Aula - Distribuição Exponencial

March 28, 2018 | Author: GuilhermeSanchesPaulino | Category: Probability Distribution, Probability Density Function, Statistical Theory, Physics & Mathematics, Mathematics


Comments



Description

1ESCOLA DE ENGENHARIA MAUÁ EFB803 Distribuição Exponencial Aula-1 (2oBim) Relembrando V.A.´s Contínuas  Conseguimos apenas calcular probabilidades para valores contidos em intervalos da reta real;  As probabilidades de ocorrência dos possíveis resultados dos experimento são determinadas por uma função contínua (f(x): função densidade de probabilidade). 1) f(x) ≥ 0; para qualquer x Є R; 2) P(a ≤ X ≤ b) = 3) ; P(a ≤ X ≤ b) f(x) ; a b EFB803 – Estatística se x  0 f ( x)   0. calculamos:  P(X  k)   e x dx  e k k Distribuição Exponencial  É uma das principais distribuições de probabilidades de v. X tem distribuição exponencial com parâmetro  > 0.p.a.d. caso contrário  Assim. etc… EFB803 – Estatística .’s contínuas e é bastante utilizada em confiabilidade de sistemas: a) vida útil de equipamentos. tem a forma: e  x . b) tempos de falha.2 Distribuição Exponencial  Uma v. se sua f. c) intervalos entre solicitações de recursos.a. X ~ Exp(). uma vez que é usual trabalhar com tempo de vida de componentes.3 Distribuição Exponencial Gráfico da função densidade com alguns valores diferentes de  f(x) f ( x)  ex . se x  0 x Média e Variância Para uma variável X exponencial. temos: E( X )  1  com Var ( X )  distribuição 1 2 OBS: É comum nomear a variável de interesse de T. EFB803 – Estatística . Calcule a proporção de lâmpadas que duram: a) mais do que 2000 horas.4 Exemplo 1 O tempo de duração de um tipo de lâmpada incandescente segue uma distribuição exponencial. com t  0 Dessa forma: 800 a) Proporção de lâmpadas que duram mais do que 2000 horas:  1 1  . c) entre 800 e 1600 horas. com média de 800 horas.2000 1  800t P(T  2000)   e dt  e 800  e 2. b) menos do que 400 horas. Exemplo 1 Seja T = “Tempo de duração da lâmpada. em horas” Do enunciado. temos que: E (T )  1   800    1 800 1 1  800t f ( t )  e .5  0.0821 800 2000 EFB803 – Estatística . 800 .2325 Exemplo 2 O intervalo de tempo (em minutos) entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma v.3935 c) Proporção de lâmpadas que duram entre 800 e 1600 horas: P(800  T  1600)  P(T  800)  P(T  1600) 1 1 800  1600 . com t  0 EFB803 – Estatística .400 800  1  e 0. 2t .2) Dessa forma: f (t )  0.1600 800 800 e e e e  e1e2   0. Qual é a probabilidade de haver emissão em um intervalo inferior a dois minutos? Seja T = “Intervalo de tempo entre as emissões radioativas” Temos que T ~ Exp (0.a.2e0.2.5  0.5 Exemplo 1 b) Proporção de lâmpadas que duram menos do que 400 horas: P(T  400)  1  P(T  400)  1  e  1 . com distribuição exponencial de parâmetro 0. x0  f ( x )     caso contrário 0 .6 Exemplo 2 Qual é a probabilidade de haver emissão em um intervalo inferior a dois minutos? T ~ Exp (0. a.   : parâmetrode escala (  0)  : parâmetrode forma(   0)  Observe que a distribuição exponencial é um caso particular da distribuição de Weibull quando β = 1. de posição (threshold) e representa um valor abaixo do qual nenhuma falha pode ocorrer.33 Distribuição de Weibull .  Em geral é utilizada em problemas de confiabilidade para modelar o tempo de falha de componentes e sistemas elétricos e/ou mecânicos. com parâmetro λ = 1/α .2  1  e0.  Nessa situação.2) P(T  2)  1  P(T  2)  1  e0. X tem distribuição de Weibull com parâmetros α e β. 2. temos uma distribuição exponencial. se a sua função densidade de probabilidade for dada por:    1 x   x e . EFB803 – Estatística . na qual aparece um 3º parâmetro. Uma v.  Há outra parametrização. 4  0. 7 Exercício (1 de 3) Admita que o tempo até que uma venda seja realizada em uma loja siga um modelo exponencial com média de 0.21% Exercício (2 de 3) O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerada uma v. Qual é a probabilidade de uma venda demorar mais de meia hora para ser feita? Resp. 36.2 horas.a.79% EFB803 – Estatística . 8. Qual a probabilidade de que ele dure mais do que a média? Resp. com distribuição exponencial com vida média de 500 horas. 52. 200.6% EFB803 – Estatística .8 Exercício (3 de 3) Suponha que o tempo de uso decorrido até a quebra de um tipo de componente tenha distribuição exponencial com média de 1900 horas. qual é a probabilidade de que mais da metade deles quebrem após 1000 horas de uso? Resp. a) aprox.2 horas b) aprox. a) Qual deve ser a garantia dada pelo fabricante de tal modo que 10% dos componentes quebrem antes da garantia? b) Se 6 desses componentes são instalados.
Copyright © 2024 DOKUMEN.SITE Inc.