Univ er sidade Pr esbit er iana M ack enzieCur so de Engenhar ia El ∂et r ica P r ocessam ent o D igit al de Sinais Not as de A ul a Pr of . M ar cio Eisencr af t Segundo semest re de 2007 Univ er sidade Pr esbit er iana M ack enzie Cur so de Engenhar ia El ∂et r ica P r ocessam ent o D igit al de Sinais T EORI A Pr of . M ar cio Eisencr af t Segundo semest re de 2007 Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 Aula 1T - Sinais de tempo discreto Operações com seqüências Bibliografia HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 8573077417. Páginas 40-46. MITRA, Sanjit K. Digital signal processing: a computer-based approach. 2nd ed. Boston: McGraw-Hill, c2001. 866 p. : il. ; 24 cm ISBN 0072321059. Páginas 44 – 49. 1. Sinais de tempo discreto � Um sinal de tempo discreto é basicamente um sinal que está definido apenas em instantes isolados de tempo. Conseqüentemente, um sinal de tempo discreto pode ser descrito por uma seqüência de números. � Nesta aula, aprenderemos um pouco mais sobre a representação deste tipo de sinal e como realizar operações com eles. � Os sinais de tempo discreto são representados pela notação x[n] em que n só está definido para números inteiros. Cada um dos elementos do sinal x é chamado de amostra. Vejamos alguns exemplos: (a) x[n] n2 , Este sinal 6 n é 6 constituído das seguintes amostras {x n } {36,25,16,9,4,1,0,1,4,9,16,25,36} . A figura a seguir mostra um gráfico deste sinal: stem(-6:6, (-6:6).^2); 1 n N As amostras deste sinal são { y[ n]] {1. Este sinal tem 6 ( 6) 1 13 amostras. Dentre as seqüências de comprimento infinito. (CARLSON.81. por exemplo. destacamos as seqüências chamadas causais definidas somente para n 0 e as seqüências anticausais definidas para n 0 .6561.^(0:50)) Os exemplos acima mostram que um sinal de tempo discreto pode ser uma seqüência de comprimento finito ou infinito. um sinal de comprimento finito definido no intervalo N1 n N 2 tem comprimento ou duração: N N 2 N1 1 .729. 44) Um sinal é chamado de simplesmente definido (“simply-defined”) se ele é representado por uma única equação e é chamado 2 . stem (0:50. Além disso.9. A figura a seguir mostra as 50 primeiras amostras deste sinal.0.} . a seqüência do exemplo anterior é causal.0.. (0. y[0] 1 .0. Exercício 1. Repare que este é um sinal com infinitas amostras e.9) n . 1998.0.. p.9).Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 A segunda amostra deste sinal é x[ 5] 25 . (b) y[n] (0.. Por exemplo. O conceito de sistemas é um dos mais importantes no curso de Engenharia Elétrica e é explorado em várias disciplinas. Sendo assim. Aqui. n 0. n 1 1 n. em outras palavras. (b) n xn (d) x n n n 1. em como eles operam. n2 1 (e) x n 1 1 n. nos preocuparemos principalmente com a parte operacional de sistemas de tempo discreto.1. 3 . n 6 3 n 2 1. esboce os sinais de tempo discreto definidos pelas seguintes equações. n 3 3. 25 n (a) x n e (c) x n n 1 . . n 1. A figura a seguir mostra esquematicamente um sistema de tempo discreto cuja entrada é a seqüência x[n ] e a saída é a seqüência y[n] . 0.Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 de definido por partes (“piecewise defined”) se é representado por um conjunto de equações cada uma válida num intervalo de tempo diferente. 3 n 6 n 5 . Indique também se eles são definidos por partes. ou. n 0 0 0 0 Operações com seqüências Sistemas de tempo discreto são entidades que transformam uma ou mais seqüências de entrada em uma ou mais seqüências de saída. esta operação é representada pelo símbolo mostrado a seguir que é chamado de somador.Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 Quase todo sistema de tempo discreto pode ser decomposto em um conjunto de operações básicas entre seqüências que serão estudadas a seguir. representada por w2 [n] xn y[ n] . 1. 1. consiste em multiplicar. para cada valor de n as amostras das se- qüências x[n] e y[n] .1. 4 . esta operação é representada pelo símbolo mostrado a seguir.2. para cada valor de n as amostras das seqüências x[n] e y[n] . Esquematicamente. Esquematicamente. consiste em somar. Soma A operação soma entre duas seqüências x[n ] e y[n] .1. Esta operação também é chamada de modulação na área de telecomunicações. Produto A operação produto entre duas seqüências x[n ] e y[n] .1. representada por w1 [n] x n y[n] . 9. 4. yn 0.1.1. 1 Determine as seguintes seqüências: (a) u n xn (d) r n 4. 5 . 4. p. 0. 5. A relação entre a saída e a entrada nesta operação é w4 n x[n N ] em que N é um inteiro. 106) Considere as seguintes seqüências de comprimento 7 definidas para 3 n 3 : xn 3. O dispositivo que implementa a operação de atraso de uma amostra é chamado de atraso unitário e seu símbolo é mostrado a seguir. Esquematicamente temos: Esta operação também é chamada de ganho. (MITRA. um novo sinal é gerado multiplicando-se cada amostra da seqüência x n pelo escalar A : w3 [n] Ax n . 1. 4. 2 .3. 5. yn (b) v n xn wn (c) s n yn wn 1. 2 3. Deslocamento no tempo A última operação de que trataremos por enquanto é o deslocamento no tempo (“time-shifting”). Multiplicação por escalar Nesta operação.5 y n .4. 7. 6. 3. 1. wn 2. 5. Se N 0 esta é uma operação de atraso e se N 0 esta é uma operação de avanço. 2001.Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 1. 0. Exercício 2. 2001. 47) Descreva uma formula para o sinal y[n] obtido do filtro mostrado em diagrama de blocos na figura a seguir: 6 . (MITRA. obtendo-se o sinal w n x[n 1] . definido para todo n inteiro é dado por xn 2n 1 . Exercícios 3. Um sinal de tempo discreto x[n] .Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 A explicação do por que deste símbolo será dada mais tarde quando estudarmos Transformadas z.75 x[ n 2] 5. Desenhe um diagrama de blocos que programe a seguinte operação sobre o sinal x n : y[ n] x[ n] 0. 4. Ele é passado por um atrasador.5 x[ n 1] 0. p. Descreva as amostras para 0 n 10 dos sinais x[n] e w[n] e escreva uma fórmula fechada para as amostras do sinal w[n] . Em cada caso. WILLSKY. os sinais pares são simétricos com relação ao eixo vertical ou origem dos tempos enquanto que os sinais ímpares são antisimétricos em relação à origem dos tempos. Hamid. ISBN 0138147574. 957 p.1 Sinais de tempo contínuo Um sinal de tempo contínuo é dito par se ele satisfizer a condição x t x t para todo t Um sinal de tempo contínuo é dito impar se ele satisfizer a condição x t x t para todo t Assim. periodicidade e energia. Alan S. VAN VEEN. Páginas 1-14 1. Alan V. Sinais e sistemas. ed.. Simon S. NAWAB. Veremos agora como podemos classificar os sinais segundo alguns critérios como simetria.2. veremos as definições para sinais de tempo contínuo e discreto. 668 p..2 Classificação de sinais Nas aulas anteriores. New Jersey: Prentice-Hall. 2nd. Upper Saddle River. de forma geral é uma função (contínua ou discreta) do tempo. 1. c1997. 1 .1. vimos que um sinal. Páginas 40-46. Os sinais x t t2 e x t t 3 são exemplos de sinal par e ímpar respectivamen- te. S.2. OPPENHEIM. Signals & systems.1 Classificação baseada na simetria 1. Porto Alegre: Bookman. O gráfico destes sinais está mostrado a seguir. Barry.Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 Aula 2T - Classificação de sinais Bibliografia HAYKIN. ISBN 8573077417.. 2001. 2 .Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 Qualquer sinal x t pode ser decomposto numa soma de dois outros sinais. um par x p t e outro ímpar xi t . xt com x p xp t t xi t . definimos sinais de tempo discreto par e ímpar como: Sinal par: x n x n para todo n . que qualquer sinal pode ser decomposto em uma componente par e numa componente ímpar.1. Sinal ímpar: Demonstra-se também.2 Sinais de tempo discreto De forma análoga ao que foi feito em tempo contínuo. temos: x t xp t xi t xi t (2) xp t Resolvendo o sistema (1)-(2) para x p t e xi t . xp n xi n 1 xn 2 1 xn 2 x n x n A figura seguinte mostra exemplos de sinais de tempo discreto par e ímpar. ou seja. de forma análoga ao que foi feito antes.2. (1) xp t e xi t xi t Trocando t por t na expressão (1). chega-se a: 1. x n x n para todo n . 1 1. (1041) (MITRA. O menor valor de T que satisfaz esta condição é chamado de período fundamental de x t . 1. 5. (c) w n 2. 1. 5. O inverso do período fundamental é a freqüência fundamental. medida em radianos por segundo como: 2 T 3 . é dada em Hertz (Hz). 4. 4.2 Classificação quanto à periodicidade 1.1 Sinais de tempo contínuo Um sinal x t é dito periódico quando satisfizer a condição x t x t T para todo t e T é uma constante positiva. 0. 7.2. 1 T f Também definimos a freqüência angular do sinal. p. 4. 9.106) Determine a componente par e ímpar das seqüências a seguir definidas no intervalo 3 n 3 : (a) x n 3.Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 Exercícios 1. (b) y n 0. 6. 0. que. 2 3.2. 2001. 3. quando o período é medido em segundos.2. 2 5. 2 Sinais de tempo discreto A classificação de sinais em sinais periódicos e aperiódicos apresentada até agora se aplica a sinais de tempo contínuo. Consideraremos a seguir o caso de sinais de tempo discreto. Diz-se que um sinal de tempo discreto x n é periódico se ele satisfizer a condição xn x n N para todos os números inteiros n . em que N é um número inteiro positivo. freqüência fundamental de x n é definida por: 2 N . p. Exercício 2. 2000. 37) A figura a seguir mostra uma onda triangular.Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 Quando o sinal não apresenta um período mínimo T é chamado de aperiódico. simplesmente. O menor valor de N que satisfaz a definição anterior é chamado de período fundamental do sinal de tempo discreto x n . Qual é a freqüência fundamental desta onda? Expresse a freqüência fundamental em unidades de Hz ou rad/s. (HAYKIN.2.2. 4 . A freqüência angular fundamental ou. 1. (HAYKIN.Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 a qual é medida em radianos. 1. Considere uma tensão v t aplicada a um resistor de resistência R . 2000. para R 1 . 5 . produzindo uma corrente i t . Lembre-se: O período de um sinal de tempo discreto é obrigatoriamente um número inteiro. vemos que a potência p t é exatamente igual à amplitude ao quadrado do sinal.3. sua freqüência angular fundamental não pode as- sumir qualquer valor.1 Sinais de tempo contínuo Em sistemas elétricos. (a) x n 1 n (b) x n descrito na figura a seguir. encontre o período fundamental. um sinal pode representar uma tensão ou uma corrente. A potência instantânea dissipada no resistor é definida por pt v2 t pt R ou Ri 2 t Vemos assim que a potência instantânea p t é proporcional à amplitude do sinal elevada ao quadrado. Se forem periódicos.2.3 Sinais de energia e potência 1. Além do mais. Exercício 3. p. 78) Determine se os seguintes sinais são periódicos.2. Assim. Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 Baseado nisso. a energia total de x n é definida por: x2 n E n e sua potência média é definida por: 6 . podemos calcular a potência média tomando a média apenas num período ao invés de tomar todo o eixo dos tempos. Para um sinal periódico de período fundamental T . Para sinais periódicos. as integrais anteriores são substituídas pelas somas correspondentes. costuma-se definir a energia total do sinal x t como: T E 2 T 2 lim T x 2 t dt x 2 t dt . Dessa forma. A raiz quadrada da potência média P é chamada de valor médio quadrático (rms – root-mean-square) do sinal x t . em análise de sinais. Também definimos a potência média de um sinal como T 1 P lim T T 2 T 2 x 2 t dt . 1.2.3. costuma-se definir a potência instantânea de um sinal x t como: x2 t pt Lembrando que a energia é o produto da potência pelo tempo. temos: P 1 T T 2 T 2 x 2 t dt .2 Sinais de tempo discreto No caso de um sinal de tempo discreto x n . p. 39) Qual a energia total do pulso retangular mostrado na figura a seguir? Resposta: A 2T1 5. N 2N 1 n N Novamente. 2000. p. (HAYKIN. 2000. Exercícios 4. 1 N P N 1 x2 n . Em especial. Pode-se mostrar que as classificações de energia e potência de sinais são mutuamente exclusivas. para o caso de um sinal x n com período fundamental N . Assim. (HAYKIN. 39) Qual é a potência média da onda quadrada mostrada na figura a seguir? 7 . Um sinal é chamado de sinal de potência se e somente se a potência média do sinal satisfizer a condição 0 P . n 0 Um sinal é chamado de sinal de energia se e somente se a energia total do sinal satisfizer a condição 0 E . um sinal de energia tem potência média zero enquanto que um sinal de potência tem energia infinita.Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 P N 1 lim x2 n . basta tomarmos a média de um período para o cálculo da potência média. para um sinal periódico. (HAYKIN. 40) Qual a energia total do sinal de tempo discreto mostrado a seguir? 8. 2000. 2000. p. p.Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 Resposta: 1 6. p. (HAYKIN. 40) Qual a potência média do sinal periódico de tempo discreto mostrado na figura a seguir? 8 . 2000. (HAYKIN. 40) Qual é a potência média da onda triangular mostrada a seguir? Resposta: 1/3 7. 957 p.. Upper Saddle River.3. 668 p.1 Sinal impulso • A versão de tempo discreto do impulso. Signals & systems. Alan V. NAWAB. comumente notada por δ [n] é definida por: ⎧ 1. • Estudaremos os sinais de tempo discreto impulsivo. ⎩ 0.Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Aula 3T - Seqüências Típicas Bibliografia HAYKIN.Processamento Digital de Sinais . degrau. Estes sinais serão utilizados durante todo o restante do curso para construir sinais mais complicados e estudar a resposta de sistemas a eles. Barry. Páginas 46-59. 1. 1 . c1997. S. VAN VEEN. 1. Simon S. exponencial e senoidal. ed. WILLSKY.3 Algumas seqüências básicas • Nesta aula serão definidos e estudados alguns sinais básicos em tempo discreto. Alan S. Sinais e sistemas. Páginas 14-38. OPPENHEIM.. δ [n ] = ⎨ n=0 . Porto Alegre: Bookman. Hamid. New Jersey: Prentice-Hall.. ISBN 0138147574. ISBN 8573077417. n≠0 • A figura a seguir mostra um gráfico do sinal δ [n] . 2nd. 2001. Esboce os seguintes sinais: (a) a[n] = 2δ [n] (b) b [ n ] = 2δ[ n ] + 3δ[ n − 1 ] + 0. a figura a seguir representa o sinal δ [n − 3] . 2 . basta escrevermos δ [n − k ] . Exercício 1. 5δ[ n − 2 ] • Um sinal de tempo discreto arbitrário pode ser representado como uma soma ponderada de impulsos.5δ [n + 2] + 1. Por exemplo. o sinal a seguir: pode ser expresso por x[n] = 0. Por exemplo.Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 • Para representar um impulso no instante n = k .75δ [n − 6] .Processamento Digital de Sinais .5δ [n − 1] − δ [n − 2] + δ [n − 4] + 0. Expresse os seguintes sinais como somas ponderadas de funções impulsivas. 3 .Processamento Digital de Sinais . u [n ] = ⎨ ⎩ 0.3. n≥0 n<0 • A figura a seguir mostra um gráfico do sinal u[n] . 1.Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Exercício 2. comumente denotada por u[n] é definida por: ⎧ 1.2 Sinal degrau • A versão em tempo discreto da função degrau. 1. (1022) Esboce o seguinte sinal: w[n] = u[n] − u[n − 3] 4. 0≤n≤9 caso contrário Usando u[n] descreva x[n] como a superposição de duas funções degrau. • A figura a seguir mostra exemplos de sinais exponenciais de tempo discreto. 4 . um sinal exponencial real é dado por: x[n ] = Br n .Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Exercícios 3. VEEN. (HAYKIN.3. x[n] = ⎨ ⎩ 0. com B e r constantes reais.Processamento Digital de Sinais .3 Sinais exponenciais • Em tempo discreto. 56) Um sinal de tempo discreto x[n] é definido por: ⎧ 1. p. 2001. 8)n u [n] e verifique se ele é um sinal de energia ou de potência. a condição para que x[n] = x[n + N ] é: ΩN = 2πm radianos ou Ω= 2πm radianos/amostra N m. temos x[n + N ] = A cos(Ωn + ΩN + φ) (2) • Assim.Processamento Digital de Sinais . Especificamente. com m. Exercícios 5. para que x[n] seja periódico com um período de N amostras. um sinal exponencial de tempo discreto assume valores (+. Vemos também que se r < 0 . diferentemente dos sinais senoidais de tempo contínuo. Se r > 1 o sinal é crescente. ele deve satisfazer a condição x[n] = x[n + N ] para todo n e para algum N inteiro. Desta forma.3.-) que se alternam. N inteiros. nem todos os sinais senoidais de tempo discreto com valores arbitrários de Ω são periódicos. um sinal senoidal de tempo discreto será periódico se e somente se sua freqüência angular Ω puder ser escrito na forma da Equação 3.Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 • Se 0 < r < 1 o sinal é decrescente. • É importante notar que. N inteiros.4 Sinais senoidais • A versão de tempo discreto de um sinal senoidal é escrita como x[n] = A cos(Ωn + φ) (1) • O período de um sinal de tempo discreto é medido em amostras. para que o sinal senoidal de tempo dis- 5 . • Calculando x[n + N ] . (1021) Calcule a energia e a potência do sinal x[n ] = (0. (3) • Assim. 1. Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 creto descrito na Eq. π • A figura a seguir ilustra o sinal senoidal x[n] = cos⎛⎜ n ⎞⎟ . determine o seu período fundamental: (a) x[n] = 3 cos⎛⎜ 13 ⎞ πn + 45 o ⎟ ⎝ 20 ⎠ (b) x[n ] = cos( 2πn ) 6 . (1021) Determine se os seguintes sinais de tempo discreto são periódicos. Exercícios 6. (3). (1) seja periódico. Tente calcular o perí⎝6 ⎠ odo deste sinal e confira com a figura. a freqüência angular Ω deve ser um múltiplo na forma de razão de 2π. Se o forem.Processamento Digital de Sinais . como indica a Eq. 1 . 2. Porto Alegre: Bookman. mascarando a sua tendência de longo prazo. 1998. Uma variável pode flutuar (para cima ou para baixo) diariamente. California: Berkeley. ISBN 8573077417. c1998. • Matematicamente. 572) Uma média móvel é usada para detectar a tendência de uma variável que flutua muito rapidamente como as médias do mercado de ações. se expressa um sistema por um operador. abordam-se particularmente os sistemas em que os sinais são de tempo discreto. Páginas 59-70. Sinais e sistemas. Sistemas de tempo discreto no domínio do tempo Em aulas passadas já foi discutido o conceito de sistema. Estes sistemas são chamados de sistemas de tempo discreto. Páginas 562-572. (LATHI. Por exemplo. para dizer que um sinal y[n] é a saída de um sistema H cuja entrada é x[n] escreve-se: y[n] = H [ x[n]] Em diagrama de blocos: x[n] y[n] H Exercícios 1. Barry. 2001.Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 Aula 4T - Sistemas de tempo discreto Classificação Bibliografia HAYKIN. LATHI. Signal processing and linear systems. ISBN 0941413357.. Foi visto que um sistema é uma interconexão de operações que transforma um sinal de entrada em um sinal de saída. VAN VEEN. Bhagwandas Pannalal. Simon S. p. 734 p. 668 p. Neste curso. A entrada x[n] é o preço do n ésimo item. y[-1] = 3 e y[-2] = 2 . 2. 1998. 3. Para o mercado de ações. faça um diagrama de blocos deste filtro de média móvel. (LATHI. 571) A saída de uma caixa registradora y[n] representa o preço total de n itens passados pela caixa. 1998. (b) Usando elementos de atraso. p. x[n − 1] e x[n − 2] . (LATHI. (a) Escreva a equação de diferenças relacionando y[n] a x[n] . podemos considerar uma média móvel de 3 dias y[n] como sendo a média dos valores de fechamento do mercado de ações dos últimos três dias.16 y[n − 2] = 0 com y[− 1] = 25 . 611) Resolva a seguinte equação iterativamente (primeiros três termos apenas): y[n] − 0. 611) Resolva a seguinte equação iterativamente (primeiros três termos apenas): y[n + 2] + 3 y[n + 1] + 2 y[n] = x[n + 2] + 3 x[n + 1] + 3 x[n] com x[n] = 3 n u[n]. p.6 y[n − 1] − 0. p. 4. 2 .Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 Podemos obter a tendência de longo prazo suavizando ou tomando a média dos N últimos valores da variável. y[− 2] = 0 . x[n] . 1998. (b) Esquematize a realização deste sistema usando APENAS UM elemento de atraso. (LATHI. (a) Escreva a equação de diferenças relacionando y[n] com a entrada x[n] . o sistema de média móvel do Exercício 1 descrito pela relação entrada-saída: y[ n] = 1 (x[n] + x[n − 1] + x[n − 2]) 3 tem memória. A extensão temporal de valores passados dos quais a saída depende define quão longe a memória se estende no passado.1 Classificação de sistemas 2.1 Memória • Diz-se que um sistema possui memória se sua saída depende de valores passados ou futuros do sinal de entrada.Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 2. o sistema de média móvel já descrito. uma vez que o valor do sinal de saída y[n] no instante n depende do valor atual e de dois valores passados do sinal de entrada x[n] .2 Causalidade • Diz-se que um sistema é causal se o valor atual do sinal de saída depender somente dos valores presentes e/ou passados do sinal de entrada. 3 . 2.1. um sistema descrito pela relação: y [n ] = x 2 [n ] é sem memória uma vez que o valor do sinal de saída y[n] no tempo n depende apenas do valor atual do sinal de entrada x[n] . Em contrapartida. • Em contrapartida. • Por outro lado. • Por exemplo.1. diz-se que um sistema é sem memória se seu sinal de saída depende somente do valor presente do sinal de entrada. • Por exemplo. o sinal de saída de um sistema não-causal depende de valores futuros do sinal de entrada. Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 y[ n] = 1 (x[n] + x[n − 1] + x[n − 2]) 3 é causal. as características de um sistema invariante no tempo não se modificam com o tempo. o sistema de média móvel descrito por: y[ n] = 1 (x[n + 1] + x[n] + x[n − 1]) 3 é não-causal uma vez que o sinal de saída y[n] depende de um valor futuro do sinal de entrada. diz-se que o sistema é variante no tempo. Já o sistema y[n ] = r n x(n ) é variante no tempo. 2. • Por exemplo.1. Isto implica que um sistema invariante no tempo reage de maneira idêntica. 2. Caso contrário. 4 . Caso contrário.4 Linearidade • Dizemos que um sistema é linear quando são válidos os princípios da superposição e da homogeneidade explicados a seguir. a saber. o sistema é chamado não-linear. Dizendo com outras palavras.1.3 Invariância no tempo • Diz-se que um sistema é invariante no tempo se um retardo de tempo ou avanço de tempo do sinal de entrada levar a um deslocamento idêntico no sinal de saída. Por outro lado. x[n + 1] . o sistema y[n] = 2 x[n − 1] é invariante no tempo. não importa quando o sinal de entrada seja aplicado. Um sistema satisfaz o princípio da superposição se. (1021) Um sistema linear e invariante no tempo tem a seguinte resposta à entrada x[n] = δ [n] (resposta impulsiva): Faça um esboço da saída y[n] deste sistema quando a entrada é: (a) x[n] = 3δ[n] (b) x[n] = δ [n − 2] (c) x[n] = 2δ [n] + 0.Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 A. a ∈ R * . Um sistema satisfaz ao princípio da homogeneidade se quando aplicamos a ele a entrada x H [n ] = ax1 [n ] . Princípio da homogeneidade Seja um sistema y[n] = H [ x[n]] e seja y1 [n] a resposta à entrada x1 [n] . • Assim. quando aplicamos a ele a entrada x S [n] = x1 [n] + x2 [n] sua saída é y S = y1 [n ] + y 2 [n] . Princípio da superposição Seja um sistema y[n] = H [ x[n]] e sejam y1 [n] a resposta à entrada x1 [n] e y 2 [n] a resposta à entrada x2 [n] .5δ [n − 1] 5 . para verificar se um sistema é linear é necessário testar as duas condições acima. Exercícios 5. sua saída é y H [n] = ay1 [n] . B. 0. (1031) Um sistema de tempo discreto é definido pela seguinte equação de diferenças: y[n] = x[n](1 − x[n − 1]) (a) Este sistema é causal? Justifique. − 6}. − 6. 0 ≤ n ≤ 5 6 . (g) Repita o item (e) para x[n] = 3u[n] . 0}. (e) Determine iterativamente a resposta ao degrau deste sistema ( x[n] = u[n] ) para 0 ≤ n ≤ 5. . 0. − 6. (c) Este sistema é linear? Justifique. (g) y[n] = {3. 0 ≤ n ≤ 5 .Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 6. (f) Repita o item (e) para x[n] = u[n − 2]. (b) Este sistema tem memória? Justifique. (d) Este sistema é invariante no tempo? Justifique. 1. 0. − 6. Resp: (f) y[n ] = {0. − 6. 2. Signals & systems.. Sistemas LIT – A soma de convolução � Os sistemas mais utilizados em quase todas as áreas da Engenharia são os sistemas lineares invariantes no tempo (abreviadamente.. 2001. se soubermos a resposta de um sistema LIT a uma entrada impulsiva. Páginas 85-99. New Jersey: Prentice-Hall. por exemplo. LIT ou LTI em inglês). (1021) Um sistema linear e invariante no tempo tem a seguinte resposta à entrada x[n ] = δ [n] (resposta impulsiva): Faça um esboço da saída y[n] deste sistema quando a entrada é: (a) x[n] = 3δ[n] 1 .Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 Aula 5T – Representação de sistemas LIT: A soma de convolução Bibliografia HAYKIN. 957 p. Alan S. 2. Exercício 1. OPPENHEIM. VAN VEEN. Alan V. Porto Alegre: Bookman.. ISBN 8573077417. Em outras palavras. WILLSKY. ISBN 0138147574. � Veja. Barry. Hamid. 668 p. 2nd. o exercício a seguir (Exercício 6 da aula 4T). NAWAB. � O principal motivo para esta preferência é que este tipo de sistema fica totalmente caracterizado pela sua resposta impulsiva. ou seja. Páginas 74-90. Upper Saddle River. ed. saberemos calcular sua resposta para qualquer entrada. Simon S. Sinais e sistemas. c1997. S. pela saída do sistema quando colocamos em sua entrada o sinal impulso unitário δ [n ] . a resposta do sistema a um impulso deslocado no tempo será uma versão deslocada no tempo da resposta do sistema a um impulso. a saída será uma superposição ponderada da resposta do sistema a cada impulso deslocado no tempo.Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 (b) x[n ] = δ [n − 2] (c) x[n] = 2δ [n] + 0. 2 . sendo o sistema LIT e conhecendo a resposta a um impulso. como qualquer sinal x[n] pode ser descrito como uma soma ponderada de impulsos.5δ [n − 1] • Resumindo. poderemos determinar a saída devida a qualquer entrada x[n] . A figura seguinte ilustra este produto.1 A soma de convolução • Considere um sinal qualquer x[n] . Sabemos que x[n]δ [n] = x[0]δ [n] Ou seja. a saída de um sistema LIT é dada por uma superposição ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo.2. • Na aula de hoje analisaremos este fato e suas conseqüências em detalhes. Se o sistema for também invariante no tempo. a multiplicação de um sinal x[n] por um impulso δ [n] resulta num impulso de intensidade x[0]δ [n] . • Essa superposição é chamada de soma de convolução. • Se a entrada de um sistema linear for expressa como uma superposição ponderada de impulsos deslocados no tempo. 2. Por isso. • Vamos analisar agora a saída de um sistema LIT a uma entrada x[n ] descrita pela equação (1) acima. ou seja.Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 • Generalizando esta expressão podemos dizer que x[n]δ [n − k ] = x[k ]δ [n − k ] • Ou seja. podemos escrever: ∞ x[ n] = ∑ x[k ]δ [n − k ] (1) k =−∞ Exercícios 2. Esboce o seguinte sinal s[n] = 5δ [n + 2] + 2δ [n + 1] + 1.5δ [n] + δ [n − 1] . y[ n] = H [ x[n ]] h[n ] = H [δ [n ]] • (2) Sendo assim. x[n] y[n] H • Vamos chamar de H o operador que representa a operação realizada por este sistema e de h[n] a resposta deste sistema a um impulso. a multiplicação de um sinal por um impulso deslocado no tempo resulta em um impulso deslocado no tempo com amplitude dada pelo valor no instante em que o impulso ocorre. Esta propriedade nos permite expressar x[n] como a seguinte soma de impulsos deslocados no tempo: x[n] = K + x[− 2]δ [n + 2] + x[− 1]δ [n + 1] + x[0]δ [n] + x[1]δ [n − 1] + x[2]δ [n − 2] + K • De forma mais concisa. para uma entrada qualquer x[n] podemos escrever usando as Equações (1) e (2): 3 . 3. Escreva o sinal x[n] da figura anterior como uma soma ponderada de impulsos. podemos aplicar a superposição e a homogeneidade para aplicar o operador a cada uma das parcelas da somatória. VEEN. A figura (a) descreve a resposta ao impulso de um sistema LIT arbitrário.Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 ⎡ ∞ ⎤ y[n] = H [ x[n]] = H ⎢ ∑ x[k ]δ [n − k ]⎥ ⎣ k =−∞ ⎦ • Levando-se em conta que o sistema é linear. temos que a resposta a um impulso atrasado de k amostras é a saída impulsiva atrasada de k amostras. 2001) ilustra o processo de convolução. Obtemos assim: y[n ] = ∞ ∑ H [ x[k ]δ [n − k ]] = k =−∞ • ∞ ∑ x[k ]H [δ [n − k ]] k =−∞ Utilizando agora o fato de que o sistema é invariante no tempo. Ou seja. • A somatória da Eq. ou seja. (3) é chamada de soma de convolução e representada pelo símbolo *. ou seja. concluímos que: y[n ] = ∞ ∑ x[k ]h[n − k ] (3) k = −∞ • Desta forma vemos realmente que a resposta de um sistema LIT qualquer é dada por uma soma ponderada da resposta impulsiva deslocada no tempo. Na figura (b) a entrada é representada como uma soma de impulsos ponderados e deslocados no tempo p k [n] = x[k ]δ [n − k ] . A saída do sistema associada a cada pulso p k [n] é v k [n] = x[k ]h[n − k ] 4 . Assim. H [δ [n − k ]] = h[n − k ] . ela é totalmente descrita pela entrada e pela resposta impulsiva. x[n] ∗ h[n] = ∞ ∑ x[k ]h[n − k ] k =−∞ • A Figura 1 a seguir do (HAYKIN. Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 Figura 1 – A soma de convolução (HAYKIN. VEEN. 5 . 2001). ⎪ 3. encontramos todos os v k [n] e depois somamos para todos os valores de k para determinarmos y[n] . • Uma abordagem mais interessante é olharmos novamente para a equação y[n ] = ∞ ∑ x[k ]h[n − k ] k =−∞ 6 . ⎪ h[n] = ⎨ 2 ⎪ 0. A saída y[n] em resposta à entrada x[n] é obtida somando-se todas as seqüências vk [n] : ∞ y [n ] = ∑ v [n ] k k = −∞ • Assim. 88) Suponha que um sistema H LIT tenha a resposta ao impulso: ⎧ 1. VEEN. ⎩ n = ±1 n=0 caso contrário Determine a resposta deste sistema em resposta à entrada ⎧ 2. somamos para cada valor de n os valores ao longo do eixo k indicados no lado direito da figura (b). (HAYKIN. p.Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 • Ou seja. a resposta impulsiva de k unidades e multiplicando-se por x[k ] . 2001. Esta abordagem é muito eficaz quando a entrada tem curta duração. Exercício 4. ⎪⎩ 0. no tempo. v k [n] é obtida deslocando-se. um número muito grande. ⎪ x[n] = ⎨ ⎪ − 2. de forma que somente um pequeno número de sinais v k [n] precisa ser determinado. possivelmente infinito de sinais vk [n] precisa ser avaliado antes que y[n] possa ser encontrado. Quando a entrada tem uma duração longa. n=0 n =1 n=2 caso contrário • No exercício acima. Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 e imaginarmos que n está fixo. (4) para um número infinito de deslocamentos distintos no tempo n . 6. y 10 = 3. Isto é realizado identificando-se os intervalos de n nos quais wn [k ] tem a mesma forma funcional. do produto do sinal de entrada pela resposta impulsiva do sistema invertida no tempo e deslocada de n0 unidades. Encontre a resposta nos instantes n = 1 e n = 2 para o sistema e para a entrada do Exercício 4 usando a abordagem discutida acima. • Este último exercício sugere que. p. para calcularmos a saída num certo instante n0 precisaríamos calcular: y [n 0 ] = ∞ ∑ x[k ]h[n 0 − k] = k = −∞ ∞ ∑ x[k ]h[− (k − n )] 0 (4) k =−∞ o que consiste em somar todos os elementos do sinal wn [k ] = x[k ]h[− (k − n0 )] ou 0 seja. y[5] = 3.288 . n = 5 e n = 10 quando a entrada for x[n] = u[n] . Desta forma. • Os exercícios seguintes devem ilustrar este enfoque. (4) usando o wn [k ] associado com cada intervalo. Depois. Exercícios 5. Muitas vezes é 7 . precisamos somente avaliar a Eq. podemos determinar y[n] para todo n sem avaliarmos a Eq. em geral. VEEN. Escreva uma fórmula para wn [k ] para o Exercício anterior e encontre y[n] para todo n . caso contrário caso contrário ⎩ ⎩ 0. 91) Um sistema LIT tem resposta ao impulso: n ⎛ 3⎞ h[n] = ⎜ ⎟ u[n] ⎝ 4⎠ Determine a saída do sistema nos instantes n = −5 . RESP: ⎧ ⎛ ⎛ 3 ⎞ n +1 ⎞ ⎧ ⎛ 3 ⎞ k −n ⎪ 4⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ . (HAYKIN. 2001. y[n] = ⎨ ⎜⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎟⎠ ⎪0 ⎪ . 0≤k ≤ n wn [k ] = ⎨ ⎝ 4 ⎠ . [ ] RESP: y[− 5] = 0 .831 7. n ≥ 0 ⎪⎜ ⎟ . 2. (HAYKIN. Para determinar h[n − k ] . Aumente o deslocamento no tempo n até que a forma funcional para wn [k ] se modifique. Para cada intervalo de deslocamento no tempo n . Escreva a forma funcional para wn [k ] . 93) Um sistema LIT tem a resposta ao impulso dada por: h[n] = u[n] − u[n − 10] Determine a saída deste sistema quando a entrada for o pulso retangular definido como x[n] = u[n − 2] − u[n − 7] 8 . Isto usualmente implica em aumentar n até um número positivo muito grande.Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 muito útil traçarmos graficamente tanto x[k ] como h[n − k ] quando determinamos wn [k ] e identificamos os intervalos apropriados de deslocamento no tempo. Exercícios 8. p. 4. O valor de n no qual ocorre a modificação define o fim do intervalo corrente e o início de um novo intervalo. Resumindo: 1. some todos os valores de wn [k ] correspondente para obter y[n] neste intervalo. 5. Admitamos que n esteja no novo intervalo. Inicie com o deslocamento de tempo n grande e negativo. VEEN. 3. 6. Repita os passos 3 e 4 até que todos os intervalos de deslocamento no tempo n e as formas funcionais para wn [k ] sejam identificados. primeiramente reflita h[k ] em torno de k = 0 para obter h[− k ] e depois desloque h[− k ] de − n no tempo. Trace graficamente x[k ] e h[n − k ] como uma função da variável independente k . 2001. n -1 ⎪ .⎜⎜ ⎟⎟ ⎪ βn ⎝ β ⎠ . ⎪ 16 − n. RESP: ⎪ 1 .⎜ ⎟ ⎜β⎟ ⎪⎪ y[n] = ⎨ β n ⎝ ⎠ .α y[n ] = ⎨ . 96) Admitamos que a entrada de um sistema LIT com resposta ao impulso h[n] = α n {u[n − 2] − u[n − 13]} x[n] = 2{u[n + 2] − u[n − 12]} . p. VEEN. -1 ⎪ 1-α 12 n . p. Encontre a saída deste sistema.α -1 ⎪ n ≥ 24 ⎪⎩ 0. 95) Admitamos que a entrada x[n] para um sistema H do tipo LIT seja dada por x[n] = α n {u[n] − u[n − 10]} e que a resposta ao impulso do sistema seja dada por h[n] = β n u[n] em que 0 < β < 1 . (HAYKIN. 2001. n<0 ⎧ 0. ⎛α ⎞ ⎪ 1 . ⎪ ⎛α ⎞ 1 . ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ RESP: n<0 ⎪ 0. ⎪ n +2 2α 1 . n<2 2≤n≤6 6 < n ≤ 11 12 ≤ n ≤ 16 n > 16 9. VEEN.α . ( ( ( ) ) ) 0 ≤ n ≤ 10 .α -1 ⎪ 12 -11 ⎪ 2α 1 . ⎪ 1 . n +1 ⎪ ⎛ ⎞ α ⎪ 1. 11 ≤ n ≤ 13 14 ≤ n ≤ 23 9 seja .Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 RESP: ⎧ 0.α .⎜⎜ ⎟⎟ ⎪ ⎪⎩ ⎝β⎠ 0≤n≤9 n >9 10. (HAYKIN. Encontre a saída y[n] . ⎪ ⎩⎪ 0.24 ⎪ 2α 1 . 2001. ⎪⎪ y[n] = ⎨ 5. ⎪ n − 1.⎜⎜ ⎟⎟ ⎪ ⎝β⎠ ⎪ 10 ⎪ ⎛α ⎞ ⎪ 1 . ⎩ n < −1 . (HAYKIN. VEEN. y[n] . RESP: y [n ] = 1 ( x [ n ] + x [ n − 1] + x [ n − 2 ] + x [ n − 3 ] ) . h[n] = ⎨ 4 ⎪⎩ 0. 2001. ⎪ − n . 97) Considere um sistema LIT com resposta ao impulso: ⎧1 ⎪ . 2001. ⎪ RESP: ⎪ n . ⎪ y[n] = ⎨ 0. p. y[n] . (HAYKIN. 0≤n≤3 caso contrário Encontre uma expressão que relacione diretamente uma entrada arbitrária x[n] à saída deste sistema.4.1 ≤ n <1 . 4 10 . 2≤n<4 4≤ n <9 9 ≤ n ≤ 11 12 < n ≤ 15 n ≥ 15 12. p. 97) Suponha que a entrada x[n ] e a resposta ao impulso h[n] de um sistema H do tipo LIT sejam dadas por: x[n] = −u[n] + 2u[n − 3] − u[n − 6] h[n] = u[n + 1] − u[n − 10] Encontre a saída deste sistema.Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 11. ⎧ 0.2. ⎪n −9 ⎪ ⎪ − n + 15 ⎪ 0. VEEN. 957 p. ISBN 0138147574.. ed.1 Conexão paralela de sistemas LIT • Consideremos a seguinte conexão paralela de sistemas LIT em que h1 [n] e h2 [n] são as respostas impulsivas de cada sistema: Figura 1 – Conexão paralela de sistemas • A saída desta conexão de sistemas y[n] é a soma das saídas de cada sistema: y[n] = y1 [n] + y 2 [n] = x[n ] ∗ h1 [n] + x[n ] ∗ h2 [n] • Usando a representação da convolução por somatórias. Esse será o assunto desta aula. Desta forma. 668 p. 2nd. Upper Saddle River. ISBN 8573077417. Páginas 103-116. c1997.Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Aula 7T – Propriedades da resposta ao impulso Bibliografia HAYKIN. Signals & systems. Sinais e sistemas...3 Propriedades da representação da resposta ao impulso para sistemas LIT • Vimos nas últimas aulas que a resposta ao impulso de um sistema LIT o caracteriza completamente. Hamid. deve ser possível descobrir se um sistema LIT é causal ou tem ou não memória e o resultado da interconexão desses sistemas. Simon S.3. Alan S. Porto Alegre: Bookman. New Jersey: Prentice-Hall. VAN VEEN. 2001. 2. Barry. OPPENHEIM. podemos escrever que 1 . apenas olhando a resposta impulsiva. S. WILLSKY. NAWAB. Alan V. Páginas 108-120. 2. Podemos expressar a saída em termos de z[n] como 2 . • Uma outra forma de enxergar esse fato é dizer que a convolução possui a propriedade distributiva: x[n] ∗ h1 [n] + x[n] ∗ h2 [n] = x[n] ∗ (h1 [n] + h2 [n]) 2. tudo se passa como se a resposta impulsiva do sistema equivalente ao da Figura 1 fosse o da Figura 2 a seguir: Figura 2 – Sistema equivalente ao da Figura 1 • A resposta ao impulso de dois sistemas conectados em paralelo é a soma das respostas individuais ao impulso. Ou seja.Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 y [n ] = ∞ ∑ x[k ]h1 [n − k ] + k =−∞ y [n ] = ∞ ∑ x[k ]h [n − k ] ⇒ 2 k =−∞ ∞ ∞ ∑ x[k ](h [n − k ] + h [n − k ]) = ∑ x[k ]h[n − k ] 1 2 k =−∞ k =−∞ sendo h[n] =h1 [n] + h2 [n] .3.2 Conexão em cascata de sistemas • Consideremos agora a conexão em cascata de dois sistemas LIT ilustrada na Figura 3 a seguir. Figura 3 – Conexão em cascata de sistemas LIT • Chamamos de z[n] a saída do primeiro sistema e a entrada para o segundo sistema da conexão em cascata. como mostra a Figura 4. a resposta ao impulso de dois sistemas LIT conectados em cascata é a convolução das respostas impulsivas individuais. se definirmos h[n] = h1 [n] ∗ h2 [n] . obtemos: y [n ] = ∞ ∑ x[l ]h[n − l ] = x[n] ∗ h[n] l =−∞ • Conseqüentemente. Ou seja. este resultado significa que a soma de convolução satisfaz as propriedades associativa e comutativa: 3 .Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 ∞ y[n] = z [n] ∗ h2 [n] = ∑ z[k ]h [n − k ] 2 (1) k =−∞ • Porém. ∞ ∑ h [m]h [n − l − m] = h[n − l ] 1 2 (4) m =−∞ • Substituindo (4) em (3). z[k ] é a saída do primeiro sistema e é expressa em termos de x[k ] como: z [k ] = x[k ] ∗ h1 [k ] = ∞ ∑ x[l ]h [k − l ] 1 (2) l =−∞ • Substituindo (2) em (1). temos: y [n ] = ⎛ ∞ ⎞ ⎜ ∑ x[l ]h1 [k − l ] ⎟ h2 [n − k ] ∑ k =−∞ ⎝ l =−∞ ⎠ ∞ • Trocando a ordem das somatórias em (3) e fazendo m = k − l . temos: ⎡ ∞ ⎤ y[n] = ∑ x[l ] ∑h1[k − l ]h2 [n − k ] = ∑ x[l ]⎢ ∑h1[m]h2 [n − l − m]⎥ l =−∞ k =−∞ l =−∞ ⎣ m=−∞ ⎦ ∞ ∞ ∞ (3) • A somatória interna é identificada como a convolução de h1 [n] com h2 [n] avaliada em n − l . A conexão em cascata é equivalente em termos de entrada-saída ao sistema único representado pela resposta ao impulso h[n] . então. Figura 4 – Sistema equivalente ao da Figura 3 • Matematicamente. a saída de um sistema LIT pode ser expressa como y[n] = h[n] ∗ x[n] = ∞ ∑ h[k ]x[n − k ] .3.110) Considere a interconexão de sistemas LIT descrita na figura a seguir. um sistema LIT de tempo 4 . 2. 2001. p.Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 { x[n] ∗ h1 [n]} ∗ h2 [n] = x[n] ∗{h1 [n] ∗ h2 [n]} h1 [n] ∗ h2 [n] = h2 [n] ∗ h1 [n] Exercício 1. k = −∞ • Para que este sistema seja sem memória. (HAYKIN. A pergunta que tentaremos responder agora é: como identificar um sistema LIT sem memória apenas olhando sua resposta impulsiva? Ou como deve ser a resposta impulsiva de um sistema LIT sem memória? • Explorando-se a propriedade comutativa da convolução. Conseqüentemente. h[n] . VEEN. y[n] deve depender somente de x[n] e não de x[n − k ] para k ≠ 0 .3 Sistemas sem memória • Já vimos que a saída de um sistema sem memória depende somente da entrada atual. A resposta de cada sistema é dada por h1 [n] = u[n] h2 [n] = u[n + 2] − u[n] h3 [n] = δ [n − 2] h4 [n] = α n u[n] Encontre a resposta ao impulso do sistema global. Todos os sistemas LIT sem memória realizam multiplicação escalar com a entrada.. Exercício 2. 113) Um sistema de tempo discreto tem a resposta ao impulso: h[n] = a n u[n + 2] Este é um sistema causal? Tem memória? 2. • Escrevemos a soma de convolução como: y [n ] = ∞ ∑ h[k ]x[n − k ] k =−∞ • Os valores passados e atuais da entrada x[n] . Vamos ver agora como isso se reflete na resposta impulsiva de sistemas LIT. em que c é uma constante arbitrária. para um sistema causal.. a condição de ausência de memória impõe fortes restrições na forma da resposta ao impulso.Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 discreto é sem memória se. • Assim. 2001.3.. e somente se. são associados com índices k ≥ 0 na soma de convolução. teremos h[k ] = 0 para k < 0 . x[n − 1] .. x[n + 2] . enquanto que os valores futuros da entrada x[n + 1] .5 Resposta ao degrau • A resposta de um sistema LIT a um degrau caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas na entrada. são associados com índices k < 0 ...3. (HAYKIN. p.4 Sistemas causais • Já vimos que a saída de um sistema causal depende somente dos valores passados ou presentes da entrada. 2. x[n − 2] . 5 .. h[k ] = cδ [k ] . VEEN. • Conseqüentemente. 6 . temos: s[n ] = n ∑ h[k ] k =−∞ • Ou seja. Figura 5 – Cascata de um sistema LIT com seu sistema inverso. Teremos: ∞ s[n ] = h[n] ∗ u[n] = ∑ h[k ]u[n − k ] k =−∞ • Como u[n − k ] = 0 para k > n e u[n − k ] = 1 para k ≤ n . • Admitamos que um sistema tenha a resposta ao impulso h[n] e denote a resposta ao degrau como s[n] .3. (HAYKIN.Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 • A resposta ao degrau é facilmente expressa em termos da resposta ao impulso usando-se a convolução. supondo-se que a entrada seja uma função degrau. p. a resposta ao degrau é a soma corrente da resposta ao impulso. Exercício 3. • A Figura 5 a seguir descreve a cascata de um sistema LIT que tem resposta ao impulso h[n] com um sistema inverso LIT que tem resposta ao impulso h −1 [n] .6 Sistemas invertíveis e desconvolução • Um sistema é invertível se a entrada do sistema puder ser recuperada a partir de sua saída. 2001. • Isso implica a existência de um sistema inverso que toma a saída do sistema original como sua entrada e produz a entrada do sistema original. VEEN. 116) Encontre a resposta ao degrau de um sistema de tempo discreto com resposta ao impulso: h[n] = (− a ) u[n ] n 2. O equalizador inverte a distorção da rede telefônica e permite que taxas de dados muito mais altas sejam atingidas. uma vez que ele corresponde a inverter ou desfazer a operação de convolução.Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 • O processo para recuperar x[n] de h[n] ∗ x[n] é denominado desconvolução. 7 . Neste caso. um sistema inverso exato pode ser difícil de encontrar ou implementar. A determinação de uma solução aproximada para a Equação (5) muitas vezes é suficiente nesses casos. A distorção causada pela rede telefônica impõe graves restrições à taxa em que as informações podem ser transmitidas. o equalizador representa um sistema inverso para a rede telefônica. • Um problema comum é o de inverter ou equalizar a distorção introduzida por um sistema não ideal. • Por exemplo. • Um sistema inverso tem saída x[n] em resposta a entrada y[n] = h[n] ∗ x[n] e desta forma resolve o problema da desconvolução. • A desconvolução e os sistemas inversos desempenham um papel importante em muitos problemas de processamento de sinais e sistemas. considere o uso de um modem de alta velocidade para comunicar-se por meio de linhas telefônicas. desta forma um equalizador é incorporado ao modem. • A relação entre a resposta ao impulso de um sistema h[n] e o sistema inverso correspondente h −1 [n] pode ser obtida notando-se que ( ) x[n] ∗ h[n] ∗ h −1 [n] = x[n ] • Isto implica que h[n] ∗ h −1 [n] = δ [n] (5) • Em muitas aplicações de equalização. Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Exercício 4. 114) Considere projetar um sistema de tempo discreto para eliminar a distorção associada com um eco indesejável num problema de transmissão de dados. ser expresso em termos do sinal transmitido x[n] como: y[n] = x[n] + ax[n − 1] Encontre um sistema inverso causal que recupere x[n] de y[n] . Daí. o sinal recebido distorcido. (HAYKIN. y[n] . VEEN. Suponha que o eco seja representado como atenuação por uma constante a e um retardo correspondente a uma unidade de tempo na seqüência de entrada. p. 2001. RESP: h −1 [n] = (− a ) u[n] n 8 . correspondente ao número máximo de valores da saída que devem ser guardados para o cálculo das futuras saídas do sistema é chamado de ordem da equação de diferenças. ISBN 8573077417. 2. c1998. por exemplo. Sinais e sistemas. Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. Neste caso a ordem é N = 2 porque a equação de diferenças envolve y[n − 2] . • As equações de diferenças são facilmente reorganizadas para se obter formulas para computar a saída corrente do sistema a partir do sinal de entrada e das saídas passadas.Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 Aula 8T – Representação por equações de diferenças para sistemas LIT Bibliografia HAYKIN. California: Berkeley. Simon S.. Páginas 573 – 578. 2001. VAN VEEN. Barry. • Um exemplo de equação de diferenças de segunda ordem é y[n] + y[n − 1] + 1 y[n − 2] = x[n ] + 2 x[n − 1] 4 • Esta equação poderia representar a relação entre os sinais de entrada e saída de um sistema que processa dados em um computador. 668 p. implicando uma memória máxima na saída do sistema igual a dois. temos: a1 y[n] + a 2 y[n − 1] + L + a N +1 y[n − N ] = b1 x[n] + b2 x[n − 1] + K + bM +1 x[n − M ] ou N ∑a k =0 M k +1 y [ n − k ] = ∑ bk +1 x [ n − k ] (1) k =0 • O número N . Porto Alegre: Bookman. • Por exemplo. • De uma forma geral. Representação por equações de diferenças para sistemas LIT • Uma outra forma de representar um sistema de tempo discreto linear e invariante no tempo (LIT) é através de equações de diferenças. LATHI. a equação anterior pode ser reescrita como: y[n] = x[n] + 2 x[n − 1] − y[n − 1] − 1 1 y [n − 2 ] 4 . 734 p. ISBN 0941413357.4. Páginas 120-132. • Utilizaremos o operador z −1 para denotar a operação de atrasar uma seqüência de uma unidade de tempo. Note que. A notação operacional • Em equações de diferenças é comum utilizar-se de uma notação operacional parecida com a que foi vista em Circuitos Elétricos para equações diferenciais (Transformada de Laplace). devemos conhecer os dois valores passados mais recentes da saída y[− 1] e y[− 2] . Estes valores são conhecidos como condições iniciais. o número de condições iniciais necessárias para determinar a saída é igual à ordem do sistema. Para começarmos este processo no instante n = 0 .4. em geral. 2. uma equação de diferenças da forma: y[n] − ay[n −1] = x[n] pode ser escrita como 2 . • As condições iniciais reúnem todas as condições sobre o passado do sistema que são necessárias para se computar as saídas futuras. Assim z −1 f [n] ≡ f [n − 1] z − 2 f [n ] ≡ f [n − 2 ] L z − k f [n ] ≡ f [n − k ] • Assim.Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 Iniciando com n = 0 podemos obter a saída avaliando a seqüência das equações y[0] = x[0] + 2 x[ −1] − y[−1] − 1 y[−2] 4 1 y[−1] 4 1 y[2] = x[2] + 2 x[1] − y[1] − y[0] 4 1 y[3] = x[3] + 2 x[ 2] − y[2] − y[1] 4 M y[1] = x[1] + 2 x[0] − y[0] − • Em cada equação.1. a saída corrente é computada a partir da entrada e dos valores passados da saída. (LATHI.Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 y[n] − az −1 y[n] = x[n] ou (1 − az )y[n] = x[n] −1 • A equação de segunda ordem y[ n] + 1 1 y[n −1] + y[n − 2] = x[n] 4 16 pode ser expressa como y[n ] + 1 −1 1 z y[n] + z −2 y[n ] = x[n ] 4 16 ou 1 −1 1 −2 ⎞ ⎛ ⎜ 1 + z + z ⎟ y[n] = x[n ] 4 16 ⎝ ⎠ • Uma equação geral a1 y[n] + a2 y[n −1] + K a N +1 y[n − N ] = b1 x[n] + b2 x[n −1] + K bM +1 x[n − M ] Pode ser expressa como (a 1 + a 2 z −1 + a 3 z −2 + K + a N +1 z − N )y[n ] = (b1 + b2 z −1 + b3 z −2 + K + bM +1 z − M )x[n ] ou [ ] [ ] Q z −1 y [n ] = P z −1 x[n ] em que Q[z −1 ] e P[z −1 ] são os operadores polinomiais de grau N e M [ ] P[ z ] = b Q z −1 = a1 + a 2 z −1 + a3 z −2 + K + a N +1 z − N −1 1 + b2 z −1 + b3 z −2 + K + bN +1 z − N Exercícios 1. 611) Resolva iterativamente (apenas os primeiros três termos) e escreva as seguintes equações com a notação operacional: (a) y[n] − 0. com y[− 1] = 10 (b) y[n] + 2 y[n − 1] = x[n] com x[n] = e −n u[n] e y[− 1] = 0 .5 y[n − 1] = 0 . 3 . 1998. p. Isto só é possível se y 0 [n] e suas versões atrasadas tiverem a mesma forma. uma solução da equação (2) deve ser da forma: y 0 [n ] = cγ n (3) • Para encontrar c e γ substituímos esta solução na Equação (2). temos [ ] Q z −1 y0 [n] = 0 ou (a 1 + a 2 z −1 + a 3 z −2 + K + a N +1 z − N )y 0 [n ] = 0 ou a1 y 0 [n] + a 2 y 0 [n − 1] + K + a N +1 y 0 [n − N ] = 0 (2) • Já vimos que podemos resolver esta equação de forma recursiva.2. A resposta à entrada zero ou resposta natural • Vamos tentar encontrar uma solução para a equação de diferenças (1) quando a entrada é x[n] = 0 . Esta é conhecida como resposta à entrada nula ou resposta natural do sistema e será representada por y0 [n] . • Assim. A Equação (3) implica 4 . • Uma função exponencial γ n tem essa propriedade: γ n −m = γ − m γ n Esta equação mostra que uma versão atrasada de γ n é a própria γ n multiplicada por uma constante. podemos determinar y0 [n] de uma maneira mais eficiente. • Esta equação mostra que uma combinação linear de y0 [n] e versões atrasadas dela resultam zero para todo n .Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 2.4. Porém. • Assim. olhando atentamente para a equação acima. Assim. • O polinômio Q[γ −1 ] é chamado de polinômio característico do sistema e a [ ] −1 equação Q γ = 0 é chamada de equação característica do sistema.... c2γ 2 .. (4) é satisfeita quando a1 + a2γ −1 + K + a N +1γ − N = 0 [ ] Q γ −1 = 0 (5) • A solução proposta cγ n (Eq...Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 z −1 y 0 [n] = y 0 [n − 1] = cγ n −1 z −2 y 0 [n] = y 0 [n − 2] = cγ n −2 L z − N y 0 [n] = y 0 [n − N ] = cγ n − N • Substituindo estes resultados na Equação (2) temos: a1 y 0 [n] + a 2 y 0 [n − 1] + K + a N +1 y 0 [n − N ] = 0 ⇔ a1 cγ n + a 2 cγ n −1 + K + a N +1cγ n − N = 0 ⇔ ( ) c a1 + a 2 γ −1 + K + a N +1γ − N γ n = 0 (4) • Assumindo γ ≠ 0 e c ≠ 0 (excluindo as soluções triviais)... multiplicamos os dois membros por γ N obtendo: a1γ N + a 2γ N −1 + K + a N +1 = 0 (6) que é um polinômio de grau N que tem N soluções γ1 . c2 . n cN γ N . (2) também terá N soluções da forma n n c1γ1 . • Desta forma a Eq.. (3)) está correta desde que γ satisfaça a Equação (5). γ 2 . γ N são as soluções da Eq.. γ 2 ... 5 . a Eq... (5) e c1 . geralmente dadas na forma de condições iniciais. γ N . Para resolvê-la. pode-se mostrar que a solução geral é uma combinação linear das N soluções. Neste caso. c N são constantes arbitrárias determinadas a partir de N condições auxiliares. y0 [n ] = c1γ1n + c2γ 2n + L + c N γ Nn em que γ1 ... γ 2 .. • Da mesma forma como em equações diferenciais. as raízes complexas só podem aparecer em pares conjugados. • Na discussão.. K N )...... • Logicamente. • As exponenciais γ in ( i = 1.. os modos característicos correspondente a estas raízes são γ n .Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 • Além disso. As raízes complexas podem ser tratadas exatamente como raízes reais... γ N da equação característica são chamadas de raízes características ou valores característicos (ou autovalores) do sistema. n r −1γ n . n 2γ n . γ 2 . γ N com correspondentes modos característicos n n c1γ1 .. a forma dos modos característicos é modificada. • Assim.. são os modos naturais ou modos característicos do sistema. se a equação de diferenças tem coeficientes reais. expressamos as raízes complexas γ é o módulo de γ γ e β sua fase.. n c2γ 2 . então: γ = γ e jβ e γ * = γ e − jβ • A resposta à entrada nula é então dada por 6 e γ * na forma polar.. se um sistema tem raízes características γ1 .. • Primeiramente. γ N sendo que γ1 tem multiplicidade r .. cN γ N .. sua resposta natural é: y 0 [n ] = c1γ 1n + c 2 nγ 1n + c 3 n 2 γ 1n + K + c r n r γ rn + c r +1γ rn+1 + c r + 2 γ rn+ 2 + K + c n γ nn • Outro problema que não foi abordado é o que acontece quando as raízes características são complexas. se uma raiz γ se repete r vezes (raiz de multiplicidade r ).2. no entanto é possível eliminar os números complexos trabalhando com soluções reais... nγ n . assumimos que o sistema tem n raízes características diferentes γ1 . Se . as raízes γ1 . γ 2 . • Se duas ou mais raízes coincidirem (raízes repetidas).. y 0 [− 1] = − 1 2 2 . (2022) Encontre a resposta natural para a seguinte equação de diferenças: y[n + 2] − 1. y 0 [− 2] = 2 . Exercício 2. y 0 [− 2] = 1 4 2 . y 0 [n ] = c n j (βn +θ ) + e − j (βn +θ ) γ e 2 [ ] n = c γ cos(βn + θ ) • Nesta solução c e θ deverão ser obtidos das condições iniciais. seja c1 = c jθ c e e c 2 = e − jθ 2 2 Desta forma. y 0 [− 1] = 3 .3 y[n + 1] + 0. (2021) Calcule e esboce a resposta natural y0 [n] do sistema de tempo discreto representado pela equação de diferenças y[n] + 16 y[n − 2] = 5 x[n − 1] . Assim. Resposta forçada e resposta total de um sistema LIT • Já vimos em aulas anteriores que a resposta de um sistema LIT a uma entrada x[n] é dada por 7 . (2021) Calcule a resposta natural y 0 [n] do sistema de tempo discreto representado pela equação de diferenças y[n] − 10 y[n − 1] + 25 y[n − 2] = 5 x[n − 1] . 2.Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 ( ) y 0 [n] = c1γ n + c 2 γ * n n n = c1 γ e jβn + c 2 γ e − jβn • Para um sistema real. 3.4 y[n] = x[n] + x[n − 1] Considere como condições iniciais y 0 [0] = 5 e y 0 [1] = 7 . c1 e c2 precisam ser conjugados de forma que y0 [n] seja uma função real de n .4. 4.3. • Esta resposta. podemos usar sobreposição e escrever: y[n] = y 0 [n] + x[n] ∗ h[n] Exercício 5. para calcular resposta forçada. (2022) Dado o sistema: y[n] − 0. consideramos condições iniciais nulas).9 y[n − 1] = x[n] − x[n − 1] com condição inicial y 0 [− 1] = 2 . (e) Determine a resposta completa deste sistema para a entrada x[n] = 2 −n u[n] e compare com os pontos obtidos no item (a). para calcular resposta impulsiva. (Dica: lembre-se. (d) Determine a resposta forçada deste sistema para x[n ] = 2 −n u[n] . (a) Determine iterativamente os cinco primeiros pontos da resposta deste sistema à entrada x[n] = 2 −n u[n] . 8 . (c) Determine a resposta impulsiva deste sistema (Dica: lembre-se. é conhecida como resposta forçada do sistema à entrada x[n] .Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 y[n] = x[n ] ∗ h[n] = ∞ ∑ x[k ]h[n − k ] k =−∞ em que h[n] é a resposta impulsiva do sistema. obtida quando as condições iniciais do sistema são nulas. • No caso geral em que temos condições inicias e uma entrada não nula. Pede-se para n ≥ 0 . (b) Determine a resposta natural deste sistema. consideramos condições iniciais nulas). Upper Saddle River. NAWAB. Porto Alegre: Bookman. c1997. Alan S. Análise de Fourier de sinais de tempo discreto 3. Páginas 116-120. isto é. • Outro conjunto com características importantes é o conjunto {z n } em que z é um número complexo. k ∈ Z } que leva à representação da saída pela soma de convolução. • A importância das exponenciais complexas no estudo de sistemas LIT vem do fato de que a resposta de um sistema LIT a uma entrada exponencial complexa é a mesma exponencial complexa apenas com uma mudança de amplitude.Resposta de sistemas LIT a exponenciais complexas Bibliografia � OPPENHEIM. Hamid. o A resposta de um sistema LIT a cada sinal deve ser simples o suficiente em estrutura para nos permitir uma representação conveniente para a resposta do sistema a qualquer sinal construído como uma combinação linear dos sinais básicos. WILLSKY.1. 3.. Páginas 182-186.Processamento Digital de Sinais – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 Aula 9T . � HAYKIN. 957 p. 2nd. Signals & systems. VAN VEEN. ISBN 0138147574. Resposta de sistemas LIT discretos a exponenciais complexas • Quando estudamos sistemas LIT é interessante representar sinais como combinações lineares de sinais básicos que possuem as seguintes propriedades: o O conjunto de sinais básicos pode ser usado para construir uma grande e útil classe de sinais. z n → H ( z )z n em que o fator de amplitude complexa H (z ) será em geral uma função da variável complexa z . Alan V. ed. 668 p. S. ISBN 8573077417. Barry. New Jersey: Prentice-Hall. 2001. Simon S. 1 . • Um exemplo de conjunto de sinais básicos que já usamos é {δ [n − k ]... Sinais e sistemas. a saída é a mesma exponencial complexa multiplicada por uma constante que depende do valor de z . • Seja x[n] uma combinação linear de três exponenciais complexas.Processamento Digital de Sinais – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 • Um sinal para o qual a saída de um sistema é uma constante (possivelmente complexa) vezes a entrada é chamada de autofunção do sistema e o fator de amplitude é chamado de autovalor do sistema. • Vamos mostrar que as seqüências exponenciais complexas são autofunções de sistemas LIT de tempo discreto. (4) • Consequentemente. Isto é. • Para a análise de sistemas LIT. a utilidade da decomposição de sinais mais gerais em termos de autofunções pode ser visto através de um exemplo. vemos que se a entrada x[n] é a exponencial complexa dada pela Equação (1). 2 . então. A constante H (z ) para um valor específico de z é o autovalor associado à autofunção z n . • A saída do sistema pode ser determinada através da soma de convolução y [n ] = ∞ ∞ ∑ h[k ]x[n − k ] = ∑ h[k ]z k = −∞ ∞ n −k =z n k = −∞ ∑ h[k ]z k =−∞ −k (2) • Desta expressão. (1) em que z é um número complexo. as exponenciais complexas são autofunções dos sistemas LIT de tempo discreto. isto é: x[n] = a1 z1n + a 2 z 2n + a 3 z 3n . y[n] = H ( z )z n (3) em que H (z ) = ∞ ∑ h[k ]z k = −∞ −k . • Suponha que um sistema LIT com resposta impulsiva h[n] tenha como entrada a seqüência x[n] = z n . assumindo que a somatória no segundo membro de (2) converge. se a entrada de um sistema LIT for representada por uma combinação linear de exponenciais complexas. se: x[n ] = ∑ a k z kn . • Este fato é uma forte motivação para estudarmos a representação de um dado sinal como uma soma de exponenciais complexas.Processamento Digital de Sinais – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 • Pela propriedade da autofunção. teremos: y[n ] = a1 H (z1 )z1n + a 2 H ( z 2 )z 2n + a 3 H ( z 3 )z 3n . Como obter esta representação? Quais sinais podem ser escritos assim. k • Em outras palavras. a 3 z 3n → a 3 H ( z 3 )z 3n e pela propriedade da superposição. isto é. 3 . • Especificamente. a Equação (3) em conjunto com a propriedade da superposição mostra que a representação de sinais como uma combinação linear de exponenciais complexas leva a uma expressão conveniente para a resposta de um sistema LIT. • De forma mais geral. Cada coeficiente desta representação da saída é obtido como o produto do respectivo coeficiente da entrada a k e o autovalor do sistema H (z k ) associado à autofunção z kn . se a entrada de um sistema LIT é representada por uma combinação linear de exponenciais complexas. a saída também pode ser representada como uma combinação linear dos mesmos sinais exponenciais complexos. a resposta de cada uma separadamente é: a1 z1n → a1 H ( z1 )z1n a 2 z 2n → a 2 H ( z 2 )z 2n . É o que veremos nas próximas aulas quando estudaremos a representação de sinais de tempo discreto por séries de Fourier. então a saída será k y[n] = ∑ ak H (zk )zkn . Pede-se: n 1 (a) Determine diretamente a saída do sistema quando a entrada for x[n] = ⎛⎜ ⎞⎟ . Usando as ⎝ 3⎠ propriedades de autofunções determine a saída deste sistema quando a entrada for: (a) x[n] = (1)n (b) x[n] = (2)n (c) x[n] = 1 + (2 )n π (d) x[n] = cos⎛⎜ n ⎞⎟ ⎝4 ⎠ 3. ⎝ 2⎠ (b) Determine a resposta impulsiva do sistema. WILLSKY. (OPPENHEIM. p. y[n] = x[n − 3] . (MITRA.Processamento Digital de Sinais – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 Exercícios 1. Considere um sistema LIT com resposta impulsiva h[n] = ⎛⎜ ⎞⎟ u[n ] . ou seja. n 1 2. 277) Mostre que a função a[n] = z n em que z é uma constante complexa é uma autofunção de um sistema LIT de tempo discreto. 1997. ⎝ 2⎠ (e) Determine a saída do sistema à entrada x[n] = cos(4n ) + cos(7n ) . NAWAB. 2001. (c) Obtenha H (z ) utilizando a definição (4). p.185 modificado) Considere um sistema LIT cuja saída seja a entrada atrasada de três amostras. n 1 (d) Determine a saída do sistema à entrada x[n] = ⎛⎜ ⎞⎟ usando o item (c). Seria v[n] = z n u[n] também uma autofunção de um sistema LIT? 4 . New Jersey: Prentice-Hall. NAWAB. 2nd. � HAYKIN. S. ISBN 0138147574. ed. � Você já deve saber que um sinal de tempo contínuo periódico de período T0 pode ser representado como uma série trigonométrica de Fourier consistindo de uma senóide com freqüência fundamental ω0 = 1 2π e todas as suas harmôT0 . Páginas 211-221. • Primeiro representaremos um sinal x[n] periódico como uma série de Fourier formada por uma exponencial (ou senóide) de tempo discreto e suas harmônicas. A seguir estenderemos esta representação para um sinal aperiódico x[n] considerando x[n] como o caso limite de um sinal periódico com o perí- odo se aproximando do infinito.. 668 p. Barry. c1997. Alan S. 957 p. ISBN 8573077417. Sinais e sistemas. Signals & systems. Simon S.2. Nosso enfoque é parecido com o que foi usado para sinais de tempo contínuo.. Upper Saddle River. • Aqui discutiremos algo similar para sinais de tempo discreto. Representação em séries de Fourier para sinais de tempo discreto periódicos • No curso de Análise de Sinais. Páginas 168-178. Hamid. 2001. estudam-se formas de representar um sinal de tempo contínuo como uma soma de senóides ou exponenciais..Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 Aula 11T – Série de Fourier de tempo discreto Bibliografia � OPPENHEIM. Porto Alegre: Bookman. VAN VEEN. 3. � Um sinal periódico com período N0 = 6 é mostrado na figura seguinte. Alan V. WILLSKY. como no caso contínuo.Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 nicas (senóides cujas freqüências são múltiplos inteiros de ω0 ). a forma exponencial é preferível à trigonométrica. Devido à sua compacidade e facilidade de manipulação matemática. Então 0 g k + N0 = e j (k + N0 )Ω 0 n = e j (kΩ 0 n + 2πn ) = e jkΩ 0 n = g k e g k = g k + N0 = g k + 2 N0 = L = g k + rN0 2 .... � Por esta razão passaremos a forma trigonométrica e iremos direto para a forma exponencial das séries de Fourier de tempo discreto. e ± jΩ n . 0 e ± j 2Ω 0 n ... 0 0 e ± j 3ω0t . podemos usar uma forma trigonométrica ou exponencial para as séries de Fourier.. A freqüência de uma senóide de período N 0 é Ω 0 = 2π .. � A série de Fourier exponencial consiste nas exponenciais e j 0 n . Porém isso não acontece porque as exponenciais de tempo discreto cujas freqüências estão separadas por 2π são idênticas já que e j (Ω ±2π )n = e jΩn e ± j 2πn = e jΩn � A conseqüência deste resultado é que a k -ésima harmônica é idêntica à harmônica k + N0 .. e assim por diante. Assim. � Vamos tentar fazer um paralelo para sinais de tempo discreto.. A forma exponencial da série de Fourier consiste nas exponenciais e j 0 t . e ± jω t . N0 � Assim como em tempo contínuo.. e ± j 2ω t . e ± jkΩ 0 n . seja g k a k -ésima harmônica e ± jkΩ n . um sinal periódico de temN0 po discreto com período N 0 pode ser representado por uma série de Fourier de tempo discreto com freqüência fundamental Ω 0 = 2π e suas harmônicas. � Para demonstrar isto. � Em princípio haveria um número infinito de harmônicas. � Em outras palavras. existem apenas N 0 harmônicas independentes e estas ficam sobre um intervalo de 2π (porque as harmônicas estão separadas por Ω0 = 2π ). 1.Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 � Assim. (3) . � Vamos tomar a primeira possibilidade 0 ≤ k ≤ N 0 − 1 . A série de Fourier para 0 um sinal periódico com período N 0 x[n] consiste destas N 0 harmônicas e pode ser expressa como N0 −1 2π Ω = 0 com N0 x[n] = ∑ a k e jkΩ0n k =0 (1) � Pode-se mostrar (ver referências) que os termos a k podem ser calculados como 1 ak = N0 N0 −1 ∑ x[n]e − jkΩ 0 n n =0 Assim. Esta escolha corresponde às exponenciais e jkΩ n para k = 0.. Qualquer um desses conjuntos terá as mesmas harmônicas apenas em ordem diferente.. a segunda harmônica é idêntica à harmônica ( N0 + 2 ) e assim por diante. N0 � Podemos escolher estas N 0 harmônicas independentes como e jkΩ n com 0 0 ≤ k ≤ N 0 − 1 ou sobre − 1 ≤ k ≤ N 0 − 2 ou sobre 1 ≤ k ≤ N0 ou qualquer outra escolha conveniente.. 2. temos uma representação em séries de Fourier de tempo discreto de um sinal periódico de período N 0 : N0 −1 x[n] = ∑ a k e jkΩ0n (2) k =0 em que 1 ak = N0 N0 −1 ∑ x[n]e − jkΩ 0 n e Ω0 = n =0 3 2π N0 . N0 − 1 .. a primeira harmônica é idêntica à harmônica ( N0 + 1 ). a N0 −1e j ( N0 −1)Ω 0 n � A freqüência dessas componentes são zero. � Estes resultados são muito similares à representação de um sinal periódico de tempo contínuo por uma série de Fourier exponencial exceto que..Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 � A série de Fourier consiste de N 0 componentes a 0 . o espectro de Fourier (ou de freqüência). 2Ω 0 . a 2e j 2Ω 0 n . Este gráfico é chamado de espectro de Fourier de x[n] e nos dá. Ω 0 . � Em geral.. Podemos fazer um gráfico desta quantidade a k em função de Ω . de uma só vez.. Assim.. Estes dois gráficos juntos são os espectros em freqüência de x[n] . a1e jΩ 0 n . N0 � A amplitude da k -ésima harmônica é a k . em que x[n] é especificado em função do tempo n . K . (N 0 − 1)Ω 0 em que Ω0 = 2π . O espectro de um sinal 4 . o espectro de um sinal de tempo contínuo é infinito e consiste de um número infinito de componentes exponenciais (harmônicas). uma figura com as magnitudes das várias harmônicas de x[n] . que é uma forma alternativa de descrever o sinal x[n] é em todos os sentidos equivalente (em termos de informação) ao gráfico de x[n] em função de n . podemos reconstruir ou sintetizar x[n] de acordo com a Equação (2). � Conhecendo estes espectros. os coeficientes de Fourier a k são complexos e podem ser representados na forma polar como: a k = a k e j∠ a k � O gráfico de a k por Ω é chamado de espectro de amplitude e o de ∠ a k por Ω é chamado de espectro de ângulo (ou fase). � O espectro de Fourier de um sinal constitui a descrição no domínio da freqüência de x[n] em contraste com a descrição no domínio do tempo. em geral. Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 de periódico de tempo discreto, em contraste tem no máximo N 0 componentes. • Note que se φ[r ] é uma função de r periódica de período N 0 então N0 −1 ∑ φ[r ] = ∑ φ[r ] r =0 (4) r = N0 em que r = N0 indicam a soma sobre qualquer N 0 valores consecutivos de r . • Isto ocorre porque o lado direito da Equação (4) é a soma de todos os N 0 valores consecutivos de φ[r ] . Como φ[r ] é periódica, esta soma precisa ser a mesma independentemente de onde a começamos. • Por outro lado, e − jkΩ n é periódica com período N 0 por que: 0 e − jkΩ0 (n + N0 ) = e − jkΩ0n e − j 2πk = e − jkΩ0n • Sendo assim, se x[n] é periódica de período N 0 , x[n]e − jkΩ n também é periódi0 ca de período N 0 . • Desta forma, segue da Equação (4) que a k também é periódica de período N 0 assim como a k e jkΩ n . Assim, por causa da propriedade (4) podemos reescrever 0 as Equações (2) e (3) como: x[n] = ∑a k e jkΩ 0n (5) k = N0 e ak = 1 N0 ∑ x[n]e − jkΩ 0 n (6) n = N0 • Se fizermos um gráfico de a k para todos os valores de k (ao invés de apenas para 0 ≤ k ≤ N 0 − 1 ), veremos que o espectro de a k é periódico com período N 0 . Além disso, a Equação (5) mostra que x[n] pode ser sintetizada não ape- nas pelas N 0 exponenciais correspondentes a 0 ≤ k ≤ N0 − 1 , mas por quaisquer N 0 exponenciais sucessivas neste espectro, começando em qualquer valor de k (positivo ou negativo). • Por esta razão, costuma-se representar o espectro a k para todos os valores de k (e não apenas no intervalo 0 ≤ k ≤ N0 − 1 ). 5 Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 • Mesmo assim, precisamos lembrar que para sintetizar x[n] precisamos adicionar apenas N 0 componentes sucessivas. • As componentes espectrais a k estão separadas pela freqüência Ω 0 = 2π e eN0 xiste um total de N 0 componentes se repetindo periodicamente sobre o eixo Ω . Assim, na escala da freqüência Ω , a k se repete a cada intervalo de 2π. • As equações (7) e (8) mostram que tanto x[n] quanto seu espectro a k são periódicos e ambos têm exatamente o mesmo número de componentes ( N 0 ) em um período. O período de x[n] é N 0 e o de a k é 2π radianos. • A Equação (8) mostra que a k é complexo em geral e a −k é o conjugado de a k se x[n] é real. Assim, a k = a −k ∠ a k = −∠ a −k e sendo assim, a k é uma função par e ∠ a k é uma função ímpar de k . Exercícios 1. (3022) Seja o seguinte sinal de tempo discreto periódico: (a) Qual o período N 0 e a freqüência fundamental deste sinal Ω 0 ? (b) Calcule os coeficientes da série de Fourier a k deste sinal para 0 ≤ k ≤ N 0 − 1 . (c) Esboce o espectro de módulo e de fase para este sinal. 2. (3021) Dado o sinal de tempo discreto periódico a seguir: 6 Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 (a) Determine o seu período N 0 e sua freqüência fundamental Ω 0 . (b) Determine os coeficientes da série de Fourier de tempo discreto (SFTD) para 0 ≤ k ≤ N 0 − 1 . 7 ak Processamento Digital de Sinais – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Aula 12T – Propriedades das séries de Fourier de tempo discreto Bibliografia • OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals & systems. 2nd. ed. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. . Páginas 221-226. • HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 8573077417. Páginas 202-240. 3.3. Propriedades das séries de Fourier de tempo discreto • Na aula passada, definimos a série de Fourier de sinais de tempo discreto e vimos como obtê-la. Representação em séries de Fourier de tempo discreto de um sinal periódico de período N 0 : x[n ] = ∑a e jkΩ 0 n k k = N0 em que ak = 1 N0 ∑ x[n]e − jkΩ 0 n n= N0 e Ω0 = 2π . N0 • Vimos também que a k é complexo em geral e a −k é o conjugado de a k se x[n] é real, ou seja, para sinais x[n] vale: ak = a− k ∠ ak = −∠ a−k e sendo assim, ak é uma função par e ∠ a k é uma função ímpar de k . • Existem muitas semelhanças entre as propriedades de séries de Fourier de tempo discreto e contínuo. Além disso, várias podem ser inferidas a partir de propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto (a ser estudada em Análise de Sinais II). Assim, apresentaremos a seguir as propriedades de tempo discreto que nos interessam discutindo apenas as mais importantes. Uma discussão mais detalhadas das propriedades será feita nos cursos de Análise de Sinais. 1 WILLSKY. NAWAB. Relação de Parseval para sinais periódicos de tempo discreto • A relação de Parseval para sinais periódicos de tempo discreto é dada por 1 N ∑ x[n] 2 n= N = ∑a 2 k k= N em que a k são os coeficientes da série de Fourier de x[n] e N é o período.3. • Assim. a relação de Parseval estabelece que a potência média de um sinal periódico é igual à soma das potências médias em todas as suas componentes harmônicas. Da mesma forma. • O lado esquerdo da relação de Parseval é a potência média em um período do sinal periódico x[n] . Figura 1 – Propriedades das séries de Fourier de tempo discreto (OPPENHEIM. a k 2 é a potência média na k -ésima harmônica componente de x[n] . 1997).Processamento Digital de Sinais – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 3. 2 .1. 3 . NAWAB. WILLSKY. π − jk n 1 15 16 ak = x [ n ] e ∑ 32 n=−16 Mas x[n] = 1 para − 4 ≤ n ≤ 4 e 0 para os outros valores de n . 1997. Portanto. Desta forma. Neste caso N 0 = 32 e Ω 0 = 2π π = . p. 32 16 x[n] = ∑ ak e jk π 16 n k = 32 em que π − jk n 1 16 [ ] ak = x n e ∑ (*) 32 n= 32 Por facilidade. vamos escolher o intervalo − 16 ≤ n < 15 para a somatória (*) apesar de que qualquer outro intervalo de mesmo tamanho (32 pontos) servisse. 2.Processamento Digital de Sinais – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Exercícios 1. 216) Considere o sinal: π⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 4π x[n] = 1 + sin ⎜ n ⎟ + 3 cos⎜ n ⎟ + cos⎜ n+ ⎟ . NAWAB. (OPPENHEIM. (OPPENHEIM. WILLSKY. 1997. 2⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 Determine as componentes da série de Fourier deste sinal e esboce seu espectro. 218) Considere o seguinte sinal retangular periódico com período N 0 = 32 . p. Determine as componentes da série de Fourier deste sinal e esboce seu espectro. WILLSKY.5πk ⎞ −j ⎤ sin ⎜ ⎟ e − e 16 ⎥ ⎢e 16 ⎠ ⎝ ⎦ ⎣ ⎛ 1 ⎞ sin (4. NAWAB. p. 1997.5 −j −j ⎡ j 4. x[n] é periódica com período N 0 = 6 . Assim.5πk πk 4 .Processamento Digital de Sinais – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 π 1 4 − jk 16 n ak = ∑e 32 n=−4 Esta é uma progressão geométrica com razão e −j π 16 k . 5 b.5πk ⎞ 16 e − e 16 ⎥ ⎢e sin ⎜ ⎟ 1 1 16 ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ = = 0 .165πk ⎡ j 0.5kΩ 0 ) com Ω 0 = π 16 .5kΩ 0 ) =⎜ ⎟ ⎝ 32 ⎠ sin (0. πk 9 πk 5 −j −j ⎡ 4πk ⎤ ⎡ j 416πk ⎤ 16 1 ⎢ j 16 1 − e 1 ⎢e − e 16 ⎥ ⎥ ak = e = = πk ⎥ πk ⎢ ⎥ −j −j 32 ⎢ 32 ⎢⎣ ⎢⎣ 1 − e 16 ⎥⎦ 1 − e 16 ⎥⎦ 0 . 5πk 32 − j 0. ∑ (− 1) x[n] = 1 n n =2 4 .165πk ⎤ ⎛ 4. n =0 7 c.225) Suponha que sejam dadas as seguintes informações sobre a seqüência x[n] : a. ∑ x[ n ] = 2 . Repare que neste exemplo a k é real o que é esperado já que x[n] é par (ver tabela da Figura 1). ak 3.165πk 32 ⎛ 0. Este resultado é mostrado na figura a seguir. (OPPENHEIM. WILLSKY. (OPPENHEIM. NAWAB. x[n] tem a menor potência por período dentro do conjunto de sinais que satisfazem as três condições anteriores. Expresse x[n] na forma ∞ x[n] = A0 + ∑ Ak sin (Ω k n + φk ) . 4. a17 = 3 j . 250) Um sinal de tempo discreto periódico x[n] assume valores reais e tem período fundamental N = 5 . a 4 = a −∗4 = 2e 3 . a −1 . Dado que a15 = j . Determine x[n] . (OPPENHEIM. p. a 2 = a −∗2 = e j π 4 j π . 1997. Os coeficientes não nulos da série de Fourier de x[n] são a0 = 1 . determine os valores de a 0 . p. NAWAB. k =1 5. 1997. a16 = 2 j . 5 . a −2 e a −3 . 252) Seja x[n] um sinal real e ímpar com período N = 7 e coeficientes de Fourier a k . WILLSKY.Processamento Digital de Sinais – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 d. c1997. VAN VEEN. processo conhecido como filtragem. Páginas 231-239. � Sistemas LIT que mudam a forma do espectro são freqüentemente chamados de filtros modeladores em freqüência. 668 p. Simon S. 1 .Processamento Digital de Sinais – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Aula 13T – Filtros de tempo discreto Bibliografia OPPENHEIM. ISBN 0138147574. ISBN 8573077417. os coeficientes da série de Fourier da saída de um sistema LIT são os da entrada multiplicados pela resposta em freqüência do sistema. Hamid. WILLSKY.. Filtros de tempo discreto � Em uma variedade de aplicações. é de interesse mudar as amplitudes relativas das componentes em freqüência de um sinal ou talvez eliminar algumas componentes em freqüência inteiramente. Alan V. � Como vimos na aula passada. Alan S. 3. � Sistemas que são projetados para passar algumas freqüências essencialmente não distorcidas e atenuar significativamente ou eliminar outras são conhecidos como filtros seletivos em freqüência. daremos uma primeira olhada neste assunto através de alguns exemplos. y [n ] = ∑ k = N0 ⎛ j N2π k ⎞ jk ⎛⎜⎜ N2π ⎞⎟⎟ n ak H ⎜ e 0 ⎟ e ⎝ 0 ⎠ . S. ed. 2nd. Upper Saddle River.Páginas 260-268. NAWAB. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman. Signals & systems... a filtragem pode ser convenientemente conseguida através do uso de sistemas LIT com uma resposta em freqüência convenientemente escolhida e métodos no domínio da freqüência provêem as ferramentas ideais para estudar esta importante classe de aplicações. Barry. 2001. 957 p. HAYKIN.5. � Nesta aula e na próxima. New Jersey: Prentice-Hall. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ � Conseqüentemente. incluindo dados demográficos e seqüências de dados econômicos como médias de mercado de ações envolvem o uso de filtros de tempo discreto. � Também em sistemas de áudio de alta-fidelidade. � Além disso. � De forma geral. � Filtros LIT de tempo discreto encontram um grande conjunto de aplicações. a análise de informações de séries temporais. � Rearranjando os pesos relativos destas componentes é tipicamente feito utilizando-se filtros de tempo discreto. um assunto que será discutido em disciplinas futuras.5. � Freqüentemente as variações de longo prazo (que correspondem a freqüências mais baixas) têm um significado diferente das variações de curto prazo (que correspondem às altas freqüências) e é útil estudar estas componentes separadamente.1.Processamento Digital de Sinais – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 3. � Estes filtros correspondem a sistemas LIT cujas respostas em freqüência podem ser mudadas manipulando controles de tons. estes estágios de filtragem cascateados são freqüentemente chamados de circuito de equalização do sistema de áudio. implementados usando processadores digitais de propósito gerais ou específicos para processar sinais de tempo contínuo. Filtros modeladores em freqüência � Uma aplicação em que filtros modeladores de freqüência são freqüentemente encontrados é sistemas de áudio. � A Figura 1 a seguir mostra os três estágios de um circuito equalizador para um conjunto particular de alto-falantes. um filtro muito conhecido como equalizador é freqüentemente incluído para pré-amplificar e compensar as características de resposta em freqüência dos alto-falantes. filtros LIT são tipicamente incluídos em tais sistemas para permitir que o ouvinte mude a energia relativa em baixas freqüências (graves) e altas freqüências (agudos). � Muitas destas envolvem o uso de sistemas de tempo discreto. � Por exemplo. 2 . (a) Filtro de baixas-freqüências controlado por uma chave de duas posições. 1997). mostrado numa escala de 20 log H que é conhecida como escala decibel (dB). 3 . NAWAB. (b) limites de freqüência superiores e inferiores de um filtro de freqüência continuamente ajustável. (c) resposta em freqüência fixa do estágio de equalização (OPPENHEIM.Processamento Digital de Sinais – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Figura 1 – Magnitudes das respostas em freqüência de circuitos equalizadores para uma série particular de alto-falantes. WILLSKY. Processamento Digital de Sinais – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 3.5.2. Filtros seletivos em freqüência � Filtros seletivos em freqüência é uma classe de filtros especificamente projetada para selecionar aproximadamente algumas faixas de freqüências e rejeitar outras. � Por exemplo, se ruído numa gravação de áudio está numa faixa de freqüências mais alta do que música ou voz ele pode ser removido usando filtros seletivos em freqüência. � Uma outra importante aplicação de filtros seletivos em freqüência são os sistemas de comunicações. Como será discutido em disciplinas futuras, a base da modulação em amplitude (AM) é a transmissão de informação de muitas fontes diferentes simultaneamente pondo a informação de cada canal em uma banda de freqüências diferente e extraindo os canais individuais no receptor usando filtros seletivos em freqüência. � Filtros seletivos em freqüência para separar os canais individuais e filtros modeladores em freqüência (como o equalizador da Figura 1) para ajustar a qualidade do som formam a maior parte de qualquer receptor de rádio ou televisão doméstico. � A figura a seguir mostra os tipos de filtros seletivos em freqüência de tempo discreto. Figura 2 – Filtros seletivos em freqüência de tempo discreto ideais: (a) passabaixas; (b) passa-altas; (c) passa-bandas. 4 Processamento Digital de Sinais – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Exercícios 1. Considere o seguinte sistema média móvel já analisado em aulas anteriores: y [n ] = 1 (x[n] + x[n − 1]) . 2 Para este sistema, pede-se: (a) a resposta impulsiva h[n] ; (b) a função de sistema H (z ) ; (c) a resposta em freqüência H (e jΩ ) (d) faça um gráfico do módulo e da fase de H (e jΩ ) para − π ≤ Ω ≤ π . (e) este filtro é passa-altas ou passa-baixas? 2. Considere um sistema LIT com resposta impulsiva ⎧ 1, ⎪ h[n] = ⎨ − 1, ⎪0 ⎩ 0≤n≤2 − 2 ≤ n ≤ −1 caso contrario Dado que a entrada do sistema é x[ n ] = ∞ ∑ δ [n − 4 k ] , k = −∞ determine os coeficientes da série de Fourier da saída y[n] . 5 Processamento Digital de Sinais – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 Aula 14T – Exemplos de filtros de tempo discreto Bibliografia OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals & systems. 2nd. ed. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. Páginas 244-249. HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 8573077417. Páginas 260-268. 3.6. Exemplos de filtros de tempo discreto descritos por equações de diferen- ças � Filtros descritos por equações de diferenças são muito usados na prática porque podem ser eficientemente implementados em sistemas digitais de propósito geral ou específico. � Sistemas LIT de tempo discreto descritos por equações de diferenças podem ser recursivos e ter resposta impulsiva infinita (sistemas IIR) ou ser não recursivo e ter resposta impulsiva finita (sistemas FIR). � Estas duas classes têm conjuntos diferentes de vantagens e desvantagens em termos de facilidade de implementação e em termos de ordem do filtro ou a complexidade requerida para atingir os objetivos desejados. � Nesta aula nos limitaremos a alguns exemplos simples de filtros recursivos e não recursivos, deixando a análise e compreensão mais detalhada destes sistemas para cursos posteriores. 3.6.1. Filtros de tempo discreto recursivos de primeira ordem � Filtros descritos por: y[n] − ay[n − 1] = x[n] . Exercício 1. Para o sistema acima, pede-se: (a) a resposta em freqüência H (e jΩ ) . (b) a resposta impulsiva; (c) a resposta ao degrau; (d) o intervalo de valores para a para o qual o sistema é estável. 1 pede-se: (a) a resposta impulsiva.6. 3 Exercício 2. Um exemplo simples com dois pontos foi visto na aula passada.Processamento Digital de Sinais – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 (e) Usando o Matlab.é a média dos valores de x[n] nas vizinhanças de n0 . � Sistemas com esta forma podem ser usados para cumprir um grande número de objetivos de filtragem. � Um exemplo um pouco mais complexo é o filtro média móvel com três pontos que tem a seguinte relação entrada-saída: y [n ] = 1 (x[n − 1] + x[n] + x[n + 1]) .por exemplo. (b) a resposta em freqüência. 3. componentes de alta freqüência (rápidas) da entrada serão amenizadas e as variações de alta freqüência permanecerão. (c) Esboce H (e jΩ ) no intervalo − 2π ≤ Ω ≤ 2π . � A idéia básica é que tomando a média dos valores localmente. Para o sistema acima. este filtro corresponde a uma suavização ou filtragem passa-baixas da seqüência original.6 . 2 . Filtros de tempo discreto recursivos de primeira ordem � A forma geral de uma equação de diferenças não recursiva FIR é M y [n ] = ∑ b x [n − k ] . n 0 . k k =− N � Isto é. esboce o módulo e a fase da resposta em freqüência para a = 0. incluindo filtragem seletiva em freqüência. Assim. a saída y[n] é uma média ponderada dos (N + M + 1) valores de x[n] de x[n − N ] até x[n + M ] com os pesos dados pelos coeficientes bk .6 e a = −0. � Um exemplo freqüentemente usado deste tipo de filtro é o filtro média móvel em que a saída y[n] para qualquer n .2. p.Processamento Digital de Sinais – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 3. a saída y[n] só tem um coeficiente da série de Fourier não nulo por período. 260) Considere um sistema LIT de tempo discreto e causal cuja entrada x[n] e a saída y[n] são relacionadas pela seguinte equação de diferenças: y[ n ] − 1 y[n − 1] = x[n] 4 Encontre a representação por séries de Fourier da saída y[n] para cada uma das seguintes entradas: 3π ⎞ n⎟ ⎝ 4 ⎠ (a) x[n] = sin ⎛⎜ π π (b) x[n ] = cos⎛⎜ n ⎞⎟ + 2 cos⎛⎜ n ⎞⎟ ⎝4 ⎠ ⎝2 ⎠ 3 . π < Ω < π ⎪⎩ 8 Mostre que se a entrada x[n] para este sistema tiver período N = 3 . NAWAB. WILLSKY. 261) Considere um sistema LIT de tempo discreto S cuja resposta em freqüência é: π ⎧ 1. (OPPENHEIM. WILLSKY. Ω ≤ ⎪ ⎪ 8 H (e jΩ ) = ⎨ ⎪ 0. (OPPENHEIM. p. NAWAB. 4. Simon S.. WILLSKY. ISBN 8573077417. VEEN. c1997. 191) Encontre a TFTD da seqüência x[n] = α n u[n] com α real e sendo α < 1 . New Jersey: Prentice-Hall. Upper Saddle River. Porto Alegre: Bookman. 668 p. Páginas 358-367. Barry. S.. NAWAB. Hamid. Sinais e sistemas. (HAYKIN. VAN VEEN. 2. Páginas 188-196. ed. 2nd. desde que: ∞ ∑ h[n] < ∞ n =−∞ • O par (1) e (2) é conhecido por par DTFT em que (1) é a análise e (2) é a síntese.Processamento Digital de Sinais – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2007 Aula 15T – A Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD) Propriedades e resposta no domínio da freqüência de sistemas LIT Bibliografia � HAYKIN. VEEN. Alan V. 2001. 3. 194) Encontre a TFTD inversa de: 1 . 7 A Transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD) • A transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD ou DTFT) H (e jΩ ) de um sinal de tempo discreto h[n] é definida por H (e jΩ ∞ )= ∑ h [ n ]e − j Ωn n=−∞ • Como já vimos na aula passada. � OPPENHEIM. Exercícios 1. (HAYKIN. p. (Prentice-Hall signal processing series) ISBN 0138147574. p. • A transformada inversa de Fourier é definida por π 1 h [n ] = H ( e j Ω ) e j Ωn d Ω ∫ 2π −π (2) • O par (1) e (2) pode ser aplicado a seqüências quaisquer. 2001. H (e jΩ ) (1) representa um sinal periódico com período 2π . Alan S. Signals & systems. 957 p.. 2001. Ou seja. − π < Ω < π. p. pode-se escrever: Y ( e jΩ ) = X ( e jΩ ) H ( e jΩ ) . • Já vimos também que H ( e j Ω ) = T FT D { h [ n ] } é a chamada resposta em freqüên- cia do sistema. VEEN.Processamento Digital de Sinais – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2007 ⎧⎪ 1. 2 . caso contrário ⎧ 2n . 5. se c[n ] = a[n ] ∗ b[n ] . usando a propriedade vista. (HAYKIN. Encontre a TFTD de x[n] = ⎨ ⎩ 0. caso contrário . 2001. W < Ω < π ⎩ 3. 195) Encontre a TFTD inversa de X ( e jΩ ) = δ( Ω) . Encontre a TFTD inversa de Resposta: X ( e j Ω ) = 2 cos ( 2Ω ) . ⎩ 0. 4. então C ( e j Ω ) = A ( e j Ω ) B ( e j Ω ) . • Uma propriedade muito importante da TFTD é a que transforma convolução no domínio do tempo em multiplicação no domínio da freqüência. ⎧ 1. Desta forma. • Isto pode ser escrito como a [ n ] ∗ b [ n ] ←⎯T FTD ⎯ ⎯→ A ( e j Ω ) B ( e j Ω ) • Já vimos que a resposta de um sistema LIT à entrada x[n] é dada por y[n ] = x[n ] ∗ h[n ] . 6. Ω ≤ W H ( e j Ω ) = ⎪⎨ ⎪⎪ 0 . n = ±2 x[n] = ⎨ . VEEN. sendo h[n] a resposta impulsiva deste sistema. 2001. 195) Encontre a TFTD de x[n] = δ [n] . 1 − 210 e − j 10Ω 1 − 2e − j Ω Resposta: X (e jΩ ) = 3. (HAYKIN .8 Propriedades da TFTD 0≤n≤9 . p. Figura 1 – A TFTD e os sistemas LIT (NABARRETE).Processamento Digital de Sinais – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2007 • Este importante resultado é resumido na figura a seguir. 3 . M ar cio Eisencr af t Segundo semest re de 2007 .Univ er sidade Pr esbit er iana M ack enzie Cur so de Engenhar ia El ∂et r ica P r ocessam ent o D igit al de Sinais ∂ T I CA PR A Pr of . Bernd. Alexander. 2001. ISBN 8521613644. RABENSTEIN. Sinais � Um sinal é uma função. Sinais e sistemas.1.. STENGER. GIROD. geralmente do tempo. VAN VEEN.Processamento Digital de Sinais – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 Aula 1P - Apresentação do curso Exemplos de Aplicação de PDS Bibliografia HAYKIN. Páginas 1-3. 668 p. Rudolf. c2003. Porto Alegre: Bookman. Sinais e sistemas. que carrega algum tipo de informação. Barry. 1. ISBN 8573077417. Páginas 21-33. Simon S. � Exemplos de sinais: (a) Sinal triangular (b) Sinal senoidal (c) Variação da temperatura de uma sala durante um dia 1 . 340 p. Porto Alegre: LTC Livros Técnicos e Científicos. Sinais e processamento de sinais 1. 2 .Processamento Digital de Sinais – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 (d) Sinal de voz (e) Cotação do dólar a cada meia hora durante um dia (f) Número de e-mails que chegaram à sua caixa de entrada verificada a cada meia hora. Geralmente. os sinais podem assumir as mais diversas for- mas. sinal de voz. O sinal s é representado matematicamente como s(t ). Sinais digitais – um sinal é chamado de digital quando só pode assumir um número finito de valores diferentes. Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto Sinais de tempo contínuo – são sinais que estão definidos em todos os pontos de um intervalo real. O sinal x é representado matematicamente por x[n].2. Classificação de sinais Como vimos nos exemplos anteriores. � Neste curso nos ocuparemos principalmente dos sinais de tempo discreto. Exemplos: variação da temperatura em um dia.Processamento Digital de Sinais – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 (g) Sinal binário 1.2. A seguir. Exemplo: potência fornecida por uma usina no decorrer de um dia. Exemplos: valor do índice BOVES- PA a cada uma hora. 1. 1. Sinais analógicos e digitais Sinais analógicos – um sinal é chamado de analógico quando pode assumir qualquer valor em um intervalo. Sinais de tempo discreto – são sinais que estão definidos apenas em instantes isolados de tempo.2. Exemplo: sinal binário. estes sinais só têm valores definidos para instantes de tempo inteiros.2. veremos duas formas muito importantes de se classificar sinais. t ∈ R .1. 3 . n ∈ Z . é interessante conseguir extrair esta informação do sinal. É isto o que nossos ouvidos fazem. • Esta extração de informações é chamada de processamento de sinais.ltid.br 4 . • Sem essas técnicas não existiriam muito do que se conhece hoje em áreas como: o Multimídia (DVD. ao reconhecer uma música ou voz ou o que nossos olhos fazem na observação de um quadro. o Biomedicina (ultra-sonografia.3. eletrocardiogramas). analógicos ou digitais. CD-ROM.ecglibrary. http://www.Processamento Digital de Sinais – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 Exercício 1. Geralmente. por exemplo.com/ o Sensoriamento remoto. http://www. 1. transmissão de áudio e vídeo de alta resolução). Classifique todos os sinais mostrados nas figuras anteriores em sinais de tempo discreto ou tempo contínuo. Processamento de sinais • Já dissemos que um sinal é uma função que carrega algum tipo de informação. • Em nosso curso enfocaremos algumas técnicas básicas envolvidas no processamento de sinais de tempo discreto uma das áreas da engenharia que mais tem se desenvolvido nas últimas décadas.inpe. Processamento Digital de Sinais – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 o Telecomunicações móveis (CDMA.washington.edu Exercícios 2. TDMA).iris. Classifique os seguintes sinais em: • Tempo discreto ou tempo contínuo • Analógico ou digital 5 . o Projeto de controle de motores de precisão para indústrias o Controle de terremotos http://www. 668 p. gerar um vetor y indo de 0 a 1 com passo de 0. SEMPRE QUE POSSÍVEL (OU SEJA. Sinais e sistemas. 1. 2nd ed. Gerando vetores 2. 866 p. • Exemplos de utilização A. Na área de Engenharia Elétrica e. Durante o curso veremos muitos outros detalhes técnicos.1. .. c2001. EM OUTRAS PALAVRAS. gerar um vetor x com os números inteiros de zero a cinco >> x = 0:5 x = 0 1 2 3 4 5 b. a função <help comando> pode lhe ajudar. EM MATLAB.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 Aula 2P - Comandos básicos do Matlab aplicados a PDS Bibliografia � HAYKIN. � MITRA. Introdução O Matlab é uma ferramenta muito útil no estudo de problemas e no desenvolvimento de projetos em Engenharia sendo utilizado em universidades e empresas ao redor do mundo. Lembre-se: sempre que você ficar na dúvida sobre a utilização de um comando. Vetor = valor inicial: passo: valor final Quando o passo é unitário. 1 . Páginas 70-76. em Processamento de Sinais vem adquirindo um caráter quase fundamental. 24 cm ISBN 0072321059. VAN VEEN. QUASE SEMPRE!) NÃO UTILIZE LAÇOS FOR OU WHILE! O objetivo desta aula é (re) ver alguns conceitos básicos de programação em Matlab. O principal motivo deste sucesso é a utilização maciça de vetores e matrizes para representar dados de uma forma simples (Matlab = Matrix Laboratory). ISBN 8573077417. O operador : O operador : é utilizado para gerar e acessar elementos de um vetor. ele pode ser omitido. Barry. mais precisamente. 2. Esta forma de representação praticamente elimina a necessidade de utilização de laços FOR ou WHILE simplificando e acelerando muito os programas. Sanjit K. Boston: McGraw-Hill.1. Digital signal processing: a computer-based approach. Simon S. 2001. Porto Alegre: Bookman. : il. Páginas 71-76. Gere um vetor constituído de 10 zeros.1000).8000 0. mostrar o segundo elemento do vetor x >> x(2) ans = 1 Exercício 1.2.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 >> y = 0:0. Comandos: 2. Exercício 2.1000 0. mas com os valores em ordem decrescente. num.0. Comandos: 2.7000 0. vetores constituídos de uns e de zeros respectivamente. valor final.1. 2 .3000 0.1:1 y = 0 0.colunas) e o zeros(num. Repita o exercício anterior. A função linspace A função linspace é uma forma prática de se gerar vetores quando sabemos quantos pontos ele deve ter. no. b.6000 0.1000).3.4000 0. Dois deles são o o- nes(num. • Exemplos de aplicação A. Vetor = linspace (valor inicial. >> v = linspace(0. de pontos) • Exemplos de utilização A.0000 c.9000 0.linhas. >> v = linspace(1. Gerar um vetor x de números pares de 0 a 50. Gere um vetor de 1000 pontos com valores entre zero e 1 igualmente espaçados. Vetores especiais Existem vetores pré-definidos pelo Matlab e que são muito úteis. num.5000 1. como os nomes dizem.2000 0. Colunas) que geram.linhas. Gere um vetor x de 5000 pontos com valores entre 0 e 2*pi. 4. Concatenação de vetores Uma ferramenta muito interessante do Matlab é a possibilidade de combinar vetores para formar outros (concatenar vetores). Construa um vetor constituído pelos números pares de 0 a 10 seguido pelos números ímpares de 0 a 10. Gere uma matriz 2x2 constituída por zeros.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 >> x = zeros(1.5) ones(1. Exercício 3. >> x = [0:10 10:-1:0] x = 0 1 2 10 9 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1 10 0 Exercício 4. • Exemplos de aplicação: A. Gere um vetor de cinco zeros seguidos por cinco uns. >> vector = [zeros(1. Comandos: 3 . >> y = ones(1.5000). Veja os seguintes exemplos. Gere um vetor contendo os números inteiros entre zero e 10 em ordem crescente seguidos pelos mesmos em ordem decrescente.10) x = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b. Comandos: 2.5)] vector = 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 B. Gere um vetor constituído por 5000 uns. /) vetores./y iii) 3*x vi) y.^2 iv) x. dividir (. exponenciais e outras) podem ser aplicadas a um vetor sendo que elas operam também elemento a elemento.1 -2 3] e y = [0 -1 3]. multiplicar (. Operações entre vetores O Matlab permite somar (+). Sendo x = [2 3 7] e y = [0 -1 3] escreva a resposta de cada um desses comandos executados no Matlab.*y [0 -3 21] b.^y Respostas: 3. • Exemplos de aplicação a. I) x + y [2 2 10] ii) x – y [2 4 4] iii) x.5.*y vii) x. quase todas as suas funções (trigonométricas.*) . subtrair (-). Como gerar a partir do vetor x = 0:0. Gráficos Uma outra característica muito interessante do Matlab para um engenheiro é a facili- dade de se construir gráficos complicados com ele de uma maneira muito simples.001:1 um vetor com números de 1 a 11? V = 10*x+1 Exercício 5. Essas operações são realizadas elemento a elemento e só podem ser aplicadas entre vetores de mesmo comprimento.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 2. Sendo x = [2. Além disso. escreva o vetor resultante das seguintes operações: i) x+y ii) x-y v) x. Os dois comandos mais utilizados são: 4 . ordenada. >> x = -5:5. • Exemplos de aplicação a.abscissa. Veja help plot para mais detalhes. vetor.^2. stem(vetor.4π] >> x = linspace(0. Veja os exemplos.5000). >> y = sin(x).y) 5 . Stem traça um gráfico da seqüência em seu segundo argumento como palitos com círculos no valor dos dados usando seu primeiro argumento como abscissa. Faça um gráfico da função y = sin(x) para x ∈ [0. O comando plot traça um gráfico colocando seu primeiro argumento no eixo horizontal e seu segundo argumento no eixo vertical. >> y = x.abscissa. >> plot(x.4*pi. A “string” ‘modo’ indica a forma como o gráfico será traçado. ‘modo’).ordenada).−5 ≤ x ≤ 5 . Faça um gráfico da função y = x 2 para x ∈ Z . >> stem(x. vetor.y) b.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 plot(vetor. Scripts são arquivos-textos comuns e podem ser criados usando um editor de texto. Quando um script é invocado. o real poder do Matlab para análise e projeto de sistemas vêm da sua habilidade de executar uma longa seqüência de comandos armazenados num arquivo. Scripts � Até este ponto. 6 . todas as nossas interações com o Matlab têm sido através da linha de comando. Comandos: 4. Estes arquivos são chamados de arquivos-M porque seus nomes têm a forma nomearq. o Matlab executa os comandos e funções no arquivo como se eles tivessem sido digitados diretamente na linha de comando. � No entanto. Faça um gráfico de y [ n ] = sin π n 12 2 ) ( e z [ n ] = cos π n 12 2 ) para − 30 ≤ n ≤ 30 na mesma figura. � Um script é um tipo de arquivo-M. Scripts podem invocar outros scripts.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 Alguns comandos interessantes: I) grid – coloca linhas de grade no gráfico ii) title – permite acrescentar um título ao gráfico iii) xlabel .permite acrescentar um título no eixo das ordenadas v) hold on – não apaga o gráfico atual antes de fazer o seguinte Exercícios ( 6. O gráfico de y [ n ] deverá ficar em azul e o de z [ n ] em vermelho.m. Entramos comandos ou funções na linha de comando e o Matlab interpreta nossa entrada e toma a ação apropriada. Um script é invocado na linha de comando digitando-se o nome do arquivo.permite acrescentar um título no eixo das abscissas iv) ylabel . � Um script é uma seqüência de comandos e funções comuns usados na linha de comando. Este é o modo de operação preferencial quando nossa sessão de trabalho é curta e não repetitiva. � Usando o editor de texto do Matlab (basta ditar edit na linha de comando). >> plotdata >> alfa = 10.y). ao tentar executar o script o Matlab não encontrará o arquivo e exibirá uma mensagem de erro. � É importante salvar o scritpt no mesmo diretório em que se está trabalhando na linha de comando. plot(t. y = sin(alfa*t). � Suponha por exemplo que desejemos fazer um gráfico da função y(t ) = sin α t em que α é uma variável que queremos variar. � Uma vez digitado e salvo é muito fácil utilizar o script. podemos escrever um script chamado plotdata. % Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) % O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes % de se chamar este script t = 0:0.01:1.m como mostrado a seguir. >> plotdata 7 . grid on.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 � O script opera sobre as variáveis do espaço de trabalho. Caso contrário. ylabel('y(t) = sin(\alpha t)'). Este erro é muito comum quando estamos começando a trabalhar com scripts. xlabel ('tempo(s)'). Veja os exemplos a seguir: >> alfa = 50. .b). � fname é o nome da função criada e deve ser o nome do arquivo m em que foi gravado o arquivo. � Uma vez que você tenha salvado este arquivo como somateste no diretório corrente...] = fname(inarg1. você pode usá-lo como nos exemplos a seguir: >> somateste(2.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 � Ao escrever scripts é sempre interessante utilizar comentários. >> help plotdata Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes de se chamar este script 5. A função somateste recebe dois argumentos a. 4) ans = 6 >> a = 5. � O formato de uma função no Matlab é o seguinte function [outarg1... as funções definidas pelo usuário estão entre os recursos mais importantes e utilizados do Matlab... (código executável) . Funções � Assim como os scripts..b) 8 . são os argumentos de saída. b e retorna a soma deles.) % Um comentário % Mais um comentário .. >> b = -3.. outarg2. >> res = somateste(a.. � A seguir damos um exemplo bastante simples de função. Se você escrever linhas de comentário antes do começo das instruções do script Ao utilizar o comando help nomearq o Matlab apresenta estas linhas na tela. outarg2. Uma função é um script que recebe um ou mais parâmetros do teclado e pode devolver um ou mais parâmetros ou executar uma tarefa.. são os argumentos de entrada e outarg1. Por exemplo. %Funcao para somar dois numeros a e b res = a+b... inarg2. linhas que começam com %. function res = somateste(a. inarg1.. inarg2.... (a) Digite o script plotdata da página 7 e gere os gráficos dos exemplos subseqüentes. Dica: use a função rand (não sabe como usar? Para que serve o help?). escreva uma função que faça um gráfico da função y(t ) = sin α t no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 e α é um parâmetro escolhido pelo usuário.1] . Gere um vetor de 100 valores aleatórios com distribuição uniforme no intervalo [0. (b) Reescreva o script plotdata visto acima de forma que ele seja uma função que recebe a variável alfa. Comandos: 9 . Por exemplo. (1022) Escreva uma seqüência de comandos do Matlab que forneça um vetor contendo 100 valores aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo -1 a 1 e que faça um gráfico deste sinal. Ou seja.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 res = 2 Exercícios 7. o comando: >> plotdada(50) deve gerar o gráfico Resposta (listagem): 8. Comandos: 9. O gráfico deve começar em a − 2 e terminar em b +2. (1032) Escreva uma função Matlab chamada pulso2graf cujas entradas sejam dois números inteiros a e b com a < b .2r [n] onde r [n ] é um vetor de números aleatórios com distribuição ⎝8 ⎠ uniforme entre -1 e 1. (1031) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que gere um gráfico do sinal ⎛π ⎞ x[n] = cos⎜ n ⎟ + 0. devemos obter a figura Listagem da função: 10 . Por exemplo. ao digitarmos: >> pulso2graf(2. A função deverá fazer o gráfico de um pulso com amplitude 2 no intervalo a ≤ n ≤ b .8). Faça 0 ≤ n ≤ 99 . Comandos: 11.Processamento Digital de Sinais – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft –agosto 2007 10. (Dica: use o comando rand). Digital signal processing: a computer-based approach. Estes sinais podem ser vistos como uma simples seqüência de números. >> u = [zeros(1.Processamento Digital de Sinais – Aula 3P – Professores Marcio Eisencraft – agosto 2007 Aula 3P - Geração de seqüências no Matlab Bibliografia � MITRA. Albany: Brooks/Cole. • Na Aula 2P. • Quando se está interessado em gerar sinais de tempo discreto. � INGLE. Páginas 7-20. • Por exemplo. 24 cm ISBN 0072321059. 1. . • Na aula de hoje. por outro lado.u). t=0:0.50)]. PROAKIS.50) ones(1. Sanjit K. ISBN 0534371744. 2. usa-se como abscissa vetores com espaçamento unitário entre amostras. 418 p. Gerando sinais no Matlab • Como já foi visto. Funções degrau e impulso • Foi visto na Aula 2P que para gerar uma seqüência de M uns no Matlab.. usa-se o comando ones(1. c2000. simulando um intervalo de tempo contínuo.M). usamos o comando zeros(1. 1 . são estudados alguns exemplos de como gerar seqüências (especialmente as seqüências básicas vistas na Aula 3T) usando o Matlab. >> stem(n.M) e para gerar uma seqüência de M zeros. John G. Pacific Grove. Páginas 6-11. n=0:100. : il.001:1. Vinay K. 2. Boston: McGraw-Hill. 866 p. o Matlab é uma ótima ferramenta para representar sinais de tempo contínuo e discreto. para gerar um sinal degrau estendendo-se de n=-50 a n = 49 usamos a seqüência de comandos: >> n = -50:49. Digital signal processing using Matlab.1. usa-se como abscissa vetores com espaçamento entre amostras bem pequeno. Introdução • Foi visto nas aulas teóricas que os objetos sobre os quais trabalhamos na área de Processamento Digital de Sinais são os sinais de tempo discreto. Por exemplo. • Quando se está interessado em gerar sinais de tempo contínuo. c2001. Em outras aulas de prática será explorado o que se pode fazer com essas seqüências no Matlab. Por exemplo. foi visto que um dos principais recursos do Matlab é trabalhar de forma muito simples e intuitiva com seqüências (ou vetores). 2nd ed. Podem-se usar esses dois comandos para gerar os sinais impulso e degrau. 61) ones(1.1. >> subplot(3.pulso). >> pulso = u1-u2. >> u2 = [zeros(1. 2 . >> u1 = [zeros(1.3). Por exemplo.1).50) 1 zeros(1. >> stem(n.40)].u2). a seguinte seqüência de comandos gera um pulso retangular centralizado na origem. >> subplot(3. stem(n. >> subplot(3.1.61)].Processamento Digital de Sinais – Aula 3P – Professores Marcio Eisencraft – agosto 2007 • Para gerar um impulso de tempo discreto de amplitude unitária utiliza-se: >> delta = [zeros(1.40) ones(1.1. >> n = -50:50.u1). • Sinais degrau deslocados no tempo podem ser utilizados para descrever pulsos retangulares.2). stem(n. stem(n.delta).49)]. Um pulso retangular x[n] é definido por 0 ≤ n ≤ 10 caso contrário ⎧ 8. 0 ≤ n ≤ 20 . RESOLUÇÃO (comandos Matlab utilizados): 3 . p. use o help.Processamento Digital de Sinais – Aula 3P – Professores Marcio Eisencraft – agosto 2007 • Você entendeu o que o comando subplot faz? Se não. − 5 ≤ n ≤ 5 . Faça um gráfico deste pulso no Matlab no intervalo − 20 ≤ n ≤ 20 . x[n] = ⎨ ⎩ 0.3( n −10 ) (u[n − 10] − u[n − 20]) . Exercício 1. 2000. (b) x[n] = n(u[n] − u[n − 10]) + 10e −0 . RESOLUÇÃO (comandos Matlab utilizados): 2. (INGLE.13) (1041) Escreva comandos Matlab para gerar gráficos de cada um dos seguintes sinais nos intervalos indicados: (a) x[n ] = 2δ [n + 2] − δ [n − 4] . PROAKIS. ao digitarmos: >> expgraf(0. deveremos obter o gráfico RESOLUÇÃO: 4 .m) chamado expgraf em Matlab cuja entrada seja um número real a.Processamento Digital de Sinais – Aula 3P – Professores Marcio Eisencraft – agosto 2007 2.^ já que n trata-se de um vetor.x).5). Exercício 3. >> stem(n.85).^n. • Para fazer um gráfico do sinal x[n ] = (0. Faça uma rotina (arquivo .85) basta executarmos os seguintes comandos: n >> n = -20:20. • Repare na segunda linha a utilização do . >> x = (0.2. Por exemplo. Sinais exponenciais • Vejamos alguns exemplos de geração de sinais exponenciais usando o Matlab. para 0 ≤ n ≤ 10 . Este programa deverá fazer o gráfico de x[n] = a n . um sinal senoidal de tempo discreto x[n] = A sin (Ωn + φ) é periódico de período fundamental N se existir um N inteiro positivo tal que Ω = 2πm . >> x = 2*cos(Omega*n).Processamento Digital de Sinais – Aula 3P – Professores Marcio Eisencraft – agosto 2007 2. Exercícios 4. para gerar o sinal x[n ] = 2 cos⎜ n ⎟ . >> Omega = pi/6. O gráfico deve conter dois períodos dos sinais.75πn ) e y[n] = cos(1. ⎛π ⎞ Por exemplo. com m inteiro. Faça em uma mesma figura (use subplot) os gráficos dos sinais x[n] = cos(0.3. usamos a seqüência de comandos: ⎝6 ⎠ >> n = -20:20. RESOLUÇÃO (comandos Matlab utilizados e comentários): 5 . veN mos que ele é periódico de período N = 12 o que é confirmado pelo gráfico acima. Aplicando esta condição ao exemplo anterior. • Sinais senoidais As funções sin e cos podem ser usadas para criar sinais senoidais de tempo discreto. Compare os gráficos obtidos.25πn ) . • Lembrando do que Foi visto na Aula 3T.x). >> stem(n. RESPOSTAS (Programa e resultados) 6 . Faça uma rotina (arquivo . Modifique o programa do exercício anterior para que ele calcule a energia de um sinal x[n]. (b) x = 2*ones(1. ao se digitar: >> cosgraf(1. s = sum(x).pi/6). Este programa deverá fazer o gráfico de x[n] = A cos(Ωn ) . Implemente este programa no Matlab e teste-o para os seguintes sinais: (a) x = ones(1. Por ⎣Ω⎦ exemplo.30).30). RESPOSTAS: 7. deve-se obter o gráfico RESOLUÇÃO (comandos Matlab utilizados e comentários): 6. A função a seguir calcula a soma das amostras de um sinal x[n]. %Programa para calcular a soma das amostras de um sinal function s = soma(x). para 0 ≤ n ≤ ⎢ ⎥ .Processamento Digital de Sinais – Aula 3P – Professores Marcio Eisencraft – agosto 2007 5.m) cosgraf em Matlab cuja entrada seja os números reais A ⎢ 6π ⎥ e Ω . Porto Alegre: Bookman. Além disso. Simulink 5. Simon S. 2003. veremos uma maneira de implementar estes filtros no Matlab usando o pacote simulink. (d) Rode o filtro no Matlab usando como entrada um impulso x[n] = δ [n ] . Este filtro tem resposta impulsiva finita (FIR) ou infinita (IIR)? 1 . para x[n ] = δ [n ] . (Um multiplicador) Dado o filtro a seguir: y[n] = 4 x[n] . pede-se: (a) Calcule as 5 primeiras amostras para n ≥ 0 da resposta impulsiva deste filtro. VAN VEEN. Um filtro é dito IIR se sua resposta ao impulso unitário possui um número infinito de amostras. ou seja.: il. Um filtro é dito FIR se sua resposta ao impulso unitário tem um número finito de amostras não nulas. Sinais e sistemas. Élia Yathie. 204 p. 2001. Exercícios 1. Em aulas futuras.agosto 2007 Aula 4P - Exemplos de sistemas no Matlab Bibliografia � HAYKIN. � O objetivo desta aula é reforçar o conteúdo visto na Aula 4T. São Paulo: Érica. � MATSUMOTO. (b) Desenhe um diagrama de blocos que represente este filtro. Barry. (c) implemente este filtro como um diagrama de blocos no simulink.Processamento Digital de Sinais – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft . sistemas (ou filtros) de tempo discreto e sua classificação. veremos formas mais eficientes de implementações de filtros digitais no Matlab. ou seja. � Através dos exemplos. 668 p. .. ISBN 8573077417. Faça 0 ≤ n ≤ 50 e obtenha um gráfico de y[n] . Páginas 61-70. ilustraremos um conceito muito importante em PDS: filtros FIR (resposta impulsiva finita) e IIR (resposta impulsiva infinita). 25 cm ISBN 8571949379. (d) Rode o filtro no Matlab usando como entrada um impulso x[n] = δ [n ] . (c) implemente este filtro como um diagrama de blocos no simulink. (a) Calcule as 5 primeiras amostras para n ≥ 0 da resposta impulsiva deste sinal.Processamento Digital de Sinais – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft . para x[n] = δ [n ] . ou seja.5 y[n −1] + 0. para x[n] = δ [n] .agosto 2007 2. (Um filtro FIR) Dado o filtro a seguir: y[n] = x[n] − 0. 2 . (Um filtro IIR) Dado o filtro a seguir: y[n] = 0. (b) Desenhe um diagrama de blocos que represente este filtro. (b) Desenhe um diagrama de blocos que represente este filtro. Faça 0 ≤ n ≤ 50 e obtenha um gráfico de y[n] . Este filtro tem resposta impulsiva finita (FIR) ou infinita (IIR)? 3.4 x[n] com condição inicial y[− 1] = 0 . ou seja.5x[n −1] + 0.7 x[n − 2] (a) Calcule as 5 primeiras amostras para n ≥ 0 da resposta impulsiva deste sinal. agosto 2007 (c) implemente este filtro como um diagrama de blocos no simulink. 3 .wav que está disponível na pasta da disciplina. Descreva o resultado da simulação e verifique o que ocorre ao se alterar os parâmetros do diagrama de blocos. Este filtro tem resposta impulsiva finita (FIR) ou infinita (IIR)? 4. (d) Rode o filtro no Matlab usando como entrada um impulso x[n] = δ [n ] . Implemente o seguinte diagrama de blocos que utiliza o arquivo voz. Faça 0 ≤ n ≤ 50 e obtenha um gráfico de y[n] .Processamento Digital de Sinais – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft . B. P. : il. � LATHI. Simon. Sinais e sistemas. em que C é sua amplitude. 1. . (algumas ISBN 8573077417). 2001. Porto alegre: Bookman. Barry. 668 p. New York: Oxford University Press.Processamento Digital de Sinais – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 Aula 5P – Amostragem Senóides de tempo discreto Bibliografia � HAYKIN. : il. a freqüência de cos(Ωn + �) é Ω . Ω é sua freqüência (em radianos por amostras) e � é sua fase (em ra- π� �π dianos). Páginas 546-559. c1998. A figura a seguir mostra senóide de tempo discreto cos� n + �. 850 p. Páginas 283-309. 1 . VAN VEEN. cos(− Ωn + �) = cos(Ωn − �) Assim. Assim. Signal processing and linear systems. Como cos(− x ) = cos( x ) . 27 cm ISBN 0195219171. Introdução • Uma senóide de tempo discreto genérica pode ser expressa como C cos(Ωn + �) . 4� �12 • Uma observação básica. tanto cos(− Ωn + �) quanto cos(Ωn − �) tem a mesma freqüência ( Ω ). o período de uma senóide pode assumir qualquer valor. Assim. como veremos as propriedades das senóides de tempo discreto são muito diferentes das de tempo contínuo. o sinal amostrado y[n] é dado por: y[n] = cos(ωnT ) em que Ω = ωT . escreva uma seqüência de comandos π� �π que gere o gráfico de cos� n + �. ou mesmo irracional. Os sinais de tempo discreto. fracionário. 2 . �6 � (a) Qual o período deste sinal? Faça um gráfico deste sinal para − 30 ≤ t ≤ 30 usando o Matlab.Processamento Digital de Sinais – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 Exercício 1. • No caso contínuo. No entanto. Exercício �π � 2. Use o Matlab para fazer a figura anterior. = cos Ωn • Claramente. Seja o sinal de tempo contínuo x(t ) = cos� t �. Ou seja. só são especificados em valores inteiros de n . inteiro. 4� �12 RESPOSTA: (Comandos e comentários) 2. pode parecer que uma senóide de tempo discreto é uma senóide de tempo contínuo apresentada com bolinhas. Senóides de tempo contínuo amostradas resultam em senóides de tempo discreto • Uma senóide de tempo contínuo cos(ωt ) amostrada a cada T segundos fornece uma seqüência de tempo discreto cujo n -ésimo elemento (em t = nT ) é cos(ωnT ) . Assim. • Superficialmente. o período precisa ser um inteiro (em termos de n ) ou um múltiplo inteiro de T (em termos da variável contínua t ). uma senóide de tempo contínuo cos ωt amostrada a cada T segundos fornece a senóide de tempo discreto cos(Ωn ) em que Ω = ωT . por outro lado. RESPOSTA: (Resolução. 1. (b) Agora suponha que você amostre este sinal com um período de amostragem T = 1 . 2. 3. Uma senóide de tempo contínuo é sempre periódica independentemente de sua freqüência ω . De fato. Qual o período deste sinal? Usando o Matlab faça um gráfico deste sinal para − 30 ≤ n ≤ 30 sem apagar o anterior (use o comando hold). Assim. Mas uma senóide de tempo discreto cos Ωn é periódica apenas se Ω é igual a 2π vezes um número racional ( Ω é um número ra2π cional). Já a senóide cos Ωn não tem uma forma de onda única para cada valor de Ω . Escreva o sinal de tempo discreto resultante y[n] . Uma senóide de tempo contínuo cos ωt tem uma forma de onda única para cada valor de ω . Seja o sinal de tempo contínuo x(t ) = cos(t ) .Processamento Digital de Sinais – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 (b) Agora suponha que você amostre este sinal com um período de amostragem T = 1 . Qual o período deste sinal? Usando o Matlab faça um gráfico deste sinal sem apagar o anterior (use o comando hold). comandos e comentários): 3. Escreva o sinal de tempo discreto resultante y[n] . uma senóide 3 . comandos e comentários). senóides de tempo discreto com freqüências separadas por múltiplos de 2π são idênticas. (a) Qual o período deste sinal? Faça um gráfico deste sinal para − 30 ≤ t ≤ 30 usando o Matlab. RESPOSTA: (Resolução. Algumas peculiaridades das senóides de tempo discreto • Existem duas propriedades inesperadas das senóides de tempo discreto que as distingue de seus parentes de tempo contínuo. 1� �= cos�8 πn + 0. A figura a seguir mostra um exemplo de sinal periódico de período 6. Usando o comando subplot faça os gráficos de ��π � � �17 � x 2 [n] = cos� ��8 + 2π �n + 0. Exercício 4. comandos e comentários): 4.1� � � � �� � �π � x1 [n ] = cos� n + 0. Nem todas as senóides de tempo discreto são periódicas • Um sinal de tempo discreto x[n] é dito periódico de período N 0 se x[n] = x[n + N 0 ] para algum inteiro positivo N 0 .1� �= cos�− 8 πn + 0. O menor N 0 que satisfaz esta equação é o período de x[n] . Agora vamos examinar cada uma destas peculiaridades.1�. Calcule os períodos dos 3 sinais e � � � �� � compare.Processamento Digital de Sinais – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 cos Ωn = cos(Ω + 2π )n = cos(Ω + 4π )n = K . então: cos Ωn = cos(Ω(n + N 0 )) = cos(Ωn + ΩN 0 ) 4 . RESPOSTA: (Resolução.1�. • Se um sinal cos Ωn é periódico de período N 0 . �8 � e ��π � � � � 15 x3 [n] = cos� ��8 − 2π �n + 0. N0 = m • 2π 17 = 2 = 17 . Assim.. precisamos escolher o menor valor de m que fará ro... Isto é. a equação acima implica que a senóide cos Ωn é • periódica apenas se Ω for um número racional. 3. Assim. o período N 0 é dado por: 2π �2π � N 0 = m� � �Ω � • (1) Para calcular N 0 . 1. podemos mostrar que esta discussão também se aplica à exponencial de tempo discreto e jΩn . então: e jΩN 0 . eΩ . Ω 2 Usando um argumento similar. Este resultado só é possível se ΩN 0 = 2πm ( m inteiro) Esta equação leva à Equação (1). 2. cos Ωt amostrada em t = 0. Neste caso. isto é: • ΩN 0 = 2πm m inteiro ou Ω m = 2π N 0 Como tanto m quanto N 0 são inteiros.Processamento Digital de Sinais – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 Este resultado é possível somente se ΩN 0 é um múltiplo inteiro de 2π . Como o período de cos Ωt é † Podemos também demonstrar este ponto observando que se e e jΩn =e jΩ ( n + N 0 ) =e jΩn jΩn é periódico de período N 0 . este resultado pode ser explicado lembrando que a senóide de tempo discreto cos Ωn pode ser obtida por amostragem de uma senóide de tempo contínuo cos Ωt com intervalo de amostragem T = 1 . a exponencial de tempo discreto e jΩn é periódica apenas se 5. Isto significa que cos Ωt é a envoltória de cos Ωn . então o menor valor de m que fará 17 �2π � m� � um intei�Ω � 17 �2π � m� �= m 2 �Ω � um inteiro é 2. 5 2π . † 2π Explicação física para a relação de periodicidade Qualitativamente.. • Ω é um número racional. se Ω = 4π . Por exemplo. 5 amostras (um número não inteiro) em um ciclo de sua envoltória. 6 . o Ω segundo ciclo da envoltória não será idêntico ao primeiro ciclo. cos� n � repete-se a cada ciclo de sua �Ω � �4 � �π � envoltória. que mostra cos� n �. Assim. Mas existem 17 amostras (um número inteiro) em dois ciclos da envoltória. Portanto. cos� n � também é periódico.Processamento Digital de Sinais – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 xistem 2π amostras (elementos) de cos Ωn em um ciclo desta envoltória. o padrão torna-se repetitivo a �4π � cada dois ciclos da envoltória. �4 � • �4π � Por outro lado.8n ) . • �π � �4π � A figura seguinte mostra três senóides cos� n �. Claramente cos� n �é periódica com período 8. cos� n � e cos(0. tem uma média de �17 � 2π = 8. Este número Ω pode ser inteiro ou não. o segundo gráfico. �4 � �17 � • �π � O primeiro gráfico mostra cos� n �para o qual cabem exatamente 8 amostras em ca�4 � � �2π �π � da período de sua envoltória � = 8 �. Portanto. mas seu período �17 � é 17 (dois ciclos de sua envoltória). Assim. RESPOSTA: (Resolução. Escreva um programa (seqüência de comandos) Matlab que produza um tom na freqüência f que dure 5s: (a) f = 500 Hz (b) f = 700 Hz (c) f = 1100 Hz RESPOSTA: (Comandos e comentários) 7 (d) f = 1300 Hz. . Como o período da envoltória é 2π concluímos que Ω �2π � N 0 = m� � �Ω � que é exatamente a equação a que tínhamos chegado. assim cos(0.5π amostras (um número irracional) por ciclo da envoltória e o padrão não pode ser feito repetitivo sobre um número inteiro ( m ) de ciclos da envoltória. Os fonoaudiólogos usam um equipamento chamado audiômetro para testar a audição de deficientes auditivos. este aparelho reproduz um tom dado pela senóide sin (2πf ) para f entre 100Hz e 3000Hz. Exercícios 5. Basicamente.8n ) não é periódico. a senóide cos(0. comandos e comentários): 6. Por exemplo. é impossível encaixar um número inteiro ( N 0 ) de amostras em um 2π número inteiro ( m ) de ciclos da envoltória e o padrão nunca se torna repetitivo.8n ) no terceiro gráfico da figura acima tem uma média de 2. Reproduza no Matlab a figura da página 6.Processamento Digital de Sinais – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 • Esta observação indica que um sinal cos Ωn é periódico somente se podemos encaixar um número inteiro ( N 0 ) de amostras em m número inteiro de ciclos de sua envoltória. • Se Ω é irracional. Páginas 85-99. Porto Alegre: Bookman. Alan S. Sinais e sistemas.. New Jersey: Prentice-Hall. Signals & systems. 957 p. COMANDOS UTILIZADOS: 1 . 668 p. Hamid. Alan V. ISBN 8573077417. Obtenha novamente o resultado do Exercício 1 utilizando o comando conv do Matlab. ed. 2nd. � OPPENHEIM. Páginas 74-90.Processamento Digital de Sinais – Aula 6P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Aula 6P – Aplicações da soma de convolução Bibliogr afia � HAYKIN.. VAN VEEN. Upper Saddle River. ISBN 0138147574.. c1997. Um sistema LIT tem a resposta ao impulso dada por j [p] = w[p] − w[p − 10] Determine a saída deste sistema quando a entrada for o pulso retangular definido como z[p] = w[p − 2] − w[p − 7] RESOLUÇÃO 2. Exer cícios sobr e soma de convolução 1. Barry. S. WILLSKY. NAWAB. Simon S. 2001. diminuir suas variações. RESOLUÇÃO Aplicações 4. Um sistema de média móvel é um sistema que calcula a média dos P últimos valores da entrada com o objetivo de “suavizar” o sinal de saída. Ele pode ser expresso por: {[p] = 1 (z[p] + z[p − 1] + z[p − 2] + … + z[p − P ]) P +1 (a) Calcule a resposta impulsiva para o sistema média móvel com P = 4 . ou seja. para: {[p] = 1 (z[p] + z[p − 1] + z[p − 2] + z[p − 3] + z[p − 4]) 5 RESOLUÇÃO 2 .Processamento Digital de Sinais – Aula 6P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 3. ou seja. Um sistema LIT tem resposta ao impulso p ⎛ 3⎞ j [p] = ⎜ ⎟ w[p] ⎝ 4⎠ Determine a saída do sistema {[p] quando a entrada for z[p ] = w[p] . m’). Verifique e interprete a saída utilizando o comando conv.Processamento Digital de Sinais – Aula 6P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 (b) Utilizando convolução. Use subplot).3*randn(1. RESOLUÇÃO (c) Agora repita o item (b) utilizando o comando conv. Pede-se: 3 . Estes pontos podem ser carregados para uma variável x1 no Matlab estando no diretório correto e usando o comando: >> x1 = load(‘eletro1.m contém amostras obtidas de um eletrocardiograma no site physionet. COMANDOS UTILIZADOS: (d) Utilize agora como a entrada uma senóide de tempo discreto com período P = 15 e definida de 0 a 100 somada a um ruído branco gaussiano com desvio-padrão 0.3 (use o comando r = 0. O arquivo eletro1.101)). COMANDOS UTILIZADOS E INTERPRETAÇÃO (e) Como você poderia melhorar a filtragem do item (d)? RESPOSTA 5. (Coloque numa mesma figura a entrada e a saída.org. calcule a resposta deste sistema à entrada z[p] = w[p ] − w[p − 3] . (c) Utilize o comando conv e a resposta impulsiva da letra (b) para obter uma versão “suavizada” do sinal visto na letra (a). obtenha um gráfico do sinal original e de sua versão suavizada na mesma figura.Processamento Digital de Sinais – Aula 6P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 (a) Verifique o comprimento do vetor x1 utilizando o comando whos e faça um gráfico deste sinal. (b) Obtenha a resposta impulsiva de um filtro média móvel do Exercício 1 para P = 49 . COMANDOS UTILIZADOS E RESPOSTAS (USE O VERSO TAMBÉM). 4 . Comente sobre os resultados obtidos. Usando subplot. Se o forem. p.5) x [ n ] = cos 15 πn (7 ) (b) (0.5 ) u [ n ] 1 . 31) (2. 43) Calcule a energia e a potência dos seguintes sinais e classifique-os em sinal de energia. (b) x [ 2n ] .5 x[n] 2 1. n (a) (1.5 1 0. (c) x [ −n ] .5) x n = [ ] ∑ { δ[ n − 3k ] + δ[ n − k 2 ]} k= − ∞ 3.5 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n 2. 2001.0) Um sinal de tempo discreto x [ n] é mostrado na figura a seguir. 2004.0) x [ n ] = ( −0. sinal de potência ou nenhum dos dois. (d) x [ −n + 2] 3 2. (HSU. encontre o período fundamental: (8 ) (a) (0.Processamento Digital de Sinais – Aula 7P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006 Aula 7P - Questões da prova P1 1. Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais: (a) x [ n − 2] . p. p. 2004. (HSU. (HAYKIN. 81) Determine se os seguintes sinais são periódicos. VEEN.5) x [ n ] = cos 15 πn ∞ (c) (0. 1πn ) x [ n + 2 ] 2 . p. 2 . 0 . 1. 10 . (b) (0.0) x [ n ] = u [ n ] . 2000. 1 } ↔ { 1. 2 . 1 } ↑ ↑ 0.0) x2 [ n ] = 20. 2 . p.Processamento Digital de Sinais – Aula 7P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006 (b) (1. 6. PROAKIS. { } 5. 8. { 1. 1.5) O que se pode afirmar sobre a invariância no tempo deste sistema? JUSTIFIQUE. (a) (1. − 1 − 1 } ↔ { 0 . 2 1 } } ↑ (a) (1. Obtenha e ↑ faça um gráfico das seguintes seqüências no intervalo −10 ≤ n ≤ 10 . 1996. (PROAKIS. MANOLAKIS. (INGLE. 35) Seja x[n] = 1. − 2.0) x1 [n] = 3 x[n + 2] + x[n − 4] − 2 x[n ] (b) (1.0) Determine a resposta impulsiva do sistema. − 1. { − 1. − 5. 137) Os seguintes pares entrada-saída foram observados durante a operação de um sistema linear: x 1 [n ] x 2 [n ] x 3 [n ] = = = H { − 1. 4. 4. 1 } ↔ ↑ H ↑ H ↑ y 1 [n ] y 2 [n ] y 3 [n ] = = = { 1.5n x [ n ] + cos ( 0. c2000. … . >> A = [1 -0.Processamento Digital de Sinais – Aula 8P – Professores Marcio Eisencraft – setembro 2007 Aula 8P .x). O vetor B contém os elementos d1 .1] + . Página 149.5]. … dO +1 e o vetor A contém os elementos c 1 .. Sinais e sistemas. resolver o mesmo problema proposto anteriormente só que com condição inicial {[− 1] = 2 .y). + b O +1 x[n . … c O +1 . O vetor x contém os pontos do sinal de entrada. Porto Alegre: Bookman.A.. >> x = ones(1.N ] = b1 x[n] + b 2 x[n . >> x = ones(1. Neste caso. {[− P ]] nas condições iniciais usadas pelo comando filter.20). >> stem(n. usamos a seguinte seqüência de comandos: >> n = 0:19.. >> zi = filtic(B. vamos considerar que as condições iniciais são nulas. Barry. 2001. 1 . >> B = [1]. zi). 418 p. usamos o comando: y = filter(B. Seja a equação de diferenças a 1 y[n] + a 2 y[n . A. >> y = filter(B. Vinay K.1] + … + a N +1 y[n . VAN VEEN. Pacific Grove.M] . c 2 . {[− 2]. O Matlab permite a resolução de equações de diferenças com a utilização dos comandos filter e filtic. 668 p. Digital signal pr ocessing using Matlab. PROAKIS.A.5 {[p − 1] = z[p] para z[p] = w[p] e condições iniciais nulas. d2 .[2]).x. No caso de condições iniciais não nulas. >> y = filter(B.5]. Simon S. Seja por exemplo. Usamos o seguinte conjunto de instruções: >> n = 0:19. >> A = [1 -0. solução da equação de diferenças {[p] − 0.A. ISBN 0534371744. John G.. usamos o comando filtic para transformar as condições [ {[− 1]. >> B = [1]. Páginas 29-35. Primeiramente. Albany: Brooks/Cole. � INGLE.20). Por exemplo.Simulando equações de diferenças no Matlab � HAYKIN. ISBN 8573077417. x). para resolvê-la no Matlab. para encontrar os 20 primeiros pontos de {[p] . RESOLUÇÃO: (b) Calcule a resposta impulsiva usando o comando filter do Matlab. Seja a equação de diferenças {[p] − 0.y).5 {[p − 1] = z[p] Para 0 ≤ p ≤ 19 (a) Calcule a resposta impulsiva deste sistema (use iterações). COMANDOS E COMENTÁRIOS: (c) Calcule a resposta ao degrau deste sistema usando convolução. COMANDOS E COMENTÁRIOS: ⎛π ⎞ (e) Calcule a resposta deste sistema para a entrada z[p] = sin ⎜ p ⎟ e condições inicias nulas ⎝3 ⎠ usando o comando conv do Matlab. RESOLUÇÃO: (d) Calcule a resposta ao degrau deste sistema usando filter. COMANDOS E COMENTÁRIOS: 2 .Processamento Digital de Sinais – Aula 8P – Professores Marcio Eisencraft – setembro 2007 >> stem(n. Exer cícios 1. 4908 z[p − 1] + 2. No p -ésimo semestre. COMANDOS E COMENTÁRIOS: 2. + b O +1 x[n .n) pode ser usado para computar as primeiras N amostras da resposta impulsiva do sistema LIT discreto da equação: a 1 y[n] + a 2 y[n . (b) Sendo o número de alunos num semestre sempre igual a 48 ( z[p] = 48w[p] ) quantos livros esta editora deverá vender por semestre.A.75 {[p − 2] = 2. depois de passado o transitório? RESOLUÇÃO: O comando Matlab y = impz(B. A editora vende {[p] cópias novas do livro no semestre p . um quarto dos estudantes com livros em condições de vendas revende seus livros ao final do semestre e a vida útil do livro é três semestres. (a) Escreva a equação de diferenças relacionando {[p] ..4 {[p − 1] + 0.. z[p] estudantes matriculam-se num curso que requer certo livro texto.Processamento Digital de Sinais – Aula 8P – Professores Marcio Eisencraft – setembro 2007 (f) Repita o item (e) usando filter.N ] = b1 x[n] + b 2 x[n .1] + .1] + … + a N +1 y[n . os novos livros vendidos pela editora com z[p] .2403 z[p − 2] . %Programa para exercícios seguintes %Computa a resposta impulsiva h 3 . o número de estudantes matriculados no p -ésimo semestre. O programa Matlab a seguir computa e faz um gráfico da resposta impulsiva descrita pela equação: {[p] − 0. Em média. assumindo que cada estudante compra um livro.2403 z[p] + 2.M] . %Faz um grafico da resposta impulsiva stem(0:N-1.2403]. (MITRA. 1999. (MITRA.71 {[p − 1] − 0. A = [1 -0. 5. compute e faça um gráfico das primeiras 40 amostras. p.002 z[p − 3] COMANDOS E COMENTÁRIOS: .4908 2.A. B = [2.62 {[p − 3] = 0.26) Rode o programa acima e gere a resposta impulsiva para o sistema de tempo discreto da equação dada acima.grid. h = impz(B.N). 1999.4 0.46 {[p − 2] − 0. ‘N = 40.9 z[p ] − 0. p.h). COMANDOS E COMENTÁRIOS: 4.2403 2.27) Escreva um programa Matlab que gere a resposta impulsiva do sistema LIT do exercício anterior usando o comando filter. Compare com o resultado obtido no Exercício 4.26) Modifique o programa acima para gerar as primeiras 45 amostras da resposta impulsiva do seguinte sistema LIT causal: {[p ] + 0.45 z[p − 1] + 0. (MITRA. p. ylabel('Amplitude').Processamento Digital de Sinais – Aula 8P – Professores Marcio Eisencraft – setembro 2007 clf. COMANDOS E COMENTÁRIOS: 4 . xlabel('indice temporal n'). 1999. title('Resposta impulsiva').35 z[p − 2] + 0.75]. 3. fs) Atividades (nos espaços coloque os comandos Matlab utilizados e comentár ios sobr e os r esultados obtidos) 1. fazemos: >> [voz. Página 375. PROAKIS. MATLAB 6: curso completo. Bruce.Processamento Digital de Sinais – Aula 9P – Professores Marcio Eisencraft – setembro 2007 Aula 9P - Exemplos simples de processamento de voz Bibliogr afia � INGLE.wav'). Qual a freqüência de amostragem do sinal de voz voz. � Com estes comandos. Resposta e comentários: 1 . Vinay K. A variável fs contém a freqüência em que o sinal foi amostrado (Hz ou amostras/s) e a variável nbits contém o número de bits utilizado para representar cada amostra. c2003. serão disponibilizados para os alunos os arquivos de áudio voz. 676 p.wav. qual a duração em segundos deste sinal? Resposta e comentários: 3. Pacific Grove: Brooks : Cole Publishing. Para “tocarmos” o sinal no alto-falante do PC usamos o comando sound(<variável>. Páginas 7-20. nbits] = wavread('voz. � Para isso. O processamento de sinais de voz. 24 cm ISBN 0534371744. podemos fazer: >> sound(voz. Estando no diretório correto. ISBN 8587918567. Duane C. � Começaremos carregando o sinal no Matlab. Utilizando o comando sound tente tocá-lo com um valor de fs diferente.. <freqüência de amostragem>). . fs. John G. 418 p. LITTLEFIELD. São Paulo: Prentice Hall.wav? Resposta e comentários: 2. : il. c2000. o vetor voz conterá as amostras do arquivo voz. � HANSELMAN. Se ele é composto por 60000 amostras. � Vamos ver agora uma possível aplicação dos conhecimentos que obtivemos até agora num caso mais prático. O que acontece? Explique o que você ouviu. >> voz = voz'.wav. Digital signal processing using matlab. � Digitando whos podemos ver que o vetor voz é composto por 60000 amostras.wav e teste. Por exemplo. Por exemplo. Faça um gráfico deste sinal. podemos usar o seguinte script: 2 . Obtenha um vetor (chame-o. Vimos que a potência de um sinal pode ser obtida fazendo-se uma média dos valores da potência instantânea r [p] = z 2 [p] . Obtenha um vetor vozmet contendo apenas os 30000 primeiros pontos de voz. Para gerar um ruído com 60000 pontos e potência Pruido. de vozinvert) que contenha as amostras do vetor voz só que de traz pra frente.^2)/length(voz) Qual a potência do sinal voz? Resposta e comentários: 8. pode ser usado o comando: >> ruido = sqrt(Pruido)*randn(1. Isto pode ser obtido no Matlab com o comando: >> p = sum(voz. Faça um gráfico e toque o sinal vozmet. Resposta e comentários: 9. Um dos conceitos mais utlizados em processamento digital de sinais e telecomunicações é o de relação sinal-ruído (SNR = signal to noise ratio) que é a razão entre a potência do sinal e a potência do ruído num certo sinal.Processamento Digital de Sinais – Aula 9P – Professores Marcio Eisencraft – setembro 2007 4. Obtenha um gráfico do vetor voz. Resposta e comentários: 5. por exemplo. Toque-o usando sound. Resposta e comentários: 7. Modifique a potência do ruído e observe o que ocorre.60000). Resposta e comentários: 6. se quisermos gerar um som que tenha SNR = 5. Gere um ruído com potência Pruido = 1 e ouça o resultado. 5s.wav do exercício anterior. 20. Resposta e comentários: 11.wav.alfa) que recebe um sinal guardado na variável x e implementa e toca o sinal com eco { [ p ] = z [ p ] + cz [ p − P ] . SNR = 5. 50. sound(vozr. Teste seu programa para o arquivo teste.fs) Modifique o script acima para gerar sons com SNR igual a 100.N. por exemplo. use o comando: >> [x. Para lê-lo no Matlab.wav’).m – gera um sinal de voz somado a ruido com % SNR fixa [voz. Se o sinal é amostrado a 8kHz.wav'). { [ p ] = z [ p] + 0. 10.fs.1 e 0.nbits] = wavread('voz. 0.Processamento Digital de Sinais – Aula 9P – Professores Marcio Eisencraft – setembro 2007 % SCRIPT noise. 7 z [ p − 4000] . Pruido = Psinal/SNR. Descubra até que nível de SNR a mensagem ainda é inteligível.fs. Este filtro pode ser utilizando o comando filter. 1.^2)/length(voz). vozr = voz+ruido. voz = voz'. Obtenha e ouça o resultado da aplicação deste filtro ao sinal teste. Resposta e comentários: 3 . Um filtro FIR pode ser utilizado para obtermos um efeito de eco acústico. Resposta e comentários: " " 10.60000). 2. Psinal = sum(voz. ruido = sqrt(Pruido)*randn(1. o seguinte filtro gera um eco de 0. fs] = wavread(‘teste. Escreva uma função que tenha como formato function [y] = eco(x. . Páginas 329-350. Schuessler. O trato vocal se comporta como uma cavidade ressonante de forma que o sinal que emana pela boca é uma soma ponderada de versões atrasadas do sinal vocal original mais as excitações. � BURRUS. 1. 28 cm ISBN 0137890095. Oppenheim. Thomas W. Alan V. Parks. Hans W. 1 . Por exemplo. vogais são sons vocálicos. Virginia L. Ronald W. 143 p. Computer-based exercises for signal processing using Matlab 5. C. Fundamentos de sinais de voz Fisicamente.. Os diferentes tipos de sons da voz podem ser divididos de forma simplificada em dois grupos: os sons vocálicos e os sons fricativos ou não-vocálicos. c1996. (SENDA. . Boston. predição e síntese de voz Bibliografia � STONICK. Sidney.. Upper Saddle River: Prentice-Hall.Processamento Digital de Sinais– Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Aula 10P – Modelagem. quando se diz “a”. O modelo em tubos do trato vocal é mostrado nas Figuras 2 e 3. c1998. 404 p. pode-se sentir a vibração das cordas vocais. Labs for signals and systems: using MATLAB. Schafer. Figur a 1 – Detalhes do trato vocal. o período fundamental desta seqüência determina a tonalidade (“pitch”). Páginas 57-68. ISBN 0534938086. : il. 2005). Uqpu"xqeânkequ: são produzidos usando uma seqüência de impulsos como entrada. Albany: PWS. a voz é produzida quando o ar dos pulmões excita o sistema de trato vocal mostrado na Figura 1.. 2 . 2. 2005). Como cada amostra de sinal de voz é muito relacionada com as anteriores.Processamento Digital de Sinais– Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Uqpu"pçq/xqeânkequ: são produzidos usando ruído branco como entrada. Estes sons geralmente são gerados por um fluxo turbulento de ar pela boca. Assim. por exemplo. quando se pronuncia “sh”. Figura 2 – Modelo do trato vocal. o modelo em tempo discreto da produção de voz é mostrado na Figura 4. o valor da amostra atual de voz pode ser estimado como uma combinação linear das anteriores. (SENDA. Modelagem de voz em tempo discreto Um modelo em equações de diferenças para o trato vocal pode ser desenvolvido como se segue. Processamento Digital de Sinais– Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Figura 3 – Modelo em tubos do trato vocal.. O erro entre o sinal original e o estimado é: g[p] = u[p] − uˆ[p] 3 (2) .. (BURRUS et al. 1998). r uˆ[p] = ∑ α ku[p − k] k=1 (1) O sinal uˆ[p ] é a estimação do sinal de voz u[p] para a p -ésima amostra. 1998). Figura 4 – Modelo em diagrama de blocos da geração da fala humana (BURRUS et al. No transmissor u[p] é a entrada do filtro de predição e g[p] é a saída. A transmissão do sinal de erro resulta em economia substancial da banda de transmissão. No receptor a situação é a inversa. então apenas o erro precisa ser transmitido e o sinal de voz pode ser t geqpuvt wîf q no receptor utilizando a equação de diferenças acima. original 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Predicao x 10 0 -1 Erro de predicao 8 4 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 1 x 10 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 1 Reconstruido 4 x 10 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 x 10 Figura 5 – Exemplo de predição e reconstrução de um sinal de voz. o erro e a reconstrução para um sinal de voz u[p] .Processamento Digital de Sinais– Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Modelo de predição A combinação das duas equações acima leva a um modelo por equações de diferenças da predição do processo de fala: r u[p] − ∑ α ku[p − k] = g[p] (3) k=1 Este modelo de predição é usado em telecomunicações para aumentar o número de sinais de voz que podem ser transmitidos por um canal. 4 . A Figura 5 mostra um exemplo de sinal predito. Se os coeficientes α k são conhecidos pelo transmissor e pelo receptor. Processamento Digital de Sinais– Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 5 Modelo de síntese Pode-se modificar o mesmo modelo básico de predição de voz para usar em síntese de voz. Se o objetivo for criar um sinal ~ u[p] que imita o sinal de voz original. Eq. (3). resulta o seguinte modelo de síntese: r ~ u[p] − ∑α k~ u[p − k] = I z[p] . 1996). Usando a mesma forma da equação de diferenças do modelo de predição. 6 Tr ansmissão de voz Uma linha telefônica normal opera simplesmente amostrando a voz de uma pessoa. onde novamente é convertido em voz. digitalizando as amostras com 8 bits e transmitindo estes bits para o receptor. k=1 (4) Tipicamente. BRADLEY. Veja a Figura 6. Figura 6 – Segmentação do sinal de voz (STONICK. Na síntese aplica-se uma seqüência de excitação conveniente para que naquele intervalo de tempo seja gerada uma seqüência de sons adequada. 5 . os coeficientes α k mudam a cada 10-20ms conforme o trato vocal muda para produzir sons diferentes. podemos substituir o erro g[p] por um sinal de entrada z[p] multiplicado por um ganho I . 7 Atividades 1. Por que fazer isso? Voz normal necessita de 8 bits x 8 kHz = 64000 bits por segundo para ser transmitido. quantos blocos de 20ms NBLKS podem ser obtidos? 3. Se 1 segundo deste sinal estiver num vetor Matlab. Se este sinal for quebrado em segmentos de 20ms. quantas amostras NS existem por bloco? 2. k=0 6 0 ≤ p < P U. Suponha que o sinal de erro possa ser digitalizado com 4 bits ao invés de 8 e que cada coeficiente seja representado com 16 bits. para transmitir a mesma quantidade de informação é necessário 4bits x 8kHz + 16 x 10 coeficientes x 100 blocos de dez milisegundos por segundo = 48000 bits por segundo – 75% da taxa anterior.Processamento Digital de Sinais– Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Um método alternativo é realizar a análise e predição como resumido anteriormente. digitalizar o sinal de erro e transmitir o sinal de erro digital resultante e coeficientes da predição linear. Assuma que você tem um sinal de voz digitalizado com uma amostragem de 8kHz. Suponha que se deseje usar como entrada para seu modelo de voz sintética um trem de impulsos unitários igualmente espaçados e que gostaríamos que o pitch fosse 200Hz. quanto vale P em: ∞ z[p] = ∑ δ [p − kP ] . 24000 bits por segundo são necessários – 37. quantas amostras devem ser colocadas por período.5% da taxa anterior. ou seja. . Se a voz foi amostrada a 8kHz. Se for utilizado apenas 1 bit de quantização para o sinal de erro. Então. 7 . Utilize NS=160.Processamento Digital de Sinais– Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 4.NS. NP).voz sintetizada com impulsos % SYNTHnoise .pitch. (síntese) (c) fornecer ~ 5. SYNTHnoise] = sintetizavoz2(nomarq.wav (entre aspas simples) % NS . NP = 10 e um pitch de 50Hz. % Sintetiza voz com sequencia de impulsos e ruido gaussiano % nomarq .frequencia fundamental da sequencia de impulsos % NP .numero de coeficientes utilizados na predicao % SYNTHimp . (predição) (b) fornecer g[p] como saída quando u[p] é a entrada. Seu formato é: %[SYNTHimp.numero de amostras por bloco % pitch .nome do arquivo . Como devem ser definidos os vetores a e b usados como entrada do filter em termos de α k e I para criar equações de diferenças que realizem as seguintes operações: (a) fornecer uˆ[p] como saída quando u[p] é a entrada. Verifique o que ocorre ao se mudar estes parâmetros. (erro de predição) u[p] como saída quando x [ n ] é a entrada. A função sintetizavoz2 gera uma voz sintética a partir dos coeficientes α k e um trem de impulsos com freqüência fundamental dada por pitch ou um ruído branco gaussiano.wav.voz sintetizada com ruído Teste este programa utilizando o arquivo aula5. numero de coeficientes utilizados na predicao % Nbits . Nbits).wav (entre aspas simples) % NS . verifique qual a menor quantidade de bits que devem ser utilizados na quantização do erro de predição de forma que o sinal possa ser recuperado de forma integral no receptor.NP. % nomarq . NP = 10.erro de predicao % RECON . O programa predivozquant simula a quantização do sinal de erro que é enviado ao receptor.NS. Tente encontrar um valor de pitch mais adequado para este sinal. Calcule. a taxa necessária de transmissão. 8 . Grave um sinal de voz e tente gerar uma voz sintética com o pitch mais adequando para a sua voz.wav e as mesmas configurações da Atividade 7.wav. Repita para os arquivos show.NS.wav e chinelo. 7. repita para o arquivo teste.E. neste caso.numero de amostras por bloco % NP .NP).wav que possuem muitos fricativos.nome do arquivo .sinal obtido com a predicao % E .nome do arquivo .numero de bits utilizados na quantizacao do erro % RECON . RECON] = predivoz(nomarq.Processamento Digital de Sinais– Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Em seguida.numero de amostras por bloco % NP . % [RECON] = predivozquant(nomarq.wav (entre aspas simples) % NS .numero de coeficientes utilizados na predicao % X2 .Sinal reconstruido no receptor Utilizando novamente o arquivo aula5. 6.Sinal reconstruido no receptor Teste o programa para o sinal aula5.wav usando blocos com NS=160. O programa predivoz fornece tem a seguinte estrutura: % [X2. % nomarq . Explique os resultados obtidos e verifique o que ocorre ao se modificar estes parâmetros. � GONZALEZ. as imagens são armazenadas como matrizes de inteiros e a informação de cor – como cada valor de pixel é mapeado para certa cor – é armazenada separadamente. ISBN 0534938086. Pr ocessamento de imagens digitais.. 143 p. Usualmente o preto é codificado como 0 e o branco como 255. c1996. o brilho relativo de cada pixel pode ser representado por um de 256 níveis possíveis. isto é. 24 cm ISBN 8521202644. (1) . 509p. Labs for signals and systems: using MATLAB. considere uma imagem preta e branca em que a luminância. São Paulo: Edgard Blücher. . Albany: PWS. p − P + 1)) . Um modelo simples de borrão horizontal é: {(n. em que p é o número de bits usado para representar o brilho de cada pixel. Neste caso. para cada pixel é armazenada usando 8 bits. equivalentemente. O movimento faz com que cada pixel em uma imagem contenha informação dos P "pixels" anteriores na mesma linha.4 ) identifica o valor do pixel localizado na matriz Z na terceira linha e na quarta coluna. 2 Bor r ando e dando nitidez a uma imagem O borrão em ima imagem causada pelo movimento pode ser representado por um sistema linear.Processamento Digital de Sinais– Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Aula 11P – Exemplos de processamento de imagem Bibliogr afia � STONICK. Virginia L. p ) = 1 P p 1 ∑ z(n. : il. Em um computador digital. p ) + z(n. Intr odução Imagens digitais são formadas por “pontos” ou r kzgnu (Rkevwt g"gngo gpvu). ou brilho. Por exemplo. p ) = P (z(n. as imagens são vistas na tela do computador ou impressas como se fossem contínuas. A informação de cores para os pixels de uma imagem é codificada como inteiros armazenados em matrizes separadas. Rafael C. um elemento de uma matriz. Richard E. No Matlab. Páginas 69-80. Z (3. o brilho e a informação de cor de cada pixel são codificados por um número ou. Boston. 1. Colocando estes pontos suficientemente próximos uns dos outros. Usualmente os valores nas matrizes são inteiros de 0 a 2 p − 1 . p −1) + … m= p − P +1 1 + z(n. chamados de níveis de cinza. WOODS. A localização de cada ponto da matriz é indexada por dois inteiros. 2000. digite image(X). Digite load clown e verifique as variáveis carregadas digitando whos >> whos Name X caption map Size Bytes 200x320 512000 2x1 4 81x3 1944 Class double array char array double array Foram criadas três variáveis: caption (guarda as informações de cabeçalho da imagem). Tr abalhando com uma imagem Nesta atividade exploraremos como imagens são mostradas e representadas como matrizes no Matlab. apesar de sua cor parecer não-natural. Você deve ver o palhaço numa janela. Atividades A.Processamento Digital de Sinais– Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 A equação (1) representa um filtro FIR e pode ser implementado utilizando-se o comando filter como feito nas aulas anteriores. digite x(65:75. 1. Para mostrar a imagem.mat e carregadas usando o comando load image_name. 2 . Quantos bits estão sendo usados na codificação? RESPOSTA: 3. A informação de cores é codificada em uma eqnqt o cr (tabela de cores a ser usada). Olhe alguns elementos do vetor x (por exemplo. map (informação de cores). Os valores na matriz devem ser inteiros. 2. A representação de imagens no Matlab e o seu processamento são ilustrados nas atividades seguintes. O Matlab tem uma série de imagens padrões disponível. 100:110)). x (guarda a informações de intensidade da imagem). Imagens podem ser armazenadas em arquivos imagen_name. Para aumentar o brilho da imagem. digite colormap(map). Para obter as cores corretas. pode-se utilizar o comando brighten(beta) sendo beta um número entre -1 e 1. Números maiores que zero resultam numa imagem mais brilhante e menores do que zero numa imagem mais escura. 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 50 100 150 200 250 300 5. Agora o palhaço deve aparecer nas cores corretas.7) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 50 100 150 3 200 250 300 . Por exemplo.Processamento Digital de Sinais– Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 50 100 150 200 250 300 4. >> brighten(. X2 = X(end:-1:1. Para colocar a imagem de ponta cabeça. subplot(222). Gere a imagem a seguir: COMANDOS UTILIZADOS: 8. 4 . o olho esquerdo do palhaço pode ser obtido usando: Xolho = X(50:100. 150:250).:).image(X(end:-1:1. subplot(221). X1 = X'. Por exemplo. image(Xolho). image(X1). transpor a matriz implica na transposição da imagem. colormap(map). figure(1). basta inverter a ordem das linhas da matriz. colormap(map). Podemos selecionar um pedaço da imagem. 7. Por exemplo. image(X2). pegando algumas linhas e colunas da matriz. Podem-se utilizar operações matriciais normalmente para trabalhar com imagens.Processamento Digital de Sinais– Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 6. :)) colormap(map). subplot(221).N)/N.N)/N. Yvert = filter(ones(1.Processamento Digital de Sinais– Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Obtenha uma ampliação do nariz do palhaço. colormap(map).image(Yhori). Yhori = Yhori'. COMANDOS UTILIZADOS: 9.colormap(map). X).1. Yhori = filter(ones(1. X'). subplot(222). Usando o comando filter e a Equação 1 podemos borrar a imagem na horizontal e na vertical usando os seguintes comandos: N = 25. 5 .image(Yvert).1. N)/N. COMANDOS UTILIZADOS: B. Muitos outros formatos são possíveis.:.jpg .jpg e mostra suas componentes: X = imread('moinho. Yvert). A imagem pode ser aproximadamente recuperada utilizando um filtro inverso. Por exemplo.’jpeg’) grava a matriz A no arquivo FILENAME. Leia o help dos comandos acima para mais informações.2) a informação do verde e a matriz X(:. a matriz X(:.’jpeg’) pode ser utilizado para importar uma imagem neste formato para o Matlab.1) contém a informação do vermelho (“red”).1). Xred = X(:.colormap(map). subplot(223).:.jpg'.Processamento Digital de Sinais– Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 10.'jpeg').image(Yvolta).:.FILENAME. para desfazer o borrão vertical. Imagem no fomato jpeg O formato jpeg é um dos mais utilizados para codificação de imagens. A seguinte seqüência de comandos lê a figura moinho. usamos: Yvolta = filter(1. A matriz X(:. Desfaça o efeito na imagem Yhori.:. ones(1.3) a informação do azul (“blue”). O comando IMWRITE(A. É gerado um vetor X tridimensional com os componentes RGB da imagem. O comando [X] = imread(FILENAME. 6 . Tente outras configurações de cores. title('moinho.image(Xblue). Xblue = X(:.:. X = imread('moinho.:. Xgreennovo = double(Xgreen)*3. subplot(221).3)).image(Xgreen).2).:.:. Xnovo(:. Xnovo(:. 7 .2) = uint8(Xgreennovo).3) = uint8(Xbluenovo).1) = uint8(Xrednovo).jpg'.:.jpg').3). title('Componente green'). Xgreen = X(:. subplot(221). title('moinho.jpg'). subplot(224). subplot(223). Xbluenovo = double(X(:.image(X).:.:. os seguintes comandos aumentam a intensidade do verde da imagem.:.image(Xred). Xnovo(:.'jpeg'). Xrednovo = double(Xred). subplot(222). as cores podem ser trabalhadas separadamente.2).image(X).1). Xblue = X(:. subplot(222).image(Xnovo). title('Componente red'). title('Componente blue').jpg Componente red 200 200 400 400 600 600 800 800 1000 1000 1200 1200 200 400 600 800 200 Componente green 400 600 800 Componente blue 200 200 400 400 600 600 800 800 1000 1000 1200 1200 200 400 600 800 200 400 600 800 Num arquivo jpeg.Processamento Digital de Sinais– Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Xgreen = X(:. title('Cores modificadas').:.3). moinho. Por exemplo. Xred = X(:. Processamento Digital de Sinais– Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 C. identifique o que está escrito na placa. Ela esta armazenada no arquivo testeplacaverm. usando as técnicas aprendidas. RESPOSTA E COMANDOS UTILIZADOS: 8 .mat 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 200 400 600 800 1000 1200 Carregue esta imagem e. O que está escr ito? A seguinte foto foi tirada de uma placa com o carro em movimento. Processamento Digital de Sinais – Aula 12P – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2007 Aula 12P- Questões da prova P2 1. (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 139) (2,0) Calcule a convolução y [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] do seguinte par de sinais: ⎧⎪ 1, n = − 2, 0, 1 ⎪⎪ x [ n ] = ⎪⎨ 2, n = − 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 0, caso cont rário ⎪⎩ h [ n ] = δ[ n ] − δ[ n − 1 ] + δ[ n − 4 ] + δ[ n − 5 ] 2. (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 129) (a) (0,5) Considere a interconexão de sistemas LIT mostrada na figura a seguir. Expresse a resposta impulsiva global h [ n ] em termos de h1 [ n ] , h2 [ n ] , h3 [ n ] , h4 [ n ] e h5 [ n ] . h2 [ n ] + x [n ] + h1 [ n ] + h3 [ n ] h4 [ n ] h5 [ n ] (b) (1,0) Determine h [ n ] quando 1 n { u [ n ] − u [ n − 3 ]} 2 h2 [ n ] = h3 [ n ] = ( n + 1 ) u [ n ] h1 [ n ] = 4 () h 4 [ n ] = δ[ n − 1 ] h5 [ n ] = δ[ n ] − 4δ[ n − 3 ] (c) (0,5) Esboce a resposta do sistema da parte (b) se x [ n ] for o sinal mostrado a seguir. 1 y[n ] Processamento Digital de Sinais – Aula 12P – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2007 2.5 2 1.5 x[n] 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 n 3. (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 148) (1,5) Considere o sistema LIT inicialmente em repouso (condições iniciais nulas) e descrito pela equação de diferenças: y[n] + 2 y[n − 1] = x[n] + 2 x[n − 2] . Encontre a resposta deste sistema à entrada mostrada na figura a seguir resolvendo a equação de diferenças recursivamente para − 2 ≤ n ≤ 7 . 4. (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 307) (1,5) Determine a seqüência de saída do sistema com resposta impulsiva h [n ] = 1 2 n ( )un 2 [ ] Processamento Digital de Sinais – Aula 12P – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2007 quando sua entrada é a seqüência exponencial complexa x [ n ] = Ae n jπ 2 . 5. Considere um sistema LTI com a resposta impulsiva dada por h1[n] = (0.9) n u[n] . a) (0,5) Escreva os comandos para fazer um gráfico da resposta impulsiva no intervalo 0 ≤ n ≤ 40 b) (0,5) Escreva os comandos para calcular e fazer um gráfico da resposta do sistema para a entrada degrau unitário x[n] = u[n] no intervalo 0 ≤ n ≤ 20 c) (0,5) Escreva os comandos para calcular a resposta do sistema para o pulso retangular x[n] = u[n] − u[n − 10] e fazer um gráfico no intervalo 0 ≤ n ≤ 20 d) (0,5) Considerando o sistema anterior em cascata com o sistema 2, descrito por ⎧⎪ x[n / 2], y[n ] = ⎪⎨ ⎪⎪ 0, ⎩ se n par se n ímpar , conforme figura a seguir, escreva comandos para calcular e fazer gráfico da saída global do sistema para entrada pulso retangular x[ n] = u[ n] − u[n − 10] no intervalo 0 ≤ n ≤ 20 . x [n ] Sistema 1 Sistema 2 3 y [n ] z[p ] .. Pacific Grove. respectivamente. dados os coeficientes da SFTD num vetor a. Digital signal pr ocessing using Matlab. o comando: >> x = ifft(x)*N produz um vetor x que representa um período para a forma de onda no tempo. c2000. enquanto os últimos elementos correspondem a z[ P − 1] e c P −1 . • Similarmente. c m. Simon S. ISBN 8573077417. consequentemente. 418 p. Barry. 668 p.Processamento Digital de Sinais – Aula 13P – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 Aula 13P –Séries de Fourier de tempo discreto usando o Matlab Bibliografia � HAYKIN. • Tanto fft quanto ifft são computadas utilizando-se um algoritmo eficiente numericamente ou t âr kf q denominado vt cpuhqt o cf c"t âr kf c"f g"Hqwt kgt . Porto Alegre: Bookman. Albany: Brooks/Cole. o comando: >> a = fft(x)/N produz um vetor a de tamanho P que contém os coeficientes da SFTD. • O Matlab supõe que os somatórios nas equações que definem a SFTD vão de 0 a P − 1 . O desenvolvimento deste algoritmo será estudado em disciplinas posteriores. Considere o seguinte sinal periódico: 1 . 2001. Páginas 240-241. Os comandos fft e ifft podem ser usados para avaliar a SFTD. é adequada para implementação direta no Matlab. • A série de Fourier de tempo discreto (SFTD) é a única representação de Fourier que tem valores discretos tanto no tempo como em freqüência e. John G. Vinay K. PROAKIS. ISBN 0534371744. � INGLE. • Dado um vetor x de comprimento P que representa um período de um sinal com período P . Exer cícios 1.. Páginas 117-121. de forma que os primeiros elementos de x e a correspondem a z[0] e c 0 . VAN VEEN. Sinais e sistemas. 8 ⎠ ⎝ 12 (b) Confirme seu resultado utilizando o Matlab. usando as fórmulas vistas em aula. os coeficientes da série de Fourier deste sinal c mpara 0 ≤ m≤ P 0 − 1 . Comandos e comentários: 2.Processamento Digital de Sinais – Aula 13P – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 (a) Calcule. RESOLUÇÃO: (b) Use o Matlab para confirmar os resultados do item (a). (a) Calcule os coeficientes da série de Fourier do sinal 3π ⎞ ⎛π z[p] = 1 + sin ⎜ p + ⎟. RESOLUÇÃO: 2 . p. RESOLUÇÃO: 3 . Use o Matlab para determinar as componentes da série de Fourier deste sinal e esboce seu espectro. (OPPENHEIM.Processamento Digital de Sinais – Aula 13P – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 3. NAWAB. 2000. WILLSKY. (HAYKIN. VEEN. Utilize o Matlab para conferir seus resultados. p. RESOLUÇÃO: 4. 1997.241) Determine os coeficientes da SFTD para o sinal periódico descrito a seguir. 218) Considere o seguinte sinal retangular periódico com período P 0 = 32 . .. Pacific Grove. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ou seja. Sinais e sistemas.Processamento Digital de Sinais – Aula 14P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 Aula 14P –Resposta em freqüência de filtros digitais Bibliografia � HAYKIN.1] + … + a N +1 y[n . Definindo os vetores B=[b1 b2 . VAN VEEN. � INGLE. � O comando freqz do Matlab pode ser utilizado para se obter a resposta em freqüência de um dado sistema definido pela equação de diferenças: a 1 y[n] + a 2 y[n .. c2000. aN+1] da mesma forma como foi feito para o comando filter. Porto Alegre: Bookman. 1 .. definimos a hwpèçq"f g"ukuvgo c< J (| ) = ∞ ∑ j [m]| −m m= −∞ e a t gur quvc"go "ht gs °í pekc"como ∞ ( ) = ∑ j [m]g J g lΩ − l Ωm . Simon S. ISBN 8573077417... bM+1] e A=[a1 a2 .. + b O +1 x[n .. Vinay K. 418 p. 668 p. Páginas 53-60. os coeficientes da série de Fourier do sinal de entrada ficam multiplicados pela resposta em freqüência do sistema.A. m= −∞ � Vimos também que para uma entrada z[p] = ∑c g ⎛ 2π ⎞ ⎟p lm⎜⎜ ⎟ ⎝ P0 ⎠ m m= P 0 a resposta de um sistema LIT é dada por: {[p] = ∑ m= P 0 ⎛ l P2π m⎞ lm⎛⎜⎜ P2π ⎞⎟⎟ p c mJ ⎜ g 0 ⎟ g ⎝ 0 ⎠ . Barry. o comando >>[H. 2001.1] + . Páginas 264-266. ISBN 0534371744. � Veremos nesta aula exemplos de cálculos de resposta em freqüência usando o Matlab. Albany: Brooks/Cole. PROAKIS. John G. Lembrando as aulas teóricas. Digital signal pr ocessing using Matlab.N).M] .W] = freqz(B.N ] = b1 x[n] + b 2 x[n . Processamento Digital de Sinais – Aula 14P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 retorna N pontos da resposta em freqüência do filtro no intervalo [0. 2 . para que o gráfico fique mais fácil de ser lido (normalizado com relação a π ). (c) a resposta em freqüência J (g lΩ ) . É comum utilizar-se >> plot(W/pi. Para obtermos um gráfico do módulo desta resposta. (b) a função de sistema J ( | ) . (d) faça um gráfico do módulo e da fase de J (g lΩ ) para − π ≤ Ω ≤ π . Exer cícios 1. podemos fazer: >> plot(W. pede-se: (a) a resposta impulsiva j [p] . π] .abs(H)). 2 Para este sistema. Considere o seguinte sistema de tempo discreto conhecido como f khgt gpekcf qt de 1ª ordem: {[p] = 1 (z[p] − z[p − 1]) . por exemplo.abs(H)). 0322 0. 2.x1[n] = sin(0.1234]. % Amostragem . %frequencia do Tom 2 x1 = sin(2*pi*f1*n/fa).7820 {[p − 1] + 1.3217 1.1608 A = [1.03217 z[p − 5] Para este filtro pede-se: (a) Obtenha no Matlab o módulo da resposta em freqüência J (g lω ) deste filtro.1608 z[p − 1] + 0.7822 {[p − 3] + 0. %frequencia de amostragem n = 0:3*fa-1.1683z[p − 4] + 0.2872 {[p − 2] − 0.3217 z[p − 3] + 0. 3 .1608 0.0322].4297 -0.2*pi*n).8*pi*n). %Coeficientes do filtro B = [0.3217 z[p − 2] + 0. 0. %numero de pontos = senoides vao tocar por 3 segundos f1 = 200.7820 0. a partir de qual freqüência a resposta em freqüência deste filtro cai abruptamente? (c) Digite e execute o seguinte uet kr v.x2[n] = sin(0. %frequencia do Tom 1 f2 = 800.Processamento Digital de Sinais – Aula 14P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 (e) este filtro é passa-altas ou passa-baixas? (f) utilizando o comando freqz faça um gráfico no Matlab do módulo da resposta em freqüência deste filtro e compare com o resultado do item (a).4297 {[p − 4] − 0. %Exemplo de Filtro Passa-Baixas Chebyshev fa = 2000.032 z[p] + + 0.2872 -0.1234 {[p − 5] = 0.7822 0.3217 0. Explique os gráficos obtidos e os sons ouvidos. x2 = sin(2*pi*f2*n/fa).0000 -0. % Amostragem . (b) Qual a sua freqüência de corte? Ou seja. A seguinte equação de diferenças representa um filtro IIR passa-baixas do tipo chamado Filtro de Chebyshev: {[p ] − 0. y1(1:101)).5*fa-1) y2]. %Filtragem y2 = filter(B.y2(1:101)).5*fa-1) y1 zeros(1.fa).x1(1:101)). sound([x2 zeros(1.%Sinal de entrada subplot(212).A.fa). plot(0:100.0.0.x2). title('Senoide de 800Hz)'). subplot(211). %Graficos figure(1).%Sinal de saida 4 % . plot(0:100. subplot(211).0.x1). ylabel('y_1[n]'). plot(0:100.Processamento Digital de Sinais – Aula 14P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2007 y1 = filter(B.5*fa-1)]. ylabel('x_2[n]').%Sinal de saida figure(2).A.saidas do filtro sound([x1 zeros(1.x2(1:101)).5 segundo de silencio e a seguir o sinal y1 % e y2 . title('Senoide de 200Hz)'). plot(0:100.O seguinte comando gera nos autofalantes os sinais x1 e x2 seguido de 0.%Sinal de entrada subplot(212). ylabel('y_2[n]'). %Filtragem % Ouvindo os sinais . ylabel('x_1[n]').