1ESCOLA DE ENGENHARIA MAUÁ EFB803 Distribuição Exponencial Aula-1 (2oBim) Relembrando V.A.´s Contínuas Conseguimos apenas calcular probabilidades para valores contidos em intervalos da reta real; As probabilidades de ocorrência dos possíveis resultados dos experimento são determinadas por uma função contínua (f(x): função densidade de probabilidade). 1) f(x) ≥ 0; para qualquer x Є R; 2) P(a ≤ X ≤ b) = 3) ; P(a ≤ X ≤ b) f(x) ; a b EFB803 – Estatística se x 0 f ( x) 0. calculamos: P(X k) e x dx e k k Distribuição Exponencial É uma das principais distribuições de probabilidades de v. X tem distribuição exponencial com parâmetro > 0.p.a.d. caso contrário Assim. etc… EFB803 – Estatística .’s contínuas e é bastante utilizada em confiabilidade de sistemas: a) vida útil de equipamentos. tem a forma: e x . b) tempos de falha.2 Distribuição Exponencial Uma v. se sua f. c) intervalos entre solicitações de recursos.a. X ~ Exp(). uma vez que é usual trabalhar com tempo de vida de componentes.3 Distribuição Exponencial Gráfico da função densidade com alguns valores diferentes de f(x) f ( x) ex . se x 0 x Média e Variância Para uma variável X exponencial. temos: E( X ) 1 com Var ( X ) distribuição 1 2 OBS: É comum nomear a variável de interesse de T. EFB803 – Estatística . Calcule a proporção de lâmpadas que duram: a) mais do que 2000 horas.4 Exemplo 1 O tempo de duração de um tipo de lâmpada incandescente segue uma distribuição exponencial. com t 0 Dessa forma: 800 a) Proporção de lâmpadas que duram mais do que 2000 horas: 1 1 . c) entre 800 e 1600 horas. com média de 800 horas.2000 1 800t P(T 2000) e dt e 800 e 2. b) menos do que 400 horas. Exemplo 1 Seja T = “Tempo de duração da lâmpada. em horas” Do enunciado. temos que: E (T ) 1 800 1 800 1 1 800t f ( t ) e .5 0.0821 800 2000 EFB803 – Estatística . 800 .2325 Exemplo 2 O intervalo de tempo (em minutos) entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma v.3935 c) Proporção de lâmpadas que duram entre 800 e 1600 horas: P(800 T 1600) P(T 800) P(T 1600) 1 1 800 1600 . com t 0 EFB803 – Estatística .400 800 1 e 0. 2t .2) Dessa forma: f (t ) 0.1600 800 800 e e e e e1e2 0. Qual é a probabilidade de haver emissão em um intervalo inferior a dois minutos? Seja T = “Intervalo de tempo entre as emissões radioativas” Temos que T ~ Exp (0.a.2e0.2.5 0.5 Exemplo 1 b) Proporção de lâmpadas que duram menos do que 400 horas: P(T 400) 1 P(T 400) 1 e 1 . com distribuição exponencial de parâmetro 0. x0 f ( x ) caso contrário 0 .6 Exemplo 2 Qual é a probabilidade de haver emissão em um intervalo inferior a dois minutos? T ~ Exp (0. a. : parâmetrode escala ( 0) : parâmetrode forma( 0) Observe que a distribuição exponencial é um caso particular da distribuição de Weibull quando β = 1. de posição (threshold) e representa um valor abaixo do qual nenhuma falha pode ocorrer.33 Distribuição de Weibull . Em geral é utilizada em problemas de confiabilidade para modelar o tempo de falha de componentes e sistemas elétricos e/ou mecânicos. com parâmetro λ = 1/α .2 1 e0. Nessa situação.2) P(T 2) 1 P(T 2) 1 e0. X tem distribuição de Weibull com parâmetros α e β. 2. temos uma distribuição exponencial. se a sua função densidade de probabilidade for dada por: 1 x x e . EFB803 – Estatística . na qual aparece um 3º parâmetro. Uma v. Há outra parametrização. 4 0. 7 Exercício (1 de 3) Admita que o tempo até que uma venda seja realizada em uma loja siga um modelo exponencial com média de 0.21% Exercício (2 de 3) O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerada uma v. Qual é a probabilidade de uma venda demorar mais de meia hora para ser feita? Resp. 36.2 horas.a.79% EFB803 – Estatística . 8. Qual a probabilidade de que ele dure mais do que a média? Resp. com distribuição exponencial com vida média de 500 horas. 52. 200.6% EFB803 – Estatística .8 Exercício (3 de 3) Suponha que o tempo de uso decorrido até a quebra de um tipo de componente tenha distribuição exponencial com média de 1900 horas. qual é a probabilidade de que mais da metade deles quebrem após 1000 horas de uso? Resp. a) aprox.2 horas b) aprox. a) Qual deve ser a garantia dada pelo fabricante de tal modo que 10% dos componentes quebrem antes da garantia? b) Se 6 desses componentes são instalados.