Aula MF2

Msc. Fábio Z.Dall’Orto 1 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1) Objetivo: O enfoque teórico da Matemática Financeira é o estudo da evolução do dinheiro ao longo do tempo, visando estabelecer relações entre quantias em datas distintas. Por conseqüência dessa mudança de valor real do dinheiro ao longo do tempo, podemos extrair duas conclusões: 1º - Não se compara quantias expressas em datas diferentes: Só é possível comprar quantias expressas na mesma data. Assim, neutraliza-se o efeito inflacionário e o prêmio de postecipação do fluxo de caixa, evidenciando apenas o valor real em estudo. Uma aplicação clara dessa propriedade é a comparação do PIB ou Aferição de Performance de Vendas. 2º - Só é possível realizar operações algébricas com quantias expressas na mesma data. É muito comum ouvir dizer que em uma compra parcelada em dez, doze, ou mais vezes, o comprador acaba pagando “duas vezes” o valor do bem. 2) Fundamentos Básicos da Matemática Financeira • Capital • Juro • Taxa de Juro • Montante Msc. Fábio Z. Dall’Orto 2 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira • J uros O juro pode ser interpretado de duas maneiras: 1º) J C i · g 2º) J M C · − • Montante M C J · + • Taxa 1 J M C M C M i C C C C C − ¸ _ · · · − · − ¸ , 3) Regime de Capitalização O que é o Regime de Capitalização? O regime de capitalização nos informa como a taxa de juro incide sobre o capital. Existem basicamente dois regimes de capitalizaçâo: • Simples; •Composto. Msc. Fábio Z. Dall’Orto 3 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira •Capitalização Simples: A taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros incorridos são sempre constantes. Graficamente: • Capitalização Composta ou J uros Compostos: A taxa incide sobre o valor acumulado (capital mais juros) do período anterior, logo, os juros crescem de forma exponencial: Msc. Fábio Z. Dall’Orto 4 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Gráfico Comparativo – Regimes de Capitalização Simples x Composto 1) Regime de Capita1ização Simples: 1.1) Conceito - A taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros são sempre constantes. 1.2) Aplicação deste Regime de capitalização: - Desconto de Títulos; - Desconto de notas promissórias; - Operações de curtíssimo prazo. 1.3) Relações Fundamentais do Regime de Capitalização Simples: • Juros: n J C i n · g g Msc. Fábio Z. Dall’Orto 5 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira • Montante: M C J · + è • Capital: ATENÇÃO: I) O juro (J ) e o capital (C) são, sempre, expressos em valores monetários; II) Faz-se necessário, em qualquer regime de capitalização que a taxa (i) e o prazo (n) estejam sempre na mesma unidade de tempo. III) A taxa deve ser sempre utilizada na forma decimal. 1.4) Taxa Nominal, Proporcional e Equivalente (no regime de juros simples). •.Taxa Nominal - Quando a unidade de tempo expressa na taxa é maior que a unidade de tempo do período de capitalização. • 6% ao ano, capitalizada mensalmente; • 18% ao ano, capitalizada semestralmente; • 15% ao semestre, capitalizada bimestralmete. O que fazer nestes casos?? •.Taxa Proporcional - E a taxa nominal devidamente adequada ao número de períodos de capitalização da operação financeira. Como se calcula a taxa proporcional ?? (1 ) M C i n · + g g 1 ( ) M C i n · + g n p p c i i n n · g Taxa Proporcional Taxa Nominal Número do período de capitalização da taxa nominal Número de período de capitalização da taxa proporcional p n c p i i n n · · · · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 6 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira • Exemplo: para uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, a taxa trimestral proporcional será: 24% 3 6% 12 p i · · g •Taxas Equivalentes: Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando estão expressas em períodos de capitalizações diferentes, entretanto, quando aplicadas a um mesmo capital, com prazos idênticos, produzem montantes iguais. 3) Regime de Capitalização Existem basicamente dois regimes de capitalização; o simples e o composto. O regime de capitalização nos informa como a taxa de juro incide sobre o capital; de forma linear no regime simples ou de forma exponencial no regime composto. Pode-se ainda fazer a seguinte distinção; na capitalização simples a taxa incide somente sobre o capital inicial e os valores dos juros são sempre constantes. Na capitalização composta a taxa incide sobre o valor acumulado entre os períodos (capital mais juros) e os juros crescem de forma exponencial. • Capitalização Simples (J uros Simples): A taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros incorridos são sempre constantes. ao trimestre Msc. Fábio Z. Dall’Orto 7 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Graficamente: • Capitalização Composta (J uros Compostos): A taxa incide sobre o valor acumulado do período anterior, capital mais juros, logo, os juros crescem de forma exponencial: Para efeito ilustrativo, vejamos graflcamente a diferença do crescimento de um capital aplicado no regime simples e o mesmo valor aplicado no regime composto: Msc. Fábio Z. Dall’Orto 8 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Perceba que, aplicado a juro composto o crescimento do capital é mais rápido, com exceção do primeiro período (assinalado no gráfico), onde, o regime de capitalização simples produz resultados maiores. Então, em operações onde o prazo é inferior a 30 dias é preferível aplicar a juros simples, contrariando a idéia que muitos têm de que a aplicação a juros compostos é sempre a melhor opção. Deriva daí a preferência das operadoras financeiras em utilizar a capitalização simples em operações de curtíssimo prazo, como a de hot many. 3.1) Regime de Capitalização Simples (J uros Simples) No regime de capitalização simples a taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros são sempre constantes. A aplicação desse conceito é muito restrita no mercado financeiro brasileiro, salvo algumas exceções, tais como: desconto de duplicatas, desconto de notas promissórias e operações de curtissimo prazo. Na outra grande maioria utiliza-se o regime de capitalização composto, o qual discutiremos mais adiante. 3.1.1) Relações Fundamentais do Regime de Capitalização Simples As relações fundamentais do regime de capitalização simples serão desenvolvidas através da análise do diagrama abaixo: Os Juros, acumulados, entre os períodos são: 1 0 J C i · g 2 0 0 ( ) ( ) J C i C i · + g g 3 0 0 0 ( ) ( ) ( ) J C i C i C i · + + g g g 4 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) J C i C i C i C i · + + + g g g g Colocando o (C . i) em evidência... 4 0 (1 1 1 1) J C i · + + + g g 4 0 (1 1 1 1) J C i · + + + g g Msc. Fábio Z. Dall’Orto 9 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Generalizando... ATENÇÃO: Na relação acima J e C são valores monetários, i é o coeficiente, ou taxa de juros, e n é o prazo da operação. Uma observação cabe ser feita é necessário, em qualquer regime de capitalização, que a taxa (i) e o prazo (n) estejam sempre na mesma unidade de tempo. Além disso, a taxa deve estar sempre na forma decimal. O montante (M) é a soma do capital mais o juro incorrido durante o período da aplicação. De maneira intuitiva pode-se representá-lo da seguinte forma: M C J · + Substituindo o J , anteriormente demonstrado, na equação acima é possível deduzir uma expressão mais direta para o cálculo do montante: ( ) M C C i n · + g g Utilizando a expressão do montante e isolando o capital (C) em relação às outras variáveis: Exemplos: 1) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,50% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. n J C i n · g g Juros Capital Investido Taxa de juros Número de período da aplicação J C i n · · · · (1 ) M C i n · + g g 1 ( ) M C i n · + g Msc. Fábio Z. Dall’Orto 10 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira n J C i n · g g 3 80.000 0,025 3 J · g g 3 6.000,00 J · 2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $27.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. n J C i n · g g 27.000 0,06 9 C · g g 27.000 0, 069 C · g è 50.000 C · 3) Uma pessoa aplica $ 18.000 à taxa de 1,50% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. (1 ) M C i n · + g g 18.000 (1 0,015 8) M · + g g 18.000 (1,12) M · g 20.160 M · 3.1.2) Taxa Nominal, Proporcional e Equivalente As operações financeiras podem se caracterizar por envolver dois prazos; o da capitalização e o referente à taxa de juros. Por exemplo, a poupança tem uma taxa de juros de 6% ao ano, mas, a capitalização é mensal. Veja que, a unidade de tempo expressa na taxa é anual e a do regime de capitalização é mensal, ou seja, a taxa de juro incidirá sobre o capital mês a mês, doze vezes ao ano, e não uma única vez ao ano. [Quando a unidade de tempo expressa na taxa é maior que a unidade de tempo do período de capitalização, dizemos que essa taxa é nominal.] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 11 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exemplo: • 6% ao ano, capitalizado mensalmente; • 18% ao ano, capitalizado semestralmente; • 15% ao semestre, capitalizado bimestralmente. Sabe-se que para executar cálculos financeiros é preciso que a unidade de tempo expressa na taxa seja igual a unidade de tempo do período de capitalização. Entretanto, se o período em que a taxa estiver expressa for maior que o período de capitalização, esta taxa é chamada de taxa nominal. Tendo em vista o que foi dito, chama-se de taxa proporcional à taxa nominal devidamente adequada ao número de períodos de capitalização da operação financeira. A taxa proporcional é dada pela taxa nominal, dividida pelo número de capitalização do período, multiplicada pelo número de capitalização da operação. Por exemplo, para uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, a taxa trimestral proporcional será: 0,24 3 0,06 6% 12 p i · · ·> g ao trimestre Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando estão expressas em períodos de capitalizações diferentes, entretanto, quando aplicadas a um mesmo capital, com prazos idênticos, produzem montantes iguais. Graficamente: Taxa proporcional; Taxa nominal; nº do periodo de capitalização da taxa nominal; nº de periodo da aplicação financeira p n c p i i n n · · · · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 12 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Observe no diagrama acima que, se dois valores iguais (C) forem aplicados a um mesmo prazo, um à taxa de 20% ao ano, o outro à taxa de 1,67%o ao mês, produzem o mesmo montante (M), então, as taxas são consideradas equivalentes. No entanto, pela própria natureza do regime de capitalização simples, onde, a taxa de juros evolui de forma linear, não existirá diferença entre a taxa equivalente e a proporcional. A taxa equivalente é calculada com a mesma fórmula que calcula a taxa proporcional. Exercícios Resolvidos: 1) Calcule a taxa mensal proporcional a: 18% ao ano; 12% ao semestre. 18% 1 1,5% . . 12 p i a m · · g 12% 1 2% . . 6 p i a m · · g 2) Calcule a taxa de juros semestral proporcional: 45% ao ano; 12% ao quadrimestre. 45% 6 22,50% . . 12 p i a s · · g 12% 6 18% . . 4 p i a s · · g 3) Determine se 46% ao ano é equivalente a 8% ao bimestre. 46% 2 7,67% . . 12 e i a b · · g è Portanto não são equivalentes. Pode-se resolver também, partindo da taxa de menor período: 8% 12 48% . . 2 e i a a · · g è Ratificando a afirmação acima. 4) Um capital de $5.000,00 foi aplicado a juros simples durante quatro meses à taxa de 18% ao ano. Obtenha os Juros e o Montante aferidos na operação: Msc. Fábio Z. Dall’Orto 13 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira J C i n · g g 0,18 5.000 4 12 J ¸ _ · ¸ , g g è 300,00 J · M C J · + 5.000 300 M · + è 5.300 M · 5) Qual o capital que rende juros de $3.000,00 aplicados no prazo de cinco meses, sendo que, a taxa é de 2% ao mês? J C i n · g g J C i n · g 3.000 0,02 5 C · g 30.000,00 C · 6) Uma aplicação financeira de $8.000,00 tem prazo de cinco meses e rende juros simples à taxa de 22 % ao ano. Se o imposto de renda é 20% do ganho, calcule: a) O montante resgatado no final do período? b) O valor do IR pago? c) O capital que deve ser aplicado para que se resgate $9.500,00 líquidos? Msc. Fábio Z. Dall’Orto 14 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira a) Sendo o IR 20% do ganho (juros): M C J IR · + − ( ) 0,20 M C C i n J · + − g g 0,22 0,22 8.000 8.000 5 0,20 8.000 5 12 12 M ¸ _ ¸ _ · + − ¸ , ¸ , g g g g g ( ) ( ) 8.000 733,33 0,20 733,33 M · + − g 8.733,33 146,66 M · − 8.586,67 M · b) IR=20% X J 0,20 ( ) IR C i n · g g g 0,22 0,20 8.000 5 12 IR ¸ _ · ¸ , g g g 146,66 IR · c) Montante líquido desejado $9.500,00: M C J IR · + − 0,20 M C J J · + − 0,80 M C J · + 0,22 9.500 0,80 5 12 C C 1 ¸ _ · − 1 ¸ , ¸ ] g g g ( ) 9.500 0,80 0,0917 C C · − g 9.500 0,0734 C C · − 1,0734 9.500 C · 9.500 1,0734 C · 8.850,40 C · 7) Um comerciante tomou um empréstimo de $90.000,00 à taxa de 72% ao ano. Se ele pagou $27.000,00 de juros, qual o período que ele permaneceu com o dinheiro? J C i n · g g 0,72 27.000 90.000 12 n · g g 5.400 27.000 n · g Msc. Fábio Z. Dall’Orto 15 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 27.000 5.400 n · 5 n meses · EXERCÍCIO JUROS SIMPLES 1) Em quantos dias o capital de R$5.000,00 rende, à taxa de 2% ao mês, juros de R$ 140,00 ? Jn C i n · g g 140,00 5.000 0,02 140 100 140 1,4 100 n n n meses · · · · g g Em dias: 1,4 30 42dias · g 2) Coloquei certa quantia a juros simples a taxa de 2% ao mês. Após dois anos e três meses obtive um montante de R$8.000,00. Qual foi a quantia aplicada ? 1 ( . ) M C i n · + 8.000 1 ( ) 8.000 1 (0,02 27) 8.000 1 0,54 8.000 5.194,80 1,54 C i n C C C · + · + · + · · g g 3) Maria Clara aplicou R$70.000,00 num banco, a prazo fixo por três meses, à taxa de 6% ao mês. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 25% de imposto de renda, determine o valor dos juros recebidos. DADOS: Aplicou 70.000,00 Prazo de 3 meses Taxa de 6% ao mês Taxa de 25% IR Jn C i n · g g 25% 70.000 0,06 3 12.600 12.600 3.150,00 9.450,00 Jn Jn · · ·> − · g g Msc. Fábio Z. Dall’Orto 16 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4) Determine a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos. (RESP: 16,70% a.b.). DADOS: Taxa bimestral ? n=12 bimestres (para 2 anos) M=3C (Para triplicar o capital) (1 ) M C i n · + g g 3 3 (1 ) 3 (1 12) 3 (1 12 ) 3 1 12 3 1 12 2 12 2 0,1667 12 16,67% M C C C i n C C i C i i C i i i i · · + ·> · + · + ·> · + − · ·> · · ·> · g g g g 5) Calcular a taxa proporcional de juros simples de: a) 14,40% a.a. para mensal; b) 23,50% a.s. para bimestre. a) n p p c i i n n · g è 0,144 1 12 p i · g è 0,012 12% . . p i a m · ·> b) n p p c i i n n · g è 0,235 2 6 p i · g è 0,0783 7,83% . . p i a b · ·> 6) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições: ? preço a vista = R$ 1.800,00; ? ou a prazo = 30% de entrada e R$ 1.300,00 em 30 dias. Determine a taxa de juros cobrada na venda a prazo. (Resp.: i=3,17% ao mês) TV a vista = 1800,00 Entrada 30%=540,00 Restou 1.260,00 è 1.300 – 12060 = R$40,00 de juros J i C · è 40,00 0,0317 . . 3,17% . . 1.260,00 i a m a m · ·> ·> Msc. Fábio Z. Dall’Orto 17 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 7) Em quanto tempo triplica um capital que cresce à taxa de 21% ao semestre ? (Resp.: 57,14 meses ou 9,52 semestres). DADOS: I=21% a.s. = 3,5 a.m. M=3C n=? (1 ) M C i n · + g g è3 (1 3,5 ) C C n · + g g è 3 (1 3,5 ) C n C · + è3 1 3,5n · + è 3 1 3,5n − · è2 3,5n · è 2 0,5714 57,14 9,52 3,5 n meses semestre · · ·> ·> 8) Uma máquina calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições: ? R$ 128,00 de entrada; R$ 192,00 em 30 dias; R$ 192,00 em 60dias. Sendo de 1,1% ao mês a taxa de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina a vista. (Resp.: R$505,66). DADOS: Entrada 128,00 i=1,1% 30 dias 192,00 i=2,2% 60 dias 192,00 Montante = 512,00. ( ) ( ) o o J C i C i · + g g è (192 0,011) (192 0,022) J · + g g è 2,112 4,224 J · + 6,336 J · è 512 6,336 $505,66 M J R ·> − ·> − 9) Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$ 156.400,00. O mesmo capital diminuído de seus juros de 9 meses é reduzido a R$88.400,00. Calcule o capital e a taxa de juros simples ganho. (Resp.: R$ 108.800,00 e 25% ao ano). (1 ) M C i n · + g g è156.400 (1 21) C i · + g g è 156.400 (1 21) i C · + g M C J · − è ( ) M C C i n · − g g è (1 ) M C i n · g g è 88.400 (1 9) C i · − g g è 88.400 (1 9) C i − · g Como èC C · 156.400 (1 21) i C · + g = 88.400 (1 9) C i − · g 156.400 (1 21 ) i + = 88.400 (1 9 ) i − è 156.400(1 9 ) 88.400(1 2 1 ) i i − · + è156.400 1407.600 88.400 1856.400 i i − · + g è 156.400 88.400 1856.400 1407600 i i − · + è68.000 3.264.000i · è Msc. Fábio Z. Dall’Orto 18 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 68.000 0,021 . . 12 . 3.264.000 i a m a a · ·> × · 156.400 (1 ) C in · + g è156.400 (1 0,0208 21) C · + g g è156.400 (1 0,4375) C · + g è 156.400 (1,4375) C · g 156.400 108.800 1,4375 C · ·> 10) Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa de 9% ao semestre para se obter o mesmo rendimento financeiro? (Resp.: R$32.500,00). DADOS: Aplicação 15.000 n= 3 meses i=26% a.a ou i=2,1667% a.m.=0,021667 Jn C i n · g g 15.000 0,0216 3 Jn · g g è $975,00 Jn R · 9% . . 1,5% . . 0,015 a s a m · · n=2meses Jn C i n · g g 975 0,015 2 C · g g è 975 $32.500,00 0,03 C R · · 11) Um investidor aplicou 20% do seu capital à 15% a.a., 25% de seu capital a 18% a.a. e o restante a 12% a.a, no regime de juros simples. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo que os juros acumulados no final de dois anos foram iguais a R$ 14.100,00. (Resp.: R$50.000,00). DADOS: J=14.100 n=2Anos i1=15% a.a. i2=18% a.a. i3=12%a.a. Jn C i n · g g 1 0,20 0,15 2 0,06 J C C · ·> g g 2 0,25 0,18 2 0,09 J C C · ·> g g 3 0,55 0,12 2 0,132 J C C · ·> g g 0,06 0,09 0,132 $14.100,00 C C C R + + · 0,282 14.100 C · è 14.100 $50.000,00 0,282 C R · ·> Msc. Fábio Z. Dall’Orto 19 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 12) Um investidor depositou R$400.000,00 num banco, a prazo fixo por dois meses, à taxa de 3% ao mês. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de impostos de renda, determine o valor dos juros recebidos. (Resp.: R$16.800,00). Jn C i n · g g 400.000 0,03 2 Jn · g g è 24.000 30% 7.200,00 Jn · − · O valor recebido foi R$16.800,00 13) Uma geladeira é vendida a vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros utilizada ? (Resp.: 5%). DADOS: Entrada=200,00 Restante: 880,00 n=2 1000,00 200,00 800,00 − · Jn C i n · g g 80 800 2 i · g g è80 1600i · è 80 0,05 5% 1600 i · ·> ·> Msc. Fábio Z. Dall’Orto 20 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Sumário: 3.2) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO (JUROS COMPOSTOS)..............................................................................21 3.2.1) Relações Fundamentais do Regime de Capitalização Composta............................................................... 21 Exercícios Resolvidos:................................................................................................................................................... 26 3.2.2) Taxa Nominal, Efetiva e Equivalente............................................................................................................... 29 ? Taxa Nominal (i) e Taxa Efetiva (i e ) .......................................................................................................................... 29 ? Conversão de Taxa Efetiva em Nominal .................................................................................................................... 32 3.2.3) Taxas Equivalentes ............................................................................................................................................. 34 Exercícios Resolvidos..................................................................................................................................................... 36 Exercícios Propostos...................................................................................................................................................... 40 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 21 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 3.2) Regime de Capitalização Composto (J uros Compostos) A capitalização composta se difere da simples por apresentar taxas de juros crescentes de forma exponencial. Os juros são sempre calculados sobre o valor acumulado do período anterior; o capital em que a taxa incidirá em t n+1 é igual ao montante, capital mais juros, do período t n . Fica evidente, então, que no regime de capitalização composto os juros, incorridos entre os períodos, também são remunerados, enquanto no regime simples apenas o capital inicial é remunerado. No mercado, as principais operações financeiras utilizam a metodologia da capitalização composta, enquanto a capitalização simples é mais restrita e menos comum. A utilização de uma calculadora financeira pode ser muito conveniente para efetuar operações do regime de capitalização composta, tendo em vista a existência de situações onde o cálculo manual é de difícil operacionalização, tais como; alternâncias dos embolsos e desembolsos, fluxos assimétricos, prazos não uniformes, cálculos de potencialização e radiciação. Para desenvolver as relações fundamentais da capitalização composta, resolveremos um exemplo bem simples que ajudará no entendimento das definições. As notações que contemplam as funções deste regime de capitalização serão padronizadas com as que estão disponíveis no teclado da calculadora HP-12C, pois, é esta ferramenta que lançaremos mão para resolver grande parte dos nossos exercícios, tanto deste capítulo, quanto dos outros que o seguiram. 3.2.1) Relações Fundamentais do Regime de Capitalização Composta Imagine uma aplicação de $10.000,00 à taxa de 3% ao mês durante 3 meses. Qual o valor de resgate e os juros ganhos a cada período? Msc. Fábio Z. Dall’Orto 22 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Sendo o montante, que a partir desse momento chamaremos de Valor Futuro - FV devido a padronização com as notações da HP - 12c, dado por: J PV FV + · ( ) i PV PV FV ⋅ + · ( ) PV i PV FV PV PV ⋅ · + e, inserindo os valores do exemplo supra citado na fórmula apresentada, onde, o capital, que classificaremos como Valor Presente – PV, também devido às padronizações mencionadas , é de $10.000,00 e a taxa de 3% ao mês, temos que: • ( ) 03 , 0 1 000 . 10 1 + ⋅ · FV ) 03 . 1 ( 000 . 10 1 ⋅ · FV 300 . 10 1 · FV • ) 03 . 1 ( 300 . 10 2 ⋅ · FV 609 . 10 2 · FV • ) 03 . 1 ( 609 . 10 3 ⋅ · FV 27 , 927 . 10 3 · FV ( ) i PV FV + ⋅ · 1 PV = 10.000 FV = ? t 1 t 2 t 3 Cálculo do Valor Futuro - FV Msc. Fábio Z. Dall’Orto 23 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Perceba que, por indução finita, pode-se escrever a seguinte relação: • J PV FV + · 1 ) ( 1 i PV PV FV ⋅ + · ) 1 ( 1 i PV FV + ⋅ · • J FV FV + · 1 2 ) ( 1 1 2 i FV FV FV ⋅ + · ) 1 ( 1 2 i FV FV + ⋅ · ) 1 ( ) 1 ( 2 i i PV FV + ⋅ + ⋅ · 2 2 ) 1 ( i PV FV + ⋅ · • J FV FV + · 2 3 ) ( 2 2 3 i FV FV FV ⋅ + · ) 1 ( 2 3 i FV FV + ⋅ · ) 1 ( ) 1 ( 2 3 i i PV FV + ⋅ + ⋅ · 3 3 ) 1 ( i PV FV + ⋅ · Generalizando... FV - valor futuro VP - valor presente i - taxa de juros n - número de capitalizações 3 10.000 (1 0,03) FV · + g 10.000 (1,031,031,03) FV · g g g 10.000 (1,0609 1,03) FV · g g 10.0001,092727 FV · g 10.927.27 FV · n i PV FV ) 1 ( + ⋅ · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 24 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Observações: i) Na equação acima ( ) i + 1 é conhecido como Fator de Capitalização – FC; ii) A fração composta por ( ) n i + 1 é conhecida como Fator de Acumulação de Capital - FAC. Fundamentalmente, é o Fator de Capitalização elevado ao número de períodos que se quer capitalizar o Valor Presente. Portanto, o valor do FAC é dado em função de i e n: FAC (i, n). Seus valores encontram-se calculados para diversas combinações de prazo é taxas de juros no anexo desta apostila. A tabela é de extrema importância, principalmente quando não se tem em mãos uma calculadora financeira para executar o cálculo do PV e do FV, dado que o FAC é o resultado de uma expressão com operação exponencial; iii) Assim como no regime de capitalização simples, no composto também deverá haver igualdade nas unidades de tempo da taxa e do prazo; iv) Para converter o prazo para a mesma unidade de tempo da taxa, divide-se ou multiplica-se de acordo com a unidade de tempo expressa na taxa. Nunca multiplique e divida a taxa como é feita no regime de capitalização simples; v) Nunca esquecer que no momento de substituir os valores nas fórmulas, a taxa de juros deve está na forma decimal. A partir da fórmula geral do FV, pode-se extrair outras relações: Ø Valor Presente (PV) n i PV FV ) 1 ( + ⋅ · n i FV PV ) 1 ( + · OU : n i FV PV − + ⋅ · ) 1 ( Msc. Fábio Z. Dall’Orto 25 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Ø Taxa (i) Partindo novamente do FV: ( ) n i PV FV + ⋅ · 1 n i PV FV ) 1 ( + · Elevando os dois lados a n 1 ... ( ) [ ] n n n i PV FV 1 1 1 + · , _ ¸ ¸ ( )n n n i PV FV + · , _ ¸ ¸ 1 1 ( ) i PV FV n + · , _ ¸ ¸ 1 1 Ø Período (n) Para determinar o período aplica-se uma propriedade inerente às equações logarítmicas. Primeiramente, vejamos alguns exemplos desta propriedade: • X Log n X Log n ⋅ · • 15 4 15 4 Log Log ⋅ · • 10 5 10 5 Ln Ln ⋅ · 1 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · 1 1 n PV FV i Msc. Fábio Z. Dall’Orto 26 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Essa última notação, Ln, é muito comum nas calculadoras financeiras, ela representar o logaritmo na base neperiana, e, onde, e é igual a 2,7183 aproximadamente. Então: • 10 10 7183 , 2 Ln Log · . Visto isto, já podemos deduzir uma fórmula para calcular o valor de n: ( ) n i PV FV + ⋅ · 1 ( ) n i PV FV + · 1 ( ) n i Ln PV FV Ln + · 1 ( ) i Ln n PV FV Ln + ⋅ · 1 Exercícios Resolvidos: 1) Um capital de $50.000,00 foi aplicado pelo prazo de 6 meses á taxa de 2% ao mês. Qual o montante desta aplicação? ( ) n i PV FV + ⋅ · 1 ( ) 6 02 , 0 1 000 . 50 + ⋅ · FV 126 . 1 000 . 50 ⋅ · FV 121 , 308 . 56 · FV ( ) i Ln PV FV Ln n + · 1 PV= 50.000 Montante?FV n = 6 i = 2% Msc. Fábio Z. Dall’Orto 27 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Usando a HP 12c: 50.000 (CHS) (PV) Valor Presente (sinal negativo) 2 (i) Taxa de juros 6 (n) Número de períodos de capitalização (FV)... Comando para calcular o Valor Futuro 56.308,12 Resposta 2) Qual capital que aplicado a uma taxa de juros compostos de 2,50% ao mês produz um montante de $3.500,00 após um ano? ( ) n i PV FV + ⋅ · 1 ( ) 12 25 , 0 1 500 . 3 + ⋅ · PV 3449 , 1 500 . 3 ⋅ · PV 3449 , 1 500 . 3 · PV 42 , 602 . 2 · PV Usando a HP 12c: 3.500 (FV) Valor Futuro 2,5 (i) Taxa de juro 12 (n) Número de períodos de capitalização (PV)... Comando para calcular o Valor Presente 2.602,42 Resposta (sinal negativo - saída de caixa) 3) Um capital de $2.500,00 aplicados durante 4 meses gerou um montante de $3.500,00. Qual a taxa juros mensal desta operação financeira? 1 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · 1 1 n PV FV i 1 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · 1 500 . 2 500 . 3 4 1 i ( ) 1 40 , 1 25 , 0 − · i 1 088 , 1 − · i 776 , 8 · i % ao mês. Capital? (PV) FV= 3.500 n = 12 PV= 2.500 FV = 3.500 n = 4 i = ? i =2,5% 3500 Enter 2500 ÷ 4 1/x Msc. Fábio Z. Dall’Orto 28 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Usando a HP 12c: 2.500 (CHS) (PV) Valor Presente (sinal negativo) 3.500 (FV) Valor Futuro 4 (n) Número de períodos de capitalização (i)... Calculo da taxa 8,78 Resposta 4) Durante quanto tempo um capital de $1.000,00 deve ser aplicado à taxa de 10% ao ano para gerar um montante de $1.610,51? ( ) i Ln PV FV Ln n + · 1 ( ) 10 , 0 1 000 . 1 51 , 610 . 1 + · Ln Ln n ( ) 10 , 1 611 , 1 Ln Ln n · 5 095 , 0 477 , 0 ⇒ · n anos. Para achar o prazo (n), a calculadora HP não funciona ! PV= 1.000 FV= 1.610,51 n = ? i =0,10 1610,51 Enter 1000 ÷ g Ln 1,10 g Ln ÷ 1000 CHS PV 1.610,51 FV 10 i N = ? Msc. Fábio Z. Dall’Orto 29 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 3.2.2) Taxa Nominal, Efetiva e Equivalente Até então, abordamos a capitalização de valores da forma mais simples possível; os pagamentos e recebimentos eram realizados em apenas uma parcela e a taxa de juros era fornecida de acordo com o período de capitalização. No entanto, vimos no capítulo 1 que existem vários tipos de fluxos de caixa: uniformes, não uniformes, periódicos, crescentes, decrescentes e etc. Para avançar no estudo e trabalhar com séries de pagamentos mais complexas, ou seja, que contemplem mais de dois fluxos financeiros, deve-se dominar alguns conceitos importantes referentes às taxas. Esses conceitos auxiliarão na resolução de problemas, onde, os embolsos e desembolsos não seguem um padrão, como aqueles vistos até agora. ? Taxa Nominal (i) e Taxa Efetiva (i e ) Conceitualmente a Taxa nominal já foi definida na secção 3.1.2, ela é aquela onde a taxa é expressa em unidade de tempo diferente do período de capitalização da operação financeira. Na prática, a taxa nominal só servirá como parâmetro de comparação entre operações financeiras, o seu valor não é aplicado nos cálculos. Logo abaixo citamos outros exemplos de taxas nominais: • 18% ao ano, capitalizado mensalmente; • 3% ao mês, capitalizado diariamente; • 15% ao semestre, capitalizado bimestralmente. Taxa Efetiva de juros é aquela apurada durante todo o prazo da operação financeira. Ela é construída pelo processo de formação exponencial da taxa nominal ao longo dos períodos de capitalização. A incidência da taxa de juros efetiva sobre o capital, acontece uma única vez durante o processo de capitalização, logo, pode-se concluir que a unidade de tempo expressa por ela é sempre igual ao do período de capitalização. Vejamos um Exemplo: um capital de $1.000,00 foi aplicado pelo prazo de dois anos. Se o montante da operação financeira era de $1.610,51 qual a taxa de juros efetiva no período? Msc. Fábio Z. Dall’Orto 30 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira • 000 . 1 000 . 1 51 , 610 . 1 − · e i 05 , 61 · e i % ao período. Observe que neste exemplo extraímos a taxa efetiva com os valores informados do PV e do FV. No entanto, nem sempre isso será possível ou de interesse. Na maioria das vezes a informação disponível para se calcular a taxa efetiva é a taxa nominal. Para atender essa necessidade desenvolveremos uma relação entre a taxa nominal e a efetiva. Vimos no exemplo acima que: • PV J i e · PV PV FV i e − · PV PV PV FV i e − · , _ ¸ ¸ − + ⋅ · 1 ) 1 ( PV i PV i n e ( ) 1 1 − + · n e i i Como obrigatoriamente, na efetivação do cálculo, a taxa deve estar expressa na mesma unidade de tempo do período de capitalização, divide-se a taxa nominal pelo número de capitalização que o período expresso nela contempla e eleva-se ao número de período que se deseja calcular a taxa efetiva: i e = Taxa efetiva; 1 1 − , _ ¸ ¸ + · n p e n i i 1.000 1.610,51 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 31 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira n = nº de capitalizações do período; n p = nº de capitalizações da taxa nominal; i = Taxa nominal. É importante frisar que a taxa só será nominal se observada a diferença entre a unidade de tempo do período de capitalização e aquele expresso por ela, caso contrário, a taxa será sempre efetiva. Para um mesmo prazo a taxa nominal será sempre menor que a efetiva, reflexo da capitalização linear da primeira e exponencial da segunda. Exemplo: Um banco anuncia que paga juros à taxa nominal de 24% ao ano para fundos de aplicação com saldo superior a $25.000,00. Se o período de capitalização dos juros é mensal, qual a taxa efetiva do investidor? • 1 1 − , _ ¸ ¸ + · n p e n i i 1 12 24 , 0 1 12 − , _ ¸ ¸ + · e i ( ) 1 02 , 1 12 − · e i 1 2682 , 1 − · e i 82 , 26 · e i % ao ano. Note que, contrariando o que muitos pensam, o ganho é superior aos 24% ao ano, informado pela taxa nominal. Podemos citar outros exemplos de taxa nominal e efetiva: • 18% ao ano, capitalizado semestralmente: 1 2 18 , 0 1 2 − , _ ¸ ¸ + · e i ⇒ 81 , 18 · e i % ao ano; Msc. Fábio Z. Dall’Orto 32 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira • 7% ao mês, capitalizado diariamente: 1 30 07 , 0 1 30 − , _ ¸ ¸ + · e i ⇒ 24 , 7 · e i % ao mês; • 10 % ao semestre, capitalizado bimestralmente: 1 3 10 , 0 1 3 − , _ ¸ ¸ + · e i ⇒ 34 , 10 · e i % ao bimestre. Quanto maior o número de períodos de capitalizações de uma taxa nominal, maior será a taxa efetiva. Vejamos o quadro abaixo, onde, a taxa nominal é de 18% ao ano: Período de Capitalização Número de Períodos Taxa Efetiva Anual Anual 1 18% Semestral 2 18,81% Quadrimestral 3 19,10% Trimestral 4 19,25% Mensal 12 19,56% Diária 360 19,72% ? Conversão de Taxa Efetiva em Nominal Às vezes, para comparações de desempenhos de investimentos, temos a necessidade de transformar uma taxa efetiva em nominal. Exemplo: Calcule a taxa nominal anual da série abaixo capitalizada mensalmente, e compare com fundos que rendem a taxa SELIC (17% ao ano). • 1 ] 1 ¸ − · 1 PV FV i e 1 ] 1 ¸ − · 1 000 . 1 10 , 416 . 1 e i 61 , 41 · e i % ao período. 1.000 1.416,10 2 anos Msc. Fábio Z. Dall’Orto 33 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Como já conhecemos a relação entre taxa efetiva e nominal, apenas isolaremos a taxa nominal: • 1 1 − , _ ¸ ¸ + · n p e n i i n p e n i i , _ ¸ ¸ + · + 1 1 ( ) n n p n e n i i 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + · + ( ) n n p n e n i i , _ ¸ ¸ + · + 1 1 1 ( ) p n e n i i + · + 1 1 1 ( ) 1 1 1 − + · n e p i n i Calculando a taxa nominal do fluxo acima teremos: • ( ) 12 1 4161 , 0 1 24 1 ⋅ 1 ] 1 ¸ − + · i [ ] 12 1 0146 , 1 ⋅ − · i [ ] 12 0146 , 0 ⋅ · i 52 , 17 · i % ao ano. Respondendo a pergunta, este investimento gerou ganhos superiores àqueles atrelados à taxa SELIC, pois, o seu retorno nominal anual é de 17,52%, contra 17% do outro. ( ) p n e n i i ⋅ 1 ] 1 ¸ − + · 1 1 1 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 34 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira O diagrama abaixo resume as conversões das taxas efetivas e nominais: 3.2.3) Taxas Equivalentes Já desenvolvemos o conceito de Taxas Equivalentes no item 3.1.2 (pág. 7). Relembrando a definição anteriormente mostrada, duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, com prazos idênticos, produzem montantes iguais. Entretanto, neste caso, há uma diferença de algebrismo no cálculo da taxa equivalência, pois agora a capitalização é através do regime composto. Vejamos um exemplo: um capital de $15.000,00 aplicado à taxa de 12% ao mês produz o mesmo montante se aplicado a 0,3785% ao dia. Ou seja, as taxas de 12% ao mês e 0,3785% ao dia são equivalentes. Observe que os montantes produzidos pelas taxas são iguais, $18.000, logo, elas são equivalentes. Pode-se desenvolver a seguinte relação: Taxa Efetiva Taxa Nominal ( ) n i i n e ⋅ 1 ] 1 ¸ − + · 1 1 1 1 1 − , _ ¸ ¸ + · n p e n i i Taxa Efetiva x Taxa Nominal Taxa 12% ao mês 15.000 16.800 Taxa 0,3785% ao dia Taxas Equivalentes Msc. Fábio Z. Dall’Orto 35 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira • 2 1 FV FV · ( ) ( ) n diário n mensal i PV i PV + ⋅ · + ⋅ 1 1 ( ) ( ) 30 1 1 000 . 15 12 , 0 1 000 . 15 diário i + ⋅ · + ⋅ ( ) ( ) 30 1 12 , 1 000 . 15 000 . 15 diário i + · ⋅ ( ) 30 1 12 , 1 diário i + · Elevando os dois lados a , _ ¸ ¸ 30 1 ... ( ) ( ) [ ] 30 1 30 30 1 1 12 , 1 diário i + · ( )30 30 1 0038 , 1 diário i + · diário i + ·1 0038 , 1 1 0038 , 1 − · diário i 3785 , 0 · diário i % ao dia, confirmando a equivalência apresentada no diagrama. Generalizando a demonstração acima... • 2 1 FV FV · ( ) ( ) n diário mensal i PV i PV + ⋅ · + ⋅ 1 1 ( ) ( ) n diário mensal i i PV PV + · + ⋅ 1 1 ( ) ( ) n diário mensal i i + · + 1 1 i > - Taxa do maior período; i < - Taxa do menor período;. n - nº de vezes que o período menor acontece dentro no maior. ( ) ( ) n i i < > + · + 1 1 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 36 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exercícios Resolvidos 1) Uma instituição financeira cobra uma taxa de juros efetiva de 36% ao ano. Admitindo que o período de capitalização é mensal, calcule a taxa equivalente: mensal, bimestral, trimestral e semestral. • Mensal: ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + ( ) ( ) 12 1 36 , 0 1 < + · + i ( ) ( ) 1 1 12 12 12 1,36 1 i < 1 · + ¸ ] ( ) ( ) 12 1 1 12 12 1 1,36 1 i < 1 · + 1 ¸ ] < + · i 1 026 , 1 026 , 1 1− · < i 595 , 2 · < i ao mês. Usando a HP 12c 1,36 (Enter) 12 (1/x) (y x ) 1 (-) 100 (x)... 2,595 • Bimestral: ( ) ( ) 6 1 36 , 0 1 < + · + i ( ) ( ) [ ] 6 1 6 6 1 1 36 , 1 < + · i < + · i 1 053 , 1 053 , 1 1− · < i 258 , 5 · < i % ao bimestre. C C M M 36% a.a 2,595% a.m Capitais Iguais Montantes iguais Msc. Fábio Z. Dall’Orto 37 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Usando a HP 12c 1,36 (Enter) 6 (1/x) (y x ) 1 (-) 100 (x)... 5,258 • Trimestral: ( ) ( ) 4 1 36 , 0 1 < + · + i ( ) ( ) [ ] 4 1 4 4 1 1 36 , 1 < + · i < + · i 1 080 , 1 080 , 1 1− · < i 99 , 7 · < i % ao trimestre. Usando a HP 12c 1,36 (Enter) 4 (1/x) (y x ) 1 (-) 100 (x)... 7,99 • Semestral: ( ) ( ) 2 1 36 , 0 1 < + · + i ( ) ( ) [ ] 2 1 2 2 1 1 36 , 1 < + · i < + · i 1 166 , 1 166 , 1 1− · < i 619 , 16 · < i % ao semestre. Usando a HP 12c 1,36 (Enter) 2 (1/x) (y x ) 1 (-) 100 (x)... 16,619 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 38 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 2) A Caderneta de Poupança paga juros nominais de 6% ao ano capitalizado mensalmente. Ache a taxa efetiva anual e a taxa mensal que ela deveria pagar para que o ganho efetivo seja de 6% ao ano. 1º) Taxa efetiva: ( ) 1 1 − + · n e n i i 1 12 06 , 0 1 12 − , _ ¸ ¸ + · e i ( ) 1 05 , 0 1 12 − + · e i 1 0617 , 1 − · e i 17 , 6 · e i % ao ano. 2º) Taxa mensal equivalente a 6% ao ano. ( ) ( ) n i i < > + · + 1 1 ( ) ( ) 12 1 06 , 0 1 < + · + i ( ) ( ) [ ] 12 1 12 12 1 1 06 , 1 < + · i ( )12 12 1 0049 , 1 < + · i 1 0049 , 1 − · < i 4868 , 0 · < i % ao mês. 3) Um fundo rende 95% do CDI (Certificado de Depósito Interbancário). Se em dois meses de aplicação havia 44 dias úteis e a taxa média do CDI no período foi de 2,40% ao mês, calcule o valor de resgate considerando um PV de $12.000,00. (A capitalização do CDI é diária e só é valida para dias úteis). Msc. Fábio Z. Dall’Orto 39 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1º) Calculo da taxa efetiva do CDI para o período de 44 dias: ( ) 1 1 − + · n e n i i 1 30 024 , 0 1 30 44 − , _ ¸ ¸ + · e i ( ) 1 035 , 1 − · e i 1 035 , 1 − · e i 54 , 3 · e i % ao período. 2º) Calculo da rentabilidade do fundo (95% x CDI): 95 , 0 54 , 3 ⋅ · fundo i % 363 , 3 · fundo i ao período. 3º) Calculo do valor de resgate do fundo: ( ) fundo i PV FV + ⋅ · 1 ( ) 0363 , 1 000 . 12 ⋅ · FV 52 , 403 . 12 · FV 4) O banco A anunciou que cobra taxa efetiva de 5,50% ao mês por empréstimos com prazos inferiores a 30 dias. O banco B fez o mesmo anuncio, porém, a taxa é nominal de 5,36% ao mês capitalizado diariamente. Podemos afirmar que o banco B é mais generoso com seus clientes? Para os leigos no assunto, o banco B é menos usurento, pois, aparentemente, cobra taxas menores que o banco A. Entretanto, as duas taxas não podem ser comparadas na forma que se encontram (uma efetiva e a outra nominal). Fazendo a conversão da taxa do banco A para nominal, temos que: Msc. Fábio Z. Dall’Orto 40 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) n i i n e ⋅ 1 ] 1 ¸ − + · 1 1 1 ( ) 30 1 055 , 0 1 30 1 ⋅ 1 ] 1 ¸ − + · i ( ) [ ] 30 1 055 , 1 0333 , 0 ⋅ − · i [ ] 30 1 0018 , 1 ⋅ − · i 36 , 5 · i % ao mês. Ou seja, os dois bancos trabalham com a mesma taxa, simplesmente um banco divulga a taxa na forma efetiva e o outro na forma nominal. Poderíamos, também, transformar a taxa nominal do banco B em efetiva: 1 30 0536 , 0 1 30 − , _ ¸ ¸ + · e i ( ) 1 0018 , 1 30 − · e i 1 0550 , 1 − · e i 50 , 5 · e i % ao mês. Ratificando o resultado anterior. Exercícios Propostos 1) Calcular o capital que aplicado durante 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a. transforma-se em R$ 14.000,00. (Resp. R$ 6.052,59) n = 6 anos FV = 14000 i = 15% a.a. PV ? ( ) 1 n Fv Pv i · + è ( ) 6 14.000 1 0,15 Pv · + è ( ) 6 14.000 1,15 Pv · è 14.000 $6.052,74 2,313 Pv R · ·> HP: [14000] [CHS] [FV] [6] [N] [15] [i] [PV] 2) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado através de um único pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.? (Resp. 5 meses) n = ? FV = 110.624,80 i = 15% a.m. PV =55.000,00 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 41 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) 1 Fv Ln Pv n Ln i · + è ( ) 110.624,80 55.000,00 1 0,15 Ln n Ln · + è 2,011 1,015 Ln n Ln · è 0,699 4,99 5 0,140 n · ·> ·> HP: [55.000] [CHS] [PV] [15] [i] [110.624,80] [FV] [N] 3) Um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 280,00 de juros em 2 meses. Calcular a taxa de juros efetiva ganha na aplicação. (Resp. 14% a.b. ou 6,77% a.m.) n = 2 meses FV = 2.280,00 i = ? PV = 2.000,00 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 2 2.280 1 2.000 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 0,5 1,14 1 i · − è 1,0677 1 i · − è 0,0677 i · ou 6,77% . . i a m · ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 2 1 1 0,0677 i > + · + è( ) ( ) 2 1 1,0677 i > + · è( ) 1 1,14 i > + · è 1,14 1 i > · − è 0,14 i > · ou 14% a.b. HP: [2.000] [CHS] [PV] [2.280] [FV] [2] [N] [i] 4) A que taxa de juros um capital de R$ 13.200,00 poderá transformar-se em R$ 35.112,26 se o período de aplicação for de 7 meses? (Resp. 166% a.p. ou 15% a.m.) n = 7 meses FV = 35.112,26 i = ? PV =13.200,00 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 7 35.112,26 1 13.200 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 7 2,660 1 i · − è ( ) 0,143 2,660 1 i · − è 0,1501 15% . . i a m · ·> ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 7 1 1 0,15 i > + · + è ( ) ( ) 7 1 1,15 i > + · è ( ) 1 2,66 i > + · è 2,66 1 i > · − è 1,66 i > · ou 166% a.p. HP: [13.200] [CHS] [PV] [35.112,26] [FV] [7] [N] [i] 5) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicados durante 10 meses a juros efetivos de 2% a.m.. (Resp. R$ 875,98) n = 10 meses FV = ? i = 2,0 a.m. PV =4.000,00 ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 10 4.000 1 0,02 Fv · + g è 4.875,978 Fv · J FV PV · − è 4.875,97 4.000,00 J · − è 875,97 J · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 42 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: [4.000] [CHS] [PV] [10] [N] [2] [i] [FV] [4.000] [-] 6) Aplique hoje R$ 55.000,00 e receba após 6 meses R$ 60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos? (Resp. 1,46% a.m.) n = 6 meses FV = 60.000,00 i = ? PV = 55.000,00 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 6 60.000 1 55.000 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 6 1,0909 1 i · − è0,0146 ou 1,46%a.m. Pela fórmula: [60.000] [Enter] [55.0000] [÷] [6] [1/x] [x><y] [x><y] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] HP: [55.000] [Enter] [CHS] [PV] [6] [N] [60.000] [FV] [i] 7) Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,70% de juros compostos ao mês? (Resp. R$ 22.463,70) n = 12 meses FV = 27.500,00 i = 1,70%a.m. PV ? ( ) 1 n Fv Pv i · + è ( ) 12 27.500 1 0,017 Pv · + g è ( ) 12 27.500 1,017 Pv · è 22.463,70 Pv · HP: [27.500] [FV] [12] [N] [1,7] [i] [PV] 8) Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,50% a.m.? (Resp. R$ 15.801,71) n = 8 meses FV = ? i = 3,50%a.m. PV = 12.000,00 ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 8 12.000 1 0,035 15.801,708 Fv · + ·> g HP: [12.000] [CHS] [PV] [8] [N] [3,5] [i] [FV] 9) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. (Resp. 2,35% a.m. ou 9,737% a.q.) n = 4 FV = 43.894,63 i = ?. PV = 40.000,00 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 43 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 4 43.894,63 1 40.000,00 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 4 1,097 1 i · − è ( ) 1,0235 1 i · − è 0,235 i · è2,35% . . a m ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 4 1 1 0,0235 i > + · + è ( ) ( ) 4 1 1,0235 i > + · è ( ) ( ) 1 1,0974 i > + · è 1,0974 1 i > · − è 0,0974 i > · ou 9,74% a.q. Pela Fórmula: [43.894,63] [Enter] [40.000] [÷] [4] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] HP: [40.000] [CHS] [PV] [43.894,63] [FV] [4] [N] [i] [STO] [1] [100] [÷] [1] [+] [4] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] 10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,20% ao mês para que duplique? (Resp. 31,85 meses) n = ? FV = 2PV i = 2,20%a.m. PV =1 ( ) 1 Fv Ln Pv n Ln i · + è ( ) 2 1 0,022 PV Ln PV n Ln · + è ( ) 2 1,022 Ln n Ln · è 0,69315 0,02176 n · è 0,3185 31,85 n Meses · ·> HP: [1] [CHS] [PV] [2] [FV] [2,20] [i] [N] 11) Uma aplicação de R$ 22.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,40% ao mês, um montante de R$ 26.596,40. Calcular o prazo da operação. (Resp. 8 meses) n = ? FV = 26.596,40 i = 2,40%a.m. PV =22.000,00 ( ) 1 Fv Ln Pv n Ln i · + è ( ) 26.596,40 22.000,00 1 0,024 Ln n Ln · + è 1,209 1,024 Ln n Ln · è 0,18974 0,02372 n · è8,0036 Meses HP: [26.596,40] [Enter] [22.000] [÷] [G] [LN] [1,024] [Enter] [G] [LN] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 44 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 12) Um capital foi aplicado a juros compostos durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? (Resp. 44,22% a.t.) n = 9 => 3 Trimestres FV = 3PV i = ?. PV =1 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 3 3 1 PV i PV ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 3 3 1 i · − è 1,442 1 i · − è 0,442 . . 44,22% i a t · ·> a.t. HP: [3] [Enter] [3] [1/x] [1] [-] [100] [x] 13) Um fogão é vendido à vista por R$ 600,00 ou então a prazo, sendo 20% do preço à vista como entrada, mais uma parcela de R$ 550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? (Resp. 7,04% a.m.) OBS: 600,00 20% 480,00 − · n = 2 meses FV = 550,00 i = ?. PV =480,00 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 2 550 1 480 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 0,5 1,14583 1 i · − è 1,07044 1 i · − è 0,7044 i · è 7,04% . . a m HP: [550] [Enter] [480] [÷] [2] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] 14) Alberto aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% ao ano capitalizada mensalmente: n = 12 meses => 1 período de 1 ano FV = ? i = 24%a.a. PV =6.000,00 a) Qual o montante? (Resp. R$ 7.440,00) ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 1 6.000 1 0,24 Fv · + g è 7.440,00 Fv · HP: [6.000] [CHS] [PV] [24] [i] [1] [N] [FV] b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? (Resp. 1,81% a.m.) n = 12 meses FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 45 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 12 7.440 1 6.000 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 12 1.240 1 i · − è 1,81% . . i a m · HP: [7.440] [Enter] [6.000] [÷] [12] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação? (Resp. 11,36% a.s.) n = 12 meses => 2 semestres FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 2 7.440 1 6.000 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 2 1.240 1 i · − è 11,36% . . i a s · OU: Como: i < = 0,0181 = 1,81% a.m Temos : (1 ) (1 ) n i i + > · + < è 6 (1 ) (1 0,01809) i + > · + è 6 (1 ) (1,01809) i + > · è 1 1,11357 i + >· è 1,11357 1 i >· − è 0,11357 i >· è11,357% . . a s HP: [7.440] [Enter] [6.000] [÷] [2] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] 15) Gisele aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,50% a.m.. O prazo das duas aplicações foi de 6 meses. Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo que os montantes resultantes foram iguais. (Resp. R$ 2.955,78 e R$ 3.044,22) n = 12 meses FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00 1 2 Fv Fv · 1 2,0% . . i a m · 6 n m · 2 1,5% . . i a m · 1 2 6.000 Pv Pv + · 1 2 1 1 2 2 (1 ) (1 ) n n Pv i Pv i + · + g g è 6 6 1 2 (1 0,020) (1 0,015) Pv Pv + · + g g è ( ) 1 2 1,126 (1,093) Pv Pv · g è 2 1 (1,093) 1,126 Pv Pv · g è 1 2 0,97 Pv Pv · 1 2 6.000 Pv Pv + · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 46 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 2 2 0,97 6.000 Pv Pv + · è 2 1,97 6.000 Pv · è 2 6.000 1,97 Pv · è 2 3.044,27 Pv · 1 2 6.000 Pv Pv + · 1 3.044,22 6.000 Pv + · è 1 6.000 3.044,22 Pv · − è 1 2.955,78 Pv · 16) Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por R$ 800,00. Estando o aparelho em ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o regime de juros compostos. (Resp. R$ 900,93) n = 6 meses FV = ? i = 2,0% a.m. PV =800,00 ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 6 800 1 0,02 Fv · + g è 900,93 Fv · HP: [800] [CHS] [PV] [2] [i] [6] [N] [FV] 17) Uma empresa tomou um empréstimo para capital de giro no valor de R$ 10.000,00 por 30 dias, à taxa efetiva de 75% a.a. Qual o montante? (Resp. R$10.477,39). 1ª Maneira de se fazer : (Convertendo a taxa para 30 dias) n = 12 meses FV = ? i = 75% a.a. PV =10.000,00 ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + ( ) ( ) 1 1 12 12 12 1 0,75 1 i < 1 + · + ¸ ] ( ) ( ) 1 12 1,75 1 i < · + 1,048 1 i < · + è 1,048 1 i < · − è 0,048 4,8% . . i a m < · ·> ( ) 1 n Fv Pv i · + g ( ) 1 10.000 1 0,048 Fv · + g è ( ) 10.000 1,048 Fv · g è 10.477,39 Fv · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 47 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 2ª Maneira de se fazer : (Método simplificado) ( ) 1 n Fv Pv i · + g ( ) 30 360 10.000 1 0,75 Fv · + g è ( ) 0,08333 10.000 1,75 Fv · g è ( ) 10.000 1,04774 Fv · g è 10.477,39 Fv · OU AINDA: ( ) 1 n Fv Pv i · + g ( ) 1 12 10.000 1 0,75 Fv · + g è ( ) 0,08333 10.000 1,75 Fv · g è ( ) 10.000 1,04774 Fv · g è 10.477,39 Fv · HP: [0,08333] [N] [10.000] [CHS] [PV] [75] [i] [FV] 18) Analisando a questão anterior, e se o prazo fosse de 37 dias? (Resp. R$ 10.592,02) n = 12 meses = 1 ano = 360 dias FV = ? i = 75% a.a. PV =10.000,00 ( ) 1 n Fv Pv i · + g ( ) 37 360 10.000 1 0,75 Fv · + g è ( ) 0,10278 10.000 1,75 Fv · g è ( ) 10.000 1,05920 Fv · g è 10.592,02 Fv · HP: [10.000] [CHS] [PV] [75] [i] [37] [Enter] [30] [÷] [12] [÷] [N] [FV] 19) No exercício anterior, qual deveria ser a taxa de juros do empréstimo de capital de giro, para que a empresa ficasse indiferente entre as duas opções? (Resp. 4,17% a.m.) (Cancelada!) 20) Qual o valor aplicado numa operação a juros compostos, com prazo de 160 dias, montante de R$ 170.000,00 e taxa de 2,20% a.m.? (Resp. R$ 151.371,51) n = 160/30 = 5,3333... FV = 170.000,00 i = 2,20% a.m. PV = ? ( ) 1 n Fv Pv i · + è ( ) 5,333... 170.000 1 0,022 Pv · + =è ( ) 5,333... 170.000 1,022 Pv · è 170.000 151.371,51 1,123 Pv · ·> HP: [5.333..] [N] [2,20] [i] [170.000] [FV] [PV] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 48 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 21) Um banco cobra em suas operações de empréstimo de capital de giro uma taxa de juros compostos de 45% a.a.. Se um cliente concordar em pagar apenas 40% a.a., qual a taxa de abertura de crédito que o banco deverá cobrar para que a taxa efetiva anual resulte em 45% a.a.? Considere o prazo da operação igual a 63 dias. (Cancelada!) 22) Um banco emprestou para uma empresa um capital de R$ 500.000,00 a juros compostos por 49 dias. Sabendo-se que o montante foi de R$ 530.000,00, calcule: a) A taxa efetiva mensal de juros compostos da operação; (Resp. 6% a.p.) n = 49 dias FV = 530.000,00 i = ? PV = 500.000,00 J ie Pv · ? i < Fv Pv ie Pv − · è 530.000 500.000 500.000 ie − · è 30.000 0,06 500.000 ie · ·> ou 6% . . a p (49 dias) Para 30 dias: è n=49/30 ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + ( ) ( ) 30 30 49 49 49 30 1 0,06 1 i < 1 + · + 1 ¸ ] 1 ¸ ] ( ) ( ) 30 49 1,06 1 i < · + è( ) ( ) 0,6122 1,06 1 i < · + è ( ) 1,03632 1 i < · + è 1,03632 1 i < · − è 0,03632 i < · ou 3,63% a.m. HP: [500.000] [Enter] [CHS] [PV] [530.000] [FV] [49] [Enter] [30] [÷] [N] [i] [100] [÷] [1] [+] [49] [Enter] [30] [÷] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] b) A taxa efetiva mensal de juros compostos, considerando a liberação de dinheiro 3 dias após a assinatura do contrato. (Resp. 3,87% a.m.) n = 49 - 3 dias = 46 dias FV = 530.000,00 i = ? PV = 500.000,00 n = 46/30 => 1,53333.... ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 1,533 1 0,06 1 i < + · + è ( ) ( ) 1 1 1,533 1,533 1, 533 1 0, 06 1 i < 1 + · + ¸ ] è ( ) ( ) 1 1,533 1,06 1 i < · + è ( ) ( ) 1,0387 1 i < · + è 1,0387 1 i < · − è 0,0387 i < · ou 3,873% a.m. HP: [46] [Enter] [30] [÷] [N] [500.000] [CHS] [PV] [530.000] [FV] [i] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 49 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 23) Em relação ao exercício anterior, suponha que o dinheiro foi liberado na assinatura do contrato, mas que foi cobrada uma taxa de abertura de crédito de 1% do capital emprestado. Qual a taxa efetiva mensal de juros compostos da operação? (Resp. 4,23% a.m.) n = 49 dias FV = 530.000,00 i = ? PV = 500.000,00 – 1% => 495.000,00 J ie Pv · Fv Pv ie Pv − · è 530.000 495.000 495.000 ie − · è 35.000 495.000 ie · è 0,07071 ie · =>7,071% a.p. ( ) ( ) 1 1 n ie i i > < · + · + è ( ) ( ) 30 30 49 49 49 30 1 0,07071 1 ie i 1 · + · + < 1 ¸ ] è( ) 0,61224 1,07071 1 i · + < è 1,04272 1 i − · + <è 0,04272 i <· è4,27% . . a m HP: [495.000] [CHS] [PV] [530.000] [FV] [49] [Enter] [30] [÷] [N] [i] 24) Um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros compostos deve ser pago após 64 dias, sendo o montante igual a R$ 8.500,00. Obtenha a taxa mensal e anual desta operação. (Resp. 2,88% a.m. e 40,64% a.a.) n = 64 dias FV = 8.500,00 i = ? PV = 8.000,00 n=64/30=>2,1333 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 2,133 8.500 1 8.000 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 2,133 1,063 1 i · − è 2,88% . . i a m · ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 12 1 1 0,0288 i > + · + è ( ) ( ) 12 1 1,0288 i > + · è ( ) 1 1,4064 i > + · è 1,4064 1 i > · − è 0,4064 i > · ou 40,64% a.a. HP: [8.000] [CHS] [PV] [8.500] [FV] [64] [Enter] [30] [÷] [N] [i] [100] [÷] [1] [+] [12] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] 25) Em relação ao exercício anterior, suponha que o dinheiro tivesse sido liberado na conta da empresa 3 dias após a assinatura do contrato do empréstimo. Qual a nova taxa mensal nestas condições? (Resp. 3,03% a.m.) n = 64 dias – 3 dias => 61 dias FV = 8.500,00 i = ? PV = 8.000,00 n=61/30=>2,0333 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 2,033 8.500 1 8.000 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 2,033 1,0625 1 i · − è 1,0303 1 i · − è 0,0303 i · ou 3,026% a.m. Msc. Fábio Z. Dall’Orto 50 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: [8.000] [CHS] [PV] [8.500] [FV] [61] [Enter] [30] [÷] [N] [i] 26) Explique qual é a melhor opção: aplicar um capital à taxa de juros composta de 5,252% ao semestre ou 10,78% ao ano. (Resp. É indiferente) ( ) ( ) 1 1 n ie i i > < · + · + è ( ) ( ) 2 1 0,1078 1 0,05252 ie · + · + è ( ) ( ) 2 1,1078 1,05252 ie · · è ( ) ( ) 1,1078 1,1078 ie · · RESPOSTA: é indiferente ! HP: [5,252] [Enter] [100] [÷] [1] [+] [2] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] 27) A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,30% a.m.. Qual o percentual desta taxa acumulada em um ano? (Resp. 47,64% a.a.) ( ) ( ) 1 1 n ie i i > < · + · + è( ) ( ) 12 1 1 0,033 i > + · + è( ) 1 1,4764 i > + · è 1,4764 1 i > · − è 0,4764 i > · ou 47,64% a.a. HP: [3,30] [Enter] [100] [÷] [1] [+] [2] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] 28) Calcule a taxa equivalente para as seguintes taxas: a) 2,30% ao mês para um ano; ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 12 1 1 0,0230 i > + · + è ( ) ( ) 12 1 1,0230 i > + · è ( ) 1 1,3137 i > + · è 1,3137 1 i > · − è 0,3137 i > · ou 31,37% a.a. HP: [1] [Enter] [0,023] [+] [12] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] b) 0,14% ao dia para 23 dias; ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 23 1 1 0,0014 i > + · + è ( ) ( ) 23 1 1,0014 i > + · è ( ) 1 1,0327 i > + · è 1,0327 1 i > · − è 0,0327 i > · ou 3,27% a.p. HP: [1] [Enter] [0,014] [+] [23] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 51 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira c) 7,45% ao trimestre para um ano; ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 4 1 1 0,0745 i > + · + è ( ) ( ) 4 1 1,0745 i > + · è ( ) 1 1,3330 i > + · è 1,3330 1 i > · − è 0,3330 i > · ou 33,298% a.a. HP: [1] [Enter] [0,0745] [+] [4] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] d) 6,75 ao semestre para um mês; ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 6 1 0,0675 1 i < + · + è ( ) ( ) 1 1 6 6 6 1,0675 1 i < 1 · + ¸ ] è ( ) ( ) 1 6 1,0675 1 i · + < è ( ) ( ) 1,0109 1 i · + < è 1,0109 1 i < · − è 0,0109 i < · ou 1,094% a.m. HP: [0,0675] [1] [+] [6] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] e) 1,87% para 20dias para um ano =360/20 => 18 períodos. ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è( ) ( ) 18 1 1 0,0187 i > + · + è( ) ( ) 18 1 1,0187 i > + · è( ) 1 1,3958 i > + · è 1,3958 1 i > · − è 0,3958 i > · ou 39,58% . . a p 33) Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juros que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for igual a: a) 1 mês; ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) 1 1 12 12 12 1,18 1 i < 1 · + ¸ ] è( ) ( ) 1 12 1,18 1 i < · + è 0,0139 i < · ou 1,388% a.m. HP: [1] [Enter] [0,18] [+] [12] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] b) 1 quadrimestre; ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) 1 1 3 3 3 1,18 1 i < 1 · + ¸ ] è( ) ( ) 3 1,18 1 i < · + è 0,0567 i < · ou 5,67% a.q. HP: [1] [Enter] [0,18] [+] [3] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 52 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira c) 1 semestre; ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) 1 1 2 2 2 1,18 1 i < 1 · + ¸ ] è( ) ( ) 1 2 1,18 1 i < · + è 0,0863 i < · ou 8,627% a.s. HP: [1] [Enter] [0,18] [+] [2] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] d) 5 meses; ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) 1 1 2,4 2,4 2,4 1,18 1 i < 1 · + ¸ ] è( ) ( ) 1 2,4 1,18 1 i < · + è 0,0714 i < · ou 7,1398% a.p. HP: [1] [Enter] [0,18] [+] [2,4] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] e) 10 meses. ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) 1 1 1,2 1,2 1,2 1,18 1 i < 1 · + ¸ ] è( ) ( ) 1 1,2 1,18 1 i < · + è 0,1479 i < · ou 14,789% a.p. HP: [1] [Enter] [0,18] [+] [1,2] [1/x] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] 34) Para cada taxa nominal apresentada a seguir, pede-se calcular a taxa efetiva anual: a) 9,00% a.a. capitalizados mensalmente; (Resp. 9,381% a.a) 1 1 n i ie np ¸ _ · + − ¸ , è 12 0,09 1 1 12 ie ¸ _ · + − ¸ , è ( ) 12 1 0,0075 1 ie · + − è ( ) 12 1,0075 1 ie · − è ( ) 1,0938 1 ie · − è 0,0938 ie · ou 9,3807 a.a. HP: [0,09] [Enter] [12] [÷] [1] [+] [12] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] b) 14% a.a. capitalizados trimestralmente; (Resp. 14,752% a.a.) 1 1 n i ie np ¸ _ · + − ¸ , è 4 0,14 1 1 4 ie ¸ _ · + − ¸ , è ( ) 4 1 0,0350 1 ie · + − è ( ) 4 1,0350 1 ie · − è ( ) 1,1475 1 ie · − è 0,1475 ie · ou 14,7523% a.a. HP: [0,14] [Enter] [4] [÷] [1] [+] [4] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 53 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira c) 15% a.a. capitalizados semestralmente. (Resp. 15,563% a.a.) 1 1 n i ie np ¸ _ · + − ¸ , è 2 0,15 1 1 2 ie ¸ _ · + − ¸ , è ( ) 2 1 0,0750 1 ie · + − è ( ) 2 1,0750 1 ie · − è ( ) 1,1556 1 ie · − è 0,1556 ie · ou 15,5625% a.a. HP: [0,15] [Enter] [2] [÷] [1] [+] [2] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] d) 12% a.a. capitalizados anualmente. (Resp. 12,00% a.a.) 1 1 n i ie np ¸ _ · + − ¸ , è 1 0,12 1 1 1 ie ¸ _ · + − ¸ , è ( ) 1 1 0,12 1 ie · + − è ( ) 1 1,12 1 ie · − è ( ) 1,12 1 ie · − è 0,12 ie · ou 12% a.a. HP: [0,12] [Enter] [1] [÷] [1] [+] [1] [ x Y ] [1] [-] [100] [x] 35) Com relação a formação das taxa de juros, pede-se: a) Em 77 dias uma aplicação rendeu 8,30% de juros. Apurar as taxas mensal e anual equivalentes; n = 77/30 => 2,56667 ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 2,5667 1 0,0830 1 i < + · + è ( ) ( ) 1 1 2,5667 2,5667 2,5667 1 0,0830 1 i < 1 + · + ¸ ] è ( ) ( ) 1 2,5667 1,0830 1 i < · + è ( ) ( ) 1,0316 1 i < · + è 1,0316 1 i < · − è 0,0316 i < · ou 3,1553% a.m. ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 12 1 1 0,0316 i > + · + è ( ) ( ) 12 1 1,0316 i > + · è ( ) 1 1,4518 i > + · è 1,4518 1 i > · − è 0,4518 i > · ou 45,1775% a.a. b) Um banco cobra atualmente 18,60 ao ano de juros. Para uma operação de 136 dias, determinar a taxa efetiva que será cobrada; n = 360/136 => 2,64706 ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 2,6471 1 0,1860 1 i < + · + è ( ) ( ) 1 1 2,6471 2,6471 2,6471 1,1860 1 i < 1 · + ¸ ] è ( ) ( ) 1 2,6471 1,1860 1 i < · + è ( ) ( ) 1,0666 1 i < · + è 1,0666 1 i < · − è 0,0666 i < · ou 6,6566% a.p. Msc. Fábio Z. Dall’Orto 54 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira c) Uma empresa está cobrando juros de 3% para vendas a prazo de 28 dias corridos. Determinar a taxa efetiva mensal e anual de venda a prazo; n = 30/28 => 1,07143 ( ) 30 28 1 0,03 1 i · + − è ( ) 1,07143 1,03 1 i · − è 1,03218 1 i · − è 0,03218 i · ou 3,218% . . a m ( ) 360 28 1 0,03 1 i · + − è ( ) 12,85714 1,03 1 i · − è 1,46235 1 i · − è 0,46235 i · è ou 46,235% . . a a d) Determinar a taxa equivalente para 44 dias de 109,30% ao ano. N = 360/44 => 8,18182 ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 8,1818 1 1,0930 1 i < + · + è( ) ( ) 1 1 8,1818 8,1818 8,1818 2,0930 1 i < 1 · + ¸ ] è ( ) ( ) 1 8,1818 2,0930 1 i < · + è ( ) ( ) 1,0945 1 i < · + è 1,0945 1 i < · − è 0,0945 i < · ou 9,4473% a.p. 36) Determinar o montante de uma operação de aplicação no valor de R$ 22.000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas efetivas: FV = ? PV = 22.000,00 a) Taxa de 2,20% a.m. e prazo de 7 meses; (Resp. R$ 25.619,99) ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 7 22.000 1 0,022 Fv · + g è ( ) 7 22.000 1,022 Fv · g è ( ) 22.000 1,1645 Fv · g è 25.619,99 Fv · HP: [22.000] [CHS] [PV] [2,2] [i] [7] [N] [FV] b) Taxa de 5,00% a.m. e prazo de 2 anos; (Resp. R$ 70.952,20) ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 24 22.000 1 0,050 Fv · + g è ( ) 24 22.000 1,050 Fv · g è ( ) 22.000 3,225 Fv · g è 70.952,20 Fv · HP: [22.000] [CHS] [PV] [5,0] [i] [24] [N] [FV] c) Taxa de 12,00% a.t. e prazo de 1 ano e meio; (Resp. R$ 43.424,10) ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 6 22.000 1 0,120 Fv · + g è ( ) 6 22.000 1,120 Fv · g è ( ) 22.000 1,9738 Fv · g è 43.424,10 Fv · HP: [22.000] [CHS] [PV] [12] [i] [6] [N] [FV] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 55 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira d) Taxa de 20,00% a.s. e prazo de 4 anos; (Resp. R$ 94.595,97) ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 8 22.000 1 0,200 Fv · + g è ( ) 8 22.000 1,200 Fv · g è ( ) 22.000 4,2998 Fv · g è 94.595,97 Fv · HP: [22.000] [CHS] [PV] [20] [i] [8] [N] [FV] e) Taxa de 0,15% a.d. e prazo de 47 dias; (Resp. R$ 23.605,74) ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 47 22.000 1 0,0015 Fv · + g è ( ) 47 22.000 1,0015 Fv · g è ( ) 22.000 1,07299 Fv · g è 23.605,74 Fv · HP: [22.000] [CHS] [PV] [0,15] [i] [47] [N] [FV] f) Taxa de 9,00% a.a. e prazo de 216 meses. (Resp. R$ 103.776,65) n = 216/12 =>18 anos ( ) 1 n Fv Pv i · + g è ( ) 18 22.000 1 0,090 Fv · + g è ( ) 18 22.000 1,090 Fv · g è ( ) 22.000 4,7171 Fv · g è 103.776,65 Fv · HP: [22.000] [CHS] [PV] [9] [i] [18] [N] [FV] 37) Um banco lança um título pagando 6% a.t.. Se uma pessoa necessitar de R$ 58.0000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título? (Resp. R$ 28.824,22) N = 36/3 => 12 ( ) 1 n Fv Pv i · + è ( ) 12 58.000,00 1 0,060 Pv · + è ( ) 12 58.000,00 1,060 Pv · è ( ) 58.000,00 2,0122 Pv · è 28.824,22 Pv · HP: [58.000] [FV] [12] [N] [6] [i] [PV] 38) Sendo a taxa corrente de juros de 10% a.q., quanto deve ser aplicado hoje para se resgatar R$ 38.500,00 daqui a 28 meses? (Resp. R$ 19.756,59) N = 28/4 => 7 ( ) 1 n Fv Pv i · + è ( ) 7 38.500,00 1 0,10 Pv · + è ( ) 7 38.500,00 1,10 Pv · è ( ) 38.500,00 1,9487 Pv · è 19.756,59 Pv · HP: [38.500] [FV] [7] [N] [10] [i] [PV] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 56 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 39) Os rendimentos de uma aplicação de R$ 12.800,00 somaram R$ 7.433,12 ao final de 36 meses. Determine a taxa efetiva mensal de juros desta aplicação. (Resp. 1,28% a.m.) FV = PV+J = 20.233,12 i = ? PV = 12.800,00 J = 7.433,12 J ie PV · è 7.433,12 12.800 ie · è 0,5807 ie · ou 58,07% a.p. ( ) ( ) 1 1 n i i > < + · + è ( ) ( ) 36 1 0,5807 1 i < + · + è ( ) ( ) 1 1 36 36 36 1,5807 1 i < 1 · + ¸ ] è ( ) ( ) 1 36 1,5807 1 i < · + è ( ) ( ) 1,0128 1 i < · + è 1,0128 1 i < · − è 0,0128 i < · ou 1,28% a.m. OU: 1 1 N FV i PV ¸ _ · − ¸ , è 1 36 20.233,12 1 12.800,00 i ¸ _ · − ¸ , è ( ) 0,02778 1,58071 1 i · − è 1,01280 1 i · − è 0,01280 i · è 1,280% . . i a m · HP: [12.800] [Enter] [7.433,12] [+] [FV] [12.800] [CHS] [PV] [36] [N] [i] 40) Uma empresa tem observado um crescimento médio de 10% ao ano na demanda de seus produtos. Mantida esta tendência ao longo do tempo, determine em quantos anos dobrará a demanda. (Resp. 7 anos, 3 meses e 8 dias) 1 Pv · 2 Fv PV · 10% . . i a a · ?. n · ( ) 1 FV LN PV n LN i · + è ( ) 2 1 0,10 PV LN PV n LN · + è ( ) 2 1,10 LN n LN · è 0,69315 0,09531 n · è 7.27258 n · ENTÃO: 7.27258 n · è 7 0,27258 n anos · + è0,2725812 3,27096 · g è3 0,27096 meses + è 0,27096 30 8,12880 · g è8 0,12880 dias + Msc. Fábio Z. Dall’Orto 57 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 41) Determine a taxa mensal de juros compostos que faz com que um capital triplique de valor após três anos e meio. (Resp. 2,650% a.m.) ? i · 3 Fv Pv · 3,5 42 anos Meses · ( ) 1 n Fv Pv i · + g ( ) 42 3 1 Pv Pv i · + g ( ) 42 3 1 Pv i Pv · + [ ] ( ) 1 1 42 42 42 1 3 1 i 1 · + 1 ¸ ] [ ] ( ) 1 42 3 1 i · + ( ) 1,0265 1 i · + è 1,0265 1 i · − è 0,0265 2,65% . . i ou a m · 42) Uma taxa efetiva de juros, com capitalização quadrimestral é aplicada a um capital gerando um total de juros, ao final de 2 anos, igual a 270% do valor do capital aplicado. Determinar o valor desta taxa de juros. (Resp. 24,366% a.q.) 1 Pv Pv · 2, 7 Fv Pv Pv · + è 3,7PV 2 n a · ou 6q ? i · 1 1 n Fv i Pv ¸ _ · − ¸ , è 1 6 3,7 1 Pv i Pv ¸ _ · − ¸ , è ( ) 1 6 3,7 1 i · − è 1,2437 1 i · − è 0,2437 i · 24,36% . . i a q · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 58 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4) SÉRI ES DE PAGAMENTOS........................................................................................................................................... 59 4.1) VALOR PRESENTE (PV) .................................................................................................................................................60 4.1.1) PV P - Série Periódica Constante Postecipada ............................................................................................... 60 4.1.2) PV A - Série Periódica Constante Antecipada................................................................................................. 64 Um Caso a Parte das Séries Antecipadas ..................................................................................................................... 66 4.1.3) PV G - Série Perpétua.......................................................................................................................................... 68 4.1.3.1) Valor Presente de Perpetuidades com Taxas Crescentes ................................................................................ 70 4.1.4) PV - Outros Modelos de Séries de Pagamentos............................................................................................. 74 4.1.4.1) PV D - Séries Diferidas ...................................................................................................................................... 74 4.1.4.2) PV - Séries Variáveis ........................................................................................................................................ 76 4.1.4.3) PV - Séries não Periódicas............................................................................................................................... 78 Exercícios Resolvidos:................................................................................................................................................... 79 Exercícios Proposto:...................................................................................................................................................... 87 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 59 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4) Séries de Pagamentos Genericamente, entende-se por Série de Pagamentos uma seqüência de embolsos (entradas) e/ou desembolsos (saídas) de capitais que são distribuídos periodicamente, um após o outro, em uma linha de tempo. Chamaremos esses embolsos e desembolsos de prestações (PMT). O estudo das séries de pagamentos envolve basicamente três conceitos: o Valor Presente (PV), que é a somatória das parcelas na data zero; o Valor Futuro (FV), que é a somatória das parcelas em data futura, em data igual ou após o vencimento da ultima prestação; e a Equivalência de Capitais, que é a somatória das prestações em uma data qualquer. Abordaremos cada um dos pontos acima, porém, antes, é preciso classificar os tipos de séries, ou seja, a forma como se comportam os fluxos monetários ao longo do tempo, haja vista os diversos formatos que eles podem assumir: ? Quanto à Periodicidade das Prestações: • Periódica: Ocorrem em intervalos regulares do tempo. Por exemplo: prestações mensais, anuais, semestrais e etc.; • Não Periódica: Não obedece a uma regularidade temporal. ? Quanto ao Valor das Prestações: • Constante: Quando eles são iguais. • Variável: Quando eles não são iguais. ? Quanto ao Número de Prestações: • Finita: Quando a quantidade for conhecida; • Perpétua: Quando a quantidade não for conhecida. ? Quanto ao Início do Pagamento da Primeira Prestação: • Antecipada: Quando a primeira prestação for efetivada no ato da operação financeira; Msc. Fábio Z. Dall’Orto 60 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira • Postecipada: Quando a primeira prestação for efetivada depois de decorrido um período da operação financeira. • Diferida: Quando a primeira prestação for efetivada ( ) 1 + n períodos após a época zero. Dizemos que n é o prazo de carência da série. 4.1) Valor Presente (PV) O Valor Presente de uma série de pagamentos é dado pela somatória das prestações descapitalizadas por uma taxa (i) à data inicial (t 0 ) do fluxo de caixa. De forma simplista, o valor presente é a substituição de várias parcelas, recebimentos e/ou pagamentos, por apenas uma, em data igual ou anterior ao vencimento da primeira. No item presente discutiremos o Valor Presente para as seguintes formatações de séries: • PV P - Série Periódica Constante Postecipada; • PVA - Série Periódica Constante Antecipada; • PVG - Série Perpetua; • Outros Modelos Aleatórios. 4.1.1) PV P - Série Periódica Constante Postecipada Uma Série Periódica Constante Postecipada é aquela em que o os valores das parcelas e os intervalos entre elas são iguais; a primeira prestação é efetuada após uma unidade de tempo da data inicial do fluxo. Reportando-se à representação gráfica: PMT PMT PMT PMT PV P Série Periódica Constante Postecipada t 1 t 2 t 3 t j Msc. Fábio Z. Dall’Orto 61 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ∑ · + · j n n P i PMT PV 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j P i PMT i PMT i PMT i PMT PV + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + · 1 1 1 1 3 2 Colocando o PMT em evidência... 1 ] 1 ¸ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + ⋅ · j P i i i i PMT PV ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] j P i i i i PMT PV − − − − + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + ⋅ · 1 1 1 1 3 2 1 Observe que a expressão entre colchetes equipara-se a soma dos termos de uma Progressão Geométrica (PG) de n termos, sendo o primeiro termo a 1 , o último a n e a razão q. A somatória desta expressão é conhecida com Fator de Valor Presente (FPV). Aplicando a fórmula da soma de uma PG: Admitindo que: • ( ) 1 1 1 − + · i a • q = 1 2 a a ? ( ) ( ) 1 2 1 1 − − + + i i ? ( ) ( ) 1 2 1 1 i i + ⋅ + − ? ( ) 1 1 − + · i q • ( ) j n i a − + · 1 Calculando o FPV… ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − + − + ⋅ + − + · i i i i FPV j q q a a FPV Sn n − − · · 1 . 1 FPV (i, j) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 62 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i FPV j + + ⋅ + − + ⋅ + − + · − 1 1 1 1 1 1 1 1 - -1 -1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 1 1 i i i i i FPV j + − + + ⋅ + − + · − ( ) ( ) 1 1 1 1 1 − + ⋅ + − · − i i FPV j ( ) i i FPV j − + − · 1 1 Substituindo a expressão entre colchetes pelo FPV... PV P - Valor Presente PMT - Prestação i - Taxa de juros referente ao período de capitalização n - nº de prestações -t - nº de prestações OBS: Para que a calculadora esteja preparada para calcular juros compostos aperte: [C] [STO] [EEX] Exemplo: Um imóvel foi vendido por 12 parcelas mensais de $6.000,00, a primeira a vencer daqui a 30 dias. Quanto deve pagar o comprador caso ele decida quitar o imóvel à vista. A taxa de juros do mercado é de 3 % ao mês. ( ) i i PMT PV t − + − ⋅ · 1 1 ( ) n i FPV PMT PV P , ⋅ · ou Msc. Fábio Z. Dall’Orto 63 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ∑ · + · 12 1 03 , 0 1 000 . 6 n n P PV ( ) ( ) ( ) ( ) 12 3 2 03 , 0 1 000 . 6 03 , 0 1 000 . 6 03 , 0 1 000 . 6 03 , 0 1 000 . 6 + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + · P PV ( ) ( ) ( ) ( ) 426 , 1 000 . 6 093 , 1 000 . 6 061 , 1 000 . 6 03 , 1 000 . 6 + ⋅ ⋅ ⋅ + + + · P PV 574 , 207 . 4 ... 478 , 489 . 5 042 , 655 . 5 243 , 825 . 5 + + + + · P PV 02 , 724 . 59 · P PV Aplicando a fórmula anteriormente definida do Valor Presente, que caracteriza este tipo de série: ( ) 1 1 n P i PV PMT i − − + · ⋅ ( ) 03 , 0 03 , 0 1 1 000 . 6 12 − + − ⋅ · P PV 03 , 0 701 , 0 1 000 . 6 − ⋅ · P PV 954 , 9 000 . 6 ⋅ · P PV 02 , 724 . 59 · P PV x Y HP: [12] [N] [3] [i] [6.000] [CHS] [PMT] [PV] 6.000 6.000 6.000 6.000 PV P Série Periódica Constante Postecipada t 1 t 2 t 3 t 12 FPV (3%, 12) HP: [1] [Enter] [0,03] [+] [12] [CHS] x Y HP: [CHS] [1] [+] [0,03] [ ÷] Msc. Fábio Z. Dall’Orto 64 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Perceba que utilizando a primeira opção de resolução do exercício para calcular o PV, apesar de viável, é cansativo, e se o número de parcelas for muito grande, a extensão da operação pode ser fator de gerador de erros de execução. Da segunda maneira, a inexistência de uma calculadora financeira ou de uma planilha eletrônica, pode dificultar os cálculos. Então, para facilitar a operacionalização da fórmula, existe no apêndice desta apostila uma tabela com varias combinações de FPV (i, n). 4.1.2) PV A - Série Periódica Constante Antecipada Uma Série Periódica Constate Antecipada é aquela em que os valores das parcelas e os intervalos entre elas são iguais, entretanto, diferentemente da postecipada, a primeira prestação é efetuado no ato da operação financeira. Este valor é vulgarmente conhecido como entrada. Reportando-se à representação gráfica: Neste caso, t j-1 equivale ao último período da série, e j-1 representa o número de prestações menos um. O Valor Presente (PV A ) é igual ao PMT de t 0 mais as PMT´s subseqüentes descapitalizadas por uma taxa (i) à inicial do fluxo (t 0 ). Note que existe uma parcela que é realizada no início do fluxo, portanto, ela não está dispersa ao longo do tempo e não pode sofrer incidência da taxa de juros. Sendo assim: PMT PMT PMT PMT PV A Série Uniforme Periódica Antecipada PMT t 1 t 2 t 3 t j-1 t 0 1 (1 ) T PV PMT i i − · − + Msc. Fábio Z. Dall’Orto 65 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ∑ − · + + · 1 1 1 j n n A i PMT PMT PV ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ] 1 ¸ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + · −1 3 2 1 1 1 1 1 j A i PMT i PMT i PMT i PMT PMT PV Como nas séries postecipadas, a expressão entre colchetes pode ser simplificada aplicando a soma de uma PG. Deixamos a demonstração para exercício do leitor: ( ) i i PMT PMT PV j A − + − ⋅ + · 1 1 1 Uma outra forma de calcular o PV para séries antecipadas é considerá- las, a principio, como uma série postecipada. Vejamos graficamente a conseqüência desta suposição: Note que quando executado os calculamos do valor presente de uma série antecipada, considerando-a postecipada, o PV é remetido ao período t -1 , entretanto, como não é esta a data desejada, capitaliza-se o PV em um período, trazendo-o para t 0 . Então: ( ) 1 ] 1 ¸ + − + ⋅ · − i i PMT PV j A 1 1 1 1 ( ) ( ) i i i PMT PV j A + ⋅ + − ⋅ · − 1 1 1 PMT PMT PMT PMT t -1 t 0 t 1 t 2 t j (1+ i) PV Valor Presente de Série Postecipada Msc. Fábio Z. Dall’Orto 66 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exemplo: Utilizando os mesmos dados do exemplo anterior, onde, o comprador deveria decidir por pagar o imóvel à vista ou em doze parcelas, refaça os cálculos sendo que, agora, a primeira parcela será paga no ato da comercialização: ( ) ∑ · + + · 11 1 03 , 0 1 000 . 6 000 . 6 n n A PV ( ) ( ) ( ) ( ) 11 3 2 03 , 0 1 000 . 6 03 , 0 1 000 . 6 03 , 0 1 000 . 6 03 , 0 1 000 . 6 000 . 6 + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + · A PV ( ) ( ) ( ) ( ) 384 , 1 000 . 6 093 , 1 000 . 6 061 , 1 000 . 6 03 , 1 000 . 6 000 . 6 + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + · A PV 260 , 335 . 4 ... 478 , 489 . 5 042 , 655 . 5 243 , 825 . 5 000 . 6 + + + + + · A PV 75 , 515 . 61 · A PV De maneira alternativa, utilizando a relação acima desenvolvida que caracteriza o calculo do Valor Presente para este tipo de série: ( ) 1 ] 1 ¸ + − + ⋅ · − i i PMT PV j A 1 1 1 1 ( ) 1 ] 1 ¸ + − + ⋅ · − 03 , 0 03 , 0 1 1 1 000 . 6 12 1 A PV 1 ] 1 ¸ − + ⋅ · 03 , 0 722 , 0 1 1 000 . 6 A PV 253 , 10 000 . 6 ⋅ · A PV 75 , 515 . 61 · A PV Um Caso a Parte das Séries Antecipadas As Séries Periódicas Constantes Antecipadas é caracterizada por apresentar, além de outros, valores iguais das parcelas. Entretanto, existe uma particularidade muito interessante e de grande utilização, principalmente no comercio varejista, que é a exigência de uma entrada diferente dos valores subseqüentes, ou seja, 0 0 ≠ ≠ i i PMT PMT . Msc. Fábio Z. Dall’Orto 67 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Para resolver esse tipo de problema, faz-se uma pequena modificação nas relações desenvolvidas anteriormente: adiciona-se na fórmula o valor da entrada, representado pela letra (E): Exemplo: Um eletrodoméstico é vendido por $590,00 à vista ou uma entrada mais 4 parcelas de $80,00. Caso o individuo escolha comprar o equipamento a prazo, qual será o valor da entrada que ele deverá desembolsar? ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ + · − 05 , 0 05 , 0 1 1 100 590 4 E [ ] 546 , 3 100 590 ⋅ + · E [ ] 546 , 3 100 590 ⋅ − · E 40 , 235 · E ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ + · − i i PMT E PV n E 1 1 ( ) [ ] n i FPV PMT E PV E , ⋅ + · 100 100 100 100 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 PV E = 590 E = ? PV de Série Antecipada Msc. Fábio Z. Dall’Orto 68 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4.1.3) PV G - Série Perpétua Existe uma particularidade que muito nós interessa estudar e de freqüente aplicação no mercado títulos de renda variável, previdenciário, imobiliário e etc.: são as séries perpetuas ou simplesmente perpetuidades. Para melhor compreensão deste conceito, haja vista que o mesmo não é tão trivial quanto os outros apresentados até agora, a sua demonstração será feita através de uma situação prática: Imagine que um proprietário de um imóvel recebeu de seu inquilino uma proposta de compra da sala comercial que ocupa. Se o valor do aluguel recebido é de $600,00 por mês, a uma taxa de oportunidade de 2% ao mês, qual deverá ser o preço mínimo que o locador deve aceitar pelo imóvel? (Lembre-se que taxa de oportunidade é o rendimento mínimo que um investidor exige para aplicar suas economias. Então, neste caso, o valor de 2% ao mês é o rendimento mínimo que o proprietário do imóvel teria caso vendesse a sala e aplicasse o dinheiro). Note que na essência da operação o proprietário está trocando rendimentos futuros, em forma de aluguel, por um único valor recebido no ato da venda do imóvel. Sendo assim, a situação atual se difere das demais estudadas até agora por não apresentar um número conhecido de aluguéis a receber, ou seja, das PMT’s que devem ser descapitalizadas. Mas, por princípio, acredita-se que o número de alugueis a receber é indeterminado, perpétuo. Reportando-se a representação gráfica: Verifique no diagrama que o número de parcelas, PMT´s, é indeterminado e tende ao infinito. Aplicando o conceito de limite na fórmula do PV: PMT PMT PMT PMT PMT PV G Série Perpetua Postecipada . . . t 1 t 2 t 3 t 4 t 8 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 69 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − ∞ → i i PMT PV n n G 1 1 lim ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · −∞ i i PMT PV G 1 1 Fazendo ( ) X i · + 1 ... 1 ] 1 ¸ − ⋅ · −∞ i X PMT PV G 1 1 1 ] 1 ¸ − ⋅ · ∞ i X PMT PV G 1 1 Como para qualquer valor de X (maior que um) a expressão ∞ X 1 tenderá a zero... i PMT PV G 1 ⋅ · Aplicando a fórmula que acabamos de definir no nosso exemplo, o preço mínimo que o proprietário deve aceitar é: 02 , 0 600 · G PV 00 , 000 . 30 · G PV OBSERVAÇÃO: Se estivermos trabalhando com séries perpétuas antecipadas, basta somar o valor da primeira parcela: i PMT PMT PV G + · i PMT PV G · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 70 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4.1.3.1) Valor Presente de Perpetuidades com Taxas Crescentes A aplicação do cálculo do PV para séries perpétuas com taxas de crescimento é de extrema importância na análise de investimentos e precificação de ações. Não iremos discutir aqui, a teoria da análise de investimentos, entretanto, queremos mostrar a aplicação da matemática financeira como ferramenta de apóio para a tomada de decisão para estes tipos de investimentos, haja vista que mais à frente apresentaremos o assunto. As séries perpétuas com taxa de crescimento podem ser reproduzidas graficamente da seguinte maneira: Observe que para este tipo de séries, os valores das prestações crescem a uma taxa (c) de forma exponencial, tal como descrito abaixo: $ 1 R PMT · ( ) c R PMT + ⋅ · 1 $ 2 ( ) 2 3 1 $ c R PMT + ⋅ · ( ) 3 4 1 $ c R PMT + ⋅ · ( ) 4 5 1 $ c R PMT + ⋅ · . . . ( ) 1 1 $ − ∞ ∞ + ⋅ · c R PMT t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 8 PV GC PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT 4 PMT 5 Série Perpétua com Taxa de Crescimento PMT 8 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 71 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞ − ∞ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ + + · i c PMT i c PMT i c PMT i PMT PV GC 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 Observe que a expressão equipara-se a soma dos termos de uma Progressão Geométrica infinita, sendo o primeiro termo a 1 e a razão q. Aplicando a soma de uma PG infinita: • ( ) 1 1 1 − + ⋅ · i PMT a • ( ) ( ) i c q + + · 1 1 Substituindo os valores na expressão: ( ) ( ) ( ) i c i PMT PV GC + + − + ⋅ · − 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i c i PMT PV GC + + ⋅ + + − + ⋅ · − 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) c i i PMT PV GC + − + + ⋅ · 1 1 1 0 c i PMT PV GC − ⋅ · 1 Onde c é a taxa de crescimento. c i PMT PV GC − · q a PV Sn GC − · · 1 1 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 72 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exemplo: Um investidor deseja adquirir um determinado lote de ações de uma empresa que anunciou pagar dividendos de $35,00 para os próximos três anos, e depois um acréscimo de 3% ao ano sobre o valor do dividendo inicial. A uma taxa de oportunidade é 20% ao ano, qual o valor máximo que o lote de ações deve ser adquirido? Observe que neste caso, em uma mesma série, temos dois comportamentos diferentes dos influxos dos dividendos: um finito postecipado de três parcelas de $35,00, e outro perpétuo, com taxa de crescimento de 3% ao período. Para facilitar a solução desmembraremos a série em duas: 1º) Fluxo finito postecipado: ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − i i PMT PV n P 1 1 ( ) 1 ] 1 ¸ − ⋅ · − 20 , 0 20 , 1 1 35 3 P PV 1065 , 2 35 ⋅ · P PV 75 , 73 · P PV t 1 t 2 t 3 35 PV P Série Uniforme Postecipada Finita 35 35 FPV (20%, 3) 35 35 35 36,05 37,15 38,25 PV Série Perpétua com Taxa de Crescimento 35 (1+ c) n Msc. Fábio Z. Dall’Orto 73 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 2º) Fluxo Perpétuo crescente: A descapitalização da série perpetua será feita em dois momentos: primeiro trazendo os valores à t 3 ; depois a t 0 . • 1º Momento: Descapitalizar os influxos da série perpétua até t 3 . c i PMT PV − · 4 3 ( ) c i c PMT PV − + ⋅ · 1 3 3 ( ) 03 , 0 20 , 0 03 , 0 1 35 3 − + ⋅ · PV ( ) 17 , 0 03 , 1 35 3 ⋅ · PV 17 , 0 05 , 36 3 · PV 06 , 212 3 · PV • 2º Momento: Descapitalizar em três períodos o valor presente da etapa anterior. ( ) 3 20 , 1 06 , 212 · GC PV 7280 , 1 06 , 212 · GC PV 72 , 122 · GC PV PV GC 36,05 37,15 1º Momento 2º Momento t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 8 35 (1+i) 8 Série Perpétua com Taxa de Crescimento Msc. Fábio Z. Dall’Orto 74 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Sendo assim, o valor do lote de ações será: GC P lote PV PV PV + · 72 , 122 75 , 73 + · PV 47 , 196 · PV 4.1.4) PV - Outros Modelos de Séries de Pagamentos Neste tópico desenvolveremos o PV para outros modelos de séries de pagamentos menos aplicadas no mercado. Com exceção das diferidas, que veremos a seguir, todas as outras séries referenciadas neste subtítulo não contemplam uma relação padrão, por isso esses modelos são tratados separadamente. A manipulação dessas séries é muito trabalhosa, residindo ai o fato de serem pouco empregadas. 4.1.4.1) PV D - Séries Diferidas O diferimento pode ser entendido como um prazo de carência que se concede para que a primeira prestação seja efetivada. É importante não confundir o prazo do diferimento com o prazo das séries postecipadas, que é de um período. Diferente desta última, o prazo de carência não contempla nenhum valor padrão, ele depende do que será acordado entre as partes interessadas. Nós portando ao modelo gráfico: PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT n t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t j Prazo de Carência = 3 Série Diferida PV D Msc. Fábio Z. Dall’Orto 75 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Em geral, a comparação da série diferida é feita com a postecipada, conseqüentemente, neste exemplo, o prazo de carência para iniciar o pagamento das parcelas é de três períodos. Sendo assim, o prazo de carência será sempre um período a menos em relação aquele entre a data t 0 e a data da primeira prestação: 1 1 − · PMT t Cr Cr - prazo de carência t PMT1 - período do pagamento da primeira parcela O PV D será dado pelas prestações descapitalizadas como se a série fosse postecipada, atualizada pelo prazo de carência. Cabe ressaltar que n e j, neste caso, representam respectivamente o número de prestações e o número de períodos. Então: ( ) ( ) Cr j n n D i i PMT PV + + · ∑ · 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 i i PMT i PMT i PMT i PMT PV j D + ⋅ 1 ] 1 ¸ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + · Como a expressão entre colchetes equipara-se a soma dos termos de uma Progressão Geométrica (PG), e pode ser simplificada utilizando o mesmo artifício aplicado às séries de Valor Presente Postecipadas desenvolvidas no item 4.1.1: n - número de prestações cr - Prazo de carência ( ) ( ) cr n D i i i PMT PV + ⋅ 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − 1 1 1 1 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 76 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exemplo: Admitindo prestações no valor de $200,00 e taxa de juro de 3,50%, calcule o PV D da série acima. Obs: 13 · j PMT t . • Número de prestações: Cr t n j PMT − · 3 13 − · n 10 · n • Valor Presente: ( ) ( ) 3 10 035 , 0 1 1 035 , 0 035 , 0 1 1 200 + ⋅ 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − D PV 1087 , 1 1 035 , 0 7089 , 0 1 200 ⋅ 1 ] 1 ¸ − ⋅ · D PV 902 , 0 317 , 8 200 ⋅ ⋅ · D PV 20 , 500 . 1 · D PV 4.1.4.2) PV - Séries Variáveis Séries Variáveis de Pagamentos são aquelas que não apresentam nenhuma conformidade em relação aos valores das parcelas, todavia, os intervalos entre eles são constantes (Periódicos). Para esse tipo de comportamentos dos fluxos não teremos como desenvolver uma fórmula padrão, o cálculo do PV deverá ser feito descapitalizando parcela por parcela. Reportando-se a um exemplo gráfico: Msc. Fábio Z. Dall’Orto 77 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ∑ · + · 6 1 1 n n n i PMT PV ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 i PMT i PMT i PMT i PMT i PMT i PMT PV + + + + + − + + + + + · Supondo os seguintes valores abaixo para a série acima, e taxa de 4% ao mês, calcule o PV: 00 , 200 . 1 1 · PMT 00 , 200 . 2 3 2 · · PMT PMT 00 , 900 . 1 4 · PMT 00 , 850 . 1 5 · PMT 00 , 000 . 3 6 · PMT • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 4 3 2 04 , 1 000 . 3 04 , 1 850 . 1 04 , 1 900 . 1 04 , 1 200 . 2 04 , 1 200 . 2 04 , 1 200 . 1 + + + + + · PV 265 , 1 000 . 3 217 , 1 850 . 1 170 , 1 900 . 1 125 , 1 200 . 2 082 , 1 200 . 2 04 , 1 200 . 1 + + + + + · PV 55 , 371 . 2 15 , 520 . 1 95 , 623 . 1 56 , 955 . 1 30 , 033 . 2 85 , 153 . 1 + + + + + · PV 36 , 658 . 10 · PV PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT 4 PMT 5 PMT 6 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 PV = ? Séries Variáveis Msc. Fábio Z. Dall’Orto 78 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4.1.4.3) PV - Séries não Periódicas Séries não periódicas de pagamentos são aquelas que não apresentam nenhuma conformidade em relação aos prazos, todavia, os valores das parcelas são constantes (iguais). O procedimento para calcular o PV é o mesmo do item anterior, ou seja, descapitaliza-se as parcelas individualmente uma a uma. Graficamente podemos representar essas séries da seguinte forma: ( ) ∑ · + · 10 1 1 n n n i PMT PV ( ) ( ) ( ) ( ) 10 6 5 2 1 1 1 1 i PMT i PMT i PMT i PMT PV + + + + + + + · Admitindo uma prestação de $350,00 e juros de 3% ao período, calcule o valor presente da série acima: ( ) ( ) ( ) ( ) 10 6 5 2 03 , 0 1 350 03 , 0 1 350 03 , 0 1 350 03 , 0 1 350 + + + + + + + · PV 344 , 1 350 194 , 1 350 159 , 1 350 061 , 1 350 + + + · PV 42 , 260 15 , 293 00 , 302 90 , 329 + + + · PV 50 , 185 . 1 · PV PMT PMT PMT PMT t 0 t 2 t 5 t 6 t 10 PV = ? Séries não Periódicas Msc. Fábio Z. Dall’Orto 79 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exercícios Resolvidos: 1) Um determinado bem é vendido em sete parcelas mensais e iguais de $4.000,00. Se o comprador aplicar o seu dinheiro à taxa de 2,60% ao mês, até que preço é viável adquirir o aparelho à vista? ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − i i PMT PV n P 1 1 ( ) - 7 1 1 ,0260 4.000 0,026 P PV 1 − · ⋅ 1 1 ¸ ] 1 0,83554 4.000 0,026 P PV − 1 · ⋅ 1 ¸ ] 0,16446 4.000 0,0260 P PV 1 · ⋅ 1 ¸ ] 3253 , 6 000 . 4 ⋅ · P PV 17 , 301 . 25 · P PV Usando a HP 12c: 4.000 (CHS) (PMT) Valor das prestações (sinal negativo) 7 (n) Número de prestações 2,60 (i) Taxa de juros da operação (PV)... Comando para o calculo do PV 25.301,17 Resposta Resposta: Se maior que 25.301,174 => compra a prazo ! Se maior for igual é indiferente ! Se o valor encontrado for menor, a compra é a vista.! t 1 t 2 t 7 4.000 PV P =? Série Uniforme Postecipada 4.000 4.000 FPV (2,60%, 7) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 80 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 2) Uma maquina industrial está sendo vendida por $4.000,00 de entrada mais 6 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $3.000,00. Se a taxa de juros nominal praticada pelo mercado é de 66% ao ano, capitalizada mensalmente, determine o preço máximo exigido para comprá- la à vista. 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + − ⋅ + · − 12 66 , 0 12 66 , 0 1 1 n E PMT E PV ( ) 1 ] 1 ¸ − ⋅ + · 055 , 0 ,055 1 1 000 . 3 000 . 4 6 - E PV 1 ] 1 ¸ − ⋅ + · 055 , 0 7252 , 0 1 000 . 3 000 . 4 E PV [ ] 9955 , 4 000 . 3 000 . 4 ⋅ + · E PV 60 , 986 . 14 000 . 4 + · E PV 60 , 986 . 18 · E PV Usando a HP 12c: 4.000 (g) (CF 0 ) Valor da entrada 3.000 (g) (CF j ) Valor das prestações Subsequentes 6 (g) (Nj) Repete o comando anterior seis vezes 5,50 (i) Taxa de juros (f) (NPV)... Comanco de calculo do PV 18.986,60 Resposta 3.000 3.000 3.000 4.000 PV E = ? Entrada t 1 t 2 t 6 Série Antecip ada com Entrada FPV (5,50%, 6) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 81 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 3) Uma pessoa recebeu $7.500,00 pelo seu carro usado na compra de um novo, cujo valor à vista é de $18.500,00. O saldo devedor será pago por meio de uma entrada mais 18 prestações mensais de $350,00. Sabendo que a financeira cobra juro nominal de 72% ao ano, capitalizado mensalmente, calcule o valor da entrada. Perceba que a forma mais fácil de resolver este problema é trazer todos os valores para o período inicial e subtrair de $18.500,00, a diferença será o valor da entrada: • PV = Entrada + Valor do carro usado + PV PMT PMT PV Entrada + + · 500 . 7 500 . 18 PMT PV Entrada − − · 500 . 7 500 . 18 Atualizando os valores das parcelas: 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + − ⋅ · − 12 72 , 0 12 72 , 0 1 1 350 18 PMT PV ( ) 1 ] 1 ¸ − ⋅ · 06 , 0 ,06 1 1 350 -18 PMT PV 8276 . 10 350⋅ · PMT PV 66 , 789 . 3 · PMT PV 350 350 350 PV = 18.500 Entrada = ? t 1 t 2 t 18 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 82 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Então... 65 , 789 . 3 500 . 7 500 . 18 − − · Entrada 34 , 210 . 7 · Entrada Usando a HP 12c: 72 (Emter) Valor da taxa de juros nominal 12 ( / ) Calcula taxa de juros proporcional (i) Insere taxa de juros na memória financeira 350 (CHS) (PMT) Valor da prestação (sinal negativo) 18 (n) Número de prestações (PV)... Comando de calculo do PV 3.789,66 Resposta (PV das prestações) 7.500 (+) (CHS) Valor do carro usado 18.500 (+) Valor do carro novo 7.210,35 Valor da entrada 4) A juros de 36% ao ano, capitalizado mensalmente, determine o tempo necessário para liquidar um financiamento de $842,36 por meio de prestações mensais de $120,00. ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − i i PMT PV n P 1 1 ( ) 1 ] 1 ¸ − ⋅ · − 03 , 0 03 , 1 1 120 36 . 842 n ( ) 03 , 0 03 , 1 1 120 36 . 842 n − − · ( ) 03 , 0 03 , 1 1 0197 , 7 n − − · ( ) n − − · ⋅ 03 , 1 1 03 , 0 0197 , 7 ( ) n − − · − 03 , 1 1 2106 , 0 120 120 120 120 t 1 t 2 t 3 t n 842,36 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 83 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) n − − · − 03 , 1 7894 , 0 ( ) 1 − ÷ ( ) n Ln Ln − · 03 , 1 7894 , 0 ( ) 03 , 1 2365 , 0 Ln n − · − 0296 , 0 2365 , 0 n − · − 0296 , 0 2365 , 0 · n 8 · n 5 a) Uma Mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de $ 700,00. Sendo de 3,50% a.m. a taxa de juros, determine o seu preço à vista admitindo que: a) O primeiro pagamento é efetuado ao final do 1º período. ( ) 1 1 n i PV PMT i − − + · g ( ) 5 1 1 0,035 700 0,035 PV − − + · g ( ) 5 1 1,035 700 0,035 PV − − · g 1 0,84197 700 0,035 PV − · g 0,15803 700 0,035 PV · g 700 4,51514 PV · g 3.160,53 PV · HP: [700] [CHS] [PMT] [3,5] [i] [5] [N] [PV] 5) Uma Mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de $ 700,00. Sendo de 3,50% a.m. a taxa de juros, determine o seu preço à vista admitindo que: b) O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra; c) O primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês; d) O primeiro pagamento é efetuado ao final do segundo mês. Msc. Fábio Z. Dall’Orto 84 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira a) Série Antecipada: ( ) 1 ] 1 ¸ + − + ⋅ · − i i PMT PV n A 1 1 1 1 ( ) 1 ] 1 ¸ + − + ⋅ · − 035 , 0 035 , 0 1 1 1 700 5 1 A PV ( ) 1 ] 1 ¸ − + ⋅ · − 035 , 0 035 , 1 1 1 700 4 A PV 1 ] 1 ¸ − + ⋅ · 035 , 0 87 , 0 1 1 700 A PV 0,12856 700 1 0,035 A PV 1 · ⋅ + 1 ¸ ] [ ] 67 , 3 1 700 + ⋅ · A PV 67 , 4 700 ⋅ · A PV 16 , 271 . 3 · A PV HP: [1] [+] [0,035] [Enter] [1] [Enter] [5] [-] [ x Y ] [CHS] [1] [+] [0,035] [ ÷] [1] [+] [700] [X] 700 700 700 PV = ? Entrada = 700 t 1 t 2 t 4 FPV (3,50%, 5) x FAC (3,50%, 1) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 85 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: [G] [BEG] [700] [CHS] [PMT] [3,5] [i] [5] [N] [PV] b) Série Postecipada: ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − i i PMT PV n P 1 1 ( ) 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − 035 , 0 035 , 0 1 1 700 5 P PV ( ) 1 ] 1 ¸ − ⋅ · − 035 , 0 035 , 1 1 700 5 P PV 1 ] 1 ¸ − ⋅ · 035 , 0 84 , 0 1 700 P PV 5151 , 4 700⋅ · P PV 54 , 160 . 3 · P PV 700 700 700 PV = ? t 1 t 2 t 5 FPV (3,50%, 5) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 86 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira c) Série Diferida: § Prazo de carência: 1 mês. ( ) ( ) cr n D i i i PMT PV + ⋅ 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 5 035 , 0 1 1 035 , 0 035 , 0 1 1 700 + ⋅ 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − D PV 035 , 1 1 035 , 0 8420 , 0 1 700 ⋅ 1 ] 1 ¸ − ⋅ · D PV 9662 , 0 035 , 0 1580 , 0 700 ⋅ 1 ] 1 ¸ ⋅ · D PV 9662 , 0 5151 , 4 700 ⋅ ⋅ · D PV 3624 , 4 700 ⋅ · D PV 6586 , 053 . 3 · D PV 700 700 700 PV = ? t 2 t 3 t 6 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 87 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exercícios Proposto: 1) Um veículo, cujo preço a vista é de $ 30.000,00, está sendo vendido nas seguintes condições: i. Entrada igual a 30%; ii. Saldo em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses; Determinar o valor de cada prestação, admitindo uma taxa de juros de 2% ao mês. OBS: PMT èSão pagamentos parcelados PVA èÉ o valor restante Entrada 30% è 30.000,00 – 9.000,00 (entrada) = 21.000,00 i = 2%a.m. T=6 meses CR=1 1 (1 ) 1 (1 ) T D CR i PV PMT i i − − + · + g g 6 1 1 (1 0,02) 1 21.000,00 0,02 (1 0,02) PMT − − + · + g g è 6 1 1 (1,02) 1 21.000,00 0,02 (1,02) PMT − − · g g 21.000,00 5,6014 0,9804 PMT · g g è21.000,00 5,4916 PMT · g è21.000,00 5,4916PMT · 21.000,00 5,4916 PMT · è 3.824,02 PMT · t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 ........................ PMT 1442443 { ..... CR Msc. Fábio Z. Dall’Orto 88 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 2) Determinado produto está sendo vendido por $ 1.800,00 a vista, ou em 3 pagamentos mensais e iguais de $ 650,00. Estando atualmente em 3,30% ao mês as taxas de juros de mercado, pede-se avaliar a melhor alternativa de compra. A vista: 1.800,00 = PVA A prazo: 3X 650,00 = PMT i = 3,30% = 0,0330 T=3 Meses 1 (1 ) T i PVP PMT i − − + · g è 3 1 (1 0,033) 650 0,033 PVP − − + · g è 3 1 (1,033) 650 0,033 PVP − − · g è 650 2,81 PVP · g è 1.828,04 PVP · 3) Determinada mercadoria é vendida por $ 2.500,00 a vista ou por 20% de entrada mais prestações mensais de 309,00. Sendo de 2% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o número de prestações. Valor Venda :2.500,00 20% Entrada: 500,00 PMT=309,00 i = 2% t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 ........... PMT 123 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 89 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1 (1 ) t i PVP PMT i − − + · g è 1 (1 0,02) 2000 309 0,02 t − − + · g è 2000 1 (1,02) 309 0,02 t − − · è 1 (1,02) 6,4725 0,02 t − − · è 6,4725 0,02 1 (1,02) t − · − g è 0,1294 1 (1,02) t − · − è 0,1294 1 (1,02) t − − · − è 0,8706 (1,02) t − − · − (X-1)è 1,02 0,8706 t − · è 1,02 0,8706 t LN LN − · è 1,02 0,8706 t LN LN · g è 0,8706 1,02 LN t LN · è 0,14 0,02 t · è 6,9977 t · è 7 t meses · HP: [2000] [CHS] [PV] [309] [PMT] [2] [i] [N] [7] 4) Um eletrodoméstico é vendido a vista por $ 8.000,00, ou em 4 pagamentos mensais de $ 2.085,79, ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra. Qual deve ser o valor da entrada admitindo uma taxa de juros de 4% ao mês. t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 tn Msc. Fábio Z. Dall’Orto 90 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4% . . i a m · ( ) 1 n FV PV i · + => fórmula para descapitalizar ! 1 (1 ) (1 ) T n i i PV PMT i − − + · Ε + + g 4 2 1 (1 0,04) 0,04 8000 2.085,79 (1 0,04) − − + · Ε + + g è 4 2 1 (1 0,04) 8000 2.085,79 (1 0,04) 0,04 − − 1 − + · Ε + + 1 ¸ ] g g 4 2 1 (1 0,04) 8000 2.085,79 (1 0,04) 0,04 − − 1 − + · Ε + + 1 ¸ ] g g è 4 2 1 (1,04) 8000 2.085,79 (1,04) 0,04 − − 1 − · Ε + 1 ¸ ] g g è8000 7000 · Ε + è 8000 7000 Ε · − è 1000 Ε · 5)Um financiamento no valor de $ 35.000,00 é concedido para pagamento em 12 prestações mensais, iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de 3,50% ao mês, determinar o valor das prestações. 8000 PV = Ε t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 2. 085, 79 2. 085, 79 14243 35000 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 …… t 14 ? ........................ PMT · 1442443 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 91 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Dados: 3,5% . . i a m · è12Xè3meses CR 1 (1 ) (1 ) T CR i PV PMT i i − − − + · + g g 12 3 1 (1 0,035) 35.000 (1 0,035) 0,035 PMT − − − + · + g g è 12 3 1 (1,035) 35.000 (1,035) 0,035 PMT − − − · g g 1 0,6617 35.000 0,9019 0,035 PMT − · g g è35.000 9,6657 0,9019 PMT · g g è35.000 8,7175 PMT · g 35.000 8,7175 PMT · è 4.014,91 PMT · 6) Um empréstimos no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence de hoje a 3 meses, e as demais sequencialmente. A taxa de juros contratada para a operação é de 27% ao ano (efetiva). Determinar o valor de cada pagamento do empréstimo. Dados: Valor Empréstimo: 12.500,00 4 X Trimestres 1º 12% 2º 24% 3º 26% 4º 48% 27% a.a.(Efetivo) (1 ) (1 ) n i i + > · + < è 4 (1 0,27) (1 ) i + · + < è 1 1 4 4 4 1 (1 0,27) (1 ) i 1 + · + < 1 ¸ ] è 1 4 (1 0,27) 1 i + · + < è 0,25 (1,27) 1 i · + <è1,0616 1 i · + < è1,0616 1 i − · <è 0,0616 i · <è 0,0616 i · è 6,1576% i · 1 2 3 1 2 3 4 .... (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) PMT PMT PMT PMT PV i i i i · + + + + + + + { 2 1 ................ ....... 14243 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 92 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1 2 3 1 2 3 4 (1,12) (1,12) (1,12) (1 0,0615) (1 0,0615) (1 0,0615) (1 0,0615) PMT PMT PMT PMT PV · + + + + + + + è 1 2 3 1 2 3 4 (1,12) (1,12) (1,12) (1,0615) (1,0615) (1,0615) (1,0615) PMT PMT PMT PMT PV · + + + è 1 1,12 1,2544 1,1404928 (1,0615) 1,1269 1,1963 1,27 PMT PMT PMT PMT PV · + + + g g g è 0,9420 0,9938 1,0485 1,1062 PV PMT PMT PMT PMT · + + + è 12.500 4,096PMT · è 12.500 4,096 PMT · è 3.055,78 PMT · 7) Um financiamento de $ 20.000,00 será pago em 8 prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros efetiva cobrada pela financeira for de 8% ao mês, calcular o valor de uma comissão de abertura de crédito, cobrada do cliente, que permita à financeira auferir uma rentabilidade de 10% ao mês na operação. 8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de $ 1.895,395 pagando prestações mensais de $ 500,00 a juros efetivos de 10% ao mês. 9) Uma indústria financia suas vendas a prazo cobrando uma taxa de juros efetiva de 10% ao mês. Determinar o valor das prestações para uma operação no valor de 250.000,00, sabendo-se que há duas alternativas de pagamento: a) Pagamento em 12 prestações mensais antecipada; 250.000 Pmt1 Pmt2 Pmt3 Pmt4 Pmt12 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 93 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira i = 10% a.m.(Efetiva) HP: [g] [7] Para informar que a série é antecipada. [g] [7] Finaliza [g] [7] [250.000] [CHS] [PV] [10] [i] [12] [n] [PMTA] [=] 33.355,30 [PMTP] [=] 36.690,00 b) Pagamento em 4 prestações trimestrais postecipadas. (1 ) (1 ) n i i + > · + < è 3 (1 ) (1 0,1) i + > · + è 3 (1 ) (1,1) i + > · è (1 ) 1,3310 i + > · è 1,3310 1 i >· − è 0,3310 i >· èou 33,10%a.t. HP: [33,10] [i] [250.000] [CHS] [PV] [4] [N] [PMT] [?] [PMT] = 121.446,64 10) Um financiamento de $ 40.000,00 será pago em 8 prestações mensais de $ 6.413,44. o início do pagamento das prestações será ao término de um determinado período de carência. Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência. 11) Um financiamento será pago em 18 prestações mensais de $ 100.000,00. Se o valor do financiamento for de $ 875.563,00, calcular a taxa de juros efetiva cobrada. Msc. Fábio Z. Dall’Orto 94 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 12) Um equipamento é vendido à prazo por meio de uma entrada de 20%, mais 9 prestações mensais de $ 17.337,75. Se o valor à vista for de $ 120.000,00, calcular a taxa de juros efetiva cobrada. Dados: Entrada: 20% PMT=17.337,75 9 X 17.337,75 PV=120.000,00 – 20%è PV=120.000,00 – 24.000,00èPV=96.000,00 HP: [96.000] [CHS] [PV] [17.337,75] [PMT] [9] [N] [i] è11% [PMT] = 121.446,64 13) A empresa TV Cabo Telecomunicações S.A. enviou a seus assinantes uma proposta com três opções de pagamento: pagamento mensal, pagamento semestral ou pagamento anual. Se o assinante escolher a primeira opção, pagará mensalmente parcelas fixas de $ 49,00, se optar pela segunda, fará dois pagamentos semestrais de $ 275,00, e se optar pela terceira, fará um único pagamento de $ 539,00 à vista. Nas duas primeiras opções, a primeira parcela á paga antecipadamente. A empresa alega que, além de evitar idas e vindas ao banco, o assinante que optar pelos planos semestral ou anual estará sendo beneficiado por um desconto promocional no valor da mensalidade. Considerando que as aplicações financeiras rendem em média 1,80% ao mês, qual será a melhor opção de pagamento? 14) Um financiarmento de $ 4.000,00 será pago em 3 parcelas mensais consecutivas de $ 1.200,00, $ 2.300,00 e $ 1000,00, respectivamente. Calcular o custo efetivo do financiamento. 15) Uma compra cujo valor à vista é de $ 4.000,00 pode ser paga com uma entrada de 20% mais trens parcelas mensais de $ 1.000,00, $ 2.200,00 e 1.000,00, respectivamente. Considerando que existe um período de carência de 3 meses para início do pagamento das parcelas, calcular o custo efetivo do financiamento. Msc. Fábio Z. Dall’Orto 95 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 16) Um apartamento foi colocado à venda por $ 107.800,00. A prazo pode ser pago com uma entrada de $ 8.000,00 mais 5 prestações mensais consecutivas. As duas primeiras de $ 18.000,00, e as três últimas de $ 23.000,00. Se o comprador tem a opção de aplicar seu capital em um fundo de renda fixa a juros efetivos de 1,40% ao mês, qual será a melhor alternativa do ponto de vista financeiro considerando-se que a pessoa tenha recursos para comprá- lo até mesmo à vista? Msc. Fábio Z. Dall’Orto 96 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4.2) Valor Futuro (FV) O conceito e a metodologia de cálculo do Valor Futuro (FV) para séries de pagamentos é análoga a do Valor Presente. O FV pode ser entendido como a somatória das prestações de uma série de pagamentos, capitalizadas a taxa (i) em única data, igual ou posterior ao último período do fluxo de caixa. De forma simplista, é a substituição de várias parcelas por uma única, em data igual ou posterior ao vencimento da última prestação. Desenvolveremos o calculo do FV para os seguintes formatos de séries: • Série Periódica Constante Postecipada; • Série Periódica Constante Antecipada; • Séries Aleatórias de Pagamentos. 4.2.1) FV P - Série Periódica Constante Postecipada O valor futuro de uma série periódica constante postecipada é dado pela somatória das parcelas, capitalizadas a taxa (i) em data igual a da última parcela. Ou seja, o FV é calculado na data do vencimento da última prestação. É importante observar que, a última PMT não contempla a incidência da taxa de juros, pois, a somatória das demais é feita nesta data. Graficamente tem-se a seguinte representação: t 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 t n FV P PMT PMT PMT PMT FV - Série Periódica Constante Postecipada Msc. Fábio Z. Dall’Orto 97 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) n n n P i PMT FV + ⋅ · ∑ − · 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 1 1 − + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ · n P i PMT i PMT i PMT i PMT FV Pode-se desenvolver a fórmula geral para o cálculo do FV P de duas maneiras: 1º) Tal com foi feito na demonstração do PV, isola-se o PMT, a expressão entre colchetes, também conhecida como Fator de Valor Futuro (FFV), equipara-se a uma soma de Progressão Geométrica de n termos, sendo a 1 o primeiro termo, a n o último e q a razão de crescimento da série: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 3 2 1 1 1 1 1 − + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + ⋅ · n P i i i i PMT FV • 1 1 · a • ( ) 1 1 − + · n n i a • ( ) i q + · 1 Dado os termos da Soma da Progressão Geométrica... ( ) ( ) ( ) i i i FFV S n n + − + ⋅ + − · · − 1 1 1 1 1 1 ( ) i i FFV S n n − − + − · · + − 1 1 1 1 1 1 ( ) i i FFV S n n + − − · · 1 1 ( ) i i FFV S n n 1 1 − + · · q q a a FFV S n n − ⋅ − · · 1 1 FFV (i, n) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 98 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Substituindo o FFV pela expressão entre colchetes... ou Onde, ( ) i i n 1 1 − + é denominado Fator de Valor Futuro: FFV(i, n). 2º) A outra maneira é inserir na fórmula do PV P (de série postecipada) o fator de capitalização ( ) n i + 1 : ( ) n P P i PV FV + ⋅ · 1 ( ) ( ) n n P i i i PMT FV + ⋅ 1 ] 1 ¸ + − ⋅ · − 1 1 1 ( ) n n P i i i PMT PMT FV ) 1 ( 1 + ⋅ 1 ] 1 ¸ + ⋅ − · − ( ) ( ) n n P i i i PMT i PMT FV + ⋅ 1 ] 1 ¸ + ⋅ − · − 1 1 ( ) ( ) ( ) i i i PMT i i PMT FV n n n + ⋅ + ⋅ − + ⋅ · − 1 1 1 ( ) ( ) i i PMT i i PMT FV n P 0 1 1 + ⋅ − + ⋅ · ( ) i PMT i i PMT FV n P 1 1 ⋅ − + ⋅ · ( ) 1 ] 1 ¸ − + ⋅ · i i PMT FV n P 1 1 ( ) 1 ] 1 ¸ − + ⋅ · i i PMT FV n P 1 1 ( ) n i FFV PMT FV P , ⋅ · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 99 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Perceba que esse artifício só é possível graças ao conceito de equivalência de capitais, que iremos discutir logo mais. A principio, o que é preciso saber para compreender a demonstração acima é que, se podemos converter vários valores ao longo do tempo em único, na data zero, t 0 , também podemos converter este valor, em t 0 , em um único em data futura. Para isto basta capitalizar o PV ao período desejado. Os leitores mais atentos já perceberam que o FV também pode ser calculado com o auxilio do FPV (Fator de Valor Presente) e do FAC (Fator de Atualização de Capital): Exemplo: No último semestre você depositou $500,00 por mês em um fundo de renda fixa, à taxa de 1,50% ao mês, a título de juros e correção. Se hoje foi o seu sexto e último depósito, qual o valor total acumulado na aplicação. ( ) n n n P i PMT FV + ⋅ · ∑ − · 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 5 2 015 , 0 1 500 015 , 0 1 500 015 , 0 1 500 500 + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + · P FV 0773 , 1 500 0302 , 1 500 015 , 1 500 500 ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + · P FV 6420 , 538 ... 1125 , 515 50 , 507 500 + + + + · P FV 7755 , 114 . 3 · P FV Ou então, utilizando a fórmula geral desenvolvida anteriormente: ( ) ( ) n i FAC n i FPV PMT FV P , , ⋅ ⋅ · 500 500 500 FVP - Série Periódica Constante Postecipada t 0 t 1 t 2 t 5 t 6 FV P Msc. Fábio Z. Dall’Orto 100 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) 1 ] 1 ¸ − + ⋅ · i i PMT FV n P 1 1 ( ) 6 1 0,015 1 500 0,015 P FV 1 + − · ⋅ 1 1 ¸ ] ( ) 1 ] 1 ¸ − ⋅ · 015 , 0 1 015 , 1 500 6 P FV è 1,09344 1 500 0,015 P FV − 1 · ⋅ 1 ¸ ] è 0,09344 500 0,015 P FV 1 · ⋅ 1 ¸ ] è 2296 , 6 500⋅ · P FV è 7755 , 114 . 3 · P FV Calculo do Valor Futuro (FV) 500 (CHS) (PMT) Valor das prestações (negativo) 6 (n) Número de prestações 1,5 (i) Taxa de juros (FV)... Comando de calculo do valor futuro 3.114,78 Resposta Usando a HP 12c 4.2.2) FV A - Série Periódica Constante Antecipada O Valor Futuro de uma série periódica constante antecipada é dado pela somatória das prestações, capitalizadas a taxa (i) um período após a ocorrência da última parcela. Além disso, a primeira parcela é efetivada em t 0 . Perceba que a diferença entre as séries antecipadas e as postecipadas é que, na antecipada realiza-se a primeira prestação no ato da operação financeira e calcula-se o FV após a capitalização da última, diferentemente da postecipada, onde, a primeira prestação só é efetivada em t 1 e o FV é calculado junto com a última parcela. PMT PMT PMT PMT FV - Série Periódica Constante Antecipada t 0 t 1 t 2 t n FV A Msc. Fábio Z. Dall’Orto 101 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ∑ · + ⋅ · n n n A i PMT FV 1 1 ( ) ( ) ( ) n A i PMT i PMT i PMT FV + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ · 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) [ ] n A i i i PMT FV + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ · 1 1 1 2 Perceba que, como nas séries postecipadas, a expressão entre colchetes também equipara-se a uma progressão geométrica, onde: • ( ) i a + · 1 1 • ( ) n n i a + · 1 • ( ) i q + · 1 Aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica: ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i Sn n + − + ⋅ + − + · 1 1 1 1 1 Multiplicando por ( ) 1 1 − + i ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − + + ⋅ + − + ⋅ + − + · i i i i i i Sn n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − + ⋅ + − + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − + ⋅ + · i i i i i i i i Sn n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 1 1 1 1 1 i i i i i Sn n + − + + ⋅ + − + · − ( ) ( ) 1 1 1 1 1 − + + − · − i i Sn n q q a a Sn n − ⋅ − · 1 1 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 102 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Substituindo o Sn pela expressão entre colchetes... Onde: FFV é o Fator de Valor Futuro (ver item 4.2.1) FAC é o Fator de Acumulação de Capital (ver item 3.2.1) Exemplo: Você pretende viajar para o exterior daqui a 8 meses e, para tanto, resolve depositar em um fundo de renda fixa $1.800,00 por mês. Admitindo que o primeiro depósito seja efetuado hoje e que o pagamento da viajem acontecerá após a capitalização da última prestação, qual o valor acumulado durante este tempo. A taxa de juros do fundo é de 1,80% ao mês. ( ) ∑ · + ⋅ · 8 1 1 n n A i PMT FV ( ) ( ) ( ) 8 2 018 , 0 1 800 . 1 018 , 0 1 800 . 1 018 , 0 1 800 . 1 + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ · A FV ( ) ( ) ( ) 153 , 1 800 . 1 036 , 1 800 . 1 018 , 1 800 . 1 ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ · A FV 131 , 076 . 2 383 , 865 . 1 40 , 832 . 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + + · A FV 75 , 616 . 15 · A FV Utilizando a fórmula geral... ( ) ( ) 1 ] 1 ¸ − + + − ⋅ · − 1 1 1 1 1 i i PMT FV n A ( ) ( ) 1 , , i FAC n i FFV PMT FV A ⋅ ⋅ · 1.800 1.800 1.800 1.800 FV - Série Periódica Constante Antecipada t 0 t 1 t 2 t 8 FV A =? Msc. Fábio Z. Dall’Orto 103 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n A i FV PMT i − 1 − + · ⋅ 1 + − 1 ¸ ] ( ) ( ) 1 ] 1 ¸ − + + − ⋅ · − 1 018 , 0 1 018 , 0 1 1 1 8 PMT FV A è ( ) ( ) 8 1 1 1,018 1,018 1 A FV PMT − 1 − · ⋅ 1 − 1 ¸ ] 1 ] 1 ¸ − − ⋅ · 1 9823 , 0 1534 , 1 1 PMT FV A è 0177 , 0 1534 , 0 − − ⋅ · PMT FV A è 6760 , 8 800 . 1 ⋅ · A FV è 75 , 616 . 15 · A FV HP: [G] [7] [1800] [CHS] [PMT] [1,8] [i] [8] [N] [FV] [?] 4.2.3) FV para Séries Aleatórias de Pagamentos O leitor já deve ter percebido que os cálculos do valor futuro executados até agora derivavam de séries com certas características padrão. Entretanto, nem sempre as séries se apresentam como aquelas vistas até agora. Existem séries que não possuem conformidade alguma, nem em relação aos valores, nem quanto aos períodos entre as prestações. Assim como no calculo do valor presente, quando os fluxos forem desconformes, não teremos como desenvolver uma fórmula geral e o cálculo do FV deverá ser feito capitalizando parcela por parcela. Reportando- se a um exemplo gráfico: FFV (1,80%, 8) x FAC (1,80%, 1) PMT X PMT Y PMT Z PMT W FV = ? FV - Série de Pagamento Qualquer t 2 t 3 t 6 t 9 t 13 t 17 t 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 104 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ∑ + ⋅ · n n i PMT FV 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 11 14 15 1 1 1 1 1 i PMT i PMT i PMT i PMT i PMT FV W Z Y X X + ⋅ + + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ · Dado os valores das parcelas abaixo e, sendo a taxa de juros igual a 4% ao mês, calcule o FV do fluxo acima. 00 , 900 · x PMT ; 00 , 200 . 2 · y PMT ; 00 , 850 . 1 · z PMT ; 00 , 800 . 1 · w PMT . • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 11 14 15 04 , 1 800 . 1 04 , 1 850 . 1 04 , 1 200 . 2 04 , 1 900 04 , 1 900 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ · FV ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 170 , 1 800 . 1 369 , 1 850 . 1 539 , 1 200 . 2 732 , 1 900 801 , 1 900 ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ · FV 75 , 105 . 2 85 , 531 . 2 80 , 386 . 3 51 , 558 . 1 45 , 620 . 1 + + + + · FV 75 , 203 . 11 · FV Perceba que, devido a falta de um comportamento, tanto dos valores das parcelas quanto dos intervalos entre elas, não foi possível desenvolver uma relação que contemplasse uma fórmula geral para calcular o valor futuro. Exercícios Resolvidos 1) A partir do próximo mês serão feitos 12 depósitos em um fundo de investimento no valor de $1.500,00 cada. Sabendo que este fundo rende taxa efetiva de 3% ao mês, qual o valor acumulado (FV) no final de um ano? Msc. Fábio Z. Dall’Orto 105 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) 1 ] 1 ¸ − ⋅ · 03 , 0 1 03 , 1 500 . 1 12 P FV 192 , 14 500 . 1 ⋅ · P FV 04 , 288 . 21 · P FV 1.500 (CHS) (PMT) Valor das prestações (negativo) 3 (i) Taxa de juros 12 (n) Número de prestações (FV)... Comando de calculo do valor futuro 21.288,04 Resposta Usando a HP 12c 2) Uma indústria decidiu seguir os conselhos de seu contador e aplicar, a partir do próximo mês, todas as despesas geradas pela depreciação de suas maquinas. Se esse valor é de $2.930,00 por mês, e o valor contábil se esgota em 10 anos, qual o FV no final do período? A taxa de juro nominal para investimentos de longo prazo é de 18% ao ano, capitalizada mensalmente. t 0 t 1 t 2 t 3 t 11 t 12 FV P 1.500 1.500 1.500 1.500 FV - Série Periódica Constante Postecipada t 0 t 1 t 2 t 3 t 119 t 120 FV P 2.930 2.930 2.930 2.930 FV - Série Periódica Constante Postecipada FFV (3%, 12) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 106 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1 1 1 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ + ⋅ · 12 18 , 0 1 12 18 , 0 1 930 . 2 120 P FV 1 ] 1 ¸ ⋅ · 015 , 0 9693 , 4 930 . 2 P FV 2882 , 331 930 . 2 ⋅ · P FV 40 , 674 . 970 · P FV 2.930 (CHS) (PMT) Valor das prestações (negativo) 1,5 (i) Taxa de juros proporcional (mensal) 120 (n) Númeor de prestações (FV)... Comando de calculo do valor futuro 970.674,40 Resposta Usando a HP 12c 3) Um amigo está planejando fazer uma viagem de férias que lhe custará $22.000,00. Para tanto, ele deseja fazer 12 depósitos mensais em um fundo de investimentos que lhe renderá à taxa de juros efetivos de 34,50% ao ano. Determine o valor das parcelas para que seu amigo consiga, ao final do período, o montante necessário para fazer a viagem. 1º) Calculo da taxa efetiva mensal: ( ) ( ) n i i < > + · + 1 1 ( ) ( ) 12 1 3450 , 0 1 < + · + i ( ) ( ) [ ] 12 1 12 12 1 1 3450 , 1 < + · i < + · i 1 02501 , 1 % 50 , 2 · < i ao mês. 2º) Calculo do valor das parcelas para atingir o custo da viagem ($22.000,00): ( ) 1 ] 1 ¸ − + ⋅ · i i PMT FV n P 1 1 FFV (1,5%, 120) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 107 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) i i FV PMT n P 1 1 − + · ( ) 025 , 0 1 025 , 0 1 000 . 22 12 − + · PMT 7956 , 13 000 . 22 · PMT 72 , 594 . 1 · PMT . 1º) calculo da Taxa Efetiva Mensal 1,3450 (Enter) Fator de capitalização anual 12 (1/x) (y x ) Corrige o fator de capitalização para mensal 1 (-) 100 (x)... Transforma o fator em taxa 2,50% Taxa de juros mensal 2º) Calculo da PMT (i) Isere taxa de juros 12 (n) Insere número de prestações 22.000 (FV) Entra com o Valor Futuro (PMT)... Comando de calculo do valor das Prestações 1.594,72 Resposta Usando a HP 12c 4) Fazendo depósitos de $800,00 cada, a uma taxa de juros nominal de 25,20% ao ano, quanto tempo é necessário para acumular um montante de $5.965,40? t 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 t n 5.965,40 800 800 800 800 FV - Série Periódica Constante Postecipada Msc. Fábio Z. Dall’Orto 108 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) 1 ] 1 ¸ − + ⋅ · i i PMT FV n P 1 1 ( ) 1 ] 1 ¸ − ⋅ · 021 , 0 1 021 , 1 800 40 , 965 . 5 n ( ) 021 , 0 1 021 , 1 800 40 , 965 . 5 − · n ( ) 1 021 , 1 021 , 0 46 , 7 − · ⋅ n ( ) 16 , 1 021 , 1 · n ( ) 16 , 1 021 , 1 Ln Ln n · 16 , 1 021 , 1 Ln Ln n · ⋅ 021 , 1 16 , 1 Ln Ln n · 7 · n Msc. Fábio Z. Dall’Orto 109 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exercícios Propostos 1) Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma seqüência de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,10% ao mês. Dados: N=7 Meses PMT=800 i = 2,10% a.m. ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n A i FV PMT i − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g ( ) ( ) 7 1 1 1 0,021 800 1 0,021 1 A FV − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g è 0,1566 800 0,0206 A FV 1 · 1 ¸ ] g è 800 7,6154 A FV · ⋅ è 6.090,64 A FV · 2) Uma pessoa irá necessitar de $ 7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá depositar mensalmente, começando hoje, num fundo de poupança que rende 1,70% ao mês de juros, para ter o valor desejado no final do período? Dados: N=10 Meses PMT=? i = 1,70% a.m. t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 ............................. PMT 144424443 FV Msc. Fábio Z. Dall’Orto 110 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ( ) 10 1 1 1 0,017 7000 1 0,017 1 PMT − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g è7000 10,98 PMT · g è 7000 10,98 PMT · è 637,27 PMT · 3) Uma pessoa possui hoje $ 50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de poupança de $ 3.000,00 mensais no próximo semestre e $ 4.000,00 mensais nos 4 meses seguintes ao semestre. Se esse fluxo de poupança for depositado mensalmente num fundo que rende 2,50% ao mês, determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de: a) 10 meses; Resolvendo as PMTs de 3.000: ( ) 1 1 n P i PV PMT i − 1 − + · 1 1 ¸ ] g è ( ) 6 1 1 0,025 3000 0,025 P PV − 1 − + · 1 1 ¸ ] g è ( ) 6 1 1,025 3000 0,025 P PV − 1 − · 1 1 ¸ ] g è è 1 0,86229687 3000 0,025 P PV − 1 · 1 ¸ ] g è 0,13770313 3000 0,025 P PV 1 · 1 ¸ ] g è 3000 5,50812536 P PV · g è è 16.524,37608 P PV · t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 .......................................... PMT 14444244443 FV PV= 50.000 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 FV=? PMT = 4000 PMT = 3000 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 111 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Resolvendo as PMTs de 4.000: OBS: As PMTs de 4.000 sofrem carência de 6 mêses ! É como se deixa-se de existir as PMTs de 3.000 ! ( ) 1 1 1 (1 ) n P CR i PV PMT i i − 1 − + · 1 + 1 ¸ ] g g è ( ) 4 6 1 1 0,025 1 4000 0,025 (1 0,025) P PV − 1 − + · 1 + 1 ¸ ] g g è è ( ) 4 6 1 1,025 1 4000 0,025 (1,025) P PV − 1 − · 1 1 ¸ ] g g è 1 0,90949470 1 4000 0,025 1,15969342 P PV − 1 · 1 ¸ ] g g è è 0,09050530 4000 0,86229687 0,025 P PV 1 · 1 ¸ ] g g è ( ) 4000 3,620211930,86229687 P PV · g g è è 4000 3,12169741 P PV · g è 12.486,7896 P PV · Somando os PVs: è 16.524,37608 P PV · + 12.486,7896 P PV · = 29.011,16574 P PV · ( ) 29.011,16574 ( ) P TOTAL PV ENTRADA · + è ( ) 29.011,16574 (50.000,00) P TOTAL PV · + è è ( ) 79.011,1657 P TOTAL PV · Achando o FV em 10 mêses: è (1 ) n FV PV i · + g è 10 79.011,1657 (1 0,025) FV · + g è 10 79.011,1657 (1,025) FV · g è è 79.011,1657 1,28008 FV · g è 101.140,9721 FV · b) 15 meses; è (1 ) n FV PV i · + g è 15 79.011,1657 (1 0,025) FV · + g è 15 79.011,1657 (1,025) FV · g è è 79.011,16571,44829817 FV · g è 114.431,7264 FV · PV= 50.000 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 FV=? PMT = 4000 CARÊNCIA Msc. Fábio Z. Dall’Orto 112 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira c) 22 meses. è (1 ) n FV PV i · + g è 22 79.011,1657 (1 0,025) FV · + g è 22 79.011,1657 (1,025) FV · g è è 79.011,1657 1,72157140 FV · g è 136.023,3630 FV · 4) Uma pessoa deseja acumular $ 14.703,17 ao final de um semestre. Para tanto, deposita mensalmente num fundo a importância de $ 1.500,00, sendo corrigida à taxa de 4,50% ao mês. Quantos depósitos deveram ser feitos para obter o valor desejado? Dados: FV=14.703,17 N=? PMT=1.500,00 i = 4,5% a.m. ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n A i FV PMT i − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g ( ) ( ) 1 1 1 0,045 14.703,17 1.500,00 1 0,045 1 n − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g è ( ) ( ) 1 1 1,045 14.703,17 1.500,00 1,045 1 n − 1 − · 1 − 1 ¸ ] è ( ) 1 1,045 980 1 0,0431 n − · − è ( ) 0,4221 1 1,045 n − · − è( ) 1,045 1 0,4221 n · + è ( ) 1,045 1,4221 n · è (1,045) 1,4221 n LN LN · è 1,045 1,4221 n LN LN · g è 1,4221 1,045 LN n LN · è 0,3521 0,0440 n · è 8 n · 5) Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês $ 350,00 em uma aplicação que paga juros efetivos de 2,50% ao mês. No final do último período não há deposito. Dados: N=15 meses PMT=350,00 i = 2,5% a.m. Msc. Fábio Z. Dall’Orto 113 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n A i FV PMT i − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g ( ) ( ) 14 1 1 1 0,025 350 1 0,025 1 A FV − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g è ( ) ( ) 14 1 1 1,025 350 1,025 1 A FV − 1 − · 1 − 1 ¸ ] g è 35016,9319 A FV · g è 5.926,17 A FV · 6) Em quanto tempo uma pessoa acumularia um capital de $ 12.000,00 depositando $ 549,44 todo mês, começando na data zero, em uma aplicação financeira que rende juros efetivos de 2% ao mês.? Dados: FVA=12.000,00 PMT=549,44 i = 2% a.m. ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n A i FV PMT i − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g ( ) ( ) 1 1 1 0,02 12.000 549,44 1 0,02 1 n − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g è ( ) ( ) 1 1 1,02 12.000 549,44 1,02 1 n − 1 − · 1 − 1 ¸ ] è 1 1,02 21,84 0,0196 n 1 − · 1 − ¸ ] è 0,4282 1 1,02 n − · − è 0,4282 1 1,02 n − − · − è1,4282 1,02 n · è 1,4282 1,02 LN N LN · g è 1,4282 1,02 LN N LN · è 0,35641 0,01980 N · è 18 N Meses · 7) Uma pessoa deposita hoje $ 12.000,00 e trimestralmente uma quantia igual. No final do quinto trimestre quanto ela terá para gastar, caso decida sacar o dinheiro da aplicação. A taxa de juros é de 18% ao ano, capitalizada trimestralmente. Dados: PMT=12.000,00 N=5 i = 18% a.a. Msc. Fábio Z. Dall’Orto 114 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n A i FV PMT i − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g ( ) ( ) 5 1 1 1 0,18 12000 1 0,18 1 A FV − 1 − + · 1 + − 1 ¸ ] g è ( ) ( ) 1 1 2,28776 12000 1,18 1 A FV − 1 − · 1 − 1 ¸ ] g è 120008,442 A FV · g è 101.303,61 A FV · 8) De quanto deverá ser a taxa de juros de uma aplicação, para que um investidor disponha de $ 100.000,00, depositando parcelas de $ 8.000,00 mensais durante 10 meses, nas seguintes condições abaixo: i. A primeira parcela é depositada no início do período; HP: [100.000] [FV] [8.000] [CHS] [PMT] [10] [N] [i] [?] = 4,8668% ii. A primeira parcela é depositada no final do período. HP: [G] [7] [100.000] [FV] [8.000] [CHS] [PMT] [10] [N] [i] [?] = 4,0195% 9) Depositando mensalmente $ 4.000,00 durante 18 meses acumula-se um capital de $94.136,00. Calcular a taxa efetiva de juros ao mês ganha. Sabe-se que a primeira parcela é depositada no final do período. HP: [94.136] [FV] [4.000] [CHS] [PMT] [18] [N] [i] [?] = 3,05643% Msc. Fábio Z. Dall’Orto 115 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 4.3) Equivalência Financeira de Capitais Este conceito tem ampla aplicação no sistema financeiro brasileiro. Ele é empregado na seleção de planos de financiamentos, avaliação de investimentos, antecipação ou postecipação de pagamentos e etc. Como vimos no início deste trabalho, não podemos comparar e nem executar operações algébricas com valores monetários em datas diferentes. Então, para efetuar qualquer tipo de intervenção ou julgamento, antes, é preciso disponibilizar os valores em datas iguais. Só assim pode-se tomar qualquer tipo de decisão em relação a duas ou mais situações que envolvem valores monetários. A nossa tarefa, visto isso, resume-se em definir o período que será feito a equivalência, capitalizando ou descapitalizando os valores a taxa (i) de acordo com o período desejado. O fundamental na Equivalência Financeira é que dois ou mais valores podem representar, monetariamente, a mesma quantia financeira em momentos diferentes (data focal). De forma simplista, dois ou mais capitais serão equivalentes quando resultarem no mesmo PV ou FV, em determinadas condições de prazo e taxa. Vejamos alguns exemplos: a) Substituição de três recebimentos por apenas um intercalado: t 0 t 1 t 3 t 4 t 5 Equivalência de Capitais em t 4 PMT PMT S 4 = ? PMT Msc. Fábio Z. Dall’Orto 116 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira b) Substituição de quatro pagamentos por dois posteriores e subseqüentes: c) Substituição de seis pagamentos por dois posteriores com carência: Perceba que temos infinitas possibilidades de equivalências de capitais, com prazos, números de parcelas e valores totalmente distintos. Sendo assim, pelo mesmo motivo, não é possível desenvolver expressões padrão para o cálculo da equivalência de capitais. Aplicaremos, então, os conhecimentos adquiridos para calcular o Valor Presente e o Valor Futuro, adequando o algebrismo na forma que for necessário. Em se tratando de equivalência financeira, a calculadora HP-12c só servirá como ferramenta de auxilio, pois, a sua programação não é suficiente para resolver integralmente os problemas. Discutiremos pormenorizada a equivalência de capitais na secção dos exercícios resolvidos. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 Equivalência de Capitais em t4 e t5 PMT 0 PMT 1 PMT 2 PMT 3 S 4 S 5 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 10 t 15 Equivalência de Capitais em t 10 e t 15 PMT 1 - 6 S 10 S 15 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 117 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exercícios Resolvidos 1) A Sonho Bom Ltda. foi solicitada por um de seus clientes para substituir uma dívida de três parcelas de $1.300,00, vencíveis nas datas t 1 , t 3 e t 5 por apenas uma, na data t 4 . Sabendo que a taxa de juro nominal praticada pela empresa é de 30% ao ano, qual deverá ser o valor recebido em t 4 ? (O diagrama do fluxo de caixa que ilustra esta situação é a letra a do item 5.3). 1º) Taxa de juro proporcional mensal: 50 , 2 1 12 30 , 0 · ⋅ · p i % ao mês. 2º) Calculo da Equivalência: ( ) ( ) ( ) 1 5 1 3 3 1 4 1 1 1 i PMT i PMT i PMT S + + + ⋅ + + ⋅ · ( ) ( ) ( ) 1 1 3 4 025 , 1 300 . 1 025 , 1 300 . 1 025 , 1 300 . 1 + ⋅ + ⋅ · S 30 , 268 . 1 50 , 332 . 1 96 , 399 . 1 4 + + · S 75 , 000 . 4 4 · S 2) A Durma Bem Ltda. tem uma dívida com o Banco Futuro de seis parcelas mensais e iguais de $3.000,00, sendo o primeiro vencimento daqui a mês. Prevendo dificuldades financeiras para o próximo semestre, a empresa pretende substituir esses vencimentos por dois outros; 40% do valor a ser pago em t 10 e 60% em t 15 . Sabendo que o Banco trabalha com taxa efetiva de 42,576% ao ano, qual deverá ser o valor das parcelas? (O diagrama do fluxo de caixa que ilustra esta situação é a letra c do item 5.3). 1º) Calculo da taxa efetiva mensal: ( ) ( ) n i i < > + · + 1 1 ( ) ( ) 12 1 42576 , 1 < + · i Msc. Fábio Z. Dall’Orto 118 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) ( ) [ ] 12 1 12 12 1 1 42576 , 1 < + · i < + · i 1 03 , 1 3 · < i % ao mês. 2º) A equivalência será calculada em duas etapas: § PV das parcelas: ( ) ∑ · + · 6 1 1 n n i PMT PV ( ) , _ ¸ ¸ − ⋅ · − 03 , 0 03 , 1 1 000 . 3 6 PV 4172 , 5 000 . 3 ⋅ · PV 58 , 251 . 16 · PV § Capitalizar 40% do PV para t 10 e 60% para t 15 : ( ) ( ) 10 10 1 40 , 0 i PV PMT + ⋅ ⋅ · ( ) ( ) 10 10 03 , 1 58 , 251 . 16 40 , 0 ⋅ ⋅ · PMT 344 , 1 63 , 500 . 6 10 ⋅ · PMT 30 , 736 . 8 10 · PMT ( ) ( ) 15 15 1 60 , 0 i PV PMT + ⋅ ⋅ · ( ) ( ) 15 15 03 , 1 58 , 251 . 16 60 , 0 ⋅ ⋅ · PMT ( ) 558 , 1 95 , 750 . 9 15 ⋅ · PMT 66 , 191 . 15 15 · PMT FPV (3%, 6) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 119 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 3) Verifique se o conjunto de capitais é equivalente. Capital Prazo Capital Prazo R$ 2.000,00 1 R$ 2.100,00 1 R$ 2.200,00 2 R$ 2.000,00 2 R$ 2.420,00 3 R$ 2.300,00 3 R$ 2.662,00 4 R$ 2.902,00 4 10% a. p. ----- 10% a. p. ----- Conjunto A Conjunto B Para ser equivalente: B A PV PV · (ou B A FV FV · ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 10 , 1 902 . 2 10 , 1 300 . 2 10 , 1 000 . 2 10 , 1 100 . 2 10 , 1 662 . 2 10 , 1 420 . 2 10 , 1 200 . 2 10 , 1 000 . 2 + + + · + + + 10 , 982 . 1 025 , 728 . 1 90 , 652 . 1 10 , 909 . 1 18 , 818 . 1 18 , 818 . 1 18 , 818 . 1 18 , 818 . 1 + + + · + + + 7.272,72 = 7.272,72 Portanto, as duas séries de pagamentos são equivalentes. OU: Colocar todos na data t4: Aè 3 2 1 2.000 (1 0,10) 2.200 (1 0,10) 2.420 (1 0,10) 2.662 + + + + + + g g g è 2.662,00 2.662,00 2.662,00 2.662,00 10.648,00 + + + · Bè 3 2 1 2.100 (1 0,10) 2.000 (1 0,10) 2.300 (1 0,10) 2.902 + + + + + + g g g è 2.795,10 2.420,00 2530,00 2.902,00 10.647,10 + + + · Exercícios Propostos 1) Uma empresa contraiu um empréstimo a ser pago em 6 parcelas mensais uniformes de R$ 16.284,90 cada. No entanto, antes de pagar a 2ª prestação, a empresa, passando por dificuldades financeiras, solicitou ao banco um refinanciamento da dívida em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira a partir de 30 dias dessa data. A taxa de juro cobrada pelo banco é de 3,50% ao mês. (R$ 7.875,19) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 120 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Dicas: calcular o valor presente das parcelas restantes em t 2 e depois calcular o valor das novas parcelas. ( ) 1 1 1 1 n A i PV PMT i − 1 − + · ⋅ + 1 1 ¸ ] ( ) 1 5 1 1 0,035 16.284,90 1 0,035 A PV − 1 − + · ⋅ + 1 1 ¸ ] è ( ) 4 1 1,035 16.284,90 1 0,035 A PV − 1 − · ⋅ + 1 1 ¸ ] è 16.284,90 4,67 A PV · ⋅ è 76.100,63 A PV · ( ) 1 1 76.100,63 t i PMT i − 1 − + · ⋅ 1 1 ¸ ] ( ) 12 1 1 0,035 76.100,63 0,035 PMT − 1 − + · ⋅ 1 1 ¸ ] è ( ) 12 1 1,035 76.100,63 0,035 PMT − 1 − · ⋅ 1 1 ¸ ] 76.100,63 9,66 PMT · ⋅ è 76.100,63 9,66 PMT · è 7.875,19 PMT · HP: [G] [7] [16.284,90] [CHS] [PMT] [3,5] [i] [5] [N] [PV] [?] = 76.100,62 [G] [8] [76.100,62] [CHS] [PV] [3,5] [i] [12] [N] [PMT]=? 7.875,19 2) Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações mensais de R$ 1.200,00. Calcular o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais. Considere uma taxa de 1,50% ao mês. (R$ 2.987,20) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 121 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) 1 1 n P i PV PMT i − 1 − + · ⋅ 1 1 ¸ ] ( ) 12 1 1 0,015 1200 0,015 P PV − 1 − + · ⋅ 1 1 ¸ ] è ( ) 12 1 1,015 1200 0,015 P PV − 1 − · ⋅ 1 1 ¸ ] è 1200 10,91 P PV · ⋅ è 13.089,00 P PV · (1 ) (1 ) n i i + > · + < 3 (1 ) (1 0,015) i + > · + è 3 1 (1,015) i + >· è 3 (1,015) 1 i >· − è 0,0457 . . i a t >· è4,57 . . a t Substituindo o valor de i> na fórmula: ( ) 1 1 n P i PV PMT i − 1 − + · ⋅ 1 1 ¸ ] ( ) 5 1 1 0,0457 13.089,00 0,0457 PMT − 1 − + · ⋅ 1 1 ¸ ] è ( ) 5 1 1,0457 13.089,00 0,0457 PMT − 1 − · ⋅ 1 1 ¸ ] è 13.089,00 4,38 PMT · ⋅ è 13.089,00 4,38 PMT · è 2.987,20 PMT · 3) Uma televisão está sendo negociada em uma entrada mais 6 pagamentos mensais e iguais de R$ 72,00 cada um. Qual deve ser a entrada, de forma que o financiamento seja equivalente ao preço a vista de 650,00. A taxa de juros é de 3,90% ao mês. (R$ 271,33) t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 t 11 t 12 t 13 t 14 t 15 2.987,20 2.987,20 2.987,20 2.987,20 2.987,20 13.089,00 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 122 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ( ) 1 1 n E i PV E PMT i − 1 − + · + 1 1 ¸ ] g ( ) 6 1 1 0,039 650 72 0,039 E − 1 − + · + 1 1 ¸ ] g è ( ) 6 1 1,039 650 72 0,039 E − 1 − · + 1 1 ¸ ] g è650 72 5,26 E · + g è650 378,67 E · + è 650 378,67 E · − è 271,33 E · Entrada (E) mais as prestações somam total de (650,00). 4) Uma pessoa deve atualmente 18 prestações de R$ 2.200,00 cada. O primeiro pagamento só acontece daqui a 30 dias. Com o intuído de adequar esses desembolsos mensais com suas disponibilidades de caixa, está propondo ao credor a transformação deste fluxo numa série de 3 pagamentos semestrais, sendo o primeiro 20% do valor da dívida, o segundo 30% e o último 50%. Sendo a taxa de juro 2,50% ao mês, calcule o valor das prestações. (Primeiro pagamento: R$ 7.324,02; Segundo pagamento: R$ 12.740,43; Terceiro pagamento: R$ 24.624,98). t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 PMT = 72,00 650,00 E t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 18 PMT = 2.200,00 PV=? (31.577,40) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 123 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: [2.200] [CHS] [PMT] [18] [N] [2,5] [i] [PV?] 31.577,40 1ª Prestação: 6 0,20 (1 0,025) FV PV · + è 6 0,20 31.577,40 (1 0,025) FV · + g g è 7.324,02 FV · 2ª Prestação: 12 0,30 (1 0,025) FV PV · + è 12 0,30 31.577,40 (1 0,025) FV · + g g è 12.740,43 FV · 3ª Prestação: 18 0,50 (1 0,025) FV PV · + è 18 0,50 31.577,40 (1 0,025) FV · + g g è 44.690,03 FV · 5) Uma empresa tem a seguinte dívida junto a um banco: R$ 12.000,00, R$ 16.000,00, R$ 21.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00, vencíveis sucessivamente ao final dos próximos 5 bimestres. Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de juro efetiva de 3,50% ao bimestre. A empresa está negociando o refinanciamento desta dívida em 10 prestações bimestrais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira em dois meses. Qual será o valor das parcelas. (R$ 13.673,02) 1 2 3 4 5 12.000 16.000 21.000 30.000 50.000 (1 0,0350) (1 0,0350) (1 0,0350) (1 0,0350) (1 0, 0350) PV · + + + + + + + + + è 1 2 3 4 5 12.000 16.000 21.000 30.000 50.000 (1,0350) (1,0350) (1,0350) (1,0350) (1,0350) PV · + + + + è 113.713,10 PV · t 0 t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 t 12 t 14 t 16 t 18 t 20 1 2 0 0 0 1 6 0 0 0 2 1 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 124 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira OU HP: [0] [G] [CF0] [12000] [G] [CFJ] [16000] [G] [CFJ] [21000] [G] [CFJ] [30000] [G] [CFJ] [50000] [G] [CFJ] [3,5] [i] [F] [NPV] [PV]=113.713,09 Transformando em 10 prestações bimestrais : HP: [113.713,09] [CHS] [PV] [10] [N] [3,5] [i] [PMT]=? 13.673,02 OU PELA FÓRMULA: ( ) 1 1 n P i PV PMT i − 1 − + · ⋅ 1 1 ¸ ] è ( ) 10 1 1 0,035 113.713,09 0,035 PMT − 1 − + · ⋅ 1 1 ¸ ] è 13.673,02 PMT · 6) Um financiamento de $ 4.000,00 será pago em 3 parcelas mensais consecutivas de $ 1.200,00, $ 2.300,00 e $ 1000,00, respectivamente. Calcular o custo efetivo do financiamento. t 1 t 2 t 3 1 2 0 0 4.000 2 3 0 0 1 0 0 0 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 1 (1 ) n i PV PMT i − 1 − + · 1 ¸ ] g A fórmula acima não pode ser empregada, pois as parcelas não são de mesmo valor ! Msc. Fábio Z. Dall’Orto 125 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1 (1 ) J n n PMT PV i − · ∑ + 1 2 3 1.200 2.300 1.000 4000 (1 ) (1 ) (1 ) i i i · + + + + + èi = ? O único modo de acharmos o valor de “i”, seria por interpolação (tentativa e erro) ! HP: [4000] [G] [CFo] [1200] [CHS] [G] [CFj] [2300] [CHS] [G] [CFj] [1000] [CHS] [G] [CFj] [F] [IRR] => porque não se pode apertar a tecla “i” para series ou fluxos não padrões ! i=6,25673 OUTRAS CONSIDERAÇÕES ! Digamos que o mesmo problema acima, apresenta-se um período T2 de valor nulo ou zero (0). Teríamos então que também entrar com este dado na calculadora da seguinte forma : HP: [4000] [G] [CFo] [1200] [CHS] [G] [CFj] [0] [G] [CFj] [2300] [CHS] [G] [CFj] [1000] [CHS] [G] [CFj] [F] [IRR] i=4,52347 Observe que o valor do “i” mudou ! t 1 t 2 t 3 t 4 1 2 0 0 4.000 2 3 0 0 1 0 0 0 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 126 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 7) Uma compra cujo valor à vista é de $ 13.000,00 pode ser paga com uma entrada de 20% mais trens parcelas mensais de $ 5.000,00, $ 5.000,00 e 3.000,00, respectivamente. Considerando que existe um período de carência de 3 meses para início do pagamento das parcelas, calcular o custo efetivo do financiamento. PV=13.000 – Entrada 20% (2.600) è PV=10.400 4 5 6 5.000 5.000 3.000 10.400 2.600 (1 ) (1 ) (1 ) i i i · + + + + + + è HP: [10.400] [G] [CFo] [0] [G] [CFj] [3] [G] [Nj] [5.000] [CHS] [G] [CFj] [2] [G] [Nj] [3000] [CHS] [G] [CFj] [F] [IRR] i=4,72 8) Um apartamento foi colocado à venda por $ 107.800,00. A prazo pode ser pago com uma entrada de $ 8.000,00 mais 5 prestações mensais consecutivas. As duas primeiras de $ 18.000,00, e as três últimas de $ 23.000,00. Se o comprador tem a opção de aplicar seu capital em um fundo de renda fixa a juros efetivos de 1,40% ao mês, qual será a melhor alternativa do ponto de vista financeiro? t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 5 0 0 0 PV=10.400 5 0 0 0 3 0 0 0 1ºPer. 2ºPe r. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 2 6 0 0 E PRAZO DE CARÊNCIA PRAZO DE PAGAMENTO Msc. Fábio Z. Dall’Orto 127 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Efetuar a compra nos critérios escritos, pois a aplicação renderá a uma taxa menor do que a do financiamento. 107.800 8.000 99.800 PV PV · − ·> · HP: [99.800] [G] [CFo] [18.000] [CHS] [G] [CFj] [2] [G] [Nj] [23.000] [CHS] [G] [CFj] [3] [G] [Nj] [F] [IRR] i=1,63 Portanto, vale a pena comprar a vista, pois a taxa de juros aplicada de 1,63 a mês e que resultou nas parcelas acima, é maior que a taxa de investimento (aplicação) de 1,4% ao mês ! t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 2 3 0 0 0 107.800 2 3 0 0 0 2 3 0 0 0 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 8 0 0 0 E 1 8 0 0 0 1 8 0 0 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 128 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Exercício Propostos 1. Determinado produto é vendido por R$ 1.000,00 a vista ou em 2 pagamentos mensais, iguais e sucessivos de R$ 520,00 cada, vencendo o primeiro de hoje a 30 dias. Determinar o custo mensal da compra a prazo. (i = 2,66% a.m.) 1 (1 ) J n n PMT PV i − · ∑ + 1 2 520 520 1000 (1 0,0266) (1 0,0266) · + + + è1000 1000 · è 2,66% . . i a m · Por tentativa e erro ! HP: [1000] [CHS] [PV] [520] [PMT] [2] [N] [i] ? i=2,66 2. Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de R$700,00. Sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros, determinar o seú preço a vista admitindo que: i. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra; (R$3.271,16) ii. O primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês; (3.160,54) iii. O primeiro pagamento é efetuado ao fmal do segundo mês. (3.053,66) t 1 t 2 5 2 0 1.000 5 2 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 129 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira Resolvendo: i. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra; (R$3.271,16) 1 (1 ) n A i PV E PMT i − 1 − + · + 1 ¸ ] è 4 1 (1 0,035) 700 700 0,035 A PV − 1 − + · + 1 ¸ ] è 4 1 (1,035) 700 700 0,035 A PV − 1 − · + 1 ¸ ] g è 1 0,87144223 700 700 0,035 A PV − 1 · + 1 ¸ ] g è 0,12855777 700 700 0,035 A PV 1 · + 1 ¸ ] g è 700 700 (3,67) A PV · + g è 700 2.571,16 A PV · + è 3.271,16 A PV · OU pela Fórmula: 1 1 (1 ) 1 n A i PV PMT i − 1 − + · + 1 ¸ ] g è 1 5 1 (1 0,035) 700 1 0,035 A PV − 1 − + · + 1 ¸ ] g è 4 1 (1,035) 700 1 0,035 A PV − 1 − · + 1 ¸ ] g è 1 0,87144223 700 1 0,035 A PV − 1 · + 1 ¸ ] g è 0,12855777 700 1 0,035 A PV 1 · + 1 ¸ ] g è [ ] 700 1 3,67307921 A PV · + g è [ ] 700 4,67307921 A PV · g è 3.271,16 A PV · HP: [G] [BEG] => Informa que ocorreu uma entrada (Série Antecipada PVa). Obs: G8 sai do G7 [700] [CHS] [PMT] [5] [N] [3,5] [i] [PV]=? (3.271,16) t 1 t 2 t 3 t 4 PVa= ? 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 7 0 0 E 7 0 0 7 0 0 7 0 0 7 0 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 130 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ii. O primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês; (3.160,54) 1 (1 ) n P i PV PMT i − 1 − + · 1 ¸ ] è 5 1 (1 0,035) 700 0,035 P PV − 1 − + · 1 ¸ ] è 5 1 (1,035) 700 0,035 P PV − 1 − · 1 ¸ ] è è 1 0,84197317 700 0,035 P PV − 1 · 1 ¸ ] è 0,15802683 700 0,035 P PV 1 · 1 ¸ ] è [ ] 700 4,51505237 P PV · è 700 (4,52) P PV · g è 3.160,54 P PV · HP: [G] [END] => Desfaz o G7 ou [G] [BEG] usado no exercício anterior [700] [CHS] [PMT] [5] [N] [3,5] [i] [PV]=? (3.160,536) iii. O primeiro pagamento é efetuado ao fmal do segundo mês. (3.053,66) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 7 0 0 PVp=? 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 7 0 0 7 0 0 7 0 0 7 0 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 7 0 0 PVp=? 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 7 0 0 7 0 0 7 0 0 7 0 0 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 131 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 1 (1 ) (1 ) n CR P i PV PMT i i − − 1 − + · + 1 ¸ ] g è 5 1 1 (1 0,035) 700 (1 0,035) 0,035 P PV − − 1 − + · + 1 ¸ ] g è 5 1 1 (1,035) 700 (1,035) 0,035 P PV − − 1 − · 1 ¸ ] g è 1 1 0,84197317 700 (1,035) 0,035 P PV − − 1 · 1 ¸ ] g è è 1 0,15802683 700 (1,035) 0,035 P PV − 1 · 1 ¸ ] g è [ ] 1 700 4,51505237 (1,035) P PV − · g è è 700 (4,51505237)(0,96618357) P PV · g g è 700 (4,36) P PV · g è 3.053,66 P PV · OU: 1 (1 ) 1 (1 ) n D CR i PV PMT i i − − 1 − + · 1 + ¸ ] g g è 5 1 1 (1 0,035) 1 700 0,035 (1 0,035) D PV − 1 − + · 1 + ¸ ] g g è 5 1 1 (1,035) 1 700 0,035 (1,035) D PV − 1 − · 1 ¸ ] g g è 3.053,66 P PV · OU: HP: [0] [G] [CF0] => Indica que não ocorreu pagamento no 1ºperíodo [0] [G] [CFJ] [700] [CHS] [G] [CFJ] [5] [G] [NJ] [3,5] [i] [5] [N] [F] [NPV] =? (3.053,658) 3. Uma pessoa irá necessitar de R$7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá ela depositar mensalmente num fundo de poupança que rende 1,7% a.m. de juros? (R$648, 10) (1 ) 1 n P i PV PMT i 1 + − · 1 ¸ ] è 10 (1 0,017) 1 7.000 0,017 PMT 1 + − · 1 ¸ ] è 10 (1,017) 1 7.000 0,017 PMT 1 − · 1 ¸ ] è 1,18361246 1 7.000 0,017 PMT − 1 · 1 ¸ ] è 0,18361246 7.000 0,017 PMT 1 · 1 ¸ ] è [ ] 7.000 10,80 PMT · è 7.000 10,80 PMT · è 648,10 PMT · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 132 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: [7.000] [FV] [10] [N] [1,7] [i] [PMT]=? (610,48) 4. Uma pessoa possui hoje R$50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de poupança de R$3.000,00 mensais no próximo semestre e R.$4.000,00 mensais nos 4 meses seguintes ao semestre. Se esse fluxo de poupança for depositado mensalmente num fundo que rende 2,5% a.m., determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de: i. 10 meses; ( ) (1 ) 1 1 n n i FV PV i PMT i 1 + − · + + 1 ¸ ] è ( ) 6 6 (1 0,025) 1 50.000 1 0,025 3.000 0,025 FV 1 + − · + + 1 ¸ ] è ( ) 6 6 (1,025) 1 50.000 1,025 3.000 0,025 FV 1 − · + 1 ¸ ] è ( ) 6 1,15969342 1 50.000 1,025 3.000 0,025 FV − 1 · + 1 ¸ ] g è ( ) 6 0,15969342 50.000 1,025 3.000 0,025 FV 1 · + 1 ¸ ] g è ( ) [ ] 6 50.000 1,025 3.000 6,38773672 FV · + g è è ( ) 6 50.000 1,025 19.163,21016 FV · + g è 50.000 (1,15969342) 19.163,21016 FV · + g è è 57.984,671 19.163,21016 FV · + è 77.147,88 FV · t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 3 0 0 0 PV=50.000 4 0 0 0 4 0 0 0 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 7ºPer. 8ºPer. 9ºPer. 10ºPer. 3 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 A B Msc. Fábio Z. Dall’Orto 133 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: de (A) [50.000] [CHS] [PV] [3.000] [CHS] [PMT] [2,5] [i] [6] [N] [FV]=? (77.147,38) ( ) (1 ) 1 1 n n i FV PV i PMT i 1 + − · + + 1 ¸ ] è ( ) 4 4 (1 0,025) 1 77.147,88 1 0,025 4.000 0,025 FV 1 + − · + + 1 ¸ ] è ( ) 4 4 (1,025) 1 77.147,88 1,025 4.000 0,025 FV 1 − · + 1 ¸ ] è ( ) 1,10381289 1 77.147,88 1,10381289 4.000 0,025 FV − 1 · + 1 ¸ ] g è ( ) 0,10381289 77.147,88 1,10381289 4.000 0,025 FV 1 · + 1 ¸ ] g è ( ) [ ] 77.147,88 1,10381289 4.000 4,15251564 FV · + g g è 85.156,82 16.610,06 FV · + è 101.766,89 FV · HP: de (B) [77.147,88] [CHS] [PV] [4.000] [CHS] [PMT] [2,5] [i] [4] [N] [FV]=? (101.766,88) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 PV=77.147,88 4 0 0 0 4 0 0 0 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. 7ºPer. 8ºPer. 9ºPer. 10ºPer. 4 0 0 0 4 0 0 0 B Msc. Fábio Z. Dall’Orto 134 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ii. 15 meses; ( ) 1 n FV PV i · ⋅ + è ( ) 5 101.766,88 1 0,025 FV · + è ( ) 5 101.766,88 1,025 FV · è 101.766,881,13141 FV · g è 115.139,88 FV · HP: de (B) [101.766,88] [CHS] [PV] [5] [N] [2,5] [i] [FV]=? (115.139,88) 5. Um veículo, cujo preço a vista é de R$30.000,00, está sendo vendido nas seguintes condiçôes: í. 30% de entrada; ii. Saldo em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses. Determinar o valor de cada prestação, admitindo uma taxa de juros de 2% a.m. (R$ 3.824,02) ( ) 1 1 (1 ) 1 n P i PV PMT i i − − 1 − + · ⋅ + 1 ¸ ] g è ( ) 6 1 1 (1 0,02) 21.000 1 0,02 0,02 PMT − − 1 − + · ⋅ + 1 ¸ ] g è è ( ) 6 1 1 (1,02) 21.000 1,02 0,02 PMT − − 1 − · ⋅ 1 ¸ ] g è 1 0,88797138 21.000 0,98039216 0,02 PMT − 1 · ⋅ 1 ¸ ] g è è 0,11202862 21.000 0,98039216 0,02 PMT 1 · ⋅ 1 ¸ ] g è [ ] 21.000 5,601431 0,98039216 PMT · g g è t 10 t 11 t 12 t 13 t 14 t 15 PV=101.766,88 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. FV=? Msc. Fábio Z. Dall’Orto 135 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira è21.000 5,49 PMT · ⋅ è 21.000 5,49 PMT · è 3.824,02 PMT · 6. Calcular o valor presente dos fluxos abaixo: i. 48 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$4.000,00. Taxa de juros 1,2% a.m.; (R$ 145.309,00) 1 (1 ) n P i PV PMT i − 1 − + · ⋅ 1 ¸ ] è 48 1 (1 0,012) 4.000 0,012 P PV − 1 − + · 1 ¸ ] g è 48 1 (1,012) 4.000 0,012 P PV − 1 − · 1 ¸ ] g è 1 0,56407311 4.000 0,012 P PV − 1 · 1 ¸ ] g è 0,43592689 4.000 0,012 P PV 1 · 1 ¸ ] g èè 4.000 36,32725 P PV · g è 145.309,00 P PV · ii. 5 prestações mensais e sucessivas crescentes na razão de R$2.000,00. O valor da primeira prestação é de R$10.000,00. Taxa de juros de 2,6% a.m. (R$64.379,30) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) PMT PMT PMT PMT PMT PV i i i i i · + + + + + + + + + è 1 2 3 4 5 10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 (1 0,026) (1 0,026) (1 0,026) (1 0,026) (1 0,026) PV · + + + + + + + + + è 1 2 3 4 5 10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 (1,026) (1,026) (1,026) (1,026) (1,026) PV · + + + + è è 10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 1,026 1,052676 1,08004558 1,10812676 1,13693806 PV · + + + + è è 9.746,59 11.399,52 12.962,42 14.438,78 15.832,00 PV · + + + + è 64.379,30 PV · t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 PV= ? 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 1 6 0 0 0 1 8 0 0 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 136 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: [0] [G] [CF0] [10.000] [CHS] [G] [CFJ] [12.000] [CHS] [G] [CFJ] [14.000] [CHS] [G] [CFJ] [16.000] [CHS] [G] [CFJ] [18.000] [CHS] [G] [CFJ] [2,6] [i] [5] [N] [F] [NPV]=? (64.379,302) 7. Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações mensais de R$ 1.200,00. Calcular o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais. Considere uma taxa de juros de 1,5% a.m. (R$2.987,40) Transformando em Fluxo de 5 Prestações Trimestrais: 1 (1 ) n P i PV PMT i − 1 − + · ⋅ 1 ¸ ] è 12 1 (1 0,015) 1200 0,015 P PV − 1 − + · 1 ¸ ] g è 12 1 (1,015) 1200 0,015 P PV − 1 − · 1 ¸ ] g è 1 0,83638742 1200 0,015 P PV − 1 · 1 ¸ ] g è 0,16361258 1200 0,015 P PV 1 · 1 ¸ ] g è è 120010,91 P PV · g è 13.089,01 P PV · t 1 t 2 t 3 t 4 t 11 t 12 PV=13.089,01 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. // 11ºPer. 12ºPer. 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 t 3 t 6 t 9 t 12 t 15 PV=13.089,01 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 2987,40 2987,40 2987,40 2987,40 2987,40 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 137 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: [1200] [CHS] [PMT] [12] [N] [1,5] [i] [PV]=? (13.089,01) Equilibrando o tempo e a taxa temos: (1 ) (1 ) n i i + > · + < è 3 1 (1 0,015) i + >· + è 3 (1,015) 1 i >· − è 1,04567838 1 i >· − è 0,045678 i >· ou 4,60% a.t. 1 (1 ) n P i PV PMT i − 1 − + · 1 ¸ ] g è 5 1 (1 0,046) 13.089,01 0,046 PMT − 1 − + · 1 ¸ ] g è 5 1 (1,046) 13.089,01 0,046 PMT − 1 − · 1 ¸ ] g è 1 0,79862257 13.089,01 0,046 PMT − 1 · 1 ¸ ] g è è 0,20137743 13.089,01 0,046 PMT 1 · 1 ¸ ] g è [ ] 13.089,01 4,37777022 PMT · g è13.089,01 4,37777022 PMT · g è 13.089,01 4,37777022 PMT · è 2.989,88 PMT · HP: [13.089,01] [CHS] [PV] [5] [N] [4,6] [i] [PMT]=? (2.987,40) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 138 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 8. Urna pessoa deve a outra 15 pagamentos mensais de R$2.400,00. até o final do 6º mês não havia efetuado nenhum pagamento. Nesta data o devedor procura o credor e decide liquidar toda a sua dívida, vencida e vincenda. Para uma taxa de juro de 3,7% a.m., determinar quanto foi pago. (R$33.890,84) 1 (1 ) n i PV PMT i − 1 − + · ⋅ 1 ¸ ] è 6 1 (1 0,037) 2.400 0,037 PV 1 − + · 1 ¸ ] g è 6 1 (1,037) 2.400 0,037 PV 1 − · 1 ¸ ] g è è 1 1,24357659 2.400 0,037 PV − 1 · 1 ¸ ] g è 0,24357659 2.400 0,037 PV 1 · 1 ¸ ] g è 2.400 6,58 PV · g è 15.799,56 PV · 1 (1 ) n i PV PMT i − 1 − + · ⋅ 1 ¸ ] è 9 1 (1 0,037) 2.400 0,037 PV − 1 − + · 1 ¸ ] g è 9 1 (1,037) 2.400 0,037 PV − 1 − · 1 ¸ ] g è è 1 0,72109286 2.400 0,037 PV − 1 · 1 ¸ ] g è 0,27890714 2.400 0,037 PV 1 · 1 ¸ ] g è 2.400 7,54 PV · g è 18.091,27 15.799,56 PV · + è 33.890,84 PV · OU pela fórmula: 1 1 (1 ) (1 ) 1 n A i FV PMT i − 1 − + · 1 + − ¸ ] g è 5 1 1 (1 0,037) 2.400 (1 0,037) 1 A FV − 1 − + · 1 + − ¸ ] g è 5 1 1 (1,037) 2.400 (1,037) 1 A FV − 1 − · 1 − ¸ ] g è è 1 1,19920597 2.400 0,96432015 1 A FV − 1 · 1 − ¸ ] g è 0,19920597 2.400 0,03567985 A FV 1 · 1 ¸ ] g è [ ] 2.400 5,58315043 A FV · g è 13.399,561 A FV · t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 13 t 14 t 15 PV=13.089,01 CAPITAL. ATÉ T6 DESCAPITAL. ATÉ T6 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 139 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira HP: [G] [7] [2400] [CHS] [PMT] [5] [N] [3,7] [i] [FVA]=? (13.399,56) 1 (1 ) n P i PV PMT i − 1 − + · 1 ¸ ] g è 9 1 (1 0,037) 2.400 0,037 P PV − 1 − + · 1 ¸ ] g è 9 1 (1,037) 2.400 0,037 P PV − 1 − · 1 ¸ ] g è è 1 0,72109286 2.400 0,037 P PV − 1 · 1 ¸ ] g è 0,27890714 2.400 0,037 P PV 1 · 1 ¸ ] g è [ ] 2.400 7,53803094 P PV · g è 18.091,274 P PV · HP: [2400] [CHS] [PMT] [9] [N] [3,7] [i] [PV]=? (18.091,27) A DÍVIDA SERÁ : 13.399,56 18.091,27 2.400 33.890,84 + + ·> 9. Um empréstimo no valor de R$24.300,00 prevê a sua liquidação em 4 parcelas iguais e vencíveis, respectivamente, de hoje a 17 dias, 39 dias, 66 dias e 90 dias. Para uma taxa efetiva de juro de 3,10% a.m., pede-se calcular o valor de cada parcela de pagamento. (R$6.409,14) *** NÃO TEM COMO SER FEITO NA HP ***** ( ) 17 1 J n N PMT PV i · · Σ + 17 39 66 90 PV=24.300 PMT PMT PMT PMT Msc. Fábio Z. Dall’Orto 140 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira è ( ) ( ) ( ) ( ) 17 39 66 90 30 30 30 30 1 1 1 1 PMT PMT PMT PMT PV i i i i · + + + + + + + è ( ) ( ) ( ) ( ) 17 39 66 90 30 30 30 30 1 0,0310 1 0,0310 1 0,0310 1 0,0310 PMT PMT PMT PMT PV · + + + + + + + è ( ) ( ) ( ) ( ) 17 39 66 90 30 30 30 30 1,0310 1,0310 1,0310 1,0310 PMT PMT PMT PMT PV · + + + è ( ) ( ) ( ) ( ) 17 39 66 90 30 30 30 30 1 1 1 1 24.300 1,0310 1,0310 1,0310 1,0310 PMT 1 1 · + + + 1 1 ¸ ] g è ( ) ( ) ( ) ( ) 0,56666 1,3 2,2 3 1 1 1 1 24.300 1,0310 1,0310 1,0310 1,0310 PMT 1 · + + + 1 1 ¸ ] g 1 1 1 1 24.300 1,01745019 1,04048606 1,06947113 1,09591279 PMT 1 · + + + 1 ¸ ] g è [ ] 24.300 0,983 0,96 0,93 0,91 PMT · + + + g è24.300 3,78 PMT · g è 24.300 3,78 PMT · è 6.428,14 PMT · 10. Uma pessoa deseja acumular R$14.000,00 ao fimal de um semestre. Para tanto, deposita mensalmente num fundo a importância de R$1.500,00, sendo corrigida à taxa de 4,5% a.m. Qual deve ser o valor do depósito inicial (momento zero) de forma que possa obter o montante desejado ao final do período? (R$3.013,73) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 PV= ? 1ºPer. 2ºPer. 3ºPer. 4ºPer. 5ºPer. 6ºPer. ? E=? 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 FV SERÁ: 14.000+FVE+FV_PMT Msc. Fábio Z. Dall’Orto 141 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira (1 ) 1 n PMT i FV PMT i 1 + − · 1 ¸ ] g è 6 (1 0,045) 1 1500 0,045 P FV 1 + − · 1 ¸ ] g è 6 (1,045) 1 1500 0,045 P FV 1 − · 1 ¸ ] g è è 1,3022613 1 1500 0,045 P FV − 1 · 1 ¸ ] g è 0,3022613 1500 0,045 P FV 1 · 1 ¸ ] g è [ ] 1500 6,71689167 P FV · g è è 10.075,33750 PMT FV · COMO: E PMT FV FV FV · + è E PMT FV FV FV · − è 14.000 10.075,33750 E FV · − è 3.924,6625 E FV · (Valor Futuro da entrada sem descap. !) DESCAPITAL. : ( ) 1 n E E FV PV i · + g è ( ) 6 3.924,6625 1 0,045 E PV · + g è ( ) 6 3.924,6625 1,045 E PV · g è è ( ) 6 3.924,6625 1,045 E PV · è 3.924,6625 1,302226013 E PV · è 3.012,942256 E PV · HP: [1500] [PMT] [6] [N] [4,5] [i] [FV]=? (10.075,3374) 14.000 - 10.075,3374 = 3.924,6625 [3.924,6625] [FV] [6] [N] [4,5] [i] [PV]=? (3.013,7316) è Valor da entrada descap. ! OU HP: [14.000] [CHS] [FV] [1500] [PMT] [6] [N] [4,5] [i] [PV]=? (3.013,73) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 142 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 11. Um veículo é vendido por R$18.000,00 a vista ou a prazo com R$4.000,00 de entrada e 4 prestações mensais de R$3.845,05 cada. Determinar o custo efetivo mensal do fmanciamento. (3,87% ao mês) 1 2 3 4 3.845,05 3.845,05 3.845,05 3.845,05 18.000 4.000 (1,0387) (1,0387) (1,0387) (1,0387) · + + + + è18.000 18.000 · 3,87% . . i a m · HP: [14.000] [G] [CFo] [3.845,05] [CHS] [G] [CFj] [4] [G] [Nj] [F] [IRR] i=? (3,869) 12. Uma loja apresenta duas propostas de venda de um produto eletrônico: Sendo de 3,5% a.m. a taxa corrente de juros, indicar a alternativa mais atraente para o comprador. i. Entrada de R$400,00 mais 8 prestações mensais de R$720,00 cada; (PVa = R$5.349,25) ii. Entrada de R$650,00 mais 15 prestações mensais de R$600,00 cada. (PVb = R$7.560,45) i.) 1 (1 ) n A i PV E PMT i − 1 − + · + ⋅ 1 ¸ ] è 8 1 (1 0,035) 400 720 0,035 A PV − 1 − + · + 1 ¸ ] g è è 8 1 (1,035) 400 720 0,035 A PV − 1 − · + 1 ¸ ] g è 1 0,75941156 400 720 0,035 A PV − 1 · + 1 ¸ ] g è è 0,24058844 400 720 0,035 A PV 1 · + 1 ¸ ] g è ( ) 400 720 6,87 A PV · + g è 400 4.949,25 A PV · + è 5.349,25 A PV · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 143 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ii) 1 (1 ) n A i PV E PMT i − 1 − + · + ⋅ 1 ¸ ] è 15 1 (1 0,035) 650 600 0,035 A PV − 1 − + · + 1 ¸ ] g è è 15 1 (1,035) 650 600 0,035 A PV − 1 − · + 1 ¸ ] g è 1 0,59689062 650 600 0,035 A PV − 1 · + 1 ¸ ] g è è 0,40310938 650 600 0,035 A PV 1 · + 1 ¸ ] g è ( ) 650 600 11,52 A PV · + g è 650 6.910,45 A PV · + è 7.560,45 A PV · 13. Calcular o valor presente de um fluxo de 15 pagamentos mensais de R$2. 100,00 cada, sendo que o primeiro desembolso ocorre de hoje a 15 dias. Admita uma taxa de juro de 2,2% a.m. (R$26.874,90) 1 2 15 15 30 1 (1 ) 1 (1 ) n a i PV PMT PMT i i − 1 − + · + 1 ¸ ] + g è è 14 0,5 1 (1 0,022) 1 2100 2100 0,022 (1 0,022) PV − 1 − + · + 1 + ¸ ] g g è è 14 0,5 1 (1,022) 1 2100 2100 0,022 (1,022) PV − 1 − · + 1 ¸ ] g g è 1 0,73737339 1 2100 2100 0,022 1,01094016 PV − 1 · + 1 ¸ ] g g è t 15 PV= ? 1 5 4 5 7 5 1 0 5 1 3 5 4 2 0 N=14 15 DIAS DIAS t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 N=15 PMT1 PMT 2 a 15 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 144 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 0,26262661 1 2100 2100 0,022 1,01094016 PV 1 · + 1 ¸ ] g g ( ) ( ) 2100 2100 11,9377 0,98918 PV · + g g è 26.874,90 PV · HP: [1.022] [ENTER] [14] [CHS] [ x Y ] [CHS] [1] [+] [0,022] [ ÷] [2.100] [ g ] [2.100] [+] [1] [ENTER] [1.022] [ENTER] [0,5] [ x Y ] [ ÷][ g ] = 26.874,88857 OUTRO MODO DE FAZER : (IMAGINANDO COMO QUIZENAL COM ENTRADAS ZERADAS CONFORME ABAIXO:( ) HP: [0] [G] [CF0] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [0] [G] [CFJ] [2100] [G] [CFJ] [PV] [?] t 15 PV= ? 1 5 4 5 7 5 1 0 5 1 3 5 4 2 0 N=14 15 DIAS DIAS t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 N=15 PMT1 PMT 2 a 15 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 145 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 14. Determinado produto é vendido numa loja por R$l.120,00 a vista ou em 5 prestações mensais de R$245,00 cada. Calcular o custo efetivo mensal admitindo que: i. A primeira prestação vence ao final do 10 mês; (3,06% a.m.) (1 ) n PMT PV i · + è 5 245 1.120 (1 ) i · + è1.120 1.120 · è 3,06% . . i a m · ii. A primeira prestação é paga como entrada; (4,69% a.m.) 1.120 PV E · − è 1.120 245 PV · − è 875,00 PV · (1 ) n PMT PV i · + è 4 245 875 (1 ) i · + è875 875 · è 4,69% . . i a m · iii. A primeira prestação vence ao final do segundo mês. (2,28% a.m.) (1 ) n PMT PV i · + è 7 245 1.120 0 (1 ) i · + + è1.120 1.120 · è 2,28% . . i a m · 15. Um depósito de R$8.000,00 é efetuado num fundo de poupança que rende juros de 2,1% a.m. Após 5 meses o depositante decide retirar sua poupança em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 30 dias após. Admitindo a manutenção da mesma taxa de juros para todo o período, determinar o valor das parcelas que serão sacadas. (R$844,44) (1 ) n FV PV i · + è 5 8.000(1 0,021) FV · + è 8.000 1,11 FV · g è 8.876,03 FV · 1 (1 ) n i PV PMT i − 1 − + · 1 ¸ ] g è 12 1 (1 0,021) 8.876,03 0,021 PMT − 1 − + · 1 ¸ ] g è 12 1 (1,021) 8.876,03 0,021 PMT − 1 − · 1 ¸ ] g è 1 0,77927563 8.876,03 0,021 PMT − 1 · 1 ¸ ] g è è 0,22072437 8.876,03 0,021 PMT 1 · 1 ¸ ] g è8.876,03 10,51 PMT · g è 8.876,03 10,51 PMT · è 844,48 PMT · Msc. Fábio Z. Dall’Orto 146 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 16. Um financiamento no valor de R$6.800,00 é concedido para pagamento em 10 prestações mensais e iguais com 2 meses de carência. Sendo de 3,6% a.m. a taxa de juros, calcular o valor de cada pagamento mensal. (R$882,00) ( ) 1 (1 ) 1 n CR P i PV PMT i i − − 1 − + · + 1 ¸ ] g g è ( ) 10 2 1 (1 0,036) 6.800 1 0,036 0,036 PMT − − 1 − + · + 1 ¸ ] g g è ( ) 10 2 1 (1,036) 6.800 1,036 0,036 PMT − − 1 − · 1 ¸ ] g g è 1 0,70210561 6.800 0,93170943 0,036 PMT − 1 · 1 ¸ ] g g è è 0,29789439 6.800 0,93170943 0,036 PMT 1 · 1 ¸ ] g g è 0,29789439 6.800 0,93170943 0,036 PMT 1 · 1 ¸ ] g g è è [ ] 6.800 8,27484417 0,93170943 PMT · g g è ( ) 6.800 7,71 PMT · g è 6.800 7,71 PMT · è 882,00 PMT · 17. A capacidade de pagamento mensal de um consumidor é de R$350,00. desejando adquirir a prazo um aparelho eletrônico no valor de R$2.700,00, pede-se determinar o número de prestações que o financiamento deve apresentar nas seguintes hipóteses. Admita uma taxa de juros de 2,3% a.m. i. A primeira parcela é paga de hoje a 30 dias; 1 (1 ) n P i FV PMT i − 1 − + · 1 ¸ ] g è 1 (1 0,023) 2700 350 0,023 n − 1 − + · 1 ¸ ] g è 2700 1 (1,023) 350 0,023 n − 1 − · 1 ¸ ] è è 1 (1,023) 7,71 0,023 n − 1 − · 1 ¸ ] è7,710,023 1 (1,023) n − · − g è0,18 1 (1,023) n − · − è (1,023) 1 0,18 n − · − è(1,023) 0,82 n − · è (1,023) 0,82 n LN LN − · è 1,023 0,82 n LN LN − · g è 0,023 0,195 n − · − g è 0,195 0,023 n − · − è 8,58 n · è T1 T2 T3 T4 TN PV=2.700 PMT PMT PMT PMT PMT 350 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 147 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira ii. A primeira prestação é paga no ato como entrada. 1 (1 ) n A i PV E PMT i − 1 − + · + ⋅ 1 ¸ ] è 1 (1 0,023) 2.350 350 0,023 n − 1 − + · 1 ¸ ] g è 1 (1,023) 2.350 350 0,023 n − 1 − · 1 ¸ ] g è 2.350 1 (1,023) 350 0,023 n − 1 − · 1 ¸ ] è 1 (1,023) 6,71428571 0,023 n − 1 − · 1 ¸ ] è6,714285710,023 1 (1,023) n − · − g è0,15442890 1 (1,023) n − · − è(1,023) 1 0,15442890 n − · − è(1,023) 0,8455711 n − · è 0,845571 1,023 LN n LN · è 0,16774302 0,02273949 n · è 7,376728 n · T1 T2 T3 T4 TN PV=2.350 PMT PMT PMT PMT PMT 350 E=350 Msc. Fábio Z. Dall’Orto 148 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira 18. Um fundo de poupança inicia-se, em determinado mês, com um saldo de R$7.750,00. Ao final de cada um dos meses seguintes é depositado R$9.000,00 no fundo. A cada trimestre ainda é sacado R$13.000,00. Para uma taxa de juros de 2,5% a.m., determinar o montante acumulado pelo fundo de poupança ao final de 3 e de 8 anos. HP: [0] [G] [CF0] [9000] [G] [CFJ] [9000] [G] [CFJ] [4000] [CHS] [G] [CFJ] [9000] [G] [CFJ] [9000] [G] [CFJ] [4000] [CHS] [G] [CFJ] [9000] [G] [CFJ] [9000] [G] [CFJ] [4000] [CHS] [G] [CFJ] [9000] [G] [CFJ] [9000] [G] [CFJ] [4000] [CHS] [G] [CFJ] [PV] ? = 48.962,53 (Encontrado o PV no 1º Ano) [F] [8] [48.962,53] [CHS] [FV] [2,5] [i] [24] [N] [PV]? = 27.070,18 (Encontrado o PV no 2º Ano) Msc. Fábio Z. Dall’Orto 149 FACTEF – VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Período/Curso: 4º Administração Disciplina: Matemática Financeira [F] [8] [48.962,53] [CHS] [FV] [2,5] [i] [12] [N] [PV]? = 36.406,38 (Encontrado o PV no 3º Ano) COMO: [PV] = 48.962,53 (Encontrado o PV no 1º Ano) [PV] = 27.070,18 (Encontrado o PV no 2º Ano) [PV] = 36.406,38 (Encontrado o PV no 3º Ano) [7.750,00] = (Valor da entrada) [TOTAL PV] = (120.189,09 – NO MOMENTO “0” ZERO) ENTÃO: [120.189,09] [CHS] [PV] [2,5] [i] [36] [N] [FV]? = 292.364,206