CAPÍTULO 7PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA CAPÍTULO 7 SOLICITAÇÕES SECCIONAIS NO VIGAMENTO PRINCIPAL DAS PONTES _____________________________________________________________________ 7.1 Introdução As diversas etapas do cálculo do vigamento principal serão explicadas mediante o cálculo de uma Ponte Exemplo, descrita a seguir: Trata-se de uma ponte rodoviária, em concreto armado, constituída por três vãos contínuos de 18 m e dois balanços de 4 m, totalizando o comprimento de 62 m. A seção transversal é composta por duas vigas principais de altura constante de 1,90 m e espessura variando de 0,40 m no vão para 0,80 m nos apoios. Estas vigas são ligadas pela laje e por transversinas de apoio e intermediária. A ponte está inserida em rodovia de 1ª classe, possuindo duas pistas de rolamento de 3,60 m, dois acostamentos de 2,50 m e dois guarda-rodas de 0,40 m, perfazendo uma largura total de 13 m. Os materiais adotados no projeto da ponte apresentam as seguintes características: • Concreto estrutural: fck = 20 MPa; • Aço: CA-50 A (fyk = 500 MPa); • Aparelhos de apoio: Borracha Neoprene Fretada. Dados adicionais: • Cobrimento adotado para as armações: c = 3,0 cm; • Trem-Tipo adotado: TB- 450 kN (NBR-7188); • Guarda-Rodas: Barreira Tipo New-Jersey (Padrão DNIT); • Pavimentação: asfáltica. O sistema construtivo da ponte é o de estrutura moldada no local sobre escoramento direto. As Figuras 7.1 e 7.2 apresentam os desenhos de elevação e corte em planta, seções transversais nos vãos e nos apoios, detalhes das cortinas, abas e alargamentos das vigas, junto aos apoios extremos e intermediários da Ponte Exemplo. 190 300 300 25 120 120 200 20 200 300 30 20 30 DETALHE A 13 300 VER DETALHE A 40 40 400 25 152 300 40 40 20 1800 20 CORTE EM PLANTA 15 300 300 300 30 20 30 DETALHE B 20 20 80 40 40 300 120 40 20 300 VER DETALHE B 900 40 40 ELEVAÇÃO EM CORTE 40 40 80 20 20 20 PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Figura 7.1 - Forma em corte da ponte em elevação e corte em planta (dimensões em cm) 191 PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA SEÇÃO TRANSVERSAL NO VÃO 1300 250 360 360 250 40 5 15 15 137 120 190 13 38 15 5 12 40 300 40 620 40 300 SEÇÃO TRANSVERSAL NO APOIO 1300 360 360 250 40 13 38 120 300 80 15 15 137 120 190 15 25 5 12 250 5 40 500 80 20 300 20 DETALHE DA ABA CORTINA DETALHE DA CORTINA CORTE A-A 300 A 190 H=25 25 25 25 60 20 40 60 25 20 85 120 40 40 300 50 25 50 15 3 2 A Figura 7.2 - Seções transversais e detalhes da cortina e abas laterais (dimensões em cm) 192 1 Peso Próprio Estrutural (g1) O peso próprio estrutural corresponde ao peso de todo o concreto das peças estruturais da ponte (lajes. transversinas e cortinas). vigas. Peso específico de concreto armado .52 0.20 bw Figura 7.15 6. Este procedimento é adotado para estar em conformidade com o cálculo das cargas móveis que é feito por viga.50 y x 3. Como se trata de ponte em concreto armado.13 0.00 1. com seção transversal constituída por duas vigas ligadas pela laje. que corresponde à parcela absorvida por uma viga.10 0. as cargas permanentes são calculadas para meia seção transversal.Seção transversal dividida em trapézios e retângulos (dimensões em cm) 193 .2.2 SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Cálculo das Cargas Permanentes 7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES 7.1) onde: S é a área da seção transversal.γc = 25 kN/m3 Carga distribuída para uma viga: a) g1 = S ⋅ γ c (7.3 mostra meia seção transversal dividida em trapézios e retângulos para a seqüência de cálculo das características geométricas: 1. A Figura 7. g1 é a carga por metro linear.3 . PROJETO E ANÁLISE DE PONTES • SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Cálculo de x: ⎛ x − 3.696 + 0.40×1.40 6. Vs.2=1.23 ⎝ 0.13 + 0.52 x+bw +1.0 − x = 1.4 .10 ⎠ y = 3.00 ⎞ 3 × 0.2+b w bw Figura 7. principalmente quando é necessário conhecer todas as características geométricas (S.52 2 2 S apoio = 3.13 2.15 + 3. caso das obras em concreto protendido.5 + 5.15 + 3.13 + 0. Ws.50 0.80 m S apoio = 6.696+1. Wi) das diversas seções transversais.068 m ² Carga distribuída da seção corrente (g1): g1 = 2.50 5.196 bw 1.80 6.10 + × 0. J.5 × 0.13 − 0.10 6.20 kN m 194 .196 0.80 × 1.5 × 0.304 m 0.15 Dividindo-se a meia seção transversal em trapézios e retângulos tem-se: 6.408 m² • Seção do apoio ⇒ bw = 0. Vi.52 2 2 S vão = 2.196 × 0.408m 2 × 25 kN m3 ⇒ g1 = 60.5 + 5.Seção líquida de concreto (dimensões em cm) Este procedimento é bastante prático. • Seção do vão ⇒ bw = 0.305=5.13 + 0.5-y=6.296 + 0.13 ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ x = ⇒ x = 1.10 + × 0.696 m 0.5-1.40 m S vão = 6.196 × 0.896+b w 6. em cargas concentradas: L 1 /3 P L 2 /3 P qapoio . reduzem-se as cargas distribuídas lineares.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES Cargas concentradas (para uma viga) b) b.20 ⎛ ⎞ P = ⎜1.4) 3.5 .0 ⇒ P = 24.2) Transversinas de apoio ⎡⎛ ⎤ 5.80 × 1.qvão q vão(g1) L 1 /3 =200 L 2 /3 =300 Figura 7.20 × 0.52 )⎥ × 25 ⇒ P = 23.408) × 25 × b.6 ilustra as dimensões da cortina e da aba.408) × 25 × 2.068 − 2. referentes aos acréscimos da espessura da alma da viga.1) SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Transversinas intermediárias 6.00 ⎞ P = ⎢⎜1.50 kN 2 Variação da seção Transversal da viga no vão: P = (3.37 × × 0. 195 .75 kN 2 Cortina + Aba A Figura 7.068 − 2.37 × × 0.20 ⎟ + (0.21 kN 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦ b.2) Variação da seção Transversal da viga no balanço: P = (3.0 ⇒ P = 16.20 ⎟ × 25 ⇒ P = 21.24 kN 2 ⎝ ⎠ b.3) Variação da espessura da viga principal Por simplicidade de cálculo.Variação do carregamento em função do espessamento da alma (dimensões em cm) ( ) P = q apoio − q vão × L 2 (7. 40 0.25 × 25 = 4.70 kN Pf = 0.50 0.45 12.00 × 25 = 77.00 × 25 = 10.19 kN 2 13. 196 .00 kN Total Pcortina = 129.00 × 0.5 × 0.20 1.90 0.25 × 0.78 kN A Figura 7.25 × × 25 = 12.20 + 0.40 kN 2 2 Viga inferior Pc = 0.25 × 25 = 13.25 2.40 pf pe pc 0.90 × • Dente de apoio Pb = • 0.50 0.Cargas da cortina e abas laterais (dimensões em m) • Parede frontal Pa = 0.19 kN 2 Aba da Cortina Pd = 0.40 × 0.50 0.30 kN 2 Pe = 1.50 × 0.20 + 1.50 × 2.0 × 25 = 12.25 × 1.25 × • 13.20 0.25 Figura 7.7 apresenta o resumo das cargas devidas ao peso próprio estrutural (g1).50 × 0.6 .25 0.40 × 3.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA pb pd pa 1. 8 indica as dimensões do guarda-rodas (New-Jersey .67 1.0 1.2. laje de transição e aterro sobre a laje de transição.24 kN 23.1) Carga distribuída A Figura 7.40 × 25 = 0. guardarodas.75 kN 21.40 + 0.20 kN/m 0.00 9.00 9.8 . passeios.5 517.87 + 0.75 kN 23.5 pa 87 pb pc 25 15 40 Figura 7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 129.81 kN Pb = 0.21 kN 24.21 kN g1= 60.05 × m 0.Carga do guarda-rodas 197 . tubulações.00 Figura 7.00 9. etc.80 kN 17.87 × 25 = 3.80 kN m m 2 Total : Pguarda − rodas = 5.50 kN 24.20 kN ⇒ Σp = 5.7 . 7.24 kN 1.DNIT) Pa = 0. guarda-corpo.Resumo do carregamento de peso próprio estrutural (g1) Obs:Nas obras em concreto protendido. o peso próprio estrutural é a carga mobilizada com a implantação da protensão.78 kN 16.2 Sobrecarga Permanente (g2) A sobrecarga permanente é constituída pelo peso da pavimentação.175 × 0.0 4.75 kN 24.15 × 25 = 1. a sobrecarga permanente pode incluir também cargas de postes de iluminação.0 21. No caso de viadutos urbanos. a) a.175 × 0.79 kN m 2 Pc = 0. 75 kN m³ 2 2 198 .44 = 18.20 × 3.10 .2) SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Pavimentação Asfáltica 5 12 A Figura 7.80 + 12.10 ilustra a distribuição da carga na laje de acesso. 610 Figura 7.0 12.44 kN 2 Logo.Dimensões do pavimento asfáltico (dimensões em cm) γ asfalto = 24 kN Pasfalto = m³ 0.12 × 6.1) Cargas Concentradas Laje de transição Para efeito do cálculo das cargas.24 kN b) b.10 × 24 = 12.Distribuição da carga na laje de acesso P laje trans = 0.05 + 0. Q p p apoio no terreno 3.9 . admite-se que a laje de transição funcione como bi-apoiada sobre o solo e sobre o dente da cortina.9 mostra o detalhe da espessura do pavimento asfáltico da Ponte Exemplo.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES a.0 m apoio na cortina Figura 7. A Figura 7.20 × × 25 kN ⇒ p laje de trans = 45. g 2 = 5. 40 = 129.40 × b.12 apresenta o resumo das cargas devidas à sobrecarga permanente (g2).2) SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Aterro sobre a laje de transição A camada de aterro localizada sobre a laje de acesso é considerada como uma carga concentrada aplicada no ponto médio da laje. P = 5.40 kN • Carga total no extremo do balanço P = 45.20 × × 18 kN ⇒ P Aterro = 65.3) 3. 199 .20 0.8 × 3 = 17.Sobrecarga de aterro na laje de acesso (cotas em m) γ solo = 18 kN m³ P Aterro = 0.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES b.0 12.88 kN m³ 2 2 Guarda-rodas sobre a aba da cortina Deve ser considerada também a carga do guarda-rodas sobre a laje de transição.88 + 17.11 .75 + 65.40 Q p p 3. Aterro 0.03 kN A Figura 7.0 m Figura 7. 21 kN 0. Desta forma.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 129. necessitam-se das solicitações isoladas destes carregamentos.13 resume as cargas permanentes atuantes sobre a viga.75 kN 24. A Figura 7.Definição do Sistema Principal 200 .75 kN 21.21 kN 78.Resumo dos carregamentos g1 + g2 (cotas em m) O cálculo dos esforços atuantes pode ser feito pelo método de Cross. os esforços seccionais são determinados para o valor total das cargas permanentes (g1 + g2).12 .00 9.24 kN 23. 258.50 kN 24.00 Figura 7. Nas vigas em concreto armado não há interesse no cálculo isolado dos esforços seccionais devido ao peso próprio estrutural e sobrecarga permanente.00 9.00 Figura 7.00 21.13 .03 kN 18. é necessária a verificação do estado de tensões nas fibras extremas da seção de concreto. Assim.00 18. a carga correspondente ao peso próprio estrutural é mobilizada com a implantação da protensão.67 1. para analisar o estado de tensões no concreto.81 kN 16. devido à soma dos carregamentos de peso próprio e protensão.Resumo da sobrecarga permanente (g2) (dimensões em m) 7.75 kN 23. apresentado a seguir: .24 kN 9.00 1.24 kN / m 4.0 1 2 4.0 1. correspondente à ação conjunta destes.3 Cálculo das Solicitações Seccionais no Vigamento Principal devidas às Cargas Permanentes Nas obras em concreto protendido. Por isto.00 9.44 kN/m 24. 3) μ 23 = μ 32 = 0.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES • SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Sistema Principal (Isogeométrico) – a estrutura é duas vezes hipergeométrica.167 + 0.111 L 18.Cálculo dos fatores de forma e de carga de 2ª espécie • Fatores de forma derivados de 2ª espécie Haste 1-2 = 3-4 a ′21 = a ′34 = 3 3 = = 0.0 Haste 2-3 a 23 = a 32 = 4 4 = = 0.14 .0 b 23 = b 32 = 2 2 = = 0.Representação da estrutura hipergeométrica .167 L 18.5 a • Fator de distribuição μ= a ∑a (7. os nós internos 2 e 3 são passíveis de girar.0 • Fator de Transmissão γ 23 = γ 32 = b = 0.18 ilustram os carregamentos atuantes nas hastes derivadas e básicas 1-2 (3-4) e 2-3.222 = 0.14. Haste 1-2 (simétrica da haste 3-4) 201 .222 • Fatores de Carga de 2ª espécie: As Figuras 7.167 + 0.222 μ 21 = μ 34 = 0.429 0.15 e 7. conforme está representado na Figura 7.571 0.167 = 0.222 L 18. 1 2 Figura 7. 4) − Alargamento de viga à direita: m 21 = − m 34 = 24.75 × 1.82 kNm 8 8 Cargas concentradas A Figura 7.0)2 + 258.75 kN 21.00 L=18. a P b L Figura 7.44 × ⎟ 2 ⎠ ⎝ a) Carga distribuída m 21 = − m 34 = b) q × L ² 78.44 × 18.00 ⎛ 17.75 kN 24.673.15 .15 mostra o desenho esquemático da haste básica (2-3) com carga concentrada atuante.176.5 × 0.00 78.73 kNm 2 × 18.Carga concentrada nas hastes 1-2 (simétrica da haste 3-4) m 21 = P×a×b ⎛ b ⎞ × ⎜i + ⎟ 2×L ⎝ L⎠ (7.00 9.0 + 16.00 Figura 7.00 × 17.Carregamento das hastes 1-2 (cotas em m) ⎛ (4.67 ⎞⎟ ⇒ M bal = − 1. 9.0 ⎝ 18.0 2 = ⇒= − m 34 = 3.45 kN / m M bal.0 ⎞ × ⎜1 + ⎟ = 22.0 ⎠ 202 .73 × 4.00 1.24 kN 1.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 24.50 kNm M bal = − ⎜⎜ 78.16 . 0 × 1.673.Carregamento das hastes 2-3 (cotas em m) 203 .0 ⎞ × ⎜1 + ⎟ = 71.446.17 mostra o desenho esquemático da transmissão do momento do balanço.75 kN 21.75 kN 24. Figura 7.69 − 836.3 24. ponto fixo m'21 m bal.75 × 17.75 kNm Logo: Σm 21 = 3.24 kN 1.00 Figura 7.5 × (− 1.18 .00 9.73 + 12.176.5 × M bal = 0.34 + 71. M Nó 2 Nó 3 9.00 ⎛ 1.00 1.82 + 22.0 ⎠ − Transversina de vão m 21 = − m 34 = 21.45 kN / m bal.83 kNm Haste 2.0 × 9.34 kNm 2 × 18.00 78.0 ⎛ 9.0 ⎞ × ⎜⎜1 + ⎟⎟ = 12.Transmissão do momento do balanço m ′21 = 0.50 ) ⇒ m ′21 = −836.75 = 2.24 × 9.0 ⎠ Momento Aplicado c) A Figura 7.0 ⎝ 18.17 .0 ⎝ 18.69 kNm 2 × 18.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA − Alargamento de viga à esquerda: m 21 = − m 34 = 24. 30 kNm ⎝ 18.19.83 kN /m m'21= + 2446.0 ⎠ Σm 23 = −2.75 × 17 × ⎜ ⎟ = 1.75 × 1.05 kNm O resumo dos fatores de carga de 2ª espécie está representado na Figura 7.0 ⎞ = 24.05 kNm Σm 32 = +2.08 kNm Transversina de vão: 2 − m 23 = m 32 ⎛ 9.05 kN /m m'23 = + 2189.83 kN /m 1 2 3 4 Figura 7.08 − 1.0 ⎠ m 32 ⎛ 1.88 kNm 12 12 Cargas concentradas b) Os momentos atuantes nos apoios devidos às cargas concentradas são definidos por: m 23 = − P × a × β² (7.117.2189.117.5) m 32 = P × b × α ² (7.0 × ⎜ ⎟ = −22.6) − Alargamento de viga à esquerda 2 m 23 ⎛ 17.2446.79 = +2.0 ⎞ = −21.117.30 + 22.30 kNm m 32 = 22.0 )² = = −2.44 × (18.19 .08 + 47.0 ⎠ 2 − Alargamento de viga à direita m 23 = −1.79 = −2.189.05 kN /m m' 21= .24 × 9. os momentos não equilibrados nos nós são: 204 .30 − 47. m'23= .PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Carga distribuída a) m 23 = − m 32 − q × L ² − 78.0 ⎞ = −24.0 × ⎜ ⎟ = −47.Resumo dos fatores de carga de 2ª espécie Seguindo o método de Cross.88 + 1.79 kNm ⎝ 18.88 − 22.08 kNm ⎝ 18.189. 4 kN R20 = 1540.1.20 .4 kN -1674 kN R10 = 1540.9 -0.8 -73.4 kN R30 = 1319.2 +0. Estes valores não correspondem aos do cálculo manual por Cross.446.83 − 2.05 = 257.6 Figura 7.78 kNm ΔM 3 = −2.4 kN Figura 7.7 +15.3 +2292 .21 .8 0.8 -2189. +257.05 − 2.4 -2292 +2292 -2292 +11.Iteração de Cross (unidades em kNm) Tem-se.429 +2189.189.1 -110.571 +2446.429 0.6 +1.6 +189.571 0.189.6 -40. 205 .5 -2446. portanto.257.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA ΔM 2 = 2.20 apresenta a solução iterativa do processo de Cross.83 = −257.2 +142.78 kNm A Figura 7.0 0.4 -2.6 -3. que teve exclusivamente o caráter de recordação da hiperestática clássica.2 -27.3 -0.0 +7.4 -4.8 -54. o seguinte diagrama de momentos fletores: -2292 kN -2292 kN -1674 kN R0 = 1319.6 -147.3 +0.446.1 γ = 0.Diagrama de momentos fletores das cargas permanentes Os momentos fletores e esforços cortantes nas seções dos décimos dos vãos da Ponte Exemplo estão indicados no Quadro 7.1 +94. 96 292.1 Seção Transversal em Vigas Múltiplas A utilização de tabuleiros de vigas múltiplas de concreto armado ou protendido em pontes e viadutos é extremamente difundida no Brasil. em função das vantagens econômicas e construtivas desta solução. como mostrado no Capítulo 5.78 -1178. os valores dos esforços cortantes também sofreram pequenas diferenças em relação aos obtidos pelo cálculo por Cross. que leva em consideração as variações de inércia devidas aos alargamentos das vigas.16 1014.3 é a reprodução de artigo do autor em conjunto com o Professor Eduardo Valeriano Alves.22 -193.1.4 M (kNm) -674. Este refinamento – prática corrente nos projetos atuais – fez com que houvesse um acréscimo de aproximadamente de 6. separando-a dos demais 206 . por finalidade.60 Distribuição Transversal das Cargas Móveis Os métodos de distribuição transversal das cargas têm.00 575.71 741. junto aos apoios.79 -2442.95 1237.1.4. tratada neste livro. Em conseqüência.bal S0esq S0dir S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 Sesq10 Sdir10 S11 S12 S13 S14 S15 7. os valores do Quadro 7.72 1167.13 109.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Na verdade.72 -10.70 -589. A análise estrutural deste tipo de obra é efetuada usualmente em duas etapas.4. a determinação da parcela da carga total sobre a laje que solicita cada viga da seção transversal. Na primeira delas.48 844.01 -32.29 532.86 -1673.59 706.84 151. O texto dos itens 7.43 -335.1 .66 -347.67 -617. desenvolve-se a análise da superestrutura.4.60 -1673.11 -194.00 698. Este assunto tem sido motivo de um grande número de pesquisas e publicações.55 -476. a Engenheira Mayra Soares Perlingeiro e o Professor Ricardo Valeriano.08 433. em planta.78 267.53 306.Momentos fletores e solicitações cortantes nos décimos de vão Seção S1/2 . No Capítulo 9. 7.85 -563.78 V (kN) -415.70 852.25 250.1 foram obtidos através da modelagem da viga da Ponte Exemplo no programa SALT UFRJ.62 -2442.62 -1255. o dimensionamento à flexão e ao cisalhamento será feito com base nas solicitações obtidas pela modelagem feita pelo programa SALT UFRJ.17 % nos valores dos momentos fletores dos apoios intermediários.1 à 7. Quadro 7.37 391.20 537.79 -783. A Figura 7.23 .7) 207 . de tal forma que o somatório das reações de apoio.22 . fazse a distribuição do carregamento para as longarinas. a segunda etapa desenvolve-se a análise da meso e infra-estrutura. V1 V2 V3 V4 V1 V2 TRANSVERSINA V3 V4 VIGAS LONGITUDINAIS Figura 7. A distância “e” representa a excentricidade da carga ao centro elástico da seção Transversal. conforme ilustra a Figura 7. seja exatamente o valor da carga aplicada. representada na expressão (7.7). de uma ponte constituída por quatro vigas com transversinas de apoio e de vão.Seção transversal e corte em planta no tabuleiro em vigas múltiplas A partir de uma carga aplicada no tabuleiro.Distribuição da carga móvel concentrada P = P1 + P2 + P3 + P4 (7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA elementos integrantes do conjunto estrutural. P e P1 P2 P3 P4 Figura 7.23.22 ilustra a seção transversal tipo I e o corte em planta. Em 1912. formada por longarinas e transversinas. para efeito de automatização da análise. representado por vigas bi-apoiadas. Em 1926. pela primeira vez. a seguir. os fundamentos teóricos desses métodos.1 Métodos de Análise de Tabuleiros de Pontes em Vigas Múltiplas Na etapa de análise da superestrutura. Frank e Knorr trabalharam no campo da pesquisa experimental e obtiveram resultados relevantes que contribuiram para o melhor conhecimento do assunto [4]. são utilizados tradicionalmente quatro métodos aproximados de cálculo. Nessa mesma época. tomando para as transversinas uma rigidez infinita [5]. Saliger. Para que esta simplificação seja feita. apresentou também um trabalho [3]. Thullie analisou o problema das grelhas.1. Em 1922. baseando-se na teoria de vigas contínuas sobre apoios elásticos.entretanto. Em 1893. Petermann. a um modelo menos rigoroso.2 Métodos para Análise Simplificada Na obtenção de solicitações e reações de apoio em tabuleiros de vigas múltiplas. Kögler efetuou o estudo de uma ponte.bons resultados para a distribuição de cargas no meio do vão [7]. no qual não obteve êxitos maiores em aplicações práticas. também utilizando-se do método das forças. Em 1925.1. 7. a análise do comportamento estrutural de grelhas constituiu-se no passado em uma tarefa complexa para os projetistas. 208 . apontando suas principais limitações. desenvolveu um trabalho. Alcançou. As descrições sucintas destes métodos são apresentadas nos itens seguintes. Zschetzsche. Huber aplicou pela primeira vez a teoria de placas ortotrópicas para a resolução do problema.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 7.4. Assimila-se o modelo estrutural da grelha. adotando como incógnita os momentos nos nós das grelhas. com base no método das forças.alcançado muito sucesso pelas mesmas razões anteriores. Faltus simulou. face às dificuldades e complexidades numéricas de cálculo [2]. o efeito de todas as transversinas do tabuleiro. Em 1914.4. obtendo algumas conclusões importantes e Lossier. aplicam-se métodos tradicionais. não tendo. No mesmo ano. Iss motivou o desenvolvimento de diversos processos simplificados de cálculo manual. uma simplificação do modelo estrutural. representando-as por uma transversina fictícia única. Arnstein voltou a abordar o problema. através dos quais são determinadas as parcelas de carregamento correspondentes a cada uma das longarinas. faz-se. após uma sinopse dos estudos iniciais que os precederam. assim. em geral. No próximo item são apresentados. deparou-se também com dificuldades numéricas [6]. a) Síntese da evolução dos métodos aproximados [1] Em função da sua elevada hiperestaticidade. Courbon desenvolveu o método dos coeficientes de distribuição transversal para grelhas constituídas por transversinas com rigidez infinita. em virtude das dificuldades numéricas apreciáveis. o método foi mais uma vez aperfeiçoado por Leonhardt. Em 1956. em 1950. Homberg e Weinmeister abordaram a questão sem considerar efeitos de torção. Em 1940. Em 1928. Posteriormente em 1962. Em 1955. Em 1940. sendo assim conhecido como "Método de EngesserCourbon" [12]. chegou também à um sistema de equações. Massonet prosseguiu com os estudos de Guyon. concluiu o "Método dos Coeficientes de Distribuição Transversal de Guyon-Massonet". em 1965. apresentaram um trabalho no qual os efeitos de torção foram incluídos [15]. chegaram a um sistema de equações diferenciais parciais e apresentaram a solução destas [8]. Ostenfeld. Com a hipótese de um elevado número de longarinas e transversinas a grelha foi assimilada a um sistema contínuo (placa ortotrópica). Bleich e Melan. Leonhardt apresentou um importante trabalho sobre grelhas apoiadas em dois bordos. desprezando-se a torção do conjunto e considerando a laje apenas como uma parcela colaborante na inércia das vigas. Gennter incluiu as rijezas torsionais ao estudo anterior. o método veio a ser ampliado por Barés [13]. No mesmo ano Krall. desprezando a rigidez torsional dos elementos da grelha. Princípio de Saint-Venant). Em 1938. Posteriormente. Neste trabalho. apresentou um trabalho sobre a repartição transversal de cargas [10]. Guyon deu continuidade ao estudo de Huber para grelhas compostas por elementos sem rigidez torsional. pequenos deslocamentos. seções planas. mas. no qual se utilizou de funções ortogonais para solução das equações diferenciais do problema de uma placa ortotrópica equivalente a uma grelha [14]. Em 1950. Em 1946.1) Métodos sem consideração da torção nas vigas Método de Engesser-Courbon [16] Além das hipóteses básicas relativas à Teoria das Estruturas (comportamento linear elástico.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Em 1927. Homberg e Trenks. o método foi aperfeiçoado por Rowe que introduziu a consideração da influência do coeficiente de Poisson. Ferraz apresentou um trabalho. incluindo a rigidez à torção das vigas. Em 1930. Com esse aporte. foram consideradas ainda as abaixo descritas: 209 . com auxílio de Andrä [11]. foram estudados os coeficientes de distribuição transversal. utilizando o método dos deslocamentos e considerando cada nó como apoio indeslocável. baseando-se na teoria de vigas sobre apoios elásticos. não alcançou resultados positivos na resolução das equações diferenciais parciais [9]. no Brasil. b) b. Posteriormente. o mesmo autor estendeu o método às grelhas engastadas e contínuas. concluindo então o conhecido "Método de Leonhardt". Este método também é atribuído a Engesser. Em 1951. Considera-se ainda que as longarinas sejam idênticas e igualmente espaçadas entre si. Assim. tem-se para as cargas aplicadas nas transversinas: R i αJ i y i = J i (a + bx ) (7. Assim. desprezando-se suas deformações em relação às deformações das longarinas. e é a abscissa do ponto de aplicação da carga P. n é o número total de longarinas.. i é a longarina genérica. com base nestas hipóteses. permanecendo com seus eixos retilíneos após a deformação do conjunto.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA • As longarinas são paralelas. do carregamento das linhas de influência das longarinas na direção longitudinal. de inércia constante e são ligadas entre si perpendicurlamente por transversinas e possuem inércia constante. onde as longarinas são desiguais (em inércia) e desigualmente espaçadas. Assim. Admitindo-se a proporcionalidade entre o produto "flecha (y) × rigidez (J)" e as reações das longarinas (R). . dado por: rie = 1 ⎡ 2i − (n + 1) e ⎤ × ⎢1 + 6 × × ⎥ n ⎣ n² − 1 ε⎦ (7. ε é o espaçamento entre as longarinas. Para isso. através do carregamento das linhas de influência de reação rie (na transversal) e. a totalidade da carga P é absorvida pelas longarinas. obtém-se: Ri = P ⎡ ⎛ 2i − (n + 1) ⎞ e ⎤ × ⎢1 + 6 × ⎜ ⎟× ⎥ n ⎣ ⎝ n² − 1 ⎠ ε ⎦ (7. • Desprezam-se os efeitos de torção.9) onde: P é a carga atuante na transversina. a origem do eixo x é o 210 .n). torna-se possível obter as solicitações e reações de apoio nas longarinas. constituído por uma longarina genérica i. A equação (7. com (i = 1.10) Uma vez conhecidos os coeficientes rie.9) é a expressão geral para uma reação Ri relativa ao apoio.. as transversinas comportam-se como barras rígidas. rie. uma vez equacionados os valores de "a" e "b". O método também permite o estudo de casos mais genéricos. a partir do equilíbrio do conjunto. posteriormente. • As transversinas estão simplesmente apoiadas nas longarinas e admite-se que estas possuem rigidez infinita à flexão.8) A solução do problema consiste na determinação dos valores de Ri. . (como se não houvesse transversinas no tabuleiro) segundo um coeficiente de repartição transversal. ρ L é a rigidez média de longarinas (EJ). denominadas "coeficientes de repartição transversal". originando reações r1k . apoiada no meio dos vãos das diversas longarinas. procede-se da forma descrita no caso de cargas aplicadas nas transversinas. quando a carga unitária atua na transversina "k". • Desprezam-se os efeitos de torção. Os resultados obtidos por este método são mais satisfatórios quanto menor for o valor do parâmetro λ expresso por: λ= L × n × ρL 1 × 2L b × m × ρT (7. portanto. b. onde rik é a reação correspondente à longarina "i". de forma idêntica à do método de Engesser-Courbon.. os valores dos coeficientes rik .. n é o número de longarinas. A deformabilidade do conjunto. com as transversinas que constituem a grelha. • Esta transversina fictícia é considerada como simplesmente apoiada nas longarinas. foram ainda admitidas as seguintes: • Todas as transversinas do tabuleiro são representadas por uma única transversina fictícia.2) Método de Leonhardt [17] Neste método. ρT é a rigidez média de transversinas ( EJ ). Sob a ação de uma carga Pk unitária. Para casos de carga (Ph ) aplicada nas longarinas (h). nos casos normais. rnk . etc. dependem. das seguintes grandezas: 211 . afetadas de massas proporcionais às inércias correspondentes. Uma vez obtidos os coeficientes rik .) . K . o conjunto se deforma. constituído por diversas cargas (Ph1 . a determinação dos esforços seccionais e reações de apoio nas longarinas pode ser feita então. Ph 2 . e. m é o número de transversinas. Após a substituição.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA centro de gravidade das seções das longarinas. r2k . K . substitui-se a carga (Ph ) por um sistema equivalente.11) onde: L é o comprimento do tabuleiro. aplicadas nos pontos de cruzamento da longarina carregada (h). além das hipóteses básicas da Teoria das Estruturas. rik . b é a largura do tabuleiro. 17] Este método baseia-se na teoria geral das lajes ortotrópicas. na qual se admitem as seguintes hipóteses básicas: • A espessura da placa é constante e pequena em relação às demais dimensões. podendo ser diferentes nas duas direções ortogonais. admite-se que as propriedades elásticas sejam constantes. podem-se obter os coeficientes de repartição transversal. c) c. expresso pelo parâmetro ζ . inclusive à aqueles com longarinas externas com rigidez diferente das internas. onde: ε L (7. baseando-se ainda nas premissas abaixo enunciadas: 212 . a partir destas hipóteses de comportamento da placa ortotrópica.12) Da relação entre o afastamento recíproco das longarinas (ε ) e o vão (L ) .1) Métodos que consideram a rigidez à torção das vigas Método de Guyon-Massonet [16 .13) Assim. onde: _ J η= J • λ= (7. • Pontos alinhados segundo uma normal à superfície média da laje indeformada. os coeficientes de repartição transversal serão função do grau de rigidez da estrutura.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES • SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Da relação entre inércias da transversina (J ) e longarinas (J ) . encontram-se também linearmente dispostos em uma normal à superfície média na configuração deformada. O estudo do problema foi desenvolvido. • Pontos situados na superfície média da laje deslocam-se somente normalmente à mesma.14) Tomando-se ζ como parâmetro de entrada. expressa pelo parâmetro λ . Podem ainda ser analisados casos especiais. onde: ζ= η (2 ⋅ λ )3 _ J ⎛ L ⎞ = ×⎜ ⎟ J ⎝ 2⋅ε ⎠ 3 (7. tabelados para diversos casos [17]. com diferentes tipos de vinculação nas longarinas. • As deformações são puramente elásticas onde é válida a lei de Hooke e os deslocamentos são pequenos em relação à espessura da laje. • Em relação ao material. expressa pelo parâmetro η . 213 . Guyon e Massonet conduziram a solução do problema de forma a obter uma série de tabelas e gráficos. admitindo-se que os espaçamentos entre longarinas e transversinas são suficientemente pequenos para que se possa assimilar o tabuleiro a um sistema estrutural contínuo (placa). • A distribuição de qualquer carregamento no sistema equivalente é aproximada através da expressão: ⎛ πx ⎞ p(x ) = p ⋅ sen ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ (7. y ) x y y ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 (7. seria necessário solucionar a equação (7. Tal associação se faz. composto por laje.16). que dependem fundamentalmente dos seguintes parâmetros: • Do coeficiente de travejamento θ: θ= b Px 4 L Py (7. Considerando-se o exposto.18) (7. nos quais podem ser encontrados os valores dos índices de repartição transversal (X ϕ ) .20) sendo: b a semi-largura da placa equivalente.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA • O tabuleiro como um todo. o funcionamento estático do tabuleiro passa a ser então representado pela equação diferencial indicada em (7.16). L o comprimento da placa equivalente.17) _ EJ Rigidez à flexão das transversinas p y = Iy Parâmetro de torção ϕ= px + py 2 px + py (7.19) Para o cálculo exato.15) Esta expressão define um carregamento senoidal aplicado em uma faixa genérica.16) sendo: Rigidez à flexão das longarinas p x = EJ Ix (7. satisfazendo as condições de contorno correspondentes. longarinas e transversinas é substituído por uma placa ortotrópica equivalente. px ∂4w ∂4w ∂4w + 2 ϕ p p + p = p(x . situada na direção paralela ao eixo longitudinal do tabuleiro. Consideram-se a rigidez à flexão das transversinas e longarinas e a rigidez torsional somente das longarinas. L é o comprimento do vão das longarinas. n = [1. sendo necessário que as longarinas possuam inércia à flexão J e à torção J constantes. Nos casos estudados (número ilimitado de longarinas). seccionando-se as longarinas em (m-1) pontos. com 0 ≤ x ≤ L L ⎝ ⎠ (7. que são regidos pela seguinte lei: ⎛ n ⋅π⋅ xh ⎞ α h (n ) = α (0n )sen⎜ ⎟ . Os resultados deste trabalho foram apresentados na forma de tabelas.22) 214 . Forma-se o sistema principal estaticamente determinado.. respectivamente. e que as transversinas sejam idênticas e igualmente espaçadas entre si.. . • Da posição da carga.18).21) onde: h = [1.. Uma grelha simplesmente apoiada com "m" longarinas e "t" transversinas é 2t(m-1) vezes hiperestática.t] são as abscissas de uma transversina.17) e (7. Em cada seção são aplicados os elementos dos grupos de carga e de momentos α h (n ) . Uma vez obtidos os índices de repartição transversal..2. • Da posição da viga que se quer obter o índice X ϕ (fração da semi-largura). Através da ortogonalização dos hiperestáticos.t] é o número de termos da série. a matriz 2t(m-1) transforma-se em "t" matrizes independentes. d) Método de Homberg -Trenks [15] O método baseia-se na teoria das grelhas. .2... a ortogonalização é possível com grupos de cargas e de momentos. que permitem sua utilização a partir do conhecimento dos seguintes parâmetros de entrada: 3 _ ⎛L⎞ J Rigidez à flexão da grelha: Z = ⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ J (7. • Do parâmetro de torção ϕ definido em (7. cada uma associada a 2(m-1) equações e incógnitas. A essência do método baseia-se na ortogonalização dos hiperestáticos.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Px e Py já definidos em (7. o estudo das longarinas pode ser realizado através do carregamento das direções transversal e longitudinal do tabuleiro.19). definida por sua excentricidade (fração da semilargura). condições de contorno intrincadas. apresenta-se uma descrição sucinta do mesmo. a é o espaçamento entre longarinas. Em contraste com estes métodos anteriormente citados.Massonet Métodos contínuos (Análise como laje ortotrópica) 2 .Homberg -Weinmeister Métodos aproximados (Análise como grelha) Métodos de Análise 2 . 7. 1 . vieram a ser posteriormente adaptados para serem utilizados em computadores.Programas de computador para estruturas prismáticas laminares. em função da extensa aplicabilidade deste método e considerando-se ainda sua utilização neste tópico.Guyon . São apresentados a seguir.Leonhardt 4 . indicando-se os principais métodos para resolução deste problema.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA _ ⎛ L ⎞ EJ Rigidez à torção da grelha: Z T = ⎜ ⎟ ⎝ 8a ⎠ GJ T (7. desenvolvidos antes da era computacional. Também.4. tais como não-linearidade física e geométrica. Assim.1. J T é a inércia à torção das longarinas. os métodos de distribuição transversal de cargas em dois grandes grupos. 3 .Análise em programas de computador para estruturas reticulares 1 .Figueiro Ferraz 3 . As tabelas são disponíveis para um número infinito de longarinas e valores de Z. contrariamente àqueles métodos.3 Métodos Computacionais a) Evolução: Dos Métodos Clássicos ao Método dos Elementos Finitos Diversos métodos analíticos e numéricos aproximados. etc.Programas de computador para o método dos elementos finitos.23) onde: L é o comprimento do vão das longarinas. o MEF pode ser programado para abordar problemas extremamente complexos. 215 . J é a inércia à flexão das longarinas. Este é o caso do Método das Diferenças Finitas e também de Métodos clássicos. o Método dos Elementos Finitos (MEF) é essencialmente um produto da era dos computadores digitais [18]. J é a inércia à flexão das transversinas. compreendidos entre 0 e ∞. como o dos Mínimos Quadrados e o Método de Ritz. A presença da laje só é levada em conta no cálculo da inércia e área das vigas e transversinas. não levam em consideração a presença da laje na distribuição transversal da carga.1. aumentando suas rijezas.Modelo de grelha O grau de hiperestaticidade da grelha (G) pode ser definido considerando a inércia à torção das vigas principais ou não: − Desprezando-se a inércia à torção das vigas principais (transversinas simplesmente apoiadas nas vigas): G = (n − 2) ⋅ m (7. pois utilizam o modelo de grelha plana e fornecem resultados precisos para tabuleiros compostos por um número reduzido de vigas principais e transversinas intermediárias. Muitos desses métodos são apresentados sob a forma de tabelas que fornecem as linhas de influência de reações das vigas principais. Este procedimento é a favor da segurança.24: VIGAS PRINCIPAIS ( LONGITUDINAL ) TRANSVERSINA APOIO Figura 7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 7. pois diminui o grau de hiperestaticidade da grelha. implicando em um maior consumo de armaduras nas vigas. Os métodos que não consideram no cálculo a inércia à torção das vigas principais tornam o trabalho de confecção das tabelas mais simples. A largura da mesa colaborante é obtida através das prescrições das normas vigentes.24 . pois à medida que se aproxima dos apoios a distribuição transversal é mais efetiva diminuindo a solicitação por viga.4 Campo de Aplicação dos Métodos Aproximados e Comparação Numérica a) Campo de Aplicação Esses métodos.4. já descritos anteriormente. onde a economia de armaduras ativas e passivas é desprezível. Essas linhas são calculadas para a seção do meio do vão do tabuleiro e admite-se que são válidas ao longo de todo o seu comprimento. Os métodos aproximados conduzem a resultados conservadores. Eles são indicados para a fase de anteprojeto ou para o projeto final de pontes com pequeno número de vigas. Como indicação para o campo de aplicação dos métodos aproximados sem grande prejuízo da precisão tem-se: ⎡ N º de vigas ≤ 5 ⎢ N º de transver sin as ≤ 5 ⎣ O modelo de Cálculo em grelha é apresentado na Figura 7.24) 216 . PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA onde: n é o número de vigas.50m V3 0 4 J-trans=1. para o caso de uma ponte com seção transversal da superestrutura composta por três vigas pré-moldadas com 30.25 . A Figura 5.00 V1 0 3. − Levando-se em conta a inércia à torção das vigas principais.Modelo do exemplo (cotas em m) • Método de Engesser-Courbon O método de Engesser-Courbon admite que a rigidez das transversinas seja infinita. A Figura 7. com isto. (Engastamento elástico das transversinas nas vigas) G = m ⋅ (n − 2) + n ⋅ m = 2 ⋅ m ⋅ (n − 1) b) Comparação Numérica Faz-se. 217 . uma comparação numérica entre o método de EngesserCourbon e o método de Homberg-Weinmeister. São calculadas as linhas de influência de reação das vigas.0 m de vão. a solução do problema torna-se bastante simples. m é o número de transversinas.00 15. 15.0 b=6 V2 L=30. para efetuar a distribuição transversal de cargas.00m 3.25 indica esquematicamente as características geométricas das peças estruturais. Esta hipótese está fundamentada no pequeno valor dos vãos das transversinas quando comparado ao vão das vigas.00 Figura 7.26 exemplifica graficamente o problema.0 . no meio do vão. a seguir.00 4 J-viga =1. ligadas por uma transversina intermediária e por transversinas de apoio. 30 (7. Como o método de Engesser-Courbon considera a rigidez da transversina infinita.26). o mesmo só deve ser aplicado com razoável aproximação se λ ≤ 30 . e é a excentricidade da carga em relação ao centro elástico. n é o número de longarinas ou vigas principais. Jviga é a inércia à flexão das vigas principais. Jtrans é a inércia à flexão das transversinas.26) onde: L é o comprimento do vão das vigas. m é o número de transversinas intermediárias.25) Parcela do momento da c arg a onde: p é o valor da carga aplicada.25.26 . A expressão (7. A verificação do campo de validade do método de Engesser-Courbon. é realizável a expressão (7. n é o número de vigas principais.26) define o parâmetro λ: λ= b 2⋅L 4 L J viga n ⋅ ⋅ b J trans m ≤ 0. b é a largura da grelha. calculando-se o parâmetro λ: 218 . x é a distância de cada longarina ao centro elástico. para o exemplo da Figura 7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA P e X1 J- trans = Ri Figura 7.Modelo de distribuição transversal por Courbon A expressão geral do método de Engesser-Courbon é: Ri = P n { ± Parcela da c arg a (p ⋅ e) ⋅ x i ∑x 2 142i4 3 (7. 0 1.0 )2 R2 = 1 = 0.0 C.0 tf (e=0) R1 R2 R3 Figura 7.27 a 7.0 tf e R1 X1=3.0 × 3.0 )2 Carga P = 1 tf em V2 P =1.Carga P = 1 tf na viga V2 R 1 = R 2 = R 3 = 0.0 )2 + (3.G R2 X3=3.30 2 × 30.0 30.333 tf 3 R3 = 1 1.0 6.333 tf 219 .22 < 0.0 + = 0.0 1 Logo.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES λ= SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 6.25). conforme apresentado nas Figuras 7.Carga P= 1 tf na viga V1 (cotas em m) R1 = 1 1 × 3.833 tf 3 (3.167 tf 3 (3.28 . A distribuição transversal da carga é feita aplicando-se uma carga unitária em cada viga e calculando a reação absorvida por cada apoio com a expressão (7.29.5 3 ×4 × × = 0.0 R3 Figura 7.0 − = −0. o método é aplicável.0)2 + (3.0 × 3.27 . Carga P = 1 tf na viga V1 P =1.0 × 3.0 1. 833 viga3 LIR V3 Figura 7.0 tf R1 C.G e=3.0 = −0.333 viga2 0.333 A Figura 7.0 )2 0.0 Figura 7.167 LIR V2 0.30 .Linhas de influência de distribuição transversal pelo método de Courbon 220 .0 × 3.0 + = 0.0 × 3.167 0.333 0.0 R2 X1=3.167 tf R1 = − 3 (3.0 × 3.30 ilustra as linhas de influência de reação de apoio definidas para as longarinas no meio do vão longitudinal.0 R3 X3=3.333 -0.333 -0.0 )2 + (3. viga 1 LIR V1 0.833 tf 3 (3.333 tf 3 R3 = 1 1 × 3. Nota-se que a linha de influência da viga V3 pode ser obtida por simetria correspondente a da viga V1.833 0.0 )2 + (3.0)2 R2 = 1 = 0.Carga P= 1 tf na viga V3 (cotas em m) 1 1.29 .PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Carga P = 1 tf na viga V3 P =1. O método permite levar em conta a inércia à torção das vigas principais.Modelo para distribuição transversal pelo método de Homberg O Quadro 7.31 ilustra esquematicamente o modelo para aplicar a distribuição transversal pelo método de Homberg. 221 .32 ilustra a distribuição de forma literal. L é o comprimento do vão da viga principal.31 . Parâmetros de entrada nas tabelas: Jr ⎡ ⎢r = J ⎢ 3 ⎢ ⎛ L ⎞ Jq ⎢z = ⎜ ⎟ ⋅ ⎝ 2a ⎠ J ⎣ onde: Jr é a inércia à flexão da viga extrema. Jq é a inércia à flexão da transversinas. A Figura 7.2 mostra um trecho da tabela de Homberg e a Figura7. LAJE SEÇÃO TRANSVERSAL a a a VIGAS CENTRAIS TRANSVERSINAS VIGA EXTREMA TRANSVERSINA CORTE LONGITUDINAL L Figura 7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES • SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Método de Homberg/Weinmeister Homberg e Weinmeister organizaram tabelas para a distribuição transversal de cargas (1956) para tabuleiros com até 9 vigas principais na seção transversal. a é a distância entre eixo das vigas. J é a inércia da viga central. 2079 0.0 1.1980 0.2921 0.5 1.0 em “j “.1980 0.2481 0.3311 -0.8540 0.32 .2 1.00 3 ⎛ l ⎞ Jq ⎛ 30.2 .1984 0.3499 -0.9008 0.2556 0.Tabela de Homberg para tabuleiro de 3 vigas na seção transversal Viga “a” z r Viga “b” 80 1.3306 0.5 2.3311 0.8762 0.0 0.0992 0.0 Viga “c” 1.3311 0.0 100 1.8344 0.2477 0.0 ⎠ 1.2915 0.2063 0.8347 0.2481 0.5 2.3968 -0.3505 -0.2570 0.2915 onde: B é a reação na viga i é a viga correspondente j é a posição da carga logo: Bij é a reação da viga “i” para P = 1.1656 0.0 Z=⎜ ⎟ ⋅ = 83.0 ⎞ 1. tem-se: r = Jr J = 3 1.1241 0.1238 0.2991 0.2921 0.1653 0.3960 -0.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Quadro 7.3388 0.8542 0.0990 0.3377 0.9010 0.3722 -0.5 = 1.3715 -0.2 1.Linha de influência transversal para a viga V1 Resolvendo o exemplo anterior pelo método de Homberg/Weinmeister.33 ≅ Z = 80 = ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎝ 2a ⎠ J ⎝ 2 × 3.1984 Trager “a” (viga a) Baa Bab Bac 0.3306 -0.1458 Trager “b” (viga b) Bba Bbb Bbc 0.2477 0. Baa Bab Bac LIR Va Figura 7.1460 0.5 222 .3003 0.8759 0.3306 0. 5 Modelagem do Exemplo Anterior pelo Método de Análise em Computador através do Modelo de Grelha Apresenta-se na Figura 7.3306 -0. verifica-se que os resultados.3306 0. os valores para a definição das linhas de influência das seções transversais.1653 LIR Vb Figura 7.1653 Bbb = 0.3306 Viga B Bbc = 0.1. obtidos pelos dois métodos.8347 0.2.3306 0. a modelagem do tabuleiro do exemplo.8347 0.4. são muitos próximos.33.33. em elementos de grelha. 7.3306 Bac =. O programa SALT analisa estruturas em elementos de barra.3306 LIR Va 0.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Consultando a tabela do Quadro 7.33 .3306 Bab = 0.Linhas de influência da seção transversal pelo método de Homberg Comparando-se as Figuras 7. ilustradas na Figura 7. são: Baa = 0.34.30 e 7. para análise pelo programa de computador SALT da UFRJ.3388 -0.3306 0.8347 Bba = 0. 223 . bem como estruturas em elementos de placa (lajes).1653 Viga A LIR Va 0.0. 50 P 2 B 0.4.34 .Modelo para análise em programa de elementos finitos 7.2 Tabuleiros de Pontes Compostos por Seção Transversal em Caixão Celular Em estruturas cujas seções transversais sejam compostas por caixões unicelulares ou multicelulares. cada viga recebe P/n da carga aplicada sobre a seção.50 0.36 ilustram a distribuição transversal da carga nestas seções e Va Vb P 2 A 0.Distribuição transversal de superestrutura de ponte em caixão de uma célula 224 .50 P LIR VA Figura 7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES Y 1 14 2 1 5 SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 4 5 2 6 7 8 3 7 10 11 13 3 4 13 18 14 8 17 9 6 10 11 12 12 15 9 Suporte X (eixo global) Nó Figura 7.35 . Isto se deve à elevada rigidez à torção dos caixões.50 0.35 e 7. As Figuras 7. 37.333 P 3 0.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA P e Va Vb P 3 0. P a b Va P.Distribuição transversal em ponte composta por duas vigas ligadas pela laje e por transversinas 225 . a favor da segurança. que o momento P × e é absorvido pelo fluxo de tensões cisalhantes que se desenvolve no caixão e não por carga e descarga nas vigas.37 . a contribuição da laje e das transversinas na distribuição transversal.333 P 3 Vc LIR A Figura 7. despreza-se.4. 7.333 0.b L Vb L Figura 7. indicada na Figura 7.36 - Distribuição transversal de superestrutura de ponte em caixão de duas células É importante salientar.3 Distribuição Transversal de Tabuleiros de Pontes Compostos de Seção Transversal em Duas Vigas Ligadas pela Laje e por Transversinas Neste tipo de seção transversal. 38 .38.2.4 − 0. Retornando à Ponte Exemplo. 40 GUARDA-RODAS 280 EIXO DA VIGA V2 600 EIXO DA VIGA V1 75 ø kN GUARDA-RODAS 40 50 230 20 Figura 7. no seu item 7.39. ou seja.00 Figura 7.27) 226 . conforme ilustra Figura 7. com o pára-lama encostado no guarda-rodas. pode-se agora carregá-la com o trem-tipo TB 450 kN.Linha de influência transversal da viga VA Para efeito de carregamento da viga. (dimensões em cm) A NBR. Rótula Rótula VA VB LIR VA 1. o modelo de cálculo considera a ligação laje/viga rotulada. isto é.39 . posiciona-se o trem-tipo no ponto mais desfavorável.2.007 × L ≥ 1.7187 define o coeficiente de impacto vertical ϕ.1. considera a laje bi-apoiada nas vigas.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Conforme mostra a Figura 7. como sendo: a) Pontes rodoviárias ϕ = 1. e não se carrega a área negativa da linha de influência.Trem-Tipo TB-450 kN em planta.00 (7. uma vez que os programas de computador disponíveis no mercado já executam o conjunto de linhas de influência de forma exata. 60 ϕ kN 0.485 5 ϕ kN / m² 3.00 x 6. por viga.424 1.40 0.Carregamento da linha de influência transversal.40.41 .40 . as cargas concentradas das rodas do caminhão tipo são reduzidas.045 1.4 − 0.000 0.20 Figura 7.274 Para facilitar os cálculos do carregamento das linhas de influência.40 1.970 1.0 × 3. onde na área do caminhão tipo (3.50 6.007 × 18.00 0.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES b) SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Pontes ferroviárias ( ) ϕ = 0.20 (7.Trem-tipo simplificado A Figura 7.20 6.485 -0. conforme mostra a Figura 7.00 m) aplica-se a carga de 5 ϕ kN / m2.50 2. adota-se um trem-tipo simplificado.41 mostra o trem-tipo carregando a linha de influência transversal da Ponte Exemplo. P = 750 × ϕ − 40 (6.28) Na Ponte Exemplo.348 1.25 L ≥ 1 . Este procedimento atualmente deixa de ter sentido. por metro.60 3.001 1600 − 60 L + 2. tem-se: ϕ = 1. para a viga V1 227 .0) × 5 × ϕ ⇒ P = 60 ϕ kN 6 940 280 40 60 ϕ kN / roda 5 ϕ kN / m² Figura 7.0 ⇒ ϕ = 1. Com isso. A carga de multidão é definida pelo produto da carga distribuída de 5 kN/m pela área da linha de influência sob sua atuação. a ordenada y1 corresponde ao valor do momento fletor em S5. quando uma carga unitária assume diversas posições sobre a viga”.274 = 42.63 kN / m 2 O trem-tipo longitudinal simplificado encontra-se ilustrado na Figura 7.1 Conceito de Linha de Influência Quando uma carga concentrada se desloca ao longo de uma viga contínua.43 .348 + 1. para diversas posições da carga concentrada sobre a viga. y2 P=1 S4 S0 S5 + y1 S10 LIMS 5 Figura 7.5. 7. em uma dada seção. 7. são determinadas através das linhas de influência destas solicitações.63 kN 1.40 × 1.424 × 9.274 = 182.5.42. tem-se o seguinte trem-tipo longitudinal: P = 60 × (1. é representada graficamente por meio das linhas de influência das solicitações seccionais. 182.5 1.5 m Figura 7. apresentada na Figura 7. é a linha cujas ordenadas representam os valores assumidos por esta solicitação na seção considerada.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA O trem-tipo longitudinal é determinado pelo produto de cada carga do trem-tipo transversal por sua respectiva ordenada na linha de influência. A ordenada y2 corresponde ao valor do momento fletor em S5.045) × 1. uma determinada seção desta viga fica sujeita a diferentes solicitações seccionais. A partir da Figura 7. quando a carga P=1 está posicionada no extremo do balanço esquerdo. devidas às cargas móveis. A lei de variação das solicitações seccionais em uma determinada seção.92 kN p = 5 × 1.43. Na linha de influência da seção S5.41. em função das diversas posições assumidas pela carga na viga.92 kN 42.5 Solicitações devidas às Cargas Móveis no Sentido Longitudinal As solicitações seccionais máximas e mínimas nas vigas principais.2 Definição de Linha de Influência: “Linha de influência de uma solicitação seccional qualquer.Linha de influência de momento fletor na seção S5 228 . quando a carga P=1 está posicionada em S4.Trem-tipo longitudinal simplificado da viga 7.42 . 7.44 ilustra esquematicamente uma ponte com três vãos e dois balanços laterais.Sistema estrutural da viga da Ponte Exemplo 229 .PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA O conhecimento das linhas de influência é de grande importância no projeto de pontes.5. porém para cálculos manuais.5. tornase necessário o conhecimento das ordenadas das linhas de influência de momentos fletores e solicitações cortantes de todas estas seções. As solicitações seccionais. as ordenadas das linhas de influência de todas as seções situadas nos vãos das vigas (S1 à S9 e S11 à S19) são função das ordenadas das linhas de influência de momentos fletores nos apoios ( LIMS10 e LIMS20 ). diferente da Ponte Exemplo. pois o dimensionamento do vigamento principal é feito para as solicitações máximas em cada seção e são as linhas de influência que permitem visualizar as posições mais desfavoráveis das cargas móveis. A Figura 7. por isso. o processo mais indicado é o processo de CROSS. Como será visto adiante. Nesta dedução foi adotado o Método das Forças. são obtidas pelo carregamento das linhas de influência com o trem – tipo calculado. esforços cortantes e reações de apoio de uma viga contínua de três vãos e dois balanços. Para obtenção das ordenadas das linhas de influência dos momentos nos apoios utiliza-se o Método dos Esforços ou Método das Forças. Método das Deformações).44 . As ordenadas das linhas de influência podem ser obtidas por qualquer dos métodos da hiperestática clássica (Método das Forças. simétrica e de inércia constante. devidas às cargas móveis. Apresenta-se a seguir a dedução das ordenadas das linhas de influência de momentos fletores. com Inércia Constante e Composta por Três Vãos e Dois Balanços 7.3. S10 S0 S20 S30 J const L BaL L1 L2 L3 L BaL Figura 7.3 Dedução das Ordenadas das Linhas de Influência de uma Viga Contínua Simétrica.1 Ordenadas das Linhas de Momentos Fletores dos Hiperestáticos As vigas principais (longarinas) das pontes rodoviárias ou ferroviárias são dimensionadas à flexão simples e ao cisalhamento em décimos de vãos.2 L: L. portanto. com relação entre os vãos dada por L: 1. para obtenção destas solicitações máximas. A Figura 7.46 ilustra a atuação do carregamento externo e dos hiperestáticos X1 e X2 no sistema principal. mostrado na Figura 7. Nas vigas contínuas. determinar todos os valores assumidos por X1 e X2 quando uma carga concentrada e unitária se desloca sobre a viga.45.P. portanto. desde sua extremidade esquerda até sua extremidade direita.Sistema principal do método dos esforços As rótulas tornam o sistema isostático e. portanto.45 .P.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA A primeira etapa é a formação do sistema principal (SP).P. (DM0) P=1 tf X Atuação do hiperestático X1 no S. (DM1) X1=1 tfm X1=1 tfm 1.Aplicação dos hiperestáticos unitários no sistema principal 230 . J const X1 X2 1 2 Figura 7.46 .00 Figura 7. Atuação do carregamento externo no S. de cálculo conhecido. Os momentos X1 e X2 (hiperestáticos) tornam o sistema principal (estrutura derivada) mecanicamente equivalente à estrutura original (mesmas solicitações e deformações). que é uma estrutura derivada da estrutura original de cálculo conhecido (normalmente isostática) e mecanicamente equivalente a estrutura original. As incógnitas do problema são justamente os hiperestáticos X1 e X2 (momentos sobre os apoios). o sistema principal mais adequado é aquele que é obtido rotulando-se os apoios intermediários das vigas. Deve-se.00 Atuação do hiperestático X2 no S. (DM2) X2=1 tfm X2=1 tfm 1. 47. atuando no S. • δ22 é a rotação relativa das hastes sobre o apoio 2 devido ao hiperestático X2 = 1. • δ11 é a rotação relativa das hastes sobre o apoio 1 devido ao hiperestático X1 = 1.P.P. • δ20 é a rotação relativa das hastes sobre o apoio 2 devido ao carregamento externo.P.P..P. atuando no S..29) representa a nulidade da rotação relativa das hastes sobre o apoio 1 e a equação (7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA O sistema de equações.30) representa a nulidade da rotação relativa sobre o apoio 2...30) A equação (7. atuando no S. • δ12 é a rotação relativa das hastes sobre o apoio 1 devido ao hiperestático X2 = 1. que resolve o problema.P. pode ser escrito como: • δ10 é a rotação relativa das hastes sobre o apoio 1 devido ao carregamento externo. traduz a nulidade da rotação relativa das hastes (tramos da viga) sobre os apoios. atuando no S. Equação de compatibilidade δ10 + δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X 2 = 0 (7.. 231 . atuando no S. atuando no S. apresentado na Figura 7.29) δ 20 + δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 = 0 (7.. • δ21 é a rotação relativa das hastes sobre o apoio 2 devido ao hiperestático X1 = 1. O significado físico das parcelas que compõem as equações de compatibilidade. o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas nele atuantes. Sabe-se pelo teorema dos trabalhos virtuais que: “. calculam-se as rotações relativas sobre os apoios. M .Visualização da deformada do sistema principal para os diversos carregamentos atuantes Em seguida. δ22.31) é modificada para ϕ= ∫ MM dx EJ (7. δ10.4 J3 142 Trabalho ∫ Virtual FEXT (7. δ21 e δ12.31) Trabalho Virtual FINT Como M = 1 a equação (7. δ11. δ20. isto é.” [ ] __ __ M.47 ...PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA P=1 tf δ 10 P=1 tf δ 20 δ 10 δ 11 δ 21 X1=1 tfm Elástica δ 22 δ 12 X2=1 tfm Elástica Figura 7...dx M ×3δ = 12 E.32) 232 . 73333L1 )X1 + (0.40000 ⇒ δ11 = +0. δ22.2L1 = 0. As rotações relativas δ11. define-se o sistema de equações: ⎧(0. δ21 e δ12 nas equações de compatibilidade (7.20000L1 6 δ12 = δ 21 = +0. δ22. tem-se: δ 22 = +0.3333 + 0.2 L = 0. δ12 e δ21 são determinadas independentemente da posição da carga P=1 tf.4000 L 1 1 ⎪⎩ 3 δ11 = 0.73333L1 • Cálculo de δ12 = δ21 1 × 1 × 1 × 1.48 .2000L1 )X 2 = −δ10 ⎨ ⎩(0.29) e (7. O cálculo é feito de acordo com os diagramas DM1 e DM2 da Figura 7.2000L1 )X1 + (0.Sistema estrutural para geração das linhas de influência • Cálculo de δ11 ⎧1 ⎪⎪ 3 × 1 × 1 × L1 = 0.30).20000L1 Substituindo-se os valores de δ11.2 L1 Figura 7.73333L1 )X 2 = −δ 20 233 . a integral acima foi tabelada por diversos autores.46 e com auxílio das tabelas de integração de diagramas.48: J const L1 L Bal L2 L3 L Bal L2 = 1.33333 L1 ⎨ ⎪ 1 × 1 × 1 × 1. O sistema estrutural para a geração das linhas de influência é ilustrado na Figura 7.PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA Para simplificação do trabalho.73333L1 • Cálculo de δ22 Por simetria.