.6964 aB 12. e1 e e2.2288 A 5. 2.7 7. tem sentido para baixo.43 0. pois este ponto pertencem ao eixo fixo de rotação. é mais trabalhoso que o usual.4 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem e2.43 0.28 m . tem respectivamente raios R1 = 0.43 0. m s Engrenagem e2: Com o engrenamento dos dentes: não há escorregamento.12 e2 d e2 vB AB AB 1.469 m aB 17.12 d d B d vB CIR 0.24 d vP 5. 3.67 0.24 5. Cláudio S.6964 s 13. A engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário.5 aB 13.401 3.12 0. Possui sentido para baixo.28 5.068 0.32 m e R2 = 0. aB 0. Velocidades dos pontos da engrenagem e2: 5 vB 7. (3. pois a rotação da barra AB é horária. Possui direção ortogonal à reta que liga os pontos A e B.5 aB 0. Possui intensidade dada por: B vP vB z x 5.2288 d 0.5 aB 13. direção do eixo x: iˆ sentido é de B para P: P B 0.64 iˆ 9 kˆ 9 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.96 rpm no sentido horário. Utilizando: aP aQ P Q P Q aB aA AB B A AB AB B A aP 94. Cláudio S.76) – A barra AB.56 iˆ aB 13 kˆ 13 0.24 kˆ iˆ ˆj 2. (pag.64 iˆ 19.56 kˆ iˆ ˆj m aB 13 7.56mDireção: eixo x: Fazendo o cálculo da aceleração do ponto P da engrenagem e2: e2 C 300 mm 150 mm B Barra AB: CIR vB B y A 90 mm z O vetor velocidade angular da barra AB: Tem intensidade: AB 2 f AB 100 y 954 60 x P B z aP aB e2 P B e2 e2 P B m aB 94. O cursos C está 6 vinculado a uma haste horizontal fixa.56 iˆ aB 0 0 B A 13 kˆ 13 kˆ 0.16 ˆ aP 94.24m.16 k ˆj iˆ m aP 94.64 iˆ e2 P B 9 kˆ 9 kˆ 0. AB 13 kˆ Vetor aceleração angular da barra AB: AB d AB AB 0 dt A 90 mm Vetor B-A: iˆ Sentido: de A para B: B A 0.44 iˆ aP 75.64 iˆ 2 s iˆ Módulo: 0. (c) a aceleração do cursor C. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre A aceleração do ponto P será expressa em função da aceleração de outro ponto da engrenagem e2: o ponto B (pertence à barra AB). pedem-se: (a) a velocidade angular da barra CB.2 iˆ 2 s B y A x z vB 0. rad s AB 100 kˆ O ponto A é o CIR: A velocidade do ponto B é: m vB AB r vB 100 0. Para o instante considerado.64 iˆ 9 2.24 iˆ x rad s Direção: Ortogonal ao plano de movimento: com sentido dado pela regra da mão direita (horário: negativo).56m Como o ponto A é fixo: aA 0 Vetor velocidade angular da barra AB: Horário e constante: 3. (b) a velocidade do cursos C.09 vB 9 ˆj s A aceleração do ponto B é: aB aA AB B A AB AB B A aA 0 CIR . gira com freqüência constante f = 954.28 kˆ ˆj aB 94.64 iˆ 2 s d e2 9 kˆ e2 e2 e2 0 dt O vetor P-B: possui módulo igual à distância de P e B: 0.24 iˆ 0 aP 94. 196 kˆ iˆ aB 100 kˆ 100 0.15 ˆj ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aC 900 i 0.196 iˆ aC 900 iˆ 0.09 iˆ 100 kˆ 100 kˆ 0.26 BC ˆj 0.26 BC 0 vB 300 mm y 150 mm aC 588. No instante ilustrado. aC 588.31 aC 484.2 iˆ s vB BC BCIR BC Aceleração no ponto C: Vetor aceleração angular: Vetor: Ponto A aC aB BC C B BC BC C B BC BC kˆ C B 0.15 BC 180 rad BC BC 692.26 s 180 0.09 iˆ 0 aC 900 iˆ 0.0. a velocidade do auto é v = 140 km/h.76) – Um carro apresenta rodas traseiras com diâmetro 0.64 kˆ 9 ˆj 5. e tem movimento acelerado com aceleração a = 6.26 BC ˆj Barra BC: C aC aC iˆ vC aC 588.64 kˆ 34.152 0.24 0.0 C B 0.0225 BCIR 0.09 iˆ aB aA AB 0.31 2 0.64 9 kˆ ˆj 34.26 BC ˆj 0. (b) a velocidade do ponto B.09 kˆ iˆ ˆj m aB 900 kˆ ˆj aB 900 iˆ 2 s ˆj iˆ 0 aC 900 iˆ 0.15 BC iˆ 311.26 BC k i 0.15 B x 90 mm z CIR 2 BCIR 0.84 4.26 iˆ 0.15 BC iˆ 34.15 BC iˆ 180 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.15 BC iˆ 34.26 BC ˆj 0.26 BC ˆj 7 aC 588.15 692.15 ˆj Vetor BC 34.09 0.64 5.26 kˆ iˆ 34. (c) a aceleração do ponto A.76 0.15 vC 5. (pag.64 0.75 m.15 0.64 0.24 0. Sabendo que não ocorre escorregamento entre as rodas e o piso.64 kˆ 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre AB 0 CIR AB d AB dt B A 0.15 BC iˆ 180 0.5 m/s2.24 0.15 kˆ ˆj ˆj iˆ A y .26 s m vC BC CCIR vC 34.26 iˆ 0.2 s m vC 5.26 iˆ 0.15 BC k j ˆj Ponto B iˆ 34.64 0.26. Cláudio S.64 kˆ 34.76 iˆ 180 ˆj aC 900 311.24 0. pedem-se: (a) a velocidade do ponto A.32 BCIR 0.26m 9 rad BC 34.15 BC A m s2 103.64 0.15 ˆj y x z 34.64 kˆ aC 900 iˆ BC kˆ 0. 7 0. é onde o ponto da borda inverta o seu movimento e desta forma pode-se garantir que possua apenas aceleração vertical.6 rad 103.5 iˆ 0.89 ˆj m vB 38.7 kˆ 0.375 ˆj CIR aC 6.7 kˆ 0.375 iˆ 103.375 ˆj 103.5 iˆ AC AC kˆ A C 0.375 AC iˆ CIR 103.7 kˆ 103.5 iˆ kˆ 0.7 kˆ 103.375 iˆ vB 38.375 AC iˆ 4032.375 iˆ m vA 77.375 AC kˆ ˆj CIR: a origem do sistema de coordenadas como o ponto C de contato da roda.75 2 s aN aT Buscando outro ponto para completar a aceleração do ponto A: (CIR).375 kˆ iˆ ˆj vB 38. iˆ 103.375 kˆ ˆj aCIR y z x iˆ vA 38. e apresenta aceleração vertical: aCIR aCIR ˆj Assim: aCIR aC CIR C CIR C 103.5 iˆ 0.5 iˆ 0.5 iˆ kˆ CCIR CIR C 0. vA vC OA vA 38. transforma-se no CIR.7 kˆ aC 6. pára instantaneamente e torna-se o CIR. ou seja.78 iˆ s vB vC CB vB 38.8875 iˆ vB a A 6.7 0.89 2 2 m km vB 55 vB 198 s h Observe que no instante que o ponto da borda toca o solo.89 0.7 kˆ 103.89 iˆ 103.89 38. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre a A 6.375 AC iˆ vA vC B 103.5 0.375 kˆ ˆj iˆ a A 6.7 kˆ 0.6 ˆj .8875 kˆ iˆ 8 ˆj 0.5 iˆ 0.7 0.7 103.5 iˆ AC kˆ 0.7 38.375 ˆj vA 38.375 kˆ ˆj iˆ 6.7 kˆ 103.89 iˆ 103.7 kˆ 0. 0 v vC OCIR 0 O R vCIR aA 6.8875 kˆ iˆ ˆj aCIR 6.63 ˆj x 140 3.375 ˆj a 6.375 ˆj aCIR 6. Cláudio S.Cinemática dos Sólidos – Prof.5 0.375 iˆ 4032.5 0.375 kˆ ˆj aC aC AC A C AC AC A C iˆ a A 6.375 ˆj 103.89 iˆ 0.89 ˆj s vB 38. no instante que o ponto toca o solo.7 kˆ 38.7 38.89 iˆ 38.375 ˆj aCIR 103.89 iˆ kˆ 0. Nessa posição a trajetória é onde ocorre a inversão da velocidade do ponto da borda.89 iˆ 38. 025 BC iˆ BC 0.20 m D x C y z 0.875 0. pedem-se: (a) a velocidade do pistão. No instante ilustrado.08 kˆ iˆ 0. A 0.025 ˆj 75 kˆ 75 kˆ 0.025 1757. O eixo manivela AB.33 2 0. Pela articulação A passa eixo fixo. (b) a velocidade angular da barra CD.08. Cláudio S.Cinemática dos Sólidos – Prof.025 ˆj 0 0 C B A aC 140. Pelas articulações A e D passam eixos fixos.625 0 x z A vB vA AB vB 0 75 kˆ 0.025 ˆj vC 1.08 ˆj vC vC iˆ 0 ˆj v 1.625 ˆj y 80 mm B iˆ z vB C 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC.08 iˆ 0.63 ˆj 6.375 s aA 6. vC 1.875 iˆ aB 75 1.025 kˆ ˆj vB 1. As barras AB.625 1757.025 BC C BC 0.5 0.875 0.625 ˆj vB B y aC aC iˆ 0 ˆj 25 mm aC 0.875 iˆ 9 vC 1.325 17.875 iˆ ˆm aC 0.81 aC 43. Para o instante ilustrado.08 kˆ iˆ 0.875 iˆ BC kˆ 0.81 rad BC BC 0.025 BC 0. (b) a aceleração do pistão.5 0.08 BC 140.025 BC iˆ 5.08 s2 iˆ aB aA AB B A AB AB B A AB 0 AB é cte aB 0 0 0. a barra AB gira com velocidade angular AB = 5 rad/s. gira com velocidade angular constante = 75 rad/s.025 6.025 BC kˆ ˆj vC 1. no sentido horário.025 ˆj aB 75 kˆ 75 0.33 iˆ 4032.625 ˆj BC 0.945 i s 2 140.375 0 BC 0.025 ˆj vB 0 75 0.0 0.12 m x BC BC kˆ vC vB BC BC 0.875 iˆ BC 0.5 rad 17.08 BC 140. do motor ilustrado.875 iˆ BC 0.025 ˆj m aA 13 iˆ 4033 ˆj 2 s vC 1. BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado.025 BC iˆ 0.12 m vC Barra AB: Colocando o eixo 0 em A: y z x .08 iˆ 0.025 BC iˆ aC 0.025 kˆ ˆj 1.08 0 BC 0 aC aB BC C B BC BC C B 80 mm B C 25 mm aC 140.08 BC ˆj 0.025 BC kˆ ˆj ˆj AB 75 kˆ aC 140. no sentido horário.18 m B aB 140.625 ˆj BC kˆ 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre BC C B 0.625 ˆj 0.08 iˆ 0.0.08 ˆj 0.875 kˆ iˆ 6. 12.9 iˆ BC 0.24 BC A 0.35 CD D C 0.24 iˆ vC 0.24.10 m C D C 0.9 CD 0. No instante ilustrado.24.12 m vC vB BC BC y BC C B 0.35 8 iˆ vB 2.18 m B 0.18 ˆj vB 0 5 kˆ 0.8 iˆ 0. 0.12.12 0.1 BC kˆ ˆj ˆj vC 2.24 kˆ iˆ x z Barra AB: AB B A AB 0. 0.1 BC iˆ 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 0. Cláudio S. 0.5 k s 2.12 iˆ 0.12 ˆj Logo: 0.5 CD BC BC 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC. (b) a velocidade angular da barra CD. x B 0.2 CD 0.38 0.12 iˆ 0.18 CD 0. 0.1 ˆj vC 2.12 4.9 iˆ BC kˆ 0.24 B vB AB AB kˆ vB vA AB AB ˆ rad CD 4.12 BC ˆj iˆ Barra CD: vC vD CD CD iˆ .2 CD iˆ CD 0.0 AB 0.8 0.1 ˆj vC 2.25 0.24 BC ˆj Barra BC: vC vB BC BC Barra DC: vC vD CD CD BC C B 0.12 iˆ 0.8 iˆ vC 0.12 m vB vA AB AB ˆj A BC 0.24 0.2 kˆ ˆj ˆj vC 0. 0.18 BC 0.2 0.35 ˆj vB 0.8 iˆ BC kˆ 0.9 iˆ ^ y Barra BC: A z 10 7.9 iˆ 0.12 0. BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos fixos.18 ˆj vB 0.24 iˆ BC BC kˆ vC 0.20 ˆj vC 0 CD kˆ 0.20 ˆj vC CD 0. no sentido horário.12 kˆ iˆ CD 0.12 iˆ 0.9 CD 0. a barra AB gira com velocidade angular AB = 8 rad/s.0.25 m 0.12 m 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.12 BC kˆ iˆ 0. As barras AB.25 kˆ rad s BC AB B A 0.18 m 0.18 0.35 ˆj vB 0 AB kˆ 0.20 m D 0.25 m 0.18 0.0. 12 ˆj 0.2 0.5 iˆ 0. no sentido horário.96 ˆ rad BC 0.96 0.25.0. As barras AB.25.25 m Barra AB: AB Barra BC: BC 0 iˆ 0.08 BC 12 k s 2 10 kˆ rad CD s CD 0.Cinemática dos Sólidos – Prof. Pelas articulações A e D passam eixos fixos.96 0.12 Barra CD: B A AB 0.37.08 BC iˆ 2 ˆj vC vD CD CD 0.44 kˆ rad CD s CD 0.25 CD D C 0.12 CD 0.25 iˆ vC 0 CD kˆ 0.12 m vB 8 0. (b) a velocidade angular da barra CD.1 ˆj vC 3. y A z 11 9.8 0.12 0.08 ˆj vC 0.35 ˆj BC C B 0. 0.25 CD ˆj CD 0.25 CD 2. y A x 0. 0.12 BC kˆ iˆ 0.8 rad BC 28 kˆ 0.25 iˆ 0. 0. BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado.2 CD ˆj 2. 0.1 ˆj vC 3.0 vB 0 8 kˆ 0.35 ˆj 0.2 iˆ vC 0 CD kˆ 0.25 iˆ 0. BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado.5 iˆ BC kˆ 0.0.08 m D C 0.10 m vB vA AB AB iˆ vB 0.45 0.2 iˆ vC 0 iˆ 0.1 s 0. (b) a velocidade angular da barra CD.96 iˆ 2 ˆj D vB 3. 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre CD D C 0.25 iˆ vC 0 iˆ 0.0.45. a barra AB gira com velocidade angular AB = 8 rad/s.35 m 0.2 CD 2 BC 0.1 BC 0 0.08 BC kˆ ˆj iˆ vC 0.12 0.2 8. No instante ilustrado. As barras AB.0 vB 0 10 kˆ 0.35 BC 0.12 m x z B 0. a barra AB gira com velocidade angular AB = 10 rad/s.25 m 0.08 ˆj 0.12 28 13.1 BC kˆ ˆj ˆj iˆ .96 iˆ 2 ˆj 0.12 iˆ 0.0.25 0. no sentido anti-horário.12 BC 0.12. No instante ilustrado.12.25. Cláudio S.96 iˆ 2 ˆj BC kˆ 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC.20 m Barra AB: B vB vA AB AB AB C A AB 0.12 kˆ ˆj ˆj vC 0. Pelas articulações A e D passam eixos fixos.12 iˆ 0.25 0.25 kˆ iˆ 8 0.08 BC 0 0. 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC.35 vC vB BC BC 0.5 iˆ Barra BC: vC vB BC BC BC C B 0.12 ˆj B 0.25. 32 BC j 0. 0.875 0.84 iˆ m C s C aB aA AB B A AB AB B A AB 0 f é constante. Para o instante ilustrado.45 CD 0.1 BC iˆ 0.19 21.p.12 0.19 BC kˆ ˆj ˆj iˆ 21.07 vC 7 iˆ 7 ˆj BC kˆ 0.19 BC kˆ ˆj ˆj iˆ vC 7 0.875 kˆ 21.32 BC 7 0 7 rad BC 21.25 10. a barra BC encontra-se articulada à barra AB e ao curso C.25.19 kˆ ˆj ˆj 7 4. deslocase apenas na horizontal.07.25 iˆ vC 0 iˆ 0.875 0.5 0.12 BC ˆj BC C B 0. Cláudio S.Cinemática dos Sólidos – Prof.0 15.19 ˆj 0.19 BC 0. 0.32 iˆ 0. No sentido horário.07 ˆj aB 100 kˆ 7 kˆ iˆ kˆ ˆj ˆj iˆ aB 700 kˆ ˆj iˆ aB 700 kˆ ˆj kˆ iˆ ˆj iˆ aB 700 iˆ 700 ˆj f 954.07 m B vC vB BC BC 21.32 iˆ 0.32 s 12 BC v 7 0. pedem-se: (a) a velocidade angular da barra CB.12 35 16.32 BC k iˆ 0.96rpm 0.25 iˆ vC 0 CD kˆ 0.12 m Ay x z Barra AB: 954.5 rad BC 35 kˆ 0.19 BC iˆ 0.96 r.875 0.07.875 kˆ 21. gira com frequência constante f =954.32 BC 7 ˆj vC 7 0.m.875 4. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre vC 3.19 ˆj ˆ aC 700 iˆ 700 ˆj 0.875 0.875 kˆ 21.96 Hz 60 rad 2 f 100 kˆ s vB vA AB AB AB B A AB 0.32 BC j 153. que está vinculado à uma haste horizontal fixa.07 iˆ 0.32 BC kˆ iˆ 0.07 ˆj vB 7 iˆ 7 ˆj Barra BC: vC 7 iˆ 7 ˆj 0.875 kˆ 0. A barra AB. aB 100 kˆ 100 kˆ 0.8 kˆ rad CD s CD 0.32 kˆ iˆ 21.25 CD 0.45 0. 0.07 iˆ 0.5 0.15625 iˆ ˆ ˆ aC 700 0. (b) a velocidade do cursor C.1 s BC 0. 0.1 BC 0 0.19 ˆj aC 700 iˆ 700 ˆj BC kˆ 0.15625 kˆ iˆ iˆ ˆj .12 BC 3.07 ˆj vB 0 100 kˆ 0.25 m 450 BC 0.0.0.875 v 2.875 kˆ 0.32 iˆ 0. e desta forma.32 kˆ iˆ 21.19 BC i 21. (c) a aceleração do cursor C.32 iˆ 0.916 0.07 iˆ 0.19 ˆj aC aB BC C B BC BC C B 0.19 BC i 700 0.32 m C 0.07 Barra CD: vC vD CD CD CD D C 0. Pela articulação.15625 iˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aC 700 i 700 j 0.19 kˆ ˆj ˆj 7 4.125 kˆ ˆj 21.25 CD ˆj 3.12.37. 24 e2 ˆj 2 0 ah aO h O h O 0.045 0.24 iˆ 2 aP aB 0.56 0.32 BC ˆj 0.35 ˆj 0. com aceleração constante ah = 45 mm/s2.35 iˆ 0. por uma haste que desloca-se horizontalmente a partir do repouso.43 kˆ 0.24 e ˆj 220.28 ˆj e2 k 0.28 0.25 iˆ vO kˆ 0. A esteira desloca-se com velocidade constante ve = 100 mm/s. A engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário com velocidade angular e1 constante.35 s 153.28 ˆj vPe vPe Ponto de engrenamento.24 e2 ˆj 2 aPe 126.19 BC iˆ 700 0.15 0.28 rad e2 30.33 0.125 iˆ 90. Para o instante em que a haste alcança a velocidade vh = 250 mm/s. (b) a aceleração do ponto P.56 0.56 iˆ aB 94.082 0.13 iˆ 0.1 iˆ 0.9179 0.19 BC 609.35 ˆj aPe aB e2 kˆ 0. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem respectivamente raios RA = 0.875 0.64 220. pedem-se: (a) a velocidade angular da polia.56 ˆj 0. Uma polia com raio R = 350 mm.875 0.19 1903.778 iˆ 2 aPe 94. é arrastada através de seu centro A.33 kˆ 0.38 k s 2 a 546.64 iˆ 0.5 m C C s2 361.56 iˆ B vB 7.35 iˆ 7.082 0.045 iˆ 0 kˆ 0.125 0. gira no sentido horário com velocidade angular AB = 13 rad/s.1 iˆ 0.1505 k i 2 aB aA AB AB AB AB 0.875 0.32 BC 0 aC 546.778 iˆ ae aO kˆ 0.43 0.24 s aB 0 kˆ 0.24 m.19 BC iˆ 700 90.24 iˆ vPe 7. A polia apoia-se em uma esteira e não escorrega em relação à mesma.38 a 908.35 ˆj ˆ ˆ ˆ 0 a 0. A haste AB.64 iˆ 0. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem respectivamente raios RA = 0.25 iˆ 0. A engrenagem .32 BC 1903.35 iˆ 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem e2. 1 ah 2 vPe vB e2 BPe2 2 R y vPe 2 x z vh vO Oh 0.35 iˆ 2 0.25 iˆ 0.082 ˆ rad BC 0.24 e2 ˆj 220.045 iˆ 0.642 13 y 11.32 BC ˆj 12.064715 ˆj aO 0. gira no sentido horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. de contato entre as engrenagens que pertence à engrenagem e2. (b) a aceleração angular da polia.33 kˆ 30. A haste AB.35 iˆ 0.045 rad 0.43 kˆ 0.9179 ˆj aC 700 153.Cinemática dos Sólidos – Prof.064715 ˆj e2 2 aPe 94.35 i 0.1285 2 0.24 e2 ˆj O x z 13. aC aC iˆ 0 ˆj 609.43 k ae aO e O e O aPe aB e2 BPe2 e2 e2 BPe2 2 O 0 aO 0.32 m e RB = 0.56 iˆ 13 kˆ 13 kˆ 0.56 ˆj aPe aA APe1 APe1 1 0.19 BC i 609.35 ˆ 0. Cláudio S.778 iˆ 0.35 0.28 0.35 ˆj 0.32 m e RB = 0.24 iˆ 30.35 ˆj kˆ kˆ 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre aC 700 0. A ˆ ˆ aC 546. vB vA AB AB v 0 13 kˆ 0.32 BC j engrenagem e1é fixa e permanece parada.24 m.24 e2 0 e2 ve vO ve 7.35 ˆj 7. Fixado ao disco. No instante ilustrado. que desloca-se apenas na horizontal. no sentido horário.56 iˆ aB 94. No instante ilustrado.56 ˆj /2 y v x v cos 90 v sen30 5 0. e o ângulo é = 300.56 iˆ 13 kˆ 13 kˆ 0. (b) a velocidade do ponto B da haste.32 s aB aA AB AB AB AB aB 0 kˆ 0. ou seja.167 m vB 3. 15. para a esquerda.Cinemática dos Sólidos – Prof.5 2.32 iˆ 1 A z vPe 0. Pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem e1. apresenta-se em translação. Cláudio S.32 e1 ˆj 1 vPe vB e2 BPe2 vPe 7.5 rad AC AC 0.28 ˆj 2 vPe vPe 0.75 kˆ 0. limitado por uma guia fixa. (b) a aceleração do ponto P. a velocidade angular do disco é = 2 rad/s.92 s vB L AB vB 20 0.349 s vC AC AC AC aPe aA e1 APe1 e1 e1 APe1 1 e 0 e é constante 1 1 aPe 22.32 e1 ˆj 7. com aceleração angular constante = rad/s2. pedem-se: (a) a velocidade angular da haste.167 14. A barra AB é empurrada pelo disco de raio R = 4 m. O movimento deste .62 iˆ 1 1 14. definido pela articulação A.75 kˆ 22. é articulada em A por onde passa eixo fixo e apresenta inclinada de 300 em relação ao horizonte.28 ˆj 0 2 2 vPe 7.92 tg15 0. que se move em translação com velocidade constante v = 5 m/s.5 R 30 R tg AC tg15 2 AC 4 AC AC 14. Na figura ilustrada. o disco gira em torno do eixo fixo. desliza na ranhura vertical de um dispositivo.2679 vC AC 2.28 rad e1 e1 22. de contato entre as engrenagens que pertence à engrenagem e2. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre B não gira em torno de si mesma.32 iˆ aPe 165.28 ˆj 1 2 7. um pino P.56 iˆ v cos 90 L R B vB 7.64 iˆ 0.75 0. A barra AB de comprimento L = 20 m.28 ˆj vPe vA e1 APe1 1 vPe 0 e1 kˆ 0. y B z x L A R v Colocando a origem em A: y B z x 14 C vB vA AB AB v 0 13 kˆ 0. 2 aNP 7.866 vPistão Pi m s2 m 1.712 ˆj 4.2 m.2 vP 1.712 ˆj A velocidade do ponto Pi da esfera de rolamento com a esfera interna é a mesma pois ela rola sem escorregar.99 vPi v0 k R iˆ P vA Ri vA 2 f Ri 3600 m vA 2 0. (b) a aceleração do pistão.256 aNP 2 R aNP 2 0.6283 cos30 7.9475 aPistão 376. teremos: 4.712 ˆj R ˆj R ˆj 4. aTP cos aNP cos 90 aN P x vA 4. com freqüência f = 3600 rpm.16 O rolamento ilustrado.2 aTP 0.0125 m. (b) a velocidade angular das esferas.0125 vA 4. rolam sem escorregar. apoiadas em ambas as pistas. As esferas do vPi vA 4. sua velocidade é nula: vPe v0 OPe vPe v0 kˆ R iˆ 0 v0 R kˆ iˆ ˆj v0 R ˆj Substituindo {2} em {1}.6283 2 s vP R vP 2 0.0877 s O ângulo entre as acelerações tangencial e normal é 90°.Cinemática dos Sólidos – Prof. que está em contanto com a esfera fixa. Para o instante ilustrado. A pista interna possui raio Ri = 0. Pedem-se: (a) a velocidade linear do centro das esferas. y P R z R x Ri 15 A O P R y B R y z x z A x A Pe Ri vP m s m aTP R aTP 0. enquanto que sua capa interna gira solitária a um eixo também fixo. A distância do ponto A ao pino P é.712 ˆj v0 R ˆj 4. apresentam raio R = 0.712 ˆj 2 R ˆj 2 R 4.403 iˆ 2 s 3. R = 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre dispositivo é transmitido a um pistão.712 . Cláudio S.712 ˆj v0 R ˆj Já no ponto externo da esfera de rolamento.712 60 s m 3.0025 me.895 2 vPistão vP cos30 vPistão 1. Logo: vPi v0 OPi vPi v0 R k iˆ vPi v0 R ˆj ˆj aTP 180 90 90 30 60 Como a aceleração do pistão está na direção x: aPistão aTP cos aNP cos aPistão 0. tem sua capa externa fixa. pedem-se: (a) a velocidade do pistão.895 cos 60 aPistão 0.544123 3.256 0. rolamento são idênticas entre si. 172 kˆ ˆj iˆ 0. de comprimento L = 0.2325 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.0866 kˆ ˆj ˆj iˆ vB 0. pedem-se: (a) a velocidade angular da barra AB. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 4. apresenta velocidade constante vC 0. e seu centro C.0025 s rad 942.0866 ˆj vB 0.1 cos30. do centro C do disco.1495 0.3 m 0. A barra AB. apoiado em superfície horizontal. Para o instante ilustrado.04 iˆ 0. Ay 0.712 4.04 iˆ 0. Cláudio S.2325 0.3 cos 60 0.05 kˆ iˆ 0. em contato permanente com a superfície horizontal.01162 ˆj 0.3 m 0.4 0.1495 B C 0.1 cos30 CB 0.0995 1.0995 CP R tg 90 tg 90 30 OP OP R tg 60 R OP tg 60 R 0.1645 A Ax .172 s vB vC CB vB 0.1 m.259 0. através da articulação B. dista 0. 0.356 ˆj s A 17. (b) a velocidade do ponto A da barra. 0.172 vP vC CP 0 0.04 iˆ 0.3 AB BH 0.1 sen30. Ay Ax AB cos PH Ay R CBsen A Ax .0025 ˆj C 0.04 rad 0. α 90°- O Da figura: H P 90 90 30 60 16 BH BH sen60 BH 0.1 sen30 OP 0.3 m. O disco ilustrado rola sem escorregar.732 OP R 0.0866 ˆj vB vC CB OP OH PH OP OH CB sen OP 0.0.05 iˆ 0.060135 iˆ 0.020135 iˆ vB 0.712 rad 942.1 m m v0 2. A articulação B.05 iˆ 0.04 m s .4 2 R 2 0. Ay 0.172 ˆj 0 0. quando = 300.259 tg tg 60 OH tg 60 OH OH sen 0. e mantém seu extremo A.1 m A vB vC CB B CB sen .259 0.04 iˆ kˆ 0.2325 kˆ 0.04 iˆ 0.01162 ˆj A Ax . CB cos B 0.063.4 kˆ s v0 R ˆj α B v0 942.1645 . é acionada pelo disco.2325 0. 1 vA 0. (b) a aceleração do ponto B.12 CB B C CB 0.45 rad 5 2 0. que a velocidade no ponto B do carretel. Um carretel constituído por cilindros de raios R1 = 90 mm e R2 = 120 mm.2511 ˆj 0.12 CB 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.01162 ˆj BA kˆ 0.09 rad 0.81 ˆj 2 s AB B A AB 0.12 0.113 BA ˆj vA vA iˆ 0 ˆj vA 0.060135 0. pedem-se: (a) a aceleração do ponto A.113 s 18.060135 0.09 C 0. 0. no instante considerado.0 B 0. desloca-se a partir do repouso. aB R1 iˆ 2 R1 ˆj m aB 0. O carretel não escorrega em relação ao piso.09 0.2511 BA 0.0 17 AB 0. pois o fio não escorrega. O ponto D. 0.09 aA 0. com aceleração constante à aD = 450 mm/s2.060135 0. Para o instante que este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s. a aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D.09 iˆ 0 kˆ 0.2511 ˆj vA vB BA BA vA 0.113 BA 0 m vA 0.09 ˆj Aplicando a semelhança entre os triângulos: R2 R1 R2 R1 aA aBT CIR aA R2 a 0.03 3 0. 0. é acionado por um fio enrolado ao mesmo.8 iˆ y z R2 A R1 x D B C A velocidade no ponto D é a mesma.45 vA 0.09 iˆ 0. Um carretel constituído por cilindros de raios R1 = 90 mm e R2 = 120 mm.09 0. A velocidade no ponto C é nula. O fio não escorrega em relação ao carretel. 0.1645 0.2511 BA iˆ 0.09 s aB aBT aBN R1 0.03 s aBT aD BA 0. do carretel.113 iˆ 0.2511 BA iˆ vA 0. da extremidade do fio.01162 ˆj 0.2511 BA 0.12 A aBT R2 R1 aBT 0.01162 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre BA A B 0.100 0.03 ˆj 0. do carretel.113 BA ˆj 0.12 aA 4 aBT aA 4 0.05.45 aBT 0.09 0.060135 iˆ 0.035 s 0. é acionado por um fio enrolado ao mesmo.113. Para o instante que este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s.45 iˆ 0.pois o carretel não desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A: vB vC CB A 0. O ponto D. 0. da extremidade do fio. Cláudio S.03 aA 1.0.01162 0. com aceleração constante à aD = 450 mm/s2. 0. desloca-se a partir do repouso. pedem-se: . 0. conforme ilustrado.03 iˆ 0. conforme ilustrado.01132 rad BA BA 0. O fio não escorrega em relação ao carretel.03 ˆj 19.113 iˆ 0.0866 0. O carretel não escorrega em relação ao piso.063.060135 iˆ 0.2511 0. (b) a velocidade angular da roda traseira. (e) a aceleração do ponto superior da roda traseira.0.12 4 4 aA aBT aA 0.09 0.12 A 18 aBT R2 R1 aBT 0. do carretel. (d) a velocidade do ponto superior da roda traseira. A velocidade no ponto C é nula. 0. no instante considerado. (c) a velocidade do ponto superior da roda dianteira.21 s aBT aD 0.45 iˆ 0.12 CB B C CB 0.45 R aB R1 iˆ 2 R1 ˆj a v 20 iˆ 0. que a velocidade no ponto B do carretel.428 0.09 0. 0.09 iˆ 0 kˆ 0.09 R2 A aA 0.09 iˆ 0.09 rad 0.45 aBT 0.60 m e desloca-se em translação com aceleração constante a = 4. No instante considerado. tem rodas dianteiras com diâmetro 0. vB vC CB A 0.4282 0. pois o fio não escorrega. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre (a) a aceleração do ponto A.017 ˆj 2 s R CIR R2 vs 2 R vs 2 v v R m vs 40 s as 2 R as 2 a a R .21 iˆ 0.pois o carretel não desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A: 20.21 ˆj 0.09 s aB aBT aBN vs R1 0. Aplicando a semelhança entre os triângulos: aBT R1 aA R2 R1 y CIR z R2 x D B aA R2 a 0.12 0.21 7 7 R1 C aA 0.7 m/s2.0 B 0.26 iˆ A velocidade no ponto D é a mesma. a aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D.21 ˆj 0.12 CB 0. Um pequeno automóvel. (b) a aceleração do ponto B. Considerando-se que não ocorra escorregamento entre as rodas e o piso.Cinemática dos Sólidos – Prof.0. a velocidade do mesmo é 20 m/s (72 km/h). Cláudio S.09 C 0.09 m aB 0. para o instante descrito. pedem-se: (a) a velocidade angular da roda dianteira.45 rad 5 2 0.21 aT 0. do carretel.45 m e traseiras com diâmetro 0. Cinemática dos Sólidos – Prof. (b) a velocidade angular da barra AB. (c) a velocidade do cursor B.42 1333.15 rad 0. pedem-se: (a) a velocidade angular do tambor. O cursor A. desloca-se na vertical.45 2 s v 20 rad RT RT 66. gira com velocidade angular = /2 rad/s no sentido horário e seu .444 0.67 RT 0.: vCIR 0 v R v R v 20 rad RD RD 88.67 vC vC rCP rCP 0.4031 cos 10m CIR = B vA rAB 2 rad 0.196 0.45 m. ao cursor A só é permitido deslocamento vertical e ao cursos B só é permitido deslocamento na direção inclinada de 45 0 em relação à vertical.7648 s m v R v 0.45 0.764 SP 0. (b) a velocidade do centro do tambor. subindo.65 SC arctg 0. No arranjo ilustrado. Um tambor de raio R = 0.61 SP sen SP R sen R SP 0. com velocidade constante vA = 2 m/s.4 iˆ 1333.45 arccos0.4 m s2 No C.25 m. desta forma. Para estas condições. F R h vC 2 CP SC SP 2 CP 0. e desta forma fica garantido que a distância entre os mesmos não se altera. Cláudio S. estão articulados aos extremos A e B de uma barra. os cursores A e B.R. A roda ilustrada possui raio R = 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre aT 2 4.25 SC 0. o centro instantâneo de rotação é o ponto P: logo: SC 2R h SC 2 0. y C h 0.89 RD 0.45 sen63.6169 31.652 0.2 10 s vA rAB vB 0 23. Para o instante descrito.45 0.I.2 m.3 ˆj a 9.25 cos 0.09 s O R S z F A P 450 Nesse instante.401 tg tg tg 0.45 v 0.65 2 2 CP SC SP OS Rh cos cos R R x vA B B 19 22.40312 CP 0. é acionado através de uma corda enrolada no mesmo.6169 0. com o intuito de fazê-lo subir um degrau de altura 0. No instante em que o tambor perde contato com o plano horizontal.444 63. 4 m s2 21.72 0.196 0.3 ˆj a 9. Os cursores deslizam livremente encaixados em sulcos que limitam seus movimentos.15 m/s.4 iˆ 66.32 a 1333.7 aT 9. Não ocorre escorregamento entre o tambor e o degrau. pedemse: (a) o CIR – Centro instantâneo de rotação da barra AB.60 2 s R D R T a aN aT a 9.612 SP 0. o topo do tambor tem velocidade vC = 0. (b) a velocidade angular da engrenagem E3.66 kˆ 0. B e C. que faz contato com a engrenagem E2. vPE 2 vPE E vB 2 3 vC m s vB ABC rA rB vB 30 0.192 iˆ 41.66 kˆ 0.64 E2 71. Pedem-se: (a) o CIR da roda.638 ˆj vPE E 41.288 vPE E vB E2 BPE2 E3 2 3 vPE E 20.288 iˆ 20.192 0. (c) a velocidade do ponto de contato com o piso.2 0.192 E3 ˆj E 3 41.04 ˆj 0.Cinemática dos Sólidos – Prof. ou seja.28 ˆj vC 35.64 ˆj E2 kˆ 0.28 ˆj vC 35. 24. em torno de seu eixo fixo que passa pelo ponto A.688 m 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre centro se desloca com velocidade vC = 0. sem derrapar: vC 0.073m vC r rCIR Como 1 < .64 vC ABC rE1 2 rE2 rE3 vC 30 1.288 E2 E 2 20.288 0. (c) a velocidade do ponto da engrenagem E3.5 0. A engrenagem E1 é fixa..480 m R 20 vC r r r vC 0. a roda irá derrapar.192 rad E3 32. que faz contato com a engrenagem E2.1273 rCIR 0. (b) determinar se a roda escorrega ou não. Cláudio S.04 E3 32. três engrenagens estão engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos A. Para o instante ilustrado. mantém-se estacionária. no sentido horário. No arranjo ilustrado. (d) a aceleração do ponto da engrenagem E3.28 35.688 vB 20.688 vB 20. pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem E2.4 0. A barra ABC gira. com velocidade angular = 30 rad/s. y y z x vC C B A x z 30 CIR 0.28 ˆj 2 3 2 3 vPE E vC E3 CPE2 E3 2 3 41.64 ˆj 20.288 0.64 ˆj 71.2 rad 1 r 0.1273 R r 0.64 ˆj 0..2 2 Para o CIR no ponto de contato.04 ˆj E3 kˆ 0.288 iˆ 2 3 vPE E 20.168 vC 35.2 s r 0.64 ˆj m s vPE vB E2 BPE2 2 0 20.5 kˆ s .04 ˆj A 0 vA 0 ve 0 m s P2 vB AB rAB vB 30 0.2 m/s para a direita. que faz contato com a engrenagem E2.192 aPE E 1051.176 iˆ 2 3 m aPE E 849.288 kˆ iˆ 2 1 ˆj vPE E 20. que faz contato com a engrenagem E2.04 14.288 E2 35. apresenta movimento de translação. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre vPE vB E2 BPE2 2 aC aA ABC AC ABC ABC AC 30 CIR aC 0 0 30 kˆ 30 kˆ 1.2 iˆ y z x aPE E aC E3 CPE2 E3 E3 E3 CPE2 E3 A 2 3 C B 0.624 iˆ 2 2 3 s 25. três engrenagens estão engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos A. com velocidade angular = 30 rad/s. (d) a aceleração do ponto da engrenagem E3.24 ˆj 2 3 aPE E 1051.288 x m s vB E2 BPE2 E3 vB 20.Cinemática dos Sólidos – Prof.4 E2 0.288 iˆ 2 1 vPE E 20.5 kˆ 6.04 ˆj 20. (b) a velocidade angular da engrenagem E1.64 ˆj vPE E 2 3 vPE E 20. ou seja.64 ˆj E2 kˆ 0.688 m 0. em torno de seu eixo fixo que passa pelo ponto A. B e C.1618 vC 35. no sentido horário.288 iˆ 2 3 vPE E 35.64 ˆj 50 0.64 ˆj 14.288 0.480 m 21 aPE E 1051.04 ˆj E 0 vP 3 E3E2 m s vC E3 PE3E2 vPE E vC 3 2 vB ABC rAB vB ABC rA rB y z vB 30 0.192 iˆ 2 3 0.8 iˆ 202.04 2 3 E 2 20.2 iˆ 32.5 kˆ 0.64 35.8 iˆ 32.288 0.04 1.4 0.192 vC 35. No arranjo ilustrado.4 ˆj 2 1 . A barra ABC gira. pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem E2.64 0. Cláudio S. Para o instante ilustrado.288 rad E2 50 kˆ s vPE E vB E2 BPE2 E1 2 1 vPE E 20.288 0.288 0. vC ABC rAC vC ABC rA 2 rB rC vC 30 0.4 2 0.64 ˆj 50 kˆ 0.4 0. A engrenagem E3 não gira sobre si mesmo.5 kˆ 32. (c) a velocidade do ponto da engrenagem E3.168 iˆ aC 1051. 6 kˆ 1 rad s 0 aPE E aB E2 BPE2 E3 E2 E2 BPE2 E3 2 3 2 3 619.77 ˆj 0.24 ˆj 0 E1 kˆ 0. com velocidade angular = 2 rad/s.1m 0.0137 ˆj 3.4 0 aPE E E1 A 6.1 iˆ 2 '1 0 2.4 kˆ ˆj E2E3 B C 2 0. B e C. m vPE E 5.2 iˆ aPE E E3 22 0. Para o instante ilustrado.Cinemática dos Sólidos – Prof.2 iˆ 50 kˆ 50 0.1 0. No arranjo ilustrado.1 kˆ s E 2 iˆ m aPE E 1339.5137 ˆj vPE E 2 1 vPE E 0 2. três engrenagens estão engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos A.3 2 0.1 E2 ˆj 2.0137 ˆj 2 3 s vPE E vPE E 2 3 3 2 vPE E vC E3 CPE3E2 3 2 5.1 iˆ 5.1 rad E2 25.4 E1 ˆj E1 x vPE E vC E3 CPE3E2 3 2 vC ABC rA 2 rB rC vC 2 0.2 iˆ 50 14.5137 0.24 ˆj 2 1 m s y m vPE E 1 2 s vA E1 APE1E2 vPE E 6. (b) a velocidade angular da engrenagem E3.288 iˆ 619.1 vC 3.5137 ˆj E2 kˆ 0.5137 ˆj 0.77 ˆj s vPE E vB E2 BPE2 E3 2 3 vPE E 2. no sentido horário.5 ˆj 2 3 26.24 0. Cláudio S.77 m s m vC 3.2 iˆ 50 kˆ 50 kˆ 0. em torno de seu eixo fixo que passa pelo ponto A.77 ˆj E3 kˆ 0.1m m s vB E2 BPE2 E1 vB 2.5137 aB 30 kˆ 30 kˆ 0. A engrenagem E1 é fixa e permanece estacionária. pedem-se: (a) a velocidade angular da engrenagem E2.1 kˆ 0.4 iˆ 6.5137 ˆj 25.4 vB 2. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre vPE E 6.688 iˆ aB 619.24 ˆj 0.1 E3 ˆj m s .1 0.0137 ˆj 3.1 iˆ 2 3 vPE E 2. A barra ABC gira.3m aB aA ABC AB ABC ABC AB 2 3 E2 6.5137 ˆj 2.1m vB ABC rA rB vB 2 0.288 kˆ iˆ ˆj aP 619.24 ˆj 2 1 vPE E 1 2 z E 15.2 iˆ 2 2 3 s 0. Cinemática dos Sólidos – Prof. e cada extremidade é desacelerada de forma diferente.0 m/s2 enquanto a extremidade B desacelera com aB = 5.0 m.34 0.0 m/s2. No instante em que se aplicam os freios ocorre um problema. desta forma.77 rad E3 12.34 kˆ s 27. Uma viga de comprimento 4. 23 4m aA A B y v z x aA aC CA CA aA ac ˆj kˆ 2 iˆ kˆ kˆ 2 iˆ 2 ˆ aA 2 i ac 2 ˆj 3 ˆj aB aC CB CB aB ac ˆj kˆ 2 iˆ kˆ kˆ 2 iˆ 2 ˆ aB 2 i aC 2 ˆj 5 ˆj 0 m rad aC 2 5 ac 4 2 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre E 3 5. (b) a aceleração do ponto médio da barra. Cláudio S.1 s rad E3 12.5 kˆ 2 s s aB . a extremidade A desacelera com aceleração aA = 3. é abaixada por intermédio de dois cabos presos em suas extremidades A e B.5 2 s s a 2 3 C m rad ac 4 ˆj 2 0. Pedem-se: (a) a aceleração angular da viga.0137 3. B. ˆj iˆ vB 0. determine a velocidade de B no instante que = 450.J.1 2 kˆ ˆj y s r cos y r cos Para obter as velocidades.1 2 ˆj v v kˆ r rAB 0. Determine as relações entre as grandezas angulares do movimento de uma roda de raio r que gira sem escorregar no chão em termos de suas grandezas lineares. faremos as derivadas com respeito ao tempo: dx dr d d x sen r cos dt dt dt dt x r sen r cos x r sen r 1 cos 0 v0 x v0 1 cos Analogamente: Para Encontra-se: rAB B A rAB 0.2 sen450 . velocidade e aceleração do seu centro.1 2 0 10 2 0. vC 0 aC r 2 ˆj 2. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre No instante de contato (demonstre): Exercícios – Livros: Kraige. Cláudio S.1 2 kˆ iˆ 0.1 2 iˆ 0.2 a0 r Da figura. 24 vB vA rAB Observe que o deslocamento linear s do centro O da roda é igual ao arco de comprimento C A .1 2 ˆj Mas: vB vb iˆ m vb 10 2 0.1 2 vb 2 s vb 0.1 2 iˆ 2 0. = 0.2 j 2 2 rAB 0. Relações: x r v0 r 2 ˆ 2 ˆ i 0.1 2 2 rad 2 0.2 cos 450 a y v0 sen aceleração. o ponto O indicado na figura. Os pontos A e B da barra movem-se sobre os guias mostrados.0 0.1 2 ˆj r vB 2 ˆj 0. observe que: x s r sen x r sen B A AB r vB 2 ˆj kˆ 0.1 2 iˆ 0.0. derivamos as x a0 1 cos r 2 sen y a0 sen r 2 cos vC x iˆ y ˆj aC x iˆ y ˆj velocidades.Cinemática dos Sólidos – Prof.1 2 s . Adotamos a origem do sistema de coordenadas como o ponto C de contato da roda com o chão. Se vA = 2 m/s para baixo. e Hibbeler 1. 0.1 s vA 7.5 arctg y arctg 38.5 ˆj s ft vA 9.5 ˆj 15 kˆ vA 2 iˆ 15 kˆ 0. Cláudio S.5 iˆ vA 2 iˆ 7.0 0.1 s 38. Determine a velocidade angular da barra CB nesse instante. O cilindro possui uma velocidade angular no sentido horário de 15 rad/s.6 sen450 vAy 7.52 vA 12.6 vAy vBy vBA y vAx 0 10.5 ˆj vA 2 iˆ 15 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 2.2 ˆj .2.5 iˆ 0.5 iˆ 0.6 cos 450 vAx 9. O colar C está se movendo para baixo com uma velocidade de 2 m/s.5 iˆ 7.5 vAx ft vA 12.2 iˆ 0.5 iˆ ft vA 9.2 Solução: Análise escalar: rCB 0.5.0 0. vB vC CB rCB rCB B C 0. Determine a velocidade do ponto A do cilindro.5 ˆj 7.5 kˆ iˆ 15 0.5 ˆj 7.6 0 sen45 s vA vB vBA vA B rBA sen450 vA B vAx vBx vBA x vAx 2 10.Cinemática dos Sólidos – Prof.2 9. horizontal.5 rBA 0.20 O movimento de C para baixo causa uma rotação no sentido anti-horário da barra CB. r r rBA rBA sen450 r ft 15 vA B 10.5 25 3. O cilindro da figura rola sem escorregar sobre a superfície da esteira que possui velocidade vC = 2 ft/s. vA vB rBA vB vC 2 iˆ rBA BA A B rBA 0.0.5 kˆ ˆj vA 2 iˆ 7.52 7. 1732 kˆ iˆ 10 0.7322 vA 19 s m vA 19 23.2 iˆ 0.1732.2 2 2 rad 10 0.1732 iˆ 0.732 ˆj m vA 42 1.2 kˆ ˆj vB 0.0.2 O 0.1732 iˆ 0.2 10 vA O 2 s vA2 vO2 vA2 O 2 vO vA O cos 60 vA 3 iˆ 1.3 s vA 3 iˆ 10 0. com velocidade de seu centro O dada por: v0 = 3 m/s. Uma roda de raio 300 mm rola para a direita sem escorregar.2 ˆj vB ˆj Veja como foi aplicada a lei dos co-senos: iˆ vB 2 ˆj 0.0 A O 0.1 ˆj 10 kˆ vA 3 iˆ 10 kˆ 0. r0 sen30 A 0.1 ˆj 3 rad v0 r 10 0.1 0.2 2 0 α c b a a2 b2 c2 2 b c cos b2 a 2 c2 2 a c cos 26 c a b 2 a b cos 2 4. Cláudio S.2 ˆj vB 2 ˆj kˆ 0. Calcule a velocidade do ponto A da roda no instante representado.4 s 1 m vA2 32 22 2 3 2 vA2 19 vA 19 2 s ˆj iˆ .2 iˆ 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 2 ˆj kˆ 0.1 kˆ ˆj m vA O r0 vA O 0.2 kˆ iˆ 0. 2 2 b c 180°- b2a a 2 c2 2 a c cos 180 cos cos cos sen sen cos 180 cos180 cos sen180 sen 1 cos 180 cos Solução 1: Geométrica-escalar: 0 b a 2 c2 2 a c cos 2 Solução 2: Vetorial: vA vO vA O vA 3 iˆ A O vA vO vA O A velocidade angular no ponto A é a mesma que no ponto C da periferia: A r0 cos 30.2 iˆ 0.2 s 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.732 ˆj 1 iˆ vA 4 iˆ 1.2 2 ˆj vB 2 iˆ 0. 8 kˆ ˆj m vB 1. (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem.8 iˆ vB 2 iˆ s vD vA AD vD 1.2 iˆ 1.0 iˆ s Velocidade do ponto D: vD vA rAD (c) Se a aceleração do ponto A vale 3 m/s2 para a direita e sua velocidade 1.15 iˆ 5. Na translação. todos os pontos da engrenagem deslocam-se com a mesma velocidade va. Assim.1 ˆj m vR vB 1.2 ˆj vP rAP rAP P A Aqui rPA é o vetor de posição de P em relação a A.22 vD 2.2 m/s para a direita. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre vD 1. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionária. Determinar: (a) a velocidade angular da engrenagem.1 ˆj iˆ vB 1. cada ponto P da engrenagem se desloca ao redor de A com velocidade: Resumindo: vC vA AC 0 vA 1.2 iˆ 8 kˆ 0.15 8 rad / s vR vB vA AB vR vB 1. 2r1. a velocidade do seu centro A é de 1.7 s tan 1 45 m m vD 1. determine a aceleração angular da engrenagem e as acelerações dos pontos B.Cinemática dos Sólidos – Prof.2 iˆ 8 kˆ 0. Cláudio S. Na rotaça.2 iˆ 8 kˆ 0.7 4527 s s Como a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior.2 iˆ 8 kˆ 0.8 iˆ vB 2. C e D da engrenagem.2 m/s para a direita.2 iˆ 1.15 iˆ vD 1.150 s rad kˆ 8 kˆ s O rolamento é decomposto em dois movimentos: um de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste centro.2 iˆ 1. escrevemos: xA r1 dxA d r1 vA r1 dt dt v 1. seu centro A percorrerá uma distância igualao comprimento da circunferência exterior. para cada rotação completa da engrenagem. (xA > 0). Como 1 ver = 2 rade.88 1. quando A rola para a direita.2 rad A 8 r1 0. . a velocidade da cremalheira superior é a velocidade do ponto B: vR vB vB vA vAB vB vA rAB vB 1.2 ˆj s m vD 1.2 ˆj vD 1.2 iˆ 0.2 iˆ 0.22 1.2 iˆ 0. a engrenagem gira em sentido horário ( < 0).2 R 0.15 kˆ iˆ m vD 1.2 iˆ 8 0. ˆj vD 1. 0762 209. Cálculo das acelerações nos pontos.203 0.15 iˆ 8 kˆ 8 kˆ 0.4 aB 8.15 rad 20 20 kˆ 2 s aCT 3 0.8 iˆ aB 5 iˆ 6.1 -0.15 ˆj B A 0. No sistema esboçado. aD aA D A D A 3 iˆ 3 ˆj 8 kˆ 1. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Ponto A B C D x(m) 0 0 0 -0.6 ˆj m aC 9. (b) a velocidade do pistão P.1 ˆj aB y 28 6.1 ˆj 8 kˆ 8 kˆ 0.15 ˆj 8 kˆ 8 kˆ 0.0762 0. Cláudio S.6 iˆ aD 12.15 iˆ aD aD 3 iˆ 3 ˆj 9.40 12.45 3 s s ⦨13.203 .0762 0.45 m vAB 15.4 520 5 aC aA C A C A D A 0.95 500 s Movimento da Biela BD: Aplicando a lei dos senos: sen sen40 sen40 sen 0.15 ˆj aC 3 iˆ 0.6 ˆj m s2 6.95 arctg aD y arctg aDx aD 12.Cinemática dos Sólidos – Prof.95 m s2 m s2 200 rad rad 209.6 2 90 s aC 3 0. a manivela AB possui uma velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no sentido horário.4 ˆj aB 52 6.2 ˆj aD 3 iˆ 20 kˆ 0. Determinar para a posição da manivela indicada na figura: (a) a velocidade angular da biela BD.15 ˆj 3 0.6 iˆ 3 ˆj aD 12.15 Vetores arctg y(m) 0 0.6 aB 3 iˆ 20 kˆ 0.62 32 aD 12.2 iˆ aC 3 iˆ 20 kˆ 0.40 3 iˆ 2 iˆ 8 kˆ 0.15 iˆ 8 kˆ 1.2 iˆ aC 3 iˆ kˆ 0.15 0 aBx ⦫52 0 3 iˆ 3 iˆ 8 kˆ 1.15 iˆ aC aA C A C A aC arctg aB 8.6 2 s 900 0 m aC 9.12 C A 0.1 ˆj aB f 2000rpm f 2000 2 f aB aA B A B A m s2 vAB r AB vAB 0.15 ˆj 8 kˆ 8 kˆ 0.15 iˆ 9.12 2 1 100 Hz f Hz 60 3 3 13.15 0 aC 9. 1 m de raio que gira no sentido horário a 30 rad/s quando = 600.9 sen50 sen76.2 sen600 ˆj B 40 D 90 13.2 sen76.14 BD BD 62 rad s Observe que a velocidade vD do ponto D.95 sen50 BC 10.9 DB vDB sen50 sen53.196 iˆ 8 BC CD BD sen76.2 BC 3 ˆj .2 cos 600 kˆ iˆ 30 0.5 76. vD vB vDB 29 Fazendo o diagrama vetorial dessa relação: vD v vB DB sen53.6 m s 7.9 sen50 sen76.1 s Utiizando o CIR: vB AB rAB vB 30 kˆ 0.95 B 53.9 m vD sen53.196 iˆ 3 ˆj BC kˆ 0. Decompondo o movimento de BD: Movimento plano de BD= Translação + rotação vD CD BD vD 43. onde a biela se une ao pistão.2 cos 600 iˆ 0. Determine a velocidade angular da barra BC e da roda nesse instante.196 iˆ 0.2 iˆ vC 5.1 m vDB 12.9 15.14 CD 8.05 vB 30 0.2 m de comprimento está presa a uma roda de 0.Cinemática dos Sólidos – Prof.96 vB BC BD 628.241 13. Cláudio S.196 iˆ 3 ˆj vC vB BC rBC vC 5.241 arcsen0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre sen 0.05 sen53.1° s 15.13 10. A barra AB de 0.9 vD 13.1 sen76. deve ser horizontal.95 D 76.1 vD v 15.44 vB 5.2 sen600 kˆ ˆj vB 3 ˆj 5. 1 D kˆ ˆj 5.196 iˆ 0.196 iˆ 0.196 iˆ D kˆ 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre m vC 5.1 ˆj iˆ 5.Cinemática dos Sólidos – Prof.1 D iˆ 5.196 iˆ 0.196 s 15 vC iˆ 5.96 0.196 D D 51.1 D 5.2 BC 3 ˆj 3 rad BC 0.1 s 30 .2 s Na polia com centro em D: vC D rC 5. Cláudio S.196 rad 0. Determinar (a) a velocidade angular da haste.32 10 vD 38. .55 r 0.57 sen50 sen50 s vAB l v 7.63 s 10 D arctg D 15 37. 4. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos ligados a A e a B (figura anterior) que deslizam nas ranhuras mostradas. Se o diâmetro da roda é 0. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Exercícios 1. Um automóvel se desloca para a direita a uma velocidade constante de 72.378 s sen sen cos sen cos sen sen cos sen cos 2 2. Pequenas rodas foram colocados nas extremidades da haste AB e rolam livremente ao longo das superfícies mostradas. determine as velocidades dos pontos A. 3.559 r r 0. Determinar: (a) a velocidade angular da haste.32 iˆ 10 ˆj m vD v v vD 37.412 sen50 sen50 s sen75 sen75 in vAB vB vAB 6 vAB 7.Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. (b) a velocidade do pino no final B. (b) a velocidade do pino A. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos ligados a A e a B que deslizam nas ranhuras mostradas.2795m 2 2 20 rad r 71. vR vB vB vA vAB km m vA 20 h s vB| A vD| A vE| A r vA 72 vC| A r vC| A 75° vA D 0. = 30 ° e o pino em A se move para baixo com uma velocidade constante de 9 pol/s.57 AB l 20 rad 0.2795 s vC vA vC| A vC 20 20 vC 0 30° vD vA vD| A vD 20 iˆ 20 cos30 iˆ sen30 ˆj vD 20 20 cos30 iˆ 20 sen30 ˆj vD 37. com uma velocidade constante de 6 polegadas/s. = 40° e o pino em B se move para cima e para a esquerda. No instante mostrado.4 km/h. B C D e E à margem da roda.32 2 x 2 y 2 90 vC| A 15 31 vB v AB vB v vA AB sen 90 sen75 sen 15 vB v vA AB sen 90 40 sen75 sen 15 40 vB v vA AB sen50 sen75 sen55 sen55 sen55 in vA vB vA 6 vA 6. No instante mostrado.559 m. determinar: (a) a velocidade angular da haste. O Colar B se move para baixo para a esquerda com uma velocidade constante de 1. C e D valem 30 mm e o raio da engrenagem externa E vale 90 mm. 32 5. C e D conectadas entre si. B vB B rB 30mm H vH vH vE B BE 240 iˆ 540 iˆ B kˆ 60 ˆj 240 540 iˆ 60 B kˆ ˆj iˆ 300 iˆ 60 B iˆ 60 B 300 .2 m/s no instante mostrado quando =25°.Cinemática dos Sólidos – Prof. No instante indicado quando = 40 °. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo dispositivo está esquematizado. (b) a velocidade angular da aranha formada pelas engrenagens B. Um colar se move para cima. determinar: (a) a velocidade angular da haste AB.5 m/s. os raios das engrenagens A.6 m/s. Gola. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Sabendo que uma roda se move para a esquerda. E 2 f E E 2 180 rpm A 2 f A A 8 240 rpm rad s rad s Engrenagem E: (externa) vE E rE vE 6 90 vE 540 mm s Engrenagem A: vH A rA vH 8 30 vH 240 H A rA 30mm mm s vH A Engrenagem B: E rB 30mm 6. (b) a velocidade de A. B. (b) a velocidade de B. determine: (a) a velocidade angular de cada engrenagem. 6. com uma velocidade constante de 1. Determinar: (a) a velocidade angular da haste AB. (b) a velocidade da extremidade B da haste. Cláudio S. Sabendo que a engrenagem E tem freqüência 120 rpm no sentido horário e a engrenagem interna central A possui freqüência 150 rpm no sentido horário. com uma velocidade constante de 1. AB = 7 rad/s. No instante ilustrado. determine a aceleração do dente da polia E em contato com: (a) a engrenagem A. A barra AB. (b) a engrenagem E. a barra AB gira com velocidade angular. BC e CD.Cinemática dos Sólidos – Prof. em m/s ? (b) qual a aceleração do ponto B. O cursor C desloca-se sobre barra horizontal fixa. e aceleração angular nula. C e D são iguais a 3 in (3 polegadas). Para o instante ilustrado. 9.5 kˆ 7. O cursor C tem seus movimentos limitados por haste fixa. no sentido horário. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre B 300 rad B 5 kˆ 60 s vB vH B HB vB 240 iˆ 5 kˆ 30 ˆj vB 240 iˆ 150 kˆ ˆj vB 240 iˆ 150 iˆ rad s f B 150 rpm B v2 v1 B b v3 v2 B b v3 a 2b E rad C 5 s fC 150 rpm rad D 5 s f D 150 rpm Spider: vB S rS 60mm vB S rS S S 390 60 a 2b E a A 2 a 2b E a A B Velocidade angular das engrenagens planetárias: B 5 v1 A a v2 s a b v2 m vB 390 iˆ s Velocidade Spider E iˆ Engrenagem A vB rS S 2b a 2b E a A 33 2 a b 1 E 0 S A 5 8. em m/s² ? (c) qual a velocidade do ponto C. no instante ilustrado: (a) qual a velocidade do ponto B. no sentido horário. os raios das engrenagens A. Qual a velocidade angular da barra CD. As barras ilustradas. em m/s² ? rad s f s 195 rpm S 6. gira com velocidade angular constante = 7 rad/s. em m/s. A barra AB gira no sentido horário com velocidade angular AB = 15 rad/s. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo dispositivo está esquematizado na figura do problema anterior. . são articuladas entre si. Cláudio S. em rad/s ? E A B 3 a 0 A 1 b 2 v2 B E 10. AB. encontre: (a) a velocidade do ponto B. B. Sabendo que a engrenagem A tem uma frequência constante de 150 rpm no sentido horário e a engrenagem E está estacionária. ilustrada. (1 in = 2. em m/s ? (d) qual a aceleração do ponto C.54 cm = 1 feet/33). Sabendo-se que a velocidade angular do braço AB é 90 rpm no sentido horário. no sentido horário. conforme ilustrado.m. em rad/s. no sentido horário. tem velocidade angular constante = 3 rad/s. em rad/s ? (b) qual a velocidade do cursor C. A barra AB. As barras AB. BC e CD. 12. Para o instante ilustrado. são articuladas entre si conforme ilustrado. em rad/s. (b) a velocidade angular da barra BC. (b) a velocidade angular da barra CD. 34 14. Cláudio S. 11. gira com freqüência constante f = 954. A barra AB. determinar a velocidade angular correspondente da engrenagem B. no sentido horário. encontre: (a) a velocidade angular da barra AB. no sentido horário.p. A barra AB gira com velocidade angular constante AB = 6 rad/s. são articuladas entre si. em rad/s ? 16. para o instante configurado: (a) qual a velocidade angular da barra BC. em m/s². O cursor C está vinculado a uma haste horizontal fixa. No arranjo ilustrado. O braço AB do sistema anterior gira com 42 rpm no sentido horário. (a) Qual a velocidade do cursor C. no sentido horário. As barras AB. em rad/s ? (b) qual a aceleração do ponto B. O cursor C tem seus movimentos limitados por haste fixa.96 r. (d) a aceleração do ponto CB. A barra CD. Para o instante ilustrado: (a) qual a velocidade angular da barra BC. conforme ilustrado. Determinar a velocidade angular necessária de engrenagem A para os quais . são articuladas entre si. BC e CD. em m/s². em rad/s. As barras AB. em m/s² ? 13. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre (b) a aceleração do ponto B. em m/s ? (b) Qual a velocidade angular da barra BC. 12. (c) a velocidade angular da barra BC. BC e CD. AB = 9 rad/s. em rad/s. em m/s ? 15. Para o instante ilustrado. o disco AB gira com velocidade angular constante. tem velocidade angular constante = 5 rad/s. encontre: (a) a velocidade angular da barra BC. A engrenagem A gira com uma 120 rpm no sentido horário.Cinemática dos Sólidos – Prof. (b) = 90 °. (b) a velocidade do dente de engrenagem localizado no ponto D. Sabendo que a manivela AB gira com frequência de 160 rpm. . determine expressões para a velocidade do bloco B e para a a velocidade angular da cremalheira em termos de r. determinar as velocidades dos pontos B. a velocidade angular de (a) do disco A. determinar: (a) a velocidade angular da engrenagem B. Se o diâmetro de uma roda é de 22 cm. determinar a velocidade do pistão P e a velocidade angular da haste de ligação quando (a) = 0°. (b) o movimento da engrenagem B é uma translação curvilínea. e D. determinar a velocidade angular da haste e o BD e a velocidade de gola D quando: (a) = 0°. como mostrado. Um automóvel viaja para a direita a uma velocidade constante de 48 km /h. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre (a) a velocidade angular da engrenagem B é de 20 rpm horário. no sentido anti-horário. Sabendo que os discos rolam sem escorregar em superfícies de contato. D e E do aro da roda. (b) do disco B. Sabendo-se que a engrenagem exterior C é estacionário. 35 20. C. 18. 17. O Braço AB gira com = 20 rad/ s no sentido horário. O Braço ACB gira sobre o ponto C com uma angular velocidade de 40 rad / s para a esquerda. l = 160 mm e b = 60 mm. 19. . determinar. Sabendo que a manivela AB gira com uma frequência constante de 1000 rpm no sentido horário. Cláudio S. Uma cremalheira reta repousa sobre uma engrenagem de raio r e está ligada a um bloco B. Denotando por D velocidade angular da engrenagem D e por o ângulo formado pela cremalheira e a horizontal. tal como mostrado. Caso 2: 22. Dois discos de fricção A e B estão presos em seus centros de ACB braço. No sistema de motor mostrado. para cada caso. (b) = 90°. Caso 1: 21.Cinemática dos Sólidos – Prof. O rolete A move-se com velocidade contante vA = 3 m/s. determinar a velocidade da gola e a velocidade angular da haste AB quando (a) = 0°. Num dado instante. Sabendo-se que a distância AD é de 50 mm. (b) = 90 °. derivar uma expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e 26. 22. O cabo está preso no núcleo interior e o carretel não escorrega na plataforma P. respectivamente. um cilindro de raio r possui velocidade angular e aceleração angular . Determine a velocidade do ponto B no instante mostrado. 28.Cinemática dos Sólidos – Prof. A roda rola sem escorregar com uma velocidade angular de = 10 rad/s. 24. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre Mostre que a aceleração e a velocidade no ponto G são dadas por ( o cilindro não escorrega): aG aG r iˆ vG r iˆ 25. Se a manivela OA gira com velocidade angular de =12 rad/s.determine a velocidade do pistão B e a velocidade angular da barra AB no instante mostrado. Suponha que o ponto A é fixo e denotam as velocidades angulares da haste ABC e da haste A por ABC e A. Para a engrenagem mostrada. 23. Cláudio S. ambas no sentido horário. A roda de 80 mm de raio mostrado rola para a esquerda com uma velocidade de 900 mm /s. Determine a velocidade angular do carretel. determine a velocidade angular da barra AB e a velocidade do rolete B. 36 Para a engrenagem mostrada. derivar uma expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e mostrar que C é independente do raio da engrenagem B. vB. 27. como mostra a figura: . 32.Cinemática dos Sólidos – Prof. . Uma corda é amarrada no núcleo da engrenagem e num dado ponto A. A cavilha move-se ao longo da fenda. considere o caso que a engrenagem R é fixa. Determine a velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu centro. Determine a velocidade do centro da engrenagem C. Uma engrenagem repousa numa cremalheira horizontal. Determine a velocidade angular do virabrequim AB no instante considerado. O ponto A tem uma valocidade de vA = 3 m/s. 31. 34. Determine a velocidade da cremalheira C. com R = 0. utilizado num sistema de transmissão automática de um automóvel. no problema anterior. ela é puxada para a direita com velocidade constante de 2 ft/s. Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 29. Suponha. e a engrenagem S está girando com velocidade angular S = 5 rad/s. A engrenagem A rola sobre uma cremalheira fixa B com uma velocidade angular = 4 rad/s. Determine a velocidade do ponto A mostrado no instante considerado. Determine a velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu centro no instante mostrado. Determine a velocidade da cavilha em B nesse instante. 37. 37 35. Se a barra AB desliza ao longo da ranhura horizontal com velocidade de 60 ft/s. A cremalheira B se move para a direita com velocidade 8 ft/s e a cremalheira C move-se para a esquerda com velocidade 4 ft/s. v C vB 33. determine a velocidade angular da barra BC no instante mostrado. O pistão P move-se para cima com velocidade de 300 in/s. No sistema de engrenagens mostrado. 30. 36. que a engrenagem A rola sobre as cremalheiras B e C. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e do eixo A. Cláudio S. Encontre a velocidade do centro de gravidade G. tangente ao núcleo. determine a velocidade do bloco deslizante C no instante considerado. 40. Uma bicicleta possui velocidade 4 ft/s e no mesmo instante a roda traseira possui velocidade angular de 3 rad/s. com velocidade angular D = 20 rad/s enquando a engrenagem F gira no sentido horário com velocidade angular F = 10 rad/s. o que causa escorregamento do ponto A da roda traseira da bicicleta com o solo. a transmissão automática pode alterar a velocidade do carro e a direção.Cinemática dos Sólidos – Prof. conectados com a engrenagem interna E e a engrenagem externa F (Sol). B e C. 38 . Sartori Notas de aula 02 – 2° Bimestre 38. O raio das engrenagens planetas (A. B e C) são 45 mm e da engrenagem Sol 75 mm. Determine a velocidade do ponto A. Um sistema de transmissão automática consiste de 3 engrenagens A. 41. Se o portador está girando no sentido anti-horário. determine a velocidade angular das engrenagens e da engrenagem externa (Sol). determine a velocidade angular da engrenagem C. A engrenagem D gira no sentido anti-horário com velocidade angular D = 5 rad/s. enquando a barra AB gira com velocidade angular no sentido horário de AB = 10 rad/s. montados num portador D. Cláudio S. 39. Pelo controle ao qual o sistema gira e quais engrenagens recebem a potência. Se a barra AB possui velocidade angular AB = 4 rad/s.