Aula Extra

Livro EletrônicoAula extra Matemática e Estatística p/ PETROBRAS (Engenheiro de Petróleo Júnior) Com videoaulas Professor: Arthur Lima -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA AULA EXTRA – BATERIA CESGRANRIO SUMÁRIO PÁGINA 1. Resolução de questões CESGRANRIO 01 2. Questões apresentadas na aula 65 3. Gabarito 94 Olá, tudo bem? Nesta aula extra vamos resolver uma bateria formada exclusivamente por questões da banca CESGRANRIO sobre todos os tópicos de Matemática Financeira que trabalhamos nas aulas anteriores. Espero que você a utilize para fazer uma excelente revisão! Abraço, Prof. Arthur Lima RESOLUÇÃO DE QUESTÕES CESGRANRIO QUESTÕES SOBRE JUROS SIMPLES 1. CESGRANRIO – BASA – 2015) Considere que hoje é uma segunda- feira e um carnê de pagamentos apresenta um vencimento em atraso desde a última terça-feira, para um valor de R$ 100,00, e ainda prevê multa de 2%, e mora de 12% a.m. O valor a pagar, em reais, é de a) 104,40 b) 114,00 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA c) 104,00 d) 103,60 e) 104,45 RESOLUÇÃO: Como houve atraso, devemos pagar multa de 2% sobre os 100 reais, ou seja, multa de 2 reais. Além disso, temos que pagar uma multa de mora de 12%am, que corresponde a 12% / 30 = 0,4% ao dia. O atraso foi de 6 dias, a multa de mora será de: Multa de mora = C x j x t Multa de mora = 100 x 0,4% x 6 Multa de mora = 100 x 2,4% Multa de mora = 2,4 reais Logo, o total a ser pago é de 100 + 2 + 2,4 = 104,40 reais. Resposta: A 2. CESGRANRIO – LIQUIGÁS – 2015) Uma loja vende artigos nas seguintes condições: • pagamento à vista com 10% de desconto ou • pagamento um mês após a compra com 10% de acréscimo. A taxa mensal de juros embutida nas vendas com pagamento um mês após a compra é, aproximadamente: a) 18% P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA b) 19% c) 20% d) 21% e) 22% RESOLUÇÃO: Imagine um produto que “custa” 100 reais. Se for comprado à vista, teremos desconto de 10%, pagando 90 reais. Se for comprado à prazo, teremos um acréscimo de 10%, pagando 110 reais. Portanto, o valor inicial do produto é C = 90 reais, e o valor do pagamento após t = 1 mês é de M = 110 reais. Podemos calcular os juros embutidos assim: M = C x (1 + jxt) 110 = 90 x (1 + j x 1) 110 / 90 = 1 + j 1,2222 = 1 + j j = 0,2222 = 22,22% ao mês Resposta: E 3. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) O conceito básico de juros, em matemática financeira, é a remuneração paga ou recebida pela utilização de dinheiro numa determinada unidade de tempo. Os juros tanto podem indicar o pagamento por um empréstimo contraído quanto o recebimento por uma aplicação financeira, mas representam sempre o custo de capital, recebido ou pago, considerado como o aluguel pago pelo uso do dinheiro de terceiros. Nesse enfoque, a maneira de representar os juros para uma unidade de capital é pela taxa P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA a) comercial b) efetiva c) nominal d) real e) unitária RESOLUÇÃO: A taxa de juros pode ser apresentada na forma percentual (ex.: 25%) ou na forma decimal (0,25). Podemos dizer que a taxa de 0,25 corresponde ao valor de juros devidos em UM período por UMA unidade de capital. Esta é a nossa taxa unitária. Resposta: E 4. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Uma empresa, frente à sua disponibilidade temporária de recursos financeiros, aplicou R$ 140.000,00 para receber R$ 168.000,00 ao final de 4 meses. Considerando exclusivamente as informações acima, essa empresa obteve, nessa operação financeira, uma taxa anual de juros simples, em percentual, de a) 10,0% b) 14,4% c) 60,0% d) 66,6% e) 80,0% RESOLUÇÃO: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Podemos calcular usando a fórmula de juros simples: M = C x (1 + jxt) 168.000 = 140.000 x (1 +jx4) 168 / 140 = 1 + 4j 1,2 = 1 + 4j 0,2 = 4j j = 0,05 = 5% ao mês A taxa anual é de 12 x 5% = 60% ao ano. Resposta: C 5. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2016) Um equipamento, cujo preço anunciado é de R$ 100.000,00 pode ser comprado à vista com um desconto de 20%, ou a prazo, em duas parcelas mensais e iguais de R$ 55.000,00, sendo a primeira na data da compra, e a segunda para daí a 1 mês. A taxa mensal de juros cobrada pela loja, comparando-se as duas formas de pagamento, é igual a (A) 20% (B) 30% (C) 55% (D) 120% (E) 150% RESOLUÇÃO: O preço à vista é de 100.000 x (1 – 20%) = 100.000 x 0,80 = 80.000 reais. Este produto também pode ser comprado em duas prestações de P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 55.000. Pagando a primeira prestação à vista, sobra um saldo de 80.000 – 55.000 = 25.000 reais. Este é o capital inicial (C). Entretanto, após t = 1 mês será preciso pagar o montante M = 55.000 reais. Podemos obter a taxa de juros assim: M = C x (1 + jxt) 55.000 = 25.000 x (1 + jx1) 1 + j = 55 / 25 1 + j = 11 / 5 1 + j = 22 / 10 1 + j = 2,2 j = 2,2 – 1 j = 1,2 j = 120% ao mês Resposta: D 6. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2015) As operadoras de cartões de crédito, em geral, cobram 12% ao mês por atrasos no pagamento. No caso de atrasos superiores a 1 mês, o sistema utilizado é o de juros compostos e, no caso de atrasos inferiores a 1 mês, utiliza-se o sistema de juros simples. O vencimento da fatura de um cliente é no dia 5, mas ele só receberá o pagamento de seu salário no dia 15 do mesmo mês, quando, então, fará o pagamento da fatura com atraso de 10 dias. Se a fatura desse cliente é de R$ 900,00, quanto ele pagará, em reais, de juros? (A) 108 (B) 72 (C) 36 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (D) 18 (E) 12 RESOLUÇÃO: Temos um atraso de 10 dias, ou 10/30 = 1/3 de mês comercial. Como esse prazo é inferior a um mês devemos usar o sistema de juros simples. Nesse período teremos capital C = 900 reais rendendo uma taxa de juros j = 12% ao mês. O total de juros devidos será igual a: J=Cxjxt J = 900 x 12% x 1/3 J = 300 x 0,12 J = 3 x 12 J = 36 reais Resposta: C 7. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) Um jovem aplicou R$ 500,00 em um fundo de investimento que, ao final de um mês, proporcionará um ganho bruto de 0,9%. No entanto, o banco comunicou ao jovem que 4% do ganho bruto deverá ser descontado por conta dos impostos. Ao final de um mês, feito o desconto relativo aos impostos, o saldo do fundo de investimento será de a) R$ 484,32 b) R$ 484,50 c) R$ 500,50 d) R$ 504,32 e) R$ 504,50 RESOLUÇÃO: O ganho bruto foi de: 500 x 0,9% = 500 x 0,009 = 1000 x 0,009 / 2 = P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 9/2= 4,5 reais Os impostos correspondem a 4 por cento desse ganho bruto, isto é: Impostos = 0,04 x 4,5 = 0,18 reais Assim o ganho líquido foi igual a: 4,5 - 0,18 = 4,32 reais Ao final do mês o saldo do fundo de investimento será de: 500 + 4,32 = 504,32 reais Resposta: D 8. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Qual o valor aproximado, em reais, a ser recebido pelo cliente de uma aplicação de R$ 10.000,00, com prazo de 6 meses, aplicados à taxa de juros simples de 20% a.a., se for recolhida pela instituição financeira uma alíquota de imposto de renda igual a 20% dos rendimentos no resgate da aplicação? (A) 8.800,00 (B) 9.600,00 (C) 10.800,00 (D) 11.000,00 (E) 11.600,00 RESOLUÇÃO: Veja que o prazo de 6 meses corresponde a t = 0,5 ano (pois a taxa de juros dada é anual). Os juros obtidos nessa aplicação somam: J=Cxjxt J = 10000 x 20% x 0,5 J = 10000 x 0,20 x 0,5 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA J = 10000 x 0,10 J = 1000 reais O imposto de renda é igual a 20 por cento desses rendimentos, ou seja: Imposto = 20% x 1000 Imposto = 0,20 x 1000 = 200 reais Assim, o rendimento a ser pago ao cliente é igual a 1000 - 200 = 800 reais. Somando esse rendimento líquido ao capital inicialmente aplicado pelo cliente, podemos dizer que o valor recebido ao final é igual a: 10.000 + 800 = 10.800 reais Resposta: C 9. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 880.000,00 e após 100 dias resgatou, antes do recolhimento de impostos, R$ 1.100.000,00. Considerando o regime de juros simples, se o imposto sobre operações financeiras (IOF) for aplicado sobre os rendimentos auferidos, na data do resgate com uma alíquota de 10%, qual a taxa efetiva diária da aplicação? (A) 0,00225% (B) 0,0025% (C) 0,225% (D) 0,2375% (E) 0,25% RESOLUÇÃO: O rendimento total antes do recolhimento de impostos é: 1.100.000 - 880.000 = 220.000 reais O imposto corresponde a 10 por cento desse rendimento, ou seja, Imposto = 10% x 220.000 = 22.000 reais Assim, o ganho auferido é de: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 220.000 - 22.000 = 198.000 reais No regime de juros simples, podemos calcular o valor da taxa efetiva assim: J=Cxjxt 198.000 = 880.000 x j x 100 198 = 880 x j x 100 198 / 880 = j x 100 0,225 = j x 100 0,225 / 100 = j j = 0,00225 = 0,225% ao dia Resposta: C 10. CESGRANRIO – BANCO DA AMAZÔNIA – 2013) Um refrigerador custa, à vista, R$ 1.500,00. Um consumidor optou por comprá-lo em duas parcelas. A loja cobra uma taxa mensal de juros (compostos) de 2%, atuante a partir da data da compra. O valor da primeira parcela, paga pelo consumidor 30 dias após a compra, foi de R$ 750,00. Um mês após o primeiro pagamento, o consumidor quitou sua dívida ao pagar a segunda parcela. Qual foi o valor da segunda parcela? (A) R$750,00 (B) R$765,00 (C) R$780,00 (D) R$795,60 (E) R$810,00 RESOLUÇÃO: Durante o primeiro mês a dívida inicial de 1500 reais foi acrescida de juros de 2%, chegando a: 1500 x (1 + 2%) = 1530 reais Como o pagamento de 750 reais sobrou o saldo: 1530 - 750 = 780 reais P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Ao longo do segundo mês essa dívida sofreu juros de 2%, chegando ao valor: 780 x (1 + 2%) = 795,60 reais Esse é o valor do segundo pagamento para quitar a dívida. Resposta: D QUESTÕES SOBRE JUROS COMPOSTOS 11. CESGRANRIO – BASA – 2015) Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal de 20% ao ano. A taxa de juros efetiva anual desse financiamento, se os juros são capitalizados semestralmente, é: a) 12,10% b) 20,21% c) 21,00% d) 22,10% e) 24,20% RESOLUÇÃO: Se a capitalização é semestral, e temos 2 semestres em um ano, a taxa de juros efetiva é de 20% / 2 = 10% ao semestre. Calculando a taxa anual equivalente a 10%a.s., temos: (1 + j)t = (1 + jeq)teq (1 + 10%)t = (1 + jeq)teq Como teq = 1 ano corresponde a t = 2 semestres, ficamos com: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (1 + 10%)2 = (1 + jeq)1 (1,10)2 = 1 + jeq 1,21 = 1 + jeq 0,21 = jeq 21% ao ano = jeq Resposta: C 12. CESGRANRIO – LIQUIGÁS – 2015) Um investimento em imóveis rende nominalmente 54,1% em 6 meses. Se o investidor espera obter um ganho real de, no mínimo, 5% ao mês, qual deve ser o valor máximo da variação de preços no semestre? a) 15% b) 20% c) 24% d) 30% e) 34% RESOLUÇÃO: Temos um ganho aparente de jn = 54,1%. Um ganho real de 5%am corresponde, em um semestre (6 meses), a: (1 + 5%)6 – 1 = P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (1,05)6 – 1 = 1,34 – 1 = 0,34 = 34% Veja, portanto, que o ganho real é de jreal = 34% no semestre. Podemos obter a inflação lembrando que: A variação de preços (inflação) no semestre deve ser de até 15%. Resposta: A 13. CESGRANRIO – LIQUIGÁS – 2014) Uma instituição financiou R$10.000,00, utilizando uma taxa de juros de 6% ao semestre com capitalização mensal. Se o financiamento foi quitado ao final de três meses, os juros foram, aproximadamente, de a) R$ 100,00 b) R$ 200,00 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA c) R$ 204,00 d) R$ 300,00 e) R$ 303,00 RESOLUÇÃO: A taxa de 6% ao semestre com capitalização mensal corresponde à taxa efetiva de 6%/6 = 1% ao mês. Devemos trabalhar com JUROS COMPOSTOS nessa questão, pois ela aborda taxas nominais e efetivas, capitalização, assunto que só faz sentido no regime composto. Em três meses, temos: M = C x (1+j)t M = 10000 x (1 + 1%)3 M = 10000 x 1,013 M = 10000 x 1,0303 M = 10.303 reais Os juros foram de 10303 – 10000 = 303 reais. Resposta: E 14. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (A) 12,68% (B) 12,75% (C) 12,78% (D) 12,96% (E) 13,03% RESOLUÇÃO: Essa questão é sobre juros simples ou compostos? Esta é uma dúvida que pode surgir em muitas questões, e você deve estar atento às dicas que eu vou passar ao longo da aula para facilitar essa identificação. Nesta questão, saiba que a palavra “capitalizada” já nos remete ao regime de juros compostos. Isto porque “capitalizar” juros significa “incluir os juros no capital”, que é exatamente o que acontece no regime de juros compostos. Uma vez identificado o regime de juros, veja que temos uma taxa anual com capitalização mensal. Basta dividi-la por 12 para obter a taxa efetiva, uma vez que temos 12 meses em 1 ano. Assim, 12% ao ano, capitalizada mensalmente, corresponde à taxa efetiva de 1% ao mês. Para obter o valor da taxa anual equivalente a esta, basta lembrarmos que, após o mesmo período (1 ano, ou 12 meses) as duas taxas devem levar o mesmo capital inicial C ao mesmo montante final M: t M  C  (1  j )t  C  (1  jeq ) eq C  (1  1%)12  C  (1  jeq )1 Observe que na fórmula da esquerda temos a taxa mensal (1%) e o tempo em meses (12), já na da direita temos a taxa anual equivalente (jeq) e o tempo em anos (1). Cortando a variável C, temos: (1  1%)12  (1  jeq ) jeq  (1,01)12  1 Para auxiliar as nossas contas, o exercício disse que (1,01)11 = 1,1157. Basta multiplicarmos este valor por 1,01 e teremos (1,01)12: (1, 01)12  1, 01  1,1157  1,1268 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Assim, jeq  (1,01)12  1  1,1268  1  0,1268  12,68%a.a. Resposta: A 15. CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) Aplicaram-se R$ 2.000,00 em um fundo de investimento, por um ano, que rende à taxa bruta de 18% ao ano. O imposto de renda é de 22,5% sobre o ganho nominal. Em um ano em que a inflação foi de 7,5%, a taxa real de juros anual obtida nesse investimento foi de: (A) 5,5% (B) 6,5% (C) 5,0% (D) 4,5% (E) 6,0% RESOLUÇÃO: O rendimento bruto é de 18% no ano. Como é pago 22,5% deste rendimento a título de imposto, sobra 100% - 22,5% = 77,5% do rendimento, ou seja, 77,5% x 18% = 13,95%. Este é o ganho aparente. Como a inflação foi de 7,5% neste mesmo período, podemos obter a taxa real lembrando que: (1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação) (1 + taxa real) = (1 + 13,95%) / (1 + 7,5%) (1 + taxa real) = (1,1395) / (1,075) (1 + taxa real) = 1,06 taxa real = 0,06 = 6% Resposta: E 16. CESGRANRIO – BNDES – 2013) Uma pessoa que vive de rendimentos do mercado financeiro aplicou todos os seus recursos, o que lhe rendeu um retorno nominal de 20% no ano. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Considerando-se que a inflação da cesta básica foi de 6% nesse mesmo ano, quantas cestas básicas a mais, em termos percentuais, ela poderá comprar após o retorno da aplicação? (A) 12,8% (B) 13,2% (C) 14,0% (D) 14,8% (E) 15,0% RESOLUÇÃO: Temos um ganho nominal jn = 20%, e inflação i = 6%. Deste modo, o ganho real é: (1 + jreal) = (1 + jreal) / (1 + i) (1 + jreal) = (1 + 20%) / (1 + 6%) (1 + jreal) = 1,20 / 1,06 1 + jreal = 1,132 jreal = 0,132 = 13,2% O ganho real reflete justamente o acréscimo de riqueza, portanto podemos dizer que a pessoa poderá comprar 13,2% cestas básicas a mais. Resposta: B 17. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Um país P teve, durante 4 meses, uma taxa mensal de inflação igual a 4%. Um país Q teve, em apenas 2 meses, a mesma inflação acumulada durante os quatro meses no país P. Se a taxa mensal de inflação no país Q permaneceu constante durante os dois meses, então essa taxa foi de (A) 18,00% (B) 16,00% (C) 9,04% (D) 8,16% (E) 8,00% RESOLUÇÃO: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA A inflação acumulada em P é: (1 + 4%)x(1 + 4%)x(1 + 4%)x(1 + 4%) = (1 + 4%) 4 Sendo i a taxa de inflação em cada mês de Q, a inflação acumulada em Q em 2 meses é: (1 + i) x (1 + i) = (1 + i)2 Como Q teve, em apenas 2 meses, a mesma inflação acumulada durante os quatro meses no país P, podemos dizer que: (1 + 4%)4 = (1 + i)2 (1,04)4 = (1 + i)2 Tirando a raiz quadrada nos dois lados da igualdade: (1,04)2 = (1 + i) 1,0816 = (1 + i) i = 0,0816 i = 8,16% ao mês Resposta: D 18. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Uma empresa fez uma aplicação no mercado financeiro de R$ 500,00, pelo prazo de um ano, à taxa de 10% a.s. sob regime de juros compostos. Qual a taxa de juros, ao ano, que resultaria no mesmo valor de resgate no mesmo prazo? (A) 20% (B) 21% (C) 22% (D) 23% (E) 24% RESOLUÇÃO: Queremos saber a taxa anual que equivale a 10% ao semestre. Podemos obtê-la assim: (1 + 10%)2 = (1 + jeq)1 1,12 = (1 + jeq)1 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 1,21 = 1 + jeq jeq = 0,21 = 21% ao ano Resposta: B 19. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Qual a taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, que transforma um investimento de R$ 12.000,00 em um montante de R$ 14.520,00 no período de 2 meses? (A) 10% (B) 12% (C) 60% (D) 120% (E) 144% 3 RESOLUÇÃO: Devemos começar essa questão calculando a taxa efetiva que neste caso será a uma taxa mensal. Assim: M = C x (1 + j)t 14520 = 12000 x (1 + j)2 14520 / 12000 = (1 + j)2 1,21 = (1 + j)2 Observe que 1,21 é o mesmo que 1,12. Portanto, podemos reescrever a igualdade acima: 1,12 = (1 + j)2 Podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, ficando com: 1,1 = 1 + j j = 1,1 - 1 = 0,1 = 10% ao mês Portanto, a taxa efetiva será de 10 por cento ao mês. Para obter a taxa nominal anual, basta multiplicarmos essa taxa por 12 , obtendo 120% ao ano. Veja que esse é o processo inverso do que costumamos fazer, pois P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA normalmente é fornecida a taxa nominal anual e, para obter a taxa efetiva mensal, nós dividimos por 12. Resposta: D 20. CESGRANRIO – BANCO DA AMAZÔNIA – 2013) As capitalizações oferecidas por dois fundos de investimento foram simuladas por uma operadora financeira. A aplicação inicial em ambos os fundos foi a mesma. Na simulação, a capitalização no primeiro fundo de investimento durou 48 meses e se deu a juros mensais de 1%, no regime composto. No segundo fundo de investimento, a capitalização durou 24 meses apenas. A operadora buscava determinar qual deveria ser a taxa mensal de juros 7 oferecida pelo segundo fundo, em regime composto, para, ao final dos 24 meses, gerar o mesmo montante gerado pelo primeiro ao final dos 48 meses. Essa taxa é de (A) 2% a.m. (B) 2,01% a.m. (C) 2,02% a.m. (D) 2,1% a.m. (E) 2,2% a.m. RESOLUÇÃO: Precisamos descobrir a taxa que em 24 meses gera o mesmo montante que a taxa de um por cento ao mês gera em 48 meses. Ou seja, queremos saber a taxa equivalente. Podemos igualar: Montante 1 = Montante 2 M1 = M2 C x (1 + 1%)48 = C x (1 + j)24 (1 + 1%)48 = (1 + j)24 (1 + 1%)24x2 = (1 + j)24 Podemos tirar a “raiz de 24º grau” dos dois lados da igualdade anterior, ficando com: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (1 + 1%)2 = (1 + j) 1,012 = 1 + j 1,0201 = 1 + j j = 0,0201 = 2,01% ao mês Resposta: B 21. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2014) Considerando-se a mesma taxa de juros compostos, se é indiferente receber R$ 1.000,00 daqui a dois meses ou R$1.210,00 daqui a quatro meses, hoje, esse dinheiro vale (A) R$ 909,09 4 (B) R$ 826,45 (C) R$ 466,51 (D) R$ 683,01 (E) R$ 790,00 RESOLUÇÃO: Veja que o dinheiro que vale 1000 reais em t = 2 meses valerá 1210 reais em t = 4 meses, ou seja, em um intervalo de 2 meses há este crescimento. Podemos escrever que: 1210 = 1000 x (1 + j)2 1,21 = (1 + j)2 1,1 = 1 + j 0,10 = j j = 10% ao mês Assim, podemos descobrir o capital inicial C que, em t = 2 meses, passará a valer o montante M = 1000 reais, à taxa de j = 10%am: M = C x (1 + j)t 1000 = C x (1 + 0,10)2 1000 = C x 1,21 C = 1000 / 1,21 C = 826,44 reais P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Resposta: B 22. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um investimento inicial de R$ 1.200,00 aplicado por 3 anos, produziu um montante de R$ 2.500,00. Utilizando-se o resultado de (l+i)n, apresentado na Tabela acima, conclui- se que a taxa nominal de juros ao ano, capitalizada mensalmente, foi de, aproximadamente, e (A) 12,7% (B) 25,2% (C) 28% (D) 43% (E) 70% RESOLUÇÃO: 2500 = 1200 x (1 + j)3 2,083 = (1 + j)3 Veja que 2,083 é aproximadamente igual a 2,10. Na tabela fornecida, para n = 3 períodos, temos o fator 2,10 para i = 28%. Portanto, a taxa efetiva é de aproximadamente 28% ao ano. Podemos descobrir a taxa mensal equivalente a 28%aa assim: (1 + 28%) = (1 + jeq)12 1,28 = (1 + jeq)12 Novamente na tabela, veja que 1,28 é obtido na coluna de n = 12 e j = 2,1%. Assim, jeq = 2,1% ao mês. A taxa anual nominal que corresponde a 2,1%am é igual a 12 x 2,1% = 25,2%. Resposta: B P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 23. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) Uma conta de R$ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 10 dias. Considere o mês comercial, isto é, com 30 dias; considere, também, que foi adotado o regime de capitalização composta para cobrar juros relativos aos 2 meses, e que, em seguida, aplicou-se o regime de capitalização simples para cobrar juros relativos aos 10 dias. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, o juro cobrado foi de (A) R$ 64,08 (B) R$ 79,17 (C) R$ 40,30 (D) R$ 71,51 c (E) R$ 61,96 RESOLUÇÃO: Para os 2 meses onde houve capitalização composta, temos: M = C x (1+j)t M = 1.000 x (1+3%)2 M = 1.000 x (1,03)2 M = 1.000 x 1,0609 M = 1.060,90 reais Este valor é capitalizado, pelo regime simples, pelos 10 dias restantes, ou seja, 10/30 = 1/3 de mês. Logo, Mfinal = 1.060,90 x (1+3%x1/3) Mfinal = 1.060,90 x (1+1%) Mfinal = 1.060,90 x (1,01) Mfinal = 1.071,51 reais Assim, os juros totalizam 1.071,51 – 1.000 = 71,51 reais. Resposta: D 24. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) Em um período no qual a inflação acumulada foi de 100%, R$ 10.000,00 ficaram guardados em um P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA cofre, ou seja, não sofreram qualquer correção. Nessas condições, houve uma desvalorização dos R$ 10.000,00 de (A) 1/4 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 3/4 (E) 1 RESOLUÇÃO: Veja que temos uma inflação de i = 100%, e o rendimento nominal (ou aparente) do capital foi jn = 0%, afinal não houve qualquer correção. Assim, o ganho real é: (1 + jreal) = (1 + jn) / (1 + i) (1 + jreal) = (1 + 0%) / (1 + 100%) (1 + jreal) = 1 / (1 + 1) (1 + jreal) = 1/2 jreal = 1/2 – 1 jreal = -1/2 = -50% Portanto, a desvalorização foi de ½, ou de 50% (o sinal negativo indica desvalorização). Resposta: B 25. CESGRANRIO – ANP – 2016) Por 3 anos seguidos, a taxa de inflação de certo país foi de 5% ao ano. Nesse período, o aluguel de um imóvel foi reajustado, anualmente, pelo índice de inflação, o que fez com que tal aluguel passasse a ser de p unidades monetárias. Para saber o valor do mesmo aluguel antes desses reajustes, basta dividir p por (A) 4,50 (B) 1,50 (C) 1,05 (D) (1,50)3 (E) (1,05)3 RESOLUÇÃO: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Seja A o valor inicial do aluguel, antes dos reajustes. Cada aumento de 5% corresponde a multiplicar este valor por (1 + 5%), ou seja, por 1,05. Devemos fazer isso 3 vezes seguidas para chegar no preço final “p”, ou seja, p = A x 1,05 x 1,05 x 1,05 p = A x 1,053 A = p / 1,053 Portanto, para chegar no valor inicial do aluguel (A), basta dividir o preço final p por 1,053. Resposta: E 26. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) A empresa ALFA tomou um empréstimo no valor de 100 mil reais, em janeiro de 2015, a uma taxa de juros de 12% ao ano, no regime de juros compostos, a serem pagos em 3 parcelas anuais, consecutivas e postecipadas. A primeira parcela, a ser paga em janeiro de 2016, corresponderá a 20% do valor do empréstimo; a segunda parcela, um ano após a primeira, será igual a 30% do valor do empréstimo, e a terceira parcela a ser paga, em janeiro de 2018, liquidará a dívida. A quantia, em milhares de reais, que mais se aproxima do valor da terceira parcela é igual a (A) 72,0 (B) 90,5 (C) 56,0 (D) 64,2 (E) 81,8 RESOLUÇÃO: Após 1 ano, a dívida terá chegado ao valor de: Dívida após 1 ano = 100.000 + 12%x100.000 = 112.000 reais O primeiro pagamento é de 20% do valor inicial da dívida: 20% x 100.000 = 20.000 reais. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Assim, a dívida cai para: Dívida após primeiro pagamento = 112.000 – 20.000 = 92.000 reais Durante o segundo ano, essa dívida cresce mais 12%, chegando a: Dívida após 2 anos = 92.000 + 12% x 92.000 = 103.040 reais A segunda prestação é de 30% do valor inicial da dívida, isto é, 30.000 reais. Assim, a dívida cai para: Dívida após o segundo pagamento = 103.040 – 30.000 = 73.040 reais Ao longo do terceiro ano esta dívida cresce mais 12%: Dívida após 3 anos = 73.040 + 12% x 73.040 = 81.804,80 reais Este é o valor que deve ser pago para a dívida ser quitada. Resposta: E 27. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) Um cliente foi a um banco tomar um empréstimo de 100 mil reais, no regime de juros compostos, a serem pagos após 3 meses por meio de um único pagamento. Para conseguir o dinheiro, foram apresentadas as seguintes condições: I - taxa de juros de 5% ao mês, incidindo sobre o saldo devedor acumulado do mês anterior; II - impostos mais taxas que poderão ser financiados juntamente com os 100 mil reais. Ao fazer a simulação, o gerente informou que o valor total de quitação após os 3 meses seria de 117.500 reais. O valor mais próximo do custo real efetivo mensal, ou seja, a taxa mensal equivalente desse empréstimo, comparando o que pegou com o que pagou, é de (A) [(1,1751/3 - 1) x 100]% (B) [(1,1931/3 - 1) x 100]% (C) [(1,051/3 - 1) x 100]% (D) [(1,1581/3 - 1) x 100]% (E) [(1,1891/3 - 1) x 100]% RESOLUÇÃO: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Observe que o cliente pegou um valor inicial de C = 100.000 reais mas pagou, após t = 3 meses, o valor de M = 117.500 reais. Assim, a taxa de juros efetivamente praticada (ou custo efetivo) é obtida por: M = C x (1+j)t 117.500 = 100.000 x (1+j)3 117.500 / 100.000 = (1+j)3 1,175 = (1+j)3 1,1751/3 = 1+j 1,1751/3 – 1 = j Essa é a taxa de juros no formato decimal. Para escrevê-la na forma de porcentagem, basta multiplicar por 100%, ficando com: [(1,1751/3 – 1)x100]% = j Resposta: A 28. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no investimento. A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo? Dado 76  8, 7 (A) 7,40% a 7,89% (B) 8,40% a 8,89% (C) 6,40% a 6,89% (D) 6,90% a 7,39% (E) 7,90% a 8,39% RESOLUÇÃO: Sendo j a taxa de juros semestral, podemos dizer que após 1 semestre o P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA montante era: M = C x (1 + j)t M = 50.000 x (1 + j)1 M = 50.000 x (1 + j) Neste momento, foram retirados 20.000 reais, sobrando: 50.000 x (1+j) – 20.000 Este foi o capital aplicado por mais 1 semestre (até completar o ano), chegando ao montante final de 36.000 reais (que, ao ser resgatado, zerou o investimento). Ou seja: M = C x (1 + j)t 36.000 = [50.000 x (1+j) – 20.000 ] x (1+j)1 36.000 = [50.000 + 50.000j – 20.000 ] x (1+j) 36.000 = [30.000 + 50.000j ] x (1+j) 36.000 = 30.000 + 50.000j + 30.000j + 50.000j2 3,6 = 3 + 5j + 3j + 5j2 3,6 = 3 + 8j + 5j2 5j2 + 8j – 0,6 = 0 delta = (-8)2 – 4 x 5 x (-0,6) = 64 + 12 = 76 Portanto, delta = 76  8, 7 –> dado no enunciado j = [ -(8) ± 8,7 ] / (2×5) O valor positivo da taxa de juros é dado por: j = [ -(8) + 8,7 ] / (2×5) j = 0,7 / 10 = 0,07 j = 7% ao semestre Resposta: D P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 29. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) Um investimento rende à taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização trimestral. Para obter um rendimento de R$ 609,00 daqui a 6 meses, deve-se investir, hoje, em reais, (A) 6.460 (B) 10.000 (C) 3.138 (D) 4.852 (E) 7.271 RESOLUÇÃO: A taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral corresponde à taxa efetiva de 12% / 4 = 3% ao trimestre (pois temos 4 trimestres em um ano). Assim, ficamos com: M = C x (1 + j)t C + 609 = C x (1 + 3%)2 C + 609 = C x (1,03)2 C + 609 = C x (1,0609) 609 = C x (1,0609) – C 609 = C x (1,0609) – 1 x C 609 = C x (1,0609 – 1) 609 = C x 0,0609 609 / 0,0609 = C 10.000 = C Resposta: B QUESTÕES SOBRE DESCONTOS 30. CESGRANRIO – BASA – 2015) Uma empresa descontou dois títulos em 10/06/2015, quarta-feira. O primeiro título foi emitido em 20/05/2015 com valor de R$ 4.000,00 e vencimento em 30/06/2015. O segundo, em 25/05/2015 com valor de R$ 6.000,00 e vencimento também em 30/06/2015. Sabe-se que a operação foi de desconto comercial simples P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA com prazo de d+2 para liquidação, e que a taxa de desconto pactuada foi de 6% a.m. Com base na operação acima descrita, desconsiderando-se tarifas e impostos não mencionados, o valor líquido da operação, em reais, foi de: a) 9.212,00 b) 9.560,00 c) 788,00 d) 440,00 e) 9.400,00 RESOLUÇÃO: Os dois títulos, cuja soma dos valores nominais é 10.000 reais, foram descontados 20 dias antes do seu vencimento (diferença entre 30/06 e 10/06). Como a operação será liquidada em d+2, ou seja, 2 dias após a solicitação da empresa, então o banco considera que o prazo de antecipação é de 22 dias, e não de apenas 20 dias. A taxa de 6%am corresponde a taxa diária de 6%/30 = 0,2% ao dia. Assim, A = N x (1 – d x t) A = 10.000 x (1 – 0,2%x22) A = 10.000 x (1 – 0,002x22) A = 10.000 x (1 – 0,044) A = 10.000 x (0,956) A = 9560 reais P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Resposta: B 31. CESGRANRIO – BNDES – 2013) Um comerciante descontou um cheque pré-datado para 30 dias, no valor de R$ 30.000,00, tendo o banco cobrado uma taxa de desconto simples de 5,00% ao mês. Qual é o valor, em reais, emprestado ao lojista, e qual é a taxa efetiva de juros simples ao mês cobrada do cliente, respectivamente? (A) 28.500,00 e 5,00% (B) 28.500,00 e 5,26% (C) 30.000,00 e 5,00% (D) 30.000,00 e 5,26% (E) 30.000,00 e 5,52% RESOLUÇÃO: O valor recebido pelo cheque foi igual a: A = N x (1 - j x t) A = 30.000 x (1 - 5% x 1) A = 30.000 x 0,95 = 28.500 reais Portanto temos o valor atual 28.500 reais e o valor futuro 30.000reais, de modo que a taxa de juros efetivamente praticada foi: N = A x (1 + j x t) 30.000 = 28.500 x (1 + j x 1) 30.000 / 28.500 = 1 + j 1,0526 = 1 + j j = 0,0526 = 5,26% ao mês Observei que para obter a taxa efetivamente praticada basta utilizar a fórmula do desconto racional. Podemos marcar a alternativa B. Resposta: B P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 32. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Um título de valor nominal de R$40.000,00 foi descontado em um banco 80 dias antes do vencimento. Qual o valor aproximado descontado do título, em reais, usando o método racional simples, para uma taxa de juros simples de 18% a.a., considerando o ano comercial? (A) 38.461,54 (B) 38.481,81 (C) 39.980,01 (D) 40.019,73 (E) 41.600,01 RESOLUÇÃO: O ano comercial possui 360 dias, de modo que 80 dias correspondem a 80/360 = 8/36 = 4/18 = 2/9 ano. Aplicando a fórmula do desconto racional simples: N = A x (1 + j x t) 40.000 = A x (1 + 18% x 2/9) 40.000 = A x (1 + 2% x 2) 40.000 = A x (1 + 4%) 40.000 = A x 1,04 A = 40.000 / 1,04 = 38461,53 reais Resposta: A 33. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2010 ) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente, (A) 0,5%. (B) 3,8%. (C) 4,6%. (D) 5,0%. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (E) 5,6%. RESOLUÇÃO: Imagine um produto com preço de 100 reais. À vista vamos desembolsar 90 reais (devido aos 10% de desconto), e se escolhermos pagar após 1 mês desembolsaremos 95 reais (devido aos 5% de desconto). Assim, temos um valor presente VP = 90 reais e valor futuro VF = 95 reais após t = 1 mês. Para que estas opções sejam equivalentes, é preciso que j seja tal que: VP = VF / (1 + j)t 90 = 95 / (1 + j)1 1 + j = 95 / 90 1 + j = 1,0555 j = 0,0555 j = 5,55% ao mês Resposta: E 34. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um título de R$ 1.210,00 é descontado 60 dias antes do vencimento, em um banco cuja taxa de juros efetiva é de 10% ao mês. Verifica-se, portanto, que esse banco opera com a taxa de desconto simples (bancário) mensal de (A) 11/242 (B) 1/20 (C) 21/242 (D) 1/10 (E) 1/5 RESOLUÇÃO: A taxa de 10%am é efetiva, ou seja, aquela que utilizaríamos no regime de desconto racional: A = N / (1 + j)t A = 1210 / (1 + 10%)2 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA A = 1210 / 1,21 A = 1000 reais No desconto bancário (comercial) simples, temos: A = N x (1 – j x t) 1000 = 1210 x (1 – j x 2) 100 / 121 = (1 – 2j) 2j = 1 – 100/121 2j = 21/121 j = 21/242 Resposta: C 35. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) Um microempresário precisa aumentar seu capital de giro e resolve antecipar 5 cheques de 10.000 reais cada um, todos com data de vencimento para dali a 3 meses. O gerente do banco informa que ele terá exatamente dois custos para realizar a antecipação, conforme descritos a seguir. Custo 1 – Um desconto sobre o valor dos cheques a uma taxa de 4% ao mês. Esse desconto será diretamente proporcional ao valor dos cheques, ao tempo de antecipação e à taxa de desconto anunciados. Custo 2 – Custos operacionais fixos de 500 reais para antecipações de até 100 mil reais. Assim, comparando o valor de fato recebido pelo microempresário e o valor a ser pago após 3 meses (valor total dos cheques), o valor mais próximo da taxa efetiva mensal cobrada pelo banco, no regime de juros compostos, é de P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (A) 5,2% (B) 4,5% (C) 4,7% (D) 5,0% (E) 4,3% RESOLUÇÃO: A soma dos valores dos cinco cheques é igual a 50 mil reais. Foi aplicado um desconto proporcional ao tempo de antecipação e à taxa de desconto. Essa proporcionalidade acontece no regime de desconto simples. Mais do que isso, devemos usar o regime de desconto comercial simples, por se tratar de uma operação bancária. Assim: A = N x (1 - j x t) A = 50.000 x (1 - 4%x3) A = 50.000 x 0,88 A = 44.000 reais Ainda foi preciso pagar a taxa de 500 reais, e o empresário recebeu apenas 44.000 - 500 = 43.500 reais. Para calcular a taxa efetiva no regime composto, devemos considerar a operação de desconto racional composto, onde o valor nominal é N = 50.000 reais, o valor líquido é A = 43.500 reais, e o prazo é t = 3 meses. Logo, N = A x (1 + j)t 50.000 = 43.500 x (1 + j)3 50.000 / 43.500 = (1 + j)3 1,149 = (1 + j)3 Na tabela, veja que 1,0473 = 1,148. Isto é, (1 + 0,047)3 = 1,148 (1 + 4,7%)3 = 1,148 Portanto, 1,149 é aproximadamente (1 + 4,7%)3, de modo que j é aproximadamente 4,7%. Resposta: C P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 36. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) Uma instituição financeira efetua o desconto de um título de valor de face de R$ 25.000,00 dois meses antes do vencimento, utilizando taxa de desconto simples bancário (por fora) de 9% ao mês. A instituição exige o pagamento de 2% do valor de face do título como taxa de administração no momento de desconto do título. A taxa bimestral de juros realmente cobrada é de (A) 20% (B) 25% (C) 11% (D) 16% (E) 22,5% RESOLUÇÃO: O valor atual é dado por: A = N x (1 – j x t) A = 25.000 x (1 – 0,09 x 2) A = 25.000 x 0,82 Além disso, é preciso pagar 2% do valor de face como taxa de administração. Assim, o cliente fica com: Valor final para o cliente = 25.000 x 0,82 – 0,02×25.000 Valor final para o cliente = 25.000 x 0,80 Valor final para o cliente = 20.000 reais Para que este valor de 20.000 reais chegue em 25.000 reais após t = 1 bimestre, a taxa de juros necessária é de: M = C x (1 + j x t) 25.000 = 20.000 x (1 + j x 1) 25.000 / 20.000 = (1 + j x 1) 1,25 = 1 + j 0,25 = j j = 25% P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Resposta: B QUESTÕES SOBRE AMORTIZAÇÕES 37. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) As empresas, ao captarem recursos financeiros de terceiros, obrigam-se a respeitar o sistema de amortização financeiro contratado. Sob condições de prazo, taxa de juros e valor emprestado iguais, os sistemas Francês, SAC, Misto e Americano apresentam uma característica comum. Essa característica é a seguinte: a) a amortização aumenta na mesma velocidade. b) a primeira parcela contém o mesmo valor de juros. c) as prestações são constantes. d) as prestações são decrescentes. e) o saldo devedor reduz na mesma velocidade. RESOLUÇÃO: Vejamos cada alternativa de resposta: a) a amortização aumenta na mesma velocidade. ERRADO, pois a amortização permanece constante no regime SAC e vai aumentando no Price. b) a primeira parcela contém o mesmo valor de juros. CORRETO, em todos os casos os juros da primeira parcela são calculados sobre a dívida inicial, que é a mesma. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA c) as prestações são constantes. ERRADO, isto só é verdade no regime Price. d) as prestações são decrescentes. ERRADO, no Price as prestações são CONSTANTES. e) o saldo devedor reduz na mesma velocidade. ERRADO, no SAC o saldo devedor cai de forma constante, o que não se repete nos demais. Resposta: B 38. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Considere a amortização de uma dívida, em 300 meses, com juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante. Mantida a taxa mensal de juros de 1%, de quanto aumentará a prestação inicial se o prazo for reduzido pela metade? a) 25% b) 50% c) 75% d) 100% e) 200% RESOLUÇÃO: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Veja VP = 300 reais o valor inicial da dívida. Desta forma, a amortização mensal é A = 300 / 300 = 1 real. Os juros do primeiro mês são de 300 x 1% = 3 reais, de modo que a primeira prestação é de 1+3 = 4 reais. Se o prazo cair pela metade (150 meses), a amortização vai para A = 300/150 = 2 reais. Desta forma, a primeira prestação fica em 2+3 = 5 reais. Note que houve um aumento de 1 real na prestação inicial. Percentualmente, tivemos um aumento de: Observe que eu optei por resolver a questão usando um valor numérico para o valor presente VP. Você também pode resolver sem utilizar um valor numérico, ok? Entretanto, neste caso o cálculo fica mais abstrato, pois a primeira prestação seria de VP/300 + 1%VP e, com a redução do prazo, passaria para VP/150 + 1%VP. Resposta: A 39. CESGRANRIO – LIQUIGÁS – 2014) Considere a amortização de uma dívida, em 5 prestações mensais de R$ 2.060,40 cada, com juros compostos de 1% ao mês. A última amortização, em reais, será de, aproximadamente, a) 1.960,40 b) 1.980,00 c) 2.040,00 d) 2.060,40 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA e) 2.080,40 RESOLUÇÃO: Seja A o valor que ainda resta amortizar no início do último período. Sobre este valor, será preciso pagar juros de 1%, ou seja, Juros = 1%.A = 0,01A O valor da última parcela é a soma: P=A+J 2060,40 = A + 0,01A 2060,40 = 1,01A A = 2060,40/1,01 A = 2040 reais Resposta: C 40. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2016) Uma empresa faz um empréstimo no valor de R$ 200.000,00, a uma taxa de 15% ao ano, para ser pago em 5 prestações anuais e iguais, de acordo com o sistema francês de amortização, vencendo a primeira prestação 1 ano após a data do empréstimo. A Tabela abaixo é parte da planilha de amortização apresentada pelo credor. Para avaliar o total de juros que serão pagos nesse financiamento, um auditor completa a planilha até o final, de modo que o saldo devedor seja zero. O total de juros, em milhares de reais, que serão pagos pela empresa, P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA se todas as prestações forem quitadas de acordo com o planejado, pertence ao intervalo: (A) 50,1 a 65,0 (B) 65,1 a 80,0 (C) 80,1 a 95,0 (D) 95,1 a 110,0 (E) 110,1 a 125,0 RESOLUÇÃO: Já temos na tabela os juros do primeiro e do segundo anos. Vamos calcular os outros três. Após pagar a segunda prestação, o saldo devedor caiu para 136.224,31 reais. Este saldo rendeu juros de 15% no ano seguinte, ou seja, Juros do terceiro ano = 15% x 136.224,31 = 20.433,60 reais A amortização no terceiro ano foi: A = P – J = 59.663,11 – 20.443,65 = 39.229,46 reais Assim, o saldo devedor caiu para: SD = 136.224,31 – 39.229,46 = 96.994,85 reais No quarto período temos: Juros do quarto ano = 15% x 96.994,85 = 14.549,23 reais A = P – J = 59.663,11 – 14.549,23 = 45.113,88 reais O saldo devedor caiu para: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA SD = 96.994,85 – 45.113,88 = 51.880,96 reais No quinto período temos: Juros do quinto ano = 15% x 51.880,96 = 7.782,14 reais Somando os juros de todos os períodos, temos: Juros = 30.000 + 25.550,53 + 20.433,65 + 14.549,23 + 7.782,14 Juros = 98.315,55 reais Resposta: D 41. CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) Um banco empresta R$ 10.000,00, com taxa de juros de 2% ao mês, para serem pagos em 5 pagamentos mensais consecutivos, vencendo a primeira prestação um mês após o empréstimo. O valor de cada prestação é de R$ 2.121,58. O saldo devedor, após o segundo pagamento, é, em reais, de, aproximadamente: (A) 5.696,00 (B) 6.118,00 (C) 5.653,00 (D) 5.565,00 (E) 5.897,00 RESOLUÇÃO: No primeiro mês os juros são de 2%x10.000 = 200 reais. Como a prestação é de 2.121,58 reais, o valor amortizado da dívida principal é de 2.121,58 – 200 = 1.921,58 reais. A dívida restante após esse pagamento é de 10.000 – 1.921,58 = 8.078,42 reais. Essa dívida rende juros de 2% no segundo mês, ou seja, 2% x 8.078,42 = 161,56 reais. O valor amortizado neste segundo mês é de 2.121,58 – 161,56 = 1.960,01 reais. Assim, resta o saldo devedor: 8.078,42 – 1.960,01 = 6.118,40 reais P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Resposta: B 42. CESGRANRIO – BANCO DA AMAZÔNIA – 2013) Um empréstimo deverá ser pago em quarenta e nove prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação trinta dias após a liberação do dinheiro. O financiamento foi feito pelo Sistema de Amortização Constante, SAC, com taxa mensal de juros de 1%. Se a vigésima quinta prestação é de R$ 5.000,00, o saldo devedor, em reais, após o pagamento da quadragésima oitava prestação é de (A) 4.000 (B) 4.080 (C) 4.800 (D) 4.880 (E) 5.000 RESOLUÇÃO: Seja VP o valor inicial da dívida, de modo que a amortização mensal é: A = VP/n = VP/49 Após 24 pagamentos, o saldo devedor caiu para: SD = VP – 24 x VP/49 SD = 49VP/49 – 24VP/49 SD = 25VP/49 Este saldo renderá juros de 1% no 25º mês: J25 = 0,01 x (25VP/49) = 0,25VP/49 Assim, a 25ª prestação será: P=A+J P = VP/49 + 0,25VP/49 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA P = 1,25VP/49 5000 = 1,25VP/49 5000 x 49 = 1,25VP 1000 x 49 = 0,25VP 49000 = 0,25VP 4 x 49000 = 4 x 0,25VP 196000 = VP Portanto, após o pagamento da 48ª prestação, restará como saldo devedor o valor da última amortização, que é: A = VP/n A = 196000 / 49 A = 4000 reais Resposta: A 43. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2010 ) Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em (A) 100%. (B) 50%. (C) 25%. (D) 10%. (E) 5%. RESOLUÇÃO: Na situação inicial a amortização mensal é A = 100.000 / 100 = 1.000 reais, e os juros do primeiro mês são J = 100.000 x 1% = 1.000 reais, de modo que a primeira prestação é P = 1.000 + 1.000 = 2.000 reais. Duplicando o prazo para 200 meses, temos a amortização mensal de: A = 100.000 / 200 = 500 reais P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Os juros do primeiro período são novamente 1.000 reais, de modo que a primeira prestação será P = 500 + 1.000 = 1.500 reais. Veja que a prestação inicial caiu em 2.000 – 1.500 = 500 reais, o que representa uma queda percentual de: Queda percentual = 500 / 2000 = 1 / 4 = 25% Resposta: C 44. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um financiamento de 50 mil reais, contratado com juros efetivos de 12% ao ano, será pago em 48 prestações mensais pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sendo assim, o saldo devedor após o 36º pagamento, em reais, será (A) 12.500,00 (B) 19.600,00 (C) 21.600,00 (D) 25.600,00 (E) 37.500,00 RESOLUÇÃO: A amortização periódica é A = 50.000 / 48. Após pagar 36 prestações, o saldo devedor é composto por 48 – 36 = 12 cotas de amortização, ou seja: Saldo devedor = 12 x (50.000 / 48) = 12.500 reais Resposta: A 45. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) Arthur contraiu um financiamento para a compra de um apartamento, cujo valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema de Amortização Constante (SAC), a uma taxa de juros de 1% ao mês, com um prazo de 20 anos. Para reduzir o valor a ser financiado, ele dará uma entrada no valor de 50 mil reais na data da assinatura do contrato. As prestações começam um mês após a assinatura do contrato e são compostas de amortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior, seguro especial no valor de 75 reais mensais fixos no primeiro ano e despesa administrativa mensal fixa no valor de 25 reais. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA A partir dessas informações, o valor, em reais, da segunda prestação prevista na planilha de amortização desse financiamento, desconsiderando qualquer outro tipo de reajuste no saldo devedor que não seja a taxa de juros do financiamento, é igual a (A) 2.087,25 (B) 2.218,75 (C) 2.175,25 (D) 2.125,00 (E) 2.225,00 RESOLUÇÃO: Como será dada uma entrada de 50 mil reais, o saldo devedor inicial é VP = 200.000 - 50.000 = 150.000 reais. Esse valor será financiado durante 20 anos, ou 20x12 = 240 meses. Desse modo, o valor da amortização mensal é igual a:] A = VP / n A = 150.000 / 240 A = 625 reais Após pagar a primeira prestação, o saldo devedor cai para 150.000 - 625 = 149.375 reais. Durante o segundo mês saldo devedor rende juros de 1 por cento: J = 1% x 149.375 = 0,01 x 149.375 = 1.493,75 reais A segunda prestação é dada pela soma: P = juros + amortização + seguro + despesa administrativa P = 1.493,75 + 625 + 75 + 25 P = 2.218,75 reais Resposta: B QUESTÕES SOBRE SÉRIES DE PAGAMENTOS 46. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Uma pessoa pretende comprar um novo smartphone. Na loja, o smartphone é vendido em duas vezes sem P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA entrada, isto é, o cliente não paga nada no ato da compra e paga duas prestações: uma ao final do primeiro mês, e outra ao final do segundo mês. As prestações são de R$ 441,00, e a loja informa que cobra juros de 5% ao mês. O preço à vista desse smartphone, em reais, é a) 800 b) 820 c) 840 d) 880 e) 882 RESOLUÇÃO: O preço à vista pode ser obtido descontando-se as duas parcelas: Resposta: B 47. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Um gestor deparou com a necessidade de calcular o valor presente de uma série perpétua de fluxos de caixa. Ele não sabia se calcularia considerando um fluxo constante ou P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA com uma taxa de crescimento de 0,5% ao período. A taxa de desconto a ser utilizada no cálculo é de 1% ao período. Sendo assim, a razão entre o resultado do cálculo do valor presente da série com crescimento e do valor presente da série constante é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESOLUÇÃO: Suponha que temos uma série com renda mensal igual a R. Temos a taxa j = 1% ao período. Calculando o valor presente desta série (sem crescimento), temos: VP = R / j VP = R / 0,01 VP = 100 R Considerando ainda a taxa de crescimento g = 0,5%, temos: VP = R / (j – g) VP = R / (1% - 0,5%) VP = R / 0,5% P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Portanto, a razão entre os valores presentes calculados das duas formas é de 200R / 100R = 2. Resposta: B 48. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Uma empresa comprou um equipamento, cujo preço à vista é de 1 milhão de reais, em janeiro de 2014, financiando-o totalmente em 2 parcelas anuais, sendo a primeira para daí a 1 ano, em janeiro de 2015, e a segunda, para 2 anos após a compra, em janeiro de 2016. O valor da segunda parcela será de 600 mil reais. Considerando-se que a taxa anual de juros cobrada é de 10% ao ano, no regime de juros compostos, o valor da primeira parcela, em milhares de reais, está compreendido entre a) 540 e 549 b) 550 e 559 c) 560 e 569 d) 600 e 609 e) 620 e 629 RESOLUÇÃO: Sabemos que o valor presente das prestações deve ser igual ao valor à vista. Sendo P o valor da primeira prestação, podemos escrever que: Multiplicando todos os termos por 1,102, que é igual a 1,21, ficamos com: 1,21 x 1.000.000 =1,10.P + 600.000 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 1.210.000 =1,10.P + 600.000 1.210.000 – 600.000 = 1,10P 610.000 = 1,10P P = 610.000 / 1,10 P = 554.545 reais Resposta: B 49. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Um analista foi designado para calcular o valor presente de um determinado fluxo futuro de caixa mensal positivo constante gerado por um ativo de uma empresa. Por ser ainda pouco experiente, o analista não estava seguro quanto ao prazo de geração de caixa desse ativo e resolveu considerar um prazo infinito de meses. Considerando que a empresa possui uma taxa de desconto mensal (custo de capital) maior que zero, o analista encontrará um valor presente para o ativo igual a) a zero b) a infinito c) ao valor do primeiro fluxo de caixa d) a soma dos valores de todos os fluxos e) ao valor de qualquer um dos fluxos dividido pela taxa RESOLUÇÃO: Considerando que o ativo gere um fluxo positivo constante de R reais por mês, e a taxa de desconto utilizada seja j, podemos calcular o valor presente da série infinita de recebimentos com a fórmula das séries perpétuas: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA VP = R / j Isto é, o valor presente da série é o valor de qualquer um dos fluxos (R) dividido pela taxa (j), como afirma a alternativa E. Resposta: E 50. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Uma empresa tomou um empréstimo no valor de 200 mil reais, a uma taxa de juros de 10% ao ano, no regime de juros compostos, a ser pago em 3 parcelas anuais, consecutivas e postecipadas. A primeira e a última parcelas serão iguais entre si, vencendo após 1 e 3 anos, respectivamente, contados a partir da contração do empréstimo. A segunda parcela corresponde a 25% do valor da dívida inicial. O valor das parcelas iguais entre si, em milhares de reais, está entre a) 95,0 e 99,9 b) 90,0 e 94,9 c) 85,0 e 89,9 d) 80,0 e 84,9 e) 75,0 e 79,9 RESOLUÇÃO: A segunda parcela tem valor de 25% x 200.000 = 1/4 x 200.000 = 50.000 reais. A primeira e a terceira parcela valem P. Podemos escrever que o valor à vista corresponde à soma dos valores presentes das parcelas: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Multiplicando todos os termos por 1,103, que é igual a 1,331, temos: 1,331 x 200.000 =1,102P + 1,10x50.000 + P 266.200 =1,21P + 55.000 + P 211.200 = 2,21P P = 211.200 / 2,21 P = 95565,61 reais Resposta: A 51. CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) Considere duas propostas para a compra de um automóvel que custa R$ 30.603,00. Proposta X: 1% de desconto para pagamento à vista. Proposta Y: pagamento único para daqui a dois meses. Sejam D a diferença aproximada entre o valor presente líquido da proposta X e o da proposta Y, e um comprador que tem o dinheiro aplicado a juros compostos de 1% ao mês. Utilizando o método do valor presente líquido para decidir, é preferível, para o comprador considerado, a proposta (A) X, pois D é de menos R$ 3,00. (B) Y, pois D é de R$ 882,00. (C) X, pois D é de menos R$ 612,00. (D) X, pois D é de menos R$ 921,00. (E) Y, pois D é de R$ 297,00. RESOLUÇÃO: Vamos calcular o valor presente de cada proposta. Para a proposta X, temos: VPX = 30.603,00 x (1 – 1%) = 30.603 x 0,99 = 30.296,97 reais Para Y, temos que trazer o pagamento único de R$ 30.603,00 para a data presente. Como este pagamento será feito daqui há 2 meses, P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA precisamos trazê-lo à data presente considerando a taxa de 1% ao mês, afinal é possível aplicar o dinheiro a esta taxa. Assim, VPY = 30.603 / (1 + 1%)2 = 30.603 / 1,0201 = 30.000 reais Assim, sendo D a diferença aproximada entre o valor presente líquido da proposta X e o da proposta Y, temos: D = 30.296,97 – 30.000 = 296,97 reais Veja que a alternativa Y é a mais interessante, pois tem valor presente líquido menor. Resposta: E 52. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um empreiteiro tem duas opções para receber o pagamento por uma obra: a primeira é receber de uma só vez, um mês após o término do serviço; a segunda, é receber em três prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira ao término da obra. Se o empreiteiro conseguir fazer render o seu dinheiro à taxa j ao mês, e considerando-se o regime de juros compostos, a segunda opção é considerada melhor (A) dependendo somente da taxa j. (B) dependendo somente do valor do serviço. (C) dependendo de ambos: do valor do serviço e da taxa j. (D) em qualquer situação. (E) em nenhuma situação. RESOLUÇÃO: Imagine que temos a possibilidade de receber 3 prestações de valor P cada uma, nas datas t = 0, t = 1 e t = 2, ou então a possibilidade de receber uma única prestação no valor total 3xP em t = 1. Vamos calcular o valor futuro nos dois casos, na data t = 2, considerando a taxa de juros j. Em 3 prestações, temos: Px(1+j)2 + Px(1+j) + P = P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Px(1 + 2j + j2) + Px(1+j) + P = P + 2Pj + Pj2 + P + Pj + P = Pj2 + 3Pj + 3P No caso de 1 prestação, temos: 3Px(1+j) = 3P + 3Pj Veja que Pj2 + 3Pj + 3P é claramente maior que 3P + 3Pj. Ou seja, no caso em que recebemos em três prestações, o valor futuro (em t = 2) é maior, para qualquer valor de j, o que é o gabarito da questão. Resposta: D 53. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um fundo de investimento remunera a juros nominais de 60% ao ano, capitalizados mensalmente. Optando por essa aplicação, um investidor efetuou um depósito inicial de 8 mil reais. Durante os 28 meses seguintes, ele fez depósitos mensais iguais e consecutivos, sendo que o primeiro ocorreu um mês após o depósito inicial. Imediatamente após o último depósito, o investidor verificou que tinha 92 mil reais de saldo. Assim, conclui-se que o valor das aplicações mensais, em mil reais, foi aproximadamente de (dado: 1,0528 = 4) (A) 1,0 (B) 1,5 (C) 2,0 (D) 2,5 (E) 3,0 RESOLUÇÃO: O fator de valor futuro para uma série de n = 28 pagamentos iguais, à taxa j = 5% ao mês (60%aa capitalizados mensalmente), é: s28¬5% = (1,0528 – 1) / 0,05 = (4 – 1) / 0,05 = 60 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Portanto, sendo P o valor de cada depósito mensal, temos: 8.000 x 1,0528 + P x s28¬5% = 92.000 8.000 x 4 + P x 60 = 92.000 P = 1.000 reais Resposta: A QUESTÕES SOBRE CÁLCULO FINANCEIRO 54. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Um profissional realizou a análise de viabilidade econômico-financeira de um projeto de investimento que apresenta fluxo de caixa inicial negativo e todos os demais fluxos de caixa, futuros, positivos. Ele encontrou os seguintes resultados: Taxa Interna de Retorno (TIR) = 25% a.a.; Taxa Interna de Retorno Modificada (MTIR) = 17% a.a. Os resultados encontrados foram diferentes, porque ele a) acertou ao considerar uma taxa de desconto igual em ambos os cálculos. b) aplicou a MTIR quando não poderia tê-lo feito. c) errou na conta efetuada, pois TIR = MTIR para esse tipo de fluxo. d) usou um custo de capital diferente em cada um dos cálculos. e) utilizou uma taxa de reinvestimento menor que a TIR. RESOLUÇÃO: Um “defeito” da metodologia de cálculo convencional da taxa interna de retorno é o fato de ela considerar que todos os recebimentos futuros serão reaplicados com a mesma rentabilidade do projeto sob análise, o que não necessariamente é verdade. Já no cálculo da MTIR, considera-se que os recebimentos futuros serão reaplicados com rentabilidade INFERIOR à do projeto. Esta é uma hipótese mais conservadora, e leva a uma taxa interna de retorno MENOR. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Portanto, NÃO É ERRADO considerar a MTIR na análise de um projeto, trata-se apenas de uma abordagem mais conservadora. A MTIR ficou menor do que a TIR porque foi considerada uma taxa de reinvestimento menor, como afirma a alternativa E, que é o nosso gabarito. Resposta: E 55. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) O departamento financeiro de uma grande sociedade anônima está analisando os seguintes projetos de investimento: Utilizando o período de payback efetivo, o projeto que permite à companhia recuperar o investimento realizado no menor período de tempo (prazo) é o de número a) P-1 b) P-2 c) P-3 d) P-4 e) P-5 RESOLUÇÃO: Vejamos quanto foi recuperado de cada projeto após 2 anos: P-1 = 650000 + 494000 = 1.144.000 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA P-2 = 670000 + 402000 = 1.072.000 P-3 = 745000 + 453000 = 1.198.000 P-4 = 750000 + 444000 = 1.194.000 P-5 = 900000 + 452000 = 1.352.000 Com isso, vejamos quanto falta ser recuperado em cada projeto após 2 anos: P-1 = 1.300.000 - 1.144.000 = 156.000 P-2 = 1.350.000 - 1.072.000 = 278.000 P-3 = 1.490.000 - 1.198.000 = 292.000 P-4 = 1.500.000 - 1.194.000 = 306.000 P-5 = 1.800.000 - 1.352.000 = 448.000 Veja agora os valores que serão recuperados ao longo do 3º ano em cada projeto, e compare com quanto falta recuperar em cada um deles. Note que, para o 1º projeto, o valor que falta recuperar (156.000) é MAIS da metade do que será recuperado no 3º ano (300.000). Isto significa que será preciso de MAIS de meio ano para recuperar o restante. Este mesmo raciocínio é válido para os projetos 2, 3 e 5. Para o projeto P-4, note que o valor que falta recuperar (306.000) é MENOS da metade do que será recuperado no 3º ano (680.000), indicando que o valor total do projeto será recuperado em MENOS de meio ano. Logo, este será o primeiro projeto a se pagar, tendo o menor payback. Resposta: D P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 56. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Foi oferecido a uma empresa um projeto para investimento de R$ 120.000,00 com a seguinte previsão do fluxo de entradas de caixa: 1° ano = R$ 55.000,00 2° ano = R$ 54.450,00 3° ano = R$ 26.620,00 Considerando somente as informações recebidas, a taxa de retorno de 10% ao ano, fixada pela empresa, e o método de análise do Valor Presente Líquido (VPL), o resultado desse investimento, em reais, é a) negativo de 17.769,00 b) negativo de 5.000,00 c) positivo de 12.073,00 d) positivo de 16.070,00 e) positivo de 26.980,00 RESOLUÇÃO: Vamos calcular o VPL do projeto: í Resposta: B P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 57. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) A administração financeira trata, basicamente, do conjunto de atribuições realizadas pelo administrador, com a utilização da matemática financeira, ferramenta adotada para o estudo da variação do dinheiro ao longo do tempo e que, no processo de tomada de decisão, deve fazer prevalecer o equilíbrio entre o risco envolvido nas aplicações e sua respectiva remuneração. No que se refere à rentabilidade dos investimentos, a taxa interna de retorno (TIR) é definida como a taxa a) de desconto, que deve ser obtida para manter ou elevar o preço das ações. b) de desconto, que iguala o VPL de uma oportunidade de investimento a zero. c) de retorno, que é exigida para um ativo livre de risco. d) efetiva cobrada pelo fornecedor de fundos e paga pelo tomador. e) mínima de juros, que uma proposta de investimento deverá produzir. RESOLUÇÃO: A taxa interna de retorno é a taxa que leva o VPL para o valor ZERO. Esta é a sua definição básica, que pode ser encontrada na alternativa B. Ela também representa a rentabilidade de um determinado projeto. Resposta: B 58. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Um gestor de projetos defende a aprovação de um projeto W, que prevê um investimento inicial de R$ 2.000.000,00 e apresenta uma Taxa Interna de Retorno - TIR de 21% a.a. Ele alega que o projeto Z, concorrente, necessita de um investimento inicial P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 50% maior e apresenta uma TIR de 18% a.a. Sabe-se que a empresa havia orçado R$ 3.000.000,00 para investir nesse tipo de projeto. Nesse caso, o gestor de projetos está a) certo, pois o seu projeto exige um investimento menor. b) certo, pois a TIR de seu projeto é maior c) certo, pois o orçamento ainda ficará com folga. d) errado, pois ele não considerou o custo de capital. e) errado, pois a TIR dos dois projetos são interessantes RESOLUÇÃO: Observe que o projeto Z permite investir um valor maior inicialmente (3.000.000, que é o resultado de 2.000.000 + 50%), porém sua rentabilidade é menor do que a do projeto W. A depender do custo de capital, pode ser que Z não seja mais viável do que W. Por exemplo, se o custo de capital for de 19%a.a., o projeto Z terá rentabilidade inferior a este custo, tornando-se inviável financeiramente, enquanto o projeto W permanece viável. Portanto, das opções de resposta, a que melhor nos atende é a alternativa D. Resposta: D 59. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Uma instituição vai realizar um projeto que precisa de um investimento inicial de R$ 30.000,00. A previsão inicial é que o produto do projeto vai gerar uma receita de R$ 10.000,00 em cada ano, por três anos. Nessas condições, o valor presente líquido do P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA projeto, após um ciclo de 3 anos, considerando-se uma taxa de desconto de 10%, é a) positivo, e o projeto não é atraente b) positivo, e o projeto é atraente c) negativo, e o projeto é atraente d) negativo, e o projeto não é atraente. e) nulo RESOLUÇÃO: Sabemos que o VPL é dado por: VPL = VPentradas – VPsaídas O valor presente das saídas de recursos é 30.000, que é o investimento inicial. Já o valor presente das entradas é obtido descontando- se os três recebimentos de 10.000 reais com a taxa de 10%. Ao se fazer este desconto, cada recebimento terá valor presente MENOR do que 10.000 reais e, assim, a soma dos valores presentes dos três recebimentos será MENOR do que 30.000 reais. Ou seja, VPentradas será menor do que 30.000, fazendo com que o VPL seja NEGATIVO. Se o VPL é menor o que zero, não há acréscimo de riqueza, deixando o projeto NÃO atraente. Resposta: D 60. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Um engenheiro avalia a compra de um equipamento cujo investimento é de 300 mil reais (alocados no ano zero) para melhorar a produção em uma determinada planta industrial. O tempo de vida útil do equipamento é de 2 anos, e, com a utilização desse equipamento, os fluxos esperados de receitas e despesas, P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA considerando compra, manutenção e operação, em milhares de reais, estão representados na Tabela a seguir. Considerando que os fluxos de caixa anuais do projeto sejam obtidos exclusivamente pela diferença entre receitas e despesas, a taxa interna de retorno esperada para esse investimento é de, aproximadamente, a) 5% b) 8% c) 10% d) 12% e) 15% RESOLUÇÃO: Veja que temos um recebimento líquido de 140 – 30 = 110 mil no primeiro ano e de 300 – 58 = 242 mil no segundo ano. Calculando o VPL: í Para que j seja a TIR, é preciso que ela torne o VPL igual a 0. Testando j = 10%, que é a alternativa com cálculo mais fácil temos: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Portanto, a TIR é igual a 10%. Resposta: C 61. CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) Dois projetos de investimento W e Z são convencionais, isto é, as saídas de caixa antecedem as entradas. As taxas internas de retorno – TIR – para os projetos W e Z são, respectivamente, iguais a 10% e 12% ao ano. O projeto diferencial W-Z tem TIR igual a 8%. O projeto W é o melhor se a taxa mínima de atratividade anual for (A) maior que 8% e menor do que 12% (B) acima de 12% (C) maior que 6% e menor do que 10% (D) menor que 8% (E) maior do que 10% e menor do que 12% RESOLUÇÃO: A princípio o projeto Z é mais interessante que W, afinal ele tem uma taxa interna de retorno superior. Entretanto, vemos que a TIR do projeto diferencial W-Z é de 8%. Isto significa que o projeto W consome mais recursos (maior investimento), e essa diferença de recursos aplicada em W tem rentabilidade de 8%. Deste modo, se a taxa mínima de atratividade for inferior a esta rentabilidade (inferior a 8%), o projeto W é o mais interessante. Isto porque ele teria rentabilidade superior à taxa mínima de atratividade (10%), e os recursos adicionais empregados neste projeto (em relação ao Z) também teriam rentabilidade superior à mínima exigida. Resposta: D P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Fim de aula. Até a próxima! Abraço, Prof. Arthur Lima Instagram: @ProfArthurLima Facebook: ProfArthurLima YouTube: Professor Arthur Lima P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA QUESTÕES SOBRE JUROS SIMPLES 1. CESGRANRIO – BASA – 2015) Considere que hoje é uma segunda- feira e um carnê de pagamentos apresenta um vencimento em atraso desde a última terça-feira, para um valor de R$ 100,00, e ainda prevê multa de 2%, e mora de 12% a.m. O valor a pagar, em reais, é de a) 104,40 b) 114,00 c) 104,00 d) 103,60 e) 104,45 2. CESGRANRIO – LIQUIGÁS – 2015) Uma loja vende artigos nas seguintes condições: • pagamento à vista com 10% de desconto ou • pagamento um mês após a compra com 10% de acréscimo. A taxa mensal de juros embutida nas vendas com pagamento um mês após a compra é, aproximadamente: a) 18% b) 19% P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA c) 20% d) 21% e) 22% 3. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) O conceito básico de juros, em matemática financeira, é a remuneração paga ou recebida pela utilização de dinheiro numa determinada unidade de tempo. Os juros tanto podem indicar o pagamento por um empréstimo contraído quanto o recebimento por uma aplicação financeira, mas representam sempre o custo de capital, recebido ou pago, considerado como o aluguel pago pelo uso do dinheiro de terceiros. Nesse enfoque, a maneira de representar os juros para uma unidade de capital é pela taxa a) comercial b) efetiva c) nominal d) real e) unitária 4. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Uma empresa, frente à sua disponibilidade temporária de recursos financeiros, aplicou R$ 140.000,00 para receber R$ 168.000,00 ao final de 4 meses. Considerando exclusivamente as informações acima, essa empresa obteve, nessa operação financeira, uma taxa anual de juros simples, em percentual, de P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA a) 10,0% b) 14,4% c) 60,0% d) 66,6% e) 80,0% 5. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2016) Um equipamento, cujo preço anunciado é de R$ 100.000,00 pode ser comprado à vista com um desconto de 20%, ou a prazo, em duas parcelas mensais e iguais de R$ 55.000,00, sendo a primeira na data da compra, e a segunda para daí a 1 mês. A taxa mensal de juros cobrada pela loja, comparando-se as duas formas de pagamento, é igual a (A) 20% (B) 30% (C) 55% (D) 120% (E) 150% 6. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2015) As operadoras de cartões de crédito, em geral, cobram 12% ao mês por atrasos no pagamento. No caso de atrasos superiores a 1 mês, o sistema utilizado é o de juros compostos e, no caso de atrasos inferiores a 1 mês, utiliza-se o sistema de juros simples. O vencimento da fatura de um cliente é no dia 5, mas ele só receberá o pagamento de seu salário no dia 15 do mesmo mês, quando, então, fará o pagamento da fatura com atraso de 10 dias. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Se a fatura desse cliente é de R$ 900,00, quanto ele pagará, em reais, de juros? (A) 108 (B) 72 (C) 36 (D) 18 (E) 12 7. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) Um jovem aplicou R$ 500,00 em um fundo de investimento que, ao final de um mês, proporcionará um ganho bruto de 0,9%. No entanto, o banco comunicou ao jovem que 4% do ganho bruto deverá ser descontado por conta dos impostos. Ao final de um mês, feito o desconto relativo aos impostos, o saldo do fundo de investimento será de a) R$ 484,32 b) R$ 484,50 c) R$ 500,50 d) R$ 504,32 e) R$ 504,50 8. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Qual o valor aproximado, em reais, a ser recebido pelo cliente de uma aplicação de R$ 10.000,00, com prazo de 6 meses, aplicados à taxa de juros simples de 20% a.a., se for recolhida pela instituição financeira uma alíquota de imposto de renda igual a 20% dos rendimentos no resgate da aplicação? (A) 8.800,00 (B) 9.600,00 (C) 10.800,00 (D) 11.000,00 (E) 11.600,00 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 9. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 880.000,00 e após 100 dias resgatou, antes do recolhimento de impostos, R$ 1.100.000,00. Considerando o regime de juros simples, se o imposto sobre operações financeiras (IOF) for aplicado sobre os rendimentos auferidos, na data do resgate com uma alíquota de 10%, qual a taxa efetiva diária da aplicação? (A) 0,00225% (B) 0,0025% (C) 0,225% (D) 0,2375% (E) 0,25% 10. CESGRANRIO – BANCO DA AMAZÔNIA – 2013) Um refrigerador custa, à vista, R$ 1.500,00. Um consumidor optou por comprá-lo em duas parcelas. A loja cobra uma taxa mensal de juros (compostos) de 2%, atuante a partir da data da compra. O valor da primeira parcela, paga pelo consumidor 30 dias após a compra, foi de R$ 750,00. Um mês após o primeiro pagamento, o consumidor quitou sua dívida ao pagar a segunda parcela. Qual foi o valor da segunda parcela? (A) R$750,00 (B) R$765,00 (C) R$780,00 (D) R$795,60 (E) R$810,00 QUESTÕES SOBRE JUROS COMPOSTOS 11. CESGRANRIO – BASA – 2015) Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal de 20% ao ano. A taxa de juros efetiva anual desse financiamento, se os juros são capitalizados semestralmente, é: P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA a) 12,10% b) 20,21% c) 21,00% d) 22,10% e) 24,20% 12. CESGRANRIO – LIQUIGÁS – 2015) Um investimento em imóveis rende nominalmente 54,1% em 6 meses. Se o investidor espera obter um ganho real de, no mínimo, 5% ao mês, qual deve ser o valor máximo da variação de preços no semestre? a) 15% b) 20% c) 24% d) 30% e) 34% 13. CESGRANRIO – LIQUIGÁS – 2014) Uma instituição financiou R$10.000,00, utilizando uma taxa de juros de 6% ao semestre com capitalização mensal. Se o financiamento foi quitado ao final de três meses, os juros foram, aproximadamente, de P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA a) R$ 100,00 b) R$ 200,00 c) R$ 204,00 d) R$ 300,00 e) R$ 303,00 14. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) ==374ec== A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a: (A) 12,68% (B) 12,75% (C) 12,78% (D) 12,96% (E) 13,03% 15. CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) Aplicaram-se R$ 2.000,00 em um fundo de investimento, por um ano, que rende à taxa bruta de 18% ao ano. O imposto de renda é de 22,5% sobre o ganho nominal. Em um ano em que a inflação foi de 7,5%, a taxa real de juros anual obtida nesse investimento foi de: (A) 5,5% (B) 6,5% (C) 5,0% P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (D) 4,5% (E) 6,0% 16. CESGRANRIO – BNDES – 2013) Uma pessoa que vive de rendimentos do mercado financeiro aplicou todos os seus recursos, o que lhe rendeu um retorno nominal de 20% no ano. Considerando-se que a inflação da cesta básica foi de 6% nesse mesmo ano, quantas cestas básicas a mais, em termos percentuais, ela poderá comprar após o retorno da aplicação? (A) 12,8% (B) 13,2% (C) 14,0% (D) 14,8% (E) 15,0% 17. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Um país P teve, durante 4 meses, uma taxa mensal de inflação igual a 4%. Um país Q teve, em apenas 2 meses, a mesma inflação acumulada durante os quatro meses no país P. Se a taxa mensal de inflação no país Q permaneceu constante durante os dois meses, então essa taxa foi de (A) 18,00% (B) 16,00% (C) 9,04% (D) 8,16% (E) 8,00% 18. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Uma empresa fez uma aplicação no mercado financeiro de R$ 500,00, pelo prazo de um ano, à taxa de 10% a.s. sob regime de juros compostos. Qual a taxa de juros, ao ano, que resultaria no mesmo valor de resgate no mesmo prazo? (A) 20% (B) 21% P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (C) 22% (D) 23% (E) 24% 19. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Qual a taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, que transforma um investimento de R$ 12.000,00 em um montante de R$ 14.520,00 no período de 2 meses? (A) 10% (B) 12% (C) 60% (D) 120% (E) 144% 20. CESGRANRIO – BANCO DA AMAZÔNIA – 2013) As capitalizações oferecidas por dois fundos de investimento foram simuladas por uma operadora financeira. A aplicação inicial em ambos os fundos foi a mesma. Na simulação, a capitalização no primeiro fundo de investimento durou 48 meses e se deu a juros mensais de 1%, no regime composto. No segundo fundo de investimento, a capitalização durou 24 meses apenas. A operadora buscava determinar qual deveria ser a taxa mensal de juros oferecida pelo segundo fundo, em regime composto, para, ao final dos 24 meses, gerar o mesmo montante gerado pelo primeiro ao final dos 48 meses. Essa taxa é de (A) 2% a.m. (B) 2,01% a.m. (C) 2,02% a.m. (D) 2,1% a.m. (E) 2,2% a.m. 21. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2014) Considerando-se a mesma taxa de juros compostos, se é indiferente receber R$ 1.000,00 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA daqui a dois meses ou R$1.210,00 daqui a quatro meses, hoje, esse dinheiro vale (A) R$ 909,09 (B) R$ 826,45 (C) R$ 466,51 (D) R$ 683,01 (E) R$ 790,00 22. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um investimento inicial de R$ 1.200,00 aplicado por 3 anos, produziu um montante de R$ 2.500,00. Utilizando-se o resultado de (l+i)n, apresentado na Tabela acima, conclui- se que a taxa nominal de juros ao ano, capitalizada mensalmente, foi de, aproximadamente, (A) 12,7% (B) 25,2% (C) 28% (D) 43% (E) 70% 23. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) Uma conta de R$ 1.000,00 foi paga com atraso de 2 meses e 10 dias. Considere o mês comercial, isto é, com 30 dias; considere, também, que foi adotado o regime de capitalização composta para cobrar juros relativos aos 2 meses, e que, em seguida, aplicou-se o regime de capitalização simples para cobrar juros relativos aos 10 dias. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, o juro cobrado foi de (A) R$ 64,08 (B) R$ 79,17 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (C) R$ 40,30 (D) R$ 71,51 (E) R$ 61,96 24. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) Em um período no qual a inflação acumulada foi de 100%, R$ 10.000,00 ficaram guardados em um cofre, ou seja, não sofreram qualquer correção. Nessas condições, houve uma desvalorização dos R$ 10.000,00 de (A) 1/4 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 3/4 (E) 1 25. CESGRANRIO – ANP – 2016) Por 3 anos seguidos, a taxa de inflação de certo país foi de 5% ao ano. Nesse período, o aluguel de um imóvel foi reajustado, anualmente, pelo índice de inflação, o que fez com que tal aluguel passasse a ser de p unidades monetárias. Para saber o valor do mesmo aluguel antes desses reajustes, basta dividir p por (A) 4,50 (B) 1,50 (C) 1,05 (D) (1,50)3 (E) (1,05)3 26. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) A empresa ALFA tomou um empréstimo no valor de 100 mil reais, em janeiro de 2015, a uma taxa de juros de 12% ao ano, no regime de juros compostos, a serem pagos em 3 parcelas anuais, consecutivas e postecipadas. A primeira parcela, a ser paga em janeiro de 2016, corresponderá a 20% do valor do empréstimo; a segunda parcela, um ano após a primeira, será igual a 30% do valor do empréstimo, e a terceira parcela a ser paga, em janeiro de 2018, liquidará P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA a dívida. A quantia, em milhares de reais, que mais se aproxima do valor da terceira parcela é igual a (A) 72,0 (B) 90,5 (C) 56,0 (D) 64,2 (E) 81,8 27. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) Um cliente foi a um banco tomar um empréstimo de 100 mil reais, no regime de juros compostos, a serem pagos após 3 meses por meio de um único pagamento. Para conseguir o dinheiro, foram apresentadas as seguintes condições: I - taxa de juros de 5% ao mês, incidindo sobre o saldo devedor acumulado do mês anterior; II - impostos mais taxas que poderão ser financiados juntamente com os 100 mil reais. Ao fazer a simulação, o gerente informou que o valor total de quitação após os 3 meses seria de 117.500 reais. O valor mais próximo do custo real efetivo mensal, ou seja, a taxa mensal equivalente desse empréstimo, comparando o que pegou com o que pagou, é de (A) [(1,1751/3 - 1) x 100]% (B) [(1,1931/3 - 1) x 100]% (C) [(1,051/3 - 1) x 100]% (D) [(1,1581/3 - 1) x 100]% (E) [(1,1891/3 - 1) x 100]% 28. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no investimento. A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo? Dado 76  8, 7 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (A) 7,40% a 7,89% (B) 8,40% a 8,89% (C) 6,40% a 6,89% (D) 6,90% a 7,39% (E) 7,90% a 8,39% 29. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) Um investimento rende à taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização trimestral. Para obter um rendimento de R$ 609,00 daqui a 6 meses, deve-se investir, hoje, em reais, (A) 6.460 (B) 10.000 (C) 3.138 (D) 4.852 (E) 7.271 QUESTÕES SOBRE DESCONTOS 30. CESGRANRIO – BASA – 2015) Uma empresa descontou dois títulos em 10/06/2015, quarta-feira. O primeiro título foi emitido em 20/05/2015 com valor de R$ 4.000,00 e vencimento em 30/06/2015. O segundo, em 25/05/2015 com valor de R$ 6.000,00 e vencimento também em 30/06/2015. Sabe-se que a operação foi de desconto comercial simples com prazo de d+2 para liquidação, e que a taxa de desconto pactuada foi de 6% a.m. Com base na operação acima descrita, desconsiderando-se tarifas e impostos não mencionados, o valor líquido da operação, em reais, foi de: a) 9.212,00 b) 9.560,00 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA c) 788,00 d) 440,00 e) 9.400,00 31. CESGRANRIO – BNDES – 2013) Um comerciante descontou um cheque pré-datado para 30 dias, no valor de R$ 30.000,00, tendo o banco cobrado uma taxa de desconto simples de 5,00% ao mês. Qual é o valor, em reais, emprestado ao lojista, e qual é a taxa efetiva de juros simples ao mês cobrada do cliente, respectivamente? (A) 28.500,00 e 5,00% (B) 28.500,00 e 5,26% (C) 30.000,00 e 5,00% (D) 30.000,00 e 5,26% (E) 30.000,00 e 5,52% 32. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Um título de valor nominal de R$40.000,00 foi descontado em um banco 80 dias antes do vencimento. Qual o valor aproximado descontado do título, em reais, usando o método racional simples, para uma taxa de juros simples de 18% a.a., considerando o ano comercial? (A) 38.461,54 (B) 38.481,81 (C) 39.980,01 (D) 40.019,73 (E) 41.600,01 33. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2010 ) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após a compra. Para que as P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente, (A) 0,5%. (B) 3,8%. (C) 4,6%. (D) 5,0%. (E) 5,6%. 34. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um título de R$ 1.210,00 é descontado 60 dias antes do vencimento, em um banco cuja taxa de juros efetiva é de 10% ao mês. Verifica-se, portanto, que esse banco opera com a taxa de desconto simples (bancário) mensal de (A) 11/242 (B) 1/20 (C) 21/242 (D) 1/10 (E) 1/5 35. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) Um microempresário precisa aumentar seu capital de giro e resolve antecipar 5 cheques de 10.000 reais cada um, todos com data de vencimento para dali a 3 meses. O gerente do banco informa que ele terá exatamente dois custos para realizar a antecipação, conforme descritos a seguir. Custo 1 – Um desconto sobre o valor dos cheques a uma taxa de 4% ao mês. Esse desconto será diretamente proporcional ao valor dos cheques, ao tempo de antecipação e à taxa de desconto anunciados. Custo 2 – Custos operacionais fixos de 500 reais para antecipações de até 100 mil reais. Assim, comparando o valor de fato recebido pelo microempresário e o valor a ser pago após 3 meses (valor total dos cheques), o valor mais próximo P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA da taxa efetiva mensal cobrada pelo banco, no regime de juros compostos, é de (A) 5,2% (B) 4,5% (C) 4,7% (D) 5,0% (E) 4,3% 36. CESGRANRIO – Banco do Brasil – 2015) Uma instituição financeira efetua o desconto de um título de valor de face de R$ 25.000,00 dois meses antes do vencimento, utilizando taxa de desconto simples bancário (por fora) de 9% ao mês. A instituição exige o pagamento de 2% do valor de face do título como taxa de administração no momento de desconto do título. A taxa bimestral de juros realmente cobrada é de (A) 20% (B) 25% (C) 11% (D) 16% (E) 22,5% QUESTÕES SOBRE AMORTIZAÇÕES 37. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) As empresas, ao captarem recursos financeiros de terceiros, obrigam-se a respeitar o sistema de amortização financeiro contratado. Sob condições de prazo, taxa de juros e valor emprestado iguais, os sistemas Francês, SAC, Misto e Americano apresentam uma característica comum. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Essa característica é a seguinte: a) a amortização aumenta na mesma velocidade. b) a primeira parcela contém o mesmo valor de juros. c) as prestações são constantes. d) as prestações são decrescentes. e) o saldo devedor reduz na mesma velocidade. 38. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Considere a amortização de uma dívida, em 300 meses, com juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante. Mantida a taxa mensal de juros de 1%, de quanto aumentará a prestação inicial se o prazo for reduzido pela metade? a) 25% b) 50% c) 75% d) 100% e) 200% 39. CESGRANRIO – LIQUIGÁS – 2014) Considere a amortização de uma dívida, em 5 prestações mensais de R$ 2.060,40 cada, com juros compostos de 1% ao mês. A última amortização, em reais, será de, aproximadamente, a) 1.960,40 b) 1.980,00 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA c) 2.040,00 d) 2.060,40 e) 2.080,40 40. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2016) Uma empresa faz um empréstimo no valor de R$ 200.000,00, a uma taxa de 15% ao ano, para ser pago em 5 prestações anuais e iguais, de acordo com o sistema francês de amortização, vencendo a primeira prestação 1 ano após a data do empréstimo. A Tabela abaixo é parte da planilha de amortização apresentada pelo credor. Para avaliar o total de juros que serão pagos nesse financiamento, um auditor completa a planilha até o final, de modo que o saldo devedor seja zero. O total de juros, em milhares de reais, que serão pagos pela empresa, se todas as prestações forem quitadas de acordo com o planejado, pertence ao intervalo: (A) 50,1 a 65,0 (B) 65,1 a 80,0 (C) 80,1 a 95,0 (D) 95,1 a 110,0 (E) 110,1 a 125,0 41. CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) Um banco empresta R$ 10.000,00, com taxa de juros de 2% ao mês, para serem pagos em 5 pagamentos mensais consecutivos, vencendo a primeira prestação um mês P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA após o empréstimo. O valor de cada prestação é de R$ 2.121,58. O saldo devedor, após o segundo pagamento, é, em reais, de, aproximadamente: (A) 5.696,00 (B) 6.118,00 (C) 5.653,00 (D) 5.565,00 (E) 5.897,00 42. CESGRANRIO – BANCO DA AMAZÔNIA – 2013) Um empréstimo deverá ser pago em quarenta e nove prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação trinta dias após a liberação do dinheiro. O financiamento foi feito pelo Sistema de Amortização Constante, SAC, com taxa mensal de juros de 1%. Se a vigésima quinta prestação é de R$ 5.000,00, o saldo devedor, em reais, após o pagamento da quadragésima oitava prestação é de (A) 4.000 (B) 4.080 (C) 4.800 (D) 4.880 (E) 5.000 43. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2010 ) Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em (A) 100%. (B) 50%. (C) 25%. (D) 10%. (E) 5%. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 44. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um financiamento de 50 mil reais, contratado com juros efetivos de 12% ao ano, será pago em 48 prestações mensais pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sendo assim, o saldo devedor após o 36º pagamento, em reais, será (A) 12.500,00 (B) 19.600,00 (C) 21.600,00 (D) 25.600,00 (E) 37.500,00 45. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) Arthur contraiu um financiamento para a compra de um apartamento, cujo valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema de Amortização Constante (SAC), a uma taxa de juros de 1% ao mês, com um prazo de 20 anos. Para reduzir o valor a ser financiado, ele dará uma entrada no valor de 50 mil reais na data da assinatura do contrato. As prestações começam um mês após a assinatura do contrato e são compostas de amortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior, seguro especial no valor de 75 reais mensais fixos no primeiro ano e despesa administrativa mensal fixa no valor de 25 reais. A partir dessas informações, o valor, em reais, da segunda prestação prevista na planilha de amortização desse financiamento, desconsiderando qualquer outro tipo de reajuste no saldo devedor que não seja a taxa de juros do financiamento, é igual a (A) 2.087,25 (B) 2.218,75 (C) 2.175,25 (D) 2.125,00 (E) 2.225,00 QUESTÕES SOBRE SÉRIES DE PAGAMENTOS P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 46. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Uma pessoa pretende comprar um novo smartphone. Na loja, o smartphone é vendido em duas vezes sem entrada, isto é, o cliente não paga nada no ato da compra e paga duas prestações: uma ao final do primeiro mês, e outra ao final do segundo mês. As prestações são de R$ 441,00, e a loja informa que cobra juros de 5% ao mês. O preço à vista desse smartphone, em reais, é a) 800 b) 820 c) 840 d) 880 e) 882 47. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Um gestor deparou com a necessidade de calcular o valor presente de uma série perpétua de fluxos de caixa. Ele não sabia se calcularia considerando um fluxo constante ou com uma taxa de crescimento de 0,5% ao período. A taxa de desconto a ser utilizada no cálculo é de 1% ao período. Sendo assim, a razão entre o resultado do cálculo do valor presente da série com crescimento e do valor presente da série constante é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 48. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Uma empresa comprou um equipamento, cujo preço à vista é de 1 milhão de reais, em janeiro de 2014, financiando-o totalmente em 2 parcelas anuais, sendo a primeira para daí a 1 ano, em janeiro de 2015, e a segunda, para 2 anos após a compra, em janeiro de 2016. O valor da segunda parcela será de 600 mil reais. Considerando-se que a taxa anual de juros cobrada é de 10% ao ano, no regime de juros compostos, o valor da primeira parcela, em milhares de reais, está compreendido entre a) 540 e 549 b) 550 e 559 c) 560 e 569 d) 600 e 609 e) 620 e 629 49. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Um analista foi designado para calcular o valor presente de um determinado fluxo futuro de caixa mensal positivo constante gerado por um ativo de uma empresa. Por ser ainda pouco experiente, o analista não estava seguro quanto ao prazo de geração de caixa desse ativo e resolveu considerar um prazo infinito de meses. Considerando que a empresa possui uma taxa de desconto mensal (custo de capital) maior que zero, o analista encontrará um valor presente para o ativo igual a) a zero b) a infinito c) ao valor do primeiro fluxo de caixa P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA d) a soma dos valores de todos os fluxos e) ao valor de qualquer um dos fluxos dividido pela taxa 50. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Uma empresa tomou um empréstimo no valor de 200 mil reais, a uma taxa de juros de 10% ao ano, no regime de juros compostos, a ser pago em 3 parcelas anuais, consecutivas e postecipadas. A primeira e a última parcelas serão iguais entre si, vencendo após 1 e 3 anos, respectivamente, contados a partir da contração do empréstimo. A segunda parcela corresponde a 25% do valor da dívida inicial. O valor das parcelas iguais entre si, em milhares de reais, está entre a) 95,0 e 99,9 b) 90,0 e 94,9 c) 85,0 e 89,9 d) 80,0 e 84,9 e) 75,0 e 79,9 51. CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) Considere duas propostas para a compra de um automóvel que custa R$ 30.603,00. Proposta X: 1% de desconto para pagamento à vista. Proposta Y: pagamento único para daqui a dois meses. Sejam D a diferença aproximada entre o valor presente líquido da proposta X e o da proposta Y, e um comprador que tem o dinheiro aplicado a juros compostos de 1% ao mês. Utilizando o método do valor presente líquido para decidir, é preferível, para o comprador considerado, a proposta (A) X, pois D é de menos R$ 3,00. (B) Y, pois D é de R$ 882,00. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA (C) X, pois D é de menos R$ 612,00. (D) X, pois D é de menos R$ 921,00. (E) Y, pois D é de R$ 297,00. 52. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um empreiteiro tem duas opções para receber o pagamento por uma obra: a primeira é receber de uma só vez, um mês após o término do serviço; a segunda, é receber em três prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira ao término da obra. Se o empreiteiro conseguir fazer render o seu dinheiro à taxa j ao mês, e considerando-se o regime de juros compostos, a segunda opção é considerada melhor (A) dependendo somente da taxa j. (B) dependendo somente do valor do serviço. (C) dependendo de ambos: do valor do serviço e da taxa j. (D) em qualquer situação. (E) em nenhuma situação. 53. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Um fundo de investimento remunera a juros nominais de 60% ao ano, capitalizados mensalmente. Optando por essa aplicação, um investidor efetuou um depósito inicial de 8 mil reais. Durante os 28 meses seguintes, ele fez depósitos mensais iguais e consecutivos, sendo que o primeiro ocorreu um mês após o depósito inicial. Imediatamente após o último depósito, o investidor verificou que tinha 92 mil reais de saldo. Assim, conclui-se que o valor das aplicações mensais, em mil reais, foi aproximadamente de (dado: 1,0528 = 4) (A) 1,0 (B) 1,5 (C) 2,0 (D) 2,5 (E) 3,0 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA QUESTÕES SOBRE CÁLCULO FINANCEIRO 54. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Um profissional realizou a análise de viabilidade econômico-financeira de um projeto de investimento que apresenta fluxo de caixa inicial negativo e todos os demais fluxos de caixa, futuros, positivos. Ele encontrou os seguintes resultados: Taxa Interna de Retorno (TIR) = 25% a.a.; Taxa Interna de Retorno Modificada (MTIR) = 17% a.a. Os resultados encontrados foram diferentes, porque ele a) acertou ao considerar uma taxa de desconto igual em ambos os cálculos. b) aplicou a MTIR quando não poderia tê-lo feito. c) errou na conta efetuada, pois TIR = MTIR para esse tipo de fluxo. d) usou um custo de capital diferente em cada um dos cálculos. e) utilizou uma taxa de reinvestimento menor que a TIR. 55. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) O departamento financeiro de uma grande sociedade anônima está analisando os seguintes projetos de investimento: Utilizando o período de payback efetivo, o projeto que permite à companhia recuperar o investimento realizado no menor período de tempo (prazo) é o de número P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA a) P-1 b) P-2 c) P-3 d) P-4 e) P-5 56. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Foi oferecido a uma empresa um projeto para investimento de R$ 120.000,00 com a seguinte previsão do fluxo de entradas de caixa: 1° ano = R$ 55.000,00 2° ano = R$ 54.450,00 3° ano = R$ 26.620,00 Considerando somente as informações recebidas, a taxa de retorno de 10% ao ano, fixada pela empresa, e o método de análise do Valor Presente Líquido (VPL), o resultado desse investimento, em reais, é a) negativo de 17.769,00 b) negativo de 5.000,00 c) positivo de 12.073,00 d) positivo de 16.070,00 e) positivo de 26.980,00 P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 57. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) A administração financeira trata, basicamente, do conjunto de atribuições realizadas pelo administrador, com a utilização da matemática financeira, ferramenta adotada para o estudo da variação do dinheiro ao longo do tempo e que, no processo de tomada de decisão, deve fazer prevalecer o equilíbrio entre o risco envolvido nas aplicações e sua respectiva remuneração. No que se refere à rentabilidade dos investimentos, a taxa interna de retorno (TIR) é definida como a taxa a) de desconto, que deve ser obtida para manter ou elevar o preço das ações. b) de desconto, que iguala o VPL de uma oportunidade de investimento a zero. c) de retorno, que é exigida para um ativo livre de risco. d) efetiva cobrada pelo fornecedor de fundos e paga pelo tomador. e) mínima de juros, que uma proposta de investimento deverá produzir. 58. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Um gestor de projetos defende a aprovação de um projeto W, que prevê um investimento inicial de R$ 2.000.000,00 e apresenta uma Taxa Interna de Retorno - TIR de 21% a.a. Ele alega que o projeto Z, concorrente, necessita de um investimento inicial 50% maior e apresenta uma TIR de 18% a.a. Sabe-se que a empresa havia orçado R$ 3.000.000,00 para investir nesse tipo de projeto. Nesse caso, o gestor de projetos está a) certo, pois o seu projeto exige um investimento menor. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA b) certo, pois a TIR de seu projeto é maior c) certo, pois o orçamento ainda ficará com folga. d) errado, pois ele não considerou o custo de capital. e) errado, pois a TIR dos dois projetos são interessantes 59. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Uma instituição vai realizar um projeto que precisa de um investimento inicial de R$ 30.000,00. A previsão inicial é que o produto do projeto vai gerar uma receita de R$ 10.000,00 em cada ano, por três anos. Nessas condições, o valor presente líquido do projeto, após um ciclo de 3 anos, considerando-se uma taxa de desconto de 10%, é a) positivo, e o projeto não é atraente b) positivo, e o projeto é atraente c) negativo, e o projeto é atraente d) negativo, e o projeto não é atraente. e) nulo 60. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Um engenheiro avalia a compra de um equipamento cujo investimento é de 300 mil reais (alocados no ano zero) para melhorar a produção em uma determinada planta industrial. O tempo de vida útil do equipamento é de 2 anos, e, com a utilização desse equipamento, os fluxos esperados de receitas e despesas, considerando compra, manutenção e operação, em milhares de reais, estão representados na Tabela a seguir. P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA Considerando que os fluxos de caixa anuais do projeto sejam obtidos exclusivamente pela diferença entre receitas e despesas, a taxa interna de retorno esperada para esse investimento é de, aproximadamente, a) 5% b) 8% c) 10% d) 12% e) 15% 61. CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) Dois projetos de investimento W e Z são convencionais, isto é, as saídas de caixa antecedem as entradas. As taxas internas de retorno – TIR – para os projetos W e Z são, respectivamente, iguais a 10% e 12% ao ano. O projeto diferencial W-Z tem TIR igual a 8%. O projeto W é o melhor se a taxa mínima de atratividade anual for (A) maior que 8% e menor do que 12% (B) acima de 12% (C) maior que 6% e menor do que 10% (D) menor que 8% (E) maior do que 10% e menor do que 12% P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA 01 A 02 E 03 E 04 C 05 D 06 C 07 D 08 C 09 C 10 D 11 C 12 A 13 E 14 A 15 E 16 B 17 D 18 B 19 D 20 B 21 B 22 B 23 D 24 B 25 E 26 E 27 A 28 D 29 B 30 B 31 B 32 A 33 E 34 C 35 C 36 B 37 B 38 A 39 C 40 D 41 B 42 A 43 C 44 A 45 B 46 B 47 B 48 B 49 E 50 A 51 E 52 D 53 A 54 E 55 D 56 B 57 B 58 D 59 D 60 C 61 D P A L -  MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P PETROBRÁS TEORIA E QUESTÕES COMENTADAS P A L A EXTRA P A L -